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线性数阵是大部分数阵型记号的基础。

== 定义 ==

=== BEAF ===
这里以[[BEAF]]的线性数阵为例。

一个合法的 BEAF 线性数阵表达式形如<math>\{b,p,a_1,a_2,\cdots,a_n\}</math>其中<math>n</math>为非负整数，<math>b,p,a_i</math>均为正整数。

我们进行以下约定：

# 数阵的第一个数<math>b</math>称为'''底数'''；
# 数阵的第二个数<math>p</math>称为'''指数'''；
# 指数后面第一个大于1的数称为'''驾驶员'''，例如<math>\{3,2,{\color{blue}1},{\color{red}2},4\}</math>中的2，<math>\{4,{\color{blue}4},{\color{red}4},4\}</math>中红色的4；
# 驾驶员左边相邻的数称为'''副驾驶'''，例如上一条中蓝色的数。

BEAF 线性数阵的展开规则如下：

# 若没有驾驶员，则数阵的值为<math>b^p</math>；
# 若指数为1，则数阵的值为<math>b</math>；
# 否则，将驾驶员-1，副驾驶改为"整个数阵指数-1后的值"，将副驾驶左边的数全部替换为底数。例如，<math>\{4,3,{\color{blue}1},{\color{red}2}\}
=\{4,4,{\color{blue}\{4,2,1,2\}},{\color{red}1}\}
=\{4,4,\{4,4,{\color{blue}\{4,1,1,2\}},{\color{red}1}\},1\}
=\{4,4,\{4,4,4,1\},1\}</math>。

=== 改进 ===
这里介绍一种改进的线性数阵。它将经典的线性数阵改成了容易分析增长率的一元函数，将每一项的默认值改成了0，且删除了对增长率提升没有帮助的操作。

一个合法的线性数阵表达式形如<math>F(x,a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>，其中，<math>x,n,a_i</math>均为非负整数。

我们用"#"表示任意序列，"Z"表示由若干个0组成的序列。

该线性数阵的展开规则如下：

# (基础规则)只有一项时，有<math>F(x)=x+1</math>；
# (后继规则)若第二项不为0，有<math>F(x,a+1,\#)=f^x(x)</math>，其中<math>f(x)=F(x,a,\#)</math>。例如：<math>F(3,1,4)=F(F(F(3,0,4),0,4),0,4)</math>；
# (删尾规则)若末项为0，有<math>F(\#,0)=F(\#)</math>，例如：<math>F(2,1,0)=F(2,1)</math>。
# (借位规则)否则，第二项为0且存在不为0的项。此时有<math>F(x,Z,0,a+1,\#)=F(x,Z,x,a,\#)</math>。例如：<math>F(2,0,2,5)=F(2,2,1,5)</math>。

== 增长率分析 ==
下面用[[增长层级#快速增长层级|快速增长层级]]对改进的线性数阵进行增长率分析：

<math>F(x)=F(x,0)=x+1=f_0(x)</math>

<math>F(x,1)=F^x(x)\sim f_0^x(x)=f_1(x)</math>

<math>F(x,2)\sim f_1^x(x)=f_2(x)</math>

<math>F(x,n)\sim f_n(x)</math>

<math>F(x,0,1)=F(x,x)\sim f_x(x)=f_\omega(x)</math>

<math>F(x,1,1)=F(F(\cdots,0,1),0,1)\sim f_{\omega+1}(x)</math>

<math>F(x,n,1)\sim f_{\omega+n}(x)</math>

<math>F(x,0,2)=F(x,x,1)\sim f_{\omega+x}(x)=f_{\omega\cdot 2}(x)</math>

<math>F(x,0,n)\sim f_{\omega\cdot n}(x)</math>

<math>F(x,0,0,1)=F(x,0,x)\sim f_{\omega x}(x)=f_{\omega^2}(x)</math>

<math>F(x,1,0,1)\sim f_{\omega^2+1}(x)</math>

<math>F(x,0,1,1)=F(x,x,0,1)\sim f_{\omega^2+x}(x)=f_{\omega^2+\omega}(x)</math>

<math>F(x,0,0,2)=F(x,0,x,1)\sim f_{\omega^2+\omega x}(x)=f_{\omega^22}(x)</math>

<math>F(x,0,0,0,1)=F(x,0,0,x)\sim f_{\omega^2x}(x)=f_{\omega^3}(x)</math>

<math>F(x,0,0,0,0,1)\sim f_{\omega^4}(x)</math>

<math>F(x,\underbrace{0,\cdots,0}_n,1)\sim f_{\omega^n}(x)</math>

一般来说，单独的线性数阵的极限增长率为<math>\omega^\omega</math>，但其强度会随"后继规则"的变化而变化。

例如，若把第二条规则改为<math>F(x,a+1,\#)=F(x+1,a,\#)</math>，则上述分析应该在[[增长层级#哈代层级|哈代层级]]下进行，故极限函数的增长率相当于<math>H_{\omega^\omega}(x)\sim f_\omega(x)</math>。
[[分类:记号]]