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Steinhaus-Moser Notation（斯坦豪斯-莫泽表示法），又称多边形记号，是由 Hugo Steinhaus 创造，并且据信由 Leo Moser 扩展的大数表示法。

=== 定义 ===
Steinhaus 在他的书 ''Mathematical Snapshots'' 中将符号定义为：<ref>Steinhaus, H. ''[http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/0486409147/ref=nosim/ericstreasuretro Mathematical Snapshots, 3rd ed.]'' New York: Dover, 1999.</ref>

* Triangle(n) = n<sup>n</sup>
* Square(n) = n在n个三角形里
* Circle(n) = n在n个正方形里
更形式化地，

* <math>\text{Triangle}(n)=n^n</math>
* <math>\text{Square}(n)=\text{Triangle}^n(n)</math>
* <math>\text{Circle}(n)=\text{Square}^n(n)</math>

在写出时，Triangle(n) 可写作n被一个三角形所包围，函数 Square(n) 和 Circle(n) 也是如此。

=== 相关扩展 ===

==== Leo Moser 的多边形扩展 ====
据信 Leo Moser 去除了圆（Circle）表示法，用五边形（pentagon）、六边形（hexagon）、七边形（heptagon）、八边形（octagon）等扩展了这种符号，其中 n 在一个 x 边形内等于 n 在 n 个 x-1 边形内，但是我们不知道 Moser 是否以及在何处进行了这种扩展。

更形式化地，<math>k\text{-gon}(n)=(k-1)\text{-gon}^n(n)</math>。

粗略地，<math>k\text{-gon}(n)=n\uparrow^{k-2}n</math>。

==== Hudelson 的记号 ====
Matt Hudelson定义了一个类似的版本<ref>http://www.sci.wsu.edu/math/faculty/hudelson/moser.html</ref>：

* n| = Line(n) = n<sup>n</sup>
* n< = Wedge(n) = n后面跟着n条线
* Triangle(n) = n后面跟着n个<
* Square(n) = n在n个三角形里
* etc.

更形式化地，

* <math>\text{Line}(n)=n^n</math>
* <math>\text{Wedge}(n)=\text{Line}^n(n)</math>
* <math>\text{Triangle}(n)=\text{Wedge}^n(n)</math>
以此类推。

这个版本只是为了看起来好看一些，看起来是增加了“一边形”（Line）和“二边形”（Wedge）。

粗略地，<math>k\text{-gon}(n)=n\uparrow^{k}n</math>。

=== Susan 的记号 ===
把“n 在 m 边形里”写作 n[m] 是 Susan 改进的写法。如 4[5] 是 4 在一个五边形里；6[3][3] 是 6 在两个三角形里。

=== Aarex的扩展 ===
Aarex定义超Moser记号如下,其中#是任意长的数列或空数列：

<math>M(n,m\#)=\underbrace{M(M(M(\cdots,m-1\#),m-1\#),m-1\#)}_{n\text{个}m}</math>

<math>M(n,1)=n^n</math>

<math>M(\#0)=M(\#)</math>

<math>M(n,0,0,\cdots,0,m)=M(\underbrace{n,n,\cdots,n}_{n+1\text{个}n},m-1)</math>

它的极限的FGH增长率为<math>\omega^\omega</math>.

=== 强度估计 ===
Leonardıs 等证明了<ref>Leonardıs, A., D'atrı, G. & Caldarola, F. (2022). Beyond Knuth's notation for unimaginable numbers within computational number theory. International Electronic Journal of Algebra, 31 (31), 55-73 . https://doi.org/10.24330/ieja.1058413. </ref>：

<math>n\uparrow\uparrow(n+1)\leqslant n[4]\leqslant n\uparrow n\uparrow (n+1)\uparrow\uparrow(n-1)\leqslant n\uparrow\uparrow (n+2)</math>

以及

<math>n\uparrow\uparrow\uparrow(n+1)\leqslant n[5]\leqslant n\uparrow\uparrow(n+1)\uparrow\uparrow\uparrow n<(n+1)\uparrow\uparrow\uparrow(n+1)</math>

Steinhaus-Moser 表示法可以看做一种 [[增长层级#快速增长层级|FGH]] 的改版，只是让 <math>f_0(x)=x^x</math>。<math>f_m(n)</math> 约等于 n 在 m+3 边形内。

n 在 n 边形内（即记号的对角化）的 FGH [[增长率]]是<math>\omega</math>。
[[分类:记号]]