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'''基数'''<ref>冯琦. (1998). 集合论导引[M]. 北京: 科学出版社.</ref>是一类特殊的[[序数]]。

==== 定义 ====

我们说两个集合 <math>A,B</math> '''等势'''，当且仅当在它们之间存在一个'''双射（一一对应）'''，记为 <math>|A|=|B|</math>。

对于任意一个序数 <math>\alpha</math> 而言，<math>\alpha</math> 的'''势'''，记为 <math>|\alpha|</math>，是与 <math>\alpha</math> 等势的最小序数，即

* <math>|\alpha| = \min\{\beta \leq \alpha\ |\ |\alpha|=|\beta|\}</math>

一个序数 <math>\alpha</math> 是'''基数'''，当且仅当 <math>\alpha=|\alpha|</math>。

==== 基数上的序关系 ====

基数的'''序'''被定义为如下形式

<math>|X| \leq |Y|</math>，如果存在一个单射自 <math>X</math> 到 <math>Y</math>


我们同样可以定义严格序

<math>|X| < |Y|</math> 表示 <math>|X| \leq |Y|</math> 且 <math>|X| \neq |Y|</math>

例：

<math>|A|<|\mathfrak{P}(A)|=|\{\emptyset,\{\emptyset\}\}^{A}|</math>

==== 有限基数和无穷基数（超限基数） ====
<math>\forall n \in \omega(n=|n|)</math>，这意味着所有的自然数 <math>n</math> 都是一个基数。

从而，我们称呼一个集合 <math>X</math> 的基数是有限的，当且仅当存在一个自然数 <math>n \in \mathbb{N}</math> 使得 <math>|X|=|n|=n</math>

此时我们称呼 <math>X</math> 是有 <math>n</math> 个元素的。'''有限基数'''即全体自然数。

若一个基数不是有限的，则我们称它为'''无穷基数（超限基数）'''。

==== 极限基数和后继基数 ====

一个基数 <math>k</math> 是一个'''后继基数'''，当且仅当存在一个基数 <math>\lambda</math>，使得 <math>k</math> 是最小的大于 <math>\lambda</math> 的基数，此时也称 <math>k</math>为<math>\lambda</math> 的基数后继。

一个基数 <math>k</math> 是一个'''极限基数'''，当且仅当对于任意 <math>\lambda < k</math>，<math>\lambda</math> 的基数后继也小于 <math>k</math>。

有以下定理：
# 若一个[[序数#超限序数|无穷序数]]是基数，我们便称之为'''阿列夫数'''；
# <math>\aleph_{0} = \omega = |\omega|</math>，<math>\omega</math>是第一个无穷基数；
# <math>\aleph_{1} = \omega_{1} = |\omega_{1}|</math>，<math>\omega_{1}</math>是第一个不可数基数。
# 第一个不可数的极限基数为<math>\aleph_{\omega}</math>

由此我们定义阿列夫数的递增序列

* <math>\aleph_{0}=\omega</math>
* <math>\aleph_{\alpha+1}=\omega_{\alpha+1}=\aleph_{\alpha}</math> 的基数后继
* <math>\aleph_{\gamma}\text{(}\gamma\text{是非零极限序数)}=\bigcup\{\omega_{\alpha}|\alpha<\gamma\}</math>

我们称一个基数为 <math>\aleph_{0}</math> 的无穷集合是'''可数的（countable）'''，一个基数不为 <math>\aleph_{0}</math> 的无穷集合是'''不可数的（uncountable）。'''

==== 基数的运算 ====

我们依赖集合的基本运算，来定义基数的运算。

对于两个基数 <math>a,b</math>，有两个基数分别为 <math>a,b</math> 且'''互不相交'''的集合 <math>A,B</math>，有

* <math>a+b=|A\cup B|</math>
* <math>a\cdot b=|A\times B|</math>
* <math>a^{b}=|A^{B}|</math>

其中 <math>A^{B}</math> 表示全体从 <math>B</math> 到 <math>A</math> 的映射所构成的集合。

基数有以下的运算规律：

对于任意基数 <math>a,b,c</math>，有：
* <math>a+b=b+a</math>;
* <math>a\cdot b=b\cdot a</math>;
* <math>a+(b+c)=(a+b)+c</math>;
* <math>a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c</math>;
* <math>(a\cdot b)^{c}=a^{c}\cdot b^{c}</math>;
* <math>a^{b+c}=a^{c}\cdot a^{b}</math>;
* <math>(a^b)^{c}=a^{b\cdot c}</math>;
* 如果 <math>a\leq b</math>，那么 <math>a^{c}\leq b^{c}</math>;
* 如果 <math>0<b\leq a</math>，那么 <math>c^{b}\leq c^{a}</math>;
* <math>a^{0}=1, 1^{b}=b</math>，若 c 非空，<math>0^{c}=0</math>.

基数有如下定理：
* <math>\aleph_{\alpha} \cdot \aleph_{\alpha} = \aleph_{\alpha}</math>，证明见[[无穷基数的平方等于自身]]。 
* <math>\aleph_{\alpha}+\aleph_{\beta}=\aleph_{\alpha}\cdot \aleph_{\beta} = \max\{\aleph_{\alpha},\aleph_{\beta}\}</math>

==== 共尾度 ====

对于一个[[良序]]集合 <math>(W,<)</math> 而言，我们称序数 <math>\alpha</math> 为它的长度或者序型，记成 <math>\alpha=ot(W,<)</math>，当且仅当它与 <math>(\alpha,<)</math> 同构。

设 <math>\alpha</math> 是一个非零[[序数#极限序数|极限序数]]，<math>\alpha</math> 的'''共尾度'''，记为 <math>\mathrm{cf}(\alpha)</math>，由以下等式定义：
* <math>\mathrm{cf}(\alpha)=\min\{ot(A,<)|A\subseteq \alpha \and \forall \beta(\beta < \alpha \rightarrow \exist \gamma(\gamma \in A\and \beta < \gamma))\}</math>

即，<math>\mathrm{cf}(\alpha)</math> 是 <math>\alpha</math> 的最短的无界子集的长度。

设 <math>\alpha \geq \gamma \geq \omega</math> 为两个极限序数，那么以下三个命题等价：
# <math>\gamma=\mathrm{cf}(\alpha)</math>
# 存在从 <math>\gamma</math> 到 <math>\alpha</math> 的无界单增映射，并且对于任何一个 <math>\eta<\gamma</math>，任意一个从 <math>\eta</math> 到 <math>\alpha</math> 上的映射一定在 <math>\alpha</math> 中有界
# <math>\gamma</math> 为最小的序数<math>\beta</math>，使得存在一个严格递增的长度为 <math>\beta</math> 的序数序列 <math>\langle \alpha_{\xi}:\xi<\beta \rangle</math>，<math>\lim_{\xi\to \beta}\ \alpha_{\xi}=\alpha</math>

显然，共尾度是一个极限序数且当 <math>\alpha</math> 为极限序数时它的共尾度是正则的。

一个基数是'''正则的'''当且仅当它的共尾度为自身。一个基数是'''奇异的'''当且仅当它不是正则的。

有如下定理：
* 所有后继基数都是正则基数。
* 所有奇异基数都是极限基数。

== 参考资料 ==
<references />

[[分类:集合论相关]]
[[分类:重要概念]]