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序数记号是大数数学最常用的表示序数的方法。它是一种用有限的符号系统表示[[序数]]的数学工具，其核心是建立序数到表达式构成的集合的双射。[[初等序列系统|PrSS]]，[[BMS]]，[[Y序列|1-Y]]，[[Veblen 函数]]等都是序数记号。

序数记号与大数记号的主要区别是前者用于输出大序数，后者用于直接输出大数。然而由于整数大数也都是序数，所以序数记号更规范的表达应该是“超限序数记号”。

== 基本构成 ==
序数记号由三部分构成：'''表达式集'''，'''展开规则'''，'''极限基本列'''

表达式集是序数记号定义的一部分，对于一个序数记号，如果一个表达式属于表达式集，则称为'''合法表达式'''，简称'''合法式'''。只有合法式可以根据展开规则进行操作。

展开规则是序数记号的核心，需要满足以下三个性质：
* 需要将合法式分为三类：'''零表达式'''，'''后继表达式'''，'''极限表达式'''，并且能根据规则判断出给定的合法式是哪一类。
* 对于给定的后继表达式 a，需要根据规则给出另一合法式 b，b 作为 a 的前驱，或称 a 是 b 的后继。
* 对于给定的极限表达式 c，需要根据规则给出一个 ω 长的合法式序列。这个序列称为 c 的基本列。
极限基本列是一个 ω 长的合法式构成的序列。我们定义从极限基本列的任意一项开始，经过有限次取其基本列中成员和取前驱所能获得的表达式称为'''标准表达式'''，简称'''标准式'''。

== 序关系 ==
在给定的序数记号中，定义序关系“≤”为：

如果一个合法式 a 能通过有限次（含 0 次）取基本列中成员和取前驱能得到合法式 b，则 b≤a。

序数记号必须满足其标准式集在 ≤ 上是[[良序]]的。在此基础上，我们就可以建立标准式集和序数的保序双射，从而让每个标准式对应唯一的一个序数。

== 注意事项 ==
在一些具体的序数记号定义中，可能会看到“展开”这一字眼。实际上，它是对极限表达式取基本列的相对不严谨的一种表述。

比如在 [[初等序列系统|PrSS]] 规则中，<math>0,1,2</math>“展开”为 <math>0,1,1,1,...</math>，实际上是在说表达式 <math>0,1,2</math> 的基本列是 <math>0,1</math>，<math>0,1,1</math>，<math>0,1,1,1</math>，……

出现这种表述的原因是因为在 Worm 记号中，一个极限表达式的基本列的一项往往是它后面一项的子序列，因此这种表述方便理解。

类似的，在 Worm 记号中，序关系 ≤ 往往等价于字典序。但直接将字典序等同于序数记号的序是错误的，因为并非所有序数记号都满足这一点。

此外，类似[[Veblen 函数]]，[[OCF]] 等序数记号定义上实际上并不包含基本列的选取，但它们可以被转写为含有基本列选取的形式。

[[分类:记号]]
[[分类:重要概念]]