查看“︁ω-Y”︁的源代码

<math>\omega\mathrm{-Y}</math>，是一种[[Beklemishev's Worm|Worm]]型序数记号。

== 定义 ==

=== 合法表达式 ===
一个合法的<math>\omega\mathrm{-Y}</math>表达式是以 1 开头的正整数序列，即形如

<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)\quad(n,a_1,a_2,\cdots,a_n\in\N,a_1=1)</math>

的序列。

例如：<math>(1,4,6,4)</math>和<math>(1,1,4,5,1,4)</math>都是合法的 <math>\omega\mathrm{-Y}</math> 表达式，而<math>(1,2,\pi)</math>不是。

===  结构 ===
<math>\omega\mathrm{-Y}</math>的合法表达式可分为'''零表达式'''、'''后继表达式'''和'''极限表达式'''。

* '''零表达式'''指<math>n=0</math>的表达式，即空序列；
* '''后继表达式'''指<math>n>0,a_n=1</math>的表达式，即末项为1的非空序列；
* '''极限表达式'''指<math>n>0,a_n>1</math>的表达式，末项不为1的非空序列。

对于<math>\omega\mathrm{-Y}</math>的一个极限表达式<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>，定义以下术语：

==== 行标与列标 ====
设想我们在一个无限大的矩阵下工作，从左往右是第1,2,...列，从下往上是第0,1,...行。'''与<math>\mathrm{1-Y}</math>相同：
* 行标现在可以是一个超限序数，例如第<math>\omega</math>行。
* 一些项现在可以不赋予任何数作为取值，这些项称为空项，记作<math>\varnothing</math>。'''
第<math>\alpha</math>行第<math>j</math>列的项记为<math>x_{\alpha,j}</math>。

初始时，我们有<math>x_{0,j}=a_j</math>，<math>1\leq{j}\leq{n}</math>。

==== 后继序数行的父项 & 阶差项 ====
对于后继序数<math>\alpha+1</math>和非空项<math>x_{\alpha+1,j}</math>，它的父项是与它位于同一行，且满足以下条件的最右侧非空项<math>x_{\alpha+1,k}</math>：

* <math>k<j</math>且<math>x_{\alpha+1,k}<x_{\alpha+1,j}</math>。
* <math>x_{\alpha,k}</math>是<math>x_{\alpha,j}</math>的祖先项。

这里“祖先项”的定义类似于[[Bashicu矩阵|BMS]]：一个元素自己，以及它的父项、父项的父项、父项的父项的父项......共同构成它的祖先项。

对于第0行的项<math>x_{0,j}</math>，它的父项是与它位于同一行，且同时满足<math>k<j</math>和<math>x_{0,k}<x_{0,j}</math>的最右侧项<math>x_{0,k}</math>。

如果满足上述条件的项不存在，那么<math>x_{\alpha+1,j}</math>(或者<math>x_{0,j}</math>)的父项不存在。特别地，等于1的项的父项不存在。

对于任何序数<math>\alpha</math>，项<math>x_{\alpha,j}</math>：
* 如果它有父项<math>x_{\alpha,k}</math>，则它的阶差项为<math>x_{\alpha+1,j}=x_{\alpha,j}-x_{\alpha,k}</math>。
* 如果它没有父项，或者为空项，它的阶差项为<math>x_{\alpha,j}=\varnothing</math>。

由于第<math>\alpha</math>行的项的阶差项构成了第<math>\alpha+1</math>行，称第<math>\alpha+1</math>行的序列是第<math>\alpha</math>行的序列的'''阶差序列'''。

==== 极限序数行的父项 ====
上述定义只给出了后继序数行的项的取值和父项关系。接下来给出极限序数的情形：

设极限序数<math>\alpha=\beta+\omega^k<\omega^\omega</math>，<math>\beta</math>为极限序数，<math>k</math>是正整数。

取出最大的序数<math>\gamma<\omega^k</math>使得<math>x_{\beta+\gamma,j}</math>不为空项，这些项<math>x_{\beta+\gamma,j}</math>称为顶端元素。如果这样的<math>\gamma</math>不存在，则记顶端元素为空项。

对于任何项<math>x_{\delta,j}</math>，定义如下概念：
* 取出最大的<math>\delta_1</math>使得<math>\delta_1<\delta</math>且<math>x_{\delta_1,j}</math>有父项，记为<math>x_{\delta_1,k}</math>，然后取出最大的<math>\delta_2</math>使得<math>\delta_1\leq\delta_2\leq\delta</math>且<math>x_{\delta_2,k}</math>非空。得到的<math>x_{\delta_2,k}</math>称为<math>x_{\delta,j}</math>的待定父项。

对于顶端元素<math>x_{\beta+\gamma,j}</math>定义如下概念：
* 如果顶端元素为空项，或<math>\gamma=0</math>，则<math>x_{\alpha,j}=\varnothing</math>。
* 否则，从<math>x_{\beta+\gamma,j}</math>开始不断取待定父项，得到第一个小于<math>x_{\beta+\gamma,j}</math>的项，记为<math>x_{\delta,k}</math>。则令<math>x_{\alpha,j}=x_{\beta+\gamma,j}-x_{\delta,k}</math>，称<math>x_{\alpha,k}</math>为<math>x_{\alpha,j}</math>的拟父项。

对于极限序数<math>\alpha</math>和大于1的项<math>x_{\alpha,j}</math>，它的父项是与它位于同一行，且满足以下条件的最右侧项<math>x_{\alpha,k}</math>：

* <math>k<j</math>，<math>x_{\alpha,k}</math>非空且<math>x_{\alpha,k}<x_{\alpha,j}</math>。
* <math>x_{\alpha,k}</math>是<math>x_{\alpha,j}</math>的拟祖先项。

这里“拟祖先项”的定义是：一个元素自己，以及它的拟父项、拟父项的拟父项......共同构成它的拟祖先项。

如果满足上述条件的项不存在，那么<math>x_{\alpha,j}</math>的父项不存在。另外，等于1的项的父项不存在。

''注：此处的“拟父项/拟祖先项”是编者引入的等价的临时定义。在主流的定义与教程中，通常使用山脉图(见下文)定义此部分内容。''

==== 末列与坏根 ====
第<math>n</math>列称为'''末列'''。

对于末列的某一项<math>x_{\alpha,n}</math>，它的父项设为<math>x_{\alpha,r}</math>。如果在计算到某行(第<math>\gamma</math>行)时有<math>x_{\gamma,n}-x_{\gamma,r}=1</math>，则称<math>a_r</math>为'''坏根'''，称第<math>r</math>列为'''根列'''。

以上给出了<math>\omega\mathrm{-Y}</math>极限表达式<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>的完整寻找坏根流程。

== 山脉图 ==
要描述<math>\omega\mathrm{-Y}</math>的展开规则或者直观理解部分定义，需要用到'''山脉图'''的辅助。

''(不会写了，要不直接复制一下教程)''

网站[https://naruyoko.github.io/MEGAwhYmountain MEGAwhY mountain]可以绘制<math>\omega\mathrm{-Y}</math>的山脉图。

''(待补充附有配图的ω-Y山脉图绘制例子)''

== 展开 ==
''(还是不会写，要不直接复制一下教程)''

== 枚举 ==
''(开摆!)''

== <math>\mathrm{n-Y}</math>序列 ==

== <math>\mathrm{C\ n-Y}\&\mathrm{D\ n-Y}</math> ==

== 参考资料 ==
[[分类:记号]]