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本系列不讨论严格定义，仅为以纯自然语言来辅助理解

=== 进制 ===
在此，我希望大家可以先想一想“进制”这个概念

通俗而言，进制是指一种便捷高效的计数方式

从1开始，后面有许多的数字，我们把“数到下一个数字”的行为称作“后继”，那么我们就有1的后继、1的后继的后继……等数字

为了便捷的表述，我们首先想到的就是用新的的图形来表达数字，例如“2”这个图形，表示1的后继

然后我们可以继续这么做，“3”、“4”、“5”……“8”、“9”、“A”（9的后继）……

可这样太慢了，而且到了数百次后继、数千次后继的时候数字怕不是跟鬼画符一样

为了更加便捷、简洁的表示数字，我们首先定义了“0”、“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”、“7”、“8”、“9”，其中“0”的后继是1

此时我们换了一个思路，既然新的数字只需要和原有的数字保证有不同，我们拿两个数字组合在一起就行了，比如我们定义“10”是9的后继，此时的“10”和“1”比不同，和“0”比不同

接下来还是一样的，我们可以用“1”和“2”、“3”……“8”、“9”逐个组合一遍

直到“19”的后继，我们把前面的1换成2，就有了新的一系列以2开头的组合图形来高效表达数字

直到“99”，我们用“100”来表示它的后继，“999”就用“1000”作为它的后继……

我们观察一下，发现这种进制表示数字的方法用到了“0”到“9”共十个不同的图形，我们称其为“十进制”

相应的，由几个图形的简单排列组合所构成的进制系统，就被称为“几进制”

而Veblen正是一个进制系统，'''不动点进制'''

=== 不动点 ===
不动点（fixed point），是一个比较奇特的概念。

具体可参考条目：[[不动点]]

简而言之，我们可以认为如果一个<math>\alpha</math>是一个函数<math>f(x)</math>的不动点，实际上可以说其等价于：

<math>\alpha=f(f(f(...)))</math>这样一个不严谨的式子，其本身有无限层。

如果你只是写了<math>f(\alpha)</math>，那么把它内部的<math>\alpha</math>展开为<math>f(f(f(...)))</math>之后，你会发现<math>f(\alpha)=f(f(f(...)))</math>；

展开之后因为函数有无限层，无法区分两个式子，因此我们说<math>f(\alpha)=f(f(f(...)))=\alpha</math>

有没有什么办法让这个不动点<math>\alpha</math>成功被<math>f()</math>所改变？

我们说函数无限层时会导致<math>f(\alpha)=\alpha</math>是因为这两个东西换成另一个式子无法区分，是相等的

我们想办法给它变得能区分，比如<math>f(\alpha+1)=f(f(f(...))+1)</math>，可以区分于<math>f(f(f(...)))</math>，不动点破除

我们发现这和“1的后继”用“2”来表示这个做法是有异曲同工之妙的，1本身没有办法表示1后面的数字，必须需要“后继”或者其他图形如“2”来表示更大的数字，“1”的这种窘境就类似于不动点。

而<math>a\sim b\mapsto b</math>的不动点形式看似难懂实际上就是<math>a\sim(a\sim(...))=b</math>的一种表达形式，在这里<math>a\sim</math>类似于<math>f()</math>

<math>b</math>是<math>\alpha</math>

=== 单元Veblen函数 ===
正式开始介绍Veblen

首先是<math>\varphi(0)=1</math>

万物之源——1

接下来，我们要提到Veblen的一个核心思想，'''不动点进位'''

什么意思呢？比如说<math>1+x</math>的不动点<math>\omega</math>，这是自1后面的第一个不断+1+1+1……的不动点，Veblen的职责就是记录下这一刻

这里的+1+1...可以看作是<math>+\varphi(0)+\varphi(0)...</math>的不动点形式

这第一个不动点即为<math>\varphi(1)</math>

为了让记号继续前进，我们用<math>\omega+1</math>破除了<math>\omega</math>这个不动点

来到类似于<math>1+x\mapsto x</math>的<math>\omega+(1+x\mapsto x)</math>，此时我们发现虽然这个式子里的<math>1+x</math>到了不动点

但它这个式子本身并非一个完全的不动点，<math>\omega</math>独立于1+x之外

展开一下就能明白刚才这些话是什么意思：

<math>\omega+1+x\mapsto x=\omega+1+(\omega+1+(...))=\omega+(\omega+(...))=\omega\times\omega=\omega^2</math>

<math>\omega+(1+x\mapsto x)=\omega+(1+(1+(...)))=\omega+\omega=\omega2</math>

Veblen要求其记录的每一个不动点都必须是前者那种式子整体都是不动点的不动点，而不是后者这种“局部不动点”

<math>\varphi(n)</math>记录第n个这样的不动点

假设<math>\varphi(n)=\alpha,n>1</math>，其破除不动点形式为<math>\alpha+1</math>

则其记录的不动点形式应该是这个样子

<math>\alpha+1+x\mapsto x=\alpha+1+(\alpha+1+(...))</math>

因为<math>1+x\mapsto x=\omega</math>，所以<math>1+\omega+1=(1+\omega)+1=\omega+1</math>，<math>\omega+1+\omega=\omega+(1+\omega)=\omega+\omega</math>……

可知<math>1+\alpha=\alpha,\alpha>\omega</math>

又因为<math>\varphi(1)=\omega,\varphi(n)>\varphi(1)</math>，所以<math>\varphi(n)=\alpha,\varphi(n)>\omega,\alpha>\omega</math>

<math>\alpha+1+x\mapsto x=\alpha+1(\alpha+1+(...))=\alpha+(\alpha+(...))=\alpha\times\omega=\omega^\alpha</math>

即<math>\varphi(\alpha)=\alpha\times\omega=\omega^\alpha</math>

嗯，不错

继续走下去，我们还会遇到<math>\varphi(\omega)=\omega^\omega=\varphi(\varphi(1))</math>

<math>\varphi(\omega+\omega)=\omega^{\omega+\omega}=\varphi(\varphi(1)+\varphi(1))</math>

<math>\varphi(\varphi(\alpha))=\omega^{\varphi(\alpha)}=\omega^{\omega^\alpha}</math>

<math>\varphi(\varphi(\varphi(\alpha)))=\omega^{\varphi(\varphi(\alpha))}=\omega^{\omega^{\varphi(\alpha)}}=\omega^{\omega^{\omega^\alpha}}</math>

……

直到<math>\varphi(x)\mapsto x=\varphi(\varphi(\varphi(...)))=\omega^{\omega^{\omega^{...}}}=\varepsilon_0</math>

我们发现，这时的Veblen的括号里只有一个放数字的位置，我们把它称之为“单元Veblen”

而单元Veblen的极限只有<math>\varepsilon_0</math>

只有一个放数字的位置？好像和我们未引入“进制”之前一样出现了需要新数字打破不动点的窘境！

自然，我们需要一个进制系统。

=== 双元Veblen函数 ===
书接上回

就像“10”用了1和0一样，我们也用1和0来表示进位，但是直接写<math>\varphi(10)</math>会出现这里的10和十进制10混淆的尴尬场面

不能这样子

于是我们采用在这两个数字之间添加逗号的方式，把它们分隔开来

得到<math>\varphi(1,0)=\varphi(x)\mapsto x=\varepsilon_0</math>

根据前面我们得到的规律有<math>\varphi(\varphi(1,0)+1)=\omega^{\varphi(1,0)+1}=\varepsilon_0\times\omega=\omega^{\varepsilon_0+1}</math>

这里要注意一个Veblen函数的一个重要变化：<math>\varphi(1,X+)</math>记录的是<math>\varphi(\varphi(1,X)+x)\mapsto x</math>这样的不动点

这种不动点不同点在于它出现在单元Veblen的括号里，就像10中个位上出现1、2、3……9一样，Veblen中也有这样的情况

<math>\varphi(\varphi(1,0)+1+x)\mapsto x=\varphi(\varphi(1,0)+1+\varphi(\varphi(1,0)+1+...))=\varphi(1,1)=\varepsilon_1</math>

于是，接下来我们就又可以愉快类推了：

<math>\varphi(\varphi(1,1)+1)=\omega^{\varphi(1,1)+1}</math>

<math>\varphi(\varphi(1,1)+1+\varphi(\varphi(1,1)+1))=\omega^{\omega^{\varphi(1,1)+1}}</math>

<math>\varphi(\varphi(1,1)+x\mapsto)=\varphi(1,2)</math>