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2025年中文大数社区十大事件

2026-05-28T22:15:34Z

Wtydsb：/* 10. PPS 被发现无穷降链 */

大数数学（[[Googology]]，ggg）是系统性地研究如何构造大自然数的数学分支。中文大数社区是一个致力于发展大数数学理论的中心化业余数学社区，它以一系列 QQ 群为核心，其成员为较为严肃的大数数学爱好者。广义的中文大数社区包含中文互联网上所有关心和讨论大数数学相关问题的人。

本词条总结了 2025 年中文大数社区影响力最大的 10 个事件（进展），按照时间顺序进行排列。以下内容来自<ref>[https://zhuanlan.zhihu.com/p/1988997637857358320 2025年中文大数社区十大事件]</ref>

== 1. blp 与 DEN 的定义 ==
<blockquote>[[Laver Table|laver table 函数]]的增长速度能不能超过 [[皮亚诺公理体系|PA]] 可证极限(<math>\varepsilon_0</math>)是 Dougherty 在 30 年前提的问题。这个问题是有不少关注的，虽然也没有特别多，但经常能在科普文中看到，有个数学物理学家还在他的博客里讲过这个文章。它被认为极度困难。30 年来毫无进展。30 年后，它被一篇完全是基于 ggg 思想的论文解决了。—— test_alpha0，2025.12.21</blockquote>1992 年，Laver 提出了 Laver Table，并定义了与之相关联的 Laver Table 函数。这个函数的完全性需要在 <math>\mathrm{ZFC+I3}</math>之中才能够得到证明。人们期望这是一个增长十分迅速的大数函数，然而长期以来，研究者们始终不能够证明这一点。

为了解决这一问题，研究者们付出了许多努力。2023 年， test_alpha0定义了 [[LTY|Laver Table Yarn]]（LTY）作为 Laver Table 的扩展，其完全性需要在 <math>\mathrm{ZFC+I1}</math>之中才能够得到证明。

2025 年 1 月 3 日，test_alpha0在论文<ref>https://arxiv.org/pdf/2501.06733</ref>中证明 Laver Table 函数的增长速度超越了一切能够在皮亚诺公理系统中可证完全性的函数。所有公理体系的证明能力都有极限，皮亚诺公理只能证明<math>\varepsilon_0</math>以下的良序结构。因此用更为大数数学研究者熟悉的话说，这意味着 Laver Table 函数的增长率至少达到了<math>\varepsilon_0</math>。

为了证明这一点，作者在论文中定义了一个递归记号 [[BLP|Basic Laver Pattern]]（blp），以描述初等嵌入的关键点之间的结构。通过利用 blp 构造恰当的递归函数，作者成功证明了 Laver Table 函数的增长率至少达到了<math>\varepsilon_0</math>。作者进一步在论文中宣称，事实上可以证明 Laver Table 函数的增长率至少达到了[[BO]]。这篇论文进一步讨论了 LTY 的定义和性质。

[[文件:v2-7bdbac5d06cfe86ef0162ab98c727176 1440w.png|缩略图|“我们用美丽的颜色#66CCFF来表示复制操作中要复制的行”]]
即使作为递归记号本身，blp 的意义也是足够重大的。长期以来，对记号良序性的证明几乎是大数数学领域中最为困难的问题，而 blp 的良序性已经在上述论文中得到了证明。目前猜测，blp 的强度极大可能超过 [[BMS]] 的极限，与 [[Y序列|Y]](1,3,8) 的强度关系尚不明确。因此，blp 有极大可能取代 BMS，成为目前已证良序性的最强递归记号。（当然，这一说法排除了证明论中发展的一系列序数折叠函数，目前大数数学社区对这些函数的强度几乎一无所知。）

Laver Table 几乎是无法以人力进行分析的。blp 是 Laver Table 的一个弱下界，并且是一个可证良序的递归记号。然而 blp 的性质也过于复杂，最菜萌新仅仅将 blp 分析到了<math>\zeta_0</math>。 test_alpha0估计 blp 的表达式 <math>\mathrm{mcce2mmcce2mcmcc}</math>等于 BMS 极限，这是目前已知的最好结果。

为了更好地了解 blp 的性质，HypCos于 2025 年 12 月 21 日定义了 [[DEN|Defective Embeeding Notation]]（DEN），它的行为比 blp 要简单得多。DEN 的绝大部分定义都与 blp 相同，但在“M 操作”之中的“Copied 操作”中，复制的是从第 s(-1,-l-2) 行开始的所有内容。如果把 DEN 比作 BMS，那么 blp 就可以比作只有最后一列长度为 1 时展开 n 次，其他时候仅仅展开两次的 BMS。由于这样一种性质，目前人们估计 DEN 的强度与 blp 应该是相等的。然而经过这样修改之后，blp 的良序性证明对 DEN 就无效了。

HypCos和梅天狸对 DEN 的性质进行了详细的分析，目前已经分析到了 BMS 的极限，这同时也为 blp 的 BMS 极限表达式强度提供了佐证。然而在这之后，记号的性质变得更加困难，分析变得举步维艰。我们目前对 DEN 和 blp 的强度极限尚没有估计。

== 2. 梅天狸的两行 BHM 分析 ==
<blockquote>是的，这个结果几乎宣判 BHM=BMS 了。—— 梅天狸，2025.4.6</blockquote>Bashicu Matrix System（BMS）是日本的大数数学研究者 Bashicu 于 2014 年提出，并于 2018 年完善的记号。为了展开 BMS，我们需要找到表达式的 “好部”和“坏部”，然后保持好部不动，坏部加上阶差向量后不断地在序列末尾复制。

[[BHM|Bashicu Hyper Matrix]]（BHM）是 BMS 的改版，它只是坏部的规则发生了变化。简单地说，BHM 坏部的范围总是大于或者等于 BMS 坏部的范围。可以设想在展开的过程中 BHM 将携带更多的信息，因此 BHM 的强度至少不低于 BMS。

我们将类似于 BHM 这种扩大坏部范围的模式称为“急模式”。一个自然的问题是，BHM 的强度相比于 BMS 是否真的有提高？如果有的话，那么究竟提高了多少？或者更进一步地说，对记号进行急模式的推广，是否在本质上真正增加了记号的强度？

要回答这一问题，必须建立起 BHM 与 BMS 表达式的一一对应关系。虽然 BHM 与 BMS 的结构相同，二者的展开规则也相差不多，但是它们的行为实际上具有很大的差别，这使得它们之间的分析变得极为困难。早年 HypCos 曾经对此进行过非常详细的分析，但是进展十分有限。长期以来这一直被视为大数数学之中的一个非常困难的问题。

经过长达 13 个月的分析，在 2025 年 4 月 6 日，梅天狸宣布得到了如下的结果：

<math>\begin{aligned} & \mathrm{BHM}(0,0,0)(1,1,1) \\ =~&\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(3,1,1) \end{aligned}</math>

毫无疑问，这一结果是大数数学分析领域的一座丰碑，它解决了人们此前认为几乎是不可能解决的问题。根据这一结果，一行 BHM 的极限在一行 BMS 的极限和两行 BMS 的极限之间，两行 BHM 的极限在两行 BMS 的极限和三行 BMS 的极限之间。如果这一规律能够一直得到保持，那么 n 行 BHM 的极限将处在 n 行 BMS 的极限和 n+1 行 BMS 的极限之间。取 n 趋于无穷大的极限，那么我们将发现 BHM 的极限将与 BMS 的极限是相同的。也就是说，虽然 BHM 的表达式强于 BMS，但是二者的强度是一样的。BMS 最终追平了 BHM。

空间对另一个急模式的记号 [[BSM|Bashicu Sudden Matrix]]（BSM）的分析也发现了意料之外的弱化，这暗示 BSM 的强度也有可能远远不及预期。鉴于以上的结果，我们现在认为急模式并没有从本质上提升记号的强度。

== 3. 第四级运算的解析延拓 ==
<blockquote>我怀疑这套方法可以直接推广到任意阶超运算。—— 曹知秋，2025.7.11

现在看来……至少是很难直接推广。—— 曹知秋，2025.9.21</blockquote>大数数学称加法为一级运算，乘法为二级运算，乘方为三级运算。由于将前一级运算迭代若干次后可以得到下一级运算，因此将乘方迭代若干次后，我们进一步可以得到第四级运算。我们用运算符<math>\uparrow\uparrow</math>来表示第四级运算，它实际上就是指数塔

<math>a\uparrow\uparrow b=\underbrace{a^{a^{\ldots^{a}}}}_{b\text{个}a}</math>

其中左边的元素 a 代表指数塔的底数，右边的元素 b 代表指数塔的层数。需要注意的是第四级运算要从最上层开始，逐层计算指数的取值。

通常来说，第四级运算的的底数和层数都定义在正整数之上，然而我们有时候希望能够将其推广为任意的实数，这正如我们经常希望使用实数变量的加法、乘法和乘方运算一样。要将底数 a 推广为实数是容易的，因为实数的指数函数是有明确定义的。现在的问题在于，我们是否能将第四级运算的的层数 b 也推广为一般的实数？
[[文件:v2-0fac7192f084c9d058a61ad35b83c054 1440w.png|缩略图|397x397像素|第四级运算在复平面上的等值曲线。]]
事实上，这个问题在复数域上讨论起来更容易，因为复变函数拥有更良好的解析性质。因此我们希望能够将层数 b 延拓到整个复平面上，即找到一个以 b 为变量的复变函数，它除去奇点之外在整个复平面上是解析的，并且在 b 取正整数时能够回到通常的第四级运算。这被称为第四级运算的解析延拓（或者更严格地称为定义域的扩张）。

第四级运算的解析延拓是一个困难的问题，因为函数增长的速度太过迅速。这一问题有一个业余数学社区关注，不过真正重要的进展都是由专业的数学家得到的。早在上世纪五十年代，这类问题便已经引起了数学家的关注。因为第四级运算可以视为函数<math>f(x)=a^x</math>迭代若干次的结果，而迭代非整数次的问题由一个名为“超函数”的数学分支描述。2009 年，Kouznetzov 在文献中讨论了第四级运算在复平面上的解析性质。而后在 2017 年，Paulsen 等人在文献中首次给出了第四级运算的级数解，2019 年 Paulsen 在文献中讨论了第四级运算延拓的唯一性。2022 年，Nixon 在文献中给出了第四级运算解析延拓的渐进解。

2025 年 5 月 8 日，Vey 宣布完全解决了第四级运算解析延拓的问题。他在论文中考虑了 Schröder 泛函方程，将待求的函数在其奇点处展开为级数，然后通过级数反演求出了第四级运算解析延拓的显式表达式。至此，大数数学中一个二十余年悬而未决的问题终于得到了解答，我们终于得到了一个性质良好的定义在复平面上的四级运算。

我们目前尚不知道如何将更高级的运算进行解析延拓。

== 4. 至 BTBO（BIO）的形式化递归序数 ==
<blockquote>为了引起关注, 我们将其命名为布劳威尔树壁垒序数(Brouwer Tree Barrier Ordinal)。—— ocau ，2025.6.18</blockquote>长期以来，大数数学一直建立在不严格的基础之上，大量[[序数记号]]的良序性无法得到证明。 ocau 利用 Agda 语言进行了递归序数的形式化，从而保证了序数系统的可靠性。

ocau 的形式化工作分为了几个不同的阶段。最早期的工作于 2022 年 11 月完成，它达到了二元 [[Veblen 函数]]的极限<math>\Gamma_0</math>。2024 年 7 月，ocau 完成了超限元 Veblen 函数的形式化，其极限达到了LVO。

为了进一步得到更强的序数，需要对[[序数坍缩函数|序数折叠函数]]进行形式化。2024 年 8 月，ocau 进行了形式化良构树序数的尝试，但是并没有完成。实际上，早在 2019 年，就有形式化序数折叠函数的尝试。AndrasCovacs 利用树序数成功地将序数折叠函数形式化，其极限为<math>\psi(\Omega_\omega)</math> 。但是，进一步的形式化工作遇到了困难。

2025 年 6 月 18 日，形式化可数序数的工作取得了新的进展。ocau 定义了任意可数层布劳威尔树序数的结构，利用它来表示序数折叠函数中的非递归序数。通过恰当地定义布劳威尔树序数的折叠过程，ocau 完成了序数折叠函数的形式化，其极限为<math>\psi(\Omega_\Omega)</math> 。ocau 将其命名为布劳威尔树壁垒序数(Brouwer Tree Barrier Ordinal, BTBO)，即利用布劳威尔树的形式化方法所能够达到的极限。

形式化递归序数的推进无疑是一项重要的进展，它为序数记号的良序性提供了坚实的基础。然而，目前形式化工作的进展仍然十分有限。目前的形式化极限为<math>\psi(\Omega_\Omega)</math> ，而此处的序数已经被人们认为是相当可靠的。因此，对于大数数学领域来说，这一形式化的结果的意义更多是在理论上的，它并没有解决真正不够可靠的大递归序数的形式化问题。而另一方面，作为一个形式系统，Agda 本身的强度也是有限的，这或许为形式化序数的进展设置了一个理论上的上限。

== 5. BB(5) 的证明与 BB(6) 下界更新 ==
<blockquote>因此，秉承着对 Busy Beaver 值长期以来抱有的希望，我们预计BB(6) 将永远不会被证明。——BBChallenge 合作组，2025.9.15</blockquote>1936 年，图灵提出了一个称为图灵机的计算模型。图灵机可以在一条无限长的纸带上运动。在每个时刻，读写头都要从当前纸带上读入一个方格信息，然后结合自己的内部状态查找程序表，根据程序输出信息到纸带方格上，并转换自己的内部状态，然后进行移动。图灵机虽然结构简单，但是它却深刻地揭示了计算的本质。现代计算机在计算能力上与图灵机是等价的。
[[文件:v2-9d16302f36a26572d963c1c4c652eebc 1440w.png|缩略图|图灵机的结构]]
1962 年，Rado 提出了 [[忙碌海狸函数|Busy Beaver 函数]] BB(n) ，它定义为能够停机的 n 状态图灵机在停机前所能够运行的最大步数。由于图灵机能够计算所有的递归函数，因此BB(n) 相当于对所有递归函数进行对角化。它的增长速度必然超越了所有的递归函数，达到了非递归函数的层次。

求出BB(n) 的取值是极为困难的，因为我们需要找到所有能够停机的 n 状态图灵机，并取其运行步数的最大值。而一个图灵机是否停机是不可判定的，即不存在一个通用的算法能判断所有图灵机的停机性。我们实际上并不知道一个很久没有停机的图灵机究竟是无法停机，还是最终能够停机，只不过运行的时间还不够长。由于这些困难，求解 BB(n) 的进展十分缓慢。

1963 年，Lin 等人在文献中得到了BB(n)的第二和第三个取值

<math>\mathrm{BB(2)}= 6,\quad \mathrm{BB(3)}= 21</math>

1983 年，Brady 在文献中得到了BB(n)的第四个取值

<math>\mathrm{BB(4)}= 107</math>
[[文件:v2-20f50bf7a453ada487974dcc486401cf 1440w.png|缩略图|BB(5)判定器的工作流程。]]
然而， BB(5)是一个极为困难的问题。Marxen 在 1990 年找到了一个 5 状态图灵机，它要运行 47176870 步才能停机。也就是说，这是一个BB(5)的下界

但是在接下来的三十多年中，人们并没有找到停机时间更长的图灵机，也无法证明 47176870 就是BB(5)的精确值。对这个问题的研究近乎陷入了停滞的状态。
[[文件:v2-f24e0fa83b934ca943e4f057fd25c1e3 1440w.png|缩略图|十三个零散机的行为。]]
2022 年，一个致力于解决BB(n)问题的业余数学社区 BBChallenge 正式成立。他们设计了一系列判定器，来判定 5 状态图灵机的停机性。在经过七种精心设计的判定器筛选之后，最终只剩下 13 个图灵机没有解决。通过手动为这些图灵机单独编写证明，他们成功地解决了所有 5 状态图灵机的停机性的判定性问题，并最终证明了三十多年前的得到下界就是BB(5)的精确值：

在利用 Coq 形式化证明过程后，他们在 2024 年 7 月 2 日宣布已经解决了BB(5)的取值问题。2025 年 9 月 15 日，他们发布了证明BB(5)取值的论文。至此一个停滞了四十余年的问题在业余数学社区的推动下，终于得到了彻底的解决。

接下来一个自然的问题是，BB(6)的取值是多少。2025 年 6 月 25 日，mxdys 进一步发现了一个停机步数超过 <math>2 \uparrow\uparrow\uparrow 5</math> 的图灵机，从而将BB(6)的下界提升为

<math>\mathrm{BB(6)}> 2 \uparrow\uparrow\uparrow 5</math>

这是目前已知的最好结果。

目前BB(6)的取值问题的解决还遥遥无期。

== 6. 聚集地群成为第一大 ggg 群 ==
<blockquote>ggg 五群方案：

1. 核心大群（大群）

2. 协商会议、文件存储、记号分析、分散线程（会议群）

3. 新人教学、闲聊（聚集地）

4. 刷屏、发癫（表情包）

5. 对外交流、保留最后联系方式、玩 bot、其它（联合群）

——夏夜星空，2024 年 8 月 10 日</blockquote>由 test_alpha0 于 2021.7.3 建立的 QQ 群“googology/数学爱好者讨论群”（讨论群/大群）是中文大数数学社区首个建立的、有较大影响力的 QQ 群，它的建立标志着大数数学社区从百度贴吧时代正式步入了 QQ 群时代。该群的建立使得大数数学研究者的交流和联系变得更加密切，使得大数数学前沿知识得到了极大的普及。讨论群在大数数学社区的发展史之中具有不可磨灭的意义，长期以来一直被人们视为大数数学讨论的中心。

在 2024 年间，大数数学作为一种独特的亚文化开始在中文互联网上流行。特别是知乎上的“挑战葛立恒数”等话题开始让大数数学越来越为中文互联网用户所知，“写出一个很大的数（或是很强的无穷）”成为了一种越来越流行的时尚单品。在这种情况下，中文大数社区的轻度用户数量开始急剧增加，群聊中的讨论也变得越来越混乱。

在这一背景下，许多人认为大数社区的环境正在迅速恶化，话题变得越来越鱼龙混杂。特别是梅天狸因不满讨论群的氛围而退出群聊，并于 2024 年 4 月 14 日建立个人粉丝群“狸と扽西の催更群”（狸群）。这一事件促使群管理开始着手进行群聊讨论的分流，意图将严肃的大数数学讨论留在讨论群，而将新人教学、轻度讨论、日常交流等内容分流到其他群聊之中。由夏夜星空于 2023 年 1 月 8 日建立的 QQ 群“大数数学爱好者聚集地”（聚集地群）承担了这一责任。2024 年 4 月 19 日，QQ 群“大数数学爱好者自由讨论群”（自由群）建立，由 qwerty 担任群主，意图进一步分流灌水内容。

2024 年 8 月，大数数学社区发生了多起恶性事件。特别是一位网名为“孙笑川258”的用户使用多个账号炸群('''''此人并非孙笑川，只是用这样的账号的一个乐子人''''')，并威胁开盒大数社区的成员，严重扰乱了大数社区的秩序。群管理坚决捍卫社区利益，采取果断措施，粉碎了“孙笑川”的图谋。2024 年 8 月 8 日，test_alpha0建立了 QQ 群“googology 群人事管理”，将各群的管理进一步集中化。大数社区决议任免讨论群的多位管理，并加强群消息的进一步分流，提高讨论群的入群门槛和审核强度。这使得讨论群的活跃度迅速下降，日常的讨论几乎完全转移到了聚集地群，从此之后聚集地群的规模和消息数量开始暴增。

2025 年 4 月 5 日，聚集地群的人数成功追平讨论群。2025 年 7 月 4 日，聚集地群由 500 人群扩充为 2000 人群，并在两天之后增设了五位新管理员。2025 年 7 月 8 日，聚集地群的人数正式突破 500 人。2025 年 12 月 31 日，聚集地群的人数达到了 700 人，几乎包含了中文大数社区的所有活跃研究者。时至今日，不论是从总人数、活跃人数，还是新增消息数来看，聚集地群都已经成为了当之无愧的 ggg 第一大群（除表情包群）。

== 7. 最菜萌新的 BMS 全分析 ==
<blockquote>对于(0,0,0)(1,1,1)(2,2,0)以下的分析，我们几乎可以说这是完全正确的。对于(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)以下的分析，我们有很大的把握认为这是正确的。对于(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)以上的分析，我们几乎不知道这是否正确。——Racheline ，BM4 的分析</blockquote>尽管 BMS 的定义早就已经为人们所知，但长期以来，人们并不了解其强度。这只有将 BMS 和其他记号进行对比分析才能解决。对于 BMS 来说，一个合适的参照是序数折叠函数ψ，将非递归序数放入其中就可以得到递归序数。如果我们引入的非递归序数越强，那么输出的递归序数也就越强。恰当地在序数折叠函数之中引入了ω个非递归序数<math>\Omega_\omega</math>之后，我们可以得到如下结果

<math>(0,0,0)(1,1,1)=\psi(\Omega_\omega)=\mathrm{BO}</math>

要想继续分析 BMS，我们就不得不去寻找更加强大的[[序数#非递归序数|非递归序数]]。[[反射序数]]是一类重要的非递归序数。在引入了反射序数<math>\Pi_\omega</math>之后，我们可以得到如下的结果

<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,2,0)=\psi\left(\Pi_\omega\right)=\mathrm{SSO}</math>

[[稳定序数]]刻画了比反射序数更强的非递归序数。对于<math>\Sigma_1</math>稳定来说，若考虑一条长度为ω的稳定链，则有

<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)=\psi\left(\omega-\pi-\Pi_0\right)=\mathrm{LRO}</math>

以上的这些结果大概在 2020 年就已经得到了。

2021 年，test_alpha0定义了[[投影序数]]。1-投影序数就是<math>\Pi_2</math> 反射序数，而 2-投影序数α则是一个非常强大的非递归序数，当然还可以定义更强大的 3-投影序数，直到ω-投影序数，它的极限为

<math>(0,0,0,0)(1,1,1,1)=\psi\left(\omega-\mathrm{P}\right)=\mathrm{TSSO}</math>

2024 年，最菜萌新开始研究高阶投影的可能性。对于[[向上投影]]来说，定义投影升阶运算σ ，将它作用在投影序数上之后，可以得到比它更高的投影序数。令 S 是最小的 (1,0) -投影，则<math>\psi_S</math>可以投影比它更高的序数<math>\sigma^n S</math> ，这是一种强大的投影层次。在这之后的接近一年的时间里，他不断地完善向上投影的规则并将其递归化，利用它来分析 BMS 的强度。

2025 年 7 月 16 日，最菜萌新宣布了如下的结果：

<math>(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,3,3,1)(4,0,0,0)=\psi\left(\psi_S\left(\sigma^\omega S\right)\right)</math>

引入更复杂的投影结构，可以得到四行 BMS 的极限<math>(0,0,0,0,0)(1,1,1,1,1)=\psi\left(\psi_A([1,1] A \cdot \omega)\right)</math>，乃至 BMS 的极限<math>\text{limit of BMS}=\psi\left(\varepsilon_{H+1}\right)=\mathrm{SHO}</math>。

至此最菜萌新完成了 BMS 的全分析。

该项工作一共包含 7777 条对照分析的结果，是大数数学史上最为庞大的分析工作之一。由于最菜萌新提出了一套完整的理念、一套行之有效的规则，以及详尽的分析结果，向上投影已经打败了其他的投影记号，成为了 (0,0,0)(1,1,1)(2,2,2) 之后的标准记号，甚至投影系记号已经逐渐有取代更加传统的稳定系记号的趋势了。

BMS 并未抵达向上投影的极限，接下来需要利用[[Y序列]]对其进行分析。然而向上投影与Y序列之间的分析举步维艰，目前尚不清楚向上投影的极限究竟是多少。除此之外，向上投影也为[[非递归BMS]]的分析提供了参考。若将 BMS 第一列的全部零删去，则可以设想让 BMS 输出非递归记号。这一非递归记号的强度用向上投影来分析是合适的。

需要说明的是，投影序数并非集合论意义上的严格的非递归序数。而将投影序数放入ψ之中得到的递归化函数，本质上仍然是一个递归记号。事实上即使是对于反射序数和稳定序数来说，我们也只是使用了一种“长得像序数折叠函数”的递归记号，它们模仿了真正使用集合论方法来定义的序数折叠函数的行为。

而另一方面，真正严格意义上的序数折叠函数以及相应的非递归分析已经得到了长足的发展，这一部分应当归功于序数分析领域的专业数学家。目前序数分析的巅峰之作是数学家 Arai 对二阶算术的序数分析，这是序数分析领域中发展的最强序数折叠函数。然而我们并不知道它和大数数学之中发展的序数记号之间的强度关系是什么样的，目前我们只能就此做出一些猜测。

我们已经知道的是，文章利用<math>\Sigma_n</math>稳定序数的存在性证明了 BMS 的良序性，而二阶算术与 <math>\mathrm{KP} +</math>存在<math>\Sigma_1</math>稳定序数+存在<math>\Sigma_2</math>稳定序数+……这一公理体系的强度是相同的。如果我们真的可以认为 BMS 与二阶算术的强度相同，那么我们就可以说 Arai 的序数折叠函数极限等于 BMS 的极限，它们都是二阶算术的证明论序数。然而严格的序数分析是极其困难的工作，也许我们永远也不会知道我们的记号何时能够达到各种公理体系的极限了。

== 8. HypCos 定义 ω^ωMN ==
<blockquote>时至今日，还未有人分析 Tω^ωMN。它太难分析了吗？它太难理解吗？没有什么合适的其它记号用来分析吗？—— HypCos ，2025.8.17</blockquote>BMS 是跨时代的记号，它将递归记号构造的范式从数阵型记号转变为了 Worm 型记号，其强度远远超越了当时的所有记号。2020 年 9 月，日本的大数研究者 Yukito 对 Worm 型记号进行扩展，定义了 Y序列，它的强大再一次震撼了研究者。后来 Yukito 又定义了更加强大的[[ω-Y|ω-Y序列]]，这是目前已经得到公认的、成熟的大数数学社区最强记号。

如果要得到更强的记号，下一步该如何做？我们可以试图将 ω-Y 序列推广到更高的<math>\alpha-\mathrm Y</math> 序列，乃至<math>\Omega-\mathrm Y</math>序列。考虑到 BMS 有ω行，1-Y 序列的山脉图有 <math>\omega^2</math> 行，ω-Y 序列的山脉图有 <math>\omega^\omega</math>行，那么似乎将山脉图的行数推广到更高就可以得到更强的记号。不过令人遗憾的是，平凡的推广几乎是没有任何意义的。BMS 也可以直接推广到Ω行，但是它的强度仍然难以超越Y(1,3,4,3) 。事实上，目前已知的所有定义<math>\Omega-\mathrm Y</math>序列的尝试不是非良序，就是强度达不到预期。在ω-Y 序列之上，人们似乎再难以前进半步。

HypCos对 Worm 记号体系进行了深入的研究。鉴于序列型记号形式上的困难已经严重阻碍了进一步的推广，HypCos采用了新的多维数阵体系，将山脉图的结构直接编码进表达式中，称为[[Mountain Notation|山脉记号]]（Mountain Notation，MN）。他在 2024 年 9 月 11 日提出了ωMN的定义，这一记号与 ω-Y序列是等价的。接下来他在 2024 年 9 月 15 日又进一步提出了<math>\omega\cdot 2\mathrm{MN}</math>的定义。最终在 2025 年 7 月 19 日，他进一步地提出了 <math>\omega^\omega\mathrm{MN}</math>的定义，这是目前已知的有明确定义的最强递归记号之一。

如果不能真正理解 Worm 型记号为何如此之强，那么想凭运气再创造出来一种本质上强于它的记号也几乎是不可能的。2024 年 2 月 23 日，几位研究者以极富洞察力的直觉提出了“[[传递]]”的概念，从而解决了 Worm 型记号强度的来源问题。简单地说，序数记号的传递现象意味着一个序数记号表达式在展开时，不仅仅是判定展开所用到的元素参与了展开过程，还有别的元素也参与了展开过程，从而将序数结构的一部分“传递”到了展开后的表达式之中。
[[文件:v2-0eab85904cbae6d283df767e2879a755 1440w.png|缩略图|Y(1,3,7)展开为Y(1,3,6,12,24,48,96,192,...)，从图中可以看出，对角线上的元素由1,2,2展开为1,2,1,2,1,2,...，因此这是一个真正的ω行传递。]]
具有传递现象的记号通常拥有更高的强度，并且传递的层次越高，记号的强度就越高。对于 BMS 来说，若删去第 n 列及以下的部分能够该改变坏根的位置，则称该表达式拥有 n 行传递。BMS 拥有任意有限的 n 行传递，因此它的强度超越了绝大多数其他类型的序数记号。而Y序列拥有真正意义上的ω行传递，因此它远远超越了 BMS 平凡扩展的极限。

MN系列记号利用独特的拉伸操作，实现了比ω-Y 序列更加强大的结构，增进了人们对于ω-Y 序列之上的递归序数结构的理解。然而我们能说<math>\omega^\omega\mathrm{MN}</math>就是预想中的<math>\omega^\omega-\mathrm Y</math>序列吗？它具有真正的更高层次的传递吗？或者说，山脉记号能够成为Y序列的某种“上位替代”吗？这一点恐怕很难说。因为没有人知道一个理想的传递究竟应该是什么样子的，人们最多只能知道某个记号并不符合心目中的“理想”情况。不过从目前的情况来看，MN系列记号确实已经成为了ω-Y 序列之后的一种新的参照标准，正在被越来越多的人所接受。

以传递现象的提出作为标志性事件，一部分研究者建立了更加深入的“构造理论”，期望能够触及更加强大的记号体系的一角。对构造理论的研究几乎是整个 2024 年的研究核心，人们提出了太多的理论和体系，又将它们一个个推翻。目前关于构造理论的研究少有成体系的结果，也并没有真正建立起成熟完备的新记号体系。而且目前对于构造理论的研究过于艰涩，除了寥寥几位研究者之外，其他人几乎不知道他们在做什么。我们并不知道目前在构造理论上的尝试是否是正确的。

== 9. Phyrion 的新 Googology Wiki ==
<blockquote>wiki.googology.top：首个以 googology 为二级域名建立的网站！——Phyrion，2025.6.25</blockquote>在 21 世纪的前几年中，大数数学还仅仅是一个只为极少数人所知的小众数学问题。那时仅有少数几位欧美国家的爱好者关注这一问题，并且将自己的研究成果发布在个人网站上。直到 2008 年 12 月 5 日，fandom 上的 Googology Wiki 网站正式上线，才结束了这一局面。在这之后的十余年时间里，Googology Wiki 当之无愧地成为了全球大数数学研究者的中心，为大数数学的发展提供了一个宝贵的平台。

长期以来，Googology Wiki 包含着大数数学社区最完整的知识以及最前沿的进展，但是随着时间的推移，Googology Wiki 也已经逐渐衰落了。起先是 Wiki 中的部分成员不满管理员的专权，因此另立门户。欧美大数社区的讨论中心也逐渐转移到了 Discord 频道上，不再活跃于 Wiki。而中文社区和日文社区近乎独立地发展，极少与欧美社区进行交流。因此在 2020 年之后，Fandom 的 Googology Wiki 迅速的落后于了整个时代。

为了建立一个能够完整准确地反映现代大数数学研究进展的在线知识库，Phyrion 启动了新 Wiki 计划。该计划从 2025 年 6 月启动，由 Phyrion 维护网站，并由十余位活跃研究者共同编写。2025 年 8 月 15 日，新 Wiki 的网址 wiki.googology.top 正式公开，并立刻引起了大数社区的广泛关注。

新 Wiki 全面抛弃了旧 Wiki 以大数为中心的思想，而转向了更加现代化的以序数为中心的思想。新 Wiki 系统性地整理了大数数学的最新研究成果，许多成果都是首次发布在公共的平台之上。新 Wiki 在内容选择、材料组织等方面遵循了深入浅出、详略得当的原则，既能够完整准确地反映大数数学的核心内容和最新进展，又不显得过于繁冗。新 Wiki 已经成为了大数社区最重要的在线知识库之一。

新 Wiki 的命运是坎坷的。在 2025 年 9 月 30 日，新 Wiki 站点由于欠费停站，直到 2025 年 10 月 11 日才重新恢复。而后它在 2025 年 10 月 31 日再次由于欠费而停站，直到2026年2月20日。这引发了人们对于新 Wiki 站点不稳定的担忧。

== 10. PPS 被发现无穷降链 ==
[[文件:pps.png|缩略图]]
<blockquote>@全体成员 PPS 无穷降链

沉痛悼念，永垂不朽

——z，2025.12.10</blockquote>[[PPS|Parented Predecessor Sequence]]（PPS）是3183 丶 4139于 2024 年 9 月 9 日创造的记号。PPS 的定义非常简单，相比于标记父项列标 PrSS，它只增加了一条规则：如果坏部里没有其他等于坏根的项，那么复制时，复制出来的部分的首项改成原末项-1。

然而，正是这样简单的规则导致了极其诡异的行为。整个七月份，大数数学的研究者绞尽脑汁对 PPS 的强度进行分析，然而整个记号的规律似乎完全是无法理解的。即使进行了大量的尝试，耗尽了全部的精力，研究者们也未能将 PPS 分析至<math>\zeta_0</math>。这对于该强度的记号来说似乎是完全无法理喻的。在遭受了重大的挫折之后，大数数学的研究者不得不将精力转移到其他的问题上。

一切都结束于 2025 年 12 月 10 日，在这一天 ddfg 通过对 PPS 的详尽分析，发现了一个展开式，它可以无穷无尽地展开下去，越来越复杂，永远也不会停下来。这种越来越复杂的表达式构成了一条不断递降的链条，称为无穷降链。由于序数的每个子集必有最小元，不会出现无穷递降的情况，因此 PPS 的展开不构成其标准表达式上的一个良序关系。也就是说，PPS 根本就不是一个序数记号。

PPS 的无穷降链无疑是对于其研究者的一个沉痛打击。尽管在这之后还有一系列修复 PPS 的尝试，但人们对这一记号已经失去了信心。不过人们更好奇的是，为什么时隔如此之久，大数社区才找到了 PPS 的无穷降链。这不禁让人们想起 2024 年 7 月 7 日的盛况，在短短的几个小时内，三个前沿记号都被发现无穷降链或不良定义，大数数学社区的进展几乎一夜之间倒退到了 2021 年的ω-Y序列。

无穷降链是悬在所有序数记号头上的达摩克里斯之剑，几乎所有记号都要受到无穷降链的威胁。人们或许希望能够直接利用数学方法证明记号的良序性，从而一劳永逸地解决这一问题。然而我们现在几乎完全不知道如何证明记号的良序性，目前仅有寥寥几个记号的良序性问题得到了解决。并且事实上任何公理体系可证良序的范围都是有限的，一旦记号的强度超出了这一范围，那么我们就必须诉诸更加强大的公理体系。而与此同时，过于强大的公理体系本身的一致性都是值得怀疑的。因此可以说，记号良序性证明的困难是本质的。

但是，如果我们不能够为记号的良序性给出证明，那么我们要如何相信它们的可靠性呢？如果我们连严格性都舍弃掉，那么整个数学体系之中还有什么是可以信赖的呢？多年以来大数数学研究者建立起的庞大的理论体系，究竟有多少是虚无的空中楼阁，随时会被推翻？我们不知道这些问题的答案。或许真正具有洞察力的数学研究者能够推动这一问题的解决，而在这之前，我们只能祈祷之前建立起的大多数地基都是扎实的。

== 展望：未来时代的大数数学 ==
自 2021 年以来，中文大数社区得到了长足的发展，逐渐赶上并超越了欧美社区和日本社区的水平。特别是在 2024 年，大数社区内部洋溢着积极乐观的情绪。在传递以及其他思想的指引下，构造理论得到了充分的发展。FOS、fffz、MMS、MN 等新记号的提出和优化层出不穷。 @曹知秋的《大数理论》系统性地整理了大数数学的理论体系，结束了资料过于零散的时代。随着相关亚文化的传播，大数数学在中文互联网上的知名度越来越高，这为中文大数社区提供了大量的新鲜血液。

然而进入 2025 年之后，大数数学的研究开始进入了低谷。人们开始审视之前过于激进的理论体系，并排除了大量不可靠的结果和空中楼阁一般的概念。尽管大数数学知名度仍然在不断增加，进入大数社区的新人越来越多，但是这些人通常不会去真正了解大数数学的知识，并且圈层的扩大也势必会对原有的大数社区生态造成破坏。近年来大数社区与其他社区的交往正在变得更加紧密，这种联系总体上是有益的，但实际上并未真正对各自关心的问题有实质性的启发。大数数学横向上的宽度正在不断扩展，但是纵向上的深度则并未有明显的增加。大数数学各社区之间的国际交往仍然非常有限，欧美社区和日本社区的研究也明显地进入了衰退期。大数数学的业余研究者和专业数学家之间几乎没有交流，专业数学家不关心（或者根本不知道）大数数学社区的结果，我们也几乎无法理解专业数学家的相关工作。

2025 年生成式人工智能的发展非常迅猛，已经在方方面面深刻地改变了人们的生活。然而，目前来看关于大数数学的资料仍然十分缺乏，人工智能在大数数学问题上的表现不佳。我们期望人工智能能够在记号分析、资料整理等领域为我们提供更多的帮助，但是目前看来，这一目标还非常遥远。

根据库恩的范式理论，科学的发展并非是简单的线性累积，而是在常规发展和科学革命两个阶段之间不断交替。按照这一理论，我们至今仍然处在 Worm 型记号革命之后的常规发展阶段，并且这一阶段的潜力正在肉眼可见地被消耗殆尽，逐渐失去了生命力。当前的大数数学研究呈现出了越来越复杂化的倾向，新的结果几乎不能够被其他研究者所理解。进入大数数学前沿研究的门槛越来越高，几乎超过了普通人单纯凭借兴趣所能够达到的极限。事实上自从 2024 年以来，尽管加入大数社区的新人越来越多，但是只有屈指可数的几个人能够真正了解大数数学的前沿进展，并且真正为大数数学的发展做出贡献。这一阶段未来可能还要继续持续下去，直到量变的积累产生质变，或者有真正天才的研究者为我们踏出关键的一步，将大数数学引领到一个全新的时代。

'''附：2024 年中文大数社区十大事件'''

'''1. 3183 丶 4139提出 FOS'''

'''2. 传递现象的提出'''

'''3. 大数社区群聊改革'''

'''4. 曹知秋发布《大数理论》'''

'''5. HypCos提出 MM3'''

'''6. BB(5)取值的严格证明'''

'''7. 7 月 7 日前沿记号的无穷降链或不良定义'''

'''8. 夏夜星空完善 fffz 规则'''

'''9. HypCos提出 MN'''

'''10. 62XXY（739085）与大数社区决裂'''

参考资料

文件:pps.png

2026-05-28T22:15:15Z

Wtydsb：

引自参考文献[1]

Googology 梗百科

2026-05-24T06:18:13Z

Wtydsb：/* 2.XX给你打了 */

本页面收录了一些中文 [[Googology|ggg]] 圈的梗。

== 一、聊天记录类 ==

=== 1.定义没有，牛B吹爆 ===
[[文件:12345B67.jpg|截图日期：2024年8月9日|缩略图]]
起因是 3184 说了句“来点小小的链节余项震撼”，后被 hypcos 回复“定义没有，牛B吹爆”

因为其过于经典而被广为流传。

后来还衍生出了多种版本，如“1234，5B67”和“□□□□，□□□□”，“分析没有，牛B吹爆”等

=== 2.XX给你打了 ===
出自于涵（大数经）对 hypcos 的回复“坦克给你打了”。
[[文件:Tank.jpg|缩略图]]
其中“坦克”指的是 [[LVO]]，这个名词来源于于涵的文件《大数级别段位》（一个数字量级表）中的“掌控者坦克”。另一个较为出名的是“邢天战甲”，被用于指代 [[BO]]。

这个梗中的“坦克”可以被换成任意词，被用于调侃性地表达两个事物间的比较。

此外，受这段聊天记录影响，有一些人在讨论部分内容时也常常使用“我倾向于”表达自己的观点。

详细信息可以参考B站用户 3183丶4139 的[https://b23.tv/ULKDxxw 这期视频]。

=== 3.都在大群拉💩是吧？全都跑不了 ===

出自hypcos在2024年10月25日的发言。

当天00:09qwerty发送“。。。”，随后adm.油手就行复读“。。。”，随后多人复读。09:15后陆续出现“打断复读”、“打断打断复读”、“打断^ω 复读”、“ε(打断+1) 复读”、“2nd 复读”……

随后hypcos发言“都在大群拉💩是吧？全都跑不了”，并分别将real.油手就行，此人不存在等7人分别禁言1,2,4,8,16,32,1分钟。

该聊天记录衍生为“都在___拉_是吧？全都跑不了”与“QSSO+1”(Y序列的1,2,4,8,16,32,1)。

== 二、错字类 ==

=== 1.果糕 ===
果糕是馃槹的谐音版，馃槹是 emoji 表情😰按 UTF-8 编码后用 GBK 解码的结果。

具体可以见[https://2023largenumber.fandom.com/zh/wiki/%F0%9F%98%B0#articleComments/ 此处]。

=== 2.扽西 ===
最早是 PCF 的错字，将“分析”打成了扽西，后来逐渐演变成了一个梗，用于代指不严谨的分析。

=== 3.其他错字 ===
还有一些错字也比较经典，如“狄安娜”指电脑，“周记”指手机，“全业务额是”是“确实”，在此不一一列举。
[[文件:2025-08-11 狄安娜的考验.png|缩略图|疑似对外国友人有点高难度了（对中国人也是）]]
详细可以参考[https://docs.qq.com/sheet/DVnlZSENqbm1CU3FQ?u=7b7ca06006c34e6b84a6bbcc0ac26715&tab=000001 错字辞典]，它较为详细地记载了一些错字。

讨论:大数简史

2026-05-10T12:56:49Z

Wtydsb：/* 果糕 */ 新章节

== 果糕 ==

很好奇为什么简史只剩25年十大事件了 [[用户:Wtydsb|Wtydsb]]（[[用户讨论:Wtydsb|留言]]） 2026年5月10日 (日) 20:56 (CST)

Googology

2026-05-10T12:53:53Z

Wtydsb：/* 逸事 */

'''Googology'''，又名'''大数数学'''，是一门专门研究大[[序数#有限序数|自然数]]的学科。<ref>曹知秋. 大数理论. (EB/OL), Vol.1, pp.27-36. https://github.com/ZhiqiuCao/Googology</ref>

== 词源 ==
该术语是由 André Joyce（安德烈·乔伊斯）根据 Michael Halm（迈克尔·哈尔姆）的虚构故事创造的，由 [[古戈尔|googol]]（这是一个经典的大数）+ -logos（希腊语后缀，意思是“学习”）组合而成。Joyce 的 googology 包含根据文字游戏和异想天开的推断设计一个数字名称系统，虽然目前的大数学家已经不在热衷于命名大数。

'''<span id="googologist">googologist（大数“学家”）</span>'''，现在一般指大数数学爱好者。

== 历史 ==
主词条：[[大数简史]]

从最早的原始计数法到进制计数法，古人发展的大数已经足够日常生活使用了。近几百年来发展的指数函数以及科学计数法，乃至指数塔的推广，也已经足够除了极少数数学分支以外的科学研究使用了。但是直到 20 世纪，大数数学的萌芽才逐渐开始出现。

较早的大数数学研究都是非常零散的。Sudan 于 1927 年提出了 [[Sudan 函数]]，Ackermann 在 1928 年定义了 [[阿克曼函数|Ackermann 函数]]，这两个函数是非原始递归函数，具有较高增长率。早在 1944 年，Goodstein 就在研究序数的过程中就提出了 [[Goodstein函数|Goodstein 序列]]，它的强度远远超过了当时（以及之后几十年）的所有大数记号，只不过这一结果当时在大数领域中并未得到人们的足够重视。Goodstein 在 1947 年正式提出了超运算的概念。Knuth于 1976 年定义了描述超运算的 [[高德纳箭头|Knuth 箭头]]记号，这一记号一直沿用至今。Graham 在1971 年为了解决超立方体染色的问题，提出了 [[葛立恒数#葛立恒函数|Graham 函数]]，而后 Gardner 在 1977 年以它为基础定义了一个更容易理解，同时也更加强大的 [[葛立恒数|Graham 数]]，从而使得大数问题被人们所知。Conway 于 1996 年提出了 [[链式箭头记号|Conway 链]]，这可以视为 Knuth 箭头的一个强大的推广。

而早在 19 世纪 70 年代，Cantor 就开始系统性地研究无穷的性质，并导致了数学史上璀璨的明珠<del>——</del>集合论的诞生。他提出了[[序数]]的概念，并且定义了诸如 ω, ε 等序数。在1908 年，Veblen 提出了 [[Veblen 函数]]，它能够利用序数[[不动点]]系统性地刻画更大的序数。与此同时，Zermelo 提出了集合论公理化系统，后经过 Fraenkel 以及 Skolem 改进，形成了完整的 [[ZFC公理体系|ZFC]] 集合论体系。1950 年，Bachmann 首次提出了[[序数坍缩函数|序数折叠函数]]，而更加现代的序数折叠函数是 Buchholz 于 1986 年提出的。1995 年，Rathjen 利用反射序数提出了更加强大的序数折叠函数，后续的工作又将其强度进一步提高到了很高的层次。

集合论独立地发展了很长的时间，直到 1970 年，在 Wainer 提出最早的 Wanier 层次之后，它才与大数数学建立起来联系。它给出了一种将大序数映射为大数的方式，因此能够利用集合论中的成果来系统性地构造大数。Ketonen 与 Solovay 在 1981 年提出了[[增长层级#快速增长层级|快速增长层次]]的现代版本，并一直沿用至今。但是长期以来，这一结果也并未得到大数领域的重视。大数记号和大（递归）序数记号的真正联系要等到 2014 年以后才得以实现。

进入 21 世纪之后，大数的发展开始变得更加迅速了。在 2001-2004 年，Bowers 首先提出了 [[BEAF|Bowers 数阵]]（Bowers’ Exploding Array Function，BEAF），这是人们首次为了创造一个大数本身（而并非去为了解决其他问题）而创造的大数记号。这一记号在大数历史上具有重要的意义，一些研究者也将这一工作视为大数数学开始独立的起点。此时开始出现了一些零散的大数数学研究者，他们并非是职业的数学家，而是业余的数学爱好者。这一时期的记号主要为 Saibian 于 2005-2008 提出的 [[超E记号|E#]] 记号，以及 Bird 于 2010-2013 年提出的 [[BAN|Bird 数阵]]（Bird’s Array Notation，BAN）。后来数阵记号又得到了较为充分的发展，例如[[美元记号]]等。2016 年提出的[[SAN|强数阵记号]] (Strong Array Notation, SAN) 是数阵型记号的顶峰，它所提出的下降（[[Dropping]]）模式在之后的几年中一直是大数数学研究的最前沿模式。

在 2014 年左右，序数记号开始被引入到大数领域的研究之中。人们发现实际上序数记号与大数记号是统一的，大数记号的核心结构实际上就对应于一个序数，而序数记号套上一层简单的壳子就得到了有限的大数记号。序数记号和大数记号的统一无疑是大数数学有史以来最深刻的发现。至此人们的研究中心逐渐由大数记号转移到了大序数记号上，大数领域也真正迎来了迅速的发展。在这一阶段，递归序数记号的代表是 2015 年提出的 [[TON|Taranovsky 序数记号]]，它远远超过了当时人们所能够理解的强度。HypCos 的《大数入门》恰好成书于这段时间，它反映了大数领域的这场深刻的变革。

与此同时，关于非递归分析的研究也逐渐变得越来越深入，大量[[序数#非递归序数|非递归序数]]的结果被引入到大数数学中。人们意识到通过将越来越强大的非递归序数引入到序数折叠函数之中的方法，可以得到越来越强的递归序数。研究者们从序数分析和证明论中吸收了大量相关的结果，发展了诸如[[反射序数]]、[[稳定序数]]等非递归序数的折叠理论。2014 年的[[方括号稳定]]揭示了 [[Σ1稳定序数|Σ1 稳定序数]]的复杂行为，2018 年的 [[UNOCF]] 则是将反射序数系统性地放入序数折叠函数中的尝试。2020 年提出的[[投影序数|投影]]记号是一个强大的非递归记号。由于非递归分析对于数理逻辑的要求非常高，因此关于非递归分析的研究进展相对缓慢，相关的前沿成果也并不十分为研究者所理解。

在非递归分析发展的同时，人们也在寻求着更加强大的递归记号模式。由 Bashicu 于2014 年提出，并于 2018 年完善的 [[BMS|Bashicu 矩阵]] 是大数数学中划时代的工作。它开启了 [[Beklemishev's Worm|Worm]] 型记号的全新范式，至今仍然有着非常深远的影响。BMS 的强度远远超过了此前记号的极限，但是人们早期对此并没有十分充分的认识。只有当对 BMS 记号的分析变得越来越深入之后，它的强大之处才逐渐显现出来。在 BMS 提出后的相当长一段时间内，对其强度的分析是当时最为重要的工作之一，而这一分析过程也极大地催生了大数界相关数学工具的发展。但由于 BMS 的复杂性，这一项工作直到2025年才被完成，通过很晚近的[[向上投影]]。同时由于 BMS 的强大性和系统性，它现在已经成为了分析其他记号的标准。

2020 年 Yukito 提出的 [[Y序列]] 则是 Worm 型记号的又一座高峰。BMS 与 [[0-Y]] 序列是等价的，而通常所说的 Y 序列指的是 1-Y 序列，在这之上还有更加强大的 [[ω-Y|ω−Y]] 序列。相比于 BMS 的平凡扩展来说，Y 序列彻底超越了 BMS 的强度，达到了前所未有的境地。在 Y 序列之中蕴含的复杂结构也仍然有待于人们进行进一步的探索。

尽管人们一直在试图提出强于 Y 系列的新记号，但是这些记号都没有严谨的证据表明其具有超过 Y 系列记号的预期强度。且这些记号在各自方面相对于传统的广义 Y 系列记号一脉都还只是刚刚有一定的基础，其各自的体系仍然没有完善。在 Y 系列记号的内部，定义任意的 α − Y 乃至更加强大的 Ω − Y 的尝试一直也没有停止。尽管 CIF’s Ω-Y 已经遭遇了失败，但是一些其他的记号仍然在探索序列型记号的进一步推广。目前在这一方向上的代表为由 HypCos 于 2024 年提出的山脉记号（[[Mountain Notation]]，MN）、以及由 Aarex 于 2023 年提出，并且由 HypCos 和 ProjectCF 改进的[[MMS|变异矩阵系统]]（Mutant Matrix System，MMS），由 318'4 提出的[[FOS|基本列序数系统]]（Fundemental Ordinal Sequence，FOS）等。

除了在 Y 序列记号内部进行扩展之外，也存在着一些超出 Y 序列记号体系的尝试。近年来挖掘记号之中的[[传递]]结构已经成为了递归构造的前沿问题，除此之外，由 Asheep233 提出的[[对角化理论]]正在试图找寻 googology 构造记号的一般规律。除此之外，由 Yahtzee 于 2022 年提出，并由夏夜星空改进的 [[Fake Fake Fake Zeta]]（fffz）记号为我们揭示了更加强大的 Stellar 模式的冰山一角，它将有希望为我们揭示递归序数的更深刻结构。近期关于[[构造理论]]的研究为我们揭示了记号强度的部分来源，并将有可能指导我们创造出更加强大的记号。

以上我们讨论的都是可以被明显构造出来的递归记号，这是大数研究者最为关心的部分。然而在此之外，确实存在着一些更加强大的记号。在证明论的研究之中，自然地涌现出了一批非常强大的序数，称为[[证明论序数]]（Proof Theory Ordinal，PTO）。证明论序数是与公理系统相关联的，一个公理系统的强度越高，它的证明论序数就越大。长期以来，序数分析领域的专业数学家对证明论序数进行了深入的研究，得到许多重要的结果。我们猜想 <math>\mathrm{PTO}(\mathrm{Z}_{2})</math> 就达到了 BMS 极限的层次，<math>\mathrm{PTO}(\mathrm{Z}_{\omega})</math> 可能已经远远超越了目前所有递归记号的极限，而 <math>\mathrm{PTO}(\mathrm{ZFC})</math> 则更加遥不可及。1992 年，Laver 提出了 [[Laver Table|Laver 表]]。2001 年，Loader 提出了 [[Loader 数]]，这是一个增长率为 <math>\mathrm{PTO}(\mathrm{Z}_{\omega})</math>的记号。此外 Friedman 还提出了[[有限树序列]]、[[贪心团序列]]等，它们的增长率上界都已经达到较强系统的证明论序数的层次。

在一切递归函数之上的是非递归函数，它们的增长速度超越了一切的递归记号。1961年，Rado 在研究计算理论的时候定义了 [[忙碌海狸函数|Busy Beaver]]。它是基于 Turing 机的性质构建的，是一个重要的非递归函数。2013 年，Goucher 提出了 [[Ξ函数]]，这是一个增长率更高的非递归函数。而基于更加强大的超计算模型，我们可以构建一些增长率更高的不可计算函数。在所有这些记号之上的是 Rayo 于 2007 年提出的 [[Rayo函数|Rayo 数]]，它利用了一阶逻辑的不可描述性质，远远超越了之前的所有记号。

== 意义 ==
研究大数有什么意义？事实上，大数数学的发展就是人们对数这一概念的认识不断加深的过程。

我们回想一下原始社会中的文明，他们的数学水平几乎为零，仅仅是对数有着模糊的概念。若他们的语言中可能会有 10 个表示数字的单词，那么这种计数法所能表达的极限大概为 10。在这个数字范围之内的数是能够为原始人所把握的，而这也差不多是他们所能够直观地把握的极限。

语言确实会影响人的思维。如果一个东西是不能够被我们说出来的，那么它在我们的头脑中也同样是几乎是无法设想的。对于原始人来说，他们或许知道这个世界上确实存在着更大的数，但是他们对这些数的大小已经没有了具体的感知。对于那些更大的数，例如部落中的人口数量、森林里树木的数量、采摘回的果子的数量等等，他们只能够模糊地知道这些数非常巨大，但却无法知道这些数具体有多大。

随着文明的发展，更大的计数法被创造了出来，人们也能够理解一些更大的概念。或者说，正是对处理更大数字的迫切需要，催生了人们对于更优秀的计数法的发展。为了统计诸如城镇所拥有的耕地面积、交战军队所要携带的物资这样的数，更大的计数法被创造了出来。对于古希腊和古罗马来说，它们的计数系统可以表示几万到几十万的数字。后来随着进制计数法的逐渐普及，计数法的能力达到了数亿的量级，这已经足够古人理解生活中的所有大数了。

科学的发展要求人们认识和处理更大的数字，在这种情况下，传统的计数法日益显得捉襟见肘，阻碍了人们的思维。随着指数计数法的发展，人们逐渐解决了这一问题。也正是由于有了更加强大的计数法，我们才能够理解那些大得无法设想的数字，并能够通过对这些数字的处理进一步地发展科学。最终我们的成就是辉煌的：自然界中所能够达到的任何数字都被限制在了五层[[高德纳箭头#幂塔|指数塔]]之内，我们已经一劳永逸地表示出了实际世界中的所有大数。

但是，这显然不是我们的终点。尽管我们原则上已经得到了所有的自然数，我们也可以用指数塔表示出任意大的数，但除非我们能够构造出更加强大的表示法，那么我们永远也不可能从直观上认识到那些更大的数的存在。这正如如果只有进制计数法，就永远无法设想指数塔层次的大数一样，一旦我们发展了更加强大的计数法，我们立刻会觉得指数塔层次的大数小得可怜，而更高层次的大数也只有在此时才能够直观地展现在我们的面前。大数记号的发展让我们对于自然数体系的结构有了更深刻的认识。

正如 Saibian 所说：

<div style="word-wrap: break-word;text-wrap: pretty;color: var(--color-subtle);font-style: italic;width:Fit-content;padding:1rem;border-left:solid #00000030 5px;background-color:var(--color-surface-2)">大数使[[序数#超限序数|无穷大]]显得更大的作用远远超过无穷大使大数显得更小的作用。<ref>Saibian, S. One to Infinity: A Guide to the Finite. ''(M/OL)'', (alpha 2.0.0.0.8). https://sites.google.com/site/largenumbers.</ref></div>

诚然，我们早就知道无穷大远远大于任何有限的数，但是我们恐怕对此始终没有直观的认识。只有当我们真正明显地构造出那些难以设想的大数之后，我们才会认识到无穷大究竟大到了何种程度，我们也才能够真正了解自然数体系之内所蕴含的丰富结构。事实上对于任何一个有限的数来说，不仅仅是有无限多的自然数比它更大，甚至“几乎所有”的自然数都会比它更大，无论这个数自身已经大到了何种程度。大数为我们理解无穷的性质提供了一个直观的参考。

在近几十年的研究中，人们逐渐意识到了大数领域与集合论的密切联系。对集合论的研究极大地促进了大数领域的发展，我们也相信大数领域可以对数理逻辑等领域的研究进行反哺。大数领域与其他的数学体系有着千丝万缕的联系，对大数的研究也有助于我们进一步地理解数学体系中的其他部分。

[[证明论序数|证明论]]与[[SCG函数 & SSCG函数|图论]]等领域中为我们提供了大量增长极快的问题，解决这些问题需要发展更加强大的大数表示法。但或许大数数学的真正魅力并不在于对于其他问题的解决，而恰恰在于'''发现更大的大数'''这件事本身。借助理性的力量，我们在大数的世界之中不断地前进，一次又一次地挑战已知的极限。我们正在试图用我们渺小的头脑，去追寻那些整个宇宙都承载不了的数字。这是人类智慧的一场别开生面的冒险，它已经吸引了许多的数学爱好者参与其中。

== 相关亚文化 ==
以下是一些 googology 相关的亚文化。

=== 挑战葛立恒数 ===
作为大数界的“守门员”，Graham数利用简单的迭代规则创造出了一个在现实世界之中大得难以置信的数。这样一个数字的大小引起了人们的好奇，人们认识到了通常的十进制计数法和指数计数法也存在着表示的极限，在它们之上还有着更加强大的数字。Graham 数（以及一些其他的同样巨大的数字）的知名度不断地提高，而这也吸引了网络上的博主对其进行进一步的解释和宣传。一时间，“写出一个比 Graham 数更大的数字”（即“挑战 Graham 数”）仿佛成为了一个时尚的智力小游戏，吸引着无数人前来参与。

参与数学游戏对人的智力总归是一种锻炼，但是大多数跟风的参与者对大数仅仅有高中水平的认识，因此其想象力仅仅停留在各种自然界中存在的大数（宇宙中的原子数量/一天中一次彩票的概率等），以及最多达到指数塔层次的运算方法和迭代规则。仅仅依靠这些显然是不可能达到葛立恒数的，绝大多数挑战者因此铩羽而归。当然，也有一些挑战者感受到了这一问题的有趣之处，从而愿意对于大数数学有一些更深入的了解。

=== 伪数学 ===
对于伪数学更恰当的称呼应该是“虚构大数学”，它致力于创造出一些仅存在于想象之中的、不存在的大数。这并不是一个数学分支，因为它所讨论的并不是数学对象。伪数学的爱好者会创造出一系列的符号和概念，以此来试图说明一些非常大的数（典型的如所谓各种“绝对无穷”等）。当然，这些结论并不是严肃的数学，而只是一场想象力的狂欢而已。伪数学通常是以视频的形式来表现的，这些视频中充斥着眼花缭乱的特效，以试图表现伪数学世界的狂暴与杂乱无章。伪数学的创作没有任何限制，如果有的话，那么唯一的一条限制就是“怎么都行”。除此之外，伪数学还与其他的社区（如数字方块）有一定的联系。

=== 论战 ===
论战指的是战力比较。不同文学或者娱乐作品之中刻画了许多具有超凡力量的角色，如何比较这些角色之间战斗力的强弱便成为了一个困难的问题。一般来说，要想对一系列角色的战斗力进行比较，可以首先根据其破坏力划分量级，量级高者战斗力占优势。而如果是在统一量级之中实力非常接近的角色，则是借助一个（或者一系列）中间角色 B，通过比较 A > B, B > C 来间接论证 A > C。由于论战问题天然地与大数以及大序数（超越无穷的排序）、大基数（不同层次的无穷大）的问题相关，因此在论战的过程中，这些概念逐渐地开始为人所知。在有限的层面上，可以简单地通过破坏力来划分量级。战力的论证过程一旦上升到无穷，就需要数学的语言来进行进一步的阐述，但是这一部分目前尚没有十分统一的标准。例如可以设想某角色能够毁灭一个无限大的宇宙（单体宇宙），一个角色可以毁灭无限个无限大的宇宙（多元宇宙），一个角色可以毁灭无限个无限大的宇宙，而这里的每个宇宙中又包含了无限个宇宙，这样下去直至无穷（无限盒子），以此类推。当然，人的思维不能够直观地刻画无限，因此即便一个设定上全知全能的角色，其实力也总是以有限的形式表现出来的，这受限于作者本人的想象力。

论战社群非常庞大，且分布极为分散。由于论战社群兴趣的广泛性，它与其他亚文化群体的关联也非常紧密，如二次元动漫、欧美奇幻作品、玄幻小说等。不同的论战群体之间关注的问题以及讨论的方式也完全不同，因此要对论战社群进行一个完整的概括并不是容易的，并且事实上也很难找到能够被整个论战社群所承认的共识。

除了论战之外，还有“自创”设定的做法，即以文字或者小说的形式描述那些尽可能强大的概念。

=== 增量游戏 ===
放置/增量游戏是一种独特的游戏类型，这种游戏通过大量的点击等操作，来获取随时间增长的资源。其经典的设计模式是设计一种或多种随时间增长的资源，然后在增长的过程中可以利用这些资源来升级，以进一步提高资源的增长速度。有些游戏比较侧重玩法，这类游戏被称为放置类游戏。比较经典放置类游戏的有饼干点击（Cookie Clicker）、点击泰坦（Tap Titans）以及进化（Theresmore）等。更加广义的放置类游戏还包含一部分养成类型的游戏，近年来火热的抽卡手游有相当一部分都是广义的放置类游戏。

而有些游戏则去掉了所有其余的部分，而只保留了一个数值增长的核心，这样的游戏称为增量游戏。增量游戏通常是以单纯的文字模式呈现的，例如反物质维度（Antimatter dimensions）、序数增量（Ordinal Markup）等。相比于注重玩法的放置类游戏来说，增量游戏与大数数学的关系要更加密切一些。增量游戏是一个小众的门类，增量游戏的数值设计是不容易的，因为不论何种层次的增长，在一个合适的计数法之下总会被压平成线性的。换句话说，在这一尺度下新的增长模式实际上和最基础的加一又没什么区别了。为了突破这一限制，就要在玩法中引入新的机制，而为了保证可玩性，这一机制加入的时间和强度都需要进行精心设计。一些优秀的增量游戏可以达到很大的数值。

== 讨论 ==
虽然上述亚文化中所有人的目标都是对那些强大得难以想象的概念的追求，但是由于所选择的道路不同，其讨论方式以及风格也完全不同。

仅以严格性论之，数理逻辑等领域的专业数学家最强，其次是严肃的大数数学研究者，他们尽可能严格地使用严格的概念（尽管对于目前的大数数学来说，还不总是能够真正做到这一点）。再其次是论战爱好者，他们不严格地使用那些数学上的概念，通常并不能够理解其含义，有时也自创数学概念。最后是伪数学爱好者，他们使用那些并没有明确定义的概念。
而若以圈子规模来看，那么论战爱好者的人数要远远多于其余的所有人（当然，并非所有的论战爱好者都关心大数和无限的相关问题）。

由此可见，这一时期大数数学已经在国内形成了一个独具特色的亚文化群体。大数数学吸引了大量的爱好者参与其中，逐渐演变成了一场盛况空前的网络狂欢。
客观上来说，这极大地拓展了大数数学的影响力，使其从一个冷僻的数学分支变成了为许多人所了解的有趣问题。同时由于大数数学问题的趣味性和低门槛的特征，许多没有经受过专业的数学训练的人也可以在这一问题上以自己的方式进行探索和研究。这些人将自己探索得到的结果（即便可能是非常弱的结果）发布在网络上，而这又会吸引更多的人加入到这一问题的研究之中。

但是另一方面，大量爱好者的涌入使得中文互联网上本就散乱的大数数学的知识变得更加鱼龙混杂。大量低质、无意义甚至错误的内容充斥着整个社区，使得真正志于深入了解这一问题的爱好者几乎寸步难行。

目前在互联网上，有关于大数数学的低劣内容已经多到了令人发指的程度。许多人对于大数数学的认识（比如 Graham 数或者是 TREE(3)）是一知半解，甚至是完全错误的。这些错误的观念经过宣传之后在网络上获得了很高的知名度，反而是正确的观念由于其难度超过了普通人的理解能力而完全无人理睬。
许多流传于互联网上的信息是毫无价值的。大量由完全不了解大数数学的人创造的结构混乱、强度孱弱、定义残缺，甚至根本不能够被称为“数学内容”的记号几乎淹没了一切有价值的信息。
这种低质量的记号不仅无益于大数数学的发展，反而会加深对于大数数学的刻板印象，认为只是小孩子过家家的比大小游戏。同时这样的记号蒙蔽了真正有意义的递归结构，对它们进行了解不仅仅是白白地浪费时间，还有损于数学的品味，令有志于从事大数数学研究的爱好者误入歧途。

即使是在那些正确的信息之中，绝大多数也已经严重过时了。目前网络上流行的大数记号仍然为 Knuth 箭头、Conway 链、E# 记号以及 Bowers 数阵。
以上的记号之中除了 Knuth 箭头以及 Bowers 数阵的一部分（单行线性数阵）仍然作为大数数学的基础之外，其余的记号早就已经被当前的大数数学界淘汰了。这些记号已有二十年左右的历史，它们仍然是大数数学刚刚出现的时候提出的，其结构仍然带有着那个时代的粗糙痕迹，其强度也十分有限。
少部分“较新”的资料会提到 Bird 数阵，而这一数阵已经是十年前的成果了。而真正的“现代”记号（例如 Bashicu 矩阵），仅仅能够在寥寥可数的几份资料中得以一见而已。

近二十年以来，大数数学取得了长足的发展，涌现出了一大批丰富而又深刻的结果。然而在互联网上，近十年的成果几乎是对外界完全“封闭”了起来。

大数数学社区之外的人难以凭借着自己的力量找到真正有意义的资料，这一点即使是对于有志于学习大数数学的严肃爱好者来说也是如此。
尽管目前大数数学的研究者已经编写了一些较为深入的资料，但是除非已经预先知道相应的关键词，否则这些资料并不容易找到。并且即使找到了这些资料的一部分，可能也会因为它们不够完整和难度较高而放弃。
而真正最前沿的进展，只能够在一些非公开的网络平台（例如 QQ 群或者 discord）上才能找得到。

互联网的发展伴随的不仅仅是知识的流通，还有严重得多的垃圾信息膨胀。在垃圾信息的海洋之中，大数数学只有最表面的一些东西能够为人所知。而更深层次的内容则随着没有意义的垃圾信息一起，被埋葬在了冰冷的海底。
大数数学的问题不仅仅在于知识的传播，还在于相关社区内爱好者不恰当的浮躁心态。在互联网上，许多人完全不能够理解大数数学的内容，而仅仅是通过大数数学里的概念来炫耀自己在互联网平台上的优越感。

令人遗憾的是，许多人到最后逐渐演变成了只会堆叠名词的“名词党”，或者是只沉溺于自己世界中的“民科”。在他们眼中，“大数”仿佛成为了某种时尚的网络单品，成为了一种炫耀自己身份的标志。
有些人受到了伪数学社区和论战社区的影响，误将这些社区的讨论作为真正的大数数学、乃至于整个数学学科本身。
有些人在与大数数学无关的地方不合时宜地发表令人生厌的言论，破坏其他社区的网络环境，这反过来又加剧了人们对于大数数学以及其他相关社区的刻板印象。

但不论如何，当热潮退去之后，[[Googology 社区|总会有真正的大数爱好者留下来，成为该方向上较为严肃的研究者]]。

在 test_alpha0 和夏夜星空的 QQ 群之中大约聚集了几百名爱好者，其中比较活跃的大数研究者大约有几十人，这些人或许占据了国内为数不多的研究者的绝大多数。（作为比较，Discord 大数频道聚集了全世界的大数研究者，其人数大约有一两千人，而其中活跃的研究者可能有几百人。）
他们确实在这个方向上不断地进行更加深入的研究，努力拓宽人类的知识边界。有一些研究者系统性地整理了大数数学的基本知识和一些最新的进展，用较为现代的视角重新审视着整个理论。

特别是在最近几年，国内大数研究者的热情空前高涨，新记号的提出层出不穷，理想的强度极限不断刷新。但是这些记号并未充分经过时间的考验，目前看来仍然有待进一步的完善。
不论如何，相比于前些年的惨淡景象来说，如今的大数界已经算得上是“欣欣向荣”了。

虽然近年来大数数学在国内已经得到了更多的重视，但是时至今日，大数数学仍然是一个极其专门和小众的领域，国内对于大数领域的研究仍然是比较有限的。
并且由于理论发展得越来越艰深，现在的大数数学前沿领域几乎已经超过了普通数学爱好者的能力极限了。
目前国内致力于该方向的研究者几乎都是业余的数学爱好者，人数也仍然较少，长期以来缺乏有能力做出实质性进展的新研究者的加入，与国际大数数学社区的交流仍然不够密切。

总体上来说，国内的大数领域仍然需要进一步的发展。

大数数学的未来是什么样的？目前看来还很难说。或许随着网络的进一步普及和信息化时代的进一步发展，大数数学会为越来越多的人所了解。

大数数学涉及到一些非常艰深的数学，在任何时代热爱数学的人都是极少数。但它毕竟是一个足够有趣的问题，尽管当今时代的人们已经变得越来越浮躁了，它也总会触动一部分人的心灵。

当一切繁杂的声音都逐渐消退之后，剩下的人将会真正地为大数数学的发展做出贡献。我们也期待数学界（特别是数理逻辑相关的领域）能够对大数数学给予更多的重视。

== 逸事 ==
主词条：[[Googology 梗百科|梗百科]]

外网的 discord 上的大数社区对 googology 有 goofology 这种半开玩笑的写法。

无独有偶，在国内大数社区也有类似的梗。

果糕，即😰使用 UTF-8 编码再用 GBK 解码会变成"馃槹"，谐音"果糕"。后来它在国内大数社区发展出了独特的亚文化。具体参见[https://2023largenumber.fandom.com/zh/wiki/%F0%9F%98%B0/ 此处]。而因为果糕和 googol 发音相似，因此 googology 有时被称为果糕逻辑。（一说是因为g(guo)g(gao)logy）

== 参考资料 ==

[[分类:重要概念]]
[[分类:入门]]

Googology

2026-05-10T12:48:18Z

Wtydsb：/* 增量游戏 */

'''Googology'''，又名'''大数数学'''，是一门专门研究大[[序数#有限序数|自然数]]的学科。<ref>曹知秋. 大数理论. (EB/OL), Vol.1, pp.27-36. https://github.com/ZhiqiuCao/Googology</ref>

== 词源 ==
该术语是由 André Joyce（安德烈·乔伊斯）根据 Michael Halm（迈克尔·哈尔姆）的虚构故事创造的，由 [[古戈尔|googol]]（这是一个经典的大数）+ -logos（希腊语后缀，意思是“学习”）组合而成。Joyce 的 googology 包含根据文字游戏和异想天开的推断设计一个数字名称系统，虽然目前的大数学家已经不在热衷于命名大数。

'''<span id="googologist">googologist（大数“学家”）</span>'''，现在一般指大数数学爱好者。

== 历史 ==
主词条：[[大数简史]]

从最早的原始计数法到进制计数法，古人发展的大数已经足够日常生活使用了。近几百年来发展的指数函数以及科学计数法，乃至指数塔的推广，也已经足够除了极少数数学分支以外的科学研究使用了。但是直到 20 世纪，大数数学的萌芽才逐渐开始出现。

较早的大数数学研究都是非常零散的。Sudan 于 1927 年提出了 [[Sudan 函数]]，Ackermann 在 1928 年定义了 [[阿克曼函数|Ackermann 函数]]，这两个函数是非原始递归函数，具有较高增长率。早在 1944 年，Goodstein 就在研究序数的过程中就提出了 [[Goodstein函数|Goodstein 序列]]，它的强度远远超过了当时（以及之后几十年）的所有大数记号，只不过这一结果当时在大数领域中并未得到人们的足够重视。Goodstein 在 1947 年正式提出了超运算的概念。Knuth于 1976 年定义了描述超运算的 [[高德纳箭头|Knuth 箭头]]记号，这一记号一直沿用至今。Graham 在1971 年为了解决超立方体染色的问题，提出了 [[葛立恒数#葛立恒函数|Graham 函数]]，而后 Gardner 在 1977 年以它为基础定义了一个更容易理解，同时也更加强大的 [[葛立恒数|Graham 数]]，从而使得大数问题被人们所知。Conway 于 1996 年提出了 [[链式箭头记号|Conway 链]]，这可以视为 Knuth 箭头的一个强大的推广。

而早在 19 世纪 70 年代，Cantor 就开始系统性地研究无穷的性质，并导致了数学史上璀璨的明珠<del>——</del>集合论的诞生。他提出了[[序数]]的概念，并且定义了诸如 ω, ε 等序数。在1908 年，Veblen 提出了 [[Veblen 函数]]，它能够利用序数[[不动点]]系统性地刻画更大的序数。与此同时，Zermelo 提出了集合论公理化系统，后经过 Fraenkel 以及 Skolem 改进，形成了完整的 [[ZFC公理体系|ZFC]] 集合论体系。1950 年，Bachmann 首次提出了[[序数坍缩函数|序数折叠函数]]，而更加现代的序数折叠函数是 Buchholz 于 1986 年提出的。1995 年，Rathjen 利用反射序数提出了更加强大的序数折叠函数，后续的工作又将其强度进一步提高到了很高的层次。

集合论独立地发展了很长的时间，直到 1970 年，在 Wainer 提出最早的 Wanier 层次之后，它才与大数数学建立起来联系。它给出了一种将大序数映射为大数的方式，因此能够利用集合论中的成果来系统性地构造大数。Ketonen 与 Solovay 在 1981 年提出了[[增长层级#快速增长层级|快速增长层次]]的现代版本，并一直沿用至今。但是长期以来，这一结果也并未得到大数领域的重视。大数记号和大（递归）序数记号的真正联系要等到 2014 年以后才得以实现。

进入 21 世纪之后，大数的发展开始变得更加迅速了。在 2001-2004 年，Bowers 首先提出了 [[BEAF|Bowers 数阵]]（Bowers’ Exploding Array Function，BEAF），这是人们首次为了创造一个大数本身（而并非去为了解决其他问题）而创造的大数记号。这一记号在大数历史上具有重要的意义，一些研究者也将这一工作视为大数数学开始独立的起点。此时开始出现了一些零散的大数数学研究者，他们并非是职业的数学家，而是业余的数学爱好者。这一时期的记号主要为 Saibian 于 2005-2008 提出的 [[超E记号|E#]] 记号，以及 Bird 于 2010-2013 年提出的 [[BAN|Bird 数阵]]（Bird’s Array Notation，BAN）。后来数阵记号又得到了较为充分的发展，例如[[美元记号]]等。2016 年提出的[[SAN|强数阵记号]] (Strong Array Notation, SAN) 是数阵型记号的顶峰，它所提出的下降（[[Dropping]]）模式在之后的几年中一直是大数数学研究的最前沿模式。

在 2014 年左右，序数记号开始被引入到大数领域的研究之中。人们发现实际上序数记号与大数记号是统一的，大数记号的核心结构实际上就对应于一个序数，而序数记号套上一层简单的壳子就得到了有限的大数记号。序数记号和大数记号的统一无疑是大数数学有史以来最深刻的发现。至此人们的研究中心逐渐由大数记号转移到了大序数记号上，大数领域也真正迎来了迅速的发展。在这一阶段，递归序数记号的代表是 2015 年提出的 [[TON|Taranovsky 序数记号]]，它远远超过了当时人们所能够理解的强度。HypCos 的《大数入门》恰好成书于这段时间，它反映了大数领域的这场深刻的变革。

与此同时，关于非递归分析的研究也逐渐变得越来越深入，大量[[序数#非递归序数|非递归序数]]的结果被引入到大数数学中。人们意识到通过将越来越强大的非递归序数引入到序数折叠函数之中的方法，可以得到越来越强的递归序数。研究者们从序数分析和证明论中吸收了大量相关的结果，发展了诸如[[反射序数]]、[[稳定序数]]等非递归序数的折叠理论。2014 年的[[方括号稳定]]揭示了 [[Σ1稳定序数|Σ1 稳定序数]]的复杂行为，2018 年的 [[UNOCF]] 则是将反射序数系统性地放入序数折叠函数中的尝试。2020 年提出的[[投影序数|投影]]记号是一个强大的非递归记号。由于非递归分析对于数理逻辑的要求非常高，因此关于非递归分析的研究进展相对缓慢，相关的前沿成果也并不十分为研究者所理解。

在非递归分析发展的同时，人们也在寻求着更加强大的递归记号模式。由 Bashicu 于2014 年提出，并于 2018 年完善的 [[BMS|Bashicu 矩阵]] 是大数数学中划时代的工作。它开启了 [[Beklemishev's Worm|Worm]] 型记号的全新范式，至今仍然有着非常深远的影响。BMS 的强度远远超过了此前记号的极限，但是人们早期对此并没有十分充分的认识。只有当对 BMS 记号的分析变得越来越深入之后，它的强大之处才逐渐显现出来。在 BMS 提出后的相当长一段时间内，对其强度的分析是当时最为重要的工作之一，而这一分析过程也极大地催生了大数界相关数学工具的发展。但由于 BMS 的复杂性，这一项工作直到2025年才被完成，通过很晚近的[[向上投影]]。同时由于 BMS 的强大性和系统性，它现在已经成为了分析其他记号的标准。

2020 年 Yukito 提出的 [[Y序列]] 则是 Worm 型记号的又一座高峰。BMS 与 [[0-Y]] 序列是等价的，而通常所说的 Y 序列指的是 1-Y 序列，在这之上还有更加强大的 [[ω-Y|ω−Y]] 序列。相比于 BMS 的平凡扩展来说，Y 序列彻底超越了 BMS 的强度，达到了前所未有的境地。在 Y 序列之中蕴含的复杂结构也仍然有待于人们进行进一步的探索。

尽管人们一直在试图提出强于 Y 系列的新记号，但是这些记号都没有严谨的证据表明其具有超过 Y 系列记号的预期强度。且这些记号在各自方面相对于传统的广义 Y 系列记号一脉都还只是刚刚有一定的基础，其各自的体系仍然没有完善。在 Y 系列记号的内部，定义任意的 α − Y 乃至更加强大的 Ω − Y 的尝试一直也没有停止。尽管 CIF’s Ω-Y 已经遭遇了失败，但是一些其他的记号仍然在探索序列型记号的进一步推广。目前在这一方向上的代表为由 HypCos 于 2024 年提出的山脉记号（[[Mountain Notation]]，MN）、以及由 Aarex 于 2023 年提出，并且由 HypCos 和 ProjectCF 改进的[[MMS|变异矩阵系统]]（Mutant Matrix System，MMS），由 318'4 提出的[[FOS|基本列序数系统]]（Fundemental Ordinal Sequence，FOS）等。

除了在 Y 序列记号内部进行扩展之外，也存在着一些超出 Y 序列记号体系的尝试。近年来挖掘记号之中的[[传递]]结构已经成为了递归构造的前沿问题，除此之外，由 Asheep233 提出的[[对角化理论]]正在试图找寻 googology 构造记号的一般规律。除此之外，由 Yahtzee 于 2022 年提出，并由夏夜星空改进的 [[Fake Fake Fake Zeta]]（fffz）记号为我们揭示了更加强大的 Stellar 模式的冰山一角，它将有希望为我们揭示递归序数的更深刻结构。近期关于[[构造理论]]的研究为我们揭示了记号强度的部分来源，并将有可能指导我们创造出更加强大的记号。

以上我们讨论的都是可以被明显构造出来的递归记号，这是大数研究者最为关心的部分。然而在此之外，确实存在着一些更加强大的记号。在证明论的研究之中，自然地涌现出了一批非常强大的序数，称为[[证明论序数]]（Proof Theory Ordinal，PTO）。证明论序数是与公理系统相关联的，一个公理系统的强度越高，它的证明论序数就越大。长期以来，序数分析领域的专业数学家对证明论序数进行了深入的研究，得到许多重要的结果。我们猜想 <math>\mathrm{PTO}(\mathrm{Z}_{2})</math> 就达到了 BMS 极限的层次，<math>\mathrm{PTO}(\mathrm{Z}_{\omega})</math> 可能已经远远超越了目前所有递归记号的极限，而 <math>\mathrm{PTO}(\mathrm{ZFC})</math> 则更加遥不可及。1992 年，Laver 提出了 [[Laver Table|Laver 表]]。2001 年，Loader 提出了 [[Loader 数]]，这是一个增长率为 <math>\mathrm{PTO}(\mathrm{Z}_{\omega})</math>的记号。此外 Friedman 还提出了[[有限树序列]]、[[贪心团序列]]等，它们的增长率上界都已经达到较强系统的证明论序数的层次。

在一切递归函数之上的是非递归函数，它们的增长速度超越了一切的递归记号。1961年，Rado 在研究计算理论的时候定义了 [[忙碌海狸函数|Busy Beaver]]。它是基于 Turing 机的性质构建的，是一个重要的非递归函数。2013 年，Goucher 提出了 [[Ξ函数]]，这是一个增长率更高的非递归函数。而基于更加强大的超计算模型，我们可以构建一些增长率更高的不可计算函数。在所有这些记号之上的是 Rayo 于 2007 年提出的 [[Rayo函数|Rayo 数]]，它利用了一阶逻辑的不可描述性质，远远超越了之前的所有记号。

== 意义 ==
研究大数有什么意义？事实上，大数数学的发展就是人们对数这一概念的认识不断加深的过程。

我们回想一下原始社会中的文明，他们的数学水平几乎为零，仅仅是对数有着模糊的概念。若他们的语言中可能会有 10 个表示数字的单词，那么这种计数法所能表达的极限大概为 10。在这个数字范围之内的数是能够为原始人所把握的，而这也差不多是他们所能够直观地把握的极限。

语言确实会影响人的思维。如果一个东西是不能够被我们说出来的，那么它在我们的头脑中也同样是几乎是无法设想的。对于原始人来说，他们或许知道这个世界上确实存在着更大的数，但是他们对这些数的大小已经没有了具体的感知。对于那些更大的数，例如部落中的人口数量、森林里树木的数量、采摘回的果子的数量等等，他们只能够模糊地知道这些数非常巨大，但却无法知道这些数具体有多大。

随着文明的发展，更大的计数法被创造了出来，人们也能够理解一些更大的概念。或者说，正是对处理更大数字的迫切需要，催生了人们对于更优秀的计数法的发展。为了统计诸如城镇所拥有的耕地面积、交战军队所要携带的物资这样的数，更大的计数法被创造了出来。对于古希腊和古罗马来说，它们的计数系统可以表示几万到几十万的数字。后来随着进制计数法的逐渐普及，计数法的能力达到了数亿的量级，这已经足够古人理解生活中的所有大数了。

科学的发展要求人们认识和处理更大的数字，在这种情况下，传统的计数法日益显得捉襟见肘，阻碍了人们的思维。随着指数计数法的发展，人们逐渐解决了这一问题。也正是由于有了更加强大的计数法，我们才能够理解那些大得无法设想的数字，并能够通过对这些数字的处理进一步地发展科学。最终我们的成就是辉煌的：自然界中所能够达到的任何数字都被限制在了五层[[高德纳箭头#幂塔|指数塔]]之内，我们已经一劳永逸地表示出了实际世界中的所有大数。

但是，这显然不是我们的终点。尽管我们原则上已经得到了所有的自然数，我们也可以用指数塔表示出任意大的数，但除非我们能够构造出更加强大的表示法，那么我们永远也不可能从直观上认识到那些更大的数的存在。这正如如果只有进制计数法，就永远无法设想指数塔层次的大数一样，一旦我们发展了更加强大的计数法，我们立刻会觉得指数塔层次的大数小得可怜，而更高层次的大数也只有在此时才能够直观地展现在我们的面前。大数记号的发展让我们对于自然数体系的结构有了更深刻的认识。

正如 Saibian 所说：

<div style="word-wrap: break-word;text-wrap: pretty;color: var(--color-subtle);font-style: italic;width:Fit-content;padding:1rem;border-left:solid #00000030 5px;background-color:var(--color-surface-2)">大数使[[序数#超限序数|无穷大]]显得更大的作用远远超过无穷大使大数显得更小的作用。<ref>Saibian, S. One to Infinity: A Guide to the Finite. ''(M/OL)'', (alpha 2.0.0.0.8). https://sites.google.com/site/largenumbers.</ref></div>

诚然，我们早就知道无穷大远远大于任何有限的数，但是我们恐怕对此始终没有直观的认识。只有当我们真正明显地构造出那些难以设想的大数之后，我们才会认识到无穷大究竟大到了何种程度，我们也才能够真正了解自然数体系之内所蕴含的丰富结构。事实上对于任何一个有限的数来说，不仅仅是有无限多的自然数比它更大，甚至“几乎所有”的自然数都会比它更大，无论这个数自身已经大到了何种程度。大数为我们理解无穷的性质提供了一个直观的参考。

在近几十年的研究中，人们逐渐意识到了大数领域与集合论的密切联系。对集合论的研究极大地促进了大数领域的发展，我们也相信大数领域可以对数理逻辑等领域的研究进行反哺。大数领域与其他的数学体系有着千丝万缕的联系，对大数的研究也有助于我们进一步地理解数学体系中的其他部分。

[[证明论序数|证明论]]与[[SCG函数 & SSCG函数|图论]]等领域中为我们提供了大量增长极快的问题，解决这些问题需要发展更加强大的大数表示法。但或许大数数学的真正魅力并不在于对于其他问题的解决，而恰恰在于'''发现更大的大数'''这件事本身。借助理性的力量，我们在大数的世界之中不断地前进，一次又一次地挑战已知的极限。我们正在试图用我们渺小的头脑，去追寻那些整个宇宙都承载不了的数字。这是人类智慧的一场别开生面的冒险，它已经吸引了许多的数学爱好者参与其中。

== 相关亚文化 ==
以下是一些 googology 相关的亚文化。

=== 挑战葛立恒数 ===
作为大数界的“守门员”，Graham数利用简单的迭代规则创造出了一个在现实世界之中大得难以置信的数。这样一个数字的大小引起了人们的好奇，人们认识到了通常的十进制计数法和指数计数法也存在着表示的极限，在它们之上还有着更加强大的数字。Graham 数（以及一些其他的同样巨大的数字）的知名度不断地提高，而这也吸引了网络上的博主对其进行进一步的解释和宣传。一时间，“写出一个比 Graham 数更大的数字”（即“挑战 Graham 数”）仿佛成为了一个时尚的智力小游戏，吸引着无数人前来参与。

参与数学游戏对人的智力总归是一种锻炼，但是大多数跟风的参与者对大数仅仅有高中水平的认识，因此其想象力仅仅停留在各种自然界中存在的大数（宇宙中的原子数量/一天中一次彩票的概率等），以及最多达到指数塔层次的运算方法和迭代规则。仅仅依靠这些显然是不可能达到葛立恒数的，绝大多数挑战者因此铩羽而归。当然，也有一些挑战者感受到了这一问题的有趣之处，从而愿意对于大数数学有一些更深入的了解。

=== 伪数学 ===
对于伪数学更恰当的称呼应该是“虚构大数学”，它致力于创造出一些仅存在于想象之中的、不存在的大数。这并不是一个数学分支，因为它所讨论的并不是数学对象。伪数学的爱好者会创造出一系列的符号和概念，以此来试图说明一些非常大的数（典型的如所谓各种“绝对无穷”等）。当然，这些结论并不是严肃的数学，而只是一场想象力的狂欢而已。伪数学通常是以视频的形式来表现的，这些视频中充斥着眼花缭乱的特效，以试图表现伪数学世界的狂暴与杂乱无章。伪数学的创作没有任何限制，如果有的话，那么唯一的一条限制就是“怎么都行”。除此之外，伪数学还与其他的社区（如数字方块）有一定的联系。

=== 论战 ===
论战指的是战力比较。不同文学或者娱乐作品之中刻画了许多具有超凡力量的角色，如何比较这些角色之间战斗力的强弱便成为了一个困难的问题。一般来说，要想对一系列角色的战斗力进行比较，可以首先根据其破坏力划分量级，量级高者战斗力占优势。而如果是在统一量级之中实力非常接近的角色，则是借助一个（或者一系列）中间角色 B，通过比较 A > B, B > C 来间接论证 A > C。由于论战问题天然地与大数以及大序数（超越无穷的排序）、大基数（不同层次的无穷大）的问题相关，因此在论战的过程中，这些概念逐渐地开始为人所知。在有限的层面上，可以简单地通过破坏力来划分量级。战力的论证过程一旦上升到无穷，就需要数学的语言来进行进一步的阐述，但是这一部分目前尚没有十分统一的标准。例如可以设想某角色能够毁灭一个无限大的宇宙（单体宇宙），一个角色可以毁灭无限个无限大的宇宙（多元宇宙），一个角色可以毁灭无限个无限大的宇宙，而这里的每个宇宙中又包含了无限个宇宙，这样下去直至无穷（无限盒子），以此类推。当然，人的思维不能够直观地刻画无限，因此即便一个设定上全知全能的角色，其实力也总是以有限的形式表现出来的，这受限于作者本人的想象力。

论战社群非常庞大，且分布极为分散。由于论战社群兴趣的广泛性，它与其他亚文化群体的关联也非常紧密，如二次元动漫、欧美奇幻作品、玄幻小说等。不同的论战群体之间关注的问题以及讨论的方式也完全不同，因此要对论战社群进行一个完整的概括并不是容易的，并且事实上也很难找到能够被整个论战社群所承认的共识。

除了论战之外，还有“自创”设定的做法，即以文字或者小说的形式描述那些尽可能强大的概念。

=== 增量游戏 ===
放置/增量游戏是一种独特的游戏类型，这种游戏通过大量的点击等操作，来获取随时间增长的资源。其经典的设计模式是设计一种或多种随时间增长的资源，然后在增长的过程中可以利用这些资源来升级，以进一步提高资源的增长速度。有些游戏比较侧重玩法，这类游戏被称为放置类游戏。比较经典放置类游戏的有饼干点击（Cookie Clicker）、点击泰坦（Tap Titans）以及进化（Theresmore）等。更加广义的放置类游戏还包含一部分养成类型的游戏，近年来火热的抽卡手游有相当一部分都是广义的放置类游戏。

而有些游戏则去掉了所有其余的部分，而只保留了一个数值增长的核心，这样的游戏称为增量游戏。增量游戏通常是以单纯的文字模式呈现的，例如反物质维度（Antimatter dimensions）、序数增量（Ordinal Markup）等。相比于注重玩法的放置类游戏来说，增量游戏与大数数学的关系要更加密切一些。增量游戏是一个小众的门类，增量游戏的数值设计是不容易的，因为不论何种层次的增长，在一个合适的计数法之下总会被压平成线性的。换句话说，在这一尺度下新的增长模式实际上和最基础的加一又没什么区别了。为了突破这一限制，就要在玩法中引入新的机制，而为了保证可玩性，这一机制加入的时间和强度都需要进行精心设计。一些优秀的增量游戏可以达到很大的数值。

== 讨论 ==
虽然上述亚文化中所有人的目标都是对那些强大得难以想象的概念的追求，但是由于所选择的道路不同，其讨论方式以及风格也完全不同。

仅以严格性论之，数理逻辑等领域的专业数学家最强，其次是严肃的大数数学研究者，他们尽可能严格地使用严格的概念（尽管对于目前的大数数学来说，还不总是能够真正做到这一点）。再其次是论战爱好者，他们不严格地使用那些数学上的概念，通常并不能够理解其含义，有时也自创数学概念。最后是伪数学爱好者，他们使用那些并没有明确定义的概念。
而若以圈子规模来看，那么论战爱好者的人数要远远多于其余的所有人（当然，并非所有的论战爱好者都关心大数和无限的相关问题）。

由此可见，这一时期大数数学已经在国内形成了一个独具特色的亚文化群体。大数数学吸引了大量的爱好者参与其中，逐渐演变成了一场盛况空前的网络狂欢。
客观上来说，这极大地拓展了大数数学的影响力，使其从一个冷僻的数学分支变成了为许多人所了解的有趣问题。同时由于大数数学问题的趣味性和低门槛的特征，许多没有经受过专业的数学训练的人也可以在这一问题上以自己的方式进行探索和研究。这些人将自己探索得到的结果（即便可能是非常弱的结果）发布在网络上，而这又会吸引更多的人加入到这一问题的研究之中。

但是另一方面，大量爱好者的涌入使得中文互联网上本就散乱的大数数学的知识变得更加鱼龙混杂。大量低质、无意义甚至错误的内容充斥着整个社区，使得真正志于深入了解这一问题的爱好者几乎寸步难行。

目前在互联网上，有关于大数数学的低劣内容已经多到了令人发指的程度。许多人对于大数数学的认识（比如 Graham 数或者是 TREE(3)）是一知半解，甚至是完全错误的。这些错误的观念经过宣传之后在网络上获得了很高的知名度，反而是正确的观念由于其难度超过了普通人的理解能力而完全无人理睬。
许多流传于互联网上的信息是毫无价值的。大量由完全不了解大数数学的人创造的结构混乱、强度孱弱、定义残缺，甚至根本不能够被称为“数学内容”的记号几乎淹没了一切有价值的信息。
这种低质量的记号不仅无益于大数数学的发展，反而会加深对于大数数学的刻板印象，认为只是小孩子过家家的比大小游戏。同时这样的记号蒙蔽了真正有意义的递归结构，对它们进行了解不仅仅是白白地浪费时间，还有损于数学的品味，令有志于从事大数数学研究的爱好者误入歧途。

即使是在那些正确的信息之中，绝大多数也已经严重过时了。目前网络上流行的大数记号仍然为 Knuth 箭头、Conway 链、E# 记号以及 Bowers 数阵。
以上的记号之中除了 Knuth 箭头以及 Bowers 数阵的一部分（单行线性数阵）仍然作为大数数学的基础之外，其余的记号早就已经被当前的大数数学界淘汰了。这些记号已有二十年左右的历史，它们仍然是大数数学刚刚出现的时候提出的，其结构仍然带有着那个时代的粗糙痕迹，其强度也十分有限。
少部分“较新”的资料会提到 Bird 数阵，而这一数阵已经是十年前的成果了。而真正的“现代”记号（例如 Bashicu 矩阵），仅仅能够在寥寥可数的几份资料中得以一见而已。

近二十年以来，大数数学取得了长足的发展，涌现出了一大批丰富而又深刻的结果。然而在互联网上，近十年的成果几乎是对外界完全“封闭”了起来。

大数数学社区之外的人难以凭借着自己的力量找到真正有意义的资料，这一点即使是对于有志于学习大数数学的严肃爱好者来说也是如此。
尽管目前大数数学的研究者已经编写了一些较为深入的资料，但是除非已经预先知道相应的关键词，否则这些资料并不容易找到。并且即使找到了这些资料的一部分，可能也会因为它们不够完整和难度较高而放弃。
而真正最前沿的进展，只能够在一些非公开的网络平台（例如 QQ 群或者 discord）上才能找得到。

互联网的发展伴随的不仅仅是知识的流通，还有严重得多的垃圾信息膨胀。在垃圾信息的海洋之中，大数数学只有最表面的一些东西能够为人所知。而更深层次的内容则随着没有意义的垃圾信息一起，被埋葬在了冰冷的海底。
大数数学的问题不仅仅在于知识的传播，还在于相关社区内爱好者不恰当的浮躁心态。在互联网上，许多人完全不能够理解大数数学的内容，而仅仅是通过大数数学里的概念来炫耀自己在互联网平台上的优越感。

令人遗憾的是，许多人到最后逐渐演变成了只会堆叠名词的“名词党”，或者是只沉溺于自己世界中的“民科”。在他们眼中，“大数”仿佛成为了某种时尚的网络单品，成为了一种炫耀自己身份的标志。
有些人受到了伪数学社区和论战社区的影响，误将这些社区的讨论作为真正的大数数学、乃至于整个数学学科本身。
有些人在与大数数学无关的地方不合时宜地发表令人生厌的言论，破坏其他社区的网络环境，这反过来又加剧了人们对于大数数学以及其他相关社区的刻板印象。

但不论如何，当热潮退去之后，[[Googology 社区|总会有真正的大数爱好者留下来，成为该方向上较为严肃的研究者]]。

在 test_alpha0 和夏夜星空的 QQ 群之中大约聚集了几百名爱好者，其中比较活跃的大数研究者大约有几十人，这些人或许占据了国内为数不多的研究者的绝大多数。（作为比较，Discord 大数频道聚集了全世界的大数研究者，其人数大约有一两千人，而其中活跃的研究者可能有几百人。）
他们确实在这个方向上不断地进行更加深入的研究，努力拓宽人类的知识边界。有一些研究者系统性地整理了大数数学的基本知识和一些最新的进展，用较为现代的视角重新审视着整个理论。

特别是在最近几年，国内大数研究者的热情空前高涨，新记号的提出层出不穷，理想的强度极限不断刷新。但是这些记号并未充分经过时间的考验，目前看来仍然有待进一步的完善。
不论如何，相比于前些年的惨淡景象来说，如今的大数界已经算得上是“欣欣向荣”了。

虽然近年来大数数学在国内已经得到了更多的重视，但是时至今日，大数数学仍然是一个极其专门和小众的领域，国内对于大数领域的研究仍然是比较有限的。
并且由于理论发展得越来越艰深，现在的大数数学前沿领域几乎已经超过了普通数学爱好者的能力极限了。
目前国内致力于该方向的研究者几乎都是业余的数学爱好者，人数也仍然较少，长期以来缺乏有能力做出实质性进展的新研究者的加入，与国际大数数学社区的交流仍然不够密切。

总体上来说，国内的大数领域仍然需要进一步的发展。

大数数学的未来是什么样的？目前看来还很难说。或许随着网络的进一步普及和信息化时代的进一步发展，大数数学会为越来越多的人所了解。

大数数学涉及到一些非常艰深的数学，在任何时代热爱数学的人都是极少数。但它毕竟是一个足够有趣的问题，尽管当今时代的人们已经变得越来越浮躁了，它也总会触动一部分人的心灵。

当一切繁杂的声音都逐渐消退之后，剩下的人将会真正地为大数数学的发展做出贡献。我们也期待数学界（特别是数理逻辑相关的领域）能够对大数数学给予更多的重视。

== 逸事 ==
主词条：[[Googology 梗百科|梗百科]]

外网的 discord 上的大数社区对 googology 有 goofology 这种半开玩笑的写法。

无独有偶，在国内大数社区也有类似的梗。

果糕，即😰使用 UTF-8 编码再用 GBK 解码会变成"馃槹"，谐音"果糕"。后来它在国内大数社区发展出了独特的亚文化。具体参见[https://2023largenumber.fandom.com/zh/wiki/%F0%9F%98%B0/ 此处]。而因为果糕和 googol 发音相似，因此 googology 有时被称为果糕逻辑。

== 参考资料 ==

[[分类:重要概念]]
[[分类:入门]]