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'''Circle函数'''，是Harvey Friedman提出的一个快速增长的函数。<ref>[https://bpb-us-w2.wpmucdn.com/u.osu.edu/dist/1/1952/files/2014/01/EnormousInt.12pt.6_1_00-23kmig3.pdf FRIEDMAN H M. Enormous integers in real life〔J〕. Manuscript, dated June 1, 2000: 10-11.]</ref>

== 定义 ==
由平面上n个不相交的圆（可能外离或内含）组成的一个有限序列<math>\{C_1,C_2,\cdots,C_n\}</math>，记为 '''n 圆组'''。

将并集 <math>C_a\cup C_{a+1}\cup\cdots \cup C_{b-1}\cup C_b</math> 记作 <math>C_{[a,b]}</math>。

给定一个正整数k，如果存在满足 “<math>k\leq i<j\leq \frac{n}{2}</math>，且存在把<math>C_{[i,2i]}</math>变成<math>C_{[j,2j]}</math>的子集的同胚拓扑变换” 的<math>(i,j)</math>对，那么称这样的n圆组为 '''k-好''' 的。

我们定义如下的'''Circle序列'''：

<math>\mathrm{Circle}(k)</math> 定义为所有不是 k-好 的n圆组中n的最大值。

=== 解释 ===
对于平面上任何圆的集合 <math>S</math>，我们可以自然地将 <math>S</math> 解释为森林，每个圆对应于森林中的不同顶点。根顶点将对应于不包含在任何其他圆中的圆。

如果顶点 <math>v</math> 对应于圆 <math>C</math>，则 <math>v</math> 的子圆将对应于 <math>C</math> 中包含的 <math>S</math> 中的圆，中间没有中间圆。当且仅当对应的顶点<math>v_1</math>是<math>v_2</math>的后代时，圆<math>C_1</math>才会包含在圆<math>C_2</math>中。

对于任何一对圆的集合<math>S_1</math>和<math>S_2</math>使用相应的森林<math>F_1</math>和<math>F_2</math>，当且仅当存在<math>F_1</math>的嵌入时，<math>S_1</math>才会同胚到<math>S_2</math>到<math>F_2</math>。

因此，我们可以将<math>\mathrm{Circle}(k)</math>的定义重新表述为：

最大的<math>n</math>，使得存在一个森林 <math>F</math>，其中 <math>n</math> 个顶点标记为 1 到 <math>n</math>，满足以下条件：\(F_{i}\) 是 <math>F</math> 的子林，由标记为 <math>i</math> 到 <math>2i</math> 的顶点组成（如果我们删除了任何顶点及其后代之间的顶点，则后一个顶点连接到其第一个未删除的祖先）。那么对于任何<math>k\leq i<j\leq \frac{n}{2}</math>，不存在\(F_{i}\)到<math>F_j</math>的嵌入。

== 取值 ==
Friedman指出，<math>\mathrm{Circle}(k)</math> 一定是有限的，但我们对其具体取值仍了解不多。我们有<math>\mathrm{Circle}(1)=1</math>以及<math>\mathrm{Circle}(2)\geq 13</math>。

Circle函数的[[FGH]][[增长率]]是<math>\varepsilon_0</math>，这意味着命题“<math>\mathrm{Circle}(k)</math>是否有限”不可能在[[皮亚诺公理体系]]中证明。

== 参考资料 ==
[[分类:记号]]