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Catching 函数是 hypcos 创造的序数记号，用以记录 [[增长层级#快速增长层级|FGH]] 和 [[增长层级#慢速增长层级|SGH]] 的“交点”。

=== 定义 ===
将 C(α) 用于表示这个函数，其定义如下：

* 当 α=0 时：C(0) 是第一个序数 β，使得 g<sub>β(n)</sub> 与 f<sub>β(n)</sub> 可比；
* 当 α 为后继序数时（即 α=γ+1）：C(α+1) 是 C(α) 之后下一个满足 g<sub>β(n)</sub> 与 f<sub>β(n)</sub> 可比的序数 β；
* 当 α 为极限序数时（即 α=L）：C(α)[n]=C(α[n])（其中 α[n] 表示 α 的基本序列第 n 项）。

此外，C(α) 是最小的序数 β，使得 g<sub>β(n)</sub> 与 f<sub>β(n)</sub> 可比，且对于所有 γ<α，β 都大于 C(γ)。

"可比"是一个模糊的术语，但此处可理解为：f<sub>β(n)</sub> 与g<sub>β(n)</sub> 可比当且仅当存在某个 k，使得对任意 n 都有 g<sub>β(n+k)</sub>>f<sub>β(n)</sub>。

现在，使用第一个不可数序数 Ω 作为 C() 中的对角化器。想象一下：当我们遇到一个 Ω 并需要处理它时，首先找到最近的 C() 结构，然后复制该 C() 内部的内容（但不包括这个 Ω 本身）n 次，每次都将复制的内容插入到原本 Ω 的位置。换句话说，C(#Ω@) 等于嵌套 n 层的 C(#C(...C(#0@)...@)@)，其中 @ 位置不包含任何序数（即仅保留结构占位）。


我们知道，一个 Catching 序数必定形如 ψ(α)。也就是说，它是满足 β→ω<sup>β</sup> 的固定点。而一个基数 α 可以作为 ψ<sub>α</sub>() 中的对角化参数。在常规记法中，ψ<sub>Ω<sub>1+k</sub></sub>() 对于正整数 k 也可写作 ψ<sub>k</sub>()，而 ψ<sub>Ω</sub>() 也可简写为 ψ()。自然地，一个更强的 Catching 层次结构应运而生。

* C<sub>π</sub>(0)=ψ<sub>π</sub>(Ω<sub>ω</sub>)
* 若 C<sub>π</sub>(α)=ψ<sub>π</sub>(β)，则C<sub>π</sub>(α+1)=ψ<sub>π</sub>(γ)，其中 ψ(γ) 是满足 g<sub>ψ(γ)</sub>(n) 与 f<sub>ψ(γ)</sub>(n) 可比较的最小序数，且 γ>β，同时 ψ<sub>π</sub>(β) 和 ψ<sub>π</sub>(γ) 均为完全简化的。
* 对于极限序数 α，C<sub>π</sub>(α)[n]=C<sub>π</sub>(α[n])
* π 是 C<sub>π</sub>() 函数的对角化参数

对于正整数 k，C<sub>Ω<sub>1+k</sub></sub>() 也可写作 C<sub>k</sub>()，而 C<sub>Ω</sub>() 可简写为 C()。

<nowiki>- </nowiki>什么是完全简化的？

<nowiki>- </nowiki>记法 ψ(β) 是完全简化的当且仅当 ψ(β+1)>ψ(β)。例如，ψ(Ω<sub>2</sub>) 是完全简化的，但ψ(ψ<sub>1</sub>(Ω<sub>2</sub>))则不是，因为 ψ(Ω<sub>2</sub>+1)>ψ(Ω<sub>2</sub>)=ψ(ψ<sub>1</sub>(Ω<sub>2</sub>)+1)=ψ(ψ<sub>1</sub>(Ω<sub>2</sub>))。有时 ψ 函数会增长，有时则保持不变，而完全简化记法处于增长部分或保持部分的末尾。