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'''增长层级（Growing Hierarchy，GH）'''是一种函数族<math>f:\rm Ord\rightarrow\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}</math>，对于每个[[序数]] <math>\alpha</math>，<math>f_{\alpha}</math> 是一个从自然数到自然数的函数。

不同[[增长率]]的函数能和它们建立起大致的对应关系。因此，增长层级常被用于分析函数的增长率。

常用的增长层级有 4 种，分别为 [[增长层级#快速增长层级|FGH]]、[[增长层级#中速增长层级|MGH]]、[[增长层级#哈代层级|HH]] 和 [[增长层级#慢速增长层级|SGH]]。其中最常用的是 FGH。

=== 定义 ===
在这里，<math>f^n(\cdot)</math> 代表对函数 <math>f(\cdot)</math> 的 <math>n</math> 次迭代；其中 <math>\alpha[n]</math> 表示[[序数#极限序数|极限序数]] <math>\alpha</math> 的[[基本列]]第 <math>n</math> 项。所有的典型增长层级都是由超限递归定义的。

这里由于增长层级都针对递归序数，令 <math>\bold{Rec}</math> 为递归序数集合，<math>\bold{Rec}_\text{lim}</math> 为极限（递归）序数集合。

==== 快速增长层级 ====
快速增长层级（Fast Growing Hierarchy，FGH）

* <math>\forall n\in\mathbb{N},f_0(n)=n+1</math>
* <math>\forall\alpha\in\bold{Rec},n\in\mathbb{N},f_{\alpha+1}(n)=f^n_\alpha(n)</math>
* <math>\forall\alpha\in\bold{Rec}_\text{lim},n\in\mathbb{N},f_\alpha(n)=f_{\alpha[n]}(n)</math>

==== 中速增长层级 ====
中速增长层级（Middle Growing Hierarchy，MGH）

* <math>\forall n\in\mathbb{N},m_0(n)=n+1</math>
* <math>\forall\alpha\in\bold{Rec},n\in\mathbb{N},m_{\alpha+1}(n)=m_\alpha(m_\alpha(n))</math>
* <math>\forall\alpha\in\bold{Rec}_\text{lim},n\in\mathbb{N},m_\alpha(n)=m_{\alpha[n]}(n)</math>

==== 哈代层级 ====
哈代层级（Hardy Hierarchy，HH）

* <math>\forall n\in\mathbb{N},H_0(n)=n</math>
* <math>\forall\alpha\in\bold{Rec},n\in\mathbb{N},H_{\alpha+1}(n)=H_\alpha(n+1)</math>
* <math>\forall\alpha\in\bold{Rec}_\text{lim},n\in\mathbb{N},H_\alpha(n)=H_{\alpha[n]}(n)</math>

==== 慢速增长层级 ====
慢速增长层级（Slow Growing Hierarchy，SGH）

* <math>\forall n\in\mathbb{N},g_0(n)=0</math>
* <math>\forall\alpha\in\bold{Rec},n\in\mathbb{N},g_{\alpha+1}(n)=g_\alpha(n)+1</math>
* <math>\forall\alpha\in\bold{Rec}_\text{lim},n\in\mathbb{N},g_\alpha(n)=g_{\alpha[n]}(n)</math>

=== 在大数数学中的应用 ===
我们知道，大数数学的目的是造出越来越巨大的自然数。为了这个目标，我们需要构造出增长的越来越快的大数函数。实际上，我们有以下两种办法来做到这件事情，即'''迭代'''和'''对角化'''：

* 迭代，即对于已有函数 <math>f(x)</math>，我们构造出函数 <math>g(x)</math> 增长速度快于 <math>f(x)</math>。注意到迭代的方法显然不止一种。比方说，让 <math>g(x)=\underbrace{f(f(f(\cdots(x)\cdots)))}_{x\text{ 层}}</math>，这是一种迭代方法。还可以让 <math>g(x)=f(x+1)</math> 等等。
* 对角化，即对于已有的 <math>\omega</math> 个增长速度递增的函数，我们按照增长速度由小到大排序为 <math>f_1(x),f_2(x),f_3(x),\cdots</math>，我们构造出函数 <math>g(x)=f_x(x)</math>。注意到 <math>g(x)</math> 的增长速度快于任意的<math>f_n(x)</math>。

因此，我们只需要从一个最初的函数出发，通过不断地迭代和对角化，就可以得到越来越快的函数.

现在让我们考察[[序数]]，会发现，序数存在以下两个性质：

* 对任意序数 α，α 的后继依然是一个序数且大于 α。
* 对 ω 个递增序数构成的序列 S 来说，存在一个 β 是序数且满足 β 是 S 的上确界（上界要求大于等于内部所有元素，上确界是最小上界）。或者说，这里的 S 是 β 的一条[[基本列]]。

因此，我们可以从 0 出发，通过不断地取后继和取上确界，我们可以得到越来越大的序数.

我们会发现，构造大数函数的方法和序数的性质之间存在某种意义的对应。那么，我们可不可以直接根据序数，生成大数函数呢？答案是可以的。我们需要完成以下三件事：

* 对序数 0，它要和一个最基础的函数对应。
* 对一个[[序数#序数的后继|后继序数]] α'（α 的后继），我们需要找到 α，然后把 α 对应的函数进行迭代，所得到的新函数就是 α' 对应的函数。
* 对一个[[序数#极限序数|极限序数]] β，我们需要找到 β 的基本列，然后把基本列所有元素对应的函数进行对角化，得到的新函数就是 β 对应的函数。

但注意到这里还有一个问题：一个极限序数的基本列不止一种，那么，我们如何确定应该选取哪一条基本列呢？这个时候就需要[[序数记号]]出马了。序数记号为其极限之下的每个序数指定了唯一的标准基本列。

有了序数记号之后，我们就可以放心的运用对应关系，直接把序数转换成大数函数了。把序数转换成大数函数的工具就是增长层级。根据迭代的方法不同，增长层级也有很多种。

=== 不同增长层级的对比 ===
''本节内容来自<ref>Chase Light (2025). [googology] 大数增长率分析(序篇)：不同的增长层级及其对比 [[googology] Analysis of Large Number Growth Rate (Prologue): Different Growth Levels and Their Comparison]. ''(EB/OL), Zhihu''. Available at: https://zhuanlan.zhihu.com/p/720580794</ref>''。

MGH 相比 FGH，下标 +1 的方式仅由“嵌套 n（自变量）层”变为“嵌套 2 层”。因此，MGH 的下标每加一次 <math>\omega</math>，就能将函数嵌套 <math>2^n</math> 层，实现略大于 FGH 中下标 +1 的作用。

对于使得 <math>m_{\alpha}(n)=f_{\beta}(n)</math> 的 <math>\alpha</math> 和 <math>\beta</math>，我们有

<math>m_{\alpha+n(n\in \omega)}(x)<f_{\beta+1}(x)<m_{\alpha+\omega}(x)<f_{\beta+1}(2^x)</math>

因而 MGH 与 FGH 在 <math>\omega^\omega</math> 处 Catching。

HH 为“下标 +1 则自变量 +1 ”，显然有<math>H_\alpha(H_\beta(n))=H_{\alpha+\beta}(n)</math>。

于是当 <math>H_{\alpha}(n)=f_{\beta}(n)</math> 时，

<math>H_{\alpha+1}(n)=f_\beta(n+1)</math>，<math>H_{\alpha+\alpha}(n)=f_\beta(f_\beta(n))</math>，<math>H_{\alpha\times\omega}(n)=f_{\beta+1}(n)</math>

而 <math>H_{1}(n)=f_{0}(n)=n+1</math>。于是我们又有以下推论：

相同基本列下，对于 <math>\beta\leq\alpha<\varepsilon_0</math>，有 <math>H_{\omega^{\alpha}}(n)=f_{\alpha}(n)</math>，<math>H_{\omega^\alpha+\omega^\beta}(n)=f_{\alpha}(f_{\beta}(n))</math>

因而 HH 与 FGH 在 <math>\varepsilon_0</math> 处 Catching。

我们最后再来看 SGH，其下标 +1 仅仅是“函数值 +1”，因而 SGH 的增长十分依赖于'''序数自身的结构'''及'''基本列'''的选取，所以其增长地较为缓慢，且在较小尺度上和 FGH 没有明显的对应关系。

SGH 与 FGH在<math>\psi(\Omega_\omega)</math>处 Catching。在这之后，直接分析记号的序数结构与分析增长率变得几乎没有区别。

=== 对照表 ===
以下是较为具体的对照表，黑色代表严格相等，绿色代表略小，红色代表略大。

<nowiki>\(  \begin{array} {  c | c | c  } \rm FGH & \rm MGH & \rm HH & \rm SGH & \rm EXP & -\\ \hline  &  & H_0 & g_\omega & x\\ f_0 & m_0 & H_1 & g_{\omega +1} & x+1\\ f_0(f_0) & m_1 & H_2 & g_{\omega +2} & x+2\\ f_0^4 & m_2 & H_4 & g_{\omega +4} & x+4\\ f_0^8 & m_3 & H_8 & g_{\omega +8} & x+8\\ f_1 & \matrix{\underset{x+2^x}{\color{red}{ m_\omega}}} & H_\omega & g_{\omega \times 2} & 2x \\ f_1(f_0) & {\color{red}{ m_\omega}} & H_{\omega +1} & g_{\omega \times 2 +2} & 2x +2\\ f_1(f_0(f_0)) & {\color{red} {m_\omega}} & H_{\omega +2} & g_{\omega \times 2 +4} & 2x +4\\ f_1(f_1) & {\color{red} {m_\omega}} & H_{\omega \times 2} & g_{\omega \times 4} & 4x\\ f_1(f_1(f_0)) & {\color{red} {m_\omega}} & H_{\omega \times 2 +1} & g_{\omega \times 4 +4} & 4x +4\\ f_1(f_1(f_1)) & {\color{red} {m_\omega}} & H_{\omega \times 3} & g_{\omega \times 8} & 8x\\ f_2 & {\color{green} {m_\omega}} & H_{\omega ^2} & {\color{green}{ g_{\omega^2}\sim g_{\omega^n}}} & x\cdot 2^x\\ f_2(f_1) & {\color{green}{ m_\omega}} & H_{\omega ^2 +\omega} & {\color{green} {g_{\omega^2}\sim g_{\omega^n}}} & x\cdot 2^{2x+1}\\ f_2(f_2) & {\color{green} {m_{\omega +1}}} & H_{\omega ^2 \times 2} & {\color{green} {g_{\omega^\omega}\sim g_{\omega^{\omega^n}}}} & x\cdot 2^{x\cdot (2^x+1)}\\ f_3 & \matrix{\underset{>x\uparrow\uparrow 2^x}{\color{red} {m_{\omega \times 2}}}} & H_{\omega ^3} & \matrix{\underset{x\uparrow\uparrow x}{\color{green} {g_{\varepsilon_0}}  }} & >x\uparrow\uparrow x \\ f_3(f_1) & {\color{red} {m_{\omega \times 2}}} & H_{\omega ^3 +\omega} & \matrix{\underset{>x\uparrow\uparrow 2x-1}{\color{green}{ g_{\varepsilon_1} }}} & >x\uparrow\uparrow 2x \\ f_3(f_2) & {\color{green} {m_{\omega \times 2}}} & H_{\omega ^3 +\omega ^2} & {\color{green} {g_{\varepsilon_\omega} \sim g_{\varepsilon_{\omega^n} }}} & >x\uparrow\uparrow (x\cdot 2^x) \\ f_3(f_3) & \matrix{\underset{>x\uparrow\uparrow x\uparrow\uparrow 2^x}{\color{red} {m_{\omega \times 2 +1}}}} & H_{\omega ^3 \times 2} & {\color{green} {g_{\varepsilon_{\varepsilon_0}} }} & >x\uparrow\uparrow x\uparrow\uparrow x &{\rm tritri}=3\uparrow\uparrow\uparrow3\\ f_3(f_3(f_2)) & {\color{green} {m_{\omega \times 2 +1}}} & H_{\omega ^3 \times 2 +\omega^2} & {\color{green} {g_{\varepsilon_{\varepsilon_\omega }}\sim g_{\varepsilon_{\varepsilon_{\omega^n} }} }} & >x\uparrow\uparrow x\uparrow\uparrow (x\cdot 2^x) \\ f_3(f_3(f_3)) & \matrix{\underset{>x\uparrow\uparrow\uparrow 5}{\color{red} {m_{\omega \times 2 +2}}}} & H_{\omega ^3 \times 3} & {\color{green}{ g_{\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_0}}}} } & >x\uparrow\uparrow\uparrow 4 \\ f_4 & \matrix{\underset{>x\uparrow\uparrow\uparrow 2^x}{\color{red} {m_{\omega \times 3}}}} & H_{\omega ^4} & {\color{green} {g_{\zeta_0}} } & >x\uparrow\uparrow\uparrow (x+1)\\ f_4(f_0) & {\color{red} {m_{\omega \times 3}}} & H_{\omega ^4+1} & {\color{green} {g_{\varepsilon_{\zeta_0+1}} }} & >x\uparrow\uparrow\uparrow (x+2) \\ f_4(f_1) & {\color{red} {m_{\omega \times 3}}} & H_{\omega ^4+\omega } & {\color{green}{ g_{\zeta_1}} } & >x\uparrow\uparrow\uparrow 2x \\ f_4(f_2) & {\color{green} {m_{\omega \times 3}}} & H_{\omega ^4+\omega^2 } & {\color{green} {g_{\zeta_\omega }\sim g_{\zeta_{\omega^n} } }} & >x\uparrow\uparrow\uparrow (x\cdot 2^x) \\ f_4(f_3) & {\color{green}{ m_{\omega \times 3}}} & H_{\omega ^4+\omega^3 } & {\color{green} {g_{\zeta_{\varepsilon _0}} } } & >x\uparrow\uparrow\uparrow x\uparrow\uparrow x \\ f_4(f_4) & {\color{red} {m_{\omega \times 3+1}}} & H_{\omega ^4\times 2 } & {\color{green}{ g_{\zeta_{\zeta _0} } }} & >x\uparrow\uparrow\uparrow x\uparrow\uparrow\uparrow x \\ f_5 & {\color{red} {m_{\omega \times 4}}} & H_{\omega ^5 } & {\color{green} {g_{\eta _0} } } & >x\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow x & G(1)=3\uparrow^4 3\\ f_5(f_4) & {\color{green} {m_{\omega \times 4}}} & H_{\omega ^5 } & {\color{green} {g_{\eta_{\zeta _0}} } } & >x\uparrow^4 x\uparrow^3 x\\ f_5(f_5) & {\color{red}{ m_{\omega \times 4+1}}} & H_{\omega ^5\times 2 } & {\color{green} {g_{\eta_{\eta _0}}}  } & >x\uparrow^4 x\uparrow^4 x\\ f_6 & {\color{red}{ m_{\omega \times 5}}} & H_{\omega ^6 } & {\color{green} {g_{\varphi(4,0) }}  } & >x\uparrow^5 x\\ f_7 & {\color{red} {m_{\omega \times 6}}} & H_{\omega ^7 } & {\color{green} {g_{\varphi(5,0) }}  } & >x\uparrow^6 x\\ \matrix{\underset{n>2,n\in \mathbb{N} }{f_n}}  & {\color{red} {m_{\omega \times (n-1)}}} & H_{\omega ^n } & {\color{green}{ g_{\varphi(n-2,0) }}  } & >x\uparrow^{n-1} x\\ f_\omega  & \matrix{\underset{>x\uparrow^x x}{\color{red}{ m_{\omega^2}}}} & H_{\omega ^\omega  } & \matrix{\underset{>x\uparrow^x x}{\color{red} {g_{\varphi(\omega ,0) }}} } & >x\uparrow^{x-1} x\\  \end{array} \)</nowiki>

得益于基本列，SGH 终于红了一次。但他的 <math>\varphi</math> 要开始猛进了。

\( \begin{array}  {  c | c | c  }  \rm FGH1 &\rm FGH2 & \rm MGH & \rm HH & \rm SGH & \rm EXP & -\\  \hline  f_x &f_\omega  & {\color{red}{ m_{\omega^2}}} & H_{\omega ^\omega  } & {\color{red} {g_{\varphi(\omega ,0) }} } & >x\uparrow^{x-1} x\\ f_x(f_x)&f_x(f_\omega)  & {\color{red}{ m_{\omega^2}}} & H_{\omega ^\omega  } & {\color{red} {g_{\varphi(\omega ,0) }} } & >x\uparrow^{x-1} x\uparrow^{x-1} x\\ f_{x+1}(x+1)&f_\omega(f_0)  & {\color{red}{ m_{\omega^2}}} & H_{\omega ^\omega +1 } & {\color{red} {g_{\varphi(\omega ,0) }} } & >x\uparrow^{x} x\\ f_{x+2}(x+2)&f_\omega(f_0(f_0))  & {\color{green}{ m_{\omega^2}}} & H_{\omega ^\omega +2 } & {\color{green} {g_{\varphi(\omega ,0) }} } & >x\uparrow^{x+1} x\\ f_{x+2}(f_{x+2})&  & {\color{green}{ m_{\omega^2}}} & {\color{green}{H_{\omega ^\omega +2 }}} & {\color{green} {g_{\varphi(\omega ,\varphi(\omega ,0)) }} } & >x\uparrow^{x+1} x\uparrow^{x+1} x\\ f_{x+3}(x+3)&f_\omega(f_0^3)  & {\color{green}{ m_{\omega^2}}}  & H_{\omega ^\omega +3 } & {\color{green} {g_{\varphi(\omega+1 ,0) }} } & >x\uparrow^{x+2} x\\ f_{2x}(2x) &f_\omega(f_1)  & \matrix{\underset{>x\uparrow^{x\uparrow^{x} x} x}{\color{red}{ m_{\omega^2+1}}}} & H_{\omega ^\omega +\omega  } & {\color{red} {g_{\varphi(\omega \times 2 ,0) }} } & >x\uparrow^{2x-1} x\\  f_{2x+2}(2x+2)&f_\omega(f_1(f_0))  & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega +\omega +1 } & {\color{green} {g_{\varphi(\omega \times 2 ,0) }} } & >x\uparrow^{2x +1} x\\  f_{2x+4}(2x+4)&f_\omega(f_1(f_0(f_0)))  & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega +\omega +2 } & {\color{green} {g_{\varphi(\omega \times 2 +2,0) }} } & >x\uparrow^{2x +3} x\\  f_{4x}(4x)&f_\omega(f_1(f_1))  & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega +\omega\times 2 } & {\color{red} {g_{\varphi(\omega \times 4 ,0) }} } & >x\uparrow^{4x -1} x\\ f_{f_2}(f_2)&f_\omega(f_2)  & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega +\omega^2 } & {\color{green} {g_{\varphi(\omega ^2 ,0) }\sim g_{\varphi(\omega ^n  ,0) }} } & >x\uparrow^{2^x} x\\ f_{f_3}(f_3)&f_\omega(f_3)  & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega +\omega^3 } & {\color{green} {g_{\varphi(\varepsilon _0 ,0) }} } & >x\uparrow^{x\uparrow\uparrow x} x\\  f_{f_4}(f_4)&f_\omega(f_4)  & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega +\omega^4 } & {\color{green} {g_{\varphi(\zeta _0 ,0) }} } & >x\uparrow^{x\uparrow\uparrow\uparrow x} x\\ f_{f_x}(f_x)&f_\omega(f_\omega )  & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega \times 2 } & {\color{red} {g_{\varphi(\varphi(\omega ,0) ,0) }} } & >x\uparrow^{x\uparrow^{x-1} x}  x & G(2)\\ f_<nowiki>{{f_{f_x}(f_x)}}</nowiki>(f_{f_x}(f_x)) &f_\omega(f_\omega(f_\omega ) )  & {\color{green}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega \times 3 } & {\color{red} {g_{\varphi(\varphi(\varphi(\omega ,0) ,0) ,0) }} } & >x\uparrow^{x\uparrow^{x\uparrow^{x-1} x} x}  x& G(3)\\  &f_{\omega+1} & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} } & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,0) }} } & >x\to x\to x\to 2 & \color{red}{G(x)}\\  \end{array}  \)

对于 <math>f_{\omega +1}</math> 后的增长率，建议直接使用 FGH 分析。

<nowiki>\( \begin{array}  {  c | c | c  }  \rm FGH1 &\rm FGH2 & \rm MGH & \rm HH & \rm SGH & -\\  \hline  &f_{\omega+1} & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} } & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,0) }=g_{\psi (\Omega ^\Omega ) }} }  & \color{red}{G(x)}\\  f_{x+2}(f_{\omega+1})& & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & {\color{green} {H_{\omega ^{\omega+1}}} } & {\color{green} {g_{\varphi(\omega ,\varphi(1,0,0)+1) }} }   & \color{red}{G(x)}\\ f_{f_{x+2}}(f_{\omega+1})& & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & {\color{green} {H_{\omega ^{\omega+1}}} } & {\color{green} {g_{\varphi(\varphi(\omega ,0) ,\varphi(1,0,0)+1) }} } & \color{red}{G(x)}\\ f_{\omega }(f_{\omega+1})=f_{\omega }^{x+1}(x+1)&f_{\omega+1}(f_0) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} +1} & {\color{green} {g_{\varphi(\varphi(1,0,0),1) }} }& \color{green}{G(x)}\\ f_{\omega }^{x+2}(x+2)&f_{\omega+1}(f_0(f_0)) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} +2} & {\color{green} {g_{\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),1),1) }} }& \color{green}{G(x+1)}\\ f_{\omega }^{2x}(2x)&f_{\omega+1}(f_1) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} +\omega} & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,1) }=g_{\psi (\Omega ^\Omega \times 2) }} }& \color{green}{G(2x-1)}\\ f_{\omega }^{x\cdot 2^x}(x\cdot 2^x)&f_{\omega+1}(f_2) & {\color{green}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} +\omega^2} & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,\omega^2 )\sim \varphi(1,0,\omega^n )}} }& \\ f_{\omega }^{f_{\omega }}(f_{\omega })&f_{\omega+1}(f_\omega ) & {\color{green}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} +\omega^\omega} & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,\varphi(\omega ,0)) }} }& \\ f_{\omega }^{f_{\omega+1 }}(f_{\omega +1})&f_{\omega+1}(f_{\omega +1}) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega +1 }}} & H_{\omega ^{\omega+1} \times 2} & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,\varphi(1,0 ,0)) }} }& \color{green}{G(G(x-1))}\\ &f_{\omega+1}^3 & {\color{green}{ m_{\omega^2+\omega +1 }}} & H_{\omega ^{\omega+1} \times 3} & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,\varphi(1,0 ,\varphi(1,0 ,0))) }} }& \color{green}{G(G(G(x-1)))}\\ &f_{\omega+2} & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega \times 2 }}} & H_{\omega ^{\omega+2} } & {\color{green} {g_{\varphi(1,1,0) }=g_{\psi (\Omega ^{\Omega+1} ) }} }&\\ f_{\omega}(f_{\omega+2})& & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega \times 2 }}} & {\color{green}{H_{\omega ^{\omega+2} }}} & {\color{green} {g_{\varphi(\varphi(1,1,0),1) }}  }&\\ f_{\omega +1}(f_{\omega+2})=f_{\omega+1 }^{x+1}(x+1)&f_{\omega+2}(f_0) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega \times 2 }}} & {H_{\omega ^{\omega+2}+1 }} & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,\varphi(1,1,0)+1) }}  }&\\ f_{\omega+1}^{2x}(2x)&f_{\omega+2}(f_1) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega \times 2 }}} & H_{\omega ^{\omega+2}+\omega  } & {\color{green} {g_{\varphi(1,1,1) }}  }&\\ f_{\omega }^{f_{\omega+2 }}(f_{\omega +2})&f_{\omega+2}(f_{\omega +2}) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega\times 2 +1 }}} & H_{\omega ^{\omega+2} \times 2} & {\color{green} {g_{\varphi(1,1,\varphi(1,1 ,0)) }} }& \\ &f_{\omega+3} & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega \times 3 }}} & H_{\omega ^{\omega+3} } & {\color{green} {g_{\varphi(1,2,0) }=g_{\psi (\Omega ^{\Omega+2} ) } }}&\\ &f_{\omega+4} & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega \times 4 }}} & H_{\omega ^{\omega+4} } & {\color{green} {g_{\varphi(1,3,0) }} }&\\ &f_{\omega\times 2} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2} } & {\color{red} {g_{\varphi(1,\omega ,0) }=g_{\psi (\Omega ^{\Omega+\omega })}  } }&\\ \end{array} \)</nowiki>

<nowiki>\( \begin{array}  {  c | c | c  }  \rm FGH & \rm MGH & \rm HH & \rm SGH \\  \hline  f_{\omega\times 2} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2} } & {\color{red} {g_{\varphi(1,\omega ,0) }}}\\ f_{\omega+2x+1}(f_{\omega\times 2}) & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 }}} & {\color{green} {H_{\omega ^{\omega\times 2} }}} & {\color{green} {g_{\varphi(1,\omega\times 2 ,0) }}}\\ f_{\omega\times 2}(f_{\omega\times 2}) & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 +1}}} & H_{\omega ^{\omega\times 2} \times 2} & {\color{red} {g_{\varphi(1,\varphi(1,\omega ,0) ,0) }}}\\ f_{\omega\times 2+1} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 +\omega  }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2 +1} } & {\color{green} {g_{\varphi(2,0 ,0)}=g_{\psi (\Omega ^{\Omega\times 2})}}}\\ f_{\omega\times 2+1}(f_1) & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 +\omega  }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2 +1} +\omega } & {\color{green} {g_{\varphi(2,0 ,1) }}}\\ f_{\omega\times 2+1}(f_{\omega \times 2}) & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 +\omega +1 }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2 +1} +\omega^{\omega\times 2 } } & {\color{green} {g_{\varphi(2,0 ,\varphi(1,\omega ,0)) }}}\\ f_{\omega\times 2+1}(f_{\omega \times 2+1}) & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 +\omega +1 }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2 +1} \times 2} & {\color{green} {g_{\varphi(2,0 ,\varphi(2,0,0)) }}}\\ f_{\omega\times 2+2} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 +\omega\times 2  }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2 +2} } & {\color{green} {g_{\varphi(2,1 ,0)}}}\\ f_{\omega\times 2+3} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 +\omega\times 3  }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2+3} } & {\color{green} {g_{\varphi(2,2,0)}}}\\ f_{\omega\times 3} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 3  }}} & H_{\omega ^{\omega\times 3} } & {\color{red} {g_{\varphi(2,\omega,0)}}}\\ f_{\omega\times 3+1} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 3 +\omega }}} & H_{\omega ^{\omega\times 3+1}} & {\color{green} {g_{\varphi(3,0,0)}}}\\ f_{\omega\times 4} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 4 }}} & H_{\omega ^{\omega\times 4} } & {\color{red} {g_{\varphi(3,\omega,0)}}}\\ f_{\omega^2} & {\color{red}{ m_{\omega^3  }}} & H_{\omega ^{\omega^2} } & {\color{red} {g_{\varphi(\omega,0,0)}}}\\ f_{\omega^2}(f_{\omega^2}) & {\color{red}{ m_{\omega^3  \times 2}}} & H_{\omega ^{\omega^2}\times 2 } & {\color{red} {g_{\varphi(\varphi(\omega,0,0),0,0)}}}\\ f_{\omega^2+1} & {\color{red}{ m_{\omega^3 +\omega  }}} & H_{\omega ^{\omega^2+1} } & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,0,0)}=g_{\psi (\Omega ^{\Omega^2})}}}\\ f_{\omega^2+\omega}  & {\color{red}{ m_{\omega^3 +\omega^2  }}} & H_{\omega ^{\omega^2+\omega }} & {\color{red} {g_{\varphi(1,0,\omega,0)}}}\\ f_{\omega^2+\omega +1}  & {\color{red}{ m_{\omega^3 +\omega^2 +\omega  }}} & H_{\omega ^{\omega^2+\omega+1 }} & {\color{green} {g_{\varphi(1,1,0,0)}}}\\ f_{\omega^2+\omega\times 2 +1}  & {\color{red}{ m_{\omega^3 +\omega^2\times 2 +\omega  }}} & H_{\omega ^{\omega^2+\omega\times 2+1 }} & {\color{green} {g_{\varphi(1,2,0,0)}}}\\ f_{\omega^2\times 2}  & {\color{red}{ m_{\omega^3 \times 2  }}} & H_{\omega ^{\omega^2\times 2 }} & {\color{red} {g_{\varphi(1,\omega ,0,0)}}}\\ f_{\omega^2\times 2 +1}  & {\color{red}{ m_{\omega^3 \times 2 +\omega  }}} & H_{\omega ^{\omega^2\times 2 +1}} & {\color{green} {g_{\varphi(2,0,0,0)}}}\\ f_{\omega^2\times 3 +1}  & {\color{red}{ m_{\omega^3 \times 3 +\omega  }}} & H_{\omega ^{\omega^2\times 3 +1}} & {\color{green} {g_{\varphi(3,0,0,0)}}}\\ f_{\omega^3}  & {\color{red}{ m_{\omega^4 }}} & H_{\omega ^{\omega^3}} & {\color{red} {g_{\varphi(\omega,0,0,0)}=g_{\psi (\Omega ^{\Omega^2\times \omega})}}}\\  f_{\omega^3+1}  & {\color{red}{ m_{\omega^4+\omega  }}} & H_{\omega ^{\omega^3+1}} & {\color{green} {g_{\varphi(1@4)}=g_{\psi (\Omega ^{\Omega^3})}}}\\  f_{\omega^4+1}  & {\color{red}{ m_{\omega^5+\omega  }}} & H_{\omega ^{\omega^4+1}} & {\color{green} {g_{\varphi(1@5)}=g_{\psi (\Omega ^{\Omega^4})}}}\\  f_{\omega^\omega}  & {\color{green}{ m_{\omega^\omega  }}} & H_{\omega ^{\omega^\omega }} & {\color{green} {g_{\varphi(1@\omega)}}}={\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\omega})}}}\\  \end{array}  \)</nowiki>

同样是由于基本列，MGH 与 FGH 在 <math>\omega^\omega</math> 处 Catching 但略小于 FGH（注意 Catching 并不是相等），此后每遇到 <math>\omega^\omega</math> 的倍数二者都会 Catching 一次。

<nowiki>\( \begin{array}  {  c | c | c  }  \rm FGH  & \rm HH & \rm SGH \\   \hline    f_{\omega^\omega}  &  H_{\omega ^{\omega^\omega }} & {\color{green} {g_{\varphi(1@\omega)}}}={\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\omega})}}}\\    f_{\omega^\omega}(f_0)  &  H_{\omega ^{\omega^\omega }+1} & {\color{green} {g_{\varphi(1@(\omega+1))}}}\\  f_{\omega^\omega}(f_1)  &  H_{\omega ^{\omega^\omega }+\omega } & {\color{green} {g_{\varphi(1@(\omega\times 2))}}}\\ f_{\omega^\omega}(f_{\omega^\omega})  &  H_{\omega ^{\omega^\omega }\times 2 } & {\color{green} {g_{\varphi(1@\varphi(1@\omega))}}}\\  f_{\omega^\omega+1}  &  H_{\omega ^{\omega^\omega +1}} & {\color{green} {g_{\varphi(1@(1,0))}= {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega})}}}}\\   f_{\omega^\omega+\omega }  &  H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega }} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\omega })}}}\\  f_{\omega^\omega+\omega +1 }  &  H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega +1}} &  {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega })}}}\\  f_{\omega^\omega+\omega\times 2 +1 }  &  H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega\times 2 +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega\times 2 })}}}\\  f_{\omega^\omega+\omega^2 }  &  H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega^ 2 }} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega\times \omega  })}}}\\  f_{\omega^\omega+\omega^2 +1 }  &  H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega^ 2 +1 }} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega^2 })}}}\\ f_{\omega^\omega+\omega^3 +1 }  &  H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega^ 3 +1 }} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega^3 })}}}\\ f_{\omega^\omega\times 2 }  &  H_{\omega ^{\omega^\omega \times 2 }} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega^\omega })}}}\\ f_{\omega^\omega\times 2 +1}  &  H_{\omega ^{\omega^\omega \times 2 +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega\times 2 })}}}\\ f_{\omega^\omega\times 3 +1}  &  H_{\omega ^{\omega^\omega \times 3 +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega\times 3})}}}\\ f_{\omega^{\omega+1}}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega  +1}}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega\times \omega })}}}\\ f_{\omega^{\omega+1}+1}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega  +1}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+1} })}}}\\ f_{\omega^{\omega+1}+\omega +1}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega  +1}+\omega +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+1}+\Omega })}}}\\ f_{\omega^{\omega+1}\times 2+1}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega +1} \times 2} } & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+1}\times 2 })}}}\\ f_{\omega^{\omega+2}}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega  +2}}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+1}\times \omega })}}}\\ f_{\omega^{\omega+2}+1}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega  +2}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+2} })}}}\\ f_{\omega^{\omega+3}+1}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega  +3}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+3} })}}}\\ f_{\omega^{\omega\times 2}}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega  \times 2}}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+\omega } })}}}\\ f_{\omega^{\omega\times 2}+1}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega  \times 2}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega\times 2 } })}}}\\ f_{\omega^{\omega\times 3}+1}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega  \times 3}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega\times 3 } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ 2}}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ 2}}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega\times \omega  } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ 2}+1}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ 2}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^2  } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ 3}+1}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ 3}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^3  } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ \omega }}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ \omega }}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^\omega   } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ \omega }+1}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ \omega }+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^\Omega   } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^{\omega^ \omega } }+1}  &  H_{\omega ^{\omega^{\omega ^{\omega^ \omega } }+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^{\Omega^ \Omega }   } })}}}\\ f_{\psi (0)=\varepsilon_0}  &  {\color{green}{H_{\varepsilon _0}}}/H_{\varepsilon _0+1} & {\color{green} {g_{\psi (\psi_1(0))}}}\\ \end{array}  \)</nowiki>

HH 与 FGH 最终在 <math>\varepsilon_0</math> 处 Catching 了。此后的每个<math>\varepsilon</math>点二者都会再次 Catching。

关于SGH 与 FGH 的更详细的对照分析以及它们的[[Catching|catching]]点，请移步[[SGH与FGH对照]]

=== 警告 ===
''本节内容来自 Googology Wiki''。''<ref>Googology Wiki (n.d.). Fast-growing hierarchy. ''(EB/OL), Googology Wiki''. Available at: https://googology.fandom.com/wiki/Fast-growing_hierarchy</ref>''<ref>Googology Wiki (n.d.). Slow-growing hierarchy. ''(EB/OL), Googology Wiki''. Available at: https://googology.fandom.com/wiki/Slow-growing_hierarchy</ref><ref>Googology Wiki (n.d.). Hardy hierarchy. ''(EB/OL), Googology Wiki''. Available at: https://googology.fandom.com/wiki/Hardy_hierarchy</ref>

读者需要非常谨慎，因为个人网站、视频和用户博客上存在许多错误的“入门介绍”，尽管这些内容不幸受到初学者的青睐。由于序数、基本列等数学概念非常抽象且难以精确处理，人们往往倾向于给出直观描述——这些描述对初学者来说比精确解释更简单、更“酷”。然而，这类“入门介绍”经常包含严重错误，因为作者本身也是通过其他直观描述学习的，而非精确的定义——重点在于，要理解快速增长层级，精确的定义是不可或缺的。精确描述看起来复杂的原因并非仅仅是表述不佳或冗余，而是因为这些概念本身确实非常困难，尽管这些错误的“入门介绍”有时会将它们解释为简单的概念。

另外要注意，关于快速增长层级中函数的[[CKO#可计算函数|可计算性]]，存在许多错误描述。虽然 gggists 有时会声称某个函数是可计算的，因为它是通过快速增长层级定义的，但这是典型的错误。通过包含无限序数的方法(如快速增长层级)定义的函数并不一定是可计算的。为了确保通过快速增长层级定义的函数的可计算性，我们需要构造一个明确的算法来计算它，常见例子是由序数记号给出一个基本列的算法。即使快速增长层级中像 <math>f_\omega</math> 这样的较小函数，若没有通过明确算法定义，也可能是不可计算的（比如设想<math>f_\omega(n)=f_{BB(n)}(n)</math>，其中<math>BB(n)</math>是[[忙碌海狸函数]]）。因为算法只能处理可数集合中具有固定枚举的元素，而无法直接处理没有固定枚举的集合中的无限序数。为了解决可计算性问题，我们通常使用序数记号。

关于快速增长层级（及其同类，如哈代层级和慢速增长层级）最重要的事实之一是：给定上界以下的极限序数的基本列系统并非唯一，经典增长层级严重依赖于这种系统的选择；除非在上下文中明确固定了基本列系统的具体选择，否则它是定义不明确的。初学者必须非常注意这个问题，因为当 gggist 谈论“[[Catching 函数|Catching 的序数]]”“视为增长率的序数”“快速增长层级中的[[证明论序数]]”等内容时，若不理解基本列系统选择的依赖性，这种定义不明确的情况会频繁出现。

== 参考资料 ==
<references />
[[分类:入门]]
[[分类:分析]]
[[分类:重要概念]]