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<div style="word-wrap: break-word;text-wrap: pretty;color: var(--color-subtle);font-style: italic;width:Fit-content;padding:1rem 1rem 2rem 1rem;border-left:solid #00000030 5px;background-color:var(--color-surface-2)">PrSS 虽然结构简单，但是却是目前已知的最强大的递归核心的基础。<ref>曹知秋. 大数理论: Vol.1[EB/OL]. (2025-05-16) [2025-07-02]: 53-54. https://github.com/ZhiqiuCao/Googology</ref><br /><span style='float:right'><del>------</del> 曹知秋</span></div>

'''初等序列系统（Primative Sequence System, PrSS）'''是一种 [[Worm]] 型[[序数记号]]。
=== 定义 ===

==== 合法式 ====
一个'''合法'''的 PrSS 表达式是形如

 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{n})|n,s_{1},s_{2},\cdots,s_{n}\in\mathbb{N}</math> 

且满足以下条件的自然数列：

<math>\langle \text{1} \rangle\ \quad s_{1}=0.</math><ref group="注">实际上，以 1 序列开头的 PrSS 也是被广为接受的，其更多被用于表示阶差型序列。但无论 0 或 1 为开头，均不影响 PrSS 的展开方式与增长率。</ref>

<math>\langle \text{2} \rangle\ \quad s_{k+1}-s_{k}\leq 1\quad\forall k\in\{1,2\cdots,n-1\}.</math>

'''例：'''

<math>(0,1,1,2,2)</math> 是一个合法的 PrSS 表达式.

<math>(\Omega,1,2)</math> 不是一个合法的 PrSS 表达式，因为 <math>\Omega\notin\mathbb{N}</math>.

<math>(0,2,4,6,8)</math> 不是一个合法的 PrSS 表达式，因为不满足条件 <math>\langle \text{2} \rangle</math>.
==== 结构 ====

合法的 PrSS 表达式可以分为零表达式、后继表达式、极限表达式，其定义如下：

*'''零表达式'''：满足 <math>n=0</math> 的表达式，即空序列 <math>()</math>.
*'''后继表达式'''：满足 <math>n>0</math> 且 <math>s_{n}=0</math> 的表达式，例如 <math>(0,1,2,0)</math>.
*'''极限表达式'''：满足 <math>n>0</math> 且 <math>s_{n}>0</math> 的表达式，例如 <math>(0,1,2,1)</math>.

一个 PrSS 的'''极限表达式'''由以下四个部分组成：
# 末项 <math>\mathrm{(Last\ Term)}</math>.
# 坏部 <math>\mathrm{(Bad\ Part)}</math>.
# 坏根 <math>\mathrm{(Bad\ Root)}</math>.
# 好部 <math>\mathrm{(Good\ Part)}</math>.

===== 末项 =====

对于最大下标为 <math>n</math> 的 PrSS 表达式 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{n})</math>，其末项 <math>L=s_{n}</math>，即

 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,L).</math>

===== 坏根 =====

对于 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{n})|L=s_{n}</math>，令 <math>k=\max\{1 \leq k < n|s_{k}<s_{n}\}</math>，那么坏根定义为 <math>r=s_{k}</math>，即

 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,r,\cdots,L).</math>
通俗的说，是最靠右的小于末项的项。

因为极限表达式满足 <math>L=s_n>0</math> 且 <math>s_1=0</math>，所以坏根总是存在的。

===== 坏部 =====

对于 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{k},\cdots,s_{n})|L=s_{n},r=s_{k}</math>，坏部定义为 <math>B=(s_{k},s_{k+1},\cdots,s_{n-1})</math>，即

 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{k-1},B,L)</math>

通俗地说，是坏根(含)到末项(不含)的部分。坏部最短为 1 项。

===== 好部 =====

对于 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{k},\cdots,s_{n})|L=s_{n},r=s_{k}</math>，好部定义为 <math>G=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{k-1})</math>，即

 <math>S=(G,B,L).</math>

通俗地说，好部是坏部之前的部分。好部可以为空。

=== 展开 ===

PrSS 的良序性已经得到证明，且其标准式的序等价于字典序，因此所有标准的 PrSS 表达式都一一对应着一个序数。
对于一个合法的 PrSS 表达式 <math>S=(s_1,s_2,\ldots,s_{n-1},s_n)</math>，其展开规则如下：

* 如果 <math>S</math> 是零表达式，则 <math>S</math> 代表序数 <math>0</math>.
* 如果 <math>S</math> 是后继表达式，则其前驱是 <math>S'=(s_1,s_2,\ldots,s_{n-1})</math>.
* 如果 <math>S</math> 是极限表达式，则根据前文定义确定好部、坏部，得到 <math>S=(G,B,L)</math>. 则其基本列的第 <math>m</math> 项定义为 <math>S[m]=(G,\underbrace{B,B,B,\cdots,B}_{m})</math>，其中 <math>m\in\mathbb{N}</math>. 或者说 <math>S</math> 的'''展开式'''为 <math>(G,\underbrace{B,B,B,\cdots}_{\omega})</math>.

举例：

<math>S=(0,1,{\color{red}2},3,3,{\color{green}3})</math>

末项是标绿的 <math>{\color{green}3}</math>，坏根是从右往左数第一个比 <math>{\color{green}3}</math> 小的数，也就是标红色的 <math>{\color{red}2}</math>.

接下来，根据坏部的定义可以知道坏部是 <math>(2,3,3)</math>。

坏根之前的好部不用管，将末项抛弃

<math>S=(0,1,{\color{red}2},3,3)</math>

复制坏部

<math>S=(0,1,{\color{red}2},3,3,{\color{red}2},3,3,{\color{red}2},3,3,\cdots)</math>

我们就成功地展开了一个 PrSS 表达式。

=== 枚举 ===

在按照字典序对所有的 PrSS 标准式进行排序之后，我们可以用序数对这些序列逐个进行标号，每个序列都与一个序数一一对应。事实上，这种对应关系要远比相应的大数函数增长率的对应关系要更本质。

枚举过程中，会对特定的“循环节”标记颜色，以更清晰地体现“折叠”的过程。

可点击按钮“展开”以查看枚举。

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed">
<div class="mw-collapsible-content">
<math>()=0</math>

<math>(0)=1</math>

<math>(0,0)=2</math>

<math>(0,0,0)=3</math>

<math>(0,1)=({\color{red}0},{\color{green}0},\cdots,{\color{blue}0})=\omega</math>

<math>(0,1,0)=\omega+1</math>

<math>(0,1,0,0)=\omega+2</math>

<math>(0,1,0,1)=(0,1,{\color{red}0},{\color{green}0},\cdots,{\color{blue}0})=\omega\times 2</math>

<math>(0,1,0,1,0,1)=\omega\times 3</math>

<math>(0,1,1)=({\color{red}0,1},{\color{green}0,1},\cdots,{\color{blue}0,1})=\omega^{2}</math>

<math>(0,1,1,0)=\omega^{2}+1</math>

<math>(0,1,1,0,1)=\omega^{2}+\omega</math>

<math>(0,1,1,0,1,0)=\omega^{2}+\omega+1</math>

<math>(0,1,1,0,1,0,1)=\omega^{2}+\omega\times 2</math>

<math>(0,1,1,0,1,1)=(0,1,1,{\color{red}0,1},{\color{green}0,1},\cdots,{\color{blue}0,1})=\omega^{2}\times 2</math>

<math>(0,1,1,0,1,1,0,1,1)=\omega^{2}\times 3</math>

<math>(0,1,1,1)=({\color{red}0,1,1},{\color{green}0,1,1},\cdots,{\color{blue}0,1,1})=\omega^{3}</math>

<math>(0,1,1,1,1)=\omega^{4}</math>

<math>(0,1,2)=(0,{\color{red}1},{\color{green}1},\cdots,{\color{blue}1})=\omega^{\omega}</math>

<math>(0,1,2,0,1,2)=\omega^{\omega}\times 2</math>

<math>(0,1,2,1)=({\color{red}0,1,2},{\color{green}0,1,2},\cdots,{\color{blue}0,1,2})=\omega^{\omega+1}</math>

<math>(0,1,2,1,0,1,2)=\omega^{\omega+1}+\omega^{\omega}</math>

<math>(0,1,2,1,0,1,2,1)=\omega^{\omega+1}\times 2</math>

<math>(0,1,2,1,1)=({\color{red}0,1,2,1},{\color{green}0,1,2,1},\cdots,{\color{blue}0,1,2,1})=\omega^{\omega+2}</math>

<math>(0,1,2,1,1,1)=\omega^{\omega+3}</math>

<math>(0,1,2,1,2)=(0,1,2,{\color{red}1},{\color{green}1},\cdots,{\color{blue}1})=\omega^{\omega\times 2}</math>

<math>(0,1,2,1,2,1)=\omega^{\omega\times 2+1}</math>

<math>(0,1,2,1,2,1,2)=\omega^{\omega\times 3}</math>

<math>(0,1,2,2)=(0,{\color{red}1,2},{\color{green}1,2},\cdots,{\color{blue}1,2})=\omega^{\omega^{2}}</math>

<math>(0,1,2,2,1)=\omega^{\omega^{2}+1}</math>

<math>(0,1,2,2,1,2)=\omega^{\omega^{2}+\omega}</math>

<math>(0,1,2,2,1,2,1)=\omega^{\omega^{2}+\omega+1}</math>

<math>(0,1,2,2,1,2,1,2)=\omega^{\omega^{2}+\omega\times 2}</math>

<math>(0,1,2,2,1,2,2)=(0,1,2,2,{\color{red}1,2},{\color{green}1,2},\cdots,{\color{blue}1,2})=\omega^{\omega^{2}*2}</math>

<math>(0,1,2,2,2)=(0,{\color{red}1,2,2},{\color{green}1,2,2},\cdots,{\color{blue}1,2,2})=\omega^{\omega^{3}}</math>

<math>(0,1,2,3)=(0,1,{\color{red}2},{\color{green}2},\cdots,{\color{blue}2})=\omega^{\omega^{\omega}}</math>

<math>(0,1,2,3,2)=\omega^{\omega^{\omega+1}}</math>

<math>(0,1,2,3,2,3)=\omega^{\omega^{\omega\times 2}}</math>

<math>(0,1,2,3,3)=\omega^{\omega^{\omega^{2}}}</math>

<math>(0,1,2,3,4)=(0,1,2,{\color{red}3},{\color{green}3},\cdots,{\color{blue}3})=\omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}</math>

<math>(0,1,2,3,4,5,...)= \mathrm{Limit\ of\ PrSS} =\varepsilon_{0}</math>

</div>
</div>


最终得到，PrSS 的极限为 <math>\varepsilon_{0}</math>.

=== 拓展 ===

PrSS 记号有两种拓展：
* 高维 PrSS，如 PrSS 原作者所创的 [[BMS]].
* 阶差 PrSS ，有两种形式：
** [[LPrSS]] 及各种 [[Hydra]] 记号.
** [[HPrSS]]，[[0-Y]]，[[Y序列]] 等复杂阶差型记号.

它们以 PrSS 序列为基础，刻画了非常巨大的序数。

=== 历史 ===

在 2014/08/14，Bashicu 首次提出并使用 Basic 语言定义了 PrSS.<ref>Bashicu. basic言語で巨大数を作ってみたので上げてみる[EB/OL]. 2014, 08/14:109. https://gyafun.jp/ln/archive/ln10.html</ref>

=== 脚注 ===
<references group="注" />

=== 参考资料 ===
<references />
[[分类:入门]]
[[分类:记号]]