查看“︁初等序列系统”︁的源代码

<div style="word-wrap: break-word;text-wrap: pretty;color: var(--color-subtle);font-style: italic;width:Fit-content;padding:1rem 1rem 2rem 1rem;border-left:solid #00000030 5px;background-color:var(--color-surface-2)">PrSS虽然结构简单，但是却是目前已知的最强大的递归核心的基础。<ref>曹知秋. 大数理论: Vol.1[EB/OL]. (2025-05-16) [2025-07-02]: 53-54. https://github.com/ZhiqiuCao/Googology</ref><br /><span style='float:right'><del>------</del> 曹知秋</span></div>

'''初等序列系统（Primative Sequence System,PrSS）'''是一种[[Worm]]型[[序数记号]]。
=== 定义 ===

==== 标准式 ====
一个'''标准且合法'''的 <math>\rm PrSS</math> 是形如

 <math>S=(s_{0},s_{1},s_{2},\cdots,s_{n},s_{n+1},\cdots)|n \in \mathbb{N}</math> 

且满足以下所有条件的序列：

<math>\langle \text{1} \rangle\ \quad s_{0}=0.</math><ref group="注">实际上，以1序列开头的PrSS也是被广为接受的，其更多被用于表示阶差型序列。但无论0或1为开头，均不影响PrSS的展开方式与增长率。</ref>

<math>\langle \text{2} \rangle\ \quad 0\leq s_{n+1}-s_{n}\leq 1.</math>

'''例：'''

<math>(0,1,1,2,2)</math> 是一个合法的<math>\rm PrSS</math>.

<math>(\Omega,1,2)</math> 是一个非法的<math>\rm PrSS</math>.

<math>(0,2,4,6,8)</math> 是一个非法的<math>\rm PrSS</math>.
==== 结构 ====

一个'''标准的'''<math>\rm PrSS</math>由以下四个部分组成：
# 末项 <math>\mathrm{(Last\ Term)}</math>
# 坏部 <math>\mathrm{(Bad\ Part)}</math>
# 坏根 <math>\mathrm{(Bad\ Root)}</math>
# 好部 <math>\mathrm{(Good\ Part)}</math>

===== 末项 =====

对于最大下标为 <math>n</math> 的 <math>\rm PrSS</math> 序列 <math>S=(s_{0},s_{1},s_{2},\cdots,s_{n})</math>，其末项 <math>L=s_{n}</math>，即

 <math>S=(s_{0},s_{1},s_{2},\cdots,L).</math>

===== 坏根 =====

对于<math>S=(s_{0},s_{1},s_{2},\cdots,s_{n})|L=s_{n}</math>，若<math>k=max(0 \leq k < n|s_{k}<s_{n})</math>，那么坏根 <math>r=s_{k}</math>，即

 <math>S=(s_{0},s_{1},s_{2},\cdots,r,\cdots,L).</math>

===== 坏部 =====

对于<math>S=(s_{0},s_{1},s_{2},\cdots,s_{k},\cdots,s_{n})|L=s_{n},r=s_{k}</math>，坏部 <math>B=\{s_{i}|k\leq i <n\}</math>，即

 <math>S=(s_{0},s_{1},s_{2},\cdots,r,B-r,L)</math>

其中 <math>B-r</math> 表示 <math>B</math> 不包含 <math>r .</math>

===== 好部 =====

对于<math>S=(s_{0},s_{1},s_{2},\cdots,s_{k},\cdots,s_{n})|L=s_{n},r=s_{k}</math>，好部 <math>G=\{s_{j}|0\leq j <k\}</math>，即

 <math>S=(G,r,B-r,L).</math>

对于<math>S'=(s_{0},s_{1},s_{2},\cdots,s_{n})|L=s_{n}=0</math>，好部 <math>G=\{s_{j}|0\leq j <n\}</math>，即

 <math>S'=(G,0).</math>

可以注意到，根据坏根的定义，坏根<math>r</math> 有可能不存在。这将会导致不存在 坏部<math>B</math> 的 <math>\rm PrSS</math> 序列产生。例如：

* <math>(0,1,2,1,0)</math>
* <math>(0,1,0,0,0)</math>
* <math>(0,0,0,0,0)</math>

实际上，这种<math>\rm PrSS</math>序列所表示的序数为[[序数#后继序数|后继序数]]，你很快就会在下文中见到它。

=== 展开 ===

由于<math>\rm PrSS</math>的字典序，所有标准的<math>\rm PrSS</math>都[[双射|一一对应]]着一个序数。
对于一个标准的<math>\rm PrSS</math>序列 <math>S=(G,B,L)</math>，定义 <math>m,S[m] \in \mathbb{N}</math>，其展开规则如下：

如果展开次数 <math>m</math> 存在，

:若 <math>L=0</math>，则
::<math>S[m]=(G,B,0)[m]=(G,\emptyset,0)[m]=(G)[m]+1.</math>

:若 <math>L\neq 0</math>，则
::<math>S[m]=(G,B,L)[m]=(G,\underbrace{B,B,\cdots,B}_{m})[m].</math>

如果展开次数 <math>m</math> 不存在，
:若 <math>L=0</math>，则
::<math>S</math> 是[[序数#后继序数|后继序数]]，且
::<math>S=(G,B,0)=(G,\emptyset,0)=(G)+1.</math>

:若 <math>L\neq 0</math>，则
::<math>S</math> 是[[序数#极限序数|极限序数]]，且
::<math>S=sup\{(G),(G,B),(G,B,B),(G,B,B,B),\cdots\}.</math>

如果 <math>L=\emptyset</math>，则
:<math>S[m]=S=0.</math>


如果 <math>S</math> 经过有限次展开后，在第 <math>n</math> 次变为空序列，那么 

<math>S=S[m]=n\in \mathbb{N}</math>

即该 <math>\rm PrSS</math> 所对应的序数为[[序数#有限序数|有限序数]]（[[自然数]]）

=== 形式化定义 ===
<math>\rm PrSS</math>序列可以看作是一个坍缩 / 折叠记号。

末项就是序列的结尾，

坏根就是从右往左数第一个比末项小的元素，

坏部就是坏根到末项（不包括末项）之间的序列，可以理解为无限循环小数里的“循环节”

好部就是除了坏部和末项外的所有东西。<ref group="注">好部被称之为“好部”可能是因为展开时好部完全不用动，看起来令人舒适，因而得名”好“。</ref>



具体说来，末项非零的<math>\rm PrSS</math>序列的展开是让大的末项折叠了小坏根后的序列 <math>[\text{坏根},\text{末项})</math> 的重复。例：

<math>S=(0,1,2,{\color{red}2},3,3,{\color{green}3})</math>

末项是标绿的<math>{\color{green}3}</math>，坏根是从右往左数第一个比<math>{\color{green}3}</math>小的数，也就是标红色的<math>{\color{red}2}</math>.

接下来，根据坏部的定义可以知道<math>2,3,3</math>是”循环节“，用上划线标出“循环节"

<math>S=(0,1,2,\overline{{\color{red}2},3,3},{\color{gree}3})</math>

坏根之前的好部不用管，将末项抛弃

<math>S=(0,1,2,\overline{{\color{red}2},3,3})</math>

复制循环节

<math>S=(0,1,2,\overline{{\color{red}2},3,3,{\color{red}2},3,3,{\color{red}2},3,3,\cdots})</math>

我们就成功地展开了一个<math>\rm PrSS</math>序列。

=== 枚举 ===

在按照字典序对所有可能的<math>\rm PrSS</math>序列进行排序之后，我们可以用序数对这些序列逐个进行标号，每个序列都与一个序数一一对应。事实上，这种对应关系要远比相应的大数函数增长率的对应关系要更本质。

枚举过程中，会对特定的'''循环节'''标记颜色，以更清晰地体现“折叠”的过程。

可点击按钮“展开”以查看枚举。

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed">
<div class="mw-collapsible-content">
<math>()=0</math>

<math>(0)=1</math>

<math>(0,0)=2</math>

<math>(0,0,0)=3</math>

<math>(0,1)=({\color{red}0},{\color{green}0},\cdots,{\color{blue}0})=\omega</math>

<math>(0,1,0)=\omega+1</math>

<math>(0,1,0,0)=\omega+2</math>

<math>(0,1,0,1)=(0,1,{\color{red}0},{\color{green}0},\cdots,{\color{blue}0})=\omega\times 2</math>

<math>(0,1,0,1,0,1)=\omega\times 3</math>

<math>(0,1,1)=({\color{red}0,1},{\color{green}0,1},\cdots,{\color{blue}0,1})=\omega^{2}</math>

<math>(0,1,1,0)=\omega^{2}+1</math>

<math>(0,1,1,0,1)=\omega^{2}+\omega</math>

<math>(0,1,1,0,1,0)=\omega^{2}+\omega+1</math>

<math>(0,1,1,0,1,0,1)=\omega^{2}+\omega\times 2</math>

<math>(0,1,1,0,1,1)=(0,1,1,{\color{red}0,1},{\color{green}0,1},\cdots,{\color{blue}0,1})=\omega^{2}\times 2</math>

<math>(0,1,1,0,1,1,0,1,1)=\omega^{2}\times 3</math>

<math>(0,1,1,1)=({\color{red}0,1,1},{\color{green}0,1,1},\cdots,{\color{blue}0,1,1})=\omega^{3}</math>

<math>(0,1,1,1,1)=\omega^{4}</math>

<math>(0,1,2)=(0,{\color{red}1},{\color{green}1},\cdots,{\color{blue}1})=\omega^{\omega}</math>

<math>(0,1,2,0,1,2)=\omega^{\omega}\times 2</math>

<math>(0,1,2,1)=({\color{red}0,1,2},{\color{green}0,1,2},\cdots,{\color{blue}0,1,2})=\omega^{\omega+1}</math>

<math>(0,1,2,1,0,1,2)=\omega^{\omega+1}+\omega^{\omega}</math>

<math>(0,1,2,1,0,1,2,1)=\omega^{\omega+1}\times 2</math>

<math>(0,1,2,1,1)=({\color{red}0,1,2,1},{\color{green}0,1,2,1},\cdots,{\color{blue}0,1,2,1})=\omega^{\omega+2}</math>

<math>(0,1,2,1,1,1)=\omega^{\omega+3}</math>

<math>(0,1,2,1,2)=(0,1,2,{\color{red}1},{\color{green}1},\cdots,{\color{blue}1})=\omega^{\omega\times 2}</math>

<math>(0,1,2,1,2,1)=\omega^{\omega\times 2+1}</math>

<math>(0,1,2,1,2,1,2)=\omega^{\omega\times 3}</math>

<math>(0,1,2,2)=(0,{\color{red}1,2},{\color{green}1,2},\cdots,{\color{blue}1,2})=\omega^{\omega^{2}}</math>

<math>(0,1,2,2,1)=\omega^{\omega^{2}+1}</math>

<math>(0,1,2,2,1,2)=\omega^{\omega^{2}+\omega}</math>

<math>(0,1,2,2,1,2,1)=\omega^{\omega^{2}+\omega+1}</math>

<math>(0,1,2,2,1,2,1,2)=\omega^{\omega^{2}+\omega\times 2}</math>

<math>(0,1,2,2,1,2,2)=(0,1,2,2,{\color{red}1,2},{\color{green}1,2},\cdots,{\color{blue}1,2})=\omega^{\omega^{2}*2}</math>

<math>(0,1,2,2,2)=(0,{\color{red}1,2,2},{\color{green}1,2,2},\cdots,{\color{blue}1,2,2})=\omega^{\omega^{3}}</math>

<math>(0,1,2,3)=(0,1,{\color{red}2},{\color{green}2},\cdots,{\color{blue}2})=\omega^{\omega^{\omega}}</math>

<math>(0,1,2,3,2)=\omega^{\omega^{\omega+1}}</math>

<math>(0,1,2,3,2,3)=\omega^{\omega^{\omega\times 2}}</math>

<math>(0,1,2,3,3)=\omega^{\omega^{\omega^{2}}}</math>

<math>(0,1,2,3,4)=(0,1,2,{\color{red}3},{\color{green}3},\cdots,{\color{blue}3})=\omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}</math>

<math>(0,1,2,3,4,5,...)= \mathrm{Limit\ of\ PrSS} =\varepsilon_{0}</math>

</div>
</div>


最终得到，<math>\rm PrSS</math>的[[增长率]]为<math>\varepsilon_{0}</math>

=== 拓展 ===

<math>\rm PrSS</math>序列有两种拓展：
* 高维PrSS，如PrSS原作者所创的[[BMS]]
* 阶差PrSS，有两种形式：
** [[LPrSS]]及各种[[Hydra]]记号
** [[HPrSS]]，[[0-Y]]，[[Y序列]]等复杂阶差型记号

它们以<math>\rm PrSS</math>序列为基础，刻画了非常巨大的序数。

=== 历史 ===

在2014/08/14，Bashicu首次提出并使用Basic语言定义了PrSS.<ref>Bashicu. basic言語で巨大数を作ってみたので上げてみる[EB/OL]. 2014, 08/14:109. https://gyafun.jp/ln/archive/ln10.html</ref>

=== 脚注 ===
<references group="注" />

=== 参考资料 ===
<references />
[[分类:入门]]
[[分类:记号]]