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长初等序列(Long Primitive Sequence System,'''LPrSS''')，是一种[[Worm]]型[[序数记号]]。它是[[初等序列系统|PrSS]]的一种扩展。
== 定义 ==
=== 合法式 ===
LPrSS的合法式是1开头的自然数序列，即

<math>\rm{s_1,s_2,s_3,\cdots,s_n|n,s_1,s_2,s_3,\cdots,s_n\in \mathbb{N}}</math>，且满足<math>\rm{s_1=1}</math>

例：

* 1,7,3,9是一个合法的LPrSS表达式
* 3,1,8,4不是一个合法的LPrSS表达式，因为<math>s_1=3\neq1</math>
* 1,2,3,😰不是一个合法的LPrSS表达式，因为<math>s_4=</math>😰不是自然数。

=== 结构 ===
LPrSS的合法式分为零表达式、后继表达式和极限表达式。

零表达式是空序列，即满足<math>n=0</math>的表达式。

后继表达式即满足<math>n \neq 0</math>，且<math>s_n =1</math>的表达式。通俗的说，是末项为1的非空序列。比如说，<math>\rm{LPrSS(1,3,4,1)}</math>就是一个后继表达式。

极限表达式即满足<math>n \neq 0</math>，且<math>s_n \neq 1</math>的表达式。通俗的说，是末项非1的非空序列。比如说，<math>\rm{LPrSS(1,4,6,4)}</math>就是一个极限表达式。

对于LPrSS的极限表达式<math>\rm{S=(s_1,s_2,s_3,\cdots,s_{n-1},s_n)}</math>,令<math>\rm{k=max\{1\leq k<n|s_k<s_n\}}</math>,则坏根定义为<math>\rm{r=s_k}</math>.

通俗的说，是最靠右的小于末项的项。注意到LPrSS的坏根选取和PrSS实际上完全相同。

坏部定义为<math>\rm{(s_k,s_{k+1},s_{k+2},\cdots s_{n-1})}</math>，坏部记作B

好部定义为<math>\rm{(s_1,s_2,\cdots s_{k-1})}</math>,如果<math>\rm{k=1}</math>,则好部为空序列。好部记作G

通俗的说，坏部是坏根(含)到末项(不含)的部分。坏部最短为 1 项。好部是坏根之前的部分。实际上，好部，坏部的规则，LPrSS和PrSS也是一模一样的。区别在下面，

LPrSS的阶差定义为<math>\rm{s_n-s_k-1}</math>.阶差记作d.

我们定义<math>\rm{B_m=(s_k+m\times d,s_{k+1}+m\times d,s_{k+2}+m\times d,\cdots,s_{n-1}+m\times d)}</math>.这里的B就是坏部的B。通俗的说，<math>B_m</math>就是对坏部的每一项都加上m倍的d。

== 展开 ==
对于一个合法的 PrSS 表达式 <math>S=(s_1,s_2,\ldots,s_{n-1},s_n)</math>，其展开规则如下：

* 如果 <math>S</math> 是零表达式，则 <math>S</math> 代表序数 <math>0</math>.
* 如果 <math>S</math> 是后继表达式，则其前驱是 <math>S'=(s_1,s_2,\ldots,s_{n-1})</math>.
* 如果 <math>S</math> 是极限表达式，则根据前文定义确定坏根，好部、坏部，阶差. 则其基本列的第 <math>t</math> 项定义为 <math>\rm{S[t]=(G,B,B_1,B_2,\cdots B_{t-1})}</math>，其中 <math>t\in\mathbb{N}</math>. 或者说 <math>S</math> 的展开式为 <math>\rm{S[t]=(G,B,\underbrace {B_1,B_2,\cdots}_{\omega})}</math>.

=== 举例 ===
考虑LPrSS表达式<math>(1,4,6,6)</math>

末项是6，首先需要找到最靠右的小于6的一项，即第二项的4，即<math>(1,{\color{red}4},6,6)</math>(坏根被标红展示)。

随后得到好部G是<math>(1)</math>,坏部B是<math>(4,6)</math>.计算出<math>\rm{d=6-4-1=1}</math>。

于是我们便可以得出<math>\rm{B_1=(5,7)}</math>、<math>\rm{B_2=(6,8)}</math>、<math>\rm{B_3=(7,9)}</math>……

于是我们便得到了<math>(1,4,6,6)</math>的展开式<math>(1,4,6,5,7,6,8,7,9,\cdots)</math>

=== 与PrSS的关系 ===
你可能会注意到，对PrSS来说，它的末项和坏根的差一定为1.因此，如果硬要按LPrSS的规则去运行PrSS，会得到<math>d=0</math>，于是任意的<math>B_m</math>都和B等同。于是，展开规则不会有任何变化。而且，LPrSS的<math>1,3</math>的展开式刚好是<math>1,2,3,4,5,\cdots</math>，这恰好是PrSS的极限。

这意味着，二者的规则实际上并不互斥，PrSS可以看作LPrSS在1,3之下的特殊情况。

== 枚举 ==
[[分类:记号]]