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Circle函数是Harvey Friedman提出的一个快速增长的函数

== 定义 ==
由平面上n个不相交的圆(可能外离或内含)组成了一个序列<math>\{C_1,C_2,\cdots,C_n\}</math>.把并集<math>C_a\cup C_{a+1}\cup\cdots C_{b-1}\cup C_b</math>记作<math>C_{[a,b]}</math>.给定一个正整数k，如果存在满足“<math>k\leq i<j\leq n/2</math>,且存在把<math>C_{[i,2i]}</math>变成<math>C_{[j,2j]}</math>的子集的同胚拓扑变换”的<math>(i,j)</math>对，那么称这样的n圆组为“k-好”的。我们定义如下的Circle序列：Circle(k)定义为所有不是“k-好”的n圆组中n的最大值。

=== 森林解释 ===
对于平面上任何圆的集合 ''S''，我们自然可以将其 ''S'' 解释为森林，每个圆对应于森林中的不同顶点。根顶点将对应于不包含在任何其他圆中的圆。如果顶点 ''v'' 对应于圆 ''C''，则 ''v'' 的子圆将对应于 ''C'' 中包含的 ''S'' 中的圆，中间没有中间圆。当且仅当对应的顶点<math>v_1</math>是<math>v_2</math>的后代时，圆<math>C_1</math>才会包含在圆<math>C_2</math>中。

对于任何一对圆的集合<math>S_1</math>和<math>S_2</math>使用相应的森林<math>F_1</math>和<math>F_2</math>，当且仅当存在<math>F_1</math>的嵌入时，<math>S_1</math>才会同胚到<math>S_2</math>到<math>F_2</math>.

因此，我们可以将 Circle（''k''） 的定义改写为最大的 ''n''，使得存在一个森林 ''F''，其中 ''n'' 个顶点标记为 1 到 ''n''，满足以下条件：<math>F_i</math>是F的子林，由标记为i到2i的顶点组成(如果我们删除了任何顶点及其后代之间的顶点，则后一个顶点连接到其第一个未删除的祖先)。那么对于任何<math>k\leq i<j\leq n/2</math>，不存在<math>F_i</math>到<math>F_j</math>的嵌入。

== 取值 ==
Friedman指出，Circle(k)一定是有限的，但我们对其具体取值仍了解不多。我们有<math>Circle(1)=1</math>以及<math>Circle(2)\geq 13</math>.

Circle函数的[[FGH]][[增长率]]是<math>\varepsilon_0</math>.
[[分类:记号]]