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Bashicu矩阵系统(Bashicu Matrix System,'''BMS''')是一个[[序数记号]]。Bashicu Hyudora在2018年给出了它的良好定义。直至今日，BMS依然是已经证明[[良序]]的最强的序数记号。

== 定义 ==

=== 原定义 ===
Bashicu最初在他的未命名的BASIC编程语言改版上提交了BMS的定义<ref> [https://googology.fandom.com/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:BashicuHyudora/BASIC%E8%A8%80%E8%AA%9E%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E5%B7%A8%E5%A4%A7%E6%95%B0%E3%81%AE%E3%81%BE%E3%81%A8%E3%82%81#.E3.83.90.E3.82.B7.E3.82.AF.E8.A1.8C.E5.88.97.E6.95.B0.28Bashicu_matrix_number.29 The summarization of the large numbers in BASIC language (Japanese article)]</ref>。BMS的原定义是一个大数记号，理论的输出是一个大数。该程序并未设计为实际运行，原因在于语言修改的未定义性，同时也受限于内存与计算时间的现实约束，无法计算出这个大数的实际最终值。因此，Fish编写了名为"Bashicu矩阵计算器"的程序来演示预期的计算流程（该程序已得到Bashicu验证）。故Bashicu矩阵的正式定义可参考Fish程序的源代码<ref>https://github.com/kyodaisuu/basmat/blob/master/basmat.c</ref>。

=== 正式定义 ===
中文googology社区提到BMS默认是一个序数记号。以下是序数记号BMS的定义及说明：

首先是BMS合法式：BMS的合法式是二维的自然数构成的序列，在外观上看是一个矩阵。如<math>\begin{pmatrix} 0 & 1&2&1 \\ 0&1&1&1\\0&1&0&1 \end{pmatrix}</math>就是一个BMS的合法式。在很多场合，这种二维的结构书写起来不是很方便，因此我们也常常把BMS从左到右、从上到下按列书写，每一列的不同行之间用逗号隔开，不同列之间用括号隔开。例如，上面的BMS也可以写成<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,1)</math>.在很多情况下，除首列外，列末的0也可以省略不写，例如上面的BMS写为<math>(0)(1,1,1)(2,1)(1,1,1)</math>.

理论上来说，只要是这样的式子就可以按照BMS的规则进行处理了。但实际操作过程中，我们还可以排除一些明显不标准的式子：

* 首列并非全0
* 每一列并非不严格递减，即出现一列中下面的数大于上面的数。
* 出现一个元素a，它比它同行左边所有元素都大超过1.

在了解BMS的展开规则之前，需要先了解一些概念。

# 第一行元素的'''父项'''：对于位于第一行的元素a，它的父项b是满足以下条件的项当中，位于最右边的项：1）同样位于第一行且在a的左边；2） 小于a。这里和[[初等序列系统|PrSS]]判定父项的规则是相同的。显然，0没有父项。
# '''祖先项'''：一个元素自己，以及它的父项、父项的父项、父项的父项的父项……共同构成它的祖先项。
# 其余行元素的父项：对于不位于第一行的元素c，它的父项d指满足以下条件的项当中，位于最右边的项： 1）与c位于同一行且在c的左边； 2）小于c；3）d正上方的项e是c正上方的项f的祖先项。0没有父项。
# '''坏根'''：最后一列位于最下方的非零元素的父项所在列，称为坏根。如果最后一列所有元素为0，则这个BMS表达式无坏根。值得一提的是，末列最靠下的非零元素记作'''LNZ'''(Lowermost Non-Zero)
# '''好部'''、'''坏部'''：这两个概念与PrSS是相似的。位于坏根左边的所有列称为好部，记作G，G可以为空；从坏根到倒数第二列(包括坏根、倒数第二列)的部分称为坏部，记作B。
# '''阶差向量'''：在一个n行BMS中，我们把末列记为<math>(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)</math>,把坏根列记为<math>(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)</math>,并且我们规定<math>\alpha_{n+1}=0</math>.则阶差向量<math>\Delta=(\delta_1,\delta_2,\cdots,\delta_n)</math>按照这样的规则得到：<math>\delta_i = \begin{cases} \alpha_i-\beta_i, & \alpha_{i+1}\neq0 \\ 0, & \alpha_{i+1}=0 \end{cases}</math>。通俗的说，如果末列的第<math>i+1</math>项等于0，则<math>\delta_i=0</math>,否则<math>\delta_i</math>等于末列第i行减去坏根列第i行。阶差向量记作<math>\Delta</math>.
# <math>B_m</math>:<math>B_m</math>是B中每一列都加上<math>\Delta</math>的m倍所得到的新矩阵。但是有一点需要注意：如果B中某个元素t的祖先项不包含坏根中的元素，则在<math>B_m</math>对应位置的元素的值依然是t，它不加<math>\Delta</math>.

了解概念后，以下是BMS的展开规则：

# 空矩阵=0
# 如果表达式是非空矩阵S，如果它没有坏根，那么S等于S去掉最后一列之后，剩余部分的后继 。
# 否则，确定这个BMS表达式S的坏根、G、B、<math>\Delta</math>,S的基本列第n项<math>S[n]=G\sim B\sim B_1 \sim B_2\sim B_3\sim\cdots\sim B_{n-1}</math>.其中~表示序列拼接。或者称S的展开式是<math>G\sim B \underbrace{\sim B_1\sim B_2\sim \cdots}_{\omega}</math>.

BMS的极限基本列是<math>\{(0)(1),(0,0)(1,1),(0,0,0)(1,1,1),(0,0,0,0)(1,1,1,1),\cdots\}</math>,从这个基本列中元素开始取前驱或取基本列所能得到的表达式是BMS的标准式。

以下是BMS展开的一些实例：

例一:<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,0)(0,0,0)</math>

因为末列全都是0，因此这个BMS没有坏根。根据规则2，它是<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,0)</math>的后继。

例二：<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,2,0)</math>

LNZ是末列第二行的2.首先确定末列第1行元素的祖先项，即标红的部分（末列本身不染色，下同）：<math>({\color{red}0},0,0)({\color{red}1},1,1)({\color{red}2},2,2)({\color{red}3},3,3)(4,2,0)</math>.因此末列第二行的2的父项只能在含有标红元素的这些列中选取。于是确定LNZ的父项为(标绿):<math>({\color{red}0},0,0)({\color{red}1},{\color{green}1},1)({\color{red}2},2,2)({\color{red}3},3,3)(4,2,0)</math>.因此确定<math>(1,1,1)</math>是坏根。好部G是<math>(0,0,0)</math>,坏部B是<math>(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)</math>.计算出阶差向量<math>\Delta=(3,0,0)</math>.检查B中是否存在祖先项不包含坏根中元素的项（当然，我们只需要检查<math>\Delta</math>非零的那些行），很幸运，没有。于是我们得到展开式是<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,1,1)(5,2,2)(6,3,3)(7,1,1)(8,2,2)(9,3,3)\cdots</math>

例三：<math>(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,3,1,1)(4,2,0,0)(5,1,1,1)(6,2,2,1)(7,3,1,1)</math>

LNZ是末列第四行的1.首先确定末列第一行元素7的祖先项（标红）：<math>({\color{red}0},0,0,0)({\color{red}1},1,1,1)({\color{red}2},2,2,1)({\color{red}3},3,1,1)({\color{red}4},2,0,0)({\color{red}5},1,1,1)({\color{red}6},2,2,1)(7,3,1,1)</math>.在含有标红元素的列中寻找末列第二行元素3的祖先项（标绿）：<math>({\color{red}0},{\color{green}0},0,0)({\color{red}1},1,1,1)({\color{red}2},2,2,1)({\color{red}3},3,1,1)({\color{red}4},2,0,0)({\color{red}5},{\color{green}1},1,1)({\color{red}6},{\color{green}2},2,1)(7,3,1,1)</math>.在含有标绿元素的列中寻找末列第三行元素1的祖先项（标蓝）：<math>({\color{red}0},{\color{green}0},{\color{blue}0},0)({\color{red}1},1,1,1)({\color{red}2},2,2,1)({\color{red}3},3,1,1)({\color{red}4},2,0,0)({\color{red}5},{\color{green}1},1,1)({\color{red}6},{\color{green}2},2,1)(7,3,1,1)</math>.在含有标蓝元素的列中寻找LNZ的父项，即首列第四行的0.于是得到坏根是<math>(0,0,0,0)</math>，好部G是空矩阵，坏部B是<math>(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,3,1,1)(4,2,0,0)(5,1,1,1)(6,2,2,1)</math>，计算阶差向量<math>\Delta=(7,3,1,0)</math>。检查B中是否存在祖先项不包含坏根中元素的项（只检查<math>\Delta</math>非0的行）得到第五列第三行的0祖先项不经过坏根。于是我们得到展开式是<math>(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,3,1,1)(4,2,{\color{red}0},0)(5,1,1,1)(6,2,2,1)(7,3,1,0)(8,4,2,1)(9,5,3,1)(10,6,2,1)(11,5,{\color{red}0},0)(12,4,2,1)(13,5,3,1)(14,6,2,0)(15,7,3,1)(16,8,4,1)(17,9,3,1)(18,8,{\color{red}0},0)(19,7,3,1)(20,8,4,1)\cdots</math>

展开BMS可以靠BMS计算器<ref>http://gyafun.jp/ln/basmat.cgi</ref>或notation explorer<ref>https://hypcos.github.io/notation-explorer/</ref>辅助。

=== 数学定义 ===
kotetian给出BMS的数学定义。但是他给出的定义是大数记号版本的。以下是根据他的定义改写的序数记号版BMS的定义：

<math>\mathrm{Matrix:}{\boldsymbol S}={\boldsymbol S}_0{\boldsymbol S}_1\cdots{\boldsymbol S}_{X-1}</math>

<math>\mathrm{Vector:}~{\boldsymbol S}_x=(S_{x0},S_{x1},\cdots,S_{x(Y-1)})</math>

<math>\mathrm{parent~of}~S_{xy}:~P_{y}(x)= \begin{cases} max\{p|p<x\land S_{py}<S_{xy}\land \exists a(p=(P_{y-1})^a(x))\} & \text{if }y>0 \\ max\{p|p<x\land S_{py}<S_{xy}\} & \text{if }y=0 \end{cases}</math>

<math>\mathrm{Lowermost~nonzero:}~t=\max\{y|S_{(X-1)y}> 0\}</math>

<math>\mathrm{Bad~root:}~r = P_t(X-1)</math>gfhyrth

<math>\mathrm{Ascension~offset:}~\Delta_{y} = \begin{cases} S_{(X-1)y}-S_{ry} & \text{if }y < t \\ 0 & \text{if }y\geq t \end{cases}</math>

<math>\mathrm{Ascension~matrix:}~A_{xy}=\left\{\begin{array}{ll} 1 &(\mathrm{if}~ \exists a( r=(P_{y})^a(r+x)))\\ 0 &(\mathrm{otherwise}) \end{array}\right.</math>

<math>\mathrm{Good~part:}~{\boldsymbol G}={\boldsymbol S}_0{\boldsymbol S}_1\cdots{\boldsymbol S}_{r-1}</math>

<math>\mathrm{Bad~part:}~{\boldsymbol B}^{(a)}={\boldsymbol B}_0^{(a)}{\boldsymbol B}_1^{(a)}\cdots{\boldsymbol B}_{X-2-r}^{(a)}</math>

<math>{\boldsymbol B}_x^{(a)}=(B_{x0}^{(a)},B_{x1}^{(a)},\cdots,B_{x(Y-1)}^{(a)})</math>

<math>B_{xy}^{(a)}=S_{(r+x)y}+a\Delta_{y}A_{xy}</math>

<math>\varnothing=0</math>

<math>\boldsymbol{S} = \begin{cases} \boldsymbol{S}_0\boldsymbol{S}_1\boldsymbol{S}_2\cdots\boldsymbol{S}_{X-2}, & \text{if }\forall y,\boldsymbol{S}_{(X-1)y}=0 \\ sup\{G,GB^{(0)},GB^{(0)}B^{(1)},GB^{(0)}B^{(1)}B^{(2)},\cdots\} & \text{otherwise} \end{cases}</math>

== 历史 ==
Bashicu在2015年的时候给出了第一版BMS的定义，即BM1。BM1创建后的首个问题便是其是否必然终止。这一疑问直到2016年用户KurohaKafka在日本论坛2ch.net发表终止性证明<ref>http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1448211924/152-155n</ref>才暂告段落。然而Hyp cos通过构造非终止序列推翻了该证明<ref>https://googology.fandom.com/wiki/Talk:Bashicu_matrix_system?oldid=118833#Something_wrong_happens</ref>。

为此，Bashicu发布第二版（BM2），以BASIC语言重新实现算法<ref>https://googology.fandom.com/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:BashicuHyudora/BASIC%E8%A8%80%E8%AA%9E%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E5%B7%A8%E5%A4%A7%E6%95%B0%E3%81%AE%E3%81%BE%E3%81%A8%E3%82%81#.E3.83.90.E3.82.B7.E3.82.AF.E8.A1.8C.E5.88.97.E6.95.B0.28Bashicu_matrix_number.29</ref>。2018年6月12日，他再次更新定义至BM3<ref>https://googology.fandom.com/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:Kyodaisuu/%E3%83%90%E3%82%B7%E3%82%AF%E8%A1%8C%E5%88%97%E6%9C%80%E6%96%B0%E3%83%90%E3%83%BC%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%B3</ref>，但当月内Alemagno12便发现存在不终止的例证<ref>https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Alemagno12/BM3_has_an_infinite_loop</ref>。

2018年11月11日，P進大好きbot针对PSS（即行数限制为2的BMS）完成了终止性证明<ref>https://googology.fandom.com/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:P%E9%80%B2%E5%A4%A7%E5%A5%BD%E3%81%8Dbot/%E3%83%9A%E3%82%A2%E6%95%B0%E5%88%97%E3%81%AE%E5%81%9C%E6%AD%A2%E6%80%A7</ref>。

2018年8月28日，Bubby3确认BM2确实不会终止<ref>[https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Bubby3/BM2_doesn%27t_terminate. https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Bubby3/BM2_doesn%27t_terminate.]</ref>。

Bashicu最终修正官方定义推出BM4，此为2018年9月1日的最新版本。该版本最终在2023年7月12日被Racheline（在googology社区中曾用名Yto）证明停机<ref>https://arxiv.org/abs/2307.04606</ref>。

尽管BM4是最后官方修订版，但googology社区已衍生诸多非官方变体，如BM2.2、BM2.5、BM2.6、BM3.1、BM3.1.1、BM3.2及PsiCubed2版等<ref>https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Ecl1psed276/A_list_of_all_BMS_versions_and_their_differences</ref>。需注意的是，整数编号版本（1-4）均由Bashicu本人定义，其余版本均为他人修改。

由于BMS在三行之后出现提升效应造成分析上的极大困难，目前我们仍然在探索理想无提升BMS（Idealized BMS，IBMS）的定义。BM3.3<ref>User blog:Rpakr/Bashicu Matrix Version 3.3 | Googology Wiki | Fandom</ref>一度被认为是符合预期的IBMS，然而目前已经发现了BM3.3也具有提升。

=== 争议 ===
test_alpha0声称Yto(Racheline)剽窃了他的证明。据test_alpha0所说，他在2022年2月16日在googology wiki上发布了关于BMS停机证明的文章<ref>User blog:ReflectingOrdinal/A proof of termination of BMS | Googology Wiki | Fandom</ref>，并在googology discord社区回答了相关问题，Racheline声称他的证明不严谨，但过了一段时间，Racheline在ArXiv上发了证明，框架与test_alpha0的证明完全一致。目前尚不清楚Racheline的回应。

== 强度分析 ==
主词条：[[BMS分析]]，[[提升效应]]

BMS的分析是一项浩大的工程，由于提升效应造成的困难，直至今日，对BMS的强度的全部分析仍然未完成。这里列举出一些关键节点：

<math>\varnothing=0</math>

<math>(0)=1</math>

<math>(0)(0)=2</math>

<math>(0)(1)=\omega</math>

<math>(0)(1)(1)=\omega^2</math>

<math>(0)(1)(2)=\omega^{\omega}</math>

<math>(0,0)(1,1)=\varepsilon_0</math>

<math>(0,0)(1,1)(1,1)=\varepsilon_1</math>

<math>(0,0)(1,1)(2,0)=\varepsilon_{\omega}</math>

<math>(0,0)(1,1)(2,1)=\zeta_0</math>

<math>(0,0)(1,1)(2,2)=\psi(\Omega_2)</math>

<math>(0,0,0)(1,1,1)=\psi(\Omega_{\omega})</math>

<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)=\psi(\Omega_{\omega}\times\Omega)</math>

<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,1)=\psi(\Omega_{\omega}^2)</math>

<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)=\psi(\Omega_{\omega^2})</math>

<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,0)(2,0,0)=\psi(I)</math>

<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)=\psi(I_{\omega})</math>

<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(4,1,1)=\psi(K_{\omega})</math>

<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,2,0)=\psi(psd.\Pi_{\omega})</math>

<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)=\psi(\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+2})-\Pi_1)</math>

<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,0,0)=\psi(\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+\omega})-\Pi_0)</math>

<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)=\psi(psd. \omega-\pi-\Pi_0)=\psi(\alpha_{\omega})</math>

<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)=\psi(\beta_{\omega})</math>

<math>(0,0,0,0)(1,1,1,1)=\psi(\omega-Proj.)=\psi(\psi_S(\sigma S\times \omega))</math>

<math>(0,0,0,0)(1,1,1,1)</math>之后，BMS和[[投影]]的列表分析还没有得到广泛。

<math>(0,0,0,0)(1,1,1,1)</math>被命名为TSSO(Trio Sequence System Ordinal,三行序列系统序数)，<math>(0,0,0,0,0)(1,1,1,1,1)</math>被命名为QSSO(Quardo Sequence System Ordinal,四行序列系统序数)。BMS的极限在中文googology社区被称为SHO(Small Hydra Ordinal)，但这一命名的起源不明(SHO最早被用来指代<math>\varepsilon_0</math>,后来不明不白的变成了BMS极限)，也是非正式的，因此被部分人拒绝使用。也有人称BMS极限为BMO。

== 来源 ==



[[分类:记号]]