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'''下箭号表示法（亦称"下箭头记号"）'''，一种满足'''左结合律'''的二元运算。
== 定义 ==
下箭号由如下公式递归定义：
* <math>a \downarrow^1 b = a^b</math>
* <math>a \downarrow^{c} 1 = a</math>
* <math>a \downarrow^{c+1} (b+1) = ( a \downarrow^{c+1} b)\downarrow^{c}  a</math>

其中，<math>a,b,c</math> 均为'''正整数'''，<math>a \downarrow^{c} b = a\ \underbrace{ \downarrow\downarrow\cdots\downarrow }_{c}\ b</math>. 

在计算下箭号时，如无括号，按照从左往右的顺序计算，即： 
* <math>a \downarrow^{m} b\downarrow^{n} c=(a \downarrow^{m} b)\downarrow^{n} c</math>
若将下箭号的左结合律更替为右结合律，其余定义不变，将得到[[高德纳箭头]]。 

== 性质 ==

下箭号有如下性质：

==== 展开 ====
<math>n \downarrow^{k} m = \underbrace{n \downarrow^{k-1} n \downarrow^{k-1} \cdots \downarrow^{k-1} n }_{\text{m个n}}</math>

==== 增长率 ====
下箭号虽然看起来增长得比高德纳箭头慢得多，但其[[增长层级#快速增长层级|FGH]][[增长率]]仍为 <math>\omega</math>.

可以证明的是，<math>a \downarrow^{2n-1} b \ge a \uparrow^n b</math>.

==== 超运算 ====
下箭号是一种[[超运算|超运算记号]]。

== 计算示例 ==
<math>\begin{align}
3\downarrow\downarrow\downarrow3&=(3\downarrow\downarrow3)\downarrow\downarrow3\\&=(3\downarrow3\downarrow3)\downarrow\downarrow3\\&=(27\downarrow3)\downarrow\downarrow3\\&=19683\downarrow\downarrow3\\&=19683^{19683^2}\\&=3^{3^{20}}
\end{align}</math>

{{默认排序:大数记号}}
[[分类:记号]]