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'''基数'''是一类特殊的[[序数]]。

我们称呼两个集合<math>A,B</math>拥有相同的基数，当且仅当，存在一个一对一函数 <math>f: A \rightarrow B</math>

一个序数 <math>a</math> 是一个基数，当且仅当对于任意 <math>b<a</math> ，都不存在函数 <math>f</math> 使得 <math>f: b \rightarrow a</math> 是一个一对一函数

==== 基数上的序关系 ====

基数的序被定义为如下形式

<math>|X| \leq |Y|</math>

如果存在一个单射自<math>X</math>到<math>Y</math>

我们同样可以定义严格序

<math>|X| < |Y|</math>

表示 <math>|X| \leq |Y|</math> 且 <math>|X| \neq |Y|</math>

==== 有限基数和无穷基数/超限基数 ====

我们称呼一个集合<math>X</math>的基数是有限的，当且仅当存在一个自然数<math>n \in \mathbb{N}</math>使得

<math>|X|=|n|</math>

此时我们称呼<math>X</math>是有<math>n</math>个元素的

我们用自然数来定义有限基数

对于任意 <math>n \in \mathbb{N},|X|=|n|=n</math>

若一个基数不是有限的，则我们称它为'''无穷基数'''/'''超限基数'''

==== 阿列夫数 ====

若一个无穷序数是基数，我们便称之为'''阿列夫数'''

对于任意一个良序集<math>W</math>，它的基数就是最小的一个序数<math>a</math>使得<math>|W|=|a|</math>

序数<math>\omega</math>是最小的一个无穷基数，注意到每一个无穷基数都是极限序数。

==== 极限基数和后继基数 ====

我们称一个基数<math>k</math>是后继基数，当且仅当存在一个基数<math>\lambda</math>，使得<math>k</math>是最小的大于<math>\lambda</math>的基数，此时也称<math>k</math>为<math>\lambda</math>的基数后继

我们称一个基数<math>k</math>是极限基数，当且仅当，对于任意<math>\lambda < k</math>，<math>\lambda</math>的基数后继也小于<math>k</math>

由此我们定义阿列夫数的递增序列

<math>\aleph_{0}=\omega</math>

<math>\aleph_{a+1}=\omega_{a+1}=\aleph_{a}</math>的基数后继

<math>\aleph_{a}\text{(}a\text{是极限序数)}=sup\{\omega_{b}:b<a\}</math>

我们称一个基数为<math>\aleph_{0}</math>的集合是'''可数的（countable）'''，一个基数不为<math>\aleph_{0}</math>的无穷集合是'''不可数的（uncountable）
'''

'''[[分类:入门]]'''
[[分类:集合论相关]]