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'''高德纳箭头(Knuth's arrow notation，亦称"上箭头记号")'''，一种满足'''右结合律'''的二元运算。它涉及对运算的递归。<ref>Guy, R. K. and Selfridge, J. L. "The Nesting and Roosting Habits of the Laddered Parenthesis." ''Amer. Math. Monthly'' '''80''', 868-876, 1973.</ref>

=== 定义 ===
高德纳箭头由如下公式递归定义：
* <math>a \uparrow b = a^{b}</math>
* <math>a \uparrow^{c} 0 = 1</math>
* <math>a \uparrow^{c+1} (b+1) = a \uparrow^{c} ( a \uparrow^{c+1} b)</math>

其中，<math>a,c</math> 均为'''正整数，'''<math>b</math> 为'''自然数'''，<math>a \uparrow^{c} b = a\ \underbrace{ \uparrow\uparrow\cdots\uparrow }_{c}\ b</math>。 

在计算高德纳箭头时，如无括号，按照从右往左的顺序计算，即： 

<math>a \uparrow^{m} b\uparrow^{n} c=a \uparrow^{m} (b\uparrow^{n} c)</math> 

若将高德纳箭头的右结合律更替为左结合律，其余定义不变，将得到[[下箭号表示法|下箭头记号]]。 

=== 性质 ===
高德纳箭头有如下性质：

==== 展开 ====
<math>n \uparrow^{k} m = \underbrace{n \uparrow^{k-1} n \uparrow^{k-1} \cdots \uparrow^{k-1} n }_{\text{m个n}}</math>

==== 恒等律 ====

* <math>2 \uparrow^{c+1} 2 = 2\uparrow^c2=.. .=2\uparrow2=4</math>
* <math>1 \uparrow^{c+1} b = 1\uparrow^c1\uparrow^{c+1}(b-1)=1\uparrow^cb_2=.. .=1\uparrow b_k=1</math>
* <math>a \uparrow^{c+1} 1 = a \uparrow^{c}a\uparrow^{c+1}0 =a\uparrow^{c} 1=...=a\uparrow1=a</math>

==== 增长率 ====
高德纳箭头的 [[FGH]] 增长率为 <math>\omega</math>，特别地，<math>a \uparrow^{c} b \approx f_{c+1}(b) </math>。

该推论可通过审视以下三组式子得到：

* <math>a\uparrow b\approx f_2(b)=2^b\times b</math>
* <math>a \uparrow^{c+1} (b+1) = a \uparrow^{c} ( a \uparrow^{c+1} b)</math>
* <math>f_{c+1}(b+1)=f_{c}^{b+1}(b+1)=f_c(f_c^b(b+1))\approx f_c(f_c^b(b))=f_c(f_{c+1}(b))</math>

==== 超运算 ====
高德纳箭头是目前已被广泛认可、基本采用的超运算记号。

若定义后继运算的运算等级为 0，那么 n 个高德纳箭头的运算等级为 n+2。

=== 历史 ===
高德纳箭头是由 Donald Ervin Knuth 在 1976 年发明的大数记号<ref>Donald E. Knuth, ''Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness'', Advances in Our Ability to Compute are Bringing Us Substantially Closer to Ultimate Limitations, Science 194, pp. 1235--1242, 1976.https://cse-robotics.engr.tamu.edu/dshell/cs625/finiteness.pdf</ref>，曾在 1977 年被 Martin Gardner 用于递归地定[[葛立恒数]]。<ref>GARDNER M. Mathematical games[J]. Scientific American, 1977, 237(3): 28-38.https://raw.githubusercontent.com/AllenDowney/ModSimPy/master/papers/scientific_american_nov_77.pdf</ref>

而<math>\mathrm{Ronald\ Graham}</math>本人并未在论文中使用高德纳箭头或超运算来估计 [[葛立恒数#葛立恒问题|Graham问题]] 的上界，而是使用了类似 [[阿克曼函数|ACKERMANN函数]] 的递归函数 <math>F(m,n)</math>，和分别近似为 <math>2 \uparrow\uparrow n,2 \uparrow\uparrow\uparrow n</math> 的函数<math>TOWER(n),WOW(n)</math>。<ref>GRAHAM R L, ROTHSCHILD B L. Ramsey’s theorem for ff-parameter sets[J]. Transactions of the American Mathematical Society, 1971, 159: 257-292. https://www.ams.org/journals/tran/1971-159-00/S0002-9947-1971-0284352-8/S0002-9947-1971-0284352-8.pdf
</ref><ref>GRAHAM R L, ROTHSCHILD B L, SPENCER J H. Ramsey theory: Vol. 20[M]. John
Wiley & Sons, 1991.
 https://people.dm.unipi.it/dinasso/ULTRABIBLIO/Graham_Rothschild_Spencer%20-%20Ramsey%20Theory%20(2nd%20edition).pdf</ref>

=== 直观理解 ===
高德纳箭头本质上是一种高级运算“折叠”低级运算的记号。

后继是最基础的运算，表现为 n+1。

在 n+m 中，运算 + 折叠了对 n 的 m 次后继运算，即 
 <math>\ n+m=n+\underbrace{1+1+\cdots+1}_{\text{m个1}}</math>.
在 <math>n\times m</math> 中，运算 <math>\times</math> 折叠了对 n 的 m 次 + 运算，即 
 <math>\ n\times m=\underbrace{n+n+\cdots+n}_{\text{m个n}}</math>.
在 <math>n^{m}</math> ( <math>n\uparrow m</math> ) 中，运算 <math>\uparrow</math> 折叠了对 n 的 m 次 <math>\times</math> 运算，即 

 <math>\ n^{m}=\underbrace{n\times n\times \cdots \times n}_{\text{m个n}}</math>.

在 <math>{}^m\!n</math> ( <math>n\uparrow \uparrow m</math> ) 中，运算 <math>\uparrow \uparrow</math> 折叠了对 n 的 m 次 <math>\uparrow</math> 运算，即

 <math>\ n\uparrow \uparrow m=\underbrace{n\uparrow n\uparrow \cdots \uparrow n}_{\text{m个n}}=\underbrace{n^{n^{n^{\cdots}}}}_{\text{m个n}}</math>. （注意是右结合）

以此类推。最终，我们得到了高德纳箭头的形式化定义：

在 <math>n \uparrow^{k} m</math> 中，运算 <math>\uparrow^{k}</math> 折叠了对 n 的 m 次 <math>\uparrow^{k-1}</math> 运算，即

 <math>\ n \uparrow^{k} m = \underbrace{n \uparrow^{k-1} n \uparrow^{k-1} \cdots \uparrow^{k-1} n }_{\text{m个n}}</math>
==== 计算示例 ====

<math>\begin{align} 3 \uparrow\uparrow\uparrow 3\  & = 3\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow 3 \\ & = 3\uparrow\uparrow (3\uparrow 3\uparrow 3) \\ & = 3\uparrow\uparrow(3\uparrow27) \\ & = 3\uparrow\uparrow 7625597484987 \\ & = \underbrace{3^{3^{3^{\cdots}}}}_{7625597484987} \end{align}</math>


<math>\begin{align} 3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 4\   & = 3\uparrow\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\uparrow3 \\ & = 3\uparrow\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\uparrow\underbrace{3^{3^{3^{\cdots}}}}_{7625597484987} \\ & = 3\uparrow\uparrow\uparrow(\ \underbrace{3\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow3}_{\underbrace{3^{3^{3^{\cdots}}}}_{7625597484987}}\ ) \\ & = \underbrace{3\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow3}_{\underbrace{3\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow3}_{\underbrace{3^{3^{3^{\cdots}}}}_{7625597484987}}}\end{align}</math>

=== 参考资料 ===
<references />
[[分类:记号]]
[[分类:入门]]