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'''Bowers' Exploding Array Function(BEAF，鲍尔斯爆炸数阵函数)'''是由乔纳森·鲍尔斯(Jonathan Bowers)发明的一种表示大数的记号。

== 定义 ==
BEAF的定义包含以下几部分：'''数阵记号(Array Notation)'''，'''扩展数阵记号(Extended Array Notation)'''，以及尚未严格良定义的'''超指数数阵记号(Tetrational Array Notation)'''及其之后的部分。

=== 数阵记号 ===
一个数阵为如下形式，由若干个项组成：

<math>\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}</math>

我们定义以下概念：
# <math>a_1</math>为'''底数'''，记为<math>b</math>。
# <math>a_2</math>为'''指数'''，记为<math>p</math>。
# 指数右侧第一个非1的数称为'''驾驶员'''，驾驶员左侧的第一个项为'''副驾驶'''，左侧的其余项为'''乘客'''。

对于数阵<math>\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}</math>，其展开规则如下：

# 如果驾驶员不存在，数阵的值为<math>b^p</math>。
# 如果指数为1，数阵的值为<math>b</math>。
# 如果<math>a_n=1</math>，<math>n>2</math>，数阵的值为<math>\{a_1,a_2,\cdots,a_{n-1}\}</math>。
# 如果以上两条规则都不成立，按照下述规则展开：
## 复制一个这个数阵的副本，并将副本中指数的值减1。
## 将原本数阵的驾驶员减1，全体乘客替换为底数<math>b</math>。
## 将副驾驶换为之前得到的数阵副本。

例如，<math>\{4,8,1,3\}</math>的驾驶员为3，副驾驶为1，于是首先得到副本<math>\{4,7,1,3\}</math>，然后原数阵驾驶员减1，替换乘客得到<math>\{4,4,1,2\}</math>，最后得到最终展开为<math>\{4,4,\{4,7,1,3\},2\}</math>。

=== 扩展数阵记号 ===
一个扩展数阵为如下形式，由若干个项和若干个分隔符<math>(x_i)</math>组成：

<math>\{a_{01},a_{02},\cdots,a_{0m_0}(x_1)a_{11},\cdots,a_{1m_1}(x_2)\cdots(x_3)\cdots(x_n)a_{n1},a_{n2},\cdots,a_{nm_n}\}</math>

我们定义以下概念：
# <math>a_{01}</math>为'''底数'''，记为<math>b</math>。
# <math>a_{02}</math>为'''指数'''，记为<math>p</math>。
# 指数右侧第一个非1的数称为'''驾驶员'''。
# 驾驶员左侧如果不是分隔符，称其左侧的第一个项为'''副驾驶'''。

定义<math>\&</math>符号如下，它生成扩展数阵中的项和分隔符：

<math>1\&^na=a</math>，

<math>b\&a=a,(b-1)\&a</math>，

<math>b\&^{k+1}a=b\&^ka(k)(b-1)\&^{k+1}a</math>。

注：在大部分版本中，<math>\&</math>的指标写在左上侧。此处写在右上侧是为了避免与<math>b^k</math>混淆。

注：有的地方认为形如<math>b\&a</math>的表达式直接表达了一个(扩展)数阵<math>\{a,a,\cdots,a\}</math>，实际上这是错误的。

对于扩展数阵<math>\{a_{01},a_{02},\cdots,a_{0m_0}(x_1)a_{11},\cdots,a_{1m_1}(x_2)\cdots(x_3)\cdots(x_n)a_{n1},a_{n2},\cdots,a_{nm_n}\}</math>，其展开规则如下：

# 如果扩展数阵只有<math>a_{01},a_{02}</math>两项，扩展数阵的值为<math>b^p</math>。
# 如果指数为1，扩展数阵的值为<math>b</math>。
# 如果某个<math>a_{km_k}=1</math>，扩展数阵的值相当于删掉<math>a_{km_k}</math>后得到的扩展数阵的值。
# 如果某个<math>m_k=0</math>，而且<math>k=n</math>或<math>x_k<x_{k+1}</math>，那么扩展数阵的值相当于删掉<math>(x_k)</math>后得到的扩展数阵的值。
# 如果扩展数阵中没有分隔符，按数阵记号的规则展开。
# 如果以上规则均不适用：此时扩展数阵形如<math>\{a,b(x_1)(x_2)(x_3)\cdots(x_n)b_1,b_2,\cdots,b_t\#\}</math>，满足<math>x_1\geq{x_2}\geq\cdots\geq{x_n}</math>，<math>b_1=b_2=\cdots=b_{t-1}=1</math>。
## 如果<math>t=1</math>，其展开为<math>\{b\&^{x_1}a(x_1)b\&^{x_2}a(x_2)b\&^{x_3}a(x_3)\cdots{b}\&^{x_n}a(x_n)b_1-1\#\}</math>。
## 如果<math>t>1</math>，其展开为<math>\{b\&^{x_1}a(x_1)b\&^{x_2}a(x_2)b\&^{x_3}a(x_3)\cdots{b}\&^{x_n}a(x_n)a,a,\cdots,a,\{a,b-1(x_1)(x_2)(x_3)\cdots(x_n)b_1,b_2,\cdots,b_t\#\},b_t-1\#\}</math>。

类似于数阵记号，“乘客”的定义可以如下理解：

分隔符<math>(k)</math>给出了一个尺寸为<math>p^k</math>的“块”(类似于<math>\&</math>符号的结构)，“乘客”则是驾驶员左侧的所有这样的块(不完整的用1补齐)去掉副驾驶员。于是上述展开规则5.和6.可以写为：

# 复制一个这个扩展数阵的副本，并将副本中指数的值减1。
# 将原本扩展数阵的驾驶员减1，全体乘客替换为底数。
# 如果副驾驶存在，将副驾驶换为之前得到的扩展数阵副本。

据此，可以认为扩展数阵记号是数阵记号的扩展。

=== 超指数数阵记号 ===
在扩展数阵记号中，我们用分隔符<math>(k)</math>表示了一个尺寸为<math>p^k</math>的“块”，且其结构也类似于“长度”为<math>p</math>的<math>k</math>维区域。

于是，设想用<math>(0,1)</math>来表示尺寸为<math>p^p</math>的块，使得<math>\{a,b(0,1)2\}=\{a,b(b)2\}</math>。

进一步地，可以设想用<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>来表示尺寸为<math>p^{a_1+a_2p+\cdots+a_np^n}</math>的块，这一系列<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>又有类似于数阵的结构，于是引入<math>((1)1)</math>来表示尺寸为<math>p^{p^p}</math>的块，以此类推，最终可以得到<math>(\cdots(0,1)\cdots)</math>，括号的层数与<math>p</math>有关，来表示尺寸为<math>p\uparrow\uparrow{p}</math>级别的块。

然而，目前尚未有严谨的，描述高阶括号展开规则的定义。不过我们已经知道，它的理想强度达到了[[增长层级#快速增长层级|FGH]]<math>\varepsilon_0</math>的级别。