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<div style="word-wrap: break-word;text-wrap: pretty;color: var(--color-subtle);font-style: italic;width:Fit-content;padding:1rem 1rem 2rem 1rem;border-left:solid #00000030 5px;background-color:var(--color-surface-2)">PrSS 虽然结构简单，但是却是目前已知的最强大的递归核心的基础。<ref>曹知秋. 大数理论: Vol.1[EB/OL]. (2025-05-16) [2025-07-02]: 53-54. https://github.com/ZhiqiuCao/Googology</ref><br /><span style='float:right'><del>------</del> 曹知秋</span></div>

'''初等序列系统（Primative Sequence System, PrSS）'''是一种 [[Worm]] 型[[序数记号]]。

== 定义 ==

=== 合法式 ===
一个'''合法'''的 PrSS 表达式是形如

 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{n})|n,s_{1},s_{2},\cdots,s_{n}\in\mathbb{N}</math> 

且满足以下条件的自然数列：

<math>\langle \text{1} \rangle\ \quad s_{1}=0.</math><ref group="注">实际上，以 1 序列开头的 PrSS 也是被广为接受的，其更多被用于表示阶差型序列。但无论 0 或 1 为开头，均不影响 PrSS 的展开方式与极限。</ref>

<math>\langle \text{2} \rangle\ \quad s_{k+1}-s_{k}\leq 1\quad\forall k\in\{1,2\cdots,n-1\}.</math>

'''例：'''

<math>(0,1,1,2,2)</math> 是一个合法的 PrSS 表达式.

<math>(\Omega,1,2)</math> 不是一个合法的 PrSS 表达式，因为 <math>\Omega\notin\mathbb{N}</math>.

<math>(0,2,4,6,8)</math> 不是一个合法的 PrSS 表达式，因为不满足条件 <math>\langle \text{2} \rangle</math>.

=== 结构 ===
合法的 PrSS 表达式可以分为零表达式、后继表达式、极限表达式，其定义如下：

*'''零表达式'''：满足 <math>n=0</math> 的表达式，即空序列 <math>()</math>.
*'''后继表达式'''：满足 <math>n>0</math> 且 <math>s_{n}=0</math> 的表达式，例如 <math>(0,1,2,0)</math>.
*'''极限表达式'''：满足 <math>n>0</math> 且 <math>s_{n}>0</math> 的表达式，例如 <math>(0,1,2,1)</math>.

一个 PrSS 的'''极限表达式'''由以下四个部分组成：
# 末项 <math>\mathrm{(Last\ Term)}</math>.
# 坏部 <math>\mathrm{(Bad\ Part)}</math>.
# 坏根 <math>\mathrm{(Bad\ Root)}</math>.
# 好部 <math>\mathrm{(Good\ Part)}</math>.

==== 末项 ====
对于最大下标为 <math>n</math> 的 PrSS 表达式 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{n})</math>，其末项 <math>L=s_{n}</math>，即

 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,L).</math>

==== 坏根 ====
对于 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{n})|L=s_{n}</math>，令 <math>k=\max\{1 \leq k < n|s_{k}<s_{n}\}</math>，那么坏根定义为 <math>r=s_{k}</math>，即

 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,r,\cdots,L).</math>
通俗的说，是最靠右的小于末项的项。

因为极限表达式满足 <math>L=s_n>0</math> 且 <math>s_1=0</math>，所以坏根总是存在的。

==== 坏部 ====
对于 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{k},\cdots,s_{n})|L=s_{n},r=s_{k}</math>，坏部定义为 <math>B=(s_{k},s_{k+1},\cdots,s_{n-1})</math>，即

 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{k-1},B,L)</math>

通俗地说，是坏根(含)到末项(不含)的部分。坏部最短为 1 项。

==== 好部 ====
对于 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{k},\cdots,s_{n})|L=s_{n},r=s_{k}</math>，好部定义为 <math>G=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{k-1})</math>，即

 <math>S=(G,B,L).</math>

通俗地说，好部是坏部之前的部分。好部可以为空。

== 展开 ==
PrSS 的良序性已经得到证明，且其标准式的序等价于字典序，因此所有标准的 PrSS 表达式都一一对应着一个序数。
对于一个合法的 PrSS 表达式 <math>S=(s_1,s_2,\ldots,s_{n-1},s_n)</math>，其展开规则如下：

* 如果 <math>S</math> 是零表达式，则 <math>S</math> 代表序数 <math>0</math>.
* 如果 <math>S</math> 是后继表达式，则其前驱是 <math>S'=(s_1,s_2,\ldots,s_{n-1})</math>.
* 如果 <math>S</math> 是极限表达式，则根据前文定义确定好部、坏部，得到 <math>S=(G,B,L)</math>. 则其基本列的第 <math>m</math> 项定义为 <math>S[m]=(G,\underbrace{B,B,B,\cdots,B}_{m})</math>，其中 <math>m\in\mathbb{N}</math>. 或者说 <math>S</math> 的'''展开式'''为 <math>(G,\underbrace{B,B,B,\cdots}_{\omega})</math>.

举例：

<math>S=(0,1,{\color{red}2},3,3,{\color{green}3})</math>

末项是标绿的 <math>{\color{green}3}</math>，坏根是从右往左数第一个比 <math>{\color{green}3}</math> 小的数，也就是标红色的 <math>{\color{red}2}</math>.

接下来，根据坏部的定义可以知道坏部是 <math>(2,3,3)</math>。

坏根之前的好部不用管，将末项抛弃

<math>S=(0,1,{\color{red}2},3,3)</math>

复制坏部

<math>S=(0,1,{\color{red}2},3,3,{\color{red}2},3,3,{\color{red}2},3,3,\cdots)</math>

我们就成功地展开了一个 PrSS 表达式。

== 枚举 ==
参见词条[[PrSS VS 康托范式]]

== 与康托范式的对应 ==
PrSS 和[[康托范式]]之间存在直接的转换关系．下面介绍 PrSS 到康托范式的转换：

对于待转换的 PrSS 表达式 <math>S</math>，首先找到 <math>S</math> 中所有的项 <math>0</math>，以这些 <math>0</math> 为起点把 <math>S</math> 分为若干个以 <math>0</math> 开头的子表达式，并在中间用加号连接．如果一个子表达式只有一项，即 <math>(0)</math>，则将其变为 <math>1</math>．否则，将 <math>(0,X)</math> 变换为 <math>\omega^{X'}</math>，其中 <math>X'</math> 是将 <math>X</math> 中所有的项都减一后得到的表达式．

然后继续对 <math>X'</math> 递归地进行操作，直到无法操作为止，就得到了对应的康托范式．

例如 PrSS 表达式 <math>(0,1,2,2,0,1,2,1,1,0,1,2,1,1,0,1,1,1)</math>，首先把它分为若干个 <math>0</math> 开头的子表达式并用加号连接，得到 <math>(0,1,2,2)+(0,1,2,1,1)+(0,1,2,1,1)+(0,1,1,1)</math>，随后将每个子表达式按照 <math>(0,X)\mapsto\omega^{X'}</math> 的形式变换，得到 <math>\omega^{(0,1,1)} +\omega ^{(0,1,0,0)}+\omega^{(0,1,0,0)}+\omega^{(0,0,0)}</math>．随后，把指数上的 PrSS 继续递归变换．<math>(0,1,1)</math> 变换为 <math>\omega^{(0,0)}=\omega^{1+1}=\omega^2</math>．<math>(0,1,0,0)</math> 变换为 <math>\omega^1+1+1=\omega+2</math>．而 <math>(0,0,0)</math> 就是 <math>1+1+1=3</math>．因此我们便得到了 <math>(0,1,2,2,0,1,2,1,1,0,1,2,1,1,0,1,1,1)</math> 对应的康托范式 <math>\omega^{\omega^2}+\omega^{\omega+2}\times 2+\omega^3</math>．


<math></math>

== 拓展 ==
PrSS 记号有两种拓展：
* 高维 PrSS，如 PrSS 原作者所创的 [[BMS]].
* 阶差 PrSS ，有两种形式：
** [[长初等序列|LPrSS]] 及各种 [[Hydra]] 记号.
** [[HPrSS]]，[[0-Y]]，[[Y序列]] 等复杂阶差型记号.

它们以 PrSS 序列为基础，刻画了非常巨大的序数。

== 历史 ==
在 2014/08/14，Bashicu 首次提出并使用 Basic 语言定义了 PrSS.<ref>Bashicu. basic言語で巨大数を作ってみたので上げてみる[EB/OL]. 2014, 08/14:109. https://gyafun.jp/ln/archive/ln10.html</ref>

== 脚注 ==
<references group="注" />

== 参考资料 ==
<references />
[[分类:入门]]
[[分类:记号]]