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<div style="word-wrap: break-word;text-wrap: pretty;color: var(--color-subtle);font-style: italic;width:Fit-content;padding:1rem 1rem 2rem 1rem;border-left:solid #00000030 5px;background-color:var(--color-surface-2)">PrSS 虽然结构简单，但是却是目前已知的最强大的递归核心的基础．<ref>曹知秋. 大数理论. ''(EB/OL)'', Vol.1, pp.53-54.  https://github.com/ZhiqiuCao/Googology</ref><br /><span style='float:right'><del>------</del> 曹知秋</span></div>

'''初等序列系统（Primative Sequence System, PrSS）'''是一种 [[Beklemishev's Worm|Worm]] 型[[序数记号]]。

=== 定义 ===

==== 合法式 ====
一个'''合法'''的 PrSS 表达式是形如 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{n})|n,s_{1},s_{2},\cdots,s_{n}\in\mathbb{N}</math>

且满足 <math>s_1=0,s_{k+1}-s_k\leqslant1(k=1,2,\cdots n-1)</math> 的自然数列（特别地，空序列 <math>()</math> 是合法的 PrSS 表达式）

实际上，以 1 序列开头的 PrSS 也是被广为接受的，其更多被用于表示阶差型序列。但无论 0 或 1 为开头，均不影响 PrSS 的展开方式与极限。

'''例：'''

* <math>(0,1,1,2,2)</math> 是一个合法的 PrSS 表达式
* <math>(\Omega,1,2)</math> 不是一个合法的 PrSS 表达式，因为 <math>\Omega\notin\mathbb{N}</math>
* <math>(0,2,4,6,8)</math> 不是一个合法的 PrSS 表达式，因为不满足条件 <math>s_{k+1}-s_k\leqslant1</math>

==== 结构 ====
合法的 PrSS 表达式可以分为零表达式、后继表达式、极限表达式，其定义如下：

*'''零表达式'''：满足 <math>n=0</math> 的表达式，即空序列 <math>()</math>
*'''后继表达式'''：满足 <math>n>0</math> 且 <math>s_{n}=0</math> 的表达式，例如 <math>(0,1,2,0)</math>
*'''极限表达式'''：满足 <math>n>0</math> 且 <math>s_{n}>0</math> 的表达式，例如 <math>(0,1,2,1)</math>

一个 PrSS 的'''极限表达式'''由以下四个部分组成：

# 末项（Last Term）
# 坏部（Bad Part）
# 坏根（Bad Root）
# 好部（Good Part）
'''末项：'''对于最大下标为 <math>n</math> 的 PrSS 表达式 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{n})</math>，其末项 <math>L=s_{n}</math>，即 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,L)</math>

'''坏根：'''对于 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{n})|L=s_{n}</math>，令 <math>k=\max\{1 \leq k < n|s_{k}<s_{n}\}</math>，那么坏根定义为 <math>r=s_{k}</math>，即 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,r,\cdots,L)</math>

通俗的说，是最靠右的小于末项的项。

因为极限表达式满足 <math>L=s_n>0</math> 且 <math>s_1=0</math>，所以坏根总是存在的。

'''坏部：'''对于 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{k},\cdots,s_{n})|L=s_{n},r=s_{k}</math>，坏部定义为 <math>B=(s_{k},s_{k+1},\cdots,s_{n-1})</math>，即 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{k-1},B,L)</math>

通俗地说，是坏根（含）到末项（不含）的部分。坏部最短为 1 项。

'''好部：'''对于 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{k},\cdots,s_{n})|L=s_{n},r=s_{k}</math>，好部定义为 <math>G=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{k-1})</math>，即 <math>S=(G,B,L)</math>

通俗地说，好部是坏部之前的部分。好部可以为空。

=== 展开 ===
PrSS 的良序性已经得到证明，且其标准式的序等价于字典序，因此所有标准的 PrSS 表达式都一一对应着一个序数．

对于一个合法的 PrSS 表达式 <math>S=(s_1,s_2,\ldots,s_{n-1},s_n)</math>，其展开规则如下：

* 如果 <math>S</math> 是零表达式，则 <math>S</math> 代表序数 <math>0</math>
* 如果 <math>S</math> 是后继表达式，则其前驱是 <math>S'=(s_1,s_2,\ldots,s_{n-1})</math>
* 如果 <math>S</math> 是极限表达式，则根据前文定义确定好部、坏部，得到 <math>S=(G,B,L)</math>. 则其基本列的第 <math>m</math> 项定义为 <math>S[m]=(G,\underbrace{B,B,B,\cdots,B}_{m})</math>，其中 <math>m\in\mathbb{N}</math>. 或者说 <math>S</math> 的'''展开式'''为 <math>(G,\underbrace{B,B,B,\cdots}_{\omega})</math>

举例：

<math>S=(0,1,{\color{red}2},3,3,{\color{green}3})</math>

末项是标绿的 <math>{\color{green}3}</math>，坏根是从右往左数第一个比 <math>{\color{green}3}</math> 小的数，也就是标红色的 <math>{\color{red}2}</math>。

接下来，根据坏部的定义可以知道坏部是 <math>(2,3,3)</math>。

坏根之前的好部不用管，将末项抛弃：

<math>S=(0,1,{\color{red}2},3,3)</math>

复制坏部：

<math>S=(0,1,{\color{red}2},3,3,{\color{red}2},3,3,{\color{red}2},3,3,\cdots)</math>

我们就成功地展开了一个 PrSS 表达式。

=== 与康托范式的对应 ===
参见词条 [[PrSS VS 康托范式]]。

=== 拓展 ===
PrSS 记号有两种拓展：
* 高维 PrSS，如 PrSS 原作者所创的 [[BMS]]
* 阶差 PrSS ，有两种形式：
** [[长初等序列|LPrSS]] 及各种 [[Kirby-Paris Hydra|Hydra]] 记号
** [[HPrSS]]，[[0-Y]]，[[Y序列]] 等复杂阶差型记号

它们以 PrSS 序列为基础，刻画了非常巨大的序数。

=== 历史 ===
在 2014.8.14，Bashicu 首次提出并使用 Basic 语言定义了 PrSS。<ref>Bashicu, H. (2014). basic言語で巨大数を作ってみたので上げてみる [I tried creating a huge number in basic language, so I thought I'd share it.]. ''(EB/OL)''. https://gyafun.jp/ln/archive/ln10.html</ref>

== 参考资料 ==
<references />

[[分类:入门]]
[[分类:记号]]