查看“︁PrSS VS 康托范式”︁的源代码

本条目展示 [[初等序列系统|PrSS]] 和[[康托范式]]的列表分析和互译方法。

== 枚举 ==
{| class="wikitable"
|-
! PrSS 表达式 !! 康托范式
|-
| <math>(0)</math> || <math>1</math>
|-
| <math>(0,0)</math> || <math>2</math>
|-
| <math>(0,0,0)</math> || <math>3</math>
|-
| <math>(0,1)=({\color{red}0},{\color{green}0},{\color{blue}0},\cdots)</math> || <math>\omega</math>
|-
| <math>(0,1,0)</math> || <math>\omega+1</math>
|-
| <math>(0,1,0,0)</math> || <math>\omega+2</math>
|-
| <math>(0,1,0,1)=(0,1,{\color{red}0},{\color{green}0},{\color{blue}0},\cdots)</math> || <math>\omega\times 2</math>
|-
| <math>(0,1,0,1,0,1)</math> || <math>\omega\times 3</math>
|-
| <math>(0,1,1)=({\color{red}0,1},{\color{green}0,1},{\color{blue}0,1},\cdots)</math> || <math>\omega^{2}</math>
|-
| <math>(0,1,1,0)</math> || <math>\omega^{2}+1</math>
|-
| <math>(0,1,1,0,1)</math> || <math>\omega^{2}+\omega</math>
|-
| <math>(0,1,1,0,1,0)</math> || <math>\omega^{2}+\omega+1</math>
|-
| <math>(0,1,1,0,1,0,1)</math> || <math>\omega^{2}+\omega\times 2</math>
|-
| <math>(0,1,1,0,1,1)=(0,1,1,{\color{red}0,1},{\color{green}0,1},{\color{blue}0,1},\cdots)</math> || <math>\omega^{2}\times 2</math>
|-
| <math>(0,1,1,0,1,1,0,1,1)</math> || <math>\omega^{2}\times 3</math>
|-
| <math>(0,1,1,1)=({\color{red}0,1,1},{\color{green}0,1,1},{\color{blue}0,1,1},\cdots)</math> || <math>\omega^{3}</math>
|-
| <math>(0,1,1,1,1)</math> || <math>\omega^{4}</math>
|-
| <math>(0,1,2)=(0,{\color{red}1},{\color{green}1},{\color{blue}1},\cdots)</math> || <math>\omega^{\omega}</math>
|-
| <math>(0,1,2,0,1,2)</math> || <math>\omega^{\omega}\times 2</math>
|-
| <math>(0,1,2,1)=({\color{red}0,1,2},{\color{green}0,1,2},{\color{blue}0,1,2},\cdots)</math> || <math>\omega^{\omega+1}</math>
|-
| <math>(0,1,2,1,0,1,2)</math> || <math>\omega^{\omega+1}+\omega^{\omega}</math>
|-
| <math>(0,1,2,1,0,1,2,1)</math> || <math>\omega^{\omega+1}\times 2</math>
|-
| <math>(0,1,2,1,1)=({\color{red}0,1,2,1},{\color{green}0,1,2,1},{\color{blue}0,1,2,1},\cdots)</math> || <math>\omega^{\omega+2}</math>
|-
| <math>(0,1,2,1,1,1)</math> || <math>\omega^{\omega+3}</math>
|-
| <math>(0,1,2,1,2)=(0,1,2,{\color{red}1},{\color{green}1},{\color{blue}1},\cdots)</math> || <math>\omega^{\omega\times 2}</math>
|-
| <math>(0,1,2,1,2,1)</math> || <math>\omega^{\omega\times 2+1}</math>
|-
| <math>(0,1,2,1,2,1,2)</math> || <math>\omega^{\omega\times 3}</math>
|-
| <math>(0,1,2,2)=(0,{\color{red}1,2},{\color{green}1,2},{\color{blue}1,2},\cdots)</math> || <math>\omega^{\omega^{2}}</math>
|-
| <math>(0,1,2,2,1)</math> || <math>\omega^{\omega^{2}+1}</math>
|-
| <math>(0,1,2,2,1,2)</math> || <math>\omega^{\omega^{2}+\omega}</math>
|-
| <math>(0,1,2,2,1,2,1)</math> || <math>\omega^{\omega^{2}+\omega+1}</math>
|-
| <math>(0,1,2,2,1,2,1,2)</math> || <math>\omega^{\omega^{2}+\omega\times 2}</math>
|-
| <math>(0,1,2,2,1,2,2)=(0,1,2,2,{\color{red}1,2},{\color{green}1,2},{\color{blue}1,2},\cdots)</math> || <math>\omega^{\omega^{2}*2}</math>
|-
| <math>(0,1,2,2,2)=(0,{\color{red}1,2,2},{\color{green}1,2,2},{\color{blue}1,2,2},\cdots)</math> || <math>\omega^{\omega^{3}}</math>
|-
| <math>(0,1,2,3)=(0,1,{\color{red}2},{\color{green}2},{\color{blue}2},\cdots)</math> || <math>\omega^{\omega^{\omega}}</math>
|-
| <math>(0,1,2,3,2)</math> || <math>\omega^{\omega^{\omega+1}}</math>
|-
| <math>(0,1,2,3,2,3)</math> || <math>\omega^{\omega^{\omega\times 2}}</math>
|-
| <math>(0,1,2,3,3)</math> || <math>\omega^{\omega^{\omega^{2}}}</math>
|-
| <math>(0,1,2,3,4)=(0,1,2,{\color{red}3},{\color{green}3},{\color{blue}3},\cdots)</math> || <math>\omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}</math>
|-
| <math>(0,1,2,3,4,5,...)=\mathrm{Limit\ of\ PrSS} </math> || <math>\varepsilon_{0}</math> 
|}

最终得到，PrSS 的极限是 <math>\varepsilon_0</math>.

== 互译方法 ==
PrSS 和[[康托范式]]之间存在直接的转换关系．下面介绍 PrSS 到康托范式的转换：

对于待转换的 PrSS 表达式 <math>S</math>，首先找到 <math>S</math> 中所有的项 <math>0</math>，以这些 <math>0</math> 为起点把 <math>S</math> 分为若干个以 <math>0</math> 开头的子表达式，并在中间用加号连接．如果一个子表达式只有一项，即 <math>(0)</math>，则将其变为 <math>1</math>．否则，将 <math>(0,X)</math> 变换为 <math>\omega^{X'}</math>，其中 <math>X'</math> 是将 <math>X</math> 中所有的项都减一后得到的表达式．

然后继续对 <math>X'</math> 递归地进行操作，直到无法操作为止，就得到了对应的康托范式．

例如 PrSS 表达式 <math>(0,1,2,2,0,1,2,1,1,0,1,2,1,1,0,1,1,1)</math>，首先把它分为若干个 <math>0</math> 开头的子表达式并用加号连接，得到 <math>(0,1,2,2)+(0,1,2,1,1)+(0,1,2,1,1)+(0,1,1,1)</math>，随后将每个子表达式按照 <math>(0,X)\mapsto\omega^{X'}</math> 的形式变换，得到 <math>\omega^{(0,1,1)} +\omega ^{(0,1,0,0)}+\omega^{(0,1,0,0)}+\omega^{(0,0,0)}</math>．随后，把指数上的 PrSS 继续递归变换．<math>(0,1,1)</math> 变换为 <math>\omega^{(0,0)}=\omega^{1+1}=\omega^2</math>．<math>(0,1,0,0)</math> 变换为 <math>\omega^1+1+1=\omega+2</math>．而 <math>(0,0,0)</math> 就是 <math>1+1+1=3</math>．因此我们便得到了 <math>(0,1,2,2,0,1,2,1,1,0,1,2,1,1,0,1,1,1)</math> 对应的康托范式 <math>\omega^{\omega^2}+\omega^{\omega+2}\times 2+\omega^3</math>．


[[分类:分析]]