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'''(-1)-Y''' 是一种 [[Beklemishev's Worm|Worm]] 型[[序数记号]]。

== 定义 ==

=== 合法式 ===
一个'''合法'''的 (-1)-Y 表达式是形如

<math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{n})|n,s_{1},s_{2},\cdots,s_{n}\in\mathbb{N}</math> 且 <math>s_1=1</math>（特别地，空序列 <math>()</math> 是合法的 PrSS 表达式）

'''例：'''

* <math>(1,3,3)</math> 是一个合法的 (-1)-Y 表达式
* <math>(\Omega,1,2)</math> 不是一个合法的 (-1)-Y 表达式，因为 <math>\Omega\notin\mathbb{N}</math>
* <math>(1,9)</math> 是一个合法的 (-1)-Y 表达式

=== 结构 ===
合法的 (-1)-Y 表达式可以分为零表达式、后继表达式、极限表达式，其定义如下：

* '''零表达式'''：满足 <math>n=0</math> 的表达式，即空序列 <math>()</math>
* '''后继表达式'''：满足 <math>n>0</math> 且 <math>s_{n}=1</math> 的表达式，例如 <math>(1,3,1)</math>
* '''极限表达式'''：满足 <math>n>0</math> 且 <math>s_{n}>1</math> 的表达式，例如 <math>(1,3,2)</math>

一个 (-1)-Y 的'''极限表达式'''由以下四个部分组成：

# 末项（Last Term）
# 坏部（Bad Part）
# 坏根（Bad Root）
# 好部（Good Part）

==== 末项 ====
对于最大下标为 <math>n</math> 的 -1-Y 表达式 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{n})</math>，其末项 <math>L=s_{n}</math>，即 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,L)</math>
==== 坏根 ====
对于 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{n})|L=s_{n}</math>，令 <math>k=\max\{1 \leq k < n|s_{k}<s_{n}\}</math>，那么坏根定义为 <math>r=s_{k}</math>，即 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,r,\cdots,L)</math>

通俗的说，是最靠右的小于末项的项。

因为极限表达式满足 <math>L=s_n>1</math> 且 <math>s_1=1</math>，所以坏根总是存在的．

==== 坏部 ====
对于 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{k},\cdots,s_{n})|L=s_{n},r=s_{k}</math>，坏部定义为 <math>B=(s_{k+1},s_{k+1},\cdots,s_{n}-1)</math>

通俗地说，是坏根（不含）到末项（含）的部分．坏部最短为 1 项。

==== 好部 ====
对于 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{k},\cdots,s_{n})|L=s_{n},r=s_{k}</math>，好部定义为 <math>G=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{k-1})</math>，即 <math>S=(G,r,B)</math>

通俗地说，好部是坏部之前的部分。好部可以为空。

== 展开 ==
对于一个合法的 (-1)-Y 表达式 <math>S=(s_1,s_2,\ldots,s_{n-1},s_n)</math>，其展开规则如下：

* 如果 <math>S</math> 是零表达式，则 <math>S</math> 代表序数 <math>0</math>
* 如果 <math>S</math> 是后继表达式，则其前驱是 <math>S'=(s_1,s_2,\ldots,s_{n-1})</math>
* 如果 <math>S</math> 是极限表达式，则根据前文定义确定好部、坏部，得到 <math>S=(G,r,B)</math>，则其基本列的第 <math>m</math> 项定义为 <math>S[m]=(G,r,\underbrace{B,B,B,\cdots,B}_{m})</math>，其中 <math>m\in\mathbb{N}</math>。或者说 <math>S</math> 的'''展开式'''为 <math>(G,r,\underbrace{B,B,B,\cdots}_{\omega})</math>。

举例：

<math>S=({\color{red}1},3,3,{\color{green}3})</math>

末项是标绿的 <math>{\color{green}3}</math>，坏根是从右往左数第一个比 <math>{\color{green}3}</math> 小的数，也就是标红色的 <math>{\color{red}1}</math>。

接下来，根据坏部的定义可以知道坏部是 <math>(3,3,3)</math>。

坏根之前的好部不用管，末项 -1：

<math>S=({\color{red}1},3,3,{\color{green}2})</math>

复制坏部：

<math>S=({\color{red}1},3,3,{\color{green}2},3,3,{\color{green}2},\cdots)</math>

我们就成功地展开了一个 (-1)-Y 表达式．

== 与 [[PrSS]] 的对应 ==
合法 PrSS 表达式一定是一个合法 (-1)-Y 表达式，但合法 (-1)-Y 表达式不一定是合法 PrSS 表达式，需要将差大于 1 的相邻项之间被省略的项补回去。

== 拓展 ==
(-1)-Y 记号的拓展为超限 (-1)-Y，详见 [[超限(-1)-Y]]。