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'''高德纳箭头（Knuth's arrow notation，亦称"上箭头记号"）'''，一种满足'''右结合律'''的二元运算。它涉及对运算的递归。<ref>Guy, R. K., & Selfridge, J. L. (1973). The Nesting and Roosting Habits of the Laddered Parenthesis. ''Amer. Math. Monthly'', '''80''', 868-876.</ref>

== 定义 ==
高德纳箭头由如下公式递归定义：
* <math>a \uparrow b = a^{b}</math>
* <math>a \uparrow^{c} 0 = 1</math>
* <math>a \uparrow^{c+1} (b+1) = a \uparrow^{c} ( a \uparrow^{c+1} b)</math>

其中，<math>a,c</math> 均为'''正整数，'''<math>b</math> 为'''自然数'''，<math>a \uparrow^{c} b = a\ \underbrace{ \uparrow\uparrow\cdots\uparrow }_{c}\ b</math>。 

在计算高德纳箭头时，如无括号，按照从右往左的顺序计算，即： 

<math>a \uparrow^{m} b\uparrow^{n} c=a \uparrow^{m} (b\uparrow^{n} c)</math> 

若将高德纳箭头的右结合律更替为左结合律，其余定义不变，将得到[[下箭号表示法|下箭头记号]]。 

== 性质 ==
高德纳箭头有如下性质：

==== 展开 ====
<math>n \uparrow^{k} m = \underbrace{n \uparrow^{k-1} n \uparrow^{k-1} \cdots \uparrow^{k-1} n }_{\text{m个n}}</math>

==== 恒等律 ====

* <math>2 \uparrow^{c+1} 2 = 2\uparrow^c2=.. .=2\uparrow2=4</math>
* <math>a \uparrow^{c+1} 1 = a \uparrow^{c}a\uparrow^{c+1}0 =a\uparrow^{c} 1=...=a\uparrow1=a</math>
* <math>1 \uparrow^{c+1} b+1 = 1\uparrow^c(1\uparrow^{c+1} b)=1\uparrow^c(1\uparrow^c(\cdots\uparrow^c(1\uparrow^{c}1)))=1\uparrow^{c} 1=1</math>

==== 增长率 ====
高德纳箭头的 [[增长层级#快速增长层级|FGH]] 增长率为 <math>\omega</math>，特别地，<math>a \uparrow^{c} b \approx f_{c+1}(b) </math>。

该推论可通过审视以下两组式子得到：

* <math>a \uparrow^{c+1} (b+1) = a \uparrow^{c} ( a \uparrow^{c+1} b)</math>
* <math>f_{c+1}(b+1)=f_{c}^{b+1}(b+1)=f_{c}(f_{c}^{b}(b+1))</math>

==== 超运算 ====
高德纳箭头是目前已被广泛认可、基本采用的[[超运算|超运算记号]]。

若定义后继运算的运算等级为 0，那么 n 个高德纳箭头的运算等级为 n+2。

== 历史 ==
高德纳箭头是由 Donald Ervin Knuth 在 1976 年发明的大数记号<ref>Knuth, D. E. (1976). Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness, Advances in Our Ability to Compute are Bringing Us Substantially Closer to Ultimate Limitations. ''Science'', 194, pp. 1235--1242. https://cse-robotics.engr.tamu.edu/dshell/cs625/finiteness.pdf</ref>，曾在 1977 年被 Martin Gardner 用于递归地定义[[葛立恒数]]。<ref>Gardner, M. (1977). Mathematical games[J]. ''Scientific American'', 1977, 237(3): 28-38. https://raw.githubusercontent.com/AllenDowney/ModSimPy/master/papers/scientific_american_nov_77.pdf</ref>

而<math>\mathrm{Ronald\ Graham}</math>本人并未在论文中使用高德纳箭头或超运算来估计 [[葛立恒数#葛立恒问题|葛立恒问题]] 的上界，而是使用了类似 [[阿克曼函数]] 的递归函数 <math>F(m,n)</math>，和分别近似为 <math>2 \uparrow\uparrow n,2 \uparrow\uparrow\uparrow n</math> 的函数 <math>\rm TOWER(n),WOW(n)</math>。<ref>Graham, R. L., & Rothschild, B. L. (1971). Ramsey’s theorem for $n$-parameter sets[J]. ''Transactions of the American Mathematical Society'', 159: 257-292. https://www.ams.org/journals/tran/1971-159-00/S0002-9947-1971-0284352-8/S0002-9947-1971-0284352-8.pdf
</ref><ref>Graham, R. L., & Rothschild, B. L., & Spencer, J. H. (1991). Ramsey theory: Vol. 20[M]. ''John Wiley & Sons''. https://people.dm.unipi.it/dinasso/ULTRABIBLIO/Graham_Rothschild_Spencer%20-%20Ramsey%20Theory%20(2nd%20edition).pdf</ref>

== 构造过程 ==
高德纳箭头本质上是一种高级运算“折叠”低级运算的记号。

现在让我们回到数学的起点，并考察各种级别的运算是如何逐渐地建立起来的。这将进一步地启发我们构造增长率更快的计数法。

==== 后继 ====

为了使某数 n 变大，最简单的运算应该就是“数出 n 这个数后面的一个数”。我们将这种运算称为'''“后继”'''。后继是最基础的运算，表现为 n+1.

==== 加法 ====

我们经常需要表示一种“从 n 开始，取 m 次后继”这样的运算。写得次数太多了之后，我们就引入了一个新的运算符 +，将这样的运算称为'''“加法”'''，表示为 n+m.

在 n+m 中，运算 + 折叠了对 n 的 m 次后继运算，即 
 <math>\ n+m=n+\underbrace{1+1+\cdots+1}_{\text{m个1}}.</math>

==== 乘法 ====

还能不能更快些呢？假设我们已经通过某些操作得到了 n，那么要想最快地得到一些更大的数，我们就要将 n 加上自身，并将这个过程重复若干次。我们引入一个新的运算符 <math>\times</math>，将这样的运算称为'''“乘法”'''，表示为 <math>n\times m</math>.

在 <math>n\times m</math> 中，运算 <math>\times</math> 折叠了对 n 的 m 次 + 运算，即 
 <math>\ n\times m=\underbrace{n+n+\cdots+n}_{\text{m个n}}.</math>

==== 乘方 ====

对乘法重复若干次，我们就可以得到一个增长更快的运算。仿照之前的过程，我们进一步引入一个新的运算符 <math>\uparrow</math>，将这一运算称为'''“乘方”'''，表示为 <math>n\uparrow m</math> 或 <math>n^{m}</math>.

在 <math>n^{m}</math> ( <math>n\uparrow m</math> ) 中，运算 <math>\uparrow</math> 折叠了对 n 的 m 次 <math>\times</math> 运算，即 

 <math>\ n^{m}=\underbrace{n\times n\times \cdots \times n}_{\text{m个n}}.</math>

==== 幂塔 ====

我们已经看到了上述各个运算的推广过程：最简单的运算是后继；将后继重复若干次可以得到一个增长更快的运算，称为加法；将加法重复若干次可以再次得到一个增长更快的运算，称为乘法；进一步地将乘法重复若干次，我们又可以得到一个增长速度更快的运算，称为乘方。这里面的每一个运算的增长速度都远远超过了此前的所有运算。

现在如果我们想要得到一个增长速度超越乘方的运算，那么应该如何做呢？答案已经很简单了：我们只需要将乘方运算（单箭头运算 <math>\uparrow </math>）重复若干次，并将其定义为一个新的运算'''“幂塔”'''即可。我们将这一运算的运算符用双箭头 <math>\uparrow \uparrow</math> 来进行表示。

在 <math>{}^m\!n</math> ( <math>n\uparrow \uparrow m</math> ) 中，运算 <math>\uparrow \uparrow</math> 折叠了对 n 的 m 次 <math>\uparrow</math> 运算，即

 <math>\ n\uparrow \uparrow m=\underbrace{n\uparrow n\uparrow \cdots \uparrow n}_{\text{m个n}}=\underbrace{n^{n^{n^{\cdots}}}}_{\text{m个n}}.</math> （注意是右结合）

==== 高德纳箭头 ====

仿照上述定义，以此类推。

最终，我们得到了高德纳箭头的展开定义：

在 <math>n \uparrow^{k} m</math> 中，运算 <math>\uparrow^{k}</math> 折叠了对 n 的 m 次 <math>\uparrow^{k-1}</math> 运算，即

 <math>\ n \uparrow^{k} m = \underbrace{n \uparrow^{k-1} n \uparrow^{k-1} \cdots \uparrow^{k-1} n }_{\text{m个n}}.</math>
== 计算示例 ==

<math>\begin{align} 3 \uparrow\uparrow\uparrow 3\  & = 3\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow 3 \\ & = 3\uparrow\uparrow (3\uparrow 3\uparrow 3) \\ & = 3\uparrow\uparrow(3\uparrow27) \\ & = 3\uparrow\uparrow 7625597484987 \\ & = \underbrace{3^{3^{3^{\cdots}}}}_{7625597484987} \end{align}</math>


<math>\begin{align} 3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 4\   & = 3\uparrow\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\uparrow3 \\ & = 3\uparrow\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\uparrow\underbrace{3^{3^{3^{\cdots}}}}_{7625597484987} \\ & = 3\uparrow\uparrow\uparrow(\ \underbrace{3\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow3}_{\underbrace{3^{3^{3^{\cdots}}}}_{7625597484987}}\ ) \\ & = \underbrace{3\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow3}_{\underbrace{3\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow3}_{\underbrace{3^{3^{3^{\cdots}}}}_{7625597484987}}}\end{align}</math>

== 参考资料 ==
<references />
[[分类:记号]]
[[分类:入门]]