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'''高德纳箭头'''（'''Knuth's up-arrow notation''', 别称"上箭头记号"），一种满足'''右结合律'''的二元运算。其定义如下：

* <math>a \uparrow b = a^{b}</math>
* <math>a \uparrow^{c} 1 = a</math>
* <math>a \uparrow^{c+1} b+1 = a \uparrow^{c} ( a \uparrow^{c+1} b)</math>

其中，<math>a,b,c</math>均为'''正整数'''，<math>a \uparrow^{c} b = a\ \underbrace{ \uparrow\uparrow\cdots\uparrow }_{c}\ b</math>. 

===== 性质 =====

高德纳箭头有如下性质：

右结合律

<math>a \uparrow^{c} b\uparrow^{c} c=a \uparrow^{c} (b\uparrow^{c} c) \neq (a \uparrow^{c} b)\uparrow^{c} c  </math>

若将高德纳箭头的右结合律更替为左结合律，其余定义不变，将得到[[下箭头记号]]。

恒等律

<math>2 \uparrow^{c+1} 2 = 2 \uparrow^{c} 2 = 4</math>

<math>1 \uparrow^{c+1} b = 1 \uparrow^{c} b = 1</math>

增长率

高德纳箭头的[[FGH]]增长率为 '''ω'''，特别地，

<math>a \uparrow^{c} b \approx f_{c}(b) </math>，

该推论可通过审视以下两组等式得到：

<math>a \uparrow^{c+1} b+1 = a \uparrow^{c} ( a \uparrow^{c+1} b)</math>

<math>f_{c+1}(b+1)=f_{c}(f_{c+1}(b))</math>

超运算

高德纳箭头是目前已被广泛认可、基本采用<ref>曹知秋. 大数理论[EB/OL]. 2024, [2025-05-16](1): 35-36. https://github.com/ZhiqiuCao/Googology </ref>的超运算记号。

若定义后继运算的运算等级为<math>0</math>，那么 <math>n</math> 个高德纳箭头的运算等级为 <math>n+2</math>

===== 历史 =====

高德纳箭头是由 <math>\mathrm{Donald\ Ervin\ Knuth}</math> 在1976年发明的大数记号，曾被 <math> \mathrm{Ronald\ Graham} </math> 用于递归地定义[[葛立恒数]]。
===== 形式化定义 =====

<math>n \uparrow m = n^{m}</math>

<math>n \uparrow^{c} m = \underbrace{n \uparrow^{c-1} n \uparrow^{c-1} \cdots \uparrow^{c-1} n }_{\text{m个n}}</math>

===== 参考资料 =====