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2025年中文大数社区十大事件

2026-03-02T10:37:32Z

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大数数学（[[Googology]]，ggg）是系统性地研究如何构造大自然数的数学分支。中文大数社区是一个致力于发展大数数学理论的中心化业余数学社区，它以一系列 QQ 群为核心，其成员为较为严肃的大数数学爱好者。广义的中文大数社区包含中文互联网上所有关心和讨论大数数学相关问题的人。

本词条总结了 2025 年中文大数社区影响力最大的 10 个事件（进展），按照时间顺序进行排列。以下内容来自<ref>[https://zhuanlan.zhihu.com/p/1988997637857358320 2025年中文大数社区十大事件]</ref>

== 1. blp 与 DEN 的定义 ==
[[Laver Table|laver table 函数]]的增长速度能不能超过 [[皮亚诺公理体系|PA]] 可证极限(<math>\varepsilon_0</math>)是 Dougherty 在 30 年前提的问题。这个问题是有不少关注的，虽然也没有特别多，但经常能在科普文中看到，有个数学物理学家还在他的博客里讲过这个文章。它被认为极度困难。30 年来毫无进展。30 年后，它被一篇完全是基于 ggg 思想的论文解决了。—— test_alpha0，2025.12.21
1992 年，Laver 提出了 Laver Table，并定义了与之相关联的 Laver Table 函数。这个函数的完全性需要在 <math>\mathrm{ZFC+I3}</math>之中才能够得到证明。人们期望这是一个增长十分迅速的大数函数，然而长期以来，研究者们始终不能够证明这一点。

为了解决这一问题，研究者们付出了许多努力。2023 年， test_alpha0定义了 [[LTY|Laver Table Yarn]]（LTY）作为 Laver Table 的扩展，其完全性需要在 <math>\mathrm{ZFC+I1}</math>之中才能够得到证明。

2025 年 1 月 3 日，test_alpha0在论文<ref>https://arxiv.org/pdf/2501.06733</ref>中证明 Laver Table 函数的增长速度超越了一切能够在皮亚诺公理系统中可证完全性的函数。所有公理体系的证明能力都有极限，皮亚诺公理只能证明<math>\varepsilon_0</math>以下的良序结构。因此用更为大数数学研究者熟悉的话说，这意味着 Laver Table 函数的增长率至少达到了<math>\varepsilon_0</math>。

为了证明这一点，作者在论文中定义了一个递归记号 [[BLP|Basic Laver Pattern]]（blp），以描述初等嵌入的关键点之间的结构。通过利用 blp 构造恰当的递归函数，作者成功证明了 Laver Table 函数的增长率至少达到了<math>\varepsilon_0</math>。作者进一步在论文中宣称，事实上可以证明 Laver Table 函数的增长率至少达到了[[BO]]。这篇论文进一步讨论了 LTY 的定义和性质。

[[文件:v2-7bdbac5d06cfe86ef0162ab98c727176 1440w.png|缩略图|“我们用美丽的颜色#66CCFF来表示复制操作中要复制的行”]]
即使作为递归记号本身，blp 的意义也是足够重大的。长期以来，对记号良序性的证明几乎是大数数学领域中最为困难的问题，而 blp 的良序性已经在上述论文中得到了证明。目前猜测，blp 的强度极大可能超过 [[BMS]] 的极限，与 [[Y序列|Y]](1,3,8) 的强度关系尚不明确。因此，blp 有极大可能取代 BMS，成为目前已证良序性的最强递归记号。（当然，这一说法排除了证明论中发展的一系列序数折叠函数，目前大数数学社区对这些函数的强度几乎一无所知。）

Laver Table 几乎是无法以人力进行分析的。blp 是 Laver Table 的一个弱下界，并且是一个可证良序的递归记号。然而 blp 的性质也过于复杂，最菜萌新仅仅将 blp 分析到了<math>\zeta_0</math>。 test_alpha0估计 blp 的表达式 <math>\mathrm{mcce2mmcce2mcmcc}</math>等于 BMS 极限，这是目前已知的最好结果。

为了更好地了解 blp 的性质，HypCos于 2025 年 12 月 21 日定义了 [[DEN|Defective Embeeding Notation]]（DEN），它的行为比 blp 要简单得多。DEN 的绝大部分定义都与 blp 相同，但在“M 操作”之中的“Copied 操作”中，复制的是从第 s(-1,-l-2) 行开始的所有内容。如果把 DEN 比作 BMS，那么 blp 就可以比作只有最后一列长度为 1 时展开 n 次，其他时候仅仅展开两次的 BMS。由于这样一种性质，目前人们估计 DEN 的强度与 blp 应该是相等的。然而经过这样修改之后，blp 的良序性证明对 DEN 就无效了。

HypCos和梅天狸对 DEN 的性质进行了详细的分析，目前已经分析到了 BMS 的极限，这同时也为 blp 的 BMS 极限表达式强度提供了佐证。然而在这之后，记号的性质变得更加困难，分析变得举步维艰。我们目前对 DEN 和 blp 的强度极限尚没有估计。

== 2. 梅天狸的两行 BHM 分析 ==
是的，这个结果几乎宣判 BHM=BMS 了。—— 梅天狸，2025.4.6
Bashicu Matrix System（BMS）是日本的大数数学研究者 Bashicu 于 2014 年提出，并于 2018 年完善的记号。为了展开 BMS，我们需要找到表达式的 “好部”和“坏部”，然后保持好部不动，坏部加上阶差向量后不断地在序列末尾复制。

[[BHM|Bashicu Hyper Matrix]]（BHM）是 BMS 的改版，它只是坏部的规则发生了变化。简单地说，BHM 坏部的范围总是大于或者等于 BMS 坏部的范围。可以设想在展开的过程中 BHM 将携带更多的信息，因此 BHM 的强度至少不低于 BMS。

我们将类似于 BHM 这种扩大坏部范围的模式称为“急模式”。一个自然的问题是，BHM 的强度相比于 BMS 是否真的有提高？如果有的话，那么究竟提高了多少？或者更进一步地说，对记号进行急模式的推广，是否在本质上真正增加了记号的强度？

要回答这一问题，必须建立起 BHM 与 BMS 表达式的一一对应关系。虽然 BHM 与 BMS 的结构相同，二者的展开规则也相差不多，但是它们的行为实际上具有很大的差别，这使得它们之间的分析变得极为困难。早年 HypCos 曾经对此进行过非常详细的分析，但是进展十分有限。长期以来这一直被视为大数数学之中的一个非常困难的问题。

经过长达 13 个月的分析，在 2025 年 4 月 6 日，梅天狸宣布得到了如下的结果：

<math>\begin{aligned} & \mathrm{BHM}(0,0,0)(1,1,1) \\ =~&\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(3,1,1) \end{aligned}</math>

毫无疑问，这一结果是大数数学分析领域的一座丰碑，它解决了人们此前认为几乎是不可能解决的问题。根据这一结果，一行 BHM 的极限在一行 BMS 的极限和两行 BMS 的极限之间，两行 BHM 的极限在两行 BMS 的极限和三行 BMS 的极限之间。如果这一规律能够一直得到保持，那么 n 行 BHM 的极限将处在 n 行 BMS 的极限和 n+1 行 BMS 的极限之间。取 n 趋于无穷大的极限，那么我们将发现 BHM 的极限将与 BMS 的极限是相同的。也就是说，虽然 BHM 的表达式强于 BMS，但是二者的强度是一样的。BMS 最终追平了 BHM。

空间对另一个急模式的记号 [[BSM|Bashicu Sudden Matrix]]（BSM）的分析也发现了意料之外的弱化，这暗示 BSM 的强度也有可能远远不及预期。鉴于以上的结果，我们现在认为急模式并没有从本质上提升记号的强度。

== 3. 第四级运算的解析延拓 ==
我怀疑这套方法可以直接推广到任意阶超运算。—— 曹知秋，2025.7.11

现在看来……至少是很难直接推广。—— 曹知秋，2025.9.21
大数数学称加法为一级运算，乘法为二级运算，乘方为三级运算。由于将前一级运算迭代若干次后可以得到下一级运算，因此将乘方迭代若干次后，我们进一步可以得到第四级运算。我们用运算符<math>\uparrow\uparrow</math>来表示第四级运算，它实际上就是指数塔

<math>a\uparrow\uparrow b=\underbrace{a^{a^{\ldots^{a}}}}_{b\text{个}a}</math>

其中左边的元素 a 代表指数塔的底数，右边的元素 b 代表指数塔的层数。需要注意的是第四级运算要从最上层开始，逐层计算指数的取值。

通常来说，第四级运算的的底数和层数都定义在正整数之上，然而我们有时候希望能够将其推广为任意的实数，这正如我们经常希望使用实数变量的加法、乘法和乘方运算一样。要将底数 a 推广为实数是容易的，因为实数的指数函数是有明确定义的。现在的问题在于，我们是否能将第四级运算的的层数 b 也推广为一般的实数？
[[文件:v2-0fac7192f084c9d058a61ad35b83c054 1440w.png|缩略图|397x397像素|第四级运算在复平面上的等值曲线。]]
事实上，这个问题在复数域上讨论起来更容易，因为复变函数拥有更良好的解析性质。因此我们希望能够将层数 b 延拓到整个复平面上，即找到一个以 b 为变量的复变函数，它除去奇点之外在整个复平面上是解析的，并且在 b 取正整数时能够回到通常的第四级运算。这被称为第四级运算的解析延拓（或者更严格地称为定义域的扩张）。

第四级运算的解析延拓是一个困难的问题，因为函数增长的速度太过迅速。这一问题有一个业余数学社区关注，不过真正重要的进展都是由专业的数学家得到的。早在上世纪五十年代，这类问题便已经引起了数学家的关注。因为第四级运算可以视为函数<math>f(x)=a^x</math>迭代若干次的结果，而迭代非整数次的问题由一个名为“超函数”的数学分支描述。2009 年，Kouznetzov 在文献中讨论了第四级运算在复平面上的解析性质。而后在 2017 年，Paulsen 等人在文献中首次给出了第四级运算的级数解，2019 年 Paulsen 在文献中讨论了第四级运算延拓的唯一性。2022 年，Nixon 在文献中给出了第四级运算解析延拓的渐进解。

2025 年 5 月 8 日，Vey 宣布完全解决了第四级运算解析延拓的问题。他在论文中考虑了 Schröder 泛函方程，将待求的函数在其奇点处展开为级数，然后通过级数反演求出了第四级运算解析延拓的显式表达式。至此，大数数学中一个二十余年悬而未决的问题终于得到了解答，我们终于得到了一个性质良好的定义在复平面上的四级运算。

我们目前尚不知道如何将更高级的运算进行解析延拓。

== 4. 至 BTBO（BIO）的形式化递归序数 ==
为了引起关注, 我们将其命名为布劳威尔树壁垒序数(Brouwer Tree Barrier Ordinal)。—— ocau ，2025.6.18
长期以来，大数数学一直建立在不严格的基础之上，大量[[序数记号]]的良序性无法得到证明。 ocau 利用 Agda 语言进行了递归序数的形式化，从而保证了序数系统的可靠性。

ocau 的形式化工作分为了几个不同的阶段。最早期的工作于 2022 年 11 月完成，它达到了二元 [[Veblen 函数]]的极限<math>\Gamma_0</math>。2024 年 7 月，ocau 完成了超限元 Veblen 函数的形式化，其极限达到了LVO。

为了进一步得到更强的序数，需要对[[序数坍缩函数|序数折叠函数]]进行形式化。2024 年 8 月，ocau 进行了形式化良构树序数的尝试，但是并没有完成。实际上，早在 2019 年，就有形式化序数折叠函数的尝试。AndrasCovacs 利用树序数成功地将序数折叠函数形式化，其极限为<math>\psi(\Omega_\omega)</math> 。但是，进一步的形式化工作遇到了困难。

2025 年 6 月 18 日，形式化可数序数的工作取得了新的进展。ocau 定义了任意可数层布劳威尔树序数的结构，利用它来表示序数折叠函数中的非递归序数。通过恰当地定义布劳威尔树序数的折叠过程，ocau 完成了序数折叠函数的形式化，其极限为<math>\psi(\Omega_\Omega)</math> 。ocau 将其命名为布劳威尔树壁垒序数(Brouwer Tree Barrier Ordinal, BTBO)，即利用布劳威尔树的形式化方法所能够达到的极限。

形式化递归序数的推进无疑是一项重要的进展，它为序数记号的良序性提供了坚实的基础。然而，目前形式化工作的进展仍然十分有限。目前的形式化极限为<math>\psi(\Omega_\Omega)</math> ，而此处的序数已经被人们认为是相当可靠的。因此，对于大数数学领域来说，这一形式化的结果的意义更多是在理论上的，它并没有解决真正不够可靠的大递归序数的形式化问题。而另一方面，作为一个形式系统，Agda 本身的强度也是有限的，这或许为形式化序数的进展设置了一个理论上的上限。

== 5. BB(5) 的证明与 BB(6) 下界更新 ==
因此，秉承着对 Busy Beaver 值长期以来抱有的希望，我们预计BB(6) 将永远不会被证明。——BBChallenge 合作组，2025.9.15
1936 年，图灵提出了一个称为图灵机的计算模型。图灵机可以在一条无限长的纸带上运动。在每个时刻，读写头都要从当前纸带上读入一个方格信息，然后结合自己的内部状态查找程序表，根据程序输出信息到纸带方格上，并转换自己的内部状态，然后进行移动。图灵机虽然结构简单，但是它却深刻地揭示了计算的本质。现代计算机在计算能力上与图灵机是等价的。
[[文件:v2-9d16302f36a26572d963c1c4c652eebc 1440w.png|缩略图|图灵机的结构]]
1962 年，Rado 提出了 [[忙碌海狸函数|Busy Beaver 函数]] BB(n) ，它定义为能够停机的 n 状态图灵机在停机前所能够运行的最大步数。由于图灵机能够计算所有的递归函数，因此BB(n) 相当于对所有递归函数进行对角化。它的增长速度必然超越了所有的递归函数，达到了非递归函数的层次。

求出BB(n) 的取值是极为困难的，因为我们需要找到所有能够停机的 n 状态图灵机，并取其运行步数的最大值。而一个图灵机是否停机是不可判定的，即不存在一个通用的算法能判断所有图灵机的停机性。我们实际上并不知道一个很久没有停机的图灵机究竟是无法停机，还是最终能够停机，只不过运行的时间还不够长。由于这些困难，求解 BB(n) 的进展十分缓慢。

1963 年，Lin 等人在文献中得到了BB(n)的第二和第三个取值

<math>\mathrm{BB(2)}= 6,\quad \mathrm{BB(3)}= 21</math>

1983 年，Brady 在文献中得到了BB(n)的第四个取值

<math>\mathrm{BB(4)}= 107</math>
[[文件:v2-20f50bf7a453ada487974dcc486401cf 1440w.png|缩略图|BB(5)判定器的工作流程。]]
然而， BB(5)是一个极为困难的问题。Marxen 在 1990 年找到了一个 5 状态图灵机，它要运行 47176870 步才能停机。也就是说，这是一个BB(5)的下界

但是在接下来的三十多年中，人们并没有找到停机时间更长的图灵机，也无法证明 47176870 就是BB(5)的精确值。对这个问题的研究近乎陷入了停滞的状态。
[[文件:v2-f24e0fa83b934ca943e4f057fd25c1e3 1440w.png|缩略图|十三个零散机的行为。]]
2022 年，一个致力于解决BB(n)问题的业余数学社区 BBChallenge 正式成立。他们设计了一系列判定器，来判定 5 状态图灵机的停机性。在经过七种精心设计的判定器筛选之后，最终只剩下 13 个图灵机没有解决。通过手动为这些图灵机单独编写证明，他们成功地解决了所有 5 状态图灵机的停机性的判定性问题，并最终证明了三十多年前的得到下界就是BB(5)的精确值：

在利用 Coq 形式化证明过程后，他们在 2024 年 7 月 2 日宣布已经解决了BB(5)的取值问题。2025 年 9 月 15 日，他们发布了证明BB(5)取值的论文。至此一个停滞了四十余年的问题在业余数学社区的推动下，终于得到了彻底的解决。

接下来一个自然的问题是，BB(6)的取值是多少。2025 年 6 月 25 日，mxdys 进一步发现了一个停机步数超过 <math>2 \uparrow\uparrow\uparrow 5</math> 的图灵机，从而将BB(6)的下界提升为

<math>\mathrm{BB(6)}> 2 \uparrow\uparrow\uparrow 5</math>

这是目前已知的最好结果。

目前BB(6)的取值问题的解决还遥遥无期。

== 6. 聚集地群成为第一大 ggg 群 ==
<blockquote>ggg 五群方案：

1. 核心大群（大群）

2. 协商会议、文件存储、记号分析、分散线程（会议群）

3. 新人教学、闲聊（聚集地）

4. 刷屏、发癫（表情包）

5. 对外交流、保留最后联系方式、玩 bot、其它（联合群）

——夏夜星空，2024 年 8 月 10 日</blockquote>由 test_alpha0 于 2021.7.3 建立的 QQ 群“googology/数学爱好者讨论群”（讨论群/大群）是中文大数数学社区首个建立的、有较大影响力的 QQ 群，它的建立标志着大数数学社区从百度贴吧时代正式步入了 QQ 群时代。该群的建立使得大数数学研究者的交流和联系变得更加密切，使得大数数学前沿知识得到了极大的普及。讨论群在大数数学社区的发展史之中具有不可磨灭的意义，长期以来一直被人们视为大数数学讨论的中心。

在 2024 年间，大数数学作为一种独特的亚文化开始在中文互联网上流行。特别是知乎上的“挑战葛立恒数”等话题开始让大数数学越来越为中文互联网用户所知，“写出一个很大的数（或是很强的无穷）”成为了一种越来越流行的时尚单品。在这种情况下，中文大数社区的轻度用户数量开始急剧增加，群聊中的讨论也变得越来越混乱。

在这一背景下，许多人认为大数社区的环境正在迅速恶化，话题变得越来越鱼龙混杂。特别是梅天狸因不满讨论群的氛围而退出群聊，并于 2024 年 4 月 14 日建立个人粉丝群“狸と扽西の催更群”（狸群）。这一事件促使群管理开始着手进行群聊讨论的分流，意图将严肃的大数数学讨论留在讨论群，而将新人教学、轻度讨论、日常交流等内容分流到其他群聊之中。由夏夜星空于 2023 年 1 月 8 日建立的 QQ 群“大数数学爱好者聚集地”（聚集地群）承担了这一责任。2024 年 4 月 19 日，QQ 群“大数数学爱好者自由讨论群”（自由群）建立，由 qwerty 担任群主，意图进一步分流灌水内容。

2024 年 8 月，大数数学社区发生了多起恶性事件。特别是一位网名为“孙笑川258”的用户使用多个账号炸群('''''此人并非孙笑川，只是用这样的账号的一个乐子人''''')，并威胁开盒大数社区的成员，严重扰乱了大数社区的秩序。群管理坚决捍卫社区利益，采取果断措施，粉碎了“孙笑川”的图谋。2024 年 8 月 8 日，test_alpha0建立了 QQ 群“googology 群人事管理”，将各群的管理进一步集中化。大数社区决议任免讨论群的多位管理，并加强群消息的进一步分流，提高讨论群的入群门槛和审核强度。这使得讨论群的活跃度迅速下降，日常的讨论几乎完全转移到了聚集地群，从此之后聚集地群的规模和消息数量开始暴增。

2025 年 4 月 5 日，聚集地群的人数成功追平讨论群。2025 年 7 月 4 日，聚集地群由 500 人群扩充为 2000 人群，并在两天之后增设了五位新管理员。2025 年 7 月 8 日，聚集地群的人数正式突破 500 人。2025 年 12 月 31 日，聚集地群的人数达到了 700 人，几乎包含了中文大数社区的所有活跃研究者。时至今日，不论是从总人数、活跃人数，还是新增消息数来看，聚集地群都已经成为了当之无愧的 ggg 第一大群（除表情包群）。

== 7. 最菜萌新的 BMS 全分析 ==
对于(0,0,0)(1,1,1)(2,2,0)以下的分析，我们几乎可以说这是完全正确的。对于(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)以下的分析，我们有很大的把握认为这是正确的。对于(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)以上的分析，我们几乎不知道这是否正确。——Racheline ，BM4 的分析
尽管 BMS 的定义早就已经为人们所知，但长期以来，人们并不了解其强度。这只有将 BMS 和其他记号进行对比分析才能解决。对于 BMS 来说，一个合适的参照是序数折叠函数ψ，将非递归序数放入其中就可以得到递归序数。如果我们引入的非递归序数越强，那么输出的递归序数也就越强。恰当地在序数折叠函数之中引入了ω个非递归序数<math>\Omega_\omega</math>之后，我们可以得到如下结果

<math>(0,0,0)(1,1,1)=\psi(\Omega_\omega)=\mathrm{BO}</math>

要想继续分析 BMS，我们就不得不去寻找更加强大的[[序数#非递归序数|非递归序数]]。[[反射序数]]是一类重要的非递归序数。在引入了反射序数<math>\Pi_\omega</math>之后，我们可以得到如下的结果

<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,2,0)=\psi\left(\Pi_\omega\right)=\mathrm{SSO}</math>

[[稳定序数]]刻画了比反射序数更强的非递归序数。对于<math>\Sigma_1</math>稳定来说，若考虑一条长度为ω的稳定链，则有

<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)=\psi\left(\omega-\pi-\Pi_0\right)=\mathrm{LRO}</math>

以上的这些结果大概在 2020 年就已经得到了。

2021 年，test_alpha0定义了[[投影序数]]。1-投影序数就是<math>\Pi_2</math> 反射序数，而 2-投影序数α则是一个非常强大的非递归序数，当然还可以定义更强大的 3-投影序数，直到ω-投影序数，它的极限为

<math>(0,0,0,0)(1,1,1,1)=\psi\left(\omega-\mathrm{P}\right)=\mathrm{TSSO}</math>

2024 年，最菜萌新开始研究高阶投影的可能性。对于[[向上投影]]来说，定义投影升阶运算σ ，将它作用在投影序数上之后，可以得到比它更高的投影序数。令 S 是最小的 (1,0) -投影，则<math>\psi_S</math>可以投影比它更高的序数<math>\sigma^n S</math> ，这是一种强大的投影层次。在这之后的接近一年的时间里，他不断地完善向上投影的规则并将其递归化，利用它来分析 BMS 的强度。

2025 年 7 月 16 日，最菜萌新宣布了如下的结果：

<math>(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,3,3,1)(4,0,0,0)=\psi\left(\psi_S\left(\sigma^\omega S\right)\right)</math>

引入更复杂的投影结构，可以得到四行 BMS 的极限<math>(0,0,0,0,0)(1,1,1,1,1)=\psi\left(\psi_A([1,1] A \cdot \omega)\right)</math>，乃至 BMS 的极限<math>\text{limit of BMS}=\psi\left(\varepsilon_{H+1}\right)=\mathrm{SHO}</math>。

至此最菜萌新完成了 BMS 的全分析。

该项工作一共包含 7777 条对照分析的结果，是大数数学史上最为庞大的分析工作之一。由于最菜萌新提出了一套完整的理念、一套行之有效的规则，以及详尽的分析结果，向上投影已经打败了其他的投影记号，成为了 (0,0,0)(1,1,1)(2,2,2) 之后的标准记号，甚至投影系记号已经逐渐有取代更加传统的稳定系记号的趋势了。

BMS 并未抵达向上投影的极限，接下来需要利用[[Y序列]]对其进行分析。然而向上投影与Y序列之间的分析举步维艰，目前尚不清楚向上投影的极限究竟是多少。除此之外，向上投影也为[[非递归BMS]]的分析提供了参考。若将 BMS 第一列的全部零删去，则可以设想让 BMS 输出非递归记号。这一非递归记号的强度用向上投影来分析是合适的。

需要说明的是，投影序数并非集合论意义上的严格的非递归序数。而将投影序数放入ψ之中得到的递归化函数，本质上仍然是一个递归记号。事实上即使是对于反射序数和稳定序数来说，我们也只是使用了一种“长得像序数折叠函数”的递归记号，它们模仿了真正使用集合论方法来定义的序数折叠函数的行为。

而另一方面，真正严格意义上的序数折叠函数以及相应的非递归分析已经得到了长足的发展，这一部分应当归功于序数分析领域的专业数学家。目前序数分析的巅峰之作是数学家 Arai 对二阶算术的序数分析，这是序数分析领域中发展的最强序数折叠函数。然而我们并不知道它和大数数学之中发展的序数记号之间的强度关系是什么样的，目前我们只能就此做出一些猜测。

我们已经知道的是，文章利用<math>\Sigma_n</math>稳定序数的存在性证明了 BMS 的良序性，而二阶算术与 <math>\mathrm{KP} +</math>存在<math>\Sigma_1</math>稳定序数+存在<math>\Sigma_2</math>稳定序数+……这一公理体系的强度是相同的。如果我们真的可以认为 BMS 与二阶算术的强度相同，那么我们就可以说 Arai 的序数折叠函数极限等于 BMS 的极限，它们都是二阶算术的证明论序数。然而严格的序数分析是极其困难的工作，也许我们永远也不会知道我们的记号何时能够达到各种公理体系的极限了。

== 8. HypCos 定义 ω^ωMN ==
时至今日，还未有人分析 Tω^ωMN。它太难分析了吗？它太难理解吗？没有什么合适的其它记号用来分析吗？—— HypCos ，2025.8.17
BMS 是跨时代的记号，它将递归记号构造的范式从数阵型记号转变为了 Worm 型记号，其强度远远超越了当时的所有记号。2020 年 9 月，日本的大数研究者 Yukito 对 Worm 型记号进行扩展，定义了 Y序列，它的强大再一次震撼了研究者。后来 Yukito 又定义了更加强大的[[ω-Y|ω-Y序列]]，这是目前已经得到公认的、成熟的大数数学社区最强记号。

如果要得到更强的记号，下一步该如何做？我们可以试图将 ω-Y 序列推广到更高的<math>\alpha-\mathrm Y</math> 序列，乃至<math>\Omega-\mathrm Y</math>序列。考虑到 BMS 有ω行，1-Y 序列的山脉图有 <math>\omega^2</math> 行，ω-Y 序列的山脉图有 <math>\omega^\omega</math>行，那么似乎将山脉图的行数推广到更高就可以得到更强的记号。不过令人遗憾的是，平凡的推广几乎是没有任何意义的。BMS 也可以直接推广到Ω行，但是它的强度仍然难以超越Y(1,3,4,3) 。事实上，目前已知的所有定义<math>\Omega-\mathrm Y</math>序列的尝试不是非良序，就是强度达不到预期。在ω-Y 序列之上，人们似乎再难以前进半步。

HypCos对 Worm 记号体系进行了深入的研究。鉴于序列型记号形式上的困难已经严重阻碍了进一步的推广，HypCos采用了新的多维数阵体系，将山脉图的结构直接编码进表达式中，称为[[Mountain Notation|山脉记号]]（Mountain Notation，MN）。他在 2024 年 9 月 11 日提出了ωMN的定义，这一记号与 ω-Y序列是等价的。接下来他在 2024 年 9 月 15 日又进一步提出了<math>\omega\cdot 2\mathrm{MN}</math>的定义。最终在 2025 年 7 月 19 日，他进一步地提出了 <math>\omega^\omega\mathrm{MN}</math>的定义，这是目前已知的有明确定义的最强递归记号之一。

如果不能真正理解 Worm 型记号为何如此之强，那么想凭运气再创造出来一种本质上强于它的记号也几乎是不可能的。2024 年 2 月 23 日，几位研究者以极富洞察力的直觉提出了“[[传递]]”的概念，从而解决了 Worm 型记号强度的来源问题。简单地说，序数记号的传递现象意味着一个序数记号表达式在展开时，不仅仅是判定展开所用到的元素参与了展开过程，还有别的元素也参与了展开过程，从而将序数结构的一部分“传递”到了展开后的表达式之中。
[[文件:v2-0eab85904cbae6d283df767e2879a755 1440w.png|缩略图|Y(1,3,7)展开为Y(1,3,6,12,24,48,96,192,...)，从图中可以看出，对角线上的元素由1,2,2展开为1,2,1,2,1,2,...，因此这是一个真正的ω行传递。]]
具有传递现象的记号通常拥有更高的强度，并且传递的层次越高，记号的强度就越高。对于 BMS 来说，若删去第 n 列及以下的部分能够该改变坏根的位置，则称该表达式拥有 n 行传递。BMS 拥有任意有限的 n 行传递，因此它的强度超越了绝大多数其他类型的序数记号。而Y序列拥有真正意义上的ω行传递，因此它远远超越了 BMS 平凡扩展的极限。

MN系列记号利用独特的拉伸操作，实现了比ω-Y 序列更加强大的结构，增进了人们对于ω-Y 序列之上的递归序数结构的理解。然而我们能说<math>\omega^\omega\mathrm{MN}</math>就是预想中的<math>\omega^\omega-\mathrm Y</math>序列吗？它具有真正的更高层次的传递吗？或者说，山脉记号能够成为Y序列的某种“上位替代”吗？这一点恐怕很难说。因为没有人知道一个理想的传递究竟应该是什么样子的，人们最多只能知道某个记号并不符合心目中的“理想”情况。不过从目前的情况来看，MN系列记号确实已经成为了ω-Y 序列之后的一种新的参照标准，正在被越来越多的人所接受。

以传递现象的提出作为标志性事件，一部分研究者建立了更加深入的“构造理论”，期望能够触及更加强大的记号体系的一角。对构造理论的研究几乎是整个 2024 年的研究核心，人们提出了太多的理论和体系，又将它们一个个推翻。目前关于构造理论的研究少有成体系的结果，也并没有真正建立起成熟完备的新记号体系。而且目前对于构造理论的研究过于艰涩，除了寥寥几位研究者之外，其他人几乎不知道他们在做什么。我们并不知道目前在构造理论上的尝试是否是正确的。

== 9. Phyrion 的新 Googology Wiki ==
wiki.googology.top：首个以 googology 为二级域名建立的网站！——Phyrion，2025.6.25
在 21 世纪的前几年中，大数数学还仅仅是一个只为极少数人所知的小众数学问题。那时仅有少数几位欧美国家的爱好者关注这一问题，并且将自己的研究成果发布在个人网站上。直到 2008 年 12 月 5 日，fandom 上的 Googology Wiki 网站正式上线，才结束了这一局面。在这之后的十余年时间里，Googology Wiki 当之无愧地成为了全球大数数学研究者的中心，为大数数学的发展提供了一个宝贵的平台。

长期以来，Googology Wiki 包含着大数数学社区最完整的知识以及最前沿的进展，但是随着时间的推移，Googology Wiki 也已经逐渐衰落了。起先是 Wiki 中的部分成员不满管理员的专权，因此另立门户。欧美大数社区的讨论中心也逐渐转移到了 Discord 频道上，不再活跃于 Wiki。而中文社区和日文社区近乎独立地发展，极少与欧美社区进行交流。因此在 2020 年之后，Fandom 的 Googology Wiki 迅速的落后于了整个时代。

为了建立一个能够完整准确地反映现代大数数学研究进展的在线知识库，Phyrion 启动了新 Wiki 计划。该计划从 2025 年 6 月启动，由 Phyrion 维护网站，并由十余位活跃研究者共同编写。2025 年 8 月 15 日，新 Wiki 的网址 wiki.googology.top 正式公开，并立刻引起了大数社区的广泛关注。

新 Wiki 全面抛弃了旧 Wiki 以大数为中心的思想，而转向了更加现代化的以序数为中心的思想。新 Wiki 系统性地整理了大数数学的最新研究成果，许多成果都是首次发布在公共的平台之上。新 Wiki 在内容选择、材料组织等方面遵循了深入浅出、详略得当的原则，既能够完整准确地反映大数数学的核心内容和最新进展，又不显得过于繁冗。新 Wiki 已经成为了大数社区最重要的在线知识库之一。

新 Wiki 的命运是坎坷的。在 2025 年 9 月 30 日，新 Wiki 站点由于欠费停站，直到 2025 年 10 月 11 日才重新恢复。而后它在 2025 年 10 月 31 日再次由于欠费而停站，直到2026年2月20日。这引发了人们对于新 Wiki 站点不稳定的担忧。

== 10. PPS 被发现无穷降链 ==
<blockquote>@全体成员 PPS 无穷降链

沉痛悼念，永垂不朽

——z，2025.12.10</blockquote>[[PPS|Parented Predecessor Sequence]]（PPS）是3183 丶 4139于 2024 年 9 月 9 日创造的记号。PPS 的定义非常简单，相比于标记父项列标 PrSS，它只增加了一条规则：如果坏部里没有其他等于坏根的项，那么复制时，复制出来的部分的首项改成原末项-1。

然而，正是这样简单的规则导致了极其诡异的行为。整个七月份，大数数学的研究者绞尽脑汁对 PPS 的强度进行分析，然而整个记号的规律似乎完全是无法理解的。即使进行了大量的尝试，耗尽了全部的精力，研究者们也未能将 PPS 分析至<math>\zeta_0</math>。这对于该强度的记号来说似乎是完全无法理喻的。在遭受了重大的挫折之后，大数数学的研究者不得不将精力转移到其他的问题上。

一切都结束于 2025 年 12 月 10 日，在这一天 ddfg 通过对 PPS 的详尽分析，发现了一个展开式，它可以无穷无尽地展开下去，越来越复杂，永远也不会停下来。这种越来越复杂的表达式构成了一条不断递降的链条，称为无穷降链。由于序数的每个子集必有最小元，不会出现无穷递降的情况，因此 PPS 的展开不构成其标准表达式上的一个良序关系。也就是说，PPS 根本就不是一个序数记号。

PPS 的无穷降链无疑是对于其研究者的一个沉痛打击。尽管在这之后还有一系列修复 PPS 的尝试，但人们对这一记号已经失去了信心。不过人们更好奇的是，为什么时隔如此之久，大数社区才找到了 PPS 的无穷降链。这不禁让人们想起 2024 年 7 月 7 日的盛况，在短短的几个小时内，三个前沿记号都被发现无穷降链或不良定义，大数数学社区的进展几乎一夜之间倒退到了 2021 年的ω-Y序列。

无穷降链是悬在所有序数记号头上的达摩克里斯之剑，几乎所有记号都要受到无穷降链的威胁。人们或许希望能够直接利用数学方法证明记号的良序性，从而一劳永逸地解决这一问题。然而我们现在几乎完全不知道如何证明记号的良序性，目前仅有寥寥几个记号的良序性问题得到了解决。并且事实上任何公理体系可证良序的范围都是有限的，一旦记号的强度超出了这一范围，那么我们就必须诉诸更加强大的公理体系。而与此同时，过于强大的公理体系本身的一致性都是值得怀疑的。因此可以说，记号良序性证明的困难是本质的。

但是，如果我们不能够为记号的良序性给出证明，那么我们要如何相信它们的可靠性呢？如果我们连严格性都舍弃掉，那么整个数学体系之中还有什么是可以信赖的呢？多年以来大数数学研究者建立起的庞大的理论体系，究竟有多少是虚无的空中楼阁，随时会被推翻？我们不知道这些问题的答案。或许真正具有洞察力的数学研究者能够推动这一问题的解决，而在这之前，我们只能祈祷之前建立起的大多数地基都是扎实的。

== 展望：未来时代的大数数学 ==
自 2021 年以来，中文大数社区得到了长足的发展，逐渐赶上并超越了欧美社区和日本社区的水平。特别是在 2024 年，大数社区内部洋溢着积极乐观的情绪。在传递以及其他思想的指引下，构造理论得到了充分的发展。FOS、fffz、MMS、MN 等新记号的提出和优化层出不穷。 @曹知秋的《大数理论》系统性地整理了大数数学的理论体系，结束了资料过于零散的时代。随着相关亚文化的传播，大数数学在中文互联网上的知名度越来越高，这为中文大数社区提供了大量的新鲜血液。

然而进入 2025 年之后，大数数学的研究开始进入了低谷。人们开始审视之前过于激进的理论体系，并排除了大量不可靠的结果和空中楼阁一般的概念。尽管大数数学知名度仍然在不断增加，进入大数社区的新人越来越多，但是这些人通常不会去真正了解大数数学的知识，并且圈层的扩大也势必会对原有的大数社区生态造成破坏。近年来大数社区与其他社区的交往正在变得更加紧密，这种联系总体上是有益的，但实际上并未真正对各自关心的问题有实质性的启发。大数数学横向上的宽度正在不断扩展，但是纵向上的深度则并未有明显的增加。大数数学各社区之间的国际交往仍然非常有限，欧美社区和日本社区的研究也明显地进入了衰退期。大数数学的业余研究者和专业数学家之间几乎没有交流，专业数学家不关心（或者根本不知道）大数数学社区的结果，我们也几乎无法理解专业数学家的相关工作。

2025 年生成式人工智能的发展非常迅猛，已经在方方面面深刻地改变了人们的生活。然而，目前来看关于大数数学的资料仍然十分缺乏，人工智能在大数数学问题上的表现不佳。我们期望人工智能能够在记号分析、资料整理等领域为我们提供更多的帮助，但是目前看来，这一目标还非常遥远。

根据库恩的范式理论，科学的发展并非是简单的线性累积，而是在常规发展和科学革命两个阶段之间不断交替。按照这一理论，我们至今仍然处在 Worm 型记号革命之后的常规发展阶段，并且这一阶段的潜力正在肉眼可见地被消耗殆尽，逐渐失去了生命力。当前的大数数学研究呈现出了越来越复杂化的倾向，新的结果几乎不能够被其他研究者所理解。进入大数数学前沿研究的门槛越来越高，几乎超过了普通人单纯凭借兴趣所能够达到的极限。事实上自从 2024 年以来，尽管加入大数社区的新人越来越多，但是只有屈指可数的几个人能够真正了解大数数学的前沿进展，并且真正为大数数学的发展做出贡献。这一阶段未来可能还要继续持续下去，直到量变的积累产生质变，或者有真正天才的研究者为我们踏出关键的一步，将大数数学引领到一个全新的时代。

'''附：2024 年中文大数社区十大事件'''

'''1. 3183 丶 4139提出 FOS'''

'''2. 传递现象的提出'''

'''3. 大数社区群聊改革'''

'''4. 曹知秋发布《大数理论》'''

'''5. HypCos提出 MM3'''

'''6. BB(5)取值的严格证明'''

'''7. 7 月 7 日前沿记号的无穷降链或不良定义'''

'''8. 夏夜星空完善 fffz 规则'''

'''9. HypCos提出 MN'''

'''10. 62XXY（739085）与大数社区决裂'''

参考资料

无穷降链

2026-02-28T11:25:20Z

Z：

在googology中，无穷降链是一个重要概念。一个记号没有无穷降链是其良序性的必要条件。

== 定义 ==
无穷降链指的是一个无穷序列a_1,a_2,a_3......满足：

a_1>a_2>a_3>......，即该序列集合中不存在最小的项。

事实上，当我们要求记号没有无穷降链的时候，即保障[[良序]]词条中“任取一子集都有最小元”的条件。因此，如果记号发现了无穷降链，那么可以直接断言其不良序。

== 例子 ==
例如，[[元素属性|坏根]]始终为第一项的[[PrSS]]：

1,2,2展开为1,2,1,2,1,2......

1,2,1,2展开为1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2...

1,2,1,1,2展开为1,2,1,1,1,2,1,1,1,2,1,1,1,2...

因此，我们需要知道1,2,2有多大，就需要知道1,2,1,2有多大，而要知道1,2,1,2有多大，又需要知道1,2,1,1,2有多大....以此类推，这个集合里不存在一个最小的序列能让我们知道其大小，因而我们无法知道1,2,2的实际大小。
[[分类:重要概念]]

2025年中文大数社区十大事件

2026-02-28T11:21:06Z

Z：

大数数学（[[Googology]]，ggg）是系统性地研究如何构造大自然数的数学分支。中文大数社区是一个致力于发展大数数学理论的中心化业余数学社区，它以一系列 QQ 群为核心，其成员为较为严肃的大数数学爱好者。广义的中文大数社区包含中文互联网上所有关心和讨论大数数学相关问题的人。

本词条总结了 2025 年中文大数社区影响力最大的 10 个事件（进展），按照时间顺序进行排列。以下内容来自<ref>[https://zhuanlan.zhihu.com/p/1988997637857358320 2025年中文大数社区十大事件]</ref>

== 1. blp 与 DEN 的定义 ==
[[Laver Table|laver table 函数]]的增长速度能不能超过 [[皮亚诺公理体系|PA]] 可证极限(<math>\varepsilon_0</math>)是 Dougherty 在 30 年前提的问题。这个问题是有不少关注的，虽然也没有特别多，但经常能在科普文中看到，有个数学物理学家还在他的博客里讲过这个文章。它被认为极度困难。30 年来毫无进展。30 年后，它被一篇完全是基于 ggg 思想的论文解决了。—— test_alpha0，2025.12.21
1992 年，Laver 提出了 Laver Table，并定义了与之相关联的 Laver Table 函数。这个函数的完全性需要在 <math>\mathrm{ZFC+I3}</math>之中才能够得到证明。人们期望这是一个增长十分迅速的大数函数，然而长期以来，研究者们始终不能够证明这一点。

为了解决这一问题，研究者们付出了许多努力。2023 年， test_alpha0定义了 [[LTY|Laver Table Yarn]]（LTY）作为 Laver Table 的扩展，其完全性需要在 <math>\mathrm{ZFC+I1}</math>之中才能够得到证明。

2025 年 1 月 3 日，test_alpha0在论文<ref>https://arxiv.org/pdf/2501.06733</ref>中证明 Laver Table 函数的增长速度超越了一切能够在皮亚诺公理系统中可证完全性的函数。所有公理体系的证明能力都有极限，皮亚诺公理只能证明<math>\varepsilon_0</math>以下的良序结构。因此用更为大数数学研究者熟悉的话说，这意味着 Laver Table 函数的增长率至少达到了<math>\varepsilon_0</math>。

为了证明这一点，作者在论文中定义了一个递归记号 [[BLP|Basic Laver Pattern]]（blp），以描述初等嵌入的关键点之间的结构。通过利用 blp 构造恰当的递归函数，作者成功证明了 Laver Table 函数的增长率至少达到了<math>\varepsilon_0</math>。作者进一步在论文中宣称，事实上可以证明 Laver Table 函数的增长率至少达到了[[BO]]。这篇论文进一步讨论了 LTY 的定义和性质。

[[文件:v2-7bdbac5d06cfe86ef0162ab98c727176 1440w.png|缩略图|“我们用美丽的颜色#66CCFF来表示复制操作中要复制的行”]]
即使作为递归记号本身，blp 的意义也是足够重大的。长期以来，对记号良序性的证明几乎是大数数学领域中最为困难的问题，而 blp 的良序性已经在上述论文中得到了证明。目前猜测，blp 的强度极大可能超过 [[BMS]] 的极限，与 [[Y序列|Y]](1,3,8) 的强度关系尚不明确。因此，blp 有极大可能取代 BMS，成为目前已证良序性的最强递归记号。（当然，这一说法排除了证明论中发展的一系列序数折叠函数，目前大数数学社区对这些函数的强度几乎一无所知。）

Laver Table 几乎是无法以人力进行分析的。blp 是 Laver Table 的一个弱下界，并且是一个可证良序的递归记号。然而 blp 的性质也过于复杂，最菜萌新仅仅将 blp 分析到了<math>\zeta_0</math>。 test_alpha0估计 blp 的表达式 <math>\mathrm{mcce2mmcce2mcmcc}</math>等于 BMS 极限，这是目前已知的最好结果。

为了更好地了解 blp 的性质，HypCos于 2025 年 12 月 21 日定义了 [[DEN|Defective Embeeding Notation]]（DEN），它的行为比 blp 要简单得多。DEN 的绝大部分定义都与 blp 相同，但在“M 操作”之中的“Copied 操作”中，复制的是从第 s(-1,-l-2) 行开始的所有内容。如果把 DEN 比作 BMS，那么 blp 就可以比作只有最后一列长度为 1 时展开 n 次，其他时候仅仅展开两次的 BMS。由于这样一种性质，目前人们估计 DEN 的强度与 blp 应该是相等的。然而经过这样修改之后，blp 的良序性证明对 DEN 就无效了。

HypCos和梅天狸对 DEN 的性质进行了详细的分析，目前已经分析到了 BMS 的极限，这同时也为 blp 的 BMS 极限表达式强度提供了佐证。然而在这之后，记号的性质变得更加困难，分析变得举步维艰。我们目前对 DEN 和 blp 的强度极限尚没有估计。

== 2. 梅天狸的两行 BHM 分析 ==
是的，这个结果几乎宣判 BHM=BMS 了。—— 梅天狸，2025.4.6
Bashicu Matrix System（BMS）是日本的大数数学研究者 Bashicu 于 2014 年提出，并于 2018 年完善的记号。为了展开 BMS，我们需要找到表达式的 “好部”和“坏部”，然后保持好部不动，坏部加上阶差向量后不断地在序列末尾复制。

[[BHM|Bashicu Hyper Matrix]]（BHM）是 BMS 的改版，它只是坏部的规则发生了变化。简单地说，BHM 坏部的范围总是大于或者等于 BMS 坏部的范围。可以设想在展开的过程中 BHM 将携带更多的信息，因此 BHM 的强度至少不低于 BMS。

我们将类似于 BHM 这种扩大坏部范围的模式称为“急模式”。一个自然的问题是，BHM 的强度相比于 BMS 是否真的有提高？如果有的话，那么究竟提高了多少？或者更进一步地说，对记号进行急模式的推广，是否在本质上真正增加了记号的强度？

要回答这一问题，必须建立起 BHM 与 BMS 表达式的一一对应关系。虽然 BHM 与 BMS 的结构相同，二者的展开规则也相差不多，但是它们的行为实际上具有很大的差别，这使得它们之间的分析变得极为困难。早年 HypCos 曾经对此进行过非常详细的分析，但是进展十分有限。长期以来这一直被视为大数数学之中的一个非常困难的问题。

经过长达 13 个月的分析，在 2025 年 4 月 6 日，梅天狸宣布得到了如下的结果：

<math>\begin{aligned} & \mathrm{BHM}(0,0,0)(1,1,1) \\ =~&\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(3,1,1) \end{aligned}</math>

毫无疑问，这一结果是大数数学分析领域的一座丰碑，它解决了人们此前认为几乎是不可能解决的问题。根据这一结果，一行 BHM 的极限在一行 BMS 的极限和两行 BMS 的极限之间，两行 BHM 的极限在两行 BMS 的极限和三行 BMS 的极限之间。如果这一规律能够一直得到保持，那么 n 行 BHM 的极限将处在 n 行 BMS 的极限和 n+1 行 BMS 的极限之间。取 n 趋于无穷大的极限，那么我们将发现 BHM 的极限将与 BMS 的极限是相同的。也就是说，虽然 BHM 的表达式强于 BMS，但是二者的强度是一样的。BMS 最终追平了 BHM。

空间对另一个急模式的记号 [[BSM|Bashicu Sudden Matrix]]（BSM）的分析也发现了意料之外的弱化，这暗示 BSM 的强度也有可能远远不及预期。鉴于以上的结果，我们现在认为急模式并没有从本质上提升记号的强度。

== 3. 第四级运算的解析延拓 ==
我怀疑这套方法可以直接推广到任意阶超运算。—— 曹知秋，2025.7.11

现在看来……至少是很难直接推广。—— 曹知秋，2025.9.21
大数数学称加法为一级运算，乘法为二级运算，乘方为三级运算。由于将前一级运算迭代若干次后可以得到下一级运算，因此将乘方迭代若干次后，我们进一步可以得到第四级运算。我们用运算符<math>\uparrow\uparrow</math>来表示第四级运算，它实际上就是指数塔

<math>a\uparrow\uparrow b=\underbrace{a^{a^{\ldots^{a}}}}_{b\text{个}a}</math>

其中左边的元素 a 代表指数塔的底数，右边的元素 b 代表指数塔的层数。需要注意的是第四级运算要从最上层开始，逐层计算指数的取值。

通常来说，第四级运算的的底数和层数都定义在正整数之上，然而我们有时候希望能够将其推广为任意的实数，这正如我们经常希望使用实数变量的加法、乘法和乘方运算一样。要将底数 a 推广为实数是容易的，因为实数的指数函数是有明确定义的。现在的问题在于，我们是否能将第四级运算的的层数 b 也推广为一般的实数？
[[文件:v2-0fac7192f084c9d058a61ad35b83c054 1440w.png|缩略图|397x397像素|第四级运算在复平面上的等值曲线。]]
事实上，这个问题在复数域上讨论起来更容易，因为复变函数拥有更良好的解析性质。因此我们希望能够将层数 b 延拓到整个复平面上，即找到一个以 b 为变量的复变函数，它除去奇点之外在整个复平面上是解析的，并且在 b 取正整数时能够回到通常的第四级运算。这被称为第四级运算的解析延拓（或者更严格地称为定义域的扩张）。

第四级运算的解析延拓是一个困难的问题，因为函数增长的速度太过迅速。这一问题有一个业余数学社区关注，不过真正重要的进展都是由专业的数学家得到的。早在上世纪五十年代，这类问题便已经引起了数学家的关注。因为第四级运算可以视为函数<math>f(x)=a^x</math>迭代若干次的结果，而迭代非整数次的问题由一个名为“超函数”的数学分支描述。2009 年，Kouznetzov 在文献中讨论了第四级运算在复平面上的解析性质。而后在 2017 年，Paulsen 等人在文献中首次给出了第四级运算的级数解，2019 年 Paulsen 在文献中讨论了第四级运算延拓的唯一性。2022 年，Nixon 在文献中给出了第四级运算解析延拓的渐进解。

2025 年 5 月 8 日，Vey 宣布完全解决了第四级运算解析延拓的问题。他在论文中考虑了 Schröder 泛函方程，将待求的函数在其奇点处展开为级数，然后通过级数反演求出了第四级运算解析延拓的显式表达式。至此，大数数学中一个二十余年悬而未决的问题终于得到了解答，我们终于得到了一个性质良好的定义在复平面上的四级运算。

我们目前尚不知道如何将更高级的运算进行解析延拓。

== 4. 至 BTBO（BIO）的形式化递归序数 ==
为了引起关注, 我们将其命名为布劳威尔树壁垒序数(Brouwer Tree Barrier Ordinal)。—— ocau ，2025.6.18
长期以来，大数数学一直建立在不严格的基础之上，大量[[序数记号]]的良序性无法得到证明。 ocau 利用 Agda 语言进行了递归序数的形式化，从而保证了序数系统的可靠性。

ocau 的形式化工作分为了几个不同的阶段。最早期的工作于 2022 年 11 月完成，它达到了二元 [[Veblen 函数]]的极限<math>\Gamma_0</math>。2024 年 7 月，ocau 完成了超限元 Veblen 函数的形式化，其极限达到了LVO。

为了进一步得到更强的序数，需要对[[序数坍缩函数|序数折叠函数]]进行形式化。2024 年 8 月，ocau 进行了形式化良构树序数的尝试，但是并没有完成。实际上，早在 2019 年，就有形式化序数折叠函数的尝试。AndrasCovacs 利用树序数成功地将序数折叠函数形式化，其极限为<math>\psi(\Omega_\omega)</math> 。但是，进一步的形式化工作遇到了困难。

2025 年 6 月 18 日，形式化可数序数的工作取得了新的进展。ocau 定义了任意可数层布劳威尔树序数的结构，利用它来表示序数折叠函数中的非递归序数。通过恰当地定义布劳威尔树序数的折叠过程，ocau 完成了序数折叠函数的形式化，其极限为<math>\psi(\Omega_\Omega)</math> 。ocau 将其命名为布劳威尔树壁垒序数(Brouwer Tree Barrier Ordinal, BTBO)，即利用布劳威尔树的形式化方法所能够达到的极限。

形式化递归序数的推进无疑是一项重要的进展，它为序数记号的良序性提供了坚实的基础。然而，目前形式化工作的进展仍然十分有限。目前的形式化极限为<math>\psi(\Omega_\Omega)</math> ，而此处的序数已经被人们认为是相当可靠的。因此，对于大数数学领域来说，这一形式化的结果的意义更多是在理论上的，它并没有解决真正不够可靠的大递归序数的形式化问题。而另一方面，作为一个形式系统，Agda 本身的强度也是有限的，这或许为形式化序数的进展设置了一个理论上的上限。

== 5. BB(5) 的证明与 BB(6) 下界更新 ==
因此，秉承着对 Busy Beaver 值长期以来抱有的希望，我们预计BB(6) 将永远不会被证明。——BBChallenge 合作组，2025.9.15
1936 年，图灵提出了一个称为图灵机的计算模型。图灵机可以在一条无限长的纸带上运动。在每个时刻，读写头都要从当前纸带上读入一个方格信息，然后结合自己的内部状态查找程序表，根据程序输出信息到纸带方格上，并转换自己的内部状态，然后进行移动。图灵机虽然结构简单，但是它却深刻地揭示了计算的本质。现代计算机在计算能力上与图灵机是等价的。
[[文件:v2-9d16302f36a26572d963c1c4c652eebc 1440w.png|缩略图|图灵机的结构]]
1962 年，Rado 提出了 [[忙碌海狸函数|Busy Beaver 函数]] BB(n) ，它定义为能够停机的 n 状态图灵机在停机前所能够运行的最大步数。由于图灵机能够计算所有的递归函数，因此BB(n) 相当于对所有递归函数进行对角化。它的增长速度必然超越了所有的递归函数，达到了非递归函数的层次。

求出BB(n) 的取值是极为困难的，因为我们需要找到所有能够停机的 n 状态图灵机，并取其运行步数的最大值。而一个图灵机是否停机是不可判定的，即不存在一个通用的算法能判断所有图灵机的停机性。我们实际上并不知道一个很久没有停机的图灵机究竟是无法停机，还是最终能够停机，只不过运行的时间还不够长。由于这些困难，求解 BB(n) 的进展十分缓慢。

1963 年，Lin 等人在文献中得到了BB(n)的第二和第三个取值

<math>\mathrm{BB(2)}= 6,\quad \mathrm{BB(3)}= 21</math>

1983 年，Brady 在文献中得到了BB(n)的第四个取值

<math>\mathrm{BB(4)}= 107</math>
[[文件:v2-20f50bf7a453ada487974dcc486401cf 1440w.png|缩略图|BB(5)判定器的工作流程。]]
然而， BB(5)是一个极为困难的问题。Marxen 在 1990 年找到了一个 5 状态图灵机，它要运行 47176870 步才能停机。也就是说，这是一个BB(5)的下界

但是在接下来的三十多年中，人们并没有找到停机时间更长的图灵机，也无法证明 47176870 就是BB(5)的精确值。对这个问题的研究近乎陷入了停滞的状态。
[[文件:v2-f24e0fa83b934ca943e4f057fd25c1e3 1440w.png|缩略图|十三个零散机的行为。]]
2022 年，一个致力于解决BB(n)问题的业余数学社区 BBChallenge 正式成立。他们设计了一系列判定器，来判定 5 状态图灵机的停机性。在经过七种精心设计的判定器筛选之后，最终只剩下 13 个图灵机没有解决。通过手动为这些图灵机单独编写证明，他们成功地解决了所有 5 状态图灵机的停机性的判定性问题，并最终证明了三十多年前的得到下界就是BB(5)的精确值：

在利用 Coq 形式化证明过程后，他们在 2024 年 7 月 2 日宣布已经解决了BB(5)的取值问题。2025 年 9 月 15 日，他们发布了证明BB(5)取值的论文。至此一个停滞了四十余年的问题在业余数学社区的推动下，终于得到了彻底的解决。

接下来一个自然的问题是，BB(6)的取值是多少。2025 年 6 月 25 日，mxdys 进一步发现了一个停机步数超过 <math>2 \uparrow\uparrow\uparrow 5</math> 的图灵机，从而将BB(6)的下界提升为

<math>\mathrm{BB(6)}> 2 \uparrow\uparrow\uparrow 5</math>

这是目前已知的最好结果。

目前BB(6)的取值问题的解决还遥遥无期。

== 6. 聚集地群成为第一大 ggg 群 ==
<blockquote>ggg 五群方案：

1. 核心大群（大群）

2. 协商会议、文件存储、记号分析、分散线程（会议群）

3. 新人教学、闲聊（聚集地）

4. 刷屏、发癫（表情包）

5. 对外交流、保留最后联系方式、玩 bot、其它（联合群）

——夏夜星空，2024 年 8 月 10 日</blockquote>由 test_alpha0 于 2021.7.3 建立的 QQ 群“googology/数学爱好者讨论群”（讨论群/大群）是中文大数数学社区首个建立的、有较大影响力的 QQ 群，它的建立标志着大数数学社区从百度贴吧时代正式步入了 QQ 群时代。该群的建立使得大数数学研究者的交流和联系变得更加密切，使得大数数学前沿知识得到了极大的普及。讨论群在大数数学社区的发展史之中具有不可磨灭的意义，长期以来一直被人们视为大数数学讨论的中心。

在 2024 年间，大数数学作为一种独特的亚文化开始在中文互联网上流行。特别是知乎上的“挑战葛立恒数”等话题开始让大数数学越来越为中文互联网用户所知，“写出一个很大的数（或是很强的无穷）”成为了一种越来越流行的时尚单品。在这种情况下，中文大数社区的轻度用户数量开始急剧增加，群聊中的讨论也变得越来越混乱。

在这一背景下，许多人认为大数社区的环境正在迅速恶化，话题变得越来越鱼龙混杂。特别是梅天狸因不满讨论群的氛围而退出群聊，并于 2024 年 4 月 14 日建立个人粉丝群“狸と扽西の催更群”（狸群）。这一事件促使群管理开始着手进行群聊讨论的分流，意图将严肃的大数数学讨论留在讨论群，而将新人教学、轻度讨论、日常交流等内容分流到其他群聊之中。由夏夜星空于 2023 年 1 月 8 日建立的 QQ 群“大数数学爱好者聚集地”（聚集地群）承担了这一责任。2024 年 4 月 19 日，QQ 群“大数数学爱好者自由讨论群”（自由群）建立，由 qwerty 担任群主，意图进一步分流灌水内容。

2024 年 8 月，大数数学社区发生了多起恶性事件。特别是一位网名为“孙笑川258”的用户使用多个账号炸群('''''此人并非孙笑川，只是用这样的账号的一个乐子人''''')，并威胁开盒大数社区的成员，严重扰乱了大数社区的秩序。群管理坚决捍卫社区利益，采取果断措施，粉碎了“孙笑川”的图谋。2024 年 8 月 8 日，test_alpha0建立了 QQ 群“googology 群人事管理”，将各群的管理进一步集中化。大数社区决议任免讨论群的多位管理，并加强群消息的进一步分流，提高讨论群的入群门槛和审核强度。这使得讨论群的活跃度迅速下降，日常的讨论几乎完全转移到了聚集地群，从此之后聚集地群的规模和消息数量开始暴增。

2025 年 4 月 5 日，聚集地群的人数成功追平讨论群。2025 年 7 月 4 日，聚集地群由 500 人群扩充为 2000 人群，并在两天之后增设了五位新管理员。2025 年 7 月 8 日，聚集地群的人数正式突破 500 人。2025 年 12 月 31 日，聚集地群的人数达到了 700 人，几乎包含了中文大数社区的所有活跃研究者。时至今日，不论是从总人数、活跃人数，还是新增消息数来看，聚集地群都已经成为了当之无愧的 ggg 第一大群（除表情包群）。

== 7. 最菜萌新的 BMS 全分析 ==
对于(0,0,0)(1,1,1)(2,2,0)以下的分析，我们几乎可以说这是完全正确的。对于(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)以下的分析，我们有很大的把握认为这是正确的。对于(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)以上的分析，我们几乎不知道这是否正确。——Racheline ，BM4 的分析
尽管 BMS 的定义早就已经为人们所知，但长期以来，人们并不了解其强度。这只有将 BMS 和其他记号进行对比分析才能解决。对于 BMS 来说，一个合适的参照是序数折叠函数ψ，将非递归序数放入其中就可以得到递归序数。如果我们引入的非递归序数越强，那么输出的递归序数也就越强。恰当地在序数折叠函数之中引入了ω个非递归序数<math>\Omega_\omega</math>之后，我们可以得到如下结果

<math>(0,0,0)(1,1,1)=\psi(\Omega_\omega)=\mathrm{BO}</math>

要想继续分析 BMS，我们就不得不去寻找更加强大的[[序数#非递归序数|非递归序数]]。[[反射序数]]是一类重要的非递归序数。在引入了反射序数<math>\Pi_\omega</math>之后，我们可以得到如下的结果

<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,2,0)=\psi\left(\Pi_\omega\right)=\mathrm{SSO}</math>

[[稳定序数]]刻画了比反射序数更强的非递归序数。对于<math>\Sigma_1</math>稳定来说，若考虑一条长度为ω的稳定链，则有

<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)=\psi\left(\omega-\pi-\Pi_0\right)=\mathrm{LRO}</math>

以上的这些结果大概在 2020 年就已经得到了。

2021 年，test_alpha0定义了[[投影序数]]。1-投影序数就是<math>\Pi_2</math> 反射序数，而 2-投影序数α则是一个非常强大的非递归序数，当然还可以定义更强大的 3-投影序数，直到ω-投影序数，它的极限为

<math>(0,0,0,0)(1,1,1,1)=\psi\left(\omega-\mathrm{P}\right)=\mathrm{TSSO}</math>

2024 年，最菜萌新开始研究高阶投影的可能性。对于[[向上投影]]来说，定义投影升阶运算σ ，将它作用在投影序数上之后，可以得到比它更高的投影序数。令 S 是最小的 (1,0) -投影，则<math>\psi_S</math>可以投影比它更高的序数<math>\sigma^n S</math> ，这是一种强大的投影层次。在这之后的接近一年的时间里，他不断地完善向上投影的规则并将其递归化，利用它来分析 BMS 的强度。

2025 年 7 月 16 日，最菜萌新宣布了如下的结果：

<math>(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,3,3,1)(4,0,0,0)=\psi\left(\psi_S\left(\sigma^\omega S\right)\right)</math>

引入更复杂的投影结构，可以得到四行 BMS 的极限<math>(0,0,0,0,0)(1,1,1,1,1)=\psi\left(\psi_A([1,1] A \cdot \omega)\right)</math>，乃至 BMS 的极限<math>\text{limit of BMS}=\psi\left(\varepsilon_{H+1}\right)=\mathrm{SHO}</math>。

至此最菜萌新完成了 BMS 的全分析。

该项工作一共包含 7777 条对照分析的结果，是大数数学史上最为庞大的分析工作之一。由于最菜萌新提出了一套完整的理念、一套行之有效的规则，以及详尽的分析结果，向上投影已经打败了其他的投影记号，成为了 (0,0,0)(1,1,1)(2,2,2) 之后的标准记号，甚至投影系记号已经逐渐有取代更加传统的稳定系记号的趋势了。

BMS 并未抵达向上投影的极限，接下来需要利用[[Y序列]]对其进行分析。然而向上投影与Y序列之间的分析举步维艰，目前尚不清楚向上投影的极限究竟是多少。除此之外，向上投影也为[[非递归BMS]]的分析提供了参考。若将 BMS 第一列的全部零删去，则可以设想让 BMS 输出非递归记号。这一非递归记号的强度用向上投影来分析是合适的。

需要说明的是，投影序数并非集合论意义上的严格的非递归序数。而将投影序数放入ψ之中得到的递归化函数，本质上仍然是一个递归记号。事实上即使是对于反射序数和稳定序数来说，我们也只是使用了一种“长得像序数折叠函数”的递归记号，它们模仿了真正使用集合论方法来定义的序数折叠函数的行为。

而另一方面，真正严格意义上的序数折叠函数以及相应的非递归分析已经得到了长足的发展，这一部分应当归功于序数分析领域的专业数学家。目前序数分析的巅峰之作是数学家 Arai 对二阶算术的序数分析，这是序数分析领域中发展的最强序数折叠函数。然而我们并不知道它和大数数学之中发展的序数记号之间的强度关系是什么样的，目前我们只能就此做出一些猜测。

我们已经知道的是，文章利用<math>\Sigma_n</math>稳定序数的存在性证明了 BMS 的良序性，而二阶算术与 <math>\mathrm{KP} +</math>存在<math>\Sigma_1</math>稳定序数+存在<math>\Sigma_2</math>稳定序数+……这一公理体系的强度是相同的。如果我们真的可以认为 BMS 与二阶算术的强度相同，那么我们就可以说 Arai 的序数折叠函数极限等于 BMS 的极限，它们都是二阶算术的证明论序数。然而严格的序数分析是极其困难的工作，也许我们永远也不会知道我们的记号何时能够达到各种公理体系的极限了。

== 8. HypCos 定义 ω^ωMN ==
时至今日，还未有人分析 Tω^ωMN。它太难分析了吗？它太难理解吗？没有什么合适的其它记号用来分析吗？—— HypCos ，2025.8.17
BMS 是跨时代的记号，它将递归记号构造的范式从数阵型记号转变为了 Worm 型记号，其强度远远超越了当时的所有记号。2020 年 9 月，日本的大数研究者 Yukito 对 Worm 型记号进行扩展，定义了 Y序列，它的强大再一次震撼了研究者。后来 Yukito 又定义了更加强大的[[ω-Y|ω-Y序列]]，这是目前已经得到公认的、成熟的大数数学社区最强记号。

如果要得到更强的记号，下一步该如何做？我们可以试图将 ω-Y 序列推广到更高的<math>\alpha-\mathrm Y</math> 序列，乃至<math>\Omega-\mathrm Y</math>序列。考虑到 BMS 有ω行，1-Y 序列的山脉图有 <math>\omega^2</math> 行，ω-Y 序列的山脉图有 <math>\omega^\omega</math>行，那么似乎将山脉图的行数推广到更高就可以得到更强的记号。不过令人遗憾的是，平凡的推广几乎是没有任何意义的。BMS 也可以直接推广到Ω行，但是它的强度仍然难以超越Y(1,3,4,3) 。事实上，目前已知的所有定义<math>\Omega-\mathrm Y</math>序列的尝试不是非良序，就是强度达不到预期。在ω-Y 序列之上，人们似乎再难以前进半步。

HypCos对 Worm 记号体系进行了深入的研究。鉴于序列型记号形式上的困难已经严重阻碍了进一步的推广，HypCos采用了新的多维数阵体系，将山脉图的结构直接编码进表达式中，称为[[Mountain Notation|山脉记号]]（Mountain Notation，MN）。他在 2024 年 9 月 11 日提出了ωMN的定义，这一记号与 ω-Y序列是等价的。接下来他在 2024 年 9 月 15 日又进一步提出了<math>\omega\cdot 2\mathrm{MN}</math>的定义。最终在 2025 年 7 月 19 日，他进一步地提出了 <math>\omega^\omega\mathrm{MN}</math>的定义，这是目前已知的有明确定义的最强递归记号之一。

如果不能真正理解 Worm 型记号为何如此之强，那么想凭运气再创造出来一种本质上强于它的记号也几乎是不可能的。2024 年 2 月 23 日，几位研究者以极富洞察力的直觉提出了“[[传递]]”的概念，从而解决了 Worm 型记号强度的来源问题。简单地说，序数记号的传递现象意味着一个序数记号表达式在展开时，不仅仅是判定展开所用到的元素参与了展开过程，还有别的元素也参与了展开过程，从而将序数结构的一部分“传递”到了展开后的表达式之中。
[[文件:v2-0eab85904cbae6d283df767e2879a755 1440w.png|缩略图|Y(1,3,7)展开为Y(1,3,6,12,24,48,96,192,...)，从图中可以看出，对角线上的元素由1,2,2展开为1,2,1,2,1,2,...，因此这是一个真正的ω行传递。]]
具有传递现象的记号通常拥有更高的强度，并且传递的层次越高，记号的强度就越高。对于 BMS 来说，若删去第 n 列及以下的部分能够该改变坏根的位置，则称该表达式拥有 n 行传递。BMS 拥有任意有限的 n 行传递，因此它的强度超越了绝大多数其他类型的序数记号。而Y序列拥有真正意义上的ω行传递，因此它远远超越了 BMS 平凡扩展的极限。

MN系列记号利用独特的拉伸操作，实现了比ω-Y 序列更加强大的结构，增进了人们对于ω-Y 序列之上的递归序数结构的理解。然而我们能说<math>\omega^\omega\mathrm{MN}</math>就是预想中的<math>\omega^\omega-\mathrm Y</math>序列吗？它具有真正的更高层次的传递吗？或者说，山脉记号能够成为Y序列的某种“上位替代”吗？这一点恐怕很难说。因为没有人知道一个理想的传递究竟应该是什么样子的，人们最多只能知道某个记号并不符合心目中的“理想”情况。不过从目前的情况来看，MN系列记号确实已经成为了ω-Y 序列之后的一种新的参照标准，正在被越来越多的人所接受。

以传递现象的提出作为标志性事件，一部分研究者建立了更加深入的“构造理论”，期望能够触及更加强大的记号体系的一角。对构造理论的研究几乎是整个 2024 年的研究核心，人们提出了太多的理论和体系，又将它们一个个推翻。目前关于构造理论的研究少有成体系的结果，也并没有真正建立起成熟完备的新记号体系。而且目前对于构造理论的研究过于艰涩，除了寥寥几位研究者之外，其他人几乎不知道他们在做什么。我们并不知道目前在构造理论上的尝试是否是正确的。

== 9. Phyrion 的新 Googology Wiki ==
wiki.googology.top：首个以 googology 为二级域名建立的网站！——Phyrion，2025.6.25
在 21 世纪的前几年中，大数数学还仅仅是一个只为极少数人所知的小众数学问题。那时仅有少数几位欧美国家的爱好者关注这一问题，并且将自己的研究成果发布在个人网站上。直到 2008 年 12 月 5 日，fandom 上的 Googology Wiki 网站正式上线，才结束了这一局面。在这之后的十余年时间里，Googology Wiki 当之无愧地成为了全球大数数学研究者的中心，为大数数学的发展提供了一个宝贵的平台。

长期以来，Googology Wiki 包含着大数数学社区最完整的知识以及最前沿的进展，但是随着时间的推移，Googology Wiki 也已经逐渐衰落了。起先是 Wiki 中的部分成员不满管理员的专权，因此另立门户。欧美大数社区的讨论中心也逐渐转移到了 Discord 频道上，不再活跃于 Wiki。而中文社区和日文社区近乎独立地发展，极少与欧美社区进行交流。因此在 2020 年之后，Fandom 的 Googology Wiki 迅速的落后于了整个时代。

为了建立一个能够完整准确地反映现代大数数学研究进展的在线知识库，Phyrion 启动了新 Wiki 计划。该计划从 2025 年 6 月启动，由 Phyrion 维护网站，并由十余位活跃研究者共同编写。2025 年 8 月 15 日，新 Wiki 的网址 wiki.googology.top 正式公开，并立刻引起了大数社区的广泛关注。

新 Wiki 全面抛弃了旧 Wiki 以大数为中心的思想，而转向了更加现代化的以序数为中心的思想。新 Wiki 系统性地整理了大数数学的最新研究成果，许多成果都是首次发布在公共的平台之上。新 Wiki 在内容选择、材料组织等方面遵循了深入浅出、详略得当的原则，既能够完整准确地反映大数数学的核心内容和最新进展，又不显得过于繁冗。新 Wiki 已经成为了大数社区最重要的在线知识库之一。

新 Wiki 的命运是坎坷的。在 2025 年 9 月 30 日，新 Wiki 站点由于欠费停站，直到 2025 年 10 月 11 日才重新恢复。而后它在 2025 年 10 月 31 日再次由于欠费而停站，直到2024.2.20。这引发了人们对于新 Wiki 站点不稳定的担忧。

== 10. PPS 被发现无穷降链 ==
<blockquote>@全体成员 PPS 无穷降链

沉痛悼念，永垂不朽

——z，2025.12.10</blockquote>[[PPS|Parented Predecessor Sequence]]（PPS）是3183 丶 4139于 2024 年 9 月 9 日创造的记号。PPS 的定义非常简单，相比于标记父项列标 PrSS，它只增加了一条规则：如果坏部里没有其他等于坏根的项，那么复制时，复制出来的部分的首项改成原末项-1。

然而，正是这样简单的规则导致了极其诡异的行为。整个七月份，大数数学的研究者绞尽脑汁对 PPS 的强度进行分析，然而整个记号的规律似乎完全是无法理解的。即使进行了大量的尝试，耗尽了全部的精力，研究者们也未能将 PPS 分析至<math>\zeta_0</math>。这对于该强度的记号来说似乎是完全无法理喻的。在遭受了重大的挫折之后，大数数学的研究者不得不将精力转移到其他的问题上。

一切都结束于 2025 年 12 月 10 日，在这一天 ddfg 通过对 PPS 的详尽分析，发现了一个展开式，它可以无穷无尽地展开下去，越来越复杂，永远也不会停下来。这种越来越复杂的表达式构成了一条不断递降的链条，称为无穷降链。由于序数的每个子集必有最小元，不会出现无穷递降的情况，因此 PPS 的展开不构成其标准表达式上的一个良序关系。也就是说，PPS 根本就不是一个序数记号。

PPS 的无穷降链无疑是对于其研究者的一个沉痛打击。尽管在这之后还有一系列修复 PPS 的尝试，但人们对这一记号已经失去了信心。不过人们更好奇的是，为什么时隔如此之久，大数社区才找到了 PPS 的无穷降链。这不禁让人们想起 2024 年 7 月 7 日的盛况，在短短的几个小时内，三个前沿记号都被发现无穷降链或不良定义，大数数学社区的进展几乎一夜之间倒退到了 2021 年的ω-Y序列。

无穷降链是悬在所有序数记号头上的达摩克里斯之剑，几乎所有记号都要受到无穷降链的威胁。人们或许希望能够直接利用数学方法证明记号的良序性，从而一劳永逸地解决这一问题。然而我们现在几乎完全不知道如何证明记号的良序性，目前仅有寥寥几个记号的良序性问题得到了解决。并且事实上任何公理体系可证良序的范围都是有限的，一旦记号的强度超出了这一范围，那么我们就必须诉诸更加强大的公理体系。而与此同时，过于强大的公理体系本身的一致性都是值得怀疑的。因此可以说，记号良序性证明的困难是本质的。

但是，如果我们不能够为记号的良序性给出证明，那么我们要如何相信它们的可靠性呢？如果我们连严格性都舍弃掉，那么整个数学体系之中还有什么是可以信赖的呢？多年以来大数数学研究者建立起的庞大的理论体系，究竟有多少是虚无的空中楼阁，随时会被推翻？我们不知道这些问题的答案。或许真正具有洞察力的数学研究者能够推动这一问题的解决，而在这之前，我们只能祈祷之前建立起的大多数地基都是扎实的。

== 展望：未来时代的大数数学 ==
自 2021 年以来，中文大数社区得到了长足的发展，逐渐赶上并超越了欧美社区和日本社区的水平。特别是在 2024 年，大数社区内部洋溢着积极乐观的情绪。在传递以及其他思想的指引下，构造理论得到了充分的发展。FOS、fffz、MMS、MN 等新记号的提出和优化层出不穷。 @曹知秋的《大数理论》系统性地整理了大数数学的理论体系，结束了资料过于零散的时代。随着相关亚文化的传播，大数数学在中文互联网上的知名度越来越高，这为中文大数社区提供了大量的新鲜血液。

然而进入 2025 年之后，大数数学的研究开始进入了低谷。人们开始审视之前过于激进的理论体系，并排除了大量不可靠的结果和空中楼阁一般的概念。尽管大数数学知名度仍然在不断增加，进入大数社区的新人越来越多，但是这些人通常不会去真正了解大数数学的知识，并且圈层的扩大也势必会对原有的大数社区生态造成破坏。近年来大数社区与其他社区的交往正在变得更加紧密，这种联系总体上是有益的，但实际上并未真正对各自关心的问题有实质性的启发。大数数学横向上的宽度正在不断扩展，但是纵向上的深度则并未有明显的增加。大数数学各社区之间的国际交往仍然非常有限，欧美社区和日本社区的研究也明显地进入了衰退期。大数数学的业余研究者和专业数学家之间几乎没有交流，专业数学家不关心（或者根本不知道）大数数学社区的结果，我们也几乎无法理解专业数学家的相关工作。

2025 年生成式人工智能的发展非常迅猛，已经在方方面面深刻地改变了人们的生活。然而，目前来看关于大数数学的资料仍然十分缺乏，人工智能在大数数学问题上的表现不佳。我们期望人工智能能够在记号分析、资料整理等领域为我们提供更多的帮助，但是目前看来，这一目标还非常遥远。

根据库恩的范式理论，科学的发展并非是简单的线性累积，而是在常规发展和科学革命两个阶段之间不断交替。按照这一理论，我们至今仍然处在 Worm 型记号革命之后的常规发展阶段，并且这一阶段的潜力正在肉眼可见地被消耗殆尽，逐渐失去了生命力。当前的大数数学研究呈现出了越来越复杂化的倾向，新的结果几乎不能够被其他研究者所理解。进入大数数学前沿研究的门槛越来越高，几乎超过了普通人单纯凭借兴趣所能够达到的极限。事实上自从 2024 年以来，尽管加入大数社区的新人越来越多，但是只有屈指可数的几个人能够真正了解大数数学的前沿进展，并且真正为大数数学的发展做出贡献。这一阶段未来可能还要继续持续下去，直到量变的积累产生质变，或者有真正天才的研究者为我们踏出关键的一步，将大数数学引领到一个全新的时代。

'''附：2024 年中文大数社区十大事件'''

'''1. 3183 丶 4139提出 FOS'''

'''2. 传递现象的提出'''

'''3. 大数社区群聊改革'''

'''4. 曹知秋发布《大数理论》'''

'''5. HypCos提出 MM3'''

'''6. BB(5)取值的严格证明'''

'''7. 7 月 7 日前沿记号的无穷降链或不良定义'''

'''8. 夏夜星空完善 fffz 规则'''

'''9. HypCos提出 MN'''

'''10. 62XXY（739085）与大数社区决裂'''

参考资料

基于翻转性质的大数函数Flip(n,a)

2026-02-28T11:17:27Z

Z：

Kirby 描述了一个独立于 PA 的命题“翻转性质”<ref name=":0">Kirby L A S. Flipping properties in arithmetic[J]. The Journal of Symbolic Logic, 1982, 47(2): 416-422.</ref>。本条目介绍基于翻转性质的函数<math>\mathrm{Flip}(n,a)</math> .

=== 翻转性质 ===
'''定义 1'''. 设 X 为自然数的有限集，<math>\langle A_n\rangle</math>为 X 的子集构成的一个有限序列。若将<math>\langle A_n\rangle</math>中的某些元素替换成其在 X 上的补集（也可以不替换任何元素），则得到的新序列称为<math>\langle A_n\rangle</math>的翻转。

'''定义 2'''. 对<math>\langle A_n\rangle</math>尽可能长地递归定义序列<math>\{\alpha_i\}</math>如下：

# <math>\alpha_0</math>为<math>A_0</math>的最小值；
# <math>\alpha_{n+1}</math>为大于<math>\alpha_{n}</math>，且是所有<math>A_{j}</math>的共同元素中的最小数(<math>j<\alpha_n </math>)。

序列<math>\{\alpha_i\}</math>称为<math>\langle A_n\rangle</math> 的梯子。

'''定义 3'''. 定义集合 X 的可翻转性如下：

# 称 X 是 0-可翻转的，如果 X 中的元素个数大于 1。
# 称 X 是 (n+1)-可翻转的，如果 X 的任何子集序列都有一个翻转，其梯子为 n-可翻转的。

Kirby 给出了如下定理<ref name=":0" />：

# 命题“对于任意的 z 和任意的 a ，存在 b 使得 [a,b] 为z-可翻转的”独立于 [[皮亚诺公理体系|PA]]。
# 对于任意给定的 n ，命题“对于任意的 a ，存在 b 使得 [a,b] 为n-可翻转的”在 PA 中可证。

上述两个定理中的 [a,b] 为从 a 到 b 的闭区间。

=== 大数函数 ===
根据上述定理，定义如下的函数：

<math>\mathrm{Flip}(n,a)</math>定义为满足命题“ [a,b] 为 n-可翻转的”最小 b 。

根据 Kirby 的工作，可以得到如下的独立性结果：<math>\mathrm{Flip}(n,a)</math>的完全性等价于 PA 的一致性。

我们猜想<math>\mathrm{Flip}(n,n)</math>是一个增长率为<math>\varepsilon_0</math>的函数。

=== 参考资料 ===
{{默认排序:相关问题}}
[[分类:记号]]

基于翻转性质的大数函数Flip(n,a)

2026-02-28T11:16:46Z

Z：创建页面，内容为“Kirby 描述了一个独立于 PA 的命题“翻转性质”<ref name=":0">Kirby L A S. Flipping properties in arithmetic[J]. The Journal of Symbolic Logic, 1982, 47(2): 416-422.</ref>。本条目介绍基于翻转性质的函数<math>\mathrm{Flip}(n,a)</math> . === 翻转性质 === '''定义 1'''. 设 X 为自然数的有限集，<math>\langle A_n\rangle</math>为 X 的子集构成的一个有限序列。若将<math>\langle A_n\rangle</math>中的某些元…”

不动点

2026-02-28T11:08:02Z

Z：

在数学中，函数的不动点（fixed point, fp），指的是在函数定义域内的某一个值，经过函数映射后的值还是其本身．

=== 例子 ===
在 [[Googology|googology]] 中，我们一般只关心 <math>\mathbb N \rightarrow \mathbb N</math> 的递增函数以及 <math>\rm{Ord \rightarrow Ord}</math> 的递增函数．由于前者一般无不动点（即使有也是平凡的，如 <math>f(x)=x</math>），因而只有后者的不动点是重要的．

例如 <math>f(x)=1+x</math>：

注意到当 <math>x=\omega</math> 时，<math>f(x)=1+\omega =\sup\{ 1+0,1+1,1+2,1+3,\cdots \}=\omega</math>．因此 <math>\omega</math> 是 <math>\rm{f(x)=1+x}</math> 的不动点．

又如 <math>f(x)=\omega \times x</math>：

当 <math>x=\omega^{\omega}</math>时，<math>f(\omega^{\omega})=\omega^{\omega}</math>，因此 <math>\omega^{\omega}</math> 是 <math>f(x)=\omega \times x</math> 的不动点．

=== 注意 ===
# 并非所有的 <math>\rm{Ord \rightarrow Ord}</math> 的递增函数都存在不动点．如 <math>f(x)=x+1</math>，就不存在不动点．
# <math>f(\alpha)</math> 的不动点可以更清晰地写作 <math>\alpha\mapsto f(\alpha)</math> 的不动点．
# 一个序数函数可以存在不止一个不动点．如 <math>\omega^{\omega}\times m</math> 是 <math>f(x)=\omega \times x</math> 的第 <math>1+m</math> 个不动点．

=== 不动点与基本列 ===
<math>\rm{Ord \rightarrow Ord}</math> 的连续递增函数 <math>f(x)</math> 且满足 <math>f(x)\ge x</math>，存在这样一个定理：

如果 <math>X</math> 是其第 <math>m</math> 个不动点，则 <math>\sup \{ X+1,f(X+1),f(f(X+1)),f(f(f(X+1))),\cdots \}</math> 是其第 <math>m+1</math> 个不动点．

注意到这实际上提供了一种[[基本列]]选取的方法．实际上，著名的序数表示法 [[Veblen 函数]]的强度就高度依赖于不动点．

=== 相关结论及证明 ===
对于满足如下条件的序数函数 <math>f:\mathrm{Ord}\to\mathrm{Ord}</math>，其不动点呈现出许多良好的性质．

* 单调不减：对任意两个序数 <math>\alpha<\beta</math>，有 <math>f(\alpha)\le f(\beta)</math>．
* 对任意序数 <math>\alpha</math>，有 <math>f(\alpha)\ge\alpha</math>．
* 连续性．对任意递增序数列 <math>\alpha_1,\alpha_2,\cdots</math>，记 <math>\alpha=\sup\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots\}</math>，则有 <math>f(\alpha)=\sup\{f(\alpha_1),f(\alpha_2),\cdots\}</math>．

另外，若 <math>f</math> 严格递增，则 <math>f</math> 自动满足前两条性质．

若 <math>f</math> 满足如上条件，那么就可以定义序数函数 <math>g:\mathrm{Ord}\to\mathrm{Ord}</math>，使得 <math>g(\alpha)</math> 表示 <math>f</math> 的第 <math>1+\alpha</math> 个不动点．具体定义为

* <math>g(0)=\sup\{0,f(0),f(f(0)),\cdots\}=\sup\{f^n(0)\mid n\in\N\}</math>．
* <math>g(\alpha+1)=\sup\{f^n(g(\alpha)+1)\mid n\in\N\}</math>．
* <math>g(\alpha)=\sup\{g(\beta)\mid\beta<\alpha\}</math>，其中 <math>\alpha</math> 是[[序数#极限序数|极限序数]]．

从定义中不难看出，对任意序数 <math>\alpha</math>，<math>g(\alpha)</math> 总是 <math>f</math> 的不动点．

下面证明：<math>g(0)</math> 是 <math>f</math> 的最小不动点；<math>g(\alpha),g(\alpha+1)</math> 之间没有其他 <math>f</math> 的不动点．

'''命题 1'''：<math>g(0)</math> 是 <math>f</math> 的最小不动点．

'''证明'''：反证．设 <math>\beta<g(0)</math> 是 <math>f</math> 的不动点．

根据 <math>g(0)</math> 的定义，存在 <math>n\in\N</math> 使得 <math>f^n(0)>\beta</math>，不妨设这样的 <math>n</math> 是最小的．

因为 <math>f^0(0)=0\le\beta</math>，所以 <math>n>0</math>．

那么有 <math>f^{n-1}(0)\le\beta=f(\beta)<f^n(0)</math>，这与 <math>f</math> 的单调不减性矛盾．

所以 <math>g(0)</math> 是 <math>f</math> 的最小不动点．

'''命题 2'''：<math>g(\alpha),g(\alpha+1)</math> 之间没有其他 <math>f</math> 的不动点．

'''证明'''：与命题 1 思路类似，使用反证法．

设 <math>g(\alpha)<\beta<g(\alpha+1)</math>，其中 <math>\beta</math> 是 <math>f</math> 的不动点．

因为 <math>g(\alpha)+1\le\beta</math>，所以 <math>f^n(g(\alpha)+1)\le f^n(\beta)=\beta</math>．

所以 <math>g(\alpha+1)=\sup\{f^n(g(\alpha)+1)\mid n\in\N\}\le\beta</math>，矛盾．

所以 <math>g(\alpha),g(\alpha+1)</math> 之间没有其他 <math>f</math> 的不动点．

实际上，由此定义出的序数函数 <math>g</math>，同样满足上述三条性质，因此可以继续讨论 <math>g</math> 的不动点．这就是 [[Veblen 函数]]的基本思路．

[[分类:入门]]
[[分类:重要概念]]

大数简史

2026-02-28T11:06:08Z

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== 其他资料 ==
[[2025年中文大数社区十大事件]]

2025年中文大数社区十大事件

2026-02-28T11:05:37Z

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大数数学（[[Googology]]，ggg）是系统性地研究如何构造大自然数的数学分支。中文大数社区是一个致力于发展大数数学理论的中心化业余数学社区，它以一系列 QQ 群为核心，其成员为较为严肃的大数数学爱好者。广义的中文大数社区包含中文互联网上所有关心和讨论大数数学相关问题的人。

本词条总结了 2025 年中文大数社区影响力最大的 10 个事件（进展），按照时间顺序进行排列。以下内容来自<ref>[https://zhuanlan.zhihu.com/p/1988997637857358320 2025年中文大数社区十大事件]</ref>

== 1. blp 与 DEN 的定义 ==
[[Laver Table|laver table 函数]]的增长速度能不能超过 [[皮亚诺公理体系|PA]] 可证极限(<math>\varepsilon_0</math>)是 Dougherty 在 30 年前提的问题。这个问题是有不少关注的，虽然也没有特别多，但经常能在科普文中看到，有个数学物理学家还在他的博客里讲过这个文章。它被认为极度困难。30 年来毫无进展。30 年后，它被一篇完全是基于 ggg 思想的论文解决了。—— test_alpha0，2025.12.21
1992 年，Laver 提出了 Laver Table，并定义了与之相关联的 Laver Table 函数。这个函数的完全性需要在 <math>\mathrm{ZFC+I3}</math>之中才能够得到证明。人们期望这是一个增长十分迅速的大数函数，然而长期以来，研究者们始终不能够证明这一点。

为了解决这一问题，研究者们付出了许多努力。2023 年， test_alpha0定义了 [[LTY|Laver Table Yarn]]（LTY）作为 Laver Table 的扩展，其完全性需要在 <math>\mathrm{ZFC+I1}</math>之中才能够得到证明。

2025 年 1 月 3 日，test_alpha0在论文<ref>https://arxiv.org/pdf/2501.06733</ref>中证明 Laver Table 函数的增长速度超越了一切能够在皮亚诺公理系统中可证完全性的函数。所有公理体系的证明能力都有极限，皮亚诺公理只能证明<math>\varepsilon_0</math>以下的良序结构。因此用更为大数数学研究者熟悉的话说，这意味着 Laver Table 函数的增长率至少达到了<math>\varepsilon_0</math>。

为了证明这一点，作者在论文中定义了一个递归记号 [[BLP|Basic Laver Pattern]]（blp），以描述初等嵌入的关键点之间的结构。通过利用 blp 构造恰当的递归函数，作者成功证明了 Laver Table 函数的增长率至少达到了<math>\varepsilon_0</math>。作者进一步在论文中宣称，事实上可以证明 Laver Table 函数的增长率至少达到了[[BO]]。这篇论文进一步讨论了 LTY 的定义和性质。

[[文件:v2-7bdbac5d06cfe86ef0162ab98c727176 1440w.png|缩略图|“我们用美丽的颜色#66CCFF来表示复制操作中要复制的行”]]
即使作为递归记号本身，blp 的意义也是足够重大的。长期以来，对记号良序性的证明几乎是大数数学领域中最为困难的问题，而 blp 的良序性已经在上述论文中得到了证明。目前猜测，blp 的强度极大可能超过 [[BMS]] 的极限，与 [[Y序列|Y]](1,3,8) 的强度关系尚不明确。因此，blp 有极大可能取代 BMS，成为目前已证良序性的最强递归记号。（当然，这一说法排除了证明论中发展的一系列序数折叠函数，目前大数数学社区对这些函数的强度几乎一无所知。）

Laver Table 几乎是无法以人力进行分析的。blp 是 Laver Table 的一个弱下界，并且是一个可证良序的递归记号。然而 blp 的性质也过于复杂，最菜萌新仅仅将 blp 分析到了<math>\zeta_0</math>。 test_alpha0估计 blp 的表达式 <math>\mathrm{mcce2mmcce2mcmcc}</math>等于 BMS 极限，这是目前已知的最好结果。

为了更好地了解 blp 的性质，HypCos于 2025 年 12 月 21 日定义了 [[DEN|Defective Embeeding Notation]]（DEN），它的行为比 blp 要简单得多。DEN 的绝大部分定义都与 blp 相同，但在“M 操作”之中的“Copied 操作”中，复制的是从第 s(-1,-l-2) 行开始的所有内容。如果把 DEN 比作 BMS，那么 blp 就可以比作只有最后一列长度为 1 时展开 n 次，其他时候仅仅展开两次的 BMS。由于这样一种性质，目前人们估计 DEN 的强度与 blp 应该是相等的。然而经过这样修改之后，blp 的良序性证明对 DEN 就无效了。

HypCos和梅天狸对 DEN 的性质进行了详细的分析，目前已经分析到了 BMS 的极限，这同时也为 blp 的 BMS 极限表达式强度提供了佐证。然而在这之后，记号的性质变得更加困难，分析变得举步维艰。我们目前对 DEN 和 blp 的强度极限尚没有估计。

== 2. 梅天狸的两行 BHM 分析 ==
是的，这个结果几乎宣判 BHM=BMS 了。—— 梅天狸，2025.4.6
Bashicu Matrix System（BMS）是日本的大数数学研究者 Bashicu 于 2014 年提出，并于 2018 年完善的记号。为了展开 BMS，我们需要找到表达式的 “好部”和“坏部”，然后保持好部不动，坏部加上阶差向量后不断地在序列末尾复制。

[[BHM|Bashicu Hyper Matrix]]（BHM）是 BMS 的改版，它只是坏部的规则发生了变化。简单地说，BHM 坏部的范围总是大于或者等于 BMS 坏部的范围。可以设想在展开的过程中 BHM 将携带更多的信息，因此 BHM 的强度至少不低于 BMS。

我们将类似于 BHM 这种扩大坏部范围的模式称为“急模式”。一个自然的问题是，BHM 的强度相比于 BMS 是否真的有提高？如果有的话，那么究竟提高了多少？或者更进一步地说，对记号进行急模式的推广，是否在本质上真正增加了记号的强度？

要回答这一问题，必须建立起 BHM 与 BMS 表达式的一一对应关系。虽然 BHM 与 BMS 的结构相同，二者的展开规则也相差不多，但是它们的行为实际上具有很大的差别，这使得它们之间的分析变得极为困难。早年 HypCos 曾经对此进行过非常详细的分析，但是进展十分有限。长期以来这一直被视为大数数学之中的一个非常困难的问题。

经过长达 13 个月的分析，在 2025 年 4 月 6 日，梅天狸宣布得到了如下的结果：

<math>\begin{aligned} & \mathrm{BHM}(0,0,0)(1,1,1) \\ =~&\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(3,1,1) \end{aligned}</math>

毫无疑问，这一结果是大数数学分析领域的一座丰碑，它解决了人们此前认为几乎是不可能解决的问题。根据这一结果，一行 BHM 的极限在一行 BMS 的极限和两行 BMS 的极限之间，两行 BHM 的极限在两行 BMS 的极限和三行 BMS 的极限之间。如果这一规律能够一直得到保持，那么 n 行 BHM 的极限将处在 n 行 BMS 的极限和 n+1 行 BMS 的极限之间。取 n 趋于无穷大的极限，那么我们将发现 BHM 的极限将与 BMS 的极限是相同的。也就是说，虽然 BHM 的表达式强于 BMS，但是二者的强度是一样的。BMS 最终追平了 BHM。

空间对另一个急模式的记号 [[BSM|Bashicu Sudden Matrix]]（BSM）的分析也发现了意料之外的弱化，这暗示 BSM 的强度也有可能远远不及预期。鉴于以上的结果，我们现在认为急模式并没有从本质上提升记号的强度。

== 3. 第四级运算的解析延拓 ==
我怀疑这套方法可以直接推广到任意阶超运算。—— 曹知秋，2025.7.11

现在看来……至少是很难直接推广。—— 曹知秋，2025.9.21
大数数学称加法为一级运算，乘法为二级运算，乘方为三级运算。由于将前一级运算迭代若干次后可以得到下一级运算，因此将乘方迭代若干次后，我们进一步可以得到第四级运算。我们用运算符<math>\uparrow\uparrow</math>来表示第四级运算，它实际上就是指数塔

<math>a\uparrow\uparrow b=\underbrace{a^{a^{\ldots^{a}}}}_{b\text{个}a}</math>

其中左边的元素 a 代表指数塔的底数，右边的元素 b 代表指数塔的层数。需要注意的是第四级运算要从最上层开始，逐层计算指数的取值。

通常来说，第四级运算的的底数和层数都定义在正整数之上，然而我们有时候希望能够将其推广为任意的实数，这正如我们经常希望使用实数变量的加法、乘法和乘方运算一样。要将底数 a 推广为实数是容易的，因为实数的指数函数是有明确定义的。现在的问题在于，我们是否能将第四级运算的的层数 b 也推广为一般的实数？
[[文件:v2-0fac7192f084c9d058a61ad35b83c054 1440w.png|缩略图|397x397像素|第四级运算在复平面上的等值曲线。]]
事实上，这个问题在复数域上讨论起来更容易，因为复变函数拥有更良好的解析性质。因此我们希望能够将层数 b 延拓到整个复平面上，即找到一个以 b 为变量的复变函数，它除去奇点之外在整个复平面上是解析的，并且在 b 取正整数时能够回到通常的第四级运算。这被称为第四级运算的解析延拓（或者更严格地称为定义域的扩张）。

第四级运算的解析延拓是一个困难的问题，因为函数增长的速度太过迅速。这一问题有一个业余数学社区关注，不过真正重要的进展都是由专业的数学家得到的。早在上世纪五十年代，这类问题便已经引起了数学家的关注。因为第四级运算可以视为函数<math>f(x)=a^x</math>迭代若干次的结果，而迭代非整数次的问题由一个名为“超函数”的数学分支描述。2009 年，Kouznetzov 在文献中讨论了第四级运算在复平面上的解析性质。而后在 2017 年，Paulsen 等人在文献中首次给出了第四级运算的级数解，2019 年 Paulsen 在文献中讨论了第四级运算延拓的唯一性。2022 年，Nixon 在文献中给出了第四级运算解析延拓的渐进解。

2025 年 5 月 8 日，Vey 宣布完全解决了第四级运算解析延拓的问题。他在论文中考虑了 Schröder 泛函方程，将待求的函数在其奇点处展开为级数，然后通过级数反演求出了第四级运算解析延拓的显式表达式。至此，大数数学中一个二十余年悬而未决的问题终于得到了解答，我们终于得到了一个性质良好的定义在复平面上的四级运算。

我们目前尚不知道如何将更高级的运算进行解析延拓。

== 4. 至 BTBO（BIO）的形式化递归序数 ==
为了引起关注, 我们将其命名为布劳威尔树壁垒序数(Brouwer Tree Barrier Ordinal)。—— ocau ，2025.6.18
长期以来，大数数学一直建立在不严格的基础之上，大量[[序数记号]]的良序性无法得到证明。 ocau 利用 Agda 语言进行了递归序数的形式化，从而保证了序数系统的可靠性。

ocau 的形式化工作分为了几个不同的阶段。最早期的工作于 2022 年 11 月完成，它达到了二元 [[Veblen 函数]]的极限<math>\Gamma_0</math>。2024 年 7 月，ocau 完成了超限元 Veblen 函数的形式化，其极限达到了LVO。

为了进一步得到更强的序数，需要对[[序数坍缩函数|序数折叠函数]]进行形式化。2024 年 8 月，ocau 进行了形式化良构树序数的尝试，但是并没有完成。实际上，早在 2019 年，就有形式化序数折叠函数的尝试。AndrasCovacs 利用树序数成功地将序数折叠函数形式化，其极限为<math>\psi(\Omega_\omega)</math> 。但是，进一步的形式化工作遇到了困难。

2025 年 6 月 18 日，形式化可数序数的工作取得了新的进展。ocau 定义了任意可数层布劳威尔树序数的结构，利用它来表示序数折叠函数中的非递归序数。通过恰当地定义布劳威尔树序数的折叠过程，ocau 完成了序数折叠函数的形式化，其极限为<math>\psi(\Omega_\Omega)</math> 。ocau 将其命名为布劳威尔树壁垒序数(Brouwer Tree Barrier Ordinal, BTBO)，即利用布劳威尔树的形式化方法所能够达到的极限。

形式化递归序数的推进无疑是一项重要的进展，它为序数记号的良序性提供了坚实的基础。然而，目前形式化工作的进展仍然十分有限。目前的形式化极限为<math>\psi(\Omega_\Omega)</math> ，而此处的序数已经被人们认为是相当可靠的。因此，对于大数数学领域来说，这一形式化的结果的意义更多是在理论上的，它并没有解决真正不够可靠的大递归序数的形式化问题。而另一方面，作为一个形式系统，Agda 本身的强度也是有限的，这或许为形式化序数的进展设置了一个理论上的上限。

== 5. BB(5) 的证明与 BB(6) 下界更新 ==
因此，秉承着对 Busy Beaver 值长期以来抱有的希望，我们预计 \mathrm{BB}(6) 将永远不会被证明。——BBChallenge 合作组，2025.9.15
1936 年，图灵提出了一个称为图灵机的计算模型。图灵机可以在一条无限长的纸带上运动。在每个时刻，读写头都要从当前纸带上读入一个方格信息，然后结合自己的内部状态查找程序表，根据程序输出信息到纸带方格上，并转换自己的内部状态，然后进行移动。图灵机虽然结构简单，但是它却深刻地揭示了计算的本质。现代计算机在计算能力上与图灵机是等价的。
[[文件:v2-9d16302f36a26572d963c1c4c652eebc 1440w.png|缩略图|图灵机的结构]]
1962 年，Rado 提出了 [[忙碌海狸函数|Busy Beaver 函数]] BB(n) ，它定义为能够停机的 n 状态图灵机在停机前所能够运行的最大步数。由于图灵机能够计算所有的递归函数，因此BB(n) 相当于对所有递归函数进行对角化。它的增长速度必然超越了所有的递归函数，达到了非递归函数的层次。

求出BB(n) 的取值是极为困难的，因为我们需要找到所有能够停机的 n 状态图灵机，并取其运行步数的最大值。而一个图灵机是否停机是不可判定的，即不存在一个通用的算法能判断所有图灵机的停机性。我们实际上并不知道一个很久没有停机的图灵机究竟是无法停机，还是最终能够停机，只不过运行的时间还不够长。由于这些困难，求解 BB(n) 的进展十分缓慢。

1963 年，Lin 等人在文献中得到了BB(n)的第二和第三个取值

<math>\mathrm{BB(2)}= 6,\quad \mathrm{BB(3)}= 21</math>

1983 年，Brady 在文献中得到了BB(n)的第四个取值

<math>\mathrm{BB(4)}= 107</math>
[[文件:v2-20f50bf7a453ada487974dcc486401cf 1440w.png|缩略图|BB(5)判定器的工作流程。]]
然而， BB(5)是一个极为困难的问题。Marxen 在 1990 年找到了一个 5 状态图灵机，它要运行 47176870 步才能停机。也就是说，这是一个BB(5)的下界

但是在接下来的三十多年中，人们并没有找到停机时间更长的图灵机，也无法证明 47176870 就是BB(5)的精确值。对这个问题的研究近乎陷入了停滞的状态。
[[文件:v2-f24e0fa83b934ca943e4f057fd25c1e3 1440w.png|缩略图|十三个零散机的行为。]]
2022 年，一个致力于解决BB(n)问题的业余数学社区 BBChallenge 正式成立。他们设计了一系列判定器，来判定 5 状态图灵机的停机性。在经过七种精心设计的判定器筛选之后，最终只剩下 13 个图灵机没有解决。通过手动为这些图灵机单独编写证明，他们成功地解决了所有 5 状态图灵机的停机性的判定性问题，并最终证明了三十多年前的得到下界就是BB(5)的精确值：

在利用 Coq 形式化证明过程后，他们在 2024 年 7 月 2 日宣布已经解决了BB(5)的取值问题。2025 年 9 月 15 日，他们发布了证明BB(5)取值的论文。至此一个停滞了四十余年的问题在业余数学社区的推动下，终于得到了彻底的解决。

接下来一个自然的问题是，BB(6)的取值是多少。2025 年 6 月 25 日，mxdys 进一步发现了一个停机步数超过 <math>2 \uparrow\uparrow\uparrow 5</math> 的图灵机，从而将BB(6)的下界提升为

<math>\mathrm{BB(6)}> 2 \uparrow\uparrow\uparrow 5</math>

这是目前已知的最好结果。

目前BB(6)的取值问题的解决还遥遥无期。

== 6. 聚集地群成为第一大 ggg 群 ==
<blockquote>ggg 五群方案：

1. 核心大群（大群）

2. 协商会议、文件存储、记号分析、分散线程（会议群）

3. 新人教学、闲聊（聚集地）

4. 刷屏、发癫（表情包）

5. 对外交流、保留最后联系方式、玩 bot、其它（联合群）

——夏夜星空，2024 年 8 月 10 日</blockquote>由 test_alpha0 于 2021.7.3 建立的 QQ 群“googology/数学爱好者讨论群”（讨论群/大群）是中文大数数学社区首个建立的、有较大影响力的 QQ 群，它的建立标志着大数数学社区从百度贴吧时代正式步入了 QQ 群时代。该群的建立使得大数数学研究者的交流和联系变得更加密切，使得大数数学前沿知识得到了极大的普及。讨论群在大数数学社区的发展史之中具有不可磨灭的意义，长期以来一直被人们视为大数数学讨论的中心。

在 2024 年间，大数数学作为一种独特的亚文化开始在中文互联网上流行。特别是知乎上的“挑战葛立恒数”等话题开始让大数数学越来越为中文互联网用户所知，“写出一个很大的数（或是很强的无穷）”成为了一种越来越流行的时尚单品。在这种情况下，中文大数社区的轻度用户数量开始急剧增加，群聊中的讨论也变得越来越混乱。

在这一背景下，许多人认为大数社区的环境正在迅速恶化，话题变得越来越鱼龙混杂。特别是梅天狸因不满讨论群的氛围而退出群聊，并于 2024 年 4 月 14 日建立个人粉丝群“狸と扽西の催更群”（狸群）。这一事件促使群管理开始着手进行群聊讨论的分流，意图将严肃的大数数学讨论留在讨论群，而将新人教学、轻度讨论、日常交流等内容分流到其他群聊之中。由夏夜星空于 2023 年 1 月 8 日建立的 QQ 群“大数数学爱好者聚集地”（聚集地群）承担了这一责任。2024 年 4 月 19 日，QQ 群“大数数学爱好者自由讨论群”（自由群）建立，由 qwerty 担任群主，意图进一步分流灌水内容。

2024 年 8 月，大数数学社区发生了多起恶性事件。特别是一位网名为“孙笑川258”的用户使用多个账号炸群('''''此人并非孙笑川，只是用这样的账号的一个乐子人''''')，并威胁开盒大数社区的成员，严重扰乱了大数社区的秩序。群管理坚决捍卫社区利益，采取果断措施，粉碎了“孙笑川”的图谋。2024 年 8 月 8 日，test_alpha0建立了 QQ 群“googology 群人事管理”，将各群的管理进一步集中化。大数社区决议任免讨论群的多位管理，并加强群消息的进一步分流，提高讨论群的入群门槛和审核强度。这使得讨论群的活跃度迅速下降，日常的讨论几乎完全转移到了聚集地群，从此之后聚集地群的规模和消息数量开始暴增。

2025 年 4 月 5 日，聚集地群的人数成功追平讨论群。2025 年 7 月 4 日，聚集地群由 500 人群扩充为 2000 人群，并在两天之后增设了五位新管理员。2025 年 7 月 8 日，聚集地群的人数正式突破 500 人。2025 年 12 月 31 日，聚集地群的人数达到了 700 人，几乎包含了中文大数社区的所有活跃研究者。时至今日，不论是从总人数、活跃人数，还是新增消息数来看，聚集地群都已经成为了当之无愧的 ggg 第一大群（除表情包群）。

== 7. 最菜萌新的 BMS 全分析 ==
对于(0,0,0)(1,1,1)(2,2,0)以下的分析，我们几乎可以说这是完全正确的。对于(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)以下的分析，我们有很大的把握认为这是正确的。对于(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)以上的分析，我们几乎不知道这是否正确。——Racheline ，BM4 的分析
尽管 BMS 的定义早就已经为人们所知，但长期以来，人们并不了解其强度。这只有将 BMS 和其他记号进行对比分析才能解决。对于 BMS 来说，一个合适的参照是序数折叠函数ψ，将非递归序数放入其中就可以得到递归序数。如果我们引入的非递归序数越强，那么输出的递归序数也就越强。恰当地在序数折叠函数之中引入了ω个非递归序数<math>\Omega_\omega</math>之后，我们可以得到如下结果

<math>(0,0,0)(1,1,1)=\psi(\Omega_\omega)=\mathrm{BO}</math>

要想继续分析 BMS，我们就不得不去寻找更加强大的[[序数#非递归序数|非递归序数]]。[[反射序数]]是一类重要的非递归序数。在引入了反射序数<math>\Pi_\omega</math>之后，我们可以得到如下的结果

<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,2,0)=\psi\left(\Pi_\omega\right)=\mathrm{SSO}</math>

[[稳定序数]]刻画了比反射序数更强的非递归序数。对于<math>\Sigma_1</math>稳定来说，若考虑一条长度为ω的稳定链，则有

<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)=\psi\left(\omega-\pi-\Pi_0\right)=\mathrm{LRO}</math>

以上的这些结果大概在 2020 年就已经得到了。

2021 年，test_alpha0定义了[[投影序数]]。1-投影序数就是<math>\Pi_2</math> 反射序数，而 2-投影序数α则是一个非常强大的非递归序数，当然还可以定义更强大的 3-投影序数，直到ω-投影序数，它的极限为

<math>(0,0,0,0)(1,1,1,1)=\psi\left(\omega-\mathrm{P}\right)=\mathrm{TSSO}</math>

2024 年，最菜萌新开始研究高阶投影的可能性。对于[[向上投影]]来说，定义投影升阶运算σ ，将它作用在投影序数上之后，可以得到比它更高的投影序数。令 S 是最小的 (1,0) -投影，则<math>\psi_S</math>可以投影比它更高的序数<math>\sigma^n S</math> ，这是一种强大的投影层次。在这之后的接近一年的时间里，他不断地完善向上投影的规则并将其递归化，利用它来分析 BMS 的强度。

2025 年 7 月 16 日，最菜萌新宣布了如下的结果：

<math>(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,3,3,1)(4,0,0,0)=\psi\left(\psi_S\left(\sigma^\omega S\right)\right)</math>

引入更复杂的投影结构，可以得到四行 BMS 的极限<math>(0,0,0,0,0)(1,1,1,1,1)=\psi\left(\psi_A([1,1] A \cdot \omega)\right)</math>，乃至 BMS 的极限<math>\text{limit of BMS}=\psi\left(\varepsilon_{H+1}\right)=\mathrm{SHO}</math>。

至此最菜萌新完成了 BMS 的全分析。

该项工作一共包含 7777 条对照分析的结果，是大数数学史上最为庞大的分析工作之一。由于最菜萌新提出了一套完整的理念、一套行之有效的规则，以及详尽的分析结果，向上投影已经打败了其他的投影记号，成为了 (0,0,0)(1,1,1)(2,2,2) 之后的标准记号，甚至投影系记号已经逐渐有取代更加传统的稳定系记号的趋势了。

BMS 并未抵达向上投影的极限，接下来需要利用[[Y序列]]对其进行分析。然而向上投影与Y序列之间的分析举步维艰，目前尚不清楚向上投影的极限究竟是多少。除此之外，向上投影也为[[非递归BMS]]的分析提供了参考。若将 BMS 第一列的全部零删去，则可以设想让 BMS 输出非递归记号。这一非递归记号的强度用向上投影来分析是合适的。

需要说明的是，投影序数并非集合论意义上的严格的非递归序数。而将投影序数放入ψ之中得到的递归化函数，本质上仍然是一个递归记号。事实上即使是对于反射序数和稳定序数来说，我们也只是使用了一种“长得像序数折叠函数”的递归记号，它们模仿了真正使用集合论方法来定义的序数折叠函数的行为。

而另一方面，真正严格意义上的序数折叠函数以及相应的非递归分析已经得到了长足的发展，这一部分应当归功于序数分析领域的专业数学家。目前序数分析的巅峰之作是数学家 Arai 对二阶算术的序数分析，这是序数分析领域中发展的最强序数折叠函数。然而我们并不知道它和大数数学之中发展的序数记号之间的强度关系是什么样的，目前我们只能就此做出一些猜测。

我们已经知道的是，文章利用<math>\Sigma_n</math>稳定序数的存在性证明了 BMS 的良序性，而二阶算术与 <math>\mathrm{KP} +</math>存在<math>\Sigma_1</math>稳定序数+存在<math>\Sigma_2</math>稳定序数+……这一公理体系的强度是相同的。如果我们真的可以认为 BMS 与二阶算术的强度相同，那么我们就可以说 Arai 的序数折叠函数极限等于 BMS 的极限，它们都是二阶算术的证明论序数。然而严格的序数分析是极其困难的工作，也许我们永远也不会知道我们的记号何时能够达到各种公理体系的极限了。

== 8. HypCos 定义 ω^ωMN ==
时至今日，还未有人分析 Tω^ωMN。它太难分析了吗？它太难理解吗？没有什么合适的其它记号用来分析吗？—— HypCos ，2025.8.17
BMS 是跨时代的记号，它将递归记号构造的范式从数阵型记号转变为了 Worm 型记号，其强度远远超越了当时的所有记号。2020 年 9 月，日本的大数研究者 Yukito 对 Worm 型记号进行扩展，定义了 Y序列，它的强大再一次震撼了研究者。后来 Yukito 又定义了更加强大的[[ω-Y|ω-Y序列]]，这是目前已经得到公认的、成熟的大数数学社区最强记号。

如果要得到更强的记号，下一步该如何做？我们可以试图将 ω-Y 序列推广到更高的<math>\alpha-\mathrm Y</math> 序列，乃至<math>\Omega-\mathrm Y</math>序列。考虑到 BMS 有ω行，1-Y 序列的山脉图有 <math>\omega^2</math> 行，ω-Y 序列的山脉图有 <math>\omega^\omega</math>行，那么似乎将山脉图的行数推广到更高就可以得到更强的记号。不过令人遗憾的是，平凡的推广几乎是没有任何意义的。BMS 也可以直接推广到Ω行，但是它的强度仍然难以超越Y(1,3,4,3) 。事实上，目前已知的所有定义<math>\Omega-\mathrm Y</math>序列的尝试不是非良序，就是强度达不到预期。在ω-Y 序列之上，人们似乎再难以前进半步。

HypCos对 Worm 记号体系进行了深入的研究。鉴于序列型记号形式上的困难已经严重阻碍了进一步的推广，HypCos采用了新的多维数阵体系，将山脉图的结构直接编码进表达式中，称为[[Mountain Notation|山脉记号]]（Mountain Notation，MN）。他在 2024 年 9 月 11 日提出了ωMN的定义，这一记号与 ω-Y序列是等价的。接下来他在 2024 年 9 月 15 日又进一步提出了<math>\omega\cdot 2\mathrm{MN}</math>的定义。最终在 2025 年 7 月 19 日，他进一步地提出了 <math>\omega^\omega\mathrm{MN}</math>的定义，这是目前已知的有明确定义的最强递归记号之一。

如果不能真正理解 Worm 型记号为何如此之强，那么想凭运气再创造出来一种本质上强于它的记号也几乎是不可能的。2024 年 2 月 23 日，几位研究者以极富洞察力的直觉提出了“[[传递]]”的概念，从而解决了 Worm 型记号强度的来源问题。简单地说，序数记号的传递现象意味着一个序数记号表达式在展开时，不仅仅是判定展开所用到的元素参与了展开过程，还有别的元素也参与了展开过程，从而将序数结构的一部分“传递”到了展开后的表达式之中。
[[文件:v2-0eab85904cbae6d283df767e2879a755 1440w.png|缩略图|Y(1,3,7)展开为Y(1,3,6,12,24,48,96,192,...)，从图中可以看出，对角线上的元素由1,2,2展开为1,2,1,2,1,2,...，因此这是一个真正的ω行传递。]]
具有传递现象的记号通常拥有更高的强度，并且传递的层次越高，记号的强度就越高。对于 BMS 来说，若删去第 n 列及以下的部分能够该改变坏根的位置，则称该表达式拥有 n 行传递。BMS 拥有任意有限的 n 行传递，因此它的强度超越了绝大多数其他类型的序数记号。而Y序列拥有真正意义上的ω行传递，因此它远远超越了 BMS 平凡扩展的极限。

MN系列记号利用独特的拉伸操作，实现了比ω-Y 序列更加强大的结构，增进了人们对于ω-Y 序列之上的递归序数结构的理解。然而我们能说<math>\omega^\omega\mathrm{MN}</math>就是预想中的<math>\omega^\omega-\mathrm Y</math>序列吗？它具有真正的更高层次的传递吗？或者说，山脉记号能够成为Y序列的某种“上位替代”吗？这一点恐怕很难说。因为没有人知道一个理想的传递究竟应该是什么样子的，人们最多只能知道某个记号并不符合心目中的“理想”情况。不过从目前的情况来看，MN系列记号确实已经成为了ω-Y 序列之后的一种新的参照标准，正在被越来越多的人所接受。

以传递现象的提出作为标志性事件，一部分研究者建立了更加深入的“构造理论”，期望能够触及更加强大的记号体系的一角。对构造理论的研究几乎是整个 2024 年的研究核心，人们提出了太多的理论和体系，又将它们一个个推翻。目前关于构造理论的研究少有成体系的结果，也并没有真正建立起成熟完备的新记号体系。而且目前对于构造理论的研究过于艰涩，除了寥寥几位研究者之外，其他人几乎不知道他们在做什么。我们并不知道目前在构造理论上的尝试是否是正确的。

== 9. Phyrion 的新 Googology Wiki ==
wiki.googology.top：首个以 googology 为二级域名建立的网站！——Phyrion，2025.6.25
在 21 世纪的前几年中，大数数学还仅仅是一个只为极少数人所知的小众数学问题。那时仅有少数几位欧美国家的爱好者关注这一问题，并且将自己的研究成果发布在个人网站上。直到 2008 年 12 月 5 日，fandom 上的 Googology Wiki 网站正式上线，才结束了这一局面。在这之后的十余年时间里，Googology Wiki 当之无愧地成为了全球大数数学研究者的中心，为大数数学的发展提供了一个宝贵的平台。

长期以来，Googology Wiki 包含着大数数学社区最完整的知识以及最前沿的进展，但是随着时间的推移，Googology Wiki 也已经逐渐衰落了。起先是 Wiki 中的部分成员不满管理员的专权，因此另立门户。欧美大数社区的讨论中心也逐渐转移到了 Discord 频道上，不再活跃于 Wiki。而中文社区和日文社区近乎独立地发展，极少与欧美社区进行交流。因此在 2020 年之后，Fandom 的 Googology Wiki 迅速的落后于了整个时代。

为了建立一个能够完整准确地反映现代大数数学研究进展的在线知识库，Phyrion 启动了新 Wiki 计划。该计划从 2025 年 6 月启动，由 Phyrion 维护网站，并由十余位活跃研究者共同编写。2025 年 8 月 15 日，新 Wiki 的网址 wiki.googology.top 正式公开，并立刻引起了大数社区的广泛关注。

新 Wiki 全面抛弃了旧 Wiki 以大数为中心的思想，而转向了更加现代化的以序数为中心的思想。新 Wiki 系统性地整理了大数数学的最新研究成果，许多成果都是首次发布在公共的平台之上。新 Wiki 在内容选择、材料组织等方面遵循了深入浅出、详略得当的原则，既能够完整准确地反映大数数学的核心内容和最新进展，又不显得过于繁冗。新 Wiki 已经成为了大数社区最重要的在线知识库之一。

新 Wiki 的命运是坎坷的。在 2025 年 9 月 30 日，新 Wiki 站点由于欠费停站，直到 2025 年 10 月 11 日才重新恢复。而后它在 2025 年 10 月 31 日再次由于欠费而停站，直到2024.2.20。这引发了人们对于新 Wiki 站点不稳定的担忧。

== 10. PPS 被发现无穷降链 ==
<blockquote>@全体成员 PPS 无穷降链

沉痛悼念，永垂不朽

——z，2025.12.10</blockquote>[[PPS|Parented Predecessor Sequence]]（PPS）是3183 丶 4139于 2024 年 9 月 9 日创造的记号。PPS 的定义非常简单，相比于标记父项列标 PrSS，它只增加了一条规则：如果坏部里没有其他等于坏根的项，那么复制时，复制出来的部分的首项改成原末项-1。

然而，正是这样简单的规则导致了极其诡异的行为。整个七月份，大数数学的研究者绞尽脑汁对 PPS 的强度进行分析，然而整个记号的规律似乎完全是无法理解的。即使进行了大量的尝试，耗尽了全部的精力，研究者们也未能将 PPS 分析至<math>\zeta_0</math>。这对于该强度的记号来说似乎是完全无法理喻的。在遭受了重大的挫折之后，大数数学的研究者不得不将精力转移到其他的问题上。

一切都结束于 2025 年 12 月 10 日，在这一天 ddfg 通过对 PPS 的详尽分析，发现了一个展开式，它可以无穷无尽地展开下去，越来越复杂，永远也不会停下来。这种越来越复杂的表达式构成了一条不断递降的链条，称为无穷降链。由于序数的每个子集必有最小元，不会出现无穷递降的情况，因此 PPS 的展开不构成其标准表达式上的一个良序关系。也就是说，PPS 根本就不是一个序数记号。

PPS 的无穷降链无疑是对于其研究者的一个沉痛打击。尽管在这之后还有一系列修复 PPS 的尝试，但人们对这一记号已经失去了信心。不过人们更好奇的是，为什么时隔如此之久，大数社区才找到了 PPS 的无穷降链。这不禁让人们想起 2024 年 7 月 7 日的盛况，在短短的几个小时内，三个前沿记号都被发现无穷降链或不良定义，大数数学社区的进展几乎一夜之间倒退到了 2021 年的ω-Y序列。

无穷降链是悬在所有序数记号头上的达摩克里斯之剑，几乎所有记号都要受到无穷降链的威胁。人们或许希望能够直接利用数学方法证明记号的良序性，从而一劳永逸地解决这一问题。然而我们现在几乎完全不知道如何证明记号的良序性，目前仅有寥寥几个记号的良序性问题得到了解决。并且事实上任何公理体系可证良序的范围都是有限的，一旦记号的强度超出了这一范围，那么我们就必须诉诸更加强大的公理体系。而与此同时，过于强大的公理体系本身的一致性都是值得怀疑的。因此可以说，记号良序性证明的困难是本质的。

但是，如果我们不能够为记号的良序性给出证明，那么我们要如何相信它们的可靠性呢？如果我们连严格性都舍弃掉，那么整个数学体系之中还有什么是可以信赖的呢？多年以来大数数学研究者建立起的庞大的理论体系，究竟有多少是虚无的空中楼阁，随时会被推翻？我们不知道这些问题的答案。或许真正具有洞察力的数学研究者能够推动这一问题的解决，而在这之前，我们只能祈祷之前建立起的大多数地基都是扎实的。

== 展望：未来时代的大数数学 ==
自 2021 年以来，中文大数社区得到了长足的发展，逐渐赶上并超越了欧美社区和日本社区的水平。特别是在 2024 年，大数社区内部洋溢着积极乐观的情绪。在传递以及其他思想的指引下，构造理论得到了充分的发展。FOS、fffz、MMS、MN 等新记号的提出和优化层出不穷。 @曹知秋的《大数理论》系统性地整理了大数数学的理论体系，结束了资料过于零散的时代。随着相关亚文化的传播，大数数学在中文互联网上的知名度越来越高，这为中文大数社区提供了大量的新鲜血液。

然而进入 2025 年之后，大数数学的研究开始进入了低谷。人们开始审视之前过于激进的理论体系，并排除了大量不可靠的结果和空中楼阁一般的概念。尽管大数数学知名度仍然在不断增加，进入大数社区的新人越来越多，但是这些人通常不会去真正了解大数数学的知识，并且圈层的扩大也势必会对原有的大数社区生态造成破坏。近年来大数社区与其他社区的交往正在变得更加紧密，这种联系总体上是有益的，但实际上并未真正对各自关心的问题有实质性的启发。大数数学横向上的宽度正在不断扩展，但是纵向上的深度则并未有明显的增加。大数数学各社区之间的国际交往仍然非常有限，欧美社区和日本社区的研究也明显地进入了衰退期。大数数学的业余研究者和专业数学家之间几乎没有交流，专业数学家不关心（或者根本不知道）大数数学社区的结果，我们也几乎无法理解专业数学家的相关工作。

2025 年生成式人工智能的发展非常迅猛，已经在方方面面深刻地改变了人们的生活。然而，目前来看关于大数数学的资料仍然十分缺乏，人工智能在大数数学问题上的表现不佳。我们期望人工智能能够在记号分析、资料整理等领域为我们提供更多的帮助，但是目前看来，这一目标还非常遥远。

根据库恩的范式理论，科学的发展并非是简单的线性累积，而是在常规发展和科学革命两个阶段之间不断交替。按照这一理论，我们至今仍然处在 Worm 型记号革命之后的常规发展阶段，并且这一阶段的潜力正在肉眼可见地被消耗殆尽，逐渐失去了生命力。当前的大数数学研究呈现出了越来越复杂化的倾向，新的结果几乎不能够被其他研究者所理解。进入大数数学前沿研究的门槛越来越高，几乎超过了普通人单纯凭借兴趣所能够达到的极限。事实上自从 2024 年以来，尽管加入大数社区的新人越来越多，但是只有屈指可数的几个人能够真正了解大数数学的前沿进展，并且真正为大数数学的发展做出贡献。这一阶段未来可能还要继续持续下去，直到量变的积累产生质变，或者有真正天才的研究者为我们踏出关键的一步，将大数数学引领到一个全新的时代。

'''附：2024 年中文大数社区十大事件'''

'''1. 3183 丶 4139提出 FOS'''

'''2. 传递现象的提出'''

'''3. 大数社区群聊改革'''

'''4. 曹知秋发布《大数理论》'''

'''5. HypCos提出 MM3'''

'''6. BB(5)取值的严格证明'''

'''7. 7 月 7 日前沿记号的无穷降链或不良定义'''

'''8. 夏夜星空完善 fffz 规则'''

'''9. HypCos提出 MN'''

'''10. 62XXY（739085）与大数社区决裂'''

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Z：

个

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2026-02-28T10:32:31Z

Z：

2025年中文大数社区十大事件

2026-02-28T10:29:29Z

Z：创建页面，内容为“大数数学（Googology，ggg）是系统性地研究如何构造大自然数的数学分支。中文大数社区是一个致力于发展大数数学理论的中心化业余数学社区，它以一系列 QQ 群为核心，其成员为较为严肃的大数数学爱好者。广义的中文大数社区包含中文互联网上所有关心和讨论大数数学相关问题的人。本词条总结了 2025 年中文大数社区影响力最大的 10 个事件（…”

大数数学（[[Googology]]，ggg）是系统性地研究如何构造大自然数的数学分支。中文大数社区是一个致力于发展大数数学理论的中心化业余数学社区，它以一系列 QQ 群为核心，其成员为较为严肃的大数数学爱好者。广义的中文大数社区包含中文互联网上所有关心和讨论大数数学相关问题的人。

本词条总结了 2025 年中文大数社区影响力最大的 10 个事件（进展），按照时间顺序进行排列。以下内容来自<ref>[https://zhuanlan.zhihu.com/p/1988997637857358320 2025年中文大数社区十大事件]</ref>

== 1. blp 与 DEN 的定义 ==
[[Laver Table|laver table 函数]]的增长速度能不能超过 [[皮亚诺公理体系|PA]] 可证极限(<math>\varepsilon_0</math>)是 Dougherty 在 30 年前提的问题。这个问题是有不少关注的，虽然也没有特别多，但经常能在科普文中看到，有个数学物理学家还在他的博客里讲过这个文章。它被认为极度困难。30 年来毫无进展。30 年后，它被一篇完全是基于 ggg 思想的论文解决了。—— test_alpha0，2025.12.21
1992 年，Laver 提出了 Laver Table，并定义了与之相关联的 Laver Table 函数。这个函数的完全性需要在 \mathrm{ZFC+I3} 之中才能够得到证明。人们期望这是一个增长十分迅速的大数函数，然而长期以来，研究者们始终不能够证明这一点。

为了解决这一问题，研究者们付出了许多努力。2023 年， test_alpha0定义了 Laver Table Yarn（LTY）作为 Laver Table 的扩展，其完全性需要在 \mathrm{ZFC+I1} 之中才能够得到证明。

2025 年 1 月 3 日，Renrui Qi 在论文中证明 Laver Table 函数的增长速度超越了一切能够在皮亚诺公理系统中可证完全性的函数。所有公理体系的证明能力都有极限，皮亚诺公理只能证明 \varepsilon_0 以下的良序结构。因此用更为大数数学研究者熟悉的话说，这意味着 Laver Table 函数的增长率至少达到了 \varepsilon_0 。

为了证明这一点，作者在论文中定义了一个递归记号 Basic Laver Pattern（blp），以描述初等嵌入的关键点之间的结构。通过利用 blp 构造恰当的递归函数，作者成功证明了 Laver Table 函数的增长率至少达到了 \varepsilon_0 。作者进一步在论文中宣称，事实上可以证明 Laver Table 函数的增长率至少达到了 \mathrm{BO} 。这篇论文进一步讨论了 LTY 的定义和性质。

“我们用美丽的颜色#66CCFF来表示复制操作中要复制的行”。

即使作为递归记号本身，blp 的意义也是足够重大的。长期以来，对记号良序性的证明几乎是大数数学领域中最为困难的问题，而 blp 的良序性已经在上述论文中得到了证明。目前猜测，blp 的强度极大可能超过 BMS 的极限，与 \mathrm Y(1,3,8) 的强度关系尚不明确。因此，blp 有极大可能取代 BMS，成为目前已证良序性的最强递归记号。（当然，这一说法排除了证明论中发展的一系列序数折叠函数，目前大数数学社区对这些函数的强度几乎一无所知。）

Laver Table 几乎是无法以人力进行分析的。blp 是 Laver Table 的一个弱下界，并且是一个可证良序的递归记号。然而 blp 的性质也过于复杂，@投影序数（最菜萌新）仅仅将 blp 分析到了 \zeta_0 。 test_alpha0估计 blp 的表达式 \mathrm{mcce2mmcce2mcmcc} 等于 BMS 极限，这是目前已知的最好结果。

为了更好地了解 blp 的性质，@HypCos于 2025 年 12 月 21 日定义了 Defective Embeeding Notation（DEN），它的行为比 blp 要简单得多。DEN 的绝大部分定义都与 blp 相同，但在“M 操作”之中的“Copied 操作”中，复制的是从第 s(-1,-l-2) 行开始的所有内容。如果把 DEN 比作 BMS，那么 blp 就可以比作只有最后一列长度为 1 时展开 n 次，其他时候仅仅展开两次的 BMS。由于这样一种性质，目前人们估计 DEN 的强度与 blp 应该是相等的。然而经过这样修改之后，blp 的良序性证明对 DEN 就无效了。

@HypCos对 DEN 的性质进行了详细的分析，目前已经分析到了 BMS 的极限，这同时也为 blp 的 BMS 极限表达式强度提供了佐证。然而在这之后，记号的性质变得更加困难，分析变得举步维艰。我们目前对 DEN 和 blp 的强度极限尚没有估计。

2. 梅天狸的两行 BHM 分析

是的，这个结果几乎宣判 BHM=BMS 了。

—— @Suzuka梅天狸，2025.4.6

Bashicu Matrix System（BMS）是日本的大数数学研究者 Bashicu 于 2014 年提出，并于 2018 年完善的记号。为了展开 BMS，我们需要找到表达式的 “好部”和“坏部”，然后保持好部不动，坏部加上阶差向量后不断地在序列末尾复制。

Bashicu Hyper Matrix（BHM）是 BMS 的改版，它只是坏部的规则发生了变化。简单地说，BHM 坏部的范围总是大于或者等于 BMS 坏部的范围。可以设想在展开的过程中 BHM 将携带更多的信息，因此 BHM 的强度至少不低于 BMS。

我们将类似于 BHM 这种扩大坏部范围的模式称为“急模式”。一个自然的问题是，BHM 的强度相比于 BMS 是否真的有提高？如果有的话，那么究竟提高了多少？或者更进一步地说，对记号进行急模式的推广，是否在本质上真正增加了记号的强度？

要回答这一问题，必须建立起 BHM 与 BMS 表达式的一一对应关系。虽然 BHM 与 BMS 的结构相同，二者的展开规则也相差不多，但是它们的行为实际上具有很大的差别，这使得它们之间的分析变得极为困难。早年 @HypCos 曾经对此进行过非常详细的分析，但是进展十分有限。长期以来这一直被视为大数数学之中的一个非常困难的问题。

经过长达 13 个月的分析，在 2025 年 4 月 6 日， @Suzuka梅天狸宣布得到了如下的结果：

\begin{aligned} & \mathrm{BHM}(0,0,0)(1,1,1) \\ =~&\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(3,1,1) \end{aligned}

毫无疑问，这一结果是大数数学分析领域的一座丰碑，它解决了人们此前认为几乎是不可能解决的问题。根据这一结果，一行 BHM 的极限在一行 BMS 的极限和两行 BMS 的极限之间，两行 BHM 的极限在两行 BMS 的极限和三行 BMS 的极限之间。如果这一规律能够一直得到保持，那么 n 行 BHM 的极限将处在 n 行 BMS 的极限和 n+1 行 BMS 的极限之间。取 n 趋于无穷大的极限，那么我们将发现 BHM 的极限将与 BMS 的极限是相同的。也就是说，虽然 BHM 的表达式强于 BMS，但是二者的强度是一样的。BMS 最终追平了 BHM。

@OvOvO 对另一个急模式的记号 Bashicu Sudden Matrix（BSM）的分析也发现了意料之外的弱化，这暗示 BSM 的强度也有可能远远不及预期。鉴于以上的结果，我们现在认为急模式并没有从本质上提升记号的强度。

3. 第四级运算的解析延拓

我怀疑这套方法可以直接推广到任意阶超运算。

—— @曹知秋，2025.7.11

现在看来……至少是很难直接推广。

—— @曹知秋，2025.9.21

大数数学称加法为一级运算，乘法为二级运算，乘方为三级运算。由于将前一级运算迭代若干次后可以得到下一级运算，因此将乘方迭代若干次后，我们进一步可以得到第四级运算。我们用运算符 \uparrow\uparrow 来表示第四级运算，它实际上就是指数塔

<nowiki>a\uparrow\uparrow b=\underbrace{a^{a^{\ldots^{a}}}}_{b\text{个}a}</nowiki>

其中左边的元素 a 代表指数塔的底数，右边的元素 b 代表指数塔的层数。需要注意的是第四级运算要从最上层开始，逐层计算指数的取值。

通常来说，第四级运算的的底数和层数都定义在正整数之上，然而我们有时候希望能够将其推广为任意的实数，这正如我们经常希望使用实数变量的加法、乘法和乘方运算一样。要将底数 a 推广为实数是容易的，因为实数的指数函数是有明确定义的。现在的问题在于，我们是否能将第四级运算的的层数 b 也推广为一般的实数？

事实上，这个问题在复数域上讨论起来更容易，因为复变函数拥有更良好的解析性质。因此我们希望能够将层数 b 延拓到整个复平面上，即找到一个以 b 为变量的复变函数，它除去奇点之外在整个复平面上是解析的，并且在 b 取正整数时能够回到通常的第四级运算。这被称为第四级运算的解析延拓（或者更严格地称为定义域的扩张）。

第四级运算的解析延拓是一个困难的问题，因为函数增长的速度太过迅速。这一问题有一个业余数学社区关注，不过真正重要的进展都是由专业的数学家得到的。早在上世纪五十年代，这类问题便已经引起了数学家的关注。因为第四级运算可以视为函数 f(x)=a^x 迭代若干次的结果，而迭代非整数次的问题由一个名为“超函数”的数学分支描述。2009 年，Kouznetzov 在文献中讨论了第四级运算在复平面上的解析性质。而后在 2017 年，Paulsen 等人在文献中首次给出了第四级运算的级数解，2019 年 Paulsen 在文献中讨论了第四级运算延拓的唯一性。2022 年，Nixon 在文献中给出了第四级运算解析延拓的渐进解。

第四级运算在复平面上的等值曲线。

2025 年 5 月 8 日，Vey 宣布完全解决了第四级运算解析延拓的问题。他在论文中考虑了 Schröder 泛函方程，将待求的函数在其奇点处展开为级数，然后通过级数反演求出了第四级运算解析延拓的显式表达式。至此，大数数学中一个二十余年悬而未决的问题终于得到了解答，我们终于得到了一个性质良好的定义在复平面上的四级运算。

我们目前尚不知道如何将更高级的运算进行解析延拓。

4. 至 BTBO（BIO）的形式化递归序数

为了引起关注, 我们将其命名为布劳威尔树壁垒序数(Brouwer Tree Barrier Ordinal)。

—— @ocau ，2025.6.18

长期以来，大数数学一直建立在不严格的基础之上，大量序数记号的良序性无法得到证明。 @ocau 利用 Agda 语言进行了递归序数的形式化，从而保证了序数系统的可靠性。

ocau 的形式化工作分为了几个不同的阶段。最早期的工作于 2022 年 11 月完成，它达到了二元 Veblen 函数的极限 \Gamma_0 。2024 年 7 月，ocau 完成了超限元 Veblen 函数的形式化，其极限达到了 \mathrm{LVO} 。

为了进一步得到更强的序数，需要对序数折叠函数进行形式化。2024 年 8 月，ocau 进行了形式化良构树序数的尝试，但是并没有完成。实际上，早在 2019 年，就有形式化序数折叠函数的尝试。AndrasCovacs 利用树序数成功地将序数折叠函数形式化，其极限为 \psi(\Omega_\omega) 。但是，进一步的形式化工作遇到了困难。

2025 年 6 月 18 日，形式化可数序数的工作取得了新的进展。ocau 定义了任意可数层布劳威尔树序数的结构，利用它来表示序数折叠函数中的非递归序数。通过恰当地定义布劳威尔树序数的折叠过程，ocau 完成了序数折叠函数的形式化，其极限为 \psi(\Omega_\Omega) 。ocau 将其命名为布劳威尔树壁垒序数(Brouwer Tree Barrier Ordinal, BTBO)，即利用布劳威尔树的形式化方法所能够达到的极限。

形式化递归序数的推进无疑是一项重要的进展，它为序数记号的良序性提供了坚实的基础。然而，目前形式化工作的进展仍然十分有限。目前的形式化极限为 \psi(\Omega_\Omega) ，而此处的序数已经被人们认为是相当可靠的。因此，对于大数数学领域来说，这一形式化的结果的意义更多是在理论上的，它并没有解决真正不够可靠的大递归序数的形式化问题。而另一方面，作为一个形式系统，Agda 本身的强度也是有限的，这或许为形式化序数的进展设置了一个理论上的上限。

5. BB(5) 的证明与 BB(6) 下界更新

因此，秉承着对 Busy Beaver 值长期以来抱有的希望，我们预计 \mathrm{BB}(6) 将永远不会被证明。

——BBChallenge 合作组，2025.9.15

1936 年，图灵提出了一个称为图灵机的计算模型。图灵机可以在一条无限长的纸带上运动。在每个时刻，读写头都要从当前纸带上读入一个方格信息，然后结合自己的内部状态查找程序表，根据程序输出信息到纸带方格上，并转换自己的内部状态，然后进行移动。图灵机虽然结构简单，但是它却深刻地揭示了计算的本质。现代计算机在计算能力上与图灵机是等价的。

图灵机的结构。

1962 年，Rado 提出了 Busy Beaver 函数 \mathrm{BB}(n) ，它定义为能够停机的 n 状态图灵机在停机前所能够运行的最大步数。由于图灵机能够计算所有的递归函数，因此 \mathrm{BB}(n) 相当于对所有递归函数进行对角化。它的增长速度必然超越了所有的递归函数，达到了非递归函数的层次。

求出 \mathrm{BB}(n) 的取值是极为困难的，因为我们需要找到所有能够停机的 n 状态图灵机，并取其运行步数的最大值。而一个图灵机是否停机是不可判定的，即不存在一个通用的算法能判断所有图灵机的停机性。我们实际上并不知道一个很久没有停机的图灵机究竟是无法停机，还是最终能够停机，只不过运行的时间还不够长。由于这些困难，求解 \mathrm{BB}(n) 的进展十分缓慢。

1963 年，Lin 等人在文献中得到了 \mathrm{BB(n)} 的第二和第三个取值

\mathrm{BB(2)}= 6,\quad \mathrm{BB(3)}= 21

1983 年，Brady 在文献中得到了 \mathrm{BB(n)} 的第四个取值

\mathrm{BB(4)}= 107

然而， \mathrm{BB(5)} 是一个极为困难的问题。Marxen 在 1990 年找到了一个 5 状态图灵机，它要运行 47176870 步才能停机。也就是说，这是一个\mathrm{BB(5)} 的下界

\mathrm{BB(5)}\geq 47176870

但是在接下来的三十多年中，人们并没有找到停机时间更长的图灵机，也无法证明 47176870 就是 \mathrm{BB(n)} 的精确值。对这个问题的研究近乎陷入了停滞的状态。

2022 年，一个致力于解决 \mathrm{BB}(n) 问题的业余数学社区 BBChallenge 正式成立。他们设计了一系列判定器，来判定 5 状态图灵机的停机性。在经过七种精心设计的判定器筛选之后，最终只剩下 13 个图灵机没有解决。通过手动为这些图灵机单独编写证明，他们成功地解决了所有 5 状态图灵机的停机性的判定性问题，并最终证明了三十多年前的得到下界就是 \mathrm{BB}(5) 的精确值：

\mathrm{BB(5)}= 47176870

BB(5)判定器的工作流程。

十三个零散机的行为。

在利用 Coq 形式化证明过程后，他们在 2024 年 7 月 2 日宣布已经解决了 \mathrm{BB}(5) 的取值问题。2025 年 9 月 15 日，他们发布了证明 \mathrm{BB}(5) 取值的论文。至此一个停滞了四十余年的问题在业余数学社区的推动下，终于得到了彻底的解决。

接下来一个自然的问题是，\mathrm{BB(6)} 的取值是多少。2022 年 5 月 30 日，Pavel Kropitz 发现了一个停机步数超过 10 \uparrow\uparrow 15 的图灵机，从而将 \mathrm{BB(6)} 的下界提升为

\mathrm{BB(6)}> 10\uparrow\uparrow 15

2025 年 6 月 12 日，mxdys 发现了一个停机步数超过 10 \uparrow\uparrow 11010000 的图灵机，从而将 \mathrm{BB(6)} 的下界提升为

\mathrm{BB(6)}> 10\uparrow\uparrow 11010000

2025 年 6 月 25 日，mxdys 进一步发现了一个停机步数超过 2 \uparrow\uparrow\uparrow 5 的图灵机，从而将 \mathrm{BB(6)} 的下界提升为

\mathrm{BB(6)}> 2 \uparrow\uparrow\uparrow 5

这是目前已知的最好结果。

目前 \mathrm{BB(6)} 的取值问题的解决还遥遥无期。

6. 聚集地群成为第一大 ggg 群

ggg 五群方案：

1. 核心大群（大群）

2. 协商会议、文件存储、记号分析、分散线程（会议群）

3. 新人教学、闲聊（聚集地）

4. 刷屏、发癫（表情包）

5. 对外交流、保留最后联系方式、玩 bot、其它（联合群）

——@夏夜星空（猫猫の星梦），2024 年 8 月 10 日

由 test_alpha0 于 2021.7.3 建立的 QQ 群“googology/数学爱好者讨论群”（讨论群/大群）是中文大数数学社区首个建立的、有较大影响力的 QQ 群，它的建立标志着大数数学社区从百度贴吧时代正式步入了 QQ 群时代。该群的建立使得大数数学研究者的交流和联系变得更加密切，使得大数数学前沿知识得到了极大的普及。讨论群在大数数学社区的发展史之中具有不可磨灭的意义，长期以来一直被人们视为大数数学讨论的中心。

在 2024 年间，大数数学作为一种独特的亚文化开始在中文互联网上流行。特别是知乎上的“挑战葛立恒数”等话题开始让大数数学越来越为中文互联网用户所知，“写出一个很大的数（或是很强的无穷）”成为了一种越来越流行的时尚单品。在这种情况下，中文大数社区的轻度用户数量开始急剧增加，群聊中的讨论也变得越来越混乱。

在这一背景下，许多人认为大数社区的环境正在迅速恶化，话题变得越来越鱼龙混杂。特别是 @Suzuka梅天狸因不满讨论群的氛围而退出群聊，并于 2024 年 4 月 14 日建立个人粉丝群“狸と扽西の催更群”（狸群）。这一事件促使群管理开始着手进行群聊讨论的分流，意图将严肃的大数数学讨论留在讨论群，而将新人教学、轻度讨论、日常交流等内容分流到其他群聊之中。由 @夏夜星空（猫猫の星梦）于 2023 年 1 月 8 日建立的 QQ 群“大数数学爱好者聚集地”（聚集地群）承担了这一责任。2024 年 4 月 19 日，QQ 群“大数数学爱好者自由讨论群”（自由群）建立，由 qwerty 担任群主，意图进一步分流灌水内容。

2024 年 8 月，大数数学社区发生了多起恶性事件。特别是一位网名为“孙笑川”的用户使用多个账号炸群，并威胁开盒大数社区的成员，严重扰乱了大数社区的秩序。群管理坚决捍卫社区利益，采取果断措施，粉碎了“孙笑川”的图谋。2024 年 8 月 8 日，test_alpha0建立了 QQ 群“googology 群人事管理”，将各群的管理进一步集中化。大数社区决议任免讨论群的多位管理，并加强群消息的进一步分流，提高讨论群的入群门槛和审核强度。这使得讨论群的活跃度迅速下降，日常的讨论几乎完全转移到了聚集地群，从此之后聚集地群的规模和消息数量开始暴增。

2025 年 4 月 5 日，聚集地群的人数成功追平讨论群。2025 年 7 月 4 日，聚集地群由 500 人群扩充为 2000 人群，并在两天之后增设了五位新管理员。2025 年 7 月 8 日，聚集地群的人数正式突破 500 人。2025 年 12 月 31 日，聚集地群的人数达到了 700 人，几乎包含了中文大数社区的所有活跃研究者。时至今日，不论是从总人数、活跃人数，还是新增消息数来看，聚集地群都已经成为了当之无愧的 ggg 第一大群（除表情包群）。

各群新增消息数占比。聚集地群的消息数已经超过了其他所有群聊的总和（除表情包群）。

7. 最菜萌新的 BMS 全分析

对于(0,0,0)(1,1,1)(2,2,0)以下的分析，我们几乎可以说这是完全正确的。

对于(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)以下的分析，我们有很大的把握认为这是正确的。

对于(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)以上的分析，我们几乎不知道这是否正确。

——Yto ，BM4 的分析

尽管 BMS 的定义早就已经为人们所知，但长期以来，人们并不了解其强度。这只有将 BMS 和其他记号进行对比分析才能解决。对于 BMS 来说，一个合适的参照是序数折叠函数 \psi ，将非递归序数放入其中就可以得到递归序数。如果我们引入的非递归序数越强，那么输出的递归序数也就越强。恰当地在序数折叠函数之中引入了 \omega 个非递归序数 \Omega_\omega 之后，我们可以得到如下结果

(0,0,0)(1,1,1)=\psi(\Omega_\omega)=\mathrm{BO}

要想继续分析 BMS，我们就不得不去寻找更加强大的非递归序数。反射序数是一类重要的非递归序数。在引入了反射序数 \Pi_\omega 之后，我们可以得到如下的结果

(0,0,0)(1,1,1)(2,2,0)=\psi\left(\Pi_\omega\right)=\mathrm{SSO}

稳定序数刻画了比反射序数更强的非递归序数。对于 \Sigma_1 稳定来说，若考虑一条长度为 \omega 的稳定链，则有

(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)=\psi\left(\omega-\pi-\Pi_0\right)=\mathrm{LRO}

以上的这些结果大概在 2020 年就已经得到了。

2021 年，test_alpha0定义了投影序数。1-投影序数就是 \Pi_2 反射序数，而 2-投影序数 \alpha 则是一个非常强大的非递归序数，将它放进 \psi_\alpha 之中时，可以折叠 \psi_\alpha 中的“任意递归运算”。当然还可以定义更强大的 3-投影序数，直到 \omega -投影序数，它的极限为

(0,0,0,0)(1,1,1,1)=\psi\left(\omega-\mathrm{P}\right)=\mathrm{TSSO}

2024 年， @投影序数（最菜萌新）开始研究高阶投影的可能性。对于向上投影来说，定义投影升阶运算 \sigma ，将它作用在投影序数上之后，可以得到比它更高的投影序数。令 S 是最小的 (1,0) -投影，则 \psi_S 可以投影比它更高的序数 \sigma^n S ，这是一种强大的投影层次。在这之后的接近一年的时间里，他不断地完善向上投影的规则并将其递归化，利用它来分析 BMS 的强度。

2025 年 7 月 16 日，最菜萌新宣布了如下的结果：

(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,3,3,1)(4,0,0,0)=\psi\left(\psi_S\left(\sigma^\omega S\right)\right)

引入更复杂的投影结构，可以得到四行 BMS 的极限

(0,0,0,0,0)(1,1,1,1,1)=\psi\left(\psi_A([1,1] A \cdot \omega)\right)

乃至 BMS 的极限

\text{limit of BMS}=\psi\left(\varepsilon_{H+1}\right)=\mathrm{SHO}

至此@投影序数（最菜萌新）完成了 BMS 的全分析。

该项工作一共包含 7777 条对照分析的结果，是大数数学史上最为庞大的分析工作之一。由于@投影序数（最菜萌新）提出了一套完整的理念、一套行之有效的规则，以及详尽的分析结果，向上投影已经打败了其他的投影记号，成为了 (0,0,0)(1,1,1)(2,2,2) 之后的标准记号，甚至投影系记号已经逐渐有取代更加传统的稳定系记号的趋势了。

BMS 并未抵达向上投影的极限，接下来需要利用 \mathrm Y 序列对其进行分析。然而向上投影与 \mathrm Y 序列之间的分析举步维艰，目前尚不清楚向上投影的极限究竟是多少。除此之外，向上投影也为非递归 BMS 的分析提供了参考。若将 BMS 第一列的全部零删去，则可以设想让 BMS 输出非递归记号。这一非递归记号的强度用向上投影来分析是合适的。

需要说明的是，投影序数并非集合论意义上的严格的非递归序数。而将投影序数放入 \psi 之中得到的递归化函数，本质上仍然是一个递归记号。事实上即使是对于反射序数和稳定序数来说，我们也只是使用了一种“长得像序数折叠函数”的递归记号，它们模仿了真正使用集合论方法来定义的序数折叠函数的行为。

而另一方面，真正严格意义上的序数折叠函数以及相应的非递归分析已经得到了长足的发展，这一部分应当归功于序数分析领域的专业数学家。目前序数分析的巅峰之作是数学家 Arai 对二阶算术的序数分析，这是序数分析领域中发展的最强序数折叠函数。然而我们并不知道它和大数数学之中发展的序数记号之间的强度关系是什么样的，目前我们只能就此做出一些猜测。

我们已经知道的是，文章利用 \Sigma_n 稳定序数的存在性证明了 BMS 的良序性，而二阶算术与 \mathrm{KP} +存在 \Sigma_1 稳定序数+存在 \Sigma_2 稳定序数+……这一公理体系的强度是相同的。如果我们真的可以认为 BMS 与二阶算术的强度相同，那么我们就可以说 Arai 的序数折叠函数极限等于 BMS 的极限，它们都是二阶算术的证明论序数。然而严格的序数分析是极其困难的工作，也许我们永远也不会知道我们的记号何时能够达到各种公理体系的极限了。

8. HypCos 定义 ω^ωMN

时至今日，还未有人分析 Tω^ωMN。

它太难分析了吗？它太难理解吗？没有什么合适的其它记号用来分析吗？

—— @HypCos ，2025.8.17

BMS 是跨时代的记号，它将递归记号构造的范式从数阵型记号转变为了 Worm 型记号，其强度远远超越了当时的所有记号。2020 年 9 月，日本的大数研究者 Yukito 对 Worm 型记号进行扩展，定义了 \mathrm Y 序列（ 1-\mathrm Y 序列），它的强大再一次震撼了研究者。后来 Yukito 又定义了更加强大的 \omega-\mathrm Y 序列，这是目前已经得到公认的、成熟的大数数学社区最强记号。

如果要得到更强的记号，下一步该如何做？我们可以试图将 \omega-\mathrm Y 序列推广到更高的 \alpha-\mathrm Y 序列，乃至 \Omega-\mathrm Y 序列。考虑到 BMS 有 \omega 行，1-\mathrm Y 序列的山脉图有 \omega^2 行，\omega-\mathrm Y 序列的山脉图有 \omega^\omega 行，那么似乎将山脉图的行数推广到更高就可以得到更强的记号。不过令人遗憾的是，平凡的推广几乎是没有任何意义的。BMS 也可以直接推广到 \Omega 行，但是它的强度仍然难以超越\mathrm Y(1,3,4,3) 。事实上，目前已知的所有定义 \Omega-\mathrm Y 序列的尝试不是非良序，就是强度达不到预期。在 \omega-\mathrm Y 序列之上，人们似乎再难以前进半步。

@HypCos对 Worm 记号体系进行了深入的研究。鉴于序列型记号形式上的困难已经严重阻碍了进一步的推广，@HypCos采用了新的多维数阵体系，将山脉图的结构直接编码进表达式中，称为山脉记号（Mountain Notation，MN）。他在 2024 年 9 月 11 日提出了 \omega\mathrm{MN} 的定义，这一记号与 \omega-\mathrm Y 序列是等价的。接下来他在 2024 年 9 月 15 日又进一步提出了 \omega\cdot 2\mathrm{MN} 的定义。最终在 2025 年 7 月 19 日，他进一步地提出了 \omega^\omega\mathrm{MN} 的定义，这是目前已知的有明确定义的最强递归记号之一。

如果不能真正理解 Worm 型记号为何如此之强，那么想凭运气再创造出来一种本质上强于它的记号也几乎是不可能的。2024 年 2 月 23 日，一位天才般的研究者以极富洞察力的直觉提出了“传递”的概念，从而解决了 Worm 型记号强度的来源问题。简单地说，序数记号的传递现象意味着一个序数记号表达式在展开时，不仅仅是判定展开所用到的元素参与了展开过程，还有别的元素也参与了展开过程，从而将序数结构的一部分“传递”到了展开后的表达式之中。

具有传递现象的记号通常拥有更高的强度，并且传递的层次越高，记号的强度就越高。对于 BMS 来说，若删去第 n 列及以下的部分能够该改变坏根的位置，则称该表达式拥有 n 行传递。BMS 拥有任意有限的 n 行传递，因此它的强度超越了绝大多数其他类型的序数记号。而 \mathrm Y 序列拥有真正意义上的 \omega 行传递，因此它远远超越了 BMS 平凡扩展的极限。

Y(1,3,7)展开为Y(1,3,6,12,24,48,96,192,...)，从图中可以看出，对角线上的元素由1,2,2展开为1,2,1,2,1,2,...，因此这是一个真正的ω行传递。

\alpha \mathrm{MN} 系列记号利用独特的拉伸操作，实现了比 \omega-\mathrm Y 序列更加强大的结构，增进了人们对于 \omega-\mathrm Y 序列之上的递归序数结构的理解。然而我们能说 \omega^\omega\mathrm{MN} 就是预想中的 \omega^\omega-\mathrm Y 序列吗？它具有真正的更高层次的传递吗？或者说，山脉记号能够成为 \mathrm Y 序列的某种“上位替代”吗？这一点恐怕很难说。因为没有人知道一个理想的传递究竟应该是什么样子的，人们最多只能知道某个记号并不符合心目中的“理想”情况。不过从目前的情况来看， \alpha \mathrm{MN} 系列记号确实已经成为了 \omega-\mathrm Y 序列之后的一种新的参照标准，正在被越来越多的人所接受。

以传递现象的提出作为标志性事件，一部分研究者建立了更加深入的“构造理论”，期望能够触及更加强大的记号体系的一角。对构造理论的研究几乎是整个 2024 年的研究核心，人们提出了太多的理论和体系，又将它们一个个推翻。目前关于构造理论的研究少有成体系的结果，也并没有真正建立起成熟完备的新记号体系。而且目前对于构造理论的研究过于艰涩，除了寥寥几位研究者之外，其他人几乎不知道他们在做什么。我们并不知道目前在构造理论上的尝试是否是正确的。

9. Phyrion 的新 Googology Wiki

wiki.googology.top：首个以 googology 为二级域名建立的网站！

——Phyrion，2025.6.25

在 21 世纪的前几年中，大数数学还仅仅是一个只为极少数人所知的小众数学问题。那时仅有少数几位欧美国家的爱好者关注这一问题，并且将自己的研究成果发布在个人网站上。直到 2008 年 12 月 5 日，fandom 上的 Googology Wiki 网站正式上线，才结束了这一局面。在这之后的十余年时间里，Googology Wiki 当之无愧地成为了全球大数数学研究者的中心，为大数数学的发展提供了一个宝贵的平台。

Famdon的Googology Wik的首页。

长期以来，Googology Wiki 包含着大数数学社区最完整的知识以及最前沿的进展，但是随着时间的推移，Googology Wiki 也已经逐渐衰落了。起先是 Wiki 中的部分成员不满管理员的专权，因此另立门户。欧美大数社区的讨论中心也逐渐转移到了 Discord 频道上，不再活跃于 Wiki。而中文社区和日文社区近乎独立地发展，极少与欧美社区进行交流。因此在 2020 年之后，Fandom 的 Googology Wiki 迅速的落后于了整个时代。

为了建立一个能够完整准确地反映现代大数数学研究进展的在线知识库，Phyrion 启动了新 Wiki 计划。该计划从 2025 年 6 月启动，由 Phyrion 维护网站，并由十余位活跃研究者共同编写。2025 年 8 月 15 日，新 Wiki 的网址 wiki.googology.top 正式公开，并立刻引起了大数社区的广泛关注。

wiki.googology.top的首页。

新 Wiki 全面抛弃了旧 Wiki 以大数为中心的思想，而转向了更加现代化的以序数为中心的思想。新 Wiki 系统性地整理了大数数学的最新研究成果，许多成果都是首次发布在公共的平台之上。新 Wiki 在内容选择、材料组织等方面遵循了深入浅出、详略得当的原则，既能够完整准确地反映大数数学的核心内容和最新进展，又不显得过于繁冗。新 Wiki 已经成为了大数社区最重要的在线知识库之一。

新 Wiki 的命运是坎坷的。在 2025 年 9 月 30 日，新 Wiki 站点由于欠费停站，直到 2025 年 10 月 11 日才重新恢复。而后它在 2025 年 10 月 31 日再次由于欠费而停站，至今仍然没有恢复。这引发了人们对于新 Wiki 站点不稳定的担忧。Phyrion 宣称在这一段时间将对整个 Wiki 进行改造，预计将在寒假期间开放，让我们拭目以待。

10. PPS 被发现无穷降链

@全体成员 PPS 无穷降链

沉痛悼念，永垂不朽

——z，2025.12.10

沉痛悼念，永垂不朽。该消息是大数社区之中被回复😰数最多的消息，几乎达到了全体成员的八分之一。

Parented Predecessor Sequence（PPS）是 @24414-X357 （3184，3183 丶 4139）于 2024 年 9 月 9 日创造的记号。PPS 的定义非常简单，相比于标记父项列标 PrSS，它只增加了一条规则：如果坏部里没有其他等于坏根的项，那么复制时，复制出来的部分的首项改成原末项-1。

然而，正是这样简单的规则导致了极其诡异的行为。整个七月份，大数数学的研究者绞尽脑汁对 PPS 的强度进行分析，然而整个记号的规律似乎完全是无法理解的。即使进行了大量的尝试，耗尽了全部的精力，研究者们也未能将 PPS 分析至 \zeta_0 。这对于该强度的记号来说似乎是完全无法理喻的。在遭受了重大的挫折之后，大数数学的研究者不得不将精力转移到其他的问题上。

PPS在分析过程中会出现类似于“圣诞树”的行为，其复杂性可见一斑。

一切都结束于 2025 年 12 月 10 日，在这一天 ddfg 通过对 PPS 的详尽分析，发现了一个展开式，它可以无穷无尽地展开下去，越来越复杂，永远也不会停下来。这种越来越复杂的表达式构成了一条不断递降的链条，称为无穷降链。由于序数的每个子集必有最小元，不会出现无穷递降的情况，因此 PPS 的展开不构成其标准表达式上的一个良序关系。也就是说，PPS 根本就不是一个序数记号。

PPS 的无穷降链无疑是对于其研究者的一个沉痛打击。尽管在这之后还有一系列修复 PPS 的尝试，但人们对这一记号已经失去了信心。不过人们更好奇的是，为什么时隔如此之久，大数社区才找到了 PPS 的无穷降链。这不禁让人们想起 2024 年 7 月 7 日的盛况，在短短的几个小时内，三个前沿记号都被发现无穷降链或不良定义，大数数学社区的进展几乎一夜之间倒退到了 2021 年的 \omega-\mathrm Y 序列。

无穷降链是悬在所有序数记号头上的达摩克里斯之剑，几乎所有记号都要受到无穷降链的威胁。人们或许希望能够直接利用数学方法证明记号的良序性，从而一劳永逸地解决这一问题。然而我们现在几乎完全不知道如何证明记号的良序性，目前仅有寥寥几个记号的良序性问题得到了解决。并且事实上任何公理体系可证良序的范围都是有限的，一旦记号的强度超出了这一范围，那么我们就必须诉诸更加强大的公理体系。而与此同时，过于强大的公理体系本身的一致性都是值得怀疑的。因此可以说，记号良序性证明的困难是本质的。

但是，如果我们不能够为记号的良序性给出证明，那么我们要如何相信它们的可靠性呢？如果我们连严格性都舍弃掉，那么整个数学体系之中还有什么是可以信赖的呢？多年以来大数数学研究者建立起的庞大的理论体系，究竟有多少是虚无的空中楼阁，随时会被推翻？我们不知道这些问题的答案。或许真正具有洞察力的数学研究者能够推动这一问题的解决，而在这之前，我们只能祈祷之前建立起的大多数地基都是扎实的。

展望：未来时代的大数数学

自 2021 年以来，中文大数社区得到了长足的发展，逐渐赶上并超越了欧美社区和日本社区的水平。特别是在 2024 年，大数社区内部洋溢着积极乐观的情绪。在传递以及其他思想的指引下，构造理论得到了充分的发展。FOS、fffz、MMS、MN 等新记号的提出和优化层出不穷。 @曹知秋的《大数理论》系统性地整理了大数数学的理论体系，结束了资料过于零散的时代。随着相关亚文化的传播，大数数学在中文互联网上的知名度越来越高，这为中文大数社区提供了大量的新鲜血液。

然而进入 2025 年之后，大数数学的研究开始进入了低谷。人们开始审视之前过于激进的理论体系，并排除了大量不可靠的结果和空中楼阁一般的概念。尽管大数数学知名度仍然在不断增加，进入大数社区的新人越来越多，但是这些人通常不会去真正了解大数数学的知识，并且圈层的扩大也势必会对原有的大数社区生态造成破坏。近年来大数社区与其他社区的交往正在变得更加紧密，这种联系总体上是有益的，但实际上并未真正对各自关心的问题有实质性的启发。大数数学横向上的宽度正在不断扩展，但是纵向上的深度则并未有明显的增加。大数数学各社区之间的国际交往仍然非常有限，欧美社区和日本社区的研究也明显地进入了衰退期。大数数学的业余研究者和专业数学家之间几乎没有交流，专业数学家不关心（或者根本不知道）大数数学社区的结果，我们也几乎无法理解专业数学家的相关工作。

2025 年生成式人工智能的发展非常迅猛，已经在方方面面深刻地改变了人们的生活。然而，目前来看关于大数数学的资料仍然十分缺乏，人工智能在大数数学问题上的表现不佳。我们期望人工智能能够在记号分析、资料整理等领域为我们提供更多的帮助，但是目前看来，这一目标还非常遥远。

根据库恩的范式理论，科学的发展并非是简单的线性累积，而是在常规发展和科学革命两个阶段之间不断交替。按照这一理论，我们至今仍然处在 Worm 型记号革命之后的常规发展阶段，并且这一阶段的潜力正在肉眼可见地被消耗殆尽，逐渐失去了生命力。当前的大数数学研究呈现出了越来越复杂化的倾向，新的结果几乎不能够被其他研究者所理解。进入大数数学前沿研究的门槛越来越高，几乎超过了普通人单纯凭借兴趣所能够达到的极限。事实上自从 2024 年以来，尽管加入大数社区的新人越来越多，但是只有屈指可数的几个人能够真正了解大数数学的前沿进展，并且真正为大数数学的发展做出贡献。这一阶段未来可能还要继续持续下去，直到量变的积累产生质变，或者有真正天才的研究者为我们踏出关键的一步，将大数数学引领到一个全新的时代。

附：2024 年中文大数社区十大事件

1. @24414-X357 （3184，3183 丶 4139）提出 FOS

2. 传递现象的提出

3. 大数社区群聊改革

4. @曹知秋发布《大数理论》

5. @HypCos 提出 MM3

6. BB(5)取值的严格证明

7. 7 月 7 日前沿记号的无穷降链或不良定义

8. @夏夜星空完善 fffz 规则

9. @HypCos 提出 MN

10. @739085 （62XXY）与大数社区决裂

大数简史

2026-02-28T10:25:10Z

Z：

其他资料：

[[2025年中文大数社区十大事件]]

沙拉数

2026-02-28T10:19:56Z

Z：

[[Googology|googology]]中有“沙拉”这样的现象，即把若干种大数记号“组合”到一起，变成一个看上去很复杂的东西，但实际上强度没有什么变化；一般情况下，与其“原料”中的最强者相比没多少提升。在大部分语境之下，由于其对强度本身的贡献不大，一般被称作无效的扩展。

本条目介绍几种混合不同记号的方法。

=== 简单的混合 ===

==== 函数的复合 ====
设大数函数f、g分别具有相当于[[HH|Hardy层数]]（Hardy hierarchy，简记为HH）中<math>\alpha</math>、<math>\beta</math>的增长率，那么函数<math>\lambda x.g(f(x))</math>的HH增长率则是<math>\alpha+\beta</math>。

==== Goodstein强化 ====
设有正整数上的大数函数f，且是严格增函数。定义其Goodstein强化G(f)如下。设有序列<math>\{a_n|1\le n\le N\}</math>，其中每个<math>a_n</math>写成以f(n)为底的遗传记法，然后将每次出现的f(n)都改成f(n+1)，所得的数再减去1，就得到<math>a_{n+1}</math>。且<math>a_N=0</math>。那么<math>G(f)(a_1)=N</math>就作为G(f)的一个函数值（<math>a_1</math>是此函数的自变量，N是因变量）。

=== 大数记号的混合 ===
本节的定义基于大数记号。一个大数记号A应该具有以下特性：

# A的表达式x可以用x[n]归约（也就是通常说的“展开”）成更“小”的表达式。
# “0”表达式不能继续归约。
# 如果x是“后继”型的表达式，那么无论n是多少，x[n]都会得到x的前继。

==== 序数加型混合 ====
设有大数记号<math>A_1</math>、<math>A_2</math>。

定义混合记号<math>A_1\oplus A_2</math>如下。其表达式形如<math>\langle x,y\rangle</math>，其中<math>x\in\{1,2\}</math>，y是<math>A_x</math>中的表达式。其展开方法为： <math>\langle x,y\rangle[n]=\left\{\begin{array}{ll}0&,x=1\land y=0\\ \langle1,\text{Limit}_1[n]\rangle&,x=2\land y=0\\ \langle x,y[n]\rangle&,\text{otherwise}\end{array}\right.</math>

其中<math>\text{Limit}_1</math>表示<math>A_1</math>的表达极限。

如果<math>A_i</math>的序数强度极限为<math>\alpha_i</math>，那么<math>A_1\oplus A_2</math>的序数强度极限为<math>\alpha_1+\alpha_2</math>。

注意，序数加型混合是将两个大数记号合成一个大数记号，然后它还可以继续跟自己或其它记号混合。下面的序数乘型混合、序数乘方型混合也类似。

==== 序数乘型混合 ====
设有大数记号<math>A_1</math>、<math>A_2</math>。

定义混合记号<math>A_1\otimes A_2</math>如下。其表达式形如<math>\langle x_2,x_1\rangle</math>，其中，<math>x_i</math>是<math>A_i</math>中的表达式。其展开方法为：

<math>\langle x,y\rangle[n]=\left\{\begin{array}{ll}0&,x=0\land y=0\\ \langle x[n],\text{Limit}_1[n]\rangle&,x\neq0\land y=0\\ \langle x,y[n]\rangle&,\text{otherwise}\end{array}\right.</math>

其中<math>\text{Limit}_1</math>表示<math>A_1</math>的表达极限。

如果<math>A_i</math>的序数强度极限为<math>\alpha_i</math>，那么<math>A_1\otimes A_2</math>的序数强度极限为<math>\alpha_1\cdot\alpha_2</math>。

==== 序数乘方型混合 ====
设有大数记号<math>A_1</math>、<math>A_2</math>。<math>A_2</math>中的表达式需能比较大小。

定义混合记号<math>A_1\uparrow A_2</math>如下。其表达式形如$\langle x_1@y_1,x_2@y_2,\cdots,x_m@y_m\rangle$，长度m为非负整数，各x_i都是A_1中的表达式，各<math>y_i</math>都是<math>A_2</math>中的表达式，且<math>\forall i<j(y_i>y_j)</math>。其展开方法为：

# $\langle x_1@y_1,\cdots,x_{i-1}@y_{i-1},0@y_i,x_{i+1}@y_{i+1},\cdots,x_m@y_m\rangle=\langle x_1@y_1,\cdots,x_{i-1}@y_{i-1},x_{i+1}@y_{i+1},\cdots,x_m@y_m\rangle$
# <math>\langle\rangle=0</math>
# $\langle S,x@y\rangle[n]=\langle S,x[n]@y,\text{Limit}_1[n]@y[n]\rangle$

其中S代表任意长的“$x_i@y_i$”串，<math>\text{Limit}_1</math>表示<math>A_1</math>的表达极限。

如果<math>A_i</math>的序数强度极限为<math>\alpha_i</math>，那么<math>A_1\uparrow A_2</math>的序数强度极限为<math>\alpha_1^{\alpha_2}</math>。

=== [[Beklemishev's Worm|worm]]的混合 ===
本节的定义基于worm型记号。一个worm型记号A应该具有以下特性：

1.A的表达式是形如<math>(a_1,a_2,\cdots,a_x)</math>的序列，其中各<math>a_i</math>是正整数，称作项。

2.A的表达式之间可以比较大小。（一般是字典序）

3.归约（从<math>(a_1,a_2,\cdots,a_x)[n]</math>得到更小的表达式）的步骤包括：

①从<math>a_x</math>出发，向左找“小”项，其间可能计算<math>a_i\pm a_j</math>。

②找到某个<math>a_r</math>后，展开，其间可能计算<math>a_i\pm a_j</math>。

③由于<math>(a_1,a_2,\cdots,a_{x-1},a_x+1)</math>总是展开成<math>(a_1,a_2,\cdots,a_{x-1},a_x,\cdots)</math>，我们可以把“展开”过程看作“先将最右项减去1，然后在其右边新增一些项”。

4.表达式()不能继续归约，意味着0。

5.最右项为1的表达式，意味着后继序数，其前继是删去最右项所得的表达式。

==== worm加型混合 ====
设有worm型记号<math>A_1,A_2,\cdots,A_m</math>。

定义混合记号<math>\sum_{1\le i\le m}A_i</math>如下。其表达式形如<math>(\langle a_1,b_1\rangle,\langle a_2,b_2\rangle,\cdots,\langle a_x,b_x\rangle)</math>，其中<math>\langle a_i,b_i\rangle</math>是项，各<math>a_i,b_i</math>都是正整数，且<math>a_i\le m</math>。其展开方法为：

如果<math>a_x>1,b_x=1</math>，则<math>(\langle a_1,b_1\rangle,\cdots,\langle a_{x-1},b_{x-1}\rangle,\langle a_x,1\rangle)[n]=(\langle a_1,b_1\rangle,\cdots,\langle a_{x-1},b_{x-1}\rangle,\langle a_x-1,n\rangle)</math>。

如果<math>a_x=b_x=1</math>或<math>b_x>1</math>，表达式按照<math>A_{a_x}</math>的规则展开，其中

# <math>\langle a_x,b_i\rangle</math>视作b_i
# <math>\langle <a_x,b_i\rangle</math>视作1
# <math>\langle >a_x,b_i\rangle</math>比较大小时视作∞，计算“此项±某数”时此项不变
# 如果展开的时候新增了项，原本要新增（<math>A_{a_x}</math>中的项）c，且不由步骤3得来，那此时将新增<math>\langle a_x,c\rangle</math>。

例如，[[-1-Y|(-1)-Y]]序列的极限是<math>\varepsilon_0</math>；如果将2个(-1)-Y序列以worm加型混合，所得记号的极限是<math>\varepsilon_{\varepsilon_0}</math>；如果将3个(-1)-Y序列以worm加型混合，所得记号的极限是<math>\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_0}}</math>；依此类推。

注意，worm加型混合所得的记号不再是worm型记号，因此无法进一步与自己或其它worm型记号混合。

==== worm乘型混合 ====
设有worm型记号<math>A_1,A_2,\cdots,A_m</math>。

定义混合记号<math>\prod_{1\le i\le m}A_i</math>如下。其表达式形如<math>(\langle a_{1,m},\cdots,a_{1,2},a_{1,1}\rangle,\langle a_{2,m},\cdots,a_{2,2},a_{2,1}\rangle,\cdots,\langle a_{x,m},\cdots,a_{x,2},a_{x,1}\rangle)</math>，其中<math>\langle a_{i,m},\cdots,a_{i,2},a_{i,1}\rangle</math>是项，各<math>a_{i,j}</math>都是正整数。其展开方法为：

如果<math>a_{x,1}=a_{x,2}=\cdots=a_{x,m}=1</math>，则表达式相当于后继情形。

否则，令<math>M=\min\{i|a_{x,i}>1\}</math>，即表达式的最右一项为<math>\langle a_{x,m},\cdots,a_{x,M+1},a_{x,M},1,\cdots,1\rangle</math>。

表达式按照<math>A_M</math>的规则展开，其中

# 项的大小比较为字典序
# <math>\langle a_{x,m},\cdots,a_{x,M+1},b,a_{i,M-1},\cdots,a_{i,1}\rangle</math>，计算“此项±某数”时视作b；如果展开时新增的项由此项经历修饰得来，原本要新增（<math>A_M</math>中的项）c，那此时应新增<math>\langle a_{x,m},\cdots,a_{x,M+1},c,a_{i,M-1},\cdots,a_{i,1}\rangle</math>
# 小于<math>\langle a_{x,m},\cdots,a_{x,M+1},1,1,\cdots,1\rangle</math>的项，计算“此项±某数”时视作1；如果展开时新增的项由此项经历修饰得来，原本要新增（<math>A_M</math>中的项）c，那此时应新增<math>\langle a_{x,m},\cdots,a_{x,M+1},c,1,\cdots,1\rangle</math>
# 大于等于<math>\langle a_{x,m},\cdots,a_{x,M+2},a_{x,M+1}+1,1,1,\cdots,1\rangle</math>的项，计算“此项±某数”时此项不变
# 展开前的“先将最右项减去1”，改为将最右项变为<math>\langle a_{x,m},\cdots,a_{x,M+1},a_{x,M}-1,n,\cdots,n\rangle</math>，其中n为基本列项数。

直观上，worm加型混合的结果，其每个项的可能性（可以选取哪些数值）都相当于各“原料记号”中该项的可能性之和；而worm乘型混合的结果，其每个项的可能性都相当于各“原料记号”中该项的可能性之积。

最后，为什么没有worm乘方型混合？因为乘方型混合要涉及到同时展开多个不同的表达式，而它们每展开一轮所增加的项数不一定相等，就无法结合。
[[分类:重要概念]]

沙拉数

2026-02-28T10:06:21Z

Z：创建页面，内容为“googology中有“沙拉”这样的现象，即把若干种大数记号“组合”到一起，变成一个看上去很复杂的东西，但实际上强度没有什么变化；一般情况下，与其“原料”中的最强者相比没多少提升。 === 简单的混合 === ==== 函数的复合 ==== 设大数函数f、g分别具有相当于Hardy层数（Hardy hierarchy，简记为HH）中<math>\alpha</math>、<math>\beta</math>的增长…”

[[Googology|googology]]中有“沙拉”这样的现象，即把若干种大数记号“组合”到一起，变成一个看上去很复杂的东西，但实际上强度没有什么变化；一般情况下，与其“原料”中的最强者相比没多少提升。

=== 简单的混合 ===

==== 函数的复合 ====
设大数函数f、g分别具有相当于[[HH|Hardy层数]]（Hardy hierarchy，简记为HH）中<math>\alpha</math>、<math>\beta</math>的增长率，那么函数<math>\lambda x.g(f(x))</math>的HH增长率则是<math>\alpha+\beta</math>。

==== Goodstein强化 ====
设有正整数上的大数函数f，且是严格增函数。定义其Goodstein强化G(f)如下。设有序列<math>\{a_n|1\le n\le N\}</math>，其中每个<math>a_n</math>写成以f(n)为底的遗传记法，然后将每次出现的f(n)都改成f(n+1)，所得的数再减去1，就得到<math>a_{n+1}</math>。且<math>a_N=0</math>。那么<math>G(f)(a_1)=N</math>就作为G(f)的一个函数值（<math>a_1</math>是此函数的自变量，N是因变量）。

=== 大数记号的混合 ===
本节的定义基于大数记号。一个大数记号A应该具有以下特性：

A的表达式x可以用x[n]归约（也就是通常说的“展开”）成更“小”的表达式。

“0”表达式不能继续归约。

如果x是“后继”型的表达式，那么无论n是多少，x[n]都会得到x的前继。

==== 序数加型混合 ====
设有大数记号<math>A_1</math>、<math>A_2</math>。

定义混合记号<math>A_1\oplus A_2</math>如下。其表达式形如<math>\langle x,y\rangle</math>，其中<math>x\in\{1,2\}</math>，y是<math>A_x</math>中的表达式。其展开方法为： <math>\langle x,y\rangle[n]=\left\{\begin{array}{ll}0&,x=1\land y=0\\ \langle1,\text{Limit}_1[n]\rangle&,x=2\land y=0\\ \langle x,y[n]\rangle&,\text{otherwise}\end{array}\right.</math>

其中<math>\text{Limit}_1</math>表示<math>A_1</math>的表达极限。

如果<math>A_i</math>的序数强度极限为<math>\alpha_i</math>，那么<math>A_1\oplus A_2</math>的序数强度极限为<math>\alpha_1+\alpha_2</math>。

注意，序数加型混合是将两个大数记号合成一个大数记号，然后它还可以继续跟自己或其它记号混合。下面的序数乘型混合、序数乘方型混合也类似。

==== 序数乘型混合 ====
设有大数记号<math>A_1</math>、<math>A_2</math>。

定义混合记号<math>A_1\otimes A_2</math>如下。其表达式形如<math>\langle x_2,x_1\rangle</math>，其中，<math>x_i</math>是<math>A_i</math>中的表达式。其展开方法为：

<math>\langle x,y\rangle[n]=\left\{\begin{array}{ll}0&,x=0\land y=0\\ \langle x[n],\text{Limit}_1[n]\rangle&,x\neq0\land y=0\\ \langle x,y[n]\rangle&,\text{otherwise}\end{array}\right.</math>

其中<math>\text{Limit}_1</math>表示<math>A_1</math>的表达极限。

如果<math>A_i</math>的序数强度极限为<math>\alpha_i</math>，那么<math>A_1\otimes A_2</math>的序数强度极限为<math>\alpha_1\cdot\alpha_2</math>。

==== 序数乘方型混合 ====
设有大数记号<math>A_1</math>、<math>A_2</math>。<math>A_2</math>中的表达式需能比较大小。

定义混合记号<math>A_1\uparrow A_2</math>如下。其表达式形如$\langle x_1@y_1,x_2@y_2,\cdots,x_m@y_m\rangle$，长度m为非负整数，各x_i都是A_1中的表达式，各<math>y_i</math>都是<math>A_2</math>中的表达式，且<math>\forall i<j(y_i>y_j)</math>。其展开方法为：

$\langle x_1@y_1,\cdots,x_{i-1}@y_{i-1},0@y_i,x_{i+1}@y_{i+1},\cdots,x_m@y_m\rangle=\langle x_1@y_1,\cdots,x_{i-1}@y_{i-1},x_{i+1}@y_{i+1},\cdots,x_m@y_m\rangle$

<math>\langle\rangle=0</math>

$\langle S,x@y\rangle[n]=\langle S,x[n]@y,\text{Limit}_1[n]@y[n]\rangle$

其中S代表任意长的“x_i@y_i”串，\text{Limit}_1表示A_1的表达极限。

如果A_i的序数强度极限为\alpha_i，那么A_1\uparrow A_2的序数强度极限为\alpha_1^{\alpha_2}。

3 worm的混合

本节的定义基于worm型记号。一个worm型记号A应该具有以下特性：

A的表达式是形如(a_1,a_2,\cdots,a_x)的序列，其中各a_i是正整数，称作项。

A的表达式之间可以比较大小。（一般是字典序）

归约（从(a_1,a_2,\cdots,a_x)[n]得到更小的表达式）的步骤包括：

从a_x出发，向左找“小”项，其间可能计算a_i\pm a_j。

找到某个a_r后，展开，其间可能计算a_i\pm a_j。

由于(a_1,a_2,\cdots,a_{x-1},a_x+1)总是展开成(a_1,a_2,\cdots,a_{x-1},a_x,\cdots)，我们可以把“展开”过程看作“先将最右项减去1，然后在其右边新增一些项”。

表达式()不能继续归约，意味着0。

最右项为1的表达式，意味着后继序数，其前继是删去最右项所得的表达式。

定义6. worm加型混合。设有worm型记号A_1,A_2,\cdots,A_m。

定义混合记号\sum_{1\le i\le m}A_i如下。其表达式形如(\langle a_1,b_1\rangle,\langle a_2,b_2\rangle,\cdots,\langle a_x,b_x\rangle)，其中\langle a_i,b_i\rangle是项，各a_i,b_i都是正整数，且a_i\le m。其展开方法为：

如果a_x>1,b_x=1，则(\langle a_1,b_1\rangle,\cdots,\langle a_{x-1},b_{x-1}\rangle,\langle a_x,1\rangle)[n]=(\langle a_1,b_1\rangle,\cdots,\langle a_{x-1},b_{x-1}\rangle,\langle a_x-1,n\rangle)。

如果a_x=b_x=1或b_x>1，表达式按照A_{a_x}的规则展开，其中

\langle a_x,b_i\rangle视作b_i

\langle <a_x,b_i\rangle视作1

\langle >a_x,b_i\rangle比较大小时视作∞，计算“此项±某数”时此项不变

如果展开的时候新增了项，原本要新增（A_{a_x}中的项）c，且不由步骤3得来，那此时将新增\langle a_x,c\rangle。

<nowiki>例如，(-1)-Y序列的极限是\varepsilon_0；如果将2个(-1)-Y序列以worm加型混合，所得记号的极限是\varepsilon_{\varepsilon_0}；如果将3个(-1)-Y序列以worm加型混合，所得记号的极限是\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_0}}；依此类推。</nowiki>

注意，worm加型混合所得的记号不再是worm型记号，因此无法进一步与自己或其它worm型记号混合。下面的定义7也类似。

定义7. worm乘型混合。设有worm型记号A_1,A_2,\cdots,A_m。

定义混合记号\prod_{1\le i\le m}A_i如下。其表达式形如(\langle a_{1,m},\cdots,a_{1,2},a_{1,1}\rangle,\langle a_{2,m},\cdots,a_{2,2},a_{2,1}\rangle,\cdots,\langle a_{x,m},\cdots,a_{x,2},a_{x,1}\rangle)，其中\langle a_{i,m},\cdots,a_{i,2},a_{i,1}\rangle是项，各a_{i,j}都是正整数。其展开方法为：

如果a_{x,1}=a_{x,2}=\cdots=a_{x,m}=1，则表达式相当于后继情形。

否则，令M=\min\{i|a_{x,i}>1\}，即表达式的最右一项为\langle a_{x,m},\cdots,a_{x,M+1},a_{x,M},1,\cdots,1\rangle。

表达式按照A_M的规则展开，其中

项的大小比较为字典序

\langle a_{x,m},\cdots,a_{x,M+1},b,a_{i,M-1},\cdots,a_{i,1}\rangle，计算“此项±某数”时视作b；如果展开时新增的项由此项经历修饰得来，原本要新增（A_M中的项）c，那此时应新增\langle a_{x,m},\cdots,a_{x,M+1},c,a_{i,M-1},\cdots,a_{i,1}\rangle

小于\langle a_{x,m},\cdots,a_{x,M+1},1,1,\cdots,1\rangle的项，计算“此项±某数”时视作1；如果展开时新增的项由此项经历修饰得来，原本要新增（A_M中的项）c，那此时应新增\langle a_{x,m},\cdots,a_{x,M+1},c,1,\cdots,1\rangle

大于等于\langle a_{x,m},\cdots,a_{x,M+2},a_{x,M+1}+1,1,1,\cdots,1\rangle的项，计算“此项±某数”时此项不变

展开前的“先将最右项减去1”，改为将最右项变为\langle a_{x,m},\cdots,a_{x,M+1},a_{x,M}-1,n,\cdots,n\rangle，其中n为基本列项数。

直观上，worm加型混合的结果，其每个项的可能性（可以选取哪些数值）都相当于各“原料记号”中该项的可能性之和；而worm乘型混合的结果，其每个项的可能性都相当于各“原料记号”中该项的可能性之积。

最后，为什么没有worm乘方型混合？因为乘方型混合要涉及到同时展开多个不同的表达式（参考定义5，同时展开两个表达式），而它们每展开一轮所增加的项数不一定相等，就无法结合。

序数尺

2026-02-28T09:19:26Z

Z：创建页面，内容为“序数记号的序数尺，是一种将该记号极限之下的序数保序映射到实数轴的方法。 == 定义 == 以下提供一个序数尺的定义，序数尺将给定的序数记号S所刻画的序数映射到了实数区间(0,1)上。或者更准确地说，映射到了该实数区间的有理点的一小部分上.记作记作f(序数记号表达式)=实数。记S的极限为L，<math>\alpha[n]</math>为<math>\alpha</math>的基本列第n项.…”

[[序数记号]]的序数尺，是一种将该记号极限之下的序数保序映射到实数轴的方法。

== 定义 ==
以下提供一个序数尺的定义，序数尺将给定的序数记号S所刻画的序数映射到了实数区间(0,1)上。或者更准确地说，映射到了该实数区间的有理点的一小部分上.记作记作f(序数记号表达式)=实数。

记S的极限为L，<math>\alpha[n]</math>为<math>\alpha</math>的基本列第n项.基本列从1开始数。特别的，对于后继序数，我们定义其基本列只有一项，就是它的前驱。

定义操作序列：任取<math>\beta</math>为小于L的序数，若<math>\beta=L[a_1][a_2]\cdots[a_i]</math>，则这样的<math>{a_1,a_2,\cdots,a_i}</math>为<math>\beta</math>的'''待定操作序列'''。所有待定操作序列中，'''i最小的'''，且字典序最小的为<math>\beta</math>的操作序列。

接下来，对于<math>\beta</math>,记其操作序列为<math>{a_1,a_2,\cdots,a_i}</math>，我们便得到<math>f(\beta)=0.\underbrace{1\cdots1}_{a_1-1}0\underbrace{1\cdots1}_{a_2-1}0\underbrace{1\cdots1}_{a_3-1}\cdots\cdots0\underbrace{1\cdots1}_{a_n-1}</math>,其中右边为二进制小数。

== 应用 ==
序数尺还可以帮助我们理解一些其他的概念。例如，我们经常会认为某些序数更“整”一些，换句话说就是处在记号枚举中比较重要的节点之上。这样一种“整度”的概念就可以借助序数尺来进行讨论。类似地，我们主观上会觉得某两个序数之间的“距离”要大一些，而另外两个序数的“距离”要更小一些。这种感觉也同样可以借助序数尺来进行说明。

已有研究者编写程序对序数尺进行了可视化。比如[https://rgetar.github.io/. 一个序数树]，一个至<math>\varepsilon_{\varepsilon_0}</math>的[http://www.madore.org/~david/math/drawordinals.html. 序数尺]，一个至[[EBO]]的[https://wxyhly.github.io/ordmap/. 序数尺]，一个至[[QSSO]]的[https://wxyhly.github.io/ordmap/?0Y. 序数尺]。
[[分类:重要概念]]

Catching函数分析2：EBO~JO

2026-02-25T15:30:36Z

Z：

Catching函数分析2：EBO~JO

2026-02-25T15:27:39Z

Z：

本条目展示[[Catching 函数|Catching函数]]在[[EBO]]到[[JO]]之间的过程。以下左为[[FGH]]，右为[[SGH]]。均为[[序数坍缩函数#MOCF 简介|MOCF]]

<math>\begin{align}.\\&f_3(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+1)\\&f_{\omega}^n(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+\Omega^\omega)\\&f_{\psi(0)}^n(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+\psi_1(\Omega))\\&f_{\psi(\Omega_\omega)}^n(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+\psi_1(\Omega_\Omega))\\&f_{\psi(\Omega_{\Omega_\omega})}^n(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+\psi_1(\Omega_{\Omega_\Omega}))\\&f_{\psi(\psi_I(0))[n]}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+\psi_1(\psi_I(0)))\\&f_{\psi(\psi_I(0)[n]+1)}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+\psi_1(\psi_I(0)+1))\\&f_{\psi(\psi_I(0)[n]+\Omega)[n]}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+\Omega_2)\\&f_{\psi(\psi_I(0)[n]+\Omega)}^n(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+\Omega_2\times\Omega)\\&f_{\psi(\psi_I(0)[n]+\Omega_2)}^n(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+\Omega_3\times\Omega)\\&f_{\psi(\psi_I(0)[n]+\Omega_\omega)[n]}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+\Omega_\omega)\\&f_{\psi(\psi_I(0)[n]+\Omega_\omega)}^n(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+\Omega_\Omega)\\&f_{\psi(\psi_I(0)[n]+\Omega_{\Omega_\omega})}^n(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+\Omega_{\Omega_\Omega})\\&f_{\psi(\psi_I(0)[n]\times2)}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)\times2)\\&f_{\psi(\psi_I(0)[n]^2)}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)^2)\\&f_{\psi(\psi_I(0)[n]^{\psi_I(0)[n]})}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)^{\psi_I(0)})\\&f_{\psi(\psi_{\Omega_{\psi_I(0)[n-1]+1}}(0))}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_{\Omega_{\psi_I(0)+1}}(0))\\&f_{\psi(\Omega_{\psi_I(0)[n-1]+1})}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\Omega_{\psi_I(0)+1})\\&f_{\psi(\Omega_{\psi_I(0)[n-1]+\omega})}^n(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\Omega_{\psi_I(0)+\Omega})\\&f_{\psi(\Omega_{\psi_I(0)[n-1]+\Omega_\omega})}^n(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\Omega_{\psi_I(0)+\Omega_\Omega})\\&f_{\psi(\psi_I(0)[n+1])}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\Omega_{\psi_I(0)\times2})\\&f_{\psi(\Omega_{\psi_I(0)[n]+1})}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\Omega_{\psi_I(0)\times2+1})\\&f_{\psi(\Omega_{\psi_I(0)[n]\times2})}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\Omega_{\psi_I(0)\times3})\\&f_{\psi(\Omega_{\psi_I(0)[n]\times\omega})}^n(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\Omega_{\psi_I(0)\times\Omega})\\&f_{\psi(\Omega_{\psi_I(0)[n]^2})}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\Omega_{\psi_I(0)^2})\\&f_{\psi(\Omega_{\Omega_{\psi_I(0)[n]+1}})}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\Omega_{\Omega_{\psi_I(0)+1}})\\&f_{\psi(\psi_I(0)[n+2])}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\Omega_{\Omega_{\psi_I(0)\times2}})\\&f_{\psi(\psi_I(0)[n\times2])}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(1))\\&f_{\psi(\psi_I(0)[n\times2+1])}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\Omega_{\psi_I(1)\times2})\\&f_{\psi(\psi_I(0)[n\times3])}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(2))\\&f_{\psi(\psi_I(0)[n^2])}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(\omega))\\&f_{\psi(\psi_I(0))}^2(n)\sim\psi(\psi_I(\psi(\psi_I(0))))\\&f_{\psi(\psi_I(0))}^3(n)\sim\psi(\psi_I(\psi(\psi_I(\psi(\psi_I(0))))))\\&f_{\psi(\psi_I(0))+1}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega))\\&f_{\psi(\psi_I(0))+2}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega)+\psi_{\Omega_2}(\psi_I(\Omega))\times\Omega)\\&f_{\psi(\psi_I(0)+\Omega)}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega)+\Omega_2)\\&f_{\psi(\psi_I(0)\times\Omega)}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega)\times\Omega_2)\\&f_{\psi(\psi_I(0)^2)+1}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega)^2)\\&f_{\psi(\psi_{\Omega_{\psi_I(0)+1}}(0))}(n)\sim\psi(\psi_{\Omega_{\psi_I(\Omega)+1}}(0))\\&f_{\psi(\Omega_{\psi_I(0)+1})}(n)\sim\psi(\Omega_{\psi_I(\Omega)+1})\\&f_{\psi(\Omega_{\Omega_{\psi_I(0)+1}})}(n)\sim\psi(\Omega_{\Omega_{\psi_I(\Omega)+1}})\\&f_{\psi(\psi_I(1))}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega+1))\\&f_{\psi(\psi_I(1)[n\times2])}(f_{\psi(\psi_I(1))}(n))\sim\psi(\psi_I(\Omega+2))\\&f_{\psi(\psi_I(1))}^2(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega+\psi(\psi_I(\Omega))))\\&f_{\psi(\psi_I(1))+1}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega\times2))\\&f_{\psi(\psi_I(2))}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega\times2+1))\\&f_{\psi(\psi_I(\omega))}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega\times\omega))\\&f_{\psi(\psi_I(\omega))+1}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega^2))\\&f_{\psi(\psi_I(\omega+1))+1}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega^2+\Omega))\\&f_{\psi(\psi_I(\omega^\omega))+1}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega^\Omega))\\&f_{\psi(\psi_I(\psi(0)))+1}(n)\sim\psi(\psi_I(\psi_{\Omega_2}(\Omega)))\\&f_{\psi(\psi_I(\psi(\psi_I(0))))+1}(n)\sim\psi(\psi_I(\psi_{\Omega_2}(\psi_I(\Omega))))\\&f_{\psi(\psi_I(\Omega))}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_2))\\&f_{\psi(\psi_I(\Omega_2))}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_3))\\&f_{\psi(\psi_I(\Omega_3))}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_4))\\& f_{\psi(\psi_I(\Omega_\omega))}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_\omega))\\& C(\omega+1)=\psi(\psi_I(\Omega_\omega))\end{align}</math>

<nowiki>\begin{align}.\\\&f_{\psi(\psi_I(\Omega_\omega))+1}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_\Omega))\\\&f_{\psi(\psi_I(\Omega_\omega))+2}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_\Omega)\times\Omega)\\\&f_{\psi(\psi_I(\Omega_\omega)+1)}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_\Omega)\times\psi_{\Omega_2}(\psi_I(\Omega_\Omega)+1))\\\&f_{\psi(\psi_I(\Omega_\omega)\times\Omega)}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_\Omega)\times\Omega_2)\\\&f_{\psi(\psi_I(\Omega_\omega)^2)+1}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_\Omega)^2)\\\&f_{\psi(\Omega_{\psi_I(\Omega_\omega)+1})}(n)\sim\psi(\Omega_{\psi_I(\Omega_\Omega)+1})\\\&f_{\psi(\psi_I(\Omega_\omega+1))}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_\Omega+1))\\\&f_{\psi(\psi_I(\Omega_\omega+1))+1}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_\Omega+\Omega))\\\&f_{\psi(\psi_I(\Omega_\omega+\psi(0)))}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_\Omega+\psi_1(0)))\\\&f_{\psi(\psi_I(\Omega_\omega+\Omega))}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_\Omega+\Omega_2))\\\&f_{\psi(\psi_I(\Omega_\omega\times2))}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_\Omega+\Omega_\omega))\\\&f_{\psi(\psi_I(\psi_{\Omega_{\omega+1}}(0)))}(n)\sim\psi(\psi_I(\psi_{\Omega_{\Omega+1}}(0)))\\\&f_{\psi(\psi_I(\Omega_{\omega+1}))}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_{\Omega+1}))\\\&f_{\psi(\psi_I(\Omega_{\omega\times2}))+1}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_{\Omega\times2}))\\\&f_{\psi(\psi_I(\Omega_{\psi(0)}))}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_{\psi_{1}(0)}))\\\&f_{\psi(\psi_I(\Omega_{\Omega}))}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_{\Omega_2}))\\\&f_{\psi(\psi_I(\Omega_{\Omega_2}))}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_{\Omega_3}))\\\&f_{\psi(\psi_I(\Omega_{\Omega_\omega}))}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_{\Omega_\omega}))\\\&\color{red}{C(\omega+2)=\psi(\psi_I(\Omega_{\Omega_\omega}))}\\\&\color{red}{C(\omega\times2)=\psi(\psi_I(\psi_I(0)))}\\\&f_{\psi(\psi_I(\psi_I(0)))+1}(n)\sim\psi(\psi_I(\psi_I(\Omega)))\\\&f_{\psi(\psi_I(\psi_I(1)))+1}(n)\sim\psi(\psi_I(\psi_I(\Omega\times2)))\\\&f_{\psi(\psi_I(\psi_I(\Omega)))}(n)\sim\psi(\psi_I(\psi_I(\Omega_2)))\\\&f_{\psi(\psi_I(\psi_I(\Omega_\omega)))}(n)\sim\psi(\psi_I(\psi_I(\Omega_\omega)))\\\&\color{red}{C(\omega\times2+1)=\psi(\psi_I(\psi_I(\Omega_\omega)))}\\\&\color{red}{C(\omega\times2+2)=\psi(\psi_I(\psi_I(\Omega_{\Omega_\omega})))}\\\&\color{red}{C(\omega\times3)=\psi(\psi_I(\psi_I(\psi_I(0))))}\\\&\color{red}{C(\omega\times4)=\psi(\psi_I(\psi_I(\psi_I(\psi_I(0)))))}\\\&\Large\color{red}{C(\omega^2)=\psi(I)}\\\&f_3(f_{\psi(I)}(n))\sim\psi(I+1)\\\&f_{\psi(0)}^n(f_{\psi(I)}(n))\sim\psi(I+\psi_{\Omega_2}(\Omega))\\\&f_{\psi(\Omega_\omega)[n]}(f_{\psi(I)}(n))\sim\psi(I+\psi_{\Omega_2}(\Omega_\omega))\\\&f_{\psi(\Omega_\omega)}^n(f_{\psi(I)}(n))\sim\psi(I+\psi_{\Omega_2}(\Omega_\Omega))\\\&f_{\psi(\psi_I(0))}^n(f_{\psi(I)}(n))\sim\psi(I+\psi_{\Omega_2}(\psi_I(\Omega)))\\\&f_{\psi(I)[n]}(f_{\psi(I)}(n))\sim\psi(I+\psi_{\Omega_2}(I))\\\&f_{\psi(\psi_I(I)[n]+1)}(f_{\psi(I)}(n))\sim\psi(I+\psi_{\Omega_2}(I+1))\\\&f_{\psi(\psi_I(I)[n]+\Omega)[n]}(f_{\psi(I)}(n))\sim\psi(I+\Omega_2)\\\&f_{\psi(\psi_I(I)[n]+\psi_I(0))[n]}(f_{\psi(I)}(n))\sim\psi(I+\psi_I(0))\\\&f_{\psi(\psi_I(I)[n]\times2)}(f_{\psi(I)}(n))\sim\psi(I+\psi_I(I))\\\&f_{\psi(\psi_{\Omega_{\psi_I(I)[n]+1}}(0))}(f_{\psi(I)}(n))\sim\psi(I+\psi_{\Omega_{\psi_I(I)+1}}(0))\\\&f_{\psi(\psi_{\Omega_{\psi_I(I)[n]+1}}(\psi_I(0)))}(f_{\psi(I)}(n))\sim\psi(I+\psi_{\Omega_{\psi_I(I)+1}}(\psi_I(0)))\\\&f_{\psi(\psi_{\Omega_{\psi_I(I)[n]+1}}(\psi_I(I)[n]))}(f_{\psi(I)}(n))\sim\psi(I+\psi_{\Omega_{\psi_I(I)+1}}(I))\\\&f_{\psi(\Omega_{\psi_I(I)[n]+1})}(f_{\psi(I)}(n))\sim\psi(I+\Omega_{\psi_I(I)+1})\\\&f_{\psi(\psi_I(\psi_I(I)[n-1]+1))}(f_{\psi(I)}(n))\sim\psi(I+\psi_I(I+1))\\\&f_{\psi(\psi_I(\psi_I(I)[n-1]+\Omega_\omega))}(f_{\psi(I)}(n))\sim\psi(I+\psi_I(I+\Omega_\omega))\\\&f_{\psi(\psi_I(\psi_I(I)[n-1]+\psi_I(0)))}(f_{\psi(I)}(n))\sim\psi(I+\psi_I(I+\psi_I(0)))\\\&f_{\psi(I)[n+1]}(f_{\psi(I)}(n))\sim\psi(I+\psi_I(I+\psi_I(I)))\\\&f_{\psi(I)[n+2]}(f_{\psi(I)}(n))\sim\psi(I+\psi_I(I+\psi_I(I+\psi_I(I))))\\\&f_{\psi(I)[n\times2]}(f_{\psi(I)}(n))\sim\psi(I\times2)\\\&f_{\psi(I)}^2(n)\sim\psi(I\times\psi(I))\\\&f_{\psi(I)+1}(n)\sim\psi(I\times\Omega)\\\&f_{\psi(I+1)}(n)\sim\psi(I\times\psi_{\Omega_2}(I+1))\\\&f_{\psi(I\times2)}(n)\sim\psi(I\times\psi_{\Omega_2}(I\times2))\\\&f_{\psi(I\times\Omega)}(n)\sim\psi(I\times\Omega_2)\\\&f_{\psi(I\times\Omega_2)}(n)\sim\psi(I\times\Omega_3)\\\&f_{\psi(I\times\Omega_\omega)}(n)\sim\psi(I\times\Omega_\omega)\\\&C(\omega^2+1)=\psi(I\times\Omega_\omega)\\\&C(\omega^2+2)=\psi(I\times\Omega_{\Omega_\omega})\\\&C(\omega^2+\omega)=\psi(I\times\psi_I(0))\\\&C(\omega^2+\omega+1)=\psi(I\times\psi_I(\Omega_\omega))\\\&C(\omega^2+\omega\times2)=\psi(I\times\psi_I(\psi_I(0)))\\\&{C(\omega^2\times2)=\psi(I\times\psi_I(I))\\\&f_{\psi(I\times\psi_I(I))+1}(n)\sim\psi(I\times\psi_I(I\times\Omega))\\\&f_{\psi(I\times\psi_I(I\times\Omega_\omega))}(n)\sim\psi(I\times\psi_I(I\times\Omega_\omega))\\\&{C(\omega^2\times2+1)=\psi(I\times\psi_I(I\times\Omega_\omega))\\\&{C(\omega^2\times2+\omega)=\psi(I\times\psi_I(I\times\psi_I(0)))\\\&{C(\omega^2\times3)=\psi(I\times\psi_I(I\times\psi_I(I)))\\\&{C(\omega^3)=\psi(I^2)\\\&f_{\psi(I^2)+1}(n)\sim\psi(I^2\times\Omega)\\\&{C(\omega^3+1)=\psi(I^2\times\Omega_\omega)\\\&{C(\omega^3+\omega)=\psi(I^2\times\psi_I(0))\\\&{C(\omega^3+\omega^2)=\psi(I^2\times\psi_I(I))\\\&{C(\omega^3\times2)=\psi(I^2\times\psi_I(I^2))\\\&{C(\omega^4)=\psi(I^3)\\\&{C(\omega^\omega)=\psi(I^\omega)\end{align}</nowiki>

Catching函数分析2：EBO~JO

2026-02-25T15:26:29Z

Z：

本条目展示[[Catching 函数|Catching函数]]在[[EBO]]到[[JO]]之间的过程。以下左为[[FGH]]，右为[[SGH]]。均为[[序数坍缩函数#MOCF 简介|MOCF]]

<math>\begin{align}.\\&f_3(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+1)\\&f_{\omega}^n(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+\Omega^\omega)\\&f_{\psi(0)}^n(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+\psi_1(\Omega))\\&f_{\psi(\Omega_\omega)}^n(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+\psi_1(\Omega_\Omega))\\&f_{\psi(\Omega_{\Omega_\omega})}^n(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+\psi_1(\Omega_{\Omega_\Omega}))\\&f_{\psi(\psi_I(0))[n]}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+\psi_1(\psi_I(0)))\\&f_{\psi(\psi_I(0)[n]+1)}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+\psi_1(\psi_I(0)+1))\\&f_{\psi(\psi_I(0)[n]+\Omega)[n]}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+\Omega_2)\\&f_{\psi(\psi_I(0)[n]+\Omega)}^n(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+\Omega_2\times\Omega)\\&f_{\psi(\psi_I(0)[n]+\Omega_2)}^n(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+\Omega_3\times\Omega)\\&f_{\psi(\psi_I(0)[n]+\Omega_\omega)[n]}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+\Omega_\omega)\\&f_{\psi(\psi_I(0)[n]+\Omega_\omega)}^n(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+\Omega_\Omega)\\&f_{\psi(\psi_I(0)[n]+\Omega_{\Omega_\omega})}^n(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+\Omega_{\Omega_\Omega})\\&f_{\psi(\psi_I(0)[n]\times2)}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)\times2)\\&f_{\psi(\psi_I(0)[n]^2)}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)^2)\\&f_{\psi(\psi_I(0)[n]^{\psi_I(0)[n]})}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)^{\psi_I(0)})\\&f_{\psi(\psi_{\Omega_{\psi_I(0)[n-1]+1}}(0))}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_{\Omega_{\psi_I(0)+1}}(0))\\&f_{\psi(\Omega_{\psi_I(0)[n-1]+1})}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\Omega_{\psi_I(0)+1})\\&f_{\psi(\Omega_{\psi_I(0)[n-1]+\omega})}^n(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\Omega_{\psi_I(0)+\Omega})\\&f_{\psi(\Omega_{\psi_I(0)[n-1]+\Omega_\omega})}^n(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\Omega_{\psi_I(0)+\Omega_\Omega})\\&f_{\psi(\psi_I(0)[n+1])}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\Omega_{\psi_I(0)\times2})\\&f_{\psi(\Omega_{\psi_I(0)[n]+1})}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\Omega_{\psi_I(0)\times2+1})\\&f_{\psi(\Omega_{\psi_I(0)[n]\times2})}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\Omega_{\psi_I(0)\times3})\\&f_{\psi(\Omega_{\psi_I(0)[n]\times\omega})}^n(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\Omega_{\psi_I(0)\times\Omega})\\&f_{\psi(\Omega_{\psi_I(0)[n]^2})}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\Omega_{\psi_I(0)^2})\\&f_{\psi(\Omega_{\Omega_{\psi_I(0)[n]+1}})}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\Omega_{\Omega_{\psi_I(0)+1}})\\&f_{\psi(\psi_I(0)[n+2])}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\Omega_{\Omega_{\psi_I(0)\times2}})\\&f_{\psi(\psi_I(0)[n\times2])}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(1))\\&f_{\psi(\psi_I(0)[n\times2+1])}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\Omega_{\psi_I(1)\times2})\\&f_{\psi(\psi_I(0)[n\times3])}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(2))\\&f_{\psi(\psi_I(0)[n^2])}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(\omega))\\&f_{\psi(\psi_I(0))}^2(n)\sim\psi(\psi_I(\psi(\psi_I(0))))\\&f_{\psi(\psi_I(0))}^3(n)\sim\psi(\psi_I(\psi(\psi_I(\psi(\psi_I(0))))))\\&f_{\psi(\psi_I(0))+1}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega))\\&f_{\psi(\psi_I(0))+2}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega)+\psi_{\Omega_2}(\psi_I(\Omega))\times\Omega)\\&f_{\psi(\psi_I(0)+\Omega)}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega)+\Omega_2)\\&f_{\psi(\psi_I(0)\times\Omega)}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega)\times\Omega_2)\\&f_{\psi(\psi_I(0)^2)+1}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega)^2)\\&f_{\psi(\psi_{\Omega_{\psi_I(0)+1}}(0))}(n)\sim\psi(\psi_{\Omega_{\psi_I(\Omega)+1}}(0))\\&f_{\psi(\Omega_{\psi_I(0)+1})}(n)\sim\psi(\Omega_{\psi_I(\Omega)+1})\\&f_{\psi(\Omega_{\Omega_{\psi_I(0)+1}})}(n)\sim\psi(\Omega_{\Omega_{\psi_I(\Omega)+1}})\\&f_{\psi(\psi_I(1))}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega+1))\\&f_{\psi(\psi_I(1)[n\times2])}(f_{\psi(\psi_I(1))}(n))\sim\psi(\psi_I(\Omega+2))\\&f_{\psi(\psi_I(1))}^2(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega+\psi(\psi_I(\Omega))))\\&f_{\psi(\psi_I(1))+1}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega\times2))\\&f_{\psi(\psi_I(2))}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega\times2+1))\\&f_{\psi(\psi_I(\omega))}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega\times\omega))\\&f_{\psi(\psi_I(\omega))+1}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega^2))\\&f_{\psi(\psi_I(\omega+1))+1}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega^2+\Omega))\\&f_{\psi(\psi_I(\omega^\omega))+1}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega^\Omega))\\&f_{\psi(\psi_I(\psi(0)))+1}(n)\sim\psi(\psi_I(\psi_{\Omega_2}(\Omega)))\\&f_{\psi(\psi_I(\psi(\psi_I(0))))+1}(n)\sim\psi(\psi_I(\psi_{\Omega_2}(\psi_I(\Omega))))\\&f_{\psi(\psi_I(\Omega))}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_2))\\&f_{\psi(\psi_I(\Omega_2))}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_3))\\&f_{\psi(\psi_I(\Omega_3))}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_4))\\& f_{\psi(\psi_I(\Omega_\omega))}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_\omega))\\& C(\omega+1)=\psi(\psi_I(\Omega_\omega))\end{align}</math>

<nowiki>\begin{align}s\\&f_{\psi(\psi_I(\Omega_\omega))+1}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_\Omega))\\&f_{\psi(\psi_I(\Omega_\omega))+2}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_\Omega)\times\Omega)\\&f_{\psi(\psi_I(\Omega_\omega)+1)}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_\Omega)\times\psi_{\Omega_2}(\psi_I(\Omega_\Omega)+1))\\&f_{\psi(\psi_I(\Omega_\omega)\times\Omega)}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_\Omega)\times\Omega_2)\\&f_{\psi(\psi_I(\Omega_\omega)^2)+1}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_\Omega)^2)\\&f_{\psi(\Omega_{\psi_I(\Omega_\omega)+1})}(n)\sim\psi(\Omega_{\psi_I(\Omega_\Omega)+1})\\&f_{\psi(\psi_I(\Omega_\omega+1))}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_\Omega+1))\\&f_{\psi(\psi_I(\Omega_\omega+1))+1}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_\Omega+\Omega))\\&f_{\psi(\psi_I(\Omega_\omega+\psi(0)))}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_\Omega+\psi_1(0)))\\&f_{\psi(\psi_I(\Omega_\omega+\Omega))}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_\Omega+\Omega_2))\\&f_{\psi(\psi_I(\Omega_\omega\times2))}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_\Omega+\Omega_\omega))\\&f_{\psi(\psi_I(\psi_{\Omega_{\omega+1}}(0)))}(n)\sim\psi(\psi_I(\psi_{\Omega_{\Omega+1}}(0)))\\&f_{\psi(\psi_I(\Omega_{\omega+1}))}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_{\Omega+1}))\\&f_{\psi(\psi_I(\Omega_{\omega\times2}))+1}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_{\Omega\times2}))\\&f_{\psi(\psi_I(\Omega_{\psi(0)}))}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_{\psi_{1}(0)}))\\&f_{\psi(\psi_I(\Omega_{\Omega}))}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_{\Omega_2}))\\&f_{\psi(\psi_I(\Omega_{\Omega_2}))}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_{\Omega_3}))\\&f_{\psi(\psi_I(\Omega_{\Omega_\omega}))}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_{\Omega_\omega}))\\&\color{red}{C(\omega+2)=\psi(\psi_I(\Omega_{\Omega_\omega}))}\\&\color{red}{C(\omega\times2)=\psi(\psi_I(\psi_I(0)))}\\&f_{\psi(\psi_I(\psi_I(0)))+1}(n)\sim\psi(\psi_I(\psi_I(\Omega)))\\&f_{\psi(\psi_I(\psi_I(1)))+1}(n)\sim\psi(\psi_I(\psi_I(\Omega\times2)))\\&f_{\psi(\psi_I(\psi_I(\Omega)))}(n)\sim\psi(\psi_I(\psi_I(\Omega_2)))\\&f_{\psi(\psi_I(\psi_I(\Omega_\omega)))}(n)\sim\psi(\psi_I(\psi_I(\Omega_\omega)))\\&\color{red}{C(\omega\times2+1)=\psi(\psi_I(\psi_I(\Omega_\omega)))}\\&\color{red}{C(\omega\times2+2)=\psi(\psi_I(\psi_I(\Omega_{\Omega_\omega})))}\\&\color{red}{C(\omega\times3)=\psi(\psi_I(\psi_I(\psi_I(0))))}\\&\color{red}{C(\omega\times4)=\psi(\psi_I(\psi_I(\psi_I(\psi_I(0)))))}\\&\Large\color{red}{C(\omega^2)=\psi(I)}\\&f_3(f_{\psi(I)}(n))\sim\psi(I+1)\\&f_{\psi(0)}^n(f_{\psi(I)}(n))\sim\psi(I+\psi_{\Omega_2}(\Omega))\\&f_{\psi(\Omega_\omega)[n]}(f_{\psi(I)}(n))\sim\psi(I+\psi_{\Omega_2}(\Omega_\omega))\\&f_{\psi(\Omega_\omega)}^n(f_{\psi(I)}(n))\sim\psi(I+\psi_{\Omega_2}(\Omega_\Omega))\\&f_{\psi(\psi_I(0))}^n(f_{\psi(I)}(n))\sim\psi(I+\psi_{\Omega_2}(\psi_I(\Omega)))\\&f_{\psi(I)[n]}(f_{\psi(I)}(n))\sim\psi(I+\psi_{\Omega_2}(I))\\&f_{\psi(\psi_I(I)[n]+1)}(f_{\psi(I)}(n))\sim\psi(I+\psi_{\Omega_2}(I+1))\\&f_{\psi(\psi_I(I)[n]+\Omega)[n]}(f_{\psi(I)}(n))\sim\psi(I+\Omega_2)\\&f_{\psi(\psi_I(I)[n]+\psi_I(0))[n]}(f_{\psi(I)}(n))\sim\psi(I+\psi_I(0))\\&f_{\psi(\psi_I(I)[n]\times2)}(f_{\psi(I)}(n))\sim\psi(I+\psi_I(I))\\&f_{\psi(\psi_{\Omega_{\psi_I(I)[n]+1}}(0))}(f_{\psi(I)}(n))\sim\psi(I+\psi_{\Omega_{\psi_I(I)+1}}(0))\\&f_{\psi(\psi_{\Omega_{\psi_I(I)[n]+1}}(\psi_I(0)))}(f_{\psi(I)}(n))\sim\psi(I+\psi_{\Omega_{\psi_I(I)+1}}(\psi_I(0)))\\&f_{\psi(\psi_{\Omega_{\psi_I(I)[n]+1}}(\psi_I(I)[n]))}(f_{\psi(I)}(n))\sim\psi(I+\psi_{\Omega_{\psi_I(I)+1}}(I))\\&f_{\psi(\Omega_{\psi_I(I)[n]+1})}(f_{\psi(I)}(n))\sim\psi(I+\Omega_{\psi_I(I)+1})\\&f_{\psi(\psi_I(\psi_I(I)[n-1]+1))}(f_{\psi(I)}(n))\sim\psi(I+\psi_I(I+1))\\&f_{\psi(\psi_I(\psi_I(I)[n-1]+\Omega_\omega))}(f_{\psi(I)}(n))\sim\psi(I+\psi_I(I+\Omega_\omega))\\&f_{\psi(\psi_I(\psi_I(I)[n-1]+\psi_I(0)))}(f_{\psi(I)}(n))\sim\psi(I+\psi_I(I+\psi_I(0)))\\&f_{\psi(I)[n+1]}(f_{\psi(I)}(n))\sim\psi(I+\psi_I(I+\psi_I(I)))\\&f_{\psi(I)[n+2]}(f_{\psi(I)}(n))\sim\psi(I+\psi_I(I+\psi_I(I+\psi_I(I))))\\&f_{\psi(I)[n\times2]}(f_{\psi(I)}(n))\sim\psi(I\times2)\\&f_{\psi(I)}^2(n)\sim\psi(I\times\psi(I))\\&f_{\psi(I)+1}(n)\sim\psi(I\times\Omega)\\&f_{\psi(I+1)}(n)\sim\psi(I\times\psi_{\Omega_2}(I+1))\\&f_{\psi(I\times2)}(n)\sim\psi(I\times\psi_{\Omega_2}(I\times2))\\&f_{\psi(I\times\Omega)}(n)\sim\psi(I\times\Omega_2)\\&f_{\psi(I\times\Omega_2)}(n)\sim\psi(I\times\Omega_3)\\&f_{\psi(I\times\Omega_\omega)}(n)\sim\psi(I\times\Omega_\omega)\\&C(\omega^2+1)=\psi(I\times\Omega_\omega)\\&C(\omega^2+2)=\psi(I\times\Omega_{\Omega_\omega})\\&C(\omega^2+\omega)=\psi(I\times\psi_I(0))\\&C(\omega^2+\omega+1)=\psi(I\times\psi_I(\Omega_\omega))\\&C(\omega^2+\omega\times2)=\psi(I\times\psi_I(\psi_I(0)))\\&{C(\omega^2\times2)=\psi(I\times\psi_I(I))\\&f_{\psi(I\times\psi_I(I))+1}(n)\sim\psi(I\times\psi_I(I\times\Omega))\\&f_{\psi(I\times\psi_I(I\times\Omega_\omega))}(n)\sim\psi(I\times\psi_I(I\times\Omega_\omega))\\&{C(\omega^2\times2+1)=\psi(I\times\psi_I(I\times\Omega_\omega))\\&{C(\omega^2\times2+\omega)=\psi(I\times\psi_I(I\times\psi_I(0)))\\&{C(\omega^2\times3)=\psi(I\times\psi_I(I\times\psi_I(I)))\\&{C(\omega^3)=\psi(I^2)\\&f_{\psi(I^2)+1}(n)\sim\psi(I^2\times\Omega)\\&{C(\omega^3+1)=\psi(I^2\times\Omega_\omega)\\&{C(\omega^3+\omega)=\psi(I^2\times\psi_I(0))\\&{C(\omega^3+\omega^2)=\psi(I^2\times\psi_I(I))\\&{C(\omega^3\times2)=\psi(I^2\times\psi_I(I^2))\\&{C(\omega^4)=\psi(I^3)\\&{C(\omega^\omega)=\psi(I^\omega)\end{align}</nowiki>

Catching函数分析2：EBO~JO

2026-02-25T15:24:14Z

Z：创建页面，内容为“本条目展示Catching函数在EBO到JO之间的过程。以下左为FGH，右为SGH。均为MOCF <math>\begin{align}.\\&f_3(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+1)\\&f_{\omega}^n(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+\Omega^\omega)\\&f_{\psi(0)}^n(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+\psi_1(\Omega))\\&f_{\psi(\Omega_\omega)}^n(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+\psi_1…”

Catching函数分析

2026-02-25T15:13:18Z

Z：

本条目展示[[Catching 函数|Catching函数]]的分析条目汇总。

BO之前的部分，参见条目：[[SGH与FGH对照]]

[[Catching函数分析1：BO~EBO]]

[[Catching函数分析2：EBO~JO]]
[[分类:分析]]

Catching函数分析1：BO~EBO

2026-02-25T15:10:42Z

Z：

本条目展示[[Catching 函数|Catching函数]]的分析。以下左为[[FGH]]，右为[[SGH]]。均用[[序数坍缩函数#MOCF 简介|MOCF]]表示。

<math>\begin{align}.\\&f_3(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+1)\\&f_4^n(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\Omega)\\&f_\omega^n(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\Omega^\Omega)\\&f_{\omega^\omega}^n(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\Omega^{\Omega^\Omega})\\&f_{\psi(0)}^n(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\psi_1(\Omega))\\&f_{\psi(\Omega)[n]}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\psi_1(\Omega_2))\\&f_{\psi(\Omega_2)[n]}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\psi_1(\Omega_3))\\&f_{\psi(\Omega_3)[n]}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\psi_1(\Omega_4))\\&f_{\psi(\Omega_\omega)[n]}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\psi_1(\Omega_\omega))\\&f_{\psi(\Omega_\omega)[n]}^2(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\psi_1(\Omega_\omega)\times2)\\&f_{\psi(\Omega_\omega)[n]+1}^n(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\psi_1(\Omega_\omega)\times\Omega)\\&f_{\psi(\Omega_\omega)[n]\times2}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\psi_1(\Omega_\omega)^2)\\&f_{\psi(\Omega_\omega[n]+1)}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\psi_1(\Omega_\omega+1))\\&f_{\psi(\Omega_\omega[n]+\omega)}^n(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\psi_1(\Omega_\omega+\Omega))\\&f_{\psi(\Omega_\omega[n]+\psi(0)[n])}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\psi_1(\Omega_\omega+\psi_1(0)))\\&f_{\psi(\Omega_\omega[n]+\psi(\Omega_\omega[n]))}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\psi_1(\Omega_\omega+\psi_1(\Omega_\omega)))\\&f_{\psi(\Omega_\omega[n]+\Omega)[n]}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\Omega_2)\\&f_{\psi(\Omega_\omega[n]+\Omega)[n\times2]}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\Omega_2\times2)\\&f_{\psi(\Omega_\omega[n]+\Omega)}^n(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\Omega_2\times\Omega)\\&f_{\psi(\Omega_\omega[n]+\Omega^2)}^n(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\Omega_2^2\times\Omega)\\&f_{\psi(\Omega_\omega[n]+\psi_1(0))}^n(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\psi_2(\Omega))\\&f_{\psi(\Omega_\omega[n]+\psi_1(\Omega_\omega[n]))}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\psi_2(\Omega_\omega))\\&f_{\psi(\Omega_\omega[n]+\psi_2(\Omega_\omega[n]))}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\psi_3(\Omega_\omega))\\&f_{\psi(\Omega_\omega[n]\times2)}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega\times2)\\&f_{\psi(\Omega_\omega[n]\times3)}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega\times3)\\&f_{\psi(\Omega_\omega[n]\times\omega)}^n(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega\times\Omega)\\&f_{\psi(\Omega_\omega[n]\times\psi(0))}^n(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega\times\psi_1(\Omega))\\&f_{\psi(\Omega_\omega[n]\times\psi(\Omega_\omega[n]))}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega\times\psi_1(\Omega_\omega))\\&f_{\psi(\Omega_\omega[n]\times\psi_1(\Omega_\omega[n]))}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega\times\psi_2(\Omega_\omega))\\&f_{\psi(\Omega_\omega[n]^2)}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega^2)\\&f_{\psi(\Omega_\omega[n]^{\Omega_\omega[n]})}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega^{\Omega_\omega})\\&f_{\psi(\psi_n(0))}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\psi_\omega(0))\\&f_{\psi(\Omega_\omega)[n+1]}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_{\omega+1})\\&f_{\psi(\Omega_\omega)[n+2]}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_{\omega+2})\\&f_{\psi(\Omega_\omega)[n\times2]}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_{\omega\times2})\\&f_{\psi(\Omega_\omega)}^2(n)\sim\psi(\Omega_{\psi(\Omega_\omega)})\\&f_{\psi(\Omega_\omega)[f_{\psi(\Omega_\omega)}(n)+1]}(f_{\psi(\Omega_\omega)}^2(n))\sim\psi(\Omega_{\psi(\Omega_\omega)+1})\\&f_{\psi(\Omega_\omega)}^3(n)\sim\psi(\Omega_{\psi(\Omega_{\psi(\Omega_\omega)})})\\&f_{\psi(\Omega_\omega)+1}(n)\sim\psi(\Omega_\Omega)\end{align}</math>

<math>\begin{align}.\\&f_{\psi(\Omega_\omega)[n]}(f_{\psi(\Omega_\omega)+1}(n))\sim\psi(\Omega_\Omega+\psi_1(\Omega_\omega))\\&f_{\psi(\Omega_\omega)}(f_{\psi(\Omega_\omega)+1}(n))\sim\psi(\Omega_\Omega+\psi_1(\Omega_{\psi(\Omega_\Omega)}))\\&f_{\psi(\Omega_\omega)}^n(f_{\psi(\Omega_\omega)+1}(n))\sim\psi(\Omega_\Omega+\psi_1(\Omega_\Omega))\\&f_{\psi(\Omega_\omega)}^{n\times2}(f_{\psi(\Omega_\omega)+1}(n))\sim\psi(\Omega_\Omega+\psi_1(\Omega_\Omega)\times2)\\&f_{\psi(\Omega_\omega)+1}^2(n)\sim\psi(\Omega_\Omega+\psi_1(\Omega_\Omega)\times\psi(\Omega_\Omega))\\&f_{\psi(\Omega_\omega)+2}(n)\sim\psi(\Omega_\Omega+\psi_1(\Omega_\Omega)\times\Omega)\\&f_{\psi(\Omega_\omega)+\omega}(n)\sim\psi(\Omega_\Omega+\psi_1(\Omega_\Omega)\times\Omega^\omega)\\&f_{\psi(\Omega_\omega)+\omega+1}(n)\sim\psi(\Omega_\Omega+\psi_1(\Omega_\Omega)\times\Omega^\Omega)\\&f_{\psi(\Omega_\omega)+\psi(0)+1}(n)\sim\psi(\Omega_\Omega+\psi_1(\Omega_\Omega)\times\psi_1(\Omega))\\&f_{\psi(\Omega_\omega)\times2}(n)\sim\psi(\Omega_\Omega+\psi_1(\Omega_\Omega)\times\psi_1(\Omega_\omega))\\&f_{\psi(\Omega_\omega)\times2+1}(n)\sim\psi(\Omega_\Omega+\psi_1(\Omega_\Omega)^2)\\&f_{\psi(\Omega_\omega)\times2+2}(n)\sim\psi(\Omega_\Omega+\psi_1(\Omega_\Omega)^2\times\Omega)\\&f_{\psi(\Omega_\omega)\times3+1}(n)\sim\psi(\Omega_\Omega+\psi_1(\Omega_\Omega)^3)\\&f_{\psi(\Omega_\omega)\times\omega+1}(n)\sim\psi(\Omega_\Omega+\psi_1(\Omega_\Omega)^\Omega)\\&f_{\psi(\Omega_\omega)^2+1}(n)\sim\psi(\Omega_\Omega+\psi_1(\Omega_\Omega)^{\psi_1(\Omega_\Omega)})\\&f_{\psi(\Omega_\omega+1)}(n)\sim\psi(\Omega_\Omega+\psi_1(\Omega_\Omega+1))\\&f_{\psi(\Omega_\omega+\psi(\Omega_\omega))}(n)\sim\psi(\Omega_\Omega+\psi_1(\Omega_\Omega+\psi_1(\Omega_\omega)))\\&f_{\psi(\Omega_\omega+\psi(\Omega_\omega))+1}(n)\sim\psi(\Omega_\Omega+\psi_1(\Omega_\Omega+\psi_1(\Omega_\Omega)))\\&f_{\psi(\Omega_\omega+\Omega)}(n)\sim\psi(\Omega_\Omega+\Omega_2)\\&f_{\psi(\Omega_\omega\times2)}(n)\sim\psi(\Omega_\Omega+\Omega_\omega)\\&f_{\psi(\Omega_\omega\times2)+1}(n)\sim\psi(\Omega_\Omega\times2)\\&f_{\psi(\Omega_\omega\times3)+1}(n)\sim\psi(\Omega_\Omega\times3)\\&f_{\psi(\Omega_\omega\times\omega)+1}(n)\sim\psi(\Omega_\Omega\times\Omega)\\&f_{\psi(\Omega_\omega\times\psi(\Omega_\omega))+1}(n)\sim\psi(\Omega_\Omega\times\psi_1(\Omega_\Omega))\\&f_{\psi(\Omega_\omega\times\Omega)}(n)\sim\psi(\Omega_\Omega\times\Omega_2)\\&f_{\psi(\Omega_\omega\times\Omega_2)}(n)\sim\psi(\Omega_\Omega\times\Omega_3)\\&f_{\psi(\Omega_\omega\times\Omega_3)}(n)\sim\psi(\Omega_\Omega\times\Omega_4)\\&f_{\psi(\Omega_\omega^2)}(n)\sim\psi(\Omega_\Omega\times\Omega_\omega)\\&f_{\psi(\Omega_\omega^2)+1}(n)\sim\psi(\Omega_\Omega^2)\\&f_{\psi(\Omega_\omega^3)+1}(n)\sim\psi(\Omega_\Omega^3)\\&f_{\psi(\Omega_\omega^\omega)+1}(n)\sim\psi(\Omega_\Omega^\Omega)\\&f_{\psi(\Omega_\omega^\Omega)+1}(n)\sim\psi(\Omega_\Omega^{\Omega_2})\\&f_{\psi(\Omega_\omega^{\Omega_\omega})+1}(n)\sim\psi(\Omega_\Omega^{\Omega_\Omega})\\&f_{\psi(\psi_\omega(0))}(n)\sim\psi(\psi_\Omega(0))\\&f_{\psi(\Omega_{\omega+1})}(n)\sim\psi(\Omega_{\Omega+1})\\&f_{\psi(\Omega_{\omega+2})}(n)\sim\psi(\Omega_{\Omega+2})\\&f_{\psi(\Omega_{\omega\times2})}(n)\sim\psi(\Omega_{\Omega+\omega})\\&f_{\psi(\Omega_{\omega\times2})+1}(n)\sim\psi(\Omega_{\Omega\times2})\\&f_{\psi(\Omega_{\omega\times3})+1}(n)\sim\psi(\Omega_{\Omega\times3})\\&f_{\psi(\Omega_{\omega^2})+1}(n)\sim\psi(\Omega_{\Omega^2})\\&f_{\psi(\Omega_{\omega^\omega})+1}(n)\sim\psi(\Omega_{\Omega^\Omega})\\&f_{\psi(\Omega_{\omega^{\omega^\omega}})+1}(n)\sim\psi(\Omega_{\Omega^{\Omega^\Omega}})\\&f_{\psi(\Omega_{\psi(0)})+1}(n)\sim\psi(\Omega_{\psi_1(\Omega)})\\&f_{\psi(\Omega_{\psi(1)})}(n)\sim\psi(\Omega_{\psi_1(\Omega+1)})\\&f_{\psi(\Omega_{\psi(1)})+1}(n)\sim\psi(\Omega_{\psi_1(\Omega+1)\times\Omega})\\&f_{\psi(\Omega_{\psi(\omega)})+1}(n)\sim\psi(\Omega_{\psi_1(\Omega\times2)})\\&f_{\psi(\Omega_{\psi(\Omega)})}(n)\sim\psi(\Omega_{\psi_1(\Omega_2)})\\&f_{\psi(\Omega_{\psi(\Omega)})+1}(n)\sim\psi(\Omega_{\psi_1(\Omega_2\times\Omega)})\\&f_{\psi(\Omega_{\psi(\Omega_2)})}(n)\sim\psi(\Omega_{\psi_1(\Omega_3)})\\&f_{\psi(\Omega_{\psi(\Omega_\omega)})}(n)\sim\psi(\Omega_{\psi_1(\Omega_\omega)})\\&f_{\psi(\Omega_{\psi(\Omega_\omega)})+1}(n)\sim\psi(\Omega_{\psi_1(\Omega_\Omega)})\\&f_{\psi(\Omega_{\psi(\Omega_{\omega^\omega})})+1}(n)\sim\psi(\Omega_{\psi_1(\Omega_{\Omega^\Omega})})\\&f_{\psi(\Omega_{\psi(\Omega_{\psi(0)})})+1}(n)\sim\psi(\Omega_{\psi_1(\Omega_{\psi_1(\Omega)})})\\&f_{\psi(\Omega_{\Omega})}(n)\sim\psi(\Omega_{\Omega_2})\\&f_{\psi(\Omega_{\Omega_2})}(n)\sim\psi(\Omega_{\Omega_3})\\&f_{\psi(\Omega_{\Omega_3})}(n)\sim\psi(\Omega_{\Omega_4})\\&f_{\psi(\Omega_{\Omega_\omega})}(n)\sim\psi(\Omega_{\Omega_\omega})\\&\color{red}{C(1)=\psi(\Omega_{\Omega_\omega})}
\\&f_{\psi(\Omega_{\Omega_\omega})+1}(n)\sim\psi(\Omega_{\Omega_\Omega})\\&f_{\psi(\Omega_{\Omega_\omega})+2}(n)\sim\psi(\Omega_{\Omega_\Omega}\times\Omega)\\&f_{\psi(\Omega_{\Omega_\omega})\times2+1}(n)\sim\psi(\Omega_{\Omega_\Omega}\times\psi_1(\Omega_{\Omega_\Omega}))\\&f_{\psi(\Omega_{\Omega_\omega}\times\Omega)}(n)\sim\psi(\Omega_{\Omega_\Omega}\times\Omega_2)\\&f_{\psi(\Omega_{\Omega_\omega}\times\Omega_\omega)+1}(n)\sim\psi(\Omega_{\Omega_\Omega}\times\Omega_\Omega)\\&f_{\psi(\Omega_{\Omega_\omega+1})}(n)\sim\psi(\Omega_{\Omega_\Omega+1})\\&f_{\psi(\Omega_{\psi_\omega(0)})}(n)\sim\psi(\Omega_{\psi_\Omega(0)})\\&f_{\psi(\Omega_{\Omega_{\omega+1}})}(n)\sim\psi(\Omega_{\Omega_{\Omega+1}})\\&f_{\psi(\Omega_{\Omega_{\psi(0)}})}(n)\sim\psi(\Omega_{\Omega_{\psi_1(0)}})\\&f_{\psi(\Omega_{\Omega_{\Omega}})}(n)\sim\psi(\Omega_{\Omega_{\Omega_2}})\\&f_{\psi(\Omega_{\Omega_{\Omega_\omega}})}(n)\sim\psi(\Omega_{\Omega_{\Omega_\omega}})\\&\color{red}{C(2)=\psi(\Omega_{\Omega_{\Omega_\omega}})}\\&\color{red}{C(3)=\psi(\Omega_{\Omega_{\Omega_{\Omega_\omega}}})}\\&C(\omega)=\psi(\psi_I(0))\end{align}</math>
[[分类:分析]]

Catching函数分析

2026-02-25T14:56:45Z

Z：

本条目展示[[Catching 函数|Catching函数]]的分析条目汇总。

BO之前的部分，参见条目：[[SGH与FGH对照]]

[[Catching函数分析1：BO~EBO]]
[[分类:分析]]

Catching函数分析

2026-02-25T14:56:33Z

Z：

本条目展示Catching函数的分析条目汇总。

BO之前的部分，参见条目：[[SGH与FGH对照]]

[[Catching函数分析1：BO~EBO]]
[[分类:分析]]

Catching函数分析1：BO~EBO

2026-02-25T14:55:38Z

Z：创建页面，内容为“本条目展示Catching函数的分析。以下左为FGH，右为SGH。均用MOCF表示。 \begin{align}.\\&f_3(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+1)\\&f_4^n(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\Omega)\\&f_\omega^n(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\Omega^\Omega)\\&f_{\omega^\omega}^n(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\Omega^{\Omega^\Omeg…”

本条目展示[[Catching 函数|Catching函数]]的分析。以下左为[[FGH]]，右为[[SGH]]。均用[[序数坍缩函数#MOCF 简介|MOCF]]表示。

\begin{align}.\\&f_3(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+1)\\&f_4^n(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\Omega)\\&f_\omega^n(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\Omega^\Omega)\\&f_{\omega^\omega}^n(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\Omega^{\Omega^\Omega})\\&f_{\psi(0)}^n(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\psi_1(\Omega))\\&f_{\psi(\Omega)[n]}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\psi_1(\Omega_2))\\&f_{\psi(\Omega_2)[n]}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\psi_1(\Omega_3))\\&f_{\psi(\Omega_3)[n]}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\psi_1(\Omega_4))\\&f_{\psi(\Omega_\omega)[n]}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\psi_1(\Omega_\omega))\\&f_{\psi(\Omega_\omega)[n]}^2(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\psi_1(\Omega_\omega)\times2)\\&f_{\psi(\Omega_\omega)[n]+1}^n(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\psi_1(\Omega_\omega)\times\Omega)\\&f_{\psi(\Omega_\omega)[n]\times2}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\psi_1(\Omega_\omega)^2)\\&f_{\psi(\Omega_\omega[n]+1)}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\psi_1(\Omega_\omega+1))\\&f_{\psi(\Omega_\omega[n]+\omega)}^n(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\psi_1(\Omega_\omega+\Omega))\\&f_{\psi(\Omega_\omega[n]+\psi(0)[n])}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\psi_1(\Omega_\omega+\psi_1(0)))\\&f_{\psi(\Omega_\omega[n]+\psi(\Omega_\omega[n]))}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\psi_1(\Omega_\omega+\psi_1(\Omega_\omega)))\\&f_{\psi(\Omega_\omega[n]+\Omega)[n]}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\Omega_2)\\&f_{\psi(\Omega_\omega[n]+\Omega)[n\times2]}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\Omega_2\times2)\\&f_{\psi(\Omega_\omega[n]+\Omega)}^n(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\Omega_2\times\Omega)\\&f_{\psi(\Omega_\omega[n]+\Omega^2)}^n(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\Omega_2^2\times\Omega)\\&f_{\psi(\Omega_\omega[n]+\psi_1(0))}^n(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\psi_2(\Omega))\\&f_{\psi(\Omega_\omega[n]+\psi_1(\Omega_\omega[n]))}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\psi_2(\Omega_\omega))\\&f_{\psi(\Omega_\omega[n]+\psi_2(\Omega_\omega[n]))}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega+\psi_3(\Omega_\omega))\\&f_{\psi(\Omega_\omega[n]\times2)}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega\times2)\\&f_{\psi(\Omega_\omega[n]\times3)}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega\times3)\\&f_{\psi(\Omega_\omega[n]\times\omega)}^n(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega\times\Omega)\\&f_{\psi(\Omega_\omega[n]\times\psi(0))}^n(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega\times\psi_1(\Omega))\\&f_{\psi(\Omega_\omega[n]\times\psi(\Omega_\omega[n]))}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega\times\psi_1(\Omega_\omega))\\&f_{\psi(\Omega_\omega[n]\times\psi_1(\Omega_\omega[n]))}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega\times\psi_2(\Omega_\omega))\\&f_{\psi(\Omega_\omega[n]^2)}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega^2)\\&f_{\psi(\Omega_\omega[n]^{\Omega_\omega[n]})}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_\omega^{\Omega_\omega})\\&f_{\psi(\psi_n(0))}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\psi_\omega(0))\\&f_{\psi(\Omega_\omega)[n+1]}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_{\omega+1})\\&f_{\psi(\Omega_\omega)[n+2]}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_{\omega+2})\\&f_{\psi(\Omega_\omega)[n\times2]}(f_{\psi(\Omega_\omega)}(n))\sim\psi(\Omega_{\omega\times2})\\&f_{\psi(\Omega_\omega)}^2(n)\sim\psi(\Omega_{\psi(\Omega_\omega)})\\&f_{\psi(\Omega_\omega)[f_{\psi(\Omega_\omega)}(n)+1]}(f_{\psi(\Omega_\omega)}^2(n))\sim\psi(\Omega_{\psi(\Omega_\omega)+1})\\&f_{\psi(\Omega_\omega)}^3(n)\sim\psi(\Omega_{\psi(\Omega_{\psi(\Omega_\omega)})})\\&f_{\psi(\Omega_\omega)+1}(n)\sim\psi(\Omega_\Omega)\end{align}

Catching函数分析

2026-02-25T14:54:12Z

Z：创建页面，内容为“本条目展示Catching函数的分析条目汇总。 Catching函数分析1：BO~EBO 分类:分析”

本条目展示Catching函数的分析条目汇总。

[[Catching函数分析1：BO~EBO]]
[[分类:分析]]

Catching 函数

2026-02-25T14:42:53Z

Z：

'''Catching 函数'''，是由 HypCos 创造的[[序数记号]]，用以记录 [[增长层级#快速增长层级|FGH]] 和 [[增长层级#慢速增长层级|SGH]] 的[[Catching|追平点]]。<ref>HypCos (2013). Analysis - BEAF, FGH and SGH (part 3). ''(EB/OL), Googology Wiki''. https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Hyp_cos/Analysis_-_BEAF,_FGH_and_SGH_(part_3)</ref>

== 定义 ==
将 <math>C(\alpha)</math> 用于表示这个函数，其定义如下：

* 当 <math>\alpha=0</math> 时：<math>C(0)</math> 是第一个[[序数]] <math>\beta</math>，使得 <math>g_{\beta(n)}</math> 与 <math>f_{\beta(n)}</math> 可比；
* 当 <math>\alpha</math> 为[[序数#序数的后继|后继序数]]时（即 <math>\alpha=\gamma+1</math>）：<math>C(\alpha+1)</math> 是 <math>C(\alpha)</math> 之后下一个满足 <math>g_{\beta(n)}</math> 与 <math>f_{\beta(n)}</math> 可比的序数 <math>\beta</math>；
* 当 <math>\alpha</math> 为[[序数#极限序数|极限序数]]时（即 <math>\alpha=L</math>）：<math>C(\alpha)[n]=C(\alpha[n])</math>（其中 <math>\alpha[n]</math> 表示 <math>\alpha</math> 的[[基本列]]第 <math>n</math> 项）。

此外，<math>C(\alpha)</math> 是最小的序数 <math>\beta</math>，使得 <math>g_{\beta(n)}</math> 与 <math>f_{\beta(n)}</math> 可比，且对于所有 <math>\gamma<\alpha</math>，<math>\beta</math> 都大于 <math>C(\gamma)</math>。

"可比"是一个模糊的术语，但此处可理解为：<math>f_{\beta(n)}</math> 与<math>g_{\beta(n)}</math> 可比当且仅当存在某个 <math>k</math>，使得对任意 <math>n</math> 都有 <math>g_{\beta(n+k)}>f_{\beta(n)}</math>D。

现在，使用第一个[[序数#可数序数与不可数序数|不可数序数]] Ω 作为 C( ) 中的对角化器。想象一下：当我们遇到一个 Ω 并需要处理它时，首先找到最近的 C( ) 结构，然后复制该 C( ) 内部的内容（但不包括这个 Ω 本身）n 次，每次都将复制的内容插入到原本 Ω 的位置。换句话说，C(#Ω@) 等于嵌套 n 层的 C(#C(...C(#0@)...@)@)，其中 @ 位置不包含任何序数（即仅保留结构占位）。

举例：

<math>C(\Omega\times2)=C(\Omega+C(\Omega+C(\Omega+\cdots)))</math>

<math>C(\Omega^\Omega\times2)=C(\Omega^\Omega+\Omega^{C(\Omega^\Omega+\Omega^{C(\Omega^\Omega+\Omega^{\cdots})})})</math>

这保证了<math>C(\varepsilon_{\Omega+1})</math>之前的良定义性。

== 分析 ==
主词条：[[Catching函数分析]]

我们有<math>C(\varepsilon_{\Omega+1})</math>=BMS<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,2,0)</math>.

再之后的Catching函数缺乏良好定义，这导致之后并没有可信的分析，而只有理念。

== 扩展 ==
我们知道，一个 Catching 序数必定形如 <math>\psi(\alpha)</math>。也就是说，它是满足 <math>\beta\rightarrow \omega^{\beta}</math> 的固定点。而一个[[基数]] <math>\alpha</math> 可以作为 <math>\psi_{\alpha}()</math> 中的对角化参数。在常规记法中，<math>\psi_{\Omega_{1+k}}()</math> 对于正整数 <math>k</math> 也可写作 <math>\psi_{k}()</math>，而 <math>\psi_{\Omega}()</math> 也可简写为 <math>\psi()</math>。自然地，一个更强的 Catching 层次结构应运而生。
* <math>C_{\pi}(0)=\psi_{\pi}(\Omega_{\omega})</math>
* 若 <math>C_{\pi}(\alpha)=\psi_{\pi}(\beta)</math>，则<math>C_{\pi}(\alpha+1)=\psi_{\pi}(\gamma)</math>，其中 <math>\psi(\gamma)</math> 是满足 <math>g_{\psi(\gamma)}(n)</math> 与 <math>f_{\psi(\gamma)}(n)</math> 可比较的最小序数，且 <math>\gamma>\beta</math>，同时 <math>\psi_{\pi}(\beta)</math> 和 <math>\psi_{\pi}(\gamma)</math> 均为完全简化的。
* 对于极限序数 <math>\alpha</math>，<math>C_{\pi}(\alpha)[n]=C_{\pi}(\alpha[n])</math>
* <math>\pi</math> 是 <math>C_{\pi}()</math> 函数的对角化参数

对于正整数 <math>k</math>，<math>C_{\Omega_{1+k}}()</math> 也可写作 <math>C_{k}()</math>，而 <math>C_{\Omega}()</math> 可简写为 <math>C()</math>。

<nowiki>- </nowiki>什么是完全简化的？

<nowiki>- </nowiki>记法 <math>\psi(\beta)</math> 是完全简化的当且仅当 <math>\psi(\beta+1)>\psi(\beta)</math>。例如，<math>\psi(\Omega_{2})</math> 是完全简化的，但<math>\psi(\psi_{1}(\Omega_{2}))</math>则不是，因为 <math>\psi(\Omega_{2}+1)>\psi(\Omega_{2})=\psi(\psi_{1}(\Omega_{2})+1)=\psi(\psi_{1}(\Omega_{2}))</math>。有时 <math>\psi</math> 函数会增长，有时则保持不变，而完全简化记法处于增长部分或保持部分的末尾。

==== 形式化定义 ====
我们记 <math>\bold{Ord}</math> 为序数类；<math>\bold{Ord}_\text{lim}</math> 为极限序数；<math>\alpha[n]</math> 是极限序数 <math>\alpha</math> 的基本列；称 <math>\psi_\alpha(\beta)</math> 是完全简化的（Full-simplified），当且仅当 <math>\psi_\alpha(\beta+1)>\psi_\alpha(\beta)</math>。

<math>C(\alpha)=\mu\beta\in\bold{Ord}\left(\begin{aligned}
(\alpha=0\Rightarrow\forall n\exists k\forall m(g_\beta(m+k)>f_\beta(m)))\land\\
(\alpha=\gamma+1\Rightarrow\beta>C(\gamma)\land\forall n\exists k\forall m(g_\beta(m+k)>f_\beta(m)))\land\\
(\alpha\in\bold{Ord}_\text{lim}\Rightarrow\forall n(\beta[n]=C(\alpha[n])))\land\\
\forall\gamma<\alpha(\beta>C(\gamma))
\end{aligned}\right)</math>

<math>C_\pi(\alpha)=\mu\beta\in\bold{Ord}\left(\begin{aligned}
(\alpha=0\Rightarrow\beta=\psi_\pi(\Omega_\omega))\land\\
(\alpha=\gamma+1\Rightarrow\exists\gamma'\in\bold{Ord}(\beta=\psi_\pi(\gamma')\land C_\pi(\gamma)=\psi_\pi(\beta_\gamma)\land\gamma'>\beta_\gamma\land\begin{aligned}
\forall n\exists k\forall mg_\beta(m+k)>f_\beta(m))\land\\\psi_\pi(\beta_\gamma),\psi_\pi(\gamma')\text{ is full-simplified}\end{aligned}))\land\\
(\alpha\in\bold{Ord}_\text{lim}\Rightarrow\forall n(\beta[n]=C(\alpha[n])))\land\\
\forall\gamma<\alpha(\beta>C(\gamma))
\end{aligned}\right)</math>

== 参考资料 ==
<references />{{默认排序:序数记号}}
[[分类:记号]]

BTBMS

2026-02-25T14:36:52Z

Z：

BTBMS（Bubby3's Transfinite Bashicu Matrix System）是 Bubby3 创造的序数记号，是现行扩展 [[BMS]] 中强度最高的。

'''但是，BTBMS的定义依然不完善，这意味着会出现歧义。读者需仔细甄别。'''

=== 定义 ===
BTBMS 表达式中的一列形如 <math>\left(a_1,a_2,\cdots,a_n^{(b_1,b_2,\cdots)}\right)</math>。它由两部分组成，分别为 <math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math> 以及 <math>(b_1,b_2,\cdots)</math>。它的后继规则为 <math>(\#)(0)[n]=(\#)[n+1],\quad\left(a^{(\#)(\varnothing)}\right)[n]=\left(a^{(\#)},a\right)[n]</math>。

其展开过程如下。首先找到坏根。如果末列不位于上标，则其规则与 BMS 是一致的。如果末列位于上标，则将其视为平移到原矩阵的最后方，然后按照 BMS 的规则寻找坏根。特别地，<math>(\#,a_n)</math> 视为 <math>\left(\#,a_n^{(\varnothing)}\right)</math>。

末列在找坏根的时候逐级向外，例如对于表达式 <math>(0)(1^{(2,1^{(3)})})</math> 将 <math>(1^{(2,1^{(3)})})</math> 视为 <math>(1^{(\varnothing)}(2,1^{(\varnothing)})(3))</math>，它的 <math>(3)</math> 现在本层找坏根。它的行数为 1，可以直接找到空序列作坏根，所以不向下找，直接在 <math>(\varnothing)(3)</math> 那一层复制为 <math>(2,1^{(\varnothing)},1^{(\varnothing)},\cdots)</math>。

第二步是确定复制部。如果末列不位于上标，则其规则与 BMS 一致，复制到的位置也不位于上标。如果末列位于上标，则形如 <math>(0)\cdots(\mathrm{br})\cdots(A,B^C)</math>，复制部为 <math>(\mathrm{br})\cdots(A,B^{[]})</math>。复制时将 <math>(\mathrm{br})</math> 复制到中括号的位置，然后加上提升偏移 <math>\Delta</math>。

第三步是确定提升偏移。对于一项 <math>\left(a_1,a_2,\cdots,a_n^{(b_1,b_2,\cdots)}\right)</math>，无需考虑 <math>(b_1,b_2,\cdots)</math> 的提升偏移，正常计算即可。例如对于表达式 <math>(0)(1^{(2,1)})</math>，它的坏根为 <math>(0)</math>，它的提升偏移就是 <math>(2,0,0,\cdots)</math>。如果出现末项行数无穷的情况，例如表达式 <math>(0)(1^{(2,1)},1)</math>，则其末项为 <math>(1^{(2,1)})</math>，坏根为 <math>(0)</math>，提升偏移为 <math>(1,1,1,\cdots)</math>。多余的提升偏移被忽略，因此将其展开为 <math>(0)(1^{(2,1)})(2^{(3,2)})\cdots</math>。

{{默认排序:序数记号}}
[[分类:记号]]

BSM

2026-02-25T14:35:57Z

Z：

Bashicu急矩阵(Bashicu Sudden Matrix,BSM)是Bashicu Hyudora发明的序数记号。它目前还未被证明[[良序]]。它被认为是[[急模式]]的源头。

== 定义 ==
''前排提示：请先阅读[[BMS]]和[[BHM]]的定义''

BSM只有找坏根规则和BMS不一致。以下介绍不一致的地方。

# 第0列：默认行、列标均从1开始，并在第1列之前加上一个额外的没有值的第0列。如果BHM中一个元素没有父项，则取其父项为同行第0列的元素。
# '''子项'''：如果项A的父项是项B，则称A是B的子项。
# '''待定坏根'''：待定坏根为末列最靠下的非0项(LNZ)的'''除父项之外的所有祖先项'''（包括第0列元素）的子项所在列。特别的，如果末列最下非0项不在第1行，则要求待定坏根正上方的元素应当是末列最下非0项正上方的元素的祖先项。我们称待定根集合中的一些根为“小根”，一些根为“大根”。大根与小根是不冲突的，这意味着，一个根可能既不是小根也不是大根，也可能同时是小根和大根。坏根的选择，和小根与大根息息相关。
# '''阶差向量'''：对于某待定坏根来说，它所对应的阶差向量为末列和坏根的差值。特别地，对于末列最后一个非零项的元素所在列来说，该列的阶差向量取值要额外减去一；而对于在该列之下的所有列来说，其阶差向量总取为零。
# '''预展开'''：根据找到的待定坏根r，确定待定好部G'，待定坏部B'，末列L，待定阶差向量<math>\Delta'</math>（阶差向量），随后'''按照BMS的规则'''得到r对应的预展开式<math>S_r=G'\sim B'\sim (B'+\Delta') \sim (L+\Delta')</math>(其中~是序列连接)。特别的，我们称最右侧的待定坏根（即BMS意义的坏根）对应的预展开式为基准式。
# '''小根'''：至少满足下列两条件之一的根r是小根：①r的预展开式在字典序上小于基准式。②如果根r是最右侧待定坏根的祖先项，且第r列和最右侧待定坏根所处列的第t+1行到最后一行，'''不能完全对应相同'''(t是LNZ所处行号)。
# '''大根'''：如果根r是最右侧待定坏根的祖先项，且满足第r列和最右侧待定坏根所处列的第t+1行到最后一行，'''完全对应相同'''
#坏根：坏根定义为在所有“是小根但不是大根”的待定坏根右边的第一个待定坏根。特别的，如果不存在这样的这样的待定坏根，则坏根是最左侧待定坏根。

BSM的极限基本列是<math>\{(0)(1),(0,0)(1,1),(0,0,0)(1,1,1),\cdots\}</math>,因此从这里面的元素经过不断取基本列或取前驱所能得到的式子是BSM的标准式，否则不是标准式。

值得注意的是，单行BSM又称急序列(Sudden Sequence System,'''SSS'''),也是一个很有名的[[序数记号]]。

实例：

例1：<math>(0)(1)(2)</math>

可以发现LNZ的祖先是第0项、第1项、第2项。找到它们的所有子项，是第1项和第2项。于是给出预展开式<math>S_1=(0)(1)(1)(2)(3)</math>,<math>S_2=(0)(1)(1)(2)</math>.因此小根是第0项。因此坏根是第1项。得到展开式是<math>(0)(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)\cdots</math>.

例2：<math>(0,0)(1,1)(2,0)(3,1)(3,0)</math>

我们用红色标记其待定坏根：<math>({\color{red}0},0)({\color{red}1},1)({\color{red}2},0)(3,1)(3,0)</math>,前两个待定坏根均为最右侧待定坏根第三列第一行的2的祖先项，第一列第一行的0下方的元素和最右侧待定坏根下方的元素完全一致，因此它是一个大根。而第二列第一行的1下方的元素和最右侧待定坏根下方的元素不一致，因此它是一个小根。在这里我们很幸运，可以直接得出坏根是第三列第一行的2.于是展开式是<math>(0,0)(1,1)(2,0)(3,1)(2,0)(3,1)(2,0)(3,1)\cdots</math>

例3：<math>(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)</math>

我们用红色标记其待定坏根：<math>({\color{red}0},0)({\color{red}1},1)({\color{red}1},0)({\color{red}1},0)({\color{red}2},0)(3,1)(3,0)</math>.其中第一列第一行的0和第四列第一行的1是最右侧待定坏根2的祖先项。可以发现它们都是大根。接下来是各个待定坏根的预展开式：<math>S_5=(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)(3,1)(3,0)</math>,它是基准式。接下来有<math>S_4=(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)(3,0)(4,1)(4,0)</math>然后是<math>S_3=(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)(2,0)(3,0)(4,1)(4,0)</math>。然后是<math>S_2=(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,1)(2,0)(2,0)(3,0)(4,1)(4,0)</math>.然后是<math>S_1=(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,0)(5,1)(5,0)</math>.比较字典序后发现，第二列第一行的1、第三列第一行的1、第四列第一行的1的预展开式都大于基准式，因此它们都不是小根。但因为第一列第一行的0和第四列第一行的1是大根，因此坏根是第四列第一行的1.于是得到展开式<math>(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)(3,0)(4,1)\cdots</math>

== 枚举和强度分析 ==
参见词条[[SSS 分析|BSM分析]]

{{默认排序:序数记号}}
[[分类:记号]]

变种去提升 Y 序列

2026-02-25T13:55:59Z

Z：

'''''前排提醒：本词条尚未完善'''''

本页面介绍去除了各种提升的 [[Y序列|1-Y]] 和 [[BMS]]。

''本文来自夏夜星空的《各类提升Y定义》（第 9 版）。''

'''前排提醒：本词条的这些去提升版本尚未经过普遍认可，请仔细甄别'''

=== 前定义 ===
下文 1-Y 均为 weak 1-Y，未提及的内容同 1-Y。不标准的合法表达式，不保证能理想且良的展开。

==== 计数序列 ====
在某个合法表达式中，项 <math>x</math> 的计数序列 <math>f(x)</math> 的定义如下：

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(\#,x)=f(x),1</math> 当 # 无法适用 1 时
# <math>f(\#)=\sup\{f(\alpha)|\alpha<\#\}</math> 当 # 无法适用 1,2 时

计数序列由整个合法表达式开始，逐步取基本列计算并返回得到。<math>f</math> 仅作示例，实际字母适当即可。

==== 深层阶差序列 ====
对于某个合法表达式 #，# 的深层阶差序列指 “'''阶差次数最多'''且'''该次阶差序列的除首项外某些项不存在父项'''”的浅一次阶差序列。

==== 阶差层数 ====
深层阶差序列的阶差次数。

==== 相似 ====

# A 和 A 相似
# 若 B 与 A 相似，则将 B 的某些项增大任意整数后，所得的合法表达式与 A 相似
# 若 B 与 A 相似，则往 B 中插入任意项，若不影响原 A 列之间的父项，则所得的合法表述式与 A 相似（前句的“项”在矩阵型记号实际上是“列”）

==== 核心 ====
A 的核心是最小与 A 相似的标准表达式。

=== 定义 ===

==== IU 1-Y ====
对于任意一个合法表达式 #=“A,B,C,B”，记 x 为左方 B 的首项。A 尽可能大，其中 C 每一项的父项都是上述形式的左方 B 的首项，如果 x 的计数序列的值大于 ω+1：

如果 x 的计数序列不小于最小的不动点，则记 & 为最小存在'''与“B,C,B”内部的相对位置和父项关系相同的最右段'''的标准表达式，用 & 替换 #。若可以 &<# 则重新执行本流程全程，执行完后需还原，计数序列对应为 IU 1-Y 原表达式、IU 1-Y 原表达式对应为计数序列；反之流程结束。

否则，且 '''IU 1-Y 在 # 之下的“往后加 B”这个操作上相对 x 的对应序列'''有弱化（假设 # 和下属表达式，若核其心大于 # 的核心，则按普通 1-Y 规则展开），则记最小相对提升点的值为 y。记 m 为 min{y 处 IU 1-Y 的阶差层数 , y 处 x 的计数序列的阶差层数}，则 y 的展开式的的 m 层阶差新增部分的每一项与 '''y 处 x 的计数序列的 m 次阶差序列的同位对应项'''具有相同的相对父项位置，每次复制均需重新计算 m。最后，重新用下个最小的更大 y 执行“否则”直至该次循环最终结束。

==== IY ====
IY（无 1,3,4,3）：对于合法表达式 # 的任意不提升的项 x，x 横向复制展开对应项（假设 # 的根序列不跨行展开而依原样跨列展开，那么 x 所复制到的地方也不提升）。

IY（无1,3,4,2,5,7,5）：对于合法表达式 # 的任意项 x，若 x 依 IIY 规则为不提升的项、x 依 IY（无 1,3,4,3）为提升的项，则 x 不提升。

==== 0.5IY ====
0.5IY 无 1,3,4,3 有 1,3,4,2,5,7,5 等。

对于合法表达式 #，记 x 为任意用 IY（无 1,3,4,3）和 Y 判断“x 是否提升”的结果不一致的的项，那么 x 在新增部分中的对应物可提升，且值最低为 x+1。

删或者留其它提升 Y 也可以以此法定义，只需将 x+1 里的 1 修正为 1-Y 中首个该提升点的阶差图对应项/序列，并适当修正其它处即可。

==== IIY ====
IIY 无 1,3,4,3 及其全部子提升和衍生提升。

对于合法表达式 #=“A,B,C,B”，其中 A 尽可能长、X 尽可能短。如果记 & 为'''最小拥有根序列在深层阶差序列中的父项关系和绝对数值大小的'''最小普通 1-Y 的标准表达式（全段对于 & 的值的描述默认遵循普通 1-Y 规则，其余遵循 IIY 规则）。对于 & 中 C 的对应物的首项，如果 & 标准或者依 IY（无 1,3,4,3）规则判断不应提升，则 x 在 # 中的等位对应项不应提升。

==== IIIY ====
IIIY 仅有 BMS 提升。

将 IIY 中的 “绝对数值大小” 给修改成 “相对数值大小”，即是 IIIY 规则。

==== IIIIY ====
IIIIY 完全无提升。

对合法表达式 #=“A,B,C,B”，其中 A 尽可能长、C 尽可能小，且“B,C,B”段左方 B 是全段的共同祖先。若 # 的核心在“往后加 B”上相对 IBMS 有提升，则使各级阶差的父项关系与 IBMS 等值对应行的父项关系相同。

==== IBMS ====
IBMS 是完全无提升 BMS。

核心形如“(0)(1a)(2n,1m)(1b)，其中 a,b,m,n 均为正整数”的合法表达式，展开时 (2n,1m) 中的 (1m) 的对应物不提升（只要有一种方法能对应到就不提升）。对于合法表达式 A，记 B 为与 A 等值的对应 BMS 合法表达式。若 B 存在依 IBMS 规则判断出不提升、依 BMS 规则判断出提升的项 x，则 x 的等位对应项不提升。

{{默认排序:个人记号}}
[[分类:记号]]

SAM

2026-02-25T13:55:03Z

Z：

'''''前排提醒：本词条尚未完善'''''

'''SAM'''（Simple Admissble Mark，简单非递归系统）''（事实上这里中英不完全一致，但是别管历史遗留问题）''，分为 New. 和 Old. 两个版本。Old. 版本更简洁，但是在常用的环境下，难以准确定义，而 New. 版本的良定义程度和投影序数完全一致

SAM 的理念是“用小递归序数的结构理想地表示出大非递归序数的各类层级和结构，然后再放入非递归序数，实现‘左脚踩右脚上天’的效果”。而目前能近似实现上述功能的事物只有兼容（小递归序数表示大递归序数），因此，SAM 选择了兼容作为理想表示的暂时的、局部的实现方式。但是我们可以注意到，这事实上不可能绝对理想的被实现，所以绝对理想的 SAM 在理论中也许并不存在，我们目前用的只是一种“将就”的定义。

本页面将主要叙述 SAM 的 New. 版本。

=== 定义 ===
SAM 存在一类大序数，形如 S...，就像投影中有各种各样的 α... 一样，前者的部分性质同样也可以参考后者。其兼容链不仅是一个 [#]，在 SAM 中，这只是一个“行”，而 SAM 的兼容链则是由许多个“行”所构成的“面”。SAM 的定义需要 pfffz（即 pfec fffz）的定义，而 pfffz 实际上就是把 Ω 给直接且不折叠地放进 fffz 里，缺失的结构和基本列长度则通过和 SAM 一样的方法补全。

SAM 的完整定义如下：

# <math>\psi_S(0)=1</math>
# <math>\psi_S(S+1)=h_{S+1}</math>
# <math>\psi_S\#'[\&](n)=min~\alpha\rightarrow g(\alpha)</math>，当第 2 条规则无法使用且 n 的最内项为 S... 且 <code>& 的末项 >n</code> 且 <math>n>min~\alpha\rightarrow g(\alpha)</math>，其中 <code>g(x) = 把 n 的最内项替换为 x 后，所得的新 n 的值</code>
# <math>\psi_S\#'[\&](n)=\psi_S\#'[\&,n]'[f(n,g(\&\text{的末项})](f(n,g(\&\text{的末项})))</math>，当第 2、3 条规则无法使用，且 [&,n] 存在，[%,n] 存在
# <math>\psi_S\#'[\&](n)=min~\alpha\rightarrow\psi_S\#[\&,n](\alpha)</math>，当第 2、3 条规则无法使用，且 [&,n] 存在、[%,n]不存在、n 为极限序数
# <math>\psi_S\#'[\&](n)=\psi_S\#'[\&](n-1)\times\omega</math>，当第 2、3 条规则无法使用，且 [&,n] 存在、[%,n] 不存在、n 为后继序数
# <math>\psi_S\#'[\&](n)=min\{\alpha|\alpha>\psi_S\#'[\&](<n)\}</math>，当第 2、3 条规则无法使用，且 [&,n] 不存在
# <math>\psi_S\#[\&](n)=\psi_S\#[\&,n]'[f(n)](f(n))</math> ，当 [&,n] 存在、[%,n] 存在
# <math>\psi_S\#[\&](n)=min~\alpha\rightarrow\psi_S\#[\&,n](\alpha)</math> ，当 [&,n] 存在、[%,n] 不存在、n 为极限序数
# <math>\psi_S\#[\&](n)=\psi_S\#[\&](n-1)\times\omega</math> ，当 [&,n] 存在、[%,n] 不存在、n 为后继序数
# <math>\psi_S\#[\&](n)=min\{\alpha|\alpha>\psi_S\#'[\&](<n)\}</math> ，当 [&,n] 不存在

化简规则

# <math>\psi_S\#[\&,m](n)=\psi_S\#[\&](n)</math>，当 m>n 或 [&,m] 不存在
# <math>\psi_S\#[](n)=\psi_S\#(n)</math>
# <math>\psi_S\#[\&,m]'(n)=\psi_S\#[\&,m](n)</math>，当 m>n 或 n<S

附加规则：

* <code>f(n,m) = 找到 n 中最外小于 <math>S_m</math> 的内项，如果等于 n 则为 <math>h_{S_m+1}</math>。否则如果不等于 n 且是极限序数则将其替换为 <math>S_m</math>；如果不等于 n 且是后继序数则将其替换为其后继；如果不存在则为 <math>h(S_m+1)</math>，最终所得的新 n 的值</code>
* <math>g(x)=max\{S_v|x\geq S_v\}</math>
* 激活函数 <math>h(x)=\Omega_{x+1}</math>
<math>\psi_S\#[\&](n)</math> 的直接内项，是 n 的末项；多项式的直接内项，是其末项；0 和 S... 的直接内项是自身；n 的内项，是自身和自身内项的直接内项；n 的间接内项，是不是 n 的直接内项的 n 的内项；n 的最内项，是指所属层数最大的内项。

项，是序数；行，是由项依次有序组成的序列；面，是由行依次有序组成的序列，行之间可以直接连接，也可间隔一个间接连接。

{{默认排序:个人记号}}
[[分类:记号]]

Hybrid Prss

2026-02-25T13:54:17Z

Z：

'''Hybrid Prss（HBprss 1.1）'''是一种[[Beklemishev's_Worm|Worm]]型[[序数记号]]。目前Hybrid Prss已经被发现无穷降链。

=== 定义 ===
一个'''合法的''' HBprss 表达式是以 1 开头的有限长[[序数#有限序数|正整数]]序列，即形如

<math>a_1,a_2,\cdots,a_n|n,a_1,a_2,\cdots,a_n\in\N,a_1=1</math>

的序列。

例如：<math>1,4,6,4</math>和<math>1,1,4,5,1,4</math>都是合法的 HBprss 表达式，而<math>1,2,\pi</math>和<math>2,2,2</math>不是。

=== 展开方法 ===

任意 HBprss 序列后加上一个新项 1 表示原序列对应的[[序数]]加一。

==== 阶差序列 ====

* 若阶差序列最后一项为 1，原式按照 [[初等序列系统|PrSS]] 展开。
* 当阶差序列最后一项与其父项差距为1，则原式按照 [[长初等序列|LPrSS]] 规则展开。
* 当阶差序列最后一项 b+n 与其父项 b 差距为 n，继续取阶差序列直到阶差序列末项与父项差为 1，然后逐层按照 [[0-Y]] 展开。

==== 特殊情况 ====
当表达式形如 <math>1,n+1</math>，则展开为 <math>1,n,n^2,n^3,\cdots</math>

如果第 <math>a</math> 项和次项差值值为 <math>n</math>，且序列第二项为 <math>m</math>，那么，下一项的阶差序列的值应该被限制在 <math>n\cdot m</math> 以及之下。

特殊情况举例：

* <math>1,4=1,3,9,27,81,\cdots</math>
* <math>1,3=1,2,4,8,16,\cdots</math>

HBprss的极限表达式为 <math>1,\omega</math>.

=== 分析 ===
* <math>1,2,3,4,\cdots=1,2,4</math>
* <math>1,2,4,2,4=\varepsilon_0\cdot \varepsilon_0</math>
* <math>1,2,4,3=\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}}</math>
* <math>1,2,4,3,5=\omega^{\omega^{\varepsilon_0\cdot 2}}</math>
* <math>1,2,4,4=1,2,4,3,5,4,6,...=\varepsilon_1</math>
* <math>1,2,4,5=\varepsilon_\omega</math>
* <math>1,2,4,6=\varepsilon _{\varepsilon _{0}}</math>
* <math>1,2,4,6,4,6=\varepsilon _{\varepsilon _{0}\cdot 2}</math>
* <math>1,2,4,6,5,7=\varepsilon _{\omega^{\varepsilon _{0}+\varepsilon _{0}}}</math>
* <math>1,2,4,6,6=\varepsilon _{\varepsilon _{1}}</math>
* <math>1,2,4,6,7=\varepsilon _{\varepsilon _{\omega}}</math>
* <math>1,2,4,6,8=\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{0}}}</math>
* <math>1,2,4,6,8,8=\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon _{1}}}</math>
* <math>1,2,4,7=\zeta _{0}</math>
* <math>1,2,4,7,5=\varepsilon _{\zeta _{0}+\zeta _{0}}</math>
* <math>1,2,4,7,5=\varepsilon _{\omega^{\zeta _{0}+1}}</math>
* <math>1,2,4,7,5,8=\varepsilon _{\omega^{\zeta _{0}\cdot 2}}</math>
* <math>1,2,4,7,6=\varepsilon _{\varepsilon _{\zeta _{0}+1}}</math>
* <math>1,2,4,7,6,9=\varepsilon _{\varepsilon _{\zeta _{0}\cdot 2}}</math>
* <math>1,2,4,7,6,9,7=\varepsilon _{\varepsilon _{\omega^{\zeta _{0}+1}}}</math>
* <math>1,2,4,7,6,9,8=\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{\zeta _{0}+1}}}</math>
* <math>1,2,4,7,7=\zeta _{1}</math>
* <math>1,2,4,7,9=\zeta _{\varepsilon _{0}}</math>
* <math>1,2,4,7,10=\zeta _{\zeta _{0}}</math>
* <math>1,2,4,7,10,8=\zeta _{\zeta _{0}\cdot \omega}</math>
* <math>1,2,4,7,10,9=\zeta _{\varepsilon _{\zeta _{0}+1}}</math>
* <math>1,2,4,7,10,10=\zeta _{\zeta _{1}}</math>
* <math>1,2,4,7,10,11=\zeta _{\zeta _{\omega}}</math>
* <math>1,2,4,7,10,13=\zeta _{\zeta _{\zeta _{0}}}</math>
* <math>1,2,4,7,11=\eta_{0}</math>
* <math>1,2,4,8=\mathrm{HCO}=\varphi (\omega,0)</math>
* <math>1,2,4,8,2,4,8=\psi (\Omega^\omega)^2</math>
* <math>1,2,4,8,3=\psi (\Omega^\omega)^\omega</math>
* <math>1,2,4,8,4=\psi (\Omega^\omega+1)</math>
* <math>1,2,4,8,4,8=\psi (\Omega^\omega+\psi (\Omega^\omega))</math>
* <math>1,2,4,8,5=\psi (\Omega^\omega+\omega^{\psi (\Omega^\omega)+1)}</math>
* <math>1,2,4,8,5,9=\psi (\Omega^\omega+\omega^{\psi (\Omega^\omega)\cdot 2)}</math>
* <math>1,2,4,8,6=\psi (\Omega^\omega+\psi (\Omega^\omega+1))</math>
* <math>1,2,4,8,6,10=\psi (\Omega^\omega+\psi (\Omega^\omega+\psi (\Omega^\omega)))</math>
* <math>1,2,4,8,6,10,8=\psi (\Omega^\omega+\psi (\Omega^\omega+\psi (\Omega^\omega+1)))</math>
* <math>1,2,4,8,6,10,8,12=\psi (\Omega^\omega+\psi (\Omega^\omega+\psi (\Omega^\omega+\psi (\Omega^\omega))))</math>
* <math>1,2,4,8,7=\psi (\Omega^\omega+\Omega)</math>
* <math>1,2,4,8,7,9=\psi (\Omega^\omega+\Omega\cdot \psi (\Omega))</math>
* <math>1,2,4,8,7,11=\psi (\Omega^\omega+\Omega\cdot \psi (\Omega^\omega))</math>
* <math>1,2,4,8,7,11,9=\psi (\Omega^\omega+\Omega\cdot \psi (\Omega^\omega+1))</math>
* <math>1,2,4,8,7,11,9,13=\psi (\Omega^\omega+\Omega\cdot \psi (\Omega^\omega+\psi (\Omega^\omega)))</math>
* <math>1,2,4,8,7,11,9,13,11=\psi (\Omega^\omega+\Omega\cdot \psi (\Omega^\omega+\psi (\Omega^\omega+1)))</math>
* <math>1,2,4,8,7,11,10=\psi (\Omega^\omega+\Omega\cdot \psi (\Omega^\omega+\Omega))</math>
* <math>1,2,4,8,7,11,10,14=\psi (\Omega^\omega+\Omega\cdot \psi (\Omega^\omega+\Omega\cdot \psi (\Omega^\omega)))</math>
* <math>1,2,4,8,7,11,11=\psi (\Omega^\omega+\Omega^2)</math>
* <math>1,2,4,8,7,11,11,7,11,11=\psi (\Omega^\omega+\Omega^2+\Omega\cdot \psi (\Omega^\omega+\Omega^2))</math>
* <math>1,2,4,8,7,11,11,9=\psi (\Omega^\omega+\Omega^2+\Omega\cdot \psi (\Omega^\omega+\Omega^2+1))</math>
* <math>1,2,4,8,7,11,11,9,13,13=\psi (\Omega^\omega+\Omega^2+\Omega\cdot \psi (\Omega^\omega+\Omega^2+\psi (\Omega^\omega+\Omega^2)))</math>
* <math>1,2,4,8,7,11,11,10,14,14=\psi (\Omega^\omega+\Omega^2+\Omega\cdot \psi (\Omega^\omega+\Omega^2+\Omega\cdot \psi (\Omega^\omega+\Omega^2)))</math>
* <math>1,2,4,8,7,11,11,11=\psi (\Omega^\omega+\Omega^2\cdot 2)</math>
* <math>1,2,4,8,7,11,12=\psi (\Omega^\omega+\Omega^2\cdot \omega)</math>
* <math>1,2,4,8,7,11,13=\psi (\Omega^\omega+\Omega^2\cdot \psi (\Omega))</math>
* <math>1,2,4,8,7,11,15,15=\psi (\Omega^\omega+\Omega^2\cdot \psi (\Omega^\omega+\Omega^2))</math>
* <math>1,2,4,8,7,11,15,15,15=\psi (\Omega^\omega+\Omega^3)</math>
* <math>1,2,4,8,7,11,16=\psi (\Omega^\omega\cdot 2)</math>

{{默认排序:个人记号}}
[[分类:记号]]

TrSS

2026-02-25T13:53:08Z

Z：

'''''前排提醒：本词条尚未完善'''''

== Tree Sequence System（v1.2） ==

=== 零．前言 ===
TrSS全称Tree Sequence System，是由树状结构启发而制作的记号。记号的表达式是一个树列，为方便呈现，将树列改写为数组列形式，本文档所述为数组列展开规则，但TrSS本身并不是矩阵。本文档中绿色小字体为注释或举例，红色字体为重要内容。

TrSS是由数组作为项组成的序列，每个数组由正整数和分隔符组成。序列的第一个数组必须为(1)。数和分隔符都有等级，对于数n+1，其等级为n。分隔符有ω种，对于i，i级分隔符为i个连续的逗号；特别的，0级分隔符为“/”。数后面的分隔符等级不能高于数的等级，否则不合法。

每个合法数组都可以被绘制为树，绘制这样的树有三种操作：①向上一步；②从原地开始向上画k个依次相连的节点；③向右一步。从数组的首项开始，每遇到一个数k就执行②一次，每遇到一个n级分隔符就执行③一次，然后执行① n次。每执行一次①或③，就要在新到达的位置和原来的位置中间画一条边。如果一个分隔符后面的数是0，那么删去0及该分隔符。

数组之间比较字典序时，将其视为(a1 分隔符 a2 分隔符……)(b1 分隔符 b2 分隔符……)的形式依次比较对应的数或分隔符，高等级分隔符>低等级分隔符。例如，(2,2,1)>(2,2/1)

符号指代范围（重要）：

i、j、k正整数 m、n 、p自然数 a_i、b_i、c_i数列的第i项 %、#、$、&任意合法表达式/数组 A、B、C 任意分隔符

TrSS的极限表达式为(1)(ω)。

作为新型记号的首次尝试，此记号可能有不完善之处，请指出并联系我修改。

油手就行

==== 更新日志： ====
2025.8.18 1.0版本

2025.8.19 1.1版本

2025.8.24 1.2版本

=== 一. 前置定义 ===
1.子数组：

1）一个数组的-1级子数组是它本身。

2）从m=0开始，将每个数组的每个(m-1)级子数组按其中的m级分隔符分开，分开后的部分称为原数组的m级子数组。如果数组的m级子数组内仍有分隔符，那么进入3）；如果数组的m级子数组内没有分隔符，那么流程结束。（展开时用到的子数组不一定是最高等级的）

3）使m的值+1，然后回到2）。

2. 元素：数组(的子数组)的元素是其中的所有数和分隔符。

3. 末数组：表达式中最后一个数组。

4. 末项/分隔符：数组中最后一个数/分隔符。

=== 二．展开流程 ===
1.#(1)=#+1

2.在末数组不为(1)时：

1）将末数组的末项和末分隔符中不为0的元素等级-1。

Ⅰ.若末分隔符等级为0或数组仅有一个数而末项等级>0，则将末项等级-1。

Ⅱ.若二者等级均为0，则将二者都删去。

Ⅲ.若末分隔符等级>0，则寻找数组中最靠后的比末分隔符等级低的分隔符A，将原数组的末项和末分隔符替换为比末分隔符低一级的分隔符以及原数组的(A,倒数第二分隔符]∪{末项-1}。若找不到这样的分隔符，则视为它在数组最前面并且隐形。

Ⅳ.若数组中只有一个分隔符且末项等级为0，那么将它们删去。优先级最高

(2,1/1)根据II变为(2,1)；(2,1/2/2)根据I变为(2,1/2/1)，(2,1/2,1)根据III变为(2,1/2/2)，(3,,3,1)根据III变为(3,,3/3)，(2,2,2)根据Ⅳ变为(2,2,1/2,2)，(2,1)根据IV变为(2)

2）从n=(表达式中出现的最高等级分隔符的等级)开始，取每个数组的n级子数组。

①若经过1）变换的末数组的n级子数组在后面去掉连续的部分后与前面某数组的n级子数组在数和分隔符上都相同，那么进入3），否则进入②。如果直到n=-1都没能找到前面部分与末数组相同的数组，那么进入4）。

(2,1/2)和(2,1/2)的-1级子数组相同，和(2,1/2/2)的0级子数组部分相同

②使n的值-1并回到①。

3）今有若干数组、&的n级子数组#、#、#……#、#$，其中#不为空，且均为类似构造的数组中最靠后的：

①若$为空，那么坏根为&_i并进入④。否则进入②。

②若任意%_j在字典序上都大于$，那么坏根为并进入④。否则进入③。

③找到最大的j，使得%_j的字典序小于$，坏根为&_j并进入④。

④进入5）。

4）定义阶伸项Q为{原末数组，其中末项-1}∪{(原末数组的末项-2)级分隔符}，坏部B为[表达式第二个数组，表达式倒数第二个数组]∪{Q}，好部G为首数组(1)，展开为G+B+QB+QQB+QQQB……其中QB指在B中的每个数组前都添加一个Q。

5）定义坏部B为[坏根，表达式倒数第二个数组]，好部G为[表达式首项，坏根)，阶伸项Q为将(坏根与经过1）操作的末数组相比缺少的部分)还原为数组的结果。

Ⅰ.对于坏部中原本属于3）中提到的&_i中的数组，每次复制时将Q放在坏根的对应位置之后。此时Q的开头一定是分隔符，末尾一定是数。

Ⅱ.对于坏部中不是原本属于3）中提到的&_i中的数组，在它们前面都添加坏根的内容，中间的分隔符等级与找坏根时用到的子数组等级相同，然后在复制时将Q放在坏根的对应位置之后。

坏部为(2,1)(2,2)(2,1/2)，将(2,2)改为(2,1/2,2)，(2,1)和(2,1/2)不变。

Q=(/2/1)，坏根为(2,1)时，坏部的(2,1/2)一次复制后变为(2,1 /2/1 /2)，坏部的(2,2)变为(2,1 /2/1 /2,2)

6）无论通过4）还是5）展开的表达式，都要保证每个数组的第一个分隔符等级不为0。如果为0，那么将其改为1级分隔符。{{默认排序:个人记号}}
[[分类:记号]]

RRSS

2026-02-25T13:50:28Z

Z：创建页面，内容为“Remainder Retention Sequence System(RRSS) 是梦幻の蝶在 2025.6.22 提出并在 2025.7.19 完善的序数记号。目前已经被发现无穷降链。 == 定义 == RRSS的合法表达式是1开头的自然数序列。极限是1,ω。阶商序数：a 和 b 的阶商序数指的是<math>\omega\times c+d</math>，其中<math>d=a\bmod b</math>，<math>c=(a-d)/b</math>。序数差：<math>\omega\times a+b</math>和<math>\omega\times c+d</math>的序…”

Remainder Retention Sequence System(RRSS) 是梦幻の蝶在 2025.6.22 提出并在 2025.7.19 完善的[[序数记号]]。目前已经被发现无穷降链。

== 定义 ==
RRSS的合法表达式是1开头的自然数序列。极限是1,ω。

阶商序数：a 和 b 的阶商序数指的是<math>\omega\times c+d</math>，其中<math>d=a\bmod b</math>，<math>c=(a-d)/b</math>。

序数差：<math>\omega\times a+b</math>和<math>\omega\times c+d</math>的序数差是<math>\omega\times(a-c)</math>，要求 a>c。

序数和：：<math>\omega\times a+b</math>和<math>\omega\times c+d</math>的序数和是<math>\omega\times(a+c)+(b+d)</math>。加上 - ω*a+b 加上 ω*c+d 的结果即这两个序数的序数和。

父项：在其之前第一个小于等于元素且在上一层是元素的祖先的数字，若没有上一层则忽略上一个性质。

祖先：父项、父项的父项等构成的集合。

上一层：如果这个序列是一个阶商序列，那么上一层指的是做阶商前的序列，否则上一层不存在。

阶商序列：一个序列的阶商序列的第 i 个位置是这个序列第 i 个位置与其父项的阶商序数。

坏根：阶商序列末项的父项。

好部：坏根（不含）之前的部分。

坏部：坏根（含）之后的部分。

阶差：阶商序列末项与坏根的序数差。

'''展开'''：

若最后一个数为 1 则为后继序数。

否则将最后一项减一，然后算出序列的阶商序列，找到坏根。好部保留，将坏部进行复制，每次复制，每项父项和本项一起平移，阶商序列坏部中的每一个元素加上阶差。算出展开的阶商序列之后对初始序列进行还原，得到的序列就是最终的展开序列。

== 无穷降链 ==
2026.1.8，ddfg 发现了 RRSS 的降链，如下：

1，4, 5, 4>1, 4, 5, 3, 18, 19, 18>1, 4, 5, 3, 18, 19, 17, 136, 137,136>1, 4, 5, 3, 18, 19, 17, 136, 137, 135, 1350, 1351, 1350>1, 4, 5, 3, 18, 19, 17, 136, 137, 135, 1350, 1351, 1349, 16188, 16189, 16188...
{{默认排序:个人记号}}
[[分类:记号]]

弱MMS

2026-02-24T04:11:04Z

Z：重定向页面至MMS#改版

#重定向 [[MMS#改版]]{{默认排序:序数记号}}
[[分类:记号]]

弱MMS

2026-02-24T04:09:12Z

Z：

<nowiki>#</nowiki>REDIRECT[[MMS#改版]]{{默认排序:序数记号}}
[[分类:记号]]

MMS

2026-02-24T04:07:37Z

Z：

变异矩阵系统（Mutant Martix System，MMS）最初是 Aarex 于 2023 年提出的记号，它是 [[BMS]] 的一个强大的推广。后来其规则经过多次的调整和完善，其中被广泛使用的是 HypCos 的 MM3（Mutant Martix 3）。不过MM3已于2026年2月6日被发现[[无穷降链]]，现在已转变为使用[[弱MMS|Weak MMS]]。

我们下面对其规则进行简要的介绍。

== 定义 ==
MM3 是以矩阵形式表达的表达式，每个元素具有表观行标和内在行标。以下陈述中，“左”的列标比“右”小，“上”的行标比“下”小。

* 表观行标：一个元素的表观行标就是它写在表达式中的一列的第几个元素，它是正整数。
* 内在行标：内在行标是序数。表观行标为 1 的元素，内在行标也为 1。对于表观行标大于 1 的元素 x，找到它上方最近的不等于 x 的元素 y，x 与 y 的表观行标差为 n，那么 x 的内在行标是 (y 的内在行标)+ωn−1。
* 待定父元：内在行标为 1 的元素，它的待定父元是它向左一格。对于内在行标大于 1 的元素 x，先向左走到 x 上方元素的父元所在列，找到该列之中满足“内在行标小于等于 x 之内在行标，而且值大于等于 x − 1”的最下元素，它就是 x 的待定父元。
* 父元：从一个元素 x 出发，不断取待定父元的待定父元……的待定父元，直到初次遇到等于 x − 1 的元素为止，它就是 x 的父元。
* 祖先：祖先元素是父关系的自反[[传递闭包#关系的传递闭包|传递闭包]]。也就是包括自身、父元、父元的父元、父元的父元的父元、……。
* 待定根元素：从 LNZ 出发。向左或向左上走到最近的等于 LNZ−1 的祖先元素，该元素成为待定根元素。向上一格（表观行标减 1）。重复以上两步，直到表观行标到达 0，无法再取任何元素为止。
* 根元素：计数每一列的待定根元素，去掉零值，并记作这些数值是从哪一列来的。最左边添加一个“1”，得到提取序列。提取序列按照 [[初等序列系统|PrSS]] 规则找根元素，这个根元素向右一格，回到原矩阵中对应的列，该列最上的待定根元素，就是真正的根元素。
* 减一操作：展开一轮的第一步是将最右列“减一”。具体操作是，把待定根元素及其下方的所有元素复制到最右列，列标与内在行标平移，使得待定根元素恰好复制到（取代掉）LNZ 的位置。
* 根列元素：待定根元素及其上方同列的所有元素，每个都是“根列元素”。注意，不包括待定根元素下方的元素。
* magma 元素：每个根列元素都对应一些 magma 元素。从该根列元素出发，所有内在行标与之相等的后代元素（与祖先相对），就是该根列元素对应的 magma 元素。
* 参考元素：最右列的元素 x 是参考元素。x 要对应到内在行标小于（x 下方一格的元素的内在行标）的最下根列元素。
* 延伸：这是展开一轮的第二步。将减一之前的表达式中，根列右方（不含根列，包括减一前的最右列）的元素一列一列地复制出来。每一列从上到下复制。一个源元素复制时可能有值的提升、行标的提升。所有提升由本列最近一次经过的 magma 元素，以及它对应的根列元素对应的最下参考元素，二者决定。magma 元素复制时可能产生多个复制品。它对应的根列元素对应的参考元素可能有多个，每个产生一个复制品。

== 改版 ==
qwerty在2026.2.6发现了MM3的一条无穷降链：

()(1,1,1)(2,2,1,1,1)(3,3,2,2,1)

＞()(1,1,1)(2,2,1,1,1)(3,3,2,2)(4,4,3,3,1,1,1)(5,5,4,4,2,2,1,1,1)(6,6,5,5,3,3,1)

＞()(1,1,1)(2,2,1,1,1)(3,3,2,2)(4,4,3,3,1,1,1)(5,5,4,4,2,2,1,1,1)(6,6,5,5,3,3)(7,7,6,6,4,4,1,1,1)(8,8,7,7,5,5,2,2,1,1,1)(9,9,8,8,6,6,3,3,1)

＞()(1,1,1)(2,2,1,1,1)(3,3,2,2)(4,4,3,3,1,1,1)(5,5,4,4,2,2,1,1,1)(6,6,5,5,3,3)(7,7,6,6,4,4,1,1,1)(8,8,7,7,5,5,2,2,1,1,1)(9,9,8,8,6,6,3,3)(10,10,9,9,7,7,4,4,1,1,1)(11,11,10,10,8,8,5,5,2,2,1,1,1)(12,12,11,11,9,9,6,6,3,3,1)

＞()(1,1,1)(2,2,1,1,1)(3,3,2,2)(4,4,3,3,1,1,1)(5,5,4,4,2,2,1,1,1)(6,6,5,5,3,3)(7,7,6,6,4,4,1,1,1)(8,8,7,7,5,5,2,2,1,1,1)(9,9,8,8,6,6,3,3)(10,10,9,9,7,7,4,4,1,1,1)(11,11,10,10,8,8,5,5,2,2,1,1,1)(12,12,11,11,9,9,6,6,3,3)(13,13,12,12,10,10,7,7,4,4,1,1,1)(14,14,13,13,11,11,8,8,5,5,2,2,1,1,1)(15,15,14,14,12,12,9,9,6,6,3,3,1)

＞……

因此MM3原版已经废弃。

弱MM3为将MMS定义中，根的计数序列去掉。坏根直接取末列最下非0项（LNZ）的父项所在列，数值为LNZ-1的项中，行标最小的元素。

其余规则同MMS。

== 分析 ==
''主词条：[[MM3 vs ω-Y]]、[[弱MMS VS ω-Y|weak MMS VS ω-Y]]''{{默认排序:序数记号}}
[[分类:记号]]

sqar函数

2026-02-24T04:02:39Z

Z：创建页面，内容为“Sqar函数，又名独方函数，是Increasinity于2025年提出的大数函数。 == 定义 == 函数sqar(n)定义为按照以下规则，能够写出的最多的字符串数量： * 所有字符串都只包含已经选取的n种字符 * 第k个字符串长度不超过k * 对于任意u＞v，在第u个字符串不能通过删除一部分字符使其成为第v个字符串可以看出，sqar函数类似于Friedman序列，是按照规则不断地写字…”

Sqar函数，又名独方函数，是Increasinity于2025年提出的大数函数。

== 定义 ==
函数sqar(n)定义为按照以下规则，能够写出的最多的字符串数量：

* 所有字符串都只包含已经选取的n种字符
* 第k个字符串长度不超过k
* 对于任意u＞v，在第u个字符串不能通过删除一部分字符使其成为第v个字符串

可以看出，sqar函数类似于[[Friedman序列]]，是按照规则不断地写字符串，直到不能写出满足规则的字符串为止。然后找出最长的可能。

我们有一些下界：

<math>sqar(1)=2</math>

<math>sqar(2)=4</math>

<math>sqar(3)=28</math>

<math>sqar(4)\geq G(G(G(2\uparrow^{29}33))+1)</math>,其中G(n)为[[葛立恒数#葛立恒函数|葛立恒函数]]，↑为[[高德纳箭头]]。

<math>sqar(5)>f_{\omega^\omega+\omega+1}(3)</math>,右为[[FGH]]

== 改版 ==
函数sqar(n,2)定义为按照以下规则，能够写出的最多的矩阵数量：

* 所有矩阵都只包含已经选取的n种字符
* 第k个矩阵边长不超过k，且长等于宽
* 对于任意u＞v，在第u个矩阵不能通过删除若干行和若干列使其成为第v个矩阵

我们目前不知道sqar(n,2)的下界

{{默认排序:相关问题}}
[[分类:记号]]

MMS

2026-02-24T03:50:56Z

Z：

变异矩阵系统（Mutant Martix System，MMS）最初是 Aarex 于 2023 年提出的记号，它是 [[BMS]] 的一个强大的推广。后来其规则经过多次的调整和完善，其中被广泛使用的是 HypCos 的 MM3（Mutant Martix 3）。不过MM3已于2026年2月6日被发现[[无穷降链]]，现在已转变为使用[[弱MMS|Weak MMS]]。

我们下面对其规则进行简要的介绍。

== 定义 ==
MM3 是以矩阵形式表达的表达式，每个元素具有表观行标和内在行标。以下陈述中，“左”的列标比“右”小，“上”的行标比“下”小。

* 表观行标：一个元素的表观行标就是它写在表达式中的一列的第几个元素，它是正整数。
* 内在行标：内在行标是序数。表观行标为 1 的元素，内在行标也为 1。对于表观行标大于 1 的元素 x，找到它上方最近的不等于 x 的元素 y，x 与 y 的表观行标差为 n，那么 x 的内在行标是 (y 的内在行标)+ωn−1。
* 待定父元：内在行标为 1 的元素，它的待定父元是它向左一格。对于内在行标大于 1 的元素 x，先向左走到 x 上方元素的父元所在列，找到该列之中满足“内在行标小于等于 x 之内在行标，而且值大于等于 x − 1”的最下元素，它就是 x 的待定父元。
* 父元：从一个元素 x 出发，不断取待定父元的待定父元……的待定父元，直到初次遇到等于 x − 1 的元素为止，它就是 x 的父元。
* 祖先：祖先元素是父关系的自反[[传递闭包#关系的传递闭包|传递闭包]]。也就是包括自身、父元、父元的父元、父元的父元的父元、……。
* 待定根元素：从 LNZ 出发。向左或向左上走到最近的等于 LNZ−1 的祖先元素，该元素成为待定根元素。向上一格（表观行标减 1）。重复以上两步，直到表观行标到达 0，无法再取任何元素为止。
* 根元素：计数每一列的待定根元素，去掉零值，并记作这些数值是从哪一列来的。最左边添加一个“1”，得到提取序列。提取序列按照 [[初等序列系统|PrSS]] 规则找根元素，这个根元素向右一格，回到原矩阵中对应的列，该列最上的待定根元素，就是真正的根元素。
* 减一操作：展开一轮的第一步是将最右列“减一”。具体操作是，把待定根元素及其下方的所有元素复制到最右列，列标与内在行标平移，使得待定根元素恰好复制到（取代掉）LNZ 的位置。
* 根列元素：待定根元素及其上方同列的所有元素，每个都是“根列元素”。注意，不包括待定根元素下方的元素。
* magma 元素：每个根列元素都对应一些 magma 元素。从该根列元素出发，所有内在行标与之相等的后代元素（与祖先相对），就是该根列元素对应的 magma 元素。
* 参考元素：最右列的元素 x 是参考元素。x 要对应到内在行标小于（x 下方一格的元素的内在行标）的最下根列元素。
* 延伸：这是展开一轮的第二步。将减一之前的表达式中，根列右方（不含根列，包括减一前的最右列）的元素一列一列地复制出来。每一列从上到下复制。一个源元素复制时可能有值的提升、行标的提升。所有提升由本列最近一次经过的 magma 元素，以及它对应的根列元素对应的最下参考元素，二者决定。magma 元素复制时可能产生多个复制品。它对应的根列元素对应的参考元素可能有多个，每个产生一个复制品。

== 分析 ==
''主词条：[[MM3 vs ω-Y]]''{{默认排序:序数记号}}
[[分类:记号]]

赋权二叉树

2026-02-23T11:24:41Z

Z：

赋权二叉树（Weighted Binary Tree）是FataliS1024提出的大数函数。

=== 定义 ===
对于有根二叉树，令其每条边都有一个正整数权值，即得到赋权二叉树，记作'''wb'''

对于两个'''wb''' A和B，如果A能通过以下操作得到B，就称B嵌入A，A容纳B，A大于B，B小于A：

# 删掉一个度为1的顶点和它连接的边
# 删掉一个度为2的非根顶点和它连接的两条边，并将它原本连接的两个顶点连起来，权值等于min(原来两条边的权值)
# 将任意一个大于1的权值-1

符合以下条件的最长的有序wb列的长度记作wbtree(n)：

# 第k个wb最多有k+1个顶点
# 所有wb的边权值不超过n
# 前面的wb不小于后面的wb

=== 分析 ===
用()表示权值1的边与它的子节点（远离根的一端）。用[]表示权值2。{}表示权值3.<>表示权值4.根节点不写。

以下提供了wbtree中的一个序型分析

* 单根=0
* <math>() = 1</math>
* <math>(()) = 2</math>
* <math>()() = \omega</math>

上述这些都跟ε(0)以下的tree相同

<math>\begin{align}.\\&[] = \varepsilon_0\\&([]) = \varepsilon_0+1\\&(([])) = \varepsilon_0+2\\&([])() = \varepsilon_0+\omega\\&([])([]) = \varepsilon_0\times2\\&(([]))([]) = \varepsilon_0\times3\\&(([])())([]) = \varepsilon_0\times\omega\\&(([])([]))([]) = \varepsilon_0^2\\&(([]))(([])) = \varepsilon_0^\omega\\&(([])([]))(([])([])) = \varepsilon_0^\varepsilon_0\\&[]() = \varepsilon_1\\&[](()) = \varepsilon_2 \\&[](()()) = \varepsilon_\omega\\&[]([]) = \varepsilon_{\varepsilon_0}\\&[]([]([])) = \varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_0}}\\&[()] = \zeta_0\\&([()]) = \zeta_0+1\\&([()])([()]) = \zeta_0\times2\\&[]([()]) = \varepsilon_{\zeta_0+1}\\&[](([()])) = \varepsilon_{\zeta_0+2}\\&[]([]([()])) = \varepsilon _{\varepsilon_{\zeta_0+1}}\\&[()]() = \zeta_1\\&[()]([()]) = \zeta_{\zeta_0}\\&[(())] = \vartheta(\Omega\times3) = \varphi(3,0)\\&[]([(())]) = \vartheta(\Omega+\vartheta(\Omega\times3))\\&[()]([(())]) = \vartheta(\Omega\times2+\vartheta(\Omega\times3))\\&[(())]() = \vartheta(\Omega\times3+1)\\&[((()))] = \vartheta(\Omega\times4)\\&[()()] = \vartheta(\Omega\times\omega)\\&[(()())] = \vartheta(\Omega\times(\omega+1))\\&[(()())(()())] = \vartheta(\Omega\times\omega^{\omega^{\omega}})\\&[([])] = \vartheta(\Omega\times\vartheta(\Omega))\\&[([])]() = \vartheta(\Omega\times\vartheta(\Omega)+1)\\&[(([]))] = \vartheta(\Omega\times(\vartheta(\Omega)+1))\\&[([])([])] = \vartheta(\Omega\times\vartheta(\Omega)\times2)\\&[([]())] = \vartheta(\Omega\times\vartheta(\Omega+1))\\&[([()])] = \vartheta(\Omega\times\vartheta(\Omega\times2))\\&[([([])])] = \vartheta(\Omega\times\vartheta(\Omega\times\vartheta(\Omega)))\\&[[]] = \vartheta(\Omega^2) =\Gamma_0\\&[]([[]]) = \vartheta(\Omega+\vartheta(\Omega^2))\\&[()]([[]]) = \vartheta(\Omega\times2+\vartheta(\Omega^2))\\&[([[]])] = \vartheta(\Omega\times\vartheta(\Omega^2))\\&[([([[]])])] = \vartheta(\Omega\times\vartheta(\Omega\times\vartheta(\Omega^2)))\\&[[]]() = \vartheta(\Omega^2+1)\\&[[]]([[]]) = \vartheta(\Omega^2+\vartheta(\Omega^2))\\&[[]()] = \vartheta(\Omega^2+\Omega)\\&[[]([[]])] = \vartheta(\Omega^2+\Omega\times\vartheta(\Omega^2))\\&[[()]] = \vartheta(\Omega^2\times2)\\&[[([[]])]] = \vartheta(\Omega^2\times\vartheta(\Omega^2))\\&[[[]]] = \vartheta(\Omega^3)\\&[[[]]]() = \vartheta(\Omega^3+1)\\&[[[]]()] = \vartheta(\Omega^3+\Omega)\\&[[[]()]] = \vartheta(\Omega^3+\Omega^2)\\&[[[()]]] = \vartheta(\Omega^3\times2)\\&[[[[]]]] = \vartheta(\Omega^4)\\&[][] = \vartheta(\Omega^\omega)\\&([][]) = \vartheta(\Omega^\omega)+1\\&[]([][]) = \vartheta(\Omega+\vartheta(\Omega^\omega))\\&[([][])] = \vartheta(\Omega\times\vartheta(\Omega^\omega))\\&[[([][])]] = \vartheta(\Omega^2\times\vartheta(\Omega^\omega))\\&[[][]] = \vartheta(\Omega^\omega+1)\\&[[][]]() = \vartheta(\Omega^\omega+2)\\&[[][]]([][]) = \vartheta(\Omega^\omega+\vartheta(\Omega^\omega))\\&[[[][]]] = \vartheta(\Omega^\omega+\Omega)\\&[[[][]]]() = \vartheta(\Omega^\omega+\Omega+1)\\&[[[][]]()] = \vartheta(\Omega^\omega+\Omega\times2)\\&[[[[][]]]] = \vartheta(\Omega^\omega+\Omega^2)\\&[[[[[][]]]]] = \vartheta(\Omega^\omega+\Omega^3)\\&[()][] = \vartheta(\Omega^\omega\times2)\\&[[()][]] = \vartheta(\Omega^\omega\times2+1)\\&[[[()][]]] = \vartheta(\Omega^\omega\times2+\Omega)\\&[[[[()][]]]] = \vartheta(\Omega^\omega\times2+\Omega^2)\\&[(())][] = \vartheta(\Omega^\omega\times3)\\&[([][])][] = \vartheta(\Omega^\omega\times\vartheta(\Omega^\omega))\\&[[]][] = \vartheta(\Omega^{\omega+1})\\&[[[]]][] = \vartheta(\Omega^{\omega+2})\\&[[][]][] = \vartheta(\Omega^{\omega\times2})\\&[[[][]][]] = \vartheta(\Omega^{\omega\times2}+1)\\&[[[[][]][]]] = \vartheta(\Omega^{\omega\times2}+\Omega)\\&[[[][]]][] = \vartheta(\Omega^{\omega\times2}+\Omega^\omega)\\&[[[][]]()][] = \vartheta(\Omega^{\omega\times2}+\Omega^\omega\times2)\\&[[[[][]]]][] = \vartheta(\Omega^{\omega\times2}+\Omega^{\omega+1})\\&[[()][]][] = \vartheta(\Omega^{\omega\times2}\times2)\\&[[[]][]][] = \vartheta(\Omega^{\omega\times2+1})\\&[[[][]][]][] = \vartheta(\Omega^{\omega\times3})\\&[[[[][]][]][]][] = \vartheta(\Omega^{\omega\times4})\\&[()][()] = \vartheta(\Omega^{\omega^2})\\&[[()][()]] = \vartheta(\Omega^{\omega^2}+1)\\&[[[()][()]][]] = \vartheta(\Omega^{\omega^2}+\Omega^\omega)\\&[(())][()] = \vartheta(\Omega^{\omega^2}\times2)\\&[[]][()] = \vartheta(\Omega^{\omega^2+1})\\&[[()][()]][()] = \vartheta(\Omega^{\omega^2\times2})\\&[(())][(())] = \vartheta(\Omega^{\omega^3})\\&[([])][([])] = \vartheta(\Omega^{\vartheta(\Omega)})\\&[[]][[]] = \vartheta(\Omega^\Omega) = LVO\end{align}</math>

看上去[]可以作为Ω的角色了，这样只使用权重1~2就能达到至少BHO的序型

* ψ(Ω₂)={}
* ψ(Ω₂+Ω)=[{}]
* ψ(Ω₂+Ω^Ω^ω)=[{}][]
* ψ(Ω₂+ψ₁(Ω₂))=[{}][{}]
* ψ(Ω₂+ψ₁(Ω₂)+Ω)=[{}][[{}]]
* ψ(Ω₂+ψ₁(Ω₂)×2)=[{}][[{}][{}]]
* ψ(Ω₂+ψ₁(Ω₂)×3)=[{}][[{}][[{}][{}]]]
* ψ(Ω₂+ψ₁(Ω₂+1))=[[{}]][[{}]]
* ψ(Ω₂+ψ₁(Ω₂+2))=[[[{}]]][[[{}]]]
* ψ(Ω₂+ψ₁(Ω₂+ω))=[[{}]()][[{}]()]
* ψ(Ω₂+ψ₁(Ω₂+Ω))=[[{}][]][[{}][]]
* ψ(Ω₂+ψ₁(Ω₂+ψ₁(Ω₂)))=[[{}][{}]][[{}][{}]]
* ψ(Ω₂+ψ₁(Ω₂+ψ₁(Ω₂+ψ₁(Ω₂))))=[[[{}][{}]][[{}][{}]]][[[{}][{}]][[{}][{}]]]
* ψ(Ω₂×2)={}()
* ψ(Ω₂×ω)={}(()())
* ψ(Ω₂×Ω)={}[]
* ψ(Ω₂×ψ₁(Ω₂))={}[{}]
* ψ(Ω₂×ψ₁(Ω₂×ψ₁(Ω₂)))={}[{}[{}]]
* ψ(Ω₂²)={()}
* ψ(Ω₂^ω)={()()}
* ψ(Ω₂^Ω)={[]}
* <nowiki>ψ(Ω₂^Ω₂)={{}}</nowiki>
* ψ(Ω₂^Ω₂³)={{{{}}}}
* ψ(Ω₂^Ω₂^ω)={}{}
* ψ(Ω₂^Ω₂^Ω)={[]}{[]}
* <nowiki>ψ(Ω₂^Ω₂^Ω₂)={{}}{{}}</nowiki>
* ψ(Ω₂^Ω₂^Ω₂^ω)=<nowiki>{{}{}}</nowiki><nowiki>{{}{}}</nowiki>
* ψ(Ω₃)=<>
* ψ(Ω₄)=…

于是得到ψ(Ω_ω)是wbtree的极限。
{{默认排序:相关问题}}
[[分类:记号]]

赋权链图

2026-02-23T11:24:19Z

Z：

赋权链图(Weighted Chain Graph，wcg),是FataliS1024创造的图论记号。

== 定义 ==
满足以下性质的有限图为一个wcg：

* 所有边都是有向边，都有一个正整数的权值
* 不一定连通，但是每个连通部分都有且只有一个顶点使得这个顶点的入度为0，这个顶点称作根
* 所有顶点的入度不是0就是1，即边的方向总是从根向外放射的
* 无环，无重边

对两个wcg A和B，称A“镶嵌于”B，当且仅当可以B通过有限次以下的操作变成A：

* 删掉任意一个度为1的顶点及它连接的边
* 删掉任意一条边
* 删掉任意一个度为2的顶点，并且把它连接的两个边的权值分别记作m和n，删去这两条边，把这个顶点原来连接的两个顶点连接起来，新边权值为min(m,n)，方向由近根点指向远根点

满足如下性质的wcg组成的序列的最大长度定义为wcg(n)：

* 序列的第k个wcg最多有k+1个顶点
* 序列的每一个wcg的边的权值最大为n+1
* 若x < y，则第x个wcg不能镶嵌于第y个wcg

== 分析 ==
wcg函数的强度被预期为和[[BMS]]极限相同，但缺乏分析。

== 改版 ==

=== ω-wcg ===
将wcg中，“每条边都有一个正整数权值”改成“每条边都有一个小于ω^ω的非0序数权值”

wcg(n)定义中的“权值最多为n”改为“权值最多为ω^n”

镶嵌规则中，“对于一个权值大于1的边，令其权值-1”改为“对于一个权值大于1的边，把它的权值变成一个更小的非0序数”

即得到ω-wcg

=== ε₀-wcg ===
满足以下性质的有限图为一个ε₀-wcg：

* 无环无重边，所有边都有向，且都必须有一个小于ε₀的序数权值，权值至少为1
* 不一定连通，但是每个连通部分都有且只有一个顶点使得这个顶点的入度为0，这个顶点称作根，其余所有顶点均至少有1的入度

对两个ε₀-wcg A和B，Δ是B的基本列常数，称A“镶嵌于”B或A小于B，同时也称B“容纳”或B大于A，当且仅当可以B通过有限次以下的操作变成A：

* 删掉任意一个度为1的顶点及它连接的所有边
* 对任意一个权值大于1的边，若它的权值是后继序数，则令其权值-1；若它的权值为极限序数，则将权值改为这个极限序数基本列第x项，其中x是任意一个不超过Δ的自然数
* 找到任意一个入度为1，出度至少为1的顶点，把它的前驱记作V，把它入边的权值记作Y；对于它的所有出边，把出边的权值记作m，出边的终点记作W，则把这条出边删除，并且添加一条边从V指向W，权值为min(Y,m)
* 找到任意一个出度为1，入度至少为1的顶点，把它的后继记作V，把它出边的权值记作Y；对于它的所有入边，把入边的权值记作m，入边的起点记作W，则把这条入边删除，并且添加一条边从W指向V，权值为min(Y,m)

定义ε₀以下的极限序数的基本列：

* ω[n]=n
* 对于β是极限序数，(α+β)[n]=α+β[n]，(αβ)[n]=αβ[n]，(α^β)[n]=α^β[n]

满足如下性质的ε₀-wcg组成的序列的最大长度定义为ε₀-wcg(n), N→N：

* 序列的第k个ε₀-wcg最多有k+1个顶点
* 序列的每一个ε₀-wcg的边的权值最大为ω^^n，其中ω^^0=1
* 若x < y，则第x个ε₀-wcg不小于第y个ε₀-wcg
* 第k个ε₀-wcg的基本列常数Δ为n+k

ε₀-wcg的强度被预期为ε₀行BMS。
{{默认排序:相关问题}}
[[分类:记号]]

IBLP分析Part1

2026-02-21T12:40:52Z

Z：

{| class="wikitable"
|Infinite Basic Laver Pattern
|ω-Y Sequence
|-
|(1,0)1
|1
|-
|(1,0)1(2,0)1
|1,1
|-
|(1,0)1(2,0)1(3,0)1
|1,1,1
|-
|(1,0)1(2,1)1
|1,2
|-
|(1,0)1(2,1)1(3,0)1
|1,2,1
|-
|(1,0)1(2,1)1(3,0)1(4,3)1
|1,2,1,2
|-
|(1,0)1(2,1)1(3,1)1
|1,2,2
|-
|(1,0)1(2,1)1(3,1)1(4,0)1(5,4)1(6,4)1
|1,2,2,1,2,2
|-
|(1,0)1(2,1)1(3,1)1(4,1)1
|1,2,2,2
|-
|(1,0)1(2,1)1(3,2)1
|1,2,3
|-
|(1,0)1(2,1)1(3,2)1(4,1)1
|1,2,3,2
|-
|(1,0)1(2,1)1(3,2)1(4,1)1(5,4)1
|1,2,3,2,3
|-
|(1,0)1(2,1)1(3,2)1(4,2)1
|1,2,3,3
|-
|(1,0)1(2,1)1(3,2)1(4,3)1
|1,2,3,4
|-
|(1,0)1(2,1)1(3,2)1(4,3)1(5,4)1
|1,2,3,4,5
|-
|(1,0)1(2,1,0)1
|1,2,4
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,0)1
|1,2,4,1
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,0)1(4,3,0)1
|1,2,4,1,2,4
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,1)1
|1,2,4,2
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,1)1(4,3)1
|1,2,4,2,3
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,1)1(4,3)1(5,4)1
|1,2,4,2,3,4
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,1)1(4,3,1)1
|1,2,4,2,4
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,1)1(4,3,1)1(5,1)1(6,5,1)1
|1,2,4,2,4,2,4
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,1)1(4,3,1)1(5,3)1
|1,2,4,3
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,1)1(4,3,1)1(5,3)1(6,5)1
|1,2,4,3,4
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,1)1(4,3,1)1(5,3)1(6,5,1)1
|1,2,4,3,5
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,1,0)1
|1,2,4,4
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,1,0)1(4,1)1(5,4,1)1(6,4,1)1
|1,2,4,4,2,4,4
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,1,0)1(4,1,0)1
|1,2,4,4,4
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2)1
|1,2,4,5
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2)1(4,1)1(5,4,1)1
|1,2,4,5,2,4
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2)1(4,1)1(5,4,1)1(6,5)1
|1,2,4,5,2,4,5
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2)1(4,1,0)1
|1,2,4,5,4
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2)1(4,1,0)1(5,1,0)1
|1,2,4,5,4,4
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2)1(4,1,0)1(5,4)1
|1,2,4,5,4,5
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2)1(4,2)1
|1,2,4,5,5
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2)1(4,2)1(5,2)1
|1,2,4,5,5,5
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2)1(4,3)1
|1,2,4,5,6
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2)1(4,3)1(5,4)1
|1,2,4,5,6,7
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2)1(4,3,2)1
|1,2,4,5,7
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2)1(4,3,2)1(5,1,0)1
|1,2,4,5,7,4
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2)1(4,3,2)1(5,1,0)1(6,5)1(7,6,5)1
|1,2,4,5,7,4,5,7
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2)1(4,3,2)1(5,2)1
|1,2,4,5,7,5
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2)1(4,3,2)1(5,2)1(6,5,2)1
|1,2,4,5,7,5,7
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2)1(4,3,2)1(5,3)1
|1,2,4,5,7,6
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2)1(4,3,2)1(5,3)1(6,5,3)1
|1,2,4,5,7,6,8
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2)1(4,3,2)1(5,3,2)1
|1,2,4,5,7,7
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2)1(4,3,2)1(5,4)1
|1,2,4,5,7,8
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2)1(4,3,2)1(5,4)1(6,5,4)1
|1,2,4,5,7,8,10
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2
|1,2,4,6
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,0)1(5,4,0)1(6,5,4,0)2
|1,2,4,6,1,2,4,6
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,1,0)1
|1,2,4,6,4
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,1,0)1(5,4)1
|1,2,4,6,4,5
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,1,0)1(5,4)1(6,5,4)1
|1,2,4,6,4,5,7
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,1,0)1(5,4)1(6,5,4)1(7,6,5,4)2
|1,2,4,6,4,5,7,9
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,1,0)1(5,4)1(6,5,4)1(7,6,5,4)2(8,5,4)1
|1,2,4,6,4,5,7,9,7
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,1,0)1(5,4,1,0)2
|1,2,4,6,4,6
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,2)1
|1,2,4,6,5
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,2)1(5,4,2)1(6,5,4,2)2
|1,2,4,6,5,7,9
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,2,1,0)2
|1,2,4,6,6
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,2,1,0)2(5,2,1,0)2
|1,2,4,6,6,6
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3)1
|1,2,4,6,7
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3)1(5,4,3)1
|1,2,4,6,7,9
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3)1(5,4,3)1(6,5,4,3)2
|1,2,4,6,7,9,11
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3
|1,2,4,6,8
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,1,0)1
|1,2,4,6,8,4
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,1,0)1(6,5,1,0)2(7,6,5,1,0)3
|1,2,4,6,8,4,6,8
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,2)1
|1,2,4,6,8,5
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,2,1,0)2
|1,2,4,6,8,6
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,3)1
|1,2,4,6,8,7
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,3,2,1,0)3
|1,2,4,6,8,8
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4)1
|1,2,4,6,8,9
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4)1(6,5,4)1(7,6,5,4)2(8,7,6,5,4)3
|1,2,4,6,8,9,11,13,15
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,2,1,0)3
|1,2,4,6,8,10
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,2,1,0)3(6,5,2,1,0)3
|1,2,4,6,8,10,12
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1
|1,2,4,7
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,1,0)1
|1,2,4,7,4
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,1,0)1(7,6,1,0)2(8,7,6,1,0)3(9,8,7)1
|1,2,4,7,4,7
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,2)1
|1,2,4,7,5
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,2,1,0)2
|1,2,4,7,6
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,2,1,0)2(7,6,2,1,0)3(8,7,6)1
|1,2,4,7,6,9
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,3)1
|1,2,4,7,6,9,7
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,3,2,1,0)3
|1,2,4,7,6,9,8
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,3,2,1,0)3(7,6,3)1
|1,2,4,7,6,9,8,11
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,4)1
|1,2,4,7,6,9,8,11,9
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,4,2,1,0)3
|1,2,4,7,6,9,8,11,10
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,4,2,1,0)3(7,6,4)1
|1,2,4,7,6,9,8,11,10,13
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,4,2,1,0)3(7,6,4)1(8,6,2,1,0)3(9,8,6)1
|1,2,4,7,6,9,8,11,10,13,12,15
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,4,3)1
|1,2,4,7,7
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,5)1
|1,2,4,7,8
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,5)1(7,6,5)1
|1,2,4,7,8,10
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,5)1(7,6,5)1(8,7,6,5)2(9,8,7,6,5)3(10,9,8)1
|1,2,4,7,8,10,13
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,5,2,1,0)3
|1,2,4,7,9
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,5,2,1,0)3(7,6,2,1,0)3
|1,2,4,7,9,11
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,5,2,1,0)3(7,6,5)1
|1,2,4,7,9,12
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,5,2,1,0)3(7,6,5)1(8,4,3)1
|1,2,4,7,9,12,7
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,5,2,1,0)3(7,6,5)1(8,5,2,1,0)3(9,8,5)1
|1,2,4,7,9,12,9,12
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,5,2,1,0)3(7,6,5)1(8,6,2,1,0)3(9,8,6)1
|1,2,4,7,9,12,11,14
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,5,2,1,0)3(7,6,5)1(8,6,5)1
|1,2,4,7,9,12,12
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,5,2,1,0)3(7,6,5)1(8,7)1
|1,2,4,7,9,12,13
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,5,2,1,0)3(7,6,5)1(8,7,2,1,0)3(9,8,7)1
|1,2,4,7,9,12,14,17
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,5,4,3)2
|1,2,4,7,10
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,5,4,3)2(7,4,3)1(8,7,4,3)2
|1,2,4,7,10,7,10
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,5,4,3)2(7,5,2,1,0)3
|1,2,4,7,10,9
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,5,4,3)2(7,5,4,3)2
|1,2,4,7,10,10
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,5,4,3)2(7,6)1
|1,2,4,7,10,11
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,5,4,3)2(7,6,2,1,0)3
|1,2,4,7,10,12
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,5,4,3)2(7,6,2,1,0)3(8,7,6)1
|1,2,4,7,10,12,15
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,5,4,3)2(7,6,2,1,0)3(8,7,6)1(9,8,7,6)2
|1,2,4,7,10,12,15,18
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,5,4,3)2(7,6,5,4,3)3
|1,2,4,7,10,13
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,5,4,3)2(7,6,5,4,3)3(8,7,5,4,3)3
|1,2,4,7,10,13,16
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,5,4,3)2(7,6,5,4,3)3(8,7,6)1
|1,2,4,7,11
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,5,4,3)2(7,6,5,4,3)3(8,7,6)1(9,7,6)1
|1,2,4,7,11,11
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,5,4,3)2(7,6,5,4,3)3(8,7,6)1(9,8)1
|1,2,4,7,11,12
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,5,4,3)2(7,6,5,4,3)3(8,7,6)1(9,8,2,1,0)3
|1,2,4,7,11,13
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,5,4,3)2(7,6,5,4,3)3(8,7,6)1(9,8,5,4,3)3
|1,2,4,7,11,14
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,5,4,3)2(7,6,5,4,3)3(8,7,6)1(9,8,7,6)2
|1,2,4,7,11,15
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,5,4,3)2(7,6,5,4,3)3(8,7,6)1(9,8,7,6)2(10,9,8,7,6)3
|1,2,4,7,11,15,19
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,4,3)1(6,5,4,3)2(7,6,5,4,3)3(8,7,6)1(9,8,7,6)2(10,9,8,7,6)3(11,10,9)1
|1,2,4,7,11,16
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3
|1,2,4,8
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,1,0)1
|1,2,4,8,4
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,1,0)1(7,6,1,0)2(8,7,6,1,0)3(9,8,7)1
|1,2,4,8,4,7
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,1,0)1(7,6,1,0)2(8,7,6,1,0)3(9,*8,7,6,1,0)3
|1,2,4,8,4,8
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,2,1,0)2
|1,2,4,8,6
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,2,1,0)2(7,6,2,1,0)3
|1,2,4,8,6,8
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,2,1,0)2(7,6,2,1,0)3(8,7,6)1
|1,2,4,8,6,9
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,2,1,0)2(7,6,2,1,0)3(8,7,6)1(9,8,7,6)2(10,9,8,7,6)3
(11,10,9)1
|1,2,4,8,6,9,13
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,2,1,0)2(7,6,2,1,0)3(8,7,6)1(9,8,7,6)2(10,9,8,7,6)3
(11,*10,9,8,7,6)3
|1,2,4,8,6,10
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,2,1,0)2(7,6,2,1,0)3(8,7,6)1(9,8,7,6)2(10,9,8,7,6)3
(11,*10,9,8,7,6)3(12,6,2,1,0)3
|1,2,4,8,6,10,8
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,2,1,0)2(7,6,2,1,0)3(8,7,6)1(9,8,7,6)2(10,9,8,7,6)3
(11,*10,9,8,7,6)3(12,6,2,1,0)3(13,12,6)1(14,13,12,6)2(15,14,13,12,6)3(16,*15,14,13,12,6)3
|1,2,4,8,6,10,8,12
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,2,1,0)2(7,6,2,1,0)3(8,7,6)1(9,8,7,6)2(10,9,8,7,6)3
(11,*10,9,8,7,6)3(12,7,2,1,0)3
|1,2,4,8,6,10,8,12,10
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,2,1,0)2(7,6,2,1,0)3(8,7,6)1(9,8,7,6)2(10,9,8,7,6)3
(11,*10,9,8,7,6)3(12,7,6)1
|1,2,4,8,7
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,2,1,0)2(7,6,2,1,0)3(8,7,6)1(9,8,7,6)2(10,9,8,7,6)3
(11,*10,9,8,7,6)3(12,7,6)1(13,12,7,6)2(14,13,12,7,6)3(15,*14,13,12,7,6)3
|1,2,4,8,7,12
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,2,1,0)2(7,6,2,1,0)3(8,7,6)1(9,8,7,6)2(10,9,8,7,6)3
(11,*10,9,8,7,6)3(12,8,2,1,0)3
|1,2,4,8,7,12,9
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,2,1,0)2(7,6,2,1,0)3(8,7,6)1(9,8,7,6)2(10,9,8,7,6)3
(11,*10,9,8,7,6)3(12,8,7,6)2
|1,2,4,8,7,12,10
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,2,1,0)2(7,6,2,1,0)3(8,7,6)1(9,8,7,6)2(10,9,8,7,6)3
(11,*10,9,8,7,6)3(12,8,7,6)2(13,12,8,7,6)3(14,13,12)1
|1,2,4,8,7,12,10,14
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,2,1,0)2(7,6,2,1,0)3(8,7,6)1(9,8,7,6)2(10,9,8,7,6)3
(11,*10,9,8,7,6)3(12,8,7,6)2(13,12,8,7,6)3(14,13,12)1(15,14,13,12)2(16,15,14,13,12)3(17,*16,15,14,13,12)3
|1,2,4,8,7,12,10,15
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,2,1,0)2(7,6,2,1,0)3(8,7,6)1(9,8,7,6)2(10,9,8,7,6)3
(11,*10,9,8,7,6)3(12,8,7,6)2(13,12,8,7,6)3(14,13,12)1(15,14,13,12)2(16,15,14,13,12)3
(17,*16,15,14,13,12)3(18,13,12)1
|1,2,4,8,7,12,11
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,2,1,0)2(7,6,2,1,0)3(8,*7,6,2,1,0)3
|1,2,4,8,8
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,2,1,0)2(7,6,2,1,0)3(8,*7,6,2,1,0)3(9,2,1,0)2
(10,9,2,1,0)3(11,*10,9,2,1,0)3
|1,2,4,8,8,8
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3)1
|1,2,4,8,9
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3
|1,2,4,8,10
|}
[[分类:分析]]

IBLP分析Part2

2026-02-21T12:38:21Z

Z：

{| class="wikitable"
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3
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|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,2,1,0)2
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|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,2,1,0)2(8,7,2,1,0)3(9,8,7)1
|1,2,4,8,10,6,9
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,2,1,0)2(8,7,2,1,0)3(9,8,7)1(10,9,8,7)2(11,10,9,8,7)3(12,*11,10,9,8,7)3
|1,2,4,8,10,6,10
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,2,1,0)2(8,7,2,1,0)3(9,8,7)1(10,9,8,7)2(11,10,9,8,7)3(12,*11,10,9,8,7)3(13,9,8,7)2(14,13,9,8,7)3(15,*14,13,9,8,7)3
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|-
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|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,2,1,0)2(8,7,2,1,0)3(9,8,7)1(10,9,8,7)2(11,10,9,8,7)3(12,*11,10,9,8,7)3(13,10,2,1,0)3(14,8,7)1
|1,2,4,8,10,7
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,2,1,0)2(8,7,2,1,0)3(9,8,7)1(10,9,8,7)2(11,10,9,8,7)3(12,*11,10,9,8,7)3(13,10,2,1,0)3(14,8,7)1(15,14,8,7)2(16,15,14,8,7)3(17,*16,15,14,8,7)3
|1,2,4,8,10,7,12
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,2,1,0)2(8,7,2,1,0)3(9,8,7)1(10,9,8,7)2(11,10,9,8,7)3(12,*11,10,9,8,7)3(13,10,2,1,0)3(14,8,7)1(15,14,8,7)2(16,15,14,8,7)3(17,*16,15,14,8,7)3(18,15,2,1,0)3
|1,2,4,8,10,7,12,14
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,2,1,0)2(8,7,2,1,0)3(9,8,7)1(10,9,8,7)2(11,10,9,8,7)3(12,*11,10,9,8,7)3(13,10,2,1,0)3(14,9,2,1,0)3
|1,2,4,8,10,7,12,14,9
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,2,1,0)2(8,7,2,1,0)3(9,8,7)1(10,9,8,7)2(11,10,9,8,7)3(12,*11,10,9,8,7)3(13,10,2,1,0)3(14,9,2,1,0)3(15,14,9)1(16,15,14,9)2(17,16,15,14,9)3(18,*17,16,15,14,9)3(19,16,2,1,0)3
|1,2,4,8,10,7,12,14,9,14,16
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,2,1,0)2(8,7,2,1,0)3(9,8,7)1(10,9,8,7)2(11,10,9,8,7)3(12,*11,10,9,8,7)3(13,10,2,1,0)3(14,9,8,7)2
|1,2,4,8,10,7,12,14,10
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,2,1,0)2(8,7,2,1,0)3(9,8,7)1(10,9,8,7)2(11,10,9,8,7)3(12,*11,10,9,8,7)3(13,10,2,1,0)3(14,9,8,7)2(15,14,9,8,7)3(16,15,14)1(17,16,15,14)2(18,17,16,15,14)3(19,*18,17,16,15,14)3(20,17,2,1,0)3
|1,2,4,8,10,7,12,14,10,15,17
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,2,1,0)2(8,7,2,1,0)3(9,8,7)1(10,9,8,7)2(11,10,9,8,7)3(12,*11,10,9,8,7)3(13,10,2,1,0)3(14,9,8,7)2(15,14,9,8,7)3(16,15,14)1(17,16,15,14)2(18,17,16,15,14)3(19,*18,17,16,15,14)3(20,17,2,1,0)3(21,15,14)1
|1,2,4,8,10,7,12,14,11
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,2,1,0)2(8,7,2,1,0)3(9,8,7)1(10,9,8,7)2(11,10,9,8,7)3(12,*11,10,9,8,7)3(13,10,2,1,0)3(14,9,8,7)2(15,14,9,8,7)3(16,*15,14,9,8,7)3
|1,2,4,8,10,8
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,2,1,0)2(8,7,2,1,0)3(9,8,7)1(10,9,8,7)2(11,10,9,8,7)3(12,*11,10,9,8,7)3(13,10,2,1,0)3(14,9,8,7)2(15,14,9,8,7)3(16,*15,14,9,8,7)3(17,9,8,7)2(18,17,9,8,7)3(19,*18,17,9,8,7)3
|1,2,4,8,10,8,8
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,2,1,0)2(8,7,2,1,0)3(9,8,7)1(10,9,8,7)2(11,10,9,8,7)3(12,*11,10,9,8,7)3(13,10,2,1,0)3(14,9,8,7)2(15,14,9,8,7)3(16,*15,14,9,8,7)3(17,14,2,1,0)3
|1,2,4,8,10,8,10
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,2,1,0)2(8,7,2,1,0)3(9,8,7)1(10,9,8,7)2(11,10,9,8,7)3(12,*11,10,9,8,7)3(13,10,2,1,0)3(14,10)1
|1,2,4,8,10,9
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,2,1,0)2(8,7,2,1,0)3(9,8,7)1(10,9,8,7)2(11,10,9,8,7)3(12,*11,10,9,8,7)3(13,10,2,1,0)3(14,10,2,1,0)3
|1,2,4,8,10,10
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,2,1,0)2(8,7,2,1,0)3(9,8,7)1(10,9,8,7)2(11,10,9,8,7)3(12,*11,10,9,8,7)3(13,10,2,1,0)3(14,13,2,1,0)3
|1,2,4,8,10,12
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,2,1,0)2(8,7,2,1,0)3(9,8,7)1(10,9,8,7)2(11,10,9,8,7)3(12,*11,10,9,8,7)3(13,10,2,1,0)3(14,13,10)1
|1,2,4,8,10,13
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,2,1,0)2(8,7,2,1,0)3(9,8,7)1(10,9,8,7)2(11,10,9,8,7)3(12,*11,10,9,8,7)3(13,10,2,1,0)3(14,13,10)1(15,14,13,10)2(16,15,14,13,10)3(17,*16,15,14,13,10)3
|1,2,4,8,10,14
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,2,1,0)2(8,7,2,1,0)3(9,8,7)1(10,9,8,7)2(11,10,9,8,7)3(12,*11,10,9,8,7)3(13,10,9,8,7)3
|1,2,4,8,11
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,2,1,0)2(8,7,2,1,0)3(9,8,7)1(10,9,8,7)2(11,10,9,8,7)3(12,*11,10,9,8,7)3(13,10,9,8,7)3(14,8,7)1
|1,2,4,8,11,7
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,2,1,0)2(8,7,2,1,0)3(9,8,7)1(10,9,8,7)2(11,10,9,8,7)3(12,*11,10,9,8,7)3(13,10,9,8,7)3(14,8,7)1(15,14,8,7)2(16,15,14,8,7)3(17,*16,15,14,8,7)3(18,15,14,8,7)3
|1,2,4,8,11,7,12,15
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,2,1,0)2(8,7,2,1,0)3(9,8,7)1(10,9,8,7)2(11,10,9,8,7)3(12,*11,10,9,8,7)3(13,10,9,8,7)3(14,9,8,7)2
|1,2,4,8,11,7,12,15,10
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,2,1,0)2(8,7,2,1,0)3(9,8,7)1(10,9,8,7)2(11,10,9,8,7)3(12,*11,10,9,8,7)3(13,10,9,8,7)3(14,9,8,7)2(15,14,9,8,7)3(16,15,14)1
|1,2,4,8,11,7,12,15,10,14
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,2,1,0)2(8,7,2,1,0)3(9,8,7)1(10,9,8,7)2(11,10,9,8,7)3(12,*11,10,9,8,7)3(13,10,9,8,7)3(14,9,8,7)2(15,14,9,8,7)3(16,15,14)1(17,16,15,14)2(18,17,16,15,14)3(19,*18,17,16,15,14)3
|1,2,4,8,11,7,12,15,10,15
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,2,1,0)2(8,7,2,1,0)3(9,8,7)1(10,9,8,7)2(11,10,9,8,7)3(12,*11,10,9,8,7)3(13,10,9,8,7)3(14,9,8,7)2(15,14,9,8,7)3(16,15,14)1(17,16,15,14)2(18,17,16,15,14)3(19,*18,17,16,15,14)3(20,17,9,8,7)3
|1,2,4,8,11,7,12,15,10,15,18
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,2,1,0)2(8,7,2,1,0)3(9,8,7)1(10,9,8,7)2(11,10,9,8,7)3(12,*11,10,9,8,7)3(13,10,9,8,7)3(14,9,8,7)2(15,14,9,8,7)3(16,15,14)1(17,16,15,14)2(18,17,16,15,14)3(19,*18,17,16,15,14)3(20,17,9,8,7)3(21,15,14)1
|1,2,4,8,11,7,12,15,11
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,2,1,0)2(8,7,2,1,0)3(9,8,7)1(10,9,8,7)2(11,10,9,8,7)3(12,*11,10,9,8,7)3(13,10,9,8,7)3(14,9,8,7)2(15,14,9,8,7)3(16,15,14)1(17,16,15,14)2(18,17,16,15,14)3(19,*18,17,16,15,14)3(20,17,16,15,14)3
|1,2,4,8,11,7,12,16
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,2,1,0)2(8,7,2,1,0)3(9,*8,7,2,1,0)3
|1,2,4,8,11,8
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,2,1,0)2(8,7,2,1,0)3(9,*8,7,2,1,0)3(10,2,1,0)2(11,10,2,1,0)3(12,*11,10,2,1,0)3
|1,2,4,8,11,8,8
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,2,1,0)2(8,7,2,1,0)3(9,*8,7,2,1,0)3(10,7,2,1,0)3
|1,2,4,8,11,8,10
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,2,1,0)2(8,7,2,1,0)3(9,*8,7,2,1,0)3(10,7,2,1,0)3(11,2,1,0)2(12,11,2,1,0)3(13,*12,11,2,1,0)3
|1,2,4,8,11,8,11,8
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,3,2,1,0)3
|1,2,4,8,11,10
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,3,2,1,0)3(8,2,1,0)2(9,8,2,1,0)3(10,*9,8,2,1,0)3
|1,2,4,8,11,11,8
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,6)1
|1,2,4,8,11,12
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,6,2,1,0)3
|1,2,4,8,11,13
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,6,2,1,0)3(8,2,1,0)2(9,8,2,1,0)3(10,*9,8,2,1,0)3
|1,2,4,8,11,14,8
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,6,3)1
|1,2,4,8,11,15
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,6,3)1(8,7,6,3)2(9,8,7,6,3)3
|1,2,4,8,11,15,19,23
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,6,3)1(8,7,6,3)2(9,8,7,6,3)3(10,9,8)1
|1,2,4,8,11,15,20
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,6,3)1(8,7,6,3)2(9,8,7,6,3)3(10,*9,8,7,6,3)3
|1,2,4,8,11,16
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,6,3)1(8,7,6,3)2(9,8,7,6,3)3(10,*9,8,7,6,3)3(11,7,6,3)2(12,11,7,6,3)3(13,*12,11,7,6,3)3
|1,2,4,8,11,16,16
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,6,3)1(8,7,6,3)2(9,8,7,6,3)3(10,*9,8,7,6,3)3(11,8,2,1,0)3
|1,2,4,8,11,16,18
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,6,3)1(8,7,6,3)2(9,8,7,6,3)3(10,*9,8,7,6,3)3(11,8,7,6,3)3
|1,2,4,8,11,16,20
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,6,3)1(8,7,6,3)2(9,8,7,6,3)3(10,*9,8,7,6,3)3(11,8,7,6,3)3(12,11,8)1
|1,2,4,8,11,16,20,25
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,6,3)1(8,7,6,3)2(9,8,7,6,3)3(10,*9,8,7,6,3)3(11,8,7,6,3)3(12,11,8)1(13,12,11,8)2(14,13,12,11,8)3(15,*14,13,12,11,8)3
|1,2,4,8,11,16,20,26
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,*6,3,2,1,0)3
|1,2,4,8,12
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,*6,3,2,1,0)3(8,2,1,0)2(9,8,2,1,0)3(10,*9,8,2,1,0)3
|1,2,4,8,12,8
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,*6,3,2,1,0)3(8,2,1,0)2(9,8,2,1,0)3(10,*9,8,2,1,0)3(11,8,2,1,0)3
|1,2,4,8,12,8,10
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,*6,3,2,1,0)3(8,2,1,0)2(9,8,2,1,0)3(10,*9,8,2,1,0)3(11,8,2,1,0)3(12,11,8)1
|1,2,4,8,12,8,11,15
|-
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|1,2,4,8,12,8,11,16,21
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,*6,3,2,1,0)3(8,2,1,0)2(9,8,2,1,0)3(10,*9,8,2,1,0)3(11,8,2,1,0)3(12,*11,8,2,1,0)3
|1,2,4,8,12,8,12
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,*6,3,2,1,0)3(8,3,2,1,0)3
|1,2,4,8,12,10
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,*6,3,2,1,0)3(8,3,2,1,0)3(9,2,1,0)2(10,9,2,1,0)3(11,*10,9,2,1,0)3(12,9,2,1,0)3(13,*12,9,2,1,0)3
|1,2,4,8,12,11,8,12
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,3,2,1,0)3(7,*6,3,2,1,0)3(8,3,2,1,0)3(9,*8,3,2,1,0)3(10,3,2,1,0)3(11,*10,3,2,1,0)3
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*6,4,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,14
|-
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|1,2,4,8,14,13
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*6,4,3,2,1,0)4(9,6,4)1(10,9,6,4)2(11,10,9,6,4)3(12,*11,10,9,6,4)3(13,11,9,6,4)3(14,*13,11,10,9,6,4)4(15,*13,11,10,9,6,4)4
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|-
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|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7)1
|1,2,4,8,14,15
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,2,1,0)3(9,*8,7,3,2,1,0)4
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|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,2,1,0)3(9,*8,7,3,2,1,0)4(10,*8,7,3,2,1,0)4
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|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,2,1,0)3(9,*8,7,3,2,1,0)4(10,9)1
|1,2,4,8,14,18,24,25
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,2,1,0)3(9,*8,7,3,2,1,0)4(10,9,2,1,0)3(11,*10,9,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,14,18,24,28
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2
|1,2,4,8,14,19
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,*6,4,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,14,19,14
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,7,2,1,0)3(10,*9,7,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,14,19,18
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,7,6,4)2
|1,2,4,8,14,19,19
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,2,1,0)3
|1,2,4,8,14,19,21
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,2,1,0)3(10,*9,8,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,14,19,23
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,2,1,0)3(10,*9,8,3,2,1,0)4(11,*9,8,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,14,19,23,29
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,2,1,0)3(10,*9,8,3,2,1,0)4(11,10)1
|1,2,4,8,14,19,23,29,30
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,2,1,0)3(10,*9,8,3,2,1,0)4(11,10,9,8)2
|1,2,4,8,14,19,23,29,34
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3
|1,2,4,8,14,19,24
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,9,7,6,4)3
|1,2,4,8,14,19,24,29
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,9,8)1
|1,2,4,8,14,19,25
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,9,8)1(11,10,9,8)2(12,11,10,9,8)3(13,*12,11,10,9,8)3
|1,2,4,8,14,19,26
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,9,8)1(11,10,9,8)2(12,11,10,9,8)3(13,*12,11,10,9,8)3(14,12,10,9,8)3(15,*14,12,11,10,9,8)4(16,*14,12,11,10,9,8)4
|1,2,4,8,14,19,26,33
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,14,20
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,3,2,1,0)4(11,*6,4,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,14,20,14
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,3,2,1,0)4(11,7,6,4)2
|1,2,4,8,14,20,19
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,3,2,1,0)4(11,7,6,4)2(12,11,7,6,4)3(13,*12,11,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,14,20,20
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,3,2,1,0)4(11,8,2,1,0)3(12,*11,8,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,14,20,24
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,3,2,1,0)4(11,8,7,6,4)3
|1,2,4,8,14,20,25
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,3,2,1,0)4(11,8,7,6,4)3(12,*11,8,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,14,20,26
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,3,2,1,0)4(11,8,7,6,4)3(12,*11,8,3,2,1,0)4(13,8,7,6,4)(14,*13,8,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,14,20,26,26
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,3,2,1,0)4(11,9,2,1,0)3(12,*11,9,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,14,20,26,30
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,3,2,1,0)4(11,9,7,6,4)3(12,*11,9,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,14,20,26,32
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,3,2,1,0)4(11,9,8)1
|1,2,4,8,14,21
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,3,2,1,0)4(11,*9,8,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,14,22
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,3,2,1,0)4(11,*9,8,3,2,1,0)4(12,*9,8,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,14,22,22
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,3,2,1,0)4(11,10,2,1,0)3(12,*11,10,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,14,22,26
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,3,2,1,0)4(11,10,7,6,4)3(12,*11,10,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,14,22,28
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,3,2,1,0)4(11,10,9,8)2
|1,2,4,8,14,22,29
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,3,2,1,0)4(11,10,9,8)2(12,11,10,9,8)3(13,12,11)1
|1,2,4,8,14,22,29,37
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,3,2,1,0)4(11,10,9,8)2(12,11,10,9,8)3(13,*12,11,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,14,22,30
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,3,2,1,0)4(11,10,9,8)2(12,11,10,9,8)3(13,*12,11,3,2,1,0)4(14,10,9,8)2(15,14,10,9,8)3(16,*15,14,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,14,22,30,30
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,3,2,1,0)4(11,10,9,8)2(12,11,10,9,8)3(13,*12,11,3,2,1,0)4(14,13,10,9,8)3(15,*14,13,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,14,22,30,38
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,3,2,1,0)4(11,10,9,8)2(12,11,10,9,8)3(13,*12,11,3,2,1,0)4(14,13,12,11)2
|1,2,4,8,14,22,31
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,3,2,1,0)4(11,10,9,8)2(12,11,10,9,8)3(13,*12,11,3,2,1,0)4(14,13,12,11)2(15,14,13,12,11)3(16,*15,14,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,14,22,32
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3
|1,2,4,8,15
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,2,1,0)2(12,11,2,1,0)3(13,*12,11,2,1,0)3(14,12,2,1,0)3(15,*14,12,11,2,1,0)4(16,15,14,12)2(17,16,15,14,12)3(18,*17,16,15,14,12)3
|1,2,4,8,15,8,15
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,3,2,1,0)3(12,*11,3,2,1,0)3(14,*13,11,3,2,1,0)4(15,14,13,11)2(16,15,14,13,11)3(17,*16,15,14,13,11)3
|1,2,4,8,15,12,19
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,6,4)1
|1,2,4,8,15,13
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,*6,4,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,15,14
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,*6,4,3,2,1,0)4(12,11,6,4)2(13,12,11,6,4)3(14,*13,12,11,6,4)3
|1,2,4,8,15,14,23
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,7,2,1,0)3(12,*11,7,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,15,14,23,18
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,7,2,1,0)3(12,*11,7,3,2,1,0)4(13,12,11,7)2(14,13,12,11,7)3(15,*14,13,12,11,7)3
|1,2,4,8,15,14,23,18,25
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,7,6,4)2
|1,2,4,8,15,14,23,19
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,7,6,4)2(12,11,7,6,4)3(13,*12,11,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,15,14,23,20
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,7,6,4)2(12,11,7,6,4)3(13,*12,11,3,2,1,0)4(14,12,7,6,4)3(15,*14,12,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,15,14,23,20,26
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,7,6,4)2(12,11,7,6,4)3(13,*12,11,3,2,1,0)4(14,12,11)1
|1,2,4,8,15,14,23,20,27
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,7,6,4)2(12,11,7,6,4)3(13,*12,11,3,2,1,0)4(14,*12,11,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,15,14,23,20,28
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,7,6,4)2(12,11,7,6,4)3(13,*12,11,3,2,1,0)4(14,13,7,6,4)3(15,*14,13,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,15,14,23,20,28,34
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,7,6,4)2(12,11,7,6,4)3(13,*12,11,3,2,1,0)4(14,13,12,11)2
|1,2,4,8,15,14,23,20,28,35
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,7,6,4)2(12,11,7,6,4)3(13,*12,11,3,2,1,0)4(14,13,12,11)2(15,14,13,12,11)3(16,*15,14,13,12,11)3
|1,2,4,8,15,14,23,20,29
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,7,6,4)2(12,11,7,6,4)3(13,*12,11,3,2,1,0)4(14,13,12,11)2(15,14,13,12,11)3(16,*15,14,13,12,11)3(17,12,11)1
|1,2,4,8,15,14,23,21
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,7,6,4)2(12,11,7,6,4)3(13,*12,11,3,2,1,0)4(14,13,12,11)2(15,14,13,12,11)3(16,*15,14,13,12,11)3(17,*12,11,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,15,14,23,22
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,7,6,4)2(12,11,7,6,4)3(13,*12,11,3,2,1,0)4(14,13,12,11)2(15,14,13,12,11)3(16,*15,14,13,12,11)3(17,*12,11,3,2,1,0)4(18,17,12,11)2(19,18,17,12,11)3(20,*19,18,17,12,11)3
|1,2,4,8,15,14,23,22,33
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,7,6,4)2(12,11,7,6,4)3(13,*12,11,3,2,1,0)4(14,13,12,11)2(15,14,13,12,11)3(16,*15,14,13,12,11)3(17,13,12,11)2
|1,2,4,8,15,14,23,22,33,29
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,7,6,4)2(12,11,7,6,4)3(13,*12,11,7,6,4)3
|1,2,4,8,15,15
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,8,2,1,0)3
|1,2,4,8,15,17
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,8,2,1,0)3(12,7,6,4)2(13,12,7,6,4)3(14,*13,12,7,6,4)3(14,*13,12,3,2,1,0)4(15,14,13,12)2(16,15,14,13,12)3(17,*16,15,14,13,12)3
|1,2,4,8,15,17,14,23
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,8,2,1,0)3(12,7,6,4)2(13,12,7,6,4)3(14,*13,12,7,6,4)3(14,*13,12,3,2,1,0)4(15,14,13,12)2(16,15,14,13,12)3(17,*16,15,14,13,12)3(18,15,2,1,0)3
|1,2,4,8,15,17,14,23,25
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,8,2,1,0)3(12,7,6,4)2(13,12,7,6,4)3(14,*13,12,7,6,4)3(14,*13,12,7,6,4)3
|1,2,4,8,15,17,15
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,8,2,1,0)3(12,*11,8,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,15,19
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,8,2,1,0)3(12,*11,8,3,2,1,0)4(13,12,11,8)2(14,13,12,11,8)3(15,*14,13,12,11,8)3
|1,2,4,8,15,19,26
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,8,7,6,4)3
|1,2,4,8,15,20
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,8,7,6,4)3(12,7,6,4)2(13,12,7,6,4)3(14,*13,12,3,2,1,0)4(15,14,13,12)2(16,15,14,13,12)3(17,*16,15,14,13,12)3
|1,2,4,8,15,20,14,23
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,8,7,6,4)3(12,7,6,4)2(13,12,7,6,4)3(14,*13,12,3,2,1,0)4(15,14,13,12)2(16,15,14,13,12)3(17,*16,15,14,13,12)3(18,15,7,6,4)3
|1,2,4,8,15,20,14,23,28
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,8,7,6,4)3(12,7,6,4)2(13,12,7,6,4)3(14,*13,12,3,2,1,0)4(15,14,13,12)2(16,15,14,13,12)3(17,*16,15,14,13,12)3(18,15,7,6,4)3(19,14,13,12)2(20,19,14,13,12)3(21,*20,19,14,13,12)3
|1,2,4,8,15,20,14,23,28,23
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,8,7,6,4)3(12,7,6,4)2(13,12,7,6,4)3(14,*13,12,3,2,1,0)4(15,14,13,12)2(16,15,14,13,12)3(17,*16,15,14,13,12)3(18,15,14,13,12)3
|1,2,4,8,15,20,14,23,30
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,8,7,6,4)3(12,7,6,4)2(13,12,7,6,4)3(14,*13,12,7,6,4)3
|1,2,4,8,15,20,15
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,8,7,6,4)3(12,8,7,6,4)3
|1,2,4,8,15,20,20
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,8,7,6,4)3(12,11,7,6,4)3
|1,2,4,8,15,20,25
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,8,7,6,4)3(12,11,8)1
|1,2,4,8,15,20,26
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,8,7,6,4)3(12,*11,8,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,15,21
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,8,7,6,4)3(12,*11,8,7,6,4)3
|1,2,4,8,15,22
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,8,7,6,4)3(12,*11,8,7,6,4)3(13,8,7,6,4)3(14,*13,8,7,6,4)3
|1,2,4,8,15,22,22
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,9,7,6,4)3
|1,2,4,8,15,22,27
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,9,7,6,4)3(12,*11,9,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,15,22,28
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,9,7,6,4)3(12,*11,9,8,7,6,4)4
|1,2,4,8,15,22,29
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,9,7,6,4)3(12,*11,9,8,7,6,4)4(13,9,7,6,4)3(14,*13,9,8,7,6,4)4
|1,2,4,8,15,22,29,29
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,9,7,6,4)3(12,*11,9,8,7,6,4)4(13,11,7,6,4)3(14,*13,11,8,7,6,4)4
|1,2,4,8,15,22,29,36
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,9,7,6,4)3(12,*11,9,8,7,6,4)4(13,11,9)1
|1,2,4,8,15,23
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,9,7,6,4)3(12,*11,9,8,7,6,4)4(13,*11,9,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,15,24
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,9,7,6,4)3(12,*11,9,8,7,6,4)4(13,*11,9,8,7,6,4)4
|1,2,4,8,15,25
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,9,7,6,4)3(12,*11,9,8,7,6,4)4(13,*11,9,8,7,6,4)4(14.*11,9,8,7,6,4)4
|1,2,4,8,15,25,25
|-
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|1,2,4,8,15,25,27
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,9,7,6,4)3(12,*11,9,8,7,6,4)4(13,12,7,6,4)3
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|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,9,7,6,4)3(12,*11,9,8,7,6,4)4(13,12,7,6,4)3(14,*13,12,8,7,6,4)4
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|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,9,7,6,4)3(12,*11,9,8,7,6,4)4(13,12,7,6,4)3(14,*13,12,8,7,6,4)4(15,14,7,6,4)3(16,*15,14,8,7,6,4)4
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|-
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|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,9,7,6,4)3(12,*11,9,8,7,6,4)4(13,12,11,9)2(14,13,12,11,9)3(15,*14,13,8,7,6,4)4
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|-
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|-
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|-
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|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,7,6,4)2(9,8,7,6,4)3(10,*9,8,7,6,4)3(11,9,7,6,4)3(12,*11,9,8,7,6,4)4(13,12,11,9)2(14,13,12,11,9)3(15,*14,13,12,11,9)3(16,12,11,9)3(17,16,12,11,9)(18,*17,16,12,11,9)3
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|-
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|1,2,4,8,16,14
|-
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|1,2,4,8,16,14,19
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,3,2,1,0)3(10,*9,3,2,1,0)3(11,9,2,1,0)3(12,*11,9,3,2,1,0)4(13,12,11,9)2(14,13,12,11,9)3(15,*14,13,12,11,9)3(16,14,12,11,9)3(17,*16,14,13,12,11,9)4(18,*17,*16,14,13,12,11,9)4(19,*11,9,3,2,1,0)4(20,19,11,9)2(21,20,19,11,9)3(22,*21,20,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,16,14,20
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,3,2,1,0)3(10,*9,3,2,1,0)3(11,9,2,1,0)3(12,*11,9,3,2,1,0)4(13,12,11,9)2(14,13,12,11,9)3(15,*14,13,12,11,9)3(16,14,12,11,9)3(17,*16,14,13,12,11,9)4(18,*17,*16,14,13,12,11,9)4(19,*11,9,3,2,1,0)4(20,19,11,9)2(21,20,19,11,9)3(22,*21,20,19,11,9)3
|1,2,4,8,16,14,21
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,3,2,1,0)3(10,*9,3,2,1,0)3(11,9,2,1,0)3(12,*11,9,3,2,1,0)4(13,12,11,9)2(14,13,12,11,9)3(15,*14,13,12,11,9)3(16,14,12,11,9)3(17,*16,14,13,12,11,9)4(18,*17,*16,14,13,12,11,9)4(19,*11,9,3,2,1,0)4(20,19,11,9)2(21,20,19,11,9)3(22,*21,20,19,11,9)3(23,21,19,11,9)3(24,*23,21,20,19,11,9)4(25,*24,*23,21,20,19,11,9)4
|1,2,4,8,16,14,22
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,3,2,1,0)3(10,*9,3,2,1,0)3(11,9,2,1,0)3(12,*11,9,3,2,1,0)4(13,12,11,9)2(14,13,12,11,9)3(15,*14,13,12,11,9)3(16,14,12,11,9)3(17,*16,14,13,12,11,9)4(18,*17,*16,14,13,12,11,9)4(19,12,11,9)2
|1,2,4,8,16,14,22,19
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,3,2,1,0)3(10,*9,3,2,1,0)3(11,9,2,1,0)3(12,*11,9,3,2,1,0)4(13,12,11,9)2(14,13,12,11,9)3(15,*14,13,12,11,9)3(16,14,12,11,9)3(17,*16,14,13,12,11,9)4(18,*17,*16,14,13,12,11,9)4(19,12,11,9)2(20,19,12,11,9)3(21,*20,19,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,16,14,22,20
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,3,2,1,0)3(10,*9,3,2,1,0)3(11,9,2,1,0)3(12,*11,9,3,2,1,0)4(13,12,11,9)2(14,13,12,11,9)3(15,*14,13,12,11,9)3(16,14,12,11,9)3(17,*16,14,13,12,11,9)4(18,*17,*16,14,13,12,11,9)4(19,12,11,9)2(20,19,12,11,9)3(21,*20,19,12,11,9)3
|1,2,4,8,16,15
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,3,2,1,0)3(10,*9,3,2,1,0)3(11,9,2,1,0)3(12,*11,9,3,2,1,0)4(13,12,11,9)2(14,13,12,11,9)3(15,*14,13,12,11,9)3(16,14,12,11,9)3(17,*16,14,13,12,11,9)4(18,*17,*16,14,13,12,11,9)4(19,12,11,9)2(20,19,12,11,9)3(21,*20,19,12,11,9)3(22,20,12,11,9)3(23,*22,20,19,12,11,9)4(,24,*23,*22,20,19,12,11,9)4
|1,2,4,8,16,15,27
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,3,2,1,0)3(10,*9,3,2,1,0)3(11,9,2,1,0)3(12,*11,9,3,2,1,0)4(13,12,11,9)2(14,13,12,11,9)3(15,*14,13,12,11,9)3(16,14,12,11,9)3(17,*16,14,13,12,11,9)4(18,*17,*16,14,13,12,11,9)4(19,13,12,11,9)3
|1,2,4,8,16,15,27,20
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,3,2,1,0)3(10,*9,3,2,1,0)3(11,9,2,1,0)3(12,*11,9,3,2,1,0)4(13,12,11,9)2(14,13,12,11,9)3(15,*14,13,12,11,9)3(16,14,12,11,9)3(17,*16,14,13,12,11,9)4(18,*17,*16,14,13,12,11,9)4(19,13,12,11,9)3(20,*19,13,12,11,9)3
|1,2,4,8,16,15,27,22
|-
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4(23,22,21,19)2(24,23,22,21,19)3(25,*24,23,22,21,19)3(26,24,22,21,19)3(27,*26,24,23,22,21,19)4(28,*27,*26,24,23,22,21,19)4
|1,2,4,8,16,15,27,22,34
|-
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|1,2,4,8,16,16
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,4,2,1,0)3
|1,2,4,8,16,18
|-
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|1,2,4,8,16,19,8
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,4,2,1,0)3(10,2,1,0)2(11,10,2,1,0)3(12,*11,10,2,1,0)3(13,11,2,1,0)3(14,*13,11,10,2,1,0)4(15,*14,*13,11,10,2,1,0)4
|1,2,4,8,16,19,8,16
|-
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|1,2,4,8,16,19,12
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,4,2,1,0)3(10,3,2,1,0)3(11,*10,3,2,1,0)3(12,10,2,1,0)3(13,*12,10,3,2,1,0)4(14,13,12,10)2(15,14,13,12,10)3(16,*15,14,13,12,10)3(17,15,13,12,10)3(18,*17,15,14,13,12,10)4(19,*18,*17,15,14,13,12,10)4
|1,2,4,8,16,19,12,20
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,4,2,1,0)3(10,3,2,1,0)3(11,*10,3,2,1,0)3(12,10,2,1,0)3(13,*12,10,3,2,1,0)4(14,13,12,10)2(15,14,13,12,10)3(16,*15,14,13,12,10)3(17,15,13,12,10)3(18,*17,15,14,13,12,10)4(19,*18,*17,15,14,13,12,10)4(20,12,10)1
|1,2,4,8,16,19,12,20,17
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,4,2,1,0)3(10,3,2,1,0)3(11,*10,3,2,1,0)3(12,10,2,1,0)3(13,*12,10,3,2,1,0)4(14,13,12,10)2(15,14,13,12,10)3(16,*15,14,13,12,10)3(17,15,13,12,10)3(18,*17,15,14,13,12,10)4(19,*18,*17,15,14,13,12,10)4(20,*12,10,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,16,19,12,20,18
|-
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|1,2,4,8,16,19,12,20,19
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,4,2,1,0)3(10,3,2,1,0)3(11,*10,3,2,1,0)3(12,10,2,1,0)3(13,*12,10,3,2,1,0)4(14,13,12,10)2(15,14,13,12,10)3(16,*15,14,13,12,10)3(17,15,13,12,10)3(18,*17,15,14,13,12,10)4(19,*18,*17,15,14,13,12,10)4(20,13,12,10)2(21,20,13,12,10)3(22,*21,20,13,12,10)3(23,21,13,12,10)3(24,*23,21,20,13,12,10)4(25,*24,*23,21,20,13,12,10)4
|1,2,4,8,16,19,12,20,19,31
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,4,2,1,0)3(10,3,2,1,0)3(11,*10,3,2,1,0)3(12,10,2,1,0)3(13,*12,10,3,2,1,0)4(14,13,12,10)2(15,14,13,12,10)3(16,*15,14,13,12,10)3(17,15,13,12,10)3(18,*17,15,14,13,12,10)4(19,*18,*17,15,14,13,12,10)4(20,14,13,12,10)3(21,*20,14,13,12,10)3(22,20,13,12,10)3(23,*22,20,14,13,12,10)4(24,*23,*22,20,14,13,12,10)4
|1,2,4,8,16,19,12,20,20
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,4,2,1,0)3(10,3,2,1,0)3(11,*10,3,2,1,0)3(12,10,2,1,0)3(13,*12,10,3,2,1,0)4(14,13,12,10)2(15,14,13,12,10)3(16,*15,14,13,12,10)3(17,15,13,12,10)3(18,*17,15,14,13,12,10)4(19,*18,*17,15,14,13,12,10)4(20,15,2,1,0)3
|1,2,4,8,16,19,12,20,22
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,4,2,1,0)3(10,3,2,1,0)3(11,*10,3,2,1,0)3(12,10,2,1,0)3(13,*12,10,3,2,1,0)4(14,13,12,10)2(15,14,13,12,10)3(16,*15,14,13,12,10)3(17,15,13,12,10)3(18,*17,15,14,13,12,10)4(19,*18,*17,15,14,13,12,10)4(20,15,2,1,0)3(21,2,1,0)2(22,21,2,1,0)3(23,*22,21,2,1,0)3
|1,2,4,8,16,19,12,20,23,8
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,4,2,1,0)3(10,3,2,1,0)3(11,*10,3,2,1,0)3(12,10,2,1,0)3(13,*12,10,3,2,1,0)4(14,13,12,10)2(15,14,13,12,10)3(16,*15,14,13,12,10)3(17,15,13,12,10)3(18,*17,15,14,13,12,10)4(19,*18,*17,15,14,13,12,10)4(20,15,2,1,0)3(21,14,13,12,10)3(22,*21,14,13,12,11,10)3(23,21,13,12,10)3(24,*23,21,14,13,12,10)4(25,*24,*23,21,14,13,12,10)4
|1,2,4,8,16,19,16
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,4,2,1,0)3(10,3,2,1,0)3(11,*10,3,2,1,0)3(12,10,2,1,0)3(13,*12,10,3,2,1,0)4(14,13,12,10)2(15,14,13,12,10)3(16,*15,14,13,12,10)3(17,15,13,12,10)3(18,*17,15,14,13,12,10)4(19,*18,*17,15,14,13,12,10)4(20,15,2,1,0)3(21,*20,15,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,16,20
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,4,2,1,0)3(10,3,2,1,0)3(11,*10,3,2,1,0)3(12,10,2,1,0)3(13,*12,10,3,2,1,0)4(14,13,12,10)2(15,14,13,12,10)3(16,*15,14,13,12,10)3(17,15,13,12,10)3(18,*17,15,14,13,12,10)4(19,*18,*17,15,14,13,12,10)4(20,15,2,1,0)3(21,*20,15,3,2,1,0)4(22,20,15)1
|1,2,4,8,16,20,25
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,4,2,1,0)3(10,3,2,1,0)3(11,*10,3,2,1,0)3(12,10,2,1,0)3(13,*12,10,3,2,1,0)4(14,13,12,10)2(15,14,13,12,10)3(16,*15,14,13,12,10)3(17,15,13,12,10)3(18,*17,15,14,13,12,10)4(19,*18,*17,15,14,13,12,10)4(20,15,2,1,0)3(21,*20,15,3,2,1,0)4(22,21,20,15)
2(23,22,21,20,15)3(24,*23,22,21,20,15)3(25,23,21,20,15)3(26,*25,23,22,21,20,15)4(27,*26,*25,23,22,21,20,15)4
|1,2,4,8,16,20,28
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,4,2,1,0)3(10,3,2,1,0)3(11,*10,3,2,1,0)3(12,10,2,1,0)3(13,*12,10,3,2,1,0)4(14,13,12,10)2(15,14,13,12,10)3(16,*15,14,13,12,10)3(17,15,13,12,10)3(18,*17,15,14,13,12,10)4(19,*18,*17,15,14,13,12,10)4(20,15,13,12,10)3
|1,2,4,8,16,21
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,4,2,1,0)3(10,3,2,1,0)3(11,*10,3,2,1,0)3(12,10,2,1,0)3(13,*12,10,3,2,1,0)4(14,*13,*12,10,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,16,21,16
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,4,2,1,0)3(10,4,2,1,0)4
|1,2,4,8,16,21,18
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,4,2,1,0)3(10,9,2,1,0)4
|1,2,4,8,16,21,23
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,4,2,1,0)3(10,9,4)1
|1,2,4,8,16,21,27
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,4,2,1,0)3(10,*9,4,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,16,22
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,4,2,1,0)3(10,*9,4,3,2,1,0)4(11,3,2,1,0)3(12,*11,3,2,1,0)3(13,11,2,1,0)3(14,*13,11,3,2,1,0)4(15,14,13,11)2(16,15,14,13,11)3(17,*16,15,14,13,11)3(18,16,14,13,11)3(19,*18,16,15,14,13,11)4(20,*19,*18,16,15,14,13,11)4
|1,2,4,8,16,22,12,20
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,4,2,1,0)3(10,*9,4,3,2,1,0)4(11,3,2,1,0)3(12,*11,3,2,1,0)3(13,11,2,1,0)3(14,*13,11,3,2,1,0)4(15,14,13,11)2(16,15,14,13,11)3(17,*16,15,14,13,11)3(18,16,14,13,11)3(19,*18,16,15,14,13,11)4(20,*19,*18,16,15,14,13,11)4(21,16,2,1,0)3(22,*21,16,3,2,1,0)
4(23,22,21,16)2(24,23,22,21,16)3(25,*24,23,22,21,16)3(26,24,22,21,16)3(27,*26,24,23,22,21,16)4(28,*27,*26,24,23,22,21,16)4
|1,2,4,8,16,22,16
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,4,2,1,0)3(10,*9,4,3,2,1,0)4(11,3,2,1,0)3(12,*11,3,2,1,0)3(13,11,2,1,0)3(14,*13,11,3,2,1,0)4(15,14,13,11)2(16,15,14,13,11)3(17,*16,15,14,13,11)3(18,16,14,13,11)3(19,*18,16,15,14,13,11)4(20,*19,*18,16,15,14,13,11)4(21,16,14,13,11)3(22,*21,16,15,14,13,11)4(23,15,14,13,11)3(24,*23,15,14,13,11)3(25,23,14,13,11)3(26,*25,23,15,14,13,11)4
|1,2,4,8,16,23
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,4,2,1,0)3(10,*9,4,3,2,1,0)4(11,3,2,1,0)3(12,*11,3,2,1,0)3(13,11,2,1,0)3(14,*13,11,3,2,1,0)4(15,*14,*13,11,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,16,23,16
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,4,2,1,0)3(10,*9,4,3,2,1,0)4(11,4,2,1,0)3
|1,2,4,8,16,23,18
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,4,2,1,0)3(10,*9,4,3,2,1,0)4(11,9,2,1,0)3
|1,2,4,8,16,23,25
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,4,2,1,0)3(10,*9,4,3,2,1,0)4(11,9,2,1,0)3(12,*11,9,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,16,23,30
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,4,2,1,0)3(10,*9,4,3,2,1,0)4(11,9,4)1
|1,2,4,8,16,23,31
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,4,2,1,0)3(10,*9,4,3,2,1,0)4(11,*9,4,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,16,23,32
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,4,2,1,0)3(10,*9,4,3,2,1,0)4(11,10,9,4)2
|1,2,4,8,16,23,32,40
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,4,2,1,0)3(10,*9,4,3,2,1,0)4(11,10,9,4)2(12,11,10,9,4)3(13,*12,11,10,9,4)3
|1,2,4,8,16,23,33
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,4,2,1,0)3(10,*9,4,3,2,1,0)4(11,10,9,4)2(12,11,10,9,4)3(13,*12,11,10,9,4)3(14,12,10,9,4)3(15,*14,12,11,10,9,4)4(16,*15,*14,12,11,10,9,4)4
|1,2,4,8,16,23,35
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,4,2,1,0)3(10,*9,4,3,2,1,0)4(11,*10,*9,4,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,16,24
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,6,2,1,0)(10,*9,6,3,2,1,0)4(11,*10,*9,6,4,3,2,1,0)5
|1,2,4,8,16,24,32
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,6,2,1,0)(10,*9,6,3,2,1,0)4(11,*10,*9,6,4,3,2,1,0)5(12,9,2,1,0)3(13,*12,9,3,2,1,0)4(14,*13,*12,9,4,3,2,1,0)5
|1,2,4,8,16,24,32,40
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,6,2,1,0)(10,*9,6,3,2,1,0)4(11,*10,*9,6,4,3,2,1,0)5(12,9,6)1
|1,2,4,8,16,25
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,6,2,1,0)(10,*9,6,3,2,1,0)4(11,*10,*9,6,4,3,2,1,0)5(12,*9,6,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,16,26
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,6,2,1,0)(10,*9,6,3,2,1,0)4(11,*10,*9,6,4,3,2,1,0)5(12,*9,6,3,2,1,0)4(13,3,2,1,0)3(14,*13,3,2,1,0)3(15,13,2,1,0)3(16,*15,13,3,2,1,0)4(17,*16,*15,13,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,16,27,16
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,6,2,1,0)(10,*9,6,3,2,1,0)4(11,*10,*9,6,4,3,2,1,0)5(12,*9,6,3,2,1,0)4(13,*12,*9,6,4,3,2,1,0)5
|1,2,4,8,16,28
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,6,2,1,0)(10,*9,6,3,2,1,0)4(11,*10,*9,6,4,3,2,1,0)5(12,*9,6,3,2,1,0)4(13,*12,*9,6,4,3,2,1,0)5(14,*9,6,3,2,1,0)4(15,*14,*9,6,4,3,2,1,0)5
|1,2,4,8,16,28,28
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,6,2,1,0)(10,*9,6,3,2,1,0)4(11,*10,*9,6,4,3,2,1,0)5(12,10,9,6)2
|1,2,4,8,16,28,37
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,6,2,1,0)(10,*9,6,3,2,1,0)4(11,*10,*9,6,4,3,2,1,0)5(12,10,9,6)2(13,12,10,9,6)3(14,*13,12,3,2,1,0)4
|1,2,4,8,16,28,38
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,6,2,1,0)(10,*9,6,3,2,1,0)4(11,*10,*9,6,4,3,2,1,0)5(12,10,9,6)2(13,12,10,9,6)3(14,*13,12,3,2,1,0)4(15,*14,*13,12,4,3,2,1,0)5
|1,2,4,8,16,28,40
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,6,2,1,0)(10,*9,6,3,2,1,0)4(11,*10,*9,6,4,3,2,1,0)5(12,10,9,6)2(13,12,10,9,6)3(14,*13,12,3,2,1,0)4(15,*14,*13,12,4,3,2,1,0)5(16,13,12)1
|1,2,4,8,16,28,41
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,6,2,1,0)(10,*9,6,3,2,1,0)4(11,*10,*9,6,4,3,2,1,0)5(12,10,9,6)2(13,12,10,9,6)3(14,*13,12,3,2,1,0)4(15,*14,*13,12,4,3,2,1,0)5(16,*13,12,3,2,1,0)4(17,*16,*13,12,4,3,2,1,0)5
|1,2,4,8,16,28,44
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,6,2,1,0)(10,*9,6,3,2,1,0)4(11,*10,*9,6,4,3,2,1,0)5(12,10,9,6)2(13,12,10,9,6)3(14,*13,12,3,2,1,0)4(15,*14,*13,12,4,3,2,1,0)5(16,14,13,12)2
|1,2,4,8,16,28,44,57
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,6,2,1,0)(10,*9,6,3,2,1,0)4(11,*10,*9,6,4,3,2,1,0)5(12,10,9,6)2(13,12,10,9,6)3(14,*13,12,10,9,6)3
|1,2,4,8,16,29
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,6,2,1,0)(10,*9,6,3,2,1,0)4(11,*10,*9,6,4,3,2,1,0)5(12,*10,*0,6,4,3,2,1,0)5
|1,2,4,8,16,30
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,6,2,1,0)(10,*9,6,3,2,1,0)4(11,*10,*9,6,4,3,2,1,0)5(12,11,2,1,0)3(13,*12,11,3,2,1,0)4(14,*13,*12,11,4,3,2,1,0)5
|1,2,4,8,16,30,38
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,6,2,1,0)(10,*9,6,3,2,1,0)4(11,*10,*9,6,4,3,2,1,0)5(12,11,10,9,6)3
|1,2,4,8,16,30,39
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,6,2,1,0)(10,*9,6,3,2,1,0)4(11,*10,*9,6,4,3,2,1,0)5(12,11,10,9,6)3(13,*12,11,10,9,6)3(14,12,10,9,6)3(15,*14,12,11,10,9,6)4(16,*15,*14,12,4,3,2,1,0)5
|1,2,4,8,16,30,44
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,6,2,1,0)(10,*9,6,3,2,1,0)4(11,*10,*9,6,4,3,2,1,0)5(12,11,10,9,6)3(13,*12,11,10,9,6)3(14,12,10,9,6)3(15,*14,12,11,10,9,6)4(16,*15,*14,12,4,3,2,1,0)5(17,14,12)1
|1,2,4,8,16,30,45
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,6,2,1,0)(10,*9,6,3,2,1,0)4(11,*10,*9,6,4,3,2,1,0)5(12,11,10,9,6)3(13,*12,11,10,9,6)3(14,12,10,9,6)3(15,*14,12,11,10,9,6)4(16,*15,*14,12,4,3,2,1,0)5(17,16,15,14,12)3
|1,2,4,8,16,30,52,67
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,6,2,1,0)(10,*9,6,3,2,1,0)4(11,*10,*9,6,4,3,2,1,0)5(12,11,10,9,6)3(13,*12,11,10,9,6)3(14,12,10,9,6)3(15,*14,12,11,10,9,6)4(16,*15,*14,12,11,10,9,6)4
|1,2,4,8,16,31
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,6,2,1,0)(10,*9,6,3,2,1,0)4(11,*10,*9,6,4,3,2,1,0)5(12,11,10,9,6)3(13,*12,11,10,9,6)3(14,12,10,9,6)3(15,*14,12,11,10,9,6)4(16,*15,*14,12,11,10,9,6)4
(17,14,10,9,6)3(18,*17,14,11,10,9,6)4(19,*18,*17,14,12,11,10,9,6)5(20,19,18,17,14)3(21,*20,19,18,17,14)3(22,20,18,17,16)3(23,*22,20,19,18,17,14)4(24,*23,*22,20,19,18,17,14)4
|1,2,4,8,16,31,57
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,6,2,1,0)(10,*9,6,3,2,1,0)4(11,*10,*9,6,4,3,2,1,0)5(12,*11,*10,*9,6,4,3,2,1,0)5
|1,2,4,8,16,32
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2,1,0)3(5,*4,3,2,1,0)3(6,4,2,1,0)3(7,*6,4,3,2,1,0)4(8,*7,*6,4,3,2,1,0)4(9,6,2,1,0)(10,*9,6,3,2,1,0)4(11,*10,*9,6,4,3,2,1,0)5(12,*11,*10,*9,6,4,3,2,1,0)5(13,9,2,1,0)3(14,*13,9,3,2,1,0)4(15,*14,*13,9,4,3,2,1,0)5(16,*15,*14,*13,9,6,4,3,2,1,0)6(17,*16,*15,*14,*13,9,6,4,3,2,1,0)6
|1,2,4,8,16,32,64
|-
|(1,0)1(2,1,0)1(3,2,1,0)2(4,3,2)1
|1,3
|}
[[分类:分析]]

弱MMS VS ω-Y

2026-02-21T11:52:05Z

Z：创建页面，内容为“本条目展示弱MMS与ω-Y的列表分析。注：在<math>()(1,1)(2,2,1,1)</math>之前，弱MMS与MM3相同。 * ()(1,1)(2,2,1,1)=1,3,10 * ()(1,1)(2,2,1,1)(1,1)=1,3,10,3 * ()(1,1)(2,2,1,1)(1,1)(2,2,1)=1,3,10,3,9 * ()(1,1)(2,2,1,1)(1,1)(2,2,1)(3,3,2,1)=1,3,10,3,9,27 * ()(1,1)(2,2,1,1)(1,1)(2,2,1,1)=1,3,10,3,10 * ()(1,1)(2,2,1,1)(2,1)=1,3,10,5 * ()(1,1)(2,2,1,1)(2,1,1)=1,3,10,5,9 * ()(1,1)(2,2,1,1)(2,1,1)(3,2,2)=1,3,10,5,10 * ()(1,1)(2,…”

本条目展示[[弱MMS]]与[[ω-Y]]的列表分析。

注：在<math>()(1,1)(2,2,1,1)</math>之前，[[弱MMS]]与[[MMS|MM3]]相同。

* ()(1,1)(2,2,1,1)=1,3,10
* ()(1,1)(2,2,1,1)(1,1)=1,3,10,3
* ()(1,1)(2,2,1,1)(1,1)(2,2,1)=1,3,10,3,9
* ()(1,1)(2,2,1,1)(1,1)(2,2,1)(3,3,2,1)=1,3,10,3,9,27
* ()(1,1)(2,2,1,1)(1,1)(2,2,1,1)=1,3,10,3,10
* ()(1,1)(2,2,1,1)(2,1)=1,3,10,5
* ()(1,1)(2,2,1,1)(2,1,1)=1,3,10,5,9
* ()(1,1)(2,2,1,1)(2,1,1)(3,2,2)=1,3,10,5,10
* ()(1,1)(2,2,1,1)(2,1,1)(3,2,2,1)=1,3,10,5,11
* ()(1,1)(2,2,1,1)(2,1,1)(3,2,2,1)(4,3,3,2,1)=1,3,10,5,11,21
* ()(1,1)(2,2,1,1)(2,1,1)(3,2,2,1,1)=1,3,10,5,12
* ()(1,1)(2,2,1,1)(2,1,1)(3,2,2,1,1)(3,1,1)(4,2,2,1,1)=1,3,10,5,12,7,14
* ()(1,1)(2,2,1,1)(2,1,1)(3,2,2,1,1)(3,2)=1,3,10,6
* ()(1,1)(2,2,1,1)(2,1,1)(3,2,2,1,1)(3,2,1)=1,3,10,7
* ()(1,1)(2,2,1,1)(2,1,1)(3,2,2,1,1)(3,2,1,1)=1,3,10,7,15
* ()(1,1)(2,2,1,1)(2,1,1)(3,2,2,1,1)(3,2,1,1)(4,3,2,2)=1,3,10,7,16
* ()(1,1)(2,2,1,1)(2,1,1)(3,2,2,1,1)(3,2,1,1)(4,3,2,2,1)=1,3,10,7,17
* ()(1,1)(2,2,1,1)(2,1,1)(3,2,2,1,1)(3,2,1,1)(4,3,2,2,1,1)=1,3,10,7,18
* ()(1,1)(2,2,1,1)(2,2)=1,3,10,8
* ()(1,1)(2,2,1,1)(2,2)(3,3)=1,3,10,8,20
* ()(1,1)(2,2,1,1)(2,2)(3,3,1)=1,3,10,8,21
* ()(1,1)(2,2,1,1)(2,2)(3,3,1,1)=1,3,10,8,22
* ()(1,1)(2,2,1,1)(2,2,1)=1,3,10,9
* ()(1,1)(2,2,1,1)(2,2,1)(3,3,2,1)=1,3,10,9,27
* ()(1,1)(2,2,1,1)(2,2,1)(3,3,2,1,1)=1,3,10,9,28
* ()(1,1)(2,2,1,1)(2,2,1)(3,3,2,1,1)(3,3,2,1)=1,3,10,9,28,27
* ()(1,1)(2,2,1,1)(2,2,1)(3,3,2,1,1)(3,3,2,1)(4,4,3,2,1,1)=1,3,10,9,28,27,82
* ()(1,1)(2,2,1,1)(2,2,1,1)=1,3,10,10
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3)=1,3,10,11
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1)=1,3,10,11,5,12
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1)(4)=1,3,10,11,5,12,13
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1)(4)(3,2)=1,3,10,11,6
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1)(4)(3,2,2)=1,3,10,11,8
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1)(4)(3,2,2,1,1)=1,3,10,11,10
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,1)=1,3,10,12
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,1,1)=1,3,10,12,16
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,1,1)(5,2,2)=1,3,10,12,17
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,1,1)(5,2,2,1,1)=1,3,10,12,19
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,1,1)(5,2,2,1,1)(6,1,1)=1,3,10,12,19,21,25
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,2)=1,3,10,13
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,2,1)=1,3,10,14
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,2,1,1)=1,3,10,14,22
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,2,1,1)(5,3,2,2,1,1)=1,3,10,14,25
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,2,2)=1,3,10,15
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,2,2)(5,3,3,1,1)=1,3,10,15,27
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,2,2,1)=1,3,10,16
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,2,2,1,1)=1,3,10,17
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,2,2,1,1)(5,2,2,1,1)=1,3,10,17,24
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3)=1,3,10,18
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3)(3,2,1,1)(4,3,2,2,1,1)(5,4,3)=1,3,10,18,7,18,39
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3)(2,2)=1,3,10,18,8
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3)(2,2,1,1)=1,3,10,18,10
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,1)=1,3,10,19
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,1,1)=1,3,10,19,32
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,1,1)(4,2,2,1,1)=1,3,10,19,35
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2)=1,3,10,20
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2)(2,2,1)(3,3,2,1,1)=1,3,10,20,9,28
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2)(2,2,1)(3,3,2,1,1)(4)(2,2)=1,3,10,20,9,28,48,8
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2)(2,2,1)(3,3,2,1,1)(4,1)=1,3,10,20,9,28,49
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2)(2,2,1)(3,3,2,1,1)(4,2)=1,3,10,20,9,28,50
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2)(2,2,1)(3,3,2,1,1)(4,2,2,1)=1,3,10,20,9,28,51
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2)(2,2,1)(3,3,2,1,1)(4,2,2,1)(5,3,3,2,1,1)=1,3,10,20,9,28,51,87
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2)(2,2,1)(3,3,2,1,1)(4,2,2,1)(5,3,3,2,1,1)(6,2,2,1)=1,3,10,20,9,28,51,87,127
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2)(2,2,1)(3,3,2,1,1)(4,2,2,1)(5,3,3,2,1,1)(6,3)=1,3,10,20,9,28,52
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2)(2,2,1)(3,3,2,1,1)(4,2,2,1)(5,3,3,2,1,1)(6,3,3,2,1,1)=1,3,10,20,9,28,60
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2)(2,2,1)(3,3,2,1,1)(4,2,2,1)(5,3,3,2,1,1)(6,4)=1,3,10,20,9,28,61
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2)(2,2,1)(3,3,2,1,1)(4,2,2,1)(5,3,3,2,1,1)(6,4,2,2,1)=1,3,10,20,9,28,64
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2)(2,2,1)(3,3,2,1,1)(4,2,2,1)(5,3,3,2,1,1)(6,4,2,2,1)(7,5,3,3,2,1,1)=1,3,10,20,9,28,64,130
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2)(2,2,1)(3,3,2,1,1)(4,3)=1,3,10,20,9,28,65
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2)(2,2,1,1)=1,3,10,20,10
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2)(4,3,1)=1,3,10,20,34
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2)(4,3,1,1)=1,3,10,20,34,55
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,1)=1,3,10,20,35
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,1,1)=1,3,10,20,35,59
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2)=1,3,10,20,36
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2)(4,3,3)=1,3,10,20,37
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2)(4,3,3,1,1)=1,3,10,20,39
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2)(4,3,3,1,1)(5)(2,2,1,1)=1,3,10,20,39,59,10
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2)(4,3,3,1,1)(5,1,1)(6,2,2,1,1)=1,3,10,20,39,60,88
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2)(4,3,3,1,1)(5,2)=1,3,10,20,39,61
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2)(4,3,3,1,1)(5,2,2)(6,3,3,1,1)=1,3,10,20,39,61,92
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2)(4,3,3,1,1)(5,3)=1,3,10,20,39,62
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2)(4,3,3,1,1)(5,3,1)=1,3,10,20,39,63
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2)(4,3,3,1,1)(5,3,2)=1,3,10,20,39,64
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2)(4,3,3,1,1)(5,3,2,2)(6,4,3,3,1,1)=1,3,10,20,39,64,104
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2)(4,3,3,1,1)(5,3,3)=1,3,10,20,39,65
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2)(4,3,3,1,1)(5,3,3)(6,4,4,1,1)=1,3,10,20,39,65,109
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2)(4,3,3,1,1)(5,3,3,1,1)=1,3,10,20,39,67
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2)(4,3,3,1,1)(5,4)=1,3,10,20,39,68
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2)(4,3,3,1,1)(5,4,3)=1,3,10,20,39,71
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2)(4,3,3,1,1)(5,4,3,3)=1,3,10,20,39,71,124
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2)(4,3,3,1,1)(5,4,3,3)(6,5,4,4,1,1)=1,3,10,20,39,71,127
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1)=1,3,10,21
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1)(4)(2,2,1,1)=1,3,10,21,33,10
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1)(4,1)=1,3,10,21,34
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1)(4,1,1)(5,2,2,1,1)(6,3,3,1)=1,3,10,21,34,54,85
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1)(4,2)=1,3,10,21,35
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1)(4,2,2)(5,3,3,1,1)=1,3,10,21,35,58
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1)(4,2,2,1)=1,3,10,21,36
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1)(4,3)=1,3,10,21,37
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1)(4,3,1)=1,3,10,21,38
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1)(4,3,2)=1,3,10,21,39
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1)(4,3,2,2)(5,4,3,3,1,1)=1,3,10,21,39,73
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1)(4,3,2,2)(5,4,3,3,1,1)(6,5,4,4,1)=1,3,10,21,39,73,137
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1)(4,3,2,2,1)=1,3,10,21,40
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1)(4,3,3)=1,3,10,21,41
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1)(4,3,3,1)=1,3,10,21,42
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1)(4,3,3,1)(5,4,4,1)=1,3,10,21,42,87
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1)(4,3,3,2)=1,3,10,21,43
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1)(4,3,3,2)(5,4,4,3)=1,3,10,21,43,94
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1)(4,3,3,2,1)=1,3,10,21,44
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1)(4,3,3,2,1)(5,4,4,3,2,1)=1,3,10,21,45,103
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1)(4,3,3,2,1,1)=1,3,10,21,45
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)=1,3,10,22
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4)(2,2,1,1)=1,3,10,22,35,10
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,1,1)(5,2,2,1,1)(6,3,2,2,1,1)=1,3,10,22,36,57,90
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,2)=1,3,10,22,37
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,2,2)(5,3,3,1,1)(6,4,3,3,1,1)=1,3,10,22,37,61,100
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,2,2,1)=1,3,10,22,38
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,2,2,1,1)=1,3,10,22,39
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,2,2,1,1)(5,2,2,1,1)=1,3,10,22,39,61
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3)=1,3,10,23
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,1)=1,3,10,24
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,1,1)(5,4,2,2,1,1)(6,5,3,2,2,1,1)=1,3,10,24,52,106
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,2)=1,3,10,25
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,2)(2,2,1)(3,3,2,1,1)=1,3,10,25,9,28
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,2)(2,2,1)(3,3,2,1,1)(4)(2,2)=1,3,10,25,9,28,48,8
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,2)(2,2,1)(3,3,2,1,1)(4)(3,3)=1,3,10,25,9,28,61,24
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,2)(2,2,1)(3,3,2,1,1)(4,1)=1,3,10,25,9,28,62
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,2)(2,2,1)(3,3,2,1,1)(4,2)=1,3,10,25,9,28,63
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,2)(2,2,1)(3,3,2,1,1)(4,2,2,1)=1,3,10,25,9,28,64
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,2)(2,2,1)(3,3,2,1,1)(4,2,2,1)(5,3,3,2,1,1)=1,3,10,25,9,28,64,130
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,2)(2,2,1)(3,3,2,1,1)(4,3)=1,3,10,25,9,28,65
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,2)(2,2,1)(3,3,2,1,1)(4,3,3,1)=1,3,10,25,9,28,66
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,2)(2,2,1)(3,3,2,1,1)(4,3,3,2)=1,3,10,25,9,28,67
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,2)(2,2,1)(3,3,2,1,1)(4,3,3,2,1)=1,3,10,25,9,28,68
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,2)(2,2,1)(3,3,2,1,1)(4,3,3,2,1,1)=1,3,10,25,9,28,69
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,2)(2,2,1)(3,3,2,1,1)(4,3,3,2,1,1)(5,3,3,2,1,1)=1,3,10,25,9,28,69,141
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,2)(2,2,1)(3,3,2,1,1)(4,3,3,2,1,1)(5,4)=1,3,10,25,9,28,70
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,2)(2,2,1)(3,3,2,1,1)(4,3,3,2,1,1)(5,4,1)=1,3,10,25,9,28,71
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,2)(2,2,1)(3,3,2,1,1)(4,3,3,2,1,1)(5,4,2)=1,3,10,25,9,28,72
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,2)(2,2,1)(3,3,2,1,1)(4,3,3,2,1,1)(5,4,2,2,1)=1,3,10,25,9,28,73
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,2)(2,2,1)(3,3,2,1,1)(4,3,3,2,1,1)(5,4,3)=1,3,10,25,9,28,74
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,2)(2,2,1,1)=1,3,10,25,10
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,2)(3)(2,2,1,1)=1,3,10,25,18,10
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,2)(3,2,2,1,1)=1,3,10,25,22
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,2)(3,2,2,1,1)(4,3,2)=1,3,10,25,22,42
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,2)(4,2,2,1,1)=1,3,10,25,22,42,39
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,2)(4,3)=1,3,10,25,23
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,2)(4,3,2)=1,3,10,25,25
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,2)(5,3,2)=1,3,10,25,33
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,2,1)=1,3,10,25,53
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,2,2)=1,3,10,25,54
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,2,2)(5,4,3,3)=1,3,10,25,55
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,2,2)(5,4,3,3,1,1)=1,3,10,25,57
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,2,2,1)=1,3,10,26
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,2,2,1,1)=1,3,10,27
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,2,2,1,1)(5,4,3,2,2,1,1)=1,3,10,27,64
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3)=1,3,10,28
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3)(4,3,2,2,1)(5,4,3,3,2,1,1)(6,5,4,4)=1,3,10,28,67,150,332
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3)(4,3,2,2,1,1)=1,3,10,28,68
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3)(4,3,3)=1,3,10,28,69
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3)(4,4)=1,3,10,28,70
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3)(4,4,1)=1,3,10,28,71
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3)(4,4,1,1)=1,3,10,28,72
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,1)=1,3,10,29
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,1)(4)(3,3)=1,3,10,29,61,28
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,1)(4,2,2,1,1)=1,3,10,29,65
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,1)(4,3)=1,3,10,29,66
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,1)(4,3)(5,3)=1,3,10,29,66,127
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,1)(4,3)(5,4,1,1)=1,3,10,29,66,128,225
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,1)(4,3,1)=1,3,10,29,66,129
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,1)(4,3,2,2,1,1)=1,3,10,29,66,132
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,1)(4,3,3)=1,3,10,29,66,133
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,1)(4,3,3,1)=1,3,10,29,67
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,1)(4,3,3,1)(5,3,3,1)=1,3,10,29,67,131
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,1)(4,3,3,1)(5,4)=1,3,10,29,68
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,1)(4,3,3,1)(5,4,2,2,1)=1,3,10,29,71
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,1)(4,3,3,1)(5,4,2,2,1)(6,5,3,3,2,1,1)=1,3,10,29,71,160
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,1)(4,3,3,1)(5,4,2,2,1)(6,5,3,3,2,1,1)(7,6,4,4)=1,3,10,29,71,160,352
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,1)(4,3,3,1)(5,4,2,2,1)(6,5,3,3,2,1,1)(7,6,4,4,1)=1,3,10,29,71,160,353
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,1)(4,3,3,1)(5,4,2,2,1)(6,5,3,3,2,1,1)(7,6,4,4,2)=1,3,10,29,71,160,354
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,1)(4,3,3,1)(5,4,2,2,1)(6,5,3,3,2,1,1)(7,6,4,4,2,1)=1,3,10,29,71,160,355
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,1)(4,3,3,1)(5,4,2,2,1)(6,5,3,3,2,1,1)(7,6,4,4,2,1)(8,7,3,3,2,1)(9,8,4,4,3,2,1,1)(10,9,5,5,2,1)=1,3,10,29,71,160,355,793,1778,3981
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,1)(4,3,3,1)(5,4,2,2,1)(6,5,3,3,2,1,1)(7,6,4,4,3,1)=1,3,10,29,71,160,355,793,1778,3983
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,1)(4,3,3,1)(5,4,2,2,1,1)=1,3,10,29,72
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* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,1)(4,4,2,1,1)=1,3,10,29,79
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,1)(4,4,2,1,1)(5,5,3,1,1)(6,6,4,2,1,1)=1,3,10,29,79,207,529
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,1,1)=1,3,10,30
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,1,1)(4,4,1,1)=1,3,10,30,82
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2)=1,3,10,31
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2)(4)(3,3)=1,3,10,31,67,28
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2)(4,2,2,1)=1,3,10,31,70
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2)(4,2,2,1)(5,3,3,2,1,1)(6,4,4,3,2)=1,3,10,31,70,140,281
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2)(4,2,2,1,1)=1,3,10,31,71
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2)(4,3)=1,3,10,31,72
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* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2)(4,3,3,2)(5,4,3,3,2)=1,3,10,31,84
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2)(4,4)=1,3,10,31,85
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2)(4,4,1)=1,3,10,31,86
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2)(4,4,1,1)=1,3,10,31,87
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2)(4,4,2)=1,3,10,31,88
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2)(4,4,3)=1,3,10,31,89
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2)(4,4,3,1)=1,3,10,31,90
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2)(4,4,3,1,1)=1,3,10,31,91
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)=1,3,10,32
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,4,3,1)=1,3,10,32,96
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,4,3,2)=1,3,10,33
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,4,3,2)(5,5,3,2)=1,3,10,33,100
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,4,3,2)(5,5,4,3)=1,3,10,33,104
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,4,3,2)(5,5,4,3,1,1)=1,3,10,33,105
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1,1)=1,3,10,34
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1,1)(4,4,3,2,1,1)=1,3,10,34,114
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,2)=1,3,10,35
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,2)(4,4)=1,3,10,35,105
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,2)(4,4,2,2)=1,3,10,35,112
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,2)(4,4,3)=1,3,10,35,113
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,2)(4,4,3)(5,5)=1,3,10,35,113,324
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,2)(4,4,3)(5,5,2,1,1)=1,3,10,35,113,330
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,2)(4,4,3)(5,5,2,1,1)(6,6,3,2,2)(7,7,4)=1,3,10,35,113,330,897,2331
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,2)(4,4,3)(5,5,2,1,1)(6,6,3,2,2)(7,7,4)(8,8,3,2,2)=1,3,10,35,113,331
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,2)(4,4,3)(5,5,2,1,1)(6,6,3,2,2)(7,7,4,1)=1,3,10,35,114
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,2)(4,4,3)(5,5,2,1,1)(6,6,3,2,2)(7,7,4,1,1)=1,3,10,35,114,343
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,2)(4,4,3)(5,5,2,1,1)(6,6,3,2,2)(7,7,4,1,1)(8,8,5,2,2)=1,3,10,35,114,344
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,2)(4,4,3)(5,5,2,1,1)(6,6,3,2,2)(7,7,4,2,2)=1,3,10,35,117
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,2)(4,4,3)(5,5,2,1,1)(6,6,3,2,2)(7,7,4,3)=1,3,10,35,118
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,2)(4,4,3)(5,5,2,2)=1,3,10,35,118,361
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,2)(4,4,3,1)=1,3,10,35,119
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,2)(4,4,3,1,1)=1,3,10,35,119,385
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,2)(4,4,3,2)=1,3,10,35,120
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,2)(4,4,3,2)(5,5,4,2)=1,3,10,35,120,392
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,2)(4,4,3,2)(5,5,4,3)=1,3,10,35,121
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,2)(4,4,3,2,1)=1,3,10,35,122
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,2)(4,4,3,2,2)=1,3,10,35,123
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,2)(4,4,3,3)=1,3,10,35,124
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,2)(4,4,3,3)(5,5,4,4)=1,3,10,35,124,437
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,2,1)=1,3,10,36
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,2,1)(4,4,3,3,2,1)=1,3,10,36,136
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,2,1,1)=1,3,10,37
* ()(1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,2,1,1)(4,4,3,3,2,2,1,1)=1,3,10,37,151
* ()(1,1,1)=1,4
* ()(1,1,1)(1)=1,4,2
* ()(1,1,1)(1)(2,1,1,1)=1,4,2,6
* ()(1,1,1)(1)(2,1,1,1)(2,1)(3,2,1,1,1)=1,4,2,6,4,10
* ()(1,1,1)(1,1)=1,4,3
* ()(1,1,1)(1,1)(2,2,1,1)=1,4,3,10
* ()(1,1,1)(1,1)(2,2,1,1,1)=1,4,3,11
* ()(1,1,1)(1,1)(2,2,1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,2,1,1,1)=1,4,3,11,10,38
* ()(1,1,1)(1,1,1)=1,4,4
* ()(1,1,1)(2)=1,4,5
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)=1,4,5,3,11
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3)=1,4,5,3,11,12
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1,1)(4)=1,4,5,3,11,12,7,19,20
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1,1)(4)(3,2,2,1,1,1)=1,4,5,3,11,12,11
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1,1)(4,1)=1,4,5,3,11,13
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1,1)(4,1,1)(5,2,2,1,1,1)=1,4,5,3,11,13,21
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1,1)(4,2)=1,4,5,3,11,14
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1,1)(4,2,1)=1,4,5,3,11,15
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1,1)(4,2,1,1)(5,3,2,2,1,1,1)=1,4,5,3,11,15,27
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1,1)(4,2,2)=1,4,5,3,11,16
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1,1)(4,2,2)(5,3,3,1)=1,4,5,3,11,16,29
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1,1)(4,2,2)(5,3,3,1,1,1)=1,4,5,3,11,16,31
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1,1)(4,2,2,1)=1,4,5,3,11,17
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1,1)(4,2,2,1)(5,3,3,2,1,1)=1,4,5,3,11,17,36
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1,1)(4,2,2,1)(5,3,3,2,1,1,1)=1,4,5,3,11,17,37
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1,1)(4,2,2,1,1)=1,4,5,3,11,18
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1,1)(4,2,2,1,1)(5,3,3,2,2,1,1,1)=1,4,5,3,11,18,46
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1,1)(4,2,2,1,1,1)=1,4,5,3,11,19
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1,1)(4,3)=1,4,5,3,11,20
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3)(2,2,1,1,1)=1,4,5,3,11,20,11
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3,1)=1,4,5,3,11,21
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3,1,1)(4,2,2,1,1,1)=1,4,5,3,11,21,39
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3,2)=1,4,5,3,11,22
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3,2,1)=1,4,5,3,11,22,38
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3,2,2)=1,4,5,3,11,22,39
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3,2,2)(4,3,3,1,1,1)=1,4,5,3,11,22,43
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3,2,2,1)=1,4,5,3,11,23
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3,2,2,1)(4,3,3,2,1,1)=1,4,5,3,11,23,48
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3,2,2,1)(4,3,3,2,1,1,1)=1,4,5,3,11,23,49
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3,2,2,1,1)=1,4,5,3,11,24
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,3,2,2,1,1,1)=1,4,5,3,11,24,58
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3,2,2,1,1,1)=1,4,5,3,11,25
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3,2,2,1,1,1)(4,2,2,1,1,1)=1,4,5,3,11,25,45
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3,2,2,1,1,1)(4,3)=1,4,5,3,11,26
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3,2,2,1,1,1)(4,3,2,2,1,1,1)=1,4,5,3,11,31
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3,3)=1,4,5,3,11,32
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3,3)(4,4,1,1,1)=1,4,5,3,11,32,84
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3,3,1)=1,4,5,3,11,33
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3,3,1)(4,4,2,1,1,1)=1,4,5,3,11,33,91
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3,3,1,1)=1,4,5,3,11,34
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3,3,1,1)(4,4,2,2)=1,4,5,3,11,34,98
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3,3,1,1)(4,4,2,2,1,1,1)=1,4,5,3,11,34,101
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3,3,1,1,1)=1,4,5,3,11,35
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3,3,2)=1,4,5,3,11,36
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3,3,2)(2,2,1,1)=1,4,5,3,11,36
* ()(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1,1,1)(3,3,2)(2,2,1,1)(3,3,2,2,1,1,1)(4,4,3,3,2)=1,4,5,3,11,36,10,38,155
* ()(1,1,1)(2)(1,1,1)=1,4,5,4
* ()(1,1,1)(2)(3,1,1,1)=1,4,5,9
* ()(1,1,1)(2,1)=1,4,6
* ()(1,1,1)(2,1)(1,1)(2,2,1,1,1)(3,3,2)=1,4,6,3,11,36
* ()(1,1,1)(2,1)(1,1)(2,2,1,1,1)(3,3,2)(4,4,3,1,1,1)=1,4,6,3,11,36,109
* ()(1,1,1)(2,1)(1,1)(2,2,1,1,1)(3,3,2,1)=1,4,6,3,11,37
* ()(1,1,1)(2,1)(1,1,1)=1,4,6,4
* ()(1,1,1)(2,1)(3,2)=1,4,6,9
* ()(1,1,1)(2,1)(3,2,1)=1,4,6,9,14
* ()(1,1,1)(2,1)(3,2,1,1,1)=1,4,6,9,16
* ()(1,1,1)(2,1,1)=1,4,6,10
* ()(1,1,1)(2,1,1)(3,2,1,1)=1,4,6,10,18
* ()(1,1,1)(2,1,1)(3,2,2)=1,4,6,11
* ()(1,1,1)(2,1,1)(3,2,2,1,1,1)=1,4,6,14
* ()(1,1,1)(2,1,1)(3,2,2,1,1,1)(4,3,3,2)=1,4,6,14,39
* ()(1,1,1)(2,1,1)(3,2,2,1,1,1)(4,3,3,2,1,1)=1,4,6,14,40,118
* ()(1,1,1)(2,1,1,1)=1,4,7
* ()(1,1,1)(2,1,1,1)(2,1)=1,4,7,6
* ()(1,1,1)(2,1,1,1)(2,1,1)=1,4,7,6,10
* ()(1,1,1)(2,1,1,1)(2,1,1)(3,2,2,1,1,1)=1,4,7,6,14
* ()(1,1,1)(2,1,1,1)(2,1,1)(3,2,2,1,1,1)(4,3,3,2,1,1,1)=1,4,7,6,14,41
* ()(1,1,1)(2,1,1,1)(2,1,1,1)=1,4,7,7
* ()(1,1,1)(2,1,1,1)(3)=1,4,7,8
* ()(1,1,1)(2,1,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1,1)(4,3,2,2,1,1,1)=1,4,7,8,6,14,34
* ()(1,1,1)(2,1,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1,1)(4,3,3)=1,4,7,8,6,14,35
* ()(1,1,1)(2,1,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1,1)(4,3,3,1,1,1)=1,4,7,8,6,14,38
* ()(1,1,1)(2,1,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1,1)(4,3,3,2,1,1,1)=1,4,7,8,6,14,41
* ()(1,1,1)(2,1,1,1)(3)(2,1,1)(3,2,2,1,1,1)(4,3,3,2,1,1,1)(5,4,4,3)=1,4,7,8,6,14,41,121
* ()(1,1,1)(2,1,1,1)(3)(2,1,1,1)=1,4,7,8,7
* ()(1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,1,1)=1,4,7,10
* ()(1,1,1)(2,1,1,1)(3,2)=1,4,8
* ()(1,1,1)(2,1,1,1)(3,2)(2,1,1)(3,2,2,1,1,1)(4,3,3,2,1,1,1)=1,4,8,6,14,41
* ()(1,1,1)(2,1,1,1)(3,2)(2,1,1)(3,2,2,1,1,1)(4,3,3,2,1,1,1)(5,4,4,3,1,1,1)=1,4,8,6,14,41,123
* ()(1,1,1)(2,1,1,1)(3,2)(2,1,1)(3,2,2,1,1,1)(4,3,3,2,1,1,1)(5,4,4,3,2)=1,4,8,6,14,42
* ()(1,1,1)(2,1,1,1)(3,2)(2,1,1,1)=1,4,8,7
* ()(1,1,1)(2,1,1,1)(3,2)(4,3,1)=1,4,8,14
* ()(1,1,1)(2,1,1,1)(3,2)(4,3,1,1,1)=1,4,8,16
* ()(1,1,1)(2,1,1,1)(3,2,1)=1,4,9
* ()(1,1,1)(2,1,1,1)(3,2,1)(4,3,1)=1,4,9,16
* ()(1,1,1)(2,1,1,1)(3,2,1)(4,3,2,1,1)=1,4,9,17,31
* ()(1,1,1)(2,1,1,1)(3,2,1,1)=1,4,9,18
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* ()(1,1,1)(2,1,1,1)(3,2,1,1,1)=1,4,10
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* ()(1,1,1)(2,2)=1,4,11
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* ()(1,1,1)(2,2)(3)(1,1)(2,2,1,1,1)(3,3,2,2)=1,4,11,12,3,11,42
* ()(1,1,1)(2,2)(3)(1,1)(2,2,1,1,1)(3,3,2,2)(4,4,3)=1,4,11,12,3,11,42,142
* ()(1,1,1)(2,2)(3)(1,1,1)=1,4,11,12,4
* ()(1,1,1)(2,2)(3)(2,1,1,1)=1,4,11,12,7
* ()(1,1,1)(2,2)(3)(2,1,1,1)(3,2,2)=1,4,11,12,7,14
* ()(1,1,1)(2,2)(3)(2,1,1,1)(3,2,2)(4)(3,2,2)=1,4,11,12,11
* ()(1,1,1)(2,2)(3)(2,1,1,1)(3,2,2)(4,1,1)=1,4,11,13,17
* ()(1,1,1)(2,2)(3)(2,1,1,1)(3,2,2)(4,1,1)(5,2,2,1,1,1)=1,4,11,13,21
* ()(1,1,1)(2,2)(3)(2,1,1,1)(3,2,2)(4,1,1,1)=1,4,11,14
* ()(1,1,1)(2,2)(3)(2,1,1,1)(3,2,2)(4,2,2)=1,4,11,18
* ()(1,1,1)(2,2)(3)(2,1,1,1)(3,2,2)(4,3)=1,4,11,19
* ()(1,1,1)(2,2)(3)(2,2)=1,4,11,19,11
* ()(1,1,1)(2,2)(3,1,1,1)=1,4,11,21
* ()(1,1,1)(2,2)(3,2)=1,4,11,22
* ()(1,1,1)(2,2)(3,2,1,1,1)=1,4,11,25
* ()(1,1,1)(2,2)(3,2,2)=1,4,11,26
* ()(1,1,1)(2,2)(3,3)=1,4,11,27
* ()(1,1,1)(2,2)(3,3,1)=1,4,11,28
* ()(1,1,1)(2,2)(3,3,1,1)=1,4,11,29
* ()(1,1,1)(2,2)(3,3,1,1,1)=1,4,11,30
* ()(1,1,1)(2,2,1)=1,4,12
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* ()(1,1,1)(2,2,1)(3,3)=1,4,12,31
* ()(1,1,1)(2,2,1)(3,3,1)=1,4,12,32
* ()(1,1,1)(2,2,1)(3,3,1)(4,4,1)=1,4,12,32,80
* ()(1,1,1)(2,2,1)(3,3,2)=1,4,13
* ()(1,1,1)(2,2,1)(3,3,2)(4,4,3)=1,4,13,38
* ()(1,1,1)(2,2,1)(3,3,2,1)=1,4,13,39
* ()(1,1,1)(2,2,1)(3,3,2,1,1)=1,4,13,40
* ()(1,1,1)(2,2,1)(3,3,2,1,1,1)=1,4,13,41
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)=1,4,14
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(2,2,1)=1,4,14,12
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(2,2,1)(3,3,2)=1,4,14,12,33
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(2,2,1)(3,3,2,1)=1,4,14,12,33,88
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(2,2,1)(3,3,2,1,1,1)=1,4,14,12,33,90
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(2,2,1,1)=1,4,14,12,34
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(2,2,1,1)(2,2,1,1)=1,4,14,12,34,12,34
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3)=1,4,14,12,34,13
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3)(2,1,1,1)(3,2,2,1,1)(4)=1,4,14,12,34,13,7,17,15,37,16
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3)(2,1,1,1)(3,2,2,1,1)(4,1)=1,4,14,12,34,14
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3)(2,1,1,1)(3,2,2,1,1)(4,1,1,1)=1,4,14,12,34,15
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3)(2,1,1,1)(3,2,2,1,1)(4,1,1,1)(5,2,2,1,1)=1,4,14,12,34,15,25
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3)(2,1,1,1)(3,2,2,1,1)(4,1,1,1)(5,2,2,1,1)(6)=1,4,14,12,34,15,25,23,45,24
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3)(2,1,1,1)(3,2,2,1,1)(4,2)=1,4,14,12,34,16
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3)(2,1,1,1)(3,2,2,1,1)(4,2,1)=1,4,14,12,34,17
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3)(2,1,1,1)(3,2,2,1,1)(4,2,1,1,1)=1,4,14,12,34,18
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3)(2,1,1,1)(3,2,2,1,1)(4,2,2,1)=1,4,14,12,34,20
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3)(2,1,1,1)(3,2,2,1,1)(4,2,2,1,1)=1,4,14,12,34,20,42
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3)(2,1,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3)=1,4,14,12,34,21
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3)(2,2,1,1)=1,4,14,12,34,21,12,34
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,1)=1,4,14,12,34,22
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,1,1,1)=1,4,14,12,34,23
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,2)=1,4,14,12,34,24
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,2,2)=1,4,14,12,34,24,44
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,2,2)(4,3,3)=1,4,14,12,34,24,45
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,2,2)(4,3,3,1,1,1)=1,4,14,12,34,24,48
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1)=1,4,14,12,34,25
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1)(4,3,3,2)=1,4,14,12,34,25,51
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1)(4,3,3,2,1,1,1)=1,4,14,12,34,25,51,113
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)=1,4,14,12,34,25,52
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,2,2,1,1)=1,4,14,12,34,25,52,43,75
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3)=1,4,14,12,34,26
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,1,1,1)=1,4,14,12,34,28
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,2,2,1)=1,4,14,12,34,30
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,2,2,1,1)=1,4,14,12,34,30,72
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3)=1,4,14,12,34,31
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3)(4,4,1,1,1)=1,4,14,12,34,31,77
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* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2)=1,4,14,13
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* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)=1,4,14,14
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4)=1,4,14,15
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4)(2,1,1,1)(3,2,2,1,1)(4,3,3,2,1)(5,3,3,2,1)=1,4,14,24
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4)(2,2,1,1)=1,4,14,25,12,34
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4)(3,3)=1,4,14,25,12,34,71,31
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4)(3,3,2,1)=1,4,14,25,14
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,1,1,1)=1,4,14,27
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,2,2,1,1)=1,4,14,29,58
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,2,2,1,1)(5,2,2,1,1)=1,4,14,29,58,49,83
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,2,2,1,1)(5,3)=1,4,14,29,58,50
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,2,2,1,1)(5,3,2,2,1,1)=1,4,14,29,58,54,103
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* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,2,2,1,1)(5,3,3,1)=1,4,14,29,58,56
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,2,2,1,1)(5,3,3,1,1)=1,4,14,29,58,56,113
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,2,2,1,1)(5,3,3,1,1)(6,4,4,1,1)=1,4,14,29,58,56,113,111,232
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,2,2,1,1)(5,3,3,2)=1,4,14,29,58,57
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,2,2,1,1)(5,3,3,2,1)=1,4,14,29,58,58
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,2,2,1,1)(5,3,3,2,1)(6)=1,4,14,29,58,59
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,2,2,1,1)(5,3,3,2,1)(6)(3,3,2,1)=1,4,14,29,58,88,14
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,2,2,1,1)(5,3,3,2,1)(6,2,2,1,1)=1,4,14,29,58,92,140
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,2,2,1,1)(5,3,3,2,1)(6,2,2,1,1)(7,3,3,2,1)=1,4,14,29,58,92,140,140
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,2,2,1,1)(5,3,3,2,1)(6,3)=1,4,14,29,58,93
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,2,2,1,1)(5,3,3,2,1)(6,3,2,2,1,1)=1,4,14,29,58,97,160
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,2,2,1,1)(5,3,3,2,1)(6,3,2,2,1,1)(7,4,3,3,2,1)=1,4,14,29,58,97,160,160
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,2,2,1,1)(5,3,3,2,1)(6,3,3)=1,4,14,29,58,98
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,2,2,1,1)(5,3,3,2,1)(6,3,3,2,1)=1,4,14,29,58,101
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,2,2,1,1)(5,3,3,2,1)(6,4)=1,4,14,29,58,102
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,2,2,1,1)(5,3,3,2,1)(6,4,2,2,1,1)=1,4,14,29,58,106,187
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,3)=1,4,14,29,58,107
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,3,3,1)=1,4,14,29,58,108
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,3,3,1,1)=1,4,14,29,58,108,197
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,3,3,1,1)(5,4,4,2,1)=1,4,14,29,58,108,197,197
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,3,3,1,1)(5,4,4,2,1)(6,5,4,4,1,1)=1,4,14,29,58,108,197,352,622
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,3,3,2)=1,4,14,30
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,3,3,2,1)=1,4,14,31
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* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,4)=1,4,14,39
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* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,4,2,1)=1,4,14,42
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* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,4,3,2)=1,4,14,45
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,4,3,2)(5,5,4,3)=1,4,14,45,136
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,4,3,2,1)=1,4,14,45,137
* ()(1,1,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,4,3,2,1,1,1)=1,4,14,45,139
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* ()(1,1,1)(2,2,1,1,1)(3,3,2,2,1)=1,4,16,62
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* ()(1,1,1)(2,2,1,1,1)(3,3,2,2,1,1)=1,4,16,64
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* ()(1,1,1)(2,2,1,1,1)(3,3,2,2,1,1)(4,4,3,3,2,2,1,1,1)=1,4,16,65,272
* ()(1,1,1)(2,2,1,1,1)(3,3,2,2,1,1,1)=1,4,16,66
* ()(1,1,1)(2,2,2)=1,4,17
* ()(1,1,1)(2,2,2)(3)=1,4,17,18
* ()(1,1,1)(2,2,2)(3)(2,1,1,1)(3,2,2,2)(4)(3,2,2,2)=1,4,17,18,17
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* ()(1,1,1)(2,2,2)(3)(2,1,1,1)(3,2,2,2)(4,2,2,2)=1,4,17,30
* ()(1,1,1)(2,2,2)(3)(2,1,1,1)(3,2,2,2)(4,3)=1,4,17,31
* ()(1,1,1)(2,2,2)(3)(2,2)=1,4,17,31,11
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* ()(1,1,1)(2,2,2)(3)(2,2,1,1)(3,3,2,2,1,1,1)(4,4,3,3,2,2,2)(5)(3,3)=1,4,17,31,12,37,80,31
* ()(1,1,1)(2,2,2)(3)(2,2,1,1)(3,3,2,2,1,1,1)(4,4,3,3,2,2,2)(5)(3,3,2,1)=1,4,17,31,14
* ()(1,1,1)(2,2,2)(3)(2,2,1,1)(3,3,2,2,1,1,1)(4,4,3,3,2,2,2)(5,5)=1,4,17,51
* ()(1,1,1)(2,2,2)(3)(2,2,1,1)(3,3,2,2,1,1,1)(4,4,3,3,2,2,2)(5,5,1,1)(6,6,2,2,1,1,1)(7,7,3,3,2,2,2)=1,4,17,52,140
* ()(1,1,1)(2,2,2)(3)(2,2,1,1)(3,3,2,2,1,1,1)(4,4,3,3,2,2,2)(5,5,2,2)=1,4,17,55
* ()(1,1,1)(2,2,2)(3)(2,2,1,1)(3,3,2,2,1,1,1)(4,4,3,3,2,2,2)(5,5,2,2,1,1,1)(6,6,3,3,2,2,2)=1,4,17,56,174
* ()(1,1,1)(2,2,2)(3)(2,2,1,1)(3,3,2,2,1,1,1)(4,4,3,3,2,2,2)(5,5,3)=1,4,17,56,174,509
* ()(1,1,1)(2,2,2)(3)(2,2,1,1)(3,3,2,2,1,1,1)(4,4,3,3,2,2,2)(5,5,3,3,2,2,2)=1,4,17,57
* ()(1,1,1)(2,2,2)(3)(2,2,1,1)(3,3,2,2,1,1,1)(4,4,3,3,2,2,2)(5,5,4,4)=1,4,17,68
* ()(1,1,1)(2,2,2)(3)(2,2,1,1)(3,3,2,2,1,1,1)(4,4,3,3,2,2,2)(5,5,4,4,2,2,2)=1,4,17,70
* ()(1,1,1)(2,2,2)(3)(2,2,1,1)(3,3,2,2,1,1,1)(4,4,3,3,2,2,2)(5,5,4,4,3)=1,4,17,71
* ()(1,1,1)(2,2,2)(3)(2,2,1,1,1)=1,4,17,71,16
* ()(1,1,1)(2,2,2)(3)(2,2,2)=1,4,17,71,17
* ()(1,1,1)(2,2,2)(3,1)=1,4,17,72
* ()(1,1,1)(2,2,2)(3,1,1,1)=1,4,17,72,301
* ()(1,1,1)(2,2,2)(3,1,1,1)(4,2,2,2)=1,4,17,72,302
* ()(1,1,1)(2,2,2)(3,1,1,1)(4,2,2,2)(5,3,1,1,1)(6,4,2,2,2)=1,4,17,72,302,1255,5164
* ()(1,1,1)(2,2,2)(3,2)=1,4,17,72,302,1256
* ()(1,1,1)(2,2,2)(3,2,2,2)=1,4,17,73?
* ()(1,1,1)(2,2,2)(3,3)=1,4,17,74
* ()(1,1,1)(2,2,2)(3,3,1)=1,4,17,75
* ()(1,1,1)(2,2,2)(3,3,1,1,1)=1,4,17,75,341
* ()(1,1,1)(2,2,2)(3,3,2)=1,4,17,76
* ()(1,1,1)(2,2,2)(3,3,2,2,2)=1,4,17,76,356
* ()(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)=1,4,17,77
* ()(1,1,1)(2,2,2,1)=1,4,18
* ()(1,1,1)(2,2,2,1)(3,3,3,2,1)=1,4,18,90
* ()(1,1,1)(2,2,2,1,1)=1,4,19
* ()(1,1,1)(2,2,2,1,1)(3,3,3,2,2,1,1)=1,4,19,106
* ()(1,1,1)(2,2,2,1,1,1)=1,4,20
* ()(1,1,1)(2,2,2,1,1,1)(3,3,3,2,2,2,1,1,1)=1,4,20,126
* ()(1,1,1,1)=1,5
* ()(1,1,1,1,1)=1,6

弱MMS极限=[[MHO]]
[[分类:分析]]

弱MMS

2026-02-21T11:48:45Z

Z：创建页面，内容为“弱MMS是MMS的改版。 == 定义 == 将MMS定义中，根的计数序列去掉。坏根直接取末列最下非0项（LNZ）的父项所在列，数值为LNZ-1的项中，行标最小的元素。其余规则同MMS。分析主词条：弱MMS VS ω-Y 弱MMS的强度与ω-Y相同。 {{默认排序:序数记号}} 分类:记号”

弱MMS是[[MMS]]的改版。

== 定义 ==
将MMS定义中，根的计数序列去掉。坏根直接取末列最下非0项（LNZ）的父项所在列，数值为LNZ-1的项中，行标最小的元素。

其余规则同MMS。

分析

主词条：[[弱MMS VS ω-Y]]

弱MMS的强度与[[ω-Y]]相同。
{{默认排序:序数记号}}
[[分类:记号]]

ZSS Hydra分析

2026-02-21T11:39:23Z

Z：创建页面，内容为“本词条展示ZSS Hydra（左）与BMS（右）的对比分析。 * p0=(0) * p0(p0)=(0)(1) * p0(p0+p0)=(0)(1)(1) * p0(p0(p0))=(0)(1)(2) * p0(p1)=(0,0)(1,1) * p0(p1+p0)=(0,0)(1,1)(1,0) * p0(p1+p0(p0))=(0,0)(1,1)(1,0)(2,0) * p0(p1+p0(p1))=(0,0)(1,1)(1,0)(2,1) * p0(p1+p0(p1)+p0(p1))=(0,0)(1,1)(1,0)(2,1)(1,0)(2,1) * p0(p1+p0(p1+p0))=(0,0)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0) * p0(p1+p0(p1+p0(p1)))=(0,0)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,1) * p0(p1+p1)=(0,0)(1,1)(1,1) * p0(p1+p1+p0(p1…”

本词条展示[[ZSS Hydra]]（左）与[[BMS]]（右）的对比分析。

* p0=(0)
* p0(p0)=(0)(1)
* p0(p0+p0)=(0)(1)(1)
* p0(p0(p0))=(0)(1)(2)
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* p0(p1(p2)+p1(p1(p2(p3))+p1))=(0,0,0)(1,1,1)(1,1,0)(2,2,1)(2,1,0)
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* p0(p1(p2+p1(p2(p3+p1(p2(p3)+p2)))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,1,1)(4,2,1)(4,2,0)
* p0(p1(p2+p1(p2(p3+p1(p2(p3)+p2(p3))))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,1,1)(4,2,1)(4,2,1)
* p0(p1(p2+p1(p2(p3+p1(p2(p3+p1(p2)))))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,1,1)(4,2,1)(5,1,1)
* p0(p1(p2+p1(p2(p3+p1(p2(p3+p1(p2(p3))))))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,1,1)(4,2,1)(5,1,1)(6,2,1)
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* p0(p1(p2+p2)+p1(p2))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(1,1,1)
* p0(p1(p2+p2)+p1(p2+p1(p2+p2)))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(2,2,0)
* p0(p1(p2+p2)+p1(p2+p1(p2(p3))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(2,2,1)
* p0(p1(p2+p2)+p1(p2+p1(p2(p3+p2(p3(p4))))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(2,2,1)(3,3,1)
* p0(p1(p2+p2)+p1(p2+p1(p2(p3+p3))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(2,2,2)
* p0(p1(p2+p2)+p1(p2+p1(p2(p3+p3)))+p1(p2+p1(p2(p3+p3))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(2,2,2)
* p0(p1(p2+p2)+p1(p2+p1(p2(p3+p3))+p1(p2)))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(2,1,1)
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* p0(p1(p2+p2)+p1(p2+p1(p2(p3+p3)+p2(p3+p2(p3(p4+p4)+p3(p4+p3(p4(p5+p5))))))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(2,2,1)(3,3,2)(3,3,1)(4,4,2)
* p0(p1(p2+p2)+p1(p2+p2))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(2,2,2)
* p0(p1(p2+p2+p1))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,1,0)
* p0(p1(p2+p2+p1)+p1(p2))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,1,0)(1,1,1)
* p0(p1(p2+p2+p1)+p1(p2+p1(p2(p3))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,1,0)(1,1,1)(2,2,1)
* p0(p1(p2+p2+p1)+p1(p2+p1(p2(p3+p2(p3(p4))))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,1,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,3,1)
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* p0(p1(p2+p2+p1)+p1(p2+p1(p2(p3+p3+p1))+p0))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,1,0)(2,0,0)
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* p0(p1(p2+p2+p1)+p1(p2+p1(p2(p3+p3+p1))+p1(p2(p3+p3))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,1,0)(2,1,1)(3,2,2)
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* p0(p1(p2+p2+p1)+p1(p2+p1(p2(p3+p3+p1)+p1(p2))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,1,0)(2,1,1)(3,2,2)(4,1,0)(3,1,1)
* p0(p1(p2+p2+p1)+p1(p2+p1(p2(p3+p3+p1)+p1(p2(p3+p3)))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,1,0)(2,1,1)(3,2,2)(4,1,0)(3,1,1)(4,2,2)
* p0(p1(p2+p2+p1)+p1(p2+p1(p2(p3+p3+p1)+p2)))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,1,0)(2,2,0)
* p0(p1(p2+p2+p1)+p1(p2+p1(p2(p3+p3+p1)+p2(p3))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,1,0)(2,2,1)
* p0(p1(p2+p2+p1)+p1(p2+p1(p2(p3+p3+p1)+p2(p3+p2(p3(p4))))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,1,0)(2,2,1)(3,3,1)
* p0(p1(p2+p2+p1)+p1(p2+p1(p2(p3+p3+p1)+p2(p3+p2(p3(p4+p4))))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,1,0)(2,2,1)(3,3,2)
* p0(p1(p2+p2+p1)+p1(p2+p1(p2(p3+p3+p1)+p2(p3+p2(p3(p4+p4+p1))))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,1,0)(2,2,1)(3,3,2)(4,1,0)
* p0(p1(p2+p2+p1)+p1(p2+p1(p2(p3+p3+p1)+p2(p3+p2(p3(p4+p4+p1)+p3(p4))))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,1,0)(2,2,1)(3,3,2)(4,1,0)(3,3,1)
* p0(p1(p2+p2+p1)+p1(p2+p1(p2(p3+p3+p1)+p2(p3+p2(p3(p4+p4+p1)+p3(p4+p3(p4(p5+p5+p1))))))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,1,0)(2,2,1)(3,3,2)(4,1,0)(3,3,1)(4,4,2)(5,1,0)
* p0(p1(p2+p2+p1)+p1(p2+p1(p2(p3+p3+p1)+p2(p3+p3))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,1,0)(2,2,2)
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* p0(p1(p2+p2+p1)+p1(p2+p1(p2(p3+p3+p1(p2)))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,1,1)
* p0(p1(p2+p2+p1)+p1(p2+p1(p2(p3+p3+p1(p2(p3))))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,1,1)(4,2,1)
* p0(p1(p2+p2+p1)+p1(p2+p1(p2(p3+p3+p1(p2(p3+p3))))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,1,1)(4,2,2)
* p0(p1(p2+p2+p1)+p1(p2+p1(p2(p3+p3+p2))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,0)
* p0(p1(p2+p2+p1)+p1(p2+p1(p2(p3+p3+p2)))+p1(p2+p1(p2(p3+p3))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,0)(1,1,1)(2,2,2)
* p0(p1(p2+p2+p1)+p1(p2+p1(p2(p3+p3+p2)))+p1(p2+p1(p2(p3+p3+p2))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,0)
* p0(p1(p2+p2+p1)+p1(p2+p1(p2(p3+p3+p2))+p1(p2(p3+p3))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,0)(2,1,1)(3,2,2)
* p0(p1(p2+p2+p1)+p1(p2+p1(p2(p3+p3+p2))+p1(p2(p3+p3+p2))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,0)(2,1,1)(3,2,2)(4,2,0)
* p0(p1(p2+p2+p1)+p1(p2+p1(p2(p3+p3+p2)+p2)))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,0)(2,2,0)
* p0(p1(p2+p2+p1)+p1(p2+p1(p2(p3+p3+p2)+p2(p3))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,0)(2,2,1)
* p0(p1(p2+p2+p1)+p1(p2+p1(p2(p3+p3+p2)+p2(p3+p2(p3(p4+p4))))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,0)(2,2,1)(3,3,2)
* p0(p1(p2+p2+p1)+p1(p2+p1(p2(p3+p3+p2)+p2(p3+p2(p3(p4+p4+p2))))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,0)(2,2,1)(3,3,2)(4,2,0)
* p0(p1(p2+p2+p1)+p1(p2+p1(p2(p3+p3+p2)+p2(p3+p2(p3(p4+p4+p3))))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,0)(2,2,1)(3,3,2)(4,3,0)
* p0(p1(p2+p2+p1)+p1(p2+p1(p2(p3+p3+p2)+p2(p3+p2(p3(p4+p4+p3)+p3(p4+p3(p4(p5+p5+p4))))))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,0)(2,2,1)(3,3,2)(4,3,0)(3,3,1)(4,4,2)(5,4,0)
* p0(p1(p2+p2+p1)+p1(p2+p2))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,0)(2,2,2)
* p0(p1(p2+p2+p1)+p1(p2+p2+p1))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,0)(2,2,2)(3,1,0)
* p0(p1(p2+p2+p1)+p1(p2+p2+p1)+p1(p2+p2))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,0)(2,2,2)(3,2,0)(2,2,2)
* p0(p1(p2+p2+p1+p1))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,0)(3,1,0)
* p0(p1(p2+p2+p1+p1)+p1(p2+p2))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,0)(3,2,0)(2,2,2)
* p0(p1(p2+p2+p1(p1)))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,0)(4,1,0)
* p0(p1(p2+p2+p1(p1))+p1(p2+p2))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,0)(4,2,0)(2,2,2)
* p0(p1(p2+p2+p1(p1(p2))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,0)(4,3,0)
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* p0(p1(p2+p2+p1(p2)+p1(p2)))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,1)(3,2,1)
* p0(p1(p2+p2+p1(p2+p1)))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,1)(4,1,0)
* p0(p1(p2+p2+p1(p2+p1))+p1(p2+p2))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,1)(4,2,0)(2,2,2)
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* p0(p1(p2+p2+p1(p2+p1(p2(p1(p2))))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,1)(4,3,0)(5,2,1)
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* p0(p1(p2+p2+p1(p2+p1(p2(p3+p2(p3(p4)))))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,1)(4,3,1)(5,4,1)
* p0(p1(p2+p2+p1(p2+p1(p2(p3+p3)))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,1)(4,3,2)
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* p0(p1(p2+p2+p1(p2+p1(p2(p3+p3)))+p1(p2)))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,1)(4,3,2)(3,2,1)
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* p0(p1(p2+p2+p1(p2+p1(p2(p3+p3))+p1(p2(p3+p3)))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,1)(4,3,2)(4,2,1)(5,3,2)
* p0(p1(p2+p2+p1(p2+p1(p2(p3+p3)+p1(p2)))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,1)(4,3,2)(4,2,1)(5,3,2)(5,2,1)
* p0(p1(p2+p2+p1(p2+p1(p2(p3+p3)+p1(p2(p3+p3))))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,1)(4,3,2)(4,2,1)(5,3,2)(5,2,1)(6,3,2)
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* p0(p1(p2+p2+p1(p2+p1(p2(p3+p3)+p2(p3+p2(p3(p4+p4)))))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,1)(4,3,2)(4,3,1)(5,4,2)
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* p0(p1(p2+p2+p1(p2+p1(p2(p3+p3+p2)))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,1)(4,3,2)(5,3,0)
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* p0(p1(p2+p2+p1(p2+p1(p2(p3+p3+p2(p3+p2(p3(p4+p4))))))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,1)(4,3,2)(5,3,1)(6,4,2)
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* p0(p1(p2+p2+p1(p2+p2)+p1(p2)))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,2)(3,2,1)
* p0(p1(p2+p2+p1(p2+p2)+p1(p2+p1(p2(p3+p3)))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,2)(3,2,1)(4,3,2)
* p0(p1(p2+p2+p1(p2+p2)+p1(p2+p1(p2(p3+p3+p2(p3+p3))))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,2)(3,2,1)(4,3,2)(5,3,2)
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* p0(p1(p2+p2+p1(p2+p2+p1)))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,2)(4,1,0)
* p0(p1(p2+p2+p1(p2+p2+p1))+p1(p2+p2))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,2)(4,2,0)(2,2,2)
* p0(p1(p2+p2+p1(p2+p2+p1)+p0))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,2)(4,2,0)(3,0,0)
* p0(p1(p2+p2+p1(p2+p2+p1(p2))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,2)(4,2,1)
* p0(p1(p2+p2+p1(p2+p2+p1(p2+p2))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,2)(4,2,2)
* p0(p1(p2+p2+p1(p2+p2+p2)))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,0)
* p0(p1(p2+p2+p1(p2+p2+p2+p2)))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,0)(3,3,0)
* p0(p1(p2+p2+p1(p2(p1))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,0)(4,1,0)
* p0(p1(p2+p2+p1(p2(p1)))+p1(p2+p2))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,0)(4,2,0)(2,2,2)
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* p0(p1(p2+p2+p1(p2(p1(p2+p1(p2(p3+p3)))))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,0)(4,2,1)(5,3,2)
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* p0(p1(p2+p2+p1(p2(p1(p2+p2+p1(p2+p2))))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,0)(4,2,2)(5,2,2)
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* p0(p1(p2+p2+p1(p2(p1(p2+p2+p1(p2(p1(p2))))))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,0)(4,2,2)(5,3,0)(6,2,1)
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* p0(p1(p2+p2+p1(p2(p2(p3)))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,0)(4,4,0)
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* p0(p1(p2+p2+p2))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)
* p0(p1(p2+p2+p2)+p1(p2+p2))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(2,2,2)
* p0(p1(p2+p2+p2)+p1(p2+p2+p1(p2+p2)))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(2,2,2)(3,2,2)
* p0(p1(p2+p2+p2)+p1(p2+p2+p1(p2+p2+p2)))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(2,2,2)(3,3,0)
* p0(p1(p2+p2+p2)+p1(p2+p2+p1(p2(p3))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(2,2,2)(3,3,1)
* p0(p1(p2+p2+p2)+p1(p2+p2+p1(p2(p3+p3))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(2,2,2)(3,3,2)
* p0(p1(p2+p2+p2)+p1(p2+p2+p1(p2(p3+p3+p2(p3(p4+p4))))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(2,2,2)(3,3,2)(4,4,2)
* p0(p1(p2+p2+p2)+p1(p2+p2+p1(p2(p3+p3+p3))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(2,2,2)(3,3,3)
* p0(p1(p2+p2+p2)+p1(p2+p2+p1(p2(p3+p3+p3))+p1(p2+p2+p2)))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(3,3,0)
* p0(p1(p2+p2+p2)+p1(p2+p2+p1(p2(p3+p3+p3))+p1(p2(p3+p3))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(3,3,2)
* p0(p1(p2+p2+p2)+p1(p2+p2+p1(p2(p3+p3+p3))+p1(p2(p3+p3+p3))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(3,3,2)(4,4,3)
* p0(p1(p2+p2+p2)+p1(p2+p2+p1(p2(p3+p3+p3)+p2(p3+p3+p2(p3(p4+p4+p4))))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(3,3,2)(4,4,3)(4,4,2)(5,5,3)
* p0(p1(p2+p2+p2)+p1(p2+p2+p2))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(3,3,3)
* p0(p1(p2+p2+p2+p1))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,1,0)
* p0(p1(p2+p2+p2+p1)+p1(p2+p2))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,2,0)(2,2,2)
* p0(p1(p2+p2+p2+p1)+p1(p2+p2+p1(p2(p3+p3+p3))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,2,0)(2,2,2)(3,3,3)
* p0(p1(p2+p2+p2+p1)+p1(p2+p2+p1(p2(p3+p3+p3+p1)))+p1(p2+p2))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,2,0)(2,2,2)(3,3,3)(4,2,0)(2,2,2)
* p0(p1(p2+p2+p2+p1)+p1(p2+p2+p1(p2(p3+p3+p3+p1))+p1(p2(p3+p3+p3))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,2,0)(3,3,3)
* p0(p1(p2+p2+p2+p1)+p1(p2+p2+p1(p2(p3+p3+p3+p2))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,3,0)
* p0(p1(p2+p2+p2+p1)+p1(p2+p2+p2))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,3,0)(3,3,3)
* p0(p1(p2+p2+p2+p1(p1(p2))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,3,0)(5,4,0)
* p0(p1(p2+p2+p2+p1(p2)))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,3,1)
* p0(p1(p2+p2+p2+p1(p2+p2+p2)))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,3,3)
* p0(p1(p2+p2+p2+p1(p2+p2+p2+p2)))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,4,0)
* p0(p1(p2+p2+p2+p1(p2(p3))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,4,1)
* p0(p1(p2+p2+p2+p1(p2(p3+p3))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,4,2)
* p0(p1(p2+p2+p2+p1(p2(p3+p3+p3))))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,4,3)
* p0(p1(p2+p2+p2+p2)))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,4,4)
* p0(p1(p2+p2+p2+p2+p2)))=(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,4,4)(5,5,5)
* p0(p1(p2(p0))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)

* p0(p1(p2(p0))+p1)=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(1,1,0,0)
* p0(p1(p2(p0))+p1(p1(p2(p3(p4(p0))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(1,1,0,0)(2,2,1,1)
* p0(p1(p2(p0))+p1(p2))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(1,1,1,0)
* p0(p1(p2(p0))+p1(p2+p1(p2+p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(1,1,1,0)(2,2,0,0)
* p0(p1(p2(p0))+p1(p2+p1(p2(p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(1,1,1,0)(2,2,1,0)
* p0(p1(p2(p0))+p1(p2+p1(p2(p3+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(1,1,1,0)(2,2,2,0)
* p0(p1(p2(p0))+p1(p2+p1(p2(p3(p0)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(1,1,1,0)(2,2,2,1)
* p0(p1(p2(p0))+p1(p2+p1(p2(p3(p0)))+p1(p2+p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(2,1,1,0)(3,2,0,0)
* p0(p1(p2(p0))+p1(p2+p1(p2(p3(p0)))+p1(p2(p3(p0)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(2,1,1,0)(3,2,2,1)
* p0(p1(p2(p0))+p1(p2+p1(p2(p3(p0))+p1(p2))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(3,1,1,0)
* p0(p1(p2(p0))+p1(p2+p1(p2(p3(p0))+p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(2,2,0,0)
* p0(p1(p2(p0))+p1(p2+p1(p2(p3(p0))+p2(p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(2,2,1,0)
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* p0(p1(p2(p0))+p1(p2+p1(p2(p3(p0))+p2(p3+p2(p3(p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(2,2,1,0)(3,3,1,0)
* p0(p1(p2(p0))+p1(p2+p1(p2(p3(p0))+p2(p3+p2(p3(p4+p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(2,2,1,0)(3,3,2,0)
* p0(p1(p2(p0))+p1(p2+p1(p2(p3(p0))+p2(p3+p2(p3(p4(p0)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(2,2,1,0)(3,3,2,1)
* p0(p1(p2(p0))+p1(p2+p1(p2(p3(p0))+p2(p3+ p2(p3(p4(p0))+p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(2,2,1,0)(3,3,2,1)(3,3,0,0)
* p0(p1(p2(p0))+p1(p2+p1(p2(p3(p0))+p2(p3+ p2(p3(p4(p0))+p3(p4+p3(p4(p5(p0)))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(2,2,1,0)(3,3,2,1)(3,3,1,0)(4,4,2,1)
* p0(p1(p2(p0))+p1(p2+p2))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(2,2,2,0)
* p0(p1(p2(p0))+p1(p2+p2+p1(p2(p3(p0)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)
* p0(p1(p2(p0))+p1(p2+p2+p2))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(3,3,0,0)
* p0(p1(p2(p0))+p1(p2(p0)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(1,1,1,1)
* p0(p1(p2(p0)+p0))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,0,0,0)
* p0(p1(p2(p0)+p1))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,0,0)
* p0(p1(p2(p0)+p1)+p1(p2))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,0,0)(1,1,1,0)
* p0(p1(p2(p0)+p1)+p1(p2+p1(p2(p3(p0)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,0,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)
* p0(p1(p2(p0)+p1)+p1(p2+p1(p2(p3(p0))+p2(p3(p0)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,0,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(2,2,2,1)
* p0(p1(p2(p0)+p1)+p1(p2+p1(p2(p3(p0)+p1))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,0,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,1,0,0)
* p0(p1(p2(p0)+p1)+p1(p2+p1(p2(p3(p0)+p1)))+p1(p2))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,0,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,1,0,0)(1,1,1,0)
* p0(p1(p2(p0)+p1)+p1(p2+p1(p2(p3(p0)+p2))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,0,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,0,0)
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* p0(p1(p2(p0)+p1)+p1(p2+p1(p2(p3(p0)+p2))+p1(p2(p3(p0)+p2))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,0,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,0,0)
* p0(p1(p2(p0)+p1)+p1(p2+p1(p2(p3(p0)+p2)+p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,0,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,0,0)(2,2,0,0)
* p0(p1(p2(p0)+p1)+p1(p2+p1(p2(p3(p0)+p2)+p2(p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,0,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,0,0)(2,2,1,0)
* p0(p1(p2(p0)+p1)+p1(p2+p1(p2(p3(p0)+p2)+p2(p3+p2(p3(p4(p0)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,0,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,0,0)(2,2,1,0)(3,3,2,1)
* p0(p1(p2(p0)+p1)+p1(p2+p1(p2(p3(p0)+p2)+p2(p3+p2(p3(p4(p0))+p3(p4(p0)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,0,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,0,0)(2,2,1,0)(3,3,2,1)(3,3,2,1)
* p0(p1(p2(p0)+p1)+p1(p2+p1(p2(p3(p0)+p2)+p2(p3+p2(p3(p4(p0)+p3))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,0,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,0,0)(2,2,1,0)(3,3,2,1)(4,3,0,0)
* p0(p1(p2(p0)+p1)+p1(p2+p2))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,0,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,0,0)(2,2,2,0)
* p0(p1(p2(p0)+p1)+p1(p2+p2+p1(p2+p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,0,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,0,0)(2,2,2,0)(3,2,2,0)
* p0(p1(p2(p0)+p1)+p1(p2+p2+p1(p2+p2+p2))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,0,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,0,0)(2,2,2,0)(3,3,0,0)
* p0(p1(p2(p0)+p1)+p1(p2+p2+p1(p2(p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,0,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,0,0)(2,2,2,0)(3,3,1,0)
* p0(p1(p2(p0)+p1)+p1(p2+p2+p1(p2(p3+p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,0,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,0,0)(2,2,2,0)(3,3,2,0)
* p0(p1(p2(p0)+p1)+p1(p2+p2+p1(p2(p3(p0))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,0,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,0,0)(2,2,2,0)(3,3,3,1)
* p0(p1(p2(p0)+p1)+p1(p2+p2+p1(p2(p3(p0))+p2(p3(p0))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,0,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,0,0)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(3,3,3,1)
* p0(p1(p2(p0)+p1)+p1(p2+p2+p1(p2(p3(p0)+p1))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,0,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,0,0)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,1,0,0)
* p0(p1(p2(p0)+p1)+p1(p2+p2+p1(p2(p3(p0)+p1)))+p1(p2+p2))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,0,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,0,0)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,2,0,0)(2,2,2,0)
* p0(p1(p2(p0)+p1)+p1(p2+p2+p1(p2(p3(p0)+p2))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,0,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,0,0)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,0,0)
* p0(p1(p2(p0)+p1)+p1(p2+p2+p1(p2(p3(p0)+p2)+p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,0,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,0,0)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,0,0)(3,3,0,0)
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* p0(p1(p2(p0)+p1)+p1(p2+p2+p1(p2(p3(p0)+p2)+p2(p3+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,0,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,0,0)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,0,0)(3,3,2,0)
* p0(p1(p2(p0)+p1)+p1(p2+p2+p1(p2(p3(p0)+p2)+p2(p3+p3+p2(p3(p4(p0)+p3))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,0,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,0,0)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,0,0)(3,3,2,0)(4,4,3,1)(5,4,0,0)
* p0(p1(p2(p0)+p1)+p1(p2+p2+p2))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,0,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,0,0)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,0,0)(3,3,3,0)
* p0(p1(p2(p0)+p1)+p1(p2(p0)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,0,0)(1,1,1,1)
* p0(p1(p2(p0)+p1)+p1(p2(p0))+p1(p2(p0)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,0,0)(1,1,1,1)(1,1,1,1)
* p0(p1(p2(p0)+p1)+p1(p2(p0)+p1)+p1(p2(p0)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,0,0)(1,1,1,1)(2,1,0,0)(1,1,1,1)
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* p0(p1(p2(p0)+p1(p1(p2(p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,0,0)(3,2,1,0)
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* p0(p1(p2(p0)+p1(p1(p2(p3(p0)+p1))))+p1(p2(p0)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,0,0)(3,2,1,1)(4,1,0,0)(1,1,1,1)
* p0(p1(p2(p0)+p1(p1(p2(p3(p0)+p2)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,0,0)(3,2,1,1)(4,2,0,0)
* p0(p1(p2(p0)+p1(p1(p2(p3(p0)+p2)+p2(p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,0,0)(3,2,1,1)(4,2,0,0)(3,2,1,0)
* p0(p1(p2(p0)+p1(p1(p2(p3(p0)+p2)+p2(p3+p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,0,0)(3,2,1,1)(4,2,0,0)(3,2,1,0)(4,3,2,1)(5,3,0,0)(4,3,2,0)
* p0(p1(p2(p0)+p1(p1(p2(p3(p0)+p2)+p2(p3(p0))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,0,0)(3,2,1,1)(4,2,0,0)(3,2,1,1)
* p0(p1(p2(p0)+p1(p1(p2(p3(p0)+p2(p2(p3)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,0,0)(3,2,1,1)(4,2,0,0)(5,3,0,0)
* p0(p1(p2(p0)+p1(p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)
* p0(p1(p2(p0)+p1(p2))+p1(p2))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(1,1,1,0)
* p0(p1(p2(p0)+p1(p2))+p1(p2+p1(p2(p3(p0)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)
* p0(p1(p2(p0)+p1(p2))+p1(p2+p1(p2(p3(p0)+p2))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,0,0)
* p0(p1(p2(p0)+p1(p2))+p1(p2+p1(p2(p3(p0)+p2(p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,1,0)
* p0(p1(p2(p0)+p1(p2))+p1(p2+p1(p2(p3(p0)+p2(p3))+p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,1,0)(2,2,0,0)
* p0(p1(p2(p0)+p1(p2))+p1(p2+p1(p2(p3(p0)+p2(p3))+p2(p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,1,0)(2,2,1,0)
* p0(p1(p2(p0)+p1(p2))+p1(p2+p1(p2(p3(p0)+p2(p3))+p2(p3+p2(p3(p4(p0)+p3(p4)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,1,0)(2,2,1,0)(3,3,2,1)(4,3,1,0)
* p0(p1(p2(p0)+p1(p2))+p1(p2+p2))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,1,0)(2,2,2,0)
* p0(p1(p2(p0)+p1(p2))+p1(p2+p2+p1(p2(p3(p0)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,1,0)(2,2,2,0)(3,3,3,1)
* p0(p1(p2(p0)+p1(p2))+p1(p2+p2+p1(p2(p3(p0)+p2(p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,1,0)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,1,0)
* p0(p1(p2(p0)+p1(p2))+p1(p2+p2+p2))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,1,0)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,1,0)(3,3,3,0)
* p0(p1(p2(p0)+p1(p2))+p1(p2(p0)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,1,0)(2,2,2,1)
* p0(p1(p2(p0)+p1(p2))+p1(p2(p0)+p1))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,1,0)(2,2,2,1)(3,1,0,0)
* p0(p1(p2(p0)+p1(p2))+p1(p2(p0)+p1)+p1(p2+p2))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,1,0)(2,2,2,1)(3,2,0,0)(2,2,2,0)
* p0(p1(p2(p0)+p1(p2))+p1(p2(p0)+p1)+p1(p2(p0)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,1,0)(2,2,2,1)(3,2,0,0)(2,2,2,1)
* p0(p1(p2(p0)+p1(p2))+p1(p2(p0)+p1(p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,1,0)(2,2,2,1)(3,2,1,0)
* p0(p1(p2(p0)+p1(p2)+p1(p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,1,0)(3,2,1,0)
* p0(p1(p2(p0)+p1(p2+p1(p2))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,1,0)(4,2,1,0)
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* p0(p1(p2(p0)+p1(p2+p1(p2(p3(p0))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,1,0)(4,3,2,1)
* p0(p1(p2(p0)+p1(p2+p1(p2(p3(p0)+p1)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,1,0)(4,3,2,1)(5,1,0,0)
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* p0(p1(p2(p0)+p1(p2+p1(p2(p3(p0)+p2)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,1,0)(4,3,2,1)(5,3,0,0)
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* p0(p1(p2(p0)+p1(p2+p1(p2(p3(p0)+p2(p3))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,1,0)(4,3,2,1)(5,3,1,0)
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* p0(p1(p2(p0)+p1(p2+p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,2,0)
* p0(p1(p2(p0)+p1(p2+p2))+p1(p2+p2))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,2,0)(2,2,2,0)
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* p0(p1(p2(p0)+p1(p2+p2+p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,2,0)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,0)
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* p0(p1(p2(p0)+p1(p2(p0)+p1(p2(p0)+p1(p2(p0)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(3,1,1,0)(4,1,1,0)(1,1,1,1)
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* p0(p1(p2(p0)+p1(p2(p0)+p2+p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,0,0)(3,2,0,0)
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* p0(p1(p2(p0)+p1(p2(p3)))+p1(p2+p1(p2(p3(p0) +p2(p3(p0))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,2,0)(2,2,2,1)
* p0(p1(p2(p0)+p1(p2(p3)))+p1(p2+p1(p2(p3(p0) +p2(p3(p0)+p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,2,0)(4,3,0,0)
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* p0(p1(p2(p0)+p1(p2(p3)+p1(p2+p2))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,2,0)(4,3,1,0)(4,2,2,0)
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* p0(p1(p2(p0)+p1(p2(p3(p0))))+p1(p2(p0)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,1,0)(1,1,1,1)(1,1,1,1)
* p0(p1(p2(p0)+p1(p2(p3(p0))))+p1(p2(p0)+p1(p2(p3(p0)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,1,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,1,0)(1,1,1,1)
* p0(p1(p2(p0)+p1(p2(p3(p0)))+p1(p2(p0))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,1,0)(2,1,1,0)(1,1,1,1)
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* p0(p1(p2(p0)+p1(p2(p3(p0)))+p1(p2(p0)+p1(p2(p3(p0))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,1,0)(2,1,1,0)(3,2,1,0)(1,1,1,1)
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* p0(p1(p2(p0)+p1(p2(p3(p0))+p1(p2(p0))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,1,0)(3,1,1,0)(1,1,1,1)
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* p0(p1(p2(p0)+p1(p2(p3(p0))+p1(p2(p3(p0)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,1,0)(3,1,1,0)(4,2,1,0)(1,1,1,1)
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* p0(p1(p2(p0)+p1(p2(p3(p0))+p2(p3(p0)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,1,0)(3,2,1,0)(1,1,1,1)
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* p0(p1(p2(p0)+p1(p2(p3(p0)+p2(p3(p0))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,1,0)(4,2,1,0)(1,1,1,1)
* p0(p1(p2(p0)+p1(p2(p3(p0)+p2(p3(p0)+p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,1,0)(4,3,0,0)
* p0(p1(p2(p0)+p1(p2(p3(p0)+p2(p3(p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,1,0)(4,3,1,0)
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* p0(p1(p2(p0)+p2))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,2,0)
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* p0(p1(p2(p0+p0))+p1(p2(p0)+p2))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(3,2,2,0)
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* p0(p1(p2(p0+p0)+p1)+p1(p2(p0)+p1(p2(p3(p0+p0)+p2))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(2,1,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(4,2,0,0)
* p0(p1(p2(p0+p0)+p1)+p1(p2(p0)+p2))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(2,1,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(4,2,0,0)(3,2,2,0)
* p0(p1(p2(p0+p0)+p1)+p1(p2(p0)+p2(p0)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(2,1,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(4,2,0,0)(3,2,2,1)
* p0(p1(p2(p0+p0)+p1)+p1(p2(p0+p0)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(2,1,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)
* p0(p1(p2(p0+p0)+p1+p1)+p1(p2(p0+p0)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(2,1,0,0)(2,1,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)
* p0(p1(p2(p0+p0)+p1(p1))+p1(p2(p0+p0)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(2,1,0,0)(3,1,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)
* p0(p1(p2(p0+p0)+p1(p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(2,1,1,0)
* p0(p1(p2(p0+p0)+p1(p2(p0))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(2,1,1,0)(1,1,1,1)
* p0(p1(p2(p0+p0)+p1(p2(p0+p0))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(2,1,1,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)
* p0(p1(p2(p0+p0)+p1(p2(p0+p0)+p1(p2(p0+p0)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(2,1,1,0)(3,1,1,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)
* p0(p1(p2(p0+p0)+p1(p2(p0+p0)+p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,0,0)
* p0(p1(p2(p0+p0)+p1(p2(p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,1,0)
* p0(p1(p2(p0+p0)+p1(p2(p3(p0+p0)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,1,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)
* p0(p1(p2(p0+p0)+p2))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,2,0)
* p0(p1(p2(p0+p0)+p2(p0)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,2,1)
* p0(p1(p2(p0+p0)+p2(p0+p0)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)
* p0(p1(p2(p0+p0+p0)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(2,1,1,1)
* p0(p1(p2(p0(p0))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,0,0,0)
* p0(p1(p2(p1)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1))+p1(p1(p2(p3(p2)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(1,1,0,0)(2,2,1,1)(3,2,1,1)(4,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1))+p1(p2))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(1,1,1,0)
* p0(p1(p2(p1))+p1(p2+p2))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,2,2,1)(4,2,0,0)(2,2,2,0)
* p0(p1(p2(p1))+p1(p2(p0)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(1,1,1,1)
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* p0(p1(p2(p1)+p0)+p1(p2(p1)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)
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* p0(p1(p2(p1)+p1(p1(p2(p3(p1(p2(p3(p1)))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,0,0)(3,2,1,1)(4,2,1,1)(5,1,0,0)(6,2,1,1)(7,2,1,1)(8,1,0,0)
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* p0(p1(p2(p1)+p1(p1(p2(p3(p2)+p0)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,0,0)(3,2,1,1)(4,2,1,1)(5,2,0,0)(4,0,0,0)
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* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1)+p2(p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,1,0)(4,2,1,0)
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* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1)+p3)))+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1)+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1)+p3+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,0)(4,3,3,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1)+p3(p0)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1)+p3(p0+p0)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1)+p3(p1)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1)+p3(p1)))+p1(p2(p3(p1)+p3(p1)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1)+p3(p1))+p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,1,0,0)(3,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1)+p3(p1))+p2(p3(p1)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,1,0,0)(3,2,1,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1)+p3(p1))+p2(p3(p1)+p2(p3(p4(p1)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,1,0,0)(3,2,1,0)(4,3,1,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1)+p3(p1))+p2(p3(p1)+p2(p3(p4(p1)+p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,1,0,0)(3,2,1,0)(4,3,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1)+p3(p1))+p2(p3(p1)+p2(p3(p4(p1)+p4(p1)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,1,0,0)(3,2,1,0)(4,3,2,1)(5,3,2,1)(6,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1)+p3(p1))+p2(p3(p1)+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,1,0,0)(3,2,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1)+p3(p1))+p2(p3(p1)+p3(p1)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,1,0,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1)+p3(p1)+p2(p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,1,0,0)(4,2,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1)+p3(p1)+p2(p3(p1)+p2(p3))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,1,0,0)(4,2,1,0)(5,2,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1)+p3(p1)+p2(p3(p1)+p2(p3(p1)+p3))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,1,0,0)(4,2,1,0)(5,3,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1)+p3(p1)+p2(p3(p1)+p2(p3(p4(p1)+p4(p1))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,1,0,0)(4,2,1,0)(5,3,2,1)(6,3,2,1)(7,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1)+p3(p1)+p2(p3(p1)+p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,1,0,0)(4,2,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1)+p3(p1)+p2(p3(p1)+p3(p1))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,1,0,0)(4,2,2,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1)+p3(p1)+p2(p3(p1)+p3(p1)+p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,1,0,0)(4,2,2,0)(5,3,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1)+p3(p1)+p2(p3(p4(p1)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,1,0,0)(4,2,2,0)(5,3,1,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)
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* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1+p1)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,1,0,0)(4,2,2,1)(5,1,0,0)
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* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1(p2))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,1,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1(p2(p0)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,1,1,0)(1,1,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1(p2(p1)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,1,1,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1(p2(p1)))+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,1,1,0)(4,2,2,0)(5,3,3,1)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1(p2(p1)))+p3(p1(p2))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,1,1,0)(4,2,2,0)(5,3,3,1)(6,3,3,1)(7,1,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1(p2(p1)))+p3(p1(p2(p1)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,1,1,0)(4,2,2,0)(5,3,3,1)(6,3,3,1)(7,1,1,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1(p2(p1))+p0)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,1,1,0)(4,2,2,1)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1(p2(p1))+p1(p2))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,1,1,0)(4,2,2,1)(5,1,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1(p2(p1))+p1(p2(p1)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,1,1,0)(4,2,2,1)(5,1,1,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1(p2(p1)+p1(p2(p1))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,1,1,0)(5,1,1,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1(p2(p1)+p2))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,1,1,0)(6,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1(p2(p3)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,1,1,0)(6,2,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1(p2(p3(p1))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,1,1,0)(6,2,1,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1(p2(p3(p1)+p3)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,1,1,0)(6,2,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1(p2(p3(p1)+p3(p1))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,1,1,0)(6,2,2,1)(7,2,2,1)(8,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1(p2(p3(p1(p2)))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,1,1,0)(6,2,2,1)(7,2,2,1)(8,1,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)
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* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p0))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,0,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p1(p2)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,1,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p2))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p2(p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,1,0)
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* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p2(p3(p1)+p2(p3(p1)+p3))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,1,0)(5,3,0,0)
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* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p2(p3(p1)+p2(p3(p4(p2))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,1,0)(5,3,2,1)(6,3,2,1)(7,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p2(p3(p1)+p2(p3(p4(p2(p3)))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,1,0)(5,3,2,1)(6,3,2,1)(7,2,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p2(p3(p1)+p2(p3(p4(p2(p3(p4))))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,1,0)(5,3,2,1)(6,3,2,1)(7,2,1,0)(8,3,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p2(p3(p1)+p2(p3(p4(p2(p3(p4(p2)))))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,1,0)(5,3,2,1)(6,3,2,1)(7,2,1,0)(8,3,2,1)(9,3,2,1)(10,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p2(p3(p1)+p2(p3(p4(p3))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,1,0)(5,3,2,1)(6,3,2,1)(7,3,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p2(p3(p1)+p2(p3(p4(p3)+p3)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,1,0)(5,3,2,1)(6,3,2,1)(7,3,0,0)(6,3,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p2(p3(p1)+p2(p3(p4(p3)+p3(p4(p1)))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,1,0)(5,3,2,1)(6,3,2,1)(7,3,0,0)(6,3,1,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p2(p3(p1)+p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p2(p3(p1)+p3(p1))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,2,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p2(p3(p2))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,2,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p2(p3(p2)+p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,2,0)(5,3,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p2(p3(p4(p2)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,2,0)(5,3,2,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p2(p3(p4(p2)+p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,2,0)(5,3,3,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p2(p3(p4(p2)+p4(p2)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,2,0)(5,3,3,1)(6,3,3,1)(7,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p2(p3(p4(p3)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,2,0)(5,3,3,1)(6,3,3,1)(7,3,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2)+p1(p2(p1)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2)+p1(p2(p1)+p1(p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2)+p1(p2(p1)+p1(p2(p1))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2)+p1(p2(p1)+p1(p2(p1)+p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2)+p1(p2(p1)+p1(p2(p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2)+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,1,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)
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* p0(p1(p2(p1)+p2)+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1)+p3(p1)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2)+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)
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* p0(p1(p2(p1)+p2)+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p2(p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2)+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p2(p3(p1))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,1,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2)+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p2(p3(p1)+p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2)+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p2(p3(p2))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,2,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2)+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,2,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2)+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p3)+p2(p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,2,1)(3,2,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2)+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p3)+p2(p3(p1)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,2,1)(3,2,1,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2)+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p3)+p2(p3(p1)+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,2,1)(3,2,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2)+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p3)+p2(p3(p1)+p3+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,2,1)(3,2,2,0)(4,3,3,1)(5,3,3,1)(6,3,0,0)(4,3,3,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2)+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p3)+p2(p3(p1)+p3(p0)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,2,1)(3,2,2,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2)+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p3)+p2(p3(p1)+p3(p1)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,2,1)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2)+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p3)+p2(p3(p2)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,2,1)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2)+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p3)+p2(p3(p2)+p2(p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,2,1)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2)+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p3)+p2(p3(p2)+p2(p3(p1)+p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,2,1)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2)+p1(p2(p1)+p2))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(2,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(2,1,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(2,1,1,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)))+p1(p2(p1)+p0))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(2,1,1,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,0,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)))+p1(p2(p1)+p1(p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(2,1,1,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)))+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(2,1,1,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,2,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)))+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p3+p2(p3(p1))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(2,1,1,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,2,1)(4,2,1,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)))+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p3+p2(p3(p1)+p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(2,1,1,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,2,1)(4,2,2,0)
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* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)))+p1(p2(p1)+p2))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(2,1,1,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1))+p1(p2(p1)))+p1(p2(p1)+p2))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(2,1,1,0)(2,1,1,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)
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* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p1(p2(p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,1,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1)))))+p1(p2(p1)+p2))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,1,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1))))+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,1,0)(2,1,1,0)(3,2,1,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1)))+p1(p2(p3(p1))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,1,0)(3,1,1,0)(4,2,1,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1))+p2))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,1,0)(3,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1)+p2)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,1,0)(4,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1)+p2(p3(p4)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,1,0)(4,3,1,0)
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* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1)+p3(p0))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,2,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p2(p3(p4(p3))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,2,0)(5,3,3,1)(6,3,3,1)(7,3,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,2,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p3+p2(p3))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,2,1)(4,2,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p3+p2(p3(p1)+p3))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,2,1)(4,2,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p3+p2(p3(p2)+p2(p3(p4(p3)+p4+p3(p4(p2)+p4)))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,2,1)(4,2,2,0)(5,3,3,1)(6,3,3,1)(7,3,0,0)(6,3,3,1)(6,3,3,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(2,1,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2)+p1(p2(p1))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(2,1,1,1)(2,1,1,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2)+p1(p2(p1)))+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p3+p2(p3(p2)+p3)+p2(p3(p1)+p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(2,1,1,1)(2,1,1,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,0,0)(4,2,2,1)(4,2,2,1)(4,2,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2)+p1(p2(p1)))+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(2,1,1,1)(2,1,1,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(2,1,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2)+p1(p2(p1)+p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(2,1,1,1)(2,1,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2+p1)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(3,1,0,0)
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* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2+p1))+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(2,1,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2+p1))+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2+p1)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(3,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2+p1)+p0))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,0,0,0)
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* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2+p1(p2))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,1,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1))))+p1(p2(p1)+p2))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,1,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)
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* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)))+p0))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,1,0)(2,0,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)))+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p3+p2(p3(p2)+p3+p2(p3(p1)+p3)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,1,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)))+p1(p2(p1)+p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,1,0)(2,1,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)))+p1(p2(p1)+p2+p1(p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,1,0)(2,1,1,1)(3,1,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1))+p1(p2))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,1,0)(3,1,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p1(p2)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,1,0)(4,1,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p1(p2(p1)+p2)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,1,0)(4,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p1(p2(p3))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,1,0)(4,2,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p1)+p3))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,1,0)(4,2,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,1,0)(4,2,2,1)(5,2,2,1)(6,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p2(p3(p1)+p3)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,1,0)(4,2,2,1)(5,2,2,1)(6,2,0,0)(5,2,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p2(p3(p4(p3)))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,1,0)(4,2,2,1)(5,2,2,1)(6,2,0,0)(5,2,2,0)(6,3,3,1)(7,3,3,1)(8,3,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p3))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,1,0)(4,2,2,1)(5,2,2,1)(6,2,0,0)(5,2,2,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p3+p2(p3(p2)+p3)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,1,0)(4,2,2,1)(5,2,2,1)(6,2,0,0)(5,2,2,1)(5,2,2,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p3+p2(p3(p2)+p3+p2)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,1,0)(4,2,2,1)(5,2,2,1)(6,2,0,0)(5,2,2,1)(6,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p3+p2(p3(p2)+p3+p2(p3))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,1,0)(4,2,2,1)(5,2,2,1)(6,2,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p3+p2(p3(p2)+p3+p2(p3(p1)+p3))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,1,0)(4,2,2,1)(5,2,2,1)(6,2,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2))+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2)+p1(p2(p1)+p2))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,1,1)(3,1,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2+p1(p2)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,1,1)(4,1,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,1,1)(4,1,1,1)
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* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2+p2)+p1(p2(p1)+p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,0,0)(2,1,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2+p2)+p1(p2(p1)+p2+p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,0,0)(2,1,1,1)(3,2,0,0)
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* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2(p1))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,0,0)(3,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2(p1)+p2(p1))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,0,0)(3,1,0,0)(2,2,0,0)(3,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1+p1))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,0,0)(3,1,0,0)(3,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1(p1(p2(p3(p0))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,0,0)(3,1,0,0)(4,2,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1(p2)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,0,0)(3,1,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1(p2(p1)+p2)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,0,0)(3,1,1,1)
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* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p2(p3(p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,0,0)(3,3,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p2(p3(p4(p0)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,0,0)(3,3,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p2(p3(p4(p1)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,0,0)(3,3,1,1)(4,3,1,1)(5,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p2(p3(p4(p1(p2(p1)+p2))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,0,0)(3,3,1,1)(4,3,1,1)(5,1,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p2(p3(p4(p2)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,0,0)(3,3,1,1)(4,3,1,1)(5,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p2(p3(p4(p2(p3(p4(p0))))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,0,0)(3,3,1,1)(4,3,1,1)(5,2,0,0)(6,3,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p2(p3(p4(p3)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,0,0)(3,3,1,1)(4,3,1,1)(5,3,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p2(p3(p4(p3)+p3(p4(p5(p4)))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,0,0)(3,3,1,1)(4,3,1,1)(5,3,0,0)(4,3,1,0)(5,4,2,1)(6,4,2,1)(7,4,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p2(p3(p4(p3)+p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,0,0)(3,3,1,1)(4,3,1,1)(5,3,0,0)(4,3,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p2(p3(p4(p3)+p4+p3(p4(p5)+p4+p4)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,0,0)(3,3,1,1)(4,4,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3)))+p1(p2))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(1,1,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3)))+p1(p2+p1(p2(p3(p2)+p3+p2(p3(p2)+p3+p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,3,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3)))+p1(p2+p1(p2(p3(p2)+p3+p2(p3(p2)+p3(p2))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,3,0,0)(4,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3)))+p1(p2+p1(p2(p3(p2)+p3+p2(p3(p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,3,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3)))+p1(p2+p2))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,3,1,0)(2,2,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3)))+p1(p2(p0)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,3,1,0)(2,2,2,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3)))+p1(p2(p1)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,3,1,0)(2,2,2,1)(3,2,2,1)(4,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3)))+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p3+p2(p3(p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,3,1,0)(2,2,2,1)(3,2,2,1)(4,1,1,0)(5,2,2,1)(6,3,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3)))+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p3+p2(p3(p4)))+p2(p3(p1)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,3,1,0)(2,2,2,1)(3,2,2,1)(4,1,1,0)(5,2,2,1)(6,3,1,0)(5,2,2,1)(6,2,2,1)(7,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3)))+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p3+p2(p3(p4)))+p2(p3(p2)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,3,1,0)(2,2,2,1)(3,2,2,1)(4,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3)))+p1(p2(p1)+p2))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,3,1,0)(2,2,2,1)(3,2,2,1)(4,2,0,0)(3,2,2,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3)))+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2+p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,3,1,0)(2,2,2,1)(3,3,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3)))+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,3,1,0)(2,2,2,1)(3,3,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3))+p1(p2(p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,3,1,0)(3,3,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3)+p2(p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,3,1,0)(4,3,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3+p2(p3(p4+p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,3,1,0)(4,4,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3+p2(p3(p4(p3)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,3,1,0)(4,4,2,1)(5,4,2,1)(6,3,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3+p2(p3(p4(p3)+p4+p3(p4(p5))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,3,1,0)(4,4,2,1)(5,5,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,3,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3+p3+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(1,1,1,0)(2,2,2,1)(3,3,2,0)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,4,3,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p0)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(1,1,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1))))+p1(p2(p1)+p2))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1))))+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)))+p0))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(2,0,0,0)
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* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)))+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p3+p2(p3(p4(p1)+p4)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)))+p1(p2(p1)+p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(2,1,1,1)
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* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)))+p1(p2(p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(2,1,1,1)(3,2,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)))+p1(p2(p3(p1))))+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(2,1,1,1)(3,2,1,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1))+p1(p2(p1)+p2))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(2,1,1,1)(3,2,1,0)(3,1,1,1)
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* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1))+p2(p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(2,2,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1))+p2(p3(p1)))+p0))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(2,2,1,0)(2,0,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p1(p2(p1)+p2)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(3,1,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p1(p2(p1)+p2+p2)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(3,1,1,1)(4,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p1(p2(p3))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(3,1,1,1)(4,2,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p1(p2(p3(p1)))))+p0))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(3,1,1,1)(4,2,1,0)(2,0,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p1(p2(p3(p1))+p2(p3(p1)))))+p0))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(3,1,1,1)(4,2,1,0)(4,2,1,0)(2,0,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p1(p2(p3(p1)+p1(p2(p1)+p2)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(3,1,1,1)(4,2,1,0)(5,1,1,1)
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* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p2(p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(3,2,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p2(p3(p1))))+p0))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(3,2,1,0)(2,0,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p2(p3(p1)+p2(p3(p1)))))+p0))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(3,2,1,0)(4,2,1,0)(2,0,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p2(p3(p1)+p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(3,3,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p2(p3(p1)+p3+p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(3,3,0,0)(3,3,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p2(p3(p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(3,3,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p2(p3(p4(p1)))))+p0))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(3,3,1,0)(2,0,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p2(p3(p4(p1)+p3(p4(p5(p1)))))))+p0))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(3,3,1,0)(4,4,1,0)(2,0,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p2(p3(p4(p1)+p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(3,3,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p2(p3(p4(p2))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(3,3,2,1)(4,3,2,1)(5,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p2(p3(p4(p2))+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(3,3,2,1)(4,3,2,1)(5,2,0,0)(3,3,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p2(p3(p4(p2))+p3(p4(p2))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(3,3,2,1)(4,3,2,1)(5,2,0,0)(3,3,1,0)(4,4,2,1)(5,4,2,1)(6,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p2(p3(p4(p2)+p2(p3))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(3,3,2,1)(4,3,2,1)(5,2,0,0)(3,3,1,0)(4,4,2,1)(5,4,2,1)(6,2,0,0)(4,2,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p2(p3(p4(p2)+p3(p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(3,3,2,1)(4,3,2,1)(5,2,0,0)(3,3,1,0)(4,4,2,1)(5,4,2,1)(6,2,0,0)(4,3,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p2(p3(p4(p2)+p3(p4(p2)+p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(3,3,2,1)(4,3,2,1)(5,2,0,0)(3,3,1,0)(4,4,2,1)(5,4,2,1)(6,2,0,0)(4,4,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p2(p3(p4(p2)+p3(p4(p5)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(3,3,2,1)(4,3,2,1)(5,2,0,0)(3,3,1,0)(4,4,2,1)(5,4,2,1)(6,2,0,0)(4,4,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p2(p3(p4(p2)+p3(p4(p5(p2))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(3,3,2,1)(4,3,2,1)(5,2,0,0)(3,3,1,0)(4,4,2,1)(5,4,2,1)(6,2,0,0)(4,4,1,0)(5,5,2,1)(6,5,2,1)(7,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p2(p3(p4(p2)+p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(3,3,2,1)(4,3,2,1)(5,2,0,0)(3,3,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p2(p3(p4(p3)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(3,3,2,1)(4,3,2,1)(5,3,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p2(p3(p4(p3))+p3(p4(p0)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(3,3,2,1)(4,3,2,1)(5,3,0,0)(3,3,2,1)
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* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p2(p3(p4(p3)+p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(3,3,2,1)(4,3,2,1)(5,3,0,0)(4,3,2,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p2(p3(p4(p3)+p4+p3(p4(p3)+p4)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(3,3,2,1)(4,3,2,1)(5,3,0,0)(4,3,2,1)(4,3,2,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p2(p3(p4(p3)+p4+p3(p4(p3)+p4+p4)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(3,3,2,1)(4,4,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p2(p3(p4(p3)+p4+p3(p4(p5))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(3,3,2,1)(4,4,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p2(p3(p4(p3)+p4+p3(p4(p5(p1)))))))+p0))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(3,3,2,1)(4,4,1,0)(2,0,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p2(p3(p4(p3)+p4+p3(p4(p5(p1)+p4(p5(p6(p5)))))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(3,3,2,1)(4,4,1,0)(5,5,2,1)(6,5,2,1)(7,5,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p2(p3(p4(p3)+p4+p3(p4(p5(p1)+p4(p5(p6(p5)+p6+p5(p6(p7))))))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(3,3,2,1)(4,4,1,0)(5,5,2,1)(6,6,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p2(p3(p4(p3)+p4+p3(p4(p5(p1)+p5))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(3,3,2,1)(4,4,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p2(p3(p4(p3)+p4+p3(p4(p5(p2)))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(3,3,2,1)(4,4,2,0)(5,5,3,1)(6,5,3,1)(7,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p2(p3(p4(p3)+p4+p3(p4(p5(p3)))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(3,3,2,1)(4,4,2,0)(5,5,3,1)(6,5,3,1)(7,3,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p2(p3(p4(p3)+p4+p3(p4(p5(p3)+p4(p5(p6(p5)))))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(3,3,2,1)(4,4,2,0)(5,5,3,1)(6,5,3,1)(7,5,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p2(p3(p4(p3)+p4+p3(p4(p5(p3)+p4(p5(p6(p5)+p6+p5(p6(p5)+p6+p6)))))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,0)(3,3,2,1)(4,4,2,0)(5,5,3,1)(6,6,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3)))+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,1)(1,1,1,1)(2,2,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3))+p1(p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,1)(2,1,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3))+p1(p2(p1)+p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,1)(2,1,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3))+p1(p2(p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,1)(2,1,1,1)(3,2,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3))+p1(p2(p3(p1)))+p0))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,1)(2,1,1,1)(3,2,1,0)(2,0,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3))+p1(p2(p3(p1)+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,1)(2,1,1,1)(3,2,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3)+p1(p2(p1)+p2))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,1)(2,1,1,1)(3,2,1,1)(3,1,1,1)
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* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3)+p2(p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,1)(2,2,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3)+p2(p3(p1)))+p0))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,1,1)(2,2,1,0)(2,0,0,0)
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* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3+p3)+p2(p3(p1)+p3+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(2,2,2,0)
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* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3+p3+p2(p3(p1)+p3+p2(p3(p4(p1)+p4+p4)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,2,1,1)(4,3,2,0)
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* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3+p3+p2(p3(p1)+p3+p2(p3(p4(p1)+p4+p4)+p3(p4(p1)+p4+p3(p4(p5(p1)+p5+p5)))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,2,1,1)(4,3,2,0)(4,3,1,1)(5,4,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3+p3+p2(p3(p1)+p3+p2(p3(p4(p1)+p4+p4)+p3(p4(p1)+p4+p4)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,2,1,1)(4,3,2,0)(4,3,2,0)
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* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3+p3+p2(p3(p1)+p3+p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,2,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3+p3+p2(p3(p1)+p3+p3+p2(p3(p1)+p3+p3))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,2,2,0)(4,2,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3+p3+p2(p3(p1)+p3+p3+p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3+p3+p2(p3(p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3+p3+p2(p3(p4(p1)+p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3+p3+p2(p3(p4(p1)+p4+p3(p4(p5(p1)+p5))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,1,1)(4,4,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3+p3+p2(p3(p4(p1)+p4+p3(p4(p5(p1)+p5+p5))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,1,1)(4,4,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3+p3+p2(p3(p4(p1)+p4+p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3+p3+p2(p3(p4(p1)+p4+p4+p3(p4(p5(p1)+p5+p5))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,2,0)(4,4,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3+p3+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3+p3+p3+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,0)(4,4,4,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0))+p2(p3(p1)+p3+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(2,2,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0))+p2(p3(p1)+p3+p3+p2(p3(p4(p1)+p4+p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(2,2,2,0)(3,3,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0))+p2(p3(p1)+p3+p3+p2(p3(p4(p1)+p4+p4+p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(2,2,2,0)(3,3,3,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0))+p2(p3(p1)+p3+p3+p2(p3(p4(p1)+p4(p0)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0))+p2(p3(p1)+p3+p3+p2(p3(p4(p1)+p4(p0)))+p2(p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(3,1,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0))+p2(p3(p1)+p3+p3+p2(p3(p4(p1)+p4(p0)))+p2(p3(p2))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(3,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0))+p2(p3(p1)+p3+p3+p2(p3(p4(p1)+p4(p0)))+p2(p3(p4(p1)+p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(3,2,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0))+p2(p3(p1)+p3+p3+p2(p3(p4(p1)+p4(p0)))+p2(p3(p4(p1)+p4+p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(3,2,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0))+p2(p3(p1)+p3+p3+p2(p3(p4(p1)+p4(p0)))+p2(p3(p4(p1)+p4(p0)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(3,2,2,0)(4,3,3,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0))+p2(p3(p1)+p3+p3+p2(p3(p4(p1)+p4(p0))+p3))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(3,3,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0))+p2(p3(p1)+p3+p3+p2(p3(p4(p1)+p4(p0))+p3(p4(p1)+p4+p4)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(3,3,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0))+p2(p3(p1)+p3+p3+p2(p3(p4(p1)+p4(p0))+p3(p4(p1)+p4+p4+p3(p4(p5(p1)+p5(p0))))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(3,3,2,0)(4,4,3,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0))+p2(p3(p1)+p3+p3+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(3,3,3,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0))+p2(p3(p1)+p3+p3+p3+p2(p3(p4(p1)+p4(p0)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(3,3,3,0)(4,4,4,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0))+p2(p3(p1)+p3+p3+p3+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(3,3,3,0)(4,4,4,1)(4,4,4,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0))+p2(p3(p1)+p3(p0)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(3,3,3,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0)+p2))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0)+p2(p3(p1)+p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,2,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0)+p2(p3(p1)+p3+p2(p3(p4(p1)+p4)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,2,1,1)(5,3,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0)+p2(p3(p1)+p3+p2(p3(p4(p1)+p4(p0))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,2,1,1)(5,3,2,0)(6,4,3,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0)+p2(p3(p1)+p3+p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,2,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0)+p2(p3(p1)+p3+p3+p2(p3(p4(p1)+p4(p0))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,2,2,0)(5,3,3,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0)+p2(p3(p1)+p3+p3+p2(p3(p4(p1)+p4(p0)+p2(p3(p4(p1)+p4+p4)))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,2,2,0)(5,3,3,1)(6,2,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0)+p2(p3(p1)+p3+p3+p2(p3(p4(p1)+p4(p0)+p3)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0)+p2(p3(p1)+p3+p3+p2(p3(p4(p1)+p4(p0)+p3(p4(p1)+p4+p4))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0)+p2(p3(p1)+p3+p3+p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0)+p2(p3(p1)+p3+p3+p3))+p2(p3(p1)+p3+p3+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,0)(3,3,3,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0)+p2(p3(p1)+p3+p3+p3))+p2(p3(p1)+p3+p3+p3+p2(p3(p4(p1)+p4(p0)+p3(p4(p1)+p4+p4+p4)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,0)(3,3,3,0)(4,4,4,1)(5,4,3,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0)+p2(p3(p1)+p3+p3+p3))+p2(p3(p1)+p3(p0)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,0)(3,3,3,0)(4,4,4,1)(5,4,3,0)(4,4,4,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0)+p2(p3(p1)+p3+p3+p3)+p2(p3(p1)+p3+p3+p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,0)(3,3,3,0)(4,4,4,1)(5,4,3,0)(5,4,3,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0)+p2(p3(p1)+p3+p3+p3+p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,0)(3,3,3,0)(4,4,4,1)(5,4,4,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0)+p2(p3(p1)+p3(p0))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,0)(3,3,3,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0)+p2(p3(p1)+p3(p0)+p2(p3(p1)+p3(p0)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,0)(5,3,3,0)(3,3,3,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0)+p2(p3(p1)+p3(p0)+p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,0)(5,4,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0)+p2(p3(p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,0)(5,4,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0)+p2(p3(p4(p1)+p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,0)(5,4,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0)+p2(p3(p4(p1)+p4+p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,0)(5,4,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0)+p2(p3(p4(p1)+p4(p0)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,0)(5,4,3,0)(3,3,3,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0)+p2(p3(p4(p1)+p4(p0)+p3(p4(p5(p1)+p5(p0)))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,0)(5,4,3,0)(6,5,3,0)(3,3,3,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0)+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,0)(5,4,4,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0)+p3+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,0)(5,4,4,0)(6,5,5,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0)+p3(p0)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,0)(5,4,4,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0+p0)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p1)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,1)(5,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p1))+p2(p3(p1)+p3(p1)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,1)(5,1,0,0)(3,3,3,1)(4,3,3,1)(5,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p1)+p2(p3(p4(p1)+p4(p1)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,1)(5,1,0,0)(4,3,3,0)(3,3,3,1)(4,3,3,1)(5,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p1)+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,1)(5,1,0,0)(4,3,3,0)(5,4,4,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p1)+p3(p1)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,1)(5,1,0,0)(4,3,3,0)(5,4,4,1)(6,4,4,1)(7,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1+p0)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,1)(5,1,0,0)(4,3,3,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1+p0+p0)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,1)(5,1,0,0)(4,3,3,1)(4,3,3,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1+p1)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,1)(5,1,0,0)(4,3,3,1)(5,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1(p1))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,1)(5,1,0,0)(5,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1(p2))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,1)(5,1,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1(p2(p1)+p2))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,1)(5,1,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1(p2(p3)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,1)(5,1,1,1)(6,2,1,0)
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* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1(p2(p3(p1)+p3+p3)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,1)(5,1,1,1)(6,2,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1(p2(p3(p1)+p3(p0))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,1)(5,1,1,1)(6,2,2,0)(7,3,3,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1(p2(p3(p1)+p3(p1))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,1)(5,1,1,1)(6,2,2,0)(7,3,3,1)(8,3,3,1)(9,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1(p2(p3(p1(p2(p1)+p2)))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,1)(5,1,1,1)(6,2,2,0)(7,3,3,1)(8,3,3,1)(9,1,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,1)(5,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2))+p2(p3(p1)+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,1)(5,2,0,0)(2,2,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2))+p2(p3(p1)+p3+p2(p3(p4(p1)+p4+p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,1)(5,2,0,0)(2,2,1,1)(3,3,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2))+p2(p3(p1)+p3+p2(p3(p4(p3)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,1)(5,2,0,0)(2,2,1,1)(3,3,2,0)(4,4,3,1)(5,4,3,1)(6,3,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2))+p2(p3(p1)+p3+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,1)(5,2,0,0)(2,2,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2))+p2(p3(p1)+p3+p3+p2(p3(p4(p2)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,1)(5,2,0,0)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,1)(5,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2))+p2(p3(p1)+p3+p3+p2(p3(p4(p3)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,1)(5,3,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2))+p2(p3(p1)+p3+p3+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,1)(5,3,0,0)(3,3,3,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2))+p2(p3(p1)+p3(p0)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,1)(5,3,0,0)(3,3,3,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2))+p2(p3(p2)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,1)(5,3,0,0)(3,3,3,1)(4,3,3,1)(5,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2)+p0))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,1)(5,3,0,0)(4,0,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2)+p2(p3(p4(p3)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,1)(5,3,0,0)(4,3,3,0)(5,4,4,1)(6,4,4,1)(7,4,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2)+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,1)(5,3,0,0)(4,3,3,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2)+p3+p2(p3(p2)+p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,1)(5,3,0,0)(4,3,3,1)(4,3,3,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2)+p3+p2(p3(p2)+p3+p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,4,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2)+p3+p2(p3(p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,4,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2)+p3+p2(p3(p4(p1)+p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,4,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2)+p3+p2(p3(p4(p1)+p4+p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,4,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2)+p3+p2(p3(p4(p1)+p4+p4+p3(p4(p5(p1)+p5+p5))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,4,2,0)(5,5,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2)+p3+p2(p3(p4(p1)+p4+p4+p3(p4(p5(p1)+p5+p5+p5))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,4,2,0)(5,5,3,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2)+p3+p2(p3(p4(p1)+p4+p4+p3(p4(p5(p1)+p5(p0)))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,4,2,0)(5,5,3,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2)+p3+p2(p3(p4(p1)+p4+p4+p3(p4(p5(p4)+p5))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,4,2,0)(5,5,3,1)(6,5,3,1)(7,5,0,0)(6,5,3,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2)+p3+p2(p3(p4(p1)+p4+p4+p3(p4(p5(p4)+p5+p4(p5(p6(p1)+p6+p6))))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,4,2,0)(5,5,3,1)(6,6,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2)+p3+p2(p3(p4(p1)+p4+p4+p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,4,3,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2)+p3+p2(p3(p4(p1)+p4(p0)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,4,3,0)(3,3,3,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2)+p3+p2(p3(p4(p2)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,4,3,0)(3,3,3,1)(4,3,3,1)(5,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2)+p3+p2(p3(p4(p2)+p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,4,3,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2)+p3+p2(p3(p4(p2)+p4+p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,4,4,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2)+p3+p2(p3(p4(p3)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,4,4,0)(5,5,5,1)(6,5,5,1)(7,3,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2)+p3+p2(p3(p4(p3)+p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,4,4,0)(5,5,5,1)(6,5,5,1)(7,5,0,0)(6,5,5,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2)+p3+p2(p3(p4(p3)+p4+p3(p4(p5(p3)+p5+p5))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,4,4,0)(5,5,5,1)(6,6,6,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2)+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2)+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,1)(5,3,0,0)(4,3,3,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2)+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2)+p3+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,4,4,1)

* p0(p1(p2(p1)+p2+p2)+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2)+p3+p3)+p2(p3(p1)+p3(p0)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,4,4,1)(3,3,3,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2)+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2)+p3+p3)+p2(p3(p2)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,4,4,1)(3,3,3,1)(4,3,3,1)(5,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2)+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2)+p3+p3)+p2(p3(p2)+p3+p2(p3(p4(p2)+p4+p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,4,4,1)(3,3,3,1)(4,4,4,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2)+p1(p2(p1)+p2+p2))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(1,1,1,1)(2,2,2,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,1,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p1)))+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2)+p3+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,1,1,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,4,4,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p1)))+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2)+p3+p3+p2(p3(p1)+p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,1,1,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,4,4,1)(4,2,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p1)))+p1(p2(p1)+p2+p2))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,1,1,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p1)+p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,1,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2+p2))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,1,1,1)(3,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,1,1,1)(3,2,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3+p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,1,1,1)(3,2,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2)+p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,1,1,1)(3,2,2,0)(4,3,3,1)(5,3,3,1)(6,3,0,0)(5,3,3,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2)+p3+p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,1,1,1)(3,2,2,0)(4,3,3,1)(5,4,4,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2)+p3+p3+p2(p3(p1)+p3))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,1,1,1)(3,2,2,0)(4,3,3,1)(5,4,4,1)(5,2,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2)+p3+p3+p2(p3(p1)+p3(p0)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,1,1,1)(3,2,2,0)(4,3,3,1)(5,4,4,1)(5,3,3,0)(6,4,4,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2)+p3+p3+p2(p3(p2)+p3))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,1,1,1)(3,2,2,0)(4,3,3,1)(5,4,4,1)(5,3,3,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p1)+p2+p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,1,1,1)(3,2,2,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p1)+p2+p2))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,1,1,1)(3,2,2,1)(3,1,1,1)(4,2,2,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p1)+p2+p2+p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p3(p1)+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p3(p1)+p3+p2(p3(p4(p1)+p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,1,1)(3,3,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p3(p1)+p3+p2(p3(p4(p1)+p4+p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,1,1)(3,3,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p3(p1)+p3+p2(p3(p4(p3)+p4+p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,1,1)(3,3,2,0)(4,4,3,1)(5,5,4,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p3(p1)+p3+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p3(p1)+p3+p3+p2(p3(p4(p1)+p4+p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(3,3,1,1)(4,4,2,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p3(p1)+p3+p3+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p3(p1)+p3+p3+p3))+p1(p2(p1)+p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,2,0)(2,1,1,1)
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* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p3(p1)+p3+p3+p3))+p1(p2(p3(p1)+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,2,0)(2,1,1,1)(3,2,2,1)(3,2,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p3(p1)+p3+p3+p3))+p1(p2(p3(p1)+p3+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,2,0)(2,1,1,1)(3,2,2,1)(3,2,1,1)(4,3,2,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p3(p1)+p3+p3+p3))+p1(p2(p3(p1)+p3+p3+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,2,0)(2,1,1,1)(3,2,2,1)(3,2,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p3(p1)+p3+p3+p3)+p1(p2(p3(p1)+p3+p3+p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,2,0)(2,1,1,1)(3,2,2,1)(3,2,2,0)(3,1,1,1)(4,2,2,1)(5,2,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p3(p1)+p3+p3+p3)+p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,2,0)(2,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p3(p1)+p3+p3+p3)+p2(p3(p1)+p3+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,2,0)(2,2,1,1)(3,3,2,1)
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* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p3(p1)+p3+p3+p3)+p2(p3(p1)+p3+p3+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,2,0)(2,2,2,0)
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* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p3(p1)+p3+p3+p3+p2(p3(p1)+p3+p3+p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,2,0)(3,2,2,0)
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* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p3(p1)+p3+p3+p3+p2(p3(p4(p1)+p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,2,0)(3,3,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p3(p1)+p3+p3+p3+p2(p3(p4(p1)+p4+p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,2,0)(3,3,1,1)(4,4,2,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p3(p1)+p3+p3+p3+p2(p3(p4(p1)+p4+p4+p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,2,0)(3,3,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p3(p1)+p3+p3+p3+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,2,0)(3,3,3,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p0)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p3(p2)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,1)(5,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p3(p2)+p2(p3(p4(p3)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,1)(5,3,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p3(p2)+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,3,3,1)(5,3,0,0)(4,3,3,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p3(p2)+p3+p2(p3(p2)+p3+p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,4,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p3(p2)+p3+p2(p3(p4(p2)+p4+p4))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,4,4,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p1(p2(p3(p2)+p3+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,4,4,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p2))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,2,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p2)+p1(p2(p1)+p2+p2+p2))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,2,1)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,2,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p2+p1(p2(p1)+p2+p2+p2+p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,2,1)(2,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p2+p1(p2(p3(p1)+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,2,1)(2,2,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p2+p1(p2(p3(p1)+p3+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,2,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p2+p1(p2(p3(p1)+p3+p3+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,2,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(3,3,2,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p2+p1(p2(p3(p1)+p3+p3+p3+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,2,1)(2,2,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p2+p1(p2(p3(p2)+p3+p3+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,2,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,4,4,1)(4,4,4,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2+p2+p2+p2))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,2,1)(2,2,2,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2(p0)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,0,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2(p1)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2(p1))+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2(p1))+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2)+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,4,4,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2(p1))+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2)+p3(p2)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,4,4,1)(5,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2(p1))+p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2)+p3(p2))+p2(p3(p1)+p3(p0)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,4,4,1)(5,3,0,0)(3,3,3,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2(p1))+p1(p2(p1)+p2+p2))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2(p1))+p1(p2(p1)+p2(p1)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2(p1)+p0))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,0,0)(2,0,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2(p1)+p1(p2(p1)+p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2(p1)+p1(p2(p1)+p2(p1))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,0,0)(2,1,1,1)(3,2,2,1)(4,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2(p1)+p1(p2(p1)+p2(p1)+p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,0,0)(2,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2(p1)+p1(p2(p3(p1)+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,0,0)(2,2,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2(p1)+p1(p2(p3(p1)+p3(p1)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,0,0)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2(p1)+p1(p2(p3(p1)+p3(p1)+p2(p3(p4(p1)+p4(p1)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,0,0)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,1,0,0)(3,3,1,1)(4,4,2,1)(5,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2(p1)+p1(p2(p3(p1)+p3(p1)+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,0,0)(2,2,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,0,0)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,4,4,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p3(p1)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,0,0)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,4,4,1)(5,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p3(p2)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,0,0)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,4,4,1)(5,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p3(p2))+p2(p3(p1)+p3(p0)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,0,0)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,4,4,1)(5,3,0,0)(3,3,3,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2(p1)+p2))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,0,0)(2,2,2,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2(p1)+p2)+p1(p2(p1)+p2(p1)+p2))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,0,0)(2,2,2,1)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,0,0)(2,2,2,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2(p1)+p2+p1(p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,0,0)(2,2,2,1)(2,1,1,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,0,0)(2,2,2,1)(2,1,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2(p1))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,0,0)(2,2,2,1)(2,1,1,1)(3,2,2,1)(4,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2(p1)+p1(p2(p1)+p2(p1)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,0,0)(2,2,2,1)(2,1,1,1)(3,2,2,1)(4,1,0,0)(3,1,1,1)(4,2,2,1)(5,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2(p1)+p1(p2(p1)+p2(p1)+p2))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,0,0)(2,2,2,1)(2,1,1,1)(3,2,2,1)(4,1,0,0)(3,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2(p1)+p1(p2(p3(p1)+p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,0,0)(2,2,2,1)(2,1,1,1)(3,2,2,1)(4,1,0,0)(3,2,1,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2(p1)+p1(p2(p3(p1)+p3(p1))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,0,0)(2,2,2,1)(2,1,1,1)(3,2,2,1)(4,1,0,0)(3,2,1,1)(4,3,2,1)(5,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2(p1)+p1(p2(p3(p1)+p3(p1)+p2(p3(p4(p1)+p4(p1))))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,0,0)(2,2,2,1)(2,1,1,1)(3,2,2,1)(4,1,0,0)(3,2,1,1)(4,3,2,1)(5,1,0,0)(4,3,1,1)(5,4,2,1)(6,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2(p1)+p1(p2(p3(p1)+p3(p1)+p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,0,0)(2,2,2,1)(2,1,1,1)(3,2,2,1)(4,1,0,0)(3,2,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p3)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,0,0)(2,2,2,1)(2,1,1,1)(3,2,2,1)(4,1,0,0)(3,2,2,0)(4,3,3,1)(5,4,4,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2(p1)+p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,0,0)(2,2,2,1)(2,1,1,1)(3,2,2,1)(4,1,0,0)(3,2,2,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2(p1)+p2+p1(p2(p1)+p2(p1)+p2+p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,0,0)(2,2,2,1)(2,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p1)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,0,0)(2,2,2,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3(p1)+p3+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,0,0)(2,2,2,1)(2,2,2,0)
* p0(p1(p2(p1)+p2(p1)+p2+p2))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,0,0)(2,2,2,1)(2,2,2,1)
* p0(p1(p2(p1)+p2(p1)+p2(p1)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,0,0)(2,2,2,1)(3,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1+p1)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,0,0)(3,1,0,0)
* p0(p1(p2(p1(p2))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,1,0)
* p0(p1(p2(p1(p2(p1)))+p0))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,1,0)(2,0,0,0)
* p0(p1(p2(p1(p2(p1)))+p1(p2(p1))+p0))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,1,0)(2,1,1,0)(2,0,0,0)
* p0(p1(p2(p1(p2(p1)))+p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2(p3(p1)+p3)))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,1,0)(2,1,1,0)(3,2,2,1)(4,2,2,1)(5,2,2,0)
* p0(p1(p2(p1(p2(p1)))+p1(p2(p1)+p2)))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,1,0)(2,1,1,1)
* p0(p1(p2(p1(p2(p1)))+p1(p2(p1(p2(p1))))+p0))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,1,0)(2,1,1,1)(3,2,2,1)(4,1,1,0)(2,0,0,0)
* p0(p1(p2(p1(p2(p1)))+p1(p2(p1(p2(p1))+p2))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,1,0)(2,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1(p2(p1)))+p1(p2(p3(p1)+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,1,0)(2,2,1,1)
* p0(p1(p2(p1(p2(p1)))+p1(p2(p3(p1(p2))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,1,0)(2,2,1,1)(3,3,2,1)(4,1,1,0)
* p0(p1(p2(p1(p2(p1)))+p1(p2(p3(p1(p2(p1)))+p3))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,1,0)(2,2,2,0)
* p0(p1(p2(p1(p2(p1)))+p1(p2(p3(p2)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,1,0)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,4,4,1)(5,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1(p2(p1)))+p1(p2(p3(p2(p3))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,1,0)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,4,4,1)(5,3,1,0)
* p0(p1(p2(p1(p2(p1)))+p1(p2(p3(p2(p3(p1)+p3))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,1,0)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,4,4,1)(5,3,1,1)
* p0(p1(p2(p1(p2(p1)))+p1(p2(p3(p2(p3(p1)+p3+p3+p3))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,1,0)(2,2,2,0)(3,3,3,1)(4,4,4,1)(5,3,3,0)
* p0(p1(p2(p1(p2(p1)))+p2))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,1,0)(2,2,2,1)
* p0(p1(p2(p1(p2(p1))+p1(p2))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,1,0)(3,1,1,0)
* p0(p1(p2(p1(p2(p1)+p1(p2(p1)+p2)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,1,0)(4,2,0,0)
* p0(p1(p2(p1(p2(p1)+p1(p2(p3(p2)+p3+p3))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,1,0)(4,2,2,1)(5,3,3,1)
* p0(p1(p2(p1(p2(p1)+p2))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,1,1)
* p0(p1(p2(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p1)+p3+p3))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,1,1)(4,2,2,0)
* p0(p1(p2(p1(p2(p1)+p2+p1(p2(p3(p2)+p3+p3))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,1,1)(4,2,2,0)(5,3,3,1)(6,4,4,1)
* p0(p1(p2(p1(p2(p1)+p2+p2))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,1,1)(4,2,2,1)
* p0(p1(p2(p1(p2(p1(p2))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,1,1)(4,2,2,1)(5,1,1,0)
* p0(p1(p2(p1(p2(p1(p2(p1)+p2))))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,1,1,1)(4,2,2,1)(5,1,1,1)
* p0(p1(p2(p1(p2(p2)))))=(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,2,0,0)

[[分类:分析]]

SSS Hydra

2026-02-21T11:33:24Z

Z：

SSS Hydra 是一种 [[Kirby-Paris Hydra|Hydra]] 型[[序数记号]]。

=== 定义 ===
其[[序数记号#基本构成|表达式集]]与[[序数记号#基本构成|极限基本列]]与 [[PSS Hydra]] 相同。

将表达式中所有的 <math>p_n()</math> 称为节点，n 为该节点等级，括号中的部分称为被该节点包含的部分。

若表达式的最后一个节点等级为 0，处理方法与 PSS hydra一致；

若表达式的最后一个节点等级不为 0，那么从它开始，从里向外找到所有包含它的、等级小于它、且等级不大于以此法找到的上一个节点等级的节点，将这些节点称为“根”；

记最后一个节点的等级为 n，某个根的等级为 m，那么给这个根包含的部分中，所有等级不小于 m 的节点的等级增加 (n-m-1)，得到的结果称为这个根的“试展开”；

按字典序比较所有根的试展开，小于最内侧根的试展开叫做“小根”；位于最外侧的、自身不是“小根”、内部没有“小根”的根是最后一项复制时所要找的参考对象。把这个根内部的表达式不断复制在最后一项的位置，每复制一次，等级不小于m的节点的等级增加 (n-m-1)，其中 n 为最后一个节点的等级，m 为参考对象的等级，完成展开。

=== 强度分析 ===
在 [[BMS]](0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(3,1,0)(4,2,0) 之前，SSS Hydra 表达式与 [[HSS Hydra]] 完全一致；之后的分析详见梅天狸的文章。

目前因为其难度过大，梅天狸暂停了对于SSS Hydra的分析，设计了其更容易分析的改版[[ZSS Hydra]]。梅天狸对其预期与SSS Hydra强度相同，即BMS(0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,2,2)(4,2)(3)，但尚未得到验证。

''主条目：[[SSS Hydra 分析]]''{{默认排序:序数记号}}
[[分类:记号]]

ZSS Hydra

2026-02-21T11:31:49Z

Z：创建页面，内容为“ZSS Hydra，是梅天狸创造的序数记号。它既可以是两行ZSM进一步理想化的产物，也是SSS Hydra更易分析的改版。 == 定义 == 表达式集和极限表达式和PSS Hydra一致。将表达式中所有的pn()称为'''节点'''，n为该节点等级，括号中的部分称为被该节点包含的部分；记最内层的、包含节点A的节点为节点A的外层；若节点B包含节点A，则称节点A、节点A…”

ZSS Hydra，是梅天狸创造的[[序数记号]]。它既可以是两行[[ZSM]]进一步理想化的产物，也是[[SSS Hydra]]更易分析的改版。

== 定义 ==
表达式集和极限表达式和[[PSS Hydra]]一致。

将表达式中所有的pn()称为'''节点'''，n为该节点等级，括号中的部分称为被该节点包含的部分；

记最内层的、包含节点A的节点为节点A的外层；

若节点B包含节点A，则称节点A、节点A的外层、节点A的外层的外层、……、节点B组成的序列为A到B的'''路径'''；

记表达式的最后一个节点为Z；

若Z的等级为0或1，处理方法与PSS hydra一致；

若Z的等级≥2，那么找到包含Z且等级为0的节点中最内层的节点，检查从Z到该节点的路径。路径上所有等级不小于上一个以此法找到的“检查根”（若不存在，则改为等级小于Z）的节点为“'''检查根'''”，路径上所有等级小于上一个以此法找到的“待定根”（若不存在，则改为等级小于Z）的节点为“'''待定根'''”；

记Z的等级为n，某个检查根C的等级为m，那么给C包含的部分里，所有满足“除C以外，到C的路径中的所有节点的等级都大于C”或满足“位于从Z到C的路径上”的节点的等级增加(n-m-1)，得到的结果称为C的“'''试展开'''”；

按字典序比较所有检查根的试展开，小于最内侧根的试展开叫做“'''小根'''”；位于最外侧的、自身不是“小根”、内部没有“小根”的待定根是最后一项复制时所要找的参考对象R。把R和R内部的表达式不断复制在最后一个节点的位置，每复制一次，把R和R内部所有满足“除R以外，到R的路径中的所有节点的等级都大于R”或满足“位于从Z到R的路径上”的节点的等级增加(n-m-1)，其中n为最后一个节点的等级，m为参考对象的等级，完成展开。

== 分析 ==
主词条：[[ZSS Hydra分析]]

ZSS Hydra一度被认为可以模拟[[BMS]]的行为。后来经过分析后，梅天狸不再认为其超过BMS，目前对其强度的预期是BMS的(0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,2,2)(4,2)(3).SSS Hydra的预期也是这个。
{{默认排序:序数记号}}
[[分类:记号]]