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'''可构造宇宙(又称“哥德尔的可构造宇宙L”、“可构造性全域”)'''，是哥德尔为了证明命题的一致性问题而提出的一个[[内模型]]。

==== 定义 ====

设<math>U</math>为[[传递集]]，我们称一个<math>U</math>的[[子集]]集合<math>A</math>是在结构 <math>\langle U,\in\rangle</math>上可定义的，当且仅当存在一个公式<math>\phi(x,a_{1},a_{2},a_{3},...)</math>使得<math>X=\{x:\langle U,\in\rangle |\phi(x,a_{1},a_{2},a_{3},...)\}</math>。我们将<math>def(U)</math>表示<math>\langle U,\in\rangle</math>上全体可定义的子集组成的集合，也称可定义幂集。可构造宇宙的定义如下：

<math>L_{0}=\emptyset</math>

<math>L_{\alpha+1}=def(L_{\alpha})</math>

<math>L_{\alpha}(\alpha</math>为[[序数#极限序数|极限序数]]<math>)=\cup_{\beta<\alpha}\ L_{\beta}</math>

<math>L=\cup_{\alpha\in Ord}\ L_{\alpha}</math>


对于任意集合<math>a</math>，若存在<math>L_{b}</math>使得<math>a\in L_{b}</math>，则称<math>a</math>是'''可构造的'''。

==== 定理 ====

我们可以验证，假设[[ZF]]是一致的，那么L是ZF的模型，且是一个真类，且Ord是L的子类。

L还蕴含V=L即可构造公理，以及[[ZFC公理体系#选择公理|选择公理]]AC和[[连续统假设|广义连续统假设]]GCH。并且，L是ZF最小的内模型。

[[分类:集合论相关]]