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'''高德纳箭头'''（'''Knuth's up-arrow notation''', 亦称"上箭头记号"），一种满足'''右结合律'''的二元运算。其定义如下：

* <math>a \uparrow b = a^{b}</math>
* <math>a \uparrow^{c} 1 = a</math>
* <math>a \uparrow^{c+1} b+1 = a \uparrow^{c} ( a \uparrow^{c+1} b)</math>

其中，<math>a,b,c</math>均为'''正整数'''，<math>a \uparrow^{c} b = a\ \underbrace{ \uparrow\uparrow\cdots\uparrow }_{c}\ b</math>. 

==== 性质 ====

高德纳箭头有如下性质：

===== 右结合律 =====

<math>a \uparrow^{c} b\uparrow^{c} c=a \uparrow^{c} (b\uparrow^{c} c) \neq (a \uparrow^{c} b)\uparrow^{c} c  </math>

若将高德纳箭头的右结合律更替为左结合律，其余定义不变，将得到[[下箭头记号]]。

===== 恒等律 =====

<math>2 \uparrow^{c+1} 2 = 2 \uparrow^{c} 2 = 4</math>

<math>1 \uparrow^{c+1} b = 1 \uparrow^{c} b = 1</math>

<math>a \uparrow^{c+1} 0 = a \uparrow^{c} 0 = 1</math>

===== 增长率 =====

高德纳箭头的[[FGH]]增长率为 '''ω'''，特别地，

<math>a \uparrow^{c} b \approx f_{c}(b) </math>，

该推论可通过审视以下两组等式得到：

<math>a \uparrow^{c+1} b+1 = a \uparrow^{c} ( a \uparrow^{c+1} b)</math>

<math>f_{c+1}(b+1)=f_{c}(f_{c+1}(b))</math>

===== 超运算 =====

高德纳箭头是目前已被广泛认可、基本采用<ref>曹知秋. 大数理论[EB/OL]. 2024, [2025-05-16](1): 35-36. https://github.com/ZhiqiuCao/Googology </ref>的超运算记号。

若定义后继运算的运算等级为<math>0</math>，那么 <math>n</math> 个高德纳箭头的运算等级为 <math>n+2</math>

==== 历史 ====

高德纳箭头是由 <math>\mathrm{Donald\ Ervin\ Knuth}</math> 在1976年发明的大数记号，曾被 <math> \mathrm{Ronald\ Graham} </math> 用于递归地定义[[葛立恒数]]。
==== 形式化定义 ====

<math>n \uparrow m = n^{m}</math>

<math>n \uparrow^{k} m = \underbrace{n \uparrow^{k-1} n \uparrow^{k-1} \cdots \uparrow^{k-1} n }_{\text{m个n}}</math>

该定义可通过以下分析与推理得到：

高德纳箭头本质上是一种高级运算“折叠”低级运算的记号。

后继是最基础的运算，表现为 <math>n+1</math>.

在<math>n+m</math>中，运算 <math>+</math> 折叠了对 <math>n</math> 的 <math>m</math> 次后继运算，即 

 <math>n+m=n+\underbrace{1+1+\cdots+1}_{\text{m个1}}</math>.

在<math>n\times m</math>中，运算 <math>\times</math> 折叠了对 <math>n</math> 的 <math>m</math> 次 <math>+</math> 运算，即 

 <math>n\times m=\underbrace{n+n+\cdots+n}_{\text{m个n}}</math>.

在 <math>n^{m}</math> ( <math>n\uparrow m</math> ) 中，运算<math>\uparrow</math>折叠了对 <math>n</math> 的 <math>m</math> 次 <math>\times</math> 运算，即 

 <math>n^{m}=\underbrace{n\times n\times \cdots \times n}_{\text{m个n}}</math>.

在 <math>{}^m\!n</math> ( <math>n\uparrow \uparrow m</math> ) 中，运算<math>\uparrow \uparrow</math>折叠了对 <math>n</math> 的 <math>m</math> 次 <math>\uparrow</math> 运算，即

 <math>n\uparrow \uparrow m=\underbrace{n\uparrow n\uparrow \cdots \uparrow n}_{\text{m个n}}=\underbrace{n^{n^{n^{\cdots}}}}_{\text{m个n}}</math>. （注意是右结合）

以此类推。最终，我们得到了高德纳箭头的形式化定义：

在<math>n \uparrow^{k} m</math>中，运算<math>\uparrow^{k}</math>折叠了对 <math>n</math> 的 <math>m</math> 次 <math>\uparrow^{k-1}</math> 运算，即
 <math>n \uparrow^{k} m = \underbrace{n \uparrow^{k-1} n \uparrow^{k-1} \cdots \uparrow^{k-1} n }_{\text{m个n}}</math>


==== 参考资料 ====
<references />
[[分类:记号]]
[[分类:入门]]