查看“︁反射序数”︁的源代码

反射是一个非递归记号。它表示非递归序数，其特点是并不会表示其极限之下的所有序数。它具有深厚的集合论背景

== 数学定义 ==
''前排提醒：对数学定义不感冒或者看不懂的读者可以跳到后面''

为了说明反射序数的性质，我们先要对[[一阶逻辑]]的结构进行更加细致的讨论。下面我们根据命题中无界量词的性质，给出公式的层次：

满足如下条件之一的集合论公式称为<math>\Delta_0</math>公式

# 它不包含无界量词
# 它形如<math>\varphi\land\psi,\varphi\lor\psi,\neg\varphi,\varphi\rightarrow\psi,\varphi\leftrightarrow\psi</math>,其中<math>\varphi,\psi</math>为<math>\Delta_0</math>公式
# 它形如<math>(\exists x\in y)\varphi</math>或<math>(\forall x\in y)\varphi</math>,其中<math>\varphi</math>为<math>\Delta_0</math>公式

<math>\Delta_0</math>公式中的所有量词都是有界的。对于那些包含无界量词的公式，我们给出如下的递归定义：

<math>\Sigma_n</math>公式及<math>\Pi_n</math>公式定义如下：

# <math>\Sigma_0</math>公式及<math>\Pi_0</math>公式为<math>\Delta_0</math>公式。
# 如果<math>\varphi</math>为<math>\Pi_n</math>公式，则<math>\exists x_1\cdots\exists x_m\varphi</math>为<math>\Sigma_{n+1}</math>公式。
# 如果<math>\varphi</math>为<math>\Sigma_n</math>公式，则<math>\forall x_1\cdots\forall x_m\varphi</math>为<math>\Pi_{n+1}</math>公式。

反射序数是具有某种特殊反射性质的序数。下面我们给出反射的定义：

L为[[可构造宇宙]]，<math>L_\alpha</math>在X上反射了公式<math>\varphi</math>,是说<math>L_\alpha\models\varphi\Rightarrow\exists\beta\in(X\cap\alpha)L_\beta\models\varphi</math>.

我们进一步给出如下定义：

若<math>L_\alpha</math>在X上反射了所有的<math>\Pi_n(\Sigma_n)</math>公式，则称α是X上的<math>\Pi_n(\Sigma_n)</math>序数。

特别的，若<math>L_\alpha</math>在所有序数上反射了所有的<math>\Pi_n(\Sigma_n)</math>公式，则称α是<math>\Pi_n(\Sigma_n)</math>序数。

关于反射序数有如下的重要结论：

α是X上的<math>\Pi_n</math>反射序数，等价于α是X上的<math>\Sigma_{n+1}</math>反射序数

也就是说，我们只需要研究集合上的<math>\Pi_n</math>反射序数即可。进一步的有

α是X上的<math>\Pi_0</math>反射序数，等价于α是X上的<math>\Pi_1</math>反射序数，等价于α是X上的极限点。

在一些资料中，会出现<math>\Pi_0</math>反射等价于全体序数的说法。这是错误的。事实上，如果我们想要写出全体序数，应该写出<math>Ord</math>。

我们还有结论：α是X上的<math>\Pi_2</math>反射序数，等价于α是X上的容许序数。

== 结构讲解 ==
待续