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'''序数'''是自然数的推广。

==== 定义 ====
一个序数<math>\alpha</math>被定义为所有比它“更小”的序数的集合，即<math>\alpha=\{ \beta|\beta < \alpha \}</math>。

<math>0=\varnothing=\{\}</math>

<math>1=\{ 0\}</math>

<math>2=\{0,1\}</math>

<math>3=\{0,1,2\}</math>

<math>1048576=\{0,1,2,3,...,1048575\}</math>

===== 序数的后继 =====
序数<math>\alpha</math>的'''后继'''被定义为<math>\alpha+1=\alpha\cup  \{\alpha\}</math>。它也是所有'''序数运算'''的基础。

如<math>2+1=2\cup\{2\}=\{0,1\}\cup\{2\}=\{0,1,2\}=3</math>，<math>n+1=n\cup\{n\}=\{0,1,2,3,...,n\}</math>。

===== 有限序数与超限序数 =====
所有自然数都是有限序数。

大于有限序数的序数称作'''超限序数'''(或无限序数)

===== 极限序数 =====
不是  <math>0</math>且'''不是任何序数的后继'''的序数被称为'''极限序数'''。（<math>0</math>有时也被视为极限序数）

即序数<math>\lambda</math>是极限序数要满足“不存在某个序数<math>\alpha</math>使得<math>\lambda=\alpha +1</math>”。

如果<math>\lambda</math>是极限序数，那么<math>\lambda=\rm sup\{\alpha|\alpha < \lambda\}</math>。("<math>\rm sup</math>"为"上确界"，一般可以省略不写)

==== 序数的运算 ====

===== 1.序数加法 =====
<math>\alpha+0=\alpha</math>

<math>\alpha+(\beta+1)=(\alpha+\beta)+1</math>

<math>\alpha+\beta=\bigcup_{\gamma <\beta}(\alpha +\gamma),{\rm if\  \beta\  is \ a \ limit\ ordinal}</math>

序数加法不具有交换律，但具有结合律。即

<math>\alpha+\beta\ne\beta+\alpha,(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)</math>

例：<math>1+\omega=\bigcup_{\gamma <\omega}(1 +\gamma)=\{1+0,1+1,1+2,...\}={\rm sup}\{1,2,3,...\}=\omega\ne \omega+1</math>