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'''Bird 数组表示法'''（Bird's Array Notation,BAN）是由 Chris Bird 发明的一种大数记号。它是 [[BEAF]] 的扩展，无论是在历史上还是在定义上都类似于 BEAF，但与 BEAF 略有不同，使其更加“简单”。

== 定义 ==

=== “简单”数阵 ===

==== 线性和多维数阵 ====

* '''规则 1'''. 若有一或两个元素，则有 <math>\{a\} = a,\{a,b\} = a^b</math>
* '''规则 2'''. 若最后一个元素为 1，则可将其去掉：<math>\{\# 1\} = \{\#\}</math>
* '''规则 3'''. 若第二个元素为 1，则该数阵的值即为第一个元素：<math>\{a,1 \#\} = a</math>
* '''规则 4'''. 若第三个元素为 1：
<math>\{a,b,1,1,\cdots,1,1,c \#\} = \{a,a,a,a,\cdots,a,\{a,b-1,1,1,\cdots,1,1,c \#\},c-1 \#\}</math>
* '''规则 5'''. 其他情况：
<math>\{a,b,c \#\} = \{a,\{a,b-1,c \#\},c-1 \#\}</math>

对于多维数阵，Bird 使用 <math>a \langle c \rangle b</math>，它与 BEAF 的 <math>b^c \& a</math> 等价。这些字符串写在引号内，且有其特定的规则：

* '''规则 A1'''. 若 <math>c = 0</math>，则有 <math>a \langle 0 \rangle b = a</math>
* '''规则 A2'''. 若 <math>b = 1</math>，则有 <math>a \langle c \rangle 1 = a</math>
* '''规则 A3'''. 其他情况，<math>a \langle c \rangle b = a \langle c - 1 \rangle b [c] a \langle c \rangle (b - 1)</math>

主要规则如下：

* '''规则 M1'''. 若只有两个元素，则 <math>\{a, b\} = a^b</math>
* '''规则 M2'''. 若 <math>m<n</math>，则有 <math>\{\# [m] 1 [n] \#*\} = \{\# [n] \#*\}</math>（另外，<math>\{\# [a] 1\} = \{\#\}</math>）
* '''规则 M3'''. 若第二个元素为 1，则有 <math>\{a,1 \#\} = a</math>
* '''规则 M4'''. 若 <math>m_1 \geq 2</math> 且 <math>m_1 \geq \cdots \geq m_x</math>，则有
<math>\{a,b [m_1] 1 [m_2] \cdots 1 [m_x] c \#\} = \{a \langle m_1-1 \rangle b [m_1] a \langle m_2-1 \rangle b [m_2] \cdots a \langle m_x-1 \rangle b [m_x] (c-1) \#\}</math>
* '''规则 M5'''. 若 <math>m_1 \geq \cdots \geq m_x \geq 2</math>，则有
<math>\{a,b [m_1] 1 [m_2] \cdots 1 [m_x] 1,c \#\} = \{a \langle m_1-1 \rangle b [m_1] a \langle m_2-1 \rangle b [m_2] \cdots a \langle m_x-1 \rangle b [m_x] \{a,b-1 [m_1] 1 [m_2] \cdots 1 [m_x] 1,c \#\},c-1 \#\}</math>
* '''规则 M6'''. 若规则 M1-M5 均不适用，则 <math>\{a,b,c \#\} = \{a,\{a,b-1,c \#\},c-1 \#\}</math>

Bird 使用 <math>[m]</math> 作为维度分隔符；在 BEAF 中，它相当于一个 <math>(m-1)</math>。

==== 超维及嵌套数阵 ====
接下来，括号分隔符变为数阵（如 <math>[1, 1, 2]</math>）。除将 <math>[m_n]</math> 替换为 <math>[m_n \#]</math> 外，规则 M1 至 M6 保持不变。

尖括号规则需要一些修改。规则 A3 变为 A4，并新增规则 A3：

* '''规则 A3'''. 若尖括号中的第一个元素为零，且其后存在非零元素：
<math>a \langle 0,1,1,\cdots,1,1,c \# \rangle b = a \langle b,b,b,\cdots,b,b,c-1 \# \rangle b</math>

此规则在视觉上与规则 M4 相似。

下一步是允许在数阵内出现字符串，从而定义嵌套数阵表示法。规则 A3 变为 A4，规则 A4 变为 A5。然后我们新增一条 A3 规则并对 A4 进行推广：

* '''规则 A3'''. 若 <math>[A] < [B]</math>，则有 <math>a \langle\# [A] 1 [B] \#^*\rangle b = a \langle\# [B] \#^*\rangle b</math>
* '''规则 A4'''. 若尖括号中的第一个元素为零，且其后存在非零元素：
<math>a \langle 0 [x_1 \#_1] 1 [x_2 \#_2] \cdots 1 [x_n \#_n] c \# \rangle b = a \langle b \langle x_1-1 \#_1 \rangle b [x_1 \#_1] b \langle x_2-1 \#_2 \rangle b [x_2 \#_2] \cdots b \langle x_n-1 \#_n \rangle b [x_n \#_n] c-1 \# \rangle b</math>

A<sub>n</sub> 和 B 为数阵，且除第一个元素减一外，A<sub>i</sub>-1 与 A<sub>i</sub> 完全相同。

==== 两个分隔符的排序算法 ====
对于规则 A3 和 M2，确定哪个分隔符的层级更高十分重要。首先，将相互嵌套的数阵数量定义为数阵的嵌套层级。我们可以用 Lev(A) 表示。例如，若 A = {3,3[1[1[2]2]2]2}，则 Lev(A) = 3，因为 [2] 嵌套在 [1[2]2] 中，而[1[2]2]又嵌套在 [1[1[2]2]2] 中，最后 [1[1[2]2]2] 嵌套在主数阵中。非正式地说，Lev(A) 是我们需要说“嵌套”的次数，才能从最内层数阵说到主数阵。另一个函数 Num(H,A) 定义为数阵 A 中分隔符 [H] 的数量，例如，若 A = {3,3[1[2]1[2]1[2]2]2}，则 Num(2,A) = 3。

假设我们想要确定哪个分隔符的层级更高，[A] 还是 [B]。正式描述如下：

# 为进一步说明，设 [A<sub>1</sub>]=[A]，[A<sub>2</sub>]=[A<sub>1</sub>]，[B<sub>1</sub>]=[B]，[B<sub>2</sub>]=[B<sub>1</sub>]。
# 若 Lev(A)>Lev(B)，则得出 [A]>[B]；若 Lev(A)<Lev(B)，则 [A]<[B]。若 Lev(A)=Lev(B)>0，则进入步骤 3，否则进入步骤 6。
# 设 [A<sup>*</sup>] 和 [B<sup>*</sup>] 分别为数阵 A<sub>2</sub> 和 B<sub>2</sub> 中的最高层级分隔符。若 [A<sup>*</sup>]>[B<sup>*</sup>]，则 [A]>[B]；若 [A<sup>*</sup>]<[B<sup>*</sup>]，则 [A]<[B]；否则取 [H]=[A<sup>*</sup>]=[B<sup>*</sup>] 并进入步骤 4。
# 若 Num(H,A<sub>2</sub>)>Num(H,B<sub>2</sub>)，则 [A]>[B]；若 Num(A)>Num(B)，若 Num(H,A<sub>2</sub>)<Num(H,B<sub>2</sub>)，则 [A]<[B]；否则进入步骤 5。
# 在字符串 A<sub>2</sub> 和 B<sub>2</sub> 中，删除 [H] 分隔符并移除其之前的所有元素。
# 根据上述所有规则，字符串 A<sub>2</sub> 和 B<sub>2</sub> 必须为 [a] 和 [b] 的形式，其中 a 和 b 为单个数字。因此，若 a<b，则 [A]<[B]；若 a>b，则 [A]>[B]；否则进入步骤 7。
# 在字符串 A<sub>1</sub> 和 B<sub>1</sub> 中删除最后一个元素及其前的分隔符。若 A<sub>1</sub> 和 B<sub>1</sub> 为空，则得出 [A]=[B]；否则返回步骤 2。

=== 超嵌套数阵：反斜杠数阵 ===

=== 嵌套超嵌套数阵 ===

==== 2-超分离器 ====

==== 2 超分隔符数组 ====

=== 嵌套超嵌套数阵表示法 ===

==== 尖括号规则 （BNA3） ====

==== 分层超嵌套数阵表示法（第 2 部分） ====

==== Bird 的分层超嵌套数阵表示法——尖括号规则 ====

=== 分层超嵌套数阵表示法 ===

==== Bird 的嵌套分层超嵌套数组表示法——尖括号规则 ====