查看“︁康托范式”︁的源代码

'''康托范式 (Cantor Normal Form,CNF)''' 提供了一种标准化的序数表示方式。它的定义依赖于[[序数#序数的运算|序数运算]]中的加法和乘方。

== 形式 ==
康托范式是形如：

<math>\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_n}</math>

的表达式。其中<math>\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\cdots,\alpha_n</math>是不严格递减的序数，且也是康托范式形式的。n是自然数。

比方说，<math>\omega ^0+\omega^0</math>是一个康托范式，<math>\omega^{\omega^0+\omega^0+\omega^0}+\omega^{\omega^0+\omega^0+\omega^0}+\omega^{\omega^0}+\omega^0+\omega^0+\omega^0</math>也是一个康托范式。

但是这样写有些过于繁琐了。因此为了简便书写，我们保留自然数，并且引入乘法。即上面那个可以写为<math>\omega^3\times2+\omega+3</math>.

== 直观理解 ==
为了直观理解，我们把<math>\omega^{\alpha}</math>想象成“砖头”，α的大小决定了砖头的大小。康托范式就是由有限个砖头按从大到小的顺序从左到右排列。

一开始你手里只有一个0.

你有两个能力：

# 你可以把任意一个先前得到的序数α升级为<math>\omega^{\alpha}</math>这个新砖头
#你可以把有限个你手里的砖头按从大到小的顺序从左到右排列，得到一个序数

递归的运用这两个能力，你就可以得到康托范式的标准式。

举例：还拿<math>\omega^3\times2+\omega+3</math>作为例子。

一开始你手里只有一个0.你用能力1，把0升级为<math>\omega^0</math>，即1.然后你用能力2，把有限个1拼在一起形成序数。因此，1和3都可以被表示出来。

然后你再用能力1，把1和3升级为<math>\omega^1</math>和<math>\omega^3</math>.然后你就可以把2个砖头<math>\omega^3</math>，1个砖头<math>\omega^1</math>和3个砖头<math>\omega^0</math>拼在一起，就得到了<math>\omega^3\times2+\omega+3</math>.

== 极限 ==
理论上来说，任何序数都可以被康托范式表示，但存在一个序数α满足<math>\alpha = \omega^{\alpha}</math>，到了这里，前文所述那种递归地得到康托范式标准式的方法已经走不通了。因此我们不严谨的说康托范式的“极限”是<math>\varepsilon_0</math>，即<math>\sup\{\omega,\omega^{\omega},\omega^{\omega^{\omega}},\cdots\}</math>.

== 基本列系统 ==
康托范式可以被改写为基本列型的[[序数记号]]。以下是其规则：

对于一个康托范式的合法式<math>S</math>:

<math>\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_{n-1}}+\omega^{\alpha_n}</math>，其基本列第m项<math>S[m]</math>根据如下规则找到：

* 如果<math>\alpha_n</math>=0,则<math>S</math>是后继表达式，<math>S</math>的前驱是<math>\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_{n-1}}</math>.
* 否则，如果<math>\alpha_n</math>是后继表达式，记它的前驱是<math>\alpha_n'</math>，<math>S[m]=\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_{n-1}}+\omega^{\alpha_n'}\times m</math>.
* 否则，<math>\alpha_n</math>是极限表达式，<math>S[m]=\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_{n-1}}+\omega^{\alpha_n[m]}</math>.
[[分类:入门]]
[[分类:记号]]