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超E记号（Hyper-E Notation，简称E#表示法）是Sbiis Saibian发明的大数记号。<ref>[https://sites.google.com/site/largenumbers/home/4-3/4-3-1-foray 4.3.1 - A 2nd Grader's Close Encounter with the Infinite - Large Numbers]</ref>

== 定义 ==
原始的超E记号由一个或多个正整数参数的序列<math>a_n</math>组成，这些参数由#分隔。我们将其标记为 <math>E[b]a_1\#a_2\#a_3\#\cdots\#a_n</math>.b称为底数。如果省略它，则默认为 10。E#的具体操作规则如下：

# <math>E[b]x=b^x</math>
# <math>E[b]a_1\#a_2\#a_3\#\cdots\#a_n\#1=E[b]a_1\#a_2\#a_3\#\cdots\#a_n</math>
# <math>E[b]a_1\#a_2\#a_3\#\cdots\#a_{n-2}\#a_{n-1}\#a_n=E[b]a_1\#a_2\#a_3\#\cdots\#a_{n-2}\#(E[b]a_1\#a_2\#a_3\#\cdots\#a_{n-2}\#a_{n-1}\#(a_n-1))</math>

通俗的说:

# 如果序列只有一个参数x，则返回<math>b^x</math>.
# 否则，如果序列末项为1，可以直接去掉，不影响结果。
#否则，删除原表达式的最后两个条目，随后在后面加入一个新条目x，其中x是原表达式中把末项减一得到的新表达式的值。

举例：

<math>E306\#6=EE306\#5=EEE306\#4=\cdots=EEEEEE306=EEEEE10^{306}=\cdots=10^{10^{10^{10^{10^{10^{306}}}}}}</math>

<math>E3\#1\#8\#4</math>

<math>=E3\#1\#(E3\#1\#8\#3)</math>

<math>=E3\#1\#(E3\#1\#(E3\#1\#8\#2))</math>

<math>=E3\#1\#(E3\#1\#(E3\#1\#(E3\#1\#8\#1)))</math>

<math>=E3\#1\#(E3\#1\#(E3\#1\#(E3\#1\#8)))</math>

<math>=E3\#1\#(E3\#1\#(E3\#1\#(E3\#(E3\#1\#7))))</math>

<math>=\cdots</math>

关于它的强度，我们有如下结论：

<math>a\uparrow^cb=E[a]\underbrace{1\#1\#\cdots1\#}_{c-1\text{个}1}b</math><ref>Fish, [https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Kyodaisuu/Comparison_of_up-arrow_notation_with_hyper-E_notation Comparison of up-arrow notation with hyper-E notation] 1 July 2021</ref>

Nathan Ho和Wojowu证明了超E记号规则的停机性。<ref>https://web.archive.org/web/20160513034718/http://snappizz.com/termination</ref>

== 扩展定义 ==

=== 扩展的超E记号 ===
'''扩展的超E记号'''允许在每个条目之间显示多个#。为了这个定义，<math>\#^n</math>是 ''n'' 个连续的#的简写。例如，完整表达式将写成<math>E[b]a_1\#^{n_1}a_2\#^{n_2}\cdots\#^{n_{i-1}}a_i</math>,其中<math>a_i,n_i</math>都是自然数。

以下为操作规则，其中&指序列的其余部分。

# <math>E[b]x=b^x</math>
# 末项是1的情况下，<math>E[b]\&\#^{n_{i-1}}a_i\#^{n_i}1=E[b]\&\#^{n_{i-1}}a_i</math>
# 如果<math>n_{i-1}>1</math>,<math>E[b]\&\#^{n_{i-2}}a_{i-1}\#^{n_{i-1}}a_i=E[b]\&\#^{n_{i-2}}a_{i-1}\#^{n_{i-1}-1}a_{i-1}\#^{n_{i-1}}a_i-1</math>
# 否则，<math>E[b]\&\#^{n_{i-2}}a_{i-1}\#a_i=E[b]\&\#^{n_{i-2}}(E[b]\&\#^{n_{i-2}}a_{i-1}\#(a_i-1))</math>

通俗的说，序列只有一个参数、末项是1、末项之前是单独的#的情况，和原超E记号是相同的。只有末项之前是多于1个#的情况下，<math>a_{i-1}\#^{n_{i-1}}a_i=\underbrace{a_{i-1}\#^{n_{i-1}-1}a_{i-1}\#^{n_{i-1}-1}a_{i-1}\#^{n_{i-1-1}}\cdots a_{i-1}}_{n\text{个}a_{i-1}}</math>.

举例：

<math>E5\#^22\#^33</math>

<math>=E5\#^22\#^22\#^22</math>

<math>=E5\#^22\#^22\#2</math>

<math>=E5\#^22\#^2(E5\#^22\#^22\#1)</math>

<math>=E5\#^22\#^2(E5\#^22\#^22)</math>

=……

它的极限[[FGH]][[增长率]]是<math>\omega^\omega</math>.

=== 级联E记号 ===
以上讨论暗示着我们可以引入一个超越一切<math>En\#^mn</math>的记号。实际我们选取的是如下记号：<math>Ea\#^\#n=Ea\#^nn</math>.这一做法实际上是收到了FGH中ω的启发。

一般的，我们允许级联E记号中出现形如<math>\#^{X_1}\times\#^{X_2}\times\cdots\#^{X_{n-1}}\times\#^{X_n}</math>的超分隔符，其中的<math>X_n</math>为正整数，或者为一个合法的超分隔符。可以类比[[康托范式]]。级联E记号的合法表达式为<math>E[a]a_1\&_1a_2\&_2\cdots a_n\&_n</math>,其中<math>a_i</math>是正整数，<math>\&_i</math>是合法的超分隔符。下面我们给出级联E记号的递归定义：

令<math>\&_k</math>为第k个超分隔符，以及<math>L(\&_k)</math>为第k个超分隔符最右端的<math>\#^n</math>,%为合法表达式。

# <math>E[a]b=a^b</math>
# 如果<math>L(\&_{n-1})\neq \#^n</math>,则<math>E[a]b\%X\#^{X\#^n}\%c=E[a]b\%X\#^{(X\#^{n-1})^b}\%b</math>
# <math>E\%a\#^n1=E\%a</math>
# 如果<math>L(\&_{n-1})= \#^n</math>且<math>\&_k \neq \#</math>,则<math>E\%aX\#^nb=E\%aX\#^{n-1}aX\#^n(b-1)</math>
# <math>E\%a\#b=E\%(E\%a\#(b-1))</math>

我们有如下的展开示例：

<math>E10\#^\#3=E\#\#\#3</math>

<math>E10\#^\#10\#^\#3=E10\#^\#10\#\#\#10</math>

<math>E10\#^{\#^\#}16=E10\#^{\#^{16}}10</math>

等等。级联E记号的极限<math>Ea\underbrace{\#^{\#^{\#^{\cdots}}}}_{n\text{个}\#}n</math>的FGH增长率是<math>\varepsilon_0</math>.

== 参考资料 ==
<references />
[[分类:记号]]