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在数学中，函数的不动点（fixed point,fp），指的是在函数定义域内的某一个值，经过函数映射后的值还是其本身。
== 例子 ==
在[[Googology|googology]]中，我们一般只关心<math>\mathbb N \rightarrow \mathbb N</math>的连续递增函数以及<math>\rm{Ord \rightarrow Ord}</math>的连续递增函数。由于前者一般无不动点(即使有也是平凡的，如<math>\rm{f(x)=x}</math>)，因而只有后者的不动点是重要的。

如<math>\rm{f(x)=1+x}</math>

注意到当<math>\rm{x=\omega}</math>时，<math>\rm{f(x)=1+\omega =sup\{ 1+0,1+1,1+2,1+3,\cdots \}=\omega} </math>。因此<math>\omega</math>是<math>\rm{f(x)=1+x}</math>的不动点。

又如<math>f(x)=\omega \times x</math>

当<math>\rm{x=\omega^{\omega}}</math>时，<math>\rm{f(\omega^{\omega})=\omega^{\omega}}</math>，因此<math>\omega^{\omega}</math>是<math>f(x)=\omega \times x</math>的不动点。

== 注意 ==

# 并非所有的Ord→Ord的连续递增函数都存在不动点。如f(x)=x+1,就不存在不动点。
# 在googology中，我们一般把f(α)的不动点写作α→f(α)不动点。
# 一个序数函数可以不只存在一个不动点。如<math>\omega^{\omega}\times m</math>是<math>f(x)=\omega \times x</math>的第m个不动点。

== 不动点与基本列 ==
<math>\rm{Ord \rightarrow Ord}</math>的连续递增函数f(x)<math>f(x)</math>且满足f(x)≥x<math>\rm{f(x)\geq x}</math>，存在这样一个定理：

如果X是其第m个不动点，则<math>\rm{sup \{ X+1.f(X+1),f(f(X+1)),f(f(f(X+1))),\cdots \}}</math>是其第m+1个不动点

注意到这实际上提供了一种[[基本列]]选取的方法。实际上，著名的序数表示法[[veblen函数]]的强度就高度依赖于不动点.
[[分类:入门]]