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'''超初等序列(Hyper Primitive Sequence System, HPrSS)'''，是一种[[Beklemishev's Worm|Worm]]型序数记号，它是[[初等序列系统|PrSS]]的一种扩展。

== 定义 ==

=== 合法表达式 ===
一个合法的 HPrSS 表达式是以 1 开头的正整数序列，即形如

<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)\quad(n,a_1,a_2,\cdots,a_n\in\N,a_1=1)</math>

的序列。

例如：<math>(1,4,6,4)</math>和<math>(1,1,4,5,1,4)</math>都是合法的 HPrSS 表达式，而<math>(1,2,\pi)</math>不是。

=== 结构 ===
HPrSS的合法式可分为'''零表达式'''、'''后继表达式'''和'''极限表达式'''。

* '''零表达式'''指<math>n=0</math>的表达式，即空序列；
* '''后继表达式'''指<math>n>0,a_n=1</math>的表达式，即末项为1的非空序列；
* '''极限表达式'''指<math>n>0,a_n>1</math>的表达式，末项不为1的非空序列。

对于 HPrSS 的一个极限表达式<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>，定义以下术语：

==== 父项 ====
对于<math>m\in\{1,2,\cdots,n\}</math>，记<math>p_m=\max\{1\le p_m<m\mid a_{p_m}<a_m\}</math>，若这样的<math>p_m</math>存在，则称<math>a_{p_m}</math>为<math>a_m</math>的'''父项'''。

如果这样的<math>p_m</math>不存在，我们也可以把<math>a_m</math>的父项定义为一个虚构的“第0项”，其值为<math>a_0=0</math>。

通俗的说，<math>a_m</math>的父项是在<math>a_m</math>左边、最靠右的、且小于<math>a_m</math>的项。

例如，在<math>(1,3,5,4,1,3)</math>中，4的父项是第一个3，而第二个1没有父项。

==== 祖先 ====
对于<math>m\in\{1,2,\cdots,n\}</math>，记<math>m_0=m</math>，<math>m_{i+1}=p_{m_i}</math>，<math>P_m=\{m_i\mid i\ge 0\}</math>我们将<math>a_m</math>的'''祖先'''定义为所有<math>a_p(p\in P_m)</math>。

通俗地说，某一项的祖先是它本身、它的父项、父项的父项、父项的父项的父项……中的某一项。

例如，<math>({\color{red}1},{\color{red}4},6,7,{\color{red}6},{\color{red}7})</math>中，末项7的祖先是所有红色的项。

==== 阶差 ====
对于<math>m\in\{1,2,\cdots,n\}</math>，若<math>a_m</math>的父项是<math>a_{p_m}</math>，则定义<math>a_m</math>的'''阶差'''为<math>d_m=a_m-a_{p_m}</math>;若没有父项，则定义<math>a_m</math>的阶差为<math>d_m=a_m</math>。

由父项的定义可知，阶差一定是正整数。

==== 阶差序列 ====
设<math>a_m</math>的阶差为<math>d_m</math>，我们把<math>(d_1,d_2,\cdots,d_n)</math>称为<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>的'''阶差序列'''。

==== 坏根 ====
给定极限表达式<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>，其末项的阶差为<math>d_n</math>。我们记序列的'''坏根'''为<math>a_r</math>，其中<math>r</math>定义如下：

* 若<math>d_n=1</math>，则<math>r=p_n</math>，即序列的坏根定义末项的父项；

* 若<math>d_n\ge 1</math>，则<math>r=\max\{k\in P_n|d_k<d_n\}</math>。通俗地说，序列的坏根为末项的祖先中，最靠右的，且阶差小于末项阶差的项。

==== 序列的阶差 ====
序列的'''阶差'''定义为<math>\delta=a_n-a_r-1</math>，这一点和 [[长初等序列|LPrSS]] 一致。

==== 坏部&好部 ====
坏部、好部的定义和 PrSS 一致：坏部<math>B=(a_r,a_{r+1},\cdots,a_{n-1})</math>，好部<math>G=(a_1,a_2,\cdots,a_{r-1})</math>。

== 展开 ==
对于一个合法的 HPrSS 表达式<math>S=(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>，其展开规则如下：

* 若<math>S</math>为零表达式，则<math>S</math>代表序数0；
* 若<math>S</math>为后继表达式，则其前驱是'''<math>S'=(a_1,a_2,\cdots,a_{n-1})</math>'''；
* 若<math>S</math>为极限表达式，根据前文定义确定坏根、阶差、好部、坏部；记<math>B_t=(a_r+t\delta,a_{r+1}+t\delta,\cdots,a_{n-1}+t\delta)</math>，它可以看成坏部的每一项加上阶差的t倍，则其基本列的第<math>m</math>项为<math>S[m]=(G,B,B_1,B_2,\cdots,B_m)</math>。或者说，<math>S</math>的展开式为<math>(G,B,B_1,B_2,\cdots)</math>。

=== 举例 ===
考虑 HPrSS 表达式<math>(1,4,6,6)</math>。

首先，找出末项6的所有祖先项，用红色表示：<math>({\color{red}1},{\color{red}4},6,{\color{red}6})</math>。

其次，计算出阶差序列，为<math>(1,3,2,2)</math>。

然后，我们从末项的祖先项中，找到最右边的阶差小于2的项。这里4的阶差为3，我们跳过它，故坏根是首项1。

根据末项和坏根，我们得到了好部<math>G=()</math>，坏部<math>B=(1,4,6)</math>，阶差<math>\delta=6-1-1=4</math>。

根据坏部和阶差，我们可以求出<math>B_1=(5,8,10)</math>，<math>B_2=(9,12,14)</math>，等等。

最后，我们得到了展开式<math>(1,4,6,6)=(1,4,6,5,8,10,9,12,14,\cdots)</math>。

可以将其和 [[长初等序列#举例|LPrSS 中相同表达式的展开]]进行对比。

== 枚举 ==

== 与 PSS Hydra 的对应 ==
[[分类:记号]]