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“传递”，全称序数结构传递现象，是一个在[[序数记号]]中出现的现象，与[[序数]]本身没有联系。“传递”一般描述一个序数记号表达式在展开时，不仅仅是判定展开所用到的元素参与了展开过程，还有别的元素也参与了展开过程。

== 解释 ==
一个关于“传递”的典型例子是[[序数坍缩函数#BOCF|BOCF]]。我们发现<math>\psi(1)\times(n+1)=\psi(1)\times n+\psi(0)+\psi(0)+\psi(0)+\cdots</math>，是对一个基础的序数增加一系列<math>\psi(0)</math>，那么<math>\psi(2)</math>的展开是否也是对一个基础的序数增加一系列<math>\psi(0)</math>呢？如果是的话，<math>\psi(2)=\psi(1)+\psi(0)+\psi(0)+\psi(0)+\cdots</math>，这明显和BOCF的定义不符。如果只有【形如<math>\psi(\alpha+1)</math>的B hydra表达式可以确定展开式】这一条规则，我们只需要判断ψ里面的东西是不是有一个+1就知道展开式是什么了，而不需要管那个<math>\alpha</math>是多少；但是在<math>\psi(2)=\psi(1)+\psi(1)+\psi(1)+\psi(1)+\cdots</math>里面，展开规则不仅管了ψ里面的东西是不是有一个+1，还涉及到了那个<math>\alpha+1</math>的<math>\alpha</math>是多少，这就是“传递”。

不过也有人更倾向于用[[初等序列系统|PrSS]]解释传递：<math>1,2,...,1,2</math>，不管省略号里面是什么东西，这个表达式的展开都是把末尾的2变为<math>1,1,1,1,1,...</math>；那么在<math>1,2,2</math>中，应该也遵循这样的规则，即<math>1,2,2=1,2,1,1,1,1,1,...</math>。其实不然，1,2,2展开为什么，不仅取决于坏根，还取决于坏根之后的一些元素，这才让<math>1,2,2=1,2,1,2,1,2,1,2,...</math>成为可能。

=== 传递和迭代的关系 ===
在4年前或者更久之前，array notation主导整个[[googology]]。在那个时候，构造大自然数有3条基本规则：基础运算、迭代、对角化。线性[[SAN]]中，<math>s(a,b)=a^b</math>，这是基础运算；<math>s(a,b+1,c+1,\#)=s(a,s(a,b,c+1,\#),c,\#)</math>，这是迭代；<math>s(a,b,1,1,1,...,1,c+1,\#)=s(a,b,b,b,b,...,b,c,\#)</math>，这是对角化。

考虑线性SAN里对应迭代的规则：<math>s(a,b+1,c+1)=s(a,s(a,b,c+1,\#),c)</math>，这是三项的SAN，在一步展开后，第二项变成了一个新的三项SAN表达式。到了四项SAN，<math>s(a,b+1,c+1,d)</math>，在一步展开后，第二项应该也是变成了一个新的三项SAN表达式吧？显然不是，<math>s(a,b+1,c+1,d)=s(a,s(a,b,c+1,d),c,d)</math>，第二项变成了四项的SAN表达式。但是我们只需要前三项就可以用迭代规则展开了，为什么第四项还要在迭代时放进展开式里呢？

这个问题，和在前面传递里讲到的“PrSS的1,2,2只需要坏根1和末项2就可以展开，为什么还要带上中间那个2呢？”，很明显是同一个东西！所以，构造大自然数有3条基本规则，基础运算、迭代、对角化，来到构造大递归序数之后，变成了新的3条基本规则：'''后继、传递、对角化'''。

“传递”这个词的英文翻译目前还比较混乱，因为传递就是迭代这件事，在2024年12月初才被发现。刚刚发现传递的时候（2024年2月），直接机翻为transmitting，例如[[FOS]]nt中的t就是它的缩写；到了3月，传递的英文逐渐被remaining替代，这个名字由ProjectCF提出，虽然不那么符合除基本列序数序列之外的记号，但还是沿用到了12月，使用在了“著名”但早已不再使用的RD序列系统中的R。在发现传递就是迭代后，318'4开始将传递直接译作iterating。

=== 传递按行数分类 ===
PrSS的<math>1,2,2=1,2,1,2,1,2,...</math>和BOCF的<math>\psi(2)=\psi(1)\times n</math>只是最表层的传递，后面还有更多种类的传递。

因为差分序列有明确的“行”的概念，所以这里以差分序列（和[[BMS]]）为例。表层传递，指的就是PrSS中存在的这种传递，或者叫1行传递，因为它在1行的BMS中就可以见到。

到了[[长初等序列|LPrSS]]，传递就没有那么容易发现了。LPrSS的<math>1,3,5=1,3,4,5,6,7,8,9,...</math>，有何不妥吗？只要看向每一项减去它的父项的值，组成阶差序列，就可以看出端倪：<math>1,3,5</math>阶差是<math>1,2,2</math>，但<math>1,3,4,5,6,7,8,9,...</math>却是<math>1,2,1,1,1,1,1,1,...</math>，这就是失去传递了。对于[[0-Y]]，<math>1,3,5=1,3,4,6,7,9,10,12,...</math>阶差序列恰好是<math>1,2,2=1,2,1,2,1,2,1,2,...</math>，是没有失去这种传递的例子。这样的传递，叫做'''2行传递'''，因为至少2行BMS才能见到它。

实际上，BMS里最小的2行传递就是<math>\zeta_0=(0)(1,1)(2,1)</math>，这就让<math>(0)(1,1)(2,1)(3)</math>可以突然从<math>\zeta_0</math>增加到<math>\varphi(\omega,0)</math>。同理，BMS里也有3行传递，最小的例子是<math>(0)(1,1,1)(2,2,1)</math>，它略微上方的<math>(0)(1,1,1)(2,2,1)(3)</math>,即[[SDO]]，是一个巨大的记号坟墓，这正是3行传递强度的体现。BMS有任意n行的传递，都是首次出现在<math>(0)(1,1,...,1,1)(2,2,...,2,1)</math>。

接下来跨越BMS，来到[[Y序列]]。我们暂时不考虑<math>1,3,4,3</math>提升，包括它下面的<math>1,3,4,2,5,7,5</math>提升也先不考虑。这样下来，<math>1,3,7</math>对应<math>\omega^2</math>行BMS，那么序数行BMS能达到Y的高度吗？差太远了，即便失去<math>1,3,4,3</math>和<math>1,3,4,2,5,7,5</math>提升，<math>\alpha\rightarrow\alpha\text{行}BMS</math>也只有<math>1,3,7,8,11,18,20</math>，刚刚超过<math>1,3,7</math>一点点，为什么呢？
[[文件:v2-0eab85904cbae6d283df767e2879a755 1440w.png|居中|缩略图|Y(1,3,7)及其展开式]]
看向<math>Y(1,3,7)</math>的展开式，注意那个斜着的<math>1,2,2=1,2,1,2,1,2,1,2,...</math>，你会发现，这确实是一种传递，但似乎比任意的n行传递都要更强，那这是什么传递呢？跨行传递，或者叫<math>\omega</math>行传递。

我们严谨的定义BMS与ω-Y中的传递如下，值得注意的是，基于weak magma ω-Y的α to β传递的定义依然有部分争议：

基于BMS的a to b传递的定义：对于一个BMS表达式，末列最下方非0元素所在行记作b，删掉某行以及所有大于它的行之后，导致坏根发生变化，或在存在和不存在之间切换。有这样效果的行中的最大者记作a，如果表达式有这样的行a，那么就说这个表达式是一个a to b结构传递，否则说这个表达式没有结构传递。

基于weak magma ω-Y的α to β传递的定义：先重新规定ω-Y山脉图的第一行(也就是原序列)行标为0而不是1。然后LNZ沿用通用的定义，坏根定义为LNZ的左腿所在列，如果LNZ的左腿不存在，那坏根也不存在。对于一个ω-Y表达式(标准或不标准)的完整山脉图，LNZ所在行记作β，删掉某行以及所有大于它的行之后，导致坏根发生变化，或在存在和不存在之间切换，有这样效果的行中的最大者记作α。如果表达式有这样的行α，那么就说这个表达式是一个α to β结构传递，否则说这个表达式没有结构传递。

接下来到了Y序列也没有的传递：ω^ω行传递。在Notation Explorer中，看[[Mountain Notation#Dω·2MN|Defective ω·2 mountain notation]]；已知<math>()(;1)=()(,1)(,2,,2)(,3,,3,,,3)(,4,,4,,,4,,,,4)...</math>等于ω-Y，那么<math>()(;1)(,2;1)=()(;1)(,2)(,3;3)(,4,,4)(,5,,5;5)...</math>还能用ω-Y描述吗？显然，这个传递在Y的视角下，就和<math>Y(1,3,7)</math>这个传递在BMS视角下一样，这是更弱的记号完全无法理解的传递。

在按行数分类的传递里面，一般序数越整，传递越强，例如强度：ω^ω行传递>ω²行传递>ω行传递>2行传递。
[[分类:重要概念]]