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在集合论中，'''传递集'''（或递移集，Transitive Set）是一种特殊的集合，其元素的所有元素也属于该集合本身。这一概念是集合论模型论和构造性集合论（如[[内模型|内模型理论]]）的基础工具。

=== 定义 ===
一个集合 <math>U</math> 称为传递集，当且仅当它满足以下条件：

<math>\forall x\in U\forall y(y\in x\Rightarrow y\in U)</math>

即，若 <math>x</math> 是 ''<math>U</math>'' 的元素，且 <math>y</math> 是 <math>x</math> 的元素，则 ''<math>y</math>'' 必然也是 ''<math>U</math>'' 的元素。这种性质称为向下封闭性（downward closure）。

==== 等价表述 ====
传递集可等价定义为：

* ''<math>U</math>'' 的传递闭包等于自身（即 <math>\mathrm{TC}(U)=U</math>），其中传递闭包是包含 ''<math>U</math>'' 及其所有元素的元素的最小传递集。
* ''<math>U</math>'' 上的∈关系是良基的（well-founded），即不存在无限下降链 <math>\cdots\in x_2\in x_1\in x_0\in U</math>。

=== 性质 ===
举例：

# 空集是传递的：空集 <math>\varnothing</math> 是传递集，因为其没有元素需要验证。
# 单元素传递集：若 <math>U=\{\varnothing\}</math>，则 ''<math>U</math>'' 是传递的，因为其唯一元素 <math>\varnothing</math> 的元素（无）均属于 ''<math>U</math>''。
# <math>V_0=\varnothing,V_1=\{\varnothing\},V_2=\{\varnothing,\{\varnothing\}\},\cdots</math>：更一般地，累积层次 <math>V_\alpha</math>（其中 <math>\alpha</math> 为序数）均为传递集。
# 序数是传递集：所有[[序数]]（ordinal）均为传递集。序数的定义为：每个元素是更小的序数（即 <math>\alpha\in\beta\Rightarrow\alpha\subset\beta</math>）；序数满足三歧性（任意两个序数可比较）。
# 可构造宇宙 ''L：''[[可构造宇宙|Gödel 的可构造宇宙]] ''L'' 是最小的传递内模型，包含所有序数，并满足 ZFC 公理

传递集的并集仍是传递的；若 <math>\{U_i\}_{i\in I}</math> 是传递集族，则 <math>\bigcup_{i\in I}U_i</math> 也是传递集。

传递模型中的∈关系：若 ''<math>U</math>'' 是传递集，则结构 <math>\langle U,\in\rangle</math> 是集合论公理（如 [[ZFC公理体系|ZFC]] 去除非集合论公理）的一个传递模型，其∈关系与全集的∈关系一致。

=== 相关概念 ===

==== 传递类（Transitive Class） ====
若一个类（可能不是集合）<math>M</math> 满足：

<math>\forall x\in M\forall y(y\in x\Rightarrow y\in M)</math>

则称 ''<math>M</math>'' 为传递类。例如，整个宇宙 ''V'' 是传递类，但非传递集（因其不是集合）。

==== [[内模型]]（Inner Model） ====
传递类 ''<math>M</math>'' 若满足：

* ''<math>M</math>'' 是传递的；
* ''<math>M</math>'' 包含所有序数；
* ''<math>M</math>'' 是集合论公理（如 ZFC）的模型； 则称 ''<math>M</math>'' 为内模型。典型例子包括 ''L''（可构造宇宙）和 HOD（由序数可定义集构成的类）。

==== 绝对性（Absoluteness） ====
在传递模型中，某些集合论概念（如“''x'' 是序数”、“''x'' 是自然数”）的真值不依赖于模型的选择，这种现象称为绝对性。

==== 良基集（Well-founded Set） ====
在 ZFC 中，传递集必为良基集。

''TO DO: 良基集''

=== 历史背景 ===
传递集的概念源于 [[ZFC公理体系|Zermelo-Fraenkel 集合论]]对“集合”的递归定义需求。通过累积层次 <math>V_\alpha</math>，集合论得以分层构造，而传递集正是这一分层的核心单元。Gödel 在 1930 年代通过可构造宇宙 ''L'' 的构造，展示了传递模型在独立性证明中的强大应用。
[[分类:集合论相关]]