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'''序数'''是自然数的推广。

==== 定义 ====
一个序数<math>\alpha</math>被定义为所有比它“更小”的序数的集合，即<math>\alpha=\{ \beta|\beta < \alpha \}</math>。

<math>0=\varnothing=\{\}</math>

<math>1=\{ 0\}</math>

<math>2=\{0,1\}</math>

<math>3=\{0,1,2\}</math>

<math>1048576=\{0,1,2,3,...,1048575\}</math>

===== 序数的后继 =====
序数<math>\alpha</math>的'''后继'''被定义为<math>\alpha+1=\alpha\cup  \{\alpha\}</math>。它也是所有'''序数运算'''的基础。

如<math>2+1=2\cup\{2\}=\{0,1\}\cup\{2\}=\{0,1,2\}=3</math>，<math>n+1=n\cup\{n\}=\{0,1,2,3,...,n\}</math>。

===== 有限序数与超限序数 =====
所有自然数都是有限序数。

大于有限序数的序数称作'''超限序数'''(或无限序数)

===== 极限序数 =====
不是  <math>0</math>且'''不是任何序数的后继'''的序数被称为'''极限序数'''。（<math>0</math>有时也被视为极限序数）

即序数<math>\lambda</math>是极限序数要满足“不存在某个序数<math>\alpha</math>使得<math>\lambda=\alpha +1</math>”。

如果<math>\lambda</math>是极限序数，那么<math>\lambda={\rm sup}\{\alpha|\alpha < \lambda\}</math>。("<math>\rm sup</math>"为"上确界"，一般可以省略不写)


<math>\omega</math>被定义为全体自然数的集合，<math>\omega=\mathbb{N}=\{0,1,2,3,...\}</math>既是第一个超限序数，也是第一个极限序数。

==== 序数的运算 ====

===== 1.序数加法 =====
<math>\alpha+0=\alpha</math>

<math>\alpha+(\beta+1)=(\alpha+\beta)+1</math>

<math>\alpha+\beta=\bigcup_{\gamma <\beta}(\alpha +\gamma)</math>，如果<math>\beta</math>是极限序数。

序数加法不具有交换律，但具有结合律。即

<math>\alpha+\beta\ne\beta+\alpha,(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)</math>

例：<math>1+\omega=\bigcup_{\gamma <\omega}(1 +\gamma)=\{1+0,1+1,1+2,...\}={\rm sup}\{1,2,3,...\}=\omega\ne \omega+1</math>

===== 2.序数乘法 =====
<math>\alpha\times0=0</math>

<math>\alpha\times(\beta+1)=(\alpha\times\beta)+\alpha</math>

<math>\alpha\times\beta=\bigcup_{\gamma <\beta}(\alpha \times\gamma)</math>，如果<math>\beta</math>是极限序数。

序数乘法不具有交换律和右分配律，但具有结合律和左分配律。即

<math>1.\alpha\times\beta\ne\beta\times\alpha,(\alpha\times\beta)\times\gamma=\alpha\times(\beta\times\gamma)</math>

<math>2.(\alpha+\beta)\times\gamma\ne (\alpha\times\gamma)+(\beta\times\gamma), \alpha\times(\beta+\gamma)=(\alpha\times\beta)+(\alpha\times\gamma)</math>

例：

<math>\begin{align} (\omega+1)\times\omega&=\bigcup_{\gamma <\omega}((\omega+1) \times\gamma)\\&=\{(\omega+1)\times0,(\omega+1)\times1,(\omega+1)\times2,...\}\\&=\{0,\omega+1,\omega+(1+\omega)+1,\omega+(1+\omega)+(1+\omega)+1,...\}\\&={\rm sup}\{ 0,\omega+1,\omega\times2+1,\omega\times3+1,...\}=\omega^2 \\&\ne\omega\times(\omega+1)=\omega^2+\omega \end{align}</math>

'''Q:'''为什么不是<math>\omega^2+1</math>？

A: 我们知道<math>\omega^2+1=\omega^2\cup\{\omega^2\}=\{0,1,2,...,\omega,\omega+1,...,\omega\times2,...,\omega\times3,...,\omega^2\}</math>

而<math>\bigcup_{\gamma <\omega}(\omega\times\gamma +1)</math>中显然没有任何一个元素能够达到或是超过<math>\omega^2</math>,因此它们的上确界也不会超过<math>\omega^2</math>。

其实也可以换一个方向思考：既然<math>{\rm sup}\{ \omega,\omega\times2,\omega\times3,...\}=\omega^2</math>

而<math>{\rm sup}\{ 0,\omega+1,\omega\times2+1,\omega\times3+1,...\}</math>中从小到大排列的每一项都比前者小，因此也不会超过<math>\omega^2</math>。

===== 3.序数的指数运算 =====
<math>\alpha^0=1</math>

<math>\alpha^{\beta+1}=\alpha^\beta\times\alpha</math>

<math>\alpha^\beta=\bigcup_{\gamma <\beta}(\alpha^\gamma)</math>，如果<math>\beta</math>是极限序数。

序数的指数不具有对底数乘法的分配律，但指数加法具有对底数的分配律。即

<math>(\alpha\times\beta)^\gamma\ne\alpha^\gamma\times\beta^\gamma,\alpha^{\beta+\gamma}=\alpha^\beta\times\alpha^\gamma</math>

例：

<math>\begin{align} (2\times3)^\omega &=6^\omega=\bigcup_{\gamma <\omega}(6^\gamma)=\{6^0,6^1,6^2,... \}={\rm sup}\{1,6,36,... \}=\omega \\&\ne 2^\omega\times3^\omega=\bigcup_{\gamma <\omega}(2^\gamma)\times\bigcup_{\gamma <\omega}(3^\gamma)=\omega\times\omega=\omega^2 \end{align}</math>

<math>\varepsilon_0</math>是第一个满足<math>\omega^\alpha=\alpha</math>的不动点。

<math>\omega^{\varepsilon_0}=\bigcup_{\gamma <\varepsilon_0}(\omega^\gamma)={\rm sup}\{1,\omega,\omega^2,...,\omega^\omega,...,\omega^{\omega^\omega},...\}=\varepsilon_0</math>

<math>\varepsilon_0\times\omega=\omega^{\varepsilon_0}\times\omega=\omega^{\varepsilon_0+1}</math>
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