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'''Y序列'''，一般指'''1-Y'''，一种[[Beklemishev's Worm|Worm]]型序数记号。

== 定义 ==

=== 合法表达式 ===
一个合法的 1-Y 表达式是以 1 开头的正整数序列，即形如

<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)\quad(n,a_1,a_2,\cdots,a_n\in\N,a_1=1)</math>

的序列。

例如：<math>(1,4,6,4)</math>和<math>(1,1,4,5,1,4)</math>都是合法的 1-Y 表达式，而<math>(1,2,\pi)</math>不是。

===  结构 ===
1-Y的合法表达式可分为'''零表达式'''、'''后继表达式'''和'''极限表达式'''。

* '''零表达式'''指<math>n=0</math>的表达式，即空序列；
* '''后继表达式'''指<math>n>0,a_n=1</math>的表达式，即末项为1的非空序列；
* '''极限表达式'''指<math>n>0,a_n>1</math>的表达式，末项不为1的非空序列。

对于 1-Y 的一个极限表达式<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>，定义以下术语：

==== 行标与列标 ====
设想我们在一个无限大的矩阵下工作，从左往右是第1,2,...列，从下往上是第0,1,...行。'''与0-Y不同的是：
* 行标现在可以是一个超限序数，例如第<math>\omega</math>行。
* 一些项现在可以不赋予任何数作为取值，这些项称为空项，记作<math>\varnothing</math>。'''
第<math>\alpha</math>行第<math>j</math>列的项记为<math>x_{\alpha,j}</math>。

初始时，我们有<math>x_{0,j}=a_j</math>，<math>1\leq{j}\leq{n}</math>。

==== 后继序数行的父项 & 阶差项 ====
对于后继序数<math>\alpha+1</math>和非空项<math>x_{\alpha+1,j}</math>，它的父项是与它位于同一行，且满足以下条件的最右侧非空项<math>x_{\alpha+1,k}</math>：

* <math>k<j</math>且<math>x_{\alpha+1,k}<x_{\alpha+1,j}</math>。
* <math>x_{\alpha,k}</math>是<math>x_{\alpha,j}</math>的祖先项。

这里“祖先项”的定义类似于[[Bashicu矩阵|BMS]]：一个元素自己，以及它的父项、父项的父项、父项的父项的父项......共同构成它的祖先项。

对于第0行的项<math>x_{0,j}</math>，它的父项是与它位于同一行，且同时满足<math>k<j</math>和<math>x_{0,k}<x_{0,j}</math>的最右侧项<math>x_{0,k}</math>。

如果满足上述条件的项不存在，那么<math>x_{\alpha+1,j}</math>(或者<math>x_{0,j}</math>)的父项不存在。特别地，等于1的项的父项不存在。

对于任何序数<math>\alpha</math>，项<math>x_{\alpha,j}</math>：
* 如果它有父项<math>x_{\alpha,k}</math>，则它的阶差项为<math>x_{\alpha+1,j}=x_{\alpha,j}-x_{\alpha,k}</math>。
* 如果它没有父项，或者为空项，它的阶差项为<math>x_{\alpha,j}=\varnothing</math>。

由于第<math>\alpha</math>行的项的阶差项构成了第<math>\alpha+1</math>行，称第<math>\alpha+1</math>行的序列是第<math>\alpha</math>行的序列的'''阶差序列'''。

==== 极限序数行的父项 & 提取 ====
上述定义只给出了后继序数行的项的取值和父项关系。接下来给出极限序数的情形：

设极限序数<math>\alpha=\beta+\omega<\omega^2</math>，<math>\beta</math>为极限序数。则定义项<math>x_{\alpha,j}</math>如下：

取出最大的非负整数<math>p</math>使得<math>x_{\beta+p,j}</math>不为空项，则<math>x_{\alpha,j}=x_{\beta+p,j}</math>。这些项<math>x_{\beta+p,j}</math>称为主项。

对大于1的项<math>x_{\alpha,j}</math>定义如下概念：
# 设<math>x_{\alpha,j}=x_{\beta+p,j}</math>，令<math>a=j</math>。
# 设<math>x_{\beta+p-1,a}</math>的父项为<math>x_{\beta+p-1,k}</math>。如果<math>x_{\beta+p-1,k}</math>是主项，或者<math>x_{\beta+p,k}</math>是主项，称<math>x_{\alpha,k}</math>是<math>x_{\alpha,j}</math>的拟父项。
# 否则令<math>a=k</math>并回到第2步，直到找到某个主项，设其列标是<math>l</math>，称<math>x_{\alpha,l}</math>是<math>x_{\alpha,j}</math>的拟父项。

对于极限序数<math>\alpha</math>和大于1的项<math>x_{\alpha,j}</math>，它的父项是与它位于同一行，且满足以下条件的最右侧项<math>x_{\alpha,k}</math>：

* <math>k<j</math>且<math>x_{\alpha,k}<x_{\alpha,j}</math>。
* <math>x_{\alpha,k}</math>是<math>x_{\alpha,j}</math>的拟祖先项。

这里“拟祖先项”的定义是：一个元素自己，以及它的拟父项、拟父项的拟父项......共同构成它的拟祖先项。

如果满足上述条件的项不存在，那么<math>x_{\alpha,j}</math>的父项不存在。另外，等于1的项的父项不存在。

以上定义项<math>x_{\alpha,j}</math>时，将所有位于<math>\beta</math>到<math>\beta+\omega</math>之间的行中每一列的最上方非空项取了出来，并“提”到了<math>\alpha=\beta+\omega</math>行(还保留了其下的一些父项关系)，这就是'''提取(Extraction)'''的含义。

''注：此处的“主项”，“拟父项/拟祖先项”是编者引入的等价的临时定义。在主流的定义与教程中，通常使用山脉图(见下文)定义此部分内容。''

==== 末列与坏根 ====
第<math>n</math>列称为'''末列'''。

对于末列的某一项<math>x_{\alpha,n}</math>，它的父项设为<math>x_{\alpha,r}</math>。如果在计算到某行(第<math>\gamma</math>行)时有<math>x_{\gamma,n}-x_{\gamma,r}=1</math>，则称<math>a_r</math>为'''坏根'''，称第<math>r</math>列为'''根列'''。

以上给出了 1-Y 极限表达式<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>的完整寻找坏根流程。

== 山脉图 ==
要描述1-Y的展开规则或者直观理解部分定义，需要用到'''山脉图'''的辅助。

1-Y的山脉图作图难度略高于[[0-Y]]。对于 1-Y 的一个极限表达式<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>，它的山脉图的画法如下：

先按照寻找坏根的规则逐行向上求出各项，直到某次提取的所有主项全为1，不进行这次提取。

接下来，对于第后继序数<math>\alpha+1</math>行，进行如下操作：

取出所有非空项<math>x_{\alpha+1,j}</math>。对于每个<math>x_{\alpha,j}</math>，用竖直线段连接<math>x_{\alpha+1,j}</math>的下端与<math>x_{\alpha,j}</math>的上端。这些竖直线段称为'''右腿'''，<math>x_{i,j}</math>称为它的端点。

设<math>x_{\alpha,j}</math>有父项<math>x_{\alpha,k}</math>，用斜线段连接<math>x_{\alpha+1,j}</math>的下端与<math>x_{\alpha,k}</math>的上端。这些斜线段称为'''左腿'''，<math>x_{\alpha,k}</math>称为它的端点。

接下来，对于第极限序数<math>\alpha=\beta+\omega</math>行，进行如下操作：

用虚线分别连接所有项<math>x_{\alpha,j}</math>的下端，和它们对应的主项<math>x_{\beta+p,j}</math>的上端。

对所有行各执行一次上述操作，就得到了<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>的山脉图。

注意：有些情况下，山脉图只包含一行，即第0行。

1-Y的山脉图中，从一个有父项的项出发，沿右腿向上走一步，再沿左腿向下走一步，就能到达它的父项。

对于极限序数<math>\alpha</math>行的项<math>x_{\alpha,j}</math>，从其对应的主项<math>x_{\beta+p,j}</math>出发，沿左腿向下走一步，然后在保持行标不大于<math>\beta+p</math>的前提下，沿右腿向上走一步(如果可能)，重复此过程直到找到另一个主项，设其列标是<math>l</math>，则<math>x_{\alpha,l}</math>是<math>x_{\alpha,j}</math>的拟父项。

网站[https://naruyoko.github.io/whYmountain/ whY mountain]可以绘制1-Y的山脉图。

''(待补充附有配图的1-Y山脉图绘制例子,以及绘制1-Y山脉图的网站(有吗),以及极限序数行父项关系的直观理解)''

== 展开 ==
1-Y的展开难度远高于[[0-Y]]。

对于1-Y的极限表达式<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>作出其山脉图


''(等待更新)''

== 枚举 ==
''(开摆!)''

== n-Y序列 ==
通过某种方式，我们可以把1-Y前面的参数1扩展到任意大的自然数<math>n</math>。详细信息请参考[[ω-Y]]页面。

== 参考资料 ==
[[分类:记号]]