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冯诺依曼宇宙

2026-06-01T08:21:01Z

Testtesttesttest：

冯诺依曼宇宙，即[[传递集#良基集（Well-founded Set）|良基集合]]宇宙 WF，是冯诺依曼提出的一个由累加层次归纳构建的集论模型。

==== 定义 ====

在[[ZFC公理体系#正则公理|正则公理]]的基础上，冯诺依曼宇宙和集论全域 <math>V=\{x:x=x\}</math> 是一个集论[[模型]]。我们将<math>V</math>的一个累加层次称为<math>V_{\alpha}</math>，其中<math>\alpha</math>是一个[[序数]]。有如下定义：

* <math>V_0=\emptyset</math>
* <math>V_{\alpha+1}=\mathfrak{P}(V_{\alpha})</math>
* <math>V_{\alpha}=\cup_{\beta<\alpha}\ V_{\beta}</math>，当 <math>\alpha</math> 是[[序数#极限序数|极限序数]]
* <math>V=\cup_{\alpha\in Ord}\ V_{\alpha}</math>

==== 性质 ====

我们可以得出这个模型拥有许多良好的性质，例如

任何一个 <math>V_{\alpha}</math> 都是一个[[传递集]]，对于任意 <math>\alpha</math>，<math>\alpha\subset V_{\alpha}</math>，并且可以根据“任何集合都在 V 中”这个属性来定义集合的秩（rank）。

冯诺依曼宇宙被认为是集论的“预备模型”，即如果 ZFC 是一致的，那么 <math>V</math> 是它的一个模型。<math>V</math> 也被称为集合论宇宙。

<math>V</math> 的一些累加层次可以作为 [[ZFC公理体系|ZFC 公理体系]]的弱化版的模型，例如 ZF-INF 的模型可以是 <math>V_{\omega}</math>，Z 的模型可以是<math>V_{\omega\times 2}</math>。

==== 补充 ====
<math>V</math>是一个[[真类]](如果是集合的话，就会出现<math>V\in V</math>，违反正则公理)不能作为对象，也不能参加任何运算
[[分类:集合论相关]]

搜索

2026-05-30T10:42:07Z

Testtesttesttest：/* 站内搜索 */

<nowiki>

<div id="custom-wiki-search" style="max-width: 800px; margin: 2rem auto; padding: 1rem; border: 1px solid #ddd; border-radius: 8px;">
<h3>维基全站条件搜索</h3>
<form id="wiki-search-form" onsubmit="return doWikiSearch()">
<div style="margin: 1rem 0;">
<label>搜索关键词：</label>
<input type="text" id="search-keyword" placeholder="输入要匹配的内容..." required style="width: 70%; padding: 0.5rem; margin-left: 0.5rem;">
</div>
<div style="margin: 1rem 0;">
<label>限定命名空间：</label>
<select id="search-namespace" style="padding: 0.5rem; margin-left: 0.5rem;">
<option value="0">主命名空间（文章）</option>
<option value="14">分类</option>
<option value="10">模板</option>
<option value="-1">所有命名空间</option>
</select>
</div>
<button type="submit" style="padding: 0.5rem 2rem; background: # 0645ad; color: white; border: none; border-radius: 4px; cursor: pointer;">开始搜索</button>
</form>


<div id="search-results" style="margin-top: 2rem;">
<ul id="results-list" style="list-style: none; padding: 0;"></ul>
</div>
</div>

<script>
function doWikiSearch() {
// 获取搜索参数
const keyword = document.getElementById('search-keyword').value.trim();
const namespace = document.getElementById('search-namespace').value;
const resultsList = document.getElementById('results-list');
resultsList.innerHTML = '<li>正在搜索中，请稍候...</li>';

// 调用MediaWiki原生API
const apiUrl = mw.config.get('wgScriptPath') + '/api.php';
const params = new URLSearchParams({
action: 'query',
list: 'search',
srsearch: keyword,
srnamespace: namespace,
srlimit: 50, // 最多返回50条结果，可自行修改
format: 'json'
});

fetch(`${apiUrl}?${params.toString()}`)
.then(response => response.json())
.then(data => {
resultsList.innerHTML = '';
const results = data.query.search;

if (results.length === 0) {
resultsList.innerHTML = '<li>未找到符合条件的页面</li>';
return;
}

// 渲染搜索结果
results.forEach(page => {
const li = document.createElement('li');
li.style = 'margin: 0.8rem 0; padding-bottom: 0.8rem; border-bottom: 1px solid #eee;';
li.innerHTML = `
<a href="${mw.config.get('wgArticlePath').replace('$1', encodeURIComponent(page.title))}" target="_blank">
${page.title}
</a>
${page.snippet}...
`;
resultsList.appendChild(li);
});
})
.catch(error => {
resultsList.innerHTML = `<li>搜索出错：${error.message}</li>`;
});

return false; // 阻止表单默认跳转
}
</script>
</nowiki>

搜索

2026-05-30T10:39:38Z

Testtesttesttest：创建页面，内容为“== 站内搜索 == <div style="max-width: 600px; margin: 2rem auto; padding: 1rem; border: 1px solid #eee; border-radius: 8px;"> <form action="{{SERVER}}{{SCRIPTPATH}}/index.php" method="get"> <input type="hidden" name="title" value="特殊:搜索" /> <div style="display: flex; gap: 8px;"> <input type="text" name="search" placeholder="输入关键词搜索本站..." style="flex: 1; padding: 8px; border: 1px solid #ddd; border-radius: 4px;" /> <butto…”

== 站内搜索 ==
<div style="max-width: 600px; margin: 2rem auto; padding: 1rem; border: 1px solid #eee; border-radius: 8px;">
<form action="{{SERVER}}{{SCRIPTPATH}}/index.php" method="get">
<input type="hidden" name="title" value="特殊:搜索" />
<div style="display: flex; gap: 8px;">
<input type="text" name="search" placeholder="输入关键词搜索本站..." style="flex: 1; padding: 8px; border: 1px solid #ddd; border-radius: 4px;" />
<button type="submit" style="padding: 8px 16px; background: # 0645ad; color: white; border: none; border-radius: 4px; cursor: pointer;">搜索</button>
</div>
</form>
</div>

超链接

2026-05-28T23:10:57Z

Testtesttesttest：创建页面，内容为“你是从测试页面过来的吗？恭喜你，你被骗了”

你是从测试页面过来的吗？恭喜你，你被骗了

Test

2026-05-23T22:33:41Z

Testtesttesttest：

此页面为测试页面。任何人都可以随意修改此页面以便测试。

=== 编写技巧 ===

* 行内代码块：<syntaxhighlight lang="text"><code>xxx</code></syntaxhighlight>效果是这样：<code>xxx</code>。
* 在列表里换行：使用 <syntaxhighlight lang="text"> </syntaxhighlight>效果是这样： 第一行； 第二行。
* 在列表里嵌套列表：无序列表使用<syntaxhighlight lang="text">
<ul> <li>123</li> <li>456</li> </ul>
</syntaxhighlight>效果是这样：<ul><li>123</li><li>456</li></ul>有序列表使用<syntaxhighlight lang="text">
<ol> <li>123</li> <li>456</li> </ol>
</syntaxhighlight>效果是这样：
<ol><li>123</li><li>456</li></ol>于是可以<ul> <li>awa<ul> <li>114514<ul> <li>3.1415926<ul> <li>123</li> <li>456</li> </ul></li> <li>789</li> </ul></li> <li>2.71828</li> </ul></li> <li>qwerty</li> </ul>
<ol> <li>awa<ol> <li>114514<ol> <li>3.1415926<ol> <li>123</li> <li>456</li> </ol></li> <li>789</li> </ol></li> <li>2.71828</li> </ol></li> <li>qwerty</li> </ol>
* 分界线：使用 <code>----</code>。效果是这样：

----

这句话有7个字

<math>\varnothing,\emptyset</math>，
$\varnothing,\emptyset$
LaTeX公式<code>\varnothing,\emptyset</code>用不同渲染方式的结果

<math display="block">\begin{aligned}
f(x)\;&=(a+b+1)/2-x\\
&=(a+2x-1-a+f(2x-1-a)+1)/2-x\\
&=f(2x-1-a)/2\\
&=f(2x-1-(x-1+f(x-1)))/2\\
&=f(x-f(x-1))/2
\end{aligned}</math>

111

$ G(64)=\left. \begin{matrix} 3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow}3 \\3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow}3 \\ \underbrace{\qquad \quad \vdots \qquad \quad} \\3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \uparrow}3 \\3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow3\end{matrix} \right \} \text{64 layers} $

<math>\unicode{64}</math>

<math>\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),0\text{@}0)[0]=0</math>

<math>\text{@}</math>

[k]

$\alpha\text{@}\beta$

[[[a]]]

我们可以使用<code>\hspace</code>和<code>\raise</code>来微调LaTeX中的字符位置：
$\LaTeX$''（直接使用''<code>\LaTeX</code>''的版本）''
${L^{\hspace{-4.5px}\raise{-2.5px}A}
\hspace{-3px}T\hspace{-2px}\raise{-3px}E\hspace{-1.5px}X}$''（使用以上两种命令微调的模仿版本）''

<nowiki>\</nowiki>(\alpha\text{@}\beta<nowiki>\</nowiki>) = $\alpha\text{@}\beta$

code

{| class="wikitable"
|+ 标题文本
|-
! 标题文本 !! 标题文本 !! 标题文本
|-
| 示例 || 示例 || 示例
|-
| 示例 || 示例 || 示例
|-
| 示例 || 示例 || 示例
|}

{| class="wikitable"
|+ 标题文本
|-
! 标题文本 !! 标题文本 !! 标题文本
|-
| 示例 || 示例 || 示例
|-
| 示例 || 示例 || 示例
|-
| 示例 || 示例 || 示例
|-
| 示例 || 示例 || 示例
|}

{| class="wikitable"
|+ 标题文本
|-
! 标题文本 !! 标题文本 !! 标题文本
|-
| 示例 || 示例 || 示例
|-
| 示例 || 示例 || 示例
|-
| 示例 || 示例 || 示例
|-
| 示例 || 示例 || 示例
|-
| 示例 || 示例 || 示例
|}

{a}

<code>我是code</code>

<pre>我是pre</pre>

我是美丽的span

<a href='https://baidu.com'>危险的代码是不被允许的</a>

click me!

666

$\alpha @\beta$

<blockquote>
我是猫娘。喵喵喵喵
</blockquote>

<blockquote>单行引言</blockquote>

bgcisred

[[高德纳箭头|↑]]

<iframe>
src="https://expander.googology.top/index.html"
width="100%"
height="500px"
frameborder="0"
</iframe>

=== 这是一级标题 ===

==== 这是二级标题 ====
这是公式 $\alpha\times\beta$

''撒反对''

说说不可说】(1)

--------------------------------------------------------------------

　　人们的对话中，「不可说」指的是「不可以说出来」的意思，但是在佛
经中，不可说的意思并不一定是这样，世尊所说的佛经更不是指这个意思。
如果它是指不可以说出来的话，那麽全部的佛经就是一部「大妄语百科」了。

但是将「不可说」解释为「不可以说出来」的意思，并不是现代人的专
利，古人解经，也常把它作这样的解释，造成後人将佛经解释成玄密的经典，
一切的不合理之处都当作「不可说」来处理。

世尊的确说过许多的不可说，如:《华严经》
「不可言说不可说，充满一切不可说，不可言说诸劫中，说不可说不可尽，
....
於一微细毛端处，有不可说诸普贤，....一毛端处所有刹，其数无量不可
　说..」在第四十五卷中，世尊一口气说了将近四百个不可说。

《地藏菩萨本愿经》【忉利天宫神通品】「尔时，十方无量世界不可
　说不可说一切诸佛，及大菩萨摩诃萨，皆来集会，赞叹释迦牟尼佛．．」
这里用了两个不可说。

《小般若经》【深功德品】「一切法不可说，须菩提，一切法空相不
可说．．」

其实「不可说」的意义是「数量大到无法用语言形容」的意思，并不
是指所说的主题「不能说」，如果是不能说，那麽上面这些经典就是「废
话大全」了。

世尊说法四十九年，探讨的主题遍及人类所有的疑问，从来没有一样
　是「不能说出来」的，不但他老人家自己说，更鼓励所有修行菩萨要为众　
生说呢。(参见《般若经》)

那麽，「不可说」倒底有多大，会大到语言法形容呢？我们试著来找
找看。

{| class="wikitable" border="0" cellpadding="1" cellspacing="1"
! scope="col" |
! scope="col" |A
! scope="col" |B
|-
|0
|1RB
1LA
 1CP
 114514
|1LA
|-
|1
|1LB
|1RB
|}
111

{| class="wikitable"
! 用户名
! 简介
|-
| style="width: 20%;" | 张三 || style="width: 80%; word-wrap: break-word;" | 这是一个非常长的简介文本，会自动换行以适应列宽。
|}

表格？

{| class="wikitable" style="width: 300px; overflow: hidden; text-overflow: ellipsis"
! 用户名
! 简介
|-
| 张三
| 这是一个非常长的简介文本，会自动换行以适应列宽。这是一个非常长的简介文本，会自动换行以适应列宽。这是一个非常长的简介文本，会自动换行以适应列宽。
|}

<blockquote>这里是一个孤立页面我不知道它为什么还在这里

就当作是gggwiki的一个彩蛋吧（</blockquote>

[https://2023largenumber.fandom.com/zh/wiki/%F0%9F%98%B0#articleComments/ 果糕]
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<div id="guogao1">将以下代码放入控制台并回车，有“小惊喜”：</div><nowiki>(()=>{document.getElementById("guogao1").appendChild((()=>{let a = document.createElement("div");a.innerHTML = `<div class="fixed-btn"><a onclick="let b=document.createElement('div');b.innerHTML=\`<div id='guogao' style='transition: transform .5s ease-out;position: absolute;top:45%;left:50%;z-index: 9999999;transform: scale(1);cursor: pointer;-webkit-user-select: none;-moz-user-select: none;-ms-user-select: none;user-select: none;' onclick='this.remove()'>${decodeURI('%F0%9F%98%B0')}</div>\`;document.body.appendChild(b);setTimeout(() => {document.getElementById('guogao').style.transform='scale(45)'}, 50)" class="new" title="${decodeURI('%E5%B0%8F%E6%83%8A%E5%96%9C')}">${decodeURI('%E5%B0%8F%E6%83%8A%E5%96%9C')}</a></div>`;return a})());return (()=>{console.clear();return decodeURI('%E7%A5%9E%E7%A7%98%E6%8C%89%E9%92%AE%E5%87%BA%E7%8E%B0%EF%BC%81')})()})()

</nowiki>

一致性

2026-05-23T14:14:30Z

Testtesttesttest：

在'''集合论'''中，'''一致性'''（Consistency）指一个形式理论无法推导出矛盾（即同时证明某个命题及其否定）。若一个理论存在至少一个模型（即满足所有公理的结构），则该理论是一致的。一致性是形式系统可信度的核心，确保其推导的定理不会导致逻辑悖论。

=== 定义 ===
若理论 <math>T</math> 中不存在命题 <math>\varphi</math> 使得 <math>T\vdash\varphi</math> 且 <math>T\nvdash\varphi</math>，则称 <math>T</math> 一致（或无矛盾）。

=== 相关内容 ===
'''哥德尔第二不完备定理'''：若一个足够强的形式系统（如 [[ZFC公理体系|ZFC 理论体系]]）是一致的，则它无法在自身内部证明自身的一致性。因此，集合论的一致性通常依赖于更强的元理论（如 ZFC + 大基数公理）或模型论方法。

相对一致性：若理论 <math>T</math> 的一致性可由理论 <math>S</math> 证明（即 <math>S\vDash\mathrm{Con}(T)</math>），则称 ''<math>T</math>'' 相对于 ''<math>S</math>'' 一致。

一致性证明方法

* 模型构造：通过构建满足公理的具体结构证明一致性
* 相对一致性证明：通过将理论 ''<math>T</math>'' 的公理翻译为另一理论 ''<math>S</math>'' 的语句，若 ''<math>S</math>'' 一致则 ''<math>T</math>'' 一致
* 内模型法：构建满足大基数公理或其他强公理的内模型，以证明这些公理与 ZFC 的相对一致性

=== 集合论中的经典结果 ===

* ZFC 的一致性：目前未发现 ZFC 存在矛盾，但其绝对一致性无法在 ZFC 内部证明。数学家默认接受 ZFC 的一致性，因其与数学实践高度吻合。
* 许多命题（如 CH、选择公理AC）在 ZFC 中独立，即 <math>\rm ZFC+CH</math> 与 <math>\rm ZFC+\neg CH</math> 均相对 ZFC 一致。
* 某些非主流理论（如新基础理论 NF）的类一致性已证明，但其与 ZFC 的兼容性仍存疑

=== 一致性如此重要的原因 ===
因为根据爆炸原理，一个系统假设同时推出了<math>A\land\neg{A}</math>，就可以推出任何命题为真，整个系统彻底失去任何价值
[[分类:集合论相关]]

证明论序数

2026-05-23T09:54:35Z

Testtesttesttest：添加了一些推测

'''证明论序数'''（或称证明论强度序数，Proof-Theoretic Ordinal）是衡量形式理论强度的核心工具，通过将理论映射到序数上，刻画其能证明的良序关系的复杂度。该概念源于希尔伯特的证明论计划，旨在通过有限方法证明数学基础理论的一致性，后由阿克曼（Wilhelm Ackermann）和根岑（Gerhard Gentzen）发展为序数分析技术。

=== 定义和性质 ===
对形式理论 <math>T</math>，其证明论序数 <math>|T|_{\text{ord}}</math>（<math>|T|</math> 或 <math>\text{PTO}(T)</math>）定义为能用超限归纳证明的原始递归良序的序型最大值。

证明论序数满足：

# 对任意递归序数 <math>\beta<|T|</math>，理论 <math>T</math> 能证明“所有序数小于 <math>\beta</math> 的原始递归良序关系都是良序的”；对 <math>\alpha=|T|</math>，理论 <math>T</math> 无法证明“所有序数小于 <math>\alpha</math> 的原始递归良序关系都是良序的”。
# 存在一种递归记号系统，自然表示所有小于 <math>|T|</math> 的序数；理论 <math>T</math> 能通过超限归纳（序数是良序集的序型，满足超限归纳原理：<math>\forall\alpha(\forall\beta<\alpha(P(\beta)\Rightarrow P(\alpha))\Rightarrow\forall\alpha P(\alpha))</math>，其中 <math>P</math> 是任意性质）到 <math>|T|</math>，证明自身的一致性（即 <math>T\nvdash\perp</math>）；理论 <math>T</math> 能证明所有初等递归函数在小于 <math>|T|</math> 的序数上总停止；对任意递归序数 <math>\beta<|T|</math>，至少不满足上述条件中的一条。
# 证明论序数必为递归序数（recursive ordinal），即存在递归关系定义其良序。

=== 证明论序数表 ===
{| class="wikitable class="article-table" border="0" cellpadding="1" cellspacing="1""
! scope="col" |证明论序数（OCF及其他记号）
!证明论序数（BMS及其他记号）
! scope="col" |算术论体系
! scope="col" |集合论体系
! scope="col" |其他体系
|-
|<math>\omega</math>
|(0)(1)
|<math>Q</math>
|<math>\rm KP^-</math>
|
|-
|<math>\omega^2</math>
|(0)(1)(1)
|<math>\rm RFA</math> <math>\rm I\Delta_0</math>
|
|
|-
|<math>\omega^3</math>
|(0)(1)(1)(1)
|<math>\rm RCA_0^*</math> <math>\rm WKL_0^*</math> <math>\rm I\Delta_0+exp</math>
|
|
|-
|<math>\omega^n</math>
|(0)(1)^n
|<math>{\rm I\Delta_0}+\mathcal{E}_n\text{ is total}</math>
|
|
|-
|<math>\omega^\omega</math>
|(0)(1)(2)
|<math>\rm RCA_0</math> <math>\rm WKL_0</math> <math>\rm PRA</math> <math>\rm RCA_0^2</math>
|<math>\rm CPRC</math> <math>\rm KP^-+\Pi_1^{set}\ Fondation+IND</math>
|
|-
|<math>\omega^{\omega^{\omega^\omega}}</math>
|(0)(1)(2)(3)(4)
|<math>\rm RCA_0+(\Pi_2^0)^--IND</math>
|
|
|-
|<math>\omega\uparrow\uparrow(n+2)</math>
|(0)(1)(2)...(n+2)
|<math>{\rm I}\Sigma_{n+1}</math>
|
|
|-
|<math>\varepsilon_0</math>
|(0)(1,1)
|<math>\rm PA</math> <math>\rm ACA_0</math> <math>\rm \Delta_1^1-CA_0</math> <math>\rm \Sigma_1^1-AC_0</math>
|<math>\rm KP^{-\infty}</math>
|<math>\rm EM_0</math>
|-
|<math>\varepsilon_1</math>
|(0)(1,1)(1,1)
|<math>\rm ACA_0+KPHT</math>
|
|
|-
|<math>\varepsilon_\omega</math>
|(0)(1,1)(2)
|<math>\rm ACA_0+iRT</math> <math>{\rm RCA_0}+\forall Y\forall n\exists X({\rm TJ}(n,X,Y))</math>
|
|
|-
|<math>\varepsilon_{\varepsilon_0}</math>
|(0)(1,1)(2)(3,1)
|<math>\rm ACA</math> <math>{\rm FP}_n-{\rm ACA'_0}</math> <math>{\rm FP}_n-{\rm ACA'}</math>
|
|
|-
|<math>\zeta_0</math>
|(0)(1,1)(2,1)
|<math>{\rm ACA_0}+\forall X\exists Y({\rm TJ}(\omega,X,Y))</math> <math>\rm ACA_0+(BR)</math> <math>\rm p_1(ACA_0)</math>
|
|
|-
|<math>\varphi(2,\varepsilon_0)</math>
|(0)(1,1)(2,1)(2)(3,1)
|<math>{\rm ACA}+\forall X\exists Y({\rm TJ}(\omega,X,Y))</math> <math>\rm RFN</math>
|
|
|-
|<math>\varphi(\omega,0)</math>
|(0)(1,1)(2,1)(3)
|<math>\rm \Delta_1^1-CR</math> <math>\rm RCA_0^*+\Pi_1^1-CA^-</math> <math>\rm \Sigma_1^1-DC_0</math>
|
|<math>\rm ID_1^\#</math> <math>\rm EM_0+JR</math> <math>\rm PID</math> <math>\rm Acc-ID(Acc)</math> <math>\rm (\Pi_0^0(P),P\cup N)-ID</math> <math>\rm (\Pi_0^0(P),P\land N)-ID(Acc)</math>
|-
|<math>\varphi(\nu+1,0)</math>
|
|<math>{\rm ACA_0}+\forall X\exists Y({\rm TJ}(\omega^\nu,X,Y))</math>
|
|
|-
|<math>\psi(\Omega^{\varepsilon_0})</math>
|(0)(1,1)(2,1)(3)(4,1)
|<math>\rm \Delta_1^1-CA</math> <math>\rm \Sigma_1^1-AC</math> <math>\rm{(\Pi_1^0-CA)}_{<\varepsilon_0}</math>
|
|
|-
|<math>\psi(\Omega^{\psi(\Omega^\omega)})</math>
|(0)(1,1)(2,1)(3)(4,1)(5,1)(6)
|
|<math>\rm PRS\ \omega</math>
|
|-
|<math>\Gamma_0</math>
|(0)(1,1)(2,1)(3,1)
|<math>\rm ATR_0</math> <math>\rm \Delta_1^1-CA+BR</math> <math>\rm RCA_0+\Sigma_1^0-RT</math> <math>\rm RCA_0+\Delta_1^0-RT</math> <math>\rm RCA_0+\Sigma_1^0-det.</math> <math>\rm RCA_0+\Delta_1^0-det.</math> <math>\rm FP_0</math>
|<math>\rm KPi^-</math> <math>\rm CZF^-+INAC</math>
|<math>\widehat{\rm ID}_{<\omega}</math> <math>\widehat{\rm ID}^*</math> <math>{\rm ML}_{<\omega}</math> <math>\rm MLU</math> <math>\rm U(PA)</math>
|-
|<math>\varphi(1,0,\omega^\omega)</math>
|(0)(1,1)(2,1)(3,1)(2)(3)
|
|<math>\rm KPl_0+(\Sigma_1-I_\omega)</math>
|
|-
|<math>\varphi(1,0,\varepsilon_0)</math>
|(0)(1,1)(2,1)(3,1)(2)(3,1)
|<math>\rm ATR</math>
|
|<math>\widehat{\rm ID}_\omega</math>
|-
|<math>\psi(\Omega^{\Omega+1})</math>
|(0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1)
|<math>{\rm RCA_0}+\forall X\exists M(X\in M\land M\vDash_\omega{\rm ATR_0})</math>
|
|
|-
|<math>\psi(\Omega^{\Omega+\omega})</math>
|(0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3)
|<math>\rm ATR_0+\Sigma_1^1-DC</math>
|
|<math>\widehat{\rm ID}_{<\omega^\omega}</math>
|-
|<math>\psi(\Omega^{\Omega+\varepsilon_0})</math>
|(0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3)(4,1)
|<math>\rm ATR+\Sigma_1^1-DC</math>
|
|<math>\widehat{\rm ID}_{<\varepsilon_0}</math>
|-
|<math>\psi(\Omega^{\Omega+\Gamma_0})</math>
|(0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3)(4,1)(5,1)(6,1)
|
|
|<math>\widehat{\rm ID}_{<\Gamma_0}</math> <math>\rm MLS</math>
|-
|<math>\varphi(2,0,0)</math>
|(0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3,1)
|<math>\rm FTR_0</math>
|<math>\rm KPh^-</math>
|<math>\rm Aut(\widehat{ID})</math>
|-
|<math>\varphi(2,0,\varepsilon_0)</math>
|(0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3,1)(2)(3,1)
|<math>\rm FTR</math>
|
|
|-
|<math>\varphi(2,\varepsilon_0,0)</math>
|(0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3)(4,1)
|
|<math>\rm KPh^0+(F-I_\omega)</math>
|
|-
|<math>\psi(\Omega^{\Omega\omega})</math>
|(0)(1,1)(2,1)(3,1)(3)
|
|<math>\rm KPM^-</math>
|
|-
|<math>\varphi(\varepsilon_0,0,0)</math>
|(0)(1,1)(2,1)(3,1)(3)(4,1)
|<math>\rm \Sigma_1^1-TDC</math>
|
|
|-
|<math>\varphi(1,0,0,0)</math>
|(0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)
|<math>\rm p_1(\Sigma_1^1-TDC_0)</math>
|
|
|-
|<math>\psi(\Omega^{\Omega^\omega})</math>
|(0)(1,1)(2,1)(3,1)(4)
|<math>\rm RCA_0^*+\Pi_1^1-CA^-</math> <math>\rm p_3(ACA_0)</math>
|
|<math>\rm FIT</math> <math>\rm TID</math>
|-
|<math>\vartheta(\Omega^\Omega)</math>
|(0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)
|<math>\rm p_1(p_3(ACA_0))</math>
|
|
|-
|<math>\theta_{(n+2)(\Omega^\omega)}0</math>
|
|<math>{\rm ACA_0}+\Pi_{n+2}^1-{\rm BI}</math> <math>\Pi_{n+1}^1-{\rm RFN}</math> <math>(\Pi_{n+2}^1-{\rm BI})_0</math> <math>(\Pi_{n+2}^1-{\rm BI})_0^-</math>
|<math>{\rm KP}\omega^-+\Pi_{n+2}^{\rm set}-{\rm Foundation}</math>
|
|-
|<math>\theta_{(n+2)(\Omega^\omega)}0</math>
|
|<math>{\rm ACA}+\Pi_{n+2}^1-{\rm BI}</math> <math>(\Pi_{n+2}^1-{\rm BI})^-</math>
|<math>{\rm KP}\omega^-+{\rm IND}+\Pi_{n+2}^{\rm set}-{\rm Foundation}</math>
|
|-
|<math>\psi(\psi_1(0))</math>
|(0)(1,1)(2,2)
|<math>\rm ACA+BI</math> <math>\rm ACA_0+\Pi_1^1-CA^-</math> <math>\rm \Pi_1^0-FXP_0</math>
|<math>\rm KP</math> <math>\rm KP+\Pi_2^{set}-Reflection</math> <math>\rm KP+(BI^*)</math> <math>\rm KP+(ATR_0^*)</math> <math>\rm CZF</math> <math>{\rm KP}\omega_2\upharpoonright+\Delta_1-{\rm CA}+s\Pi_1^1-{\rm ref}</math>
|<math>\rm ID_1</math> <math>\rm ID_1^2</math> <math>\rm ML_1\ V</math>
|-
|<math>\psi(\Omega_2)</math>
|(0)(1,1)(2,2)(3,2)
|<math>{\rm RCA_0}+\forall X\exists M(X\in M\land M\vDash_\omega{\rm ACA+BI})</math>
|
|
|-
|<math>\psi(\Omega_2^{\Omega_2})</math>
|(0)(1,1)(2,2)(3,2)(4,2)
|<math>\rm ATR_0^\bullet</math> <math>\rm FP_0^\bullet</math> <math>\rm \Sigma_1^1-DC_0^\bullet+(SUB^\bullet)</math> <math>\rm \Sigma_1^1-AC_0^\bullet+(SUB^\bullet)</math>
|
|<math>\widehat{\rm ID}_{<\omega}^\bullet</math><math>\mathcal{U}({\rm ID_1})</math>
|-
|<math>\psi(\psi_2(0))</math>
|(0)(1,1)(2,2)(3,3)
|
|<math>\rm KP+\exists\omega_1^{CK}</math>
|<math>\rm ID_2</math> <math>\rm ID_2^2</math>
|-
|<math>\psi(\Omega_\omega)</math>
|(0)(1,1,1)
|<math>\rm \Pi_1^1-CA_0</math> <math>\rm \Delta_2^1-CA_0</math> <math>\rm RCA_0+\Sigma_1^0\land\Pi_1^0-det.</math> <math>\rm RCA_0+\Delta_2^0-RT</math>
|<math>{\rm KPl}^r</math> <math>{\rm KPi}^r</math> <math>{\rm KP}\beta^r</math>
|<math>{\rm ID}_{<\omega}</math> <math>({\rm ID}_{<\omega}^2)_0</math>
|-
|<math>\psi(\Omega_\omega\cdot\omega^\omega)</math>
|(0)(1,1,1)(2)(3)
|<math>\rm \Pi_1^1-CA_0+\Pi_2^1-IND</math>
|
|
|-
|<math>\psi(\Omega_\omega\cdot\varepsilon_0)</math>
|(0)(1,1,1)(2)(3,1)
|<math>\rm \Pi_1^1-CA</math>
|<math>\rm W-KPl</math>
|<math>\rm W-ID_\omega</math> <math>\rm ID_{<\omega}^2</math>
|-
|<math>\psi(\Omega_\omega\cdot\Omega)</math>
|(0)(1,1,1)(2,1)
|<math>\rm \Pi_1^1-CA+BR</math>
|
|
|-
|<math>\psi(\Omega_\omega^\omega)</math>
|(0)(1,1,1)(2,1)(3)
|<math>\rm \Pi_1^1-CA_0+\Pi_2^1-BI</math>
|
|
|-
|<math>\psi(\Omega_\omega^{\omega^\omega})</math>
|(0)(1,1,1)(2,1)(3)(4)
|<math>\rm \Pi_1^1-CA_0+\Pi_2^1-BI+\Pi_3^1-IND</math>
|
|
|-
|<math>\psi(\psi_\omega(0))</math>
|(0)(1,1,1)(2,1)(3,2)
|<math>\rm \Pi_1^1-CA+BI</math>
|<math>\rm KPl</math>
|<math>\rm ID_\omega</math> <math>\rm BID_\omega^2</math>
|-
|<math>\psi(\Omega_{\omega^\omega})</math>
|(0)(1,1,1)(2,1,1)(3)
|<math>\rm \Delta_2^1-CR</math> <math>\rm (\Pi_1^1-CA_{<\omega^\omega})</math>
|<math>{\rm KPl}_{\omega^\omega}^r</math>
|<math>\rm ID_{<\omega^\omega}</math>
|-
|<math>\psi(\Omega_{\varepsilon_0})</math>
|(0)(1,1,1)(2,1,1)(3)(4,1)
|<math>\rm \Delta_2^1-CA</math> <math>\rm \Sigma_2^1-AC</math> <math>\rm (\Pi_1^1-CA_{<\varepsilon_0})</math>
|<math>{\rm KPl}_{\varepsilon_0}^r</math> <math>\rm W-KPi</math> <math>{\rm W-KP}\beta</math>
|<math>\rm ID_{<\varepsilon_0}</math> <math>\rm ID_{<\varepsilon_0}^2</math> <math>\rm BID_{<\varepsilon_0}^2</math>
|-
|<math>\psi(\Omega_{\nu\cdot\omega})</math>
|
|<math>\rm (\Pi_1^1-CA_\nu^+)_0</math>
|<math>{\rm KPl}_{\nu+}^r</math>
|<math>\rm ID_{<\nu\cdot\omega}</math> <math>\rm (PID_\nu^2)_0</math>
|-
|<math>\psi(\Omega_\gamma\cdot\omega)</math>
|
|<math>\rm (\Pi_1^1-CA_{\gamma-})_0</math>
|<math>{\rm KPl}_\gamma^r</math>
|<math>\rm (NUID_\gamma^2)_0</math>
|-
|<math>\psi(\Omega_{\nu\cdot\omega}\cdot\varepsilon_0))</math>
|
|<math>\rm \Pi_1^1-CA_\nu^+</math>
|<math>\rm W-KPl_{\nu+}</math>
|<math>\rm W-ID_{\nu\cdot\omega}</math> <math>\rm PID_\nu^2</math>
|-
|<math>\psi(\Omega_\gamma\cdot\varepsilon_0)</math>
|
|<math>\rm (\Pi_1^1-CA_\gamma)</math> <math>\rm \Pi_1^1-CA_{\gamma-}</math>
|<math>\rm W-KPl_\gamma</math>
|<math>\rm W-ID_\gamma</math> <math>\rm ID_\gamma^2</math> <math>\rm NUID_\gamma^2</math>
|-
|<math>\psi(\Omega_{\nu\cdot\omega}\cdot\Omega))</math>
|
|<math>\rm \Pi_1^1-CA_\nu^++BR</math>
|
|<math>\rm PID_\nu^2+BR</math>
|-
|<math>\psi(\Omega_\gamma\cdot\Omega)</math>
|
|<math>\rm \Pi_1^1-CA_{\gamma-}+BR</math>
|
|<math>\rm NUID_\gamma^2+BR</math>
|-
|<math>\psi(\Omega_{\omega^\gamma})</math>
|
|<math>\rm (\Pi_1^1-CA_{\omega\gamma})_0</math> <math>\rm (\Pi_1^1-CA_{<\omega\gamma})</math> <math>\rm (\Pi_1^1-CA_{<\omega\gamma})+BI</math>
|
|<math>\rm (ID_{\omega^\gamma}^2)_0</math> <math>\rm ID_{<\omega^\gamma}</math> <math>\rm BID_{<\omega^\gamma}^2</math> <math>\rm (ID_{<\nu}^2)+BI</math>
|-
|<math>\psi(\psi_\nu(0))</math>
|
|<math>\rm (\Pi_1^1-CA_\nu)_0</math>
|<math>\rm KPl_\nu</math>
|<math>\rm ID_\nu</math> <math>\rm (ID_\nu^2)_0</math>
|-
|<math>\psi(\psi_\nu(\varepsilon_0))</math>
|
|<math>\rm \Pi_1^1-CA_\nu</math>
|
|<math>\rm ID_\nu^2</math>
|-
|<math>\psi(\psi_\nu(\Omega))</math>
|
|<math>\rm \Pi_1^1-CA_\nu+BR</math>
|
|<math>\rm ID_\nu^2+BR</math>
|-
|<math>\psi(\psi_\nu(\psi_\nu(0)))</math>
|
|
|
|<math>\rm BID_\nu^2</math>
|-
|<math>\psi(\psi_{\nu+1}(0))</math>
|
|<math>\rm \Pi_1^1-CA_\nu+BI</math>
|<math>\rm KPl_{\nu+1}</math>
|<math>\rm ID_{\nu+1}</math> <math>\rm ID_\nu^2+BI</math>
|-
|<math>\psi(\psi_{\nu\cdot\omega}(0))</math>
|
|<math>\rm \Pi_1^1-CA_\nu^++BI</math>
|<math>\rm KPl_{\nu+}</math>
|<math>\rm ID_{\nu\cdot\omega}</math> <math>\rm PID_\nu^2+BI</math> <math>\rm PBID_\nu^2</math>
|-
|<math>\psi(\psi_\gamma(0))</math>
|
|<math>\rm (\Pi_1^1-CA_\gamma)_0</math> <math>\rm (\Pi_1^1-CA_\gamma)+BI</math> <math>\rm \Pi_1^1-CA_{\gamma-}+BI</math>
|<math>\rm KPl_\gamma</math>
|<math>\rm ID_\gamma</math> <math>\rm (ID_\gamma^2)_0</math> <math>{\rm ID}_\gamma^i(\mathcal{O}){\rm BID}_\nu^2</math> <math>\rm ID_\gamma^2+BI</math> <math>\rm NUID_\gamma^2+BI</math>
|-
|<math>\psi(\psi_\Omega(0))</math>
|(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)
|
|<math>\rm KPl^*</math> <math>{\rm KPl}_\Omega^r</math>
|<math>\rm ID_{\prec*}</math> <math>\rm BID^{2*}</math> <math>\rm ID^{2*}+BI^2</math>
|-
|<math>\psi_{\Omega_1}(\psi_I(0))</math>
|(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)(2)
|<math>\rm \Pi_1^1-TR_0</math> <math>\rm \Pi_1^1-TR_0+\Delta_2^1-CA_0</math> <math>\rm \Delta_2^1-CA+BI(impl\ \Sigma_2^1)</math> <math>\rm \Delta_2^1-CA+BR(impl\ \Sigma_2^1)</math> <math>\rm RCA_0+\Delta_2^0-det.</math> <math>\rm RCA_0+\Delta_1^1-RT</math>
|<math>{\rm Aut-KPl}^r</math> <math>{\rm Aut-KPl}^r+{\rm KPi}^r</math> <math>\rm KPi^\omega+FOUNDR(impl-\Sigma)</math> <math>\rm KPi^\omega+FOUND(impl-\Sigma)</math>
|<math>{\rm Aut-ID}_0^{pos}</math> <math>{\rm Aut-ID}_0^{mon}</math>
|-
|<math>\psi_{\Omega_1}(\psi_I(0)\cdot\varepsilon_0)</math>
|(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)(2)(3,1)
|<math>\rm \Pi_1^1-TR</math>
|<math>\rm W-Aut-KPl</math>
|<math>{\rm Aut-ID}^{pos}</math> <math>{\rm Aut-ID}^{mon}</math> <math>\rm Aut-KPl^\omega</math>
|-
|<math>\psi_{\Omega_1}(\psi_{\Omega_{\psi_I(0)+1}}(0))</math>
|(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)(2,1)(3,2)
|<math>\rm \Pi_1^1-TR+BI</math>
|<math>\rm Aut-KPl</math>
|<math>{\rm Aut-ID}_2^{pos}</math> <math>{\rm Aut-ID}_2^{mon}</math> <math>\rm Aut-BID</math>
|-
|<math>\psi_{\Omega_1}(\psi_I(I^\omega))</math>
|(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)(3)
|<math>\rm \Delta_2^1-TR_0</math> <math>\rm \Sigma_2^1-TRDC_0</math> <math>\rm \Delta_2^1-CA_0+\Sigma_2^1-BI</math>
|
|<math>{\rm KPi}^r+(\Sigma-{\rm FOUND})</math> <math>{\rm KPi}^r+(\Sigma-{\rm REC})</math>
|-
|<math>\psi_{\Omega_1}(\psi_I(I^{\varepsilon_0}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)(3)(4,1)
|<math>\rm \Delta_2^1-TR</math> <math>\rm \Sigma_2^1-TRDC</math> <math>\rm \Delta_2^1-CA+\Sigma_2^1-BI</math>
|
|<math>\rm KPi^\omega+(\Sigma-FOUND)</math> <math>\rm KPi^\omega+(\Sigma-REC)</math>
|-
|<math>\psi_{\Omega_1}(\varepsilon_{I+1})</math>
|(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)(4,2)
|<math>\rm \Delta_2^1-CA+BI</math> <math>\rm \Sigma_2^1-AC+BI</math>
|<math>\rm KPi</math> <math>{\rm KP}\beta</math> <math>\rm CZF+REA</math>
|<math>\rm T_0</math>
|-
|<math>\psi_{\Omega_1}(\Omega_{I+\omega})</math>
|(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)(4,2,1)
|
|<math>\rm KPi^+</math>
|<math>\rm ML_1\ W</math> <math>\rm KP_1\ W</math> <math>\rm IARI</math>
|-
|<math>\psi_{\Omega_1}(\varepsilon_{M+1})</math>
|(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(3,1)(4,2)
|<math>\rm \Delta_2^1-CA+BI+(M)</math>
|<math>\rm KPM</math> <math>\rm CZFM</math>
|
|-
|<math>\psi_{\Omega_1}(\Omega_{M+\omega})</math>
|(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(3,1)(4,2,1)
|
|<math>\rm KPM^+</math>
|<math>\rm MLM</math> <math>\rm Agda</math>
|-
|<math>\Psi_{\Omega_1}^0(\varepsilon_{K+1})</math>
|(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(4,1)(5,2)
|<math>{\rm ACA+BI}+\Pi_4^1-\beta\text{-model-Reflection}</math>
|<math>{\rm KP}+\Pi_3^{\rm set}\text{-Reflection}</math>
|
|-
|<math>\Psi_\mathbb{X}^{\varepsilon_{\xi_n+1}}</math>
|(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(4,1,1)(5,1)(6,2)?
|<math>{\rm ACA+BI}+\Pi_{n+5}^1-\beta\text{-model-Reflection}</math>
|<math>{\rm KP}+\Pi_{n+4}^{\rm set}\text{-Reflection}</math>
|
|-
|<math>\Psi_\mathbb{X}^{\varepsilon_{\Xi+1}}</math>
|(0)(1,1,1)(2,2)
|<math>{\rm ACA+BI}-\beta\text{-model-Reflection}</math>
|<math>{\rm KP}+\Pi_\omega^{\rm set}\text{-Reflection}</math>
|
|-
|<math>\Psi_\mathbb{H}^{\varepsilon_{\Upsilon+1}}</math>
|(0)(1,1,1)(2,2)(3,2)(4,1)(2)
|
|<math>{\rm KPi}+\forall\alpha\exists\kappa(L_\kappa\prec_1L_{\kappa+\alpha})</math>
|
|-
|<math>\psi(\Omega_{\mathbb{S}+\omega})</math>
|
|<math>\rm \Pi_1^1-CA_0+\Pi_2^1-CA^-</math>
|<math>{\rm KPl}^r+\exists M(\text{Trans}(M)\land M\prec_1 V)</math>
|
|-
|<math>\Psi_\mathbb{K}^{\varepsilon_{I+1}}</math>
|
|<math>\rm \Delta_2^1-CA+BI+\Pi_2^1-CA^-</math>
|<math>{\rm KPi}+\exists M(\text{Trans}(M)\land M\prec_1 V)</math>
|
|-
|<math>\mathcal{I}_\omega\cap\omega_1^{\rm CK}</math>
|(0)(1,1,1,1)?
|<math>\rm \Pi_2^1-CA_0</math> <math>\rm \Delta_3^1-CA_0</math>
|
|
|-
|<math>\mathcal{I}_{\omega+1}\cap\omega_1^{\rm CK}</math>
|(0)(1,1,1,1)(2,1,1)(3,2,2)?
|<math>\rm \Pi_2^1-CA+BI</math>
|<math>\rm KP+\Sigma_1^{set}-Separation</math> <math>{\rm KPi}+\forall\alpha\exists\beta(\beta>\alpha)(\beta\text{ stable})</math>
|
|-
|<math>\mathcal{I}_{\varepsilon_0}\cap\omega_1^{\rm CK}</math>
|(0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3)(4,1)?
|<math>\rm \Delta_3^1-CA</math> <math>\rm \Sigma_3^1-AC</math>
|
|
|-
|<math>\text{maybe }\psi_\Omega(\varepsilon_{\mathbb{I}+1})</math>
|
|<math>\rm \Delta_3^1-CA+BI</math> <math>\rm \Sigma_3^1-AC+BI</math> <math>\rm \Sigma_3^1-DC+BI</math>
|<math>{\rm KP}+\Delta_2^{\rm set}\text{-Separation}</math>
|
|-
|<math>\psi_\Omega(\varepsilon_{\mathbb{I}+1})</math>
|
|
|<math>{\rm KP}+\Pi_1^{\rm set}\text{-Collection}</math>
|
|-
|
|
|<math>\Pi_{n+3}^1{\rm-CA+BI}</math>
|<math>{\rm KP}+\Sigma_{n+2}^{\rm set}\text{-Separation}</math>
|
|-
|
|
|<math>\Pi_{n+3}^1{\rm-CA}+\Sigma_{n+3}^1{\rm-AC+BI}</math>
|<math>{\rm KP^-}+\Sigma_{n+2}^{\rm set}\text{-Separation}+\Sigma_{n+2}^{\rm set}\text{-Collection}</math>
|
|-
|
|>=Y(1,3)，主流猜测=Y(1,3)
|<math>\rm Z_2=\Pi_\infty^1-CA</math> <math>\rm \Delta_1^2-CA_0</math> <math>\rm Z_2+\Sigma_\infty^1-AC</math>
|<math>{\rm KP}+\Sigma_\omega^{\rm set}\text{-Separation}</math> <math>{\rm KP^-}+\Sigma_\omega^{\rm set}\text{-Separation}+\Sigma_\omega^{\rm set}\text{-Collection}</math> <math>\rm ZFC^-=ZFC-Powerset</math>
|
|-
|
|主流猜测对应Y(1,n+4)
|<math>{\rm Z}_{n+3}=\Pi_\infty^{n+2}{\rm-CA}</math> <math>\Delta_1^{n+3}{\rm-CA_0}</math>
|<math>{\rm ZFC^-+V=L+}\exists\omega_{n+1}</math>
|
|-
|
|推测等于2-Y(1,3)
|<math>\rm Z_\infty=\Pi_0^\infty-CA</math>
|<math>\rm Z</math> <math>\rm ZC</math> <math>\rm IZ</math>
|
|-
|
|<math> \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad </math>
|
|<math>\rm IZF=CZF+Powerset+\Pi_\omega^{set}-Reflection</math> <math>\rm ZF=CZF+LEM=IZF+LEM</math> <math>\rm ZFC</math> <math>\rm ZFC+V=L</math> <math>\rm AST</math> <math>\rm IST</math> <math>\rm NBG=GBC</math> <math>\rm GB</math>
|
|}

ZFC 相关证明论序数：

* <math>\mathrm{S}_0 = (\mathrm{Ext}) + (\mathrm{Null}) + (\mathrm{Pair}) + (\mathrm{Union}) + (\mathrm{Diff})\ (\text{Rudimentary set theory})</math>
* <math>\mathrm{S}_1 = \mathrm{S}_0 + (\mathrm{Powerset})</math>
* <math>\mathrm{M}_0 = \mathrm{S}_1 + (\Delta_0^{\mathrm{set}} - \mathrm{Separation})</math>
* <math>\mathrm{M}_1 = \mathrm{M}_0 + (\mathrm{Regularity}) + (\mathrm{Transitive\ Containment})</math>
* <math>\mathrm{KP}^- = \mathrm{S}_0 + (\mathrm{Infinity}) + (\Delta_0^{\mathrm{set}} - \mathrm{Separation}) + (\Delta_0^{\mathrm{set}} - \mathrm{Collection})</math>
* <math>\mathrm{KP}^{-\infty} = \mathrm{S}_0 + (\mathrm{Foundation}) + (\Delta_0^{\mathrm{set}} - \mathrm{Separation}) + (\Delta_0^{\mathrm{set}} - \mathrm{Collection})</math>
* <math>\mathrm{KP} = \mathrm{KP}^{-\infty} + (\mathrm{Infinity}) = \mathrm{KP}^- + (\mathrm{Foundation})</math>
* <math>\mathrm{KPl} = \mathrm{KP} + (\text{universe limit of admissible sets})</math>
* <math>\mathrm{KPi} = \mathrm{KP} + (\text{recursively inaccessible universe})</math>
* <math>\mathrm{KPh} = \mathrm{KP} + (\text{recursively hyperinaccessible universe})</math>
* <math>\mathrm{KPM} = \mathrm{KP} + (\text{recursively Mahlo universe})</math>
* <math>\mathrm{ZBQC} = \mathrm{M}_0 + (\mathrm{Regularity}) + (\mathrm{Infinity}) + (\mathrm{Choice})</math> <math>\mathrm{NFU} + (\mathrm{Infinity}) + (\mathrm{Choice})</math>
* <math>\mathrm{MAC} = \mathrm{M}_1 + (\mathrm{Infinity}) + (\mathrm{Choice}) = \mathrm{ZBQC} + (\text{Transitive Containment})</math>
* <math>\mathrm{MOST} = \mathrm{MAC} + (\Delta_0^{\mathrm{set}} - \mathrm{Collection}) = \mathrm{ZBQC} + \mathrm{KP} + (\Sigma_1^{\mathrm{set}} - \mathrm{Separation})</math>
* <math>\mathrm{Z} = \mathrm{S}_1 + (\mathrm{Regularity}) + (\mathrm{Infinity}) + (\Sigma_\omega^{\mathrm{set}} - \mathrm{Separation})</math>
* <math>\mathrm{ZC} = \mathrm{Z} + (\mathrm{Choice}) = \mathrm{ZBQC} + (\sigma_\omega^{\mathrm{set}} - \mathrm{Separation})</math>
* <math>\mathrm{MAC} + \forall m (\beth_{\beth_{m}}\text{ exists})</math> <math>\mathrm{NFU} + (\mathrm{Infinity}) + (\mathrm{Choice})</math>
* <math>\mathrm{Z} + (\Pi_2^{\mathrm{set}} - \mathrm{Replacement})</math> <math>\mathrm{NFU}^* = \mathrm{NFU} + (\mathrm{Counting}) + (\mathrm{Strongly\ Cantorian\ Separation})</math>
* <math>\mathrm{Z} + (\Pi_m^{\mathrm{set}} - \mathrm{Replacement})</math>
* <math>\mathrm{ZF} = \mathrm{Z} + (\Pi_\omega^{\mathrm{set}} - \mathrm{Replacement})</math> <math>\mathrm{AST}</math> <math>\mathrm{GB}</math>
* <math>\mathrm{ZFC} = \mathrm{ZF} + (\text{Choice})</math> <math>\mathrm{NBG} = \mathrm{GBC} = \mathrm{GB} + (\text{Global Choice})</math>
* <math>\mathrm{ZFC} + (\text{there is a worldly cardinal})</math>
* <math>\mathrm{NBG} + (\text{there is a stationary proper class of worldly cardinals})</math>
* <math>\mathrm{NBG} + (\text{Class Forcing Theorem})</math> <math>\mathrm{NBG} + (\text{Clopen Class Game Determinacy})</math>
* <math>\mathrm{MK} = \mathrm{NBG} + (\Pi_{\infty}^{\mathrm{class}} - \mathrm{CA})</math>
* <math>\mathrm{ZFC} + (\text{there is an inaccessible cardinal})</math> <math>\mathrm{ZFC} + (\Pi_{1}^{1}\ \text{Perfect Set Property})</math> <math>\mathrm{ZFC} + (\Sigma_{3}^{1}\ \text{Lebesgue measurability})</math>
* <math>\mathrm{ZFC} + (\text{there are } \omega\ \text{inaccessible cardinals})</math> <math>\mathrm{ZFC} + (\forall\alpha(\omega \leq \alpha \leq \aleph_{\omega} \Rightarrow |\mathrm{V}_{\alpha} \cap L| = |\alpha|))</math>
* <math>\mathrm{ZFC} + (\text{there is a proper class of inaccessible cardinals})</math> <math>\mathrm{ZFC} + (\text{Grothendieck Universe Axiom})</math>
* <math>\mathrm{ZFC} + (\text{there is a } \Sigma_{n}^{\mathrm{set}}\text{-reflecting cardinal})</math>
* <math>\mathrm{ZFC} + (\text{there is a } \sigma_{\omega}^{\mathrm{set}}\text{-reflecting cardinal})</math> <math>\mathrm{ZFC} + (\text{Ord is Mahlo})</math>
* <math>\mathrm{ZFC} + (\text{there is an uplifting cardinal})</math> <math>\mathrm{ZFC} + (\text{Resurrection Axioms})</math>
* <math>\mathrm{ZFC} + (\text{there is a Mahlo cardinal})</math>
* <math>\mathrm{SMAH} = \mathrm{ZFC} + (\text{there is a } n\text{-Mahlo cardinal})_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>\mathrm{NFUA} = \mathrm{NFU} + (\text{Infinity}) + (\text{Cantorian Sets})</math>
* <math>\mathrm{SMAH}^{+} = \mathrm{ZFC} + \forall n(\text{there is a } n\text{-Mahlo cardinal})</math>
* <math>\mathrm{MK} + (\text{Ord is weakly compact})</math> <math>\mathrm{GPK}_{\infty}^{+} = \mathrm{GPK}^{+} + (\text{Infinity})</math> <math>\mathrm{NFUB} =\mathrm{NFU} +(\text{Infinity}) + (\text{Cantorian Sets}) + (\text{Small Ordinals})</math>
* <math>\mathrm{ZFC} + (\text{there is a weakly compact cardinal})</math> <math>\mathrm{ZFC} + (\omega_{2}\ \text{has the tree property})</math>
* <math>\mathrm{ZFC} + (\text{there is a totally indescribable cardinal})</math>
* <math>\mathrm{ZFC} + (\text{there is a subtle cardinal})</math>
* <math>\mathrm{ZFC} + (\text{there is an ineffable cardinal})</math>
* <math>\mathrm{ZFC} + \forall\alpha(\alpha < \omega_{1} \Rightarrow \text{there is a } \alpha\text{-Erdős cardinal})</math>
* <math>\mathrm{ZFC} + (0^{\sharp}\ \text{exists})</math> <math>\mathrm{ZFC} + (L \models \aleph_{\omega}\ \text{is regular})</math> <math>\mathrm{ZFC} + \forall \alpha (\alpha \geq \omega \Longrightarrow |V_{\alpha} \cap L| = |\alpha|)</math> <math>\mathrm{ZFC} + (\text{parameter-free } \Sigma_{1}^{1}\text{-determinacy})</math>
* <math>\mathrm{ZFC} + \forall x\ (x \in \mathbb{R} \Longrightarrow x^{\sharp}\ \text{exists})</math> <math>\mathrm{ZFC} + (\Sigma_{1}^{1}\text{-determinacy})</math>
* <math>\mathrm{ZFC} + \forall x\ (x^{\sharp}\ \text{exists})</math> <math>\mathrm{ZFC} + (\Sigma_{2}^{1}\ \text{universal Baireness})</math>
* <math>\mathrm{ZFC} + (\text{there is an } \omega_{1}\text{-Erdős cardinal})</math> <math>\mathrm{ZFC} + (\text{Chang's Conjecture})</math>
* <math>\mathrm{SRP} = \mathrm{ZFC} + (\text{there is cardinal with the } n\text{-stationary Ramsey property})_{n \in \mathbb{N}}</math>
* <math>\mathrm{SRP}^{+} = \mathrm{ZFC} + \forall n\ (\text{there is a cardinal with the } n\text{-stationary Ramsey property})</math>
* <math>\mathrm{MK} + (\text{Ord is measurable})</math> <math>\mathrm{NFUM} = \mathrm{NFU} + (\text{Infinity}) + (\text{Large Ordinals}) + (\text{Small Ordinals})</math>
* <math>\mathrm{ZFM} = \mathrm{ZFC} + (\text{there is a measurable cardinal})</math> <math>\mathrm{ZFC} + (\mathrm{NS}_{\omega_{1}}\ \text{is precipitous})</math> <math>\mathrm{ZF} + (\omega_{1}\ \text{is measurable})</math>
* <math>\mathrm{ZFC} + (\text{there is a measurable cardinal } \kappa\ \text{such that } o(\kappa) = 2)</math> <math>\mathrm{ZFC} + (\mathrm{NS}_{\omega_{2}}\ \text{is precipitous})</math>
* <math>\mathrm{ZFC} + (\text{there is a measurable cardinal } \kappa\ \text{such that } o(\kappa) = \kappa^{++})</math> <math>\mathrm{ZFC} + \neg \mathrm{SCH}</math> <math>\mathrm{ZFC} + (2^{\aleph_{\omega}} = \aleph_{\omega + 2})</math>
* <math>\mathrm{ZFC} + (\text{Ord is Woodin})</math> <math>\mathrm{ZFC} + \neg \mathrm{SCH}</math> <math>\mathrm{Z}_{2} + (\Delta_{2}^{1}\text{-determinacy})\ (\text{conjectural})</math>
* <math>\mathrm{MK} + (\text{Ord is Woodin})</math> <math>\mathrm{ZFC} + \neg \mathrm{SCH}</math> <math>\mathrm{Z}_{3}+ (\text{lightface } \Delta_{2}^{1}\text{-determinacy})</math>
* <math>\mathrm{NBG} + (\text{Ord is Woodin})</math> <math>\mathrm{ZFC} + \neg \mathrm{SCH}</math> <math>\mathrm{Z}_{3}+ (\Delta_{2}^{1}\text{-determinacy})</math>
* <math>\mathrm{ZFC} + (\text{there is a Woodin cardinal})</math> <math>\mathrm{ZFC} + (\Delta_{2}^{1}\text{-determinacy})</math> <math>\mathrm{ZFC} + (\mathrm{OD} \models \mathrm{AD})</math> <math>\mathrm{ZFC} + (\mathrm{NS}_{\omega_{1}}\ \text{is } \omega_{2}\text{-saturated})</math>
* <math>\mathrm{ZFC} + (\text{there are } n\ \text{Woodin cardinals})_{n \in \mathbb{N}}</math> <math>\mathrm{Z}_{2} + (\mathrm{PD})</math>
* <math>\mathrm{ZFC} + (\text{there are } \omega \text{ Woodin cardinals})</math> <math>\mathrm{ZF} + (\mathrm{AD})</math> <math>\mathrm{ZFC} + (L(\mathbb{R}) \models \mathrm{AD})</math> <math>\mathrm{ZFC} + (\mathrm{OD}(\mathbb{R}) \models \mathrm{AD})</math>
* <math>\mathrm{ZF} + \mathrm{DC} + (\omega_1 \text{ is } \mathcal{P}(\omega_1)\text{-strongly compact})</math> <math>\mathrm{ZFC} + (\mathrm{NS}_{\omega_1} \text{ is } \omega_1\text{-dense})</math>
* <math>\mathrm{ZF} + \mathrm{DC} + (\omega_1 \text{ is } \mathcal{P}(\mathbb{R})\text{-strongly compact})</math> <math>\mathrm{ZF} + \mathrm{DC} + (\mathrm{AD}_{\mathbb{R}})</math>
* <math>\mathrm{ZFC} + \text{(there is a superstrong cardinal)}</math>
* <math>\mathrm{ZFC} + \text{(there is a subcompact cardinal)}</math> <math>\mathrm{ZFC} + (V = L[\vec{E}]) + \exists\kappa(\neg\square_{\kappa})</math>
* <math>\mathrm{ZFC} + \text{(there is a strongly compact cardinal)}</math> <math>\mathrm{ZFC} + \text{(Proper Forcing Axiom)}</math>
* <math>\mathrm{ZFC} + \text{(there is a supercompact cardinal)}</math> <math>\mathrm{ZFC} + \text{(Martin's Maximum)}</math>
* <math>\mathrm{ZFC} + \forall n \text{(there is a proper class of } C^{(n)}\text{-extendible cardinals)}</math> <math>\mathrm{ZFC} + \text{(Vopěnka's Principle)}</math>
* <math>\mathrm{ZFC} + \text{(there is a high-jump cardinal)}</math>
* <math>\mathrm{HUGE} = \mathrm{ZFC} + \text{( there is a } n\text{-huge cardinal )}_{n\in\mathbb{N}}</math>
* <math>\mathrm{ZFC} + \text{(Wholeness Axiom } \mathrm{WA}_n)</math>
* <math>\mathrm{ZFC} + \mathrm{I}3 = \mathrm{ZFC} + \exists\lambda(E_0(\lambda))</math>
* <math>\mathrm{ZFC} + \mathrm{I}2 = \mathrm{ZFC} + \exists\lambda(E_1(\lambda))</math>
* <math>\mathrm{ZFC} + \mathrm{I}1 = \mathrm{ZFC} + \exists\lambda(E_{\omega}(\lambda))</math>
* <math>\mathrm{ZFC} + \mathrm{I}0</math>
* <math>\mathrm{ZF} + \mathrm{DC} + \exists\lambda\exists j : V_{\lambda + 2} \prec_{\Sigma_{\omega}^{\mathrm{set}}} V_{\lambda + 2}</math>
* <math>\mathrm{ZF}_j + \mathrm{DC} + \text{(there is a Reinhardt cardinal )}</math>
* <math>\mathrm{ZF} + \mathrm{DC} + \text{(there is a Berkeley cardinal)}</math>

[[分类:集合论相关]]

真类

2026-05-23T09:44:06Z

Testtesttesttest：dibzebjawb

== 定义 ==
真类，通俗一点讲，就是大到没法成为合法集合/对象的集合。使用[[ZFC公理体系|ZFC]]的分离公理模式，如果新的集合是一个集合的话，那么原集合一定是一个集合；如果使用这个的话，不存在或者有矛盾，或者是新的集合已经被确定为真类，则这个集合一定是一个真类。当然，也可以使用罗素构造以及康托定理(<math>|A| < |\mathcal{P}(A)|</math>)来辨别。在这里举两个例子，比如集合论全域<math>V</math>如果是集合的话，就会出现局部包含整体的情况，根据正则公理，这是不可能的，所以是真类。

=== 性质 ===
真类不可以作为对象，也不能参加任何运算。比如，<math>2^V</math>因为不是集合，所以未定义，不违反康托定理。
[[分类:集合论相关]]

真类

2026-05-23T09:43:17Z

Testtesttesttest：

真类

2026-05-23T09:43:04Z

Testtesttesttest：

真类

2026-05-23T09:40:30Z

Testtesttesttest：test

ZFC公理体系

2026-05-23T08:46:36Z

Testtesttesttest：加了一个句号

'''ZFC 公理体系（Zermelo-Fraenkel-Choice Axiom）'''，是应用最为广泛的集合论体系。在 Googology 中有着强大的[[证明论序数]]。
== 定义 ==
我们采用以下的 9 条公理、公理模式作为我们所使用的 ZFC 公理体系．

# '''外延公理'''：两个集合 <math>A,B</math> 相等，当且仅当任意 <math>x</math>，有 <math>x \in A</math> 等价于 <math>x \in B</math>．
# '''配对公理'''：对于任意两个集合 <math>A,B</math>，有 <math>\{A,B\}</math> 是一个集合．
# '''分离公理模式'''：对于任意集合 <math>S</math> 和带 <math>n+1</math> 个参数的公式 <math>\varphi(x,p_0,p_1,\cdots,p_n)</math>，有 <math>\{x\in S\mid\varphi(x,p_0,p_1,\cdots,p_n)\}</math> 是一个集合．
# '''并集公理'''：对于一个集合 <math>S</math> ，存在一个集合 <math>U</math> 使得对任意 <math>x\in S</math> 和任意 <math>y\in x</math>，有 <math>y\in U</math>．
# '''幂集公理'''：对于任意一个集合 <math>S</math>，存在一个集合 <math>U</math> 使得 <math>A\sube S</math> 等价于 <math>A\in U</math>．
# '''正则公理'''：任意一个非空集合 <math>S</math> 上都存在 <math>\in</math> 链最小元，或者换句话说，存在 <math>x\in S</math> 使得 <math>x\cap S=\varnothing</math>．
# '''替换公理模式'''：对于任意一个集合 <math>S</math>，如果存在一个函数 <math>f:S\rightarrow U</math> ，则 <math>f(S)</math> 是一个集合．
# '''无穷公理'''：存在一个集合 <math>S</math> 使得空集是 <math>S</math> 的元素，且对于任意 <math>x\in S</math> 有 <math>x\cup\{x\}\in S</math>．
# '''选择公理'''：对于一族两两不相交的非空集 <math>\{U_i\mid i\in I\}</math>，存在集合 <math>S</math> 使得对任意 <math>i\in I</math> 有 <math>S\cap U_i</math> 是单点集．这里对脚标集 <math>I</math> 没有要求（可以是不可数集）．

我们将去掉选择公理的公理体系称为 ZF；将去掉选择公理和正则公理的公理体系称为 ZF-REG；将去掉选择公理和无穷公理的公理体系称为 ZF-INF；将去掉选择公理和替换公理模式的公理体系称为 Z。

ZFC 中的公理之间存在着一定的关系，例如，第 7 条替换公理模式可推第 3 条分离公理模式．

== 集合操作 ==

下面我们将给出一些 ZFC 允许的基本集论操作。
=== 并集 ===

'''并集'''用符号 <math>\cup</math> 表述。

我们允许任意有穷多集合取并（本质就是将它们纳入一个集合让后对这个集合取它的并集），对于无穷多集合取并，我们在无穷公理和选择公理的帮助下也是能够完成。

=== 交集 ===
'''交集'''用符号 <math>\cap</math> 表述。

我们允许任意有穷多集合取交（利用分离公理模式），对于无穷多集合取交，我们在无穷公理和选择公理的帮助下也是能够完成。

=== 补集及差集 ===

一个集合 <math>A</math> 关于另一个包含 <math>A</math> 作为子集的集合 <math>S</math> 的'''补集'''，即为 <math>B=\{x\in S\mid x\notin A\}</math>，通过分离公理可以得到。

=== 笛卡尔积 ===

一个集合 <math>A</math> 和一个集合 <math>B</math> 的'''笛卡尔积''' <math>A\times B</math> 被定义为一个新的集合 <math>S=\{(a,b)\mid a\in A\land b\in B\}</math>。

<math>(a,b)</math> 称作'''有序对'''，一个有序对 <math>(a,b)</math> 满足 <math>(a,b)=(c,d)</math> 当且仅当 <math>a=c</math> 且 <math>b=d</math>，<math>(a,b)</math> 也可以被集论语言描述为 <math>\{a,\{a,b\}\}</math>，因此，<math>A\times B</math> 这个笛卡尔积也可以被描述为 <math>A</math> 与 <math>B</math> 的并集取两次幂集之后通过分离公理得到的一个特殊的子集。

<math>n</math> 多元的'''多元组'''被描述为以下形式：

* 二元：<math>(a,b)</math>，等价于有序对
* 三元：<math>(a,b,c)=((a,b),c)</math>
* 四元：<math>(a,b,c,d)=(((a,b),c),d)</math>
*...

以此类推。

任意有限多集合的笛卡尔积都存在且非空，通过选择公理，我们可以保证，无穷多集合的笛卡尔积也是非空的。<math>A^n</math> 表示 <math>n</math> 个 <math>A</math> 自行相乘得到的笛卡尔积，我们也称呼 <math>A\times B</math> 的一个子集是在 <math>A</math> 和 <math>B</math> 上的一个关系，称 <math>A^n</math> 的一个子集是在 <math>A</math> 上的一个 '''<math>\mathbf{n}</math> 元关系'''。

根据笛卡尔积的概念，我们提出了 <math>n</math> 元关系 <math>R</math> 的'''定义域'''与'''值域'''，分别记为 <math>\operatorname{range}(R)</math> 与 <math>\operatorname{domain}(R)</math>，简称 <math>\operatorname{rng}(R)</math> 与 <math>\operatorname{dom}(R)</math>。

若 <math>A</math> 是一个 <math>n+1</math> 元关系，<math>\operatorname{dom}(A)</math> 是全体前 <math>n</math> 元所构成的集合，<math>\operatorname{rng}(A)</math> 是全体最后一元构成的集合，用函数的语言描述就是从作为集合形式的函数上挖掘出了定义域和值域。

=== 函数 ===

函数被我们定义为一种特殊的 <math>n</math> 元关系。

== 令人大吃一惊的推论 ==
根据[[初等嵌入|Kunen定理]]，任何含选择公理(AC)的系统，都不存在[[初等嵌入|非平凡初等嵌入]]<math>j:V_{\lambda+2}\rightarrow{V_{\lambda+2}}</math>及以上的，所以对于任何使用了[[初等嵌入|非平凡初等嵌入]]<math>j:V_{\lambda+2}\rightarrow{V_{\lambda+2}}</math>及以上的大基数<math>\alpha</math>，都满足<math>\alpha\not\in V_{ZFC}</math>。所以，<math>V_{ZFC}</math>压根不是一个[[真类]]，而只是一个有界集合，基数等于<math>\alpha</math>。
[[分类:集合论相关]]

ZFC公理体系

2026-05-23T08:46:03Z

Testtesttesttest：多了一个修改

可构造宇宙

2026-05-17T04:25:18Z

Testtesttesttest：/* 定理 */

'''可构造宇宙（又称“哥德尔的可构造宇宙 L”、“可构造性全域”）'''，是哥德尔为了证明命题的一致性问题而提出的一个[[内模型]]。

==== 定义 ====

设 <math>U</math> 为[[传递集]]，我们称一个 <math>U</math> 的子集 <math>A</math> 是在结构 <math>\langle U,\in\rangle</math> 上可定义的，当且仅当存在一个公式 <math>\phi(x,a_{1},a_{2},a_{3},...)</math> 使得 <math>X=\{x:\langle U,\in\rangle |\phi(x,a_{1},a_{2},a_{3},...)\}</math>。我们将 <math>def(U)</math> 表示 <math>\langle U,\in\rangle</math> 上全体可定义的子集组成的集合，也称可定义幂集。可构造宇宙的定义如下：

* <math>L_{0}=\emptyset</math>
* <math>L_{\alpha+1}=def(L_{\alpha})</math>
* <math>L_{\alpha}(\alpha\text{ 是极限序数})=\bigcup_{\beta<\alpha}\ L_{\beta}</math>
* <math>L=\bigcup_{\alpha\in Ord}\ L_{\alpha}</math>

对于任意集合 <math>a</math>，若存在 <math>L_{b}</math>使得 <math>a\in L_{b}</math>，则称 <math>a</math> 是'''可构造的'''。

==== 定理 ====

当<math>\alpha \leq \omega</math>时，满足<math>V_\alpha=L_\alpha</math>；如果<math>V\neq L</math>，二者会在第<math>\omega+1</math>层开始出现大小的分别

我们可以验证，假设 [[ZFC公理体系|ZF]] 是一致的，那么 L 是 ZF 的模型，且是一个真类，且 Ord 是 L 的子类。

L 还蕴含 V=L 即可构造公理，以及[[ZFC公理体系#选择公理|选择公理]] AC 和广义连续统假设 GCH。并且，L 是 ZF 最小的内模型。

[[分类:集合论相关]]

初等嵌入

2026-05-17T04:16:21Z

Testtesttesttest：/* Kunen 定理 */

'''初等嵌入'''（Elementary Embedding）是模型论中的一个核心概念，用于描述两个结构之间的映射，该映射不仅保持结构的基本组成（如函数和关系），还严格保持所有一阶逻辑公式的真值。

=== 定义 ===
设 L 为一阶语言，M 和 N 是两个 L-结构（即[[模型]]）。一个映射 <math>j:M\rightarrow N</math> 称为从 M 到 N 的初等嵌入，当且仅当以下条件成立：

# 单射性：j 是单射（对不同的 <math>a,b\in M</math>，有 <math>j(a)\neq j(b)</math>）。
# 初等性：对任意一阶公式 <math>\varphi(x_1,x_2,\cdots,x_n)</math> 及所有 <math>a_1,a_2,\cdots,a_n\in M</math>，有：<math>M\models\varphi[a_1,a_2,\cdots,a_n]\Rightarrow N\models\varphi[j(a_1),j(a_2),\cdots,j(a_n)]</math>

进一步，<math>j</math> 称为'''非平凡初等嵌入'''，当且仅当存在 <math>x\in M</math> 使得 <math>j(x)\neq x</math>。

也可以要求 M 和 N 为[[传递集#传递类（Transitive Class）|传递类]]，且满足 [[ZFC公理体系|ZF−]]。

=== 临界点 ===
对非平凡初等嵌入 <math>j:M\rightarrow N</math> 必存在唯一的最小序数 <math>\kappa</math> 使 <math>j(\kappa)\neq\kappa</math>。此序数 <math>\kappa</math> 称为 <math>j</math> 的'''临界点'''（Critical Point），记为 <math>\mathrm{crit}(j)=\kappa</math>。

=== 共尾性 ===
嵌入 <math>j:M\rightarrow N</math> 称为'''共尾的'''（Cofinality），当且仅当 <math>\forall y\in N\exists x\in M(y\in j(x))</math>。

若 <math>M</math> 满足 [[ZFC公理体系|ZF]]，且 <math>N\subseteq M</math>，则任何初等嵌入 <math>j:M\rightarrow N</math> 必为共尾的。

=== Kunen 定理 ===
在 [[ZFC公理体系|ZFC]] 框架下，不存在非平凡初等嵌入 <math>j:V\rightarrow V</math>。而莱因哈特基数的定义是非平凡初等嵌入<math>j:V\rightarrow V</math>的临界点，所以在[[ZFC公理体系|ZFC]]中，莱茵哈特基数无法存在。

更具体地，Kunen 证明：对任意序数 <math>\lambda</math>和<math>n \in \text{Ord} \land n \geq 2</math>，不存在非平凡初等嵌入 <math>j:V_{\lambda+n}\rightarrow V_{\lambda+n}</math> 使得 V 满足 ZFC。
[[分类:集合论相关]]

初等嵌入

2026-05-17T04:14:37Z

Testtesttesttest：第一次编辑

'''初等嵌入'''（Elementary Embedding）是模型论中的一个核心概念，用于描述两个结构之间的映射，该映射不仅保持结构的基本组成（如函数和关系），还严格保持所有一阶逻辑公式的真值。

=== 定义 ===
设 L 为一阶语言，M 和 N 是两个 L-结构（即[[模型]]）。一个映射 <math>j:M\rightarrow N</math> 称为从 M 到 N 的初等嵌入，当且仅当以下条件成立：

# 单射性：j 是单射（对不同的 <math>a,b\in M</math>，有 <math>j(a)\neq j(b)</math>）。
# 初等性：对任意一阶公式 <math>\varphi(x_1,x_2,\cdots,x_n)</math> 及所有 <math>a_1,a_2,\cdots,a_n\in M</math>，有：<math>M\models\varphi[a_1,a_2,\cdots,a_n]\Rightarrow N\models\varphi[j(a_1),j(a_2),\cdots,j(a_n)]</math>

进一步，<math>j</math> 称为'''非平凡初等嵌入'''，当且仅当存在 <math>x\in M</math> 使得 <math>j(x)\neq x</math>。

也可以要求 M 和 N 为[[传递集#传递类（Transitive Class）|传递类]]，且满足 [[ZFC公理体系|ZF−]]。

=== 临界点 ===
对非平凡初等嵌入 <math>j:M\rightarrow N</math> 必存在唯一的最小序数 <math>\kappa</math> 使 <math>j(\kappa)\neq\kappa</math>。此序数 <math>\kappa</math> 称为 <math>j</math> 的'''临界点'''（Critical Point），记为 <math>\mathrm{crit}(j)=\kappa</math>。

=== 共尾性 ===
嵌入 <math>j:M\rightarrow N</math> 称为'''共尾的'''（Cofinality），当且仅当 <math>\forall y\in N\exists x\in M(y\in j(x))</math>。

若 <math>M</math> 满足 [[ZFC公理体系|ZF]]，且 <math>N\subseteq M</math>，则任何初等嵌入 <math>j:M\rightarrow N</math> 必为共尾的。

=== Kunen 定理 ===
在 [[ZFC公理体系|ZFC]] 框架下，不存在非平凡初等嵌入 <math>j:V\rightarrow V</math>。而莱因哈特基数的定义是非平凡初等嵌入<math>j:V\rightarrow V</math>的临界点，即满足<math>j(\kappa) = \kappa</math>的基数，所以在[[ZFC公理体系|ZFC]]中，莱茵哈特基数无法存在。

更具体地，Kunen 证明：对任意序数 <math>\lambda</math>和<math>n \in \text{Ord} \land n \geq 2</math>，不存在非平凡初等嵌入 <math>j:V_{\lambda+n}\rightarrow V_{\lambda+n}</math> 使得 V 满足 ZFC。
[[分类:集合论相关]]

初等嵌入

2026-05-17T04:08:33Z

Testtesttesttest：进行了补充

'''初等嵌入'''（Elementary Embedding）是模型论中的一个核心概念，用于描述两个结构之间的映射，该映射不仅保持结构的基本组成（如函数和关系），还严格保持所有一阶逻辑公式的真值。

=== 定义 ===
设 L 为一阶语言，M 和 N 是两个 L-结构（即[[模型]]）。一个映射 <math>j:M\rightarrow N</math> 称为从 M 到 N 的初等嵌入，当且仅当以下条件成立：

# 单射性：j 是单射（对不同的 <math>a,b\in M</math>，有 <math>j(a)\neq j(b)</math>）。
# 初等性：对任意一阶公式 <math>\varphi(x_1,x_2,\cdots,x_n)</math> 及所有 <math>a_1,a_2,\cdots,a_n\in M</math>，有：<math>M\models\varphi[a_1,a_2,\cdots,a_n]\Rightarrow N\models\varphi[j(a_1),j(a_2),\cdots,j(a_n)]</math>

进一步，<math>j</math> 称为'''非平凡初等嵌入'''，当且仅当存在 <math>x\in M</math> 使得 <math>j(x)\neq x</math>。

也可以要求 M 和 N 为[[传递集#传递类（Transitive Class）|传递类]]，且满足 [[ZFC公理体系|ZF−]]。

=== 临界点 ===
对非平凡初等嵌入 <math>j:M\rightarrow N</math> 必存在唯一的最小序数 <math>\kappa</math> 使 <math>j(\kappa)\neq\kappa</math>。此序数 <math>\kappa</math> 称为 <math>j</math> 的'''临界点'''（Critical Point），记为 <math>\mathrm{crit}(j)=\kappa</math>。

=== 共尾性 ===
嵌入 <math>j:M\rightarrow N</math> 称为'''共尾的'''（Cofinality），当且仅当 <math>\forall y\in N\exists x\in M(y\in j(x))</math>。

若 <math>M</math> 满足 [[ZFC公理体系|ZF]]，且 <math>N\subseteq M</math>，则任何初等嵌入 <math>j:M\rightarrow N</math> 必为共尾的。

=== Kunen 定理 ===
在 [[ZFC公理体系|ZFC]] 框架下，不存在非平凡初等嵌入 <math>j:V\rightarrow V</math>。

更具体地，Kunen 证明：对任意序数 <math>\lambda</math>和<math>n \in \text{Ord} \land n \geq 2</math>，不存在非平凡初等嵌入 <math>j:V_{\lambda+n}\rightarrow V_{\lambda+n}</math> 使得 V 满足 ZFC。
[[分类:集合论相关]]