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由[[ZFC公理体系#正则公理|正则公理]]，我们可以得到

引理1：任何非空类都有 <math>\in</math> 关系上的最小元

证明：取任意 <math>S \in  C</math>。如果 <math>S \cap  C = \emptyset</math>，则 <math>S </math> 是 <math>C</math> 上最小元；如果 <math>S \cap  C </math> 不为 <math>\emptyset</math>，则我们让 <math>X = T \cap  C</math>，其中 <math>T=\mathcal{TC}(S)</math> （ <math>\mathcal{TC}(S)</math> 表示 <math>S</math> 的[[传递闭包]]）。 <math>X</math> 是非空集 并根据正则公理，有 <math>x \in  X</math>，使得 <math>x \cap  X = \emptyset </math>。由此可见， <math>x \cap  C = \emptyset</math>；否则，如果 <math>y \in  x</math> 并且 <math>y \in  C</math>，则 <math>y \in  T</math>，由 <math>T</math> 是[[传递集|传递的]]，因此 <math>y \in  x \cap  T \cap  C = x \cap  X</math>。因此 <math>x</math> 是 <math>C</math> 上 <math>\in</math> 关系最小元。

定理：对于任何集合 <math>x</math>，都存在一个[[序数]] <math>\alpha</math> 使得 <math>x\in V_{\alpha}</math> 

证明：使用反证法，考虑全体不属于某个 <math>V_{\alpha}</math> 的集合组成的非空类 <math>C</math>，由引理1， <math>C</math> 有 <math>\in</math> 关系上的最小元 <math>x</math>，则对于任意 <math>\beta \in x</math>，存在 <math>\alpha</math> 使得 <math>\beta \in V_{\alpha}</math> 

所以对于任意 <math>\beta \in x</math>， <math>\beta \in \mathrm{WF}</math>，所以 <math>x</math> 是 <math>\mathrm{WF}</math> 的子类。因为 <math>x</math> 是个集合（所以不存在从 <math>x</math> 到 <math>\mathrm{Ord}</math> 的满射，所以存在某个序数 <math>\gamma</math> 使得 <math>\gamma</math> 和 <math>x</math> 之间存在双射，所以 <math>x</math> 是 <math>V_{\gamma}</math> 的子集），所以存在某个 <math>V_{\alpha}</math> 使得 <math>x</math> 是 <math>V_{\alpha}</math> 的子集，则 <math>x\in V_{\alpha+1}</math>，矛盾，所以 <math>C</math> 为空，得证。
[[分类:集合论相关]]
[[分类:证明]]