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'''可构造宇宙（又称“哥德尔的可构造宇宙 L”、“可构造性全域”）'''，是哥德尔为了证明命题的一致性问题而提出的一个[[内模型]]。

==== 定义 ====

设 <math>U</math> 为[[传递集]]，我们称一个 <math>U</math> 的子集 <math>A</math> 是在结构 <math>\langle U,\in\rangle</math> 上可定义的，当且仅当存在一个公式 <math>\phi(x,a_{1},a_{2},a_{3},...)</math> 使得 <math>X=\{x:\langle U,\in\rangle |\phi(x,a_{1},a_{2},a_{3},...)\}</math>。我们将 <math>def(U)</math> 表示 <math>\langle U,\in\rangle</math> 上全体可定义的子集组成的集合，也称可定义幂集。可构造宇宙的定义如下：

* <math>L_{0}=\emptyset</math>
* <math>L_{\alpha+1}=def(L_{\alpha})</math>
* <math>L_{\alpha}(\alpha\text{ 是极限序数})=\bigcup_{\beta<\alpha}\ L_{\beta}</math>
* <math>L=\bigcup_{\alpha\in Ord}\ L_{\alpha}</math>

对于任意集合 <math>a</math>，若存在 <math>L_{b}</math>使得 <math>a\in L_{b}</math>，则称 <math>a</math> 是'''可构造的'''。

==== 定理 ====

我们可以验证，假设 [[ZFC公理体系|ZF]] 是一致的，那么 L 是 ZF 的模型，且是一个真类，且 Ord 是 L 的子类。

L 还蕴含 V=L 即可构造公理，以及[[ZFC公理体系#选择公理|选择公理]] AC 和广义连续统假设 GCH。并且，L 是 ZF 最小的内模型。

[[分类:集合论相关]]