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增长层级

2026-02-24T12:12:34Z

Tabelog：

'''增长层级（Growing Hierarchy，GH）'''是一种函数族<math>f:\rm Ord\rightarrow\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}</math>，对于每个[[序数]] <math>\alpha</math>，<math>f_{\alpha}</math> 是一个从自然数到自然数的函数。

不同[[增长率]]的函数能和它们建立起大致的对应关系。因此，增长层级常被用于分析函数的增长率。

常用的增长层级有 4 种，分别为 [[增长层级#快速增长层级|FGH]]、[[增长层级#中速增长层级|MGH]]、[[增长层级#哈代层级|HH]] 和 [[增长层级#慢速增长层级|SGH]]。其中最常用的是 FGH。

=== 定义 ===
在这里，<math>f^n(\cdot)</math> 代表对函数 <math>f(\cdot)</math> 的 <math>n</math> 次迭代；其中 <math>\alpha[n]</math> 表示[[序数#极限序数|极限序数]] <math>\alpha</math> 的[[基本列]]第 <math>n</math> 项。所有的典型增长层级都是由超限递归定义的。

==== 快速增长层级 ====
快速增长层级（Fast Growing Hierarchy，FGH）定义为：

<math>f_\alpha(n)=\begin{cases}n+1,&\alpha=0\\f_\beta^n(n),&\alpha=\beta+1\\f_{\alpha[n]}(n),&\alpha\text{ 是极限序数}\end{cases}</math>

==== 中速增长层级 ====
中速增长层级（Middle Growing Hierarchy，MGH）定义为：

<math>m_\alpha(n)=\begin{cases}n+1,&\alpha=0\\m_\beta(m_\beta((n)),&\alpha=\beta+1\\m_{\alpha[n]}(n),&\alpha\text{ 是极限序数}\end{cases}</math>

==== 哈代层级 ====
哈代层级（Hardy Hierarchy，HH）定义为：

<math>H_\alpha(n)=\begin{cases}n,&\alpha=0\\H_\beta(n+1),&\alpha=\beta+1\\H_{\alpha[n]}(n),&\alpha\text{ 是极限序数}\end{cases}</math>

==== 慢速增长层级 ====
慢速增长层级（Slow Growing Hierarchy，SGH）定义为：

<math>g_\alpha(n)=\begin{cases}0,&\alpha=0\\g_\beta(n)+1,&\alpha=\beta+1\\g_{\alpha[n]}(n),&\alpha\text{ 是极限序数}\end{cases}</math>

=== 在大数数学中的应用 ===
我们知道，大数数学的目的是造出越来越巨大的自然数。为了这个目标，我们需要构造出增长的越来越快的大数函数。实际上，我们有以下两种办法来做到这件事情，即'''迭代'''和'''对角化'''：

* 迭代，即对于已有函数 <math>f(x)</math>，我们构造出函数 <math>g(x)</math> 增长速度快于 <math>f(x)</math>。注意到迭代的方法显然不止一种。比方说，让 <math>g(x)=\underbrace{f(f(f(\cdots(x)\cdots)))}_{x\text{ 层}}</math>，这是一种迭代方法。还可以让 <math>g(x)=f(x+1)</math> 等等。
* 对角化，即对于已有的 <math>\omega</math> 个增长速度递增的函数，我们按照增长速度由小到大排序为 <math>f_1(x),f_2(x),f_3(x),\cdots</math>，我们构造出函数 <math>g(x)=f_x(x)</math>。注意到 <math>g(x)</math> 的增长速度快于任意的<math>f_n(x)</math>。

因此，我们只需要从一个最初的函数出发，通过不断地迭代和对角化，就可以得到越来越快的函数.

现在让我们考察[[序数]]，会发现，序数存在以下两个性质：

* 对任意序数 α，α 的后继依然是一个序数且大于 α。
* 对 ω 个递增序数构成的序列 S 来说，存在一个 β 是序数且满足 β 是 S 的上确界（上界要求大于等于内部所有元素，上确界是最小上界）。或者说，这里的 S 是 β 的一条[[基本列]]。

因此，我们可以从 0 出发，通过不断地取后继和取上确界，我们可以得到越来越大的序数.

我们会发现，构造大数函数的方法和序数的性质之间存在某种意义的对应。那么，我们可不可以直接根据序数，生成大数函数呢？答案是可以的。我们需要完成以下三件事：

* 对序数 0，它要和一个最基础的函数对应。
* 对一个[[序数#序数的后继|后继序数]] α'（α 的后继），我们需要找到 α，然后把 α 对应的函数进行迭代，所得到的新函数就是 α' 对应的函数。
* 对一个[[序数#极限序数|极限序数]] β，我们需要找到 β 的基本列，然后把基本列所有元素对应的函数进行对角化，得到的新函数就是 β 对应的函数。

但注意到这里还有一个问题：一个极限序数的基本列不止一种，那么，我们如何确定应该选取哪一条基本列呢？这个时候就需要[[序数记号]]出马了。序数记号为其极限之下的每个序数指定了唯一的标准基本列。

有了序数记号之后，我们就可以放心的运用对应关系，直接把序数转换成大数函数了。把序数转换成大数函数的工具就是增长层级。根据迭代的方法不同，增长层级也有很多种。

=== 不同增长层级的对比 ===
''本节内容来自<ref>Chase Light (2025). [googology] 大数增长率分析(序篇)：不同的增长层级及其对比 [[googology] Analysis of Large Number Growth Rate (Prologue): Different Growth Levels and Their Comparison]. ''(EB/OL), Zhihu''. Available at: https://zhuanlan.zhihu.com/p/720580794</ref>''。

MGH 相比 FGH，下标 +1 的方式仅由“嵌套 n（自变量）层”变为“嵌套 2 层”。因此，MGH 的下标每加一次 <math>\omega</math>，就能将函数嵌套 <math>2^n</math> 层，实现略大于 FGH 中下标 +1 的作用。

对于使得 <math>m_{\alpha}(n)=f_{\beta}(n)</math> 的 <math>\alpha</math> 和 <math>\beta</math>，我们有

<math>m_{\alpha+n(n\in \omega)}(x)<f_{\beta+1}(x)<m_{\alpha+\omega}(x)<f_{\beta+1}(2^x)</math>

因而 MGH 与 FGH 在 <math>\omega^\omega</math> 处 Catching。

HH 为“下标 +1 则自变量 +1 ”，显然有<math>H_\alpha(H_\beta(n))=H_{\alpha+\beta}(n)</math>。

于是当 <math>H_{\alpha}(n)=f_{\beta}(n)</math> 时，

<math>H_{\alpha+1}(n)=f_\beta(n+1)</math>，<math>H_{\alpha+\alpha}(n)=f_\beta(f_\beta(n))</math>，<math>H_{\alpha\times\omega}(n)=f_{\beta+1}(n)</math>

而 <math>H_{1}(n)=f_{0}(n)=n+1</math>。于是我们又有以下推论：

相同基本列下，对于 <math>\beta\leq\alpha<\varepsilon_0</math>，有 <math>H_{\omega^{\alpha}}(n)=f_{\alpha}(n)</math>，<math>H_{\omega^\alpha+\omega^\beta}(n)=f_{\alpha}(f_{\beta}(n))</math>

因而 HH 与 FGH 在 <math>\varepsilon_0</math> 处 Catching。

我们最后再来看 SGH，其下标 +1 仅仅是“函数值 +1”，因而 SGH 的增长十分依赖于'''序数自身的结构'''及'''基本列'''的选取，所以其增长地较为缓慢，且在较小尺度上和 FGH 没有明显的对应关系。

SGH 与 FGH在<math>\psi(\Omega_\omega)</math>处 Catching。在这之后，直接分析记号的序数结构与分析增长率变得几乎没有区别。

=== 对照表 ===
以下是较为具体的对照表，黑色代表严格相等，绿色代表略小，红色代表略大。

<nowiki>\( \begin{array} { c | c | c } \rm FGH & \rm MGH & \rm HH & \rm SGH & \rm EXP & -\\ \hline & & H_0 & g_\omega & x\\ f_0 & m_0 & H_1 & g_{\omega +1} & x+1\\ f_0(f_0) & m_1 & H_2 & g_{\omega +2} & x+2\\ f_0^4 & m_2 & H_4 & g_{\omega +4} & x+4\\ f_0^8 & m_3 & H_8 & g_{\omega +8} & x+8\\ f_1 & \matrix{\underset{x+2^x}{\color{red}{ m_\omega}}} & H_\omega & g_{\omega \times 2} & 2x \\ f_1(f_0) & {\color{red}{ m_\omega}} & H_{\omega +1} & g_{\omega \times 2 +2} & 2x +2\\ f_1(f_0(f_0)) & {\color{red} {m_\omega}} & H_{\omega +2} & g_{\omega \times 2 +4} & 2x +4\\ f_1(f_1) & {\color{red} {m_\omega}} & H_{\omega \times 2} & g_{\omega \times 4} & 4x\\ f_1(f_1(f_0)) & {\color{red} {m_\omega}} & H_{\omega \times 2 +1} & g_{\omega \times 4 +4} & 4x +4\\ f_1(f_1(f_1)) & {\color{red} {m_\omega}} & H_{\omega \times 3} & g_{\omega \times 8} & 8x\\ f_2 & {\color{green} {m_\omega}} & H_{\omega ^2} & {\color{green}{ g_{\omega^2}\sim g_{\omega^n}}} & x\cdot 2^x\\ f_2(f_1) & {\color{green}{ m_\omega}} & H_{\omega ^2 +\omega} & {\color{green} {g_{\omega^2}\sim g_{\omega^n}}} & x\cdot 2^{2x+1}\\ f_2(f_2) & {\color{green} {m_{\omega +1}}} & H_{\omega ^2 \times 2} & {\color{green} {g_{\omega^\omega}\sim g_{\omega^{\omega^n}}}} & x\cdot 2^{x\cdot (2^x+1)}\\ f_3 & \matrix{\underset{>x\uparrow\uparrow 2^x}{\color{red} {m_{\omega \times 2}}}} & H_{\omega ^3} & \matrix{\underset{x\uparrow\uparrow x}{\color{green} {g_{\varepsilon_0}} }} & >x\uparrow\uparrow x \\ f_3(f_1) & {\color{red} {m_{\omega \times 2}}} & H_{\omega ^3 +\omega} & \matrix{\underset{>x\uparrow\uparrow 2x-1}{\color{green}{ g_{\varepsilon_1} }}} & >x\uparrow\uparrow 2x \\ f_3(f_2) & {\color{green} {m_{\omega \times 2}}} & H_{\omega ^3 +\omega ^2} & {\color{green} {g_{\varepsilon_\omega} \sim g_{\varepsilon_{\omega^n} }}} & >x\uparrow\uparrow (x\cdot 2^x) \\ f_3(f_3) & \matrix{\underset{>x\uparrow\uparrow x\uparrow\uparrow 2^x}{\color{red} {m_{\omega \times 2 +1}}}} & H_{\omega ^3 \times 2} & {\color{green} {g_{\varepsilon_{\varepsilon_0}} }} & >x\uparrow\uparrow x\uparrow\uparrow x &{\rm tritri}=3\uparrow\uparrow\uparrow3\\ f_3(f_3(f_2)) & {\color{green} {m_{\omega \times 2 +1}}} & H_{\omega ^3 \times 2 +\omega^2} & {\color{green} {g_{\varepsilon_{\varepsilon_\omega }}\sim g_{\varepsilon_{\varepsilon_{\omega^n} }} }} & >x\uparrow\uparrow x\uparrow\uparrow (x\cdot 2^x) \\ f_3(f_3(f_3)) & \matrix{\underset{>x\uparrow\uparrow\uparrow 5}{\color{red} {m_{\omega \times 2 +2}}}} & H_{\omega ^3 \times 3} & {\color{green}{ g_{\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_0}}}} } & >x\uparrow\uparrow\uparrow 4 \\ f_4 & \matrix{\underset{>x\uparrow\uparrow\uparrow 2^x}{\color{red} {m_{\omega \times 3}}}} & H_{\omega ^4} & {\color{green} {g_{\zeta_0}} } & >x\uparrow\uparrow\uparrow (x+1)\\ f_4(f_0) & {\color{red} {m_{\omega \times 3}}} & H_{\omega ^4+1} & {\color{green} {g_{\varepsilon_{\zeta_0+1}} }} & >x\uparrow\uparrow\uparrow (x+2) \\ f_4(f_1) & {\color{red} {m_{\omega \times 3}}} & H_{\omega ^4+\omega } & {\color{green}{ g_{\zeta_1}} } & >x\uparrow\uparrow\uparrow 2x \\ f_4(f_2) & {\color{green} {m_{\omega \times 3}}} & H_{\omega ^4+\omega^2 } & {\color{green} {g_{\zeta_\omega }\sim g_{\zeta_{\omega^n} } }} & >x\uparrow\uparrow\uparrow (x\cdot 2^x) \\ f_4(f_3) & {\color{green}{ m_{\omega \times 3}}} & H_{\omega ^4+\omega^3 } & {\color{green} {g_{\zeta_{\varepsilon _0}} } } & >x\uparrow\uparrow\uparrow x\uparrow\uparrow x \\ f_4(f_4) & {\color{red} {m_{\omega \times 3+1}}} & H_{\omega ^4\times 2 } & {\color{green}{ g_{\zeta_{\zeta _0} } }} & >x\uparrow\uparrow\uparrow x\uparrow\uparrow\uparrow x \\ f_5 & {\color{red} {m_{\omega \times 4}}} & H_{\omega ^5 } & {\color{green} {g_{\eta _0} } } & >x\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow x & G(1)=3\uparrow^4 3\\ f_5(f_4) & {\color{green} {m_{\omega \times 4}}} & H_{\omega ^5 } & {\color{green} {g_{\eta_{\zeta _0}} } } & >x\uparrow^4 x\uparrow^3 x\\ f_5(f_5) & {\color{red}{ m_{\omega \times 4+1}}} & H_{\omega ^5\times 2 } & {\color{green} {g_{\eta_{\eta _0}}} } & >x\uparrow^4 x\uparrow^4 x\\ f_6 & {\color{red}{ m_{\omega \times 5}}} & H_{\omega ^6 } & {\color{green} {g_{\varphi(4,0) }} } & >x\uparrow^5 x\\ f_7 & {\color{red} {m_{\omega \times 6}}} & H_{\omega ^7 } & {\color{green} {g_{\varphi(5,0) }} } & >x\uparrow^6 x\\ \matrix{\underset{n>2,n\in \mathbb{N} }{f_n}} & {\color{red} {m_{\omega \times (n-1)}}} & H_{\omega ^n } & {\color{green}{ g_{\varphi(n-2,0) }} } & >x\uparrow^{n-1} x\\ f_\omega & \matrix{\underset{>x\uparrow^x x}{\color{red}{ m_{\omega^2}}}} & H_{\omega ^\omega } & \matrix{\underset{>x\uparrow^x x}{\color{red} {g_{\varphi(\omega ,0) }}} } & >x\uparrow^{x-1} x\\ \end{array} \)</nowiki>

得益于基本列，SGH 终于红了一次。但他的 <math>\varphi</math> 要开始猛进了。

\( \begin{array} { c | c | c } \rm FGH1 &\rm FGH2 & \rm MGH & \rm HH & \rm SGH & \rm EXP & -\\ \hline f_x &f_\omega & {\color{red}{ m_{\omega^2}}} & H_{\omega ^\omega } & {\color{red} {g_{\varphi(\omega ,0) }} } & >x\uparrow^{x-1} x\\ f_x(f_x)&f_x(f_\omega) & {\color{red}{ m_{\omega^2}}} & H_{\omega ^\omega } & {\color{red} {g_{\varphi(\omega ,0) }} } & >x\uparrow^{x-1} x\uparrow^{x-1} x\\ f_{x+1}(x+1)&f_\omega(f_0) & {\color{red}{ m_{\omega^2}}} & H_{\omega ^\omega +1 } & {\color{red} {g_{\varphi(\omega ,0) }} } & >x\uparrow^{x} x\\ f_{x+2}(x+2)&f_\omega(f_0(f_0)) & {\color{green}{ m_{\omega^2}}} & H_{\omega ^\omega +2 } & {\color{green} {g_{\varphi(\omega ,0) }} } & >x\uparrow^{x+1} x\\ f_{x+2}(f_{x+2})& & {\color{green}{ m_{\omega^2}}} & {\color{green}{H_{\omega ^\omega +2 }}} & {\color{green} {g_{\varphi(\omega ,\varphi(\omega ,0)) }} } & >x\uparrow^{x+1} x\uparrow^{x+1} x\\ f_{x+3}(x+3)&f_\omega(f_0^3) & {\color{green}{ m_{\omega^2}}} & H_{\omega ^\omega +3 } & {\color{green} {g_{\varphi(\omega+1 ,0) }} } & >x\uparrow^{x+2} x\\ f_{2x}(2x) &f_\omega(f_1) & \matrix{\underset{>x\uparrow^{x\uparrow^{x} x} x}{\color{red}{ m_{\omega^2+1}}}} & H_{\omega ^\omega +\omega } & {\color{red} {g_{\varphi(\omega \times 2 ,0) }} } & >x\uparrow^{2x-1} x\\ f_{2x+2}(2x+2)&f_\omega(f_1(f_0)) & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega +\omega +1 } & {\color{green} {g_{\varphi(\omega \times 2 ,0) }} } & >x\uparrow^{2x +1} x\\ f_{2x+4}(2x+4)&f_\omega(f_1(f_0(f_0))) & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega +\omega +2 } & {\color{green} {g_{\varphi(\omega \times 2 +2,0) }} } & >x\uparrow^{2x +3} x\\ f_{4x}(4x)&f_\omega(f_1(f_1)) & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega +\omega\times 2 } & {\color{red} {g_{\varphi(\omega \times 4 ,0) }} } & >x\uparrow^{4x -1} x\\ f_{f_2}(f_2)&f_\omega(f_2) & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega +\omega^2 } & {\color{green} {g_{\varphi(\omega ^2 ,0) }\sim g_{\varphi(\omega ^n ,0) }} } & >x\uparrow^{2^x} x\\ f_{f_3}(f_3)&f_\omega(f_3) & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega +\omega^3 } & {\color{green} {g_{\varphi(\varepsilon _0 ,0) }} } & >x\uparrow^{x\uparrow\uparrow x} x\\ f_{f_4}(f_4)&f_\omega(f_4) & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega +\omega^4 } & {\color{green} {g_{\varphi(\zeta _0 ,0) }} } & >x\uparrow^{x\uparrow\uparrow\uparrow x} x\\ f_{f_x}(f_x)&f_\omega(f_\omega ) & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega \times 2 } & {\color{red} {g_{\varphi(\varphi(\omega ,0) ,0) }} } & >x\uparrow^{x\uparrow^{x-1} x} x & G(2)\\ f_<nowiki>{{f_{f_x}(f_x)}}</nowiki>(f_{f_x}(f_x)) &f_\omega(f_\omega(f_\omega ) ) & {\color{green}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega \times 3 } & {\color{red} {g_{\varphi(\varphi(\varphi(\omega ,0) ,0) ,0) }} } & >x\uparrow^{x\uparrow^{x\uparrow^{x-1} x} x} x& G(3)\\ &f_{\omega+1} & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} } & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,0) }} } & >x\to x\to x\to 2 & \color{red}{G(x)}\\ \end{array} \)

对于 <math>f_{\omega +1}</math> 后的增长率，建议直接使用 FGH 分析。

<nowiki>\( \begin{array} { c | c | c } \rm FGH1 &\rm FGH2 & \rm MGH & \rm HH & \rm SGH & -\\ \hline &f_{\omega+1} & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} } & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,0) }=g_{\psi (\Omega ^\Omega ) }} } & \color{red}{G(x)}\\ f_{x+2}(f_{\omega+1})& & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & {\color{green} {H_{\omega ^{\omega+1}}} } & {\color{green} {g_{\varphi(\omega ,\varphi(1,0,0)+1) }} } & \color{red}{G(x)}\\ f_{f_{x+2}}(f_{\omega+1})& & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & {\color{green} {H_{\omega ^{\omega+1}}} } & {\color{green} {g_{\varphi(\varphi(\omega ,0) ,\varphi(1,0,0)+1) }} } & \color{red}{G(x)}\\ f_{\omega }(f_{\omega+1})=f_{\omega }^{x+1}(x+1)&f_{\omega+1}(f_0) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} +1} & {\color{green} {g_{\varphi(\varphi(1,0,0),1) }} }& \color{green}{G(x)}\\ f_{\omega }^{x+2}(x+2)&f_{\omega+1}(f_0(f_0)) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} +2} & {\color{green} {g_{\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),1),1) }} }& \color{green}{G(x+1)}\\ f_{\omega }^{2x}(2x)&f_{\omega+1}(f_1) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} +\omega} & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,1) }=g_{\psi (\Omega ^\Omega \times 2) }} }& \color{green}{G(2x-1)}\\ f_{\omega }^{x\cdot 2^x}(x\cdot 2^x)&f_{\omega+1}(f_2) & {\color{green}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} +\omega^2} & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,\omega^2 )\sim \varphi(1,0,\omega^n )}} }& \\ f_{\omega }^{f_{\omega }}(f_{\omega })&f_{\omega+1}(f_\omega ) & {\color{green}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} +\omega^\omega} & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,\varphi(\omega ,0)) }} }& \\ f_{\omega }^{f_{\omega+1 }}(f_{\omega +1})&f_{\omega+1}(f_{\omega +1}) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega +1 }}} & H_{\omega ^{\omega+1} \times 2} & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,\varphi(1,0 ,0)) }} }& \color{green}{G(G(x-1))}\\ &f_{\omega+1}^3 & {\color{green}{ m_{\omega^2+\omega +1 }}} & H_{\omega ^{\omega+1} \times 3} & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,\varphi(1,0 ,\varphi(1,0 ,0))) }} }& \color{green}{G(G(G(x-1)))}\\ &f_{\omega+2} & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega \times 2 }}} & H_{\omega ^{\omega+2} } & {\color{green} {g_{\varphi(1,1,0) }=g_{\psi (\Omega ^{\Omega+1} ) }} }&\\ f_{\omega}(f_{\omega+2})& & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega \times 2 }}} & {\color{green}{H_{\omega ^{\omega+2} }}} & {\color{green} {g_{\varphi(\varphi(1,1,0),1) }} }&\\ f_{\omega +1}(f_{\omega+2})=f_{\omega+1 }^{x+1}(x+1)&f_{\omega+2}(f_0) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega \times 2 }}} & {H_{\omega ^{\omega+2}+1 }} & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,\varphi(1,1,0)+1) }} }&\\ f_{\omega+1}^{2x}(2x)&f_{\omega+2}(f_1) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega \times 2 }}} & H_{\omega ^{\omega+2}+\omega } & {\color{green} {g_{\varphi(1,1,1) }} }&\\ f_{\omega }^{f_{\omega+2 }}(f_{\omega +2})&f_{\omega+2}(f_{\omega +2}) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega\times 2 +1 }}} & H_{\omega ^{\omega+2} \times 2} & {\color{green} {g_{\varphi(1,1,\varphi(1,1 ,0)) }} }& \\ &f_{\omega+3} & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega \times 3 }}} & H_{\omega ^{\omega+3} } & {\color{green} {g_{\varphi(1,2,0) }=g_{\psi (\Omega ^{\Omega+2} ) } }}&\\ &f_{\omega+4} & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega \times 4 }}} & H_{\omega ^{\omega+4} } & {\color{green} {g_{\varphi(1,3,0) }} }&\\ &f_{\omega\times 2} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2} } & {\color{red} {g_{\varphi(1,\omega ,0) }=g_{\psi (\Omega ^{\Omega+\omega })} } }&\\ \end{array} \)</nowiki>

<nowiki>\( \begin{array} { c | c | c } \rm FGH & \rm MGH & \rm HH & \rm SGH \\ \hline f_{\omega\times 2} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2} } & {\color{red} {g_{\varphi(1,\omega ,0) }}}\\ f_{\omega+2x+1}(f_{\omega\times 2}) & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 }}} & {\color{green} {H_{\omega ^{\omega\times 2} }}} & {\color{green} {g_{\varphi(1,\omega\times 2 ,0) }}}\\ f_{\omega\times 2}(f_{\omega\times 2}) & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 +1}}} & H_{\omega ^{\omega\times 2} \times 2} & {\color{red} {g_{\varphi(1,\varphi(1,\omega ,0) ,0) }}}\\ f_{\omega\times 2+1} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 +\omega }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2 +1} } & {\color{green} {g_{\varphi(2,0 ,0)}=g_{\psi (\Omega ^{\Omega\times 2})}}}\\ f_{\omega\times 2+1}(f_1) & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 +\omega }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2 +1} +\omega } & {\color{green} {g_{\varphi(2,0 ,1) }}}\\ f_{\omega\times 2+1}(f_{\omega \times 2}) & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 +\omega +1 }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2 +1} +\omega^{\omega\times 2 } } & {\color{green} {g_{\varphi(2,0 ,\varphi(1,\omega ,0)) }}}\\ f_{\omega\times 2+1}(f_{\omega \times 2+1}) & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 +\omega +1 }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2 +1} \times 2} & {\color{green} {g_{\varphi(2,0 ,\varphi(2,0,0)) }}}\\ f_{\omega\times 2+2} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 +\omega\times 2 }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2 +2} } & {\color{green} {g_{\varphi(2,1 ,0)}}}\\ f_{\omega\times 2+3} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 +\omega\times 3 }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2+3} } & {\color{green} {g_{\varphi(2,2,0)}}}\\ f_{\omega\times 3} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 3 }}} & H_{\omega ^{\omega\times 3} } & {\color{red} {g_{\varphi(2,\omega,0)}}}\\ f_{\omega\times 3+1} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 3 +\omega }}} & H_{\omega ^{\omega\times 3+1}} & {\color{green} {g_{\varphi(3,0,0)}}}\\ f_{\omega\times 4} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 4 }}} & H_{\omega ^{\omega\times 4} } & {\color{red} {g_{\varphi(3,\omega,0)}}}\\ f_{\omega^2} & {\color{red}{ m_{\omega^3 }}} & H_{\omega ^{\omega^2} } & {\color{red} {g_{\varphi(\omega,0,0)}}}\\ f_{\omega^2}(f_{\omega^2}) & {\color{red}{ m_{\omega^3 \times 2}}} & H_{\omega ^{\omega^2}\times 2 } & {\color{red} {g_{\varphi(\varphi(\omega,0,0),0,0)}}}\\ f_{\omega^2+1} & {\color{red}{ m_{\omega^3 +\omega }}} & H_{\omega ^{\omega^2+1} } & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,0,0)}=g_{\psi (\Omega ^{\Omega^2})}}}\\ f_{\omega^2+\omega} & {\color{red}{ m_{\omega^3 +\omega^2 }}} & H_{\omega ^{\omega^2+\omega }} & {\color{red} {g_{\varphi(1,0,\omega,0)}}}\\ f_{\omega^2+\omega +1} & {\color{red}{ m_{\omega^3 +\omega^2 +\omega }}} & H_{\omega ^{\omega^2+\omega+1 }} & {\color{green} {g_{\varphi(1,1,0,0)}}}\\ f_{\omega^2+\omega\times 2 +1} & {\color{red}{ m_{\omega^3 +\omega^2\times 2 +\omega }}} & H_{\omega ^{\omega^2+\omega\times 2+1 }} & {\color{green} {g_{\varphi(1,2,0,0)}}}\\ f_{\omega^2\times 2} & {\color{red}{ m_{\omega^3 \times 2 }}} & H_{\omega ^{\omega^2\times 2 }} & {\color{red} {g_{\varphi(1,\omega ,0,0)}}}\\ f_{\omega^2\times 2 +1} & {\color{red}{ m_{\omega^3 \times 2 +\omega }}} & H_{\omega ^{\omega^2\times 2 +1}} & {\color{green} {g_{\varphi(2,0,0,0)}}}\\ f_{\omega^2\times 3 +1} & {\color{red}{ m_{\omega^3 \times 3 +\omega }}} & H_{\omega ^{\omega^2\times 3 +1}} & {\color{green} {g_{\varphi(3,0,0,0)}}}\\ f_{\omega^3} & {\color{red}{ m_{\omega^4 }}} & H_{\omega ^{\omega^3}} & {\color{red} {g_{\varphi(\omega,0,0,0)}=g_{\psi (\Omega ^{\Omega^2\times \omega})}}}\\ f_{\omega^3+1} & {\color{red}{ m_{\omega^4+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega^3+1}} & {\color{green} {g_{\varphi(1@4)}=g_{\psi (\Omega ^{\Omega^3})}}}\\ f_{\omega^4+1} & {\color{red}{ m_{\omega^5+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega^4+1}} & {\color{green} {g_{\varphi(1@5)}=g_{\psi (\Omega ^{\Omega^4})}}}\\ f_{\omega^\omega} & {\color{green}{ m_{\omega^\omega }}} & H_{\omega ^{\omega^\omega }} & {\color{green} {g_{\varphi(1@\omega)}}}={\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\omega})}}}\\ \end{array} \)</nowiki>

同样是由于基本列，MGH 与 FGH 在 <math>\omega^\omega</math> 处 Catching 但略小于 FGH（注意 Catching 并不是相等），此后每遇到 <math>\omega^\omega</math> 的倍数二者都会 Catching 一次。

<nowiki>\( \begin{array} { c | c | c } \rm FGH & \rm HH & \rm SGH \\ \hline f_{\omega^\omega} & H_{\omega ^{\omega^\omega }} & {\color{green} {g_{\varphi(1@\omega)}}}={\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\omega})}}}\\ f_{\omega^\omega}(f_0) & H_{\omega ^{\omega^\omega }+1} & {\color{green} {g_{\varphi(1@(\omega+1))}}}\\ f_{\omega^\omega}(f_1) & H_{\omega ^{\omega^\omega }+\omega } & {\color{green} {g_{\varphi(1@(\omega\times 2))}}}\\ f_{\omega^\omega}(f_{\omega^\omega}) & H_{\omega ^{\omega^\omega }\times 2 } & {\color{green} {g_{\varphi(1@\varphi(1@\omega))}}}\\ f_{\omega^\omega+1} & H_{\omega ^{\omega^\omega +1}} & {\color{green} {g_{\varphi(1@(1,0))}= {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega})}}}}\\ f_{\omega^\omega+\omega } & H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega }} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\omega })}}}\\ f_{\omega^\omega+\omega +1 } & H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega })}}}\\ f_{\omega^\omega+\omega\times 2 +1 } & H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega\times 2 +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega\times 2 })}}}\\ f_{\omega^\omega+\omega^2 } & H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega^ 2 }} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega\times \omega })}}}\\ f_{\omega^\omega+\omega^2 +1 } & H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega^ 2 +1 }} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega^2 })}}}\\ f_{\omega^\omega+\omega^3 +1 } & H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega^ 3 +1 }} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega^3 })}}}\\ f_{\omega^\omega\times 2 } & H_{\omega ^{\omega^\omega \times 2 }} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega^\omega })}}}\\ f_{\omega^\omega\times 2 +1} & H_{\omega ^{\omega^\omega \times 2 +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega\times 2 })}}}\\ f_{\omega^\omega\times 3 +1} & H_{\omega ^{\omega^\omega \times 3 +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega\times 3})}}}\\ f_{\omega^{\omega+1}} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +1}}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega\times \omega })}}}\\ f_{\omega^{\omega+1}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +1}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+1} })}}}\\ f_{\omega^{\omega+1}+\omega +1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +1}+\omega +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+1}+\Omega })}}}\\ f_{\omega^{\omega+1}\times 2+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +1} \times 2} } & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+1}\times 2 })}}}\\ f_{\omega^{\omega+2}} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +2}}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+1}\times \omega })}}}\\ f_{\omega^{\omega+2}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +2}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+2} })}}}\\ f_{\omega^{\omega+3}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +3}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+3} })}}}\\ f_{\omega^{\omega\times 2}} & H_{\omega ^{\omega^{\omega \times 2}}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+\omega } })}}}\\ f_{\omega^{\omega\times 2}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega \times 2}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega\times 2 } })}}}\\ f_{\omega^{\omega\times 3}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega \times 3}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega\times 3 } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ 2}} & H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ 2}}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega\times \omega } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ 2}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ 2}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^2 } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ 3}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ 3}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^3 } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ \omega }} & H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ \omega }}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^\omega } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ \omega }+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ \omega }+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^\Omega } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^{\omega^ \omega } }+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega ^{\omega^ \omega } }+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^{\Omega^ \Omega } } })}}}\\ f_{\psi (0)=\varepsilon_0} & {\color{green}{H_{\varepsilon _0}}}/H_{\varepsilon _0+1} & {\color{green} {g_{\psi (\psi_1(0))}}}\\ \end{array} \)</nowiki>

HH 与 FGH 最终在 <math>\varepsilon_0</math> 处 Catching 了。此后的每个<math>\varepsilon</math>点二者都会再次 Catching。

关于SGH 与 FGH 的更详细的对照分析以及它们的[[Catching|catching]]点，请移步[[SGH与FGH对照]]

=== 警告 ===
''本节内容来自 Googology Wiki''。''<ref>Googology Wiki (n.d.). Fast-growing hierarchy. ''(EB/OL), Googology Wiki''. Available at: https://googology.fandom.com/wiki/Fast-growing_hierarchy</ref>''<ref>Googology Wiki (n.d.). Slow-growing hierarchy. ''(EB/OL), Googology Wiki''. Available at: https://googology.fandom.com/wiki/Slow-growing_hierarchy</ref><ref>Googology Wiki (n.d.). Hardy hierarchy. ''(EB/OL), Googology Wiki''. Available at: https://googology.fandom.com/wiki/Hardy_hierarchy</ref>

读者需要非常谨慎，因为个人网站、视频和用户博客上存在许多错误的“入门介绍”，尽管这些内容不幸受到初学者的青睐。由于序数、基本列等数学概念非常抽象且难以精确处理，人们往往倾向于给出直观描述——这些描述对初学者来说比精确解释更简单、更“酷”。然而，这类“入门介绍”经常包含严重错误，因为作者本身也是通过其他直观描述学习的，而非精确的定义——重点在于，要理解快速增长层级，精确的定义是不可或缺的。精确描述看起来复杂的原因并非仅仅是表述不佳或冗余，而是因为这些概念本身确实非常困难，尽管这些错误的“入门介绍”有时会将它们解释为简单的概念。

另外要注意，关于快速增长层级中函数的[[CKO#可计算函数|可计算性]]，存在许多错误描述。虽然 gggists 有时会声称某个函数是可计算的，因为它是通过快速增长层级定义的，但这是典型的错误。通过包含无限序数的方法(如快速增长层级)定义的函数并不一定是可计算的。为了确保通过快速增长层级定义的函数的可计算性，我们需要构造一个明确的算法来计算它，常见例子是由序数记号给出一个基本列的算法。即使快速增长层级中像 <math>f_\omega</math> 这样的较小函数，若没有通过明确算法定义，也可能是不可计算的（比如设想<math>f_\omega(n)=f_{BB(n)}(n)</math>，其中<math>BB(n)</math>是[[忙碌海狸函数]]）。因为算法只能处理可数集合中具有固定枚举的元素，而无法直接处理没有固定枚举的集合中的无限序数。为了解决可计算性问题，我们通常使用序数记号。

关于快速增长层级（及其同类，如哈代层级和慢速增长层级）最重要的事实之一是：给定上界以下的极限序数的基本列系统并非唯一，经典增长层级严重依赖于这种系统的选择；除非在上下文中明确固定了基本列系统的具体选择，否则它是定义不明确的。初学者必须非常注意这个问题，因为当 gggist 谈论“[[Catching 函数|Catching 的序数]]”“视为增长率的序数”“快速增长层级中的[[证明论序数]]”等内容时，若不理解基本列系统选择的依赖性，这种定义不明确的情况会频繁出现。

== 参考资料 ==
<references />
[[分类:入门]]
[[分类:分析]]
[[分类:重要概念]]

2025-08-31T03:03:33Z

Tabelog：Tabelog移动页面PrSS的良序性至PrSS 的良序性，不留重定向

2025-08-30T14:09:55Z

Tabelog：文字替换 -“BHM”替换为“BHM”

本条目展示[[BHM]]分析的第二部分。使用<math>veblen</math>函数和<math>MOCF</math>。

<nowiki>\begin{align} s\\& (0,0)(1,1)(0,0)=\varphi(1,0,0)+1\\&(0,0)(1,1)(0,0)(0,0)(1,1)=\varphi(1,0,0)\times2\\&(0,0)(1,1)(0,0)(1,0)=\omega^{\varphi(1,0,0)+1}\\&(0,0)(1,1)(0,0)(1,0)(1,0)=\omega^{\omega^{\varphi(1,0,0)+1}}\\&(0,0)(1,1)(0,0)(1,0)(2,0)=\varphi(1,\varphi(1,0,0)+1)\\&(0,0)(1,1)(0,0)(1,0)(2,0)(0,0)(1,1)=\varphi(1,\varphi(1,0,0)\times2)\\&(0,0)(1,1)(0,0)(1,0)(2,0)(1,0)(1,0)(2,0)=\varphi(1,\varphi(1,\varphi(1,0,0)+1))\\&(0,0)(1,1)(0,0)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)=\varphi(2,\varphi(1,0,0)+1)\\&(0,0)(1,1)(0,0)(1,0)(2,0)(2,0)=\varphi(\omega,\varphi(1,0,0)+1)\\&(0,0)(1,1)(0,0)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,0)=\varphi(\omega+1,\varphi(1,0,0)+1)\\&(0,0)(1,1)(0,0)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,0)(2,0)=\varphi(\omega^2,\varphi(1,0,0)+1)\\&(0,0)(1,1)(0,0)(1,0)(2,0)(2,0)(2,0)=\varphi(\omega^\omega,\varphi(1,0,0)+1)\\&(0,0)(1,1)(0,0)(1,0)(2,0)(3,0)=\varphi(\varphi(1,0),\varphi(1,0,0)+1)\\&(0,0)(1,1)(0,0)(1,0)(2,0)(3,0)(4,0)=\varphi(\varphi(\varphi(1,0),0),\varphi(1,0,0)+1)\\&(0,0)(1,1)(0,0)(1,0)(2,0)(3,0)(4,0)(5,0)=\varphi(\varphi(\varphi(\varphi(1,0),0),0),\varphi(1,0,0)+1)\\&\Large\color{#746542}{(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)=\varphi(\varphi(1,0,0),1)}\\&(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)=\varphi(\varphi(1,0,0),2)\\&(0,0)(1,1)(1,0)=\varphi(\varphi(1,0,0),\omega)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(0,0)(1,1)=\varphi(\varphi(1,0,0),\omega+1)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(1,0)=\varphi(\varphi(1,0,0),\omega\times2)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(0,0)(1,1)(1,0)=\varphi(\varphi(1,0,0),\omega^2)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)=\varphi(\varphi(1,0,0),\omega^\omega)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(1,0)=\varphi(\varphi(1,0,0),\omega^{\omega^\omega})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)=\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(1,0))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)=\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(2,0))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(2,0)=\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(\omega,0))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,0)=\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(\varphi(1,0),0))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,0)(4,0)=\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(\varphi(\varphi(1,0),0),0))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)=\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(1,0,0))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(0,0)(1,1)=\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(1,0,0)+1)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)=\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(1,0,0)+2)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(1,0)=\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(1,0,0)+\omega)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)=\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(1,0,0)\times2)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(0,0)(1,1)(1,0)=\varphi(\varphi(1,0,0),\omega^{\varphi(1,0,0)+1})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)=\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(1,\varphi(1,0,0)+1))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)=\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(2,\varphi(1,0,0)+1))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(2,0)=\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(\omega,\varphi(1,0,0)+1))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,0)=\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(\varphi(1,0),\varphi(1,0,0)+1))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)=\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(\varphi(1,0,0),1))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)=\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(\varphi(1,0,0),\omega))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)=\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(\varphi(1,0,0),\omega+1))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(1,0)=\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(\varphi(1,0,0),\omega^\omega))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(1,0)(2,0)=\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(1,0)))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(1,0)(2,0)(2,0)=\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(\omega,0)))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)=\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(1,0,0)))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)=\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(\varphi(1,0,0),1)))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)=\varphi(\varphi(1,0,0)+1,0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(0,0)(1,1)=\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(\varphi(1,0,0)+1,0)+1)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)=\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(\varphi(1,0,0)+1,0)\times2)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(0,0)(1,1)(1,0)=\varphi(\varphi(1,0,0),\omega^{\varphi(\varphi(1,0,0)+1,0)+1})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)=\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(1,\varphi(\varphi(1,0,0)+1,0)+1))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)=\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(\varphi(1,0,0)+1,0)+1))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)=\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(\varphi(1,0,0)+1,0)\times2))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(1,0)(2,0)=\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(1,\varphi(\varphi(1,0,0)+1,0)+1)))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)=\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(\varphi(1,0,0)+1,0)+1)))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)=\varphi(\varphi(1,0,0)+1,1)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(1,0)=\varphi(\varphi(1,0,0)+1,\omega)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(1,0)(1,0)(2,0)=\varphi(\varphi(1,0,0)+1,\varphi(1,0))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)=\varphi(\varphi(1,0,0)+1,\varphi(1,0,0))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)=\varphi(\varphi(1,0,0)+1,\varphi(\varphi(1,0,0)+1,0))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)=\varphi(\varphi(1,0,0)+2,0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)(2,0)=\varphi(\varphi(1,0,0)+\omega,0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,0)=\varphi(\varphi(1,0,0)+\varphi(1,0),0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,1)=\varphi(\varphi(1,0,0)\times2,0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,1)=\varphi(\varphi(1,0,0)\times3,0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(2,0)=\varphi(\omega^{\varphi(1,0,0)+1},0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(3,0)=\varphi(\varphi(1,\varphi(1,0,0)+1),0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(3,1)=\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),1),0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)=\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),1)+1,0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(2,0)=\varphi(\omega^{\varphi(\varphi(1,0,0),1)+1},0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(3,0)=\varphi(\varphi(1,\varphi(\varphi(1,0,0),1)+1),0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(3,1)=\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),2),0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)=\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),\omega),0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)(1,0)(2,0)(3,1)=\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),\omega+1),0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)=\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),\omega\times2),0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)(2,0)=\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),\omega^\omega),0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)(2,0)(3,0)=\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(1,0)),0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)(2,0)(3,1)=\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(1,0,0)),0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(3,1)=\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(1,0,0)+1),0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)=\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),\omega^{\varphi(1,0,0)+1}),0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)(2,0)(3,0)=\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(1,\varphi(1,0,0)+1)),0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)(2,0)(3,1)=\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(\varphi(1,0,0),1)),0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)(2,0)(3,1)(2,0)=\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(\varphi(1,0,0),\omega)),0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)(2,0)(3,1)(2,0)(2,0)(3,1)=\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(1,0,0))),0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)(3,0)=\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0)+1,0),0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)=\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0)+2,0),0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)(3,0)(2,0)(3,1)=\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0)\times2,0),0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)(3,0)(3,0)=\varphi(\varphi(\omega^{\varphi(1,0,0)+1},0),0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)(3,0)(4,0)=\varphi(\varphi(\varphi(1,\varphi(1,0,0)+1),0),0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)(3,1)=\varphi(\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),1),0),0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)=\varphi(\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),\omega),0),0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,0)=\varphi(\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(1,0)),0),0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,0)(5,1)=\varphi(\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(1,0,0)),0),0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,0)(5,1)(2,0)(3,1)=\varphi(\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(1,0,0)+1),0),0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,0)(5,1)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,0)(5,1)=\varphi(\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(\varphi(1,0,0),1)),0),0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,0)(5,1)(3,0)=\varphi(\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(\varphi(1,0,0),\omega)),0),0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,0)(5,1)(3,0)(4,0)=\varphi(\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0)+1,0),0),0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,0)(5,1)(3,0)(4,0)(5,0)=\varphi(\varphi(\varphi(\varphi(1,\varphi(1,0,0)+1),0),0),0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,0)(5,1)(3,0)(4,0)(5,1)=\varphi(\varphi(\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),1),0),0),0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,0)(5,1)(4,0)(5,1)=\varphi(\varphi(\varphi(\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),1),0),0),0),0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)=\varphi(1,0,1)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(0,0)(1,1)=\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(1,0,1)+1)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(0,0)(1,1)(1,0)=\varphi(\varphi(1,0,0),\omega^{\varphi(1,0,1)+1})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)=\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(1,0,1)+1))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)=\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(1,0,1)+2))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)=\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(1,0,1)+\omega))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)=\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(1,0,1)\times2))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)=\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(\varphi(1,0,0),\omega^{\varphi(1,0,1)+1}))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(1,0)(2,1)(3,1)=\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(1,0,1)+1)))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)=\varphi(\varphi(1,0,0)+1,\varphi(1,0,1)+1)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,1)=\varphi(\varphi(1,0,0)\times2,\varphi(1,0,1)+1)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(3,1)=\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),1),\varphi(1,0,1)+1)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)(3,1)=\varphi(\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),1),0),\varphi(1,0,1)+1)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)=\varphi(\varphi(1,0,1),1)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)=\varphi(\varphi(1,0,1),\omega)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,0)=\varphi(\varphi(1,0,1),\varphi(1,0))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)=\varphi(\varphi(1,0,1),\varphi(1,0,0))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)=\varphi(\varphi(1,0,1),\varphi(\varphi(1,0,0),1))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)=\varphi(\varphi(1,0,1),\varphi(\varphi(1,0,0),\omega))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)=\varphi(\varphi(1,0,1),\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(1,0,0)))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)=\varphi(\varphi(1,0,1),\varphi(\varphi(1,0,0)+1,0))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(3,0)=\varphi(\varphi(1,0,1),\varphi(\varphi(1,\varphi(1,0,0)+1),0))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(3,1)=\varphi(\varphi(1,0,1),\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),1),0))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)(3,1)=\varphi(\varphi(1,0,1),\varphi(\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),1),0),0))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)=\varphi(\varphi(1,0,1),\varphi(\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),\omega),0),0))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,0)(5,1)=\varphi(\varphi(1,0,1),\varphi(\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(1,0,0)),0),0))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,0)(5,1)(3,0)(4,0)(5,1)=\varphi(\varphi(1,0,1),\varphi(\varphi(\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),1),0),0),0))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,1)=\varphi(\varphi(1,0,1),\varphi(1,0,1))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,1)(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)=\varphi(\varphi(1,0,1),\varphi(1,0,1)+1)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,1)(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,0)=\varphi(\varphi(1,0,1),\varphi(1,\varphi(1,0,1)+1))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,1)(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)=\varphi(\varphi(1,0,1),\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(1,0,1)+1))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,1)(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1))(3,0)(3,0)(4,1)=\varphi(\varphi(1,0,1),\varphi(\varphi(1,0,1),1))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,1)(1,0)=\varphi(\varphi(1,0,1),\varphi(\varphi(1,0,1),\omega))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,1)=\varphi(\varphi(1,0,1),\varphi(\varphi(1,0,1),\varphi(1,0,1)))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,1)(1,0)(2,0)=\varphi(\varphi(1,0,1)+1,0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,1)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,1)=\varphi(\varphi(\varphi(1,0,1),1),0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,1)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,1)=\varphi(\varphi(\varphi(\varphi(1,0,1),1),0),0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,1)(3,0)(3,0)(4,0)(5,1)(5,0)(5,0)(6,1)(3,0)(4,0)(5,1)(5,0)(5,0)(6,1)=\varphi(\varphi(\varphi(\varphi(\varphi(1,0,1),1),0),0),0)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,1)=\varphi(1,0,2)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,1)=\varphi(1,0,3)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)=\varphi(1,0,\omega)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(1,0)(2,1)=\varphi(1,0,\omega+1)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)=\varphi(1,0,\omega\times2)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)=\varphi(1,0,\omega^2)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)=\varphi(1,0,\omega^3)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)(2,0)=\varphi(1,0,\omega^\omega)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,0)=\varphi(1,0,\varphi(1,0))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,1)=\varphi(1,0,\varphi(1,0,0))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)=\varphi(1,0,\omega^{\varphi(1,0,0)+1})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,1)=\varphi(1,0,\omega^{\varphi(1,0,0)\times2})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(2,0)=\varphi(1,0,\omega^{\omega^{\varphi(1,0,0)+1}})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(2,0)=\varphi(1,0,\omega^{\omega^{\varphi(1,0,0)+1}\times2})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,0)(2,0)=\varphi(1,0,\omega^{\omega^{\varphi(1,0,0)+2}})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,1)=\varphi(1,0,\omega^{\omega^{\varphi(1,0,0)\times2}})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(3,0)=\varphi(1,0,\varphi(1,\varphi(1,0,0)+1))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,1)=\varphi(1,0,\varphi(2,\varphi(1,0,0)+1))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,1)(1,0)(2,0)(3,1)=\varphi(1,0,\varphi(\varphi(1,0,0),1))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)=\varphi(1,0,\varphi(\varphi(1,0,0),\omega))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)(3,0)=\varphi(1,0,\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(1,0)))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)(3,1)=\varphi(1,0,\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(1,0,0)))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)(3,1)(2,0)(3,1)=\varphi(1,0,\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(\varphi(1,0,0),1)))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)=\varphi(1,0,\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(\varphi(1,0,0),\omega)))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,0)(5,1)=\varphi(1,0,\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(\varphi(1,0,0),\varphi(1,0,0))))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,0)(5,1)(3,0)(4,0)=\varphi(1,0,\varphi(\varphi(1,0,0)+1,0))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,1)=\varphi(1,0,\varphi(1,0,1))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,1)(3,0)(3,0)(4,1)=\varphi(1,0,\varphi(1,0,2))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,1)(3,0)(4,0)=\varphi(1,0,\varphi(1,0,\omega))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,1)(3,0)(4,0)(3,0)(4,0)(5,1)=\varphi(1,0,\varphi(1,0,\varphi(1,0,0)))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\varphi(1,1,0)\\&OCF，启动！\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,1)=\psi(\Omega^{\Omega+1}+\Omega^\Omega)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)=\psi(\Omega^{\Omega+1}+\Omega^\Omega\times\omega)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,1)=\psi(\Omega^{\Omega+1}+\Omega^\Omega\times\psi(\Omega^\Omega))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)(3,1)=\psi(\Omega^{\Omega+1}+\Omega^\Omega\times\psi(\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega)}))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,1)=\psi(\Omega^{\Omega+1}+\Omega^\Omega\times\psi(\Omega^{\Omega}\times2))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,1)(3,0)(4,0)(3,0)(4,1)=\psi(\Omega^{\Omega+1}+\Omega^\Omega\times\psi(\Omega^{\Omega+1}))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,1)(3,0)(4,0)(3,0)(4,1)(3,0)(3,0)(4,1)=\psi(\Omega^{\Omega+1}+\Omega^\Omega\times\psi(\Omega^{\Omega+1}+\Omega^\Omega))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\Omega^{\Omega+1}\times2)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\Omega^{\Omega+1}\times3)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)=\psi(\Omega^{\Omega+1}\times\omega)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\Omega^{\Omega+1}\times\omega+\Omega^{\Omega+1})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)=\psi(\Omega^{\Omega+1}\times\omega\times2)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)=\psi(\Omega^{\Omega+1}\times\omega^2)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,0)=\psi(\Omega^{\Omega+1}\times\psi(0))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,1)=\psi(\Omega^{\Omega+1}\times\psi(\Omega^\Omega))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,1)(3,0)(4,0)(3,0)(4,1)=\psi(\Omega^{\Omega+1}\times\psi(\Omega^{\Omega+1}))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\Omega^{\Omega+2})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,1)=\psi(\Omega^{\Omega+2}+\Omega^\Omega)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\Omega^{\Omega+2}+\Omega^{\Omega+1})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\Omega^{\Omega+2}\times2)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\Omega^{\Omega+3})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)=\psi(\Omega^{\Omega+\omega})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(1,0)(2,1)=\psi(\Omega^{\Omega+\omega}+\Omega^\Omega)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\Omega^{\Omega+\omega}+\Omega^{\Omega+1})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)=\psi(\Omega^{\Omega+\omega}\times2)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,0)=\psi(\Omega^{\Omega+\omega}\times\omega)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\Omega^{\Omega+\omega+1})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)=\psi(\Omega^{\Omega+\omega\times2})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,0)(2,0)=\psi(\Omega^{\Omega+\omega^2})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,0)=\psi(\Omega^{\Omega+\psi(0)})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,1)=\psi(\Omega^{\Omega+\psi(\Omega^\Omega)})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,1)(3,0)(4,0)(4,0)=\psi(\Omega^{\Omega+\psi(\Omega^{\Omega+\omega})})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\Omega^{\Omega\times2}\times2)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)=\psi(\Omega^{\Omega\times2}\times\omega)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\Omega^{\Omega\times2+1})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)=\psi(\Omega^{\Omega\times2+\omega})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\Omega^{\Omega\times3})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)=\psi(\Omega^{\Omega\times\omega})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\Omega^{\Omega\times\omega+1})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\Omega^{\Omega\times\omega+\Omega})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)=\psi(\Omega^{\Omega\times\omega\times2})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,0)(2,0)=\psi(\Omega^{\Omega\times\omega^2})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\Omega^{\Omega^2})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\Omega^{\Omega^2+1})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\Omega^{\Omega^2+\Omega})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\Omega^{\Omega^2\times2})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)=\psi(\Omega^{\Omega^2\times\omega})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\Omega^{\Omega^3})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(2,0)=\psi(\Omega^{\Omega^\omega})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\Omega^{\Omega^\Omega})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega^2}})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(2,0)(2,0)=\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega^\omega}})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega^\Omega}})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)=\psi(\psi_1(0))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(0,0)=\psi(\psi_1(0))+1\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(0,0)(1,0)(2,0)=\psi(\psi_1(0)+1)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(0,0)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)=\psi(\psi_1(0)+\Omega)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(0,0)(1,0)(2,0)(2,0)=\psi(\psi_1(0)+\Omega^\omega)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(0,0)(1,1)=\psi(\psi_1(0)+\Omega^{\psi(\psi_1(0))})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(1,0)(2,1)=\psi(\psi_1(0)+\Omega^\Omega)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,1)=\psi(\psi_1(0)+\Omega^\Omega\times2)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)=\psi(\psi_1(0)+\Omega^\Omega\times\omega)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\psi_1(0)+\Omega^{\Omega+1})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\psi_1(0)+\Omega^{\Omega\times2})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\psi_1(0)+\Omega^{\Omega^\Omega})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)=\psi(\psi_1(0)\times2)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)=\psi(\psi_1(0)\times3)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,0)=\psi(\psi_1(0)\times\omega)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,0)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,0)=\psi(\psi_1(0)\times\omega\times2)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,0)(1,0)(2,0)=\psi(\psi_1(0)\times\omega^2)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\Omega^{\psi_1(0)+1})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\Omega^{\psi_1(0)+2})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\Omega^{\psi_1(0)+\Omega})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)=\psi(\Omega^{\psi_1(0)\times2})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,0)(2,0)=\psi(\Omega^{\psi_1(0)\times\omega})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\Omega^{\Omega^{\psi_1(0)+1}})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega^{\psi_1(0)+1}}})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,0)(3,0)=\psi(\psi_1(1))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,0)(3,0)=\psi(\psi_1(2))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)=\psi(\psi_1(\omega))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,0)=\psi(\psi_1(\omega+1))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)=\psi(\psi_1(\omega\times2))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)=\psi(\psi_1(\omega^2))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(2,0)=\psi(\psi_1(\omega^\omega))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(2,0)(3,0)=\psi(\psi_1(\psi(0)))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)=\psi(\psi_1(\psi(\Omega)))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,0)(3,1)=\psi(\psi_1(\psi(\Omega^\Omega)))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,1)(3,0)(4,0)(5,0)=\psi(\psi_1(\psi(\psi_1(0))))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,1)=\psi(\psi_1(\Omega))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)=\psi(\psi_1(\Omega+1))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)=\psi(\psi_1(\Omega+\omega))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,1)=\psi(\psi_1(\Omega\times2))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)=\psi(\psi_1(\Omega\times\omega))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\psi_1(\Omega^2))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\psi_1(\Omega^3))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(2,0)=\psi(\psi_1(\Omega^\omega))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\psi_1(\Omega^\Omega))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\psi_1(\Omega^{\Omega^\Omega}))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(2,0)(3,0)=\psi(\psi_1(\psi_1(0)))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,0)(3,0)=\psi(\psi_1(\psi_1(0)+1))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(2,0)(3,0)=\psi(\psi_1(\psi_1(0)\times2))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(2,0)(3,0)=\psi(\psi_1(\psi_1(1)))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(2,0)(3,0)(2,0)=\psi(\psi_1(\psi_1(\omega)))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(2,0)(3,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\psi_1(\psi_1(\Omega)))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(2,0)(3,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\psi_1(\psi_1(\Omega^\Omega)))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(2,0)(3,0)(2,0)(2,0)(3,0)=\psi(\psi_1(\psi_1(\psi_1(0))))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(2,0)(3,0)(2,0)(2,0)(3,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\psi_1(\psi_1(\psi_1(\Omega))))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)=\psi(\Omega_2)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)(1,0)(1,0)(2,1)=\psi(\Omega_2+\Omega^\Omega)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)=\psi(\Omega_2+\psi_1(0))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)=\psi(\Omega_2+\psi_1(\Omega_2))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,0)=\psi(\Omega_2+\psi_1(\Omega_2)\times\omega)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\Omega_2+\Omega^{\psi_1(\Omega_2)+1})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)=\psi(\Omega_2+\Omega^{\psi_1(\Omega_2)\times2})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,0)(3,0)=\psi(\Omega_2+\psi_1(\Omega_2+1))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,1)=\psi(\Omega_2+\psi_1(\Omega_2+\Omega))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,1)=\psi(\Omega_2+\psi_1(\Omega_2+\Omega\times2))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)=\psi(\Omega_2+\psi_1(\Omega_2+\psi_1(\Omega_2)))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\Omega_2+\psi_1(\Omega_2+\Omega^{\psi_1(\Omega_2)+1}))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(2,0)(3,0)=\psi(\Omega_2+\psi_1(\Omega_2+\psi_1(\Omega_2+1)))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)=\psi(\Omega_2\times2)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)(2,0)=\psi(\Omega_2\times\omega)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\Omega_2\times\Omega)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\Omega_2\times\Omega+\psi_1(\Omega_2\times\Omega))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)=\psi(\Omega_2\times\Omega+\psi_1(\Omega_2\times\Omega)\times\omega)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)=\psi(\Omega_2\times\Omega+\psi_1(\Omega_2\times\Omega+1))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)=\psi(\Omega_2\times\Omega+\Omega_2)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)(2,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,1)=\psi(\Omega_2\times\Omega\times2)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)(2,0)(2,0)=\psi(\Omega_2\times\Omega\times\omega)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)(2,0)(2,0)(1,0)(2,1)=\psi(\Omega_2\times\Omega^2)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)(2,0)(2,0)(3,0)=\psi(\Omega_2\times\psi_1(0))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)(2,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)=\psi(\Omega_2\times\psi_1(\Omega_2))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)(2,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)(2,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)=\psi(\Omega_2\times\psi_1(\Omega_2\times2))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)(2,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)(2,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)=\psi(\Omega_2\times\psi_1(\Omega_2\times\psi_1(\Omega_2)))\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)=\psi(\Omega_2^2)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)(2,0)(3,0)=\psi(\Omega_2^3)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(3,0)=\psi(\Omega_2^\omega)\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(3,0)(3,0)=\psi(\Omega_2^{\omega^\omega})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)(4,0)=\psi(\Omega_2^{\psi(0)})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,1)=\psi(\Omega_2^{\psi(\Omega^\Omega)})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,1)(3,0)(4,0)(5,0)=\psi(\Omega_2^{\psi(\psi_1(0))})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,1)(3,0)(4,0)(5,0)(4,0)(5,0)=\psi(\Omega_2^{\psi(\Omega_2)})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,1)(3,0)(4,0)(5,1)(5,0)(5,0)(6,1)(5,0)(6,0)(7,0)(6,0)(7,0)=\psi(\Omega_2^{\psi(\Omega_2^{\psi(\Omega_2)})})\\&(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(1,0)(2,1)=\psi(\Omega_2^\Omega)\end{align}</nowiki>
[[分类:分析]]

TFBO

2025-08-30T14:09:50Z

Tabelog：文字替换 -“BHM”替换为“BHM”

'''TFBO（Takeuti-Feferman-Buchholz ordinal）'''，是 [[Buchholz Hydra]] 的极限的[[序数]]。
{| class="wikitable"
![[序数记号]]
!表达式
|-
|[[序数坍缩函数#BOCF|BOCF]]
|<math>\psi(\Omega_{\omega+1})</math>
|-
|[[序数坍缩函数#MOCF|MOCF]]
|<math>\psi(\psi_\omega(0))</math>
|-
|[[BMS]]
|<math>\begin{pmatrix}
0&1&2&3\\
0&1&1&2\\
0&1&0&0
\end{pmatrix}</math>
|-
|[[0-Y]]
|<math>1,4,6,9</math>
|-
|[[Y序列|1-Y]]
|<math>1,2,4,8,11,15</math>
|-
|[[BHM]]
|<math>\begin{pmatrix}
0&1&1&2&1&1&2&2&3&1&2&3\\
0&1&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0
\end{pmatrix}</math>
|-
|[[BSM]]
|<math>\begin{pmatrix}
0&1&2&2&3&0&1&1&2&1&1&2
\end{pmatrix}</math>
|-
|[[Dropping#M 记号|M 记号]]
|<math>\psi(\psi(M\times\omega+M))</math>
|}

=== 性质 ===
[[证明论序数]]：<math>\rm\Pi^1_1-CA+BI</math>，<math>\rm KPl</math>，<math>\rm ID_\omega</math>，<math>\rm BID_\omega^2</math>

极限在此处的记号：BPF，[[Buchholz Hydra]]，MPF，Feferman's θ

[[分类:序数]]

2025-08-30T14:03:57Z

Tabelog：Tabelog移动页面Bashicu超矩阵至BHM

Bashicu超矩阵(Bashicu Hyper Matrix,'''BHM''')是Bashicu Hyudora发明的序数记号。它是[[BMS]]的一个运用[[急模式]]的改版。目前BHM还未被证明良序。

== 定义 ==
''提示：阅读BHM定义之前首先需要阅读[[Bashicu矩阵#正式定义|BMS的定义]]。''

BHM和BMS的规则除了坏根的寻找之外没有区别，如父项、祖先项、好部、坏部、阶差向量、不提升规则，因此这里不再赘述。以下介绍BHM坏根寻找的规则：

# 第0列：默认行、列标均从1开始，并在第1列之前加上一个额外的没有值的第0列。如果BHM中一个元素没有父项，则取其父项为同行第0列的元素。
# '''子项'''：如果项A的父项是项B，则称A是B的子项。
# '''待定坏根'''：待定坏根为末列最靠下的非0项的父项的父项的子项所在列。特别的，如果末列最下非0项不在第1行，则要求待定坏根正上方的元素应当是末列最下非0项正上方的元素的祖先项。
# '''预展开'''：根据找到的待定坏根，确定待定好部G'，待定坏部B'，末列L，待定阶差向量<math>\Delta'</math>，随后'''按照BMS的规则'''得到<math>G'\sim B'\sim (B'+\Delta') \sim (L+\Delta')</math>.(其中~是序列连接)。特别的，我们称最右侧的待定坏根（即BMS意义的坏根）对应的预展开式为'''基准式'''。
# '''小根'''：在字典序下，预展开式小于基准式的待定坏根称为小根。特别的，如果小根不存在，则规定第0列为小根。真正的坏根是在所有小根右侧的第一个待定坏根。确定坏根后，只需要按BMS规则找好部、坏部、阶差向量即可展开。

举例：

# 考虑BHM表达式<math>(0)(1)(2)(1)(1)(2)</math>,首先找到末列最下非0项父项的父项的所有子项（红色标出）：<math>(0)({\color{red}1})(2)({\color{red}1})({\color{red}1})(2)</math>.于是我们得知待定坏根是第二列、第四列、第五列。首先得到第五列的预展开式（基准列）：<math>(0)(1)(2)(1)(1)(1)(2)</math>.随后得到第四列的预展开式<math>(0)(1)(2)(1)(1)(1)(1)(2)</math>.随后得到第二列的预展开式<math>(0)(1)(2)(1)(1)(1)(2)(1)(1)(2)</math>.发现小根是第四列。因此真坏根是第五列。于是得到展开式：<math>(0)(1)(2)(1)(1)(1)(1)\cdots</math>
# 考虑BHM表达式<math>(0,0)(1,1)(1,0)(2,0)</math>.首先找到末列最下非0项（第四列第一行的2）的父项的父项（红色标出）：<math>({\color{red}0},0)(1,1)(1,0)(2,0)</math>.随后我们找到它所有子项（绿色标出）：<math>({\color{red}0},0)({\color{green}1},1)({\color{green}1},0)(2,0)</math>。因此我们得知第二列和第三列是待定坏根。于是我们进行预展开，得到第三列的预展开式（也是基准式）为：<math>(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)</math>.得到第二列的预展开式是<math>(0,0)(1,1)(1,0)(1,1)(1,0)(2,0)</math>，它在字典序上大于基准式。因此我们发现不存在小根，因此小根是第0列。坏根是第二列。于是我们得到展开式：<math>(0,0)(1,1)(1,0)(1,1)(1,0)(1,1)(1,0)\cdots</math>
# 考虑BHM表达式<math>(0,0)(1,1)(1,0)(2,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(2,0)(3,0)(2,1)</math>,首先我们寻找待定坏根。注意到末列最下非0项不在第1行，因此待定坏根还要满足它正上方的元素应当是末列最下非0项正上方的元素的祖先项。于是我们找到待定坏根（红色标出）：<math>(0,{\color{red}0})(1,1)(1,0)(2,0)(1,1)(1,0)(1,{\color{red}0})(2,1)(2,0)(3,0)(2,1)</math>.因此我们得知第一列和第七列是待定坏根。于是我们进行预展开，得到第七列的预展开式，即基准式为<math>(0,0)(1,1)(1,0)(2,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(2,0)(3,0)(2,0)(3,1)(3,0)(4,0)(3,1)</math>.再得到第一列的预展开式是<math>(0,0)(1,1)(1,0)(2,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(2,0)(3,0)(2,0)(3,1)(3,0)(4,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,1)(4,0)(5,0)(3,1)</math>.发现不存在小根，于是小根是第0列，坏根是第1列。得到展开式为<math>(0,0)(1,1)(1,0)(2,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,1)(2,0)(3,0)(2,0)(3,1)(3,0)(4,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,1)(4,0)(5,0)\cdots</math>

== 枚举和强度分析 ==
主词条：[[BHM分析]]

对BHM进行强度分析的难度远高于BMS。目前我们还不知道它的极限和BMS的极限的关系。目前最新的结论是<math>BHM(0,0,0)(1,1,1)=BMS(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(3,1,1)=\psi(M_\omega)</math>。梅天狸认为BHM=BMS的可能性很大。

{{默认排序:序数记号}}
[[分类:记号]]

BSM

2025-08-30T14:03:47Z

Tabelog：Tabelog移动页面Bashicu急矩阵至BSM

Bashicu急矩阵(Bashicu Sudden Matrix,BSM)是Bashicu Hyudora发明的序数记号。它目前还未被证明[[良序]]。它被认为是[[急模式]]的源头

== 定义 ==
''前排提示：请先阅读[[BMS]]和[[Bashicu超矩阵|BHM]]的定义''

BSM只有找坏根规则和BMS不一致。以下介绍不一致的地方。

# 第0列：默认行、列标均从1开始，并在第1列之前加上一个额外的没有值的第0列。如果BHM中一个元素没有父项，则取其父项为同行第0列的元素。
# '''子项'''：如果项A的父项是项B，则称A是B的子项。
# '''待定坏根'''：待定坏根为末列最靠下的非0项(LNZ)的'''所有祖先项'''（包括第0列元素）的子项所在列。特别的，如果末列最下非0项不在第1行，则要求待定坏根正上方的元素应当是末列最下非0项正上方的元素的祖先项。我们称待定根集合中的一些根为“小根”，一些根为“大根”。大根与小根是不冲突的，这意味着，一个根可能既不是小根也不是大根，也可能同时是小根和大根。坏根的选择，和小根与大根息息相关。
# '''预展开'''：根据找到的待定坏根r，确定待定好部G'，待定坏部B'，末列L，待定阶差向量<math>\Delta'</math>，随后'''按照BMS的规则'''得到r对应的预展开式<math>S_r=G'\sim B'\sim (B'+\Delta') \sim (L+\Delta')</math>(其中~是序列连接)。特别的，我们称最右侧的待定坏根（即BMS意义的坏根）对应的预展开式为基准式。
# '''小根'''：至少满足下列两条件之一的根r是小根：①r的预展开式在字典序上小于基准式。②如果根r是最右侧待定坏根的祖先项，且第r列和最右侧待定坏根所处列的第t+1行到最后一行，'''不能完全对应相同'''(t是LNZ所处行号)。
# '''大根'''：如果根r是最右侧待定坏根的祖先项，且满足第r列和最右侧待定坏根所处列的第t+1行到最后一行，'''完全对应相同'''
#坏根：坏根定义为在所有“是小根但不是大根”的待定坏根右边的第一个待定坏根。特别的，如果不存在这样的这样的待定坏根，则坏根是最左侧待定坏根。

BSM的极限基本列是<math>\{(0)(1),(0,0)(1,1),(0,0,0)(1,1,1),\cdots\}</math>,因此从这里面的元素经过不断取基本列或取前驱所能得到的式子是BSM的标准式，否则不是标准式。

值得注意的是，单行BSM又称急序列(Sudden Sequence System,'''SSS'''),也是一个很有名的[[序数记号]]。

实例：

例1：<math>(0)(1)(2)</math>

可以发现LNZ的祖先是第0项、第1项、第2项。找到它们的所有子项，是第1项和第2项。于是给出预展开式<math>S_1=(0)(1)(1)(2)(3)</math>,<math>S_2=(0)(1)(1)(2)</math>.因此小根是第0项。因此坏根是第1项。得到展开式是<math>(0)(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)\cdots</math>.

例2：<math>(0,0)(1,1)(2,0)(3,1)(3,0)</math>

我们用红色标记其待定坏根：<math>({\color{red}0},0)({\color{red}1},1)({\color{red}2},0)(3,1)(3,0)</math>,前两个待定坏根均为最右侧待定坏根第三列第一行的2的祖先项，第一列第一行的0下方的元素和最右侧待定坏根下方的元素完全一致，因此它是一个大根。而第二列第一行的1下方的元素和最右侧待定坏根下方的元素不一致，因此它是一个小根。在这里我们很幸运，可以直接得出坏根是第三列第一行的2.于是展开式是<math>(0,0)(1,1)(2,0)(3,1)(2,0)(3,1)(2,0)(3,1)\cdots</math>

例3：<math>(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)</math>

我们用红色标记其待定坏根：<math>({\color{red}0},0)({\color{red}1},1)({\color{red}1},0)({\color{red}1},0)({\color{red}2},0)(3,1)(3,0)</math>.其中第一列第一行的0和第四列第一行的1是最右侧待定坏根2的祖先项。可以发现它们都是大根。接下来是各个待定坏根的预展开式：<math>S_5=(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)(3,1)(3,0)</math>,它是基准式。接下来有<math>S_4=(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)(3,0)(4,1)(4,0)</math>然后是<math>S_3=(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)(2,0)(3,0)(4,1)(4,0)</math>。然后是<math>S_2=(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,1)(2,0)(2,0)(3,0)(4,1)(4,0)</math>.然后是<math>S_1=(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,0)(5,1)(5,0)</math>.比较字典序后发现，第二列第一行的1、第三列第一行的1、第四列第一行的1的预展开式都大于基准式，因此它们都不是小根。但因为第一列第一行的0和第四列第一行的1是大根，因此坏根是第四列第一行的1.于是得到展开式<math>(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)(3,0)(4,1)\cdots</math>

== 枚举和强度分析 ==
参见词条[[BSM分析]]

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[[分类:记号]]