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PSS的良序性

2026-08-29T13:16:18Z

Tabelog：

我们给出 P 進大好き bot 关于 PSS（即两行 BMS）良序性的证明. <ref>P 進大好き bot. Introduction to the Termination of Pair Sequence System[EB/OL]. 2018. https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:P%E9%80%B2 %E5%A4%A7%E5%A5%BD%E3%81%8Dbot/Introduction_to_the_Termination _of_Pair_Sequence_System.</ref><ref>P 進大好き bot. ペア数列の停止性[EB/OL]. 2018. https://googology.fandom.com/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83% 96%E3%83%AD%E3%82%B0:P%E9%80%B2%E5%A4%A7%E5%A5%BD%E3%81 %8Dbot/%E3%83%9A%E3%82%A2%E6%95%B0%E5%88%97%E3%81%AE%E5% 81%9C%E6%AD%A2%E6%80%A7.</ref><math></math>

证明终止性的方法概要如下:

1. 引入标准形式（比通常意义上的标准形式更宽）的概念, 并引入更广泛的约化概念.

2. 定义一个称为约化 Red 的运算, 用于处理不一定可约的对序列.

3. 定义一个从非正规对序列到 Buchholz 符号系统的映射 Trans, 并使用 Red 将该定义扩展至不一定可约的对序列.

4. 定义一个映射 Mark, 用于计算 Trans 的子串.

5. 证明 Mark 可以用对序列子序列的 Trans 来计算.

5.1. 这使得可以使用原始对序列子序列的 Trans 来计算对序列的 Trans 的子串.

5.2. 由于非真对序列的子序列不一定可约, 因此即使只对非真对序列感兴趣, 也必须使用不可约的对序列.

5.3. 由于将不一定是标准形式的对序列替换为标准形式的操作未知, 因此即使只对标准形式感兴趣, 也必须使用非标准形式的对序列.

6. 比较对序列的展开规则和在 Trans 下像的基本列.

6.1. 这表明, 在 Trans 下, 标准形式对序列的像决定了 Buchholz 序数项.

6.2. 此外, 由于 Buchholz 序数项相对于标准全序是良基的, 并且基本列相对于该全序下降, 因此标准形式对序列系统的终止性成立.

注意, 当用命题 $P(n), Q(n)$ （对于 $n \in N$ ）来证明 “对于任意 $n \in N, P(n) \rightarrow Q(n)$ ” 时, 通过对 n 进行数学归纳法, 如果 $P(0)$ 不成立, 则 $P(0) \rightarrow Q(0)$ 成立, 因此只需证明 “对于任意 $n \in N$ , 若 $P(n) \rightarrow Q(n)$ 成立, 则 $P(n+1) \rightarrow Q(n+1)$ 成立” 即可. 不过, 为了帮助读者理解, 本文还会考察使 $P(n_{0})$ 成立的最小 $n_{0} \in N$ , 并证明 $Q(n_{0})$ .

下面给出证明的完整过程.

令 N 表示所有非负整数的集合, $N_{+}$ 表示所有正整数的集合.

对于类 $A$ , 如果存在 $n \in \mathbb{N}$ 使得 $a \in A^n$ , 则集合 $a$ 为一个 $A$ 值数组. 由于这样的 $n$ 对于 $a$ 是唯一的, 我们将其表示为 $\operatorname{Lng}(a)$ . 当 $\operatorname{Lng}(a) = 0$ 时, 除非 $A$ 中存在任何歧义, 否则我们将 $a$ 表示为 ( ). 对于每个 $i \in \mathbb{N}$ 使得 $i < \operatorname{Lng}(a)$ , 我们将 $a$ 的第 $i$ 个分量表示为 $a_i \in A$ .

对于每个 $i_0, i_1 \in \mathbb{N}$ 使得 $i_0 \leq i_1$ , 并且对于每个 $A$ 值函数 $f$ , 其定义域包括 $\{i \in \mathbb{N} \mid i_0 \leq i \leq i_1\}$ , 令 $(f(i))_{i-i_0}^{i_1}$ 为 $A$ 值数组, 其长度为 $i_1-i_0+1$ , 如果对于任何 $i \in \mathbb{N}$ , $i \leq i_1-i_0$ , 则第 i 个元素为 $f(i_0+i)$ . 对于每个 $i_0, i_1 \in \mathbb{N}$ 和每个 $A$ 值函数 $f$ , 使得 $i_0 \leq i_1$ 不成立或 $\{i \in \mathbb{N} \mid i_0 \leq i \leq i_1\}$ 不包含在 $f$ 的定义域内, 令 $(a_i)_{i-i_0}^{i_1} := ()$ .

对于类 A, 令 $A^{<\omega}$ 为所有 A 值数组的类, 令 $A^{<\omega}$ 上的二元运算

\[
\oplus_{A}: (A^{< \omega})^{2} \rightarrow A^{< \omega}, \tag {21.67}
\]

\[
(a, b) \mapsto a \oplus_{A} b. \tag {21.68}
\]

定义如下:

1. $j_{0} := \text{Lng}(a)-1$ .

2. 令 $j_{1} := j_{0}+\mathrm{Lng}(b)$ .

3. 对于每个 $j \in N$ , 且 $j \leq j_{0}$ , 令 $c_{j} := a_{j}$ .

4. 对于每个 $j \in \mathbb{N}$ , 且 $j_0 < j \leq j_1$ , 令 $c_j = b_{j-j_0-1}$ .

5. $a \oplus_{A} b := (c_{j})_{j=0}^{j_{1}}$

映射

\[
\bigoplus_{A}: (A^{< \omega})^{< \omega} \to A^{< \omega} \tag {21.69}
\]

\[
a \mapsto \bigoplus_{A} a \tag {21.70}
\]

以如下方式递归定义:

1. 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(a)-1$ .

2. 如果 $j_{1} = -1$ , 则 $\bigoplus_{A} a := ()$ .

3. 如果 $j_{1}=0$ , 则 $\bigoplus_{A}a:=a_{0}$ .

4. 如果 $j_{1} > 0$ , 则 $\bigoplus_{A} a := \left( \bigoplus_{A} (a_{i})_{i=0}^{j_{1}-1} \right) \oplus_{A} a_{j_{1}}$ .

当指示满足某些条件的序列的唯一存在时, 如果唯一性紧接着从字符串的末尾或开头进行的比较, 则可以省略唯一性的存在.

如果集合 M 是一个 $N^{2}$ 值数组, 且非 (), 则称集合 M 为对序列. 设 $\mathrm{Idx}(M)$ 为所有对 $(i,j)$ 的集合, 其中 $i \in \{0,1\}$ 且 $j \in N$ 小于 $\mathrm{Lng}(M)$ . 对于每个 $(i,j) \in \mathrm{Idx}(M)$ , 令 $(M_{j})_{i}$ 为 $M_{i,j}$ .

设 $T_{PS}$ 为所有对序列的集合.

令 $M \in T_{\mathrm{PS}}$ . 我们同时递归地定义 $<_{M}^{\mathrm{Next}}$ 和 $\leq M$ 在 $\mathbb{Z}^2$ 上的二元关系, 如下所示.

1. 对于 $(i_0, j_0), (i_1, j_1) \in \mathbb{Z}^2$ , $(i_0, j_0) < \frac{\text{Next}}{M} (i_1, j_1)$ 满足:

1.2. $i_{0}=i_{1}$

1.3. $j_{0} < j_{1}$ .

1.4. $M_{i_0,j_0} < M_{i_1,j_1}$

1.1. $(i_{0}, j_{0}), (i_{1}, j_{1}) \in \mathrm{Idx}(M)$ .

1.5. 如果 $i_0 = 0$ , 则对于任意 $j \in \mathbb{N}$ , 如果 $j_0 < j < j_1$ , 则 $M_{0,j} \geq M_{0,j_1}$ .

1.6. 如果 $i_0 = 1$ , 则 $(0, j_0) \leq_M (0, j_1)$ ；对于任意 $j \in \mathbb{N}$ , 如果 $j_0 < j$ 且 $(0, j) \leq M(0, j_1)$ , 则 $M_{1,j} \geq M_{1,j_1}$ .

2. $(i_{0},j_{0})\leq_{M}(i_{1},j_{1})$ 表示:

2.1. $(i_{0}, j_{0}), (i_{1}, j_{1}) \in \mathrm{Idx}(M)$ .

2.2. $i_{0}=i_{1}$

2.3. 存在某个 $a \in N^{<\omega}$ 使得 $J := \mathrm{Lng}(a)-1$ 满足:

2.1. $a \neq ()$ .

2.2. $a_{0}=j_{0}$

2.3. 对于任意 $k \in \mathbb{N}$ , 若 $k < J$ , 则 $(i_0, a_k) <_{M}^{\mathrm{Next}}(i_1, a_{k+1})$ .

2.4. $a_{J}=j_{1}$

'''定理 1''' 父项存在判定条件:

对于任意 $M \in T_{PS}$ 和 $j_{0}, j_{1} \in N$ , 若 $j_{0} < j_{1} < \mathrm{Lng}(M)$ , 则有：

<nowiki>(1) 若 $M_{0,j_0} < M_{0,j_1}$ , 则存在某个 $j \in \mathbb{N}$ 使得 $j_0 \leq j < j_1$ 且 $(0,j) < \frac{\text{Next}}{M}(0,j_1)$ . </nowiki>

(2) 若 $M_{1,j_0} < M_{1,j_1}$ 且 $(0,j_0) \leq_M (0,j_1)$ , 则存在某个 $j \in \mathbb{N}$ 使得 $j_0 \leq j < j_1$ 且 $(1,j) < _M^{Next}(1,j_1)$ .

<nowiki>(3) 若满足条件 “对于任意 $j \in N$ , 若 $j_{0} < j \leq j_{1}$ , 则 $M_{0,j_{0}} < M_{0,j}$ ”, 则 $(0,j_{0}) \leq M(0,j_{1})$ . </nowiki>

<nowiki>(4) 若条件 “对于任意 $j \in N$ , 若 $j_{0} < j$ 且 $(0, j) \leq_{M} (0, j_{1})$ 则 $M_{1,j_{0}}(0, j_{0}) \leq_{M} (0, j_{1})$ . 然后, $(1, j_{0}) \leq M(1, j_{1})$ . </nowiki>

证明：

<nowiki>(1) 假设存在最大值 $j \in \mathbb{N}$ 使得 $j < j_1$ 且 $M_{0,j} < M_{0,j_1}$ , 且极大值 $j_0 \leq j < j_1$ 且 $(0,j) < _M^{\mathrm{Next}} (0,j_1)$ . </nowiki>

<nowiki>(2) 假设存在最大值 $j \in \mathbb{N}$ 使得 $M_{1,j} < M_{1,j_1}$ 且 $(0,j) \leq M(0,j_1)$ , 且极大值 $j_0 \leq j < j_1$ 或 $\supset (1,j) < _M^{\text{Next}}(1,j_1)$ . </nowiki>

<nowiki>(3) 根据假设和 (1), 存在 $j \in \mathbb{N}$ 使得 $j_0 \leq j < j_1$ 且 $(0, j) <_{M}^{\text{Next}} (0, j_1)$ . 因此, 通过对 $j_1$ 的数学归纳法可知. </nowiki>

<nowiki>(4) 根据假设和 (2), 存在 $j \in \mathbb{N}$ 使得 $j_0 \leq j < j_1$ 且 $(1, j) < \frac{\text{Next}}{M}(1, j_1)$ . 因此, 通过对 $j_1$ 的数学归纳法可知. </nowiki>

证毕.

'''定理 2''' 父项的基本性质：

对于任意 $M \in T_{\mathrm{PS}} j_0, j, j_1 \in \mathbb{N}$ , 如果 $j_0 < j \leq j_1$ , 则以下成立：

<nowiki>(1) 如果 $(0,j_{0})<\frac{Next}{M}(0,j_{1})$ , 则 $M_{0,j}\geq M_{0,j_{1}}$ . </nowiki>

<nowiki>(2) 如果 $(1,j_{0})<_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ 且 $(0,j)\leq M(0,j_{1})$ , 则 $M_{1,j}\geq M_{1,j_{1}}$ . </nowiki>

证明：

<nowiki>(1) 假设上述假设不成立, 则推导出矛盾. 根据假设, 存在 $j_0, j, j_1 \in \mathbb{N}$ 使得 $j_0 < j \leq j_1$ 且 $(0, j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}} (0, j_1)$ 和 $M_{0,j} < M_{0,j_1}$ . 由于在这样的 $(j_0, j, j_1)$ 组合中 $j < \mathrm{Lng}(M)$ , 因此存在一个组合 $(j_0, j, j_1)$ 使得 $j$ 最大, 我们称该组合为 $(j_0', j', j_1')$ . 从 $j'$ 的极大性出发, 若对任意 $j \in \mathbb{N}$ , $j'j \leq j_1'$ , 则 $M_{0,j} \geq M_{0,j_1'}$ . 因此, $(0, j') <_{M}^{\mathrm{Next}} (0, j_1')$ , 这与 $j_0'j'$ 矛盾. </nowiki>

<nowiki>(2) 假设这不成立, 则得出矛盾. 假设存在 $j_0, j, j_1 \in \mathbb{N}$ 使得 $j_0 < j \leq j_1$ 且 $(1, j_0) < _M^{\text{Next}}(1, j_1)$ 以及 $(0, j) \leq_M (0, j_1)$ 和 $M_{1,j} < M_{1,j_1}$ . 由于在这样的 $(j_0, j, j_1)$ 组合中 $j < \text{Lng}(M)$ , 因此存在一个组合 $(j_0, j, j_1)$ 使得 $j$ 最大化, 我们称这个组合为 $(j_0', j', j_1')$ . 根据 $j'$ 的极大性, 对于任意 $j \in \mathbb{N}$ , 若 $j'j \leq j_1'$ 且 $(0, j) \leq M(0, j_1')$ , 则 $M_{1,j} \geq M_{1,j_1'}$ . 因此, $(1, j') < _M^{\text{Next}}(1, j_1')$ , 这与 $j_0'j'$ 矛盾. </nowiki>

证毕.

'''定理 3''' 直系祖先的基本性质：

对于任意 $M \in T_{PS}$ 和 $j_{0}, j, j_{1} \in N$ , 如果 $j_{0} < j \leq j_{1}$ , 则以下成立：

<nowiki>(1) 如果 $(0,j_{0})\leq_{M}(0,j_{1})$ , 则 $M_{0,j_{0}}<M_{0,j}$ . </nowiki>

<nowiki>(2) 如果 $(1,j_{0})\leq_{M}(1,j_{1})$ 且 $(0,j)\leq_{M}(0,j_{1})$ , 则 $M_{1,j_{0}}<M_{1,j}$ . </nowiki>

证明：根据父元素的基本性质, 通过对 $\leq M$ 定义中的 J 进行数学归纳法, 可直接得出. 证毕.

'''定理 4''' 直系祖先树的构造:

对于任意 $M \in T_{PS}$ 和 $j_{0}^{\prime}, j, j_{1}^{\prime} \in N$ , 有：

(1) 若 $(0,j_{0}^{\prime})\leq_{M}(0,j_{1}^{\prime})$ 且 $j_{0}^{\prime}\leq j\leq j_{1}^{\prime}$ , 则 $(0,j_{0}^{\prime})\leq_{M}(0,j)$ .

(2) 若 $(1, j_0') \leq_M (1, j_1')$ 且 $j_0' \leq j$ 且 $(0, j) \leq M(0, j_1')$ , 则 $(1, j_0') \leq M(1, j)$ .

证明：

（1）由判定父项存在的条件（3）和直系祖先的基本性质（1）直接推出.

(2) 由判定父项存在的条件 (4) 和直系祖先的基本性质 (2) 直接推出.

证毕.

映射

\[
\text {Pred:} T_{\mathrm{PS}} \rightarrow T_{\mathrm{PS}} \tag {21.71}
\]

\[
M \mapsto \operatorname{Pred} (M) \tag {21.72}
\]

按照如下方式定义:

1. 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1$ .

2. 如果 $j_{1}=0$ , 则 $\mathrm{Pred}(M):=M$ .

3. 如果 $j_{1} > 0$ , 则 $\mathrm{Pred}(M) := (M_{j})_{j=0}^{j_{1}-1}$ .

虽然我们还没有给出序数符号系统的结构, 但是 Pred 对应于对 $\emptyset$ 取 $\emptyset$ 的运算和对一个后继序数取最大元素的运算.

映射

\[
\text {Derp:} T_{\mathrm{PS}} \rightarrow T_{\mathrm{PS}} \cup \left\{\left(\right)\right\} \tag {21.73}
\]

\[
M \mapsto \operatorname{Derp} (M) \tag {21.74}
\]

按照如下方式递归定义:

1. 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1$ .

2. 令 $\mathrm{Derp}(M) := (M_j)_{j=1}^{j_1}$ .

Derp 与序数运算无关, 但为了方便起见, 我们只会在定义一个名为 Red 的映射时使用一次, 该映射稍后会介绍.

映射

\[
\text {operator}[]: T_{\mathrm{PS}} \times \mathbb {N}_{+} \rightarrow T_{\mathrm{PS}} \tag {21.75}
\]

\[
(M, n) \mapsto M[n] \tag {21.76}
\]

按照如下方式递归定义:

1. 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1$ .

2. 如果 $j_{1}=0$ , 则 $M[n]:=M$ .

3. 令 $j_{1} > 0$ .

<nowiki>3.1. 如果 $M_{j_{1}}=(0,0)$ , 则 $M[n]:=\mathrm{Pred}(M)$ . </nowiki>

<nowiki>3.2. 令 $M_{j_{1}} \neq (0,0)$ . </nowiki>

3.2.1. 令 $i_1 := \max \{i \in \{0, 1\} \mid M_{i,j_1} > 0\}$ .

<nowiki>3.2.2. 如果不存在唯一的 $j_0 \in \mathbb{N}$ 使得 $(i_1, j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(i_1, j_1)$ , 则 $M[n]</nowiki> := \mathrm{Pred}(M)$ .

<nowiki>3.2.3. 假设存在唯一的 $j_0 \in \mathbb{N}$ 使得 $(i_1, j_0) < \frac{\text{Next}}{M} (i_1, j_1)$ . </nowiki>

3.2.3.1. 对于每个 $i \in N$ 使得 $i < i_{1}$ , 令 $\delta_{i} <nowiki>:= M_{i,j_{1}}-M_{i,j_{0}}$ . </nowiki>

3.2.3.2. 对于每个满足 $i \geq i_{1}$ 的 $i \in N$ , 设 $\delta_{i} := 0$ .

3.2.3.3. 设 $G <nowiki>:= (M_{j})_{j=0}^{j_{0}-1} \in T_{\mathrm{PS}}$ . </nowiki>

3.2.3.4. $B <nowiki>:= (((M_{0,j}+k\delta_0, M_{1,j}+k\delta_1))_{j=j_0}^{j_1-1})_{k-0}^{n-1} \in T_{\mathrm{PS}}^n$</nowiki>

3.2.3.5. $M[n] := (G \oplus \mathbb{N}^{2}(\bigoplus_{\mathbb{N}^{2}} B))$ .

我们尚未给出序数符号系统的结构, 但 operator[] 对应于给出[] 的 $\emptyset$ 、给出后继序数的最大元素以及给出极限序数的基本列的运算.

'''定理 5''' 对于任意 $M \in T_{PS}$ , 若 $\mathrm{Lng}(M) > 1$ , 则 $\mathrm{Pred}(M) = M[1]$ .

证明：由 operator[] 的定义可知. 证毕.

映射 $f:\mathbb{N}_{+}\to \mathbb{N}_{+}$ 是固定的. 主要有 $f(n) = n+1$ 或 $f(n) = n^{2}$ .

在 $T_{PS} \times N_{+}$ 上递归定义部分映射

\[
F: (M, n) \mapsto F_{M} (n) \tag {21.77}
\]

如下：

1. 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1$ .

2. 如果 $j_{1}=0$ , 则 $F_{M}(n):=f(n)$ .

3. 令 $j_{1} > 0$ .

3.1. 如果 $M_{j_1} = (0,0)$ , 则 $F_M(n) := F_{\mathrm{Pred}(M)}(f(n))$ .

3.2. 令 $M_{j_{1}} \neq (0,0)$ .

3.2.1. 令 $i_1 := \max \{i \in \{0, 1\} \mid M_{i,j_1} > 0\}$ . [4].

3.2.2. 如果不存在唯一的 $j_0 \in \mathbb{N}$ 使得 $(i_1, j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(i_1, j_1)$ , 则 $F_M(n) := F_{\mathrm{Pred}(M)}(f(n))$ .

3.2.3. 如果存在唯一的 $j_{0} \in N$ 使得 $(i_{1}, j_{0}) < \underset{M}{\text{Next}}(i_{1}, j_{1})$ , 则 $F_{M}(n) := F_{M[n]}(f(n))$ .

由于对序列本身最初被定义为一个称为对序列数字的单个数字, 因此即使 Bashicu 矩阵的版本固定, 对序列系统的概念也会因人而异. 以上只是一个例子, 但本文所展示的内容基本上适用于任何对序列的解释, 因此请注意, 这个公式本身并没有什么深刻的含义.

设 F 的定义域为 $\mathrm{Dom}(F) \subset T_{\mathrm{PS}} \times \mathbb{N}_{+}$ .

'''定理 6''' $F_{M}$ 和基本列的关系.

对于任意 $(M,n)\in T_{\mathrm{PS}}\times\mathbb{N}_{+}$ , 以下等价：

(1) $(M, n) \in \mathrm{Dom}(F)$ .

(2) $(M[n],n)\in\mathrm{Dom}(F)$ .

(3) $(M,n)\in\mathrm{Dom}(F)$ 且 $(M[n],n)\in\mathrm{Dom}(F)$ 且 $F_{M}(n)=F_{M[n]}(n)$ .

证明：直接由 Pred 中 operator[] 的定义以及 F 的递归定义得出. 证毕.

为了证明后面定义的对序列标准形式的终止性, 我们研究了对序列的基本操作和性质, 为定义从对序列到 Buchholz 符号系统的翻译映射 Trans 做准备.

映射

\[
\text {IncrFirst:} T_{\mathrm{PS}} \rightarrow T_{\mathrm{PS}} \tag {21.78}
\]

\[
M \mapsto \operatorname{IncrFirst} (M) \tag {21.79}
\]

定义如下

1. 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1$ .

2. 令 IncrFirst $(M):=((M_{0,j}+1,M_{1,j}))_{j=0}^{j_1}$ .

'''定理 7''' ≤ M IncrFirst 不变性.

对于任意 $(M,n)\in T_{\mathrm{PS}}\times\mathbb{N}_{+}$ , 以下等价：

对于任何 $M \in T_{PS}, \leq M$ 和 $\leq IncrFirst(M)$ 相等.

证明：由 $\leq M$ 的定义即得. 证毕.

令 $M \in T_{PS}$ .

1. 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1$ .

2. 如果满足以下条件, 则 M 为必要项：

2.1. $j_{1}=0$ .

2.2. $M_{1,0} = 0$ .

3. 如果满足以下条件, 则 $M$ 为单项项：

3.1. M 为非必要项.

3.2. $(0,0) \leq_{M} (0,j_{1})$ .

4. 如果满足以下条件, 则 M 为复项：

4.1. M 为非必要项.

4.2. M 为非单项项.

<nowiki>5. 令 $ZT_{\mathrm{PS}} \subset T_{\mathrm{PS}}$ 为所有单项对序列的子集. </nowiki>

6. 令 $PT_{PS} \subset T_{PS}$ 为所有单项对序列的子集.

7. 令 $MT_{PS} \subset T_{PS}$ 为所有复项对序列的子集.

'''定理 8''' 复项的判定条件.

对于任意 $M \in T_{PS}$ , 以下等价：

(1) M 不是复项.

(2) 对于任意 $j \in \mathbb{N}$ , 若 $0 < j < \mathrm{Lng}(M)$ , 则 $M_{0,0} < M_{0,j}$ .

(3) $(0,0) \leq M(0,j_1)$ .

证明：

(2) 和 (3) 的等价性由父项存在性准则 (3) 和直系祖先的基本性质 (1) 得出.

如果 (1) 成立, 则 $\mathrm{Lng}(M) = 1$ 或 $(0,0) \leq M(0,j_0)$ , 因此, 由直系祖先的基本性质 (1) 可知 (2) 成立.

如果 (2) 成立, 则若 $\mathrm{Lng}(M)=1$ , 则 M 不是复合项；若 $\mathrm{Lng}(M)>1$ , 则由父项存在性准则 (3) 可知 $(0,0)\leq_{M}(0,j_{1})$ , 因此 M 是单项项, 因此 (1) 成立.

证毕.

'''定理 9''' 单项性前段的遗传性.

对于任何 $M \in PT_{\mathrm{PS}}$ 和 $j_0 \in \mathbb{N}$ , 如果 $0 < j_0 < \mathrm{Lng}(M)$ 则 $(M_j)_{j=0}^{j_0}$ 是单项的.

证明：根据单项的定义, 可以立即得出复项的条件. 证毕.

'''定理 10''' 单项性直系祖先前段的遗传性.

对于任何 $M \in T_{\mathrm{PS}}$ 和 $j_0', j_1' \in \mathbb{N}$ , 如果 $j_0' j_1'$ 且 $(0, j_0') \leq M(0, j_1')$ 则 $(M_j)_{j-j_0'}^{j_1'}$ 是单项的.

证明：设 $M' := (M_j)_{j=j_0'}^{j_1'}$ . 若对于任意 $j \in \mathbb{N}$ , 满足 $0 < j \leq j_1'-j_0'$ , 则根据直接祖先的基本性质 (1) 及 $(0, j_0') \leq M(0, j_1')$ , $M_{0,0}' = M_0, j_0'M_{0,j_0'+j} = M_{0,j}'$ . 因此, 根据判断父项存在的条件 (3), $(0, 0) \leq M'(0, j_1'-j_0')$ . 由于 $\mathrm{Lng}(M') = j_1'-j_0' > 0$ , $M'$ 不是单项. 由上可知, $M'$ 是单项.

证毕.

映射

\[
P: T_{\mathrm{PS}} \to T_{\mathrm{PS}}^{< \omega} \tag {21.80}
\]

\[
M \mapsto P (M) \tag {21.81}
\]

递归定义如下:

1. 如果 M 是项或单项, 则 $P(M):=(M)$ .

2. 令 M 为复合项.

1. 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1$ .

2. 令 $j_0 := \min \{ j \in \mathbb{N} \mid 0 < j \leq j_1 \land (0, j) \leq_M (0, j_1)\}$ .

3. 令 $P(M) <nowiki>:= P\left((M_j)_{j=0}^{j_0-1}\right) \oplus T_{\mathrm{PS}}(M_j)_{j=j_0}^{j_1}$ . </nowiki>

根据 P 的递归定义, $P(M) \neq ()$ .

'''定理 11''' P 的 IncrFirst 同变性.

对于任意 $M \in T_{PS}$ , 令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(M))-1$ , 则 $P(\mathrm{IncrFirst}(M)) = (\mathrm{IncrFirst}(P(M)_{J}))_{J=0}^{J_{1}}$ .

证明：由 $\leq M$ 的 IncrFirst 不变性立刻得到. 证毕.

'''定理 12''' P 各成分的非复项性.

对于任意 $M \in T_{PS}$ , 以下成立：

(1) $P(M)$ 的每个分量要么是零项的, 要么是单项的.

(2) M 为复项的当且仅当 $\mathrm{Lng}(P(M)) > 1$ .

证明：由 $P$ 的递归定义可知, 通过对 $\mathrm{Lng}(M)$ 的数学归纳法可得. 证毕.

'''定理 13''' P 的加法性.

对于任意 $M \in T_{\mathrm{PS}}$ 和 $j_0 \in \mathbb{N}$ , 令 $j_1 := \mathrm{Lng}(M)-1$ , 令 $0 < j_0 \leq j_1$ , 且对于任意 $j \in \mathbb{N}$ , 若 $j < j_0$ , 则 $M_{0,j} \geq M_{0,j_0}$ . 然后 $P(M) = P((M_j)_{j=0}^{j_0-1}) \oplus T_{\mathrm{PS}}P((M_j)_{j=j_0}^{j_1})$ .

证明：设 $j_{0}^{\prime} := \min\left\{j \in \mathbb{N} \mid (0, j) \leq_{M} (0, j_{1})\right\}$ .

对于任意 $j \in \mathbb{N}$ , 若 $j < j_0$ , 则 $M_{0,j} \geq M_{0,j_0}$ . 因此, 根据直系祖先元素的基本性质 (1), $0 < j_0 \leq j_0'$ . 因此, 根据 $P$ 的定义, $P(M) = P\left((M_j)_{j=0}^{j_0'-1}\right) \oplus \mathbb{N}^2\left((M_j)_{j=j_0'}^{j_1}\right)$ 且 $P\left((M_j)_{j=j_0'}^{j_1}\right) = \left((M_j)_{j=j_0'}^{j_1}\right)$ , 所以 $P(M) = P\left((M_j)_{j=0}^{j_0'-1}\right) \oplus \mathbb{N}^2P\left((M_j)_{j=j_0'}^{j_1}\right)$ .

根据 $j_0'$ 的定义以及判断父节点存在的条件, 对于任意 $j \in \mathbb{N}$ , 如果 $j < j_0'$ , 则 $M_{0,j} \geq M_{0,j_0'}$ .

这可以通过对 $j_{0}^{\prime}-j_{0}$ 和 $j_{0}$ 的词汇顺序进行数学归纳法来证明.

设 $j_{0}^{\prime}-j_{0}=0$ . 有

\[
P (M) = P \left((M_{j})_{j = 0}^{j_{0}^{\prime}-1}\right) \oplus_{\mathbb {N}^{2}} P \left((M_{j})_{j = j_{0}^{\prime}}^{j_{1}}\right) = P \left((M_{j})_{j-0}^{j_{0}-1}\right) \oplus_{\mathbb {N}^{2}} P \left((M_{j})_{j = j_{0}}^{j_{1}}\right). \tag {21.82}
\]

令 $j_{0}^{\prime}-j_{0}>0$ .

由归纳法的假设

\[
P \left((M_{j})_{j = 0}^{j_{0}-1}\right) = P \left((M_{j})_{j = 0}^{j_{0}-1}\right) \oplus T_{\mathrm{PS}} P \left((M_{j})_{j = j_{0}}^{j_{0}^{\prime}-1}\right), \tag {21.83}
\]

和

\[
P \left((M_{j})_{j = j_{0}}^{j_{1}}\right) = P \left((M_{j})_{j = j_{0}}^{j_{0}^{\prime}-1}\right) \oplus_{T_{\mathrm{PS}}} P \left((M_{j})_{j-j_{0}^{\prime}}^{j_{1}}\right), \tag {21.84}
\]

因此

\[
\begin{array}{l} P (M) = P \left((M_{j})_{j = 0}^{j_{0}^{\prime}-1}\right) \oplus \mathbb {N}^{2} P \left((M_{j})_{j = j_{0}^{\prime}}^{j_{1}}\right) \\ = P \left((M_{j})_{j = 0}^{j_{0}-1}\right) \oplus T_{\mathrm{PS}} P \left((M_{j})_{j = j_{0}}^{j_{0}-1}\right) \oplus \mathbb {N}^{2} P \left((M_{j})_{j = j_{0}^{\prime}}^{j_{1}}\right) \tag {21.85} \\ = P \left((M_{j})_{j = 0}^{j_{0}-1}\right) \oplus \mathbb {N}^{2} P \left((M_{j})_{j = j_{0}}^{j_{1}}\right). \\ \end{array}
\]

证毕.

'''定理 14''' P 的基本列关系.

对于任意 $M \in T_{PS}$ 和 $n \in N_{+}$ , 令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(M))-1$ , 且以下成立：

<nowiki>(1) 若 $\mathrm{Lng}(P(M)_{J_{1}})=1$ , 则 $M[n]=\mathrm{Pred}(M)$ , 且进一步, 取决于 $J_{1}=0$ 是否成立, $P(M[n])(M[n])=(P(M[n])=(P(M)_{J})_{J=0}^{J_{1}-1}$ . </nowiki>

<nowiki>(2) 若 $\mathrm{Lng}(P(M)_{J_{1}})>1$ 则 $M[n]=\left(\bigoplus_{\mathbb{N}^{2}}(P(M)_{J})_{J=0}^{J_{1}-1}\right)\oplus_{\mathbb{N}^{2}}P(M)_{J_{1}}[n]$ 且 $P(M[n])=(P(M)_{J})_{J=0}^{J_{1}-1}\oplus_{T_{\mathrm{PS}}}P(P(M)_{J_{1}}[n])$ . </nowiki>

证明：

(1) 由算子 $\square$ 的定义以及单项对初始段的遗传性可直接得出.

(2) 由 $P$ 的递归定义可直接得出, 因为 $(P(M)_{J_1})_0 = P(M)_{J_1}[n]_0$ .

'''定理 15''' 非复项性与基本列的关系.

对于任意 $M \in T_{\mathrm{PS}}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ , 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1$ . 如果 $M$ 不是复合项, 则以下成立:

<nowiki>(1) 如果 $(0,0)<_{M}^{Next}(0,j_{1})$ 且 $M_{1,j_{1}}=0$ , 则 $P(M[n])(\mathrm{Pred}(M))_{k=0}^{n-1}$ . </nowiki>

<nowiki>(2) 如果 $(0,0) < \frac{Next}{M}(0,j_{1})$ 或 $M_{1,j_{1}} > 0$ , 则 $P(M[n]) = (M[n])$ . </nowiki>

证明：

(1) $M[n] = \bigoplus_{\mathbb{N}^2} (\operatorname{Pred}(M))_{k=0}^{n-1}$ , 且由于单项对初始段的遗传性, $\operatorname{Pred}(M)$ 不是复合项. 因此, 由 $P$ 的可加性, 可由 $n$ 的数学归纳法得出.

(2) $M$ 不是复合项, 因此根据复合性准则, 若对任意 $j \in \mathbb{N}$ , $0 < j \leq j_1$ , 则 $M[n]_{0,0} = M_{0,0} < M_{0,j}$ .

如果 $(0,0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_1)$ 不成立且 $M_{1,j_1} = 0$ , 则若对于任意 $j\in \mathbb{N}$ , $0 < j < \mathrm{Lng}(M[n])$ 则 $M[n]_{0,j}$ 是 $(M_{0,j})_{j = 1}^{j_1}$ 的分量, 因此 $M[n]_{0,0}M[n]_{0,j}$ .

如果 $M_{1,j_1} > 0$ , 则对于任意 $j\in \mathbb{N}$ , 若 $0 < j < \mathrm{Lng}(M[n])$ , 则 $M[n]_{0,j}$ 为 $(M_{0,j})_{j = 1}^{j_1}$ 的任意分量与一个小于 $n$ 的自然数之和, 即 $M[n]_{0,0} < M[n]_{0,j}$ .

因此, 无论哪种情况, 根据复合项, $M[n]$ 都不是复合项；根据 P 各分量的非项性（2）, 有 $P(M[n]) = (M[n])$ .

证毕.

设 $M \in T_{PS}$ 且 $j \in N$ .

1. 设 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M)$ .

2. 如果满足以下任一条件, 则称 j 为 M-不容许的：

2.1. $j > j_{1}$ .

<nowiki>2.2. $(1,j-1) <_{M}^{\text{Next}} (1,j) <_{M}^{\text{Next}} (1,j+1)$ . </nowiki>

3. 如果 j 不是 M-不容许的, 则称 j 为 M-不容许的.

4. 设 $\mathbb{N}_M \subset \mathbb{N}$ 为所有 $M$ -不容许的自然数的子集.

'''定理 16''' 容许性切片的遗传性.

对于任意 $M \in T_{\mathrm{PS}}$ 和 $j_0', j_0, j_1' \in \mathbb{N}$ , 令 $j_1 := \mathrm{Lng}(M)-1$ , 令 $j_0' \leq j_0 \leq j_1' \leq j_1$ , 且令 $N := (M_j)_{j = j_0'}^{j_1'}$ , 则下列等价: (1) $j_0$ 为 $M$ -容许的或 $j_0' = j_0$ 或 $j_0 = j_1'$ . (2) $j_0-j_0'$ 为 $N$ -容许的.

证明: 若 $j_{0}^{\prime}=j_{0}^{\prime}$ 或 $j_{0}=j_{1}^{\prime}$ 或 $j_{1}^{\prime}=j_{1}$ , 则根据容许性定义成立. 以下设 $j_{0}^{\prime}<j_{0}<j_{1}^{\prime}<j_{1}$ . $j_{0}^{\prime}(1,j_{0}-1)<_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_{0})<_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_{0}+1)$ 不成立, 且 $(1,j_{0}-j_{0}^{\prime}-1)<_{N}^{\mathrm{Next}}(1,j_{0}-j_{0}^{\prime})<_{N}^{\mathrm{Next}}(1,j_{0}-j_{0}^{\prime}+1)$ 不成立. 因此, $j_{0}$ 的 M-容许性与 $j_{0}-j_{0}^{\prime}$ 的 N-容许性相同.

映射

\[
\mathrm{Adm}_{M}: T_{\mathrm{PS}} \times \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}_{M} \tag {21.86}
\]

\[
(M, j) \mapsto \mathrm{Adm}_{M} (j) \tag {21.87}
\]

定义如下:

1. 如果 j 是 M-容许的, 则 $\mathrm{Adm}_{M}(j):=j$ .

2. 如果 $j$ 不是 $M$ -容许的, 则令 $\mathrm{Adm}_M(j) := \max \{j' \in \mathbb{N}_M \mid j'j\}$ .

'''定理 17''' 容许化切片的遗传性.

对于任意 $M \in T_{\mathrm{PS}}$ 和 $j_0', j_1' \in \mathbb{N}$ , 令 $j_1 := \mathrm{Lng}(M)-1$ , 令 $j_0' \leq \mathrm{Adm}_M(j_0)$ 且 $j_0 < j_1' \leq j_1$ , 且令 $N := (M_j)_{j = j_0}^{j_1'}$ , 则 $\mathrm{Adm}_N(j_0-j_0') = \mathrm{Adm}_M(j_0)-j_0'$ .

证明： $\mathrm{Adm}_N(j_0-j_0') \leq j_0-j_0' < j_1-j_0'$ 和 $j_0' \leq \mathrm{Adm}_M(j_0) \leq j_0 < j_1$ , 并且由于容许性切片的遗传性, $\mathrm{Adm}_N(j_0-j_0')$ 和 $\mathrm{Adm}_M(j_0)-j_0'$ 是 $N$ 容许的, 而 $\mathrm{Adm}_M(j_0)$ 是 $M$ 容许的. 因此, 由 $\mathrm{Adm}_N(j_0-j_0')$ 的极大化可知, $\mathrm{Adm}_N(j_0-j_0') \geq \mathrm{Adm}_M(j_0)-j_0'$ . 假设 $\mathrm{Adm}_M(j_0) < \mathrm{Adm}_N(j_0-j_0')+j_0'$ , 则矛盾.

根据 $\mathrm{Adm}_{M}\left(j_{0}\right)<\mathrm{Adm}_{N}\left(j_{0}-j_{0}^{\prime}\right)+j_{0}^{\prime}\leq\left(j_{0}-j_{0}^{\prime}\right)+j_{0}^{\prime}=j_{0},\left(1,\mathrm{Adm}_{N}\left(j_{0}-j_{0}^{\prime}\right)+j_{0}^{\prime}-1\right)<_{M}^{\mathrm{Next}}\left(1,\mathrm{Adm}_{N}\left(j_{0}-j_{0}^{\prime}\right)+j_{0}^{\prime}\right)$ , 有 $j_{0}^{\prime}\leq\mathrm{Adm}_{M}\left(j_{0}\right)<\mathrm{Adm}_{N}\left(j_{0}-j_{0}^{\prime}\right)+j_{0}^{\prime},\left(1,\mathrm{Adm}_{N}\left(j_{0}-j_{0}^{\prime}\right)-1\right)<_{N}^{\mathrm{Next}}\left(1,\mathrm{Adm}_{N}\left(j_{0}-j_{0}^{\prime}\right)\right)$ .

因此, 从 $\mathrm{Adm}_N(j_0-j_0')$ 的 $N$ 容许性可以看出, $(1, \mathrm{Adm}_N(j_0-j_0')) < _N^{\mathrm{Next}}(1, \mathrm{Adm}_N(j_0-j_0')+1)$ 不成立, 但 $(1, \mathrm{Adm}_N(j_0-j_0')+j_0') < _M^{\mathrm{Next}}(1, \mathrm{Adm}_N(j_0-j_0')+j_0'+1)$ 不成立. 同样, $\mathrm{Adm}_M(j_0) < \mathrm{Adm}_N(j_0-j_0')+j_0' \leq j_0$ , 因此 $\mathrm{Adm}_N(j_0-j_0')+j_0' = j_0$ . 然后, 因为切片的容许是可遗传的, 且 $j_0 < j_1$ , 所以 $j_0$ 是 $M$ 容许的, $\mathrm{Adm}_M(j_0) = j_0$ , 这与 $\mathrm{Adm}_M(j_0) < \mathrm{Adm}_N(j_0-j_0')+j_0' \leq j_0$ 相矛盾.

由上可知, $\mathrm{Adm}_{M}(j_{0})=\mathrm{Adm}_{N}(j_{0}-j_{0}^{\prime})+j_{0}^{\prime}$ .

证毕.

令 $(M,m)\in T_{\mathrm{PS}}\times\mathbb{N}$ .

1. 如果 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1$ 时满足以下条件, 则 $(M, m)$ 为具有基点的对序列：

1.1. m 是 M 容许的.

1.2. $(0,m)\leq_{M}(0,j_{1})$

<nowiki>2. 令 $T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}} \subset T_{\mathrm{PS}} \times \mathrm{N}$ 为所有具有基点的对序列的子集. </nowiki>

3. $RT_{PS}^{Marked} := \left\{(M, m) \in T_{PS}^{Marked} \mid M \in RT_{PS}\right\}$ .

'''定理 18''' 基点切片的遗传性.

对任意 $(M, m) \in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ 和 $j_0', j_1' \in \mathbb{N}$ , 令 $j_1 := \mathrm{Lng}(M)-1$ , 则若 $j_0' \leq m \leq j_1' \leq j_1$ , 则 $\left((M_j)_{j=j_0'}^{j_1'}, m-j_0'\right) \in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ .

证明：此结论可直接由直系祖先树 (1) 和容许片段的遗传性推导出来. 证毕.

映射

\[
\mathrm{IdxSum:} T_{\mathrm{PS}}^{< \omega} \rightarrow \mathbb {N}^{< \omega} \tag {21.88}
\]

\[
Q \mapsto \mathrm{IdxSum} (Q) \tag {21.89}
\]

定义如下：1. 令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(Q)-1$ .

2. 对于每个 $J \in \mathbb{N}$ , 且 $J \leq J_1+1$ , 递归定义 $j_J \in \mathbb{N}$ , 如下所示:

2.1. 如果 J = 0, 则 $j_{J} := 0$ .

2.2. 如果 J > 0, 则 $j_{J} := j_{J-1}+\mathrm{Lng}(Q_{J-1})$ .

3. $\mathrm{IdxSum}(Q):=(j_{J})_{J=0}^{J_{1}+1}$ .

'''定理 19''' P 和 IdxSum 的关系.

对于任意 $M \in T_{\mathrm{PS}}$ 和 $J \in \mathbb{N}$ , 令 $J_1 := \mathrm{Lng}(P(M))-1$ , 则令 $j_0' := \mathrm{IdxSum}(P(M))_J$ , 其中 $J \leq J_1$ , 且令 $j_1' := \mathrm{IdxSum}(P(M))_{J+1}$ , 则 $P(M)_J = (M_j)_{j=j_0'}^{j_1'-1}$ .

证明：这可直接由 IdxSum 的定义得出. 证毕.

'''定理 20''' P 和 IdxSum 的合成特征.

对于任意 $M \in T_{PS}$ , 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1$ 且 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(M))-1$ , 且下列条件成立：

<nowiki>(1) 对于任意 $J \in \mathbb{N}$ , 若 $J \leq J_1$ , 则不存在唯一的 $j_0 \in \mathbb{N}$ 使得 $(0, j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}} (0, \mathrm{IdxSum}(P(M))J)$ . </nowiki>

(2) 对于任意的 $j \in \mathbb{N}$ , 若不存在唯一的 $j \in \mathbb{N}$ 使得 $j \leq j_1$ 且 $(0, j_0) <_{M}^{Next}(0, j)$ , 则存在某个 $J \in \mathbb{N}$ 使得 $J \leq J_1$ 且 $j = \mathrm{IdxSum}(P(M))J$ .

证明：这直接源于 P 的递归定义以及 P 与 IdxSum 之间的关系. 证毕.

'''定理 21''' P 各成分左端的单调性.

对于任意 $M \in T_{\mathrm{PS}}$ 和 $J_0', J_1' \in \mathbb{N}$ , 令 $J_1 := \mathrm{Lng}(P(M))-1$ , 则若 $J_0' \leq J_1' \leq J_1$ , 则 $\left(P(M)_{J_0'}\right)_{0,0} \geq \left(P(M)_{J_1'}\right)_{0,0}$ .

证明：根据 P 各分量的非复项性质, 以及 P 与 IdxSum 的关系, 对于任意 $j \in N$ , 如果 $j < \mathrm{IdxSum}(P(M))_{J_{1}^{\prime}}$ , 则 $(0, j) \leq_{M} (0, j_{J_{1}^{\prime}})$ 不成立.

因此, 根据父存在性准则(1), 对于任意 $j\in \mathbb{N}$ , 如果 $j < j_{J_1^{\prime}}$ , 则 $M_{0,j}\geq M_{0,j_{J_1'}}$ . 因为 $J_0^\prime \leq J_1^\prime \leq J_1$ , $\mathrm{IdxSum}(P(M))_{J_0'}\mathrm{IdxSum}(P(M))_{J_1'}$ , 则 $\left(P(M)_{J_0'}\right)_{0,0} = M_{0,j_{J_0'}}\geq M_{0,j_{J_1'}'} =$ $\left(P(M)_{J_1'}\right)_{0,0}$ . 证毕.

'''定理 22''' 切片单项成分与 $<_{M}^{Next}$ 的关系.

对于任意 $M \in PT_{\mathrm{PS}}$ 和 $j_0, J \in \mathbb{N}$ , 令 $j_1 := \mathrm{Lng}(M)-1$ , 令 $0 < j_0 \leq j_1$ , 令 $M' := (M_j)_{j=j_0}^{j_1}$ , 且令 $J_1 := \mathrm{Lng}(P(M'))-1$ . 然后, 若 $J \leq J_1$ , 则存在唯一的 $j \in \mathbb{N}$ 使得 $j < j_0$ 且 $(0, j) < _M^{Next}$ $(0, j_0+\mathrm{IdxSum}(P(M'))_J)$ .

令 $j_{0}^{\prime} := j_{0}+\mathrm{IdxSum}(P(M^{\prime}))$ J, 则有 $j_{0}^{\prime} \leq j_{0}+(j_{1}-j_{0}) = j_{1}$ .

M 满足单项复项 $(0,0) \leq M(0,j_{0}^{\prime})$ , 且 $j_{0}^{\prime} \geq j_{0} > 0$ 满足 $M_{0,0} < M_{0,j_{0}^{\prime}}$ . 因此, 根据判断父节点存在的条件 (1), 存在唯一的 $j \in N$ 使得 $(0,j) < \frac{\text{Next}}{M}(0,j_{0}^{\prime})$ .

另一方面, 根据 P 与 IdxSum 的关系以及 P 的定义, 对于任意 $j \in N$ , 如果 $j_{0} \leq j \leq j_{0}^{\prime}$ , 则 $(0, j-j_{0}) \leq M^{\prime}(0, j_{0}^{\prime}-j_{0})$ 不成立, 即 $(0, j) \leq_{M}(0, j_{0}^{\prime})$ 不成立. 由上可知, $j < j_{0}$ .

映射

\[
\mathrm{TrMax}: P T_{\mathrm{PS}} \to \mathbb {N} \tag {21.90}
\]

\[
M \mapsto \mathrm{Tr} \operatorname{Max} (M) \tag {21.91}
\]

\[
\mathrm{Br}: P T_{\mathrm{PS}} \rightarrow T_{\mathrm{PS}}^{< \omega} \tag {21.92}
\]

\[
M \mapsto \mathrm{Br} (M) \tag {21.93}
\]

\[
\text {FirstNodes:} P T_{\mathrm{PS}} \to \mathbb {N}^{< \omega} \tag {21.94}
\]

\[
M \mapsto \text {FirstNodes} (M) \tag {21.95}
\]

\[
\text {Joints:} P T_{\mathrm{PS}} \rightarrow \mathbb {N}^{< \omega} \tag {21.96}
\]

\[
M \mapsto \text {Joints} (M) \tag {21.97}
\]

定义如下:

<nowiki>1. $\operatorname{Tr}\operatorname{Max}(M):=\max\left\{j\in\mathbb{N}\mid\forall j^{\prime}\in\mathbb{N},(j^{\prime}j)\to\left((1,j^{\prime})<_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j^{\prime}+1)\right)\right\}$ . </nowiki>

2. 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1$ .

3. 令 $j_{1}^{\prime} := \mathrm{Tr}\operatorname{Max}(M)$ .

4. 若 $j_{1}^{\prime}=j_{1}$ , 则 $\mathrm{Br}(M):=()$ .

5. 若 $j_1' j_1$ , 则 $\mathrm{Br}(M) := P\left((M_j)_{j = j_1'+1}^{j_1}\right)$ .

6. 令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(M))-1$ .

7. 第一个节点 $(M) := (\mathrm{TrMax}(M)+1+\mathrm{IdxSum}(\mathrm{Br}(M))_J)_{J=0}^{J_1+1}$ .

<nowiki>8. 对于每个满足 $J \leq J_{1}$ 的 $J \in \mathbb{N}$ , 令 $a_{J}$ 为唯一的 $j \in \mathbb{N}$ , 且 $(0, j) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0, \mathrm{FirstNodes}(M)_{J})$ . </nowiki>

9. Joints(M) := (a\_J)\_{J=0}^{J\_1}.

根据 TrMax 的定义, $(1, \mathrm{TrMax}(M)) < \frac{\mathrm{Next}}{M}(1, \mathrm{TrMax}(M)+1)$ 并非如此, 且 TrMax $(M) < \mathrm{Lng}(M)$ , 因此 TrMax $(M)$ 是 M 容许的. 另外, 根据 FirstNodes $(M)$ 的定义, $\mathrm{Br}(M) = \left((M_j)_{j = \text{FirstNodes } J(M)_{J=0}}^{\text{FirstNodes } J(M)_{J=0}^{J-1}}\right)_{J=0}^{J_1}$ .

'''定理 23''' FirstNodes、TrMax 和 Joints 之间的关系.

对于任意 $M \in PT_{\mathrm{PS}}$ 和 $J \in \mathbb{N}$ , 令 $J_1 := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(M))-1$ , 则若 $J \leq J_1$ , 则 $Joints(M)_J \leq \mathrm{TrMax}(M) < \mathrm{FirstNodes}(M)_J$ .

证明：这直接源于 TrMax、Br、FirstNodes 和 Joints 的定义, 以及切片的单项分量与 $<_{M}^{Next}$ 之间的关系.

'''定理 24''' FirstNodes 和 Joints 的单调性.

对于任意 $M \in PT_{PS}$ 和 $J_{0}^{\prime}, J_{1}^{\prime} \in N$ , 令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(M))-1$ , 则若 $J_{0}^{\prime} < J_{1}^{\prime} \leq J_{1}$ , 则以下成立：

(1) 第一个节点 $(M)_{J_{0}^{\prime}} \leq \text{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}$ .

(2) 关节 $(M)_{J_{0}^{\prime}} \geq \text{Joints}(M)_{J_{1}^{\prime}}$ .

(3) $M_{0, \text{FirstNodes} (M)_{J_0'}} \geq M_{0, \text{FirstNodes} (M)_{J_1'}}$ .

(4) 对于任何 $i \in \{0,1\}$ , $LM_{i,\text{Joints}(M)_{J_0'}} > M_{i,\text{Joints}(M)_{J_1'}}$ .

证明：

(1) 和 (3) 可直接由 P 和 IdxSum 的定义得出.

(2) 和 (4) 可直接由 FirstNodes、TrMax 和 Joints 以及 (3) 之间的关系得出.

证毕.

'''定理 25''' 单项性切片的遗传性.

对于任意 $M \in PT_{\mathrm{PS}}$ 和 $j_0', j_1' \in \mathbb{N}$ , 令 $j_1 := \mathrm{Lng}(M)-1$ , 令 $J_1 := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(M))-1$ , 且令 $j_0' < j_1' \leq j_1$ , 令 $M' := (M_j)_{j = j_0'}^{j_1'}$ . 然后, 若 $j_0' \leq \mathrm{Joints}(M)_{J_1}$ , 则 $M'$ 为单项的.

令 $j_{0} := \mathrm{TrMax}(M)$ .

$\mathrm{TrMax}\left(M^{\prime}\right)=j_{0}-j_{0}^{\prime}\quad\mathrm{Lng}\left(M^{\prime}\right)-1=j_{1}^{\prime}-j_{0}^{\prime}$

由于 $\mathrm{Lng}(M')-1 = j_1'-j_0' > 0$ , 我们可以证明, 对于任意 $j\in \mathbb{N}$ , 若 $j\leq j_1'-j_0'$ , 则 $(0,0)\leq_{M'}(0,j)$ .

如果 $j \leq \mathrm{TrMax}(M')$ , 则 $(1,0) \leq M'(1,j)$ , 因此 $(0,0) \leq M'(0,j)$ .

于是 $j > \mathrm{TrMax}(M')$ .

$j+j_{0}^{\prime}> \mathrm{TrMax}(M^{\prime})+j_{0}^{\prime}=j_{0}$ , 因此由于 FirstNodes 和 Joints 的单调性, 存在唯一的 $J\in N$ 使得 $J\leq J_{1}$ 且 FirstNodes $(M)_{J}\leq j+j_{0}^{\prime}\mathrm{FirstNodes}(M)_{J+1}$ . 由于 P 的每个分量都具有非多重性, $\mathrm{Br}(M)_{J}$ 不是多重性, 因此 $(0,0)\leq\mathrm{Br}(M)_{J}(0,j+j_{0}^{\prime}-\mathrm{FistNodes}(M)_{J})$ , 即 $(0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J})\leq M(0,j+j_{0}^{\prime})$ .

由于 FirstNodes 和 Joints 的单调性, 以及 FirstNodes、TrMax 和 Joints 之间的关系, $j_{0}^{\prime} \leq \text{Joints}(M)_{J_{1}} \leq \text{Joints}(M)_{J} \leq \text{TrMax}(M)$ , 因此 $(1, j_{0}^{\prime}) \leq M(1, \text{Joints}(M)_{J}) \circ (1, j_{0}^{\prime}) \leq_{M}(1, \text{Joints}(M)_{J})$ 和 $(0, \text{Joints}(M)_{J}) <_{M}^{\text{Next}}(0, \text{FirstNodes}(M)_{J})_{\text{and}}$ $(0, \text{FirstNodes}(M)_{J}) \leq M(0, j+j_{0}^{\prime})$ , 因此 $(0, j_{0}^{\prime}) \leq M(0, j+j_{0}^{\prime})$ , 即 $(0, 0) \leq M'(0, j)$ .

于是我们得到了 $M'$ 的单项性.

证毕.

映射

\[
\text {Red:} T_{\mathrm{PS}} \rightarrow T_{\mathrm{PS}} \tag {21.98}
\]

\[
M \mapsto \operatorname{Red} (M) \tag {21.99}
\]

递归定义如下:

1. 如果 M 是名义函数, 则 $\mathrm{Red}(M):=((0,0))$ .

2. 令 $M$ 为单项函数.

2.1. 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1$ .

2.2. 令 $M_{0}=(0,0)$ .

2.2.1. 令 $j_1' := \mathrm{Tr} \operatorname{Max}(M)$ .

2.2.2. 如果 $j_{1}^{\prime}=j_{1}$ , 则 $\mathrm{Red}(M):=(\left(j,j\right))_{j=M_{1,0}}^{M_{1,0}+j_{1}}$ .

2.2.3. 令 $j_{1}^{\prime}<j_{1}$ .

2.2.4. 令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(M))-1$ .

2.2.5. 对于每个 $J \in \mathbb{N}$ , 且 $J \leq J_1$ , 定义 $n_J \in \mathbb{N} \cup \{-1\}$ 和 $N_J \in PT_{\mathrm{PS}}$ 如下:

2.2.5.1. 若 $(\mathrm{Br}(M)_{J})_{1,0}=0$ , 则 $n_{J}=-1$ .

2.2.5.2. 若 $(\mathrm{Br}(M)_J)_{1,0} > 0$ , 则令 $n_J$ 为唯一的 $j \in \mathbb{N}$ , 满足 $(1,j) < \frac{\mathrm{Next}}{M} (1,\mathrm{FirstNodes}(M)_J)$ .

2.2.5.3. $N_{J} := ((M_{0,0}+\mathrm{Joints}(M)_{J}+1, M_{1,0}+n_{J}+1)) \oplus \mathbb{N}^{2} \operatorname{Derp}\left(\mathrm{Br}(M)_{J}\right)$ .

2.2.6. $\operatorname{Red}(M):= ((j,j))_{j=0}^{j_1'}\oplus_{\mathrm{N}^2}\bigoplus_{\mathrm{N}^2}\left(\operatorname{IncrFirst}^{\operatorname{Joints}(M)_{J-n}n_J}(\operatorname{Red}(N_J))\right)_{J=0}^{J_1}$

2.3. 令 $M_{0} \neq (0,0)$ .

2.3.1. 令 $M_{1,0} = 0$ 在[15] 中.

2.3.1.1. 令 $N := ((M_{0,j}-M_{0,0}, M_{1,j}))_{j=0}^{j_1}$ .

2.3.1.2. 令 $\operatorname{Red}(M) := \operatorname{Red}(N)$ .

2.3.2. 令 $M_{1,0} > 0$ .

2.3.2.1. 令 $N := \operatorname{Red}\left(((j, j))_{j=0}^{M_{1,0}-1} \oplus_{\mathbb{N}^2} \operatorname{IncrFirst}^{M_{1,0}}(M)\right)$ .

2.3.2.2. 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(N)-1$ .

2.3.2.2.1. 若 $M_{1,0} \leq j_1$ 且 $(N_j)_{j=M_{1,0}}^{j_1} \in PT_{\mathrm{PS}} \operatorname{Red}(M) := \left( \left( N_{0,j}-N_{0,M_{1,0}}+N_{1,M_{1,0}}, N_{1,j} \right) \right)_{j=M_{1,0}}^{j_1}$ .

2.3.2.2.2. 若 $M_{1,0} \leq j_{1}$ 且 $(N_{j})_{j=M_{1,0}}^{j_{1}} \in T_{\mathrm{PS}} \backslash PT_{\mathrm{PS}}$ , 则 $\mathrm{Red}(M) := M$ .

2.3.2.2.3. 如果 $M_{1,0} > j_{1}$ , 则 $\mathrm{Red}(M) := M$ .

3. 令 M 为复合项.

3.1. 令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(M))-1$ .

3.2. $\operatorname{Red}(M) := \bigoplus_{\mathbb{N}^2} (\operatorname{Red}(P(M)_J))^{\mathcal{J}_1}_{J=0}$ .

'''定理 26''' Red 的良定义性.

存在一个唯一的映射 Red 满足上述所有条件.

证明：

通过对 $\mathrm{Lng}(M)-\mathrm{TrMax}(M)$ 进行数学归纳, 可知对 $\{M\in PT_{\mathrm{PS}}\mid M_{0}=(0,0)\}$ 存在唯一限制.

通过 Red 对 $T_{PS} \setminus \{M \in PT_{PS} \mid M_{0} = (0,0)\}$ 的定义, 可知 $T_{PS}$ 存在唯一扩张.

证毕.

'''定理 27''' Red 的 IncrFirst 不变性.

对于任意的 $M \in T_{PS}$ , $\mathrm{Red}(\mathrm{IncrFirst}(M)) = \mathrm{Red}(M)$ .

证明：这直接由 Red 的递归定义得出. 证毕.

'''定理 28''' Lng 的 Red 不变性.

对于任意的 $M \in T_{PS}$ , $\mathrm{Lng}(\mathrm{Red}(M)) = \mathrm{Lng}(M)$ .

证明：根据 Red 的递归定义, 可直接通过 $\mathrm{Lng}(M)$ 的数学归纳法得到证明. 证毕.

'''定理 29''' Red 零项性的保持.

对于任意 $M \in T_{PS}$ , 以下等价：

(1) M 为零项.

(2) Red(M) 为零项.

证明：Lng 的 Red 不变性可简化为 $\mathrm{Lng}(M)=1$ 的情况. 如果 $\mathrm{Lng}(M)=1$ , 则可直接得出 Red 的递归定义. 证毕.

'''定理 30''' P 和 Red 的同变性.

对于任意 $M \in T_{PS}$ , 令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(M))$ , 则 $P(\mathrm{Red}(M)) = (\mathrm{Red}(P(M)_{J}))_{J=0}^{J_{1}}$ .

证明：根据 Red 的递归定义, 可以立即得出其直接祖先 Red 的不变性. 证毕.

'''定理 31''' 单项性和 Red 的关系.

对于任意 $M \in PT_{\mathrm{PS}}$ , 令 $N := \operatorname{Red}\left(((j, j))_{j=0}^{M_{1,0}-1} \oplus_{\mathbb{N}^2} \operatorname{IncrFirst}^{M_{1,0}}(M)\right)$ 且令 $j_1 := \operatorname{Lng}(N)-1$ , 则 $(N_j)_{j=M_{1,0}}^{j_1} \in PT_{\mathrm{PS}}$ .

证明：

根据 N 的定义, $\mathrm{Lng}(M)=j_{1}-M_{1,0}+1$ , 且对于任意 $(i,j),(i',j')\in\mathbb{N}^{2}$ , 下列命题等价：

(1) $(i,j)\leq_{M}(i^{\prime},j^{\prime})$ .

(2) $(i,j+M_{1,0})\leq N(i',j'+M_{1,0})$ .

因此, 它由直接祖先的 Red 不变量得出.

证毕.

'''定理 32''' Red 的幂等性.

对于任意 $M \in T_{PS}$ , $\mathrm{Red}^{2}(M) = \mathrm{Red}(M)$ .

证明：根据 Red 的的递归定义, 可直接通过 $\mathrm{Lng}(M)$ 的数学归纳法得到证明. 证毕.

'''定理 33''' Red 和 Pred 的可换性.

对于任意 $M \in T_{PS}$ , $\text{Red}(\text{Pred}(M)) = \text{Pred}(\text{Red}(M))$ .

证明：由 Red 的递归定义, 通过对 $\mathrm{Lng}(M)$ 的数学归纳法可知. 证毕.

'''定理 34''' Red 和基本列的可换性.

对于任意 $M \in T_{PS}$ 和 $n \in N_{+}$ , $\operatorname{Red}(M)[n] = \operatorname{Red}(M[n])$ .

证明：

设 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M_{1})-1$ . 通过对 $j_{1}$ 进行数学归纳法证明.

如果 $j_{1}=0$ , 则根据 Red 和运算符[] 的定义可直接得出.

设 $j_{1} > 0$ .

如果 $(1,0) <_{M}^{\text{Next}} (1,j_1)$ 不成立, 则根据 Red 和运算符[] 的递归定义可得出.

如果 $(1,0) <_{M}^{\mathrm{Next}} (1,j_1)$ , 则根据 Red 和 Pred 的交换性以及运算符[] 定义中使用的 B 的定义, 通过对 $n$ 进行数学归纳法可得出.

证毕.

'''定理 35''' Red 对容许性的保持.

对于任意 $M \in T_{PS}$ , $N_{M} = N_{\mathrm{Red}(M)}$ .

证明：它直接源于其直系祖先的 Red 不变性. 证毕.

'''定理 36''' 容许化的 Red 不变性.

对于任意 $M \in T_{PS}$ 和 $j \in N$ , $\mathrm{Adm}_{M}(j) = \mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(M)}(j)$ .

证明：它直接源于直系祖先的 Red 不变性以及 Red 的容许性. 证毕.

'''定理 37''' Red 对基点的保持.

对于任意 $(M,m)\in T_{\mathrm{PS}}^{Marked}$ , $(\mathrm{Red}(M),m)\in RT_{\mathrm{PS}}^{Marked}$ .

证明：它直接源于直系祖先的 Red 不变性以及 Red 的容许性. 证毕.

设 $M \in T_{PS}$ .

1. 如果满足 $\mathrm{Red}(M)=M$ , 则称 M 可约.

2. 设 $RT_{PS} \subset T_{PS}$ 为所有约化对序列的子集.

即 $RT_{\mathrm{PS}} = \mathrm{Im}(\mathrm{Red})$ . 根据可约性定义可知, $RT_{\mathrm{PS}} \subset \mathrm{Im}(\mathrm{Red})$ ；根据 Red 的幂等性可知, $\mathrm{Im}(\mathrm{Red}) \subset RT_{\mathrm{PS}}$ .

'''定理 38''' 简约性切片的遗传性.

对于任意 $M \in RT_{\mathrm{PS}}$ , 令 $j_1 := \mathrm{Lng}(M)-1$ , 则若对于任意 $j_0', j_1' \in \mathbb{N}, j_0' \leq \mathrm{Tr} \, \mathrm{Max}(M) \leq j_1' \leq j_1$ , 则 $(M_j)_{j = j_0'}^{j_1'}$ 可约.

证明：这直接源于 Red 的递归定义以及 Red 与 Pred 的交换性. 证毕.

'''定理 39''' P 对可约性的保持.

对于任意 $M \in T_{PS}$ , 以下等价：

(1) M 是可约化的.

(2) $P(M)$ 的每个分量都是可约化的.

证明：这直接由 P 的 Red 等变性得出. 证毕.

'''定理 40''' 基本列的可约性的保留.

对于任意 $M \in RT_{PS}$ 和 $n \in N_{+}$ , $M[n] \in RT_{PS}$ .

证明：这直接由 Red 的幂等性以及 Red 与基本列的交换性得出. 证毕.

'''定理 41''' 可约性与系数的关系.

对于任意 $M \in T_{PS}$ , 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1$ . 则 M 约化当且仅当：

(A) 对于任意 $i \in \{0,1\}$ 和 $j_1' \in \mathbb{N}$ , 若存在唯一的 $j_0' \in \mathbb{N}$ 使得 $(i,j_0') <_{M}^{Next} (i,j_1')$ , 则 $M_{i,j_0'}+1 = M_{i,j_1'}$ .

(B) 对任意 $j_1' \in \mathbb{N}$ , 若不存在唯一的 $j_0' \in \mathbb{N}$ 使得 $(0, j_0') <_{M}^{Next}$ $(0, j_1')$ 且 $j_1' \leq j_1$ , 则 $M_{0, j_1'} = M_{1, j_1'}$ .

我们准备了一些引理, 为可约性和系数关系的证明做准备.

'''定理 42''' Red 与左端的关系.

对于任意 $M \in T_{PS}$ , 有以下成立：

(1) $\operatorname{Red}(M)_{1,0} = M_{1,0}$ .

(2) 对于任意 $u, j_0 \in \mathbb{N}$ , 令 $j_1 := \mathrm{Lng}(M)-1$ . 若 $M$ 为单项函数, 且 $j_0 \leq j_1$ , 且 $(M_j)_{j=0}^{j_0} = ((j, j))_{j=u}^{j_0+u}$ , 则 $\mathrm{Red}(M)_{j_0} = (j_0+u, j_0+u)$ .

证明：这直接由 Red 的递归定义得出. 证毕.

'''定理 43''' 可约性与系数的基本性质.

对于任何 $M \in RT_{PS}$ 和 $j \in N$ , 如果 $j < \mathrm{Lng}(M)$ 则 $M_{0,j} \geq M_{1,j}$ .

证明：根据 Red 的递归定义, 可由 $\mathrm{Lng}(M)$ 的数学归纳法直接得出. 证毕.

'''定理 44''' 可约性与左端的关系.

对于任何 $M \in RT_{\mathrm{PS}} \cap PT_{\mathrm{PS}}$ 和 $u \in \mathbb{N}$ , 如果 $u \leq M_{1,0}$ 则 $N := ((j, j))_{j=u}^{M_{1,0}-1} \oplus \mathbb{N}^2 M$ 并且 $N$ 是可约的并且是单项的.

证明：若 $M_{1,0} = u$ , 则 $N = M$ . 以下令 $M_{1,0} > u$ . 从Red与左端(2)的关系, 以及Red的定义和Red的幂等性可知, $((j,j))_{j = 0}^{u-1}\oplus_{\mathbb{N}^2}N = ((j,j))_{j = 0}^{M_{1,0}-1}\oplus_{\mathbb{N}^2}M = ((j,j))_{j = 0}^{M_{1,0}-1}\oplus_{\mathbb{N}^2}$ $\operatorname {Red}(M) = \operatorname {Red}\left((j,j))_{j = 0}^{M_{1,0}-1}\right.$ , 以及 $(j,j))_{j = 0}^{u-1}\oplus_{\mathbb{N}^2}N = \operatorname {Red}\left((j,j))_{j = 0}^{u-1}\oplus_{\mathbb{N}^2}N\right) = ((j,j))_{j = 0}^{u-1}\oplus_{\mathbb{N}^2}$ $\operatorname {Red}(N)$ , 所以 $N = \operatorname {Red}(N)$ . 因此, $N$ 是可约的.

根据可约性和系数的基本性质, $u < M_{1,0} \leq M_{0,0}$ , 所以 $(0,0) \leq_{N} (0, u+M_{1,0})$ , 并且根据 M 的单项性, N 是单项的.

证毕.

'''定理 45''' 条件 (A) 与 (B) 和系数的基本性质.

对于任意 $M \in T_{PS}$ , 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1$ . 如果 $M_{0} = (0, 0)$ 且 M 满足条件 (A), 则下列成立：

(1) 对于任意 $j \in \mathbb{N}$ , 如果 $j \leq j_1$ 则 $M_{0,j} \leq j$ .

(2) 如果 $M$ 满足条件 $(B)$ , 则对于任意 $j \in \mathbb{N}$ , 如果 $j \leq j_1$ 则 $M_{0,j} \geq M_{1,j}$ .

(3) 令 $i \in \{0,1\}$ , 且 $i = 0$ 或 $i = 1$ , 且 $M$ 满足条件 $(B)$ . 对于任意 $j \in \mathbb{N}$ , 若存在 $j_0', j_1' \in \mathbb{N}$ 使得 $(i, j_0') \leq_M (i, j_1')$ 且 $j_0' j_1' \leq j \leq j_1$ , 则 $M_{i,j} < j$ .

证明：

<nowiki>（1）假设这不成立, 我们得出一个矛盾. 根据假设, 存在 $j \in \mathbb{N}$ 使得 $j \leq j_1$ 且 $M_{0,j} > j$ . 如果我们将其最小值定义为 $j_0$ , 那么, 根据 $M_{0,0} = 0 \leq j_0 < M_{0,j_0}$ 以及父代存在性准则(1), 存在唯一的 $j_0' \in \mathbb{N}$ 使得 $j_0 > 0$ 且 $(0,j_0') < _M^{\mathrm{Next}}(0,j_0)$ . 另一方面, 由于 $j_0$ 的最小性, 我们有 $M_{0,j_0'} \leq j_0'$ , 又因为 $M$ 满足条件(A), 我们有 $M_{0,j_0} = M_{0,j_0'}+1 = j_0'+1 \leq j_0$ , 这是一个矛盾. </nowiki>

<nowiki>(2) 假设这不成立, 我们得出一个矛盾. 根据假设, 存在 $j \in \mathbb{N}$ 使得 $j \leq j_1$ 且 $M_{0,j} < M_{1,j}$ . 如果我们定义它的最小值为 $j_0$ , 那么由于 $M$ 满足条件 (B), 存在唯一的 $j_0' \in \mathbb{N}$ 使得 $(0, j_0') < _M^{\text{Next}} (0, j_0)$ . 另一方面, 由于 $j_0$ 最小, $M_{0,j_0'} \geq M_{1,j_0'}$ , 且 $M$ 满足条件 (A), $M_{0,j_0} = M_{0,j_0'}+1 \geq M_{1,j_0'}+1$ . </nowiki>

如果 $(1,j_0') < _M^{\mathrm{Next}}(1,j_0)$ , 则 $M$ 满足条件 (A), 因此 $M_{0,j_0} = M_{1,j_0'}+1 = M_{1,j_0}$ , 这与条件 (A) 矛盾.

如果 $(1,j_0') < _M^{\mathrm{Next}}$ （ $1,j_0$ ）不成立, 则 $M_{1,j_0'} \geq M_{1,j_0}$ 意味着 $M_{0,j_0} = M_{1,j_0'}+1 > M_{1,j_0}$ , 这是一个矛盾.

(3) 由于 $M_0 = (0,0)$ 且 $j > 0$ , 因此存在唯一的 $J_1 \in \mathbb{N} \in \mathbb{N}^{<\omega}$ 使得：

\[
\mathrm{Lng} (a) = J_{1}+1 \text {. }
\]

不存在唯一的 $j' \in N$ 使得 $(i, j'-1) <_{M}^{\text{Next}} (i, a_{0})$ .

对于任何 $J \in \mathbb{N}$ , 如果 $J < J_1$ 则 $(i, a_J) <_{M}^{\text{Next}} (i, a_{J+1})$ . $a_{J_1} = j$ . 根据 $j$ 的条件, 存在 $j' \in \mathbb{N}$ 使得 $(1, j'-1) <_{M}^{\text{Next}} (1, j')$ 且 $j_0' < j' \leq j_1'$ . 因此, $a$ 是一个严格单调递增序列, 且不包含 $j'$ 作为分量, 所以 $J_1 < j$ . 由于 $M_{0,0} = 0$ , $a_{0,0} = 0$ . 因此, 如果 $i = 0$ , 则 $a_{i,0} = 0$ . 如果 $i = 1$ 且 $M$ 满足条件 (B), 则根据 (2), $a_{i,0} = 0$ . 因此, 两种情况下 $a_{i,0} = 0$ . 此外, 由于 $M$ 满足条件 (A), $M_{i,j} \leq a_{i,0}+J_1 < j$ .

证毕.

现在回到主题, 我们给出简约性与系数的关系的证明：

如果 $j_{1}=0$ , 则条件 (A) 恒为真, 条件 (B) 成立的充分必要条件是 $M_{0,0}=M_{1,0}$ .

因此, 这由 Red 的定义得出.

设 M 为单项函数, 且 $M_{1,0}=0$ .

在这些条件下, 我们利用数学归纳法, 先跳到 $j_{1}$ , 证明 $M$ 的可约性等价于 $M$ 满足条件 (A) 和 (B).

设 $j_{1}=1$ .

在这种情况下, $(0,0)<_{M}^{\text{Next}}(0,1)$ .

如果 $(1,0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(1,1)$ , 则 $M_{1,0} < M_{1,1}$ , 且条件(A)等价于 $M_1 = (M_{0,0}+1, M_{1,0}+1)$ , 条件(B)等价于 $M_{0,0} = M_{1,0}$ , 因此这符合Red的定义.

如果 $(1,0) <_{M}^{\mathrm{Next}} (1,1)$ 不成立, 则 $M_{1,0} \geq M_{1,1}$ . 条件(A)等价于 $M_{0,1} = M_{0,0}+1$ 且条件(B)等价于 $M_{0,0} = M_{1,0}$ , 因此这符合Red的定义.

令 $j_{1} > 1$ .

首先, 令 M 为约化函数.

令 $j_0 := \max \left\{ j \in \mathbb{N} \mid j \leq j_1 \land \forall j' \in \mathbb{N}, (j' < j) \to ((1, j') <_{M}^{\text{Next}} (1, j'+1)) \right\}$ .

令 $J_{1} := \mathrm{Lng}\left(P\left((M_{j})_{j=j_{0}}^{j_{1}}\right)\right)-1$ .

从 Red 的递归定义可知, $\left((M_j)_{j=0}^{j_0}\right)_0 = M_0 = (0,0)$ , 且对于任意 $j \in \mathbb{N}$ , 若 $j \leq j_0$ , 则 $(0,0) \leq_M (0,j)$ 蕴涵 $(0,0) \leq_{(M_j)_{j=0}^{j_0}} (0,j)$ , 因此 $(M_j)_{j=0}^{j_0}$ 是单项的. 此外, 由于切片可约性的遗传性, $(M_j)_{j=0}^{j_0}$ 是隐式可约的, 并且根据 Red 的定义, $(M_j)_{j=0}^{j_0} = \text{Red} \left((M_j)_{j=0}^{j_0}\right) =$

$((j,j))_{j=0}^{j_0}$ . 令 $i \in \{0,1\}$ 和 $j_1' \in \mathbb{N}$ , 并假设存在唯一的 $j_0' \in \mathbb{N}$ 使得 $(i,j_0') <_{M}^{\mathrm{Next}} (i,j_1')$ , 其中 $j_1' > j_0' \geq 0$ .

在这种情况下, $(M_{j})_{j=j_{0}}^{j_{1}}$ 为单项.

令 $J_{0} := \mathrm{Lng}\left(P\left((M_{j})_{j=j_{0}+1}^{j_{1}}\right)\right)-1$ .

令 $m := j_1-\mathrm{Lng}\left(P\left((M_j)_{j=j_0+1}^{j_1}\right)_{J_0}\right)+1$ .

令 $N := ((j, j))_{j=0}^{M_{1,m}-1} \oplus_{\mathbb{N}^2} \operatorname{Red}\left(P\left((M_j)_{j=j_0+1}^{j_1}\right) J_0\right)$ .

由于可约性与最左极限的关系, N 可约. 若 $M_{1,m}=0$ , 则根据 Red 与左端的关系（2）以及 Red 的递归定义, $N_{0}=\mathrm{Red}\left(P\left((M_{j})_{j=j_{0}+1}^{j_{1}}\right)_{J_{0}}\right)_{0}=(0,0)$ .

如果 $M_{1,m} \neq 0$ , 则根据 $N$ 的定义, $N_0 = (0,0)$ . 因此, 无论哪种情况, $N_0 = (0,0)$ .

$\operatorname{Lng}(N)-1 = j_1-m+M_{1,m} < j_1$ , 且 $(0, m) \leq_M (0, j_1)$ 蕴涵 $(0, 0) \leq P(M)_{J_1} (0, j_1-m)$ , $(0, M_{1,0}) \leq_N (0, j_1-m+M_{1,m})$ .

令 $j_0' \leq j_0 = j_1-1$ .

由于 $(M_{j})_{j=j_{0}}^{j_{1}}$ 是单项的, 因此 $(0,j_{0})<_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1})$ .

$M = ((j,j))_{j=0}^{j_0} \oplus_{\mathbb{N}^2}(M_{j_1})$ , 且由于 $(1,j_0) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_1)$ 且 $(0,j_0) <_{M}^{\text{Next}}(0,j_1)$ , 因此 $j_0 = M_{0,j_0}M_{0,j_1}$ 且 $j_0 = M_{1,j_0} \geq M_{1,j_1}$ . 因此, $j_0' = M_{i,j_1}-1$ , 所以 $M_{i,j_0'}+1 = j_0'+1 = M_{i,j_1}$ .

令 $j_0' \leq j_0 < j_1-1$ .

由于 $(M_{j})_{j=j_{0}}^{j_{1}}$ 为单项函数, 因此 $(0,j_{0})<_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_{0}+1)$ .

$(1,j_0) < _M^{\text{Next}} (1,j_0+1)$ 且 $(0,j_0) < _M^{\text{Next}} (0,j_0+1)$ , 因此 $M_{1,j_0} \geq M_{1,j_0+1}$ ；且 $(i,j_0') < _M^{\text{Next}} (i,j_1)$ 且 $j_0'j_0+1 < j_1$ , 因此 $(1,j_0+1) \leq_M (1,j_1)$ . 因此, $(0,j_0+1) \leq_M (0,j_1)$ 不成立, 即 $J_0 > 0$ 且 $j_0+1 < m$ . $j_0' < j_0+1 < m$ 且 $(0,m) \leq_M (0,j_1)$ 和 $(i,j_0') < _M^{\text{Next}} (i,j_1)$ , 因此 $i = 1$ 且 $j_0' = M_{1,j_0'} < M_{1,j_1} \leq M_{1,m}$ . 因此, 从 $(1,j_0') < _N^{\text{Next}} (1,j_1-m+M_{1,m})$ , 根据归纳假设, $M_{i,j_0'}+1 = N_{1,j_0'}+1 = N_{1,j_1-m+M_{1,m}} = M_{i,j_1'}$ .

如果 $j_0 < j_0'$ , 则 $(i, j_0') < _M^{\text{Next}} (i, j_1)$ , 因此根据 $P$ 的定义, $m \leq j_0'$ . 再次, $(i, j_0') < _M^{\text{Next}} (i, j_1)$ , 因此 $(i, j_0'-m+M_{1,m}) < _N^{\text{Next}} (i, j_1-m+M_{1,m})$ . 因此, 根据归纳假设, $M_{i,j_0'}+1 = N_{1,j_0'}+1 = N_{1,j_1-m+M_{1,m}} = M_{i,j_1'}$ .

设 $j_{1}^{\prime}=j_{1}$ 且 $J_{1}>0$ .

设 $m := j_{1}-\mathrm{Lng}(P(M)_{J_{1}})+1$ .

由于 $J_{1} > 0$ , $j_0 < m$ , 且根据 $P$ 的定义, $M_{0,m} < j_0$ . 根据可约性和系数的基本性质, $M_{0,m}-M_{1,m} \geq 0$ , 因此 $M_{1,m} \leq M_{0,m} < j_0 < m$ .

$P(M)_{J_{1}} \in PT_{\mathrm{PS}}$ 得出 $((j,j))_{j=0}^{M_{1,m}} \oplus_{\mathbb{N}^{2}} (M_{j})_{j-m+1}^{j_{1}} \in PT_{\mathrm{PS}}$ , 且由 M 的约化性和 Red 的定义可知,

\[
\begin{array}{l} P (M)_{J_{1}} = \operatorname{IncrFirst}^{M_{0, m}-M_{1, m}} \left(\operatorname{Red} \left((M_{0, m}, M_{1, m}) \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left(M_{j}\right)_{j = m+1}^{j_{1}}\right)\right) \tag {21.100} \\ = \operatorname{IncrFirst}^{M_{0, m}-M_{1, m}} \left(\operatorname{Red} \left(P (M)_{J_{1}}\right)\right). \\ \end{array}
\]

令 $N := ((j, j))_{j=0}^{M_{1,m}-1} \oplus \mathbb{N}^2 \operatorname{Red}(P(M)_{J_1})$ .

由于可约性与左边界之间的关系, N 是可约的. 如果 $M_{1,m}=0$ , 则由于 Red 与左边界 (2) 之间的关系以及 Red 的递归定义, $N_{0}=\mathrm{Red}(P(M)_{J_{1}})_{0}=(0,0)$ . 如果 $M_{1,m}\neq0$ , 则由于 N 的定义, $N_{0}=(0,0)$ . 因此, 在两种情况下, $N_{0}=(0,0)$ .

$\mathrm{Lng}(N)-1 = j_1-m+M_{1,m}$ , 且由于 $(0,m)\leq_M(0,j_1)$ 蕴涵 $(0,0)\leq_{P(M)_{J_1}}(0,j_1-m)$ , 因此 $(0,M_{1,0})\leq_N(0,j_1-m+M_{1,m})$ .

若 $m = j_{1}$ , 则 $P(M)_{J_1} = (M_m)$ , 且根据 $P$ 的定义, $j_0' \leq j_0$ . 因此, $M_{1,m} \leq M_{0,m} < j_0$ , 所以 $j_0' = M_{i,m}-1$ . 因此, $M_{i,j_0'}+1 = j_0'+1 = M_{i,m} = M_{i,j_1'}$ .

如果 $m < j_1$ 且 $j_0' \leq j_0$ , 则 $j_0'm$ 且 $(0, m) \leq_M (0, j_1)$ 和 $(i, j_0') < _M^{\mathrm{Next}} (i, j_1)$ 意味着 $i = 1$ 且 $j_0' = M_{1,j_0'} < M_{1,j_1} \leq M_{1,m}$ . 因此, 从 $(1, j_0') < _N^{\mathrm{Next}} (1, j_1-m+M_{1,m})$ , 根据归纳假设, $M_{i,j_0'}+1 = N_{1,j_0'}+1 = N_{1,j_1-m+M_{1,m}} = M_{i,j_1'}$ .

若 $m < j_1$ 且 $j_0 < j_0'$ , 则根据 $P$ 的定义, $m \leq j_0'$ , 且 $(i, j_0') < _M^{\mathrm{Next}}(i, j_1), (i, j_0'-m+M_{1,m}) < _N^{\mathrm{Next}}(i, j_1-m+M_{1,m})$ . 因此, 根据归纳假设, $M_{i,j_0'}+1 = N_{1,j_0'}+1 = N_{1,j_1-m+M_{1,m}} = M_{i,j_1'}$ .

从上可知, 两种情况下条件（A）和（B）均得到满足.

接下来, 假设 M 满足条件 (A) 和 (B).

由于 $M_{1,0}=0$ 且 M 满足条件 (B), 因此 $M_{0,0}=0$ .

这里, (\*) 对任意的 $j_0', j_1' \in \mathbb{N}$ , 若 $(1, j_0'-1) <_{M}^{\mathrm{Next}} (1, j_0')$ 且 $j_0' \leq j_1' \leq j_1$ 且 $(M_j)_{j = j_0'}^{j_1'} \in PT_{\mathrm{PS}}$ , 则 $N' := \left( (M_{0,j}-M_{0,j_0'}+M_{1,j_0'}, M_{1,j}) \right)_{j = j_0'}^{j_1'}$ 表明 $N'$ 是约化的. 然而, 由于条件 (A) 和 (B) 以及系数的基本性质 (2), $N'$ 的每个分量都属于 $\mathbb{N}^2$ .

令 $N := ((j, j))_{j=0}^{M_{1,j'}}-1 \oplus_{\mathbb{N}^2} N'$ .

$\mathrm{Lng}(N)-1 = j_1'-j_0'+M_{1,j_0'}$ , 且根据条件(A)和(B)以及系数的基本性质(3), $M_{1,j_0'} < j_0'$ 因此 $\mathrm{Lng}(N)-1 < j_1'\leq j_1$ .

如果 $M_{1,j_1'} = 0$ , 则 $N_0 = N_0' = (0,0)$ ；如果 $M_{1,j_1'} > 0$ , 则根据 $N$ 的定义, $N_0 = (0,0)$ .

$\operatorname{IncrFirst}^{M_{0,j_0'}-M_{1,j_0'}}(N') = (M_j)_{j = j_0'}^{j_1'} \in PT_{\mathrm{PS}}$ , 且由 $P$ 的 $\operatorname{IncrFirst}$ 同方差性, $N' \in PT_{\mathrm{PS}}$ , 且由于 $(0,0) \leq_N (0,M_{1,0})$ , $N$ 为单项的. 此外, 由于 $N_0 = (0,0)$ , $N$ 满足条件 (B).

证明 N 满足条件 (A). 令 $i \in \{0,1\}$ 和 $k_{0}, k_{1} \in N^{2}$ , 且令 $(i, k_{0}) <_{N}^{\text{Next}} (i, k_{1})$ .

如果 $M_{1,j_0'} \leq k_0$ , 则 $(i, k_0-M_{1,j_0'}) < _M^{\mathrm{Next}}(i, k_1-M_{1,j_0'})$ 且 $M$ 满足条件 (A). 因此, 若 $i = 0$ , 则 $N_{i,k_0}+1 = M_{0,k_0-M_{1,n'}}-M_{0,j_0'}+M_{1,j_0'}+1 = M_{0,k_1-M_{i,j'}}-M_{0,j_0'}+M_{1,j_0'} = N_{i,k_1}$ ；若 $i = 1$ , 则 $N_{i,k_0}+1 = M_{1,k_0-M_{1,j_0'}}+1 = M_{1,k_1-M_{i,j_0'}} = N_{i,k_1}$ .

若 $k_{0} < M_{1,j_{0}^{\prime}} < k_{1}$ , 则 $(M_{j})_{j = j_{0}^{\prime}}^{j_1^{\prime}}\in PT_{\mathrm{PS}}$ , 故 $(0,j_0^{\prime})\leq_M(0,j_0^{\prime}+k_1-M_{1,j_0^{\prime}})$ , 故 $(0,M_{1,j_0^{\prime}})\leq_N(0,k_1)$ , 故 $(1,M_{1,j_0^{\prime}})\leq_N(1,k_1)$ , 且 $i = 1$ , 条件满足. 由(A)和(B)以及系数(2)和(3)的基本性质, 可知 $N_{1,k_1}\leq N_{0,k_1}$ 和 $N_{1,k_1} < k_1$ . 因此, $k_{0} = N_{1,k_{1}}-1$ , 且 $N_{i,k_0}+1 = k_0+1 = N_{i,k_1}$ .

若 $k_{1} \leq M_{1,j_{0}^{\prime}}$ , 则 $N_{k_1} = (k_1, k_1)$ , 从而 $k_0 = k_1-1$ , 且 $N_{i,k_0}+1 = k_0+1 = k_1 = N_{i,k_1}$ .

因此, N 满足条件 (A). 由于 $\mathrm{Lng}(N)-1<j_{1}$ 且 $N_{0}=(0,0)$ , 且 N 满足条件 (A) 和 (B), 根据归纳假设, N 减小. $(M_{j})_{j=j_{0}^{\prime}}^{j_{1}^{\prime}}\in PT_{\mathrm{PS}}$ 意味着对于任何 $j\in N$ , 如果 $j_{0}^{\prime}\leq j\leq j_{1}^{\prime}$ , 则 $M_{0,j_{0}^{\prime}}\leq M_{0,j}$ , 即 $M_{0,j}-M_{0,j_{0}^{\prime}}+M_{1,j_{0}^{\prime}}\leq M_{1,j_{0}^{\prime}}$ . 因此, 存在唯一的 $M^{\prime}\in PT_{N}$ 使得 $N^{\prime}=\operatorname{IncrFirst}^{M_{1,j_{0}^{\prime}}}(M^{\prime})$ . 因此, 由 Red 的 IncrFirst 不变性、Red 与左边的关系 (2) 以及 Red 的递归定义可知,

\[
\begin{array}{l} ((j, j))_{j = 0}^{M_{1, j^{\prime}}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} N^{\prime} = N = \mathrm{Red} (N) \\ = \operatorname{Red} \left(\left((j, j)\right)_{j = 0}^{M_{1, 0}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \operatorname{IncrFirst}^{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \left(M^{\prime}\right)\right) \\ = \operatorname{Red} \left(\left((j, j)\right)_{j = 0}^{M_{1, 0}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \operatorname{IncrFirst}^{M_{1, 0}^{\prime}} \left(M^{\prime}\right)\right) \tag {21.101} \\ = ((j, j))_{j = 0}^{M_{1, 0}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \operatorname{Red} \left(M^{\prime}\right) \\ = ((j, j))_{j = 0}^{M_{1, 0}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \operatorname{Red} \left(\operatorname{IncrFirst}^{M_{1, j_{0}^{\prime}}} (M^{\prime})\right) \\ = ((j, j))_{j = 0}^{M_{1, 0}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \operatorname{Red} \left(N^{\prime}\right) \\ \end{array}
\]

因此, $N' = \text{Red}(N')$ , 即 $N'$ 是可约的.

利用 Red 递归定义中引入的符号, 根据 P 的定义, 所有在 Red (M) 计算中出现的 $N_{J}$ 都满足 (\*) 假设, 且 IncrFirst $^{Joints}(M)_{J}-n_{J}(\text{Red}(N_{J})) = N_{J}$ . 因此, 根据 Red 的定义, $\text{Red}(M) = M$ , 即 M 是可约的.

设 M 为单项复项, 且 $M_{1,0} > 0$ .

令 $N := ((j, j))_{j=0}^{M_{1,0}-1} \oplus_{\mathbb{N}^{2}} M$ .

由于 M 为单项且 $M_{1,0} > 0$ , M 不包含 $(0,0)$ 分量, 因此 N 为单项.

首先, 假设 M 可约化.

由于可约化性与左边界的关系, N 可约化. 此外, 由于 N 为单项且 $N_{0} = (0, 0)$ , N 满足条件 (A) 和 (B). 特别地, M 满足条件 (A). 由于可约性及系数的基本性质, $M_{0,0} = N_{0,M_{1,0}} \geq N_{1,M_{1,0}} = M_{1,0}$ , 因此 $(0, M_{1,0}-1) <_{M}^{\text{Next}} (0, M_{1,0})$ . 由于 N 满足条件 (A), $M_{0,0} = M_{1,0}$ . 此外, 由于 M 是单项, M 满足条件 (B).

接下来, 假设 M 满足条件 (A) 和 (B).

由于 N 是单项的, 且 $N_{0} = (0, 0)$ , 且 M 满足条件 (B), 因此 N 满足条件 (B). 设 $i \in \{0, 1\}$ , $j_{0}', j_{1}' \in N$ , 并设 $(i, j_{0}') <_{N}^{\text{Next}} (i, j_{1}')$ .

若 $M_{1,0} \leq j_0'$ , 则 $(i,j_0'-M_{1,0}) < _M^{\text{Next}}(i,j_1'-M_{1,0})$ , 且由于 $M$ 满足条件 (A), $N_{i,j_0'}+1 = M_{i,j_0'-M_{1,0}}+1 = M_{i,j_1'-M_{1,0}} = N_{i,j_1'}$ . 如果 $j_0'M_{1,0} < j_1'$ , 则 $(0,0) \leq_M (0,j_1'-M_{1,0})$ 且 $(0,m_{1,0}) \leq_N (0,j_1')$ , 因此 $(i,j_0') < _N^{\text{Next}}(i,j_1')$ , 因此 $(1,0) \leq_M (1,j_1'-M_{1,0})$ 且 $i = 1$ . 由于 $M$ 满足条件 (B), $M_{0,j_1'} > M_{0,0} = M_{1,0} \geq M_{1,j_1'}$ , 因此 $j_0' = M_{1,j_1'-M_{1,0}}-1$ 且 $N_{i,j_0'}+1 = j_0'+1 = M_{1,j_1'-M_{1,0}} = N_{i,j_1'}$ .

如果 $j_{1}^{\prime} \leq M_{1,0}$ , 则 $j_{0}^{\prime}+1 = j_{1}^{\prime}$ , 且 $N_{i,j_{0}^{\prime}}+1 = j_{0}^{\prime}+1 = j_{1}^{\prime} = N_{i,j_{1}^{\prime}}$ .

由上可知, N 满足条件 (A). 因此, N 可约. 另一方面, M 满足条件 (B), 因此 $M_{0,0} = M_{1,0}$ , 且由于 M 是单项的, 存在唯一的 $M' \in PT_{PS}$ , 使得 $\operatorname{IncrFirst}^{M_{1,0}}(M') = M$ . 从 Red 的 IncrFirst 不变性, Red 与左边缘的关系（2）以及 Red 的递归定义

\[
\begin{array}{l} ((j, j))_{j = 0}^{M_{1, 0}-1} \oplus_{\mathrm{N}^{2}} M = N = \operatorname{Red} (N) \\ = \operatorname{Red} \left(\left((j, j)\right)_{j = 0}^{M_{1, 0}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \operatorname{IncrFirst}^{M_{1, 0}} \left(M^{\prime}\right)\right) \\ = \operatorname{Red} \left(\left((j, j)\right)_{j = 0}^{M_{1, 0}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \operatorname{IncrFirst}^{M_{1, 0}^{\prime}} \left(M^{\prime}\right)\right) \tag {21.102} \\ = ((j, j))_{j = 0}^{M_{1, 0}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \operatorname{Red} \left(M^{\prime}\right) \\ = ((j, j))_{j = 0}^{M_{1, 0}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \operatorname{Red} \left(\operatorname{IncrFirst}^{M_{1, 0}} \left(M^{\prime}\right)\right) \\ = ((j, j))_{j = 0}^{M_{1, 0}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \operatorname{Red} (M), \\ \end{array}
\]

因此, $M = \text{Red}(M)$ , 即 M 是可约的.

设 M 为复项.

首先, 如果 $M$ 是可约的, 那么由于 $P$ 保持可约性, $P(M)$ 的每个分量都是可约的且单项的, 并且特别满足条件 (A) 和 (B). 由于 $M = \bigoplus_{\mathbb{N}^2} P(M)$ , 因此 $M$ 也满足条件 (A) 和 (B).

接下来, 如果 $M$ 满足条件 (A) 和 (B), 则 $M = \bigoplus_{\mathbb{N}^2} P(M)$ , 因此 $P(M)$ 的每个分量都满足条件 (A) 和 (B), 并且是单项的, 因此是特别可约的. 由于 $P$ 保持可约性, 因此 $M$ 也是可约的.

证毕.

'''定理 46''' 直系祖先的切片与 Red 与 IncrFirst 之间的关系.

对于任意 $M \in RT_{\mathrm{PS}}$ 和 $j_0', j_1' \in \mathbb{N}$ , 令 $j_1 := \mathrm{Lng}(M)-1$ , $j_0' j_1' \leq j_1$ , 且令 $N := \mathrm{Red}\left((M_j)_{j = j_0'}^{j_1')}\right)$ . 然后, 若 $(0, j_0') \leq_M (0, j_1')$ , 则 $N$ 可约, 单项且[22], 其中 $(M_j)_{j = j_0'}^{j_1'} = \mathrm{IncrFirst}^{M_{0,m}-M_{1,m}}(N)$ .

根据 Red 对 N 的定义, N 是可约的.

根据可约性和系数的基本性质, $M_{0,j_{0}^{\prime}}-M_{1,j_{0}^{\prime}}\geq0$ .

根据单项遗传性到直系祖先的切片, $(M_{j})_{j=j_{0}^{\prime}}^{j_{1}^{\prime}}$ 是单项的, 因此对于任何 $j\in N$ , 如果 $j_{0}^{\prime}\leq j\leq j_{1}^{\prime}$ , 则 $(0,j_{0}^{\prime})\leq_{M}(0,j)$ , 因此 $M_{0,j}-M_{0,j_{0}}\geq0$ .

令 $M^{\prime}:= \left(\left(M_{0,j}-M_{0,j_0^{\prime}}+M_{1,j_0^{\prime}},M_{1,j}\right)\right)_{j = j_0^{\prime}}^{j_1^{\prime}}$ .

由于 IncrFirst $M_{0,j_{0}^{\prime}}-M_{1,j_{0}^{\prime}}(M^{\prime})=(M_{j})_{j=j_{0}^{\prime}}^{j_{1}^{\prime}}$ , 因此由于 $\leq_{M}$ 的 IncrFirst 不变性, $M^{\prime}$ 为单项的.

由于可约性以及系数之间的关系, M 满足条件 (A) 和 (B). 特别地, $(M_{j})_{j=j_{0}^{\prime}}^{j_{1}^{\prime}}$ 满足条件 (A), 因此, 由于 $\leq M_{0}$ 的 IncrFirst 不变性, $M^{\prime}$ 满足条件 (A). 此外, $M^{\prime}$ 是单项的, 且 $M_{0,0}^{\prime}=M_{1,j_{0}^{\prime}}=M_{1,0}^{\prime}$ , 所以 $M^{\prime}$ 满足条件 (B). 因此, 由于可约性与系数之间的关系, $M^{\prime}$ 是可约的.

根据 Red 的 IncrFirst 不变性, $N = \text{Red}\left((M_j)_{j=j_0'}^{j_1'}\right) = \text{Red}\left(\text{IncrFirst}^{M_{0,j_0'}-M_{1,j_0'}}(M')\right) = \text{Red}(M') = M'$ . 因此, $\text{IncrFirst}^{M_{0,j_0'}-M_{1,j_0'}}(N) = \text{IncrFirst}^{M_{0,j_0'}-M_{1,j_0'}}(M') = (M_j)_{j=j_0'}^{j_1'}$ .

证毕.

'''定理 47''' 一列的对序列基本性质.

对于任意 $M \in T_{PS}$ , 以下等价：

(1) $\mathrm{Lng}(M)=1$ 且 M 是可约的.

(2) 存在唯一的 $v \in N$ 使得 $M = ((v, v))$ .

证明：

假设 $\mathrm{Lng}(M)=1$ , 且 M 可约.

由于可约性与系数之间的关系, M 满足条件 (A) 和 (B). 特别地, 由于 M 满足条件 (B), 因此存在唯一的 $v \in N$ 使得 $M_{0} = (v, v)$ .

由于 $\mathrm{Lng}(M)=1$ , 因此 $M=(M_{0})=((v,v))$ .

证毕.

令 $ST_{PS}$ 为满足下列条件的最小子集 $S \subset T_{PS}$ :

1. 对于任意 $u, v \in \mathbb{N}$ , 若 $u \leq v$ 则 $((j, j))_{j=u}^{v} \in S$ .

2. 对于任意 $M \in S$ 且 $n \in \mathbb{N}_{+}$ , 则 $M[n] \in S$ .

这里, 我们称属于 $ST_{PS}$ 的对序列为标准形式. 通常, 术语标准形式对序列指的是出现在 3 行 Bashicu 矩阵 $((0,0,0)(1,1,1))$ 展开中的序列, 但这对应于上述 u=0 的条件, 因此在本讨论中, 标准形式是一个指代范围比平常更广的主题的术语.

'''定理 48''' 标准形式的简约性.

我们有 $ST_{PS} \subset RT_{PS}$ .

证明：

对于任意 $u, v \in \mathbb{N}$ , 若 $u \leq v$ , 则 $((j, j))_{j=u}^v$ 可约化. 因此, 可由约化性在基本列中保持不变, 以及基于 $ST_{\mathrm{PS}}$ 定义的最小性推导出来.

证毕.

对于每个 $k \in N$ , 递归定义子集 $S_{k}T_{PS} \subset ST_{PS}$ , 如下所示：

<nowiki>1. 若 $k = 0$ , 则 $S_{k}T_{\mathrm{PS}}</nowiki> := \left\{((j, j))_{j=u}^{v} \mid (u, v) \in \mathbb{N}^{2} \wedge u \leq v\right\}$ .

2. 若 k > 0, 则 $S_{k}T_{PS} := \{M[n] \mid M \in S_{k-1}T_{PS} \land n \in N\}$ .

根据 $ST_{PS}$ 定义的极小性, $ST_{PS} = \bigcup_{k \in N} S_k T_{PS}$ .

'''定理 49''' 标准形式的单项分量是标准形式.

对于任意 $k \in N M \in S_{k} T_{PS}$ , $P(M) \in S_{k} T_{\mathrm{PS}}^{<\omega}$ .

证明：

这可以通过对 k 进行数学归纳法证明.

如果 k=0, 则根据 $S_{k}T_{PS}$ 的定义, M 是单数或单项复项.

设 k > 0.

设 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(M))-1$ .

根据 $S_{k}T_{PS}$ 的定义, 存在 $M' \in S_{k-1}T_{PS}$ 和 $n \in N_{+}$ , 使得 $M = M'[n]$ . 根据归纳假设, $P(M') \in S_{k-1}T_{\mathrm{PS}}^{<\omega}$ .

令 $J_{0} := \mathrm{Lng}\left(P\left(M'\right)\right)-1$ .

令 $\mathrm{Lng}\left(P\left(M'\right)_{J_{0}}\right)=1$ .

若 $J_0 = 0$ , 则 $M = M'[n] = P(M')_{J_0}[n] = P(M')_{J_0} \in S_{k-1}T_{\mathrm{PS}}$ , 因此这可由归纳假设得出.

若 $J_0 > 0$ , 则由 $P$ 与基本列（1）的关系可知, $P(M) = (P(M')_J)_{J=0}^{J_0-1} \in S_{k_0-1} T_{\mathrm{PS}}^{<\omega}$ . 令 $\mathrm{Lng}\left(P(M')_{J_0}\right) > 1$ .

由 $P$ 与基本列（2）的关系可知, $P(M) = (P(M')_J)_{J=0}^{J_1} \oplus_{\mathbb{N}^2} P(P(M')_{J_0}[n])$ .

$(P(M')_{J})_{J=0}^{J_{0}-1} \in S_{k_{0}-1}T_{\mathrm{PS}}^{<\omega}$ , 并由 $P(M')_{J_0} \in S_{k_0-1}T_{\mathrm{PS}}$ , 根据归纳假设 $P(P(M')_{J_0}[n]) \in S_{k_0-1}T_{\mathrm{PS}}^{<\omega}$ , 因此 $P(M) \in S_{k_0-1}T_{\mathrm{PS}}^{<\omega}$ .

证毕.

'''定理 50''' 标准形式初始段的遗传性.

对于任意 $M \in ST_{\mathrm{PS}}$ 和 $j_1' \in \mathbb{N}$ , 令 $j_1 := \mathrm{Lng}(M)-1$ , 则若 $j_1' \leq j_1$ , 则 $(M_j)_{j=0}^{j_1'}$ 为规范形式.

证明：由于 $M[1] = \operatorname{Pred}(M)$ , 根据 $j_{1}-m_{1}$ 的数学归纳法可知. 证毕.

令 $Q \in T_{PS}^{<\omega}$ .

1. 令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(Q)-1$ .

<nowiki>2. 如果对于任意 $J_0', J_1' \in \mathbb{N}$ , 若 $J_0' \leq J_1' \leq J_1$ , 则称 $Q$ 为下降的:

1. $\left(Q_{J_0'}\right)_{0,0} \geq \left(Q_{J_1'}\right)_{0,0}$ .

2. 若 $\left(Q_{J_{0}^{\prime}}\right)_{0,0}=\left(Q_{J_{1}^{\prime}}\right)_{0,0}$ , 则 $\left(Q_{J_{0}^{\prime}}\right)_{1,0}\geq\left(Q_{J_{1}^{\prime}}\right)_{1,0}$ . </nowiki>

根据 P 最左分量的单调性, 对于任何 $M \in T_{PS}$ , 以下等价：

(1) $P(M)$ 按降序排列.

(2) 对任意 $J_0', J_1' \in \mathbb{N}$ , 若 $J_0' \leq J_1' \leq J_1$ 且 $\left(P(M)_{J_0'}\right)_{0,0} = \left(P(M)_{J_1'}\right)_{0,0}$ , 则 $\left(P(M)_{J_0'}\right)_{1,0} \geq \left(P(M)_{J_1'}\right)_{1,0}$ .

因此, 具体而言, 当 M 为单项时, 令 $j_{1}^{\prime} := \mathrm{TrMax}(M)$ , 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1$ , 且如果 $j_{1}^{\prime}j_{1}$ , 则为了确定 $\mathrm{Br}(M)$ 是否为降序, 我们只需检查 (2) 是否与 $(M_{j})_{j=j_{1}^{\prime}}^{j_{1}}$ 相对应.

'''定理 51''' 标准形式的单项成分按降序排列.

对于任意 $M \in ST_{\mathrm{PS}}$ 和 $J_0', J_1' \in \mathbb{N}$ , 令 $J_1 := \mathrm{Lng}(P(M))-1$ . 然后, 若 $J_0' \leq J_1' \leq J_1$ 且 $\left(P(M)_{J_0'}\right)_{0,0} = \left(P(M)_{J_1'}\right)_{0,0}$ , 则 $\left(P(M)_{J_0'}\right)_{1,0} \geq \left(P(M)_{J_1'}\right)_{1,0}$ .

证明：

设 $k_{0}:= \min \{k\in \mathbb{N}\mid M\in S_{k}T_{\mathrm{PS}}\}$ . 由于 $J_{1}\geq J_{1}^{\prime} > J_{0}^{\prime}\geq 0$ , $M$ 为复合项, 这是由于 $P$ 各分量的非复合性质(2), 因此 $k_{0} > 0$ . 因此, 存在 $M^{\prime}\in S_{k_{0}-1}T_{\mathrm{PS}}$ 和 $n\in \mathbb{N}_{+}$ , 使得 $M = M^{\prime}[n]$ .

由于 M 是复项的, 且非复项性与基本列 $k_{0}-1>0$ 之间存在关系, 即 $k_{0}>1$ 且 n>1.

因此, 存在 $N \in S_{k_{0}-2}T_{PS}$ 和 $n' \in N_{+}$ 使得 $M' = N[n']$ .

这可以通过关于 $k_{0}$ 的数学归纳法得到证明.

设 $k_{0}=2$ .

由于 $N \in S_{k_0-2}T_{\mathrm{PS}} = S_0T_{\mathrm{PS}}$ , 存在 $u, v \in \mathbb{N}$ , 使得 $u \leq v$ 且 $N = ((j,j))_{j=u}^v$ .

假设 $u = v$ , 则 $M' = N[n'] = ((u, u))[n'] = ((u, u))$ 且 $M = M'[n] = ((u, u))[n] = ((u, u))$ , 这违反了 $M$ 的复项性质.

假设 $u+1 < v$ .

\[
M^{\prime} = N \left[n^{\prime} \right] = ((j, j))_{j = u}^{v-2} \oplus_{\mathbb {N}} \left((v-1+k, v-1)\right)_{k = 0}^{n^{\prime}-1} .
\]

如果 $n' = 1$ , 则 $M = M'[n] = \left(((j,j))_{j=u}^{v-2} \oplus_{\mathbb{N}} ((v-1, v-1))\right)[n] = ((j,j))_{j=u}^{v-3} \oplus_{\mathbb{N}} ((v-2+k, v-2))_{k=0}^{n-1}$ , 因此 $(M_{0,j})_{j=0}^{j_1} = (j)_{j=u}^{v+n-3}$ .

如果 $n' > 1$ , 则

\[
\begin{array}{l} M = M^{\prime}[n] \\ = \left(\left((j, j)\right)_{j = u}^{v-2} \oplus_{\mathbb {N}} \left((v-1+k, v-1)\right)_{k = 0}^{n^{\prime}-1}\right)[n] \\ = ((j, j))_{j = u}^{v-3} \oplus_{\mathbb {N}} \bigoplus_{\mathbb {N}^{2}} \left((v-2+k^{\prime} n^{\prime}, v-2) \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left((v-1+k+k^{\prime} n^{\prime}, v-1)\right)_{k = 0}^{n^{\prime}-2}\right)_{k^{\prime} = 0}^{n-1}. \tag {21.103} \\ \end{array}
\]

于是有 $(M_{0,j})_{j=0}^{j_{1}}=(j)_{j=u}^{v+nn'-3}$ .

无论哪种情况, 复项性条件都与 M 的复项性相矛盾.

由上可知, $u+1 = v$ , 且 $M^{\prime} = N[n^{\prime}] = ((u+k,u))_{k = 0}^{n^{\prime}-1}$ .

若假设 $n' = 1$ , 则 $M = M'[n] = ((u, u))[n] = ((u, u))$ , 这与 $M$ 的复项性质相矛盾. 因此, $n' > 1$ .

若 $u > 0$ , 则 $M = M'[n] = ((u+k,u))_{k = 0}^{n'-1}[n] = ((u+k,u))_{k = 0}^{n'-2}$ , 根据复项性准则, 这与 $M$ 的复项性相矛盾. 因此, $u = 0$ , 且 $M = M'[n] = ((k,0))_{k = 0}^{n'-1}[n] = ((k,0))_{k = 0}^{n'-2} \oplus_{\mathbb{N}^2}((n'-1,0))_{k' = 0}^{n-1}$ .

设 $n' > 2$ , $(0,0) \leq_M (0,j_1)$ 与 $M$ 的复合性质相矛盾. 因此, $n' = 2$ 且 $M = ((n'-1,0))_{k'=0}^{n-1}$ . 由于 $P(M) = (((n'-1,0)))_{k'=0}^{n-1}$ , 因此 $\left(P(M)_{J_0'}\right)_{1,0} = 0 = \left(P(M)_{J_1'}\right)_{1,0}$ .

令 $k_{0} > 3$ .

令 $J_{0} := \mathrm{Lng}\left(P\left(M'\right)\right)-1$ .

若 $\mathrm{Lng}\left(P\left(M'\right)_{J_{0}}\right)=1$ , 则根据 P 与基序列的关系以及 P 各分量的非复项性质 (2), $J_{0}>0$ 且 $P(M)=(P\left(M'\right)_{J})_{J=0}^{J_{0}-1}$ , 由此推导出归纳假设. 令 $\mathrm{Lng}\left(P\left(M'\right)_{J_{0}}\right)>1$ .

由于 P 与基本列的关系, $P(M) = \left( P\left( M' \right)_J \right)^{J_0-1}_{J=0} \oplus_{T_{\mathrm{PS}}} P\left( P\left( M' \right)_{J_0}[n] \right)$ .

令 $J_{-1} := \mathrm{Lng}\left(P\left(P\left(M'\right)_{J_0}\right)\right)-1$ .

由于 $P(1)$ 各分量的非多重性, 所以 $P(M')_{J_0}$ 不是多重序列, 且由于非多重性与基本列的关系, $\left(\left(P(P(M')_{J_0}[n])_J\right)_{0,0}\right)_{J=0}^{J-1}$ 只有 $\left(P(M')_{J_0}\right)_{0,0}$ 作为分量. 若 $J_1'J_0$ , 则根据归纳假设, $\left(P(M)_{J_0'}\right)_{0,0} = \left(P(M')_{J_0'}\right)_{0,0} \geq \left(P(M')_{J_1'}\right)_{0,0} = \left(P(M)_{J_1'}\right)_{0,0}$ .

若 $J_0' J_0 \leq J_1'$ , 则根据归纳假设, $\left(P(M)_{J_0'}\right)_{0,0} = \left(P(M')_{J_0'}\right)_{0,0} \geq \left(P(M')_{J_0}\right)_{0,0} = \left(P(M')_{J_0}[n]\right)_{J_1'-J_0}\left.\right)_{0,0} = \left(P(M)_{J_1'}\right)_{0,0}$ .

若 $J_0 \leq J_0'$ , 则 $\left(P(M)_{J_0'}\right)_{0,0} = \left(P(M')_{J_0}\right)_{0,0} = \left(P(M)_{J_1'}\right)_{0,0}$ .

证毕.

作为证明后面定义的标准形式对序列系统的终止性质的准备, 我们定义了一个从对序列到 Buchholz 符号系统的翻译映射 Trans, 并研究了它的性质.

接下来, $T_{B}$ 表示 Buchholoz 符号 T 的子集, 由所有不包含 $D_{\omega}$ 的项组成. 注意, $T_{B}$ 并不局限于序数项. 虽然最终会用到序数项, 但如果我们从一开始就将论证限制在序数项上, 则会非常冗长, 因为我们需要检查论证过程中出现的每个项是否是序数项. 因此, 在证明标准形式对系统的终止性之前, 我们不会将论证限制在序数项上.

$T_{B}$ 元素之间的关系表示通常的强序关系, $T_{B}$ 元素之间的关系表示 “< 或二” 的缩写, $T_{B}$ 元素之间的运算+表示加法, $T_{B}$ 元素的 $n \in N$ 表示 n 次, $T_{B}$ 元素的[] 运算符表示仅将[Buc1] 第 203–204 页[运算符] 递归定义中的 ([]).4) (ii) 改为[Buc2] 第 6 页定义中的规则 6 后得到的基本列, dom 表示每个项的[] 运算符的定义域.

在 Buchholz 符号中, 既不是 0 也不是单项的项称为复合项. 令 PTB ⊂ T $_{B}$ 表示所有不包含 D $_{\omega}$ 的简单项的子集, 令 MT $_{B}$ ⊂ T $_{B}$ 表示所有不包含 D $_{\omega}$ 的复杂项的子集. 令 (表示 T $_{B}$ 中的字母 (, 令表示 T $_{B}$ 中的字母, 令) 表示 T $_{B}$ 中的字母). 令 Σ 为 T $_{B}$ 中所有 D $_{u}$ 的集合, 其中包含字母 (,)、0 以及每个 u ∈ ω+1.

令 $t \in PT_{\mathrm{B}}^{<\omega}$ .

1. 如果 $t = ()$ , 则令 $t' := 0 \in \Sigma$ .

2. 令 $t \neq ()$ .

1. 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(t)-1$ .

2. 令 $s_{0}:=(\circ)$

3. 对于每个 $j \in \mathbb{N}$ , 且 $0 < j < j_1$ , 令 $s_j := s_{j-1} t_{j-1}$ .

4. 令 $t' := s_{j_1-1} t_{j_1}$ $\in \Sigma$ .

如果 $j_{1} = -1$ , 则 $t' = 0 \in T_{\mathrm{B}}$ . 如果 $j_{1} = 0$ , 则 $t' = (\underline{t_0})$ , 因此, 根据收缩规则 $\{(p) = p \mid p \in PT_{\mathrm{B}}\}$ , $t'$ 与 $t_0 \in PT_{\mathrm{B}}$ 等同. 如果 $j_{1} > 0$ , 则 $t' \in T_{\mathrm{B}} \setminus (\{0\} \cup PT_{\mathrm{B}})$ . 因此, 无论哪种情况, 我们都定义一个项 $T_{\mathrm{B}}$ , 将其表示为 $\Sigma_{\mathrm{B}} t$ .

映射

\[
P: T_{\mathrm{B}} \to P T_{\mathrm{B}}^{< \omega} \tag {21.104}
\]

\[
t \mapsto P (t) \tag {21.105}
\]

定义如下:

1. 如果 t = 0, 则 $P(t) := ()$ .

2. 如果 $t \in PT_{B}$ , 则 $P(t) := (t)$ .

<nowiki>3. 令 $t \in MT_{\mathrm{B}}$ . </nowiki>

1. 根据 Buchholz 符号系统的递归定义, 存在唯一的 $s \in \Sigma^{<\omega}$ 和 $t' \in PT_{\mathrm{PS}}$ 使得：

1. $t = (s, t')$ .

2. $s \in PT_{B}$ 或 $(s) \in MT_{B}$ .

<nowiki>2. 若 $s \in PT_{\mathrm{B}}$ , 则 $P(t)</nowiki> <nowiki>:= P(s) \oplus PT_{\mathrm{B}}(t')$ . </nowiki>

<nowiki>3. 若 $(s) \in MT_{\mathrm{B}}$ , 则 $P(t)</nowiki> <nowiki>:= P((s)) \oplus PT_{\mathrm{B}}(t')$ . </nowiki>

对于 $t \in T_{B}$ , $P(t)$ 的每个分量称为 t 的单项式分量.

'''定理 52''' 标准形式的单项成分按降序排列.

对于任意 $t \in T_{B}$ , (在 t 中出现的的数量等于) 在 t 中出现的的数量.

证明：根据 Buchholz 符号的递归定义, 通过对 $\mathrm{Lng}(t)$ 进行数学归纳法可知. 证毕.

'''定理 53''' 序数单项分量的基本性质.

对于任意 $t \in T_{B}$ , 令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(t))-1$ , 且下列条件成立：

(1) $J_{1} = -1$ 当且仅当 $t = 0$ .

(2) $t = \Sigma_{\mathrm{B}}(P(t)_J)_{J = 0}^{J_1}\circ$

证明：由 P 的递归定义可知, 通过对 $\mathrm{Lng}(t)$ 的数学归纳法可以得到. 证毕.

'''定理 54''' 部分表现不等式的延长性.

对于任意 $s, b \in \Sigma^{<\omega}$ 且 $t_{0}, t_{1} \in T_{B}$ , 若 $st_{0}b \in T_{B}$ 且 $st_{1}b \in T_{B}$ , 则下列等价：

(1) $t_{0}<t_{1}$ .

(2) $st_0b < st_1b$ .

证明：由 < 的递归定义, 通过对 $\mathrm{Lng}(s)$ 的数学归纳法可知. 证毕.

映射

\[
\text {RightNodes:} T_{\mathrm{B}} \rightarrow \mathbb {N}^{< \omega} \tag {21.106}
\]

\[
t \mapsto \text {RightNodes} (t) \tag {21.107}
\]

递归定义如下:

1. 如果 t = 0, 则 RightNodes(t) := ().

<nowiki>2. 令 $t \in PT_{\mathrm{B}}$ . </nowiki>

<nowiki>1. 令 $t = D_u t'$ , 其中 $u \in \mathbb{N}$ 和 $t' \in T_{\mathrm{B}}$ . </nowiki>

2. RightNodes(t) := (u) ⊕ NRightNodes(t').

<nowiki>3. 令 $t \in T_{\mathrm{B}} \setminus (\{0\} \cup PT_{\mathrm{B}})$ . </nowiki>

1. 令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(t))-1$ .

2. 右节点 $(t) <nowiki>:= \text{RightNodes}(P(t)_{J_{1}})$ . </nowiki>

为了辅助计算序数项、不等式、加法和基本列, 我们引入了 scb 分解的概念, 它提供了字符串的句法信息.

设 $t \in T_{B}$ 且 $(s, c, b) \in (\Sigma^{<\omega})^{3}$ .

1. 如果满足以下条件, 则 $(s, c, b)$ 是 $t$ 的 scb 分解：

1.1. $t = scb$ .

<nowiki>1.2. 如果 $t \neq 0$ , 则 $c \in PT_{\mathrm{B}}$ . </nowiki>

1.3. b 是仅由）组成的字符串.

2. 如果满足以下条件, 则 $(s, c, b)$ 是 $t$ 的亏格为 0 的 scb 分解：

2.1. $(s, c, b)$ 是 $t$ 的 scb 分解.

2.2. $\text{Lng(RightNodes}(c)) = 2$ .

2.3. RightNodes $(c)_{1} = 0$ .

3. 如果满足以下条件, 则称 $(s, c, b)$ 是 t 的第一类 scb 分解：

3.1. $(s, c, b)$ 是 $t$ 的 scb 分解.

3.2. 如果 $j_{1} := \text{Lng}(RightNodes(c))-1$ , 则 $j_{1} \geq 1$ .

<nowiki>3.3. RightNodes $(c)_{0} < \text{RightNodes}(c)_{j_{1}}$ . </nowiki>

3.4. 对于任意 $j \in \mathbb{N}$ , 如果 $0 < j < j_1$ , 则 $\operatorname{RightNodes}(c)_j \geq \operatorname{RightNodes}(c)_{j_1}$ .

'''定理 55''' scb 分解的置换可能性.

对于任意 $s, b \in \Sigma^{<\omega}$ 和 $c_0, c_1 \in T_{\mathrm{B}}$ , 如果 $c_0$ 非单项或 $c_1$ 为单项且 $sc_0b \in T_{\mathrm{B}}$ 且 $(s, c_0, b)$ 是 $sc_0b$ 的 $\operatorname{scb}$ 分解, 则 $sc_1b \in T_{\mathrm{B}}$ 且 $(s, c_1, b)$ 是 $sc_1b$ 的 $\operatorname{scb}$ 分解.

证明： $sc_{1}b \in T_{B}$ 可由 Buchholz 符号系统的递归定义通过数学归纳法得出. $(s, c_{1}, b)$ 是 $sc_{1}b$ 的 scb 分解, 可由 scb 分解的定义得出. 证毕.

'''定理 56''' scb 分解的合成规则.

对于任意 $t \in T_{B}$ , 有以下成立：

<nowiki>(1) 对于任意 $c_{0} \in PT_{\mathrm{B}}$ 且 $s_{0}, s_{1}, c_{1}, b_{1}, b_{0} \in \Sigma^{<\omega}$ , 若 $(s_{0}, c_{0}, b_{0})$ 是 $t$ 的 $\operatorname{scb}$ 分解, 且 $(s_{1}, c_{1}, b_{1})$ 是 $c_{0}$ 的 $\operatorname{scb}$ 分解, 则 $(s_{0}s_{1}, c_{1}, b_{1}b_{0})$ 是 $t$ 的 $\operatorname{scb}$ 分解. </nowiki>

(2) 对任意 $v \in \mathbb{N}$ 及 $s, c, b \in \Sigma^{<\omega}$ , 若 $(s, c, b)$ 是 $t$ 的 $\operatorname{scb}$ 分解, 则 $(D_v s, c, b)$ 是 $D_v t$ 的 $\operatorname{scb}$ 分解.

证明：这可直接由 scb 分解的定义得出. 证毕.

存在 $(s, b) \in (\Sigma^{<\omega})$ , 使得 $(s, c, b)$ 是 $t$ 的 scb 分解. 设 $T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}} \subset T_{\mathrm{B}}^{2}$ 是所有 $(t, c) \in T_{\mathrm{B}}^{2}$ 的子集.

'''定理 57''' scb 分解自明性的判定条件.

对于任意 $(t,c)\in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ , 下列等价：

(1) $t = c$ .

(2) 对于任意 $(s,b)\in(\Sigma^{<\omega})^{2}$ , 若 $(s,c,b)$ 是 t 的 scb 分解, 则 $s=()$ 且 $b=()$ .

(3) 存在某个 $b \in \Sigma^{<\omega}$ 使得 $((), c, b)$ 是 $t$ 的 $\operatorname{scb}$ 分解.

证明：

如果 (1) 为真, 则 $\mathrm{Lng}(s)+\mathrm{Lng}(b) = (\mathrm{Lng}(s)+\mathrm{Lng}(c)+\mathrm{Lng}(b))-\mathrm{Lng}(b) = \mathrm{Lng}(t)-\mathrm{Lng}(c) = 0$ , 因此 $s = ()$ 且 $b = ()$ , 且 (2) 为真.

如果 (2) 成立, 则 $(t, c) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ , 因此存在 $(s, b) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ , 使得 $(s, c, b)$ 是 $t$ 的 scb 分解, 且由 (2) $s = ()$ 且 $b = ()$ , 因此 $t = scb = c$ , 且 (1) 和 (3) 成立.

如果 (3) 成立, 则序数项左右括号个数相等, 且 $t = cb$ 蕴涵 $b = ()$ , 因此 $t = c$ , 且 (1) 成立.

证毕.

令 $t \in T_{B}$ .

1. 若存在 $t$ 的第 0 类 scb 分解, 则称 $t$ 为第 0 类 scb 可分解.

2. 若存在 $t$ 的第 1 类 SCB 分解, 则称 $t$ 为第 1 类 SCB 可分解.

'''定理 58''' scb 分解的唯一性.

对于任意 $t \in T_{\mathrm{B}}$ , 有以下成立：

(1) 对于任意 $(s_0, s_1, c, b_0, b_1) \in (\Sigma^{<\omega})^5$ , 若 $(s_0, c, b_0)$ 和 $(s_1, c, b_1)$ 均为 $t$ 的 $scb$ 分解, 则 $s_0 = s_1$ 且 $b_0 = b_1$ .

(2) $\mathrm{dom}(t) = \mathbb{N}$ 当且仅当 $t$ 为第0类scb可分解或第1类scb可分解.

(3) t 不是第 0 类的 scb 可分解, 或 t 不是第 1 类的 scb 可分解.

(4) t 的第 0 类的 scb 分解是唯一的.

(5) t 的第 1 类的 scb 分解是唯一的.

证明：

(1) 可立即成立, 因为 c 是单项运算符, 且单项运算符包含除) 之外的字符.

(2) 可立即成立, 因为 $t$ 不包含 $D_{\omega}$ , 所以 $\mathrm{dom}$ 的递归定义成立.

接下来我们证明 (4).

假设 $(s_{0},c_{0},b_{0})$ 和 $(s_{1},c_{1},b_{1})$ 是t的第0类scb分解.

令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Rightnodes}(t))-1$ . 根据假设, t 是 scb 可分解的, 因此 $t \neq 0, j_{1} \geq 0$ .

令 $u := \text{RightNodes}(t)_{j_1}$ . 根据 RightNodes 的递归定义, 从 t 中移除）后得到的字符串的最后两个字符为 $D_u0$ .

令 $i \in \{0,1\}$ . 令 $j_{1,i} := \text{Lng}(\text{RightNodes}(c_i))-1$ . 根据 scb 分解的定义, $j_{1,i} \geq 1$ . 令 $u_i := \text{RightNodes}(c_i)_{j_{1,i}}$ . 根据 RightNodes 的递归定义, 从 $c_i$ 中移除）后得到的字符串的最后两个字符为 $D_{u_i}0$ .

由于 $b_{i}$ 是一个仅由) 组成的字符串, 因此从 t 中移除）后得到的字符串的最后两个字符等于从 $c_{i}$ 中移除) 后得到的字符串的最后两个字符, 因此 $u = u_{i}$ . 因此, $u_{0} = u_{1}$ .

令 $v_{i} := \mathrm{RightNodes}(c_{i})_{0}$ . 由于 $b_{i}$ 是一个仅由组成的字符串, $t$ 的后两个字符减）等于 $c_{i}$ 的后两个字符减）, 故 $u = u_{i}$ . 因此, $u_{0} = u_{1}$ . 因此, 若 $v_{i} = \mathrm{RightNodes}(t)_{j_{1}-j_{1,i}} < u$ 且对于任意 $j \in \mathbb{N}$ , $j_{1}-j_{1,i}j < j_{1}$ , 则 $\mathrm{RightNodes}(t)_{j} \geq u$ . 由上可知, $j_{1}-j_{1,0} = j_{1}-j_{1,1}$ , 且 $v_{0} = v_{1}$ .

令 $j_{0} := j_{1}-j_{1,0}$ . 由于 RightNodes $(t)_{j_{0}} = v_{0}$ , t 包含 $D_{v_{0}}$ . 令 s 为 t 中最后一次出现 $D_{v_{0}}$ 左侧的字符串. 由于 $c_{i}$ 的开头是 $D_{v_{0}}$ , 且 RightNodes $(c_{i}) = (\text{RightNodes}(t)_{j})_{j=j_{0}}^{j_{1}}$ , $s = s_{i}$ . 因此, $s_{0} = s_{1}$ .

由于 $c_{i}$ 是一个词项, 因此在 $c_{i}$ 末尾附加一个或多个）的字符串不是词项. 此外, 由于 $b_{i}$ 仅由）组成, $c_{i}$ 是从 t 开头排除 s 的字符串中最大的子串, 且该子串为一个项. 因此, $c_{0}=c_{1}$ 且 $b_{0}=b_{1}$ .

由上式可知, $(s_{0},c_{0},b_{0})=(s_{1},c_{1},b_{1})$ .

接下来我们证明 (5).

假设 $(s_{0},c_{0},b_{0})$ 和 $(s_{1},c_{1},b_{1})$ 是 t 的第一类 scb 分解.

令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Rightnodes}(t))-1$ . 根据假设, t 是 scb 可分解的, 因此 $t \neq 0, j_{1} \geq 0$ .

令 $u := \text{RightNodes}(t)_{j_1}$ . 根据 RightNodes 的递归定义, 从 t 中移除）后得到的字符串的最后两个字符为 $D_u0$ .

令 $i \in \{0,1\}$ . 令 $j_{1,i} := \text{Lng}(\text{RightNodes}(c_i))-1$ . 根据 scb 分解的定义, $j_{1,i} \geq 1$ . 令 $u_i := \text{RightNodes}(c_i)_{j_{1,i}}$ . 根据 RightNodes 的递归定义, 从 $c_i$ 中移除）后得到的字符串的最后两个字符为 $D_{u_i}0$ .

由于 $b_{i}$ 是一个仅由) 组成的字符串, 因此从 t 中移除) 后得到的字符串的最后两个字符等于从 $c_{i}$ 中移除) 后得到的字符串的最后两个字符, 因此 $u = u_{i}$ . 因此, $u_{0} = u_{1}$ .

令 $v_{i} := \mathrm{RightNodes}(c_{i})_{0}$ . 由于 $b_{i}$ 是仅由）组成的字符串, 且 $c_{i}$ 是 $t$ 中的一个项, 因此 $j_{1,i} \leq j_{1}$ 且 $\mathrm{RightNodes}(c_{i}) = (\mathrm{RightNodes}(t)_{j})_{j = j_{1}-j_{1,i}}^{j_{1}}$ . 因此, 若 $v_{i} = \mathrm{RightNodes}(t)_{j_{1}-j_{1,i}} < u$ , 且对于任意 $j \in \mathbb{N}, j_{1}-j_{1,i}j < j_{1}$ , 则 $\mathrm{RightNodes}(t)_{j} \geq u$ . 由上可知, $j_{1}-j_{1,0} = j_{1}-j_{1,1}$ , 且 $v_{0} = v_{1}$ .

令 $j_0 := j_1-j_{1,0}$ . 由于 $\operatorname{RightNodes}(t)_{j_0} = v_0$ , $t$ 包含 $D_{v_0}$ . 令 $s$ 为 $t$ 中最后一次出现 $D_{v_0}$ 左侧的字符串. 由于 $c_i$ 的开头为 $D_{v_0}$ , 且 $\supset \operatorname{RightNodes}(c_i) = (\operatorname{RightNodes}(t)_j)^{j_1}_{j=j_0}$ , $s = s_i$ . 因此, $s_0 = s_1$ .

由于 $c_{i}$ 是一个项, 因此在 $c_{i}$ 末尾附加一个或多个) 的字符串不是项. 此外, 由于 $b_{i}$ 仅

由) 组成, 因此 $c_{i}$ 是从 t 开头排除 s 后得到的字符串中最大的子串, 且该子串是项. 因此, $c_{0}=c_{1}$ 且 $b_{0}=b_{1}$ .

由上可知, $(s_{0},c_{0},b_{0})=(s_{1},c_{1},b_{1})$ .

接下来我们证明 (3).

根据 (4) 的证明, 如果 t 的 $\mathrm{scb}(s_{0}, c_{0}, b_{0})$ 存在, 则移除 t 后得到的 t 的后两个字符与移除 $c_{0}$ 后得到的 $c_{0}$ 的后两个字符匹配, 即 $D_{0}0$ .

根据 (5) 的证明, 如果 t 的 $\mathrm{scb}(s_{1}, c_{1}, b_{1})$ 存在, 则移除 t 后得到的 t 的后两个字符与移除 $c_{1}$ 后得到的 $c_{1}$ 的后两个字符匹配, 即 $D_{u}0$ , 其中 $u \in N$ . 另一方面, $c_{1}$ 的开头可以表示为 $D_{v}$ , 其中 $v \in N$ , 且 v < u, 因此 u > 0.

从上面可知, 如果 t 是第 0 类 scb 可分解的, 那么 t 就不是第 1 类 scb 可分解的.

证毕.

'''定理 59''' 加法与 scb 分解的关系.

对于任意 $t \in T_{B}$ 和 $c \in PT_{B}$ , 有以下成立：

<nowiki>(1) $(t+c, c) \in T_{\mathrm{B}}^{Marked}$ . </nowiki>

<nowiki>(2) 对于任意 $(s, b) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 和 $c' \in PT_{\mathrm{B}}$ , 若 $(s, c, b)$ 是 $t+c$ 的 scb 分解, 则 $(s, c', b)$ 是 $t+c'$ 的 scb 分解. </nowiki>

<nowiki>(3) 对任意 $v \in \mathbb{N}$ 、 $s_0, s_1, b_0, b_1 \in \Sigma^{<\omega}$ 和 $c' \in PT_{\mathrm{B}}$ , 若 $s_1D_v(t+c)b_1 \in T_{\mathrm{B}}$ 且 $(s_0, c, b_0)$ 是 $s_1D_v(t+c)b_1$ 的 scb 分解, 则 $s_1D_v(t+c')b_1 \in T_{\mathrm{B}}$ 且 $(s_0, c', b_0)$ 即为 $s_1D_v(t+c')b_1$ 的 scb 分解. </nowiki>

证明：

证明 (1), (2).

令 t = 0.

由于 $t+c = c$ , $((), c, ())$ 是 $t+c$ 的 scb 分解, 因此 $(t+c, c) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ . 根据 scb 分解的唯一性, $s = ()$ 且 b = (), 因此 $(s, c', b) = ((), c', ())$ 是 $t+c' = c'$ 的 scb 分解. 令 $t \in PT_{B}$ .

$t+c=(t,c)$ , 所以 $((t,,c,))$ 是 $t+c$ 的 scb 分解, 因此 $(t+c,c)\in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ . 根据 scb 分解的唯一性, $s=(t,\text{且}b=)$ , 所以 $(s,c',b)=(t,,c',))$ 是 $t+c'=(t,c')$ 的 scb 分解.

令 $t \in MT_{B}$ .

使用 $s' \in \Sigma^{<\omega}$ 并设置 $t = (s)$ , 我们得到 $t+c = (s', c)$ , 因此 $((s', c,))$ 是 $t+c$ 的 $\operatorname{scb}$ 分解, 因此 $(t+c, c) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ . 根据 $\operatorname{scb}$ 分解的唯一性, $s = (s', \text{且 } b =)$ , 且 $(s, c', b) = (s', c', ))$ 是 $t+c' = (s', c')$ 的 $\operatorname{scb}$ 分解.

接下来我们证明 (3).

令 t = 0.

由于 $s_1D_vcb_1 = s_1D_v(t+c)b_1\in T_\mathrm{B}$ , 由scb分解的可替代性可知, $s_1D_v(t+c')b_1 =$ $s_1D_vc'b_1\in T_\mathrm{B}$ .

由于 $s_0cb_0 = s_1D_v(t+c)b_1 = s_1D_vcb_1$ , 由scb分解的唯一性(1)可知, $s_0 = s_1D_v$ 且 $b_{0} = b_{1}$ . 因此, $s_0c'b_0 = s_1D_vc'b_1 = s_1D_v(t+c')b_1$ , 所以 $(s_0,c',b_0)$ 是 $s_1D_v(t+c')b_1$ 的scb分解.

令 $t \in PT_{B}$ .

$s_{1}D_{v}(t,c)b_{1}=s_{1}D_{v}(t+c)b_{1}\in T_{B}$ , 又由scb分解的可替代性可知, $s_{1}D_{v}(t+c')b_{1}=s_{1}D_{v}(t,c')b_{1}\in T_{B}$ .

$s_{0}cb_{0}=s_{1}D_{v}(t+c)b_{1}=s_{1}D_{v}(t,c)b_{1}$ , 且根据 scb 分解的唯一性 (1), $s_{0}=s_{1}D_{v}(t,$ 且 $b_{0}=)b_{1}$ . 因此, $s_{0}c^{\prime}b_{0}=s_{1}D_{v}(t,c^{\prime})b_{1}=s_{1}D_{v}(t+c^{\prime})b_{1}$ , 因而 $(s_{0},c^{\prime},b_{0})$ 是 $s_{1}D_{v}(t+c^{\prime})b_{1}$ 的 scb 分解.

令 $t \in MT_{B}$ .

利用 $s' \in \Sigma^{<\omega}$ 并设定 $t = (s')$ , 我们得到 $s_1D_v(s',c)b_1 = s_1D_v(t+c)b_1 \in T_{\mathrm{B}}$ , 因此, 由scb分解的可替代性, 我们得到 $s_1D_v(t+c')b_1 = s_1D_v(s',c')b_1 \in T_{\mathrm{B}}$ . $s_0cb_0 = s_1D_v(t+c)b_1 = s_1D_v(s'c)b_1$ , 因此, 根据scb分解(1)的唯一性, $s_0 = s_1D_v(s'$ , 且 $b_0 = b_1$ . 因此, $s_0c'b_0 = s_1D_v(s',c')b_1 = s_1D_v(t+c')b_1$ , 所以 $(s_0,c',b_0)$ 是 $s_1D_v(t+c')b_1$ 的scb分解.

证毕.

'''定理 60''' scb 分解与基本列的关系.

对于任意 $v, n \in N$ , 以下成立：

(1) 对于任意 $t_0', t_1' \in T_{\mathrm{B}}$ , 以下成立：

\[
(1-1) t_{0}^{\prime}+D_{v} \left(t_{1}^{\prime}+D_{0} 0\right)[n] = t_{0}^{\prime}+(D_{v} t_{1}^{\prime}) \times (n+1) .
\]

(1-2) 对任意 $t \in T_{\mathrm{B}}$ 、 $u \in \mathbb{N}$ 和 $(s, b) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ , 若 $(s, D_u(t_0'+D_v(t_1'+D_0 0)), b)$ 是 $t$ 的 scb 分解, 则 $(s, D_u(t_0'+(D_v t_1') \times (n+1)), b)$ 是 $t[n]$ 的 scb 分解.

(2) 对任意 $t \in T_{\mathrm{B}}$ 、 $u \in \mathbb{N}$ 及 $(s_0, s_1, c_2, b_0, b_1) \in (\Sigma^{<\omega})^5$ , 若 $(s_1, c_2, b_1)$ 为 $t$ 的一类 1 阶 $\operatorname{scb}$ 分解, 且 $(D_u s_0, D_v 0, b_0)$ 为 $c_2$ 的一类 $\operatorname{scb}$ 分解, 则 $v > u$ 且 $t[n] = s_1 D_u (s_0 D_{v-1})^{n+1} 0 b_0^{n+1} b_1$ .

证明：根据 Buchholz 符号中基本列和共尾数的递归定义, 通过数学归纳法, 可直接得出取 $[n]$ 项长度的定理. 证毕.

'''定理 61''' RightNodes 与部分表现的关系.

对于任意 $v, n \in N$ , 以下成立：

对于任意 $s, b \in \Sigma^{<\omega}$ 和 $v \in \mathbb{N}t \in PT_{\mathrm{B}}$ , 若 $b$ 仅由）和 $sD_v0b \in T_{\mathrm{B}}$ 组成, 则 $sD_vtb \in T_{\mathrm{B}}$ 且 $\operatorname{Lng}(P(sD_vtb)) = \operatorname{Lng}(P(sD_v0b))$ , 存在唯一的 $a_0, a_1 \in \mathbb{N}\omega$ 使得：

<nowiki>(1) RightNodes $(sD_{v}tb)=a_{0}\oplus_{\mathbb{N}}(v)\oplus_{\mathbb{N}}a_{1}$ . </nowiki>

<nowiki>(2) RightNodes $(sD_{v}0b)=a_{0}\oplus_{\mathbb{N}}(v)$ . </nowiki>

<nowiki>(3) RightNodes $(D_v t) = (v) \oplus_{\mathbb{N}} a_1$ . </nowiki>

证明：

由 scb 分解的可替代性可知, $sD_{v}tb \in T_{B}$ , 并且通过数学归纳法, 由 P 的递归定义可知, $\mathrm{Lng}(P(sD_{v}tb)) = \mathrm{Lng}(P(sD_{v}0b))$ .

设 $a_{1} := \text{RightNodes}(t)$ . 根据 RightNodes 的定义, RightNodes $(D_{v}t) = (v) \oplus_{\mathbb{N}} a_{1}$ .

利用数学归纳法证明 $\operatorname{Lng}(s)$ 存在 $a_0 \in \mathbb{N}^{<\omega}$ , 使得 RightNodes $(sD_vtb) = a_0 \oplus_{\mathbb{N}}(v) \oplus_{\mathbb{N}}a_1$ 且 RightNodes $(sD_v0b) = a_0 \oplus_{\mathbb{N}}(v)$ .

若 $\mathrm{Lng}(s)=0$ , 则 b=0, 因此可设 $a_{0}=()$ .

令 $\mathrm{Lng}(s) > 0$ .

令 $sD_{v}0b \in PT_{B}$ .

令 $s = D_{u}s'$ , 其中 $u \in N$ 和 $s' \in \Sigma^{<\omega}$ .

根据 $T_{B}$ 的递归定义, 我们有 $s'D_{v}0b \in T_{B}$ . 因此, $s'D_{v}tb \in T_{B}$ .

因为 $\mathrm{Lng}(s')=\mathrm{Lng}(s)-1<\mathrm{Lng}(s)$ , 根据归纳假设, 存在 $a_{0}^{\prime}\in N^{<\omega}$ 使得 RightNodes $(s'D_{v}tb)=a_{0}^{\prime}\oplus_{\mathbb{N}}(v)\oplus_{\mathbb{N}}a_{1}$ 且 RightNodes $(s'D_{v}0b)=a_{0}^{\prime}\oplus_{\mathbb{N}}(v)$ .

$a_0 := (u) \oplus_{\mathbb{N}} a_0'$ , 则由 $T_{\mathrm{B}}$ 的递归定义可知, RightNodes $(sD_vtb) = (u) \oplus_{\mathbb{N}} \text{RightNodes } (s'D_vtb) = (u) \oplus_{\mathbb{N}} a_0' \oplus_{\mathbb{N}}(v) \oplus_{\mathbb{N}} a_1 = a_0 \oplus_{\mathbb{N}}(v) \oplus_{\mathbb{N}} a_1$ 及 RightNodes $(sD_v0b) = (u) \oplus_{\mathbb{N}} \text{RightNodes } (s'D_v0b) = (u) \oplus_{\mathbb{N}} a_0' \oplus_{\mathbb{N}}(v) = a_0 \oplus_{\mathbb{N}}(v)$ .

令 $sD_{v}0b \in MT_{B}$ . 令 $J_{1} := \mathrm{Lng}\left(P\left(sD_{v}0b\right)\right)$ .

根据 $\Sigma_{\mathrm{B}}$ 的定义, 存在 $\mathrm{a}b_1' \in \Sigma^{<\omega}$ , 其仅由 $P(sD_v0b)_{J_1}b_1'$ 组成, 该 $P(sD_v0b)_{J_1}b_1'$ 出现在 $sD_v0b$ 的末尾. 令 $b = b_0'b_1'$ , 其中 $b_0' \in \Sigma^{<\omega}$ 仅由）组成.

$D_{v}0b = D_{v}0b_{0}^{\prime}b_{1}^{\prime}$ 出现在 $sD_{v}0b$ 的末尾, $b_{0}^{\prime}$ 出现在 $P(sD_{v}0b)_{J_{1}}$ 的末尾, 且因为 $P(sD_{v}0b)_{J_{1}}$ 为单项且包含一个既不是 0 也不是）的字符, 所以 $D_{v}0b_{0}^{\prime}$ 出现在 $P(sD_{v}0b)_{J_{1}}$ 的末尾. 使用 $s_{0}^{\prime} \in \Sigma^{<\omega}$ , 令 $P(sD_{v}0b)_{J_{1}} = s_{0}^{\prime}D_{v}0b_{0}^{\prime}$ .

由于 $P(sD_v0b)_{J_1}b_1' = ,s_0'D_v0b_0'b_1' = ,s_0'D_v0b$ 出现在 $s$ 的末尾, 因此 $s_0'$ 出现在 $s$ 的末尾. 令 $s = s_1', s_0'$ , 其中 $s_1' \in \Sigma^{<\omega}$ .

因为 $s_0^{\prime}D_v0b_0^{\prime} = P(sD_vb)_{J_1}\in T_\mathrm{B},s_0^{\prime}D_vtb_0^{\prime}\in T_\mathrm{B}$ 且 $sD_v0b = s_1^{\prime}s_0^{\prime}D_v0b_0^{\prime}b_1^{\prime} = s_1^{\prime}P(sD_vb)_{J_1}b_1^{\prime}$ . $sD_vtb$ 是将 $sD_v0b$ 的尾部 $P(sD_v0b)_{J_1}b_1^{\prime}$ 替换为 $P(sD_vtb)_{J_1}b_1^{\prime}$ 得到的, 而 $sD_vtb$ 也是将 $sD_vtb_1^\prime$ 的尾部 $P(sD_v0b)_{J_1}b_1^{\prime} = s_0^{\prime}D_v0b_0^{\prime}b_1^{\prime}$ 替换得到的. 因此, $P(sD_vtb)_{J_1} = s_0^{\prime}D_vtb_0^{\prime}$ .

因为 $\mathrm{Lng}(s') = \mathrm{s}-\mathrm{Lng}(s_{1}')+1 < \mathrm{Lng}(s)$ , 根据归纳假设, 存在 $a_{0} \in N^{<\omega}$ 使得 RightNodes $(s_{0}'D_{v}tb_{0}') = a_{0} \oplus_{\mathbb{N}}(v) \oplus_{\mathbb{N}}a_{1}$ 且 RightNodes $(s_{0}'D_{v}0b_{0}') = a_{0} \oplus_{\mathbb{N}}(v)$ .

根据 RightNodes 的递归定义, RightNodes $(sD_{v}tb) = \text{RightNodes}\left(P(sD_{v}tb)_{J_{1}}\right) = \text{RightNodes}\left(s_{0}^{\prime}D_{v}tb_{0}^{\prime}\right) = a_{0}\oplus_{\mathbb{N}}(v)\oplus_{\mathbb{N}}a_{1}, \text{RightNodes}(sD_{v}0b) = \text{RightNodes}\left(P(sD_{v}0b)_{J_{1}}\right) = \text{RightNodes}\left(s_{0}^{\prime}D_{v}0b_{0}^{\prime}\right) = a_{0}\oplus_{\mathbb{N}}(v)$ .

证毕.

映射 (Trans(M), Mark(M, m)) $\in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$

\[
\text {Trans:} T_{\mathrm{PS}} \rightarrow T_{\mathrm{B}} \tag {21.108}
\]

\[
M \mapsto \operatorname{Trans} (M) \tag {21.109}
\]

\[
\text {Mark:} T_{\mathrm{PS}}^{\text {Marked}} \rightarrow T_{\mathrm{B}} \tag {21.110}
\]

\[
(M, m) \mapsto \operatorname{Mark} (M, m) \tag {21.111}
\]

递归定义如下:

1. 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1$ .

<nowiki>2. 令 $M \in RT_{\mathrm{PS}}$ , 且 $j_1 = 0$ . </nowiki>

2.1. 令 $M_{0}=(0,0)$ .

2.1.1. Trans(M) := 0.

2.1.2. Mark(M, m) := 0.

2.2. 令 $M_0 \neq (0,0)$ .

2.2.1. Trans(M) := $D_{M_{1,0}0}0$ .

2.2.2. Mark(M, m) := $D_{M_{1,0}}$ 0.

3. 令 M 为约化、单项且 $j_{1} > 0$ .

3.1. 令 $t_1 := \text{Trans}(\text{Pred}(M))$ .

3.2. 令 $t_1 = 0$ , 在[34]中.

3.2.1. $\operatorname{Trans}(M) <nowiki>:= D_0 D_{M_{1,j_1}} 0$ . </nowiki>

3.2.2. 如果 m = 0, 则标记 $(M, m) <nowiki>:= D_{0} D_{M_{1,j_{1}}} 0$ . </nowiki>

3.2.3. 如果 m > 0, 则标记 $(M, m) <nowiki>:= D_{M_{1j_1}} 0$ . </nowiki>

3.3. 令 $t_1 \neq 0$ .

3.3.1. 令 $i_1 := \max \{i \in \{0, 1\} \mid M_{i,j_1} > 0\}$ 且[35].

3.3.2. 令 $j_0 := \max \{j \in \mathbb{N} \mid j < j_1 \land (0, j) \leq_M (0, j_1)\}$ 且[36].

3.3.3. 令 $j_{-1} := \mathrm{Adm}_{M}(j_{0})$ .

3.3.4. 定义相互矛盾的条件 (I) 至 (VI) 如下:

3.3.4.1. 条件 (I) 为 “ $M_{1,j_{1}}=0$ 且 $j_{0}$ 是 M 容许的”.

3.3.4.2. 条件 (II) 为 “ $M_{1,j_{1}}=0$ 且 $j_{0}$ 不是 M 容许的”.

3.3.4.3. 条件 (III) 为 “ $M_{1,j_1} > 0$ 且 $M_{1,j_0} \geq M_{1,j_1}$ 且 $j_0$ 是 M 容许的”.

3.3.4.4. 条件 (IV) 为 “ $M_{1,j_{1}}>0$ 且 $M_{1,j_{0}}\geq M_{1,j_{1}}$ 且 $j_{0}$ 不是 M 容许的”.

3.3.4.5. 条件 (V) 为 “ $M_{1,j_{1}}>0$ 且 $M_{1,j_{0}}+1=M_{1,j_{1}}$ 且 $j_{0}+1<j_{1}$ ”.

3.3.4.6. 条件 (VI) 为 “ $M_{1,j_{1}}>0$ 且 $M_{1,j_{0}}+1=M_{1,j_{1}}$ 且 $j_{0}+1=j_{1}$ ”.

3.3.5. 设 $c_{1} := \text{Mark}(\text{Pred}(M), j_{-1})$ .

3.3.6. 由于 $(t_1, c_1) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ 且 $t_1 \neq 0$ , 因此 $c_1 \in PT_{\mathrm{B}}$ 且 $\operatorname{scb}$ 分解的唯一性 (1) 根据 (1), 存在唯一的 $(s_1, b_1) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 使得 $(s_1, c_1, b_1)$ 是 $t_1$ 的 $\operatorname{scb}$ 分解.

3.3.7. 令 $c_{1} = D_{v}t_{2}$ , 其中 $v \in \mathbb{N}$ 和 $t_{2} \in T_{\mathrm{B}}$ .

3.3.8. 令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(t_{2}))-1$ .

3.3.9. 如果满足条件 (I)、(III) 或 (V), 则 $c_{2} := D_{v}(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0)$ 集合.

3.3.10. 假设满足条件 (II) 或 (IV).

3.3.10.1. 如果 $t_{2}=0$ , 则令 $c_{2}:=D_{v}D_{M_{1,j_{0}}}D_{M_{1,j_{1}}}0$ .

3.3.10.2. 令 $t_{2} \neq 0$ .

3.3.10.2.1. 令 $P(t_2)_{J_1}$ 的左端为 $D_{M_{1,j_0}}$ .

3.3.10.2.1.1. 令 $t_3 := \Sigma_{\mathrm{B}}(P(t_2)_J)_{J=0}^{J_1-1}$ .

3.3.10.2.1.2. 使用 $t_{4} \in T_{PS}$ , 令 $P(t_{2})_{J_{1}} = D_{M_{1,j_{0}}} t_{4}$ .

3.3.10.2.2. 假设 $P(t_{2})_{J_{1}}$ 的左端不是 $D_{M_{1,j_{0}}}$ .

3.3.10.2.2.1. 令 $t_3 := t_2$ .

3.3.10.2.2.2. 令 $t_{4} := t_{2}$ .

3.3.10.2.3. 令 $c_{2} := D_{v}\left(t_{3}+D_{M_{1,j_{0}}}\left(t_{4}+D_{M_{1,j_{1}}}0\right)\right)$ .

3.3.11. 如果条件 (VI) 满足, 则令 $c_{2} := D_{v} D_{M_{1,j_{1}}} 0$ .

3.3.12. Trans(M) := $s_{1}c_{2}b_{1}$ .

3.3.13. 令 $m < j_{1}$ .

3.3.13.1. 令 $c_{0} := \text{Mark}(\text{Pred}(M), m)$ .

3.3.13.2. 令 $(c_0, c_1) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ .

3.3.13.2.1. 由于 $(t_1, c_0) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ , scb 分解的唯一性（1）意味着存在唯一的 $(s_0, b_0) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 使得 $(s_0, c_0, b_0)$ 是 $t_1$ 的 scb 分解.

3.3.13.2.2. 由于 $(c_0, c_1) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ , 由 scb 分解的唯一性（1）, 存在唯一的 $(s_{-1}, b_{-1}) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 使得 $(s_{-1}, c_1, b_{-1})$ 是 $c_0$ 的 scb 分解.

3.3.13.2.3. Mark(M, m) := $s_{-1}c_{2}b_{-1}$ .

3.3.13.3. 如果 $(c_{0}, c_{1}) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ 不成立, 则 $\mathrm{Mark}(M, m) := D_{M_{1,j_{1}}}$ .

3.3.14. 如果 $m = j_{1}$ , 则 Mark $(M, m) := D_{M_{1,j_{1}}} 0$ .

4. 令 M 为约化复项.

4.1. 令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(M))-1$ .

4.2. 令 $j_{0} := j_{1}-\mathrm{Lng}(P(M)_{J_{1}})+1$ .

4.3. 令 $P(M)_{J_1} = ((0,0))$ .

4.3.1. $\operatorname{Trans}(M) := \operatorname{Trans}\left((M_j)_{j=0}^{j_0-1}\right)+D_00$ .

4.3.2. Mark(M, m) := $D_{0}0$ .

4.4. 令 $P(M)_{J_1} \neq ((0,0))$ .

4.4.1. $\operatorname{Trans}(M) := \operatorname{Trans}\left((M_j)_{j=0}^{j_0-1}\right)+\operatorname{Trans}\left(P(M)_{J_1}\right)$ .

4.4.2. Mark(M, m) := Mark(P(M)\_{J\_1}, m-j\_0).

5. 假设 M 不可约.

5.1. Trans(M) := Trans(Red(M)). 5.2. Mark(M, m) := Mark(Red(M), m).

'''定理 62''' Trans 的良定义性.

存在唯一的映射 Trans 和 Mark 满足上述所有条件.

证明：根据 $\mathrm{Lng}(M)$ 的数学归纳法, 可直接得出上述证明. 证毕.

'''定理 63''' 2 列对序列的基本性质.

对于任意 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ , 若 $\mathrm{Lng}(M) = 2$ , 则有：

<nowiki>(1) $\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}D_{M_{1,1}0}0$ . </nowiki>

<nowiki>(2) $(M,0),(M,1)\in T_{\mathrm{PS}}^{Marked}$ . </nowiki>

<nowiki>(3) Mark(M,0)=D\_{M\_{1,0}}D\_{M\_{1,10}}0 且 Mark(M,1)=D\_{M\_{1,10}}. </nowiki>

证明：

令 $m \in \{0,1\}$ , 并使用 Trans 和 Mark 的递归定义中引入的符号.

由于 M 的可约性, 以及可约性与系数之间的关系, M 满足条件 (A) 和 (B).

$j_{1}=1$ , 且由于 M 是单项的, $(0,0)<_{M}^{\text{Next}}(0,1)=(0,j_{1})$ , $j_{0}=0$ . 特别地, $j_{0}$ 是 M 容许的, 且 $j_{-1}=j_{0}=0$ .

如果 $m = 0$ , 则 $M$ 是单项的, 因此 $(0,m) = (0,0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0,1) = (0,j_1)$ , 且 $m = 0$ 是 $M$ 容许的, 因此 $(M,m) \in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ .

如果 $m = 1$ , 则 $(0,m) = (0,1)\leq_{M}^{\mathrm{Next}}(0,1) = (0,j_1)$ , 且 $m = 1 = j_{1}$ 是 $M$ 容许的, 因此 $(M,m)\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ .

$D_{v}t_{2} = c_{1} = \mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M),j_{-1}\right) = \mathrm{Mark}\left(\left(\left(M_{1,0},M_{1,0}\right)\right),0\right) = D_{M_{1,0}}0$ , 因此 $v = M_{1,0}$ 且 $t_2 = 0$ .

$j_{0}$ 对于 M 是容许的, 且 $j_{0}+1 = 1 = j_{1}$ , 因此 M 满足条件 (I)、(III) 或 (VI).

如果满足条件 (I) 或 (III), 则 $c_{2}=D_{v}\left(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0\right)=D_{M_{1,0}}\left(0+D_{M_{1,j_{1}}}\right)0=D_{M_{1,0}}D_{M_{1,1}}0$ .

如果满足条件 (VI), 则 $c_{2}=D_{v}D_{M_{1,j_{1}}}0=D_{M_{1,0}}D_{M_{1,j_{1}}}0$ .

因此, 无论哪种情况, $c_{2}=D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_{1}}}0$ .

如果 $m = 0$ , 则 $s_{-1}c_1b_{-1} = c_0 = \mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),m) = \mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),j_{-1}) = c_1$ , 因此 $s_{-1} = ()$ 且 $b_{-1} = ()$ , 且 $\mathrm{Mark}(M,m) = s_{-1}c_2b_{-1} = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_1}}0$ .

如果 m=1, 则 $m=j_{1}$ , 因此 $\mathrm{Mark}(M,m)=D_{M_{1,j_{1}}}0$ .

如果 $M_{1,0} = 0$ , 则 $t_1 = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) = \mathrm{Trans}\left((M_{1,0},M_{1,0})\right) = 0$ , 因此 $\mathrm{Trans}(M) = D_0D_{M_{1,10}} = D_{M_{1,0}}D_{M_{1,10}}0$ .

如果 $M_{1,0} > 0$ , 则 $t_1 = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N)) = \mathrm{Trans}((M_{1,0}, M_{1,0})) = D_{M_{1,0}} 0 \neq 0$ , 且 $s_1 D_{M_{1,0}} 0 b_1 = s_1 c_1 b_1 = t_1 = D_{M_{1,m0}}$ 因此 $s_1 = ()$ 且 $b_1 = ()$ , 所以 $\mathrm{Trans}(M) = s_1 c_2 b_1 = D_{M_{1,0}} D_{M_{1,j_1}} 0$ .

证毕.

'''定理 64''' Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变的 P 同变性.

对于任意 $M \in T_{PS}$ , 以下成立：

(1) $\mathrm{Trans}(M) = \mathrm{Trans}(\mathrm{Red}(M)) = \mathrm{Trans}(\mathrm{IncrFirst}(M))$ .

(2) 设 $M$ 为复项. 令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(M))$ . 对于每个 $J \in \mathbb{N}$ , 且 $J \leq J_{1}$ , 如果 $P(M)_{J}$ 为零项, 则令 $t_{J} := D_{0}0$ ；如果 $P(M)_{J}$ 不是零项, 则令 $t_{J} <nowiki>:= \mathrm{Trans}(P(M)_{J})$ . 在这种情况下, $\mathrm{Trans}(M) = \Sigma_{\mathrm{B}}(t_{J})_{J=0}^{J_{1}}$ . </nowiki>

证明：这直接源于 Red 的幂等性以及 Trans 和 Red 的递归定义. 证毕.

'''定理 65''' Mark 的 (IncrFirst, Red, P) 的不变性.

对于任意的 $(M,m)\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ , 有：

(1) $\operatorname{Mark}(M, m) = \operatorname{Mark}(\operatorname{Red}(M), m) = \operatorname{Mark}(\operatorname{IncrFirst}(M), m)$ .

(2) 令 $M$ 为复合词. 令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(M))$ 且 $j_{0} := \mathrm{Lng}(M)-\mathrm{Lng}(P(M)_{J_{1}})-1$ . 如果 $P(M)_{J_{1}}$ 是项, 则 $\text{Mark}(M, m) = D_{0}0$ ；如果 $P(M)_{J_{1}}$ 不是项, 则 $\text{Mark}(M, m) = \text{Mark}(P(M)_{J_{1}}, m-j_{0})$ .

证明：这直接源于 Red 的幂等性以及 Mark 和 Red 的递归定义. 证毕.

'''定理 66''' Trans 零项性的保持性.

对于任意 $M \in T_{PS}$ , 以下等价：

(1) M 为零项.

(2) $\operatorname{Trans}(M) = 0$ .

证明：

Red 保持不等式, 且 Trans 满足 (IncrFirst, Red) 不变性, 因此 M 可约化.

如果 M 可约化, 则通过对 $\mathrm{Lng(M)}$ 进行数学归纳, 可直接得出 Trans 的递归定义.

证毕.

'''定理 67''' $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 的大小关系.

对于任意 $M \in RT_{\mathrm{PS}} \cap PT_{\mathrm{PS}}$ , 使用 Trans 的递归定义中引入的符号, 如果 $j_1 > 0$ 且 $t_1 \neq 0$ , 则 $c_1$ 和 $c_2$ 是单项的, 且 $c_1 < c_2$ .

证明：这直接由 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 的定义得出. 证毕.

'''定理 68''' Pred 关于 Trans 的下降性.

对于任意 $M \in T_{PS}$ , 如果 $\mathrm{Lng}(M) > 1$ , 则 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) < \mathrm{Trans}(M)$ .

从 Trans 的 (IncrFirst, Red) P 不变性以及 Red 与 Pred 的交换性, 我们简化为 $M \in RT_{PS} \setminus ZT_{PS}$ 的情况. 令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(J_{1})$ . 如果 $\mathrm{Lng}(P(M)_{J_{1}}) = 1$ , 则根据 Trans 的递归定义, 由子表示不等式的可扩展性可知 $0 < D_{0}0$ .

令 $\mathrm{Lng}\left(P(M)_{J_{1}}\right)>1$ . P 保持可约性, 故 $P(M)_{J_{1}}\in RT_{\mathrm{PS}}\cap PT_{\mathrm{PS}}$ . 由 Trans 的定义、 $c_{1}$ 与 $c_{2}$ 的量级关系, 以及子表示不等式的可扩展性, Trans (Pred $(P(M)_{J_{1}}))<\mathrm{Trans}(P(M)_{J_{1}})$ .

$\mathrm{Lng}(P(M)_{J_1}) > 1$ , 故 $P(\mathrm{Pred}(M)) = (P(M)_J)_{J = 0}^{J_1-1}\oplus_{T_{\mathrm{PS}}}\mathrm{Pred}(P(M)_{J_1})$ . 因此, 根据Trans的定义, 以及子表达式不等式的可扩展性, $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) < \mathrm{Trans}(M)$ .

证毕.

'''定理 69''' 右端第一基点的 Mark 基本性质.

对于任意的 $(M,m)\in RT_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ , 若设 $j_{1}:=\mathrm{Lng}(M)-1$ , 则下列等价：

(1) $m = j_{1}\circ$

(2) $\operatorname{Mark}(M, m) = D_{M_{1,m}0}0$ .

证明：

我们使用 Trans 递归定义中引入的符号.

根据 Mark 的递归定义, 我们将其简化为 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ 的情况.

如果 $M \in RT_{\mathrm{PS}} \cap PT_{\mathrm{PS}}$ , 则根据Mark的定义, 由于 $\operatorname{Lng}(c_2) > 2$ , 因此可立即得到结果.

证毕.

'''定理 70''' Mark 左端的基本性质.

对于任意 $(M,m)\in RT_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ , $\mathrm{Mark}(M,m)$ 的左端为 $D_{M_{1,m}}$ .

证明：

Mark 的递归定义可简化为 $m = \mathrm{Lng}(M)-1$ 的情况.

如果 $m = \mathrm{Lng}(M)-1$ , 则根据 Mark 的基本性质, 可立即得出最右边的第一个基点. 证毕.

'''定理 71''' 在条件 (II) 或 (IV) 下, $t_{2}$ 不为 0.

对于任意 $M \in RT_{\mathrm{PS}} \cap PT_{\mathrm{PS}}$ , 使用 Trans 的递归定义中引入的符号, 如果 $t_1 \neq 0$ 且 $M$ 满足条件 (II) 或 (IV), 则 $t_2 \neq 0$ .

证明：

如果 M 满足条件 (II), 则 $(1,j_{0})<_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_{0}+1)$ 意味着 $M_{1,j_{0}+1}>0$ , 因此 $i_{1}=0$ 意味着 $j_{0}+1<j_{1}$ .

如果 $M$ 满足条件 (IV), 则 $(1, j_0) \leq_M (1, j_1)$ 不成立, 因此 $j_0+1 < j_1$ 意味着 $j_0+1 < j_1$ , 因为 $j_0$ 是非容许的.

因此, 在两种情况下, $j_{-1} \leq j_0 < j_1-1$ , 且根据右端第一个基点 Mark 的基本性质, $D_v t_2 = c_1 \neq D_{M_{1,j-1}} 0$ . 又, 根据左端 Mark 的基本性质, $v = M_{1,j-1}$ , 所以 $t_2 \neq 0$ .

证毕.

'''定理 72''' 右端第二基点的 Mark 基本性质.

令 $M \in RT_{\mathrm{PS}} \cap PT_{\mathrm{PS}}$ , 并使用 Trans 的递归定义中引入的符号, 如果 $j_1 > 0$ 且 $t_1 \neq 0$ 则 $\operatorname{Mark}(M, j_{-1}) = c_2$ .

证明：

设 $m := j_{-1}$ , 并使用 Mark 递归定义中引入的符号.

由于 $s_{-1}c_0b_{-1} = c_1 = \mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),j_{-1}) = \mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),m) = c_0$ , $s_{-1} = ()$ $b_{-1} = ()$ . 因此, $\mathrm{Mark}(M,j_{-1}) = \mathrm{Mark}(M,m) = s_{-1}c_2b_{-1} = c_2$ .

证毕.

'''定理 73''' Trans 最左单项成分左端的基本性质.

对于任意 $M \in RT_{PS}$ , 以下成立：

(1) 若 $P(M)_0 = ((0,0))$ 且 $\operatorname{Lng}(P(M)) > 1$ , 则 $\operatorname{Trans}(M)$ 的最左边分量有一个最左边分量为 $D_{M_{1,1}}$ .

(2) 若 $P(M)_0 \neq ((0,0))$ , 则 $\operatorname{Trans}(M)$ 的最左边分量为 $\operatorname{Trans}(P(M)_0)$ , 其最左边分量为 $D_{M_{1,0}}$ .

(3) 若 $(1,0) <_{M}^{Next}$ (1,1), 则 $Trans(M)$ 最左边分量的两个最左边字符可以表示为 $D_{M_{1,0}}D_u$ , 其中 $u \in \mathbb{N}$ .

证明：

由 Trans 的递归定义, 我们简化为 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ 的情况.

如果 $M \in RT_{\mathrm{PS}} \cap PT_{\mathrm{PS}}$ , 那么由 Trans 的递归定义, 通过对 $j_1$ 的数学归纳法可知.

证毕.

'''定理 74''' Trans 单项性的保持.

对于任意 $M \in T_{PS}$ , 以下等价：

(1) M 是单项的.

(2) $\operatorname{Trans}(M)$ 是单项的, 或者 $P(M)_0$ 是零项且 $\mathrm{Lng}(P(M)) = 2$ .

证明：

Red 保持单项性, 且 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性简化为 M 可约的情况, 这归因于 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性以及 Trans 最左元素的基本性质.

如果 M 可约, 则由 Trans 的递归定义和 $\mathrm{Lng}(M)$ 上的数学归纳法可直接得出.

证毕.

'''定理 75''' Trans 与不可数基数的关系.

对于任意 $M \in RT_{PS}$ 和 $v \in N$ , 下列等价：

(1) $\operatorname{Trans}(M) = D_v0$ .

(2) v = 0 且 $M = ((0,0), (0,0))$ , 或 v > 0 且 $M = ((v,v))$ .

证明：

如果 (2), 则根据 Trans 的定义可知 (1).

设 (1) 成立.

由于 M 的可约性、不可约性和系数关系, M 满足条件 (A) 和 (B). 特别地, 由于 M 满足条件 (B), $M_{0,0} = M_{1,0}$ . 设 v = 0.

如果假设 $M_{1,0} > 0$ , 那么根据Trans最左单项式分量左端的基本性质(2), Trans(M)最左单项式分量左端为 $D_{M_{1,0}} \neq D_0 = D_v$ , 这与上下文矛盾. 因此, $M_{1,0} = 0$ . 如果 $\mathrm{Lng}(M) = 1$ 则 $M = ((0,0))$ , 即 $\mathrm{Trans}(M) = 0 \neq D_v0$ , 这自相矛盾. 因此, $\mathrm{Lng}(M) > 1$ .

令 $M' := (M_{j})_{j=0}^{1}$ .

由于 $\mathrm{Lng}(M') = 2$ , 因此 $M'$ 不是零项. 如果 $M'$ 是单项的, 则根据两列对序列的基本性质以及 Pred 相对于 Trans 的下降性质,

$D_00 = D_v0 = \mathrm{Trans}(M) \geq \mathrm{Trans}(M') = D_0D_{M_{1,1}}0 > D_00$ , 这与上下文矛盾. 因此, $M'$ 是复项, 且 $M_{0,1} \leq M_{0,0} = 0$ , 即 $M_{0,1} = 0$ .

由于可约性可遗传到切片, $M'$ 是可约的；并且由于可约性与系数之间的关系, $M'$ 满足条件 (A) 和 (B). 特别地, 由于 $M'$ 是复项且满足条件 (B),

\[
M_{1, 1} = M_{0, 1} = 0 .
\]

Trans $(M') = \text{Trans}(M') = ((0,0),(0,0)) = D_{0}0 = \text{Trans}(M)$ , 因此, 根据 Pred 关于 Trans 的下降性质, $M = M' = ((0,0),(0,0))$ .

假设 v > 0.

设 $P(M)_0$ 为零项, $M_0 = (0,0)$ , 根据 $P$ 的定义, $M_{0,1} = 0$ . 由于 $M$ 满足条件 (B), $M_{1,1} = M_{0,1} = 0$ . 然而, 由于 Trans 最左单项式分量左端的基本性质, $D_v0 = \mathrm{Trans}(M)$ 的唯一单项式分量 $D_v0$ 的左端为 $D_{M_{1,1}} = D_0 \neq D_v$ , 这与 $P(M)_0$ 矛盾. 因此, $P(M)_0$ 不是零项.

$P(M)_{0}$ 不是零项, 且 Trans 是单项式, 所以 M 是单项式. 由 Trans 最左单项式分量左端的基本性质可知, Trans (M) 的左端为 $D_{M_{1,0}}$ , 故 $M_{1,0} = v > 0$ .

Trans $((M_{0})) = D_{M_{1,0}0} = D_{v}0 = \text{Trans}(M)$ , 由 Pred 相对于 Trans 的下降性质可知, $M = (M_{0}) = ((M_{1,0}, M_{1,0})) = ((v, v))$ .

证毕.

'''定理 76''' 左端第一基点的 Mark 基本性质.

对于任意 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ , 有以下成立：

(1) $(M,0)\in T_{\mathrm{PS}}^{Marked}$ .

(2) 对于任意 $m \in \mathbb{N}$ , 若 $(M, m) \in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ , 则 $\operatorname{Mark}(M, m) = \operatorname{Trans}(M)$ 当且仅当 $m = 0$ .

证明：

Mark 递归定义中引入的符号是针对 $(M, m)$ 定义的.

这可以通过关于 $j_{1}$ 的数学归纳法来证明.

设 $j_{1}=1$ .

根据二序列对序列的基本性质, $(M,0)\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ 且 $\mathrm{Mark}(M,0)=D_{M_{1,0}}D_{M_{1,1}}0=\mathrm{Trans}(M)$ .

若 $m \neq 0$ , 则 $m = 1$ , 根据两列对序列的基本性质, $\operatorname{Mark}(M, m) = D_{M_{1,m}} 0 = D_{M_{1,1}} 0 \neq D_{M_{1,0}} D_{M_{1,1}} 0 = \operatorname{Trans}(M)$ .

令 $j_{1} > 1$ .

由于 M 是单项式, $M \neq ((0,0),(0,0))$ .

若 $m = j_{1}$ , 则 $m \neq 0$ . 根据右边第一个基点处Mark的基本性质, $\operatorname{Mark}(M, m) = D_{M_{1,j_1}} 0$ . 由于 $j_{1} > 1$ , 且Trans与不可数基数具有关系, 故 $\operatorname{Trans}(M) \neq D_{M_{1,j_1}} 0$ .

设 $m < j_{1}$ .

由于 $\mathrm{Lng}(\mathrm{Pred}(M)) = j_{1} > 1$ , 故 $\mathrm{Pred}(M)$ 不是零项, 且 Trans 保持零项性质, 故 $t_{1} \neq 0$ .

由于不可收缩性对切片的遗传性和单项性对初始切片的遗传性, $\operatorname{Pred}(M)$ 是可约化的和单项式的, 并且根据归纳假设, $(\operatorname{Pred}(M), 0) \in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ 且 $c_0 = \operatorname{Mark}(\operatorname{Pred}(M), m)$ 与 $t_1 = \operatorname{Trans}(\operatorname{Pred}(M))$ 一致当且仅当 $m = 0$ .

如果 $m = 0$ , 则 $s_0c_0b_0 = t_1 = c_0$ , 因此 $s_0 = ()$ 且 $b_{0} = ()$ , 且 $s_1 = s_0s_{-1} = s_{-1}$ 且 $b_{1} = b_{-1}b_{0} = b_{-1}$ , 因此 $\operatorname {Mark}(M,0) = \operatorname {Mark}(M,m) = s_{-1}c_2b_{-1} = s_1c_2b_1 = \operatorname {Trans}(M)$ .

如果 $m \neq 0$ , 则 $s_0c_0b_0 = t_1 \neq c_0$ , 所以 $s_0 \neq ()$ 或 $b_0 \neq ()$ , 且 $\operatorname{Mark}(M, m) = s_{-1}c_2b_{-1} \neq s_0s_{-1}c_2b_{-1}b_0 = s_1c_2b_1 = \operatorname{Trans}(M)$ .

证毕.

'''定理 77''' $s_{1}$ 和 $b_{1}$ 的空性与基点的关系.

对于任意 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ , 使用 Trans 的递归定义中引入的符号, 下列等价：

(1) $j_{-1}=0$ .

(2) $s_1 = ()$ 且 $c_{1} = t_{1}$ 且 $b_{1} = ()$ .

(3) $s_{1} = ()$ .

证明：

若 (1) 成立, 则根据 Mark 在左侧第一个基点的基本性质 (2), $c_{1} = \text{Mark}(\text{Pred}(M), j_{-1}) = \text{Trans}(\text{Pred}(M)) = t_{1}$ , 且根据 scb 分解的平凡性准则, $s_{1} = ()$ 且 $b_{1} = ()$ , 故 $c_{1} = s_{1}c_{1}b_{1} = t_{1}$ .

若 (2) 成立, 则根据假设, $s_{1}=()$ .

若 (3) 成立, 则根据 scb 分解的平凡性准则, $c_{1}=t_{1}$ , 且根据 Mark 在左侧第一个基点的基本性质 (2), $j_{-1}=0$ .

证毕.

'''定理 78''' Mark 对顺序关系的保持.

对任意 $M \in T_{\mathrm{PS}}$ 和 $m_0, m_1 \in \mathbb{N}$ , 若 $(M, m_0), (M, m_1) \in T_{\mathrm{PS}}^{Marked}$ , 则下列等价:

(1) $m_{0}<m_{1}$ .

(2) Mark $(M, m_{1}) \neq \text{Mark}(M, m_{0})$ 且 $(\text{Mark}(M, m_{1}), \text{Mark}(M, m_{0})) \in T_{\text{B}}^{\text{Marked}}$ .

证明：由 Mark 的递归定义可知, 通过数学归纳法, 可直接得出 $\mathrm{Lng}(M)$ 的证明. 证毕.

'''定理 79''' $s_{-1}$ 和 $b_{-1}$ 的空性与基点的关系.

对于任意 $(M, m) \in T_{\mathrm{PS}}^{Marked}$ , 若 $M$ 是可约化的且单项的, 那么, 利用 Trans 和 Mark 的递归定义中引入的符号, 下列表达式等价：

(1) $m = j_{-1}$ .

(2) $s_{-1} = ()$ 且 $b_{-1} = ()$ .

证明：这直接源于 scb 分解的平凡性准则以及 Mark 保持有序的事实. 证毕.

'''定理 80''' Trans 和 Mark 的表示.

对于任意的 $(M,m)\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ , 令 $j_{1}:=\mathrm{Lng}(M)-1$ , 则若 $j_{1}-m>0$ , 则 Mark $(M,m)=\mathrm{Trans}\left((M_{j})_{j=m}^{j_{1}}\right)$ .

证明：

由于 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性为 P 等变性, Mark 的 (IncrFirst, Red, P) 不变性, 以及 Red 的容许性, 我们将其简化为 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ 的情况. 接下来, 我们定义 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ , 并定义 Trans 递归定义中引入的符号, 用于 M. 为了明确这是对 M 的应用, 我们将 M 写在右肩上.

$m < j_{1}$ 且 $(0, m) \leq_{M} (0, j_{1})$ 且 $\left(0, j_{0}^{M}\right) <_{M}^{\text{Next}} \left(0, j_{1}^{M}\right) = (0, j_{1})$ , 因此 $m \leq j_{0}^{M}$ .

如果 $m = 0$ , 则根据Mark在最左边第一个基点的基本性质可知. 下文中, 我们假设 $m > 0$ . 在这种情况下, $j_{1}^{M} = j_{1} > m > 0$ , 因此 $j_{1}^{M} > 1$ , 进而 $t_1^M\neq 0$ .

令 $N := \text{Red}\left((M_{j})_{j=m}^{j_{1}}\right)$ .

根据Lng的Red不变性, $j_{1}^{N}=\mathrm{Lng}(N)-1=\mathrm{Lng}\left((M_{j})_{j=m}^{j_{1}}\right)-1=j_{1}-m\circ(0,j_{0}^{M})<_{M}^{\mathrm{Next}}$ $(0,j_{1})$ 且 $(0,m)\leq M(0,j_{1})$ , 所以 $m\leq j_{0}^{M}$ 且 $(0,j_{0}^{M}-m)<_{N}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1}^{M}-m)=(0,j_{1}-m)=(0,j_{1}^{N})$ , 所以 $j_{0}^{N}=j_{0}^{M}-m$ . N是可约的, 因此由于可约性和系数之间的关系, M和N

满足条件 (A) 和 (B). 由于直接祖先切片以及 Red 与 IncrFirst 之间的关系, N 是单项的, 且 IncrFirst $M_{0,m}-M_{1,m}(N)=(M_{j})_{j=m}^{j_{1}}$ , 即 $N=((M_{0,j}-M_{0,0}+M_{1,0},M_{1,j}))_{j=m}^{j_{1}}$ .

Trans 的递归定义中引入的符号是针对 N 定义的, 为了清楚地表明它们应用于 N, 它们都以 N 为右肩书写.

令 $j_{1}-m=1$ .

$N = ((M_{1,m}, M_{1,m}), (M_{1,j_1}-M_{0,m}+M_{1,m}, M_{1,j_1})) \circ j_1^N = j_1-m = 1$ , 且由于 $N$ 为单项矩阵, $(0,0) <_{N}^{\text{Next}} (0,1) = (0, j_1^N)$ , $j_0^N = 0$ . 特别地, $j_0^N$ 是 $N$ 容许的, 且 $j_{-1}^N = j_0^N = 0$ .

$D_{v^{N}}t_{2}^{N} = c_{1}^{N} = \operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(N),j_{-1}^{N}\right) = \operatorname{Mark}\left(\left(\left(M_{1,m},M_{1,m}\right)\right),0\right) = D_{M_{1,m}}0$ , 因此 $v^{N} = M_{1,m}$ 且 $t_2^N = 0$ .

$(0, m) \leq_{M} (0, j_1)$ 且 $m+1 = j_1$ , 因此 $(0, m) <_{M}^{\text{Next}} (0, j_1)$ , 即 $j_0^M = m$ , 且由于 $m$ 是 $M$ 容许的, 因此 $m = j_{-1}$ . 因此, 由于 $s_{-1}$ 和 $b_{-1}$ 为空, 且基点之间存在对应关系, $s_{-1}^M = ()$ , $b_{-1}^M = ()$ .

由于 m 具有 M 容许, 且满足右端第一个基点 Mark 的基本性质, $D_{v^{M}}t_{2}^{M}=c_{1}^{M}=$ Mark $\left(\mathrm{Pred}(M),j_{-1}^{M}\right)=\mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),m)=D_{M_{1,m}}0$ . 因此, $v^{M}=M_{1,m}, t_{2}^{M}=0$ .

由于 $m$ 是 $M$ 容许的, 且 $j_0^M+1 = m+1 = j_1 = j_1^M$ , 因此 $M$ 满足条件 (I)、(III) 或 (VI). 如果满足条件 (I) 或 (III), 则 $c_2^M = D_{v^M}(t_2^M+D_{M_{1,j_1}}0) = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_1}}0$ . 如果满足条件 (VI), 则 $c_2^M = D_{v^M}D_{M_{1,j_1}}0 = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_1}}0$ . 因此, 无论哪种情况, $c_2^M = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_1}}0$ . 因此, $\mathrm{Mark}(M, m) = s_{-1}^M c_2^M b_{-1}^M = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_1}}0$ .

令 $M_{1,m}=0$ .

\[
t_{1}^{N} = \mathrm{Trans} (\mathrm{Pred} (N)) = \mathrm{Trans} \left((M_{1, m}, M_{1, m})\right) = 0.
\]

因此, 根据 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性 P 和 Trans 的定义, Trans $\left((M_{j})_{j=m}^{j_{1}}\right)=\mathrm{Trans}(N)=D_{0}D_{N_{1,1}}0=D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_{1}}}0$ .

令 $M_{1,m} > 0$ .

由于 $t_1^N = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N)) = \mathrm{Trans}\left((M_{1,m},M_{1,m})\right) = D_{M_{1,m}}0\neq 0$ , 条件(I)至(VI)对 $N$ 有意义.

$j_{-1}^{N}=0$ , 且 $s_{1}$ 和 $b_{1}$ 的空性和基点关系意味着 $s_{1}^{N}=()$ 和 $b_{1}^{N}=()$ .

令 $M_{1,m} < M_{1,j_{1}}$ .

$N_{1,j_{1}^{N}} = N_{1,1} = M_{1,j_{1}} > M_{1,m} > 0$ . $(0,0) <_{N}^{\text{Next}} (0,1)$ 且 $N_{1,0} = M_{1,m} < M_{1,j_{1}} = N_{1,1}$ , 所以 $(1,0) <_{N}^{\text{Next}} (1,1)$ . 又由于 $j_{0}^{N}+1 = 1 = j_{1}^{N}$ 且 N 满足条件 (B), 所以 $N_{1,j_{0}^{N}}+1 = N_{1,j_{1}^{N}}$ . 因此, N 满足条件 (VI).

$c_{2}^{N} = D_{v^{N}}D_{N_{1,j_{1}^{N}}}0 = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_{1}}}0$ , 因此 $\operatorname{Trans}(N) = s_1^N c_2^N b_1^N = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_1}}0$ .

令 $M_{1,m} \geq M_{1,j_{1}}$ .

由于 $j_0^N$ 是 $^N N$ 可接受的, 且 $N_{1,j_0^N} = M_{1,m}\geq M_{1,j_1} = N_{1,j_1^N}$ , 因此 $N$ 满足条件(I)或(III).

$c_{2}^{N} = D_{v^{N}}\left(t_{2}^{N}+D_{N_{1,j_{1}^{N}}}0\right) = D_{M_{1,m}}\left(0+D_{M_{1,j_{1}}}0\right) = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_{1}}}0,$ 因此 $\operatorname{Trans}(N) =$ $s_1^N c_2^N b_1^N = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_1}}0$ .

因此, 在这两种情况下, Trans $(N) = s_{1}^{N}c_{2}^{N}b_{1}^{N} = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_{1}}}0$ , 并且从 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性 P-不变性来看, Trans $\left((M_{j})_{j=m}^{j_{1}}\right) = \text{Trans}(N) = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_{1}}}0 = \text{Mark}(M,m)$ .

我们将利用数学归纳法证明,在条件 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ 下, $\mathrm{Mark}(M, m) = \mathrm{Trans}\left((M_j)_{j=m}^{j_1}\right)$ .

如果 $j_{1} = 2$ , 则 $j_{1} > m > 0$ , 因此 $m = 1$ 且 $j_{1}-m = 1$ , 这在前面已经得到证明.

令 $j_{1} > 2$ . 我们已经证明, 如果 $j_{1}-m = 1$ , 则成立, 因此, 从现在开始, 令 $j_{1}-m > 1$ .

由于 $\operatorname{Red}(R)$ 是可还原的和单项的, 并且 $\operatorname{Lng}(N)-1 = j_1-m > 1$ 且 Trans 是零终结的, $t_1^N \neq 0$ , 因此条件 (I) 至 (VI) 对 $\operatorname{Red}(N)$ 有意义.

根据基点切片的遗传性, $(\mathrm{Pred}(M), m) \in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ 和 $\mathrm{Lng}(\mathrm{Pred}(M))-1 = j_1-1 < j_1$ , 因此根据 Red 和 Pred 的交换性和归纳假设,

\[
\begin{array}{l} c_{0}^{M} = \operatorname{Mark} (\operatorname{Pred} (M), m) \\ = \operatorname{Trans} \left((\operatorname{Pred} (M)_{j})_{j = m}^{j_{1}-1}\right) \\ = \operatorname{Trans} \left(\left(M_{j}\right)_{j = m}^{j_{1}-1}\right) \tag {21.112} \\ = \operatorname{Trans} \left(\left(M_{0, j}-M_{0, m}+M_{1, m}, M_{1, j}\right)_{j = m}^{j_{1}-1}\right) \\ = \operatorname{Trans} (\operatorname{Pred} (N)) \\ = t_{1}^{N}, \\ \end{array}
\]

\[
c_{1}^{M} = \operatorname{Mark} \left(\operatorname{Pred} (M), j_{- 1}^{M}\right) = \operatorname{Trans} \left(\left(M_{j}\right)_{j = j_{- 1}}^{j_{1}-1}\right). \tag {21.113}
\]

此外, 根据单项的原因, N 为 $(N,0)\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ , 且根据基切片的遗传性, $(\mathrm{Pred}(N),0)\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ . 由于 $\mathrm{Lng}(\mathrm{Pred}(N))-1=j_{1}^{N}-1=j_{1}-m-1<j_{1}$ , 根据 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变的 P 同变性和归纳假设,

\[
\begin{array}{l} c_{0}^{N} = \operatorname{Mark} (\operatorname{Pred} (N), 0) \\ = \operatorname{Trans} (\operatorname{Pred} (N)) \\ = \operatorname{Trans} \left(\left(M_{0, j}-M_{0, m}+M_{1, m}, M_{1, j}\right)_{j = m}^{j_{1}-1}\right) \tag {21.114} \\ = \operatorname{Trans} \left((M_{j})_{j = m}^{j_{1}-1}\right) \\ = c_{0}^{M}. \\ \end{array}
\]

\[
\begin{array}{l} c_{1}^{N} = \operatorname{Mark} \left(\operatorname{Pred} (N), j_{- 1}^{N}\right) \\ = \operatorname{Trans} \left(\left(\operatorname{Pred} (N)_{j}\right)_{j = j_{- 1}^{N}}^{j_{1}^{N}-1}\right) \\ = \operatorname{Trans} \left(\left(M_{0, j}-M_{0, m}+M_{1, m}, M_{1, j}\right)_{j = j_{- 1}^{M}}^{j_{1}-1}\right) \tag {21.115} \\ = \operatorname{Trans} \left((M_{j})_{j = j_{- 1}^{M}}^{j_{1}-1}\right) \\ = c_{1}^{M}. \\ \end{array}
\]

$D_{v^M}t_2^M = c_1^M = c_1^N = D_{v^N}t_2^N$ , 因此 $v^{M} = v^{N}$ 且 $t_2^M = t_2^N$ , 且 $s_{-1}^{M}c_{1}^{M}b_{-1}^{M} = c_{0}^{M} = t_{1}^{N} = s_{1}^{N}c_{1}^{N}b1^{N} = s_{1}^{N}c_{1}^{M}b_{1}^{N}$ , 因此 $s_{-1}^{M} = s_{1}^{N}$ 且 $b_{-1}^{M} = b_{1}^{N}$ . 由以上可知,

\[
\operatorname{Trans} \left((M_{j})_{j = m}^{j_{1}}\right) = \operatorname{Trans} (N) = s_{1}^{N} c_{2}^{N} b_{1}^{N} = s_{- 1}^{M} c_{2}^{M} b_{- 1}^{M} = \operatorname{Mark} (M, m). \tag {21.116}
\]

证毕.

令 $M \in T_{\mathrm{PS}}$ . 定义 $\mathbb{Z}^2$ 上的二元关系 $<_{M}^{\mathrm{NextAdm}}$ 如下：

1. 对于 $(i_0, j_0), (i_1, j_1) \in \mathbb{Z}^2$ , $(i_0, j_0) <_{M}^{\text{NextAdm}} (i_1, j_1)$ 满足以下条件:

1.1. $(i_0,j_0)\leq_M(i_1,j_1)$

1.2. $j_{0} < j_{1}$ .

1.3. $j_{0}$ 是 M 容许的.

1.4. 对于任意 $j \in \mathbb{N}$ , 如果 $j_0 < j < j_1$ , 则:

1.4.1. $(i_{0},j)\leq_{M}(i_{1},j_{1})$ 不成立.

1.4.2. j 不满足 M 容许性.

'''定理 81''' Adm $_{M}$ 与 $<_{M}^{NextAdm}$ 之间的关系.

对于任意的 $(M,m)\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ , 令 $j_{1}:=\mathrm{Lng}(M)-1$ , 则若 $j_{1}-m>0$ , 则 Mark $(M,m)=\mathrm{Trans}\left((M_{j})_{j=m}^{j_{1}}\right)$ .

证明：

$(1,j_{-1})\leq_{M}(1,j_{0})$ 且 $(i,j_{0})<_{M}^{\mathrm{Next}}(i,j_{1})$ 蕴涵 $(i,j_{-1})\leq_{M}(i,j_{1})$ . 此外, $j_{-1}$ 是 M 容许的.

设 $j \in \mathbb{N}$ 且 $j_{-1} < j < j_1$ . 如果 $(i,j) \leq_M (i,j_1)$ , 则 $j \leq j_0$ , 因为 $(i,j_0) < _M^{\text{Next}} (i,j_1)$ , 因此 $\operatorname{Adm}_M(j) \leq j_{-1} < j$ , 所以 $j$ 不符合 $M$ 条件. 由上可知, $(i,j_{-1}) < _M^{\text{NextAdm}} (i,j_1)$ .

证毕.

'''定理 82''' Trans 与 $<_{M}^{NextAdm}$ 之间的关系.

令 $M \in T_{\mathrm{PS}}$ , 且令 $j_1 := \mathrm{Lng}(M)-1$ . 若存在唯一的 $j_0 \in \mathbb{N}$ 使得 $(0, j_0) <_{M}^{\mathrm{NextAdm}}(0, j_1)$ , 则存在唯一的 $(s_0, b_0) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 使得：

(1) $(s_{0},\mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M),j_{0}\right),b_{0})$ 是 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M))$ 的scb分解.

(2) $(s_{0},\mathrm{Mark}(M,j_{0}),b_{0})$ 是 $\mathrm{Trans}(M)$ 的scb分解.

证明：

Trans 的递归定义和直接祖先的 Red 不变性可简化为 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ 的情况.

如果 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ , 则它可直接由 Trans 的定义和直接祖先的 Red 不变性得出.

证毕.

'''定理 83''' Mark 与 $<_{M}^{NextAdm}$ 之间的关系.

令 $M \in T_{\mathrm{PS}}$ 且 $j_1 := \mathrm{Lng}(M)-1$ . 假设存在唯一的 $j_0 \in \mathbb{N}$ 使得 $(0, j_0) <_{M}^{\mathrm{NextAdm}} (0, j_1)$ . 对于任意 $j \in \mathbb{N}$ , 若 $(0, j) \leq_{M} (0, j_0)$ , 则存在唯一的 $(s_0, b_0) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 使得：

(1) $(s_0, \operatorname{Mark}(\operatorname{Pred}(M), j_0), b_0)$ 是 $\operatorname{Mark}(\operatorname{Pred}(M), j)$ 的 $\operatorname{scb}$ 分解.

(2) $(s_{0},\mathrm{Mark}(M,j_{0}),b_{0})$ 是 $\mathrm{Mark}(M,j)$ 的scb分解.

证明：这直接源于 Trans 与 $<_{M}^{\text{NextAdm}}$ 之间的关系, 以及 Mark 保留了排序关系的事实. 证毕.

'''定理 84''' Trans 的 Mark 和 Pred 表示.

对任意 $(M, m) \in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ , 若 $m < \mathrm{Lng}(M)-1$ , 则存在任意 $(s_0, b_0) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 使得：

(1) $(s_{0},\mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),m),b_{0})$ 是 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M))$ 的scb分解.

(2) $(s_{0},\mathrm{Mark}(M,m),b_{0})$ 是 $\mathrm{Trans}(M)$ 的scb分解.

证明：这直接源于 Trans 与 $<_{M}^{\text{NextAdm}}$ 的关系, 以及 Mark 与 $<_{M}^{\text{NextAdm}}$ 的关系. 证毕.

'''定理 85''' Trans 的 Mark 和切片表示.

对于任意 $(M, m) \in RT_{\mathrm{PS}}^{Marked}$ , 若 $0 < m < \mathrm{Lng}(M)-1$ , 则存在任意 $(s_0, b_0) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 使得：

(1) $\left(s_0, D_{M_{1,m}} 0, b_0\right)$ 是 $\operatorname{Trans}\left((M_j)_{j=0}^m\right)$ 的 $\mathrm{scb}$ 分解.

(2) $(s_{0},\mathrm{Mark}(M,m),b_{0})$ 是 $\mathrm{Trans}(M)$ 的scb分解.

证明：

令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1$ .

由 Trans 的递归定义和直接祖先的 Red 不变性, 我们简化为 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ 的情况. 接下来, 我们定义 Trans 递归定义中引入的符号, 并将 M 写在右肩上, 以明确它应用于 M.

这可以通过对 $j_{1}-m$ 进行数学归纳法来证明.

如果 $j_{1}-m=0$ , 则由 Mark 的基本性质得出, 即右端的第一个基点.

令 $j_{1}-m=1$ .

令 $s_{0} := s_{1}^{M}$ .

令 $b_{0} := b_{1}^{M}$ .

由于 $(0, m) \leq_{M} (0, j_1) = (0, j_1^M)$ 且 $m+1 = j_1 = j_1^M$ , 因此 $j_0^M = m$ . 由于 $m$ 满足 $M$ 容许条件, 因此 $j_{-1}^M = j_0^M = m$ . 因此, 由于 $s_{-1}$ 和 $b_{-1}$ 之间为空且为基点关系, 因此 $s_{-1}^M = ()$ 且 $b_{-1}^M = ()$ .

由右端第一个基点 Mark 的基本性质可知, $c_{1}^{M}=\mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M),j_{-1}^{M}\right)=\mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M),j_{1}-1\right)=D_{M_{1,m}}0$ , 因此 $\mathrm{Trans}\left((M_{j})_{j=0}^{m}\right)=\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M))=t_{1}^{M}=s_{1}^{M}c_{1}^{M}b_{1}^{M}=s_{0}D_{M_{1,m}}b_{0}$ .

\[
\mathrm{Trans} (M) = s_{1}^{M} c_{2}^{M} b_{1}^{M} = s_{1}^{M} s_{- 1}^{M} c_{2}^{M} b_{- 1}^{M} b_{1}^{M} = s_{0} \mathrm{Mark} (M, m) b_{0}.
\]

根据可归约到段的遗传性, $\operatorname{Pred}(M)$ 可归约；根据可归约到初始段的单项式遗传性, $0 < j_1-m-1 \leq j_1-1 < j_1$ , $\operatorname{Pred}(M)$ 为单项；根据可归约到基点的段的遗传性, $(\operatorname{Pred}(M), m) \in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Mark}}$ . 因此, 根据归纳假设, 存在唯一的 $(s_0, b_0) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 使得：

(1) $b_{0}$ 仅由组成.

(2) Trans $\left((\mathrm{Pred}(M)_j)_{j=0}^m\right) = s_0 D_{\mathrm{Pred}(M)_{1,m}} 0b_0 = s_0 D_{M_{1,m}} 0b_0$ .

(3) Trans(Pred(M)) = $s_{0}$ Mark(Pred(M), m) $b_{0} = s_{0}c_{0}^{M}b_{0}$ . 从 Trans'sMark 和 Pred 的表示可知, Trans (M) = $s_{0}$ Mark(M, m) $b_{0}$ . 此外, 由于 $m \leq j_{1}-1$ , $(M_{j})_{j=0}^{m} = (\text{Pred}(M)_{j})_{j=0}^{m}$ , Trans $\left((M_{j})_{j=0}^{m}\right) = \text{Trans}\left((\text{Pred}(M)_{j})_{j=0}^{m}\right) = s_{0}D_{M_{1,m}}0b_{0}$ .

证毕.

'''定理 86''' RightNodes 和 Mark 的关系.

对于任意的 $(M,m)\in RT_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ , 若 $0<m<Lng(M)-1$, 则存在 $a_{0},a_{1}\in N^{<}\omega$ 使得：

(1) RightNode(Trans(M)) = $a_0 \oplus_{\mathbb{N}} (M_{1,m}) \oplus_{\mathbb{N}} a_1$ .

(2) RightNode $\left(\mathrm{Trans}\left((M_j)_{j=0}^m\right)\right)=a_0\oplus_{\mathbb{N}}(M_{1,m})$ .

(3) RightNode(Mark(M,m)) = (M\_{1,m}) ⊕ Na\_{1}.

证明:这直接遵循单项式的遗传性、直系祖先的切片、Mark 左端的基本属性以及 RightN-odes 与子表达式之间的关系. 证毕.

映射

\[
\text {RightAnces:} T_{\mathrm{PS}} \rightarrow \mathbb {N}^{< \omega} \tag {21.117}
\]

\[
M \mapsto \text {RightAnces} (M) \tag {21.118}
\]

定义如下:

1. 使用 Trans 递归定义中引入的符号.

2. 令 M 为约化元素, 且 $j_{1}=0$ .

2.1. 如果 $M_{0}=(0,0)$ , 则 RightAnces $(M):=()$ .

2.2. 如果 $M_{0} \neq (0,0)$ , 则 RightAnces $(M) := (M_{1,0})$ .

3. 令 M 为约化元素, 且 $j_{1} > 0$ 为单项元素.

3.1. 如果 Pred(M) 为云项, 则 RightAnces $(M):=(0,M_{1,j_{1}})$ .

3.2. 令 Pred(M) 为非零项[49].

3.2.1. 如果 $(M_{j})_{j=0}^{j-1}$ 为零项, 则令 $a := (0)$ .

3.2.2. 如果 $(M_j)_{j=0}^{j-1}$ 不是零项, 则令 $a := \text{RightAnces}\left((M_j)_{j=0}^{j-1}\right)$ .

3.2.3. 如果 $M$ 满足条件 (I)、(III)、(V) 或 (VI), 则 RightAnces $(M) := a \oplus_{\mathbb{N}} (M_{1,j_1})$ .

3.2.4. 如果 $M$ 满足条件 (II) 或 (IV), 则 RightAnces $(M) := a \oplus_{\mathbb{N}} (M_{1,j_0}, M_{1,j_1})$ .

4. 令 M 为约化且为复项.

4.1. 令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(M))-1$ .

4.2. 如果 $P(M)_{J_{1}} = ((0,0))$ , 则 RightAnces $(M) := (0)$ .

4.3. 如果 $P(M)_{J_{1}} \neq ((0,0))$ , 则 RightAnces $(M) := \text{RightAnces } (P(M)_{J_{1}})$ .

5. 如果 M 不可约, 则 RightAnces $(M) := \text{RightAnces}(\text{Red}(M))$ .

'''定理 87''' RightNodes 和 RightAnces 的关系.

对于任意 $M \in T_{PS}$ , RightAnces(M) = RightNodes(Trans(M)).

证明：

从 RightNodes、Trans 和 RightAnces 的递归定义, 我们简化为 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ 的情况. 下文中, 我们使用 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ , 并使用 RightNodes 的递归定义中引入的符号和 Trans 的递归定义中引入的符号.

由于 $M$ 是单项的, 因此 $j_{1} > 0$ . 此外, 由于 $M$ 是可约的, 根据可约性与系数之间的关系, $M$ 满足条件(A)和(B).

我们利用数学归纳法证明 $j_{1}$ 上的 RightAnces(M) = RightNodes(Trans(M)).

令 $j_{1}=1$ .

由两列对序列(1)的基本性质可知, $\mathrm{Trans}(M)=D_{M_{1,0}}D_{M_{1,1}}0$ 且 $\mathrm{RightNodes}(\mathrm{Trans}(M))=\mathrm{RightNodes}\left(D_{M_{1,0}}D_{M_{1,1}}0\right)=(M_{1,0},M_{1,1})$ . 由于M是单项式的, $(0,0)<_{M}^{\mathrm{Next}}(0,1)=(0,j_{1})$ , $j_{0}=0$ . 因此, $j_{0}$ 是M可接受的, 且 $j_{-1}=j_{0}=0$ .

如果 $M_{1,0} = 0$ , 则 $\operatorname{Pred}(M) = ((M_{0,0}, 0))$ , 因此 $\operatorname{Pred}(M)$ 为零项, 且 $\operatorname{RightAnces}(M) = (0, M_{1,j_1}) = (M_{1,0}, M_{1,1})$ . 令 $M_{1,0} > 0$ .

$\operatorname{Pred}(M) = ((M_{0,0}, M_{1,0}))$ , 因此 $\operatorname{Pred}(M)$ 不是零项, 且 $a = \operatorname{RightAnces}\left((M_j)_{j=0}^{j-1}\right) = \operatorname{RightAnces}\left((M_{0,0}, M_{1,0})\right) = (M_{1,0})$ .

由于 $j_0$ 是 $M$ 可接受的, 且 $j_0+1 = 1 = j_1$ , 因此 $M$ 满足条件(I)、(III)或(VI). 因此, RightAnces $(M) = a\oplus \mathrm{N}(M_{1,j_1}) = (M_{0,1},M_{1,1})$ .

由上可知, 在所有情况下, RightAnces(M) = RightNodes(Trans(M)).

令 $j_{1} > 1$ .

根据 Mark 左端的基本性质, $v = M_{1,0}$ . 令 $(M_{j})_{j=0}^{j_{j}-1}$ 为零项. 则 $a = (0)$ , $j_{-1} = 0$ , $v = M_{1,0} = 0$ . 由于 $s_{1}$ 和 $b_{1}$ 为空且为基点关系, $s_{1} = ()$ , $b_{1} = ()$ . 因此, $\mathrm{Trans}(M) = s_{1}c_{2}b_{1} = c_{2}$ . 假设 M 满足条件 (I 或 (III) 或 (V) 或 (VI).

RightAnces(M) = a ⊕\_{N} (M\_{1,j\_1}) = (0, M\_{1,j\_1}).

根据 $M$ 是否满足条件 (VI), $c_{2} = D_{v}D_{M_{1,j_{1}}}0 = D_{0}D_{M_{1,j_{1}}}0$ 或 $c_{2} = D_{v}\left(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0\right) = D_{0}\left(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0\right)$ . 因此, 无论哪种情况, RightNodes(Trans(M)) = $(0, M_{1,j_1}) = \text{RightAnces}(M)$ .

如果 $M$ 满足条件 (II) 或 (IV), 则 $\mathrm{RightAnces}(M) = a \oplus_{\mathbb{N}}(M_{1,j_0}, M_{1,j_1}) = (0, M_{1,j_0}, M_{1,j_1})$ 且 $c_2 = D_v(t_3+D_{M_{1,j_0}}(t_4+D_{M_{1,j_1}}0)) = D_0(t_3+D_{M_{1,j_0}}(t_4+D_{M_{1,j_1}}0))$ , 因此 $\mathrm{RightNodes}(M) = (0, M_{1,j_0}, M_{1,j_1}) = \mathrm{RightAnces}(M)$ .

令 $(M_{j})_{j=0}^{j-1}$ 为零项.

令 $N := (M_{j})_{j=0}^{j-1}$ .

由于 $\mathrm{Lng}(N)-1=j_{-1}\leq j_{0}<j_{1}$ , 根据归纳假设, RightAnces $(N)=\mathrm{RightNodes}(N)$ .

根据右端第二个基点 Mark 的基本性质, Mark $(M, j_{-1}) = c_{2}$ , 故 Trans $(M) = s_{1}c_{2}b_{1} = s_{1}\text{Mark } (M, j_{-1})b_{1}$ , 又根据 Trans 利用 Mark 和切片的表达式, Trans $(N) = s_{1}D_{M_{1,j-1}}b_{1}$ .

假设 $M$ 满足条件 (I)、(III)、(V) 或 (VI). RightAnces $(M) = a \oplus_{\mathbb{N}} (M_{1,j_1}) = \text{RightAnces}(N) \oplus_{\mathbb{N}} (M_{1,j_1})$ . 取决于 $M$ 是否满足条件 (VI), $c_2 = D_v D_{M_{1,j_1}} 0$ 或 $c_2 = D_v (t_2+D_{M_{1,j_1}} 0)$ , 因此无论哪种情况, RightNodes (Mark $(M, j_1)) = \text{RightNodes}(c_2) = (v, M_{1,j_1})$ .

因此, 由 RightNodes 和 Mark 的关系可知, RightNodes(Trans(M)) = RightNodes(Trans(N)) ⊕ N (M\_{1,j\_1}) = RightAnsces(N) ⊕ N (M\_{1,j\_1}).

设 $M$ 满足条件 (II) 或 (IV). RightAnces $(M) = a \oplus_{\mathbb{N}} (M_{1,j_0}, M_{1,j_1}) = \text{RightAnces}(N) \oplus_{\mathbb{N}} (M_{1,j_0}, M_{1,j_1})$ .

因为 $c_{2}=D_{v}\left(t_{3}+D_{M_{1,j_{0}}}\left(t_{4}+D_{M_{1,j_{1}}}0\right)\right)$ , 所以 RightNodes(Mark $(M,j_{1})$ )=RightNodes $(c_{2})=(v,M_{1,j_{0}},M_{1,j_{1}})$ .

因此, 从 RightNodes 与 Mark 的关系可知, RightNodes(Trans(M)=RightNodes(Trans(N)) $\oplus_{N}$ $(M_{1,j_{0}}M_{1,j_{1}})=\text{RightAnsces}(N)\oplus_{N}(M_{1,j_{0}},M_{1,j_{1}})$ .

由上可知, 在两种情况下, RightAnces $(M)=\text{RightNodes}(\text{Trans}(M))$ .

证毕.

'''定理 88''' 非零项的 RightAnces 非空.

对于任意的 $M \in T_{PS}$ , 以下等价：

(1) M 为零项.

(2) RightAnces(M) = ().

证明：这直接源于 Trans 保持零项性以及 RightNodes 和 RightAnces 之间的关系. 证毕.

下面给出停机性的证明.

首先, 我们研究在条件（I）至（VI）下单项式范式对序列的展开规则, 并将它们与Buchholz符号系统中的展开规则进行比较, 以证明与范式对序列相关的可计算函数的全集（即可计算规则的终止性）.

'''定理 89''' 条件 (1) 下 Trans 与基本列的对易关系.

对于任意 $M \in RT_{\mathrm{PS}} \cap PT_{\mathrm{PS}}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ , 使用 Trans 的递归定义中引入的符号, 如果 $j_{1} > 1$ 且 $M$ 满足条件 (1), 则如下命题成立：

(1) $\mathrm{Trans}(M[n]) = \mathrm{Trans}(M)[n-1]$ .

(2) $\operatorname{Trans}(M[n]) < \operatorname{Trans}(M)$ .

作为证明条件 (I) 下 Trans 和基本列之间的交换关系的初步步骤, 我们提出一些引理.

'''定理 90''' 公差为 $(1,1)$ 的对序列 Trans 的基本性质.

对于任意 $u, v \in \mathbb{N}$ , 如果 $u < v$ , 则令 $M = ((j, j))_{j=u}^v$ , 且 $\operatorname{Trans}(M) = D_u D_v 0$ .

证明：

M 是单项的, 并且满足条件 (A) 和 (B), 因此由于约化性与系数之间的关系, M 是约化的. Trans 的递归定义中引入的符号是针对 M 定义的, 为了清楚地表明这是对 M 的应用, 我们将 $[52]$ 写成 M 的右肩.

$j_{1}^{M}=v-u$ 且 $j_{0}^{M}=j_{1}^{M}-1=v-u-1$ 且 $j_{-1}^{M}=0$ . 由于 $M_{v-u-1}=(v-1,v-1)$ 且 $M_{v-u}=(v,v),\left(1,j_{0}^{M}\right)=(1,v-u-1)<_{M}^{\mathrm{Next}}\left(1,v-u\right)=\left(1,j_{1}^{M}\right)$ .

这可以通过对 v-u 进行数学归纳法来证明.

设 v-u = 1.

$j_{1}^{M} = v-u = 1$ 且 $j_0^M = v-u-1 = 0$ , 因此 $j_{-1}^{M} = 0 = j_{0}$ , 从而 $j_0^M$ 是 $M$ 容许的.

如果 $u = 0$ , 则 $t_1^M = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) = \mathrm{Trans}((0,0)) = 0$ , 因此 $\mathrm{Trans}(M) = D_0D_v0 = D_uD_v0$ .

设 u > 0.

$t_{1}^{M} = \text{Trans}(\text{Pred}(M)) = \text{Trans}((u, u)) = D_{u}0 \neq 0$ , 因此条件 (I) 至 (VI) 对 M 有意义.

由于 $j_{-1}^{M} = 0$ , 且 $s_1$ 和 $b_{1}$ 为空, 且基点关系为 $s_1^M = ()$ , $b_1^M = ()$ , 因此 $D_{v^M}t_2^M = c_1^M = s_1^M c_1^M b_1^M = t_1^M = D_u0$ , 所以 $v^{M} = u$ , $t_2^M = 0$ . 由于 $M_{1,j_1} = v = u+1 = M_{1,j_0}+1 > 0$ 且 $j_0+1 = 1 = j_1$ , 因此 $M$ 满足条件（VI）. 因此, $c_2^M = D_{v^M}D_{M_{1,j_1^M}}0 = D_uD_v0$ 且 $\mathrm{Trans}(M) = s_1^M c_2^M b_1^M = D_uD_v0$ .

设 v-u > 1.

$\operatorname{Pred}(M) = ((j,j))_{j=u}^{v-1}$ , 故根据归纳假设, $t_1^M = \operatorname{Trans}(\operatorname{Pred}(M)) = D_u D_{v-1} 0 \neq 0$ , 因此条件 (I) $\sim$ (VI) 对 $M$ 有意义.

由 $j_{-1}^{M} = 0$ 、 $s_1$ 与 $b_{1}$ 为空以及基点的关系可知, $s_1^M = ()$ 且 $b_{1}^{M} = ()$ , 又由 $D_{v^{M}}t_{2}^{M} = c_{1}^{M} = D_{u}D_{v-1}0$ 、 $v^{M} = u$ 及 $t_2^M = D_{v-1}0$ 可知.

M 满足条件（VI）, 因为 $M_{1,j_{1}} = v = u+1 = M_{1,j_{0}}+1 > 0$ 且 $j_{0}+1 = 1 = j_{1}$ . 因此, $c_{2}^{M} = D_{v^{M}} D_{M_{1,j_{1}^{M}}} 0 = D_{u} D_{v} 0$ , 且 $\mathrm{Trans}(M) = s_{1}^{M} c_{2}^{M} b_{1}^{M} = D_{u} D_{v} 0$ .

证毕.

'''定理 91''' Pred 具有公差 $(1,1)$ 的对序列的 Trans 的基本性质.

对于任意 $u, v, w, w' \in \mathbb{N}$ , 令 $u < v^{then} M := ((j, j))_{j=u}^v \oplus_{\mathbb{N}^2} (w', w)$ , 且如下成立:

(1) 若 $w' = v+1$ 且 $u < w \leq v$ , 则 $Trans(M) = D_{u}D_{v}D_{w}0$ .

(2) 若 $u < w' \leq v$ 且 $w = w'$ , 则 Trans $(M) = D_u(D_v0, D_w0)$ .

(3) 若 $u+1 < w' \leq v$ 且 $w < w'$ , 则 Trans $(M) = D_u(D_v0, D_{w'-1}(D_v0, D_w0))$ .

(4) 若 $u+1 = w'$ 且 $w < w'$ , 则 Trans $(M) = D_u(D_v0, D_w0)$ .

证明：

无论哪种情况, M 都是单项的, 并且满足条件 (A) 和 (B), 因此由于可约性与系数之间的关系, M 是可约的. Trans 的递归定义中引入的符号是针对 M 定义的, 并且 M 的写法是将 M 写在右边, 以明确表示它应用于 M.

$\operatorname{Pred}(M) = ((j,j))_{j=u}^{v}$ , 并且根据 Trans 的基本性质, 对于具有公差 (1,1) 的对序列, $t_1^M = \operatorname{Trans}(\operatorname{Pred}(M)) = D_u D_v 0 \neq 0$ , 因此条件 (I) 至 (VI) 对 $M$ 有意义. $j_1^M = v-u+1$ . 由 Mark 在左边第一个基点的基本性质可知, $\operatorname{Mark}(\operatorname{Pred}(M), 0) = t_1^M = D_u D_v 0$ ；又由 Mark 在右边第一个基点的基本性质可知, $\operatorname{Mark}(\operatorname{Pred}(M), j_1^M-1) = D_{\operatorname{Pred}(M)_{1,j_1 M_1}} 0 = D_v 0$ .

设 $w' = v+1$ , 且 $u < w \leq v$ .

$j_{0}^{M}=j_{1}^{M}-1=v-u$ , 且 $M_{1,j_{0}^{M}}=M_{1,v-u}=v$ , 且 $M_{1,j_{1}^{M}}=M_{1,v-u+1}=w\leq v=M_{1,j_{0}^{M}}$ , 因此 $(1,j_{0}^{M})<_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1}^{M})$ 不成立, 且 $j_{0}^{M}$ 为 M 可接受的, 因此 $j_{-1}^{M}=j_{0}^{M}=j_{1}^{M}-1$ . 因此, M 满足条件 (I) 或 (III).

$c_{1}^{M} = \operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}^{M}\right) = \operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{1}^{M}-1\right) = D_{v}0$ , 且由于 $s_{1}^{M}D_{v}0b_{1}^{M} = s_{1}^{M}c_{1}^{M}b_{1}^{M} = t_{1}^{M} = D_{u}D_{v}0$ , $s_{1}^{M} = D_{u}$ 且 $b_{1}^{M} = ()$ . 另外, 由于 $D_{v^{M}}t_{2}^{M} = c_{1}^{M} = D_{v}0$ , $v^{M} = v$ 且 $t_{2}^{M} = 0$ , 因此 $c_{2}^{M} = D_{v^{M}}\left(t_{2}^{M}+D_{M_{1,j_{1}^{M}}}0\right) = D_{v}(0+D_{w}0) = D_{v}D_{w}0$ .

由上可知, $\mathrm{Trans}(M) = s_1^M c_2^M b_1^M = D_u D_v D_w 0$ .

令 $u < w' \leq v$ 且 $w = w'$ .

$j_{0}^{M}=w^{\prime}-u-1, M_{1,j_{0}^{M}}=M_{1,w^{\prime}-u-1}=w^{\prime}-1$ , 且 $M_{1,j_{1}^{M}}=M_{1,v-u+1}=w=M_{1,j_{0}^{M}}+1$ , 因此 $(1,j_{0}^{M})<_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1}^{M})$ , 且 $j_{0}^{M}$ 不为 M 可接受的, 因此 $j_{-1}^{M}=0$ . 因此, M 满足条件 (V).

$c_{1}^{M} = \mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M),j_{-1}^{M}\right) = \mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),0) = D_{u}D_{v}0$ , 又因为 $j_{-1}^{M} = 0$ 且 $s_1$ 与 $b_{1}$ 为空且满足基点关系, 所以 $s_1^M = ()$ 且 $b_{1}^{M} = ()$ . 又, 由于 $D_{v^{M}}t_{2}^{M} = c_{1}^{M} = D_{u}D_{v}0$ , $v^{M} = u$ 且 $t_2^M = D_v0$ , 因此 $c_{2}^{M} = D_{v^{M}}\left(t_{2}^{M}+D_{M_{1,j_{1}}}0\right) = D_{u}\left(D_{v}0+D_{w}0\right) = D_{u}\left(D_{v}0,D_{w}0\right)$ .

由上可知, $\mathrm{Trans}(M)=s_{1}^{M}c_{2}^{M}b_{1}^{M}=D_{u}\left(D_{v}0,D_{w}0\right)$ .

设 $u+1 < w' \leq v$ 且 $w < w'$ .

$j_{0}^{M}=w'-u-1>0$ , 且 $M_{1,j_{0}^{M}}=M_{1,w'-u-1}=w'-1$ 且 $M_{1,j_{1}^{M}}=M_{1,v-u+1}=w\leq w'-1=M_{1,j_{0}^{M}}$ , 因此 $(1,j_{0}^{M})<_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1}^{M})$ , 且 $j_{0}^{M}$ 不满足 M 可接受性, 因此 $j_{-1}^{M}=0$ . 因此, M 满足条件 (IV).

$c_{1}^{M}=\mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M),j_{-1}^{M}\right)=\mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),0)=D_{u}D_{v}0$ , 且 $j_{-1}^{M}=0$ , 且 $s_{1}$ 与 $b_{1}$ 之间存在空性和基点关系, 因此 $s_{1}^{M}=()$ , $b_{1}^{M}=()$ .

又, 由于 $D_{v^M}t_2^M = c_1^M = D_uD_v0,v^M = u$ , 且 $t_2^M = D_v0$ . 因为 $v\geq w' > w'-1,t_2^M$ 的唯一单项分量 $D_{v}0$ 的最左边分量为 $D_{v}\neq D_{w^{\prime}-1} = D_{M_{1,j_0^M}}$ , 所以 $t_3^M = t_2^M = D_v0$ 且 $t_4^M = t_2^M =$ $D_{v}0$ . 因此 $c_{2}^{M} = D_{v^{M}}\left(t_{3}^{M}+D_{M_{1,j_0^M}}\left(t_{4}^{M}+D_{M_{1,j_1^M}}0\right)\right) = D_u(D_v0+D_{w^{\prime}-1}(D_v0+D_w0)) =$ $D_{u}(D_{v}0,D_{w^{\prime}-1}(D_{v}0,D_{w}0))$ .

由上可知, $\mathrm{Trans}(M)=s_{1}^{M}c_{2}^{M}b_{1}^{M}=D_{u}\left(D_{v}0,D_{w^{\prime}-1}\left(D_{v}0,D_{w}0\right)\right)$ .

设 $u+1 = w'$ 且 $w < w'$ .

$j_{0}^{M}=0,\ M_{1,j_{0}^{M}}=M_{1,0}=u$ , 且 $M_{1,j_{1}^{M}}=M_{1,v-u+1}=w\leq w'-1=u=M_{1,j_{0}^{M}}$ , 因此 $\left(1,j_{0}^{M}\right)<_{M}^{\mathrm{Next}}\left(1,j_{1}^{M}\right)$ 不成立, 且 $j_{0}^{M}$ 为 M 可接受的, 因此 $j_{-1}^{M}=j_{0}^{M}=0$ . 因此, M 满足条件 (I) 或 (III).

$c_{1}^{M} = \mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M),j_{-1}^{M}\right) = \mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),0) = D_{u}D_{v}0$ , 又因为 $j_{-1}^{M} = 0$ 且 $s_1$ 与 $b_{1}$ 为空且满足基点关系, 所以 $s_1^M = ()$ 且 $b_{1}^{M} = ()$ . 又, 由于 $D_{v^{M}}t_{2}^{M} = c_{1}^{M} = D_{u}D_{v}0$ , $v^{M} = u$ 且 $t_2^M = D_v0$ , 因此 $c_{2}^{M} = D_{v^{M}}\left(t_{2}^{M}+D_{M_{1,j}}0\right) = D_{u}\left(D_{v}0+D_{w}0\right) = D_{u}\left(D_{v}0,D_{w}0\right)$ .

由上可知, $\mathrm{Trans}(M)=s_{1}^{M}c_{2}^{M}b_{1}^{M}=D_{u}\left(D_{v}0,D_{w}0\right)$ .

'''定理 92''' 在条件 (I) 或 (III) 下围绕 $c_{1}$ 的具体表达式.

对于任意 $M \in RT_{\mathrm{PS}} \cap PT_{\mathrm{PS}}$ , 使用 Trans 递归定义中引入的符号, 如果 $j_0$ 满足 $M$ 条件, 且 $j_1 > 1$ 且 $M_{1,j_0} \geq M_{1,j_1}$ , 则以下成立：

(1) $t_1 \neq 0$ 且 $M$ 满足条件 (1) 或 (111), 且 $\operatorname{Trans}\left((M_j)^{j_1-1}_{j = j_0}\right) = c_1 \in PT_{\mathrm{B}}$ .

此外, 假设存在唯一的 $j_{0}^{\prime} \in N$ 使得 $(0, j_{0}^{\prime}) <_{M}^{\text{Next}} (0, j_{0})$ , 且令 $j_{-1}^{\prime} := \operatorname{Adm}_{M}(j_{0}^{\prime})$ .

(2) $j_0' \leq j_1-2$ 且 $\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}'\right) \in T_{\mathrm{PS}}^{Marked}$ 且 $\left((M_j)_{j=j_{-1}'}^{j_1-1}, j_0-j_{-1}'\right) \in T_{\mathrm{PS}}^{Marked}$ .

(3) 若 $j_{0}^{\prime}+1 = j_{0}$ , 则下列命题成立：

(3-1) 若 $j_{-1}^{\prime} = j_{0}^{\prime}$ 或 $M_{1,j_0^{\prime}}+1 = M_{1,j_0}$ , 则 $\operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}^{\prime}\right) = D_{M_{1,j'-1}}c_1$ .

(3-2) 若 $j_{-1}^{\prime}j_{0}^{\prime}$ 且 $M_{1,j_0'} \geq M_{1,j_0}$ , 则 $\operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}^{\prime}\right) = D_{M_{1,j'-1}}D_{M_{1,j_0'}}c_1$ .

(4) 若 $j_0'+1 < j_0$ , 则下列命题成立：

(4-1) 若 $j_{-1}^{\prime} = j_{0}^{\prime}$ 或 $M_{1,j_0^{\prime}}+1 = M_{1,j_0}$ , 则存在唯一的 $t_2^{\prime} \in T_{\mathrm{B}}^{2}$ , 使得 $\operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}^{\prime}\right) = D_{M_{1,j'}}\left(t_2^{\prime}+c_1\right)$ .

(4-2) 若 $j_{-1}^{\prime} j_{0}^{\prime}$ 且 $M_{1,j_0'} \geq M_{1,j_0}$ , 则存在唯一的 $(t_3', t_4') \in T_{\mathrm{B}}^2$ 使得 $\operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}'\right) = D_{M_{1,j'-1}^{\prime}}\left(t_3'+D_{M_{1,j_0'}}\left(t_4'+c_1\right)\right)$ .

此外, 对于任意 $n \in \mathbb{N}_{+}$ , 令 $n > 1$ , 且令 $N := (M[n]_j)_{j=0}^{j_0+(n-1)(j_1-j_0)}$ . Trans 递归定义中引入的符号是针对 $N$ 定义的, 并且 $N$ 写在右肩上, 以明确这是对 $N$ 的一个应用.

证明：

证明 (1) 成立.

由于 $\mathrm{Lng}(\mathrm{Pred}(M))-1 = j_1 > 1$ , $\mathrm{Pred}(M)$ 不是零项, 因此, 由于Trans保留零项性质, $t_1 \neq 0$ . $M_{1,j_0} \geq M_{1,j_1}$ 且 $j_0$ 可被 $M$ 接受, 因此 $j_0 = j_{-1}$ 且 $M$ 满足条件(I)或(III).

由于 $j_0$ 可被 $M$ 接受, 因此 $j_{-1} = j_0$ . 因此, $c_1 = \mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M), j_{-1}) = \mathrm{Trans}\left((\mathrm{Pred}(M)_j)_{j=j_{-1}}^{j_1-1}\right) = \mathrm{Trans}\left((M_j)_{j=j_0}^{j_1-1}\right)$ . 又, $t_1 \neq 0$ 且 $(t_1, c_1) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ , 因此 $c_1 \in PT_{\mathrm{B}}$ .

证明（2）成立.

因为 $j_{-1}^{\prime}\leq j_{0}^{\prime}j_{0}< j_{1},\; j_{-1}^{\prime}\leq j_{1}-2$ . $\left(0,j_{-1}^{\prime}\right)\leq_{M}\left(0,j_{0}^{\prime}\right)<_{M}^{\mathrm{Next}}\left(0,j_{0}\right)<_{M}^{\mathrm{Next}}\left(0,j_{1}\right)$ 来自 $\left(M,j_{-1}^{\prime}\right)\in T_{\mathrm{PS}}$ 已标记. 因此, 由于基切片的遗传性, $\left(\operatorname{Pred}(M),j_{-1}^{\prime}\right)\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ . $(M,j_{0})\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ 并且由于基切片的遗传性, $\left((M_{j})_{j=j_{-1}^{\prime}}^{j_{1}-1},j_{0}-j_{-1}^{\prime}\right)\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ .

证明 (3) 和 (4) 成立.

设 $N := (M_{j})_{j=j_{-1}^{\prime}}^{j_{0}}$ . Red(N) 为约化函数, 因此从约化率与系数的关系可知, M 和 Red(N) 满足条件 (A) 和 (B). 由于 Red(N) 满足条件 (A) 和 (B), 并且从直接祖先切片以及 Red 与 IncrFirst 的关系可知,

\[
N = \mathrm{IncrFirst}^{M_{0, j_{- 1}^{\prime}}-M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} (\mathrm{Red} (N)), \tag {21.119}
\]

\[
\operatorname{Red} (N) = ((j, j))_{j = M_{1, j_{- 1}^{\prime}}}^{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left((M_{0, j}-M_{0, j_{- 1}^{\prime}}+M_{1, j_{- 1}^{\prime}}, M_{1, j})\right)_{j = j_{0}^{\prime}+1}^{j_{0}-1} \tag {21.120}
\]

\[
\oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left((M_{1, j_{0}^{\prime}}+1, M_{1, j_{0}})\right).
\]

因此, 由 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变式 P 同变性可知,

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (N) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} (N)) \\ = \operatorname{Trans} \left(\left((j, j)\right)_{j = M_{1, j_{- 1}^{\prime}}}^{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left(\left(M_{0, j}-M_{0, j_{- 1}^{\prime}}+M_{1, j_{- 1}^{\prime}}, M_{1, j}\right)\right)_{j = j_{0}^{\prime}+1}^{j_{0}-1} \right. \tag {21.121} \\ \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left((M_{1, j_{0}^{\prime}}+1, M_{1, j_{0}})\right)). \\ \end{array}
\]

设 $j_{0}^{\prime}+1 = j_{0}$ .

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (N) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} (N)) \\ = \operatorname{Trans} \left(\left((j, j)\right)_{j = M_{1, j^{\prime}-1}}^{M_{1, j^{\prime}}}\right) \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left(\left(M_{0, j}-M_{0, j^{\prime}-1}+M_{1, j^{\prime}-1}, M_{1, j}\right)\right)_{j = j_{0}^{\prime}+1}^{j_{0}-1} \tag {21.122} \\ \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left((M_{1, j_{0}^{\prime}}+1, M_{1, j_{0}})\right)) \\ = \mathrm{Trans} (((j, j))_{j = M_{1, j_{- 1}^{\prime}}}^{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} (M_{1, j_{0}^{\prime}}+1, M_{1, j_{0}})). \\ \end{array}
\]

设 $M_{1,j_0'}+1 = M_{1,j_0}$ , 则根据公差为 $(1,1)$ 的序列Trans的基本性质,

\[
\operatorname{Trans} (N) = \operatorname{Trans} \left(\left((j, j)\right)_{j = M_{1, j_{- 1}^{\prime}}}^{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left(M_{1, j_{0}^{\prime}}+1, M_{1, j_{0}}\right)\right) = D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} D_{M_{1, j_{0}}} 0. \tag {21.123}
\]

设 $j_{-1}^{\prime} = j_0^{\prime}$ 且 $M_{1,j_0^{\prime}}\geq M_{1,j_0}$ , 则由2列对序列的基本性质,

\[
\operatorname{Trans} (N) = \operatorname{Trans} ((\left(j, j\right))_{j = M_{1, j_{- 1}^{\prime}}}^{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left(M_{1, j_{0}^{\prime}}+1, M_{1, j_{0}}\right)) = D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} D_{M_{1, j_{0}}} 0. \tag {21.124}
\]

如果 $j_{-1}^{\prime}<j_{0}^{\prime}$ 且 $M_{1,j_{0}^{\prime}}\geq M_{1,j_{0}}$ , 则根据具有公差 (1,1) 的序列对的 Trans 的基本性质 (1),

\[
\begin{array}{l} \operatorname{Mark} \left(\operatorname{Pred} (M), j_{- 1}^{\prime}\right) \\ = \operatorname{Trans} \left((M_{j})_{j = j_{- 1}^{\prime}}^{j_{1}-1}\right) \\ = D_{M_{1, j^{\prime}-1}} \operatorname{Trans} \left((M_{j})_{j = j_{0}}^{j_{1}-1}\right) \tag {21.125} \\ = D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} \operatorname{Mark} \left(\operatorname{Pred} (M), j_{- 1}\right) \\ = D_{M_{1, j^{\prime}-1}} c_{1}. \\ \end{array}
\]

如果 $j_{-1}^{\prime} < j_0^{\prime}$ 且 $M_{1,j_0^{\prime}}+1 = M_{1,j_0}$ , 那么

\[
\begin{array}{l} \text {Mark} \left(\operatorname{Pred} (M), j_{- 1}^{\prime}\right) \\ = \operatorname{Trans} \left((M_{j})_{j = j_{- 1}^{\prime}}^{j_{1}-1}\right) \\ = D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \operatorname{Trans} \left((M_{j})_{j = j_{0}}^{j_{1}-1}\right) \tag {21.126} \\ = D_{M_{1, j_{- 1}}} \operatorname{Mark} \left(\operatorname{Pred} (M), j_{- 1}\right) \\ = D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} c_{1}. \\ \end{array}
\]

设 $j_{0}^{\prime}+1 < j_{0}$ .

Trans 递归定义中引入的符号是针对 N 定义的, N 的右肩部分写为 N, 以明确表示它是对 N 的应用. $j_{1}^{N}=j_{0}-j_{-1}^{\prime}$ 且 $j_{0}^{N}=j_{0}^{\prime}-j_{-1}^{\prime}$ , 并且由于切片的遗传性, $j_{-1}^{N}=\mathrm{Adm}_{N}\left(j_{0}^{N}\right)=\mathrm{Adm}_{M}\left(j_{0}^{\prime}\right)-j_{-1}^{\prime}=0$ . 因此, 由于 $s_{1}$ 和 $b_{1}$ 为空, 以及基点之间的关系, $s_{1}^{N}=()$ 且 $b_{1}^{N}=()$ .

由于 $j_{-1}^{\prime}\leq j_{0}^{\prime}j_{0}^{\prime}+1 < j_{0},\quad j_{1}^{N} = j_{0}-j_{-1}^{\prime} > 2$ , 所以Pred $(N)$ 不是零项, 且Trans满足去项性质, $t_1^N\neq 0$ . 因此, 条件(I)至(VI)对 $N$ 有意义.

N 不满足条件 (VI), 因为 $j_{0}^{N}+1 = j_{0}^{\prime}+1-j_{-1}^{\prime} j_{0}-j_{-1}^{\prime} = j_{1}^{N}$ . 根据 Trans 最左元素的基本性质, $v^{N} = N_{1,0} = M_{1,j_{-1}^{\prime}}$ . 令 $j_{-1}^{\prime} = j_{0}^{\prime}$ 或 $M_{1,j_{0}^{\prime}}+1 = M_{1,j_{0}}$ .

令 $t_{2}^{\prime} := t_{2}^{N}$ .

如果 $j_{-1}^{\prime} = j_0^{\prime}$ , 则 $j_{-1}^{N} = 0 = j_{0}^{\prime}-j_{-1}^{\prime} = j_{0}^{N}$ , 因此 $j_0^N$ 是 $N$ 可接受的, 且满足条件 (I) 或 (III).

如果 $M_{1,j_{0}^{\prime}}+1 = M_{1,j_{0}}$ , 则 N 不满足条件 (VI), 因此 N 满足条件 (V).

无论哪种情况, 都有

\[
c_{2}^{N} = D_{v^{N}} \left(t_{2}^{N}+D_{N_{1, j_{1}^{N}}} 0\right) = D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} \left(t_{2}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}}} 0\right), \tag {21.127}
\]

\[
\mathrm{Trans} (N) = s_{1}^{N} c_{2}^{N} b_{1}^{N} = D_{M_{1, j^{\prime}-1}} \left(t_{2}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}}} 0\right). \tag {21.128}
\]

因此, 从加法和 scb 分解的关系、Mark 乘以 Trans 的表达式、以及 Trans 乘以 Mark 和切片的表达式来看, 我们有

\[
\begin{array}{l} \text {Mark} \left(\operatorname{Pred} (M), j_{- 1}^{\prime}\right) \\ = \operatorname{Trans} \left((M_{j})_{j = j_{- 1}^{\prime}}^{j_{1}-1}\right) \\ = D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} \left(t_{2}^{\prime}+\operatorname{Trans} \left((M_{j})_{j = j_{0}}^{j_{1}-1}\right)\right) \tag {21.129} \\ = D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} \left(t_{2}^{\prime}+\mathrm{Mark} \left(\mathrm{Pred} (M), j_{- 1}\right)\right) \\ = D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} \left(t_{2}^{\prime}+c_{1}\right). \\ \end{array}
\]

令 $j_{-1}^{\prime}j_{0}^{\prime}$ 且 $M_{1,j_{0}^{\prime}} \geq M_{1,j_{0}}$ .

由于 $j_{-1}^{N} = 0 < j_{0}^{\prime}-j_{-1}^{\prime} = j_{0}^{N}$ , 因此 $j_0^N$ 不为 $N$ 容许的；又由于 $N_{1,j_0^N} = M_{1,j_0'} \geq M_{1,j_0} = N_{1,j_1^N}$ , 因此 $N$ 满足条件 (II) 或 (IV).

令 $t_{3}^{\prime} := t_{3}^{N}$ .

令 $t_{4}^{\prime} := t_{4}^{N}$ .

\[
\begin{array}{l} c_{2}^{N} = D_{v^{N}} \left(t_{3}^{N}+D_{N_{1, j_{0}^{N}}} \left(t_{4}^{N}+D_{N_{1, j_{1}^{N}}} 0\right)\right) \tag {21.130} \\ = D_{M_{1, j^{\prime}-1}} \left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \left(t_{4}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}}} 0\right)\right), \\ \end{array}
\]

\[
\operatorname{Trans} (N) = s_{1}^{N} c_{2}^{N} b_{1}^{N} = D_{M_{1, j^{\prime}-1}^{\prime}} \left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \left(t_{4}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}}} 0\right)\right). \tag {21.131}
\]

因此, 从加法和 scb 分解的关系、Mark 乘以 Trans 的表达式、以及 Trans 乘以 Mark 和切片的表达式来看,

\[
\begin{array}{l} \text {Mark} \left(\operatorname{Pred} (M), j_{- 1}^{\prime}\right) \\ = \operatorname{Trans} \left((M_{j})_{j = j_{- 1}^{\prime}}^{j_{1}-1}\right) \\ = D_{M_{1, j_{-}^{\prime}}} \left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \left(t_{4}^{\prime}+\operatorname{Trans} \left((M_{j})_{j = j_{0}}^{j_{1}-1}\right)\right)\right) \tag {21.132} \\ = D_{M_{1, j_{-}^{\prime}}} \left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \left(t_{4}^{\prime}+\operatorname{Mark} (\operatorname{Pred} (M), j_{- 1}))\right)\right) \\ = D_{M_{1, j_{-}^{\prime}}} \left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \left(t_{4}^{\prime}+c_{1}\right)\right). \\ \end{array}
\]

我们证明 (5) 成立.

根据 $(0,j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_1)$ 和父母基本性质(1), 对于任意 $j\in \mathbb{N}$ , 若 $j_0 < j\leq j_1$ , 则 $M_{0,j}\geq M_{0,j_1} > M_{0,j_0}$ . 因此, 根据父母存在性的判定条件(3), 我们有 $(0,j_0)\leq M(0,j_1-1)$ . 此外, 由于 $(M_j)_{j = j_0}^{j_1-1} = (M[n]_j)_{j = j_0+(n-1)(j_1-j_0)}^{j_0+n(j_1-j_0)-1}$ , 因此 $(0,j_0+(n-1)(j_1-j_0))\leq_{M[n]}(0,j_0+n(j_1-j_0)-1)$ .

$n > 1, M[n]_{0,j_0+(n-1)(j_1-j_0)-1} = M_{0,j_1-1} > M_{0,j_0} = M[n]_{0,j_0+(n-1)(j_1-j_0)}$ , 所以 $(0, j_0+(n-1)(j_1-j_0)-1)(0, j_0+(n-1)(j_1-j_0))$ 不成立. 因此, $j_0+(n-1)(j_1-j_0)$ 是 $M[n]$ 可接受的. 由上可知, $(M[n], j_0+(n-1)(j_1-j_0)) \in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked.}}$ .

对于任意 $j \in \mathbb{N}$ , 若 $j_0 \leq j < j_0+(n-1)(j_1-j_0)$ , 则 $r \in \mathbb{N}$ 为 $j-j_0$ 除以 $j_1-j_0 > 0$ 的余数, 且 $r < j_1-j_0$ . 如果 $r = 0$ , 则 $M[n]_{0,j} = M_{0,j_0+r} = M_{0,j_0} = M[n]_{0,j_0+(n-1)(j_1-j_0)}$ , 如果 $r > 0$ , 则 $M[n]_{0,j} = M_{0,j_0+r} \geq M_{0,j_1} > M_{0,j_0} = M[n]_{0,j_0+(n-1)(j_1-j_0)}$ , 因此在任何一种情况下, $(0,j) \leq_{M[n]} (0,j_0+(n-1)(j_1-j_0))$ 都不成立. 另外, 对于任何 $j \in \mathbb{N}$ , 如果 $j_0' j < j_0$ , 则 $(0,j_0') < _M^{\mathrm{Next}}(0,j_0)$ , 且根据父元素的基本性质 (1), $M[n]_{0,j} = M_{0,j} \geq M_{0,j_0} = M[n]_{0,j_0+(n-1)(j_1-j_0)}$ , 因此 $(0,j) \leq_{M[n]} (0,j_0+(n-1)(j_1-j_0))$ 并非如此.

进一步, 由于 $(0,j_0') <_{M}^{\mathrm{Next}} (0,j_0)$ , $M[n]_{0,j_0'} = M_{0,j_0'} < M_{0,j_0} = M[n]_{0,j_0+(n-1)(j_1-j_0)}$ , 因此由上可知, $(0,j_0') <_{M[n]}^{\mathrm{Next}} (0,j_0+(n-1)(j_1-j_0))$ .

$\mathrm{Lng}(N) = j_0+(n-1)(j_1-j_0)+1$ , 故 $j_{1}^{N} = j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})\geq j_{0}+(j_{1}-j_{0})\geq$ $j_0+1 > 1$ , 从而Pred $(N)$ 不为零项, 且由于Trans满足去项性质, $t_1^N\neq 0$ . 因此, 条件(I)至(VI)对 $N$ 有意义.

$(0,j_0') <_{M[n]}^{\mathrm{Next}} (0,j_0+(n-1)(j_1-j_0))$ 来自 $(0,j_0') <_{N}^{\mathrm{Next}} (0, j_0+(n-1)(j_1-j_0)) = (0,j_1^N), j_0^N = j_0', \mathrm{Pred}(N) = (M[n]_j)_{j=0}^{j_0+(n-1)(j_1-j_0)-1} = M[n-1]$ . 因此, $t_1^N = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N)) = \mathrm{Trans}(M[n-1]) = \mathrm{Trans}(M)[n-2]$ .

由于 $j_0' < j_0 \leq j_1-1$ , 以及容许化切片的遗传性, 因此 $\mathrm{Adm}_N(j_0') = \mathrm{Adm}_{\mathrm{Pred}(M)}(j_0') = j_{-1}'$ . 因此, $j_{-1}^N = \mathrm{Adm}_N(j_0^N) = \mathrm{Adm}_N(j_0') = j_{-1}'$ . 由于 $j_0^N+1 = j_0'+1 \leq j_0 < j_1 \leq j_0+(n-1)(j_1-j_0) = j_1^N$ , $N$ 不满足条件（VI）.

证毕.

下面回到正题.

在条件 (I) 下, Trans 与基本列的交换关系证明:

由于 M 是单项的, Trans 保持零终止性, 因此 Trans $(M) \neq 0$ .

(2) 直接由 (1)、Trans(M) ≠ 0 和[Buc1] 引理 3.2 (a) 得出. 下面我们给出 (1).

由于 $j_{1}>0$ , $\mathrm{Pred}(M)$ 不是零终止性的, 因此 Trans 保持零终止性, 因此 $t_{1}\neq0$ . 同样, 由于 $(t_{1},c_{1})\in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ , 因此 $c_{1}\in PT_{B}$ .

由于 M 可约, 且由于可约性和系数之间的关系, 条件 (A) 和 (B) 得到满足. 由于 M 的单项式性和条件 (B), $M_{0,0} = M_{1,0}$ . 由于可约性在基本列中得到保留, 因此 $M[n]$ 也是可约的.

由于 $j_{0}$ 具有 M 容错性, 因此 $j_{-1}=j_{0}$ . 由于 Mark 左端的基本性质, $v=M_{1,j_{-1}}=M_{1,j_{0}}$ . 根据 Trans 的定义, $(s_{1},c_{2},b_{1})=(s_{1},D_{M_{1,j_{0}}}(t_{2}+D_{0}0),b_{1})$ 是 $\mathrm{Trans}(M)$ 的第 0 类 scb 分解.

若 n=1, 则 $M[n]=\mathrm{Pred}(M)$ , 因此 $\mathrm{Trans}(M[n])=t_{1}=s_{1}c_{1}b_{1}$ .

令 $j_{0}=0$ .

由于非复项性与基本列 (1) 的关系, $P(M[n]) = (\text{Pred}(M))_{k=0}^{n-1}$ .

由于 $j_0$ 满足 $M$ 容许条件, $j_{-1} = j_0 = 0$ . 因此, 由于 $s_1$ 和 $b_1$ 为空, 以及基点之间的关系, $s_1 = ()$ , $b_1 = ()$ . 由于 $\operatorname{scb}$ 分解与基本列 $(1-1)$ 的关系, $\operatorname{Trans}(M)[n-1] = D_{M_{1,i_0}}(t_2+D_00)[n-1] = (D_{M_{1,i_0}}t_2)\times n = c_1\times n$ .

我们利用关于 n 的数学归纳法证明, $\mathrm{Trans}(M[n]) = \mathrm{Trans}(M)[n-1]$ .

如果 n=1, 则 $\mathrm{Trans}(M[n])=s_{1}c_{1}b_{1}=c_{1}=\mathrm{Trans}(M)[n-1]$ .

如果 $n > 1$ , 则根据归纳假设, $\mathrm{Trans}(M[n-1]) = \mathrm{Trans}(M)[n-2]$ . 由于 $\operatorname{Lng}(\operatorname{Pred}(M)) = j_1 > 1$ , $\operatorname{Pred}(M) \neq (0,0)$ , 因此根据 Trans 的递归定义

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (M[n]) \\ = \operatorname{Trans} \left(\bigoplus_{\mathbb {N}^{2}} (\operatorname{Pred} (M))_{k = 0}^{n-2}\right)+\operatorname{Trans} (\operatorname{Pred} (M)) \\ \begin{array}{l} = \operatorname{Trans} (M[n-1])+t_{1} \\ = \operatorname{Trans} (M)[n-2] = t_{1} \end{array} \tag {21.133} \\ = \mathrm{Trans} (M)[n-2]+s_{1} c_{1} b_{1} \\ = c_{1} \times (n-1)+c_{1} \\ = c_{1} \times n \\ = \operatorname{Trans} (M)[n-1]. \\ \end{array}
\]

设 $j_{0} > 0$ .

由于 $M$ 满足条件 (I), $j_0$ 是 $M$ 可接受的, 且 $M_{1,j_0} \geq 0 = M_{1,j_1}$ . 因此, 在条件 (I) 或 (III) 下, $M$ 满足围绕 $c_1$ 的具体表达式假设.

由于 M 是单项的, $(0,0) \leq_{M} (0,j_{1})$ , 因此 $M_{0,0} < M_{0,j_{1}}$ . 由于 $0 < j_{0}$ , 根据父存在性判断条件 (1), 存在唯一的 $j_{0}^{\prime} \in N$ 满足 $(0,j_{0}^{\prime}) <_{M}^{\mathrm{Next}} (0,j_{0})$ . 我们使用在条件 (I) 或 (III) 下围绕 $c_{1}$ 的具体表达式中引入的符号.

由于 $\left(t_1, \operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}^{\prime}\right)\right) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ , 因此存在唯一的 $\left(s_{-1}^{\prime}, b_{-1}^{\prime}\right) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ , 使得 $\left(s_{-1}^{\prime}, \operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}^{\prime}\right), b_{-1}^{\prime}\right)$ 构成 $t_1$ 的 scb 分解. 具体而言, $\operatorname{Trans}(\operatorname{Pred}(M)) = t_1 = s_{-1}^{\prime} \operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}^{\prime}\right) b_{-1}^{\prime}$ .

根据 $j_{-1}=j_{0}>0$ 、 $s_{1}$ 和 $b_{1}$ 为空、基点关系以及 scb 分解的自明性判定条件, 有 $s_{1}\neq()$ .

令 $j_{-1}^{\prime} = j_{0}^{\prime}$ 或 $M_{1,j_0^{\prime}}+1 = M_{1,j_0}$ .

令 $j_{0}^{\prime}+1 = j_{0}$ .

令 $t_{2}^{\prime} := 0$ .

根据条件 (I) 或 (III) 下 $c_{1}$ 前后的具体表达式 (3-1), 可知 $s_{1}c_{1}b_{1} = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) = s_{-1}'\mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M), j_{-1}'\right)b_{-1}' = s_{-1}'D_{M_{1,j'}', c_1}b_{-1}'$ . 因此, 根据 scb 分解的唯一性 (1), $s_{1} = s_{-1}'D_{M_{11'-1}', 且 b_1 = b_{-1}'}$ .

由 scb 分解与基本列的关系(1-2)可知, $\mathrm{Trans}(M)[n-1]=s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j^{\prime}-1}}\left(\left(D_{M_{1,j_{0}}}t_{2}\right)\times n\right)b_{1}=s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j^{\prime}-1}}\left(c_{1}\times n\right)b_{-1}^{\prime}=s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j^{\prime}-1}}\left(t_{2}^{\prime}+c_{1}\times n\right)b_{-1}^{\prime}$ .

令 $j_{0}^{\prime}+1<j_{0}$ .

在条件 (I) 或 (III) 下, 存在唯一的 $t_{2}^{\prime} \in T_{B}$ 使得对于围绕 $c_{1}$ 的具体表示 (4-1), 存在唯一的 Mark $\left(\mathrm{Pred}(M), j_{-1}^{\prime}\right) = D_{M_{1,j_{-1}^{\prime}}}(t_{2}^{\prime}+c_{1})$ .

\[
\begin{array}{l} s_{1} c_{1} b_{1} = t_{1} = \text { Trans } (\text { Pred } (M)) \\ = s_{- 1}^{\prime} \operatorname{Mark} \left(\operatorname{Pred} (M), j_{- 1}^{\prime}\right) b_{- 1}^{\prime} \tag {21.134} \\ = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} \left(t_{2}^{\prime}+c_{1}\right) b_{- 1}^{\prime}. \\ \end{array}
\]

因此, 通过反复应用加法与 SCB 分解的关系以及 SCB 分解的合成规则（2）,

\[
\operatorname{Trans} (M) = s_{1} c_{2} b_{1} = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j^{\prime}-1}} \left(t_{2}^{\prime}+c_{2}\right) b_{- 1}^{\prime} \tag {21.135}
\]

\[
= s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j^{\prime}-1}} \left(t_{2}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}}} \left(t_{2}+D_{0} 0\right)\right) b_{- 1}^{\prime}.
\]

因此, 由scb分解与基本列(1-2)的关系可知, $\mathrm{Trans}(M)[n-1] = s_{-1}'D_{M_{1,j'-1}}\left(t_2'+\left(D_{M_{1,j_0}}t_2\right)\times n\right)b_1' = s_{-1}'D_{M_{1,j'-1}}\left(t_2'+c_1\times n\right)b_{-1}'$ .

从上可知, 在两种情况下, Trans $(M)[n-1]=s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j^{\prime}-1}}(t_{2}^{\prime}+c_{1}\times n)b_{-1}^{\prime}$ .

利用数学归纳法证明 $n$ 中的 $\operatorname{Mark}\left(M[n], j_{-1}^{\prime}\right) = D_{M_{1,j'}}\left(t_2'+c_1 \times n\right)$ 且 $\operatorname{Trans}(M[n]) = s_{-1}'\operatorname{Mark}\left(M[n], j_{-1}'\right)b_{-1}'$ . 如果 $n = 1$ 则 $\operatorname{Mark}\left(M[n], j_{-1}'\right) = \operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}'\right) = D_{M_{1,j'-1}}\left(t_2'+c_1\right) = D_{M_{1,j'-1}}\left(t_2'+c_1 \times n\right)$ 且 $\operatorname{Trans}(M[n]) = \operatorname{Trans}(\operatorname{Pred}(M)) = s_{-1}'\operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}'\right)b_{-1}' = s_{-1}'\operatorname{Mark}\left(M[n], j_{-1}'\right)b_{-1}'$ .

令 n > 1.

由条件（I）或（III）下围绕 $c_{1}$ 的具体表达式（5）可知, $j_{1}^{N} = j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})$ 且 $j_0^N = j_0'$ 且 $j_{-1}^{N} = j_{-1}'$ , 且 $t_1^N \neq 0$ , 因此 $N$ 不满足条件（VI）. 根据归纳假设, $c_{1}^{N} = \mathrm{Mark}\left(M[n-1], j_{-1}'\right) = D_{M_{1,j_{-1}'}}\left(t_2'+c_1 \times (n-1)\right)$ 且 $s_1^N c_1^N b_1^N = t_1^N = \mathrm{Trans}(M[n-1]) = s_{-1}'\mathrm{Mark}\left(M[n-1], j_{-1}'\right)b_{-1}' = s_{-1}'c_1^N b_{-1}'$ . 因此, 由scb分解(1)的唯一性可知, $s_1^N = s_{-1}'$ 且 $b_1^N = b_{-1}'$ . 又, 由 $D_{v^N}t_2^N = c_1^N = D_{M_{1,j_{-1}'}}\left(t_2'+c_1 \times (n-1)\right)$ , $v^N = M_{1,j_{-1}'}$ 且 $t_2^N = t_2'+c_1 \times (n-1)$ .

如果 $j_{-1}^{\prime} = j_0^{\prime}$ , 则 $j_{-1}^{N} = j_{-1}^{\prime} = j_{0}^{\prime} = j_{0}^{N}$ , 因此 $N$ 满足条件(I)或(III).

如果 $M_{1,j_0'}+1 = M_{1,j_0}$ , 则 $N$ 不满足条件 (VI)；且由于 $N_{1,j_0^N}+1 = M_{1,j_0} = N_{1,j_1^N}$ , 因此 $N$ 满足条件 (V).

因此, 无论哪种情况, N 都满足条件 (I)、(III) 或 (V), 且 $c_{2}^{N}=D_{v^{N}}\left(t_{2}^{N}+D_{N_{1,j_{1}^{N}}}0\right)=D_{M_{1,j^{\prime}-1}}\left((t_{2}^{\prime}+c_{1}\times(n-1))+D_{M_{1,j_{0}}}0\right)$ , 因此 $\mathrm{Trans}(N)=s_{1}^{N}c_{2}^{N}b_{1}^{N}=s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j^{\prime}-1}^{\prime}}\left(t_{2}^{\prime}+c_{1}\times(n-1)+D_{M_{1,j_{0}}}0\right)$

根据加法与scb分解的关系,以及scb分解的复合规则(2),我们有 $\left(D_{M_{1,j'-1}}\left(t_{2}^{\prime}+c_{1}\times(n-1)+D_{M_{1,j_{0}}}0\right),T_{B}^{\mathrm{Marked}}\right)$ . 另外,根据Mark的定义, $\left(\mathrm{Trans}(N),D_{M_{1,j'-1}}\left(t_{2}^{\prime}+c_{1}\times(n-1)+D_{M_{1,j_{0}}}0\right)\right)\in T_{B}^{\mathrm{Marked}}$ .

此外, 通过反复应用 scb 分解的复合规则 (1) 和 scb 分解的可替代性, 从 Trans 的 Mark 和切片表示,

\[
\begin{array}{l} \text {Trans} (M[n]) \\ = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} \left(\left(t_{2}^{\prime}+c_{1} \times (n-1)\right)+\operatorname{Mark} \left(M[n], j_{0}+(n-1) \left(j_{1}-j_{0}\right)\right)\right) b_{- 1}^{\prime} \\ = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} \left(\left(t_{2}^{\prime}+c_{1} \times (n-1)\right)+\operatorname{Mark} (\operatorname{Pred} (M), j_{- 1})\right) b_{- 1}^{\prime} \tag {21.136} \\ = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} \left(\left(c_{1} \times (n-1)\right)+c_{1}\right) b_{- 1}^{\prime} \\ = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j_{-}^{\prime}}} \left(t_{2}^{\prime}+c_{1} \times n\right) b_{- 1}^{\prime}. \\ \end{array}
\]

并且, 从 Trans $(N)=s_{-1}^{\prime}$ Mark $(N,j_{-1}^{\prime})b_{-1}^{\prime}$ ,

\[
s_{- 1}^{\prime} \operatorname{Mark} \left(M[n], j_{- 1}^{\prime}\right) b_{- 1}^{\prime} = \operatorname{Trans} (M[n]) = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j^{\prime}-1}} \left(t_{2}^{\prime}+c_{1} \times n\right) b_{- 1}^{\prime}, \tag {21.137}
\]

因此, $\operatorname{Mark}\left(M[n], j_{-1}^{\prime}\right) = D_{M_{1,j'-1}}\left(t_{2}^{\prime}+c_{1} \times n\right)$ 且 $\operatorname{Trans}(M[n]) = s_{-1}^{\prime} \operatorname{Mark}\left(M[n], j_{-1}^{\prime}\right) b_{-1}^{\prime}$ .

由上可知

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (M[n]) \\ = s_{- 1}^{\prime} \operatorname{Mark} \left(M[n], j_{- 1}^{\prime}\right) b_{- 1}^{\prime} \tag {21.138} \\ = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j^{\prime}-1}} \left(t_{2}^{\prime}+c_{1} \times n\right) b_{- 1}^{\prime} \\ = \operatorname{Trans} (M)[n-1]. \\ \end{array}
\]

令 $j_{-1}^{\prime}>j_{0}^{\prime}$ 且 $M_{1,j_{0}^{\prime}}\geq M_{1,j_{0}}$ .

令 $j_{0}^{\prime}+1 = j_{0}$ .

令 $t_{3}^{\prime} := 0$ .

令 $t_{4}^{\prime} := 0$ .

从条件 (I) 或 (III) 下围绕 $c_{1}$ 的具体表达式 (3-2),

\[
\begin{array}{l} s_{1} c_{1} b_{1} \\ = \operatorname{Trans} (\operatorname{Pred} (M)) \\ = s_{- 1}^{\prime} \operatorname{Mark} \left(\operatorname{Pred} (M), j_{- 1}^{\prime}\right) b_{- 1}^{\prime} \tag {21.139} \\ = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}^{\prime}} D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} c_{1} b_{- 1}^{\prime} \\ = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}^{\prime}} \left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} (t_{4}^{\prime}+c_{1})\right) b_{- 1}^{\prime}. \\ \end{array}
\]

根据 scb 分解的唯一性 (1), $s_{1}=s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j^{\prime}-1}}D_{M_{1,j_{0}}}$ 且 $b_{1}=b_{-1}^{\prime}$ .

根据 scb 分解与基本列的关系（1-2）,

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (M)[n-1] \\ \begin{array}{l} = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j^{\prime}-1}^{\prime}} D_{M_{1, j^{\prime}}^{\prime}} \left(\left(D_{M_{1, j_{0}}} t_{2}\right) \times n\right) b_{1} \\ \quad^ {\prime} D_{M_{1, j^{\prime}}} D_{M_{1, j^{\prime}}} (t_{2}) h^{\prime} \end{array} \tag {21.140} \\ = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \left(c_{1} \times n\right) b_{- 1}^{\prime} \\ = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}^{\prime}} \left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \left(t_{4}^{\prime}+c_{1} \times n\right)\right) b_{- 1}^{\prime}. \\ \end{array}
\]

令 $j_{0}^{\prime}+1 < j_{0}$ .

在条件 (I) 或 (III) 下, 存在唯一的 $(t_{3}^{\prime}, t_{4}^{\prime}) \in T_{\mathrm{B}}^{2}$ 使得 Mark $(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}^{\prime}) = D_{M_{1,j^{\prime}-1}} \left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_0^{\prime}}} (t_{4}^{\prime}+c_{1})\right)$ 且 $s_{1}c_{1}b_{1} = t_{1} = \operatorname{Trans}(\operatorname{Pred}(M)) = s_{-1}^{\prime} \operatorname{Mark} \left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}^{\prime}\right) b_{-1}^{\prime} = s_{-1}^{\prime} D_{M_{1,j^{\prime}_1}} \left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_0^{\prime}}} (t_{4}^{\prime}+c_{1})\right) b_{-1}^{\prime}$ .

因此, 通过迭代应用加法和 scb 分解之间的关系以及 scb 分解的组合规则 (2), 我们得到 $\left(D_{M_{1,j_{0}}}\left(t_{4}^{\prime}+c_{1}\right),c_{1}\right)$ , $\left(D_{M_{1,j_{-1}^{\prime}}}\left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}\left(t_{4}^{\prime}+c_{1}\right)\right),D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}\left(t_{4}^{\prime}+c_{1}\right)\right)\in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ . 另外, 根据 Mark 的定义, $\left(s_{1}c_{1}b_{1},D_{M_{1,j_{-1}^{\prime}}}\left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}\left(t_{4}^{\prime}+c_{1}\right)\right)\right),\left(s_{1}c_{1}b_{1},c_{1}\right)\in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ .

进一步, 通过反复应用 scb 分解的复合规则 (1) 以及 scb 分解的可替换性, 我们得到 $\mathrm{Trans}(M)=s_{1}c_{2}b_{1}=s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j^{\prime}-1}}\left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}\left(t_{4}^{\prime}+D_{M_{1,j_{0}}}\left(t_{2}+D_{0}0\right)\right)\right)b_{-1}^{\prime}$ .

由 scb 分解与基本列(1-2)的关系可知, $\mathrm{Trans}(M)[n-1]=s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j^{\prime}-1}}\left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}} \left(t_{4}^{\prime}+\left(D_{M_{1,j_{0}}}t_{2}\right)\times n\right)\right)b_{-1}^{\prime}$ $s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j^{\prime}-1}}\left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}} \left(t_{4}^{\prime}+c_{1}\times n\right)\right)b_{-1}^{\prime}$ .

因此, 在这两种情况下, $\mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M), j_{-1}^{\prime}\right) = D_{M_{1,j'-1}}\left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_0'}}(t_{4}^{\prime}+c_{1})\right)$ 且 $\mathrm{Trans}(M)[n-1] = s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j'-1}}\left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_0'}}(t_{4}^{\prime}+c_{1} \times n)\right)b_{-1}^{\prime}$ .

利用 n 中的数学归纳法,我们证明 $\mathrm{Mark}\left(M[n],j_{-1}^{\prime}\right)=D_{M_{1,j_{-1}^{\prime}}}\left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}\left(t_{4}^{\prime}+c_{1}\times n\right)\right)$ 且 $\mathrm{Trans}\left(M[n]\right)=s_{-1}^{\prime}\mathrm{Mark}\left(M[n],j_{-1}^{\prime}\right)b_{-1}^{\prime}$ .

$n = 1$ 则 $\mathrm{Mark}\left(M[n],j_{-1}^{\prime}\right) = \mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M),j_{-1}^{\prime}\right) = D_{M_{1,j^{\prime}-1}}\left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_0^{\prime}}}(t_{4}^{\prime}+c_{1})\right) =$ $D_{M_{1,j^{\prime}-1}}\left(t_3^{\prime}+D_{M_{1,j_0^{\prime}}}(t_4^{\prime}+c_1\times n)\right)$ 并且 $\mathrm{Trans}(M[n]) = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) = s_{-1}^{\prime}\mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M),j_{-1}^{\prime}\right)c_1b_{-1}^{\prime} =$ $s_{-1}^{\prime}\mathrm{Mark}\left(M[n],j_{-1}^{\prime}\right)b_{-1}^{\prime}\circ$

令 n > 1.

由条件（I）或（III）下围绕 $c_{1}$ 的具体表达式（5）可知, $j_{1}^{N} = j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})$ 且 $j_0^N = j_0'$ 且 $j_{-1}^N = j_{-1}'$ , 且 $t_1^N \neq 0$ , 因此 $N$ 不满足条件（VI）. 根据归纳假设, $c_{1}^{N} = \mathrm{Mark}\left(M[n-1],j_{-1}^{\prime}\right) = D_{M_{1,j'-1}^{\prime}}\left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_0'}^{\prime}}(t_4^{\prime}+c_1\times (n-1))\right)$ 且 $s_1^N c_1^N b_1^N = t_1^N =$ Trans $(M[n-1]) = s_{-1}^{\prime}\mathrm{Mark}\left(M[n-1],j_{-1}^{\prime}\right)b_{-1}^{\prime} = s_{-1}^{\prime}c_{1}^{N}b_{-1}^{\prime}$ . 因此, 根据scb分解(1)的唯一性, $s_1^N = s_{-1}'$ 且 $b_{1}^{N} = b_{-1}'$ . 另外, $D_{v^{N}}t_{2}^{N} = c_{1}^{N} = D_{M_{1,j'-1}^{\prime}}\left(t_3^{\prime}+D_{M_{1,j_0'}}(t_4^{\prime}+c_1\times (n-1))\right)$ , 因此 $v^{N} = M_{1,j_{--}^{-1}}$ 且 $t_2^N = t_3^{\prime}+D_{M_{1,j_0'}}(t_4^{\prime}+c_1\times (n-1))$ .

由于 $j_{-1}^{N} = j_{-1}^{\prime} < j_{0}^{\prime} = j_{0}^{N}$ , $j_{0}^{N}$ 不是 $N$ 容许的, 因此 $N$ 不满足条件 (I) 或 (III)；但是, 由于 $N_{1,j_0^N}+1 = M_{1,j_0^{\prime}}+1 \geq M_{1,j_0} = N_{1,j_1^N}$ , 因此 $N$ 满足条件 (II) 或 (IV). $t_2^N$ 的最右边单项式分量 $D_{M_{1,j_0^{\prime}}}(t_4^{\prime}+c_1 \times (n-1))$ 的左端为 $D_{M_{1,j_0^{\prime}}} = D_{N_{1,j_0^N}}$ , 因此 $t_3^N = t_3^{\prime}$ 且 $D_{N_{1,1,j_0^N}}t_4^N = t_2^N = D_{M_{1,j_0^{\prime}}}(t_4^{\prime}+c_1 \times (n-1))$ , 即 $t_4^N = t_4^{\prime}+c_1 \times (n-1)$ . 因此

\[
c_{2}^{N} = D_{v^{N}} \left(t_{3}^{N}+D_{N_{1, j_{0}^{N}}} \left(t_{4}^{N}+D_{N_{1, j_{1}^{N}}} 0\right)\right) = D_{M_{1, j^{\prime}-1}} \left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \left(t_{4}^{\prime}+c_{1} \times (n-1)+D_{M_{1, j_{0}}} 0\right)\right) = D_{M_{1, j^{\prime}-1}} \left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1, j^{\prime}-1}} \left(t_{4}^{\prime}+c_{1} \times (n-1)+D_{M_{1, j^{\prime}-1}} 0\right)\right)
\]

因此, Trans $(N) = s_{1}^{N}c_{2}^{N}b_{1}^{N} = s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j^{\prime}-1}}\left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_0^{\prime}}}\left(t_{4}^{\prime}+c_{1}\times (n-1)+D_{M_{1,j_0}}0\right)\right)b_{-1}^{\prime}$ .

此外, 通过反复应用 scb 分解的复合规则 (1) 和 scb 分解的可替代性, [57]Trans 表示为 Mark, 并切片

\[
\begin{array}{l} \operatorname{Trans} (M[n]) = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} \left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \left(t_{4}^{\prime}+c_{1} \times (n-1)+\operatorname{Mark} (M[n], j_{0}+(n-1) \left(j_{1}-j_{0}\right))\right)\right) b_{- 1}^{\prime} = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} \\ { = } s_{-1 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-1 }^{ \prime } } } ( t_{ 3 }^{ \prime }+D_{ M_{ 1 , j_{ 0 }^{ \prime } } } ( t_{ 4 }^{ \prime }+c_{ 1 } \times n ) ) b_{-1 }^{ \prime } \\ \end{array}
\]

进一步, $\mathrm{Trans}(N)=s_{-1}^{\prime}\mathrm{Mark}(N,j_{-1}^{\prime})b_{-1}^{\prime}$

\[
s_{- 1}^{\prime} \mathrm{Mark} (M[n], j_{- 1}^{\prime}) b_{- 1}^{\prime} = \mathrm{Trans} (M[n]) = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} (t_{3}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} (t_{4}^{\prime}+c_{1} \times n)) b_{- 1}^{\prime}
\]

因此 $\operatorname{Mark}(M[n], j_{-1}') = D_{M_{1,j'_{-1}}}(t_3'+D_{M_{1,j'_0}}(t'_4+c_1 \times n))$ 且 $\operatorname{Trans}(M[n]) = s_{-1}'\operatorname{Mark}(M[n], j_{-1}')b_{-1}'$ .

由上式可知,

\[
\mathrm{Trans} (M[n]) = s_{- 1}^{\prime} \mathrm{Mark} (M[n], j_{- 1}^{\prime}) b_{- 1}^{\prime} = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} (t_{3}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} (t_{4}^{\prime}+c_{1} \times n)) b_{- 1}^{\prime} = \mathrm{Trans} (M)[n-1]
\]

证毕.

令 $M \in T_{PS}$ .

如果 M 可约、单项式, 且 $\mathrm{Br}(M)$ 为降序列, 则 M 为强单项式.

令 $DT_{PS} \subset T_{PS}$ 为所有强单项式对序列的子集.

'''定理 93''' 标准形式的直系祖先切片约化的强单项性.

对于任意 $M \in ST_{PS}$ 和 $j_0', j_1' \in \mathbb{N}$ , 设 $j_1 := Lng(M)-1$ , 令 $j_0' < j_1' \leq j_1$ 且令 $M' := (M_j)_{j=j_0'}^{j_1'}$ , 则若 $(0, j_0') \leq_M (0, j_1')$ , 则 $Red(M')$ 为强单项的.

证明：

由于标准形式的切片与 Br 的降序性质之间的关系, $M'$ 为单项函数,而 $\mathrm{Br}(M')$ 为降序函数. 因此,由于 Red 保持单项性质,因此 $\mathrm{Red}(M')$ 为单项函数. 令 $J_{1}:=\mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(M'))-1$ .

根据基于直接祖先的切片以及 Red 与 IncrFirst 之间的关系, $M' = \text{IncrFirst}^{M_{0,j_0}'-M_{1,j_0'}}(\text{Red}(M'))$ , 因此, 由于 $\leq_M$ 的 IncrFirst 不变性, $\text{Br}(M') = (\text{IncrFirst}^{M_{0,j_0}'-M_{1,j_0'}}(\text{Br}(\text{Red}(M'))_J))_{J=0}^{J_1}$ .

因此, 由于 $\mathrm{Br}(M')$ 的降序排列, $\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(M'))$ 也是降序排列. 从上可知, $\mathrm{Red}(M')$ 是一个强单项式.

证毕.

定义映射

\[
\begin{array}{l} \text {LastStep:} D T_{\mathrm{PS}} \rightarrow \mathbb {N} \\ M \mapsto \operatorname{LastStep} (M) \\ \end{array}
\]

如下：

1. 设 $J_{1} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(M))$ .

2. 如果 $J_{1}=0$ , 则 LastStep(M)=0.

3. 设 $J_{1} > 0$ .

3.1. 如果 $(\mathrm{Br}(M)_{J_{1}})_{0,0} = (\mathrm{Br}(M)_{J_{1}})_{1,0}$ , 则 LastStep(M) = J\_{1}.

3.2. 如果 $(\mathrm{Br}(M)_{J_{1}})_{0,0} > (\mathrm{Br}(M)_{J_{1}})_{1,0}$ , 则 LastStep(M) := $\min\{J \in \mathbb{N} \mid (\mathrm{Br}(M)_{J_{1}})_{0,0} = (\mathrm{Br}(M)_{J})_{0,0} > (\mathrm{Br}(M)_{J})_{1,0}\}$ .

'''定理 94''' 在条件 (II) 或 (IV) 下, 终止切片与 Trans 的关系.

对于任何 $M \in DT_{PS}$ , 令 $j_1 := Lng(M)-1$ , 令 $J_1 := Lng(Br(M))-1$ , 令 $J_1 \geq 0$ , 令 $j_0' := Joints(M)_{J_1}$ , 令 $j_1' := FirstNodes(M)_{J_1}$ , 令 $J_0 := LastStep(M)$ , 令 $m_1 := FirstNodes(M)_{J_0}-1$ , 令 $N := (M_j)_{j=0}^{m_1}$ , 且令 $N' := Let(M_j)_{j=j_0'}^{m_1}[62]$ 设 $M' := (M_j)_{j=j_0'}^{j_1}$ , 则若 $0 < j_0' < TrMax(M)$ 且 $M_{0,j_1'} > M_{1,j_1'}$ , 则存在唯一的 $t_1, t_2 \in T_B$ 使得:

(1) $\text{Trans}(N) = D_{M_{1,0}} t_{1}$ .

(2) $Trans(N') = D_{M_{1,j_0'}}t_1$ .

(3) $Trans(M') = D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2)$ 且 $t_2 \neq 0$ .

(4) $Trans(M) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2))$ .

我们提出一些引理作为初步步骤, 以证明在条件 (II) 或 (IV) 下端段和 Trans 之间的关系.

'''定理 95''' 强单项性对切片的遗传性.

对于任何 $M \in DT_{PS}$ 和 $j_{0}^{\prime}, j_{1}^{\prime} \in N$ , 设 $j_{1} := Lng(M)-1$ , 设 $J_{1} := Lng(Br(M))-1$ , 设 $j_{0}^{\prime} < j_{1}^{\prime} \leq j_{1}$ , 且设 $M^{\prime} := (M_{j})_{j = j_{0}^{\prime}}^{j_{1}^{\prime}}$ , 则若 $j_{0}^{\prime} \leq Joints(M)_{J_{1}}$ , 则 $M^{\prime}$ 为强单项性.

证明：

由于可约性与系数之间的关系, M 满足条件 (A) 和 (B). 因此, 对于任意 $j \in N$ , 若 $j \leq \operatorname{TrMax}(M)$ , 则 $M_{j} = (M_{1,0}+j, M_{1,0}+j)$ .

由于 FirstNodes、TrMax 和 Joints 之间的关系, $j_{0}^{\prime} \leq \text{Joints}(M)_{J_{1}} \leq \text{TrMax}(M)$ . 因此, 由于可约性对切片的遗传性, $M^{\prime}$ 是可约的.

令 $j_{0} := \mathrm{TrMax}(M)$ .

$\mathrm{TrMax}(M') = j_0-j_0'$ 且 $\mathrm{Lng}(M')-1 = j_1'-j_0'$ .

对于任意 $j \in N$ , 如果 $j \leq j_{1}^{\prime}-j_{0}^{\prime}$ , 则 $(0,0) \leq_{M}(0,j)$ .

如果 $j \leq \mathrm{TrMax}(M')$ , 则 $(1,0) \leq_{M'} (1,j)$ , 因此 $(0,0) \leq_{M'} (0,j)$ .

令 $j > \mathrm{TrMax}(M')$ .

由于 $j+j_0' > \mathrm{TrMax}(M')+j_0' = j_0$ , 因此存在唯一的 $J \in \mathbb{N}$ 使得 $J \leq J_1$ 且 $\mathrm{FirstNodes}(M)_J \leq j+j_0' < \mathrm{FirstNodes}(M)_{J+1}$ . 由于 $P$ 的每个组成部分都是非复合项, 因此 $\mathrm{Br}(M)_J$ 不是复合项, 因此 $(0,0) \leq_{\mathrm{Br}(M)_J} (0,j+j_0'-\mathrm{FistNodes}(M)_J)$ , 即 $(0,\mathrm{FirstNodes}(M)_J) \leq_M (0,j+j_0')$ .

由于 $\mathrm{Br}(M)$ 按降序排列, $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_J} \geq M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1}}$ , 且 $M$ 满足条件 (A), 因此 $M_{0,\mathrm{Joints}(M)_J}+1 = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_J}$ 且 $M_{0,\mathrm{Joints}(M)_{J_1}}+1 = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1}}$ . 因此, $j_0' \leq \mathrm{Joints}(M)_{J_1} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_{J_1}}-M_{1,0} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1}}-1-M_{1,0} \leq M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_J}-1-M_{1,0} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_J}-M_{1,0} = \mathrm{Joints}(M)_J$ .

由于 FirstNodes、TrMax、Joints 的关系, $j_{0}^{\prime} \leq \text{Joint}(M)_{J} \leq \text{TrMax}(M)$ , 所以 $(1, j_{0}^{\prime}) \leq_{M} (1, \text{Joints}(M)_{J})$ . 此外, 因为 $(0, \text{Joints}(M)_{J}) <_{M}^{\text{Next}} (0, \text{FirstNodes}(M))$ 且 $(0, \text{FirstNodes}(M)_{J}) \leq_{M} (0, j+j_{0}^{\prime})$ 、 $(0, j_{0}^{\prime}) \leq_{M} (0, j+j_{0}^{\prime})$ , 或 $(0, 0) \leq_{M'} (0, j)$ .

由上可知, $M'$ 为单项矩阵.

令 $J_{0} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(M'))-1$ .

由 $P$ 与 $\mathrm{IdxSum}$ 复合函数的刻画, $J_0 \leq J_1$ 且 $\mathrm{FirstNodes}(M') = (\mathrm{FirstNodes}(M)_J-j_0')_{J=0}^{J_0}$ . 因此, $\mathrm{Br}(M')$ 为降序.

证毕.

'''定理 96''' 子表达式的单项分量与 Pred 的关系.

对于任意 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ , 令 $j_1 := Lng(M)-1$ , 令 $J_1 := Lng(Br(M))-1$ , 令 $J_1 \geq 0$ , 令 $j_0' := Joints(M)_{J_1}$ , 令 $j_1' := FirstNodes(M)_{J_1}$ . 如果 $j_1 > 1$ , 则以下任一情况成立:

(1) $j_1' = j_1$ , 且 $TrMax(M) = 0$ 或 $j_0' < TrMax(M)$ , 则 $M_{0,j_1'} = M_{1,j_1'}$ 或 $j_0'$ 满足 $M$ 容许条件, 且存在唯一的 $t_1 \in T_B$ 使得 $Trans(Pred(M)) = D_{M_{1,0}}t_1$ 且 $Trans(M) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_1'}}0)$ .

(2) $j_{1}^{\prime}=j_{1}$ , $M_{0,j_{1}^{\prime}}>M_{1,j_{1}^{\prime}}$ 且 $j_{0}^{\prime}$ 为非 $M$ 可接受的, 且存在唯一的 $(t_{1},t_{2})\in T_{B}^{2}$ 使得 $Trans(Pred(M))=D_{M_{1,0}}t_{1}$ 且 $Trans(M)=D_{M_{1,0}}(t_{1}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}t_{2})$ .

(3) 存在唯一的 $(t_{1}, t_{2}, t_{3}) \in T_{B}^{2}$ 使得 $\text{Trans}(\text{Pred}(M)) = D_{M_{1,0}}(t_{1}+D_{M_{1,j_{1}^{\prime}}}t_{2})$ 和 $\text{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}(t_{1}+D_{M_{1,j_{1}^{\prime}}}t_{3})$ .

(4) 存在唯一的 $(t_{1}, t_{2}, t_{3}) \in T_{B}^{2}$ 使得 $\text{Trans}(\text{Pred}(M)) = D_{M_{1,0}}(t_{1}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}t_{2})$ 和 $\text{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}(t_{1}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}t_{3})$ .

证明：

由于可约性与系数之间的关系, M 满足条件 (A) 和 (B). 由于 M 满足条件 (A) 和 (B), 若对于任意 $j \in N$ , $j \leq \operatorname{TrMax}(M)$ , 则 $M_{j} = (M_{1,0}+j, M_{1,0}+j)$ . 又由于 M 满足条件 (A), $M_{0,j_{0}^{\prime}}+1 = M_{0,j_{1}^{\prime}}$ .

由于 $j_{1} > 1$ , $\operatorname{Pred}(M)$ 不是零项, 且Trans保持零项性质, $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M))\neq 0$ . 因此, 条件(I)至(VI)对 $M$ 有意义.

由于 $J_{1} \geq 0$ , $\mathrm{TrMax}(M) < j_{1}$ . 又由于 $M$ 是单项式, $(0,0) \leq_{M} (0,j_{1})$ . 由于 $j_{1} > 1 > 0$ , 存在唯一的 $j_{0} \in \mathbb{N}$ 使得 $(0,j_{0}) <_{M}^{\mathrm{Next}} (0,j_{1})$ .

首先, 证明如果 $j_{1}-j_{1}^{\prime}=0$ , 则 M 不满足条件 (VI). 由于 $(0,j_{0}^{\prime})<_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1}^{\prime})=(0,j_{1})$ , 则 $j_{0}=j_{0}^{\prime}$ . 此外, 由于 FirstNodes、TrMax 和 Joints 之间的关系, $j_{0}^{\prime}\leq\mathrm{TrMax}(M)$ .

假设 $j_0+1 = j_1$ 且 $(1,j_0) < _M^{\mathrm{Next}}(1,j_1)$ , 则 $\mathrm{TrMax}(M) = j_1$ , 这与 $\mathrm{TrMax}(M) < j_1$ 矛盾. 因此, 如果 $j_0+1 = j_1$ , 则 $(1,j_0) < _M^{\mathrm{Next}}(1,j_1)$ 并非成立. 具体而言, $M$ 不满足条件 (VI).

令 $j_{-1} := \mathrm{Adm}_M(j_0)$ . 我们利用数学归纳法证明, 关于 $j_1-\mathrm{TrMax}(M)$ , (1) 至 (4) 式中任意一个成立. 令 $j_1-\mathrm{TrMax}(M) = 1$ . 由于 $\mathrm{Lng}((M_j)_{j=\mathrm{TrMax}(M)+1}^{j_1}) = 1$ , 因此有 $J_1 = 0$ 、 $j_1' = j_1$ 、 $\mathrm{TrMax}(M) = j_1'-1$ 且 $j_0' = M_{0,j_0'}-M_{1,0} = M_{0,j_1'}-1-M_{1,0}$ . 特别地, 由于 $j_1-j_1' = 0$ , $j_0 = j_0'$ , 且 $M$ 不满足条件 (VI).

$\operatorname{Pred}(M) = (M_{1,0}+j, M_{1,0}+j)_{j=0}^{j_1'-1}$ , 且 $j_1'-1 = j_1-1 > 0$ , 根据公差 $(1,1)$ 的对序列 Trans 的基本性质, $\operatorname{Trans}(\operatorname{Pred}(M)) = D_{M_{1,0}} D_{M_{1,j_1'-1}} 0$ .

由于 $M$ 不满足条件 (VI), 因此 $M$ 满足具有 Pred 且公差为 (1,1) 的对数序列 Trans 的基本性质 (1) 至 (4) 中的任意一项.

若 $M$ 满足具有 Pred 且公差为 (1,1) 的对数序列 Trans 的基本性质 (1) 的条件, 则 $j_0+1 = j_1$ , 因此 $j_0' = j_0 = j_1-1 = j_1'-1$ . 因此, 如果我们设置 $(t_1, t_2, t_3) := (0, 0, D_{M_{1,j_1'}} 0)$ , 则 $\text{Trans}(\text{Pred}(M)) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_1'-1}} t_2) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}} t_2)$ 且 $\text{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_1'-1}} t_3) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}} t_3)$ , 因此 (4) 成立.

如果 $M$ 满足 Pred 公差为 (1,1) 的偶数序列 Trans 基本性质的条件 (2), 则 $M_{0,j_1'} = M_{1,j_1'}$ , 且设 $(t_1,t_2) := (D_{M_{1,j_1'-1}}0,0)$ , 则 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) = D_{M_{1,0}}t_1$ 且 $\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_1'}}t_2)$ , 因此 (1) 成立. 设 $M$ 满足 Pred 公差 (1,1) 的偶数序列 Trans 基本性质的条件 (3), 则 $M_{0,j_1'} > M_{1,j_1'}$ , 且 $j_0' = M_{0,j_1'}-1-M_{1,0}$ , 且 $M_{1,0}+1 < M_{0,j_1'} \leq M_{0,j_1'-1}$ , 因此 $0 < j_0' \leq \mathrm{TrMax}(M)-1$ . 因此, $j_0'$ 不是 $M$ 容许的, 且 $(t_1,t_2) := (D_{M_{1,j_1'-1}}0,(\underline{D}_{M_{1,j_1'-1}}0,\quad D_{M_{1,j_0'}}0))$ , 则 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) = D_{M_{1,0}}t_1$ 且 $\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}}t_2)$ , 因此（2）成立.

如果 $M$ 满足Pred公差为(1,1)的偶数序列Trans基本性质的条件(4), 则 $j_0^{\prime} = M_{0,j_1^{\prime}}-1-M_{1,0} = 0$ , 因此 $j_0^{\prime} = 0$ , 且 $j_0^{\prime}$ 是 $M$ 容错的. 设 $(t_1,t_2):= (D_{M_{1,j_1^{\prime}-1}}0,0)$ , 则 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) = D_{M_{1,0}}t_1$ , 且 $\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_1^{\prime}}}t_2)$ , 因此(1)成立.

令 $j_{1}-\mathrm{TrMax}(M)>1$ .

令 $\mathrm{Adm}_{M}(j_{0})>0$ .

由于 $j_0 = j_0' \leq \mathrm{TrMax}(M)$ , 根据 $\mathrm{TrMax}$ 的定义, 我们有 $\mathrm{Adm}_M(j_0) = \mathrm{TrMax}(M)$ ；同样, 由于 $\mathrm{Adm}_M(j_0) \leq j_0 \leq \mathrm{TrMax}(M) = \mathrm{Adm}_M(j_0)$ , 我们有 $j_0 = \mathrm{Adm}_M(j_0) = \mathrm{TrMax}(M)$ .

由于可约化为切片的遗传性和单项函数可约化为初始切片的遗传性, $\operatorname{Pred}(M)$ 既是可约化的又是单项的. $j_1 \geq j_1-\operatorname{TrMax}(M) > 1$ , 因此 $\operatorname{Lng}(\operatorname{Pred}(M))-1 = j_1 > 1$ .

设 $J_{1}^{\prime} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M)))-1$ .

若 $j_{1}^{\prime}=j_{1}$ , 则 $j_{1}-\mathrm{TrMax}(M)>1$ , 因此 $J_{1}>0$ , 并且根据 P 与 IdxSum 的组合特

征, $J_{1}^{\prime}=J_{1}-1\geq0$ .

如果 $j_{1}^{\prime}<j_{1}$ , 则根据 P 与 IdxSum 的组合特征, $J_{1}^{\prime}=J_{1}\geq0$ .

由上可知, 两种情况下 $J_{1}^{\prime} \geq 0$ 均成立.

因为 $\mathrm{Lng}(\mathrm{Pred}(M))-1=j_{1}-1$ 且 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(M'))=\mathrm{TrMax}(M)$ , $(\mathrm{Lng}(\mathrm{Pred}(M))-1)-\mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(M'))=j_{1}-1-\mathrm{TrMax}(M)<j_{1}-\mathrm{TrMax}(M)$ , 根据归纳假设, 存在唯一的 $i\in\{0,1\}$ 和 $(t_{1},t_{2})\in T_{\mathrm{B}}^{2}$ 使得 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M))=D_{M_{1,0}}(t_{1}+D_{M_{1,j_{i}^{\prime}}}t_{2})$ . 从 $\mathrm{Adm}_{M}(j_{0})>0$ 及 $s_{1}$ 与 $b_{1}$ 的空性和基点关系可知, $\mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),\mathrm{Adm}_{M}(j_{0}))\neq\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M))=D_{M_{1,0}}(t_{1}+D_{M_{1,j_{i}^{\prime}}}t_{2})$ , 因此, 从 $(\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)),\mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),\mathrm{Adm}_{M}(j_{0})))\in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ , $(D_{M_{1,j_{i}^{\prime}}}t_{2},\mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),\mathrm{Adm}_{M}(j_{0})))\in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ .

因此, 根据加法与 scb 分解的关系以及 Trans 的定义, 存在唯一的 $t_{3} \in T_{B}$ 使得 $\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}(t_{1}+D_{M_{1,j_{i}^{\prime}}}t_{3})$ , 且 (3) 或 (4) 成立.

令 $\mathrm{Adm}_{M}(j_{0})=0$ .

根据 TrMax 的定义, $\mathrm{TrMax}(M)$ 是 M 可接受的. $\mathrm{Adm}_{M}(j_{0})=0\leq\mathrm{TrMax}(M)$ , 因此 $j_{0}\leq\mathrm{TrMax}(M)$ .

假设 $j_1' < j_1$ , 那么由于 $P$ 各分量的非复合性质, $(0,0) \leq_{\mathrm{Br}_{J_1}} (0,j_1-j_1')$ , 即 $(0,j_1') \leq_M (0,j_1)$ . 根据 $j_1' < j_1$ 以及判断父节点存在的条件 (1), $\mathrm{TrMax}(M) < j_1' \leq j_0$ , 这与 $j_0 \leq \mathrm{TrMax}(M)$ 矛盾. 因此, $j_1' = j_1$ , $j_0 = j_0'$ , 且 $M$ 不满足条件 (VI).

如果 $\mathrm{TrMax}(M) > 0$ , 则 $\mathrm{Adm}_M(j_0') = \mathrm{Adm}_M(j_0) = 0 < \mathrm{TrMax}(M) = \mathrm{Adm}_M(\mathrm{TrMax}(M))$ 因此 $j_0' < \mathrm{TrMax}(M)$ .

因此, $\mathrm{TrMax}(M)=0$ 或 $j_{0}^{\prime}<\mathrm{TrMax}(M)$ .

令 M 满足条件 (I)、(III) 或 (V).

如果 $M$ 满足条件 (I) 或 (III), 则 $j_0' = j_0$ 是 $M$ 容许的. 如果 $M$ 满足条件 (V), 则 $M_{0,j_1'} = M_{0,j_0'}+1 = M_{1,j_0'}+1 = M_{1,j_0}+1 = M_{1,j_1} = M_{1,j_1'}$ .

由 Mark 左端的基本性质、 $s_{1}$ 与 $b_{1}$ 的空性和基点关系, 以及 Trans 的定义, 存在唯一的 $t_{1} \in T_{B}$ 使得 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) = D_{M_{1,0}}t_{1}$ 且 $\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}(t_{1}+D_{M_{1,j_{1}^{\prime}}}0)$ , 且 (1) 成立.

假设 M 满足条件 (II) 或 (IV).

$M_{0,j_1'} \geq M_{0,j_0'} = M_{1,j_0'} = M_{1,j_0} = M_{1,j_1}-1 = M_{1,j_1'}-1$ , 即 $M_{0,j_1'} > M_{1,j_1'}$ . 另外, $j_0' = j_0$ 不满足 $M$ 容许条件. 由 Mark 左端的基本性质、 $s_1$ 和 $b_1$ 的空性、基点之间的关系以及 Trans 的定义可知, 存在唯一的 $(t_1, t_2) \in T_B^2$ 使得 Trans(Pred(M)) = $D_{M_{1,0}} t_1$ 且 Trans(M) = $D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}} t_2)$ .

由上可知（2）成立.

证毕.

'''定理 97''' 强单项性下子表示的单项分量的基本性质.

对于任意 $M \in DT_{PS}$ , 令 $j_1 := Lng(M)-1$ , 令 $J_1 := Lng(Br(M))-1$ , 令 $J_1 \geq 0$ , 令 $j_0' := Joints(M)_{J_1}$ , 且令 $j_1' := FirstNodes(M)_{J_1}$ . 则存在唯一的 $t' \in T_B$ 使得:

(1) $\text{Trans}(M) = D_{M_{1,0}} t'$ .

(2) 如果 $j_0' = 0$ 或 $M_{0,j_1'} = M_{1,j_1'}$ , 则 $t'$ 的每个分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_1'}} 0$ .

(3) 如果 $0 < j_0' < TrMax(M)$ 且 $M_{0,j_1'} > M_{1,j_1'}$ , 则 $t'$ 的每个分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_0'}}$ 0.

(4) 如果 $0 < j_0' = TrMax(M)$ , 则 $t'$ 的每个分量都大于或等于 $D_{M_{1,TrMax(M)}}$ .

证明：

接下来, 我们将立即用到 FirstNodes 和 Joints 的单调性.

由于 Trans 保持单项性, 因此 $\mathrm{Trans}(M)$ 也是单项的, 并且由于 P 每个分量的非复项性以及 Trans 最左边单项分量的基本性质, 存在唯一的 $t' \in T_{B}$ 使得 $\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}} t'$ .

从 FirstNodes、TrMax 和 Joints 的关系可知, 对于任意 $J \in \mathbb{N}$ , 若 $J \leq J_1$ , 则 $\mathrm{Joints}(M)_J \leq \mathrm{TrMax}(M) < \mathrm{FirstNodes}(M)_J$ . 特别地, $j_0' \leq \mathrm{TrMax}(M) < j_1'$ . 又, 由于 $j_1 \geq j_1' > j_0' \geq 0$ , 因此 $j_1 > 0$ .

根据 TrMax 的定义, $\mathrm{TrMax}(M)$ 是 $M$ 可接受的. 因此, $(1, \mathrm{TrMax}(M)) <_{M}^{\mathrm{Next}} (1, \mathrm{TrMax}(M)+1) = (1, \mathrm{FirstNodes}(M)_0)$ 并非如此, 即 $M_{1,\mathrm{TrMax}(M)} \geq M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_0}$ .

根据可约性和系数之间的关系, M 满足条件 (A) 和 (B). 由于 M 满足条件 (A) 和 (B), 如果对于任何 $j \in N$ , $j \leq \operatorname{TrMax}(M)$ , 则 $M_j = (M_{1,0}+j, M_{1,0}+j)$ . 具体而言, $M_{1,\operatorname{TrMax}(M)} = M_{1,0}+\operatorname{TrMax}(M) \geq M_{1,0}+j'_0 = M_{1,j'_0}$ . 另外, 由于 M 满足条件 (A), $M_{1,j'_0} = M_{0,j'_0} = M_{0,j'_1}-1$ .

我们可以通过数学归纳法证明 $j_{1}-\mathrm{TrMax}(M)$ 满足 (2)、(3) 和 (4).

令 $j_{1}-\mathrm{TrMax}(M) = 1$ . 由于 $\mathrm{TrMax}(M) < j_1' \leq j_1, j_1' = j_1$ . 因为 $(1, j_0') = (1, \mathrm{TrMax}(M)) < _M^{\mathrm{Next}}(1, \mathrm{TrMax}(M)+1) = (1, j_1), M_{1,j_0'} \geq M_{1,j_1'}$ . 因此, $M_{0,j_1'} = M_{0,j_0'}+1 = M_{1,j_0'}+1 \geq M_{1,j_1'}+1 > M_{1,j_1'}$ .

令 $j_{1}=1$ .

$\mathrm{TrMax}(M) = j_{1}-1 = 0$ . 由于 $j_0^{\prime}\leq \mathrm{TrMax}(M) = 0$ , $j_0^{\prime} = 0 = \mathrm{TrMax}(M)$ .

根据 2 个 2 个序列对的基本性质, $t' = D_{M_{1,j_{1}}}0$ , 其唯一单项分量为 $D_{M_{1,j_{1}}}0 = D_{M_{1,j_{1}^{\prime}}}0$ .

令 $j_{1} > 1$ .

若 $j_0' = 0$ , 则根据公差为(1,1)的序列Trans的Pred的基本性质(4), $t' = \underline{(D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}}0, D_{M_{1,j_1}}0)}$ , $D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}}0 \geq D_{M_{1,j_0'}}0 \geq D_{M_{1,j_1'}}0$ 且 $D_{M_{1,j_1}}0 = D_{M_{1,j_1'}}0$ .

如果 $0 < j_0' < \mathrm{TrMax}(M)$ , 那么根据 $\mathrm{TrMax}$ 的定义, $j_0'$ 不是 $M$ 容错的, 并且根据对序列的 Trans 的基本性质 (3), 其中 Pred 具有公差 $(1,1), t' = (\underline{D}_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}} 0, \underline{D}_{M_{0,j_1'}-1}(\underline{D}_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}} 0, \underline{D}_{M_{1,j_1}} 0))$ , 并且 $D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}} 0 \geq D_{M_{1,j_0'}} 0$ 且 $D_{M_{0,j_1'}-1}(\underline{D}_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}} 0, \underline{D}_{M_{1,j_1}} 0) = D_{M_{1,j_0'}} (\underline{D}_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}} 0, \underline{D}_{M_{1,j_1}} 0) \geq D_{M_{1,j_0'}} 0$ . 若 $0 < j_0' = \mathrm{TrMax}(M)$ , 则根据 Pred 具有公差 (1,1) 的对序列的 Trans 的基本性质 (1), $t' = D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}} D_{M_{1,j_1}} 0$ .

令 $j_{1}-\mathrm{TrMax}(M)>1$ .

由于可约化为切片的遗传性和单性性可约化为初始切片的遗传性, $\mathrm{Pred}(M)$ 可约化且单性. 由于 $j_{1} \geq j_{1}-\mathrm{TrMax}(M) > 1$ , 因此 $\mathrm{Lng}(\mathrm{Pred}(M))-1 = j_{1} > 1$ .

令 $J_{1}^{\prime} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M)))-1$ .

如果 $j_1' = j_1$ , 则 $j_1-\mathrm{TrMax}(M) > 1$ , 因此 $J_1 > 0$ , 且由 $P$ 与 $\mathrm{IdxSum}$ 的复合表征可知, $J_1' = J_1-1 \geq 0$ .

如果 $j_{1}^{\prime}<j_{1}$ , 则由 P 与 IdxSum 的复合表征可知, $J_{1}^{\prime}=J_{1}\geq0$ .

由上可知, 在两种情况下, $\mathrm{Lng}(J_{1}^{\prime})\geq0$ .

因为 $\mathrm{Lng}(\mathrm{Pred}(M))-1=j_{1}-1$ 且 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(M'))=\mathrm{TrMax}(M)$ , $(\mathrm{Lng}(\mathrm{Pred}(M))-1)-\mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(M'))=j_{1}-1-\mathrm{TrMax}(M)<j_{1}-\mathrm{TrMax}(M)$ , 根据归纳假设[64], 存在唯一的 $t\in T_{B}$ 使得[65]：(1) $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M))=D_{M_{1,0}}t$ .

（2）若 $\mathrm{Joints}(M)_{J_{1}^{\prime}}=0$ 或 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}}$ , 则 t 的每个单项分量都大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}}}0$ .

（3）如果 $0 < \mathrm{Joints}(M)_{J_1'} < \mathrm{TrMax}(M)$ 且 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} > M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}}$ , 则 $t$ 的每个分量都大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{Joints}(M)_{J_1'}}}0$ .

(4) 如果 $0 < \mathrm{Joints}(M)_{J_1'} = \mathrm{TrMax}(M)$ , 则 $t$ 的每个分量都大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}_{J_1'}} 0$ .

$\mathrm{Joints}(M)_{J_1'} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_{J_1'}}-M_{1,0} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}}-1-M_{1,0} \geq M_{0,j_1'}-1-M_{1,0} = M_{0,j_0'}-M_{1,0} = j_0'$ . 另外, 根据可约性和系数的基本性质, $M_{0,j_1'} \geq M_{1,j_1'}$ .

令 $j_{0}^{\prime}=0$ 或 $M_{0,j_{1}^{\prime}}=M_{1,j_{1}^{\prime}}$ .

(2) 令 $\mathrm{Joints}(M)_{J_{1}^{\prime}}=0$ 或 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}}$ .

t 的每个单项式分量均大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)}_{J_{1}^{\prime}}0}$ .

令 $\mathrm{Joints}(M)_{J_{1}^{\prime}}=0$ .

由于 $j_{1}^{\prime} \leq \text{Joints}(M)_{J_{1}^{\prime}} = 0$ , 因此 $j_{0}^{\prime} = 0 = \text{Joints}(M)_{J_{1}^{\prime}}$ .

因为 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_{J_1'}}+1 = M_{0,j_0'}+1 = M_{0,j_1'}$ , 根据 $M$ 的强可接受性, $M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} \geq M_{1,j_1'}$ .

如果 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}}$ , 则 $M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} \geq M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} \geq M_{0,j_1'} \geq M_{1,j_1'}$ .

从上式可知, 在两种情况下, $M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}}\geq M_{1,j_{1}^{\prime}}$ .

如果 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}}$ , 则根据 $P$ 的定义, $M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} \geq M_{0,j_1'} \geq M_{1,J_1'}$ .

从上式可知, 在两种情况下, t 的每个单项式分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_{1}^{\prime}}}0$ .

（3）若 $0 < \mathrm{Joints}(M)_{J_1'} < \mathrm{TrMax}(M)$ 且 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} > M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}}$ , 则 $t$ 的每个单项分量均大于或等于 $D_{M_{0,\mathrm{Joints}(M)_{J_1'}}}0$ , 且由于 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} \geq M_{0,j_1'} \geq M_{1,j_1'}$ , 因此 $t$ 的每个单项分量均大于或等于 $D_{M_{1,j_1'}}0$ .

(4) 令 $0 < \text{Joints}(M)_{J_1'} = \text{TrMax}(M)$ .

t 的每个单项分量都大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}}0$ .

假设 $j_{0}^{\prime}=\mathrm{TrMax}(M)$ 会导致矛盾.

由于 $j_0' \neq 0$ , 因此有 $M_{1,j_1'} = M_{0,j_1'} = M_{0,j_0'}+1 = M_{0,\mathrm{TrMax}(M)}+1 = M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}+1$ .

$M_{0,j_1'} \leq M_{0,\text{FirstNodes}(M)_0} = M_{0,\text{Joints}(M)_0}+1 \leq M_{0,\text{TrMax}(M)}+1 = M_{0,j_1'},$ 因此 $M_{0,\text{FirstNodes}(M)_0} = M_{0,\text{TrMax}(M)}+1 = M_{0,j_1'}$ , 又由于 $M$ 的强可接受性, $M_{1,\text{FirstNodes}(M)_0} \geq M_{1,j_1'} = M_{1,\text{TrMax}(M)}+1$ . 此外, 由于 $\text{FirstNodes}(M)_0 = \text{TrMax}(M)+1$ , 我们有 $(0, \text{TrMax}(M)) < _M^{\text{Next}} (0, \text{TrMax}(M)+1)$ , 这与 $\text{TrMax}$ 的定义相矛盾.

由上可知, $j_{0}^{\prime}<\mathrm{TrMax}(M)$ .

由于 $M_{1,\mathrm{TrMax}(M)} = M_{0,\mathrm{TrMax}(M)} \geq M_{0,j_0'}+1 = M_{0,j_1'} \geq M_{1,j_1'}$ , 因此 $t$ 的每个单项分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_1'}} 0$ .

由上可知, 在所有情况下, t 的每个单项分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_{1}^{\prime}}}0$ . 因此, 根据子表示的单项分量与 Pred 的关系（1）、（3）和（4）, 存在唯一的 $t^{\prime} \in T_{B}$ 满足：

(1) $\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}t'$ .

(2) $t'$ 的每个单项分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_1'}}0$ .

设 $0 < j_{0}^{\prime} < \mathrm{TrMax}(M)$ 且 $M_{0,j_{1}^{\prime}} > M_{1,j_{1}^{\prime}}$ .

$\mathrm{Joints}(M)_{J_1'} \geq j_0' > 0$ .

（2）若 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Pred}(M))_{J_1'}} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}}$ , 则 $t$ 的每个单项分量都大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}}}0$ . 根据 $P$ 的定义, $M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}}\geq M_{0,j_0'} = M_{1,j_0'}$ 因此 $t$ 的每个单项分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_0'}}0$ .

(3) 令 $0 < \mathrm{Joints}(M)_{J_1'} < \mathrm{TrMax}(M)$ 且 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} > M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}}$ .

t 的每个单项式分量都大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{Joints}(M)_{J_{1}^{\prime}}}}0$ .

如果 $j_0' = \mathrm{Joints}(M)_{J_1'}$ , 则由于 $M$ 的强可接受性, $M_{1,\mathrm{Joints}(M)_{J_1'}} \geq M_{1,j_0'}$ .

如果 $j_0' < \mathrm{Joints}(M)_{J_1'}$ , 则由于可约性和系数的基本性质, $M_{1,\mathrm{Joints}(M)_{J_1'}} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_{J_1'}} > M_{0,j_0'} = M_{1,j_0'}$ .

由上可知, 无论哪种情况, t 的每个单项式分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}$ 0.

(4) 若 $0 < \mathrm{Joints}(M)_{J_1'} = \mathrm{TrMax}(M)$ , 则 $t$ 的每个单项式分量均大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}} 0$ , 且由于 $M_{1,\mathrm{TrMax}(M)} = M_{0,\mathrm{TrMax}(M)} > M_{0,j_0'} = M_{1,j_0'}$ , 故 $t$ 的每个单项式分量均大于或等于 $D_{M_{1,j_0'}} 0$ .

由上可知, 无论哪种情况, t 的每个单项式分量均大于或等于 $D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}0$ . 因此, 由子表达式的单项分量与 Pred 的关系（2）、（3）和（4）, 存在唯一的 $t^{\prime} \in T_{B}$ 使得：

(1) Trans(M) = $D_{M_{1,0}}t'$ .

（3）若 $0 < j_0' < \mathrm{TrMax}(M)$ 且 $M_{0,j_1'} > M_{1,j_1'}$ , 则 $t'$ 的每个单项分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_0'}} 0$ .

令 $0 < j_{0}^{\prime} = \mathrm{TrMax}(M)$ .

由于 $\mathrm{TrMax}(M) \geq \mathrm{Joints}(M)_{J_1'} \geq j_0' = \mathrm{TrMax}(M)$ , $\mathrm{Joints}(M)_{J_1'} = \mathrm{TrMax}(M)$ .

(4) 由于 $0 < \mathrm{Joints}(M)_{J_1'} = \mathrm{TrMax}(M), t$ 的每个单项式分量都大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}} 0$ , 且 $M_{1,\mathrm{TrMax}(M)} = M_{1,j_0'}$ .

由上可知, t 的每个单项式分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}0$ . 因此, 由子表示的单项分量与 Pred 的关系（3）和（4）, 存在唯一的 $t^{\prime} \in T_{B}$ 使得：

(1) Trans(M) = $D_{M_{1,0}}t'$ .

（4）若 $0 < j_0' = \mathrm{TrMax}(M)$ , 则 $t'$ 的每个单项分量都大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}} 0$ .

证毕.

'''定理 98''' 条件 (V) 下最右父节点的基本性质.

对于任意 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ 和 $m \in \mathbb{N}$ , 令 $j_1 := Lng(M)-1$ , 令 $J_1 := Lng(Br(M))-1$ , 令 $J_1 \geq 0$ , 令 $j_0' := Joints(M)_{J_1}$ , 令 $j_1' := FirstNodes(M)_{J_1}$ , 且令 $M' := (M_j)_{j=m}^{j_1}$ . 然后, " $m < j_0'$ " 或 " $m = j_0'$ 且 $M_{0,j_1'} = M_{1,j_1'}$ 和 $Br(M)$ 是降序的, 则存在唯一的 $j_0 \in \mathbb{N}$ 使得:

(1) $(0,j_0) <_{M}^{Next}(0,j_1)$ .

(2) $j_{0}^{\prime}\leq j_{0}$ .

(3) $m < j_0$ 或 $M_{0,j_1} = M_{1,j_1}$ .

(4) 如果 $m = j_{0}$ , 则 $j_{0} < TrMax(M)$ .

证明：

设 $j_{1}^{\prime}=j_{1}$ .

设 $j_{0} := j_{0}^{\prime}$ .

如果 $m < j_{0}^{\prime}$ , 则 $m < j_{0}^{\prime} = j_{0}$ .

如果 $m = j_0'$ , 则根据假设 $M_{0,j_1} = M_{0,j_1'} = M_{0,j_0'}+1 = M_{1,j_0'}+1 = M_{1,j_1'} = M_{1,j_1}$ .

由上可知, 在两种情况下, $m < j_{0}$ 或 $M_{0,j_{1}} = M_{1,j_{1}}$ 成立.

设 $j_{1}^{\prime}<j_{1}$ .

由于 P 的每个分量都是非复合项, 因此 $\mathrm{Br}(M)_{J_{1}}$ 不是复合项, 所以 $(0,0)\leq_{\mathrm{Br}(M)_{J_{1}}}$ $(0,j_{1}-j_{1}^{\prime})$ , 即 $(0,j_{1}^{\prime})\leq_{M}(0,j_{1})$ .

由于 $m \leq j_{0}^{\prime} < j_{1}^{\prime} \leq j_{0}$ , 因此 $j_{0}^{\prime} < j_{0}$ 且 $m < j_{0}$ .

由于 $m \leq j_0$ 且 $(0, j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0, j_1)$ , 因此 $(0, j_0-m) <_{M'}^{\mathrm{Next}}(0, j_1-m)$ .

$\mathrm{TrMax}(M)+1 = \mathrm{FirstNodes}(M)_0$ , 根据 $\mathrm{TrMax}$ 的定义, $(1,\mathrm{TrMax}(M)) < _M^{\mathrm{Next}}(1,\mathrm{FirstNodes}(M)_0)$ 不成立.

如果 $m = j_{0}$ , 则表明 $j_{0} < \mathrm{TrMax}(M)$ . 由于 $m < j_{0}$ 或 $M_{0,j_{1}} = M_{1,j_{1}}$ , $m = j_{0}$ , 因此 $M_{0,j_{1}} = M_{1,j_{1}}$ .

根据可约性和系数的基本性质, $M_{1,j_{0}} \leq M_{0,j_{0}} = M_{0,j_{1}}-1 = M_{1,j_{1}}-1 < M_{1,j_{1}}$ .

由于 $(0,j_{0})<_{M}^{\text{Next}}(0,j_{1})$ 且 $M_{1,j_{0}}<M_{1,j_{1}}$ , $(1,j_{0})<_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ .

由于 $m \leq j_0' \leq j_0, m = j_0'$ . 因此, $M_{0,j_1'} = M_{1,j_1'}$ 且 $\mathrm{Br}(M)$ 为降序. 由于 $(1, \mathrm{TrMax}(M)) < _M^{\mathrm{Next}}(1, \mathrm{FirstNodes}(M)_0)$ 不成立, 因此 $M_{0,\mathrm{TrMax}(M)} \geq M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_0}$ 或 $M_{1,\mathrm{TrMax}(M)} \geq M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_0}$ .

令 $M_{0,\mathrm{TrMax}(M)}\geq M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_0}$

由于 P 各分量左端的单调性, $M_{0,\mathrm{TrMax}(M)} \geq M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{0}} \geq M_{0,j_{1}^{\prime}}$ , 因此 $(0,\mathrm{TrMax}(M)) \leq_{M}(0,j_{1}^{\prime})$ 并非如此, 因此 $j_{0}^{\prime} < \mathrm{TrMax}(M)$ .

令 $M_{0,\mathrm{TrMax}(M)} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{0}}$ 且 $M_{1,\mathrm{TrMax}(M)} \geq M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{0}}$ .

由于 $\mathrm{Br}(M)$ 降序排列, $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_0} > M_{0,j_1'}$ 或 $M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_0} \geq M_{1,j_1'}$ .

如果 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{0}} > M_{0,j_{1}^{\prime}}$ , 则 $M_{0,\mathrm{TrMax}(M)} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{0}} > M_{0,j_{1}^{\prime}}$ , 因此 $(0,\mathrm{TrMax}(M)) \leq_{M}(0,j_{1}^{\prime})$ , 进而 $j_{0}^{\prime} < \mathrm{TrMax}(M)$ .

如果 $M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_0} \geq M_{1,j_1'}$ , 则 $M_{1,\mathrm{TrMax}(M)} \geq M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_0} \geq M_{1,j_1'}$ , 因此 $(1, \mathrm{TrMax}(M)) \leq_M (1,j_1')$ , 进而 $j_0' < \mathrm{TrMax}(M)$ .

由上可知, 在两种情况下, $j_{0}^{\prime}<\mathrm{TrMax}(M)$ .

由上可知, 在两种情况下, $j_{0}=j_{0}^{\prime}<\mathrm{TrMax}(M)$ .

证毕.

'''定理 99''' 条件 (V) 下末端切片与 Trans 的关系.

对于任意 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ 和 $m \in \mathbb{N}$ , 令 $j_1 := Lng(M)-1$ , 令 $J_1 := Lng(Br(M))-1$ , 令 $J_1 \geq 0$ , 令 $j_0' := Joints(M)_{J_1}$ , 令 $j_1' := FirstNodes(M)_{J_1}$ , 令 $M' := (M_j)_{j=m}^{j_1}$ . 那么, " $m < j_0'$ " 或 " $m = j_0'$ 且 $M_{0,j_1'} = M_{1,j_1'}$ 且 $Br(M)$ 是降序的, 则存在唯一的 $t_1 \in T_B$ 使得:

(1) $Trans(M)=D_{M_{1,0}}t_{1}$ .

(2) $Trans(M') = D_{M_{1,m}}t_1$ .

证明：

下文中, FirstNodes 和 Joints 的单调性将不作任何说明.

由于可约化为切片的遗传性和单项性, $M'$ 是可约化为单项的；由于 Trans 保持单项性, 因此 $\mathrm{Trans}(M)$ 和 $\mathrm{Trans}(M')$ 也是单项的.

由于 Trans 最左分量的基本性质, 存在唯一的 $t_{1} \in T_{PS}$ 使得 $\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}} t_{1}$ .

由于 FirstNodes、TrMax 和 Joints 之间的关系, 对于任意 $J \in \mathbb{N}$ , 如果 $J \leq J_1$ , 则 $\mathrm{Joints}(M)_J \leq \mathrm{TrMax}(M) < \mathrm{FirstNodes}(M)_J$ . 由于 “ $m < j_0'$ ” 或 “ $m = j_0'$ 且 $M_{0,j_1'} = M_{1,j_1'}$ 且 $\mathrm{Br}(M)$ 按降序排列”, 两种情况下 $m \leq j_0'$ .

由于可约性与系数之间的关系, M 和 $M'$ 满足条件 (A) 和 (B). 由于 M 满足条件 (A) 和 (B), 若对于任意 $j \in N$ , $j \leq \operatorname{TrMax}(M)$ , 则 $M_j = (M_{1,0}+j, M_{1,0}+j)$ . 由于 M 满足条件 (A), 则 $M_{0,j_0}+1 = M_{0,j_1}$ , 且对于任意 $J \in N$ , 若 $J \leq J_1$ , 则 $M_{0,\text{FirstNodes}(M)_J} = M_{0,\text{Joints}(M)_J}+1 = M_{1,0}+\text{Joints}(M)_J+1$ . 具体来说, $M_{0,j_1'} = M_{0,j_0'}+1 = M_{1,0}+j_0'+1$ . 根据条件 (V) 下最右父节点的基本性质, 存在唯一的 $j_0 \in N$ 使得：

(1) $(0,j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_1)$ .

(2) $j_{0}^{\prime}\leq j_{0}$ .

(3) $m < j_{0}$ 或 $M_{0,j_1} = M_{1,j_1}$ .

(4) 如果 $m = j_{0}$ , 则 $j_{0} < \mathrm{TrMax}(M)$ .

我们利用数学归纳法证明, $j_{1}-\mathrm{TrMax}(M)$ 上的 $\mathrm{Trans}(M')=D_{M_{1,m}}t_{1}$ . 设 $j_{1}-\mathrm{TrMax}(M)=1$ .

\[
M = \big ((j, j) \big)_{j = M_{1, 0}}^{M_{1, 0}+\mathrm{TrMax} (M)} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} M_{m_{1}} \circ
\]

$J_{1} = 0$ 且 $j_1' = j_1$ 和 $j_0' = j_0$ . 因此, $M_{0,j_1} = M_{0,j_1'} = M_{1,0}+j_0'+1 \leq M_{1,0}+\mathrm{TrMax}(M)+1 = M_{0,\mathrm{TrMax}(M)}+1$ .

若 $m < j_0$ , 则 $M_{0,j_1} = M_{1,0}+j_0'+1 = M_{1,0}+j_0+1 > M_{1,0}+m+1 = M_{0,m}+1$ , 因此Pred是具有公差(1,1)的对序列Trans的基本性质. 由(1)、(2)和(3)可知, $\mathrm{Trans}(M')$ 是将 $\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}t_1$ 的左端替换为 $D_{M_{1,m}}$ .

设 $m = j_{0}$ , $M_{0,j_{1}} = M_{1,j_{1}}$ .

由于可约性和系数的基本性质, $M_{1,j_{0}} \leq M_{0,j_{0}} = M_{0,j_{1}}-1 = M_{1,j_{1}}-1 < M_{1,j_{1}}$ , 因此 $(1,j_{0}) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ , 又由于 $(1,\mathrm{TrMax}(M)) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ 并非如此, $j_{0} < \mathrm{TrMax}(M)$ .

根据对数序列 Trans 的基本性质 (2), 其中 $m = j_{0} < \mathrm{TrMax}(M)$ 且 Pred 具有共同差 (1,1), $\mathrm{Trans}(M')$ 可以通过将 $\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}} t_{1}$ 的左端替换为 $D_{M_{1,m}}$ 得到.

由上可知, 在两种情况下, $\mathrm{Trans}(M')=D_{M_{1,m}}t_{1}$ .

令 $j_{1}-\mathrm{TrMax}(M)>1$ .

Trans 的递归定义中引入的符号是针对 M 和 $M'$ 定义的, 并且 M 和 $M'$ 写在右边, 以清楚地表明这是对 M 和 $M'$ 的应用.

$j_{1}^{M}=j_{1}$ 且 $j_{1}^{M'}=j_{1}-m$ , 且由于 $(0,j_{0})<_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1})=(0,j_{1}^{M})$ 且 $(0,j_{0}-m)<_{M'}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1}-m)=(0,j_{1}^{M'})$ , 因此 $j_{0}^{M}=j_{0}$ 且 $j_{0}^{M'}=j_{0}-m$ . 具体而言, $j_{1}^{M}-j_{0}^{M}=j_{1}-j_{0}=j_{1}^{M'}-j_{0}^{M'}$ . 此外, $M_{j_{0}^{M}}=M_{j_{0}}=M_{j_{0}^{M'}}'$ , 且 $M_{j_{1}^{M}}=M_{j_{1}}=M_{j_{1}^{M'}}'$ . 由于 M 满足条件 (A), 因此 $M_{j_{0}^{M'}}'+1=M_{0,j_{0}^{M}}+1=M_{0,j_{1}^{M}}=M_{0,j_{1}^{M'}}'$ .

$j_{1}^{M} \geq j_{1}^{M'} = j_{1}-m > \mathrm{TrMax}(M)+1-m \geq 1$ , 因此 $\mathrm{Pred}(M)$ 和 $\mathrm{Pred}(M')$ 都不是零项, 且 Trans 保持零项性质, $t_{1}^{M} = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) \neq 0$ 且 $t_{1}^{M'} = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M')) \neq 0$ . 因此, 条件 (I) 至 (VI) 对 M 和 $M'$ 均有意义.

如果 $m = j_0$ 且 $M_{0,j_1} = M_{1,j_1}$ , 那么如前所示, $j_0 < \mathrm{TrMax}(M)$ , 因此 $M_{1,j_0^M}+1 = M_{1,j_0}+1 = M_{0,j_0}+1 = M_{0,j_1} = M_{1,j_1} = M_{1,j_1^M}$ 且 $M_{1,j_0^M'}'+1 = M_{1,j_0^M}+1 = M_{1,j_1^M} = M_{1,j_1^M'}'$ . 此外, $j_1^M-j_0^M = j_1^{M'}-j_0^{M'}$ 且 $j_1-j_0 > (\mathrm{TrMax}(M)+1) -$ 由于 $j_0 > 1$ , $M$ 和 $M'$ 满足条件 (V).

如果 $m < j_0$ , 则 $j_0^M = j_0 > m \geq 0$ 且 $j_0^{M'} = j_0-m > 0$ , 因此由于可接受性对切片的遗传性, $j_0^M$ 的 $M$ 可接受性等价于 $j_0^{M'}$ 的 $M'$ 可接受性. 此外, 由于 $M_{j_0^M} = M'_{j_0^{M'}}$ 且 $M_{j_1^M} = M'_{j_{1}^{M'}}$ , 因此 $M$ 和 $M'$ 满足相同的条件 (I) 至 (VI).

综上所述, 无论哪种情况, M 和 $M'$ 都满足相同的条件 (I) 至 (VI).

令 $J_0 := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M)))$ . 由于切片的约化性遗传性和初始切片的单项遗传性, $\mathrm{Pred}(M)$ 是约化的且是单项的. 由于 $\mathrm{TrMax}(M) < j_1-1 = j_1'-1$ , $\mathrm{Lng}(\mathrm{Pred}(M))-1 = j_1-1 > \mathrm{TrMax}(M) = \mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(M))$ , $J_0 \geq 0$ . 若 $j_1' = j_1$ , 则 $\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M)) = (\mathrm{Br}(M)_J)_{J=0}^{J_1-1}$ , 且尤其 $J_0 = J_1-1$ . 若 $j_1' < j_1$ , 则 $\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M)) = (\mathrm{Br}(M)_J)_{J=0}^{J_1-1} \oplus_{T_{\mathrm{PS}}} ((M_j)_{j=j_1'}^{j_1-1})$ , 且尤其 $J_0 = J_1$ .

因此, 在两种情况下 $J_{0} \leq J_{1}$ , FirstNodes(Pred(M)) = (FirstNodes(M) $_{J}$ ) $_{J=0}^{J_{0}}$ 和 Joints(Pred(M)) = (Joints(M) $_{J}$ ) $_{J=0}^{J_{0}}$ .

这表示“ $m < \text{Joints}(\text{Pred}(M'))_{J_0}$ ”或“ $m = \text{Joints}(\text{Pred}(M'))_{J_0}$ 且 $M_{0,\text{FirstNodes}(\text{Pred}(M'))_{J_0}} = M_{1,\text{FirstNodes}(\text{Pred}(M'))_{J_0}}$ 且 $\text{Br}(\text{Pred}(M))$ 按降序排列. ”如果 $m < j_0'$ , 则 $m < j_0' = \text{Joints}(M)_{J_1} \leq \text{Joints}(M)_{J_0} = \text{Joints}(\text{Pred}(M))_{J_0}$ .

令 $m = j_{0}^{\prime}$ .

假设 $M_{0,j_{1}^{\prime}} = M_{1,j_{1}^{\prime}}$ 且 $\mathrm{Br}(M)$ 按降序排列.

如果 $j_{0}^{\prime}<\mathrm{Joints}(M)_{J_{0}}$ , 则 $m=j_{0}^{\prime}<\mathrm{Joints}(M)_{J_{0}}=\mathrm{Joints}(\mathrm{Pred}(M))_{J_{0}}$ .

令 $j_{0}^{\prime}=\mathrm{Joints}(M)_{J_{0}}$ .

由于 M 满足条件 (A), $M_{0,\mathrm{FristNodes}(M)_{J_{0}}} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_{J_{0}}}+1 = M_{0,j_{0}^{\prime}}+1 = M_{0,j_{1}^{\prime}}$ . 因此, 根据 $\mathrm{Br}(M)$ 的降序排列, $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{0}}} \leq M_{0,j_{1}^{\prime}} = M_{1,j_{1}^{\prime}} \leq M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{0}}}$ . 另一方面, 由于可约性和系数的基本性质, $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{0}}} \geq M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{0}}}$ .

由上可知, $\mathrm{Pred}(M)_{0,\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Pred}(M))_{J_0}} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0}} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0}} = \mathrm{Pred}(M)_{1,\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Pred}(M))_{J_0}}$ .

如果 $j_1' = j_1$ , 则 $\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M)) = (\mathrm{Br}(M)_J)_{J=0}^{J_1-1}$ , 因此 $((\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M))_J)_0)_{J=0}^{J_0} = ((\mathrm{Br}(M)_J)_0)_{J=0}^{J_1-1}$ , 因此由于 $\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M))$ 具有下降性质, 因此 $\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M))$ 也是下降的.

如果 $j_1' < j_1$ , 则 $\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M)) = (\mathrm{Br}(M)_J)_{J=0}^{J_1-1} \oplus_{T_{\mathrm{PS}}} ((M_j)_{j=j_1'}^{j_1-1})$ 来自 $((\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M))_J)_0)_{J=0}^{J_0} = ((\mathrm{Br}(M)_J)_0)_{J=0}^{J_1-1} \oplus_{T_{\mathrm{PS}}} ((M_{j_1'}) ) = ((\mathrm{Br}(M)_J)_0)_{J=0}^{J_1}$ , 由于 $\mathrm{Br}(M)$ 本身具有下降性质, 因此 $\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M))$ 也是下降的.

因此, 在这两种情况下, $\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M))$ 都是下降的.

从上式可知, 在两种情况下, “ $m < \text{Joints}(\text{Pred}(M'))_{J_0}$ ”或“ $m = \text{Joints}(\text{Pred}(M'))_{J_0}$ 且 $M_{0,\text{FirstNodes}(\text{Pred}(M'))_{J_0}} = M_{1,\text{FirstNodes}(\text{Pred}(M'))_{J_0}}$ 且 $\text{Br}(\text{Pred}(M))$ 均按降序排列. ”

根据归纳假设, $t_{1}^{M} = \text{Trans}(\text{Pred}(M))$ 是单项的, 通过将其左端替换为 $D_{M_{1,m}}$ , 我们得到 $t_{1}^{M'} = \text{Trans}(\text{Pred}(M'))$ .

由于 $s_{1}^{M}D_{v^{M}}t_{2}^{M}b_{1}^{M}=s_{1}^{M}c_{1}^{M}b_{1}^{M}=t_{1}^{M}$ 且 $s_{1}^{M^{\prime}}D_{v^{M^{\prime}}}t_{2}^{M^{\prime}}b_{1}^{M^{\prime}}=s_{1}^{M^{\prime}}c_{1}^{M^{\prime}}b_{1}^{M^{\prime}}=t_{1}^{M^{\prime}}$ , 因此 $s_{1}^{M}D_{v^{M}}$ 和 $s_{1}^{M^{\prime}}D_{v^{M^{\prime}}}$ 除左端外完全相同, 且 $t_{2}^{M}b_{1}^{M}=t_{2}^{M^{\prime}}b_{1}^{M^{\prime}}$ . 由于序数项左右括号个数相等, $b_{1}^{M}=b_{1}^{M^{\prime}}$ , 因此 $t_{2}^{M}=t_{2}^{M^{\prime}}$ .

由于 M 和 $M'$ 满足相同的条件 (I) 至 (VI), 且 $M_{j_{0}^{M}} = M'_{j_{0}^{M'}}$ 、 $M_{j_{1}^{M}} = M'_{j_{1}^{M'}}$ 和 $t_{2}^{M} = t_{2}^{M'}$ , 根据 $c_{2}^{M}$ 和 $c_{2}^{M'}$ 的定义, 存在唯一的 $t' \in T_{B}$ 使得 $c_{2}^{M} = D_{v^{M}}t'$ 和 $c_{2}^{M'} = D_{v^{M'}}t'$ .

$D_{M_{1,0}}t_{1}=\mathrm{Trans}(M)=s_{1}^{M}c_{2}^{M}b_{1}^{M}=s_{1}^{M}D_{v^{M}}t^{\prime}b_{1}^{M}$ 且 $\mathrm{Trans}(M^{\prime})=s_{1}^{M^{\prime}}D_{v^{M^{\prime}}}t^{\prime}b_{1}^{M^{\prime}}$ , 因此 $D_{M_{1,0}}t_{1}$ 与 $\mathrm{Trans}(M^{\prime})$ 除左端外完全相同. 因此, 根据 Trans 最左单项式分量左端的基本性质, $\mathrm{Trans}(M^{\prime})=D_{M_{1,m}}t_{1}$ .

证毕.

现在, 回到正题.

在条件 (II) 或 (IV) 下, 末端段与 Trans 关系的证明：

下文中, 我们利用 FirstNodes 和 Joints 的单调性, 无需任何预知.

设 $j_{1}^{\prime} := \text{FirstNodes}(M)_{J_{1}}$ . 由 FirstNodes、TrMax 和 Joints 之间的关系可知, 对于任意 $J \in N$ , 若 $J \leq J_{1}$ , 则 $\text{Joints}(M)_{J} \leq \text{TrMax}(M) < \text{FirstNodes}(M)_{J}$ .

由可约性与系数的关系可知, M 满足条件 (A) 和 (B). 因为 M 满足条件 (A) 和 (B), 如果对于任意 $j \in N, j \leq \mathrm{TrMax}(M)$ , 则 $M_j = (M_{1,0}+j, M_{1,0}+j)$ . 另外, 因为 M 满足条件 (A), 对于任意 $J \in N$ , 如果 $J \leq J_1$ , 则 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_J} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_J}+1 = M_{1,0}+\mathrm{Joints}(M)_J+1$ . 特别地, $N_{0,0}' = M_{0,j_0'} = M_{1,0}+j_0' = M_{0,j_1'}-1$ .

根据条件 (V) 下末端段与 Trans 的关系, 存在唯一的 $t_{1} \in T_{PS}$ 使得：

(1) $\operatorname{Trans}(N) = D_{M_{1,0}}t_1$ .

(2) $\mathrm{Trans}(N') = D_{M_{1,j_0'}}t_1$ .

证明 $t_{1}$ 的每个单项式分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}+1}0$ .

令 $\mathrm{TrMax}(M)=m_{1}$ .

如前所述, $t_{1}=D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}}0$ . 由于 $\mathrm{TrMax}(M)>j_{0}^{\prime},\quad M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}>M_{1,j_{0}^{\prime}}$ , 因此 $t_{1}=D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}}0$ 的唯一单项分量 $D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}}0$ 大于或等于 $D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}+1}0$ .

令 $\mathrm{TrMax}(M) < m_{1}$ .

由于 $J_{0}>0$ 、 $\mathrm{Joints}(M)_{J_{0}-1}\geq j_{0}^{\prime}>0$ , 且 N 强可接受, 根据强单项式性下子表示的单项分量的基本性质, 有如下成立：

(2) 若 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}}$ , 则 $t_1$ 的每个单项分量都大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}}}0$ .

(3) 如果 $0 < \mathrm{Joints}(M)_{J_0-1} < \mathrm{TrMax}(M)$ 且 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}} > M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}}$ 则 $t_1$ 的每个单项分量均大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{Joints}(M)_{J_0-1}}}0$ .

（4）如果 $0 < \mathrm{Joints}(M)_{J_0-1} = \mathrm{TrMax}(M)$ , 则 $t_1$ 的每个单项分量均大于或等于 $D_{M_1,\mathrm{TrMax}(M)}0$ .

(2) 令 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}}$ .

$t_{1}$ 的每个单项分量均大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{0}-1}}}0$ .

由于可约性和系数的基本性质, $M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}} \geq M_{0,j_1'} = M_{0,j_0'}+1$ , 因此 $t_1$ 的每个单项式分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_0'}+1}0$ .

(3) 假设 $0 < \mathrm{Joints}(M)_{J_0-1} < \mathrm{TrMax}(M)$ 且 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}} > M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}}$ .

$t_{1}$ 的每个单项式分量都大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{Joints}(M)_{J_{0}-1}}}0$ .

根据 LastStep 的定义, $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}} > M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}}$ , 因此 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}} > M_{0,j_1'}$ . 因此, $M_{1,\mathrm{Joints}(M)_{J_0-1}} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_{J_0-1}} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}}-1 \geq M_{0,j_1'} = M_{0,j_0'}+1$ , 所以 $t_1$ 的每个单例分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_0'}+1}0$ .

(4) 令 $0 < \mathrm{Joints}(M)_{J_0-1} = \mathrm{TrMax}(M)$ .

$t_{1}$ 的每个单例分量都大于或等于 $D_{M_{1},\mathrm{TrMax}(M)}0$ .

假设 $j_{0}^{\prime}=\mathrm{TrMax}(M)$ 会导致矛盾.

由于 $\mathrm{Joints}(M)_{J_{0}-1} = \mathrm{TrMax}(M) = j_{0}^{\prime} \leq \mathrm{Joints}(M)_{J_{0}-1}$ , 因此 $\mathrm{Joints}(M)_{J_{0}-1} = \mathrm{TrMax}(M) = j_{0}^{\prime}$ . 因此, $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{0}-1}} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_{J_{0}-1}}+1 = M_{0,j_{0}^{\prime}}+1 = M_{0,j_{1}^{\prime}}$ , 所以根据 LastStep 的定义, $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{0}-1}} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{0}-1}}$ .

$\mathrm{Joints}(M)_0 = \mathrm{TrMax}(M) = \mathrm{Joints}(M)_{J_0-1} \leq \mathrm{Joints}(M)_0$ , 所以 $\mathrm{Joints}(M)_0 = \mathrm{TrMax}(M) = \mathrm{Joints}(M)_{J_0-1}$ . 因此, $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_0} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_0}+1 = M_{0,\mathrm{TrMax}(M)}+1$ .

另外, $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_0} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_0}+1 = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_{J_0-1}}+1 = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}}$ , 因此从 $M$ 的降序排列, $M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_0} \geq M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_0}+1 = M_{0,\mathrm{TrMax}(M)}+1 = M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}+1$ .

$\operatorname{FirstNodes}(M)_0 = \operatorname{TrMax}(M)+1$ , 且由于 $M_{0,\operatorname{FirstNodes}(M)_0} = M_{0,\operatorname{TrMax}(M)}+1$ 且 $M_{1,\operatorname{FirstNodes}(M)_0} \geq M_{1,\operatorname{TrMax}(M)}+1$ , 因此有 $(0, \operatorname{TrMax}(M)) <_{M}^{\operatorname{Next}}(0, \operatorname{TrMax}(M)+1)$ , 这与 $\operatorname{TrMax}$ 的定义相矛盾.

由上可知, $j_{0}^{\prime}<\mathrm{TrMax}(M)$ .

因此, $M_{1,\mathrm{TrMax}(M)} = M_{0,\mathrm{TrMax}(M)} \geq M_{0,j_0'}+1$ , 因此 $t_1$ 的每个单项分量都大于或等于 $D_{M_{0,j_0'}+1}0$ .

由上可知, 无论哪种情况, $t_{1}$ 的每个单项分量都大于或等于 $D_{M_{0,j_{0}^{\prime}}+1}0$ .

根据条件 (V) 下最右父元素的基本性质, 存在唯一的 $m_{0} \in N$ 满足：

(1) $(0,m_{0})<_{N}^{\text{Next}}(0,m_{1})$ .

(2) $j_{0}^{\prime}\leq m_{0}$ .

(3) $j_{0}^{\prime}<m_{0}$ 或 $N_{0,m_{1}}=N_{1,m_{1}}$ .

(4) 若 $j_{0}^{\prime}=m_{0}$ , 则 $m_{0}<\mathrm{TrMax}(N)$ .

Trans 的递归定义中引入的符号是针对 M 和 $M'$ 定义的, 为了明确这是对 M 和 $M'$ 的应用, 我们将 M 和 $M'$ 分别写在它们的右肩上.

由于 $j_{1}^{M} = j_{1} > m_{1} > m_{0}\geq j_{0}^{\prime} > 0$ , $j_{1}^{M} > 2$ , 因此 $\operatorname {Pred}(M)$ 不是零项. 由于Trans为零项, $t_1^M = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M))\neq 0$ , 因此条件(I)至(VI)对 $M$ 有意义.

由于 $j_{1}^{M^{\prime}} = j_{1}-j_{0}^{\prime} > m_{1}-j_{0}^{\prime} > m_{0}-j_{0}^{\prime}\geq 0$ , $j_{1}^{M^{\prime}} > 1$ , 因此 $\mathrm{Pred}(M^{\prime})$ 不是零项. 由于Trans为零项, $t_1^{M'} = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M'))\neq 0$ , 因此条件(I)至(VI)对 $M^{\prime}$ 有意义.

$j_{1}^{\prime}\leq j_{1}$ 且 P 每个分量的非复项性质意味着 $(0,j_{1}^{\prime})\leq_{M}(0,j_{1})$ , 且由于 $(0,j_{0}^{\prime})<_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1}^{\prime}),\quad j_{0}^{\prime}\leq j_{0}^{M}\circ(0,j_{0}^{M})<_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1}^{M})=(0,j_{1})$ , 即 $(0,j_{0}^{M}-j_{0}^{\prime})<_{M^{\prime}}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1}-j_{0}^{\prime})=(0,j_{1}^{M^{\prime}})$ , 因此 $j_{0}^{M^{\prime}}=j_{0}^{M}-j_{0}^{\prime}$ .

这里, 暂设 $j_{1}^{\prime}=j_{1}$ .

$j_{1}^{M}=j_{1}=j_{1}^{\prime}$ . 由于 $(0,j_{0}^{\prime})<_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1}^{\prime})=(0,j_{1}^{M})$ , $j_{0}^{M}=j_{0}^{\prime}$ . 此外, 由于 $0<j_{0}^{\prime}<\mathrm{TrMax}(M)$ , 根据TrMax的定义, $j_{0}^{M}$ 不满足M条件, 且 $j_{-1}^{M}=0$ . 另外, 由于 $M_{0,j_{1}^{\prime}}>M_{1,j_{1}^{\prime}}$ , $M_{1,j_{0}^{M}}=M_{1,j_{0}^{\prime}}=M_{0,j_{0}^{\prime}}=M_{0,j_{1}^{\prime}}-1\geq M_{1,j_{1}^{\prime}}=M_{1,j_{1}^{M}}$ .

由于 $j_{0}^{M}$ 不满足 M 条件, 且 $M_{1,j_{0}^{M}} \geq M_{1,j_{1}^{M}}$ , 因此 M 满足条件 (IV). 此外, 由于 $s_{1}$ 和 $b_{1}$ 之间存在空性和基点关系, $s_{1}^{M} = ()$ , $D_{v^{M}} t_{2}^{M} = c_{1}^{M} = t_{1}^{M}$ , 且 $b_{1}^{M} = ()$ .

$j_{1}^{M'} = j_{1}-j_{0}' = j_{1}'-j_{0}'$ 且 $j_{0}^{M'} = j_{0}^{M'}-j_{0}' = 0$ . 因此, $j_{0}^{M'}$ 是 $M'$ 可接受的, 且 $j_{-1}^{M'} = j_{0}^{M'} = 0$ . 又, 由于 $M_{0,j_{1}'} > M_{1,j_{1}'}$ , $M_{1,j_{0}^{M'}}' = M_{1,0}' = M_{1,j_{0}'} = M_{0,j_{0}'} = M_{0,j_{1}'}-1 \geq M_{1,j_{1}'} = M_{1,j_{1}} = M_{1,j_{1}'-j_{0}'}' = M_{1,j_{1}^{M'}}'$ . 由于 $j_{0}^{M'}$ 是 $M'$ 容许的, 且 $M_{1,j_{0}^{M'}}' \geq M_{1,j_{1}^{M'}}'$ , 因此 M 满足条件 (III). 另外, 由于 $s_{1}$ 和 $b_{1}$ 为空且为基点关系, $s_{1}^{M'} = ()$ , $D_{v^{M'}} t_{2}^{M'} = c_{1}^{M'} = t_{1}^{M'}$ , 且 $b_{1}^{M'} = ()$ .

下面, 我们回到不施加 $j_{1}^{\prime}=j_{1}$ 的一般情况.

由于 $j_{1} \geq \text{FirstNodes}(M)_{J_{0}} > m_{1}$ , 因此 $j_{1}-m_{1} > 0$ .

我们利用数学归纳法证明, 在 $j_{1}-m_{1}$ 上存在唯一的 $t_{2}\in T_{B}$ 使得：

(3) $\mathrm{Trans}(M') = D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2)$ 且 $t_2 \neq 0$ .

(4) $\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2))$ .

令 $j_{1}-m_{1}=1$ .

令 $t_{2} := D_{M_{1,j_{1}^{\prime}}}0$ .

\[
t_{2} \neq 0.
\]

$J_{1}=J_{0},\quad j_{1}^{\prime}=j_{1},\quad\mathrm{Pred}(M^{\prime})=N^{\prime},\quad 且 \mathrm{Pred}(M)=N. $

由于切片的强单项式性具有遗传性, $M'$ 是强可接受的, 且由于 $\mathrm{Lng}(M')-1 = m_1 \geq \mathrm{TrMax}(M) > j_0' > 0$ , $\mathrm{Lng}(M')-1 > 1$ , 因此, 对于 $M'$ , 子表示的单项式分量与 Pred 之间的任何关系 (1) 至 (4) 均成立.

由于 $\mathrm{Joints}(M')_{J_{1}}=\mathrm{Joints}(M)_{J_{1}}-j_{0}^{\prime}=0,\mathrm{Joints}(M')_{J_{1}}$ 是 $M'$ 可接受的, 因此子表示的单项分量与 Pred 之间的关系 (2) 对 $M'$ 不成立. 由于 $M_{0,j_{0}^{\prime}}+1>M_{0,j_{0}^{\prime}}\geq M_{1,j_{0}^{\prime}}$ 且 $M_{0,j_{0}^{\prime}}+1=M_{0,j_{1}^{\prime}}>M_{1,j_{1}^{\prime}}$ , $t_{1}$ 的每个单项分量均大于或等于 $D_{M_{0,j_{0}^{\prime}}+1}0$ 且 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M'))=D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}t_{1}$ , 因此对于 $M'$ , 子表达式的单项分量与 Pred 之间的关系 (3) 和 (4) 均不成立.

由上可知, 对于 $M'$ , 子表达式的单项分量与 Pred 之间的关系 (1) 成立. 即 $\mathrm{Trans}(M') = D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2)$ .

如前所述, $j_{1}^{M}=j_{1}^{\prime}$ 且 $j_{0}^{M}=j_{0}^{\prime}$ , $j_{0}^{M}$ 不是 M 可接受的, $j_{-1}^{M}=0$ , M 满足条件 (IV), $s_{1}^{M}=()$ 且 $D_{v^{M}}t_{2}^{M}=t_{1}^{M}$ 且 $b_{1}^{M}=()$ .

$D_{v^{M}}t_{2}^{M}=t_{1}^{M}=\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M))=\mathrm{Trans}(N)=D_{M_{1,0}}t_{1}$ , 因此 $v^{M}=M_{1,0}$ 且 $t_{2}^{M}=t_{1}$ .

由于 $M_{1,j_0^M} = M_{1,j_0'} = M_{0,j_0'}$ 且 $t_2^M = t_1$ 的每个单例元素都大于或等于 $D_{M_{0,j_0'}+1}$ , 因此 $t_2^M$ 最左边的单例元素不是 $D_{M_{1,j_0^M}}$ . 因此, $t_3^M = t_2^M = t_1$ 且 $t_4^M = t_2^M = t_1$ .

由上可知, $\mathrm{Trans}(M) = s_1^M c_2^M b_1^M = c_2^M = D_{v^M}(t_3^M+D_{M_{1,j_0^M}}(t_4^M+D_{M_{1,j_1^M}}0)) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2))$ .

令 $j_{1}-m_{1}>1$ .

由于切片的强单项式遗传性, $\mathrm{Pred}(M)$ 为强单项式.

令 $J_{1}^{\prime} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M)))-1$ .

令 $j_{1}^{\prime}=j_{1}$ .

由 P 与 IdxSum 的组合特征可知, $J_{1}^{\prime} \geq J_{1}-1$ , 且由于 FirstNodes(M) $_{J_{0}} = m_{1}+1 < j_{1} = j_{1}^{\prime}$ , $J_{0} < J_{1}$ , 因此 $J_{1}^{\prime} \geq J_{1}-1 \geq J_{0} \geq 0$ 且 LastStep(Pred(M)) = $J_{0}$ .

从 $J_{1}^{\prime} \geq J_{0}$ 可知, 根据 LastStep 的定义, $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}} > M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}}$ .

令 $j_{1}^{\prime}<j_{1}$ .

由 P 与 IdxSum 的组合特征可知, $J_{1}^{\prime}=J_{1}\geq0$ 且 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}}} > M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}}} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}}$ .

由于 $(\mathrm{Pred}(M)_j)_{j = 0}^{\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Pred}(M))_{J_1'}} = (M_j)_{j = 0}^{\mathrm{FirstNodes}(M)J_1}$ , LastStep $(\mathrm{Pred}(M)) = J_0$ .

从上可知, 在两种情况下, $J_{1}^{\prime}\geq J_{0}\geq0$ , LastStep(Pred(M)) = $J_{0}$ , 且 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}} > M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}}$ .

因此, $\mathrm{Pred}(M)_{0,\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Pred}(M))_{J_1'}} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} > M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} = \mathrm{Pred}(M)_{1,\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Pred}(M))_{J_1'}}$ 且由于 $J_0 \leq J_1', M_{1,\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Pred}(M))_{J_1'}} = M_{1,j_1'}$ , 因此, $\mathrm{Joints}(\mathrm{Pred}(M))_{J_1'} = M_{1,\mathrm{Joints}(\mathrm{Pred}(M))_{J_1'}}-M_{1,0} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Pred}(M))_{J_1'}}-1-M_{1,0} = M_{1,j_1'}-1-M_{1,0} = M_{1,j_0'}-M_{1,0} = j_0' > 0$ .

根据归纳假设, 存在唯一的 $t_{2}^{\prime} \in T_{B}^{2}$ 使得：

(3) Trans(Pred( $M'$ )) = $D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2')$ 且 $t_2' \neq 0$ .

(4) $t_1^M = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2'))$ .

由于子表示的单项分量 $t_{2}^{\prime} \neq 0$ 与 Pred 之间的关系, 存在唯一的 $t_{2} \in T_{PS}$ 使得 $\mathrm{Trans}(M^{\prime}) = D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}(t_{1}+t_{2})$ . 根据 $\mathrm{TrMax}(M)+1 \leq m_{1} < j_{1}$ 和 P 的定义, $(0, j_{1}^{\prime}-1) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0, j_{1}^{\prime})$ 不成立, 因此 $j_{1}^{\prime}$ 是 M 容许的.

设 $j_{1}^{\prime}=j_{1}$ .

如前所述, $j_{1}^{M}=j_{1}^{\prime}$ 且 $j_{0}^{M}=j_{0}^{\prime}$ , $j_{0}^{M}$ 是非 M 容许的, $j_{-1}^{M}=0$ , M 满足条件 (IV), $s_{1}^{M}=()$ , $D_{v^{M}}t_{2}^{M}=t_{1}^{M}$ 且 $b_{1}^{M}=()$ .

因为 $D_{v^M}t_2^M = t_1^M = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2'))$ , $v^M = M_{1,0}$ 且 $t_2^M = t_1+D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2')$ , 且 $t_2^M$ 的最右边单项式分量 $D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2')$ 的左端为 $D_{M_{1,j_0'}} = D_{M_{1,j_0^M}}$ . 因此, $t_3^M = t_1$ 且 $t_4^M = t_1+t_2'$ 且 $c_2^M = D_{v^M}(t_3^M+D_{M_{1,j_0^M}}(t_4^M+D_{M_{1,j_0^M}}0)) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2'+D_{M_{1,j_1}}0))$ .

如前所述, $j_{1}^{M'} = j_{1}-j_{0}' = j_{1}'-j_{0}'$ 且 $j_{0}^{M'} = 0$ , $j_{0}^{M'}$ 是 $M'$ 可接受的, $j_{-1}^{M'} = 0$ , M 满足条件 (III), $s_{1}^{M'} = ()$ , $D_{v^{M'}} t_{2}^{M'} = t_{1}^{M'}$ 且 $b_{1}^{M'} = ()$ .

因为 $D_{v^{M'}}t_2^{M'} = t_1^{M'} = D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2')$ , $v^{M'} = M_{1,j_0'}$ 且 $t_2^{M'} = t_1+t_2'$ , 且 $t_2^{M'}$ 的最右边单项式分量 $D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2')$ 的左端为 $D_{M_{1,j_0'}} = D_{M_{1,j_0^M}}$ . 因此, $c_2^{M'} = D_{v^{M'}}(t_2^{M'}+D_{M_{1,j_1^M'}}0) = D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2'+D_{M_{1,j_1}}0)$ .

$D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2) = \mathrm{Trans}(M') = s_1^{M'}c_2^{M'}b_1^{M'} = D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2'+D_{M_{1,j_1}}0)$ , 因此 $t_2 = t_2'+D_{M_{1,j_1}}0$ . 因此, $\mathrm{Trans}(M) = s_1^M c_2^M b_1^M = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2'+D_{M_{1,j_1}}0)) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2))$ .

设 $j_{1}^{\prime}<j_{1}$ .

由于 P 各分量均非复项性质, $(0,j_{1}^{\prime})\leq_{M}(0,j_{1})$ , 因此 $j_{1}^{\prime}\leq j_{0}^{M}$ , 且 $j_{1}^{\prime}$ 满足 M 条件,

因此 $j_1' \leq j_{-1}^M$ . 由于 $j_0^{M'} = j_0^M-j_0'$ 且 $j_{-1}^M-j_0' \geq j_1'-j_0' > 0$ , 由于容许切片的遗传性, $j_{-1}^{M'} = j_{-1}^M-j_0' > 0$ .

由于 $s_1$ 和 $b_1$ 的空性与基点的关系, $s_1^{M'} \neq ()$ . $(D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2'), c_1^{M'}) = (t_1^{M'}, c_1^{M'}) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ 且 $s_1^{M'} \neq ()$ 蕴涵 $(t_2', c_1^{M'}) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ . 因此存在 $(s_1', b_1') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 使得 $(s_1', c_1^{M'}, b_1')$ 是 $t_2'$ 的 scb 分解.

$s_1^{M'}c_1^{M'}b_1^{M'} = t_1^{M'} = D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2') = D_{M_{1,j_0'}}(t_1+s_1'c_1^{M'}b_1')$ 和 $s_1^M c_1^M b_1^M = t_1^M = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2')) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}}(t_1+s_1'c_1^{M'}b_1'))$ , 从scb分解的可替代性、scb分解的复合规则以及加法和scb分解, $D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2) = \mathrm{Trans}(M') = s_1^{M'}c_2^{M'}b_1^{M'} = D_{M_{1,j_0'}}(t_1+s_1'c_2^{M'}b_1')$ 和 $\mathrm{Trans}(M) = s_1^M c_2^M b_1^M = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}}(t_1+s_1'c_2^{M'}b_1'))$ .

因此, $t_{2}=s_{1}^{\prime}c_{2}^{M^{\prime}}b_{1}^{\prime}$ 且 $\mathrm{Trans}(M)=D_{M_{1,0}}(t_{1}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}} (t_{1}+s_{1}^{\prime}c_{2}^{M^{\prime}}b_{1}^{\prime}))=D_{M_{1,0}}(t_{1}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}} (t_{1}+t_{2}))$ .

由上可知, 在这两种情况下, $\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2))$ .

证毕.

'''定理 100''' 条件 (II) 下 Trans 与基本列的对易关系.

对于任意 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ , 利用 Trans 的递归定义中引入的符号, 令 $L := Red((M_j)_{j=j-1}^{j_1})$ . 如果 $j_1 > 1$ 且 $M$ 满足条件 (II)[71], 则令 $m_n := n-1$ 或 $m_n := n-2$ , 具体取决于 $P(t_2)_{J_1}$ 的左端是否为 $D_{M_{1,j_0}}$ , 且以下成立：

(1) $m_{n} = -1$ , 则 $Trans(M[n]) = s_1D_{M_{1,j-1}}t_2b_1$ .

(2) 如果 $m_{n} \geq 0$ , 则 $Trans(M[n]) = Trans(M)[m_{n}]$ .

(3) $Mark(M[n], j_{-1}) = D_{M_{1,j_{-1}}}(t_3+(D_{M_{1,j_0}} t_4) \times (m_n+1))$ .

(4) $Trans(M[n]) < Trans(M)$ .

我们提出一些引理, 作为在条件 (II) 下证明 Trans 与基本列之间交换关系的初步尝试.

'''定理 101''' 0 型基本列的基本不等式.

对任意 $T_{PS}$ 中的 $M, n, r' \in \mathbb{N}_+$ 和 $q, q' \in \mathbb{N}$ , 令 $j_1 := Lng(M)-1$ . 若存在唯一的 $j_0 \in \mathbb{N}$ 使得 $(0, j_0) <_{M}^{Next}(0, j_1)$ , 且 $M_{1,j_1} = 0$ 、 $q, q' \leq n-1$ 和 $r' \in j_1-j_0$ , 则 $M[n]_{0,j_0+q(j_1-j_0)} < M[n]_{0,q'(j_1-j_0)+r'}$ .

证明：

由于 $M_{1,j_1} = 0$ , $M[n] = (M_j)_{j=0}^{j_0-1} \oplus \bigoplus_{\mathbb{N}^2} ((M_j)_{j=j_0}^{j_1-1})_{k=0}^{n-1}$ .

由于 $(0,j_0) < _M^{\mathrm{Next}}(0,j_1)$ , 对于任意 $j\in \mathbb{N}$ , 若 $j_0 < j < j_1$ , 则 $M_{0,j}\geq M_{0,j_1} > M_{0,j_0}$ .

因为 $j_0 < j_0+r' < j_1, M_{0,j_0} < M_{0,j_0+r'}$ , 且因为 $M[n]_{j_0+q(j_1-j_0)} = M_{j_0}$ 且 $M[n]_{j_0+q'(j_1-j_0)+r'} = M_{j_0+r'}$ , 所以我们有 $M[n]_{0,j_0+q(j_1-j_0)} < M[n]_{0,j_0+q'(j_1-j_0)+r'}$ .

证毕.

'''定理 102''' 0 型基本列的基本分支规则.

对于任意 $M \in RT_{PS}$ 、 $n \in \mathbb{N}_{+}$ 和 $q \in \mathbb{N}$ , 令 $j_1 := Lng(M)-1$ , 并假设存在唯一的 $j_0 \in \mathbb{N}$ 使得 $(0, j_0) <_{M}^{Next}(0, j_1)$ . 如果 $M_{1,j_1} = 0$ 且 $q \leq n-1$ 且 $j_0$ 不是 $M$ 容许的, 则 $(0, j_0-1) <_{M[n]}^{Next}(0, j_0+q(j_1-j_0))$ 且 $(1, j_0-1) <_{M[n]}^{Next}(1, j_0+q(j_1-j_0))$ .

证明：

令 $j_{-1} := \mathrm{Adm}_{M}(j_{0})$ .

由于 $j_0$ 不满足 $M$ 可接受性, 因此 $j_{-1} < j_0$ . 对于任意 $j_0' \in \mathbb{N}$ , 若 $j_{-1} < j_0' \leq j_0$ , 则 $(1, j_0'-1) < _M^{\text{Next}} (1, j_0')$ . 特别地, $(1, j_0-1) < _M^{\text{Next}} (1, j_0)$ . 由于可约性与系数之间的关系, $M$ 满足条件 (A) 和 (B), 因此 $M_{0,j_0-1}+1 = M_{0,j_0}$ 且 $M_{1,j_0-1}+1 = M_{1,j_0}$ .

此外, 由于 $M_{1,j_1} = 0$ , $M[n] = (M_j)_{j=0}^{j_0-1} \oplus \bigoplus_{\mathbb{N}^2} ((M_j)_{j=j_0}^{j_1-1})_{k=0}^{n-1}$ , 因此 $M[n]_{j_0-1} = M_{j_0-1}$ 且 $M[n]_{j_0+q(j_1-j_0)} = M_{j_0}$ , 因此 $M[n]_{0,j_0-1} = M[n]_{0,j_0+q(j_1-j_0)}-1 < M[n]_{0,j_0+q(j_1-j_0)}$ 且 $M[n]_{1,j_0-1} = M[n]_{1,j_0+q(j_1-j_0)}-1 < M[n]_{1,j_0+q(j_1-j_0)}$ .

另一方面, 对于任意 $j_0' \in \mathbb{N}$ , 若 $j_0-1 < j_0' < j_0+q(j_1-j_0)$ , 则根据第0型基本列的基本不等式, $M[n]_{j_0'} \geq M[n]_{j_0+q(j_1-j_0)}$ . 由上可知, $(0, j_0-1) <_{M[n]}^{\mathrm{Next}} (0, j_0+q(j_1-j_0))$ 和 $(1, j_0-1) <_{M[n]}^{\mathrm{Next}} (1, j_0+q(j_1-j_0))$ .

证毕.

'''定理 103''' 第 0 类基本列的基本基点关系.

对于任意 $M \in RT_{PS}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ , 令 $j_{1} := Lng(M)-1$ , 并假设存在唯一的 $j_{0} \in \mathbb{N}$ 使得 $(0, j_{0}) <_{M}^{Next}(0, j_{1})$ , 且令 $j_{-1} := Adm_{M}(j_{0})$ . 若 $M_{1,j_{1}} = 0$ , 则下列成立：

(1) 若 n > 1, 则 $(M[n], j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})) \in RT_{PS}^{Marked}$ .

(2) 若 $j_{0}$ 为非 M 可接受的, 则 $(M[n], j_{-1}) \in RT_{PS}^{Marked}$ .

证明： $M[n]$ 是可约的, 因为可约性在基本列中得以保留.

$M_{1,j_{1}}=0$ , 因此 $(M[n]_{j})_{j=j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})}^{j_{0}+n(j_{1}-j_{0})-1}=(M_{j})_{j=j_{0}}^{j_{1}-1}$ .

（1）由第0个基本列的基本不等式 $(0,j_0)\leq_M(0,j_1-1)$ 可知, $(0,j_0+(n-1)(j_1-j_0))\leq_{M[n]}(0,j_0+(n-1)(j_1-j_0)+(j_1-j_0-1)) = (0,j_0+n(j_1-j_0)-1)$ .

根据第 0 类基本列的基本分支规则, $(1,j_{0}-1)<_{M[n]}^{\text{Next}}(1,j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0}))$ , 且由于 n>1, $j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})-1>j_{0}-1$ , 因此 $(1,j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})-1)\leq_{M[n]}(1,j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0}))$ 不成立. 因此, $j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})$ 是 M[n] 容许的, 且 $(M[n],j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0}))\in RT_{PS}^{\text{Marked}}$ .

（2）由 $j_0$ 的非M可接受性, $(0,j_{-1}) \leq_M (0,j_0-1)$ , 故 $(0,j_{-1}) \leq_{M[n]} (0,j_0-1)$ . 由第0型基本列的基本分支规则, $(0,j_0-1) <_{M[n]}^{\mathrm{Next}} (0,j_0+(n-1)(j_1-j_0))$ . 根据(1), $(0,j_0+(n-1)(j_1-j_0)) \leq_{M[n]} (0,j_0+n(j_1-j_0)-1)$ , 因此 $(0,j_{-1}) \leq_{M[n]} (0,j_0+n(j_1-j_0)-1)$ .

由于切片可接受性的遗传性, $j_{-1}$ 是 $\mathrm{Pred}(M)$ 可接受的. 由于 $j_{0}$ 不满足 M 可接受性, 因此 $j_{-1} < j_{0} \leq j_{1}-1$ , 且 $(M[n]_{j})_{j=0}^{j_{1}-1} = \mathrm{Pred}(M)$ , 同样由于可接受性对切片的遗传性, $j_{-1}$ 满足 M[n] 可接受性. 由此可知, $(M[n], j_{-1}) \in RT_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ .

证毕.

现在, 回到正题.

在条件 (II) 下, Trans 与基本列的交换关系证明:

根据标准形式的约化性, M 可约化；根据约化性与系数的关系, M 满足条件 (A) 和 (B).

由于 M 满足条件 (II), $M_{1,j_{0}} \geq M_{1,j_{1}}$ 且 $j_{0}$ 不为 M 可接受的, 即 $j_{-1} < j_{0}$ .

根据 Mark 左端的基本性质, $v = M_{1,j-1}$ . 由于 scb 分解的可替代性, $(s_{1}, c_{2}, b_{1}) = (s_{1}, D_{M_{1,j-1}}(t_{3}+D_{M_{1,j_{0}}} (t_{4}+D_{0}0)), b_{1})$ 是 Trans(M) 的 scb 分解, 且由于 scb 分解与基序列 (1-2) 的关系,

\[
\mathrm{Trans} (M)[n] = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{3}+(D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}) \times (n+1)) b_{1}
\]

特别地, $\mathrm{Trans}(M)\neq0$ .

（1）至（4）可以用关于 $n \in N_{+}$ 的数学归纳法证明.

设 n = 1.

由于 $M[n] = \text{Pred}(M)$ , $\text{Trans}(M[n]) = \text{Trans}(\text{Pred}(M)) = t_{1}$ 且 $\text{Mark}(M[n], j_{-1}) = \text{Mark}(\text{Pred}(M), j_{-1}) = c_{1}$ .

设 $P(t_{2})_{J_{1}}$ 的左端为 $D_{M_{1,j_{0}}}$ .

$m_{n}=n-1=0$ , 且

\[
{t_{3}} = {\Sigma_{\mathrm{B}} (P (t_{2})_{J})_{J = 0}^{J_{1}-1}}
\]

\[
c_{1} = D_{v} t_{2} = D_{M_{1, j-1}} (\Sigma_{\mathrm{B}} (P (t_{2})_{J})_{J = 0}^{J_{1}-1}+P (t_{2})_{J_{1}}) = D_{M_{1, j-1}} (t_{3}+D_{M_{1, j_{0}}} t_{4})
\]

因此 $\operatorname{Mark}(M[n], j_{-1}) = c_1 = D_{M_{1,j_{-1}}}(t_3+(D_{M_{1,j_0}} t_4) \times (m_n+1))$ , 且

\[
\operatorname{Trans} (M[n]) = t_{1} = s_{1} c_{1} b_{1} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} \left(t_{3}+\left(D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}\right)\right) b_{1} = \operatorname{Trans} (M)[n-1]
\]

因此, $\operatorname{Trans}(M) \neq 0$ , 且[Buc1] 引理 3.2 得出 $\operatorname{Trans}(M[n]) = \operatorname{Trans}(M)[n-1] < \operatorname{Trans}(M)$ .

假设 $P(t_{2})_{J_{1}}$ 的左端不是 $D_{M_{1,j_{0}}}$ .

\[
c_{1} = D_{v} t_{2} = D_{M_{1, j_{- 1}}} t_{2}
\]

\[
c_{2} = D_{v} (t_{2}+D_{M_{1, j_{0}}} 0) = D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{2}+D_{M_{1, j_{0}}} 0)
\]

因此, $\operatorname{Mark}(M[n], j_{-1}) = c_1 = D_{M_{1,j_{-1}}} t_2,$

\[
\mathrm{Trans} (M[n]) = t_{1} = s_{1} c_{1} b_{1} = s_{1} D_{M_{1, j-1}} t_{2} b_{1}
\]

\[
\mathrm{Trans} (M) = s_{1} c_{2} b_{1} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{2}+D_{M_{1, j_{0}}} 0) b_{1}
\]

因此, 由子表达式不等式的可扩展性, $t_{2}<t_{2}+D_{M_{1,j_{0}}}0$ , 故 $\mathrm{Trans}(M[n])<\mathrm{Trans}(M)$ . 设 n>1.

设 $N := (M[n]_{j})_{j=0}^{j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})}$ .

由 M 的单项式性, $(0,0)\leq_{M}(0,j_{0}-1)$ , 故 $(0,0)\leq_{N}(0,j_{0}-1)$ . 根据第 0 型基本列的基本分支规则, $(0,j_{0}-1)<_{M[n]}^{\mathrm{Next}}(0,j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0}))$ , 故 $(0,j_{0}-1)<_{N}^{\mathrm{Next}}(0,j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0}))$ , 因此 N 是单项式的. 由于 M 满足条件 (B), 所以 $N_{0,0}=M_{0,0}=M_{1,0}=N_{1,0}$ . 由于 N 是单项式且 $N_{0,0}=N_{1,0}$ , 所以 N 满足条件 (B).

证明 N 满足条件 (A).

令 $i \in \{0,1\}$ 且 $j_0', j_1' \in \mathbb{N}$ , 并令 $(i,j_0') <_{N}^{\text{Next}}(i,j_1')$ . 若 $j_1' \leq j_0$ , 则 $(i,j_0') <_{M}^{\text{Next}}(i,j_1')$ 且 $M$ 满足条件 (A), 因此 $N_{i,j_0'}+1 = M_{i,j_0'}+1 = M_{i,j_1'} = N_{i,j_1'}$ .

令 $j_{0}^{\prime}<j_{0}<j_{1}^{\prime}$ .

令 $q_{1}, r_{1} \in N$ 为 $j_{1}^{\prime}-j_{0}$ 除以 $j_{1}-j_{0}$ 的商与余数.

$q_{1} \leq n-1$ 且 $r_1 < j_1-j_0$ .

根据第 0 类基本列的基本分支规则和第 0 类基本列的基本不等式, $(0,j_{0}-1)<_{N}^{\text{Next}}(0,j_{0}+q_{1}(j_{1}-j_{0}))\leq_{N}(0,j_{0}+q_{1}(j_{1}-j_{0})+r_{1})=(0,j_{1}^{\prime})$ , 因此 $(0,j_{0}-1)\leq_{N}(0,j_{1})$ . 此外, 由于 $j_{0}^{\prime}<j_{0}$ 且 $(i,j_{0}^{\prime})<_{N}^{\text{Next}}(i,j_{1}^{\prime})$ , $(0,j_{0}^{\prime})\leq_{N}(0,j_{0}-1)$ , 因此 $(0,j_{0}^{\prime})\leq_{M}(0,j_{0}-1)$ .

对于任何 $j \in \mathbb{N}$ , 如果 $(0, j_0') \leq_M (0, j) \leq_M (0, j_0+r)$ , 则 $(i, j) \leq_M (i, j_0+r_1)$ 不成立.

如果 $j \leq j_0-1$ , 则 $(0, j_0') \leq_M (0, j) \leq_M (0, j_0+r)$ 和 $(0, j_0') \leq_M (0, j_0-1)$ 蕴涵 $(0, j) \leq_M (0, j_0-1)$ , 这意味着 $(0, j) \leq_N (0, j_0-1) \leq_N (0, j_1')$ . 因此, 根据 $(i, j_0') <_{N}^{\mathrm{Next}} (i, j_1')$ 及其父元素的基本性质, $M_{i,j} = N_{i,j} \geq N_{i,j_1'} = M_{i,j_0+r_1}$ .

如果 $j > j_0-1$ , 则 $(0,j)\leq_{M}(0,j_{0}+r)$ 蕴涵 $(0,j+q_{1}(j_{1}-j_{0}))\leq_{N}(0,j_{0}+q_{1}(j_{1}-j_{0})+r) = (0,j_{1}^{\prime})$ , 且由 $(i,j_0') < _N^{\mathrm{Next}}(i,j_1')$ 及其父元素的基本性质, $M_{i,j} = N_{i,j+q_1(j_1-j_0)}\geq N_{i,j_1'} = M_{i,j_0+r_1}$ .

由上可知, 在两种情况下, $M_{i,j} \geq M_{i,j_0+r}$ , 尤其不满足 $(i,j) \leq_{M}(i,j_{0}+r_{1})$ .

因此, $(i,j_{0}^{\prime})<_{M}^{\mathrm{Next}}(i,j_{0}+r_{1})$ , 且由于 M 满足条件 (A), $N_{i,j_{0}^{\prime}}+1=M_{i,j_{0}^{\prime}}+1=M_{i,j_{0}+r_{1}}=N_{i,j_{1}^{\prime}}$ .

令 $j_{0} \leq j_{0}^{\prime}$ .

令 $j_1'-j_0$ 除以 $j_1-j_0$ 的商与余数为 $q_1, r_1 \in \mathbb{N}$ .

\[
q_{1} \leq n-1 \text {且} r_{1} < j_{1}-j_{0} .
\]

根据第 0 类基本列的基本分支规则和第 0 类基本列的基本不等式, $(0,j_{0}-1)<_{N}^{Next}(0,j_{0}+q_{1}(j_{1}-j_{0}))\leq_{N}(0,j_{0}+q_{1}(j_{1}-j_{0})+r_{1})=(0,j_{1}^{\prime})$ , 因此 $j_{0}-1<j_{0}\leq j_{0}^{\prime}$ ；又根据 $(i,j_{0}^{\prime})<_{N}^{Next}(i,j_{1}^{\prime})$ , $j_{0}+q_{1}(j_{1}-j_{0})\leq j_{0}^{\prime}<j_{1}^{\prime}$ .

此外, 由于 $(N_{j})_{j=j_{0}+q_{1}(j_{1}-j_{0})}^{j_{1}^{\prime}}=(M_{j})_{j=j_{0}}^{j_{0}+r_{1}},\quad(i,j_{0}^{\prime}-q_{1}(j_{1}-j_{0}))<_{M}^{\mathrm{Next}}(i,j_{0}+r_{1})$ . 由于 M 满足条件 (A), $N_{i,j_{0}^{\prime}}+1=M_{i,j_{0}^{\prime}-q_{1}(j_{1}-j_{0})}+1=M_{i,j_{0}+r_{1}}=N_{i,j_{1}^{\prime}}$ .

由上可知, 无论哪种情况, $N_{i,j_{0}^{\prime}}+1=N_{i,j_{1}^{\prime}}$ . 因此, N 满足条件 (A).

由于 N 满足条件 (A) 和 (B), 因此由于可约性与系数之间的关系, N 是可约的.

设 $L' := \text{Red}((M[n]_{j})_{j = j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})}^{j_{0}+n(j_{1}-j_{0})-1})$ .

证明 $\mathrm{Trans}(M[n]) = s_1D_{M_{1,j_{-1}}}(t_3+(D_{M_{1,j_0}}t_4)\times m_n+\mathrm{Trans}(L'))b_1$ .

Trans 的递归定义中引入的符号是针对 N 定义的, 并且 N 写在右边, 以明确这是对 N 的应用.

由于 $j_{-1} < j_{0} < j_{1}$ , $j_{1}^{N} = \mathrm{Lng}(N)-1 = j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0}) > j_{-1}+(j_{1}-j_{0}) \geq 1$ , 因此 $\mathrm{Pred}(N)$ 为零项, 且由于 Trans 保持零项性质, $t_{1}^{N} = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N)) \neq 0$ . 结合 N 为单项函数这一事实, 条件 (I) 至 (VI) 对 N 有意义.

根据第 0 类基本列的基本分支规则, $(0,j_{0}-1)<_{N}^{\text{Next}}(0,j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0}))$ , 且由于 $j_{0}$ 不是 M 容许的且 M 满足条件 (A), 因此 $N_{1,j_{0}-1}+1=M_{1,j_{0}-1}+1=M_{1,j_{0}}=N_{1,j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})}>0$ , 且由于 $(j_{0}-1)+1=j_{0}<j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})$ , 因此 N 满足条件 (V). $j_{1}^{N}=j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})$ , 且根据第 0 类基本列的基本分支规则, $(0,j_{0}-1)<_{N}^{\text{Next}}(0,j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0}))$ , 因此 $j_{0}^{N}=j_{0}-1$ . 由于 $j_{0}$ 不为 M 可接受, 因此 $j_{-1}=\operatorname{Adm}_{M}(j_{0}-1)=\operatorname{Adm}_{N}(j_{0}-1)=\operatorname{Adm}_{N}(j_{0}^{N})$ . 根据 Mark 左端的基本性质, $v^{N}=N_{1,\operatorname{Adm}_{N}(j_{0}^{N})}=N_{1,j_{-1}}=M_{1,j_{-1}}$ .

$\operatorname{Pred}(N) = (M[n]_j)_{j=0}^{j_0+(n-1)(j_1-j_0)-1} = M[n-1]$ , 因此 $c_1^N = \operatorname{Mark}(\operatorname{Pred}(N), \operatorname{Adm}_N(j_0^N)) = \operatorname{Mark}(M[n-1], j_{-1})$ , 且根据归纳假设

\[
D_{v^{N}} t_{2}^{N} = c_{1}^{N} = \mathrm{Mark} (M[n-1], j_{- 1}) = D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{3}+(D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}) \times m_{n})
\]

且

\[
s_{1}^{N} c_{1}^{N} b_{1}^{N} = t_{1}^{N} = \mathrm{Trans} (\mathrm{Pred} (N)) = \mathrm{Trans} (M[n-1])
\]

\[
\begin{array}{l} = \left\{ \begin{array}{l l} \operatorname{Trans} (M) \left[m_{n-1} \right] & \left(m_{n-1} \geq 0\right) \\ s_{1} D_{M_{1, j-1}} \left(t_{2}\right) & \left(m_{n-1} =-1\right) \end{array} \right. \\ = \left\{ \begin{array}{l l} s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{3}+(D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}) \times m_{n}) b_{1} & (m_{n} \geq 1) \\ s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{2}) & (m_{n} = 0) \end{array} \right. \\ = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{3}+(D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}) \times m_{n}) b_{1} \\ \end{array}
\]

因此, $t_{2}^{N}=t_{3}+(D_{M_{1,j_{0}}}t_{4})\times m_{n}$ , 且 $s_{1}^{N}=s_{1}$ , $b_{1}^{N}=b_{1}$ . 由于N满足条件(V),

\[
c_{2}^{N} = D_{v^{N}} (t_{2}^{N}+D_{N_{1, j_{1}^{N}}} 0) = D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{3}+(D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}) \times m_{n}+D_{M_{1, j_{0}}} 0)
\]

因此,

\[
\mathrm{Trans} (N) = s_{1}^{N} c_{2}^{N} b_{1}^{N} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{3}+(D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}) \times m_{n}+D_{M_{1, j_{0}}} 0) b_{1}
\]

此外, 根据第 0 类基本列 $(M[n], j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})) \in RT_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ 的基本基点关系（1）, 以及使用 Mark 和切片的 Trans 表达式,

\[
\mathrm{Trans} (M[n]) = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{3}+(D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}) \times m_{n}+\mathrm{Mark} (M[n], j_{0}+(n-1) (j_{1}-j_{0}))) b_{1}
\]

由于 $j_0$ 不是 $M$ 可接受的, $(1, j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}} (1, j_0+1)$ . 由于 $M$ 满足条件 (II), $M_{1,j_0} \geq 0 = M_{1,j_1}$ , 因此 $j_1 > j_0+1$ , 进而 $\mathrm{Lng}(L')-1 = j_1-j_0-1 > 0$ .

根据直系祖先切片以及 Red 与 IncrFirst 之间的关系

\[
\begin{array}{l} (M_{j})_{j = j_{0}}^{j_{1}-1} = (M[n]_{j})_{j = j_{0}+(n-1) (j_{1}-j_{0})}^{j_{0}+n (j_{1}-j_{0})-1} = \operatorname{IncrFirst}^{M[n]_{0, j_{0}+(n-1) (j_{1}-j_{0})}-M[n]_{1, j_{0}+(n-1) (j_{1}-j_{0})}} \left(L^{\prime}\right) \\ = \mathrm{IncrFirst}^{M_{0, j_{0}}-M_{1, j_{0}}} (L^{\prime}) \\ \end{array}
\]

由于 Red 是 IncrFirst 不变的并且 $L'$ 是可约的, $\mathrm{Red}((M_{j})_{j=j_{0}}^{j_{1}-1})=L'$ . 根据 Mark 用 Trans 表示, 以及 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变 P 等变性,

\[
\begin{array}{l} \operatorname{Mark} (M[n], j_{0}+(n-1) \left(j_{1}-j_{0}\right)) = \operatorname{Trans} ((M[n]_{j})_{j = j_{0}+(n-1) \left(j_{1}-j_{0}\right)}^{j_{0}+n \left(j_{1}-j_{0}\right)-1}) = \operatorname{Trans} ((M_{j})_{j = j_{0}}^{j_{1}-1}) \\ = \mathrm{Trans} (L^{\prime}) \\ \end{array}
\]

因此

\[
\mathrm{Trans} (M[n]) = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{3}+(D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}) \times m_{n}+\mathrm{Trans} (L^{\prime})) b_{1}
\]

证明 $\mathrm{Trans}(L') = D_{M_{1,j_0}}t_4$ . 令 $L := \mathrm{Red}((M_j)_{j = j-1}^{j_1-1})$ . 由 $(0, j_{-1}) \leq_M (0, j_0) < _M^{\mathrm{Next}}(0, j_1)$ 和其直接祖先 $(0, j_{-1}) \leq_M (0, j_1-1)$ 的树结构(1). 因此, 由于标准形式的直接祖先对切片约化的强单项式性质, $L$ 是强单项式的. 因为 $j_{-1} < j_0$ , 且容差的遗传性对切片 $j_0-j_{-1}$ 不

为 $L$ 容差, 又因为容差的遗传性对切片 $\mathrm{Adm}_L(j_0-j_{-1}) = j_{-1}-j_{-1} = 0$ . 因此, 根据TrMax的定义, $0 < j_0-j_{-1} < \mathrm{TrMax}(L)$ . $\mathrm{Lng}(L)-1 = j_1-j_{-1}$ , 且因为 $(0, j_0) < _M^{\mathrm{Next}}(0, j_1)$ 、 $(0, j_0-j_{-1}) < _L^{\mathrm{Next}}(0, j_1-j_{-1})$ , 且 $L_{1,j_0-j_{-1}} = M_{1,j_0} \geq M_{1,j_1} = L_{1,j_1-j_0'}$ . 因此, 根据TrMax的定义, $\mathrm{TrMax}(L) < j_1-j_0'$ , 因而 $\mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(L)) \geq 0$ .

根据可约性与系数的关系, L 满足条件 (A) 和 (B). 由于 L 满足条件 (A) 和 (B), $L_{0,j_{1}-j_{-1}}=L_{0,j_{1}-j_{-1}}+1=L_{1,j_{1}-j_{-1}}+1\geq L_{0,j_{1}-j_{-1}}+1>L_{0,j_{1}-j_{-1}}$ .

因此, 由条件 (II) 或 (IV) 下末端段与 Trans 的关系可知, 存在一个 $(t_{1}^{\prime}, t_{2}^{\prime}) \in T_{\mathrm{B}}^{2}$ 使得：

(1) $\mathrm{Trans}(L') = D_{L_{1,j_0-j-1}}(t'_1+t'_2)$ 和 $t_2'$ .

(2) $\mathrm{Trans}(L) = D_{L_{1,0}}(t_1'+D_{L_{1,j_0-j_{-1}}} (t_1'+t_2'))$ .

从右端 2 个基点 Mark 的基本性质、Mark 关于 Trans 的表示、Trans 关于 (IncrFirst, Red) 的不变性、P 的不变性、以及 Mark 关于 Trans 的表示

\[
\begin{array}{l} D_{L_{1, 0}} (t_{1}^{\prime}+D_{L_{1, j_{0}-j_{- 1}}} (t_{1}^{\prime}+t_{2}^{\prime})) = \operatorname{Trans} (L) = \operatorname{Trans} ((M_{j})_{j = j_{- 1}}^{j_{1}}) = \operatorname{Mark} (M, j_{- 1}) = c_{2} \\ = D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{3}+D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}) \\ \end{array}
\]

由于 $D_{L_{1,j_{0}-j_{-1}}}(t_{1}^{\prime}+t_{2}^{\prime})$ 等于 $t_{3}+D_{M_{1,j_{0}}}t_{4}$ 的最右边的单项式 $D_{M_{1,j_{0}}}t_{4}$ ,

因此,

\[
\mathrm{Trans} (L^{\prime}) = D_{L_{1, j_{0}-j_{- 1}}} (t_{1}^{\prime}+t_{2}^{\prime}) = D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}
\]

由此可知,

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (M[n]) = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{3}+(D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}) \times m_{n}+\mathrm{Trans} (L^{\prime})) b_{1} \\ = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{3}+(D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}) \times m_{n}+D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}) b_{1} \\ { = } { s_{ 1 } D_{ M_{ 1 , j_{-1 } } } ( t_{ 3 }+( D_{ M_{ 1 , j_{ 0 } } } t_{ 4 } ) \times ( m_{ n }+1 ) ) b_{ 1 } = \mathrm{Trans} ( M )[m_{ n }] } \\ \end{array}
\]

证毕.

'''定理 104''' 在条件 (III) 或 (IV) 下 Trans 与基本列的对易关系.

对于任意 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ , 利用 Trans 的递归定义中引入的符号, 假设存在唯一的 $j_{-2} \in \mathbb{N}$ 使得 $(1, j_{-2}) <_{M}^{Next}(1, j_1)$ , 且令 $j_{-3} := Adm_M(j_{-2})$ . 如果 $j_1 > 1$ 且 $M$ 满足条件 (III) 或 (IV), 则以下成立：

(1) $\text{Trans}(M[n]) \leq \text{Trans}(M)[n-1]$ .

(2) $Trans(M[n]) < Trans(M)$ .

(3) $Trans(M)[n-1] < Trans(M[n+1])$ .

我们提出一些引理, 作为在条件 (III) 或 (IV) 下证明 Trans 和基本列之间的交换关系的初步.

'''定理 105''' 最右非容许直接祖先的基本性质.

对于任何 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ 和 $m_0, m_1 \in \mathbb{N}$ , 令 $j_1 := Lng(M)-1$ , 令 $m_{-1} := Adm_M(m_0)$ , 令 $N := (M_j)_{j=m-1}^{j_1}$ , 令 $(0, m_0) < _M^{Next}(0, m_1) \leq_M(0, j_1)$ , 令 $N' := (M_j)_{j=m_0}^{j_1}$ , 令 $J_1 := LetLng(Br(Red(N)))-1$ . 然后, 如果 $(1, m_1-1) < M^{Next}(1, m_1)$ 且 $m_0$ 不容许, 则 $J_1 \geq 0$ 且 $0 < m_0-m_{-1} < TrMax(Red(N))$ 且 $m_0-m_{-1} = Joints(Red(N))_{J_1}$ 且 $FirstNodes(Red(N))_{J_1} = m_1-m_{-1}$ .

证明：

由于 $m_{0}$ 不具有 M 容错性, $m_{-1} < m_{0}$ , 因此 $m_{-1}-m_{0} > 0$ .

对于任意 $j \in \mathbb{N}$ , 若 $0 < j \leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))$ , 则 $(1, j-1) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1, j)$ , 且由其直接祖先的 Red 不变性, $(1, j-1) <_{N}^{\mathrm{Next}}(1, j)$ , 即 $(1, j+m_{-1}-1) <_{M}^{\mathrm{Next}}(1, j+m_{-1})$ . 因此, 由于 $(1, m_1-1) <_{M}^{\mathrm{Next}}(1, m_1)$ 不是这种情况, 所以 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) < m_1-m_{-1}$ .

$(0, m_0) <_{M}^{\text{Next}} (0, m_1) \leq_M (0, j_1)$ 意味着 $(0, m_0-m_{-1}) <_{N}^{\text{Next}} (0, m_1-m_{-1}) \leq_N (0, j_1-m_{-1})$ , 而 $(0, m_0-m_{-1}) <_{\text{Red}(N)}^{\text{Next}} (0, m_1-m_{-1}) \leq_{\text{Red}(N)} (0, j_1-m_{-1})$ 由直接祖先的 Red 不变性所暗示. 由于公差对切片的遗传性, $\text{Adm}_N(m_0-m_{-1}) = \text{Adm}_M(m_0)-m_{-1} = 0$ , 且由于 Red 在公差上的不变性, $\text{Adm}_{\text{Red}(N)}(m_0-m_{-1}) = 0$ . 因此, $m_0-m_{-1} \leq \text{TrMax}(\text{Red}(N))$ .

由于 $0 < m_0-m_{-1} \leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))$ , $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) > 0$ . 根据 $\mathrm{TrMax}$ 的定义, $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))$ 对于 $\mathrm{Red}(N)$ 是可以接受的, 因此 $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))) = \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) > 0 = \mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(m_0-m_{-1})$ . 因此, $m_0-m_{-1} < \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))$ . 因为 $m_0-m_{-1} \leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) < m_1-m_{-1}$ 、 $(0, m_0-m_{-1}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}} (0, m_1-m_{-1}) \leq_{\mathrm{Red}(N)} (0, j_1-m_{-1})$ , 且 $P$ 的每个组成部分都是非二进制的, 所以 $\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Red}(N))_{J_1} = m_1-m_{-1}$ 且 $m_0-m_{-1} = \mathrm{Joints}(\mathrm{Red}(N))_{J_1}$ .

证毕.

'''定理 106''' 在条件 (III) 至 (V) 下, 右端替换与 Trans 的关系.

对于任意 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ , 利用 Trans 的递归定义中引入的符号, 假设存在唯一的 $j_{-2} \in \mathbb{N}$ 使得 $(1, j_{-2}) <_{M}^{Next}(1, j_1)$ . 令 $N' := (M_j)_{j=j_2}^{j_1}$ 且 $L' := (M_j)_{j=j_2}^{j_1-1} \oplus_{\mathbb{N}^2} ((M_{0,j_1}, M_{1,j_2}))$ . 然后, 如果 $j_{-2} < j_1-1$ , 则存在唯一的 $(s, b) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 满足：

(1) $(s,D_{M_{1},j_{1}}0,b)$ 是 $Trans(N')$ 的 scb 分解.

(2) 如果 $j_{-2} = j_0$ 或 $j_0$ 是 $M$ 可接受的, 则 $(s, D_{M_{1,j-2}} 0, b)$ 是 Trans(L') 的 scb 分解.

(3) 如果 $j_{-2} < j_0$ 且 $j_0$ 不是 $M$ 可接受的, 则 $(s, D_{M_{1,j_0}}(t_2+D_{M_{1,j_0}}0), b)$ 是 Trans( $L'$ ) 的 scb 分解.

证明：

设 $j_{-3} := \mathrm{Adm}_{M}(j_{-2})$ .

设 $N := (M_{j})_{j=j-3}^{j_{1}}$ .

由于 $(1,j_{-3})\leq_{M}(1,j_{-2})<_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1}),\quad(0,j_{-3})\leq_{M}(0,j_{-2})\leq_{M}(0,j_{1})$ . 因此, 根据标准形式的直系祖先约化切片的强单项式性质, $\mathrm{Red}(N)$ 和 $\mathrm{Red}(N')$ 是强单项式的, 并且特别地, 它们既是约化的又是单项式的.

$L'$ 是单项的, 因为 $(N_{0,j}^{\prime})_{j=0}^{j_{1}-j_{2}} = (L_{0,j}^{\prime})_{j=0}^{j_{1}-j_{2}}$ 且直接祖先满足 Red 不变性, 又因为 Red 保持单项性质, 所以 $\mathrm{Red}(L')$ 是约化的且是单项的.

Trans 的递归定义中引入的符号是针对 $\mathrm{Red}(N)$ 、 $\mathrm{Red}(N')$ 和 $\mathrm{Red}(L')$ 定义的, 为了清楚地表明这是对 $\mathrm{Red}(N)$ 、 $\mathrm{Red}(N')$ 和 $\mathrm{Red}(L')$ 的应用, 我们在右边标上分别用 N、 $N'$ 和 $L'$ 表示它们.

$j_{1}^{N}=j_{1}-j_{-3}$ 且 $j_{1}^{N^{\prime}}=j_{1}^{L^{\prime}}=j_{1}-j_{-2}$ , 并且根据直接祖先的 Red 不变性, $j_{0}^{N}=j_{0}-j_{-3}$ 且 $j_{0}^{N^{\prime}}=j_{0}^{L^{\prime}}=j_{0}-j_{-2}$ 且 $(1,0)\leq_{\mathrm{Red}(N)}(1,j_{-2}-j_{-3})<_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1}-j_{-3})=(1,j_{1}^{N})$ 且 $(1,0)<_{\mathrm{Red}(N^{\prime})}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1}-j_{-2}).=(1,j_{1}^{N^{\prime}})$ . 因此, $\mathrm{Red}(N^{\prime})_{1,0}<_{\mathrm{Red}(N^{\prime})}^{\mathrm{Next}}\mathrm{Red}(N^{\prime})_{1,j_{1}^{N^{\prime}}}$ .

由于可约性与系数之间的关系, M 和 $\mathrm{Red}(N')$ 满足条件 (A) 和 (B). 由于 M 满足条件 (A) 且 $j_{-3} = \mathrm{Adm}_{M}(j_{-2})$ , 因此 $(N_{j})_{j=0}^{j_{-2}-j_{-3}} = \mathrm{IncrFirst}^{N_{0,0}-N_{1,0}}(((j,j))_{j=N_{1,0}}^{N_{1,j-2-j_{-3}}})$ 且 $N_{0,0}-N_{1,0} = M_{0,j_{-3}}-M_{1,j_{-3}} = M_{0,j_{-2}}-M_{1,j_{-2}} = N_{0,0}'-N_{0,1}'$ .

根据基于直接祖先的切片以及 Red 与 IncrFirst 之间的关系, $\operatorname{IncrFirst}^{N_{0,0}^{\prime}-N_{1,0}^{\prime}}(\operatorname{Red}(N))=\operatorname{IncrFirst}^{N_{0,0}-N_{1,0}}(\operatorname{Red}(N))=N$ 和 $\operatorname{IncrFirst}^{N_{0,0}^{\prime}-N_{1,0}^{\prime}}(\operatorname{Red}(N^{\prime}))=N^{\prime}$ . 所以

\[
\operatorname{Red} (N) = \left(N_{0, j}-N_{0, 0}^{\prime}+N_{1, 0}^{\prime}, N_{1, j}\right)_{j = 0}^{j_{1}^{N^{\prime}}} = ((j, j))_{j = N_{1, 0}}^{N_{1, 0}^{\prime}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left(N_{0, j}^{\prime}-N_{0, 0}^{\prime}+N_{1, 0}^{\prime}, N_{1, j}^{\prime}\right)_{j = 0}^{j_{1}^{N^{\prime}}}
\]

\[
\mathrm{Red} (N^{\prime}) = (N_{0, j}^{\prime}-N_{0, 0}^{\prime}+N_{1, 0}^{\prime}, N_{1, j}^{\prime})_{j = 0}^{j_{1}^{N^{\prime}}}
\]

因此, $\mathrm{Red}(N) = ((j,j))_{j=N_{1,0}}^{N'_{1,0}-1} \oplus_{\mathbb{N}^2} \mathrm{Red}(N')$ . 具体而言, $\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N)) = \mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N'))$ . 令 $J_1 := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N'))-1$ . $\mathrm{Red}(N')_{1,0} <_{\mathrm{Red}(N')}^{\mathrm{Next}} \mathrm{Red}(N')_{1,j_1^{N'}}$ 且 $0 < j_1-1-j_{-2} < j_1^{N'}-1$ , 因此 $\mathrm{Red}(N')_{1,j_1^{N'}-1} <_{\mathrm{Red}(N')}^{\mathrm{Next}} \mathrm{Red}(N')_{1,j_1^{N'}}$ . 因此, $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N')) < j_1^{N'}$ 且 $J_1 \geq 0$ . 令 $R := \mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N')) \oplus_{\mathbb{N}^2} (N'_{0,j_1^{N'}}-N'_{0,0}+N'_{1,0}, N'_{1,0})$ .

我们证明 R 是可约的.

根据 $R$ 的定义, $\leq_{\mathrm{Red}(N')} \text{和} \leq_R$ 在 $(\{0,1\} \times \mathbb{N}) \setminus \{(1,j_1^{N'})\}$ 上相等. 特别地, 由于 $\mathrm{Red}(N')$ 的单项性质, $R$ 也是单项的.

通过 $(1,0) <_{\mathrm{Red}(N')}^{\mathrm{Next}}(1,j_1^{N'})$ 及其父元素的基本性质 (2), $\mathrm{Red}(N')_{1,0} < \mathrm{Red}(N')_{1,j_1^{N'}}$ 并且对于任何 $j \in \mathbb{N}$ , 如果 $0 < j < j_1^{N'}$ 且 $(0,j) \leq_{\mathrm{Red}(N')} (0,j_1^{N'})$ , 则 $R_{1,j} = N_{1,j}' = \mathrm{Red}(N')_{1,j} \geq \mathrm{Red}(N')_{1,j_1^{N'}} > \mathrm{Red}(N')_{1,0} = N_{1,0}' = R_{1,j_1^{N'}}$ .

因此, 对于任意 $j \in \mathbb{N}$ , 如果 $0 < j < j_1^{N'}$ , 则 $(1, j) \leq_R (1, j_1^{N'})$ 不成立. 此外, 由于 $R_{1,0} = N_{1,0}' = R_{1,j_1^{N'}}$ , 因此 $(1, 0) \leq_R (1, j_1^{N'})$ 不成立. 换句话说, 不存在唯一的 $j \in \mathbb{N}$ 使得 $(1, j) < _R^{\mathrm{Next}} (1, j_1^{N'})$ .

由上可知, 对于任意 $i \in \{0,1\}$ 和 $j_1', j_2' \in \mathbb{N}$ , $(i, j_1') <_{R}^{\text{Next}} (i, j_1')$ 的充分必要条件为 $(i, j_1') <_{\text{Red}(N')}^{ \text{Next}} (i, j_2') \neq (1, j_1^{N'})$ . 此外, 由于 $\text{Red}(N')$ 满足条件 (A) 且 $R = \text{Pred}(\text{Red}(N')) \oplus_{\mathbb{N}^2} (\text{Red}(N')_{0, j_1^{N'}}, N_{1,0}')$ , 因此 $R$ 满足条件 (A).

R 满足条件 (B), 因为 R 是单项式, 且 $R_{0,0} = \text{Pred}(\text{Red}(N'))_{0,0} = N'_{1,0}$ . 因此, 根据可约性与系数之间的关系, R 是可约的.

此外, 由于 $\operatorname{IncrFirst}^{N_{0,0}^{\prime}-N_{1,0}^{\prime}}(R)=L^{\prime}$ , 由于 Red 的 IncrFirst 不变性, $\operatorname{Red}(L^{\prime})=\operatorname{Red}(R)=R$ .

由于 $\mathrm{Pred}(N') = \mathrm{Pred}(L')$ , $t_{1}^{N'} = t_{1}^{L'}$ , 且 $\mathrm{Red}(N')$ 为单项式, Trans 为零项式, $t_{1}^{N'} \neq 0$ . 因此, 条件 (I) 至 (VI) 对于 $\mathrm{Red}(N')$ 和 $\mathrm{Red}(L')$ 均有意义.

$\operatorname{Pred}(N') = \operatorname{Pred}(L')$ 且 $j_0^{N'} = j_0^{L'} < j_1^{L'}$ , 所以 $j_{-1}^{N'} = j_{-1}^{L'}$ . 因此, $c_1^{N'} = c_1^{L'}$ 且 $D_{v^{N'}}t_2^{N'} = c_1^{N'} = c_1^{L'} = D_{v^{L'}}t_2^{L'}$ , 所以 $v^{N'} = v^{L'}$ 且 $t_2^{N'} = t_2^{L'}$ . 另外, 由于 $t_1^{N'} = t_1^{L'}$ 、 $c_1^{N'} = c_1^{L'}$ , 并且 scb 分解的唯一性, $s_1^{N'} = s_1^{L'}$ 和 $b_1^{N'} = b_1^{L'}$ .

$(1,0) <_{\mathrm{Red}(N')}^{\mathrm{Next}} (1,j_1-j_{-2}) = (1,j_1^{N'})$ , 因此 $\mathrm{Red}(N')_{1,j_1^{N'}} > \mathrm{Red}(N')_{1,0} \geq 0$ , 且 $(1,0) <_{\mathrm{Red}(N')}^{\mathrm{Next}} (1,j_1^{N'})$ 且 $0 < j_{1}-1-j_{-2} = j_{1}^{N'}-1$ , 因此 $\mathrm{Red}(N')$ 满足条件(III)、(IV)或(V).

$\operatorname{Red}(N')$ 满足条件 (A) 且 $\operatorname{Red}(N')_{1,0} <_{\operatorname{Red}(N')}^{\operatorname{Next}} \operatorname{Red}(N')_{1,j_1^{N'}}$ , 因此 $\operatorname{Red}(N')_{1,0} = \operatorname{Red}(N')_{1,j_1^{N'}}-1$ ,

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Red} (L^{\prime})_{1, j_{0}^{L^{\prime}}}-\mathrm{Red} (L^{\prime})_{1, j_{1}^{L^{\prime}}} = R_{1, j_{0}^{N^{\prime}}}-R_{1, j_{1}^{N^{\prime}}} = \mathrm{Red} (N^{\prime})_{1, j_{0}^{N^{\prime}}}-N_{1, 0}^{\prime} \\ { = } { \operatorname{Red} ( N^{ \prime } )_{ 1 , j_{ 0 }^{ N^{ \prime } } }-\operatorname{Red} ( N^{ \prime } )_{ 1 , 0 } = \operatorname{Red} ( N^{ \prime } )_{ 1 , j_{ 0 }^{ N^{ \prime } } }-\operatorname{Red} ( N^{ \prime } )_{ 1 , j_{ 1 }^{ N^{ \prime } } }+1 > \operatorname{Red} ( N^{ \prime } )_{ 1 , j_{ 0 }^{ N^{ \prime } } }-\operatorname{Red} ( N^{ \prime } )_{ 1 , j_{ 1 }^{ N^{ \prime } } }} \\ \end{array}
\]

为真. 因此, 如果 $\operatorname{Red}(N')$ 满足条件 (III) 或 (IV), 则 $\operatorname{Red}(N')_{1,j_0^{N'}}-\operatorname{Red}(N')_{1,j_1^{N'}} \geq 0$ , 且因此 $\operatorname{Red}(L')_{1,j_0^{L'}}-\operatorname{Red}(L')_{1,j_1^{L'}} > 0$ , 且因此 $\operatorname{Red}(L')$ 不满足条件 (V) 或 (VI). 如果 $\operatorname{Red}(N')$

满足条件 (V), 则 $\mathrm{Red}(N')_{1,j_{0}^{N'}}+1 = \mathrm{Red}(N')_{1,j_{1}^{N'}}$ , 因此 $\mathrm{Red}(L')_{1,j_{0}^{L'}}-\mathrm{Red}(L')_{1,j_{1}^{L'}} = 0$ , 因此 $\mathrm{Red}(L')$ 不满足条件 (V) 或 (VI).

从上式可知, 无论哪种情况, $\mathrm{Red}(L')$ 都不满足条件 (V) 或 (VI).

由于可接受性对切片的遗传性, 以下等价：

(1) $j_{0}^{N'}$ 是 $N'$ 可接受的.

(2) $j_{0}^{L'}$ 是 $L'$ 可接受的.

(3) $j_{-2}=j_{0}$ 或 $j_{0}$ 是 M 可接受的.

因此, 由于 Red 保持可接受性, 以下等价：

(1) $j_0^{N'}$ 是 $\operatorname{Red}(N')$ 可接受的.

(2) $j_{0}^{L'}$ 是 $\mathrm{Red}(L')$ 可接受的.

(3) $j_{-2}=j_{0}$ 或 $j_{0}$ 是 M 可接受的.

如果 $j_{-2} = j_0$ 或 $j_0$ 是 $M$ 容许的, 则 $\operatorname{Red}(L')$ 满足条件 (I) 或 (III)；如果 $j_{-2} < j_0$ 且 $j_0$ 不是 $M$ 容许的, 则 $\operatorname{Red}(L')$ 满足条件 (II) 或 (IV).

假设 $j_{-2}=j_{0}$ 或 $j_{0}$ 是 M 容许的.

$\operatorname{Red}(N')$ 满足条件 (III) 或 (V), 且 $\operatorname{Red}(L')$ 满足条件 (I) 或 (III).

从 $t_2^{N'} = t_2^{L'}$ 和 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性, 得到 $t_2^{N'} = t_2^{L'}$ 的 $P$ -不变性

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (N^{\prime}) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} (N^{\prime})) = s_{1}^{N^{\prime}} c_{2}^{N^{\prime}} b_{1}^{N^{\prime}} = s_{1}^{N^{\prime}} D_{v^{N^{\prime}}} (t_{2}^{N^{\prime}}+D_{\mathrm{Red} (N^{\prime})_{1. j_{1}^{N^{\prime}}}} 0) b_{1}^{N^{\prime}} \\ { = } s_{ 1 }^{ N^{ \prime } } D_{ v^{ N^{ \prime } } } ( t_{ 2 }^{ N^{ \prime } }+D_N_{ 1 , j_{ 1 }^{ N^{ \prime } } }^{ N^{ \prime } } 0 ) b_{ 1 }^{ N^{ \prime } } = s_{ 1 }^{ N^{ \prime } } D_{ v^{ N^{ \prime } } } ( t_{ 2 }^{ N^{ \prime } }+D_{ M_{ 1 , j_{ 1 } } 0 ) b_{ 1 }^{ N^{ \prime } }} \\ \mathrm{Trans} (L^{\prime}) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} (L^{\prime})) = s_{1}^{L^{\prime}} c_{2}^{L^{\prime}} b_{1}^{L^{\prime}} = s_{1}^{L^{\prime}} D_{v^{L^{\prime}}} (t_{2}^{L^{\prime}}+D_{\mathrm{Red} (L^{\prime})_{1, j_{1}^{L^{\prime}}}} 0) b_{1}^{L^{\prime}} \\ { = } { s_{ 1 }^{ N^{ \prime } } D_{ v^{ N^{ \prime } } } ( t_{ 2 }^{ N^{ \prime } }+D_{ L_{ 1 , j_{ 1 }^{ N^{ \prime } } }^{ \prime } } 0 ) b_{ 1 }^{ N^{ \prime } } = s_{ 1 }^{ N^{ \prime } } D_{ v^{ N^{ \prime } } } ( t_{ 2 }^{ N^{ \prime } }+D_{ N_{ 1 , 0 }^{ \prime } } 0 ) b_{ 1 }^{ N^{ \prime } }} \\ { = } { s_{ 1 }^{ N^{ \prime } } D_{ v^{ N^{ \prime } } } ( t_{ 2 }^{ N^{ \prime } }+D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } 0 ) b_{ 1 }^{ N^{ \prime } }} \\ \end{array}
\]

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (L^{\prime}) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} (L^{\prime})) = s_{1}^{L^{\prime}} c_{2}^{L^{\prime}} b_{1}^{L^{\prime}} = s_{1}^{L^{\prime}} D_{v^{L^{\prime}}} (t_{2}^{L^{\prime}}+D_{\mathrm{Red} (L^{\prime})_{1, j_{1}^{L^{\prime}}}} 0) b_{1}^{L^{\prime}} \\ { = } { s_{ 1 }^{ N^{ \prime } } D_{ v^{ N^{ \prime } } } ( t_{ 2 }^{ N^{ \prime } }+D_{ L_{ 1 , j_{ 1 }^{ N^{ \prime } } }^{ \prime } } 0 ) b_{ 1 }^{ N^{ \prime } } = s_{ 1 }^{ N^{ \prime } } D_{ v^{ N^{ \prime } } } ( t_{ 2 }^{ N^{ \prime } }+D_{ N_{ 1 , 0 }^{ \prime } } 0 ) b_{ 1 }^{ N^{ \prime } }} \\ { = } { s_{ 1 }^{ N^{ \prime } } D_{ v^{ N^{ \prime } } } ( t_{ 2 }^{ N^{ \prime } }+D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } 0 ) b_{ 1 }^{ N^{ \prime } }} \\ \end{array}
\]

因此, 根据 scb 分解的合成规则以及加法与 scb 分解的关系, 存在唯一的 $(s, b) \in (\Sigma^{<\omega})^{2}$ 使得 $(s, D_{M_{1,j_1}})0, b)$ 和 $(s, D_{M_{1,j_2}}0, b)$ 分别是 $\mathrm{Trans}(N')$ 和 $\mathrm{Trans}(L')$ 的 scb 分解.

证毕.

假设 $j_{-2} < j_{0}$ 且 $j_{0}$ 为非 M 可接受的.

$\operatorname{Red}(N')$ 满足条件 (IV), $\operatorname{Red}(L')$ 满足条件 (II) 或 (IV).

$t_2^{N'} = t_2^{L'}$ 且 $\mathrm{Red}(N')_{1,j_0^{N'}} = R_{1,j_0^{N'}} = \mathrm{Red}(L')_{1,j_0^{L'}}$ , 因此 $t_3^{N'} = t_3^{L'}$ 且 $t_4^{N'} = t_4^{L'}$ . 因此, 由Trans的(IncrFirst,Red)不变性, 即 $P$ -不变性,

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (N^{\prime}) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} (N^{\prime})) = s_{1}^{N^{\prime}} c_{2}^{N^{\prime}} b_{1}^{N^{\prime}} = s_{1}^{N^{\prime}} D_{v^{N^{\prime}}} (t_{3}^{N^{\prime}}+D_{\mathrm{Red} (N^{\prime})_{1, j_{0}^{N^{\prime}}}} (t_{4}^{N^{\prime}}+D_{\mathrm{Red} (N^{\prime})_{1, j_{1}^{N^{\prime}}}} 0)) b_{1}^{N^{\prime}} \\ { = } { s_{ 1 }^{ N^{ \prime } } D_{ v^{ N^{ \prime } } } ( t_{ 3 }^{ N^{ \prime } }+D_{ R_{ 1 , j_{ 0 }^{ N^{ \prime } } } } ( t_{ 4 }^{ N^{ \prime } }+D_{ N_{ 1 , j_{ 1 }^{ N^{ \prime } } }^{ \prime } } 0 ) ) b_{ 1 }^{ N^{ \prime } } = s_{ 1 }^{ N^{ \prime } } D_{ v^{ N^{ \prime } } } ( t_{ 3 }^{ N^{ \prime } }+D_{ R_{ 1 , j_{ 0 }^{ N^{ \prime } } } } ( t_{ 4 }^{ N^{ \prime } }+D_{ M_{ 1 , j_{ 1 } } } 0 ) ) b_{ 1 }^{ N^{ \prime } }} \\ \mathrm{Trans} (L^{\prime}) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} (L^{\prime})) = s_{1}^{L^{\prime}} c_{2}^{L^{\prime}} b_{1}^{L^{\prime}} = s_{1}^{L^{\prime}} D_{v^{L^{\prime}}} (t_{3}^{L^{\prime}}+D_{\mathrm{Red} (L^{\prime})_{1, j_{0}^{L^{\prime}}}} (t_{4}^{L^{\prime}}+D_{\mathrm{Red} (L^{\prime})_{1, j_{1}^{L^{\prime}}}} 0)) b_{1}^{L^{\prime}} \\ { = } { s_{ 1 }^{ N^{ \prime } } D_{ v^{ N^{ \prime } } } ( t_{ 3 }^{ N^{ \prime } } D_{ R_{ 1 , j_{ 0 }^{ N^{ \prime } } } } ( t_{ 4 }^{ N^{ \prime } }+D_{ L_{ 1 , j_{ 1 }^{ N^{ \prime } } }^{ \prime } } 0 ) ) b_{ 1 }^{ N^{ \prime } } = s_{ 1 }^{ N^{ \prime } } D_{ v^{ N^{ \prime } } } ( t_{ 3 }^{ N^{ \prime } }+D_{ R_{ 1 , j_{ 0 }^{ N^{ \prime } } } } ( t_{ 4 }^{ N^{ \prime } }+D_{ N_{ 1 , 0 }^{ \prime } } 0 ) ) b_{ 1 }^{ N^{ \prime } }} \\ { = } { s_{ 1 }^{ N^{ \prime } } D_{ v^{ N^{ \prime } } } ( t_{ 3 }^{ N^{ \prime } }+D_{ R_{ 1 , j_{ 0 }^{ N^{ \prime } } } } ( t_{ 4 }^{ N^{ \prime } }+D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } 0 ) ) b_{ 1 }^{ N^{ \prime } }} \\ \end{array}
\]

因此,根据 scb 分解的复合规则以及加法与 scb 分解的关系,存在唯一的 $(s,b)\in(\Sigma^{<\omega})^{2}$ , 且 $(s,D_{M_{1,j_{1}}}0,b)$ 和 $(s,D_{M_{1,j_{-2}}}0,b)$ 分别是 $\mathrm{Trans}(N')$ 和 $\mathrm{Trans}(L')$ 的 scb 分解.

证毕.

'''定理 107''' 条件 (III) 至 (VI) 下的展开规则的基本性质.

对于任意 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ , 令 $N' := (M_j)_{j=j-2}^{j_1}$ , $L' := (M_j')_{j=j-2}^{j_1}$ , 且对于每个 $n \in \mathbb{N}_+$ , 令 $L_n := M[n] \oplus_{\mathbb{N}^2}$ . 设 $((M_{0,j-2}+n(M_{0,j_1}-M_{0,j-2}), M_{1,j-2}))$ , 若 $j_1 > 1$ , 则下列命题成立:

(1) 若 $M$ 满足条件 (III) 或 (IV), 则 $j_{-2} < j_0$ ；若 $M$ 满足条件 (V) 或 (VI), 则 $j_{-2} = j_0$ .

(2) 对于任意 $n \in \mathbb{N}_{+}$ , $L_{n}$ 是可约化的且单项的.

(3) $\leq_{M}$ 和 $\leq_{L_1}$ 对 $(\{0,1\} \times \mathbb{N})\setminus \{(1,j_1)\}$ 的限制一致.

(4) 若 “M 满足 (VI) 或 $j_{0}$ 为 M-可接受的”, 则 $L_{1}$ 满足条件 (I) 或 (III); 若 “M 不满足 (VI) 且 $j_{0}$ 为非 M-可接受的”, 则 $L_{1}$ 满足条件 (II) 或 (IV).

(5) 对任意 $n \in \mathbb{N}_{+}$ , 若 $n > 1$ , 存在唯一的 $(s', b') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 满足:

(5-1) $(s', D_{M_{1,j-2}}0, b')$ 是 $Trans(L_{n-1})$ 的 $scb$ 分解.

(5-2) $(s', Trans(L'), b')$ 是 $Trans(L_n)$ 的 $scb$ 分解.

(5-3) $(s', Trans(Pred(N')), b')$ 是 $Trans(M[n])$ 的 $scb$ 分解.

证明：

(1)

如果 M 满足条件 (III) 或 (IV), 则 $M_{1,j_{0}} \geq M_{1,j_{1}}$ , 因此 $(1,j_{0}) \leq_{M}(1,j_{1})$ 不成立, 因此 $j_{-2} < j_{0}$ . 如果 M 满足条件 (V) 或 (VI), 则 $M_{1,j_{0}} < M_{1,j_{1}}$ , 因此 $(1,j_{0}) < _{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ 成立, 因此 $j_{-2} = j_{0}$ .

(2)

由于标准形式的可约性, M 是可约的；由于基序列保留了可约性, 因此 $M[n+1]$ 也是可约的. $M[n+1]$ 是单项的, 因为 $M_{1,j_{1}} > M_{1,j_{-2}} > 0$ , 且非多重性与基本列之间的关系(2). 此外,

\[
L_{n} = M[n] \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left(\left(M_{0, j_{1}}, M_{1, j_{- 2}}\right)\right) = M[n] \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left(\left(M_{0, j_{1}}, M_{1, j_{1}}-1\right)\right) = (M[n+1]_{j})_{j = 0}^{j_{- 2}+n (j_{1}-j_{- 2})}
\]

因此, $L_{n}$ 既是单项的又是可约化的, 因为约化性对切片具有遗传性, 单项性对初始切片也具有遗传性.

(3)

由于 $L_{1} = M[1] \oplus_{\mathbb{N}^{2}} (M_{0,j_{1}}, M_{0,j_{-2}}) = \mathrm{Pred}(M) \oplus_{\mathbb{N}^{2}} (M_{0,j_{1}}, M_{0,j_{-2}})$ , 因此 $\leq_{M}$ 和 $\leq_{L_{1}}$ 对 $(\{0,1\} \times \mathbb{N}) \setminus \{(1,j_{1})\}$ 的限制相符. 特别地, $(0,j_{0}) <_{L_{1}}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1})$ .

Trans 递归定义中引入的符号也适用于 $L_{1}$ , 为了明确这是对 $L_{1}$ 的应用, 我们将 $L_{1}$ 记为 $L_{1}$ , 并在其上标处加上 $L_{1}$ .

由于 $\mathrm{Pred}(L_{1})=\mathrm{Pred}(M)$ , $t_{1}^{L_{1}}=t_{1}\neq0$ , 因此条件 (I) 至 (VI) 对 $L_{1}$ 有意义.

由于 $(0,j_0) <_{L_1}^{\mathrm{Next}}(0,j_1)$ 且 $L_{1,j_0} = M_{1,j_0} = L_{1,j_1}$ , 因此 $L_1$ 既不满足条件 (V), 也不满足条件 (VI).

令 M 满足条件 (VI).

$j_{0}+1=j_{1}$ . 由于 $L_{1,j_{0}}=L_{1,j_{1}}=L_{1,j_{0}+1},\quad(1,j_{0})<_{L_{1}}^{\mathrm{Next}}(1,j_{0}+1)$ 不成立. 因此, $j_{0}$ 是 $L_{1}$ 可容许的.

由上可知, $L_{1}$ 满足条件 (I) 或 (III).

假设 $j_{0}$ 是 M 可容许的.

由于 $j_0$ 是 $M$ 可容许的, 因此 $(0,j_0) < _M^{\mathrm{Next}}(0,j_0+1)$ 不成立, 或者 $M_{1,j_0} \geq M_{1,j_0+1}$ 为真.

如果 $(0,j_0) < _M^{\mathrm{Next}}(0,j_0+1)$ 不成立, 则 $(0,j_0) < _{L_1}^{\mathrm{Next}}(0,j_0+1)$ 也不成立, 因此 $j_0$ 是 $L_{1}$ 可接受的. 如果 $M_{1,j_0}\geq M_{1,j_0+1}$ , 则 $j_0 < j_1$ , 因此 $L_{1,j_0} = M_{1,j_0}\geq M_{1,j_1}\geq L_{1,j_1}$ , 因此 $j_0$ 是 $L_{1}$ 可接受的. 因此, 无论哪种情况, $j_0$ 都是 $L_{1}$ 可接受的. 由上可知, $L_{1}$ 满足条件(I)或(III). 假设 $M$ 不满足(VI)条件, 且 $j_0$ 不满足 $M$ 条件.

由于 $j_{0}$ 不满足 M 条件, 因此 $(1, j_{0}-1) <_{M}^{\text{Next}} (1, j_{0}) <_{M}^{\text{Next}} (1, j_{0}+1)$ .

由于 $M_{1,j_{1}} > M_{1,j_{-2}} \geq 0$ , M 不满足条件 (I) 或 (II). 因此, M 满足条件 (IV) 或 (V), 所以 $M_{1,j_{0}}+1 \geq M_{1,j_{1}}$ , 且 $L_{1,j_{0}} = M_{1,j_{0}} \geq M_{1,j_{1}}-1 = L_{1,j_{1}}$ .

$(1,j_{0})<_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ 不成立. 因此, $j_{0}+1<j_{1}$ , 进而 $(1,j_{0}-1)<_{L_{1}}^{\text{Next}}(1,j_{0})<_{L_{1}}^{\text{Next}}(1,j_{0}+1)$ . 因此, $j_{0}$ 不为 $L_{1}$ 可接受的.

由上可知, $L_{1}$ 满足条件 (II) 或 (IV).

(5)

$\mathrm{Lng}(L_n)-1 = j_{-2}+n(j_1-j_{-2})$ . 假设 $j_{-2}+(n-1)(j_1-j_{-2})$ 不符合 $L_{n}$ 要求, 则会导致矛盾.

由于 $j_{-2}+(n-1)(j_1-j_{-2})$ 不是 $L_{n}$ 容错的, 因为 $(1,j_{-2}+(n-1)(j_1-j_{-2})-1) < _{L_n}^{\mathrm{Next}}(1,j_{-2}+(n-1)(j_1-j_{-2}))$

\[
\begin{array}{l} M_{0, j_{1}-1} = (L_{n})_{0, j_{- 2}+(n-1) (j_{1}-j_{- 2})-1}-(n-2) (M_{0, j_{1}}-M_{0, j_{- 2}}) \\ < \quad (L_{n})_{0, j_{- 2}+(n-1) (j_{1}-j_{- 2})}-(n-2) (M_{0, j_{1}}-M_{0, j_{- 2}}) \\ = \left(M_{0, j_{- 2}}+(n-1) (M_{0, j_{1}}-M_{0, j_{- 2}})\right)-(n-2) (M_{0, j_{1}}-M_{0, j_{- 2}}) = M_{0, j_{1}} \\ \end{array}
\]

且 $M_{1,j_1-1} = (L_n)_{1,j_{-2}+(n-1)(j_1-j_{-2})-1} < (L_n)_{1,j_{-2}+(n-1)(j_1-j_{-2})} = M_{1,j_{-2}} < M_{1,j_1}$

由于 $M_{0,j_1-1} < M_{0,j_1}$ 且 $M_{1,j_1-1} < M_{1,j_{-2}} < M_{1,j_1}$ , 因此有 $(1,j_1-1) < _M^{\mathrm{Next}}(1,j_1)$ , 即 $j_{-2} = j_1-1$ , 这与 $M_{1,j_1-1} < M_{1,j_2}$ 矛盾.

由上可知, $j_{-2}+(n-1)(j_{1}-j_{-2})$ 是 $L_{n}$ 可接受的. 进一步, 由于 $(1,j_{-2})<_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1})$ , $(0,j_{-2})\leq_{M}(0,j_{1})$ , 所以 $(0,j_{-2}+(n-1)(j_{1}-j_{-2}))\leq_{L_{n}}(0,j_{-2}+n(j_{1}-j_{-2}))$ . 因此, $(L_{n},j_{-2}+(n-1)(j_{1}-j_{-2}))\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ .

将 Mark 用 Trans 表示

\[
\mathrm{Mark} (L_{n}, j_{- 2}+(n-1) (j_{1}-j_{- 2})) = \mathrm{Trans} (((L_{n})_{j})_{j = j_{- 2}+(n-1) (j_{1}-j_{- 2})}^{j_{- 2}+n (j_{1}-j_{- 2}}) = \mathrm{Trans} (L^{\prime})
\]

因此, $((L_n)_j)_{j=0}^{j-2+(n-1)(j_1-j-2)} = L_{n-1}$ , 且 Trans 用 Mark 和切片表示, 我们得到一个唯一的 $(s', b') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 使得：

(1) $(s',D_{M_{1,j-2}}0,b')$ 是 $\mathrm{Trans}(L_{n-1})$ 的scb分解.

(2) $(s',\mathrm{Trans}(L'),b')$ 是 $\mathrm{Trans}(L_{n})$ 的scb分解.

因为 $j_{-2}+(n-1)(j_1-j_{-2})$ 是 $L_{n}$ 可接受的, $j_{-2}+(n-1)(j_1-j_{-2}) < j_{-2}+n(j_1-j_{-2})$ 且 $M[n] = \mathrm{Pred}(L_n)$ , 所以对基准切片的遗传率为 $(M[n], j_{-2}+(n-1)(j_1-j_{-2})) \in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ .

由于基本列保持可约性, $M[n]$ 可约, 因此, 由 Mark 用 Trans 表示可得：

\[
\operatorname{Mark} (M[n], j_{- 2}+(n-1) (j_{1}-j_{- 2})) = \operatorname{Trans} (((M[n])_{j})_{j = j_{- 2}+(n-1) (j_{1}-j_{- 2})}^{j_{- 2}+n (j_{1}-j_{- 2})}) = \operatorname{Trans} (\operatorname{Pred} (N^{\prime}))
\]

因此, $((M[n])_j)_{j=0}^{j-2+(n-1)(j_1-j_{-2})} = L_{n-1}$ , 并且通过用 Mark 和切片表示 Trans, $(s', \text{Trans}(\text{Pred}(N')), b')$ 是 Trans(M[n]) 的 scb 分解.

证毕.

'''定理 108''' 在条件 (III) 至 (VI) 下, Trans 与 scb 分解的关系.

对于任意 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ , 令 $j_1 := Lng(M)-1$ 且令 $j_1 > 1$ . 利用 Trans 的递归定义中引入的符号, 假设存在唯一的 $j_{-2} \in \mathbb{N}$ 使得 $(1, j_{-2}) < _M^{Next}(1, j_1)$ . 令 $j_{-3} := Adm_M(j_{-2})$ 且令 $N := (M_j)_{j = j_{-3}}^{j_1}$ . 然后, 存在唯一的 $(s', b') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 使得 $(s', Trans(N), b')$ 是 $Trans(M)$ 的第一种 scb 分解.

证明：

由于 $(0,j_{-3})\leq_M(0,j_{-2})\leq_M(0,j_1)$ 且 $j_{-3}$ 是 $M$ 可接受的, 因此 $(M,j_{-3})\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ .

令 $N := (M_{j})_{j=j-3}^{j_{1}}$ .

由于 $(0,j_{-3})\leq_M(0,j_{-2})$ 且 $(1,j_{-2}) < _M^{\mathrm{Next}}(1,j_1)$ , $j_{-3} < j_{1}$ 且 $(0,j_{-3})\leq_M(0,j_{-2})\leq_M(0,j_1)$ .

由于 $(M,j_{-3})\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ , 存在唯一的 $(s',b')\in(\Sigma^{<\omega})^{2}$ 使得 $(s',\mathrm{Mark}(M,j_{-2}',b'))$ 是 $\mathrm{Trans}(M)$ 的 scb 分解.

由于 Mark 用 Trans 表示, $(s', \text{Trans}(N), b')$ 是 $\text{Trans}(M)$ 的 scb 分解. 由于 $(0, j_{-2}') \leq_M (0, j_1)$ , 且单项式遗传性与直系祖先切片相关, $N$ 是单项式的. 因此, 由于 Red 保持单项式性, $\text{Red}(N)$ 既是约化的, 又是单项式的. 因为 $(0, j_{-2}') \leq_M (0, j_1)$ , 所以它是 $(0, 0) \leq_N (0, j_1-j_{-2}')$ , 又因为直接祖先的 Red 不变性意味着它是 $(0, 0) \leq_{\text{Red}(N)} (0, j_1-j_{-2}')$ .

由于 $(0,0) \leq_{\mathrm{Red}(N)} (0, j_1-j'_{-2})$ 且 0 是 $\operatorname{Red}(N)$ 可接受的, 因此存在唯一的 $J_1 \in \mathbb{N}$ 和 $n \in \mathbb{N}_M^{<\omega}$ 使得：

\[
\mathrm{Lng} (n) = J_{1}+1 .
\]

\[
n_{0} = 0 \text {. }
\]

对于任何 $J \in \mathbb{N}$ , 如果 $J < J_1$ 则 $(0, n_J) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{NextAdm}}(0, n_{J+1})$ .

\[
n_{J_{1}} = j_{1}-j_{- 2}^{\prime} \circ
\]

对于任何 $J \in \mathbb{N}$ , 如果 $0 < J < J_1$ , 则 $n_J+j_{-2}' > n_0+j_{-2}' = j_{-2}' \geq j_{-2}$ . 由于 $(0, n_J) \leq_{\mathrm{Red}(N)} (0, n_{J_1}) = (0, j_1-j_{-2}')$ 且直系祖先 Red 保持不变, $(0, n_J) \leq_N (0, j_1-j_{-2}')$ 即 $(0, n_J+j_{-2}') \leq_M (0, j_1)$ , 我们有 $(1, j_{-2}) < _M^{\mathrm{Next}} (1, j_1)$ 以及父母的基本性质. 由 (2) 可知, $M_{1, n_J+j_{-2}'} \geq M_{1, j_1}$ .

令 $J_{1}^{\prime} := \mathrm{Lng}(\mathrm{RightAnces}(N))-1$ . 由于 $\mathrm{Red}(N)$ 是单项的, 根据 RightAnces 的递归定义, 存在唯一的 $n^{\prime} \in N$ 使得：

\[
\mathrm{RightAnces} (N) = (\mathrm{Red} (N)_{1, n_{J^{\prime}}^{\prime}})_{J^{\prime} = 0}^{J_{1}^{\prime}}.
\]

\[
n_{0}^{\prime} = 0_{\circ}
\]

对于任意 $J' \in \mathbb{N}$ , 若 $J' \leq J_1'$ , 则 $(0,0) \leq_{\mathrm{Red}(N)} (0, n_{J'}') \leq_M (0, j_1-j_{-2}')$ .

对于任意 $J' \in N$ , 若 $J' < J_{1}'$ , 则 $n_{J'}' < n_{J'+1}'$ .

\[
n_{J_{1}^{\prime}}^{\prime} = j_{1}-j_{- 2}^{\prime} \circ
\]

对于任意 $J' \in \mathbb{N}$ , 若 $J' \leq J_1'$ , 则存在唯一的 $J \in \mathbb{N}$ , 使得 $J \leq J_1$ 且:

(a) $n'_{J'} = n_{J}$ .

(b) $(\mathrm{Red}(N)_j)_{j=0}^{n_J-1}$ 不是零项, 且 $(\mathrm{Red}(N)_j)_{j=0}^{n_J}$ 满足条件 (II) 或 (IV), 且 $(0, n_{J'}') <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0, n_J)$ .

我们证明, 对于任何 $J' \in \mathbb{N}$ , 如果 $0 < J' \leq J_1'$ , 则 $\mathrm{RightNodes}(\mathrm{Trans}(N))_{J'} \geq \mathrm{RightNodes}(\mathrm{Trans}(N))_{J_1'}$ .

根据直接祖先切片以及 Red 与 IncrFirst 之间的关系, $\mathrm{IncrFirst}^{N_{0,0}-N_{1,0}}(\mathrm{Red}(N))=N$ , 因此, 特别地, 对于任何 $j\in N$ , 如果 $j\leq j_{1}-j_{-3}$ , 则 $\mathrm{Red}_{1,j}=N_{1,j}=M_{1,j+j_{-3}}$ .

存在唯一的 $J \in N$ , 使得 $0 < J \leq J_{1}$ , 并且对于 $J'$ , 满足条件 (a) 或 (b).

如果 $J$ 满足 (a), 则 $n_J$ 是 $\operatorname{Red}(N)$ -可接受的, 且 $\operatorname{Adm}_M(j_{-2}) = j_{-3} < n_J+j_{-3}$ , 因此 $n_J+j_{-3} > j_{-2}$ , 进而 $j_{-2} < n_J+j_{-3} = n_{J'}'+j_{-3}$ 且 $(0, n_{J'}'+j_{-3}) = (0, n_J+j_{-3}) \leq_M (0, j_1)$ .

假设 J 满足 (b).

因为 $(0, n_{J'}') <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0, n_{J})$ 且其直接祖先 Red 不变性为 $n_{J'}' < n_{J}$ 且 $(0, n_{J'}') <_{N}^{\mathrm{Next}}(0, n_{J})$ , 即 $(0, n_{J'}'+j_{-3}) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0, n_{J}+j_{-3}) \leq_{M} (0, j_{1})$ .

$(0,j_{-2})\leq_{M}(0,j_{1})$ 蕴含着 $(0,j_{-2}-j_{-3})\leq_{N}(0,j_{1}-j_{-3})$ , 而 $(0,j_{-2}-j_{-3})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,j_1-j_{-3})$ 由直接祖先的Red不变性蕴含.

$j_{-2}-j_{-3}<n_{J}$ 且 $(0,j_{-2}-j_{-3})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,j_{1}-j_{-3})=(0,n_{J_{1}})$ 且 $(0,n_{J})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,n_{J_{1}})$ , 因此 $(0,j_{-2}-j_{-3})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,n_{J})$ 且 $(0,n_{J'}')<_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0,n_{J})$ . 因此, $(0,j_{-2}-j_{-3})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,n_{J'}')$ .

根据 $(0, n_{J'}') <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0, n_{J}) \leq_{\mathrm{Red}(N)}(0, n_{J_{1}}) = (0, j_{1}-j_{-3})$ 及直接祖先 Red 的不变性, $(0, n_{J'}') <_{N}^{\mathrm{Next}}(0, n_{J}) \leq_{N}(0, j_{1}-j_{-3})$ , 即 $(0, n_{J'}'+j_{-3}) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0, n_{J}+j_{-3}) \leq_{M}(0, j_{1})$ .

假设 $j_{-2}-j_{-3}=n_{J'}^{\prime}$ 会导致矛盾.

$(0,j_{-2})=(0,n_{J^{\prime}}^{\prime}+j_{-3})<_{M}^{\mathrm{Next}}(0,n_{J}+j_{-3})\leq_{M}(0,j_{1})$ , 且由 $(1,j_{-2})<_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1})$ 和父元素的基本性质(2), $M_{1,n_{J}+j_{-3}}\geq M_{1,j_{1}}>M_{1,j_{-2}}$ .

因此, $\mathrm{Red}(N)_{1,n_J} = M_{1,n_J+j_{-3}} > M_{1,j_{-2}} = \mathrm{Red}(N)_{1,j_{-2}-j_{-3}}$ , 因此 $(0,j_{-2}-j_{-3}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0,n_J)$ 意味着 $(\mathrm{Red}(N)_j)_{j=0}^{n_J}$ 满足条件 (V) 或 (VI), 这与 $(\mathrm{Red}(N)_j)_{j=0}^{n_J}$ 满足条件 (II) 或 (IV) 相矛盾.

由上可知, $j_{-2}-j_{-3}<n_{J'}^{\prime}$ , 即 $j_{-2}<n_{J'}^{\prime}+j_{-3}$ .

由上可知, 在这两种情况下, $j_{-2}<n_{J'}^{\prime}+j_{-3}$ 且 $(0,n_{J'}^{\prime}+j_{-3})\leq_{M}(0,j_{1})$ .

因为 $j_{-2} < n_{J'}'+j_{-3}$ 且 $(0, n_{J'}'+j_{-3}) \leq_{M} (0, j_{1})$ 和 $(1, j_{-2}) < \frac{\text{Next}}{M} (1, j_{1})$ , 根据父级的基本性质 (2), $M_{1, n_{J'}'+j_{-2}'} \geq M_{1, j_{1}}$ . 因此, 根据 RightNodes 和 RightAnces 的关系,

\[
\begin{array}{l} \operatorname{RightNodes} (\operatorname{Trans} (N))_{J^{\prime}} = \operatorname{RightAnces} (N)_{J^{\prime}} = \operatorname{Red} (N)_{1, n_{J^{\prime}}^{\prime}} = M_{1, n_{J^{\prime}}^{\prime}+j_{- 2}^{\prime}} \\ \geq M_{1, j_{1}} = \operatorname{Red} (N)_{1, n_{J_{1}^{\prime}}^{\prime}} = \operatorname{RightAnces} (N)_{J_{1}^{\prime}} = \operatorname{RightNodes} (\operatorname{Trans} (N))_{J_{1}^{\prime}} \\ \end{array}
\]

$M_{1,j-3} \leq M_{1,j-2} < M_{1,j_1}$ , 因此, 根据 RightNodes 和 RightAnces 的关系,

\[
\operatorname{RightNodes} (\operatorname{Trans} (N))_{0} = \operatorname{RightAnces} (N)_{0} = \operatorname{Red} (N)_{1, n_{0}^{\prime}} = M_{1, j_{- 3}}
\]

\[
< \quad M_{1, j_{1}} = \operatorname{RightAnces} (N)_{J_{1}^{\prime}} = \operatorname{RightNodes} (\operatorname{Trans} (N))_{J_{1}^{\prime}}
\]

由上可知, $(s',\mathrm{Trans}(N),b')$ 是 $\mathrm{Trans}(M)$ 的第一类scb分解.

证毕.

'''定理 109''' 在条件 (III) 至 (V) 下切片的 scb 分解.

对于任意 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ , 利用 Trans 的递归定义中引入的符号, 假设存在唯一的 $j_{-2} \in \mathbb{N}$ 使得 $(1, j_{-2}) <_{M}^{Next}(1, j_1)$ , 且令 $N' := (M_j)_{j=j_{-2}}^{j_1}$ . 如果 $M$ 不满足条件 (VI), 且 $Adm_M(j_{-2}) = j_{-1}$ , 则存在唯一的 $(s_1', b_1') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 满足：

(1) $(D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $c_{2}$ 的scb分解.

(2) $(D_{M_{1,j_2}}s_1', D_{M_{1,j_1}}0, b_1')$ 是 $Trans(N')$ 的 $scb$ 分解.

(3) $Trans(Pred(N')) = D_{M_{1,j-2}}t_{2}$

证明：

下文中, 我们将在条件 (III) 至 (VI) 下使用展开规则的基本性质, 无需任何说明.

(1)

由于标准形式的可约性, M 是可约的.

由于右端第 1 个基点的 Mark 的基本性质, $\mathrm{Mark}(M,j_{1})=D_{M_{1,j_{1}}}0$ , 并且由于右端第 2 个基点的 Mark 的基本性质, $\mathrm{Mark}(M,j_{-1})=c_{2}$ .

因此, 基于 $j_{-1} \leq j_0 < j_1$ 、scb 分解的平凡性准则、Trans 最左分量的基本性质以及 Mark 保持有序关系, 存在唯一的 $(s_1', b_1') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ , 使得 $(D_{M_{1,j-1}} s_1', D_{M_{1,j_1}} 0, b_1')$ 是 $c_2$ 的 scb 分解.

(2)

设 $N := (M_{j})_{j=j-1}^{j_{1}}$ .

由于 $(0,j_{-1})\leq_{M}(0,j_{0})<_{M}^{\text{Next}}(0,j_{1})$ 以及标准形式的直系祖先函数切片约化的强单项式性质, $\mathrm{Red}(N)$ 是强单项式.

从 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变 P 等变性以及 Mark 用 Trans 表示, $\mathrm{Trans}(\mathrm{Red}(N)) = \mathrm{Trans}(N) = \mathrm{Mark}(M, j_{-1}) = c_{2}$ .

$j_{-1} = \mathrm{Adm}_{M}(j_{-2}) \leq j_{-2} \leq j_{0}$ . 由于公差对切片的遗传性, $\mathrm{Adm}_{N}(j_{-2}-j_{-1}) = \mathrm{Adm}_{M}(j_{-2})-j_{-1} = 0$ 且 $\mathrm{Adm}_{N}(j_{0}-j_{-1}) = \mathrm{Adm}_{M}(j_{0})-j_{-1} = 0$ , 并且由于公差的Red不变性, $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_{-2}-j_{-1}) = 0$ 且 $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_{0}-j_{-1}) = 0$ . 因此, $j_{-2}-j_{-1} \leq j_{0}-j_{-1} \leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))$ .

如果 M 满足条件 (III) 或 (IV), 则 $M_{1,j_{0}} \geq M_{1,j_{1}}$ , 所以 $(1,j_{0}) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ , 进而 $j_{-2} < j_{0} < j_{1}$ , 所以 $j_{-2} < j_{1}-1$ , 尤其是 $(1,j_{1}-1) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ . 如果 M 满足条件 (V), 则 $j_{0} < j_{1}-1$ , 因此 $(0,j_{1}-1) <_{M}^{\text{Next}}(0,j_{1})$ , 尤其 $(1,j_{1}-1) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ .

因此, 无论哪种情况, $(1,j_{1}-1)<_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ 都不成立.

设 $J_{1} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N)))$ .

由于 $(1,j_{1}-1)\leq_{M}(1,j_{1})$ 不成立, 因此 $(1,j_{1}-1-j_{-1})\leq_{N}(1,j_{1}-j_{-1})$ 也不成立. 由于直接祖先的Red不变性, $(1,j_{1}-1-j_{-1})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(1,j_1-j_{-1})$ 并非如此, 因此 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) < j_1-j_{-1}$ . 因此, $J_{1}\geq 0$

由于 $(0,j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_1)$ , $(0,j_0-j_{-1}) <_{N}^{\mathrm{Next}}(0,j_1-j_{-1})$ ；由于直接祖先的 Red 不变性, $(0,j_0-j_{-1}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0,j_1-j_{-1})$ .

因为 $(0, j_0-j_{-1}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0, j_1-j_{-1})$ 且 $j_0-j_{-1} \leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) < j_1-j_{-1}$ , 由于 $P$ 每个分量都具有非二进制性质, 所以 $\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Red}(N))_{J_1} = j_1-j_{-1}$ 且 $\mathrm{Joints}(\mathrm{Red}(N))_{J_1} = j_0-j_{-1} \circ (1, j_{-2}) <_{M}^{\mathrm{Next}}(1, j_1)$ 意味着 $(1, j_{-2}-j_{-1}) <_{N}^{\mathrm{Next}}(1, j_1-j_{-1})$ , 且 $(1, j_{-2}-j_{-1}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1, j_1-j_{-1})$ 意味着 $(1, j_{-2}-j_{-1}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1, j_1-j_{-1})$ , 因为 $j_{-2} < j_0$ .

如果 M 满足条件 (III) 或 (IV), 则 $j_{-2}-j_{-1}<j_{0}-j_{-1}=\mathrm{Joints}(\mathrm{Red}(N))_{J_{1}}$ .

假设 M 满足条件 (V).

由于 $M_{1,j_{0}} < M_{1,j_{0}}+1 = M_{1,j_{1}}$ , $(1,j_{0}) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ , 因此 $j_{-2} = j_{0}$ . 具体而言, 由于 FirstNodes、TrMax 和 Joints 之间的关系, $j_{-2}-j_{-1} = j_{0}-j_{-1} = \text{Joints}(\text{Red}(N))_{J_{1}} \leq \text{TrMax}(\text{Red}(N))$ .

由于可约性与系数之间的关系, $\mathrm{Red}(N)$ 满足条件 (A) 和 (B). $\mathrm{Red}(N)$ 满足条件 (A) 和 (B) 且 $j_{-2}-j_{-1} \leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))$ , 因此 $\mathrm{Red}(N)_{0,j_{-2}-j_{-1}} = \mathrm{Red}(N)_{1,j_{-2}-j_{-1}}$ . $\mathrm{Red}(N)$ 满足条件 (A) 且 $(1,j_{-2}-j_{-1}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,j_1-j_{-1})$ , 因此 $\mathrm{Red}(N)_{0,j_1-j_1} = \mathrm{Red}(N)_{0,j_{-2}-j_{-1}}+1 = \mathrm{Red}(N)_{1,j_{-2}-j_{-1}}+1 = \mathrm{Red}(N)_{1,j_1-j_{-1}}$ .

$\operatorname{Red}(N)$ 是强单项的, 因此 $\operatorname{Br}(\operatorname{Red}(N))$ 是降序的.

从上式可知, “ $j_{-2}-j_{-1}<\mathrm{Joints}(\mathrm{Red}(N))_{J_{1}}$ ”或“ $j_{-2}-j_{-1}=\mathrm{Joints}(\mathrm{Red}(N))_{J_{1}}$ 且 $\mathrm{Red}(N)_{0,j_{1}-j_{-1}}=\mathrm{Red}(N)_{1,j_{1}-j_{-1}}$ 且 $\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N))$ 按降序排列. ”

因此, $(D_{M_{1,j_- 1}}s_1', D_{M_{1,j_1}}0, b_1')$ 是 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Red}(N)) = c_2$ 的 scb 分解, 又由于 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变 $P$ 齐次性以及在条件 (V) 下末端段与 Trans 的关系, $(D_{M_{1,j_- 2}}s_1', D_{M_{1,j_1}}0, b_1')$ 是 $\mathrm{Trans}(N')$ 的 scb 分解.

(3)

由于可约化为段的遗传性和单项化为初始段的遗传性, $\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))$ 是可约化的且是单项的. 此外, 由于 Red 和 Pred 的交换性, $\mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N)) = \mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))$ . 从 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变 $P$ 等方差, 以及 Mark 用 Trans 表示,

\[
\begin{array}{l} \operatorname{Trans} (\operatorname{Pred} (\operatorname{Red} (\operatorname{Pred} (N))) = \operatorname{Trans} (\operatorname{Red} (\operatorname{Pred} (N))) = \operatorname{Trans} (\operatorname{Pred} (N)) \\ = \mathrm{Mark} (\mathrm{Pred} (M), j_{- 1}) = c_{1} = D_{M_{1, j_{- 1}}} t_{2} \\ \end{array}
\]

由于可约性与系数之间的关系, M 满足条件 (A) 和 (B), 所以 $j_{-2}-j_{-1}<j_{0}-j_{-1}\leq\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))=\mathrm{TrMax}(N)$ , 因此 $N_{0,0}-N_{1,0}=N_{0,j_{-2}-j_{-1}}-N_{1,j_{-2}-j_{-1}}=N_{0,0}^{\prime}-N_{1,0}^{\prime}$ .

根据基于直系祖先的切片以及 Red 和 IncrFirst 之间的关系, $\operatorname{IncrFirst}^{N_{0,0}-N_{1,0}}(\operatorname{Red}(\operatorname{Pred}(N))) = \operatorname{Pred}(N)$ 并且 $\operatorname{IncrFirst}^{N_{0,0}^{\prime}-N_{1,0}^{\prime}}(\operatorname{Red}(\operatorname{Pred}(N^{\prime}))) = \operatorname{Pred}(N^{\prime})$ , 因此 $(\operatorname{Pred}(N)_j)_{j=j-2-j-1}^{j_1-1-j-1} = \operatorname{Pred}(N')$ , 我们得到 $(\operatorname{Red}(\operatorname{Pred}(N))_j)_{j=j-2-j-1}^{j_1-1-j-1} = \operatorname{Red}(\operatorname{Pred}(N'))$ . 令 $J_0 := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))))$ .

令 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) < j_{1}-1-j_{-1}$ .

由于 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) < j_{1}-1-j_{-1}$ , $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))) = \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))$ , 特别地, $j_{-2}-j_{-1} < j_{0}-j_{-1} \leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))) < j_{1}-j_{-1}$ . 因此, $J_{0} \geq 0$ . 因为 Pred 表示为[1], 且由于 P 与基本列的关系, 所以 $J_{1}-1 \leq J_{0} \leq J_{1}$ .

从 $(1,j_{-2}-j_{-1}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,j_1-j_{-1})$ 和 $(0,j_0-j_{-1}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0,j_1-j_{-1})$ 以及直接祖先的树结构(1), $(0,j_{-2}-j_{-1})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,j_0-j_{-1})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,j_1-1-j_{-1}), (0,j_{-2}-$ $j_{-1})\leq_{\mathrm{Pred(Red(N))}}(0,j_0-j_{-1})\leq_{\mathrm{Pred(Red(N))}}(0,j_1-1-j_{-1})$ .

由于 $(0, j_0-j_{-1}) \leq_{\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))} (0, j_1-1-j_{-1})$ 且 $j_0-j_{-1} \leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))) < j_1-1-j_{-1}$ , 因此 $P$ 每个分量的非二进制性质意味着 $j_0-j_{-1} \leq \mathrm{Joints}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N)))_{J_0}$ . 特别地, $j_{-2}-j_{-1} < j_0-j_{-1} \leq \mathrm{Joints}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N)))_{J_0}$ .

因此, $\mathrm{Trans}(\mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N))) = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))) = D_{M_{1,j-1}} t_2$ 且 $(\mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N))_j)_{j=j-2-j-1}^{j_1-1-j_1} = \mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N'))$ . 由 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性, 以及在条件 (V) 下末端段与 Trans 的关系, 可知 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N')) = \mathrm{Trans}(\mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N')) = D_{M_{1,j-2}} t_2$ .

令 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) = j_{1}-1-j_{-1}$ .

$\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N))) = \mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))) = \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) = j_1-1-j_{-1}$

因此, $\mathrm{Trans}(\mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N))) = D_{M_{1,j-1}}t_2$ 且 $(\mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N))_j)_{j = j-2-j-1}^{j_1-1-j-1} = \mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N'))$ 且 $j_{-2}-j_{-1} < j_0-j_{-1}\leq j_1-1-j_{-1}$ , 并且由于(IncrFirst, Red)不变性, Trans的

P-不变性以及具有公差 (1,1) 的对序列的 Trans 的基本性质, 我们有 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N')) = \mathrm{Trans}(\mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N')) = D_{M_{1,j-2}} t_2$ .

证毕.

'''定理 110''' 在条件 (III) 至 (V) 下的各种 scb 分解.

对于任何 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ , 使用 Trans 的递归定义中引入的符号, 假设存在唯一的 $j_{-2} \in \mathbb{N}$ 使得 $(1, j_{-2}) < _M^{Next}(1, j_1)$ , 且令 $N' := (M_j)_{j=j_{-2}}^{j_1}$ , 且令 $L' := (M_j)_{j=j_{-2}}^{j_1-1} \oplus_{\mathbb{N}^2}$ 令 $L_n := M[n] \oplus_{\mathbb{N}^2} ((M_{0,j_{-2}}+n(M_{0,j_1}-M_{0,j_{-2}}), M_{1,j_{-2}}))$ . 若 $M$ 不满足条件 (VI), 且 “ $j_{-2} < j_0$ 或 $j_0$ 为 $M$ 可接受的”, 且 $Adm_M(j_{-2}) = j_{-1}$ , 则存在唯一的 $(s'_1, b'_1) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 使得:

(1) $(D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_1}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $c_{2}$ 的scb分解.

(2) $(D_{M_{1,j_- 2}}s_1^{\prime},D_{M_{1,j_1}}0,b_1^{\prime})$ 和 $(D_{M_{1,j_- 2}}s_1^{\prime},D_{M_{1,j_- 2}}0,b_1^{\prime})$ 分别是 $Trans(N^{\prime})$ 和 $Trans(L^{\prime})$ 的scb分解.

(3) $Trans(Pred(N')) = D_{M_{1,j-2}}t_2$ .

(4) $Trans(L_n) = s_1D_{M_{1,j-1}}(s_1^{\prime}D_{M_{1,j-2}})^n 0(b_1^{\prime})^nb_1$ .

(5) $Trans(M[n]) = s_1D_{M_{1,j-1}}(s_1'D_{M_{1,j-2}})^{n-1}t_2(b_1')^{n-1}b_1$ .

证明：

下文中, 我们将使用条件 (III) 至 (VI) 下的展开规则的基本性质, 无需赘述.

在条件 (III) 至 (V) 下, 存在唯一的 $(s_{1}^{\prime}, b_{1}^{\prime}) \in (\Sigma^{<\omega})^{2}$ , 该式由切片的 scb 分解得到, 且满足：

(1) $(D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $c_{2}$ 的scb分解.

(2) $(D_{M_{1,j-2}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(N^{\prime})$ 的scb分解.

(3) Trans(Pred(N')) = D\_{M\_{1,j-2}} t\_2.

由上式可知（1）和（3）.

(2)

由于 $j_{-2} < j_0$ 或 $j_0$ 是 $\mathrm{M}$ 可接受的, $L_{j_1-j_{-2}}' = (M_{0,j_1}, M_{1,j_{-2}}) = (N_{0,j_1-j_{-2}}', N_{1,0}')$ 且 $j_0$ 的 $\mathrm{M}$ 可接受性以及右端置换与 Trans 的关系在条件 (III) 至 (V) 下成立, 因此 $(D_{M_{1,j_{-2}}} s_1', D_{M_{1,j_{-2}}} 0, b_1')$ 是 $\operatorname{Trans}(L')$ 的 scb 分解.

(4)

由于 M 满足条件 (A) 且 $(1,j_{-2}) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ , 因此 $M_{1,j_{-2}} = M_{1,j_{1}}-1$ .

我们利用关于 n 的数学归纳法证明, $\mathrm{Trans}(L_{n})=s_{1}D_{M_{1,j-1}}(s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j-2}})^{n}0(b_{1}^{\prime})^{n}b_{1}$ .

设 n = 1.

我们也定义 Trans 递归定义中引入的符号, 并将 $L_{1}$ 写在上标上, 以明确这是对 $L_{1}$ 的应用.

$\operatorname{Pred}(L_1) = \operatorname{Pred}(M)$ , 因此 $s_1^{L_1} = s_1$ 且 $b_1^{L_1} = b_1$ . 取决于 $M$ 是否满足条件 (III) 或 (IV), $L_1$ 满足条件 (I) 或 (III), 或者满足条件 (II) 或 (IV). $(D_{M_{1,j-1}}s_1', D_{M_{1,j_1}}0, b_1')$ 是 $c_2$ 的 scb 分解. 根据 Trans 的定义, $(D_{M_{1,j-1}}s_1', D_{M_{1,j-2}}0, b_1')$ 是 $c_2^{L_1}$ 的 scb 分解. 因此,

\[
\mathrm{Trans} (L_{n}) = \mathrm{Trans} (L_{1}) = s_{1}^{L_{1}} c_{2}^{L_{1}} b_{1}^{L_{1}} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 2}}} 0 b_{1}^{\prime} b_{1} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 2}}})^{n} 0 (b_{1}^{\prime})^{n} b_{1}
\]

设 n > 1.

根据归纳假设,

\[
\mathrm{Trans} (L_{n-1}) = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 2}}})^{n-1} 0 (b_{1}^{\prime})^{n-1} b_{1}
\]

\[
{ = } { ( s_{ 1 } D_{ M_{ 1 , j_{-1 } } } ( s_{ 1 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } )^{ n-2 } s_{ 1 }^{ \prime } ) D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } 0 ( ( b_{ 1 }^{ \prime } )^{ n-1 } b_{ 1 } ) }
\]

因此,

\[
\begin{array}{l} \operatorname{Trans} (L_{n}) = \left(s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 2}}})^{n-2} s_{1}^{\prime}\right) \operatorname{Trans} (L^{\prime}) ((b_{1}^{\prime})^{n-1} b_{1}) \\ { = } { ( s_{ 1 } D_{ M_{ 1 , j_{-1 } } } ( s_{ 1 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } )^{ n-2 } s_{ 1 }^{ \prime } ) D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } s_{ 1 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } 0 b_{ 1 }^{ \prime } ( ( b_{ 1 }^{ \prime } )^{ n-1 } b_{ 1 } ) } \\ { = } { s_{ 1 } D_{ M_{ 1 , j_{-1 } } } ( s_{ 1 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } )^{ n } 0 ( b_{ 1 }^{ \prime } )^{ n } b_{ 1 } } \\ \end{array}
\]

(5)

设 n = 1.

由 $M[n]=\mathrm{Pred}(M)$ ,

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (M[n]) = t_{1} = s_{1} c_{1} b_{2} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} t_{2} b_{1} \\ { = } { s_{ 1 } D_{ M_{ 1 , j_{-1 } } } ( s_{ 1 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } )^{ n-1 } t_{ 2 } ( b_{ 1 }^{ \prime } )^{ n-1 } b_{ 1 } } \\ \end{array}
\]

设 n > 1.

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (L_{n}) = s_{1} D_{M_{1, j-1}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j-2}})^{n} 0 (b_{1}^{\prime})^{n} b_{1} \\ { = } { ( s_{ 1 } D_{ M_{ 1 , j_{-1 } } } ( s_{ 1 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } )^{ n-2 } ) s_{ 1 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } s_{ 1 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } 0 b_{ 1 }^{ \prime } ( ( b_{ 1 }^{ \prime } )^{ n-1 } b_{ 1 } ) } \\ = \left(s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 2}}})^{n-2}\right) s_{1}^{\prime} \mathrm{Trans} (L^{\prime}) ((b_{1}^{\prime})^{n-1} b_{1}) \\ \end{array}
\]

于是

\[
\begin{array}{l} \operatorname{Trans} (M[n]) = \left(s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 2}}})^{n-2}\right) s_{1}^{\prime} \operatorname{Trans} (\operatorname{Pred} (N^{\prime})) ((b_{1}^{\prime})^{n-1} b_{1}) \\ { = } { ( s_{ 1 } D_{ M_{ 1 , j-1 } } ( s_{ 1 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j-2 } } )^{ n-2 } ) s_{ 1 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j-2 } } t_{ 2 } ( ( b_{ 1 }^{ \prime } )^{ n-1 } b_{ 1 } ) } \\ { = } { s_{ 1 } D_{ M_{ 1 , j_{-1 } } } ( s_{ 1 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } )^{ n-1 } t_{ 2 } ( b_{ 1 }^{ \prime } )^{ n-1 } b_{ 1 } } \\ \end{array}
\]

证毕.

'''定理 111''' 条件 (III) 或 (IV) 下的各种 scb 分解.

对于任何 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ , 设 $j_{-2} \in \mathbb{N}$ 存在, 使得 $(1, j_{-2}) <_{M}^{Next}(1, j_1)$ , 使用 Trans 的递归定义中引入的符号, 设 $j_{-3} := Adm_M(j_{-2})$ , 设 $N := (M_j)_{j=j_{-3}}^{j_1}$ , 设 $N' := (M_j)_{j=j_{-2}}^{j_1}$ , 设 $L' := Let(M_j)_{j=j_{-2}}^{j_1-1} \oplus_{\mathbb{N}^2} ((M_{0,j_1}, M_{1,j_{-2}}))$ 且令 $L_n := M[n] \oplus_{\mathbb{N}^2} ((M_{0,j_{-2}}+n(M_{0,j_1}-M_{0,j_{-2}}), M_{1,j_{-2}}))$ . 然后, 若 $j_1 > 1$ 且 $M$ 满足条件 (III) 或 (IV), 且 $j_{-3} < j_{-1}$ , 则存在唯一的 $(s_0', s_1', s_2', b_2', b_1', b_0') \in (\Sigma^{<\omega})^6$ 使得：

(1) $(s_{0}^{\prime}, Trans(N), b_{0}^{\prime})$ 是 $Trans(M)$ 的 scb 分解.

(2) $(D_{M_{1,j_- 3}}s_1',c_1,b_1')$ 和 $(D_{M_{1,j_- 3}}s_1',c_2,b_1')$ 分别是Trans(Pred(N))和Trans(N)的scb分解.

(3) $(s_{2}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{2}^{\prime})$ 是 $c_{2}$ 的scb分解.

(4) $(D_{M_{1,j-2}}s_{1}^{\prime},c_{1},b_{1}^{\prime})$ 、 $(D_{M_{1,j-2}}s_{1}^{\prime},c_{2},b_{1}^{\prime})$ 和 $(D_{M_{1,j-2}}s_{1}^{\prime}s_{2}^{\prime},D_{M_{1,j-2}}0,b_{2}^{\prime}b_{1}^{\prime})$ 分别是 $Trans(Pred(N^{\prime}))$ 、 $Trans(N^{\prime})$ 和 $Trans(L^{\prime})$ 的scb分解.

(5) $Trans(L_n) = s_0' D_{M_{1,j-3}}(s_1's_2'D_{M_{1,j-2}})^n 0(b_2'b_1')^n b_0'$ .

(6) $Trans(M[n]) = s_0' D_{M_{1,j-3}}(s_1's_2'D_{M_{1,j-2}})^{n-1}s_1' c_1b_1'(b_2'b_1')^{n-1}b_0'$ .

证明：

下文中, 我们将毫无保留地运用条件 (III) 至 (VI) 下的展开规则的基本性质.

(1)

由于 $\operatorname{Trans}(N) = \operatorname{Mark}(M, j_{-3})$ , 且 Mark 在 Trans 中的表示成立, 因此存在唯一的 $(s_0', b_0') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ , 使得 $(s_0', \operatorname{Trans}(N), b_0')$ 是 $\operatorname{Trans}(M)$ 的 scb 分解.

(2)

由于标准形式的可约性, M 也是可约的.

由于 $j_{-3} < j_{-1}$ 、scb分解的平凡性准则、Trans最左分量的基本性质以及Mark保持有序关系, 存在唯一的 $(s_1', b_1') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 且 $(D_{M_{1,j_3}} s_1', c_2, b_1')$ 是 $\mathrm{Trans}(N)$ 的scb分解.

将 Trans 表示为 Mark 和 Pred, 则 $(D_{M_{1,j-3}}s_{1}^{\prime},c_{1},b_{1}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N))$ 的 scb 分解.

(3)

由于最右边 1 个基点处 Mark 的基本性质以及 Mark 的顺序关系, 存在唯一的 $(s_{2}^{\prime}, b_{2}^{\prime}) \in (\Sigma^{<\omega})^{2}$ , 使得 $(s_{2}^{\prime}, D_{M_{1,j_{1}}}0, b_{2}^{\prime}) = (s_{2}^{\prime}, \text{Mark}(M, j_{1}), b_{2}^{\prime})$ 是 $c_{2}$ 的 scb 分解.

(4)

由于 $(1,j_{-3})\leq_M(1,j_{-2}) < _M^{\mathrm{Next}}(1,j_1)$ 具有强单项式性, 且切片可以通过标准形式的直系祖先约化, 因此 $\operatorname {Red}(N)$ 为强单项式. 由于可约性与系数之间的关系, $\operatorname {Red}(N)$ 满足条件(A)和(B).

令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N)))$ .

由于 M 满足条件 (III) 或 (IV), $M_{1,j_{0}} \geq M_{1,j_{1}}$ , 因此 $(1,j_{0}) \leq_{M}(1,j_{1})$ , 即不满足 $(1,j_{0}-j_{-3}) \leq_{N}(1,j_{1}-j_{-3})$ . 由于直接祖先的 Red 不变性, $(1,j_{0}-j_{-3}) \leq_{\mathrm{Red}(N)}(1,j_{1}-j_{-3})$ , 因此 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) < j_{1}-j_{-3}$ . 因此, $J_{1} \geq 0$ . $(1,j_{-2}) <_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1})$ 和 $(0,j_{0}) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1})$ , 因此 $(1,j_{-2}-j_{-3}) <_{N}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1}-j_{-3})$ 和 $(0,j_{0}-j_{-3}) <_{N}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1}-j_{-3})$ , 以及 $(1,j_{-2}-j_{-3}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1}-j_{-3})$ 和 $(0,j_{0}-j_{-3})$ , 因为直接祖先的 Red 不变性 $(1,j_{-2}-j_{-3}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1}-j_{-3})$ かつ $(0,j_{0}-j_{-3}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1}-j_{-3})$ .

由于公差对切片的遗传性, $\mathrm{Adm}_N(j_{-2}-j_{-3}) = 0$ 且 $\mathrm{Adm}_N(j_0-j_{-3}) = j_{-1}-j_{-3}$ ；同时由于公差的 Red 不变性, $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_{-2}-j_{-3}) = 0$ 且 $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_0-j_{-3}) = j_{-1}-j_{-3}$ .

$\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_{-2}-j_{-3}) = 0$ , 因此 $j_{-2}-j_{-3}\leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))$ . $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_0-j_{-3}) = j_{-1}-j_{-3} > 0$ , 因此 $j_0-j_{-3}\geq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))$ .

令 $m_{0} := \text{Joints}(\text{Red}(N))_{J_{1}}$ .

令 $m_{1} := \text{FirstNodes}(\text{Red}(N))_{J_{1}}$ .

$(1,j_{-2}-j_{-3})<_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1}-j_{-3})$ 且 $j_{-2}-j_{-3}\leq\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))<j_{1}-j_{-3}$ , 因此 $j_{-2}-j_{-3}\leq m_{0}$ .

若 $j_{-2}-j_{-3} = m_0$ , 则表明 $\operatorname{Red}(N)_{0,m_1} = \operatorname{Red}(N)_{1,m_1}$ , 且 $\operatorname{Br}(\operatorname{Red}(N))$ 按降序排列.

由于 $\mathrm{Red}(N)$ 是强单项式, 因此 $\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N))$ 是下降的.

由于 P 的每个分量都是非复合的, $(0,0)\leq_{\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N))_{J_{1}}}(0,j_{1}-j_{-3}-m_{1})$ , 因此 $(0,m_{1})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,j_{1}-j_{-3})$ . 特别地, $(0,j_{-2}-j_{-3})=(0,m_{0})<_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0,m_{1})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,j_{1}-j_{-3})$ .

由于 $(1,j_{-2}-j_{-3}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,j_1-j_{-3})$ 和 $(0,j_{-2}-j_{-3}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0,m_1) \leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,j_1-j_{-3})$ , 直接祖先的树结构(2)给出 $(1,j_{-2}-j_{-3}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,m_1)$ .

由于 $\operatorname{Red}(N)$ 满足条件 (A) 和 (B), $j_{-2}-j_{-3} \leq \operatorname{TrMax}(\operatorname{Red}(N))$ , 因此 $\operatorname{Red}(N)_{0,j_{-2}-j_{-3}} = \operatorname{Red}(N)_{1,j_{-2}-j_{-3}}$ . 同样, $\operatorname{Red}(N)$ 满足条件 (A), 且 $(0, j_{-2}-j_{-3}) <_{\operatorname{Red}(N)}^{\operatorname{Next}}(0, m_1)$ 和 $(1, j_{-2}-j_{-3}) <_{\operatorname{Red}(N)}^{\operatorname{Next}}(1, m_1)$ 得到

\[
\mathrm{Red} (N)_{0, m_{1}} = \mathrm{Red} (N)_{0, j_{- 2}-j_{- 3}}-1 = \mathrm{Red} (N)_{1, j_{- 2}-j_{- 3}}-1 = \mathrm{Red} (N)_{1, m_{1}}
\]

从上式可知, “ $j_{-2}-j_{-3}<m_{0}$ ”或“ $j_{-2}-j_{-3}=m_{0}$ 且 $\mathrm{Red}(N)_{0,m_{1}}=\mathrm{Red}(N)_{1,m_{1}}$ 且 $\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N))$ 按降序排列. ”

因此, $(D_{M_{1,j-3}}s_{1}^{\prime},c_{2},b_{1}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(N)$ 的scb分解, 又由于Trans的(IncrFirst,Red)不变P同质性以及条件(V)下末端段与Trans的关系, $(D_{M_{1,j-2}}s_{1}^{\prime},c_{2},b_{1}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(N^{\prime})$ 的scb分解.

由于 $(1,j_0)\leq_M(1,j_1)$ 不成立, 且 $(1,j_{-2}) < _M^{\mathrm{Next}}(1,j_1)$ 和 $(0,j_0) < _M^{\mathrm{Next}}(0,j_1)$ , $j_{-2} < j_0 < j_1$ . 因此, $j_1-1-j_{-3}\geq j_0-j_{-3} > j_{-2}-j_{-3}\geq 0$ , $\operatorname{Pred}(\operatorname{Red}(N))$ 为强单项式, 这是由于 $\operatorname{Red}(N)$ 对切片的遗传性以及 $\operatorname{Red}(N)$ 的强单项式性质所致.

$\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_{-2}-j_{-3}) = 0$ 且 $j_{-2}-j_{-3} < j_1-1-j_{-3}$ , 因此 $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))}(j_{-2}-j_{-3}) = 0$ . 因此, $j_{-2}-j_{-3} \leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N)))$ .

令 $J_{0} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))))$ .

由于 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) < j_{1}-j_{-3}$ , $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))) = \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))$ , 即 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))) \leq j_{1}-1-j_{-3}$ .

令 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) < j_{1}-1-j_{-3}$ .

由于 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) < j_{1}-1-j_{-3}$ , $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))) = \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))$ , 特别地, $j_{-2}-j_{-3} \leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))) < j_{1}-1-j_{-3}$ . 因此, $J_{0} \geq 0$ .

$(1,j_{-2}-j_{-3})<_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1}-j_{-3})$ , 因此 $(0,j_{-2}-j_{-3})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,j_{1}-j_{-3})$ , 且 $j_{-2}-j_{-3}<j_{1}-1-j_{-3}$ 以及直接祖先的树结构(1), $(0,j_{-2}-j_{-3})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,j_{1}-1-j_{-3})$ , 即 $(0,j_{-2}-j_{-3})\leq_{\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))}(0,j_{1}-1-j_{-3})$ .

由于 $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_{-2}-j_{-3})=0$ 且 $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_{0}-j_{-3})=j_{-1}-j_{-3}$ , 因此 $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))}(j_{-2}-j_{-3})=0$ 且 $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))}(j_{0}-j_{-3})=j_{-1}-j_{-3}$ .

$\mathrm{Adm}_{\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))}(j_{-2}-j_{-3}) = 0$ , 因此 $j_{-2}-j_{-3}\leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N)))$ . $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))} = j_{-1}-j_{-3} > 0$ , 因此 $j_0-j_{-3}\geq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))$ .

令 $m_{0}^{\prime} := \text{Joints}(\text{Pred}(\text{Red}(N)))_{J_{0}}$ .

令 $m_{1}^{\prime} := \text{FirstNodes}(\text{Pred}(\text{Red}(N)))_{J_{0}}$ .

由于 $(0,j_{-2}-j_{-3})\leq_{\mathrm{Pred(Red}(N))}(0,j_1-1-j_{-3})$ 且 $j_{-2}-j_{-3}\leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N)))) < j_1-1-j_{-3}$ , 则 $j_{-2}-j_{-3}\leq m_0^\prime$ .

如果 $j_{-2}-j_{-3} = m_0'$ , 则 $\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))_{0,m_1'} = \mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))_{1,m_1'}$ , 且 $\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N)))$ 为下降矩阵.

由于 Pred(Red(N)) 为强单项矩阵, 因此 Br(Pred(Red(N))) 为下降矩阵.

由于Pred表示为[1], 且 $P$ 与基本列具有关系 $J_{1}-1\leq J_{0}\leq J_{1}$ , 由于FirstNodes和Joints的单调性,

\[
\begin{array}{l} m_{0} = \mathrm{Joints} (\mathrm{Red} (N))_{J_{1}} \leq \mathrm{Joints} (\mathrm{Red} (N))_{J_{0}} = \mathrm{Joints} (\mathrm{Pred} (\mathrm{Red} (N)))_{J_{0}} = m_{0}^{\prime} \\ m_{1} = \mathrm{FirstNodes} (\mathrm{Red} (N))_{J_{1}} \geq \mathrm{FirstNodes} (\mathrm{Red} (N))_{J_{0}} = \mathrm{FirstNodes} (\mathrm{Pred} (\mathrm{Red} (N)))_{J_{0}} = m_{1}^{\prime} \\ \end{array}
\]

$j_{-2}-j_{-3}=m_{0}^{\prime}$ 且 $j_{-2}-j_{-3}\leq m_{0}\leq m_{0}^{\prime}$ , 因此 $j_{-2}-j_{-3}=m_{0}=m_{0}^{\prime}$ , 从而 $\mathrm{Red}(N)_{0,m_{1}}=\mathrm{Red}(N)_{1,m_{1}}$ 且 $\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N))$ 按降序排列. $\mathrm{Red}(N)$ 满足条件 (A), 因此 $\mathrm{Red}(N)_{0,m_{1}^{\prime}}=\mathrm{Red}(N)_{0,m_{0}^{\prime}}+1=\mathrm{Red}(N)_{0,m_{0}}+1=\mathrm{Red}(N)_{0,m_{1}}$ .

由于 $m_1' \leq m_1$ 且 $\mathrm{Red}(N)_{0,m_1'} = \mathrm{Red}(N)_{0,m_1}, \mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N))$ 按降序排列, 因此 $\mathrm{Red}(N)_{1,m_1'} \geq \mathrm{Red}(N)_{1,m_1} = \mathrm{Red}(N)_{0,m_1} = \mathrm{Red}(N)_{0,m_1'}$ . 另一方面, 由于可约性和系数的基本性质, $\mathrm{Red}(N)_{0,m_1'} \geq \mathrm{Red}(N)_{1,m_1'}$ , 因此 $\mathrm{Red}(N)_{0,m_1'} = \mathrm{Red}(N)_{1,m_1'}$ , 即 $\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))(N)_{0,m_1'} = \mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))_{1,m_1'}$ .

从上式可知, “ $j_{-2}-j_{-3}<m_{0}^{\prime}$ ”或“ $j_{-2}-j_{-3}=m_{0}^{\prime}$ 且 $\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))_{0,m_{1}^{\prime}}=\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))_{1,m_{1}^{\prime}}$ 且 $\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N)))$ 按降序排列. ”

因此, $(D_{M_{1,j-3}}s_{1}^{\prime},c_{1},b_{1}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N))$ 的scb分解, 而由Trans的(IncrFirst,Red)不变P等变性、Red与Pred的交换性、以及在条件(V)下末端段与Trans的关系可知, $(D_{M_{1,j-2}}s_{1}^{\prime},c_{1},b_{1}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N^{\prime}))$ 的scb分解.

令 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) = j_{1}-1-j_{-3}$ .

$\mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))) = \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) = j_1-1-j_{-3}$ . 因此, $(D_{M_{1,j_{-3}}}s_1', c_1, b_1')$ 是 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N))$ 的 scb 分解, 且由于 Red 与 Pred 的交换性, Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性, 以及具有公差 (1,1) 的对序列 Trans 的基本性质, $(D_{M_{1,j_{-2}}}s_1', c_1, b_1')$ 是 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N'))$ 的 scb 分解.

由上可知, 在两种情况下, $(D_{M_{1,j-2}}s_{1}^{\prime},c_{1},b_{1}^{\prime})$ 都是 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N^{\prime}))$ 的 scb 分解.

根据 scb 分解的复合律, $(D_{M_{1,j-2}}s_{1}^{\prime}s_{2}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{2}^{\prime}b_{1}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(N^{\prime})$ 的 scb 分解. 根据 $L_{j_{1}-j_{-2}}^{\prime}=(M_{0,j_{1}},M_{1,j_{-2}})=(N_{0,j_{1}-j_{-2}}^{\prime},N_{1,0}^{\prime}),\quad j_{-2}<j_{0}$ , 且在条件 (III) 至 (V) 下, 右端代换与 Trans 的关系, $(D_{M_{1,j-2}}s_{1}^{\prime}s_{2}^{\prime},D_{M_{1,j-2}}0,b_{2}^{\prime}b_{1}^{\prime})$ 为 $\mathrm{Trans}(L^{\prime})$ 的 scb 分解.

(5)

$s_{1}c_{2}b_{1}=\mathrm{Trans}(M)=s_{0}^{\prime}\mathrm{Trans}(N)b_{0}^{\prime}=s_{0}^{\prime}D_{M_{1,j-3}}s_{1}^{\prime}c_{2}b_{1}^{\prime}b_{0}^{\prime}$ , 因此, 由scb分解的唯一性（1）可知, $s_{1}=s_{0}^{\prime}D_{M_{1,j-3}}s_{1}^{\prime}$ 且 $b_{1}=b_{1}^{\prime}b_{0}^{\prime}$ .

我们利用数学归纳法证明, $\mathrm{Trans}(L_n) = s_0' D_{M_{1,j-3}}(s_1's_2'D_{M_{1,j-2}})^n 0(b_2'b_1')^nb_0'$ .

令 n = 1.

因为 $\operatorname{Pred}(L_1) = \operatorname{Pred}(M)$ , 根据 Trans 的定义, $s_1^{L_1} = s_1$ 且 $b_1^{L_1} = b_1$ , 且 $(s_2', D_{M_{1,j-2}}0, b_2') = (s_2', \operatorname{Mark}(L_1, j_1), b_2')$ 是 $c_2^{L_1}$ 的 scb 分解,

\[
\mathrm{Trans} (L_{n}) = \mathrm{Trans} (L_{1}) = s_{1}^{L_{1}} c_{2}^{L_{1}} b_{1}^{L_{1}} = s_{1} s_{2}^{\prime} D_{M_{1, j-2}} 0 b_{2}^{\prime} b_{1} = s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j-3}} s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime} D_{M_{1, j-2}} 0 b_{2}^{\prime} b_{1}^{\prime} b_{0}^{\prime}
\]

\[
= s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j-3}} (s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime} D_{M_{1, j-2}})^{n} 0 (b_{2}^{\prime} b_{1}^{\prime})^{n} b_{0}^{\prime}
\]

令 n > 1.

根据归纳假设,

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (L_{n-1}) = s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j-3}} (s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime} D_{M_{1, j-2}})^{n-1} 0 (b_{2}^{\prime} b_{1}^{\prime})^{n-1} b_{0}^{\prime} \\ = (s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j-3}} (s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime} D_{M_{1, j-2}})^{n-2} s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime}) D_{M_{1, j-2}} 0 ((b_{2}^{\prime} b_{1}^{\prime})^{n-1} b_{0}^{\prime}) \\ \end{array}
\]

因此,

\[
\begin{array}{l} \operatorname{Trans} \left(L_{n}\right) = \left(s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j-3}} \left(s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime} D_{M_{1, j-2}}\right)^{n-2} s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime}\right) \operatorname{Trans} \left(L^{\prime}\right) \left(\left(b_{2}^{\prime} b_{1}^{\prime}\right)^{n-1} b_{0}^{\prime}\right) \\ { = } { s_{ 0 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j-3 } } ( s_{ 1 }^{ \prime } s_{ 2 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j-2 } } )^{ n-2 } s_{ 1 }^{ \prime } s_{ 2 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j-2 } } s_{ 1 }^{ \prime } s_{ 2 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j-2 } } 0 b_{ 2 }^{ \prime } b_{ 1 }^{ \prime } ( b_{ 2 }^{ \prime } b_{ 1 }^{ \prime } )^{ n-1 } b_{ 0 }^{ \prime }} \\ = s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j-3}} (s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime} D_{M_{1, j-2}})^{n} 0 (b_{2}^{\prime} b_{1}^{\prime})^{n} b_{0}^{\prime} \\ \end{array}
\]

(6)

设 n=1.

\[
M[n] = \operatorname{Pred} (M),
\]

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (M[n]) = t_{1} = s_{1} c_{1} b_{2} = s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 3}}} s_{1}^{\prime} c_{1} b_{1}^{\prime} b_{0}^{\prime} \\ { = } { s_{ 0 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-3 } } } ( s_{ 1 }^{ \prime } s_{ 2 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } )^{ n-1 } s_{ 1 }^{ \prime } c_{ 1 } b_{ 1 }^{ \prime } ( b_{ 2 }^{ \prime } b_{ 1 }^{ \prime } )^{ n-1 } b_{ 0 }^{ \prime }} \\ \end{array}
\]

令 n > 1.

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (L_{n}) = s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 3}}} (s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 2}}})^{n} 0 (b_{2}^{\prime} b_{1}^{\prime})^{n} b_{0}^{\prime} \\ { = } { ( s_{ 0 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j-3 } } ( s_{ 1 }^{ \prime } s_{ 2 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j-2 } } )^{ n-2 } s_{ 1 }^{ \prime } s_{ 2 }^{ \prime } ) D_{ M_{ 1 , j-2 } } s_{ 1 }^{ \prime } s_{ 2 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j-2 } } 0 b_{ 2 }^{ \prime } b_{ 1 }^{ \prime } ( ( b_{ 2 }^{ \prime } b_{ 1 }^{ \prime } )^{ n-1 } b_{ 0 }^{ \prime } ) } \\ { = } { ( s_{ 0 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-3 } } } ( s_{ 1 }^{ \prime } s_{ 2 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } )^{ n-2 } s_{ 1 }^{ \prime } s_{ 2 }^{ \prime } ) \mathrm{Trans} ( L^{ \prime } ) ( ( b_{ 2 }^{ \prime } b_{ 1 }^{ \prime } )^{ n-1 } b_{ 0 }^{ \prime } ) } \\ \end{array}
\]

我们有

\[
\begin{array}{l} \operatorname{Trans} (M[n]) = \left(s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 3}}} \left(s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 2}}}\right)^{n-2} s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime}\right) \operatorname{Trans} \left(\operatorname{Pred} \left(N^{\prime}\right)\right) \left(\left(b_{2}^{\prime} b_{1}^{\prime}\right)^{n-1} b_{0}^{\prime}\right) \\ = (s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 3}}} (s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 2}}})^{n-2} s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime}) D_{M_{1, j_{- 2}}} s_{1}^{\prime}, c_{1}, b_{1}^{\prime} ((b_{2}^{\prime} b_{1}^{\prime})^{n-1} b_{0}^{\prime}) \\ { = } { s_{ 0 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-3 } } } ( s_{ 1 }^{ \prime } s_{ 2 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } )^{ n-1 } s_{ 1 }^{ \prime } c_{ 1 } b_{ 1 }^{ \prime } ( b_{ 2 }^{ \prime } b_{ 1 }^{ \prime } )^{ n-1 } b_{ 0 }^{ \prime }} \\ \end{array}
\]

证毕.

'''定理 112''' 条件 (III) 或 (IV) 下基本列的基本性质.

对于任意 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ , 使用 Trans 递归定义中引入的符号, 如果存在唯一的 $j_{-2} \in \mathbb{N}$ 使得 $(1, j_{-2}) <_{M}^{Next}(1, j_1)$ , 则若 $j_1 > 1$ 且 $M$ 满足条件 (III) 或 (IV)[80], 则有：

(1) $M[n] = M[n+1][1]^{j_1-j_{-2}}$ .

(2) $Trans(M)[n-1] = Trans(M[n+1][1]^{j_1-1-j_{-2}})$ .

(3) 存在某个 $(s', c_{1}', c_{2}', b') \in (\Sigma^{<\omega})^{4}$ 使得:

(3-1) $c_{1}^{\prime}$ 和 $c_{2}^{\prime}$ 是单项式, 并且 $c_{1}^{\prime} < c_{2}^{\prime}$ .

(3-2) $(s', c_1', b')$ 是 $Trans(M[n])$ 的 $scb$ 分解.

(3-3) $(s', c_2', b')$ 是 $Trans(M)[n]$ 的 $scb$ 分解.

证明：

由于可约性与系数之间的关系, M 满足条件 (A) 和 (B). 由于 M 满足条件 (A), $M_{1,j-2} = M_{1,j_1}-1$ .

由于 M 满足条件 (III) 或 (IV), $M_{1,j_{0}} \geq M_{1,j_{1}}$ , 因此 $(1,j_{0}) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ 并非成立, 因此 $j_{-2} < j_{0}$ .

令 $j_{-3} := \mathrm{Adm}_{M}(j_{-2})$ .

令 $N := (M_{j})_{j=j-3}^{j_{1}}$ .

设 $N' := (M_{j})_{j=j-2}^{j_{1}}$ .

\[
L^{\prime} := (M_{j})_{j = j_{- 2}}^{j_{1}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left((M_{0, j_{1}}, M_{1, j_{- 2}})\right) .
\]

设 $L_{n} := M[n] \oplus_{N^{2}} ((M_{0,j_{-2}}+n(M_{0,j_{1}}-M_{0,j_{-2}}), M_{1,j_{-2}}))$ .

由于 Pred 表示为[1],

\[
L_{n} = \mathrm{Pred}^{j_{1}-1-j_{- 2}} (M[n+1]) = M[n+1][1]^{j_{1}-1-j_{- 2}}
\]

\[
M[n] = \mathrm{Pred} (L_{n}) = M[n+1][1]^{j_{1}-j_{- 2}}
\]

令 $j_{-3} = j_{-1}$ .

在 $j_{-2} < j_{0}$ 以及条件 (III) 至 (V) 下的各种 scb 分解下, 存在一个 $(s_{1}^{\prime}, b_{1}^{\prime}) \in (\Sigma^{<\omega})^{2}$ 使得：

(1) $(D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $c_{2}$ 的scb分解.

(4) $\mathrm{Trans}(L_n) = s_1D_{M_{1,j-1}}(s_1^{\prime}D_{M_{1,j-2}})^n0(b_1^{\prime})^nb_1$ .

(5) Trans(M[n]) = $s_{1}D_{M_{1,j-1}}(s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j-2}})^{n-1}t_{2}(b_{1}^{\prime})^{n-1}b_{1}$ .

证明 $s_1^{\prime}D_{M_{1,j-2}}t_2b_1^{\prime}\in T_{\mathrm{B}}$ 且 $s_1^{\prime}D_{M_{1,j-2}}t_2b_1^{\prime} > t_2$ .

如果 M 满足条件 (III), 则 $D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{1}}}0b_{1}^{\prime}=c_{2}=D_{v}(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0)$ 蕴涵 $s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{1}}}0b_{1}^{\prime}=t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0\in T_{B}$ , 因此 $s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{1}}}0b_{1}^{\prime}>t_{2}$ .

假设 M 满足条件 (IV).

如果 $t_2$ 最右边单项分量的左端是 $D_{M_{1,j_0}}$ , 则 $t_2 = t_3+D_{M_{1,j_0}}t_4 < t_3+D_{M_{1,j_0}}(t_4+D_{M_{1,j_2}}0)$ .

如果 $t_2$ 最右边单项分量的左端不是 $D_{M_{1,j_0}}$ , 则 $t_2 = t_3 < t_3+D_{M_{1,j_0}}(t_4+D_{M_{1,j_-2}}0)$ .

因此, 在两种情况下, $t_{2}<t_{3}+D_{M_{1,j_{0}}}(t_{4}+D_{M_{1,j_{-2}}}0)$ .

$D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{1}}}0b_{1}^{\prime}=c_{2}=D_{v}(t_{3}+D_{M_{1,j_{0}}}(t_{4}+D_{M_{1,j_{1}}}0))$ , 所以 $s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{1}}}0b_{1}^{\prime}=t_{3}+D_{M_{1,j_{0}}}(t_{4}+D_{M_{1,j_{1}}}0)\in T_{B}$ . 因此, 由于加法和scb分解之间的关系, $s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j-2}}0b_{1}^{\prime}=t_{3}+D_{M_{1,j_{0}}}(t_{4}+D_{M_{1,j-2}}0)\in T_{B}$ .

另外, 由于在条件 (II) 或 (IV) 下 $t_2$ 不为 0, $t_2 > 0$ , 因此 $D_{M_{1,j-2}} t_2 > D_{M_{1,j-2}} 0$ . 因此, 根据子表达式不等式的可扩展性,

\[
s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 2}}} t_{2} b_{1}^{\prime} > s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 2}}} 0 b_{1}^{\prime} = t_{3}+D_{M_{1, j_{0}}} \left(t_{4}+D_{M_{1, j_{- 2}}} 0\right) > t_{2}
\]

令 n = 1.

令 $s' := s_{1}$ .

令 $c_{1}^{\prime} := c_{1}$ .

令 $c_{2}^{\prime} := c_{2}$ .

$c_{1}$ 和 $c_{2}$ 之间的量级关系意味着 $c_{1}^{\prime}$ 和 $c_{2}^{\prime}$ 是单项的, 且 $c_{1}^{\prime} < c_{2}^{\prime}$ .

令 n > 1.

令 $s' := s_{1}D_{M_{1,j-1}}(s_{1}'D_{M_{1,j-2}})^{n-2}s_{1}'$ .

令 $c_{1}^{\prime} := D_{M_{1,j-2}} t_{2}$ .

令 $c_{2}^{\prime} := D_{M_{1,j-2}} s_{1}^{\prime} D_{M_{1,j-2}} t_{2} b_{1}^{\prime}$ .

由于 $s_1^{\prime}D_{M_{1,j-2}}t_2b_1^{\prime}\in T_{\mathrm{B}}$ , 根据定义, $c_{1}^{\prime}$ 和 $c_{2}^{\prime}$ 是单项的. 由于 $t_2 < s_1^{\prime}D_{M_{1,j-2}}t_2b_1^{\prime},$ $c_{1}^{\prime} = D_{M_{1,j-1}}t_{2} < D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j-2}}t_{2}b_{1}^{\prime} = c_{2}^{\prime}$ .

令 $b' := (b_{1}')^{n-1} b_{1}$ .

根据定义, $(s',c_{1}',b')$ 和 $(s',c_{2}',b)$ 分别是 $\mathrm{Trans}(M[n])$ 和 $\mathrm{Trans}(L_{n})$ 的 scb 分解.

从 Mark 用 Trans 表示可知, $\mathrm{Trans}((M_{j})_{j=j-1}^{j_{1}})=c_{2}=D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{1}}}0b_{1}^{\prime}$ , 因此, 从 Trans 与条件 (III) 至 (VI) 下的 scb 分解的关系可知, $(s_{1},D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{1}}}0b_{1}^{\prime},b_{1})$ 是 $\mathrm{Trans}(M)$ 的 1 scb 分解. 因此, 由 scb 分解与基本列（2）的关系可知,

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (M)[n-1] = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{1}}-1})^{n} 0 (b_{1}^{\prime})^{n} b_{1} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 2}}})^{n} 0 (b_{1}^{\prime})^{n} b_{1} \\ = \mathrm{Trans} (L_{n}) = \mathrm{Trans} (M[n+1][1]^{j_{1}-1-j_{- 2}}) \\ \end{array}
\]

因此, $(s',c_{2}',b')$ 是 $\mathrm{Trans}(M)[n-1]$ 的scb分解.

设 $j_{-3} < j_{-1}$ .

根据条件 (III) 或 (IV) 下的各种 scb 分解, 存在 $(s_{0}^{\prime}, s_{1}^{\prime}, s_{2}^{\prime}, b_{2}^{\prime}, b_{1}^{\prime}, b_{0}^{\prime}) \in (\Sigma^{<\omega})^{6}$ 满足：

(1) $(s_0', \mathrm{Trans}((M_j)_{j = j-3}^{j_1}), b_0')$ 是 $\mathrm{Trans}(M)$ 的 scb 分解.

(2) $(D_{M_{1,j-3}}s_{1}^{\prime},c_{2},b_{1}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}((M_{j})_{j=j-3}^{j_{1}})$ 的scb分解.

(3) $(s_{2}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{2}^{\prime})$ 是 $c_{2}$ 的scb分解.

(5) $\mathrm{Trans}(L_n) = s_0' D_{M_{1,j-3}}(s_1's_2'D_{M_{1,j-2}})^n 0(b_2'b_1')^nb_0'$ .

(6)Trans(M[n]) = $s_{0}^{\prime}D_{M_{1,j_{-3}}}(s_{1}^{\prime}s_{2}^{\prime}D_{M_{1,j_{-2}}})^{n-1}s_{1}^{\prime}c_{1}b_{1}^{\prime}(b_{2}^{\prime}b_{1}^{\prime})^{n-1}b_{0}^{\prime}$ . 令 $s^{\prime} := s_{0}^{\prime}D_{M_{1,j_{-3}}}(s_{1}^{\prime}s_{2}^{\prime}D_{M_{1,j_{-2}}})^{n-1}s_{1}^{\prime}$ .

令 $c_{1}^{\prime} := c_{1}$ .

令 $c_{2}^{\prime} := c_{2}$ .

令 $b' := (b_{2}'b_{1}')^{n-1}b_{0}'$ .

由于 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 之间存在量级关系, $c_{1}^{\prime}$ 和 $c_{2}^{\prime}$ 均为单项矩阵, 且 $c_{1}^{\prime} < c_{2}^{\prime}$ .

根据定义, $(s',c_{1}',b')$ 和 $(s',c_{2}',b')$ 分别是 $\mathrm{Trans}(M[n])$ 和 $\mathrm{Trans}(L_{n})$ 的 scb 分解.

由 Trans 与条件 (III) 至 (VI) 下的 scb 分解的关系可知, $(s_{0}^{\prime}, \text{Trans}((M_{j})_{j=j-3}^{j_{1}}), b_{0}^{\prime}) = (s_{0}^{\prime}, D_{M_{1,j-3}} s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime} D_{M_{1,j_{1}}} 0 b_{2}^{\prime} b_{1}^{\prime}, b_{0}^{\prime})$ 为 Trans(M) 的第一类 scb 分解. 因此, 由 scb 分解与基本列（2）的关系可知,

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (M)[n-1] = s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 3}}} (s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime} D_{M_{1, j_{1}}-1})^{n} 0 (b_{2}^{\prime} b_{1}^{\prime})^{n} b_{0}^{\prime} = s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 3}}} (s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 2}}})^{n} 0 (b_{2}^{\prime} b_{1}^{\prime})^{n} b_{0}^{\prime} \\ = \mathrm{Trans} (L_{n}) = \mathrm{Trans} (M[n+1][1]^{j_{1}-1-j_{- 2}}) \\ \end{array}
\]

因此, $(s',c_{2}',b')$ 是 $\mathrm{Trans}(M)[n-1]$ 的scb分解.

证毕.

现在, 让我们回到正题.

在条件 (III) 或 (IV) 下, Trans 与基本列的交换关系证明:

(1) 由于 Pred $(M[n+1][1]^{j_{1}-1-j_{-2}})=M[n+1][1]^{j_{1}-j_{-2}}$ , 因此, 由 Pred 关于 Trans 的下降性质以及条件 (III) 或 (IV) 下基本列的基本性质 (1) 和 (2) 可知.

(2) 由于 $M$ 是单项的, Trans 保留零项性质, 因此 $\operatorname{Trans}(M) \neq 0$ . 这直接由 (1)、 $\operatorname{Trans}(M) \neq 0$ 和[Buc1] 引理 3.2 得出.

（3）这是根据 Pred 记为[1]、Pred 相对于 Trans 的下降性质, 以及条件 (III) 或 (IV) 下基本列的基本性质 (2) 得出的. 证毕.

证毕.

'''定理 113''' 条件 (V) 下 Trans 与基本列的对易关系.

对于任意 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ , 使用 Trans 的递归定义中引入的符号, 如果 $j_0$ 是 $M$ 容许的, 则 $m_n := n-1$ ；如果 $j_0$ 不是 $M$ 容许的, 则如果 $j_1 > 1$ 且 $M$ 满足条件 $(V)$ , 则如下结论成立：

(1) $Trans(M[n]) \leq Trans(M)[m_n]$ .

(2) $Trans(M[n]) < Trans(M)$ .

(3) $\text{Trans}(M)[m_{n}] \leq \text{Trans}(M[n+1])$ .

我们提出一些引理, 作为在条件 (V) 下证明 Trans 与基本列之间交换关系的初步尝试.

'''定理 114''' 在条件 (V) 下, Joints、FirstNodes 和 $t_{2}$ 的基本性质.

对于任意 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ , 使用 Trans 递归定义中引入的符号, 设 $N := (M_j)_{j=j-1}^{j_1}$ 且 $J_1 := Lng(Br(Red(N))))-1$ , 则若 $(1, j_0) < _M^{Next}(1, j_1)$ 且 $j_0$ 不满足 $M$ 条件, 且 $j_0 < j_1-1$ , 则以下成立:

(1) $J_{1} \geq 0$ 且 $j_{0}-j_{-1} = \text{Joints}(Red(N))_{J_{1}}$ 且 $FirstNodes(Red(N))_{J_{1}} = j_{1}-j_{-1}$ .

(2) $Red(N)_{0,j_1-j_-1} = Red(N)_{1,j_1-j_-1} \circ$

(3) $t_2$ 的每个单项式分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_1}}0$ .

证明：

由于标准形式的约化性, M 是约化的. 由于 $j_{0} < j_{1}-1, j_{1} > j_{0}+1 \geq 1$ , 所以 $\mathrm{Pred}(M)$ 不是零项. 特别地, 由于 Trans 保持零项性质, $t_{1} \neq 0$ .

因此, 条件 (I) 至 (VI) 对 M 有意义.

由于约化性与系数之间的关系, M 满足条件 (A) 和 (B). M 满足条件 (A), 且 $(0, j_{0}) <_{M}^{\text{Next}}(0, j_{1})$ 和 $(1, j_{0}) <_{M}^{\text{Next}}(1, j_{1})$ , 所以 $M_{0,j_{0}} = M_{0,j_{1}}-1$ 且 $M_{1,j_{0}} = M_{1,j_{1}}-1$ . 因此, M 满足条件 (V).

设 $N := (M_{j})_{j=j-1}^{j_{1}}$ .

由于标准形式中通过直系祖先减少切片具有强单项式性质, 因此 $\operatorname{Red}(N)$ 也是强单项式的.

从 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变 P 等变性、Mark 在最右边 2 个基点的基本性质以及 Mark 用 Trans 表示可知,

\[
D_{v} (t_{2}+D_{M_{1, j_{1}}} 0) = c_{2} = \mathrm{Mark} (M, j_{- 1}) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} (N))
\]

令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N)))-1$ .

$(1,j_{0})<_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ 且 $j_{0}<j_{1}-1$ , 所以 $(1,j_{1}-1)<_{M}(1,j_{1})$ 不成立. 因此, 根据最右边不可接受直系祖先的基本性质, $J_{1}\geq0$ 且 $0<j_{0}-j_{-1}<\operatorname{TrMax}(\operatorname{Br}(\operatorname{Red}(N)))$ 且 $j_{0}-j_{-1}=\operatorname{Joints}(\operatorname{Red}(N))_{J_{1}}$ 且 FirstNodes( $\operatorname{Red}(N)=j_{1}-j_{-1}$ .

对于任意 $i \in 0,1$ , $(i,j_0-j_{-1}) < _N^{\text{Next}}(i,j_1)$ 蕴涵 $(i,j_0-j_{-1}) < _N^{\text{Next}}(i,j_1-j_{-1})$ , 且根据直系祖先的 Red 不变性, $(i,j_0-j_{-1}) < _{\text{Red}(N)}^{\text{Next}}(i,j_1-j_{-1})$ .

根据可约性与系数的关系, $\mathrm{Red}(N)$ 满足条件 (A) 和 (B). 由于 $\mathrm{Red}(N)$ 满足条件 (A) 和 (B) 且 $j_0-j_{-1} < \mathrm{TrMax}(\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N)))$ , 因此 $\mathrm{Red}(N)_{0,j_0-j_{-1}} = \mathrm{Red}(N)_{1,j_0-j_{-1}}$ , 又由于 $\mathrm{Red}(N)$ 满足条件 (A) 且 $(0,j_0-j_{-1}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0,j_1-j_{-1})$ 和 $(1,j_0-j_{-1}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,j_1-j_{-1})$

\[
\mathrm{Red} (N)_{0, j_{1}-j_{- 1}} = \mathrm{Red} (N)_{0, j_{0}-j_{- 1}}+1 = \mathrm{Red} (N)_{1, j_{0}-j_{- 1}}+1 = \mathrm{Red} (N)_{1, j_{1}-j_{- 1}}
\]

由于 $0 < j_0-j_{-1} < \mathrm{TrMax}(\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N)))$ 且 $\mathrm{Red}(N)_{0,j_1-j_{-1}} = \mathrm{Red}(N)_{1,j_1-j_{-1}},\mathrm{Trans}(\mathrm{Red}(N)) = D_v(t_2+D_{M_{1,j_1}}0)$ 及强单项式性质下子表示的单项式分量的基本性质, $t_2+D_{M_{1,j_1}}0$ 的每个单项式分量均大于等于 $D_{\mathrm{Red}(N)_{1,j_1-j_{-1}}}0$ .

根据直系祖先的切片以及 Red 与 IncrFirst 的关系, $\mathrm{Red}(N)_{1,j_{1}} = M_{1,j_{1}}$ , 因此 $t_{2}$ 的每个单项式分量均大于等于 $D_{M_{1,j_{1}}}0$ .

证毕.

'''定理 115''' 条件 (V) 下的各种 scb 分解.

对于任意 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ , 利用 Trans 递归定义中引入的符号, 设 $N' := (M_j)_{j=j_0}^{j_1}$ , 设 $L' := (M_j)_{j=j_0}^{j_1-1} \oplus_{\mathbb{N}^2} ((M_{0,j_1}, M_{1,j_0}))$ , 设 $L_n := M[n] \oplus_{\mathbb{N}^2} ((M_{0,j_0} +$

$n(M_{0,j_{1}}-M_{0,j_{0}}),M_{1,j_{0}})$ , 若 $j_{1}>1$ , 且 M 满足条件 (V), 且 $j_{0}$ 为非 M 可接受的, 则存在唯一的 $(s_{1}^{\prime},b_{1}^{\prime})\in(\Sigma^{<\omega})^{2}$ 使得：

(1) $(D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_1}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $c_{2}$ 的scb分解.

(2) $(D_{M_{1,j_0}}s_1', D_{M_{1,j_1}}0, b_1')$ 和 $(D_{M_{1,j_0}}s_1', D_{M_{1,j_0}}0, b_1')$ 分别是 $Trans(N')$ 和 $Trans(L')$ 的 $scb$ 分解.

(3) $Trans(Pred(N')) = D_{M_{1,j_0}}t_2$ .

(4) $Trans(L_{n}) = s_{1}D_{M_{1,j_{-1}}}(s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{0}}})^{n+1}0(b_{1}^{\prime})^{n+1}b_{1}\circ$

(5) $Trans(M[n]) = s_1D_{M_{1,j_{- 1}}}(s_1^{\prime}D_{M_{1,j_0}})^{n}t_{2}(b_{1}^{\prime})^{n}b_{1}\circ$

证明：

下文中, 我们将毫无保留地运用条件 (III) 至 (VI) 下展开规则的基本性质.

由于 M 满足条件 (V), $M_{1,j_{0}} < M_{1,j_{0}}+1 = M_{1,j_{1}}$ . 因此, $(1,j_{0}) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ . 根据条件 (III) 至 (V) 下切片的 scb 分解, 存在唯一的 $(s_{1}', b_{1}') \in (\Sigma^{<\omega})^{2}$ 满足：

(1) $(D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $c_{2}$ 的scb分解.

(2) $(D_{M_{1,j_{0}}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(N^{\prime})$ 的scb分解.

(3) $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N')) = D_{M_{1,j_0}}t_2$ .

由上式可知 (1) 和 (3).

(2)

设 $N := (M_{j})_{j=j-1}^{j_{1}}$ .

由于 $\mathrm{Red}(N)$ 是强单项式, 这是由于标准形式的直系祖先函数对切片约化的强单项式性质所致, 因此 $\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N))$ 为降序.

由右边第二个基点处 Mark 的基本性质, 以及 Mark 关于 Trans 的表示可知, $\mathrm{Trans}(N)=\mathrm{Mark}(M,j_{-1})=c_{2}$ , 因此 $(D_{M_{1,j_{-1}}}s_{1}^{\prime}, D_{M_{1,j_{1}}}0, b_{1}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(N)$ 的 scb 分解.

令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N))))-1$ .

由于 $M$ 满足条件 (V), $j_0+1 < j_1$ , 即 $j_0 < j_1-1$ . 因此, 由条件 (V) 下 Joints、FirstNodes 和 $t_2$ 的基本性质可知：

(1) $J_{1} \geq 0$ 且 $j_{0}-j_{-1} = \mathrm{Joints}(\mathrm{Red}(N))_{J_{1}}$ 且 $\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Red}(N))_{J_{1}} = j_{1}-j_{-1}$ .

(2) $\operatorname{Red}(N)_{0,j_1-j_{-1}} = \operatorname{Red}(N)_{1,j_1-j_{-1}}$ .

由于 $\mathrm{Red}(N)_{0,j_{1}-j_{-1}}=\mathrm{Red}(N)_{1,j_{1}-j_{-1}}$ 且 $\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N))$ 为降序, 因此 $(D_{M_{1,j_{-1}}}s_{1}^{\prime}, D_{M_{1,j_{1}}}0, b_{1}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(N)$ 的 scb 分解, 又由于条件 (V) 下末端段与 Trans 的关系, 因此 $(D_{M_{1,j_{0}}}s_{1}^{\prime}, D_{M_{1,j_{1}}}0, b_{1}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(N^{\prime})$ 的 scb 分解.

由于 $(1,j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_1)$ 且 $L_{j_1-j_0}' = (M_{0,j_1},M_{1,j_0}) = (N_{0,j_1-j_0}',N_{1,0}')$ , 因此 $(D_{M_{1,j_0}}s_1',D_{M_{1,j_1}}0,b_1')$ 是 $\operatorname {Trans}(N')$ 的scb分解. 另外, 由于条件(III)至(V)下右端代换与Trans之间的关系, 因此 $(D_{M_{1,j_0}}s_1',D_{M_{1,j_0}}0,b_1')$ 是 $\operatorname {Trans}(L')$ 的scb分解.

(4)

由于标准形式的可约性, M 可约. 由于可约性与系数之间的关系, M 满足条件 (A) 和 (B). M 满足条件 (A), 且 $(0,j_{0})<_{M}^{\text{Next}}(0,j_{1})$ 和 $(1,j_{0})<_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ , 因此 $M_{0,j_{0}}=M_{0,j_{1}}-1$ , $M_{1,j_{0}}=M_{1,j_{1}}-1$ .

我们利用关于 n 的数学归纳法证明, $\mathrm{Trans}(L_{n})=s_{1}D_{M_{1,j-1}}(s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{0}}})^{2n}0(b_{1}^{\prime})^{2n}b_{1}$ .

设 n = 1.

Trans 的递归定义中引入的符号也适用于 $L_{1}$ , 为了清楚地表明这是对 $L_{1}$ 的应用, 我们将 $L_{1}$ 写为 $L_{1}$ , 并在其右侧加上 $L_{1}$ .

根据 $L_{1}$ 的定义, 对 $\leq_{L_1}$ 和 $\leq_M$ 的限制与对 $(\{0,1\} \times \mathbb{N})\setminus \{(1,j_1)\}$ 的限制相同. $j_1^{J_1} = j_1$ 且由于 $(0,j_0) < _M^{\mathrm{Next}}(0,j_1),(0,j_0) < _L^{\mathrm{Next}}(0,j_1) = (0,j_1^{L_1}),j_0^{L_1} = j_0$ 且 $(L_{1})_{1,j_{0}^{L_{1}}} = (L_{1})_{1,j_{0}} = M_{1,j_{0}} = (L_{1})_{1,j_{1}} = (L_{1})_{1,j_{1}^{L_{1}}}$ .

$j_{-1}^{L_1} = j_{-1}$ , 且由于 $j_0$ 不是 $M$ 可接受的, $j_0^{L_1} = j_0 > j_{-1} = j_{-1}^{L_1}$ , 所以 $j_0^{L_1}$ 不是 $L_{1}$ 可接受的.

$\operatorname{Pred}(L_1) = \operatorname{Pred}(M)$ , 因此 $t_1^{L_1} = t_1 \neq 0$ 、 $c_1^{L_1} = c_1$ 、 $t_2^{L_1} = t_2$ 、 $s_1^{L_1} = s_1$ , 且 $b_1^{L_1} = b_1$ . 由于 $t_1^{L_1} \neq 0$ , 条件 (I) 至 (VI) 对 $L_1$ 有意义.

由于 M 不满足条件 (VI) 且 $j_{0}$ 不为 M 可接受, 因此 $L_{1}$ 满足条件 (II) 或 (IV).

根据 Mark 左端的基本性质, $v^{L_{1}}=(L_{1})_{1,j_{-1}^{L_{1}}}=M_{1,j_{-1}}$ .

由于 $(1,j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_1)$ 且 $j_0$ 不是 $M$ 容许的, 且 $j_0 < j_1-1$ , 根据条件 (V) 下Joints、FirstNodes和 $t_2$ 的基本性质, $t_2$ 的每个单例分量均大于或等于 $D_{M_{1,j_1}}0$ . 此外, 由于 $(L_1)_{1,j_0^{L_1}} = M_{1,j_0} = M_{1,j_1}-1 < M_{1,j_1}$ , 因此 $t_2^{L_1} = t_2$ 的最右边单例分量的最左边分量不为 $D_{(L_1)_{1,j_0^{L_1}}}$ . 因此, $t_3^{L_1} = t_2^{L_1} = t_2$ 且 $t_4^{L_1} = t_2^{L_1} = t_2$ , 且

\[
c_{2}^{L_{1}} = D_{v^{L_{1}}} (t_{3}^{L_{1}}+D_{(L_{1})_{1, j_{0}^{L_{1}}}} (t_{4}^{L_{1}}+D_{(L_{1})_{1, j_{1}^{L_{1}}}} 0)) = D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{2}+D_{M_{1, j_{0}}} (t_{2}+D_{M_{1, j_{0}}} 0))
\]

$(D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $c_{2}=D_{v}(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0)$ 的scb分解,因此 $(D_{M_{1,j_{0}}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $D_{M_{1,j_{0}}}(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0)$ 的scb分解.

从加法和 scb 分解的关系可知, $(D_{M_{1,j_{0}}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{0}}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $D_{M_{1,j_{0}}}(t_{2}+(D_{M_{1,j_{0}}}0)$ 的 scb 分解, 而 $(D_{M_{1,j_{-1}}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{0}}}s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{0}}}0b_{1}^{\prime},b_{1}^{\prime})$ 是 $c_{2}^{L_{1}}=D_{M_{1,j_{-1}}}(t_{2}+D_{M_{1,j_{0}}}(t_{2}+D_{M_{1,j_{0}}})0))$ 的 scb 分解.

由上式可知,

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (L_{n}) = \mathrm{Trans} (L_{1}) = s_{1}^{L_{1}} c_{2}^{L_{1}} b_{1}^{L_{1}} = s_{1} D_{M_{1, j-1}} s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}} s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}} 0 b_{1}^{\prime} b_{1}^{\prime} b_{1} \\ = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n+1} 0 (b_{1}^{\prime})^{n+1} b_{1} \\ \end{array}
\]

令 n > 1.

由归纳推理假设,

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (L_{n-1}) = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n} 0 (b_{1}^{\prime})^{n} b_{1} \\ = (s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n-1} s_{1}^{\prime}) D_{M_{1, j_{0}}} 0 ((b_{1}^{\prime})^{n} b_{1}) \\ \end{array}
\]

因此,

\[
\begin{array}{l} \operatorname{Trans} (L_{n}) = (s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n-1} s_{1}^{\prime}) \operatorname{Trans} (L^{\prime}) ((b_{1}^{\prime})^{n} b_{1}) \\ = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n-1} s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}} s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}} 0 b_{1}^{\prime} (b_{1}^{\prime})^{n} b_{1} \\ = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n+1} 0 (b_{1}^{\prime})^{n+1} b_{1} \\ \end{array}
\]

设 n = 1.

$M[n]=\mathrm{Pred}(M)$ , 因此

\[
\mathrm{Trans} (M[n]) = t_{1} = s_{1} c_{1} b_{2} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} t_{2} b_{1}
\]

\[
{ = } s_{ 1 } D_{ M_{ 1 , j_{-1 } } } ( s_{ 1 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{ 0 } } } )^{ 2 n-2 } t_{ 2 } ( b_{ 1 }^{ \prime } )^{ 2 n-2 } b_{ 1 }
\]

令 n > 1.

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (L_{n}) = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n+1} 0 (b_{1}^{\prime})^{n+1} b_{1} \\ = (s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n-1} s_{1}^{\prime}) D_{M_{1, j_{0}}} s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}} 0 b_{1}^{\prime} ((b_{1}^{\prime})^{n} b_{1}) \\ = \left(s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n-1} s_{1}^{\prime}\right) \mathrm{Trans} (L^{\prime}) ((b_{1}^{\prime})^{n} b_{1}) \\ \end{array}
\]

于是

\[
\begin{array}{l} \operatorname{Trans} (M[n]) = \left(s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} \left(s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}}\right)^{n-1} s_{1}^{\prime}\right) \operatorname{Trans} \left(\operatorname{Pred} \left(N^{\prime}\right)\right) \left(\left(b_{1}^{\prime}\right)^{n} b_{1}\right) \\ = \left(s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n-1} s_{1}^{\prime}\right) D_{M_{1, j_{0}}} t_{2} ((b_{1}^{\prime})^{n} b_{1}) \\ = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n} t_{2} (b_{1}^{\prime})^{n} b_{1} \\ \end{array}
\]

证毕.

'''定理 116''' 条件 (V) 下基本列的 scb 分解.

对于任意 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ , 使用 Trans 递归定义中引入的符号, 如果 $j_0$ 满足 $M$ 容许, 则 $m_n := n-1$ ；如果 $j_0$ 不满足 $M$ 容许, 则如果 $j_1 > 1$ 且 $M$ 满足条件 $(V)$ , 则存在唯一的 $u \in \mathbb{N}$ 、 $(s_0', b_0') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 和 $t' \in T_B$ 满足：

(1) $(s_{0}^{\prime},D_{u}t_{2},b_{0}^{\prime})$ 是 $Trans(M[n])$ 的scb分解.

(2) $(s_0', D_u(t_2+D_{M_{1,j_0}}0), b_0')$ 是 $Trans(M)[m_n]$ 的 $scb$ 分解.

(3) $(s_0', D_u(t_2+D_{M_{1,j_0}}t'), b_0')$ 是 $Trans(M[n+1])$ 的 $scb$ 分解.

证明：

由于 M 满足条件 (V), $M_{1,j_{0}} < M_{1,j_{0}}+1 = M_{1,j_{1}}$ . 因此, $(1,j_{0}) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ .

证明对于任何 $(s_1', b_1') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ , 如果 $(D_{M_{1,j-1}} s_1', D_{M_{1,j_1}} 0, b_1')$ 是 $c_2$ 的 scb 分解, 则 $\mathrm{Trans}(M)[m_n] = s_1 D_{M_{1,j-1}} (s_1' D_{M_{1,j_0}})^{m_n+1} 0(b_1')^{m_n+1} b_1$ 且对于任何 $t' \in T_B$ , $s_1' D_{M_{1,j_0}} t'b_1' = t_2+D_{M_{1,j_0}} t'$ .

由条件(III)至(VI)下 Trans 与 scb 分解的关系可知, $(s_{1},c_{2},b_{1})=(s_{1},D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{1}}}0b_{1}^{\prime},b_{1})$ 为 Trans(M) 的第一类 scb 分解, 又由 scb 分解与基本列（2）的关系可知,

\[
\mathrm{Trans} (M)[m_{n}] = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{1}}}-1)^{m_{n}+1} 0 (b_{1}^{\prime})^{m_{n}+1} b_{1} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{m_{n}+1} 0 (b_{1}^{\prime})^{m_{n}+1} b_{1}
\]

$D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{1}}}0b_{1}^{\prime}=c_{2}=D_{v}(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0)$ , 因此 $s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{1}}}0b_{1}^{\prime}=t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0$ . 因此, 根据加法和scb分解之间的关系, $t_{2}+D_{M_{1,j_{0}}}t^{\prime}=s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{0}}}t^{\prime}b_{1}^{\prime}$ .

假设 $j_{0}$ 是 M 可接受的.

通过条件 (III) 至 (V) 下的各种 scb 分解, 存在唯一的 $(s_{1}^{\prime}, b_{1}^{\prime}) \in (\Sigma^{<\omega})^{2}$ 满足：

(1) $(D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_1}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $c_{2}$ 的scb分解.

(5) $\mathrm{Trans}(M[n]) = s_1D_{M_{1,j-1}}(s_1^{\prime}D_{M_{1,j_0}})^{n-1}t_2(b_1^{\prime})^{n-1}b_1$ .

(5) 'Trans(M[n+1]) = $s_1 D_{M_{1,j-1}} (s_1' D_{M_{1,j_0}})^n t_2 (b_1')^n b_1$ .

令 n = 1.

令 $u := M_{1,j-1}$ .

令 $s_{0}^{\prime} := s_{1}$ .

令 n > 1.

令 $u := M_{1,j_{0}}$ .

令 $s_0' := s_1 D_{M_{1,j-1}}(s_1' D_{M_{1,j_0}})^{n-2} s_1'$ .

令 $b_{0}^{\prime} := (b_{1}^{\prime})^{n-1} b_{1}$ .

令 $t' := t_{2}$ .

如前所述, $\mathrm{Trans}(M)[m_n] = s_1D_{M_{1,j-1}}(s_1'D_{M_{1,j_0}})^{m_n+1}0(b_1')^{m_n+1}b_1$ 且 $s_1'D_{M_{1,j_0}}0b_1' = t_2+D_{M_{1,j_0}}0$ 且 $s_1'D_{M_{1,j_0}}t'b_1' = t_2+D_{M_{1,j_0}}t'$ . 因此

\[
\operatorname{Trans} (M[n]) = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} \left(s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}}\right)^{n-1} t_{2} \left(b_{1}^{\prime}\right)^{n-1} b_{1} = s_{0}^{\prime} D_{u} t_{2} b_{0}^{\prime}
\]

\[
\mathrm{Trans} (M)[m_{n}] = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n} 0 (b_{1}^{\prime})^{n} b_{1} = s_{0}^{\prime} D_{u} (t_{2}+D_{M_{1, j_{0}}} 0) b_{0}^{\prime}
\]

\[
\mathrm{Trans} (M[n+1]) = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n} t_{2} (b_{1}^{\prime})^{n} b_{1} = s_{0}^{\prime} D_{u} (t_{2}+D_{M_{1, j_{0}}} t^{\prime}) b_{0}^{\prime}
\]

假设 $j_{0}$ 不满足 M 容许条件.

在条件 (V) 下, 存在唯一的 $(s_{1}^{\prime}, b_{1}^{\prime}) \in (\Sigma^{<\omega})^{2}$ 满足以下条件：

(1) $(D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $c_{2}$ 的scb分解.

(5) Trans(M[n]) = $s_{1}D_{M_{1,j-1}}(s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{0}}})^{n}t_{2}(b_{1}^{\prime})^{n}b_{1}$ .

(5) 'Trans(M[n+1]) = $s_1 D_{M_{1,j-1}}(s_1' D_{M_{1,j_0}})^{n+1} t_2(b_1')^{n+1} b_1$ .

令 $u := M_{1,j_{0}}$ .

令 $s_0' := s_1 D_{M_{1,j-1}}(s_1' D_{M_{1,j_0}})^{n-1} s_1'$ .

设 $b_{0}^{\prime} := (b_{1}^{\prime})^{n} b_{1}$ .

设 $t_{0}^{\prime} := t_{2}+D_{M_{1,j_{0}}} t_{2}$ .

如前所述, $\mathrm{Trans}(M)[m_n] = s_1D_{M_{1,j-1}}(s_1'D_{M_{1,j_0}})^{m_n+1}0(b_1')^{m_n+1}b_1$ 且 $s_1'D_{M_{1,j_0}}0b_1' = t_2+D_{M_{1,j_0}}0$ 且 $s_1'D_{M_{1,j_0}}t_2b_1' = t_2+D_{M_{1,j_0}}t_2 = t'$ . 因此

\[
\operatorname{Trans} (M[n]) = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} \left(s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}}\right)^{n} t_{2} \left(b_{1}^{\prime}\right)^{n} b_{1} = s_{0}^{\prime} D_{u} t_{2} b_{0}^{\prime}
\]

\[
\mathrm{Trans} (M)[m_{n}] = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n+1} 0 (b_{1}^{\prime})^{n+1} b_{1} = s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}} (t_{2}+D_{M_{1, j_{0}}} 0) b_{0}^{\prime}
\]

\[
\mathrm{Trans} (M[n+1]) = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n+2} t_{2} (b_{1}^{\prime})^{n+2} b_{1} = s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}} (t_{2}+D_{M_{1, j_{0}}} t_{0}^{\prime}) b_{0}^{\prime}
\]

证毕.

现在, 让我们回到正题.

在条件 (V) 下, 证明 Trans 与基本列的交换关系:

由于 $M$ 是单项的, Trans 保留零终端性, 因此 $\operatorname{Trans}(M) \neq 0$ . 因此, (2) 可由 (1) 和[Buc1] 引理 3.2 直接得出. 下面, 我们给出 (1) 和 (3) 的证明.

在条件 (V) 下, 通过基本列的 scb 分解, 存在唯一的 $u \in \mathbb{N}$ 、 $(s_0', b_0') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 和 $t' \in T_{\mathrm{B}}$ 满足:

(1) $(s_{0}^{\prime},D_{u}t_{2},b_{0}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(M[n])$ 的scb分解.

(2) $(s_0', D_u(t_2+D_{M_{1,j_0}}0), b_0')$ 是 $\operatorname{Trans}(M)[m_n]$ 的 $\operatorname{scb}$ 分解.

(3) $(s_{0}^{\prime},D_{u}(t_{2}+D_{M_{1,j_{0}}}t^{\prime}),b_{0}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(M[n+1])$ 的scb分解.

由于 $t_{2}<t_{2}+D_{M_{1,j_{0}}}0\leq t_{2}+D_{M_{1,j_{0}}}t'$ , 根据子表示不等式的可扩展性, $\mathrm{Trans}(M[n])<\mathrm{Trans}(M)[m_{n}]\leq\mathrm{Trans}(M[n+1])$ .

假设 $j_{0}$ 不是 M 可接受的.

在条件 (V) 下, 从各种 scb 分解中, 存在唯一的 $(s_{1}^{\prime}, b_{1}^{\prime}) \in (\Sigma^{<\omega})^{2}$ 满足：

(1) $(D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $c_{2}$ 的scb分解.

(5) Trans(M[n]) = $s_{1}D_{M_{1,j-1}}(s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{0}}})^{n}t_{2}(b_{1}^{\prime})^{n}b_{1}$ .

(5) ' Trans(M[n+1]) = $s_{1}D_{M_{1,j-1}}(s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{0}}})^{n+1}t_{2}(b_{1}^{\prime})^{n+1}b_{1}$ .

\[
\mathrm{Trans} (M[n]) = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n} t_{2} (b_{1}^{\prime})^{n} b_{1}
\]

\[
\mathrm{Trans} (M)[m_{n}] = s_{1} D_{M_{1, j-1}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n+1} 0 (b_{1}^{\prime})^{n+1} b_{1} = s_{1} D_{M_{1, j-1}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n} s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}} 0 b_{1}^{\prime} (b_{1}^{\prime})^{n} b_{1}
\]

并且因为 $t_2 < s_1' D_{M_{1,j_0}} 0b_1'$ , 通过扩展子表达式不等式, $\mathrm{Trans}(M[n]) < \mathrm{Trans}(M)[m_n]$ .

$s_1^{\prime}D_{M_{1,j_0}}0b_1^{\prime}\in T_{\mathrm{B}}$ , 且scb分解的可替代性给出 $s_1^{\prime}D_{M_{1,j_0}}t_2b_1^{\prime}\in T_{\mathrm{B}}$ , 且

\[
\mathrm{Trans} (M)[m_{n}] = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n+1} 0 (b_{1}^{\prime})^{n+1} b_{1}
\]

\[
\mathrm{Trans} (M[n+1]) = s_{1} D_{M_{1, j-1}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n+2} t_{2} (b_{1}^{\prime})^{n+2} b_{1} = s_{1} D_{M_{1, j-1}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n+1} s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}} t_{2} b_{1}^{\prime} (b_{1}^{\prime})^{n+1} b_{1}
\]

又, 由于 $0 \leq s_1' D_{M_{1,j_0}} t_2 b_1'$ , 根据子表达式不等式的可扩展性, $\mathrm{Trans}(M)[m_n] \leq \mathrm{Trans}(M[n+1])$ .

证毕.

'''定理 117''' 在条件 (VI) 下, Trans 与基本列的对易关系.

对于任意 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ , 使用 Trans 递归定义中引入的符号, 如果 $j_0$ 满足 $M$ 容许, 则 $m_n := n-2$ ；如果 $j_0$ 不满足 $M$ 容许, 则如果 $j_1 > 1$ 且 $M$ 满足条件 (VI), 则如下结论成立：

(1) 若 $m_{n} = -1$ , 则存在某个 $k \in \mathbb{N}$ 使得 $1 < k \leq M_{1,j_1}+1$ 且 $Trans(M[n]) = Trans(M)[0]^k$ .

(2) 若 $m_{n} \geq 0$ , 则 $\text{Trans}(M[n]) = \text{Trans}(M)[m_{n}]$ .

(3) $Trans(M[n]) < Trans(M)$ .

我们提出一些引理, 作为在条件 (VI) 下证明 Trans 与基本列之间交换关系的前提.

'''定理 118''' 公差为 $(1,0)$ 的数列 Trans 的基本性质.

对于任意 $u, m, j_1 \in \mathbb{N}$ , 设 $M := ((m+j, u))_{j=0}^{j_1} \in T_{PS}$ , 则

\[
T r a n s (M) = \left\{ \begin{array}{l l} 0 & (j_{1} = 0 \land u = 0) \\ D_{u}^{j_{1}+1} 0 & (j_{1} > 0 \lor u > 0) \end{array} \right.
\]

证明：

$((u+j, u))_{j=0}^{j_1}$ 满足条件 (A) 和 (B), 因此根据约化率与系数之间的关系, 它是约化的. 因此, 由于 Red 的 IncrFirst 不变性,

\[
\operatorname{Red} (M) = \operatorname{Red} (\operatorname{IncrFirst}^{u} (M)) = \operatorname{Red} (\operatorname{IncrFirst}^{m} (((u+j, u))_{j = 0}^{j_{1}})) = \operatorname{Red} (((u+j, u))_{j = 0}^{j_{1}}) = ((u+j, u))_{j = 0}^{j_{1}}
\]

这可以通过对 $j_{1}$ 进行数学归纳法得到.

令 $j_{1}=0$ .

根据 Trans 的递归定义,

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (M) = \mathrm{Trans} ((m, u)) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} ((m, u))) = \mathrm{Trans} ((u, u)) \\ = \left\{ \begin{array}{l l} 0 & (u = 0) \\ D_{u} 0 & (u > 1) \end{array} \right. \\ \end{array}
\]

设 $j_{1}=1$ .

从 2-序列对序列的基本性质以及 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性和 P 等变性可知,

\[
\mathrm{Trans} (M) = \mathrm{Trans} ((m, u), (m+1, u)) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} ((m, u), (m+1, u))) = \mathrm{Trans} ((u, u), (u+1, u)) = D_{u} D_{u} 0 =
\]

令 $j_{1} > 1$ .

$\operatorname{Red}(M) = ((j, u))_{j=0}^{j_1}$ 既可约又单项. Trans 的递归定义中引入的符号是针对 $\operatorname{Red}(M)$ 定义.

根据归纳假设, Trans(Pred(M)) = $D_{u}^{j_{1}}0$ .

由于 Red 和 Pred 的交换性, 以及 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性, 我们有

\[
t_{1} = \mathrm{Trans} (\mathrm{Pred} (\mathrm{Red} (M))) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} (\mathrm{Pred} (M))) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Pred} (M)) = D_{u}^{j_{1}} 0 \neq 0
\]

因此, 条件 (I) 至 (VI) 对 $\mathrm{Red}(M)$ 有意义. $j_{0}=j_{1}-1$ 且 $j_{-1}=j_{0}$ .

如果 u = 0, 则 M 满足条件 (I).

如果 u > 0, 则 M 满足条件 (III).

因此, 无论哪种情况, M 都满足条件 (I) 或 (III).

由于可约化为切片的遗传性, $\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(M))$ 是可约的, 因此, 由于Mark在最右边1个基点的基本性质, $c_{1} = \mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(M)), j_{-1}) = \mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(M)), j_{1}-1) = D_{u}0$ .

由于 $t_{1}=D_{u}^{j_{1}}0$ 且 $c_{1}=D_{u}0,\quad s_{1}=D_{u}^{j_{1}-1}$ 且 $b_{1}=()$ .

$D_{v}t_{2}=c_{1}=D_{u}0$ , 因此 v=u 且 $t_{2}=0$ .

M 满足条件 (I) 或 (III), 因此 $c_{2}=D_{v}(t_{2}+D_{u}0)=D_{u}D_{u}0=D_{u}^{2}0$ .

因此, 根据 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性, 即 P 等变性,

\[
\operatorname{Trans} (M) = \operatorname{Trans} (\operatorname{Red} (M)) = s_{1} c_{2} b_{1} = D_{u}^{j_{1}-1} D_{u}^{2} 0 = D_{u}^{j_{1}+1} 0
\]

证毕.

'''定理 119''' 公差为 $(1,1)$ 的序列 Trans 的展开规则.

对于任意 $u, j_1 \in \mathbb{N}$ 和 $n \in \mathbb{N}_+$ , 令 $M := ((u+j, u+j))_{j=0}^{j_1} \in T_{PS}$ . 如果 $j_1 > 1$ , 则 $Trans(M[n]) = D_u D_{u+j_1-1}^n 0$ .

证明：

M 满足条件 (A) 和 (B), 因此由于约化率与系数之间的关系, M 是约化的. $M[n]$ 也是约化的, 因为约化率对于基本列保持不变.

从 $(1,j_{1}-1)<_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1})$

\[
M[n] = (M_{j})_{j = 0}^{j_{1}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} ((M_{0, j_{1}-1}+j, M_{1, j_{1}-1}))_{j = 1}^{n-1} = (M_{j})_{j = 0}^{j_{1}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} ((u+j_{1}-1+j, u+j_{1}-1))_{j = 1}^{n-1}
\]

且 $\mathrm{Lng}(M[n])-1=j_{1}-2+n$ .

如果 $n = 1$ , 则 $j_{1}-1 = \mathrm{Lng}(M[n])-1$ , 因此 $j_{1}-1$ 是 $M[n]$ 容许的.

如果 $n > 1$ , 则 $j_{1}-1 < \mathrm{Lng}(M[n])-1$ 且 $M[n]_{1,j_1-1} = M_{1,j_1-1} = M[n]_{1,j_1}$ , 因此 $(1,j_{1}-1) < _{M[n]}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1})$ 不成立, 因此 $j_{1}-1$ 是 $M[n]$ 容许的.

由上可知, 无论哪种情况, $j_{1}-1$ 都是 M[n] 容许的.

$(M[n]_{j})_{j=0}^{j_{1}-1}=(M_{j})_{j=0}^{j_{1}-1}=((u+j,u+j))_{j=0}^{j_{1}-1}$ , 因此, 根据 $j_{1}>1$ 且公差 (1,1) 的对序列的 Trans 的基本性质,

\[
\mathrm{Trans} ((M[n]_{j})_{j = 0}^{j_{1}-1}) = D_{u} D_{u+j_{1}-1} 0
\]

因为 $(M[n]_j)_{j = j_1-1}^{j_1-2+n} = ((u+j_1-1+j, u+j_1-1))_{j = 1}^{n-1}$ , 由 $j_1 > 1$ 且公差 $(1,0)$ 的对序列的 Trans 的基本性质, $\mathrm{Trans}((M[n]_j)_{j = j_1-1}^{j_1-2+n}) = D_{u+j_1-1}^n 0$ . 因此, 由 Mark 乘以 Trans 的表达式可知,

\[
\mathrm{Mark} (M[n], j_{1}-1) = \mathrm{Trans} ((M[n]_{j})_{j = j_{1}-1}^{j_{1}-2+n}) = D_{u+j_{1}-1}^{n} 0
\]

证毕.

'''定理 120''' 序数项的最后一个单项式消失的可能性.

对于任意 $t, t' \in T_B$ , $s, b \in \Sigma^{<\omega}$ , 且 $u, v \in \mathbb{N}$ , 若 $(s, D_u(t'+D_v0), b)$ 是 $t$ 的 $scb$ 分解, 则存在某个 $k \in \mathbb{N}$ 使得 $0 < k \leq v+1$ 且 $(s, D_u t', b)$ 是 $t[0]^k$ 的 $scb$ 分解.

证明：

我们利用数学归纳法对 v 进行证明.

设 v = 0.

设 $k := 1$ .

\[
0 < k = 1 = v+1_{\circ}
\]

根据序数项基本列的递归定义,

\[
(s, (D_{u} (t^{\prime}+D_{0} 0))[0], b) = (s, D_{u} ((t^{\prime}+D_{0} 0)[0]), b) = (s, D_{u} (t^{\prime}+(D_{0} 0)[0]), b) = (s, D_{u} (t^{\prime}+0), b) = (s, D_{u} t^{\prime}, b)
\]

是 $t[0]^{k}=t[0]$ 的 scb 分解.

设 v > 0.

由于 $(D_v0)[0] = 0$ 且 $(D_v0)[D_{v-1}0] = D_{v-1}0$ , 根据序数项基本列的递归定义和scb分解的可替换性, $(s, D_u t', b)$ 或 $(s, D_u(t'+D_{v-1}0), b)$ 是 $t[0]$ 的scb分解.

令 $(s,D_{u}t',b)$ 是 t[0] 的 scb 分解.

令 $k := 1$ .

\[
0 < k = 1 < v+1_{\circ}
\]

$(s,D_{u}t',b)$ 是 $t[0]^{k}=t[0]$ 的scb分解.

设 $(s, D_u(t'+D_{v-1}0), b)$ 是 $t[0]$ 的 scb 分解.

根据归纳假设, 存在 $k' \in N$ 使得 $0 < k' \leq v$ 且 $t[0][0]^{k'}$ 是 $(s, D_{u}t', b)$ 的 scb 分解.

设 $k := k'+1$ .

\[
0 < 1 < k \leq v+1 .
\]

$t[0]^{k}=t[0][0]^{k'}$ 是 $(s,D_{u}t',b)$ 的scb分解.

证毕.

现在, 回到正题.

在条件 (VI) 下, Trans 与基本列的交换关系证明:

由于 M 是单项序列, Trans 保留零终端性, 因此 $\mathrm{Trans}(M) \neq 0$ . 因此, (3) 可由 (1)、(2) 和[Buc1] 引理 3.2 直接得出.

由于 $M_{1,j_{0}} < M_{1,j_{0}}+1 = M_{1,j_{1}}$ , 因此 $(1,j_{0}) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ .

$j_{0}+1=j_{1}$ 且 $M_{1,j_{0}}+1=M_{1,j_{1}}$ , 因此

\[
M[n] = (M_{j})_{j = 0}^{j_{1}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} ((M_{0, j_{0}}+j, M_{1, j_{0}}))_{j = 1}^{n-1}
\]

且 $\mathrm{Lng}(M[n])-1=j_{1}-2+n$ .

如果 n=1, 则 $j_{0}=\mathrm{Lng}(M[n])-1$ , 因此 $j_{0}$ 满足 M[n] 条件.

如果 $n > 1$ , 则 $j_0 < \mathrm{Lng}(M[n])-1$ 且 $M[n]_{1,j_0} = M_{1,j_0} = M[n]_{1,j_0+1}$ , 因此 $(1,j_0) < _{M[n]}^{\mathrm{Next}}(1,j_0+1)$ 不成立, 因此 $j_0$ 是 $M[n]$ 容许的.

因此, 无论哪种情况, $j_{0}$ 都是 $M[n]$ 容许的.

$(1,j_0) <_{M}^{\text{Next}} (1,j_1)$ , 因此 $(1,j_{-1}) <_{M}^{\text{Next}} (1,j_{-1}+1)$ . 由于 $j_{-1}$ 是 $M$ 容许的, 因此 $(1,j_{-1}-1) <_{M}^{\text{Next}} (1,j_{-1})$ 不成立. 此外, $(M[n]_j)_{j=0}^{j_{-1}} = (M_j)_{j=0}^{j_{-1}}$ 不成立. 因此, $j_{-1}$ 是 $M[n]$ 容许的. 根据最右边2个基点Mark的基本性质, $\operatorname{Trans}(M) = s_1c_2b_1 = s_1\operatorname{Mark}(M,j_{-1})b_1$ , 因此若 $j_{-1} > 0$ , 则根据使用Mark和切片的Trans表达式,

\[
\mathrm{Trans} ((M[n]_{j})_{j = 0}^{j-1}) = \mathrm{Trans} ((M_{j})_{j = 0}^{j-1}) = s_{1} D_{M_{1, j-1}} b_{1}
\]

设 $N := (M_{j})_{j=j-1}^{j_{1}}$ .

由于标准形式的直系祖先函数切片约化的强单项性, $\mathrm{Red}(N)$ 是强单项式的. 由于可约性与系数之间的关系, $\mathrm{Red}(N)$ 满足条件 (A) 和 (B). 由于直系祖先函数切片以及 Red 与 IncrFirst 之间的关系, $\mathrm{IncrFirst}^{N_{0,0}-N_{1,0}}(\mathrm{Red}(N)) = N$ , 即 $\mathrm{Red}(N) = ((M_{1,j}-M_{0,j-1}+M_{1,j-1}, M_{1,j}))_{j=j-1}^{j_1}$ .

$M_{1,j_{0}} < M_{1,j_{0}}+1 = M_{1,j_{1}}$ , 因此 $(1,j_{0}) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ , 且 $(1,j_{0}) <_{N}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ , 且 $(1,j_{0}) <_{\text{Red}(N)}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ , 因为 $M_{1,j_{0}} < M^{\text{Next}}(1,j_{1})$ , 且 $(1,j_{0}) <_{\text{Red}(N)}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ , 因为 Red 是直系祖先的不变性.

$\mathrm{Adm}_N(j_0-j_{-1}) = 0$ , 因为Red是容许性的不变性, 且 $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_0-j_{-1}) = 0$ , 因为Red是容许性的不变性.

$(1,j_{0})<_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1})$ 且 $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_{0}-j_{-1})=0$ , 因此 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))=j_{1}-j_{-1}$ . 进一步, 由于 $\mathrm{Red}(N)$ 满足条件 (A) 和 (B), 且 $\mathrm{Red}(N)_{1,0}=M_{1,j_{-1}}$ 和 $\mathrm{Red}(N)_{1,j_{1}}=M_{1,j_{1}}$ , 因此有 $\mathrm{Red}(N)=((j,j))_{j=M_{1,j_{-1}}}^{M_{1,j_{1}}}$ .

由公差 $(1,1)$ 的对序列的 $j_{1}-j_{-1}\geq j_{1}-j_{0}>0$ 和 Trans 的基本性质可知, $\mathrm{Trans}(\mathrm{Red}(N))=D_{M_{1,j_{-1}}}D_{M_{1,j_{1}}}0$ . 因此, 根据 IncrFirst, Red) 的不变 P 等变性, 以及 Mark 用 Trans 表示,

\[
c_{2} = \mathrm{Mark} (M, j_{- 1}) = \mathrm{Trans} (N) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} (N)) = D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{1}}} 0
\]

在条件 (III) 至 (VI) 下, $(s_{1}, c_{2}, b_{1}) = (s_{1}, D_{M_{1,j-1}} D_{M_{1,j_{1}}} 0, b_{1}) = (s_{1}, \text{Trans}(N), b_{1})$ 是 Trans(M) 的第一类 scb 分解, 且对于任意 $m \in N$ ,

\[
\mathrm{Trans} (M)[m] = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{1}}-1}^{m+1} 0 b_{1}
\]

因为 Red 和 Pred 可交换, 所以 $\mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N)) = \mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N)) = ((j, j))_{j=M_{1,j-1}}^{M_{1,j_1}-1}$ .

令 $j_{1}-j_{-1}=1$ .

由于 $j_{-1} \leq j_0 < j_1 = j_{-1}+1$ , 所以 $j_0 = j_{-1}$ . 因此, $j_0$ 是 $M$ 可接受的, 且 $m_n = n-2$ . $\operatorname{Pred}(M)_{1,j_1-1} = M_{1,j_1-1} = M_{1,j_{-1}}$ 以及 Mark 在最右边 1 个基点的基本性质

\[
c_{1} = \operatorname{Mark} (\operatorname{Pred} (M), j_{- 1}) = \operatorname{Mark} (\operatorname{Pred} (M), j_{1}-1) = D_{M_{1, j_{- 1}}} 0
\]

设 n = 1.

\[
m_{n} =-1 \text {. }
\]

\[
M[n] = \operatorname{Pred} (M),
\]

\[
\mathrm{Trans} (M[n]) = s_{1} c_{1} b_{1} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} 0 b_{1}
\]

\[
\mathrm{Trans} (M)[0] = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{1}}-1} 0 b_{1}
\]

因此, 由于序数项的最后一项可能被消灭, 存在 $k' \in \mathbb{N}$ 使得 $0 < k' \leq M_{1,j_1}$ 且 $\operatorname{Trans}(M[n]) = \operatorname{Trans}(M)[0][0]^{k'} = \operatorname{Trans}(M)[0]^{k+1}$ .

令 $k := k'+1$ .

\[
1 < k \leq M_{1, j_{1}}+1 .
\]

\[
\mathrm{Trans} (M[n]) = \mathrm{Trans} (M)[0][0]^{k^{\prime}} = \mathrm{Trans} (M)[0]^{k} .
\]

令 n > 1.

\[
m_{n} \geq 0.
\]

$(M[n]_{j})_{j=j-1}^{j_{1}-2+n}=(\left(M_{0,j_{0}}+j,M_{1,j_{0}}\right))_{j=1}^{n-1}$ , 因此, 由 Mark 用 Trans 表示, 以及公差为 $(1,0)$ 的对序列 Trans 的基本性质可知,

\[
\mathrm{Mark} (M[n], j_{- 1}) = \mathrm{Trans} ((M[n]_{j})_{j = j_{- 1}}^{j_{1}-2+n}) = D_{M_{1, j_{0}}}^{n} 0
\]

令 $j_{-1}=0$ .

由于 $s_{1}$ 与 $b_{1}$ 之间为空且为基点关系, 因此 $s_{1}=()$ , $b_{1}=()$ .

$M[n]=((M_{0,j_{0}}+j,M_{1,j_{0}}))_{j=}^{n-1}$ , 因此, 具有公差(1,0)的对序列的Trans的基本性质

\[
\mathrm{Trans} (M[n]) = D_{M_{1, j-1}}^{n} 0 = D_{M_{1, j-1}} D_{M_{1, j_{1}}-1}^{n-1} 0
\]

\[
\mathrm{Trans} (M)[m_{n}] = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{1}}-1}^{n-1} 0 b_{1} = D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{1}}-1}^{n-1} 0
\]

也就是说, $\mathrm{Trans}(M[n])=\mathrm{Trans}(M)[m_{n}]$ .

设 $j_{-1} > 0$ .

Trans((M[n]j)j-1) = s1DM1,j-10b1 且 Mark(M[n], j-1) = DnM1,j00, 由 Trans 的表达式 Mark 和切片

\[
\mathrm{Trans} (M[n]) = s_{1} D_{M_{1, j_{0}}}^{n} 0 b_{1}
\]

\[
\mathrm{Trans} (M)[m_{n}] = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{1}}-1}^{n-1} 0 b_{1} = s_{1} D_{M_{1, j_{0}}}^{n} 0 b_{1}
\]

即 $\mathrm{Trans}(M[n]) = \mathrm{Trans}(M)[m_{n}]$ . 设 $j_{1}-j_{-1} > 1$ .

$j_{-1}<j_{1}-1=j_{0}$ . 因此, $j_{0}$ 不具有 M 容错性, 且 $m_{n}=n-1\geq0$ .

根据公差为 $(1,1)$ 的对序列 Trans 的基本性质, $\mathrm{Trans}(\mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N)))) = D_{M_{1,j-1}} D_{M_{1,j_1}-1}0$ . 因此, 从 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变 P 等变性以及 Mark 用 Trans 表示,

\[
c_{1} = \operatorname{Mark} (\operatorname{Pred} (M), j_{- 1}) = \operatorname{Trans} (\operatorname{Pred} (N)) = \operatorname{Trans} (\operatorname{Red} (\operatorname{Pred} (N))) = D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{1}}-1} 0
\]

令 n = 1.

由 $M[n]=\mathrm{Pred}(M)$ 可知,

\[
\mathrm{Trans} (M[n]) = s_{1} c_{1} b_{1} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{1}}-1} 0 b_{1}
\]

\[
\mathrm{Trans} (M)[m_{n}] = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{1}}-1} 0 b_{1}
\]

即, $\text{Trans}(M[n]) = \text{Trans}(M)[m_n]$ .

令 n > 1.

$(M[n]_j)_{j = j-1}^{j_1-2+n} = (M_j)_{j = j-1}^{j_1-1}\oplus_{\mathbb{N}^2}((M_{0,j_0}+j,M_{1,j_0}))_{j = 1}^{n-1} = N[n]$ , 故由Red与基本列的交换性, Trans的(IncrFirst, Red)不变性, Mark由Trans表示, 以及公差(1,1)的偶序列Trans的展开规则,

\[
\begin{array}{l} \operatorname{Mark} (M[n], j_{- 1}) = \operatorname{Trans} ((M[n]_{j})_{j = j_{- 1}}^{j_{1}-2+n}) = \operatorname{Trans} (N[n]) = \operatorname{Trans} (\operatorname{Red} (N[n])) \\ = \operatorname{Trans} (\operatorname{Red} (N)[n]) = \operatorname{Trans} (((j, j))_{j = M_{1, j-1}}^{M_{1, j_{1}}}[n]) = D_{M_{1, j-1}} D_{M_{1, j_{1}}-1}^{n} 0 \\ \end{array}
\]

设 $j_{-1}=0$ .

由于 $s_{1}$ 与 $b_{1}$ 之间为空且为基点关系, 因此 $s_{1}=()$ , $b_{1}=()$ .

$M[n]=(M[n]_{j})_{j=j-1}^{j_{1}-2+n}$ , 因此

\[
\mathrm{Trans} (M[n]) = \mathrm{Trans} ((M[n]_{j})_{j = j_{- 1}}^{j_{1}-2+n}) = D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{1}}-1}^{n} 0
\]

\[
\mathrm{Trans} (M)[m_{n}] = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{1}}-1}^{n} 0 b_{1} = D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{1}}-1}^{n} 0
\]

也就是说, $\mathrm{Trans}(M[n])=\mathrm{Trans}(M)[m_{n}]$ .

设 $j_{-1} > 0$ .

Trans((M[n]\_{j})^{j-1}\_{j=0}) = s\_{1}D\_{M\_{1,j-1}}0b\_{1} 且 Trans 除以 Mark 并切片

\[
\mathrm{Trans} (M[n]) = s_{1} \mathrm{Mark} (M[n], j_{- 1}) b_{1} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{0}}}^{n} 0 b_{1}
\]

\[
\operatorname{Trans} (M)[m_{n}] = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{1}}-1}^{n} 0 b_{1} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{0}}}^{n} 0 b_{1}
\]

也就是说, $\mathrm{Trans}(M[n])=\mathrm{Trans}(M)[m_{n}]$ .

我们最后证明如下的主定理.

'''定理 121''' 标准对序列系统的终止.

\[
S T_{P S} \times \mathbb {N}_{+} \subset D o m (F) .
\]

我们提出一些引理作为证明标准对序列系统终止性的预备.

'''定理 122''' 公差为 $(0,0)$ 的数列 Trans 的基本性质.

对于任意 $u, j_{1} \in N$ , 设 $M := ((u, u))_{j=0}^{j_{1}}$ , 则

\[
T r a n s (M) = \left\{ \begin{array}{l l} (D_{0} 0) \times j_{1} & (u = 0) \\ (D_{u} 0) \times (j_{1}+1) & (u > 0) \end{array} \right.
\]

证明：由 Trans 的递归定义可知, 通过对 $j_{1}$ 进行数学归纳推理, 可知 Trans 的递归定义成立. 证毕.

'''定理 123''' 基本列的下降性质.

对于任意 $M \in ST_{PS}$ 和 $n \in N_{+}$ , 若 $Lng(M) > 1$ , 则 $Trans(M[n]) < Trans(M)$ .

证明：

由于标准形式的约化性, M 是约化的. 由于约化性和系数之间的关系, M 满足条件 (A) 和 (B).

我们使用 Trans 递归定义中引入的符号.

设 $J_{1}^{\prime} := \mathrm{Lng}(P(M))-1$ .

如果 $M[n] = \operatorname{Pred}(M)$ , 则由 Pred 关于 Trans 的下降性质可知. 下文中, 我们记 $M[n] \neq \operatorname{Pred}(M)$ .

从 $M[n] \neq \text{Pred}(M)$ 出发, 存在唯一的 $j_{0} \in N$ 使得 n > 1 且 $(0, j_{0}) <_{M}^{\text{Next}} (0, j_{1})$ . 特别地, $j_{1} > j_{0} \geq 0$ , 且 $\text{Lng}(P(M)_{J_{1}^{\prime}}) \geq j_{1}-j_{0} > 0$ . 也就是说, $P(M)_{J_{1}^{\prime}} \neq ((0, 0))$ .

利用 $P(M)_{J_{1}^{\prime}} \neq ((0,0))$ 、Trans 的递归定义以及标准形式的单项分量均为标准形式的事实, 通过将 M 替换为 $P(M)_{J_{1}}$ , 可以将 M 简化为 M 为单项的情况. 下文中, 我们假设 M 为单项.

令 $t_{1}=0$ .

由于 Trans 保持零项性质, $\mathrm{Pred}(M)$ 为零项. 因此, $j_{1}=1,\ M_{1,0}=0$ . 由于 M 为单项且满足条件 (A) 和 (B), 因此 $M=((0,0),(1,0))$ 或 $M=((0,0),(1,1))$ .

令 $M = ((0,0), (1,0))$ .

由公差为 $(1,0)$ 的对序列的 Trans 的基本性质可知, $\mathrm{Trans}(M)=D_{0}D_{0}0$ .

由于 $M[n] = ((0,0))_{j=0}^{n-1}$ , 由公差为 $(0,0)$ 的对序列的 Trans 的基本性质可知, $\mathrm{Trans}(M[n]) = (D_00) \times (n-1)$ .

由于 $0 < D_00$ , $(D_00) \times (n-1) < D_0D_00$ , 因此, $\mathrm{Trans}(M[n]) < \mathrm{Trans}(M)$ . 令 $M = ((0,0), (1,1))$ .

由公差为 (1,1) 的对序列 Trans 的基本性质可知, $\mathrm{Trans}(M)=D_{0}D_{1}0$ . 由于 $M[n]=(\left(j,0\right))_{j=0}^{n-1}$ , 由公差为 (1,0) 的对序列 Trans 的基本性质可知, $\mathrm{Trans}(M[n])=D_{0}^{n}0$ .

由于 $D_0^{n-1}0 < D_10$ , $D_0^n 0 < D_0D_10$ , 因此 $\operatorname{Trans}(M[n]) < \operatorname{Trans}(M)$ . 令 $t_1 \neq 0$ .

由于 Trans 为零项, 因此 Pred(M) 不为零项.

令 M 满足条件 (I).

令 $j_{1}=1$ .

由于 $\operatorname{Pred}(M)$ 不为零项, 且 $M$ 满足条件 (A) 和 (B), 因此存在唯一的 $u \in \mathbb{N}$ 使得 $u > 0$ 且 $M = ((u, u), (u+1, 0))$ .

由 2 序列对的基本性质 (1) 可知, $\mathrm{Trans}(M)=D_{u}D_{0}0$ .

由于 $M[n] = ((u, u))_{j=0}^{n-1}$ , 由公差为 $(0, 0)$ 的对偶序列的 Trans 基本性质可知, $\mathrm{Trans}(M[n]) = (D_u 0) \times n$ .

由于 $0 < D_00, D_u0 < D_uD_00$ , 因此 $(D_u0) \times n < D_uD_00$ , 即 $\operatorname{Trans}(M[n]) < \operatorname{Trans}(M)$ .

如果 $j_{1} > 1$ , 则根据 Trans 与基序列在条件 (I) 下的交换关系 (2), $\mathrm{Trans}(M[n]) < \mathrm{Trans}(M)$ .

假设 M 满足条件 (II).

由于 M 是单项的, $(0,0) \leq_{M}(0,j_{1})$ , 但由于 0 是 M 容许的, $(0,0) <_{M}^{\text{Next}}(0,j_{1})$ 不成立. 因此, $j_{1} > 1$ , 并且根据条件 (II) 下 Trans 与基序列的交换关系 (4), $\text{Trans}(M[n]) < \text{Trans}(M)$ .

假设 $M$ 满足条件 (III) 或 (IV). 由 $M[n] \neq \operatorname{Pred}(M)$ 可知, 存在唯一的 $j_{-2} \in \mathbb{N}$ 使得 $(1, j_{-2}) <_{M}^{\mathrm{Next}}(1, j_1)$ . 由 $M_{1,j_0} \geq M_{1,j_1}$ 可知, $(1, j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(1, j_1)$ 不成立, 因此 $j_{-2} < j_0 < j_1$ . 因此, $j_1 > 1$ , 且由 Trans 与基本列在条件 (III) 或 (IV) 下的交换关系 (2) 可知, $\operatorname{Trans}(M[n]) < \operatorname{Trans}(M)$ .

设 M 满足条件 (V).

由于 $j_{1} > j_{0}+1 \geq 1$ , 根据 Trans 与条件 (V) 下基本列的交换关系 (2), $\mathrm{Trans}(M[n]) < \mathrm{Trans}(M)$ .

设 M 满足条件 (VI).

设 $j_{1}=1$ .

由于 $\operatorname{Pred}(M)$ 不是零项, 且 $M$ 满足条件 (A) 和 (B), 因此存在唯一的 $u \in \mathbb{N}$ 使得 $u > 0$ 且 $M = ((u, u), (u+1, u+1))$ .

根据 2 序列对序列的基本性质 (1), $\mathrm{Trans}(M)=D_{u}D_{u+1}0$ .

因为 $M[n] = ((u+j, u))_{j=0}^{n-1}$ , 由公差 $(1, 0)$ 的对偶序列的 Trans 基本性质可知, $\mathrm{Trans}(M[n]) = D_u^n 0$ .

由于 $D_{u}^{n-1}0 < D_{u+1}0,\quad D_{u}^{n}0 < D_{u}D_{u+1}0$ , 所以 $\mathrm{Trans}(M[n]) < \mathrm{Trans}(M)$ .

若 $j_{1} > 1$ , 则由Trans与条件(VI)下基本列的交换关系(3)可知, $\mathrm{Trans}(M[n]) < \mathrm{Trans}(M)$ .

证毕.

下文中, 我们将 OT 与[Buc1] 中的 $T_{B}$ 的交集表示为 $OT_{B}$ .

'''定理 124''' 序数项的递归构造.

对于任意 $t \in OT_B$ 、 $c \in T_B$ 和 $s, b \in \Sigma^{<\omega}$ , 若 $(s, c, b)$ 是 $t$ 的 $scb$ 分解, 则 $c$ 为序数项.

证明：根据 scb 分解的平凡性准则和序数项的递归定义, 通过对 $\mathrm{Lng}(s)$ 的数学归纳法可知. 证毕.

'''定理 125''' 序数项共尾数的遗传性.

对于任意 $t, t' \in T_B$ 和 $s, b \in \Sigma^{<\omega}$ , 若 $dom(t') = \mathbb{N}$ 且 $(s, t', b)$ 是 $t$ 的 $scb$ 分解, 则 $dom(t) = \mathbb{N}$ .

证明：根据 scb 分解的平凡性准则和 dom 的递归定义, 通过对 $\mathrm{Lng}(s)$ 的数学归纳法可知. 证毕.

'''定理 126''' 序数项尾项消失的可能性.

对于任意 $t \in OT_B$ 、 $t' \in T_B$ 、 $s, b \in \Sigma^{<\omega}$ 和 $u \in \mathbb{N}$ , 若 $(s, D_u t', b)$ 是 $t$ 的 $scb$ 分解, 则存在某个 $k \in \mathbb{N}$ 使得 $(s, D_u 0, b)$ 是 $t[0]^k$ 的 $scb$ 分解.

证明：

$(OT_{B},<)$ 是良基的. 因此, 数学归纳法可以应用于 $(OT_{B},<)$ .

由 $t = sD_{u}t'b$ , $(sD_{u}, t', b)$ 是 t 的 scb 分解, 因此, 根据序数项的递归结构, $t'$ 是序数项.

通过对 $t'$ 进行数学归纳法, 证明存在 $k \in \mathbb{N}$ 使得 $(s, D_u0, b)$ 是 $t[0]^k$ 的 scb 分解.

令 $t' = 0$ .

令 $k := 0$ .

$(s,D_{u}0,b)=(s,D_{u}t',b)$ 是 $t[0]^{k}=t$ 的scb分解.

令 $t' > 0$ .

由于 $t' \neq 0$ , $t'$ 为单项复项或复项. 因此存在 $\tau \in T_{B}$ 和 $\tau' \in PT_{B}$ 使得 $t' = \tau+\tau'$ .

由于 $\tau'$ 为单项复项, $0 < \tau'$ , 因此 $0 \geq \tau < \tau+\tau' = t'$ .

令 $\mathrm{dom}(\tau')=\{0\}$ .

$\mathrm{dom}(t') = \mathrm{dom}(\tau') = \{0\}$ , 因此 $\mathrm{dom}(D_u t') = \mathbb{N}$ , 进而由于序数项的同端项的可遗传性, $\mathrm{dom}(t) = \mathbb{N}$ .

根据基本列的递归定义, $(D_u t')[0] = (D_u \tau) \times (0+1) = D_u \tau \in PT_{\mathrm{B}}$ , 因此, 根据 scb 分解的可替代性和[] 的递归定义, $(s, D_u \tau, b)$ 是 $t[0]$ 的 scb 分解.

由于 $\tau < t'$ 且 $(s, D_{u}\tau, b)$ 是 t[0] 的 scb 分解, 根据归纳假设, 存在一个 $k' \in N$ 使得 $(s, D_{u}0, b)$ 是 $t[0][0]^{k'}$ 的 scb 分解. 令 $\mathrm{dom}(\tau') \neq \{0\}$ .

根据基本列的递归定义, 存在一个 $n \in \mathrm{dom}(t') \cup \mathbb{N}$ , 使得 $(s, D_u(t'[n]), b)$ 是 $t[0]$ 的 scb 分解.

$t' > 0$ 且 $t'[n] < t'$ . 由于 $t'[n] < t'$ 且 $(s, D_u(t'[n]), b)$ 是 t[0] 的 scb 分解, 根据归纳假设, 存在 $k' \in N$ , 使得 $(s, D_u0, b)$ 是 $t[0][0]^{k'}$ 的 scb 分解.

令 $k := k'+1$ .

根据 $t[0]^{k}=t[0][0]^{k'}$ , $(s,D_{u}0,b)$ 是 $t[0]^{k}$ 的 scb 分解.

证毕.

'''定理 127''' Pred 与[0] 的关系.

对于任意 $M \in RT_{PS} \cap PT_B$ , 使用 Trans 的递归定义中引入的符号, 若 $j_1 > 1$ 且 $M$ 不满足条件 (VI), 且 Trans(M) 为序数项, 则存在某个 $k \in \mathbb{N}$ 使得 Trans(M)[0] $^k = t_1$ .

证明：

由于可约性以及系数之间的关系, M 满足条件 (A) 和 (B). 由于 $j_{1} > 1, t_{1} \neq 0$ , 因此 $(s_{1}, D_{v}t_{2}, b_{1}) = (s_{1}, c_{1}, b_{1})$ 是 $t_{1}$ 的 scb 分解, 且条件 (I) 至 (VI) 对 M 有意义.

假设 M 满足条件 (I)、(III) 或 (V).

$(s_{1},D_{v}(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0),b_{1})=(s_{1},c_{2},b_{1})$ 是 $\mathrm{Trans}(M)$ 的scb分解.

由于序数项的最后一个单项式存在湮灭可能性, $(s_{1}, D_{v}t_{2}, b_{1})$ 和 $(s_{1}, D_{v}(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0), b_{1})$ 分别是 $t_{1}$ 和 $\mathrm{Trans}(M)$ 的 scb 分解, 因此存在某个 $k \in N$ 使得 $t_{1} = \mathrm{Trans}(M)[0]^{k}$ .

假设 M 满足条件 (II) 或 (IV).

假设 $P(t_2)_{J_1}$ 的左端是 $D_{M_{1,j_0}}\circ t_2 = t_3+D_{M_{1,j_0}}t_4$ . 因此, $(s_1,D_v(t_3+D_{M_{1,j_0}}t_4),b_1) = (s_1,c_1,b_1)$ 和 $(s_1,D_v(t_3+D_{M_{1,j_0}}(t_4+D_{M_{1,j_1}}0)),b_1) = (s_1,c_2,b_1)$ 分别是 $t_1$ 和 $\mathrm{Trans}(M)$ 的scb分解.

进一步, 由于 scb 分解的复合规则以及加法与 scb 分解之间的关系, 存在 $(s', b') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 使得 $(s', D_{M_{1,j_0}} t_4, b')$ 和 $(s', D_{M_{1,j_0}} (t_4+D_{M_{1,j_1}} 0), b')$ 分别是 $t_1$ 和 Trans(M) 的 scb 分解.

由于序数项的最后一个单项式存在湮灭可能性, 存在 $k \in \mathbb{N}$ 使得 $(s', D_{M_{1,j_0}} t_4, b')$ 是 $\mathrm{Trans}(M)[0]^k$ 的scb分解. 因此,

\[
t_{1} = s_{1} D_{M_{1, j-1}} t_{2} b_{1} = \mathrm{Trans} (M)[0]^{k}
\]

假设 $P(t_{2})_{J_{1}}$ 的左端不是 $D_{M_{1,j_{0}}}$ .

$t_{3}=t_{2}$ 且 $t_{4}=t_{2}$ , 且 $c_{2}=D_{v}(t_{3}+D_{M_{1,j_{0}}}(t_{4}+D_{M_{1,j_{1}}}0))=D_{v}(t_{2}+D_{M_{1,j_{0}}}(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0))$ . 因此, $(s_{1},D_{v}(t_{2}+D_{M_{1,j_{0}}}(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0)),b_{1})=(s_{1},c_{2},b_{1})$ 是 Trans(M) 的 scb 分解.

此外, 由于 scb 分解的复合规则以及加法与 scb 分解之间的关系, 存在 $(s', b') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ , 使得 $(s', D_{M_{1,j_0}}(t_2+D_{M_{1,j_1}}0), b')$ 是 Trans(M) 的 scb 分解.

因为 $\operatorname{Trans}(M)$ 是序数项, 且该序数项的尾项可以消除, 所以存在 $k_0' \in \mathbb{N}$ 使得 $(s', D_{M_{1,j_0}}0, b')$ 是 $\operatorname{Trans}(M)[0]^{k_0'}$ 的scb分解.

$(s_1, D_{M_{1,j-1}}(t_2+D_{M_{1,j_0}}(t_2+D_{M_{1,j_1}}0)), b_1)$ 和 $(s', D_{M_{1,j_0}}(t_2+D_{M_{1,j_1}}0), b')$ 都是 $\mathrm{Trans}(M)$ 的 $\mathrm{scb}$ 分解, 而 $(s', D_{M_{1,j_0}}0, b')$ 是 $\mathrm{Trans}(M)[0]^{k'_0}$ 的 $\mathrm{scb}$ 分解. 因此, 由加法与 $\mathrm{scb}$ 分解的关系 (3) 可知, $(s_1, D_{M_{1,j-1}}(t_2+D_{M_{1,j_0}}0), b_1)$ 是 $\mathrm{Trans}(M)[0]^{k'_0}$ 的 $\mathrm{scb}$ 分解.

因此, 由于序数项最后一个单项式的湮灭可能性, 存在一个 $k_1' \in \mathbb{N}$ , 使得 $(s_1, D_{M_{1,j-1}} t_2, b_1)$ 是 $\mathrm{Trans}(M)[0]^{k_0'}[0]^{k_1'}$ 的scb分解.

令 $k := k_{0}^{\prime}+k_{1}^{\prime}$ .

\[
t_{1} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} t_{2} b_{1} = \mathrm{Trans} (M)[0]^{k_{0}^{\prime}}[0]^{k_{1}^{\prime}} = \mathrm{Trans} (M)[0]^{k}
\]

证毕.

'''定理 128''' 序数项的基本列.

(1) 对于任意 $u \in \mathbb{N}$ , $D_u 0 \in OT_B$ .

(2) 对于任意 $u, v \in \mathbb{N}$ , $D_u D_v 0 \in OT_B$ .

(3) 对于任意 $u \in \mathbb{N}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ , $(D_u0) \times (n-1) \in OT_B$ .

(4) 对于任意 $u \in \mathbb{N}$ 和 $n \in \mathbb{N}$ , $D_u^n 0 \in OT_B$ .

证明：

下面, 令 $2^{T_{B}}$ 表示 $T_{B}$ 所有子集的集合, 令 G 表示过滤条件的限制, 即 $N \times T_{B}$ .

\[
\begin{array}{l} G \colon \mathbb {N} \times T_{\mathrm{B}} \rightarrow 2^{T_{\mathrm{B}}} \\ (u, t) \mapsto G_{u} t \\ \end{array}
\]

将 < 扩展至 $T_{B} \cup 2^{T_{B}}$ .

（1）它直接由 $0 \in OT_{B}$ 和 $G_{u}0 = \emptyset < D_{u}0$ 得出.

(2) $D_{v}0\in OT_{B}$ 且

\[
G_{u} D_{v} 0 = \left\{ \begin{array}{l l} \{0 \} \cup G_{u} 0 & (u \leq v) \\ \emptyset & (u > v) \end{array} \right.
\]

\[
\begin{array}{l} = \left\{ \begin{array}{l l} \{0 \} \cup \emptyset & (u \leq v) \\ \emptyset & (u > v) \end{array} \right. \\ \begin{array}{l l} = & \left\{ \begin{array}{l l} \{0 \} & (u \leq v) \\ \emptyset & (u > v) \end{array} \right. \\ < & D_{v} 0 \end{array} \\ \end{array}
\]

这可由 (OT3) 直接推导出来.

(3) 这可由 $0, D_{u}0 \in OT_{B}$ 直接推导出来.

(4) 利用数学归纳法证明, 对于任何 $m \in \mathbb{N}$ , 如果 $m < n$ , 则 $D_u^m 0 < D_u^n 0$ .

如果 m=0, 则 $D_{u}^{m}0=0<D_{u}^{n}0$ .

如果 $m > 0$ , 则根据归纳推理假设, $D_{u}^{m-1}0 < D_{u}^{n-1}0$ , 因此 $D_{u}^{m}0 = D_{u}D_{u}^{m-1}0 < D_{u}D_{u}^{n-1}0 = D_{u}^{n}0$ .

特别地, $\{D_{u}^{m}0\mid m\in N\land m<n\}<D_{u}^{n}0$ .

我们通过对 n 进行数学归纳推理证明, $G_{u}D_{u}^{n}0=\{D_{u}^{m}0\mid m\in\mathbb{N}\wedge m<n\}$ 且 $D_{u}^{n}0\in OT_{B}$ .

如果 $n = 0$ , 则 $G_{u}D_{u}^{n}0 = G_{u}0 = \emptyset = \{D_{u}^{m}0\mid m\in \mathbb{N}\wedge m < n\}$ 且 $D_{u}^{n}0 = 0\in OT_{\mathrm{B}}$ .

设 n > 0.

根据归纳假设, $G_{u}D_{u}^{n-1}0=\{D_{u}^{m}0\mid m\in\mathbb{N}\wedge m<n-1\}$ 且 $D_{u}^{n-1}0\in OT_{B}$ .

\[
\begin{array}{c} G_{u} D_{u}^{n} 0 = \left\{D_{u}^{n-1} 0 \right\} \cup G_{u} D_{u}^{n-1} 0 = \left\{D_{u}^{m} 0 \mid m \in \mathbb {N} \wedge m < n \right\} . D_{u}^{n-1} 0 \in O T_{\mathrm{B}}, G_{u} D_{u}^{n-1} 0 = \\ \left\{D_{u}^{m} 0 \mid m \in \mathbb {N} \wedge m < n-1 \right\} < D_{u}^{n-1} 0, \text {以及} D_{u}^{n} 0 \in O T_{\mathrm{B}} . \end{array}
\]

'''定理 129''' Trans 保持其标准形式.

对于任何 $M \in ST_{PS}$ , $Trans(M) \in OT_{B}$ .

证明：

下文中, 我们使用序数项的基本示例, 不做任何限制.

设 $k_{0} := \min\{k \in N \mid M \in S_{k} T_{PS}\}$ .

我们通过对 $k_{0}$ 进行数学归纳法证明这一点.

设 $k_{0}=0$ .

存在唯一的 $(u,v)\in\mathbb{N}^{2}$ 使得 $u\leq v$ 且 $M=((j,j))_{j=u}^{v}$ .

如果 u = v = 0, 则根据 Trans 的定义, $\mathrm{Trans}(M) = 0 \in OT_{\mathrm{B}}$ .

若 u = v > 0, 则根据 Trans 的定义, $\mathrm{Trans}(M) = D_{u}0 \in OT_{\mathrm{B}}$ .

若 u < v, 则根据公差 $(1,1)$ 的对序列 Trans 的基本性质, $\mathrm{Trans}(M[n]) = D_{u}D_{v}0 \in OT_{\mathrm{B}}$ .

令 $k_{0} > 0$ .

设 $N \in S_{k_{0}-1}T_{PS}$ 和 $n \in N_{+}$ , 令 $M = N[n]$ .

根据归纳假设, $\mathrm{Trans}(N)\in OT_{\mathrm{B}}$ .

对于任意 $m \in \mathbb{N}$ , $\mathrm{Trans}(N)[m]$ 和 $\mathrm{Trans}(N)[0]^m$ 均为序数项.

若 $\operatorname{Pred}(N) = M$ , 则由于 $\operatorname{Pred}$ 与[0]的关系, 存在某个 $k \in \mathbb{N}$ 使得 $\operatorname{Trans}(M) = \operatorname{Trans}(N)[0]^k$ , 因此 $\operatorname{Trans}(M)$ 为序数项. 下文中, 我们假设 $\operatorname{Pred}(N) \neq M$ .

由于 $N[1] = \text{Pred}(N) \neq M = N[n]$ , 且 n > 1.

根据标准形式的可约性, N 可约. 由于可约性和系数之间的关系, N 满足条件 (A) 和 (B).

由于 $((0,0))[n] = ((0,0))\in S_0T_{\mathrm{B}}$ 且 $k_{0} > 0$ , $N\neq ((0,0))$ . 因此, $N$ 是单项的或复项的.

设 N 是单项的.

设 Trans 的递归定义中引入的符号为 N 的定义.

设 $t_{1}=0$ .

由于 Trans 保持零项式性质, $\mathrm{Pred}(N)$ 是零项式的. 因此, $j_{1}=1$ 且 $N_{1,0}=0$ . 由于 N 是单项的, 且满足条件 (A) 和 (B), 因此 $N=((0,0),(1,0))$ 或 $N=((0,0),(1,1))$ .

若 $N = ((0,0),(1,0))$ , 则 $M = N[n] = ((0,0))_{j = 0}^{n-1}$ , 因此由公差为 $(0,0)$ 的对序列Trans的基本性质可知, $\mathrm{Trans}(M) = (D_00)\times (n-1)\in OT_{\mathrm{B}}$ .

设 $N = ((0,0),(1,1))$ , 则 $M = N[n] = ((j,0))_{j = 0}^{n-1}$ , 因此, 由 $n > 1$ 且公差 $(1,0)$ 的对序列的Trans的基本性质可知, $\mathrm{Trans}(M) = D_0^n 0\in OT_{\mathrm{B}}$ .

设 $t_{1} \neq 0$ .

由于 Trans 是零项式的, 因此 Pred(N) 不是零项式的.

设 N 满足条件 (I).

设 $j_{1}=1$ .

由于 $\operatorname{Pred}(N)$ 不是零项, 且 $N$ 满足条件 (A) 和 (B), 因此存在唯一的 $u \in \mathbb{N}$ 使得 $u > 0$ 且 $N = ((u, u), (u+1, 0))$ .

由于 $M = N[n] = ((u, u))_{j=0}^{n-1}$ , 对于公差为 $(0, 0)$ 的对序列, Trans 的基本性质意味着 $\mathrm{Trans}(N[n]) = (D_u 0) \times n \in OT_{\mathrm{B}}$ .

如果 $j_{1} > 1$ , 则 $\mathrm{Trans}(M) = \mathrm{Trans}(N[n]) = \mathrm{Trans}(N)[n-1] \in OT_{\mathrm{B}}$ , 根据条件(I)下Trans与基本列的对易关系(1).

设 N 满足条件 (II).

设 $m_{n} := n-1$ 或 $m_{n} := n-2$ , 取决于 $P(t_{2})_{J_{1}}$ 的左端是否为 $D_{N_{1,j_{0}}}$ .

由于 N 是单项的, $(0,0) \leq_{N}(0,j_{1})$ , 但由于 0 是 N 容许的, $(0,0) <_{N}^{\text{Next}}(0,j_{1})$ 不成立. 因此, $j_{1} > 1$ .

由于 $n > 1$ , $m_n \geq 0$ . 因此, 在条件 (II) 下, 根据 Trans 与基本列的对易关系 (2), $\mathrm{Trans}(M) = \mathrm{Trans}(N[n]) = \mathrm{Trans}(N)[m_n] \in OT_{\mathrm{B}}$ .

假设 N 满足条件 (III) 或 (IV).

由于 $\operatorname{Pred}(N) \neq M = N[n]$ , 存在唯一的 $j_{-2} \in \mathbb{N}$ 使得 $(1, j_{-2}) <_{N}^{\text{Next}} (1, j_1)$ . $N_{1,j_0} \geq N_{1,j_1}$ 意味着 $(1, j_0) <_{N}^{\text{Next}} (1, j_1)$ 不成立, 因此 $j_{-2} < j_0 < j_1$ . 因此, $j_1 > 1$ , 且根据条件 (III) 或 (IV) 下基本列的基本性质, 有以下成立：

(1) $M = N[n] = N[n+1][1]^{j_1-j-2}$ .

(2) $\mathrm{Trans}(N)[n-1] = \mathrm{Trans}(N[n+1][1]^{j_1-1-j_{-2}})$ .

特别地, 由于 $\operatorname{Pred}(N[n+1][1]^{j_1-1-j_{-2}}) = M$ , 且 $\operatorname{Trans}(N[n+1][1]^{j_1-1-j_{-2}})$ 为序数项, 因此 $\operatorname{Pred}$ 和[0] 之间的关系意味着存在某个 $k \in \mathbb{N}$ , 使得 $\operatorname{Trans}(M) = \operatorname{Trans}(N[n+1][1]^{j_1-1-j_{-2}})[0]^k = \operatorname{Trans}(N)[n-1][0]^k$ . 因此, 根据[Buc1] 引理 3.3, $\operatorname{Trans}(M)$ 为序数项.

设 N 满足条件 (V).

如果 $j_{0}$ 为 M-可接受的, 则令 $m_{n} := n-1$ .

如果 $j_{0}$ 不为 M-可接受的, 则令 $m_{n} := n$ .

根据 $j_{1} > j_{0}+1 \geq 1$ 和条件 (V) 下基本列的 scb 分解, 存在唯一的 $u \in \mathbb{N}$ 、 $(s_0', b_0') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 和 $t' \in T_{\mathrm{B}}$ 使得：

(1) $(s_{0}^{\prime},D_{u}t_{2},b_{0}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(M[n])$ 的scb分解.

(2) $(s_0', D_u(t_2+D_{M_{1,j_0}}0), b_0')$ 是 $\mathrm{Trans}(M)[m_n]$ 的 scb 分解.

因此, 由于序数项的最后一个单项式湮灭的可能性, 存在某个 $k \in N$ 使得 $\mathrm{Trans}(M) = \mathrm{Trans}(N[n]) = \mathrm{Trans}(N)[m_n][0]^k$ , 因此, 根据[Buc1] 引理 3.3, $\mathrm{Trans}(M)$ 为序数项.

令 N 满足条件 (VI).

令 $j_{1}=1$ .

由于 $\operatorname{Pred}(N)$ 不是零项, 且 $N$ 满足条件 (A) 和 (B), 因此存在唯一的 $u \in \mathbb{N}$ 使得 $u > 0$ 且 $N = ((u, u), (u+1, u+1))$ .

由于 $N[n]=((u+j,u))_{j=0}^{n-1}$ , 由公差 $(1,0)$ 的对序列 Trans 的基本性质可知, $\mathrm{Trans}(N[n]) = D_{u}^{n}0 \in OT_{\mathrm{B}}$ .

令 $j_{1} > 1$ .

如果 $j_{0}$ 是 M 可接受的, 则令 $m_{n} := n-2$ .

如果 $j_{0}$ 不是 M 可接受的, 则令 $m_{n} := n-1$ .

由于 $n > 1$ , $m_n \geq 0$ , 因此, 根据 Trans 与条件 (VI) 下基本列的交换关系 (2), $\mathrm{Trans}(M) = \mathrm{Trans}(N[n]) = \mathrm{Trans}(N)[m_n] \in OT_{\mathrm{B}}$ .

令 N 为复合项.

令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(N))-1$ .

由于 P 的每个分量都是非复合的, 因此 $J_{1} > 0$ . 由于 $\mathrm{Pred}(N) \neq M = N[n]$ , $\mathrm{Lng}(P(N)_{J_{1}}) > 1$ . 因此, 由 P 与基本列 (2) 的关系可知, $P(M) = P(N[n]) = (P(N)_{J})_{J=0}^{J_{1}-1} \oplus_{T_{\mathrm{PS}}} P(P(N)_{J_{1}}[n])$ .

令 $J_{0} := \mathrm{Lng}(P(P(N)_{J_{1}}[n]))-1$ .

映射

\[
\begin{array}{l} \mathrm{PTrans}: P T_{\mathrm{PS}} \rightarrow T_{\mathrm{B}} \\ M^{\prime} \mapsto \mathrm{PTrans} (M^{\prime}) \\ \end{array}
\]

定义如下:

如果 $M'$ 为零项, 则 PTrans( $M'$ ) = $D_{0}0$ .

如果 $M'$ 不是零项, 则 $\mathrm{PTrans}(M') = \mathrm{Trans}(M')$ .

令 $a_{0} := (\text{Trans}(P(N)_{0})) \oplus_{T_{\mathrm{B}}} (\text{PTrans}(P(N)_{J})_{J=1}^{J_{1}-1})$ .

令 $a_1 := (\mathrm{PTrans}(P(P(N)_{J_1}[n])_{J'})_{J'=0}^{J_0}$ .

令 $a_2 := (\text{Trans}(P(P(N)_{J_1}[n])_0)) \oplus_{T_\text{B}} (\text{PTrans}(P(P(N)_{J_1}[n])_{J'})^{J_0}_{J'=1}$ .

由于 P 的每个分量都是非复项的, 因此 Trans 保持零项式性质, 而 Trans 保持单项式性质, 因此 $a_{0}$ 、 $a_{1}$ 和 $a_{2}$ 的每个分量均为 0 或单项式, 且 0 仅出现在左端. 根据 Trans 的递归定义, 对于任意 $M' \in RT_{PS} \cap MT_{PS}$ , 设 $J_{1}' := \mathrm{Lng}(M')-1$ ,

\[
\mathrm{Trans} (M^{\prime}) = \mathrm{Trans} (P (M^{\prime})_{0})+\Sigma_{\mathrm{B}} (\mathrm{PTrans} (P (M^{\prime})_{J}))_{J = 1}^{J_{1}^{\prime}-1}+\mathrm{PTrans} (P (M^{\prime})_{J_{1}^{\prime}})
\]

具体而言,

\[
\mathrm{Trans} (N) = \Sigma_{\mathrm{B}} a_{0}+\mathrm{PTrans} (P (N)_{J_{1}})
\]

\[
\mathrm{Trans} (M) = \Sigma_{\mathrm{B}} (a_{0} \oplus_{T_{\mathrm{B}}} a_{1})
\]

\[
\mathrm{Trans} (P (N)_{J_{1}}[n]) = \Sigma_{\mathrm{B}} a_{2}
\]

这表明 $a_{0} \oplus_{T_{B}} a_{1}$ 的每个分量都是序数项.

由于 $\mathrm{Lng}(P(N)_{J_{1}})>1$ , 因此 $P(N)_{J_{1}}$ 不是零项. 此外, 由于 P 的每个分量都是非复项的, $P(N)_{J_{1}}$ 也不是复项项, 所以它是单项. 由于 Trans 是单项的, 所以 $\mathrm{Trans}(P(N)_{J_{1}})$ 也是单项的.

由于 $P(N)_{J_1}$ 不是零项, 所以 $\mathrm{PTrans}(P(N)_{J_1}) = \mathrm{Trans}(P(N)_{J_1})$ . 因此, $\mathrm{Trans}(N) = \Sigma_{\mathrm{B}}a_0+\mathrm{Trans}(P(N)_{J_1})$ . $\mathrm{Trans}(N)$ 是序数项, 因此由Buchholz序数符号系统的递归定义可知, $a_0$ 和 $\mathrm{Trans}(P(N)_{J_1})$ 的每个分量均为序数项, 而从 $a_0 \oplus_{T_{\mathrm{B}}}$ 的分量中去掉0得到的 $PT_{\mathrm{B}}$ 值数组 $(\mathrm{Trans}(P(N)_{J_1}))$ 为降序.

由于标准形式的单项分量即为标准形式, $P(N)_{J_{1}}\in S_{k_{0}-1}T_{\mathrm{PS}}$ ,因此 $P(N)_{J_{1}}[n]\in S_{k_{0}}T_{\mathrm{PS}}$ .

由于 $\mathrm{Lng}(P(N)_{J_{1}})>1$ 且这是标准形式, 基本列的下降性质意味着 $\Sigma_{\mathrm{B}}a_{2}=\mathrm{Trans}(P(N)_{J_{1}}[n])<\mathrm{Trans}(P(N)_{J_{1}})$ . 因此, $a_{2}$ 的每个分量都小于 $\mathrm{Trans}(P(N)_{J_{1}})$ .

如果 $P(N)_{J_1}[n] \in S_{k_0-1}T_{\mathrm{PS}}$ , 那么根据归纳假设, Trans $(P(N)_{J_1}[n])$ 是一个序数项.

如果 $P(N)_{J_1}[n] \in S_{k_0-1}T_{\mathrm{PS}}$ 不成立, 则 $k_0 = \min \{k \in \mathbb{N} \mid P(N)_{J_1} \in S_kT_{\mathrm{PS}}\}$ , 因此 $P(N)_{J_1}$ 为单项项, 所以 $\operatorname{Trans}(P(N)_{J_1}[n])$ 为序数项.

因此, 无论哪种情况, $\mathrm{Trans}(P(N)_{J_{1}}[n])$ 都是序数项.

由于 $\mathrm{Trans}(P(N)_{J_{1}}[n])$ 为序数项, 且 $\mathrm{Trans}(P(N)_{J_{1}}[n]) = \Sigma_{\mathrm{B}}a_{2}$ , 根据 Buchholz 序数符号系统的递归定义, $a_{2}$ 的每个分量都是序数项, 从 $a_{2}$ 的分量中剔除 0 后得到的 $PT_{B}$ 值数组按降序排列. 由于 0 为序数项, 因此 $a_{1}$ 的每个分量也是序数项.

由此可知, $a_{0}\oplus_{T_{B}}a_{1}$ 的每个分量都是序数项.

我们证明, 通过从 $a_{0} \oplus_{T_{B}} a_{1}$ 的分量中排除 0 得到的 $PT_{B}$ 值数组是降序的.

设 $a_{2}$ 的分量为 0.

只有 $a_{2}$ 最左边的分量为 0, 因此 $P(P(N)_{J_{1}}[n])_{0}$ 为零项.

设 $J_{2} := \mathrm{Lng}(P(P(N)_{J_{1}}[n]))-1$ .

设 $J_{2}=0$ .

\[
a_{1} = (D_{0} 0) .
\]

由于 $a_2$ 中唯一一个分量0小于 $\mathrm{Trans}(P(N)_{J_1})$ , 且 $D_00$ 大于0, 即 $D_00 \leq \mathrm{Trans}(P(N)_{J_1})$ . 由于从 $a_0 \oplus_{T_\mathrm{B}} (\mathrm{Trans}(P(N)_{J_1}))$ 的分量中排除0得到的 $PT_\mathrm{B}$ 值数组是降序的, 因此从 $a_0 \oplus_{T_\mathrm{B}} a_1$ 的分量中排除0得到的 $PT_\mathrm{B}$ 值数组也是降序的.

令 $J_{2} > 0$ .

由于 $P(N)_{J_{1}}$ 的单项性和非二元性与基本列的关系, $P(P(N)_{J_{1}}[n])$ 的每个分量同样都是零项. 因此, $a_{1}=(D_{0}0)_{J=0}^{J_{2}}$ , $a_{2}=(0)\oplus_{T_{\mathrm{B}}}(D_{0}0)_{J=1}^{J_{2}}$ .

由于 $a_2$ 的每个分量都小于 $\mathrm{Trans}(P(N)_{J_1})$ , 因此, $D_00 < \mathrm{Trans}(P(N)_{J_1})$ . 也就是说, $a_1$ 的每个分量也小于 $\mathrm{Trans}(P(N)_{J_1})$ . 由于从 $a_0 \oplus_{T_\mathrm{B}} (\mathrm{Trans}(P(N)_{J_1}))$ 的分量中去掉 0 得到的 $PT_\mathrm{B}$ 值数组是降序的, 因此从 $a_0 \oplus_{T_\mathrm{B}} a_1$ 的分量中去掉 0 得到的 $PT_\mathrm{B}$ 值数组也是降序的.

假设 $a_{2}$ 不包含 0 作为分量.

由于 Trans 保持零项性质, 因此 $P(P(N)_{J_{1}}[n])$ 的分量中没有一个是零项, 因此 $a_{1}=a_{2}$ . 特别地, $a_{1}$ 是降序的, 且 $a_{1}$ 的每个分量都小于 $\mathrm{Trans}(P(N)_{J_{1}})$ .

由于从 $a_{0} \oplus_{T_{\mathrm{B}}} (\mathrm{Trans}(P(N)_{J_{1}}))$ 的分量中去掉 0 得到的 $PT_{B}$ 值数组是降序的, 因此从 $a_{0} \oplus_{T_{B}} a_{1}$ 的分量中去掉 0 得到的 $PT_{B}$ 值数组也是降序的.

由上可知, $\mathrm{Trans}(M) = \Sigma_{\mathrm{B}}(a_0 \oplus_{T_{\mathrm{B}}} a_1)$ 是按降序排列的序数项之和. 因此, 根据序数项的递归定义, $\mathrm{Trans}(M)$ 是一个序数项.

证毕.

现在, 让我们回到正题.

标准形式对序列系统终止性的证明：

$(OT_{B},<)$ 是良基的. 因此, 数学归纳法可以应用于 $(OT_{B},<)$ .

对于任何 $t \in OT_{B}$ , 我们通过对 t 进行数学归纳证明：“对于任何 $M \in ST_{PS}$ 和 $n \in N_{+}$ , 如果 $\mathrm{Trans}(M) = t$ , 则 $(M, n) \in \mathrm{Dom}(F)$ ”.

由于标准形式的可约性, M 是可约的.

设 t = 0.

由于 Trans 具有可约性, 因此 M 也是可约的. 因此, $\mathrm{Lng}(M)=1$ , 根据 F 的定义, $(M,n)\in\mathrm{Dom}(F)$ .

假设存在唯一的 $v \in N_{+}$ 使得 $t = D_{v}0$ .

由于 Trans 与不可数基数的关系, $M = ((v, v))$ .

由于 $\mathrm{Lng}(M)=1$ , 根据 F 的定义, $(M,n)\in\mathrm{Dom}(F)$ .

假设不存在唯一的 $v \in N_{+}$ 使得 $t = D_{v}0$ , 且 t > 0.

由于 1-序列对序列的基本性质、Trans 保持零项性质, 以及 Trans 与不可数基数的关系, $\mathrm{Lng}(M) > 1$ .

由于基本列的下降性质, $\operatorname{Trans}(M[n]) < \operatorname{Trans}(M) = t$ . 由于 $M$ 为标准形式, 且由于标准形式的递归定义, $M[n]$ 也为标准形式, Trans 保持标准形式, 因此 $\operatorname{Trans}(M[n])$ 为序数项. 因此, 根据归纳假设, $(M[n], n) \in \operatorname{Dom}(F)$ .

由于 $F_{M}$ 与基本列的关系, $(M, n) \in \mathrm{Dom}(F)$ .

证毕.

至此, 我们给出了 PSS 序列停机性的证明.

== 参考资料 ==

PSS的良序性

2026-08-14T15:33:27Z

Tabelog：

我们给出 P 進大好き bot 关于 PSS（即两行 BMS）良序性的证明。<ref>P 進大好き bot. Introduction to the Termination of Pair Sequence System[EB/OL]. 2018. https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:P%E9%80%B2 %E5%A4%A7%E5%A5%BD%E3%81%8Dbot/Introduction_to_the_Termination _of_Pair_Sequence_System.</ref><ref>P 進大好き bot. ペア数列の停止性[EB/OL]. 2018. https://googology.fandom.com/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83% 96%E3%83%AD%E3%82%B0:P%E9%80%B2%E5%A4%A7%E5%A5%BD%E3%81 %8Dbot/%E3%83%9A%E3%82%A2%E6%95%B0%E5%88%97%E3%81%AE%E5% 81%9C%E6%AD%A2%E6%80%A7.</ref><math></math>

证明终止性的方法概要如下:

1. 引入标准形式（比通常意义上的标准形式更宽）的概念，并引入更广泛的约化概念。

2. 定义一个称为约化 Red 的运算，用于处理不一定可约的对序列。

3. 定义一个从非正规对序列到 Buchholz 符号系统的映射 Trans，并使用 Red 将该定义扩展至不一定可约的对序列。

4. 定义一个映射 Mark，用于计算 Trans 的子串。

5. 证明 Mark 可以用对序列子序列的 Trans 来计算。

5.1. 这使得可以使用原始对序列子序列的 Trans 来计算对序列的 Trans 的子串。
5.2. 由于非真对序列的子序列不一定可约，因此即使只对非真对序列感兴趣，也必须使用不可约的对序列。
5.3. 由于将不一定是标准形式的对序列替换为标准形式的操作未知，因此即使只对标准形式感兴趣，也必须使用非标准形式的对序列。

6. 比较对序列的展开规则和在 Trans 下像的基本列。

6.1. 这表明，在 Trans 下，标准形式对序列的像决定了 Buchholz 序数项。
6.2. 此外，由于 Buchholz 序数项相对于标准全序是良基的，并且基本列相对于该全序下降，因此标准形式对序列系统的终止性成立。

注意，当用命题 $P(n), Q(n)$ （对于 $n \in N$ ）来证明 “对于任意 $n \in N, P(n) \rightarrow Q(n)$ ” 时，通过对 n 进行数学归纳法，如果 $P(0)$ 不成立，则 $P(0) \rightarrow Q(0)$ 成立，因此只需证明 “对于任意 $n \in N$ ，若 $P(n) \rightarrow Q(n)$ 成立，则 $P(n+1) \rightarrow Q(n+1)$ 成立” 即可。不过，为了帮助读者理解，本文还会考察使 $P(n_{0})$ 成立的最小 $n_{0} \in N$ ，并证明 $Q(n_{0})$ 。

下面给出证明的完整过程。

令 N 表示所有非负整数的集合， $N_{+}$ 表示所有正整数的集合。

对于类 $A$ ，如果存在 $n \in \mathbb{N}$ 使得 $a \in A^n$ ，则集合 $a$ 为一个 $A$ 值数组。由于这样的 $n$ 对于 $a$ 是唯一的，我们将其表示为 $\operatorname{Lng}(a)$ 。当 $\operatorname{Lng}(a) = 0$ 时，除非 $A$ 中存在任何歧义，否则我们将 $a$ 表示为 ( )。对于每个 $i \in \mathbb{N}$ 使得 $i < \operatorname{Lng}(a)$ ，我们将 $a$ 的第 $i$ 个分量表示为 $a_i \in A$ 。

对于每个 $i_0, i_1 \in \mathbb{N}$ 使得 $i_0 \leq i_1$ ，并且对于每个 $A$ 值函数 $f$ ，其定义域包括 $\{i \in \mathbb{N} \mid i_0 \leq i \leq i_1\}$ ，令 $(f(i))_{i-i_0}^{i_1}$ 为 $A$ 值数组，其长度为 $i_1-i_0+1$ ，如果对于任何 $i \in \mathbb{N}$ ， $i \leq i_1-i_0$ ，则第 i 个元素为 $f(i_0+i)$ 。对于每个 $i_0, i_1 \in \mathbb{N}$ 和每个 $A$ 值函数 $f$ ，使得 $i_0 \leq i_1$ 不成立或 $\{i \in \mathbb{N} \mid i_0 \leq i \leq i_1\}$ 不包含在 $f$ 的定义域内，令 $(a_i)_{i-i_0}^{i_1} := ()$ 。

对于类 A，令 $A^{<\omega}$ 为所有 A 值数组的类，令 $A^{<\omega}$ 上的二元运算

\[
\oplus_{A}: (A^{< \omega})^{2} \rightarrow A^{< \omega}, \tag {21.67}
\]

\[
(a, b) \mapsto a \oplus_{A} b. \tag {21.68}
\]

定义如下:

1. $j_{0} := \text{Lng}(a)-1$ 。
2. 令 $j_{1} := j_{0}+\mathrm{Lng}(b)$ 。
3. 对于每个 $j \in N$ ，且 $j \leq j_{0}$ ，令 $c_{j} := a_{j}$ 。
4. 对于每个 $j \in \mathbb{N}$ , 且 $j_0 < j \leq j_1$ , 令 $c_j = b_{j-j_0-1}$ 。
5. $a \oplus_{A} b := (c_{j})_{j=0}^{j_{1}}$

映射

\[
\bigoplus_{A}: (A^{< \omega})^{< \omega} \to A^{< \omega} \tag {21.69}
\]

\[
a \mapsto \bigoplus_{A} a \tag {21.70}
\]

以如下方式递归定义:

1. 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(a)-1$ 。
2. 如果 $j_{1} = -1$ ，则 $\bigoplus_{A} a := ()$ 。
3. 如果 $j_{1}=0$ ，则 $\bigoplus_{A}a:=a_{0}$ 。
4. 如果 $j_{1} > 0$ ，则 $\bigoplus_{A} a := \left( \bigoplus_{A} (a_{i})_{i=0}^{j_{1}-1} \right) \oplus_{A} a_{j_{1}}$ 。

当指示满足某些条件的序列的唯一存在时，如果唯一性紧接着从字符串的末尾或开头进行的比较，则可以省略唯一性的存在。

如果集合 M 是一个 $N^{2}$ 值数组，且非 (), 则称集合 M 为对序列。设 $\mathrm{Idx}(M)$ 为所有对 $(i,j)$ 的集合，其中 $i \in \{0,1\}$ 且 $j \in N$ 小于 $\mathrm{Lng}(M)$ 。对于每个 $(i,j) \in \mathrm{Idx}(M)$ ，令 $(M_{j})_{i}$ 为 $M_{i,j}$ 。

设 $T_{PS}$ 为所有对序列的集合。

令 $M \in T_{\mathrm{PS}}$ 。我们同时递归地定义 $<_{M}^{\mathrm{Next}}$ 和 $\leq M$ 在 $\mathbb{Z}^2$ 上的二元关系，如下所示。

1. 对于 $(i_0, j_0), (i_1, j_1) \in \mathbb{Z}^2$ , $(i_0, j_0) < \frac{\text{Next}}{M} (i_1, j_1)$ 满足:

1.2. $i_{0}=i_{1}$
1.3. $j_{0} < j_{1}$ 。
1.4. $M_{i_0,j_0} < M_{i_1,j_1}$

1.1. $(i_{0}, j_{0}), (i_{1}, j_{1}) \in \mathrm{Idx}(M)$ 。

1.5. 如果 $i_0 = 0$ ，则对于任意 $j \in \mathbb{N}$ ，如果 $j_0 < j < j_1$ ，则 $M_{0,j} \geq M_{0,j_1}$ 。

1.6. 如果 $i_0 = 1$ ，则 $(0, j_0) \leq_M (0, j_1)$ ；对于任意 $j \in \mathbb{N}$ ，如果 $j_0 < j$ 且 $(0, j) \leq M(0, j_1)$ ，则 $M_{1,j} \geq M_{1,j_1}$ 。

2. $(i_{0},j_{0})\leq_{M}(i_{1},j_{1})$ 表示:

2.1. $(i_{0}, j_{0}), (i_{1}, j_{1}) \in \mathrm{Idx}(M)$ 。
2.2. $i_{0}=i_{1}$

2.3. 存在某个 $a \in N^{<\omega}$ 使得 $J := \mathrm{Lng}(a)-1$ 满足:

2.1. $a \neq ()$ 。
2.2. $a_{0}=j_{0}$
2.3. 对于任意 $k \in \mathbb{N}$ ，若 $k < J$ ，则 $(i_0, a_k) <_{M}^{\mathrm{Next}}(i_1, a_{k+1})$ 。
2.4. $a_{J}=j_{1}$

'''定理 1''' 父项存在判定条件:

对于任意 $M \in T_{PS}$ 和 $j_{0}, j_{1} \in N$ ，若 $j_{0} < j_{1} < \mathrm{Lng}(M)$ ，则有：

<nowiki>(1) 若 $M_{0,j_0} < M_{0,j_1}$ , 则存在某个 $j \in \mathbb{N}$ 使得 $j_0 \leq j < j_1$ 且 $(0,j) < \frac{\text{Next}}{M}(0,j_1)$ 。 </nowiki>

(2) 若 $M_{1,j_0} < M_{1,j_1}$ 且 $(0,j_0) \leq_M (0,j_1)$ ，则存在某个 $j \in \mathbb{N}$ 使得 $j_0 \leq j < j_1$ 且 $(1,j) < _M^{Next}(1,j_1)$ 。

<nowiki>(3) 若满足条件 “对于任意 $j \in N$ ，若 $j_{0} < j \leq j_{1}$ ，则 $M_{0,j_{0}} < M_{0,j}$ ”，则 $(0,j_{0}) \leq M(0,j_{1})$ 。 </nowiki>

<nowiki>(4) 若条件 “对于任意 $j \in N$ ，若 $j_{0} < j$ 且 $(0, j) \leq_{M} (0, j_{1})$ 则 $M_{1,j_{0}}(0, j_{0}) \leq_{M} (0, j_{1})$ 。然后， $(1, j_{0}) \leq M(1, j_{1})$ 。</nowiki>

证明：

<nowiki>(1) 假设存在最大值 $j \in \mathbb{N}$ 使得 $j < j_1$ 且 $M_{0,j} < M_{0,j_1}$ ，且极大值 $j_0 \leq j < j_1$ 且 $(0,j) < _M^{\mathrm{Next}} (0,j_1)$ 。 </nowiki>

<nowiki>(2) 假设存在最大值 $j \in \mathbb{N}$ 使得 $M_{1,j} < M_{1,j_1}$ 且 $(0,j) \leq M(0,j_1)$ ，且极大值 $j_0 \leq j < j_1$ 或 $\supset (1,j) < _M^{\text{Next}}(1,j_1)$ 。 </nowiki>

<nowiki>(3) 根据假设和 (1)，存在 $j \in \mathbb{N}$ 使得 $j_0 \leq j < j_1$ 且 $(0, j) <_{M}^{\text{Next}} (0, j_1)$ 。因此，通过对 $j_1$ 的数学归纳法可知。 </nowiki>

<nowiki>(4) 根据假设和 (2)，存在 $j \in \mathbb{N}$ 使得 $j_0 \leq j < j_1$ 且 $(1, j) < \frac{\text{Next}}{M}(1, j_1)$ 。因此，通过对 $j_1$ 的数学归纳法可知。</nowiki>

证毕。

'''定理 2''' 父项的基本性质：

对于任意 $M \in T_{\mathrm{PS}} j_0, j, j_1 \in \mathbb{N}$ ，如果 $j_0 < j \leq j_1$ ，则以下成立：

<nowiki>(1) 如果 $(0,j_{0})<\frac{Next}{M}(0,j_{1})$ ，则 $M_{0,j}\geq M_{0,j_{1}}$ 。 </nowiki>

<nowiki>(2) 如果 $(1,j_{0})<_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ 且 $(0,j)\leq M(0,j_{1})$ ，则 $M_{1,j}\geq M_{1,j_{1}}$ 。</nowiki>

证明：

<nowiki>(1) 假设上述假设不成立，则推导出矛盾。根据假设，存在 $j_0, j, j_1 \in \mathbb{N}$ 使得 $j_0 < j \leq j_1$ 且 $(0, j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}} (0, j_1)$ 和 $M_{0,j} < M_{0,j_1}$ 。由于在这样的 $(j_0, j, j_1)$ 组合中 $j < \mathrm{Lng}(M)$ ，因此存在一个组合 $(j_0, j, j_1)$ 使得 $j$ 最大，我们称该组合为 $(j_0', j', j_1')$ 。从 $j'$ 的极大性出发，若对任意 $j \in \mathbb{N}$ ， $j'j \leq j_1'$ ，则 $M_{0,j} \geq M_{0,j_1'}$ 。因此， $(0, j') <_{M}^{\mathrm{Next}} (0, j_1')$ ，这与 $j_0'j'$ 矛盾。 </nowiki>

<nowiki>(2) 假设这不成立，则得出矛盾。假设存在 $j_0, j, j_1 \in \mathbb{N}$ 使得 $j_0 < j \leq j_1$ 且 $(1, j_0) < _M^{\text{Next}}(1, j_1)$ 以及 $(0, j) \leq_M (0, j_1)$ 和 $M_{1,j} < M_{1,j_1}$ 。由于在这样的 $(j_0, j, j_1)$ 组合中 $j < \text{Lng}(M)$ ，因此存在一个组合 $(j_0, j, j_1)$ 使得 $j$ 最大化，我们称这个组合为 $(j_0', j', j_1')$ 。根据 $j'$ 的极大性，对于任意 $j \in \mathbb{N}$ ，若 $j'j \leq j_1'$ 且 $(0, j) \leq M(0, j_1')$ ，则 $M_{1,j} \geq M_{1,j_1'}$ 。因此， $(1, j') < _M^{\text{Next}}(1, j_1')$ ，这与 $j_0'j'$ 矛盾。</nowiki>

证毕。

'''定理 3''' 直系祖先的基本性质：

对于任意 $M \in T_{PS}$ 和 $j_{0}, j, j_{1} \in N$ ，如果 $j_{0} < j \leq j_{1}$ ，则以下成立：

<nowiki>(1) 如果 $(0,j_{0})\leq_{M}(0,j_{1})$ ，则 $M_{0,j_{0}}<M_{0,j}$ 。 </nowiki>

<nowiki>(2) 如果 $(1,j_{0})\leq_{M}(1,j_{1})$ 且 $(0,j)\leq_{M}(0,j_{1})$ ，则 $M_{1,j_{0}}<M_{1,j}$ 。</nowiki>

证明：根据父元素的基本性质，通过对 $\leq M$ 定义中的 J 进行数学归纳法，可直接得出。证毕。

'''定理 4''' 直系祖先树的构造:

对于任意 $M \in T_{PS}$ 和 $j_{0}^{\prime}, j, j_{1}^{\prime} \in N$ ，有：

(1) 若 $(0,j_{0}^{\prime})\leq_{M}(0,j_{1}^{\prime})$ 且 $j_{0}^{\prime}\leq j\leq j_{1}^{\prime}$ ，则 $(0,j_{0}^{\prime})\leq_{M}(0,j)$ 。

(2) 若 $(1, j_0') \leq_M (1, j_1')$ 且 $j_0' \leq j$ 且 $(0, j) \leq M(0, j_1')$ , 则 $(1, j_0') \leq M(1, j)$ 。

证明：

（1）由判定父项存在的条件（3）和直系祖先的基本性质（1）直接推出。

(2) 由判定父项存在的条件 (4) 和直系祖先的基本性质 (2) 直接推出。

证毕。

映射

\[
\text {Pred:} T_{\mathrm{PS}} \rightarrow T_{\mathrm{PS}} \tag {21.71}
\]

\[
M \mapsto \operatorname{Pred} (M) \tag {21.72}
\]

按照如下方式定义:

1. 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1$ 。
2. 如果 $j_{1}=0$ ，则 $\mathrm{Pred}(M):=M$ 。
3. 如果 $j_{1} > 0$ ，则 $\mathrm{Pred}(M) := (M_{j})_{j=0}^{j_{1}-1}$ 。

虽然我们还没有给出序数符号系统的结构，但是 Pred 对应于对 $\emptyset$ 取 $\emptyset$ 的运算和对一个后继序数取最大元素的运算。

映射

\[
\text {Derp:} T_{\mathrm{PS}} \rightarrow T_{\mathrm{PS}} \cup \left\{\left(\right)\right\} \tag {21.73}
\]

\[
M \mapsto \operatorname{Derp} (M) \tag {21.74}
\]

按照如下方式递归定义:

1. 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1$ 。

2. 令 $\mathrm{Derp}(M) := (M_j)_{j=1}^{j_1}$ 。

Derp 与序数运算无关，但为了方便起见，我们只会在定义一个名为 Red 的映射时使用一次，该映射稍后会介绍。

映射

\[
\text {operator}[]: T_{\mathrm{PS}} \times \mathbb {N}_{+} \rightarrow T_{\mathrm{PS}} \tag {21.75}
\]

\[
(M, n) \mapsto M[n] \tag {21.76}
\]

按照如下方式递归定义:

1. 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1$ 。

2. 如果 $j_{1}=0$ ，则 $M[n]:=M$ 。

3. 令 $j_{1} > 0$ 。

<nowiki>3.1. 如果 $M_{j_{1}}=(0,0)$ ，则 $M[n]:=\mathrm{Pred}(M)$ 。 </nowiki>

<nowiki>3.2. 令 $M_{j_{1}} \neq (0,0)$ 。 </nowiki>

3.2.1. 令 $i_1 := \max \{i \in \{0, 1\} \mid M_{i,j_1} > 0\}$ 。

<nowiki>3.2.2. 如果不存在唯一的 $j_0 \in \mathbb{N}$ 使得 $(i_1, j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(i_1, j_1)$ ，则 $M[n]</nowiki> := \mathrm{Pred}(M)$ 。

<nowiki>3.2.3. 假设存在唯一的 $j_0 \in \mathbb{N}$ 使得 $(i_1, j_0) < \frac{\text{Next}}{M} (i_1, j_1)$ 。 </nowiki>

3.2.3.1. 对于每个 $i \in N$ 使得 $i < i_{1}$ ，令 $\delta_{i} <nowiki>:= M_{i,j_{1}}-M_{i,j_{0}}$ 。</nowiki>

3.2.3.2. 对于每个满足 $i \geq i_{1}$ 的 $i \in N$ ，设 $\delta_{i} := 0$ 。

3.2.3.3. 设 $G <nowiki>:= (M_{j})_{j=0}^{j_{0}-1} \in T_{\mathrm{PS}}$ 。 </nowiki>

3.2.3.4. $B <nowiki>:= (((M_{0,j}+k\delta_0, M_{1,j}+k\delta_1))_{j=j_0}^{j_1-1})_{k-0}^{n-1} \in T_{\mathrm{PS}}^n$</nowiki>

3.2.3.5. $M[n] := (G \oplus \mathbb{N}^{2}(\bigoplus_{\mathbb{N}^{2}} B))$ 。

我们尚未给出序数符号系统的结构，但 operator[] 对应于给出[] 的 $\emptyset$ 、给出后继序数的最大元素以及给出极限序数的基本列的运算。

'''定理 5''' 对于任意 $M \in T_{PS}$ ，若 $\mathrm{Lng}(M) > 1$ ，则 $\mathrm{Pred}(M) = M[1]$ 。

证明：由 operator[] 的定义可知。证毕。

映射 $f:\mathbb{N}_{+}\to \mathbb{N}_{+}$ 是固定的。主要有 $f(n) = n+1$ 或 $f(n) = n^{2}$ 。

在 $T_{PS} \times N_{+}$ 上递归定义部分映射

\[
F: (M, n) \mapsto F_{M} (n) \tag {21.77}
\]

如下：

1. 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1$ 。

2. 如果 $j_{1}=0$ ，则 $F_{M}(n):=f(n)$ 。

3. 令 $j_{1} > 0$ 。

3.1. 如果 $M_{j_1} = (0,0)$ ，则 $F_M(n) := F_{\mathrm{Pred}(M)}(f(n))$ 。

3.2. 令 $M_{j_{1}} \neq (0,0)$ 。

3.2.1. 令 $i_1 := \max \{i \in \{0, 1\} \mid M_{i,j_1} > 0\}$ 。[4]。

3.2.2. 如果不存在唯一的 $j_0 \in \mathbb{N}$ 使得 $(i_1, j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(i_1, j_1)$ ，则 $F_M(n) := F_{\mathrm{Pred}(M)}(f(n))$ 。

3.2.3. 如果存在唯一的 $j_{0} \in N$ 使得 $(i_{1}, j_{0}) < \underset{M}{\text{Next}}(i_{1}, j_{1})$ ，则 $F_{M}(n) := F_{M[n]}(f(n))$ 。

由于对序列本身最初被定义为一个称为对序列数字的单个数字，因此即使 Bashicu 矩阵的版本固定，对序列系统的概念也会因人而异。以上只是一个例子，但本文所展示的内容基本上适用于任何对序列的解释，因此请注意，这个公式本身并没有什么深刻的含义。

设 F 的定义域为 $\mathrm{Dom}(F) \subset T_{\mathrm{PS}} \times \mathbb{N}_{+}$ 。

'''定理 6''' $F_{M}$ 和基本列的关系。

对于任意 $(M,n)\in T_{\mathrm{PS}}\times\mathbb{N}_{+}$ ，以下等价：

(1) $(M, n) \in \mathrm{Dom}(F)$ 。

(2) $(M[n],n)\in\mathrm{Dom}(F)$ 。

(3) $(M,n)\in\mathrm{Dom}(F)$ 且 $(M[n],n)\in\mathrm{Dom}(F)$ 且 $F_{M}(n)=F_{M[n]}(n)$ 。

证明：直接由 Pred 中 operator[] 的定义以及 F 的递归定义得出。证毕。

为了证明后面定义的对序列标准形式的终止性，我们研究了对序列的基本操作和性质，为定义从对序列到 Buchholz 符号系统的翻译映射 Trans 做准备。

映射

\[
\text {IncrFirst:} T_{\mathrm{PS}} \rightarrow T_{\mathrm{PS}} \tag {21.78}
\]

\[
M \mapsto \operatorname{IncrFirst} (M) \tag {21.79}
\]

定义如下

1. 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1$ 。

2. 令 IncrFirst $(M):=((M_{0,j}+1,M_{1,j}))_{j=0}^{j_1}$ 。

'''定理 7''' ≤ M IncrFirst 不变性。

对于任意 $(M,n)\in T_{\mathrm{PS}}\times\mathbb{N}_{+}$ ，以下等价：

对于任何 $M \in T_{PS}, \leq M$ 和 $\leq IncrFirst(M)$ 相等。

证明：由 $\leq M$ 的定义即得。证毕。

令 $M \in T_{PS}$ 。

1. 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1$ 。

2. 如果满足以下条件，则 M 为必要项：

2.1. $j_{1}=0$ 。

2.2. $M_{1,0} = 0$ 。

3. 如果满足以下条件，则 $M$ 为单项项：

3.1. M 为非必要项。

3.2. $(0,0) \leq_{M} (0,j_{1})$ 。

4. 如果满足以下条件，则 M 为复项：

4.1. M 为非必要项。

4.2. M 为非单项项。

<nowiki>5. 令 $ZT_{\mathrm{PS}} \subset T_{\mathrm{PS}}$ 为所有单项对序列的子集。 </nowiki>

6. 令 $PT_{PS} \subset T_{PS}$ 为所有单项对序列的子集。

7. 令 $MT_{PS} \subset T_{PS}$ 为所有复项对序列的子集。

'''定理 8''' 复项的判定条件。

对于任意 $M \in T_{PS}$ ，以下等价：

(1) M 不是复项。

(2) 对于任意 $j \in \mathbb{N}$ , 若 $0 < j < \mathrm{Lng}(M)$ , 则 $M_{0,0} < M_{0,j}$ 。

(3) $(0,0) \leq M(0,j_1)$ 。

证明：

(2) 和 (3) 的等价性由父项存在性准则 (3) 和直系祖先的基本性质 (1) 得出。

如果 (1) 成立，则 $\mathrm{Lng}(M) = 1$ 或 $(0,0) \leq M(0,j_0)$ ，因此，由直系祖先的基本性质 (1) 可知 (2) 成立。

如果 (2) 成立，则若 $\mathrm{Lng}(M)=1$ ，则 M 不是复合项；若 $\mathrm{Lng}(M)>1$ ，则由父项存在性准则 (3) 可知 $(0,0)\leq_{M}(0,j_{1})$ ，因此 M 是单项项，因此 (1) 成立。

证毕。

'''定理 9''' 单项性前段的遗传性。

对于任何 $M \in PT_{\mathrm{PS}}$ 和 $j_0 \in \mathbb{N}$ ，如果 $0 < j_0 < \mathrm{Lng}(M)$ 则 $(M_j)_{j=0}^{j_0}$ 是单项的。

证明：根据单项的定义，可以立即得出复项的条件。证毕。

'''定理 10''' 单项性直系祖先前段的遗传性。

对于任何 $M \in T_{\mathrm{PS}}$ 和 $j_0', j_1' \in \mathbb{N}$ ，如果 $j_0' j_1'$ 且 $(0, j_0') \leq M(0, j_1')$ 则 $(M_j)_{j-j_0'}^{j_1'}$ 是单项的。

证明：设 $M' := (M_j)_{j=j_0'}^{j_1'}$ 。若对于任意 $j \in \mathbb{N}$ ，满足 $0 < j \leq j_1'-j_0'$ ，则根据直接祖先的基本性质 (1) 及 $(0, j_0') \leq M(0, j_1')$ ， $M_{0,0}' = M_0, j_0'M_{0,j_0'+j} = M_{0,j}'$ 。因此，根据判断父项存在的条件 (3)， $(0, 0) \leq M'(0, j_1'-j_0')$ 。由于 $\mathrm{Lng}(M') = j_1'-j_0' > 0$ ， $M'$ 不是单项。由上可知， $M'$ 是单项。

证毕。

映射

\[
P: T_{\mathrm{PS}} \to T_{\mathrm{PS}}^{< \omega} \tag {21.80}
\]

\[
M \mapsto P (M) \tag {21.81}
\]

递归定义如下:

1. 如果 M 是项或单项，则 $P(M):=(M)$ 。

2. 令 M 为复合项。

1. 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1$ 。

2. 令 $j_0 := \min \{ j \in \mathbb{N} \mid 0 < j \leq j_1 \land (0, j) \leq_M (0, j_1)\}$ 。

3. 令 $P(M) <nowiki>:= P\left((M_j)_{j=0}^{j_0-1}\right) \oplus T_{\mathrm{PS}}(M_j)_{j=j_0}^{j_1}$ 。 </nowiki>

根据 P 的递归定义， $P(M) \neq ()$ 。

'''定理 11''' P 的 IncrFirst 同变性。

对于任意 $M \in T_{PS}$ ，令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(M))-1$ ，则 $P(\mathrm{IncrFirst}(M)) = (\mathrm{IncrFirst}(P(M)_{J}))_{J=0}^{J_{1}}$ 。

证明：由 $\leq M$ 的 IncrFirst 不变性立刻得到。证毕。

'''定理 12''' P 各成分的非复项性。

对于任意 $M \in T_{PS}$ ，以下成立：

(1) $P(M)$ 的每个分量要么是零项的，要么是单项的。

(2) M 为复项的当且仅当 $\mathrm{Lng}(P(M)) > 1$ 。

证明：由 $P$ 的递归定义可知，通过对 $\mathrm{Lng}(M)$ 的数学归纳法可得。证毕。

'''定理 13''' P 的加法性。

对于任意 $M \in T_{\mathrm{PS}}$ 和 $j_0 \in \mathbb{N}$ , 令 $j_1 := \mathrm{Lng}(M)-1$ , 令 $0 < j_0 \leq j_1$ , 且对于任意 $j \in \mathbb{N}$ , 若 $j < j_0$ , 则 $M_{0,j} \geq M_{0,j_0}$ 。然后 $P(M) = P((M_j)_{j=0}^{j_0-1}) \oplus T_{\mathrm{PS}}P((M_j)_{j=j_0}^{j_1})$ 。

证明：设 $j_{0}^{\prime} := \min\left\{j \in \mathbb{N} \mid (0, j) \leq_{M} (0, j_{1})\right\}$ 。

对于任意 $j \in \mathbb{N}$ ，若 $j < j_0$ ，则 $M_{0,j} \geq M_{0,j_0}$ 。因此，根据直系祖先元素的基本性质 (1)， $0 < j_0 \leq j_0'$ 。因此，根据 $P$ 的定义， $P(M) = P\left((M_j)_{j=0}^{j_0'-1}\right) \oplus \mathbb{N}^2\left((M_j)_{j=j_0'}^{j_1}\right)$ 且 $P\left((M_j)_{j=j_0'}^{j_1}\right) = \left((M_j)_{j=j_0'}^{j_1}\right)$ ，所以 $P(M) = P\left((M_j)_{j=0}^{j_0'-1}\right) \oplus \mathbb{N}^2P\left((M_j)_{j=j_0'}^{j_1}\right)$ 。

根据 $j_0'$ 的定义以及判断父节点存在的条件，对于任意 $j \in \mathbb{N}$ ，如果 $j < j_0'$ ，则 $M_{0,j} \geq M_{0,j_0'}$ 。

这可以通过对 $j_{0}^{\prime}-j_{0}$ 和 $j_{0}$ 的词汇顺序进行数学归纳法来证明。

设 $j_{0}^{\prime}-j_{0}=0$ 。有

\[
P (M) = P \left((M_{j})_{j = 0}^{j_{0}^{\prime}-1}\right) \oplus_{\mathbb {N}^{2}} P \left((M_{j})_{j = j_{0}^{\prime}}^{j_{1}}\right) = P \left((M_{j})_{j-0}^{j_{0}-1}\right) \oplus_{\mathbb {N}^{2}} P \left((M_{j})_{j = j_{0}}^{j_{1}}\right). \tag {21.82}
\]

令 $j_{0}^{\prime}-j_{0}>0$ 。

由归纳法的假设

\[
P \left((M_{j})_{j = 0}^{j_{0}-1}\right) = P \left((M_{j})_{j = 0}^{j_{0}-1}\right) \oplus T_{\mathrm{PS}} P \left((M_{j})_{j = j_{0}}^{j_{0}^{\prime}-1}\right), \tag {21.83}
\]

和

\[
P \left((M_{j})_{j = j_{0}}^{j_{1}}\right) = P \left((M_{j})_{j = j_{0}}^{j_{0}^{\prime}-1}\right) \oplus_{T_{\mathrm{PS}}} P \left((M_{j})_{j-j_{0}^{\prime}}^{j_{1}}\right), \tag {21.84}
\]

因此

\[
\begin{array}{l} P (M) = P \left((M_{j})_{j = 0}^{j_{0}^{\prime}-1}\right) \oplus \mathbb {N}^{2} P \left((M_{j})_{j = j_{0}^{\prime}}^{j_{1}}\right) \\ = P \left((M_{j})_{j = 0}^{j_{0}-1}\right) \oplus T_{\mathrm{PS}} P \left((M_{j})_{j = j_{0}}^{j_{0}-1}\right) \oplus \mathbb {N}^{2} P \left((M_{j})_{j = j_{0}^{\prime}}^{j_{1}}\right) \tag {21.85} \\ = P \left((M_{j})_{j = 0}^{j_{0}-1}\right) \oplus \mathbb {N}^{2} P \left((M_{j})_{j = j_{0}}^{j_{1}}\right). \\ \end{array}
\]

证毕。

'''定理 14''' P 的基本列关系。

对于任意 $M \in T_{PS}$ 和 $n \in N_{+}$ ，令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(M))-1$ ，且以下成立：

<nowiki>(1) 若 $\mathrm{Lng}(P(M)_{J_{1}})=1$ ，则 $M[n]=\mathrm{Pred}(M)$ ，且进一步，取决于 $J_{1}=0$ 是否成立， $P(M[n])(M[n])=(P(M[n])=(P(M)_{J})_{J=0}^{J_{1}-1}$ 。 </nowiki>

<nowiki>(2) 若 $\mathrm{Lng}(P(M)_{J_{1}})>1$ 则 $M[n]=\left(\bigoplus_{\mathbb{N}^{2}}(P(M)_{J})_{J=0}^{J_{1}-1}\right)\oplus_{\mathbb{N}^{2}}P(M)_{J_{1}}[n]$ 且 $P(M[n])=(P(M)_{J})_{J=0}^{J_{1}-1}\oplus_{T_{\mathrm{PS}}}P(P(M)_{J_{1}}[n])$ 。</nowiki>

证明：

(1) 由算子 $\square$ 的定义以及单项对初始段的遗传性可直接得出。

(2) 由 $P$ 的递归定义可直接得出, 因为 $(P(M)_{J_1})_0 = P(M)_{J_1}[n]_0$ 。

'''定理 15''' 非复项性与基本列的关系。

对于任意 $M \in T_{\mathrm{PS}}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ , 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1$ 。如果 $M$ 不是复合项, 则以下成立:

<nowiki>(1) 如果 $(0,0)<_{M}^{Next}(0,j_{1})$ 且 $M_{1,j_{1}}=0$ ，则 $P(M[n])(\mathrm{Pred}(M))_{k=0}^{n-1}$ 。 </nowiki>

<nowiki>(2) 如果 $(0,0) < \frac{Next}{M}(0,j_{1})$ 或 $M_{1,j_{1}} > 0$ ，则 $P(M[n]) = (M[n])$ 。</nowiki>

证明：

(1) $M[n] = \bigoplus_{\mathbb{N}^2} (\operatorname{Pred}(M))_{k=0}^{n-1}$ , 且由于单项对初始段的遗传性, $\operatorname{Pred}(M)$ 不是复合项。因此, 由 $P$ 的可加性, 可由 $n$ 的数学归纳法得出。

(2) $M$ 不是复合项，因此根据复合性准则，若对任意 $j \in \mathbb{N}$ ， $0 < j \leq j_1$ ，则 $M[n]_{0,0} = M_{0,0} < M_{0,j}$ 。

如果 $(0,0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_1)$ 不成立且 $M_{1,j_1} = 0$ ，则若对于任意 $j\in \mathbb{N}$ ， $0 < j < \mathrm{Lng}(M[n])$ 则 $M[n]_{0,j}$ 是 $(M_{0,j})_{j = 1}^{j_1}$ 的分量，因此 $M[n]_{0,0}M[n]_{0,j}$ 。

如果 $M_{1,j_1} > 0$ ，则对于任意 $j\in \mathbb{N}$ ，若 $0 < j < \mathrm{Lng}(M[n])$ ，则 $M[n]_{0,j}$ 为 $(M_{0,j})_{j = 1}^{j_1}$ 的任意分量与一个小于 $n$ 的自然数之和，即 $M[n]_{0,0} < M[n]_{0,j}$ 。

因此，无论哪种情况，根据复合项， $M[n]$ 都不是复合项；根据 P 各分量的非项性（2），有 $P(M[n]) = (M[n])$ 。

证毕。

设 $M \in T_{PS}$ 且 $j \in N$ 。

1. 设 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M)$ 。

2. 如果满足以下任一条件，则称 j 为 M-不容许的：

2.1. $j > j_{1}$ 。

<nowiki>2.2. $(1,j-1) <_{M}^{\text{Next}} (1,j) <_{M}^{\text{Next}} (1,j+1)$ 。 </nowiki>

3. 如果 j 不是 M-不容许的，则称 j 为 M-不容许的。

4. 设 $\mathbb{N}_M \subset \mathbb{N}$ 为所有 $M$ -不容许的自然数的子集。

'''定理 16''' 容许性切片的遗传性。

对于任意 $M \in T_{\mathrm{PS}}$ 和 $j_0', j_0, j_1' \in \mathbb{N}$ , 令 $j_1 := \mathrm{Lng}(M)-1$ , 令 $j_0' \leq j_0 \leq j_1' \leq j_1$ , 且令 $N := (M_j)_{j = j_0'}^{j_1'}$ , 则下列等价: (1) $j_0$ 为 $M$ -容许的或 $j_0' = j_0$ 或 $j_0 = j_1'$ 。(2) $j_0-j_0'$ 为 $N$ -容许的。

证明: 若 $j_{0}^{\prime}=j_{0}^{\prime}$ 或 $j_{0}=j_{1}^{\prime}$ 或 $j_{1}^{\prime}=j_{1}$ ，则根据容许性定义成立。以下设 $j_{0}^{\prime}<j_{0}<j_{1}^{\prime}<j_{1}$ 。 $j_{0}^{\prime}(1,j_{0}-1)<_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_{0})<_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_{0}+1)$ 不成立，且 $(1,j_{0}-j_{0}^{\prime}-1)<_{N}^{\mathrm{Next}}(1,j_{0}-j_{0}^{\prime})<_{N}^{\mathrm{Next}}(1,j_{0}-j_{0}^{\prime}+1)$ 不成立。因此， $j_{0}$ 的 M-容许性与 $j_{0}-j_{0}^{\prime}$ 的 N-容许性相同。

映射

\[
\mathrm{Adm}_{M}: T_{\mathrm{PS}} \times \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}_{M} \tag {21.86}
\]

\[
(M, j) \mapsto \mathrm{Adm}_{M} (j) \tag {21.87}
\]

定义如下:

1. 如果 j 是 M-容许的，则 $\mathrm{Adm}_{M}(j):=j$ 。
2. 如果 $j$ 不是 $M$ -容许的, 则令 $\mathrm{Adm}_M(j) := \max \{j' \in \mathbb{N}_M \mid j'j\}$ 。

'''定理 17''' 容许化切片的遗传性。

对于任意 $M \in T_{\mathrm{PS}}$ 和 $j_0', j_1' \in \mathbb{N}$ , 令 $j_1 := \mathrm{Lng}(M)-1$ , 令 $j_0' \leq \mathrm{Adm}_M(j_0)$ 且 $j_0 < j_1' \leq j_1$ , 且令 $N := (M_j)_{j = j_0}^{j_1'}$ , 则 $\mathrm{Adm}_N(j_0-j_0') = \mathrm{Adm}_M(j_0)-j_0'$ 。

证明： $\mathrm{Adm}_N(j_0-j_0') \leq j_0-j_0' < j_1-j_0'$ 和 $j_0' \leq \mathrm{Adm}_M(j_0) \leq j_0 < j_1$ ，并且由于容许性切片的遗传性， $\mathrm{Adm}_N(j_0-j_0')$ 和 $\mathrm{Adm}_M(j_0)-j_0'$ 是 $N$ 容许的，而 $\mathrm{Adm}_M(j_0)$ 是 $M$ 容许的。因此，由 $\mathrm{Adm}_N(j_0-j_0')$ 的极大化可知， $\mathrm{Adm}_N(j_0-j_0') \geq \mathrm{Adm}_M(j_0)-j_0'$ 。假设 $\mathrm{Adm}_M(j_0) < \mathrm{Adm}_N(j_0-j_0')+j_0'$ ，则矛盾。

根据 $\mathrm{Adm}_{M}\left(j_{0}\right)<\mathrm{Adm}_{N}\left(j_{0}-j_{0}^{\prime}\right)+j_{0}^{\prime}\leq\left(j_{0}-j_{0}^{\prime}\right)+j_{0}^{\prime}=j_{0},\left(1,\mathrm{Adm}_{N}\left(j_{0}-j_{0}^{\prime}\right)+j_{0}^{\prime}-1\right)<_{M}^{\mathrm{Next}}\left(1,\mathrm{Adm}_{N}\left(j_{0}-j_{0}^{\prime}\right)+j_{0}^{\prime}\right)$ ，有 $j_{0}^{\prime}\leq\mathrm{Adm}_{M}\left(j_{0}\right)<\mathrm{Adm}_{N}\left(j_{0}-j_{0}^{\prime}\right)+j_{0}^{\prime},\left(1,\mathrm{Adm}_{N}\left(j_{0}-j_{0}^{\prime}\right)-1\right)<_{N}^{\mathrm{Next}}\left(1,\mathrm{Adm}_{N}\left(j_{0}-j_{0}^{\prime}\right)\right)$ 。

因此，从 $\mathrm{Adm}_N(j_0-j_0')$ 的 $N$ 容许性可以看出， $(1, \mathrm{Adm}_N(j_0-j_0')) < _N^{\mathrm{Next}}(1, \mathrm{Adm}_N(j_0-j_0')+1)$ 不成立，但 $(1, \mathrm{Adm}_N(j_0-j_0')+j_0') < _M^{\mathrm{Next}}(1, \mathrm{Adm}_N(j_0-j_0')+j_0'+1)$ 不成立。同样， $\mathrm{Adm}_M(j_0) < \mathrm{Adm}_N(j_0-j_0')+j_0' \leq j_0$ ，因此 $\mathrm{Adm}_N(j_0-j_0')+j_0' = j_0$ 。然后，因为切片的容许是可遗传的，且 $j_0 < j_1$ ，所以 $j_0$ 是 $M$ 容许的， $\mathrm{Adm}_M(j_0) = j_0$ ，这与 $\mathrm{Adm}_M(j_0) < \mathrm{Adm}_N(j_0-j_0')+j_0' \leq j_0$ 相矛盾。

由上可知， $\mathrm{Adm}_{M}(j_{0})=\mathrm{Adm}_{N}(j_{0}-j_{0}^{\prime})+j_{0}^{\prime}$ 。

证毕。

令 $(M,m)\in T_{\mathrm{PS}}\times\mathbb{N}$ 。

1. 如果 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1$ 时满足以下条件，则 $(M, m)$ 为具有基点的对序列：

1.1. m 是 M 容许的。

1.2. $(0,m)\leq_{M}(0,j_{1})$

<nowiki>2. 令 $T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}} \subset T_{\mathrm{PS}} \times \mathrm{N}$ 为所有具有基点的对序列的子集。 </nowiki>

3. $RT_{PS}^{Marked} := \left\{(M, m) \in T_{PS}^{Marked} \mid M \in RT_{PS}\right\}$ 。

'''定理 18''' 基点切片的遗传性。

对任意 $(M, m) \in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ 和 $j_0', j_1' \in \mathbb{N}$ , 令 $j_1 := \mathrm{Lng}(M)-1$ , 则若 $j_0' \leq m \leq j_1' \leq j_1$ , 则 $\left((M_j)_{j=j_0'}^{j_1'}, m-j_0'\right) \in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ 。

证明：此结论可直接由直系祖先树 (1) 和容许片段的遗传性推导出来。证毕。

映射

\[
\mathrm{IdxSum:} T_{\mathrm{PS}}^{< \omega} \rightarrow \mathbb {N}^{< \omega} \tag {21.88}
\]

\[
Q \mapsto \mathrm{IdxSum} (Q) \tag {21.89}
\]

定义如下：1. 令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(Q)-1$ 。

2. 对于每个 $J \in \mathbb{N}$ , 且 $J \leq J_1+1$ , 递归定义 $j_J \in \mathbb{N}$ , 如下所示:

2.1. 如果 J = 0，则 $j_{J} := 0$ 。

2.2. 如果 J > 0，则 $j_{J} := j_{J-1}+\mathrm{Lng}(Q_{J-1})$ 。
3. $\mathrm{IdxSum}(Q):=(j_{J})_{J=0}^{J_{1}+1}$ 。

'''定理 19''' P 和 IdxSum 的关系。

对于任意 $M \in T_{\mathrm{PS}}$ 和 $J \in \mathbb{N}$ , 令 $J_1 := \mathrm{Lng}(P(M))-1$ , 则令 $j_0' := \mathrm{IdxSum}(P(M))_J$ , 其中 $J \leq J_1$ , 且令 $j_1' := \mathrm{IdxSum}(P(M))_{J+1}$ , 则 $P(M)_J = (M_j)_{j=j_0'}^{j_1'-1}$ 。

证明：这可直接由 IdxSum 的定义得出。证毕。

'''定理 20''' P 和 IdxSum 的合成特征。

对于任意 $M \in T_{PS}$ ，令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1$ 且 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(M))-1$ ，且下列条件成立：

<nowiki>(1) 对于任意 $J \in \mathbb{N}$ , 若 $J \leq J_1$ , 则不存在唯一的 $j_0 \in \mathbb{N}$ 使得 $(0, j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}} (0, \mathrm{IdxSum}(P(M))J)$ 。 </nowiki>

(2) 对于任意的 $j \in \mathbb{N}$ ，若不存在唯一的 $j \in \mathbb{N}$ 使得 $j \leq j_1$ 且 $(0, j_0) <_{M}^{Next}(0, j)$ ，则存在某个 $J \in \mathbb{N}$ 使得 $J \leq J_1$ 且 $j = \mathrm{IdxSum}(P(M))J$ 。

证明：这直接源于 P 的递归定义以及 P 与 IdxSum 之间的关系。证毕。

'''定理 21''' P 各成分左端的单调性。

对于任意 $M \in T_{\mathrm{PS}}$ 和 $J_0', J_1' \in \mathbb{N}$ , 令 $J_1 := \mathrm{Lng}(P(M))-1$ , 则若 $J_0' \leq J_1' \leq J_1$ , 则 $\left(P(M)_{J_0'}\right)_{0,0} \geq \left(P(M)_{J_1'}\right)_{0,0}$ 。

证明：根据 P 各分量的非复项性质，以及 P 与 IdxSum 的关系，对于任意 $j \in N$ ，如果 $j < \mathrm{IdxSum}(P(M))_{J_{1}^{\prime}}$ ，则 $(0, j) \leq_{M} (0, j_{J_{1}^{\prime}})$ 不成立。

因此，根据父存在性准则(1)，对于任意 $j\in \mathbb{N}$ ，如果 $j < j_{J_1^{\prime}}$ ，则 $M_{0,j}\geq M_{0,j_{J_1'}}$ 。因为 $J_0^\prime \leq J_1^\prime \leq J_1$ ， $\mathrm{IdxSum}(P(M))_{J_0'}\mathrm{IdxSum}(P(M))_{J_1'}$ ，则 $\left(P(M)_{J_0'}\right)_{0,0} = M_{0,j_{J_0'}}\geq M_{0,j_{J_1'}'} =$ $\left(P(M)_{J_1'}\right)_{0,0}$ 。证毕。

'''定理 22''' 切片单项成分与 $<_{M}^{Next}$ 的关系。

对于任意 $M \in PT_{\mathrm{PS}}$ 和 $j_0, J \in \mathbb{N}$ , 令 $j_1 := \mathrm{Lng}(M)-1$ , 令 $0 < j_0 \leq j_1$ , 令 $M' := (M_j)_{j=j_0}^{j_1}$ , 且令 $J_1 := \mathrm{Lng}(P(M'))-1$ 。然后, 若 $J \leq J_1$ , 则存在唯一的 $j \in \mathbb{N}$ 使得 $j < j_0$ 且 $(0, j) < _M^{Next}$ $(0, j_0+\mathrm{IdxSum}(P(M'))_J)$ 。

令 $j_{0}^{\prime} := j_{0}+\mathrm{IdxSum}(P(M^{\prime}))$ J，则有 $j_{0}^{\prime} \leq j_{0}+(j_{1}-j_{0}) = j_{1}$ 。

M 满足单项复项 $(0,0) \leq M(0,j_{0}^{\prime})$ ，且 $j_{0}^{\prime} \geq j_{0} > 0$ 满足 $M_{0,0} < M_{0,j_{0}^{\prime}}$ 。因此，根据判断父节点存在的条件 (1)，存在唯一的 $j \in N$ 使得 $(0,j) < \frac{\text{Next}}{M}(0,j_{0}^{\prime})$ 。

另一方面，根据 P 与 IdxSum 的关系以及 P 的定义，对于任意 $j \in N$ ，如果 $j_{0} \leq j \leq j_{0}^{\prime}$ ，则 $(0, j-j_{0}) \leq M^{\prime}(0, j_{0}^{\prime}-j_{0})$ 不成立，即 $(0, j) \leq_{M}(0, j_{0}^{\prime})$ 不成立。由上可知， $j < j_{0}$ 。

映射

\[
\mathrm{TrMax}: P T_{\mathrm{PS}} \to \mathbb {N} \tag {21.90}
\]

\[
M \mapsto \mathrm{Tr} \operatorname{Max} (M) \tag {21.91}
\]

\[
\mathrm{Br}: P T_{\mathrm{PS}} \rightarrow T_{\mathrm{PS}}^{< \omega} \tag {21.92}
\]

\[
M \mapsto \mathrm{Br} (M) \tag {21.93}
\]

\[
\text {FirstNodes:} P T_{\mathrm{PS}} \to \mathbb {N}^{< \omega} \tag {21.94}
\]

\[
M \mapsto \text {FirstNodes} (M) \tag {21.95}
\]

\[
\text {Joints:} P T_{\mathrm{PS}} \rightarrow \mathbb {N}^{< \omega} \tag {21.96}
\]

\[
M \mapsto \text {Joints} (M) \tag {21.97}
\]

定义如下:

<nowiki>1. $\operatorname{Tr}\operatorname{Max}(M):=\max\left\{j\in\mathbb{N}\mid\forall j^{\prime}\in\mathbb{N},(j^{\prime}j)\to\left((1,j^{\prime})<_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j^{\prime}+1)\right)\right\}$ 。 </nowiki>

2. 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1$ 。

3. 令 $j_{1}^{\prime} := \mathrm{Tr}\operatorname{Max}(M)$ 。

4. 若 $j_{1}^{\prime}=j_{1}$ ，则 $\mathrm{Br}(M):=()$ 。

5. 若 $j_1' j_1$ ，则 $\mathrm{Br}(M) := P\left((M_j)_{j = j_1'+1}^{j_1}\right)$ 。

6. 令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(M))-1$ 。

7. 第一个节点 $(M) := (\mathrm{TrMax}(M)+1+\mathrm{IdxSum}(\mathrm{Br}(M))_J)_{J=0}^{J_1+1}$ 。

<nowiki>8. 对于每个满足 $J \leq J_{1}$ 的 $J \in \mathbb{N}$ , 令 $a_{J}$ 为唯一的 $j \in \mathbb{N}$ , 且 $(0, j) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0, \mathrm{FirstNodes}(M)_{J})$ 。 </nowiki>

9. Joints(M) := (a\_J)\_{J=0}^{J\_1}。

根据 TrMax 的定义， $(1, \mathrm{TrMax}(M)) < \frac{\mathrm{Next}}{M}(1, \mathrm{TrMax}(M)+1)$ 并非如此，且 TrMax $(M) < \mathrm{Lng}(M)$ ，因此 TrMax $(M)$ 是 M 容许的。另外，根据 FirstNodes $(M)$ 的定义， $\mathrm{Br}(M) = \left((M_j)_{j = \text{FirstNodes } J(M)_{J=0}}^{\text{FirstNodes } J(M)_{J=0}^{J-1}}\right)_{J=0}^{J_1}$ 。

'''定理 23''' FirstNodes、TrMax 和 Joints 之间的关系。

对于任意 $M \in PT_{\mathrm{PS}}$ 和 $J \in \mathbb{N}$ , 令 $J_1 := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(M))-1$ , 则若 $J \leq J_1$ , 则 $Joints(M)_J \leq \mathrm{TrMax}(M) < \mathrm{FirstNodes}(M)_J$ 。

证明：这直接源于 TrMax、Br、FirstNodes 和 Joints 的定义，以及切片的单项分量与 $<_{M}^{Next}$ 之间的关系。

'''定理 24''' FirstNodes 和 Joints 的单调性。

对于任意 $M \in PT_{PS}$ 和 $J_{0}^{\prime}, J_{1}^{\prime} \in N$ ，令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(M))-1$ ，则若 $J_{0}^{\prime} < J_{1}^{\prime} \leq J_{1}$ ，则以下成立：

(1) 第一个节点 $(M)_{J_{0}^{\prime}} \leq \text{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}$ 。
(2) 关节 $(M)_{J_{0}^{\prime}} \geq \text{Joints}(M)_{J_{1}^{\prime}}$ 。
(3) $M_{0, \text{FirstNodes} (M)_{J_0'}} \geq M_{0, \text{FirstNodes} (M)_{J_1'}}$ 。
(4) 对于任何 $i \in \{0,1\}$ , $LM_{i,\text{Joints}(M)_{J_0'}} > M_{i,\text{Joints}(M)_{J_1'}}$ 。

证明：

(1) 和 (3) 可直接由 P 和 IdxSum 的定义得出。
(2) 和 (4) 可直接由 FirstNodes、TrMax 和 Joints 以及 (3) 之间的关系得出。
证毕。

'''定理 25''' 单项性切片的遗传性。

对于任意 $M \in PT_{\mathrm{PS}}$ 和 $j_0', j_1' \in \mathbb{N}$ , 令 $j_1 := \mathrm{Lng}(M)-1$ , 令 $J_1 := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(M))-1$ , 且令 $j_0' < j_1' \leq j_1$ , 令 $M' := (M_j)_{j = j_0'}^{j_1'}$ 。然后, 若 $j_0' \leq \mathrm{Joints}(M)_{J_1}$ , 则 $M'$ 为单项的。

令 $j_{0} := \mathrm{TrMax}(M)$ 。

$\mathrm{TrMax}\left(M^{\prime}\right)=j_{0}-j_{0}^{\prime}\quad\mathrm{Lng}\left(M^{\prime}\right)-1=j_{1}^{\prime}-j_{0}^{\prime}$

由于 $\mathrm{Lng}(M')-1 = j_1'-j_0' > 0$ ，我们可以证明，对于任意 $j\in \mathbb{N}$ ，若 $j\leq j_1'-j_0'$ ，则 $(0,0)\leq_{M'}(0,j)$ 。

如果 $j \leq \mathrm{TrMax}(M')$ ，则 $(1,0) \leq M'(1,j)$ ，因此 $(0,0) \leq M'(0,j)$ 。

于是 $j > \mathrm{TrMax}(M')$ 。

$j+j_{0}^{\prime}> \mathrm{TrMax}(M^{\prime})+j_{0}^{\prime}=j_{0}$ ，因此由于 FirstNodes 和 Joints 的单调性，存在唯一的 $J\in N$ 使得 $J\leq J_{1}$ 且 FirstNodes $(M)_{J}\leq j+j_{0}^{\prime}\mathrm{FirstNodes}(M)_{J+1}$ 。由于 P 的每个分量都具有非多重性， $\mathrm{Br}(M)_{J}$ 不是多重性，因此 $(0,0)\leq\mathrm{Br}(M)_{J}(0,j+j_{0}^{\prime}-\mathrm{FistNodes}(M)_{J})$ ，即 $(0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J})\leq M(0,j+j_{0}^{\prime})$ 。

由于 FirstNodes 和 Joints 的单调性，以及 FirstNodes、TrMax 和 Joints 之间的关系， $j_{0}^{\prime} \leq \text{Joints}(M)_{J_{1}} \leq \text{Joints}(M)_{J} \leq \text{TrMax}(M)$ ，因此 $(1, j_{0}^{\prime}) \leq M(1, \text{Joints}(M)_{J}) \circ (1, j_{0}^{\prime}) \leq_{M}(1, \text{Joints}(M)_{J})$ 和 $(0, \text{Joints}(M)_{J}) <_{M}^{\text{Next}}(0, \text{FirstNodes}(M)_{J})_{\text{and}}$ $(0, \text{FirstNodes}(M)_{J}) \leq M(0, j+j_{0}^{\prime})$ ，因此 $(0, j_{0}^{\prime}) \leq M(0, j+j_{0}^{\prime})$ ，即 $(0, 0) \leq M'(0, j)$ 。

于是我们得到了 $M'$ 的单项性。

证毕。

映射

\[
\text {Red:} T_{\mathrm{PS}} \rightarrow T_{\mathrm{PS}} \tag {21.98}
\]

\[
M \mapsto \operatorname{Red} (M) \tag {21.99}
\]

递归定义如下:

1. 如果 M 是名义函数，则 $\mathrm{Red}(M):=((0,0))$ 。

2. 令 $M$ 为单项函数。

2.1. 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1$ 。

2.2. 令 $M_{0}=(0,0)$ 。

2.2.1. 令 $j_1' := \mathrm{Tr} \operatorname{Max}(M)$ 。

2.2.2. 如果 $j_{1}^{\prime}=j_{1}$ ，则 $\mathrm{Red}(M):=(\left(j,j\right))_{j=M_{1,0}}^{M_{1,0}+j_{1}}$ 。

2.2.3. 令 $j_{1}^{\prime}<j_{1}$ 。

2.2.4. 令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(M))-1$ 。

2.2.5. 对于每个 $J \in \mathbb{N}$ , 且 $J \leq J_1$ , 定义 $n_J \in \mathbb{N} \cup \{-1\}$ 和 $N_J \in PT_{\mathrm{PS}}$ 如下:

2.2.5.1. 若 $(\mathrm{Br}(M)_{J})_{1,0}=0$ ，则 $n_{J}=-1$ 。

2.2.5.2. 若 $(\mathrm{Br}(M)_J)_{1,0} > 0$ ，则令 $n_J$ 为唯一的 $j \in \mathbb{N}$ ，满足 $(1,j) < \frac{\mathrm{Next}}{M} (1,\mathrm{FirstNodes}(M)_J)$ 。

2.2.5.3. $N_{J} := ((M_{0,0}+\mathrm{Joints}(M)_{J}+1, M_{1,0}+n_{J}+1)) \oplus \mathbb{N}^{2} \operatorname{Derp}\left(\mathrm{Br}(M)_{J}\right)$ .

2.2.6. $\operatorname{Red}(M):= ((j,j))_{j=0}^{j_1'}\oplus_{\mathrm{N}^2}\bigoplus_{\mathrm{N}^2}\left(\operatorname{IncrFirst}^{\operatorname{Joints}(M)_{J-n}n_J}(\operatorname{Red}(N_J))\right)_{J=0}^{J_1}$

2.3. 令 $M_{0} \neq (0,0)$ 。

2.3.1. 令 $M_{1,0} = 0$ 在[15] 中。

2.3.1.1. 令 $N := ((M_{0,j}-M_{0,0}, M_{1,j}))_{j=0}^{j_1}$ 。

2.3.1.2. 令 $\operatorname{Red}(M) := \operatorname{Red}(N)$ 。

2.3.2. 令 $M_{1,0} > 0$ 。

2.3.2.1. 令 $N := \operatorname{Red}\left(((j, j))_{j=0}^{M_{1,0}-1} \oplus_{\mathbb{N}^2} \operatorname{IncrFirst}^{M_{1,0}}(M)\right)$ 。

2.3.2.2. 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(N)-1$ 。

2.3.2.2.1. 若 $M_{1,0} \leq j_1$ 且 $(N_j)_{j=M_{1,0}}^{j_1} \in PT_{\mathrm{PS}} \operatorname{Red}(M) := \left( \left( N_{0,j}-N_{0,M_{1,0}}+N_{1,M_{1,0}}, N_{1,j} \right) \right)_{j=M_{1,0}}^{j_1}$ 。

2.3.2.2.2. 若 $M_{1,0} \leq j_{1}$ 且 $(N_{j})_{j=M_{1,0}}^{j_{1}} \in T_{\mathrm{PS}} \backslash PT_{\mathrm{PS}}$ ，则 $\mathrm{Red}(M) := M$ 。

2.3.2.2.3. 如果 $M_{1,0} > j_{1}$ ，则 $\mathrm{Red}(M) := M$ 。

3. 令 M 为复合项。

3.1. 令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(M))-1$ 。

3.2. $\operatorname{Red}(M) := \bigoplus_{\mathbb{N}^2} (\operatorname{Red}(P(M)_J))^{\mathcal{J}_1}_{J=0}$ 。

'''定理 26''' Red 的良定义性。

存在一个唯一的映射 Red 满足上述所有条件。

证明：

通过对 $\mathrm{Lng}(M)-\mathrm{TrMax}(M)$ 进行数学归纳，可知对 $\{M\in PT_{\mathrm{PS}}\mid M_{0}=(0,0)\}$ 存在唯一限制。

通过 Red 对 $T_{PS} \setminus \{M \in PT_{PS} \mid M_{0} = (0,0)\}$ 的定义，可知 $T_{PS}$ 存在唯一扩张。

证毕。

'''定理 27''' Red 的 IncrFirst 不变性。

对于任意的 $M \in T_{PS}$ ， $\mathrm{Red}(\mathrm{IncrFirst}(M)) = \mathrm{Red}(M)$ 。

证明：这直接由 Red 的递归定义得出。证毕。

'''定理 28''' Lng 的 Red 不变性。

对于任意的 $M \in T_{PS}$ ， $\mathrm{Lng}(\mathrm{Red}(M)) = \mathrm{Lng}(M)$ 。

证明：根据 Red 的递归定义，可直接通过 $\mathrm{Lng}(M)$ 的数学归纳法得到证明。证毕。

'''定理 29''' Red 零项性的保持。

对于任意 $M \in T_{PS}$ ，以下等价：

(1) M 为零项。

(2) Red(M) 为零项。

证明：Lng 的 Red 不变性可简化为 $\mathrm{Lng}(M)=1$ 的情况。如果 $\mathrm{Lng}(M)=1$ ，则可直接得出 Red 的递归定义。证毕。

'''定理 30''' P 和 Red 的同变性。

对于任意 $M \in T_{PS}$ ，令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(M))$ ，则 $P(\mathrm{Red}(M)) = (\mathrm{Red}(P(M)_{J}))_{J=0}^{J_{1}}$ 。

证明：根据 Red 的递归定义，可以立即得出其直接祖先 Red 的不变性。证毕。

'''定理 31''' 单项性和 Red 的关系。

对于任意 $M \in PT_{\mathrm{PS}}$ ，令 $N := \operatorname{Red}\left(((j, j))_{j=0}^{M_{1,0}-1} \oplus_{\mathbb{N}^2} \operatorname{IncrFirst}^{M_{1,0}}(M)\right)$ 且令 $j_1 := \operatorname{Lng}(N)-1$ ，则 $(N_j)_{j=M_{1,0}}^{j_1} \in PT_{\mathrm{PS}}$ 。

证明：

根据 N 的定义， $\mathrm{Lng}(M)=j_{1}-M_{1,0}+1$ ，且对于任意 $(i,j),(i',j')\in\mathbb{N}^{2}$ ，下列命题等价：

(1) $(i,j)\leq_{M}(i^{\prime},j^{\prime})$ 。

(2) $(i,j+M_{1,0})\leq N(i',j'+M_{1,0})$ 。

因此，它由直接祖先的 Red 不变量得出。

证毕。

'''定理 32''' Red 的幂等性。

对于任意 $M \in T_{PS}$ ， $\mathrm{Red}^{2}(M) = \mathrm{Red}(M)$ 。

证明：根据 Red 的的递归定义，可直接通过 $\mathrm{Lng}(M)$ 的数学归纳法得到证明。证毕。

'''定理 33''' Red 和 Pred 的可换性。

对于任意 $M \in T_{PS}$ ， $\text{Red}(\text{Pred}(M)) = \text{Pred}(\text{Red}(M))$ 。

证明：由 Red 的递归定义，通过对 $\mathrm{Lng}(M)$ 的数学归纳法可知。证毕。

'''定理 34''' Red 和基本列的可换性。

对于任意 $M \in T_{PS}$ 和 $n \in N_{+}$ ， $\operatorname{Red}(M)[n] = \operatorname{Red}(M[n])$ 。

证明：

设 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M_{1})-1$ 。通过对 $j_{1}$ 进行数学归纳法证明。

如果 $j_{1}=0$ ，则根据 Red 和运算符[] 的定义可直接得出。

设 $j_{1} > 0$ 。

如果 $(1,0) <_{M}^{\text{Next}} (1,j_1)$ 不成立，则根据 Red 和运算符[] 的递归定义可得出。

如果 $(1,0) <_{M}^{\mathrm{Next}} (1,j_1)$ ，则根据 Red 和 Pred 的交换性以及运算符[] 定义中使用的 B 的定义，通过对 $n$ 进行数学归纳法可得出。

证毕。

'''定理 35''' Red 对容许性的保持。

对于任意 $M \in T_{PS}$ ， $N_{M} = N_{\mathrm{Red}(M)}$ 。

证明：它直接源于其直系祖先的 Red 不变性。证毕。

'''定理 36''' 容许化的 Red 不变性。

对于任意 $M \in T_{PS}$ 和 $j \in N$ ， $\mathrm{Adm}_{M}(j) = \mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(M)}(j)$ 。

证明：它直接源于直系祖先的 Red 不变性以及 Red 的容许性。证毕。

'''定理 37''' Red 对基点的保持。

对于任意 $(M,m)\in T_{\mathrm{PS}}^{Marked}$ ， $(\mathrm{Red}(M),m)\in RT_{\mathrm{PS}}^{Marked}$ 。

证明：它直接源于直系祖先的 Red 不变性以及 Red 的容许性。证毕。

设 $M \in T_{PS}$ 。

1. 如果满足 $\mathrm{Red}(M)=M$ ，则称 M 可约。

2. 设 $RT_{PS} \subset T_{PS}$ 为所有约化对序列的子集。

即 $RT_{\mathrm{PS}} = \mathrm{Im}(\mathrm{Red})$ 。根据可约性定义可知， $RT_{\mathrm{PS}} \subset \mathrm{Im}(\mathrm{Red})$ ；根据 Red 的幂等性可知， $\mathrm{Im}(\mathrm{Red}) \subset RT_{\mathrm{PS}}$ 。

'''定理 38''' 简约性切片的遗传性。

对于任意 $M \in RT_{\mathrm{PS}}$ ，令 $j_1 := \mathrm{Lng}(M)-1$ ，则若对于任意 $j_0', j_1' \in \mathbb{N}, j_0' \leq \mathrm{Tr} \, \mathrm{Max}(M) \leq j_1' \leq j_1$ ，则 $(M_j)_{j = j_0'}^{j_1'}$ 可约。

证明：这直接源于 Red 的递归定义以及 Red 与 Pred 的交换性。证毕。

'''定理 39''' P 对可约性的保持。

对于任意 $M \in T_{PS}$ ，以下等价：

(1) M 是可约化的。
(2) $P(M)$ 的每个分量都是可约化的。

证明：这直接由 P 的 Red 等变性得出。证毕。

'''定理 40''' 基本列的可约性的保留。

对于任意 $M \in RT_{PS}$ 和 $n \in N_{+}$ ， $M[n] \in RT_{PS}$ 。

证明：这直接由 Red 的幂等性以及 Red 与基本列的交换性得出。证毕。

'''定理 41''' 可约性与系数的关系。

对于任意 $M \in T_{PS}$ ，令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1$ 。则 M 约化当且仅当：

(A) 对于任意 $i \in \{0,1\}$ 和 $j_1' \in \mathbb{N}$ ，若存在唯一的 $j_0' \in \mathbb{N}$ 使得 $(i,j_0') <_{M}^{Next} (i,j_1')$ ，则 $M_{i,j_0'}+1 = M_{i,j_1'}$ 。

(B) 对任意 $j_1' \in \mathbb{N}$ , 若不存在唯一的 $j_0' \in \mathbb{N}$ 使得 $(0, j_0') <_{M}^{Next}$ $(0, j_1')$ 且 $j_1' \leq j_1$ , 则 $M_{0, j_1'} = M_{1, j_1'}$ 。

我们准备了一些引理，为可约性和系数关系的证明做准备。

'''定理 42''' Red 与左端的关系。

对于任意 $M \in T_{PS}$ ，有以下成立：

(1) $\operatorname{Red}(M)_{1,0} = M_{1,0}$ 。

(2) 对于任意 $u, j_0 \in \mathbb{N}$ , 令 $j_1 := \mathrm{Lng}(M)-1$ 。若 $M$ 为单项函数, 且 $j_0 \leq j_1$ , 且 $(M_j)_{j=0}^{j_0} = ((j, j))_{j=u}^{j_0+u}$ , 则 $\mathrm{Red}(M)_{j_0} = (j_0+u, j_0+u)$ 。

证明：这直接由 Red 的递归定义得出。证毕。

'''定理 43''' 可约性与系数的基本性质。

对于任何 $M \in RT_{PS}$ 和 $j \in N$ ，如果 $j < \mathrm{Lng}(M)$ 则 $M_{0,j} \geq M_{1,j}$ 。

证明：根据 Red 的递归定义，可由 $\mathrm{Lng}(M)$ 的数学归纳法直接得出。证毕。

'''定理 44''' 可约性与左端的关系。

对于任何 $M \in RT_{\mathrm{PS}} \cap PT_{\mathrm{PS}}$ 和 $u \in \mathbb{N}$ ，如果 $u \leq M_{1,0}$ 则 $N := ((j, j))_{j=u}^{M_{1,0}-1} \oplus \mathbb{N}^2 M$ 并且 $N$ 是可约的并且是单项的。

证明：若 $M_{1,0} = u$ ，则 $N = M$ 。以下令 $M_{1,0} > u$ 。从Red与左端(2)的关系，以及Red的定义和Red的幂等性可知， $((j,j))_{j = 0}^{u-1}\oplus_{\mathbb{N}^2}N = ((j,j))_{j = 0}^{M_{1,0}-1}\oplus_{\mathbb{N}^2}M = ((j,j))_{j = 0}^{M_{1,0}-1}\oplus_{\mathbb{N}^2}$ $\operatorname {Red}(M) = \operatorname {Red}\left((j,j))_{j = 0}^{M_{1,0}-1}\right.$ ，以及 $(j,j))_{j = 0}^{u-1}\oplus_{\mathbb{N}^2}N = \operatorname {Red}\left((j,j))_{j = 0}^{u-1}\oplus_{\mathbb{N}^2}N\right) = ((j,j))_{j = 0}^{u-1}\oplus_{\mathbb{N}^2}$ $\operatorname {Red}(N)$ ，所以 $N = \operatorname {Red}(N)$ 。因此， $N$ 是可约的。

根据可约性和系数的基本性质， $u < M_{1,0} \leq M_{0,0}$ ，所以 $(0,0) \leq_{N} (0, u+M_{1,0})$ ，并且根据 M 的单项性，N 是单项的。

证毕。

'''定理 45''' 条件 (A) 与 (B) 和系数的基本性质。

对于任意 $M \in T_{PS}$ ，令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1$ 。如果 $M_{0} = (0, 0)$ 且 M 满足条件 (A)，则下列成立：

(1) 对于任意 $j \in \mathbb{N}$ , 如果 $j \leq j_1$ 则 $M_{0,j} \leq j$ 。

(2) 如果 $M$ 满足条件 $(B)$ ，则对于任意 $j \in \mathbb{N}$ ，如果 $j \leq j_1$ 则 $M_{0,j} \geq M_{1,j}$ 。

(3) 令 $i \in \{0,1\}$ ，且 $i = 0$ 或 $i = 1$ ，且 $M$ 满足条件 $(B)$ 。对于任意 $j \in \mathbb{N}$ ，若存在 $j_0', j_1' \in \mathbb{N}$ 使得 $(i, j_0') \leq_M (i, j_1')$ 且 $j_0' j_1' \leq j \leq j_1$ ，则 $M_{i,j} < j$ 。

证明：

<nowiki>（1）假设这不成立，我们得出一个矛盾。根据假设，存在 $j \in \mathbb{N}$ 使得 $j \leq j_1$ 且 $M_{0,j} > j$ 。如果我们将其最小值定义为 $j_0$ ，那么，根据 $M_{0,0} = 0 \leq j_0 < M_{0,j_0}$ 以及父代存在性准则(1)，存在唯一的 $j_0' \in \mathbb{N}$ 使得 $j_0 > 0$ 且 $(0,j_0') < _M^{\mathrm{Next}}(0,j_0)$ 。另一方面，由于 $j_0$ 的最小性，我们有 $M_{0,j_0'} \leq j_0'$ ，又因为 $M$ 满足条件(A)，我们有 $M_{0,j_0} = M_{0,j_0'}+1 = j_0'+1 \leq j_0$ ，这是一个矛盾。 </nowiki>

<nowiki>(2) 假设这不成立，我们得出一个矛盾。根据假设，存在 $j \in \mathbb{N}$ 使得 $j \leq j_1$ 且 $M_{0,j} < M_{1,j}$ 。如果我们定义它的最小值为 $j_0$ ，那么由于 $M$ 满足条件 (B)，存在唯一的 $j_0' \in \mathbb{N}$ 使得 $(0, j_0') < _M^{\text{Next}} (0, j_0)$ 。另一方面，由于 $j_0$ 最小， $M_{0,j_0'} \geq M_{1,j_0'}$ ，且 $M$ 满足条件 (A)， $M_{0,j_0} = M_{0,j_0'}+1 \geq M_{1,j_0'}+1$ 。</nowiki>

如果 $(1,j_0') < _M^{\mathrm{Next}}(1,j_0)$ ，则 $M$ 满足条件 (A)，因此 $M_{0,j_0} = M_{1,j_0'}+1 = M_{1,j_0}$ ，这与条件 (A) 矛盾。

如果 $(1,j_0') < _M^{\mathrm{Next}}$ （ $1,j_0$ ）不成立，则 $M_{1,j_0'} \geq M_{1,j_0}$ 意味着 $M_{0,j_0} = M_{1,j_0'}+1 > M_{1,j_0}$ ，这是一个矛盾。

(3) 由于 $M_0 = (0,0)$ 且 $j > 0$ ，因此存在唯一的 $J_1 \in \mathbb{N} \in \mathbb{N}^{<\omega}$ 使得：

\[
\mathrm{Lng} (a) = J_{1}+1 \text {。}
\]

不存在唯一的 $j' \in N$ 使得 $(i, j'-1) <_{M}^{\text{Next}} (i, a_{0})$ 。

对于任何 $J \in \mathbb{N}$ ，如果 $J < J_1$ 则 $(i, a_J) <_{M}^{\text{Next}} (i, a_{J+1})$ 。 $a_{J_1} = j$ 。根据 $j$ 的条件，存在 $j' \in \mathbb{N}$ 使得 $(1, j'-1) <_{M}^{\text{Next}} (1, j')$ 且 $j_0' < j' \leq j_1'$ 。因此， $a$ 是一个严格单调递增序列，且不包含 $j'$ 作为分量，所以 $J_1 < j$ 。由于 $M_{0,0} = 0$ ， $a_{0,0} = 0$ 。因此，如果 $i = 0$ ，则 $a_{i,0} = 0$ 。如果 $i = 1$ 且 $M$ 满足条件 (B)，则根据 (2)， $a_{i,0} = 0$ 。因此，两种情况下 $a_{i,0} = 0$ 。此外，由于 $M$ 满足条件 (A)， $M_{i,j} \leq a_{i,0}+J_1 < j$ 。

证毕。

现在回到主题，我们给出简约性与系数的关系的证明：

如果 $j_{1}=0$ ，则条件 (A) 恒为真，条件 (B) 成立的充分必要条件是 $M_{0,0}=M_{1,0}$ 。

因此，这由 Red 的定义得出。

设 M 为单项函数，且 $M_{1,0}=0$ 。

在这些条件下，我们利用数学归纳法，先跳到 $j_{1}$ ，证明 $M$ 的可约性等价于 $M$ 满足条件 (A) 和 (B)。

设 $j_{1}=1$ 。

在这种情况下， $(0,0)<_{M}^{\text{Next}}(0,1)$ 。

如果 $(1,0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(1,1)$ ，则 $M_{1,0} < M_{1,1}$ ，且条件(A)等价于 $M_1 = (M_{0,0}+1, M_{1,0}+1)$ ，条件(B)等价于 $M_{0,0} = M_{1,0}$ ，因此这符合Red的定义。

如果 $(1,0) <_{M}^{\mathrm{Next}} (1,1)$ 不成立，则 $M_{1,0} \geq M_{1,1}$ 。条件(A)等价于 $M_{0,1} = M_{0,0}+1$ 且条件(B)等价于 $M_{0,0} = M_{1,0}$ ，因此这符合Red的定义。

令 $j_{1} > 1$ 。

首先，令 M 为约化函数。

令 $j_0 := \max \left\{ j \in \mathbb{N} \mid j \leq j_1 \land \forall j' \in \mathbb{N}, (j' < j) \to ((1, j') <_{M}^{\text{Next}} (1, j'+1)) \right\}$ 。

令 $J_{1} := \mathrm{Lng}\left(P\left((M_{j})_{j=j_{0}}^{j_{1}}\right)\right)-1$ 。

从 Red 的递归定义可知， $\left((M_j)_{j=0}^{j_0}\right)_0 = M_0 = (0,0)$ ，且对于任意 $j \in \mathbb{N}$ ，若 $j \leq j_0$ ，则 $(0,0) \leq_M (0,j)$ 蕴涵 $(0,0) \leq_{(M_j)_{j=0}^{j_0}} (0,j)$ ，因此 $(M_j)_{j=0}^{j_0}$ 是单项的。此外，由于切片可约性的遗传性， $(M_j)_{j=0}^{j_0}$ 是隐式可约的，并且根据 Red 的定义， $(M_j)_{j=0}^{j_0} = \text{Red} \left((M_j)_{j=0}^{j_0}\right) =$

$((j,j))_{j=0}^{j_0}$ 。令 $i \in \{0,1\}$ 和 $j_1' \in \mathbb{N}$ ，并假设存在唯一的 $j_0' \in \mathbb{N}$ 使得 $(i,j_0') <_{M}^{\mathrm{Next}} (i,j_1')$ ，其中 $j_1' > j_0' \geq 0$ 。

在这种情况下， $(M_{j})_{j=j_{0}}^{j_{1}}$ 为单项。

令 $J_{0} := \mathrm{Lng}\left(P\left((M_{j})_{j=j_{0}+1}^{j_{1}}\right)\right)-1$ 。

令 $m := j_1-\mathrm{Lng}\left(P\left((M_j)_{j=j_0+1}^{j_1}\right)_{J_0}\right)+1$ 。

令 $N := ((j, j))_{j=0}^{M_{1,m}-1} \oplus_{\mathbb{N}^2} \operatorname{Red}\left(P\left((M_j)_{j=j_0+1}^{j_1}\right) J_0\right)$ 。

由于可约性与最左极限的关系，N 可约。若 $M_{1,m}=0$ ，则根据 Red 与左端的关系（2）以及 Red 的递归定义， $N_{0}=\mathrm{Red}\left(P\left((M_{j})_{j=j_{0}+1}^{j_{1}}\right)_{J_{0}}\right)_{0}=(0,0)$ 。

如果 $M_{1,m} \neq 0$ ，则根据 $N$ 的定义， $N_0 = (0,0)$ 。因此，无论哪种情况， $N_0 = (0,0)$ 。

$\operatorname{Lng}(N)-1 = j_1-m+M_{1,m} < j_1$ ，且 $(0, m) \leq_M (0, j_1)$ 蕴涵 $(0, 0) \leq P(M)_{J_1} (0, j_1-m)$ ， $(0, M_{1,0}) \leq_N (0, j_1-m+M_{1,m})$ 。

令 $j_0' \leq j_0 = j_1-1$ 。

由于 $(M_{j})_{j=j_{0}}^{j_{1}}$ 是单项的，因此 $(0,j_{0})<_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1})$ 。

$M = ((j,j))_{j=0}^{j_0} \oplus_{\mathbb{N}^2}(M_{j_1})$ ，且由于 $(1,j_0) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_1)$ 且 $(0,j_0) <_{M}^{\text{Next}}(0,j_1)$ ，因此 $j_0 = M_{0,j_0}M_{0,j_1}$ 且 $j_0 = M_{1,j_0} \geq M_{1,j_1}$ 。因此， $j_0' = M_{i,j_1}-1$ ，所以 $M_{i,j_0'}+1 = j_0'+1 = M_{i,j_1}$ 。

令 $j_0' \leq j_0 < j_1-1$ 。

由于 $(M_{j})_{j=j_{0}}^{j_{1}}$ 为单项函数，因此 $(0,j_{0})<_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_{0}+1)$ 。

$(1,j_0) < _M^{\text{Next}} (1,j_0+1)$ 且 $(0,j_0) < _M^{\text{Next}} (0,j_0+1)$ ，因此 $M_{1,j_0} \geq M_{1,j_0+1}$ ；且 $(i,j_0') < _M^{\text{Next}} (i,j_1)$ 且 $j_0'j_0+1 < j_1$ ，因此 $(1,j_0+1) \leq_M (1,j_1)$ 。因此， $(0,j_0+1) \leq_M (0,j_1)$ 不成立，即 $J_0 > 0$ 且 $j_0+1 < m$ 。 $j_0' < j_0+1 < m$ 且 $(0,m) \leq_M (0,j_1)$ 和 $(i,j_0') < _M^{\text{Next}} (i,j_1)$ ，因此 $i = 1$ 且 $j_0' = M_{1,j_0'} < M_{1,j_1} \leq M_{1,m}$ 。因此，从 $(1,j_0') < _N^{\text{Next}} (1,j_1-m+M_{1,m})$ ，根据归纳假设， $M_{i,j_0'}+1 = N_{1,j_0'}+1 = N_{1,j_1-m+M_{1,m}} = M_{i,j_1'}$ 。

如果 $j_0 < j_0'$ ，则 $(i, j_0') < _M^{\text{Next}} (i, j_1)$ ，因此根据 $P$ 的定义， $m \leq j_0'$ 。再次， $(i, j_0') < _M^{\text{Next}} (i, j_1)$ ，因此 $(i, j_0'-m+M_{1,m}) < _N^{\text{Next}} (i, j_1-m+M_{1,m})$ 。因此，根据归纳假设， $M_{i,j_0'}+1 = N_{1,j_0'}+1 = N_{1,j_1-m+M_{1,m}} = M_{i,j_1'}$ 。

设 $j_{1}^{\prime}=j_{1}$ 且 $J_{1}>0$ 。

设 $m := j_{1}-\mathrm{Lng}(P(M)_{J_{1}})+1$ 。

由于 $J_{1} > 0$ ， $j_0 < m$ ，且根据 $P$ 的定义， $M_{0,m} < j_0$ 。根据可约性和系数的基本性质， $M_{0,m}-M_{1,m} \geq 0$ ，因此 $M_{1,m} \leq M_{0,m} < j_0 < m$ 。

$P(M)_{J_{1}} \in PT_{\mathrm{PS}}$ 得出 $((j,j))_{j=0}^{M_{1,m}} \oplus_{\mathbb{N}^{2}} (M_{j})_{j-m+1}^{j_{1}} \in PT_{\mathrm{PS}}$ ，且由 M 的约化性和 Red 的定义可知，

\[
\begin{array}{l} P (M)_{J_{1}} = \operatorname{IncrFirst}^{M_{0, m}-M_{1, m}} \left(\operatorname{Red} \left((M_{0, m}, M_{1, m}) \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left(M_{j}\right)_{j = m+1}^{j_{1}}\right)\right) \tag {21.100} \\ = \operatorname{IncrFirst}^{M_{0, m}-M_{1, m}} \left(\operatorname{Red} \left(P (M)_{J_{1}}\right)\right). \\ \end{array}
\]

令 $N := ((j, j))_{j=0}^{M_{1,m}-1} \oplus \mathbb{N}^2 \operatorname{Red}(P(M)_{J_1})$ 。

由于可约性与左边界之间的关系，N 是可约的。如果 $M_{1,m}=0$ ，则由于 Red 与左边界 (2) 之间的关系以及 Red 的递归定义， $N_{0}=\mathrm{Red}(P(M)_{J_{1}})_{0}=(0,0)$ 。如果 $M_{1,m}\neq0$ ，则由于 N 的定义， $N_{0}=(0,0)$ 。因此，在两种情况下， $N_{0}=(0,0)$ 。

$\mathrm{Lng}(N)-1 = j_1-m+M_{1,m}$ ，且由于 $(0,m)\leq_M(0,j_1)$ 蕴涵 $(0,0)\leq_{P(M)_{J_1}}(0,j_1-m)$ ，因此 $(0,M_{1,0})\leq_N(0,j_1-m+M_{1,m})$ 。

若 $m = j_{1}$ ，则 $P(M)_{J_1} = (M_m)$ ，且根据 $P$ 的定义， $j_0' \leq j_0$ 。因此， $M_{1,m} \leq M_{0,m} < j_0$ ，所以 $j_0' = M_{i,m}-1$ 。因此， $M_{i,j_0'}+1 = j_0'+1 = M_{i,m} = M_{i,j_1'}$ 。

如果 $m < j_1$ 且 $j_0' \leq j_0$ ，则 $j_0'm$ 且 $(0, m) \leq_M (0, j_1)$ 和 $(i, j_0') < _M^{\mathrm{Next}} (i, j_1)$ 意味着 $i = 1$ 且 $j_0' = M_{1,j_0'} < M_{1,j_1} \leq M_{1,m}$ 。因此，从 $(1, j_0') < _N^{\mathrm{Next}} (1, j_1-m+M_{1,m})$ ，根据归纳假设， $M_{i,j_0'}+1 = N_{1,j_0'}+1 = N_{1,j_1-m+M_{1,m}} = M_{i,j_1'}$ 。

若 $m < j_1$ 且 $j_0 < j_0'$ ，则根据 $P$ 的定义， $m \leq j_0'$ ，且 $(i, j_0') < _M^{\mathrm{Next}}(i, j_1), (i, j_0'-m+M_{1,m}) < _N^{\mathrm{Next}}(i, j_1-m+M_{1,m})$ 。因此，根据归纳假设， $M_{i,j_0'}+1 = N_{1,j_0'}+1 = N_{1,j_1-m+M_{1,m}} = M_{i,j_1'}$ 。

从上可知，两种情况下条件（A）和（B）均得到满足。

接下来，假设 M 满足条件 (A) 和 (B)。

由于 $M_{1,0}=0$ 且 M 满足条件 (B)，因此 $M_{0,0}=0$ 。

这里，(\*) 对任意的 $j_0', j_1' \in \mathbb{N}$ ，若 $(1, j_0'-1) <_{M}^{\mathrm{Next}} (1, j_0')$ 且 $j_0' \leq j_1' \leq j_1$ 且 $(M_j)_{j = j_0'}^{j_1'} \in PT_{\mathrm{PS}}$ ，则 $N' := \left( (M_{0,j}-M_{0,j_0'}+M_{1,j_0'}, M_{1,j}) \right)_{j = j_0'}^{j_1'}$ 表明 $N'$ 是约化的。然而，由于条件 (A) 和 (B) 以及系数的基本性质 (2)， $N'$ 的每个分量都属于 $\mathbb{N}^2$ 。

令 $N := ((j, j))_{j=0}^{M_{1,j'}}-1 \oplus_{\mathbb{N}^2} N'$ 。

$\mathrm{Lng}(N)-1 = j_1'-j_0'+M_{1,j_0'}$ ，且根据条件(A)和(B)以及系数的基本性质(3)， $M_{1,j_0'} < j_0'$ 因此 $\mathrm{Lng}(N)-1 < j_1'\leq j_1$ 。

如果 $M_{1,j_1'} = 0$ ，则 $N_0 = N_0' = (0,0)$ ；如果 $M_{1,j_1'} > 0$ ，则根据 $N$ 的定义， $N_0 = (0,0)$ 。

$\operatorname{IncrFirst}^{M_{0,j_0'}-M_{1,j_0'}}(N') = (M_j)_{j = j_0'}^{j_1'} \in PT_{\mathrm{PS}}$ ，且由 $P$ 的 $\operatorname{IncrFirst}$ 同方差性， $N' \in PT_{\mathrm{PS}}$ ，且由于 $(0,0) \leq_N (0,M_{1,0})$ ， $N$ 为单项的。此外，由于 $N_0 = (0,0)$ ， $N$ 满足条件 (B)。

证明 N 满足条件 (A)。令 $i \in \{0,1\}$ 和 $k_{0}, k_{1} \in N^{2}$ ，且令 $(i, k_{0}) <_{N}^{\text{Next}} (i, k_{1})$ 。

如果 $M_{1,j_0'} \leq k_0$ ，则 $(i, k_0-M_{1,j_0'}) < _M^{\mathrm{Next}}(i, k_1-M_{1,j_0'})$ 且 $M$ 满足条件 (A)。因此，若 $i = 0$ ，则 $N_{i,k_0}+1 = M_{0,k_0-M_{1,n'}}-M_{0,j_0'}+M_{1,j_0'}+1 = M_{0,k_1-M_{i,j'}}-M_{0,j_0'}+M_{1,j_0'} = N_{i,k_1}$ ；若 $i = 1$ ，则 $N_{i,k_0}+1 = M_{1,k_0-M_{1,j_0'}}+1 = M_{1,k_1-M_{i,j_0'}} = N_{i,k_1}$ 。

若 $k_{0} < M_{1,j_{0}^{\prime}} < k_{1}$ ，则 $(M_{j})_{j = j_{0}^{\prime}}^{j_1^{\prime}}\in PT_{\mathrm{PS}}$ ，故 $(0,j_0^{\prime})\leq_M(0,j_0^{\prime}+k_1-M_{1,j_0^{\prime}})$ ，故 $(0,M_{1,j_0^{\prime}})\leq_N(0,k_1)$ ，故 $(1,M_{1,j_0^{\prime}})\leq_N(1,k_1)$ ，且 $i = 1$ ，条件满足。由(A)和(B)以及系数(2)和(3)的基本性质，可知 $N_{1,k_1}\leq N_{0,k_1}$ 和 $N_{1,k_1} < k_1$ 。因此， $k_{0} = N_{1,k_{1}}-1$ ，且 $N_{i,k_0}+1 = k_0+1 = N_{i,k_1}$ 。

若 $k_{1} \leq M_{1,j_{0}^{\prime}}$ ，则 $N_{k_1} = (k_1, k_1)$ ，从而 $k_0 = k_1-1$ ，且 $N_{i,k_0}+1 = k_0+1 = k_1 = N_{i,k_1}$ 。

因此，N 满足条件 (A)。由于 $\mathrm{Lng}(N)-1<j_{1}$ 且 $N_{0}=(0,0)$ ，且 N 满足条件 (A) 和 (B)，根据归纳假设，N 减小。 $(M_{j})_{j=j_{0}^{\prime}}^{j_{1}^{\prime}}\in PT_{\mathrm{PS}}$ 意味着对于任何 $j\in N$ ，如果 $j_{0}^{\prime}\leq j\leq j_{1}^{\prime}$ ，则 $M_{0,j_{0}^{\prime}}\leq M_{0,j}$ ，即 $M_{0,j}-M_{0,j_{0}^{\prime}}+M_{1,j_{0}^{\prime}}\leq M_{1,j_{0}^{\prime}}$ 。因此，存在唯一的 $M^{\prime}\in PT_{N}$ 使得 $N^{\prime}=\operatorname{IncrFirst}^{M_{1,j_{0}^{\prime}}}(M^{\prime})$ 。因此，由 Red 的 IncrFirst 不变性、Red 与左边的关系 (2) 以及 Red 的递归定义可知，

\[
\begin{array}{l} ((j, j))_{j = 0}^{M_{1, j^{\prime}}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} N^{\prime} = N = \mathrm{Red} (N) \\ = \operatorname{Red} \left(\left((j, j)\right)_{j = 0}^{M_{1, 0}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \operatorname{IncrFirst}^{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \left(M^{\prime}\right)\right) \\ = \operatorname{Red} \left(\left((j, j)\right)_{j = 0}^{M_{1, 0}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \operatorname{IncrFirst}^{M_{1, 0}^{\prime}} \left(M^{\prime}\right)\right) \tag {21.101} \\ = ((j, j))_{j = 0}^{M_{1, 0}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \operatorname{Red} \left(M^{\prime}\right) \\ = ((j, j))_{j = 0}^{M_{1, 0}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \operatorname{Red} \left(\operatorname{IncrFirst}^{M_{1, j_{0}^{\prime}}} (M^{\prime})\right) \\ = ((j, j))_{j = 0}^{M_{1, 0}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \operatorname{Red} \left(N^{\prime}\right) \\ \end{array}
\]

因此， $N' = \text{Red}(N')$ ，即 $N'$ 是可约的。

利用 Red 递归定义中引入的符号，根据 P 的定义，所有在 Red (M) 计算中出现的 $N_{J}$ 都满足 (\*) 假设，且 IncrFirst $^{Joints}(M)_{J}-n_{J}(\text{Red}(N_{J})) = N_{J}$ 。因此，根据 Red 的定义， $\text{Red}(M) = M$ ，即 M 是可约的。

设 M 为单项复项，且 $M_{1,0} > 0$ 。

令 $N := ((j, j))_{j=0}^{M_{1,0}-1} \oplus_{\mathbb{N}^{2}} M$ 。

由于 M 为单项且 $M_{1,0} > 0$ ，M 不包含 $(0,0)$ 分量，因此 N 为单项。

首先，假设 M 可约化。

由于可约化性与左边界的关系，N 可约化。此外，由于 N 为单项且 $N_{0} = (0, 0)$ ，N 满足条件 (A) 和 (B)。特别地，M 满足条件 (A)。由于可约性及系数的基本性质， $M_{0,0} = N_{0,M_{1,0}} \geq N_{1,M_{1,0}} = M_{1,0}$ ，因此 $(0, M_{1,0}-1) <_{M}^{\text{Next}} (0, M_{1,0})$ 。由于 N 满足条件 (A)， $M_{0,0} = M_{1,0}$ 。此外，由于 M 是单项，M 满足条件 (B)。

接下来，假设 M 满足条件 (A) 和 (B)。

由于 N 是单项的，且 $N_{0} = (0, 0)$ ，且 M 满足条件 (B)，因此 N 满足条件 (B)。设 $i \in \{0, 1\}$ ， $j_{0}', j_{1}' \in N$ ，并设 $(i, j_{0}') <_{N}^{\text{Next}} (i, j_{1}')$ 。

若 $M_{1,0} \leq j_0'$ ，则 $(i,j_0'-M_{1,0}) < _M^{\text{Next}}(i,j_1'-M_{1,0})$ ，且由于 $M$ 满足条件 (A)， $N_{i,j_0'}+1 = M_{i,j_0'-M_{1,0}}+1 = M_{i,j_1'-M_{1,0}} = N_{i,j_1'}$ 。如果 $j_0'M_{1,0} < j_1'$ ，则 $(0,0) \leq_M (0,j_1'-M_{1,0})$ 且 $(0,m_{1,0}) \leq_N (0,j_1')$ ，因此 $(i,j_0') < _N^{\text{Next}}(i,j_1')$ ，因此 $(1,0) \leq_M (1,j_1'-M_{1,0})$ 且 $i = 1$ 。由于 $M$ 满足条件 (B)， $M_{0,j_1'} > M_{0,0} = M_{1,0} \geq M_{1,j_1'}$ ，因此 $j_0' = M_{1,j_1'-M_{1,0}}-1$ 且 $N_{i,j_0'}+1 = j_0'+1 = M_{1,j_1'-M_{1,0}} = N_{i,j_1'}$ 。

如果 $j_{1}^{\prime} \leq M_{1,0}$ ，则 $j_{0}^{\prime}+1 = j_{1}^{\prime}$ ，且 $N_{i,j_{0}^{\prime}}+1 = j_{0}^{\prime}+1 = j_{1}^{\prime} = N_{i,j_{1}^{\prime}}$ 。

由上可知，N 满足条件 (A)。因此，N 可约。另一方面，M 满足条件 (B)，因此 $M_{0,0} = M_{1,0}$ ，且由于 M 是单项的，存在唯一的 $M' \in PT_{PS}$ ，使得 $\operatorname{IncrFirst}^{M_{1,0}}(M') = M$ 。从 Red 的 IncrFirst 不变性，Red 与左边缘的关系（2）以及 Red 的递归定义

\[
\begin{array}{l} ((j, j))_{j = 0}^{M_{1, 0}-1} \oplus_{\mathrm{N}^{2}} M = N = \operatorname{Red} (N) \\ = \operatorname{Red} \left(\left((j, j)\right)_{j = 0}^{M_{1, 0}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \operatorname{IncrFirst}^{M_{1, 0}} \left(M^{\prime}\right)\right) \\ = \operatorname{Red} \left(\left((j, j)\right)_{j = 0}^{M_{1, 0}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \operatorname{IncrFirst}^{M_{1, 0}^{\prime}} \left(M^{\prime}\right)\right) \tag {21.102} \\ = ((j, j))_{j = 0}^{M_{1, 0}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \operatorname{Red} \left(M^{\prime}\right) \\ = ((j, j))_{j = 0}^{M_{1, 0}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \operatorname{Red} \left(\operatorname{IncrFirst}^{M_{1, 0}} \left(M^{\prime}\right)\right) \\ = ((j, j))_{j = 0}^{M_{1, 0}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \operatorname{Red} (M), \\ \end{array}
\]

因此， $M = \text{Red}(M)$ ，即 M 是可约的。

设 M 为复项。

首先，如果 $M$ 是可约的，那么由于 $P$ 保持可约性， $P(M)$ 的每个分量都是可约的且单项的，并且特别满足条件 (A) 和 (B)。由于 $M = \bigoplus_{\mathbb{N}^2} P(M)$ ，因此 $M$ 也满足条件 (A) 和 (B)。

接下来，如果 $M$ 满足条件 (A) 和 (B)，则 $M = \bigoplus_{\mathbb{N}^2} P(M)$ ，因此 $P(M)$ 的每个分量都满足条件 (A) 和 (B)，并且是单项的，因此是特别可约的。由于 $P$ 保持可约性，因此 $M$ 也是可约的。

证毕。

'''定理 46''' 直系祖先的切片与 Red 与 IncrFirst 之间的关系。

对于任意 $M \in RT_{\mathrm{PS}}$ 和 $j_0', j_1' \in \mathbb{N}$ , 令 $j_1 := \mathrm{Lng}(M)-1$ , $j_0' j_1' \leq j_1$ , 且令 $N := \mathrm{Red}\left((M_j)_{j = j_0'}^{j_1')}\right)$ 。然后, 若 $(0, j_0') \leq_M (0, j_1')$ , 则 $N$ 可约, 单项且[22], 其中 $(M_j)_{j = j_0'}^{j_1'} = \mathrm{IncrFirst}^{M_{0,m}-M_{1,m}}(N)$ 。

根据 Red 对 N 的定义，N 是可约的。

根据可约性和系数的基本性质， $M_{0,j_{0}^{\prime}}-M_{1,j_{0}^{\prime}}\geq0$ 。

根据单项遗传性到直系祖先的切片， $(M_{j})_{j=j_{0}^{\prime}}^{j_{1}^{\prime}}$ 是单项的，因此对于任何 $j\in N$ ，如果 $j_{0}^{\prime}\leq j\leq j_{1}^{\prime}$ ，则 $(0,j_{0}^{\prime})\leq_{M}(0,j)$ ，因此 $M_{0,j}-M_{0,j_{0}}\geq0$ 。

令 $M^{\prime}:= \left(\left(M_{0,j}-M_{0,j_0^{\prime}}+M_{1,j_0^{\prime}},M_{1,j}\right)\right)_{j = j_0^{\prime}}^{j_1^{\prime}}$ 。

由于 IncrFirst $M_{0,j_{0}^{\prime}}-M_{1,j_{0}^{\prime}}(M^{\prime})=(M_{j})_{j=j_{0}^{\prime}}^{j_{1}^{\prime}}$ ，因此由于 $\leq_{M}$ 的 IncrFirst 不变性， $M^{\prime}$ 为单项的。

由于可约性以及系数之间的关系，M 满足条件 (A) 和 (B)。特别地， $(M_{j})_{j=j_{0}^{\prime}}^{j_{1}^{\prime}}$ 满足条件 (A)，因此，由于 $\leq M_{0}$ 的 IncrFirst 不变性， $M^{\prime}$ 满足条件 (A)。此外， $M^{\prime}$ 是单项的，且 $M_{0,0}^{\prime}=M_{1,j_{0}^{\prime}}=M_{1,0}^{\prime}$ ，所以 $M^{\prime}$ 满足条件 (B)。因此，由于可约性与系数之间的关系， $M^{\prime}$ 是可约的。

根据 Red 的 IncrFirst 不变性, $N = \text{Red}\left((M_j)_{j=j_0'}^{j_1'}\right) = \text{Red}\left(\text{IncrFirst}^{M_{0,j_0'}-M_{1,j_0'}}(M')\right) = \text{Red}(M') = M'$ 。因此， $\text{IncrFirst}^{M_{0,j_0'}-M_{1,j_0'}}(N) = \text{IncrFirst}^{M_{0,j_0'}-M_{1,j_0'}}(M') = (M_j)_{j=j_0'}^{j_1'}$ 。

证毕。

'''定理 47''' 一列的对序列基本性质。

对于任意 $M \in T_{PS}$ ，以下等价：

(1) $\mathrm{Lng}(M)=1$ 且 M 是可约的。

(2) 存在唯一的 $v \in N$ 使得 $M = ((v, v))$ 。

证明：

假设 $\mathrm{Lng}(M)=1$ ，且 M 可约。

由于可约性与系数之间的关系，M 满足条件 (A) 和 (B)。特别地，由于 M 满足条件 (B)，因此存在唯一的 $v \in N$ 使得 $M_{0} = (v, v)$ 。

由于 $\mathrm{Lng}(M)=1$ ，因此 $M=(M_{0})=((v,v))$ 。

证毕。

令 $ST_{PS}$ 为满足下列条件的最小子集 $S \subset T_{PS}$ :

1. 对于任意 $u, v \in \mathbb{N}$ ，若 $u \leq v$ 则 $((j, j))_{j=u}^{v} \in S$ 。
2. 对于任意 $M \in S$ 且 $n \in \mathbb{N}_{+}$ ，则 $M[n] \in S$ 。

这里，我们称属于 $ST_{PS}$ 的对序列为标准形式。通常，术语标准形式对序列指的是出现在 3 行 Bashicu 矩阵 $((0,0,0)(1,1,1))$ 展开中的序列，但这对应于上述 u=0 的条件，因此在本讨论中，标准形式是一个指代范围比平常更广的主题的术语。

'''定理 48''' 标准形式的简约性。

我们有 $ST_{PS} \subset RT_{PS}$ 。

证明：

对于任意 $u, v \in \mathbb{N}$ ，若 $u \leq v$ ，则 $((j, j))_{j=u}^v$ 可约化。因此，可由约化性在基本列中保持不变，以及基于 $ST_{\mathrm{PS}}$ 定义的最小性推导出来。

证毕。

对于每个 $k \in N$ ，递归定义子集 $S_{k}T_{PS} \subset ST_{PS}$ ，如下所示：

<nowiki>1. 若 $k = 0$ ，则 $S_{k}T_{\mathrm{PS}}</nowiki> := \left\{((j, j))_{j=u}^{v} \mid (u, v) \in \mathbb{N}^{2} \wedge u \leq v\right\}$ 。

2. 若 k > 0，则 $S_{k}T_{PS} := \{M[n] \mid M \in S_{k-1}T_{PS} \land n \in N\}$ 。

根据 $ST_{PS}$ 定义的极小性， $ST_{PS} = \bigcup_{k \in N} S_k T_{PS}$ 。

'''定理 49''' 标准形式的单项分量是标准形式。

对于任意 $k \in N M \in S_{k} T_{PS}$ ， $P(M) \in S_{k} T_{\mathrm{PS}}^{<\omega}$ 。

证明：

这可以通过对 k 进行数学归纳法证明。

如果 k=0，则根据 $S_{k}T_{PS}$ 的定义，M 是单数或单项复项。

设 k > 0。

设 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(M))-1$ 。

根据 $S_{k}T_{PS}$ 的定义，存在 $M' \in S_{k-1}T_{PS}$ 和 $n \in N_{+}$ ，使得 $M = M'[n]$ 。根据归纳假设， $P(M') \in S_{k-1}T_{\mathrm{PS}}^{<\omega}$ 。

令 $J_{0} := \mathrm{Lng}\left(P\left(M'\right)\right)-1$ 。

令 $\mathrm{Lng}\left(P\left(M'\right)_{J_{0}}\right)=1$ 。

若 $J_0 = 0$ ，则 $M = M'[n] = P(M')_{J_0}[n] = P(M')_{J_0} \in S_{k-1}T_{\mathrm{PS}}$ ，因此这可由归纳假设得出。

若 $J_0 > 0$ ，则由 $P$ 与基本列（1）的关系可知， $P(M) = (P(M')_J)_{J=0}^{J_0-1} \in S_{k_0-1} T_{\mathrm{PS}}^{<\omega}$ 。令 $\mathrm{Lng}\left(P(M')_{J_0}\right) > 1$ 。

由 $P$ 与基本列（2）的关系可知， $P(M) = (P(M')_J)_{J=0}^{J_1} \oplus_{\mathbb{N}^2} P(P(M')_{J_0}[n])$ 。

$(P(M')_{J})_{J=0}^{J_{0}-1} \in S_{k_{0}-1}T_{\mathrm{PS}}^{<\omega}$ , 并由 $P(M')_{J_0} \in S_{k_0-1}T_{\mathrm{PS}}$ , 根据归纳假设 $P(P(M')_{J_0}[n]) \in S_{k_0-1}T_{\mathrm{PS}}^{<\omega}$ , 因此 $P(M) \in S_{k_0-1}T_{\mathrm{PS}}^{<\omega}$ 。

证毕。

'''定理 50''' 标准形式初始段的遗传性。

对于任意 $M \in ST_{\mathrm{PS}}$ 和 $j_1' \in \mathbb{N}$ , 令 $j_1 := \mathrm{Lng}(M)-1$ , 则若 $j_1' \leq j_1$ , 则 $(M_j)_{j=0}^{j_1'}$ 为规范形式。

证明：由于 $M[1] = \operatorname{Pred}(M)$ ，根据 $j_{1}-m_{1}$ 的数学归纳法可知。证毕。

令 $Q \in T_{PS}^{<\omega}$ 。

1. 令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(Q)-1$ 。

<nowiki>2. 如果对于任意 $J_0', J_1' \in \mathbb{N}$ , 若 $J_0' \leq J_1' \leq J_1$ , 则称 $Q$ 为下降的:
1. $\left(Q_{J_0'}\right)_{0,0} \geq \left(Q_{J_1'}\right)_{0,0}$ 。
2. 若 $\left(Q_{J_{0}^{\prime}}\right)_{0,0}=\left(Q_{J_{1}^{\prime}}\right)_{0,0}$ ，则 $\left(Q_{J_{0}^{\prime}}\right)_{1,0}\geq\left(Q_{J_{1}^{\prime}}\right)_{1,0}$ 。</nowiki>

根据 P 最左分量的单调性，对于任何 $M \in T_{PS}$ ，以下等价：

(1) $P(M)$ 按降序排列。
(2) 对任意 $J_0', J_1' \in \mathbb{N}$ , 若 $J_0' \leq J_1' \leq J_1$ 且 $\left(P(M)_{J_0'}\right)_{0,0} = \left(P(M)_{J_1'}\right)_{0,0}$ , 则 $\left(P(M)_{J_0'}\right)_{1,0} \geq \left(P(M)_{J_1'}\right)_{1,0}$ 。

因此，具体而言，当 M 为单项时，令 $j_{1}^{\prime} := \mathrm{TrMax}(M)$ ，令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1$ ，且如果 $j_{1}^{\prime}j_{1}$ ，则为了确定 $\mathrm{Br}(M)$ 是否为降序，我们只需检查 (2) 是否与 $(M_{j})_{j=j_{1}^{\prime}}^{j_{1}}$ 相对应。

'''定理 51''' 标准形式的单项成分按降序排列。

对于任意 $M \in ST_{\mathrm{PS}}$ 和 $J_0', J_1' \in \mathbb{N}$ , 令 $J_1 := \mathrm{Lng}(P(M))-1$ 。然后, 若 $J_0' \leq J_1' \leq J_1$ 且 $\left(P(M)_{J_0'}\right)_{0,0} = \left(P(M)_{J_1'}\right)_{0,0}$ , 则 $\left(P(M)_{J_0'}\right)_{1,0} \geq \left(P(M)_{J_1'}\right)_{1,0}$ 。

证明：

设 $k_{0}:= \min \{k\in \mathbb{N}\mid M\in S_{k}T_{\mathrm{PS}}\}$ 。由于 $J_{1}\geq J_{1}^{\prime} > J_{0}^{\prime}\geq 0$ ， $M$ 为复合项，这是由于 $P$ 各分量的非复合性质(2)，因此 $k_{0} > 0$ 。因此，存在 $M^{\prime}\in S_{k_{0}-1}T_{\mathrm{PS}}$ 和 $n\in \mathbb{N}_{+}$ ，使得 $M = M^{\prime}[n]$ 。

由于 M 是复项的，且非复项性与基本列 $k_{0}-1>0$ 之间存在关系，即 $k_{0}>1$ 且 n>1。

因此，存在 $N \in S_{k_{0}-2}T_{PS}$ 和 $n' \in N_{+}$ 使得 $M' = N[n']$ 。

这可以通过关于 $k_{0}$ 的数学归纳法得到证明。

设 $k_{0}=2$ 。

由于 $N \in S_{k_0-2}T_{\mathrm{PS}} = S_0T_{\mathrm{PS}}$ ，存在 $u, v \in \mathbb{N}$ ，使得 $u \leq v$ 且 $N = ((j,j))_{j=u}^v$ 。

假设 $u = v$ ，则 $M' = N[n'] = ((u, u))[n'] = ((u, u))$ 且 $M = M'[n] = ((u, u))[n] = ((u, u))$ ，这违反了 $M$ 的复项性质。

假设 $u+1 < v$ 。

\[
M^{\prime} = N \left[n^{\prime} \right] = ((j, j))_{j = u}^{v-2} \oplus_{\mathbb {N}} \left((v-1+k, v-1)\right)_{k = 0}^{n^{\prime}-1} 。
\]

如果 $n' = 1$ ，则 $M = M'[n] = \left(((j,j))_{j=u}^{v-2} \oplus_{\mathbb{N}} ((v-1, v-1))\right)[n] = ((j,j))_{j=u}^{v-3} \oplus_{\mathbb{N}} ((v-2+k, v-2))_{k=0}^{n-1}$ ，因此 $(M_{0,j})_{j=0}^{j_1} = (j)_{j=u}^{v+n-3}$ 。

如果 $n' > 1$ ，则

\[
\begin{array}{l} M = M^{\prime}[n] \\ = \left(\left((j, j)\right)_{j = u}^{v-2} \oplus_{\mathbb {N}} \left((v-1+k, v-1)\right)_{k = 0}^{n^{\prime}-1}\right)[n] \\ = ((j, j))_{j = u}^{v-3} \oplus_{\mathbb {N}} \bigoplus_{\mathbb {N}^{2}} \left((v-2+k^{\prime} n^{\prime}, v-2) \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left((v-1+k+k^{\prime} n^{\prime}, v-1)\right)_{k = 0}^{n^{\prime}-2}\right)_{k^{\prime} = 0}^{n-1}. \tag {21.103} \\ \end{array}
\]

于是有 $(M_{0,j})_{j=0}^{j_{1}}=(j)_{j=u}^{v+nn'-3}$ 。

无论哪种情况，复项性条件都与 M 的复项性相矛盾。

由上可知， $u+1 = v$ ，且 $M^{\prime} = N[n^{\prime}] = ((u+k,u))_{k = 0}^{n^{\prime}-1}$ 。

若假设 $n' = 1$ ，则 $M = M'[n] = ((u, u))[n] = ((u, u))$ ，这与 $M$ 的复项性质相矛盾。因此， $n' > 1$ 。

若 $u > 0$ ，则 $M = M'[n] = ((u+k,u))_{k = 0}^{n'-1}[n] = ((u+k,u))_{k = 0}^{n'-2}$ ，根据复项性准则，这与 $M$ 的复项性相矛盾。因此， $u = 0$ ，且 $M = M'[n] = ((k,0))_{k = 0}^{n'-1}[n] = ((k,0))_{k = 0}^{n'-2} \oplus_{\mathbb{N}^2}((n'-1,0))_{k' = 0}^{n-1}$ 。

设 $n' > 2$ ， $(0,0) \leq_M (0,j_1)$ 与 $M$ 的复合性质相矛盾。因此， $n' = 2$ 且 $M = ((n'-1,0))_{k'=0}^{n-1}$ 。由于 $P(M) = (((n'-1,0)))_{k'=0}^{n-1}$ ，因此 $\left(P(M)_{J_0'}\right)_{1,0} = 0 = \left(P(M)_{J_1'}\right)_{1,0}$ 。

令 $k_{0} > 3$ 。

令 $J_{0} := \mathrm{Lng}\left(P\left(M'\right)\right)-1$ 。

若 $\mathrm{Lng}\left(P\left(M'\right)_{J_{0}}\right)=1$ ，则根据 P 与基序列的关系以及 P 各分量的非复项性质 (2)， $J_{0}>0$ 且 $P(M)=(P\left(M'\right)_{J})_{J=0}^{J_{0}-1}$ ，由此推导出归纳假设。令 $\mathrm{Lng}\left(P\left(M'\right)_{J_{0}}\right)>1$ 。

由于 P 与基本列的关系， $P(M) = \left( P\left( M' \right)_J \right)^{J_0-1}_{J=0} \oplus_{T_{\mathrm{PS}}} P\left( P\left( M' \right)_{J_0}[n] \right)$ 。

令 $J_{-1} := \mathrm{Lng}\left(P\left(P\left(M'\right)_{J_0}\right)\right)-1$ 。

由于 $P(1)$ 各分量的非多重性，所以 $P(M')_{J_0}$ 不是多重序列，且由于非多重性与基本列的关系， $\left(\left(P(P(M')_{J_0}[n])_J\right)_{0,0}\right)_{J=0}^{J-1}$ 只有 $\left(P(M')_{J_0}\right)_{0,0}$ 作为分量。若 $J_1'J_0$ ，则根据归纳假设， $\left(P(M)_{J_0'}\right)_{0,0} = \left(P(M')_{J_0'}\right)_{0,0} \geq \left(P(M')_{J_1'}\right)_{0,0} = \left(P(M)_{J_1'}\right)_{0,0}$ 。

若 $J_0' J_0 \leq J_1'$ ，则根据归纳假设， $\left(P(M)_{J_0'}\right)_{0,0} = \left(P(M')_{J_0'}\right)_{0,0} \geq \left(P(M')_{J_0}\right)_{0,0} = \left(P(M')_{J_0}[n]\right)_{J_1'-J_0}\left.\right)_{0,0} = \left(P(M)_{J_1'}\right)_{0,0}$ 。

若 $J_0 \leq J_0'$ ，则 $\left(P(M)_{J_0'}\right)_{0,0} = \left(P(M')_{J_0}\right)_{0,0} = \left(P(M)_{J_1'}\right)_{0,0}$ 。

证毕。

作为证明后面定义的标准形式对序列系统的终止性质的准备，我们定义了一个从对序列到 Buchholz 符号系统的翻译映射 Trans，并研究了它的性质。

接下来， $T_{B}$ 表示 Buchholoz 符号 T 的子集，由所有不包含 $D_{\omega}$ 的项组成。注意， $T_{B}$ 并不局限于序数项。虽然最终会用到序数项，但如果我们从一开始就将论证限制在序数项上，则会非常冗长，因为我们需要检查论证过程中出现的每个项是否是序数项。因此，在证明标准形式对系统的终止性之前，我们不会将论证限制在序数项上。

$T_{B}$ 元素之间的关系表示通常的强序关系， $T_{B}$ 元素之间的关系表示 “< 或二” 的缩写， $T_{B}$ 元素之间的运算+表示加法， $T_{B}$ 元素的 $n \in N$ 表示 n 次， $T_{B}$ 元素的[] 运算符表示仅将[Buc1] 第 203–204 页[运算符] 递归定义中的 ([]).4) (ii) 改为[Buc2] 第 6 页定义中的规则 6 后得到的基本列，dom 表示每个项的[] 运算符的定义域。

在 Buchholz 符号中，既不是 0 也不是单项的项称为复合项。令 PTB ⊂ T $_{B}$ 表示所有不包含 D $_{\omega}$ 的简单项的子集，令 MT $_{B}$ ⊂ T $_{B}$ 表示所有不包含 D $_{\omega}$ 的复杂项的子集。令 (表示 T $_{B}$ 中的字母 (，令表示 T $_{B}$ 中的字母，令) 表示 T $_{B}$ 中的字母)。令 Σ 为 T $_{B}$ 中所有 D $_{u}$ 的集合，其中包含字母 (,)、0 以及每个 u ∈ ω+1。

令 $t \in PT_{\mathrm{B}}^{<\omega}$ 。

1. 如果 $t = ()$ ，则令 $t' := 0 \in \Sigma$ 。

2. 令 $t \neq ()$ 。

1. 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(t)-1$ 。

2. 令 $s_{0}:=(\circ)$

3. 对于每个 $j \in \mathbb{N}$ ，且 $0 < j < j_1$ ，令 $s_j := s_{j-1} t_{j-1}$ 。

4. 令 $t' := s_{j_1-1} t_{j_1}$ $\in \Sigma$ 。

如果 $j_{1} = -1$ ，则 $t' = 0 \in T_{\mathrm{B}}$ 。如果 $j_{1} = 0$ ，则 $t' = (\underline{t_0})$ ，因此，根据收缩规则 $\{(p) = p \mid p \in PT_{\mathrm{B}}\}$ ， $t'$ 与 $t_0 \in PT_{\mathrm{B}}$ 等同。如果 $j_{1} > 0$ ，则 $t' \in T_{\mathrm{B}} \setminus (\{0\} \cup PT_{\mathrm{B}})$ 。因此，无论哪种情况，我们都定义一个项 $T_{\mathrm{B}}$ ，将其表示为 $\Sigma_{\mathrm{B}} t$ 。

映射

\[
P: T_{\mathrm{B}} \to P T_{\mathrm{B}}^{< \omega} \tag {21.104}
\]

\[
t \mapsto P (t) \tag {21.105}
\]

定义如下:

1. 如果 t = 0，则 $P(t) := ()$ 。

2. 如果 $t \in PT_{B}$ ，则 $P(t) := (t)$ 。

<nowiki>3. 令 $t \in MT_{\mathrm{B}}$ 。</nowiki>

1. 根据 Buchholz 符号系统的递归定义，存在唯一的 $s \in \Sigma^{<\omega}$ 和 $t' \in PT_{\mathrm{PS}}$ 使得：

1. $t = (s, t')$ 。

2. $s \in PT_{B}$ 或 $(s) \in MT_{B}$ 。

<nowiki>2. 若 $s \in PT_{\mathrm{B}}$ ，则 $P(t)</nowiki> <nowiki>:= P(s) \oplus PT_{\mathrm{B}}(t')$ 。</nowiki>

<nowiki>3. 若 $(s) \in MT_{\mathrm{B}}$ ，则 $P(t)</nowiki> <nowiki>:= P((s)) \oplus PT_{\mathrm{B}}(t')$ 。</nowiki>

对于 $t \in T_{B}$ ， $P(t)$ 的每个分量称为 t 的单项式分量。

'''定理 52''' 标准形式的单项成分按降序排列。

对于任意 $t \in T_{B}$ ，(在 t 中出现的的数量等于) 在 t 中出现的的数量。

证明：根据 Buchholz 符号的递归定义，通过对 $\mathrm{Lng}(t)$ 进行数学归纳法可知。证毕。

'''定理 53''' 序数单项分量的基本性质。

对于任意 $t \in T_{B}$ ，令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(t))-1$ ，且下列条件成立：

(1) $J_{1} = -1$ 当且仅当 $t = 0$ 。
(2) $t = \Sigma_{\mathrm{B}}(P(t)_J)_{J = 0}^{J_1}\circ$

证明：由 P 的递归定义可知，通过对 $\mathrm{Lng}(t)$ 的数学归纳法可以得到。证毕。

'''定理 54''' 部分表现不等式的延长性。

对于任意 $s, b \in \Sigma^{<\omega}$ 且 $t_{0}, t_{1} \in T_{B}$ ，若 $st_{0}b \in T_{B}$ 且 $st_{1}b \in T_{B}$ ，则下列等价：

(1) $t_{0}<t_{1}$ 。
(2) $st_0b < st_1b$ 。

证明：由 < 的递归定义，通过对 $\mathrm{Lng}(s)$ 的数学归纳法可知。证毕。

映射

\[
\text {RightNodes:} T_{\mathrm{B}} \rightarrow \mathbb {N}^{< \omega} \tag {21.106}
\]

\[
t \mapsto \text {RightNodes} (t) \tag {21.107}
\]

递归定义如下:

1. 如果 t = 0，则 RightNodes(t) := ()。

<nowiki>2. 令 $t \in PT_{\mathrm{B}}$ 。 </nowiki>

<nowiki>1. 令 $t = D_u t'$ ，其中 $u \in \mathbb{N}$ 和 $t' \in T_{\mathrm{B}}$ 。 </nowiki>

2. RightNodes(t) := (u) ⊕ NRightNodes(t')。

<nowiki>3. 令 $t \in T_{\mathrm{B}} \setminus (\{0\} \cup PT_{\mathrm{B}})$ 。</nowiki>

1. 令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(t))-1$ 。

2. 右节点 $(t) <nowiki>:= \text{RightNodes}(P(t)_{J_{1}})$ 。</nowiki>

为了辅助计算序数项、不等式、加法和基本列，我们引入了 scb 分解的概念，它提供了字符串的句法信息。

设 $t \in T_{B}$ 且 $(s, c, b) \in (\Sigma^{<\omega})^{3}$ 。

1. 如果满足以下条件，则 $(s, c, b)$ 是 $t$ 的 scb 分解：

1.1. $t = scb$ 。

<nowiki>1.2. 如果 $t \neq 0$ ，则 $c \in PT_{\mathrm{B}}$ 。 </nowiki>

1.3. b 是仅由）组成的字符串。

2. 如果满足以下条件，则 $(s, c, b)$ 是 $t$ 的亏格为 0 的 scb 分解：

2.1. $(s, c, b)$ 是 $t$ 的 scb 分解。

2.2. $\text{Lng(RightNodes}(c)) = 2$ 。

2.3. RightNodes $(c)_{1} = 0$ 。

3. 如果满足以下条件，则称 $(s, c, b)$ 是 t 的第一类 scb 分解：

3.1. $(s, c, b)$ 是 $t$ 的 scb 分解。

3.2. 如果 $j_{1} := \text{Lng}(RightNodes(c))-1$ ，则 $j_{1} \geq 1$ 。

<nowiki>3.3. RightNodes $(c)_{0} < \text{RightNodes}(c)_{j_{1}}$ 。 </nowiki>

3.4. 对于任意 $j \in \mathbb{N}$ ，如果 $0 < j < j_1$ ，则 $\operatorname{RightNodes}(c)_j \geq \operatorname{RightNodes}(c)_{j_1}$ 。

'''定理 55''' scb 分解的置换可能性。

对于任意 $s, b \in \Sigma^{<\omega}$ 和 $c_0, c_1 \in T_{\mathrm{B}}$ ，如果 $c_0$ 非单项或 $c_1$ 为单项且 $sc_0b \in T_{\mathrm{B}}$ 且 $(s, c_0, b)$ 是 $sc_0b$ 的 $\operatorname{scb}$ 分解，则 $sc_1b \in T_{\mathrm{B}}$ 且 $(s, c_1, b)$ 是 $sc_1b$ 的 $\operatorname{scb}$ 分解。

证明： $sc_{1}b \in T_{B}$ 可由 Buchholz 符号系统的递归定义通过数学归纳法得出。 $(s, c_{1}, b)$ 是 $sc_{1}b$ 的 scb 分解，可由 scb 分解的定义得出。证毕。

'''定理 56''' scb 分解的合成规则。

对于任意 $t \in T_{B}$ ，有以下成立：

<nowiki>(1) 对于任意 $c_{0} \in PT_{\mathrm{B}}$ 且 $s_{0}, s_{1}, c_{1}, b_{1}, b_{0} \in \Sigma^{<\omega}$ , 若 $(s_{0}, c_{0}, b_{0})$ 是 $t$ 的 $\operatorname{scb}$ 分解, 且 $(s_{1}, c_{1}, b_{1})$ 是 $c_{0}$ 的 $\operatorname{scb}$ 分解, 则 $(s_{0}s_{1}, c_{1}, b_{1}b_{0})$ 是 $t$ 的 $\operatorname{scb}$ 分解。 </nowiki>

(2) 对任意 $v \in \mathbb{N}$ 及 $s, c, b \in \Sigma^{<\omega}$ , 若 $(s, c, b)$ 是 $t$ 的 $\operatorname{scb}$ 分解, 则 $(D_v s, c, b)$ 是 $D_v t$ 的 $\operatorname{scb}$ 分解。

证明：这可直接由 scb 分解的定义得出。证毕。

存在 $(s, b) \in (\Sigma^{<\omega})$ ，使得 $(s, c, b)$ 是 $t$ 的 scb 分解。设 $T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}} \subset T_{\mathrm{B}}^{2}$ 是所有 $(t, c) \in T_{\mathrm{B}}^{2}$ 的子集。

'''定理 57''' scb 分解自明性的判定条件。

对于任意 $(t,c)\in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ ，下列等价：

(1) $t = c$ 。

(2) 对于任意 $(s,b)\in(\Sigma^{<\omega})^{2}$ ，若 $(s,c,b)$ 是 t 的 scb 分解，则 $s=()$ 且 $b=()$ 。

(3) 存在某个 $b \in \Sigma^{<\omega}$ 使得 $((), c, b)$ 是 $t$ 的 $\operatorname{scb}$ 分解。

证明：

如果 (1) 为真，则 $\mathrm{Lng}(s)+\mathrm{Lng}(b) = (\mathrm{Lng}(s)+\mathrm{Lng}(c)+\mathrm{Lng}(b))-\mathrm{Lng}(b) = \mathrm{Lng}(t)-\mathrm{Lng}(c) = 0$ ，因此 $s = ()$ 且 $b = ()$ ，且 (2) 为真。

如果 (2) 成立，则 $(t, c) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ ，因此存在 $(s, b) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ ，使得 $(s, c, b)$ 是 $t$ 的 scb 分解，且由 (2) $s = ()$ 且 $b = ()$ ，因此 $t = scb = c$ ，且 (1) 和 (3) 成立。

如果 (3) 成立，则序数项左右括号个数相等，且 $t = cb$ 蕴涵 $b = ()$ ，因此 $t = c$ ，且 (1) 成立。

证毕。

令 $t \in T_{B}$ 。

1. 若存在 $t$ 的第 0 类 scb 分解, 则称 $t$ 为第 0 类 scb 可分解。

2. 若存在 $t$ 的第 1 类 SCB 分解, 则称 $t$ 为第 1 类 SCB 可分解。

'''定理 58''' scb 分解的唯一性。

对于任意 $t \in T_{\mathrm{B}}$ ，有以下成立：

(1) 对于任意 $(s_0, s_1, c, b_0, b_1) \in (\Sigma^{<\omega})^5$ ，若 $(s_0, c, b_0)$ 和 $(s_1, c, b_1)$ 均为 $t$ 的 $scb$ 分解，则 $s_0 = s_1$ 且 $b_0 = b_1$ 。

(2) $\mathrm{dom}(t) = \mathbb{N}$ 当且仅当 $t$ 为第0类scb可分解或第1类scb可分解。

(3) t 不是第 0 类的 scb 可分解，或 t 不是第 1 类的 scb 可分解。

(4) t 的第 0 类的 scb 分解是唯一的。

(5) t 的第 1 类的 scb 分解是唯一的。

证明：

(1) 可立即成立，因为 c 是单项运算符，且单项运算符包含除) 之外的字符。
(2) 可立即成立，因为 $t$ 不包含 $D_{\omega}$ ，所以 $\mathrm{dom}$ 的递归定义成立。

接下来我们证明 (4)。

假设 $(s_{0},c_{0},b_{0})$ 和 $(s_{1},c_{1},b_{1})$ 是t的第0类scb分解。

令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Rightnodes}(t))-1$ 。根据假设，t 是 scb 可分解的，因此 $t \neq 0, j_{1} \geq 0$ 。

令 $u := \text{RightNodes}(t)_{j_1}$ 。根据 RightNodes 的递归定义，从 t 中移除）后得到的字符串的最后两个字符为 $D_u0$ 。

令 $i \in \{0,1\}$ 。令 $j_{1,i} := \text{Lng}(\text{RightNodes}(c_i))-1$ 。根据 scb 分解的定义， $j_{1,i} \geq 1$ 。令 $u_i := \text{RightNodes}(c_i)_{j_{1,i}}$ 。根据 RightNodes 的递归定义，从 $c_i$ 中移除）后得到的字符串的最后两个字符为 $D_{u_i}0$ 。

由于 $b_{i}$ 是一个仅由) 组成的字符串，因此从 t 中移除）后得到的字符串的最后两个字符等于从 $c_{i}$ 中移除) 后得到的字符串的最后两个字符，因此 $u = u_{i}$ 。因此， $u_{0} = u_{1}$ 。

令 $v_{i} := \mathrm{RightNodes}(c_{i})_{0}$ 。由于 $b_{i}$ 是一个仅由组成的字符串， $t$ 的后两个字符减）等于 $c_{i}$ 的后两个字符减），故 $u = u_{i}$ 。因此， $u_{0} = u_{1}$ 。因此，若 $v_{i} = \mathrm{RightNodes}(t)_{j_{1}-j_{1,i}} < u$ 且对于任意 $j \in \mathbb{N}$ ， $j_{1}-j_{1,i}j < j_{1}$ ，则 $\mathrm{RightNodes}(t)_{j} \geq u$ 。由上可知， $j_{1}-j_{1,0} = j_{1}-j_{1,1}$ ，且 $v_{0} = v_{1}$ 。

令 $j_{0} := j_{1}-j_{1,0}$ 。由于 RightNodes $(t)_{j_{0}} = v_{0}$ ，t 包含 $D_{v_{0}}$ 。令 s 为 t 中最后一次出现 $D_{v_{0}}$ 左侧的字符串。由于 $c_{i}$ 的开头是 $D_{v_{0}}$ ，且 RightNodes $(c_{i}) = (\text{RightNodes}(t)_{j})_{j=j_{0}}^{j_{1}}$ ， $s = s_{i}$ 。因此， $s_{0} = s_{1}$ 。

由于 $c_{i}$ 是一个词项，因此在 $c_{i}$ 末尾附加一个或多个）的字符串不是词项。此外，由于 $b_{i}$ 仅由）组成， $c_{i}$ 是从 t 开头排除 s 的字符串中最大的子串，且该子串为一个项。因此， $c_{0}=c_{1}$ 且 $b_{0}=b_{1}$ 。

由上式可知， $(s_{0},c_{0},b_{0})=(s_{1},c_{1},b_{1})$ 。

接下来我们证明 (5)。

假设 $(s_{0},c_{0},b_{0})$ 和 $(s_{1},c_{1},b_{1})$ 是 t 的第一类 scb 分解。

令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Rightnodes}(t))-1$ 。根据假设，t 是 scb 可分解的，因此 $t \neq 0, j_{1} \geq 0$ 。

令 $u := \text{RightNodes}(t)_{j_1}$ 。根据 RightNodes 的递归定义，从 t 中移除）后得到的字符串的最后两个字符为 $D_u0$ 。

令 $i \in \{0,1\}$ 。令 $j_{1,i} := \text{Lng}(\text{RightNodes}(c_i))-1$ 。根据 scb 分解的定义， $j_{1,i} \geq 1$ 。令 $u_i := \text{RightNodes}(c_i)_{j_{1,i}}$ 。根据 RightNodes 的递归定义，从 $c_i$ 中移除）后得到的字符串的最后两个字符为 $D_{u_i}0$ 。

由于 $b_{i}$ 是一个仅由) 组成的字符串，因此从 t 中移除) 后得到的字符串的最后两个字符等于从 $c_{i}$ 中移除) 后得到的字符串的最后两个字符，因此 $u = u_{i}$ 。因此， $u_{0} = u_{1}$ 。

令 $v_{i} := \mathrm{RightNodes}(c_{i})_{0}$ 。由于 $b_{i}$ 是仅由）组成的字符串，且 $c_{i}$ 是 $t$ 中的一个项，因此 $j_{1,i} \leq j_{1}$ 且 $\mathrm{RightNodes}(c_{i}) = (\mathrm{RightNodes}(t)_{j})_{j = j_{1}-j_{1,i}}^{j_{1}}$ 。因此，若 $v_{i} = \mathrm{RightNodes}(t)_{j_{1}-j_{1,i}} < u$ ，且对于任意 $j \in \mathbb{N}, j_{1}-j_{1,i}j < j_{1}$ ，则 $\mathrm{RightNodes}(t)_{j} \geq u$ 。由上可知， $j_{1}-j_{1,0} = j_{1}-j_{1,1}$ ，且 $v_{0} = v_{1}$ 。

令 $j_0 := j_1-j_{1,0}$ 。由于 $\operatorname{RightNodes}(t)_{j_0} = v_0$ ， $t$ 包含 $D_{v_0}$ 。令 $s$ 为 $t$ 中最后一次出现 $D_{v_0}$ 左侧的字符串。由于 $c_i$ 的开头为 $D_{v_0}$ ，且 $\supset \operatorname{RightNodes}(c_i) = (\operatorname{RightNodes}(t)_j)^{j_1}_{j=j_0}$ ， $s = s_i$ 。因此， $s_0 = s_1$ 。

由于 $c_{i}$ 是一个项，因此在 $c_{i}$ 末尾附加一个或多个) 的字符串不是项。此外，由于 $b_{i}$ 仅

由) 组成，因此 $c_{i}$ 是从 t 开头排除 s 后得到的字符串中最大的子串，且该子串是项。因此， $c_{0}=c_{1}$ 且 $b_{0}=b_{1}$ 。

由上可知， $(s_{0},c_{0},b_{0})=(s_{1},c_{1},b_{1})$ 。

接下来我们证明 (3)。

根据 (4) 的证明，如果 t 的 $\mathrm{scb}(s_{0}, c_{0}, b_{0})$ 存在，则移除 t 后得到的 t 的后两个字符与移除 $c_{0}$ 后得到的 $c_{0}$ 的后两个字符匹配，即 $D_{0}0$ 。

根据 (5) 的证明，如果 t 的 $\mathrm{scb}(s_{1}, c_{1}, b_{1})$ 存在，则移除 t 后得到的 t 的后两个字符与移除 $c_{1}$ 后得到的 $c_{1}$ 的后两个字符匹配，即 $D_{u}0$ ，其中 $u \in N$ 。另一方面， $c_{1}$ 的开头可以表示为 $D_{v}$ ，其中 $v \in N$ ，且 v < u，因此 u > 0。

从上面可知，如果 t 是第 0 类 scb 可分解的，那么 t 就不是第 1 类 scb 可分解的。

证毕。

'''定理 59''' 加法与 scb 分解的关系。

对于任意 $t \in T_{B}$ 和 $c \in PT_{B}$ ，有以下成立：

<nowiki>(1) $(t+c, c) \in T_{\mathrm{B}}^{Marked}$ 。 </nowiki>

<nowiki>(2) 对于任意 $(s, b) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 和 $c' \in PT_{\mathrm{B}}$ , 若 $(s, c, b)$ 是 $t+c$ 的 scb 分解, 则 $(s, c', b)$ 是 $t+c'$ 的 scb 分解。 </nowiki>

<nowiki>(3) 对任意 $v \in \mathbb{N}$ 、 $s_0, s_1, b_0, b_1 \in \Sigma^{<\omega}$ 和 $c' \in PT_{\mathrm{B}}$ ，若 $s_1D_v(t+c)b_1 \in T_{\mathrm{B}}$ 且 $(s_0, c, b_0)$ 是 $s_1D_v(t+c)b_1$ 的 scb 分解，则 $s_1D_v(t+c')b_1 \in T_{\mathrm{B}}$ 且 $(s_0, c', b_0)$ 即为 $s_1D_v(t+c')b_1$ 的 scb 分解。</nowiki>

证明：

证明 (1), (2)。

令 t = 0。

由于 $t+c = c$ ， $((), c, ())$ 是 $t+c$ 的 scb 分解，因此 $(t+c, c) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ 。根据 scb 分解的唯一性， $s = ()$ 且 b = (), 因此 $(s, c', b) = ((), c', ())$ 是 $t+c' = c'$ 的 scb 分解。令 $t \in PT_{B}$ 。

$t+c=(t,c)$ ，所以 $((t,,c,))$ 是 $t+c$ 的 scb 分解，因此 $(t+c,c)\in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ 。根据 scb 分解的唯一性， $s=(t,\text{且}b=)$ ，所以 $(s,c',b)=(t,,c',))$ 是 $t+c'=(t,c')$ 的 scb 分解。

令 $t \in MT_{B}$ 。

使用 $s' \in \Sigma^{<\omega}$ 并设置 $t = (s)$ ，我们得到 $t+c = (s', c)$ ，因此 $((s', c,))$ 是 $t+c$ 的 $\operatorname{scb}$ 分解，因此 $(t+c, c) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ 。根据 $\operatorname{scb}$ 分解的唯一性， $s = (s', \text{且 } b =)$ ，且 $(s, c', b) = (s', c', ))$ 是 $t+c' = (s', c')$ 的 $\operatorname{scb}$ 分解。

接下来我们证明 (3)。

令 t = 0。

由于 $s_1D_vcb_1 = s_1D_v(t+c)b_1\in T_\mathrm{B}$ ，由scb分解的可替代性可知， $s_1D_v(t+c')b_1 =$ $s_1D_vc'b_1\in T_\mathrm{B}$ 。

由于 $s_0cb_0 = s_1D_v(t+c)b_1 = s_1D_vcb_1$ ，由scb分解的唯一性(1)可知， $s_0 = s_1D_v$ 且 $b_{0} = b_{1}$ 。因此， $s_0c'b_0 = s_1D_vc'b_1 = s_1D_v(t+c')b_1$ ，所以 $(s_0,c',b_0)$ 是 $s_1D_v(t+c')b_1$ 的scb分解。

令 $t \in PT_{B}$ 。

$s_{1}D_{v}(t,c)b_{1}=s_{1}D_{v}(t+c)b_{1}\in T_{B}$ ，又由scb分解的可替代性可知， $s_{1}D_{v}(t+c')b_{1}=s_{1}D_{v}(t,c')b_{1}\in T_{B}$ 。

$s_{0}cb_{0}=s_{1}D_{v}(t+c)b_{1}=s_{1}D_{v}(t,c)b_{1}$ ，且根据 scb 分解的唯一性 (1)， $s_{0}=s_{1}D_{v}(t,$ 且 $b_{0}=)b_{1}$ 。因此， $s_{0}c^{\prime}b_{0}=s_{1}D_{v}(t,c^{\prime})b_{1}=s_{1}D_{v}(t+c^{\prime})b_{1}$ ，因而 $(s_{0},c^{\prime},b_{0})$ 是 $s_{1}D_{v}(t+c^{\prime})b_{1}$ 的 scb 分解。

令 $t \in MT_{B}$ 。

利用 $s' \in \Sigma^{<\omega}$ 并设定 $t = (s')$ ，我们得到 $s_1D_v(s',c)b_1 = s_1D_v(t+c)b_1 \in T_{\mathrm{B}}$ ，因此，由scb分解的可替代性，我们得到 $s_1D_v(t+c')b_1 = s_1D_v(s',c')b_1 \in T_{\mathrm{B}}$ 。 $s_0cb_0 = s_1D_v(t+c)b_1 = s_1D_v(s'c)b_1$ ，因此，根据scb分解(1)的唯一性， $s_0 = s_1D_v(s'$ ，且 $b_0 = b_1$ 。因此， $s_0c'b_0 = s_1D_v(s',c')b_1 = s_1D_v(t+c')b_1$ ，所以 $(s_0,c',b_0)$ 是 $s_1D_v(t+c')b_1$ 的scb分解。

证毕。

'''定理 60''' scb 分解与基本列的关系。

对于任意 $v, n \in N$ ，以下成立：

(1) 对于任意 $t_0', t_1' \in T_{\mathrm{B}}$ ，以下成立：

\[
(1-1) t_{0}^{\prime}+D_{v} \left(t_{1}^{\prime}+D_{0} 0\right)[n] = t_{0}^{\prime}+(D_{v} t_{1}^{\prime}) \times (n+1) 。
\]

(1-2) 对任意 $t \in T_{\mathrm{B}}$ 、 $u \in \mathbb{N}$ 和 $(s, b) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ ，若 $(s, D_u(t_0'+D_v(t_1'+D_0 0)), b)$ 是 $t$ 的 scb 分解，则 $(s, D_u(t_0'+(D_v t_1') \times (n+1)), b)$ 是 $t[n]$ 的 scb 分解。
(2) 对任意 $t \in T_{\mathrm{B}}$ 、 $u \in \mathbb{N}$ 及 $(s_0, s_1, c_2, b_0, b_1) \in (\Sigma^{<\omega})^5$ ，若 $(s_1, c_2, b_1)$ 为 $t$ 的一类 1 阶 $\operatorname{scb}$ 分解，且 $(D_u s_0, D_v 0, b_0)$ 为 $c_2$ 的一类 $\operatorname{scb}$ 分解，则 $v > u$ 且 $t[n] = s_1 D_u (s_0 D_{v-1})^{n+1} 0 b_0^{n+1} b_1$ 。

证明：根据 Buchholz 符号中基本列和共尾数的递归定义，通过数学归纳法，可直接得出取 $[n]$ 项长度的定理。证毕。

'''定理 61''' RightNodes 与部分表现的关系。

对于任意 $v, n \in N$ ，以下成立：

对于任意 $s, b \in \Sigma^{<\omega}$ 和 $v \in \mathbb{N}t \in PT_{\mathrm{B}}$ ，若 $b$ 仅由）和 $sD_v0b \in T_{\mathrm{B}}$ 组成，则 $sD_vtb \in T_{\mathrm{B}}$ 且 $\operatorname{Lng}(P(sD_vtb)) = \operatorname{Lng}(P(sD_v0b))$ ，存在唯一的 $a_0, a_1 \in \mathbb{N}\omega$ 使得：

<nowiki>(1) RightNodes $(sD_{v}tb)=a_{0}\oplus_{\mathbb{N}}(v)\oplus_{\mathbb{N}}a_{1}$ 。 </nowiki>

<nowiki>(2) RightNodes $(sD_{v}0b)=a_{0}\oplus_{\mathbb{N}}(v)$ 。 </nowiki>

<nowiki>(3) RightNodes $(D_v t) = (v) \oplus_{\mathbb{N}} a_1$ 。</nowiki>

证明：

由 scb 分解的可替代性可知， $sD_{v}tb \in T_{B}$ ，并且通过数学归纳法，由 P 的递归定义可知， $\mathrm{Lng}(P(sD_{v}tb)) = \mathrm{Lng}(P(sD_{v}0b))$ 。

设 $a_{1} := \text{RightNodes}(t)$ 。根据 RightNodes 的定义，RightNodes $(D_{v}t) = (v) \oplus_{\mathbb{N}} a_{1}$ 。

利用数学归纳法证明 $\operatorname{Lng}(s)$ 存在 $a_0 \in \mathbb{N}^{<\omega}$ , 使得 RightNodes $(sD_vtb) = a_0 \oplus_{\mathbb{N}}(v) \oplus_{\mathbb{N}}a_1$ 且 RightNodes $(sD_v0b) = a_0 \oplus_{\mathbb{N}}(v)$ 。

若 $\mathrm{Lng}(s)=0$ ，则 b=0，因此可设 $a_{0}=()$ 。

令 $\mathrm{Lng}(s) > 0$ 。

令 $sD_{v}0b \in PT_{B}$ 。

令 $s = D_{u}s'$ ，其中 $u \in N$ 和 $s' \in \Sigma^{<\omega}$ 。

根据 $T_{B}$ 的递归定义，我们有 $s'D_{v}0b \in T_{B}$ 。因此， $s'D_{v}tb \in T_{B}$ 。

因为 $\mathrm{Lng}(s')=\mathrm{Lng}(s)-1<\mathrm{Lng}(s)$ ，根据归纳假设，存在 $a_{0}^{\prime}\in N^{<\omega}$ 使得 RightNodes $(s'D_{v}tb)=a_{0}^{\prime}\oplus_{\mathbb{N}}(v)\oplus_{\mathbb{N}}a_{1}$ 且 RightNodes $(s'D_{v}0b)=a_{0}^{\prime}\oplus_{\mathbb{N}}(v)$ 。

$a_0 := (u) \oplus_{\mathbb{N}} a_0'$ , 则由 $T_{\mathrm{B}}$ 的递归定义可知, RightNodes $(sD_vtb) = (u) \oplus_{\mathbb{N}} \text{RightNodes } (s'D_vtb) = (u) \oplus_{\mathbb{N}} a_0' \oplus_{\mathbb{N}}(v) \oplus_{\mathbb{N}} a_1 = a_0 \oplus_{\mathbb{N}}(v) \oplus_{\mathbb{N}} a_1$ 及 RightNodes $(sD_v0b) = (u) \oplus_{\mathbb{N}} \text{RightNodes } (s'D_v0b) = (u) \oplus_{\mathbb{N}} a_0' \oplus_{\mathbb{N}}(v) = a_0 \oplus_{\mathbb{N}}(v)$ 。

令 $sD_{v}0b \in MT_{B}$ 。令 $J_{1} := \mathrm{Lng}\left(P\left(sD_{v}0b\right)\right)$ 。

根据 $\Sigma_{\mathrm{B}}$ 的定义，存在 $\mathrm{a}b_1' \in \Sigma^{<\omega}$ ，其仅由 $P(sD_v0b)_{J_1}b_1'$ 组成，该 $P(sD_v0b)_{J_1}b_1'$ 出现在 $sD_v0b$ 的末尾。令 $b = b_0'b_1'$ ，其中 $b_0' \in \Sigma^{<\omega}$ 仅由）组成。

$D_{v}0b = D_{v}0b_{0}^{\prime}b_{1}^{\prime}$ 出现在 $sD_{v}0b$ 的末尾， $b_{0}^{\prime}$ 出现在 $P(sD_{v}0b)_{J_{1}}$ 的末尾，且因为 $P(sD_{v}0b)_{J_{1}}$ 为单项且包含一个既不是 0 也不是）的字符，所以 $D_{v}0b_{0}^{\prime}$ 出现在 $P(sD_{v}0b)_{J_{1}}$ 的末尾。使用 $s_{0}^{\prime} \in \Sigma^{<\omega}$ ，令 $P(sD_{v}0b)_{J_{1}} = s_{0}^{\prime}D_{v}0b_{0}^{\prime}$ 。

由于 $P(sD_v0b)_{J_1}b_1' = ,s_0'D_v0b_0'b_1' = ,s_0'D_v0b$ 出现在 $s$ 的末尾，因此 $s_0'$ 出现在 $s$ 的末尾。令 $s = s_1', s_0'$ ，其中 $s_1' \in \Sigma^{<\omega}$ 。

因为 $s_0^{\prime}D_v0b_0^{\prime} = P(sD_vb)_{J_1}\in T_\mathrm{B},s_0^{\prime}D_vtb_0^{\prime}\in T_\mathrm{B}$ 且 $sD_v0b = s_1^{\prime}s_0^{\prime}D_v0b_0^{\prime}b_1^{\prime} = s_1^{\prime}P(sD_vb)_{J_1}b_1^{\prime}$ 。 $sD_vtb$ 是将 $sD_v0b$ 的尾部 $P(sD_v0b)_{J_1}b_1^{\prime}$ 替换为 $P(sD_vtb)_{J_1}b_1^{\prime}$ 得到的，而 $sD_vtb$ 也是将 $sD_vtb_1^\prime$ 的尾部 $P(sD_v0b)_{J_1}b_1^{\prime} = s_0^{\prime}D_v0b_0^{\prime}b_1^{\prime}$ 替换得到的。因此， $P(sD_vtb)_{J_1} = s_0^{\prime}D_vtb_0^{\prime}$ 。

因为 $\mathrm{Lng}(s') = \mathrm{s}-\mathrm{Lng}(s_{1}')+1 < \mathrm{Lng}(s)$ ，根据归纳假设，存在 $a_{0} \in N^{<\omega}$ 使得 RightNodes $(s_{0}'D_{v}tb_{0}') = a_{0} \oplus_{\mathbb{N}}(v) \oplus_{\mathbb{N}}a_{1}$ 且 RightNodes $(s_{0}'D_{v}0b_{0}') = a_{0} \oplus_{\mathbb{N}}(v)$ 。

根据 RightNodes 的递归定义，RightNodes $(sD_{v}tb) = \text{RightNodes}\left(P(sD_{v}tb)_{J_{1}}\right) = \text{RightNodes}\left(s_{0}^{\prime}D_{v}tb_{0}^{\prime}\right) = a_{0}\oplus_{\mathbb{N}}(v)\oplus_{\mathbb{N}}a_{1}, \text{RightNodes}(sD_{v}0b) = \text{RightNodes}\left(P(sD_{v}0b)_{J_{1}}\right) = \text{RightNodes}\left(s_{0}^{\prime}D_{v}0b_{0}^{\prime}\right) = a_{0}\oplus_{\mathbb{N}}(v)$ 。

证毕。

映射 (Trans(M), Mark(M, m)) $\in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$

\[
\text {Trans:} T_{\mathrm{PS}} \rightarrow T_{\mathrm{B}} \tag {21.108}
\]

\[
M \mapsto \operatorname{Trans} (M) \tag {21.109}
\]

\[
\text {Mark:} T_{\mathrm{PS}}^{\text {Marked}} \rightarrow T_{\mathrm{B}} \tag {21.110}
\]

\[
(M, m) \mapsto \operatorname{Mark} (M, m) \tag {21.111}
\]

递归定义如下:

1. 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1$ 。

<nowiki>2. 令 $M \in RT_{\mathrm{PS}}$ ，且 $j_1 = 0$ 。 </nowiki>

2.1. 令 $M_{0}=(0,0)$ 。

2.1.1. Trans(M) := 0。

2.1.2. Mark(M, m) := 0。

2.2. 令 $M_0 \neq (0,0)$ 。

2.2.1. Trans(M) := $D_{M_{1,0}0}0$ 。

2.2.2. Mark(M, m) := $D_{M_{1,0}}$ 0。

3. 令 M 为约化、单项且 $j_{1} > 0$ 。

3.1. 令 $t_1 := \text{Trans}(\text{Pred}(M))$ 。

3.2. 令 $t_1 = 0$ ，在[34]中。

3.2.1. $\operatorname{Trans}(M) <nowiki>:= D_0 D_{M_{1,j_1}} 0$ 。 </nowiki>

3.2.2. 如果 m = 0，则标记 $(M, m) <nowiki>:= D_{0} D_{M_{1,j_{1}}} 0$ 。 </nowiki>

3.2.3. 如果 m > 0，则标记 $(M, m) <nowiki>:= D_{M_{1j_1}} 0$ 。 </nowiki>

3.3. 令 $t_1 \neq 0$ 。

3.3.1. 令 $i_1 := \max \{i \in \{0, 1\} \mid M_{i,j_1} > 0\}$ 且[35]。

3.3.2. 令 $j_0 := \max \{j \in \mathbb{N} \mid j < j_1 \land (0, j) \leq_M (0, j_1)\}$ 且[36]。

3.3.3. 令 $j_{-1} := \mathrm{Adm}_{M}(j_{0})$ 。

3.3.4. 定义相互矛盾的条件 (I) 至 (VI) 如下:

3.3.4.1. 条件 (I) 为 “ $M_{1,j_{1}}=0$ 且 $j_{0}$ 是 M 容许的”。

3.3.4.2. 条件 (II) 为 “ $M_{1,j_{1}}=0$ 且 $j_{0}$ 不是 M 容许的”。

3.3.4.3. 条件 (III) 为 “ $M_{1,j_1} > 0$ 且 $M_{1,j_0} \geq M_{1,j_1}$ 且 $j_0$ 是 M 容许的”。

3.3.4.4. 条件 (IV) 为 “ $M_{1,j_{1}}>0$ 且 $M_{1,j_{0}}\geq M_{1,j_{1}}$ 且 $j_{0}$ 不是 M 容许的”。

3.3.4.5. 条件 (V) 为 “ $M_{1,j_{1}}>0$ 且 $M_{1,j_{0}}+1=M_{1,j_{1}}$ 且 $j_{0}+1<j_{1}$ ”。

3.3.4.6. 条件 (VI) 为 “ $M_{1,j_{1}}>0$ 且 $M_{1,j_{0}}+1=M_{1,j_{1}}$ 且 $j_{0}+1=j_{1}$ ”。

3.3.5. 设 $c_{1} := \text{Mark}(\text{Pred}(M), j_{-1})$ 。

3.3.6. 由于 $(t_1, c_1) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ 且 $t_1 \neq 0$ ，因此 $c_1 \in PT_{\mathrm{B}}$ 且 $\operatorname{scb}$ 分解的唯一性 (1) 根据 (1)，存在唯一的 $(s_1, b_1) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 使得 $(s_1, c_1, b_1)$ 是 $t_1$ 的 $\operatorname{scb}$ 分解。

3.3.7. 令 $c_{1} = D_{v}t_{2}$ , 其中 $v \in \mathbb{N}$ 和 $t_{2} \in T_{\mathrm{B}}$ 。

3.3.8. 令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(t_{2}))-1$ 。

3.3.9. 如果满足条件 (I)、(III) 或 (V)，则 $c_{2} := D_{v}(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0)$ 集合。

3.3.10. 假设满足条件 (II) 或 (IV)。

3.3.10.1. 如果 $t_{2}=0$ ，则令 $c_{2}:=D_{v}D_{M_{1,j_{0}}}D_{M_{1,j_{1}}}0$ 。

3.3.10.2. 令 $t_{2} \neq 0$ 。

3.3.10.2.1. 令 $P(t_2)_{J_1}$ 的左端为 $D_{M_{1,j_0}}$ 。

3.3.10.2.1.1. 令 $t_3 := \Sigma_{\mathrm{B}}(P(t_2)_J)_{J=0}^{J_1-1}$ 。

3.3.10.2.1.2. 使用 $t_{4} \in T_{PS}$ ，令 $P(t_{2})_{J_{1}} = D_{M_{1,j_{0}}} t_{4}$ 。

3.3.10.2.2. 假设 $P(t_{2})_{J_{1}}$ 的左端不是 $D_{M_{1,j_{0}}}$ 。

3.3.10.2.2.1. 令 $t_3 := t_2$ 。

3.3.10.2.2.2. 令 $t_{4} := t_{2}$ 。

3.3.10.2.3. 令 $c_{2} := D_{v}\left(t_{3}+D_{M_{1,j_{0}}}\left(t_{4}+D_{M_{1,j_{1}}}0\right)\right)$ 。

3.3.11. 如果条件 (VI) 满足，则令 $c_{2} := D_{v} D_{M_{1,j_{1}}} 0$ 。

3.3.12. Trans(M) := $s_{1}c_{2}b_{1}$ 。

3.3.13. 令 $m < j_{1}$ 。

3.3.13.1. 令 $c_{0} := \text{Mark}(\text{Pred}(M), m)$ 。

3.3.13.2. 令 $(c_0, c_1) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ 。

3.3.13.2.1. 由于 $(t_1, c_0) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ ，scb 分解的唯一性（1）意味着存在唯一的 $(s_0, b_0) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 使得 $(s_0, c_0, b_0)$ 是 $t_1$ 的 scb 分解。

3.3.13.2.2. 由于 $(c_0, c_1) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ ，由 scb 分解的唯一性（1），存在唯一的 $(s_{-1}, b_{-1}) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 使得 $(s_{-1}, c_1, b_{-1})$ 是 $c_0$ 的 scb 分解。

3.3.13.2.3. Mark(M, m) := $s_{-1}c_{2}b_{-1}$ 。

3.3.13.3. 如果 $(c_{0}, c_{1}) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ 不成立，则 $\mathrm{Mark}(M, m) := D_{M_{1,j_{1}}}$ 。

3.3.14. 如果 $m = j_{1}$ ，则 Mark $(M, m) := D_{M_{1,j_{1}}} 0$ 。

4. 令 M 为约化复项。

4.1. 令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(M))-1$ 。

4.2. 令 $j_{0} := j_{1}-\mathrm{Lng}(P(M)_{J_{1}})+1$ 。

4.3. 令 $P(M)_{J_1} = ((0,0))$ 。

4.3.1. $\operatorname{Trans}(M) := \operatorname{Trans}\left((M_j)_{j=0}^{j_0-1}\right)+D_00$ 。

4.3.2. Mark(M, m) := $D_{0}0$ 。

4.4. 令 $P(M)_{J_1} \neq ((0,0))$ 。

4.4.1. $\operatorname{Trans}(M) := \operatorname{Trans}\left((M_j)_{j=0}^{j_0-1}\right)+\operatorname{Trans}\left(P(M)_{J_1}\right)$ 。

4.4.2. Mark(M, m) := Mark(P(M)\_{J\_1}, m-j\_0).

5. 假设 M 不可约。

5.1. Trans(M) := Trans(Red(M))。 5.2. Mark(M, m) := Mark(Red(M), m)。

'''定理 62''' Trans 的良定义性。

存在唯一的映射 Trans 和 Mark 满足上述所有条件。

证明：根据 $\mathrm{Lng}(M)$ 的数学归纳法，可直接得出上述证明。证毕。

'''定理 63''' 2 列对序列的基本性质。

对于任意 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ ，若 $\mathrm{Lng}(M) = 2$ ，则有：

<nowiki>(1) $\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}D_{M_{1,1}0}0$ 。 </nowiki>

<nowiki>(2) $(M,0),(M,1)\in T_{\mathrm{PS}}^{Marked}$ 。 </nowiki>

<nowiki>(3) Mark(M,0)=D\_{M\_{1,0}}D\_{M\_{1,10}}0 且 Mark(M,1)=D\_{M\_{1,10}}。</nowiki>

证明：

令 $m \in \{0,1\}$ ，并使用 Trans 和 Mark 的递归定义中引入的符号。

由于 M 的可约性，以及可约性与系数之间的关系，M 满足条件 (A) 和 (B)。

$j_{1}=1$ ，且由于 M 是单项的， $(0,0)<_{M}^{\text{Next}}(0,1)=(0,j_{1})$ ， $j_{0}=0$ 。特别地， $j_{0}$ 是 M 容许的，且 $j_{-1}=j_{0}=0$ 。

如果 $m = 0$ ，则 $M$ 是单项的，因此 $(0,m) = (0,0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0,1) = (0,j_1)$ ，且 $m = 0$ 是 $M$ 容许的，因此 $(M,m) \in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ 。

如果 $m = 1$ ，则 $(0,m) = (0,1)\leq_{M}^{\mathrm{Next}}(0,1) = (0,j_1)$ ，且 $m = 1 = j_{1}$ 是 $M$ 容许的，因此 $(M,m)\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ 。

$D_{v}t_{2} = c_{1} = \mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M),j_{-1}\right) = \mathrm{Mark}\left(\left(\left(M_{1,0},M_{1,0}\right)\right),0\right) = D_{M_{1,0}}0$ ，因此 $v = M_{1,0}$ 且 $t_2 = 0$ 。

$j_{0}$ 对于 M 是容许的，且 $j_{0}+1 = 1 = j_{1}$ ，因此 M 满足条件 (I)、(III) 或 (VI)。

如果满足条件 (I) 或 (III)，则 $c_{2}=D_{v}\left(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0\right)=D_{M_{1,0}}\left(0+D_{M_{1,j_{1}}}\right)0=D_{M_{1,0}}D_{M_{1,1}}0$ 。

如果满足条件 (VI)，则 $c_{2}=D_{v}D_{M_{1,j_{1}}}0=D_{M_{1,0}}D_{M_{1,j_{1}}}0$ 。

因此，无论哪种情况， $c_{2}=D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_{1}}}0$ 。

如果 $m = 0$ ，则 $s_{-1}c_1b_{-1} = c_0 = \mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),m) = \mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),j_{-1}) = c_1$ ，因此 $s_{-1} = ()$ 且 $b_{-1} = ()$ ，且 $\mathrm{Mark}(M,m) = s_{-1}c_2b_{-1} = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_1}}0$ 。

如果 m=1，则 $m=j_{1}$ ，因此 $\mathrm{Mark}(M,m)=D_{M_{1,j_{1}}}0$ 。

如果 $M_{1,0} = 0$ ，则 $t_1 = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) = \mathrm{Trans}\left((M_{1,0},M_{1,0})\right) = 0$ ，因此 $\mathrm{Trans}(M) = D_0D_{M_{1,10}} = D_{M_{1,0}}D_{M_{1,10}}0$ 。

如果 $M_{1,0} > 0$ ，则 $t_1 = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N)) = \mathrm{Trans}((M_{1,0}, M_{1,0})) = D_{M_{1,0}} 0 \neq 0$ ，且 $s_1 D_{M_{1,0}} 0 b_1 = s_1 c_1 b_1 = t_1 = D_{M_{1,m0}}$ 因此 $s_1 = ()$ 且 $b_1 = ()$ ，所以 $\mathrm{Trans}(M) = s_1 c_2 b_1 = D_{M_{1,0}} D_{M_{1,j_1}} 0$ 。

证毕。

'''定理 64''' Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变的 P 同变性。

对于任意 $M \in T_{PS}$ ，以下成立：

(1) $\mathrm{Trans}(M) = \mathrm{Trans}(\mathrm{Red}(M)) = \mathrm{Trans}(\mathrm{IncrFirst}(M))$ 。

(2) 设 $M$ 为复项。令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(M))$ 。对于每个 $J \in \mathbb{N}$ ，且 $J \leq J_{1}$ ，如果 $P(M)_{J}$ 为零项，则令 $t_{J} := D_{0}0$ ；如果 $P(M)_{J}$ 不是零项，则令 $t_{J} <nowiki>:= \mathrm{Trans}(P(M)_{J})$ 。在这种情况下， $\mathrm{Trans}(M) = \Sigma_{\mathrm{B}}(t_{J})_{J=0}^{J_{1}}$ 。</nowiki>

证明：这直接源于 Red 的幂等性以及 Trans 和 Red 的递归定义。证毕。

'''定理 65''' Mark 的 (IncrFirst, Red, P) 的不变性。

对于任意的 $(M,m)\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ ，有：

(1) $\operatorname{Mark}(M, m) = \operatorname{Mark}(\operatorname{Red}(M), m) = \operatorname{Mark}(\operatorname{IncrFirst}(M), m)$ 。
(2) 令 $M$ 为复合词。令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(M))$ 且 $j_{0} := \mathrm{Lng}(M)-\mathrm{Lng}(P(M)_{J_{1}})-1$ 。如果 $P(M)_{J_{1}}$ 是项，则 $\text{Mark}(M, m) = D_{0}0$ ；如果 $P(M)_{J_{1}}$ 不是项，则 $\text{Mark}(M, m) = \text{Mark}(P(M)_{J_{1}}, m-j_{0})$ 。

证明：这直接源于 Red 的幂等性以及 Mark 和 Red 的递归定义。证毕。

'''定理 66''' Trans 零项性的保持性。

对于任意 $M \in T_{PS}$ ，以下等价：

(1) M 为零项。

(2) $\operatorname{Trans}(M) = 0$ 。

证明：

Red 保持不等式，且 Trans 满足 (IncrFirst, Red) 不变性，因此 M 可约化。

如果 M 可约化，则通过对 $\mathrm{Lng(M)}$ 进行数学归纳，可直接得出 Trans 的递归定义。

证毕。

'''定理 67''' $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 的大小关系。

对于任意 $M \in RT_{\mathrm{PS}} \cap PT_{\mathrm{PS}}$ ，使用 Trans 的递归定义中引入的符号，如果 $j_1 > 0$ 且 $t_1 \neq 0$ ，则 $c_1$ 和 $c_2$ 是单项的，且 $c_1 < c_2$ 。

证明：这直接由 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 的定义得出。证毕。

'''定理 68''' Pred 关于 Trans 的下降性。

对于任意 $M \in T_{PS}$ ，如果 $\mathrm{Lng}(M) > 1$ ，则 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) < \mathrm{Trans}(M)$ 。

从 Trans 的 (IncrFirst, Red) P 不变性以及 Red 与 Pred 的交换性，我们简化为 $M \in RT_{PS} \setminus ZT_{PS}$ 的情况。令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(J_{1})$ 。如果 $\mathrm{Lng}(P(M)_{J_{1}}) = 1$ ，则根据 Trans 的递归定义，由子表示不等式的可扩展性可知 $0 < D_{0}0$ 。

令 $\mathrm{Lng}\left(P(M)_{J_{1}}\right)>1$ 。P 保持可约性，故 $P(M)_{J_{1}}\in RT_{\mathrm{PS}}\cap PT_{\mathrm{PS}}$ 。由 Trans 的定义、 $c_{1}$ 与 $c_{2}$ 的量级关系，以及子表示不等式的可扩展性，Trans (Pred $(P(M)_{J_{1}}))<\mathrm{Trans}(P(M)_{J_{1}})$ 。

$\mathrm{Lng}(P(M)_{J_1}) > 1$ ，故 $P(\mathrm{Pred}(M)) = (P(M)_J)_{J = 0}^{J_1-1}\oplus_{T_{\mathrm{PS}}}\mathrm{Pred}(P(M)_{J_1})$ 。因此，根据Trans的定义，以及子表达式不等式的可扩展性， $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) < \mathrm{Trans}(M)$ 。

证毕。

'''定理 69''' 右端第一基点的 Mark 基本性质。

对于任意的 $(M,m)\in RT_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ ，若设 $j_{1}:=\mathrm{Lng}(M)-1$ ，则下列等价：

(1) $m = j_{1}\circ$
(2) $\operatorname{Mark}(M, m) = D_{M_{1,m}0}0$ 。

证明：

我们使用 Trans 递归定义中引入的符号。

根据 Mark 的递归定义，我们将其简化为 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ 的情况。

如果 $M \in RT_{\mathrm{PS}} \cap PT_{\mathrm{PS}}$ ，则根据Mark的定义，由于 $\operatorname{Lng}(c_2) > 2$ ，因此可立即得到结果。

证毕。

'''定理 70''' Mark 左端的基本性质。

对于任意 $(M,m)\in RT_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ ， $\mathrm{Mark}(M,m)$ 的左端为 $D_{M_{1,m}}$ 。

证明：

Mark 的递归定义可简化为 $m = \mathrm{Lng}(M)-1$ 的情况。

如果 $m = \mathrm{Lng}(M)-1$ ，则根据 Mark 的基本性质，可立即得出最右边的第一个基点。证毕。

'''定理 71''' 在条件 (II) 或 (IV) 下， $t_{2}$ 不为 0。

对于任意 $M \in RT_{\mathrm{PS}} \cap PT_{\mathrm{PS}}$ ，使用 Trans 的递归定义中引入的符号，如果 $t_1 \neq 0$ 且 $M$ 满足条件 (II) 或 (IV)，则 $t_2 \neq 0$ 。

证明：

如果 M 满足条件 (II)，则 $(1,j_{0})<_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_{0}+1)$ 意味着 $M_{1,j_{0}+1}>0$ ，因此 $i_{1}=0$ 意味着 $j_{0}+1<j_{1}$ 。

如果 $M$ 满足条件 (IV), 则 $(1, j_0) \leq_M (1, j_1)$ 不成立, 因此 $j_0+1 < j_1$ 意味着 $j_0+1 < j_1$ , 因为 $j_0$ 是非容许的。

因此，在两种情况下， $j_{-1} \leq j_0 < j_1-1$ ，且根据右端第一个基点 Mark 的基本性质， $D_v t_2 = c_1 \neq D_{M_{1,j-1}} 0$ 。又，根据左端 Mark 的基本性质， $v = M_{1,j-1}$ ，所以 $t_2 \neq 0$ 。

证毕。

'''定理 72''' 右端第二基点的 Mark 基本性质。

令 $M \in RT_{\mathrm{PS}} \cap PT_{\mathrm{PS}}$ ，并使用 Trans 的递归定义中引入的符号，如果 $j_1 > 0$ 且 $t_1 \neq 0$ 则 $\operatorname{Mark}(M, j_{-1}) = c_2$ 。

证明：

设 $m := j_{-1}$ ，并使用 Mark 递归定义中引入的符号。

由于 $s_{-1}c_0b_{-1} = c_1 = \mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),j_{-1}) = \mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),m) = c_0$ ， $s_{-1} = ()$ $b_{-1} = ()$ 。因此， $\mathrm{Mark}(M,j_{-1}) = \mathrm{Mark}(M,m) = s_{-1}c_2b_{-1} = c_2$ 。

证毕。

'''定理 73''' Trans 最左单项成分左端的基本性质。

对于任意 $M \in RT_{PS}$ ，以下成立：

(1) 若 $P(M)_0 = ((0,0))$ 且 $\operatorname{Lng}(P(M)) > 1$ ，则 $\operatorname{Trans}(M)$ 的最左边分量有一个最左边分量为 $D_{M_{1,1}}$ 。
(2) 若 $P(M)_0 \neq ((0,0))$ ，则 $\operatorname{Trans}(M)$ 的最左边分量为 $\operatorname{Trans}(P(M)_0)$ ，其最左边分量为 $D_{M_{1,0}}$ 。
(3) 若 $(1,0) <_{M}^{Next}$ (1,1)，则 $Trans(M)$ 最左边分量的两个最左边字符可以表示为 $D_{M_{1,0}}D_u$ ，其中 $u \in \mathbb{N}$ 。

证明：

由 Trans 的递归定义，我们简化为 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ 的情况。

如果 $M \in RT_{\mathrm{PS}} \cap PT_{\mathrm{PS}}$ ，那么由 Trans 的递归定义，通过对 $j_1$ 的数学归纳法可知。

证毕。

'''定理 74''' Trans 单项性的保持。

对于任意 $M \in T_{PS}$ ，以下等价：

(1) M 是单项的。
(2) $\operatorname{Trans}(M)$ 是单项的，或者 $P(M)_0$ 是零项且 $\mathrm{Lng}(P(M)) = 2$ 。

证明：

Red 保持单项性，且 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性简化为 M 可约的情况，这归因于 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性以及 Trans 最左元素的基本性质。

如果 M 可约，则由 Trans 的递归定义和 $\mathrm{Lng}(M)$ 上的数学归纳法可直接得出。

证毕。

'''定理 75''' Trans 与不可数基数的关系。

对于任意 $M \in RT_{PS}$ 和 $v \in N$ ，下列等价：

(1) $\operatorname{Trans}(M) = D_v0$ 。
(2) v = 0 且 $M = ((0,0), (0,0))$ ，或 v > 0 且 $M = ((v,v))$ 。

证明：

如果 (2)，则根据 Trans 的定义可知 (1)。

设 (1) 成立。

由于 M 的可约性、不可约性和系数关系，M 满足条件 (A) 和 (B)。特别地，由于 M 满足条件 (B)， $M_{0,0} = M_{1,0}$ 。设 v = 0。

如果假设 $M_{1,0} > 0$ ，那么根据Trans最左单项式分量左端的基本性质(2)，Trans(M)最左单项式分量左端为 $D_{M_{1,0}} \neq D_0 = D_v$ ，这与上下文矛盾。因此， $M_{1,0} = 0$ 。如果 $\mathrm{Lng}(M) = 1$ 则 $M = ((0,0))$ ，即 $\mathrm{Trans}(M) = 0 \neq D_v0$ ，这自相矛盾。因此， $\mathrm{Lng}(M) > 1$ 。

令 $M' := (M_{j})_{j=0}^{1}$ 。

由于 $\mathrm{Lng}(M') = 2$ ，因此 $M'$ 不是零项。如果 $M'$ 是单项的，则根据两列对序列的基本性质以及 Pred 相对于 Trans 的下降性质，

$D_00 = D_v0 = \mathrm{Trans}(M) \geq \mathrm{Trans}(M') = D_0D_{M_{1,1}}0 > D_00$ ，这与上下文矛盾。因此， $M'$ 是复项，且 $M_{0,1} \leq M_{0,0} = 0$ ，即 $M_{0,1} = 0$ 。

由于可约性可遗传到切片， $M'$ 是可约的；并且由于可约性与系数之间的关系， $M'$ 满足条件 (A) 和 (B)。特别地，由于 $M'$ 是复项且满足条件 (B)，

\[
M_{1, 1} = M_{0, 1} = 0 。
\]

Trans $(M') = \text{Trans}(M') = ((0,0),(0,0)) = D_{0}0 = \text{Trans}(M)$ ，因此，根据 Pred 关于 Trans 的下降性质， $M = M' = ((0,0),(0,0))$ 。

假设 v > 0。

设 $P(M)_0$ 为零项， $M_0 = (0,0)$ ，根据 $P$ 的定义， $M_{0,1} = 0$ 。由于 $M$ 满足条件 (B)， $M_{1,1} = M_{0,1} = 0$ 。然而，由于 Trans 最左单项式分量左端的基本性质， $D_v0 = \mathrm{Trans}(M)$ 的唯一单项式分量 $D_v0$ 的左端为 $D_{M_{1,1}} = D_0 \neq D_v$ ，这与 $P(M)_0$ 矛盾。因此， $P(M)_0$ 不是零项。

$P(M)_{0}$ 不是零项，且 Trans 是单项式，所以 M 是单项式。由 Trans 最左单项式分量左端的基本性质可知，Trans (M) 的左端为 $D_{M_{1,0}}$ ，故 $M_{1,0} = v > 0$ 。

Trans $((M_{0})) = D_{M_{1,0}0} = D_{v}0 = \text{Trans}(M)$ ，由 Pred 相对于 Trans 的下降性质可知， $M = (M_{0}) = ((M_{1,0}, M_{1,0})) = ((v, v))$ 。

证毕。

'''定理 76''' 左端第一基点的 Mark 基本性质。

对于任意 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ ，有以下成立：

(1) $(M,0)\in T_{\mathrm{PS}}^{Marked}$ 。

(2) 对于任意 $m \in \mathbb{N}$ , 若 $(M, m) \in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ , 则 $\operatorname{Mark}(M, m) = \operatorname{Trans}(M)$ 当且仅当 $m = 0$ 。

证明：

Mark 递归定义中引入的符号是针对 $(M, m)$ 定义的。

这可以通过关于 $j_{1}$ 的数学归纳法来证明。

设 $j_{1}=1$ 。

根据二序列对序列的基本性质， $(M,0)\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ 且 $\mathrm{Mark}(M,0)=D_{M_{1,0}}D_{M_{1,1}}0=\mathrm{Trans}(M)$ 。

若 $m \neq 0$ ，则 $m = 1$ ，根据两列对序列的基本性质， $\operatorname{Mark}(M, m) = D_{M_{1,m}} 0 = D_{M_{1,1}} 0 \neq D_{M_{1,0}} D_{M_{1,1}} 0 = \operatorname{Trans}(M)$ 。

令 $j_{1} > 1$ 。

由于 M 是单项式， $M \neq ((0,0),(0,0))$ 。

若 $m = j_{1}$ ，则 $m \neq 0$ 。根据右边第一个基点处Mark的基本性质， $\operatorname{Mark}(M, m) = D_{M_{1,j_1}} 0$ 。由于 $j_{1} > 1$ ，且Trans与不可数基数具有关系，故 $\operatorname{Trans}(M) \neq D_{M_{1,j_1}} 0$ 。

设 $m < j_{1}$ 。

由于 $\mathrm{Lng}(\mathrm{Pred}(M)) = j_{1} > 1$ ，故 $\mathrm{Pred}(M)$ 不是零项，且 Trans 保持零项性质，故 $t_{1} \neq 0$ 。

由于不可收缩性对切片的遗传性和单项性对初始切片的遗传性， $\operatorname{Pred}(M)$ 是可约化的和单项式的，并且根据归纳假设， $(\operatorname{Pred}(M), 0) \in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ 且 $c_0 = \operatorname{Mark}(\operatorname{Pred}(M), m)$ 与 $t_1 = \operatorname{Trans}(\operatorname{Pred}(M))$ 一致当且仅当 $m = 0$ 。

如果 $m = 0$ ，则 $s_0c_0b_0 = t_1 = c_0$ ，因此 $s_0 = ()$ 且 $b_{0} = ()$ ，且 $s_1 = s_0s_{-1} = s_{-1}$ 且 $b_{1} = b_{-1}b_{0} = b_{-1}$ ，因此 $\operatorname {Mark}(M,0) = \operatorname {Mark}(M,m) = s_{-1}c_2b_{-1} = s_1c_2b_1 = \operatorname {Trans}(M)$ 。

如果 $m \neq 0$ ，则 $s_0c_0b_0 = t_1 \neq c_0$ ，所以 $s_0 \neq ()$ 或 $b_0 \neq ()$ ，且 $\operatorname{Mark}(M, m) = s_{-1}c_2b_{-1} \neq s_0s_{-1}c_2b_{-1}b_0 = s_1c_2b_1 = \operatorname{Trans}(M)$ 。

证毕。

'''定理 77''' $s_{1}$ 和 $b_{1}$ 的空性与基点的关系。

对于任意 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ ，使用 Trans 的递归定义中引入的符号，下列等价：

(1) $j_{-1}=0$ 。
(2) $s_1 = ()$ 且 $c_{1} = t_{1}$ 且 $b_{1} = ()$ 。
(3) $s_{1} = ()$ 。

证明：

若 (1) 成立, 则根据 Mark 在左侧第一个基点的基本性质 (2), $c_{1} = \text{Mark}(\text{Pred}(M), j_{-1}) = \text{Trans}(\text{Pred}(M)) = t_{1}$ , 且根据 scb 分解的平凡性准则, $s_{1} = ()$ 且 $b_{1} = ()$ , 故 $c_{1} = s_{1}c_{1}b_{1} = t_{1}$ 。

若 (2) 成立，则根据假设， $s_{1}=()$ 。

若 (3) 成立，则根据 scb 分解的平凡性准则， $c_{1}=t_{1}$ ，且根据 Mark 在左侧第一个基点的基本性质 (2)， $j_{-1}=0$ 。

证毕。

'''定理 78''' Mark 对顺序关系的保持。

对任意 $M \in T_{\mathrm{PS}}$ 和 $m_0, m_1 \in \mathbb{N}$ , 若 $(M, m_0), (M, m_1) \in T_{\mathrm{PS}}^{Marked}$ , 则下列等价:

(1) $m_{0}<m_{1}$ 。
(2) Mark $(M, m_{1}) \neq \text{Mark}(M, m_{0})$ 且 $(\text{Mark}(M, m_{1}), \text{Mark}(M, m_{0})) \in T_{\text{B}}^{\text{Marked}}$ 。

证明：由 Mark 的递归定义可知，通过数学归纳法，可直接得出 $\mathrm{Lng}(M)$ 的证明。证毕。

'''定理 79''' $s_{-1}$ 和 $b_{-1}$ 的空性与基点的关系。

对于任意 $(M, m) \in T_{\mathrm{PS}}^{Marked}$ ，若 $M$ 是可约化的且单项的，那么，利用 Trans 和 Mark 的递归定义中引入的符号，下列表达式等价：

(1) $m = j_{-1}$ 。
(2) $s_{-1} = ()$ 且 $b_{-1} = ()$ 。

证明：这直接源于 scb 分解的平凡性准则以及 Mark 保持有序的事实。证毕。

'''定理 80''' Trans 和 Mark 的表示。

对于任意的 $(M,m)\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ ，令 $j_{1}:=\mathrm{Lng}(M)-1$ ，则若 $j_{1}-m>0$ ，则 Mark $(M,m)=\mathrm{Trans}\left((M_{j})_{j=m}^{j_{1}}\right)$ 。

证明：

由于 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性为 P 等变性，Mark 的 (IncrFirst, Red, P) 不变性，以及 Red 的容许性，我们将其简化为 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ 的情况。接下来，我们定义 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ ，并定义 Trans 递归定义中引入的符号，用于 M。为了明确这是对 M 的应用，我们将 M 写在右肩上。

$m < j_{1}$ 且 $(0, m) \leq_{M} (0, j_{1})$ 且 $\left(0, j_{0}^{M}\right) <_{M}^{\text{Next}} \left(0, j_{1}^{M}\right) = (0, j_{1})$ ，因此 $m \leq j_{0}^{M}$ 。

如果 $m = 0$ ，则根据Mark在最左边第一个基点的基本性质可知。下文中，我们假设 $m > 0$ 。在这种情况下， $j_{1}^{M} = j_{1} > m > 0$ ，因此 $j_{1}^{M} > 1$ ，进而 $t_1^M\neq 0$ 。

令 $N := \text{Red}\left((M_{j})_{j=m}^{j_{1}}\right)$ 。

根据Lng的Red不变性, $j_{1}^{N}=\mathrm{Lng}(N)-1=\mathrm{Lng}\left((M_{j})_{j=m}^{j_{1}}\right)-1=j_{1}-m\circ(0,j_{0}^{M})<_{M}^{\mathrm{Next}}$ $(0,j_{1})$ 且 $(0,m)\leq M(0,j_{1})$ ，所以 $m\leq j_{0}^{M}$ 且 $(0,j_{0}^{M}-m)<_{N}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1}^{M}-m)=(0,j_{1}-m)=(0,j_{1}^{N})$ ，所以 $j_{0}^{N}=j_{0}^{M}-m$ 。N是可约的，因此由于可约性和系数之间的关系，M和N

满足条件 (A) 和 (B)。由于直接祖先切片以及 Red 与 IncrFirst 之间的关系，N 是单项的，且 IncrFirst $M_{0,m}-M_{1,m}(N)=(M_{j})_{j=m}^{j_{1}}$ ，即 $N=((M_{0,j}-M_{0,0}+M_{1,0},M_{1,j}))_{j=m}^{j_{1}}$ 。

Trans 的递归定义中引入的符号是针对 N 定义的，为了清楚地表明它们应用于 N，它们都以 N 为右肩书写。

令 $j_{1}-m=1$ 。

$N = ((M_{1,m}, M_{1,m}), (M_{1,j_1}-M_{0,m}+M_{1,m}, M_{1,j_1})) \circ j_1^N = j_1-m = 1$ ，且由于 $N$ 为单项矩阵， $(0,0) <_{N}^{\text{Next}} (0,1) = (0, j_1^N)$ ， $j_0^N = 0$ 。特别地， $j_0^N$ 是 $N$ 容许的，且 $j_{-1}^N = j_0^N = 0$ 。

$D_{v^{N}}t_{2}^{N} = c_{1}^{N} = \operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(N),j_{-1}^{N}\right) = \operatorname{Mark}\left(\left(\left(M_{1,m},M_{1,m}\right)\right),0\right) = D_{M_{1,m}}0$ ，因此 $v^{N} = M_{1,m}$ 且 $t_2^N = 0$ 。

$(0, m) \leq_{M} (0, j_1)$ 且 $m+1 = j_1$ ，因此 $(0, m) <_{M}^{\text{Next}} (0, j_1)$ ，即 $j_0^M = m$ ，且由于 $m$ 是 $M$ 容许的，因此 $m = j_{-1}$ 。因此，由于 $s_{-1}$ 和 $b_{-1}$ 为空，且基点之间存在对应关系， $s_{-1}^M = ()$ ， $b_{-1}^M = ()$ 。

由于 m 具有 M 容许，且满足右端第一个基点 Mark 的基本性质， $D_{v^{M}}t_{2}^{M}=c_{1}^{M}=$ Mark $\left(\mathrm{Pred}(M),j_{-1}^{M}\right)=\mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),m)=D_{M_{1,m}}0$ 。因此， $v^{M}=M_{1,m}, t_{2}^{M}=0$ 。

由于 $m$ 是 $M$ 容许的，且 $j_0^M+1 = m+1 = j_1 = j_1^M$ ，因此 $M$ 满足条件 (I)、(III) 或 (VI)。如果满足条件 (I) 或 (III)，则 $c_2^M = D_{v^M}(t_2^M+D_{M_{1,j_1}}0) = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_1}}0$ 。如果满足条件 (VI)，则 $c_2^M = D_{v^M}D_{M_{1,j_1}}0 = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_1}}0$ 。因此，无论哪种情况， $c_2^M = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_1}}0$ 。因此， $\mathrm{Mark}(M, m) = s_{-1}^M c_2^M b_{-1}^M = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_1}}0$ 。

令 $M_{1,m}=0$ 。

\[
t_{1}^{N} = \mathrm{Trans} (\mathrm{Pred} (N)) = \mathrm{Trans} \left((M_{1, m}, M_{1, m})\right) = 0.
\]

因此，根据 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性 P 和 Trans 的定义，Trans $\left((M_{j})_{j=m}^{j_{1}}\right)=\mathrm{Trans}(N)=D_{0}D_{N_{1,1}}0=D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_{1}}}0$ 。

令 $M_{1,m} > 0$ 。

由于 $t_1^N = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N)) = \mathrm{Trans}\left((M_{1,m},M_{1,m})\right) = D_{M_{1,m}}0\neq 0$ ，条件(I)至(VI)对 $N$ 有意义。

$j_{-1}^{N}=0$ ，且 $s_{1}$ 和 $b_{1}$ 的空性和基点关系意味着 $s_{1}^{N}=()$ 和 $b_{1}^{N}=()$ 。

令 $M_{1,m} < M_{1,j_{1}}$ 。

$N_{1,j_{1}^{N}} = N_{1,1} = M_{1,j_{1}} > M_{1,m} > 0$ 。 $(0,0) <_{N}^{\text{Next}} (0,1)$ 且 $N_{1,0} = M_{1,m} < M_{1,j_{1}} = N_{1,1}$ ，所以 $(1,0) <_{N}^{\text{Next}} (1,1)$ 。又由于 $j_{0}^{N}+1 = 1 = j_{1}^{N}$ 且 N 满足条件 (B)，所以 $N_{1,j_{0}^{N}}+1 = N_{1,j_{1}^{N}}$ 。因此，N 满足条件 (VI)。

$c_{2}^{N} = D_{v^{N}}D_{N_{1,j_{1}^{N}}}0 = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_{1}}}0$ ，因此 $\operatorname{Trans}(N) = s_1^N c_2^N b_1^N = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_1}}0$ 。

令 $M_{1,m} \geq M_{1,j_{1}}$ 。

由于 $j_0^N$ 是 $^N N$ 可接受的，且 $N_{1,j_0^N} = M_{1,m}\geq M_{1,j_1} = N_{1,j_1^N}$ ，因此 $N$ 满足条件(I)或(III)。

$c_{2}^{N} = D_{v^{N}}\left(t_{2}^{N}+D_{N_{1,j_{1}^{N}}}0\right) = D_{M_{1,m}}\left(0+D_{M_{1,j_{1}}}0\right) = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_{1}}}0,$ 因此 $\operatorname{Trans}(N) =$ $s_1^N c_2^N b_1^N = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_1}}0$ 。

因此，在这两种情况下，Trans $(N) = s_{1}^{N}c_{2}^{N}b_{1}^{N} = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_{1}}}0$ ，并且从 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性 P-不变性来看，Trans $\left((M_{j})_{j=m}^{j_{1}}\right) = \text{Trans}(N) = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_{1}}}0 = \text{Mark}(M,m)$ 。

我们将利用数学归纳法证明,在条件 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ 下, $\mathrm{Mark}(M, m) = \mathrm{Trans}\left((M_j)_{j=m}^{j_1}\right)$ 。

如果 $j_{1} = 2$ ，则 $j_{1} > m > 0$ ，因此 $m = 1$ 且 $j_{1}-m = 1$ ，这在前面已经得到证明。

令 $j_{1} > 2$ 。我们已经证明，如果 $j_{1}-m = 1$ ，则成立，因此，从现在开始，令 $j_{1}-m > 1$ 。

由于 $\operatorname{Red}(R)$ 是可还原的和单项的，并且 $\operatorname{Lng}(N)-1 = j_1-m > 1$ 且 Trans 是零终结的， $t_1^N \neq 0$ ，因此条件 (I) 至 (VI) 对 $\operatorname{Red}(N)$ 有意义。

根据基点切片的遗传性， $(\mathrm{Pred}(M), m) \in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ 和 $\mathrm{Lng}(\mathrm{Pred}(M))-1 = j_1-1 < j_1$ ，因此根据 Red 和 Pred 的交换性和归纳假设，

\[
\begin{array}{l} c_{0}^{M} = \operatorname{Mark} (\operatorname{Pred} (M), m) \\ = \operatorname{Trans} \left((\operatorname{Pred} (M)_{j})_{j = m}^{j_{1}-1}\right) \\ = \operatorname{Trans} \left(\left(M_{j}\right)_{j = m}^{j_{1}-1}\right) \tag {21.112} \\ = \operatorname{Trans} \left(\left(M_{0, j}-M_{0, m}+M_{1, m}, M_{1, j}\right)_{j = m}^{j_{1}-1}\right) \\ = \operatorname{Trans} (\operatorname{Pred} (N)) \\ = t_{1}^{N}, \\ \end{array}
\]

\[
c_{1}^{M} = \operatorname{Mark} \left(\operatorname{Pred} (M), j_{- 1}^{M}\right) = \operatorname{Trans} \left(\left(M_{j}\right)_{j = j_{- 1}}^{j_{1}-1}\right). \tag {21.113}
\]

此外，根据单项的原因，N 为 $(N,0)\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ ，且根据基切片的遗传性， $(\mathrm{Pred}(N),0)\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ 。由于 $\mathrm{Lng}(\mathrm{Pred}(N))-1=j_{1}^{N}-1=j_{1}-m-1<j_{1}$ ，根据 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变的 P 同变性和归纳假设，

\[
\begin{array}{l} c_{0}^{N} = \operatorname{Mark} (\operatorname{Pred} (N), 0) \\ = \operatorname{Trans} (\operatorname{Pred} (N)) \\ = \operatorname{Trans} \left(\left(M_{0, j}-M_{0, m}+M_{1, m}, M_{1, j}\right)_{j = m}^{j_{1}-1}\right) \tag {21.114} \\ = \operatorname{Trans} \left((M_{j})_{j = m}^{j_{1}-1}\right) \\ = c_{0}^{M}. \\ \end{array}
\]

\[
\begin{array}{l} c_{1}^{N} = \operatorname{Mark} \left(\operatorname{Pred} (N), j_{- 1}^{N}\right) \\ = \operatorname{Trans} \left(\left(\operatorname{Pred} (N)_{j}\right)_{j = j_{- 1}^{N}}^{j_{1}^{N}-1}\right) \\ = \operatorname{Trans} \left(\left(M_{0, j}-M_{0, m}+M_{1, m}, M_{1, j}\right)_{j = j_{- 1}^{M}}^{j_{1}-1}\right) \tag {21.115} \\ = \operatorname{Trans} \left((M_{j})_{j = j_{- 1}^{M}}^{j_{1}-1}\right) \\ = c_{1}^{M}. \\ \end{array}
\]

$D_{v^M}t_2^M = c_1^M = c_1^N = D_{v^N}t_2^N$ ，因此 $v^{M} = v^{N}$ 且 $t_2^M = t_2^N$ ，且 $s_{-1}^{M}c_{1}^{M}b_{-1}^{M} = c_{0}^{M} = t_{1}^{N} = s_{1}^{N}c_{1}^{N}b1^{N} = s_{1}^{N}c_{1}^{M}b_{1}^{N}$ ，因此 $s_{-1}^{M} = s_{1}^{N}$ 且 $b_{-1}^{M} = b_{1}^{N}$ 。由以上可知，

\[
\operatorname{Trans} \left((M_{j})_{j = m}^{j_{1}}\right) = \operatorname{Trans} (N) = s_{1}^{N} c_{2}^{N} b_{1}^{N} = s_{- 1}^{M} c_{2}^{M} b_{- 1}^{M} = \operatorname{Mark} (M, m). \tag {21.116}
\]

证毕。

令 $M \in T_{\mathrm{PS}}$ 。定义 $\mathbb{Z}^2$ 上的二元关系 $<_{M}^{\mathrm{NextAdm}}$ 如下：

1. 对于 $(i_0, j_0), (i_1, j_1) \in \mathbb{Z}^2$ , $(i_0, j_0) <_{M}^{\text{NextAdm}} (i_1, j_1)$ 满足以下条件:

1.1. $(i_0,j_0)\leq_M(i_1,j_1)$

1.2. $j_{0} < j_{1}$ 。

1.3. $j_{0}$ 是 M 容许的。

1.4. 对于任意 $j \in \mathbb{N}$ , 如果 $j_0 < j < j_1$ , 则:

1.4.1. $(i_{0},j)\leq_{M}(i_{1},j_{1})$ 不成立。

1.4.2. j 不满足 M 容许性。

'''定理 81''' Adm $_{M}$ 与 $<_{M}^{NextAdm}$ 之间的关系。

对于任意的 $(M,m)\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ ，令 $j_{1}:=\mathrm{Lng}(M)-1$ ，则若 $j_{1}-m>0$ ，则 Mark $(M,m)=\mathrm{Trans}\left((M_{j})_{j=m}^{j_{1}}\right)$ 。

证明：

$(1,j_{-1})\leq_{M}(1,j_{0})$ 且 $(i,j_{0})<_{M}^{\mathrm{Next}}(i,j_{1})$ 蕴涵 $(i,j_{-1})\leq_{M}(i,j_{1})$ 。此外， $j_{-1}$ 是 M 容许的。

设 $j \in \mathbb{N}$ 且 $j_{-1} < j < j_1$ 。如果 $(i,j) \leq_M (i,j_1)$ ，则 $j \leq j_0$ ，因为 $(i,j_0) < _M^{\text{Next}} (i,j_1)$ ，因此 $\operatorname{Adm}_M(j) \leq j_{-1} < j$ ，所以 $j$ 不符合 $M$ 条件。由上可知， $(i,j_{-1}) < _M^{\text{NextAdm}} (i,j_1)$ 。

证毕。

'''定理 82''' Trans 与 $<_{M}^{NextAdm}$ 之间的关系。

令 $M \in T_{\mathrm{PS}}$ ，且令 $j_1 := \mathrm{Lng}(M)-1$ 。若存在唯一的 $j_0 \in \mathbb{N}$ 使得 $(0, j_0) <_{M}^{\mathrm{NextAdm}}(0, j_1)$ ，则存在唯一的 $(s_0, b_0) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 使得：

(1) $(s_{0},\mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M),j_{0}\right),b_{0})$ 是 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M))$ 的scb分解。
(2) $(s_{0},\mathrm{Mark}(M,j_{0}),b_{0})$ 是 $\mathrm{Trans}(M)$ 的scb分解。

证明：

Trans 的递归定义和直接祖先的 Red 不变性可简化为 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ 的情况。

如果 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ ，则它可直接由 Trans 的定义和直接祖先的 Red 不变性得出。

证毕。

'''定理 83''' Mark 与 $<_{M}^{NextAdm}$ 之间的关系。

令 $M \in T_{\mathrm{PS}}$ 且 $j_1 := \mathrm{Lng}(M)-1$ 。假设存在唯一的 $j_0 \in \mathbb{N}$ 使得 $(0, j_0) <_{M}^{\mathrm{NextAdm}} (0, j_1)$ 。对于任意 $j \in \mathbb{N}$ ，若 $(0, j) \leq_{M} (0, j_0)$ ，则存在唯一的 $(s_0, b_0) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 使得：

(1) $(s_0, \operatorname{Mark}(\operatorname{Pred}(M), j_0), b_0)$ 是 $\operatorname{Mark}(\operatorname{Pred}(M), j)$ 的 $\operatorname{scb}$ 分解。
(2) $(s_{0},\mathrm{Mark}(M,j_{0}),b_{0})$ 是 $\mathrm{Mark}(M,j)$ 的scb分解。

证明：这直接源于 Trans 与 $<_{M}^{\text{NextAdm}}$ 之间的关系，以及 Mark 保留了排序关系的事实。证毕。

'''定理 84''' Trans 的 Mark 和 Pred 表示。

对任意 $(M, m) \in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ ，若 $m < \mathrm{Lng}(M)-1$ ，则存在任意 $(s_0, b_0) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 使得：

(1) $(s_{0},\mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),m),b_{0})$ 是 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M))$ 的scb分解。
(2) $(s_{0},\mathrm{Mark}(M,m),b_{0})$ 是 $\mathrm{Trans}(M)$ 的scb分解。

证明：这直接源于 Trans 与 $<_{M}^{\text{NextAdm}}$ 的关系，以及 Mark 与 $<_{M}^{\text{NextAdm}}$ 的关系。证毕。

'''定理 85''' Trans 的 Mark 和切片表示。

对于任意 $(M, m) \in RT_{\mathrm{PS}}^{Marked}$ ，若 $0 < m < \mathrm{Lng}(M)-1$ ，则存在任意 $(s_0, b_0) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 使得：

(1) $\left(s_0, D_{M_{1,m}} 0, b_0\right)$ 是 $\operatorname{Trans}\left((M_j)_{j=0}^m\right)$ 的 $\mathrm{scb}$ 分解。
(2) $(s_{0},\mathrm{Mark}(M,m),b_{0})$ 是 $\mathrm{Trans}(M)$ 的scb分解。

证明：

令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M)-1$ 。

由 Trans 的递归定义和直接祖先的 Red 不变性，我们简化为 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ 的情况。接下来，我们定义 Trans 递归定义中引入的符号，并将 M 写在右肩上，以明确它应用于 M。

这可以通过对 $j_{1}-m$ 进行数学归纳法来证明。

如果 $j_{1}-m=0$ ，则由 Mark 的基本性质得出，即右端的第一个基点。

令 $j_{1}-m=1$ 。

令 $s_{0} := s_{1}^{M}$ 。

令 $b_{0} := b_{1}^{M}$ 。

由于 $(0, m) \leq_{M} (0, j_1) = (0, j_1^M)$ 且 $m+1 = j_1 = j_1^M$ ，因此 $j_0^M = m$ 。由于 $m$ 满足 $M$ 容许条件，因此 $j_{-1}^M = j_0^M = m$ 。因此，由于 $s_{-1}$ 和 $b_{-1}$ 之间为空且为基点关系，因此 $s_{-1}^M = ()$ 且 $b_{-1}^M = ()$ 。

由右端第一个基点 Mark 的基本性质可知, $c_{1}^{M}=\mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M),j_{-1}^{M}\right)=\mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M),j_{1}-1\right)=D_{M_{1,m}}0$ ，因此 $\mathrm{Trans}\left((M_{j})_{j=0}^{m}\right)=\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M))=t_{1}^{M}=s_{1}^{M}c_{1}^{M}b_{1}^{M}=s_{0}D_{M_{1,m}}b_{0}$ 。

\[
\mathrm{Trans} (M) = s_{1}^{M} c_{2}^{M} b_{1}^{M} = s_{1}^{M} s_{- 1}^{M} c_{2}^{M} b_{- 1}^{M} b_{1}^{M} = s_{0} \mathrm{Mark} (M, m) b_{0}.
\]

根据可归约到段的遗传性， $\operatorname{Pred}(M)$ 可归约；根据可归约到初始段的单项式遗传性， $0 < j_1-m-1 \leq j_1-1 < j_1$ ， $\operatorname{Pred}(M)$ 为单项；根据可归约到基点的段的遗传性， $(\operatorname{Pred}(M), m) \in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Mark}}$ 。因此，根据归纳假设，存在唯一的 $(s_0, b_0) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 使得：

(1) $b_{0}$ 仅由组成。
(2) Trans $\left((\mathrm{Pred}(M)_j)_{j=0}^m\right) = s_0 D_{\mathrm{Pred}(M)_{1,m}} 0b_0 = s_0 D_{M_{1,m}} 0b_0$ 。
(3) Trans(Pred(M)) = $s_{0}$ Mark(Pred(M), m) $b_{0} = s_{0}c_{0}^{M}b_{0}$ 。从 Trans'sMark 和 Pred 的表示可知，Trans (M) = $s_{0}$ Mark(M, m) $b_{0}$ 。此外，由于 $m \leq j_{1}-1$ , $(M_{j})_{j=0}^{m} = (\text{Pred}(M)_{j})_{j=0}^{m}$ , Trans $\left((M_{j})_{j=0}^{m}\right) = \text{Trans}\left((\text{Pred}(M)_{j})_{j=0}^{m}\right) = s_{0}D_{M_{1,m}}0b_{0}$ 。

证毕。

'''定理 86''' RightNodes 和 Mark 的关系。

对于任意的 $(M,m)\in RT_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ ，若 $0<m<Lng(M)-1$，则存在 $a_{0},a_{1}\in N^{<}\omega$ 使得：

(1) RightNode(Trans(M)) = $a_0 \oplus_{\mathbb{N}} (M_{1,m}) \oplus_{\mathbb{N}} a_1$ 。
(2) RightNode $\left(\mathrm{Trans}\left((M_j)_{j=0}^m\right)\right)=a_0\oplus_{\mathbb{N}}(M_{1,m})$ 。
(3) RightNode(Mark(M,m)) = (M\_{1,m}) ⊕ Na\_{1}。

证明:这直接遵循单项式的遗传性、直系祖先的切片、Mark 左端的基本属性以及 RightN-odes 与子表达式之间的关系。证毕。

映射

\[
\text {RightAnces:} T_{\mathrm{PS}} \rightarrow \mathbb {N}^{< \omega} \tag {21.117}
\]

\[
M \mapsto \text {RightAnces} (M) \tag {21.118}
\]

定义如下:

1. 使用 Trans 递归定义中引入的符号。
2. 令 M 为约化元素，且 $j_{1}=0$ 。
2.1. 如果 $M_{0}=(0,0)$ ，则 RightAnces $(M):=()$ 。
2.2. 如果 $M_{0} \neq (0,0)$ ，则 RightAnces $(M) := (M_{1,0})$ 。
3. 令 M 为约化元素，且 $j_{1} > 0$ 为单项元素。
3.1. 如果 Pred(M) 为云项，则 RightAnces $(M):=(0,M_{1,j_{1}})$ 。
3.2. 令 Pred(M) 为非零项[49]。

3.2.1. 如果 $(M_{j})_{j=0}^{j-1}$ 为零项，则令 $a := (0)$ 。
3.2.2. 如果 $(M_j)_{j=0}^{j-1}$ 不是零项，则令 $a := \text{RightAnces}\left((M_j)_{j=0}^{j-1}\right)$ 。
3.2.3. 如果 $M$ 满足条件 (I)、(III)、(V) 或 (VI)，则 RightAnces $(M) := a \oplus_{\mathbb{N}} (M_{1,j_1})$ 。
3.2.4. 如果 $M$ 满足条件 (II) 或 (IV)，则 RightAnces $(M) := a \oplus_{\mathbb{N}} (M_{1,j_0}, M_{1,j_1})$ 。

4. 令 M 为约化且为复项。

4.1. 令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(M))-1$ 。
4.2. 如果 $P(M)_{J_{1}} = ((0,0))$ ，则 RightAnces $(M) := (0)$ 。
4.3. 如果 $P(M)_{J_{1}} \neq ((0,0))$ ，则 RightAnces $(M) := \text{RightAnces } (P(M)_{J_{1}})$ 。
5. 如果 M 不可约，则 RightAnces $(M) := \text{RightAnces}(\text{Red}(M))$ 。

'''定理 87''' RightNodes 和 RightAnces 的关系。

对于任意 $M \in T_{PS}$ ，RightAnces(M) = RightNodes(Trans(M))。

证明：

从 RightNodes、Trans 和 RightAnces 的递归定义，我们简化为 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ 的情况。下文中，我们使用 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ ，并使用 RightNodes 的递归定义中引入的符号和 Trans 的递归定义中引入的符号。

由于 $M$ 是单项的，因此 $j_{1} > 0$ 。此外，由于 $M$ 是可约的，根据可约性与系数之间的关系， $M$ 满足条件(A)和(B)。

我们利用数学归纳法证明 $j_{1}$ 上的 RightAnces(M) = RightNodes(Trans(M))。

令 $j_{1}=1$ 。

由两列对序列(1)的基本性质可知, $\mathrm{Trans}(M)=D_{M_{1,0}}D_{M_{1,1}}0$ 且 $\mathrm{RightNodes}(\mathrm{Trans}(M))=\mathrm{RightNodes}\left(D_{M_{1,0}}D_{M_{1,1}}0\right)=(M_{1,0},M_{1,1})$ 。由于M是单项式的， $(0,0)<_{M}^{\mathrm{Next}}(0,1)=(0,j_{1})$ ， $j_{0}=0$ 。因此， $j_{0}$ 是M可接受的，且 $j_{-1}=j_{0}=0$ 。

如果 $M_{1,0} = 0$ ，则 $\operatorname{Pred}(M) = ((M_{0,0}, 0))$ ，因此 $\operatorname{Pred}(M)$ 为零项，且 $\operatorname{RightAnces}(M) = (0, M_{1,j_1}) = (M_{1,0}, M_{1,1})$ 。令 $M_{1,0} > 0$ 。

$\operatorname{Pred}(M) = ((M_{0,0}, M_{1,0}))$ ，因此 $\operatorname{Pred}(M)$ 不是零项，且 $a = \operatorname{RightAnces}\left((M_j)_{j=0}^{j-1}\right) = \operatorname{RightAnces}\left((M_{0,0}, M_{1,0})\right) = (M_{1,0})$ 。

由于 $j_0$ 是 $M$ 可接受的，且 $j_0+1 = 1 = j_1$ ，因此 $M$ 满足条件(I)、(III)或(VI)。因此，RightAnces $(M) = a\oplus \mathrm{N}(M_{1,j_1}) = (M_{0,1},M_{1,1})$ 。

由上可知，在所有情况下，RightAnces(M) = RightNodes(Trans(M))。

令 $j_{1} > 1$ 。

根据 Mark 左端的基本性质， $v = M_{1,0}$ 。令 $(M_{j})_{j=0}^{j_{j}-1}$ 为零项。则 $a = (0)$ ， $j_{-1} = 0$ ， $v = M_{1,0} = 0$ 。由于 $s_{1}$ 和 $b_{1}$ 为空且为基点关系， $s_{1} = ()$ ， $b_{1} = ()$ 。因此， $\mathrm{Trans}(M) = s_{1}c_{2}b_{1} = c_{2}$ 。假设 M 满足条件 (I 或 (III) 或 (V) 或 (VI)。

RightAnces(M) = a ⊕\_{N} (M\_{1,j\_1}) = (0, M\_{1,j\_1})。

根据 $M$ 是否满足条件 (VI), $c_{2} = D_{v}D_{M_{1,j_{1}}}0 = D_{0}D_{M_{1,j_{1}}}0$ 或 $c_{2} = D_{v}\left(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0\right) = D_{0}\left(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0\right)$ 。因此，无论哪种情况，RightNodes(Trans(M)) = $(0, M_{1,j_1}) = \text{RightAnces}(M)$ 。

如果 $M$ 满足条件 (II) 或 (IV), 则 $\mathrm{RightAnces}(M) = a \oplus_{\mathbb{N}}(M_{1,j_0}, M_{1,j_1}) = (0, M_{1,j_0}, M_{1,j_1})$ 且 $c_2 = D_v(t_3+D_{M_{1,j_0}}(t_4+D_{M_{1,j_1}}0)) = D_0(t_3+D_{M_{1,j_0}}(t_4+D_{M_{1,j_1}}0))$ , 因此 $\mathrm{RightNodes}(M) = (0, M_{1,j_0}, M_{1,j_1}) = \mathrm{RightAnces}(M)$ 。

令 $(M_{j})_{j=0}^{j-1}$ 为零项。

令 $N := (M_{j})_{j=0}^{j-1}$ 。

由于 $\mathrm{Lng}(N)-1=j_{-1}\leq j_{0}<j_{1}$ ，根据归纳假设，RightAnces $(N)=\mathrm{RightNodes}(N)$ 。

根据右端第二个基点 Mark 的基本性质, Mark $(M, j_{-1}) = c_{2}$ , 故 Trans $(M) = s_{1}c_{2}b_{1} = s_{1}\text{Mark } (M, j_{-1})b_{1}$ , 又根据 Trans 利用 Mark 和切片的表达式, Trans $(N) = s_{1}D_{M_{1,j-1}}b_{1}$ 。

假设 $M$ 满足条件 (I)、(III)、(V) 或 (VI)。RightAnces $(M) = a \oplus_{\mathbb{N}} (M_{1,j_1}) = \text{RightAnces}(N) \oplus_{\mathbb{N}} (M_{1,j_1})$ 。取决于 $M$ 是否满足条件 (VI)， $c_2 = D_v D_{M_{1,j_1}} 0$ 或 $c_2 = D_v (t_2+D_{M_{1,j_1}} 0)$ ，因此无论哪种情况，RightNodes (Mark $(M, j_1)) = \text{RightNodes}(c_2) = (v, M_{1,j_1})$ 。

因此，由 RightNodes 和 Mark 的关系可知，RightNodes(Trans(M)) = RightNodes(Trans(N)) ⊕ N (M\_{1,j\_1}) = RightAnsces(N) ⊕ N (M\_{1,j\_1})。

设 $M$ 满足条件 (II) 或 (IV)。RightAnces $(M) = a \oplus_{\mathbb{N}} (M_{1,j_0}, M_{1,j_1}) = \text{RightAnces}(N) \oplus_{\mathbb{N}} (M_{1,j_0}, M_{1,j_1})$ 。

因为 $c_{2}=D_{v}\left(t_{3}+D_{M_{1,j_{0}}}\left(t_{4}+D_{M_{1,j_{1}}}0\right)\right)$ ，所以 RightNodes(Mark $(M,j_{1})$ )=RightNodes $(c_{2})=(v,M_{1,j_{0}},M_{1,j_{1}})$ 。

因此，从 RightNodes 与 Mark 的关系可知，RightNodes(Trans(M)=RightNodes(Trans(N)) $\oplus_{N}$ $(M_{1,j_{0}}M_{1,j_{1}})=\text{RightAnsces}(N)\oplus_{N}(M_{1,j_{0}},M_{1,j_{1}})$ 。

由上可知，在两种情况下，RightAnces $(M)=\text{RightNodes}(\text{Trans}(M))$ 。

证毕。

'''定理 88''' 非零项的 RightAnces 非空。

对于任意的 $M \in T_{PS}$ ，以下等价：

(1) M 为零项。
(2) RightAnces(M) = ()。

证明：这直接源于 Trans 保持零项性以及 RightNodes 和 RightAnces 之间的关系。证毕。

下面给出停机性的证明。

首先，我们研究在条件（I）至（VI）下单项式范式对序列的展开规则，并将它们与Buchholz符号系统中的展开规则进行比较，以证明与范式对序列相关的可计算函数的全集（即可计算规则的终止性）。

'''定理 89''' 条件 (1) 下 Trans 与基本列的对易关系。

对于任意 $M \in RT_{\mathrm{PS}} \cap PT_{\mathrm{PS}}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ ，使用 Trans 的递归定义中引入的符号，如果 $j_{1} > 1$ 且 $M$ 满足条件 (1)，则如下命题成立：

(1) $\mathrm{Trans}(M[n]) = \mathrm{Trans}(M)[n-1]$ 。
(2) $\operatorname{Trans}(M[n]) < \operatorname{Trans}(M)$ 。

作为证明条件 (I) 下 Trans 和基本列之间的交换关系的初步步骤，我们提出一些引理。

'''定理 90''' 公差为 $(1,1)$ 的对序列 Trans 的基本性质。

对于任意 $u, v \in \mathbb{N}$ ，如果 $u < v$ ，则令 $M = ((j, j))_{j=u}^v$ ，且 $\operatorname{Trans}(M) = D_u D_v 0$ 。

证明：

M 是单项的，并且满足条件 (A) 和 (B)，因此由于约化性与系数之间的关系，M 是约化的。Trans 的递归定义中引入的符号是针对 M 定义的，为了清楚地表明这是对 M 的应用，我们将 $[52]$ 写成 M 的右肩。

$j_{1}^{M}=v-u$ 且 $j_{0}^{M}=j_{1}^{M}-1=v-u-1$ 且 $j_{-1}^{M}=0$ 。由于 $M_{v-u-1}=(v-1,v-1)$ 且 $M_{v-u}=(v,v),\left(1,j_{0}^{M}\right)=(1,v-u-1)<_{M}^{\mathrm{Next}}\left(1,v-u\right)=\left(1,j_{1}^{M}\right)$ 。

这可以通过对 v-u 进行数学归纳法来证明。

设 v-u = 1。

$j_{1}^{M} = v-u = 1$ 且 $j_0^M = v-u-1 = 0$ ，因此 $j_{-1}^{M} = 0 = j_{0}$ ，从而 $j_0^M$ 是 $M$ 容许的。

如果 $u = 0$ ，则 $t_1^M = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) = \mathrm{Trans}((0,0)) = 0$ ，因此 $\mathrm{Trans}(M) = D_0D_v0 = D_uD_v0$ 。

设 u > 0。

$t_{1}^{M} = \text{Trans}(\text{Pred}(M)) = \text{Trans}((u, u)) = D_{u}0 \neq 0$ ，因此条件 (I) 至 (VI) 对 M 有意义。

由于 $j_{-1}^{M} = 0$ ，且 $s_1$ 和 $b_{1}$ 为空，且基点关系为 $s_1^M = ()$ ， $b_1^M = ()$ ，因此 $D_{v^M}t_2^M = c_1^M = s_1^M c_1^M b_1^M = t_1^M = D_u0$ ，所以 $v^{M} = u$ ， $t_2^M = 0$ 。由于 $M_{1,j_1} = v = u+1 = M_{1,j_0}+1 > 0$ 且 $j_0+1 = 1 = j_1$ ，因此 $M$ 满足条件（VI）。因此， $c_2^M = D_{v^M}D_{M_{1,j_1^M}}0 = D_uD_v0$ 且 $\mathrm{Trans}(M) = s_1^M c_2^M b_1^M = D_uD_v0$ 。

设 v-u > 1。

$\operatorname{Pred}(M) = ((j,j))_{j=u}^{v-1}$ ，故根据归纳假设， $t_1^M = \operatorname{Trans}(\operatorname{Pred}(M)) = D_u D_{v-1} 0 \neq 0$ ，因此条件 (I) $\sim$ (VI) 对 $M$ 有意义。

由 $j_{-1}^{M} = 0$ 、 $s_1$ 与 $b_{1}$ 为空以及基点的关系可知， $s_1^M = ()$ 且 $b_{1}^{M} = ()$ ，又由 $D_{v^{M}}t_{2}^{M} = c_{1}^{M} = D_{u}D_{v-1}0$ 、 $v^{M} = u$ 及 $t_2^M = D_{v-1}0$ 可知。

M 满足条件（VI），因为 $M_{1,j_{1}} = v = u+1 = M_{1,j_{0}}+1 > 0$ 且 $j_{0}+1 = 1 = j_{1}$ 。因此， $c_{2}^{M} = D_{v^{M}} D_{M_{1,j_{1}^{M}}} 0 = D_{u} D_{v} 0$ ，且 $\mathrm{Trans}(M) = s_{1}^{M} c_{2}^{M} b_{1}^{M} = D_{u} D_{v} 0$ 。

证毕。

'''定理 91''' Pred 具有公差 $(1,1)$ 的对序列的 Trans 的基本性质。

对于任意 $u, v, w, w' \in \mathbb{N}$ , 令 $u < v^{then} M := ((j, j))_{j=u}^v \oplus_{\mathbb{N}^2} (w', w)$ , 且如下成立:

(1) 若 $w' = v+1$ 且 $u < w \leq v$ ，则 $Trans(M) = D_{u}D_{v}D_{w}0$ 。
(2) 若 $u < w' \leq v$ 且 $w = w'$ ，则 Trans $(M) = D_u(D_v0, D_w0)$ 。
(3) 若 $u+1 < w' \leq v$ 且 $w < w'$ ，则 Trans $(M) = D_u(D_v0, D_{w'-1}(D_v0, D_w0))$ 。
(4) 若 $u+1 = w'$ 且 $w < w'$ ，则 Trans $(M) = D_u(D_v0, D_w0)$ 。

证明：

无论哪种情况，M 都是单项的，并且满足条件 (A) 和 (B)，因此由于可约性与系数之间的关系，M 是可约的。Trans 的递归定义中引入的符号是针对 M 定义的，并且 M 的写法是将 M 写在右边，以明确表示它应用于 M。

$\operatorname{Pred}(M) = ((j,j))_{j=u}^{v}$ ，并且根据 Trans 的基本性质，对于具有公差 (1,1) 的对序列， $t_1^M = \operatorname{Trans}(\operatorname{Pred}(M)) = D_u D_v 0 \neq 0$ ，因此条件 (I) 至 (VI) 对 $M$ 有意义。 $j_1^M = v-u+1$ 。由 Mark 在左边第一个基点的基本性质可知， $\operatorname{Mark}(\operatorname{Pred}(M), 0) = t_1^M = D_u D_v 0$ ；又由 Mark 在右边第一个基点的基本性质可知， $\operatorname{Mark}(\operatorname{Pred}(M), j_1^M-1) = D_{\operatorname{Pred}(M)_{1,j_1 M_1}} 0 = D_v 0$ 。

设 $w' = v+1$ ，且 $u < w \leq v$ 。

$j_{0}^{M}=j_{1}^{M}-1=v-u$ ，且 $M_{1,j_{0}^{M}}=M_{1,v-u}=v$ ，且 $M_{1,j_{1}^{M}}=M_{1,v-u+1}=w\leq v=M_{1,j_{0}^{M}}$ ，因此 $(1,j_{0}^{M})<_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1}^{M})$ 不成立，且 $j_{0}^{M}$ 为 M 可接受的，因此 $j_{-1}^{M}=j_{0}^{M}=j_{1}^{M}-1$ 。因此，M 满足条件 (I) 或 (III)。

$c_{1}^{M} = \operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}^{M}\right) = \operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{1}^{M}-1\right) = D_{v}0$ ，且由于 $s_{1}^{M}D_{v}0b_{1}^{M} = s_{1}^{M}c_{1}^{M}b_{1}^{M} = t_{1}^{M} = D_{u}D_{v}0$ ， $s_{1}^{M} = D_{u}$ 且 $b_{1}^{M} = ()$ 。另外，由于 $D_{v^{M}}t_{2}^{M} = c_{1}^{M} = D_{v}0$ ， $v^{M} = v$ 且 $t_{2}^{M} = 0$ ，因此 $c_{2}^{M} = D_{v^{M}}\left(t_{2}^{M}+D_{M_{1,j_{1}^{M}}}0\right) = D_{v}(0+D_{w}0) = D_{v}D_{w}0$ 。

由上可知， $\mathrm{Trans}(M) = s_1^M c_2^M b_1^M = D_u D_v D_w 0$ 。

令 $u < w' \leq v$ 且 $w = w'$ 。

$j_{0}^{M}=w^{\prime}-u-1, M_{1,j_{0}^{M}}=M_{1,w^{\prime}-u-1}=w^{\prime}-1$ ，且 $M_{1,j_{1}^{M}}=M_{1,v-u+1}=w=M_{1,j_{0}^{M}}+1$ ，因此 $(1,j_{0}^{M})<_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1}^{M})$ ，且 $j_{0}^{M}$ 不为 M 可接受的，因此 $j_{-1}^{M}=0$ 。因此，M 满足条件 (V)。

$c_{1}^{M} = \mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M),j_{-1}^{M}\right) = \mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),0) = D_{u}D_{v}0$ ，又因为 $j_{-1}^{M} = 0$ 且 $s_1$ 与 $b_{1}$ 为空且满足基点关系，所以 $s_1^M = ()$ 且 $b_{1}^{M} = ()$ 。又，由于 $D_{v^{M}}t_{2}^{M} = c_{1}^{M} = D_{u}D_{v}0$ ， $v^{M} = u$ 且 $t_2^M = D_v0$ ，因此 $c_{2}^{M} = D_{v^{M}}\left(t_{2}^{M}+D_{M_{1,j_{1}}}0\right) = D_{u}\left(D_{v}0+D_{w}0\right) = D_{u}\left(D_{v}0,D_{w}0\right)$ 。

由上可知， $\mathrm{Trans}(M)=s_{1}^{M}c_{2}^{M}b_{1}^{M}=D_{u}\left(D_{v}0,D_{w}0\right)$ 。

设 $u+1 < w' \leq v$ 且 $w < w'$ 。

$j_{0}^{M}=w'-u-1>0$ ，且 $M_{1,j_{0}^{M}}=M_{1,w'-u-1}=w'-1$ 且 $M_{1,j_{1}^{M}}=M_{1,v-u+1}=w\leq w'-1=M_{1,j_{0}^{M}}$ ，因此 $(1,j_{0}^{M})<_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1}^{M})$ ，且 $j_{0}^{M}$ 不满足 M 可接受性，因此 $j_{-1}^{M}=0$ 。因此，M 满足条件 (IV)。

$c_{1}^{M}=\mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M),j_{-1}^{M}\right)=\mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),0)=D_{u}D_{v}0$ ，且 $j_{-1}^{M}=0$ ，且 $s_{1}$ 与 $b_{1}$ 之间存在空性和基点关系，因此 $s_{1}^{M}=()$ ， $b_{1}^{M}=()$ 。

又，由于 $D_{v^M}t_2^M = c_1^M = D_uD_v0,v^M = u$ ，且 $t_2^M = D_v0$ 。因为 $v\geq w' > w'-1,t_2^M$ 的唯一单项分量 $D_{v}0$ 的最左边分量为 $D_{v}\neq D_{w^{\prime}-1} = D_{M_{1,j_0^M}}$ ，所以 $t_3^M = t_2^M = D_v0$ 且 $t_4^M = t_2^M =$ $D_{v}0$ 。因此 $c_{2}^{M} = D_{v^{M}}\left(t_{3}^{M}+D_{M_{1,j_0^M}}\left(t_{4}^{M}+D_{M_{1,j_1^M}}0\right)\right) = D_u(D_v0+D_{w^{\prime}-1}(D_v0+D_w0)) =$ $D_{u}(D_{v}0,D_{w^{\prime}-1}(D_{v}0,D_{w}0))$ 。

由上可知， $\mathrm{Trans}(M)=s_{1}^{M}c_{2}^{M}b_{1}^{M}=D_{u}\left(D_{v}0,D_{w^{\prime}-1}\left(D_{v}0,D_{w}0\right)\right)$ 。

设 $u+1 = w'$ 且 $w < w'$ 。

$j_{0}^{M}=0,\ M_{1,j_{0}^{M}}=M_{1,0}=u$ ，且 $M_{1,j_{1}^{M}}=M_{1,v-u+1}=w\leq w'-1=u=M_{1,j_{0}^{M}}$ ，因此 $\left(1,j_{0}^{M}\right)<_{M}^{\mathrm{Next}}\left(1,j_{1}^{M}\right)$ 不成立，且 $j_{0}^{M}$ 为 M 可接受的，因此 $j_{-1}^{M}=j_{0}^{M}=0$ 。因此，M 满足条件 (I) 或 (III)。

$c_{1}^{M} = \mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M),j_{-1}^{M}\right) = \mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),0) = D_{u}D_{v}0$ ，又因为 $j_{-1}^{M} = 0$ 且 $s_1$ 与 $b_{1}$ 为空且满足基点关系，所以 $s_1^M = ()$ 且 $b_{1}^{M} = ()$ 。又，由于 $D_{v^{M}}t_{2}^{M} = c_{1}^{M} = D_{u}D_{v}0$ ， $v^{M} = u$ 且 $t_2^M = D_v0$ ，因此 $c_{2}^{M} = D_{v^{M}}\left(t_{2}^{M}+D_{M_{1,j}}0\right) = D_{u}\left(D_{v}0+D_{w}0\right) = D_{u}\left(D_{v}0,D_{w}0\right)$ 。

由上可知， $\mathrm{Trans}(M)=s_{1}^{M}c_{2}^{M}b_{1}^{M}=D_{u}\left(D_{v}0,D_{w}0\right)$ 。

'''定理 92''' 在条件 (I) 或 (III) 下围绕 $c_{1}$ 的具体表达式。

对于任意 $M \in RT_{\mathrm{PS}} \cap PT_{\mathrm{PS}}$ ，使用 Trans 递归定义中引入的符号，如果 $j_0$ 满足 $M$ 条件，且 $j_1 > 1$ 且 $M_{1,j_0} \geq M_{1,j_1}$ ，则以下成立：

(1) $t_1 \neq 0$ 且 $M$ 满足条件 (1) 或 (111)，且 $\operatorname{Trans}\left((M_j)^{j_1-1}_{j = j_0}\right) = c_1 \in PT_{\mathrm{B}}$ 。
此外，假设存在唯一的 $j_{0}^{\prime} \in N$ 使得 $(0, j_{0}^{\prime}) <_{M}^{\text{Next}} (0, j_{0})$ ，且令 $j_{-1}^{\prime} := \operatorname{Adm}_{M}(j_{0}^{\prime})$ 。
(2) $j_0' \leq j_1-2$ 且 $\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}'\right) \in T_{\mathrm{PS}}^{Marked}$ 且 $\left((M_j)_{j=j_{-1}'}^{j_1-1}, j_0-j_{-1}'\right) \in T_{\mathrm{PS}}^{Marked}$ 。

(3) 若 $j_{0}^{\prime}+1 = j_{0}$ ，则下列命题成立：

(3-1) 若 $j_{-1}^{\prime} = j_{0}^{\prime}$ 或 $M_{1,j_0^{\prime}}+1 = M_{1,j_0}$ ，则 $\operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}^{\prime}\right) = D_{M_{1,j'-1}}c_1$ 。

(3-2) 若 $j_{-1}^{\prime}j_{0}^{\prime}$ 且 $M_{1,j_0'} \geq M_{1,j_0}$ ，则 $\operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}^{\prime}\right) = D_{M_{1,j'-1}}D_{M_{1,j_0'}}c_1$ 。

(4) 若 $j_0'+1 < j_0$ ，则下列命题成立：

(4-1) 若 $j_{-1}^{\prime} = j_{0}^{\prime}$ 或 $M_{1,j_0^{\prime}}+1 = M_{1,j_0}$ , 则存在唯一的 $t_2^{\prime} \in T_{\mathrm{B}}^{2}$ , 使得 $\operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}^{\prime}\right) = D_{M_{1,j'}}\left(t_2^{\prime}+c_1\right)$ 。
(4-2) 若 $j_{-1}^{\prime} j_{0}^{\prime}$ 且 $M_{1,j_0'} \geq M_{1,j_0}$ , 则存在唯一的 $(t_3', t_4') \in T_{\mathrm{B}}^2$ 使得 $\operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}'\right) = D_{M_{1,j'-1}^{\prime}}\left(t_3'+D_{M_{1,j_0'}}\left(t_4'+c_1\right)\right)$ 。

此外，对于任意 $n \in \mathbb{N}_{+}$ ，令 $n > 1$ ，且令 $N := (M[n]_j)_{j=0}^{j_0+(n-1)(j_1-j_0)}$ 。Trans 递归定义中引入的符号是针对 $N$ 定义的，并且 $N$ 写在右肩上，以明确这是对 $N$ 的一个应用。

证明：

证明 (1) 成立。

由于 $\mathrm{Lng}(\mathrm{Pred}(M))-1 = j_1 > 1$ ， $\mathrm{Pred}(M)$ 不是零项，因此，由于Trans保留零项性质， $t_1 \neq 0$ 。 $M_{1,j_0} \geq M_{1,j_1}$ 且 $j_0$ 可被 $M$ 接受，因此 $j_0 = j_{-1}$ 且 $M$ 满足条件(I)或(III)。

由于 $j_0$ 可被 $M$ 接受，因此 $j_{-1} = j_0$ 。因此， $c_1 = \mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M), j_{-1}) = \mathrm{Trans}\left((\mathrm{Pred}(M)_j)_{j=j_{-1}}^{j_1-1}\right) = \mathrm{Trans}\left((M_j)_{j=j_0}^{j_1-1}\right)$ 。又， $t_1 \neq 0$ 且 $(t_1, c_1) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ ，因此 $c_1 \in PT_{\mathrm{B}}$ 。

证明（2）成立。

因为 $j_{-1}^{\prime}\leq j_{0}^{\prime}j_{0}< j_{1},\; j_{-1}^{\prime}\leq j_{1}-2$ 。 $\left(0,j_{-1}^{\prime}\right)\leq_{M}\left(0,j_{0}^{\prime}\right)<_{M}^{\mathrm{Next}}\left(0,j_{0}\right)<_{M}^{\mathrm{Next}}\left(0,j_{1}\right)$ 来自 $\left(M,j_{-1}^{\prime}\right)\in T_{\mathrm{PS}}$ 已标记。因此，由于基切片的遗传性， $\left(\operatorname{Pred}(M),j_{-1}^{\prime}\right)\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ 。 $(M,j_{0})\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ 并且由于基切片的遗传性， $\left((M_{j})_{j=j_{-1}^{\prime}}^{j_{1}-1},j_{0}-j_{-1}^{\prime}\right)\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ 。

证明 (3) 和 (4) 成立。

设 $N := (M_{j})_{j=j_{-1}^{\prime}}^{j_{0}}$ 。Red(N) 为约化函数，因此从约化率与系数的关系可知，M 和 Red(N) 满足条件 (A) 和 (B)。由于 Red(N) 满足条件 (A) 和 (B)，并且从直接祖先切片以及 Red 与 IncrFirst 的关系可知，

\[
N = \mathrm{IncrFirst}^{M_{0, j_{- 1}^{\prime}}-M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} (\mathrm{Red} (N)), \tag {21.119}
\]

\[
\operatorname{Red} (N) = ((j, j))_{j = M_{1, j_{- 1}^{\prime}}}^{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left((M_{0, j}-M_{0, j_{- 1}^{\prime}}+M_{1, j_{- 1}^{\prime}}, M_{1, j})\right)_{j = j_{0}^{\prime}+1}^{j_{0}-1} \tag {21.120}
\]

\[
\oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left((M_{1, j_{0}^{\prime}}+1, M_{1, j_{0}})\right).
\]

因此，由 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变式 P 同变性可知，

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (N) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} (N)) \\ = \operatorname{Trans} \left(\left((j, j)\right)_{j = M_{1, j_{- 1}^{\prime}}}^{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left(\left(M_{0, j}-M_{0, j_{- 1}^{\prime}}+M_{1, j_{- 1}^{\prime}}, M_{1, j}\right)\right)_{j = j_{0}^{\prime}+1}^{j_{0}-1} \right. \tag {21.121} \\ \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left((M_{1, j_{0}^{\prime}}+1, M_{1, j_{0}})\right)). \\ \end{array}
\]

设 $j_{0}^{\prime}+1 = j_{0}$ 。

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (N) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} (N)) \\ = \operatorname{Trans} \left(\left((j, j)\right)_{j = M_{1, j^{\prime}-1}}^{M_{1, j^{\prime}}}\right) \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left(\left(M_{0, j}-M_{0, j^{\prime}-1}+M_{1, j^{\prime}-1}, M_{1, j}\right)\right)_{j = j_{0}^{\prime}+1}^{j_{0}-1} \tag {21.122} \\ \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left((M_{1, j_{0}^{\prime}}+1, M_{1, j_{0}})\right)) \\ = \mathrm{Trans} (((j, j))_{j = M_{1, j_{- 1}^{\prime}}}^{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} (M_{1, j_{0}^{\prime}}+1, M_{1, j_{0}})). \\ \end{array}
\]

设 $M_{1,j_0'}+1 = M_{1,j_0}$ ，则根据公差为 $(1,1)$ 的序列Trans的基本性质，

\[
\operatorname{Trans} (N) = \operatorname{Trans} \left(\left((j, j)\right)_{j = M_{1, j_{- 1}^{\prime}}}^{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left(M_{1, j_{0}^{\prime}}+1, M_{1, j_{0}}\right)\right) = D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} D_{M_{1, j_{0}}} 0. \tag {21.123}
\]

设 $j_{-1}^{\prime} = j_0^{\prime}$ 且 $M_{1,j_0^{\prime}}\geq M_{1,j_0}$ ，则由2列对序列的基本性质，

\[
\operatorname{Trans} (N) = \operatorname{Trans} ((\left(j, j\right))_{j = M_{1, j_{- 1}^{\prime}}}^{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left(M_{1, j_{0}^{\prime}}+1, M_{1, j_{0}}\right)) = D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} D_{M_{1, j_{0}}} 0. \tag {21.124}
\]

如果 $j_{-1}^{\prime}<j_{0}^{\prime}$ 且 $M_{1,j_{0}^{\prime}}\geq M_{1,j_{0}}$ ，则根据具有公差 (1,1) 的序列对的 Trans 的基本性质 (1)，

\[
\begin{array}{l} \operatorname{Mark} \left(\operatorname{Pred} (M), j_{- 1}^{\prime}\right) \\ = \operatorname{Trans} \left((M_{j})_{j = j_{- 1}^{\prime}}^{j_{1}-1}\right) \\ = D_{M_{1, j^{\prime}-1}} \operatorname{Trans} \left((M_{j})_{j = j_{0}}^{j_{1}-1}\right) \tag {21.125} \\ = D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} \operatorname{Mark} \left(\operatorname{Pred} (M), j_{- 1}\right) \\ = D_{M_{1, j^{\prime}-1}} c_{1}. \\ \end{array}
\]

如果 $j_{-1}^{\prime} < j_0^{\prime}$ 且 $M_{1,j_0^{\prime}}+1 = M_{1,j_0}$ ，那么

\[
\begin{array}{l} \text {Mark} \left(\operatorname{Pred} (M), j_{- 1}^{\prime}\right) \\ = \operatorname{Trans} \left((M_{j})_{j = j_{- 1}^{\prime}}^{j_{1}-1}\right) \\ = D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \operatorname{Trans} \left((M_{j})_{j = j_{0}}^{j_{1}-1}\right) \tag {21.126} \\ = D_{M_{1, j_{- 1}}} \operatorname{Mark} \left(\operatorname{Pred} (M), j_{- 1}\right) \\ = D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} c_{1}. \\ \end{array}
\]

设 $j_{0}^{\prime}+1 < j_{0}$ 。

Trans 递归定义中引入的符号是针对 N 定义的，N 的右肩部分写为 N，以明确表示它是对 N 的应用。 $j_{1}^{N}=j_{0}-j_{-1}^{\prime}$ 且 $j_{0}^{N}=j_{0}^{\prime}-j_{-1}^{\prime}$ ，并且由于切片的遗传性， $j_{-1}^{N}=\mathrm{Adm}_{N}\left(j_{0}^{N}\right)=\mathrm{Adm}_{M}\left(j_{0}^{\prime}\right)-j_{-1}^{\prime}=0$ 。因此，由于 $s_{1}$ 和 $b_{1}$ 为空，以及基点之间的关系， $s_{1}^{N}=()$ 且 $b_{1}^{N}=()$ 。

由于 $j_{-1}^{\prime}\leq j_{0}^{\prime}j_{0}^{\prime}+1 < j_{0},\quad j_{1}^{N} = j_{0}-j_{-1}^{\prime} > 2$ ，所以Pred $(N)$ 不是零项，且Trans满足去项性质， $t_1^N\neq 0$ 。因此，条件(I)至(VI)对 $N$ 有意义。

N 不满足条件 (VI)，因为 $j_{0}^{N}+1 = j_{0}^{\prime}+1-j_{-1}^{\prime} j_{0}-j_{-1}^{\prime} = j_{1}^{N}$ 。根据 Trans 最左元素的基本性质， $v^{N} = N_{1,0} = M_{1,j_{-1}^{\prime}}$ 。令 $j_{-1}^{\prime} = j_{0}^{\prime}$ 或 $M_{1,j_{0}^{\prime}}+1 = M_{1,j_{0}}$ 。

令 $t_{2}^{\prime} := t_{2}^{N}$ 。

如果 $j_{-1}^{\prime} = j_0^{\prime}$ ，则 $j_{-1}^{N} = 0 = j_{0}^{\prime}-j_{-1}^{\prime} = j_{0}^{N}$ ，因此 $j_0^N$ 是 $N$ 可接受的，且满足条件 (I) 或 (III)。

如果 $M_{1,j_{0}^{\prime}}+1 = M_{1,j_{0}}$ ，则 N 不满足条件 (VI)，因此 N 满足条件 (V)。

无论哪种情况，都有

\[
c_{2}^{N} = D_{v^{N}} \left(t_{2}^{N}+D_{N_{1, j_{1}^{N}}} 0\right) = D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} \left(t_{2}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}}} 0\right), \tag {21.127}
\]

\[
\mathrm{Trans} (N) = s_{1}^{N} c_{2}^{N} b_{1}^{N} = D_{M_{1, j^{\prime}-1}} \left(t_{2}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}}} 0\right). \tag {21.128}
\]

因此，从加法和 scb 分解的关系、Mark 乘以 Trans 的表达式、以及 Trans 乘以 Mark 和切片的表达式来看，我们有

\[
\begin{array}{l} \text {Mark} \left(\operatorname{Pred} (M), j_{- 1}^{\prime}\right) \\ = \operatorname{Trans} \left((M_{j})_{j = j_{- 1}^{\prime}}^{j_{1}-1}\right) \\ = D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} \left(t_{2}^{\prime}+\operatorname{Trans} \left((M_{j})_{j = j_{0}}^{j_{1}-1}\right)\right) \tag {21.129} \\ = D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} \left(t_{2}^{\prime}+\mathrm{Mark} \left(\mathrm{Pred} (M), j_{- 1}\right)\right) \\ = D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} \left(t_{2}^{\prime}+c_{1}\right). \\ \end{array}
\]

令 $j_{-1}^{\prime}j_{0}^{\prime}$ 且 $M_{1,j_{0}^{\prime}} \geq M_{1,j_{0}}$ 。

由于 $j_{-1}^{N} = 0 < j_{0}^{\prime}-j_{-1}^{\prime} = j_{0}^{N}$ ，因此 $j_0^N$ 不为 $N$ 容许的；又由于 $N_{1,j_0^N} = M_{1,j_0'} \geq M_{1,j_0} = N_{1,j_1^N}$ ，因此 $N$ 满足条件 (II) 或 (IV)。

令 $t_{3}^{\prime} := t_{3}^{N}$ 。

令 $t_{4}^{\prime} := t_{4}^{N}$ 。

\[
\begin{array}{l} c_{2}^{N} = D_{v^{N}} \left(t_{3}^{N}+D_{N_{1, j_{0}^{N}}} \left(t_{4}^{N}+D_{N_{1, j_{1}^{N}}} 0\right)\right) \tag {21.130} \\ = D_{M_{1, j^{\prime}-1}} \left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \left(t_{4}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}}} 0\right)\right), \\ \end{array}
\]

\[
\operatorname{Trans} (N) = s_{1}^{N} c_{2}^{N} b_{1}^{N} = D_{M_{1, j^{\prime}-1}^{\prime}} \left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \left(t_{4}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}}} 0\right)\right). \tag {21.131}
\]

因此，从加法和 scb 分解的关系、Mark 乘以 Trans 的表达式、以及 Trans 乘以 Mark 和切片的表达式来看，

\[
\begin{array}{l} \text {Mark} \left(\operatorname{Pred} (M), j_{- 1}^{\prime}\right) \\ = \operatorname{Trans} \left((M_{j})_{j = j_{- 1}^{\prime}}^{j_{1}-1}\right) \\ = D_{M_{1, j_{-}^{\prime}}} \left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \left(t_{4}^{\prime}+\operatorname{Trans} \left((M_{j})_{j = j_{0}}^{j_{1}-1}\right)\right)\right) \tag {21.132} \\ = D_{M_{1, j_{-}^{\prime}}} \left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \left(t_{4}^{\prime}+\operatorname{Mark} (\operatorname{Pred} (M), j_{- 1}))\right)\right) \\ = D_{M_{1, j_{-}^{\prime}}} \left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \left(t_{4}^{\prime}+c_{1}\right)\right). \\ \end{array}
\]

我们证明 (5) 成立。

根据 $(0,j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_1)$ 和父母基本性质(1)，对于任意 $j\in \mathbb{N}$ ，若 $j_0 < j\leq j_1$ ，则 $M_{0,j}\geq M_{0,j_1} > M_{0,j_0}$ 。因此，根据父母存在性的判定条件(3)，我们有 $(0,j_0)\leq M(0,j_1-1)$ 。此外，由于 $(M_j)_{j = j_0}^{j_1-1} = (M[n]_j)_{j = j_0+(n-1)(j_1-j_0)}^{j_0+n(j_1-j_0)-1}$ ，因此 $(0,j_0+(n-1)(j_1-j_0))\leq_{M[n]}(0,j_0+n(j_1-j_0)-1)$ 。

$n > 1, M[n]_{0,j_0+(n-1)(j_1-j_0)-1} = M_{0,j_1-1} > M_{0,j_0} = M[n]_{0,j_0+(n-1)(j_1-j_0)}$ ，所以 $(0, j_0+(n-1)(j_1-j_0)-1)(0, j_0+(n-1)(j_1-j_0))$ 不成立。因此， $j_0+(n-1)(j_1-j_0)$ 是 $M[n]$ 可接受的。由上可知， $(M[n], j_0+(n-1)(j_1-j_0)) \in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked.}}$ 。

对于任意 $j \in \mathbb{N}$ ，若 $j_0 \leq j < j_0+(n-1)(j_1-j_0)$ ，则 $r \in \mathbb{N}$ 为 $j-j_0$ 除以 $j_1-j_0 > 0$ 的余数，且 $r < j_1-j_0$ 。如果 $r = 0$ ，则 $M[n]_{0,j} = M_{0,j_0+r} = M_{0,j_0} = M[n]_{0,j_0+(n-1)(j_1-j_0)}$ ，如果 $r > 0$ ，则 $M[n]_{0,j} = M_{0,j_0+r} \geq M_{0,j_1} > M_{0,j_0} = M[n]_{0,j_0+(n-1)(j_1-j_0)}$ ，因此在任何一种情况下， $(0,j) \leq_{M[n]} (0,j_0+(n-1)(j_1-j_0))$ 都不成立。另外，对于任何 $j \in \mathbb{N}$ ，如果 $j_0' j < j_0$ ，则 $(0,j_0') < _M^{\mathrm{Next}}(0,j_0)$ ，且根据父元素的基本性质 (1)， $M[n]_{0,j} = M_{0,j} \geq M_{0,j_0} = M[n]_{0,j_0+(n-1)(j_1-j_0)}$ ，因此 $(0,j) \leq_{M[n]} (0,j_0+(n-1)(j_1-j_0))$ 并非如此。

进一步，由于 $(0,j_0') <_{M}^{\mathrm{Next}} (0,j_0)$ ， $M[n]_{0,j_0'} = M_{0,j_0'} < M_{0,j_0} = M[n]_{0,j_0+(n-1)(j_1-j_0)}$ ，因此由上可知， $(0,j_0') <_{M[n]}^{\mathrm{Next}} (0,j_0+(n-1)(j_1-j_0))$ 。

$\mathrm{Lng}(N) = j_0+(n-1)(j_1-j_0)+1$ ，故 $j_{1}^{N} = j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})\geq j_{0}+(j_{1}-j_{0})\geq$ $j_0+1 > 1$ ，从而Pred $(N)$ 不为零项，且由于Trans满足去项性质， $t_1^N\neq 0$ 。因此，条件(I)至(VI)对 $N$ 有意义。

$(0,j_0') <_{M[n]}^{\mathrm{Next}} (0,j_0+(n-1)(j_1-j_0))$ 来自 $(0,j_0') <_{N}^{\mathrm{Next}} (0, j_0+(n-1)(j_1-j_0)) = (0,j_1^N), j_0^N = j_0', \mathrm{Pred}(N) = (M[n]_j)_{j=0}^{j_0+(n-1)(j_1-j_0)-1} = M[n-1]$ 。因此， $t_1^N = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N)) = \mathrm{Trans}(M[n-1]) = \mathrm{Trans}(M)[n-2]$ 。

由于 $j_0' < j_0 \leq j_1-1$ ，以及容许化切片的遗传性，因此 $\mathrm{Adm}_N(j_0') = \mathrm{Adm}_{\mathrm{Pred}(M)}(j_0') = j_{-1}'$ 。因此， $j_{-1}^N = \mathrm{Adm}_N(j_0^N) = \mathrm{Adm}_N(j_0') = j_{-1}'$ 。由于 $j_0^N+1 = j_0'+1 \leq j_0 < j_1 \leq j_0+(n-1)(j_1-j_0) = j_1^N$ ， $N$ 不满足条件（VI）。

证毕。

下面回到正题。

在条件 (I) 下, Trans 与基本列的交换关系证明:

由于 M 是单项的，Trans 保持零终止性，因此 Trans $(M) \neq 0$ 。

(2) 直接由 (1)、Trans(M) ≠ 0 和[Buc1] 引理 3.2 (a) 得出。下面我们给出 (1)。

由于 $j_{1}>0$ ， $\mathrm{Pred}(M)$ 不是零终止性的，因此 Trans 保持零终止性，因此 $t_{1}\neq0$ 。同样，由于 $(t_{1},c_{1})\in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ ，因此 $c_{1}\in PT_{B}$ 。

由于 M 可约，且由于可约性和系数之间的关系，条件 (A) 和 (B) 得到满足。由于 M 的单项式性和条件 (B)， $M_{0,0} = M_{1,0}$ 。由于可约性在基本列中得到保留，因此 $M[n]$ 也是可约的。

由于 $j_{0}$ 具有 M 容错性，因此 $j_{-1}=j_{0}$ 。由于 Mark 左端的基本性质， $v=M_{1,j_{-1}}=M_{1,j_{0}}$ 。根据 Trans 的定义， $(s_{1},c_{2},b_{1})=(s_{1},D_{M_{1,j_{0}}}(t_{2}+D_{0}0),b_{1})$ 是 $\mathrm{Trans}(M)$ 的第 0 类 scb 分解。

若 n=1，则 $M[n]=\mathrm{Pred}(M)$ ，因此 $\mathrm{Trans}(M[n])=t_{1}=s_{1}c_{1}b_{1}$ 。

令 $j_{0}=0$ 。

由于非复项性与基本列 (1) 的关系， $P(M[n]) = (\text{Pred}(M))_{k=0}^{n-1}$ 。

由于 $j_0$ 满足 $M$ 容许条件， $j_{-1} = j_0 = 0$ 。因此，由于 $s_1$ 和 $b_1$ 为空，以及基点之间的关系， $s_1 = ()$ ， $b_1 = ()$ 。由于 $\operatorname{scb}$ 分解与基本列 $(1-1)$ 的关系， $\operatorname{Trans}(M)[n-1] = D_{M_{1,i_0}}(t_2+D_00)[n-1] = (D_{M_{1,i_0}}t_2)\times n = c_1\times n$ 。

我们利用关于 n 的数学归纳法证明， $\mathrm{Trans}(M[n]) = \mathrm{Trans}(M)[n-1]$ 。

如果 n=1，则 $\mathrm{Trans}(M[n])=s_{1}c_{1}b_{1}=c_{1}=\mathrm{Trans}(M)[n-1]$ 。

如果 $n > 1$ ，则根据归纳假设， $\mathrm{Trans}(M[n-1]) = \mathrm{Trans}(M)[n-2]$ 。由于 $\operatorname{Lng}(\operatorname{Pred}(M)) = j_1 > 1$ ， $\operatorname{Pred}(M) \neq (0,0)$ ，因此根据 Trans 的递归定义

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (M[n]) \\ = \operatorname{Trans} \left(\bigoplus_{\mathbb {N}^{2}} (\operatorname{Pred} (M))_{k = 0}^{n-2}\right)+\operatorname{Trans} (\operatorname{Pred} (M)) \\ \begin{array}{l} = \operatorname{Trans} (M[n-1])+t_{1} \\ = \operatorname{Trans} (M)[n-2] = t_{1} \end{array} \tag {21.133} \\ = \mathrm{Trans} (M)[n-2]+s_{1} c_{1} b_{1} \\ = c_{1} \times (n-1)+c_{1} \\ = c_{1} \times n \\ = \operatorname{Trans} (M)[n-1]. \\ \end{array}
\]

设 $j_{0} > 0$ 。

由于 $M$ 满足条件 (I)， $j_0$ 是 $M$ 可接受的，且 $M_{1,j_0} \geq 0 = M_{1,j_1}$ 。因此，在条件 (I) 或 (III) 下， $M$ 满足围绕 $c_1$ 的具体表达式假设。

由于 M 是单项的， $(0,0) \leq_{M} (0,j_{1})$ ，因此 $M_{0,0} < M_{0,j_{1}}$ 。由于 $0 < j_{0}$ ，根据父存在性判断条件 (1)，存在唯一的 $j_{0}^{\prime} \in N$ 满足 $(0,j_{0}^{\prime}) <_{M}^{\mathrm{Next}} (0,j_{0})$ 。我们使用在条件 (I) 或 (III) 下围绕 $c_{1}$ 的具体表达式中引入的符号。

由于 $\left(t_1, \operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}^{\prime}\right)\right) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ ，因此存在唯一的 $\left(s_{-1}^{\prime}, b_{-1}^{\prime}\right) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ ，使得 $\left(s_{-1}^{\prime}, \operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}^{\prime}\right), b_{-1}^{\prime}\right)$ 构成 $t_1$ 的 scb 分解。具体而言， $\operatorname{Trans}(\operatorname{Pred}(M)) = t_1 = s_{-1}^{\prime} \operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}^{\prime}\right) b_{-1}^{\prime}$ 。

根据 $j_{-1}=j_{0}>0$ 、 $s_{1}$ 和 $b_{1}$ 为空、基点关系以及 scb 分解的自明性判定条件，有 $s_{1}\neq()$ 。

令 $j_{-1}^{\prime} = j_{0}^{\prime}$ 或 $M_{1,j_0^{\prime}}+1 = M_{1,j_0}$ 。

令 $j_{0}^{\prime}+1 = j_{0}$ 。

令 $t_{2}^{\prime} := 0$ 。

根据条件 (I) 或 (III) 下 $c_{1}$ 前后的具体表达式 (3-1)，可知 $s_{1}c_{1}b_{1} = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) = s_{-1}'\mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M), j_{-1}'\right)b_{-1}' = s_{-1}'D_{M_{1,j'}', c_1}b_{-1}'$ 。因此，根据 scb 分解的唯一性 (1)， $s_{1} = s_{-1}'D_{M_{11'-1}', 且 b_1 = b_{-1}'}$ 。

由 scb 分解与基本列的关系(1-2)可知, $\mathrm{Trans}(M)[n-1]=s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j^{\prime}-1}}\left(\left(D_{M_{1,j_{0}}}t_{2}\right)\times n\right)b_{1}=s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j^{\prime}-1}}\left(c_{1}\times n\right)b_{-1}^{\prime}=s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j^{\prime}-1}}\left(t_{2}^{\prime}+c_{1}\times n\right)b_{-1}^{\prime}$ 。

令 $j_{0}^{\prime}+1<j_{0}$ 。

在条件 (I) 或 (III) 下，存在唯一的 $t_{2}^{\prime} \in T_{B}$ 使得对于围绕 $c_{1}$ 的具体表示 (4-1)，存在唯一的 Mark $\left(\mathrm{Pred}(M), j_{-1}^{\prime}\right) = D_{M_{1,j_{-1}^{\prime}}}(t_{2}^{\prime}+c_{1})$ 。

\[
\begin{array}{l} s_{1} c_{1} b_{1} = t_{1} = \text { Trans } (\text { Pred } (M)) \\ = s_{- 1}^{\prime} \operatorname{Mark} \left(\operatorname{Pred} (M), j_{- 1}^{\prime}\right) b_{- 1}^{\prime} \tag {21.134} \\ = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} \left(t_{2}^{\prime}+c_{1}\right) b_{- 1}^{\prime}. \\ \end{array}
\]

因此，通过反复应用加法与 SCB 分解的关系以及 SCB 分解的合成规则（2），

\[
\operatorname{Trans} (M) = s_{1} c_{2} b_{1} = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j^{\prime}-1}} \left(t_{2}^{\prime}+c_{2}\right) b_{- 1}^{\prime} \tag {21.135}
\]

\[
= s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j^{\prime}-1}} \left(t_{2}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}}} \left(t_{2}+D_{0} 0\right)\right) b_{- 1}^{\prime}.
\]

因此，由scb分解与基本列(1-2)的关系可知， $\mathrm{Trans}(M)[n-1] = s_{-1}'D_{M_{1,j'-1}}\left(t_2'+\left(D_{M_{1,j_0}}t_2\right)\times n\right)b_1' = s_{-1}'D_{M_{1,j'-1}}\left(t_2'+c_1\times n\right)b_{-1}'$ 。

从上可知，在两种情况下，Trans $(M)[n-1]=s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j^{\prime}-1}}(t_{2}^{\prime}+c_{1}\times n)b_{-1}^{\prime}$ 。

利用数学归纳法证明 $n$ 中的 $\operatorname{Mark}\left(M[n], j_{-1}^{\prime}\right) = D_{M_{1,j'}}\left(t_2'+c_1 \times n\right)$ 且 $\operatorname{Trans}(M[n]) = s_{-1}'\operatorname{Mark}\left(M[n], j_{-1}'\right)b_{-1}'$ 。如果 $n = 1$ 则 $\operatorname{Mark}\left(M[n], j_{-1}'\right) = \operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}'\right) = D_{M_{1,j'-1}}\left(t_2'+c_1\right) = D_{M_{1,j'-1}}\left(t_2'+c_1 \times n\right)$ 且 $\operatorname{Trans}(M[n]) = \operatorname{Trans}(\operatorname{Pred}(M)) = s_{-1}'\operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}'\right)b_{-1}' = s_{-1}'\operatorname{Mark}\left(M[n], j_{-1}'\right)b_{-1}'$ 。

令 n > 1。

由条件（I）或（III）下围绕 $c_{1}$ 的具体表达式（5）可知， $j_{1}^{N} = j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})$ 且 $j_0^N = j_0'$ 且 $j_{-1}^{N} = j_{-1}'$ ，且 $t_1^N \neq 0$ ，因此 $N$ 不满足条件（VI）。根据归纳假设， $c_{1}^{N} = \mathrm{Mark}\left(M[n-1], j_{-1}'\right) = D_{M_{1,j_{-1}'}}\left(t_2'+c_1 \times (n-1)\right)$ 且 $s_1^N c_1^N b_1^N = t_1^N = \mathrm{Trans}(M[n-1]) = s_{-1}'\mathrm{Mark}\left(M[n-1], j_{-1}'\right)b_{-1}' = s_{-1}'c_1^N b_{-1}'$ 。因此，由scb分解(1)的唯一性可知， $s_1^N = s_{-1}'$ 且 $b_1^N = b_{-1}'$ 。又，由 $D_{v^N}t_2^N = c_1^N = D_{M_{1,j_{-1}'}}\left(t_2'+c_1 \times (n-1)\right)$ ， $v^N = M_{1,j_{-1}'}$ 且 $t_2^N = t_2'+c_1 \times (n-1)$ 。

如果 $j_{-1}^{\prime} = j_0^{\prime}$ ，则 $j_{-1}^{N} = j_{-1}^{\prime} = j_{0}^{\prime} = j_{0}^{N}$ ，因此 $N$ 满足条件(I)或(III)。

如果 $M_{1,j_0'}+1 = M_{1,j_0}$ ，则 $N$ 不满足条件 (VI)；且由于 $N_{1,j_0^N}+1 = M_{1,j_0} = N_{1,j_1^N}$ ，因此 $N$ 满足条件 (V)。

因此，无论哪种情况，N 都满足条件 (I)、(III) 或 (V)，且 $c_{2}^{N}=D_{v^{N}}\left(t_{2}^{N}+D_{N_{1,j_{1}^{N}}}0\right)=D_{M_{1,j^{\prime}-1}}\left((t_{2}^{\prime}+c_{1}\times(n-1))+D_{M_{1,j_{0}}}0\right)$ ，因此 $\mathrm{Trans}(N)=s_{1}^{N}c_{2}^{N}b_{1}^{N}=s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j^{\prime}-1}^{\prime}}\left(t_{2}^{\prime}+c_{1}\times(n-1)+D_{M_{1,j_{0}}}0\right)$

根据加法与scb分解的关系,以及scb分解的复合规则(2),我们有 $\left(D_{M_{1,j'-1}}\left(t_{2}^{\prime}+c_{1}\times(n-1)+D_{M_{1,j_{0}}}0\right),T_{B}^{\mathrm{Marked}}\right)$ 。另外,根据Mark的定义, $\left(\mathrm{Trans}(N),D_{M_{1,j'-1}}\left(t_{2}^{\prime}+c_{1}\times(n-1)+D_{M_{1,j_{0}}}0\right)\right)\in T_{B}^{\mathrm{Marked}}$ 。

此外, 通过反复应用 scb 分解的复合规则 (1) 和 scb 分解的可替代性, 从 Trans 的 Mark 和切片表示,

\[
\begin{array}{l} \text {Trans} (M[n]) \\ = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} \left(\left(t_{2}^{\prime}+c_{1} \times (n-1)\right)+\operatorname{Mark} \left(M[n], j_{0}+(n-1) \left(j_{1}-j_{0}\right)\right)\right) b_{- 1}^{\prime} \\ = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} \left(\left(t_{2}^{\prime}+c_{1} \times (n-1)\right)+\operatorname{Mark} (\operatorname{Pred} (M), j_{- 1})\right) b_{- 1}^{\prime} \tag {21.136} \\ = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} \left(\left(c_{1} \times (n-1)\right)+c_{1}\right) b_{- 1}^{\prime} \\ = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j_{-}^{\prime}}} \left(t_{2}^{\prime}+c_{1} \times n\right) b_{- 1}^{\prime}. \\ \end{array}
\]

并且，从 Trans $(N)=s_{-1}^{\prime}$ Mark $(N,j_{-1}^{\prime})b_{-1}^{\prime}$ ,

\[
s_{- 1}^{\prime} \operatorname{Mark} \left(M[n], j_{- 1}^{\prime}\right) b_{- 1}^{\prime} = \operatorname{Trans} (M[n]) = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j^{\prime}-1}} \left(t_{2}^{\prime}+c_{1} \times n\right) b_{- 1}^{\prime}, \tag {21.137}
\]

因此， $\operatorname{Mark}\left(M[n], j_{-1}^{\prime}\right) = D_{M_{1,j'-1}}\left(t_{2}^{\prime}+c_{1} \times n\right)$ 且 $\operatorname{Trans}(M[n]) = s_{-1}^{\prime} \operatorname{Mark}\left(M[n], j_{-1}^{\prime}\right) b_{-1}^{\prime}$ 。

由上可知

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (M[n]) \\ = s_{- 1}^{\prime} \operatorname{Mark} \left(M[n], j_{- 1}^{\prime}\right) b_{- 1}^{\prime} \tag {21.138} \\ = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j^{\prime}-1}} \left(t_{2}^{\prime}+c_{1} \times n\right) b_{- 1}^{\prime} \\ = \operatorname{Trans} (M)[n-1]. \\ \end{array}
\]

令 $j_{-1}^{\prime}>j_{0}^{\prime}$ 且 $M_{1,j_{0}^{\prime}}\geq M_{1,j_{0}}$ 。

令 $j_{0}^{\prime}+1 = j_{0}$ 。

令 $t_{3}^{\prime} := 0$ 。

令 $t_{4}^{\prime} := 0$ 。

从条件 (I) 或 (III) 下围绕 $c_{1}$ 的具体表达式 (3-2),

\[
\begin{array}{l} s_{1} c_{1} b_{1} \\ = \operatorname{Trans} (\operatorname{Pred} (M)) \\ = s_{- 1}^{\prime} \operatorname{Mark} \left(\operatorname{Pred} (M), j_{- 1}^{\prime}\right) b_{- 1}^{\prime} \tag {21.139} \\ = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}^{\prime}} D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} c_{1} b_{- 1}^{\prime} \\ = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}^{\prime}} \left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} (t_{4}^{\prime}+c_{1})\right) b_{- 1}^{\prime}. \\ \end{array}
\]

根据 scb 分解的唯一性 (1)， $s_{1}=s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j^{\prime}-1}}D_{M_{1,j_{0}}}$ 且 $b_{1}=b_{-1}^{\prime}$ 。

根据 scb 分解与基本列的关系（1-2），

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (M)[n-1] \\ \begin{array}{l} = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j^{\prime}-1}^{\prime}} D_{M_{1, j^{\prime}}^{\prime}} \left(\left(D_{M_{1, j_{0}}} t_{2}\right) \times n\right) b_{1} \\ \quad^ {\prime} D_{M_{1, j^{\prime}}} D_{M_{1, j^{\prime}}} (t_{2}) h^{\prime} \end{array} \tag {21.140} \\ = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \left(c_{1} \times n\right) b_{- 1}^{\prime} \\ = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}^{\prime}} \left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \left(t_{4}^{\prime}+c_{1} \times n\right)\right) b_{- 1}^{\prime}. \\ \end{array}
\]

令 $j_{0}^{\prime}+1 < j_{0}$ 。

在条件 (I) 或 (III) 下, 存在唯一的 $(t_{3}^{\prime}, t_{4}^{\prime}) \in T_{\mathrm{B}}^{2}$ 使得 Mark $(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}^{\prime}) = D_{M_{1,j^{\prime}-1}} \left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_0^{\prime}}} (t_{4}^{\prime}+c_{1})\right)$ 且 $s_{1}c_{1}b_{1} = t_{1} = \operatorname{Trans}(\operatorname{Pred}(M)) = s_{-1}^{\prime} \operatorname{Mark} \left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}^{\prime}\right) b_{-1}^{\prime} = s_{-1}^{\prime} D_{M_{1,j^{\prime}_1}} \left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_0^{\prime}}} (t_{4}^{\prime}+c_{1})\right) b_{-1}^{\prime}$ 。

因此，通过迭代应用加法和 scb 分解之间的关系以及 scb 分解的组合规则 (2)，我们得到 $\left(D_{M_{1,j_{0}}}\left(t_{4}^{\prime}+c_{1}\right),c_{1}\right)$ ， $\left(D_{M_{1,j_{-1}^{\prime}}}\left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}\left(t_{4}^{\prime}+c_{1}\right)\right),D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}\left(t_{4}^{\prime}+c_{1}\right)\right)\in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ 。另外，根据 Mark 的定义， $\left(s_{1}c_{1}b_{1},D_{M_{1,j_{-1}^{\prime}}}\left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}\left(t_{4}^{\prime}+c_{1}\right)\right)\right),\left(s_{1}c_{1}b_{1},c_{1}\right)\in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ 。

进一步，通过反复应用 scb 分解的复合规则 (1) 以及 scb 分解的可替换性，我们得到 $\mathrm{Trans}(M)=s_{1}c_{2}b_{1}=s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j^{\prime}-1}}\left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}\left(t_{4}^{\prime}+D_{M_{1,j_{0}}}\left(t_{2}+D_{0}0\right)\right)\right)b_{-1}^{\prime}$ 。

由 scb 分解与基本列(1-2)的关系可知, $\mathrm{Trans}(M)[n-1]=s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j^{\prime}-1}}\left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}} \left(t_{4}^{\prime}+\left(D_{M_{1,j_{0}}}t_{2}\right)\times n\right)\right)b_{-1}^{\prime}$ $s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j^{\prime}-1}}\left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}} \left(t_{4}^{\prime}+c_{1}\times n\right)\right)b_{-1}^{\prime}$ 。

因此，在这两种情况下， $\mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M), j_{-1}^{\prime}\right) = D_{M_{1,j'-1}}\left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_0'}}(t_{4}^{\prime}+c_{1})\right)$ 且 $\mathrm{Trans}(M)[n-1] = s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j'-1}}\left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_0'}}(t_{4}^{\prime}+c_{1} \times n)\right)b_{-1}^{\prime}$ 。

利用 n 中的数学归纳法,我们证明 $\mathrm{Mark}\left(M[n],j_{-1}^{\prime}\right)=D_{M_{1,j_{-1}^{\prime}}}\left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}\left(t_{4}^{\prime}+c_{1}\times n\right)\right)$ 且 $\mathrm{Trans}\left(M[n]\right)=s_{-1}^{\prime}\mathrm{Mark}\left(M[n],j_{-1}^{\prime}\right)b_{-1}^{\prime}$ 。

$n = 1$ 则 $\mathrm{Mark}\left(M[n],j_{-1}^{\prime}\right) = \mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M),j_{-1}^{\prime}\right) = D_{M_{1,j^{\prime}-1}}\left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_0^{\prime}}}(t_{4}^{\prime}+c_{1})\right) =$ $D_{M_{1,j^{\prime}-1}}\left(t_3^{\prime}+D_{M_{1,j_0^{\prime}}}(t_4^{\prime}+c_1\times n)\right)$ 并且 $\mathrm{Trans}(M[n]) = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) = s_{-1}^{\prime}\mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M),j_{-1}^{\prime}\right)c_1b_{-1}^{\prime} =$ $s_{-1}^{\prime}\mathrm{Mark}\left(M[n],j_{-1}^{\prime}\right)b_{-1}^{\prime}\circ$

令 n > 1。

由条件（I）或（III）下围绕 $c_{1}$ 的具体表达式（5）可知， $j_{1}^{N} = j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})$ 且 $j_0^N = j_0'$ 且 $j_{-1}^N = j_{-1}'$ ，且 $t_1^N \neq 0$ ，因此 $N$ 不满足条件（VI）。根据归纳假设， $c_{1}^{N} = \mathrm{Mark}\left(M[n-1],j_{-1}^{\prime}\right) = D_{M_{1,j'-1}^{\prime}}\left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_0'}^{\prime}}(t_4^{\prime}+c_1\times (n-1))\right)$ 且 $s_1^N c_1^N b_1^N = t_1^N =$ Trans $(M[n-1]) = s_{-1}^{\prime}\mathrm{Mark}\left(M[n-1],j_{-1}^{\prime}\right)b_{-1}^{\prime} = s_{-1}^{\prime}c_{1}^{N}b_{-1}^{\prime}$ 。因此，根据scb分解(1)的唯一性， $s_1^N = s_{-1}'$ 且 $b_{1}^{N} = b_{-1}'$ 。另外， $D_{v^{N}}t_{2}^{N} = c_{1}^{N} = D_{M_{1,j'-1}^{\prime}}\left(t_3^{\prime}+D_{M_{1,j_0'}}(t_4^{\prime}+c_1\times (n-1))\right)$ ，因此 $v^{N} = M_{1,j_{--}^{-1}}$ 且 $t_2^N = t_3^{\prime}+D_{M_{1,j_0'}}(t_4^{\prime}+c_1\times (n-1))$ 。

由于 $j_{-1}^{N} = j_{-1}^{\prime} < j_{0}^{\prime} = j_{0}^{N}$ ， $j_{0}^{N}$ 不是 $N$ 容许的，因此 $N$ 不满足条件 (I) 或 (III)；但是，由于 $N_{1,j_0^N}+1 = M_{1,j_0^{\prime}}+1 \geq M_{1,j_0} = N_{1,j_1^N}$ ，因此 $N$ 满足条件 (II) 或 (IV)。 $t_2^N$ 的最右边单项式分量 $D_{M_{1,j_0^{\prime}}}(t_4^{\prime}+c_1 \times (n-1))$ 的左端为 $D_{M_{1,j_0^{\prime}}} = D_{N_{1,j_0^N}}$ ，因此 $t_3^N = t_3^{\prime}$ 且 $D_{N_{1,1,j_0^N}}t_4^N = t_2^N = D_{M_{1,j_0^{\prime}}}(t_4^{\prime}+c_1 \times (n-1))$ ，即 $t_4^N = t_4^{\prime}+c_1 \times (n-1)$ 。因此

\[
c_{2}^{N} = D_{v^{N}} \left(t_{3}^{N}+D_{N_{1, j_{0}^{N}}} \left(t_{4}^{N}+D_{N_{1, j_{1}^{N}}} 0\right)\right) = D_{M_{1, j^{\prime}-1}} \left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \left(t_{4}^{\prime}+c_{1} \times (n-1)+D_{M_{1, j_{0}}} 0\right)\right) = D_{M_{1, j^{\prime}-1}} \left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1, j^{\prime}-1}} \left(t_{4}^{\prime}+c_{1} \times (n-1)+D_{M_{1, j^{\prime}-1}} 0\right)\right)
\]

因此，Trans $(N) = s_{1}^{N}c_{2}^{N}b_{1}^{N} = s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j^{\prime}-1}}\left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_0^{\prime}}}\left(t_{4}^{\prime}+c_{1}\times (n-1)+D_{M_{1,j_0}}0\right)\right)b_{-1}^{\prime}$ 。

此外，通过反复应用 scb 分解的复合规则 (1) 和 scb 分解的可替代性，[57]Trans 表示为 Mark，并切片

\[
\begin{array}{l} \operatorname{Trans} (M[n]) = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} \left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} \left(t_{4}^{\prime}+c_{1} \times (n-1)+\operatorname{Mark} (M[n], j_{0}+(n-1) \left(j_{1}-j_{0}\right))\right)\right) b_{- 1}^{\prime} = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} \\ { = } s_{-1 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-1 }^{ \prime } } } ( t_{ 3 }^{ \prime }+D_{ M_{ 1 , j_{ 0 }^{ \prime } } } ( t_{ 4 }^{ \prime }+c_{ 1 } \times n ) ) b_{-1 }^{ \prime } \\ \end{array}
\]

进一步， $\mathrm{Trans}(N)=s_{-1}^{\prime}\mathrm{Mark}(N,j_{-1}^{\prime})b_{-1}^{\prime}$

\[
s_{- 1}^{\prime} \mathrm{Mark} (M[n], j_{- 1}^{\prime}) b_{- 1}^{\prime} = \mathrm{Trans} (M[n]) = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} (t_{3}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} (t_{4}^{\prime}+c_{1} \times n)) b_{- 1}^{\prime}
\]

因此 $\operatorname{Mark}(M[n], j_{-1}') = D_{M_{1,j'_{-1}}}(t_3'+D_{M_{1,j'_0}}(t'_4+c_1 \times n))$ 且 $\operatorname{Trans}(M[n]) = s_{-1}'\operatorname{Mark}(M[n], j_{-1}')b_{-1}'$ 。

由上式可知，

\[
\mathrm{Trans} (M[n]) = s_{- 1}^{\prime} \mathrm{Mark} (M[n], j_{- 1}^{\prime}) b_{- 1}^{\prime} = s_{- 1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 1}^{\prime}}} (t_{3}^{\prime}+D_{M_{1, j_{0}^{\prime}}} (t_{4}^{\prime}+c_{1} \times n)) b_{- 1}^{\prime} = \mathrm{Trans} (M)[n-1]
\]

证毕。

令 $M \in T_{PS}$ 。

如果 M 可约、单项式，且 $\mathrm{Br}(M)$ 为降序列，则 M 为强单项式。

令 $DT_{PS} \subset T_{PS}$ 为所有强单项式对序列的子集。

'''定理 93''' 标准形式的直系祖先切片约化的强单项性。

对于任意 $M \in ST_{PS}$ 和 $j_0', j_1' \in \mathbb{N}$ ，设 $j_1 := Lng(M)-1$ ，令 $j_0' < j_1' \leq j_1$ 且令 $M' := (M_j)_{j=j_0'}^{j_1'}$ ，则若 $(0, j_0') \leq_M (0, j_1')$ ，则 $Red(M')$ 为强单项的。

证明：

由于标准形式的切片与 Br 的降序性质之间的关系, $M'$ 为单项函数,而 $\mathrm{Br}(M')$ 为降序函数。因此,由于 Red 保持单项性质,因此 $\mathrm{Red}(M')$ 为单项函数。令 $J_{1}:=\mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(M'))-1$ 。

根据基于直接祖先的切片以及 Red 与 IncrFirst 之间的关系, $M' = \text{IncrFirst}^{M_{0,j_0}'-M_{1,j_0'}}(\text{Red}(M'))$ , 因此, 由于 $\leq_M$ 的 IncrFirst 不变性, $\text{Br}(M') = (\text{IncrFirst}^{M_{0,j_0}'-M_{1,j_0'}}(\text{Br}(\text{Red}(M'))_J))_{J=0}^{J_1}$ 。

因此，由于 $\mathrm{Br}(M')$ 的降序排列， $\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(M'))$ 也是降序排列。从上可知， $\mathrm{Red}(M')$ 是一个强单项式。

证毕。

定义映射

\[
\begin{array}{l} \text {LastStep:} D T_{\mathrm{PS}} \rightarrow \mathbb {N} \\ M \mapsto \operatorname{LastStep} (M) \\ \end{array}
\]

如下：

1. 设 $J_{1} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(M))$ 。
2. 如果 $J_{1}=0$ ，则 LastStep(M)=0。
3. 设 $J_{1} > 0$ 。

3.1. 如果 $(\mathrm{Br}(M)_{J_{1}})_{0,0} = (\mathrm{Br}(M)_{J_{1}})_{1,0}$ ，则 LastStep(M) = J\_{1}。

3.2. 如果 $(\mathrm{Br}(M)_{J_{1}})_{0,0} > (\mathrm{Br}(M)_{J_{1}})_{1,0}$ ，则 LastStep(M) := $\min\{J \in \mathbb{N} \mid (\mathrm{Br}(M)_{J_{1}})_{0,0} = (\mathrm{Br}(M)_{J})_{0,0} > (\mathrm{Br}(M)_{J})_{1,0}\}$ 。

'''定理 94''' 在条件 (II) 或 (IV) 下，终止切片与 Trans 的关系。

对于任何 $M \in DT_{PS}$ , 令 $j_1 := Lng(M)-1$ , 令 $J_1 := Lng(Br(M))-1$ , 令 $J_1 \geq 0$ , 令 $j_0' := Joints(M)_{J_1}$ , 令 $j_1' := FirstNodes(M)_{J_1}$ , 令 $J_0 := LastStep(M)$ , 令 $m_1 := FirstNodes(M)_{J_0}-1$ , 令 $N := (M_j)_{j=0}^{m_1}$ , 且令 $N' := Let(M_j)_{j=j_0'}^{m_1}[62]$ 设 $M' := (M_j)_{j=j_0'}^{j_1}$ , 则若 $0 < j_0' < TrMax(M)$ 且 $M_{0,j_1'} > M_{1,j_1'}$ , 则存在唯一的 $t_1, t_2 \in T_B$ 使得:

(1) $\text{Trans}(N) = D_{M_{1,0}} t_{1}$ 。
(2) $Trans(N') = D_{M_{1,j_0'}}t_1$ 。
(3) $Trans(M') = D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2)$ 且 $t_2 \neq 0$ 。
(4) $Trans(M) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2))$ 。

我们提出一些引理作为初步步骤，以证明在条件 (II) 或 (IV) 下端段和 Trans 之间的关系。

'''定理 95''' 强单项性对切片的遗传性。

对于任何 $M \in DT_{PS}$ 和 $j_{0}^{\prime}, j_{1}^{\prime} \in N$ ，设 $j_{1} := Lng(M)-1$ ，设 $J_{1} := Lng(Br(M))-1$ ，设 $j_{0}^{\prime} < j_{1}^{\prime} \leq j_{1}$ ，且设 $M^{\prime} := (M_{j})_{j = j_{0}^{\prime}}^{j_{1}^{\prime}}$ ，则若 $j_{0}^{\prime} \leq Joints(M)_{J_{1}}$ ，则 $M^{\prime}$ 为强单项性。

证明：

由于可约性与系数之间的关系，M 满足条件 (A) 和 (B)。因此，对于任意 $j \in N$ ，若 $j \leq \operatorname{TrMax}(M)$ ，则 $M_{j} = (M_{1,0}+j, M_{1,0}+j)$ 。

由于 FirstNodes、TrMax 和 Joints 之间的关系， $j_{0}^{\prime} \leq \text{Joints}(M)_{J_{1}} \leq \text{TrMax}(M)$ 。因此，由于可约性对切片的遗传性， $M^{\prime}$ 是可约的。

令 $j_{0} := \mathrm{TrMax}(M)$ 。

$\mathrm{TrMax}(M') = j_0-j_0'$ 且 $\mathrm{Lng}(M')-1 = j_1'-j_0'$ 。

对于任意 $j \in N$ ，如果 $j \leq j_{1}^{\prime}-j_{0}^{\prime}$ ，则 $(0,0) \leq_{M}(0,j)$ 。

如果 $j \leq \mathrm{TrMax}(M')$ ，则 $(1,0) \leq_{M'} (1,j)$ ，因此 $(0,0) \leq_{M'} (0,j)$ 。

令 $j > \mathrm{TrMax}(M')$ 。

由于 $j+j_0' > \mathrm{TrMax}(M')+j_0' = j_0$ ，因此存在唯一的 $J \in \mathbb{N}$ 使得 $J \leq J_1$ 且 $\mathrm{FirstNodes}(M)_J \leq j+j_0' < \mathrm{FirstNodes}(M)_{J+1}$ 。由于 $P$ 的每个组成部分都是非复合项，因此 $\mathrm{Br}(M)_J$ 不是复合项，因此 $(0,0) \leq_{\mathrm{Br}(M)_J} (0,j+j_0'-\mathrm{FistNodes}(M)_J)$ ，即 $(0,\mathrm{FirstNodes}(M)_J) \leq_M (0,j+j_0')$ 。

由于 $\mathrm{Br}(M)$ 按降序排列， $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_J} \geq M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1}}$ ，且 $M$ 满足条件 (A)，因此 $M_{0,\mathrm{Joints}(M)_J}+1 = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_J}$ 且 $M_{0,\mathrm{Joints}(M)_{J_1}}+1 = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1}}$ 。因此， $j_0' \leq \mathrm{Joints}(M)_{J_1} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_{J_1}}-M_{1,0} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1}}-1-M_{1,0} \leq M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_J}-1-M_{1,0} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_J}-M_{1,0} = \mathrm{Joints}(M)_J$ 。

由于 FirstNodes、TrMax、Joints 的关系， $j_{0}^{\prime} \leq \text{Joint}(M)_{J} \leq \text{TrMax}(M)$ ，所以 $(1, j_{0}^{\prime}) \leq_{M} (1, \text{Joints}(M)_{J})$ 。此外，因为 $(0, \text{Joints}(M)_{J}) <_{M}^{\text{Next}} (0, \text{FirstNodes}(M))$ 且 $(0, \text{FirstNodes}(M)_{J}) \leq_{M} (0, j+j_{0}^{\prime})$ 、 $(0, j_{0}^{\prime}) \leq_{M} (0, j+j_{0}^{\prime})$ ，或 $(0, 0) \leq_{M'} (0, j)$ 。

由上可知， $M'$ 为单项矩阵。

令 $J_{0} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(M'))-1$ 。

由 $P$ 与 $\mathrm{IdxSum}$ 复合函数的刻画， $J_0 \leq J_1$ 且 $\mathrm{FirstNodes}(M') = (\mathrm{FirstNodes}(M)_J-j_0')_{J=0}^{J_0}$ 。因此， $\mathrm{Br}(M')$ 为降序。

证毕。

'''定理 96''' 子表达式的单项分量与 Pred 的关系。

对于任意 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ , 令 $j_1 := Lng(M)-1$ , 令 $J_1 := Lng(Br(M))-1$ , 令 $J_1 \geq 0$ , 令 $j_0' := Joints(M)_{J_1}$ , 令 $j_1' := FirstNodes(M)_{J_1}$ 。如果 $j_1 > 1$ , 则以下任一情况成立:

(1) $j_1' = j_1$ ，且 $TrMax(M) = 0$ 或 $j_0' < TrMax(M)$ ，则 $M_{0,j_1'} = M_{1,j_1'}$ 或 $j_0'$ 满足 $M$ 容许条件，且存在唯一的 $t_1 \in T_B$ 使得 $Trans(Pred(M)) = D_{M_{1,0}}t_1$ 且 $Trans(M) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_1'}}0)$ 。
(2) $j_{1}^{\prime}=j_{1}$ , $M_{0,j_{1}^{\prime}}>M_{1,j_{1}^{\prime}}$ 且 $j_{0}^{\prime}$ 为非 $M$ 可接受的, 且存在唯一的 $(t_{1},t_{2})\in T_{B}^{2}$ 使得 $Trans(Pred(M))=D_{M_{1,0}}t_{1}$ 且 $Trans(M)=D_{M_{1,0}}(t_{1}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}t_{2})$ 。
(3) 存在唯一的 $(t_{1}, t_{2}, t_{3}) \in T_{B}^{2}$ 使得 $\text{Trans}(\text{Pred}(M)) = D_{M_{1,0}}(t_{1}+D_{M_{1,j_{1}^{\prime}}}t_{2})$ 和 $\text{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}(t_{1}+D_{M_{1,j_{1}^{\prime}}}t_{3})$ 。
(4) 存在唯一的 $(t_{1}, t_{2}, t_{3}) \in T_{B}^{2}$ 使得 $\text{Trans}(\text{Pred}(M)) = D_{M_{1,0}}(t_{1}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}t_{2})$ 和 $\text{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}(t_{1}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}t_{3})$ 。

证明：

由于可约性与系数之间的关系，M 满足条件 (A) 和 (B)。由于 M 满足条件 (A) 和 (B)，若对于任意 $j \in N$ ， $j \leq \operatorname{TrMax}(M)$ ，则 $M_{j} = (M_{1,0}+j, M_{1,0}+j)$ 。又由于 M 满足条件 (A)， $M_{0,j_{0}^{\prime}}+1 = M_{0,j_{1}^{\prime}}$ 。

由于 $j_{1} > 1$ ， $\operatorname{Pred}(M)$ 不是零项，且Trans保持零项性质， $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M))\neq 0$ 。因此，条件(I)至(VI)对 $M$ 有意义。

由于 $J_{1} \geq 0$ , $\mathrm{TrMax}(M) < j_{1}$ 。又由于 $M$ 是单项式, $(0,0) \leq_{M} (0,j_{1})$ 。由于 $j_{1} > 1 > 0$ , 存在唯一的 $j_{0} \in \mathbb{N}$ 使得 $(0,j_{0}) <_{M}^{\mathrm{Next}} (0,j_{1})$ 。

首先，证明如果 $j_{1}-j_{1}^{\prime}=0$ ，则 M 不满足条件 (VI)。由于 $(0,j_{0}^{\prime})<_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1}^{\prime})=(0,j_{1})$ ，则 $j_{0}=j_{0}^{\prime}$ 。此外，由于 FirstNodes、TrMax 和 Joints 之间的关系， $j_{0}^{\prime}\leq\mathrm{TrMax}(M)$ 。

假设 $j_0+1 = j_1$ 且 $(1,j_0) < _M^{\mathrm{Next}}(1,j_1)$ ，则 $\mathrm{TrMax}(M) = j_1$ ，这与 $\mathrm{TrMax}(M) < j_1$ 矛盾。因此，如果 $j_0+1 = j_1$ ，则 $(1,j_0) < _M^{\mathrm{Next}}(1,j_1)$ 并非成立。具体而言， $M$ 不满足条件 (VI)。

令 $j_{-1} := \mathrm{Adm}_M(j_0)$ 。我们利用数学归纳法证明，关于 $j_1-\mathrm{TrMax}(M)$ ，(1) 至 (4) 式中任意一个成立。令 $j_1-\mathrm{TrMax}(M) = 1$ 。由于 $\mathrm{Lng}((M_j)_{j=\mathrm{TrMax}(M)+1}^{j_1}) = 1$ ，因此有 $J_1 = 0$ 、 $j_1' = j_1$ 、 $\mathrm{TrMax}(M) = j_1'-1$ 且 $j_0' = M_{0,j_0'}-M_{1,0} = M_{0,j_1'}-1-M_{1,0}$ 。特别地，由于 $j_1-j_1' = 0$ ， $j_0 = j_0'$ ，且 $M$ 不满足条件 (VI)。

$\operatorname{Pred}(M) = (M_{1,0}+j, M_{1,0}+j)_{j=0}^{j_1'-1}$ ，且 $j_1'-1 = j_1-1 > 0$ ，根据公差 $(1,1)$ 的对序列 Trans 的基本性质， $\operatorname{Trans}(\operatorname{Pred}(M)) = D_{M_{1,0}} D_{M_{1,j_1'-1}} 0$ 。

由于 $M$ 不满足条件 (VI)，因此 $M$ 满足具有 Pred 且公差为 (1,1) 的对数序列 Trans 的基本性质 (1) 至 (4) 中的任意一项。

若 $M$ 满足具有 Pred 且公差为 (1,1) 的对数序列 Trans 的基本性质 (1) 的条件，则 $j_0+1 = j_1$ ，因此 $j_0' = j_0 = j_1-1 = j_1'-1$ 。因此，如果我们设置 $(t_1, t_2, t_3) := (0, 0, D_{M_{1,j_1'}} 0)$ ，则 $\text{Trans}(\text{Pred}(M)) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_1'-1}} t_2) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}} t_2)$ 且 $\text{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_1'-1}} t_3) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}} t_3)$ ，因此 (4) 成立。

如果 $M$ 满足 Pred 公差为 (1,1) 的偶数序列 Trans 基本性质的条件 (2)，则 $M_{0,j_1'} = M_{1,j_1'}$ ，且设 $(t_1,t_2) := (D_{M_{1,j_1'-1}}0,0)$ ，则 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) = D_{M_{1,0}}t_1$ 且 $\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_1'}}t_2)$ ，因此 (1) 成立。设 $M$ 满足 Pred 公差 (1,1) 的偶数序列 Trans 基本性质的条件 (3)，则 $M_{0,j_1'} > M_{1,j_1'}$ ，且 $j_0' = M_{0,j_1'}-1-M_{1,0}$ ，且 $M_{1,0}+1 < M_{0,j_1'} \leq M_{0,j_1'-1}$ ，因此 $0 < j_0' \leq \mathrm{TrMax}(M)-1$ 。因此， $j_0'$ 不是 $M$ 容许的，且 $(t_1,t_2) := (D_{M_{1,j_1'-1}}0,(\underline{D}_{M_{1,j_1'-1}}0,\quad D_{M_{1,j_0'}}0))$ ，则 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) = D_{M_{1,0}}t_1$ 且 $\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}}t_2)$ ，因此（2）成立。

如果 $M$ 满足Pred公差为(1,1)的偶数序列Trans基本性质的条件(4)，则 $j_0^{\prime} = M_{0,j_1^{\prime}}-1-M_{1,0} = 0$ ，因此 $j_0^{\prime} = 0$ ，且 $j_0^{\prime}$ 是 $M$ 容错的。设 $(t_1,t_2):= (D_{M_{1,j_1^{\prime}-1}}0,0)$ ，则 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) = D_{M_{1,0}}t_1$ ，且 $\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_1^{\prime}}}t_2)$ ，因此(1)成立。

令 $j_{1}-\mathrm{TrMax}(M)>1$ 。

令 $\mathrm{Adm}_{M}(j_{0})>0$ 。

由于 $j_0 = j_0' \leq \mathrm{TrMax}(M)$ ，根据 $\mathrm{TrMax}$ 的定义，我们有 $\mathrm{Adm}_M(j_0) = \mathrm{TrMax}(M)$ ；同样，由于 $\mathrm{Adm}_M(j_0) \leq j_0 \leq \mathrm{TrMax}(M) = \mathrm{Adm}_M(j_0)$ ，我们有 $j_0 = \mathrm{Adm}_M(j_0) = \mathrm{TrMax}(M)$ 。

由于可约化为切片的遗传性和单项函数可约化为初始切片的遗传性， $\operatorname{Pred}(M)$ 既是可约化的又是单项的。 $j_1 \geq j_1-\operatorname{TrMax}(M) > 1$ ，因此 $\operatorname{Lng}(\operatorname{Pred}(M))-1 = j_1 > 1$ 。

设 $J_{1}^{\prime} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M)))-1$ 。

若 $j_{1}^{\prime}=j_{1}$ ，则 $j_{1}-\mathrm{TrMax}(M)>1$ ，因此 $J_{1}>0$ ，并且根据 P 与 IdxSum 的组合特

征， $J_{1}^{\prime}=J_{1}-1\geq0$ 。

如果 $j_{1}^{\prime}<j_{1}$ ，则根据 P 与 IdxSum 的组合特征， $J_{1}^{\prime}=J_{1}\geq0$ 。

由上可知，两种情况下 $J_{1}^{\prime} \geq 0$ 均成立。

因为 $\mathrm{Lng}(\mathrm{Pred}(M))-1=j_{1}-1$ 且 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(M'))=\mathrm{TrMax}(M)$ ， $(\mathrm{Lng}(\mathrm{Pred}(M))-1)-\mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(M'))=j_{1}-1-\mathrm{TrMax}(M)<j_{1}-\mathrm{TrMax}(M)$ ，根据归纳假设，存在唯一的 $i\in\{0,1\}$ 和 $(t_{1},t_{2})\in T_{\mathrm{B}}^{2}$ 使得 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M))=D_{M_{1,0}}(t_{1}+D_{M_{1,j_{i}^{\prime}}}t_{2})$ 。从 $\mathrm{Adm}_{M}(j_{0})>0$ 及 $s_{1}$ 与 $b_{1}$ 的空性和基点关系可知， $\mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),\mathrm{Adm}_{M}(j_{0}))\neq\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M))=D_{M_{1,0}}(t_{1}+D_{M_{1,j_{i}^{\prime}}}t_{2})$ ，因此，从 $(\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)),\mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),\mathrm{Adm}_{M}(j_{0})))\in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ ， $(D_{M_{1,j_{i}^{\prime}}}t_{2},\mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),\mathrm{Adm}_{M}(j_{0})))\in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ 。

因此，根据加法与 scb 分解的关系以及 Trans 的定义，存在唯一的 $t_{3} \in T_{B}$ 使得 $\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}(t_{1}+D_{M_{1,j_{i}^{\prime}}}t_{3})$ ，且 (3) 或 (4) 成立。

令 $\mathrm{Adm}_{M}(j_{0})=0$ 。

根据 TrMax 的定义， $\mathrm{TrMax}(M)$ 是 M 可接受的。 $\mathrm{Adm}_{M}(j_{0})=0\leq\mathrm{TrMax}(M)$ ，因此 $j_{0}\leq\mathrm{TrMax}(M)$ 。

假设 $j_1' < j_1$ ，那么由于 $P$ 各分量的非复合性质， $(0,0) \leq_{\mathrm{Br}_{J_1}} (0,j_1-j_1')$ ，即 $(0,j_1') \leq_M (0,j_1)$ 。根据 $j_1' < j_1$ 以及判断父节点存在的条件 (1)， $\mathrm{TrMax}(M) < j_1' \leq j_0$ ，这与 $j_0 \leq \mathrm{TrMax}(M)$ 矛盾。因此， $j_1' = j_1$ ， $j_0 = j_0'$ ，且 $M$ 不满足条件 (VI)。

如果 $\mathrm{TrMax}(M) > 0$ ，则 $\mathrm{Adm}_M(j_0') = \mathrm{Adm}_M(j_0) = 0 < \mathrm{TrMax}(M) = \mathrm{Adm}_M(\mathrm{TrMax}(M))$ 因此 $j_0' < \mathrm{TrMax}(M)$ 。

因此， $\mathrm{TrMax}(M)=0$ 或 $j_{0}^{\prime}<\mathrm{TrMax}(M)$ 。

令 M 满足条件 (I)、(III) 或 (V)。

如果 $M$ 满足条件 (I) 或 (III)，则 $j_0' = j_0$ 是 $M$ 容许的。如果 $M$ 满足条件 (V)，则 $M_{0,j_1'} = M_{0,j_0'}+1 = M_{1,j_0'}+1 = M_{1,j_0}+1 = M_{1,j_1} = M_{1,j_1'}$ 。

由 Mark 左端的基本性质、 $s_{1}$ 与 $b_{1}$ 的空性和基点关系，以及 Trans 的定义，存在唯一的 $t_{1} \in T_{B}$ 使得 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) = D_{M_{1,0}}t_{1}$ 且 $\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}(t_{1}+D_{M_{1,j_{1}^{\prime}}}0)$ ，且 (1) 成立。

假设 M 满足条件 (II) 或 (IV)。

$M_{0,j_1'} \geq M_{0,j_0'} = M_{1,j_0'} = M_{1,j_0} = M_{1,j_1}-1 = M_{1,j_1'}-1$ ，即 $M_{0,j_1'} > M_{1,j_1'}$ 。另外， $j_0' = j_0$ 不满足 $M$ 容许条件。由 Mark 左端的基本性质、 $s_1$ 和 $b_1$ 的空性、基点之间的关系以及 Trans 的定义可知，存在唯一的 $(t_1, t_2) \in T_B^2$ 使得 Trans(Pred(M)) = $D_{M_{1,0}} t_1$ 且 Trans(M) = $D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}} t_2)$ 。

由上可知（2）成立。

证毕。

'''定理 97''' 强单项性下子表示的单项分量的基本性质。

对于任意 $M \in DT_{PS}$ , 令 $j_1 := Lng(M)-1$ , 令 $J_1 := Lng(Br(M))-1$ , 令 $J_1 \geq 0$ , 令 $j_0' := Joints(M)_{J_1}$ , 且令 $j_1' := FirstNodes(M)_{J_1}$ 。则存在唯一的 $t' \in T_B$ 使得:

(1) $\text{Trans}(M) = D_{M_{1,0}} t'$ 。
(2) 如果 $j_0' = 0$ 或 $M_{0,j_1'} = M_{1,j_1'}$ , 则 $t'$ 的每个分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_1'}} 0$ 。
(3) 如果 $0 < j_0' < TrMax(M)$ 且 $M_{0,j_1'} > M_{1,j_1'}$ , 则 $t'$ 的每个分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_0'}}$ 0。
(4) 如果 $0 < j_0' = TrMax(M)$ ，则 $t'$ 的每个分量都大于或等于 $D_{M_{1,TrMax(M)}}$ 。

证明：

接下来，我们将立即用到 FirstNodes 和 Joints 的单调性。

由于 Trans 保持单项性，因此 $\mathrm{Trans}(M)$ 也是单项的，并且由于 P 每个分量的非复项性以及 Trans 最左边单项分量的基本性质，存在唯一的 $t' \in T_{B}$ 使得 $\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}} t'$ 。

从 FirstNodes、TrMax 和 Joints 的关系可知，对于任意 $J \in \mathbb{N}$ ，若 $J \leq J_1$ ，则 $\mathrm{Joints}(M)_J \leq \mathrm{TrMax}(M) < \mathrm{FirstNodes}(M)_J$ 。特别地， $j_0' \leq \mathrm{TrMax}(M) < j_1'$ 。又，由于 $j_1 \geq j_1' > j_0' \geq 0$ ，因此 $j_1 > 0$ 。

根据 TrMax 的定义, $\mathrm{TrMax}(M)$ 是 $M$ 可接受的。因此, $(1, \mathrm{TrMax}(M)) <_{M}^{\mathrm{Next}} (1, \mathrm{TrMax}(M)+1) = (1, \mathrm{FirstNodes}(M)_0)$ 并非如此, 即 $M_{1,\mathrm{TrMax}(M)} \geq M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_0}$ 。

根据可约性和系数之间的关系，M 满足条件 (A) 和 (B)。由于 M 满足条件 (A) 和 (B)，如果对于任何 $j \in N$ ， $j \leq \operatorname{TrMax}(M)$ ，则 $M_j = (M_{1,0}+j, M_{1,0}+j)$ 。具体而言， $M_{1,\operatorname{TrMax}(M)} = M_{1,0}+\operatorname{TrMax}(M) \geq M_{1,0}+j'_0 = M_{1,j'_0}$ 。另外，由于 M 满足条件 (A)， $M_{1,j'_0} = M_{0,j'_0} = M_{0,j'_1}-1$ 。

我们可以通过数学归纳法证明 $j_{1}-\mathrm{TrMax}(M)$ 满足 (2)、(3) 和 (4)。

令 $j_{1}-\mathrm{TrMax}(M) = 1$ 。由于 $\mathrm{TrMax}(M) < j_1' \leq j_1, j_1' = j_1$ 。因为 $(1, j_0') = (1, \mathrm{TrMax}(M)) < _M^{\mathrm{Next}}(1, \mathrm{TrMax}(M)+1) = (1, j_1), M_{1,j_0'} \geq M_{1,j_1'}$ 。因此， $M_{0,j_1'} = M_{0,j_0'}+1 = M_{1,j_0'}+1 \geq M_{1,j_1'}+1 > M_{1,j_1'}$ 。

令 $j_{1}=1$ 。

$\mathrm{TrMax}(M) = j_{1}-1 = 0$ 。由于 $j_0^{\prime}\leq \mathrm{TrMax}(M) = 0$ ， $j_0^{\prime} = 0 = \mathrm{TrMax}(M)$ 。

根据 2 个 2 个序列对的基本性质， $t' = D_{M_{1,j_{1}}}0$ ，其唯一单项分量为 $D_{M_{1,j_{1}}}0 = D_{M_{1,j_{1}^{\prime}}}0$ 。

令 $j_{1} > 1$ 。

若 $j_0' = 0$ ，则根据公差为(1,1)的序列Trans的Pred的基本性质(4)， $t' = \underline{(D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}}0, D_{M_{1,j_1}}0)}$ ， $D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}}0 \geq D_{M_{1,j_0'}}0 \geq D_{M_{1,j_1'}}0$ 且 $D_{M_{1,j_1}}0 = D_{M_{1,j_1'}}0$ 。

如果 $0 < j_0' < \mathrm{TrMax}(M)$ ，那么根据 $\mathrm{TrMax}$ 的定义， $j_0'$ 不是 $M$ 容错的，并且根据对序列的 Trans 的基本性质 (3)，其中 Pred 具有公差 $(1,1), t' = (\underline{D}_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}} 0, \underline{D}_{M_{0,j_1'}-1}(\underline{D}_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}} 0, \underline{D}_{M_{1,j_1}} 0))$ ，并且 $D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}} 0 \geq D_{M_{1,j_0'}} 0$ 且 $D_{M_{0,j_1'}-1}(\underline{D}_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}} 0, \underline{D}_{M_{1,j_1}} 0) = D_{M_{1,j_0'}} (\underline{D}_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}} 0, \underline{D}_{M_{1,j_1}} 0) \geq D_{M_{1,j_0'}} 0$ 。若 $0 < j_0' = \mathrm{TrMax}(M)$ ，则根据 Pred 具有公差 (1,1) 的对序列的 Trans 的基本性质 (1)， $t' = D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}} D_{M_{1,j_1}} 0$ 。

令 $j_{1}-\mathrm{TrMax}(M)>1$ 。

由于可约化为切片的遗传性和单性性可约化为初始切片的遗传性， $\mathrm{Pred}(M)$ 可约化且单性。由于 $j_{1} \geq j_{1}-\mathrm{TrMax}(M) > 1$ ，因此 $\mathrm{Lng}(\mathrm{Pred}(M))-1 = j_{1} > 1$ 。

令 $J_{1}^{\prime} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M)))-1$ 。

如果 $j_1' = j_1$ ，则 $j_1-\mathrm{TrMax}(M) > 1$ ，因此 $J_1 > 0$ ，且由 $P$ 与 $\mathrm{IdxSum}$ 的复合表征可知， $J_1' = J_1-1 \geq 0$ 。

如果 $j_{1}^{\prime}<j_{1}$ ，则由 P 与 IdxSum 的复合表征可知， $J_{1}^{\prime}=J_{1}\geq0$ 。

由上可知，在两种情况下， $\mathrm{Lng}(J_{1}^{\prime})\geq0$ 。

因为 $\mathrm{Lng}(\mathrm{Pred}(M))-1=j_{1}-1$ 且 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(M'))=\mathrm{TrMax}(M)$ ， $(\mathrm{Lng}(\mathrm{Pred}(M))-1)-\mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(M'))=j_{1}-1-\mathrm{TrMax}(M)<j_{1}-\mathrm{TrMax}(M)$ ，根据归纳假设[64]，存在唯一的 $t\in T_{B}$ 使得[65]：(1) $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M))=D_{M_{1,0}}t$ 。

（2）若 $\mathrm{Joints}(M)_{J_{1}^{\prime}}=0$ 或 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}}$ ，则 t 的每个单项分量都大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}}}0$ 。
（3）如果 $0 < \mathrm{Joints}(M)_{J_1'} < \mathrm{TrMax}(M)$ 且 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} > M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}}$ ，则 $t$ 的每个分量都大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{Joints}(M)_{J_1'}}}0$ 。

(4) 如果 $0 < \mathrm{Joints}(M)_{J_1'} = \mathrm{TrMax}(M)$ ，则 $t$ 的每个分量都大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}_{J_1'}} 0$ 。

$\mathrm{Joints}(M)_{J_1'} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_{J_1'}}-M_{1,0} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}}-1-M_{1,0} \geq M_{0,j_1'}-1-M_{1,0} = M_{0,j_0'}-M_{1,0} = j_0'$ 。另外，根据可约性和系数的基本性质， $M_{0,j_1'} \geq M_{1,j_1'}$ 。

令 $j_{0}^{\prime}=0$ 或 $M_{0,j_{1}^{\prime}}=M_{1,j_{1}^{\prime}}$ 。

(2) 令 $\mathrm{Joints}(M)_{J_{1}^{\prime}}=0$ 或 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}}$ 。

t 的每个单项式分量均大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)}_{J_{1}^{\prime}}0}$ 。

令 $\mathrm{Joints}(M)_{J_{1}^{\prime}}=0$ 。

由于 $j_{1}^{\prime} \leq \text{Joints}(M)_{J_{1}^{\prime}} = 0$ ，因此 $j_{0}^{\prime} = 0 = \text{Joints}(M)_{J_{1}^{\prime}}$ 。

因为 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_{J_1'}}+1 = M_{0,j_0'}+1 = M_{0,j_1'}$ ，根据 $M$ 的强可接受性， $M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} \geq M_{1,j_1'}$ 。

如果 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}}$ ，则 $M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} \geq M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} \geq M_{0,j_1'} \geq M_{1,j_1'}$ 。

从上式可知，在两种情况下， $M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}}\geq M_{1,j_{1}^{\prime}}$ 。

如果 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}}$ ，则根据 $P$ 的定义， $M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} \geq M_{0,j_1'} \geq M_{1,J_1'}$ 。

从上式可知，在两种情况下，t 的每个单项式分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_{1}^{\prime}}}0$ 。

（3）若 $0 < \mathrm{Joints}(M)_{J_1'} < \mathrm{TrMax}(M)$ 且 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} > M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}}$ ，则 $t$ 的每个单项分量均大于或等于 $D_{M_{0,\mathrm{Joints}(M)_{J_1'}}}0$ ，且由于 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} \geq M_{0,j_1'} \geq M_{1,j_1'}$ ，因此 $t$ 的每个单项分量均大于或等于 $D_{M_{1,j_1'}}0$ 。

(4) 令 $0 < \text{Joints}(M)_{J_1'} = \text{TrMax}(M)$ 。

t 的每个单项分量都大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}}0$ 。

假设 $j_{0}^{\prime}=\mathrm{TrMax}(M)$ 会导致矛盾。

由于 $j_0' \neq 0$ ，因此有 $M_{1,j_1'} = M_{0,j_1'} = M_{0,j_0'}+1 = M_{0,\mathrm{TrMax}(M)}+1 = M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}+1$ 。

$M_{0,j_1'} \leq M_{0,\text{FirstNodes}(M)_0} = M_{0,\text{Joints}(M)_0}+1 \leq M_{0,\text{TrMax}(M)}+1 = M_{0,j_1'},$ 因此 $M_{0,\text{FirstNodes}(M)_0} = M_{0,\text{TrMax}(M)}+1 = M_{0,j_1'}$ , 又由于 $M$ 的强可接受性, $M_{1,\text{FirstNodes}(M)_0} \geq M_{1,j_1'} = M_{1,\text{TrMax}(M)}+1$ 。此外, 由于 $\text{FirstNodes}(M)_0 = \text{TrMax}(M)+1$ , 我们有 $(0, \text{TrMax}(M)) < _M^{\text{Next}} (0, \text{TrMax}(M)+1)$ , 这与 $\text{TrMax}$ 的定义相矛盾。

由上可知， $j_{0}^{\prime}<\mathrm{TrMax}(M)$ 。

由于 $M_{1,\mathrm{TrMax}(M)} = M_{0,\mathrm{TrMax}(M)} \geq M_{0,j_0'}+1 = M_{0,j_1'} \geq M_{1,j_1'}$ ，因此 $t$ 的每个单项分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_1'}} 0$ 。

由上可知，在所有情况下，t 的每个单项分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_{1}^{\prime}}}0$ 。因此，根据子表示的单项分量与 Pred 的关系（1）、（3）和（4），存在唯一的 $t^{\prime} \in T_{B}$ 满足：

(1) $\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}t'$ 。
(2) $t'$ 的每个单项分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_1'}}0$ 。

设 $0 < j_{0}^{\prime} < \mathrm{TrMax}(M)$ 且 $M_{0,j_{1}^{\prime}} > M_{1,j_{1}^{\prime}}$ 。

$\mathrm{Joints}(M)_{J_1'} \geq j_0' > 0$ 。

（2）若 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Pred}(M))_{J_1'}} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}}$ ，则 $t$ 的每个单项分量都大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}}}0$ 。根据 $P$ 的定义， $M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}}\geq M_{0,j_0'} = M_{1,j_0'}$ 因此 $t$ 的每个单项分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_0'}}0$ 。

(3) 令 $0 < \mathrm{Joints}(M)_{J_1'} < \mathrm{TrMax}(M)$ 且 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} > M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}}$ 。

t 的每个单项式分量都大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{Joints}(M)_{J_{1}^{\prime}}}}0$ 。

如果 $j_0' = \mathrm{Joints}(M)_{J_1'}$ ，则由于 $M$ 的强可接受性， $M_{1,\mathrm{Joints}(M)_{J_1'}} \geq M_{1,j_0'}$ 。

如果 $j_0' < \mathrm{Joints}(M)_{J_1'}$ ，则由于可约性和系数的基本性质， $M_{1,\mathrm{Joints}(M)_{J_1'}} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_{J_1'}} > M_{0,j_0'} = M_{1,j_0'}$ 。

由上可知，无论哪种情况，t 的每个单项式分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}$ 0。

(4) 若 $0 < \mathrm{Joints}(M)_{J_1'} = \mathrm{TrMax}(M)$ ，则 $t$ 的每个单项式分量均大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}} 0$ ，且由于 $M_{1,\mathrm{TrMax}(M)} = M_{0,\mathrm{TrMax}(M)} > M_{0,j_0'} = M_{1,j_0'}$ ，故 $t$ 的每个单项式分量均大于或等于 $D_{M_{1,j_0'}} 0$ 。

由上可知，无论哪种情况，t 的每个单项式分量均大于或等于 $D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}0$ 。因此，由子表达式的单项分量与 Pred 的关系（2）、（3）和（4），存在唯一的 $t^{\prime} \in T_{B}$ 使得：

(1) Trans(M) = $D_{M_{1,0}}t'$ 。

（3）若 $0 < j_0' < \mathrm{TrMax}(M)$ 且 $M_{0,j_1'} > M_{1,j_1'}$ ，则 $t'$ 的每个单项分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_0'}} 0$ 。

令 $0 < j_{0}^{\prime} = \mathrm{TrMax}(M)$ 。

由于 $\mathrm{TrMax}(M) \geq \mathrm{Joints}(M)_{J_1'} \geq j_0' = \mathrm{TrMax}(M)$ ， $\mathrm{Joints}(M)_{J_1'} = \mathrm{TrMax}(M)$ 。

(4) 由于 $0 < \mathrm{Joints}(M)_{J_1'} = \mathrm{TrMax}(M), t$ 的每个单项式分量都大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}} 0$ ，且 $M_{1,\mathrm{TrMax}(M)} = M_{1,j_0'}$ 。

由上可知，t 的每个单项式分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}0$ 。因此，由子表示的单项分量与 Pred 的关系（3）和（4），存在唯一的 $t^{\prime} \in T_{B}$ 使得：

(1) Trans(M) = $D_{M_{1,0}}t'$ 。

（4）若 $0 < j_0' = \mathrm{TrMax}(M)$ ，则 $t'$ 的每个单项分量都大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}} 0$ 。

证毕。

'''定理 98''' 条件 (V) 下最右父节点的基本性质。

对于任意 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ 和 $m \in \mathbb{N}$ , 令 $j_1 := Lng(M)-1$ , 令 $J_1 := Lng(Br(M))-1$ , 令 $J_1 \geq 0$ , 令 $j_0' := Joints(M)_{J_1}$ , 令 $j_1' := FirstNodes(M)_{J_1}$ , 且令 $M' := (M_j)_{j=m}^{j_1}$ 。然后, " $m < j_0'$ " 或 " $m = j_0'$ 且 $M_{0,j_1'} = M_{1,j_1'}$ 和 $Br(M)$ 是降序的, 则存在唯一的 $j_0 \in \mathbb{N}$ 使得:

(1) $(0,j_0) <_{M}^{Next}(0,j_1)$ 。
(2) $j_{0}^{\prime}\leq j_{0}$ 。
(3) $m < j_0$ 或 $M_{0,j_1} = M_{1,j_1}$ 。
(4) 如果 $m = j_{0}$ ，则 $j_{0} < TrMax(M)$ 。

证明：

设 $j_{1}^{\prime}=j_{1}$ 。

设 $j_{0} := j_{0}^{\prime}$ 。

如果 $m < j_{0}^{\prime}$ ，则 $m < j_{0}^{\prime} = j_{0}$ 。

如果 $m = j_0'$ ，则根据假设 $M_{0,j_1} = M_{0,j_1'} = M_{0,j_0'}+1 = M_{1,j_0'}+1 = M_{1,j_1'} = M_{1,j_1}$ 。

由上可知，在两种情况下， $m < j_{0}$ 或 $M_{0,j_{1}} = M_{1,j_{1}}$ 成立。

设 $j_{1}^{\prime}<j_{1}$ 。

由于 P 的每个分量都是非复合项，因此 $\mathrm{Br}(M)_{J_{1}}$ 不是复合项，所以 $(0,0)\leq_{\mathrm{Br}(M)_{J_{1}}}$ $(0,j_{1}-j_{1}^{\prime})$ ，即 $(0,j_{1}^{\prime})\leq_{M}(0,j_{1})$ 。

由于 $m \leq j_{0}^{\prime} < j_{1}^{\prime} \leq j_{0}$ ，因此 $j_{0}^{\prime} < j_{0}$ 且 $m < j_{0}$ 。

由于 $m \leq j_0$ 且 $(0, j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0, j_1)$ ，因此 $(0, j_0-m) <_{M'}^{\mathrm{Next}}(0, j_1-m)$ 。

$\mathrm{TrMax}(M)+1 = \mathrm{FirstNodes}(M)_0$ ，根据 $\mathrm{TrMax}$ 的定义， $(1,\mathrm{TrMax}(M)) < _M^{\mathrm{Next}}(1,\mathrm{FirstNodes}(M)_0)$ 不成立。

如果 $m = j_{0}$ ，则表明 $j_{0} < \mathrm{TrMax}(M)$ 。由于 $m < j_{0}$ 或 $M_{0,j_{1}} = M_{1,j_{1}}$ ， $m = j_{0}$ ，因此 $M_{0,j_{1}} = M_{1,j_{1}}$ 。

根据可约性和系数的基本性质， $M_{1,j_{0}} \leq M_{0,j_{0}} = M_{0,j_{1}}-1 = M_{1,j_{1}}-1 < M_{1,j_{1}}$ 。

由于 $(0,j_{0})<_{M}^{\text{Next}}(0,j_{1})$ 且 $M_{1,j_{0}}<M_{1,j_{1}}$ ， $(1,j_{0})<_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ 。

由于 $m \leq j_0' \leq j_0, m = j_0'$ 。因此， $M_{0,j_1'} = M_{1,j_1'}$ 且 $\mathrm{Br}(M)$ 为降序。由于 $(1, \mathrm{TrMax}(M)) < _M^{\mathrm{Next}}(1, \mathrm{FirstNodes}(M)_0)$ 不成立，因此 $M_{0,\mathrm{TrMax}(M)} \geq M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_0}$ 或 $M_{1,\mathrm{TrMax}(M)} \geq M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_0}$ 。

令 $M_{0,\mathrm{TrMax}(M)}\geq M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_0}$

由于 P 各分量左端的单调性, $M_{0,\mathrm{TrMax}(M)} \geq M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{0}} \geq M_{0,j_{1}^{\prime}}$ , 因此 $(0,\mathrm{TrMax}(M)) \leq_{M}(0,j_{1}^{\prime})$ 并非如此，因此 $j_{0}^{\prime} < \mathrm{TrMax}(M)$ 。

令 $M_{0,\mathrm{TrMax}(M)} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{0}}$ 且 $M_{1,\mathrm{TrMax}(M)} \geq M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{0}}$ 。

由于 $\mathrm{Br}(M)$ 降序排列， $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_0} > M_{0,j_1'}$ 或 $M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_0} \geq M_{1,j_1'}$ 。

如果 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{0}} > M_{0,j_{1}^{\prime}}$ ，则 $M_{0,\mathrm{TrMax}(M)} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{0}} > M_{0,j_{1}^{\prime}}$ ，因此 $(0,\mathrm{TrMax}(M)) \leq_{M}(0,j_{1}^{\prime})$ ，进而 $j_{0}^{\prime} < \mathrm{TrMax}(M)$ 。

如果 $M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_0} \geq M_{1,j_1'}$ ，则 $M_{1,\mathrm{TrMax}(M)} \geq M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_0} \geq M_{1,j_1'}$ ，因此 $(1, \mathrm{TrMax}(M)) \leq_M (1,j_1')$ ，进而 $j_0' < \mathrm{TrMax}(M)$ 。

由上可知，在两种情况下， $j_{0}^{\prime}<\mathrm{TrMax}(M)$ 。

由上可知，在两种情况下， $j_{0}=j_{0}^{\prime}<\mathrm{TrMax}(M)$ 。

证毕。

'''定理 99''' 条件 (V) 下末端切片与 Trans 的关系。

对于任意 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ 和 $m \in \mathbb{N}$ , 令 $j_1 := Lng(M)-1$ , 令 $J_1 := Lng(Br(M))-1$ , 令 $J_1 \geq 0$ , 令 $j_0' := Joints(M)_{J_1}$ , 令 $j_1' := FirstNodes(M)_{J_1}$ , 令 $M' := (M_j)_{j=m}^{j_1}$ 。那么, " $m < j_0'$ " 或 " $m = j_0'$ 且 $M_{0,j_1'} = M_{1,j_1'}$ 且 $Br(M)$ 是降序的, 则存在唯一的 $t_1 \in T_B$ 使得:

(1) $Trans(M)=D_{M_{1,0}}t_{1}$ 。
(2) $Trans(M') = D_{M_{1,m}}t_1$ 。

证明：

下文中，FirstNodes 和 Joints 的单调性将不作任何说明。

由于可约化为切片的遗传性和单项性， $M'$ 是可约化为单项的；由于 Trans 保持单项性，因此 $\mathrm{Trans}(M)$ 和 $\mathrm{Trans}(M')$ 也是单项的。

由于 Trans 最左分量的基本性质，存在唯一的 $t_{1} \in T_{PS}$ 使得 $\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}} t_{1}$ 。

由于 FirstNodes、TrMax 和 Joints 之间的关系，对于任意 $J \in \mathbb{N}$ ，如果 $J \leq J_1$ ，则 $\mathrm{Joints}(M)_J \leq \mathrm{TrMax}(M) < \mathrm{FirstNodes}(M)_J$ 。由于 “ $m < j_0'$ ” 或 “ $m = j_0'$ 且 $M_{0,j_1'} = M_{1,j_1'}$ 且 $\mathrm{Br}(M)$ 按降序排列”，两种情况下 $m \leq j_0'$ 。

由于可约性与系数之间的关系，M 和 $M'$ 满足条件 (A) 和 (B)。由于 M 满足条件 (A) 和 (B)，若对于任意 $j \in N$ ， $j \leq \operatorname{TrMax}(M)$ ，则 $M_j = (M_{1,0}+j, M_{1,0}+j)$ 。由于 M 满足条件 (A)，则 $M_{0,j_0}+1 = M_{0,j_1}$ ，且对于任意 $J \in N$ ，若 $J \leq J_1$ ，则 $M_{0,\text{FirstNodes}(M)_J} = M_{0,\text{Joints}(M)_J}+1 = M_{1,0}+\text{Joints}(M)_J+1$ 。具体来说， $M_{0,j_1'} = M_{0,j_0'}+1 = M_{1,0}+j_0'+1$ 。根据条件 (V) 下最右父节点的基本性质，存在唯一的 $j_0 \in N$ 使得：

(1) $(0,j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_1)$ 。
(2) $j_{0}^{\prime}\leq j_{0}$ 。
(3) $m < j_{0}$ 或 $M_{0,j_1} = M_{1,j_1}$ 。
(4) 如果 $m = j_{0}$ ，则 $j_{0} < \mathrm{TrMax}(M)$ 。

我们利用数学归纳法证明， $j_{1}-\mathrm{TrMax}(M)$ 上的 $\mathrm{Trans}(M')=D_{M_{1,m}}t_{1}$ 。设 $j_{1}-\mathrm{TrMax}(M)=1$ 。

\[
M = \big ((j, j) \big)_{j = M_{1, 0}}^{M_{1, 0}+\mathrm{TrMax} (M)} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} M_{m_{1}} \circ
\]

$J_{1} = 0$ 且 $j_1' = j_1$ 和 $j_0' = j_0$ 。因此， $M_{0,j_1} = M_{0,j_1'} = M_{1,0}+j_0'+1 \leq M_{1,0}+\mathrm{TrMax}(M)+1 = M_{0,\mathrm{TrMax}(M)}+1$ 。

若 $m < j_0$ ，则 $M_{0,j_1} = M_{1,0}+j_0'+1 = M_{1,0}+j_0+1 > M_{1,0}+m+1 = M_{0,m}+1$ ，因此Pred是具有公差(1,1)的对序列Trans的基本性质。由(1)、(2)和(3)可知， $\mathrm{Trans}(M')$ 是将 $\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}t_1$ 的左端替换为 $D_{M_{1,m}}$ 。

设 $m = j_{0}$ ， $M_{0,j_{1}} = M_{1,j_{1}}$ 。

由于可约性和系数的基本性质， $M_{1,j_{0}} \leq M_{0,j_{0}} = M_{0,j_{1}}-1 = M_{1,j_{1}}-1 < M_{1,j_{1}}$ ，因此 $(1,j_{0}) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ ，又由于 $(1,\mathrm{TrMax}(M)) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ 并非如此， $j_{0} < \mathrm{TrMax}(M)$ 。

根据对数序列 Trans 的基本性质 (2)，其中 $m = j_{0} < \mathrm{TrMax}(M)$ 且 Pred 具有共同差 (1,1)， $\mathrm{Trans}(M')$ 可以通过将 $\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}} t_{1}$ 的左端替换为 $D_{M_{1,m}}$ 得到。

由上可知，在两种情况下， $\mathrm{Trans}(M')=D_{M_{1,m}}t_{1}$ 。

令 $j_{1}-\mathrm{TrMax}(M)>1$ 。

Trans 的递归定义中引入的符号是针对 M 和 $M'$ 定义的，并且 M 和 $M'$ 写在右边，以清楚地表明这是对 M 和 $M'$ 的应用。

$j_{1}^{M}=j_{1}$ 且 $j_{1}^{M'}=j_{1}-m$ ，且由于 $(0,j_{0})<_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1})=(0,j_{1}^{M})$ 且 $(0,j_{0}-m)<_{M'}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1}-m)=(0,j_{1}^{M'})$ ，因此 $j_{0}^{M}=j_{0}$ 且 $j_{0}^{M'}=j_{0}-m$ 。具体而言， $j_{1}^{M}-j_{0}^{M}=j_{1}-j_{0}=j_{1}^{M'}-j_{0}^{M'}$ 。此外， $M_{j_{0}^{M}}=M_{j_{0}}=M_{j_{0}^{M'}}'$ ，且 $M_{j_{1}^{M}}=M_{j_{1}}=M_{j_{1}^{M'}}'$ 。由于 M 满足条件 (A)，因此 $M_{j_{0}^{M'}}'+1=M_{0,j_{0}^{M}}+1=M_{0,j_{1}^{M}}=M_{0,j_{1}^{M'}}'$ 。

$j_{1}^{M} \geq j_{1}^{M'} = j_{1}-m > \mathrm{TrMax}(M)+1-m \geq 1$ ，因此 $\mathrm{Pred}(M)$ 和 $\mathrm{Pred}(M')$ 都不是零项，且 Trans 保持零项性质， $t_{1}^{M} = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) \neq 0$ 且 $t_{1}^{M'} = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M')) \neq 0$ 。因此，条件 (I) 至 (VI) 对 M 和 $M'$ 均有意义。

如果 $m = j_0$ 且 $M_{0,j_1} = M_{1,j_1}$ ，那么如前所示， $j_0 < \mathrm{TrMax}(M)$ ，因此 $M_{1,j_0^M}+1 = M_{1,j_0}+1 = M_{0,j_0}+1 = M_{0,j_1} = M_{1,j_1} = M_{1,j_1^M}$ 且 $M_{1,j_0^M'}'+1 = M_{1,j_0^M}+1 = M_{1,j_1^M} = M_{1,j_1^M'}'$ 。此外， $j_1^M-j_0^M = j_1^{M'}-j_0^{M'}$ 且 $j_1-j_0 > (\mathrm{TrMax}(M)+1) -$ 由于 $j_0 > 1$ ， $M$ 和 $M'$ 满足条件 (V)。

如果 $m < j_0$ ，则 $j_0^M = j_0 > m \geq 0$ 且 $j_0^{M'} = j_0-m > 0$ ，因此由于可接受性对切片的遗传性， $j_0^M$ 的 $M$ 可接受性等价于 $j_0^{M'}$ 的 $M'$ 可接受性。此外，由于 $M_{j_0^M} = M'_{j_0^{M'}}$ 且 $M_{j_1^M} = M'_{j_{1}^{M'}}$ ，因此 $M$ 和 $M'$ 满足相同的条件 (I) 至 (VI)。

综上所述，无论哪种情况，M 和 $M'$ 都满足相同的条件 (I) 至 (VI)。

令 $J_0 := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M)))$ 。由于切片的约化性遗传性和初始切片的单项遗传性， $\mathrm{Pred}(M)$ 是约化的且是单项的。由于 $\mathrm{TrMax}(M) < j_1-1 = j_1'-1$ ， $\mathrm{Lng}(\mathrm{Pred}(M))-1 = j_1-1 > \mathrm{TrMax}(M) = \mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(M))$ ， $J_0 \geq 0$ 。若 $j_1' = j_1$ ，则 $\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M)) = (\mathrm{Br}(M)_J)_{J=0}^{J_1-1}$ ，且尤其 $J_0 = J_1-1$ 。若 $j_1' < j_1$ ，则 $\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M)) = (\mathrm{Br}(M)_J)_{J=0}^{J_1-1} \oplus_{T_{\mathrm{PS}}} ((M_j)_{j=j_1'}^{j_1-1})$ ，且尤其 $J_0 = J_1$ 。

因此，在两种情况下 $J_{0} \leq J_{1}$ , FirstNodes(Pred(M)) = (FirstNodes(M) $_{J}$ ) $_{J=0}^{J_{0}}$ 和 Joints(Pred(M)) = (Joints(M) $_{J}$ ) $_{J=0}^{J_{0}}$ 。

这表示“ $m < \text{Joints}(\text{Pred}(M'))_{J_0}$ ”或“ $m = \text{Joints}(\text{Pred}(M'))_{J_0}$ 且 $M_{0,\text{FirstNodes}(\text{Pred}(M'))_{J_0}} = M_{1,\text{FirstNodes}(\text{Pred}(M'))_{J_0}}$ 且 $\text{Br}(\text{Pred}(M))$ 按降序排列。”如果 $m < j_0'$ ，则 $m < j_0' = \text{Joints}(M)_{J_1} \leq \text{Joints}(M)_{J_0} = \text{Joints}(\text{Pred}(M))_{J_0}$ 。

令 $m = j_{0}^{\prime}$ 。

假设 $M_{0,j_{1}^{\prime}} = M_{1,j_{1}^{\prime}}$ 且 $\mathrm{Br}(M)$ 按降序排列。

如果 $j_{0}^{\prime}<\mathrm{Joints}(M)_{J_{0}}$ ，则 $m=j_{0}^{\prime}<\mathrm{Joints}(M)_{J_{0}}=\mathrm{Joints}(\mathrm{Pred}(M))_{J_{0}}$ 。

令 $j_{0}^{\prime}=\mathrm{Joints}(M)_{J_{0}}$ 。

由于 M 满足条件 (A)， $M_{0,\mathrm{FristNodes}(M)_{J_{0}}} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_{J_{0}}}+1 = M_{0,j_{0}^{\prime}}+1 = M_{0,j_{1}^{\prime}}$ 。因此，根据 $\mathrm{Br}(M)$ 的降序排列， $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{0}}} \leq M_{0,j_{1}^{\prime}} = M_{1,j_{1}^{\prime}} \leq M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{0}}}$ 。另一方面，由于可约性和系数的基本性质， $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{0}}} \geq M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{0}}}$ 。

由上可知， $\mathrm{Pred}(M)_{0,\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Pred}(M))_{J_0}} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0}} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0}} = \mathrm{Pred}(M)_{1,\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Pred}(M))_{J_0}}$ 。

如果 $j_1' = j_1$ ，则 $\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M)) = (\mathrm{Br}(M)_J)_{J=0}^{J_1-1}$ ，因此 $((\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M))_J)_0)_{J=0}^{J_0} = ((\mathrm{Br}(M)_J)_0)_{J=0}^{J_1-1}$ ，因此由于 $\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M))$ 具有下降性质，因此 $\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M))$ 也是下降的。

如果 $j_1' < j_1$ ，则 $\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M)) = (\mathrm{Br}(M)_J)_{J=0}^{J_1-1} \oplus_{T_{\mathrm{PS}}} ((M_j)_{j=j_1'}^{j_1-1})$ 来自 $((\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M))_J)_0)_{J=0}^{J_0} = ((\mathrm{Br}(M)_J)_0)_{J=0}^{J_1-1} \oplus_{T_{\mathrm{PS}}} ((M_{j_1'}) ) = ((\mathrm{Br}(M)_J)_0)_{J=0}^{J_1}$ ，由于 $\mathrm{Br}(M)$ 本身具有下降性质，因此 $\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M))$ 也是下降的。

因此，在这两种情况下， $\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M))$ 都是下降的。

从上式可知，在两种情况下，“ $m < \text{Joints}(\text{Pred}(M'))_{J_0}$ ”或“ $m = \text{Joints}(\text{Pred}(M'))_{J_0}$ 且 $M_{0,\text{FirstNodes}(\text{Pred}(M'))_{J_0}} = M_{1,\text{FirstNodes}(\text{Pred}(M'))_{J_0}}$ 且 $\text{Br}(\text{Pred}(M))$ 均按降序排列。”

根据归纳假设， $t_{1}^{M} = \text{Trans}(\text{Pred}(M))$ 是单项的，通过将其左端替换为 $D_{M_{1,m}}$ ，我们得到 $t_{1}^{M'} = \text{Trans}(\text{Pred}(M'))$ 。

由于 $s_{1}^{M}D_{v^{M}}t_{2}^{M}b_{1}^{M}=s_{1}^{M}c_{1}^{M}b_{1}^{M}=t_{1}^{M}$ 且 $s_{1}^{M^{\prime}}D_{v^{M^{\prime}}}t_{2}^{M^{\prime}}b_{1}^{M^{\prime}}=s_{1}^{M^{\prime}}c_{1}^{M^{\prime}}b_{1}^{M^{\prime}}=t_{1}^{M^{\prime}}$ ，因此 $s_{1}^{M}D_{v^{M}}$ 和 $s_{1}^{M^{\prime}}D_{v^{M^{\prime}}}$ 除左端外完全相同，且 $t_{2}^{M}b_{1}^{M}=t_{2}^{M^{\prime}}b_{1}^{M^{\prime}}$ 。由于序数项左右括号个数相等， $b_{1}^{M}=b_{1}^{M^{\prime}}$ ，因此 $t_{2}^{M}=t_{2}^{M^{\prime}}$ 。

由于 M 和 $M'$ 满足相同的条件 (I) 至 (VI)，且 $M_{j_{0}^{M}} = M'_{j_{0}^{M'}}$ 、 $M_{j_{1}^{M}} = M'_{j_{1}^{M'}}$ 和 $t_{2}^{M} = t_{2}^{M'}$ ，根据 $c_{2}^{M}$ 和 $c_{2}^{M'}$ 的定义，存在唯一的 $t' \in T_{B}$ 使得 $c_{2}^{M} = D_{v^{M}}t'$ 和 $c_{2}^{M'} = D_{v^{M'}}t'$ 。

$D_{M_{1,0}}t_{1}=\mathrm{Trans}(M)=s_{1}^{M}c_{2}^{M}b_{1}^{M}=s_{1}^{M}D_{v^{M}}t^{\prime}b_{1}^{M}$ 且 $\mathrm{Trans}(M^{\prime})=s_{1}^{M^{\prime}}D_{v^{M^{\prime}}}t^{\prime}b_{1}^{M^{\prime}}$ ，因此 $D_{M_{1,0}}t_{1}$ 与 $\mathrm{Trans}(M^{\prime})$ 除左端外完全相同。因此，根据 Trans 最左单项式分量左端的基本性质， $\mathrm{Trans}(M^{\prime})=D_{M_{1,m}}t_{1}$ 。

证毕。

现在，回到正题。

在条件 (II) 或 (IV) 下，末端段与 Trans 关系的证明：

下文中，我们利用 FirstNodes 和 Joints 的单调性，无需任何预知。

设 $j_{1}^{\prime} := \text{FirstNodes}(M)_{J_{1}}$ 。由 FirstNodes、TrMax 和 Joints 之间的关系可知，对于任意 $J \in N$ ，若 $J \leq J_{1}$ ，则 $\text{Joints}(M)_{J} \leq \text{TrMax}(M) < \text{FirstNodes}(M)_{J}$ 。

由可约性与系数的关系可知，M 满足条件 (A) 和 (B)。因为 M 满足条件 (A) 和 (B)，如果对于任意 $j \in N, j \leq \mathrm{TrMax}(M)$ ，则 $M_j = (M_{1,0}+j, M_{1,0}+j)$ 。另外，因为 M 满足条件 (A)，对于任意 $J \in N$ ，如果 $J \leq J_1$ ，则 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_J} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_J}+1 = M_{1,0}+\mathrm{Joints}(M)_J+1$ 。特别地， $N_{0,0}' = M_{0,j_0'} = M_{1,0}+j_0' = M_{0,j_1'}-1$ 。

根据条件 (V) 下末端段与 Trans 的关系，存在唯一的 $t_{1} \in T_{PS}$ 使得：

(1) $\operatorname{Trans}(N) = D_{M_{1,0}}t_1$ 。
(2) $\mathrm{Trans}(N') = D_{M_{1,j_0'}}t_1$ 。

证明 $t_{1}$ 的每个单项式分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}+1}0$ 。

令 $\mathrm{TrMax}(M)=m_{1}$ 。

如前所述， $t_{1}=D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}}0$ 。由于 $\mathrm{TrMax}(M)>j_{0}^{\prime},\quad M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}>M_{1,j_{0}^{\prime}}$ ，因此 $t_{1}=D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}}0$ 的唯一单项分量 $D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}}0$ 大于或等于 $D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}+1}0$ 。

令 $\mathrm{TrMax}(M) < m_{1}$ 。

由于 $J_{0}>0$ 、 $\mathrm{Joints}(M)_{J_{0}-1}\geq j_{0}^{\prime}>0$ ，且 N 强可接受，根据强单项式性下子表示的单项分量的基本性质，有如下成立：

(2) 若 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}}$ ，则 $t_1$ 的每个单项分量都大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}}}0$ 。
(3) 如果 $0 < \mathrm{Joints}(M)_{J_0-1} < \mathrm{TrMax}(M)$ 且 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}} > M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}}$ 则 $t_1$ 的每个单项分量均大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{Joints}(M)_{J_0-1}}}0$ 。
（4）如果 $0 < \mathrm{Joints}(M)_{J_0-1} = \mathrm{TrMax}(M)$ ，则 $t_1$ 的每个单项分量均大于或等于 $D_{M_1,\mathrm{TrMax}(M)}0$ 。
(2) 令 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}}$ 。

$t_{1}$ 的每个单项分量均大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{0}-1}}}0$ 。

由于可约性和系数的基本性质， $M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}} \geq M_{0,j_1'} = M_{0,j_0'}+1$ ，因此 $t_1$ 的每个单项式分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_0'}+1}0$ 。

(3) 假设 $0 < \mathrm{Joints}(M)_{J_0-1} < \mathrm{TrMax}(M)$ 且 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}} > M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}}$ 。

$t_{1}$ 的每个单项式分量都大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{Joints}(M)_{J_{0}-1}}}0$ 。

根据 LastStep 的定义, $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}} > M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}}$ , 因此 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}} > M_{0,j_1'}$ 。因此, $M_{1,\mathrm{Joints}(M)_{J_0-1}} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_{J_0-1}} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}}-1 \geq M_{0,j_1'} = M_{0,j_0'}+1$ , 所以 $t_1$ 的每个单例分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_0'}+1}0$ 。

(4) 令 $0 < \mathrm{Joints}(M)_{J_0-1} = \mathrm{TrMax}(M)$ 。

$t_{1}$ 的每个单例分量都大于或等于 $D_{M_{1},\mathrm{TrMax}(M)}0$ 。

假设 $j_{0}^{\prime}=\mathrm{TrMax}(M)$ 会导致矛盾。

由于 $\mathrm{Joints}(M)_{J_{0}-1} = \mathrm{TrMax}(M) = j_{0}^{\prime} \leq \mathrm{Joints}(M)_{J_{0}-1}$ ，因此 $\mathrm{Joints}(M)_{J_{0}-1} = \mathrm{TrMax}(M) = j_{0}^{\prime}$ 。因此， $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{0}-1}} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_{J_{0}-1}}+1 = M_{0,j_{0}^{\prime}}+1 = M_{0,j_{1}^{\prime}}$ ，所以根据 LastStep 的定义， $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{0}-1}} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{0}-1}}$ 。

$\mathrm{Joints}(M)_0 = \mathrm{TrMax}(M) = \mathrm{Joints}(M)_{J_0-1} \leq \mathrm{Joints}(M)_0$ ，所以 $\mathrm{Joints}(M)_0 = \mathrm{TrMax}(M) = \mathrm{Joints}(M)_{J_0-1}$ 。因此， $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_0} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_0}+1 = M_{0,\mathrm{TrMax}(M)}+1$ 。

另外， $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_0} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_0}+1 = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_{J_0-1}}+1 = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}}$ ，因此从 $M$ 的降序排列， $M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_0} \geq M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_0}+1 = M_{0,\mathrm{TrMax}(M)}+1 = M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}+1$ 。

$\operatorname{FirstNodes}(M)_0 = \operatorname{TrMax}(M)+1$ ，且由于 $M_{0,\operatorname{FirstNodes}(M)_0} = M_{0,\operatorname{TrMax}(M)}+1$ 且 $M_{1,\operatorname{FirstNodes}(M)_0} \geq M_{1,\operatorname{TrMax}(M)}+1$ ，因此有 $(0, \operatorname{TrMax}(M)) <_{M}^{\operatorname{Next}}(0, \operatorname{TrMax}(M)+1)$ ，这与 $\operatorname{TrMax}$ 的定义相矛盾。

由上可知， $j_{0}^{\prime}<\mathrm{TrMax}(M)$ 。

因此， $M_{1,\mathrm{TrMax}(M)} = M_{0,\mathrm{TrMax}(M)} \geq M_{0,j_0'}+1$ ，因此 $t_1$ 的每个单项分量都大于或等于 $D_{M_{0,j_0'}+1}0$ 。

由上可知，无论哪种情况， $t_{1}$ 的每个单项分量都大于或等于 $D_{M_{0,j_{0}^{\prime}}+1}0$ 。

根据条件 (V) 下最右父元素的基本性质，存在唯一的 $m_{0} \in N$ 满足：

(1) $(0,m_{0})<_{N}^{\text{Next}}(0,m_{1})$ 。
(2) $j_{0}^{\prime}\leq m_{0}$ 。
(3) $j_{0}^{\prime}<m_{0}$ 或 $N_{0,m_{1}}=N_{1,m_{1}}$ 。

(4) 若 $j_{0}^{\prime}=m_{0}$ ，则 $m_{0}<\mathrm{TrMax}(N)$ 。

Trans 的递归定义中引入的符号是针对 M 和 $M'$ 定义的，为了明确这是对 M 和 $M'$ 的应用，我们将 M 和 $M'$ 分别写在它们的右肩上。

由于 $j_{1}^{M} = j_{1} > m_{1} > m_{0}\geq j_{0}^{\prime} > 0$ ， $j_{1}^{M} > 2$ ，因此 $\operatorname {Pred}(M)$ 不是零项。由于Trans为零项， $t_1^M = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M))\neq 0$ ，因此条件(I)至(VI)对 $M$ 有意义。

由于 $j_{1}^{M^{\prime}} = j_{1}-j_{0}^{\prime} > m_{1}-j_{0}^{\prime} > m_{0}-j_{0}^{\prime}\geq 0$ ， $j_{1}^{M^{\prime}} > 1$ ，因此 $\mathrm{Pred}(M^{\prime})$ 不是零项。由于Trans为零项， $t_1^{M'} = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M'))\neq 0$ ，因此条件(I)至(VI)对 $M^{\prime}$ 有意义。

$j_{1}^{\prime}\leq j_{1}$ 且 P 每个分量的非复项性质意味着 $(0,j_{1}^{\prime})\leq_{M}(0,j_{1})$ ，且由于 $(0,j_{0}^{\prime})<_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1}^{\prime}),\quad j_{0}^{\prime}\leq j_{0}^{M}\circ(0,j_{0}^{M})<_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1}^{M})=(0,j_{1})$ ，即 $(0,j_{0}^{M}-j_{0}^{\prime})<_{M^{\prime}}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1}-j_{0}^{\prime})=(0,j_{1}^{M^{\prime}})$ ，因此 $j_{0}^{M^{\prime}}=j_{0}^{M}-j_{0}^{\prime}$ 。

这里，暂设 $j_{1}^{\prime}=j_{1}$ 。

$j_{1}^{M}=j_{1}=j_{1}^{\prime}$ 。由于 $(0,j_{0}^{\prime})<_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1}^{\prime})=(0,j_{1}^{M})$ ， $j_{0}^{M}=j_{0}^{\prime}$ 。此外，由于 $0<j_{0}^{\prime}<\mathrm{TrMax}(M)$ ，根据TrMax的定义， $j_{0}^{M}$ 不满足M条件，且 $j_{-1}^{M}=0$ 。另外，由于 $M_{0,j_{1}^{\prime}}>M_{1,j_{1}^{\prime}}$ ， $M_{1,j_{0}^{M}}=M_{1,j_{0}^{\prime}}=M_{0,j_{0}^{\prime}}=M_{0,j_{1}^{\prime}}-1\geq M_{1,j_{1}^{\prime}}=M_{1,j_{1}^{M}}$ 。

由于 $j_{0}^{M}$ 不满足 M 条件，且 $M_{1,j_{0}^{M}} \geq M_{1,j_{1}^{M}}$ ，因此 M 满足条件 (IV)。此外，由于 $s_{1}$ 和 $b_{1}$ 之间存在空性和基点关系， $s_{1}^{M} = ()$ ， $D_{v^{M}} t_{2}^{M} = c_{1}^{M} = t_{1}^{M}$ ，且 $b_{1}^{M} = ()$ 。

$j_{1}^{M'} = j_{1}-j_{0}' = j_{1}'-j_{0}'$ 且 $j_{0}^{M'} = j_{0}^{M'}-j_{0}' = 0$ 。因此， $j_{0}^{M'}$ 是 $M'$ 可接受的，且 $j_{-1}^{M'} = j_{0}^{M'} = 0$ 。又，由于 $M_{0,j_{1}'} > M_{1,j_{1}'}$ ， $M_{1,j_{0}^{M'}}' = M_{1,0}' = M_{1,j_{0}'} = M_{0,j_{0}'} = M_{0,j_{1}'}-1 \geq M_{1,j_{1}'} = M_{1,j_{1}} = M_{1,j_{1}'-j_{0}'}' = M_{1,j_{1}^{M'}}'$ 。由于 $j_{0}^{M'}$ 是 $M'$ 容许的，且 $M_{1,j_{0}^{M'}}' \geq M_{1,j_{1}^{M'}}'$ ，因此 M 满足条件 (III)。另外，由于 $s_{1}$ 和 $b_{1}$ 为空且为基点关系， $s_{1}^{M'} = ()$ ， $D_{v^{M'}} t_{2}^{M'} = c_{1}^{M'} = t_{1}^{M'}$ ，且 $b_{1}^{M'} = ()$ 。

下面，我们回到不施加 $j_{1}^{\prime}=j_{1}$ 的一般情况。

由于 $j_{1} \geq \text{FirstNodes}(M)_{J_{0}} > m_{1}$ ，因此 $j_{1}-m_{1} > 0$ 。

我们利用数学归纳法证明，在 $j_{1}-m_{1}$ 上存在唯一的 $t_{2}\in T_{B}$ 使得：

(3) $\mathrm{Trans}(M') = D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2)$ 且 $t_2 \neq 0$ 。
(4) $\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2))$ 。

令 $j_{1}-m_{1}=1$ 。

令 $t_{2} := D_{M_{1,j_{1}^{\prime}}}0$ 。

\[
t_{2} \neq 0.
\]

$J_{1}=J_{0},\quad j_{1}^{\prime}=j_{1},\quad\mathrm{Pred}(M^{\prime})=N^{\prime},\quad 且 \mathrm{Pred}(M)=N。$

由于切片的强单项式性具有遗传性， $M'$ 是强可接受的，且由于 $\mathrm{Lng}(M')-1 = m_1 \geq \mathrm{TrMax}(M) > j_0' > 0$ ， $\mathrm{Lng}(M')-1 > 1$ ，因此，对于 $M'$ ，子表示的单项式分量与 Pred 之间的任何关系 (1) 至 (4) 均成立。

由于 $\mathrm{Joints}(M')_{J_{1}}=\mathrm{Joints}(M)_{J_{1}}-j_{0}^{\prime}=0,\mathrm{Joints}(M')_{J_{1}}$ 是 $M'$ 可接受的，因此子表示的单项分量与 Pred 之间的关系 (2) 对 $M'$ 不成立。由于 $M_{0,j_{0}^{\prime}}+1>M_{0,j_{0}^{\prime}}\geq M_{1,j_{0}^{\prime}}$ 且 $M_{0,j_{0}^{\prime}}+1=M_{0,j_{1}^{\prime}}>M_{1,j_{1}^{\prime}}$ ， $t_{1}$ 的每个单项分量均大于或等于 $D_{M_{0,j_{0}^{\prime}}+1}0$ 且 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M'))=D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}t_{1}$ ，因此对于 $M'$ ，子表达式的单项分量与 Pred 之间的关系 (3) 和 (4) 均不成立。

由上可知, 对于 $M'$ , 子表达式的单项分量与 Pred 之间的关系 (1) 成立。即 $\mathrm{Trans}(M') = D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2)$ 。

如前所述， $j_{1}^{M}=j_{1}^{\prime}$ 且 $j_{0}^{M}=j_{0}^{\prime}$ ， $j_{0}^{M}$ 不是 M 可接受的， $j_{-1}^{M}=0$ ，M 满足条件 (IV)， $s_{1}^{M}=()$ 且 $D_{v^{M}}t_{2}^{M}=t_{1}^{M}$ 且 $b_{1}^{M}=()$ 。

$D_{v^{M}}t_{2}^{M}=t_{1}^{M}=\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M))=\mathrm{Trans}(N)=D_{M_{1,0}}t_{1}$ ，因此 $v^{M}=M_{1,0}$ 且 $t_{2}^{M}=t_{1}$ 。

由于 $M_{1,j_0^M} = M_{1,j_0'} = M_{0,j_0'}$ 且 $t_2^M = t_1$ 的每个单例元素都大于或等于 $D_{M_{0,j_0'}+1}$ ，因此 $t_2^M$ 最左边的单例元素不是 $D_{M_{1,j_0^M}}$ 。因此， $t_3^M = t_2^M = t_1$ 且 $t_4^M = t_2^M = t_1$ 。

由上可知， $\mathrm{Trans}(M) = s_1^M c_2^M b_1^M = c_2^M = D_{v^M}(t_3^M+D_{M_{1,j_0^M}}(t_4^M+D_{M_{1,j_1^M}}0)) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2))$ 。

令 $j_{1}-m_{1}>1$ 。

由于切片的强单项式遗传性， $\mathrm{Pred}(M)$ 为强单项式。

令 $J_{1}^{\prime} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M)))-1$ 。

令 $j_{1}^{\prime}=j_{1}$ 。

由 P 与 IdxSum 的组合特征可知， $J_{1}^{\prime} \geq J_{1}-1$ ，且由于 FirstNodes(M) $_{J_{0}} = m_{1}+1 < j_{1} = j_{1}^{\prime}$ ， $J_{0} < J_{1}$ ，因此 $J_{1}^{\prime} \geq J_{1}-1 \geq J_{0} \geq 0$ 且 LastStep(Pred(M)) = $J_{0}$ 。

从 $J_{1}^{\prime} \geq J_{0}$ 可知，根据 LastStep 的定义， $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}} > M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}}$ 。

令 $j_{1}^{\prime}<j_{1}$ 。

由 P 与 IdxSum 的组合特征可知, $J_{1}^{\prime}=J_{1}\geq0$ 且 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}}} > M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}}} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}}$ 。

由于 $(\mathrm{Pred}(M)_j)_{j = 0}^{\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Pred}(M))_{J_1'}} = (M_j)_{j = 0}^{\mathrm{FirstNodes}(M)J_1}$ , LastStep $(\mathrm{Pred}(M)) = J_0$ 。

从上可知，在两种情况下， $J_{1}^{\prime}\geq J_{0}\geq0$ , LastStep(Pred(M)) = $J_{0}$ ，且 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}} > M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}}$ 。

因此, $\mathrm{Pred}(M)_{0,\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Pred}(M))_{J_1'}} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} > M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} = \mathrm{Pred}(M)_{1,\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Pred}(M))_{J_1'}}$ 且由于 $J_0 \leq J_1', M_{1,\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Pred}(M))_{J_1'}} = M_{1,j_1'}$ , 因此, $\mathrm{Joints}(\mathrm{Pred}(M))_{J_1'} = M_{1,\mathrm{Joints}(\mathrm{Pred}(M))_{J_1'}}-M_{1,0} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Pred}(M))_{J_1'}}-1-M_{1,0} = M_{1,j_1'}-1-M_{1,0} = M_{1,j_0'}-M_{1,0} = j_0' > 0$ 。

根据归纳假设，存在唯一的 $t_{2}^{\prime} \in T_{B}^{2}$ 使得：

(3) Trans(Pred( $M'$ )) = $D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2')$ 且 $t_2' \neq 0$ 。
(4) $t_1^M = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2'))$ 。

由于子表示的单项分量 $t_{2}^{\prime} \neq 0$ 与 Pred 之间的关系，存在唯一的 $t_{2} \in T_{PS}$ 使得 $\mathrm{Trans}(M^{\prime}) = D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}(t_{1}+t_{2})$ 。根据 $\mathrm{TrMax}(M)+1 \leq m_{1} < j_{1}$ 和 P 的定义， $(0, j_{1}^{\prime}-1) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0, j_{1}^{\prime})$ 不成立，因此 $j_{1}^{\prime}$ 是 M 容许的。

设 $j_{1}^{\prime}=j_{1}$ 。

如前所述， $j_{1}^{M}=j_{1}^{\prime}$ 且 $j_{0}^{M}=j_{0}^{\prime}$ ， $j_{0}^{M}$ 是非 M 容许的， $j_{-1}^{M}=0$ ，M 满足条件 (IV)， $s_{1}^{M}=()$ ， $D_{v^{M}}t_{2}^{M}=t_{1}^{M}$ 且 $b_{1}^{M}=()$ 。

因为 $D_{v^M}t_2^M = t_1^M = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2'))$ , $v^M = M_{1,0}$ 且 $t_2^M = t_1+D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2')$ ，且 $t_2^M$ 的最右边单项式分量 $D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2')$ 的左端为 $D_{M_{1,j_0'}} = D_{M_{1,j_0^M}}$ 。因此， $t_3^M = t_1$ 且 $t_4^M = t_1+t_2'$ 且 $c_2^M = D_{v^M}(t_3^M+D_{M_{1,j_0^M}}(t_4^M+D_{M_{1,j_0^M}}0)) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2'+D_{M_{1,j_1}}0))$ 。

如前所述， $j_{1}^{M'} = j_{1}-j_{0}' = j_{1}'-j_{0}'$ 且 $j_{0}^{M'} = 0$ ， $j_{0}^{M'}$ 是 $M'$ 可接受的， $j_{-1}^{M'} = 0$ ，M 满足条件 (III)， $s_{1}^{M'} = ()$ ， $D_{v^{M'}} t_{2}^{M'} = t_{1}^{M'}$ 且 $b_{1}^{M'} = ()$ 。

因为 $D_{v^{M'}}t_2^{M'} = t_1^{M'} = D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2')$ ， $v^{M'} = M_{1,j_0'}$ 且 $t_2^{M'} = t_1+t_2'$ ，且 $t_2^{M'}$ 的最右边单项式分量 $D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2')$ 的左端为 $D_{M_{1,j_0'}} = D_{M_{1,j_0^M}}$ 。因此， $c_2^{M'} = D_{v^{M'}}(t_2^{M'}+D_{M_{1,j_1^M'}}0) = D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2'+D_{M_{1,j_1}}0)$ 。

$D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2) = \mathrm{Trans}(M') = s_1^{M'}c_2^{M'}b_1^{M'} = D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2'+D_{M_{1,j_1}}0)$ ，因此 $t_2 = t_2'+D_{M_{1,j_1}}0$ 。因此， $\mathrm{Trans}(M) = s_1^M c_2^M b_1^M = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2'+D_{M_{1,j_1}}0)) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2))$ 。

设 $j_{1}^{\prime}<j_{1}$ 。

由于 P 各分量均非复项性质， $(0,j_{1}^{\prime})\leq_{M}(0,j_{1})$ ，因此 $j_{1}^{\prime}\leq j_{0}^{M}$ ，且 $j_{1}^{\prime}$ 满足 M 条件，

因此 $j_1' \leq j_{-1}^M$ 。由于 $j_0^{M'} = j_0^M-j_0'$ 且 $j_{-1}^M-j_0' \geq j_1'-j_0' > 0$ ，由于容许切片的遗传性， $j_{-1}^{M'} = j_{-1}^M-j_0' > 0$ 。

由于 $s_1$ 和 $b_1$ 的空性与基点的关系， $s_1^{M'} \neq ()$ 。 $(D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2'), c_1^{M'}) = (t_1^{M'}, c_1^{M'}) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ 且 $s_1^{M'} \neq ()$ 蕴涵 $(t_2', c_1^{M'}) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ 。因此存在 $(s_1', b_1') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 使得 $(s_1', c_1^{M'}, b_1')$ 是 $t_2'$ 的 scb 分解。

$s_1^{M'}c_1^{M'}b_1^{M'} = t_1^{M'} = D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2') = D_{M_{1,j_0'}}(t_1+s_1'c_1^{M'}b_1')$ 和 $s_1^M c_1^M b_1^M = t_1^M = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2')) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}}(t_1+s_1'c_1^{M'}b_1'))$ ，从scb分解的可替代性、scb分解的复合规则以及加法和scb分解， $D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2) = \mathrm{Trans}(M') = s_1^{M'}c_2^{M'}b_1^{M'} = D_{M_{1,j_0'}}(t_1+s_1'c_2^{M'}b_1')$ 和 $\mathrm{Trans}(M) = s_1^M c_2^M b_1^M = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}}(t_1+s_1'c_2^{M'}b_1'))$ 。

因此， $t_{2}=s_{1}^{\prime}c_{2}^{M^{\prime}}b_{1}^{\prime}$ 且 $\mathrm{Trans}(M)=D_{M_{1,0}}(t_{1}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}} (t_{1}+s_{1}^{\prime}c_{2}^{M^{\prime}}b_{1}^{\prime}))=D_{M_{1,0}}(t_{1}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}} (t_{1}+t_{2}))$ 。

由上可知，在这两种情况下， $\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}(t_1+D_{M_{1,j_0'}}(t_1+t_2))$ 。

证毕。

'''定理 100''' 条件 (II) 下 Trans 与基本列的对易关系。

对于任意 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ ，利用 Trans 的递归定义中引入的符号，令 $L := Red((M_j)_{j=j-1}^{j_1})$ 。如果 $j_1 > 1$ 且 $M$ 满足条件 (II)[71]，则令 $m_n := n-1$ 或 $m_n := n-2$ ，具体取决于 $P(t_2)_{J_1}$ 的左端是否为 $D_{M_{1,j_0}}$ ，且以下成立：

(1) $m_{n} = -1$ ，则 $Trans(M[n]) = s_1D_{M_{1,j-1}}t_2b_1$ 。
(2) 如果 $m_{n} \geq 0$ ，则 $Trans(M[n]) = Trans(M)[m_{n}]$ 。
(3) $Mark(M[n], j_{-1}) = D_{M_{1,j_{-1}}}(t_3+(D_{M_{1,j_0}} t_4) \times (m_n+1))$ .
(4) $Trans(M[n]) < Trans(M)$ 。

我们提出一些引理，作为在条件 (II) 下证明 Trans 与基本列之间交换关系的初步尝试。

'''定理 101''' 0 型基本列的基本不等式。

对任意 $T_{PS}$ 中的 $M, n, r' \in \mathbb{N}_+$ 和 $q, q' \in \mathbb{N}$ , 令 $j_1 := Lng(M)-1$ 。若存在唯一的 $j_0 \in \mathbb{N}$ 使得 $(0, j_0) <_{M}^{Next}(0, j_1)$ , 且 $M_{1,j_1} = 0$ 、 $q, q' \leq n-1$ 和 $r' \in j_1-j_0$ , 则 $M[n]_{0,j_0+q(j_1-j_0)} < M[n]_{0,q'(j_1-j_0)+r'}$ 。

证明：

由于 $M_{1,j_1} = 0$ ， $M[n] = (M_j)_{j=0}^{j_0-1} \oplus \bigoplus_{\mathbb{N}^2} ((M_j)_{j=j_0}^{j_1-1})_{k=0}^{n-1}$ 。

由于 $(0,j_0) < _M^{\mathrm{Next}}(0,j_1)$ ，对于任意 $j\in \mathbb{N}$ ，若 $j_0 < j < j_1$ ，则 $M_{0,j}\geq M_{0,j_1} > M_{0,j_0}$ 。

因为 $j_0 < j_0+r' < j_1, M_{0,j_0} < M_{0,j_0+r'}$ ，且因为 $M[n]_{j_0+q(j_1-j_0)} = M_{j_0}$ 且 $M[n]_{j_0+q'(j_1-j_0)+r'} = M_{j_0+r'}$ ，所以我们有 $M[n]_{0,j_0+q(j_1-j_0)} < M[n]_{0,j_0+q'(j_1-j_0)+r'}$ 。

证毕。

'''定理 102''' 0 型基本列的基本分支规则。

对于任意 $M \in RT_{PS}$ 、 $n \in \mathbb{N}_{+}$ 和 $q \in \mathbb{N}$ ，令 $j_1 := Lng(M)-1$ ，并假设存在唯一的 $j_0 \in \mathbb{N}$ 使得 $(0, j_0) <_{M}^{Next}(0, j_1)$ 。如果 $M_{1,j_1} = 0$ 且 $q \leq n-1$ 且 $j_0$ 不是 $M$ 容许的，则 $(0, j_0-1) <_{M[n]}^{Next}(0, j_0+q(j_1-j_0))$ 且 $(1, j_0-1) <_{M[n]}^{Next}(1, j_0+q(j_1-j_0))$ 。

证明：

令 $j_{-1} := \mathrm{Adm}_{M}(j_{0})$ 。

由于 $j_0$ 不满足 $M$ 可接受性，因此 $j_{-1} < j_0$ 。对于任意 $j_0' \in \mathbb{N}$ ，若 $j_{-1} < j_0' \leq j_0$ ，则 $(1, j_0'-1) < _M^{\text{Next}} (1, j_0')$ 。特别地， $(1, j_0-1) < _M^{\text{Next}} (1, j_0)$ 。由于可约性与系数之间的关系， $M$ 满足条件 (A) 和 (B)，因此 $M_{0,j_0-1}+1 = M_{0,j_0}$ 且 $M_{1,j_0-1}+1 = M_{1,j_0}$ 。

此外，由于 $M_{1,j_1} = 0$ ， $M[n] = (M_j)_{j=0}^{j_0-1} \oplus \bigoplus_{\mathbb{N}^2} ((M_j)_{j=j_0}^{j_1-1})_{k=0}^{n-1}$ ，因此 $M[n]_{j_0-1} = M_{j_0-1}$ 且 $M[n]_{j_0+q(j_1-j_0)} = M_{j_0}$ ，因此 $M[n]_{0,j_0-1} = M[n]_{0,j_0+q(j_1-j_0)}-1 < M[n]_{0,j_0+q(j_1-j_0)}$ 且 $M[n]_{1,j_0-1} = M[n]_{1,j_0+q(j_1-j_0)}-1 < M[n]_{1,j_0+q(j_1-j_0)}$ 。

另一方面，对于任意 $j_0' \in \mathbb{N}$ ，若 $j_0-1 < j_0' < j_0+q(j_1-j_0)$ ，则根据第0型基本列的基本不等式， $M[n]_{j_0'} \geq M[n]_{j_0+q(j_1-j_0)}$ 。由上可知， $(0, j_0-1) <_{M[n]}^{\mathrm{Next}} (0, j_0+q(j_1-j_0))$ 和 $(1, j_0-1) <_{M[n]}^{\mathrm{Next}} (1, j_0+q(j_1-j_0))$ 。

证毕。

'''定理 103''' 第 0 类基本列的基本基点关系。

对于任意 $M \in RT_{PS}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ ，令 $j_{1} := Lng(M)-1$ ，并假设存在唯一的 $j_{0} \in \mathbb{N}$ 使得 $(0, j_{0}) <_{M}^{Next}(0, j_{1})$ ，且令 $j_{-1} := Adm_{M}(j_{0})$ 。若 $M_{1,j_{1}} = 0$ ，则下列成立：

(1) 若 n > 1，则 $(M[n], j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})) \in RT_{PS}^{Marked}$ 。
(2) 若 $j_{0}$ 为非 M 可接受的，则 $(M[n], j_{-1}) \in RT_{PS}^{Marked}$ 。

证明： $M[n]$ 是可约的，因为可约性在基本列中得以保留。

$M_{1,j_{1}}=0$ ，因此 $(M[n]_{j})_{j=j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})}^{j_{0}+n(j_{1}-j_{0})-1}=(M_{j})_{j=j_{0}}^{j_{1}-1}$ 。

（1）由第0个基本列的基本不等式 $(0,j_0)\leq_M(0,j_1-1)$ 可知， $(0,j_0+(n-1)(j_1-j_0))\leq_{M[n]}(0,j_0+(n-1)(j_1-j_0)+(j_1-j_0-1)) = (0,j_0+n(j_1-j_0)-1)$ 。

根据第 0 类基本列的基本分支规则， $(1,j_{0}-1)<_{M[n]}^{\text{Next}}(1,j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0}))$ ，且由于 n>1, $j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})-1>j_{0}-1$ ，因此 $(1,j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})-1)\leq_{M[n]}(1,j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0}))$ 不成立。因此， $j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})$ 是 M[n] 容许的，且 $(M[n],j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0}))\in RT_{PS}^{\text{Marked}}$ 。

（2）由 $j_0$ 的非M可接受性， $(0,j_{-1}) \leq_M (0,j_0-1)$ ，故 $(0,j_{-1}) \leq_{M[n]} (0,j_0-1)$ 。由第0型基本列的基本分支规则， $(0,j_0-1) <_{M[n]}^{\mathrm{Next}} (0,j_0+(n-1)(j_1-j_0))$ 。根据(1)， $(0,j_0+(n-1)(j_1-j_0)) \leq_{M[n]} (0,j_0+n(j_1-j_0)-1)$ ，因此 $(0,j_{-1}) \leq_{M[n]} (0,j_0+n(j_1-j_0)-1)$ 。

由于切片可接受性的遗传性， $j_{-1}$ 是 $\mathrm{Pred}(M)$ 可接受的。由于 $j_{0}$ 不满足 M 可接受性，因此 $j_{-1} < j_{0} \leq j_{1}-1$ ，且 $(M[n]_{j})_{j=0}^{j_{1}-1} = \mathrm{Pred}(M)$ ，同样由于可接受性对切片的遗传性， $j_{-1}$ 满足 M[n] 可接受性。由此可知， $(M[n], j_{-1}) \in RT_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ 。

证毕。

现在，回到正题。

在条件 (II) 下, Trans 与基本列的交换关系证明:

根据标准形式的约化性，M 可约化；根据约化性与系数的关系，M 满足条件 (A) 和 (B)。

由于 M 满足条件 (II)， $M_{1,j_{0}} \geq M_{1,j_{1}}$ 且 $j_{0}$ 不为 M 可接受的，即 $j_{-1} < j_{0}$ 。

根据 Mark 左端的基本性质， $v = M_{1,j-1}$ 。由于 scb 分解的可替代性， $(s_{1}, c_{2}, b_{1}) = (s_{1}, D_{M_{1,j-1}}(t_{3}+D_{M_{1,j_{0}}} (t_{4}+D_{0}0)), b_{1})$ 是 Trans(M) 的 scb 分解，且由于 scb 分解与基序列 (1-2) 的关系，

\[
\mathrm{Trans} (M)[n] = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{3}+(D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}) \times (n+1)) b_{1}
\]

特别地， $\mathrm{Trans}(M)\neq0$ 。

（1）至（4）可以用关于 $n \in N_{+}$ 的数学归纳法证明。

设 n = 1。

由于 $M[n] = \text{Pred}(M)$ ， $\text{Trans}(M[n]) = \text{Trans}(\text{Pred}(M)) = t_{1}$ 且 $\text{Mark}(M[n], j_{-1}) = \text{Mark}(\text{Pred}(M), j_{-1}) = c_{1}$ 。

设 $P(t_{2})_{J_{1}}$ 的左端为 $D_{M_{1,j_{0}}}$ 。

$m_{n}=n-1=0$ ，且

\[
{t_{3}} = {\Sigma_{\mathrm{B}} (P (t_{2})_{J})_{J = 0}^{J_{1}-1}}
\]

\[
c_{1} = D_{v} t_{2} = D_{M_{1, j-1}} (\Sigma_{\mathrm{B}} (P (t_{2})_{J})_{J = 0}^{J_{1}-1}+P (t_{2})_{J_{1}}) = D_{M_{1, j-1}} (t_{3}+D_{M_{1, j_{0}}} t_{4})
\]

因此 $\operatorname{Mark}(M[n], j_{-1}) = c_1 = D_{M_{1,j_{-1}}}(t_3+(D_{M_{1,j_0}} t_4) \times (m_n+1))$ ，且

\[
\operatorname{Trans} (M[n]) = t_{1} = s_{1} c_{1} b_{1} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} \left(t_{3}+\left(D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}\right)\right) b_{1} = \operatorname{Trans} (M)[n-1]
\]

因此， $\operatorname{Trans}(M) \neq 0$ ，且[Buc1] 引理 3.2 得出 $\operatorname{Trans}(M[n]) = \operatorname{Trans}(M)[n-1] < \operatorname{Trans}(M)$ 。

假设 $P(t_{2})_{J_{1}}$ 的左端不是 $D_{M_{1,j_{0}}}$ 。

\[
c_{1} = D_{v} t_{2} = D_{M_{1, j_{- 1}}} t_{2}
\]

\[
c_{2} = D_{v} (t_{2}+D_{M_{1, j_{0}}} 0) = D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{2}+D_{M_{1, j_{0}}} 0)
\]

因此， $\operatorname{Mark}(M[n], j_{-1}) = c_1 = D_{M_{1,j_{-1}}} t_2,$

\[
\mathrm{Trans} (M[n]) = t_{1} = s_{1} c_{1} b_{1} = s_{1} D_{M_{1, j-1}} t_{2} b_{1}
\]

\[
\mathrm{Trans} (M) = s_{1} c_{2} b_{1} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{2}+D_{M_{1, j_{0}}} 0) b_{1}
\]

因此，由子表达式不等式的可扩展性， $t_{2}<t_{2}+D_{M_{1,j_{0}}}0$ ，故 $\mathrm{Trans}(M[n])<\mathrm{Trans}(M)$ 。设 n>1。

设 $N := (M[n]_{j})_{j=0}^{j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})}$ 。

由 M 的单项式性， $(0,0)\leq_{M}(0,j_{0}-1)$ ，故 $(0,0)\leq_{N}(0,j_{0}-1)$ 。根据第 0 型基本列的基本分支规则， $(0,j_{0}-1)<_{M[n]}^{\mathrm{Next}}(0,j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0}))$ ，故 $(0,j_{0}-1)<_{N}^{\mathrm{Next}}(0,j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0}))$ ，因此 N 是单项式的。由于 M 满足条件 (B)，所以 $N_{0,0}=M_{0,0}=M_{1,0}=N_{1,0}$ 。由于 N 是单项式且 $N_{0,0}=N_{1,0}$ ，所以 N 满足条件 (B)。

证明 N 满足条件 (A)。

令 $i \in \{0,1\}$ 且 $j_0', j_1' \in \mathbb{N}$ ，并令 $(i,j_0') <_{N}^{\text{Next}}(i,j_1')$ 。若 $j_1' \leq j_0$ ，则 $(i,j_0') <_{M}^{\text{Next}}(i,j_1')$ 且 $M$ 满足条件 (A)，因此 $N_{i,j_0'}+1 = M_{i,j_0'}+1 = M_{i,j_1'} = N_{i,j_1'}$ 。

令 $j_{0}^{\prime}<j_{0}<j_{1}^{\prime}$ 。

令 $q_{1}, r_{1} \in N$ 为 $j_{1}^{\prime}-j_{0}$ 除以 $j_{1}-j_{0}$ 的商与余数。

$q_{1} \leq n-1$ 且 $r_1 < j_1-j_0$ 。

根据第 0 类基本列的基本分支规则和第 0 类基本列的基本不等式， $(0,j_{0}-1)<_{N}^{\text{Next}}(0,j_{0}+q_{1}(j_{1}-j_{0}))\leq_{N}(0,j_{0}+q_{1}(j_{1}-j_{0})+r_{1})=(0,j_{1}^{\prime})$ ，因此 $(0,j_{0}-1)\leq_{N}(0,j_{1})$ 。此外，由于 $j_{0}^{\prime}<j_{0}$ 且 $(i,j_{0}^{\prime})<_{N}^{\text{Next}}(i,j_{1}^{\prime})$ ， $(0,j_{0}^{\prime})\leq_{N}(0,j_{0}-1)$ ，因此 $(0,j_{0}^{\prime})\leq_{M}(0,j_{0}-1)$ 。

对于任何 $j \in \mathbb{N}$ ，如果 $(0, j_0') \leq_M (0, j) \leq_M (0, j_0+r)$ ，则 $(i, j) \leq_M (i, j_0+r_1)$ 不成立。

如果 $j \leq j_0-1$ ，则 $(0, j_0') \leq_M (0, j) \leq_M (0, j_0+r)$ 和 $(0, j_0') \leq_M (0, j_0-1)$ 蕴涵 $(0, j) \leq_M (0, j_0-1)$ ，这意味着 $(0, j) \leq_N (0, j_0-1) \leq_N (0, j_1')$ 。因此，根据 $(i, j_0') <_{N}^{\mathrm{Next}} (i, j_1')$ 及其父元素的基本性质， $M_{i,j} = N_{i,j} \geq N_{i,j_1'} = M_{i,j_0+r_1}$ 。

如果 $j > j_0-1$ ，则 $(0,j)\leq_{M}(0,j_{0}+r)$ 蕴涵 $(0,j+q_{1}(j_{1}-j_{0}))\leq_{N}(0,j_{0}+q_{1}(j_{1}-j_{0})+r) = (0,j_{1}^{\prime})$ ，且由 $(i,j_0') < _N^{\mathrm{Next}}(i,j_1')$ 及其父元素的基本性质， $M_{i,j} = N_{i,j+q_1(j_1-j_0)}\geq N_{i,j_1'} = M_{i,j_0+r_1}$ 。

由上可知，在两种情况下， $M_{i,j} \geq M_{i,j_0+r}$ ，尤其不满足 $(i,j) \leq_{M}(i,j_{0}+r_{1})$ 。

因此， $(i,j_{0}^{\prime})<_{M}^{\mathrm{Next}}(i,j_{0}+r_{1})$ ，且由于 M 满足条件 (A)， $N_{i,j_{0}^{\prime}}+1=M_{i,j_{0}^{\prime}}+1=M_{i,j_{0}+r_{1}}=N_{i,j_{1}^{\prime}}$ 。

令 $j_{0} \leq j_{0}^{\prime}$ 。

令 $j_1'-j_0$ 除以 $j_1-j_0$ 的商与余数为 $q_1, r_1 \in \mathbb{N}$ 。

\[
q_{1} \leq n-1 \text {且} r_{1} < j_{1}-j_{0} 。
\]

根据第 0 类基本列的基本分支规则和第 0 类基本列的基本不等式， $(0,j_{0}-1)<_{N}^{Next}(0,j_{0}+q_{1}(j_{1}-j_{0}))\leq_{N}(0,j_{0}+q_{1}(j_{1}-j_{0})+r_{1})=(0,j_{1}^{\prime})$ ，因此 $j_{0}-1<j_{0}\leq j_{0}^{\prime}$ ；又根据 $(i,j_{0}^{\prime})<_{N}^{Next}(i,j_{1}^{\prime})$ ， $j_{0}+q_{1}(j_{1}-j_{0})\leq j_{0}^{\prime}<j_{1}^{\prime}$ 。

此外，由于 $(N_{j})_{j=j_{0}+q_{1}(j_{1}-j_{0})}^{j_{1}^{\prime}}=(M_{j})_{j=j_{0}}^{j_{0}+r_{1}},\quad(i,j_{0}^{\prime}-q_{1}(j_{1}-j_{0}))<_{M}^{\mathrm{Next}}(i,j_{0}+r_{1})$ 。由于 M 满足条件 (A)， $N_{i,j_{0}^{\prime}}+1=M_{i,j_{0}^{\prime}-q_{1}(j_{1}-j_{0})}+1=M_{i,j_{0}+r_{1}}=N_{i,j_{1}^{\prime}}$ 。

由上可知，无论哪种情况， $N_{i,j_{0}^{\prime}}+1=N_{i,j_{1}^{\prime}}$ 。因此，N 满足条件 (A)。

由于 N 满足条件 (A) 和 (B)，因此由于可约性与系数之间的关系，N 是可约的。

设 $L' := \text{Red}((M[n]_{j})_{j = j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})}^{j_{0}+n(j_{1}-j_{0})-1})$ 。

证明 $\mathrm{Trans}(M[n]) = s_1D_{M_{1,j_{-1}}}(t_3+(D_{M_{1,j_0}}t_4)\times m_n+\mathrm{Trans}(L'))b_1$ 。

Trans 的递归定义中引入的符号是针对 N 定义的，并且 N 写在右边，以明确这是对 N 的应用。

由于 $j_{-1} < j_{0} < j_{1}$ ， $j_{1}^{N} = \mathrm{Lng}(N)-1 = j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0}) > j_{-1}+(j_{1}-j_{0}) \geq 1$ ，因此 $\mathrm{Pred}(N)$ 为零项，且由于 Trans 保持零项性质， $t_{1}^{N} = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N)) \neq 0$ 。结合 N 为单项函数这一事实，条件 (I) 至 (VI) 对 N 有意义。

根据第 0 类基本列的基本分支规则， $(0,j_{0}-1)<_{N}^{\text{Next}}(0,j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0}))$ ，且由于 $j_{0}$ 不是 M 容许的且 M 满足条件 (A)，因此 $N_{1,j_{0}-1}+1=M_{1,j_{0}-1}+1=M_{1,j_{0}}=N_{1,j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})}>0$ ，且由于 $(j_{0}-1)+1=j_{0}<j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})$ ，因此 N 满足条件 (V)。 $j_{1}^{N}=j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})$ ，且根据第 0 类基本列的基本分支规则， $(0,j_{0}-1)<_{N}^{\text{Next}}(0,j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0}))$ ，因此 $j_{0}^{N}=j_{0}-1$ 。由于 $j_{0}$ 不为 M 可接受，因此 $j_{-1}=\operatorname{Adm}_{M}(j_{0}-1)=\operatorname{Adm}_{N}(j_{0}-1)=\operatorname{Adm}_{N}(j_{0}^{N})$ 。根据 Mark 左端的基本性质， $v^{N}=N_{1,\operatorname{Adm}_{N}(j_{0}^{N})}=N_{1,j_{-1}}=M_{1,j_{-1}}$ 。

$\operatorname{Pred}(N) = (M[n]_j)_{j=0}^{j_0+(n-1)(j_1-j_0)-1} = M[n-1]$ , 因此 $c_1^N = \operatorname{Mark}(\operatorname{Pred}(N), \operatorname{Adm}_N(j_0^N)) = \operatorname{Mark}(M[n-1], j_{-1})$ , 且根据归纳假设

\[
D_{v^{N}} t_{2}^{N} = c_{1}^{N} = \mathrm{Mark} (M[n-1], j_{- 1}) = D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{3}+(D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}) \times m_{n})
\]

且

\[
s_{1}^{N} c_{1}^{N} b_{1}^{N} = t_{1}^{N} = \mathrm{Trans} (\mathrm{Pred} (N)) = \mathrm{Trans} (M[n-1])
\]

\[
\begin{array}{l} = \left\{ \begin{array}{l l} \operatorname{Trans} (M) \left[m_{n-1} \right] & \left(m_{n-1} \geq 0\right) \\ s_{1} D_{M_{1, j-1}} \left(t_{2}\right) & \left(m_{n-1} =-1\right) \end{array} \right. \\ = \left\{ \begin{array}{l l} s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{3}+(D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}) \times m_{n}) b_{1} & (m_{n} \geq 1) \\ s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{2}) & (m_{n} = 0) \end{array} \right. \\ = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{3}+(D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}) \times m_{n}) b_{1} \\ \end{array}
\]

因此， $t_{2}^{N}=t_{3}+(D_{M_{1,j_{0}}}t_{4})\times m_{n}$ ，且 $s_{1}^{N}=s_{1}$ ， $b_{1}^{N}=b_{1}$ 。由于N满足条件(V)，

\[
c_{2}^{N} = D_{v^{N}} (t_{2}^{N}+D_{N_{1, j_{1}^{N}}} 0) = D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{3}+(D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}) \times m_{n}+D_{M_{1, j_{0}}} 0)
\]

因此，

\[
\mathrm{Trans} (N) = s_{1}^{N} c_{2}^{N} b_{1}^{N} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{3}+(D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}) \times m_{n}+D_{M_{1, j_{0}}} 0) b_{1}
\]

此外，根据第 0 类基本列 $(M[n], j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})) \in RT_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ 的基本基点关系（1），以及使用 Mark 和切片的 Trans 表达式，

\[
\mathrm{Trans} (M[n]) = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{3}+(D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}) \times m_{n}+\mathrm{Mark} (M[n], j_{0}+(n-1) (j_{1}-j_{0}))) b_{1}
\]

由于 $j_0$ 不是 $M$ 可接受的， $(1, j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}} (1, j_0+1)$ 。由于 $M$ 满足条件 (II)， $M_{1,j_0} \geq 0 = M_{1,j_1}$ ，因此 $j_1 > j_0+1$ ，进而 $\mathrm{Lng}(L')-1 = j_1-j_0-1 > 0$ 。

根据直系祖先切片以及 Red 与 IncrFirst 之间的关系

\[
\begin{array}{l} (M_{j})_{j = j_{0}}^{j_{1}-1} = (M[n]_{j})_{j = j_{0}+(n-1) (j_{1}-j_{0})}^{j_{0}+n (j_{1}-j_{0})-1} = \operatorname{IncrFirst}^{M[n]_{0, j_{0}+(n-1) (j_{1}-j_{0})}-M[n]_{1, j_{0}+(n-1) (j_{1}-j_{0})}} \left(L^{\prime}\right) \\ = \mathrm{IncrFirst}^{M_{0, j_{0}}-M_{1, j_{0}}} (L^{\prime}) \\ \end{array}
\]

由于 Red 是 IncrFirst 不变的并且 $L'$ 是可约的， $\mathrm{Red}((M_{j})_{j=j_{0}}^{j_{1}-1})=L'$ 。根据 Mark 用 Trans 表示，以及 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变 P 等变性，

\[
\begin{array}{l} \operatorname{Mark} (M[n], j_{0}+(n-1) \left(j_{1}-j_{0}\right)) = \operatorname{Trans} ((M[n]_{j})_{j = j_{0}+(n-1) \left(j_{1}-j_{0}\right)}^{j_{0}+n \left(j_{1}-j_{0}\right)-1}) = \operatorname{Trans} ((M_{j})_{j = j_{0}}^{j_{1}-1}) \\ = \mathrm{Trans} (L^{\prime}) \\ \end{array}
\]

因此

\[
\mathrm{Trans} (M[n]) = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{3}+(D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}) \times m_{n}+\mathrm{Trans} (L^{\prime})) b_{1}
\]

证明 $\mathrm{Trans}(L') = D_{M_{1,j_0}}t_4$ 。令 $L := \mathrm{Red}((M_j)_{j = j-1}^{j_1-1})$ 。由 $(0, j_{-1}) \leq_M (0, j_0) < _M^{\mathrm{Next}}(0, j_1)$ 和其直接祖先 $(0, j_{-1}) \leq_M (0, j_1-1)$ 的树结构(1)。因此，由于标准形式的直接祖先对切片约化的强单项式性质， $L$ 是强单项式的。因为 $j_{-1} < j_0$ ，且容差的遗传性对切片 $j_0-j_{-1}$ 不

为 $L$ 容差，又因为容差的遗传性对切片 $\mathrm{Adm}_L(j_0-j_{-1}) = j_{-1}-j_{-1} = 0$ 。因此，根据TrMax的定义， $0 < j_0-j_{-1} < \mathrm{TrMax}(L)$ 。 $\mathrm{Lng}(L)-1 = j_1-j_{-1}$ ，且因为 $(0, j_0) < _M^{\mathrm{Next}}(0, j_1)$ 、 $(0, j_0-j_{-1}) < _L^{\mathrm{Next}}(0, j_1-j_{-1})$ ，且 $L_{1,j_0-j_{-1}} = M_{1,j_0} \geq M_{1,j_1} = L_{1,j_1-j_0'}$ 。因此，根据TrMax的定义， $\mathrm{TrMax}(L) < j_1-j_0'$ ，因而 $\mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(L)) \geq 0$ 。

根据可约性与系数的关系，L 满足条件 (A) 和 (B)。由于 L 满足条件 (A) 和 (B)， $L_{0,j_{1}-j_{-1}}=L_{0,j_{1}-j_{-1}}+1=L_{1,j_{1}-j_{-1}}+1\geq L_{0,j_{1}-j_{-1}}+1>L_{0,j_{1}-j_{-1}}$ 。

因此，由条件 (II) 或 (IV) 下末端段与 Trans 的关系可知，存在一个 $(t_{1}^{\prime}, t_{2}^{\prime}) \in T_{\mathrm{B}}^{2}$ 使得：

(1) $\mathrm{Trans}(L') = D_{L_{1,j_0-j-1}}(t'_1+t'_2)$ 和 $t_2'$ 。
(2) $\mathrm{Trans}(L) = D_{L_{1,0}}(t_1'+D_{L_{1,j_0-j_{-1}}} (t_1'+t_2'))$ 。

从右端 2 个基点 Mark 的基本性质、Mark 关于 Trans 的表示、Trans 关于 (IncrFirst, Red) 的不变性、P 的不变性、以及 Mark 关于 Trans 的表示

\[
\begin{array}{l} D_{L_{1, 0}} (t_{1}^{\prime}+D_{L_{1, j_{0}-j_{- 1}}} (t_{1}^{\prime}+t_{2}^{\prime})) = \operatorname{Trans} (L) = \operatorname{Trans} ((M_{j})_{j = j_{- 1}}^{j_{1}}) = \operatorname{Mark} (M, j_{- 1}) = c_{2} \\ = D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{3}+D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}) \\ \end{array}
\]

由于 $D_{L_{1,j_{0}-j_{-1}}}(t_{1}^{\prime}+t_{2}^{\prime})$ 等于 $t_{3}+D_{M_{1,j_{0}}}t_{4}$ 的最右边的单项式 $D_{M_{1,j_{0}}}t_{4}$ ,

因此，

\[
\mathrm{Trans} (L^{\prime}) = D_{L_{1, j_{0}-j_{- 1}}} (t_{1}^{\prime}+t_{2}^{\prime}) = D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}
\]

由此可知，

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (M[n]) = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{3}+(D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}) \times m_{n}+\mathrm{Trans} (L^{\prime})) b_{1} \\ = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{3}+(D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}) \times m_{n}+D_{M_{1, j_{0}}} t_{4}) b_{1} \\ { = } { s_{ 1 } D_{ M_{ 1 , j_{-1 } } } ( t_{ 3 }+( D_{ M_{ 1 , j_{ 0 } } } t_{ 4 } ) \times ( m_{ n }+1 ) ) b_{ 1 } = \mathrm{Trans} ( M )[m_{ n }] } \\ \end{array}
\]

证毕。

'''定理 104''' 在条件 (III) 或 (IV) 下 Trans 与基本列的对易关系。

对于任意 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ ，利用 Trans 的递归定义中引入的符号，假设存在唯一的 $j_{-2} \in \mathbb{N}$ 使得 $(1, j_{-2}) <_{M}^{Next}(1, j_1)$ ，且令 $j_{-3} := Adm_M(j_{-2})$ 。如果 $j_1 > 1$ 且 $M$ 满足条件 (III) 或 (IV)，则以下成立：

(1) $\text{Trans}(M[n]) \leq \text{Trans}(M)[n-1]$ 。
(2) $Trans(M[n]) < Trans(M)$ 。
(3) $Trans(M)[n-1] < Trans(M[n+1])$ 。

我们提出一些引理，作为在条件 (III) 或 (IV) 下证明 Trans 和基本列之间的交换关系的初步。

'''定理 105''' 最右非容许直接祖先的基本性质。

对于任何 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ 和 $m_0, m_1 \in \mathbb{N}$ , 令 $j_1 := Lng(M)-1$ , 令 $m_{-1} := Adm_M(m_0)$ , 令 $N := (M_j)_{j=m-1}^{j_1}$ , 令 $(0, m_0) < _M^{Next}(0, m_1) \leq_M(0, j_1)$ , 令 $N' := (M_j)_{j=m_0}^{j_1}$ , 令 $J_1 := LetLng(Br(Red(N)))-1$ 。然后, 如果 $(1, m_1-1) < M^{Next}(1, m_1)$ 且 $m_0$ 不容许, 则 $J_1 \geq 0$ 且 $0 < m_0-m_{-1} < TrMax(Red(N))$ 且 $m_0-m_{-1} = Joints(Red(N))_{J_1}$ 且 $FirstNodes(Red(N))_{J_1} = m_1-m_{-1}$ 。

证明：

由于 $m_{0}$ 不具有 M 容错性， $m_{-1} < m_{0}$ ，因此 $m_{-1}-m_{0} > 0$ 。

对于任意 $j \in \mathbb{N}$ ，若 $0 < j \leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))$ ，则 $(1, j-1) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1, j)$ ，且由其直接祖先的 Red 不变性， $(1, j-1) <_{N}^{\mathrm{Next}}(1, j)$ ，即 $(1, j+m_{-1}-1) <_{M}^{\mathrm{Next}}(1, j+m_{-1})$ 。因此，由于 $(1, m_1-1) <_{M}^{\mathrm{Next}}(1, m_1)$ 不是这种情况，所以 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) < m_1-m_{-1}$ 。

$(0, m_0) <_{M}^{\text{Next}} (0, m_1) \leq_M (0, j_1)$ 意味着 $(0, m_0-m_{-1}) <_{N}^{\text{Next}} (0, m_1-m_{-1}) \leq_N (0, j_1-m_{-1})$ ，而 $(0, m_0-m_{-1}) <_{\text{Red}(N)}^{\text{Next}} (0, m_1-m_{-1}) \leq_{\text{Red}(N)} (0, j_1-m_{-1})$ 由直接祖先的 Red 不变性所暗示。由于公差对切片的遗传性， $\text{Adm}_N(m_0-m_{-1}) = \text{Adm}_M(m_0)-m_{-1} = 0$ ，且由于 Red 在公差上的不变性， $\text{Adm}_{\text{Red}(N)}(m_0-m_{-1}) = 0$ 。因此， $m_0-m_{-1} \leq \text{TrMax}(\text{Red}(N))$ 。

由于 $0 < m_0-m_{-1} \leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))$ ， $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) > 0$ 。根据 $\mathrm{TrMax}$ 的定义， $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))$ 对于 $\mathrm{Red}(N)$ 是可以接受的，因此 $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))) = \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) > 0 = \mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(m_0-m_{-1})$ 。因此， $m_0-m_{-1} < \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))$ 。因为 $m_0-m_{-1} \leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) < m_1-m_{-1}$ 、 $(0, m_0-m_{-1}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}} (0, m_1-m_{-1}) \leq_{\mathrm{Red}(N)} (0, j_1-m_{-1})$ ，且 $P$ 的每个组成部分都是非二进制的，所以 $\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Red}(N))_{J_1} = m_1-m_{-1}$ 且 $m_0-m_{-1} = \mathrm{Joints}(\mathrm{Red}(N))_{J_1}$ 。

证毕。

'''定理 106''' 在条件 (III) 至 (V) 下，右端替换与 Trans 的关系。

对于任意 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ ，利用 Trans 的递归定义中引入的符号，假设存在唯一的 $j_{-2} \in \mathbb{N}$ 使得 $(1, j_{-2}) <_{M}^{Next}(1, j_1)$ 。令 $N' := (M_j)_{j=j_2}^{j_1}$ 且 $L' := (M_j)_{j=j_2}^{j_1-1} \oplus_{\mathbb{N}^2} ((M_{0,j_1}, M_{1,j_2}))$ 。然后，如果 $j_{-2} < j_1-1$ ，则存在唯一的 $(s, b) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 满足：

(1) $(s,D_{M_{1},j_{1}}0,b)$ 是 $Trans(N')$ 的 scb 分解。
(2) 如果 $j_{-2} = j_0$ 或 $j_0$ 是 $M$ 可接受的，则 $(s, D_{M_{1,j-2}} 0, b)$ 是 Trans(L') 的 scb 分解。
(3) 如果 $j_{-2} < j_0$ 且 $j_0$ 不是 $M$ 可接受的，则 $(s, D_{M_{1,j_0}}(t_2+D_{M_{1,j_0}}0), b)$ 是 Trans( $L'$ ) 的 scb 分解。

证明：

设 $j_{-3} := \mathrm{Adm}_{M}(j_{-2})$ 。

设 $N := (M_{j})_{j=j-3}^{j_{1}}$ 。

由于 $(1,j_{-3})\leq_{M}(1,j_{-2})<_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1}),\quad(0,j_{-3})\leq_{M}(0,j_{-2})\leq_{M}(0,j_{1})$ 。因此，根据标准形式的直系祖先约化切片的强单项式性质， $\mathrm{Red}(N)$ 和 $\mathrm{Red}(N')$ 是强单项式的，并且特别地，它们既是约化的又是单项式的。

$L'$ 是单项的，因为 $(N_{0,j}^{\prime})_{j=0}^{j_{1}-j_{2}} = (L_{0,j}^{\prime})_{j=0}^{j_{1}-j_{2}}$ 且直接祖先满足 Red 不变性，又因为 Red 保持单项性质，所以 $\mathrm{Red}(L')$ 是约化的且是单项的。

Trans 的递归定义中引入的符号是针对 $\mathrm{Red}(N)$ 、 $\mathrm{Red}(N')$ 和 $\mathrm{Red}(L')$ 定义的，为了清楚地表明这是对 $\mathrm{Red}(N)$ 、 $\mathrm{Red}(N')$ 和 $\mathrm{Red}(L')$ 的应用，我们在右边标上分别用 N、 $N'$ 和 $L'$ 表示它们。

$j_{1}^{N}=j_{1}-j_{-3}$ 且 $j_{1}^{N^{\prime}}=j_{1}^{L^{\prime}}=j_{1}-j_{-2}$ ，并且根据直接祖先的 Red 不变性， $j_{0}^{N}=j_{0}-j_{-3}$ 且 $j_{0}^{N^{\prime}}=j_{0}^{L^{\prime}}=j_{0}-j_{-2}$ 且 $(1,0)\leq_{\mathrm{Red}(N)}(1,j_{-2}-j_{-3})<_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1}-j_{-3})=(1,j_{1}^{N})$ 且 $(1,0)<_{\mathrm{Red}(N^{\prime})}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1}-j_{-2}).=(1,j_{1}^{N^{\prime}})$ 。因此， $\mathrm{Red}(N^{\prime})_{1,0}<_{\mathrm{Red}(N^{\prime})}^{\mathrm{Next}}\mathrm{Red}(N^{\prime})_{1,j_{1}^{N^{\prime}}}$ 。

由于可约性与系数之间的关系，M 和 $\mathrm{Red}(N')$ 满足条件 (A) 和 (B)。由于 M 满足条件 (A) 且 $j_{-3} = \mathrm{Adm}_{M}(j_{-2})$ ，因此 $(N_{j})_{j=0}^{j_{-2}-j_{-3}} = \mathrm{IncrFirst}^{N_{0,0}-N_{1,0}}(((j,j))_{j=N_{1,0}}^{N_{1,j-2-j_{-3}}})$ 且 $N_{0,0}-N_{1,0} = M_{0,j_{-3}}-M_{1,j_{-3}} = M_{0,j_{-2}}-M_{1,j_{-2}} = N_{0,0}'-N_{0,1}'$ 。

根据基于直接祖先的切片以及 Red 与 IncrFirst 之间的关系, $\operatorname{IncrFirst}^{N_{0,0}^{\prime}-N_{1,0}^{\prime}}(\operatorname{Red}(N))=\operatorname{IncrFirst}^{N_{0,0}-N_{1,0}}(\operatorname{Red}(N))=N$ 和 $\operatorname{IncrFirst}^{N_{0,0}^{\prime}-N_{1,0}^{\prime}}(\operatorname{Red}(N^{\prime}))=N^{\prime}$ 。所以

\[
\operatorname{Red} (N) = \left(N_{0, j}-N_{0, 0}^{\prime}+N_{1, 0}^{\prime}, N_{1, j}\right)_{j = 0}^{j_{1}^{N^{\prime}}} = ((j, j))_{j = N_{1, 0}}^{N_{1, 0}^{\prime}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left(N_{0, j}^{\prime}-N_{0, 0}^{\prime}+N_{1, 0}^{\prime}, N_{1, j}^{\prime}\right)_{j = 0}^{j_{1}^{N^{\prime}}}
\]

\[
\mathrm{Red} (N^{\prime}) = (N_{0, j}^{\prime}-N_{0, 0}^{\prime}+N_{1, 0}^{\prime}, N_{1, j}^{\prime})_{j = 0}^{j_{1}^{N^{\prime}}}
\]

因此， $\mathrm{Red}(N) = ((j,j))_{j=N_{1,0}}^{N'_{1,0}-1} \oplus_{\mathbb{N}^2} \mathrm{Red}(N')$ 。具体而言， $\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N)) = \mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N'))$ 。令 $J_1 := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N'))-1$ 。 $\mathrm{Red}(N')_{1,0} <_{\mathrm{Red}(N')}^{\mathrm{Next}} \mathrm{Red}(N')_{1,j_1^{N'}}$ 且 $0 < j_1-1-j_{-2} < j_1^{N'}-1$ ，因此 $\mathrm{Red}(N')_{1,j_1^{N'}-1} <_{\mathrm{Red}(N')}^{\mathrm{Next}} \mathrm{Red}(N')_{1,j_1^{N'}}$ 。因此， $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N')) < j_1^{N'}$ 且 $J_1 \geq 0$ 。令 $R := \mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N')) \oplus_{\mathbb{N}^2} (N'_{0,j_1^{N'}}-N'_{0,0}+N'_{1,0}, N'_{1,0})$ 。

我们证明 R 是可约的。

根据 $R$ 的定义， $\leq_{\mathrm{Red}(N')} \text{和} \leq_R$ 在 $(\{0,1\} \times \mathbb{N}) \setminus \{(1,j_1^{N'})\}$ 上相等。特别地，由于 $\mathrm{Red}(N')$ 的单项性质， $R$ 也是单项的。

通过 $(1,0) <_{\mathrm{Red}(N')}^{\mathrm{Next}}(1,j_1^{N'})$ 及其父元素的基本性质 (2)， $\mathrm{Red}(N')_{1,0} < \mathrm{Red}(N')_{1,j_1^{N'}}$ 并且对于任何 $j \in \mathbb{N}$ ，如果 $0 < j < j_1^{N'}$ 且 $(0,j) \leq_{\mathrm{Red}(N')} (0,j_1^{N'})$ ，则 $R_{1,j} = N_{1,j}' = \mathrm{Red}(N')_{1,j} \geq \mathrm{Red}(N')_{1,j_1^{N'}} > \mathrm{Red}(N')_{1,0} = N_{1,0}' = R_{1,j_1^{N'}}$ 。

因此，对于任意 $j \in \mathbb{N}$ ，如果 $0 < j < j_1^{N'}$ ，则 $(1, j) \leq_R (1, j_1^{N'})$ 不成立。此外，由于 $R_{1,0} = N_{1,0}' = R_{1,j_1^{N'}}$ ，因此 $(1, 0) \leq_R (1, j_1^{N'})$ 不成立。换句话说，不存在唯一的 $j \in \mathbb{N}$ 使得 $(1, j) < _R^{\mathrm{Next}} (1, j_1^{N'})$ 。

由上可知，对于任意 $i \in \{0,1\}$ 和 $j_1', j_2' \in \mathbb{N}$ ， $(i, j_1') <_{R}^{\text{Next}} (i, j_1')$ 的充分必要条件为 $(i, j_1') <_{\text{Red}(N')}^{ \text{Next}} (i, j_2') \neq (1, j_1^{N'})$ 。此外，由于 $\text{Red}(N')$ 满足条件 (A) 且 $R = \text{Pred}(\text{Red}(N')) \oplus_{\mathbb{N}^2} (\text{Red}(N')_{0, j_1^{N'}}, N_{1,0}')$ ，因此 $R$ 满足条件 (A)。

R 满足条件 (B)，因为 R 是单项式，且 $R_{0,0} = \text{Pred}(\text{Red}(N'))_{0,0} = N'_{1,0}$ 。因此，根据可约性与系数之间的关系，R 是可约的。

此外，由于 $\operatorname{IncrFirst}^{N_{0,0}^{\prime}-N_{1,0}^{\prime}}(R)=L^{\prime}$ ，由于 Red 的 IncrFirst 不变性， $\operatorname{Red}(L^{\prime})=\operatorname{Red}(R)=R$ 。

由于 $\mathrm{Pred}(N') = \mathrm{Pred}(L')$ , $t_{1}^{N'} = t_{1}^{L'}$ ，且 $\mathrm{Red}(N')$ 为单项式，Trans 为零项式， $t_{1}^{N'} \neq 0$ 。因此，条件 (I) 至 (VI) 对于 $\mathrm{Red}(N')$ 和 $\mathrm{Red}(L')$ 均有意义。

$\operatorname{Pred}(N') = \operatorname{Pred}(L')$ 且 $j_0^{N'} = j_0^{L'} < j_1^{L'}$ ，所以 $j_{-1}^{N'} = j_{-1}^{L'}$ 。因此， $c_1^{N'} = c_1^{L'}$ 且 $D_{v^{N'}}t_2^{N'} = c_1^{N'} = c_1^{L'} = D_{v^{L'}}t_2^{L'}$ ，所以 $v^{N'} = v^{L'}$ 且 $t_2^{N'} = t_2^{L'}$ 。另外，由于 $t_1^{N'} = t_1^{L'}$ 、 $c_1^{N'} = c_1^{L'}$ ，并且 scb 分解的唯一性， $s_1^{N'} = s_1^{L'}$ 和 $b_1^{N'} = b_1^{L'}$ 。

$(1,0) <_{\mathrm{Red}(N')}^{\mathrm{Next}} (1,j_1-j_{-2}) = (1,j_1^{N'})$ ，因此 $\mathrm{Red}(N')_{1,j_1^{N'}} > \mathrm{Red}(N')_{1,0} \geq 0$ ，且 $(1,0) <_{\mathrm{Red}(N')}^{\mathrm{Next}} (1,j_1^{N'})$ 且 $0 < j_{1}-1-j_{-2} = j_{1}^{N'}-1$ ，因此 $\mathrm{Red}(N')$ 满足条件(III)、(IV)或(V)。

$\operatorname{Red}(N')$ 满足条件 (A) 且 $\operatorname{Red}(N')_{1,0} <_{\operatorname{Red}(N')}^{\operatorname{Next}} \operatorname{Red}(N')_{1,j_1^{N'}}$ ，因此 $\operatorname{Red}(N')_{1,0} = \operatorname{Red}(N')_{1,j_1^{N'}}-1$ ，

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Red} (L^{\prime})_{1, j_{0}^{L^{\prime}}}-\mathrm{Red} (L^{\prime})_{1, j_{1}^{L^{\prime}}} = R_{1, j_{0}^{N^{\prime}}}-R_{1, j_{1}^{N^{\prime}}} = \mathrm{Red} (N^{\prime})_{1, j_{0}^{N^{\prime}}}-N_{1, 0}^{\prime} \\ { = } { \operatorname{Red} ( N^{ \prime } )_{ 1 , j_{ 0 }^{ N^{ \prime } } }-\operatorname{Red} ( N^{ \prime } )_{ 1 , 0 } = \operatorname{Red} ( N^{ \prime } )_{ 1 , j_{ 0 }^{ N^{ \prime } } }-\operatorname{Red} ( N^{ \prime } )_{ 1 , j_{ 1 }^{ N^{ \prime } } }+1 > \operatorname{Red} ( N^{ \prime } )_{ 1 , j_{ 0 }^{ N^{ \prime } } }-\operatorname{Red} ( N^{ \prime } )_{ 1 , j_{ 1 }^{ N^{ \prime } } }} \\ \end{array}
\]

为真。因此，如果 $\operatorname{Red}(N')$ 满足条件 (III) 或 (IV)，则 $\operatorname{Red}(N')_{1,j_0^{N'}}-\operatorname{Red}(N')_{1,j_1^{N'}} \geq 0$ ，且因此 $\operatorname{Red}(L')_{1,j_0^{L'}}-\operatorname{Red}(L')_{1,j_1^{L'}} > 0$ ，且因此 $\operatorname{Red}(L')$ 不满足条件 (V) 或 (VI)。如果 $\operatorname{Red}(N')$

满足条件 (V)，则 $\mathrm{Red}(N')_{1,j_{0}^{N'}}+1 = \mathrm{Red}(N')_{1,j_{1}^{N'}}$ ，因此 $\mathrm{Red}(L')_{1,j_{0}^{L'}}-\mathrm{Red}(L')_{1,j_{1}^{L'}} = 0$ ，因此 $\mathrm{Red}(L')$ 不满足条件 (V) 或 (VI)。

从上式可知，无论哪种情况， $\mathrm{Red}(L')$ 都不满足条件 (V) 或 (VI)。

由于可接受性对切片的遗传性，以下等价：

(1) $j_{0}^{N'}$ 是 $N'$ 可接受的。
(2) $j_{0}^{L'}$ 是 $L'$ 可接受的。
(3) $j_{-2}=j_{0}$ 或 $j_{0}$ 是 M 可接受的。

因此，由于 Red 保持可接受性，以下等价：

(1) $j_0^{N'}$ 是 $\operatorname{Red}(N')$ 可接受的。
(2) $j_{0}^{L'}$ 是 $\mathrm{Red}(L')$ 可接受的。
(3) $j_{-2}=j_{0}$ 或 $j_{0}$ 是 M 可接受的。

如果 $j_{-2} = j_0$ 或 $j_0$ 是 $M$ 容许的，则 $\operatorname{Red}(L')$ 满足条件 (I) 或 (III)；如果 $j_{-2} < j_0$ 且 $j_0$ 不是 $M$ 容许的，则 $\operatorname{Red}(L')$ 满足条件 (II) 或 (IV)。

假设 $j_{-2}=j_{0}$ 或 $j_{0}$ 是 M 容许的。

$\operatorname{Red}(N')$ 满足条件 (III) 或 (V)，且 $\operatorname{Red}(L')$ 满足条件 (I) 或 (III)。

从 $t_2^{N'} = t_2^{L'}$ 和 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性，得到 $t_2^{N'} = t_2^{L'}$ 的 $P$ -不变性

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (N^{\prime}) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} (N^{\prime})) = s_{1}^{N^{\prime}} c_{2}^{N^{\prime}} b_{1}^{N^{\prime}} = s_{1}^{N^{\prime}} D_{v^{N^{\prime}}} (t_{2}^{N^{\prime}}+D_{\mathrm{Red} (N^{\prime})_{1. j_{1}^{N^{\prime}}}} 0) b_{1}^{N^{\prime}} \\ { = } s_{ 1 }^{ N^{ \prime } } D_{ v^{ N^{ \prime } } } ( t_{ 2 }^{ N^{ \prime } }+D_N_{ 1 , j_{ 1 }^{ N^{ \prime } } }^{ N^{ \prime } } 0 ) b_{ 1 }^{ N^{ \prime } } = s_{ 1 }^{ N^{ \prime } } D_{ v^{ N^{ \prime } } } ( t_{ 2 }^{ N^{ \prime } }+D_{ M_{ 1 , j_{ 1 } } 0 ) b_{ 1 }^{ N^{ \prime } }} \\ \mathrm{Trans} (L^{\prime}) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} (L^{\prime})) = s_{1}^{L^{\prime}} c_{2}^{L^{\prime}} b_{1}^{L^{\prime}} = s_{1}^{L^{\prime}} D_{v^{L^{\prime}}} (t_{2}^{L^{\prime}}+D_{\mathrm{Red} (L^{\prime})_{1, j_{1}^{L^{\prime}}}} 0) b_{1}^{L^{\prime}} \\ { = } { s_{ 1 }^{ N^{ \prime } } D_{ v^{ N^{ \prime } } } ( t_{ 2 }^{ N^{ \prime } }+D_{ L_{ 1 , j_{ 1 }^{ N^{ \prime } } }^{ \prime } } 0 ) b_{ 1 }^{ N^{ \prime } } = s_{ 1 }^{ N^{ \prime } } D_{ v^{ N^{ \prime } } } ( t_{ 2 }^{ N^{ \prime } }+D_{ N_{ 1 , 0 }^{ \prime } } 0 ) b_{ 1 }^{ N^{ \prime } }} \\ { = } { s_{ 1 }^{ N^{ \prime } } D_{ v^{ N^{ \prime } } } ( t_{ 2 }^{ N^{ \prime } }+D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } 0 ) b_{ 1 }^{ N^{ \prime } }} \\ \end{array}
\]

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (L^{\prime}) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} (L^{\prime})) = s_{1}^{L^{\prime}} c_{2}^{L^{\prime}} b_{1}^{L^{\prime}} = s_{1}^{L^{\prime}} D_{v^{L^{\prime}}} (t_{2}^{L^{\prime}}+D_{\mathrm{Red} (L^{\prime})_{1, j_{1}^{L^{\prime}}}} 0) b_{1}^{L^{\prime}} \\ { = } { s_{ 1 }^{ N^{ \prime } } D_{ v^{ N^{ \prime } } } ( t_{ 2 }^{ N^{ \prime } }+D_{ L_{ 1 , j_{ 1 }^{ N^{ \prime } } }^{ \prime } } 0 ) b_{ 1 }^{ N^{ \prime } } = s_{ 1 }^{ N^{ \prime } } D_{ v^{ N^{ \prime } } } ( t_{ 2 }^{ N^{ \prime } }+D_{ N_{ 1 , 0 }^{ \prime } } 0 ) b_{ 1 }^{ N^{ \prime } }} \\ { = } { s_{ 1 }^{ N^{ \prime } } D_{ v^{ N^{ \prime } } } ( t_{ 2 }^{ N^{ \prime } }+D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } 0 ) b_{ 1 }^{ N^{ \prime } }} \\ \end{array}
\]

因此, 根据 scb 分解的合成规则以及加法与 scb 分解的关系, 存在唯一的 $(s, b) \in (\Sigma^{<\omega})^{2}$ 使得 $(s, D_{M_{1,j_1}})0, b)$ 和 $(s, D_{M_{1,j_2}}0, b)$ 分别是 $\mathrm{Trans}(N')$ 和 $\mathrm{Trans}(L')$ 的 scb 分解。

证毕。

假设 $j_{-2} < j_{0}$ 且 $j_{0}$ 为非 M 可接受的。

$\operatorname{Red}(N')$ 满足条件 (IV)， $\operatorname{Red}(L')$ 满足条件 (II) 或 (IV)。

$t_2^{N'} = t_2^{L'}$ 且 $\mathrm{Red}(N')_{1,j_0^{N'}} = R_{1,j_0^{N'}} = \mathrm{Red}(L')_{1,j_0^{L'}}$ ，因此 $t_3^{N'} = t_3^{L'}$ 且 $t_4^{N'} = t_4^{L'}$ 。因此，由Trans的(IncrFirst,Red)不变性，即 $P$ -不变性，

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (N^{\prime}) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} (N^{\prime})) = s_{1}^{N^{\prime}} c_{2}^{N^{\prime}} b_{1}^{N^{\prime}} = s_{1}^{N^{\prime}} D_{v^{N^{\prime}}} (t_{3}^{N^{\prime}}+D_{\mathrm{Red} (N^{\prime})_{1, j_{0}^{N^{\prime}}}} (t_{4}^{N^{\prime}}+D_{\mathrm{Red} (N^{\prime})_{1, j_{1}^{N^{\prime}}}} 0)) b_{1}^{N^{\prime}} \\ { = } { s_{ 1 }^{ N^{ \prime } } D_{ v^{ N^{ \prime } } } ( t_{ 3 }^{ N^{ \prime } }+D_{ R_{ 1 , j_{ 0 }^{ N^{ \prime } } } } ( t_{ 4 }^{ N^{ \prime } }+D_{ N_{ 1 , j_{ 1 }^{ N^{ \prime } } }^{ \prime } } 0 ) ) b_{ 1 }^{ N^{ \prime } } = s_{ 1 }^{ N^{ \prime } } D_{ v^{ N^{ \prime } } } ( t_{ 3 }^{ N^{ \prime } }+D_{ R_{ 1 , j_{ 0 }^{ N^{ \prime } } } } ( t_{ 4 }^{ N^{ \prime } }+D_{ M_{ 1 , j_{ 1 } } } 0 ) ) b_{ 1 }^{ N^{ \prime } }} \\ \mathrm{Trans} (L^{\prime}) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} (L^{\prime})) = s_{1}^{L^{\prime}} c_{2}^{L^{\prime}} b_{1}^{L^{\prime}} = s_{1}^{L^{\prime}} D_{v^{L^{\prime}}} (t_{3}^{L^{\prime}}+D_{\mathrm{Red} (L^{\prime})_{1, j_{0}^{L^{\prime}}}} (t_{4}^{L^{\prime}}+D_{\mathrm{Red} (L^{\prime})_{1, j_{1}^{L^{\prime}}}} 0)) b_{1}^{L^{\prime}} \\ { = } { s_{ 1 }^{ N^{ \prime } } D_{ v^{ N^{ \prime } } } ( t_{ 3 }^{ N^{ \prime } } D_{ R_{ 1 , j_{ 0 }^{ N^{ \prime } } } } ( t_{ 4 }^{ N^{ \prime } }+D_{ L_{ 1 , j_{ 1 }^{ N^{ \prime } } }^{ \prime } } 0 ) ) b_{ 1 }^{ N^{ \prime } } = s_{ 1 }^{ N^{ \prime } } D_{ v^{ N^{ \prime } } } ( t_{ 3 }^{ N^{ \prime } }+D_{ R_{ 1 , j_{ 0 }^{ N^{ \prime } } } } ( t_{ 4 }^{ N^{ \prime } }+D_{ N_{ 1 , 0 }^{ \prime } } 0 ) ) b_{ 1 }^{ N^{ \prime } }} \\ { = } { s_{ 1 }^{ N^{ \prime } } D_{ v^{ N^{ \prime } } } ( t_{ 3 }^{ N^{ \prime } }+D_{ R_{ 1 , j_{ 0 }^{ N^{ \prime } } } } ( t_{ 4 }^{ N^{ \prime } }+D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } 0 ) ) b_{ 1 }^{ N^{ \prime } }} \\ \end{array}
\]

因此,根据 scb 分解的复合规则以及加法与 scb 分解的关系,存在唯一的 $(s,b)\in(\Sigma^{<\omega})^{2}$ , 且 $(s,D_{M_{1,j_{1}}}0,b)$ 和 $(s,D_{M_{1,j_{-2}}}0,b)$ 分别是 $\mathrm{Trans}(N')$ 和 $\mathrm{Trans}(L')$ 的 scb 分解。

证毕。

'''定理 107''' 条件 (III) 至 (VI) 下的展开规则的基本性质。

对于任意 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ , 令 $N' := (M_j)_{j=j-2}^{j_1}$ , $L' := (M_j')_{j=j-2}^{j_1}$ , 且对于每个 $n \in \mathbb{N}_+$ , 令 $L_n := M[n] \oplus_{\mathbb{N}^2}$ 。设 $((M_{0,j-2}+n(M_{0,j_1}-M_{0,j-2}), M_{1,j-2}))$ , 若 $j_1 > 1$ , 则下列命题成立:

(1) 若 $M$ 满足条件 (III) 或 (IV)，则 $j_{-2} < j_0$ ；若 $M$ 满足条件 (V) 或 (VI)，则 $j_{-2} = j_0$ 。
(2) 对于任意 $n \in \mathbb{N}_{+}$ , $L_{n}$ 是可约化的且单项的。
(3) $\leq_{M}$ 和 $\leq_{L_1}$ 对 $(\{0,1\} \times \mathbb{N})\setminus \{(1,j_1)\}$ 的限制一致。
(4) 若 “M 满足 (VI) 或 $j_{0}$ 为 M-可接受的”，则 $L_{1}$ 满足条件 (I) 或 (III); 若 “M 不满足 (VI) 且 $j_{0}$ 为非 M-可接受的”，则 $L_{1}$ 满足条件 (II) 或 (IV)。
(5) 对任意 $n \in \mathbb{N}_{+}$ , 若 $n > 1$ , 存在唯一的 $(s', b') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 满足:

(5-1) $(s', D_{M_{1,j-2}}0, b')$ 是 $Trans(L_{n-1})$ 的 $scb$ 分解。

(5-2) $(s', Trans(L'), b')$ 是 $Trans(L_n)$ 的 $scb$ 分解。

(5-3) $(s', Trans(Pred(N')), b')$ 是 $Trans(M[n])$ 的 $scb$ 分解。

证明：

(1)

如果 M 满足条件 (III) 或 (IV)，则 $M_{1,j_{0}} \geq M_{1,j_{1}}$ ，因此 $(1,j_{0}) \leq_{M}(1,j_{1})$ 不成立，因此 $j_{-2} < j_{0}$ 。如果 M 满足条件 (V) 或 (VI)，则 $M_{1,j_{0}} < M_{1,j_{1}}$ ，因此 $(1,j_{0}) < _{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ 成立，因此 $j_{-2} = j_{0}$ 。

(2)

由于标准形式的可约性，M 是可约的；由于基序列保留了可约性，因此 $M[n+1]$ 也是可约的。 $M[n+1]$ 是单项的，因为 $M_{1,j_{1}} > M_{1,j_{-2}} > 0$ ，且非多重性与基本列之间的关系(2)。此外，

\[
L_{n} = M[n] \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left(\left(M_{0, j_{1}}, M_{1, j_{- 2}}\right)\right) = M[n] \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left(\left(M_{0, j_{1}}, M_{1, j_{1}}-1\right)\right) = (M[n+1]_{j})_{j = 0}^{j_{- 2}+n (j_{1}-j_{- 2})}
\]

因此， $L_{n}$ 既是单项的又是可约化的，因为约化性对切片具有遗传性，单项性对初始切片也具有遗传性。

(3)

由于 $L_{1} = M[1] \oplus_{\mathbb{N}^{2}} (M_{0,j_{1}}, M_{0,j_{-2}}) = \mathrm{Pred}(M) \oplus_{\mathbb{N}^{2}} (M_{0,j_{1}}, M_{0,j_{-2}})$ ，因此 $\leq_{M}$ 和 $\leq_{L_{1}}$ 对 $(\{0,1\} \times \mathbb{N}) \setminus \{(1,j_{1})\}$ 的限制相符。特别地， $(0,j_{0}) <_{L_{1}}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1})$ 。

Trans 递归定义中引入的符号也适用于 $L_{1}$ ，为了明确这是对 $L_{1}$ 的应用，我们将 $L_{1}$ 记为 $L_{1}$ ，并在其上标处加上 $L_{1}$ 。

由于 $\mathrm{Pred}(L_{1})=\mathrm{Pred}(M)$ ， $t_{1}^{L_{1}}=t_{1}\neq0$ ，因此条件 (I) 至 (VI) 对 $L_{1}$ 有意义。

由于 $(0,j_0) <_{L_1}^{\mathrm{Next}}(0,j_1)$ 且 $L_{1,j_0} = M_{1,j_0} = L_{1,j_1}$ ，因此 $L_1$ 既不满足条件 (V)，也不满足条件 (VI)。

令 M 满足条件 (VI)。

$j_{0}+1=j_{1}$ 。由于 $L_{1,j_{0}}=L_{1,j_{1}}=L_{1,j_{0}+1},\quad(1,j_{0})<_{L_{1}}^{\mathrm{Next}}(1,j_{0}+1)$ 不成立。因此， $j_{0}$ 是 $L_{1}$ 可容许的。

由上可知， $L_{1}$ 满足条件 (I) 或 (III)。

假设 $j_{0}$ 是 M 可容许的。

由于 $j_0$ 是 $M$ 可容许的，因此 $(0,j_0) < _M^{\mathrm{Next}}(0,j_0+1)$ 不成立，或者 $M_{1,j_0} \geq M_{1,j_0+1}$ 为真。

如果 $(0,j_0) < _M^{\mathrm{Next}}(0,j_0+1)$ 不成立，则 $(0,j_0) < _{L_1}^{\mathrm{Next}}(0,j_0+1)$ 也不成立，因此 $j_0$ 是 $L_{1}$ 可接受的。如果 $M_{1,j_0}\geq M_{1,j_0+1}$ ，则 $j_0 < j_1$ ，因此 $L_{1,j_0} = M_{1,j_0}\geq M_{1,j_1}\geq L_{1,j_1}$ ，因此 $j_0$ 是 $L_{1}$ 可接受的。因此，无论哪种情况， $j_0$ 都是 $L_{1}$ 可接受的。由上可知， $L_{1}$ 满足条件(I)或(III)。假设 $M$ 不满足(VI)条件，且 $j_0$ 不满足 $M$ 条件。

由于 $j_{0}$ 不满足 M 条件，因此 $(1, j_{0}-1) <_{M}^{\text{Next}} (1, j_{0}) <_{M}^{\text{Next}} (1, j_{0}+1)$ 。

由于 $M_{1,j_{1}} > M_{1,j_{-2}} \geq 0$ ，M 不满足条件 (I) 或 (II)。因此，M 满足条件 (IV) 或 (V)，所以 $M_{1,j_{0}}+1 \geq M_{1,j_{1}}$ ，且 $L_{1,j_{0}} = M_{1,j_{0}} \geq M_{1,j_{1}}-1 = L_{1,j_{1}}$ 。

$(1,j_{0})<_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ 不成立。因此， $j_{0}+1<j_{1}$ ，进而 $(1,j_{0}-1)<_{L_{1}}^{\text{Next}}(1,j_{0})<_{L_{1}}^{\text{Next}}(1,j_{0}+1)$ 。因此， $j_{0}$ 不为 $L_{1}$ 可接受的。

由上可知， $L_{1}$ 满足条件 (II) 或 (IV)。

(5)

$\mathrm{Lng}(L_n)-1 = j_{-2}+n(j_1-j_{-2})$ 。假设 $j_{-2}+(n-1)(j_1-j_{-2})$ 不符合 $L_{n}$ 要求，则会导致矛盾。

由于 $j_{-2}+(n-1)(j_1-j_{-2})$ 不是 $L_{n}$ 容错的，因为 $(1,j_{-2}+(n-1)(j_1-j_{-2})-1) < _{L_n}^{\mathrm{Next}}(1,j_{-2}+(n-1)(j_1-j_{-2}))$

\[
\begin{array}{l} M_{0, j_{1}-1} = (L_{n})_{0, j_{- 2}+(n-1) (j_{1}-j_{- 2})-1}-(n-2) (M_{0, j_{1}}-M_{0, j_{- 2}}) \\ < \quad (L_{n})_{0, j_{- 2}+(n-1) (j_{1}-j_{- 2})}-(n-2) (M_{0, j_{1}}-M_{0, j_{- 2}}) \\ = \left(M_{0, j_{- 2}}+(n-1) (M_{0, j_{1}}-M_{0, j_{- 2}})\right)-(n-2) (M_{0, j_{1}}-M_{0, j_{- 2}}) = M_{0, j_{1}} \\ \end{array}
\]

且 $M_{1,j_1-1} = (L_n)_{1,j_{-2}+(n-1)(j_1-j_{-2})-1} < (L_n)_{1,j_{-2}+(n-1)(j_1-j_{-2})} = M_{1,j_{-2}} < M_{1,j_1}$

由于 $M_{0,j_1-1} < M_{0,j_1}$ 且 $M_{1,j_1-1} < M_{1,j_{-2}} < M_{1,j_1}$ ，因此有 $(1,j_1-1) < _M^{\mathrm{Next}}(1,j_1)$ ，即 $j_{-2} = j_1-1$ ，这与 $M_{1,j_1-1} < M_{1,j_2}$ 矛盾。

由上可知， $j_{-2}+(n-1)(j_{1}-j_{-2})$ 是 $L_{n}$ 可接受的。进一步，由于 $(1,j_{-2})<_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1})$ ， $(0,j_{-2})\leq_{M}(0,j_{1})$ ，所以 $(0,j_{-2}+(n-1)(j_{1}-j_{-2}))\leq_{L_{n}}(0,j_{-2}+n(j_{1}-j_{-2}))$ 。因此， $(L_{n},j_{-2}+(n-1)(j_{1}-j_{-2}))\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ 。

将 Mark 用 Trans 表示

\[
\mathrm{Mark} (L_{n}, j_{- 2}+(n-1) (j_{1}-j_{- 2})) = \mathrm{Trans} (((L_{n})_{j})_{j = j_{- 2}+(n-1) (j_{1}-j_{- 2})}^{j_{- 2}+n (j_{1}-j_{- 2}}) = \mathrm{Trans} (L^{\prime})
\]

因此， $((L_n)_j)_{j=0}^{j-2+(n-1)(j_1-j-2)} = L_{n-1}$ ，且 Trans 用 Mark 和切片表示，我们得到一个唯一的 $(s', b') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 使得：

(1) $(s',D_{M_{1,j-2}}0,b')$ 是 $\mathrm{Trans}(L_{n-1})$ 的scb分解。
(2) $(s',\mathrm{Trans}(L'),b')$ 是 $\mathrm{Trans}(L_{n})$ 的scb分解。

因为 $j_{-2}+(n-1)(j_1-j_{-2})$ 是 $L_{n}$ 可接受的， $j_{-2}+(n-1)(j_1-j_{-2}) < j_{-2}+n(j_1-j_{-2})$ 且 $M[n] = \mathrm{Pred}(L_n)$ ，所以对基准切片的遗传率为 $(M[n], j_{-2}+(n-1)(j_1-j_{-2})) \in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ 。

由于基本列保持可约性， $M[n]$ 可约，因此，由 Mark 用 Trans 表示可得：

\[
\operatorname{Mark} (M[n], j_{- 2}+(n-1) (j_{1}-j_{- 2})) = \operatorname{Trans} (((M[n])_{j})_{j = j_{- 2}+(n-1) (j_{1}-j_{- 2})}^{j_{- 2}+n (j_{1}-j_{- 2})}) = \operatorname{Trans} (\operatorname{Pred} (N^{\prime}))
\]

因此， $((M[n])_j)_{j=0}^{j-2+(n-1)(j_1-j_{-2})} = L_{n-1}$ ，并且通过用 Mark 和切片表示 Trans， $(s', \text{Trans}(\text{Pred}(N')), b')$ 是 Trans(M[n]) 的 scb 分解。

证毕。

'''定理 108''' 在条件 (III) 至 (VI) 下，Trans 与 scb 分解的关系。

对于任意 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ , 令 $j_1 := Lng(M)-1$ 且令 $j_1 > 1$ 。利用 Trans 的递归定义中引入的符号, 假设存在唯一的 $j_{-2} \in \mathbb{N}$ 使得 $(1, j_{-2}) < _M^{Next}(1, j_1)$ 。令 $j_{-3} := Adm_M(j_{-2})$ 且令 $N := (M_j)_{j = j_{-3}}^{j_1}$ 。然后, 存在唯一的 $(s', b') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 使得 $(s', Trans(N), b')$ 是 $Trans(M)$ 的第一种 scb 分解。

证明：

由于 $(0,j_{-3})\leq_M(0,j_{-2})\leq_M(0,j_1)$ 且 $j_{-3}$ 是 $M$ 可接受的，因此 $(M,j_{-3})\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ 。

令 $N := (M_{j})_{j=j-3}^{j_{1}}$ 。

由于 $(0,j_{-3})\leq_M(0,j_{-2})$ 且 $(1,j_{-2}) < _M^{\mathrm{Next}}(1,j_1)$ ， $j_{-3} < j_{1}$ 且 $(0,j_{-3})\leq_M(0,j_{-2})\leq_M(0,j_1)$ 。

由于 $(M,j_{-3})\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ ，存在唯一的 $(s',b')\in(\Sigma^{<\omega})^{2}$ 使得 $(s',\mathrm{Mark}(M,j_{-2}',b'))$ 是 $\mathrm{Trans}(M)$ 的 scb 分解。

由于 Mark 用 Trans 表示, $(s', \text{Trans}(N), b')$ 是 $\text{Trans}(M)$ 的 scb 分解。由于 $(0, j_{-2}') \leq_M (0, j_1)$ ，且单项式遗传性与直系祖先切片相关， $N$ 是单项式的。因此，由于 Red 保持单项式性， $\text{Red}(N)$ 既是约化的，又是单项式的。因为 $(0, j_{-2}') \leq_M (0, j_1)$ ，所以它是 $(0, 0) \leq_N (0, j_1-j_{-2}')$ ，又因为直接祖先的 Red 不变性意味着它是 $(0, 0) \leq_{\text{Red}(N)} (0, j_1-j_{-2}')$ 。

由于 $(0,0) \leq_{\mathrm{Red}(N)} (0, j_1-j'_{-2})$ 且 0 是 $\operatorname{Red}(N)$ 可接受的，因此存在唯一的 $J_1 \in \mathbb{N}$ 和 $n \in \mathbb{N}_M^{<\omega}$ 使得：

\[
\mathrm{Lng} (n) = J_{1}+1 。
\]

\[
n_{0} = 0 \text {。}
\]

对于任何 $J \in \mathbb{N}$ ，如果 $J < J_1$ 则 $(0, n_J) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{NextAdm}}(0, n_{J+1})$ 。

\[
n_{J_{1}} = j_{1}-j_{- 2}^{\prime} \circ
\]

对于任何 $J \in \mathbb{N}$ ，如果 $0 < J < J_1$ ，则 $n_J+j_{-2}' > n_0+j_{-2}' = j_{-2}' \geq j_{-2}$ 。由于 $(0, n_J) \leq_{\mathrm{Red}(N)} (0, n_{J_1}) = (0, j_1-j_{-2}')$ 且直系祖先 Red 保持不变， $(0, n_J) \leq_N (0, j_1-j_{-2}')$ 即 $(0, n_J+j_{-2}') \leq_M (0, j_1)$ ，我们有 $(1, j_{-2}) < _M^{\mathrm{Next}} (1, j_1)$ 以及父母的基本性质。由 (2) 可知， $M_{1, n_J+j_{-2}'} \geq M_{1, j_1}$ 。

令 $J_{1}^{\prime} := \mathrm{Lng}(\mathrm{RightAnces}(N))-1$ 。由于 $\mathrm{Red}(N)$ 是单项的，根据 RightAnces 的递归定义，存在唯一的 $n^{\prime} \in N$ 使得：

\[
\mathrm{RightAnces} (N) = (\mathrm{Red} (N)_{1, n_{J^{\prime}}^{\prime}})_{J^{\prime} = 0}^{J_{1}^{\prime}}.
\]

\[
n_{0}^{\prime} = 0_{\circ}
\]

对于任意 $J' \in \mathbb{N}$ ，若 $J' \leq J_1'$ ，则 $(0,0) \leq_{\mathrm{Red}(N)} (0, n_{J'}') \leq_M (0, j_1-j_{-2}')$ 。

对于任意 $J' \in N$ ，若 $J' < J_{1}'$ ，则 $n_{J'}' < n_{J'+1}'$ 。

\[
n_{J_{1}^{\prime}}^{\prime} = j_{1}-j_{- 2}^{\prime} \circ
\]

对于任意 $J' \in \mathbb{N}$ , 若 $J' \leq J_1'$ , 则存在唯一的 $J \in \mathbb{N}$ , 使得 $J \leq J_1$ 且:

(a) $n'_{J'} = n_{J}$ 。

(b) $(\mathrm{Red}(N)_j)_{j=0}^{n_J-1}$ 不是零项，且 $(\mathrm{Red}(N)_j)_{j=0}^{n_J}$ 满足条件 (II) 或 (IV)，且 $(0, n_{J'}') <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0, n_J)$ 。

我们证明，对于任何 $J' \in \mathbb{N}$ ，如果 $0 < J' \leq J_1'$ ，则 $\mathrm{RightNodes}(\mathrm{Trans}(N))_{J'} \geq \mathrm{RightNodes}(\mathrm{Trans}(N))_{J_1'}$ 。

根据直接祖先切片以及 Red 与 IncrFirst 之间的关系， $\mathrm{IncrFirst}^{N_{0,0}-N_{1,0}}(\mathrm{Red}(N))=N$ ，因此，特别地，对于任何 $j\in N$ ，如果 $j\leq j_{1}-j_{-3}$ ，则 $\mathrm{Red}_{1,j}=N_{1,j}=M_{1,j+j_{-3}}$ 。

存在唯一的 $J \in N$ ，使得 $0 < J \leq J_{1}$ ，并且对于 $J'$ ，满足条件 (a) 或 (b)。

如果 $J$ 满足 (a)，则 $n_J$ 是 $\operatorname{Red}(N)$ -可接受的，且 $\operatorname{Adm}_M(j_{-2}) = j_{-3} < n_J+j_{-3}$ ，因此 $n_J+j_{-3} > j_{-2}$ ，进而 $j_{-2} < n_J+j_{-3} = n_{J'}'+j_{-3}$ 且 $(0, n_{J'}'+j_{-3}) = (0, n_J+j_{-3}) \leq_M (0, j_1)$ 。

假设 J 满足 (b)。

因为 $(0, n_{J'}') <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0, n_{J})$ 且其直接祖先 Red 不变性为 $n_{J'}' < n_{J}$ 且 $(0, n_{J'}') <_{N}^{\mathrm{Next}}(0, n_{J})$ ，即 $(0, n_{J'}'+j_{-3}) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0, n_{J}+j_{-3}) \leq_{M} (0, j_{1})$ 。

$(0,j_{-2})\leq_{M}(0,j_{1})$ 蕴含着 $(0,j_{-2}-j_{-3})\leq_{N}(0,j_{1}-j_{-3})$ ，而 $(0,j_{-2}-j_{-3})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,j_1-j_{-3})$ 由直接祖先的Red不变性蕴含。

$j_{-2}-j_{-3}<n_{J}$ 且 $(0,j_{-2}-j_{-3})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,j_{1}-j_{-3})=(0,n_{J_{1}})$ 且 $(0,n_{J})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,n_{J_{1}})$ ，因此 $(0,j_{-2}-j_{-3})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,n_{J})$ 且 $(0,n_{J'}')<_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0,n_{J})$ 。因此， $(0,j_{-2}-j_{-3})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,n_{J'}')$ 。

根据 $(0, n_{J'}') <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0, n_{J}) \leq_{\mathrm{Red}(N)}(0, n_{J_{1}}) = (0, j_{1}-j_{-3})$ 及直接祖先 Red 的不变性， $(0, n_{J'}') <_{N}^{\mathrm{Next}}(0, n_{J}) \leq_{N}(0, j_{1}-j_{-3})$ ，即 $(0, n_{J'}'+j_{-3}) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0, n_{J}+j_{-3}) \leq_{M}(0, j_{1})$ 。

假设 $j_{-2}-j_{-3}=n_{J'}^{\prime}$ 会导致矛盾。

$(0,j_{-2})=(0,n_{J^{\prime}}^{\prime}+j_{-3})<_{M}^{\mathrm{Next}}(0,n_{J}+j_{-3})\leq_{M}(0,j_{1})$ ，且由 $(1,j_{-2})<_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1})$ 和父元素的基本性质(2)， $M_{1,n_{J}+j_{-3}}\geq M_{1,j_{1}}>M_{1,j_{-2}}$ 。

因此， $\mathrm{Red}(N)_{1,n_J} = M_{1,n_J+j_{-3}} > M_{1,j_{-2}} = \mathrm{Red}(N)_{1,j_{-2}-j_{-3}}$ ，因此 $(0,j_{-2}-j_{-3}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0,n_J)$ 意味着 $(\mathrm{Red}(N)_j)_{j=0}^{n_J}$ 满足条件 (V) 或 (VI)，这与 $(\mathrm{Red}(N)_j)_{j=0}^{n_J}$ 满足条件 (II) 或 (IV) 相矛盾。

由上可知， $j_{-2}-j_{-3}<n_{J'}^{\prime}$ ，即 $j_{-2}<n_{J'}^{\prime}+j_{-3}$ 。

由上可知，在这两种情况下， $j_{-2}<n_{J'}^{\prime}+j_{-3}$ 且 $(0,n_{J'}^{\prime}+j_{-3})\leq_{M}(0,j_{1})$ 。

因为 $j_{-2} < n_{J'}'+j_{-3}$ 且 $(0, n_{J'}'+j_{-3}) \leq_{M} (0, j_{1})$ 和 $(1, j_{-2}) < \frac{\text{Next}}{M} (1, j_{1})$ ，根据父级的基本性质 (2)， $M_{1, n_{J'}'+j_{-2}'} \geq M_{1, j_{1}}$ 。因此，根据 RightNodes 和 RightAnces 的关系，

\[
\begin{array}{l} \operatorname{RightNodes} (\operatorname{Trans} (N))_{J^{\prime}} = \operatorname{RightAnces} (N)_{J^{\prime}} = \operatorname{Red} (N)_{1, n_{J^{\prime}}^{\prime}} = M_{1, n_{J^{\prime}}^{\prime}+j_{- 2}^{\prime}} \\ \geq M_{1, j_{1}} = \operatorname{Red} (N)_{1, n_{J_{1}^{\prime}}^{\prime}} = \operatorname{RightAnces} (N)_{J_{1}^{\prime}} = \operatorname{RightNodes} (\operatorname{Trans} (N))_{J_{1}^{\prime}} \\ \end{array}
\]

$M_{1,j-3} \leq M_{1,j-2} < M_{1,j_1}$ ，因此，根据 RightNodes 和 RightAnces 的关系，

\[
\operatorname{RightNodes} (\operatorname{Trans} (N))_{0} = \operatorname{RightAnces} (N)_{0} = \operatorname{Red} (N)_{1, n_{0}^{\prime}} = M_{1, j_{- 3}}
\]

\[
< \quad M_{1, j_{1}} = \operatorname{RightAnces} (N)_{J_{1}^{\prime}} = \operatorname{RightNodes} (\operatorname{Trans} (N))_{J_{1}^{\prime}}
\]

由上可知， $(s',\mathrm{Trans}(N),b')$ 是 $\mathrm{Trans}(M)$ 的第一类scb分解。

证毕。

'''定理 109''' 在条件 (III) 至 (V) 下切片的 scb 分解。

对于任意 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ ，利用 Trans 的递归定义中引入的符号，假设存在唯一的 $j_{-2} \in \mathbb{N}$ 使得 $(1, j_{-2}) <_{M}^{Next}(1, j_1)$ ，且令 $N' := (M_j)_{j=j_{-2}}^{j_1}$ 。如果 $M$ 不满足条件 (VI)，且 $Adm_M(j_{-2}) = j_{-1}$ ，则存在唯一的 $(s_1', b_1') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 满足：

(1) $(D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $c_{2}$ 的scb分解。
(2) $(D_{M_{1,j_2}}s_1', D_{M_{1,j_1}}0, b_1')$ 是 $Trans(N')$ 的 $scb$ 分解。
(3) $Trans(Pred(N')) = D_{M_{1,j-2}}t_{2}$

证明：

下文中，我们将在条件 (III) 至 (VI) 下使用展开规则的基本性质，无需任何说明。

(1)

由于标准形式的可约性，M 是可约的。

由于右端第 1 个基点的 Mark 的基本性质， $\mathrm{Mark}(M,j_{1})=D_{M_{1,j_{1}}}0$ ，并且由于右端第 2 个基点的 Mark 的基本性质， $\mathrm{Mark}(M,j_{-1})=c_{2}$ 。

因此，基于 $j_{-1} \leq j_0 < j_1$ 、scb 分解的平凡性准则、Trans 最左分量的基本性质以及 Mark 保持有序关系，存在唯一的 $(s_1', b_1') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ ，使得 $(D_{M_{1,j-1}} s_1', D_{M_{1,j_1}} 0, b_1')$ 是 $c_2$ 的 scb 分解。

(2)

设 $N := (M_{j})_{j=j-1}^{j_{1}}$ 。

由于 $(0,j_{-1})\leq_{M}(0,j_{0})<_{M}^{\text{Next}}(0,j_{1})$ 以及标准形式的直系祖先函数切片约化的强单项式性质， $\mathrm{Red}(N)$ 是强单项式。

从 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变 P 等变性以及 Mark 用 Trans 表示, $\mathrm{Trans}(\mathrm{Red}(N)) = \mathrm{Trans}(N) = \mathrm{Mark}(M, j_{-1}) = c_{2}$ 。

$j_{-1} = \mathrm{Adm}_{M}(j_{-2}) \leq j_{-2} \leq j_{0}$ 。由于公差对切片的遗传性， $\mathrm{Adm}_{N}(j_{-2}-j_{-1}) = \mathrm{Adm}_{M}(j_{-2})-j_{-1} = 0$ 且 $\mathrm{Adm}_{N}(j_{0}-j_{-1}) = \mathrm{Adm}_{M}(j_{0})-j_{-1} = 0$ ，并且由于公差的Red不变性， $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_{-2}-j_{-1}) = 0$ 且 $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_{0}-j_{-1}) = 0$ 。因此， $j_{-2}-j_{-1} \leq j_{0}-j_{-1} \leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))$ 。

如果 M 满足条件 (III) 或 (IV)，则 $M_{1,j_{0}} \geq M_{1,j_{1}}$ ，所以 $(1,j_{0}) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ ，进而 $j_{-2} < j_{0} < j_{1}$ ，所以 $j_{-2} < j_{1}-1$ ，尤其是 $(1,j_{1}-1) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ 。如果 M 满足条件 (V)，则 $j_{0} < j_{1}-1$ ，因此 $(0,j_{1}-1) <_{M}^{\text{Next}}(0,j_{1})$ ，尤其 $(1,j_{1}-1) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ 。

因此，无论哪种情况， $(1,j_{1}-1)<_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ 都不成立。

设 $J_{1} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N)))$ 。

由于 $(1,j_{1}-1)\leq_{M}(1,j_{1})$ 不成立，因此 $(1,j_{1}-1-j_{-1})\leq_{N}(1,j_{1}-j_{-1})$ 也不成立。由于直接祖先的Red不变性， $(1,j_{1}-1-j_{-1})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(1,j_1-j_{-1})$ 并非如此，因此 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) < j_1-j_{-1}$ 。因此， $J_{1}\geq 0$

由于 $(0,j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_1)$ ， $(0,j_0-j_{-1}) <_{N}^{\mathrm{Next}}(0,j_1-j_{-1})$ ；由于直接祖先的 Red 不变性， $(0,j_0-j_{-1}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0,j_1-j_{-1})$ 。

因为 $(0, j_0-j_{-1}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0, j_1-j_{-1})$ 且 $j_0-j_{-1} \leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) < j_1-j_{-1}$ ，由于 $P$ 每个分量都具有非二进制性质，所以 $\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Red}(N))_{J_1} = j_1-j_{-1}$ 且 $\mathrm{Joints}(\mathrm{Red}(N))_{J_1} = j_0-j_{-1} \circ (1, j_{-2}) <_{M}^{\mathrm{Next}}(1, j_1)$ 意味着 $(1, j_{-2}-j_{-1}) <_{N}^{\mathrm{Next}}(1, j_1-j_{-1})$ ，且 $(1, j_{-2}-j_{-1}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1, j_1-j_{-1})$ 意味着 $(1, j_{-2}-j_{-1}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1, j_1-j_{-1})$ ，因为 $j_{-2} < j_0$ 。

如果 M 满足条件 (III) 或 (IV)，则 $j_{-2}-j_{-1}<j_{0}-j_{-1}=\mathrm{Joints}(\mathrm{Red}(N))_{J_{1}}$ 。

假设 M 满足条件 (V)。

由于 $M_{1,j_{0}} < M_{1,j_{0}}+1 = M_{1,j_{1}}$ ， $(1,j_{0}) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ ，因此 $j_{-2} = j_{0}$ 。具体而言，由于 FirstNodes、TrMax 和 Joints 之间的关系， $j_{-2}-j_{-1} = j_{0}-j_{-1} = \text{Joints}(\text{Red}(N))_{J_{1}} \leq \text{TrMax}(\text{Red}(N))$ 。

由于可约性与系数之间的关系， $\mathrm{Red}(N)$ 满足条件 (A) 和 (B)。 $\mathrm{Red}(N)$ 满足条件 (A) 和 (B) 且 $j_{-2}-j_{-1} \leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))$ ，因此 $\mathrm{Red}(N)_{0,j_{-2}-j_{-1}} = \mathrm{Red}(N)_{1,j_{-2}-j_{-1}}$ 。 $\mathrm{Red}(N)$ 满足条件 (A) 且 $(1,j_{-2}-j_{-1}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,j_1-j_{-1})$ ，因此 $\mathrm{Red}(N)_{0,j_1-j_1} = \mathrm{Red}(N)_{0,j_{-2}-j_{-1}}+1 = \mathrm{Red}(N)_{1,j_{-2}-j_{-1}}+1 = \mathrm{Red}(N)_{1,j_1-j_{-1}}$ 。

$\operatorname{Red}(N)$ 是强单项的，因此 $\operatorname{Br}(\operatorname{Red}(N))$ 是降序的。

从上式可知，“ $j_{-2}-j_{-1}<\mathrm{Joints}(\mathrm{Red}(N))_{J_{1}}$ ”或“ $j_{-2}-j_{-1}=\mathrm{Joints}(\mathrm{Red}(N))_{J_{1}}$ 且 $\mathrm{Red}(N)_{0,j_{1}-j_{-1}}=\mathrm{Red}(N)_{1,j_{1}-j_{-1}}$ 且 $\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N))$ 按降序排列。”

因此， $(D_{M_{1,j_- 1}}s_1', D_{M_{1,j_1}}0, b_1')$ 是 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Red}(N)) = c_2$ 的 scb 分解，又由于 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变 $P$ 齐次性以及在条件 (V) 下末端段与 Trans 的关系， $(D_{M_{1,j_- 2}}s_1', D_{M_{1,j_1}}0, b_1')$ 是 $\mathrm{Trans}(N')$ 的 scb 分解。

(3)

由于可约化为段的遗传性和单项化为初始段的遗传性， $\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))$ 是可约化的且是单项的。此外，由于 Red 和 Pred 的交换性， $\mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N)) = \mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))$ 。从 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变 $P$ 等方差，以及 Mark 用 Trans 表示，

\[
\begin{array}{l} \operatorname{Trans} (\operatorname{Pred} (\operatorname{Red} (\operatorname{Pred} (N))) = \operatorname{Trans} (\operatorname{Red} (\operatorname{Pred} (N))) = \operatorname{Trans} (\operatorname{Pred} (N)) \\ = \mathrm{Mark} (\mathrm{Pred} (M), j_{- 1}) = c_{1} = D_{M_{1, j_{- 1}}} t_{2} \\ \end{array}
\]

由于可约性与系数之间的关系，M 满足条件 (A) 和 (B)，所以 $j_{-2}-j_{-1}<j_{0}-j_{-1}\leq\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))=\mathrm{TrMax}(N)$ ，因此 $N_{0,0}-N_{1,0}=N_{0,j_{-2}-j_{-1}}-N_{1,j_{-2}-j_{-1}}=N_{0,0}^{\prime}-N_{1,0}^{\prime}$ 。

根据基于直系祖先的切片以及 Red 和 IncrFirst 之间的关系, $\operatorname{IncrFirst}^{N_{0,0}-N_{1,0}}(\operatorname{Red}(\operatorname{Pred}(N))) = \operatorname{Pred}(N)$ 并且 $\operatorname{IncrFirst}^{N_{0,0}^{\prime}-N_{1,0}^{\prime}}(\operatorname{Red}(\operatorname{Pred}(N^{\prime}))) = \operatorname{Pred}(N^{\prime})$ , 因此 $(\operatorname{Pred}(N)_j)_{j=j-2-j-1}^{j_1-1-j-1} = \operatorname{Pred}(N')$ , 我们得到 $(\operatorname{Red}(\operatorname{Pred}(N))_j)_{j=j-2-j-1}^{j_1-1-j-1} = \operatorname{Red}(\operatorname{Pred}(N'))$ 。令 $J_0 := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))))$ 。

令 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) < j_{1}-1-j_{-1}$ 。

由于 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) < j_{1}-1-j_{-1}$ ， $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))) = \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))$ ，特别地， $j_{-2}-j_{-1} < j_{0}-j_{-1} \leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))) < j_{1}-j_{-1}$ 。因此， $J_{0} \geq 0$ 。因为 Pred 表示为[1]，且由于 P 与基本列的关系，所以 $J_{1}-1 \leq J_{0} \leq J_{1}$ 。

从 $(1,j_{-2}-j_{-1}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,j_1-j_{-1})$ 和 $(0,j_0-j_{-1}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0,j_1-j_{-1})$ 以及直接祖先的树结构(1)， $(0,j_{-2}-j_{-1})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,j_0-j_{-1})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,j_1-1-j_{-1}), (0,j_{-2}-$ $j_{-1})\leq_{\mathrm{Pred(Red(N))}}(0,j_0-j_{-1})\leq_{\mathrm{Pred(Red(N))}}(0,j_1-1-j_{-1})$ 。

由于 $(0, j_0-j_{-1}) \leq_{\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))} (0, j_1-1-j_{-1})$ 且 $j_0-j_{-1} \leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))) < j_1-1-j_{-1}$ ，因此 $P$ 每个分量的非二进制性质意味着 $j_0-j_{-1} \leq \mathrm{Joints}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N)))_{J_0}$ 。特别地， $j_{-2}-j_{-1} < j_0-j_{-1} \leq \mathrm{Joints}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N)))_{J_0}$ 。

因此， $\mathrm{Trans}(\mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N))) = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))) = D_{M_{1,j-1}} t_2$ 且 $(\mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N))_j)_{j=j-2-j-1}^{j_1-1-j_1} = \mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N'))$ 。由 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性，以及在条件 (V) 下末端段与 Trans 的关系，可知 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N')) = \mathrm{Trans}(\mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N')) = D_{M_{1,j-2}} t_2$ 。

令 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) = j_{1}-1-j_{-1}$ 。

$\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N))) = \mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))) = \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) = j_1-1-j_{-1}$

因此， $\mathrm{Trans}(\mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N))) = D_{M_{1,j-1}}t_2$ 且 $(\mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N))_j)_{j = j-2-j-1}^{j_1-1-j-1} = \mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N'))$ 且 $j_{-2}-j_{-1} < j_0-j_{-1}\leq j_1-1-j_{-1}$ ，并且由于(IncrFirst, Red)不变性，Trans的

P-不变性以及具有公差 (1,1) 的对序列的 Trans 的基本性质，我们有 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N')) = \mathrm{Trans}(\mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N')) = D_{M_{1,j-2}} t_2$ 。

证毕。

'''定理 110''' 在条件 (III) 至 (V) 下的各种 scb 分解。

对于任何 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ , 使用 Trans 的递归定义中引入的符号, 假设存在唯一的 $j_{-2} \in \mathbb{N}$ 使得 $(1, j_{-2}) < _M^{Next}(1, j_1)$ , 且令 $N' := (M_j)_{j=j_{-2}}^{j_1}$ , 且令 $L' := (M_j)_{j=j_{-2}}^{j_1-1} \oplus_{\mathbb{N}^2}$ 令 $L_n := M[n] \oplus_{\mathbb{N}^2} ((M_{0,j_{-2}}+n(M_{0,j_1}-M_{0,j_{-2}}), M_{1,j_{-2}}))$ 。若 $M$ 不满足条件 (VI), 且 “ $j_{-2} < j_0$ 或 $j_0$ 为 $M$ 可接受的”, 且 $Adm_M(j_{-2}) = j_{-1}$ , 则存在唯一的 $(s'_1, b'_1) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 使得:

(1) $(D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_1}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $c_{2}$ 的scb分解。
(2) $(D_{M_{1,j_- 2}}s_1^{\prime},D_{M_{1,j_1}}0,b_1^{\prime})$ 和 $(D_{M_{1,j_- 2}}s_1^{\prime},D_{M_{1,j_- 2}}0,b_1^{\prime})$ 分别是 $Trans(N^{\prime})$ 和 $Trans(L^{\prime})$ 的scb分解。
(3) $Trans(Pred(N')) = D_{M_{1,j-2}}t_2$ 。
(4) $Trans(L_n) = s_1D_{M_{1,j-1}}(s_1^{\prime}D_{M_{1,j-2}})^n 0(b_1^{\prime})^nb_1$ 。
(5) $Trans(M[n]) = s_1D_{M_{1,j-1}}(s_1'D_{M_{1,j-2}})^{n-1}t_2(b_1')^{n-1}b_1$ 。

证明：

下文中，我们将使用条件 (III) 至 (VI) 下的展开规则的基本性质，无需赘述。

在条件 (III) 至 (V) 下，存在唯一的 $(s_{1}^{\prime}, b_{1}^{\prime}) \in (\Sigma^{<\omega})^{2}$ ，该式由切片的 scb 分解得到，且满足：

(1) $(D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $c_{2}$ 的scb分解。
(2) $(D_{M_{1,j-2}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(N^{\prime})$ 的scb分解。
(3) Trans(Pred(N')) = D\_{M\_{1,j-2}} t\_2。

由上式可知（1）和（3）。

(2)

由于 $j_{-2} < j_0$ 或 $j_0$ 是 $\mathrm{M}$ 可接受的， $L_{j_1-j_{-2}}' = (M_{0,j_1}, M_{1,j_{-2}}) = (N_{0,j_1-j_{-2}}', N_{1,0}')$ 且 $j_0$ 的 $\mathrm{M}$ 可接受性以及右端置换与 Trans 的关系在条件 (III) 至 (V) 下成立，因此 $(D_{M_{1,j_{-2}}} s_1', D_{M_{1,j_{-2}}} 0, b_1')$ 是 $\operatorname{Trans}(L')$ 的 scb 分解。

(4)

由于 M 满足条件 (A) 且 $(1,j_{-2}) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ ，因此 $M_{1,j_{-2}} = M_{1,j_{1}}-1$ 。

我们利用关于 n 的数学归纳法证明， $\mathrm{Trans}(L_{n})=s_{1}D_{M_{1,j-1}}(s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j-2}})^{n}0(b_{1}^{\prime})^{n}b_{1}$ 。

设 n = 1。

我们也定义 Trans 递归定义中引入的符号，并将 $L_{1}$ 写在上标上，以明确这是对 $L_{1}$ 的应用。

$\operatorname{Pred}(L_1) = \operatorname{Pred}(M)$ ，因此 $s_1^{L_1} = s_1$ 且 $b_1^{L_1} = b_1$ 。取决于 $M$ 是否满足条件 (III) 或 (IV)， $L_1$ 满足条件 (I) 或 (III)，或者满足条件 (II) 或 (IV)。 $(D_{M_{1,j-1}}s_1', D_{M_{1,j_1}}0, b_1')$ 是 $c_2$ 的 scb 分解。根据 Trans 的定义， $(D_{M_{1,j-1}}s_1', D_{M_{1,j-2}}0, b_1')$ 是 $c_2^{L_1}$ 的 scb 分解。因此，

\[
\mathrm{Trans} (L_{n}) = \mathrm{Trans} (L_{1}) = s_{1}^{L_{1}} c_{2}^{L_{1}} b_{1}^{L_{1}} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 2}}} 0 b_{1}^{\prime} b_{1} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 2}}})^{n} 0 (b_{1}^{\prime})^{n} b_{1}
\]

设 n > 1。

根据归纳假设，

\[
\mathrm{Trans} (L_{n-1}) = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 2}}})^{n-1} 0 (b_{1}^{\prime})^{n-1} b_{1}
\]

\[
{ = } { ( s_{ 1 } D_{ M_{ 1 , j_{-1 } } } ( s_{ 1 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } )^{ n-2 } s_{ 1 }^{ \prime } ) D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } 0 ( ( b_{ 1 }^{ \prime } )^{ n-1 } b_{ 1 } ) }
\]

因此，

\[
\begin{array}{l} \operatorname{Trans} (L_{n}) = \left(s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 2}}})^{n-2} s_{1}^{\prime}\right) \operatorname{Trans} (L^{\prime}) ((b_{1}^{\prime})^{n-1} b_{1}) \\ { = } { ( s_{ 1 } D_{ M_{ 1 , j_{-1 } } } ( s_{ 1 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } )^{ n-2 } s_{ 1 }^{ \prime } ) D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } s_{ 1 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } 0 b_{ 1 }^{ \prime } ( ( b_{ 1 }^{ \prime } )^{ n-1 } b_{ 1 } ) } \\ { = } { s_{ 1 } D_{ M_{ 1 , j_{-1 } } } ( s_{ 1 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } )^{ n } 0 ( b_{ 1 }^{ \prime } )^{ n } b_{ 1 } } \\ \end{array}
\]

(5)

设 n = 1。

由 $M[n]=\mathrm{Pred}(M)$ ,

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (M[n]) = t_{1} = s_{1} c_{1} b_{2} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} t_{2} b_{1} \\ { = } { s_{ 1 } D_{ M_{ 1 , j_{-1 } } } ( s_{ 1 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } )^{ n-1 } t_{ 2 } ( b_{ 1 }^{ \prime } )^{ n-1 } b_{ 1 } } \\ \end{array}
\]

设 n > 1。

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (L_{n}) = s_{1} D_{M_{1, j-1}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j-2}})^{n} 0 (b_{1}^{\prime})^{n} b_{1} \\ { = } { ( s_{ 1 } D_{ M_{ 1 , j_{-1 } } } ( s_{ 1 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } )^{ n-2 } ) s_{ 1 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } s_{ 1 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } 0 b_{ 1 }^{ \prime } ( ( b_{ 1 }^{ \prime } )^{ n-1 } b_{ 1 } ) } \\ = \left(s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 2}}})^{n-2}\right) s_{1}^{\prime} \mathrm{Trans} (L^{\prime}) ((b_{1}^{\prime})^{n-1} b_{1}) \\ \end{array}
\]

于是

\[
\begin{array}{l} \operatorname{Trans} (M[n]) = \left(s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 2}}})^{n-2}\right) s_{1}^{\prime} \operatorname{Trans} (\operatorname{Pred} (N^{\prime})) ((b_{1}^{\prime})^{n-1} b_{1}) \\ { = } { ( s_{ 1 } D_{ M_{ 1 , j-1 } } ( s_{ 1 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j-2 } } )^{ n-2 } ) s_{ 1 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j-2 } } t_{ 2 } ( ( b_{ 1 }^{ \prime } )^{ n-1 } b_{ 1 } ) } \\ { = } { s_{ 1 } D_{ M_{ 1 , j_{-1 } } } ( s_{ 1 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } )^{ n-1 } t_{ 2 } ( b_{ 1 }^{ \prime } )^{ n-1 } b_{ 1 } } \\ \end{array}
\]

证毕。

'''定理 111''' 条件 (III) 或 (IV) 下的各种 scb 分解。

对于任何 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ ，设 $j_{-2} \in \mathbb{N}$ 存在，使得 $(1, j_{-2}) <_{M}^{Next}(1, j_1)$ ，使用 Trans 的递归定义中引入的符号，设 $j_{-3} := Adm_M(j_{-2})$ ，设 $N := (M_j)_{j=j_{-3}}^{j_1}$ ，设 $N' := (M_j)_{j=j_{-2}}^{j_1}$ ，设 $L' := Let(M_j)_{j=j_{-2}}^{j_1-1} \oplus_{\mathbb{N}^2} ((M_{0,j_1}, M_{1,j_{-2}}))$ 且令 $L_n := M[n] \oplus_{\mathbb{N}^2} ((M_{0,j_{-2}}+n(M_{0,j_1}-M_{0,j_{-2}}), M_{1,j_{-2}}))$ 。然后，若 $j_1 > 1$ 且 $M$ 满足条件 (III) 或 (IV)，且 $j_{-3} < j_{-1}$ ，则存在唯一的 $(s_0', s_1', s_2', b_2', b_1', b_0') \in (\Sigma^{<\omega})^6$ 使得：

(1) $(s_{0}^{\prime}, Trans(N), b_{0}^{\prime})$ 是 $Trans(M)$ 的 scb 分解。
(2) $(D_{M_{1,j_- 3}}s_1',c_1,b_1')$ 和 $(D_{M_{1,j_- 3}}s_1',c_2,b_1')$ 分别是Trans(Pred(N))和Trans(N)的scb分解。

(3) $(s_{2}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{2}^{\prime})$ 是 $c_{2}$ 的scb分解。

(4) $(D_{M_{1,j-2}}s_{1}^{\prime},c_{1},b_{1}^{\prime})$ 、 $(D_{M_{1,j-2}}s_{1}^{\prime},c_{2},b_{1}^{\prime})$ 和 $(D_{M_{1,j-2}}s_{1}^{\prime}s_{2}^{\prime},D_{M_{1,j-2}}0,b_{2}^{\prime}b_{1}^{\prime})$ 分别是 $Trans(Pred(N^{\prime}))$ 、 $Trans(N^{\prime})$ 和 $Trans(L^{\prime})$ 的scb分解。

(5) $Trans(L_n) = s_0' D_{M_{1,j-3}}(s_1's_2'D_{M_{1,j-2}})^n 0(b_2'b_1')^n b_0'$ .
(6) $Trans(M[n]) = s_0' D_{M_{1,j-3}}(s_1's_2'D_{M_{1,j-2}})^{n-1}s_1' c_1b_1'(b_2'b_1')^{n-1}b_0'$ .

证明：

下文中，我们将毫无保留地运用条件 (III) 至 (VI) 下的展开规则的基本性质。

(1)

由于 $\operatorname{Trans}(N) = \operatorname{Mark}(M, j_{-3})$ ，且 Mark 在 Trans 中的表示成立，因此存在唯一的 $(s_0', b_0') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ ，使得 $(s_0', \operatorname{Trans}(N), b_0')$ 是 $\operatorname{Trans}(M)$ 的 scb 分解。

(2)

由于标准形式的可约性，M 也是可约的。

由于 $j_{-3} < j_{-1}$ 、scb分解的平凡性准则、Trans最左分量的基本性质以及Mark保持有序关系，存在唯一的 $(s_1', b_1') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 且 $(D_{M_{1,j_3}} s_1', c_2, b_1')$ 是 $\mathrm{Trans}(N)$ 的scb分解。

将 Trans 表示为 Mark 和 Pred，则 $(D_{M_{1,j-3}}s_{1}^{\prime},c_{1},b_{1}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N))$ 的 scb 分解。

(3)

由于最右边 1 个基点处 Mark 的基本性质以及 Mark 的顺序关系, 存在唯一的 $(s_{2}^{\prime}, b_{2}^{\prime}) \in (\Sigma^{<\omega})^{2}$ , 使得 $(s_{2}^{\prime}, D_{M_{1,j_{1}}}0, b_{2}^{\prime}) = (s_{2}^{\prime}, \text{Mark}(M, j_{1}), b_{2}^{\prime})$ 是 $c_{2}$ 的 scb 分解。

(4)

由于 $(1,j_{-3})\leq_M(1,j_{-2}) < _M^{\mathrm{Next}}(1,j_1)$ 具有强单项式性，且切片可以通过标准形式的直系祖先约化，因此 $\operatorname {Red}(N)$ 为强单项式。由于可约性与系数之间的关系， $\operatorname {Red}(N)$ 满足条件(A)和(B)。

令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N)))$ 。

由于 M 满足条件 (III) 或 (IV), $M_{1,j_{0}} \geq M_{1,j_{1}}$ , 因此 $(1,j_{0}) \leq_{M}(1,j_{1})$ , 即不满足 $(1,j_{0}-j_{-3}) \leq_{N}(1,j_{1}-j_{-3})$ 。由于直接祖先的 Red 不变性, $(1,j_{0}-j_{-3}) \leq_{\mathrm{Red}(N)}(1,j_{1}-j_{-3})$ , 因此 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) < j_{1}-j_{-3}$ 。因此, $J_{1} \geq 0$ 。 $(1,j_{-2}) <_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1})$ 和 $(0,j_{0}) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1})$ , 因此 $(1,j_{-2}-j_{-3}) <_{N}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1}-j_{-3})$ 和 $(0,j_{0}-j_{-3}) <_{N}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1}-j_{-3})$ , 以及 $(1,j_{-2}-j_{-3}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1}-j_{-3})$ 和 $(0,j_{0}-j_{-3})$ , 因为直接祖先的 Red 不变性 $(1,j_{-2}-j_{-3}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1}-j_{-3})$ かつ $(0,j_{0}-j_{-3}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1}-j_{-3})$ 。

由于公差对切片的遗传性， $\mathrm{Adm}_N(j_{-2}-j_{-3}) = 0$ 且 $\mathrm{Adm}_N(j_0-j_{-3}) = j_{-1}-j_{-3}$ ；同时由于公差的 Red 不变性， $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_{-2}-j_{-3}) = 0$ 且 $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_0-j_{-3}) = j_{-1}-j_{-3}$ 。

$\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_{-2}-j_{-3}) = 0$ ，因此 $j_{-2}-j_{-3}\leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))$ 。 $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_0-j_{-3}) = j_{-1}-j_{-3} > 0$ ，因此 $j_0-j_{-3}\geq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))$ 。

令 $m_{0} := \text{Joints}(\text{Red}(N))_{J_{1}}$ 。

令 $m_{1} := \text{FirstNodes}(\text{Red}(N))_{J_{1}}$ 。

$(1,j_{-2}-j_{-3})<_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1}-j_{-3})$ 且 $j_{-2}-j_{-3}\leq\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))<j_{1}-j_{-3}$ ，因此 $j_{-2}-j_{-3}\leq m_{0}$ 。

若 $j_{-2}-j_{-3} = m_0$ ，则表明 $\operatorname{Red}(N)_{0,m_1} = \operatorname{Red}(N)_{1,m_1}$ ，且 $\operatorname{Br}(\operatorname{Red}(N))$ 按降序排列。

由于 $\mathrm{Red}(N)$ 是强单项式，因此 $\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N))$ 是下降的。

由于 P 的每个分量都是非复合的， $(0,0)\leq_{\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N))_{J_{1}}}(0,j_{1}-j_{-3}-m_{1})$ ，因此 $(0,m_{1})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,j_{1}-j_{-3})$ 。特别地， $(0,j_{-2}-j_{-3})=(0,m_{0})<_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0,m_{1})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,j_{1}-j_{-3})$ 。

由于 $(1,j_{-2}-j_{-3}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,j_1-j_{-3})$ 和 $(0,j_{-2}-j_{-3}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0,m_1) \leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,j_1-j_{-3})$ ，直接祖先的树结构(2)给出 $(1,j_{-2}-j_{-3}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,m_1)$ 。

由于 $\operatorname{Red}(N)$ 满足条件 (A) 和 (B), $j_{-2}-j_{-3} \leq \operatorname{TrMax}(\operatorname{Red}(N))$ , 因此 $\operatorname{Red}(N)_{0,j_{-2}-j_{-3}} = \operatorname{Red}(N)_{1,j_{-2}-j_{-3}}$ 。同样, $\operatorname{Red}(N)$ 满足条件 (A), 且 $(0, j_{-2}-j_{-3}) <_{\operatorname{Red}(N)}^{\operatorname{Next}}(0, m_1)$ 和 $(1, j_{-2}-j_{-3}) <_{\operatorname{Red}(N)}^{\operatorname{Next}}(1, m_1)$ 得到

\[
\mathrm{Red} (N)_{0, m_{1}} = \mathrm{Red} (N)_{0, j_{- 2}-j_{- 3}}-1 = \mathrm{Red} (N)_{1, j_{- 2}-j_{- 3}}-1 = \mathrm{Red} (N)_{1, m_{1}}
\]

从上式可知，“ $j_{-2}-j_{-3}<m_{0}$ ”或“ $j_{-2}-j_{-3}=m_{0}$ 且 $\mathrm{Red}(N)_{0,m_{1}}=\mathrm{Red}(N)_{1,m_{1}}$ 且 $\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N))$ 按降序排列。”

因此， $(D_{M_{1,j-3}}s_{1}^{\prime},c_{2},b_{1}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(N)$ 的scb分解，又由于Trans的(IncrFirst,Red)不变P同质性以及条件(V)下末端段与Trans的关系， $(D_{M_{1,j-2}}s_{1}^{\prime},c_{2},b_{1}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(N^{\prime})$ 的scb分解。

由于 $(1,j_0)\leq_M(1,j_1)$ 不成立，且 $(1,j_{-2}) < _M^{\mathrm{Next}}(1,j_1)$ 和 $(0,j_0) < _M^{\mathrm{Next}}(0,j_1)$ ， $j_{-2} < j_0 < j_1$ 。因此， $j_1-1-j_{-3}\geq j_0-j_{-3} > j_{-2}-j_{-3}\geq 0$ ， $\operatorname{Pred}(\operatorname{Red}(N))$ 为强单项式，这是由于 $\operatorname{Red}(N)$ 对切片的遗传性以及 $\operatorname{Red}(N)$ 的强单项式性质所致。

$\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_{-2}-j_{-3}) = 0$ 且 $j_{-2}-j_{-3} < j_1-1-j_{-3}$ ，因此 $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))}(j_{-2}-j_{-3}) = 0$ 。因此， $j_{-2}-j_{-3} \leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N)))$ 。

令 $J_{0} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))))$ 。

由于 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) < j_{1}-j_{-3}$ ， $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))) = \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))$ ，即 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))) \leq j_{1}-1-j_{-3}$ 。

令 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) < j_{1}-1-j_{-3}$ 。

由于 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) < j_{1}-1-j_{-3}$ ， $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))) = \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))$ ，特别地， $j_{-2}-j_{-3} \leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))) < j_{1}-1-j_{-3}$ 。因此， $J_{0} \geq 0$ 。

$(1,j_{-2}-j_{-3})<_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1}-j_{-3})$ ，因此 $(0,j_{-2}-j_{-3})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,j_{1}-j_{-3})$ ，且 $j_{-2}-j_{-3}<j_{1}-1-j_{-3}$ 以及直接祖先的树结构(1)， $(0,j_{-2}-j_{-3})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,j_{1}-1-j_{-3})$ ，即 $(0,j_{-2}-j_{-3})\leq_{\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))}(0,j_{1}-1-j_{-3})$ 。

由于 $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_{-2}-j_{-3})=0$ 且 $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_{0}-j_{-3})=j_{-1}-j_{-3}$ ，因此 $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))}(j_{-2}-j_{-3})=0$ 且 $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))}(j_{0}-j_{-3})=j_{-1}-j_{-3}$ 。

$\mathrm{Adm}_{\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))}(j_{-2}-j_{-3}) = 0$ ，因此 $j_{-2}-j_{-3}\leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N)))$ 。 $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))} = j_{-1}-j_{-3} > 0$ ，因此 $j_0-j_{-3}\geq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))$ 。

令 $m_{0}^{\prime} := \text{Joints}(\text{Pred}(\text{Red}(N)))_{J_{0}}$ 。

令 $m_{1}^{\prime} := \text{FirstNodes}(\text{Pred}(\text{Red}(N)))_{J_{0}}$ 。

由于 $(0,j_{-2}-j_{-3})\leq_{\mathrm{Pred(Red}(N))}(0,j_1-1-j_{-3})$ 且 $j_{-2}-j_{-3}\leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N)))) < j_1-1-j_{-3}$ ，则 $j_{-2}-j_{-3}\leq m_0^\prime$ 。

如果 $j_{-2}-j_{-3} = m_0'$ ，则 $\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))_{0,m_1'} = \mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))_{1,m_1'}$ ，且 $\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N)))$ 为下降矩阵。

由于 Pred(Red(N)) 为强单项矩阵，因此 Br(Pred(Red(N))) 为下降矩阵。

由于Pred表示为[1]，且 $P$ 与基本列具有关系 $J_{1}-1\leq J_{0}\leq J_{1}$ ，由于FirstNodes和Joints的单调性，

\[
\begin{array}{l} m_{0} = \mathrm{Joints} (\mathrm{Red} (N))_{J_{1}} \leq \mathrm{Joints} (\mathrm{Red} (N))_{J_{0}} = \mathrm{Joints} (\mathrm{Pred} (\mathrm{Red} (N)))_{J_{0}} = m_{0}^{\prime} \\ m_{1} = \mathrm{FirstNodes} (\mathrm{Red} (N))_{J_{1}} \geq \mathrm{FirstNodes} (\mathrm{Red} (N))_{J_{0}} = \mathrm{FirstNodes} (\mathrm{Pred} (\mathrm{Red} (N)))_{J_{0}} = m_{1}^{\prime} \\ \end{array}
\]

$j_{-2}-j_{-3}=m_{0}^{\prime}$ 且 $j_{-2}-j_{-3}\leq m_{0}\leq m_{0}^{\prime}$ ，因此 $j_{-2}-j_{-3}=m_{0}=m_{0}^{\prime}$ ，从而 $\mathrm{Red}(N)_{0,m_{1}}=\mathrm{Red}(N)_{1,m_{1}}$ 且 $\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N))$ 按降序排列。 $\mathrm{Red}(N)$ 满足条件 (A)，因此 $\mathrm{Red}(N)_{0,m_{1}^{\prime}}=\mathrm{Red}(N)_{0,m_{0}^{\prime}}+1=\mathrm{Red}(N)_{0,m_{0}}+1=\mathrm{Red}(N)_{0,m_{1}}$ 。

由于 $m_1' \leq m_1$ 且 $\mathrm{Red}(N)_{0,m_1'} = \mathrm{Red}(N)_{0,m_1}, \mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N))$ 按降序排列，因此 $\mathrm{Red}(N)_{1,m_1'} \geq \mathrm{Red}(N)_{1,m_1} = \mathrm{Red}(N)_{0,m_1} = \mathrm{Red}(N)_{0,m_1'}$ 。另一方面，由于可约性和系数的基本性质， $\mathrm{Red}(N)_{0,m_1'} \geq \mathrm{Red}(N)_{1,m_1'}$ ，因此 $\mathrm{Red}(N)_{0,m_1'} = \mathrm{Red}(N)_{1,m_1'}$ ，即 $\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))(N)_{0,m_1'} = \mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))_{1,m_1'}$ 。

从上式可知，“ $j_{-2}-j_{-3}<m_{0}^{\prime}$ ”或“ $j_{-2}-j_{-3}=m_{0}^{\prime}$ 且 $\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))_{0,m_{1}^{\prime}}=\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))_{1,m_{1}^{\prime}}$ 且 $\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N)))$ 按降序排列。”

因此， $(D_{M_{1,j-3}}s_{1}^{\prime},c_{1},b_{1}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N))$ 的scb分解，而由Trans的(IncrFirst,Red)不变P等变性、Red与Pred的交换性、以及在条件(V)下末端段与Trans的关系可知， $(D_{M_{1,j-2}}s_{1}^{\prime},c_{1},b_{1}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N^{\prime}))$ 的scb分解。

令 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) = j_{1}-1-j_{-3}$ 。

$\mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))) = \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) = j_1-1-j_{-3}$ 。因此， $(D_{M_{1,j_{-3}}}s_1', c_1, b_1')$ 是 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N))$ 的 scb 分解，且由于 Red 与 Pred 的交换性，Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性，以及具有公差 (1,1) 的对序列 Trans 的基本性质， $(D_{M_{1,j_{-2}}}s_1', c_1, b_1')$ 是 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N'))$ 的 scb 分解。

由上可知，在两种情况下， $(D_{M_{1,j-2}}s_{1}^{\prime},c_{1},b_{1}^{\prime})$ 都是 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N^{\prime}))$ 的 scb 分解。

根据 scb 分解的复合律， $(D_{M_{1,j-2}}s_{1}^{\prime}s_{2}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{2}^{\prime}b_{1}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(N^{\prime})$ 的 scb 分解。根据 $L_{j_{1}-j_{-2}}^{\prime}=(M_{0,j_{1}},M_{1,j_{-2}})=(N_{0,j_{1}-j_{-2}}^{\prime},N_{1,0}^{\prime}),\quad j_{-2}<j_{0}$ ，且在条件 (III) 至 (V) 下，右端代换与 Trans 的关系， $(D_{M_{1,j-2}}s_{1}^{\prime}s_{2}^{\prime},D_{M_{1,j-2}}0,b_{2}^{\prime}b_{1}^{\prime})$ 为 $\mathrm{Trans}(L^{\prime})$ 的 scb 分解。

(5)

$s_{1}c_{2}b_{1}=\mathrm{Trans}(M)=s_{0}^{\prime}\mathrm{Trans}(N)b_{0}^{\prime}=s_{0}^{\prime}D_{M_{1,j-3}}s_{1}^{\prime}c_{2}b_{1}^{\prime}b_{0}^{\prime}$ ，因此，由scb分解的唯一性（1）可知， $s_{1}=s_{0}^{\prime}D_{M_{1,j-3}}s_{1}^{\prime}$ 且 $b_{1}=b_{1}^{\prime}b_{0}^{\prime}$ 。

我们利用数学归纳法证明， $\mathrm{Trans}(L_n) = s_0' D_{M_{1,j-3}}(s_1's_2'D_{M_{1,j-2}})^n 0(b_2'b_1')^nb_0'$ 。

令 n = 1。

因为 $\operatorname{Pred}(L_1) = \operatorname{Pred}(M)$ , 根据 Trans 的定义, $s_1^{L_1} = s_1$ 且 $b_1^{L_1} = b_1$ , 且 $(s_2', D_{M_{1,j-2}}0, b_2') = (s_2', \operatorname{Mark}(L_1, j_1), b_2')$ 是 $c_2^{L_1}$ 的 scb 分解,

\[
\mathrm{Trans} (L_{n}) = \mathrm{Trans} (L_{1}) = s_{1}^{L_{1}} c_{2}^{L_{1}} b_{1}^{L_{1}} = s_{1} s_{2}^{\prime} D_{M_{1, j-2}} 0 b_{2}^{\prime} b_{1} = s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j-3}} s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime} D_{M_{1, j-2}} 0 b_{2}^{\prime} b_{1}^{\prime} b_{0}^{\prime}
\]

\[
= s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j-3}} (s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime} D_{M_{1, j-2}})^{n} 0 (b_{2}^{\prime} b_{1}^{\prime})^{n} b_{0}^{\prime}
\]

令 n > 1。

根据归纳假设，

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (L_{n-1}) = s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j-3}} (s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime} D_{M_{1, j-2}})^{n-1} 0 (b_{2}^{\prime} b_{1}^{\prime})^{n-1} b_{0}^{\prime} \\ = (s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j-3}} (s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime} D_{M_{1, j-2}})^{n-2} s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime}) D_{M_{1, j-2}} 0 ((b_{2}^{\prime} b_{1}^{\prime})^{n-1} b_{0}^{\prime}) \\ \end{array}
\]

因此，

\[
\begin{array}{l} \operatorname{Trans} \left(L_{n}\right) = \left(s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j-3}} \left(s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime} D_{M_{1, j-2}}\right)^{n-2} s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime}\right) \operatorname{Trans} \left(L^{\prime}\right) \left(\left(b_{2}^{\prime} b_{1}^{\prime}\right)^{n-1} b_{0}^{\prime}\right) \\ { = } { s_{ 0 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j-3 } } ( s_{ 1 }^{ \prime } s_{ 2 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j-2 } } )^{ n-2 } s_{ 1 }^{ \prime } s_{ 2 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j-2 } } s_{ 1 }^{ \prime } s_{ 2 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j-2 } } 0 b_{ 2 }^{ \prime } b_{ 1 }^{ \prime } ( b_{ 2 }^{ \prime } b_{ 1 }^{ \prime } )^{ n-1 } b_{ 0 }^{ \prime }} \\ = s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j-3}} (s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime} D_{M_{1, j-2}})^{n} 0 (b_{2}^{\prime} b_{1}^{\prime})^{n} b_{0}^{\prime} \\ \end{array}
\]

(6)

设 n=1。

\[
M[n] = \operatorname{Pred} (M),
\]

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (M[n]) = t_{1} = s_{1} c_{1} b_{2} = s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 3}}} s_{1}^{\prime} c_{1} b_{1}^{\prime} b_{0}^{\prime} \\ { = } { s_{ 0 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-3 } } } ( s_{ 1 }^{ \prime } s_{ 2 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } )^{ n-1 } s_{ 1 }^{ \prime } c_{ 1 } b_{ 1 }^{ \prime } ( b_{ 2 }^{ \prime } b_{ 1 }^{ \prime } )^{ n-1 } b_{ 0 }^{ \prime }} \\ \end{array}
\]

令 n > 1。

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (L_{n}) = s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 3}}} (s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 2}}})^{n} 0 (b_{2}^{\prime} b_{1}^{\prime})^{n} b_{0}^{\prime} \\ { = } { ( s_{ 0 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j-3 } } ( s_{ 1 }^{ \prime } s_{ 2 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j-2 } } )^{ n-2 } s_{ 1 }^{ \prime } s_{ 2 }^{ \prime } ) D_{ M_{ 1 , j-2 } } s_{ 1 }^{ \prime } s_{ 2 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j-2 } } 0 b_{ 2 }^{ \prime } b_{ 1 }^{ \prime } ( ( b_{ 2 }^{ \prime } b_{ 1 }^{ \prime } )^{ n-1 } b_{ 0 }^{ \prime } ) } \\ { = } { ( s_{ 0 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-3 } } } ( s_{ 1 }^{ \prime } s_{ 2 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } )^{ n-2 } s_{ 1 }^{ \prime } s_{ 2 }^{ \prime } ) \mathrm{Trans} ( L^{ \prime } ) ( ( b_{ 2 }^{ \prime } b_{ 1 }^{ \prime } )^{ n-1 } b_{ 0 }^{ \prime } ) } \\ \end{array}
\]

我们有

\[
\begin{array}{l} \operatorname{Trans} (M[n]) = \left(s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 3}}} \left(s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 2}}}\right)^{n-2} s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime}\right) \operatorname{Trans} \left(\operatorname{Pred} \left(N^{\prime}\right)\right) \left(\left(b_{2}^{\prime} b_{1}^{\prime}\right)^{n-1} b_{0}^{\prime}\right) \\ = (s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 3}}} (s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 2}}})^{n-2} s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime}) D_{M_{1, j_{- 2}}} s_{1}^{\prime}, c_{1}, b_{1}^{\prime} ((b_{2}^{\prime} b_{1}^{\prime})^{n-1} b_{0}^{\prime}) \\ { = } { s_{ 0 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-3 } } } ( s_{ 1 }^{ \prime } s_{ 2 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{-2 } } } )^{ n-1 } s_{ 1 }^{ \prime } c_{ 1 } b_{ 1 }^{ \prime } ( b_{ 2 }^{ \prime } b_{ 1 }^{ \prime } )^{ n-1 } b_{ 0 }^{ \prime }} \\ \end{array}
\]

证毕。

'''定理 112''' 条件 (III) 或 (IV) 下基本列的基本性质。

对于任意 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ ，使用 Trans 递归定义中引入的符号，如果存在唯一的 $j_{-2} \in \mathbb{N}$ 使得 $(1, j_{-2}) <_{M}^{Next}(1, j_1)$ ，则若 $j_1 > 1$ 且 $M$ 满足条件 (III) 或 (IV)[80]，则有：

(1) $M[n] = M[n+1][1]^{j_1-j_{-2}}$ 。
(2) $Trans(M)[n-1] = Trans(M[n+1][1]^{j_1-1-j_{-2}})$ 。
(3) 存在某个 $(s', c_{1}', c_{2}', b') \in (\Sigma^{<\omega})^{4}$ 使得:

(3-1) $c_{1}^{\prime}$ 和 $c_{2}^{\prime}$ 是单项式，并且 $c_{1}^{\prime} < c_{2}^{\prime}$ 。

(3-2) $(s', c_1', b')$ 是 $Trans(M[n])$ 的 $scb$ 分解。

(3-3) $(s', c_2', b')$ 是 $Trans(M)[n]$ 的 $scb$ 分解。

证明：

由于可约性与系数之间的关系，M 满足条件 (A) 和 (B)。由于 M 满足条件 (A)， $M_{1,j-2} = M_{1,j_1}-1$ 。

由于 M 满足条件 (III) 或 (IV)， $M_{1,j_{0}} \geq M_{1,j_{1}}$ ，因此 $(1,j_{0}) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ 并非成立，因此 $j_{-2} < j_{0}$ 。

令 $j_{-3} := \mathrm{Adm}_{M}(j_{-2})$ 。

令 $N := (M_{j})_{j=j-3}^{j_{1}}$ 。

设 $N' := (M_{j})_{j=j-2}^{j_{1}}$ 。

\[
L^{\prime} := (M_{j})_{j = j_{- 2}}^{j_{1}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} \left((M_{0, j_{1}}, M_{1, j_{- 2}})\right) 。
\]

设 $L_{n} := M[n] \oplus_{N^{2}} ((M_{0,j_{-2}}+n(M_{0,j_{1}}-M_{0,j_{-2}}), M_{1,j_{-2}}))$ 。

由于 Pred 表示为[1],

\[
L_{n} = \mathrm{Pred}^{j_{1}-1-j_{- 2}} (M[n+1]) = M[n+1][1]^{j_{1}-1-j_{- 2}}
\]

\[
M[n] = \mathrm{Pred} (L_{n}) = M[n+1][1]^{j_{1}-j_{- 2}}
\]

令 $j_{-3} = j_{-1}$ 。

在 $j_{-2} < j_{0}$ 以及条件 (III) 至 (V) 下的各种 scb 分解下，存在一个 $(s_{1}^{\prime}, b_{1}^{\prime}) \in (\Sigma^{<\omega})^{2}$ 使得：

(1) $(D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $c_{2}$ 的scb分解。
(4) $\mathrm{Trans}(L_n) = s_1D_{M_{1,j-1}}(s_1^{\prime}D_{M_{1,j-2}})^n0(b_1^{\prime})^nb_1$ 。
(5) Trans(M[n]) = $s_{1}D_{M_{1,j-1}}(s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j-2}})^{n-1}t_{2}(b_{1}^{\prime})^{n-1}b_{1}$ 。

证明 $s_1^{\prime}D_{M_{1,j-2}}t_2b_1^{\prime}\in T_{\mathrm{B}}$ 且 $s_1^{\prime}D_{M_{1,j-2}}t_2b_1^{\prime} > t_2$ 。

如果 M 满足条件 (III)，则 $D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{1}}}0b_{1}^{\prime}=c_{2}=D_{v}(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0)$ 蕴涵 $s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{1}}}0b_{1}^{\prime}=t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0\in T_{B}$ ，因此 $s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{1}}}0b_{1}^{\prime}>t_{2}$ 。

假设 M 满足条件 (IV)。

如果 $t_2$ 最右边单项分量的左端是 $D_{M_{1,j_0}}$ ，则 $t_2 = t_3+D_{M_{1,j_0}}t_4 < t_3+D_{M_{1,j_0}}(t_4+D_{M_{1,j_2}}0)$ 。

如果 $t_2$ 最右边单项分量的左端不是 $D_{M_{1,j_0}}$ ，则 $t_2 = t_3 < t_3+D_{M_{1,j_0}}(t_4+D_{M_{1,j_-2}}0)$ 。

因此，在两种情况下， $t_{2}<t_{3}+D_{M_{1,j_{0}}}(t_{4}+D_{M_{1,j_{-2}}}0)$ 。

$D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{1}}}0b_{1}^{\prime}=c_{2}=D_{v}(t_{3}+D_{M_{1,j_{0}}}(t_{4}+D_{M_{1,j_{1}}}0))$ ，所以 $s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{1}}}0b_{1}^{\prime}=t_{3}+D_{M_{1,j_{0}}}(t_{4}+D_{M_{1,j_{1}}}0)\in T_{B}$ 。因此，由于加法和scb分解之间的关系， $s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j-2}}0b_{1}^{\prime}=t_{3}+D_{M_{1,j_{0}}}(t_{4}+D_{M_{1,j-2}}0)\in T_{B}$ 。

另外，由于在条件 (II) 或 (IV) 下 $t_2$ 不为 0， $t_2 > 0$ ，因此 $D_{M_{1,j-2}} t_2 > D_{M_{1,j-2}} 0$ 。因此，根据子表达式不等式的可扩展性，

\[
s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 2}}} t_{2} b_{1}^{\prime} > s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 2}}} 0 b_{1}^{\prime} = t_{3}+D_{M_{1, j_{0}}} \left(t_{4}+D_{M_{1, j_{- 2}}} 0\right) > t_{2}
\]

令 n = 1。

令 $s' := s_{1}$ 。

令 $c_{1}^{\prime} := c_{1}$ 。

令 $c_{2}^{\prime} := c_{2}$ 。

$c_{1}$ 和 $c_{2}$ 之间的量级关系意味着 $c_{1}^{\prime}$ 和 $c_{2}^{\prime}$ 是单项的，且 $c_{1}^{\prime} < c_{2}^{\prime}$ 。

令 n > 1。

令 $s' := s_{1}D_{M_{1,j-1}}(s_{1}'D_{M_{1,j-2}})^{n-2}s_{1}'$ 。

令 $c_{1}^{\prime} := D_{M_{1,j-2}} t_{2}$ 。

令 $c_{2}^{\prime} := D_{M_{1,j-2}} s_{1}^{\prime} D_{M_{1,j-2}} t_{2} b_{1}^{\prime}$ 。

由于 $s_1^{\prime}D_{M_{1,j-2}}t_2b_1^{\prime}\in T_{\mathrm{B}}$ ，根据定义， $c_{1}^{\prime}$ 和 $c_{2}^{\prime}$ 是单项的。由于 $t_2 < s_1^{\prime}D_{M_{1,j-2}}t_2b_1^{\prime},$ $c_{1}^{\prime} = D_{M_{1,j-1}}t_{2} < D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j-2}}t_{2}b_{1}^{\prime} = c_{2}^{\prime}$ 。

令 $b' := (b_{1}')^{n-1} b_{1}$ 。

根据定义， $(s',c_{1}',b')$ 和 $(s',c_{2}',b)$ 分别是 $\mathrm{Trans}(M[n])$ 和 $\mathrm{Trans}(L_{n})$ 的 scb 分解。

从 Mark 用 Trans 表示可知， $\mathrm{Trans}((M_{j})_{j=j-1}^{j_{1}})=c_{2}=D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{1}}}0b_{1}^{\prime}$ ，因此，从 Trans 与条件 (III) 至 (VI) 下的 scb 分解的关系可知， $(s_{1},D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{1}}}0b_{1}^{\prime},b_{1})$ 是 $\mathrm{Trans}(M)$ 的 1 scb 分解。因此，由 scb 分解与基本列（2）的关系可知，

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (M)[n-1] = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{1}}-1})^{n} 0 (b_{1}^{\prime})^{n} b_{1} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 2}}})^{n} 0 (b_{1}^{\prime})^{n} b_{1} \\ = \mathrm{Trans} (L_{n}) = \mathrm{Trans} (M[n+1][1]^{j_{1}-1-j_{- 2}}) \\ \end{array}
\]

因此， $(s',c_{2}',b')$ 是 $\mathrm{Trans}(M)[n-1]$ 的scb分解。

设 $j_{-3} < j_{-1}$ 。

根据条件 (III) 或 (IV) 下的各种 scb 分解，存在 $(s_{0}^{\prime}, s_{1}^{\prime}, s_{2}^{\prime}, b_{2}^{\prime}, b_{1}^{\prime}, b_{0}^{\prime}) \in (\Sigma^{<\omega})^{6}$ 满足：

(1) $(s_0', \mathrm{Trans}((M_j)_{j = j-3}^{j_1}), b_0')$ 是 $\mathrm{Trans}(M)$ 的 scb 分解。
(2) $(D_{M_{1,j-3}}s_{1}^{\prime},c_{2},b_{1}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}((M_{j})_{j=j-3}^{j_{1}})$ 的scb分解。
(3) $(s_{2}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{2}^{\prime})$ 是 $c_{2}$ 的scb分解。
(5) $\mathrm{Trans}(L_n) = s_0' D_{M_{1,j-3}}(s_1's_2'D_{M_{1,j-2}})^n 0(b_2'b_1')^nb_0'$ .
(6)Trans(M[n]) = $s_{0}^{\prime}D_{M_{1,j_{-3}}}(s_{1}^{\prime}s_{2}^{\prime}D_{M_{1,j_{-2}}})^{n-1}s_{1}^{\prime}c_{1}b_{1}^{\prime}(b_{2}^{\prime}b_{1}^{\prime})^{n-1}b_{0}^{\prime}$ 。令 $s^{\prime} := s_{0}^{\prime}D_{M_{1,j_{-3}}}(s_{1}^{\prime}s_{2}^{\prime}D_{M_{1,j_{-2}}})^{n-1}s_{1}^{\prime}$ 。
令 $c_{1}^{\prime} := c_{1}$ 。

令 $c_{2}^{\prime} := c_{2}$ 。

令 $b' := (b_{2}'b_{1}')^{n-1}b_{0}'$ 。

由于 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 之间存在量级关系， $c_{1}^{\prime}$ 和 $c_{2}^{\prime}$ 均为单项矩阵，且 $c_{1}^{\prime} < c_{2}^{\prime}$ 。

根据定义， $(s',c_{1}',b')$ 和 $(s',c_{2}',b')$ 分别是 $\mathrm{Trans}(M[n])$ 和 $\mathrm{Trans}(L_{n})$ 的 scb 分解。

由 Trans 与条件 (III) 至 (VI) 下的 scb 分解的关系可知， $(s_{0}^{\prime}, \text{Trans}((M_{j})_{j=j-3}^{j_{1}}), b_{0}^{\prime}) = (s_{0}^{\prime}, D_{M_{1,j-3}} s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime} D_{M_{1,j_{1}}} 0 b_{2}^{\prime} b_{1}^{\prime}, b_{0}^{\prime})$ 为 Trans(M) 的第一类 scb 分解。因此，由 scb 分解与基本列（2）的关系可知，

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (M)[n-1] = s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 3}}} (s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime} D_{M_{1, j_{1}}-1})^{n} 0 (b_{2}^{\prime} b_{1}^{\prime})^{n} b_{0}^{\prime} = s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 3}}} (s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime} D_{M_{1, j_{- 2}}})^{n} 0 (b_{2}^{\prime} b_{1}^{\prime})^{n} b_{0}^{\prime} \\ = \mathrm{Trans} (L_{n}) = \mathrm{Trans} (M[n+1][1]^{j_{1}-1-j_{- 2}}) \\ \end{array}
\]

因此， $(s',c_{2}',b')$ 是 $\mathrm{Trans}(M)[n-1]$ 的scb分解。

证毕。

现在，让我们回到正题。

在条件 (III) 或 (IV) 下, Trans 与基本列的交换关系证明:

(1) 由于 Pred $(M[n+1][1]^{j_{1}-1-j_{-2}})=M[n+1][1]^{j_{1}-j_{-2}}$ ，因此，由 Pred 关于 Trans 的下降性质以及条件 (III) 或 (IV) 下基本列的基本性质 (1) 和 (2) 可知。
(2) 由于 $M$ 是单项的，Trans 保留零项性质，因此 $\operatorname{Trans}(M) \neq 0$ 。这直接由 (1)、 $\operatorname{Trans}(M) \neq 0$ 和[Buc1] 引理 3.2 得出。
（3）这是根据 Pred 记为[1]、Pred 相对于 Trans 的下降性质，以及条件 (III) 或 (IV) 下基本列的基本性质 (2) 得出的。证毕。

证毕。

'''定理 113''' 条件 (V) 下 Trans 与基本列的对易关系。

对于任意 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ ，使用 Trans 的递归定义中引入的符号，如果 $j_0$ 是 $M$ 容许的，则 $m_n := n-1$ ；如果 $j_0$ 不是 $M$ 容许的，则如果 $j_1 > 1$ 且 $M$ 满足条件 $(V)$ ，则如下结论成立：

(1) $Trans(M[n]) \leq Trans(M)[m_n]$ 。
(2) $Trans(M[n]) < Trans(M)$ 。
(3) $\text{Trans}(M)[m_{n}] \leq \text{Trans}(M[n+1])$ 。

我们提出一些引理，作为在条件 (V) 下证明 Trans 与基本列之间交换关系的初步尝试。

'''定理 114''' 在条件 (V) 下，Joints、FirstNodes 和 $t_{2}$ 的基本性质。

对于任意 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ , 使用 Trans 递归定义中引入的符号, 设 $N := (M_j)_{j=j-1}^{j_1}$ 且 $J_1 := Lng(Br(Red(N))))-1$ , 则若 $(1, j_0) < _M^{Next}(1, j_1)$ 且 $j_0$ 不满足 $M$ 条件, 且 $j_0 < j_1-1$ , 则以下成立:

(1) $J_{1} \geq 0$ 且 $j_{0}-j_{-1} = \text{Joints}(Red(N))_{J_{1}}$ 且 $FirstNodes(Red(N))_{J_{1}} = j_{1}-j_{-1}$ 。
(2) $Red(N)_{0,j_1-j_-1} = Red(N)_{1,j_1-j_-1} \circ$
(3) $t_2$ 的每个单项式分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_1}}0$ 。

证明：

由于标准形式的约化性，M 是约化的。由于 $j_{0} < j_{1}-1, j_{1} > j_{0}+1 \geq 1$ ，所以 $\mathrm{Pred}(M)$ 不是零项。特别地，由于 Trans 保持零项性质， $t_{1} \neq 0$ 。

因此，条件 (I) 至 (VI) 对 M 有意义。

由于约化性与系数之间的关系，M 满足条件 (A) 和 (B)。M 满足条件 (A)，且 $(0, j_{0}) <_{M}^{\text{Next}}(0, j_{1})$ 和 $(1, j_{0}) <_{M}^{\text{Next}}(1, j_{1})$ ，所以 $M_{0,j_{0}} = M_{0,j_{1}}-1$ 且 $M_{1,j_{0}} = M_{1,j_{1}}-1$ 。因此，M 满足条件 (V)。

设 $N := (M_{j})_{j=j-1}^{j_{1}}$ 。

由于标准形式中通过直系祖先减少切片具有强单项式性质，因此 $\operatorname{Red}(N)$ 也是强单项式的。

从 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变 P 等变性、Mark 在最右边 2 个基点的基本性质以及 Mark 用 Trans 表示可知，

\[
D_{v} (t_{2}+D_{M_{1, j_{1}}} 0) = c_{2} = \mathrm{Mark} (M, j_{- 1}) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} (N))
\]

令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N)))-1$ 。

$(1,j_{0})<_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ 且 $j_{0}<j_{1}-1$ ，所以 $(1,j_{1}-1)<_{M}(1,j_{1})$ 不成立。因此，根据最右边不可接受直系祖先的基本性质， $J_{1}\geq0$ 且 $0<j_{0}-j_{-1}<\operatorname{TrMax}(\operatorname{Br}(\operatorname{Red}(N)))$ 且 $j_{0}-j_{-1}=\operatorname{Joints}(\operatorname{Red}(N))_{J_{1}}$ 且 FirstNodes( $\operatorname{Red}(N)=j_{1}-j_{-1}$ 。

对于任意 $i \in 0,1$ ， $(i,j_0-j_{-1}) < _N^{\text{Next}}(i,j_1)$ 蕴涵 $(i,j_0-j_{-1}) < _N^{\text{Next}}(i,j_1-j_{-1})$ ，且根据直系祖先的 Red 不变性， $(i,j_0-j_{-1}) < _{\text{Red}(N)}^{\text{Next}}(i,j_1-j_{-1})$ 。

根据可约性与系数的关系， $\mathrm{Red}(N)$ 满足条件 (A) 和 (B)。由于 $\mathrm{Red}(N)$ 满足条件 (A) 和 (B) 且 $j_0-j_{-1} < \mathrm{TrMax}(\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N)))$ ，因此 $\mathrm{Red}(N)_{0,j_0-j_{-1}} = \mathrm{Red}(N)_{1,j_0-j_{-1}}$ ，又由于 $\mathrm{Red}(N)$ 满足条件 (A) 且 $(0,j_0-j_{-1}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0,j_1-j_{-1})$ 和 $(1,j_0-j_{-1}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,j_1-j_{-1})$

\[
\mathrm{Red} (N)_{0, j_{1}-j_{- 1}} = \mathrm{Red} (N)_{0, j_{0}-j_{- 1}}+1 = \mathrm{Red} (N)_{1, j_{0}-j_{- 1}}+1 = \mathrm{Red} (N)_{1, j_{1}-j_{- 1}}
\]

由于 $0 < j_0-j_{-1} < \mathrm{TrMax}(\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N)))$ 且 $\mathrm{Red}(N)_{0,j_1-j_{-1}} = \mathrm{Red}(N)_{1,j_1-j_{-1}},\mathrm{Trans}(\mathrm{Red}(N)) = D_v(t_2+D_{M_{1,j_1}}0)$ 及强单项式性质下子表示的单项式分量的基本性质， $t_2+D_{M_{1,j_1}}0$ 的每个单项式分量均大于等于 $D_{\mathrm{Red}(N)_{1,j_1-j_{-1}}}0$ 。

根据直系祖先的切片以及 Red 与 IncrFirst 的关系， $\mathrm{Red}(N)_{1,j_{1}} = M_{1,j_{1}}$ ，因此 $t_{2}$ 的每个单项式分量均大于等于 $D_{M_{1,j_{1}}}0$ 。

证毕。

'''定理 115''' 条件 (V) 下的各种 scb 分解。

对于任意 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ ，利用 Trans 递归定义中引入的符号，设 $N' := (M_j)_{j=j_0}^{j_1}$ ，设 $L' := (M_j)_{j=j_0}^{j_1-1} \oplus_{\mathbb{N}^2} ((M_{0,j_1}, M_{1,j_0}))$ ，设 $L_n := M[n] \oplus_{\mathbb{N}^2} ((M_{0,j_0} +$

$n(M_{0,j_{1}}-M_{0,j_{0}}),M_{1,j_{0}})$ ，若 $j_{1}>1$ ，且 M 满足条件 (V)，且 $j_{0}$ 为非 M 可接受的，则存在唯一的 $(s_{1}^{\prime},b_{1}^{\prime})\in(\Sigma^{<\omega})^{2}$ 使得：

(1) $(D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_1}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $c_{2}$ 的scb分解。
(2) $(D_{M_{1,j_0}}s_1', D_{M_{1,j_1}}0, b_1')$ 和 $(D_{M_{1,j_0}}s_1', D_{M_{1,j_0}}0, b_1')$ 分别是 $Trans(N')$ 和 $Trans(L')$ 的 $scb$ 分解。
(3) $Trans(Pred(N')) = D_{M_{1,j_0}}t_2$ 。
(4) $Trans(L_{n}) = s_{1}D_{M_{1,j_{-1}}}(s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{0}}})^{n+1}0(b_{1}^{\prime})^{n+1}b_{1}\circ$
(5) $Trans(M[n]) = s_1D_{M_{1,j_{- 1}}}(s_1^{\prime}D_{M_{1,j_0}})^{n}t_{2}(b_{1}^{\prime})^{n}b_{1}\circ$

证明：

下文中，我们将毫无保留地运用条件 (III) 至 (VI) 下展开规则的基本性质。

由于 M 满足条件 (V)， $M_{1,j_{0}} < M_{1,j_{0}}+1 = M_{1,j_{1}}$ 。因此， $(1,j_{0}) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ 。根据条件 (III) 至 (V) 下切片的 scb 分解，存在唯一的 $(s_{1}', b_{1}') \in (\Sigma^{<\omega})^{2}$ 满足：

(1) $(D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $c_{2}$ 的scb分解。
(2) $(D_{M_{1,j_{0}}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(N^{\prime})$ 的scb分解。
(3) $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N')) = D_{M_{1,j_0}}t_2$ 。

由上式可知 (1) 和 (3)。

(2)

设 $N := (M_{j})_{j=j-1}^{j_{1}}$ 。

由于 $\mathrm{Red}(N)$ 是强单项式，这是由于标准形式的直系祖先函数对切片约化的强单项式性质所致，因此 $\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N))$ 为降序。

由右边第二个基点处 Mark 的基本性质, 以及 Mark 关于 Trans 的表示可知, $\mathrm{Trans}(N)=\mathrm{Mark}(M,j_{-1})=c_{2}$ ，因此 $(D_{M_{1,j_{-1}}}s_{1}^{\prime}, D_{M_{1,j_{1}}}0, b_{1}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(N)$ 的 scb 分解。

令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N))))-1$ 。

由于 $M$ 满足条件 (V)， $j_0+1 < j_1$ ，即 $j_0 < j_1-1$ 。因此，由条件 (V) 下 Joints、FirstNodes 和 $t_2$ 的基本性质可知：

(1) $J_{1} \geq 0$ 且 $j_{0}-j_{-1} = \mathrm{Joints}(\mathrm{Red}(N))_{J_{1}}$ 且 $\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Red}(N))_{J_{1}} = j_{1}-j_{-1}$ 。
(2) $\operatorname{Red}(N)_{0,j_1-j_{-1}} = \operatorname{Red}(N)_{1,j_1-j_{-1}}$ 。

由于 $\mathrm{Red}(N)_{0,j_{1}-j_{-1}}=\mathrm{Red}(N)_{1,j_{1}-j_{-1}}$ 且 $\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N))$ 为降序，因此 $(D_{M_{1,j_{-1}}}s_{1}^{\prime}, D_{M_{1,j_{1}}}0, b_{1}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(N)$ 的 scb 分解，又由于条件 (V) 下末端段与 Trans 的关系，因此 $(D_{M_{1,j_{0}}}s_{1}^{\prime}, D_{M_{1,j_{1}}}0, b_{1}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(N^{\prime})$ 的 scb 分解。

由于 $(1,j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_1)$ 且 $L_{j_1-j_0}' = (M_{0,j_1},M_{1,j_0}) = (N_{0,j_1-j_0}',N_{1,0}')$ ，因此 $(D_{M_{1,j_0}}s_1',D_{M_{1,j_1}}0,b_1')$ 是 $\operatorname {Trans}(N')$ 的scb分解。另外，由于条件(III)至(V)下右端代换与Trans之间的关系，因此 $(D_{M_{1,j_0}}s_1',D_{M_{1,j_0}}0,b_1')$ 是 $\operatorname {Trans}(L')$ 的scb分解。

(4)

由于标准形式的可约性，M 可约。由于可约性与系数之间的关系，M 满足条件 (A) 和 (B)。M 满足条件 (A)，且 $(0,j_{0})<_{M}^{\text{Next}}(0,j_{1})$ 和 $(1,j_{0})<_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ ，因此 $M_{0,j_{0}}=M_{0,j_{1}}-1$ ， $M_{1,j_{0}}=M_{1,j_{1}}-1$ 。

我们利用关于 n 的数学归纳法证明， $\mathrm{Trans}(L_{n})=s_{1}D_{M_{1,j-1}}(s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{0}}})^{2n}0(b_{1}^{\prime})^{2n}b_{1}$ 。

设 n = 1。

Trans 的递归定义中引入的符号也适用于 $L_{1}$ ，为了清楚地表明这是对 $L_{1}$ 的应用，我们将 $L_{1}$ 写为 $L_{1}$ ，并在其右侧加上 $L_{1}$ 。

根据 $L_{1}$ 的定义，对 $\leq_{L_1}$ 和 $\leq_M$ 的限制与对 $(\{0,1\} \times \mathbb{N})\setminus \{(1,j_1)\}$ 的限制相同。 $j_1^{J_1} = j_1$ 且由于 $(0,j_0) < _M^{\mathrm{Next}}(0,j_1),(0,j_0) < _L^{\mathrm{Next}}(0,j_1) = (0,j_1^{L_1}),j_0^{L_1} = j_0$ 且 $(L_{1})_{1,j_{0}^{L_{1}}} = (L_{1})_{1,j_{0}} = M_{1,j_{0}} = (L_{1})_{1,j_{1}} = (L_{1})_{1,j_{1}^{L_{1}}}$ 。

$j_{-1}^{L_1} = j_{-1}$ ，且由于 $j_0$ 不是 $M$ 可接受的， $j_0^{L_1} = j_0 > j_{-1} = j_{-1}^{L_1}$ ，所以 $j_0^{L_1}$ 不是 $L_{1}$ 可接受的。

$\operatorname{Pred}(L_1) = \operatorname{Pred}(M)$ ，因此 $t_1^{L_1} = t_1 \neq 0$ 、 $c_1^{L_1} = c_1$ 、 $t_2^{L_1} = t_2$ 、 $s_1^{L_1} = s_1$ ，且 $b_1^{L_1} = b_1$ 。由于 $t_1^{L_1} \neq 0$ ，条件 (I) 至 (VI) 对 $L_1$ 有意义。

由于 M 不满足条件 (VI) 且 $j_{0}$ 不为 M 可接受，因此 $L_{1}$ 满足条件 (II) 或 (IV)。

根据 Mark 左端的基本性质， $v^{L_{1}}=(L_{1})_{1,j_{-1}^{L_{1}}}=M_{1,j_{-1}}$ 。

由于 $(1,j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_1)$ 且 $j_0$ 不是 $M$ 容许的，且 $j_0 < j_1-1$ ，根据条件 (V) 下Joints、FirstNodes和 $t_2$ 的基本性质， $t_2$ 的每个单例分量均大于或等于 $D_{M_{1,j_1}}0$ 。此外，由于 $(L_1)_{1,j_0^{L_1}} = M_{1,j_0} = M_{1,j_1}-1 < M_{1,j_1}$ ，因此 $t_2^{L_1} = t_2$ 的最右边单例分量的最左边分量不为 $D_{(L_1)_{1,j_0^{L_1}}}$ 。因此， $t_3^{L_1} = t_2^{L_1} = t_2$ 且 $t_4^{L_1} = t_2^{L_1} = t_2$ ，且

\[
c_{2}^{L_{1}} = D_{v^{L_{1}}} (t_{3}^{L_{1}}+D_{(L_{1})_{1, j_{0}^{L_{1}}}} (t_{4}^{L_{1}}+D_{(L_{1})_{1, j_{1}^{L_{1}}}} 0)) = D_{M_{1, j_{- 1}}} (t_{2}+D_{M_{1, j_{0}}} (t_{2}+D_{M_{1, j_{0}}} 0))
\]

$(D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $c_{2}=D_{v}(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0)$ 的scb分解,因此 $(D_{M_{1,j_{0}}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $D_{M_{1,j_{0}}}(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0)$ 的scb分解。

从加法和 scb 分解的关系可知， $(D_{M_{1,j_{0}}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{0}}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $D_{M_{1,j_{0}}}(t_{2}+(D_{M_{1,j_{0}}}0)$ 的 scb 分解，而 $(D_{M_{1,j_{-1}}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{0}}}s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{0}}}0b_{1}^{\prime},b_{1}^{\prime})$ 是 $c_{2}^{L_{1}}=D_{M_{1,j_{-1}}}(t_{2}+D_{M_{1,j_{0}}}(t_{2}+D_{M_{1,j_{0}}})0))$ 的 scb 分解。

由上式可知，

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (L_{n}) = \mathrm{Trans} (L_{1}) = s_{1}^{L_{1}} c_{2}^{L_{1}} b_{1}^{L_{1}} = s_{1} D_{M_{1, j-1}} s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}} s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}} 0 b_{1}^{\prime} b_{1}^{\prime} b_{1} \\ = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n+1} 0 (b_{1}^{\prime})^{n+1} b_{1} \\ \end{array}
\]

令 n > 1。

由归纳推理假设，

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (L_{n-1}) = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n} 0 (b_{1}^{\prime})^{n} b_{1} \\ = (s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n-1} s_{1}^{\prime}) D_{M_{1, j_{0}}} 0 ((b_{1}^{\prime})^{n} b_{1}) \\ \end{array}
\]

因此，

\[
\begin{array}{l} \operatorname{Trans} (L_{n}) = (s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n-1} s_{1}^{\prime}) \operatorname{Trans} (L^{\prime}) ((b_{1}^{\prime})^{n} b_{1}) \\ = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n-1} s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}} s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}} 0 b_{1}^{\prime} (b_{1}^{\prime})^{n} b_{1} \\ = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n+1} 0 (b_{1}^{\prime})^{n+1} b_{1} \\ \end{array}
\]

设 n = 1。

$M[n]=\mathrm{Pred}(M)$ ，因此

\[
\mathrm{Trans} (M[n]) = t_{1} = s_{1} c_{1} b_{2} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} t_{2} b_{1}
\]

\[
{ = } s_{ 1 } D_{ M_{ 1 , j_{-1 } } } ( s_{ 1 }^{ \prime } D_{ M_{ 1 , j_{ 0 } } } )^{ 2 n-2 } t_{ 2 } ( b_{ 1 }^{ \prime } )^{ 2 n-2 } b_{ 1 }
\]

令 n > 1。

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (L_{n}) = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n+1} 0 (b_{1}^{\prime})^{n+1} b_{1} \\ = (s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n-1} s_{1}^{\prime}) D_{M_{1, j_{0}}} s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}} 0 b_{1}^{\prime} ((b_{1}^{\prime})^{n} b_{1}) \\ = \left(s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n-1} s_{1}^{\prime}\right) \mathrm{Trans} (L^{\prime}) ((b_{1}^{\prime})^{n} b_{1}) \\ \end{array}
\]

于是

\[
\begin{array}{l} \operatorname{Trans} (M[n]) = \left(s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} \left(s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}}\right)^{n-1} s_{1}^{\prime}\right) \operatorname{Trans} \left(\operatorname{Pred} \left(N^{\prime}\right)\right) \left(\left(b_{1}^{\prime}\right)^{n} b_{1}\right) \\ = \left(s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n-1} s_{1}^{\prime}\right) D_{M_{1, j_{0}}} t_{2} ((b_{1}^{\prime})^{n} b_{1}) \\ = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n} t_{2} (b_{1}^{\prime})^{n} b_{1} \\ \end{array}
\]

证毕。

'''定理 116''' 条件 (V) 下基本列的 scb 分解。

对于任意 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ ，使用 Trans 递归定义中引入的符号，如果 $j_0$ 满足 $M$ 容许，则 $m_n := n-1$ ；如果 $j_0$ 不满足 $M$ 容许，则如果 $j_1 > 1$ 且 $M$ 满足条件 $(V)$ ，则存在唯一的 $u \in \mathbb{N}$ 、 $(s_0', b_0') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 和 $t' \in T_B$ 满足：

(1) $(s_{0}^{\prime},D_{u}t_{2},b_{0}^{\prime})$ 是 $Trans(M[n])$ 的scb分解。
(2) $(s_0', D_u(t_2+D_{M_{1,j_0}}0), b_0')$ 是 $Trans(M)[m_n]$ 的 $scb$ 分解。
(3) $(s_0', D_u(t_2+D_{M_{1,j_0}}t'), b_0')$ 是 $Trans(M[n+1])$ 的 $scb$ 分解。

证明：

由于 M 满足条件 (V)， $M_{1,j_{0}} < M_{1,j_{0}}+1 = M_{1,j_{1}}$ 。因此， $(1,j_{0}) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ 。

证明对于任何 $(s_1', b_1') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ ，如果 $(D_{M_{1,j-1}} s_1', D_{M_{1,j_1}} 0, b_1')$ 是 $c_2$ 的 scb 分解，则 $\mathrm{Trans}(M)[m_n] = s_1 D_{M_{1,j-1}} (s_1' D_{M_{1,j_0}})^{m_n+1} 0(b_1')^{m_n+1} b_1$ 且对于任何 $t' \in T_B$ ， $s_1' D_{M_{1,j_0}} t'b_1' = t_2+D_{M_{1,j_0}} t'$ 。

由条件(III)至(VI)下 Trans 与 scb 分解的关系可知, $(s_{1},c_{2},b_{1})=(s_{1},D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{1}}}0b_{1}^{\prime},b_{1})$ 为 Trans(M) 的第一类 scb 分解，又由 scb 分解与基本列（2）的关系可知，

\[
\mathrm{Trans} (M)[m_{n}] = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{1}}}-1)^{m_{n}+1} 0 (b_{1}^{\prime})^{m_{n}+1} b_{1} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{m_{n}+1} 0 (b_{1}^{\prime})^{m_{n}+1} b_{1}
\]

$D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{1}}}0b_{1}^{\prime}=c_{2}=D_{v}(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0)$ ，因此 $s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{1}}}0b_{1}^{\prime}=t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0$ 。因此，根据加法和scb分解之间的关系， $t_{2}+D_{M_{1,j_{0}}}t^{\prime}=s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{0}}}t^{\prime}b_{1}^{\prime}$ 。

假设 $j_{0}$ 是 M 可接受的。

通过条件 (III) 至 (V) 下的各种 scb 分解，存在唯一的 $(s_{1}^{\prime}, b_{1}^{\prime}) \in (\Sigma^{<\omega})^{2}$ 满足：

(1) $(D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_1}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $c_{2}$ 的scb分解。
(5) $\mathrm{Trans}(M[n]) = s_1D_{M_{1,j-1}}(s_1^{\prime}D_{M_{1,j_0}})^{n-1}t_2(b_1^{\prime})^{n-1}b_1$ 。
(5) 'Trans(M[n+1]) = $s_1 D_{M_{1,j-1}} (s_1' D_{M_{1,j_0}})^n t_2 (b_1')^n b_1$ 。

令 n = 1。

令 $u := M_{1,j-1}$ 。

令 $s_{0}^{\prime} := s_{1}$ 。

令 n > 1。

令 $u := M_{1,j_{0}}$ 。

令 $s_0' := s_1 D_{M_{1,j-1}}(s_1' D_{M_{1,j_0}})^{n-2} s_1'$ 。

令 $b_{0}^{\prime} := (b_{1}^{\prime})^{n-1} b_{1}$ 。

令 $t' := t_{2}$ 。

如前所述， $\mathrm{Trans}(M)[m_n] = s_1D_{M_{1,j-1}}(s_1'D_{M_{1,j_0}})^{m_n+1}0(b_1')^{m_n+1}b_1$ 且 $s_1'D_{M_{1,j_0}}0b_1' = t_2+D_{M_{1,j_0}}0$ 且 $s_1'D_{M_{1,j_0}}t'b_1' = t_2+D_{M_{1,j_0}}t'$ 。因此

\[
\operatorname{Trans} (M[n]) = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} \left(s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}}\right)^{n-1} t_{2} \left(b_{1}^{\prime}\right)^{n-1} b_{1} = s_{0}^{\prime} D_{u} t_{2} b_{0}^{\prime}
\]

\[
\mathrm{Trans} (M)[m_{n}] = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n} 0 (b_{1}^{\prime})^{n} b_{1} = s_{0}^{\prime} D_{u} (t_{2}+D_{M_{1, j_{0}}} 0) b_{0}^{\prime}
\]

\[
\mathrm{Trans} (M[n+1]) = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n} t_{2} (b_{1}^{\prime})^{n} b_{1} = s_{0}^{\prime} D_{u} (t_{2}+D_{M_{1, j_{0}}} t^{\prime}) b_{0}^{\prime}
\]

假设 $j_{0}$ 不满足 M 容许条件。

在条件 (V) 下，存在唯一的 $(s_{1}^{\prime}, b_{1}^{\prime}) \in (\Sigma^{<\omega})^{2}$ 满足以下条件：

(1) $(D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $c_{2}$ 的scb分解。

(5) Trans(M[n]) = $s_{1}D_{M_{1,j-1}}(s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{0}}})^{n}t_{2}(b_{1}^{\prime})^{n}b_{1}$ 。

(5) 'Trans(M[n+1]) = $s_1 D_{M_{1,j-1}}(s_1' D_{M_{1,j_0}})^{n+1} t_2(b_1')^{n+1} b_1$ 。

令 $u := M_{1,j_{0}}$ 。

令 $s_0' := s_1 D_{M_{1,j-1}}(s_1' D_{M_{1,j_0}})^{n-1} s_1'$ 。

设 $b_{0}^{\prime} := (b_{1}^{\prime})^{n} b_{1}$ 。

设 $t_{0}^{\prime} := t_{2}+D_{M_{1,j_{0}}} t_{2}$ 。

如前所述， $\mathrm{Trans}(M)[m_n] = s_1D_{M_{1,j-1}}(s_1'D_{M_{1,j_0}})^{m_n+1}0(b_1')^{m_n+1}b_1$ 且 $s_1'D_{M_{1,j_0}}0b_1' = t_2+D_{M_{1,j_0}}0$ 且 $s_1'D_{M_{1,j_0}}t_2b_1' = t_2+D_{M_{1,j_0}}t_2 = t'$ 。因此

\[
\operatorname{Trans} (M[n]) = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} \left(s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}}\right)^{n} t_{2} \left(b_{1}^{\prime}\right)^{n} b_{1} = s_{0}^{\prime} D_{u} t_{2} b_{0}^{\prime}
\]

\[
\mathrm{Trans} (M)[m_{n}] = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n+1} 0 (b_{1}^{\prime})^{n+1} b_{1} = s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}} (t_{2}+D_{M_{1, j_{0}}} 0) b_{0}^{\prime}
\]

\[
\mathrm{Trans} (M[n+1]) = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n+2} t_{2} (b_{1}^{\prime})^{n+2} b_{1} = s_{0}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}} (t_{2}+D_{M_{1, j_{0}}} t_{0}^{\prime}) b_{0}^{\prime}
\]

证毕。

现在，让我们回到正题。

在条件 (V) 下，证明 Trans 与基本列的交换关系:

由于 $M$ 是单项的，Trans 保留零终端性，因此 $\operatorname{Trans}(M) \neq 0$ 。因此，(2) 可由 (1) 和[Buc1] 引理 3.2 直接得出。下面，我们给出 (1) 和 (3) 的证明。

在条件 (V) 下, 通过基本列的 scb 分解, 存在唯一的 $u \in \mathbb{N}$ 、 $(s_0', b_0') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 和 $t' \in T_{\mathrm{B}}$ 满足:

(1) $(s_{0}^{\prime},D_{u}t_{2},b_{0}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(M[n])$ 的scb分解。
(2) $(s_0', D_u(t_2+D_{M_{1,j_0}}0), b_0')$ 是 $\operatorname{Trans}(M)[m_n]$ 的 $\operatorname{scb}$ 分解。
(3) $(s_{0}^{\prime},D_{u}(t_{2}+D_{M_{1,j_{0}}}t^{\prime}),b_{0}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(M[n+1])$ 的scb分解。

由于 $t_{2}<t_{2}+D_{M_{1,j_{0}}}0\leq t_{2}+D_{M_{1,j_{0}}}t'$ ，根据子表示不等式的可扩展性， $\mathrm{Trans}(M[n])<\mathrm{Trans}(M)[m_{n}]\leq\mathrm{Trans}(M[n+1])$ 。

假设 $j_{0}$ 不是 M 可接受的。

在条件 (V) 下，从各种 scb 分解中，存在唯一的 $(s_{1}^{\prime}, b_{1}^{\prime}) \in (\Sigma^{<\omega})^{2}$ 满足：

(1) $(D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $c_{2}$ 的scb分解。

(5) Trans(M[n]) = $s_{1}D_{M_{1,j-1}}(s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{0}}})^{n}t_{2}(b_{1}^{\prime})^{n}b_{1}$ 。
(5) ' Trans(M[n+1]) = $s_{1}D_{M_{1,j-1}}(s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{0}}})^{n+1}t_{2}(b_{1}^{\prime})^{n+1}b_{1}$ .

\[
\mathrm{Trans} (M[n]) = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n} t_{2} (b_{1}^{\prime})^{n} b_{1}
\]

\[
\mathrm{Trans} (M)[m_{n}] = s_{1} D_{M_{1, j-1}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n+1} 0 (b_{1}^{\prime})^{n+1} b_{1} = s_{1} D_{M_{1, j-1}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n} s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}} 0 b_{1}^{\prime} (b_{1}^{\prime})^{n} b_{1}
\]

并且因为 $t_2 < s_1' D_{M_{1,j_0}} 0b_1'$ ，通过扩展子表达式不等式， $\mathrm{Trans}(M[n]) < \mathrm{Trans}(M)[m_n]$ 。

$s_1^{\prime}D_{M_{1,j_0}}0b_1^{\prime}\in T_{\mathrm{B}}$ ，且scb分解的可替代性给出 $s_1^{\prime}D_{M_{1,j_0}}t_2b_1^{\prime}\in T_{\mathrm{B}}$ ，且

\[
\mathrm{Trans} (M)[m_{n}] = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n+1} 0 (b_{1}^{\prime})^{n+1} b_{1}
\]

\[
\mathrm{Trans} (M[n+1]) = s_{1} D_{M_{1, j-1}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n+2} t_{2} (b_{1}^{\prime})^{n+2} b_{1} = s_{1} D_{M_{1, j-1}} (s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}})^{n+1} s_{1}^{\prime} D_{M_{1, j_{0}}} t_{2} b_{1}^{\prime} (b_{1}^{\prime})^{n+1} b_{1}
\]

又，由于 $0 \leq s_1' D_{M_{1,j_0}} t_2 b_1'$ ，根据子表达式不等式的可扩展性， $\mathrm{Trans}(M)[m_n] \leq \mathrm{Trans}(M[n+1])$ 。

证毕。

'''定理 117''' 在条件 (VI) 下，Trans 与基本列的对易关系。

对于任意 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ ，使用 Trans 递归定义中引入的符号，如果 $j_0$ 满足 $M$ 容许，则 $m_n := n-2$ ；如果 $j_0$ 不满足 $M$ 容许，则如果 $j_1 > 1$ 且 $M$ 满足条件 (VI)，则如下结论成立：

(1) 若 $m_{n} = -1$ ，则存在某个 $k \in \mathbb{N}$ 使得 $1 < k \leq M_{1,j_1}+1$ 且 $Trans(M[n]) = Trans(M)[0]^k$ 。
(2) 若 $m_{n} \geq 0$ ，则 $\text{Trans}(M[n]) = \text{Trans}(M)[m_{n}]$ 。
(3) $Trans(M[n]) < Trans(M)$ 。

我们提出一些引理，作为在条件 (VI) 下证明 Trans 与基本列之间交换关系的前提。

'''定理 118''' 公差为 $(1,0)$ 的数列 Trans 的基本性质。

对于任意 $u, m, j_1 \in \mathbb{N}$ , 设 $M := ((m+j, u))_{j=0}^{j_1} \in T_{PS}$ , 则

\[
T r a n s (M) = \left\{ \begin{array}{l l} 0 & (j_{1} = 0 \land u = 0) \\ D_{u}^{j_{1}+1} 0 & (j_{1} > 0 \lor u > 0) \end{array} \right.
\]

证明：

$((u+j, u))_{j=0}^{j_1}$ 满足条件 (A) 和 (B)，因此根据约化率与系数之间的关系，它是约化的。因此，由于 Red 的 IncrFirst 不变性，

\[
\operatorname{Red} (M) = \operatorname{Red} (\operatorname{IncrFirst}^{u} (M)) = \operatorname{Red} (\operatorname{IncrFirst}^{m} (((u+j, u))_{j = 0}^{j_{1}})) = \operatorname{Red} (((u+j, u))_{j = 0}^{j_{1}}) = ((u+j, u))_{j = 0}^{j_{1}}
\]

这可以通过对 $j_{1}$ 进行数学归纳法得到。

令 $j_{1}=0$ 。

根据 Trans 的递归定义，

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (M) = \mathrm{Trans} ((m, u)) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} ((m, u))) = \mathrm{Trans} ((u, u)) \\ = \left\{ \begin{array}{l l} 0 & (u = 0) \\ D_{u} 0 & (u > 1) \end{array} \right. \\ \end{array}
\]

设 $j_{1}=1$ 。

从 2-序列对序列的基本性质以及 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性和 P 等变性可知，

\[
\mathrm{Trans} (M) = \mathrm{Trans} ((m, u), (m+1, u)) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} ((m, u), (m+1, u))) = \mathrm{Trans} ((u, u), (u+1, u)) = D_{u} D_{u} 0 =
\]

令 $j_{1} > 1$ 。

$\operatorname{Red}(M) = ((j, u))_{j=0}^{j_1}$ 既可约又单项。Trans 的递归定义中引入的符号是针对 $\operatorname{Red}(M)$ 定义。

根据归纳假设，Trans(Pred(M)) = $D_{u}^{j_{1}}0$ 。

由于 Red 和 Pred 的交换性，以及 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性，我们有

\[
t_{1} = \mathrm{Trans} (\mathrm{Pred} (\mathrm{Red} (M))) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} (\mathrm{Pred} (M))) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Pred} (M)) = D_{u}^{j_{1}} 0 \neq 0
\]

因此，条件 (I) 至 (VI) 对 $\mathrm{Red}(M)$ 有意义。 $j_{0}=j_{1}-1$ 且 $j_{-1}=j_{0}$ 。

如果 u = 0，则 M 满足条件 (I)。

如果 u > 0，则 M 满足条件 (III)。

因此，无论哪种情况，M 都满足条件 (I) 或 (III)。

由于可约化为切片的遗传性， $\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(M))$ 是可约的，因此，由于Mark在最右边1个基点的基本性质， $c_{1} = \mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(M)), j_{-1}) = \mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(M)), j_{1}-1) = D_{u}0$ 。

由于 $t_{1}=D_{u}^{j_{1}}0$ 且 $c_{1}=D_{u}0,\quad s_{1}=D_{u}^{j_{1}-1}$ 且 $b_{1}=()$ 。

$D_{v}t_{2}=c_{1}=D_{u}0$ ，因此 v=u 且 $t_{2}=0$ 。

M 满足条件 (I) 或 (III)，因此 $c_{2}=D_{v}(t_{2}+D_{u}0)=D_{u}D_{u}0=D_{u}^{2}0$ 。

因此，根据 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性，即 P 等变性，

\[
\operatorname{Trans} (M) = \operatorname{Trans} (\operatorname{Red} (M)) = s_{1} c_{2} b_{1} = D_{u}^{j_{1}-1} D_{u}^{2} 0 = D_{u}^{j_{1}+1} 0
\]

证毕。

'''定理 119''' 公差为 $(1,1)$ 的序列 Trans 的展开规则。

对于任意 $u, j_1 \in \mathbb{N}$ 和 $n \in \mathbb{N}_+$ ，令 $M := ((u+j, u+j))_{j=0}^{j_1} \in T_{PS}$ 。如果 $j_1 > 1$ ，则 $Trans(M[n]) = D_u D_{u+j_1-1}^n 0$ 。

证明：

M 满足条件 (A) 和 (B)，因此由于约化率与系数之间的关系，M 是约化的。 $M[n]$ 也是约化的，因为约化率对于基本列保持不变。

从 $(1,j_{1}-1)<_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1})$

\[
M[n] = (M_{j})_{j = 0}^{j_{1}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} ((M_{0, j_{1}-1}+j, M_{1, j_{1}-1}))_{j = 1}^{n-1} = (M_{j})_{j = 0}^{j_{1}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} ((u+j_{1}-1+j, u+j_{1}-1))_{j = 1}^{n-1}
\]

且 $\mathrm{Lng}(M[n])-1=j_{1}-2+n$ 。

如果 $n = 1$ ，则 $j_{1}-1 = \mathrm{Lng}(M[n])-1$ ，因此 $j_{1}-1$ 是 $M[n]$ 容许的。

如果 $n > 1$ ，则 $j_{1}-1 < \mathrm{Lng}(M[n])-1$ 且 $M[n]_{1,j_1-1} = M_{1,j_1-1} = M[n]_{1,j_1}$ ，因此 $(1,j_{1}-1) < _{M[n]}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1})$ 不成立，因此 $j_{1}-1$ 是 $M[n]$ 容许的。

由上可知，无论哪种情况， $j_{1}-1$ 都是 M[n] 容许的。

$(M[n]_{j})_{j=0}^{j_{1}-1}=(M_{j})_{j=0}^{j_{1}-1}=((u+j,u+j))_{j=0}^{j_{1}-1}$ ，因此，根据 $j_{1}>1$ 且公差 (1,1) 的对序列的 Trans 的基本性质，

\[
\mathrm{Trans} ((M[n]_{j})_{j = 0}^{j_{1}-1}) = D_{u} D_{u+j_{1}-1} 0
\]

因为 $(M[n]_j)_{j = j_1-1}^{j_1-2+n} = ((u+j_1-1+j, u+j_1-1))_{j = 1}^{n-1}$ ，由 $j_1 > 1$ 且公差 $(1,0)$ 的对序列的 Trans 的基本性质， $\mathrm{Trans}((M[n]_j)_{j = j_1-1}^{j_1-2+n}) = D_{u+j_1-1}^n 0$ 。因此，由 Mark 乘以 Trans 的表达式可知，

\[
\mathrm{Mark} (M[n], j_{1}-1) = \mathrm{Trans} ((M[n]_{j})_{j = j_{1}-1}^{j_{1}-2+n}) = D_{u+j_{1}-1}^{n} 0
\]

证毕。

'''定理 120''' 序数项的最后一个单项式消失的可能性。

对于任意 $t, t' \in T_B$ ， $s, b \in \Sigma^{<\omega}$ ，且 $u, v \in \mathbb{N}$ ，若 $(s, D_u(t'+D_v0), b)$ 是 $t$ 的 $scb$ 分解，则存在某个 $k \in \mathbb{N}$ 使得 $0 < k \leq v+1$ 且 $(s, D_u t', b)$ 是 $t[0]^k$ 的 $scb$ 分解。

证明：

我们利用数学归纳法对 v 进行证明。

设 v = 0。

设 $k := 1$ 。

\[
0 < k = 1 = v+1_{\circ}
\]

根据序数项基本列的递归定义，

\[
(s, (D_{u} (t^{\prime}+D_{0} 0))[0], b) = (s, D_{u} ((t^{\prime}+D_{0} 0)[0]), b) = (s, D_{u} (t^{\prime}+(D_{0} 0)[0]), b) = (s, D_{u} (t^{\prime}+0), b) = (s, D_{u} t^{\prime}, b)
\]

是 $t[0]^{k}=t[0]$ 的 scb 分解。

设 v > 0。

由于 $(D_v0)[0] = 0$ 且 $(D_v0)[D_{v-1}0] = D_{v-1}0$ ，根据序数项基本列的递归定义和scb分解的可替换性， $(s, D_u t', b)$ 或 $(s, D_u(t'+D_{v-1}0), b)$ 是 $t[0]$ 的scb分解。

令 $(s,D_{u}t',b)$ 是 t[0] 的 scb 分解。

令 $k := 1$ 。

\[
0 < k = 1 < v+1_{\circ}
\]

$(s,D_{u}t',b)$ 是 $t[0]^{k}=t[0]$ 的scb分解。

设 $(s, D_u(t'+D_{v-1}0), b)$ 是 $t[0]$ 的 scb 分解。

根据归纳假设，存在 $k' \in N$ 使得 $0 < k' \leq v$ 且 $t[0][0]^{k'}$ 是 $(s, D_{u}t', b)$ 的 scb 分解。

设 $k := k'+1$ 。

\[
0 < 1 < k \leq v+1 。
\]

$t[0]^{k}=t[0][0]^{k'}$ 是 $(s,D_{u}t',b)$ 的scb分解。

证毕。

现在，回到正题。

在条件 (VI) 下, Trans 与基本列的交换关系证明:

由于 M 是单项序列，Trans 保留零终端性，因此 $\mathrm{Trans}(M) \neq 0$ 。因此，(3) 可由 (1)、(2) 和[Buc1] 引理 3.2 直接得出。

由于 $M_{1,j_{0}} < M_{1,j_{0}}+1 = M_{1,j_{1}}$ ，因此 $(1,j_{0}) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ 。

$j_{0}+1=j_{1}$ 且 $M_{1,j_{0}}+1=M_{1,j_{1}}$ ，因此

\[
M[n] = (M_{j})_{j = 0}^{j_{1}-1} \oplus_{\mathbb {N}^{2}} ((M_{0, j_{0}}+j, M_{1, j_{0}}))_{j = 1}^{n-1}
\]

且 $\mathrm{Lng}(M[n])-1=j_{1}-2+n$ 。

如果 n=1，则 $j_{0}=\mathrm{Lng}(M[n])-1$ ，因此 $j_{0}$ 满足 M[n] 条件。

如果 $n > 1$ ，则 $j_0 < \mathrm{Lng}(M[n])-1$ 且 $M[n]_{1,j_0} = M_{1,j_0} = M[n]_{1,j_0+1}$ ，因此 $(1,j_0) < _{M[n]}^{\mathrm{Next}}(1,j_0+1)$ 不成立，因此 $j_0$ 是 $M[n]$ 容许的。

因此，无论哪种情况， $j_{0}$ 都是 $M[n]$ 容许的。

$(1,j_0) <_{M}^{\text{Next}} (1,j_1)$ ，因此 $(1,j_{-1}) <_{M}^{\text{Next}} (1,j_{-1}+1)$ 。由于 $j_{-1}$ 是 $M$ 容许的，因此 $(1,j_{-1}-1) <_{M}^{\text{Next}} (1,j_{-1})$ 不成立。此外， $(M[n]_j)_{j=0}^{j_{-1}} = (M_j)_{j=0}^{j_{-1}}$ 不成立。因此， $j_{-1}$ 是 $M[n]$ 容许的。根据最右边2个基点Mark的基本性质， $\operatorname{Trans}(M) = s_1c_2b_1 = s_1\operatorname{Mark}(M,j_{-1})b_1$ ，因此若 $j_{-1} > 0$ ，则根据使用Mark和切片的Trans表达式，

\[
\mathrm{Trans} ((M[n]_{j})_{j = 0}^{j-1}) = \mathrm{Trans} ((M_{j})_{j = 0}^{j-1}) = s_{1} D_{M_{1, j-1}} b_{1}
\]

设 $N := (M_{j})_{j=j-1}^{j_{1}}$ 。

由于标准形式的直系祖先函数切片约化的强单项性， $\mathrm{Red}(N)$ 是强单项式的。由于可约性与系数之间的关系， $\mathrm{Red}(N)$ 满足条件 (A) 和 (B)。由于直系祖先函数切片以及 Red 与 IncrFirst 之间的关系， $\mathrm{IncrFirst}^{N_{0,0}-N_{1,0}}(\mathrm{Red}(N)) = N$ ，即 $\mathrm{Red}(N) = ((M_{1,j}-M_{0,j-1}+M_{1,j-1}, M_{1,j}))_{j=j-1}^{j_1}$ 。

$M_{1,j_{0}} < M_{1,j_{0}}+1 = M_{1,j_{1}}$ ，因此 $(1,j_{0}) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ ，且 $(1,j_{0}) <_{N}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ ，且 $(1,j_{0}) <_{\text{Red}(N)}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ ，因为 $M_{1,j_{0}} < M^{\text{Next}}(1,j_{1})$ ，且 $(1,j_{0}) <_{\text{Red}(N)}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ ，因为 Red 是直系祖先的不变性。

$\mathrm{Adm}_N(j_0-j_{-1}) = 0$ ，因为Red是容许性的不变性，且 $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_0-j_{-1}) = 0$ ，因为Red是容许性的不变性。

$(1,j_{0})<_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1})$ 且 $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_{0}-j_{-1})=0$ ，因此 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))=j_{1}-j_{-1}$ 。进一步，由于 $\mathrm{Red}(N)$ 满足条件 (A) 和 (B)，且 $\mathrm{Red}(N)_{1,0}=M_{1,j_{-1}}$ 和 $\mathrm{Red}(N)_{1,j_{1}}=M_{1,j_{1}}$ ，因此有 $\mathrm{Red}(N)=((j,j))_{j=M_{1,j_{-1}}}^{M_{1,j_{1}}}$ 。

由公差 $(1,1)$ 的对序列的 $j_{1}-j_{-1}\geq j_{1}-j_{0}>0$ 和 Trans 的基本性质可知， $\mathrm{Trans}(\mathrm{Red}(N))=D_{M_{1,j_{-1}}}D_{M_{1,j_{1}}}0$ 。因此，根据 IncrFirst, Red) 的不变 P 等变性，以及 Mark 用 Trans 表示，

\[
c_{2} = \mathrm{Mark} (M, j_{- 1}) = \mathrm{Trans} (N) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} (N)) = D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{1}}} 0
\]

在条件 (III) 至 (VI) 下， $(s_{1}, c_{2}, b_{1}) = (s_{1}, D_{M_{1,j-1}} D_{M_{1,j_{1}}} 0, b_{1}) = (s_{1}, \text{Trans}(N), b_{1})$ 是 Trans(M) 的第一类 scb 分解，且对于任意 $m \in N$ ，

\[
\mathrm{Trans} (M)[m] = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{1}}-1}^{m+1} 0 b_{1}
\]

因为 Red 和 Pred 可交换，所以 $\mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N)) = \mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N)) = ((j, j))_{j=M_{1,j-1}}^{M_{1,j_1}-1}$ 。

令 $j_{1}-j_{-1}=1$ 。

由于 $j_{-1} \leq j_0 < j_1 = j_{-1}+1$ ，所以 $j_0 = j_{-1}$ 。因此， $j_0$ 是 $M$ 可接受的，且 $m_n = n-2$ 。 $\operatorname{Pred}(M)_{1,j_1-1} = M_{1,j_1-1} = M_{1,j_{-1}}$ 以及 Mark 在最右边 1 个基点的基本性质

\[
c_{1} = \operatorname{Mark} (\operatorname{Pred} (M), j_{- 1}) = \operatorname{Mark} (\operatorname{Pred} (M), j_{1}-1) = D_{M_{1, j_{- 1}}} 0
\]

设 n = 1。

\[
m_{n} =-1 \text {。}
\]

\[
M[n] = \operatorname{Pred} (M),
\]

\[
\mathrm{Trans} (M[n]) = s_{1} c_{1} b_{1} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} 0 b_{1}
\]

\[
\mathrm{Trans} (M)[0] = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{1}}-1} 0 b_{1}
\]

因此，由于序数项的最后一项可能被消灭，存在 $k' \in \mathbb{N}$ 使得 $0 < k' \leq M_{1,j_1}$ 且 $\operatorname{Trans}(M[n]) = \operatorname{Trans}(M)[0][0]^{k'} = \operatorname{Trans}(M)[0]^{k+1}$ 。

令 $k := k'+1$ 。

\[
1 < k \leq M_{1, j_{1}}+1 。
\]

\[
\mathrm{Trans} (M[n]) = \mathrm{Trans} (M)[0][0]^{k^{\prime}} = \mathrm{Trans} (M)[0]^{k} 。
\]

令 n > 1。

\[
m_{n} \geq 0.
\]

$(M[n]_{j})_{j=j-1}^{j_{1}-2+n}=(\left(M_{0,j_{0}}+j,M_{1,j_{0}}\right))_{j=1}^{n-1}$ ，因此，由 Mark 用 Trans 表示，以及公差为 $(1,0)$ 的对序列 Trans 的基本性质可知，

\[
\mathrm{Mark} (M[n], j_{- 1}) = \mathrm{Trans} ((M[n]_{j})_{j = j_{- 1}}^{j_{1}-2+n}) = D_{M_{1, j_{0}}}^{n} 0
\]

令 $j_{-1}=0$ 。

由于 $s_{1}$ 与 $b_{1}$ 之间为空且为基点关系，因此 $s_{1}=()$ ， $b_{1}=()$ 。

$M[n]=((M_{0,j_{0}}+j,M_{1,j_{0}}))_{j=}^{n-1}$ ，因此，具有公差(1,0)的对序列的Trans的基本性质

\[
\mathrm{Trans} (M[n]) = D_{M_{1, j-1}}^{n} 0 = D_{M_{1, j-1}} D_{M_{1, j_{1}}-1}^{n-1} 0
\]

\[
\mathrm{Trans} (M)[m_{n}] = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{1}}-1}^{n-1} 0 b_{1} = D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{1}}-1}^{n-1} 0
\]

也就是说， $\mathrm{Trans}(M[n])=\mathrm{Trans}(M)[m_{n}]$ 。

设 $j_{-1} > 0$ 。

Trans((M[n]j)j-1) = s1DM1,j-10b1 且 Mark(M[n], j-1) = DnM1,j00，由 Trans 的表达式 Mark 和切片

\[
\mathrm{Trans} (M[n]) = s_{1} D_{M_{1, j_{0}}}^{n} 0 b_{1}
\]

\[
\mathrm{Trans} (M)[m_{n}] = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{1}}-1}^{n-1} 0 b_{1} = s_{1} D_{M_{1, j_{0}}}^{n} 0 b_{1}
\]

即 $\mathrm{Trans}(M[n]) = \mathrm{Trans}(M)[m_{n}]$ 。设 $j_{1}-j_{-1} > 1$ 。

$j_{-1}<j_{1}-1=j_{0}$ 。因此， $j_{0}$ 不具有 M 容错性，且 $m_{n}=n-1\geq0$ 。

根据公差为 $(1,1)$ 的对序列 Trans 的基本性质, $\mathrm{Trans}(\mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N)))) = D_{M_{1,j-1}} D_{M_{1,j_1}-1}0$ 。因此，从 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变 P 等变性以及 Mark 用 Trans 表示，

\[
c_{1} = \operatorname{Mark} (\operatorname{Pred} (M), j_{- 1}) = \operatorname{Trans} (\operatorname{Pred} (N)) = \operatorname{Trans} (\operatorname{Red} (\operatorname{Pred} (N))) = D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{1}}-1} 0
\]

令 n = 1。

由 $M[n]=\mathrm{Pred}(M)$ 可知，

\[
\mathrm{Trans} (M[n]) = s_{1} c_{1} b_{1} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{1}}-1} 0 b_{1}
\]

\[
\mathrm{Trans} (M)[m_{n}] = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{1}}-1} 0 b_{1}
\]

即， $\text{Trans}(M[n]) = \text{Trans}(M)[m_n]$ 。

令 n > 1。

$(M[n]_j)_{j = j-1}^{j_1-2+n} = (M_j)_{j = j-1}^{j_1-1}\oplus_{\mathbb{N}^2}((M_{0,j_0}+j,M_{1,j_0}))_{j = 1}^{n-1} = N[n]$ ，故由Red与基本列的交换性，Trans的(IncrFirst, Red)不变性，Mark由Trans表示，以及公差(1,1)的偶序列Trans的展开规则，

\[
\begin{array}{l} \operatorname{Mark} (M[n], j_{- 1}) = \operatorname{Trans} ((M[n]_{j})_{j = j_{- 1}}^{j_{1}-2+n}) = \operatorname{Trans} (N[n]) = \operatorname{Trans} (\operatorname{Red} (N[n])) \\ = \operatorname{Trans} (\operatorname{Red} (N)[n]) = \operatorname{Trans} (((j, j))_{j = M_{1, j-1}}^{M_{1, j_{1}}}[n]) = D_{M_{1, j-1}} D_{M_{1, j_{1}}-1}^{n} 0 \\ \end{array}
\]

设 $j_{-1}=0$ 。

由于 $s_{1}$ 与 $b_{1}$ 之间为空且为基点关系，因此 $s_{1}=()$ ， $b_{1}=()$ 。

$M[n]=(M[n]_{j})_{j=j-1}^{j_{1}-2+n}$ ，因此

\[
\mathrm{Trans} (M[n]) = \mathrm{Trans} ((M[n]_{j})_{j = j_{- 1}}^{j_{1}-2+n}) = D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{1}}-1}^{n} 0
\]

\[
\mathrm{Trans} (M)[m_{n}] = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{1}}-1}^{n} 0 b_{1} = D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{1}}-1}^{n} 0
\]

也就是说， $\mathrm{Trans}(M[n])=\mathrm{Trans}(M)[m_{n}]$ 。

设 $j_{-1} > 0$ 。

Trans((M[n]\_{j})^{j-1}\_{j=0}) = s\_{1}D\_{M\_{1,j-1}}0b\_{1} 且 Trans 除以 Mark 并切片

\[
\mathrm{Trans} (M[n]) = s_{1} \mathrm{Mark} (M[n], j_{- 1}) b_{1} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{0}}}^{n} 0 b_{1}
\]

\[
\operatorname{Trans} (M)[m_{n}] = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{1}}-1}^{n} 0 b_{1} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} D_{M_{1, j_{0}}}^{n} 0 b_{1}
\]

也就是说， $\mathrm{Trans}(M[n])=\mathrm{Trans}(M)[m_{n}]$ 。

我们最后证明如下的主定理。

'''定理 121''' 标准对序列系统的终止。

\[
S T_{P S} \times \mathbb {N}_{+} \subset D o m (F) 。
\]

我们提出一些引理作为证明标准对序列系统终止性的预备。

'''定理 122''' 公差为 $(0,0)$ 的数列 Trans 的基本性质。

对于任意 $u, j_{1} \in N$ ，设 $M := ((u, u))_{j=0}^{j_{1}}$ ，则

\[
T r a n s (M) = \left\{ \begin{array}{l l} (D_{0} 0) \times j_{1} & (u = 0) \\ (D_{u} 0) \times (j_{1}+1) & (u > 0) \end{array} \right.
\]

证明：由 Trans 的递归定义可知，通过对 $j_{1}$ 进行数学归纳推理，可知 Trans 的递归定义成立。证毕。

'''定理 123''' 基本列的下降性质。

对于任意 $M \in ST_{PS}$ 和 $n \in N_{+}$ ，若 $Lng(M) > 1$ ，则 $Trans(M[n]) < Trans(M)$ 。

证明：

由于标准形式的约化性，M 是约化的。由于约化性和系数之间的关系，M 满足条件 (A) 和 (B)。

我们使用 Trans 递归定义中引入的符号。

设 $J_{1}^{\prime} := \mathrm{Lng}(P(M))-1$ 。

如果 $M[n] = \operatorname{Pred}(M)$ ，则由 Pred 关于 Trans 的下降性质可知。下文中，我们记 $M[n] \neq \operatorname{Pred}(M)$ 。

从 $M[n] \neq \text{Pred}(M)$ 出发，存在唯一的 $j_{0} \in N$ 使得 n > 1 且 $(0, j_{0}) <_{M}^{\text{Next}} (0, j_{1})$ 。特别地， $j_{1} > j_{0} \geq 0$ ，且 $\text{Lng}(P(M)_{J_{1}^{\prime}}) \geq j_{1}-j_{0} > 0$ 。也就是说， $P(M)_{J_{1}^{\prime}} \neq ((0, 0))$ 。

利用 $P(M)_{J_{1}^{\prime}} \neq ((0,0))$ 、Trans 的递归定义以及标准形式的单项分量均为标准形式的事实，通过将 M 替换为 $P(M)_{J_{1}}$ ，可以将 M 简化为 M 为单项的情况。下文中，我们假设 M 为单项。

令 $t_{1}=0$ 。

由于 Trans 保持零项性质， $\mathrm{Pred}(M)$ 为零项。因此， $j_{1}=1,\ M_{1,0}=0$ 。由于 M 为单项且满足条件 (A) 和 (B)，因此 $M=((0,0),(1,0))$ 或 $M=((0,0),(1,1))$ 。

令 $M = ((0,0), (1,0))$ 。

由公差为 $(1,0)$ 的对序列的 Trans 的基本性质可知， $\mathrm{Trans}(M)=D_{0}D_{0}0$ 。

由于 $M[n] = ((0,0))_{j=0}^{n-1}$ , 由公差为 $(0,0)$ 的对序列的 Trans 的基本性质可知, $\mathrm{Trans}(M[n]) = (D_00) \times (n-1)$ 。

由于 $0 < D_00$ ， $(D_00) \times (n-1) < D_0D_00$ ，因此， $\mathrm{Trans}(M[n]) < \mathrm{Trans}(M)$ 。令 $M = ((0,0), (1,1))$ 。

由公差为 (1,1) 的对序列 Trans 的基本性质可知， $\mathrm{Trans}(M)=D_{0}D_{1}0$ 。由于 $M[n]=(\left(j,0\right))_{j=0}^{n-1}$ ，由公差为 (1,0) 的对序列 Trans 的基本性质可知， $\mathrm{Trans}(M[n])=D_{0}^{n}0$ 。

由于 $D_0^{n-1}0 < D_10$ ， $D_0^n 0 < D_0D_10$ ，因此 $\operatorname{Trans}(M[n]) < \operatorname{Trans}(M)$ 。令 $t_1 \neq 0$ 。

由于 Trans 为零项，因此 Pred(M) 不为零项。

令 M 满足条件 (I)。

令 $j_{1}=1$ 。

由于 $\operatorname{Pred}(M)$ 不为零项，且 $M$ 满足条件 (A) 和 (B)，因此存在唯一的 $u \in \mathbb{N}$ 使得 $u > 0$ 且 $M = ((u, u), (u+1, 0))$ 。

由 2 序列对的基本性质 (1) 可知， $\mathrm{Trans}(M)=D_{u}D_{0}0$ 。

由于 $M[n] = ((u, u))_{j=0}^{n-1}$ , 由公差为 $(0, 0)$ 的对偶序列的 Trans 基本性质可知, $\mathrm{Trans}(M[n]) = (D_u 0) \times n$ 。

由于 $0 < D_00, D_u0 < D_uD_00$ ，因此 $(D_u0) \times n < D_uD_00$ ，即 $\operatorname{Trans}(M[n]) < \operatorname{Trans}(M)$ 。

如果 $j_{1} > 1$ ，则根据 Trans 与基序列在条件 (I) 下的交换关系 (2)， $\mathrm{Trans}(M[n]) < \mathrm{Trans}(M)$ 。

假设 M 满足条件 (II)。

由于 M 是单项的， $(0,0) \leq_{M}(0,j_{1})$ ，但由于 0 是 M 容许的， $(0,0) <_{M}^{\text{Next}}(0,j_{1})$ 不成立。因此， $j_{1} > 1$ ，并且根据条件 (II) 下 Trans 与基序列的交换关系 (4)， $\text{Trans}(M[n]) < \text{Trans}(M)$ 。

假设 $M$ 满足条件 (III) 或 (IV)。由 $M[n] \neq \operatorname{Pred}(M)$ 可知，存在唯一的 $j_{-2} \in \mathbb{N}$ 使得 $(1, j_{-2}) <_{M}^{\mathrm{Next}}(1, j_1)$ 。由 $M_{1,j_0} \geq M_{1,j_1}$ 可知， $(1, j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(1, j_1)$ 不成立，因此 $j_{-2} < j_0 < j_1$ 。因此， $j_1 > 1$ ，且由 Trans 与基本列在条件 (III) 或 (IV) 下的交换关系 (2) 可知， $\operatorname{Trans}(M[n]) < \operatorname{Trans}(M)$ 。

设 M 满足条件 (V)。

由于 $j_{1} > j_{0}+1 \geq 1$ ，根据 Trans 与条件 (V) 下基本列的交换关系 (2)， $\mathrm{Trans}(M[n]) < \mathrm{Trans}(M)$ 。

设 M 满足条件 (VI)。

设 $j_{1}=1$ 。

由于 $\operatorname{Pred}(M)$ 不是零项，且 $M$ 满足条件 (A) 和 (B)，因此存在唯一的 $u \in \mathbb{N}$ 使得 $u > 0$ 且 $M = ((u, u), (u+1, u+1))$ 。

根据 2 序列对序列的基本性质 (1)， $\mathrm{Trans}(M)=D_{u}D_{u+1}0$ 。

因为 $M[n] = ((u+j, u))_{j=0}^{n-1}$ , 由公差 $(1, 0)$ 的对偶序列的 Trans 基本性质可知, $\mathrm{Trans}(M[n]) = D_u^n 0$ 。

由于 $D_{u}^{n-1}0 < D_{u+1}0,\quad D_{u}^{n}0 < D_{u}D_{u+1}0$ ，所以 $\mathrm{Trans}(M[n]) < \mathrm{Trans}(M)$ 。

若 $j_{1} > 1$ ，则由Trans与条件(VI)下基本列的交换关系(3)可知， $\mathrm{Trans}(M[n]) < \mathrm{Trans}(M)$ 。

证毕。

下文中，我们将 OT 与[Buc1] 中的 $T_{B}$ 的交集表示为 $OT_{B}$ 。

'''定理 124''' 序数项的递归构造。

对于任意 $t \in OT_B$ 、 $c \in T_B$ 和 $s, b \in \Sigma^{<\omega}$ ，若 $(s, c, b)$ 是 $t$ 的 $scb$ 分解，则 $c$ 为序数项。

证明：根据 scb 分解的平凡性准则和序数项的递归定义，通过对 $\mathrm{Lng}(s)$ 的数学归纳法可知。证毕。

'''定理 125''' 序数项共尾数的遗传性。

对于任意 $t, t' \in T_B$ 和 $s, b \in \Sigma^{<\omega}$ ，若 $dom(t') = \mathbb{N}$ 且 $(s, t', b)$ 是 $t$ 的 $scb$ 分解，则 $dom(t) = \mathbb{N}$ 。

证明：根据 scb 分解的平凡性准则和 dom 的递归定义，通过对 $\mathrm{Lng}(s)$ 的数学归纳法可知。证毕。

'''定理 126''' 序数项尾项消失的可能性。

对于任意 $t \in OT_B$ 、 $t' \in T_B$ 、 $s, b \in \Sigma^{<\omega}$ 和 $u \in \mathbb{N}$ ，若 $(s, D_u t', b)$ 是 $t$ 的 $scb$ 分解，则存在某个 $k \in \mathbb{N}$ 使得 $(s, D_u 0, b)$ 是 $t[0]^k$ 的 $scb$ 分解。

证明：

$(OT_{B},<)$ 是良基的。因此，数学归纳法可以应用于 $(OT_{B},<)$ 。

由 $t = sD_{u}t'b$ ， $(sD_{u}, t', b)$ 是 t 的 scb 分解，因此，根据序数项的递归结构， $t'$ 是序数项。

通过对 $t'$ 进行数学归纳法，证明存在 $k \in \mathbb{N}$ 使得 $(s, D_u0, b)$ 是 $t[0]^k$ 的 scb 分解。

令 $t' = 0$ 。

令 $k := 0$ 。

$(s,D_{u}0,b)=(s,D_{u}t',b)$ 是 $t[0]^{k}=t$ 的scb分解。

令 $t' > 0$ 。

由于 $t' \neq 0$ ， $t'$ 为单项复项或复项。因此存在 $\tau \in T_{B}$ 和 $\tau' \in PT_{B}$ 使得 $t' = \tau+\tau'$ 。

由于 $\tau'$ 为单项复项， $0 < \tau'$ ，因此 $0 \geq \tau < \tau+\tau' = t'$ 。

令 $\mathrm{dom}(\tau')=\{0\}$ 。

$\mathrm{dom}(t') = \mathrm{dom}(\tau') = \{0\}$ ，因此 $\mathrm{dom}(D_u t') = \mathbb{N}$ ，进而由于序数项的同端项的可遗传性， $\mathrm{dom}(t) = \mathbb{N}$ 。

根据基本列的递归定义， $(D_u t')[0] = (D_u \tau) \times (0+1) = D_u \tau \in PT_{\mathrm{B}}$ ，因此，根据 scb 分解的可替代性和[] 的递归定义， $(s, D_u \tau, b)$ 是 $t[0]$ 的 scb 分解。

由于 $\tau < t'$ 且 $(s, D_{u}\tau, b)$ 是 t[0] 的 scb 分解，根据归纳假设，存在一个 $k' \in N$ 使得 $(s, D_{u}0, b)$ 是 $t[0][0]^{k'}$ 的 scb 分解。令 $\mathrm{dom}(\tau') \neq \{0\}$ 。

根据基本列的递归定义，存在一个 $n \in \mathrm{dom}(t') \cup \mathbb{N}$ ，使得 $(s, D_u(t'[n]), b)$ 是 $t[0]$ 的 scb 分解。

$t' > 0$ 且 $t'[n] < t'$ 。由于 $t'[n] < t'$ 且 $(s, D_u(t'[n]), b)$ 是 t[0] 的 scb 分解，根据归纳假设，存在 $k' \in N$ ，使得 $(s, D_u0, b)$ 是 $t[0][0]^{k'}$ 的 scb 分解。

令 $k := k'+1$ 。

根据 $t[0]^{k}=t[0][0]^{k'}$ ， $(s,D_{u}0,b)$ 是 $t[0]^{k}$ 的 scb 分解。

证毕。

'''定理 127''' Pred 与[0] 的关系。

对于任意 $M \in RT_{PS} \cap PT_B$ ，使用 Trans 的递归定义中引入的符号，若 $j_1 > 1$ 且 $M$ 不满足条件 (VI)，且 Trans(M) 为序数项，则存在某个 $k \in \mathbb{N}$ 使得 Trans(M)[0] $^k = t_1$ 。

证明：

由于可约性以及系数之间的关系，M 满足条件 (A) 和 (B)。由于 $j_{1} > 1, t_{1} \neq 0$ ，因此 $(s_{1}, D_{v}t_{2}, b_{1}) = (s_{1}, c_{1}, b_{1})$ 是 $t_{1}$ 的 scb 分解，且条件 (I) 至 (VI) 对 M 有意义。

假设 M 满足条件 (I)、(III) 或 (V)。

$(s_{1},D_{v}(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0),b_{1})=(s_{1},c_{2},b_{1})$ 是 $\mathrm{Trans}(M)$ 的scb分解。

由于序数项的最后一个单项式存在湮灭可能性， $(s_{1}, D_{v}t_{2}, b_{1})$ 和 $(s_{1}, D_{v}(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0), b_{1})$ 分别是 $t_{1}$ 和 $\mathrm{Trans}(M)$ 的 scb 分解，因此存在某个 $k \in N$ 使得 $t_{1} = \mathrm{Trans}(M)[0]^{k}$ 。

假设 M 满足条件 (II) 或 (IV)。

假设 $P(t_2)_{J_1}$ 的左端是 $D_{M_{1,j_0}}\circ t_2 = t_3+D_{M_{1,j_0}}t_4$ 。因此， $(s_1,D_v(t_3+D_{M_{1,j_0}}t_4),b_1) = (s_1,c_1,b_1)$ 和 $(s_1,D_v(t_3+D_{M_{1,j_0}}(t_4+D_{M_{1,j_1}}0)),b_1) = (s_1,c_2,b_1)$ 分别是 $t_1$ 和 $\mathrm{Trans}(M)$ 的scb分解。

进一步，由于 scb 分解的复合规则以及加法与 scb 分解之间的关系，存在 $(s', b') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 使得 $(s', D_{M_{1,j_0}} t_4, b')$ 和 $(s', D_{M_{1,j_0}} (t_4+D_{M_{1,j_1}} 0), b')$ 分别是 $t_1$ 和 Trans(M) 的 scb 分解。

由于序数项的最后一个单项式存在湮灭可能性，存在 $k \in \mathbb{N}$ 使得 $(s', D_{M_{1,j_0}} t_4, b')$ 是 $\mathrm{Trans}(M)[0]^k$ 的scb分解。因此，

\[
t_{1} = s_{1} D_{M_{1, j-1}} t_{2} b_{1} = \mathrm{Trans} (M)[0]^{k}
\]

假设 $P(t_{2})_{J_{1}}$ 的左端不是 $D_{M_{1,j_{0}}}$ 。

$t_{3}=t_{2}$ 且 $t_{4}=t_{2}$ ，且 $c_{2}=D_{v}(t_{3}+D_{M_{1,j_{0}}}(t_{4}+D_{M_{1,j_{1}}}0))=D_{v}(t_{2}+D_{M_{1,j_{0}}}(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0))$ 。因此， $(s_{1},D_{v}(t_{2}+D_{M_{1,j_{0}}}(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0)),b_{1})=(s_{1},c_{2},b_{1})$ 是 Trans(M) 的 scb 分解。

此外，由于 scb 分解的复合规则以及加法与 scb 分解之间的关系，存在 $(s', b') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ ，使得 $(s', D_{M_{1,j_0}}(t_2+D_{M_{1,j_1}}0), b')$ 是 Trans(M) 的 scb 分解。

因为 $\operatorname{Trans}(M)$ 是序数项，且该序数项的尾项可以消除，所以存在 $k_0' \in \mathbb{N}$ 使得 $(s', D_{M_{1,j_0}}0, b')$ 是 $\operatorname{Trans}(M)[0]^{k_0'}$ 的scb分解。

$(s_1, D_{M_{1,j-1}}(t_2+D_{M_{1,j_0}}(t_2+D_{M_{1,j_1}}0)), b_1)$ 和 $(s', D_{M_{1,j_0}}(t_2+D_{M_{1,j_1}}0), b')$ 都是 $\mathrm{Trans}(M)$ 的 $\mathrm{scb}$ 分解，而 $(s', D_{M_{1,j_0}}0, b')$ 是 $\mathrm{Trans}(M)[0]^{k'_0}$ 的 $\mathrm{scb}$ 分解。因此，由加法与 $\mathrm{scb}$ 分解的关系 (3) 可知， $(s_1, D_{M_{1,j-1}}(t_2+D_{M_{1,j_0}}0), b_1)$ 是 $\mathrm{Trans}(M)[0]^{k'_0}$ 的 $\mathrm{scb}$ 分解。

因此，由于序数项最后一个单项式的湮灭可能性，存在一个 $k_1' \in \mathbb{N}$ ，使得 $(s_1, D_{M_{1,j-1}} t_2, b_1)$ 是 $\mathrm{Trans}(M)[0]^{k_0'}[0]^{k_1'}$ 的scb分解。

令 $k := k_{0}^{\prime}+k_{1}^{\prime}$ 。

\[
t_{1} = s_{1} D_{M_{1, j_{- 1}}} t_{2} b_{1} = \mathrm{Trans} (M)[0]^{k_{0}^{\prime}}[0]^{k_{1}^{\prime}} = \mathrm{Trans} (M)[0]^{k}
\]

证毕。

'''定理 128''' 序数项的基本列。

(1) 对于任意 $u \in \mathbb{N}$ , $D_u 0 \in OT_B$ 。
(2) 对于任意 $u, v \in \mathbb{N}$ , $D_u D_v 0 \in OT_B$ 。
(3) 对于任意 $u \in \mathbb{N}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ , $(D_u0) \times (n-1) \in OT_B$ 。
(4) 对于任意 $u \in \mathbb{N}$ 和 $n \in \mathbb{N}$ , $D_u^n 0 \in OT_B$ 。

证明：

下面，令 $2^{T_{B}}$ 表示 $T_{B}$ 所有子集的集合，令 G 表示过滤条件的限制，即 $N \times T_{B}$ 。

\[
\begin{array}{l} G \colon \mathbb {N} \times T_{\mathrm{B}} \rightarrow 2^{T_{\mathrm{B}}} \\ (u, t) \mapsto G_{u} t \\ \end{array}
\]

将 < 扩展至 $T_{B} \cup 2^{T_{B}}$ 。

（1）它直接由 $0 \in OT_{B}$ 和 $G_{u}0 = \emptyset < D_{u}0$ 得出。
(2) $D_{v}0\in OT_{B}$ 且

\[
G_{u} D_{v} 0 = \left\{ \begin{array}{l l} \{0 \} \cup G_{u} 0 & (u \leq v) \\ \emptyset & (u > v) \end{array} \right.
\]

\[
\begin{array}{l} = \left\{ \begin{array}{l l} \{0 \} \cup \emptyset & (u \leq v) \\ \emptyset & (u > v) \end{array} \right. \\ \begin{array}{l l} = & \left\{ \begin{array}{l l} \{0 \} & (u \leq v) \\ \emptyset & (u > v) \end{array} \right. \\ < & D_{v} 0 \end{array} \\ \end{array}
\]

这可由 (OT3) 直接推导出来。

(3) 这可由 $0, D_{u}0 \in OT_{B}$ 直接推导出来。

(4) 利用数学归纳法证明，对于任何 $m \in \mathbb{N}$ ，如果 $m < n$ ，则 $D_u^m 0 < D_u^n 0$ 。

如果 m=0，则 $D_{u}^{m}0=0<D_{u}^{n}0$ 。

如果 $m > 0$ ，则根据归纳推理假设， $D_{u}^{m-1}0 < D_{u}^{n-1}0$ ，因此 $D_{u}^{m}0 = D_{u}D_{u}^{m-1}0 < D_{u}D_{u}^{n-1}0 = D_{u}^{n}0$ 。

特别地， $\{D_{u}^{m}0\mid m\in N\land m<n\}<D_{u}^{n}0$ 。

我们通过对 n 进行数学归纳推理证明， $G_{u}D_{u}^{n}0=\{D_{u}^{m}0\mid m\in\mathbb{N}\wedge m<n\}$ 且 $D_{u}^{n}0\in OT_{B}$ 。

如果 $n = 0$ ，则 $G_{u}D_{u}^{n}0 = G_{u}0 = \emptyset = \{D_{u}^{m}0\mid m\in \mathbb{N}\wedge m < n\}$ 且 $D_{u}^{n}0 = 0\in OT_{\mathrm{B}}$ 。

设 n > 0。

根据归纳假设， $G_{u}D_{u}^{n-1}0=\{D_{u}^{m}0\mid m\in\mathbb{N}\wedge m<n-1\}$ 且 $D_{u}^{n-1}0\in OT_{B}$ 。

\[
\begin{array}{c} G_{u} D_{u}^{n} 0 = \left\{D_{u}^{n-1} 0 \right\} \cup G_{u} D_{u}^{n-1} 0 = \left\{D_{u}^{m} 0 \mid m \in \mathbb {N} \wedge m < n \right\} 。 D_{u}^{n-1} 0 \in O T_{\mathrm{B}}, G_{u} D_{u}^{n-1} 0 = \\ \left\{D_{u}^{m} 0 \mid m \in \mathbb {N} \wedge m < n-1 \right\} < D_{u}^{n-1} 0, \text {以及} D_{u}^{n} 0 \in O T_{\mathrm{B}} 。 \end{array}
\]

'''定理 129''' Trans 保持其标准形式。

对于任何 $M \in ST_{PS}$ ， $Trans(M) \in OT_{B}$ 。

证明：

下文中，我们使用序数项的基本示例，不做任何限制。

设 $k_{0} := \min\{k \in N \mid M \in S_{k} T_{PS}\}$ 。

我们通过对 $k_{0}$ 进行数学归纳法证明这一点。

设 $k_{0}=0$ 。

存在唯一的 $(u,v)\in\mathbb{N}^{2}$ 使得 $u\leq v$ 且 $M=((j,j))_{j=u}^{v}$ 。

如果 u = v = 0，则根据 Trans 的定义， $\mathrm{Trans}(M) = 0 \in OT_{\mathrm{B}}$ 。

若 u = v > 0，则根据 Trans 的定义， $\mathrm{Trans}(M) = D_{u}0 \in OT_{\mathrm{B}}$ 。

若 u < v，则根据公差 $(1,1)$ 的对序列 Trans 的基本性质， $\mathrm{Trans}(M[n]) = D_{u}D_{v}0 \in OT_{\mathrm{B}}$ 。

令 $k_{0} > 0$ 。

设 $N \in S_{k_{0}-1}T_{PS}$ 和 $n \in N_{+}$ ，令 $M = N[n]$ 。

根据归纳假设， $\mathrm{Trans}(N)\in OT_{\mathrm{B}}$ 。

对于任意 $m \in \mathbb{N}$ , $\mathrm{Trans}(N)[m]$ 和 $\mathrm{Trans}(N)[0]^m$ 均为序数项。

若 $\operatorname{Pred}(N) = M$ ，则由于 $\operatorname{Pred}$ 与[0]的关系，存在某个 $k \in \mathbb{N}$ 使得 $\operatorname{Trans}(M) = \operatorname{Trans}(N)[0]^k$ ，因此 $\operatorname{Trans}(M)$ 为序数项。下文中，我们假设 $\operatorname{Pred}(N) \neq M$ 。

由于 $N[1] = \text{Pred}(N) \neq M = N[n]$ ，且 n > 1。

根据标准形式的可约性，N 可约。由于可约性和系数之间的关系，N 满足条件 (A) 和 (B)。

由于 $((0,0))[n] = ((0,0))\in S_0T_{\mathrm{B}}$ 且 $k_{0} > 0$ ， $N\neq ((0,0))$ 。因此， $N$ 是单项的或复项的。

设 N 是单项的。

设 Trans 的递归定义中引入的符号为 N 的定义。

设 $t_{1}=0$ 。

由于 Trans 保持零项式性质， $\mathrm{Pred}(N)$ 是零项式的。因此， $j_{1}=1$ 且 $N_{1,0}=0$ 。由于 N 是单项的，且满足条件 (A) 和 (B)，因此 $N=((0,0),(1,0))$ 或 $N=((0,0),(1,1))$ 。

若 $N = ((0,0),(1,0))$ ，则 $M = N[n] = ((0,0))_{j = 0}^{n-1}$ ，因此由公差为 $(0,0)$ 的对序列Trans的基本性质可知， $\mathrm{Trans}(M) = (D_00)\times (n-1)\in OT_{\mathrm{B}}$ 。

设 $N = ((0,0),(1,1))$ ，则 $M = N[n] = ((j,0))_{j = 0}^{n-1}$ ，因此，由 $n > 1$ 且公差 $(1,0)$ 的对序列的Trans的基本性质可知， $\mathrm{Trans}(M) = D_0^n 0\in OT_{\mathrm{B}}$ 。

设 $t_{1} \neq 0$ 。

由于 Trans 是零项式的，因此 Pred(N) 不是零项式的。

设 N 满足条件 (I)。

设 $j_{1}=1$ 。

由于 $\operatorname{Pred}(N)$ 不是零项，且 $N$ 满足条件 (A) 和 (B)，因此存在唯一的 $u \in \mathbb{N}$ 使得 $u > 0$ 且 $N = ((u, u), (u+1, 0))$ 。

由于 $M = N[n] = ((u, u))_{j=0}^{n-1}$ ，对于公差为 $(0, 0)$ 的对序列，Trans 的基本性质意味着 $\mathrm{Trans}(N[n]) = (D_u 0) \times n \in OT_{\mathrm{B}}$ 。

如果 $j_{1} > 1$ ，则 $\mathrm{Trans}(M) = \mathrm{Trans}(N[n]) = \mathrm{Trans}(N)[n-1] \in OT_{\mathrm{B}}$ ，根据条件(I)下Trans与基本列的对易关系(1)。

设 N 满足条件 (II)。

设 $m_{n} := n-1$ 或 $m_{n} := n-2$ ，取决于 $P(t_{2})_{J_{1}}$ 的左端是否为 $D_{N_{1,j_{0}}}$ 。

由于 N 是单项的， $(0,0) \leq_{N}(0,j_{1})$ ，但由于 0 是 N 容许的， $(0,0) <_{N}^{\text{Next}}(0,j_{1})$ 不成立。因此， $j_{1} > 1$ 。

由于 $n > 1$ ， $m_n \geq 0$ 。因此，在条件 (II) 下，根据 Trans 与基本列的对易关系 (2)， $\mathrm{Trans}(M) = \mathrm{Trans}(N[n]) = \mathrm{Trans}(N)[m_n] \in OT_{\mathrm{B}}$ 。

假设 N 满足条件 (III) 或 (IV)。

由于 $\operatorname{Pred}(N) \neq M = N[n]$ ，存在唯一的 $j_{-2} \in \mathbb{N}$ 使得 $(1, j_{-2}) <_{N}^{\text{Next}} (1, j_1)$ 。 $N_{1,j_0} \geq N_{1,j_1}$ 意味着 $(1, j_0) <_{N}^{\text{Next}} (1, j_1)$ 不成立，因此 $j_{-2} < j_0 < j_1$ 。因此， $j_1 > 1$ ，且根据条件 (III) 或 (IV) 下基本列的基本性质，有以下成立：

(1) $M = N[n] = N[n+1][1]^{j_1-j-2}$ 。
(2) $\mathrm{Trans}(N)[n-1] = \mathrm{Trans}(N[n+1][1]^{j_1-1-j_{-2}})$ 。

特别地，由于 $\operatorname{Pred}(N[n+1][1]^{j_1-1-j_{-2}}) = M$ ，且 $\operatorname{Trans}(N[n+1][1]^{j_1-1-j_{-2}})$ 为序数项，因此 $\operatorname{Pred}$ 和[0] 之间的关系意味着存在某个 $k \in \mathbb{N}$ ，使得 $\operatorname{Trans}(M) = \operatorname{Trans}(N[n+1][1]^{j_1-1-j_{-2}})[0]^k = \operatorname{Trans}(N)[n-1][0]^k$ 。因此，根据[Buc1] 引理 3.3， $\operatorname{Trans}(M)$ 为序数项。

设 N 满足条件 (V)。

如果 $j_{0}$ 为 M-可接受的，则令 $m_{n} := n-1$ 。

如果 $j_{0}$ 不为 M-可接受的，则令 $m_{n} := n$ 。

根据 $j_{1} > j_{0}+1 \geq 1$ 和条件 (V) 下基本列的 scb 分解，存在唯一的 $u \in \mathbb{N}$ 、 $(s_0', b_0') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 和 $t' \in T_{\mathrm{B}}$ 使得：

(1) $(s_{0}^{\prime},D_{u}t_{2},b_{0}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(M[n])$ 的scb分解。

(2) $(s_0', D_u(t_2+D_{M_{1,j_0}}0), b_0')$ 是 $\mathrm{Trans}(M)[m_n]$ 的 scb 分解。

因此，由于序数项的最后一个单项式湮灭的可能性，存在某个 $k \in N$ 使得 $\mathrm{Trans}(M) = \mathrm{Trans}(N[n]) = \mathrm{Trans}(N)[m_n][0]^k$ ，因此，根据[Buc1] 引理 3.3， $\mathrm{Trans}(M)$ 为序数项。

令 N 满足条件 (VI)。

令 $j_{1}=1$ 。

由于 $\operatorname{Pred}(N)$ 不是零项，且 $N$ 满足条件 (A) 和 (B)，因此存在唯一的 $u \in \mathbb{N}$ 使得 $u > 0$ 且 $N = ((u, u), (u+1, u+1))$ 。

由于 $N[n]=((u+j,u))_{j=0}^{n-1}$ ，由公差 $(1,0)$ 的对序列 Trans 的基本性质可知， $\mathrm{Trans}(N[n]) = D_{u}^{n}0 \in OT_{\mathrm{B}}$ 。

令 $j_{1} > 1$ 。

如果 $j_{0}$ 是 M 可接受的，则令 $m_{n} := n-2$ 。

如果 $j_{0}$ 不是 M 可接受的，则令 $m_{n} := n-1$ 。

由于 $n > 1$ ， $m_n \geq 0$ ，因此，根据 Trans 与条件 (VI) 下基本列的交换关系 (2)， $\mathrm{Trans}(M) = \mathrm{Trans}(N[n]) = \mathrm{Trans}(N)[m_n] \in OT_{\mathrm{B}}$ 。

令 N 为复合项。

令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(N))-1$ 。

由于 P 的每个分量都是非复合的，因此 $J_{1} > 0$ 。由于 $\mathrm{Pred}(N) \neq M = N[n]$ ， $\mathrm{Lng}(P(N)_{J_{1}}) > 1$ 。因此，由 P 与基本列 (2) 的关系可知， $P(M) = P(N[n]) = (P(N)_{J})_{J=0}^{J_{1}-1} \oplus_{T_{\mathrm{PS}}} P(P(N)_{J_{1}}[n])$ 。

令 $J_{0} := \mathrm{Lng}(P(P(N)_{J_{1}}[n]))-1$ 。

映射

\[
\begin{array}{l} \mathrm{PTrans}: P T_{\mathrm{PS}} \rightarrow T_{\mathrm{B}} \\ M^{\prime} \mapsto \mathrm{PTrans} (M^{\prime}) \\ \end{array}
\]

定义如下:

如果 $M'$ 为零项，则 PTrans( $M'$ ) = $D_{0}0$ 。

如果 $M'$ 不是零项，则 $\mathrm{PTrans}(M') = \mathrm{Trans}(M')$ 。

令 $a_{0} := (\text{Trans}(P(N)_{0})) \oplus_{T_{\mathrm{B}}} (\text{PTrans}(P(N)_{J})_{J=1}^{J_{1}-1})$ 。

令 $a_1 := (\mathrm{PTrans}(P(P(N)_{J_1}[n])_{J'})_{J'=0}^{J_0}$ 。

令 $a_2 := (\text{Trans}(P(P(N)_{J_1}[n])_0)) \oplus_{T_\text{B}} (\text{PTrans}(P(P(N)_{J_1}[n])_{J'})^{J_0}_{J'=1}$ 。

由于 P 的每个分量都是非复项的，因此 Trans 保持零项式性质，而 Trans 保持单项式性质，因此 $a_{0}$ 、 $a_{1}$ 和 $a_{2}$ 的每个分量均为 0 或单项式，且 0 仅出现在左端。根据 Trans 的递归定义，对于任意 $M' \in RT_{PS} \cap MT_{PS}$ ，设 $J_{1}' := \mathrm{Lng}(M')-1$ ，

\[
\mathrm{Trans} (M^{\prime}) = \mathrm{Trans} (P (M^{\prime})_{0})+\Sigma_{\mathrm{B}} (\mathrm{PTrans} (P (M^{\prime})_{J}))_{J = 1}^{J_{1}^{\prime}-1}+\mathrm{PTrans} (P (M^{\prime})_{J_{1}^{\prime}})
\]

具体而言，

\[
\mathrm{Trans} (N) = \Sigma_{\mathrm{B}} a_{0}+\mathrm{PTrans} (P (N)_{J_{1}})
\]

\[
\mathrm{Trans} (M) = \Sigma_{\mathrm{B}} (a_{0} \oplus_{T_{\mathrm{B}}} a_{1})
\]

\[
\mathrm{Trans} (P (N)_{J_{1}}[n]) = \Sigma_{\mathrm{B}} a_{2}
\]

这表明 $a_{0} \oplus_{T_{B}} a_{1}$ 的每个分量都是序数项。

由于 $\mathrm{Lng}(P(N)_{J_{1}})>1$ ，因此 $P(N)_{J_{1}}$ 不是零项。此外，由于 P 的每个分量都是非复项的， $P(N)_{J_{1}}$ 也不是复项项，所以它是单项。由于 Trans 是单项的，所以 $\mathrm{Trans}(P(N)_{J_{1}})$ 也是单项的。

由于 $P(N)_{J_1}$ 不是零项，所以 $\mathrm{PTrans}(P(N)_{J_1}) = \mathrm{Trans}(P(N)_{J_1})$ 。因此， $\mathrm{Trans}(N) = \Sigma_{\mathrm{B}}a_0+\mathrm{Trans}(P(N)_{J_1})$ 。 $\mathrm{Trans}(N)$ 是序数项，因此由Buchholz序数符号系统的递归定义可知， $a_0$ 和 $\mathrm{Trans}(P(N)_{J_1})$ 的每个分量均为序数项，而从 $a_0 \oplus_{T_{\mathrm{B}}}$ 的分量中去掉0得到的 $PT_{\mathrm{B}}$ 值数组 $(\mathrm{Trans}(P(N)_{J_1}))$ 为降序。

由于标准形式的单项分量即为标准形式, $P(N)_{J_{1}}\in S_{k_{0}-1}T_{\mathrm{PS}}$ ,因此 $P(N)_{J_{1}}[n]\in S_{k_{0}}T_{\mathrm{PS}}$ 。

由于 $\mathrm{Lng}(P(N)_{J_{1}})>1$ 且这是标准形式, 基本列的下降性质意味着 $\Sigma_{\mathrm{B}}a_{2}=\mathrm{Trans}(P(N)_{J_{1}}[n])<\mathrm{Trans}(P(N)_{J_{1}})$ 。因此， $a_{2}$ 的每个分量都小于 $\mathrm{Trans}(P(N)_{J_{1}})$ 。

如果 $P(N)_{J_1}[n] \in S_{k_0-1}T_{\mathrm{PS}}$ ，那么根据归纳假设，Trans $(P(N)_{J_1}[n])$ 是一个序数项。

如果 $P(N)_{J_1}[n] \in S_{k_0-1}T_{\mathrm{PS}}$ 不成立，则 $k_0 = \min \{k \in \mathbb{N} \mid P(N)_{J_1} \in S_kT_{\mathrm{PS}}\}$ ，因此 $P(N)_{J_1}$ 为单项项，所以 $\operatorname{Trans}(P(N)_{J_1}[n])$ 为序数项。

因此，无论哪种情况， $\mathrm{Trans}(P(N)_{J_{1}}[n])$ 都是序数项。

由于 $\mathrm{Trans}(P(N)_{J_{1}}[n])$ 为序数项，且 $\mathrm{Trans}(P(N)_{J_{1}}[n]) = \Sigma_{\mathrm{B}}a_{2}$ ，根据 Buchholz 序数符号系统的递归定义， $a_{2}$ 的每个分量都是序数项，从 $a_{2}$ 的分量中剔除 0 后得到的 $PT_{B}$ 值数组按降序排列。由于 0 为序数项，因此 $a_{1}$ 的每个分量也是序数项。

由此可知， $a_{0}\oplus_{T_{B}}a_{1}$ 的每个分量都是序数项。

我们证明，通过从 $a_{0} \oplus_{T_{B}} a_{1}$ 的分量中排除 0 得到的 $PT_{B}$ 值数组是降序的。

设 $a_{2}$ 的分量为 0。

只有 $a_{2}$ 最左边的分量为 0，因此 $P(P(N)_{J_{1}}[n])_{0}$ 为零项。

设 $J_{2} := \mathrm{Lng}(P(P(N)_{J_{1}}[n]))-1$ 。

设 $J_{2}=0$ 。

\[
a_{1} = (D_{0} 0) 。
\]

由于 $a_2$ 中唯一一个分量0小于 $\mathrm{Trans}(P(N)_{J_1})$ ，且 $D_00$ 大于0，即 $D_00 \leq \mathrm{Trans}(P(N)_{J_1})$ 。由于从 $a_0 \oplus_{T_\mathrm{B}} (\mathrm{Trans}(P(N)_{J_1}))$ 的分量中排除0得到的 $PT_\mathrm{B}$ 值数组是降序的，因此从 $a_0 \oplus_{T_\mathrm{B}} a_1$ 的分量中排除0得到的 $PT_\mathrm{B}$ 值数组也是降序的。

令 $J_{2} > 0$ 。

由于 $P(N)_{J_{1}}$ 的单项性和非二元性与基本列的关系， $P(P(N)_{J_{1}}[n])$ 的每个分量同样都是零项。因此， $a_{1}=(D_{0}0)_{J=0}^{J_{2}}$ ， $a_{2}=(0)\oplus_{T_{\mathrm{B}}}(D_{0}0)_{J=1}^{J_{2}}$ 。

由于 $a_2$ 的每个分量都小于 $\mathrm{Trans}(P(N)_{J_1})$ ，因此， $D_00 < \mathrm{Trans}(P(N)_{J_1})$ 。也就是说， $a_1$ 的每个分量也小于 $\mathrm{Trans}(P(N)_{J_1})$ 。由于从 $a_0 \oplus_{T_\mathrm{B}} (\mathrm{Trans}(P(N)_{J_1}))$ 的分量中去掉 0 得到的 $PT_\mathrm{B}$ 值数组是降序的，因此从 $a_0 \oplus_{T_\mathrm{B}} a_1$ 的分量中去掉 0 得到的 $PT_\mathrm{B}$ 值数组也是降序的。

假设 $a_{2}$ 不包含 0 作为分量。

由于 Trans 保持零项性质, 因此 $P(P(N)_{J_{1}}[n])$ 的分量中没有一个是零项, 因此 $a_{1}=a_{2}$ 。特别地, $a_{1}$ 是降序的, 且 $a_{1}$ 的每个分量都小于 $\mathrm{Trans}(P(N)_{J_{1}})$ 。

由于从 $a_{0} \oplus_{T_{\mathrm{B}}} (\mathrm{Trans}(P(N)_{J_{1}}))$ 的分量中去掉 0 得到的 $PT_{B}$ 值数组是降序的，因此从 $a_{0} \oplus_{T_{B}} a_{1}$ 的分量中去掉 0 得到的 $PT_{B}$ 值数组也是降序的。

由上可知， $\mathrm{Trans}(M) = \Sigma_{\mathrm{B}}(a_0 \oplus_{T_{\mathrm{B}}} a_1)$ 是按降序排列的序数项之和。因此，根据序数项的递归定义， $\mathrm{Trans}(M)$ 是一个序数项。

证毕。

现在，让我们回到正题。

标准形式对序列系统终止性的证明：

$(OT_{B},<)$ 是良基的。因此，数学归纳法可以应用于 $(OT_{B},<)$ 。

对于任何 $t \in OT_{B}$ ，我们通过对 t 进行数学归纳证明：“对于任何 $M \in ST_{PS}$ 和 $n \in N_{+}$ ，如果 $\mathrm{Trans}(M) = t$ ，则 $(M, n) \in \mathrm{Dom}(F)$ ”。

由于标准形式的可约性，M 是可约的。

设 t = 0。

由于 Trans 具有可约性，因此 M 也是可约的。因此， $\mathrm{Lng}(M)=1$ ，根据 F 的定义， $(M,n)\in\mathrm{Dom}(F)$ 。

假设存在唯一的 $v \in N_{+}$ 使得 $t = D_{v}0$ 。

由于 Trans 与不可数基数的关系， $M = ((v, v))$ 。

由于 $\mathrm{Lng}(M)=1$ ，根据 F 的定义， $(M,n)\in\mathrm{Dom}(F)$ 。

假设不存在唯一的 $v \in N_{+}$ 使得 $t = D_{v}0$ ，且 t > 0。

由于 1-序列对序列的基本性质、Trans 保持零项性质，以及 Trans 与不可数基数的关系， $\mathrm{Lng}(M) > 1$ 。

由于基本列的下降性质， $\operatorname{Trans}(M[n]) < \operatorname{Trans}(M) = t$ 。由于 $M$ 为标准形式，且由于标准形式的递归定义， $M[n]$ 也为标准形式，Trans 保持标准形式，因此 $\operatorname{Trans}(M[n])$ 为序数项。因此，根据归纳假设， $(M[n], n) \in \operatorname{Dom}(F)$ 。

由于 $F_{M}$ 与基本列的关系， $(M, n) \in \mathrm{Dom}(F)$ 。

证毕。

至此，我们给出了 PSS 序列停机性的证明。

== 参考资料 ==

PSS的良序性

2026-08-14T15:07:17Z

Tabelog：创建页面，内容为“我们给出 P 進大好き bot 关于 PSS（即两行 BMS）良序性的证明。<ref>P 進大好き bot. Introduction to the Termination of Pair Sequence System [EB/OL]. 2018. https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:P%E9%80%B2 %E5%A4%A7%E5%A5%BD%E3%81%8Dbot/Introduction_to_the_Termination _of_Pair_Sequence_System.</ref><ref>P 進大好き bot. ペア数列の停止性[EB/OL]. 2018. https://googology.fand om.com/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC…”

我们给出 P 進大好き bot 关于 PSS（即两行 BMS）良序性的证明。<ref>P 進大好き bot. Introduction to the Termination of Pair Sequence System
[EB/OL]. 2018. https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:P%E9%80%B2
%E5%A4%A7%E5%A5%BD%E3%81%8Dbot/Introduction_to_the_Termination
_of_Pair_Sequence_System.</ref><ref>P 進大好き bot. ペア数列の停止性[EB/OL]. 2018. https://googology.fand
om.com/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%
96%E3%83%AD%E3%82%B0:P%E9%80%B2%E5%A4%A7%E5%A5%BD%E3%81
%8Dbot/%E3%83%9A%E3%82%A2%E6%95%B0%E5%88%97%E3%81%AE%E5%
81%9C%E6%AD%A2%E6%80%A7.</ref><math></math>

证明终止性的方法概要如下:

1. 引入标准形式（比通常意义上的标准形式更宽）的概念，并引入更广泛的约化概念。
2. 定义一个称为约化 Red 的运算，用于处理不一定可约的对序列。
3. 定义一个从非正规对序列到 Buchholz 符号系统的映射 Trans，并使用 Red 将该定义扩展至不一定可约的对序列。

4. 定义一个映射 Mark，用于计算 Trans 的子串。

5. 证明 Mark 可以用对序列子序列的 Trans 来计算。

5.1. 这使得可以使用原始对序列子序列的 Trans 来计算对序列的 Trans 的子串。
5.2. 由于非真对序列的子序列不一定可约，因此即使只对非真对序列感兴趣，也必须使用不可约的对序列。
5.3. 由于将不一定是标准形式的对序列替换为标准形式的操作未知，因此即使只对标准形式感兴趣，也必须使用非标准形式的对序列。

6. 比较对序列的展开规则和在 Trans 下像的基本列。

6.1. 这表明，在 Trans 下，标准形式对序列的像决定了 Buchholz 序数项。
6.2. 此外，由于 Buchholz 序数项相对于标准全序是良基的，并且基本列相对于该全序下降，因此标准形式对序列系统的终止性成立。

注意，当用命题 $P(n), Q(n)$ （对于 $n \in N$ ）来证明 “对于任意 $n \in N, P(n) \rightarrow Q(n)$ ” 时，通过对 n 进行数学归纳法，如果 $P(0)$ 不成立，则 $P(0) \rightarrow Q(0)$ 成立，因此只需证明 “对于任意 $n \in N$ ，若 $P(n) \rightarrow Q(n)$ 成立，则 $P(n+1) \rightarrow Q(n+1)$ 成立” 即可。不过，为了帮助读者理解，本文还会考察使 $P(n_{0})$ 成立的最小 $n_{0} \in N$ ，并证明 $Q(n_{0})$ 。

下面给出证明的完整过程。

令 N 表示所有非负整数的集合， $N_{+}$ 表示所有正整数的集合。

对于类 $A$ ，如果存在 $n \in \mathbb{N}$ 使得 $a \in A^n$ ，则集合 $a$ 为一个 $A$ 值数组。由于这样的 $n$ 对于 $a$ 是唯一的，我们将其表示为 $\operatorname{Lng}(a)$ 。当 $\operatorname{Lng}(a) = 0$ 时，除非 $A$ 中存在任何歧义，否则我们将 $a$ 表示为 ( )。对于每个 $i \in \mathbb{N}$ 使得 $i < \operatorname{Lng}(a)$ ，我们将 $a$ 的第 $i$ 个分量表示为 $a_i \in A$ 。

对于每个 $i_0, i_1 \in \mathbb{N}$ 使得 $i_0 \leq i_1$ ，并且对于每个 $A$ 值函数 $f$ ，其定义域包括 $\{i \in \mathbb{N} \mid i_0 \leq i \leq i_1\}$ ，令 $(f(i))_{i-i_0}^{i_1}$ 为 $A$ 值数组，其长度为 $i_1 - i_0 + 1$ ，如果对于任何 $i \in \mathbb{N}$ ， $i \leq i_1 - i_0$ ，则第 i 个元素为 $f(i_0 + i)$ 。对于每个 $i_0, i_1 \in \mathbb{N}$ 和每个 $A$ 值函数 $f$ ，使得 $i_0 \leq i_1$ 不成立或 $\{i \in \mathbb{N} \mid i_0 \leq i \leq i_1\}$ 不包含在 $f$ 的定义域内，令 $(a_i)_{i-i_0}^{i_1} := ()$ 。

对于类 A，令 $A^{<\omega}$ 为所有 A 值数组的类，令 $A^{<\omega}$ 上的二元运算

\[
\oplus_ {A}: (A ^ {< \omega}) ^ {2} \rightarrow A ^ {< \omega}, \tag {21.67}
\]

\[
(a, b) \mapsto a \oplus_ {A} b. \tag {21.68}
\]

定义如下:

1. $j_{0} := \text{Lng}(a) - 1$ 。
2. 令 $j_{1} := j_{0} + \mathrm{Lng}(b)$ 。
3. 对于每个 $j \in N$ ，且 $j \leq j_{0}$ ，令 $c_{j} := a_{j}$ 。
4. 对于每个 $j \in \mathbb{N}$ , 且 $j_0 < j \leq j_1$ , 令 $c_j = b_{j - j_0 - 1}$ 。
5. $a \oplus_{A} b := (c_{j})_{j=0}^{j_{1}}$

映射

\[
\bigoplus_ {A}: (A ^ {< \omega}) ^ {< \omega} \to A ^ {< \omega} \tag {21.69}
\]

\[
a \mapsto \bigoplus_ {A} a \tag {21.70}
\]

以如下方式递归定义:

1. 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(a) - 1$ 。
2. 如果 $j_{1} = -1$ ，则 $\bigoplus_{A} a := ()$ 。
3. 如果 $j_{1}=0$ ，则 $\bigoplus_{A}a:=a_{0}$ 。
4. 如果 $j_{1} > 0$ ，则 $\bigoplus_{A} a := \left( \bigoplus_{A} (a_{i})_{i=0}^{j_{1}-1} \right) \oplus_{A} a_{j_{1}}$ 。

当指示满足某些条件的序列的唯一存在时，如果唯一性紧接着从字符串的末尾或开头进行的比较，则可以省略唯一性的存在。

如果集合 M 是一个 $N^{2}$ 值数组，且非 (), 则称集合 M 为对序列。设 $\mathrm{Idx}(M)$ 为所有对 $(i,j)$ 的集合，其中 $i \in \{0,1\}$ 且 $j \in N$ 小于 $\mathrm{Lng}(M)$ 。对于每个 $(i,j) \in \mathrm{Idx}(M)$ ，令 $(M_{j})_{i}$ 为 $M_{i,j}$ 。

设 $T_{PS}$ 为所有对序列的集合。

令 $M \in T_{\mathrm{PS}}$ 。我们同时递归地定义 $<_{M}^{\mathrm{Next}}$ 和 $\leq M$ 在 $\mathbb{Z}^2$ 上的二元关系，如下所示。

1. 对于 $(i_0, j_0), (i_1, j_1) \in \mathbb{Z}^2$ , $(i_0, j_0) < \frac{\text{Next}}{M} (i_1, j_1)$ 满足:

1.2. $i_{0}=i_{1}$
1.3. $j_{0} < j_{1}$ 。
1.4. $M_{i_0,j_0} < M_{i_1,j_1}$

1.1. $(i_{0}, j_{0}), (i_{1}, j_{1}) \in \mathrm{Idx}(M)$ 。

1.5. 如果 $i_0 = 0$ ，则对于任意 $j \in \mathbb{N}$ ，如果 $j_0 < j < j_1$ ，则 $M_{0,j} \geq M_{0,j_1}$ 。

1.6. 如果 $i_0 = 1$ ，则 $(0, j_0) \leq_M (0, j_1)$ ；对于任意 $j \in \mathbb{N}$ ，如果 $j_0 < j$ 且 $(0, j) \leq M(0, j_1)$ ，则 $M_{1,j} \geq M_{1,j_1}$ 。

2. $(i_{0},j_{0})\leq_{M}(i_{1},j_{1})$ 表示:

2.1. $(i_{0}, j_{0}), (i_{1}, j_{1}) \in \mathrm{Idx}(M)$ 。
2.2. $i_{0}=i_{1}$

2.3. 存在某个 $a \in N^{<\omega}$ 使得 $J := \mathrm{Lng}(a) - 1$ 满足:

2.1. $a \neq ()$ 。
2.2. $a_{0}=j_{0}$
2.3. 对于任意 $k \in \mathbb{N}$ ，若 $k < J$ ，则 $(i_0, a_k) <_{M}^{\mathrm{Next}}(i_1, a_{k+1})$ 。
2.4. $a_{J}=j_{1}$

定理 21.4.1 父项存在判定条件:

对于任意 $M \in T_{PS}$ 和 $j_{0}, j_{1} \in N$ ，若 $j_{0} < j_{1} < \mathrm{Lng}(M)$ ，则有：

(1) 若 $M_{0,j_0} < M_{0,j_1}$ , 则存在某个 $j \in \mathbb{N}$ 使得 $j_0 \leq j < j_1$ 且 $(0,j) < \frac{\text{Next}}{M}(0,j_1)$ 。
(2) 若 $M_{1,j_0} < M_{1,j_1}$ 且 $(0,j_0) \leq_M (0,j_1)$ ，则存在某个 $j \in \mathbb{N}$ 使得 $j_0 \leq j < j_1$ 且 $(1,j) < _M^{Next}(1,j_1)$ 。
(3) 若满足条件 “对于任意 $j \in N$ ，若 $j_{0} < j \leq j_{1}$ ，则 $M_{0,j_{0}} < M_{0,j}$ ”，则 $(0,j_{0}) \leq M(0,j_{1})$ 。
(4) 若条件 “对于任意 $j \in N$ ，若 $j_{0} < j$ 且 $(0, j) \leq_{M} (0, j_{1})$ 则 $M_{1,j_{0}}(0, j_{0}) \leq_{M} (0, j_{1})$ 。然后， $(1, j_{0}) \leq M(1, j_{1})$ 。

证明：

(1) 假设存在最大值 $j \in \mathbb{N}$ 使得 $j < j_1$ 且 $M_{0,j} < M_{0,j_1}$ ，且极大值 $j_0 \leq j < j_1$ 且 $(0,j) < _M^{\mathrm{Next}} (0,j_1)$ 。
(2) 假设存在最大值 $j \in \mathbb{N}$ 使得 $M_{1,j} < M_{1,j_1}$ 且 $(0,j) \leq M(0,j_1)$ ，且极大值 $j_0 \leq j < j_1$ 或 $\supset (1,j) < _M^{\text{Next}}(1,j_1)$ 。
(3) 根据假设和 (1)，存在 $j \in \mathbb{N}$ 使得 $j_0 \leq j < j_1$ 且 $(0, j) <_{M}^{\text{Next}} (0, j_1)$ 。因此，通过对 $j_1$ 的数学归纳法可知。
(4) 根据假设和 (2)，存在 $j \in \mathbb{N}$ 使得 $j_0 \leq j < j_1$ 且 $(1, j) < \frac{\text{Next}}{M}(1, j_1)$ 。因此，通过对 $j_1$ 的数学归纳法可知。

证毕。

# 定理 21.4.2 父项的基本性质：

对于任意 $M \in T_{\mathrm{PS}} j_0, j, j_1 \in \mathbb{N}$ ，如果 $j_0 < j \leq j_1$ ，则以下成立：

(1) 如果 $(0,j_{0})<\frac{Next}{M}(0,j_{1})$ ，则 $M_{0,j}\geq M_{0,j_{1}}$ 。
(2) 如果 $(1,j_{0})<_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ 且 $(0,j)\leq M(0,j_{1})$ ，则 $M_{1,j}\geq M_{1,j_{1}}$ 。

证明：

(1) 假设上述假设不成立，则推导出矛盾。根据假设，存在 $j_0, j, j_1 \in \mathbb{N}$ 使得 $j_0 < j \leq j_1$ 且 $(0, j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}} (0, j_1)$ 和 $M_{0,j} < M_{0,j_1}$ 。由于在这样的 $(j_0, j, j_1)$ 组合中 $j < \mathrm{Lng}(M)$ ，因此存在一个组合 $(j_0, j, j_1)$ 使得 $j$ 最大，我们称该组合为 $(j_0', j', j_1')$ 。从 $j'$ 的极大性出发，若对任意 $j \in \mathbb{N}$ ， $j'j \leq j_1'$ ，则 $M_{0,j} \geq M_{0,j_1'}$ 。因此， $(0, j') <_{M}^{\mathrm{Next}} (0, j_1')$ ，这与 $j_0'j'$ 矛盾。
（2）假设这不成立，则得出矛盾。假设存在 $j_0, j, j_1 \in \mathbb{N}$ 使得 $j_0 < j \leq j_1$ 且 $(1, j_0) < _M^{\text{Next}}(1, j_1)$ 以及 $(0, j) \leq_M (0, j_1)$ 和 $M_{1,j} < M_{1,j_1}$ 。由于在这样的 $(j_0, j, j_1)$ 组合中 $j < \text{Lng}(M)$ ，因此存在一个组合 $(j_0, j, j_1)$ 使得 $j$ 最大化，我们称这个组合为 $(j_0', j', j_1')$ 。根据 $j'$ 的极大性，对于任意 $j \in \mathbb{N}$ ，若 $j'j \leq j_1'$ 且 $(0, j) \leq M(0, j_1')$ ，则 $M_{1,j} \geq M_{1,j_1'}$ 。因此， $(1, j') < _M^{\text{Next}}(1, j_1')$ ，这与 $j_0'j'$ 矛盾。

证毕。

# 定理 21.4.3 直系祖先的基本性质：

对于任意 $M \in T_{PS}$ 和 $j_{0}, j, j_{1} \in N$ ，如果 $j_{0} < j \leq j_{1}$ ，则以下成立：

(1) 如果 $(0,j_{0})\leq_{M}(0,j_{1})$ ，则 $M_{0,j_{0}}<M_{0,j}$ 。
(2) 如果 $(1,j_{0})\leq_{M}(1,j_{1})$ 且 $(0,j)\leq_{M}(0,j_{1})$ ，则 $M_{1,j_{0}}<M_{1,j}$ 。

证明：根据父元素的基本性质，通过对 $\leq M$ 定义中的 J 进行数学归纳法，可直接得出。证毕。

# 定理 21.4.4 直系祖先树的构造:

对于任意 $M \in T_{PS}$ 和 $j_{0}^{\prime}, j, j_{1}^{\prime} \in N$ ，有：

(1) 若 $(0,j_{0}^{\prime})\leq_{M}(0,j_{1}^{\prime})$ 且 $j_{0}^{\prime}\leq j\leq j_{1}^{\prime}$ ，则 $(0,j_{0}^{\prime})\leq_{M}(0,j)$ 。
(2) 若 $(1, j_0') \leq_M (1, j_1')$ 且 $j_0' \leq j$ 且 $(0, j) \leq M(0, j_1')$ , 则 $(1, j_0') \leq M(1, j)$ 。

证明：

（1）由判定父项存在的条件（3）和直系祖先的基本性质（1）直接推出。
(2) 由判定父项存在的条件 (4) 和直系祖先的基本性质 (2) 直接推出。

证毕。

映射

\[
\text {Pred:} T _ {\mathrm{PS}} \rightarrow T _ {\mathrm{PS}} \tag {21.71}
\]

\[
M \mapsto \operatorname{Pred} (M) \tag {21.72}
\]

按照如下方式定义:

1. 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M) - 1$ 。
2. 如果 $j_{1}=0$ ，则 $\mathrm{Pred}(M):=M$ 。
3. 如果 $j_{1} > 0$ ，则 $\mathrm{Pred}(M) := (M_{j})_{j=0}^{j_{1}-1}$ 。

虽然我们还没有给出序数符号系统的结构，但是 Pred 对应于对 $\emptyset$ 取 $\emptyset$ 的运算和对一个后继序数取最大元素的运算。

映射

\[
\text {Derp:} T _ {\mathrm{PS}} \rightarrow T _ {\mathrm{PS}} \cup \left\{\left(\right)\right\} \tag {21.73}
\]

\[
M \mapsto \operatorname{Derp} (M) \tag {21.74}
\]

按照如下方式递归定义:

1. 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M) - 1$ 。
2. 令 $\mathrm{Derp}(M) := (M_j)_{j=1}^{j_1}$ 。

Derp 与序数运算无关，但为了方便起见，我们只会在定义一个名为 Red 的映射时使用一次，该映射稍后会介绍。

映射

\[
\text {operator} [ ]: T _ {\mathrm{PS}} \times \mathbb {N} _ {+} \rightarrow T _ {\mathrm{PS}} \tag {21.75}
\]

\[
(M, n) \mapsto M [ n ] \tag {21.76}
\]

按照如下方式递归定义:

1. 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M) - 1$ 。
2. 如果 $j_{1}=0$ ，则 $M[n]:=M$ 。
3. 令 $j_{1} > 0$ 。
3.1. 如果 $M_{j_{1}}=(0,0)$ ，则 $M[n]:=\mathrm{Pred}(M)$ 。
3.2. 令 $M_{j_{1}} \neq (0,0)$ 。
3.2.1. 令 $i_1 := \max \{i \in \{0, 1\} \mid M_{i,j_1} > 0\}$ 。
3.2.3. 假设存在唯一的 $j_0 \in \mathbb{N}$ 使得 $(i_1, j_0) < \frac{\text{Next}}{M} (i_1, j_1)$ 。
3.2.3.2. 对于每个满足 $i \geq i_{1}$ 的 $i \in N$ ，设 $\delta_{i} := 0$ 。
3.2.3.3. 设 $G := (M_{j})_{j=0}^{j_{0}-1} \in T_{\mathrm{PS}}$ 。
3.2.3.4. $B := (((M_{0,j} + k\delta_0, M_{1,j} + k\delta_1))_{j=j_0}^{j_1-1})_{k-0}^{n-1} \in T_{\mathrm{PS}}^n$

3.2.2. 如果不存在唯一的 $j_0 \in \mathbb{N}$ 使得 $(i_1, j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(i_1, j_1)$ ，则 $M[n] := \mathrm{Pred}(M)$ 。

3.2.3.1. 对于每个 $i \in N$ 使得 $i < i_{1}$ ，令 $\delta_{i} := M_{i,j_{1}} - M_{i,j_{0}}$ 。

3.2.3.5. $M[n] := (G \oplus \mathbb{N}^{2}(\bigoplus_{\mathbb{N}^{2}} B))$ 。

我们尚未给出序数符号系统的结构，但 operator[] 对应于给出 [] 的 $\emptyset$ 、给出后继序数的最大元素以及给出极限序数的基本列的运算。

定理 21.4.5 对于任意 $M \in T_{PS}$ ，若 $\mathrm{Lng}(M) > 1$ ，则 $\mathrm{Pred}(M) = M[1]$ 。

证明：由 operator[] 的定义可知。证毕。

映射 $f:\mathbb{N}_{+}\to \mathbb{N}_{+}$ 是固定的。主要有 $f(n) = n + 1$ 或 $f(n) = n^{2}$ 。

在 $T_{PS} \times N_{+}$ 上递归定义部分映射

\[
F: (M, n) \mapsto F _ {M} (n) \tag {21.77}
\]

如下：

1. 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M) - 1$ 。
2. 如果 $j_{1}=0$ ，则 $F_{M}(n):=f(n)$ 。
3. 令 $j_{1} > 0$ 。

3.1. 如果 $M_{j_1} = (0,0)$ ，则 $F_M(n) := F_{\mathrm{Pred}(M)}(f(n))$ 。

3.2. 令 $M_{j_{1}} \neq (0,0)$ 。

3.2.1. 令 $i_1 := \max \{i \in \{0, 1\} \mid M_{i,j_1} > 0\}$ 。[4]。

3.2.2. 如果不存在唯一的 $j_0 \in \mathbb{N}$ 使得 $(i_1, j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(i_1, j_1)$ ，则 $F_M(n) := F_{\mathrm{Pred}(M)}(f(n))$ 。

3.2.3. 如果存在唯一的 $j_{0} \in N$ 使得 $(i_{1}, j_{0}) < \underset{M}{\text{Next}}(i_{1}, j_{1})$ ，则 $F_{M}(n) := F_{M[n]}(f(n))$ 。

由于对序列本身最初被定义为一个称为对序列数字的单个数字，因此即使 Bashicu 矩阵的版本固定，对序列系统的概念也会因人而异。以上只是一个例子，但本文所展示的内容基本上适用于任何对序列的解释，因此请注意，这个公式本身并没有什么深刻的含义。

设 F 的定义域为 $\mathrm{Dom}(F) \subset T_{\mathrm{PS}} \times \mathbb{N}_{+}$ 。

定理 21.4.6 $F_{M}$ 和基本列的关系。

对于任意 $(M,n)\in T_{\mathrm{PS}}\times\mathbb{N}_{+}$ ，以下等价：

(1) $(M, n) \in \mathrm{Dom}(F)$ 。
(2) $(M[n],n)\in\mathrm{Dom}(F)$ 。
(3) $(M,n)\in\mathrm{Dom}(F)$ 且 $(M[n],n)\in\mathrm{Dom}(F)$ 且 $F_{M}(n)=F_{M[n]}(n)$ 。

证明：直接由 Pred 中 operator[] 的定义以及 F 的递归定义得出。证毕。

为了证明后面定义的对序列标准形式的终止性，我们研究了对序列的基本操作和性质，为定义从对序列到 Buchholz 符号系统的翻译映射 Trans 做准备。

映射

\[
\text {IncrFirst:} T _ {\mathrm{PS}} \rightarrow T _ {\mathrm{PS}} \tag {21.78}
\]

\[
M \mapsto \operatorname{IncrFirst} (M) \tag {21.79}
\]

定义如下

1. 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M) - 1$ 。
2. 令 IncrFirst $(M):=((M_{0,j}+1,M_{1,j}))_{j=0}^{j_1}$ 。

定理 21.4.7 ≤ M IncrFirst 不变性。

对于任意 $(M,n)\in T_{\mathrm{PS}}\times\mathbb{N}_{+}$ ，以下等价：

对于任何 $M \in T_{PS}, \leq M$ 和 $\leq IncrFirst(M)$ 相等。

证明：由 $\leq M$ 的定义即得。证毕。

令 $M \in T_{PS}$ 。

1. 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M) - 1$ 。
2. 如果满足以下条件，则 M 为必要项：

2.1. $j_{1}=0$ 。

2.2. $M_{1,0} = 0$ 。

3. 如果满足以下条件，则 $M$ 为单项项：

3.1. M 为非必要项。

3.2. $(0,0) \leq_{M} (0,j_{1})$ 。

4. 如果满足以下条件，则 M 为复项：

4.1. M 为非必要项。

4.2. M 为非单项项。

5. 令 $ZT_{\mathrm{PS}} \subset T_{\mathrm{PS}}$ 为所有单项对序列的子集。
6. 令 $PT_{PS} \subset T_{PS}$ 为所有单项对序列的子集。
7. 令 $MT_{PS} \subset T_{PS}$ 为所有复项对序列的子集。

定理 21.4.8 复项的判定条件。

对于任意 $M \in T_{PS}$ ，以下等价：

(1) M 不是复项。
(2) 对于任意 $j \in \mathbb{N}$ , 若 $0 < j < \mathrm{Lng}(M)$ , 则 $M_{0,0} < M_{0,j}$ 。
(3) $(0,0) \leq M(0,j_1)$ 。

证明：

(2) 和 (3) 的等价性由父项存在性准则 (3) 和直系祖先的基本性质 (1) 得出。

如果 (1) 成立，则 $\mathrm{Lng}(M) = 1$ 或 $(0,0) \leq M(0,j_0)$ ，因此，由直系祖先的基本性质 (1) 可知 (2) 成立。

如果 (2) 成立，则若 $\mathrm{Lng}(M)=1$ ，则 M 不是复合项；若 $\mathrm{Lng}(M)>1$ ，则由父项存在性准则 (3) 可知 $(0,0)\leq_{M}(0,j_{1})$ ，因此 M 是单项项，因此 (1) 成立。

证毕。

定理 21.4.9 单项性前段的遗传性。

对于任何 $M \in PT_{\mathrm{PS}}$ 和 $j_0 \in \mathbb{N}$ ，如果 $0 < j_0 < \mathrm{Lng}(M)$ 则 $(M_j)_{j=0}^{j_0}$ 是单项的。

证明：根据单项的定义，可以立即得出复项的条件。证毕。

定理 21.4.10 单项性直系祖先前段的遗传性。

对于任何 $M \in T_{\mathrm{PS}}$ 和 $j_0', j_1' \in \mathbb{N}$ ，如果 $j_0' j_1'$ 且 $(0, j_0') \leq M(0, j_1')$ 则 $(M_j)_{j - j_0'}^{j_1'}$ 是单项的。

证明：设 $M' := (M_j)_{j=j_0'}^{j_1'}$ 。若对于任意 $j \in \mathbb{N}$ ，满足 $0 < j \leq j_1' - j_0'$ ，则根据直接祖先的基本性质 (1) 及 $(0, j_0') \leq M(0, j_1')$ ， $M_{0,0}' = M_0, j_0'M_{0,j_0'+j} = M_{0,j}'$ 。因此，根据判断父项存在的条件 (3)， $(0, 0) \leq M'(0, j_1' - j_0')$ 。由于 $\mathrm{Lng}(M') = j_1' - j_0' > 0$ ， $M'$ 不是单项。由上可知， $M'$ 是单项。

证毕。

映射

\[
P: T _ {\mathrm{PS}} \to T _ {\mathrm{PS}} ^ {< \omega} \tag {21.80}
\]

\[
M \mapsto P (M) \tag {21.81}
\]

递归定义如下:

1. 如果 M 是项或单项，则 $P(M):=(M)$ 。
2. 令 M 为复合项。
1. 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M) - 1$ 。
2. 令 $j_0 := \min \{ j \in \mathbb{N} \mid 0 < j \leq j_1 \land (0, j) \leq_M (0, j_1)\}$ 。
3. 令 $P(M) := P\left((M_j)_{j=0}^{j_0-1}\right) \oplus T_{\mathrm{PS}}(M_j)_{j=j_0}^{j_1}$ 。
根据 P 的递归定义， $P(M) \neq ()$ 。

定理 21.4.11 P 的 IncrFirst 同变性。

对于任意 $M \in T_{PS}$ ，令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(M)) - 1$ ，则 $P(\mathrm{IncrFirst}(M)) = (\mathrm{IncrFirst}(P(M)_{J}))_{J=0}^{J_{1}}$ 。

证明：由 $\leq M$ 的 IncrFirst 不变性立刻得到。证毕。

定理 21.4.12 P 各成分的非复项性。

对于任意 $M \in T_{PS}$ ，以下成立：

(1) $P(M)$ 的每个分量要么是零项的，要么是单项的。
(2) M 为复项的当且仅当 $\mathrm{Lng}(P(M)) > 1$ 。

证明：由 $P$ 的递归定义可知，通过对 $\mathrm{Lng}(M)$ 的数学归纳法可得。证毕。

定理 21.4.13 P 的加法性。

对于任意 $M \in T_{\mathrm{PS}}$ 和 $j_0 \in \mathbb{N}$ , 令 $j_1 := \mathrm{Lng}(M) - 1$ , 令 $0 < j_0 \leq j_1$ , 且对于任意 $j \in \mathbb{N}$ , 若 $j < j_0$ , 则 $M_{0,j} \geq M_{0,j_0}$ 。然后 $P(M) = P((M_j)_{j=0}^{j_0-1}) \oplus T_{\mathrm{PS}}P((M_j)_{j=j_0}^{j_1})$ 。

证明：设 $j_{0}^{\prime} := \min\left\{j \in \mathbb{N} \mid (0, j) \leq_{M} (0, j_{1})\right\}$ 。

对于任意 $j \in \mathbb{N}$ ，若 $j < j_0$ ，则 $M_{0,j} \geq M_{0,j_0}$ 。因此，根据直系祖先元素的基本性质 (1)， $0 < j_0 \leq j_0'$ 。因此，根据 $P$ 的定义， $P(M) = P\left((M_j)_{j=0}^{j_0'-1}\right) \oplus \mathbb{N}^2\left((M_j)_{j=j_0'}^{j_1}\right)$ 且 $P\left((M_j)_{j=j_0'}^{j_1}\right) = \left((M_j)_{j=j_0'}^{j_1}\right)$ ，所以 $P(M) = P\left((M_j)_{j=0}^{j_0'-1}\right) \oplus \mathbb{N}^2P\left((M_j)_{j=j_0'}^{j_1}\right)$ 。

根据 $j_0'$ 的定义以及判断父节点存在的条件，对于任意 $j \in \mathbb{N}$ ，如果 $j < j_0'$ ，则 $M_{0,j} \geq M_{0,j_0'}$ 。

这可以通过对 $j_{0}^{\prime}-j_{0}$ 和 $j_{0}$ 的词汇顺序进行数学归纳法来证明。

设 $j_{0}^{\prime}-j_{0}=0$ 。有

\[
P (M) = P \left((M _ {j}) _ {j = 0} ^ {j _ {0} ^ {\prime} - 1}\right) \oplus_ {\mathbb {N} ^ {2}} P \left((M _ {j}) _ {j = j _ {0} ^ {\prime}} ^ {j _ {1}}\right) = P \left((M _ {j}) _ {j - 0} ^ {j _ {0} - 1}\right) \oplus_ {\mathbb {N} ^ {2}} P \left((M _ {j}) _ {j = j _ {0}} ^ {j _ {1}}\right). \tag {21.82}
\]

令 $j_{0}^{\prime}-j_{0}>0$ 。

由归纳法的假设

\[
P \left((M _ {j}) _ {j = 0} ^ {j _ {0} - 1}\right) = P \left((M _ {j}) _ {j = 0} ^ {j _ {0} - 1}\right) \oplus T _ {\mathrm{PS}} P \left((M _ {j}) _ {j = j _ {0}} ^ {j _ {0} ^ {\prime} - 1}\right), \tag {21.83}
\]

和

\[
P \left((M _ {j}) _ {j = j _ {0}} ^ {j _ {1}}\right) = P \left((M _ {j}) _ {j = j _ {0}} ^ {j _ {0} ^ {\prime} - 1}\right) \oplus_ {T _ {\mathrm{PS}}} P \left((M _ {j}) _ {j - j _ {0} ^ {\prime}} ^ {j _ {1}}\right), \tag {21.84}
\]

因此

\[
\begin{array}{l} P (M) = P \left((M _ {j}) _ {j = 0} ^ {j _ {0} ^ {\prime} - 1}\right) \oplus \mathbb {N} ^ {2} P \left((M _ {j}) _ {j = j _ {0} ^ {\prime}} ^ {j _ {1}}\right) \\ = P \left((M _ {j}) _ {j = 0} ^ {j _ {0} - 1}\right) \oplus T _ {\mathrm{PS}} P \left((M _ {j}) _ {j = j _ {0}} ^ {j _ {0} - 1}\right) \oplus \mathbb {N} ^ {2} P \left((M _ {j}) _ {j = j _ {0} ^ {\prime}} ^ {j _ {1}}\right) \tag {21.85} \\ = P \left((M _ {j}) _ {j = 0} ^ {j _ {0} - 1}\right) \oplus \mathbb {N} ^ {2} P \left((M _ {j}) _ {j = j _ {0}} ^ {j _ {1}}\right). \\ \end{array}
\]

证毕。

定理 21.4.14 P 的基本列关系。

对于任意 $M \in T_{PS}$ 和 $n \in N_{+}$ ，令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(M)) - 1$ ，且以下成立：

(1) 若 $\mathrm{Lng}(P(M)_{J_{1}})=1$ ，则 $M[n]=\mathrm{Pred}(M)$ ，且进一步，取决于 $J_{1}=0$ 是否成立， $P(M[n])(M[n])=(P(M[n])=(P(M)_{J})_{J=0}^{J_{1}-1}$ 。
(2) 若 $\mathrm{Lng}(P(M)_{J_{1}})>1$ 则 $M[n]=\left(\bigoplus_{\mathbb{N}^{2}}(P(M)_{J})_{J=0}^{J_{1}-1}\right)\oplus_{\mathbb{N}^{2}}P(M)_{J_{1}}[n]$ 且 $P(M[n])=(P(M)_{J})_{J=0}^{J_{1}-1}\oplus_{T_{\mathrm{PS}}}P(P(M)_{J_{1}}[n])$ 。

证明：

(1) 由算子 $\square$ 的定义以及单项对初始段的遗传性可直接得出。
(2) 由 $P$ 的递归定义可直接得出, 因为 $(P(M)_{J_1})_0 = P(M)_{J_1}[n]_0$ 。

定理 21.4.15 非复项性与基本列的关系。

对于任意 $M \in T_{\mathrm{PS}}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ , 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M) - 1$ 。如果 $M$ 不是复合项, 则以下成立:

(1) 如果 $(0,0)<_{M}^{Next}(0,j_{1})$ 且 $M_{1,j_{1}}=0$ ，则 $P(M[n])(\mathrm{Pred}(M))_{k=0}^{n-1}$ 。
(2) 如果 $(0,0) < \frac{Next}{M}(0,j_{1})$ 或 $M_{1,j_{1}} > 0$ ，则 $P(M[n]) = (M[n])$ 。

证明：

(1) $M[n] = \bigoplus_{\mathbb{N}^2} (\operatorname{Pred}(M))_{k=0}^{n-1}$ , 且由于单项对初始段的遗传性, $\operatorname{Pred}(M)$ 不是复合项。因此, 由 $P$ 的可加性, 可由 $n$ 的数学归纳法得出。
(2) $M$ 不是复合项，因此根据复合性准则，若对任意 $j \in \mathbb{N}$ ， $0 < j \leq j_1$ ，则 $M[n]_{0,0} = M_{0,0} < M_{0,j}$ 。

如果 $(0,0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_1)$ 不成立且 $M_{1,j_1} = 0$ ，则若对于任意 $j\in \mathbb{N}$ ， $0 < j < \mathrm{Lng}(M[n])$ 则 $M[n]_{0,j}$ 是 $(M_{0,j})_{j = 1}^{j_1}$ 的分量，因此 $M[n]_{0,0}M[n]_{0,j}$ 。

如果 $M_{1,j_1} > 0$ ，则对于任意 $j\in \mathbb{N}$ ，若 $0 < j < \mathrm{Lng}(M[n])$ ，则 $M[n]_{0,j}$ 为 $(M_{0,j})_{j = 1}^{j_1}$ 的任意分量与一个小于 $n$ 的自然数之和，即 $M[n]_{0,0} < M[n]_{0,j}$ 。

因此，无论哪种情况，根据复合项， $M[n]$ 都不是复合项；根据 P 各分量的非项性（2），有 $P(M[n]) = (M[n])$ 。

证毕。

设 $M \in T_{PS}$ 且 $j \in N$ 。

1. 设 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M)$ 。
2. 如果满足以下任一条件，则称 j 为 M-不容许的：

2.1. $j > j_{1}$ 。
2.2. $(1,j - 1) <_{M}^{\text{Next}} (1,j) <_{M}^{\text{Next}} (1,j + 1)$ 。
3. 如果 j 不是 M-不容许的，则称 j 为 M-不容许的。
4. 设 $\mathbb{N}_M \subset \mathbb{N}$ 为所有 $M$ -不容许的自然数的子集。

定理 21.4.16 容许性切片的遗传性。

对于任意 $M \in T_{\mathrm{PS}}$ 和 $j_0', j_0, j_1' \in \mathbb{N}$ , 令 $j_1 := \mathrm{Lng}(M) - 1$ , 令 $j_0' \leq j_0 \leq j_1' \leq j_1$ , 且令 $N := (M_j)_{j = j_0'}^{j_1'}$ , 则下列等价: (1) $j_0$ 为 $M$ -容许的或 $j_0' = j_0$ 或 $j_0 = j_1'$ 。(2) $j_0 - j_0'$ 为 $N$ -容许的。

证明: 若 $j_{0}^{\prime}=j_{0}^{\prime}$ 或 $j_{0}=j_{1}^{\prime}$ 或 $j_{1}^{\prime}=j_{1}$ ，则根据容许性定义成立。以下设 $j_{0}^{\prime}<j_{0}<j_{1}^{\prime}<j_{1}$ 。 $j_{0}^{\prime}(1,j_{0}-1)<_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_{0})<_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_{0}+1)$ 不成立，且 $(1,j_{0}-j_{0}^{\prime}-1)<_{N}^{\mathrm{Next}}(1,j_{0}-j_{0}^{\prime})<_{N}^{\mathrm{Next}}(1,j_{0}-j_{0}^{\prime}+1)$ 不成立。因此， $j_{0}$ 的 M-容许性与 $j_{0}-j_{0}^{\prime}$ 的 N-容许性相同。

映射

\[
\mathrm{Adm} _ {M}: T _ {\mathrm{PS}} \times \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} _ {M} \tag {21.86}
\]

\[
(M, j) \mapsto \mathrm{Adm} _ {M} (j) \tag {21.87}
\]

定义如下:

1. 如果 j 是 M-容许的，则 $\mathrm{Adm}_{M}(j):=j$ 。
2. 如果 $j$ 不是 $M$ -容许的, 则令 $\mathrm{Adm}_M(j) := \max \{j' \in \mathbb{N}_M \mid j'j\}$ 。

定理 21.4.17 容许化切片的遗传性。

对于任意 $M \in T_{\mathrm{PS}}$ 和 $j_0', j_1' \in \mathbb{N}$ , 令 $j_1 := \mathrm{Lng}(M) - 1$ , 令 $j_0' \leq \mathrm{Adm}_M(j_0)$ 且 $j_0 < j_1' \leq j_1$ , 且令 $N := (M_j)_{j = j_0}^{j_1'}$ , 则 $\mathrm{Adm}_N(j_0 - j_0') = \mathrm{Adm}_M(j_0) - j_0'$ 。

证明： $\mathrm{Adm}_N(j_0 - j_0') \leq j_0 - j_0' < j_1 - j_0'$ 和 $j_0' \leq \mathrm{Adm}_M(j_0) \leq j_0 < j_1$ ，并且由于容许性切片的遗传性， $\mathrm{Adm}_N(j_0 - j_0')$ 和 $\mathrm{Adm}_M(j_0) - j_0'$ 是 $N$ 容许的，而 $\mathrm{Adm}_M(j_0)$ 是 $M$ 容许的。因此，由 $\mathrm{Adm}_N(j_0 - j_0')$ 的极大化可知， $\mathrm{Adm}_N(j_0 - j_0') \geq \mathrm{Adm}_M(j_0) - j_0'$ 。假设 $\mathrm{Adm}_M(j_0) < \mathrm{Adm}_N(j_0 - j_0') + j_0'$ ，则矛盾。

根据 $\mathrm{Adm}_{M}\left(j_{0}\right)<\mathrm{Adm}_{N}\left(j_{0}-j_{0}^{\prime}\right)+j_{0}^{\prime}\leq\left(j_{0}-j_{0}^{\prime}\right)+j_{0}^{\prime}=j_{0},\left(1,\mathrm{Adm}_{N}\left(j_{0}-j_{0}^{\prime}\right)+j_{0}^{\prime}-1\right)<_{M}^{\mathrm{Next}}\left(1,\mathrm{Adm}_{N}\left(j_{0}-j_{0}^{\prime}\right)+j_{0}^{\prime}\right)$ ，有 $j_{0}^{\prime}\leq\mathrm{Adm}_{M}\left(j_{0}\right)<\mathrm{Adm}_{N}\left(j_{0}-j_{0}^{\prime}\right)+j_{0}^{\prime},\left(1,\mathrm{Adm}_{N}\left(j_{0}-j_{0}^{\prime}\right)-1\right)<_{N}^{\mathrm{Next}}\left(1,\mathrm{Adm}_{N}\left(j_{0}-j_{0}^{\prime}\right)\right)$ 。

因此，从 $\mathrm{Adm}_N(j_0 - j_0')$ 的 $N$ 容许性可以看出， $(1, \mathrm{Adm}_N(j_0 - j_0')) < _N^{\mathrm{Next}}(1, \mathrm{Adm}_N(j_0 - j_0') + 1)$ 不成立，但 $(1, \mathrm{Adm}_N(j_0 - j_0') + j_0') < _M^{\mathrm{Next}}(1, \mathrm{Adm}_N(j_0 - j_0') + j_0' + 1)$ 不成立。同样， $\mathrm{Adm}_M(j_0) < \mathrm{Adm}_N(j_0 - j_0') + j_0' \leq j_0$ ，因此 $\mathrm{Adm}_N(j_0 - j_0') + j_0' = j_0$ 。然后，因为切片的容许是可遗传的，且 $j_0 < j_1$ ，所以 $j_0$ 是 $M$ 容许的， $\mathrm{Adm}_M(j_0) = j_0$ ，这与 $\mathrm{Adm}_M(j_0) < \mathrm{Adm}_N(j_0 - j_0') + j_0' \leq j_0$ 相矛盾。

由上可知， $\mathrm{Adm}_{M}(j_{0})=\mathrm{Adm}_{N}(j_{0}-j_{0}^{\prime})+j_{0}^{\prime}$ 。

证毕。

令 $(M,m)\in T_{\mathrm{PS}}\times\mathbb{N}$ 。

1. 如果 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M) - 1$ 时满足以下条件，则 $(M, m)$ 为具有基点的对序列：
1.1. m 是 M 容许的。
1.2. $(0,m)\leq_{M}(0,j_{1})$
2. 令 $T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}} \subset T_{\mathrm{PS}} \times \mathrm{N}$ 为所有具有基点的对序列的子集。
3. $RT_{PS}^{Marked} := \left\{(M, m) \in T_{PS}^{Marked} \mid M \in RT_{PS}\right\}$ 。

定理 21.4.18 基点切片的遗传性。

对任意 $(M, m) \in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ 和 $j_0', j_1' \in \mathbb{N}$ , 令 $j_1 := \mathrm{Lng}(M) - 1$ , 则若 $j_0' \leq m \leq j_1' \leq j_1$ , 则 $\left((M_j)_{j=j_0'}^{j_1'}, m-j_0'\right) \in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ 。

证明：此结论可直接由直系祖先树 (1) 和容许片段的遗传性推导出来。证毕。

映射

\[
\mathrm{IdxSum:} T _ {\mathrm{PS}} ^ {< \omega} \rightarrow \mathbb {N} ^ {< \omega} \tag {21.88}
\]

\[
Q \mapsto \mathrm{IdxSum} (Q) \tag {21.89}
\]

定义如下：1. 令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(Q) - 1$ 。

2. 对于每个 $J \in \mathbb{N}$ , 且 $J \leq J_1 + 1$ , 递归定义 $j_J \in \mathbb{N}$ , 如下所示:

2.1. 如果 J = 0，则 $j_{J} := 0$ 。

2.2. 如果 J > 0，则 $j_{J} := j_{J-1} + \mathrm{Lng}(Q_{J-1})$ 。
3. $\mathrm{IdxSum}(Q):=(j_{J})_{J=0}^{J_{1}+1}$ 。

定理 21.4.19 P 和 IdxSum 的关系。

对于任意 $M \in T_{\mathrm{PS}}$ 和 $J \in \mathbb{N}$ , 令 $J_1 := \mathrm{Lng}(P(M)) - 1$ , 则令 $j_0' := \mathrm{IdxSum}(P(M))_J$ , 其中 $J \leq J_1$ , 且令 $j_1' := \mathrm{IdxSum}(P(M))_{J+1}$ , 则 $P(M)_J = (M_j)_{j=j_0'}^{j_1'-1}$ 。

证明：这可直接由 IdxSum 的定义得出。证毕。

定理 21.4.20 P 和 IdxSum 的合成特征。

对于任意 $M \in T_{PS}$ ，令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M) - 1$ 且 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(M)) - 1$ ，且下列条件成立：

(1) 对于任意 $J \in \mathbb{N}$ , 若 $J \leq J_1$ , 则不存在唯一的 $j_0 \in \mathbb{N}$ 使得 $(0, j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}} (0, \mathrm{IdxSum}(P(M))J)$ 。
(2) 对于任意的 $j \in \mathbb{N}$ ，若不存在唯一的 $j \in \mathbb{N}$ 使得 $j \leq j_1$ 且 $(0, j_0) <_{M}^{Next}(0, j)$ ，则存在某个 $J \in \mathbb{N}$ 使得 $J \leq J_1$ 且 $j = \mathrm{IdxSum}(P(M))J$ 。

证明：这直接源于 P 的递归定义以及 P 与 IdxSum 之间的关系。证毕。

定理 21.4.21 P 各成分左端的单调性。

对于任意 $M \in T_{\mathrm{PS}}$ 和 $J_0', J_1' \in \mathbb{N}$ , 令 $J_1 := \mathrm{Lng}(P(M)) - 1$ , 则若 $J_0' \leq J_1' \leq J_1$ , 则 $\left(P(M)_{J_0'}\right)_{0,0} \geq \left(P(M)_{J_1'}\right)_{0,0}$ 。

证明：根据 P 各分量的非复项性质，以及 P 与 IdxSum 的关系，对于任意 $j \in N$ ，如果 $j < \mathrm{IdxSum}(P(M))_{J_{1}^{\prime}}$ ，则 $(0, j) \leq_{M} (0, j_{J_{1}^{\prime}})$ 不成立。

因此，根据父存在性准则(1)，对于任意 $j\in \mathbb{N}$ ，如果 $j < j_{J_1^{\prime}}$ ，则 $M_{0,j}\geq M_{0,j_{J_1'}}$ 。因为 $J_0^\prime \leq J_1^\prime \leq J_1$ ， $\mathrm{IdxSum}(P(M))_{J_0'}\mathrm{IdxSum}(P(M))_{J_1'}$ ，则 $\left(P(M)_{J_0'}\right)_{0,0} = M_{0,j_{J_0'}}\geq M_{0,j_{J_1'}'} =$ $\left(P(M)_{J_1'}\right)_{0,0}$ 。证毕。

定理 21.4.22 切片单项成分与 $<_{M}^{Next}$ 的关系。

对于任意 $M \in PT_{\mathrm{PS}}$ 和 $j_0, J \in \mathbb{N}$ , 令 $j_1 := \mathrm{Lng}(M) - 1$ , 令 $0 < j_0 \leq j_1$ , 令 $M' := (M_j)_{j=j_0}^{j_1}$ , 且令 $J_1 := \mathrm{Lng}(P(M')) - 1$ 。然后, 若 $J \leq J_1$ , 则存在唯一的 $j \in \mathbb{N}$ 使得 $j < j_0$ 且 $(0, j) < _M^{Next}$ $(0, j_0 + \mathrm{IdxSum}(P(M'))_J)$ 。

令 $j_{0}^{\prime} := j_{0} + \mathrm{IdxSum}(P(M^{\prime}))$ J，则有 $j_{0}^{\prime} \leq j_{0} + (j_{1} - j_{0}) = j_{1}$ 。

M 满足单项复项 $(0,0) \leq M(0,j_{0}^{\prime})$ ，且 $j_{0}^{\prime} \geq j_{0} > 0$ 满足 $M_{0,0} < M_{0,j_{0}^{\prime}}$ 。因此，根据判断父节点存在的条件 (1)，存在唯一的 $j \in N$ 使得 $(0,j) < \frac{\text{Next}}{M}(0,j_{0}^{\prime})$ 。

另一方面，根据 P 与 IdxSum 的关系以及 P 的定义，对于任意 $j \in N$ ，如果 $j_{0} \leq j \leq j_{0}^{\prime}$ ，则 $(0, j - j_{0}) \leq M^{\prime}(0, j_{0}^{\prime} - j_{0})$ 不成立，即 $(0, j) \leq_{M}(0, j_{0}^{\prime})$ 不成立。由上可知， $j < j_{0}$ 。

映射

\[
\mathrm{TrMax}: P T _ {\mathrm{PS}} \to \mathbb {N} \tag {21.90}
\]

\[
M \mapsto \mathrm{Tr} \operatorname{Max} (M) \tag {21.91}
\]

\[
\mathrm{Br}: P T _ {\mathrm{PS}} \rightarrow T _ {\mathrm{PS}} ^ {< \omega} \tag {21.92}
\]

\[
M \mapsto \mathrm{Br} (M) \tag {21.93}
\]

\[
\text {FirstNodes:} P T _ {\mathrm{PS}} \to \mathbb {N} ^ {< \omega} \tag {21.94}
\]

\[
M \mapsto \text {FirstNodes} (M) \tag {21.95}
\]

\[
\text {Joints:} P T _ {\mathrm{PS}} \rightarrow \mathbb {N} ^ {< \omega} \tag {21.96}
\]

\[
M \mapsto \text {Joints} (M) \tag {21.97}
\]

定义如下:

1. $\operatorname{Tr}\operatorname{Max}(M):=\max\left\{j\in\mathbb{N}\mid\forall j^{\prime}\in\mathbb{N},(j^{\prime}j)\to\left((1,j^{\prime})<_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j^{\prime}+1)\right)\right\}$ 。
2. 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M) - 1$ 。
3. 令 $j_{1}^{\prime} := \mathrm{Tr}\operatorname{Max}(M)$ 。
4. 若 $j_{1}^{\prime}=j_{1}$ ，则 $\mathrm{Br}(M):=()$ 。
5. 若 $j_1' j_1$ ，则 $\mathrm{Br}(M) := P\left((M_j)_{j = j_1' + 1}^{j_1}\right)$ 。
6. 令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(M)) - 1$ 。
7. 第一个节点 $(M) := (\mathrm{TrMax}(M) + 1 + \mathrm{IdxSum}(\mathrm{Br}(M))_J)_{J=0}^{J_1+1}$ 。
8. 对于每个满足 $J \leq J_{1}$ 的 $J \in \mathbb{N}$ , 令 $a_{J}$ 为唯一的 $j \in \mathbb{N}$ , 且 $(0, j) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0, \mathrm{FirstNodes}(M)_{J})$ 。
9. Joints(M) := (a\_J)\_{J=0}^{J\_1}。

根据 TrMax 的定义， $(1, \mathrm{TrMax}(M)) < \frac{\mathrm{Next}}{M}(1, \mathrm{TrMax}(M) + 1)$ 并非如此，且 TrMax $(M) < \mathrm{Lng}(M)$ ，因此 TrMax $(M)$ 是 M 容许的。另外，根据 FirstNodes $(M)$ 的定义， $\mathrm{Br}(M) = \left((M_j)_{j = \text{FirstNodes } J(M)_{J=0}}^{\text{FirstNodes } J(M)_{J=0}^{J-1}}\right)_{J=0}^{J_1}$ 。

定理 21.4.23 FirstNodes、TrMax 和 Joints 之间的关系。

对于任意 $M \in PT_{\mathrm{PS}}$ 和 $J \in \mathbb{N}$ , 令 $J_1 := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(M)) - 1$ , 则若 $J \leq J_1$ , 则 $Joints(M)_J \leq \mathrm{TrMax}(M) < \mathrm{FirstNodes}(M)_J$ 。

证明：这直接源于 TrMax、Br、FirstNodes 和 Joints 的定义，以及切片的单项分量与 $<_{M}^{Next}$ 之间的关系。

定理 21.4.24 FirstNodes 和 Joints 的单调性。

对于任意 $M \in PT_{PS}$ 和 $J_{0}^{\prime}, J_{1}^{\prime} \in N$ ，令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(M)) - 1$ ，则若 $J_{0}^{\prime} < J_{1}^{\prime} \leq J_{1}$ ，则以下成立：

(1) 第一个节点 $(M)_{J_{0}^{\prime}} \leq \text{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}$ 。
(2) 关节 $(M)_{J_{0}^{\prime}} \geq \text{Joints}(M)_{J_{1}^{\prime}}$ 。
(3) $M_{0, \text{FirstNodes} (M)_{J_0'}} \geq M_{0, \text{FirstNodes} (M)_{J_1'}}$ 。
(4) 对于任何 $i \in \{0,1\}$ , $LM_{i,\text{Joints}(M)_{J_0'}} > M_{i,\text{Joints}(M)_{J_1'}}$ 。

证明：

(1) 和 (3) 可直接由 P 和 IdxSum 的定义得出。
(2) 和 (4) 可直接由 FirstNodes、TrMax 和 Joints 以及 (3) 之间的关系得出。
证毕。

定理 21.4.25 单项性切片的遗传性。

对于任意 $M \in PT_{\mathrm{PS}}$ 和 $j_0', j_1' \in \mathbb{N}$ , 令 $j_1 := \mathrm{Lng}(M) - 1$ , 令 $J_1 := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(M)) - 1$ , 且令 $j_0' < j_1' \leq j_1$ , 令 $M' := (M_j)_{j = j_0'}^{j_1'}$ 。然后, 若 $j_0' \leq \mathrm{Joints}(M)_{J_1}$ , 则 $M'$ 为单项的。

令 $j_{0} := \mathrm{TrMax}(M)$ 。

$\mathrm{TrMax}\left(M^{\prime}\right)=j_{0}-j_{0}^{\prime}\quad\mathrm{Lng}\left(M^{\prime}\right)-1=j_{1}^{\prime}-j_{0}^{\prime}$

由于 $\mathrm{Lng}(M') - 1 = j_1' - j_0' > 0$ ，我们可以证明，对于任意 $j\in \mathbb{N}$ ，若 $j\leq j_1' - j_0'$ ，则 $(0,0)\leq_{M'}(0,j)$ 。

如果 $j \leq \mathrm{TrMax}(M')$ ，则 $(1,0) \leq M'(1,j)$ ，因此 $(0,0) \leq M'(0,j)$ 。

于是 $j > \mathrm{TrMax}(M')$ 。

$j+j_{0}^{\prime}> \mathrm{TrMax}(M^{\prime})+j_{0}^{\prime}=j_{0}$ ，因此由于 FirstNodes 和 Joints 的单调性，存在唯一的 $J\in N$ 使得 $J\leq J_{1}$ 且 FirstNodes $(M)_{J}\leq j+j_{0}^{\prime}\mathrm{FirstNodes}(M)_{J+1}$ 。由于 P 的每个分量都具有非多重性， $\mathrm{Br}(M)_{J}$ 不是多重性，因此 $(0,0)\leq\mathrm{Br}(M)_{J}(0,j+j_{0}^{\prime}-\mathrm{FistNodes}(M)_{J})$ ，即 $(0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J})\leq M(0,j+j_{0}^{\prime})$ 。

由于 FirstNodes 和 Joints 的单调性，以及 FirstNodes、TrMax 和 Joints 之间的关系， $j_{0}^{\prime} \leq \text{Joints}(M)_{J_{1}} \leq \text{Joints}(M)_{J} \leq \text{TrMax}(M)$ ，因此 $(1, j_{0}^{\prime}) \leq M(1, \text{Joints}(M)_{J}) \circ (1, j_{0}^{\prime}) \leq_{M}(1, \text{Joints}(M)_{J})$ 和 $(0, \text{Joints}(M)_{J}) <_{M}^{\text{Next}}(0, \text{FirstNodes}(M)_{J})_{\text{and}}$ $(0, \text{FirstNodes}(M)_{J}) \leq M(0, j + j_{0}^{\prime})$ ，因此 $(0, j_{0}^{\prime}) \leq M(0, j + j_{0}^{\prime})$ ，即 $(0, 0) \leq M'(0, j)$ 。

于是我们得到了 $M'$ 的单项性。

证毕。

映射

\[
\text {Red:} T _ {\mathrm{PS}} \rightarrow T _ {\mathrm{PS}} \tag {21.98}
\]

\[
M \mapsto \operatorname{Red} (M) \tag {21.99}
\]

递归定义如下:

1. 如果 M 是名义函数，则 $\mathrm{Red}(M):=((0,0))$ 。

2. 令 $M$ 为单项函数。

2.1. 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M) - 1$ 。

2.2. 令 $M_{0}=(0,0)$ 。

2.2.1. 令 $j_1' := \mathrm{Tr} \operatorname{Max}(M)$ 。

2.2.2. 如果 $j_{1}^{\prime}=j_{1}$ ，则 $\mathrm{Red}(M):=(\left(j,j\right))_{j=M_{1,0}}^{M_{1,0}+j_{1}}$ 。

2.2.3. 令 $j_{1}^{\prime}<j_{1}$ 。

2.2.4. 令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(M)) - 1$ 。

2.2.5. 对于每个 $J \in \mathbb{N}$ , 且 $J \leq J_1$ , 定义 $n_J \in \mathbb{N} \cup \{-1\}$ 和 $N_J \in PT_{\mathrm{PS}}$ 如下:

2.2.5.1. 若 $(\mathrm{Br}(M)_{J})_{1,0}=0$ ，则 $n_{J}=-1$ 。

2.2.5.2. 若 $(\mathrm{Br}(M)_J)_{1,0} > 0$ ，则令 $n_J$ 为唯一的 $j \in \mathbb{N}$ ，满足 $(1,j) < \frac{\mathrm{Next}}{M} (1,\mathrm{FirstNodes}(M)_J)$ 。

2.2.5.3. $N_{J} := ((M_{0,0} + \mathrm{Joints}(M)_{J} + 1, M_{1,0} + n_{J} + 1)) \oplus \mathbb{N}^{2} \operatorname{Derp}\left(\mathrm{Br}(M)_{J}\right)$ .

2.2.6. $\operatorname{Red}(M):= ((j,j))_{j=0}^{j_1'}\oplus_{\mathrm{N}^2}\bigoplus_{\mathrm{N}^2}\left(\operatorname{IncrFirst}^{\operatorname{Joints}(M)_{J-n}n_J}(\operatorname{Red}(N_J))\right)_{J=0}^{J_1}$

2.3. 令 $M_{0} \neq (0,0)$ 。

2.3.1. 令 $M_{1,0} = 0$ 在 [15] 中。

2.3.1.1. 令 $N := ((M_{0,j} - M_{0,0}, M_{1,j}))_{j=0}^{j_1}$ 。

2.3.1.2. 令 $\operatorname{Red}(M) := \operatorname{Red}(N)$ 。

2.3.2. 令 $M_{1,0} > 0$ 。

2.3.2.1. 令 $N := \operatorname{Red}\left(((j, j))_{j=0}^{M_{1,0}-1} \oplus_{\mathbb{N}^2} \operatorname{IncrFirst}^{M_{1,0}}(M)\right)$ 。

2.3.2.2. 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(N) - 1$ 。

2.3.2.2.1. 若 $M_{1,0} \leq j_1$ 且 $(N_j)_{j=M_{1,0}}^{j_1} \in PT_{\mathrm{PS}} \operatorname{Red}(M) := \left( \left( N_{0,j} - N_{0,M_{1,0}} + N_{1,M_{1,0}}, N_{1,j} \right) \right)_{j=M_{1,0}}^{j_1}$ 。

2.3.2.2.2. 若 $M_{1,0} \leq j_{1}$ 且 $(N_{j})_{j=M_{1,0}}^{j_{1}} \in T_{\mathrm{PS}} \backslash PT_{\mathrm{PS}}$ ，则 $\mathrm{Red}(M) := M$ 。

2.3.2.2.3. 如果 $M_{1,0} > j_{1}$ ，则 $\mathrm{Red}(M) := M$ 。

3. 令 M 为复合项。

3.1. 令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(M)) - 1$ 。

3.2. $\operatorname{Red}(M) := \bigoplus_{\mathbb{N}^2} (\operatorname{Red}(P(M)_J))^{\mathcal{J}_1}_{J=0}$ 。

定理 21.4.26 Red 的良定义性。

存在一个唯一的映射 Red 满足上述所有条件。

证明：

通过对 $\mathrm{Lng}(M)-\mathrm{TrMax}(M)$ 进行数学归纳，可知对 $\{M\in PT_{\mathrm{PS}}\mid M_{0}=(0,0)\}$ 存在唯一限制。

通过 Red 对 $T_{PS} \setminus \{M \in PT_{PS} \mid M_{0} = (0,0)\}$ 的定义，可知 $T_{PS}$ 存在唯一扩张。

证毕。

定理 21.4.27 Red 的 IncrFirst 不变性。

对于任意的 $M \in T_{PS}$ ， $\mathrm{Red}(\mathrm{IncrFirst}(M)) = \mathrm{Red}(M)$ 。

证明：这直接由 Red 的递归定义得出。证毕。

定理 21.4.28 Lng 的 Red 不变性。

对于任意的 $M \in T_{PS}$ ， $\mathrm{Lng}(\mathrm{Red}(M)) = \mathrm{Lng}(M)$ 。

证明：根据 Red 的递归定义，可直接通过 $\mathrm{Lng}(M)$ 的数学归纳法得到证明。证毕。

定理 21.4.29 Red 零项性的保持。

对于任意 $M \in T_{PS}$ ，以下等价：

(1) M 为零项。
(2) Red(M) 为零项。

证明：Lng 的 Red 不变性可简化为 $\mathrm{Lng}(M)=1$ 的情况。如果 $\mathrm{Lng}(M)=1$ ，则可直接得出 Red 的递归定义。证毕。

定理 21.4.30 P 和 Red 的同变性。

对于任意 $M \in T_{PS}$ ，令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(M))$ ，则 $P(\mathrm{Red}(M)) = (\mathrm{Red}(P(M)_{J}))_{J=0}^{J_{1}}$ 。

证明：根据 Red 的递归定义，可以立即得出其直接祖先 Red 的不变性。证毕。

定理 21.4.31 单项性和 Red 的关系。

对于任意 $M \in PT_{\mathrm{PS}}$ ，令 $N := \operatorname{Red}\left(((j, j))_{j=0}^{M_{1,0}-1} \oplus_{\mathbb{N}^2} \operatorname{IncrFirst}^{M_{1,0}}(M)\right)$ 且令 $j_1 := \operatorname{Lng}(N)-1$ ，则 $(N_j)_{j=M_{1,0}}^{j_1} \in PT_{\mathrm{PS}}$ 。

证明：

根据 N 的定义， $\mathrm{Lng}(M)=j_{1}-M_{1,0}+1$ ，且对于任意 $(i,j),(i',j')\in\mathbb{N}^{2}$ ，下列命题等价：

(1) $(i,j)\leq_{M}(i^{\prime},j^{\prime})$ 。
(2) $(i,j + M_{1,0})\leq N(i',j' + M_{1,0})$ 。

因此，它由直接祖先的 Red 不变量得出。

证毕。

定理 21.4.32 Red 的幂等性。

对于任意 $M \in T_{PS}$ ， $\mathrm{Red}^{2}(M) = \mathrm{Red}(M)$ 。

证明：根据 Red 的的递归定义，可直接通过 $\mathrm{Lng}(M)$ 的数学归纳法得到证明。证毕。

定理 21.4.33 Red 和 Pred 的可换性。

对于任意 $M \in T_{PS}$ ， $\text{Red}(\text{Pred}(M)) = \text{Pred}(\text{Red}(M))$ 。

证明：由 Red 的递归定义，通过对 $\mathrm{Lng}(M)$ 的数学归纳法可知。证毕。

定理 21.4.34 Red 和基本列的可换性。

对于任意 $M \in T_{PS}$ 和 $n \in N_{+}$ ， $\operatorname{Red}(M)[n] = \operatorname{Red}(M[n])$ 。

证明：

设 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M_{1}) - 1$ 。通过对 $j_{1}$ 进行数学归纳法证明。

如果 $j_{1}=0$ ，则根据 Red 和运算符 [] 的定义可直接得出。

设 $j_{1} > 0$ 。

如果 $(1,0) <_{M}^{\text{Next}} (1,j_1)$ 不成立，则根据 Red 和运算符 [] 的递归定义可得出。

如果 $(1,0) <_{M}^{\mathrm{Next}} (1,j_1)$ ，则根据 Red 和 Pred 的交换性以及运算符[] 定义中使用的 B 的定义，通过对 $n$ 进行数学归纳法可得出。

证毕。

定理 21.4.35 Red 对容许性的保持。

对于任意 $M \in T_{PS}$ ， $N_{M} = N_{\mathrm{Red}(M)}$ 。

证明：它直接源于其直系祖先的 Red 不变性。证毕。

定理 21.4.36 容许化的 Red 不变性。

对于任意 $M \in T_{PS}$ 和 $j \in N$ ， $\mathrm{Adm}_{M}(j) = \mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(M)}(j)$ 。

证明：它直接源于直系祖先的 Red 不变性以及 Red 的容许性。证毕。

定理 21.4.37 Red 对基点的保持。

对于任意 $(M,m)\in T_{\mathrm{PS}}^{Marked}$ ， $(\mathrm{Red}(M),m)\in RT_{\mathrm{PS}}^{Marked}$ 。

证明：它直接源于直系祖先的 Red 不变性以及 Red 的容许性。证毕。

设 $M \in T_{PS}$ 。

1. 如果满足 $\mathrm{Red}(M)=M$ ，则称 M 可约。

2. 设 $RT_{PS} \subset T_{PS}$ 为所有约化对序列的子集。

即 $RT_{\mathrm{PS}} = \mathrm{Im}(\mathrm{Red})$ 。根据可约性定义可知， $RT_{\mathrm{PS}} \subset \mathrm{Im}(\mathrm{Red})$ ；根据 Red 的幂等性可知， $\mathrm{Im}(\mathrm{Red}) \subset RT_{\mathrm{PS}}$ 。

定理 21.4.38 简约性切片的遗传性。

对于任意 $M \in RT_{\mathrm{PS}}$ ，令 $j_1 := \mathrm{Lng}(M) - 1$ ，则若对于任意 $j_0', j_1' \in \mathbb{N}, j_0' \leq \mathrm{Tr} \, \mathrm{Max}(M) \leq j_1' \leq j_1$ ，则 $(M_j)_{j = j_0'}^{j_1'}$ 可约。

证明：这直接源于 Red 的递归定义以及 Red 与 Pred 的交换性。证毕。

定理 21.4.39 P 对可约性的保持。

对于任意 $M \in T_{PS}$ ，以下等价：

(1) M 是可约化的。
(2) $P(M)$ 的每个分量都是可约化的。

证明：这直接由 P 的 Red 等变性得出。证毕。

定理 21.4.40 基本列的可约性的保留。

对于任意 $M \in RT_{PS}$ 和 $n \in N_{+}$ ， $M[n] \in RT_{PS}$ 。

证明：这直接由 Red 的幂等性以及 Red 与基本列的交换性得出。证毕。

定理 21.4.41 可约性与系数的关系。

对于任意 $M \in T_{PS}$ ，令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M) - 1$ 。则 M 约化当且仅当：

(A) 对于任意 $i \in \{0,1\}$ 和 $j_1' \in \mathbb{N}$ ，若存在唯一的 $j_0' \in \mathbb{N}$ 使得 $(i,j_0') <_{M}^{Next} (i,j_1')$ ，则 $M_{i,j_0'} + 1 = M_{i,j_1'}$ 。
(B) 对任意 $j_1' \in \mathbb{N}$ , 若不存在唯一的 $j_0' \in \mathbb{N}$ 使得 $(0, j_0') <_{M}^{Next}$ $(0, j_1')$ 且 $j_1' \leq j_1$ , 则 $M_{0, j_1'} = M_{1, j_1'}$ 。

我们准备了一些引理，为可约性和系数关系的证明做准备。

定理 21.4.42 Red 与左端的关系。

对于任意 $M \in T_{PS}$ ，有以下成立：

(1) $\operatorname{Red}(M)_{1,0} = M_{1,0}$ 。
(2) 对于任意 $u, j_0 \in \mathbb{N}$ , 令 $j_1 := \mathrm{Lng}(M) - 1$ 。若 $M$ 为单项函数, 且 $j_0 \leq j_1$ , 且 $(M_j)_{j=0}^{j_0} = ((j, j))_{j=u}^{j_0 + u}$ , 则 $\mathrm{Red}(M)_{j_0} = (j_0 + u, j_0 + u)$ 。

证明：这直接由 Red 的递归定义得出。证毕。

定理 21.4.43 可约性与系数的基本性质。

对于任何 $M \in RT_{PS}$ 和 $j \in N$ ，如果 $j < \mathrm{Lng}(M)$ 则 $M_{0,j} \geq M_{1,j}$ 。

证明：根据 Red 的递归定义，可由 $\mathrm{Lng}(M)$ 的数学归纳法直接得出。证毕。

定理 21.4.44 可约性与左端的关系。

对于任何 $M \in RT_{\mathrm{PS}} \cap PT_{\mathrm{PS}}$ 和 $u \in \mathbb{N}$ ，如果 $u \leq M_{1,0}$ 则 $N := ((j, j))_{j=u}^{M_{1,0}-1} \oplus \mathbb{N}^2 M$ 并且 $N$ 是可约的并且是单项的。

证明：若 $M_{1,0} = u$ ，则 $N = M$ 。以下令 $M_{1,0} > u$ 。从Red与左端(2)的关系，以及Red的定义和Red的幂等性可知， $((j,j))_{j = 0}^{u - 1}\oplus_{\mathbb{N}^2}N = ((j,j))_{j = 0}^{M_{1,0} - 1}\oplus_{\mathbb{N}^2}M = ((j,j))_{j = 0}^{M_{1,0} - 1}\oplus_{\mathbb{N}^2}$ $\operatorname {Red}(M) = \operatorname {Red}\left((j,j))_{j = 0}^{M_{1,0} - 1}\right.$ ，以及 $(j,j))_{j = 0}^{u - 1}\oplus_{\mathbb{N}^2}N = \operatorname {Red}\left((j,j))_{j = 0}^{u - 1}\oplus_{\mathbb{N}^2}N\right) = ((j,j))_{j = 0}^{u - 1}\oplus_{\mathbb{N}^2}$ $\operatorname {Red}(N)$ ，所以 $N = \operatorname {Red}(N)$ 。因此， $N$ 是可约的。

根据可约性和系数的基本性质， $u < M_{1,0} \leq M_{0,0}$ ，所以 $(0,0) \leq_{N} (0, u + M_{1,0})$ ，并且根据 M 的单项性，N 是单项的。

证毕。

定理 21.4.45 条件 (A) 与 (B) 和系数的基本性质。

对于任意 $M \in T_{PS}$ ，令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M) - 1$ 。如果 $M_{0} = (0, 0)$ 且 M 满足条件 (A)，则下列成立：

(1) 对于任意 $j \in \mathbb{N}$ , 如果 $j \leq j_1$ 则 $M_{0,j} \leq j$ 。
(2) 如果 $M$ 满足条件 $(B)$ ，则对于任意 $j \in \mathbb{N}$ ，如果 $j \leq j_1$ 则 $M_{0,j} \geq M_{1,j}$ 。
(3) 令 $i \in \{0,1\}$ ，且 $i = 0$ 或 $i = 1$ ，且 $M$ 满足条件 $(B)$ 。对于任意 $j \in \mathbb{N}$ ，若存在 $j_0', j_1' \in \mathbb{N}$ 使得 $(i, j_0') \leq_M (i, j_1')$ 且 $j_0' j_1' \leq j \leq j_1$ ，则 $M_{i,j} < j$ 。

证明：

（1）假设这不成立，我们得出一个矛盾。根据假设，存在 $j \in \mathbb{N}$ 使得 $j \leq j_1$ 且 $M_{0,j} > j$ 。如果我们将其最小值定义为 $j_0$ ，那么，根据 $M_{0,0} = 0 \leq j_0 < M_{0,j_0}$ 以及父代存在性准则(1)，存在唯一的 $j_0' \in \mathbb{N}$ 使得 $j_0 > 0$ 且 $(0,j_0') < _M^{\mathrm{Next}}(0,j_0)$ 。另一方面，由于 $j_0$ 的最小性，我们有 $M_{0,j_0'} \leq j_0'$ ，又因为 $M$ 满足条件(A)，我们有 $M_{0,j_0} = M_{0,j_0'} + 1 = j_0' + 1 \leq j_0$ ，这是一个矛盾。
(2) 假设这不成立，我们得出一个矛盾。根据假设，存在 $j \in \mathbb{N}$ 使得 $j \leq j_1$ 且 $M_{0,j} < M_{1,j}$ 。如果我们定义它的最小值为 $j_0$ ，那么由于 $M$ 满足条件 (B)，存在唯一的 $j_0' \in \mathbb{N}$ 使得 $(0, j_0') < _M^{\text{Next}} (0, j_0)$ 。另一方面，由于 $j_0$ 最小， $M_{0,j_0'} \geq M_{1,j_0'}$ ，且 $M$ 满足条件 (A)， $M_{0,j_0} = M_{0,j_0'} + 1 \geq M_{1,j_0'} + 1$ 。

如果 $(1,j_0') < _M^{\mathrm{Next}}(1,j_0)$ ，则 $M$ 满足条件 (A)，因此 $M_{0,j_0} = M_{1,j_0'} + 1 = M_{1,j_0}$ ，这与条件 (A) 矛盾。

如果 $(1,j_0') < _M^{\mathrm{Next}}$ （ $1,j_0$ ）不成立，则 $M_{1,j_0'} \geq M_{1,j_0}$ 意味着 $M_{0,j_0} = M_{1,j_0'} + 1 > M_{1,j_0}$ ，这是一个矛盾。

(3) 由于 $M_0 = (0,0)$ 且 $j > 0$ ，因此存在唯一的 $J_1 \in \mathbb{N} \in \mathbb{N}^{<\omega}$ 使得：

\[
\mathrm{Lng} (a) = J _ {1} + 1 \text {。}
\]

不存在唯一的 $j' \in N$ 使得 $(i, j' - 1) <_{M}^{\text{Next}} (i, a_{0})$ 。

对于任何 $J \in \mathbb{N}$ ，如果 $J < J_1$ 则 $(i, a_J) <_{M}^{\text{Next}} (i, a_{J+1})$ 。 $a_{J_1} = j$ 。根据 $j$ 的条件，存在 $j' \in \mathbb{N}$ 使得 $(1, j' - 1) <_{M}^{\text{Next}} (1, j')$ 且 $j_0' < j' \leq j_1'$ 。因此， $a$ 是一个严格单调递增序列，且不包含 $j'$ 作为分量，所以 $J_1 < j$ 。由于 $M_{0,0} = 0$ ， $a_{0,0} = 0$ 。因此，如果 $i = 0$ ，则 $a_{i,0} = 0$ 。如果 $i = 1$ 且 $M$ 满足条件 (B)，则根据 (2)， $a_{i,0} = 0$ 。因此，两种情况下 $a_{i,0} = 0$ 。此外，由于 $M$ 满足条件 (A)， $M_{i,j} \leq a_{i,0} + J_1 < j$ 。

证毕。

现在回到主题，我们给出简约性与系数的关系的证明：

如果 $j_{1}=0$ ，则条件 (A) 恒为真，条件 (B) 成立的充分必要条件是 $M_{0,0}=M_{1,0}$ 。

因此，这由 Red 的定义得出。

设 M 为单项函数，且 $M_{1,0}=0$ 。

在这些条件下，我们利用数学归纳法，先跳到 $j_{1}$ ，证明 $M$ 的可约性等价于 $M$ 满足条件 (A) 和 (B)。

设 $j_{1}=1$ 。

在这种情况下， $(0,0)<_{M}^{\text{Next}}(0,1)$ 。

如果 $(1,0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(1,1)$ ，则 $M_{1,0} < M_{1,1}$ ，且条件(A)等价于 $M_1 = (M_{0,0} + 1, M_{1,0} + 1)$ ，条件(B)等价于 $M_{0,0} = M_{1,0}$ ，因此这符合Red的定义。

如果 $(1,0) <_{M}^{\mathrm{Next}} (1,1)$ 不成立，则 $M_{1,0} \geq M_{1,1}$ 。条件(A)等价于 $M_{0,1} = M_{0,0} + 1$ 且条件(B)等价于 $M_{0,0} = M_{1,0}$ ，因此这符合Red的定义。

令 $j_{1} > 1$ 。

首先，令 M 为约化函数。

令 $j_0 := \max \left\{ j \in \mathbb{N} \mid j \leq j_1 \land \forall j' \in \mathbb{N}, (j' < j) \to ((1, j') <_{M}^{\text{Next}} (1, j' + 1)) \right\}$ 。

令 $J_{1} := \mathrm{Lng}\left(P\left((M_{j})_{j=j_{0}}^{j_{1}}\right)\right) - 1$ 。

从 Red 的递归定义可知， $\left((M_j)_{j=0}^{j_0}\right)_0 = M_0 = (0,0)$ ，且对于任意 $j \in \mathbb{N}$ ，若 $j \leq j_0$ ，则 $(0,0) \leq_M (0,j)$ 蕴涵 $(0,0) \leq_{(M_j)_{j=0}^{j_0}} (0,j)$ ，因此 $(M_j)_{j=0}^{j_0}$ 是单项的。此外，由于切片可约性的遗传性， $(M_j)_{j=0}^{j_0}$ 是隐式可约的，并且根据 Red 的定义， $(M_j)_{j=0}^{j_0} = \text{Red} \left((M_j)_{j=0}^{j_0}\right) =$

$((j,j))_{j=0}^{j_0}$ 。令 $i \in \{0,1\}$ 和 $j_1' \in \mathbb{N}$ ，并假设存在唯一的 $j_0' \in \mathbb{N}$ 使得 $(i,j_0') <_{M}^{\mathrm{Next}} (i,j_1')$ ，其中 $j_1' > j_0' \geq 0$ 。

在这种情况下， $(M_{j})_{j=j_{0}}^{j_{1}}$ 为单项。

令 $J_{0} := \mathrm{Lng}\left(P\left((M_{j})_{j=j_{0}+1}^{j_{1}}\right)\right) - 1$ 。

令 $m := j_1 - \mathrm{Lng}\left(P\left((M_j)_{j=j_0+1}^{j_1}\right)_{J_0}\right) + 1$ 。

令 $N := ((j, j))_{j=0}^{M_{1,m}-1} \oplus_{\mathbb{N}^2} \operatorname{Red}\left(P\left((M_j)_{j=j_0+1}^{j_1}\right) J_0\right)$ 。

由于可约性与最左极限的关系，N 可约。若 $M_{1,m}=0$ ，则根据 Red 与左端的关系（2）以及 Red 的递归定义， $N_{0}=\mathrm{Red}\left(P\left((M_{j})_{j=j_{0}+1}^{j_{1}}\right)_{J_{0}}\right)_{0}=(0,0)$ 。

如果 $M_{1,m} \neq 0$ ，则根据 $N$ 的定义， $N_0 = (0,0)$ 。因此，无论哪种情况， $N_0 = (0,0)$ 。

$\operatorname{Lng}(N)-1 = j_1 - m + M_{1,m} < j_1$ ，且 $(0, m) \leq_M (0, j_1)$ 蕴涵 $(0, 0) \leq P(M)_{J_1} (0, j_1 - m)$ ， $(0, M_{1,0}) \leq_N (0, j_1 - m + M_{1,m})$ 。

令 $j_0' \leq j_0 = j_1 - 1$ 。

由于 $(M_{j})_{j=j_{0}}^{j_{1}}$ 是单项的，因此 $(0,j_{0})<_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1})$ 。

$M = ((j,j))_{j=0}^{j_0} \oplus_{\mathbb{N}^2}(M_{j_1})$ ，且由于 $(1,j_0) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_1)$ 且 $(0,j_0) <_{M}^{\text{Next}}(0,j_1)$ ，因此 $j_0 = M_{0,j_0}M_{0,j_1}$ 且 $j_0 = M_{1,j_0} \geq M_{1,j_1}$ 。因此， $j_0' = M_{i,j_1} - 1$ ，所以 $M_{i,j_0'} + 1 = j_0' + 1 = M_{i,j_1}$ 。

令 $j_0' \leq j_0 < j_1 - 1$ 。

由于 $(M_{j})_{j=j_{0}}^{j_{1}}$ 为单项函数，因此 $(0,j_{0})<_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_{0}+1)$ 。

$(1,j_0) < _M^{\text{Next}} (1,j_0 + 1)$ 且 $(0,j_0) < _M^{\text{Next}} (0,j_0 + 1)$ ，因此 $M_{1,j_0} \geq M_{1,j_0 + 1}$ ；且 $(i,j_0') < _M^{\text{Next}} (i,j_1)$ 且 $j_0'j_0 + 1 < j_1$ ，因此 $(1,j_0 + 1) \leq_M (1,j_1)$ 。因此， $(0,j_0 + 1) \leq_M (0,j_1)$ 不成立，即 $J_0 > 0$ 且 $j_0 + 1 < m$ 。 $j_0' < j_0 + 1 < m$ 且 $(0,m) \leq_M (0,j_1)$ 和 $(i,j_0') < _M^{\text{Next}} (i,j_1)$ ，因此 $i = 1$ 且 $j_0' = M_{1,j_0'} < M_{1,j_1} \leq M_{1,m}$ 。因此，从 $(1,j_0') < _N^{\text{Next}} (1,j_1 - m + M_{1,m})$ ，根据归纳假设， $M_{i,j_0'} + 1 = N_{1,j_0'} + 1 = N_{1,j_1 - m + M_{1,m}} = M_{i,j_1'}$ 。

如果 $j_0 < j_0'$ ，则 $(i, j_0') < _M^{\text{Next}} (i, j_1)$ ，因此根据 $P$ 的定义， $m \leq j_0'$ 。再次， $(i, j_0') < _M^{\text{Next}} (i, j_1)$ ，因此 $(i, j_0' - m + M_{1,m}) < _N^{\text{Next}} (i, j_1 - m + M_{1,m})$ 。因此，根据归纳假设， $M_{i,j_0'} + 1 = N_{1,j_0'} + 1 = N_{1,j_1 - m + M_{1,m}} = M_{i,j_1'}$ 。

设 $j_{1}^{\prime}=j_{1}$ 且 $J_{1}>0$ 。

设 $m := j_{1} - \mathrm{Lng}(P(M)_{J_{1}}) + 1$ 。

由于 $J_{1} > 0$ ， $j_0 < m$ ，且根据 $P$ 的定义， $M_{0,m} < j_0$ 。根据可约性和系数的基本性质， $M_{0,m} - M_{1,m} \geq 0$ ，因此 $M_{1,m} \leq M_{0,m} < j_0 < m$ 。

$P(M)_{J_{1}} \in PT_{\mathrm{PS}}$ 得出 $((j,j))_{j=0}^{M_{1,m}} \oplus_{\mathbb{N}^{2}} (M_{j})_{j-m+1}^{j_{1}} \in PT_{\mathrm{PS}}$ ，且由 M 的约化性和 Red 的定义可知，

\[
\begin{array}{l} P (M) _ {J _ {1}} = \operatorname{IncrFirst} ^ {M _ {0, m} - M _ {1, m}} \left(\operatorname{Red} \left((M _ {0, m}, M _ {1, m}) \oplus_ {\mathbb {N} ^ {2}} \left(M _ {j}\right) _ {j = m + 1} ^ {j _ {1}}\right)\right) \tag {21.100} \\ = \operatorname{IncrFirst} ^ {M _ {0, m} - M _ {1, m}} \left(\operatorname{Red} \left(P (M) _ {J _ {1}}\right)\right). \\ \end{array}
\]

令 $N := ((j, j))_{j=0}^{M_{1,m}-1} \oplus \mathbb{N}^2 \operatorname{Red}(P(M)_{J_1})$ 。

由于可约性与左边界之间的关系，N 是可约的。如果 $M_{1,m}=0$ ，则由于 Red 与左边界 (2) 之间的关系以及 Red 的递归定义， $N_{0}=\mathrm{Red}(P(M)_{J_{1}})_{0}=(0,0)$ 。如果 $M_{1,m}\neq0$ ，则由于 N 的定义， $N_{0}=(0,0)$ 。因此，在两种情况下， $N_{0}=(0,0)$ 。

$\mathrm{Lng}(N) - 1 = j_1 - m + M_{1,m}$ ，且由于 $(0,m)\leq_M(0,j_1)$ 蕴涵 $(0,0)\leq_{P(M)_{J_1}}(0,j_1 - m)$ ，因此 $(0,M_{1,0})\leq_N(0,j_1 - m + M_{1,m})$ 。

若 $m = j_{1}$ ，则 $P(M)_{J_1} = (M_m)$ ，且根据 $P$ 的定义， $j_0' \leq j_0$ 。因此， $M_{1,m} \leq M_{0,m} < j_0$ ，所以 $j_0' = M_{i,m} - 1$ 。因此， $M_{i,j_0'} + 1 = j_0' + 1 = M_{i,m} = M_{i,j_1'}$ 。

如果 $m < j_1$ 且 $j_0' \leq j_0$ ，则 $j_0'm$ 且 $(0, m) \leq_M (0, j_1)$ 和 $(i, j_0') < _M^{\mathrm{Next}} (i, j_1)$ 意味着 $i = 1$ 且 $j_0' = M_{1,j_0'} < M_{1,j_1} \leq M_{1,m}$ 。因此，从 $(1, j_0') < _N^{\mathrm{Next}} (1, j_1 - m + M_{1,m})$ ，根据归纳假设， $M_{i,j_0'} + 1 = N_{1,j_0'} + 1 = N_{1,j_1 - m + M_{1,m}} = M_{i,j_1'}$ 。

若 $m < j_1$ 且 $j_0 < j_0'$ ，则根据 $P$ 的定义， $m \leq j_0'$ ，且 $(i, j_0') < _M^{\mathrm{Next}}(i, j_1), (i, j_0' - m + M_{1,m}) < _N^{\mathrm{Next}}(i, j_1 - m + M_{1,m})$ 。因此，根据归纳假设， $M_{i,j_0'} + 1 = N_{1,j_0'} + 1 = N_{1,j_1 - m + M_{1,m}} = M_{i,j_1'}$ 。

从上可知，两种情况下条件（A）和（B）均得到满足。

接下来，假设 M 满足条件 (A) 和 (B)。

由于 $M_{1,0}=0$ 且 M 满足条件 (B)，因此 $M_{0,0}=0$ 。

这里，(\*) 对任意的 $j_0', j_1' \in \mathbb{N}$ ，若 $(1, j_0' - 1) <_{M}^{\mathrm{Next}} (1, j_0')$ 且 $j_0' \leq j_1' \leq j_1$ 且 $(M_j)_{j = j_0'}^{j_1'} \in PT_{\mathrm{PS}}$ ，则 $N' := \left( (M_{0,j} - M_{0,j_0'} + M_{1,j_0'}, M_{1,j}) \right)_{j = j_0'}^{j_1'}$ 表明 $N'$ 是约化的。然而，由于条件 (A) 和 (B) 以及系数的基本性质 (2)， $N'$ 的每个分量都属于 $\mathbb{N}^2$ 。

令 $N := ((j, j))_{j=0}^{M_{1,j'}} - 1 \oplus_{\mathbb{N}^2} N'$ 。

$\mathrm{Lng}(N) - 1 = j_1' - j_0' + M_{1,j_0'}$ ，且根据条件(A)和(B)以及系数的基本性质(3)， $M_{1,j_0'} < j_0'$ 因此 $\mathrm{Lng}(N) - 1 < j_1'\leq j_1$ 。

如果 $M_{1,j_1'} = 0$ ，则 $N_0 = N_0' = (0,0)$ ；如果 $M_{1,j_1'} > 0$ ，则根据 $N$ 的定义， $N_0 = (0,0)$ 。

$\operatorname{IncrFirst}^{M_{0,j_0'} - M_{1,j_0'}}(N') = (M_j)_{j = j_0'}^{j_1'} \in PT_{\mathrm{PS}}$ ，且由 $P$ 的 $\operatorname{IncrFirst}$ 同方差性， $N' \in PT_{\mathrm{PS}}$ ，且由于 $(0,0) \leq_N (0,M_{1,0})$ ， $N$ 为单项的。此外，由于 $N_0 = (0,0)$ ， $N$ 满足条件 (B)。

证明 N 满足条件 (A)。令 $i \in \{0,1\}$ 和 $k_{0}, k_{1} \in N^{2}$ ，且令 $(i, k_{0}) <_{N}^{\text{Next}} (i, k_{1})$ 。

如果 $M_{1,j_0'} \leq k_0$ ，则 $(i, k_0 - M_{1,j_0'}) < _M^{\mathrm{Next}}(i, k_1 - M_{1,j_0'})$ 且 $M$ 满足条件 (A)。因此，若 $i = 0$ ，则 $N_{i,k_0} + 1 = M_{0,k_0 - M_{1,n'}} - M_{0,j_0'} + M_{1,j_0'} + 1 = M_{0,k_1 - M_{i,j'}} - M_{0,j_0'} + M_{1,j_0'} = N_{i,k_1}$ ；若 $i = 1$ ，则 $N_{i,k_0} + 1 = M_{1,k_0 - M_{1,j_0'}} + 1 = M_{1,k_1 - M_{i,j_0'}} = N_{i,k_1}$ 。

若 $k_{0} < M_{1,j_{0}^{\prime}} < k_{1}$ ，则 $(M_{j})_{j = j_{0}^{\prime}}^{j_1^{\prime}}\in PT_{\mathrm{PS}}$ ，故 $(0,j_0^{\prime})\leq_M(0,j_0^{\prime} + k_1 - M_{1,j_0^{\prime}})$ ，故 $(0,M_{1,j_0^{\prime}})\leq_N(0,k_1)$ ，故 $(1,M_{1,j_0^{\prime}})\leq_N(1,k_1)$ ，且 $i = 1$ ，条件满足。由(A)和(B)以及系数(2)和(3)的基本性质，可知 $N_{1,k_1}\leq N_{0,k_1}$ 和 $N_{1,k_1} < k_1$ 。因此， $k_{0} = N_{1,k_{1}} - 1$ ，且 $N_{i,k_0} + 1 = k_0 + 1 = N_{i,k_1}$ 。

若 $k_{1} \leq M_{1,j_{0}^{\prime}}$ ，则 $N_{k_1} = (k_1, k_1)$ ，从而 $k_0 = k_1 - 1$ ，且 $N_{i,k_0} + 1 = k_0 + 1 = k_1 = N_{i,k_1}$ 。

因此，N 满足条件 (A)。由于 $\mathrm{Lng}(N)-1<j_{1}$ 且 $N_{0}=(0,0)$ ，且 N 满足条件 (A) 和 (B)，根据归纳假设，N 减小。 $(M_{j})_{j=j_{0}^{\prime}}^{j_{1}^{\prime}}\in PT_{\mathrm{PS}}$ 意味着对于任何 $j\in N$ ，如果 $j_{0}^{\prime}\leq j\leq j_{1}^{\prime}$ ，则 $M_{0,j_{0}^{\prime}}\leq M_{0,j}$ ，即 $M_{0,j}-M_{0,j_{0}^{\prime}}+M_{1,j_{0}^{\prime}}\leq M_{1,j_{0}^{\prime}}$ 。因此，存在唯一的 $M^{\prime}\in PT_{N}$ 使得 $N^{\prime}=\operatorname{IncrFirst}^{M_{1,j_{0}^{\prime}}}(M^{\prime})$ 。因此，由 Red 的 IncrFirst 不变性、Red 与左边的关系 (2) 以及 Red 的递归定义可知，

\[
\begin{array}{l} ((j, j)) _ {j = 0} ^ {M _ {1, j ^ {\prime}} - 1} \oplus_ {\mathbb {N} ^ {2}} N ^ {\prime} = N = \mathrm{Red} (N) \\ = \operatorname{Red} \left(\left((j, j)\right) _ {j = 0} ^ {M _ {1, 0} - 1} \oplus_ {\mathbb {N} ^ {2}} \operatorname{IncrFirst} ^ {M _ {1, j _ {0} ^ {\prime}}} \left(M ^ {\prime}\right)\right) \\ = \operatorname{Red} \left(\left((j, j)\right) _ {j = 0} ^ {M _ {1, 0} - 1} \oplus_ {\mathbb {N} ^ {2}} \operatorname{IncrFirst} ^ {M _ {1, 0} ^ {\prime}} \left(M ^ {\prime}\right)\right) \tag {21.101} \\ = ((j, j)) _ {j = 0} ^ {M _ {1, 0} - 1} \oplus_ {\mathbb {N} ^ {2}} \operatorname{Red} \left(M ^ {\prime}\right) \\ = ((j, j)) _ {j = 0} ^ {M _ {1, 0} - 1} \oplus_ {\mathbb {N} ^ {2}} \operatorname{Red} \left(\operatorname{IncrFirst} ^ {M _ {1, j _ {0} ^ {\prime}}} (M ^ {\prime})\right) \\ = ((j, j)) _ {j = 0} ^ {M _ {1, 0} - 1} \oplus_ {\mathbb {N} ^ {2}} \operatorname{Red} \left(N ^ {\prime}\right) \\ \end{array}
\]

因此， $N' = \text{Red}(N')$ ，即 $N'$ 是可约的。

利用 Red 递归定义中引入的符号，根据 P 的定义，所有在 Red (M) 计算中出现的 $N_{J}$ 都满足 (\*) 假设，且 IncrFirst $^{Joints}(M)_{J} - n_{J}(\text{Red}(N_{J})) = N_{J}$ 。因此，根据 Red 的定义， $\text{Red}(M) = M$ ，即 M 是可约的。

设 M 为单项复项，且 $M_{1,0} > 0$ 。

令 $N := ((j, j))_{j=0}^{M_{1,0}-1} \oplus_{\mathbb{N}^{2}} M$ 。

由于 M 为单项且 $M_{1,0} > 0$ ，M 不包含 $(0,0)$ 分量，因此 N 为单项。

首先，假设 M 可约化。

由于可约化性与左边界的关系，N 可约化。此外，由于 N 为单项且 $N_{0} = (0, 0)$ ，N 满足条件 (A) 和 (B)。特别地，M 满足条件 (A)。由于可约性及系数的基本性质， $M_{0,0} = N_{0,M_{1,0}} \geq N_{1,M_{1,0}} = M_{1,0}$ ，因此 $(0, M_{1,0} - 1) <_{M}^{\text{Next}} (0, M_{1,0})$ 。由于 N 满足条件 (A)， $M_{0,0} = M_{1,0}$ 。此外，由于 M 是单项，M 满足条件 (B)。

接下来，假设 M 满足条件 (A) 和 (B)。

由于 N 是单项的，且 $N_{0} = (0, 0)$ ，且 M 满足条件 (B)，因此 N 满足条件 (B)。设 $i \in \{0, 1\}$ ， $j_{0}', j_{1}' \in N$ ，并设 $(i, j_{0}') <_{N}^{\text{Next}} (i, j_{1}')$ 。

若 $M_{1,0} \leq j_0'$ ，则 $(i,j_0' - M_{1,0}) < _M^{\text{Next}}(i,j_1' - M_{1,0})$ ，且由于 $M$ 满足条件 (A)， $N_{i,j_0'} + 1 = M_{i,j_0'-M_{1,0}} + 1 = M_{i,j_1'-M_{1,0}} = N_{i,j_1'}$ 。如果 $j_0'M_{1,0} < j_1'$ ，则 $(0,0) \leq_M (0,j_1' - M_{1,0})$ 且 $(0,m_{1,0}) \leq_N (0,j_1')$ ，因此 $(i,j_0') < _N^{\text{Next}}(i,j_1')$ ，因此 $(1,0) \leq_M (1,j_1' - M_{1,0})$ 且 $i = 1$ 。由于 $M$ 满足条件 (B)， $M_{0,j_1'} > M_{0,0} = M_{1,0} \geq M_{1,j_1'}$ ，因此 $j_0' = M_{1,j_1'-M_{1,0}} - 1$ 且 $N_{i,j_0'} + 1 = j_0' + 1 = M_{1,j_1'-M_{1,0}} = N_{i,j_1'}$ 。

如果 $j_{1}^{\prime} \leq M_{1,0}$ ，则 $j_{0}^{\prime} + 1 = j_{1}^{\prime}$ ，且 $N_{i,j_{0}^{\prime}} + 1 = j_{0}^{\prime} + 1 = j_{1}^{\prime} = N_{i,j_{1}^{\prime}}$ 。

由上可知，N 满足条件 (A)。因此，N 可约。另一方面，M 满足条件 (B)，因此 $M_{0,0} = M_{1,0}$ ，且由于 M 是单项的，存在唯一的 $M' \in PT_{PS}$ ，使得 $\operatorname{IncrFirst}^{M_{1,0}}(M') = M$ 。从 Red 的 IncrFirst 不变性，Red 与左边缘的关系（2）以及 Red 的递归定义

\[
\begin{array}{l} ((j, j)) _ {j = 0} ^ {M _ {1, 0} - 1} \oplus_ {\mathrm{N} ^ {2}} M = N = \operatorname{Red} (N) \\ = \operatorname{Red} \left(\left((j, j)\right) _ {j = 0} ^ {M _ {1, 0} - 1} \oplus_ {\mathbb {N} ^ {2}} \operatorname{IncrFirst} ^ {M _ {1, 0}} \left(M ^ {\prime}\right)\right) \\ = \operatorname{Red} \left(\left((j, j)\right) _ {j = 0} ^ {M _ {1, 0} - 1} \oplus_ {\mathbb {N} ^ {2}} \operatorname{IncrFirst} ^ {M _ {1, 0} ^ {\prime}} \left(M ^ {\prime}\right)\right) \tag {21.102} \\ = ((j, j)) _ {j = 0} ^ {M _ {1, 0} - 1} \oplus_ {\mathbb {N} ^ {2}} \operatorname{Red} \left(M ^ {\prime}\right) \\ = ((j, j)) _ {j = 0} ^ {M _ {1, 0} - 1} \oplus_ {\mathbb {N} ^ {2}} \operatorname{Red} \left(\operatorname{IncrFirst} ^ {M _ {1, 0}} \left(M ^ {\prime}\right)\right) \\ = ((j, j)) _ {j = 0} ^ {M _ {1, 0} - 1} \oplus_ {\mathbb {N} ^ {2}} \operatorname{Red} (M), \\ \end{array}
\]

因此， $M = \text{Red}(M)$ ，即 M 是可约的。

设 M 为复项。

首先，如果 $M$ 是可约的，那么由于 $P$ 保持可约性， $P(M)$ 的每个分量都是可约的且单项的，并且特别满足条件 (A) 和 (B)。由于 $M = \bigoplus_{\mathbb{N}^2} P(M)$ ，因此 $M$ 也满足条件 (A) 和 (B)。

接下来，如果 $M$ 满足条件 (A) 和 (B)，则 $M = \bigoplus_{\mathbb{N}^2} P(M)$ ，因此 $P(M)$ 的每个分量都满足条件 (A) 和 (B)，并且是单项的，因此是特别可约的。由于 $P$ 保持可约性，因此 $M$ 也是可约的。

证毕。

定理 21.4.46 直系祖先的切片与 Red 与 IncrFirst 之间的关系。

对于任意 $M \in RT_{\mathrm{PS}}$ 和 $j_0', j_1' \in \mathbb{N}$ , 令 $j_1 := \mathrm{Lng}(M) - 1$ , $j_0' j_1' \leq j_1$ , 且令 $N := \mathrm{Red}\left((M_j)_{j = j_0'}^{j_1')}\right)$ 。然后, 若 $(0, j_0') \leq_M (0, j_1')$ , 则 $N$ 可约, 单项且 [22], 其中 $(M_j)_{j = j_0'}^{j_1'} = \mathrm{IncrFirst}^{M_{0,m} - M_{1,m}}(N)$ 。

根据 Red 对 N 的定义，N 是可约的。

根据可约性和系数的基本性质， $M_{0,j_{0}^{\prime}}-M_{1,j_{0}^{\prime}}\geq0$ 。

根据单项遗传性到直系祖先的切片， $(M_{j})_{j=j_{0}^{\prime}}^{j_{1}^{\prime}}$ 是单项的，因此对于任何 $j\in N$ ，如果 $j_{0}^{\prime}\leq j\leq j_{1}^{\prime}$ ，则 $(0,j_{0}^{\prime})\leq_{M}(0,j)$ ，因此 $M_{0,j}-M_{0,j_{0}}\geq0$ 。

令 $M^{\prime}:= \left(\left(M_{0,j} - M_{0,j_0^{\prime}} + M_{1,j_0^{\prime}},M_{1,j}\right)\right)_{j = j_0^{\prime}}^{j_1^{\prime}}$ 。

由于 IncrFirst $M_{0,j_{0}^{\prime}}-M_{1,j_{0}^{\prime}}(M^{\prime})=(M_{j})_{j=j_{0}^{\prime}}^{j_{1}^{\prime}}$ ，因此由于 $\leq_{M}$ 的 IncrFirst 不变性， $M^{\prime}$ 为单项的。

由于可约性以及系数之间的关系，M 满足条件 (A) 和 (B)。特别地， $(M_{j})_{j=j_{0}^{\prime}}^{j_{1}^{\prime}}$ 满足条件 (A)，因此，由于 $\leq M_{0}$ 的 IncrFirst 不变性， $M^{\prime}$ 满足条件 (A)。此外， $M^{\prime}$ 是单项的，且 $M_{0,0}^{\prime}=M_{1,j_{0}^{\prime}}=M_{1,0}^{\prime}$ ，所以 $M^{\prime}$ 满足条件 (B)。因此，由于可约性与系数之间的关系， $M^{\prime}$ 是可约的。

根据 Red 的 IncrFirst 不变性, $N = \text{Red}\left((M_j)_{j=j_0'}^{j_1'}\right) = \text{Red}\left(\text{IncrFirst}^{M_{0,j_0'} - M_{1,j_0'}}(M')\right) = \text{Red}(M') = M'$ 。因此， $\text{IncrFirst}^{M_{0,j_0'} - M_{1,j_0'}}(N) = \text{IncrFirst}^{M_{0,j_0'} - M_{1,j_0'}}(M') = (M_j)_{j=j_0'}^{j_1'}$ 。

证毕。

定理 21.4.47 一列的对序列基本性质。

对于任意 $M \in T_{PS}$ ，以下等价：

(1) $\mathrm{Lng}(M)=1$ 且 M 是可约的。
(2) 存在唯一的 $v \in N$ 使得 $M = ((v, v))$ 。

证明：

假设 $\mathrm{Lng}(M)=1$ ，且 M 可约。

由于可约性与系数之间的关系，M 满足条件 (A) 和 (B)。特别地，由于 M 满足条件 (B)，因此存在唯一的 $v \in N$ 使得 $M_{0} = (v, v)$ 。

由于 $\mathrm{Lng}(M)=1$ ，因此 $M=(M_{0})=((v,v))$ 。

证毕。

令 $ST_{PS}$ 为满足下列条件的最小子集 $S \subset T_{PS}$ :

1. 对于任意 $u, v \in \mathbb{N}$ ，若 $u \leq v$ 则 $((j, j))_{j=u}^{v} \in S$ 。
2. 对于任意 $M \in S$ 且 $n \in \mathbb{N}_{+}$ ，则 $M[n] \in S$ 。

这里，我们称属于 $ST_{PS}$ 的对序列为标准形式。通常，术语标准形式对序列指的是出现在 3 行 Bashicu 矩阵 $((0,0,0)(1,1,1))$ 展开中的序列，但这对应于上述 u=0 的条件，因此在本讨论中，标准形式是一个指代范围比平常更广的主题的术语。

定理 21.4.48 标准形式的简约性。

我们有 $ST_{PS} \subset RT_{PS}$ 。

证明：

对于任意 $u, v \in \mathbb{N}$ ，若 $u \leq v$ ，则 $((j, j))_{j=u}^v$ 可约化。因此，可由约化性在基本列中保持不变，以及基于 $ST_{\mathrm{PS}}$ 定义的最小性推导出来。

证毕。

对于每个 $k \in N$ ，递归定义子集 $S_{k}T_{PS} \subset ST_{PS}$ ，如下所示：

1. 若 $k = 0$ ，则 $S_{k}T_{\mathrm{PS}} := \left\{((j, j))_{j=u}^{v} \mid (u, v) \in \mathbb{N}^{2} \wedge u \leq v\right\}$ 。
2. 若 k > 0，则 $S_{k}T_{PS} := \{M[n] \mid M \in S_{k-1}T_{PS} \land n \in N\}$ 。

根据 $ST_{PS}$ 定义的极小性， $ST_{PS} = \bigcup_{k \in N} S_k T_{PS}$ 。

定理 21.4.49 标准形式的单项分量是标准形式。

对于任意 $k \in N M \in S_{k} T_{PS}$ ， $P(M) \in S_{k} T_{\mathrm{PS}}^{<\omega}$ 。

证明：

这可以通过对 k 进行数学归纳法证明。

如果 k=0，则根据 $S_{k}T_{PS}$ 的定义，M 是单数或单项复项。

设 k > 0。

设 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(M)) - 1$ 。

根据 $S_{k}T_{PS}$ 的定义，存在 $M' \in S_{k-1}T_{PS}$ 和 $n \in N_{+}$ ，使得 $M = M'[n]$ 。根据归纳假设， $P(M') \in S_{k-1}T_{\mathrm{PS}}^{<\omega}$ 。

令 $J_{0} := \mathrm{Lng}\left(P\left(M'\right)\right) - 1$ 。

令 $\mathrm{Lng}\left(P\left(M'\right)_{J_{0}}\right)=1$ 。

若 $J_0 = 0$ ，则 $M = M'[n] = P(M')_{J_0}[n] = P(M')_{J_0} \in S_{k-1}T_{\mathrm{PS}}$ ，因此这可由归纳假设得出。

若 $J_0 > 0$ ，则由 $P$ 与基本列（1）的关系可知， $P(M) = (P(M')_J)_{J=0}^{J_0-1} \in S_{k_0-1} T_{\mathrm{PS}}^{<\omega}$ 。令 $\mathrm{Lng}\left(P(M')_{J_0}\right) > 1$ 。

由 $P$ 与基本列（2）的关系可知， $P(M) = (P(M')_J)_{J=0}^{J_1} \oplus_{\mathbb{N}^2} P(P(M')_{J_0}[n])$ 。

$(P(M')_{J})_{J=0}^{J_{0}-1} \in S_{k_{0}-1}T_{\mathrm{PS}}^{<\omega}$ , 并由 $P(M')_{J_0} \in S_{k_0-1}T_{\mathrm{PS}}$ , 根据归纳假设 $P(P(M')_{J_0}[n]) \in S_{k_0-1}T_{\mathrm{PS}}^{<\omega}$ , 因此 $P(M) \in S_{k_0-1}T_{\mathrm{PS}}^{<\omega}$ 。

证毕。

定理 21.4.50 标准形式初始段的遗传性。

对于任意 $M \in ST_{\mathrm{PS}}$ 和 $j_1' \in \mathbb{N}$ , 令 $j_1 := \mathrm{Lng}(M) - 1$ , 则若 $j_1' \leq j_1$ , 则 $(M_j)_{j=0}^{j_1'}$ 为规范形式。

证明：由于 $M[1] = \operatorname{Pred}(M)$ ，根据 $j_{1} - m_{1}$ 的数学归纳法可知。证毕。

令 $Q \in T_{PS}^{<\omega}$ 。

1. 令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(Q) - 1$ 。
2. 如果对于任意 $J_0', J_1' \in \mathbb{N}$ , 若 $J_0' \leq J_1' \leq J_1$ , 则称 $Q$ 为下降的:
1. $\left(Q_{J_0'}\right)_{0,0} \geq \left(Q_{J_1'}\right)_{0,0}$ 。
2. 若 $\left(Q_{J_{0}^{\prime}}\right)_{0,0}=\left(Q_{J_{1}^{\prime}}\right)_{0,0}$ ，则 $\left(Q_{J_{0}^{\prime}}\right)_{1,0}\geq\left(Q_{J_{1}^{\prime}}\right)_{1,0}$ 。

根据 P 最左分量的单调性，对于任何 $M \in T_{PS}$ ，以下等价：

(1) $P(M)$ 按降序排列。
(2) 对任意 $J_0', J_1' \in \mathbb{N}$ , 若 $J_0' \leq J_1' \leq J_1$ 且 $\left(P(M)_{J_0'}\right)_{0,0} = \left(P(M)_{J_1'}\right)_{0,0}$ , 则 $\left(P(M)_{J_0'}\right)_{1,0} \geq \left(P(M)_{J_1'}\right)_{1,0}$ 。

因此，具体而言，当 M 为单项时，令 $j_{1}^{\prime} := \mathrm{TrMax}(M)$ ，令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M) - 1$ ，且如果 $j_{1}^{\prime}j_{1}$ ，则为了确定 $\mathrm{Br}(M)$ 是否为降序，我们只需检查 (2) 是否与 $(M_{j})_{j=j_{1}^{\prime}}^{j_{1}}$ 相对应。

定理 21.4.51 标准形式的单项成分按降序排列。

对于任意 $M \in ST_{\mathrm{PS}}$ 和 $J_0', J_1' \in \mathbb{N}$ , 令 $J_1 := \mathrm{Lng}(P(M)) - 1$ 。然后, 若 $J_0' \leq J_1' \leq J_1$ 且 $\left(P(M)_{J_0'}\right)_{0,0} = \left(P(M)_{J_1'}\right)_{0,0}$ , 则 $\left(P(M)_{J_0'}\right)_{1,0} \geq \left(P(M)_{J_1'}\right)_{1,0}$ 。

证明：

设 $k_{0}:= \min \{k\in \mathbb{N}\mid M\in S_{k}T_{\mathrm{PS}}\}$ 。由于 $J_{1}\geq J_{1}^{\prime} > J_{0}^{\prime}\geq 0$ ， $M$ 为复合项，这是由于 $P$ 各分量的非复合性质(2)，因此 $k_{0} > 0$ 。因此，存在 $M^{\prime}\in S_{k_{0} - 1}T_{\mathrm{PS}}$ 和 $n\in \mathbb{N}_{+}$ ，使得 $M = M^{\prime}[n]$ 。

由于 M 是复项的，且非复项性与基本列 $k_{0}-1>0$ 之间存在关系，即 $k_{0}>1$ 且 n>1。

因此，存在 $N \in S_{k_{0}-2}T_{PS}$ 和 $n' \in N_{+}$ 使得 $M' = N[n']$ 。

这可以通过关于 $k_{0}$ 的数学归纳法得到证明。

设 $k_{0}=2$ 。

由于 $N \in S_{k_0 - 2}T_{\mathrm{PS}} = S_0T_{\mathrm{PS}}$ ，存在 $u, v \in \mathbb{N}$ ，使得 $u \leq v$ 且 $N = ((j,j))_{j=u}^v$ 。

假设 $u = v$ ，则 $M' = N[n'] = ((u, u))[n'] = ((u, u))$ 且 $M = M'[n] = ((u, u))[n] = ((u, u))$ ，这违反了 $M$ 的复项性质。

假设 $u + 1 < v$ 。

\[
M ^ {\prime} = N \left[ n ^ {\prime} \right] = ((j, j)) _ {j = u} ^ {v - 2} \oplus_ {\mathbb {N}} \left((v - 1 + k, v - 1)\right) _ {k = 0} ^ {n ^ {\prime} - 1} 。
\]

如果 $n' = 1$ ，则 $M = M'[n] = \left(((j,j))_{j=u}^{v-2} \oplus_{\mathbb{N}} ((v-1, v-1))\right)[n] = ((j,j))_{j=u}^{v-3} \oplus_{\mathbb{N}} ((v-2 + k, v-2))_{k=0}^{n-1}$ ，因此 $(M_{0,j})_{j=0}^{j_1} = (j)_{j=u}^{v+n-3}$ 。

如果 $n' > 1$ ，则

\[
\begin{array}{l} M = M ^ {\prime} [ n ] \\ = \left(\left((j, j)\right) _ {j = u} ^ {v - 2} \oplus_ {\mathbb {N}} \left((v - 1 + k, v - 1)\right) _ {k = 0} ^ {n ^ {\prime} - 1}\right) [ n ] \\ = ((j, j)) _ {j = u} ^ {v - 3} \oplus_ {\mathbb {N}} \bigoplus_ {\mathbb {N} ^ {2}} \left((v - 2 + k ^ {\prime} n ^ {\prime}, v - 2) \oplus_ {\mathbb {N} ^ {2}} \left((v - 1 + k + k ^ {\prime} n ^ {\prime}, v - 1)\right) _ {k = 0} ^ {n ^ {\prime} - 2}\right) _ {k ^ {\prime} = 0} ^ {n - 1}. \tag {21.103} \\ \end{array}
\]

于是有 $(M_{0,j})_{j=0}^{j_{1}}=(j)_{j=u}^{v+nn'-3}$ 。

无论哪种情况，复项性条件都与 M 的复项性相矛盾。

由上可知， $u + 1 = v$ ，且 $M^{\prime} = N[n^{\prime}] = ((u + k,u))_{k = 0}^{n^{\prime} - 1}$ 。

若假设 $n' = 1$ ，则 $M = M'[n] = ((u, u))[n] = ((u, u))$ ，这与 $M$ 的复项性质相矛盾。因此， $n' > 1$ 。

若 $u > 0$ ，则 $M = M'[n] = ((u + k,u))_{k = 0}^{n' - 1}[n] = ((u + k,u))_{k = 0}^{n' - 2}$ ，根据复项性准则，这与 $M$ 的复项性相矛盾。因此， $u = 0$ ，且 $M = M'[n] = ((k,0))_{k = 0}^{n' - 1}[n] = ((k,0))_{k = 0}^{n' - 2} \oplus_{\mathbb{N}^2}((n' - 1,0))_{k' = 0}^{n - 1}$ 。

设 $n' > 2$ ， $(0,0) \leq_M (0,j_1)$ 与 $M$ 的复合性质相矛盾。因此， $n' = 2$ 且 $M = ((n' - 1,0))_{k'=0}^{n-1}$ 。由于 $P(M) = (((n' - 1,0)))_{k'=0}^{n-1}$ ，因此 $\left(P(M)_{J_0'}\right)_{1,0} = 0 = \left(P(M)_{J_1'}\right)_{1,0}$ 。

令 $k_{0} > 3$ 。

令 $J_{0} := \mathrm{Lng}\left(P\left(M'\right)\right) - 1$ 。

若 $\mathrm{Lng}\left(P\left(M'\right)_{J_{0}}\right)=1$ ，则根据 P 与基序列的关系以及 P 各分量的非复项性质 (2)， $J_{0}>0$ 且 $P(M)=(P\left(M'\right)_{J})_{J=0}^{J_{0}-1}$ ，由此推导出归纳假设。令 $\mathrm{Lng}\left(P\left(M'\right)_{J_{0}}\right)>1$ 。

由于 P 与基本列的关系， $P(M) = \left( P\left( M' \right)_J \right)^{J_0 - 1}_{J=0} \oplus_{T_{\mathrm{PS}}} P\left( P\left( M' \right)_{J_0}[n] \right)$ 。

令 $J_{-1} := \mathrm{Lng}\left(P\left(P\left(M'\right)_{J_0}\right)\right) - 1$ 。

由于 $P(1)$ 各分量的非多重性，所以 $P(M')_{J_0}$ 不是多重序列，且由于非多重性与基本列的关系， $\left(\left(P(P(M')_{J_0}[n])_J\right)_{0,0}\right)_{J=0}^{J-1}$ 只有 $\left(P(M')_{J_0}\right)_{0,0}$ 作为分量。若 $J_1'J_0$ ，则根据归纳假设， $\left(P(M)_{J_0'}\right)_{0,0} = \left(P(M')_{J_0'}\right)_{0,0} \geq \left(P(M')_{J_1'}\right)_{0,0} = \left(P(M)_{J_1'}\right)_{0,0}$ 。

若 $J_0' J_0 \leq J_1'$ ，则根据归纳假设， $\left(P(M)_{J_0'}\right)_{0,0} = \left(P(M')_{J_0'}\right)_{0,0} \geq \left(P(M')_{J_0}\right)_{0,0} = \left(P(M')_{J_0}[n]\right)_{J_1'-J_0}\left.\right)_{0,0} = \left(P(M)_{J_1'}\right)_{0,0}$ 。

若 $J_0 \leq J_0'$ ，则 $\left(P(M)_{J_0'}\right)_{0,0} = \left(P(M')_{J_0}\right)_{0,0} = \left(P(M)_{J_1'}\right)_{0,0}$ 。

证毕。

作为证明后面定义的标准形式对序列系统的终止性质的准备，我们定义了一个从对序列到 Buchholz 符号系统的翻译映射 Trans，并研究了它的性质。

接下来， $T_{B}$ 表示 Buchholoz 符号 T 的子集，由所有不包含 $D_{\omega}$ 的项组成。注意， $T_{B}$ 并不局限于序数项。虽然最终会用到序数项，但如果我们从一开始就将论证限制在序数项上，则会非常冗长，因为我们需要检查论证过程中出现的每个项是否是序数项。因此，在证明标准形式对系统的终止性之前，我们不会将论证限制在序数项上。

$T_{B}$ 元素之间的关系表示通常的强序关系， $T_{B}$ 元素之间的关系表示 “< 或二” 的缩写， $T_{B}$ 元素之间的运算 + 表示加法， $T_{B}$ 元素的 $n \in N$ 表示 n 次， $T_{B}$ 元素的 [] 运算符表示仅将 [Buc1] 第 203–204 页 [运算符] 递归定义中的 ([]).4) (ii) 改为 [Buc2] 第 6 页定义中的规则 6 后得到的基本列，dom 表示每个项的 [] 运算符的定义域。

在 Buchholz 符号中，既不是 0 也不是单项的项称为复合项。令 PTB ⊂ T $_{B}$ 表示所有不包含 D $_{\omega}$ 的简单项的子集，令 MT $_{B}$ ⊂ T $_{B}$ 表示所有不包含 D $_{\omega}$ 的复杂项的子集。令 (表示 T $_{B}$ 中的字母 (，令表示 T $_{B}$ 中的字母，令) 表示 T $_{B}$ 中的字母)。令 Σ 为 T $_{B}$ 中所有 D $_{u}$ 的集合，其中包含字母 (,)、0 以及每个 u ∈ ω + 1。

令 $t \in PT_{\mathrm{B}}^{<\omega}$ 。

1. 如果 $t = ()$ ，则令 $t' := 0 \in \Sigma$ 。
2. 令 $t \neq ()$ 。
1. 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(t) - 1$ 。
2. 令 $s_{0}:=(\circ)$
3. 对于每个 $j \in \mathbb{N}$ ，且 $0 < j < j_1$ ，令 $s_j := s_{j-1} t_{j-1}$ 。
4. 令 $t' := s_{j_1 - 1} t_{j_1}$ $\in \Sigma$ 。

如果 $j_{1} = -1$ ，则 $t' = 0 \in T_{\mathrm{B}}$ 。如果 $j_{1} = 0$ ，则 $t' = (\underline{t_0})$ ，因此，根据收缩规则 $\{(p) = p \mid p \in PT_{\mathrm{B}}\}$ ， $t'$ 与 $t_0 \in PT_{\mathrm{B}}$ 等同。如果 $j_{1} > 0$ ，则 $t' \in T_{\mathrm{B}} \setminus (\{0\} \cup PT_{\mathrm{B}})$ 。因此，无论哪种情况，我们都定义一个项 $T_{\mathrm{B}}$ ，将其表示为 $\Sigma_{\mathrm{B}} t$ 。

映射

\[
P: T _ {\mathrm{B}} \to P T _ {\mathrm{B}} ^ {< \omega} \tag {21.104}
\]

\[
t \mapsto P (t) \tag {21.105}
\]

定义如下:

1. 如果 t = 0，则 $P(t) := ()$ 。
2. 如果 $t \in PT_{B}$ ，则 $P(t) := (t)$ 。
3. 令 $t \in MT_{\mathrm{B}}$ 。

1. 根据 Buchholz 符号系统的递归定义，存在唯一的 $s \in \Sigma^{<\omega}$ 和 $t' \in PT_{\mathrm{PS}}$ 使得：

1. $t = (s, t')$ 。
2. $s \in PT_{B}$ 或 $(s) \in MT_{B}$ 。
2. 若 $s \in PT_{\mathrm{B}}$ ，则 $P(t) := P(s) \oplus PT_{\mathrm{B}}(t')$ 。3. 若 $(s) \in MT_{\mathrm{B}}$ ，则 $P(t) := P((s)) \oplus PT_{\mathrm{B}}(t')$ 。

对于 $t \in T_{B}$ ， $P(t)$ 的每个分量称为 t 的单项式分量。

定理 21.4.52 标准形式的单项成分按降序排列。

对于任意 $t \in T_{B}$ ，(在 t 中出现的的数量等于) 在 t 中出现的的数量。

证明：根据 Buchholz 符号的递归定义，通过对 $\mathrm{Lng}(t)$ 进行数学归纳法可知。证毕。

定理 21.4.53 序数单项分量的基本性质。

对于任意 $t \in T_{B}$ ，令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(t)) - 1$ ，且下列条件成立：

(1) $J_{1} = -1$ 当且仅当 $t = 0$ 。
(2) $t = \Sigma_{\mathrm{B}}(P(t)_J)_{J = 0}^{J_1}\circ$

证明：由 P 的递归定义可知，通过对 $\mathrm{Lng}(t)$ 的数学归纳法可以得到。证毕。

定理 21.4.54 部分表现不等式的延长性。

对于任意 $s, b \in \Sigma^{<\omega}$ 且 $t_{0}, t_{1} \in T_{B}$ ，若 $st_{0}b \in T_{B}$ 且 $st_{1}b \in T_{B}$ ，则下列等价：

(1) $t_{0}<t_{1}$ 。
(2) $st_0b < st_1b$ 。

证明：由 < 的递归定义，通过对 $\mathrm{Lng}(s)$ 的数学归纳法可知。证毕。

映射

\[
\text {RightNodes:} T _ {\mathrm{B}} \rightarrow \mathbb {N} ^ {< \omega} \tag {21.106}
\]

\[
t \mapsto \text {RightNodes} (t) \tag {21.107}
\]

递归定义如下:

1. 如果 t = 0，则 RightNodes(t) := ()。
2. 令 $t \in PT_{\mathrm{B}}$ 。
1. 令 $t = D_u t'$ ，其中 $u \in \mathbb{N}$ 和 $t' \in T_{\mathrm{B}}$ 。
2. RightNodes(t) := (u) ⊕ NRightNodes(t')。
3. 令 $t \in T_{\mathrm{B}} \setminus (\{0\} \cup PT_{\mathrm{B}})$ 。

1. 令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(t)) - 1$ 。
2. 右节点 $(t) := \text{RightNodes}(P(t)_{J_{1}})$ 。

为了辅助计算序数项、不等式、加法和基本列，我们引入了 scb 分解的概念，它提供了字符串的句法信息。

设 $t \in T_{B}$ 且 $(s, c, b) \in (\Sigma^{<\omega})^{3}$ 。

1. 如果满足以下条件，则 $(s, c, b)$ 是 $t$ 的 scb 分解：

1.1. $t = scb$ 。
1.2. 如果 $t \neq 0$ ，则 $c \in PT_{\mathrm{B}}$ 。
1.3. b 是仅由）组成的字符串。
2. 如果满足以下条件，则 $(s, c, b)$ 是 $t$ 的亏格为 0 的 scb 分解：
2.1. $(s, c, b)$ 是 $t$ 的 scb 分解。
2.2. $\text{Lng(RightNodes}(c)) = 2$ 。2.3. RightNodes $(c)_{1} = 0$ 。
3. 如果满足以下条件，则称 $(s, c, b)$ 是 t 的第一类 scb 分解：
3.1. $(s, c, b)$ 是 $t$ 的 scb 分解。
3.2. 如果 $j_{1} := \text{Lng}(RightNodes(c)) - 1$ ，则 $j_{1} \geq 1$ 。
3.3. RightNodes $(c)_{0} < \text{RightNodes}(c)_{j_{1}}$ 。
3.4. 对于任意 $j \in \mathbb{N}$ ，如果 $0 < j < j_1$ ，则 $\operatorname{RightNodes}(c)_j \geq \operatorname{RightNodes}(c)_{j_1}$ 。

定理 21.4.55 scb 分解的置换可能性。

对于任意 $s, b \in \Sigma^{<\omega}$ 和 $c_0, c_1 \in T_{\mathrm{B}}$ ，如果 $c_0$ 非单项或 $c_1$ 为单项且 $sc_0b \in T_{\mathrm{B}}$ 且 $(s, c_0, b)$ 是 $sc_0b$ 的 $\operatorname{scb}$ 分解，则 $sc_1b \in T_{\mathrm{B}}$ 且 $(s, c_1, b)$ 是 $sc_1b$ 的 $\operatorname{scb}$ 分解。

证明： $sc_{1}b \in T_{B}$ 可由 Buchholz 符号系统的递归定义通过数学归纳法得出。 $(s, c_{1}, b)$ 是 $sc_{1}b$ 的 scb 分解，可由 scb 分解的定义得出。证毕。

定理 21.4.56 scb 分解的合成规则。

对于任意 $t \in T_{B}$ ，有以下成立：

(1) 对于任意 $c_{0} \in PT_{\mathrm{B}}$ 且 $s_{0}, s_{1}, c_{1}, b_{1}, b_{0} \in \Sigma^{<\omega}$ , 若 $(s_{0}, c_{0}, b_{0})$ 是 $t$ 的 $\operatorname{scb}$ 分解, 且 $(s_{1}, c_{1}, b_{1})$ 是 $c_{0}$ 的 $\operatorname{scb}$ 分解, 则 $(s_{0}s_{1}, c_{1}, b_{1}b_{0})$ 是 $t$ 的 $\operatorname{scb}$ 分解。
(2) 对任意 $v \in \mathbb{N}$ 及 $s, c, b \in \Sigma^{<\omega}$ , 若 $(s, c, b)$ 是 $t$ 的 $\operatorname{scb}$ 分解, 则 $(D_v s, c, b)$ 是 $D_v t$ 的 $\operatorname{scb}$ 分解。

证明：这可直接由 scb 分解的定义得出。证毕。

存在 $(s, b) \in (\Sigma^{<\omega})$ ，使得 $(s, c, b)$ 是 $t$ 的 scb 分解。设 $T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}} \subset T_{\mathrm{B}}^{2}$ 是所有 $(t, c) \in T_{\mathrm{B}}^{2}$ 的子集。

定理 21.4.57 scb 分解自明性的判定条件。

对于任意 $(t,c)\in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ ，下列等价：

(1) $t = c$ 。
(2) 对于任意 $(s,b)\in(\Sigma^{<\omega})^{2}$ ，若 $(s,c,b)$ 是 t 的 scb 分解，则 $s=()$ 且 $b=()$ 。
(3) 存在某个 $b \in \Sigma^{<\omega}$ 使得 $((), c, b)$ 是 $t$ 的 $\operatorname{scb}$ 分解。

证明：

如果 (1) 为真，则 $\mathrm{Lng}(s) + \mathrm{Lng}(b) = (\mathrm{Lng}(s) + \mathrm{Lng}(c) + \mathrm{Lng}(b)) - \mathrm{Lng}(b) = \mathrm{Lng}(t) - \mathrm{Lng}(c) = 0$ ，因此 $s = ()$ 且 $b = ()$ ，且 (2) 为真。

如果 (2) 成立，则 $(t, c) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ ，因此存在 $(s, b) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ ，使得 $(s, c, b)$ 是 $t$ 的 scb 分解，且由 (2) $s = ()$ 且 $b = ()$ ，因此 $t = scb = c$ ，且 (1) 和 (3) 成立。

如果 (3) 成立，则序数项左右括号个数相等，且 $t = cb$ 蕴涵 $b = ()$ ，因此 $t = c$ ，且 (1) 成立。

证毕。

令 $t \in T_{B}$ 。

1. 若存在 $t$ 的第 0 类 scb 分解, 则称 $t$ 为第 0 类 scb 可分解。

2. 若存在 $t$ 的第 1 类 SCB 分解, 则称 $t$ 为第 1 类 SCB 可分解。

定理 21.4.58 scb 分解的唯一性。

对于任意 $t \in T_{\mathrm{B}}$ ，有以下成立：

(1) 对于任意 $(s_0, s_1, c, b_0, b_1) \in (\Sigma^{<\omega})^5$ ，若 $(s_0, c, b_0)$ 和 $(s_1, c, b_1)$ 均为 $t$ 的 $scb$ 分解，则 $s_0 = s_1$ 且 $b_0 = b_1$ 。
(2) $\mathrm{dom}(t) = \mathbb{N}$ 当且仅当 $t$ 为第0类scb可分解或第1类scb可分解。
(3) t 不是第 0 类的 scb 可分解，或 t 不是第 1 类的 scb 可分解。
(4) t 的第 0 类的 scb 分解是唯一的。
(5) t 的第 1 类的 scb 分解是唯一的。

证明：

(1) 可立即成立，因为 c 是单项运算符，且单项运算符包含除) 之外的字符。
(2) 可立即成立，因为 $t$ 不包含 $D_{\omega}$ ，所以 $\mathrm{dom}$ 的递归定义成立。

接下来我们证明 (4)。

假设 $(s_{0},c_{0},b_{0})$ 和 $(s_{1},c_{1},b_{1})$ 是t的第0类scb分解。

令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Rightnodes}(t)) - 1$ 。根据假设，t 是 scb 可分解的，因此 $t \neq 0, j_{1} \geq 0$ 。

令 $u := \text{RightNodes}(t)_{j_1}$ 。根据 RightNodes 的递归定义，从 t 中移除）后得到的字符串的最后两个字符为 $D_u0$ 。

令 $i \in \{0,1\}$ 。令 $j_{1,i} := \text{Lng}(\text{RightNodes}(c_i)) - 1$ 。根据 scb 分解的定义， $j_{1,i} \geq 1$ 。令 $u_i := \text{RightNodes}(c_i)_{j_{1,i}}$ 。根据 RightNodes 的递归定义，从 $c_i$ 中移除）后得到的字符串的最后两个字符为 $D_{u_i}0$ 。

由于 $b_{i}$ 是一个仅由) 组成的字符串，因此从 t 中移除）后得到的字符串的最后两个字符等于从 $c_{i}$ 中移除) 后得到的字符串的最后两个字符，因此 $u = u_{i}$ 。因此， $u_{0} = u_{1}$ 。

令 $v_{i} := \mathrm{RightNodes}(c_{i})_{0}$ 。由于 $b_{i}$ 是一个仅由组成的字符串， $t$ 的后两个字符减）等于 $c_{i}$ 的后两个字符减），故 $u = u_{i}$ 。因此， $u_{0} = u_{1}$ 。因此，若 $v_{i} = \mathrm{RightNodes}(t)_{j_{1} - j_{1,i}} < u$ 且对于任意 $j \in \mathbb{N}$ ， $j_{1} - j_{1,i}j < j_{1}$ ，则 $\mathrm{RightNodes}(t)_{j} \geq u$ 。由上可知， $j_{1} - j_{1,0} = j_{1} - j_{1,1}$ ，且 $v_{0} = v_{1}$ 。

令 $j_{0} := j_{1} - j_{1,0}$ 。由于 RightNodes $(t)_{j_{0}} = v_{0}$ ，t 包含 $D_{v_{0}}$ 。令 s 为 t 中最后一次出现 $D_{v_{0}}$ 左侧的字符串。由于 $c_{i}$ 的开头是 $D_{v_{0}}$ ，且 RightNodes $(c_{i}) = (\text{RightNodes}(t)_{j})_{j=j_{0}}^{j_{1}}$ ， $s = s_{i}$ 。因此， $s_{0} = s_{1}$ 。

由于 $c_{i}$ 是一个词项，因此在 $c_{i}$ 末尾附加一个或多个）的字符串不是词项。此外，由于 $b_{i}$ 仅由）组成， $c_{i}$ 是从 t 开头排除 s 的字符串中最大的子串，且该子串为一个项。因此， $c_{0}=c_{1}$ 且 $b_{0}=b_{1}$ 。

由上式可知， $(s_{0},c_{0},b_{0})=(s_{1},c_{1},b_{1})$ 。

接下来我们证明 (5)。

假设 $(s_{0},c_{0},b_{0})$ 和 $(s_{1},c_{1},b_{1})$ 是 t 的第一类 scb 分解。

令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Rightnodes}(t)) - 1$ 。根据假设，t 是 scb 可分解的，因此 $t \neq 0, j_{1} \geq 0$ 。

令 $u := \text{RightNodes}(t)_{j_1}$ 。根据 RightNodes 的递归定义，从 t 中移除）后得到的字符串的最后两个字符为 $D_u0$ 。

令 $i \in \{0,1\}$ 。令 $j_{1,i} := \text{Lng}(\text{RightNodes}(c_i)) - 1$ 。根据 scb 分解的定义， $j_{1,i} \geq 1$ 。令 $u_i := \text{RightNodes}(c_i)_{j_{1,i}}$ 。根据 RightNodes 的递归定义，从 $c_i$ 中移除）后得到的字符串的最后两个字符为 $D_{u_i}0$ 。

由于 $b_{i}$ 是一个仅由) 组成的字符串，因此从 t 中移除) 后得到的字符串的最后两个字符等于从 $c_{i}$ 中移除) 后得到的字符串的最后两个字符，因此 $u = u_{i}$ 。因此， $u_{0} = u_{1}$ 。

令 $v_{i} := \mathrm{RightNodes}(c_{i})_{0}$ 。由于 $b_{i}$ 是仅由）组成的字符串，且 $c_{i}$ 是 $t$ 中的一个项，因此 $j_{1,i} \leq j_{1}$ 且 $\mathrm{RightNodes}(c_{i}) = (\mathrm{RightNodes}(t)_{j})_{j = j_{1} - j_{1,i}}^{j_{1}}$ 。因此，若 $v_{i} = \mathrm{RightNodes}(t)_{j_{1} - j_{1,i}} < u$ ，且对于任意 $j \in \mathbb{N}, j_{1} - j_{1,i}j < j_{1}$ ，则 $\mathrm{RightNodes}(t)_{j} \geq u$ 。由上可知， $j_{1} - j_{1,0} = j_{1} - j_{1,1}$ ，且 $v_{0} = v_{1}$ 。

令 $j_0 := j_1 - j_{1,0}$ 。由于 $\operatorname{RightNodes}(t)_{j_0} = v_0$ ， $t$ 包含 $D_{v_0}$ 。令 $s$ 为 $t$ 中最后一次出现 $D_{v_0}$ 左侧的字符串。由于 $c_i$ 的开头为 $D_{v_0}$ ，且 $\supset \operatorname{RightNodes}(c_i) = (\operatorname{RightNodes}(t)_j)^{j_1}_{j=j_0}$ ， $s = s_i$ 。因此， $s_0 = s_1$ 。

由于 $c_{i}$ 是一个项，因此在 $c_{i}$ 末尾附加一个或多个) 的字符串不是项。此外，由于 $b_{i}$ 仅

由) 组成，因此 $c_{i}$ 是从 t 开头排除 s 后得到的字符串中最大的子串，且该子串是项。因此， $c_{0}=c_{1}$ 且 $b_{0}=b_{1}$ 。

由上可知， $(s_{0},c_{0},b_{0})=(s_{1},c_{1},b_{1})$ 。

接下来我们证明 (3)。

根据 (4) 的证明，如果 t 的 $\mathrm{scb}(s_{0}, c_{0}, b_{0})$ 存在，则移除 t 后得到的 t 的后两个字符与移除 $c_{0}$ 后得到的 $c_{0}$ 的后两个字符匹配，即 $D_{0}0$ 。

根据 (5) 的证明，如果 t 的 $\mathrm{scb}(s_{1}, c_{1}, b_{1})$ 存在，则移除 t 后得到的 t 的后两个字符与移除 $c_{1}$ 后得到的 $c_{1}$ 的后两个字符匹配，即 $D_{u}0$ ，其中 $u \in N$ 。另一方面， $c_{1}$ 的开头可以表示为 $D_{v}$ ，其中 $v \in N$ ，且 v < u，因此 u > 0。

从上面可知，如果 t 是第 0 类 scb 可分解的，那么 t 就不是第 1 类 scb 可分解的。

证毕。

定理 21.4.59 加法与 scb 分解的关系。

对于任意 $t \in T_{B}$ 和 $c \in PT_{B}$ ，有以下成立：

(1) $(t + c, c) \in T_{\mathrm{B}}^{Marked}$ 。
(2) 对于任意 $(s, b) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 和 $c' \in PT_{\mathrm{B}}$ , 若 $(s, c, b)$ 是 $t + c$ 的 scb 分解, 则 $(s, c', b)$ 是 $t + c'$ 的 scb 分解。
(3) 对任意 $v \in \mathbb{N}$ 、 $s_0, s_1, b_0, b_1 \in \Sigma^{<\omega}$ 和 $c' \in PT_{\mathrm{B}}$ ，若 $s_1D_v(t + c)b_1 \in T_{\mathrm{B}}$ 且 $(s_0, c, b_0)$ 是 $s_1D_v(t + c)b_1$ 的 scb 分解，则 $s_1D_v(t + c')b_1 \in T_{\mathrm{B}}$ 且 $(s_0, c', b_0)$ 即为 $s_1D_v(t + c')b_1$ 的 scb 分解。

证明：

证明 (1), (2)。

令 t = 0。

由于 $t + c = c$ ， $((), c, ())$ 是 $t + c$ 的 scb 分解，因此 $(t + c, c) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ 。根据 scb 分解的唯一性， $s = ()$ 且 b = (), 因此 $(s, c', b) = ((), c', ())$ 是 $t + c' = c'$ 的 scb 分解。令 $t \in PT_{B}$ 。

$t+c=(t,c)$ ，所以 $((t,,c,))$ 是 $t+c$ 的 scb 分解，因此 $(t+c,c)\in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ 。根据 scb 分解的唯一性， $s=(t,\text{且}b=)$ ，所以 $(s,c',b)=(t,,c',))$ 是 $t+c'=(t,c')$ 的 scb 分解。

令 $t \in MT_{B}$ 。

使用 $s' \in \Sigma^{<\omega}$ 并设置 $t = (s)$ ，我们得到 $t + c = (s', c)$ ，因此 $((s', c,))$ 是 $t + c$ 的 $\operatorname{scb}$ 分解，因此 $(t + c, c) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ 。根据 $\operatorname{scb}$ 分解的唯一性， $s = (s', \text{且 } b =)$ ，且 $(s, c', b) = (s', c', ))$ 是 $t + c' = (s', c')$ 的 $\operatorname{scb}$ 分解。

接下来我们证明 (3)。

令 t = 0。

由于 $s_1D_vcb_1 = s_1D_v(t + c)b_1\in T_\mathrm{B}$ ，由scb分解的可替代性可知， $s_1D_v(t + c')b_1 =$ $s_1D_vc'b_1\in T_\mathrm{B}$ 。

由于 $s_0cb_0 = s_1D_v(t + c)b_1 = s_1D_vcb_1$ ，由scb分解的唯一性(1)可知， $s_0 = s_1D_v$ 且 $b_{0} = b_{1}$ 。因此， $s_0c'b_0 = s_1D_vc'b_1 = s_1D_v(t + c')b_1$ ，所以 $(s_0,c',b_0)$ 是 $s_1D_v(t + c')b_1$ 的scb分解。

令 $t \in PT_{B}$ 。

$s_{1}D_{v}(t,c)b_{1}=s_{1}D_{v}(t+c)b_{1}\in T_{B}$ ，又由scb分解的可替代性可知， $s_{1}D_{v}(t+c')b_{1}=s_{1}D_{v}(t,c')b_{1}\in T_{B}$ 。

$s_{0}cb_{0}=s_{1}D_{v}(t+c)b_{1}=s_{1}D_{v}(t,c)b_{1}$ ，且根据 scb 分解的唯一性 (1)， $s_{0}=s_{1}D_{v}(t,$ 且 $b_{0}=)b_{1}$ 。因此， $s_{0}c^{\prime}b_{0}=s_{1}D_{v}(t,c^{\prime})b_{1}=s_{1}D_{v}(t+c^{\prime})b_{1}$ ，因而 $(s_{0},c^{\prime},b_{0})$ 是 $s_{1}D_{v}(t+c^{\prime})b_{1}$ 的 scb 分解。

令 $t \in MT_{B}$ 。

利用 $s' \in \Sigma^{<\omega}$ 并设定 $t = (s')$ ，我们得到 $s_1D_v(s',c)b_1 = s_1D_v(t + c)b_1 \in T_{\mathrm{B}}$ ，因此，由scb分解的可替代性，我们得到 $s_1D_v(t + c')b_1 = s_1D_v(s',c')b_1 \in T_{\mathrm{B}}$ 。 $s_0cb_0 = s_1D_v(t + c)b_1 = s_1D_v(s'c)b_1$ ，因此，根据scb分解(1)的唯一性， $s_0 = s_1D_v(s'$ ，且 $b_0 = b_1$ 。因此， $s_0c'b_0 = s_1D_v(s',c')b_1 = s_1D_v(t + c')b_1$ ，所以 $(s_0,c',b_0)$ 是 $s_1D_v(t + c')b_1$ 的scb分解。

证毕。

定理 21.4.60 scb 分解与基本列的关系。

对于任意 $v, n \in N$ ，以下成立：

(1) 对于任意 $t_0', t_1' \in T_{\mathrm{B}}$ ，以下成立：

\[
(1 - 1) t _ {0} ^ {\prime} + D _ {v} \left(t _ {1} ^ {\prime} + D _ {0} 0\right) [ n ] = t _ {0} ^ {\prime} + (D _ {v} t _ {1} ^ {\prime}) \times (n + 1) 。
\]

(1-2) 对任意 $t \in T_{\mathrm{B}}$ 、 $u \in \mathbb{N}$ 和 $(s, b) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ ，若 $(s, D_u(t_0' + D_v(t_1' + D_0 0)), b)$ 是 $t$ 的 scb 分解，则 $(s, D_u(t_0' + (D_v t_1') \times (n+1)), b)$ 是 $t[n]$ 的 scb 分解。
(2) 对任意 $t \in T_{\mathrm{B}}$ 、 $u \in \mathbb{N}$ 及 $(s_0, s_1, c_2, b_0, b_1) \in (\Sigma^{<\omega})^5$ ，若 $(s_1, c_2, b_1)$ 为 $t$ 的一类 1 阶 $\operatorname{scb}$ 分解，且 $(D_u s_0, D_v 0, b_0)$ 为 $c_2$ 的一类 $\operatorname{scb}$ 分解，则 $v > u$ 且 $t[n] = s_1 D_u (s_0 D_{v-1})^{n+1} 0 b_0^{n+1} b_1$ 。

证明：根据 Buchholz 符号中基本列和共尾数的递归定义，通过数学归纳法，可直接得出取 $[n]$ 项长度的定理。证毕。

定理 21.4.61 RightNodes 与部分表现的关系。

对于任意 $v, n \in N$ ，以下成立：

对于任意 $s, b \in \Sigma^{<\omega}$ 和 $v \in \mathbb{N}t \in PT_{\mathrm{B}}$ ，若 $b$ 仅由）和 $sD_v0b \in T_{\mathrm{B}}$ 组成，则 $sD_vtb \in T_{\mathrm{B}}$ 且 $\operatorname{Lng}(P(sD_vtb)) = \operatorname{Lng}(P(sD_v0b))$ ，存在唯一的 $a_0, a_1 \in \mathbb{N}\omega$ 使得：

(1) RightNodes $(sD_{v}tb)=a_{0}\oplus_{\mathbb{N}}(v)\oplus_{\mathbb{N}}a_{1}$ 。
(2) RightNodes $(sD_{v}0b)=a_{0}\oplus_{\mathbb{N}}(v)$ 。
(3) RightNodes $(D_v t) = (v) \oplus_{\mathbb{N}} a_1$ 。

证明：

由 scb 分解的可替代性可知， $sD_{v}tb \in T_{B}$ ，并且通过数学归纳法，由 P 的递归定义可知， $\mathrm{Lng}(P(sD_{v}tb)) = \mathrm{Lng}(P(sD_{v}0b))$ 。

设 $a_{1} := \text{RightNodes}(t)$ 。根据 RightNodes 的定义，RightNodes $(D_{v}t) = (v) \oplus_{\mathbb{N}} a_{1}$ 。

利用数学归纳法证明 $\operatorname{Lng}(s)$ 存在 $a_0 \in \mathbb{N}^{<\omega}$ , 使得 RightNodes $(sD_vtb) = a_0 \oplus_{\mathbb{N}}(v) \oplus_{\mathbb{N}}a_1$ 且 RightNodes $(sD_v0b) = a_0 \oplus_{\mathbb{N}}(v)$ 。

若 $\mathrm{Lng}(s)=0$ ，则 b=0，因此可设 $a_{0}=()$ 。

令 $\mathrm{Lng}(s) > 0$ 。

令 $sD_{v}0b \in PT_{B}$ 。

令 $s = D_{u}s'$ ，其中 $u \in N$ 和 $s' \in \Sigma^{<\omega}$ 。

根据 $T_{B}$ 的递归定义，我们有 $s'D_{v}0b \in T_{B}$ 。因此， $s'D_{v}tb \in T_{B}$ 。

因为 $\mathrm{Lng}(s')=\mathrm{Lng}(s)-1<\mathrm{Lng}(s)$ ，根据归纳假设，存在 $a_{0}^{\prime}\in N^{<\omega}$ 使得 RightNodes $(s'D_{v}tb)=a_{0}^{\prime}\oplus_{\mathbb{N}}(v)\oplus_{\mathbb{N}}a_{1}$ 且 RightNodes $(s'D_{v}0b)=a_{0}^{\prime}\oplus_{\mathbb{N}}(v)$ 。

$a_0 := (u) \oplus_{\mathbb{N}} a_0'$ , 则由 $T_{\mathrm{B}}$ 的递归定义可知, RightNodes $(sD_vtb) = (u) \oplus_{\mathbb{N}} \text{RightNodes } (s'D_vtb) = (u) \oplus_{\mathbb{N}} a_0' \oplus_{\mathbb{N}}(v) \oplus_{\mathbb{N}} a_1 = a_0 \oplus_{\mathbb{N}}(v) \oplus_{\mathbb{N}} a_1$ 及 RightNodes $(sD_v0b) = (u) \oplus_{\mathbb{N}} \text{RightNodes } (s'D_v0b) = (u) \oplus_{\mathbb{N}} a_0' \oplus_{\mathbb{N}}(v) = a_0 \oplus_{\mathbb{N}}(v)$ 。

令 $sD_{v}0b \in MT_{B}$ 。令 $J_{1} := \mathrm{Lng}\left(P\left(sD_{v}0b\right)\right)$ 。

根据 $\Sigma_{\mathrm{B}}$ 的定义，存在 $\mathrm{a}b_1' \in \Sigma^{<\omega}$ ，其仅由 $P(sD_v0b)_{J_1}b_1'$ 组成，该 $P(sD_v0b)_{J_1}b_1'$ 出现在 $sD_v0b$ 的末尾。令 $b = b_0'b_1'$ ，其中 $b_0' \in \Sigma^{<\omega}$ 仅由）组成。

$D_{v}0b = D_{v}0b_{0}^{\prime}b_{1}^{\prime}$ 出现在 $sD_{v}0b$ 的末尾， $b_{0}^{\prime}$ 出现在 $P(sD_{v}0b)_{J_{1}}$ 的末尾，且因为 $P(sD_{v}0b)_{J_{1}}$ 为单项且包含一个既不是 0 也不是）的字符，所以 $D_{v}0b_{0}^{\prime}$ 出现在 $P(sD_{v}0b)_{J_{1}}$ 的末尾。使用 $s_{0}^{\prime} \in \Sigma^{<\omega}$ ，令 $P(sD_{v}0b)_{J_{1}} = s_{0}^{\prime}D_{v}0b_{0}^{\prime}$ 。

由于 $P(sD_v0b)_{J_1}b_1' = ,s_0'D_v0b_0'b_1' = ,s_0'D_v0b$ 出现在 $s$ 的末尾，因此 $s_0'$ 出现在 $s$ 的末尾。令 $s = s_1', s_0'$ ，其中 $s_1' \in \Sigma^{<\omega}$ 。

因为 $s_0^{\prime}D_v0b_0^{\prime} = P(sD_vb)_{J_1}\in T_\mathrm{B},s_0^{\prime}D_vtb_0^{\prime}\in T_\mathrm{B}$ 且 $sD_v0b = s_1^{\prime}s_0^{\prime}D_v0b_0^{\prime}b_1^{\prime} = s_1^{\prime}P(sD_vb)_{J_1}b_1^{\prime}$ 。 $sD_vtb$ 是将 $sD_v0b$ 的尾部 $P(sD_v0b)_{J_1}b_1^{\prime}$ 替换为 $P(sD_vtb)_{J_1}b_1^{\prime}$ 得到的，而 $sD_vtb$ 也是将 $sD_vtb_1^\prime$ 的尾部 $P(sD_v0b)_{J_1}b_1^{\prime} = s_0^{\prime}D_v0b_0^{\prime}b_1^{\prime}$ 替换得到的。因此， $P(sD_vtb)_{J_1} = s_0^{\prime}D_vtb_0^{\prime}$ 。

因为 $\mathrm{Lng}(s') = \mathrm{s} - \mathrm{Lng}(s_{1}') + 1 < \mathrm{Lng}(s)$ ，根据归纳假设，存在 $a_{0} \in N^{<\omega}$ 使得 RightNodes $(s_{0}'D_{v}tb_{0}') = a_{0} \oplus_{\mathbb{N}}(v) \oplus_{\mathbb{N}}a_{1}$ 且 RightNodes $(s_{0}'D_{v}0b_{0}') = a_{0} \oplus_{\mathbb{N}}(v)$ 。

根据 RightNodes 的递归定义，RightNodes $(sD_{v}tb) = \text{RightNodes}\left(P(sD_{v}tb)_{J_{1}}\right) = \text{RightNodes}\left(s_{0}^{\prime}D_{v}tb_{0}^{\prime}\right) = a_{0}\oplus_{\mathbb{N}}(v)\oplus_{\mathbb{N}}a_{1}, \text{RightNodes}(sD_{v}0b) = \text{RightNodes}\left(P(sD_{v}0b)_{J_{1}}\right) = \text{RightNodes}\left(s_{0}^{\prime}D_{v}0b_{0}^{\prime}\right) = a_{0}\oplus_{\mathbb{N}}(v)$ 。

证毕。

映射 (Trans(M), Mark(M, m)) $\in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$

\[
\text {Trans:} T _ {\mathrm{PS}} \rightarrow T _ {\mathrm{B}} \tag {21.108}
\]

\[
M \mapsto \operatorname{Trans} (M) \tag {21.109}
\]

\[
\text {Mark:} T _ {\mathrm{PS}} ^ {\text {Marked}} \rightarrow T _ {\mathrm{B}} \tag {21.110}
\]

\[
(M, m) \mapsto \operatorname{Mark} (M, m) \tag {21.111}
\]

递归定义如下:

1. 令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M) - 1$ 。
2. 令 $M \in RT_{\mathrm{PS}}$ ，且 $j_1 = 0$ 。
2.1. 令 $M_{0}=(0,0)$ 。
2.1.1. Trans(M) := 0。
2.1.2. Mark(M, m) := 0。
2.2. 令 $M_0 \neq (0,0)$ 。

2.2.1. Trans(M) := $D_{M_{1,0}0}0$ 。

2.2.2. Mark(M, m) := $D_{M_{1,0}}$ 0。

3. 令 M 为约化、单项且 $j_{1} > 0$ 。

3.1. 令 $t_1 := \text{Trans}(\text{Pred}(M))$ 。
3.2. 令 $t_1 = 0$ ，在[34]中。
3.2.1. $\operatorname{Trans}(M) := D_0 D_{M_{1,j_1}} 0$ 。
3.2.2. 如果 m = 0，则标记 $(M, m) := D_{0} D_{M_{1,j_{1}}} 0$ 。
3.2.3. 如果 m > 0，则标记 $(M, m) := D_{M_{1j_1}} 0$ 。
3.3. 令 $t_1 \neq 0$ 。

3.3.1. 令 $i_1 := \max \{i \in \{0, 1\} \mid M_{i,j_1} > 0\}$ 且 [35]。

3.3.2. 令 $j_0 := \max \{j \in \mathbb{N} \mid j < j_1 \land (0, j) \leq_M (0, j_1)\}$ 且 [36]。

3.3.3. 令 $j_{-1} := \mathrm{Adm}_{M}(j_{0})$ 。

3.3.4. 定义相互矛盾的条件 (I) 至 (VI) 如下:

3.3.4.1. 条件 (I) 为 “ $M_{1,j_{1}}=0$ 且 $j_{0}$ 是 M 容许的”。

3.3.4.2. 条件 (II) 为 “ $M_{1,j_{1}}=0$ 且 $j_{0}$ 不是 M 容许的”。

3.3.4.3. 条件 (III) 为 “ $M_{1,j_1} > 0$ 且 $M_{1,j_0} \geq M_{1,j_1}$ 且 $j_0$ 是 M 容许的”。

3.3.4.4. 条件 (IV) 为 “ $M_{1,j_{1}}>0$ 且 $M_{1,j_{0}}\geq M_{1,j_{1}}$ 且 $j_{0}$ 不是 M 容许的”。

3.3.4.5. 条件 (V) 为 “ $M_{1,j_{1}}>0$ 且 $M_{1,j_{0}}+1=M_{1,j_{1}}$ 且 $j_{0}+1<j_{1}$ ”。

3.3.4.6. 条件 (VI) 为 “ $M_{1,j_{1}}>0$ 且 $M_{1,j_{0}}+1=M_{1,j_{1}}$ 且 $j_{0}+1=j_{1}$ ”。

3.3.5. 设 $c_{1} := \text{Mark}(\text{Pred}(M), j_{-1})$ 。

3.3.6. 由于 $(t_1, c_1) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ 且 $t_1 \neq 0$ ，因此 $c_1 \in PT_{\mathrm{B}}$ 且 $\operatorname{scb}$ 分解的唯一性 (1) 根据 (1)，存在唯一的 $(s_1, b_1) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 使得 $(s_1, c_1, b_1)$ 是 $t_1$ 的 $\operatorname{scb}$ 分解。

3.3.7. 令 $c_{1} = D_{v}t_{2}$ , 其中 $v \in \mathbb{N}$ 和 $t_{2} \in T_{\mathrm{B}}$ 。

3.3.8. 令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(t_{2})) - 1$ 。

3.3.9. 如果满足条件 (I)、(III) 或 (V)，则 $c_{2} := D_{v}(t_{2} + D_{M_{1,j_{1}}}0)$ 集合。

3.3.10. 假设满足条件 (II) 或 (IV)。

3.3.10.1. 如果 $t_{2}=0$ ，则令 $c_{2}:=D_{v}D_{M_{1,j_{0}}}D_{M_{1,j_{1}}}0$ 。

3.3.10.2. 令 $t_{2} \neq 0$ 。

3.3.10.2.1. 令 $P(t_2)_{J_1}$ 的左端为 $D_{M_{1,j_0}}$ 。

3.3.10.2.1.1. 令 $t_3 := \Sigma_{\mathrm{B}}(P(t_2)_J)_{J=0}^{J_1-1}$ 。

3.3.10.2.1.2. 使用 $t_{4} \in T_{PS}$ ，令 $P(t_{2})_{J_{1}} = D_{M_{1,j_{0}}} t_{4}$ 。

3.3.10.2.2. 假设 $P(t_{2})_{J_{1}}$ 的左端不是 $D_{M_{1,j_{0}}}$ 。

3.3.10.2.2.1. 令 $t_3 := t_2$ 。

3.3.10.2.2.2. 令 $t_{4} := t_{2}$ 。

3.3.10.2.3. 令 $c_{2} := D_{v}\left(t_{3} + D_{M_{1,j_{0}}}\left(t_{4} + D_{M_{1,j_{1}}}0\right)\right)$ 。

3.3.11. 如果条件 (VI) 满足，则令 $c_{2} := D_{v} D_{M_{1,j_{1}}} 0$ 。

3.3.12. Trans(M) := $s_{1}c_{2}b_{1}$ 。

3.3.13. 令 $m < j_{1}$ 。

3.3.13.1. 令 $c_{0} := \text{Mark}(\text{Pred}(M), m)$ 。

3.3.13.2. 令 $(c_0, c_1) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ 。

3.3.13.2.1. 由于 $(t_1, c_0) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ ，scb 分解的唯一性（1）意味着存在唯一的 $(s_0, b_0) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 使得 $(s_0, c_0, b_0)$ 是 $t_1$ 的 scb 分解。

3.3.13.2.2. 由于 $(c_0, c_1) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ ，由 scb 分解的唯一性（1），存在唯一的 $(s_{-1}, b_{-1}) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 使得 $(s_{-1}, c_1, b_{-1})$ 是 $c_0$ 的 scb 分解。

3.3.13.2.3. Mark(M, m) := $s_{-1}c_{2}b_{-1}$ 。

3.3.13.3. 如果 $(c_{0}, c_{1}) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ 不成立，则 $\mathrm{Mark}(M, m) := D_{M_{1,j_{1}}}$ 。

3.3.14. 如果 $m = j_{1}$ ，则 Mark $(M, m) := D_{M_{1,j_{1}}} 0$ 。

4. 令 M 为约化复项。

4.1. 令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(M)) - 1$ 。

4.2. 令 $j_{0} := j_{1} - \mathrm{Lng}(P(M)_{J_{1}}) + 1$ 。

4.3. 令 $P(M)_{J_1} = ((0,0))$ 。

4.3.1. $\operatorname{Trans}(M) := \operatorname{Trans}\left((M_j)_{j=0}^{j_0-1}\right) + D_00$ 。
4.3.2. Mark(M, m) := $D_{0}0$ 。
4.4. 令 $P(M)_{J_1} \neq ((0,0))$ 。
4.4.1. $\operatorname{Trans}(M) := \operatorname{Trans}\left((M_j)_{j=0}^{j_0-1}\right) + \operatorname{Trans}\left(P(M)_{J_1}\right)$ 。
4.4.2. Mark(M, m) := Mark(P(M)\_{J\_1}, m - j\_0).

5. 假设 M 不可约。

5.1. Trans(M) := Trans(Red(M))。
5.2. Mark(M, m) := Mark(Red(M), m)。

定理 21.4.62 Trans 的良定义性。

存在唯一的映射 Trans 和 Mark 满足上述所有条件。

证明：根据 $\mathrm{Lng}(M)$ 的数学归纳法，可直接得出上述证明。证毕。

定理 21.4.63 2 列对序列的基本性质。

对于任意 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ ，若 $\mathrm{Lng}(M) = 2$ ，则有：

(1) $\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}D_{M_{1,1}0}0$ 。
(2) $(M,0),(M,1)\in T_{\mathrm{PS}}^{Marked}$ 。
(3) Mark(M,0)=D\_{M\_{1,0}}D\_{M\_{1,10}}0 且 Mark(M,1)=D\_{M\_{1,10}}。

证明：

令 $m \in \{0,1\}$ ，并使用 Trans 和 Mark 的递归定义中引入的符号。

由于 M 的可约性，以及可约性与系数之间的关系，M 满足条件 (A) 和 (B)。

$j_{1}=1$ ，且由于 M 是单项的， $(0,0)<_{M}^{\text{Next}}(0,1)=(0,j_{1})$ ， $j_{0}=0$ 。特别地， $j_{0}$ 是 M 容许的，且 $j_{-1}=j_{0}=0$ 。

如果 $m = 0$ ，则 $M$ 是单项的，因此 $(0,m) = (0,0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0,1) = (0,j_1)$ ，且 $m = 0$ 是 $M$ 容许的，因此 $(M,m) \in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ 。

如果 $m = 1$ ，则 $(0,m) = (0,1)\leq_{M}^{\mathrm{Next}}(0,1) = (0,j_1)$ ，且 $m = 1 = j_{1}$ 是 $M$ 容许的，因此 $(M,m)\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ 。

$D_{v}t_{2} = c_{1} = \mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M),j_{-1}\right) = \mathrm{Mark}\left(\left(\left(M_{1,0},M_{1,0}\right)\right),0\right) = D_{M_{1,0}}0$ ，因此 $v = M_{1,0}$ 且 $t_2 = 0$ 。

$j_{0}$ 对于 M 是容许的，且 $j_{0} + 1 = 1 = j_{1}$ ，因此 M 满足条件 (I)、(III) 或 (VI)。

如果满足条件 (I) 或 (III)，则 $c_{2}=D_{v}\left(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0\right)=D_{M_{1,0}}\left(0+D_{M_{1,j_{1}}}\right)0=D_{M_{1,0}}D_{M_{1,1}}0$ 。

如果满足条件 (VI)，则 $c_{2}=D_{v}D_{M_{1,j_{1}}}0=D_{M_{1,0}}D_{M_{1,j_{1}}}0$ 。

因此，无论哪种情况， $c_{2}=D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_{1}}}0$ 。

如果 $m = 0$ ，则 $s_{-1}c_1b_{-1} = c_0 = \mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),m) = \mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),j_{-1}) = c_1$ ，因此 $s_{-1} = ()$ 且 $b_{-1} = ()$ ，且 $\mathrm{Mark}(M,m) = s_{-1}c_2b_{-1} = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_1}}0$ 。

如果 m=1，则 $m=j_{1}$ ，因此 $\mathrm{Mark}(M,m)=D_{M_{1,j_{1}}}0$ 。

如果 $M_{1,0} = 0$ ，则 $t_1 = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) = \mathrm{Trans}\left((M_{1,0},M_{1,0})\right) = 0$ ，因此 $\mathrm{Trans}(M) = D_0D_{M_{1,10}} = D_{M_{1,0}}D_{M_{1,10}}0$ 。

如果 $M_{1,0} > 0$ ，则 $t_1 = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N)) = \mathrm{Trans}((M_{1,0}, M_{1,0})) = D_{M_{1,0}} 0 \neq 0$ ，且 $s_1 D_{M_{1,0}} 0 b_1 = s_1 c_1 b_1 = t_1 = D_{M_{1,m0}}$ 因此 $s_1 = ()$ 且 $b_1 = ()$ ，所以 $\mathrm{Trans}(M) = s_1 c_2 b_1 = D_{M_{1,0}} D_{M_{1,j_1}} 0$ 。

证毕。

定理 21.4.64 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变的 P 同变性。

对于任意 $M \in T_{PS}$ ，以下成立：

(1) $\mathrm{Trans}(M) = \mathrm{Trans}(\mathrm{Red}(M)) = \mathrm{Trans}(\mathrm{IncrFirst}(M))$ 。
(2) 设 $M$ 为复项。令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(M))$ 。对于每个 $J \in \mathbb{N}$ ，且 $J \leq J_{1}$ ，如果 $P(M)_{J}$ 为零项，则令 $t_{J} := D_{0}0$ ；如果 $P(M)_{J}$ 不是零项，则令 $t_{J} := \mathrm{Trans}(P(M)_{J})$ 。在这种情况下， $\mathrm{Trans}(M) = \Sigma_{\mathrm{B}}(t_{J})_{J=0}^{J_{1}}$ 。

证明：这直接源于 Red 的幂等性以及 Trans 和 Red 的递归定义。证毕。

定理 21.4.65 Mark 的 (IncrFirst, Red, P) 的不变性。

对于任意的 $(M,m)\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ ，有：

(1) $\operatorname{Mark}(M, m) = \operatorname{Mark}(\operatorname{Red}(M), m) = \operatorname{Mark}(\operatorname{IncrFirst}(M), m)$ 。
(2) 令 $M$ 为复合词。令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(M))$ 且 $j_{0} := \mathrm{Lng}(M) - \mathrm{Lng}(P(M)_{J_{1}}) - 1$ 。如果 $P(M)_{J_{1}}$ 是项，则 $\text{Mark}(M, m) = D_{0}0$ ；如果 $P(M)_{J_{1}}$ 不是项，则 $\text{Mark}(M, m) = \text{Mark}(P(M)_{J_{1}}, m - j_{0})$ 。

证明：这直接源于 Red 的幂等性以及 Mark 和 Red 的递归定义。证毕。

定理 21.4.66 Trans 零项性的保持性。

对于任意 $M \in T_{PS}$ ，以下等价：

(1) M 为零项。
(2) $\operatorname{Trans}(M) = 0$ 。

证明：

Red 保持不等式，且 Trans 满足 (IncrFirst, Red) 不变性，因此 M 可约化。

如果 M 可约化，则通过对 $\mathrm{Lng(M)}$ 进行数学归纳，可直接得出 Trans 的递归定义。

证毕。

定理 21.4.67 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 的大小关系。

对于任意 $M \in RT_{\mathrm{PS}} \cap PT_{\mathrm{PS}}$ ，使用 Trans 的递归定义中引入的符号，如果 $j_1 > 0$ 且 $t_1 \neq 0$ ，则 $c_1$ 和 $c_2$ 是单项的，且 $c_1 < c_2$ 。

证明：这直接由 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 的定义得出。证毕。

定理 21.4.68 Pred 关于 Trans 的下降性。

对于任意 $M \in T_{PS}$ ，如果 $\mathrm{Lng}(M) > 1$ ，则 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) < \mathrm{Trans}(M)$ 。

从 Trans 的 (IncrFirst, Red) P 不变性以及 Red 与 Pred 的交换性，我们简化为 $M \in RT_{PS} \setminus ZT_{PS}$ 的情况。令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(J_{1})$ 。如果 $\mathrm{Lng}(P(M)_{J_{1}}) = 1$ ，则根据 Trans 的递归定义，由子表示不等式的可扩展性可知 $0 < D_{0}0$ 。

令 $\mathrm{Lng}\left(P(M)_{J_{1}}\right)>1$ 。P 保持可约性，故 $P(M)_{J_{1}}\in RT_{\mathrm{PS}}\cap PT_{\mathrm{PS}}$ 。由 Trans 的定义、 $c_{1}$ 与 $c_{2}$ 的量级关系，以及子表示不等式的可扩展性，Trans (Pred $(P(M)_{J_{1}}))<\mathrm{Trans}(P(M)_{J_{1}})$ 。

$\mathrm{Lng}(P(M)_{J_1}) > 1$ ，故 $P(\mathrm{Pred}(M)) = (P(M)_J)_{J = 0}^{J_1 - 1}\oplus_{T_{\mathrm{PS}}}\mathrm{Pred}(P(M)_{J_1})$ 。因此，根据Trans的定义，以及子表达式不等式的可扩展性， $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) < \mathrm{Trans}(M)$ 。

证毕。

定理 21.4.69 右端第一基点的 Mark 基本性质。

对于任意的 $(M,m)\in RT_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ ，若设 $j_{1}:=\mathrm{Lng}(M)-1$ ，则下列等价：

(1) $m = j_{1}\circ$
(2) $\operatorname{Mark}(M, m) = D_{M_{1,m}0}0$ 。

证明：

我们使用 Trans 递归定义中引入的符号。

根据 Mark 的递归定义，我们将其简化为 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ 的情况。

如果 $M \in RT_{\mathrm{PS}} \cap PT_{\mathrm{PS}}$ ，则根据Mark的定义，由于 $\operatorname{Lng}(c_2) > 2$ ，因此可立即得到结果。

证毕。

定理 21.4.70 Mark 左端的基本性质。

对于任意 $(M,m)\in RT_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ ， $\mathrm{Mark}(M,m)$ 的左端为 $D_{M_{1,m}}$ 。

证明：

Mark 的递归定义可简化为 $m = \mathrm{Lng}(M) - 1$ 的情况。

如果 $m = \mathrm{Lng}(M) - 1$ ，则根据 Mark 的基本性质，可立即得出最右边的第一个基点。证毕。

定理 21.4.71 在条件 (II) 或 (IV) 下， $t_{2}$ 不为 0。

对于任意 $M \in RT_{\mathrm{PS}} \cap PT_{\mathrm{PS}}$ ，使用 Trans 的递归定义中引入的符号，如果 $t_1 \neq 0$ 且 $M$ 满足条件 (II) 或 (IV)，则 $t_2 \neq 0$ 。

证明：

如果 M 满足条件 (II)，则 $(1,j_{0})<_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_{0}+1)$ 意味着 $M_{1,j_{0}+1}>0$ ，因此 $i_{1}=0$ 意味着 $j_{0}+1<j_{1}$ 。

如果 $M$ 满足条件 (IV), 则 $(1, j_0) \leq_M (1, j_1)$ 不成立, 因此 $j_0 + 1 < j_1$ 意味着 $j_0 + 1 < j_1$ , 因为 $j_0$ 是非容许的。

因此，在两种情况下， $j_{-1} \leq j_0 < j_1 - 1$ ，且根据右端第一个基点 Mark 的基本性质， $D_v t_2 = c_1 \neq D_{M_{1,j-1}} 0$ 。又，根据左端 Mark 的基本性质， $v = M_{1,j-1}$ ，所以 $t_2 \neq 0$ 。

证毕。

定理 21.4.72 右端第二基点的 Mark 基本性质。

令 $M \in RT_{\mathrm{PS}} \cap PT_{\mathrm{PS}}$ ，并使用 Trans 的递归定义中引入的符号，如果 $j_1 > 0$ 且 $t_1 \neq 0$ 则 $\operatorname{Mark}(M, j_{-1}) = c_2$ 。

证明：

设 $m := j_{-1}$ ，并使用 Mark 递归定义中引入的符号。

由于 $s_{-1}c_0b_{-1} = c_1 = \mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),j_{-1}) = \mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),m) = c_0$ ， $s_{-1} = ()$ $b_{-1} = ()$ 。因此， $\mathrm{Mark}(M,j_{-1}) = \mathrm{Mark}(M,m) = s_{-1}c_2b_{-1} = c_2$ 。

证毕。

定理 21.4.73 Trans 最左单项成分左端的基本性质。

对于任意 $M \in RT_{PS}$ ，以下成立：

(1) 若 $P(M)_0 = ((0,0))$ 且 $\operatorname{Lng}(P(M)) > 1$ ，则 $\operatorname{Trans}(M)$ 的最左边分量有一个最左边分量为 $D_{M_{1,1}}$ 。
(2) 若 $P(M)_0 \neq ((0,0))$ ，则 $\operatorname{Trans}(M)$ 的最左边分量为 $\operatorname{Trans}(P(M)_0)$ ，其最左边分量为 $D_{M_{1,0}}$ 。
(3) 若 $(1,0) <_{M}^{Next}$ (1,1)，则 $Trans(M)$ 最左边分量的两个最左边字符可以表示为 $D_{M_{1,0}}D_u$ ，其中 $u \in \mathbb{N}$ 。

证明：

由 Trans 的递归定义，我们简化为 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ 的情况。

如果 $M \in RT_{\mathrm{PS}} \cap PT_{\mathrm{PS}}$ ，那么由 Trans 的递归定义，通过对 $j_1$ 的数学归纳法可知。

证毕。

定理 21.4.74 Trans 单项性的保持。

对于任意 $M \in T_{PS}$ ，以下等价：

(1) M 是单项的。
(2) $\operatorname{Trans}(M)$ 是单项的，或者 $P(M)_0$ 是零项且 $\mathrm{Lng}(P(M)) = 2$ 。

证明：

Red 保持单项性，且 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性简化为 M 可约的情况，这归因于 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性以及 Trans 最左元素的基本性质。

如果 M 可约，则由 Trans 的递归定义和 $\mathrm{Lng}(M)$ 上的数学归纳法可直接得出。

证毕。

定理 21.4.75 Trans 与不可数基数的关系。

对于任意 $M \in RT_{PS}$ 和 $v \in N$ ，下列等价：

(1) $\operatorname{Trans}(M) = D_v0$ 。
(2) v = 0 且 $M = ((0,0), (0,0))$ ，或 v > 0 且 $M = ((v,v))$ 。

证明：

如果 (2)，则根据 Trans 的定义可知 (1)。

设 (1) 成立。

由于 M 的可约性、不可约性和系数关系，M 满足条件 (A) 和 (B)。特别地，由于 M 满足条件 (B)， $M_{0,0} = M_{1,0}$ 。设 v = 0。

如果假设 $M_{1,0} > 0$ ，那么根据Trans最左单项式分量左端的基本性质(2)，Trans(M)最左单项式分量左端为 $D_{M_{1,0}} \neq D_0 = D_v$ ，这与上下文矛盾。因此， $M_{1,0} = 0$ 。如果 $\mathrm{Lng}(M) = 1$ 则 $M = ((0,0))$ ，即 $\mathrm{Trans}(M) = 0 \neq D_v0$ ，这自相矛盾。因此， $\mathrm{Lng}(M) > 1$ 。

令 $M' := (M_{j})_{j=0}^{1}$ 。

由于 $\mathrm{Lng}(M') = 2$ ，因此 $M'$ 不是零项。如果 $M'$ 是单项的，则根据两列对序列的基本性质以及 Pred 相对于 Trans 的下降性质，

$D_00 = D_v0 = \mathrm{Trans}(M) \geq \mathrm{Trans}(M') = D_0D_{M_{1,1}}0 > D_00$ ，这与上下文矛盾。因此， $M'$ 是复项，且 $M_{0,1} \leq M_{0,0} = 0$ ，即 $M_{0,1} = 0$ 。

由于可约性可遗传到切片， $M'$ 是可约的；并且由于可约性与系数之间的关系， $M'$ 满足条件 (A) 和 (B)。特别地，由于 $M'$ 是复项且满足条件 (B)，

\[
M _ {1, 1} = M _ {0, 1} = 0 。
\]

Trans $(M') = \text{Trans}(M') = ((0,0),(0,0)) = D_{0}0 = \text{Trans}(M)$ ，因此，根据 Pred 关于 Trans 的下降性质， $M = M' = ((0,0),(0,0))$ 。

假设 v > 0。

设 $P(M)_0$ 为零项， $M_0 = (0,0)$ ，根据 $P$ 的定义， $M_{0,1} = 0$ 。由于 $M$ 满足条件 (B)， $M_{1,1} = M_{0,1} = 0$ 。然而，由于 Trans 最左单项式分量左端的基本性质， $D_v0 = \mathrm{Trans}(M)$ 的唯一单项式分量 $D_v0$ 的左端为 $D_{M_{1,1}} = D_0 \neq D_v$ ，这与 $P(M)_0$ 矛盾。因此， $P(M)_0$ 不是零项。

$P(M)_{0}$ 不是零项，且 Trans 是单项式，所以 M 是单项式。由 Trans 最左单项式分量左端的基本性质可知，Trans (M) 的左端为 $D_{M_{1,0}}$ ，故 $M_{1,0} = v > 0$ 。

Trans $((M_{0})) = D_{M_{1,0}0} = D_{v}0 = \text{Trans}(M)$ ，由 Pred 相对于 Trans 的下降性质可知， $M = (M_{0}) = ((M_{1,0}, M_{1,0})) = ((v, v))$ 。

证毕。

定理 21.4.76 左端第一基点的 Mark 基本性质。

对于任意 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ ，有以下成立：

(1) $(M,0)\in T_{\mathrm{PS}}^{Marked}$ 。

(2) 对于任意 $m \in \mathbb{N}$ , 若 $(M, m) \in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ , 则 $\operatorname{Mark}(M, m) = \operatorname{Trans}(M)$ 当且仅当 $m = 0$ 。

证明：

Mark 递归定义中引入的符号是针对 $(M, m)$ 定义的。

这可以通过关于 $j_{1}$ 的数学归纳法来证明。

设 $j_{1}=1$ 。

根据二序列对序列的基本性质， $(M,0)\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ 且 $\mathrm{Mark}(M,0)=D_{M_{1,0}}D_{M_{1,1}}0=\mathrm{Trans}(M)$ 。

若 $m \neq 0$ ，则 $m = 1$ ，根据两列对序列的基本性质， $\operatorname{Mark}(M, m) = D_{M_{1,m}} 0 = D_{M_{1,1}} 0 \neq D_{M_{1,0}} D_{M_{1,1}} 0 = \operatorname{Trans}(M)$ 。

令 $j_{1} > 1$ 。

由于 M 是单项式， $M \neq ((0,0),(0,0))$ 。

若 $m = j_{1}$ ，则 $m \neq 0$ 。根据右边第一个基点处Mark的基本性质， $\operatorname{Mark}(M, m) = D_{M_{1,j_1}} 0$ 。由于 $j_{1} > 1$ ，且Trans与不可数基数具有关系，故 $\operatorname{Trans}(M) \neq D_{M_{1,j_1}} 0$ 。

设 $m < j_{1}$ 。

由于 $\mathrm{Lng}(\mathrm{Pred}(M)) = j_{1} > 1$ ，故 $\mathrm{Pred}(M)$ 不是零项，且 Trans 保持零项性质，故 $t_{1} \neq 0$ 。

由于不可收缩性对切片的遗传性和单项性对初始切片的遗传性， $\operatorname{Pred}(M)$ 是可约化的和单项式的，并且根据归纳假设， $(\operatorname{Pred}(M), 0) \in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ 且 $c_0 = \operatorname{Mark}(\operatorname{Pred}(M), m)$ 与 $t_1 = \operatorname{Trans}(\operatorname{Pred}(M))$ 一致当且仅当 $m = 0$ 。

如果 $m = 0$ ，则 $s_0c_0b_0 = t_1 = c_0$ ，因此 $s_0 = ()$ 且 $b_{0} = ()$ ，且 $s_1 = s_0s_{-1} = s_{-1}$ 且 $b_{1} = b_{-1}b_{0} = b_{-1}$ ，因此 $\operatorname {Mark}(M,0) = \operatorname {Mark}(M,m) = s_{-1}c_2b_{-1} = s_1c_2b_1 = \operatorname {Trans}(M)$ 。

如果 $m \neq 0$ ，则 $s_0c_0b_0 = t_1 \neq c_0$ ，所以 $s_0 \neq ()$ 或 $b_0 \neq ()$ ，且 $\operatorname{Mark}(M, m) = s_{-1}c_2b_{-1} \neq s_0s_{-1}c_2b_{-1}b_0 = s_1c_2b_1 = \operatorname{Trans}(M)$ 。

证毕。

定理 21.4.77 $s_{1}$ 和 $b_{1}$ 的空性与基点的关系。

对于任意 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ ，使用 Trans 的递归定义中引入的符号，下列等价：

(1) $j_{-1}=0$ 。
(2) $s_1 = ()$ 且 $c_{1} = t_{1}$ 且 $b_{1} = ()$ 。
(3) $s_{1} = ()$ 。

证明：

若 (1) 成立, 则根据 Mark 在左侧第一个基点的基本性质 (2), $c_{1} = \text{Mark}(\text{Pred}(M), j_{-1}) = \text{Trans}(\text{Pred}(M)) = t_{1}$ , 且根据 scb 分解的平凡性准则, $s_{1} = ()$ 且 $b_{1} = ()$ , 故 $c_{1} = s_{1}c_{1}b_{1} = t_{1}$ 。

若 (2) 成立，则根据假设， $s_{1}=()$ 。

若 (3) 成立，则根据 scb 分解的平凡性准则， $c_{1}=t_{1}$ ，且根据 Mark 在左侧第一个基点的基本性质 (2)， $j_{-1}=0$ 。

证毕。

定理 21.4.78 Mark 对顺序关系的保持。

对任意 $M \in T_{\mathrm{PS}}$ 和 $m_0, m_1 \in \mathbb{N}$ , 若 $(M, m_0), (M, m_1) \in T_{\mathrm{PS}}^{Marked}$ , 则下列等价:

(1) $m_{0}<m_{1}$ 。
(2) Mark $(M, m_{1}) \neq \text{Mark}(M, m_{0})$ 且 $(\text{Mark}(M, m_{1}), \text{Mark}(M, m_{0})) \in T_{\text{B}}^{\text{Marked}}$ 。

证明：由 Mark 的递归定义可知，通过数学归纳法，可直接得出 $\mathrm{Lng}(M)$ 的证明。证毕。

定理 21.4.79 $s_{-1}$ 和 $b_{-1}$ 的空性与基点的关系。

对于任意 $(M, m) \in T_{\mathrm{PS}}^{Marked}$ ，若 $M$ 是可约化的且单项的，那么，利用 Trans 和 Mark 的递归定义中引入的符号，下列表达式等价：

(1) $m = j_{-1}$ 。
(2) $s_{-1} = ()$ 且 $b_{-1} = ()$ 。

证明：这直接源于 scb 分解的平凡性准则以及 Mark 保持有序的事实。证毕。

定理 21.4.80 Trans 和 Mark 的表示。

对于任意的 $(M,m)\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ ，令 $j_{1}:=\mathrm{Lng}(M)-1$ ，则若 $j_{1}-m>0$ ，则 Mark $(M,m)=\mathrm{Trans}\left((M_{j})_{j=m}^{j_{1}}\right)$ 。

证明：

由于 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性为 P 等变性，Mark 的 (IncrFirst, Red, P) 不变性，以及 Red 的容许性，我们将其简化为 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ 的情况。接下来，我们定义 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ ，并定义 Trans 递归定义中引入的符号，用于 M。为了明确这是对 M 的应用，我们将 M 写在右肩上。

$m < j_{1}$ 且 $(0, m) \leq_{M} (0, j_{1})$ 且 $\left(0, j_{0}^{M}\right) <_{M}^{\text{Next}} \left(0, j_{1}^{M}\right) = (0, j_{1})$ ，因此 $m \leq j_{0}^{M}$ 。

如果 $m = 0$ ，则根据Mark在最左边第一个基点的基本性质可知。下文中，我们假设 $m > 0$ 。在这种情况下， $j_{1}^{M} = j_{1} > m > 0$ ，因此 $j_{1}^{M} > 1$ ，进而 $t_1^M\neq 0$ 。

令 $N := \text{Red}\left((M_{j})_{j=m}^{j_{1}}\right)$ 。

根据Lng的Red不变性, $j_{1}^{N}=\mathrm{Lng}(N)-1=\mathrm{Lng}\left((M_{j})_{j=m}^{j_{1}}\right)-1=j_{1}-m\circ(0,j_{0}^{M})<_{M}^{\mathrm{Next}}$ $(0,j_{1})$ 且 $(0,m)\leq M(0,j_{1})$ ，所以 $m\leq j_{0}^{M}$ 且 $(0,j_{0}^{M}-m)<_{N}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1}^{M}-m)=(0,j_{1}-m)=(0,j_{1}^{N})$ ，所以 $j_{0}^{N}=j_{0}^{M}-m$ 。N是可约的，因此由于可约性和系数之间的关系，M和N

满足条件 (A) 和 (B)。由于直接祖先切片以及 Red 与 IncrFirst 之间的关系，N 是单项的，且 IncrFirst $M_{0,m}-M_{1,m}(N)=(M_{j})_{j=m}^{j_{1}}$ ，即 $N=((M_{0,j}-M_{0,0}+M_{1,0},M_{1,j}))_{j=m}^{j_{1}}$ 。

Trans 的递归定义中引入的符号是针对 N 定义的，为了清楚地表明它们应用于 N，它们都以 N 为右肩书写。

令 $j_{1}-m=1$ 。

$N = ((M_{1,m}, M_{1,m}), (M_{1,j_1} - M_{0,m} + M_{1,m}, M_{1,j_1})) \circ j_1^N = j_1 - m = 1$ ，且由于 $N$ 为单项矩阵， $(0,0) <_{N}^{\text{Next}} (0,1) = (0, j_1^N)$ ， $j_0^N = 0$ 。特别地， $j_0^N$ 是 $N$ 容许的，且 $j_{-1}^N = j_0^N = 0$ 。

$D_{v^{N}}t_{2}^{N} = c_{1}^{N} = \operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(N),j_{-1}^{N}\right) = \operatorname{Mark}\left(\left(\left(M_{1,m},M_{1,m}\right)\right),0\right) = D_{M_{1,m}}0$ ，因此 $v^{N} = M_{1,m}$ 且 $t_2^N = 0$ 。

$(0, m) \leq_{M} (0, j_1)$ 且 $m + 1 = j_1$ ，因此 $(0, m) <_{M}^{\text{Next}} (0, j_1)$ ，即 $j_0^M = m$ ，且由于 $m$ 是 $M$ 容许的，因此 $m = j_{-1}$ 。因此，由于 $s_{-1}$ 和 $b_{-1}$ 为空，且基点之间存在对应关系， $s_{-1}^M = ()$ ， $b_{-1}^M = ()$ 。

由于 m 具有 M 容许，且满足右端第一个基点 Mark 的基本性质， $D_{v^{M}}t_{2}^{M}=c_{1}^{M}=$ Mark $\left(\mathrm{Pred}(M),j_{-1}^{M}\right)=\mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),m)=D_{M_{1,m}}0$ 。因此， $v^{M}=M_{1,m}, t_{2}^{M}=0$ 。

由于 $m$ 是 $M$ 容许的，且 $j_0^M + 1 = m + 1 = j_1 = j_1^M$ ，因此 $M$ 满足条件 (I)、(III) 或 (VI)。如果满足条件 (I) 或 (III)，则 $c_2^M = D_{v^M}(t_2^M + D_{M_{1,j_1}}0) = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_1}}0$ 。如果满足条件 (VI)，则 $c_2^M = D_{v^M}D_{M_{1,j_1}}0 = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_1}}0$ 。因此，无论哪种情况， $c_2^M = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_1}}0$ 。因此， $\mathrm{Mark}(M, m) = s_{-1}^M c_2^M b_{-1}^M = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_1}}0$ 。

令 $M_{1,m}=0$ 。

\[
t _ {1} ^ {N} = \mathrm{Trans} (\mathrm{Pred} (N)) = \mathrm{Trans} \left((M _ {1, m}, M _ {1, m})\right) = 0.
\]

因此，根据 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性 P 和 Trans 的定义，Trans $\left((M_{j})_{j=m}^{j_{1}}\right)=\mathrm{Trans}(N)=D_{0}D_{N_{1,1}}0=D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_{1}}}0$ 。

令 $M_{1,m} > 0$ 。

由于 $t_1^N = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N)) = \mathrm{Trans}\left((M_{1,m},M_{1,m})\right) = D_{M_{1,m}}0\neq 0$ ，条件(I)至(VI)对 $N$ 有意义。

$j_{-1}^{N}=0$ ，且 $s_{1}$ 和 $b_{1}$ 的空性和基点关系意味着 $s_{1}^{N}=()$ 和 $b_{1}^{N}=()$ 。

令 $M_{1,m} < M_{1,j_{1}}$ 。

$N_{1,j_{1}^{N}} = N_{1,1} = M_{1,j_{1}} > M_{1,m} > 0$ 。 $(0,0) <_{N}^{\text{Next}} (0,1)$ 且 $N_{1,0} = M_{1,m} < M_{1,j_{1}} = N_{1,1}$ ，所以 $(1,0) <_{N}^{\text{Next}} (1,1)$ 。又由于 $j_{0}^{N} + 1 = 1 = j_{1}^{N}$ 且 N 满足条件 (B)，所以 $N_{1,j_{0}^{N}} + 1 = N_{1,j_{1}^{N}}$ 。因此，N 满足条件 (VI)。

$c_{2}^{N} = D_{v^{N}}D_{N_{1,j_{1}^{N}}}0 = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_{1}}}0$ ，因此 $\operatorname{Trans}(N) = s_1^N c_2^N b_1^N = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_1}}0$ 。

令 $M_{1,m} \geq M_{1,j_{1}}$ 。

由于 $j_0^N$ 是 $^N N$ 可接受的，且 $N_{1,j_0^N} = M_{1,m}\geq M_{1,j_1} = N_{1,j_1^N}$ ，因此 $N$ 满足条件(I)或(III)。

$c_{2}^{N} = D_{v^{N}}\left(t_{2}^{N} + D_{N_{1,j_{1}^{N}}}0\right) = D_{M_{1,m}}\left(0 + D_{M_{1,j_{1}}}0\right) = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_{1}}}0,$ 因此 $\operatorname{Trans}(N) =$ $s_1^N c_2^N b_1^N = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_1}}0$ 。

因此，在这两种情况下，Trans $(N) = s_{1}^{N}c_{2}^{N}b_{1}^{N} = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_{1}}}0$ ，并且从 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性 P-不变性来看，Trans $\left((M_{j})_{j=m}^{j_{1}}\right) = \text{Trans}(N) = D_{M_{1,m}}D_{M_{1,j_{1}}}0 = \text{Mark}(M,m)$ 。

我们将利用数学归纳法证明,在条件 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ 下, $\mathrm{Mark}(M, m) = \mathrm{Trans}\left((M_j)_{j=m}^{j_1}\right)$ 。

如果 $j_{1} = 2$ ，则 $j_{1} > m > 0$ ，因此 $m = 1$ 且 $j_{1} - m = 1$ ，这在前面已经得到证明。

令 $j_{1} > 2$ 。我们已经证明，如果 $j_{1} - m = 1$ ，则成立，因此，从现在开始，令 $j_{1} - m > 1$ 。

由于 $\operatorname{Red}(R)$ 是可还原的和单项的，并且 $\operatorname{Lng}(N) - 1 = j_1 - m > 1$ 且 Trans 是零终结的， $t_1^N \neq 0$ ，因此条件 (I) 至 (VI) 对 $\operatorname{Red}(N)$ 有意义。

根据基点切片的遗传性， $(\mathrm{Pred}(M), m) \in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ 和 $\mathrm{Lng}(\mathrm{Pred}(M)) - 1 = j_1 - 1 < j_1$ ，因此根据 Red 和 Pred 的交换性和归纳假设，

\[
\begin{array}{l} c _ {0} ^ {M} = \operatorname{Mark} (\operatorname{Pred} (M), m) \\ = \operatorname{Trans} \left((\operatorname{Pred} (M) _ {j}) _ {j = m} ^ {j _ {1} - 1}\right) \\ = \operatorname{Trans} \left(\left(M _ {j}\right) _ {j = m} ^ {j _ {1} - 1}\right) \tag {21.112} \\ = \operatorname{Trans} \left(\left(M _ {0, j} - M _ {0, m} + M _ {1, m}, M _ {1, j}\right) _ {j = m} ^ {j _ {1} - 1}\right) \\ = \operatorname{Trans} (\operatorname{Pred} (N)) \\ = t _ {1} ^ {N}, \\ \end{array}
\]

\[
c _ {1} ^ {M} = \operatorname{Mark} \left(\operatorname{Pred} (M), j _ {- 1} ^ {M}\right) = \operatorname{Trans} \left(\left(M _ {j}\right) _ {j = j _ {- 1}} ^ {j _ {1} - 1}\right). \tag {21.113}
\]

此外，根据单项的原因，N 为 $(N,0)\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ ，且根据基切片的遗传性， $(\mathrm{Pred}(N),0)\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ 。由于 $\mathrm{Lng}(\mathrm{Pred}(N))-1=j_{1}^{N}-1=j_{1}-m-1<j_{1}$ ，根据 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变的 P 同变性和归纳假设，

\[
\begin{array}{l} c _ {0} ^ {N} = \operatorname{Mark} (\operatorname{Pred} (N), 0) \\ = \operatorname{Trans} (\operatorname{Pred} (N)) \\ = \operatorname{Trans} \left(\left(M _ {0, j} - M _ {0, m} + M _ {1, m}, M _ {1, j}\right) _ {j = m} ^ {j _ {1} - 1}\right) \tag {21.114} \\ = \operatorname{Trans} \left((M _ {j}) _ {j = m} ^ {j _ {1} - 1}\right) \\ = c _ {0} ^ {M}. \\ \end{array}
\]

\[
\begin{array}{l} c _ {1} ^ {N} = \operatorname{Mark} \left(\operatorname{Pred} (N), j _ {- 1} ^ {N}\right) \\ = \operatorname{Trans} \left(\left(\operatorname{Pred} (N) _ {j}\right) _ {j = j _ {- 1} ^ {N}} ^ {j _ {1} ^ {N} - 1}\right) \\ = \operatorname{Trans} \left(\left(M _ {0, j} - M _ {0, m} + M _ {1, m}, M _ {1, j}\right) _ {j = j _ {- 1} ^ {M}} ^ {j _ {1} - 1}\right) \tag {21.115} \\ = \operatorname{Trans} \left((M _ {j}) _ {j = j _ {- 1} ^ {M}} ^ {j _ {1} - 1}\right) \\ = c _ {1} ^ {M}. \\ \end{array}
\]

$D_{v^M}t_2^M = c_1^M = c_1^N = D_{v^N}t_2^N$ ，因此 $v^{M} = v^{N}$ 且 $t_2^M = t_2^N$ ，且 $s_{-1}^{M}c_{1}^{M}b_{-1}^{M} = c_{0}^{M} = t_{1}^{N} = s_{1}^{N}c_{1}^{N}b1^{N} = s_{1}^{N}c_{1}^{M}b_{1}^{N}$ ，因此 $s_{-1}^{M} = s_{1}^{N}$ 且 $b_{-1}^{M} = b_{1}^{N}$ 。由以上可知，

\[
\operatorname{Trans} \left((M _ {j}) _ {j = m} ^ {j _ {1}}\right) = \operatorname{Trans} (N) = s _ {1} ^ {N} c _ {2} ^ {N} b _ {1} ^ {N} = s _ {- 1} ^ {M} c _ {2} ^ {M} b _ {- 1} ^ {M} = \operatorname{Mark} (M, m). \tag {21.116}
\]

证毕。

令 $M \in T_{\mathrm{PS}}$ 。定义 $\mathbb{Z}^2$ 上的二元关系 $<_{M}^{\mathrm{NextAdm}}$ 如下：

1. 对于 $(i_0, j_0), (i_1, j_1) \in \mathbb{Z}^2$ , $(i_0, j_0) <_{M}^{\text{NextAdm}} (i_1, j_1)$ 满足以下条件:

1.1. $(i_0,j_0)\leq_M(i_1,j_1)$

1.2. $j_{0} < j_{1}$ 。

1.3. $j_{0}$ 是 M 容许的。

1.4. 对于任意 $j \in \mathbb{N}$ , 如果 $j_0 < j < j_1$ , 则:

1.4.1. $(i_{0},j)\leq_{M}(i_{1},j_{1})$ 不成立。

1.4.2. j 不满足 M 容许性。

定理 21.4.81 Adm $_{M}$ 与 $<_{M}^{NextAdm}$ 之间的关系。

对于任意的 $(M,m)\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ ，令 $j_{1}:=\mathrm{Lng}(M)-1$ ，则若 $j_{1}-m>0$ ，则 Mark $(M,m)=\mathrm{Trans}\left((M_{j})_{j=m}^{j_{1}}\right)$ 。

证明：

$(1,j_{-1})\leq_{M}(1,j_{0})$ 且 $(i,j_{0})<_{M}^{\mathrm{Next}}(i,j_{1})$ 蕴涵 $(i,j_{-1})\leq_{M}(i,j_{1})$ 。此外， $j_{-1}$ 是 M 容许的。

设 $j \in \mathbb{N}$ 且 $j_{-1} < j < j_1$ 。如果 $(i,j) \leq_M (i,j_1)$ ，则 $j \leq j_0$ ，因为 $(i,j_0) < _M^{\text{Next}} (i,j_1)$ ，因此 $\operatorname{Adm}_M(j) \leq j_{-1} < j$ ，所以 $j$ 不符合 $M$ 条件。由上可知， $(i,j_{-1}) < _M^{\text{NextAdm}} (i,j_1)$ 。

证毕。

定理 21.4.82 Trans 与 $<_{M}^{NextAdm}$ 之间的关系。

令 $M \in T_{\mathrm{PS}}$ ，且令 $j_1 := \mathrm{Lng}(M) - 1$ 。若存在唯一的 $j_0 \in \mathbb{N}$ 使得 $(0, j_0) <_{M}^{\mathrm{NextAdm}}(0, j_1)$ ，则存在唯一的 $(s_0, b_0) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 使得：

(1) $(s_{0},\mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M),j_{0}\right),b_{0})$ 是 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M))$ 的scb分解。
(2) $(s_{0},\mathrm{Mark}(M,j_{0}),b_{0})$ 是 $\mathrm{Trans}(M)$ 的scb分解。

证明：

Trans 的递归定义和直接祖先的 Red 不变性可简化为 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ 的情况。

如果 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ ，则它可直接由 Trans 的定义和直接祖先的 Red 不变性得出。

证毕。

定理 21.4.83 Mark 与 $<_{M}^{NextAdm}$ 之间的关系。

令 $M \in T_{\mathrm{PS}}$ 且 $j_1 := \mathrm{Lng}(M) - 1$ 。假设存在唯一的 $j_0 \in \mathbb{N}$ 使得 $(0, j_0) <_{M}^{\mathrm{NextAdm}} (0, j_1)$ 。对于任意 $j \in \mathbb{N}$ ，若 $(0, j) \leq_{M} (0, j_0)$ ，则存在唯一的 $(s_0, b_0) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 使得：

(1) $(s_0, \operatorname{Mark}(\operatorname{Pred}(M), j_0), b_0)$ 是 $\operatorname{Mark}(\operatorname{Pred}(M), j)$ 的 $\operatorname{scb}$ 分解。
(2) $(s_{0},\mathrm{Mark}(M,j_{0}),b_{0})$ 是 $\mathrm{Mark}(M,j)$ 的scb分解。

证明：这直接源于 Trans 与 $<_{M}^{\text{NextAdm}}$ 之间的关系，以及 Mark 保留了排序关系的事实。证毕。

定理 21.4.84 Trans 的 Mark 和 Pred 表示。

对任意 $(M, m) \in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ ，若 $m < \mathrm{Lng}(M) - 1$ ，则存在任意 $(s_0, b_0) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 使得：

(1) $(s_{0},\mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),m),b_{0})$ 是 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M))$ 的scb分解。
(2) $(s_{0},\mathrm{Mark}(M,m),b_{0})$ 是 $\mathrm{Trans}(M)$ 的scb分解。

证明：这直接源于 Trans 与 $<_{M}^{\text{NextAdm}}$ 的关系，以及 Mark 与 $<_{M}^{\text{NextAdm}}$ 的关系。证毕。

定理 21.4.85 Trans 的 Mark 和切片表示。

对于任意 $(M, m) \in RT_{\mathrm{PS}}^{Marked}$ ，若 $0 < m < \mathrm{Lng}(M) - 1$ ，则存在任意 $(s_0, b_0) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 使得：

(1) $\left(s_0, D_{M_{1,m}} 0, b_0\right)$ 是 $\operatorname{Trans}\left((M_j)_{j=0}^m\right)$ 的 $\mathrm{scb}$ 分解。
(2) $(s_{0},\mathrm{Mark}(M,m),b_{0})$ 是 $\mathrm{Trans}(M)$ 的scb分解。

证明：

令 $j_{1} := \mathrm{Lng}(M) - 1$ 。

由 Trans 的递归定义和直接祖先的 Red 不变性，我们简化为 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ 的情况。接下来，我们定义 Trans 递归定义中引入的符号，并将 M 写在右肩上，以明确它应用于 M。

这可以通过对 $j_{1}-m$ 进行数学归纳法来证明。

如果 $j_{1}-m=0$ ，则由 Mark 的基本性质得出，即右端的第一个基点。

令 $j_{1}-m=1$ 。

令 $s_{0} := s_{1}^{M}$ 。

令 $b_{0} := b_{1}^{M}$ 。

由于 $(0, m) \leq_{M} (0, j_1) = (0, j_1^M)$ 且 $m + 1 = j_1 = j_1^M$ ，因此 $j_0^M = m$ 。由于 $m$ 满足 $M$ 容许条件，因此 $j_{-1}^M = j_0^M = m$ 。因此，由于 $s_{-1}$ 和 $b_{-1}$ 之间为空且为基点关系，因此 $s_{-1}^M = ()$ 且 $b_{-1}^M = ()$ 。

由右端第一个基点 Mark 的基本性质可知, $c_{1}^{M}=\mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M),j_{-1}^{M}\right)=\mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M),j_{1}-1\right)=D_{M_{1,m}}0$ ，因此 $\mathrm{Trans}\left((M_{j})_{j=0}^{m}\right)=\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M))=t_{1}^{M}=s_{1}^{M}c_{1}^{M}b_{1}^{M}=s_{0}D_{M_{1,m}}b_{0}$ 。

\[
\mathrm{Trans} (M) = s _ {1} ^ {M} c _ {2} ^ {M} b _ {1} ^ {M} = s _ {1} ^ {M} s _ {- 1} ^ {M} c _ {2} ^ {M} b _ {- 1} ^ {M} b _ {1} ^ {M} = s _ {0} \mathrm{Mark} (M, m) b _ {0}.
\]

根据可归约到段的遗传性， $\operatorname{Pred}(M)$ 可归约；根据可归约到初始段的单项式遗传性， $0 < j_1 - m - 1 \leq j_1 - 1 < j_1$ ， $\operatorname{Pred}(M)$ 为单项；根据可归约到基点的段的遗传性， $(\operatorname{Pred}(M), m) \in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Mark}}$ 。因此，根据归纳假设，存在唯一的 $(s_0, b_0) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 使得：

(1) $b_{0}$ 仅由组成。
(2) Trans $\left((\mathrm{Pred}(M)_j)_{j=0}^m\right) = s_0 D_{\mathrm{Pred}(M)_{1,m}} 0b_0 = s_0 D_{M_{1,m}} 0b_0$ 。
(3) Trans(Pred(M)) = $s_{0}$ Mark(Pred(M), m) $b_{0} = s_{0}c_{0}^{M}b_{0}$ 。从 Trans'sMark 和 Pred 的表示可知，Trans (M) = $s_{0}$ Mark(M, m) $b_{0}$ 。此外，由于 $m \leq j_{1}-1$ , $(M_{j})_{j=0}^{m} = (\text{Pred}(M)_{j})_{j=0}^{m}$ , Trans $\left((M_{j})_{j=0}^{m}\right) = \text{Trans}\left((\text{Pred}(M)_{j})_{j=0}^{m}\right) = s_{0}D_{M_{1,m}}0b_{0}$ 。

证毕。

定理 21.4.86 RightNodes 和 Mark 的关系。

对于任意的 $(M,m)\in RT_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ ，若 $0<m<Lng(M)-1$，则存在 $a_{0},a_{1}\in N^{<}\omega$ 使得：

(1) RightNode(Trans(M)) = $a_0 \oplus_{\mathbb{N}} (M_{1,m}) \oplus_{\mathbb{N}} a_1$ 。
(2) RightNode $\left(\mathrm{Trans}\left((M_j)_{j=0}^m\right)\right)=a_0\oplus_{\mathbb{N}}(M_{1,m})$ 。
(3) RightNode(Mark(M,m)) = (M\_{1,m}) ⊕ Na\_{1}。

证明:这直接遵循单项式的遗传性、直系祖先的切片、Mark 左端的基本属性以及 RightN-odes 与子表达式之间的关系。证毕。

映射

\[
\text {RightAnces:} T _ {\mathrm{PS}} \rightarrow \mathbb {N} ^ {< \omega} \tag {21.117}
\]

\[
M \mapsto \text {RightAnces} (M) \tag {21.118}
\]

定义如下:

1. 使用 Trans 递归定义中引入的符号。
2. 令 M 为约化元素，且 $j_{1}=0$ 。
2.1. 如果 $M_{0}=(0,0)$ ，则 RightAnces $(M):=()$ 。
2.2. 如果 $M_{0} \neq (0,0)$ ，则 RightAnces $(M) := (M_{1,0})$ 。
3. 令 M 为约化元素，且 $j_{1} > 0$ 为单项元素。
3.1. 如果 Pred(M) 为云项，则 RightAnces $(M):=(0,M_{1,j_{1}})$ 。
3.2. 令 Pred(M) 为非零项 [49]。

3.2.1. 如果 $(M_{j})_{j=0}^{j-1}$ 为零项，则令 $a := (0)$ 。
3.2.2. 如果 $(M_j)_{j=0}^{j-1}$ 不是零项，则令 $a := \text{RightAnces}\left((M_j)_{j=0}^{j-1}\right)$ 。
3.2.3. 如果 $M$ 满足条件 (I)、(III)、(V) 或 (VI)，则 RightAnces $(M) := a \oplus_{\mathbb{N}} (M_{1,j_1})$ 。
3.2.4. 如果 $M$ 满足条件 (II) 或 (IV)，则 RightAnces $(M) := a \oplus_{\mathbb{N}} (M_{1,j_0}, M_{1,j_1})$ 。

4. 令 M 为约化且为复项。

4.1. 令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(M)) - 1$ 。
4.2. 如果 $P(M)_{J_{1}} = ((0,0))$ ，则 RightAnces $(M) := (0)$ 。
4.3. 如果 $P(M)_{J_{1}} \neq ((0,0))$ ，则 RightAnces $(M) := \text{RightAnces } (P(M)_{J_{1}})$ 。
5. 如果 M 不可约，则 RightAnces $(M) := \text{RightAnces}(\text{Red}(M))$ 。

定理 21.4.87 RightNodes 和 RightAnces 的关系。

对于任意 $M \in T_{PS}$ ，RightAnces(M) = RightNodes(Trans(M))。

证明：

从 RightNodes、Trans 和 RightAnces 的递归定义，我们简化为 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ 的情况。下文中，我们使用 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ ，并使用 RightNodes 的递归定义中引入的符号和 Trans 的递归定义中引入的符号。

由于 $M$ 是单项的，因此 $j_{1} > 0$ 。此外，由于 $M$ 是可约的，根据可约性与系数之间的关系， $M$ 满足条件(A)和(B)。

我们利用数学归纳法证明 $j_{1}$ 上的 RightAnces(M) = RightNodes(Trans(M))。

令 $j_{1}=1$ 。

由两列对序列(1)的基本性质可知, $\mathrm{Trans}(M)=D_{M_{1,0}}D_{M_{1,1}}0$ 且 $\mathrm{RightNodes}(\mathrm{Trans}(M))=\mathrm{RightNodes}\left(D_{M_{1,0}}D_{M_{1,1}}0\right)=(M_{1,0},M_{1,1})$ 。由于M是单项式的， $(0,0)<_{M}^{\mathrm{Next}}(0,1)=(0,j_{1})$ ， $j_{0}=0$ 。因此， $j_{0}$ 是M可接受的，且 $j_{-1}=j_{0}=0$ 。

如果 $M_{1,0} = 0$ ，则 $\operatorname{Pred}(M) = ((M_{0,0}, 0))$ ，因此 $\operatorname{Pred}(M)$ 为零项，且 $\operatorname{RightAnces}(M) = (0, M_{1,j_1}) = (M_{1,0}, M_{1,1})$ 。令 $M_{1,0} > 0$ 。

$\operatorname{Pred}(M) = ((M_{0,0}, M_{1,0}))$ ，因此 $\operatorname{Pred}(M)$ 不是零项，且 $a = \operatorname{RightAnces}\left((M_j)_{j=0}^{j-1}\right) = \operatorname{RightAnces}\left((M_{0,0}, M_{1,0})\right) = (M_{1,0})$ 。

由于 $j_0$ 是 $M$ 可接受的，且 $j_0 + 1 = 1 = j_1$ ，因此 $M$ 满足条件(I)、(III)或(VI)。因此，RightAnces $(M) = a\oplus \mathrm{N}(M_{1,j_1}) = (M_{0,1},M_{1,1})$ 。

由上可知，在所有情况下，RightAnces(M) = RightNodes(Trans(M))。

令 $j_{1} > 1$ 。

根据 Mark 左端的基本性质， $v = M_{1,0}$ 。令 $(M_{j})_{j=0}^{j_{j}-1}$ 为零项。则 $a = (0)$ ， $j_{-1} = 0$ ， $v = M_{1,0} = 0$ 。由于 $s_{1}$ 和 $b_{1}$ 为空且为基点关系， $s_{1} = ()$ ， $b_{1} = ()$ 。因此， $\mathrm{Trans}(M) = s_{1}c_{2}b_{1} = c_{2}$ 。假设 M 满足条件 (I 或 (III) 或 (V) 或 (VI)。

RightAnces(M) = a ⊕\_{N} (M\_{1,j\_1}) = (0, M\_{1,j\_1})。

根据 $M$ 是否满足条件 (VI), $c_{2} = D_{v}D_{M_{1,j_{1}}}0 = D_{0}D_{M_{1,j_{1}}}0$ 或 $c_{2} = D_{v}\left(t_{2} + D_{M_{1,j_{1}}}0\right) = D_{0}\left(t_{2} + D_{M_{1,j_{1}}}0\right)$ 。因此，无论哪种情况，RightNodes(Trans(M)) = $(0, M_{1,j_1}) = \text{RightAnces}(M)$ 。

如果 $M$ 满足条件 (II) 或 (IV), 则 $\mathrm{RightAnces}(M) = a \oplus_{\mathbb{N}}(M_{1,j_0}, M_{1,j_1}) = (0, M_{1,j_0}, M_{1,j_1})$ 且 $c_2 = D_v(t_3 + D_{M_{1,j_0}}(t_4 + D_{M_{1,j_1}}0)) = D_0(t_3 + D_{M_{1,j_0}}(t_4 + D_{M_{1,j_1}}0))$ , 因此 $\mathrm{RightNodes}(M) = (0, M_{1,j_0}, M_{1,j_1}) = \mathrm{RightAnces}(M)$ 。

令 $(M_{j})_{j=0}^{j-1}$ 为零项。

令 $N := (M_{j})_{j=0}^{j-1}$ 。

由于 $\mathrm{Lng}(N)-1=j_{-1}\leq j_{0}<j_{1}$ ，根据归纳假设，RightAnces $(N)=\mathrm{RightNodes}(N)$ 。

根据右端第二个基点 Mark 的基本性质, Mark $(M, j_{-1}) = c_{2}$ , 故 Trans $(M) = s_{1}c_{2}b_{1} = s_{1}\text{Mark } (M, j_{-1})b_{1}$ , 又根据 Trans 利用 Mark 和切片的表达式, Trans $(N) = s_{1}D_{M_{1,j-1}}b_{1}$ 。

假设 $M$ 满足条件 (I)、(III)、(V) 或 (VI)。RightAnces $(M) = a \oplus_{\mathbb{N}} (M_{1,j_1}) = \text{RightAnces}(N) \oplus_{\mathbb{N}} (M_{1,j_1})$ 。取决于 $M$ 是否满足条件 (VI)， $c_2 = D_v D_{M_{1,j_1}} 0$ 或 $c_2 = D_v (t_2 + D_{M_{1,j_1}} 0)$ ，因此无论哪种情况，RightNodes (Mark $(M, j_1)) = \text{RightNodes}(c_2) = (v, M_{1,j_1})$ 。

因此，由 RightNodes 和 Mark 的关系可知，RightNodes(Trans(M)) = RightNodes(Trans(N)) ⊕ N (M\_{1,j\_1}) = RightAnsces(N) ⊕ N (M\_{1,j\_1})。

设 $M$ 满足条件 (II) 或 (IV)。RightAnces $(M) = a \oplus_{\mathbb{N}} (M_{1,j_0}, M_{1,j_1}) = \text{RightAnces}(N) \oplus_{\mathbb{N}} (M_{1,j_0}, M_{1,j_1})$ 。

因为 $c_{2}=D_{v}\left(t_{3}+D_{M_{1,j_{0}}}\left(t_{4}+D_{M_{1,j_{1}}}0\right)\right)$ ，所以 RightNodes(Mark $(M,j_{1})$ )=RightNodes $(c_{2})=(v,M_{1,j_{0}},M_{1,j_{1}})$ 。

因此，从 RightNodes 与 Mark 的关系可知，RightNodes(Trans(M)=RightNodes(Trans(N)) $\oplus_{N}$ $(M_{1,j_{0}}M_{1,j_{1}})=\text{RightAnsces}(N)\oplus_{N}(M_{1,j_{0}},M_{1,j_{1}})$ 。

由上可知，在两种情况下，RightAnces $(M)=\text{RightNodes}(\text{Trans}(M))$ 。

证毕。

定理 21.4.88 非零项的 RightAnces 非空。

对于任意的 $M \in T_{PS}$ ，以下等价：

(1) M 为零项。
(2) RightAnces(M) = ()。

证明：这直接源于 Trans 保持零项性以及 RightNodes 和 RightAnces 之间的关系。证毕。

下面给出停机性的证明。

首先，我们研究在条件（I）至（VI）下单项式范式对序列的展开规则，并将它们与Buchholz符号系统中的展开规则进行比较，以证明与范式对序列相关的可计算函数的全集（即可计算规则的终止性）。

定理 21.4.89 条件 (1) 下 Trans 与基本列的对易关系。

对于任意 $M \in RT_{\mathrm{PS}} \cap PT_{\mathrm{PS}}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ ，使用 Trans 的递归定义中引入的符号，如果 $j_{1} > 1$ 且 $M$ 满足条件 (1)，则如下命题成立：

(1) $\mathrm{Trans}(M[n]) = \mathrm{Trans}(M)[n - 1]$ 。
(2) $\operatorname{Trans}(M[n]) < \operatorname{Trans}(M)$ 。

作为证明条件 (I) 下 Trans 和基本列之间的交换关系的初步步骤，我们提出一些引理。

定理 21.4.90 公差为 $(1,1)$ 的对序列 Trans 的基本性质。

对于任意 $u, v \in \mathbb{N}$ ，如果 $u < v$ ，则令 $M = ((j, j))_{j=u}^v$ ，且 $\operatorname{Trans}(M) = D_u D_v 0$ 。

证明：

M 是单项的，并且满足条件 (A) 和 (B)，因此由于约化性与系数之间的关系，M 是约化的。Trans 的递归定义中引入的符号是针对 M 定义的，为了清楚地表明这是对 M 的应用，我们将 $[52]$ 写成 M 的右肩。

$j_{1}^{M}=v-u$ 且 $j_{0}^{M}=j_{1}^{M}-1=v-u-1$ 且 $j_{-1}^{M}=0$ 。由于 $M_{v-u-1}=(v-1,v-1)$ 且 $M_{v-u}=(v,v),\left(1,j_{0}^{M}\right)=(1,v-u-1)<_{M}^{\mathrm{Next}}\left(1,v-u\right)=\left(1,j_{1}^{M}\right)$ 。

这可以通过对 v - u 进行数学归纳法来证明。

设 v - u = 1。

$j_{1}^{M} = v - u = 1$ 且 $j_0^M = v - u - 1 = 0$ ，因此 $j_{-1}^{M} = 0 = j_{0}$ ，从而 $j_0^M$ 是 $M$ 容许的。

如果 $u = 0$ ，则 $t_1^M = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) = \mathrm{Trans}((0,0)) = 0$ ，因此 $\mathrm{Trans}(M) = D_0D_v0 = D_uD_v0$ 。

设 u > 0。

$t_{1}^{M} = \text{Trans}(\text{Pred}(M)) = \text{Trans}((u, u)) = D_{u}0 \neq 0$ ，因此条件 (I) 至 (VI) 对 M 有意义。

由于 $j_{-1}^{M} = 0$ ，且 $s_1$ 和 $b_{1}$ 为空，且基点关系为 $s_1^M = ()$ ， $b_1^M = ()$ ，因此 $D_{v^M}t_2^M = c_1^M = s_1^M c_1^M b_1^M = t_1^M = D_u0$ ，所以 $v^{M} = u$ ， $t_2^M = 0$ 。由于 $M_{1,j_1} = v = u + 1 = M_{1,j_0} + 1 > 0$ 且 $j_0 + 1 = 1 = j_1$ ，因此 $M$ 满足条件（VI）。因此， $c_2^M = D_{v^M}D_{M_{1,j_1^M}}0 = D_uD_v0$ 且 $\mathrm{Trans}(M) = s_1^M c_2^M b_1^M = D_uD_v0$ 。

设 v - u > 1。

$\operatorname{Pred}(M) = ((j,j))_{j=u}^{v-1}$ ，故根据归纳假设， $t_1^M = \operatorname{Trans}(\operatorname{Pred}(M)) = D_u D_{v-1} 0 \neq 0$ ，因此条件 (I) $\sim$ (VI) 对 $M$ 有意义。

由 $j_{-1}^{M} = 0$ 、 $s_1$ 与 $b_{1}$ 为空以及基点的关系可知， $s_1^M = ()$ 且 $b_{1}^{M} = ()$ ，又由 $D_{v^{M}}t_{2}^{M} = c_{1}^{M} = D_{u}D_{v - 1}0$ 、 $v^{M} = u$ 及 $t_2^M = D_{v - 1}0$ 可知。

M 满足条件（VI），因为 $M_{1,j_{1}} = v = u + 1 = M_{1,j_{0}} + 1 > 0$ 且 $j_{0} + 1 = 1 = j_{1}$ 。因此， $c_{2}^{M} = D_{v^{M}} D_{M_{1,j_{1}^{M}}} 0 = D_{u} D_{v} 0$ ，且 $\mathrm{Trans}(M) = s_{1}^{M} c_{2}^{M} b_{1}^{M} = D_{u} D_{v} 0$ 。

证毕。

定理 21.4.91 Pred 具有公差 $(1,1)$ 的对序列的 Trans 的基本性质。

对于任意 $u, v, w, w' \in \mathbb{N}$ , 令 $u < v^{then} M := ((j, j))_{j=u}^v \oplus_{\mathbb{N}^2} (w', w)$ , 且如下成立:

(1) 若 $w' = v + 1$ 且 $u < w \leq v$ ，则 $Trans(M) = D_{u}D_{v}D_{w}0$ 。
(2) 若 $u < w' \leq v$ 且 $w = w'$ ，则 Trans $(M) = D_u(D_v0, D_w0)$ 。
(3) 若 $u + 1 < w' \leq v$ 且 $w < w'$ ，则 Trans $(M) = D_u(D_v0, D_{w'-1}(D_v0, D_w0))$ 。
(4) 若 $u + 1 = w'$ 且 $w < w'$ ，则 Trans $(M) = D_u(D_v0, D_w0)$ 。

证明：

无论哪种情况，M 都是单项的，并且满足条件 (A) 和 (B)，因此由于可约性与系数之间的关系，M 是可约的。Trans 的递归定义中引入的符号是针对 M 定义的，并且 M 的写法是将 M 写在右边，以明确表示它应用于 M。

$\operatorname{Pred}(M) = ((j,j))_{j=u}^{v}$ ，并且根据 Trans 的基本性质，对于具有公差 (1,1) 的对序列， $t_1^M = \operatorname{Trans}(\operatorname{Pred}(M)) = D_u D_v 0 \neq 0$ ，因此条件 (I) 至 (VI) 对 $M$ 有意义。 $j_1^M = v - u + 1$ 。由 Mark 在左边第一个基点的基本性质可知， $\operatorname{Mark}(\operatorname{Pred}(M), 0) = t_1^M = D_u D_v 0$ ；又由 Mark 在右边第一个基点的基本性质可知， $\operatorname{Mark}(\operatorname{Pred}(M), j_1^M - 1) = D_{\operatorname{Pred}(M)_{1,j_1 M_1}} 0 = D_v 0$ 。

设 $w' = v + 1$ ，且 $u < w \leq v$ 。

$j_{0}^{M}=j_{1}^{M}-1=v-u$ ，且 $M_{1,j_{0}^{M}}=M_{1,v-u}=v$ ，且 $M_{1,j_{1}^{M}}=M_{1,v-u+1}=w\leq v=M_{1,j_{0}^{M}}$ ，因此 $(1,j_{0}^{M})<_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1}^{M})$ 不成立，且 $j_{0}^{M}$ 为 M 可接受的，因此 $j_{-1}^{M}=j_{0}^{M}=j_{1}^{M}-1$ 。因此，M 满足条件 (I) 或 (III)。

$c_{1}^{M} = \operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}^{M}\right) = \operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{1}^{M} - 1\right) = D_{v}0$ ，且由于 $s_{1}^{M}D_{v}0b_{1}^{M} = s_{1}^{M}c_{1}^{M}b_{1}^{M} = t_{1}^{M} = D_{u}D_{v}0$ ， $s_{1}^{M} = D_{u}$ 且 $b_{1}^{M} = ()$ 。另外，由于 $D_{v^{M}}t_{2}^{M} = c_{1}^{M} = D_{v}0$ ， $v^{M} = v$ 且 $t_{2}^{M} = 0$ ，因此 $c_{2}^{M} = D_{v^{M}}\left(t_{2}^{M} + D_{M_{1,j_{1}^{M}}}0\right) = D_{v}(0 + D_{w}0) = D_{v}D_{w}0$ 。

由上可知， $\mathrm{Trans}(M) = s_1^M c_2^M b_1^M = D_u D_v D_w 0$ 。

令 $u < w' \leq v$ 且 $w = w'$ 。

$j_{0}^{M}=w^{\prime}-u-1, M_{1,j_{0}^{M}}=M_{1,w^{\prime}-u-1}=w^{\prime}-1$ ，且 $M_{1,j_{1}^{M}}=M_{1,v-u+1}=w=M_{1,j_{0}^{M}}+1$ ，因此 $(1,j_{0}^{M})<_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1}^{M})$ ，且 $j_{0}^{M}$ 不为 M 可接受的，因此 $j_{-1}^{M}=0$ 。因此，M 满足条件 (V)。

$c_{1}^{M} = \mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M),j_{-1}^{M}\right) = \mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),0) = D_{u}D_{v}0$ ，又因为 $j_{-1}^{M} = 0$ 且 $s_1$ 与 $b_{1}$ 为空且满足基点关系，所以 $s_1^M = ()$ 且 $b_{1}^{M} = ()$ 。又，由于 $D_{v^{M}}t_{2}^{M} = c_{1}^{M} = D_{u}D_{v}0$ ， $v^{M} = u$ 且 $t_2^M = D_v0$ ，因此 $c_{2}^{M} = D_{v^{M}}\left(t_{2}^{M} + D_{M_{1,j_{1}}}0\right) = D_{u}\left(D_{v}0 + D_{w}0\right) = D_{u}\left(D_{v}0,D_{w}0\right)$ 。

由上可知， $\mathrm{Trans}(M)=s_{1}^{M}c_{2}^{M}b_{1}^{M}=D_{u}\left(D_{v}0,D_{w}0\right)$ 。

设 $u + 1 < w' \leq v$ 且 $w < w'$ 。

$j_{0}^{M}=w'-u-1>0$ ，且 $M_{1,j_{0}^{M}}=M_{1,w'-u-1}=w'-1$ 且 $M_{1,j_{1}^{M}}=M_{1,v-u+1}=w\leq w'-1=M_{1,j_{0}^{M}}$ ，因此 $(1,j_{0}^{M})<_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1}^{M})$ ，且 $j_{0}^{M}$ 不满足 M 可接受性，因此 $j_{-1}^{M}=0$ 。因此，M 满足条件 (IV)。

$c_{1}^{M}=\mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M),j_{-1}^{M}\right)=\mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),0)=D_{u}D_{v}0$ ，且 $j_{-1}^{M}=0$ ，且 $s_{1}$ 与 $b_{1}$ 之间存在空性和基点关系，因此 $s_{1}^{M}=()$ ， $b_{1}^{M}=()$ 。

又，由于 $D_{v^M}t_2^M = c_1^M = D_uD_v0,v^M = u$ ，且 $t_2^M = D_v0$ 。因为 $v\geq w' > w' - 1,t_2^M$ 的唯一单项分量 $D_{v}0$ 的最左边分量为 $D_{v}\neq D_{w^{\prime} - 1} = D_{M_{1,j_0^M}}$ ，所以 $t_3^M = t_2^M = D_v0$ 且 $t_4^M = t_2^M =$ $D_{v}0$ 。因此 $c_{2}^{M} = D_{v^{M}}\left(t_{3}^{M} + D_{M_{1,j_0^M}}\left(t_{4}^{M} + D_{M_{1,j_1^M}}0\right)\right) = D_u(D_v0 + D_{w^{\prime} - 1}(D_v0 + D_w0)) =$ $D_{u}(D_{v}0,D_{w^{\prime} - 1}(D_{v}0,D_{w}0))$ 。

由上可知， $\mathrm{Trans}(M)=s_{1}^{M}c_{2}^{M}b_{1}^{M}=D_{u}\left(D_{v}0,D_{w^{\prime}-1}\left(D_{v}0,D_{w}0\right)\right)$ 。

设 $u + 1 = w'$ 且 $w < w'$ 。

$j_{0}^{M}=0,\ M_{1,j_{0}^{M}}=M_{1,0}=u$ ，且 $M_{1,j_{1}^{M}}=M_{1,v-u+1}=w\leq w'-1=u=M_{1,j_{0}^{M}}$ ，因此 $\left(1,j_{0}^{M}\right)<_{M}^{\mathrm{Next}}\left(1,j_{1}^{M}\right)$ 不成立，且 $j_{0}^{M}$ 为 M 可接受的，因此 $j_{-1}^{M}=j_{0}^{M}=0$ 。因此，M 满足条件 (I) 或 (III)。

$c_{1}^{M} = \mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M),j_{-1}^{M}\right) = \mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),0) = D_{u}D_{v}0$ ，又因为 $j_{-1}^{M} = 0$ 且 $s_1$ 与 $b_{1}$ 为空且满足基点关系，所以 $s_1^M = ()$ 且 $b_{1}^{M} = ()$ 。又，由于 $D_{v^{M}}t_{2}^{M} = c_{1}^{M} = D_{u}D_{v}0$ ， $v^{M} = u$ 且 $t_2^M = D_v0$ ，因此 $c_{2}^{M} = D_{v^{M}}\left(t_{2}^{M} + D_{M_{1,j}}0\right) = D_{u}\left(D_{v}0 + D_{w}0\right) = D_{u}\left(D_{v}0,D_{w}0\right)$ 。

由上可知， $\mathrm{Trans}(M)=s_{1}^{M}c_{2}^{M}b_{1}^{M}=D_{u}\left(D_{v}0,D_{w}0\right)$ 。

定理 21.4.92 在条件 (I) 或 (III) 下围绕 $c_{1}$ 的具体表达式。

对于任意 $M \in RT_{\mathrm{PS}} \cap PT_{\mathrm{PS}}$ ，使用 Trans 递归定义中引入的符号，如果 $j_0$ 满足 $M$ 条件，且 $j_1 > 1$ 且 $M_{1,j_0} \geq M_{1,j_1}$ ，则以下成立：

(1) $t_1 \neq 0$ 且 $M$ 满足条件 (1) 或 (111)，且 $\operatorname{Trans}\left((M_j)^{j_1 - 1}_{j = j_0}\right) = c_1 \in PT_{\mathrm{B}}$ 。
此外，假设存在唯一的 $j_{0}^{\prime} \in N$ 使得 $(0, j_{0}^{\prime}) <_{M}^{\text{Next}} (0, j_{0})$ ，且令 $j_{-1}^{\prime} := \operatorname{Adm}_{M}(j_{0}^{\prime})$ 。
(2) $j_0' \leq j_1 - 2$ 且 $\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}'\right) \in T_{\mathrm{PS}}^{Marked}$ 且 $\left((M_j)_{j=j_{-1}'}^{j_1 - 1}, j_0 - j_{-1}'\right) \in T_{\mathrm{PS}}^{Marked}$ 。

(3) 若 $j_{0}^{\prime} + 1 = j_{0}$ ，则下列命题成立：

(3-1) 若 $j_{-1}^{\prime} = j_{0}^{\prime}$ 或 $M_{1,j_0^{\prime}} + 1 = M_{1,j_0}$ ，则 $\operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}^{\prime}\right) = D_{M_{1,j'-1}}c_1$ 。

(3-2) 若 $j_{-1}^{\prime}j_{0}^{\prime}$ 且 $M_{1,j_0'} \geq M_{1,j_0}$ ，则 $\operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}^{\prime}\right) = D_{M_{1,j'-1}}D_{M_{1,j_0'}}c_1$ 。

(4) 若 $j_0' + 1 < j_0$ ，则下列命题成立：

(4-1) 若 $j_{-1}^{\prime} = j_{0}^{\prime}$ 或 $M_{1,j_0^{\prime}} + 1 = M_{1,j_0}$ , 则存在唯一的 $t_2^{\prime} \in T_{\mathrm{B}}^{2}$ , 使得 $\operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}^{\prime}\right) = D_{M_{1,j'}}\left(t_2^{\prime} + c_1\right)$ 。
(4-2) 若 $j_{-1}^{\prime} j_{0}^{\prime}$ 且 $M_{1,j_0'} \geq M_{1,j_0}$ , 则存在唯一的 $(t_3', t_4') \in T_{\mathrm{B}}^2$ 使得 $\operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}'\right) = D_{M_{1,j' - 1}^{\prime}}\left(t_3' + D_{M_{1,j_0'}}\left(t_4' + c_1\right)\right)$ 。

此外，对于任意 $n \in \mathbb{N}_{+}$ ，令 $n > 1$ ，且令 $N := (M[n]_j)_{j=0}^{j_0 + (n-1)(j_1 - j_0)}$ 。Trans 递归定义中引入的符号是针对 $N$ 定义的，并且 $N$ 写在右肩上，以明确这是对 $N$ 的一个应用。

证明：

证明 (1) 成立。

由于 $\mathrm{Lng}(\mathrm{Pred}(M)) - 1 = j_1 > 1$ ， $\mathrm{Pred}(M)$ 不是零项，因此，由于Trans保留零项性质， $t_1 \neq 0$ 。 $M_{1,j_0} \geq M_{1,j_1}$ 且 $j_0$ 可被 $M$ 接受，因此 $j_0 = j_{-1}$ 且 $M$ 满足条件(I)或(III)。

由于 $j_0$ 可被 $M$ 接受，因此 $j_{-1} = j_0$ 。因此， $c_1 = \mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M), j_{-1}) = \mathrm{Trans}\left((\mathrm{Pred}(M)_j)_{j=j_{-1}}^{j_1-1}\right) = \mathrm{Trans}\left((M_j)_{j=j_0}^{j_1-1}\right)$ 。又， $t_1 \neq 0$ 且 $(t_1, c_1) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ ，因此 $c_1 \in PT_{\mathrm{B}}$ 。

证明（2）成立。

因为 $j_{-1}^{\prime}\leq j_{0}^{\prime}j_{0}< j_{1},\; j_{-1}^{\prime}\leq j_{1}-2$ 。 $\left(0,j_{-1}^{\prime}\right)\leq_{M}\left(0,j_{0}^{\prime}\right)<_{M}^{\mathrm{Next}}\left(0,j_{0}\right)<_{M}^{\mathrm{Next}}\left(0,j_{1}\right)$ 来自 $\left(M,j_{-1}^{\prime}\right)\in T_{\mathrm{PS}}$ 已标记。因此，由于基切片的遗传性， $\left(\operatorname{Pred}(M),j_{-1}^{\prime}\right)\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ 。 $(M,j_{0})\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ 并且由于基切片的遗传性， $\left((M_{j})_{j=j_{-1}^{\prime}}^{j_{1}-1},j_{0}-j_{-1}^{\prime}\right)\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ 。

证明 (3) 和 (4) 成立。

设 $N := (M_{j})_{j=j_{-1}^{\prime}}^{j_{0}}$ 。Red(N) 为约化函数，因此从约化率与系数的关系可知，M 和 Red(N) 满足条件 (A) 和 (B)。由于 Red(N) 满足条件 (A) 和 (B)，并且从直接祖先切片以及 Red 与 IncrFirst 的关系可知，

\[
N = \mathrm{IncrFirst} ^ {M _ {0, j _ {- 1} ^ {\prime}} - M _ {1, j _ {- 1} ^ {\prime}}} (\mathrm{Red} (N)), \tag {21.119}
\]

\[
\operatorname{Red} (N) = ((j, j)) _ {j = M _ {1, j _ {- 1} ^ {\prime}}} ^ {M _ {1, j _ {0} ^ {\prime}}} \oplus_ {\mathbb {N} ^ {2}} \left((M _ {0, j} - M _ {0, j _ {- 1} ^ {\prime}} + M _ {1, j _ {- 1} ^ {\prime}}, M _ {1, j})\right) _ {j = j _ {0} ^ {\prime} + 1} ^ {j _ {0} - 1} \tag {21.120}
\]

\[
\oplus_ {\mathbb {N} ^ {2}} \left((M _ {1, j _ {0} ^ {\prime}} + 1, M _ {1, j _ {0}})\right).
\]

因此，由 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变式 P 同变性可知，

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (N) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} (N)) \\ = \operatorname{Trans} \left(\left((j, j)\right) _ {j = M _ {1, j _ {- 1} ^ {\prime}}} ^ {M _ {1, j _ {0} ^ {\prime}}} \oplus_ {\mathbb {N} ^ {2}} \left(\left(M _ {0, j} - M _ {0, j _ {- 1} ^ {\prime}} + M _ {1, j _ {- 1} ^ {\prime}}, M _ {1, j}\right)\right) _ {j = j _ {0} ^ {\prime} + 1} ^ {j _ {0} - 1} \right. \tag {21.121} \\ \oplus_ {\mathbb {N} ^ {2}} \left((M _ {1, j _ {0} ^ {\prime}} + 1, M _ {1, j _ {0}})\right)). \\ \end{array}
\]

设 $j_{0}^{\prime} + 1 = j_{0}$ 。

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (N) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} (N)) \\ = \operatorname{Trans} \left(\left((j, j)\right) _ {j = M _ {1, j ^ {\prime} - 1}} ^ {M _ {1, j ^ {\prime}}}\right) \oplus_ {\mathbb {N} ^ {2}} \left(\left(M _ {0, j} - M _ {0, j ^ {\prime} - 1} + M _ {1, j ^ {\prime} - 1}, M _ {1, j}\right)\right) _ {j = j _ {0} ^ {\prime} + 1} ^ {j _ {0} - 1} \tag {21.122} \\ \oplus_ {\mathbb {N} ^ {2}} \left((M _ {1, j _ {0} ^ {\prime}} + 1, M _ {1, j _ {0}})\right)) \\ = \mathrm{Trans} (((j, j)) _ {j = M _ {1, j _ {- 1} ^ {\prime}}} ^ {M _ {1, j _ {0} ^ {\prime}}} \oplus_ {\mathbb {N} ^ {2}} (M _ {1, j _ {0} ^ {\prime}} + 1, M _ {1, j _ {0}})). \\ \end{array}
\]

设 $M_{1,j_0'} + 1 = M_{1,j_0}$ ，则根据公差为 $(1,1)$ 的序列Trans的基本性质，

\[
\operatorname{Trans} (N) = \operatorname{Trans} \left(\left((j, j)\right) _ {j = M _ {1, j _ {- 1} ^ {\prime}}} ^ {M _ {1, j _ {0} ^ {\prime}}} \oplus_ {\mathbb {N} ^ {2}} \left(M _ {1, j _ {0} ^ {\prime}} + 1, M _ {1, j _ {0}}\right)\right) = D _ {M _ {1, j _ {- 1} ^ {\prime}}} D _ {M _ {1, j _ {0}}} 0. \tag {21.123}
\]

设 $j_{-1}^{\prime} = j_0^{\prime}$ 且 $M_{1,j_0^{\prime}}\geq M_{1,j_0}$ ，则由2列对序列的基本性质，

\[
\operatorname{Trans} (N) = \operatorname{Trans} ((\left(j, j\right)) _ {j = M _ {1, j _ {- 1} ^ {\prime}}} ^ {M _ {1, j _ {0} ^ {\prime}}} \oplus_ {\mathbb {N} ^ {2}} \left(M _ {1, j _ {0} ^ {\prime}} + 1, M _ {1, j _ {0}}\right)) = D _ {M _ {1, j _ {- 1} ^ {\prime}}} D _ {M _ {1, j _ {0}}} 0. \tag {21.124}
\]

如果 $j_{-1}^{\prime}<j_{0}^{\prime}$ 且 $M_{1,j_{0}^{\prime}}\geq M_{1,j_{0}}$ ，则根据具有公差 (1,1) 的序列对的 Trans 的基本性质 (1)，

\[
\begin{array}{l} \operatorname{Mark} \left(\operatorname{Pred} (M), j _ {- 1} ^ {\prime}\right) \\ = \operatorname{Trans} \left((M _ {j}) _ {j = j _ {- 1} ^ {\prime}} ^ {j _ {1} - 1}\right) \\ = D _ {M _ {1, j ^ {\prime} - 1}} \operatorname{Trans} \left((M _ {j}) _ {j = j _ {0}} ^ {j _ {1} - 1}\right) \tag {21.125} \\ = D _ {M _ {1, j _ {- 1} ^ {\prime}}} \operatorname{Mark} \left(\operatorname{Pred} (M), j _ {- 1}\right) \\ = D _ {M _ {1, j ^ {\prime} - 1}} c _ {1}. \\ \end{array}
\]

如果 $j_{-1}^{\prime} < j_0^{\prime}$ 且 $M_{1,j_0^{\prime}} + 1 = M_{1,j_0}$ ，那么

\[
\begin{array}{l} \text {Mark} \left(\operatorname{Pred} (M), j _ {- 1} ^ {\prime}\right) \\ = \operatorname{Trans} \left((M _ {j}) _ {j = j _ {- 1} ^ {\prime}} ^ {j _ {1} - 1}\right) \\ = D _ {M _ {1, j _ {- 1} ^ {\prime}}} D _ {M _ {1, j _ {0} ^ {\prime}}} \operatorname{Trans} \left((M _ {j}) _ {j = j _ {0}} ^ {j _ {1} - 1}\right) \tag {21.126} \\ = D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} \operatorname{Mark} \left(\operatorname{Pred} (M), j _ {- 1}\right) \\ = D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} D _ {M _ {1, j _ {0} ^ {\prime}}} c _ {1}. \\ \end{array}
\]

设 $j_{0}^{\prime} + 1 < j_{0}$ 。

Trans 递归定义中引入的符号是针对 N 定义的，N 的右肩部分写为 N，以明确表示它是对 N 的应用。 $j_{1}^{N}=j_{0}-j_{-1}^{\prime}$ 且 $j_{0}^{N}=j_{0}^{\prime}-j_{-1}^{\prime}$ ，并且由于切片的遗传性， $j_{-1}^{N}=\mathrm{Adm}_{N}\left(j_{0}^{N}\right)=\mathrm{Adm}_{M}\left(j_{0}^{\prime}\right)-j_{-1}^{\prime}=0$ 。因此，由于 $s_{1}$ 和 $b_{1}$ 为空，以及基点之间的关系， $s_{1}^{N}=()$ 且 $b_{1}^{N}=()$ 。

由于 $j_{-1}^{\prime}\leq j_{0}^{\prime}j_{0}^{\prime} + 1 < j_{0},\quad j_{1}^{N} = j_{0} - j_{-1}^{\prime} > 2$ ，所以Pred $(N)$ 不是零项，且Trans满足去项性质， $t_1^N\neq 0$ 。因此，条件(I)至(VI)对 $N$ 有意义。

N 不满足条件 (VI)，因为 $j_{0}^{N} + 1 = j_{0}^{\prime} + 1 - j_{-1}^{\prime} j_{0} - j_{-1}^{\prime} = j_{1}^{N}$ 。根据 Trans 最左元素的基本性质， $v^{N} = N_{1,0} = M_{1,j_{-1}^{\prime}}$ 。令 $j_{-1}^{\prime} = j_{0}^{\prime}$ 或 $M_{1,j_{0}^{\prime}} + 1 = M_{1,j_{0}}$ 。

令 $t_{2}^{\prime} := t_{2}^{N}$ 。

如果 $j_{-1}^{\prime} = j_0^{\prime}$ ，则 $j_{-1}^{N} = 0 = j_{0}^{\prime} - j_{-1}^{\prime} = j_{0}^{N}$ ，因此 $j_0^N$ 是 $N$ 可接受的，且满足条件 (I) 或 (III)。

如果 $M_{1,j_{0}^{\prime}} + 1 = M_{1,j_{0}}$ ，则 N 不满足条件 (VI)，因此 N 满足条件 (V)。

无论哪种情况，都有

\[
c _ {2} ^ {N} = D _ {v ^ {N}} \left(t _ {2} ^ {N} + D _ {N _ {1, j _ {1} ^ {N}}} 0\right) = D _ {M _ {1, j _ {- 1} ^ {\prime}}} \left(t _ {2} ^ {\prime} + D _ {M _ {1, j _ {0}}} 0\right), \tag {21.127}
\]

\[
\mathrm{Trans} (N) = s _ {1} ^ {N} c _ {2} ^ {N} b _ {1} ^ {N} = D _ {M _ {1, j ^ {\prime} - 1}} \left(t _ {2} ^ {\prime} + D _ {M _ {1, j _ {0}}} 0\right). \tag {21.128}
\]

因此，从加法和 scb 分解的关系、Mark 乘以 Trans 的表达式、以及 Trans 乘以 Mark 和切片的表达式来看，我们有

\[
\begin{array}{l} \text {Mark} \left(\operatorname{Pred} (M), j _ {- 1} ^ {\prime}\right) \\ = \operatorname{Trans} \left((M _ {j}) _ {j = j _ {- 1} ^ {\prime}} ^ {j _ {1} - 1}\right) \\ = D _ {M _ {1, j _ {- 1} ^ {\prime}}} \left(t _ {2} ^ {\prime} + \operatorname{Trans} \left((M _ {j}) _ {j = j _ {0}} ^ {j _ {1} - 1}\right)\right) \tag {21.129} \\ = D _ {M _ {1, j _ {- 1} ^ {\prime}}} \left(t _ {2} ^ {\prime} + \mathrm{Mark} \left(\mathrm{Pred} (M), j _ {- 1}\right)\right) \\ = D _ {M _ {1, j _ {- 1} ^ {\prime}}} \left(t _ {2} ^ {\prime} + c _ {1}\right). \\ \end{array}
\]

令 $j_{-1}^{\prime}j_{0}^{\prime}$ 且 $M_{1,j_{0}^{\prime}} \geq M_{1,j_{0}}$ 。

由于 $j_{-1}^{N} = 0 < j_{0}^{\prime} - j_{-1}^{\prime} = j_{0}^{N}$ ，因此 $j_0^N$ 不为 $N$ 容许的；又由于 $N_{1,j_0^N} = M_{1,j_0'} \geq M_{1,j_0} = N_{1,j_1^N}$ ，因此 $N$ 满足条件 (II) 或 (IV)。

令 $t_{3}^{\prime} := t_{3}^{N}$ 。

令 $t_{4}^{\prime} := t_{4}^{N}$ 。

\[
\begin{array}{l} c _ {2} ^ {N} = D _ {v ^ {N}} \left(t _ {3} ^ {N} + D _ {N _ {1, j _ {0} ^ {N}}} \left(t _ {4} ^ {N} + D _ {N _ {1, j _ {1} ^ {N}}} 0\right)\right) \tag {21.130} \\ = D _ {M _ {1, j ^ {\prime} - 1}} \left(t _ {3} ^ {\prime} + D _ {M _ {1, j _ {0} ^ {\prime}}} \left(t _ {4} ^ {\prime} + D _ {M _ {1, j _ {0}}} 0\right)\right), \\ \end{array}
\]

\[
\operatorname{Trans} (N) = s _ {1} ^ {N} c _ {2} ^ {N} b _ {1} ^ {N} = D _ {M _ {1, j ^ {\prime} - 1} ^ {\prime}} \left(t _ {3} ^ {\prime} + D _ {M _ {1, j _ {0} ^ {\prime}}} \left(t _ {4} ^ {\prime} + D _ {M _ {1, j _ {0}}} 0\right)\right). \tag {21.131}
\]

因此，从加法和 scb 分解的关系、Mark 乘以 Trans 的表达式、以及 Trans 乘以 Mark 和切片的表达式来看，

\[
\begin{array}{l} \text {Mark} \left(\operatorname{Pred} (M), j _ {- 1} ^ {\prime}\right) \\ = \operatorname{Trans} \left((M _ {j}) _ {j = j _ {- 1} ^ {\prime}} ^ {j _ {1} - 1}\right) \\ = D _ {M _ {1, j _ {-} ^ {\prime}}} \left(t _ {3} ^ {\prime} + D _ {M _ {1, j _ {0} ^ {\prime}}} \left(t _ {4} ^ {\prime} + \operatorname{Trans} \left((M _ {j}) _ {j = j _ {0}} ^ {j _ {1} - 1}\right)\right)\right) \tag {21.132} \\ = D _ {M _ {1, j _ {-} ^ {\prime}}} \left(t _ {3} ^ {\prime} + D _ {M _ {1, j _ {0} ^ {\prime}}} \left(t _ {4} ^ {\prime} + \operatorname{Mark} (\operatorname{Pred} (M), j _ {- 1}))\right)\right) \\ = D _ {M _ {1, j _ {-} ^ {\prime}}} \left(t _ {3} ^ {\prime} + D _ {M _ {1, j _ {0} ^ {\prime}}} \left(t _ {4} ^ {\prime} + c _ {1}\right)\right). \\ \end{array}
\]

我们证明 (5) 成立。

根据 $(0,j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_1)$ 和父母基本性质(1)，对于任意 $j\in \mathbb{N}$ ，若 $j_0 < j\leq j_1$ ，则 $M_{0,j}\geq M_{0,j_1} > M_{0,j_0}$ 。因此，根据父母存在性的判定条件(3)，我们有 $(0,j_0)\leq M(0,j_1 - 1)$ 。此外，由于 $(M_j)_{j = j_0}^{j_1 - 1} = (M[n]_j)_{j = j_0 + (n - 1)(j_1 - j_0)}^{j_0 + n(j_1 - j_0) - 1}$ ，因此 $(0,j_0 + (n - 1)(j_1 - j_0))\leq_{M[n]}(0,j_0 + n(j_1 - j_0) - 1)$ 。

$n > 1, M[n]_{0,j_0 + (n - 1)(j_1 - j_0) - 1} = M_{0,j_1 - 1} > M_{0,j_0} = M[n]_{0,j_0 + (n - 1)(j_1 - j_0)}$ ，所以 $(0, j_0 + (n - 1)(j_1 - j_0) - 1)(0, j_0 + (n - 1)(j_1 - j_0))$ 不成立。因此， $j_0 + (n - 1)(j_1 - j_0)$ 是 $M[n]$ 可接受的。由上可知， $(M[n], j_0 + (n - 1)(j_1 - j_0)) \in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked.}}$ 。

对于任意 $j \in \mathbb{N}$ ，若 $j_0 \leq j < j_0 + (n - 1)(j_1 - j_0)$ ，则 $r \in \mathbb{N}$ 为 $j - j_0$ 除以 $j_1 - j_0 > 0$ 的余数，且 $r < j_1 - j_0$ 。如果 $r = 0$ ，则 $M[n]_{0,j} = M_{0,j_0 + r} = M_{0,j_0} = M[n]_{0,j_0 + (n - 1)(j_1 - j_0)}$ ，如果 $r > 0$ ，则 $M[n]_{0,j} = M_{0,j_0 + r} \geq M_{0,j_1} > M_{0,j_0} = M[n]_{0,j_0 + (n - 1)(j_1 - j_0)}$ ，因此在任何一种情况下， $(0,j) \leq_{M[n]} (0,j_0 + (n - 1)(j_1 - j_0))$ 都不成立。另外，对于任何 $j \in \mathbb{N}$ ，如果 $j_0' j < j_0$ ，则 $(0,j_0') < _M^{\mathrm{Next}}(0,j_0)$ ，且根据父元素的基本性质 (1)， $M[n]_{0,j} = M_{0,j} \geq M_{0,j_0} = M[n]_{0,j_0 + (n - 1)(j_1 - j_0)}$ ，因此 $(0,j) \leq_{M[n]} (0,j_0 + (n - 1)(j_1 - j_0))$ 并非如此。

进一步，由于 $(0,j_0') <_{M}^{\mathrm{Next}} (0,j_0)$ ， $M[n]_{0,j_0'} = M_{0,j_0'} < M_{0,j_0} = M[n]_{0,j_0 + (n - 1)(j_1 - j_0)}$ ，因此由上可知， $(0,j_0') <_{M[n]}^{\mathrm{Next}} (0,j_0 + (n - 1)(j_1 - j_0))$ 。

$\mathrm{Lng}(N) = j_0 + (n - 1)(j_1 - j_0) + 1$ ，故 $j_{1}^{N} = j_{0} + (n - 1)(j_{1} - j_{0})\geq j_{0} + (j_{1} - j_{0})\geq$ $j_0 + 1 > 1$ ，从而Pred $(N)$ 不为零项，且由于Trans满足去项性质， $t_1^N\neq 0$ 。因此，条件(I)至(VI)对 $N$ 有意义。

$(0,j_0') <_{M[n]}^{\mathrm{Next}} (0,j_0 + (n - 1)(j_1 - j_0))$ 来自 $(0,j_0') <_{N}^{\mathrm{Next}} (0, j_0 + (n - 1)(j_1 - j_0)) = (0,j_1^N), j_0^N = j_0', \mathrm{Pred}(N) = (M[n]_j)_{j=0}^{j_0 + (n - 1)(j_1 - j_0) - 1} = M[n - 1]$ 。因此， $t_1^N = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N)) = \mathrm{Trans}(M[n - 1]) = \mathrm{Trans}(M)[n - 2]$ 。

由于 $j_0' < j_0 \leq j_1 - 1$ ，以及容许化切片的遗传性，因此 $\mathrm{Adm}_N(j_0') = \mathrm{Adm}_{\mathrm{Pred}(M)}(j_0') = j_{-1}'$ 。因此， $j_{-1}^N = \mathrm{Adm}_N(j_0^N) = \mathrm{Adm}_N(j_0') = j_{-1}'$ 。由于 $j_0^N + 1 = j_0' + 1 \leq j_0 < j_1 \leq j_0 + (n - 1)(j_1 - j_0) = j_1^N$ ， $N$ 不满足条件（VI）。

证毕。

下面回到正题。

在条件 (I) 下, Trans 与基本列的交换关系证明:

由于 M 是单项的，Trans 保持零终止性，因此 Trans $(M) \neq 0$ 。

(2) 直接由 (1)、Trans(M) ≠ 0 和 [Buc1] 引理 3.2 (a) 得出。下面我们给出 (1)。

由于 $j_{1}>0$ ， $\mathrm{Pred}(M)$ 不是零终止性的，因此 Trans 保持零终止性，因此 $t_{1}\neq0$ 。同样，由于 $(t_{1},c_{1})\in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ ，因此 $c_{1}\in PT_{B}$ 。

由于 M 可约，且由于可约性和系数之间的关系，条件 (A) 和 (B) 得到满足。由于 M 的单项式性和条件 (B)， $M_{0,0} = M_{1,0}$ 。由于可约性在基本列中得到保留，因此 $M[n]$ 也是可约的。

由于 $j_{0}$ 具有 M 容错性，因此 $j_{-1}=j_{0}$ 。由于 Mark 左端的基本性质， $v=M_{1,j_{-1}}=M_{1,j_{0}}$ 。根据 Trans 的定义， $(s_{1},c_{2},b_{1})=(s_{1},D_{M_{1,j_{0}}}(t_{2}+D_{0}0),b_{1})$ 是 $\mathrm{Trans}(M)$ 的第 0 类 scb 分解。

若 n=1，则 $M[n]=\mathrm{Pred}(M)$ ，因此 $\mathrm{Trans}(M[n])=t_{1}=s_{1}c_{1}b_{1}$ 。

令 $j_{0}=0$ 。

由于非复项性与基本列 (1) 的关系， $P(M[n]) = (\text{Pred}(M))_{k=0}^{n-1}$ 。

由于 $j_0$ 满足 $M$ 容许条件， $j_{-1} = j_0 = 0$ 。因此，由于 $s_1$ 和 $b_1$ 为空，以及基点之间的关系， $s_1 = ()$ ， $b_1 = ()$ 。由于 $\operatorname{scb}$ 分解与基本列 $(1 - 1)$ 的关系， $\operatorname{Trans}(M)[n - 1] = D_{M_{1,i_0}}(t_2 + D_00)[n - 1] = (D_{M_{1,i_0}}t_2)\times n = c_1\times n$ 。

我们利用关于 n 的数学归纳法证明， $\mathrm{Trans}(M[n]) = \mathrm{Trans}(M)[n-1]$ 。

如果 n=1，则 $\mathrm{Trans}(M[n])=s_{1}c_{1}b_{1}=c_{1}=\mathrm{Trans}(M)[n-1]$ 。

如果 $n > 1$ ，则根据归纳假设， $\mathrm{Trans}(M[n - 1]) = \mathrm{Trans}(M)[n - 2]$ 。由于 $\operatorname{Lng}(\operatorname{Pred}(M)) = j_1 > 1$ ， $\operatorname{Pred}(M) \neq (0,0)$ ，因此根据 Trans 的递归定义

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (M [ n ]) \\ = \operatorname{Trans} \left(\bigoplus_ {\mathbb {N} ^ {2}} (\operatorname{Pred} (M)) _ {k = 0} ^ {n - 2}\right) + \operatorname{Trans} (\operatorname{Pred} (M)) \\ \begin{array}{l} = \operatorname{Trans} (M [ n - 1 ]) + t _ {1} \\ = \operatorname{Trans} (M) [ n - 2 ] = t _ {1} \end{array} \tag {21.133} \\ = \mathrm{Trans} (M) [ n - 2 ] + s _ {1} c _ {1} b _ {1} \\ = c _ {1} \times (n - 1) + c _ {1} \\ = c _ {1} \times n \\ = \operatorname{Trans} (M) [ n - 1 ]. \\ \end{array}
\]

设 $j_{0} > 0$ 。

由于 $M$ 满足条件 (I)， $j_0$ 是 $M$ 可接受的，且 $M_{1,j_0} \geq 0 = M_{1,j_1}$ 。因此，在条件 (I) 或 (III) 下， $M$ 满足围绕 $c_1$ 的具体表达式假设。

由于 M 是单项的， $(0,0) \leq_{M} (0,j_{1})$ ，因此 $M_{0,0} < M_{0,j_{1}}$ 。由于 $0 < j_{0}$ ，根据父存在性判断条件 (1)，存在唯一的 $j_{0}^{\prime} \in N$ 满足 $(0,j_{0}^{\prime}) <_{M}^{\mathrm{Next}} (0,j_{0})$ 。我们使用在条件 (I) 或 (III) 下围绕 $c_{1}$ 的具体表达式中引入的符号。

由于 $\left(t_1, \operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}^{\prime}\right)\right) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ ，因此存在唯一的 $\left(s_{-1}^{\prime}, b_{-1}^{\prime}\right) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ ，使得 $\left(s_{-1}^{\prime}, \operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}^{\prime}\right), b_{-1}^{\prime}\right)$ 构成 $t_1$ 的 scb 分解。具体而言， $\operatorname{Trans}(\operatorname{Pred}(M)) = t_1 = s_{-1}^{\prime} \operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}^{\prime}\right) b_{-1}^{\prime}$ 。

根据 $j_{-1}=j_{0}>0$ 、 $s_{1}$ 和 $b_{1}$ 为空、基点关系以及 scb 分解的自明性判定条件，有 $s_{1}\neq()$ 。

令 $j_{-1}^{\prime} = j_{0}^{\prime}$ 或 $M_{1,j_0^{\prime}} + 1 = M_{1,j_0}$ 。

令 $j_{0}^{\prime} + 1 = j_{0}$ 。

令 $t_{2}^{\prime} := 0$ 。

根据条件 (I) 或 (III) 下 $c_{1}$ 前后的具体表达式 (3-1)，可知 $s_{1}c_{1}b_{1} = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) = s_{-1}'\mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M), j_{-1}'\right)b_{-1}' = s_{-1}'D_{M_{1,j'}', c_1}b_{-1}'$ 。因此，根据 scb 分解的唯一性 (1)， $s_{1} = s_{-1}'D_{M_{11'-1}', 且 b_1 = b_{-1}'}$ 。

由 scb 分解与基本列的关系(1-2)可知, $\mathrm{Trans}(M)[n-1]=s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j^{\prime}-1}}\left(\left(D_{M_{1,j_{0}}}t_{2}\right)\times n\right)b_{1}=s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j^{\prime}-1}}\left(c_{1}\times n\right)b_{-1}^{\prime}=s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j^{\prime}-1}}\left(t_{2}^{\prime}+c_{1}\times n\right)b_{-1}^{\prime}$ 。

令 $j_{0}^{\prime}+1<j_{0}$ 。

在条件 (I) 或 (III) 下，存在唯一的 $t_{2}^{\prime} \in T_{B}$ 使得对于围绕 $c_{1}$ 的具体表示 (4-1)，存在唯一的 Mark $\left(\mathrm{Pred}(M), j_{-1}^{\prime}\right) = D_{M_{1,j_{-1}^{\prime}}}(t_{2}^{\prime} + c_{1})$ 。

\[
\begin{array}{l} s _ {1} c _ {1} b _ {1} = t _ {1} = \text { Trans } (\text { Pred } (M)) \\ = s _ {- 1} ^ {\prime} \operatorname{Mark} \left(\operatorname{Pred} (M), j _ {- 1} ^ {\prime}\right) b _ {- 1} ^ {\prime} \tag {21.134} \\ = s _ {- 1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {- 1} ^ {\prime}}} \left(t _ {2} ^ {\prime} + c _ {1}\right) b _ {- 1} ^ {\prime}. \\ \end{array}
\]

因此，通过反复应用加法与 SCB 分解的关系以及 SCB 分解的合成规则（2），

\[
\operatorname{Trans} (M) = s _ {1} c _ {2} b _ {1} = s _ {- 1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j ^ {\prime} - 1}} \left(t _ {2} ^ {\prime} + c _ {2}\right) b _ {- 1} ^ {\prime} \tag {21.135}
\]

\[
= s _ {- 1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j ^ {\prime} - 1}} \left(t _ {2} ^ {\prime} + D _ {M _ {1, j _ {0}}} \left(t _ {2} + D _ {0} 0\right)\right) b _ {- 1} ^ {\prime}.
\]

因此，由scb分解与基本列(1-2)的关系可知， $\mathrm{Trans}(M)[n - 1] = s_{-1}'D_{M_{1,j'-1}}\left(t_2' + \left(D_{M_{1,j_0}}t_2\right)\times n\right)b_1' = s_{-1}'D_{M_{1,j'-1}}\left(t_2' + c_1\times n\right)b_{-1}'$ 。

从上可知，在两种情况下，Trans $(M)[n-1]=s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j^{\prime}-1}}(t_{2}^{\prime}+c_{1}\times n)b_{-1}^{\prime}$ 。

利用数学归纳法证明 $n$ 中的 $\operatorname{Mark}\left(M[n], j_{-1}^{\prime}\right) = D_{M_{1,j'}}\left(t_2' + c_1 \times n\right)$ 且 $\operatorname{Trans}(M[n]) = s_{-1}'\operatorname{Mark}\left(M[n], j_{-1}'\right)b_{-1}'$ 。如果 $n = 1$ 则 $\operatorname{Mark}\left(M[n], j_{-1}'\right) = \operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}'\right) = D_{M_{1,j'-1}}\left(t_2' + c_1\right) = D_{M_{1,j'-1}}\left(t_2' + c_1 \times n\right)$ 且 $\operatorname{Trans}(M[n]) = \operatorname{Trans}(\operatorname{Pred}(M)) = s_{-1}'\operatorname{Mark}\left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}'\right)b_{-1}' = s_{-1}'\operatorname{Mark}\left(M[n], j_{-1}'\right)b_{-1}'$ 。

令 n > 1。

由条件（I）或（III）下围绕 $c_{1}$ 的具体表达式（5）可知， $j_{1}^{N} = j_{0} + (n - 1)(j_{1} - j_{0})$ 且 $j_0^N = j_0'$ 且 $j_{-1}^{N} = j_{-1}'$ ，且 $t_1^N \neq 0$ ，因此 $N$ 不满足条件（VI）。根据归纳假设， $c_{1}^{N} = \mathrm{Mark}\left(M[n - 1], j_{-1}'\right) = D_{M_{1,j_{-1}'}}\left(t_2' + c_1 \times (n - 1)\right)$ 且 $s_1^N c_1^N b_1^N = t_1^N = \mathrm{Trans}(M[n - 1]) = s_{-1}'\mathrm{Mark}\left(M[n - 1], j_{-1}'\right)b_{-1}' = s_{-1}'c_1^N b_{-1}'$ 。因此，由scb分解(1)的唯一性可知， $s_1^N = s_{-1}'$ 且 $b_1^N = b_{-1}'$ 。又，由 $D_{v^N}t_2^N = c_1^N = D_{M_{1,j_{-1}'}}\left(t_2' + c_1 \times (n - 1)\right)$ ， $v^N = M_{1,j_{-1}'}$ 且 $t_2^N = t_2' + c_1 \times (n - 1)$ 。

如果 $j_{-1}^{\prime} = j_0^{\prime}$ ，则 $j_{-1}^{N} = j_{-1}^{\prime} = j_{0}^{\prime} = j_{0}^{N}$ ，因此 $N$ 满足条件(I)或(III)。

如果 $M_{1,j_0'} + 1 = M_{1,j_0}$ ，则 $N$ 不满足条件 (VI)；且由于 $N_{1,j_0^N} + 1 = M_{1,j_0} = N_{1,j_1^N}$ ，因此 $N$ 满足条件 (V)。

因此，无论哪种情况，N 都满足条件 (I)、(III) 或 (V)，且 $c_{2}^{N}=D_{v^{N}}\left(t_{2}^{N}+D_{N_{1,j_{1}^{N}}}0\right)=D_{M_{1,j^{\prime}-1}}\left((t_{2}^{\prime}+c_{1}\times(n-1))+D_{M_{1,j_{0}}}0\right)$ ，因此 $\mathrm{Trans}(N)=s_{1}^{N}c_{2}^{N}b_{1}^{N}=s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j^{\prime}-1}^{\prime}}\left(t_{2}^{\prime}+c_{1}\times(n-1)+D_{M_{1,j_{0}}}0\right)$

根据加法与scb分解的关系,以及scb分解的复合规则(2),我们有 $\left(D_{M_{1,j'-1}}\left(t_{2}^{\prime}+c_{1}\times(n-1)+D_{M_{1,j_{0}}}0\right),T_{B}^{\mathrm{Marked}}\right)$ 。另外,根据Mark的定义, $\left(\mathrm{Trans}(N),D_{M_{1,j'-1}}\left(t_{2}^{\prime}+c_{1}\times(n-1)+D_{M_{1,j_{0}}}0\right)\right)\in T_{B}^{\mathrm{Marked}}$ 。

此外, 通过反复应用 scb 分解的复合规则 (1) 和 scb 分解的可替代性, 从 Trans 的 Mark 和切片表示,

\[
\begin{array}{l} \text {Trans} (M [ n ]) \\ = s _ {- 1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {- 1} ^ {\prime}}} \left(\left(t _ {2} ^ {\prime} + c _ {1} \times (n - 1)\right) + \operatorname{Mark} \left(M [ n ], j _ {0} + (n - 1) \left(j _ {1} - j _ {0}\right)\right)\right) b _ {- 1} ^ {\prime} \\ = s _ {- 1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {- 1} ^ {\prime}}} \left(\left(t _ {2} ^ {\prime} + c _ {1} \times (n - 1)\right) + \operatorname{Mark} (\operatorname{Pred} (M), j _ {- 1})\right) b _ {- 1} ^ {\prime} \tag {21.136} \\ = s _ {- 1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {- 1} ^ {\prime}}} \left(\left(c _ {1} \times (n - 1)\right) + c _ {1}\right) b _ {- 1} ^ {\prime} \\ = s _ {- 1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {-} ^ {\prime}}} \left(t _ {2} ^ {\prime} + c _ {1} \times n\right) b _ {- 1} ^ {\prime}. \\ \end{array}
\]

并且，从 Trans $(N)=s_{-1}^{\prime}$ Mark $(N,j_{-1}^{\prime})b_{-1}^{\prime}$ ,

\[
s _ {- 1} ^ {\prime} \operatorname{Mark} \left(M [ n ], j _ {- 1} ^ {\prime}\right) b _ {- 1} ^ {\prime} = \operatorname{Trans} (M [ n ]) = s _ {- 1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j ^ {\prime} - 1}} \left(t _ {2} ^ {\prime} + c _ {1} \times n\right) b _ {- 1} ^ {\prime}, \tag {21.137}
\]

因此， $\operatorname{Mark}\left(M[n], j_{-1}^{\prime}\right) = D_{M_{1,j'-1}}\left(t_{2}^{\prime} + c_{1} \times n\right)$ 且 $\operatorname{Trans}(M[n]) = s_{-1}^{\prime} \operatorname{Mark}\left(M[n], j_{-1}^{\prime}\right) b_{-1}^{\prime}$ 。

由上可知

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (M [ n ]) \\ = s _ {- 1} ^ {\prime} \operatorname{Mark} \left(M [ n ], j _ {- 1} ^ {\prime}\right) b _ {- 1} ^ {\prime} \tag {21.138} \\ = s _ {- 1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j ^ {\prime} - 1}} \left(t _ {2} ^ {\prime} + c _ {1} \times n\right) b _ {- 1} ^ {\prime} \\ = \operatorname{Trans} (M) [ n - 1 ]. \\ \end{array}
\]

令 $j_{-1}^{\prime}>j_{0}^{\prime}$ 且 $M_{1,j_{0}^{\prime}}\geq M_{1,j_{0}}$ 。

令 $j_{0}^{\prime} + 1 = j_{0}$ 。

令 $t_{3}^{\prime} := 0$ 。

令 $t_{4}^{\prime} := 0$ 。

从条件 (I) 或 (III) 下围绕 $c_{1}$ 的具体表达式 (3-2),

\[
\begin{array}{l} s _ {1} c _ {1} b _ {1} \\ = \operatorname{Trans} (\operatorname{Pred} (M)) \\ = s _ {- 1} ^ {\prime} \operatorname{Mark} \left(\operatorname{Pred} (M), j _ {- 1} ^ {\prime}\right) b _ {- 1} ^ {\prime} \tag {21.139} \\ = s _ {- 1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {- 1} ^ {\prime}} ^ {\prime}} D _ {M _ {1, j _ {0} ^ {\prime}}} c _ {1} b _ {- 1} ^ {\prime} \\ = s _ {- 1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {- 1} ^ {\prime}} ^ {\prime}} \left(t _ {3} ^ {\prime} + D _ {M _ {1, j _ {0} ^ {\prime}}} (t _ {4} ^ {\prime} + c _ {1})\right) b _ {- 1} ^ {\prime}. \\ \end{array}
\]

根据 scb 分解的唯一性 (1)， $s_{1}=s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j^{\prime}-1}}D_{M_{1,j_{0}}}$ 且 $b_{1}=b_{-1}^{\prime}$ 。

根据 scb 分解与基本列的关系（1-2），

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (M) [ n - 1 ] \\ \begin{array}{l} = s _ {- 1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j ^ {\prime} - 1} ^ {\prime}} D _ {M _ {1, j ^ {\prime}} ^ {\prime}} \left(\left(D _ {M _ {1, j _ {0}}} t _ {2}\right) \times n\right) b _ {1} \\ \quad^ {\prime} D _ {M _ {1, j ^ {\prime}}} D _ {M _ {1, j ^ {\prime}}} (t _ {2}) h ^ {\prime} \end{array} \tag {21.140} \\ = s _ {- 1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {- 1} ^ {\prime}}} D _ {M _ {1, j _ {0} ^ {\prime}}} \left(c _ {1} \times n\right) b _ {- 1} ^ {\prime} \\ = s _ {- 1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {- 1} ^ {\prime}} ^ {\prime}} \left(t _ {3} ^ {\prime} + D _ {M _ {1, j _ {0} ^ {\prime}}} \left(t _ {4} ^ {\prime} + c _ {1} \times n\right)\right) b _ {- 1} ^ {\prime}. \\ \end{array}
\]

令 $j_{0}^{\prime} + 1 < j_{0}$ 。

在条件 (I) 或 (III) 下, 存在唯一的 $(t_{3}^{\prime}, t_{4}^{\prime}) \in T_{\mathrm{B}}^{2}$ 使得 Mark $(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}^{\prime}) = D_{M_{1,j^{\prime}-1}} \left(t_{3}^{\prime} + D_{M_{1,j_0^{\prime}}} (t_{4}^{\prime} + c_{1})\right)$ 且 $s_{1}c_{1}b_{1} = t_{1} = \operatorname{Trans}(\operatorname{Pred}(M)) = s_{-1}^{\prime} \operatorname{Mark} \left(\operatorname{Pred}(M), j_{-1}^{\prime}\right) b_{-1}^{\prime} = s_{-1}^{\prime} D_{M_{1,j^{\prime}_1}} \left(t_{3}^{\prime} + D_{M_{1,j_0^{\prime}}} (t_{4}^{\prime} + c_{1})\right) b_{-1}^{\prime}$ 。

因此，通过迭代应用加法和 scb 分解之间的关系以及 scb 分解的组合规则 (2)，我们得到 $\left(D_{M_{1,j_{0}}}\left(t_{4}^{\prime}+c_{1}\right),c_{1}\right)$ ， $\left(D_{M_{1,j_{-1}^{\prime}}}\left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}\left(t_{4}^{\prime}+c_{1}\right)\right),D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}\left(t_{4}^{\prime}+c_{1}\right)\right)\in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ 。另外，根据 Mark 的定义， $\left(s_{1}c_{1}b_{1},D_{M_{1,j_{-1}^{\prime}}}\left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}\left(t_{4}^{\prime}+c_{1}\right)\right)\right),\left(s_{1}c_{1}b_{1},c_{1}\right)\in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ 。

进一步，通过反复应用 scb 分解的复合规则 (1) 以及 scb 分解的可替换性，我们得到 $\mathrm{Trans}(M)=s_{1}c_{2}b_{1}=s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j^{\prime}-1}}\left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}\left(t_{4}^{\prime}+D_{M_{1,j_{0}}}\left(t_{2}+D_{0}0\right)\right)\right)b_{-1}^{\prime}$ 。

由 scb 分解与基本列(1-2)的关系可知, $\mathrm{Trans}(M)[n-1]=s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j^{\prime}-1}}\left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}} \left(t_{4}^{\prime}+\left(D_{M_{1,j_{0}}}t_{2}\right)\times n\right)\right)b_{-1}^{\prime}$ $s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j^{\prime}-1}}\left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}} \left(t_{4}^{\prime}+c_{1}\times n\right)\right)b_{-1}^{\prime}$ 。

因此，在这两种情况下， $\mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M), j_{-1}^{\prime}\right) = D_{M_{1,j'-1}}\left(t_{3}^{\prime} + D_{M_{1,j_0'}}(t_{4}^{\prime} + c_{1})\right)$ 且 $\mathrm{Trans}(M)[n - 1] = s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j'-1}}\left(t_{3}^{\prime} + D_{M_{1,j_0'}}(t_{4}^{\prime} + c_{1} \times n)\right)b_{-1}^{\prime}$ 。

利用 n 中的数学归纳法,我们证明 $\mathrm{Mark}\left(M[n],j_{-1}^{\prime}\right)=D_{M_{1,j_{-1}^{\prime}}}\left(t_{3}^{\prime}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}\left(t_{4}^{\prime}+c_{1}\times n\right)\right)$ 且 $\mathrm{Trans}\left(M[n]\right)=s_{-1}^{\prime}\mathrm{Mark}\left(M[n],j_{-1}^{\prime}\right)b_{-1}^{\prime}$ 。

$n = 1$ 则 $\mathrm{Mark}\left(M[n],j_{-1}^{\prime}\right) = \mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M),j_{-1}^{\prime}\right) = D_{M_{1,j^{\prime}-1}}\left(t_{3}^{\prime} + D_{M_{1,j_0^{\prime}}}(t_{4}^{\prime} + c_{1})\right) =$ $D_{M_{1,j^{\prime}-1}}\left(t_3^{\prime} + D_{M_{1,j_0^{\prime}}}(t_4^{\prime} + c_1\times n)\right)$ 并且 $\mathrm{Trans}(M[n]) = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) = s_{-1}^{\prime}\mathrm{Mark}\left(\mathrm{Pred}(M),j_{-1}^{\prime}\right)c_1b_{-1}^{\prime} =$ $s_{-1}^{\prime}\mathrm{Mark}\left(M[n],j_{-1}^{\prime}\right)b_{-1}^{\prime}\circ$

令 n > 1。

由条件（I）或（III）下围绕 $c_{1}$ 的具体表达式（5）可知， $j_{1}^{N} = j_{0} + (n - 1)(j_{1} - j_{0})$ 且 $j_0^N = j_0'$ 且 $j_{-1}^N = j_{-1}'$ ，且 $t_1^N \neq 0$ ，因此 $N$ 不满足条件（VI）。根据归纳假设， $c_{1}^{N} = \mathrm{Mark}\left(M[n - 1],j_{-1}^{\prime}\right) = D_{M_{1,j' - 1}^{\prime}}\left(t_{3}^{\prime} + D_{M_{1,j_0'}^{\prime}}(t_4^{\prime} + c_1\times (n - 1))\right)$ 且 $s_1^N c_1^N b_1^N = t_1^N =$ Trans $(M[n - 1]) = s_{-1}^{\prime}\mathrm{Mark}\left(M[n - 1],j_{-1}^{\prime}\right)b_{-1}^{\prime} = s_{-1}^{\prime}c_{1}^{N}b_{-1}^{\prime}$ 。因此，根据scb分解(1)的唯一性， $s_1^N = s_{-1}'$ 且 $b_{1}^{N} = b_{-1}'$ 。另外， $D_{v^{N}}t_{2}^{N} = c_{1}^{N} = D_{M_{1,j' - 1}^{\prime}}\left(t_3^{\prime} + D_{M_{1,j_0'}}(t_4^{\prime} + c_1\times (n - 1))\right)$ ，因此 $v^{N} = M_{1,j_{- - }^{-1}}$ 且 $t_2^N = t_3^{\prime} + D_{M_{1,j_0'}}(t_4^{\prime} + c_1\times (n - 1))$ 。

由于 $j_{-1}^{N} = j_{-1}^{\prime} < j_{0}^{\prime} = j_{0}^{N}$ ， $j_{0}^{N}$ 不是 $N$ 容许的，因此 $N$ 不满足条件 (I) 或 (III)；但是，由于 $N_{1,j_0^N} + 1 = M_{1,j_0^{\prime}} + 1 \geq M_{1,j_0} = N_{1,j_1^N}$ ，因此 $N$ 满足条件 (II) 或 (IV)。 $t_2^N$ 的最右边单项式分量 $D_{M_{1,j_0^{\prime}}}(t_4^{\prime} + c_1 \times (n - 1))$ 的左端为 $D_{M_{1,j_0^{\prime}}} = D_{N_{1,j_0^N}}$ ，因此 $t_3^N = t_3^{\prime}$ 且 $D_{N_{1,1,j_0^N}}t_4^N = t_2^N = D_{M_{1,j_0^{\prime}}}(t_4^{\prime} + c_1 \times (n - 1))$ ，即 $t_4^N = t_4^{\prime} + c_1 \times (n - 1)$ 。因此

\[
c _ {2} ^ {N} = D _ {v ^ {N}} \left(t _ {3} ^ {N} + D _ {N _ {1, j _ {0} ^ {N}}} \left(t _ {4} ^ {N} + D _ {N _ {1, j _ {1} ^ {N}}} 0\right)\right) = D _ {M _ {1, j ^ {\prime} - 1}} \left(t _ {3} ^ {\prime} + D _ {M _ {1, j _ {0} ^ {\prime}}} \left(t _ {4} ^ {\prime} + c _ {1} \times (n - 1) + D _ {M _ {1, j _ {0}}} 0\right)\right) = D _ {M _ {1, j ^ {\prime} - 1}} \left(t _ {3} ^ {\prime} + D _ {M _ {1, j ^ {\prime} - 1}} \left(t _ {4} ^ {\prime} + c _ {1} \times (n - 1) + D _ {M _ {1, j ^ {\prime} - 1}} 0\right)\right)
\]

因此，Trans $(N) = s_{1}^{N}c_{2}^{N}b_{1}^{N} = s_{-1}^{\prime}D_{M_{1,j^{\prime} - 1}}\left(t_{3}^{\prime} + D_{M_{1,j_0^{\prime}}}\left(t_{4}^{\prime} + c_{1}\times (n - 1) + D_{M_{1,j_0}}0\right)\right)b_{-1}^{\prime}$ 。

此外，通过反复应用 scb 分解的复合规则 (1) 和 scb 分解的可替代性，[57]Trans 表示为 Mark，并切片

\[
\begin{array}{l} \operatorname{Trans} (M [ n ]) = s _ {- 1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {- 1} ^ {\prime}}} \left(t _ {3} ^ {\prime} + D _ {M _ {1, j _ {0} ^ {\prime}}} \left(t _ {4} ^ {\prime} + c _ {1} \times (n - 1) + \operatorname{Mark} (M [ n ], j _ {0} + (n - 1) \left(j _ {1} - j _ {0}\right))\right)\right) b _ {- 1} ^ {\prime} = s _ {- 1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {- 1} ^ {\prime}}} \\ { = } s _ { - 1 } ^ { \prime } D _ { M _ { 1 , j _ { - 1 } ^ { \prime } } } ( t _ { 3 } ^ { \prime } + D _ { M _ { 1 , j _ { 0 } ^ { \prime } } } ( t _ { 4 } ^ { \prime } + c _ { 1 } \times n ) ) b _ { - 1 } ^ { \prime } \\ \end{array}
\]

进一步， $\mathrm{Trans}(N)=s_{-1}^{\prime}\mathrm{Mark}(N,j_{-1}^{\prime})b_{-1}^{\prime}$

\[
s _ {- 1} ^ {\prime} \mathrm{Mark} (M [ n ], j _ {- 1} ^ {\prime}) b _ {- 1} ^ {\prime} = \mathrm{Trans} (M [ n ]) = s _ {- 1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {- 1} ^ {\prime}}} (t _ {3} ^ {\prime} + D _ {M _ {1, j _ {0} ^ {\prime}}} (t _ {4} ^ {\prime} + c _ {1} \times n)) b _ {- 1} ^ {\prime}
\]

因此 $\operatorname{Mark}(M[n], j_{-1}') = D_{M_{1,j'_{-1}}}(t_3' + D_{M_{1,j'_0}}(t'_4 + c_1 \times n))$ 且 $\operatorname{Trans}(M[n]) = s_{-1}'\operatorname{Mark}(M[n], j_{-1}')b_{-1}'$ 。

由上式可知，

\[
\mathrm{Trans} (M [ n ]) = s _ {- 1} ^ {\prime} \mathrm{Mark} (M [ n ], j _ {- 1} ^ {\prime}) b _ {- 1} ^ {\prime} = s _ {- 1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {- 1} ^ {\prime}}} (t _ {3} ^ {\prime} + D _ {M _ {1, j _ {0} ^ {\prime}}} (t _ {4} ^ {\prime} + c _ {1} \times n)) b _ {- 1} ^ {\prime} = \mathrm{Trans} (M) [ n - 1 ]
\]

证毕。

令 $M \in T_{PS}$ 。

如果 M 可约、单项式，且 $\mathrm{Br}(M)$ 为降序列，则 M 为强单项式。

令 $DT_{PS} \subset T_{PS}$ 为所有强单项式对序列的子集。

定理 21.4.93 标准形式的直系祖先切片约化的强单项性。

对于任意 $M \in ST_{PS}$ 和 $j_0', j_1' \in \mathbb{N}$ ，设 $j_1 := Lng(M) - 1$ ，令 $j_0' < j_1' \leq j_1$ 且令 $M' := (M_j)_{j=j_0'}^{j_1'}$ ，则若 $(0, j_0') \leq_M (0, j_1')$ ，则 $Red(M')$ 为强单项的。

证明：

由于标准形式的切片与 Br 的降序性质之间的关系, $M'$ 为单项函数,而 $\mathrm{Br}(M')$ 为降序函数。因此,由于 Red 保持单项性质,因此 $\mathrm{Red}(M')$ 为单项函数。令 $J_{1}:=\mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(M'))-1$ 。

根据基于直接祖先的切片以及 Red 与 IncrFirst 之间的关系, $M' = \text{IncrFirst}^{M_{0,j_0}' - M_{1,j_0'}}(\text{Red}(M'))$ , 因此, 由于 $\leq_M$ 的 IncrFirst 不变性, $\text{Br}(M') = (\text{IncrFirst}^{M_{0,j_0}' - M_{1,j_0'}}(\text{Br}(\text{Red}(M'))_J))_{J=0}^{J_1}$ 。

因此，由于 $\mathrm{Br}(M')$ 的降序排列， $\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(M'))$ 也是降序排列。从上可知， $\mathrm{Red}(M')$ 是一个强单项式。

证毕。

定义映射

\[
\begin{array}{l} \text {LastStep:} D T _ {\mathrm{PS}} \rightarrow \mathbb {N} \\ M \mapsto \operatorname{LastStep} (M) \\ \end{array}
\]

如下：

1. 设 $J_{1} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(M))$ 。
2. 如果 $J_{1}=0$ ，则 LastStep(M)=0。
3. 设 $J_{1} > 0$ 。

3.1. 如果 $(\mathrm{Br}(M)_{J_{1}})_{0,0} = (\mathrm{Br}(M)_{J_{1}})_{1,0}$ ，则 LastStep(M) = J\_{1}。

3.2. 如果 $(\mathrm{Br}(M)_{J_{1}})_{0,0} > (\mathrm{Br}(M)_{J_{1}})_{1,0}$ ，则 LastStep(M) := $\min\{J \in \mathbb{N} \mid (\mathrm{Br}(M)_{J_{1}})_{0,0} = (\mathrm{Br}(M)_{J})_{0,0} > (\mathrm{Br}(M)_{J})_{1,0}\}$ 。

定理 21.4.94 在条件 (II) 或 (IV) 下，终止切片与 Trans 的关系。

对于任何 $M \in DT_{PS}$ , 令 $j_1 := Lng(M) - 1$ , 令 $J_1 := Lng(Br(M)) - 1$ , 令 $J_1 \geq 0$ , 令 $j_0' := Joints(M)_{J_1}$ , 令 $j_1' := FirstNodes(M)_{J_1}$ , 令 $J_0 := LastStep(M)$ , 令 $m_1 := FirstNodes(M)_{J_0} - 1$ , 令 $N := (M_j)_{j=0}^{m_1}$ , 且令 $N' := Let(M_j)_{j=j_0'}^{m_1}[62]$ 设 $M' := (M_j)_{j=j_0'}^{j_1}$ , 则若 $0 < j_0' < TrMax(M)$ 且 $M_{0,j_1'} > M_{1,j_1'}$ , 则存在唯一的 $t_1, t_2 \in T_B$ 使得:

(1) $\text{Trans}(N) = D_{M_{1,0}} t_{1}$ 。
(2) $Trans(N') = D_{M_{1,j_0'}}t_1$ 。
(3) $Trans(M') = D_{M_{1,j_0'}}(t_1 + t_2)$ 且 $t_2 \neq 0$ 。
(4) $Trans(M) = D_{M_{1,0}}(t_1 + D_{M_{1,j_0'}}(t_1 + t_2))$ 。

我们提出一些引理作为初步步骤，以证明在条件 (II) 或 (IV) 下端段和 Trans 之间的关系。

定理 21.4.95 强单项性对切片的遗传性。

对于任何 $M \in DT_{PS}$ 和 $j_{0}^{\prime}, j_{1}^{\prime} \in N$ ，设 $j_{1} := Lng(M) - 1$ ，设 $J_{1} := Lng(Br(M)) - 1$ ，设 $j_{0}^{\prime} < j_{1}^{\prime} \leq j_{1}$ ，且设 $M^{\prime} := (M_{j})_{j = j_{0}^{\prime}}^{j_{1}^{\prime}}$ ，则若 $j_{0}^{\prime} \leq Joints(M)_{J_{1}}$ ，则 $M^{\prime}$ 为强单项性。

证明：

由于可约性与系数之间的关系，M 满足条件 (A) 和 (B)。因此，对于任意 $j \in N$ ，若 $j \leq \operatorname{TrMax}(M)$ ，则 $M_{j} = (M_{1,0} + j, M_{1,0} + j)$ 。

由于 FirstNodes、TrMax 和 Joints 之间的关系， $j_{0}^{\prime} \leq \text{Joints}(M)_{J_{1}} \leq \text{TrMax}(M)$ 。因此，由于可约性对切片的遗传性， $M^{\prime}$ 是可约的。

令 $j_{0} := \mathrm{TrMax}(M)$ 。

$\mathrm{TrMax}(M') = j_0 - j_0'$ 且 $\mathrm{Lng}(M') - 1 = j_1' - j_0'$ 。

对于任意 $j \in N$ ，如果 $j \leq j_{1}^{\prime} - j_{0}^{\prime}$ ，则 $(0,0) \leq_{M}(0,j)$ 。

如果 $j \leq \mathrm{TrMax}(M')$ ，则 $(1,0) \leq_{M'} (1,j)$ ，因此 $(0,0) \leq_{M'} (0,j)$ 。

令 $j > \mathrm{TrMax}(M')$ 。

由于 $j + j_0' > \mathrm{TrMax}(M') + j_0' = j_0$ ，因此存在唯一的 $J \in \mathbb{N}$ 使得 $J \leq J_1$ 且 $\mathrm{FirstNodes}(M)_J \leq j + j_0' < \mathrm{FirstNodes}(M)_{J+1}$ 。由于 $P$ 的每个组成部分都是非复合项，因此 $\mathrm{Br}(M)_J$ 不是复合项，因此 $(0,0) \leq_{\mathrm{Br}(M)_J} (0,j + j_0' - \mathrm{FistNodes}(M)_J)$ ，即 $(0,\mathrm{FirstNodes}(M)_J) \leq_M (0,j + j_0')$ 。

由于 $\mathrm{Br}(M)$ 按降序排列， $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_J} \geq M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1}}$ ，且 $M$ 满足条件 (A)，因此 $M_{0,\mathrm{Joints}(M)_J} + 1 = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_J}$ 且 $M_{0,\mathrm{Joints}(M)_{J_1}} + 1 = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1}}$ 。因此， $j_0' \leq \mathrm{Joints}(M)_{J_1} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_{J_1}} - M_{1,0} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1}} - 1 - M_{1,0} \leq M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_J} - 1 - M_{1,0} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_J} - M_{1,0} = \mathrm{Joints}(M)_J$ 。

由于 FirstNodes、TrMax、Joints 的关系， $j_{0}^{\prime} \leq \text{Joint}(M)_{J} \leq \text{TrMax}(M)$ ，所以 $(1, j_{0}^{\prime}) \leq_{M} (1, \text{Joints}(M)_{J})$ 。此外，因为 $(0, \text{Joints}(M)_{J}) <_{M}^{\text{Next}} (0, \text{FirstNodes}(M))$ 且 $(0, \text{FirstNodes}(M)_{J}) \leq_{M} (0, j + j_{0}^{\prime})$ 、 $(0, j_{0}^{\prime}) \leq_{M} (0, j + j_{0}^{\prime})$ ，或 $(0, 0) \leq_{M'} (0, j)$ 。

由上可知， $M'$ 为单项矩阵。

令 $J_{0} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(M')) - 1$ 。

由 $P$ 与 $\mathrm{IdxSum}$ 复合函数的刻画， $J_0 \leq J_1$ 且 $\mathrm{FirstNodes}(M') = (\mathrm{FirstNodes}(M)_J - j_0')_{J=0}^{J_0}$ 。因此， $\mathrm{Br}(M')$ 为降序。

证毕。

定理 21.4.96 子表达式的单项分量与 Pred 的关系。

对于任意 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ , 令 $j_1 := Lng(M) - 1$ , 令 $J_1 := Lng(Br(M)) - 1$ , 令 $J_1 \geq 0$ , 令 $j_0' := Joints(M)_{J_1}$ , 令 $j_1' := FirstNodes(M)_{J_1}$ 。如果 $j_1 > 1$ , 则以下任一情况成立:

(1) $j_1' = j_1$ ，且 $TrMax(M) = 0$ 或 $j_0' < TrMax(M)$ ，则 $M_{0,j_1'} = M_{1,j_1'}$ 或 $j_0'$ 满足 $M$ 容许条件，且存在唯一的 $t_1 \in T_B$ 使得 $Trans(Pred(M)) = D_{M_{1,0}}t_1$ 且 $Trans(M) = D_{M_{1,0}}(t_1 + D_{M_{1,j_1'}}0)$ 。
(2) $j_{1}^{\prime}=j_{1}$ , $M_{0,j_{1}^{\prime}}>M_{1,j_{1}^{\prime}}$ 且 $j_{0}^{\prime}$ 为非 $M$ 可接受的, 且存在唯一的 $(t_{1},t_{2})\in T_{B}^{2}$ 使得 $Trans(Pred(M))=D_{M_{1,0}}t_{1}$ 且 $Trans(M)=D_{M_{1,0}}(t_{1}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}t_{2})$ 。
(3) 存在唯一的 $(t_{1}, t_{2}, t_{3}) \in T_{B}^{2}$ 使得 $\text{Trans}(\text{Pred}(M)) = D_{M_{1,0}}(t_{1} + D_{M_{1,j_{1}^{\prime}}}t_{2})$ 和 $\text{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}(t_{1} + D_{M_{1,j_{1}^{\prime}}}t_{3})$ 。
(4) 存在唯一的 $(t_{1}, t_{2}, t_{3}) \in T_{B}^{2}$ 使得 $\text{Trans}(\text{Pred}(M)) = D_{M_{1,0}}(t_{1} + D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}t_{2})$ 和 $\text{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}(t_{1} + D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}t_{3})$ 。

证明：

由于可约性与系数之间的关系，M 满足条件 (A) 和 (B)。由于 M 满足条件 (A) 和 (B)，若对于任意 $j \in N$ ， $j \leq \operatorname{TrMax}(M)$ ，则 $M_{j} = (M_{1,0} + j, M_{1,0} + j)$ 。又由于 M 满足条件 (A)， $M_{0,j_{0}^{\prime}} + 1 = M_{0,j_{1}^{\prime}}$ 。

由于 $j_{1} > 1$ ， $\operatorname{Pred}(M)$ 不是零项，且Trans保持零项性质， $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M))\neq 0$ 。因此，条件(I)至(VI)对 $M$ 有意义。

由于 $J_{1} \geq 0$ , $\mathrm{TrMax}(M) < j_{1}$ 。又由于 $M$ 是单项式, $(0,0) \leq_{M} (0,j_{1})$ 。由于 $j_{1} > 1 > 0$ , 存在唯一的 $j_{0} \in \mathbb{N}$ 使得 $(0,j_{0}) <_{M}^{\mathrm{Next}} (0,j_{1})$ 。

首先，证明如果 $j_{1}-j_{1}^{\prime}=0$ ，则 M 不满足条件 (VI)。由于 $(0,j_{0}^{\prime})<_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1}^{\prime})=(0,j_{1})$ ，则 $j_{0}=j_{0}^{\prime}$ 。此外，由于 FirstNodes、TrMax 和 Joints 之间的关系， $j_{0}^{\prime}\leq\mathrm{TrMax}(M)$ 。

假设 $j_0 + 1 = j_1$ 且 $(1,j_0) < _M^{\mathrm{Next}}(1,j_1)$ ，则 $\mathrm{TrMax}(M) = j_1$ ，这与 $\mathrm{TrMax}(M) < j_1$ 矛盾。因此，如果 $j_0 + 1 = j_1$ ，则 $(1,j_0) < _M^{\mathrm{Next}}(1,j_1)$ 并非成立。具体而言， $M$ 不满足条件 (VI)。

令 $j_{-1} := \mathrm{Adm}_M(j_0)$ 。我们利用数学归纳法证明，关于 $j_1 - \mathrm{TrMax}(M)$ ，(1) 至 (4) 式中任意一个成立。令 $j_1 - \mathrm{TrMax}(M) = 1$ 。由于 $\mathrm{Lng}((M_j)_{j=\mathrm{TrMax}(M)+1}^{j_1}) = 1$ ，因此有 $J_1 = 0$ 、 $j_1' = j_1$ 、 $\mathrm{TrMax}(M) = j_1' - 1$ 且 $j_0' = M_{0,j_0'} - M_{1,0} = M_{0,j_1'} - 1 - M_{1,0}$ 。特别地，由于 $j_1 - j_1' = 0$ ， $j_0 = j_0'$ ，且 $M$ 不满足条件 (VI)。

$\operatorname{Pred}(M) = (M_{1,0} + j, M_{1,0} + j)_{j=0}^{j_1' - 1}$ ，且 $j_1' - 1 = j_1 - 1 > 0$ ，根据公差 $(1,1)$ 的对序列 Trans 的基本性质， $\operatorname{Trans}(\operatorname{Pred}(M)) = D_{M_{1,0}} D_{M_{1,j_1' - 1}} 0$ 。

由于 $M$ 不满足条件 (VI)，因此 $M$ 满足具有 Pred 且公差为 (1,1) 的对数序列 Trans 的基本性质 (1) 至 (4) 中的任意一项。

若 $M$ 满足具有 Pred 且公差为 (1,1) 的对数序列 Trans 的基本性质 (1) 的条件，则 $j_0 + 1 = j_1$ ，因此 $j_0' = j_0 = j_1 - 1 = j_1' - 1$ 。因此，如果我们设置 $(t_1, t_2, t_3) := (0, 0, D_{M_{1,j_1'}} 0)$ ，则 $\text{Trans}(\text{Pred}(M)) = D_{M_{1,0}}(t_1 + D_{M_{1,j_1'-1}} t_2) = D_{M_{1,0}}(t_1 + D_{M_{1,j_0'}} t_2)$ 且 $\text{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}(t_1 + D_{M_{1,j_1'-1}} t_3) = D_{M_{1,0}}(t_1 + D_{M_{1,j_0'}} t_3)$ ，因此 (4) 成立。

如果 $M$ 满足 Pred 公差为 (1,1) 的偶数序列 Trans 基本性质的条件 (2)，则 $M_{0,j_1'} = M_{1,j_1'}$ ，且设 $(t_1,t_2) := (D_{M_{1,j_1'-1}}0,0)$ ，则 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) = D_{M_{1,0}}t_1$ 且 $\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}(t_1 + D_{M_{1,j_1'}}t_2)$ ，因此 (1) 成立。设 $M$ 满足 Pred 公差 (1,1) 的偶数序列 Trans 基本性质的条件 (3)，则 $M_{0,j_1'} > M_{1,j_1'}$ ，且 $j_0' = M_{0,j_1'} - 1 - M_{1,0}$ ，且 $M_{1,0} + 1 < M_{0,j_1'} \leq M_{0,j_1'-1}$ ，因此 $0 < j_0' \leq \mathrm{TrMax}(M) - 1$ 。因此， $j_0'$ 不是 $M$ 容许的，且 $(t_1,t_2) := (D_{M_{1,j_1'-1}}0,(\underline{D}_{M_{1,j_1'-1}}0,\quad D_{M_{1,j_0'}}0))$ ，则 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) = D_{M_{1,0}}t_1$ 且 $\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}(t_1 + D_{M_{1,j_0'}}t_2)$ ，因此（2）成立。

如果 $M$ 满足Pred公差为(1,1)的偶数序列Trans基本性质的条件(4)，则 $j_0^{\prime} = M_{0,j_1^{\prime}} - 1 - M_{1,0} = 0$ ，因此 $j_0^{\prime} = 0$ ，且 $j_0^{\prime}$ 是 $M$ 容错的。设 $(t_1,t_2):= (D_{M_{1,j_1^{\prime}-1}}0,0)$ ，则 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) = D_{M_{1,0}}t_1$ ，且 $\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}(t_1 + D_{M_{1,j_1^{\prime}}}t_2)$ ，因此(1)成立。

令 $j_{1}-\mathrm{TrMax}(M)>1$ 。

令 $\mathrm{Adm}_{M}(j_{0})>0$ 。

由于 $j_0 = j_0' \leq \mathrm{TrMax}(M)$ ，根据 $\mathrm{TrMax}$ 的定义，我们有 $\mathrm{Adm}_M(j_0) = \mathrm{TrMax}(M)$ ；同样，由于 $\mathrm{Adm}_M(j_0) \leq j_0 \leq \mathrm{TrMax}(M) = \mathrm{Adm}_M(j_0)$ ，我们有 $j_0 = \mathrm{Adm}_M(j_0) = \mathrm{TrMax}(M)$ 。

由于可约化为切片的遗传性和单项函数可约化为初始切片的遗传性， $\operatorname{Pred}(M)$ 既是可约化的又是单项的。 $j_1 \geq j_1 - \operatorname{TrMax}(M) > 1$ ，因此 $\operatorname{Lng}(\operatorname{Pred}(M)) - 1 = j_1 > 1$ 。

设 $J_{1}^{\prime} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M))) - 1$ 。

若 $j_{1}^{\prime}=j_{1}$ ，则 $j_{1}-\mathrm{TrMax}(M)>1$ ，因此 $J_{1}>0$ ，并且根据 P 与 IdxSum 的组合特

征， $J_{1}^{\prime}=J_{1}-1\geq0$ 。

如果 $j_{1}^{\prime}<j_{1}$ ，则根据 P 与 IdxSum 的组合特征， $J_{1}^{\prime}=J_{1}\geq0$ 。

由上可知，两种情况下 $J_{1}^{\prime} \geq 0$ 均成立。

因为 $\mathrm{Lng}(\mathrm{Pred}(M))-1=j_{1}-1$ 且 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(M'))=\mathrm{TrMax}(M)$ ， $(\mathrm{Lng}(\mathrm{Pred}(M))-1)-\mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(M'))=j_{1}-1-\mathrm{TrMax}(M)<j_{1}-\mathrm{TrMax}(M)$ ，根据归纳假设，存在唯一的 $i\in\{0,1\}$ 和 $(t_{1},t_{2})\in T_{\mathrm{B}}^{2}$ 使得 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M))=D_{M_{1,0}}(t_{1}+D_{M_{1,j_{i}^{\prime}}}t_{2})$ 。从 $\mathrm{Adm}_{M}(j_{0})>0$ 及 $s_{1}$ 与 $b_{1}$ 的空性和基点关系可知， $\mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),\mathrm{Adm}_{M}(j_{0}))\neq\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M))=D_{M_{1,0}}(t_{1}+D_{M_{1,j_{i}^{\prime}}}t_{2})$ ，因此，从 $(\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)),\mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),\mathrm{Adm}_{M}(j_{0})))\in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ ， $(D_{M_{1,j_{i}^{\prime}}}t_{2},\mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(M),\mathrm{Adm}_{M}(j_{0})))\in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ 。

因此，根据加法与 scb 分解的关系以及 Trans 的定义，存在唯一的 $t_{3} \in T_{B}$ 使得 $\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}(t_{1} + D_{M_{1,j_{i}^{\prime}}}t_{3})$ ，且 (3) 或 (4) 成立。

令 $\mathrm{Adm}_{M}(j_{0})=0$ 。

根据 TrMax 的定义， $\mathrm{TrMax}(M)$ 是 M 可接受的。 $\mathrm{Adm}_{M}(j_{0})=0\leq\mathrm{TrMax}(M)$ ，因此 $j_{0}\leq\mathrm{TrMax}(M)$ 。

假设 $j_1' < j_1$ ，那么由于 $P$ 各分量的非复合性质， $(0,0) \leq_{\mathrm{Br}_{J_1}} (0,j_1 - j_1')$ ，即 $(0,j_1') \leq_M (0,j_1)$ 。根据 $j_1' < j_1$ 以及判断父节点存在的条件 (1)， $\mathrm{TrMax}(M) < j_1' \leq j_0$ ，这与 $j_0 \leq \mathrm{TrMax}(M)$ 矛盾。因此， $j_1' = j_1$ ， $j_0 = j_0'$ ，且 $M$ 不满足条件 (VI)。

如果 $\mathrm{TrMax}(M) > 0$ ，则 $\mathrm{Adm}_M(j_0') = \mathrm{Adm}_M(j_0) = 0 < \mathrm{TrMax}(M) = \mathrm{Adm}_M(\mathrm{TrMax}(M))$ 因此 $j_0' < \mathrm{TrMax}(M)$ 。

因此， $\mathrm{TrMax}(M)=0$ 或 $j_{0}^{\prime}<\mathrm{TrMax}(M)$ 。

令 M 满足条件 (I)、(III) 或 (V)。

如果 $M$ 满足条件 (I) 或 (III)，则 $j_0' = j_0$ 是 $M$ 容许的。如果 $M$ 满足条件 (V)，则 $M_{0,j_1'} = M_{0,j_0'} + 1 = M_{1,j_0'} + 1 = M_{1,j_0} + 1 = M_{1,j_1} = M_{1,j_1'}$ 。

由 Mark 左端的基本性质、 $s_{1}$ 与 $b_{1}$ 的空性和基点关系，以及 Trans 的定义，存在唯一的 $t_{1} \in T_{B}$ 使得 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) = D_{M_{1,0}}t_{1}$ 且 $\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}(t_{1} + D_{M_{1,j_{1}^{\prime}}}0)$ ，且 (1) 成立。

假设 M 满足条件 (II) 或 (IV)。

$M_{0,j_1'} \geq M_{0,j_0'} = M_{1,j_0'} = M_{1,j_0} = M_{1,j_1} - 1 = M_{1,j_1'} - 1$ ，即 $M_{0,j_1'} > M_{1,j_1'}$ 。另外， $j_0' = j_0$ 不满足 $M$ 容许条件。由 Mark 左端的基本性质、 $s_1$ 和 $b_1$ 的空性、基点之间的关系以及 Trans 的定义可知，存在唯一的 $(t_1, t_2) \in T_B^2$ 使得 Trans(Pred(M)) = $D_{M_{1,0}} t_1$ 且 Trans(M) = $D_{M_{1,0}}(t_1 + D_{M_{1,j_0'}} t_2)$ 。

由上可知（2）成立。

证毕。

定理 21.4.97 强单项性下子表示的单项分量的基本性质。

对于任意 $M \in DT_{PS}$ , 令 $j_1 := Lng(M) - 1$ , 令 $J_1 := Lng(Br(M)) - 1$ , 令 $J_1 \geq 0$ , 令 $j_0' := Joints(M)_{J_1}$ , 且令 $j_1' := FirstNodes(M)_{J_1}$ 。则存在唯一的 $t' \in T_B$ 使得:

(1) $\text{Trans}(M) = D_{M_{1,0}} t'$ 。
(2) 如果 $j_0' = 0$ 或 $M_{0,j_1'} = M_{1,j_1'}$ , 则 $t'$ 的每个分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_1'}} 0$ 。
(3) 如果 $0 < j_0' < TrMax(M)$ 且 $M_{0,j_1'} > M_{1,j_1'}$ , 则 $t'$ 的每个分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_0'}}$ 0。
(4) 如果 $0 < j_0' = TrMax(M)$ ，则 $t'$ 的每个分量都大于或等于 $D_{M_{1,TrMax(M)}}$ 。

证明：

接下来，我们将立即用到 FirstNodes 和 Joints 的单调性。

由于 Trans 保持单项性，因此 $\mathrm{Trans}(M)$ 也是单项的，并且由于 P 每个分量的非复项性以及 Trans 最左边单项分量的基本性质，存在唯一的 $t' \in T_{B}$ 使得 $\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}} t'$ 。

从 FirstNodes、TrMax 和 Joints 的关系可知，对于任意 $J \in \mathbb{N}$ ，若 $J \leq J_1$ ，则 $\mathrm{Joints}(M)_J \leq \mathrm{TrMax}(M) < \mathrm{FirstNodes}(M)_J$ 。特别地， $j_0' \leq \mathrm{TrMax}(M) < j_1'$ 。又，由于 $j_1 \geq j_1' > j_0' \geq 0$ ，因此 $j_1 > 0$ 。

根据 TrMax 的定义, $\mathrm{TrMax}(M)$ 是 $M$ 可接受的。因此, $(1, \mathrm{TrMax}(M)) <_{M}^{\mathrm{Next}} (1, \mathrm{TrMax}(M) + 1) = (1, \mathrm{FirstNodes}(M)_0)$ 并非如此, 即 $M_{1,\mathrm{TrMax}(M)} \geq M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_0}$ 。

根据可约性和系数之间的关系，M 满足条件 (A) 和 (B)。由于 M 满足条件 (A) 和 (B)，如果对于任何 $j \in N$ ， $j \leq \operatorname{TrMax}(M)$ ，则 $M_j = (M_{1,0} + j, M_{1,0} + j)$ 。具体而言， $M_{1,\operatorname{TrMax}(M)} = M_{1,0} + \operatorname{TrMax}(M) \geq M_{1,0} + j'_0 = M_{1,j'_0}$ 。另外，由于 M 满足条件 (A)， $M_{1,j'_0} = M_{0,j'_0} = M_{0,j'_1} - 1$ 。

我们可以通过数学归纳法证明 $j_{1}-\mathrm{TrMax}(M)$ 满足 (2)、(3) 和 (4)。

令 $j_{1} - \mathrm{TrMax}(M) = 1$ 。由于 $\mathrm{TrMax}(M) < j_1' \leq j_1, j_1' = j_1$ 。因为 $(1, j_0') = (1, \mathrm{TrMax}(M)) < _M^{\mathrm{Next}}(1, \mathrm{TrMax}(M) + 1) = (1, j_1), M_{1,j_0'} \geq M_{1,j_1'}$ 。因此， $M_{0,j_1'} = M_{0,j_0'} + 1 = M_{1,j_0'} + 1 \geq M_{1,j_1'} + 1 > M_{1,j_1'}$ 。

令 $j_{1}=1$ 。

$\mathrm{TrMax}(M) = j_{1} - 1 = 0$ 。由于 $j_0^{\prime}\leq \mathrm{TrMax}(M) = 0$ ， $j_0^{\prime} = 0 = \mathrm{TrMax}(M)$ 。

根据 2 个 2 个序列对的基本性质， $t' = D_{M_{1,j_{1}}}0$ ，其唯一单项分量为 $D_{M_{1,j_{1}}}0 = D_{M_{1,j_{1}^{\prime}}}0$ 。

令 $j_{1} > 1$ 。

若 $j_0' = 0$ ，则根据公差为(1,1)的序列Trans的Pred的基本性质(4)， $t' = \underline{(D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}}0, D_{M_{1,j_1}}0)}$ ， $D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}}0 \geq D_{M_{1,j_0'}}0 \geq D_{M_{1,j_1'}}0$ 且 $D_{M_{1,j_1}}0 = D_{M_{1,j_1'}}0$ 。

如果 $0 < j_0' < \mathrm{TrMax}(M)$ ，那么根据 $\mathrm{TrMax}$ 的定义， $j_0'$ 不是 $M$ 容错的，并且根据对序列的 Trans 的基本性质 (3)，其中 Pred 具有公差 $(1,1), t' = (\underline{D}_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}} 0, \underline{D}_{M_{0,j_1'} - 1}(\underline{D}_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}} 0, \underline{D}_{M_{1,j_1}} 0))$ ，并且 $D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}} 0 \geq D_{M_{1,j_0'}} 0$ 且 $D_{M_{0,j_1'} - 1}(\underline{D}_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}} 0, \underline{D}_{M_{1,j_1}} 0) = D_{M_{1,j_0'}} (\underline{D}_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}} 0, \underline{D}_{M_{1,j_1}} 0) \geq D_{M_{1,j_0'}} 0$ 。若 $0 < j_0' = \mathrm{TrMax}(M)$ ，则根据 Pred 具有公差 (1,1) 的对序列的 Trans 的基本性质 (1)， $t' = D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}} D_{M_{1,j_1}} 0$ 。

令 $j_{1}-\mathrm{TrMax}(M)>1$ 。

由于可约化为切片的遗传性和单性性可约化为初始切片的遗传性， $\mathrm{Pred}(M)$ 可约化且单性。由于 $j_{1} \geq j_{1} - \mathrm{TrMax}(M) > 1$ ，因此 $\mathrm{Lng}(\mathrm{Pred}(M)) - 1 = j_{1} > 1$ 。

令 $J_{1}^{\prime} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M))) - 1$ 。

如果 $j_1' = j_1$ ，则 $j_1 - \mathrm{TrMax}(M) > 1$ ，因此 $J_1 > 0$ ，且由 $P$ 与 $\mathrm{IdxSum}$ 的复合表征可知， $J_1' = J_1 - 1 \geq 0$ 。

如果 $j_{1}^{\prime}<j_{1}$ ，则由 P 与 IdxSum 的复合表征可知， $J_{1}^{\prime}=J_{1}\geq0$ 。

由上可知，在两种情况下， $\mathrm{Lng}(J_{1}^{\prime})\geq0$ 。

因为 $\mathrm{Lng}(\mathrm{Pred}(M))-1=j_{1}-1$ 且 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(M'))=\mathrm{TrMax}(M)$ ， $(\mathrm{Lng}(\mathrm{Pred}(M))-1)-\mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(M'))=j_{1}-1-\mathrm{TrMax}(M)<j_{1}-\mathrm{TrMax}(M)$ ，根据归纳假设 [64]，存在唯一的 $t\in T_{B}$ 使得 [65]：(1) $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M))=D_{M_{1,0}}t$ 。

（2）若 $\mathrm{Joints}(M)_{J_{1}^{\prime}}=0$ 或 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}}$ ，则 t 的每个单项分量都大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}}}0$ 。
（3）如果 $0 < \mathrm{Joints}(M)_{J_1'} < \mathrm{TrMax}(M)$ 且 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} > M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}}$ ，则 $t$ 的每个分量都大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{Joints}(M)_{J_1'}}}0$ 。

(4) 如果 $0 < \mathrm{Joints}(M)_{J_1'} = \mathrm{TrMax}(M)$ ，则 $t$ 的每个分量都大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}_{J_1'}} 0$ 。

$\mathrm{Joints}(M)_{J_1'} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_{J_1'}} - M_{1,0} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} - 1 - M_{1,0} \geq M_{0,j_1'} - 1 - M_{1,0} = M_{0,j_0'} - M_{1,0} = j_0'$ 。另外，根据可约性和系数的基本性质， $M_{0,j_1'} \geq M_{1,j_1'}$ 。

令 $j_{0}^{\prime}=0$ 或 $M_{0,j_{1}^{\prime}}=M_{1,j_{1}^{\prime}}$ 。

(2) 令 $\mathrm{Joints}(M)_{J_{1}^{\prime}}=0$ 或 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}}$ 。

t 的每个单项式分量均大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)}_{J_{1}^{\prime}}0}$ 。

令 $\mathrm{Joints}(M)_{J_{1}^{\prime}}=0$ 。

由于 $j_{1}^{\prime} \leq \text{Joints}(M)_{J_{1}^{\prime}} = 0$ ，因此 $j_{0}^{\prime} = 0 = \text{Joints}(M)_{J_{1}^{\prime}}$ 。

因为 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_{J_1'}} + 1 = M_{0,j_0'} + 1 = M_{0,j_1'}$ ，根据 $M$ 的强可接受性， $M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} \geq M_{1,j_1'}$ 。

如果 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}}$ ，则 $M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} \geq M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} \geq M_{0,j_1'} \geq M_{1,j_1'}$ 。

从上式可知，在两种情况下， $M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}}\geq M_{1,j_{1}^{\prime}}$ 。

如果 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}}$ ，则根据 $P$ 的定义， $M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} \geq M_{0,j_1'} \geq M_{1,J_1'}$ 。

从上式可知，在两种情况下，t 的每个单项式分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_{1}^{\prime}}}0$ 。

（3）若 $0 < \mathrm{Joints}(M)_{J_1'} < \mathrm{TrMax}(M)$ 且 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} > M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}}$ ，则 $t$ 的每个单项分量均大于或等于 $D_{M_{0,\mathrm{Joints}(M)_{J_1'}}}0$ ，且由于 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} \geq M_{0,j_1'} \geq M_{1,j_1'}$ ，因此 $t$ 的每个单项分量均大于或等于 $D_{M_{1,j_1'}}0$ 。

(4) 令 $0 < \text{Joints}(M)_{J_1'} = \text{TrMax}(M)$ 。

t 的每个单项分量都大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}}0$ 。

假设 $j_{0}^{\prime}=\mathrm{TrMax}(M)$ 会导致矛盾。

由于 $j_0' \neq 0$ ，因此有 $M_{1,j_1'} = M_{0,j_1'} = M_{0,j_0'} + 1 = M_{0,\mathrm{TrMax}(M)} + 1 = M_{1,\mathrm{TrMax}(M)} + 1$ 。

$M_{0,j_1'} \leq M_{0,\text{FirstNodes}(M)_0} = M_{0,\text{Joints}(M)_0} + 1 \leq M_{0,\text{TrMax}(M)} + 1 = M_{0,j_1'},$ 因此 $M_{0,\text{FirstNodes}(M)_0} = M_{0,\text{TrMax}(M)} + 1 = M_{0,j_1'}$ , 又由于 $M$ 的强可接受性, $M_{1,\text{FirstNodes}(M)_0} \geq M_{1,j_1'} = M_{1,\text{TrMax}(M)} + 1$ 。此外, 由于 $\text{FirstNodes}(M)_0 = \text{TrMax}(M) + 1$ , 我们有 $(0, \text{TrMax}(M)) < _M^{\text{Next}} (0, \text{TrMax}(M) + 1)$ , 这与 $\text{TrMax}$ 的定义相矛盾。

由上可知， $j_{0}^{\prime}<\mathrm{TrMax}(M)$ 。

由于 $M_{1,\mathrm{TrMax}(M)} = M_{0,\mathrm{TrMax}(M)} \geq M_{0,j_0'} + 1 = M_{0,j_1'} \geq M_{1,j_1'}$ ，因此 $t$ 的每个单项分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_1'}} 0$ 。

由上可知，在所有情况下，t 的每个单项分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_{1}^{\prime}}}0$ 。因此，根据子表示的单项分量与 Pred 的关系（1）、（3）和（4），存在唯一的 $t^{\prime} \in T_{B}$ 满足：

(1) $\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}t'$ 。
(2) $t'$ 的每个单项分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_1'}}0$ 。

设 $0 < j_{0}^{\prime} < \mathrm{TrMax}(M)$ 且 $M_{0,j_{1}^{\prime}} > M_{1,j_{1}^{\prime}}$ 。

$\mathrm{Joints}(M)_{J_1'} \geq j_0' > 0$ 。

（2）若 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Pred}(M))_{J_1'}} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}}$ ，则 $t$ 的每个单项分量都大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}}}0$ 。根据 $P$ 的定义， $M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}}\geq M_{0,j_0'} = M_{1,j_0'}$ 因此 $t$ 的每个单项分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_0'}}0$ 。

(3) 令 $0 < \mathrm{Joints}(M)_{J_1'} < \mathrm{TrMax}(M)$ 且 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} > M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}}$ 。

t 的每个单项式分量都大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{Joints}(M)_{J_{1}^{\prime}}}}0$ 。

如果 $j_0' = \mathrm{Joints}(M)_{J_1'}$ ，则由于 $M$ 的强可接受性， $M_{1,\mathrm{Joints}(M)_{J_1'}} \geq M_{1,j_0'}$ 。

如果 $j_0' < \mathrm{Joints}(M)_{J_1'}$ ，则由于可约性和系数的基本性质， $M_{1,\mathrm{Joints}(M)_{J_1'}} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_{J_1'}} > M_{0,j_0'} = M_{1,j_0'}$ 。

由上可知，无论哪种情况，t 的每个单项式分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}$ 0。

(4) 若 $0 < \mathrm{Joints}(M)_{J_1'} = \mathrm{TrMax}(M)$ ，则 $t$ 的每个单项式分量均大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}} 0$ ，且由于 $M_{1,\mathrm{TrMax}(M)} = M_{0,\mathrm{TrMax}(M)} > M_{0,j_0'} = M_{1,j_0'}$ ，故 $t$ 的每个单项式分量均大于或等于 $D_{M_{1,j_0'}} 0$ 。

由上可知，无论哪种情况，t 的每个单项式分量均大于或等于 $D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}0$ 。因此，由子表达式的单项分量与 Pred 的关系（2）、（3）和（4），存在唯一的 $t^{\prime} \in T_{B}$ 使得：

(1) Trans(M) = $D_{M_{1,0}}t'$ 。

（3）若 $0 < j_0' < \mathrm{TrMax}(M)$ 且 $M_{0,j_1'} > M_{1,j_1'}$ ，则 $t'$ 的每个单项分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_0'}} 0$ 。

令 $0 < j_{0}^{\prime} = \mathrm{TrMax}(M)$ 。

由于 $\mathrm{TrMax}(M) \geq \mathrm{Joints}(M)_{J_1'} \geq j_0' = \mathrm{TrMax}(M)$ ， $\mathrm{Joints}(M)_{J_1'} = \mathrm{TrMax}(M)$ 。

(4) 由于 $0 < \mathrm{Joints}(M)_{J_1'} = \mathrm{TrMax}(M), t$ 的每个单项式分量都大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}} 0$ ，且 $M_{1,\mathrm{TrMax}(M)} = M_{1,j_0'}$ 。

由上可知，t 的每个单项式分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}0$ 。因此，由子表示的单项分量与 Pred 的关系（3）和（4），存在唯一的 $t^{\prime} \in T_{B}$ 使得：

(1) Trans(M) = $D_{M_{1,0}}t'$ 。

（4）若 $0 < j_0' = \mathrm{TrMax}(M)$ ，则 $t'$ 的每个单项分量都大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}} 0$ 。

证毕。

定理 21.4.98 条件 (V) 下最右父节点的基本性质。

对于任意 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ 和 $m \in \mathbb{N}$ , 令 $j_1 := Lng(M) - 1$ , 令 $J_1 := Lng(Br(M)) - 1$ , 令 $J_1 \geq 0$ , 令 $j_0' := Joints(M)_{J_1}$ , 令 $j_1' := FirstNodes(M)_{J_1}$ , 且令 $M' := (M_j)_{j=m}^{j_1}$ 。然后, " $m < j_0'$ " 或 " $m = j_0'$ 且 $M_{0,j_1'} = M_{1,j_1'}$ 和 $Br(M)$ 是降序的, 则存在唯一的 $j_0 \in \mathbb{N}$ 使得:

(1) $(0,j_0) <_{M}^{Next}(0,j_1)$ 。
(2) $j_{0}^{\prime}\leq j_{0}$ 。
(3) $m < j_0$ 或 $M_{0,j_1} = M_{1,j_1}$ 。
(4) 如果 $m = j_{0}$ ，则 $j_{0} < TrMax(M)$ 。

证明：

设 $j_{1}^{\prime}=j_{1}$ 。

设 $j_{0} := j_{0}^{\prime}$ 。

如果 $m < j_{0}^{\prime}$ ，则 $m < j_{0}^{\prime} = j_{0}$ 。

如果 $m = j_0'$ ，则根据假设 $M_{0,j_1} = M_{0,j_1'} = M_{0,j_0'} + 1 = M_{1,j_0'} + 1 = M_{1,j_1'} = M_{1,j_1}$ 。

由上可知，在两种情况下， $m < j_{0}$ 或 $M_{0,j_{1}} = M_{1,j_{1}}$ 成立。

设 $j_{1}^{\prime}<j_{1}$ 。

由于 P 的每个分量都是非复合项，因此 $\mathrm{Br}(M)_{J_{1}}$ 不是复合项，所以 $(0,0)\leq_{\mathrm{Br}(M)_{J_{1}}}$ $(0,j_{1}-j_{1}^{\prime})$ ，即 $(0,j_{1}^{\prime})\leq_{M}(0,j_{1})$ 。

由于 $m \leq j_{0}^{\prime} < j_{1}^{\prime} \leq j_{0}$ ，因此 $j_{0}^{\prime} < j_{0}$ 且 $m < j_{0}$ 。

由于 $m \leq j_0$ 且 $(0, j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0, j_1)$ ，因此 $(0, j_0 - m) <_{M'}^{\mathrm{Next}}(0, j_1 - m)$ 。

$\mathrm{TrMax}(M) + 1 = \mathrm{FirstNodes}(M)_0$ ，根据 $\mathrm{TrMax}$ 的定义， $(1,\mathrm{TrMax}(M)) < _M^{\mathrm{Next}}(1,\mathrm{FirstNodes}(M)_0)$ 不成立。

如果 $m = j_{0}$ ，则表明 $j_{0} < \mathrm{TrMax}(M)$ 。由于 $m < j_{0}$ 或 $M_{0,j_{1}} = M_{1,j_{1}}$ ， $m = j_{0}$ ，因此 $M_{0,j_{1}} = M_{1,j_{1}}$ 。

根据可约性和系数的基本性质， $M_{1,j_{0}} \leq M_{0,j_{0}} = M_{0,j_{1}} - 1 = M_{1,j_{1}} - 1 < M_{1,j_{1}}$ 。

由于 $(0,j_{0})<_{M}^{\text{Next}}(0,j_{1})$ 且 $M_{1,j_{0}}<M_{1,j_{1}}$ ， $(1,j_{0})<_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ 。

由于 $m \leq j_0' \leq j_0, m = j_0'$ 。因此， $M_{0,j_1'} = M_{1,j_1'}$ 且 $\mathrm{Br}(M)$ 为降序。由于 $(1, \mathrm{TrMax}(M)) < _M^{\mathrm{Next}}(1, \mathrm{FirstNodes}(M)_0)$ 不成立，因此 $M_{0,\mathrm{TrMax}(M)} \geq M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_0}$ 或 $M_{1,\mathrm{TrMax}(M)} \geq M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_0}$ 。

令 $M_{0,\mathrm{TrMax}(M)}\geq M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_0}$

由于 P 各分量左端的单调性, $M_{0,\mathrm{TrMax}(M)} \geq M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{0}} \geq M_{0,j_{1}^{\prime}}$ , 因此 $(0,\mathrm{TrMax}(M)) \leq_{M}(0,j_{1}^{\prime})$ 并非如此，因此 $j_{0}^{\prime} < \mathrm{TrMax}(M)$ 。

令 $M_{0,\mathrm{TrMax}(M)} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{0}}$ 且 $M_{1,\mathrm{TrMax}(M)} \geq M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{0}}$ 。

由于 $\mathrm{Br}(M)$ 降序排列， $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_0} > M_{0,j_1'}$ 或 $M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_0} \geq M_{1,j_1'}$ 。

如果 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{0}} > M_{0,j_{1}^{\prime}}$ ，则 $M_{0,\mathrm{TrMax}(M)} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{0}} > M_{0,j_{1}^{\prime}}$ ，因此 $(0,\mathrm{TrMax}(M)) \leq_{M}(0,j_{1}^{\prime})$ ，进而 $j_{0}^{\prime} < \mathrm{TrMax}(M)$ 。

如果 $M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_0} \geq M_{1,j_1'}$ ，则 $M_{1,\mathrm{TrMax}(M)} \geq M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_0} \geq M_{1,j_1'}$ ，因此 $(1, \mathrm{TrMax}(M)) \leq_M (1,j_1')$ ，进而 $j_0' < \mathrm{TrMax}(M)$ 。

由上可知，在两种情况下， $j_{0}^{\prime}<\mathrm{TrMax}(M)$ 。

由上可知，在两种情况下， $j_{0}=j_{0}^{\prime}<\mathrm{TrMax}(M)$ 。

证毕。

定理 21.4.99 条件 (V) 下末端切片与 Trans 的关系。

对于任意 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ 和 $m \in \mathbb{N}$ , 令 $j_1 := Lng(M) - 1$ , 令 $J_1 := Lng(Br(M)) - 1$ , 令 $J_1 \geq 0$ , 令 $j_0' := Joints(M)_{J_1}$ , 令 $j_1' := FirstNodes(M)_{J_1}$ , 令 $M' := (M_j)_{j=m}^{j_1}$ 。那么, " $m < j_0'$ " 或 " $m = j_0'$ 且 $M_{0,j_1'} = M_{1,j_1'}$ 且 $Br(M)$ 是降序的, 则存在唯一的 $t_1 \in T_B$ 使得:

(1) $Trans(M)=D_{M_{1,0}}t_{1}$ 。
(2) $Trans(M') = D_{M_{1,m}}t_1$ 。

证明：

下文中，FirstNodes 和 Joints 的单调性将不作任何说明。

由于可约化为切片的遗传性和单项性， $M'$ 是可约化为单项的；由于 Trans 保持单项性，因此 $\mathrm{Trans}(M)$ 和 $\mathrm{Trans}(M')$ 也是单项的。

由于 Trans 最左分量的基本性质，存在唯一的 $t_{1} \in T_{PS}$ 使得 $\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}} t_{1}$ 。

由于 FirstNodes、TrMax 和 Joints 之间的关系，对于任意 $J \in \mathbb{N}$ ，如果 $J \leq J_1$ ，则 $\mathrm{Joints}(M)_J \leq \mathrm{TrMax}(M) < \mathrm{FirstNodes}(M)_J$ 。由于 “ $m < j_0'$ ” 或 “ $m = j_0'$ 且 $M_{0,j_1'} = M_{1,j_1'}$ 且 $\mathrm{Br}(M)$ 按降序排列”，两种情况下 $m \leq j_0'$ 。

由于可约性与系数之间的关系，M 和 $M'$ 满足条件 (A) 和 (B)。由于 M 满足条件 (A) 和 (B)，若对于任意 $j \in N$ ， $j \leq \operatorname{TrMax}(M)$ ，则 $M_j = (M_{1,0} + j, M_{1,0} + j)$ 。由于 M 满足条件 (A)，则 $M_{0,j_0} + 1 = M_{0,j_1}$ ，且对于任意 $J \in N$ ，若 $J \leq J_1$ ，则 $M_{0,\text{FirstNodes}(M)_J} = M_{0,\text{Joints}(M)_J} + 1 = M_{1,0} + \text{Joints}(M)_J + 1$ 。具体来说， $M_{0,j_1'} = M_{0,j_0'} + 1 = M_{1,0} + j_0' + 1$ 。根据条件 (V) 下最右父节点的基本性质，存在唯一的 $j_0 \in N$ 使得：

(1) $(0,j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_1)$ 。
(2) $j_{0}^{\prime}\leq j_{0}$ 。
(3) $m < j_{0}$ 或 $M_{0,j_1} = M_{1,j_1}$ 。
(4) 如果 $m = j_{0}$ ，则 $j_{0} < \mathrm{TrMax}(M)$ 。

我们利用数学归纳法证明， $j_{1}-\mathrm{TrMax}(M)$ 上的 $\mathrm{Trans}(M')=D_{M_{1,m}}t_{1}$ 。设 $j_{1}-\mathrm{TrMax}(M)=1$ 。

\[
M = \big ((j, j) \big) _ {j = M _ {1, 0}} ^ {M _ {1, 0} + \mathrm{TrMax} (M)} \oplus_ {\mathbb {N} ^ {2}} M _ {m _ {1}} \circ
\]

$J_{1} = 0$ 且 $j_1' = j_1$ 和 $j_0' = j_0$ 。因此， $M_{0,j_1} = M_{0,j_1'} = M_{1,0} + j_0' + 1 \leq M_{1,0} + \mathrm{TrMax}(M) + 1 = M_{0,\mathrm{TrMax}(M)} + 1$ 。

若 $m < j_0$ ，则 $M_{0,j_1} = M_{1,0} + j_0' + 1 = M_{1,0} + j_0 + 1 > M_{1,0} + m + 1 = M_{0,m} + 1$ ，因此Pred是具有公差(1,1)的对序列Trans的基本性质。由(1)、(2)和(3)可知， $\mathrm{Trans}(M')$ 是将 $\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}t_1$ 的左端替换为 $D_{M_{1,m}}$ 。

设 $m = j_{0}$ ， $M_{0,j_{1}} = M_{1,j_{1}}$ 。

由于可约性和系数的基本性质， $M_{1,j_{0}} \leq M_{0,j_{0}} = M_{0,j_{1}} - 1 = M_{1,j_{1}} - 1 < M_{1,j_{1}}$ ，因此 $(1,j_{0}) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ ，又由于 $(1,\mathrm{TrMax}(M)) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ 并非如此， $j_{0} < \mathrm{TrMax}(M)$ 。

根据对数序列 Trans 的基本性质 (2)，其中 $m = j_{0} < \mathrm{TrMax}(M)$ 且 Pred 具有共同差 (1,1)， $\mathrm{Trans}(M')$ 可以通过将 $\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}} t_{1}$ 的左端替换为 $D_{M_{1,m}}$ 得到。

由上可知，在两种情况下， $\mathrm{Trans}(M')=D_{M_{1,m}}t_{1}$ 。

令 $j_{1}-\mathrm{TrMax}(M)>1$ 。

Trans 的递归定义中引入的符号是针对 M 和 $M'$ 定义的，并且 M 和 $M'$ 写在右边，以清楚地表明这是对 M 和 $M'$ 的应用。

$j_{1}^{M}=j_{1}$ 且 $j_{1}^{M'}=j_{1}-m$ ，且由于 $(0,j_{0})<_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1})=(0,j_{1}^{M})$ 且 $(0,j_{0}-m)<_{M'}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1}-m)=(0,j_{1}^{M'})$ ，因此 $j_{0}^{M}=j_{0}$ 且 $j_{0}^{M'}=j_{0}-m$ 。具体而言， $j_{1}^{M}-j_{0}^{M}=j_{1}-j_{0}=j_{1}^{M'}-j_{0}^{M'}$ 。此外， $M_{j_{0}^{M}}=M_{j_{0}}=M_{j_{0}^{M'}}'$ ，且 $M_{j_{1}^{M}}=M_{j_{1}}=M_{j_{1}^{M'}}'$ 。由于 M 满足条件 (A)，因此 $M_{j_{0}^{M'}}'+1=M_{0,j_{0}^{M}}+1=M_{0,j_{1}^{M}}=M_{0,j_{1}^{M'}}'$ 。

$j_{1}^{M} \geq j_{1}^{M'} = j_{1} - m > \mathrm{TrMax}(M) + 1 - m \geq 1$ ，因此 $\mathrm{Pred}(M)$ 和 $\mathrm{Pred}(M')$ 都不是零项，且 Trans 保持零项性质， $t_{1}^{M} = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) \neq 0$ 且 $t_{1}^{M'} = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M')) \neq 0$ 。因此，条件 (I) 至 (VI) 对 M 和 $M'$ 均有意义。

如果 $m = j_0$ 且 $M_{0,j_1} = M_{1,j_1}$ ，那么如前所示， $j_0 < \mathrm{TrMax}(M)$ ，因此 $M_{1,j_0^M} + 1 = M_{1,j_0} + 1 = M_{0,j_0} + 1 = M_{0,j_1} = M_{1,j_1} = M_{1,j_1^M}$ 且 $M_{1,j_0^M'}' + 1 = M_{1,j_0^M} + 1 = M_{1,j_1^M} = M_{1,j_1^M'}'$ 。此外， $j_1^M - j_0^M = j_1^{M'} - j_0^{M'}$ 且 $j_1 - j_0 > (\mathrm{TrMax}(M) + 1) -$ 由于 $j_0 > 1$ ， $M$ 和 $M'$ 满足条件 (V)。

如果 $m < j_0$ ，则 $j_0^M = j_0 > m \geq 0$ 且 $j_0^{M'} = j_0 - m > 0$ ，因此由于可接受性对切片的遗传性， $j_0^M$ 的 $M$ 可接受性等价于 $j_0^{M'}$ 的 $M'$ 可接受性。此外，由于 $M_{j_0^M} = M'_{j_0^{M'}}$ 且 $M_{j_1^M} = M'_{j_{1}^{M'}}$ ，因此 $M$ 和 $M'$ 满足相同的条件 (I) 至 (VI)。

综上所述，无论哪种情况，M 和 $M'$ 都满足相同的条件 (I) 至 (VI)。

令 $J_0 := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M)))$ 。由于切片的约化性遗传性和初始切片的单项遗传性， $\mathrm{Pred}(M)$ 是约化的且是单项的。由于 $\mathrm{TrMax}(M) < j_1 - 1 = j_1' - 1$ ， $\mathrm{Lng}(\mathrm{Pred}(M)) - 1 = j_1 - 1 > \mathrm{TrMax}(M) = \mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(M))$ ， $J_0 \geq 0$ 。若 $j_1' = j_1$ ，则 $\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M)) = (\mathrm{Br}(M)_J)_{J=0}^{J_1-1}$ ，且尤其 $J_0 = J_1 - 1$ 。若 $j_1' < j_1$ ，则 $\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M)) = (\mathrm{Br}(M)_J)_{J=0}^{J_1-1} \oplus_{T_{\mathrm{PS}}} ((M_j)_{j=j_1'}^{j_1-1})$ ，且尤其 $J_0 = J_1$ 。

因此，在两种情况下 $J_{0} \leq J_{1}$ , FirstNodes(Pred(M)) = (FirstNodes(M) $_{J}$ ) $_{J=0}^{J_{0}}$ 和 Joints(Pred(M)) = (Joints(M) $_{J}$ ) $_{J=0}^{J_{0}}$ 。

这表示“ $m < \text{Joints}(\text{Pred}(M'))_{J_0}$ ”或“ $m = \text{Joints}(\text{Pred}(M'))_{J_0}$ 且 $M_{0,\text{FirstNodes}(\text{Pred}(M'))_{J_0}} = M_{1,\text{FirstNodes}(\text{Pred}(M'))_{J_0}}$ 且 $\text{Br}(\text{Pred}(M))$ 按降序排列。”如果 $m < j_0'$ ，则 $m < j_0' = \text{Joints}(M)_{J_1} \leq \text{Joints}(M)_{J_0} = \text{Joints}(\text{Pred}(M))_{J_0}$ 。

令 $m = j_{0}^{\prime}$ 。

假设 $M_{0,j_{1}^{\prime}} = M_{1,j_{1}^{\prime}}$ 且 $\mathrm{Br}(M)$ 按降序排列。

如果 $j_{0}^{\prime}<\mathrm{Joints}(M)_{J_{0}}$ ，则 $m=j_{0}^{\prime}<\mathrm{Joints}(M)_{J_{0}}=\mathrm{Joints}(\mathrm{Pred}(M))_{J_{0}}$ 。

令 $j_{0}^{\prime}=\mathrm{Joints}(M)_{J_{0}}$ 。

由于 M 满足条件 (A)， $M_{0,\mathrm{FristNodes}(M)_{J_{0}}} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_{J_{0}}} + 1 = M_{0,j_{0}^{\prime}} + 1 = M_{0,j_{1}^{\prime}}$ 。因此，根据 $\mathrm{Br}(M)$ 的降序排列， $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{0}}} \leq M_{0,j_{1}^{\prime}} = M_{1,j_{1}^{\prime}} \leq M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{0}}}$ 。另一方面，由于可约性和系数的基本性质， $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{0}}} \geq M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{0}}}$ 。

由上可知， $\mathrm{Pred}(M)_{0,\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Pred}(M))_{J_0}} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0}} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0}} = \mathrm{Pred}(M)_{1,\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Pred}(M))_{J_0}}$ 。

如果 $j_1' = j_1$ ，则 $\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M)) = (\mathrm{Br}(M)_J)_{J=0}^{J_1-1}$ ，因此 $((\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M))_J)_0)_{J=0}^{J_0} = ((\mathrm{Br}(M)_J)_0)_{J=0}^{J_1-1}$ ，因此由于 $\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M))$ 具有下降性质，因此 $\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M))$ 也是下降的。

如果 $j_1' < j_1$ ，则 $\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M)) = (\mathrm{Br}(M)_J)_{J=0}^{J_1-1} \oplus_{T_{\mathrm{PS}}} ((M_j)_{j=j_1'}^{j_1-1})$ 来自 $((\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M))_J)_0)_{J=0}^{J_0} = ((\mathrm{Br}(M)_J)_0)_{J=0}^{J_1-1} \oplus_{T_{\mathrm{PS}}} ((M_{j_1'}) ) = ((\mathrm{Br}(M)_J)_0)_{J=0}^{J_1}$ ，由于 $\mathrm{Br}(M)$ 本身具有下降性质，因此 $\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M))$ 也是下降的。

因此，在这两种情况下， $\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M))$ 都是下降的。

从上式可知，在两种情况下，“ $m < \text{Joints}(\text{Pred}(M'))_{J_0}$ ”或“ $m = \text{Joints}(\text{Pred}(M'))_{J_0}$ 且 $M_{0,\text{FirstNodes}(\text{Pred}(M'))_{J_0}} = M_{1,\text{FirstNodes}(\text{Pred}(M'))_{J_0}}$ 且 $\text{Br}(\text{Pred}(M))$ 均按降序排列。”

根据归纳假设， $t_{1}^{M} = \text{Trans}(\text{Pred}(M))$ 是单项的，通过将其左端替换为 $D_{M_{1,m}}$ ，我们得到 $t_{1}^{M'} = \text{Trans}(\text{Pred}(M'))$ 。

由于 $s_{1}^{M}D_{v^{M}}t_{2}^{M}b_{1}^{M}=s_{1}^{M}c_{1}^{M}b_{1}^{M}=t_{1}^{M}$ 且 $s_{1}^{M^{\prime}}D_{v^{M^{\prime}}}t_{2}^{M^{\prime}}b_{1}^{M^{\prime}}=s_{1}^{M^{\prime}}c_{1}^{M^{\prime}}b_{1}^{M^{\prime}}=t_{1}^{M^{\prime}}$ ，因此 $s_{1}^{M}D_{v^{M}}$ 和 $s_{1}^{M^{\prime}}D_{v^{M^{\prime}}}$ 除左端外完全相同，且 $t_{2}^{M}b_{1}^{M}=t_{2}^{M^{\prime}}b_{1}^{M^{\prime}}$ 。由于序数项左右括号个数相等， $b_{1}^{M}=b_{1}^{M^{\prime}}$ ，因此 $t_{2}^{M}=t_{2}^{M^{\prime}}$ 。

由于 M 和 $M'$ 满足相同的条件 (I) 至 (VI)，且 $M_{j_{0}^{M}} = M'_{j_{0}^{M'}}$ 、 $M_{j_{1}^{M}} = M'_{j_{1}^{M'}}$ 和 $t_{2}^{M} = t_{2}^{M'}$ ，根据 $c_{2}^{M}$ 和 $c_{2}^{M'}$ 的定义，存在唯一的 $t' \in T_{B}$ 使得 $c_{2}^{M} = D_{v^{M}}t'$ 和 $c_{2}^{M'} = D_{v^{M'}}t'$ 。

$D_{M_{1,0}}t_{1}=\mathrm{Trans}(M)=s_{1}^{M}c_{2}^{M}b_{1}^{M}=s_{1}^{M}D_{v^{M}}t^{\prime}b_{1}^{M}$ 且 $\mathrm{Trans}(M^{\prime})=s_{1}^{M^{\prime}}D_{v^{M^{\prime}}}t^{\prime}b_{1}^{M^{\prime}}$ ，因此 $D_{M_{1,0}}t_{1}$ 与 $\mathrm{Trans}(M^{\prime})$ 除左端外完全相同。因此，根据 Trans 最左单项式分量左端的基本性质， $\mathrm{Trans}(M^{\prime})=D_{M_{1,m}}t_{1}$ 。

证毕。

现在，回到正题。

在条件 (II) 或 (IV) 下，末端段与 Trans 关系的证明：

下文中，我们利用 FirstNodes 和 Joints 的单调性，无需任何预知。

设 $j_{1}^{\prime} := \text{FirstNodes}(M)_{J_{1}}$ 。由 FirstNodes、TrMax 和 Joints 之间的关系可知，对于任意 $J \in N$ ，若 $J \leq J_{1}$ ，则 $\text{Joints}(M)_{J} \leq \text{TrMax}(M) < \text{FirstNodes}(M)_{J}$ 。

由可约性与系数的关系可知，M 满足条件 (A) 和 (B)。因为 M 满足条件 (A) 和 (B)，如果对于任意 $j \in N, j \leq \mathrm{TrMax}(M)$ ，则 $M_j = (M_{1,0} + j, M_{1,0} + j)$ 。另外，因为 M 满足条件 (A)，对于任意 $J \in N$ ，如果 $J \leq J_1$ ，则 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_J} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_J} + 1 = M_{1,0} + \mathrm{Joints}(M)_J + 1$ 。特别地， $N_{0,0}' = M_{0,j_0'} = M_{1,0} + j_0' = M_{0,j_1'} - 1$ 。

根据条件 (V) 下末端段与 Trans 的关系，存在唯一的 $t_{1} \in T_{PS}$ 使得：

(1) $\operatorname{Trans}(N) = D_{M_{1,0}}t_1$ 。
(2) $\mathrm{Trans}(N') = D_{M_{1,j_0'}}t_1$ 。

证明 $t_{1}$ 的每个单项式分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}+1}0$ 。

令 $\mathrm{TrMax}(M)=m_{1}$ 。

如前所述， $t_{1}=D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}}0$ 。由于 $\mathrm{TrMax}(M)>j_{0}^{\prime},\quad M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}>M_{1,j_{0}^{\prime}}$ ，因此 $t_{1}=D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}}0$ 的唯一单项分量 $D_{M_{1,\mathrm{TrMax}(M)}}0$ 大于或等于 $D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}+1}0$ 。

令 $\mathrm{TrMax}(M) < m_{1}$ 。

由于 $J_{0}>0$ 、 $\mathrm{Joints}(M)_{J_{0}-1}\geq j_{0}^{\prime}>0$ ，且 N 强可接受，根据强单项式性下子表示的单项分量的基本性质，有如下成立：

(2) 若 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0 - 1}} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0 - 1}}$ ，则 $t_1$ 的每个单项分量都大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0 - 1}}}0$ 。
(3) 如果 $0 < \mathrm{Joints}(M)_{J_0 - 1} < \mathrm{TrMax}(M)$ 且 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0 - 1}} > M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0 - 1}}$ 则 $t_1$ 的每个单项分量均大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{Joints}(M)_{J_0 - 1}}}0$ 。
（4）如果 $0 < \mathrm{Joints}(M)_{J_0 - 1} = \mathrm{TrMax}(M)$ ，则 $t_1$ 的每个单项分量均大于或等于 $D_{M_1,\mathrm{TrMax}(M)}0$ 。
(2) 令 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0 - 1}} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0 - 1}}$ 。

$t_{1}$ 的每个单项分量均大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{0}-1}}}0$ 。

由于可约性和系数的基本性质， $M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0 - 1}} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0 - 1}} \geq M_{0,j_1'} = M_{0,j_0'} + 1$ ，因此 $t_1$ 的每个单项式分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_0'} + 1}0$ 。

(3) 假设 $0 < \mathrm{Joints}(M)_{J_0 - 1} < \mathrm{TrMax}(M)$ 且 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0 - 1}} > M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0 - 1}}$ 。

$t_{1}$ 的每个单项式分量都大于或等于 $D_{M_{1,\mathrm{Joints}(M)_{J_{0}-1}}}0$ 。

根据 LastStep 的定义, $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}} > M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}}$ , 因此 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}} > M_{0,j_1'}$ 。因此, $M_{1,\mathrm{Joints}(M)_{J_0-1}} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_{J_0-1}} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0-1}} - 1 \geq M_{0,j_1'} = M_{0,j_0'} + 1$ , 所以 $t_1$ 的每个单例分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_0'} + 1}0$ 。

(4) 令 $0 < \mathrm{Joints}(M)_{J_0 - 1} = \mathrm{TrMax}(M)$ 。

$t_{1}$ 的每个单例分量都大于或等于 $D_{M_{1},\mathrm{TrMax}(M)}0$ 。

假设 $j_{0}^{\prime}=\mathrm{TrMax}(M)$ 会导致矛盾。

由于 $\mathrm{Joints}(M)_{J_{0}-1} = \mathrm{TrMax}(M) = j_{0}^{\prime} \leq \mathrm{Joints}(M)_{J_{0}-1}$ ，因此 $\mathrm{Joints}(M)_{J_{0}-1} = \mathrm{TrMax}(M) = j_{0}^{\prime}$ 。因此， $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{0}-1}} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_{J_{0}-1}} + 1 = M_{0,j_{0}^{\prime}} + 1 = M_{0,j_{1}^{\prime}}$ ，所以根据 LastStep 的定义， $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{0}-1}} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{0}-1}}$ 。

$\mathrm{Joints}(M)_0 = \mathrm{TrMax}(M) = \mathrm{Joints}(M)_{J_0 - 1} \leq \mathrm{Joints}(M)_0$ ，所以 $\mathrm{Joints}(M)_0 = \mathrm{TrMax}(M) = \mathrm{Joints}(M)_{J_0 - 1}$ 。因此， $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_0} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_0} + 1 = M_{0,\mathrm{TrMax}(M)} + 1$ 。

另外， $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_0} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_0} + 1 = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_{J_0 - 1}} + 1 = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0 - 1}}$ ，因此从 $M$ 的降序排列， $M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_0} \geq M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0 - 1}} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_0 - 1}} = M_{0,\mathrm{Joints}(M)_0} + 1 = M_{0,\mathrm{TrMax}(M)} + 1 = M_{1,\mathrm{TrMax}(M)} + 1$ 。

$\operatorname{FirstNodes}(M)_0 = \operatorname{TrMax}(M) + 1$ ，且由于 $M_{0,\operatorname{FirstNodes}(M)_0} = M_{0,\operatorname{TrMax}(M)} + 1$ 且 $M_{1,\operatorname{FirstNodes}(M)_0} \geq M_{1,\operatorname{TrMax}(M)} + 1$ ，因此有 $(0, \operatorname{TrMax}(M)) <_{M}^{\operatorname{Next}}(0, \operatorname{TrMax}(M) + 1)$ ，这与 $\operatorname{TrMax}$ 的定义相矛盾。

由上可知， $j_{0}^{\prime}<\mathrm{TrMax}(M)$ 。

因此， $M_{1,\mathrm{TrMax}(M)} = M_{0,\mathrm{TrMax}(M)} \geq M_{0,j_0'} + 1$ ，因此 $t_1$ 的每个单项分量都大于或等于 $D_{M_{0,j_0'} + 1}0$ 。

由上可知，无论哪种情况， $t_{1}$ 的每个单项分量都大于或等于 $D_{M_{0,j_{0}^{\prime}} + 1}0$ 。

根据条件 (V) 下最右父元素的基本性质，存在唯一的 $m_{0} \in N$ 满足：

(1) $(0,m_{0})<_{N}^{\text{Next}}(0,m_{1})$ 。
(2) $j_{0}^{\prime}\leq m_{0}$ 。
(3) $j_{0}^{\prime}<m_{0}$ 或 $N_{0,m_{1}}=N_{1,m_{1}}$ 。

(4) 若 $j_{0}^{\prime}=m_{0}$ ，则 $m_{0}<\mathrm{TrMax}(N)$ 。

Trans 的递归定义中引入的符号是针对 M 和 $M'$ 定义的，为了明确这是对 M 和 $M'$ 的应用，我们将 M 和 $M'$ 分别写在它们的右肩上。

由于 $j_{1}^{M} = j_{1} > m_{1} > m_{0}\geq j_{0}^{\prime} > 0$ ， $j_{1}^{M} > 2$ ，因此 $\operatorname {Pred}(M)$ 不是零项。由于Trans为零项， $t_1^M = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M))\neq 0$ ，因此条件(I)至(VI)对 $M$ 有意义。

由于 $j_{1}^{M^{\prime}} = j_{1} - j_{0}^{\prime} > m_{1} - j_{0}^{\prime} > m_{0} - j_{0}^{\prime}\geq 0$ ， $j_{1}^{M^{\prime}} > 1$ ，因此 $\mathrm{Pred}(M^{\prime})$ 不是零项。由于Trans为零项， $t_1^{M'} = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M'))\neq 0$ ，因此条件(I)至(VI)对 $M^{\prime}$ 有意义。

$j_{1}^{\prime}\leq j_{1}$ 且 P 每个分量的非复项性质意味着 $(0,j_{1}^{\prime})\leq_{M}(0,j_{1})$ ，且由于 $(0,j_{0}^{\prime})<_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1}^{\prime}),\quad j_{0}^{\prime}\leq j_{0}^{M}\circ(0,j_{0}^{M})<_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1}^{M})=(0,j_{1})$ ，即 $(0,j_{0}^{M}-j_{0}^{\prime})<_{M^{\prime}}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1}-j_{0}^{\prime})=(0,j_{1}^{M^{\prime}})$ ，因此 $j_{0}^{M^{\prime}}=j_{0}^{M}-j_{0}^{\prime}$ 。

这里，暂设 $j_{1}^{\prime}=j_{1}$ 。

$j_{1}^{M}=j_{1}=j_{1}^{\prime}$ 。由于 $(0,j_{0}^{\prime})<_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1}^{\prime})=(0,j_{1}^{M})$ ， $j_{0}^{M}=j_{0}^{\prime}$ 。此外，由于 $0<j_{0}^{\prime}<\mathrm{TrMax}(M)$ ，根据TrMax的定义， $j_{0}^{M}$ 不满足M条件，且 $j_{-1}^{M}=0$ 。另外，由于 $M_{0,j_{1}^{\prime}}>M_{1,j_{1}^{\prime}}$ ， $M_{1,j_{0}^{M}}=M_{1,j_{0}^{\prime}}=M_{0,j_{0}^{\prime}}=M_{0,j_{1}^{\prime}}-1\geq M_{1,j_{1}^{\prime}}=M_{1,j_{1}^{M}}$ 。

由于 $j_{0}^{M}$ 不满足 M 条件，且 $M_{1,j_{0}^{M}} \geq M_{1,j_{1}^{M}}$ ，因此 M 满足条件 (IV)。此外，由于 $s_{1}$ 和 $b_{1}$ 之间存在空性和基点关系， $s_{1}^{M} = ()$ ， $D_{v^{M}} t_{2}^{M} = c_{1}^{M} = t_{1}^{M}$ ，且 $b_{1}^{M} = ()$ 。

$j_{1}^{M'} = j_{1} - j_{0}' = j_{1}' - j_{0}'$ 且 $j_{0}^{M'} = j_{0}^{M'} - j_{0}' = 0$ 。因此， $j_{0}^{M'}$ 是 $M'$ 可接受的，且 $j_{-1}^{M'} = j_{0}^{M'} = 0$ 。又，由于 $M_{0,j_{1}'} > M_{1,j_{1}'}$ ， $M_{1,j_{0}^{M'}}' = M_{1,0}' = M_{1,j_{0}'} = M_{0,j_{0}'} = M_{0,j_{1}'} - 1 \geq M_{1,j_{1}'} = M_{1,j_{1}} = M_{1,j_{1}'-j_{0}'}' = M_{1,j_{1}^{M'}}'$ 。由于 $j_{0}^{M'}$ 是 $M'$ 容许的，且 $M_{1,j_{0}^{M'}}' \geq M_{1,j_{1}^{M'}}'$ ，因此 M 满足条件 (III)。另外，由于 $s_{1}$ 和 $b_{1}$ 为空且为基点关系， $s_{1}^{M'} = ()$ ， $D_{v^{M'}} t_{2}^{M'} = c_{1}^{M'} = t_{1}^{M'}$ ，且 $b_{1}^{M'} = ()$ 。

下面，我们回到不施加 $j_{1}^{\prime}=j_{1}$ 的一般情况。

由于 $j_{1} \geq \text{FirstNodes}(M)_{J_{0}} > m_{1}$ ，因此 $j_{1} - m_{1} > 0$ 。

我们利用数学归纳法证明，在 $j_{1}-m_{1}$ 上存在唯一的 $t_{2}\in T_{B}$ 使得：

(3) $\mathrm{Trans}(M') = D_{M_{1,j_0'}}(t_1 + t_2)$ 且 $t_2 \neq 0$ 。
(4) $\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}(t_1 + D_{M_{1,j_0'}}(t_1 + t_2))$ 。

令 $j_{1}-m_{1}=1$ 。

令 $t_{2} := D_{M_{1,j_{1}^{\prime}}}0$ 。

\[
t _ {2} \neq 0.
\]

$J_{1}=J_{0},\quad j_{1}^{\prime}=j_{1},\quad\mathrm{Pred}(M^{\prime})=N^{\prime},\quad 且 \mathrm{Pred}(M)=N。$

由于切片的强单项式性具有遗传性， $M'$ 是强可接受的，且由于 $\mathrm{Lng}(M') - 1 = m_1 \geq \mathrm{TrMax}(M) > j_0' > 0$ ， $\mathrm{Lng}(M') - 1 > 1$ ，因此，对于 $M'$ ，子表示的单项式分量与 Pred 之间的任何关系 (1) 至 (4) 均成立。

由于 $\mathrm{Joints}(M')_{J_{1}}=\mathrm{Joints}(M)_{J_{1}}-j_{0}^{\prime}=0,\mathrm{Joints}(M')_{J_{1}}$ 是 $M'$ 可接受的，因此子表示的单项分量与 Pred 之间的关系 (2) 对 $M'$ 不成立。由于 $M_{0,j_{0}^{\prime}}+1>M_{0,j_{0}^{\prime}}\geq M_{1,j_{0}^{\prime}}$ 且 $M_{0,j_{0}^{\prime}}+1=M_{0,j_{1}^{\prime}}>M_{1,j_{1}^{\prime}}$ ， $t_{1}$ 的每个单项分量均大于或等于 $D_{M_{0,j_{0}^{\prime}}+1}0$ 且 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M'))=D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}t_{1}$ ，因此对于 $M'$ ，子表达式的单项分量与 Pred 之间的关系 (3) 和 (4) 均不成立。

由上可知, 对于 $M'$ , 子表达式的单项分量与 Pred 之间的关系 (1) 成立。即 $\mathrm{Trans}(M') = D_{M_{1,j_0'}}(t_1 + t_2)$ 。

如前所述， $j_{1}^{M}=j_{1}^{\prime}$ 且 $j_{0}^{M}=j_{0}^{\prime}$ ， $j_{0}^{M}$ 不是 M 可接受的， $j_{-1}^{M}=0$ ，M 满足条件 (IV)， $s_{1}^{M}=()$ 且 $D_{v^{M}}t_{2}^{M}=t_{1}^{M}$ 且 $b_{1}^{M}=()$ 。

$D_{v^{M}}t_{2}^{M}=t_{1}^{M}=\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M))=\mathrm{Trans}(N)=D_{M_{1,0}}t_{1}$ ，因此 $v^{M}=M_{1,0}$ 且 $t_{2}^{M}=t_{1}$ 。

由于 $M_{1,j_0^M} = M_{1,j_0'} = M_{0,j_0'}$ 且 $t_2^M = t_1$ 的每个单例元素都大于或等于 $D_{M_{0,j_0'} + 1}$ ，因此 $t_2^M$ 最左边的单例元素不是 $D_{M_{1,j_0^M}}$ 。因此， $t_3^M = t_2^M = t_1$ 且 $t_4^M = t_2^M = t_1$ 。

由上可知， $\mathrm{Trans}(M) = s_1^M c_2^M b_1^M = c_2^M = D_{v^M}(t_3^M + D_{M_{1,j_0^M}}(t_4^M + D_{M_{1,j_1^M}}0)) = D_{M_{1,0}}(t_1 + D_{M_{1,j_0'}}(t_1 + t_2))$ 。

令 $j_{1}-m_{1}>1$ 。

由于切片的强单项式遗传性， $\mathrm{Pred}(M)$ 为强单项式。

令 $J_{1}^{\prime} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(M))) - 1$ 。

令 $j_{1}^{\prime}=j_{1}$ 。

由 P 与 IdxSum 的组合特征可知， $J_{1}^{\prime} \geq J_{1}-1$ ，且由于 FirstNodes(M) $_{J_{0}} = m_{1} + 1 < j_{1} = j_{1}^{\prime}$ ， $J_{0} < J_{1}$ ，因此 $J_{1}^{\prime} \geq J_{1}-1 \geq J_{0} \geq 0$ 且 LastStep(Pred(M)) = $J_{0}$ 。

从 $J_{1}^{\prime} \geq J_{0}$ 可知，根据 LastStep 的定义， $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}} > M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}}$ 。

令 $j_{1}^{\prime}<j_{1}$ 。

由 P 与 IdxSum 的组合特征可知, $J_{1}^{\prime}=J_{1}\geq0$ 且 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}}} > M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}}} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}}$ 。

由于 $(\mathrm{Pred}(M)_j)_{j = 0}^{\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Pred}(M))_{J_1'}} = (M_j)_{j = 0}^{\mathrm{FirstNodes}(M)J_1}$ , LastStep $(\mathrm{Pred}(M)) = J_0$ 。

从上可知，在两种情况下， $J_{1}^{\prime}\geq J_{0}\geq0$ , LastStep(Pred(M)) = $J_{0}$ ，且 $M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}} > M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_{1}^{\prime}}}$ 。

因此, $\mathrm{Pred}(M)_{0,\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Pred}(M))_{J_1'}} = M_{0,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} > M_{1,\mathrm{FirstNodes}(M)_{J_1'}} = \mathrm{Pred}(M)_{1,\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Pred}(M))_{J_1'}}$ 且由于 $J_0 \leq J_1', M_{1,\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Pred}(M))_{J_1'}} = M_{1,j_1'}$ , 因此, $\mathrm{Joints}(\mathrm{Pred}(M))_{J_1'} = M_{1,\mathrm{Joints}(\mathrm{Pred}(M))_{J_1'}} - M_{1,0} = M_{1,\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Pred}(M))_{J_1'}} - 1 - M_{1,0} = M_{1,j_1'} - 1 - M_{1,0} = M_{1,j_0'} - M_{1,0} = j_0' > 0$ 。

根据归纳假设，存在唯一的 $t_{2}^{\prime} \in T_{B}^{2}$ 使得：

(3) Trans(Pred( $M'$ )) = $D_{M_{1,j_0'}}(t_1 + t_2')$ 且 $t_2' \neq 0$ 。
(4) $t_1^M = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(M)) = D_{M_{1,0}}(t_1 + D_{M_{1,j_0'}}(t_1 + t_2'))$ 。

由于子表示的单项分量 $t_{2}^{\prime} \neq 0$ 与 Pred 之间的关系，存在唯一的 $t_{2} \in T_{PS}$ 使得 $\mathrm{Trans}(M^{\prime}) = D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}}(t_{1} + t_{2})$ 。根据 $\mathrm{TrMax}(M) + 1 \leq m_{1} < j_{1}$ 和 P 的定义， $(0, j_{1}^{\prime} - 1) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0, j_{1}^{\prime})$ 不成立，因此 $j_{1}^{\prime}$ 是 M 容许的。

设 $j_{1}^{\prime}=j_{1}$ 。

如前所述， $j_{1}^{M}=j_{1}^{\prime}$ 且 $j_{0}^{M}=j_{0}^{\prime}$ ， $j_{0}^{M}$ 是非 M 容许的， $j_{-1}^{M}=0$ ，M 满足条件 (IV)， $s_{1}^{M}=()$ ， $D_{v^{M}}t_{2}^{M}=t_{1}^{M}$ 且 $b_{1}^{M}=()$ 。

因为 $D_{v^M}t_2^M = t_1^M = D_{M_{1,0}}(t_1 + D_{M_{1,j_0'}}(t_1 + t_2'))$ , $v^M = M_{1,0}$ 且 $t_2^M = t_1 + D_{M_{1,j_0'}}(t_1 + t_2')$ ，且 $t_2^M$ 的最右边单项式分量 $D_{M_{1,j_0'}}(t_1 + t_2')$ 的左端为 $D_{M_{1,j_0'}} = D_{M_{1,j_0^M}}$ 。因此， $t_3^M = t_1$ 且 $t_4^M = t_1 + t_2'$ 且 $c_2^M = D_{v^M}(t_3^M + D_{M_{1,j_0^M}}(t_4^M + D_{M_{1,j_0^M}}0)) = D_{M_{1,0}}(t_1 + D_{M_{1,j_0'}}(t_1 + t_2' + D_{M_{1,j_1}}0))$ 。

如前所述， $j_{1}^{M'} = j_{1} - j_{0}' = j_{1}' - j_{0}'$ 且 $j_{0}^{M'} = 0$ ， $j_{0}^{M'}$ 是 $M'$ 可接受的， $j_{-1}^{M'} = 0$ ，M 满足条件 (III)， $s_{1}^{M'} = ()$ ， $D_{v^{M'}} t_{2}^{M'} = t_{1}^{M'}$ 且 $b_{1}^{M'} = ()$ 。

因为 $D_{v^{M'}}t_2^{M'} = t_1^{M'} = D_{M_{1,j_0'}}(t_1 + t_2')$ ， $v^{M'} = M_{1,j_0'}$ 且 $t_2^{M'} = t_1 + t_2'$ ，且 $t_2^{M'}$ 的最右边单项式分量 $D_{M_{1,j_0'}}(t_1 + t_2')$ 的左端为 $D_{M_{1,j_0'}} = D_{M_{1,j_0^M}}$ 。因此， $c_2^{M'} = D_{v^{M'}}(t_2^{M'} + D_{M_{1,j_1^M'}}0) = D_{M_{1,j_0'}}(t_1 + t_2' + D_{M_{1,j_1}}0)$ 。

$D_{M_{1,j_0'}}(t_1 + t_2) = \mathrm{Trans}(M') = s_1^{M'}c_2^{M'}b_1^{M'} = D_{M_{1,j_0'}}(t_1 + t_2' + D_{M_{1,j_1}}0)$ ，因此 $t_2 = t_2' + D_{M_{1,j_1}}0$ 。因此， $\mathrm{Trans}(M) = s_1^M c_2^M b_1^M = D_{M_{1,0}}(t_1 + D_{M_{1,j_0'}}(t_1 + t_2' + D_{M_{1,j_1}}0)) = D_{M_{1,0}}(t_1 + D_{M_{1,j_0'}}(t_1 + t_2))$ 。

设 $j_{1}^{\prime}<j_{1}$ 。

由于 P 各分量均非复项性质， $(0,j_{1}^{\prime})\leq_{M}(0,j_{1})$ ，因此 $j_{1}^{\prime}\leq j_{0}^{M}$ ，且 $j_{1}^{\prime}$ 满足 M 条件，

因此 $j_1' \leq j_{-1}^M$ 。由于 $j_0^{M'} = j_0^M - j_0'$ 且 $j_{-1}^M - j_0' \geq j_1' - j_0' > 0$ ，由于容许切片的遗传性， $j_{-1}^{M'} = j_{-1}^M - j_0' > 0$ 。

由于 $s_1$ 和 $b_1$ 的空性与基点的关系， $s_1^{M'} \neq ()$ 。 $(D_{M_{1,j_0'}}(t_1 + t_2'), c_1^{M'}) = (t_1^{M'}, c_1^{M'}) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ 且 $s_1^{M'} \neq ()$ 蕴涵 $(t_2', c_1^{M'}) \in T_{\mathrm{B}}^{\mathrm{Marked}}$ 。因此存在 $(s_1', b_1') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 使得 $(s_1', c_1^{M'}, b_1')$ 是 $t_2'$ 的 scb 分解。

$s_1^{M'}c_1^{M'}b_1^{M'} = t_1^{M'} = D_{M_{1,j_0'}}(t_1 + t_2') = D_{M_{1,j_0'}}(t_1 + s_1'c_1^{M'}b_1')$ 和 $s_1^M c_1^M b_1^M = t_1^M = D_{M_{1,0}}(t_1 + D_{M_{1,j_0'}}(t_1 + t_2')) = D_{M_{1,0}}(t_1 + D_{M_{1,j_0'}}(t_1 + s_1'c_1^{M'}b_1'))$ ，从scb分解的可替代性、scb分解的复合规则以及加法和scb分解， $D_{M_{1,j_0'}}(t_1 + t_2) = \mathrm{Trans}(M') = s_1^{M'}c_2^{M'}b_1^{M'} = D_{M_{1,j_0'}}(t_1 + s_1'c_2^{M'}b_1')$ 和 $\mathrm{Trans}(M) = s_1^M c_2^M b_1^M = D_{M_{1,0}}(t_1 + D_{M_{1,j_0'}}(t_1 + s_1'c_2^{M'}b_1'))$ 。

因此， $t_{2}=s_{1}^{\prime}c_{2}^{M^{\prime}}b_{1}^{\prime}$ 且 $\mathrm{Trans}(M)=D_{M_{1,0}}(t_{1}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}} (t_{1}+s_{1}^{\prime}c_{2}^{M^{\prime}}b_{1}^{\prime}))=D_{M_{1,0}}(t_{1}+D_{M_{1,j_{0}^{\prime}}} (t_{1}+t_{2}))$ 。

由上可知，在这两种情况下， $\mathrm{Trans}(M) = D_{M_{1,0}}(t_1 + D_{M_{1,j_0'}}(t_1 + t_2))$ 。

证毕。

定理 21.4.100 条件 (II) 下 Trans 与基本列的对易关系。

对于任意 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ ，利用 Trans 的递归定义中引入的符号，令 $L := Red((M_j)_{j=j-1}^{j_1})$ 。如果 $j_1 > 1$ 且 $M$ 满足条件 (II)[71]，则令 $m_n := n-1$ 或 $m_n := n-2$ ，具体取决于 $P(t_2)_{J_1}$ 的左端是否为 $D_{M_{1,j_0}}$ ，且以下成立：

(1) $m_{n} = -1$ ，则 $Trans(M[n]) = s_1D_{M_{1,j-1}}t_2b_1$ 。
(2) 如果 $m_{n} \geq 0$ ，则 $Trans(M[n]) = Trans(M)[m_{n}]$ 。
(3) $Mark(M[n], j_{-1}) = D_{M_{1,j_ {-1}}}(t_3 + (D_{M_{1,j_0}} t_4) \times (m_n + 1))$ .
(4) $Trans(M[n]) < Trans(M)$ 。

我们提出一些引理，作为在条件 (II) 下证明 Trans 与基本列之间交换关系的初步尝试。

定理 21.4.101 0 型基本列的基本不等式。

对任意 $T_{PS}$ 中的 $M, n, r' \in \mathbb{N}_+$ 和 $q, q' \in \mathbb{N}$ , 令 $j_1 := Lng(M) - 1$ 。若存在唯一的 $j_0 \in \mathbb{N}$ 使得 $(0, j_0) <_{M}^{Next}(0, j_1)$ , 且 $M_{1,j_1} = 0$ 、 $q, q' \leq n - 1$ 和 $r' \in j_1 - j_0$ , 则 $M[n]_{0,j_0 + q(j_1 - j_0)} < M[n]_{0,q'(j_1 - j_0) + r'}$ 。

证明：

由于 $M_{1,j_1} = 0$ ， $M[n] = (M_j)_{j=0}^{j_0-1} \oplus \bigoplus_{\mathbb{N}^2} ((M_j)_{j=j_0}^{j_1-1})_{k=0}^{n-1}$ 。

由于 $(0,j_0) < _M^{\mathrm{Next}}(0,j_1)$ ，对于任意 $j\in \mathbb{N}$ ，若 $j_0 < j < j_1$ ，则 $M_{0,j}\geq M_{0,j_1} > M_{0,j_0}$ 。

因为 $j_0 < j_0 + r' < j_1, M_{0,j_0} < M_{0,j_0 + r'}$ ，且因为 $M[n]_{j_0 + q(j_1 - j_0)} = M_{j_0}$ 且 $M[n]_{j_0 + q'(j_1 - j_0) + r'} = M_{j_0 + r'}$ ，所以我们有 $M[n]_{0,j_0 + q(j_1 - j_0)} < M[n]_{0,j_0 + q'(j_1 - j_0) + r'}$ 。

证毕。

定理 21.4.102 0 型基本列的基本分支规则。

对于任意 $M \in RT_{PS}$ 、 $n \in \mathbb{N}_{+}$ 和 $q \in \mathbb{N}$ ，令 $j_1 := Lng(M) - 1$ ，并假设存在唯一的 $j_0 \in \mathbb{N}$ 使得 $(0, j_0) <_{M}^{Next}(0, j_1)$ 。如果 $M_{1,j_1} = 0$ 且 $q \leq n - 1$ 且 $j_0$ 不是 $M$ 容许的，则 $(0, j_0 - 1) <_{M[n]}^{Next}(0, j_0 + q(j_1 - j_0))$ 且 $(1, j_0 - 1) <_{M[n]}^{Next}(1, j_0 + q(j_1 - j_0))$ 。

证明：

令 $j_{-1} := \mathrm{Adm}_{M}(j_{0})$ 。

由于 $j_0$ 不满足 $M$ 可接受性，因此 $j_{-1} < j_0$ 。对于任意 $j_0' \in \mathbb{N}$ ，若 $j_{-1} < j_0' \leq j_0$ ，则 $(1, j_0' - 1) < _M^{\text{Next}} (1, j_0')$ 。特别地， $(1, j_0 - 1) < _M^{\text{Next}} (1, j_0)$ 。由于可约性与系数之间的关系， $M$ 满足条件 (A) 和 (B)，因此 $M_{0,j_0-1} + 1 = M_{0,j_0}$ 且 $M_{1,j_0-1} + 1 = M_{1,j_0}$ 。

此外，由于 $M_{1,j_1} = 0$ ， $M[n] = (M_j)_{j=0}^{j_0-1} \oplus \bigoplus_{\mathbb{N}^2} ((M_j)_{j=j_0}^{j_1-1})_{k=0}^{n-1}$ ，因此 $M[n]_{j_0-1} = M_{j_0-1}$ 且 $M[n]_{j_0 + q(j_1 - j_0)} = M_{j_0}$ ，因此 $M[n]_{0,j_0-1} = M[n]_{0,j_0 + q(j_1 - j_0)} - 1 < M[n]_{0,j_0 + q(j_1 - j_0)}$ 且 $M[n]_{1,j_0-1} = M[n]_{1,j_0 + q(j_1 - j_0)} - 1 < M[n]_{1,j_0 + q(j_1 - j_0)}$ 。

另一方面，对于任意 $j_0' \in \mathbb{N}$ ，若 $j_0 - 1 < j_0' < j_0 + q(j_1 - j_0)$ ，则根据第0型基本列的基本不等式， $M[n]_{j_0'} \geq M[n]_{j_0 + q(j_1 - j_0)}$ 。由上可知， $(0, j_0 - 1) <_{M[n]}^{\mathrm{Next}} (0, j_0 + q(j_1 - j_0))$ 和 $(1, j_0 - 1) <_{M[n]}^{\mathrm{Next}} (1, j_0 + q(j_1 - j_0))$ 。

证毕。

定理 21.4.103 第 0 类基本列的基本基点关系。

对于任意 $M \in RT_{PS}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ ，令 $j_{1} := Lng(M) - 1$ ，并假设存在唯一的 $j_{0} \in \mathbb{N}$ 使得 $(0, j_{0}) <_{M}^{Next}(0, j_{1})$ ，且令 $j_{-1} := Adm_{M}(j_{0})$ 。若 $M_{1,j_{1}} = 0$ ，则下列成立：

(1) 若 n > 1，则 $(M[n], j_{0} + (n - 1)(j_{1} - j_{0})) \in RT_{PS}^{Marked}$ 。
(2) 若 $j_{0}$ 为非 M 可接受的，则 $(M[n], j_{-1}) \in RT_{PS}^{Marked}$ 。

证明： $M[n]$ 是可约的，因为可约性在基本列中得以保留。

$M_{1,j_{1}}=0$ ，因此 $(M[n]_{j})_{j=j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})}^{j_{0}+n(j_{1}-j_{0})-1}=(M_{j})_{j=j_{0}}^{j_{1}-1}$ 。

（1）由第0个基本列的基本不等式 $(0,j_0)\leq_M(0,j_1 - 1)$ 可知， $(0,j_0 + (n - 1)(j_1 - j_0))\leq_{M[n]}(0,j_0 + (n - 1)(j_1 - j_0) + (j_1 - j_0 - 1)) = (0,j_0 + n(j_1 - j_0) - 1)$ 。

根据第 0 类基本列的基本分支规则， $(1,j_{0}-1)<_{M[n]}^{\text{Next}}(1,j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0}))$ ，且由于 n>1, $j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})-1>j_{0}-1$ ，因此 $(1,j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})-1)\leq_{M[n]}(1,j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0}))$ 不成立。因此， $j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})$ 是 M[n] 容许的，且 $(M[n],j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0}))\in RT_{PS}^{\text{Marked}}$ 。

（2）由 $j_0$ 的非M可接受性， $(0,j_{-1}) \leq_M (0,j_0 - 1)$ ，故 $(0,j_{-1}) \leq_{M[n]} (0,j_0 - 1)$ 。由第0型基本列的基本分支规则， $(0,j_0 - 1) <_{M[n]}^{\mathrm{Next}} (0,j_0 + (n - 1)(j_1 - j_0))$ 。根据(1)， $(0,j_0 + (n - 1)(j_1 - j_0)) \leq_{M[n]} (0,j_0 + n(j_1 - j_0) - 1)$ ，因此 $(0,j_{-1}) \leq_{M[n]} (0,j_0 + n(j_1 - j_0) - 1)$ 。

由于切片可接受性的遗传性， $j_{-1}$ 是 $\mathrm{Pred}(M)$ 可接受的。由于 $j_{0}$ 不满足 M 可接受性，因此 $j_{-1} < j_{0} \leq j_{1} - 1$ ，且 $(M[n]_{j})_{j=0}^{j_{1}-1} = \mathrm{Pred}(M)$ ，同样由于可接受性对切片的遗传性， $j_{-1}$ 满足 M[n] 可接受性。由此可知， $(M[n], j_{-1}) \in RT_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ 。

证毕。

现在，回到正题。

在条件 (II) 下, Trans 与基本列的交换关系证明:

根据标准形式的约化性，M 可约化；根据约化性与系数的关系，M 满足条件 (A) 和 (B)。

由于 M 满足条件 (II)， $M_{1,j_{0}} \geq M_{1,j_{1}}$ 且 $j_{0}$ 不为 M 可接受的，即 $j_{-1} < j_{0}$ 。

根据 Mark 左端的基本性质， $v = M_{1,j-1}$ 。由于 scb 分解的可替代性， $(s_{1}, c_{2}, b_{1}) = (s_{1}, D_{M_{1,j-1}}(t_{3} + D_{M_{1,j_{0}}} (t_{4} + D_{0}0)), b_{1})$ 是 Trans(M) 的 scb 分解，且由于 scb 分解与基序列 (1-2) 的关系，

\[
\mathrm{Trans} (M) [ n ] = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (t _ {3} + (D _ {M _ {1, j _ {0}}} t _ {4}) \times (n + 1)) b _ {1}
\]

特别地， $\mathrm{Trans}(M)\neq0$ 。

（1）至（4）可以用关于 $n \in N_{+}$ 的数学归纳法证明。

设 n = 1。

由于 $M[n] = \text{Pred}(M)$ ， $\text{Trans}(M[n]) = \text{Trans}(\text{Pred}(M)) = t_{1}$ 且 $\text{Mark}(M[n], j_{-1}) = \text{Mark}(\text{Pred}(M), j_{-1}) = c_{1}$ 。

设 $P(t_{2})_{J_{1}}$ 的左端为 $D_{M_{1,j_{0}}}$ 。

$m_{n}=n-1=0$ ，且

\[
{t _ {3}} = {\Sigma_ {\mathrm{B}} (P (t _ {2}) _ {J}) _ {J = 0} ^ {J _ {1} - 1}}
\]

\[
c _ {1} = D _ {v} t _ {2} = D _ {M _ {1, j - 1}} (\Sigma_ {\mathrm{B}} (P (t _ {2}) _ {J}) _ {J = 0} ^ {J _ {1} - 1} + P (t _ {2}) _ {J _ {1}}) = D _ {M _ {1, j - 1}} (t _ {3} + D _ {M _ {1, j _ {0}}} t _ {4})
\]

因此 $\operatorname{Mark}(M[n], j_{-1}) = c_1 = D_{M_{1,j_ {-1}}}(t_3 + (D_{M_{1,j_0}} t_4) \times (m_n + 1))$ ，且

\[
\operatorname{Trans} (M [ n ]) = t _ {1} = s _ {1} c _ {1} b _ {1} = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} \left(t _ {3} + \left(D _ {M _ {1, j _ {0}}} t _ {4}\right)\right) b _ {1} = \operatorname{Trans} (M) [ n - 1 ]
\]

因此， $\operatorname{Trans}(M) \neq 0$ ，且 [Buc1] 引理 3.2 得出 $\operatorname{Trans}(M[n]) = \operatorname{Trans}(M)[n - 1] < \operatorname{Trans}(M)$ 。

假设 $P(t_{2})_{J_{1}}$ 的左端不是 $D_{M_{1,j_{0}}}$ 。

\[
c _ {1} = D _ {v} t _ {2} = D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} t _ {2}
\]

\[
c _ {2} = D _ {v} (t _ {2} + D _ {M _ {1, j _ {0}}} 0) = D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (t _ {2} + D _ {M _ {1, j _ {0}}} 0)
\]

因此， $\operatorname{Mark}(M[n], j_{-1}) = c_1 = D_{M_{1,j_{-1}}} t_2,$

\[
\mathrm{Trans} (M [ n ]) = t _ {1} = s _ {1} c _ {1} b _ {1} = s _ {1} D _ {M _ {1, j - 1}} t _ {2} b _ {1}
\]

\[
\mathrm{Trans} (M) = s _ {1} c _ {2} b _ {1} = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (t _ {2} + D _ {M _ {1, j _ {0}}} 0) b _ {1}
\]

因此，由子表达式不等式的可扩展性， $t_{2}<t_{2}+D_{M_{1,j_{0}}}0$ ，故 $\mathrm{Trans}(M[n])<\mathrm{Trans}(M)$ 。设 n>1。

设 $N := (M[n]_{j})_{j=0}^{j_{0} + (n-1)(j_{1} - j_{0})}$ 。

由 M 的单项式性， $(0,0)\leq_{M}(0,j_{0}-1)$ ，故 $(0,0)\leq_{N}(0,j_{0}-1)$ 。根据第 0 型基本列的基本分支规则， $(0,j_{0}-1)<_{M[n]}^{\mathrm{Next}}(0,j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0}))$ ，故 $(0,j_{0}-1)<_{N}^{\mathrm{Next}}(0,j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0}))$ ，因此 N 是单项式的。由于 M 满足条件 (B)，所以 $N_{0,0}=M_{0,0}=M_{1,0}=N_{1,0}$ 。由于 N 是单项式且 $N_{0,0}=N_{1,0}$ ，所以 N 满足条件 (B)。

证明 N 满足条件 (A)。

令 $i \in \{0,1\}$ 且 $j_0', j_1' \in \mathbb{N}$ ，并令 $(i,j_0') <_{N}^{\text{Next}}(i,j_1')$ 。若 $j_1' \leq j_0$ ，则 $(i,j_0') <_{M}^{\text{Next}}(i,j_1')$ 且 $M$ 满足条件 (A)，因此 $N_{i,j_0'} + 1 = M_{i,j_0'} + 1 = M_{i,j_1'} = N_{i,j_1'}$ 。

令 $j_{0}^{\prime}<j_{0}<j_{1}^{\prime}$ 。

令 $q_{1}, r_{1} \in N$ 为 $j_{1}^{\prime} - j_{0}$ 除以 $j_{1} - j_{0}$ 的商与余数。

$q_{1} \leq n - 1$ 且 $r_1 < j_1 - j_0$ 。

根据第 0 类基本列的基本分支规则和第 0 类基本列的基本不等式， $(0,j_{0}-1)<_{N}^{\text{Next}}(0,j_{0}+q_{1}(j_{1}-j_{0}))\leq_{N}(0,j_{0}+q_{1}(j_{1}-j_{0})+r_{1})=(0,j_{1}^{\prime})$ ，因此 $(0,j_{0}-1)\leq_{N}(0,j_{1})$ 。此外，由于 $j_{0}^{\prime}<j_{0}$ 且 $(i,j_{0}^{\prime})<_{N}^{\text{Next}}(i,j_{1}^{\prime})$ ， $(0,j_{0}^{\prime})\leq_{N}(0,j_{0}-1)$ ，因此 $(0,j_{0}^{\prime})\leq_{M}(0,j_{0}-1)$ 。

对于任何 $j \in \mathbb{N}$ ，如果 $(0, j_0') \leq_M (0, j) \leq_M (0, j_0 + r)$ ，则 $(i, j) \leq_M (i, j_0 + r_1)$ 不成立。

如果 $j \leq j_0 - 1$ ，则 $(0, j_0') \leq_M (0, j) \leq_M (0, j_0 + r)$ 和 $(0, j_0') \leq_M (0, j_0 - 1)$ 蕴涵 $(0, j) \leq_M (0, j_0 - 1)$ ，这意味着 $(0, j) \leq_N (0, j_0 - 1) \leq_N (0, j_1')$ 。因此，根据 $(i, j_0') <_{N}^{\mathrm{Next}} (i, j_1')$ 及其父元素的基本性质， $M_{i,j} = N_{i,j} \geq N_{i,j_1'} = M_{i,j_0 + r_1}$ 。

如果 $j > j_0 - 1$ ，则 $(0,j)\leq_{M}(0,j_{0} + r)$ 蕴涵 $(0,j + q_{1}(j_{1} - j_{0}))\leq_{N}(0,j_{0} + q_{1}(j_{1} - j_{0}) + r) = (0,j_{1}^{\prime})$ ，且由 $(i,j_0') < _N^{\mathrm{Next}}(i,j_1')$ 及其父元素的基本性质， $M_{i,j} = N_{i,j + q_1(j_1 - j_0)}\geq N_{i,j_1'} = M_{i,j_0 + r_1}$ 。

由上可知，在两种情况下， $M_{i,j} \geq M_{i,j_0 + r}$ ，尤其不满足 $(i,j) \leq_{M}(i,j_{0} + r_{1})$ 。

因此， $(i,j_{0}^{\prime})<_{M}^{\mathrm{Next}}(i,j_{0}+r_{1})$ ，且由于 M 满足条件 (A)， $N_{i,j_{0}^{\prime}}+1=M_{i,j_{0}^{\prime}}+1=M_{i,j_{0}+r_{1}}=N_{i,j_{1}^{\prime}}$ 。

令 $j_{0} \leq j_{0}^{\prime}$ 。

令 $j_1' - j_0$ 除以 $j_1 - j_0$ 的商与余数为 $q_1, r_1 \in \mathbb{N}$ 。

\[
q _ {1} \leq n - 1 \text {且} r _ {1} < j _ {1} - j _ {0} 。
\]

根据第 0 类基本列的基本分支规则和第 0 类基本列的基本不等式， $(0,j_{0}-1)<_{N}^{Next}(0,j_{0}+q_{1}(j_{1}-j_{0}))\leq_{N}(0,j_{0}+q_{1}(j_{1}-j_{0})+r_{1})=(0,j_{1}^{\prime})$ ，因此 $j_{0}-1<j_{0}\leq j_{0}^{\prime}$ ；又根据 $(i,j_{0}^{\prime})<_{N}^{Next}(i,j_{1}^{\prime})$ ， $j_{0}+q_{1}(j_{1}-j_{0})\leq j_{0}^{\prime}<j_{1}^{\prime}$ 。

此外，由于 $(N_{j})_{j=j_{0}+q_{1}(j_{1}-j_{0})}^{j_{1}^{\prime}}=(M_{j})_{j=j_{0}}^{j_{0}+r_{1}},\quad(i,j_{0}^{\prime}-q_{1}(j_{1}-j_{0}))<_{M}^{\mathrm{Next}}(i,j_{0}+r_{1})$ 。由于 M 满足条件 (A)， $N_{i,j_{0}^{\prime}}+1=M_{i,j_{0}^{\prime}-q_{1}(j_{1}-j_{0})}+1=M_{i,j_{0}+r_{1}}=N_{i,j_{1}^{\prime}}$ 。

由上可知，无论哪种情况， $N_{i,j_{0}^{\prime}}+1=N_{i,j_{1}^{\prime}}$ 。因此，N 满足条件 (A)。

由于 N 满足条件 (A) 和 (B)，因此由于可约性与系数之间的关系，N 是可约的。

设 $L' := \text{Red}((M[n]_{j})_{j = j_{0} + (n-1)(j_{1} - j_{0})}^{j_{0} + n(j_{1} - j_{0}) - 1})$ 。

证明 $\mathrm{Trans}(M[n]) = s_1D_{M_{1,j_ {-1}}}(t_3 + (D_{M_{1,j_0}}t_4)\times m_n + \mathrm{Trans}(L'))b_1$ 。

Trans 的递归定义中引入的符号是针对 N 定义的，并且 N 写在右边，以明确这是对 N 的应用。

由于 $j_{-1} < j_{0} < j_{1}$ ， $j_{1}^{N} = \mathrm{Lng}(N) - 1 = j_{0} + (n - 1)(j_{1} - j_{0}) > j_{-1} + (j_{1} - j_{0}) \geq 1$ ，因此 $\mathrm{Pred}(N)$ 为零项，且由于 Trans 保持零项性质， $t_{1}^{N} = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N)) \neq 0$ 。结合 N 为单项函数这一事实，条件 (I) 至 (VI) 对 N 有意义。

根据第 0 类基本列的基本分支规则， $(0,j_{0}-1)<_{N}^{\text{Next}}(0,j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0}))$ ，且由于 $j_{0}$ 不是 M 容许的且 M 满足条件 (A)，因此 $N_{1,j_{0}-1}+1=M_{1,j_{0}-1}+1=M_{1,j_{0}}=N_{1,j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})}>0$ ，且由于 $(j_{0}-1)+1=j_{0}<j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})$ ，因此 N 满足条件 (V)。 $j_{1}^{N}=j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0})$ ，且根据第 0 类基本列的基本分支规则， $(0,j_{0}-1)<_{N}^{\text{Next}}(0,j_{0}+(n-1)(j_{1}-j_{0}))$ ，因此 $j_{0}^{N}=j_{0}-1$ 。由于 $j_{0}$ 不为 M 可接受，因此 $j_{-1}=\operatorname{Adm}_{M}(j_{0}-1)=\operatorname{Adm}_{N}(j_{0}-1)=\operatorname{Adm}_{N}(j_{0}^{N})$ 。根据 Mark 左端的基本性质， $v^{N}=N_{1,\operatorname{Adm}_{N}(j_{0}^{N})}=N_{1,j_{-1}}=M_{1,j_{-1}}$ 。

$\operatorname{Pred}(N) = (M[n]_j)_{j=0}^{j_0 + (n-1)(j_1 - j_0)-1} = M[n-1]$ , 因此 $c_1^N = \operatorname{Mark}(\operatorname{Pred}(N), \operatorname{Adm}_N(j_0^N)) = \operatorname{Mark}(M[n-1], j_{-1})$ , 且根据归纳假设

\[
D _ {v ^ {N}} t _ {2} ^ {N} = c _ {1} ^ {N} = \mathrm{Mark} (M [ n - 1 ], j _ {- 1}) = D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (t _ {3} + (D _ {M _ {1, j _ {0}}} t _ {4}) \times m _ {n})
\]

且

\[
s _ {1} ^ {N} c _ {1} ^ {N} b _ {1} ^ {N} = t _ {1} ^ {N} = \mathrm{Trans} (\mathrm{Pred} (N)) = \mathrm{Trans} (M [ n - 1 ])
\]

\[
\begin{array}{l} = \left\{ \begin{array}{l l} \operatorname{Trans} (M) \left[ m _ {n - 1} \right] & \left(m _ {n - 1} \geq 0\right) \\ s _ {1} D _ {M _ {1, j - 1}} \left(t _ {2}\right) & \left(m _ {n - 1} = - 1\right) \end{array} \right. \\ = \left\{ \begin{array}{l l} s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (t _ {3} + (D _ {M _ {1, j _ {0}}} t _ {4}) \times m _ {n}) b _ {1} & (m _ {n} \geq 1) \\ s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (t _ {2}) & (m _ {n} = 0) \end{array} \right. \\ = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (t _ {3} + (D _ {M _ {1, j _ {0}}} t _ {4}) \times m _ {n}) b _ {1} \\ \end{array}
\]

因此， $t_{2}^{N}=t_{3}+(D_{M_{1,j_{0}}}t_{4})\times m_{n}$ ，且 $s_{1}^{N}=s_{1}$ ， $b_{1}^{N}=b_{1}$ 。由于N满足条件(V)，

\[
c _ {2} ^ {N} = D _ {v ^ {N}} (t _ {2} ^ {N} + D _ {N _ {1, j _ {1} ^ {N}}} 0) = D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (t _ {3} + (D _ {M _ {1, j _ {0}}} t _ {4}) \times m _ {n} + D _ {M _ {1, j _ {0}}} 0)
\]

因此，

\[
\mathrm{Trans} (N) = s _ {1} ^ {N} c _ {2} ^ {N} b _ {1} ^ {N} = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (t _ {3} + (D _ {M _ {1, j _ {0}}} t _ {4}) \times m _ {n} + D _ {M _ {1, j _ {0}}} 0) b _ {1}
\]

此外，根据第 0 类基本列 $(M[n], j_{0} + (n-1)(j_{1} - j_{0})) \in RT_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ 的基本基点关系（1），以及使用 Mark 和切片的 Trans 表达式，

\[
\mathrm{Trans} (M [ n ]) = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (t _ {3} + (D _ {M _ {1, j _ {0}}} t _ {4}) \times m _ {n} + \mathrm{Mark} (M [ n ], j _ {0} + (n - 1) (j _ {1} - j _ {0}))) b _ {1}
\]

由于 $j_0$ 不是 $M$ 可接受的， $(1, j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}} (1, j_0 + 1)$ 。由于 $M$ 满足条件 (II)， $M_{1,j_0} \geq 0 = M_{1,j_1}$ ，因此 $j_1 > j_0 + 1$ ，进而 $\mathrm{Lng}(L') - 1 = j_1 - j_0 - 1 > 0$ 。

根据直系祖先切片以及 Red 与 IncrFirst 之间的关系

\[
\begin{array}{l} (M _ {j}) _ {j = j _ {0}} ^ {j _ {1} - 1} = (M [ n ] _ {j}) _ {j = j _ {0} + (n - 1) (j _ {1} - j _ {0})} ^ {j _ {0} + n (j _ {1} - j _ {0}) - 1} = \operatorname{IncrFirst} ^ {M [ n ] _ {0, j _ {0} + (n - 1) (j _ {1} - j _ {0})} - M [ n ] _ {1, j _ {0} + (n - 1) (j _ {1} - j _ {0})}} \left(L ^ {\prime}\right) \\ = \mathrm{IncrFirst} ^ {M _ {0, j _ {0}} - M _ {1, j _ {0}}} (L ^ {\prime}) \\ \end{array}
\]

由于 Red 是 IncrFirst 不变的并且 $L'$ 是可约的， $\mathrm{Red}((M_{j})_{j=j_{0}}^{j_{1}-1})=L'$ 。根据 Mark 用 Trans 表示，以及 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变 P 等变性，

\[
\begin{array}{l} \operatorname{Mark} (M [ n ], j _ {0} + (n - 1) \left(j _ {1} - j _ {0}\right)) = \operatorname{Trans} ((M [ n ] _ {j}) _ {j = j _ {0} + (n - 1) \left(j _ {1} - j _ {0}\right)} ^ {j _ {0} + n \left(j _ {1} - j _ {0}\right) - 1}) = \operatorname{Trans} ((M _ {j}) _ {j = j _ {0}} ^ {j _ {1} - 1}) \\ = \mathrm{Trans} (L ^ {\prime}) \\ \end{array}
\]

因此

\[
\mathrm{Trans} (M [ n ]) = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (t _ {3} + (D _ {M _ {1, j _ {0}}} t _ {4}) \times m _ {n} + \mathrm{Trans} (L ^ {\prime})) b _ {1}
\]

证明 $\mathrm{Trans}(L') = D_{M_{1,j_0}}t_4$ 。令 $L := \mathrm{Red}((M_j)_{j = j - 1}^{j_1 - 1})$ 。由 $(0, j_{-1}) \leq_M (0, j_0) < _M^{\mathrm{Next}}(0, j_1)$ 和其直接祖先 $(0, j_{-1}) \leq_M (0, j_1 - 1)$ 的树结构(1)。因此，由于标准形式的直接祖先对切片约化的强单项式性质， $L$ 是强单项式的。因为 $j_{-1} < j_0$ ，且容差的遗传性对切片 $j_0 - j_{-1}$ 不

为 $L$ 容差，又因为容差的遗传性对切片 $\mathrm{Adm}_L(j_0 - j_{-1}) = j_{-1} - j_{-1} = 0$ 。因此，根据TrMax的定义， $0 < j_0 - j_{-1} < \mathrm{TrMax}(L)$ 。 $\mathrm{Lng}(L) - 1 = j_1 - j_{-1}$ ，且因为 $(0, j_0) < _M^{\mathrm{Next}}(0, j_1)$ 、 $(0, j_0 - j_{-1}) < _L^{\mathrm{Next}}(0, j_1 - j_{-1})$ ，且 $L_{1,j_0 - j_{-1}} = M_{1,j_0} \geq M_{1,j_1} = L_{1,j_1 - j_0'}$ 。因此，根据TrMax的定义， $\mathrm{TrMax}(L) < j_1 - j_0'$ ，因而 $\mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(L)) \geq 0$ 。

根据可约性与系数的关系，L 满足条件 (A) 和 (B)。由于 L 满足条件 (A) 和 (B)， $L_{0,j_{1}-j_{-1}}=L_{0,j_{1}-j_{-1}}+1=L_{1,j_{1}-j_{-1}}+1\geq L_{0,j_{1}-j_{-1}}+1>L_{0,j_{1}-j_{-1}}$ 。

因此，由条件 (II) 或 (IV) 下末端段与 Trans 的关系可知，存在一个 $(t_{1}^{\prime}, t_{2}^{\prime}) \in T_{\mathrm{B}}^{2}$ 使得：

(1) $\mathrm{Trans}(L') = D_{L_{1,j_0 - j - 1}}(t'_1 + t'_2)$ 和 $t_2'$ 。
(2) $\mathrm{Trans}(L) = D_{L_{1,0}}(t_1' + D_{L_{1,j_0 - j_{-1}}} (t_1' + t_2'))$ 。

从右端 2 个基点 Mark 的基本性质、Mark 关于 Trans 的表示、Trans 关于 (IncrFirst, Red) 的不变性、P 的不变性、以及 Mark 关于 Trans 的表示

\[
\begin{array}{l} D _ {L _ {1, 0}} (t _ {1} ^ {\prime} + D _ {L _ {1, j _ {0} - j _ {- 1}}} (t _ {1} ^ {\prime} + t _ {2} ^ {\prime})) = \operatorname{Trans} (L) = \operatorname{Trans} ((M _ {j}) _ {j = j _ {- 1}} ^ {j _ {1}}) = \operatorname{Mark} (M, j _ {- 1}) = c _ {2} \\ = D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (t _ {3} + D _ {M _ {1, j _ {0}}} t _ {4}) \\ \end{array}
\]

由于 $D_{L_{1,j_{0}-j_{-1}}}(t_{1}^{\prime}+t_{2}^{\prime})$ 等于 $t_{3}+D_{M_{1,j_{0}}}t_{4}$ 的最右边的单项式 $D_{M_{1,j_{0}}}t_{4}$ ,

因此，

\[
\mathrm{Trans} (L ^ {\prime}) = D _ {L _ {1, j _ {0} - j _ {- 1}}} (t _ {1} ^ {\prime} + t _ {2} ^ {\prime}) = D _ {M _ {1, j _ {0}}} t _ {4}
\]

由此可知，

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (M [ n ]) = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (t _ {3} + (D _ {M _ {1, j _ {0}}} t _ {4}) \times m _ {n} + \mathrm{Trans} (L ^ {\prime})) b _ {1} \\ = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (t _ {3} + (D _ {M _ {1, j _ {0}}} t _ {4}) \times m _ {n} + D _ {M _ {1, j _ {0}}} t _ {4}) b _ {1} \\ { = } { s _ { 1 } D _ { M _ { 1 , j _ { - 1 } } } ( t _ { 3 } + ( D _ { M _ { 1 , j _ { 0 } } } t _ { 4 } ) \times ( m _ { n } + 1 ) ) b _ { 1 } = \mathrm{Trans} ( M ) [ m _ { n } ] } \\ \end{array}
\]

证毕。

定理 21.4.104 在条件 (III) 或 (IV) 下 Trans 与基本列的对易关系。

对于任意 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ ，利用 Trans 的递归定义中引入的符号，假设存在唯一的 $j_{-2} \in \mathbb{N}$ 使得 $(1, j_{-2}) <_{M}^{Next}(1, j_1)$ ，且令 $j_{-3} := Adm_M(j_{-2})$ 。如果 $j_1 > 1$ 且 $M$ 满足条件 (III) 或 (IV)，则以下成立：

(1) $\text{Trans}(M[n]) \leq \text{Trans}(M)[n-1]$ 。
(2) $Trans(M[n]) < Trans(M)$ 。
(3) $Trans(M)[n - 1] < Trans(M[n + 1])$ 。

我们提出一些引理，作为在条件 (III) 或 (IV) 下证明 Trans 和基本列之间的交换关系的初步。

定理 21.4.105 最右非容许直接祖先的基本性质。

对于任何 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ 和 $m_0, m_1 \in \mathbb{N}$ , 令 $j_1 := Lng(M) - 1$ , 令 $m_{-1} := Adm_M(m_0)$ , 令 $N := (M_j)_{j=m-1}^{j_1}$ , 令 $(0, m_0) < _M^{Next}(0, m_1) \leq_M(0, j_1)$ , 令 $N' := (M_j)_{j=m_0}^{j_1}$ , 令 $J_1 := LetLng(Br(Red(N))) - 1$ 。然后, 如果 $(1, m_1 - 1) < M^{Next}(1, m_1)$ 且 $m_0$ 不容许, 则 $J_1 \geq 0$ 且 $0 < m_0 - m_{-1} < TrMax(Red(N))$ 且 $m_0 - m_{-1} = Joints(Red(N))_{J_1}$ 且 $FirstNodes(Red(N))_{J_1} = m_1 - m_{-1}$ 。

证明：

由于 $m_{0}$ 不具有 M 容错性， $m_{-1} < m_{0}$ ，因此 $m_{-1} - m_{0} > 0$ 。

对于任意 $j \in \mathbb{N}$ ，若 $0 < j \leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))$ ，则 $(1, j - 1) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1, j)$ ，且由其直接祖先的 Red 不变性， $(1, j - 1) <_{N}^{\mathrm{Next}}(1, j)$ ，即 $(1, j + m_{-1} - 1) <_{M}^{\mathrm{Next}}(1, j + m_{-1})$ 。因此，由于 $(1, m_1 - 1) <_{M}^{\mathrm{Next}}(1, m_1)$ 不是这种情况，所以 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) < m_1 - m_{-1}$ 。

$(0, m_0) <_{M}^{\text{Next}} (0, m_1) \leq_M (0, j_1)$ 意味着 $(0, m_0 - m_{-1}) <_{N}^{\text{Next}} (0, m_1 - m_{-1}) \leq_N (0, j_1 - m_{-1})$ ，而 $(0, m_0 - m_{-1}) <_{\text{Red}(N)}^{\text{Next}} (0, m_1 - m_{-1}) \leq_{\text{Red}(N)} (0, j_1 - m_{-1})$ 由直接祖先的 Red 不变性所暗示。由于公差对切片的遗传性， $\text{Adm}_N(m_0 - m_{-1}) = \text{Adm}_M(m_0) - m_{-1} = 0$ ，且由于 Red 在公差上的不变性， $\text{Adm}_{\text{Red}(N)}(m_0 - m_{-1}) = 0$ 。因此， $m_0 - m_{-1} \leq \text{TrMax}(\text{Red}(N))$ 。

由于 $0 < m_0 - m_{-1} \leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))$ ， $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) > 0$ 。根据 $\mathrm{TrMax}$ 的定义， $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))$ 对于 $\mathrm{Red}(N)$ 是可以接受的，因此 $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))) = \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) > 0 = \mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(m_0 - m_{-1})$ 。因此， $m_0 - m_{-1} < \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))$ 。因为 $m_0 - m_{-1} \leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) < m_1 - m_{-1}$ 、 $(0, m_0 - m_{-1}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}} (0, m_1 - m_{-1}) \leq_{\mathrm{Red}(N)} (0, j_1 - m_{-1})$ ，且 $P$ 的每个组成部分都是非二进制的，所以 $\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Red}(N))_{J_1} = m_1 - m_{-1}$ 且 $m_0 - m_{-1} = \mathrm{Joints}(\mathrm{Red}(N))_{J_1}$ 。

证毕。

定理 21.4.106 在条件 (III) 至 (V) 下，右端替换与 Trans 的关系。

对于任意 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ ，利用 Trans 的递归定义中引入的符号，假设存在唯一的 $j_{-2} \in \mathbb{N}$ 使得 $(1, j_{-2}) <_{M}^{Next}(1, j_1)$ 。令 $N' := (M_j)_{j=j_2}^{j_1}$ 且 $L' := (M_j)_{j=j_2}^{j_1-1} \oplus_{\mathbb{N}^2} ((M_{0,j_1}, M_{1,j_2}))$ 。然后，如果 $j_{-2} < j_1 - 1$ ，则存在唯一的 $(s, b) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 满足：

(1) $(s,D_{M_{1},j_{1}}0,b)$ 是 $Trans(N')$ 的 scb 分解。
(2) 如果 $j_{-2} = j_0$ 或 $j_0$ 是 $M$ 可接受的，则 $(s, D_{M_{1,j-2}} 0, b)$ 是 Trans(L') 的 scb 分解。
(3) 如果 $j_{-2} < j_0$ 且 $j_0$ 不是 $M$ 可接受的，则 $(s, D_{M_{1,j_0}}(t_2 + D_{M_{1,j_0}}0), b)$ 是 Trans( $L'$ ) 的 scb 分解。

证明：

设 $j_{-3} := \mathrm{Adm}_{M}(j_{-2})$ 。

设 $N := (M_{j})_{j=j-3}^{j_{1}}$ 。

由于 $(1,j_{-3})\leq_{M}(1,j_{-2})<_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1}),\quad(0,j_{-3})\leq_{M}(0,j_{-2})\leq_{M}(0,j_{1})$ 。因此，根据标准形式的直系祖先约化切片的强单项式性质， $\mathrm{Red}(N)$ 和 $\mathrm{Red}(N')$ 是强单项式的，并且特别地，它们既是约化的又是单项式的。

$L'$ 是单项的，因为 $(N_{0,j}^{\prime})_{j=0}^{j_{1}-j_{2}} = (L_{0,j}^{\prime})_{j=0}^{j_{1}-j_{2}}$ 且直接祖先满足 Red 不变性，又因为 Red 保持单项性质，所以 $\mathrm{Red}(L')$ 是约化的且是单项的。

Trans 的递归定义中引入的符号是针对 $\mathrm{Red}(N)$ 、 $\mathrm{Red}(N')$ 和 $\mathrm{Red}(L')$ 定义的，为了清楚地表明这是对 $\mathrm{Red}(N)$ 、 $\mathrm{Red}(N')$ 和 $\mathrm{Red}(L')$ 的应用，我们在右边标上分别用 N、 $N'$ 和 $L'$ 表示它们。

$j_{1}^{N}=j_{1}-j_{-3}$ 且 $j_{1}^{N^{\prime}}=j_{1}^{L^{\prime}}=j_{1}-j_{-2}$ ，并且根据直接祖先的 Red 不变性， $j_{0}^{N}=j_{0}-j_{-3}$ 且 $j_{0}^{N^{\prime}}=j_{0}^{L^{\prime}}=j_{0}-j_{-2}$ 且 $(1,0)\leq_{\mathrm{Red}(N)}(1,j_{-2}-j_{-3})<_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1}-j_{-3})=(1,j_{1}^{N})$ 且 $(1,0)<_{\mathrm{Red}(N^{\prime})}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1}-j_{-2}).=(1,j_{1}^{N^{\prime}})$ 。因此， $\mathrm{Red}(N^{\prime})_{1,0}<_{\mathrm{Red}(N^{\prime})}^{\mathrm{Next}}\mathrm{Red}(N^{\prime})_{1,j_{1}^{N^{\prime}}}$ 。

由于可约性与系数之间的关系，M 和 $\mathrm{Red}(N')$ 满足条件 (A) 和 (B)。由于 M 满足条件 (A) 且 $j_{-3} = \mathrm{Adm}_{M}(j_{-2})$ ，因此 $(N_{j})_{j=0}^{j_{-2}-j_{-3}} = \mathrm{IncrFirst}^{N_{0,0}-N_{1,0}}(((j,j))_{j=N_{1,0}}^{N_{1,j-2-j_{-3}}})$ 且 $N_{0,0} - N_{1,0} = M_{0,j_{-3}} - M_{1,j_{-3}} = M_{0,j_{-2}} - M_{1,j_{-2}} = N_{0,0}' - N_{0,1}'$ 。

根据基于直接祖先的切片以及 Red 与 IncrFirst 之间的关系, $\operatorname{IncrFirst}^{N_{0,0}^{\prime}-N_{1,0}^{\prime}}(\operatorname{Red}(N))=\operatorname{IncrFirst}^{N_{0,0}-N_{1,0}}(\operatorname{Red}(N))=N$ 和 $\operatorname{IncrFirst}^{N_{0,0}^{\prime}-N_{1,0}^{\prime}}(\operatorname{Red}(N^{\prime}))=N^{\prime}$ 。所以

\[
\operatorname{Red} (N) = \left(N _ {0, j} - N _ {0, 0} ^ {\prime} + N _ {1, 0} ^ {\prime}, N _ {1, j}\right) _ {j = 0} ^ {j _ {1} ^ {N ^ {\prime}}} = ((j, j)) _ {j = N _ {1, 0}} ^ {N _ {1, 0} ^ {\prime} - 1} \oplus_ {\mathbb {N} ^ {2}} \left(N _ {0, j} ^ {\prime} - N _ {0, 0} ^ {\prime} + N _ {1, 0} ^ {\prime}, N _ {1, j} ^ {\prime}\right) _ {j = 0} ^ {j _ {1} ^ {N ^ {\prime}}}
\]

\[
\mathrm{Red} (N ^ {\prime}) = (N _ {0, j} ^ {\prime} - N _ {0, 0} ^ {\prime} + N _ {1, 0} ^ {\prime}, N _ {1, j} ^ {\prime}) _ {j = 0} ^ {j _ {1} ^ {N ^ {\prime}}}
\]

因此， $\mathrm{Red}(N) = ((j,j))_{j=N_{1,0}}^{N'_{1,0}-1} \oplus_{\mathbb{N}^2} \mathrm{Red}(N')$ 。具体而言， $\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N)) = \mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N'))$ 。令 $J_1 := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N')) - 1$ 。 $\mathrm{Red}(N')_{1,0} <_{\mathrm{Red}(N')}^{\mathrm{Next}} \mathrm{Red}(N')_{1,j_1^{N'}}$ 且 $0 < j_1 - 1 - j_{-2} < j_1^{N'} - 1$ ，因此 $\mathrm{Red}(N')_{1,j_1^{N'} - 1} <_{\mathrm{Red}(N')}^{\mathrm{Next}} \mathrm{Red}(N')_{1,j_1^{N'}}$ 。因此， $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N')) < j_1^{N'}$ 且 $J_1 \geq 0$ 。令 $R := \mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N')) \oplus_{\mathbb{N}^2} (N'_{0,j_1^{N'}} - N'_{0,0} + N'_{1,0}, N'_{1,0})$ 。

我们证明 R 是可约的。

根据 $R$ 的定义， $\leq_{\mathrm{Red}(N')} \text{和} \leq_R$ 在 $(\{0,1\} \times \mathbb{N}) \setminus \{(1,j_1^{N'})\}$ 上相等。特别地，由于 $\mathrm{Red}(N')$ 的单项性质， $R$ 也是单项的。

通过 $(1,0) <_{\mathrm{Red}(N')}^{\mathrm{Next}}(1,j_1^{N'})$ 及其父元素的基本性质 (2)， $\mathrm{Red}(N')_{1,0} < \mathrm{Red}(N')_{1,j_1^{N'}}$ 并且对于任何 $j \in \mathbb{N}$ ，如果 $0 < j < j_1^{N'}$ 且 $(0,j) \leq_{\mathrm{Red}(N')} (0,j_1^{N'})$ ，则 $R_{1,j} = N_{1,j}' = \mathrm{Red}(N')_{1,j} \geq \mathrm{Red}(N')_{1,j_1^{N'}} > \mathrm{Red}(N')_{1,0} = N_{1,0}' = R_{1,j_1^{N'}}$ 。

因此，对于任意 $j \in \mathbb{N}$ ，如果 $0 < j < j_1^{N'}$ ，则 $(1, j) \leq_R (1, j_1^{N'})$ 不成立。此外，由于 $R_{1,0} = N_{1,0}' = R_{1,j_1^{N'}}$ ，因此 $(1, 0) \leq_R (1, j_1^{N'})$ 不成立。换句话说，不存在唯一的 $j \in \mathbb{N}$ 使得 $(1, j) < _R^{\mathrm{Next}} (1, j_1^{N'})$ 。

由上可知，对于任意 $i \in \{0,1\}$ 和 $j_1', j_2' \in \mathbb{N}$ ， $(i, j_1') <_{R}^{\text{Next}} (i, j_1')$ 的充分必要条件为 $(i, j_1') <_{\text{Red}(N')}^{ \text{Next}} (i, j_2') \neq (1, j_1^{N'})$ 。此外，由于 $\text{Red}(N')$ 满足条件 (A) 且 $R = \text{Pred}(\text{Red}(N')) \oplus_{\mathbb{N}^2} (\text{Red}(N')_{0, j_1^{N'}}, N_{1,0}')$ ，因此 $R$ 满足条件 (A)。

R 满足条件 (B)，因为 R 是单项式，且 $R_{0,0} = \text{Pred}(\text{Red}(N'))_{0,0} = N'_{1,0}$ 。因此，根据可约性与系数之间的关系，R 是可约的。

此外，由于 $\operatorname{IncrFirst}^{N_{0,0}^{\prime}-N_{1,0}^{\prime}}(R)=L^{\prime}$ ，由于 Red 的 IncrFirst 不变性， $\operatorname{Red}(L^{\prime})=\operatorname{Red}(R)=R$ 。

由于 $\mathrm{Pred}(N') = \mathrm{Pred}(L')$ , $t_{1}^{N'} = t_{1}^{L'}$ ，且 $\mathrm{Red}(N')$ 为单项式，Trans 为零项式， $t_{1}^{N'} \neq 0$ 。因此，条件 (I) 至 (VI) 对于 $\mathrm{Red}(N')$ 和 $\mathrm{Red}(L')$ 均有意义。

$\operatorname{Pred}(N') = \operatorname{Pred}(L')$ 且 $j_0^{N'} = j_0^{L'} < j_1^{L'}$ ，所以 $j_{-1}^{N'} = j_{-1}^{L'}$ 。因此， $c_1^{N'} = c_1^{L'}$ 且 $D_{v^{N'}}t_2^{N'} = c_1^{N'} = c_1^{L'} = D_{v^{L'}}t_2^{L'}$ ，所以 $v^{N'} = v^{L'}$ 且 $t_2^{N'} = t_2^{L'}$ 。另外，由于 $t_1^{N'} = t_1^{L'}$ 、 $c_1^{N'} = c_1^{L'}$ ，并且 scb 分解的唯一性， $s_1^{N'} = s_1^{L'}$ 和 $b_1^{N'} = b_1^{L'}$ 。

$(1,0) <_{\mathrm{Red}(N')}^{\mathrm{Next}} (1,j_1 - j_{-2}) = (1,j_1^{N'})$ ，因此 $\mathrm{Red}(N')_{1,j_1^{N'}} > \mathrm{Red}(N')_{1,0} \geq 0$ ，且 $(1,0) <_{\mathrm{Red}(N')}^{\mathrm{Next}} (1,j_1^{N'})$ 且 $0 < j_{1} - 1 - j_{-2} = j_{1}^{N'} - 1$ ，因此 $\mathrm{Red}(N')$ 满足条件(III)、(IV)或(V)。

$\operatorname{Red}(N')$ 满足条件 (A) 且 $\operatorname{Red}(N')_{1,0} <_{\operatorname{Red}(N')}^{\operatorname{Next}} \operatorname{Red}(N')_{1,j_1^{N'}}$ ，因此 $\operatorname{Red}(N')_{1,0} = \operatorname{Red}(N')_{1,j_1^{N'}} - 1$ ，

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Red} (L ^ {\prime}) _ {1, j _ {0} ^ {L ^ {\prime}}} - \mathrm{Red} (L ^ {\prime}) _ {1, j _ {1} ^ {L ^ {\prime}}} = R _ {1, j _ {0} ^ {N ^ {\prime}}} - R _ {1, j _ {1} ^ {N ^ {\prime}}} = \mathrm{Red} (N ^ {\prime}) _ {1, j _ {0} ^ {N ^ {\prime}}} - N _ {1, 0} ^ {\prime} \\ { = } { \operatorname{Red} ( N ^ { \prime } ) _ { 1 , j _ { 0 } ^ { N ^ { \prime } } } - \operatorname{Red} ( N ^ { \prime } ) _ { 1 , 0 } = \operatorname{Red} ( N ^ { \prime } ) _ { 1 , j _ { 0 } ^ { N ^ { \prime } } } - \operatorname{Red} ( N ^ { \prime } ) _ { 1 , j _ { 1 } ^ { N ^ { \prime } } } + 1 > \operatorname{Red} ( N ^ { \prime } ) _ { 1 , j _ { 0 } ^ { N ^ { \prime } } } - \operatorname{Red} ( N ^ { \prime } ) _ { 1 , j _ { 1 } ^ { N ^ { \prime } } }} \\ \end{array}
\]

为真。因此，如果 $\operatorname{Red}(N')$ 满足条件 (III) 或 (IV)，则 $\operatorname{Red}(N')_{1,j_0^{N'}} - \operatorname{Red}(N')_{1,j_1^{N'}} \geq 0$ ，且因此 $\operatorname{Red}(L')_{1,j_0^{L'}} - \operatorname{Red}(L')_{1,j_1^{L'}} > 0$ ，且因此 $\operatorname{Red}(L')$ 不满足条件 (V) 或 (VI)。如果 $\operatorname{Red}(N')$

满足条件 (V)，则 $\mathrm{Red}(N')_{1,j_{0}^{N'}} + 1 = \mathrm{Red}(N')_{1,j_{1}^{N'}}$ ，因此 $\mathrm{Red}(L')_{1,j_{0}^{L'}} - \mathrm{Red}(L')_{1,j_{1}^{L'}} = 0$ ，因此 $\mathrm{Red}(L')$ 不满足条件 (V) 或 (VI)。

从上式可知，无论哪种情况， $\mathrm{Red}(L')$ 都不满足条件 (V) 或 (VI)。

由于可接受性对切片的遗传性，以下等价：

(1) $j_{0}^{N'}$ 是 $N'$ 可接受的。
(2) $j_{0}^{L'}$ 是 $L'$ 可接受的。
(3) $j_{-2}=j_{0}$ 或 $j_{0}$ 是 M 可接受的。

因此，由于 Red 保持可接受性，以下等价：

(1) $j_0^{N'}$ 是 $\operatorname{Red}(N')$ 可接受的。
(2) $j_{0}^{L'}$ 是 $\mathrm{Red}(L')$ 可接受的。
(3) $j_{-2}=j_{0}$ 或 $j_{0}$ 是 M 可接受的。

如果 $j_{-2} = j_0$ 或 $j_0$ 是 $M$ 容许的，则 $\operatorname{Red}(L')$ 满足条件 (I) 或 (III)；如果 $j_{-2} < j_0$ 且 $j_0$ 不是 $M$ 容许的，则 $\operatorname{Red}(L')$ 满足条件 (II) 或 (IV)。

假设 $j_{-2}=j_{0}$ 或 $j_{0}$ 是 M 容许的。

$\operatorname{Red}(N')$ 满足条件 (III) 或 (V)，且 $\operatorname{Red}(L')$ 满足条件 (I) 或 (III)。

从 $t_2^{N'} = t_2^{L'}$ 和 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性，得到 $t_2^{N'} = t_2^{L'}$ 的 $P$ -不变性

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (N ^ {\prime}) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} (N ^ {\prime})) = s _ {1} ^ {N ^ {\prime}} c _ {2} ^ {N ^ {\prime}} b _ {1} ^ {N ^ {\prime}} = s _ {1} ^ {N ^ {\prime}} D _ {v ^ {N ^ {\prime}}} (t _ {2} ^ {N ^ {\prime}} + D _ {\mathrm{Red} (N ^ {\prime}) _ {1. j _ {1} ^ {N ^ {\prime}}}} 0) b _ {1} ^ {N ^ {\prime}} \\ { = } s _ { 1 } ^ { N ^ { \prime } } D _ { v ^ { N ^ { \prime } } } ( t _ { 2 } ^ { N ^ { \prime } } + D _ N _ { 1 , j _ { 1 } ^ { N ^ { \prime } } } ^ { N ^ { \prime } } 0 ) b _ { 1 } ^ { N ^ { \prime } } = s _ { 1 } ^ { N ^ { \prime } } D _ { v ^ { N ^ { \prime } } } ( t _ { 2 } ^ { N ^ { \prime } } + D _ { M _ { 1 , j _ { 1 } } 0 ) b _ { 1 } ^ { N ^ { \prime } }} \\ \mathrm{Trans} (L ^ {\prime}) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} (L ^ {\prime})) = s _ {1} ^ {L ^ {\prime}} c _ {2} ^ {L ^ {\prime}} b _ {1} ^ {L ^ {\prime}} = s _ {1} ^ {L ^ {\prime}} D _ {v ^ {L ^ {\prime}}} (t _ {2} ^ {L ^ {\prime}} + D _ {\mathrm{Red} (L ^ {\prime}) _ {1, j _ {1} ^ {L ^ {\prime}}}} 0) b _ {1} ^ {L ^ {\prime}} \\ { = } { s _ { 1 } ^ { N ^ { \prime } } D _ { v ^ { N ^ { \prime } } } ( t _ { 2 } ^ { N ^ { \prime } } + D _ { L _ { 1 , j _ { 1 } ^ { N ^ { \prime } } } ^ { \prime } } 0 ) b _ { 1 } ^ { N ^ { \prime } } = s _ { 1 } ^ { N ^ { \prime } } D _ { v ^ { N ^ { \prime } } } ( t _ { 2 } ^ { N ^ { \prime } } + D _ { N _ { 1 , 0 } ^ { \prime } } 0 ) b _ { 1 } ^ { N ^ { \prime } }} \\ { = } { s _ { 1 } ^ { N ^ { \prime } } D _ { v ^ { N ^ { \prime } } } ( t _ { 2 } ^ { N ^ { \prime } } + D _ { M _ { 1 , j _ { - 2 } } } 0 ) b _ { 1 } ^ { N ^ { \prime } }} \\ \end{array}
\]

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (L ^ {\prime}) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} (L ^ {\prime})) = s _ {1} ^ {L ^ {\prime}} c _ {2} ^ {L ^ {\prime}} b _ {1} ^ {L ^ {\prime}} = s _ {1} ^ {L ^ {\prime}} D _ {v ^ {L ^ {\prime}}} (t _ {2} ^ {L ^ {\prime}} + D _ {\mathrm{Red} (L ^ {\prime}) _ {1, j _ {1} ^ {L ^ {\prime}}}} 0) b _ {1} ^ {L ^ {\prime}} \\ { = } { s _ { 1 } ^ { N ^ { \prime } } D _ { v ^ { N ^ { \prime } } } ( t _ { 2 } ^ { N ^ { \prime } } + D _ { L _ { 1 , j _ { 1 } ^ { N ^ { \prime } } } ^ { \prime } } 0 ) b _ { 1 } ^ { N ^ { \prime } } = s _ { 1 } ^ { N ^ { \prime } } D _ { v ^ { N ^ { \prime } } } ( t _ { 2 } ^ { N ^ { \prime } } + D _ { N _ { 1 , 0 } ^ { \prime } } 0 ) b _ { 1 } ^ { N ^ { \prime } }} \\ { = } { s _ { 1 } ^ { N ^ { \prime } } D _ { v ^ { N ^ { \prime } } } ( t _ { 2 } ^ { N ^ { \prime } } + D _ { M _ { 1 , j _ { - 2 } } } 0 ) b _ { 1 } ^ { N ^ { \prime } }} \\ \end{array}
\]

因此, 根据 scb 分解的合成规则以及加法与 scb 分解的关系, 存在唯一的 $(s, b) \in (\Sigma^{<\omega})^{2}$ 使得 $(s, D_{M_{1,j_1}})0, b)$ 和 $(s, D_{M_{1,j_2}}0, b)$ 分别是 $\mathrm{Trans}(N')$ 和 $\mathrm{Trans}(L')$ 的 scb 分解。

证毕。

假设 $j_{-2} < j_{0}$ 且 $j_{0}$ 为非 M 可接受的。

$\operatorname{Red}(N')$ 满足条件 (IV)， $\operatorname{Red}(L')$ 满足条件 (II) 或 (IV)。

$t_2^{N'} = t_2^{L'}$ 且 $\mathrm{Red}(N')_{1,j_0^{N'}} = R_{1,j_0^{N'}} = \mathrm{Red}(L')_{1,j_0^{L'}}$ ，因此 $t_3^{N'} = t_3^{L'}$ 且 $t_4^{N'} = t_4^{L'}$ 。因此，由Trans的(IncrFirst,Red)不变性，即 $P$ -不变性，

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (N ^ {\prime}) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} (N ^ {\prime})) = s _ {1} ^ {N ^ {\prime}} c _ {2} ^ {N ^ {\prime}} b _ {1} ^ {N ^ {\prime}} = s _ {1} ^ {N ^ {\prime}} D _ {v ^ {N ^ {\prime}}} (t _ {3} ^ {N ^ {\prime}} + D _ {\mathrm{Red} (N ^ {\prime}) _ {1, j _ {0} ^ {N ^ {\prime}}}} (t _ {4} ^ {N ^ {\prime}} + D _ {\mathrm{Red} (N ^ {\prime}) _ {1, j _ {1} ^ {N ^ {\prime}}}} 0)) b _ {1} ^ {N ^ {\prime}} \\ { = } { s _ { 1 } ^ { N ^ { \prime } } D _ { v ^ { N ^ { \prime } } } ( t _ { 3 } ^ { N ^ { \prime } } + D _ { R _ { 1 , j _ { 0 } ^ { N ^ { \prime } } } } ( t _ { 4 } ^ { N ^ { \prime } } + D _ { N _ { 1 , j _ { 1 } ^ { N ^ { \prime } } } ^ { \prime } } 0 ) ) b _ { 1 } ^ { N ^ { \prime } } = s _ { 1 } ^ { N ^ { \prime } } D _ { v ^ { N ^ { \prime } } } ( t _ { 3 } ^ { N ^ { \prime } } + D _ { R _ { 1 , j _ { 0 } ^ { N ^ { \prime } } } } ( t _ { 4 } ^ { N ^ { \prime } } + D _ { M _ { 1 , j _ { 1 } } } 0 ) ) b _ { 1 } ^ { N ^ { \prime } }} \\ \mathrm{Trans} (L ^ {\prime}) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} (L ^ {\prime})) = s _ {1} ^ {L ^ {\prime}} c _ {2} ^ {L ^ {\prime}} b _ {1} ^ {L ^ {\prime}} = s _ {1} ^ {L ^ {\prime}} D _ {v ^ {L ^ {\prime}}} (t _ {3} ^ {L ^ {\prime}} + D _ {\mathrm{Red} (L ^ {\prime}) _ {1, j _ {0} ^ {L ^ {\prime}}}} (t _ {4} ^ {L ^ {\prime}} + D _ {\mathrm{Red} (L ^ {\prime}) _ {1, j _ {1} ^ {L ^ {\prime}}}} 0)) b _ {1} ^ {L ^ {\prime}} \\ { = } { s _ { 1 } ^ { N ^ { \prime } } D _ { v ^ { N ^ { \prime } } } ( t _ { 3 } ^ { N ^ { \prime } } D _ { R _ { 1 , j _ { 0 } ^ { N ^ { \prime } } } } ( t _ { 4 } ^ { N ^ { \prime } } + D _ { L _ { 1 , j _ { 1 } ^ { N ^ { \prime } } } ^ { \prime } } 0 ) ) b _ { 1 } ^ { N ^ { \prime } } = s _ { 1 } ^ { N ^ { \prime } } D _ { v ^ { N ^ { \prime } } } ( t _ { 3 } ^ { N ^ { \prime } } + D _ { R _ { 1 , j _ { 0 } ^ { N ^ { \prime } } } } ( t _ { 4 } ^ { N ^ { \prime } } + D _ { N _ { 1 , 0 } ^ { \prime } } 0 ) ) b _ { 1 } ^ { N ^ { \prime } }} \\ { = } { s _ { 1 } ^ { N ^ { \prime } } D _ { v ^ { N ^ { \prime } } } ( t _ { 3 } ^ { N ^ { \prime } } + D _ { R _ { 1 , j _ { 0 } ^ { N ^ { \prime } } } } ( t _ { 4 } ^ { N ^ { \prime } } + D _ { M _ { 1 , j _ { - 2 } } } 0 ) ) b _ { 1 } ^ { N ^ { \prime } }} \\ \end{array}
\]

因此,根据 scb 分解的复合规则以及加法与 scb 分解的关系,存在唯一的 $(s,b)\in(\Sigma^{<\omega})^{2}$ , 且 $(s,D_{M_{1,j_{1}}}0,b)$ 和 $(s,D_{M_{1,j_{-2}}}0,b)$ 分别是 $\mathrm{Trans}(N')$ 和 $\mathrm{Trans}(L')$ 的 scb 分解。

证毕。

定理 21.4.107 条件 (III) 至 (VI) 下的展开规则的基本性质。

对于任意 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ , 令 $N' := (M_j)_{j=j-2}^{j_1}$ , $L' := (M_j')_{j=j-2}^{j_1}$ , 且对于每个 $n \in \mathbb{N}_+$ , 令 $L_n := M[n] \oplus_{\mathbb{N}^2}$ 。设 $((M_{0,j-2} + n(M_{0,j_1} - M_{0,j-2}), M_{1,j-2}))$ , 若 $j_1 > 1$ , 则下列命题成立:

(1) 若 $M$ 满足条件 (III) 或 (IV)，则 $j_{-2} < j_0$ ；若 $M$ 满足条件 (V) 或 (VI)，则 $j_{-2} = j_0$ 。
(2) 对于任意 $n \in \mathbb{N}_{+}$ , $L_{n}$ 是可约化的且单项的。
(3) $\leq_{M}$ 和 $\leq_{L_1}$ 对 $(\{0,1\} \times \mathbb{N})\setminus \{(1,j_1)\}$ 的限制一致。
(4) 若 “M 满足 (VI) 或 $j_{0}$ 为 M-可接受的”，则 $L_{1}$ 满足条件 (I) 或 (III); 若 “M 不满足 (VI) 且 $j_{0}$ 为非 M-可接受的”，则 $L_{1}$ 满足条件 (II) 或 (IV)。
(5) 对任意 $n \in \mathbb{N}_{+}$ , 若 $n > 1$ , 存在唯一的 $(s', b') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 满足:

(5-1) $(s', D_{M_{1,j-2}}0, b')$ 是 $Trans(L_{n-1})$ 的 $scb$ 分解。

(5-2) $(s', Trans(L'), b')$ 是 $Trans(L_n)$ 的 $scb$ 分解。

(5-3) $(s', Trans(Pred(N')), b')$ 是 $Trans(M[n])$ 的 $scb$ 分解。

证明：

(1)

如果 M 满足条件 (III) 或 (IV)，则 $M_{1,j_{0}} \geq M_{1,j_{1}}$ ，因此 $(1,j_{0}) \leq_{M}(1,j_{1})$ 不成立，因此 $j_{-2} < j_{0}$ 。如果 M 满足条件 (V) 或 (VI)，则 $M_{1,j_{0}} < M_{1,j_{1}}$ ，因此 $(1,j_{0}) < _{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ 成立，因此 $j_{-2} = j_{0}$ 。

(2)

由于标准形式的可约性，M 是可约的；由于基序列保留了可约性，因此 $M[n+1]$ 也是可约的。 $M[n+1]$ 是单项的，因为 $M_{1,j_{1}} > M_{1,j_{-2}} > 0$ ，且非多重性与基本列之间的关系(2)。此外，

\[
L _ {n} = M [ n ] \oplus_ {\mathbb {N} ^ {2}} \left(\left(M _ {0, j _ {1}}, M _ {1, j _ {- 2}}\right)\right) = M [ n ] \oplus_ {\mathbb {N} ^ {2}} \left(\left(M _ {0, j _ {1}}, M _ {1, j _ {1}} - 1\right)\right) = (M [ n + 1 ] _ {j}) _ {j = 0} ^ {j _ {- 2} + n (j _ {1} - j _ {- 2})}
\]

因此， $L_{n}$ 既是单项的又是可约化的，因为约化性对切片具有遗传性，单项性对初始切片也具有遗传性。

(3)

由于 $L_{1} = M[1] \oplus_{\mathbb{N}^{2}} (M_{0,j_{1}}, M_{0,j_{-2}}) = \mathrm{Pred}(M) \oplus_{\mathbb{N}^{2}} (M_{0,j_{1}}, M_{0,j_{-2}})$ ，因此 $\leq_{M}$ 和 $\leq_{L_{1}}$ 对 $(\{0,1\} \times \mathbb{N}) \setminus \{(1,j_{1})\}$ 的限制相符。特别地， $(0,j_{0}) <_{L_{1}}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1})$ 。

Trans 递归定义中引入的符号也适用于 $L_{1}$ ，为了明确这是对 $L_{1}$ 的应用，我们将 $L_{1}$ 记为 $L_{1}$ ，并在其上标处加上 $L_{1}$ 。

由于 $\mathrm{Pred}(L_{1})=\mathrm{Pred}(M)$ ， $t_{1}^{L_{1}}=t_{1}\neq0$ ，因此条件 (I) 至 (VI) 对 $L_{1}$ 有意义。

由于 $(0,j_0) <_{L_1}^{\mathrm{Next}}(0,j_1)$ 且 $L_{1,j_0} = M_{1,j_0} = L_{1,j_1}$ ，因此 $L_1$ 既不满足条件 (V)，也不满足条件 (VI)。

令 M 满足条件 (VI)。

$j_{0}+1=j_{1}$ 。由于 $L_{1,j_{0}}=L_{1,j_{1}}=L_{1,j_{0}+1},\quad(1,j_{0})<_{L_{1}}^{\mathrm{Next}}(1,j_{0}+1)$ 不成立。因此， $j_{0}$ 是 $L_{1}$ 可容许的。

由上可知， $L_{1}$ 满足条件 (I) 或 (III)。

假设 $j_{0}$ 是 M 可容许的。

由于 $j_0$ 是 $M$ 可容许的，因此 $(0,j_0) < _M^{\mathrm{Next}}(0,j_0 + 1)$ 不成立，或者 $M_{1,j_0} \geq M_{1,j_0 + 1}$ 为真。

如果 $(0,j_0) < _M^{\mathrm{Next}}(0,j_0 + 1)$ 不成立，则 $(0,j_0) < _{L_1}^{\mathrm{Next}}(0,j_0 + 1)$ 也不成立，因此 $j_0$ 是 $L_{1}$ 可接受的。如果 $M_{1,j_0}\geq M_{1,j_0 + 1}$ ，则 $j_0 < j_1$ ，因此 $L_{1,j_0} = M_{1,j_0}\geq M_{1,j_1}\geq L_{1,j_1}$ ，因此 $j_0$ 是 $L_{1}$ 可接受的。因此，无论哪种情况， $j_0$ 都是 $L_{1}$ 可接受的。由上可知， $L_{1}$ 满足条件(I)或(III)。假设 $M$ 不满足(VI)条件，且 $j_0$ 不满足 $M$ 条件。

由于 $j_{0}$ 不满足 M 条件，因此 $(1, j_{0} - 1) <_{M}^{\text{Next}} (1, j_{0}) <_{M}^{\text{Next}} (1, j_{0} + 1)$ 。

由于 $M_{1,j_{1}} > M_{1,j_{-2}} \geq 0$ ，M 不满足条件 (I) 或 (II)。因此，M 满足条件 (IV) 或 (V)，所以 $M_{1,j_{0}} + 1 \geq M_{1,j_{1}}$ ，且 $L_{1,j_{0}} = M_{1,j_{0}} \geq M_{1,j_{1}} - 1 = L_{1,j_{1}}$ 。

$(1,j_{0})<_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ 不成立。因此， $j_{0}+1<j_{1}$ ，进而 $(1,j_{0}-1)<_{L_{1}}^{\text{Next}}(1,j_{0})<_{L_{1}}^{\text{Next}}(1,j_{0}+1)$ 。因此， $j_{0}$ 不为 $L_{1}$ 可接受的。

由上可知， $L_{1}$ 满足条件 (II) 或 (IV)。

(5)

$\mathrm{Lng}(L_n) - 1 = j_{-2} + n(j_1 - j_{-2})$ 。假设 $j_{-2} + (n - 1)(j_1 - j_{-2})$ 不符合 $L_{n}$ 要求，则会导致矛盾。

由于 $j_{-2} + (n - 1)(j_1 - j_{-2})$ 不是 $L_{n}$ 容错的，因为 $(1,j_{-2} + (n - 1)(j_1 - j_{-2}) - 1) < _{L_n}^{\mathrm{Next}}(1,j_{-2} + (n - 1)(j_1 - j_{-2}))$

\[
\begin{array}{l} M _ {0, j _ {1} - 1} = (L _ {n}) _ {0, j _ {- 2} + (n - 1) (j _ {1} - j _ {- 2}) - 1} - (n - 2) (M _ {0, j _ {1}} - M _ {0, j _ {- 2}}) \\ < \quad (L _ {n}) _ {0, j _ {- 2} + (n - 1) (j _ {1} - j _ {- 2})} - (n - 2) (M _ {0, j _ {1}} - M _ {0, j _ {- 2}}) \\ = \left(M _ {0, j _ {- 2}} + (n - 1) (M _ {0, j _ {1}} - M _ {0, j _ {- 2}})\right) - (n - 2) (M _ {0, j _ {1}} - M _ {0, j _ {- 2}}) = M _ {0, j _ {1}} \\ \end{array}
\]

且 $M_{1,j_1 - 1} = (L_n)_{1,j_{-2} + (n - 1)(j_1 - j_{-2}) - 1} < (L_n)_{1,j_{-2} + (n - 1)(j_1 - j_{-2})} = M_{1,j_{-2}} < M_{1,j_1}$

由于 $M_{0,j_1 - 1} < M_{0,j_1}$ 且 $M_{1,j_1 - 1} < M_{1,j_{-2}} < M_{1,j_1}$ ，因此有 $(1,j_1 - 1) < _M^{\mathrm{Next}}(1,j_1)$ ，即 $j_{-2} = j_1 - 1$ ，这与 $M_{1,j_1 - 1} < M_{1,j_2}$ 矛盾。

由上可知， $j_{-2}+(n-1)(j_{1}-j_{-2})$ 是 $L_{n}$ 可接受的。进一步，由于 $(1,j_{-2})<_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1})$ ， $(0,j_{-2})\leq_{M}(0,j_{1})$ ，所以 $(0,j_{-2}+(n-1)(j_{1}-j_{-2}))\leq_{L_{n}}(0,j_{-2}+n(j_{1}-j_{-2}))$ 。因此， $(L_{n},j_{-2}+(n-1)(j_{1}-j_{-2}))\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ 。

将 Mark 用 Trans 表示

\[
\mathrm{Mark} (L _ {n}, j _ {- 2} + (n - 1) (j _ {1} - j _ {- 2})) = \mathrm{Trans} (((L _ {n}) _ {j}) _ {j = j _ {- 2} + (n - 1) (j _ {1} - j _ {- 2})} ^ {j _ {- 2} + n (j _ {1} - j _ {- 2}}) = \mathrm{Trans} (L ^ {\prime})
\]

因此， $((L_n)_j)_{j=0}^{j-2+(n-1)(j_1-j-2)} = L_{n-1}$ ，且 Trans 用 Mark 和切片表示，我们得到一个唯一的 $(s', b') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 使得：

(1) $(s',D_{M_{1,j-2}}0,b')$ 是 $\mathrm{Trans}(L_{n-1})$ 的scb分解。
(2) $(s',\mathrm{Trans}(L'),b')$ 是 $\mathrm{Trans}(L_{n})$ 的scb分解。

因为 $j_{-2} + (n - 1)(j_1 - j_{-2})$ 是 $L_{n}$ 可接受的， $j_{-2} + (n - 1)(j_1 - j_{-2}) < j_{-2} + n(j_1 - j_{-2})$ 且 $M[n] = \mathrm{Pred}(L_n)$ ，所以对基准切片的遗传率为 $(M[n], j_{-2} + (n - 1)(j_1 - j_{-2})) \in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ 。

由于基本列保持可约性， $M[n]$ 可约，因此，由 Mark 用 Trans 表示可得：

\[
\operatorname{Mark} (M [ n ], j _ {- 2} + (n - 1) (j _ {1} - j _ {- 2})) = \operatorname{Trans} (((M [ n ]) _ {j}) _ {j = j _ {- 2} + (n - 1) (j _ {1} - j _ {- 2})} ^ {j _ {- 2} + n (j _ {1} - j _ {- 2})}) = \operatorname{Trans} (\operatorname{Pred} (N ^ {\prime}))
\]

因此， $((M[n])_j)_{j=0}^{j-2+(n-1)(j_1-j_{-2})} = L_{n-1}$ ，并且通过用 Mark 和切片表示 Trans， $(s', \text{Trans}(\text{Pred}(N')), b')$ 是 Trans(M[n]) 的 scb 分解。

证毕。

定理 21.4.108 在条件 (III) 至 (VI) 下，Trans 与 scb 分解的关系。

对于任意 $M \in RT_{PS} \cap PT_{PS}$ , 令 $j_1 := Lng(M) - 1$ 且令 $j_1 > 1$ 。利用 Trans 的递归定义中引入的符号, 假设存在唯一的 $j_{-2} \in \mathbb{N}$ 使得 $(1, j_{-2}) < _M^{Next}(1, j_1)$ 。令 $j_{-3} := Adm_M(j_{-2})$ 且令 $N := (M_j)_{j = j_{-3}}^{j_1}$ 。然后, 存在唯一的 $(s', b') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 使得 $(s', Trans(N), b')$ 是 $Trans(M)$ 的第一种 scb 分解。

证明：

由于 $(0,j_{-3})\leq_M(0,j_{-2})\leq_M(0,j_1)$ 且 $j_{-3}$ 是 $M$ 可接受的，因此 $(M,j_{-3})\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ 。

令 $N := (M_{j})_{j=j-3}^{j_{1}}$ 。

由于 $(0,j_{-3})\leq_M(0,j_{-2})$ 且 $(1,j_{-2}) < _M^{\mathrm{Next}}(1,j_1)$ ， $j_{-3} < j_{1}$ 且 $(0,j_{-3})\leq_M(0,j_{-2})\leq_M(0,j_1)$ 。

由于 $(M,j_{-3})\in T_{\mathrm{PS}}^{\mathrm{Marked}}$ ，存在唯一的 $(s',b')\in(\Sigma^{<\omega})^{2}$ 使得 $(s',\mathrm{Mark}(M,j_{-2}',b'))$ 是 $\mathrm{Trans}(M)$ 的 scb 分解。

由于 Mark 用 Trans 表示, $(s', \text{Trans}(N), b')$ 是 $\text{Trans}(M)$ 的 scb 分解。由于 $(0, j_{-2}') \leq_M (0, j_1)$ ，且单项式遗传性与直系祖先切片相关， $N$ 是单项式的。因此，由于 Red 保持单项式性， $\text{Red}(N)$ 既是约化的，又是单项式的。因为 $(0, j_{-2}') \leq_M (0, j_1)$ ，所以它是 $(0, 0) \leq_N (0, j_1 - j_{-2}')$ ，又因为直接祖先的 Red 不变性意味着它是 $(0, 0) \leq_{\text{Red}(N)} (0, j_1 - j_{-2}')$ 。

由于 $(0,0) \leq_{\mathrm{Red}(N)} (0, j_1 - j'_{-2})$ 且 0 是 $\operatorname{Red}(N)$ 可接受的，因此存在唯一的 $J_1 \in \mathbb{N}$ 和 $n \in \mathbb{N}_M^{<\omega}$ 使得：

\[
\mathrm{Lng} (n) = J _ {1} + 1 。
\]

\[
n _ {0} = 0 \text {。}
\]

对于任何 $J \in \mathbb{N}$ ，如果 $J < J_1$ 则 $(0, n_J) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{NextAdm}}(0, n_{J+1})$ 。

\[
n _ {J _ {1}} = j _ {1} - j _ {- 2} ^ {\prime} \circ
\]

对于任何 $J \in \mathbb{N}$ ，如果 $0 < J < J_1$ ，则 $n_J + j_{-2}' > n_0 + j_{-2}' = j_{-2}' \geq j_{-2}$ 。由于 $(0, n_J) \leq_{\mathrm{Red}(N)} (0, n_{J_1}) = (0, j_1 - j_{-2}')$ 且直系祖先 Red 保持不变， $(0, n_J) \leq_N (0, j_1 - j_{-2}')$ 即 $(0, n_J + j_{-2}') \leq_M (0, j_1)$ ，我们有 $(1, j_{-2}) < _M^{\mathrm{Next}} (1, j_1)$ 以及父母的基本性质。由 (2) 可知， $M_{1, n_J + j_{-2}'} \geq M_{1, j_1}$ 。

令 $J_{1}^{\prime} := \mathrm{Lng}(\mathrm{RightAnces}(N)) - 1$ 。由于 $\mathrm{Red}(N)$ 是单项的，根据 RightAnces 的递归定义，存在唯一的 $n^{\prime} \in N$ 使得：

\[
\mathrm{RightAnces} (N) = (\mathrm{Red} (N) _ {1, n _ {J ^ {\prime}} ^ {\prime}}) _ {J ^ {\prime} = 0} ^ {J _ {1} ^ {\prime}}.
\]

\[
n _ {0} ^ {\prime} = 0 _ {\circ}
\]

对于任意 $J' \in \mathbb{N}$ ，若 $J' \leq J_1'$ ，则 $(0,0) \leq_{\mathrm{Red}(N)} (0, n_{J'}') \leq_M (0, j_1 - j_{-2}')$ 。

对于任意 $J' \in N$ ，若 $J' < J_{1}'$ ，则 $n_{J'}' < n_{J'+1}'$ 。

\[
n _ {J _ {1} ^ {\prime}} ^ {\prime} = j _ {1} - j _ {- 2} ^ {\prime} \circ
\]

对于任意 $J' \in \mathbb{N}$ , 若 $J' \leq J_1'$ , 则存在唯一的 $J \in \mathbb{N}$ , 使得 $J \leq J_1$ 且:

(a) $n'_{J'} = n_{J}$ 。

(b) $(\mathrm{Red}(N)_j)_{j=0}^{n_J - 1}$ 不是零项，且 $(\mathrm{Red}(N)_j)_{j=0}^{n_J}$ 满足条件 (II) 或 (IV)，且 $(0, n_{J'}') <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0, n_J)$ 。

我们证明，对于任何 $J' \in \mathbb{N}$ ，如果 $0 < J' \leq J_1'$ ，则 $\mathrm{RightNodes}(\mathrm{Trans}(N))_{J'} \geq \mathrm{RightNodes}(\mathrm{Trans}(N))_{J_1'}$ 。

根据直接祖先切片以及 Red 与 IncrFirst 之间的关系， $\mathrm{IncrFirst}^{N_{0,0}-N_{1,0}}(\mathrm{Red}(N))=N$ ，因此，特别地，对于任何 $j\in N$ ，如果 $j\leq j_{1}-j_{-3}$ ，则 $\mathrm{Red}_{1,j}=N_{1,j}=M_{1,j+j_{-3}}$ 。

存在唯一的 $J \in N$ ，使得 $0 < J \leq J_{1}$ ，并且对于 $J'$ ，满足条件 (a) 或 (b)。

如果 $J$ 满足 (a)，则 $n_J$ 是 $\operatorname{Red}(N)$ -可接受的，且 $\operatorname{Adm}_M(j_{-2}) = j_{-3} < n_J + j_{-3}$ ，因此 $n_J + j_{-3} > j_{-2}$ ，进而 $j_{-2} < n_J + j_{-3} = n_{J'}' + j_{-3}$ 且 $(0, n_{J'}' + j_{-3}) = (0, n_J + j_{-3}) \leq_M (0, j_1)$ 。

假设 J 满足 (b)。

因为 $(0, n_{J'}') <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0, n_{J})$ 且其直接祖先 Red 不变性为 $n_{J'}' < n_{J}$ 且 $(0, n_{J'}') <_{N}^{\mathrm{Next}}(0, n_{J})$ ，即 $(0, n_{J'}' + j_{-3}) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0, n_{J} + j_{-3}) \leq_{M} (0, j_{1})$ 。

$(0,j_{-2})\leq_{M}(0,j_{1})$ 蕴含着 $(0,j_{-2} - j_{-3})\leq_{N}(0,j_{1} - j_{-3})$ ，而 $(0,j_{-2} - j_{-3})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,j_1 - j_{-3})$ 由直接祖先的Red不变性蕴含。

$j_{-2}-j_{-3}<n_{J}$ 且 $(0,j_{-2}-j_{-3})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,j_{1}-j_{-3})=(0,n_{J_{1}})$ 且 $(0,n_{J})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,n_{J_{1}})$ ，因此 $(0,j_{-2}-j_{-3})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,n_{J})$ 且 $(0,n_{J'}')<_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0,n_{J})$ 。因此， $(0,j_{-2}-j_{-3})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,n_{J'}')$ 。

根据 $(0, n_{J'}') <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0, n_{J}) \leq_{\mathrm{Red}(N)}(0, n_{J_{1}}) = (0, j_{1} - j_{-3})$ 及直接祖先 Red 的不变性， $(0, n_{J'}') <_{N}^{\mathrm{Next}}(0, n_{J}) \leq_{N}(0, j_{1} - j_{-3})$ ，即 $(0, n_{J'}' + j_{-3}) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0, n_{J} + j_{-3}) \leq_{M}(0, j_{1})$ 。

假设 $j_{-2}-j_{-3}=n_{J'}^{\prime}$ 会导致矛盾。

$(0,j_{-2})=(0,n_{J^{\prime}}^{\prime}+j_{-3})<_{M}^{\mathrm{Next}}(0,n_{J}+j_{-3})\leq_{M}(0,j_{1})$ ，且由 $(1,j_{-2})<_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1})$ 和父元素的基本性质(2)， $M_{1,n_{J}+j_{-3}}\geq M_{1,j_{1}}>M_{1,j_{-2}}$ 。

因此， $\mathrm{Red}(N)_{1,n_J} = M_{1,n_J + j_{-3}} > M_{1,j_{-2}} = \mathrm{Red}(N)_{1,j_{-2} - j_{-3}}$ ，因此 $(0,j_{-2} - j_{-3}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0,n_J)$ 意味着 $(\mathrm{Red}(N)_j)_{j=0}^{n_J}$ 满足条件 (V) 或 (VI)，这与 $(\mathrm{Red}(N)_j)_{j=0}^{n_J}$ 满足条件 (II) 或 (IV) 相矛盾。

由上可知， $j_{-2}-j_{-3}<n_{J'}^{\prime}$ ，即 $j_{-2}<n_{J'}^{\prime}+j_{-3}$ 。

由上可知，在这两种情况下， $j_{-2}<n_{J'}^{\prime}+j_{-3}$ 且 $(0,n_{J'}^{\prime}+j_{-3})\leq_{M}(0,j_{1})$ 。

因为 $j_{-2} < n_{J'}' + j_{-3}$ 且 $(0, n_{J'}' + j_{-3}) \leq_{M} (0, j_{1})$ 和 $(1, j_{-2}) < \frac{\text{Next}}{M} (1, j_{1})$ ，根据父级的基本性质 (2)， $M_{1, n_{J'}' + j_{-2}'} \geq M_{1, j_{1}}$ 。因此，根据 RightNodes 和 RightAnces 的关系，

\[
\begin{array}{l} \operatorname{RightNodes} (\operatorname{Trans} (N)) _ {J ^ {\prime}} = \operatorname{RightAnces} (N) _ {J ^ {\prime}} = \operatorname{Red} (N) _ {1, n _ {J ^ {\prime}} ^ {\prime}} = M _ {1, n _ {J ^ {\prime}} ^ {\prime} + j _ {- 2} ^ {\prime}} \\ \geq M _ {1, j _ {1}} = \operatorname{Red} (N) _ {1, n _ {J _ {1} ^ {\prime}} ^ {\prime}} = \operatorname{RightAnces} (N) _ {J _ {1} ^ {\prime}} = \operatorname{RightNodes} (\operatorname{Trans} (N)) _ {J _ {1} ^ {\prime}} \\ \end{array}
\]

$M_{1,j-3} \leq M_{1,j-2} < M_{1,j_1}$ ，因此，根据 RightNodes 和 RightAnces 的关系，

\[
\operatorname{RightNodes} (\operatorname{Trans} (N)) _ {0} = \operatorname{RightAnces} (N) _ {0} = \operatorname{Red} (N) _ {1, n _ {0} ^ {\prime}} = M _ {1, j _ {- 3}}
\]

\[
< \quad M _ {1, j _ {1}} = \operatorname{RightAnces} (N) _ {J _ {1} ^ {\prime}} = \operatorname{RightNodes} (\operatorname{Trans} (N)) _ {J _ {1} ^ {\prime}}
\]

由上可知， $(s',\mathrm{Trans}(N),b')$ 是 $\mathrm{Trans}(M)$ 的第一类scb分解。

证毕。

定理 21.4.109 在条件 (III) 至 (V) 下切片的 scb 分解。

对于任意 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ ，利用 Trans 的递归定义中引入的符号，假设存在唯一的 $j_{-2} \in \mathbb{N}$ 使得 $(1, j_{-2}) <_{M}^{Next}(1, j_1)$ ，且令 $N' := (M_j)_{j=j_{-2}}^{j_1}$ 。如果 $M$ 不满足条件 (VI)，且 $Adm_M(j_{-2}) = j_{-1}$ ，则存在唯一的 $(s_1', b_1') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 满足：

(1) $(D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $c_{2}$ 的scb分解。
(2) $(D_{M_{1,j_2}}s_1', D_{M_{1,j_1}}0, b_1')$ 是 $Trans(N')$ 的 $scb$ 分解。
(3) $Trans(Pred(N')) = D_{M_{1,j-2}}t_{2}$

证明：

下文中，我们将在条件 (III) 至 (VI) 下使用展开规则的基本性质，无需任何说明。

(1)

由于标准形式的可约性，M 是可约的。

由于右端第 1 个基点的 Mark 的基本性质， $\mathrm{Mark}(M,j_{1})=D_{M_{1,j_{1}}}0$ ，并且由于右端第 2 个基点的 Mark 的基本性质， $\mathrm{Mark}(M,j_{-1})=c_{2}$ 。

因此，基于 $j_{-1} \leq j_0 < j_1$ 、scb 分解的平凡性准则、Trans 最左分量的基本性质以及 Mark 保持有序关系，存在唯一的 $(s_1', b_1') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ ，使得 $(D_{M_{1,j-1}} s_1', D_{M_{1,j_1}} 0, b_1')$ 是 $c_2$ 的 scb 分解。

(2)

设 $N := (M_{j})_{j=j-1}^{j_{1}}$ 。

由于 $(0,j_{-1})\leq_{M}(0,j_{0})<_{M}^{\text{Next}}(0,j_{1})$ 以及标准形式的直系祖先函数切片约化的强单项式性质， $\mathrm{Red}(N)$ 是强单项式。

从 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变 P 等变性以及 Mark 用 Trans 表示, $\mathrm{Trans}(\mathrm{Red}(N)) = \mathrm{Trans}(N) = \mathrm{Mark}(M, j_{-1}) = c_{2}$ 。

$j_{-1} = \mathrm{Adm}_{M}(j_{-2}) \leq j_{-2} \leq j_{0}$ 。由于公差对切片的遗传性， $\mathrm{Adm}_{N}(j_{-2} - j_{-1}) = \mathrm{Adm}_{M}(j_{-2}) - j_{-1} = 0$ 且 $\mathrm{Adm}_{N}(j_{0} - j_{-1}) = \mathrm{Adm}_{M}(j_{0}) - j_{-1} = 0$ ，并且由于公差的Red不变性， $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_{-2} - j_{-1}) = 0$ 且 $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_{0} - j_{-1}) = 0$ 。因此， $j_{-2} - j_{-1} \leq j_{0} - j_{-1} \leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))$ 。

如果 M 满足条件 (III) 或 (IV)，则 $M_{1,j_{0}} \geq M_{1,j_{1}}$ ，所以 $(1,j_{0}) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ ，进而 $j_{-2} < j_{0} < j_{1}$ ，所以 $j_{-2} < j_{1} - 1$ ，尤其是 $(1,j_{1} - 1) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ 。如果 M 满足条件 (V)，则 $j_{0} < j_{1} - 1$ ，因此 $(0,j_{1} - 1) <_{M}^{\text{Next}}(0,j_{1})$ ，尤其 $(1,j_{1} - 1) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ 。

因此，无论哪种情况， $(1,j_{1}-1)<_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ 都不成立。

设 $J_{1} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N)))$ 。

由于 $(1,j_{1} - 1)\leq_{M}(1,j_{1})$ 不成立，因此 $(1,j_{1} - 1 - j_{-1})\leq_{N}(1,j_{1} - j_{-1})$ 也不成立。由于直接祖先的Red不变性， $(1,j_{1} - 1 - j_{-1})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(1,j_1 - j_{-1})$ 并非如此，因此 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) < j_1 - j_{-1}$ 。因此， $J_{1}\geq 0$

由于 $(0,j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_1)$ ， $(0,j_0 - j_{-1}) <_{N}^{\mathrm{Next}}(0,j_1 - j_{-1})$ ；由于直接祖先的 Red 不变性， $(0,j_0 - j_{-1}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0,j_1 - j_{-1})$ 。

因为 $(0, j_0 - j_{-1}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0, j_1 - j_{-1})$ 且 $j_0 - j_{-1} \leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) < j_1 - j_{-1}$ ，由于 $P$ 每个分量都具有非二进制性质，所以 $\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Red}(N))_{J_1} = j_1 - j_{-1}$ 且 $\mathrm{Joints}(\mathrm{Red}(N))_{J_1} = j_0 - j_{-1} \circ (1, j_{-2}) <_{M}^{\mathrm{Next}}(1, j_1)$ 意味着 $(1, j_{-2} - j_{-1}) <_{N}^{\mathrm{Next}}(1, j_1 - j_{-1})$ ，且 $(1, j_{-2} - j_{-1}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1, j_1 - j_{-1})$ 意味着 $(1, j_{-2} - j_{-1}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1, j_1 - j_{-1})$ ，因为 $j_{-2} < j_0$ 。

如果 M 满足条件 (III) 或 (IV)，则 $j_{-2}-j_{-1}<j_{0}-j_{-1}=\mathrm{Joints}(\mathrm{Red}(N))_{J_{1}}$ 。

假设 M 满足条件 (V)。

由于 $M_{1,j_{0}} < M_{1,j_{0}} + 1 = M_{1,j_{1}}$ ， $(1,j_{0}) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ ，因此 $j_{-2} = j_{0}$ 。具体而言，由于 FirstNodes、TrMax 和 Joints 之间的关系， $j_{-2} - j_{-1} = j_{0} - j_{-1} = \text{Joints}(\text{Red}(N))_{J_{1}} \leq \text{TrMax}(\text{Red}(N))$ 。

由于可约性与系数之间的关系， $\mathrm{Red}(N)$ 满足条件 (A) 和 (B)。 $\mathrm{Red}(N)$ 满足条件 (A) 和 (B) 且 $j_{-2} - j_{-1} \leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))$ ，因此 $\mathrm{Red}(N)_{0,j_{-2}-j_{-1}} = \mathrm{Red}(N)_{1,j_{-2}-j_{-1}}$ 。 $\mathrm{Red}(N)$ 满足条件 (A) 且 $(1,j_{-2} - j_{-1}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,j_1 - j_{-1})$ ，因此 $\mathrm{Red}(N)_{0,j_1 - j_1} = \mathrm{Red}(N)_{0,j_{-2} - j_{-1}} + 1 = \mathrm{Red}(N)_{1,j_{-2} - j_{-1}} + 1 = \mathrm{Red}(N)_{1,j_1 - j_{-1}}$ 。

$\operatorname{Red}(N)$ 是强单项的，因此 $\operatorname{Br}(\operatorname{Red}(N))$ 是降序的。

从上式可知，“ $j_{-2}-j_{-1}<\mathrm{Joints}(\mathrm{Red}(N))_{J_{1}}$ ”或“ $j_{-2}-j_{-1}=\mathrm{Joints}(\mathrm{Red}(N))_{J_{1}}$ 且 $\mathrm{Red}(N)_{0,j_{1}-j_{-1}}=\mathrm{Red}(N)_{1,j_{1}-j_{-1}}$ 且 $\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N))$ 按降序排列。”

因此， $(D_{M_{1,j_ - 1}}s_1', D_{M_{1,j_1}}0, b_1')$ 是 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Red}(N)) = c_2$ 的 scb 分解，又由于 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变 $P$ 齐次性以及在条件 (V) 下末端段与 Trans 的关系， $(D_{M_{1,j_ - 2}}s_1', D_{M_{1,j_1}}0, b_1')$ 是 $\mathrm{Trans}(N')$ 的 scb 分解。

(3)

由于可约化为段的遗传性和单项化为初始段的遗传性， $\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))$ 是可约化的且是单项的。此外，由于 Red 和 Pred 的交换性， $\mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N)) = \mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))$ 。从 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变 $P$ 等方差，以及 Mark 用 Trans 表示，

\[
\begin{array}{l} \operatorname{Trans} (\operatorname{Pred} (\operatorname{Red} (\operatorname{Pred} (N))) = \operatorname{Trans} (\operatorname{Red} (\operatorname{Pred} (N))) = \operatorname{Trans} (\operatorname{Pred} (N)) \\ = \mathrm{Mark} (\mathrm{Pred} (M), j _ {- 1}) = c _ {1} = D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} t _ {2} \\ \end{array}
\]

由于可约性与系数之间的关系，M 满足条件 (A) 和 (B)，所以 $j_{-2}-j_{-1}<j_{0}-j_{-1}\leq\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))=\mathrm{TrMax}(N)$ ，因此 $N_{0,0}-N_{1,0}=N_{0,j_{-2}-j_{-1}}-N_{1,j_{-2}-j_{-1}}=N_{0,0}^{\prime}-N_{1,0}^{\prime}$ 。

根据基于直系祖先的切片以及 Red 和 IncrFirst 之间的关系, $\operatorname{IncrFirst}^{N_{0,0}-N_{1,0}}(\operatorname{Red}(\operatorname{Pred}(N))) = \operatorname{Pred}(N)$ 并且 $\operatorname{IncrFirst}^{N_{0,0}^{\prime}-N_{1,0}^{\prime}}(\operatorname{Red}(\operatorname{Pred}(N^{\prime}))) = \operatorname{Pred}(N^{\prime})$ , 因此 $(\operatorname{Pred}(N)_j)_{j=j-2-j-1}^{j_1-1-j-1} = \operatorname{Pred}(N')$ , 我们得到 $(\operatorname{Red}(\operatorname{Pred}(N))_j)_{j=j-2-j-1}^{j_1-1-j-1} = \operatorname{Red}(\operatorname{Pred}(N'))$ 。令 $J_0 := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))))$ 。

令 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) < j_{1} - 1 - j_{-1}$ 。

由于 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) < j_{1} - 1 - j_{-1}$ ， $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))) = \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))$ ，特别地， $j_{-2} - j_{-1} < j_{0} - j_{-1} \leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))) < j_{1} - j_{-1}$ 。因此， $J_{0} \geq 0$ 。因为 Pred 表示为 [1]，且由于 P 与基本列的关系，所以 $J_{1} - 1 \leq J_{0} \leq J_{1}$ 。

从 $(1,j_{-2} - j_{-1}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,j_1 - j_{-1})$ 和 $(0,j_0 - j_{-1}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0,j_1 - j_{-1})$ 以及直接祖先的树结构(1)， $(0,j_{-2} - j_{-1})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,j_0 - j_{-1})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,j_1 - 1 - j_{-1}), (0,j_{-2}-$ $j_{-1})\leq_{\mathrm{Pred(Red(N))}}(0,j_0 - j_{-1})\leq_{\mathrm{Pred(Red(N))}}(0,j_1 - 1 - j_{-1})$ 。

由于 $(0, j_0 - j_{-1}) \leq_{\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))} (0, j_1 - 1 - j_{-1})$ 且 $j_0 - j_{-1} \leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))) < j_1 - 1 - j_{-1}$ ，因此 $P$ 每个分量的非二进制性质意味着 $j_0 - j_{-1} \leq \mathrm{Joints}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N)))_{J_0}$ 。特别地， $j_{-2} - j_{-1} < j_0 - j_{-1} \leq \mathrm{Joints}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N)))_{J_0}$ 。

因此， $\mathrm{Trans}(\mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N))) = \mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))) = D_{M_{1,j-1}} t_2$ 且 $(\mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N))_j)_{j=j-2-j-1}^{j_1-1-j_1} = \mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N'))$ 。由 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性，以及在条件 (V) 下末端段与 Trans 的关系，可知 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N')) = \mathrm{Trans}(\mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N')) = D_{M_{1,j-2}} t_2$ 。

令 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) = j_{1} - 1 - j_{-1}$ 。

$\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N))) = \mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))) = \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) = j_1 - 1 - j_{-1}$

因此， $\mathrm{Trans}(\mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N))) = D_{M_{1,j-1}}t_2$ 且 $(\mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N))_j)_{j = j - 2 - j - 1}^{j_1 - 1 - j - 1} = \mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N'))$ 且 $j_{-2} - j_{-1} < j_0 - j_{-1}\leq j_1 - 1 - j_{-1}$ ，并且由于(IncrFirst, Red)不变性，Trans的

P-不变性以及具有公差 (1,1) 的对序列的 Trans 的基本性质，我们有 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N')) = \mathrm{Trans}(\mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N')) = D_{M_{1,j-2}} t_2$ 。

证毕。

定理 21.4.110 在条件 (III) 至 (V) 下的各种 scb 分解。

对于任何 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ , 使用 Trans 的递归定义中引入的符号, 假设存在唯一的 $j_{-2} \in \mathbb{N}$ 使得 $(1, j_{-2}) < _M^{Next}(1, j_1)$ , 且令 $N' := (M_j)_{j=j_{-2}}^{j_1}$ , 且令 $L' := (M_j)_{j=j_{-2}}^{j_1-1} \oplus_{\mathbb{N}^2}$ 令 $L_n := M[n] \oplus_{\mathbb{N}^2} ((M_{0,j_{-2}} + n(M_{0,j_1} - M_{0,j_{-2}}), M_{1,j_{-2}}))$ 。若 $M$ 不满足条件 (VI), 且 “ $j_{-2} < j_0$ 或 $j_0$ 为 $M$ 可接受的”, 且 $Adm_M(j_{-2}) = j_{-1}$ , 则存在唯一的 $(s'_1, b'_1) \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 使得:

(1) $(D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_1}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $c_{2}$ 的scb分解。
(2) $(D_{M_{1,j_ - 2}}s_1^{\prime},D_{M_{1,j_1}}0,b_1^{\prime})$ 和 $(D_{M_{1,j_ - 2}}s_1^{\prime},D_{M_{1,j_ - 2}}0,b_1^{\prime})$ 分别是 $Trans(N^{\prime})$ 和 $Trans(L^{\prime})$ 的scb分解。
(3) $Trans(Pred(N')) = D_{M_{1,j-2}}t_2$ 。
(4) $Trans(L_n) = s_1D_{M_{1,j-1}}(s_1^{\prime}D_{M_{1,j-2}})^n 0(b_1^{\prime})^nb_1$ 。
(5) $Trans(M[n]) = s_1D_{M_{1,j-1}}(s_1'D_{M_{1,j-2}})^{n-1}t_2(b_1')^{n-1}b_1$ 。

证明：

下文中，我们将使用条件 (III) 至 (VI) 下的展开规则的基本性质，无需赘述。

在条件 (III) 至 (V) 下，存在唯一的 $(s_{1}^{\prime}, b_{1}^{\prime}) \in (\Sigma^{<\omega})^{2}$ ，该式由切片的 scb 分解得到，且满足：

(1) $(D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $c_{2}$ 的scb分解。
(2) $(D_{M_{1,j-2}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(N^{\prime})$ 的scb分解。
(3) Trans(Pred(N')) = D\_{M\_{1,j-2}} t\_2。

由上式可知（1）和（3）。

(2)

由于 $j_{-2} < j_0$ 或 $j_0$ 是 $\mathrm{M}$ 可接受的， $L_{j_1 - j_{-2}}' = (M_{0,j_1}, M_{1,j_{-2}}) = (N_{0,j_1 - j_{-2}}', N_{1,0}')$ 且 $j_0$ 的 $\mathrm{M}$ 可接受性以及右端置换与 Trans 的关系在条件 (III) 至 (V) 下成立，因此 $(D_{M_{1,j_{-2}}} s_1', D_{M_{1,j_{-2}}} 0, b_1')$ 是 $\operatorname{Trans}(L')$ 的 scb 分解。

(4)

由于 M 满足条件 (A) 且 $(1,j_{-2}) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ ，因此 $M_{1,j_{-2}} = M_{1,j_{1}} - 1$ 。

我们利用关于 n 的数学归纳法证明， $\mathrm{Trans}(L_{n})=s_{1}D_{M_{1,j-1}}(s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j-2}})^{n}0(b_{1}^{\prime})^{n}b_{1}$ 。

设 n = 1。

我们也定义 Trans 递归定义中引入的符号，并将 $L_{1}$ 写在上标上，以明确这是对 $L_{1}$ 的应用。

$\operatorname{Pred}(L_1) = \operatorname{Pred}(M)$ ，因此 $s_1^{L_1} = s_1$ 且 $b_1^{L_1} = b_1$ 。取决于 $M$ 是否满足条件 (III) 或 (IV)， $L_1$ 满足条件 (I) 或 (III)，或者满足条件 (II) 或 (IV)。 $(D_{M_{1,j-1}}s_1', D_{M_{1,j_1}}0, b_1')$ 是 $c_2$ 的 scb 分解。根据 Trans 的定义， $(D_{M_{1,j-1}}s_1', D_{M_{1,j-2}}0, b_1')$ 是 $c_2^{L_1}$ 的 scb 分解。因此，

\[
\mathrm{Trans} (L _ {n}) = \mathrm{Trans} (L _ {1}) = s _ {1} ^ {L _ {1}} c _ {2} ^ {L _ {1}} b _ {1} ^ {L _ {1}} = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {- 2}}} 0 b _ {1} ^ {\prime} b _ {1} = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {- 2}}}) ^ {n} 0 (b _ {1} ^ {\prime}) ^ {n} b _ {1}
\]

设 n > 1。

根据归纳假设，

\[
\mathrm{Trans} (L _ {n - 1}) = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {- 2}}}) ^ {n - 1} 0 (b _ {1} ^ {\prime}) ^ {n - 1} b _ {1}
\]

\[
{ = } { ( s _ { 1 } D _ { M _ { 1 , j _ { - 1 } } } ( s _ { 1 } ^ { \prime } D _ { M _ { 1 , j _ { - 2 } } } ) ^ { n - 2 } s _ { 1 } ^ { \prime } ) D _ { M _ { 1 , j _ { - 2 } } } 0 ( ( b _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { n - 1 } b _ { 1 } ) }
\]

因此，

\[
\begin{array}{l} \operatorname{Trans} (L _ {n}) = \left(s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {- 2}}}) ^ {n - 2} s _ {1} ^ {\prime}\right) \operatorname{Trans} (L ^ {\prime}) ((b _ {1} ^ {\prime}) ^ {n - 1} b _ {1}) \\ { = } { ( s _ { 1 } D _ { M _ { 1 , j _ { - 1 } } } ( s _ { 1 } ^ { \prime } D _ { M _ { 1 , j _ { - 2 } } } ) ^ { n - 2 } s _ { 1 } ^ { \prime } ) D _ { M _ { 1 , j _ { - 2 } } } s _ { 1 } ^ { \prime } D _ { M _ { 1 , j _ { - 2 } } } 0 b _ { 1 } ^ { \prime } ( ( b _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { n - 1 } b _ { 1 } ) } \\ { = } { s _ { 1 } D _ { M _ { 1 , j _ { - 1 } } } ( s _ { 1 } ^ { \prime } D _ { M _ { 1 , j _ { - 2 } } } ) ^ { n } 0 ( b _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { n } b _ { 1 } } \\ \end{array}
\]

(5)

设 n = 1。

由 $M[n]=\mathrm{Pred}(M)$ ,

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (M [ n ]) = t _ {1} = s _ {1} c _ {1} b _ {2} = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} t _ {2} b _ {1} \\ { = } { s _ { 1 } D _ { M _ { 1 , j _ { - 1 } } } ( s _ { 1 } ^ { \prime } D _ { M _ { 1 , j _ { - 2 } } } ) ^ { n - 1 } t _ { 2 } ( b _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { n - 1 } b _ { 1 } } \\ \end{array}
\]

设 n > 1。

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (L _ {n}) = s _ {1} D _ {M _ {1, j - 1}} (s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j - 2}}) ^ {n} 0 (b _ {1} ^ {\prime}) ^ {n} b _ {1} \\ { = } { ( s _ { 1 } D _ { M _ { 1 , j _ { - 1 } } } ( s _ { 1 } ^ { \prime } D _ { M _ { 1 , j _ { - 2 } } } ) ^ { n - 2 } ) s _ { 1 } ^ { \prime } D _ { M _ { 1 , j _ { - 2 } } } s _ { 1 } ^ { \prime } D _ { M _ { 1 , j _ { - 2 } } } 0 b _ { 1 } ^ { \prime } ( ( b _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { n - 1 } b _ { 1 } ) } \\ = \left(s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {- 2}}}) ^ {n - 2}\right) s _ {1} ^ {\prime} \mathrm{Trans} (L ^ {\prime}) ((b _ {1} ^ {\prime}) ^ {n - 1} b _ {1}) \\ \end{array}
\]

于是

\[
\begin{array}{l} \operatorname{Trans} (M [ n ]) = \left(s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {- 2}}}) ^ {n - 2}\right) s _ {1} ^ {\prime} \operatorname{Trans} (\operatorname{Pred} (N ^ {\prime})) ((b _ {1} ^ {\prime}) ^ {n - 1} b _ {1}) \\ { = } { ( s _ { 1 } D _ { M _ { 1 , j - 1 } } ( s _ { 1 } ^ { \prime } D _ { M _ { 1 , j - 2 } } ) ^ { n - 2 } ) s _ { 1 } ^ { \prime } D _ { M _ { 1 , j - 2 } } t _ { 2 } ( ( b _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { n - 1 } b _ { 1 } ) } \\ { = } { s _ { 1 } D _ { M _ { 1 , j _ { - 1 } } } ( s _ { 1 } ^ { \prime } D _ { M _ { 1 , j _ { - 2 } } } ) ^ { n - 1 } t _ { 2 } ( b _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { n - 1 } b _ { 1 } } \\ \end{array}
\]

证毕。

定理 21.4.111 条件 (III) 或 (IV) 下的各种 scb 分解。

对于任何 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ ，设 $j_{-2} \in \mathbb{N}$ 存在，使得 $(1, j_{-2}) <_{M}^{Next}(1, j_1)$ ，使用 Trans 的递归定义中引入的符号，设 $j_{-3} := Adm_M(j_{-2})$ ，设 $N := (M_j)_{j=j_{-3}}^{j_1}$ ，设 $N' := (M_j)_{j=j_{-2}}^{j_1}$ ，设 $L' := Let(M_j)_{j=j_{-2}}^{j_1-1} \oplus_{\mathbb{N}^2} ((M_{0,j_1}, M_{1,j_{-2}}))$ 且令 $L_n := M[n] \oplus_{\mathbb{N}^2} ((M_{0,j_{-2}} + n(M_{0,j_1} - M_{0,j_{-2}}), M_{1,j_{-2}}))$ 。然后，若 $j_1 > 1$ 且 $M$ 满足条件 (III) 或 (IV)，且 $j_{-3} < j_{-1}$ ，则存在唯一的 $(s_0', s_1', s_2', b_2', b_1', b_0') \in (\Sigma^{<\omega})^6$ 使得：

(1) $(s_{0}^{\prime}, Trans(N), b_{0}^{\prime})$ 是 $Trans(M)$ 的 scb 分解。
(2) $(D_{M_{1,j_ - 3}}s_1',c_1,b_1')$ 和 $(D_{M_{1,j_ - 3}}s_1',c_2,b_1')$ 分别是Trans(Pred(N))和Trans(N)的scb分解。

(3) $(s_{2}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{2}^{\prime})$ 是 $c_{2}$ 的scb分解。

(4) $(D_{M_{1,j-2}}s_{1}^{\prime},c_{1},b_{1}^{\prime})$ 、 $(D_{M_{1,j-2}}s_{1}^{\prime},c_{2},b_{1}^{\prime})$ 和 $(D_{M_{1,j-2}}s_{1}^{\prime}s_{2}^{\prime},D_{M_{1,j-2}}0,b_{2}^{\prime}b_{1}^{\prime})$ 分别是 $Trans(Pred(N^{\prime}))$ 、 $Trans(N^{\prime})$ 和 $Trans(L^{\prime})$ 的scb分解。

(5) $Trans(L_n) = s_0' D_{M_{1,j-3}}(s_1's_2'D_{M_{1,j-2}})^n 0(b_2'b_1')^n b_0'$ .
(6) $Trans(M[n]) = s_0' D_{M_{1,j-3}}(s_1's_2'D_{M_{1,j-2}})^{n-1}s_1' c_1b_1'(b_2'b_1')^{n-1}b_0'$ .

证明：

下文中，我们将毫无保留地运用条件 (III) 至 (VI) 下的展开规则的基本性质。

(1)

由于 $\operatorname{Trans}(N) = \operatorname{Mark}(M, j_{-3})$ ，且 Mark 在 Trans 中的表示成立，因此存在唯一的 $(s_0', b_0') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ ，使得 $(s_0', \operatorname{Trans}(N), b_0')$ 是 $\operatorname{Trans}(M)$ 的 scb 分解。

(2)

由于标准形式的可约性，M 也是可约的。

由于 $j_{-3} < j_{-1}$ 、scb分解的平凡性准则、Trans最左分量的基本性质以及Mark保持有序关系，存在唯一的 $(s_1', b_1') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 且 $(D_{M_{1,j_3}} s_1', c_2, b_1')$ 是 $\mathrm{Trans}(N)$ 的scb分解。

将 Trans 表示为 Mark 和 Pred，则 $(D_{M_{1,j-3}}s_{1}^{\prime},c_{1},b_{1}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N))$ 的 scb 分解。

(3)

由于最右边 1 个基点处 Mark 的基本性质以及 Mark 的顺序关系, 存在唯一的 $(s_{2}^{\prime}, b_{2}^{\prime}) \in (\Sigma^{<\omega})^{2}$ , 使得 $(s_{2}^{\prime}, D_{M_{1,j_{1}}}0, b_{2}^{\prime}) = (s_{2}^{\prime}, \text{Mark}(M, j_{1}), b_{2}^{\prime})$ 是 $c_{2}$ 的 scb 分解。

(4)

由于 $(1,j_{-3})\leq_M(1,j_{-2}) < _M^{\mathrm{Next}}(1,j_1)$ 具有强单项式性，且切片可以通过标准形式的直系祖先约化，因此 $\operatorname {Red}(N)$ 为强单项式。由于可约性与系数之间的关系， $\operatorname {Red}(N)$ 满足条件(A)和(B)。

令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N)))$ 。

由于 M 满足条件 (III) 或 (IV), $M_{1,j_{0}} \geq M_{1,j_{1}}$ , 因此 $(1,j_{0}) \leq_{M}(1,j_{1})$ , 即不满足 $(1,j_{0}-j_{-3}) \leq_{N}(1,j_{1}-j_{-3})$ 。由于直接祖先的 Red 不变性, $(1,j_{0}-j_{-3}) \leq_{\mathrm{Red}(N)}(1,j_{1}-j_{-3})$ , 因此 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) < j_{1}-j_{-3}$ 。因此, $J_{1} \geq 0$ 。 $(1,j_{-2}) <_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1})$ 和 $(0,j_{0}) <_{M}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1})$ , 因此 $(1,j_{-2}-j_{-3}) <_{N}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1}-j_{-3})$ 和 $(0,j_{0}-j_{-3}) <_{N}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1}-j_{-3})$ , 以及 $(1,j_{-2}-j_{-3}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1}-j_{-3})$ 和 $(0,j_{0}-j_{-3})$ , 因为直接祖先的 Red 不变性 $(1,j_{-2}-j_{-3}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1}-j_{-3})$ かつ $(0,j_{0}-j_{-3}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0,j_{1}-j_{-3})$ 。

由于公差对切片的遗传性， $\mathrm{Adm}_N(j_{-2} - j_{-3}) = 0$ 且 $\mathrm{Adm}_N(j_0 - j_{-3}) = j_{-1} - j_{-3}$ ；同时由于公差的 Red 不变性， $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_{-2} - j_{-3}) = 0$ 且 $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_0 - j_{-3}) = j_{-1} - j_{-3}$ 。

$\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_{-2} - j_{-3}) = 0$ ，因此 $j_{-2} - j_{-3}\leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))$ 。 $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_0 - j_{-3}) = j_{-1} - j_{-3} > 0$ ，因此 $j_0 - j_{-3}\geq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))$ 。

令 $m_{0} := \text{Joints}(\text{Red}(N))_{J_{1}}$ 。

令 $m_{1} := \text{FirstNodes}(\text{Red}(N))_{J_{1}}$ 。

$(1,j_{-2}-j_{-3})<_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1}-j_{-3})$ 且 $j_{-2}-j_{-3}\leq\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))<j_{1}-j_{-3}$ ，因此 $j_{-2}-j_{-3}\leq m_{0}$ 。

若 $j_{-2} - j_{-3} = m_0$ ，则表明 $\operatorname{Red}(N)_{0,m_1} = \operatorname{Red}(N)_{1,m_1}$ ，且 $\operatorname{Br}(\operatorname{Red}(N))$ 按降序排列。

由于 $\mathrm{Red}(N)$ 是强单项式，因此 $\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N))$ 是下降的。

由于 P 的每个分量都是非复合的， $(0,0)\leq_{\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N))_{J_{1}}}(0,j_{1}-j_{-3}-m_{1})$ ，因此 $(0,m_{1})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,j_{1}-j_{-3})$ 。特别地， $(0,j_{-2}-j_{-3})=(0,m_{0})<_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0,m_{1})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,j_{1}-j_{-3})$ 。

由于 $(1,j_{-2} - j_{-3}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,j_1 - j_{-3})$ 和 $(0,j_{-2} - j_{-3}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0,m_1) \leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,j_1 - j_{-3})$ ，直接祖先的树结构(2)给出 $(1,j_{-2} - j_{-3}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,m_1)$ 。

由于 $\operatorname{Red}(N)$ 满足条件 (A) 和 (B), $j_{-2} - j_{-3} \leq \operatorname{TrMax}(\operatorname{Red}(N))$ , 因此 $\operatorname{Red}(N)_{0,j_{-2} - j_{-3}} = \operatorname{Red}(N)_{1,j_{-2} - j_{-3}}$ 。同样, $\operatorname{Red}(N)$ 满足条件 (A), 且 $(0, j_{-2} - j_{-3}) <_{\operatorname{Red}(N)}^{\operatorname{Next}}(0, m_1)$ 和 $(1, j_{-2} - j_{-3}) <_{\operatorname{Red}(N)}^{\operatorname{Next}}(1, m_1)$ 得到

\[
\mathrm{Red} (N) _ {0, m _ {1}} = \mathrm{Red} (N) _ {0, j _ {- 2} - j _ {- 3}} - 1 = \mathrm{Red} (N) _ {1, j _ {- 2} - j _ {- 3}} - 1 = \mathrm{Red} (N) _ {1, m _ {1}}
\]

从上式可知，“ $j_{-2}-j_{-3}<m_{0}$ ”或“ $j_{-2}-j_{-3}=m_{0}$ 且 $\mathrm{Red}(N)_{0,m_{1}}=\mathrm{Red}(N)_{1,m_{1}}$ 且 $\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N))$ 按降序排列。”

因此， $(D_{M_{1,j-3}}s_{1}^{\prime},c_{2},b_{1}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(N)$ 的scb分解，又由于Trans的(IncrFirst,Red)不变P同质性以及条件(V)下末端段与Trans的关系， $(D_{M_{1,j-2}}s_{1}^{\prime},c_{2},b_{1}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(N^{\prime})$ 的scb分解。

由于 $(1,j_0)\leq_M(1,j_1)$ 不成立，且 $(1,j_{-2}) < _M^{\mathrm{Next}}(1,j_1)$ 和 $(0,j_0) < _M^{\mathrm{Next}}(0,j_1)$ ， $j_{-2} < j_0 < j_1$ 。因此， $j_1 - 1 - j_{-3}\geq j_0 - j_{-3} > j_{-2} - j_{-3}\geq 0$ ， $\operatorname{Pred}(\operatorname{Red}(N))$ 为强单项式，这是由于 $\operatorname{Red}(N)$ 对切片的遗传性以及 $\operatorname{Red}(N)$ 的强单项式性质所致。

$\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_{-2} - j_{-3}) = 0$ 且 $j_{-2} - j_{-3} < j_1 - 1 - j_{-3}$ ，因此 $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))}(j_{-2} - j_{-3}) = 0$ 。因此， $j_{-2} - j_{-3} \leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N)))$ 。

令 $J_{0} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))))$ 。

由于 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) < j_{1} - j_{-3}$ ， $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))) = \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))$ ，即 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))) \leq j_{1} - 1 - j_{-3}$ 。

令 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) < j_{1} - 1 - j_{-3}$ 。

由于 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) < j_{1} - 1 - j_{-3}$ ， $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))) = \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))$ ，特别地， $j_{-2} - j_{-3} \leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))) < j_{1} - 1 - j_{-3}$ 。因此， $J_{0} \geq 0$ 。

$(1,j_{-2}-j_{-3})<_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1}-j_{-3})$ ，因此 $(0,j_{-2}-j_{-3})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,j_{1}-j_{-3})$ ，且 $j_{-2}-j_{-3}<j_{1}-1-j_{-3}$ 以及直接祖先的树结构(1)， $(0,j_{-2}-j_{-3})\leq_{\mathrm{Red}(N)}(0,j_{1}-1-j_{-3})$ ，即 $(0,j_{-2}-j_{-3})\leq_{\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))}(0,j_{1}-1-j_{-3})$ 。

由于 $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_{-2}-j_{-3})=0$ 且 $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_{0}-j_{-3})=j_{-1}-j_{-3}$ ，因此 $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))}(j_{-2}-j_{-3})=0$ 且 $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))}(j_{0}-j_{-3})=j_{-1}-j_{-3}$ 。

$\mathrm{Adm}_{\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))}(j_{-2} - j_{-3}) = 0$ ，因此 $j_{-2} - j_{-3}\leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N)))$ 。 $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))} = j_{-1} - j_{-3} > 0$ ，因此 $j_0 - j_{-3}\geq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))$ 。

令 $m_{0}^{\prime} := \text{Joints}(\text{Pred}(\text{Red}(N)))_{J_{0}}$ 。

令 $m_{1}^{\prime} := \text{FirstNodes}(\text{Pred}(\text{Red}(N)))_{J_{0}}$ 。

由于 $(0,j_{-2} - j_{-3})\leq_{\mathrm{Pred(Red}(N))}(0,j_1 - 1 - j_{-3})$ 且 $j_{-2} - j_{-3}\leq \mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N)))) < j_1 - 1 - j_{-3}$ ，则 $j_{-2} - j_{-3}\leq m_0^\prime$ 。

如果 $j_{-2} - j_{-3} = m_0'$ ，则 $\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))_{0,m_1'} = \mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))_{1,m_1'}$ ，且 $\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N)))$ 为下降矩阵。

由于 Pred(Red(N)) 为强单项矩阵，因此 Br(Pred(Red(N))) 为下降矩阵。

由于Pred表示为[1]，且 $P$ 与基本列具有关系 $J_{1} - 1\leq J_{0}\leq J_{1}$ ，由于FirstNodes和Joints的单调性，

\[
\begin{array}{l} m _ {0} = \mathrm{Joints} (\mathrm{Red} (N)) _ {J _ {1}} \leq \mathrm{Joints} (\mathrm{Red} (N)) _ {J _ {0}} = \mathrm{Joints} (\mathrm{Pred} (\mathrm{Red} (N))) _ {J _ {0}} = m _ {0} ^ {\prime} \\ m _ {1} = \mathrm{FirstNodes} (\mathrm{Red} (N)) _ {J _ {1}} \geq \mathrm{FirstNodes} (\mathrm{Red} (N)) _ {J _ {0}} = \mathrm{FirstNodes} (\mathrm{Pred} (\mathrm{Red} (N))) _ {J _ {0}} = m _ {1} ^ {\prime} \\ \end{array}
\]

$j_{-2}-j_{-3}=m_{0}^{\prime}$ 且 $j_{-2}-j_{-3}\leq m_{0}\leq m_{0}^{\prime}$ ，因此 $j_{-2}-j_{-3}=m_{0}=m_{0}^{\prime}$ ，从而 $\mathrm{Red}(N)_{0,m_{1}}=\mathrm{Red}(N)_{1,m_{1}}$ 且 $\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N))$ 按降序排列。 $\mathrm{Red}(N)$ 满足条件 (A)，因此 $\mathrm{Red}(N)_{0,m_{1}^{\prime}}=\mathrm{Red}(N)_{0,m_{0}^{\prime}}+1=\mathrm{Red}(N)_{0,m_{0}}+1=\mathrm{Red}(N)_{0,m_{1}}$ 。

由于 $m_1' \leq m_1$ 且 $\mathrm{Red}(N)_{0,m_1'} = \mathrm{Red}(N)_{0,m_1}, \mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N))$ 按降序排列，因此 $\mathrm{Red}(N)_{1,m_1'} \geq \mathrm{Red}(N)_{1,m_1} = \mathrm{Red}(N)_{0,m_1} = \mathrm{Red}(N)_{0,m_1'}$ 。另一方面，由于可约性和系数的基本性质， $\mathrm{Red}(N)_{0,m_1'} \geq \mathrm{Red}(N)_{1,m_1'}$ ，因此 $\mathrm{Red}(N)_{0,m_1'} = \mathrm{Red}(N)_{1,m_1'}$ ，即 $\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))(N)_{0,m_1'} = \mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))_{1,m_1'}$ 。

从上式可知，“ $j_{-2}-j_{-3}<m_{0}^{\prime}$ ”或“ $j_{-2}-j_{-3}=m_{0}^{\prime}$ 且 $\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))_{0,m_{1}^{\prime}}=\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))_{1,m_{1}^{\prime}}$ 且 $\mathrm{Br}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N)))$ 按降序排列。”

因此， $(D_{M_{1,j-3}}s_{1}^{\prime},c_{1},b_{1}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N))$ 的scb分解，而由Trans的(IncrFirst,Red)不变P等变性、Red与Pred的交换性、以及在条件(V)下末端段与Trans的关系可知， $(D_{M_{1,j-2}}s_{1}^{\prime},c_{1},b_{1}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N^{\prime}))$ 的scb分解。

令 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) = j_{1} - 1 - j_{-3}$ 。

$\mathrm{TrMax}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N))) = \mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N)) = j_1 - 1 - j_{-3}$ 。因此， $(D_{M_{1,j_{-3}}}s_1', c_1, b_1')$ 是 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N))$ 的 scb 分解，且由于 Red 与 Pred 的交换性，Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性，以及具有公差 (1,1) 的对序列 Trans 的基本性质， $(D_{M_{1,j_{-2}}}s_1', c_1, b_1')$ 是 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N'))$ 的 scb 分解。

由上可知，在两种情况下， $(D_{M_{1,j-2}}s_{1}^{\prime},c_{1},b_{1}^{\prime})$ 都是 $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N^{\prime}))$ 的 scb 分解。

根据 scb 分解的复合律， $(D_{M_{1,j-2}}s_{1}^{\prime}s_{2}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{2}^{\prime}b_{1}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(N^{\prime})$ 的 scb 分解。根据 $L_{j_{1}-j_{-2}}^{\prime}=(M_{0,j_{1}},M_{1,j_{-2}})=(N_{0,j_{1}-j_{-2}}^{\prime},N_{1,0}^{\prime}),\quad j_{-2}<j_{0}$ ，且在条件 (III) 至 (V) 下，右端代换与 Trans 的关系， $(D_{M_{1,j-2}}s_{1}^{\prime}s_{2}^{\prime},D_{M_{1,j-2}}0,b_{2}^{\prime}b_{1}^{\prime})$ 为 $\mathrm{Trans}(L^{\prime})$ 的 scb 分解。

(5)

$s_{1}c_{2}b_{1}=\mathrm{Trans}(M)=s_{0}^{\prime}\mathrm{Trans}(N)b_{0}^{\prime}=s_{0}^{\prime}D_{M_{1,j-3}}s_{1}^{\prime}c_{2}b_{1}^{\prime}b_{0}^{\prime}$ ，因此，由scb分解的唯一性（1）可知， $s_{1}=s_{0}^{\prime}D_{M_{1,j-3}}s_{1}^{\prime}$ 且 $b_{1}=b_{1}^{\prime}b_{0}^{\prime}$ 。

我们利用数学归纳法证明， $\mathrm{Trans}(L_n) = s_0' D_{M_{1,j-3}}(s_1's_2'D_{M_{1,j-2}})^n 0(b_2'b_1')^nb_0'$ 。

令 n = 1。

因为 $\operatorname{Pred}(L_1) = \operatorname{Pred}(M)$ , 根据 Trans 的定义, $s_1^{L_1} = s_1$ 且 $b_1^{L_1} = b_1$ , 且 $(s_2', D_{M_{1,j-2}}0, b_2') = (s_2', \operatorname{Mark}(L_1, j_1), b_2')$ 是 $c_2^{L_1}$ 的 scb 分解,

\[
\mathrm{Trans} (L _ {n}) = \mathrm{Trans} (L _ {1}) = s _ {1} ^ {L _ {1}} c _ {2} ^ {L _ {1}} b _ {1} ^ {L _ {1}} = s _ {1} s _ {2} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j - 2}} 0 b _ {2} ^ {\prime} b _ {1} = s _ {0} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j - 3}} s _ {1} ^ {\prime} s _ {2} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j - 2}} 0 b _ {2} ^ {\prime} b _ {1} ^ {\prime} b _ {0} ^ {\prime}
\]

\[
= s _ {0} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j - 3}} (s _ {1} ^ {\prime} s _ {2} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j - 2}}) ^ {n} 0 (b _ {2} ^ {\prime} b _ {1} ^ {\prime}) ^ {n} b _ {0} ^ {\prime}
\]

令 n > 1。

根据归纳假设，

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (L _ {n - 1}) = s _ {0} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j - 3}} (s _ {1} ^ {\prime} s _ {2} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j - 2}}) ^ {n - 1} 0 (b _ {2} ^ {\prime} b _ {1} ^ {\prime}) ^ {n - 1} b _ {0} ^ {\prime} \\ = (s _ {0} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j - 3}} (s _ {1} ^ {\prime} s _ {2} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j - 2}}) ^ {n - 2} s _ {1} ^ {\prime} s _ {2} ^ {\prime}) D _ {M _ {1, j - 2}} 0 ((b _ {2} ^ {\prime} b _ {1} ^ {\prime}) ^ {n - 1} b _ {0} ^ {\prime}) \\ \end{array}
\]

因此，

\[
\begin{array}{l} \operatorname{Trans} \left(L _ {n}\right) = \left(s _ {0} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j - 3}} \left(s _ {1} ^ {\prime} s _ {2} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j - 2}}\right) ^ {n - 2} s _ {1} ^ {\prime} s _ {2} ^ {\prime}\right) \operatorname{Trans} \left(L ^ {\prime}\right) \left(\left(b _ {2} ^ {\prime} b _ {1} ^ {\prime}\right) ^ {n - 1} b _ {0} ^ {\prime}\right) \\ { = } { s _ { 0 } ^ { \prime } D _ { M _ { 1 , j - 3 } } ( s _ { 1 } ^ { \prime } s _ { 2 } ^ { \prime } D _ { M _ { 1 , j - 2 } } ) ^ { n - 2 } s _ { 1 } ^ { \prime } s _ { 2 } ^ { \prime } D _ { M _ { 1 , j - 2 } } s _ { 1 } ^ { \prime } s _ { 2 } ^ { \prime } D _ { M _ { 1 , j - 2 } } 0 b _ { 2 } ^ { \prime } b _ { 1 } ^ { \prime } ( b _ { 2 } ^ { \prime } b _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { n - 1 } b _ { 0 } ^ { \prime }} \\ = s _ {0} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j - 3}} (s _ {1} ^ {\prime} s _ {2} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j - 2}}) ^ {n} 0 (b _ {2} ^ {\prime} b _ {1} ^ {\prime}) ^ {n} b _ {0} ^ {\prime} \\ \end{array}
\]

(6)

设 n=1。

\[
M [ n ] = \operatorname{Pred} (M),
\]

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (M [ n ]) = t _ {1} = s _ {1} c _ {1} b _ {2} = s _ {0} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {- 3}}} s _ {1} ^ {\prime} c _ {1} b _ {1} ^ {\prime} b _ {0} ^ {\prime} \\ { = } { s _ { 0 } ^ { \prime } D _ { M _ { 1 , j _ { - 3 } } } ( s _ { 1 } ^ { \prime } s _ { 2 } ^ { \prime } D _ { M _ { 1 , j _ { - 2 } } } ) ^ { n - 1 } s _ { 1 } ^ { \prime } c _ { 1 } b _ { 1 } ^ { \prime } ( b _ { 2 } ^ { \prime } b _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { n - 1 } b _ { 0 } ^ { \prime }} \\ \end{array}
\]

令 n > 1。

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (L _ {n}) = s _ {0} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {- 3}}} (s _ {1} ^ {\prime} s _ {2} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {- 2}}}) ^ {n} 0 (b _ {2} ^ {\prime} b _ {1} ^ {\prime}) ^ {n} b _ {0} ^ {\prime} \\ { = } { ( s _ { 0 } ^ { \prime } D _ { M _ { 1 , j - 3 } } ( s _ { 1 } ^ { \prime } s _ { 2 } ^ { \prime } D _ { M _ { 1 , j - 2 } } ) ^ { n - 2 } s _ { 1 } ^ { \prime } s _ { 2 } ^ { \prime } ) D _ { M _ { 1 , j - 2 } } s _ { 1 } ^ { \prime } s _ { 2 } ^ { \prime } D _ { M _ { 1 , j - 2 } } 0 b _ { 2 } ^ { \prime } b _ { 1 } ^ { \prime } ( ( b _ { 2 } ^ { \prime } b _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { n - 1 } b _ { 0 } ^ { \prime } ) } \\ { = } { ( s _ { 0 } ^ { \prime } D _ { M _ { 1 , j _ { - 3 } } } ( s _ { 1 } ^ { \prime } s _ { 2 } ^ { \prime } D _ { M _ { 1 , j _ { - 2 } } } ) ^ { n - 2 } s _ { 1 } ^ { \prime } s _ { 2 } ^ { \prime } ) \mathrm{Trans} ( L ^ { \prime } ) ( ( b _ { 2 } ^ { \prime } b _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { n - 1 } b _ { 0 } ^ { \prime } ) } \\ \end{array}
\]

我们有

\[
\begin{array}{l} \operatorname{Trans} (M [ n ]) = \left(s _ {0} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {- 3}}} \left(s _ {1} ^ {\prime} s _ {2} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {- 2}}}\right) ^ {n - 2} s _ {1} ^ {\prime} s _ {2} ^ {\prime}\right) \operatorname{Trans} \left(\operatorname{Pred} \left(N ^ {\prime}\right)\right) \left(\left(b _ {2} ^ {\prime} b _ {1} ^ {\prime}\right) ^ {n - 1} b _ {0} ^ {\prime}\right) \\ = (s _ {0} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {- 3}}} (s _ {1} ^ {\prime} s _ {2} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {- 2}}}) ^ {n - 2} s _ {1} ^ {\prime} s _ {2} ^ {\prime}) D _ {M _ {1, j _ {- 2}}} s _ {1} ^ {\prime}, c _ {1}, b _ {1} ^ {\prime} ((b _ {2} ^ {\prime} b _ {1} ^ {\prime}) ^ {n - 1} b _ {0} ^ {\prime}) \\ { = } { s _ { 0 } ^ { \prime } D _ { M _ { 1 , j _ { - 3 } } } ( s _ { 1 } ^ { \prime } s _ { 2 } ^ { \prime } D _ { M _ { 1 , j _ { - 2 } } } ) ^ { n - 1 } s _ { 1 } ^ { \prime } c _ { 1 } b _ { 1 } ^ { \prime } ( b _ { 2 } ^ { \prime } b _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { n - 1 } b _ { 0 } ^ { \prime }} \\ \end{array}
\]

证毕。

定理 21.4.112 条件 (III) 或 (IV) 下基本列的基本性质。

对于任意 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ ，使用 Trans 递归定义中引入的符号，如果存在唯一的 $j_{-2} \in \mathbb{N}$ 使得 $(1, j_{-2}) <_{M}^{Next}(1, j_1)$ ，则若 $j_1 > 1$ 且 $M$ 满足条件 (III) 或 (IV)[80]，则有：

(1) $M[n] = M[n + 1][1]^{j_1 - j_{-2}}$ 。
(2) $Trans(M)[n - 1] = Trans(M[n + 1][1]^{j_1 - 1 - j_{-2}})$ 。
(3) 存在某个 $(s', c_{1}', c_{2}', b') \in (\Sigma^{<\omega})^{4}$ 使得:

(3-1) $c_{1}^{\prime}$ 和 $c_{2}^{\prime}$ 是单项式，并且 $c_{1}^{\prime} < c_{2}^{\prime}$ 。

(3-2) $(s', c_1', b')$ 是 $Trans(M[n])$ 的 $scb$ 分解。

(3-3) $(s', c_2', b')$ 是 $Trans(M)[n]$ 的 $scb$ 分解。

证明：

由于可约性与系数之间的关系，M 满足条件 (A) 和 (B)。由于 M 满足条件 (A)， $M_{1,j-2} = M_{1,j_1} - 1$ 。

由于 M 满足条件 (III) 或 (IV)， $M_{1,j_{0}} \geq M_{1,j_{1}}$ ，因此 $(1,j_{0}) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ 并非成立，因此 $j_{-2} < j_{0}$ 。

令 $j_{-3} := \mathrm{Adm}_{M}(j_{-2})$ 。

令 $N := (M_{j})_{j=j-3}^{j_{1}}$ 。

设 $N' := (M_{j})_{j=j-2}^{j_{1}}$ 。

\[
L ^ {\prime} := (M _ {j}) _ {j = j _ {- 2}} ^ {j _ {1} - 1} \oplus_ {\mathbb {N} ^ {2}} \left((M _ {0, j _ {1}}, M _ {1, j _ {- 2}})\right) 。
\]

设 $L_{n} := M[n] \oplus_{N^{2}} ((M_{0,j_{-2}} + n(M_{0,j_{1}} - M_{0,j_{-2}}), M_{1,j_{-2}}))$ 。

由于 Pred 表示为 [1],

\[
L _ {n} = \mathrm{Pred} ^ {j _ {1} - 1 - j _ {- 2}} (M [ n + 1 ]) = M [ n + 1 ] [ 1 ] ^ {j _ {1} - 1 - j _ {- 2}}
\]

\[
M [ n ] = \mathrm{Pred} (L _ {n}) = M [ n + 1 ] [ 1 ] ^ {j _ {1} - j _ {- 2}}
\]

令 $j_{-3} = j_{-1}$ 。

在 $j_{-2} < j_{0}$ 以及条件 (III) 至 (V) 下的各种 scb 分解下，存在一个 $(s_{1}^{\prime}, b_{1}^{\prime}) \in (\Sigma^{<\omega})^{2}$ 使得：

(1) $(D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $c_{2}$ 的scb分解。
(4) $\mathrm{Trans}(L_n) = s_1D_{M_{1,j-1}}(s_1^{\prime}D_{M_{1,j-2}})^n0(b_1^{\prime})^nb_1$ 。
(5) Trans(M[n]) = $s_{1}D_{M_{1,j-1}}(s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j-2}})^{n-1}t_{2}(b_{1}^{\prime})^{n-1}b_{1}$ 。

证明 $s_1^{\prime}D_{M_{1,j - 2}}t_2b_1^{\prime}\in T_{\mathrm{B}}$ 且 $s_1^{\prime}D_{M_{1,j - 2}}t_2b_1^{\prime} > t_2$ 。

如果 M 满足条件 (III)，则 $D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{1}}}0b_{1}^{\prime}=c_{2}=D_{v}(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0)$ 蕴涵 $s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{1}}}0b_{1}^{\prime}=t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0\in T_{B}$ ，因此 $s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{1}}}0b_{1}^{\prime}>t_{2}$ 。

假设 M 满足条件 (IV)。

如果 $t_2$ 最右边单项分量的左端是 $D_{M_{1,j_0}}$ ，则 $t_2 = t_3 + D_{M_{1,j_0}}t_4 < t_3 + D_{M_{1,j_0}}(t_4 + D_{M_{1,j_2}}0)$ 。

如果 $t_2$ 最右边单项分量的左端不是 $D_{M_{1,j_0}}$ ，则 $t_2 = t_3 < t_3 + D_{M_{1,j_0}}(t_4 + D_{M_{1,j_-2}}0)$ 。

因此，在两种情况下， $t_{2}<t_{3}+D_{M_{1,j_{0}}}(t_{4}+D_{M_{1,j_{-2}}}0)$ 。

$D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{1}}}0b_{1}^{\prime}=c_{2}=D_{v}(t_{3}+D_{M_{1,j_{0}}}(t_{4}+D_{M_{1,j_{1}}}0))$ ，所以 $s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{1}}}0b_{1}^{\prime}=t_{3}+D_{M_{1,j_{0}}}(t_{4}+D_{M_{1,j_{1}}}0)\in T_{B}$ 。因此，由于加法和scb分解之间的关系， $s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j-2}}0b_{1}^{\prime}=t_{3}+D_{M_{1,j_{0}}}(t_{4}+D_{M_{1,j-2}}0)\in T_{B}$ 。

另外，由于在条件 (II) 或 (IV) 下 $t_2$ 不为 0， $t_2 > 0$ ，因此 $D_{M_{1,j-2}} t_2 > D_{M_{1,j-2}} 0$ 。因此，根据子表达式不等式的可扩展性，

\[
s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {- 2}}} t _ {2} b _ {1} ^ {\prime} > s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {- 2}}} 0 b _ {1} ^ {\prime} = t _ {3} + D _ {M _ {1, j _ {0}}} \left(t _ {4} + D _ {M _ {1, j _ {- 2}}} 0\right) > t _ {2}
\]

令 n = 1。

令 $s' := s_{1}$ 。

令 $c_{1}^{\prime} := c_{1}$ 。

令 $c_{2}^{\prime} := c_{2}$ 。

$c_{1}$ 和 $c_{2}$ 之间的量级关系意味着 $c_{1}^{\prime}$ 和 $c_{2}^{\prime}$ 是单项的，且 $c_{1}^{\prime} < c_{2}^{\prime}$ 。

令 n > 1。

令 $s' := s_{1}D_{M_{1,j-1}}(s_{1}'D_{M_{1,j-2}})^{n-2}s_{1}'$ 。

令 $c_{1}^{\prime} := D_{M_{1,j-2}} t_{2}$ 。

令 $c_{2}^{\prime} := D_{M_{1,j-2}} s_{1}^{\prime} D_{M_{1,j-2}} t_{2} b_{1}^{\prime}$ 。

由于 $s_1^{\prime}D_{M_{1,j-2}}t_2b_1^{\prime}\in T_{\mathrm{B}}$ ，根据定义， $c_{1}^{\prime}$ 和 $c_{2}^{\prime}$ 是单项的。由于 $t_2 < s_1^{\prime}D_{M_{1,j-2}}t_2b_1^{\prime},$ $c_{1}^{\prime} = D_{M_{1,j - 1}}t_{2} < D_{M_{1,j - 1}}s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j - 2}}t_{2}b_{1}^{\prime} = c_{2}^{\prime}$ 。

令 $b' := (b_{1}')^{n-1} b_{1}$ 。

根据定义， $(s',c_{1}',b')$ 和 $(s',c_{2}',b)$ 分别是 $\mathrm{Trans}(M[n])$ 和 $\mathrm{Trans}(L_{n})$ 的 scb 分解。

从 Mark 用 Trans 表示可知， $\mathrm{Trans}((M_{j})_{j=j-1}^{j_{1}})=c_{2}=D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{1}}}0b_{1}^{\prime}$ ，因此，从 Trans 与条件 (III) 至 (VI) 下的 scb 分解的关系可知， $(s_{1},D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{1}}}0b_{1}^{\prime},b_{1})$ 是 $\mathrm{Trans}(M)$ 的 1 scb 分解。因此，由 scb 分解与基本列（2）的关系可知，

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (M) [ n - 1 ] = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {1}} - 1}) ^ {n} 0 (b _ {1} ^ {\prime}) ^ {n} b _ {1} = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {- 2}}}) ^ {n} 0 (b _ {1} ^ {\prime}) ^ {n} b _ {1} \\ = \mathrm{Trans} (L _ {n}) = \mathrm{Trans} (M [ n + 1 ] [ 1 ] ^ {j _ {1} - 1 - j _ {- 2}}) \\ \end{array}
\]

因此， $(s',c_{2}',b')$ 是 $\mathrm{Trans}(M)[n-1]$ 的scb分解。

设 $j_{-3} < j_{-1}$ 。

根据条件 (III) 或 (IV) 下的各种 scb 分解，存在 $(s_{0}^{\prime}, s_{1}^{\prime}, s_{2}^{\prime}, b_{2}^{\prime}, b_{1}^{\prime}, b_{0}^{\prime}) \in (\Sigma^{<\omega})^{6}$ 满足：

(1) $(s_0', \mathrm{Trans}((M_j)_{j = j - 3}^{j_1}), b_0')$ 是 $\mathrm{Trans}(M)$ 的 scb 分解。
(2) $(D_{M_{1,j-3}}s_{1}^{\prime},c_{2},b_{1}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}((M_{j})_{j=j-3}^{j_{1}})$ 的scb分解。
(3) $(s_{2}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{2}^{\prime})$ 是 $c_{2}$ 的scb分解。
(5) $\mathrm{Trans}(L_n) = s_0' D_{M_{1,j-3}}(s_1's_2'D_{M_{1,j-2}})^n 0(b_2'b_1')^nb_0'$ .
(6)Trans(M[n]) = $s_{0}^{\prime}D_{M_{1,j_{-3}}}(s_{1}^{\prime}s_{2}^{\prime}D_{M_{1,j_{-2}}})^{n-1}s_{1}^{\prime}c_{1}b_{1}^{\prime}(b_{2}^{\prime}b_{1}^{\prime})^{n-1}b_{0}^{\prime}$ 。令 $s^{\prime} := s_{0}^{\prime}D_{M_{1,j_{-3}}}(s_{1}^{\prime}s_{2}^{\prime}D_{M_{1,j_{-2}}})^{n-1}s_{1}^{\prime}$ 。
令 $c_{1}^{\prime} := c_{1}$ 。

令 $c_{2}^{\prime} := c_{2}$ 。

令 $b' := (b_{2}'b_{1}')^{n-1}b_{0}'$ 。

由于 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 之间存在量级关系， $c_{1}^{\prime}$ 和 $c_{2}^{\prime}$ 均为单项矩阵，且 $c_{1}^{\prime} < c_{2}^{\prime}$ 。

根据定义， $(s',c_{1}',b')$ 和 $(s',c_{2}',b')$ 分别是 $\mathrm{Trans}(M[n])$ 和 $\mathrm{Trans}(L_{n})$ 的 scb 分解。

由 Trans 与条件 (III) 至 (VI) 下的 scb 分解的关系可知， $(s_{0}^{\prime}, \text{Trans}((M_{j})_{j=j-3}^{j_{1}}), b_{0}^{\prime}) = (s_{0}^{\prime}, D_{M_{1,j-3}} s_{1}^{\prime} s_{2}^{\prime} D_{M_{1,j_{1}}} 0 b_{2}^{\prime} b_{1}^{\prime}, b_{0}^{\prime})$ 为 Trans(M) 的第一类 scb 分解。因此，由 scb 分解与基本列（2）的关系可知，

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (M) [ n - 1 ] = s _ {0} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {- 3}}} (s _ {1} ^ {\prime} s _ {2} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {1}} - 1}) ^ {n} 0 (b _ {2} ^ {\prime} b _ {1} ^ {\prime}) ^ {n} b _ {0} ^ {\prime} = s _ {0} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {- 3}}} (s _ {1} ^ {\prime} s _ {2} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {- 2}}}) ^ {n} 0 (b _ {2} ^ {\prime} b _ {1} ^ {\prime}) ^ {n} b _ {0} ^ {\prime} \\ = \mathrm{Trans} (L _ {n}) = \mathrm{Trans} (M [ n + 1 ] [ 1 ] ^ {j _ {1} - 1 - j _ {- 2}}) \\ \end{array}
\]

因此， $(s',c_{2}',b')$ 是 $\mathrm{Trans}(M)[n-1]$ 的scb分解。

证毕。

现在，让我们回到正题。

在条件 (III) 或 (IV) 下, Trans 与基本列的交换关系证明:

(1) 由于 Pred $(M[n+1][1]^{j_{1}-1-j_{-2}})=M[n+1][1]^{j_{1}-j_{-2}}$ ，因此，由 Pred 关于 Trans 的下降性质以及条件 (III) 或 (IV) 下基本列的基本性质 (1) 和 (2) 可知。
(2) 由于 $M$ 是单项的，Trans 保留零项性质，因此 $\operatorname{Trans}(M) \neq 0$ 。这直接由 (1)、 $\operatorname{Trans}(M) \neq 0$ 和 [Buc1] 引理 3.2 得出。
（3）这是根据 Pred 记为 [1]、Pred 相对于 Trans 的下降性质，以及条件 (III) 或 (IV) 下基本列的基本性质 (2) 得出的。证毕。

证毕。

定理 21.4.113 条件 (V) 下 Trans 与基本列的对易关系。

对于任意 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ ，使用 Trans 的递归定义中引入的符号，如果 $j_0$ 是 $M$ 容许的，则 $m_n := n - 1$ ；如果 $j_0$ 不是 $M$ 容许的，则如果 $j_1 > 1$ 且 $M$ 满足条件 $(V)$ ，则如下结论成立：

(1) $Trans(M[n]) \leq Trans(M)[m_n]$ 。
(2) $Trans(M[n]) < Trans(M)$ 。
(3) $\text{Trans}(M)[m_{n}] \leq \text{Trans}(M[n+1])$ 。

我们提出一些引理，作为在条件 (V) 下证明 Trans 与基本列之间交换关系的初步尝试。

定理 21.4.114 在条件 (V) 下，Joints、FirstNodes 和 $t_{2}$ 的基本性质。

对于任意 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ , 使用 Trans 递归定义中引入的符号, 设 $N := (M_j)_{j=j-1}^{j_1}$ 且 $J_1 := Lng(Br(Red(N)))) - 1$ , 则若 $(1, j_0) < _M^{Next}(1, j_1)$ 且 $j_0$ 不满足 $M$ 条件, 且 $j_0 < j_1 - 1$ , 则以下成立:

(1) $J_{1} \geq 0$ 且 $j_{0} - j_{-1} = \text{Joints}(Red(N))_{J_{1}}$ 且 $FirstNodes(Red(N))_{J_{1}} = j_{1} - j_{-1}$ 。
(2) $Red(N)_{0,j_1-j_-1} = Red(N)_{1,j_1-j_-1} \circ$
(3) $t_2$ 的每个单项式分量都大于或等于 $D_{M_{1,j_1}}0$ 。

证明：

由于标准形式的约化性，M 是约化的。由于 $j_{0} < j_{1} - 1, j_{1} > j_{0} + 1 \geq 1$ ，所以 $\mathrm{Pred}(M)$ 不是零项。特别地，由于 Trans 保持零项性质， $t_{1} \neq 0$ 。

因此，条件 (I) 至 (VI) 对 M 有意义。

由于约化性与系数之间的关系，M 满足条件 (A) 和 (B)。M 满足条件 (A)，且 $(0, j_{0}) <_{M}^{\text{Next}}(0, j_{1})$ 和 $(1, j_{0}) <_{M}^{\text{Next}}(1, j_{1})$ ，所以 $M_{0,j_{0}} = M_{0,j_{1}} - 1$ 且 $M_{1,j_{0}} = M_{1,j_{1}} - 1$ 。因此，M 满足条件 (V)。

设 $N := (M_{j})_{j=j-1}^{j_{1}}$ 。

由于标准形式中通过直系祖先减少切片具有强单项式性质，因此 $\operatorname{Red}(N)$ 也是强单项式的。

从 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变 P 等变性、Mark 在最右边 2 个基点的基本性质以及 Mark 用 Trans 表示可知，

\[
D _ {v} (t _ {2} + D _ {M _ {1, j _ {1}}} 0) = c _ {2} = \mathrm{Mark} (M, j _ {- 1}) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} (N))
\]

令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N))) - 1$ 。

$(1,j_{0})<_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ 且 $j_{0}<j_{1}-1$ ，所以 $(1,j_{1}-1)<_{M}(1,j_{1})$ 不成立。因此，根据最右边不可接受直系祖先的基本性质， $J_{1}\geq0$ 且 $0<j_{0}-j_{-1}<\operatorname{TrMax}(\operatorname{Br}(\operatorname{Red}(N)))$ 且 $j_{0}-j_{-1}=\operatorname{Joints}(\operatorname{Red}(N))_{J_{1}}$ 且 FirstNodes( $\operatorname{Red}(N)=j_{1}-j_{-1}$ 。

对于任意 $i \in 0,1$ ， $(i,j_0 - j_{-1}) < _N^{\text{Next}}(i,j_1)$ 蕴涵 $(i,j_0 - j_{-1}) < _N^{\text{Next}}(i,j_1 - j_{-1})$ ，且根据直系祖先的 Red 不变性， $(i,j_0 - j_{-1}) < _{\text{Red}(N)}^{\text{Next}}(i,j_1 - j_{-1})$ 。

根据可约性与系数的关系， $\mathrm{Red}(N)$ 满足条件 (A) 和 (B)。由于 $\mathrm{Red}(N)$ 满足条件 (A) 和 (B) 且 $j_0 - j_{-1} < \mathrm{TrMax}(\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N)))$ ，因此 $\mathrm{Red}(N)_{0,j_0 - j_{-1}} = \mathrm{Red}(N)_{1,j_0 - j_{-1}}$ ，又由于 $\mathrm{Red}(N)$ 满足条件 (A) 且 $(0,j_0 - j_{-1}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(0,j_1 - j_{-1})$ 和 $(1,j_0 - j_{-1}) <_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,j_1 - j_{-1})$

\[
\mathrm{Red} (N) _ {0, j _ {1} - j _ {- 1}} = \mathrm{Red} (N) _ {0, j _ {0} - j _ {- 1}} + 1 = \mathrm{Red} (N) _ {1, j _ {0} - j _ {- 1}} + 1 = \mathrm{Red} (N) _ {1, j _ {1} - j _ {- 1}}
\]

由于 $0 < j_0 - j_{-1} < \mathrm{TrMax}(\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N)))$ 且 $\mathrm{Red}(N)_{0,j_1 - j_{-1}} = \mathrm{Red}(N)_{1,j_1 - j_{-1}},\mathrm{Trans}(\mathrm{Red}(N)) = D_v(t_2 + D_{M_{1,j_1}}0)$ 及强单项式性质下子表示的单项式分量的基本性质， $t_2 + D_{M_{1,j_1}}0$ 的每个单项式分量均大于等于 $D_{\mathrm{Red}(N)_{1,j_1 - j_{-1}}}0$ 。

根据直系祖先的切片以及 Red 与 IncrFirst 的关系， $\mathrm{Red}(N)_{1,j_{1}} = M_{1,j_{1}}$ ，因此 $t_{2}$ 的每个单项式分量均大于等于 $D_{M_{1,j_{1}}}0$ 。

证毕。

定理 21.4.115 条件 (V) 下的各种 scb 分解。

对于任意 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ ，利用 Trans 递归定义中引入的符号，设 $N' := (M_j)_{j=j_0}^{j_1}$ ，设 $L' := (M_j)_{j=j_0}^{j_1-1} \oplus_{\mathbb{N}^2} ((M_{0,j_1}, M_{1,j_0}))$ ，设 $L_n := M[n] \oplus_{\mathbb{N}^2} ((M_{0,j_0} +$

$n(M_{0,j_{1}}-M_{0,j_{0}}),M_{1,j_{0}})$ ，若 $j_{1}>1$ ，且 M 满足条件 (V)，且 $j_{0}$ 为非 M 可接受的，则存在唯一的 $(s_{1}^{\prime},b_{1}^{\prime})\in(\Sigma^{<\omega})^{2}$ 使得：

(1) $(D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_1}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $c_{2}$ 的scb分解。
(2) $(D_{M_{1,j_0}}s_1', D_{M_{1,j_1}}0, b_1')$ 和 $(D_{M_{1,j_0}}s_1', D_{M_{1,j_0}}0, b_1')$ 分别是 $Trans(N')$ 和 $Trans(L')$ 的 $scb$ 分解。
(3) $Trans(Pred(N')) = D_{M_{1,j_0}}t_2$ 。
(4) $Trans(L_{n}) = s_{1}D_{M_{1,j_{-1}}}(s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{0}}})^{n + 1}0(b_{1}^{\prime})^{n + 1}b_{1}\circ$
(5) $Trans(M[n]) = s_1D_{M_{1,j_ {- 1}}}(s_1^{\prime}D_{M_{1,j_0}})^{n}t_{2}(b_{1}^{\prime})^{n}b_{1}\circ$

证明：

下文中，我们将毫无保留地运用条件 (III) 至 (VI) 下展开规则的基本性质。

由于 M 满足条件 (V)， $M_{1,j_{0}} < M_{1,j_{0}} + 1 = M_{1,j_{1}}$ 。因此， $(1,j_{0}) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ 。根据条件 (III) 至 (V) 下切片的 scb 分解，存在唯一的 $(s_{1}', b_{1}') \in (\Sigma^{<\omega})^{2}$ 满足：

(1) $(D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $c_{2}$ 的scb分解。
(2) $(D_{M_{1,j_{0}}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(N^{\prime})$ 的scb分解。
(3) $\mathrm{Trans}(\mathrm{Pred}(N')) = D_{M_{1,j_0}}t_2$ 。

由上式可知 (1) 和 (3)。

(2)

设 $N := (M_{j})_{j=j-1}^{j_{1}}$ 。

由于 $\mathrm{Red}(N)$ 是强单项式，这是由于标准形式的直系祖先函数对切片约化的强单项式性质所致，因此 $\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N))$ 为降序。

由右边第二个基点处 Mark 的基本性质, 以及 Mark 关于 Trans 的表示可知, $\mathrm{Trans}(N)=\mathrm{Mark}(M,j_{-1})=c_{2}$ ，因此 $(D_{M_{1,j_{-1}}}s_{1}^{\prime}, D_{M_{1,j_{1}}}0, b_{1}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(N)$ 的 scb 分解。

令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N)))) - 1$ 。

由于 $M$ 满足条件 (V)， $j_0 + 1 < j_1$ ，即 $j_0 < j_1 - 1$ 。因此，由条件 (V) 下 Joints、FirstNodes 和 $t_2$ 的基本性质可知：

(1) $J_{1} \geq 0$ 且 $j_{0} - j_{-1} = \mathrm{Joints}(\mathrm{Red}(N))_{J_{1}}$ 且 $\mathrm{FirstNodes}(\mathrm{Red}(N))_{J_{1}} = j_{1} - j_{-1}$ 。
(2) $\operatorname{Red}(N)_{0,j_1 - j_{-1}} = \operatorname{Red}(N)_{1,j_1 - j_{-1}}$ 。

由于 $\mathrm{Red}(N)_{0,j_{1}-j_{-1}}=\mathrm{Red}(N)_{1,j_{1}-j_{-1}}$ 且 $\mathrm{Br}(\mathrm{Red}(N))$ 为降序，因此 $(D_{M_{1,j_{-1}}}s_{1}^{\prime}, D_{M_{1,j_{1}}}0, b_{1}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(N)$ 的 scb 分解，又由于条件 (V) 下末端段与 Trans 的关系，因此 $(D_{M_{1,j_{0}}}s_{1}^{\prime}, D_{M_{1,j_{1}}}0, b_{1}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(N^{\prime})$ 的 scb 分解。

由于 $(1,j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_1)$ 且 $L_{j_1 - j_0}' = (M_{0,j_1},M_{1,j_0}) = (N_{0,j_1 - j_0}',N_{1,0}')$ ，因此 $(D_{M_{1,j_0}}s_1',D_{M_{1,j_1}}0,b_1')$ 是 $\operatorname {Trans}(N')$ 的scb分解。另外，由于条件(III)至(V)下右端代换与Trans之间的关系，因此 $(D_{M_{1,j_0}}s_1',D_{M_{1,j_0}}0,b_1')$ 是 $\operatorname {Trans}(L')$ 的scb分解。

(4)

由于标准形式的可约性，M 可约。由于可约性与系数之间的关系，M 满足条件 (A) 和 (B)。M 满足条件 (A)，且 $(0,j_{0})<_{M}^{\text{Next}}(0,j_{1})$ 和 $(1,j_{0})<_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ ，因此 $M_{0,j_{0}}=M_{0,j_{1}}-1$ ， $M_{1,j_{0}}=M_{1,j_{1}}-1$ 。

我们利用关于 n 的数学归纳法证明， $\mathrm{Trans}(L_{n})=s_{1}D_{M_{1,j-1}}(s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{0}}})^{2n}0(b_{1}^{\prime})^{2n}b_{1}$ 。

设 n = 1。

Trans 的递归定义中引入的符号也适用于 $L_{1}$ ，为了清楚地表明这是对 $L_{1}$ 的应用，我们将 $L_{1}$ 写为 $L_{1}$ ，并在其右侧加上 $L_{1}$ 。

根据 $L_{1}$ 的定义，对 $\leq_{L_1}$ 和 $\leq_M$ 的限制与对 $(\{0,1\} \times \mathbb{N})\setminus \{(1,j_1)\}$ 的限制相同。 $j_1^{J_1} = j_1$ 且由于 $(0,j_0) < _M^{\mathrm{Next}}(0,j_1),(0,j_0) < _L^{\mathrm{Next}}(0,j_1) = (0,j_1^{L_1}),j_0^{L_1} = j_0$ 且 $(L_{1})_{1,j_{0}^{L_{1}}} = (L_{1})_{1,j_{0}} = M_{1,j_{0}} = (L_{1})_{1,j_{1}} = (L_{1})_{1,j_{1}^{L_{1}}}$ 。

$j_{-1}^{L_1} = j_{-1}$ ，且由于 $j_0$ 不是 $M$ 可接受的， $j_0^{L_1} = j_0 > j_{-1} = j_{-1}^{L_1}$ ，所以 $j_0^{L_1}$ 不是 $L_{1}$ 可接受的。

$\operatorname{Pred}(L_1) = \operatorname{Pred}(M)$ ，因此 $t_1^{L_1} = t_1 \neq 0$ 、 $c_1^{L_1} = c_1$ 、 $t_2^{L_1} = t_2$ 、 $s_1^{L_1} = s_1$ ，且 $b_1^{L_1} = b_1$ 。由于 $t_1^{L_1} \neq 0$ ，条件 (I) 至 (VI) 对 $L_1$ 有意义。

由于 M 不满足条件 (VI) 且 $j_{0}$ 不为 M 可接受，因此 $L_{1}$ 满足条件 (II) 或 (IV)。

根据 Mark 左端的基本性质， $v^{L_{1}}=(L_{1})_{1,j_{-1}^{L_{1}}}=M_{1,j_{-1}}$ 。

由于 $(1,j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_1)$ 且 $j_0$ 不是 $M$ 容许的，且 $j_0 < j_1 - 1$ ，根据条件 (V) 下Joints、FirstNodes和 $t_2$ 的基本性质， $t_2$ 的每个单例分量均大于或等于 $D_{M_{1,j_1}}0$ 。此外，由于 $(L_1)_{1,j_0^{L_1}} = M_{1,j_0} = M_{1,j_1} - 1 < M_{1,j_1}$ ，因此 $t_2^{L_1} = t_2$ 的最右边单例分量的最左边分量不为 $D_{(L_1)_{1,j_0^{L_1}}}$ 。因此， $t_3^{L_1} = t_2^{L_1} = t_2$ 且 $t_4^{L_1} = t_2^{L_1} = t_2$ ，且

\[
c _ {2} ^ {L _ {1}} = D _ {v ^ {L _ {1}}} (t _ {3} ^ {L _ {1}} + D _ {(L _ {1}) _ {1, j _ {0} ^ {L _ {1}}}} (t _ {4} ^ {L _ {1}} + D _ {(L _ {1}) _ {1, j _ {1} ^ {L _ {1}}}} 0)) = D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (t _ {2} + D _ {M _ {1, j _ {0}}} (t _ {2} + D _ {M _ {1, j _ {0}}} 0))
\]

$(D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $c_{2}=D_{v}(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0)$ 的scb分解,因此 $(D_{M_{1,j_{0}}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $D_{M_{1,j_{0}}}(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0)$ 的scb分解。

从加法和 scb 分解的关系可知， $(D_{M_{1,j_{0}}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{0}}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $D_{M_{1,j_{0}}}(t_{2}+(D_{M_{1,j_{0}}}0)$ 的 scb 分解，而 $(D_{M_{1,j_{-1}}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{0}}}s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{0}}}0b_{1}^{\prime},b_{1}^{\prime})$ 是 $c_{2}^{L_{1}}=D_{M_{1,j_{-1}}}(t_{2}+D_{M_{1,j_{0}}}(t_{2}+D_{M_{1,j_{0}}})0))$ 的 scb 分解。

由上式可知，

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (L _ {n}) = \mathrm{Trans} (L _ {1}) = s _ {1} ^ {L _ {1}} c _ {2} ^ {L _ {1}} b _ {1} ^ {L _ {1}} = s _ {1} D _ {M _ {1, j - 1}} s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {0}}} s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {0}}} 0 b _ {1} ^ {\prime} b _ {1} ^ {\prime} b _ {1} \\ = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {0}}}) ^ {n + 1} 0 (b _ {1} ^ {\prime}) ^ {n + 1} b _ {1} \\ \end{array}
\]

令 n > 1。

由归纳推理假设，

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (L _ {n - 1}) = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {0}}}) ^ {n} 0 (b _ {1} ^ {\prime}) ^ {n} b _ {1} \\ = (s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {0}}}) ^ {n - 1} s _ {1} ^ {\prime}) D _ {M _ {1, j _ {0}}} 0 ((b _ {1} ^ {\prime}) ^ {n} b _ {1}) \\ \end{array}
\]

因此，

\[
\begin{array}{l} \operatorname{Trans} (L _ {n}) = (s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {0}}}) ^ {n - 1} s _ {1} ^ {\prime}) \operatorname{Trans} (L ^ {\prime}) ((b _ {1} ^ {\prime}) ^ {n} b _ {1}) \\ = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {0}}}) ^ {n - 1} s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {0}}} s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {0}}} 0 b _ {1} ^ {\prime} (b _ {1} ^ {\prime}) ^ {n} b _ {1} \\ = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {0}}}) ^ {n + 1} 0 (b _ {1} ^ {\prime}) ^ {n + 1} b _ {1} \\ \end{array}
\]

设 n = 1。

$M[n]=\mathrm{Pred}(M)$ ，因此

\[
\mathrm{Trans} (M [ n ]) = t _ {1} = s _ {1} c _ {1} b _ {2} = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} t _ {2} b _ {1}
\]

\[
{ = } s _ { 1 } D _ { M _ { 1 , j _ { - 1 } } } ( s _ { 1 } ^ { \prime } D _ { M _ { 1 , j _ { 0 } } } ) ^ { 2 n - 2 } t _ { 2 } ( b _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { 2 n - 2 } b _ { 1 }
\]

令 n > 1。

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (L _ {n}) = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {0}}}) ^ {n + 1} 0 (b _ {1} ^ {\prime}) ^ {n + 1} b _ {1} \\ = (s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {0}}}) ^ {n - 1} s _ {1} ^ {\prime}) D _ {M _ {1, j _ {0}}} s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {0}}} 0 b _ {1} ^ {\prime} ((b _ {1} ^ {\prime}) ^ {n} b _ {1}) \\ = \left(s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {0}}}) ^ {n - 1} s _ {1} ^ {\prime}\right) \mathrm{Trans} (L ^ {\prime}) ((b _ {1} ^ {\prime}) ^ {n} b _ {1}) \\ \end{array}
\]

于是

\[
\begin{array}{l} \operatorname{Trans} (M [ n ]) = \left(s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} \left(s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {0}}}\right) ^ {n - 1} s _ {1} ^ {\prime}\right) \operatorname{Trans} \left(\operatorname{Pred} \left(N ^ {\prime}\right)\right) \left(\left(b _ {1} ^ {\prime}\right) ^ {n} b _ {1}\right) \\ = \left(s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {0}}}) ^ {n - 1} s _ {1} ^ {\prime}\right) D _ {M _ {1, j _ {0}}} t _ {2} ((b _ {1} ^ {\prime}) ^ {n} b _ {1}) \\ = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {0}}}) ^ {n} t _ {2} (b _ {1} ^ {\prime}) ^ {n} b _ {1} \\ \end{array}
\]

证毕。

定理 21.4.116 条件 (V) 下基本列的 scb 分解。

对于任意 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ ，使用 Trans 递归定义中引入的符号，如果 $j_0$ 满足 $M$ 容许，则 $m_n := n - 1$ ；如果 $j_0$ 不满足 $M$ 容许，则如果 $j_1 > 1$ 且 $M$ 满足条件 $(V)$ ，则存在唯一的 $u \in \mathbb{N}$ 、 $(s_0', b_0') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 和 $t' \in T_B$ 满足：

(1) $(s_{0}^{\prime},D_{u}t_{2},b_{0}^{\prime})$ 是 $Trans(M[n])$ 的scb分解。
(2) $(s_0', D_u(t_2 + D_{M_{1,j_0}}0), b_0')$ 是 $Trans(M)[m_n]$ 的 $scb$ 分解。
(3) $(s_0', D_u(t_2 + D_{M_{1,j_0}}t'), b_0')$ 是 $Trans(M[n+1])$ 的 $scb$ 分解。

证明：

由于 M 满足条件 (V)， $M_{1,j_{0}} < M_{1,j_{0}} + 1 = M_{1,j_{1}}$ 。因此， $(1,j_{0}) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ 。

证明对于任何 $(s_1', b_1') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ ，如果 $(D_{M_{1,j-1}} s_1', D_{M_{1,j_1}} 0, b_1')$ 是 $c_2$ 的 scb 分解，则 $\mathrm{Trans}(M)[m_n] = s_1 D_{M_{1,j-1}} (s_1' D_{M_{1,j_0}})^{m_n + 1} 0(b_1')^{m_n + 1} b_1$ 且对于任何 $t' \in T_B$ ， $s_1' D_{M_{1,j_0}} t'b_1' = t_2 + D_{M_{1,j_0}} t'$ 。

由条件(III)至(VI)下 Trans 与 scb 分解的关系可知, $(s_{1},c_{2},b_{1})=(s_{1},D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{1}}}0b_{1}^{\prime},b_{1})$ 为 Trans(M) 的第一类 scb 分解，又由 scb 分解与基本列（2）的关系可知，

\[
\mathrm{Trans} (M) [ m _ {n} ] = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {1}}} - 1) ^ {m _ {n} + 1} 0 (b _ {1} ^ {\prime}) ^ {m _ {n} + 1} b _ {1} = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {0}}}) ^ {m _ {n} + 1} 0 (b _ {1} ^ {\prime}) ^ {m _ {n} + 1} b _ {1}
\]

$D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{1}}}0b_{1}^{\prime}=c_{2}=D_{v}(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0)$ ，因此 $s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{1}}}0b_{1}^{\prime}=t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0$ 。因此，根据加法和scb分解之间的关系， $t_{2}+D_{M_{1,j_{0}}}t^{\prime}=s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{0}}}t^{\prime}b_{1}^{\prime}$ 。

假设 $j_{0}$ 是 M 可接受的。

通过条件 (III) 至 (V) 下的各种 scb 分解，存在唯一的 $(s_{1}^{\prime}, b_{1}^{\prime}) \in (\Sigma^{<\omega})^{2}$ 满足：

(1) $(D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_1}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $c_{2}$ 的scb分解。
(5) $\mathrm{Trans}(M[n]) = s_1D_{M_{1,j - 1}}(s_1^{\prime}D_{M_{1,j_0}})^{n - 1}t_2(b_1^{\prime})^{n - 1}b_1$ 。
(5) 'Trans(M[n+1]) = $s_1 D_{M_{1,j-1}} (s_1' D_{M_{1,j_0}})^n t_2 (b_1')^n b_1$ 。

令 n = 1。

令 $u := M_{1,j-1}$ 。

令 $s_{0}^{\prime} := s_{1}$ 。

令 n > 1。

令 $u := M_{1,j_{0}}$ 。

令 $s_0' := s_1 D_{M_{1,j-1}}(s_1' D_{M_{1,j_0}})^{n-2} s_1'$ 。

令 $b_{0}^{\prime} := (b_{1}^{\prime})^{n-1} b_{1}$ 。

令 $t' := t_{2}$ 。

如前所述， $\mathrm{Trans}(M)[m_n] = s_1D_{M_{1,j-1}}(s_1'D_{M_{1,j_0}})^{m_n+1}0(b_1')^{m_n+1}b_1$ 且 $s_1'D_{M_{1,j_0}}0b_1' = t_2 + D_{M_{1,j_0}}0$ 且 $s_1'D_{M_{1,j_0}}t'b_1' = t_2 + D_{M_{1,j_0}}t'$ 。因此

\[
\operatorname{Trans} (M [ n ]) = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} \left(s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {0}}}\right) ^ {n - 1} t _ {2} \left(b _ {1} ^ {\prime}\right) ^ {n - 1} b _ {1} = s _ {0} ^ {\prime} D _ {u} t _ {2} b _ {0} ^ {\prime}
\]

\[
\mathrm{Trans} (M) [ m _ {n} ] = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {0}}}) ^ {n} 0 (b _ {1} ^ {\prime}) ^ {n} b _ {1} = s _ {0} ^ {\prime} D _ {u} (t _ {2} + D _ {M _ {1, j _ {0}}} 0) b _ {0} ^ {\prime}
\]

\[
\mathrm{Trans} (M [ n + 1 ]) = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {0}}}) ^ {n} t _ {2} (b _ {1} ^ {\prime}) ^ {n} b _ {1} = s _ {0} ^ {\prime} D _ {u} (t _ {2} + D _ {M _ {1, j _ {0}}} t ^ {\prime}) b _ {0} ^ {\prime}
\]

假设 $j_{0}$ 不满足 M 容许条件。

在条件 (V) 下，存在唯一的 $(s_{1}^{\prime}, b_{1}^{\prime}) \in (\Sigma^{<\omega})^{2}$ 满足以下条件：

(1) $(D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $c_{2}$ 的scb分解。

(5) Trans(M[n]) = $s_{1}D_{M_{1,j-1}}(s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{0}}})^{n}t_{2}(b_{1}^{\prime})^{n}b_{1}$ 。

(5) 'Trans(M[n+1]) = $s_1 D_{M_{1,j-1}}(s_1' D_{M_{1,j_0}})^{n+1} t_2(b_1')^{n+1} b_1$ 。

令 $u := M_{1,j_{0}}$ 。

令 $s_0' := s_1 D_{M_{1,j-1}}(s_1' D_{M_{1,j_0}})^{n-1} s_1'$ 。

设 $b_{0}^{\prime} := (b_{1}^{\prime})^{n} b_{1}$ 。

设 $t_{0}^{\prime} := t_{2} + D_{M_{1,j_{0}}} t_{2}$ 。

如前所述， $\mathrm{Trans}(M)[m_n] = s_1D_{M_{1,j-1}}(s_1'D_{M_{1,j_0}})^{m_n+1}0(b_1')^{m_n+1}b_1$ 且 $s_1'D_{M_{1,j_0}}0b_1' = t_2 + D_{M_{1,j_0}}0$ 且 $s_1'D_{M_{1,j_0}}t_2b_1' = t_2 + D_{M_{1,j_0}}t_2 = t'$ 。因此

\[
\operatorname{Trans} (M [ n ]) = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} \left(s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {0}}}\right) ^ {n} t _ {2} \left(b _ {1} ^ {\prime}\right) ^ {n} b _ {1} = s _ {0} ^ {\prime} D _ {u} t _ {2} b _ {0} ^ {\prime}
\]

\[
\mathrm{Trans} (M) [ m _ {n} ] = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {0}}}) ^ {n + 1} 0 (b _ {1} ^ {\prime}) ^ {n + 1} b _ {1} = s _ {0} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {0}}} (t _ {2} + D _ {M _ {1, j _ {0}}} 0) b _ {0} ^ {\prime}
\]

\[
\mathrm{Trans} (M [ n + 1 ]) = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {0}}}) ^ {n + 2} t _ {2} (b _ {1} ^ {\prime}) ^ {n + 2} b _ {1} = s _ {0} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {0}}} (t _ {2} + D _ {M _ {1, j _ {0}}} t _ {0} ^ {\prime}) b _ {0} ^ {\prime}
\]

证毕。

现在，让我们回到正题。

在条件 (V) 下，证明 Trans 与基本列的交换关系:

由于 $M$ 是单项的，Trans 保留零终端性，因此 $\operatorname{Trans}(M) \neq 0$ 。因此，(2) 可由 (1) 和 [Buc1] 引理 3.2 直接得出。下面，我们给出 (1) 和 (3) 的证明。

在条件 (V) 下, 通过基本列的 scb 分解, 存在唯一的 $u \in \mathbb{N}$ 、 $(s_0', b_0') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 和 $t' \in T_{\mathrm{B}}$ 满足:

(1) $(s_{0}^{\prime},D_{u}t_{2},b_{0}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(M[n])$ 的scb分解。
(2) $(s_0', D_u(t_2 + D_{M_{1,j_0}}0), b_0')$ 是 $\operatorname{Trans}(M)[m_n]$ 的 $\operatorname{scb}$ 分解。
(3) $(s_{0}^{\prime},D_{u}(t_{2}+D_{M_{1,j_{0}}}t^{\prime}),b_{0}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(M[n+1])$ 的scb分解。

由于 $t_{2}<t_{2}+D_{M_{1,j_{0}}}0\leq t_{2}+D_{M_{1,j_{0}}}t'$ ，根据子表示不等式的可扩展性， $\mathrm{Trans}(M[n])<\mathrm{Trans}(M)[m_{n}]\leq\mathrm{Trans}(M[n+1])$ 。

假设 $j_{0}$ 不是 M 可接受的。

在条件 (V) 下，从各种 scb 分解中，存在唯一的 $(s_{1}^{\prime}, b_{1}^{\prime}) \in (\Sigma^{<\omega})^{2}$ 满足：

(1) $(D_{M_{1,j-1}}s_{1}^{\prime},D_{M_{1,j_{1}}}0,b_{1}^{\prime})$ 是 $c_{2}$ 的scb分解。

(5) Trans(M[n]) = $s_{1}D_{M_{1,j-1}}(s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{0}}})^{n}t_{2}(b_{1}^{\prime})^{n}b_{1}$ 。
(5) ' Trans(M[n+1]) = $s_{1}D_{M_{1,j-1}}(s_{1}^{\prime}D_{M_{1,j_{0}}})^{n+1}t_{2}(b_{1}^{\prime})^{n+1}b_{1}$ .

\[
\mathrm{Trans} (M [ n ]) = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {0}}}) ^ {n} t _ {2} (b _ {1} ^ {\prime}) ^ {n} b _ {1}
\]

\[
\mathrm{Trans} (M) [ m _ {n} ] = s _ {1} D _ {M _ {1, j - 1}} (s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {0}}}) ^ {n + 1} 0 (b _ {1} ^ {\prime}) ^ {n + 1} b _ {1} = s _ {1} D _ {M _ {1, j - 1}} (s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {0}}}) ^ {n} s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {0}}} 0 b _ {1} ^ {\prime} (b _ {1} ^ {\prime}) ^ {n} b _ {1}
\]

并且因为 $t_2 < s_1' D_{M_{1,j_0}} 0b_1'$ ，通过扩展子表达式不等式， $\mathrm{Trans}(M[n]) < \mathrm{Trans}(M)[m_n]$ 。

$s_1^{\prime}D_{M_{1,j_0}}0b_1^{\prime}\in T_{\mathrm{B}}$ ，且scb分解的可替代性给出 $s_1^{\prime}D_{M_{1,j_0}}t_2b_1^{\prime}\in T_{\mathrm{B}}$ ，且

\[
\mathrm{Trans} (M) [ m _ {n} ] = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} (s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {0}}}) ^ {n + 1} 0 (b _ {1} ^ {\prime}) ^ {n + 1} b _ {1}
\]

\[
\mathrm{Trans} (M [ n + 1 ]) = s _ {1} D _ {M _ {1, j - 1}} (s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {0}}}) ^ {n + 2} t _ {2} (b _ {1} ^ {\prime}) ^ {n + 2} b _ {1} = s _ {1} D _ {M _ {1, j - 1}} (s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {0}}}) ^ {n + 1} s _ {1} ^ {\prime} D _ {M _ {1, j _ {0}}} t _ {2} b _ {1} ^ {\prime} (b _ {1} ^ {\prime}) ^ {n + 1} b _ {1}
\]

又，由于 $0 \leq s_1' D_{M_{1,j_0}} t_2 b_1'$ ，根据子表达式不等式的可扩展性， $\mathrm{Trans}(M)[m_n] \leq \mathrm{Trans}(M[n+1])$ 。

证毕。

定理 21.4.117 在条件 (VI) 下，Trans 与基本列的对易关系。

对于任意 $M \in ST_{PS} \cap PT_{PS}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ ，使用 Trans 递归定义中引入的符号，如果 $j_0$ 满足 $M$ 容许，则 $m_n := n - 2$ ；如果 $j_0$ 不满足 $M$ 容许，则如果 $j_1 > 1$ 且 $M$ 满足条件 (VI)，则如下结论成立：

(1) 若 $m_{n} = -1$ ，则存在某个 $k \in \mathbb{N}$ 使得 $1 < k \leq M_{1,j_1} + 1$ 且 $Trans(M[n]) = Trans(M)[0]^k$ 。
(2) 若 $m_{n} \geq 0$ ，则 $\text{Trans}(M[n]) = \text{Trans}(M)[m_{n}]$ 。
(3) $Trans(M[n]) < Trans(M)$ 。

我们提出一些引理，作为在条件 (VI) 下证明 Trans 与基本列之间交换关系的前提。

定理 21.4.118 公差为 $(1,0)$ 的数列 Trans 的基本性质。

对于任意 $u, m, j_1 \in \mathbb{N}$ , 设 $M := ((m + j, u))_{j=0}^{j_1} \in T_{PS}$ , 则

\[
T r a n s (M) = \left\{ \begin{array}{l l} 0 & (j _ {1} = 0 \land u = 0) \\ D _ {u} ^ {j _ {1} + 1} 0 & (j _ {1} > 0 \lor u > 0) \end{array} \right.
\]

证明：

$((u + j, u))_{j=0}^{j_1}$ 满足条件 (A) 和 (B)，因此根据约化率与系数之间的关系，它是约化的。因此，由于 Red 的 IncrFirst 不变性，

\[
\operatorname{Red} (M) = \operatorname{Red} (\operatorname{IncrFirst} ^ {u} (M)) = \operatorname{Red} (\operatorname{IncrFirst} ^ {m} (((u + j, u)) _ {j = 0} ^ {j _ {1}})) = \operatorname{Red} (((u + j, u)) _ {j = 0} ^ {j _ {1}}) = ((u + j, u)) _ {j = 0} ^ {j _ {1}}
\]

这可以通过对 $j_{1}$ 进行数学归纳法得到。

令 $j_{1}=0$ 。

根据 Trans 的递归定义，

\[
\begin{array}{l} \mathrm{Trans} (M) = \mathrm{Trans} ((m, u)) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} ((m, u))) = \mathrm{Trans} ((u, u)) \\ = \left\{ \begin{array}{l l} 0 & (u = 0) \\ D _ {u} 0 & (u > 1) \end{array} \right. \\ \end{array}
\]

设 $j_{1}=1$ 。

从 2-序列对序列的基本性质以及 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性和 P 等变性可知，

\[
\mathrm{Trans} (M) = \mathrm{Trans} ((m, u), (m + 1, u)) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} ((m, u), (m + 1, u))) = \mathrm{Trans} ((u, u), (u + 1, u)) = D _ {u} D _ {u} 0 =
\]

令 $j_{1} > 1$ 。

$\operatorname{Red}(M) = ((j, u))_{j=0}^{j_1}$ 既可约又单项。Trans 的递归定义中引入的符号是针对 $\operatorname{Red}(M)$ 定义。

根据归纳假设，Trans(Pred(M)) = $D_{u}^{j_{1}}0$ 。

由于 Red 和 Pred 的交换性，以及 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性，我们有

\[
t _ {1} = \mathrm{Trans} (\mathrm{Pred} (\mathrm{Red} (M))) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} (\mathrm{Pred} (M))) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Pred} (M)) = D _ {u} ^ {j _ {1}} 0 \neq 0
\]

因此，条件 (I) 至 (VI) 对 $\mathrm{Red}(M)$ 有意义。 $j_{0}=j_{1}-1$ 且 $j_{-1}=j_{0}$ 。

如果 u = 0，则 M 满足条件 (I)。

如果 u > 0，则 M 满足条件 (III)。

因此，无论哪种情况，M 都满足条件 (I) 或 (III)。

由于可约化为切片的遗传性， $\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(M))$ 是可约的，因此，由于Mark在最右边1个基点的基本性质， $c_{1} = \mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(M)), j_{-1}) = \mathrm{Mark}(\mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(M)), j_{1} - 1) = D_{u}0$ 。

由于 $t_{1}=D_{u}^{j_{1}}0$ 且 $c_{1}=D_{u}0,\quad s_{1}=D_{u}^{j_{1}-1}$ 且 $b_{1}=()$ 。

$D_{v}t_{2}=c_{1}=D_{u}0$ ，因此 v=u 且 $t_{2}=0$ 。

M 满足条件 (I) 或 (III)，因此 $c_{2}=D_{v}(t_{2}+D_{u}0)=D_{u}D_{u}0=D_{u}^{2}0$ 。

因此，根据 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变性，即 P 等变性，

\[
\operatorname{Trans} (M) = \operatorname{Trans} (\operatorname{Red} (M)) = s _ {1} c _ {2} b _ {1} = D _ {u} ^ {j _ {1} - 1} D _ {u} ^ {2} 0 = D _ {u} ^ {j _ {1} + 1} 0
\]

证毕。

定理 21.4.119 公差为 $(1,1)$ 的序列 Trans 的展开规则。

对于任意 $u, j_1 \in \mathbb{N}$ 和 $n \in \mathbb{N}_+$ ，令 $M := ((u + j, u + j))_{j=0}^{j_1} \in T_{PS}$ 。如果 $j_1 > 1$ ，则 $Trans(M[n]) = D_u D_{u+j_1-1}^n 0$ 。

证明：

M 满足条件 (A) 和 (B)，因此由于约化率与系数之间的关系，M 是约化的。 $M[n]$ 也是约化的，因为约化率对于基本列保持不变。

从 $(1,j_{1}-1)<_{M}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1})$

\[
M [ n ] = (M _ {j}) _ {j = 0} ^ {j _ {1} - 1} \oplus_ {\mathbb {N} ^ {2}} ((M _ {0, j _ {1} - 1} + j, M _ {1, j _ {1} - 1})) _ {j = 1} ^ {n - 1} = (M _ {j}) _ {j = 0} ^ {j _ {1} - 1} \oplus_ {\mathbb {N} ^ {2}} ((u + j _ {1} - 1 + j, u + j _ {1} - 1)) _ {j = 1} ^ {n - 1}
\]

且 $\mathrm{Lng}(M[n])-1=j_{1}-2+n$ 。

如果 $n = 1$ ，则 $j_{1} - 1 = \mathrm{Lng}(M[n]) - 1$ ，因此 $j_{1} - 1$ 是 $M[n]$ 容许的。

如果 $n > 1$ ，则 $j_{1} - 1 < \mathrm{Lng}(M[n]) - 1$ 且 $M[n]_{1,j_1 - 1} = M_{1,j_1 - 1} = M[n]_{1,j_1}$ ，因此 $(1,j_{1} - 1) < _{M[n]}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1})$ 不成立，因此 $j_{1} - 1$ 是 $M[n]$ 容许的。

由上可知，无论哪种情况， $j_{1}-1$ 都是 M[n] 容许的。

$(M[n]_{j})_{j=0}^{j_{1}-1}=(M_{j})_{j=0}^{j_{1}-1}=((u+j,u+j))_{j=0}^{j_{1}-1}$ ，因此，根据 $j_{1}>1$ 且公差 (1,1) 的对序列的 Trans 的基本性质，

\[
\mathrm{Trans} ((M [ n ] _ {j}) _ {j = 0} ^ {j _ {1} - 1}) = D _ {u} D _ {u + j _ {1} - 1} 0
\]

因为 $(M[n]_j)_{j = j_1 - 1}^{j_1 - 2 + n} = ((u + j_1 - 1 + j, u + j_1 - 1))_{j = 1}^{n - 1}$ ，由 $j_1 > 1$ 且公差 $(1,0)$ 的对序列的 Trans 的基本性质， $\mathrm{Trans}((M[n]_j)_{j = j_1 - 1}^{j_1 - 2 + n}) = D_{u + j_1 - 1}^n 0$ 。因此，由 Mark 乘以 Trans 的表达式可知，

\[
\mathrm{Mark} (M [ n ], j _ {1} - 1) = \mathrm{Trans} ((M [ n ] _ {j}) _ {j = j _ {1} - 1} ^ {j _ {1} - 2 + n}) = D _ {u + j _ {1} - 1} ^ {n} 0
\]

证毕。

定理 21.4.120 序数项的最后一个单项式消失的可能性。

对于任意 $t, t' \in T_B$ ， $s, b \in \Sigma^{<\omega}$ ，且 $u, v \in \mathbb{N}$ ，若 $(s, D_u(t' + D_v0), b)$ 是 $t$ 的 $scb$ 分解，则存在某个 $k \in \mathbb{N}$ 使得 $0 < k \leq v + 1$ 且 $(s, D_u t', b)$ 是 $t[0]^k$ 的 $scb$ 分解。

证明：

我们利用数学归纳法对 v 进行证明。

设 v = 0。

设 $k := 1$ 。

\[
0 < k = 1 = v + 1 _ {\circ}
\]

根据序数项基本列的递归定义，

\[
(s, (D _ {u} (t ^ {\prime} + D _ {0} 0)) [ 0 ], b) = (s, D _ {u} ((t ^ {\prime} + D _ {0} 0) [ 0 ]), b) = (s, D _ {u} (t ^ {\prime} + (D _ {0} 0) [ 0 ]), b) = (s, D _ {u} (t ^ {\prime} + 0), b) = (s, D _ {u} t ^ {\prime}, b)
\]

是 $t[0]^{k}=t[0]$ 的 scb 分解。

设 v > 0。

由于 $(D_v0)[0] = 0$ 且 $(D_v0)[D_{v-1}0] = D_{v-1}0$ ，根据序数项基本列的递归定义和scb分解的可替换性， $(s, D_u t', b)$ 或 $(s, D_u(t' + D_{v-1}0), b)$ 是 $t[0]$ 的scb分解。

令 $(s,D_{u}t',b)$ 是 t[0] 的 scb 分解。

令 $k := 1$ 。

\[
0 < k = 1 < v + 1 _ {\circ}
\]

$(s,D_{u}t',b)$ 是 $t[0]^{k}=t[0]$ 的scb分解。

设 $(s, D_u(t' + D_{v-1}0), b)$ 是 $t[0]$ 的 scb 分解。

根据归纳假设，存在 $k' \in N$ 使得 $0 < k' \leq v$ 且 $t[0][0]^{k'}$ 是 $(s, D_{u}t', b)$ 的 scb 分解。

设 $k := k' + 1$ 。

\[
0 < 1 < k \leq v + 1 。
\]

$t[0]^{k}=t[0][0]^{k'}$ 是 $(s,D_{u}t',b)$ 的scb分解。

证毕。

现在，回到正题。

在条件 (VI) 下, Trans 与基本列的交换关系证明:

由于 M 是单项序列，Trans 保留零终端性，因此 $\mathrm{Trans}(M) \neq 0$ 。因此，(3) 可由 (1)、(2) 和 [Buc1] 引理 3.2 直接得出。

由于 $M_{1,j_{0}} < M_{1,j_{0}} + 1 = M_{1,j_{1}}$ ，因此 $(1,j_{0}) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ 。

$j_{0}+1=j_{1}$ 且 $M_{1,j_{0}}+1=M_{1,j_{1}}$ ，因此

\[
M [ n ] = (M _ {j}) _ {j = 0} ^ {j _ {1} - 1} \oplus_ {\mathbb {N} ^ {2}} ((M _ {0, j _ {0}} + j, M _ {1, j _ {0}})) _ {j = 1} ^ {n - 1}
\]

且 $\mathrm{Lng}(M[n])-1=j_{1}-2+n$ 。

如果 n=1，则 $j_{0}=\mathrm{Lng}(M[n])-1$ ，因此 $j_{0}$ 满足 M[n] 条件。

如果 $n > 1$ ，则 $j_0 < \mathrm{Lng}(M[n]) - 1$ 且 $M[n]_{1,j_0} = M_{1,j_0} = M[n]_{1,j_0 + 1}$ ，因此 $(1,j_0) < _{M[n]}^{\mathrm{Next}}(1,j_0 + 1)$ 不成立，因此 $j_0$ 是 $M[n]$ 容许的。

因此，无论哪种情况， $j_{0}$ 都是 $M[n]$ 容许的。

$(1,j_0) <_{M}^{\text{Next}} (1,j_1)$ ，因此 $(1,j_{-1}) <_{M}^{\text{Next}} (1,j_{-1} + 1)$ 。由于 $j_{-1}$ 是 $M$ 容许的，因此 $(1,j_{-1} - 1) <_{M}^{\text{Next}} (1,j_{-1})$ 不成立。此外， $(M[n]_j)_{j=0}^{j_{-1}} = (M_j)_{j=0}^{j_{-1}}$ 不成立。因此， $j_{-1}$ 是 $M[n]$ 容许的。根据最右边2个基点Mark的基本性质， $\operatorname{Trans}(M) = s_1c_2b_1 = s_1\operatorname{Mark}(M,j_{-1})b_1$ ，因此若 $j_{-1} > 0$ ，则根据使用Mark和切片的Trans表达式，

\[
\mathrm{Trans} ((M [ n ] _ {j}) _ {j = 0} ^ {j - 1}) = \mathrm{Trans} ((M _ {j}) _ {j = 0} ^ {j - 1}) = s _ {1} D _ {M _ {1, j - 1}} b _ {1}
\]

设 $N := (M_{j})_{j=j-1}^{j_{1}}$ 。

由于标准形式的直系祖先函数切片约化的强单项性， $\mathrm{Red}(N)$ 是强单项式的。由于可约性与系数之间的关系， $\mathrm{Red}(N)$ 满足条件 (A) 和 (B)。由于直系祖先函数切片以及 Red 与 IncrFirst 之间的关系， $\mathrm{IncrFirst}^{N_{0,0}-N_{1,0}}(\mathrm{Red}(N)) = N$ ，即 $\mathrm{Red}(N) = ((M_{1,j} - M_{0,j-1} + M_{1,j-1}, M_{1,j}))_{j=j-1}^{j_1}$ 。

$M_{1,j_{0}} < M_{1,j_{0}} + 1 = M_{1,j_{1}}$ ，因此 $(1,j_{0}) <_{M}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ ，且 $(1,j_{0}) <_{N}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ ，且 $(1,j_{0}) <_{\text{Red}(N)}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ ，因为 $M_{1,j_{0}} < M^{\text{Next}}(1,j_{1})$ ，且 $(1,j_{0}) <_{\text{Red}(N)}^{\text{Next}}(1,j_{1})$ ，因为 Red 是直系祖先的不变性。

$\mathrm{Adm}_N(j_0 - j_{-1}) = 0$ ，因为Red是容许性的不变性，且 $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_0 - j_{-1}) = 0$ ，因为Red是容许性的不变性。

$(1,j_{0})<_{\mathrm{Red}(N)}^{\mathrm{Next}}(1,j_{1})$ 且 $\mathrm{Adm}_{\mathrm{Red}(N)}(j_{0}-j_{-1})=0$ ，因此 $\mathrm{TrMax}(\mathrm{Red}(N))=j_{1}-j_{-1}$ 。进一步，由于 $\mathrm{Red}(N)$ 满足条件 (A) 和 (B)，且 $\mathrm{Red}(N)_{1,0}=M_{1,j_{-1}}$ 和 $\mathrm{Red}(N)_{1,j_{1}}=M_{1,j_{1}}$ ，因此有 $\mathrm{Red}(N)=((j,j))_{j=M_{1,j_{-1}}}^{M_{1,j_{1}}}$ 。

由公差 $(1,1)$ 的对序列的 $j_{1}-j_{-1}\geq j_{1}-j_{0}>0$ 和 Trans 的基本性质可知， $\mathrm{Trans}(\mathrm{Red}(N))=D_{M_{1,j_{-1}}}D_{M_{1,j_{1}}}0$ 。因此，根据 IncrFirst, Red) 的不变 P 等变性，以及 Mark 用 Trans 表示，

\[
c _ {2} = \mathrm{Mark} (M, j _ {- 1}) = \mathrm{Trans} (N) = \mathrm{Trans} (\mathrm{Red} (N)) = D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} D _ {M _ {1, j _ {1}}} 0
\]

在条件 (III) 至 (VI) 下， $(s_{1}, c_{2}, b_{1}) = (s_{1}, D_{M_{1,j-1}} D_{M_{1,j_{1}}} 0, b_{1}) = (s_{1}, \text{Trans}(N), b_{1})$ 是 Trans(M) 的第一类 scb 分解，且对于任意 $m \in N$ ，

\[
\mathrm{Trans} (M) [ m ] = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} D _ {M _ {1, j _ {1}} - 1} ^ {m + 1} 0 b _ {1}
\]

因为 Red 和 Pred 可交换，所以 $\mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N)) = \mathrm{Pred}(\mathrm{Red}(N)) = ((j, j))_{j=M_{1,j-1}}^{M_{1,j_1}-1}$ 。

令 $j_{1}-j_{-1}=1$ 。

由于 $j_{-1} \leq j_0 < j_1 = j_{-1} + 1$ ，所以 $j_0 = j_{-1}$ 。因此， $j_0$ 是 $M$ 可接受的，且 $m_n = n - 2$ 。 $\operatorname{Pred}(M)_{1,j_1 - 1} = M_{1,j_1 - 1} = M_{1,j_{-1}}$ 以及 Mark 在最右边 1 个基点的基本性质

\[
c _ {1} = \operatorname{Mark} (\operatorname{Pred} (M), j _ {- 1}) = \operatorname{Mark} (\operatorname{Pred} (M), j _ {1} - 1) = D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} 0
\]

设 n = 1。

\[
m _ {n} = - 1 \text {。}
\]

\[
M [ n ] = \operatorname{Pred} (M),
\]

\[
\mathrm{Trans} (M [ n ]) = s _ {1} c _ {1} b _ {1} = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} 0 b _ {1}
\]

\[
\mathrm{Trans} (M) [ 0 ] = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} D _ {M _ {1, j _ {1}} - 1} 0 b _ {1}
\]

因此，由于序数项的最后一项可能被消灭，存在 $k' \in \mathbb{N}$ 使得 $0 < k' \leq M_{1,j_1}$ 且 $\operatorname{Trans}(M[n]) = \operatorname{Trans}(M)[0][0]^{k'} = \operatorname{Trans}(M)[0]^{k+1}$ 。

令 $k := k' + 1$ 。

\[
1 < k \leq M _ {1, j _ {1}} + 1 。
\]

\[
\mathrm{Trans} (M [ n ]) = \mathrm{Trans} (M) [ 0 ] [ 0 ] ^ {k ^ {\prime}} = \mathrm{Trans} (M) [ 0 ] ^ {k} 。
\]

令 n > 1。

\[
m _ {n} \geq 0.
\]

$(M[n]_{j})_{j=j-1}^{j_{1}-2+n}=(\left(M_{0,j_{0}}+j,M_{1,j_{0}}\right))_{j=1}^{n-1}$ ，因此，由 Mark 用 Trans 表示，以及公差为 $(1,0)$ 的对序列 Trans 的基本性质可知，

\[
\mathrm{Mark} (M [ n ], j _ {- 1}) = \mathrm{Trans} ((M [ n ] _ {j}) _ {j = j _ {- 1}} ^ {j _ {1} - 2 + n}) = D _ {M _ {1, j _ {0}}} ^ {n} 0
\]

令 $j_{-1}=0$ 。

由于 $s_{1}$ 与 $b_{1}$ 之间为空且为基点关系，因此 $s_{1}=()$ ， $b_{1}=()$ 。

$M[n]=((M_{0,j_{0}}+j,M_{1,j_{0}}))_{j=}^{n-1}$ ，因此，具有公差(1,0)的对序列的Trans的基本性质

\[
\mathrm{Trans} (M [ n ]) = D _ {M _ {1, j - 1}} ^ {n} 0 = D _ {M _ {1, j - 1}} D _ {M _ {1, j _ {1}} - 1} ^ {n - 1} 0
\]

\[
\mathrm{Trans} (M) [ m _ {n} ] = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} D _ {M _ {1, j _ {1}} - 1} ^ {n - 1} 0 b _ {1} = D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} D _ {M _ {1, j _ {1}} - 1} ^ {n - 1} 0
\]

也就是说， $\mathrm{Trans}(M[n])=\mathrm{Trans}(M)[m_{n}]$ 。

设 $j_{-1} > 0$ 。

Trans((M[n]j)j-1) = s1DM1,j-10b1 且 Mark(M[n], j-1) = DnM1,j00，由 Trans 的表达式 Mark 和切片

\[
\mathrm{Trans} (M [ n ]) = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {0}}} ^ {n} 0 b _ {1}
\]

\[
\mathrm{Trans} (M) [ m _ {n} ] = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} D _ {M _ {1, j _ {1}} - 1} ^ {n - 1} 0 b _ {1} = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {0}}} ^ {n} 0 b _ {1}
\]

即 $\mathrm{Trans}(M[n]) = \mathrm{Trans}(M)[m_{n}]$ 。设 $j_{1} - j_{-1} > 1$ 。

$j_{-1}<j_{1}-1=j_{0}$ 。因此， $j_{0}$ 不具有 M 容错性，且 $m_{n}=n-1\geq0$ 。

根据公差为 $(1,1)$ 的对序列 Trans 的基本性质, $\mathrm{Trans}(\mathrm{Red}(\mathrm{Pred}(N)))) = D_{M_{1,j-1}} D_{M_{1,j_1}-1}0$ 。因此，从 Trans 的 (IncrFirst, Red) 不变 P 等变性以及 Mark 用 Trans 表示，

\[
c _ {1} = \operatorname{Mark} (\operatorname{Pred} (M), j _ {- 1}) = \operatorname{Trans} (\operatorname{Pred} (N)) = \operatorname{Trans} (\operatorname{Red} (\operatorname{Pred} (N))) = D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} D _ {M _ {1, j _ {1}} - 1} 0
\]

令 n = 1。

由 $M[n]=\mathrm{Pred}(M)$ 可知，

\[
\mathrm{Trans} (M [ n ]) = s _ {1} c _ {1} b _ {1} = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} D _ {M _ {1, j _ {1}} - 1} 0 b _ {1}
\]

\[
\mathrm{Trans} (M) [ m _ {n} ] = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} D _ {M _ {1, j _ {1}} - 1} 0 b _ {1}
\]

即， $\text{Trans}(M[n]) = \text{Trans}(M)[m_n]$ 。

令 n > 1。

$(M[n]_j)_{j = j - 1}^{j_1 - 2 + n} = (M_j)_{j = j - 1}^{j_1 - 1}\oplus_{\mathbb{N}^2}((M_{0,j_0} + j,M_{1,j_0}))_{j = 1}^{n - 1} = N[n]$ ，故由Red与基本列的交换性，Trans的(IncrFirst, Red)不变性，Mark由Trans表示，以及公差(1,1)的偶序列Trans的展开规则，

\[
\begin{array}{l} \operatorname{Mark} (M [ n ], j _ {- 1}) = \operatorname{Trans} ((M [ n ] _ {j}) _ {j = j _ {- 1}} ^ {j _ {1} - 2 + n}) = \operatorname{Trans} (N [ n ]) = \operatorname{Trans} (\operatorname{Red} (N [ n ])) \\ = \operatorname{Trans} (\operatorname{Red} (N) [ n ]) = \operatorname{Trans} (((j, j)) _ {j = M _ {1, j - 1}} ^ {M _ {1, j _ {1}}} [ n ]) = D _ {M _ {1, j - 1}} D _ {M _ {1, j _ {1}} - 1} ^ {n} 0 \\ \end{array}
\]

设 $j_{-1}=0$ 。

由于 $s_{1}$ 与 $b_{1}$ 之间为空且为基点关系，因此 $s_{1}=()$ ， $b_{1}=()$ 。

$M[n]=(M[n]_{j})_{j=j-1}^{j_{1}-2+n}$ ，因此

\[
\mathrm{Trans} (M [ n ]) = \mathrm{Trans} ((M [ n ] _ {j}) _ {j = j _ {- 1}} ^ {j _ {1} - 2 + n}) = D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} D _ {M _ {1, j _ {1}} - 1} ^ {n} 0
\]

\[
\mathrm{Trans} (M) [ m _ {n} ] = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} D _ {M _ {1, j _ {1}} - 1} ^ {n} 0 b _ {1} = D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} D _ {M _ {1, j _ {1}} - 1} ^ {n} 0
\]

也就是说， $\mathrm{Trans}(M[n])=\mathrm{Trans}(M)[m_{n}]$ 。

设 $j_{-1} > 0$ 。

Trans((M[n]\_{j})^{j-1}\_{j=0}) = s\_{1}D\_{M\_{1,j-1}}0b\_{1} 且 Trans 除以 Mark 并切片

\[
\mathrm{Trans} (M [ n ]) = s _ {1} \mathrm{Mark} (M [ n ], j _ {- 1}) b _ {1} = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} D _ {M _ {1, j _ {0}}} ^ {n} 0 b _ {1}
\]

\[
\operatorname{Trans} (M) [ m _ {n} ] = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} D _ {M _ {1, j _ {1}} - 1} ^ {n} 0 b _ {1} = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} D _ {M _ {1, j _ {0}}} ^ {n} 0 b _ {1}
\]

也就是说， $\mathrm{Trans}(M[n])=\mathrm{Trans}(M)[m_{n}]$ 。

我们最后证明如下的主定理。

定理 21.4.121 标准对序列系统的终止。

\[
S T _ {P S} \times \mathbb {N} _ {+} \subset D o m (F) 。
\]

我们提出一些引理作为证明标准对序列系统终止性的预备。

定理 21.4.122 公差为 $(0,0)$ 的数列 Trans 的基本性质。

对于任意 $u, j_{1} \in N$ ，设 $M := ((u, u))_{j=0}^{j_{1}}$ ，则

\[
T r a n s (M) = \left\{ \begin{array}{l l} (D _ {0} 0) \times j _ {1} & (u = 0) \\ (D _ {u} 0) \times (j _ {1} + 1) & (u > 0) \end{array} \right.
\]

证明：由 Trans 的递归定义可知，通过对 $j_{1}$ 进行数学归纳推理，可知 Trans 的递归定义成立。证毕。

定理 21.4.123 基本列的下降性质。

对于任意 $M \in ST_{PS}$ 和 $n \in N_{+}$ ，若 $Lng(M) > 1$ ，则 $Trans(M[n]) < Trans(M)$ 。

证明：

由于标准形式的约化性，M 是约化的。由于约化性和系数之间的关系，M 满足条件 (A) 和 (B)。

我们使用 Trans 递归定义中引入的符号。

设 $J_{1}^{\prime} := \mathrm{Lng}(P(M)) - 1$ 。

如果 $M[n] = \operatorname{Pred}(M)$ ，则由 Pred 关于 Trans 的下降性质可知。下文中，我们记 $M[n] \neq \operatorname{Pred}(M)$ 。

从 $M[n] \neq \text{Pred}(M)$ 出发，存在唯一的 $j_{0} \in N$ 使得 n > 1 且 $(0, j_{0}) <_{M}^{\text{Next}} (0, j_{1})$ 。特别地， $j_{1} > j_{0} \geq 0$ ，且 $\text{Lng}(P(M)_{J_{1}^{\prime}}) \geq j_{1} - j_{0} > 0$ 。也就是说， $P(M)_{J_{1}^{\prime}} \neq ((0, 0))$ 。

利用 $P(M)_{J_{1}^{\prime}} \neq ((0,0))$ 、Trans 的递归定义以及标准形式的单项分量均为标准形式的事实，通过将 M 替换为 $P(M)_{J_{1}}$ ，可以将 M 简化为 M 为单项的情况。下文中，我们假设 M 为单项。

令 $t_{1}=0$ 。

由于 Trans 保持零项性质， $\mathrm{Pred}(M)$ 为零项。因此， $j_{1}=1,\ M_{1,0}=0$ 。由于 M 为单项且满足条件 (A) 和 (B)，因此 $M=((0,0),(1,0))$ 或 $M=((0,0),(1,1))$ 。

令 $M = ((0,0), (1,0))$ 。

由公差为 $(1,0)$ 的对序列的 Trans 的基本性质可知， $\mathrm{Trans}(M)=D_{0}D_{0}0$ 。

由于 $M[n] = ((0,0))_{j=0}^{n-1}$ , 由公差为 $(0,0)$ 的对序列的 Trans 的基本性质可知, $\mathrm{Trans}(M[n]) = (D_00) \times (n-1)$ 。

由于 $0 < D_00$ ， $(D_00) \times (n - 1) < D_0D_00$ ，因此， $\mathrm{Trans}(M[n]) < \mathrm{Trans}(M)$ 。令 $M = ((0,0), (1,1))$ 。

由公差为 (1,1) 的对序列 Trans 的基本性质可知， $\mathrm{Trans}(M)=D_{0}D_{1}0$ 。由于 $M[n]=(\left(j,0\right))_{j=0}^{n-1}$ ，由公差为 (1,0) 的对序列 Trans 的基本性质可知， $\mathrm{Trans}(M[n])=D_{0}^{n}0$ 。

由于 $D_0^{n - 1}0 < D_10$ ， $D_0^n 0 < D_0D_10$ ，因此 $\operatorname{Trans}(M[n]) < \operatorname{Trans}(M)$ 。令 $t_1 \neq 0$ 。

由于 Trans 为零项，因此 Pred(M) 不为零项。

令 M 满足条件 (I)。

令 $j_{1}=1$ 。

由于 $\operatorname{Pred}(M)$ 不为零项，且 $M$ 满足条件 (A) 和 (B)，因此存在唯一的 $u \in \mathbb{N}$ 使得 $u > 0$ 且 $M = ((u, u), (u + 1, 0))$ 。

由 2 序列对的基本性质 (1) 可知， $\mathrm{Trans}(M)=D_{u}D_{0}0$ 。

由于 $M[n] = ((u, u))_{j=0}^{n-1}$ , 由公差为 $(0, 0)$ 的对偶序列的 Trans 基本性质可知, $\mathrm{Trans}(M[n]) = (D_u 0) \times n$ 。

由于 $0 < D_00, D_u0 < D_uD_00$ ，因此 $(D_u0) \times n < D_uD_00$ ，即 $\operatorname{Trans}(M[n]) < \operatorname{Trans}(M)$ 。

如果 $j_{1} > 1$ ，则根据 Trans 与基序列在条件 (I) 下的交换关系 (2)， $\mathrm{Trans}(M[n]) < \mathrm{Trans}(M)$ 。

假设 M 满足条件 (II)。

由于 M 是单项的， $(0,0) \leq_{M}(0,j_{1})$ ，但由于 0 是 M 容许的， $(0,0) <_{M}^{\text{Next}}(0,j_{1})$ 不成立。因此， $j_{1} > 1$ ，并且根据条件 (II) 下 Trans 与基序列的交换关系 (4)， $\text{Trans}(M[n]) < \text{Trans}(M)$ 。

假设 $M$ 满足条件 (III) 或 (IV)。由 $M[n] \neq \operatorname{Pred}(M)$ 可知，存在唯一的 $j_{-2} \in \mathbb{N}$ 使得 $(1, j_{-2}) <_{M}^{\mathrm{Next}}(1, j_1)$ 。由 $M_{1,j_0} \geq M_{1,j_1}$ 可知， $(1, j_0) <_{M}^{\mathrm{Next}}(1, j_1)$ 不成立，因此 $j_{-2} < j_0 < j_1$ 。因此， $j_1 > 1$ ，且由 Trans 与基本列在条件 (III) 或 (IV) 下的交换关系 (2) 可知， $\operatorname{Trans}(M[n]) < \operatorname{Trans}(M)$ 。

设 M 满足条件 (V)。

由于 $j_{1} > j_{0} + 1 \geq 1$ ，根据 Trans 与条件 (V) 下基本列的交换关系 (2)， $\mathrm{Trans}(M[n]) < \mathrm{Trans}(M)$ 。

设 M 满足条件 (VI)。

设 $j_{1}=1$ 。

由于 $\operatorname{Pred}(M)$ 不是零项，且 $M$ 满足条件 (A) 和 (B)，因此存在唯一的 $u \in \mathbb{N}$ 使得 $u > 0$ 且 $M = ((u, u), (u + 1, u + 1))$ 。

根据 2 序列对序列的基本性质 (1)， $\mathrm{Trans}(M)=D_{u}D_{u+1}0$ 。

因为 $M[n] = ((u + j, u))_{j=0}^{n-1}$ , 由公差 $(1, 0)$ 的对偶序列的 Trans 基本性质可知, $\mathrm{Trans}(M[n]) = D_u^n 0$ 。

由于 $D_{u}^{n-1}0 < D_{u+1}0,\quad D_{u}^{n}0 < D_{u}D_{u+1}0$ ，所以 $\mathrm{Trans}(M[n]) < \mathrm{Trans}(M)$ 。

若 $j_{1} > 1$ ，则由Trans与条件(VI)下基本列的交换关系(3)可知， $\mathrm{Trans}(M[n]) < \mathrm{Trans}(M)$ 。

证毕。

下文中，我们将 OT 与 [Buc1] 中的 $T_{B}$ 的交集表示为 $OT_{B}$ 。

定理 21.4.124 序数项的递归构造。

对于任意 $t \in OT_B$ 、 $c \in T_B$ 和 $s, b \in \Sigma^{<\omega}$ ，若 $(s, c, b)$ 是 $t$ 的 $scb$ 分解，则 $c$ 为序数项。

证明：根据 scb 分解的平凡性准则和序数项的递归定义，通过对 $\mathrm{Lng}(s)$ 的数学归纳法可知。证毕。

定理 21.4.125 序数项共尾数的遗传性。

对于任意 $t, t' \in T_B$ 和 $s, b \in \Sigma^{<\omega}$ ，若 $dom(t') = \mathbb{N}$ 且 $(s, t', b)$ 是 $t$ 的 $scb$ 分解，则 $dom(t) = \mathbb{N}$ 。

证明：根据 scb 分解的平凡性准则和 dom 的递归定义，通过对 $\mathrm{Lng}(s)$ 的数学归纳法可知。证毕。

定理 21.4.126 序数项尾项消失的可能性。

对于任意 $t \in OT_B$ 、 $t' \in T_B$ 、 $s, b \in \Sigma^{<\omega}$ 和 $u \in \mathbb{N}$ ，若 $(s, D_u t', b)$ 是 $t$ 的 $scb$ 分解，则存在某个 $k \in \mathbb{N}$ 使得 $(s, D_u 0, b)$ 是 $t[0]^k$ 的 $scb$ 分解。

证明：

$(OT_{B},<)$ 是良基的。因此，数学归纳法可以应用于 $(OT_{B},<)$ 。

由 $t = sD_{u}t'b$ ， $(sD_{u}, t', b)$ 是 t 的 scb 分解，因此，根据序数项的递归结构， $t'$ 是序数项。

通过对 $t'$ 进行数学归纳法，证明存在 $k \in \mathbb{N}$ 使得 $(s, D_u0, b)$ 是 $t[0]^k$ 的 scb 分解。

令 $t' = 0$ 。

令 $k := 0$ 。

$(s,D_{u}0,b)=(s,D_{u}t',b)$ 是 $t[0]^{k}=t$ 的scb分解。

令 $t' > 0$ 。

由于 $t' \neq 0$ ， $t'$ 为单项复项或复项。因此存在 $\tau \in T_{B}$ 和 $\tau' \in PT_{B}$ 使得 $t' = \tau + \tau'$ 。

由于 $\tau'$ 为单项复项， $0 < \tau'$ ，因此 $0 \geq \tau < \tau + \tau' = t'$ 。

令 $\mathrm{dom}(\tau')=\{0\}$ 。

$\mathrm{dom}(t') = \mathrm{dom}(\tau') = \{0\}$ ，因此 $\mathrm{dom}(D_u t') = \mathbb{N}$ ，进而由于序数项的同端项的可遗传性， $\mathrm{dom}(t) = \mathbb{N}$ 。

根据基本列的递归定义， $(D_u t')[0] = (D_u \tau) \times (0 + 1) = D_u \tau \in PT_{\mathrm{B}}$ ，因此，根据 scb 分解的可替代性和 [] 的递归定义， $(s, D_u \tau, b)$ 是 $t[0]$ 的 scb 分解。

由于 $\tau < t'$ 且 $(s, D_{u}\tau, b)$ 是 t[0] 的 scb 分解，根据归纳假设，存在一个 $k' \in N$ 使得 $(s, D_{u}0, b)$ 是 $t[0][0]^{k'}$ 的 scb 分解。令 $\mathrm{dom}(\tau') \neq \{0\}$ 。

根据基本列的递归定义，存在一个 $n \in \mathrm{dom}(t') \cup \mathbb{N}$ ，使得 $(s, D_u(t'[n]), b)$ 是 $t[0]$ 的 scb 分解。

$t' > 0$ 且 $t'[n] < t'$ 。由于 $t'[n] < t'$ 且 $(s, D_u(t'[n]), b)$ 是 t[0] 的 scb 分解，根据归纳假设，存在 $k' \in N$ ，使得 $(s, D_u0, b)$ 是 $t[0][0]^{k'}$ 的 scb 分解。

令 $k := k' + 1$ 。

根据 $t[0]^{k}=t[0][0]^{k'}$ ， $(s,D_{u}0,b)$ 是 $t[0]^{k}$ 的 scb 分解。

证毕。

定理 21.4.127 Pred 与 [0] 的关系。

对于任意 $M \in RT_{PS} \cap PT_B$ ，使用 Trans 的递归定义中引入的符号，若 $j_1 > 1$ 且 $M$ 不满足条件 (VI)，且 Trans(M) 为序数项，则存在某个 $k \in \mathbb{N}$ 使得 Trans(M)[0] $^k = t_1$ 。

证明：

由于可约性以及系数之间的关系，M 满足条件 (A) 和 (B)。由于 $j_{1} > 1, t_{1} \neq 0$ ，因此 $(s_{1}, D_{v}t_{2}, b_{1}) = (s_{1}, c_{1}, b_{1})$ 是 $t_{1}$ 的 scb 分解，且条件 (I) 至 (VI) 对 M 有意义。

假设 M 满足条件 (I)、(III) 或 (V)。

$(s_{1},D_{v}(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0),b_{1})=(s_{1},c_{2},b_{1})$ 是 $\mathrm{Trans}(M)$ 的scb分解。

由于序数项的最后一个单项式存在湮灭可能性， $(s_{1}, D_{v}t_{2}, b_{1})$ 和 $(s_{1}, D_{v}(t_{2} + D_{M_{1,j_{1}}}0), b_{1})$ 分别是 $t_{1}$ 和 $\mathrm{Trans}(M)$ 的 scb 分解，因此存在某个 $k \in N$ 使得 $t_{1} = \mathrm{Trans}(M)[0]^{k}$ 。

假设 M 满足条件 (II) 或 (IV)。

假设 $P(t_2)_{J_1}$ 的左端是 $D_{M_{1,j_0}}\circ t_2 = t_3 + D_{M_{1,j_0}}t_4$ 。因此， $(s_1,D_v(t_3 + D_{M_{1,j_0}}t_4),b_1) = (s_1,c_1,b_1)$ 和 $(s_1,D_v(t_3 + D_{M_{1,j_0}}(t_4 + D_{M_{1,j_1}}0)),b_1) = (s_1,c_2,b_1)$ 分别是 $t_1$ 和 $\mathrm{Trans}(M)$ 的scb分解。

进一步，由于 scb 分解的复合规则以及加法与 scb 分解之间的关系，存在 $(s', b') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 使得 $(s', D_{M_{1,j_0}} t_4, b')$ 和 $(s', D_{M_{1,j_0}} (t_4 + D_{M_{1,j_1}} 0), b')$ 分别是 $t_1$ 和 Trans(M) 的 scb 分解。

由于序数项的最后一个单项式存在湮灭可能性，存在 $k \in \mathbb{N}$ 使得 $(s', D_{M_{1,j_0}} t_4, b')$ 是 $\mathrm{Trans}(M)[0]^k$ 的scb分解。因此，

\[
t _ {1} = s _ {1} D _ {M _ {1, j - 1}} t _ {2} b _ {1} = \mathrm{Trans} (M) [ 0 ] ^ {k}
\]

假设 $P(t_{2})_{J_{1}}$ 的左端不是 $D_{M_{1,j_{0}}}$ 。

$t_{3}=t_{2}$ 且 $t_{4}=t_{2}$ ，且 $c_{2}=D_{v}(t_{3}+D_{M_{1,j_{0}}}(t_{4}+D_{M_{1,j_{1}}}0))=D_{v}(t_{2}+D_{M_{1,j_{0}}}(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0))$ 。因此， $(s_{1},D_{v}(t_{2}+D_{M_{1,j_{0}}}(t_{2}+D_{M_{1,j_{1}}}0)),b_{1})=(s_{1},c_{2},b_{1})$ 是 Trans(M) 的 scb 分解。

此外，由于 scb 分解的复合规则以及加法与 scb 分解之间的关系，存在 $(s', b') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ ，使得 $(s', D_{M_{1,j_0}}(t_2 + D_{M_{1,j_1}}0), b')$ 是 Trans(M) 的 scb 分解。

因为 $\operatorname{Trans}(M)$ 是序数项，且该序数项的尾项可以消除，所以存在 $k_0' \in \mathbb{N}$ 使得 $(s', D_{M_{1,j_0}}0, b')$ 是 $\operatorname{Trans}(M)[0]^{k_0'}$ 的scb分解。

$(s_1, D_{M_{1,j-1}}(t_2 + D_{M_{1,j_0}}(t_2 + D_{M_{1,j_1}}0)), b_1)$ 和 $(s', D_{M_{1,j_0}}(t_2 + D_{M_{1,j_1}}0), b')$ 都是 $\mathrm{Trans}(M)$ 的 $\mathrm{scb}$ 分解，而 $(s', D_{M_{1,j_0}}0, b')$ 是 $\mathrm{Trans}(M)[0]^{k'_0}$ 的 $\mathrm{scb}$ 分解。因此，由加法与 $\mathrm{scb}$ 分解的关系 (3) 可知， $(s_1, D_{M_{1,j-1}}(t_2 + D_{M_{1,j_0}}0), b_1)$ 是 $\mathrm{Trans}(M)[0]^{k'_0}$ 的 $\mathrm{scb}$ 分解。

因此，由于序数项最后一个单项式的湮灭可能性，存在一个 $k_1' \in \mathbb{N}$ ，使得 $(s_1, D_{M_{1,j-1}} t_2, b_1)$ 是 $\mathrm{Trans}(M)[0]^{k_0'}[0]^{k_1'}$ 的scb分解。

令 $k := k_{0}^{\prime} + k_{1}^{\prime}$ 。

\[
t _ {1} = s _ {1} D _ {M _ {1, j _ {- 1}}} t _ {2} b _ {1} = \mathrm{Trans} (M) [ 0 ] ^ {k _ {0} ^ {\prime}} [ 0 ] ^ {k _ {1} ^ {\prime}} = \mathrm{Trans} (M) [ 0 ] ^ {k}
\]

证毕。

定理 21.4.128 序数项的基本列。

(1) 对于任意 $u \in \mathbb{N}$ , $D_u 0 \in OT_B$ 。
(2) 对于任意 $u, v \in \mathbb{N}$ , $D_u D_v 0 \in OT_B$ 。
(3) 对于任意 $u \in \mathbb{N}$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$ , $(D_u0) \times (n-1) \in OT_B$ 。
(4) 对于任意 $u \in \mathbb{N}$ 和 $n \in \mathbb{N}$ , $D_u^n 0 \in OT_B$ 。

证明：

下面，令 $2^{T_{B}}$ 表示 $T_{B}$ 所有子集的集合，令 G 表示过滤条件的限制，即 $N \times T_{B}$ 。

\[
\begin{array}{l} G \colon \mathbb {N} \times T _ {\mathrm{B}} \rightarrow 2 ^ {T _ {\mathrm{B}}} \\ (u, t) \mapsto G _ {u} t \\ \end{array}
\]

将 < 扩展至 $T_{B} \cup 2^{T_{B}}$ 。

（1）它直接由 $0 \in OT_{B}$ 和 $G_{u}0 = \emptyset < D_{u}0$ 得出。
(2) $D_{v}0\in OT_{B}$ 且

\[
G _ {u} D _ {v} 0 = \left\{ \begin{array}{l l} \{0 \} \cup G _ {u} 0 & (u \leq v) \\ \emptyset & (u > v) \end{array} \right.
\]

\[
\begin{array}{l} = \left\{ \begin{array}{l l} \{0 \} \cup \emptyset & (u \leq v) \\ \emptyset & (u > v) \end{array} \right. \\ \begin{array}{l l} = & \left\{ \begin{array}{l l} \{0 \} & (u \leq v) \\ \emptyset & (u > v) \end{array} \right. \\ < & D _ {v} 0 \end{array} \\ \end{array}
\]

这可由 (OT3) 直接推导出来。

(3) 这可由 $0, D_{u}0 \in OT_{B}$ 直接推导出来。

(4) 利用数学归纳法证明，对于任何 $m \in \mathbb{N}$ ，如果 $m < n$ ，则 $D_u^m 0 < D_u^n 0$ 。

如果 m=0，则 $D_{u}^{m}0=0<D_{u}^{n}0$ 。

如果 $m > 0$ ，则根据归纳推理假设， $D_{u}^{m - 1}0 < D_{u}^{n - 1}0$ ，因此 $D_{u}^{m}0 = D_{u}D_{u}^{m - 1}0 < D_{u}D_{u}^{n - 1}0 = D_{u}^{n}0$ 。

特别地， $\{D_{u}^{m}0\mid m\in N\land m<n\}<D_{u}^{n}0$ 。

我们通过对 n 进行数学归纳推理证明， $G_{u}D_{u}^{n}0=\{D_{u}^{m}0\mid m\in\mathbb{N}\wedge m<n\}$ 且 $D_{u}^{n}0\in OT_{B}$ 。

如果 $n = 0$ ，则 $G_{u}D_{u}^{n}0 = G_{u}0 = \emptyset = \{D_{u}^{m}0\mid m\in \mathbb{N}\wedge m < n\}$ 且 $D_{u}^{n}0 = 0\in OT_{\mathrm{B}}$ 。

设 n > 0。

根据归纳假设， $G_{u}D_{u}^{n-1}0=\{D_{u}^{m}0\mid m\in\mathbb{N}\wedge m<n-1\}$ 且 $D_{u}^{n-1}0\in OT_{B}$ 。

\[
\begin{array}{c} G _ {u} D _ {u} ^ {n} 0 = \left\{D _ {u} ^ {n - 1} 0 \right\} \cup G _ {u} D _ {u} ^ {n - 1} 0 = \left\{D _ {u} ^ {m} 0 \mid m \in \mathbb {N} \wedge m < n \right\} 。 D _ {u} ^ {n - 1} 0 \in O T _ {\mathrm{B}}, G _ {u} D _ {u} ^ {n - 1} 0 = \\ \left\{D _ {u} ^ {m} 0 \mid m \in \mathbb {N} \wedge m < n - 1 \right\} < D _ {u} ^ {n - 1} 0, \text {以及} D _ {u} ^ {n} 0 \in O T _ {\mathrm{B}} 。 \end{array}
\]

定理 21.4.129 Trans 保持其标准形式。

对于任何 $M \in ST_{PS}$ ， $Trans(M) \in OT_{B}$ 。

证明：

下文中，我们使用序数项的基本示例，不做任何限制。

设 $k_{0} := \min\{k \in N \mid M \in S_{k} T_{PS}\}$ 。

我们通过对 $k_{0}$ 进行数学归纳法证明这一点。

设 $k_{0}=0$ 。

存在唯一的 $(u,v)\in\mathbb{N}^{2}$ 使得 $u\leq v$ 且 $M=((j,j))_{j=u}^{v}$ 。

如果 u = v = 0，则根据 Trans 的定义， $\mathrm{Trans}(M) = 0 \in OT_{\mathrm{B}}$ 。

若 u = v > 0，则根据 Trans 的定义， $\mathrm{Trans}(M) = D_{u}0 \in OT_{\mathrm{B}}$ 。

若 u < v，则根据公差 $(1,1)$ 的对序列 Trans 的基本性质， $\mathrm{Trans}(M[n]) = D_{u}D_{v}0 \in OT_{\mathrm{B}}$ 。

令 $k_{0} > 0$ 。

设 $N \in S_{k_{0}-1}T_{PS}$ 和 $n \in N_{+}$ ，令 $M = N[n]$ 。

根据归纳假设， $\mathrm{Trans}(N)\in OT_{\mathrm{B}}$ 。

对于任意 $m \in \mathbb{N}$ , $\mathrm{Trans}(N)[m]$ 和 $\mathrm{Trans}(N)[0]^m$ 均为序数项。

若 $\operatorname{Pred}(N) = M$ ，则由于 $\operatorname{Pred}$ 与[0]的关系，存在某个 $k \in \mathbb{N}$ 使得 $\operatorname{Trans}(M) = \operatorname{Trans}(N)[0]^k$ ，因此 $\operatorname{Trans}(M)$ 为序数项。下文中，我们假设 $\operatorname{Pred}(N) \neq M$ 。

由于 $N[1] = \text{Pred}(N) \neq M = N[n]$ ，且 n > 1。

根据标准形式的可约性，N 可约。由于可约性和系数之间的关系，N 满足条件 (A) 和 (B)。

由于 $((0,0))[n] = ((0,0))\in S_0T_{\mathrm{B}}$ 且 $k_{0} > 0$ ， $N\neq ((0,0))$ 。因此， $N$ 是单项的或复项的。

设 N 是单项的。

设 Trans 的递归定义中引入的符号为 N 的定义。

设 $t_{1}=0$ 。

由于 Trans 保持零项式性质， $\mathrm{Pred}(N)$ 是零项式的。因此， $j_{1}=1$ 且 $N_{1,0}=0$ 。由于 N 是单项的，且满足条件 (A) 和 (B)，因此 $N=((0,0),(1,0))$ 或 $N=((0,0),(1,1))$ 。

若 $N = ((0,0),(1,0))$ ，则 $M = N[n] = ((0,0))_{j = 0}^{n - 1}$ ，因此由公差为 $(0,0)$ 的对序列Trans的基本性质可知， $\mathrm{Trans}(M) = (D_00)\times (n - 1)\in OT_{\mathrm{B}}$ 。

设 $N = ((0,0),(1,1))$ ，则 $M = N[n] = ((j,0))_{j = 0}^{n - 1}$ ，因此，由 $n > 1$ 且公差 $(1,0)$ 的对序列的Trans的基本性质可知， $\mathrm{Trans}(M) = D_0^n 0\in OT_{\mathrm{B}}$ 。

设 $t_{1} \neq 0$ 。

由于 Trans 是零项式的，因此 Pred(N) 不是零项式的。

设 N 满足条件 (I)。

设 $j_{1}=1$ 。

由于 $\operatorname{Pred}(N)$ 不是零项，且 $N$ 满足条件 (A) 和 (B)，因此存在唯一的 $u \in \mathbb{N}$ 使得 $u > 0$ 且 $N = ((u, u), (u + 1, 0))$ 。

由于 $M = N[n] = ((u, u))_{j=0}^{n-1}$ ，对于公差为 $(0, 0)$ 的对序列，Trans 的基本性质意味着 $\mathrm{Trans}(N[n]) = (D_u 0) \times n \in OT_{\mathrm{B}}$ 。

如果 $j_{1} > 1$ ，则 $\mathrm{Trans}(M) = \mathrm{Trans}(N[n]) = \mathrm{Trans}(N)[n - 1] \in OT_{\mathrm{B}}$ ，根据条件(I)下Trans与基本列的对易关系(1)。

设 N 满足条件 (II)。

设 $m_{n} := n - 1$ 或 $m_{n} := n - 2$ ，取决于 $P(t_{2})_{J_{1}}$ 的左端是否为 $D_{N_{1,j_{0}}}$ 。

由于 N 是单项的， $(0,0) \leq_{N}(0,j_{1})$ ，但由于 0 是 N 容许的， $(0,0) <_{N}^{\text{Next}}(0,j_{1})$ 不成立。因此， $j_{1} > 1$ 。

由于 $n > 1$ ， $m_n \geq 0$ 。因此，在条件 (II) 下，根据 Trans 与基本列的对易关系 (2)， $\mathrm{Trans}(M) = \mathrm{Trans}(N[n]) = \mathrm{Trans}(N)[m_n] \in OT_{\mathrm{B}}$ 。

假设 N 满足条件 (III) 或 (IV)。

由于 $\operatorname{Pred}(N) \neq M = N[n]$ ，存在唯一的 $j_{-2} \in \mathbb{N}$ 使得 $(1, j_{-2}) <_{N}^{\text{Next}} (1, j_1)$ 。 $N_{1,j_0} \geq N_{1,j_1}$ 意味着 $(1, j_0) <_{N}^{\text{Next}} (1, j_1)$ 不成立，因此 $j_{-2} < j_0 < j_1$ 。因此， $j_1 > 1$ ，且根据条件 (III) 或 (IV) 下基本列的基本性质，有以下成立：

(1) $M = N[n] = N[n + 1][1]^{j_1 - j - 2}$ 。
(2) $\mathrm{Trans}(N)[n - 1] = \mathrm{Trans}(N[n + 1][1]^{j_1 - 1 - j_{-2}})$ 。

特别地，由于 $\operatorname{Pred}(N[n + 1][1]^{j_1 - 1 - j_{-2}}) = M$ ，且 $\operatorname{Trans}(N[n + 1][1]^{j_1 - 1 - j_{-2}})$ 为序数项，因此 $\operatorname{Pred}$ 和 [0] 之间的关系意味着存在某个 $k \in \mathbb{N}$ ，使得 $\operatorname{Trans}(M) = \operatorname{Trans}(N[n + 1][1]^{j_1 - 1 - j_{-2}})[0]^k = \operatorname{Trans}(N)[n - 1][0]^k$ 。因此，根据 [Buc1] 引理 3.3， $\operatorname{Trans}(M)$ 为序数项。

设 N 满足条件 (V)。

如果 $j_{0}$ 为 M-可接受的，则令 $m_{n} := n - 1$ 。

如果 $j_{0}$ 不为 M-可接受的，则令 $m_{n} := n$ 。

根据 $j_{1} > j_{0} + 1 \geq 1$ 和条件 (V) 下基本列的 scb 分解，存在唯一的 $u \in \mathbb{N}$ 、 $(s_0', b_0') \in (\Sigma^{<\omega})^2$ 和 $t' \in T_{\mathrm{B}}$ 使得：

(1) $(s_{0}^{\prime},D_{u}t_{2},b_{0}^{\prime})$ 是 $\mathrm{Trans}(M[n])$ 的scb分解。

(2) $(s_0', D_u(t_2 + D_{M_{1,j_0}}0), b_0')$ 是 $\mathrm{Trans}(M)[m_n]$ 的 scb 分解。

因此，由于序数项的最后一个单项式湮灭的可能性，存在某个 $k \in N$ 使得 $\mathrm{Trans}(M) = \mathrm{Trans}(N[n]) = \mathrm{Trans}(N)[m_n][0]^k$ ，因此，根据 [Buc1] 引理 3.3， $\mathrm{Trans}(M)$ 为序数项。

令 N 满足条件 (VI)。

令 $j_{1}=1$ 。

由于 $\operatorname{Pred}(N)$ 不是零项，且 $N$ 满足条件 (A) 和 (B)，因此存在唯一的 $u \in \mathbb{N}$ 使得 $u > 0$ 且 $N = ((u, u), (u + 1, u + 1))$ 。

由于 $N[n]=((u+j,u))_{j=0}^{n-1}$ ，由公差 $(1,0)$ 的对序列 Trans 的基本性质可知， $\mathrm{Trans}(N[n]) = D_{u}^{n}0 \in OT_{\mathrm{B}}$ 。

令 $j_{1} > 1$ 。

如果 $j_{0}$ 是 M 可接受的，则令 $m_{n} := n - 2$ 。

如果 $j_{0}$ 不是 M 可接受的，则令 $m_{n} := n - 1$ 。

由于 $n > 1$ ， $m_n \geq 0$ ，因此，根据 Trans 与条件 (VI) 下基本列的交换关系 (2)， $\mathrm{Trans}(M) = \mathrm{Trans}(N[n]) = \mathrm{Trans}(N)[m_n] \in OT_{\mathrm{B}}$ 。

令 N 为复合项。

令 $J_{1} := \mathrm{Lng}(P(N)) - 1$ 。

由于 P 的每个分量都是非复合的，因此 $J_{1} > 0$ 。由于 $\mathrm{Pred}(N) \neq M = N[n]$ ， $\mathrm{Lng}(P(N)_{J_{1}}) > 1$ 。因此，由 P 与基本列 (2) 的关系可知， $P(M) = P(N[n]) = (P(N)_{J})_{J=0}^{J_{1}-1} \oplus_{T_{\mathrm{PS}}} P(P(N)_{J_{1}}[n])$ 。

令 $J_{0} := \mathrm{Lng}(P(P(N)_{J_{1}}[n])) - 1$ 。

映射

\[
\begin{array}{l} \mathrm{PTrans}: P T _ {\mathrm{PS}} \rightarrow T _ {\mathrm{B}} \\ M ^ {\prime} \mapsto \mathrm{PTrans} (M ^ {\prime}) \\ \end{array}
\]

定义如下:

如果 $M'$ 为零项，则 PTrans( $M'$ ) = $D_{0}0$ 。

如果 $M'$ 不是零项，则 $\mathrm{PTrans}(M') = \mathrm{Trans}(M')$ 。

令 $a_{0} := (\text{Trans}(P(N)_{0})) \oplus_{T_{\mathrm{B}}} (\text{PTrans}(P(N)_{J})_{J=1}^{J_{1}-1})$ 。

令 $a_1 := (\mathrm{PTrans}(P(P(N)_{J_1}[n])_{J'})_{J'=0}^{J_0}$ 。

令 $a_2 := (\text{Trans}(P(P(N)_{J_1}[n])_0)) \oplus_{T_\text{B}} (\text{PTrans}(P(P(N)_{J_1}[n])_{J'})^{J_0}_{J'=1}$ 。

由于 P 的每个分量都是非复项的，因此 Trans 保持零项式性质，而 Trans 保持单项式性质，因此 $a_{0}$ 、 $a_{1}$ 和 $a_{2}$ 的每个分量均为 0 或单项式，且 0 仅出现在左端。根据 Trans 的递归定义，对于任意 $M' \in RT_{PS} \cap MT_{PS}$ ，设 $J_{1}' := \mathrm{Lng}(M') - 1$ ，

\[
\mathrm{Trans} (M ^ {\prime}) = \mathrm{Trans} (P (M ^ {\prime}) _ {0}) + \Sigma_ {\mathrm{B}} (\mathrm{PTrans} (P (M ^ {\prime}) _ {J})) _ {J = 1} ^ {J _ {1} ^ {\prime} - 1} + \mathrm{PTrans} (P (M ^ {\prime}) _ {J _ {1} ^ {\prime}})
\]

具体而言，

\[
\mathrm{Trans} (N) = \Sigma_ {\mathrm{B}} a _ {0} + \mathrm{PTrans} (P (N) _ {J _ {1}})
\]

\[
\mathrm{Trans} (M) = \Sigma_ {\mathrm{B}} (a _ {0} \oplus_ {T _ {\mathrm{B}}} a _ {1})
\]

\[
\mathrm{Trans} (P (N) _ {J _ {1}} [ n ]) = \Sigma_ {\mathrm{B}} a _ {2}
\]

这表明 $a_{0} \oplus_{T_{B}} a_{1}$ 的每个分量都是序数项。

由于 $\mathrm{Lng}(P(N)_{J_{1}})>1$ ，因此 $P(N)_{J_{1}}$ 不是零项。此外，由于 P 的每个分量都是非复项的， $P(N)_{J_{1}}$ 也不是复项项，所以它是单项。由于 Trans 是单项的，所以 $\mathrm{Trans}(P(N)_{J_{1}})$ 也是单项的。

由于 $P(N)_{J_1}$ 不是零项，所以 $\mathrm{PTrans}(P(N)_{J_1}) = \mathrm{Trans}(P(N)_{J_1})$ 。因此， $\mathrm{Trans}(N) = \Sigma_{\mathrm{B}}a_0 + \mathrm{Trans}(P(N)_{J_1})$ 。 $\mathrm{Trans}(N)$ 是序数项，因此由Buchholz序数符号系统的递归定义可知， $a_0$ 和 $\mathrm{Trans}(P(N)_{J_1})$ 的每个分量均为序数项，而从 $a_0 \oplus_{T_{\mathrm{B}}}$ 的分量中去掉0得到的 $PT_{\mathrm{B}}$ 值数组 $(\mathrm{Trans}(P(N)_{J_1}))$ 为降序。

由于标准形式的单项分量即为标准形式, $P(N)_{J_{1}}\in S_{k_{0}-1}T_{\mathrm{PS}}$ ,因此 $P(N)_{J_{1}}[n]\in S_{k_{0}}T_{\mathrm{PS}}$ 。

由于 $\mathrm{Lng}(P(N)_{J_{1}})>1$ 且这是标准形式, 基本列的下降性质意味着 $\Sigma_{\mathrm{B}}a_{2}=\mathrm{Trans}(P(N)_{J_{1}}[n])<\mathrm{Trans}(P(N)_{J_{1}})$ 。因此， $a_{2}$ 的每个分量都小于 $\mathrm{Trans}(P(N)_{J_{1}})$ 。

如果 $P(N)_{J_1}[n] \in S_{k_0 - 1}T_{\mathrm{PS}}$ ，那么根据归纳假设，Trans $(P(N)_{J_1}[n])$ 是一个序数项。

如果 $P(N)_{J_1}[n] \in S_{k_0 - 1}T_{\mathrm{PS}}$ 不成立，则 $k_0 = \min \{k \in \mathbb{N} \mid P(N)_{J_1} \in S_kT_{\mathrm{PS}}\}$ ，因此 $P(N)_{J_1}$ 为单项项，所以 $\operatorname{Trans}(P(N)_{J_1}[n])$ 为序数项。

因此，无论哪种情况， $\mathrm{Trans}(P(N)_{J_{1}}[n])$ 都是序数项。

由于 $\mathrm{Trans}(P(N)_{J_{1}}[n])$ 为序数项，且 $\mathrm{Trans}(P(N)_{J_{1}}[n]) = \Sigma_{\mathrm{B}}a_{2}$ ，根据 Buchholz 序数符号系统的递归定义， $a_{2}$ 的每个分量都是序数项，从 $a_{2}$ 的分量中剔除 0 后得到的 $PT_{B}$ 值数组按降序排列。由于 0 为序数项，因此 $a_{1}$ 的每个分量也是序数项。

由此可知， $a_{0}\oplus_{T_{B}}a_{1}$ 的每个分量都是序数项。

我们证明，通过从 $a_{0} \oplus_{T_{B}} a_{1}$ 的分量中排除 0 得到的 $PT_{B}$ 值数组是降序的。

设 $a_{2}$ 的分量为 0。

只有 $a_{2}$ 最左边的分量为 0，因此 $P(P(N)_{J_{1}}[n])_{0}$ 为零项。

设 $J_{2} := \mathrm{Lng}(P(P(N)_{J_{1}}[n])) - 1$ 。

设 $J_{2}=0$ 。

\[
a _ {1} = (D _ {0} 0) 。
\]

由于 $a_2$ 中唯一一个分量0小于 $\mathrm{Trans}(P(N)_{J_1})$ ，且 $D_00$ 大于0，即 $D_00 \leq \mathrm{Trans}(P(N)_{J_1})$ 。由于从 $a_0 \oplus_{T_\mathrm{B}} (\mathrm{Trans}(P(N)_{J_1}))$ 的分量中排除0得到的 $PT_\mathrm{B}$ 值数组是降序的，因此从 $a_0 \oplus_{T_\mathrm{B}} a_1$ 的分量中排除0得到的 $PT_\mathrm{B}$ 值数组也是降序的。

令 $J_{2} > 0$ 。

由于 $P(N)_{J_{1}}$ 的单项性和非二元性与基本列的关系， $P(P(N)_{J_{1}}[n])$ 的每个分量同样都是零项。因此， $a_{1}=(D_{0}0)_{J=0}^{J_{2}}$ ， $a_{2}=(0)\oplus_{T_{\mathrm{B}}}(D_{0}0)_{J=1}^{J_{2}}$ 。

由于 $a_2$ 的每个分量都小于 $\mathrm{Trans}(P(N)_{J_1})$ ，因此， $D_00 < \mathrm{Trans}(P(N)_{J_1})$ 。也就是说， $a_1$ 的每个分量也小于 $\mathrm{Trans}(P(N)_{J_1})$ 。由于从 $a_0 \oplus_{T_\mathrm{B}} (\mathrm{Trans}(P(N)_{J_1}))$ 的分量中去掉 0 得到的 $PT_\mathrm{B}$ 值数组是降序的，因此从 $a_0 \oplus_{T_\mathrm{B}} a_1$ 的分量中去掉 0 得到的 $PT_\mathrm{B}$ 值数组也是降序的。

假设 $a_{2}$ 不包含 0 作为分量。

由于 Trans 保持零项性质, 因此 $P(P(N)_{J_{1}}[n])$ 的分量中没有一个是零项, 因此 $a_{1}=a_{2}$ 。特别地, $a_{1}$ 是降序的, 且 $a_{1}$ 的每个分量都小于 $\mathrm{Trans}(P(N)_{J_{1}})$ 。

由于从 $a_{0} \oplus_{T_{\mathrm{B}}} (\mathrm{Trans}(P(N)_{J_{1}}))$ 的分量中去掉 0 得到的 $PT_{B}$ 值数组是降序的，因此从 $a_{0} \oplus_{T_{B}} a_{1}$ 的分量中去掉 0 得到的 $PT_{B}$ 值数组也是降序的。

由上可知， $\mathrm{Trans}(M) = \Sigma_{\mathrm{B}}(a_0 \oplus_{T_{\mathrm{B}}} a_1)$ 是按降序排列的序数项之和。因此，根据序数项的递归定义， $\mathrm{Trans}(M)$ 是一个序数项。

证毕。

现在，让我们回到正题。

标准形式对序列系统终止性的证明：

$(OT_{B},<)$ 是良基的。因此，数学归纳法可以应用于 $(OT_{B},<)$ 。

对于任何 $t \in OT_{B}$ ，我们通过对 t 进行数学归纳证明：“对于任何 $M \in ST_{PS}$ 和 $n \in N_{+}$ ，如果 $\mathrm{Trans}(M) = t$ ，则 $(M, n) \in \mathrm{Dom}(F)$ ”。

由于标准形式的可约性，M 是可约的。

设 t = 0。

由于 Trans 具有可约性，因此 M 也是可约的。因此， $\mathrm{Lng}(M)=1$ ，根据 F 的定义， $(M,n)\in\mathrm{Dom}(F)$ 。

假设存在唯一的 $v \in N_{+}$ 使得 $t = D_{v}0$ 。

由于 Trans 与不可数基数的关系， $M = ((v, v))$ 。

由于 $\mathrm{Lng}(M)=1$ ，根据 F 的定义， $(M,n)\in\mathrm{Dom}(F)$ 。

假设不存在唯一的 $v \in N_{+}$ 使得 $t = D_{v}0$ ，且 t > 0。

由于 1-序列对序列的基本性质、Trans 保持零项性质，以及 Trans 与不可数基数的关系， $\mathrm{Lng}(M) > 1$ 。

由于基本列的下降性质， $\operatorname{Trans}(M[n]) < \operatorname{Trans}(M) = t$ 。由于 $M$ 为标准形式，且由于标准形式的递归定义， $M[n]$ 也为标准形式，Trans 保持标准形式，因此 $\operatorname{Trans}(M[n])$ 为序数项。因此，根据归纳假设， $(M[n], n) \in \operatorname{Dom}(F)$ 。

由于 $F_{M}$ 与基本列的关系， $(M, n) \in \mathrm{Dom}(F)$ 。

证毕。

至此，我们给出了 PSS 序列停机性的证明。

== 参考资料 ==

Test

2026-08-14T13:20:49Z

Tabelog：

此页面为测试页面。任何人都可以随意修改此页面以便测试。

<math>\infty_{computer}</math>=179769313486231590772930519078902473361797697894230657273430081157732675805500963132708477322407536021120113879871393357658789768814416622492847430639474124377767893424865485276302219601246094119453082952085005768838150682342462881473913110540827237163350510684586298239947245938479716304835356329624224137216

我死的好惨呀！我是时间过得真慢QQ，我的聚集地和大群都被踢出去了，其他群也不要了，没有任何一个要我了，还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来

孩子们这并不好像，谁叫你还我命来的😂

乐子，字都打错了😂

=== 编写技巧 ===

* 行内代码块：<syntaxhighlight lang="text"><code>xxx</code></syntaxhighlight>效果是这样：<code>xxx</code>。
* 在列表里换行：使用 <syntaxhighlight lang="text"><br></syntaxhighlight>效果是这样：<br>第一行；<br>第二行。
* 在列表里嵌套列表：无序列表使用<syntaxhighlight lang="text">
<ul> <li>123</li> <li>456</li> </ul>
</syntaxhighlight>效果是这样：<ul><li>123</li><li>456</li></ul>有序列表使用<syntaxhighlight lang="text">
<ol> <li>123</li> <li>456</li> </ol>
</syntaxhighlight>效果是这样：
<ol><li>123</li><li>456</li></ol>于是可以<ul> <li>awa<ul> <li>114514<ul> <li>3.1415926<ul> <li>123</li> <li>456</li> </ul></li> <li>789</li> </ul></li> <li>2.71828</li> </ul></li> <li>qwerty</li> </ul>
<ol> <li>awa<ol> <li>114514<ol> <li>3.1415926<ol> <li>123</li> <li>456</li> </ol></li> <li>789</li> </ol></li> <li>2.71828</li> </ol></li> <li>qwerty</li> </ol>
* 分界线：使用 <code>----</code>。效果是这样：

----

这句话有7个字

<math>\varnothing,\emptyset</math>，
$\varnothing,\emptyset$
LaTeX公式<code>\varnothing,\emptyset</code>用不同渲染方式的结果

<math display="block">\begin{aligned}
f(x)\;&=(a+b+1)/2-x\\
&=(a+2x-1-a+f(2x-1-a)+1)/2-x\\
&=f(2x-1-a)/2\\
&=f(2x-1-(x-1+f(x-1)))/2\\
&=f(x-f(x-1))/2
\end{aligned}</math>

111

$ G(64)=\left. \begin{matrix} 3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow}3 \\3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow}3 \\ \underbrace{\qquad \quad \vdots \qquad \quad} \\3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \uparrow}3 \\3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow3\end{matrix} \right \} \text{64 layers} $

<math>\unicode{64}</math>

<math>\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),0\text{@}0)[0]=0</math>

<math>\text{@}</math>

[k]

$\alpha\text{@}\beta$

其实还可以有个更简单的做法，\alpha{@}\beta = $\alpha{@}\beta$

[[[a]]]

我们可以使用<code>\hspace</code>和<code>\raise</code>来微调LaTeX中的字符位置：
$\LaTeX$''（直接使用''<code>\LaTeX</code>''的版本）''
${L^{\hspace{-4.5px}\raise{-2.5px}A}
\hspace{-3px}T\hspace{-2px}\raise{-3px}E\hspace{-1.5px}X}$''（使用以上两种命令微调的模仿版本）''

<nowiki>\</nowiki><span>(</span>\alpha\text{@}\beta<nowiki>\</nowiki><span>)</span> = $\alpha\text{@}\beta$

{| class="wikitable"
|+ 标题文本
|-
! 标题文本 !! 标题文本 !! 标题文本
|-
| 示例 || 示例 || 示例
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| 示例 || 示例 || 示例
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| 示例 || 示例 || 示例
|}

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|+ 标题文本
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! 标题文本 !! 标题文本 !! 标题文本
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| 示例 || 示例 || 示例
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| 示例 || 示例 || 示例
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| 示例 || 示例 || 示例
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| 示例 || 示例 || 示例
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|+ 标题文本
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! 标题文本 !! 标题文本 !! 标题文本
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| 示例 || 示例 || 示例
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| 示例 || 示例 || 示例
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| 示例 || 示例 || 示例
|-
| 示例 || 示例 || 示例
|-
| 示例 || 示例 || 示例
|}

{a}

<code>我是code</code>

<pre>我是pre</pre>

<span style='background:linear-gradient(to right,#00ff00,#0000ff);-webkit-background-clip:text;-webkit-text-fill-color:transparent;'>我是美丽的span</span>

<a href='https://baidu.com'>危险的代码是不被允许的</a>

<span onclick='this.innerText="onclick是无效的！"'>click me!</span>

666

$\alpha @\beta$

<blockquote>
我是猫娘。喵喵喵喵
</blockquote>

<blockquote>单行引言</blockquote>

<span style='background-color:red'>bgcisred</span>

[[高德纳箭头|↑]]

<iframe>
src="https://expander.googology.top/index.html"
width="100%"
height="500px"
frameborder="0"
</iframe>

=== 这是一级标题 ===

==== 这是二级标题 ====
这是公式 $\alpha\times\beta$

''撒反对''

说说不可说】(1)

--------------------------------------------------------------------

　　人们的对话中，「不可说」指的是「不可以说出来」的意思，但是在佛
经中，不可说的意思并不一定是这样，世尊所说的佛经更不是指这个意思。
如果它是指不可以说出来的话，那麽全部的佛经就是一部「大妄语百科」了。

但是将「不可说」解释为「不可以说出来」的意思，并不是现代人的专
利，古人解经，也常把它作这样的解释，造成後人将佛经解释成玄密的经典，
一切的不合理之处都当作「不可说」来处理。

世尊的确说过许多的不可说，如:《华严经》
「不可言说不可说，充满一切不可说，不可言说诸劫中，说不可说不可尽，
....
於一微细毛端处，有不可说诸普贤，....一毛端处所有刹，其数无量不可
　说..」在第四十五卷中，世尊一口气说了将近四百个不可说。

《地藏菩萨本愿经》【忉利天宫神通品】「尔时，十方无量世界不可
　说不可说一切诸佛，及大菩萨摩诃萨，皆来集会，赞叹释迦牟尼佛．．」
这里用了两个不可说。

《小般若经》【深功德品】「一切法不可说，须菩提，一切法空相不
可说．．」

其实「不可说」的意义是「数量大到无法用语言形容」的意思，并不
是指所说的主题「不能说」，如果是不能说，那麽上面这些经典就是「废
话大全」了。

世尊说法四十九年，探讨的主题遍及人类所有的疑问，从来没有一样
　是「不能说出来」的，不但他老人家自己说，更鼓励所有修行菩萨要为众　
生说呢。(参见《般若经》)

那麽，「不可说」倒底有多大，会大到语言法形容呢？我们试著来找
找看。

{| class="wikitable" border="0" cellpadding="1" cellspacing="1"
! scope="col" |
! scope="col" |A
! scope="col" |B
|-
|0
|1RB
1LA
<br>1CP
<br>114514
|1LA
|-
|1
|1LB
|1RB
|}
111

{| class="wikitable"
! 用户名
! 简介
|-
| style="width: 20%;" | 张三 || style="width: 80%; word-wrap: break-word;" | 这是一个非常长的简介文本，会自动换行以适应列宽。
|}

表格？

{| class="wikitable" style="width: 300px; overflow: hidden; text-overflow: ellipsis"
! 用户名
! 简介
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| 张三
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<blockquote>这里是一个孤立页面我不知道它为什么还在这里

就当作是gggwiki的一个彩蛋吧（</blockquote>

[https://2023largenumber.fandom.com/zh/wiki/%F0%9F%98%B0#articleComments/ 果糕]
果糕糕糕！
果糕糕糕！果糕糕糕！
果糕糕糕！果糕糕糕！
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果糕糕糕！果糕糕糕！
果糕糕糕！果糕糕糕！
果糕糕糕！

<div id="guogao1">将以下代码放入控制台并回车，有“小惊喜”：</div><small><small><nowiki>(()=>{document.getElementById("guogao1").appendChild((()=>{let a = document.createElement("div");a.innerHTML = `<div class="fixed-btn"><a onclick="let b=document.createElement('div');b.innerHTML=\`<div id='guogao' style='transition: transform .5s ease-out;position: absolute;top:45%;left:50%;z-index: 9999999;transform: scale(1);cursor: pointer;-webkit-user-select: none;-moz-user-select: none;-ms-user-select: none;user-select: none;' onclick='this.remove()'>${decodeURI('%F0%9F%98%B0')}</div>\`;document.body.appendChild(b);setTimeout(() => {document.getElementById('guogao').style.transform='scale(45)'}, 50)" class="new" title="${decodeURI('%E5%B0%8F%E6%83%8A%E5%96%9C')}"><span class="btn-text blue">${decodeURI('%E5%B0%8F%E6%83%8A%E5%96%9C')}</span></a></div>`;return a})());return (()=>{console.clear();return decodeURI('%E7%A5%9E%E7%A7%98%E6%8C%89%E9%92%AE%E5%87%BA%E7%8E%B0%EF%BC%81')})()})()
</nowiki></small></small>

以下是Naruyoko在[https://naruyoko.github.io/ExpantaNum.js/]中给出过的latex

<div style="overflow:auto">
\[
\begin{matrix}\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\vdots\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\vdots\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\vdots\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\vdots\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\vdots\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\vdots\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\vdots\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\vdots\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\left.\begin{matrix}\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\vdots\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\10\end{matrix}\right\}\left.\left.\left.\left.\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}2\underset{171869969539773881871357}{\underbrace{28767407104742504939274665007259268034875905285622251679055397167730260624040178402089159341052814222\cdots}}.\end{matrix}
\]
</div>

\[
(i,j_0') <_{M}^{Next} (i,j_1')
\]

$(i,j_0') <_{M}^{Next} (i,j_1')$

<math>(i,j_0') <_{M}^{Next} (i,j_1')</math>

[[分类:入门]]

变换映射

2026-08-14T12:58:51Z

Tabelog：

变换映射方法是<code>P進大好きbot</code>发展的一个系统性地对记号进行分析和证明良序的方法。

分析一个符号时，需要将其与另一个符号进行比较。换句话说，需要明确“哪个项对应哪个项”。在传统的表格分析中，我们并非写出每个项对应的项，而是简单地选择有限个看起来美观的项，然后写出希望它们对应的项。而使用转换映射进行分析，则是一种通过将项的对应关系定义为全局映射来写出每个项对应的项的方法。

----------

带有基本列的符号指的是集合 <math>T</math> 中的一对 <math>(T,[]_{T})</math> 。

映射 <math>[]_{T} \colon T \times \mathbb {N} \to T \circ</math> 。实际中，我们经常在更抽象的场景中考虑四元组 <math>(T,[]_{T},\Gamma . 7,\mathrm {d o m}) .</math>

1. 集合 <math>T</math> 。

2. 映射 <math>[]_{T} \colon T^{2} \to T</math> 。

3. 单射映射 ⌜·⌝ <math>\colon \mathbb {N} \hookrightarrow T</math> 。

4. 映射 dom: <math>T\rightarrow T</math> 。

以下讨论可以自然地扩展到这种情况，但为了避免复杂性，本文仅讨论前一种形式。

'''定理 1'''（与序数相关的基本列符号）

当给定可数序数 <math>\alpha</math> 和每个小于 <math>\alpha</math> 的极限序数 <math>\beta</math> 的基本列 <math>\beta[n]</math> 时，该基本列系统可以通过以下方式扩展到非极限序数：(1) 如果 <math>\beta=0</math> ，则 <math>\beta[n]= 0</math> ；(2) 如果 <math>\beta</math> 是后继序数<math>\beta^{\prime} + 1</math> ，则 <math>\beta[n]= \beta^{\prime}</math> 。如果我们将其扩展为 <math>[]_{\alpha} \colon \alpha \times {\mathbb {N}} \to \alpha</math> ，则 <math>\left(\alpha,\mathbb {I}_{\alpha} \right)</math> 成为基本列符号的最基本示例。

'''定理 2'''（基本列与序数符号关联）

设 <math>B T</math> 为与扩展的 Buchholz <math>\psi</math> 函数关联的适当符号， <math>[]_{B T} \colon B T \times B T \to B T</math> 为其标准基本列。通过将映射 <math>\left[\right]_{B T}^{\prime} \colon B T \times {\mathbb {N}} \to B T</math> 定义为 <math>t[n]_{B T}^{\prime}=t[\psi_{0}(0) + \cdot \cdot \cdot + \psi_{0}(0)]_{B T}</math> ，我们得到基本列为 <math>(B T,\left[\right]_{B T}^{\prime})</math> 的符号。

加法和 <math>\psi_{0}(0)</math> 的表达方式取决于 <math>B T</math> 的定义方式，但为了便于理解，这里我们将其表示为 <math>+</math> 和 <math>\psi_{0}(0)</math> 本身。这种构造不仅限于扩展的 Buchholz <math>\psi</math> 函数，对于其他具有适当定义的基础序列的 OCF 也类似。

'''定理 3'''（限制）

设 <math>(T,[]_{T})</math> 为基本列符号。如果子集 <math>T_{0} \subset T</math> 对于任意 <math>(t,n) \in T_{0} \times \mathbb {N}</math> 都满足 <math>t[n]\in T_{0}</math> ，则它就是 <math>(T,[]_{T})</math> 的限制。然后，通过将 <math>[]_{T_{0}} \colon T_{0} \times \mathbb {N} T_{0}</math> 定义为 <math>\left[\right]_{T}</math> 的限制，我们得到基本列符号 <math>(T_{0},[]_{T_{0}})</math> 。

限制的典型示例包括：所有通过适当条件化而被视为“标准形式”的项的子集，或将基本列反复应用于某个固定项而得到的所有项的子集。

可以为 <math>(T,[]_{T})</math> 定义一个类似于 Hardy 函数层次和快速增长函数层次的函数层次，因此我们将其表示为 <math>\mathrm {H H}_{T,[]_{T}}</math> 和 <math>\mathrm {F G H}_{T,[]_{T}}</math> 。 <math>\mathrm {H H}_{T,[]_{T}}</math> 和 <math>\mathrm {F G H}_{T,[]_{T}}</math> 是部分函数 <math>T \times \mathbb {N} \to \mathbb {N}</math> ，既不是全局函数也不是可计算函数。因此，如果我们想用它们来定义可计算大数，我们需要确定它们既是全局函数又是可计算函数的充分条件。此外，如果可能的话，它们不仅是全局函数、可计算函数，而且还是解析函数，也是理想的。为了实现这一点，我们引入了阶函数。

对于基本列符号 <math>(T,[]_{T})</math> ，我们定义 <math>T</math> 上的二元关系 <math>s \leq_{T,\mathbb {I}_{T}} ~ t</math> 为“存在 <math>k \in \mathbb N</math> 和<math>(n_{i})_{i=0}^{k-1} \in \mathbb {N}^{k}</math> 使得 <math>t[n_{0}]\cdot \cdot \cdot[n_{k-1}]= s^{;}</math> ”。这里，我们将 <math>k=0</math> 时左边的 <math>t[n_{0}]\cdots[n_{k-1}]</math> 定义为 <math>t</math> 。

<math>\leq_{T,\mathbb {I}_{T}}</math> 具有自反性和传递性，但通常不一定是偏序的。另一方面，示例 1 中用 <math>\left(\alpha,\big[\big]_{\alpha} \right)</math> 构造的 <math>\leq_{\alpha,\mathbb {I}_{\alpha}}</math> 和 <math>\leq_{B T,\mathbb {I}_{B T}^{\prime}}</math> 以及示例 2 中的 <math>(B T,[]_{B T}^{\prime})</math> 符合其通常的顺序，因此它们是良序的。

此外，即使 <math>(T,[]_{T})</math> 是递归的， <math>\leq_{T,\mathbb {I}_{T}}</math> 通常也不一定可计算，但示例 2 中用 <math>(B T,[]_{B T}^{\prime})</math> 构造的 <math>\leq_{B T,\mathbb {I}_{B T}^{\prime}}</math> 符合其通常的顺序，即字典序，因此它是可计算的。

通过研究 <math>\leq_{T,\mathbb {I}_{T}}</math> 的性质，我们可以推导出 <math>\mathrm {H H}_{T,[]_{T}}</math> 和 <math>\mathrm {F G H}_{T,[]_{T}}</math> 的各种性质：

'''定理 4'''（序的良基性与函数的停机性的关系）

（1）设 <math>\leq_{T,\mathbb {I}_{T}}</math> 为良基偏序，则 <math>(T,\leq_{T,\mathbb {I}_{T}})</math> 的每个全序子集的序类型的上界 <math>Lim_{T,\parallel_{T}}</math> 被确定为一个序数，且由于对 <math>\leq_{T,\mathbb {I}_{T}}</math> 的超限归纳是可证明的，故 <math>H H_{T,\parallel_{T}}</math> 和 <math>F G H_{T,\parallel_{T}}</math> 为全定义域。（因此，如果你不关心可计算性或大小，你可以用这种方式创建巨大的数字。）

（2）如果 <math>\leq_{T,\mathbb {I}_{T}}</math> 是良序序，那么 <math>\leq_{T,\mathbb {I}_{T}}</math> 的序类型是 <math>Lim_{T,\parallel_{T}}</math> ，我们可以为 <math>H H_{T,\parallel_{T}}</math> 和<math>F G H_{T,\parallel_{T}}</math> 定义极限函数，使得 <math>Lim_{T,\parallel_{T}}</math> 的序类型与递归结构相匹配。（ <math>\langle Lim_{T,\parallel_{T}}</math> 通常被称为<math>(T,[]_{T})</math> 的极限序数，虽然这本身并不能提供任何关于 <math>H H_{T,\parallel_{T}}</math> 或 <math>F G H_{T,\parallel_{T}}</math> 极限函数增长率的信息，但它常常能为分析提供线索。）

(3) 如果 <math>\leq_{T,\mathbb {I}_{T}}</math> 是递归良序，则 <math>H H_{T,\parallel_{T}} \setminus F G H_{T,\parallel_{T}}</math> 及其极限函数是全局可计算函数。（这为我们提供了一个具有保证停机性质的可计算函数，并为使用序数进行分析提供了一些线索。）

命题 4 (2) 定义了一个序数，该序数为对每个 <math>t \in T</math> 的 <math>(T,[]_{T})</math> 的限制 <math>\{t^{\prime} \in T \mid t^{\prime} \leq</math> <math>t \wedge t^{\prime} \neq t \}</math> 的极限，使得 <math>\leq_{T,\mathbb {I}_{T}}</math> 对 <math>\{t^{\prime} \in T \mid t^{\prime} \leq t \land t^{\prime} \neq t \}</math> 的限制为良序。设该序数为<math>o_{T,\parallel_{T}}(t)</math> ，并称其为 <math>t</math> 在 <math>(T,[]_{T})</math> 中的对应序数。

如果对于任意的 <math>t \in T</math> ， <math>\leq_{T,\mathbb {I}_{T}}</math> 到 <math>\{t^{\prime} \in T \mid t^{\prime} \leq t \land t^{\prime} \neq t \}</math> 的限制满足良序，则 <math>(T,[]_{T})</math> 为一棵树。根据 <math>{{\cal O}_{T,\prod_{T}}}</math> 的基本列直接定义，可知：

'''定理 5'''（树项对应序数的基本性质）

假设 <math>(T,[]_{T})</math> 是一棵树。则有：

(1) 对于任意 <math>(t,n) \in T \times \mathbb {N}</math> ， <math>o_{T,\parallel_{T}}(t)[n]\leq o_{T,\parallel_{T}}(t)_{\circ}</math> 。

(2) 对于任意 <math>t \in T</math> ，若不存在 <math>n \in \mathbb {N}</math> 使得 <math>t[n]= t</math> ，则 <math>o_{T,\parallel_{T}}(t)=\operatorname* {i n f} \{\alpha \in O n \mid \forall n \in</math> <math>\mathbb {N},o_{T,\mathbb {I}_{T}}(t[n]) \in \alpha \} .</math> 。

具体来说，在命题 5 中，如果树 <math>(T,[]_{T})</math> 满足附加条件：

1. 如果 <math>t[0]= t</math> ，则对于任意 <math>n \in \mathbb {N}</math> ， <math>t[n]= t</math> 。

2. 如果 <math>t[0]= t[1]\neq t</math> ，则对于任意 <math>n \in \mathbb {N}</math> ， <math>t[0]= t[n]</math> 。

这是一个易于分析的性质。

1. 如果 <math>t[0]= t</math> ，则 <math>o_{T,\parallel_{T}}(t)=0</math> 。

2. 如果 <math>t[0]= t[1]\neq t</math> ，则 <math>o_{T,\parallel_{T}}(t)=o_{T,\parallel_{T}}(t[0]) + 1</math> 。

3. 如果 <math>t[0]\neq t[1]</math> ，则 <math>\begin{array} {r} {o_{T,\parallel_{T}}(t)=\operatorname* {s u p}_{n \in \mathbb {N}} o_{T,\parallel_{T}}(t[n]) .} \end{array}</math> 。

现在，我们需要一种方法来研究 <math>\leq_{T,\mathbb {I}_{T}}</math> 的性质。为此，我们引入了基本列的良基性概念。

令 <math>(T,[]_{T})</math> 为具有基本列的符号。如果对于任意 <math>n \in \mathbb N</math> ， <math>t[n]= 0</math> ，则称 <math>t \in T</math> 为零项。如果对于任意 <math>t \in T</math> 且 <math>(n_{i})_{i=0}^{\infty} \in \mathbb {N}^{\omega}</math> ，存在某个 <math>k \in \mathbb N</math> 使得 <math>t[n_{0}]\cdots[n_{k-1}]</math> 为零项，则称<math>(T,[]_{T})</math> 为良基本列。

由于 <math>\leq_{T,\mathbb {I}_{T}}</math> 中严格单调递减的无限序列是通过重复应用基本列获得的序列的子序列，因此：

'''定理 6'''（基本列的良基性与序的良基性之间的关系）

<math>(T,[]_{T})</math> 的良基性等价于 <math>\leq_{T,\mathbb {I}_{T}}</math> 的良基性偏序性。特别地，如果 <math>(T,[]_{T})</math> 是一棵树，则它是良基的。

根据命题 4 和 6，为了证明由 <math>(T,[]_{T})</math> 构造的各种函数的总体，只需证明 <math>(T,[]_{T})</math> 的良基性即可。为此，引入了一个变换映射。

令 <math>(T_{1},R_{T_{1}})</math> 和 <math>(T_{2},R_{T_{2}})</math> 为严格（不相等）或（相等）偏序集，令 Trans 为 <math>T_{1} T_{2}</math> 的映射。

若“对于任意 <math>(s,t) \in T_{1} \times T_{1}</math> ，若 <math>s R_{T_{1}} t</math> ，则 <math>\mathrm {Trans}(s) R_{T_{2}} \mathrm {Trans}(t)^{,}</math> ”，则 Trans 为保序映射 <math>(T_{1},R_{T_{1}}) (T_{2},R_{T_{2}})^{\prime \prime}</math> 。如果 Trans 是双射保序映射 <math>(T_{1},R_{T_{1}}) (T_{2},R_{T_{2}})</math> ，且 Trans−1是保序映射 <math>(T_{2},R_{T_{2}}) (T_{1},R_{T_{1}})</math> ，则 Trans 是序同构 <math>(T_{1},R_{T_{1}}) (T_{2},R_{T_{2}})</math> 。注意，如果<math>R_{T_{1}}</math> 和 <math>R_{T_{2}}</math> 均为严格全序或均为全序，则 <math>\mathrm {Trans}^{-1}</math> 上的条件是自动满足的。

注意，即使将一个或两个有序集转换为更一般的二元相关集，部分有序集（无论是否相等）之间的映射的顺序保持和顺序同构的定义也相同。这种“保持某些元素的映射”通常称为同态，而“同态且逆也同态的映射”通常称为同构。

设 <math>(T_{1},\prod_{T_{1}})</math> 和 <math>(T_{2},[]_{T_{2}})</math> 为基列表示法，设 Trans 为 <math>T_{1} T_{2}</math> 的映射。

如果 Trans 是一个保序映射 <math>(T_{1},\Sigma_{T_{1},[]_{T_{1}}}) \to(T_{2},\Sigma_{T_{2},[]_{T_{2}}})</math> ，则 Trans 是一个保序映射<math>(T_{1},[]_{T_{1}}) (T_{2},[]_{T_{2}}),</math> 。

Trans 是一个序同构 (T1,[]T1) → (T2,[]T2)，这意味着 Trans 是一个序同构 (T1,≤T1,[]T <math>(T_{1},[]_{T_{1}}) (T_{2},[]_{T_{2}})</math> <math>(T_{1},\leq_{T_{1},\mathbb {I}_{T_{1}}}</math> <math>) (T_{2},\leq_{T_{2},[]_{T_{2}}}) \circ</math> 。

Trans 是一个保基本列映射 <math>(T_{1},[]_{T_{1}}) (T_{2},[]_{T_{2}})</math> ，这意味着“对于任何 <math>(t,n) \in T_{1} \times \mathbb {N}</math> <math>\operatorname {Trans}(t[n])=\operatorname {Trans}(t)[n]^ {\prime \prime}</math> 成立。

如果 Trans 是一个双射保基本列映射 <math>(T_{1},[]_{T_{1}}) (T_{2},[]_{T_{2}})</math> ，则 Trans 的基本列同构为<math>(T_{1},[l_{T_{1}}) (T_{2},[l_{T_{2}})</math> 。

注意，即使将一个或两个基本列符号转换为偏序集（包含或不包含相等性）（更一般地，具有 2 个元关系的集合），基本列符号之间的映射的保序性和保序性定义相同。例如，<math>(T_{1},[]_{T_{1}}) (T_{2},\pm_{T_{2}})</math> 的保序性是 <math>(T_{1},\Sigma_{T_{1},[]_{T_{1}}}) \to(T_{2},\Sigma_{T_{2}})</math> 的保序性。

根据定义，对于基本列符号之间的映射，保序性和保序性的定义如下：

'''定理 7'''（基本列保持性、序保持性和良基性之间的关系）

(1) 如果 Trans 是基本列同构，则 Trans 和 Trans−1 是基本列保持映射。

(2) 如果 Trans 是基本列保持映射，则 Trans 是序保持映射。

(3) 如果 Trans 是基本列同构，则 Trans 是序同构。

（4）若 Trans 为单射保序映射，且 <math>(T_{2},[]_{T_{2}})</math> 为良基映射（或树），则 <math>(T_{1},\prod_{T_{1}})</math> 为良基映射（或树），且 LimT1,[]T ≤ LimT2,[]T 。 <math>Lim_{T_{1},[]_{T_{1}}} \leq Lim_{T_{2},[]_{T_{2}}}</math>

(5) 若 Trans 为序同构，且 <math>(T_{1},[]_{T_{1}})</math> 为良基集（或树），则 <math>(T_{2},\parallel_{T_{2}})</math> 为良基集（或树），且 <math>Lim_{T_{1},\parallel_{T_{1}}}=Lim_{T_{2},\parallel_{T_{2}}}</math> 。

此外，当将一个或两个基本列符号转换为偏序集，并将基本列符号的极限的良基性和序数替换为偏序集的良基性和部分良序集的序类型的上界时，命题 7 (4) 和 (5) 中关于极限的良基性和序数的断言仍然成立。

在实践中，很多情况下我们想要比较全序（例如字典序），而不是与基础序列相关的顺序。以下是一些在这种情况下有用的命题。对于集合 <math>T</math> 上的二元关系 <math>R_{1}</math> 和 <math>R_{2}</math> ，如果对于任何 <math>(s,t) \in T^{2}</math> ， <math>s R_{1} t</math> 成立，则 <math>R_{1}</math> 蕴涵 <math>R_{2}</math> ，并且 <math>s R_{2} t</math> 成立。

'''定理 8'''（全序没有非平凡蕴涵）

(1) 设 <math><_{1}</math> 和 <math><_{2}</math> 是集合 <math>T</math> 上的严格全序。如果 <math><_{1}</math> 蕴涵 <math><_{2}</math> ，则 <math><_{1}</math> 和 <math><_{2}</math> 相等。

(2) 设 <math>\leq_{1}</math> 和 <math>\leq_{2}</math> 是集合 <math>T</math> 上的全序。如果 <math>\leq_{1}</math> 蕴涵 <math>\leq_{2}</math> ，则 <math>\leq_{1}</math> 和 <math>\leq_{2}</math> 相等。

证明：

(2) 可直接从 (1) 推出，因此我们只需证明 (1)。假设 <math>(s,t) \in T^{2}</math> 满足 <math>s <_{2} t</math> 。只需证明 <math>s <_{1} t</math> 即可。假设情况并非如此，则会导致矛盾。由于 <math>s <_{1} \ t</math> 并非严格全序，因此 <math><_{1}</math> 是严格全序，所以 <math>s=t</math> 或 <math>t <_{1} s</math> 。

如果 <math>s=t</math> ，则 <math>s <_{2} t</math> 与 <math><_{2}</math> 是严格全序相矛盾。

如果 <math>t <_{1} s</math> ，则根据假设 <math>t <_{2} s</math> 成立，这与 <math>s <_{2} t</math> 和 <math><_{2}</math> 是严格全序相矛盾。

由于这两种情况相互矛盾，因此 <math>s <_{1} t</math> 成立。

证毕。

命题 8 本身并不常用，但以下命题（命题 8 的一个应用）可能相当容易使用。

'''定理 9'''（基本列与字典序的比较方法）

设 <math>(T_{1},\mathbb {I}_{T_{1}}</math> 为具有基本列的表示， <math>\le_{T_{1}}</math> 为 <math>T_{1}</math> 上的全序。若 Trans: <math>(T_{1},[]_{T_{1}}) </math> ，则<math>\leq_{T_{1},\parallel_{T_{1}}}</math> 蕴涵 <math>\leq_{T_{1}}</math> ，且与某个全序集 <math>(T_{2},{\leq}_{T_{2}})</math> 序同构。若 <math>(T_{2},{\leq}_{T_{2}})</math> 存在，则 <math>\leq_{T_{1},\parallel_{T_{1}}}</math> 与 <math>\leq_{T_{1}}</math> 相等。

证明：

由于 Trans 是序同构，且 <math>{\le}_{T_{2}}</math> 是全序， <math>\leq_{T_{1},[]_{T_{1}}}</math> 也是全序。由此可知，命题 8 成立。

证毕。

命题 9 主要用于证明具有基本列的符号通过变换映射是良基的，然后将该符号限制为“合适的”标准形式，使其成为关于另一个标准序的序数符号。然而，确定一个“合适的”标

准形式通常并不容易。这是因为，即使直接使用递归集的可计算基本列定义的范式是递归可枚举的，这一点显而易见，但它是递归的，这一点通常并非不证自明。有一种情况可以保证这样的范式是递归的，我们将在下文介绍。

'''定理 10'''（基本列递归枚举的基本性质）

设 <math>T</math> 为递归集， <math>[]_{T} \colon T \times \mathbb {N} \to \mathbb {N}</math> 为可计算映射， <math>\leq_{T}</math> 为 <math>T</math> 上的可计算全序，dom: <math>T </math> <math>\{0,1,2 \}</math> 为可计算映射， <math>T_{0} \subset T</math> 为有限子集，对于每个 <math>n \in \mathbb {N}</math> ，递归定义一个递归可枚举子集 <math>O T_{n} \subset T</math> ，如下所示：

(i) 若 <math>n=0</math> ，则 <math>O T_{n}:=T_{0}</math> 。

(ii) 若 <math>n \neq 0</math> ，则 <math>O T_{n}:=\{t[n]_{T} \mid(t,n) \in O T_{n-1} \times \mathbb {N} \}_{\mathsf {\Omega}} \mathrm {~,~}</math> 。

设 <math>O T</math> 是 <math>T</math> 的一个递归可枚举子集 <math>\textstyle \bigcup_{n \in \mathbb {N}} O T_{n}</math> 。若 <math>\leq_{T,\mathbb {I}_{T}}</math> 蕴涵 <math>\leq_{T}</math> ，且存在可数序数<math>\alpha</math> 和一个映射 Trans: <math>T \to \alpha</math> ，且满足：

(a) Trans 对 OT 的限制是 <math>O T \alpha</math> 双射。

(b) 对于任意 <math>(a,n) \in O T \times \mathbb {N}</math> 且 cof(<math>Trans(a))=0</math> ， <math>a[n]_{T}=a</math>

(c) 对于任意 <math>(a,n) \in O T \times \mathbb {N}</math> 且 cof <math>Trans(a))=1</math> ， <math>Trans(a[n]_{T}) + 1=Trans(a) {\mathrm {{c}}}</math>

(d) 对于任何 <math>a \in O T</math> 且 <math>c o f(Trans(a))=\omega</math> ， <math>(Trans(a[n]_{T}))_{n \in \mathbb {N}}</math> 是 <math>Trans(a)</math> 的基本列。

(e) 对于任何 <math>a \in O T</math> ， <math>dom(a)=\operatorname {m i n} \{c o f(Trans(a)),2 \}</math>

证明：

我们使用一种类似于 Fish 算法（通常称为 rpakr 方法）的方法，该方法有望提供一种确定 Bashik 矩阵范式的算法。可计算子图

<math>\begin{array}{l} \downarrow \colon O T \times T \times \mathbb {N} \quad \rightarrow \quad \{0,1 \} \\ (s,a,n) \mapsto \downarrow_{s} (a,n) \\ \end{array}</math>

我们递归定义如下：

如果 <math>a=s</math> ，则 <math>\downarrow_{s}(a,n):=1</math> 。

令 <math>a \neq s</math>

如果 <math>s \leq_{T} a</math> ，则 <math>\downarrow_{s}(a,n):=0</math> 。

令 <math>\begin{array} {r l} {s} & {{} \leq_{T} a} \end{array}</math>

如果 <math>\mathrm {d o m}(s)=0</math> ，则 <math>\downarrow_{s}(a,n):=0</math> 。

令 <math>\mathrm {d o m}(s) \neq 0</math> 。

如果满足 <math>a \leq_{T} s[n]_{T}</math> ，则 <math>\downarrow_{s}(a,n):=\downarrow_{s[n]_{T}}(a,0)</math> 。令 <math>a \leq_{T} s[n]_{T}</math> 不满足。

如果 <math>\mathrm {d o m}(s)=1</math> ，则 <math>\downarrow_{s}(a,n):=0</math> 。

如果 <math>\mathrm {d o m}(s)=2</math> ，则 <math>\downarrow_{s}(a,n):=\downarrow_{s}(a,n + 1)</math> 。

由于条件 (a) 和 (d)，分支 22222 在有限次迭代后过渡到分支 2221。由于条件 (c) 和(d)，在分支 2221 处，

<math>\operatorname {Trans} (s[n]_{T})< \operatorname {Trans} (s)</math>

成立。因此，由于 <math>\alpha</math> 的良基性，分支 22222 和分支 2221 在有限次迭代后过渡到分支1、分支 21、分支 221 或分支 22221。由上式可知，↓ 是总定义域。

此处，令 <math>\left[\right]_{O T}</math> 为 <math>\left[\right]_{T}</math> 的定义域和陪域，分别限制为 <math>O T \times \mathbb {N}</math> 和 <math>O T</math> 。条件 (a)、(b)、(c) 和 (d) 表明，Trans 到 <math>O T</math> 的限制是 <math>(O T,\leq_{O T,\parallel_{O T}}) (\alpha,\subset)</math> 的序同构。命题 9 表明，<math>\leq_{O T,\mathbb {I}_{O T}}</math> 与 <math>\leq_{T}</math> 到 <math>O T</math> 的限制相一致，并且特别地， <math>\leq_{O T,\mathbb {I}_{O T}}</math> 是全序。

令 <math>\downarrow^{\prime}</math> 为将 ↓ 计算中所有条件分支中的 <math>\leq_{T}</math> 替换为 <math>\leq_{T,\mathbb {I}_{T}}</math> 后得到的子映射。因为 ↓ 是全定义域，且 <math>\leq_{O T,\mathbb {I}_{O T}}</math> 与 <math>\leq_{T}</math> 对 <math>O T</math> 的限制相同，所以 <math>\downarrow^{\prime}</math> 的定义域包含 <math>O T^{2} \times \mathbb {N}</math> ，且对于任何 <math>(s,a,n) \in O T^{2} \times \mathbb {N}</math> ，↓s <math>(a,n)=\downarrow_{s}^{\prime}(a,n)</math> 。因为 <math>\leq_{O T,\mathbb {I}_{O T}}</math> 是全序，所以对于任何<math>(a,s) \in O T^{2}</math> ，且 <math>a \neq s</math> ， <math>s \leq_{O T,\mathbb {I} o_{T}} a</math> 等价于 <math>a \leq_{O T,\mathbb {I} o r}</math> s。

下面我们证明，对于任意的 <math>(s,a) \in O T^{2}</math> ，若 <math>a \leq_{O T,\mathbb {I} o_{T}} s</math> 则 <math>\downarrow_{s}^{\prime}(a,0)=1</math> 。

Trans 对 <math>O T</math> 的限制是序同构 <math>(O T,\lnot o {\cal o T},\lfloor \ l o {\cal T} \rfloor \to(\alpha,\subset)</math> ，因此 <math>\mathrm {Trans}(a) \leq \mathrm {Trans}(s) .</math> 。<math>\downarrow_{s}^{\prime} ~(a,0)</math> 的递归公式只需将 <math>[]_{T}</math> 应用于 1 个参数或修改 3 个参数即可。只要 Trans 中 1 个参数的像基于条件 (c) 和 (d) 大于 Trans <math>(a)</math> ，那么在 Trans 的递归公式中，将 <math>[]_{T}</math> 应用于 1个参数的结果的像就等于或大于 Trans <math>(a)</math> 。因此，由于 <math>\alpha</math> 的良基性， <math>\downarrow_{s}^{\prime} ~(a,0)</math> 的计算最终到达分支 1。换句话说， <math>\downarrow_{s}^{\prime}(a,0)=1</math> 。

下面我们证明，对于任意 <math>(s,a) \in O T \times T</math> ， <math>a \leq_{T,\mathbb {I}_{T}} s</math> 等价于 <math>\downarrow_{s}(a,0)=1</math> 。

假设 <math>a \leq_{T,\mathbb {I}_{T}} s</math> 。在这种情况下， <math>a \in O T</math> 为真，因为 <math>s \in O T</math> 。因此， <math>a \leq_{O T,\parallel_{O T}} s</math> 为真，所以 <math>\downarrow_{s}</math> <math>{\bf \Pi}_{\cdot s} \left(a,0 \right)=\downarrow_{s}^{\prime}</math> <math>(a,0)=1</math> 。假设 <math>\downarrow_{s}</math> <math>\downarrow_{s} ~(a,0)=1</math> 。在这种情况下， <math>\downarrow</math> 的定义表明我们最终必须经过分支 1，但 <math>\downarrow</math> 的递归公式只需将 <math>\left[\right]_{T}</math> 应用于 1 个参数或更改 3 个参数，因此<math>a \leq_{T,\mathbb {I}_{T}} s</math> 。由上可知， <math>\begin{array} {r} {O T=\{a \in T \mid \sum_{s \in S_{0}} \downarrow_{s}(a,0) \neq 0 \}} \end{array}</math> ，因此 <math>O T</math> 是 <math>T</math> 的递归子集。

证毕。

请注意，命题 10 目前不适用于 Bashicu 矩阵。这是因为在 Bashicu 矩阵中尚不清楚如何获得 <math>\alpha</math> 和 Trans，即使成功获得它们，证明条件 (a) 也极其困难，尽管条件 (b)、(c) 和(d) 很容易证明。例如，单射性的常用方法是将其归结为序数的适当范式表示的唯一性。单射性通常很难。

'''定理 11'''（变换映射是否为全射的判定法）

设 <math>(T,[]_{T})</math> 为具有基本列的符号， <math>\alpha</math> 为可数序数。如果映射 Trans: <math>T \to \alpha</math> 满足以下条件，则 Trans 为全射：

(a) Trans 的像在 <math>\alpha</math> 中无界。

<math>(b)</math> 对于任意 <math>a \in T</math> ，且 <math>c o f(Trans(a))=1</math> ，则 <math>Trans(a[0]_{T}) + 1=Trans(a) {\mathrm {{\Omega}}}</math> 。

(c) 对于任何 <math>a \in T</math> 使得 <math>c o f(Trans(a))=\omega</math> ， <math>(Trans(a[n]_{T}))_{n \in \mathbb {N}}</math> 是 Trans(a) 的基本列。

证明：

根据条件 (b) 和 (c)，Trans 定义了一个保序映射 <math>(T,\leq_{T,\Vert_{T}}) \to(\alpha,\in)</math> 。因此，令 Trans的像为 <math>X</math> 。假设 <math>X \neq \alpha</math> 会导致矛盾。

根据假设， <math>\alpha \backslash X</math> 非空，因此根据 <math>\alpha</math> 的良基性，存在 <math>\alpha \setminus X</math> 的最小元素 <math>\beta</math> 。对于每个<math>i \in \mathbb N</math> ，递归定义 <math>s_{i} \in T</math> 如下：

如果 <math>i=0</math> ，则根据条件 (a)，存在 <math>s</math> 满足 <math>\beta \in \mathrm {Trans}(s)</math> ，因此定义 <math>s_{i}</math> 为这样的 <math>s</math> 之一。

如果 <math>i \neq 0</math> ，则条件 (b) 和 (c) 以及 <math>\beta \notin X</math> 意味着 <math>\{n \in \mathrm {c o f}(\mathrm {Trans}(s_{i})) ~ | ~ \beta \in s_{i-1}[n]_{T}</math> 非空，因此我们将 <math>n_{i}</math> 定义为其最小值，并设 <math>s_{i}:=s_{i-1}[n_{i}]_{T}</math> 。

然后，通过反复应用 <math>\left[\right]_{T}</math> 以及条件 (b) 和 (c) 构造 <math>(s_{i})_{i \in \mathbb {N}},(\mathrm {Trans}(s_{i}))_{i \in \mathbb {N}}</math> 可知 <math>(\mathrm {Trans}(s_{i}))_{i \in \mathbb {N}}</math> 变为 <math>\alpha</math> 的无限下降序列，这与 <math>\alpha</math> 的良基性相矛盾。从上面可知， <math>X=\alpha</math> 。

证毕。

现在，从命题 4 (1)、命题 6、命题 7 (3) 和命题 7 (5) 可知，如果我们能够得到一个基本列同构于序数的部分符号，或与序数相关的基本列的符号，那么我们就可以自动证明其良基性，证明各种函数的停机性，并立即确定该符号的序数极限。给定映射是否为基本列同构相对容易，因为只需根据基本列定义中出现的情况区分（如果可计算，则为有限多个）进行检查即可。这就是为什么证明 HPrSS 和 SAN 的停机性非常容易的原因。

另一方面，序同构不一定是基本列同构。证明非基本列同构的映射是序同构非常困难。这就是为什么对序列停机性的证明非常复杂的原因。

BMS的良序性

2026-08-14T12:45:54Z

Tabelog：

我们给出 BMS 良序性的证明过程。<ref>VARGOVCIK S. Well-orderedness of the bashicu matrix system[A]. 2023.</ref><ref>小清新. 对 BMS 良序性证明的个人理解[EB/OL]. 2023. https://zhuanlan.zhihu.com/p/653719928.</ref>

'''定义''' 在 BMS 中给出如下定义和约定：

(1) 列和行均从 0 开始数起。例如 <math>(000)(111)</math> 的 <math>(000)</math> 是第 0 列。

(2) <math>A</math>：一般指一个 BMS。

(3) <math>A[n]</math>：一般指 <math>A</math> 的基本列第 <math>n</math> 项。

(4) <math>G</math>：一般指“好部”。

(5) <math>B_{x}</math>：一般指“坏部”，其中 <math>B_{0}</math> 一般指最前面的“坏部”。

(6) <math>C</math>：一般指 <math>A</math> 的最后一列。

(7) <math>A_{1} + A_{2}</math>：指把 <math>A_{2}</math> 连接在 <math>A_{1}</math> 的后面，例如 <math>(000)(111) + (222)(333) = (000)(111)(222)(333)</math>。

(8) '''<math>m</math> 父项'''：列 <math>i</math> 是列 <math>j</math> 的 <math>m</math> 父项当且仅当 <math>i < j</math>，列的第 <math>m</math> 个元素小于列 <math>j</math> 的第 <math>m</math> 个元素，当 <math>m > 0</math> 时还需列 <math>i</math> 是列 <math>j</math> 的 <math>m-1</math> 祖先，同时是满足此定义中的最大者。若不存在这样的列 <math>i</math>，则列 <math>j</math> 没有 <math>m</math> 父项。

(9) '''<math>m</math> 祖先'''：列 <math>i</math> 是列 <math>j</math> 的 <math>m</math> 祖先当且仅当列 <math>i</math> 是列 <math>j</math> 的 <math>m</math> 父项或列 <math>i</math> 是列 <math>j</math> 的 <math>m</math> 父项的 <math>m</math> 祖先。（即列 <math>j</math> 的 <math>m</math> 父项，列 <math>j</math> 的 <math>m</math> 父项的 <math>m</math> 父项，列 <math>j</math> 的 <math>m</math> 父项的 <math>m</math> 父项的 <math>m</math> 父项……）例如：在 <math>(000)(111)(220)(331)</math> 中，<math>(220)</math> 是 <math>(331)</math> 的 0 父项、1 父项、2 父项，因此也是 <math>(331)</math> 的 0 祖先、1 祖先、2 祖先。<math>(111)</math> 是 <math>(220)</math> 的 0 父项、1 父项，但不是 <math>(220)</math> 的 2 父项。因此，<math>(111)</math> 是 <math>(331)</math> 的 0 祖先、1 祖先，但不是 2 祖先。

(10) 一个非空的 BMS 可以写成这样的形式：<math>A = G + B_{0} + C</math>，其基本列第 <math>n</math> 项可以写为 <math>A[n] = G + B_{0} + \dots + B_{n}</math>。其中，<math>B_{0}</math> 的第 0 列是 <math>C</math> 的 <math>m_{0}</math> 父项，若 <math>m_{0}</math> 无定义，则 <math>B_{0}</math> 为空。

(11) '''提升'''：设 <math>D</math> 为 <math>B_{0}</math> 中的一列，若 <math>D</math> 为 <math>B_{0}</math> 的第 0 列或 <math>B_{0}</math> 的第 0 列是 <math>D</math> 的 <math>m</math> 祖先，则 <math>D</math> 的第 <math>m</math> 个元素称为提升的（这一定义与原文不同，为行文方便做了修改）。<math>B_{i}</math> 是 <math>B_{0}</math> 的一个复制，但是每个满足行标 <math>m < m_{0}</math> 的提升的元素都要增加 <math>i \times (C</math> 的第 <math>m</math> 个元素 <math>- B_{0}</math> 首列的第 <math>m</math> 个元素<math>)</math>。

'''引理 1''' BMS 在字典序下是全序的。

这定理说的是，任何两个 BMS 都可以比大小。关于这一定理的详细证明从略。

进一步有 BMS 的如下性质：

'''引理 2''' 设 <math>A = G + B_{0} + C</math> 是一个非空的 BMS，<math>n</math> 是一个自然数，<math>l_{0}, l_{1}</math> 分别为 <math>G, B_{0}</math> 的长度。则有以下五点成立：

(1) 任取 <math>i < l_{0}, j < l_{1}, k \in \mathbb{N}</math>，<math>G</math> 的第 <math>i</math> 列是 <math>B_{0}</math> 的第 <math>j</math> 列的 <math>k</math> 祖先当且仅当 <math>G</math> 的第 <math>i</math> 列是 <math>B_{n}</math> 的第 <math>j</math> 列的 <math>k</math> 祖先。

(2) 任取 <math>i, j < l_{1}, k \in \mathbb{N}</math>，<math>B_{0}</math> 的第 <math>i</math> 列是 <math>B_{0}</math> 的第 <math>j</math> 列的 <math>k</math> 祖先当且仅当 <math>B_{n}</math> 的第 <math>i</math> 列是 <math>B_{n}</math> 的第 <math>j</math> 列的 <math>k</math> 祖先。

(3) 设 <math>n > 0, i < l_{1}, k < m_{0}</math>，<math>B_{0}</math> 的第 <math>i</math> 列是 <math>C</math> 的 <math>k</math> 祖先当且仅当 <math>B_{n-1}</math> 的第 <math>i</math> 列是 <math>B_{n}</math> 第 <math>0</math> 列的 <math>k</math> 祖先。

(4) 设 <math>0 < i < l_{1}</math>，<math>B_{n}</math> 的第 <math>i</math> 列的 <math>k</math> 父项只会在 <math>G</math> 或 <math>B_{n}</math> 中。

(5) 任取 <math>i, j < l_{1}, k \in \mathbb{N}, n_{0} < n_{1} < n</math>，<math>B_{n_{0}}</math> 的第 <math>i</math> 列是 <math>B_{n_{1}}</math> 的第 <math>j</math> 列的 <math>k</math> 祖先当且仅当 <math>B_{n_{0}}</math> 的第 <math>i</math> 列是 <math>B_{n_{1} + 1}</math> 的第 <math>j</math> 列的 <math>k</math> 祖先。

（注意，以上的列是从第 0 列开始数的）

证明：用数学归纳法，先证明 <math>k = 0</math> 时定理 2 成立，再假设对所有 <math>k' < k</math>，定理 2 成立（五条全部成立），尝试说明此时定理 2 对 <math>k</math> 成立。

先考虑 <math>k = 0</math> 的情况：

首先证明 (2)：<math>j = 0</math> 时 <math>B_{0}</math> 的第 <math>j</math> 列在 <math>B_{0}</math> 当中不会有祖先（因为它自己就是 <math>B_{0}</math> 最左的一列），因此结论平凡成立。<math>j > 0</math> 时，若 <math>m_{0} = 0</math>，则 <math>B_{0} = B_{n}</math>；若 <math>m_{0} > 0</math>，不难看出 <math>B_{0}</math> 中每一列的第 0 个元素都是提升的，因此 <math>B_{0}</math> 和 <math>B_{n}</math> 当中的 0 祖先关系保持一致，此时 (2) 成立。

(3)：与 (2) 类似，因为假设了 <math>m_{0} > 0</math>，因此 <math>B_{n}</math> 的第 0 个元素不会比 <math>C</math> 的第 0 个元素小。

(4)：<math>B_{0}</math> 的第 0 列一定是 <math>B_{0}</math> 的第 <math>i</math> 列的 0 祖先，因此，用 <math>k = 0</math> 时的 (2)，可得 <math>B_{n}</math> 的第 0 列也是 <math>B_{n}</math> 的第 <math>i</math> 列的 0 祖先。因此，<math>B_{n}</math> 第 <math>i</math> 列的 0 父项自然也会在 <math>B_{n}</math> 中。

(1)：显然，只需注意到若 <math>G</math> 中第 <math>i</math> 列是 <math>B_{0}</math> 中某列的 0 祖先，则任何 <math>B_{x}</math> 中都不会有比其第 0 个元素小的列。

(5)：与 (1) 类似，显然。

接下来，假设定理 2 对 <math>k' < k</math> 成立，考虑 <math>k</math> 的情况：

(2)：<math>j = 0</math> 时显然。<math>j > 0</math> 时设 <math>I</math> 为 <math>B_{0}</math> 第 <math>j</math> 列的 <math>k-1</math> 祖先的列号组成的集合（例如若 <math>B_{0}</math> 是 <math>(00)(11)(22)</math>，<math>k = 1</math>，则此时的 <math>I = \{0, 1\}</math>），则显然有 <math>i \in I</math>，此时有两种情况。

情况一：<math>B_{0}</math> 的首列是 <math>B_{0}</math> 第 <math>j</math> 列的 <math>k</math> 祖先，则此时第 <math>j</math> 列的第 <math>k</math> 个元素就是提升的，同时，第 <math>i</math> 列的第 <math>k</math> 个元素也是提升的，因为要么 <math>i = 0</math>，要么首列也是第 <math>i</math> 列的一个 <math>k</math> 祖先。不难看出，此时所有 <math>I</math> 中的列，第 <math>k</math> 个元素都是提升的。因此在 <math>B_{n}</math> 当中，若第 <math>j</math> 列的第 <math>k</math> 个元素有增加，则 <math>I</math> 中其他列的第 <math>k</math> 个元素也得到了同样的增加，又由于归纳假设，<math>B_{n}</math> 中第 <math>j</math> 列的 <math>k-1</math> 祖先也都是序号在 <math>I</math> 中的那些列，因此 <math>B_{n}</math> 中的祖先关系与 <math>B_{0}</math> 中保持一致。

情况二：<math>B_{0}</math> 的首列不是 <math>B_{0}</math> 第 <math>j</math> 列的 <math>k</math> 祖先，则第 <math>j</math> 列的第 <math>k</math> 个元素是不提升的，且任何 <math>k</math> 祖先所在列的第 <math>k</math> 个元素也是不提升的。又由归纳假设，在 <math>B_{n}</math> 当中祖先关系与 <math>B_{0}</math> 中保持一致。（反过来，<math>B_{n}</math> 推出 <math>B_{0}</math> 也是类似的，第 <math>k</math> 个元素要提升则整个 <math>I</math> 一起提升，若不提升则所有第 <math>j</math> 列的 <math>k</math> 祖先对应的第 <math>k</math> 个元素都不提升。）

(3)：与 (2) 类似，<math>k < m_{0}</math> 保证了 <math>B_{1}</math> 的第 0 个元素不会比 <math>C</math> 的小。

(4)：若存在 <math>k' < k</math>，使得 <math>B_{n}</math> 第 <math>i</math> 列的 <math>k'</math> 父项在 <math>G</math> 中，则 <math>B_{n}</math> 第 <math>i</math> 列的 <math>k</math> 父项也必然在 <math>G</math> 中。配合归纳假设，设对所有 <math>k' < k</math>，<math>B_{n}</math> 第 <math>i</math> 列的 <math>k'</math> 父项都在 <math>B_{n}</math> 中。若存在某个 <math>k'</math> 使得 <math>B_{n}</math> 的首列不是第 <math>i</math> 列的 <math>k'</math> 祖先，则使用归纳假设，可知第 <math>i</math> 列所有的 <math>k'</math> 祖先均在 <math>G</math> 或 <math>B_{n}</math> 中，因此它的 <math>k</math> 父项也必然在其中。若对任意的 <math>k' < k</math>，都有 <math>B_{n}</math> 的首列是第 <math>i</math> 列的 <math>k'</math> 祖先，假设 <math>B_{n}</math> 的第 <math>i</math> 列的 <math>k</math> 父项不在 <math>B_{n}</math> 中，我们证明它一定在 <math>G</math> 中。若 <math>B_{n}</math> 的第 <math>i</math> 列的 <math>k</math> 父项不在 <math>B_{n}</math> 中，则 <math>B_{n}</math> 的首列不是第 <math>i</math> 列的 <math>k</math> 祖先。因此，第 <math>i</math> 列的第 <math>k</math> 个元素一定是不提升的，它与 <math>B_{0}</math> 的第 <math>i</math> 列第 <math>k</math> 个元素相等。由 (ii) 可知，<math>B_{0}</math> 中也不存在某列是第 <math>i</math> 列的 <math>k</math> 父项，因此它的 <math>k</math> 父项一定在 <math>G</math> 中。同时，对于 <math>B_{0}</math> 中所有第 <math>i</math> 列的 <math>k-1</math> 祖先，它们的第 <math>k</math> 个元素一定会大于等于第 <math>i</math> 列的第 <math>k</math> 个元素，因此也大于等于 <math>B_{n}</math> 第 <math>i</math> 列的第 <math>k</math> 个元素。因此，若 <math>B_{n}</math> 第 <math>i</math> 列的 <math>k</math> 父项不在 <math>B_{n}</math> 中，那么它也会是 <math>B_{n}</math> 首列的一个 <math>k</math> 祖先。当 <math>k \geq m_{0}</math> 时，<math>B_{n}</math> 首列的 <math>m_{0}</math> 父项就已经在 <math>G</math> 中了，与我们的假设矛盾。当 <math>k < m_{0}</math> 时，由于 <math>B_{0}</math> 的首列是 <math>C</math> 的 <math>m_{0}</math> 父项，因此也是 <math>C</math> 的 <math>k</math> 祖先，反复使用 (iii) 可得对每个 <math>m > 0</math>，<math>B_{m-1}</math> 的首列都是 <math>B_{m}</math> 首列的 <math>k</math> 祖先。设存在 <math>n' < n</math> 使得 <math>B_{n}</math> 第 <math>i</math> 列的 <math>k</math> 父项在 <math>B_{n'}</math> 中，则由于此列和 <math>B_{n'}</math> 的首列均为 <math>B_{n}</math> 首列的 <math>k</math> 祖先，因此 <math>B_{n'}</math> 的首列也会是此列的 <math>k</math> 祖先，而这是不可能的（<math>B_{n'}</math> 的首列的第 <math>k</math> 个元素严格大于此列的第 <math>k</math> 个元素）。

(1)：若 <math>B_{0}</math> 的首列是第 <math>j</math> 列的 <math>k</math> 祖先，则也是 <math>B_{n}</math> 第 <math>j</math> 列的 <math>k</math> 祖先，此时 (i) 成立。若 <math>B_{0}</math> 的首列不是第 <math>j</math> 列的 <math>k</math> 祖先，由 (iv) 可知 <math>B_{n}</math> 第 <math>j</math> 列的 <math>k</math> 祖先只在 <math>B_{n}</math> 和 <math>G</math> 中，由于此时 <math>B_{0}</math> 第 <math>j</math> 列第 <math>k</math> 个元素不提升，因此 <math>G</math> 中最右边的祖先列也会是 <math>B_{0}</math> 第 <math>j</math> 列的 <math>k</math> 祖先，此时 (i) 成立。

(5)：若 <math>B_{n_{0}}</math> 的第 <math>i</math> 列是 <math>B_{n_{1}}</math> 的第 <math>j</math> 列的 <math>k</math> 祖先，则由 (iv)，<math>B_{n_{1}}</math> 的首列也是 <math>B_{n_{1}}</math> 的第 <math>j</math> 列的 <math>k</math> 祖先，因此 <math>B_{n_{0}}</math> 的第 <math>i</math> 列是 <math>B_{n_{1}}</math> 的首列的 <math>k</math> 祖先。若 <math>k \geq m_{0}</math>，则与 <math>B_{n_{1}}</math> 的首列的 <math>k</math> 父项在 <math>G</math> 中矛盾。若 <math>k < m_{0}</math>，则可以使用 (iii)，得到 <math>B_{n_{0}}</math> 的第 <math>i</math> 列是 <math>B_{n_{1} + 1}</math> 的首列的 <math>k</math> 祖先，再由 (ii) 可得结论，反过来的方向也类似。

利用数学归纳法，在每一层都是 2、3 推出 4，2、3、4 推出 1、5，因此我们就证明了全部的结论。

然后是关于稳定序数的定理。记 <math>\langle L_\alpha,\in\rangle</math> 是第 <math>\alpha</math> 个可构造宇宙层级， <math>M \preceq_{\Sigma_n} N</math> 代表 <math>M</math> 是 <math>N</math> 的 <math>\Sigma_n</math> 初等子结构。记 <math>\alpha \le_n \beta</math> 代表 <math>\langle L_\alpha,\in\rangle \preceq_{\Sigma_{n+1}} \langle L_\beta,\in\rangle</math> ，特别的， <math>\alpha \le_n \mathrm{Ord}</math> 代表 <math>\langle L_\alpha,\in\rangle \preceq_{\Sigma_{n+1}} \langle L,\in\rangle</math> 。记 <math>\sigma</math> 是最小的序数使得存在 <math>\beta</math> ，有任取 <math>n \in \mathbb{N}</math> ，都有 <math>\sigma \le_n \beta</math> 成立。

'''引理 3''' 任取 <math>\alpha,\beta \in \sigma</math>，<math>n \in \mathbb{N}</math> ，若 <math>\omega<\alpha<_n\beta</math> ，任取 <math>X,Y</math> 为有限集，满足 <math>\gamma<\alpha \le \delta<\beta</math> 对任意的 <math>\gamma \in X,\delta \in Y</math> ，存在一个序数集合 <math>Y'</math> 和一个双射 <math>f: Y \rightarrow Y'</math> 对任意 <math>\gamma \in X,\delta_0,\delta_1 \in Y,n \in \mathbb{N},m<n</math> 有以下五条性质:

(1) <math>\gamma<f(\delta_0)<\alpha</math> .

(2) <math>\gamma <_k \delta_0 \rightarrow \gamma <_k f(\delta_0)</math> .

(3) <math>\delta_0<\delta_1 \rightarrow f(\delta_0)<f(\delta_1)</math> .

(4) <math>\delta_0 <_k \delta_1 \rightarrow f(\delta_0) <_k f(\delta_1)</math> .

(5) <math>\delta_0 <_m \beta \rightarrow f(\delta_0) <_m \alpha</math>

证明这一引理的思路是构造一个合适的 <math>\Sigma_{n+1}</math> 公式，它能反应我们想要的性质，同时使得它可以在 <math>L_\beta</math> 中验证为真 (代入 <math>Y</math> 中的元素)，因此它在 <math>L_\alpha</math> 中也为真，能使得它为真的那组参数就组成了 <math>Y'</math> 。

证明：记 <math>\gamma_0,\dots,\gamma_{|X|-1} \in X</math> 为固定参数，记 <math>\varphi_0(\eta,\xi)</math> 为 <math>\eta<\xi</math>，<math>\varphi_1(\eta,\xi,k)</math> 为 <math>\eta<_k\xi</math>，<math>\varphi_2(\eta,k)</math> 为 <math>\eta<_k\mathrm{Ord}</math> 。则 <math>\varphi_0</math> 是 <math>\Sigma_0</math> 公式， <math>\varphi_1</math> 是 <math>\Sigma_1</math> 公式，文章[2]的定理 1.8 证明了 <math>\varphi_2</math> 是 <math>\Pi_{k+1}</math> 公式，因此也是 <math>\Sigma_{k+2}</math> 公式。由于 <math>k<n</math> ，这三条公式全都是 <math>\Sigma_{n+1}</math> 公式。由于这里提到的所有序数都在 <math>\sigma</math> 之下，因此任取 <math>\eta,\xi \in X \cup Y</math> ，都只有有限个 <math>k</math> 使得 <math>\varphi_1(\eta,\xi,k)</math> 成立。因此，只有有限个句子 <math>\varphi_0(\gamma_i,\zeta_j),\varphi_1(\gamma_i,\zeta_j,k),\varphi_0(\zeta_i,\zeta_j),\varphi_1(\zeta_i,\zeta_j,k),\varphi_2(\zeta_i,m)</math> 在代入 <math>\delta_i</math> 为 <math>Y</math> 中第 <math>i</math> 小的元素时为真。记 <math>\varphi</math> 为这些句子的合取，则 <math>\varphi</math> 为 <math>\Sigma_{n+1}</math> 公式。同时令 <math>\psi</math> 为断言所有这些 <math>\zeta_i</math> 为序数的句子，则 <math>\varphi \wedge \psi</math> 为 <math>\Sigma_{n+1}</math> 公式。最后，句子 <math>\exists \zeta_0 \exists \zeta_1 \dots \exists \zeta_{|Y|-1}(\varphi \wedge \psi)</math> 也是 <math>\Sigma_{n+1}</math> 公式。在 <math>L_\beta</math> 中，把 <math>Y</math> 中的元素代入，就知道这个句子是真的。又因为 <math>\alpha <_n \beta</math> ，可知在 <math>L_\alpha</math> 中这个句子也是真的。因此， <math>L_\alpha</math> 中使得这个句子为真的那些取值组合成 <math>Y'</math>，<math>Y</math> 和 <math>Y'</math> 之间自然的序同构记为 <math>f</math> ，则引理 3 成立。(例如第一条，在 <math>L_\alpha</math> 中取 <math>\zeta_j</math> 为 <math>f(\delta_j)</math>，<math>\varphi_0(\gamma_i,\zeta_j)</math> 就是说 <math>\gamma_i<f(\delta_j)</math> ，也即第一条性质成立，其他四条也可以用类似的方式得到。)

综合上述两条定理，我们就可以证明 BMS 的良序性

'''定理''' BMS 在字典序下是良序的。

证明的思路是构造一个映射 <math>o:\mathrm{BMS}\to\mathrm{Ord}</math> ，只需证明该映射是保序的即可。定义BMS 的稳定表示函数：设 <math>A</math> 为一个 <math>n</math> 列的 BMS，一个函数 <math>f: n \rightarrow \mathrm{Ord}</math> 是 <math>A</math> 的稳定表示，当且仅当对任意的 <math>i<j<n</math> ，有 <math>f(i)<f(j)</math> 且若 <math>A</math> 的第 <math>i</math> 列为第 <math>j</math> 列的 <math>m</math> 祖先，则 <math>f(i) <_m f(j)</math> 。可以看出，同一个 BMS，对应的稳定表示函数可以有很多。例如任何满足 <math>\alpha <_0 \beta</math> 的序数 <math>\alpha</math> 和 <math>\beta</math> ， <math>f(0)=\alpha,f(1)=\beta</math> 都可以作为 (0)(1) 的稳定表示函数。

定义 <math>o(A)</math> 为最小的序数 <math>\alpha</math> 使得存在一个 <math>A</math> 的稳定表示函数 <math>f</math> ，满足 <math>f(n-1) \le \alpha</math> 。为方便起见，记 <math>\mathrm{BMS}[n]=(0\dots0)(1\dots1)</math> 共 <math>n</math> 个 0 和 <math>n</math> 个 1 ， <math>X_n=\{\mathrm{BMS}[i_0][i_1]\dots[i_n] \}</math> .为方便起见，记 <math>\mathrm{BMS}[n]=(0\dots0)(1\dots1)</math> ，共 <math>n</math> 个 0 和 <math>n</math> 个 1， <math>X_n=\{\mathrm{BMS}[i_0][i_1]\dots[i_n] \}</math> .

证明：(对展开次数做归纳) 首先证明 <math>o</math> 在 <math>X_0</math> 上是保序的，随后证明若 <math>o</math> 在 <math>X_n</math> 是保序的，则 <math>o</math> 在 <math>X_{n+1}</math> 上是保序的。这样就证明了 <math>o</math> 是保序的。

对 <math>X_0</math> ，不难看出若 <math>\alpha_n</math> 是最小的满足存在 <math>\beta_n</math> ，使得 <math>\alpha_n <_{n-1} \beta_n</math> ，则 <math>o((0\dots0)(1\dots1)) = \beta_n</math> （共 <math>n</math> 个 0， <math>n</math> 个 1 ）。因此，显然有 <math>o</math> 在 <math>X_0</math> 上保序。

设 <math>o</math> 在 <math>X_n</math> 上保序，想证明 <math>o</math> 在 <math>X_{n+1}</math> 上保序。任取非空的 BMS <math>A \in X_n</math> ，设 <math>A</math> 的长度为 <math>l</math> 记 <math>f</math> 是 <math>A</math> 的稳定表示，使得 <math>o(A) \ge f(l-1)</math> 。记 <math>l_n</math> 为 <math>A[n]</math> 的长度，则 <math>f</math> 限制在 <math>l_0</math> 上就是 <math>A[0]</math> 的一个稳定表示，记为 <math>f_0</math> 。接下来，我们将递归构造 <math>A[n]</math> 的稳定表示 <math>f_n</math> 。

设 <math>f_k</math> 为 <math>A[k]</math> 的稳定表示，且将 <math>B_k</math> 对应的列号映射到 <math>B_0</math> 对应的列号在 <math>f</math> 下的像。设 <math>\alpha</math> 为 <math>B_0</math> 的首列的列号在 <math>f</math> 下的像， <math>\beta</math> 为 <math>A</math> 的最后一列的列号在 <math>f</math> 下的像。设 <math>Y</math> 为 <math>B_k</math> 对应的列号在 <math>f_k</math> 下的像集， <math>X</math> 为 <math>B_k</math> 之前的列号在 <math>f_k</math> 下的像集 (因此， <math>X</math> 可能为空，但 <math>Y</math> 一定非空) 。由于前述引理，存在那样的 <math>Y'</math> ，我们把 <math>B_k</math> 对应的列号映射到 <math>Y'</math> 的对应元素， <math>B_{k+1}</math> 对应的列号映射到 <math>Y</math> 的对应元素，其他列号的像不变，就得到了 <math>f_{k+1}</math> 。由于引理 2， <math>f_{k+1}</math> 是 <math>A[k+1]</math> 的一个稳定表示，同时它将 <math>B_{k+1}</math> 对应的列号映射到 <math>B_0</math> 对应的列号在 <math>f</math> 下的像。这样，我们就得到了所有的 <math>f_n</math> ，同时，由于任取 <math>m<n</math> <math>f_n</math> 在 <math>l_m</math> 处截断都能得到一个 <math>A[m]</math> 的稳定表示，因此有 <math>m<n \rightarrow o(A[m])<o(A[n])<o(A)</math> 。因此， <math>o</math> 在 <math>X_{n+1}</math> 保序。

这样我们就得到了 <math>o</math> 是保序的（因为任何 BMS 都可以由 BMS 极限取有限次基本列得到），因此 BMS 是良序的，证明完毕。

== 参考资料 ==

BMS的良序性

2026-08-14T12:43:53Z

Tabelog：创建页面，内容为“我们给出 BMS 良序性的证明过程。<ref>VARGOVCIK S. Well-orderedness of the bashicu matrix system[A]. 2023.</ref><ref>小清新. 对 BMS 良序性证明的个人理解[EB/OL]. 2023. https://zhuanlan.zhihu.com/p/653719928.</ref> '''定义''' 在 BMS 中给出如下定义和约定： (1) 列和行均从 0 开始数起。例如 <math>(000)(111)</math> 的 <math>(000)</math> 是第 0 列。 (2) <math>A</math>：一般指一个 BMS。 (3) <math>A[n]</m…”

增长层级

2026-02-24T12:12:34Z

Tabelog：

'''增长层级（Growing Hierarchy，GH）'''是一种函数族<math>f:\rm Ord\rightarrow\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}</math>，对于每个[[序数]] <math>\alpha</math>，<math>f_{\alpha}</math> 是一个从自然数到自然数的函数。

不同[[增长率]]的函数能和它们建立起大致的对应关系。因此，增长层级常被用于分析函数的增长率。

常用的增长层级有 4 种，分别为 [[增长层级#快速增长层级|FGH]]、[[增长层级#中速增长层级|MGH]]、[[增长层级#哈代层级|HH]] 和 [[增长层级#慢速增长层级|SGH]]。其中最常用的是 FGH。

=== 定义 ===
在这里，<math>f^n(\cdot)</math> 代表对函数 <math>f(\cdot)</math> 的 <math>n</math> 次迭代；其中 <math>\alpha[n]</math> 表示[[序数#极限序数|极限序数]] <math>\alpha</math> 的[[基本列]]第 <math>n</math> 项。所有的典型增长层级都是由超限递归定义的。

==== 快速增长层级 ====
快速增长层级（Fast Growing Hierarchy，FGH）定义为：

<math>f_\alpha(n)=\begin{cases}n+1,&\alpha=0\\f_\beta^n(n),&\alpha=\beta+1\\f_{\alpha[n]}(n),&\alpha\text{ 是极限序数}\end{cases}</math>

==== 中速增长层级 ====
中速增长层级（Middle Growing Hierarchy，MGH）定义为：

<math>m_\alpha(n)=\begin{cases}n+1,&\alpha=0\\m_\beta(m_\beta((n)),&\alpha=\beta+1\\m_{\alpha[n]}(n),&\alpha\text{ 是极限序数}\end{cases}</math>

==== 哈代层级 ====
哈代层级（Hardy Hierarchy，HH）定义为：

<math>H_\alpha(n)=\begin{cases}n,&\alpha=0\\H_\beta(n+1),&\alpha=\beta+1\\H_{\alpha[n]}(n),&\alpha\text{ 是极限序数}\end{cases}</math>

==== 慢速增长层级 ====
慢速增长层级（Slow Growing Hierarchy，SGH）定义为：

<math>g_\alpha(n)=\begin{cases}0,&\alpha=0\\g_\beta(n)+1,&\alpha=\beta+1\\g_{\alpha[n]}(n),&\alpha\text{ 是极限序数}\end{cases}</math>

=== 在大数数学中的应用 ===
我们知道，大数数学的目的是造出越来越巨大的自然数。为了这个目标，我们需要构造出增长的越来越快的大数函数。实际上，我们有以下两种办法来做到这件事情，即'''迭代'''和'''对角化'''：

* 迭代，即对于已有函数 <math>f(x)</math>，我们构造出函数 <math>g(x)</math> 增长速度快于 <math>f(x)</math>。注意到迭代的方法显然不止一种。比方说，让 <math>g(x)=\underbrace{f(f(f(\cdots(x)\cdots)))}_{x\text{ 层}}</math>，这是一种迭代方法。还可以让 <math>g(x)=f(x+1)</math> 等等。
* 对角化，即对于已有的 <math>\omega</math> 个增长速度递增的函数，我们按照增长速度由小到大排序为 <math>f_1(x),f_2(x),f_3(x),\cdots</math>，我们构造出函数 <math>g(x)=f_x(x)</math>。注意到 <math>g(x)</math> 的增长速度快于任意的<math>f_n(x)</math>。

因此，我们只需要从一个最初的函数出发，通过不断地迭代和对角化，就可以得到越来越快的函数.

现在让我们考察[[序数]]，会发现，序数存在以下两个性质：

* 对任意序数 α，α 的后继依然是一个序数且大于 α。
* 对 ω 个递增序数构成的序列 S 来说，存在一个 β 是序数且满足 β 是 S 的上确界（上界要求大于等于内部所有元素，上确界是最小上界）。或者说，这里的 S 是 β 的一条[[基本列]]。

因此，我们可以从 0 出发，通过不断地取后继和取上确界，我们可以得到越来越大的序数.

我们会发现，构造大数函数的方法和序数的性质之间存在某种意义的对应。那么，我们可不可以直接根据序数，生成大数函数呢？答案是可以的。我们需要完成以下三件事：

* 对序数 0，它要和一个最基础的函数对应。
* 对一个[[序数#序数的后继|后继序数]] α'（α 的后继），我们需要找到 α，然后把 α 对应的函数进行迭代，所得到的新函数就是 α' 对应的函数。
* 对一个[[序数#极限序数|极限序数]] β，我们需要找到 β 的基本列，然后把基本列所有元素对应的函数进行对角化，得到的新函数就是 β 对应的函数。

但注意到这里还有一个问题：一个极限序数的基本列不止一种，那么，我们如何确定应该选取哪一条基本列呢？这个时候就需要[[序数记号]]出马了。序数记号为其极限之下的每个序数指定了唯一的标准基本列。

有了序数记号之后，我们就可以放心的运用对应关系，直接把序数转换成大数函数了。把序数转换成大数函数的工具就是增长层级。根据迭代的方法不同，增长层级也有很多种。

=== 不同增长层级的对比 ===
''本节内容来自<ref>Chase Light (2025). [googology] 大数增长率分析(序篇)：不同的增长层级及其对比 [[googology] Analysis of Large Number Growth Rate (Prologue): Different Growth Levels and Their Comparison]. ''(EB/OL), Zhihu''. Available at: https://zhuanlan.zhihu.com/p/720580794</ref>''。

MGH 相比 FGH，下标 +1 的方式仅由“嵌套 n（自变量）层”变为“嵌套 2 层”。因此，MGH 的下标每加一次 <math>\omega</math>，就能将函数嵌套 <math>2^n</math> 层，实现略大于 FGH 中下标 +1 的作用。

对于使得 <math>m_{\alpha}(n)=f_{\beta}(n)</math> 的 <math>\alpha</math> 和 <math>\beta</math>，我们有

<math>m_{\alpha+n(n\in \omega)}(x)<f_{\beta+1}(x)<m_{\alpha+\omega}(x)<f_{\beta+1}(2^x)</math>

因而 MGH 与 FGH 在 <math>\omega^\omega</math> 处 Catching。

HH 为“下标 +1 则自变量 +1 ”，显然有<math>H_\alpha(H_\beta(n))=H_{\alpha+\beta}(n)</math>。

于是当 <math>H_{\alpha}(n)=f_{\beta}(n)</math> 时，

<math>H_{\alpha+1}(n)=f_\beta(n+1)</math>，<math>H_{\alpha+\alpha}(n)=f_\beta(f_\beta(n))</math>，<math>H_{\alpha\times\omega}(n)=f_{\beta+1}(n)</math>

而 <math>H_{1}(n)=f_{0}(n)=n+1</math>。于是我们又有以下推论：

相同基本列下，对于 <math>\beta\leq\alpha<\varepsilon_0</math>，有 <math>H_{\omega^{\alpha}}(n)=f_{\alpha}(n)</math>，<math>H_{\omega^\alpha+\omega^\beta}(n)=f_{\alpha}(f_{\beta}(n))</math>

因而 HH 与 FGH 在 <math>\varepsilon_0</math> 处 Catching。

我们最后再来看 SGH，其下标 +1 仅仅是“函数值 +1”，因而 SGH 的增长十分依赖于'''序数自身的结构'''及'''基本列'''的选取，所以其增长地较为缓慢，且在较小尺度上和 FGH 没有明显的对应关系。

SGH 与 FGH在<math>\psi(\Omega_\omega)</math>处 Catching。在这之后，直接分析记号的序数结构与分析增长率变得几乎没有区别。

=== 对照表 ===
以下是较为具体的对照表，黑色代表严格相等，绿色代表略小，红色代表略大。

<nowiki>\( \begin{array} { c | c | c } \rm FGH & \rm MGH & \rm HH & \rm SGH & \rm EXP & -\\ \hline & & H_0 & g_\omega & x\\ f_0 & m_0 & H_1 & g_{\omega +1} & x+1\\ f_0(f_0) & m_1 & H_2 & g_{\omega +2} & x+2\\ f_0^4 & m_2 & H_4 & g_{\omega +4} & x+4\\ f_0^8 & m_3 & H_8 & g_{\omega +8} & x+8\\ f_1 & \matrix{\underset{x+2^x}{\color{red}{ m_\omega}}} & H_\omega & g_{\omega \times 2} & 2x \\ f_1(f_0) & {\color{red}{ m_\omega}} & H_{\omega +1} & g_{\omega \times 2 +2} & 2x +2\\ f_1(f_0(f_0)) & {\color{red} {m_\omega}} & H_{\omega +2} & g_{\omega \times 2 +4} & 2x +4\\ f_1(f_1) & {\color{red} {m_\omega}} & H_{\omega \times 2} & g_{\omega \times 4} & 4x\\ f_1(f_1(f_0)) & {\color{red} {m_\omega}} & H_{\omega \times 2 +1} & g_{\omega \times 4 +4} & 4x +4\\ f_1(f_1(f_1)) & {\color{red} {m_\omega}} & H_{\omega \times 3} & g_{\omega \times 8} & 8x\\ f_2 & {\color{green} {m_\omega}} & H_{\omega ^2} & {\color{green}{ g_{\omega^2}\sim g_{\omega^n}}} & x\cdot 2^x\\ f_2(f_1) & {\color{green}{ m_\omega}} & H_{\omega ^2 +\omega} & {\color{green} {g_{\omega^2}\sim g_{\omega^n}}} & x\cdot 2^{2x+1}\\ f_2(f_2) & {\color{green} {m_{\omega +1}}} & H_{\omega ^2 \times 2} & {\color{green} {g_{\omega^\omega}\sim g_{\omega^{\omega^n}}}} & x\cdot 2^{x\cdot (2^x+1)}\\ f_3 & \matrix{\underset{>x\uparrow\uparrow 2^x}{\color{red} {m_{\omega \times 2}}}} & H_{\omega ^3} & \matrix{\underset{x\uparrow\uparrow x}{\color{green} {g_{\varepsilon_0}} }} & >x\uparrow\uparrow x \\ f_3(f_1) & {\color{red} {m_{\omega \times 2}}} & H_{\omega ^3 +\omega} & \matrix{\underset{>x\uparrow\uparrow 2x-1}{\color{green}{ g_{\varepsilon_1} }}} & >x\uparrow\uparrow 2x \\ f_3(f_2) & {\color{green} {m_{\omega \times 2}}} & H_{\omega ^3 +\omega ^2} & {\color{green} {g_{\varepsilon_\omega} \sim g_{\varepsilon_{\omega^n} }}} & >x\uparrow\uparrow (x\cdot 2^x) \\ f_3(f_3) & \matrix{\underset{>x\uparrow\uparrow x\uparrow\uparrow 2^x}{\color{red} {m_{\omega \times 2 +1}}}} & H_{\omega ^3 \times 2} & {\color{green} {g_{\varepsilon_{\varepsilon_0}} }} & >x\uparrow\uparrow x\uparrow\uparrow x &{\rm tritri}=3\uparrow\uparrow\uparrow3\\ f_3(f_3(f_2)) & {\color{green} {m_{\omega \times 2 +1}}} & H_{\omega ^3 \times 2 +\omega^2} & {\color{green} {g_{\varepsilon_{\varepsilon_\omega }}\sim g_{\varepsilon_{\varepsilon_{\omega^n} }} }} & >x\uparrow\uparrow x\uparrow\uparrow (x\cdot 2^x) \\ f_3(f_3(f_3)) & \matrix{\underset{>x\uparrow\uparrow\uparrow 5}{\color{red} {m_{\omega \times 2 +2}}}} & H_{\omega ^3 \times 3} & {\color{green}{ g_{\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_0}}}} } & >x\uparrow\uparrow\uparrow 4 \\ f_4 & \matrix{\underset{>x\uparrow\uparrow\uparrow 2^x}{\color{red} {m_{\omega \times 3}}}} & H_{\omega ^4} & {\color{green} {g_{\zeta_0}} } & >x\uparrow\uparrow\uparrow (x+1)\\ f_4(f_0) & {\color{red} {m_{\omega \times 3}}} & H_{\omega ^4+1} & {\color{green} {g_{\varepsilon_{\zeta_0+1}} }} & >x\uparrow\uparrow\uparrow (x+2) \\ f_4(f_1) & {\color{red} {m_{\omega \times 3}}} & H_{\omega ^4+\omega } & {\color{green}{ g_{\zeta_1}} } & >x\uparrow\uparrow\uparrow 2x \\ f_4(f_2) & {\color{green} {m_{\omega \times 3}}} & H_{\omega ^4+\omega^2 } & {\color{green} {g_{\zeta_\omega }\sim g_{\zeta_{\omega^n} } }} & >x\uparrow\uparrow\uparrow (x\cdot 2^x) \\ f_4(f_3) & {\color{green}{ m_{\omega \times 3}}} & H_{\omega ^4+\omega^3 } & {\color{green} {g_{\zeta_{\varepsilon _0}} } } & >x\uparrow\uparrow\uparrow x\uparrow\uparrow x \\ f_4(f_4) & {\color{red} {m_{\omega \times 3+1}}} & H_{\omega ^4\times 2 } & {\color{green}{ g_{\zeta_{\zeta _0} } }} & >x\uparrow\uparrow\uparrow x\uparrow\uparrow\uparrow x \\ f_5 & {\color{red} {m_{\omega \times 4}}} & H_{\omega ^5 } & {\color{green} {g_{\eta _0} } } & >x\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow x & G(1)=3\uparrow^4 3\\ f_5(f_4) & {\color{green} {m_{\omega \times 4}}} & H_{\omega ^5 } & {\color{green} {g_{\eta_{\zeta _0}} } } & >x\uparrow^4 x\uparrow^3 x\\ f_5(f_5) & {\color{red}{ m_{\omega \times 4+1}}} & H_{\omega ^5\times 2 } & {\color{green} {g_{\eta_{\eta _0}}} } & >x\uparrow^4 x\uparrow^4 x\\ f_6 & {\color{red}{ m_{\omega \times 5}}} & H_{\omega ^6 } & {\color{green} {g_{\varphi(4,0) }} } & >x\uparrow^5 x\\ f_7 & {\color{red} {m_{\omega \times 6}}} & H_{\omega ^7 } & {\color{green} {g_{\varphi(5,0) }} } & >x\uparrow^6 x\\ \matrix{\underset{n>2,n\in \mathbb{N} }{f_n}} & {\color{red} {m_{\omega \times (n-1)}}} & H_{\omega ^n } & {\color{green}{ g_{\varphi(n-2,0) }} } & >x\uparrow^{n-1} x\\ f_\omega & \matrix{\underset{>x\uparrow^x x}{\color{red}{ m_{\omega^2}}}} & H_{\omega ^\omega } & \matrix{\underset{>x\uparrow^x x}{\color{red} {g_{\varphi(\omega ,0) }}} } & >x\uparrow^{x-1} x\\ \end{array} \)</nowiki>

得益于基本列，SGH 终于红了一次。但他的 <math>\varphi</math> 要开始猛进了。

\( \begin{array} { c | c | c } \rm FGH1 &\rm FGH2 & \rm MGH & \rm HH & \rm SGH & \rm EXP & -\\ \hline f_x &f_\omega & {\color{red}{ m_{\omega^2}}} & H_{\omega ^\omega } & {\color{red} {g_{\varphi(\omega ,0) }} } & >x\uparrow^{x-1} x\\ f_x(f_x)&f_x(f_\omega) & {\color{red}{ m_{\omega^2}}} & H_{\omega ^\omega } & {\color{red} {g_{\varphi(\omega ,0) }} } & >x\uparrow^{x-1} x\uparrow^{x-1} x\\ f_{x+1}(x+1)&f_\omega(f_0) & {\color{red}{ m_{\omega^2}}} & H_{\omega ^\omega +1 } & {\color{red} {g_{\varphi(\omega ,0) }} } & >x\uparrow^{x} x\\ f_{x+2}(x+2)&f_\omega(f_0(f_0)) & {\color{green}{ m_{\omega^2}}} & H_{\omega ^\omega +2 } & {\color{green} {g_{\varphi(\omega ,0) }} } & >x\uparrow^{x+1} x\\ f_{x+2}(f_{x+2})& & {\color{green}{ m_{\omega^2}}} & {\color{green}{H_{\omega ^\omega +2 }}} & {\color{green} {g_{\varphi(\omega ,\varphi(\omega ,0)) }} } & >x\uparrow^{x+1} x\uparrow^{x+1} x\\ f_{x+3}(x+3)&f_\omega(f_0^3) & {\color{green}{ m_{\omega^2}}} & H_{\omega ^\omega +3 } & {\color{green} {g_{\varphi(\omega+1 ,0) }} } & >x\uparrow^{x+2} x\\ f_{2x}(2x) &f_\omega(f_1) & \matrix{\underset{>x\uparrow^{x\uparrow^{x} x} x}{\color{red}{ m_{\omega^2+1}}}} & H_{\omega ^\omega +\omega } & {\color{red} {g_{\varphi(\omega \times 2 ,0) }} } & >x\uparrow^{2x-1} x\\ f_{2x+2}(2x+2)&f_\omega(f_1(f_0)) & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega +\omega +1 } & {\color{green} {g_{\varphi(\omega \times 2 ,0) }} } & >x\uparrow^{2x +1} x\\ f_{2x+4}(2x+4)&f_\omega(f_1(f_0(f_0))) & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega +\omega +2 } & {\color{green} {g_{\varphi(\omega \times 2 +2,0) }} } & >x\uparrow^{2x +3} x\\ f_{4x}(4x)&f_\omega(f_1(f_1)) & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega +\omega\times 2 } & {\color{red} {g_{\varphi(\omega \times 4 ,0) }} } & >x\uparrow^{4x -1} x\\ f_{f_2}(f_2)&f_\omega(f_2) & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega +\omega^2 } & {\color{green} {g_{\varphi(\omega ^2 ,0) }\sim g_{\varphi(\omega ^n ,0) }} } & >x\uparrow^{2^x} x\\ f_{f_3}(f_3)&f_\omega(f_3) & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega +\omega^3 } & {\color{green} {g_{\varphi(\varepsilon _0 ,0) }} } & >x\uparrow^{x\uparrow\uparrow x} x\\ f_{f_4}(f_4)&f_\omega(f_4) & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega +\omega^4 } & {\color{green} {g_{\varphi(\zeta _0 ,0) }} } & >x\uparrow^{x\uparrow\uparrow\uparrow x} x\\ f_{f_x}(f_x)&f_\omega(f_\omega ) & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega \times 2 } & {\color{red} {g_{\varphi(\varphi(\omega ,0) ,0) }} } & >x\uparrow^{x\uparrow^{x-1} x} x & G(2)\\ f_<nowiki>{{f_{f_x}(f_x)}}</nowiki>(f_{f_x}(f_x)) &f_\omega(f_\omega(f_\omega ) ) & {\color{green}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega \times 3 } & {\color{red} {g_{\varphi(\varphi(\varphi(\omega ,0) ,0) ,0) }} } & >x\uparrow^{x\uparrow^{x\uparrow^{x-1} x} x} x& G(3)\\ &f_{\omega+1} & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} } & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,0) }} } & >x\to x\to x\to 2 & \color{red}{G(x)}\\ \end{array} \)

对于 <math>f_{\omega +1}</math> 后的增长率，建议直接使用 FGH 分析。

<nowiki>\( \begin{array} { c | c | c } \rm FGH1 &\rm FGH2 & \rm MGH & \rm HH & \rm SGH & -\\ \hline &f_{\omega+1} & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} } & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,0) }=g_{\psi (\Omega ^\Omega ) }} } & \color{red}{G(x)}\\ f_{x+2}(f_{\omega+1})& & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & {\color{green} {H_{\omega ^{\omega+1}}} } & {\color{green} {g_{\varphi(\omega ,\varphi(1,0,0)+1) }} } & \color{red}{G(x)}\\ f_{f_{x+2}}(f_{\omega+1})& & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & {\color{green} {H_{\omega ^{\omega+1}}} } & {\color{green} {g_{\varphi(\varphi(\omega ,0) ,\varphi(1,0,0)+1) }} } & \color{red}{G(x)}\\ f_{\omega }(f_{\omega+1})=f_{\omega }^{x+1}(x+1)&f_{\omega+1}(f_0) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} +1} & {\color{green} {g_{\varphi(\varphi(1,0,0),1) }} }& \color{green}{G(x)}\\ f_{\omega }^{x+2}(x+2)&f_{\omega+1}(f_0(f_0)) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} +2} & {\color{green} {g_{\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),1),1) }} }& \color{green}{G(x+1)}\\ f_{\omega }^{2x}(2x)&f_{\omega+1}(f_1) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} +\omega} & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,1) }=g_{\psi (\Omega ^\Omega \times 2) }} }& \color{green}{G(2x-1)}\\ f_{\omega }^{x\cdot 2^x}(x\cdot 2^x)&f_{\omega+1}(f_2) & {\color{green}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} +\omega^2} & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,\omega^2 )\sim \varphi(1,0,\omega^n )}} }& \\ f_{\omega }^{f_{\omega }}(f_{\omega })&f_{\omega+1}(f_\omega ) & {\color{green}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} +\omega^\omega} & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,\varphi(\omega ,0)) }} }& \\ f_{\omega }^{f_{\omega+1 }}(f_{\omega +1})&f_{\omega+1}(f_{\omega +1}) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega +1 }}} & H_{\omega ^{\omega+1} \times 2} & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,\varphi(1,0 ,0)) }} }& \color{green}{G(G(x-1))}\\ &f_{\omega+1}^3 & {\color{green}{ m_{\omega^2+\omega +1 }}} & H_{\omega ^{\omega+1} \times 3} & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,\varphi(1,0 ,\varphi(1,0 ,0))) }} }& \color{green}{G(G(G(x-1)))}\\ &f_{\omega+2} & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega \times 2 }}} & H_{\omega ^{\omega+2} } & {\color{green} {g_{\varphi(1,1,0) }=g_{\psi (\Omega ^{\Omega+1} ) }} }&\\ f_{\omega}(f_{\omega+2})& & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega \times 2 }}} & {\color{green}{H_{\omega ^{\omega+2} }}} & {\color{green} {g_{\varphi(\varphi(1,1,0),1) }} }&\\ f_{\omega +1}(f_{\omega+2})=f_{\omega+1 }^{x+1}(x+1)&f_{\omega+2}(f_0) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega \times 2 }}} & {H_{\omega ^{\omega+2}+1 }} & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,\varphi(1,1,0)+1) }} }&\\ f_{\omega+1}^{2x}(2x)&f_{\omega+2}(f_1) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega \times 2 }}} & H_{\omega ^{\omega+2}+\omega } & {\color{green} {g_{\varphi(1,1,1) }} }&\\ f_{\omega }^{f_{\omega+2 }}(f_{\omega +2})&f_{\omega+2}(f_{\omega +2}) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega\times 2 +1 }}} & H_{\omega ^{\omega+2} \times 2} & {\color{green} {g_{\varphi(1,1,\varphi(1,1 ,0)) }} }& \\ &f_{\omega+3} & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega \times 3 }}} & H_{\omega ^{\omega+3} } & {\color{green} {g_{\varphi(1,2,0) }=g_{\psi (\Omega ^{\Omega+2} ) } }}&\\ &f_{\omega+4} & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega \times 4 }}} & H_{\omega ^{\omega+4} } & {\color{green} {g_{\varphi(1,3,0) }} }&\\ &f_{\omega\times 2} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2} } & {\color{red} {g_{\varphi(1,\omega ,0) }=g_{\psi (\Omega ^{\Omega+\omega })} } }&\\ \end{array} \)</nowiki>

<nowiki>\( \begin{array} { c | c | c } \rm FGH & \rm MGH & \rm HH & \rm SGH \\ \hline f_{\omega\times 2} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2} } & {\color{red} {g_{\varphi(1,\omega ,0) }}}\\ f_{\omega+2x+1}(f_{\omega\times 2}) & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 }}} & {\color{green} {H_{\omega ^{\omega\times 2} }}} & {\color{green} {g_{\varphi(1,\omega\times 2 ,0) }}}\\ f_{\omega\times 2}(f_{\omega\times 2}) & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 +1}}} & H_{\omega ^{\omega\times 2} \times 2} & {\color{red} {g_{\varphi(1,\varphi(1,\omega ,0) ,0) }}}\\ f_{\omega\times 2+1} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 +\omega }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2 +1} } & {\color{green} {g_{\varphi(2,0 ,0)}=g_{\psi (\Omega ^{\Omega\times 2})}}}\\ f_{\omega\times 2+1}(f_1) & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 +\omega }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2 +1} +\omega } & {\color{green} {g_{\varphi(2,0 ,1) }}}\\ f_{\omega\times 2+1}(f_{\omega \times 2}) & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 +\omega +1 }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2 +1} +\omega^{\omega\times 2 } } & {\color{green} {g_{\varphi(2,0 ,\varphi(1,\omega ,0)) }}}\\ f_{\omega\times 2+1}(f_{\omega \times 2+1}) & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 +\omega +1 }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2 +1} \times 2} & {\color{green} {g_{\varphi(2,0 ,\varphi(2,0,0)) }}}\\ f_{\omega\times 2+2} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 +\omega\times 2 }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2 +2} } & {\color{green} {g_{\varphi(2,1 ,0)}}}\\ f_{\omega\times 2+3} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 +\omega\times 3 }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2+3} } & {\color{green} {g_{\varphi(2,2,0)}}}\\ f_{\omega\times 3} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 3 }}} & H_{\omega ^{\omega\times 3} } & {\color{red} {g_{\varphi(2,\omega,0)}}}\\ f_{\omega\times 3+1} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 3 +\omega }}} & H_{\omega ^{\omega\times 3+1}} & {\color{green} {g_{\varphi(3,0,0)}}}\\ f_{\omega\times 4} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 4 }}} & H_{\omega ^{\omega\times 4} } & {\color{red} {g_{\varphi(3,\omega,0)}}}\\ f_{\omega^2} & {\color{red}{ m_{\omega^3 }}} & H_{\omega ^{\omega^2} } & {\color{red} {g_{\varphi(\omega,0,0)}}}\\ f_{\omega^2}(f_{\omega^2}) & {\color{red}{ m_{\omega^3 \times 2}}} & H_{\omega ^{\omega^2}\times 2 } & {\color{red} {g_{\varphi(\varphi(\omega,0,0),0,0)}}}\\ f_{\omega^2+1} & {\color{red}{ m_{\omega^3 +\omega }}} & H_{\omega ^{\omega^2+1} } & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,0,0)}=g_{\psi (\Omega ^{\Omega^2})}}}\\ f_{\omega^2+\omega} & {\color{red}{ m_{\omega^3 +\omega^2 }}} & H_{\omega ^{\omega^2+\omega }} & {\color{red} {g_{\varphi(1,0,\omega,0)}}}\\ f_{\omega^2+\omega +1} & {\color{red}{ m_{\omega^3 +\omega^2 +\omega }}} & H_{\omega ^{\omega^2+\omega+1 }} & {\color{green} {g_{\varphi(1,1,0,0)}}}\\ f_{\omega^2+\omega\times 2 +1} & {\color{red}{ m_{\omega^3 +\omega^2\times 2 +\omega }}} & H_{\omega ^{\omega^2+\omega\times 2+1 }} & {\color{green} {g_{\varphi(1,2,0,0)}}}\\ f_{\omega^2\times 2} & {\color{red}{ m_{\omega^3 \times 2 }}} & H_{\omega ^{\omega^2\times 2 }} & {\color{red} {g_{\varphi(1,\omega ,0,0)}}}\\ f_{\omega^2\times 2 +1} & {\color{red}{ m_{\omega^3 \times 2 +\omega }}} & H_{\omega ^{\omega^2\times 2 +1}} & {\color{green} {g_{\varphi(2,0,0,0)}}}\\ f_{\omega^2\times 3 +1} & {\color{red}{ m_{\omega^3 \times 3 +\omega }}} & H_{\omega ^{\omega^2\times 3 +1}} & {\color{green} {g_{\varphi(3,0,0,0)}}}\\ f_{\omega^3} & {\color{red}{ m_{\omega^4 }}} & H_{\omega ^{\omega^3}} & {\color{red} {g_{\varphi(\omega,0,0,0)}=g_{\psi (\Omega ^{\Omega^2\times \omega})}}}\\ f_{\omega^3+1} & {\color{red}{ m_{\omega^4+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega^3+1}} & {\color{green} {g_{\varphi(1@4)}=g_{\psi (\Omega ^{\Omega^3})}}}\\ f_{\omega^4+1} & {\color{red}{ m_{\omega^5+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega^4+1}} & {\color{green} {g_{\varphi(1@5)}=g_{\psi (\Omega ^{\Omega^4})}}}\\ f_{\omega^\omega} & {\color{green}{ m_{\omega^\omega }}} & H_{\omega ^{\omega^\omega }} & {\color{green} {g_{\varphi(1@\omega)}}}={\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\omega})}}}\\ \end{array} \)</nowiki>

同样是由于基本列，MGH 与 FGH 在 <math>\omega^\omega</math> 处 Catching 但略小于 FGH（注意 Catching 并不是相等），此后每遇到 <math>\omega^\omega</math> 的倍数二者都会 Catching 一次。

<nowiki>\( \begin{array} { c | c | c } \rm FGH & \rm HH & \rm SGH \\ \hline f_{\omega^\omega} & H_{\omega ^{\omega^\omega }} & {\color{green} {g_{\varphi(1@\omega)}}}={\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\omega})}}}\\ f_{\omega^\omega}(f_0) & H_{\omega ^{\omega^\omega }+1} & {\color{green} {g_{\varphi(1@(\omega+1))}}}\\ f_{\omega^\omega}(f_1) & H_{\omega ^{\omega^\omega }+\omega } & {\color{green} {g_{\varphi(1@(\omega\times 2))}}}\\ f_{\omega^\omega}(f_{\omega^\omega}) & H_{\omega ^{\omega^\omega }\times 2 } & {\color{green} {g_{\varphi(1@\varphi(1@\omega))}}}\\ f_{\omega^\omega+1} & H_{\omega ^{\omega^\omega +1}} & {\color{green} {g_{\varphi(1@(1,0))}= {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega})}}}}\\ f_{\omega^\omega+\omega } & H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega }} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\omega })}}}\\ f_{\omega^\omega+\omega +1 } & H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega })}}}\\ f_{\omega^\omega+\omega\times 2 +1 } & H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega\times 2 +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega\times 2 })}}}\\ f_{\omega^\omega+\omega^2 } & H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega^ 2 }} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega\times \omega })}}}\\ f_{\omega^\omega+\omega^2 +1 } & H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega^ 2 +1 }} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega^2 })}}}\\ f_{\omega^\omega+\omega^3 +1 } & H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega^ 3 +1 }} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega^3 })}}}\\ f_{\omega^\omega\times 2 } & H_{\omega ^{\omega^\omega \times 2 }} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega^\omega })}}}\\ f_{\omega^\omega\times 2 +1} & H_{\omega ^{\omega^\omega \times 2 +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega\times 2 })}}}\\ f_{\omega^\omega\times 3 +1} & H_{\omega ^{\omega^\omega \times 3 +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega\times 3})}}}\\ f_{\omega^{\omega+1}} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +1}}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega\times \omega })}}}\\ f_{\omega^{\omega+1}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +1}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+1} })}}}\\ f_{\omega^{\omega+1}+\omega +1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +1}+\omega +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+1}+\Omega })}}}\\ f_{\omega^{\omega+1}\times 2+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +1} \times 2} } & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+1}\times 2 })}}}\\ f_{\omega^{\omega+2}} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +2}}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+1}\times \omega })}}}\\ f_{\omega^{\omega+2}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +2}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+2} })}}}\\ f_{\omega^{\omega+3}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +3}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+3} })}}}\\ f_{\omega^{\omega\times 2}} & H_{\omega ^{\omega^{\omega \times 2}}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+\omega } })}}}\\ f_{\omega^{\omega\times 2}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega \times 2}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega\times 2 } })}}}\\ f_{\omega^{\omega\times 3}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega \times 3}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega\times 3 } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ 2}} & H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ 2}}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega\times \omega } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ 2}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ 2}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^2 } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ 3}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ 3}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^3 } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ \omega }} & H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ \omega }}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^\omega } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ \omega }+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ \omega }+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^\Omega } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^{\omega^ \omega } }+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega ^{\omega^ \omega } }+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^{\Omega^ \Omega } } })}}}\\ f_{\psi (0)=\varepsilon_0} & {\color{green}{H_{\varepsilon _0}}}/H_{\varepsilon _0+1} & {\color{green} {g_{\psi (\psi_1(0))}}}\\ \end{array} \)</nowiki>

HH 与 FGH 最终在 <math>\varepsilon_0</math> 处 Catching 了。此后的每个<math>\varepsilon</math>点二者都会再次 Catching。

关于SGH 与 FGH 的更详细的对照分析以及它们的[[Catching|catching]]点，请移步[[SGH与FGH对照]]

=== 警告 ===
''本节内容来自 Googology Wiki''。''<ref>Googology Wiki (n.d.). Fast-growing hierarchy. ''(EB/OL), Googology Wiki''. Available at: https://googology.fandom.com/wiki/Fast-growing_hierarchy</ref>''<ref>Googology Wiki (n.d.). Slow-growing hierarchy. ''(EB/OL), Googology Wiki''. Available at: https://googology.fandom.com/wiki/Slow-growing_hierarchy</ref><ref>Googology Wiki (n.d.). Hardy hierarchy. ''(EB/OL), Googology Wiki''. Available at: https://googology.fandom.com/wiki/Hardy_hierarchy</ref>

读者需要非常谨慎，因为个人网站、视频和用户博客上存在许多错误的“入门介绍”，尽管这些内容不幸受到初学者的青睐。由于序数、基本列等数学概念非常抽象且难以精确处理，人们往往倾向于给出直观描述——这些描述对初学者来说比精确解释更简单、更“酷”。然而，这类“入门介绍”经常包含严重错误，因为作者本身也是通过其他直观描述学习的，而非精确的定义——重点在于，要理解快速增长层级，精确的定义是不可或缺的。精确描述看起来复杂的原因并非仅仅是表述不佳或冗余，而是因为这些概念本身确实非常困难，尽管这些错误的“入门介绍”有时会将它们解释为简单的概念。

另外要注意，关于快速增长层级中函数的[[CKO#可计算函数|可计算性]]，存在许多错误描述。虽然 gggists 有时会声称某个函数是可计算的，因为它是通过快速增长层级定义的，但这是典型的错误。通过包含无限序数的方法(如快速增长层级)定义的函数并不一定是可计算的。为了确保通过快速增长层级定义的函数的可计算性，我们需要构造一个明确的算法来计算它，常见例子是由序数记号给出一个基本列的算法。即使快速增长层级中像 <math>f_\omega</math> 这样的较小函数，若没有通过明确算法定义，也可能是不可计算的（比如设想<math>f_\omega(n)=f_{BB(n)}(n)</math>，其中<math>BB(n)</math>是[[忙碌海狸函数]]）。因为算法只能处理可数集合中具有固定枚举的元素，而无法直接处理没有固定枚举的集合中的无限序数。为了解决可计算性问题，我们通常使用序数记号。

关于快速增长层级（及其同类，如哈代层级和慢速增长层级）最重要的事实之一是：给定上界以下的极限序数的基本列系统并非唯一，经典增长层级严重依赖于这种系统的选择；除非在上下文中明确固定了基本列系统的具体选择，否则它是定义不明确的。初学者必须非常注意这个问题，因为当 gggist 谈论“[[Catching 函数|Catching 的序数]]”“视为增长率的序数”“快速增长层级中的[[证明论序数]]”等内容时，若不理解基本列系统选择的依赖性，这种定义不明确的情况会频繁出现。

== 参考资料 ==
<references />
[[分类:入门]]
[[分类:分析]]
[[分类:重要概念]]

序数

2026-02-24T12:06:26Z

Tabelog：

序数

2026-02-22T14:30:23Z

Tabelog：

'''序数'''是自然数的推广。

=== 直观理解 ===
[[文件:Omega4.jpg|缩略图|仅供参考]]
顾名思义，序数是用来排序的号码。最小的序数是 0，因而我们从 0 开始排序。这只是一个很简单的排序，还没有超过自然数的范畴。

现在考虑对这个集合 <math>\{ 1/2,3/4,7/8,\ldots \} \cup \{1\}</math>，按照＜来排序：
{| class="wikitable"
|+
!号码
!元素
|-
|1/2
|0
|-
|3/4
|1
|-
|7/8
|2
|-
|……
|……
|-
|1
|？
|}
注意到当我们为 1/2,3/4,7/8,…… 这些元素排序时，已经用尽了全部的自然数。但我们又要为 1 编号。1 大于前面的所有元素，因此，1 的号码需要是一个大于全体自然数的东西。它依然是序数（因为我们定义序数就是为了处理这种情况），我们给它命名为 ω。

想象一下我们在此基础上又要给 <math>\{3/2,7/4,15/8,\ldots\}\cup\{2\}</math> 编号。因此我们还需要越来越多的大于ω的序数。随着“编号游戏”的对象愈发复杂，我们所需要的序数也愈发庞大，复杂，单纯靠直观理解已经难以为继，因此我们需要看以下的内容。

=== 数学定义 ===
序数是在∈序上[[良序]]的传递集（传递集即满足每个元素都是自身的子集）。如：

<math>0=\varnothing=\{\}</math>

<math>1=\{ 0\}</math>

<math>2=\{0,1\}</math>

<math>3=\{0,1,2\}</math>

<math>1048576=\{0,1,2,3,...,1048575\}</math>

==== 序数的后继 ====
序数 <math>\alpha</math> 的'''后继'''被定义为 <math>\alpha+1=\alpha\cup \{\alpha\}</math>。它也是所有'''序数运算'''的基础。

如 <math>2+1=2\cup\{2\}=\{0,1\}\cup\{2\}=\{0,1,2\}=3</math>，<math>n+1=n\cup\{n\}=\{0,1,2,3,...,n\}</math>。

==== 有限序数与超限序数 ====
所有自然数都是'''<span id="有限序数">有限序数</span>'''。

大于任意有限序数的序数称作'''<span id="超限序数">超限序数</span>'''（或无限序数）。

==== 极限序数 ====
不是 0 且'''不是任何序数的后继'''的序数被称为'''极限序数'''。（0 有时也被视为极限序数）

即序数 <math>\lambda</math> 是极限序数要满足“不存在某个序数 <math>\alpha</math> 使得 <math>\lambda=\alpha +1</math>”。

如果 <math>\lambda</math> 是极限序数，那么 <math>\lambda=\sup\{\alpha|\alpha < \lambda\}</math>。

<math>\omega</math> 被定义为全体自然数的集合，<math>\omega=\mathbb{N}=\{0,1,2,3,...\}</math> 既是第一个超限序数，也是第一个极限序数。

==== 基本列 ====
如果序数 <math>\alpha</math> 是一个极限序数，则它的基本列 <math>\langle \alpha[n] \rangle </math> 是一个递增的序数列，并且满足其上确界为 <math>\alpha</math>。即 <math>\alpha={\rm sup}\{\alpha[n]|n\in \mathbb{N}\}={\rm sup}\{\alpha[0],\alpha[1],\alpha[2],...\}</math>。

注意到一个极限序数具有多种基本列。因此为了方便运用和理解，我们需要一套标准基本列系统来给极限序数一个唯一的基本列。

很遗憾的是，不存在一个通用的基本列系统来为所有序数指定标准基本列。因此，我们只能借助[[序数记号]]来为它极限之下的极限序数指定标准基本列。

==== 递归序数与非递归序数 ====

===== 递归序数 =====
一个序数 <math>\alpha</math> 被称为递归序数，当且仅当存在一个图灵机（或等效的可计算函数，或图灵完备的计算机语言），它能计算出一个良序关系 <math>\prec</math>，使得这个良序关系的序型与 <math>\alpha</math> 同构。

直观来讲，递归序数都是可以“自下而上”得到的序数。

所有递归序数的集合也是一个序数，记为 <math>\omega_1^{\rm CK}</math>（又作 <math>\Omega</math>，[[CKO]]）

<math>\omega_1^{\rm CK}=\{0,1,...,\omega,...,\omega^2,...,\omega^\omega,...,\varepsilon_0,...,\varphi(1,0,0),...,\psi(\Omega_{\omega}),...\}</math>

由于图灵机的总数是可数无穷多的，因此 <math>\Omega</math> 依然是一个可数序数。

===== 非递归序数 =====
不是递归序数的序数被称为非递归序数。

最小的非递归序数就是所有递归序数的集合 <math>\omega_1^{\rm CK}</math>。

==== 可数序数与不可数序数 ====
如果一个序数与有限基数或 <math>\aleph_0</math> 等势，则它是可数序数。如 <math>0,1,2,\omega,\varepsilon_0,\psi(\Omega_{\omega}),Y(1,3),\Omega,I,\psi_{\alpha}(\alpha_{\omega}),\omega_1^L</math> 等等都是可数序数。

不是可数序数的序数是不可数序数，如 <math>\omega_1</math>。

=== 序数的运算 ===

==== 序数加法 ====
<math>\alpha+0=\alpha</math>

<math>\alpha+(\beta+1)=(\alpha+\beta)+1</math>

<math>\alpha+\beta=\bigcup_{\gamma <\beta}(\alpha +\gamma)</math>，如果 <math>\beta</math> 是极限序数。

序数加法不具有交换律，但具有结合律。即

<math>\alpha+\beta\ne\beta+\alpha,(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)</math>

例：<math>1+\omega=\bigcup_{\gamma <\omega}(1 +\gamma)=\{1+0,1+1,1+2,...\}={\rm sup}\{1,2,3,...\}=\omega\ne \omega+1</math>

==== 序数乘法 ====
<math>\alpha\times0=0</math>

<math>\alpha\times(\beta+1)=(\alpha\times\beta)+\alpha</math>

<math>\alpha\times\beta=\bigcup_{\gamma <\beta}(\alpha \times\gamma)</math>，如果 <math>\beta</math> 是极限序数。

序数乘法不具有交换律和右分配律，但具有结合律和左分配律。即

<math>1.\alpha\times\beta\ne\beta\times\alpha,(\alpha\times\beta)\times\gamma=\alpha\times(\beta\times\gamma)</math>

<math>2.(\alpha+\beta)\times\gamma\ne (\alpha\times\gamma)+(\beta\times\gamma), \alpha\times(\beta+\gamma)=(\alpha\times\beta)+(\alpha\times\gamma)</math>

例：

<math>\begin{align} (\omega+1)\times\omega&=\bigcup_{\gamma <\omega}((\omega+1) \times\gamma)\\&=\{(\omega+1)\times0,(\omega+1)\times1,(\omega+1)\times2,...\}\\&=\{0,\omega+1,\omega+(1+\omega)+1,\omega+(1+\omega)+(1+\omega)+1,...\}\\&={\rm sup}\{ 0,\omega+1,\omega\times2+1,\omega\times3+1,...\}=\omega^2 \\&\ne\omega\times(\omega+1)=\omega^2+\omega \end{align}</math>

'''Q:'''为什么不是<math>\omega^2+1</math>？

A: 我们知道<math>\omega^2+1=\omega^2\cup\{\omega^2\}=\{0,1,2,...,\omega,\omega+1,...,\omega\times2,...,\omega\times3,...,\omega^2\}</math>

而 <math>\bigcup_{\gamma <\omega}(\omega\times\gamma +1)</math> 中显然没有任何一个元素能够达到或是超过 <math>\omega^2</math>，因此它们的上确界也不会超过 <math>\omega^2</math>。

其实也可以换一个方向思考：既然 <math>{\rm sup}\{ \omega,\omega\times2,\omega\times3,...\}=\omega^2</math>

而 <math>{\rm sup}\{ 0,\omega+1,\omega\times2+1,\omega\times3+1,...\}</math> 中从小到大排列的每一项都比前者小，因此也不会超过 <math>\omega^2</math>。

==== 序数的指数运算 ====
<math>\alpha^0=1</math>

<math>\alpha^{\beta+1}=\alpha^\beta\times\alpha</math>

<math>\alpha^\beta=\bigcup_{\gamma <\beta}(\alpha^\gamma)</math>，如果 <math>\beta</math> 是极限序数。

序数的指数不具有对底数乘法的分配律，但指数加法具有对底数的分配律。即

<math>(\alpha\times\beta)^\gamma\ne\alpha^\gamma\times\beta^\gamma,\alpha^{\beta+\gamma}=\alpha^\beta\times\alpha^\gamma</math>

例：

<math>\begin{align} (2\times3)^\omega &=6^\omega=\bigcup_{\gamma <\omega}(6^\gamma)=\{6^0,6^1,6^2,... \}={\rm sup}\{1,6,36,... \}=\omega \\&\ne 2^\omega\times3^\omega=\bigcup_{\gamma <\omega}(2^\gamma)\times\bigcup_{\gamma <\omega}(3^\gamma)=\omega\times\omega=\omega^2 \end{align}</math>

<math>\varepsilon_0</math> 是第一个满足 <math>\omega^\alpha=\alpha</math> 的不动点。

<math>\omega^{\varepsilon_0}=\bigcup_{\gamma <\varepsilon_0}(\omega^\gamma)={\rm sup}\{1,\omega,\omega^2,...,\omega^\omega,...,\omega^{\omega^\omega},...\}=\varepsilon_0</math>

<math>\varepsilon_0\times\omega=\omega^{\varepsilon_0}\times\omega=\omega^{\varepsilon_0+1}</math>

=== 形式化定义 ===
'''序数和序数类'''

一个集合 <math>\alpha</math> 称为序数，当且仅当它满足以下条件：

* 传递性： <math>\alpha</math> 的每个元素都是其子集（<math>\forall\beta\in\alpha,\beta\subseteq\alpha</math>）
* 全序性：<math>\alpha</math> 上的关系 <math>\in</math> 是全序关系（<math>\forall\beta,\gamma\in\alpha,(\beta\in\gamma)\lor(\beta=\gamma)\lor(\beta\ni\gamma)</math>）
* 良基性：每个非空子集 <math>S\subseteq\alpha</math> 有最小元（<math>\exists\beta\in S(\forall\gamma\in S,\beta\notin\gamma)</math>）

等价地，序数可定义为良序集的序型，即与某个良序集同构的最小序数。

序数类是所有序数的总体，是一个真类，即：<math>\bold{On}\equiv\{\alpha|\alpha\text{ 是序数}\}</math>

其中，序数的成员关系满足以下性质：

* 三歧性：<math>\forall\alpha,\beta\in\bold{On},(\alpha\in\beta)\lor(\alpha=\beta)\lor(\alpha\ni\beta)</math>
* 传递性：<math>((\alpha\in\bold{On})\land(\beta\in\alpha))\rightarrow(\beta\in\bold{On})</math>
* 良序性：<math>\bold{On}</math> 上的关系 <math>\in</math> 是良序的，即每个非空子类有最小元

'''后继序数和极限序数'''

一个序数 <math>\alpha</math> 称为后继序数，当且仅当存在序数 <math>\beta</math> 使得 <math>\alpha=\beta+1</math>（<math>\alpha\text{ 是后继序数}\Longleftrightarrow\exists\beta\in\bold{On}(\alpha=\beta+1)</math>）

一个序数 <math>\alpha</math> 称为极限序数，当且仅当不存在序数 <math>\beta</math> 使得 <math>\alpha=\beta+1</math>（<math>\alpha\text{ 是极限序数}\Longleftrightarrow\neg\exists\beta\in\bold{On}(\alpha=\beta+1)</math>）

'''递归函数'''

一个部分函数 <math>f:\omega\rightarrow\omega</math> 称为递归函数，当且仅当存在图灵机 <math>M</math> 满足：对任意 <math>n\in\omega</math>，

* 若 <math>n\in\text{dom}(f)</math>，则 <math>M</math> 在输入 <math>n</math> 时会在有限步内停机，并输出 <math>f(n)</math>；
* 若 <math>n\notin\text{dom}(f)</math>，则 <math>M</math> 在输入 <math>n</math> 时永不停机。

定义所有递归函数的类为 <math>\bold{Rec}_\text{f}</math>。

'''超限归纳'''

设 <math>\varphi(x)</math> 是一个性质。如果对所有序数 <math>\alpha</math> ，以下都成立：

* 如果对所有的 <math>\beta<\alpha</math> 都有 <math>\varphi(\beta)</math> 成立，那么 <math>\varphi(\alpha)</math> 成立

那么 <math>\varphi(\alpha)</math> 对所有序数 <math>\alpha</math> 成立。

等价地，设 <math>\varphi(x)</math> 是一个性质。如果以下都成立：

* <math>\varphi(0)</math> 成立
* 对于后继序数 <math>\alpha+1</math> ，若 <math>\varphi(\alpha)</math> 成立，则 <math>\varphi(\alpha+1)</math> 成立
* 对于极限序数 <math>\alpha</math> ，若对于所有 <math>\beta<\alpha</math> 有 <math>\varphi(\beta)</math> 成立，则 <math>\varphi(\alpha)</math> 成立

那么 <math>\varphi(\alpha)</math> 对所有序数 <math>\alpha</math> 成立。

'''超限递归'''

设 <math>\beta</math> 是一个序数，<math>f:\omega\rightarrow\omega</math> 是一个递归函数。通过超限递归定义一个函数 <math>F:\bold{On}\rightarrow\bold{On}</math>，满足：

* 对后继序数 <math>\alpha=\gamma+1</math>，定义 <math>F(\alpha)=f(\langle\gamma,F(\gamma)\rangle)</math>；
* 对极限序数 <math>\alpha</math>，定义 <math>F(\alpha)=\sup\{F(\gamma)|\gamma<\alpha\}</math>。

定义 <math>F_f</math> 是由 <math>f</math> 定义的超限递归函数。

称 <math>\alpha</math> 是 <math>f</math> 相对于 <math>\beta</math> 的序数，当且仅当存在递归函数 <math>f\in\bold{Rec}_\text{f}</math>，使得 <math>\alpha=F(\beta)</math>（即 <math>\alpha</math> 是通过 <math>f</math> 在 <math>b</math> 处的超限递归生成的序数），其中 <math>F</math> 是通过 <math>f</math> 定义的超限递归函数。

称 <math>\alpha</math> 是递归在 <math>\beta</math> 上的序数，当且仅当存在递归函数 <math>f\in\bold{Rec}_\text{f}</math> 和序数 <math>\gamma<\beta</math>，使得 <math>\alpha=F_f(\gamma)</math>。

'''递归序数和非递归序数'''

一个序数 <math>\alpha</math> 称为递归序数，当且仅当存在递归函数 <math>f\in\bold{Rec}_\text{f}</math> 和序数 <math>\beta</math>，使得 <math>\alpha</math> 是 <math>f</math> 相对于 <math>\beta</math> 的序数（<math>\alpha\text{ 是递归序数}\Longleftrightarrow\exists f\in\bold{Rec}_\text{f}\ \exists\beta\in\bold{On}(\alpha=F_f(\beta))</math>）

递归序数类是所有递归序数的总体：<math>\bold{Rec}\equiv\{\alpha|\alpha\text{ 是递归序数}\}</math>

一个序数 <math>\alpha</math> 称为非递归序数，当且仅当它不是递归序数，即 <math>\alpha\text{ 是非递归序数}\Longleftrightarrow\alpha\in\bold{On}\land\alpha\notin\bold{Rec}</math>（<math>\alpha\text{ 是非递归序数}\Longleftrightarrow\neg\exists f\in\bold{Rec}_\text{f}\ \exists\beta\in\bold{On}(\alpha=F_f(\beta))</math>）

'''容许序数'''

一个序数 <math>\alpha</math> 称为容许序数，当且仅当构造宇宙 <math>L_\alpha</math> 满足 Kripke-Platek 集合论的公理。等价地，<math>\alpha</math> 是容许的当且仅当对任何递归在 <math>\alpha</math> 上的函数 <math>F:L_\alpha\rightarrow L_\alpha</math>，其定义域和值域都属于 <math>L_\alpha</math>（即 <math>\alpha</math> 对递归封闭）。

<math>\alpha\text{ 是容许序数}\Longleftrightarrow L_\alpha\vDash\bold{KP}</math>

'''Church-Kleene 序数（[[CKO]]）'''

<math>\omega_\alpha^\text{CK}</math> 序数通过超限递归定义：

* <math>\omega_0^\text{CK}=\omega</math>
* 对后继序数 <math>\alpha=\beta+1</math>，<math>\omega_\alpha^\text{CK}=\sup\{\alpha\in\bold{On}|\alpha\text{ 是递归在 }\omega_\beta^\text{CK}\text{ 上的序数}\}</math>
* 对极限序数 <math>\alpha</math>，<math>\omega_\alpha^\text{CK}=\sup\{\omega_\beta^\text{CK}|\beta<\alpha\}</math>

第一个非递归序数 <math>\omega_1^\text{CK}</math> 是所有递归序数的最小上界（即上确界），即：<math>\omega_1^\text{CK}=\sup\{\alpha\in\bold{On}|\alpha\in\bold{Rec}\}</math>，它是可数的最小非递归序数。

'''序数的基本列'''

对极限序数 <math>\lambda</math>，其基本列定义为递增序列 <math>\langle\lambda[\xi]\rangle_{\xi<\mu}</math>（<math>\mu</math> 为序数），满足： <math>\forall\xi<\mu,\lambda[\xi]<\lambda</math> 且 <math>\sup\{\lambda[\xi]|\xi<\mu\}=\lambda</math>。

若 <math>\lambda</math> 是正则序数（<math>\text{cf}(\lambda)=\lambda</math>），则 <math>\mu=\lambda</math>；若 <math>\lambda</math> 是奇异序数（<math>\text{cf}(\lambda)<\lambda</math>），则 <math>\mu=\text{cf}(\lambda)</math>。

[[分类:入门]]
[[分类:集合论相关]]
[[分类:重要概念]]

FTO

2026-02-22T02:10:12Z

Tabelog：

'''FTO（First Transfinite Ordinal，第一个超限序数，即'''<math>\omega</math>'''）'''，是一个重要的[[序数]]。它被认为是具有“里程碑”意义的一个序数。
{| class="wikitable"
![[序数记号]]
!表达式
|-
|[[Veblen 函数]]
|<math>\varphi(1)</math>
|-
|[[OCF#BOCF|BOCF]]
|<math>\psi(0)</math>
|-
|[[初等序列系统|PrSS]]
|<math>0,1</math>
|-
|[[BMS]]
|<math>\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}</math>
|-
|[[长初等序列|LPrSS]]
|<math>1,2</math>
|-
|[[HPrSS]]
|<math>1,2</math>
|-
|[[0-Y]]
|<math>1,2</math>
|-
|[[Y序列|1-Y]]
|<math>1,2</math>
|-
|[[PSS Hydra]]
|<math>\psi^H_1(1)</math>
|-
|[[weak Veblen 函数]]
|<math>\varphi(1,0)</math>
|-
|[[BHM]]
|<math>\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}</math>
|-
|[[BSM]]
|<math>\begin{pmatrix} 0&1 \end{pmatrix}</math>
|-
|[[NOCF]]
|<math>\psi(\Omega)</math>
|-
|[[Dropping#M 记号|M 记号]]
|<math>\psi(1)</math>
|}

=== 性质 ===
ω 是最小的[[序数#超限序数|超限序数]]，最小的非零[[序数#极限序数|极限序数]]，最小的不满足 <math>1+\alpha=\alpha+1</math> 的序数<math>\alpha</math>。

<math>\rm \omega = |\omega| = \aleph_{0} </math>，详见[[基数]]。

[[证明论序数]]：<math>\rm Q</math>，<math>\rm KP^-</math>

极限在此处的记号：[[高德纳箭头]]，[[阿克曼函数]]，[[斯坦豪斯-莫泽表示法]]，[[下箭号表示法]]，[[Sudan 函数|苏丹函数]]，超运算

[[分类:序数]]

Laver Table

2026-02-22T02:09:25Z

Tabelog：

'''Laver 表'''，是一种无限族的原群，它们产生了一个可能增长极快的函数。它们由理查德·拉弗（Richard Laver）于 1992 年首次定义。<ref>Laver, R. (1992). On the Algebra of Elementary Embeddings of a Rank into Itself. [https://arxiv.org/abs/math/9204204 arXiv:math/9204204] '''[math.LO]'''. </ref>

=== 定义 ===
Laver 表基于以下定理：对于每个<math>n\geq0</math>，在[[序数#有限序数|有限序数]]集 <math>\{1,\cdots,2^n\}</math> 上存在唯一的二元运算 <math>\star_n</math>，<ref>Philippe, B. (2018). Laver tables and combinatorics. ''(EB/OL)''. Available at: https://hal.science/hal-01883830/file/Laver-Tables.pdf</ref>满足：

\begin{eqnarray*}a \star_n 0 & = & 0 \\a \star_n 1 & = & (a+1) \mod 2^n \\a \star_n i & = & (a \star_n (i-1)) \star_n (a \star_n 1) \ (i \neq 0,1)\end{eqnarray*}

Laver 表 <math>A_n</math> 定义为唯一的取值为 <math>a\ \star_n\ b</math> 的 <math>2^n\times2^n</math> 表。Laver 表可以用此<ref>n-nekoyama (n.d.). Laver table - レイバーのテーブル. ''(EB/OL)''. Available at: https://n-nekoyama.github.io/googology/laver_table/</ref>进行计算。

注意这一定理仅适用于 2 的[[高德纳箭头#乘方|幂]]。假如我们考虑的二元运算作用于一般的 <math>\{1,\cdots,a\}</math> 上，其中 <math>a\neq 2^n</math>，则这样的二元运算 <math>\star_n</math> 将不是存在且唯一的。

我们定义函数 <math>a\mapsto1\star_na</math> 的周期为 p(n)。

定义 q(n) 为函数 p(n) 的“伪逆”，即 <math>q(n)=\min\{N|p(N)\geq2^n\}</math>。

==== 强度 ====
p(n) 的前几个值为1, 1, 2, 4, 4, 8, 8, 8, 8, 16, 16, 16, 16, …(OEIS [[oeis:A098820|A098820]])。这是一个增长缓慢的函数。

p 在 [[ZFC公理体系|ZFC]]+存在 rank-into-rank 基数（或 ZFC+I3）公理系统中被证明是发散的。但遗憾的是，后者这一公理过于强大，以至于少数专家对其系统的相容性存疑。由于 p 的发散性尚未通过其他方式证明，这仍是一个未解问题。用 [[googology]] 更熟悉（但是并不严格）的说法，我们目前认为 q(n) 的增长率的上界为 [[证明论序数|PTO(ZFC+I3)]]。

q 是一个快速增长的函数，其全域性当且仅当 p 发散。q(n) 的前几个值为 0, 2, 3, 5, 9。尽管 n≥5 时 q(n) 的存在性尚未被确认，但在上述公理假设下，Randall Dougherty 证明，在[[快速增长层级]]结构的一个稍作修改的版本中，<math>q^n(1)>f_{\omega+1}(\lfloor\log_3n\rfloor-1)</math>，且 <math>q(5) > f_9 (f_8 (f_8(254)))</math>。<ref>Dougherty, R. (1992). Critical points in an algebra of elementary embeddings. [https://arxiv.org/abs/math/9205202 arXiv:math/9205202] '''[math.LO]'''.</ref>Dougherty 对证明更优下界的可能性表示悲观，目前也没有更严格的上界已知。Laver 表是[[序数#递归序数|可计算的]]，因此 q(n)在较小时会被[[忙碌海狸函数]] Σ(n) 超越。

Patrick Dehornoy 提供了一种填充 Laver 表的简单算法。<ref name=":0">Dehornoy, Patrick. [https://web.archive.org/web/20230429003832/https://www.lmno.cnrs.fr/archives/dehornoy/Talks/Dyz.pdf Laver Tables]</ref>然而，每个表格的大小以及 <math>\star</math> 运算所定义的循环群的规模都呈指数级增长，因此这目前是一个NP问题。

q(6) 的预期规模非常大<ref name=":0">Dehornoy, Patrick. [https://web.archive.org/web/20230429003832/https://www.lmno.cnrs.fr/archives/dehornoy/Talks/Dyz.pdf Laver Tables]</ref>，但除了“证明可计算函数全域所需的集合论强度”外，没有给出其他理由或证明。然而，一个可计算函数f并不需要超过所有在已知需要证明该函数全域的集合论中可证明全域的可计算函数。
[[文件:Laver6_new_PNG.png|缩略图|第六个 Laver 表的灰度图]]

==== 解释 ====
对于[[序数#极限序数|极限序数]] <math>\lambda</math>，设 <math>\mathcal{E}_\lambda</math> 为所有[[初等嵌入]] <math>V_\lambda \mapsto V_\lambda</math> 的集合。对 <math>j,k \in \mathcal{E}_\lambda</math>，我们定义运算符 <math>j\cdot k</math>（或记为 <math>jk</math>）如下：

<math>j \cdot k = \bigcup_{\alpha < \lambda} j(k \cap V_\alpha)</math>

此处，<math>k \cap V_\alpha</math> 表示 <math>k</math> 在集合 <math>\{x \in V_\alpha \mid (x,k(x)) \in V_\alpha\}</math> 上的限制。虽然 <math>k</math> 本身不属于 <math>j</math> 的[[ZFC公理体系#定义域|定义域]] <math>V_\lambda</math>，但 <math>k \cap V_\alpha</math> 是它的元素。这一操作可理解为“对逐渐接近 <math>V_\lambda</math> 的 <math>k</math> 应用 <math>j</math>”。该运算符满足性质 <math>j(kl) = (jk)(jl)</math>，此性质被称为左自分布性（left-selfdistributivity）。已知 Laver 表与通过临界点关联到 <math>\mathcal{E}_\lambda</math> 的原群同构，因此与[[大基数公理]]密切相关。

=== 取值 ===

==== Laver 表 ====
以下展示了前 6 个 Laver 表。<ref name=":0" />
<div style="text-wrap: nowrap;">
{| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
|+<math>\star_0</math> 的 Laver 表
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|+<math>\star_1</math> 的 Laver 表
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|+<math>\star_2</math> 的 Laver 表
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|+<math>\star_4</math> 的 Laver 表
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==== q 函数 ====
事实上 <math>p(n)</math> 是一个增长速度非常缓慢的函数。

我们有

* <math>q(0) = 0</math>
* <math>q(1) = 2</math>
* <math>q(2)=3</math>
* <math>q(3)=5</math>
* <math>q(4)=9</math>
* <math>q(5) > f_9 (f_8 (f_8(254)))</math>，其中这里的 [[增长层级#快速增长层级|FGH]] 改版定义为 <math>f_{\alpha+1}(n)=f_\alpha^{n+1}(n)</math>

== 参考资料 ==
{{默认排序:相关问题}}
[[分类:记号]]
<references />
[[分类:集合论相关]]

哥德尔不完备性

2026-02-22T02:01:49Z

Tabelog：创建页面，内容为“以下是 Gödel 关于完备性定理的证明。 ---------- 众所周知，怀特海和罗素构建逻辑和数学的方法是，将某些显而易见的命题置于公理之上，并根据一些精确表述的推理原理，以纯粹形式化的方式（即不再诉诸符号含义）从中推导出逻辑和数学命题。这种思路自然会立即引发一个问题：置于顶端的公理和推理原理体系是否完备，即是否真的足以推导出…”

以下是 Gödel 关于完备性定理的证明。

----------

众所周知，怀特海和罗素构建逻辑和数学的方法是，将某些显而易见的命题置于公理之上，并根据一些精确表述的推理原理，以纯粹形式化的方式（即不再诉诸符号含义）从中推导出逻辑和数学命题。这种思路自然会立即引发一个问题：置于顶端的公理和推理原理体系是否完备，即是否真的足以推导出所有逻辑数学命题？或者，是否可以设想出一些无法在现有体系中推导出的真命题（根据其他原理，这些命题或许是可证明的）。在逻辑命题公式领域，这个问题已得到肯定的解决，即已经证明，所有正确的命题公式实际上都源于《数学原理》中给出的公理。这里，我们将对更广泛的公式进行同样的处理，即“狭义函数演算”的公式，如下所示：

'''定理 I''' 每一个普遍有效的公式都是可证明的。

我们基于以下公理系统：

未定义基本概念：<math>v, \neg, (x)</math>。[由此，<math>\&, \to, \infty, (Ex)</math> 可以用众所周知的方式定义。]

正式公理：

1. <math>X \vee X \to X</math>

2. <math>X \to X \vee Y</math>

3. <math>X \vee Y \to Y \vee X</math>

4. <math>(X \to Y) \to [Z \vee X \to Z \vee Y]</math>

5. <math>(x)F(x) \to F'(y)</math>

6. <math>(x)[X \vee F(x)] \to X \vee (x)F(x)</math>。

推理规则：

1. 推理方案：<math>B</math> 可由 <math>A</math> 和 <math>A \to B</math> 推断出来。
2. 命题变量和函数变量的代换规则。
3. 从 <math>A(x)</math> 可推断 <math>(x)A(x)</math>。
4. 单个变量（自由或有界）可以用任何其他变量替换，只要替换后的变量不与同名变量的定义域重叠即可。

为了便于理解，有必要引入一些缩写符号。

<math>(\mathcal{E}), (Q), (R)</math> 等表示以某种方式构造的前缀，即形式为以下的有限字符序列: <math>(x)(Ey), (y)(x)(Ez)(u)</math> 等。

小写德语字母 <math>\mathfrak{r}, \mathfrak{y}, \mathfrak{u}, \mathfrak{v}</math> 等表示由单个变量组成的 <math>n</math> 元组，即形式为以下的字符序列: <math>xyz, x_2x_1x_2x_3</math> 等，其中同一个变量可以出现多次。符号 <math>(x), (Ex)</math> 等应作相应理解。如果一个变量在 <math>\mathfrak{r}</math> 中出现多次，那么它自然应该被认为在 <math>(\mathfrak{r}), (E\mathfrak{r})</math> 中只出现一次。

此外，我们需要一些辅助定理，这里总结如下。由于有些证明已知，有些证明很容易补充，因此这里就不给出证明了:

1. 对于每个 <math>n</math> 元组 <math>\mathfrak{r}</math>，以下证明是可证的:

(a) <math>(\mathfrak{r})F(\mathfrak{r}) \rightarrow (E\mathfrak{r})F(\mathfrak{r})</math>

(b) <math>(\mathfrak{r})F(\mathfrak{r}) \& (E\mathfrak{r})G(\mathfrak{r}) \rightarrow (E\mathfrak{r})[F(\mathfrak{r}) \& G(\mathfrak{r})]</math>

(c) <math>(\mathfrak{r})\overline{F(\mathfrak{r})} \sim \overline{(E\mathfrak{r})F(\mathfrak{r})}</math>

2. 如果 <math>x</math> 和 <math>\mathfrak{r}'</math> 仅在变量顺序上不同，则可以证明:

<math>(E\mathfrak{r})F(\mathfrak{r}) \rightarrow (E\mathfrak{r}')F(\mathfrak{r})</math>

3. 如果 <math>\mathfrak{r}</math> 由多个不同的变量组成，且位数与 <math>\mathfrak{r}</math> 相同，则可以证明:

<math>(\mathfrak{r})F(\mathfrak{r}) \rightarrow (\mathfrak{r}')F(\mathfrak{r}')</math>

即使 <math>\mathfrak{r}'</math> 包含多个相同的变量。

1. 如果 <math>(p_i)</math> 表示前缀 <math>(x_i)</math> 之一，<math>(Ex_i)</math>；且 <math>(q_i)</math> 是前缀 <math>(y_i), (Ey_i)</math> 之一，则可证:
<math>(p_1)(p_2)\ldots(p_n)F(x_1x_2\ldots x_n) \& (q_1)(q_2)\ldots(q_m)G(y_1y_2\ldots y_m) \sim \sim (P)[F(x_1x_2\ldots x_n) \& G(y_1y_2\ldots y_m)]^\top</math>

对于每个由 <math>(p_i)</math> 和 <math>(q_i)</math> 和 <math>ker</math> 满足条件: 对于 <math>i < k \leq n(p_i)</math> 位于 <math>(p_k)</math> 之前，而对于 <math>i < k \leq m(q_i)</math> 位于 <math>(q_k)</math> 之前。

1. 所有表达式都可以化简为范式，即对于所有表达式 <math>A</math>，都存在一个范式公式 <math>N</math> 使得 <math>A \cap N</math> 可证明。
2. 如果 <math>A \cup B</math> 可证明，则 <math>\mathfrak{F}(A) \cap \mathfrak{F}(B)</math> 也可证明，其中 <math>\mathfrak{F}(A)</math> 表示任何包含 <math>A</math> 作为部分的表达式 (参见 Hilbert-Ackermann, 《论逻辑 III》, §7)。
3. 任何普遍有效的命题公式都是可证明的，即公理 1-4 构成了命题演算的完整公理系统。

现在我们来证明定理 I，首先要注意它也可以表示成以下形式:

'''定理 II''' 任何狭义函数演算公式要么是可证伪的，要么是可满足的 (在可数变量域中)。

定理 I 由定理 II 推出: 设 <math>A</math> 是一个普遍表达式，则 <math>\overline{A}</math> 不可满足，因此可被定理 II 证伪，即 <math>\overline{A}</math>，从而 <math>A</math> 也是可证明的。反之亦然。

我们现在通过以下语句定义一个表达式 <math>K</math> 的类 <math>\mathfrak{R}</math>:

1. <math>K</math> 是一个正规公式。
2. <math>K</math> 不包含自由的个体变量。
3. <math>K</math> 的前缀以一个泛符号开头，以一个 <math>E</math> 符号结尾。

则以下成立：

'''定理 III''' 如果每个 A-表达式都是可证伪的或可满足的，则所有表达式均成立。

证明：设 <math>A</math> 是一个不属于 <math>\mathfrak{A}</math> 的表达式。设它包含自由变量 <math>\mathfrak{r}</math>。显而易见，<math>A</math> 的可证伪性蕴含着 <math>(E\mathfrak{r})A</math> 的可证伪性，反之亦然（根据引理 1e 和结论 3 或公理 5）；根据脚注中的定义，可满足性也同样成立。设 <math>(P)N</math> 为 <math>(E\mathfrak{r})A</math> 的范式，且 <math>(E\mathfrak{r})A \cup (P)N</math> 可证。此外，设 <math>B = (x)(P)(Ey)[N \& \{F(x) \lor \overline{F(y)}\}]</math>，则 <math>(P)N \sim B</math> 可证（根据引理 4 及 <math>(x)(Ey)[F(x) \lor F(y)]</math>） <math>B</math> 属于 <math>\mathfrak{R}</math>，因此根据假设，它要么是可满足的，要么是可证伪的。但根据 (1) 和 (2)，<math>B</math> 的可满足性蕴含 <math>(Ex)A</math> 的可满足性，从而也蕴含 <math>A</math> 的可满足性，可证伪性亦然。因此，<math>A</math> 也是可满足的，要么是可证伪的。

根据定理 III，只需证明：

每个 <math>\mathfrak{R}</math>-表达式要么是可满足的，要么是可证伪的。

为此，我们将 <math>\mathfrak{R}</math>-表达式的次数定义为其前缀的泛符号复数的数量，该复数由 <math>E</math> 个符号分隔，并首先证明：

'''定理 IV''' 如果每个 <math>k</math> 次表达式都是可满足的，要么是可证伪的，那么同样的道理也适用于每个 <math>k+1</math> 次表达式。

证明：设 <math>(P)A</math>，是 <math>k+1</math> 次的 <math>\mathfrak{R}</math>-表达式。设 <math>(P) = (\mathfrak{r})(E\mathfrak{r})(Q)</math> 且 <math>(Q) = (\mathfrak{u})(E\mathfrak{v})(R)</math>，其中 <math>(Q)</math> 的次数为 <math>k</math>，<math>(R)</math> 的次数为 <math>k-1</math>。此外，设 <math>F</math> 为不存在于 <math>A</math> 中的函数变量。则设:

<math>B = (\mathfrak{r}')(E\mathfrak{r}')F(\mathfrak{r}'\mathfrak{r}') \& (\mathfrak{r})(\mathfrak{r})[F(\mathfrak{r}\mathfrak{r}) \to (Q)A]</math>

且

<math>C = (\mathfrak{r}')(\mathfrak{r})(\mathfrak{u})(E\mathfrak{r}')(E\mathfrak{v})(R)\{F(\mathfrak{r}'\mathfrak{r}') \& [F(\mathfrak{r}\mathfrak{r}) \to A]\}^{1b}</math>

然后，将引理 4 与引理 6 结合应用两次，可得到以下可证性：<math>B \sim C</math>；此外，显然：<math>B \to (P)A</math> 一般成立。现在，<math>C</math> 的次数为 <math>k</math>，因此根据假设，它要么是可满足的，要么是可证伪的。

如果它是可满足的，那么 <math>(P)A</math> 也是可满足的（根据 (3) 和 (4)）。如果它是可证伪的，那么 <math>B</math> 也是可证伪的（根据 (3)），也就是说，<math>\overline{B}</math> 是可证的。在 <math>\overline{B(Q)}</math> <math>A</math> 代替 <math>F</math>，则可证：

(3') <math>(E\mathfrak{r}')(Q)A \& (\mathfrak{r})(\mathfrak{r})[(Q)A \to (Q)A]</math>

当然，由于 <math>(\mathfrak{r})(\mathfrak{r})[(Q)A \to (Q)A]</math> 是可证的，所以 <math>(\mathfrak{C}')(E\mathfrak{r}')(Q)A</math> 也是可证的，也就是说，在这种情况下，<math>(P)A</math> 是可证伪的。事实上，<math>(P)A</math> 要么是可证伪的，要么是可满足的。

现在只需证明：

'''定理 V''' 每个一次公式要么是可满足的，要么是可证伪的。

该证明需要一些定义。令 <math>(\mathfrak{r})(E\mathfrak{r})A(\mathfrak{r};\mathfrak{r})</math>（简写为 <math>(P)A</math>）为任意一次公式。其中，<math>\mathfrak{r}</math> 表示变量的 <math>r</math> 元组，<math>\mathfrak{r}</math> 表示变量的 <math>s</math> 元组。设想从序列 <math>x_0, x_1, x_2, \ldots x_i \ldots</math> 中取出 <math>r</math> 个表，并将它们视为一个序列：

<math>\mathfrak{r}_1 = (x_0x_0 \ldots x_0), \quad \mathfrak{r}_2 = (x_1x_0 \ldots x_0), \quad \mathfrak{r}_3 = (x_0x_1x_0 \ldots x_0) \text{ 等}</math>

并定义一个由 <math>(P)A</math> 导出的公式组成的序列 <math>\{A_n\}</math>，如下所示：

<math>\begin{align*} A_1 &= A(\mathfrak{r}_1; x_1x_2 \ldots x_s) \\ A_2 &= A(\mathfrak{r}_2; x_{s+1}x_{s+2} \ldots x_{2s}) \& A_1 \\ A_n &= A(\mathfrak{r}_n; x_{(n-1)s+1}x_{(n-1)s+2} \ldots x_{ns}) \& A_{n-1} \end{align*}</math>

<math>s</math>-元组 <math>x_{(n-1)s+1} \ldots x_{ns}</math> 表示为 <math>\mathfrak{n}_n</math>，因此：

<math>A_n = A(\mathfrak{r}_n; \mathfrak{n}_n) \& A_{n-1}</math>

此外，我们定义 <math>(P_n)A_n</math> 为：

<math>(P_n)A_n = (Ex_0)(Ex_1) \ldots (Ex_{ns})A_n</math>

显而易见，在 <math>A_n</math> 中只有变量 <math>x_0</math> 到 <math>x_{ns}</math>，因此它们都受 <math>(P_n)</math> 约束。此外，显然 <math>r</math> 元组 <math>\mathfrak{r}_{n+1}</math> 中的变量已经出现在 <math>(P_n)</math> 中（因此，它们与 <math>\mathfrak{n}_{n+1}</math> 中的变量不同）。当省略 <math>r</math> 元组 <math>\mathfrak{r}_{n+1}</math> 中的变量时，<math>(P_n)</math> 剩余的部分记为 <math>(P_n')</math>，因此，无论变量的顺序如何，<math>(Ex_{n+1})(P_n') = (P_n)</math>。

给定这些符号，以下成立：

'''定理 VI''' 对于每个 <math>n</math>，可证明：

<math>(P)A \to (P_n)A_n</math>

为了证明，我们使用完全归纳法：

I. <math>(P)A \to (P_1)A_1</math> 是可证的，因为我们有：

<math>(\mathfrak{r})(E\mathfrak{r})A(\mathfrak{r};\mathfrak{r}) \to (\mathfrak{r}_1)(E\mathfrak{r}_1)A(\mathfrak{r}_1;\mathfrak{r}_1)</math>

（根据引理 3 和推理规则 4）且

<math>(\mathfrak{r}_1)(E\mathfrak{r}_1)A(\mathfrak{r}_1;\mathfrak{r}_1) \to (E\mathfrak{r}_1)(E\mathfrak{r}_1)A(\mathfrak{r}_1;\mathfrak{r}_1)</math>

（据引理 1a）

II. 对于每个 <math>n</math>，<math>(P)A \& (P_n)A_n \to (P_{n+1})A_{n+1}</math> 是可证的，因为：

<math>(\mathfrak{r})(E\mathfrak{r})A(\mathfrak{r};\mathfrak{r}) \to (\mathfrak{r}_{n+1})(E\mathfrak{r}_{n+1})A(\mathfrak{r}_{n+1};\mathfrak{r}_{n+1})</math>

（根据引理 3 和推理规则 4）且

<math>(P_n)A_n \to (E\mathfrak{r}_{n+1})(P_n')A_n</math>

（据引理 2）进一步

<math>= \to (E\mathfrak{r}_{n+1})[(E\mathfrak{r}_{n+1})A(\mathfrak{r}_{n+1};\mathfrak{r}_{n+1}) \& (P_n')A_n]</math>

（根据引理 1b，代入：<math>(E\mathfrak{r}_{n+1})A(\mathfrak{r}_{n+1};\mathfrak{r}_{n+1})</math> 代替 <math>F'</math>，且 <math>(P_n')A_n(G)</math>。）

如果观察到蕴涵式 (8) 的先行项是 (6) 和 (7) 后项的合取，则可证：<math>(P)A \& (P_n)A_n \to (E\mathfrak{r}_{n+1})[(E\mathfrak{r}_{n+1})A(\mathfrak{r}_{n+1};\mathfrak{r}_{n+1}) \& (P_n')A_n]</math>。

此外，由 (5) 和辅助命题 4、6、2 可证：

<math>(E\mathfrak{r}_{n+1})[(E\mathfrak{r}_{n+1})A(\mathfrak{r}_{n+1};\mathfrak{r}_{n+1}) \& (P_n')A_n] \sim (P_{n+1})A_{n+1}</math>

由 (9) 和 (10) 可得定理 II，结合定理 I 可得定理 VI。

设 <math>A</math> 包含函数变量 <math>F_1, F_2, \ldots F_k</math> 和命题变量 <math>X_1, X_2, \ldots X_l</math>。<math>A_n</math> 由如下形式的初等分量构成：

<math>F_1(x_{p_1} \ldots x_{q_1}), F_2(x_{p_2} \ldots x_{q_2}), \ldots; X_1, X_2, \ldots X_l</math>

仅通过运算 <math>\nu</math> 和 - 即可。我们通过用命题变量替换 <math>A_n</math> 的基本组成部分，并将不同的组成部分（即使它们仅在各个变量的名称上有所不同）替换为不同的命题变量 <math>\psi</math>，为每个 <math>A_n</math> 分配一个命题公式 <math>B_n</math>。此外，我们将“<math>(P)A</math>”的第 <math>n</math> 层满足系统”称为函数系统 <math>f_1^{(n)}, f_2^{(n)} \ldots f_k^{(n)}</math>，该函数系统在整数 <math>z</math>（<math>0 \leq z \leq ns</math>）的定义域中定义，并且对于命题变量 <math>X_1, X_2, \ldots X_l</math>，其真值分别为 <math>w_1^{(n)}, w_2^{(n)} \ldots w_l^{(n)}</math>，其类型为：如果将 <math>F_i</math> 替换为 <math>f_i^{(n)}</math>，将 <math>x_i</math> 替换为数字 <math>i</math>，将 <math>X_i</math> 替换为相应的真值 <math>w_i^{(n)}</math> 在 <math>A_n</math> 中，则结果为真。<math>n</math> 阶满足系统显然存在当且仅当 <math>B_n</math> 可满足。

每个 <math>B_{rt}</math> 作为命题公式要么可满足，要么可证伪（引理 7）。因此，只有两种情况是可以想象的：

1. 至少一个 <math>B_n</math> 是可证伪的。那么，正如人们容易看出的（结论 2、3；辅助命题 1c），相应的 <math>(P_n)A_n</math> 也是可证伪的，因此，由于 <math>(P)A \to (P_n)A_n</math> 的可证性，<math>(P)A</math> 也是可证伪的。
2. 没有 <math>B_n</math> 是可证伪的，所以所有都是可满足的。然后，每个层级都有满足系统。然而，由于每个级别的履行系统数量有限（由于相应单个域的有限性），并且每个第 <math>n+1</math> 级履行系统都包含一个第 <math>n</math> 级作为其一部分（这由连续 &-连接形成 <math> A_n </math> 可直接得出，根据已知推论，在这种情况下存在一系列满足系统 <math> S_1, S_2, \ldots S_k \ldots (S_k </math>，第 <math> k </math> 层)，每个后续系统都包含前一个系统作为其一部分。我们现在在所有整数 <math> \geq 0 </math> 的定义域中定义一个系统 <math> S = \{ \varphi_1, \varphi_2 \ldots \varphi_i; \alpha_1, \alpha_2 \ldots \alpha_l \} </math>，定义如下：
3. <math> \varphi_p (a_1 \ldots a_i) (1 \leq p \leq k) </math> 成立当且仅当对于上述序列中至少一个 <math> S_m </math>（以及所有后续序列） <math> f_p^{(m)} (a_1 \ldots a_i) </math> 成立。
4. <math> \alpha_i = w_i^{(m)} (1 \leq i \leq l) </math> 至少对一个（然后对所有其他） <math> S_m </math> 成立。

那么显而易见，<math> S </math> 使得公式 <math> (P)A </math> 成立。在这种情况下，<math> (P)A </math> 因此是可满足的，从而完成了上述公理系统完备性的证明。需要注意的是，现在已证明的决策问题等价关系“普遍有效 = 可证明”涉及将不可数函数简化为可数函数，因为“普遍有效”指的是不可数函数集，而“可证明”仅预设了可数证明图集。

定理 I 和定理 II 可以在各个方向上推广。首先，通过在以上公理 1-6 中添加两个公理，很容易将（个体之间的）同一性概念纳入考虑范围：

1. <math>x = x </math>

2. <math>x = y \rightarrow [F(x) \rightarrow F(y)] </math>

则以下内容适用于上述扩展域：

'''定理 VII''' 扩展域中每个普遍有效（更准确地说：在每个个体域中普遍有效）的公式都是可证明的

并且 VII 的等价公式

'''定理 VIII''' 扩展域中的每个公式要么是可证伪的，要么是可满足的（在有限或可数个体域中）。

为了证明，令 <math> A </math> 表示扩展域中的任意公式。我们构造一个公式 <math> B </math>，它是 <math> A_1 (x)x = x </math> 与所有由公理 8 得出的公式的乘积（&-运算），方法是用 <math> A </math> 中出现的函数变量代替 <math> F </math>，更准确地说：

<math>(x)(y)\{x = y \rightarrow [F(x) \rightarrow F(y)]\}</math>

对于所有来自 <math> A </math> 的一元函数变量，

<math>(x)(y)(z)\{x = y, \rightarrow [F(xz) \rightarrow F(yz)]\} \& (x)(y)(z)\{x = y, \rightarrow [F(zx) \rightarrow F(zy)]\}</math>

对于 <math> A </math> 中所有二元函数变量（包括“=”本身），以及 <math> A </math> 中三位和多位函数变量的相应公式。设 <math> B' </math> 是当 <math> B </math> 中的 = 符号被 <math> G </math> 替换后得到的公式，而 <math> G </math> 中原本不存在该符号。此时，= 符号不再出现在表达式 <math> B' </math> 中，因此根据之前的证明，它要么是可证伪的，要么是可满足的。如果它是可证伪的，那么同样适用于 <math> B </math>，它是通过用 = 替换 <math> G </math> 得到的。然而，<math> B </math> 是 <math> A </math> 的逻辑乘积，并且是公式的一部分，该公式显然可以根据公理 7 和 8 得到。因此在这种情况下，<math> A </math> 也是可证伪的。现在假设 <math> B' </math> 可被可数个体域 <math> \Sigma </math> 中的某个函数组 <math> (S) </math> 满足。从 <math> B' </math> 的构成方式可以清楚地看出，<math> g </math>（即，系统 <math> S </math> 中用于替代 <math> G </math> 的函数）是一个自反、对称且传递的关系，从而生成了 <math> \Sigma </math> 元素的分类，使得同一类元素的相互替换不会改变系统 <math> S </math> 中函数的存在与否。因此，如果将同一类中的所有元素等同起来（例如，将类本身视为一个新的个体域的元素），那么 <math> g </math> 就进入恒等关系，并且满足 <math> B </math>，从而也满足 <math> A </math>。事实上，<math> A </math> 要么是可满足的，要么是可证伪的。

定理 I 的另一个推广可以通过考虑可数无限的逻辑表达式集来获得。与定理 I 和定理 II 类似的情况也适用于这些表达式集，即：

'''定理 IX''' 狭义函数演算中，每个可数无限的公式集要么是可满足的（即，系统中的所有公式都同时可满足），要么有一个有限子系统，其逻辑积是可证伪的。

IX 可直接得出：

'''定理 X''' 对于可数无限公式系统，要使其可满足，其每个有限子系统都是可满足的必要且充分条件。

关于定理 X，我们首先注意到，它的证明可以局限于一次正规公式系统，因为通过将定理 III 和 IV 的证明过程反复应用于各个公式，可以为每个公式系统 <math> \Sigma </math> 指定一个一次正规公式系统 <math> \Sigma' </math>，使得 <math> \Sigma </math> 的任何子系统的可满足性都等价于 <math> \Sigma' </math> 的相应子系统的可满足性。所以是

<math>(\mathfrak{r}_1)(E\mathfrak{y}_1) A_1 (\mathfrak{r}_1;\mathfrak{y}_1), (\mathfrak{r}_2)(E\mathfrak{y}_2) A_2 (\mathfrak{r}_2;\mathfrak{y}_2) \ldots (\mathfrak{r}_n)(E\mathfrak{y}_n) A_n (\mathfrak{r}_n;\mathfrak{y}_n) \ldots</math>

为可数系统 <math> \Sigma </math>，由一次正态表达式组成，<math> x_i </math> 为 <math> r_i </math> 个元组，<math> \mathfrak{y}i </math> 为变量的 <math> s_i </math> 个元组。设 <math> x_1^1, x_1^2 \ldots x_n^i \ldots </math> 为从序列 <math> x_0, x_1, x_2 \ldots x_n \ldots </math> 中取出的所有 <math> r_i </math> 个元组的序列，且指标和按递增。此外，令 <math> \mathfrak{y}k^i </math> 为上述序列中变量的 <math> s_i </math> 元组，且变量序列

<math>\mathfrak{y}_1^1, \mathfrak{y}_2^1, \mathfrak{y}_1^2, \mathfrak{y}_3^1, \mathfrak{y}_2^2, \mathfrak{y}_1^3, \mathfrak{y}_4^1 \ldots \text{等}, </math>

如果将每个 <math> \mathfrak{y}k^i </math> 替换为 <math> x </math> 对应的 <math> s_i </math> 元组，则它与序列 <math> x_1, x_2 \ldots x_n \ldots </math>。此外，我们通过以下定义类似于上述公式序列 <math> \{B_n\} </math>：

<math>B_1 = A_1 (\mathfrak{r}_1^1;\mathfrak{y}_1^1) </math>

<math>B_n = B_{n-1} \& A_1 (\mathfrak{r}_n^1;\mathfrak{y}_n^1) \& A_2 (\mathfrak{r}_{n-1}^2;\mathfrak{y}_{n-1}^2) \& \ldots A_{n-1} (\mathfrak{r}_2^{n-1};\mathfrak{y}_2^{n-1}) \& A_n (\mathfrak{r}_1^n;\mathfrak{y}_1^n) </math>

很容易忽略这样一个事实：<math> (P_n) B_n </math>（即，当 <math> B_n </math> 中所有变量都由 <math> E </math> 个符号约束时，由 <math> B_n </math> 导出的公式）是上述系统 <math> \Sigma </math> 的前 <math> n </math> 个表达式的结果。因此，如果 <math> \Sigma </math> 的每个有限子系统都是可满足的，那么每个 <math> B_n </math> 也都是可满足的。但如果每个 <math> B_n </math> 都是可满足的，那么整个系统 <math> \Sigma </math> 也都是可满足的（这可以从定理 V 的证明中使用的推理方法得出（参见第 355 页）），从而证明定理 X。IX 和 X 可以很容易地使用 VIII 的证明方法扩展到包含 = 符号的公式系统。

如果我们将研究范围限制在不包含命题变量的公式系统，并将其视为以出现的函数变量为基本概念的公理系统，则可以对定理 IX 进行略微不同的诠释。这样，定理 IX 便明确指出，任何有限或可数公理系统，如果其公理“所有”和“存在”从不指代类或关系，而只指代个体，则该公理系统要么自相矛盾（即矛盾可以通过有限个形式步骤建立），要么拥有实现。

最后，应该讨论公理 1-8 的独立性问题。至于命题公理 1-4，P. Bernays 已经证明，它们都不是从其他三个推导出来的。它们的独立性不会因公理 5-8 的添加而改变，这可以通过与 Bernays 完全相同的解释来证明，只需将其扩展到包含函数变量和 = 符号的公式即可，具体如下：

1. 省略前缀和单个变量；
2. 在公式的剩余部分，函数变量应视为命题变量；
3. 只能用一个“特定”值来替换符号”“。

为了证明公理 5 的独立性，我们通过替换以下公式的分量，为每个公式分配另一个zu：

<math>(x)F(x), (y)F(y) \ldots; (x)G(x), (y)G(y) \ldots; \ldots </math>

如果出现，则将其替换为 <math>X \vee \neg X</math>。这将公理 1-4 和 6-8 转化为通用公式。并且，由完全归纳推理可以看出，所有根据推理规则 1-4 从这些公理推导出的公式都具备此性质，而公理 5 不具备此性质。公理6的独立性也以完全相同的方式得到证明，只是这里 <math>(x)F(x), (y)F(y) \ldots</math> 等必须替换为 <math>X \& \neg X</math>。为了证明公理 7 的独立性，我们注意到，如果将恒等关系替换为空关系，公理1-6和8（以及由此推导出的所有公式）仍然普遍有效，而公理7则不然。类似地，即使恒等关系被替换，从公理 1-7 推导出的公式仍然普遍有效。

关系被全称关系取代，而公理 8 并非如此（在至少两个个体的个体域中）。人们很容易就能确信，推理规则 1-4 都不是多余的，但本文不再详细讨论。

FTO

2026-02-22T01:47:38Z

Tabelog：

'''FTO（First Transfinite Ordinal，第一个超限序数，即'''<math>\omega</math>'''）'''，是一个重要的[[序数]]。它被认为是具有“里程碑”意义的一个序数。
{| class="wikitable"
![[序数记号]]
!表达式
|-
|[[Veblen 函数]]
|<math>\varphi(1)</math>
|-
|[[OCF#BOCF|BOCF]]
|<math>\psi(0)</math>
|-
|[[初等序列系统|PrSS]]
|<math>0,1</math>
|-
|[[BMS]]
|<math>\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}</math>
|-
|[[长初等序列|LPrSS]]
|<math>1,2</math>
|-
|[[HPrSS]]
|<math>1,2</math>
|-
|[[0-Y]]
|<math>1,2</math>
|-
|[[Y序列|1-Y]]
|<math>1,2</math>
|-
|[[PSS Hydra]]
|<math>\psi^H_1(1)</math>
|-
|[[weak Veblen 函数]]
|<math>\varphi(1,0)</math>
|-
|[[BHM]]
|<math>\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}</math>
|-
|[[BSM]]
|<math>\begin{pmatrix} 0&1 \end{pmatrix}</math>
|-
|[[NOCF]]
|<math>\psi(\Omega)</math>
|-
|[[Dropping#M 记号|M 记号]]
|<math>\psi(1)</math>
|}

=== 性质 ===
ω 是最小的[[序数#超限序数|超限序数]]，最小的非零[[序数#极限序数|极限序数]]，最小的不满足 <math>1+\alpha=\alpha+1</math> 的序数<math>\alpha</math>。

<math>\rm \omega = |\omega| = \aleph_{0} </math>，详见[[基数]]。

[[证明论序数]]：<math>\rm Q</math>，<math>\rm KP^-</math>

极限在此处的记号：[[高德纳箭头]]，[[阿克曼函数]]，[[斯坦豪斯-莫泽表示法]]，[[下箭号表示法]]，[[超阶乘记号]]，[[Sudan 函数|苏丹函数]]，超运算

[[分类:序数]]

AOCF

2026-02-22T01:39:13Z

Tabelog：

'''Arai's Ordinal Collapse Function（AOCF）'''是一种类[[序数坍缩函数]]。

=== 定义 ===

'''定义 1'''

(1) 对于 <math>i < \omega</math> 和 <math>\xi < \varepsilon(A)</math>, <math>\Lambda_i(\xi)</math> 由 <math>\Lambda_0(\xi) = \xi</math> 和 <math>\Lambda_{i+1}(\xi) = \Lambda^{\Lambda_i(\xi)}</math> 递归定义。

(2) 对于 <math>A \subset \text{Ord}</math>, 极限序数 <math>\alpha</math> 和 <math>i \geq 0</math>, 令 <math>\alpha \in M_{2+i}(A)</math>, 当且仅当 <math>A \cap \alpha \amalg_i^1</math> 在 <math>\alpha</math> 中是不可描述的。

(3) <math>\kappa^+</math> 表示 <math>\kappa</math> 之上的下一个正则序数。

(4) <math>\Omega_\alpha := \omega_\alpha</math> 表示 <math>\alpha > 0</math>, <math>\Omega_0 := 0</math> 以及 <math>\Omega = \Omega_1</math>。

下面我们同时定义类 <math>\mathcal{H}_\alpha(X)</math>, <math>Mh_k^\xi(\xi)</math> 和序数 <math>\psi_\pi^\xi(\alpha)</math> 如下。令 <math>a < \Lambda</math> 和 <math>\varphi</math> 为二元 Veblen 函数。在函数 <math>+ , \alpha \mapsto \omega^\alpha</math> 下定义 <math>\{0, \mathbb{K}\} \cup X</math> 的 Skolem 壳 <math>\mathcal{H}_a(X)</math>, <math>(\alpha, \beta) \mapsto \varphi\alpha\beta(\alpha, \beta < \mathbb{K})</math>, <math>\alpha \mapsto \Omega_\alpha(\alpha < \mathbb{K})</math> 和 <math>\psi</math> 函数。<math>\text{Reg}</math> 表示 <math>\leq \mathbb{K}</math> 的正则序数的集合。我们有

'''定义 2''' 对 <math>Y \subset \mathbb{K}</math>, 定义 <math>\mathcal{H}_a[Y](X) := \mathcal{H}_a(Y \cup X)</math>。

(1) <math>\mathcal{H}_a(X)</math> 的递归定义如下：

(1a) <math>\{0, \mathbb{K}\} \cup X \subset \mathcal{H}_a(X)</math>.

(1b) <math>x, y \in \mathcal{H}_a(X) \Rightarrow x + y \in \mathcal{H}_a(X)</math>, <math>x \in \mathcal{H}_a(X) \Rightarrow \omega^x \in \mathcal{H}_a(X)</math>, 且 <math>x, y \in \mathcal{H}_a(X) \cap \mathbb{K} \Rightarrow \varphi xy \in \mathcal{H}_a(X)</math>。

(1c) <math>\mathbb{K} > \alpha \in \mathcal{H}_a(X) \Rightarrow \Omega_\alpha \in \mathcal{H}_a(X)</math>。

(1d) 若 <math>\pi \in \mathcal{H}_a(X) \cap \text{Reg}</math> 且 <math>b \in \mathcal{H}_a(X) \cap a</math>, 则 <math>\psi_\pi(b) \in \mathcal{H}_a(X)</math>。

(1e) 若 <math>\{b, \xi\} \subset \mathcal{H}_a(X)</math>, <math>\xi \leq b < a</math>, 则 <math>\kappa = \psi_{\mathbb{K}^\ast}^\xi(b) \in \mathcal{H}_a(X)</math>, 其中 <math>\text{lh}(\overrightarrow{0}) = N - 3</math>。

(1f) 令 <math>\{\pi, b, c\} \subset \mathcal{H}_a(X)</math>, 其中 <math>\pi < \mathbb{K}</math>, <math>2 \leq k < N - 1</math> 为整数, 且 <math>\overrightarrow{\xi} = (\xi_2, \ldots, \xi_k, \xi_{k+1})</math> 为序数序列 <math>\xi_i < \varepsilon(A)</math>, 其中 <math>\text{lh}(\overrightarrow{0}) = N - 2 - k</math> 使得 <math>\xi_{k+1} \neq 0</math> 且 <math>K(\xi) \subset \mathcal{H}_a(X)</math>。假设 <math>\max(K(\xi) \cup \{c\}) \leq b < a</math>, 且 <math>\pi \in Mh_2^b(\xi)</math>。那么 <math>\kappa = \psi_\pi^{\overrightarrow{v}}(b) \in \mathcal{H}_a(X)</math> 对于序列 <math>\overrightarrow{v} = (\xi_2, \ldots, \xi_k + \Lambda^{\xi_{k+1}}c) \ast \overrightarrow{0}</math>, 其中 <math>\text{lh}(\overrightarrow{0}) = N - 1 - k</math>。

(1g) 令 <math>\{\pi, b\} \subset \mathcal{H}_a(X)</math>, 其中 <math>\pi < \mathbb{K}</math>, 且 <math>0 \neq \xi < \varepsilon(A)</math> 为一个序数满足 <math>K(\xi) \subset \mathcal{H}_a(X)</math>。令 <math>\overrightarrow{v} = (\nu_2, \ldots, \nu_{N-1})</math> 为一个序数序列 <math>< \varepsilon(A)</math> 使得 <math>K(\overrightarrow{v}) \subset \mathcal{H}_a(X)</math>。假设 <math>\max K(\overrightarrow{v}) \leq b < a</math>, <math>K(\overrightarrow{v}) \subset \mathcal{H}_b(\pi)</math>, <math>\pi \in Mh_2^b(\xi)</math> 且 <math>\overrightarrow{v} < \xi</math>, 那么 <math>\kappa = \psi_\pi^{\overrightarrow{v}}(b) \in \mathcal{H}_a(X)</math>。

(2) <math>Mh_k^\xi(\xi)</math> 以及 <math>Mh_k^b(\xi)</math> 定义如下：

首先令 <math>\mathbb{K} \in Mh_N^\xi(0) : \Leftrightarrow \mathbb{K} \in M_N \Leftrightarrow \mathbb{K}</math> 为 <math>\amalg_{N-2}^1</math> - 不可描述的。

类 <math>Mh_k^a(\xi)</math> 定义在 <math>2 \leq k < N</math>, <math>a < \Lambda</math>, <math>\xi < \varepsilon(\Lambda)</math> 上。令 <math>\pi</math> 为一个 <math>\leq \mathbb{K}</math> 的正则序数。

于是对于 <math>\xi > 0</math> 有

<math>
\pi \in Mh_k^\alpha(\xi) :\Leftrightarrow \{\pi, a\} \cup K(\xi) \subset H_a(\pi) \& \forall \vec{v} < \xi (K(\vec{v}) \subset H_a(\pi) \Rightarrow \pi \in M_k (Mh_k^\alpha(\vec{v}))),
</math>

式中 <math>\vec{v} = (\nu_k, \ldots, \nu_n) (2 \leq k \leq n \leq N - 1)</math> 取遍 <math><\varepsilon(\Lambda)</math> 的非空序数序列，且

<math>
\pi \in Mh_k^\alpha(\vec{v}) :\Leftrightarrow \pi \in \bigcap_{k \leq i \leq n} Mh_i^\alpha(\nu_i).
</math>

按照惯例，对于 <math>2 \leq k < N, \pi \in Mh_k^\alpha(0) :\Leftrightarrow \pi \in Mh_2^\alpha(\emptyset) :\Leftrightarrow \pi</math> 为一个极限序数。注意到通过令 <math>\vec{v} = (0), \pi \in Mh_k^\alpha(\xi) \Rightarrow \pi \in M_k</math>，对于 <math>\xi > 0</math>。同样 <math>\vec{0} < 1</math>，且 <math>Mh_k^\alpha(1) = M_k</math>。

(3) <math>\psi_\pi^\xi(a)</math> 定义如下：

令 <math>a < \Lambda</math> 为一个序数，<math>\pi \leq \mathbb{K}</math> 为正则序数，且 <math>\xi</math> 为序数数列 <math><\varepsilon(\Lambda)</math> 使得 <math>lh(\xi) = N - 2</math>。

接下来令

<math>
\psi_\pi^\xi(a) := \min \left( \{\pi\} \cup \left\{ \kappa \in Mh_2^\alpha(\xi) \cap \pi : H_a(\kappa) \cap \pi \subset \kappa, K(\xi) \cup \{\pi, a\} \subset H_a(\kappa) \right\} \right).
</math>

令 <math>\psi_\pi a := \psi_\pi^{\vec{0}} a</math>，其中 <math>lh(\vec{0}) = N - 2, Mh_2^{\vec{0}}(\vec{0}) = \mathrm{Lim}</math>，且 <math>\pi \in M_2</math>，即 <math>\pi</math> 是一个正则序数。

Arai 给出了如下的结论。

'''定理 1''' <math>b + c \in H_a[\Theta](d) \Rightarrow c \in H_a[\Theta](d)</math>，且 <math>\omega^c \in H_a[\Theta](d) \Rightarrow c \in H_a[\Theta](d)</math>。

'''定理 2''' 每个 <math>x = H_a(y) (a < \Lambda, y < \mathbb{K}), x = \psi_\kappa a, x \in Mh_k^\alpha(\xi)</math> 和 <math>x = \psi_\kappa^\xi(a)</math> 均为 ZFL 中的不动点处的 <math>\Sigma_1</math>-谓词。

'''定理 3'''

(1) <math>\forall a < \Lambda A(a)</math>。

(2) 对于弱不可达基数 <math>\pi \leq \mathbb{K}</math> 和 <math>a, \xi</math>，<math>\pi \in Mh_k^\alpha(\xi)</math> 是 <math>L_\pi</math> 上的一致 <math>\Pi_{k - 1}^1</math> 类。这意味着对于每个 <math>k</math>，存在一个 <math>\Pi_{k - 1}^1</math> 公式 <math>mh_k^\alpha(x)</math>，当且仅当 <math>L_\pi \models mh_k^\alpha(\xi)</math>，对于任何弱不可达基数 <math>\pi \leq \mathbb{K}</math>，且 <math>f(\{a\} \cup K(\xi)) \subset L_\pi</math>，<math>\pi \in Mh_k^\alpha(\xi)</math>。

(3) <math>\mathbb{K} \in Mh_{N - 1}^\alpha(\Lambda) \cap M_{N - 1} (Mh_{N - 1}^\alpha(\Lambda))</math>。

下面讨论记号的正规形式。

'''定理 4''' <math>\pi \in Mh_{k}^{a}(\zeta) \land \xi \leq \zeta \Rightarrow \pi \in Mh_{k}^{a}(\xi)</math>。

'''定理 5''' 假设 <math>\mathbb{K} \geq \pi \in Mh_{k}^{a}(\xi) \cap Mh_{k+1}^{a}(\xi_0)</math> 其中 <math>2 \leq k \leq N - 1</math>, <math>he(\mu) \leq \xi_0</math> 和 <math>\{a\} \cup K(\mu) \subset H_a(\pi)</math>。则 <math>\pi \in Mh_{k}^{a}(\xi + \mu)</math> 成立。此外，如果 <math>\pi \in M_{k+1}</math>，则 <math>\pi \in M_{k+1}(Mh_{k}^{a}(\xi + \mu))</math> 成立。

'''定义 3''' 对于序数序列 <math>\tilde{\zeta} = (\xi_k, \ldots, \xi_{N-1}), \tilde{\nu} = (\nu_k, \ldots, \nu_{N-1})</math> 以及 <math>2 \leq k, m, n \leq N - 1</math>，<math>Mh_{m}^{a}(\tilde{\nu}) <_k Mh_{n}^{a}(\tilde{\zeta}) :\Leftrightarrow \forall \pi \in Mh_{n}^{a}(\tilde{\zeta}) (\{a, \pi\} \cup K(\tilde{\nu}) \subset H_a(\pi) \Rightarrow \pi \in M_k(Mh_{m}^{a}(\tilde{\nu})))</math>

'''定理 6''' 令 <math>\tilde{\nu} = (\nu_2, \ldots, \nu_{N-1}), \tilde{\zeta} = (\xi_2, \ldots, \xi_{N-1})</math> 为序数 <math>< \varepsilon(\Lambda)</math> 的序列，其中对于整数 <math>k</math>，有 <math>\tilde{\nu} <_k \tilde{\zeta}</math>，且 <math>2 \leq k \leq N - 1</math>。则 <math>Mh_{2}^{a}(\tilde{\nu}) <_k Mh_{2}^{a}(\tilde{\zeta})</math>。特别是如果 <math>\pi \in Mh_{2}^{a}(\tilde{\zeta})</math> 且 <math>K(\tilde{\nu}) \cup \{\pi, a\} \subset H_a(\pi)</math>，则 <math>\psi_{\pi}^{\tilde{\nu}}(a) < \pi</math>。

'''定理 7''' 令 <math>\vec{\xi} = (\xi_2, \ldots, \xi_{N-1})</math> 为序数 <math><\varepsilon(\Lambda)</math> 的序列，且 <math>\{\pi, a\} \cup K(\vec{\xi}) \subset H_a(\pi)</math>。假设 <math>Tl(\xi_i) < \Lambda_k(\xi_{i+k} + 1)</math>，其中 <math>i < N - 1</math> 且 <math>k > 0</math>。然后 <math>\pi \in Mh_2^9(\vec{\xi}) \Leftrightarrow \pi \in Mh_2^9(\vec{\mu})</math>，其中 <math>\vec{\mu} = (\mu_2, \ldots, \mu_{N-1})</math>，且 <math>\mu_i = \xi_i - Tl(\xi_i)</math> 和 <math>\mu_j = \xi_j</math>，其中 <math>j \neq i</math>。

'''定义 4''' 序数序列 <math>\vec{\xi} = (\xi_2, \ldots, \xi_{N-1})</math> 称为不可约的，当且仅当 <math>\forall i < N - 1, \forall k > 0 (\xi_i > 0 \Rightarrow Tl(\xi_i) \geq \Lambda_k(\xi_{i+k} + 1))</math>。

'''定理 8''' 令 <math>\vec{\nu} = (\nu_k, \ldots, \nu_{N-1}) \neq \vec{0}</math> 为不可约序列，<math>k_0 \geq k</math> 为满足 <math>\nu_{k_0} \neq 0</math> 的最小数。设 <math>\nu_{k_0} < he^{(k_0 - k)}(\vec{\xi})</math>。则 <math>\vec{\nu} < \vec{\xi}</math>。

'''定义 5''' 令 <math>\vec{\xi} = (\xi_k, \ldots, \xi_{N-1})</math>，<math>\vec{\nu} = (\nu_k, \ldots, \nu_{N-1})</math> 且 <math>\vec{\nu} \neq \vec{\xi}</math>。令 <math>i \geq k</math> 为使 <math>\nu_i \neq \xi_i</math> 的最小数。假设 <math>(\xi_i, \ldots, \xi_{N-1}) \neq \vec{0}</math>，令 <math>k_1 \geq i</math> 为使 <math>\xi_{k_1} \neq 0</math> 的最小数，则 <math>\vec{\nu} <_{lx,k} \vec{\xi}</math> 当且仅当下列之一成立：

(1) <math>(\nu_i, \ldots, \nu_{N-1}) = \vec{0}</math>。

(2) 接下来假设 <math>(\nu_i, \ldots, \nu_{N-1}) \neq \vec{0}</math>，并让 <math>k_0 \geq i</math> 为满足 <math>\nu_{k_0} \neq 0</math> (<math>i = \min\{k_0, k_1\}</math>) 的最小数，则 <math>\vec{\nu} <_{lx,k} \vec{\xi}</math> 当且仅当下列之一成立：

(2a) <math>i = k_0 < k_1</math> 且 <math>he^{(k_1 - k_0)}(\nu_{k_0}) \leq \xi_{k_1}</math>。

(2b) <math>k_0 \geq k_1 = i</math> 且 <math>\nu_{k_0} < he^{(k_0 - k_1)}(\xi_{k_1})</math>。

'''定理 9''' 设 <math>\vec{\nu}</math> 和 <math>\vec{\xi}</math> 都是不可约的，则 <math>\vec{\nu} <_{lx,k} \vec{\xi} \Rightarrow Mh_k^a(\vec{\nu}) <_k Mh_k^a(\vec{\xi})</math>。

'''定理 10''' 令 <math>\vec{\nu} = (\nu_2, \ldots, \nu_{N-1})</math>，<math>\vec{\xi} = (\xi_2, \ldots, \xi_{N-1})</math> 为不可约序数序列 <math><\varepsilon(\Lambda)</math>，并假设 <math>\psi_\pi^{\vec{\nu}}(b) < \pi</math> 和 <math>\psi_\kappa^{\vec{\xi}}(a) < \kappa</math>。则 <math>\beta_1 = \psi_\pi^{\vec{\nu}}(b) < \psi_\kappa^{\vec{\xi}}(a) = \alpha_1</math> 当且仅当以下情况之一成立：

(1) <math>\pi \leq \psi_\kappa^{\vec{\xi}}(a)</math>。

(2) <math>b < a, \psi_\pi^{\vec{\nu}}(b) < \kappa</math> 且 <math>K(\vec{\nu}) \cup \{\pi, b\} \subset H_a(\psi_\kappa^{\vec{\xi}}(a))</math>。

(3) <math>b > a</math> 且 <math>K(\vec{\xi}) \cup \{\kappa, a\} \not\subset H_b(\psi_\pi^{\vec{\nu}}(b))</math>。

(4) <math>b = a, \kappa < \pi</math> 且 <math>\kappa \notin H_b(\psi_\pi^{\vec{\nu}}(b))</math>。

(5) <math>b = a, \pi = \kappa, K(\vec{\nu}) \subset H_a(\psi_\kappa^{\vec{\xi}}(a))</math>，且 <math>\vec{\nu} <_{lx,2} \vec{\xi}</math>。

(6) <math>b = a, \pi = \kappa, K(\vec{\xi}) \not\subset H_b(\psi_\pi^{\vec{\nu}}(b))</math>。

'''定义 6''' 一个由序数 <math>\xi_i < \varepsilon(\Lambda)</math> 组成的序列 <math>\vec{\xi} = (\xi_2, \ldots, \xi_{N-1})</math> 的集合 <math>SD</math> 递归定义如下。

(1) 对于每个 <math>a < \Lambda</math>，<math>\vec{0} * (a) \in SD</math>。

(2) 令 <math>\vec{\xi} = (\xi_2, \ldots, \xi_{N-1}) \in SD</math>，<math>1 \leq k < N - 1</math>，<math>\zeta < \varepsilon(\Lambda)</math> 为序数，满足 <math>(\xi_{k+1}, \ldots, \xi_{N-1}) <_{sd} \zeta</math>，且 <math>(\xi_2, \ldots, \xi_{k-1}, \zeta) * \vec{0} \in SD</math>。然后对于 <math>\zeta_k = \xi_k + \Lambda \zeta_a</math> 和一个序数 <math>a < \Lambda</math>，<math>(\xi_2, \ldots, \xi_{k-1}) * (\zeta_k) * (\xi_{k+1}, \ldots, \xi_{N-1}) \in SD</math> 以及 <math>(\xi_2, \ldots, \xi_{k-1}) * (\zeta_k) * \vec{0} \in SD</math>。

'''定理 11''' 令 <math>\vec{\xi} = (\xi_2, \ldots, \xi_{N-1}) \in SD</math>。

(1) 对于每个 <math>i</math>，<math>(\xi_2, \ldots, \xi_i) * \vec{0} \in SD</math>，其中 <math>1 \leq i < N</math>。

(2) 对于 <math>2 \leq i < j < k < N</math>，如果 <math>\xi_i \neq 0</math> 且 <math>\xi_k \neq 0</math>，则 <math>\xi_j \neq 0</math>。

(3) 令 <math>\xi_i \neq 0</math>。则 <math>(\xi_{i+1}, \ldots, \xi_{N-1}) <_{sd} te(\xi_i)</math>。

(4) <math>\vec{\xi}</math> 是不可约的。

对于序数折叠函数来说，相应的序数符号是重要的。接下来我们将研究算术的一个弱片段，例如片段 <math>I\Sigma_1</math> 或有界算术 <math>S_2^1</math>。符号 <math>\{0, \mathbb{K}, \Lambda, +, \omega, \varphi, \Omega, \psi\}</math> 上的序数项集 <math>OT \subset \Lambda = \varepsilon_{\mathbb{K}+1}</math>

以及 <math>E \subset \varepsilon(\Lambda) = \varepsilon_{\mathbb{K}+2}</math> 可以以递归方式进行定义。<math>OT</math> 同构于 <math>H_A(0)</math> 的一个子集。同时我们定义有限集 <math>K_\delta(\alpha) \subset OT</math>（其中 <math>\delta, \alpha \in OT</math>）和序列 <math>(m_k(\alpha))_{2 \leq k \leq N-1}</math>（其中 <math>\alpha \in OT \cap \mathbb{K}</math>），其中在 <math>\alpha = \psi_\pi^{\vec{\nu}}(a)</math> 中，<math>m_k(\alpha) = \nu_k</math>，即 <math>\vec{\nu} = (\nu_2, \ldots, \nu_{N-1}) = (m_2(\alpha), \ldots, m_{N-1}(\alpha)) = (m_k(\alpha))_k = \vec{m}(\alpha)</math>

对于 <math>\{\alpha_0, \ldots, \alpha_m, \beta\} \subset OT</math>，我们有 <math> K_\delta(\alpha_0, \ldots, \alpha_m) := \bigcup_{i \leq m} K_\delta(\alpha_i),\quad K_\delta(\alpha_0, \ldots, \alpha_m) < \beta :\Leftrightarrow \forall \gamma \in K_\delta(\alpha_0, \ldots, \alpha_m) (\gamma < \beta)</math> 且 <math>\beta \leq K_\delta(\alpha_0, \ldots, \alpha_m) :\Leftrightarrow \exists \gamma \in K_\delta(\alpha_0, \ldots, \alpha_m) (\beta \leq \gamma)</math>

如果 <math>OT</math> 中的序数项是形式为 <math>\mathbb{K}, \Omega_{\beta+1}</math> 或 <math>\psi_\pi^{\vec{\nu}}(a)</math> 且非零序列 <math>\vec{\nu} \neq \vec{0}</math> 的项，则称其为正则项。<math>\mathbb{K}</math> 和后面的项 <math>\psi_\pi^{\vec{\nu}}(a)</math> 都是 Mahlo 项。

<math>\alpha =_{NF} \alpha_m + \cdots + \alpha_0</math> 表示 <math>\alpha = \alpha_m + \cdots + \alpha_0</math> 和 <math>\alpha_m \geq \cdots \geq \alpha_0</math> 且每个 <math>\alpha_i</math> 都是非零加法主数。<math>\alpha =_{NF} \varphi\beta\gamma</math> 表示 <math>\alpha = \varphi\beta\gamma</math> 且 <math>\beta, \gamma < \alpha</math>。<math>\alpha =_{NF} \omega^\beta</math> 表示 <math>\alpha = \omega^\beta > \beta</math>。<math>\alpha =_{NF} \Omega_\beta</math> 表示 <math>\alpha = \Omega_\beta > \beta</math>。

令 <math>pd(\psi_\pi^{\vec{\nu}}(a)) = \pi</math>（即使 <math>\vec{\nu} = \vec{0}</math>）。此外，对于 <math>n pd^{(n)}(\alpha)</math> 由 <math>pd^{(0)}(\alpha) = \alpha</math> 和 <math>pd^{(n+1)}(\alpha) \simeq pd(pd^{(n)}(\alpha))</math> 递归定义。

对于项 <math>\pi, \kappa \in OT</math>，<math>\pi \prec \kappa</math> 表示关系 <math>\{(\pi, \kappa) : \exists \xi \exists b \left[ \pi = \psi_\kappa^{\vec{\xi}}(b) \right]\}</math> 的传递闭包，以及其自反闭包 <math>\pi \preceq \kappa :\Leftrightarrow \pi \prec \kappa \lor \pi = \kappa \Leftrightarrow \exists n (\kappa = pd^{(n)}(\pi))</math>。

对于每个序数项 <math>\alpha = \psi_\pi^{\vec{\nu}}(a)</math>，序数项序列 <math>(\pi_i)_{i \leq L}</math> 唯一确定如下：<math>\pi_L = \alpha, \pi_i = pd(\pi_{i+1})</math> 和 <math>\pi_0 = \mathbb{K}</math>。我们将序列 <math>(\pi_i)_{i \leq L}</math> 称为 <math>\alpha = \pi_L</math> 的折叠序列。

下面我们将构建序数项 <math>\alpha = \psi_\pi^{\vec{\nu}}(a)</math>。

'''定义 7''' <math>\ell\alpha</math> 表示符号 <math>\{0, \mathbb{K}, \Lambda, +, \omega, \varphi, \Omega, \psi\}</math> 在项 <math>\alpha \in OT \cup E</math> 中出现的次数。

(1a) <math>0 \in E</math>。

(1b) 如果 <math>0 < a \in OT</math>，则 <math>a \in E.K(a) = \{a\}</math>。

(1c) 如果 <math>\{\xi_i : i \leq m\} \subset E, \xi_m > \cdots > \xi_0 > 0</math> 且 <math>0 < b_i \in OT</math>，则 <math>\sum_{i \leq m} \Lambda^{\xi_i} b_i = \Lambda^{\xi_m} b_m + \cdots + \Lambda^{\xi_0} b_0 \in E K \left( \sum_{i \leq m} \Lambda^{\xi_i} b_i \right) = \{b_i : i \leq m\} \cup \bigcup \{K(\xi_i) : i \leq m\}</math>。

(1d) 对于序列 <math>\vec{\nu} = (\nu_2, \ldots, \nu_{N-1})</math>，令 <math>K(\vec{\nu}) = \bigcup_{2 \leq i \leq N-1} K(\nu_i)</math>。

(2a) 对于任意 <math>k, 0, \mathbb{K} \in OT.m_k(0) = 0</math>，且 <math>K_\delta(0) = K_\delta(\mathbb{K}) = \varnothing</math>。

(2b) 如果 <math>\alpha =_{NF} \alpha_m + \cdots + \alpha_0 (m > 0)</math>，且 <math>\{\alpha_i : i \leq m\} \subset OT</math>，则 <math>\alpha \in OT</math>，且对于任意 <math>k</math>，<math>m_k(\alpha) = 0</math>。<math>K_\delta(\alpha) = K_\delta(\alpha_0, \ldots, \alpha_m)</math>。

(2c) 如果 <math>\alpha =_{NF} \varphi\beta\gamma</math> 且 <math>\{\beta, \gamma\} \subset OT \cap \mathbb{K}</math>，则 <math>\alpha \in OT</math>，且对于任何 <math>k</math>，<math>m_k(\alpha) = 0</math>。<math>K_\delta(\alpha) = K_\delta(\beta, \gamma)</math>。

(2d) 如果 <math>\alpha =_{NF} \omega^\beta</math> 且 <math>\mathbb{K} < \beta \in OT</math>，则 <math>\alpha \in OT</math>，且对于任何 <math>k</math>，<math>m_k(\alpha) = 0</math>。<math>K_\delta(\alpha) = K_\delta(\beta)</math>。

(2e) 如果 <math>\alpha =_{NF} \Omega_\beta</math> 且 <math>\beta \in OT \cap \mathbb{K}</math>，则如果 <math>\beta</math> 是后继序数，则对于任何 <math>k > 2</math>，<math>\alpha \in OT.m_2(\alpha) = 1, m_k(\alpha) = 0</math>。否则对于任何 <math>k</math>，<math>m_k(\alpha) = 0</math>。在每种情况下，<math>K_\delta(\alpha) = K_\delta(\beta)</math>。

(2f) 令 <math>\alpha = \psi_\pi^{\vec{\nu}}(a) := \psi_\pi^{\vec{0}}(a)</math>，其中 <math>\pi</math> 为正则项，即，要么是 <math>\pi = \mathbb{K}</math>，要么 <math>\vec{m}(\pi) \neq \vec{0}</math>，且 <math>K_\alpha(\pi, a) < a</math>。则 <math>\alpha = \psi_\pi^{\vec{\nu}}(a) \in OT</math>。对于任意 <math>k</math>，令 <math>m_k(\alpha) = 0</math>。若 <math>\alpha < \delta</math>，则 <math>K_\delta(\psi_\pi^{\vec{\nu}}(a)) = \varnothing</math>。否则，<math>K_\delta(\psi_\pi^{\vec{\nu}}(a)) = \{a\} \cup K_\delta(a, \pi)</math>。

(2g) 令 <math>\alpha = \psi_\mathbb{K}^{\vec{\nu}}(a)</math>，其中 <math>\vec{\nu} = \vec{0} * (b) (\text{lh}(\vec{\nu}) = N - 2)</math>，且 <math>b, a \in OT</math>，使得 <math>0 < b \leq a</math> 且 <math>K_\alpha(b, a) < a</math>。则 <math>\alpha = \psi_\mathbb{K}^{\vec{\nu}}(a) \in OT</math>。令 <math>m_{N-1}(\alpha) = b m_k(\alpha) = 0</math>，其中 <math>k < N - 1</math>。若 <math>\alpha < \delta</math>，则 <math>K_\delta(\psi_\mathbb{K}^{\vec{\nu}}(a)) = \varnothing</math>。否则，<math>K_\delta(\psi_\mathbb{K}^{\vec{\nu}}(a)) = \{a\} \cup \bigcup \{K_\delta(\gamma) : \gamma \in K(\vec{\nu})\}</math>。

(2h) 设 <math>\pi \in OT \cap \mathbb{K}</math> 使得 <math>m_{k+1}(\pi) \neq 0</math> 且 <math>\forall i > k + 1 (m_i(\pi) = 0)</math>（其中 <math>a k(2 \leq k \leq N - 2)</math>），以及 <math>b, a \in OT</math> 使得 <math>0 < b \leq a</math>。设 <math>\vec{\nu} = (\nu_2, \ldots, \nu_{N-1})</math> 为由 <math>\forall i < k (\nu_i = m_i(\pi)), \nu_k = m_k(\pi) + \Lambda m_{k+1}(\pi) b</math> 和 <math>\forall i > k (\nu_i = 0)</math> 定义的序列。然后如果 <math>K_\alpha(\pi, a, b) \cup K_\alpha(K(\vec{m}(\pi))) < a</math>，则 <math>\alpha = \psi_\pi^{\vec{\nu}}(a) \in OT</math>。对于每个 <math>i</math>，令 <math>m_i(\alpha) = \nu_i</math>。如果 <math>\alpha < \delta</math>，则 <math>K_\delta(\psi_\pi^{\vec{\nu}}(a)) = \varnothing</math>。否则 <math>K_\delta(\psi_\pi^{\vec{\nu}}(a)) = \{a\} \cup K_\delta(a, \pi) \cup \bigcup \{K_\delta(b) : b \in K(\vec{\nu})\}</math>。

(2i) 令 <math>\pi \in OT \cap \mathbb{K}</math> 使得 <math>m_2(\pi) \neq 0</math> 且 <math>\forall i > 2 (m_i(\pi) = 0)</math>，以及 <math>a \in OT</math>。令 <math>\vec{0} \neq \vec{\nu} = (\nu_2, \ldots, \nu_{N-1}) \in SD</math> 为序数项序列 <math>\nu_i \in E</math>，使得 <math>\vec{\nu} <_{sp} m_2(\pi)</math>。然后如果 <math>K_\alpha(\pi, a) < a</math>，并且 <math>\forall k (K_\alpha(\nu_k) < \max K(\nu_k))</math>。对于每个 <math>i</math>，令 <math>m_i(\alpha) = \nu_i</math>。如果 <math>\alpha < \delta</math>，则 <math>K_\delta(\psi_\pi^{\vec{\nu}}(a)) = \varnothing</math>。否则 <math>K_\delta(\psi_\pi^{\vec{\nu}}(a)) = \{a\} \cup K_\delta(a, \pi) \cup \bigcup \{K_\delta(b) : b \in K(\vec{\nu})\}</math>。

设 <math>\{\pi, a, \xi\} \subset H_a(\pi)</math>。则 <math>\xi = m_k(\pi)</math> 等价于 <math>\pi \in Mh_k^\xi(\xi)</math>。

我们给出如下结论：

'''定理 12''' 对于每个 Mahlo 项 <math>\alpha = \psi_\pi^{\vec{\nu}}(a) \in OT, \vec{m}(\alpha) = \vec{\nu} \in SD</math>。

'''定理 13''' 对于任何 <math>\alpha \in OT</math> 和任何 <math>\delta</math>，使得 <math>\delta = 0, \mathbb{K}</math> 或 <math>\delta = \psi_\pi^{\vec{\nu}}(b)</math>，其中某个 <math>\pi, b, \vec{\nu}, \alpha \in H_\gamma(\delta) \Leftrightarrow K_\delta(\alpha) < \gamma</math>。

'''定理 14''' <math>(OT, <)</math> 是可计算的序数符号系统。特别是，初始段 <math>\{\alpha \in OT : \alpha < \Omega_1\}</math> 的序类型小于 <math>\omega_1^{CK}</math>。

具体来说，对于 <math>\alpha, \beta \in OT, \alpha < \beta</math> 和 <math>\alpha = \beta</math> 都是可判定的，而对于符号 <math>\{0, \mathbb{K}, \Lambda, +, \omega, \varphi, \Omega, \psi\}</math> 上的项 <math>\alpha</math>，<math>\alpha \in OT</math> 是可判定的。

'''定理 15'''

(a) 令 <math>\beta = \psi_\pi^{\vec{\nu}}(b)</math> 且 <math>\pi = \psi_\kappa^{\vec{\xi}}(a)</math>。则 <math>a < b</math>。

(b) 对于 <math>\alpha = \psi_\pi^{\vec{\nu}}(a) \in OT \max K(\vec{\nu}) \leq a</math> 成立。

AOCF

2026-02-22T01:35:58Z

Tabelog：页面内容被替换为“'''Arai's Ordinal Collapse Function（AOCF）'''是一种类序数坍缩函数。”

'''Arai's Ordinal Collapse Function（AOCF）'''是一种类[[序数坍缩函数]]。

变换映射

2026-02-21T14:54:41Z

Tabelog：创建页面，内容为“变换映射方法是<code>P進大好きbot</code>发展的一个系统性地对记号进行分析和证明良序的方法。分析一个符号时，需要将其与另一个符号进行比较。换句话说，需要明确“哪个项对应哪个项”。在传统的表格分析中，我们并非写出每个项对应的项，而是简单地选择有限个看起来美观的项，然后写出希望它们对应的项。而使用转换映射进行分析，则是…”

变换映射方法是<code>P進大好きbot</code>发展的一个系统性地对记号进行分析和证明良序的方法。

分析一个符号时，需要将其与另一个符号进行比较。换句话说，需要明确“哪个项对应哪个项”。在传统的表格分析中，我们并非写出每个项对应的项，而是简单地选择有限个看起来美观的项，然后写出希望它们对应的项。而使用转换映射进行分析，则是一种通过将项的对应关系定义为全局映射来写出每个项对应的项的方法。

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带有基本列的符号指的是集合 <math>T</math> 中的一对 <math>(T,[]_{T})</math> 。

映射 <math>[]_{T} \colon T \times \mathbb {N} \to T \circ</math> 。实际中，我们经常在更抽象的场景中考虑四元组 <math>(T,[]_{T},\Gamma . 7,\mathrm {d o m}) .</math>

1. 集合 <math>T</math> 。

2. 映射 <math>\mathbb {I}_{T} \colon T^{2} \to T</math> 。

3. 单射映射 ⌜·⌝ <math>\colon \mathbb {N} \hookrightarrow T</math> 。

4. 映射 dom: <math>T T</math> 。

以下讨论可以自然地扩展到这种情况，但为了避免复杂性，本文仅讨论前一种形式。

'''定理 1'''（与序数相关的基本列符号）

当给定可数序数 <math>\alpha</math> 和每个小于 <math>\alpha</math> 的极限序数 <math>\beta</math> 的基本列 <math>\beta[n]</math> 时，该基本列系统可以通过以下方式扩展到非极限序数：(1) 如果 <math>\beta=0</math> ，则 <math>\beta[n]= 0</math> ；(2) 如果 <math>\beta</math> 是后继序数<math>\beta^{\prime} + 1</math> ，则 <math>\beta[n]= \beta^{\prime}</math> 。如果我们将其扩展为 <math>[]_{\alpha} \colon \alpha \times {\mathbb {N}} \to \alpha</math> ，则 <math>\left(\alpha,\mathbb {I}_{\alpha} \right)</math> 成为基本列符号的最基本示例。

'''定理 2'''（基本列与序数符号关联）

设 <math>B T</math> 为与扩展的 Buchholz <math>\psi</math> 函数关联的适当符号， <math>[]_{B T} \colon B T \times B T \to B T</math> 为其标准基本列。通过将映射 <math>\left[\right]_{B T}^{\prime} \colon B T \times {\mathbb {N}} \to B T</math> 定义为 <math>t[n]_{B T}^{\prime}=t[\psi_{0}(0) + \cdot \cdot \cdot + \psi_{0}(0)]_{B T}</math> ，我们得到基本列为 <math>(B T,\left[\right]_{B T}^{\prime})</math> 的符号。

加法和 <math>\psi_{0}(0)</math> 的表达方式取决于 <math>B T</math> 的定义方式，但为了便于理解，这里我们将其表示为 <math>^ +</math> 和 <math>\psi_{0}(0)</math> 本身。这种构造不仅限于扩展的 Buchholz <math>\psi</math> 函数，对于其他具有适当定义的基础序列的 OCF 也类似。

'''定理 3'''（限制）

设 <math>(T,[]_{T})</math> 为基本列符号。如果子集 <math>T_{0} \subset T</math> 对于任意 <math>(t,n) \in T_{0} \times \mathbb {N}</math> 都满足 <math>t[n]\in T_{0}</math> ，则它就是 <math>(T,[]_{T})</math> 的限制。然后，通过将 <math>[]_{T_{0}} \colon T_{0} \times \mathbb {N} T_{0}</math> 定义为 <math>\left[\right]_{T}</math> 的限制，我们得到基本列符号 <math>(T_{0},[]_{T_{0}})</math> 。

限制的典型示例包括：所有通过适当条件化而被视为“标准形式”的项的子集，或将基本列反复应用于某个固定项而得到的所有项的子集。

可以为 <math>(T,[]_{T})</math> 定义一个类似于 Hardy 函数层次和快速增长函数层次的函数层次，因此我们将其表示为 <math>\mathrm {H H}_{T,[]_{T}}</math> 和 <math>\mathrm {F G H}_{T,[]_{T}}</math> 。 <math>\mathrm {H H}_{T,[]_{T}}</math> 和 <math>\mathrm {F G H}_{T,[]_{T}}</math> 是部分函数 <math>T \times \mathbb {N} \to \mathbb {N}</math> ，既不是全局函数也不是可计算函数。因此，如果我们想用它们来定义可计算大数，我们需要确定它们既是全局函数又是可计算函数的充分条件。此外，如果可能的话，它们不仅是全局函数、可计算函数，而且还是解析函数，也是理想的。为了实现这一点，我们引入了阶函数。

对于基本列符号 <math>(T,[]_{T})</math> ，我们定义 <math>T</math> 上的二元关系 <math>s \leq_{T,\mathbb {I}_{T}} ~ t</math> 为“存在 <math>k \in \mathbb N</math> 和<math>(n_{i})_{i=0}^{k-1} \in \mathbb {N}^{k}</math> 使得 <math>t[n_{0}]\cdot \cdot \cdot[n_{k-1}]= s^{;}</math> ”。这里，我们将 <math>k=0</math> 时左边的 <math>t[n_{0}]\cdots[n_{k-1}]</math> 定义为 <math>t</math> 。

<math>\leq_{T,\mathbb {I}_{T}}</math> 具有自反性和传递性，但通常不一定是偏序的。另一方面，示例 1 中用 <math>\left(\alpha,\big[\big]_{\alpha} \right)</math> 构造的 <math>\leq_{\alpha,\mathbb {I}_{\alpha}}</math> 和 <math>\leq_{B T,\mathbb {I}_{B T}^{\prime}}</math> 以及示例 2 中的 <math>(B T,[]_{B T}^{\prime})</math> 符合其通常的顺序，因此它们是良序的。

此外，即使 <math>(T,[]_{T})</math> 是递归的， <math>\leq_{T,\mathbb {I}_{T}}</math> 通常也不一定可计算，但示例 2 中用 <math>(B T,[]_{B T}^{\prime})</math> 构造的 <math>\leq_{B T,\mathbb {I}_{B T}^{\prime}}</math> 符合其通常的顺序，即字典序，因此它是可计算的。

通过研究 <math>\leq_{T,\mathbb {I}_{T}}</math> 的性质，我们可以推导出 <math>\mathrm {H H}_{T,[]_{T}}</math> 和 <math>\mathrm {F G H}_{T,[]_{T}}</math> 的各种性质：

'''定理 4'''（序的良基性与函数的停机性的关系）

（1）设 <math>\leq_{T,\mathbb {I}_{T}}</math> 为良基偏序，则 <math>(T,\leq_{T,\mathbb {I}_{T}})</math> 的每个全序子集的序类型的上界 <math>Lim_{T,\parallel_{T}}</math> 被确定为一个序数，且由于对 <math>\leq_{T,\mathbb {I}_{T}}</math> 的超限归纳是可证明的，故 <math>H H_{T,\parallel_{T}}</math> 和 <math>F G H_{T,\parallel_{T}}</math> 为全定义域。（因此，如果你不关心可计算性或大小，你可以用这种方式创建巨大的数字。）

（2）如果 <math>\leq_{T,\mathbb {I}_{T}}</math> 是良序序，那么 <math>\leq_{T,\mathbb {I}_{T}}</math> 的序类型是 <math>Lim_{T,\parallel_{T}}</math> ，我们可以为 <math>H H_{T,\parallel_{T}}</math> 和<math>F G H_{T,\parallel_{T}}</math> 定义极限函数，使得 <math>Lim_{T,\parallel_{T}}</math> 的序类型与递归结构相匹配。（ <math>\langle Lim_{T,\parallel_{T}}</math> 通常被称为<math>(T,[]_{T})</math> 的极限序数，虽然这本身并不能提供任何关于 <math>H H_{T,\parallel_{T}}</math> 或 <math>F G H_{T,\parallel_{T}}</math> 极限函数增长率的信息，但它常常能为分析提供线索。）

(3) 如果 <math>\leq_{T,\mathbb {I}_{T}}</math> 是递归良序，则 <math>H H_{T,\parallel_{T}} \setminus F G H_{T,\parallel_{T}}</math> 及其极限函数是全局可计算函数。（这为我们提供了一个具有保证停机性质的可计算函数，并为使用序数进行分析提供了一些线索。）

命题 4 (2) 定义了一个序数，该序数为对每个 <math>t \in T</math> 的 <math>(T,[]_{T})</math> 的限制 <math>\{t^{\prime} \in T \mid t^{\prime} \leq</math> <math>t \wedge t^{\prime} \neq t \}</math> 的极限，使得 <math>\leq_{T,\mathbb {I}_{T}}</math> 对 <math>\{t^{\prime} \in T \mid t^{\prime} \leq t \land t^{\prime} \neq t \}</math> 的限制为良序。设该序数为<math>o_{T,\parallel_{T}}(t)</math> ，并称其为 <math>t</math> 在 <math>(T,[]_{T})</math> 中的对应序数。

如果对于任意的 <math>t \in T</math> ， <math>\leq_{T,\mathbb {I}_{T}}</math> 到 <math>\{t^{\prime} \in T \mid t^{\prime} \leq t \land t^{\prime} \neq t \}</math> 的限制满足良序，则 <math>(T,[]_{T})</math> 为一棵树。根据 <math>{{\cal O}_{T,\prod_{T}}}</math> 的基本列直接定义，可知：

'''定理 5'''（树项对应序数的基本性质）

假设 <math>(T,[]_{T})</math> 是一棵树。则有：

(1) 对于任意 <math>(t,n) \in T \times \mathbb {N}</math> ， <math>o_{T,\parallel_{T}}(t)[n]\leq o_{T,\parallel_{T}}(t)_{\circ}</math> 。

(2) 对于任意 <math>t \in T</math> ，若不存在 <math>n \in \mathbb {N}</math> 使得 <math>t[n]= t</math> ，则 <math>o_{T,\parallel_{T}}(t)=\operatorname* {i n f} \{\alpha \in O n \mid \forall n \in</math> <math>\mathbb {N},o_{T,\mathbb {I}_{T}}(t[n]) \in \alpha \} .</math> 。

具体来说，在命题 5 中，如果树 <math>(T,[]_{T})</math> 满足附加条件：

1. 如果 <math>t[0]= t</math> ，则对于任意 <math>n \in \mathbb {N}</math> ， <math>t[n]= t</math> 。

2. 如果 <math>t[0]= t[1]\neq t</math> ，则对于任意 <math>n \in \mathbb {N}</math> ， <math>t[0]= t[n]</math> 。

这是一个易于分析的性质。

1. 如果 <math>t[0]= t</math> ，则 <math>o_{T,\parallel_{T}}(t)=0</math> 。

2. 如果 <math>t[0]= t[1]\neq t</math> ，则 <math>o_{T,\parallel_{T}}(t)=o_{T,\parallel_{T}}(t[0]) + 1</math> 。

3. 如果 <math>t[0]\neq t[1]</math> ，则 <math>\begin{array} {r} {o_{T,\parallel_{T}}(t)=\operatorname* {s u p}_{n \in \mathbb {N}} o_{T,\parallel_{T}}(t[n]) .} \end{array}</math> 。

现在，我们需要一种方法来研究 <math>\leq_{T,\mathbb {I}_{T}}</math> 的性质。为此，我们引入了基本列的良基性概念。

令 <math>(T,[]_{T})</math> 为具有基本列的符号。如果对于任意 <math>n \in \mathbb N</math> ， <math>t[n]= 0</math> ，则称 <math>t \in T</math> 为零项。如果对于任意 <math>t \in T</math> 且 <math>(n_{i})_{i=0}^{\infty} \in \mathbb {N}^{\omega}</math> ，存在某个 <math>k \in \mathbb N</math> 使得 <math>t[n_{0}]\cdots[n_{k-1}]</math> 为零项，则称<math>(T,[]_{T})</math> 为良基本列。

由于 <math>\leq_{T,\mathbb {I}_{T}}</math> 中严格单调递减的无限序列是通过重复应用基本列获得的序列的子序列，因此：

'''定理 6'''（基本列的良基性与序的良基性之间的关系）

<math>(T,[]_{T})</math> 的良基性等价于 <math>\leq_{T,\mathbb {I}_{T}}</math> 的良基性偏序性。特别地，如果 <math>(T,[]_{T})</math> 是一棵树，则它是良基的。

根据命题 4 和 6，为了证明由 <math>(T,[]_{T})</math> 构造的各种函数的总体，只需证明 <math>(T,[]_{T})</math> 的良基性即可。为此，引入了一个变换映射。

令 <math>(T_{1},R_{T_{1}})</math> 和 <math>(T_{2},R_{T_{2}})</math> 为严格（不相等）或（相等）偏序集，令 Trans 为 <math>T_{1} T_{2}</math> 的映射。

若“对于任意 <math>(s,t) \in T_{1} \times T_{1}</math> ，若 <math>s R_{T_{1}} t</math> ，则 <math>\mathrm {Trans}(s) R_{T_{2}} \mathrm {Trans}(t)^{,}</math> ”，则 Trans 为保序映射 <math>(T_{1},R_{T_{1}}) (T_{2},R_{T_{2}})^{\prime \prime}</math> 。如果 Trans 是双射保序映射 <math>(T_{1},R_{T_{1}}) (T_{2},R_{T_{2}})</math> ，且 Trans−1是保序映射 <math>(T_{2},R_{T_{2}}) (T_{1},R_{T_{1}})</math> ，则 Trans 是序同构 <math>(T_{1},R_{T_{1}}) (T_{2},R_{T_{2}})</math> 。注意，如果<math>R_{T_{1}}</math> 和 <math>R_{T_{2}}</math> 均为严格全序或均为全序，则 <math>\mathrm {Trans}^{-1}</math> 上的条件是自动满足的。

注意，即使将一个或两个有序集转换为更一般的二元相关集，部分有序集（无论是否相等）之间的映射的顺序保持和顺序同构的定义也相同。这种“保持某些元素的映射”通常称为同态，而“同态且逆也同态的映射”通常称为同构。

设 <math>(T_{1},\prod_{T_{1}})</math> 和 <math>(T_{2},[]_{T_{2}})</math> 为基列表示法，设 Trans 为 <math>T_{1} T_{2}</math> 的映射。

如果 Trans 是一个保序映射 <math>(T_{1},\Sigma_{T_{1},[]_{T_{1}}}) \to(T_{2},\Sigma_{T_{2},[]_{T_{2}}})</math> ，则 Trans 是一个保序映射<math>(T_{1},[]_{T_{1}}) (T_{2},[]_{T_{2}}),</math> 。

Trans 是一个序同构 (T1,[]T1) → (T2,[]T2)，这意味着 Trans 是一个序同构 (T1,≤T1,[]T <math>(T_{1},[]_{T_{1}}) (T_{2},[]_{T_{2}})</math> <math>(T_{1},\leq_{T_{1},\mathbb {I}_{T_{1}}}</math> <math>) (T_{2},\leq_{T_{2},[]_{T_{2}}}) \circ</math> 。

Trans 是一个保基本列映射 <math>(T_{1},[]_{T_{1}}) (T_{2},[]_{T_{2}})</math> ，这意味着“对于任何 <math>(t,n) \in T_{1} \times \mathbb {N}</math> <math>\operatorname {Trans}(t[n])=\operatorname {Trans}(t)[n]^ {\prime \prime}</math> 成立。

如果 Trans 是一个双射保基本列映射 <math>(T_{1},[]_{T_{1}}) (T_{2},[]_{T_{2}})</math> ，则 Trans 的基本列同构为<math>(T_{1},[l_{T_{1}}) (T_{2},[l_{T_{2}})</math> 。

注意，即使将一个或两个基本列符号转换为偏序集（包含或不包含相等性）（更一般地，具有 2 个元关系的集合），基本列符号之间的映射的保序性和保序性定义相同。例如，<math>(T_{1},[]_{T_{1}}) (T_{2},\pm_{T_{2}})</math> 的保序性是 <math>(T_{1},\Sigma_{T_{1},[]_{T_{1}}}) \to(T_{2},\Sigma_{T_{2}})</math> 的保序性。

根据定义，对于基本列符号之间的映射，保序性和保序性的定义如下：

'''定理 7'''（基本列保持性、序保持性和良基性之间的关系）

(1) 如果 Trans 是基本列同构，则 Trans 和 Trans−1 是基本列保持映射。

(2) 如果 Trans 是基本列保持映射，则 Trans 是序保持映射。

(3) 如果 Trans 是基本列同构，则 Trans 是序同构。

（4）若 Trans 为单射保序映射，且 <math>(T_{2},[]_{T_{2}})</math> 为良基映射（或树），则 <math>(T_{1},\prod_{T_{1}})</math> 为良基映射（或树），且 LimT1,[]T ≤ LimT2,[]T 。 <math>Lim_{T_{1},[]_{T_{1}}} \leq Lim_{T_{2},[]_{T_{2}}}</math>

(5) 若 Trans 为序同构，且 <math>(T_{1},[]_{T_{1}})</math> 为良基集（或树），则 <math>(T_{2},\parallel_{T_{2}})</math> 为良基集（或树），且 <math>Lim_{T_{1},\parallel_{T_{1}}}=Lim_{T_{2},\parallel_{T_{2}}}</math> 。

此外，当将一个或两个基本列符号转换为偏序集，并将基本列符号的极限的良基性和序数替换为偏序集的良基性和部分良序集的序类型的上界时，命题 7 (4) 和 (5) 中关于极限的良基性和序数的断言仍然成立。

在实践中，很多情况下我们想要比较全序（例如字典序），而不是与基础序列相关的顺序。以下是一些在这种情况下有用的命题。对于集合 <math>T</math> 上的二元关系 <math>R_{1}</math> 和 <math>R_{2}</math> ，如果对于任何 <math>(s,t) \in T^{2}</math> ， <math>s R_{1} t</math> 成立，则 <math>R_{1}</math> 蕴涵 <math>R_{2}</math> ，并且 <math>s R_{2} t</math> 成立。

'''定理 8'''（全序没有非平凡蕴涵）

(1) 设 <math><_{1}</math> 和 <math><_{2}</math> 是集合 <math>T</math> 上的严格全序。如果 <math><_{1}</math> 蕴涵 <math><_{2}</math> ，则 <math><_{1}</math> 和 <math><_{2}</math> 相等。

(2) 设 <math>\leq_{1}</math> 和 <math>\leq_{2}</math> 是集合 <math>T</math> 上的全序。如果 <math>\leq_{1}</math> 蕴涵 <math>\leq_{2}</math> ，则 <math>\leq_{1}</math> 和 <math>\leq_{2}</math> 相等。

证明：

(2) 可直接从 (1) 推出，因此我们只需证明 (1)。假设 <math>(s,t) \in T^{2}</math> 满足 <math>s <_{2} t</math> 。只需证明 <math>s <_{1} t</math> 即可。假设情况并非如此，则会导致矛盾。由于 <math>s <_{1} \ t</math> 并非严格全序，因此 <math><_{1}</math> 是严格全序，所以 <math>s=t</math> 或 <math>t <_{1} s</math> 。

如果 <math>s=t</math> ，则 <math>s <_{2} t</math> 与 <math><_{2}</math> 是严格全序相矛盾。

如果 <math>t <_{1} s</math> ，则根据假设 <math>t <_{2} s</math> 成立，这与 <math>s <_{2} t</math> 和 <math><_{2}</math> 是严格全序相矛盾。

由于这两种情况相互矛盾，因此 <math>s <_{1} t</math> 成立。

证毕。

命题 8 本身并不常用，但以下命题（命题 8 的一个应用）可能相当容易使用。

'''定理 9'''（基本列与字典序的比较方法）

设 <math>(T_{1},\mathbb {I}_{T_{1}}</math> 为具有基本列的表示， <math>\le_{T_{1}}</math> 为 <math>T_{1}</math> 上的全序。若 Trans: <math>(T_{1},[]_{T_{1}}) </math> ，则<math>\leq_{T_{1},\parallel_{T_{1}}}</math> 蕴涵 <math>\leq_{T_{1}}</math> ，且与某个全序集 <math>(T_{2},{\leq}_{T_{2}})</math> 序同构。若 <math>(T_{2},{\leq}_{T_{2}})</math> 存在，则 <math>\leq_{T_{1},\parallel_{T_{1}}}</math> 与 <math>\leq_{T_{1}}</math> 相等。

证明：

由于 Trans 是序同构，且 <math>{\le}_{T_{2}}</math> 是全序， <math>\leq_{T_{1},[]_{T_{1}}}</math> 也是全序。由此可知，命题 8 成立。

证毕。

命题 9 主要用于证明具有基本列的符号通过变换映射是良基的，然后将该符号限制为“合适的”标准形式，使其成为关于另一个标准序的序数符号。然而，确定一个“合适的”标

准形式通常并不容易。这是因为，即使直接使用递归集的可计算基本列定义的范式是递归可枚举的，这一点显而易见，但它是递归的，这一点通常并非不证自明。有一种情况可以保证这样的范式是递归的，我们将在下文介绍。

'''定理 10'''（基本列递归枚举的基本性质）

设 <math>T</math> 为递归集， <math>[]_{T} \colon T \times \mathbb {N} \to \mathbb {N}</math> 为可计算映射， <math>\leq_{T}</math> 为 <math>T</math> 上的可计算全序，dom: <math>T </math> <math>\{0,1,2 \}</math> 为可计算映射， <math>T_{0} \subset T</math> 为有限子集，对于每个 <math>n \in \mathbb {N}</math> ，递归定义一个递归可枚举子集 <math>O T_{n} \subset T</math> ，如下所示：

(i) 若 <math>n=0</math> ，则 <math>O T_{n}:=T_{0}</math> 。

(ii) 若 <math>n \neq 0</math> ，则 <math>O T_{n}:=\{t[n]_{T} \mid(t,n) \in O T_{n-1} \times \mathbb {N} \}_{\mathsf {\Omega}} \mathrm {~,~}</math> 。

设 <math>O T</math> 是 <math>T</math> 的一个递归可枚举子集 <math>\textstyle \bigcup_{n \in \mathbb {N}} O T_{n}</math> 。若 <math>\leq_{T,\mathbb {I}_{T}}</math> 蕴涵 <math>\leq_{T}</math> ，且存在可数序数<math>\alpha</math> 和一个映射 Trans: <math>T \to \alpha</math> ，且满足：

(a) Trans 对 OT 的限制是 <math>O T \alpha</math> 双射。

(b) 对于任意 <math>(a,n) \in O T \times \mathbb {N}</math> 且 cof(<math>Trans(a))=0</math> ， <math>a[n]_{T}=a</math>

(c) 对于任意 <math>(a,n) \in O T \times \mathbb {N}</math> 且 cof <math>Trans(a))=1</math> ， <math>Trans(a[n]_{T}) + 1=Trans(a) {\mathrm {{c}}}</math>

(d) 对于任何 <math>a \in O T</math> 且 <math>c o f(Trans(a))=\omega</math> ， <math>(Trans(a[n]_{T}))_{n \in \mathbb {N}}</math> 是 <math>Trans(a)</math> 的基本列。

(e) 对于任何 <math>a \in O T</math> ， <math>dom(a)=\operatorname {m i n} \{c o f(Trans(a)),2 \}</math>

证明：

我们使用一种类似于 Fish 算法（通常称为 rpakr 方法）的方法，该方法有望提供一种确定 Bashik 矩阵范式的算法。可计算子图

<math>\begin{array}{l} \downarrow \colon O T \times T \times \mathbb {N} \quad \rightarrow \quad \{0,1 \} \\ (s,a,n) \mapsto \downarrow_{s} (a,n) \\ \end{array}</math>

我们递归定义如下：

如果 <math>a=s</math> ，则 <math>\downarrow_{s}(a,n):=1</math> 。

令 <math>a \neq s</math>

如果 <math>s \leq_{T} a</math> ，则 <math>\downarrow_{s}(a,n):=0</math> 。

令 <math>\begin{array} {r l} {s} & {{} \leq_{T} a} \end{array}</math>

如果 <math>\mathrm {d o m}(s)=0</math> ，则 <math>\downarrow_{s}(a,n):=0</math> 。

令 <math>\mathrm {d o m}(s) \neq 0</math> 。

如果满足 <math>a \leq_{T} s[n]_{T}</math> ，则 <math>\downarrow_{s}(a,n):=\downarrow_{s[n]_{T}}(a,0)</math> 。令 <math>a \leq_{T} s[n]_{T}</math> 不满足。

如果 <math>\mathrm {d o m}(s)=1</math> ，则 <math>\downarrow_{s}(a,n):=0</math> 。

如果 <math>\mathrm {d o m}(s)=2</math> ，则 <math>\downarrow_{s}(a,n):=\downarrow_{s}(a,n + 1)</math> 。

由于条件 (a) 和 (d)，分支 22222 在有限次迭代后过渡到分支 2221。由于条件 (c) 和(d)，在分支 2221 处，

<math>\operatorname {Trans} (s[n]_{T})< \operatorname {Trans} (s)</math>

成立。因此，由于 <math>\alpha</math> 的良基性，分支 22222 和分支 2221 在有限次迭代后过渡到分支1、分支 21、分支 221 或分支 22221。由上式可知，↓ 是总定义域。

此处，令 <math>\big[\big]_{O T}</math> 为 <math>\left[\right]_{T}</math> 的定义域和陪域，分别限制为 <math>O T \times \mathbb {N}</math> 和 <math>O T</math> 。条件 (a)、(b)、(c) 和 (d) 表明，Trans 到 <math>O T</math> 的限制是 <math>(O T,\leq_{O T,\parallel_{O T}}) (\alpha,\subset)</math> 的序同构。命题 9 表明，<math>\leq_{O T,\mathbb {I}_{O T}}</math> 与 <math>\leq_{T}</math> 到 <math>O T</math> 的限制相一致，并且特别地， <math>\leq_{O T,\mathbb {I}_{O T}}</math> 是全序。

令 <math>\downarrow^{\prime}</math> 为将 ↓ 计算中所有条件分支中的 <math>\leq_{T}</math> 替换为 <math>\leq_{T,\mathbb {I}_{T}}</math> 后得到的子映射。因为 ↓ 是全定义域，且 <math>\leq_{O T,\mathbb {I}_{O T}}</math> 与 <math>\leq_{T}</math> 对 <math>O T</math> 的限制相同，所以 <math>\downarrow^{\prime}</math> 的定义域包含 <math>O T^{2} \times \mathbb {N}</math> ，且对于任何 <math>(s,a,n) \in O T^{2} \times \mathbb {N}</math> ，↓s <math>(a,n)=\downarrow_{s}^{\prime}(a,n)</math> 。因为 <math>\leq_{O T,\mathbb {I}_{O T}}</math> 是全序，所以对于任何<math>(a,s) \in O T^{2}</math> ，且 <math>a \neq s</math> ， <math>s \leq_{O T,\mathbb {I} o_{T}} a</math> 等价于 <math>a \leq_{O T,\mathbb {I} o r}</math> s。

下面我们证明，对于任意的 <math>(s,a) \in O T^{2}</math> ，若 <math>a \leq_{O T,\mathbb {I} o_{T}} s</math> 则 <math>\downarrow_{s}^{\prime}(a,0)=1</math> 。

Trans 对 <math>O T</math> 的限制是序同构 <math>(O T,\lnot o {\cal o T},\lfloor \ l o {\cal T} \rfloor \to(\alpha,\subset)</math> ，因此 <math>\mathrm {Trans}(a) \leq \mathrm {Trans}(s) .</math> 。<math>\downarrow_{s}^{\prime} ~(a,0)</math> 的递归公式只需将 <math>[]_{T}</math> 应用于 1 个参数或修改 3 个参数即可。只要 Trans 中 1 个参数的像基于条件 (c) 和 (d) 大于 Trans <math>(a)</math> ，那么在 Trans 的递归公式中，将 <math>[]_{T}</math> 应用于 1个参数的结果的像就等于或大于 Trans <math>(a)</math> 。因此，由于 <math>\alpha</math> 的良基性， <math>\downarrow_{s}^{\prime} ~(a,0)</math> 的计算最终到达分支 1。换句话说， <math>\downarrow_{s}^{\prime}(a,0)=1</math> 。

下面我们证明，对于任意 <math>(s,a) \in O T \times T</math> ， <math>a \leq_{T,\mathbb {I}_{T}} s</math> 等价于 <math>\downarrow_{s}(a,0)=1</math> 。

假设 <math>a \leq_{T,\mathbb {I}_{T}} s</math> 。在这种情况下， <math>a \in O T</math> 为真，因为 <math>s \in O T</math> 。因此， <math>a \leq_{O T,\parallel_{O T}} s</math> 为真，所以 <math>\downarrow_{s}</math> <math>{\bf \Pi}_{\cdot s} \left(a,0 \right)=\downarrow_{s}^{\prime}</math> <math>(a,0)=1</math> 。假设 <math>\downarrow_{s}</math> <math>\downarrow_{s} ~(a,0)=1</math> 。在这种情况下， <math>\downarrow</math> 的定义表明我们最终必须经过分支 1，但 <math>\downarrow</math> 的递归公式只需将 <math>\left[\right]_{T}</math> 应用于 1 个参数或更改 3 个参数，因此<math>a \leq_{T,\mathbb {I}_{T}} s</math> 。由上可知， <math>\begin{array} {r} {O T=\{a \in T \mid \sum_{s \in S_{0}} \downarrow_{s}(a,0) \neq 0 \}} \end{array}</math> ，因此 <math>O T</math> 是 <math>T</math> 的递归子集。

证毕。

请注意，命题 10 目前不适用于 Bashicu 矩阵。这是因为在 Bashicu 矩阵中尚不清楚如何获得 <math>\alpha</math> 和 Trans，即使成功获得它们，证明条件 (a) 也极其困难，尽管条件 (b)、(c) 和(d) 很容易证明。例如，单射性的常用方法是将其归结为序数的适当范式表示的唯一性。单射性通常很难。

'''定理 11'''（变换映射是否为全射的判定法）

设 <math>(T,[]_{T})</math> 为具有基本列的符号， <math>\alpha</math> 为可数序数。如果映射 Trans: <math>T \to \alpha</math> 满足以下条件，则 Trans 为全射：

(a) Trans 的像在 <math>\alpha</math> 中无界。

<math>(b)</math> 对于任意 <math>a \in T</math> ，且 <math>c o f(Trans(a))=1</math> ，则 <math>Trans(a[0]_{T}) + 1=Trans(a) {\mathrm {{\Omega}}}</math> 。

(c) 对于任何 <math>a \in T</math> 使得 <math>c o f(Trans(a))=\omega</math> ， <math>(Trans(a[n]_{T}))_{n \in \mathbb {N}}</math> 是 Trans(a) 的基本列。

证明：

根据条件 (b) 和 (c)，Trans 定义了一个保序映射 <math>(T,\leq_{T,\Vert_{T}}) \to(\alpha,\in)</math> 。因此，令 Trans的像为 <math>X</math> 。假设 <math>X \neq \alpha</math> 会导致矛盾。

根据假设， <math>\alpha \backslash X</math> 非空，因此根据 <math>\alpha</math> 的良基性，存在 <math>\alpha \setminus X</math> 的最小元素 <math>\beta</math> 。对于每个<math>i \in \mathbb N</math> ，递归定义 <math>s_{i} \in T</math> 如下：

如果 <math>i=0</math> ，则根据条件 (a)，存在 <math>s</math> 满足 <math>\beta \in \mathrm {Trans}(s)</math> ，因此定义 <math>s_{i}</math> 为这样的 <math>s</math> 之一。

如果 <math>i \neq 0</math> ，则条件 (b) 和 (c) 以及 <math>\beta \notin X</math> 意味着 <math>\{n \in \mathrm {c o f}(\mathrm {Trans}(s_{i})) ~ | ~ \beta \in s_{i-1}[n]_{T}</math> 非空，因此我们将 <math>n_{i}</math> 定义为其最小值，并设 <math>s_{i}:=s_{i-1}[n_{i}]_{T}</math> 。

然后，通过反复应用 <math>\left[\right]_{T}</math> 以及条件 (b) 和 (c) 构造 <math>(s_{i})_{i \in \mathbb {N}},(\mathrm {Trans}(s_{i}))_{i \in \mathbb {N}}</math> 可知 <math>(\mathrm {Trans}(s_{i}))_{i \in \mathbb {N}}</math> 变为 <math>\alpha</math> 的无限下降序列，这与 <math>\alpha</math> 的良基性相矛盾。从上面可知， <math>X=\alpha</math> 。

证毕。

现在，从命题 4 (1)、命题 6、命题 7 (3) 和命题 7 (5) 可知，如果我们能够得到一个基本列同构于序数的部分符号，或与序数相关的基本列的符号，那么我们就可以自动证明其良基性，证明各种函数的停机性，并立即确定该符号的序数极限。给定映射是否为基本列同构相对容易，因为只需根据基本列定义中出现的情况区分（如果可计算，则为有限多个）进行检查即可。这就是为什么证明 HPrSS 和 SAN 的停机性非常容易的原因。

另一方面，序同构不一定是基本列同构。证明非基本列同构的映射是序同构非常困难。这就是为什么对序列停机性的证明非常复杂的原因。

PrSS的良序性

2026-02-21T14:41:43Z

Tabelog：

=== PrSS 没有无穷降链 ===
首先我们将 [[初等序列系统|PrSS]] 的每个合法表达式 <math>S</math> 对应于一个不超过 <math>\varepsilon_0</math> 的[[序数]] <math>F(S)</math>。然后我们证明 PrSS 表达式展开时，其对应的序数严格递减。于是就可以依据 <math>\varepsilon_0</math> 的[[良序|良序性]]说明 PrSS 没有无穷降链。

'''第一步'''：将 PrSS 的每个合法表达式对应于一个不超过 <math>\varepsilon_0</math> 的序数。

对 PrSS 表达式的长度归纳定义。

任取 PrSS 合法表达式 <math>S=(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>。

若 <math>n=0</math>，则 <math>F(S)=0<\varepsilon_0</math>。

若 <math>n>0</math>，分两种情况讨论：

* 若 <math>\forall i\in\{2,3,\cdots,n\},a_i\neq 0</math>，则取 <math>T=(a_2-1,a_3-1,\cdots,a_n-1)</math>。<br>不难验证，<math>T</math> 是合法的 PrSS 表达式，且 <math>T</math> 的长度比 <math>S</math> 的长度短。令 <math>F(S)=\omega^{F(T)}</math>。<br>因为 <math>F(T)<\varepsilon_0</math>，所以 <math>F(S)<\varepsilon_0</math>。
* 否则，设 <math>S</math> 中有 <math>r</math> 项为零，且 <math>a_{k_1}=a_{k_2}=\cdots=a_{k_r}=0</math>，其中 <math>1=k_1<k_2<k_3<\cdots<k_r<k_{r+1}=n+1</math>。<br>取 <math>S_i=(a_{k_i},a_{k_i+1},\cdots,a_{k_{i+1}-1}),\quad i=1,2,\cdots,r</math>，不难验证 <math>S_1,S_2,\cdots,S_r</math> 都是合法的 PrSS 表达式，且它们的长度都比 <math>S</math> 短。<br>令 <math>F(S)=F(S_1)+F(S_2)+\cdots+F(S_r)</math>。<br>因为 <math>F(S_1),F(S_2),\cdots,F(S_r)<\varepsilon_0</math>，所以 <math>F(S)<\varepsilon_0</math>。

'''第二步'''：证明 PrSS 表达式展开时，其对应的序数严格递减。

对 PrSS 表达式的长度归纳证明。

任取 PrSS 表达式 <math>S=(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>。

若 <math>n=0</math>，则 <math>S</math> 无法展开。下面讨论 <math>n>0</math> 的情况。

若 <math>a_n=0</math>，则 <math>S</math> 的展开式（前驱表达式）是 <math>T=(a_1,a_2,\cdots,a_{n-1})</math>。分为两种情况讨论：

* 若 <math>\forall i\in\{2,3,\cdots,n\},a_i\neq 0</math>，则 <math>S=(0)</math>，<math>F(S)=1</math>，<math>T=()</math>，<math>F(T)=0</math>，<math>F(T)<F(S)</math>。
* 否则，设 <math>S</math> 中有 <math>r</math> 项为零，且 <math>a_{k_1}=a_{k_2}=\cdots=a_{k_r}=0</math>，其中 <math>1=k_1<k_2<k_3<\cdots<k_r=n<k_{r+1}=n+1</math>。<br>取 <math>S_i=(a_{k_i},a_{k_i+1},\cdots,a_{k_{i+1}-1}),\quad i=1,2,\cdots,r</math>，则 <math>F(S)=F(S_1)+F(S_2)+\cdots+F(S_r)</math>。<br>注意到 <math>S_r=(0)</math>，<math>F(S_r)=1</math>，所以 <math>F(T)=F(S_1)+F(S_2)+\cdots+F(S_{r-1})</math>，所以 <math>F(S)=F(T)+1>F(T)</math>。

若 <math>a_n\neq 0</math>，分为三种情况讨论：

* 若 <math>S</math> 中有不止一项是零。<br>设 <math>S</math> 中有 <math>r>1</math> 项为零，且 <math>a_{k_1}=a_{k_2}=\cdots=a_{k_r}=0</math>，其中 <math>1=k_1<k_2<k_3<\cdots<k_r<k_{r+1}=n+1</math>。<br>取 <math>S_i=(a_{k_i},a_{k_i+1},\cdots,a_{k_{i+1}-1}),\quad i=1,2,\cdots,r</math>，则 <math>F(S)=F(S_1)+F(S_2)+\cdots+F(S_r)</math>。<br>设 <math>S</math> 的坏根为 <math>a_x</math>。不难看出，<math>x\ge k_r</math>。<br>设 <math>S_r</math> 的基本列的第 <math>p</math> 项是 <math>V_p</math>。由 PrSS 展开规则，<math>S</math> 的基本列的第 <math>p</math> 项是 <math>U_p=(S_1,S_2,\cdots,S_{r-1},V_p)</math>。<br>因为 <math>S_r</math> 的长度比 <math>S</math> 短，根据归纳假设，有 <math>F(V_p)<F(S_r)</math>。<br>设 <math>V_p=(b_1,b_2,\cdots,b_m)</math> 中有 <math>s</math> 项为零，且 <math>b_{l_1}=b_{l_2}=\cdots=b_{l_s}=0</math>，其中 <math>1=l_1<l_2<l_3<\cdots<l_s<l_{s+1}=m+1</math>。<br>取 <math>T_i=(b_{l_i},b_{l_i+1},\cdots,b_{l_{i+1}-1}),\quad i=1,2,\cdots,s</math>，则 <math>F(V_p)=F(T_1)+F(T_2)+\cdots+F(T_s)</math>。<br>所以 <math display="block">\begin{aligned}F(U_s)\,&=F(S_1)+F(S_2)+\cdots+F(S_{r-1})+F(T_1)+F(T_2)+\cdots+F(T_s)\\&=F(S_1)+F(S_2)+\cdots+F(S_{r-1})+(F(T_1)+F(T_2)+\cdots+F(T_s))\\&=F(S_1)+F(S_2)+\cdots+F(S_{r-1})+F(V_s)\\&<F(S_1)+F(S_2)+\cdots+F(S_{r-1})+F(S_r)\\&=F(S)\end{aligned}</math>
* 若 <math>S</math> 中仅有首项为零，且末项为 <math>a_n=1</math>。<br>令 <math>T_1=(a_1,a_2,\cdots,a_{n-1})</math>。由 PrSS 展开规则，不难看出 <math>S</math> 的基本列的第 <math>p</math> 项是 <math>U_p=(T_1,T_1,\cdots,T_1)</math>，其中有 <math>p</math> 个 <math>T_1</math>。<br>显然 <math>n\ge 2</math>，所以 <math>F(T_1)>0</math>。<br>那么 <math>F(U_p)=F(T_1)+F(T_1)+\cdots+F(T_1)=F(T_1)\times p<F(T_1)\times\omega</math>。<br>令 <math>T_2=(a_2-1,a_3-1,\cdots,a_n-1)</math>，则 <math>F(S)=\omega^{F(T_2)}</math>。<br>令 <math>T_3=(a_2-1,a_3-1,\cdots,a_{n-1}-1)</math>，则 <math>F(T_1)=\omega^{F(T_3)}</math>。<br>因为 <math>a_n-1=0</math>，所以 <math>F(T_2)=F(T_3)+1</math>，所以 <math>F(S)=\omega^{F(T_2)}=\omega^{F(T_3)+1}=\omega^{F(T_3)}\times\omega=F(T_1)\times\omega>F(U_p)</math>。
* 若 <math>S</math> 中仅有首项为零，且末项为 <math>a_n\neq 1</math>。<br>令 <math>T=(a_2-1,a_3-1,\cdots,a_n-1)</math>，因为 <math>a_n-1\neq 0</math>，所以 <math>T</math> 是极限表达式。<br>设 <math>T</math> 的基本列的第 <math>k</math> 项是 <math>T_k=(b_1,b_2,\cdots,b_{m_k})</math>，则由 PrSS 展开规则可以看出 <math>S</math> 的基本列的第 <math>k</math> 项是 <math>S_k=(0,b_1+1,b_2+1,\cdots,b_{m_k}+1)</math>。<br>根据归纳假设有 <math>F(T_k)<F(T)</math>，所以 <math>F(S_k)=\omega^{F(T_k)}<\omega^{F(T)}=F(S)</math>。

证毕。

以上，我们证明了 PrSS 表达式的展开过程不会无限进行，即不存在无穷降链。

至此，PrSS 已经是一个合格的序数记号了。但我们不止于此，我们要给出判断 PrSS 表达式是否标准的方法，并证明 PrSS 标准式的序是字典序。

=== PrSS 标准表达式 ===
PrSS 的极限基本列是 <math>(),(0),(0,1),(0,1,2),\cdots</math>。PrSS 的极限基本列的第 <math>n</math> 项是 <math>L_n=(0,1,2,\cdots,n-1)</math>。

'''定义'''（PrSS 标准表达式）

一个 PrSS 表达式 <math>S</math> 是 '''PrSS 标准表达式'''（简称 '''PrSS 标准式'''），当且仅当存在 <math>n</math> 使得极限基本列的第 <math>n</math> 项 <math>L_n</math> 可以经过若干次展开得到 <math>S</math>。

简单地说，标准式就是能从极限基本列展开得到的表达式。对于大部分的序数记号，存在合法但不标准的表达式。这些不标准的合法表达式往往也能对应于一个序数（例如上一节的映射 <math>F</math> 不要求表达式是标准的），但这将导致不同的合法表达式对应于同一个序数。对应于同一个序数的不同合法表达式，例如 <math>(0,1)</math> 和 <math>(0,0,1)</math> 都是对应于 <math>\omega</math> 的表达式，彼此之间无法展开成对方。这意味着合法表达式集不是全序，更不是良序。不同的标准表达式则不会对应于同一个序数，标准表达式集确实是良序的。

在这一节，我们将给出 PrSS 标准式的必要条件。该条件实际上也是充分的，不过充分性将在下一节证明。在此之前，我们先来定义字典序的概念。

'''定义'''（字典序）

设 <math>A</math> 是一个全序集，其上的全序是 <math>\le</math>。考虑两个数列 <math>S=(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math> 和 <math>T=(b_1,b_2,\cdots,b_m)</math>，其中 <math>a_1,a_2,\cdots,a_n,b_1,b_2,\cdots,b_m\in A</math>。在字典序下，<math>S\le T</math> 当且仅当以下两条中的一条成立：
* 存在 <math>0\le k<\min\{n,m\}</math> 使得对任意 <math>i\in\{1,2,\cdots,k\}</math> 有 <math>a_i=b_i</math>，但 <math>a_{k+1}<b_{k+1}</math>；
* 对任意 <math>i\in\{1,2,\cdots,\min\{n,m\}\}</math> 有 <math>a_i=b_i</math>，且 <math>n\le m</math>。

不难看出，对任意两个由 <math>A</math> 中元素组成的有限数列 <math>S,T</math>，总有 <math>S\le T\lor T\le S</math>。也就是说，字典序是全序。

'''引理'''

PrSS 表达式展开时，字典序变小。

'''证明'''

设 <math>S=(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math> 是 PrSS 表达式。

如果 <math>a_n=0</math>，则 <math>S</math> 的展开式为 <math>T=(a_1,a_2,\cdots,a_{n-1})</math>。根据定义，对任意 <math>i\in\{1,2,\cdots,n-1\}</math> 有 <math>a_i=a_i</math>，且 <math>n-1<m</math>，所以 <math>T<S</math>。

如果 <math>a_n\neq 0</math>，且展开式 <math>T</math> 是 <math>S</math> 的基本列的第 <math>0</math> 项，则 <math>T</math> 相当于删去 <math>S</math> 的末项，所以 <math>T<S</math>。

如果 <math>a_n\neq 0</math>，且展开式 <math>T</math> 是 <math>S</math> 的基本列的第 <math>k>0</math> 项，则 <math>T</math> 相当于删去 <math>S</math> 的末项，并复制若干次坏部。因为坏部的第一项（坏根）小于末项，所以 <math>T<S</math>。

证毕。

现在可以给出 PrSS 标准式的必要条件了。

'''临时定义'''（PrSS 规范式）

对表达式 <math>S=(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math> 的长度 <math>n</math> 归纳定义。

若 <math>n=0</math>，则 <math>S=()</math> 是 PrSS 规范式。

若 <math>n>0</math> 且 <math>S</math> 中仅有首项是零，则 <math>S</math> 是 PrSS 规范式当且仅当 <math>(a_2-1,a_3-1,\cdots,a_n-1)</math> 是 PrSS 规范式。

若 <math>n>0</math> 且 <math>S</math> 中有 <math>r>1</math> 项是零，设 <math>a_{k_1}=a_{k_2}=\cdots=a_{k_r}=0</math>，其中 <math>1=k_1<k_2<\cdots<k_r<k_{r+1}=n+1</math>，令 <math>S_i=(a_{k_i},a_{k_i+1},\cdots,a_{k_{i+1}-1})</math>。则 <math>S</math> 是 PrSS 规范式当且仅当 <math>S_1,S_2,\cdots,S_r</math> 都是 PrSS 规范式且按字典序 <math>S_1\ge S_2\ge\cdots\ge S_r</math>。

PrSS 规范式是本文临时定义的，并不是通用术语。PrSS 规范式实际上等价于 PrSS 标准式。

'''定理'''

PrSS 标准式都是 PrSS 规范式。

'''证明'''

不难看出 PrSS 极限基本列都是 PrSS 规范式，因此只需证明 PrSS 规范式的展开式也是 PrSS 规范式即可。

对规范表达式 <math>S=(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math> 的长度 <math>n</math> 归纳证明。

<math>n=0,1</math> 的情况是平凡的，下面讨论 <math>n>1</math> 的情况。

若 <math>S</math> 中有 <math>r>1</math> 项是零，设 <math>a_{k_1}=a_{k_2}=\cdots=a_{k_r}=0</math>，其中 <math>1=k_1<k_2<\cdots<k_r<k_{r+1}=n+1</math>，令 <math>S_i=(a_{k_i},a_{k_i+1},\cdots,a_{k_{i+1}-1})</math>。则 <math>S</math> 的展开相当于 <math>S_r</math> 的展开。根据归纳假设，<math>S_r</math> 的展开式是规范的。因为 <math>S_r</math> 展开后字典序会变小（引理），所以 <math>S</math> 展开后，各部分的字典序依然递减，所以 <math>S</math> 的展开式是规范的。注意这里要讨论 <math>S_r</math> 的展开式有不止一个零的情况，不过这个讨论并不难，感兴趣的读者可以自行讨论。

若 <math>S</math> 中仅有一项是零，且 <math>a_n=1</math>。令 <math>T_1=(a_2-1,a_3-1,\cdots,a_n-1)</math>。因为 <math>S</math> 是规范表达式，根据规范表达式的定义，<math>T_1</math> 也是规范表达式。从规范表达式的定义中不难看出，去掉 <math>T_1</math> 末尾的 <math>a_n-1=0</math> 后依然是规范的，即 <math>T_2=(a_2-1,a_3-1,\cdots,a_{n-1}-1)</math> 规范。所以 <math>T=(a_1,a_2,\cdots,a_{n-1})</math> 规范。注意到 <math>S</math> 的展开式形如 <math>(T,T,\cdots,T)</math>，所以 <math>S</math> 的展开式是规范的。

若 <math>S</math> 中仅有一项是零，且 <math>a_n\neq 1</math>。令 <math>T=(a_2-1,a_3-1,\cdots,a_n-1)</math>。因为 <math>S</math> 规范，所以 <math>T</math> 规范。根据归纳假设，<math>T</math> 的展开式是规范的。设 <math>S</math> 的一个展开式是 <math>(b_1,b_2,\cdots,b_m)</math>，则由 PrSS 展开规则可知 <math>(b_2-1,b_3-1,\cdots,b_m-1)</math> 是 <math>T</math> 的展开式，是规范的，所以 <math>S</math> 的展开式也是规范的。

证毕。

在第一节证明 PrSS 没有无穷降链时，我们使用了序数的良序性。如果想不依赖序数就证明 PrSS 没有无穷降链，参见知乎用户 www620 的证明<ref>https://zhuanlan.zhihu.com/p/13871622947</ref>。这个证明依赖本节的两个结论：PrSS 表达式展开时字典序变小、PrSS 标准式都是规范式。注意到本节的两个结论不依赖第一节，所以没有循环论证的问题。

=== PrSS 标准式集的良序性 ===
上一节我们证明了 PrSS 合法表达式在展开过程中字典序变小，并由此得到了 PrSS 标准式的必要条件。这一节，我们证明字典序变小反过来也意味着可以展开得到，并由此得到 PrSS 标准式的充分条件。

'''定理'''

设 <math>S,T</math> 是 PrSS 规范式，且按字典序 <math>S<T</math>，则 <math>S</math> 经过若干次展开可以得到 <math>T</math>。

注意上一节的引理对任意 PrSS 合法式均成立，而这个定理要求 <math>S,T</math> 都是规范式。

'''证明'''

定义一种特殊的展开函数 <math>E</math>：设 PrSS 表达式 <math>U</math> 的基本列为 <math>U_0,U_1,U_2,\cdots</math>。若存在 <math>i</math> 使得按字典序 <math>U_i\ge S</math>，则取 <math>k=\min\{i\mid U_i\ge S\}</math> 并定义 <math>E(U)=U_k</math>。如果对任意 <math>i</math> 都有按字典序 <math>U_i<S</math>，则取 <math>E(U)=U</math>。如果 <math>U</math> 是后缀表达式，则取 <math>U_0=U_1=\cdots</math> 为 <math>U</math> 的前驱表达式。特殊地，如果 <math>U</math> 是零表达式，则 <math>E(U)=U</math>。

从 <math>E</math> 的定义不难看出，如果按字典序 <math>U\ge S</math>，则按字典序 <math>E(U)\ge S</math>。令 <math>T_0=T</math>，<math>T_{n+1}=E(T_n)</math>。因为按字典序 <math>T>S</math>，所以对任意 <math>i</math> 都有按字典序 <math>T_i\ge S</math>。

而第一节已经证明 PrSS 不存在无穷降链，所以存在 <math>k</math> 使得 <math>T_k=T_{k+1}=\cdots</math>。讨论一下不难得到，这时有两种可能：

* <math>T_k=S</math>。
* 按字典序 <math>T_k>S</math>，但 <math>T_k</math> 的基本列的每一项都按字典序小于 <math>S</math>。进一步讨论还可以看出，这种情况下 <math>T_k</math> 一定是极限表达式。

前一种情况命题已经成立，只需要用反证法证明后一种情况不存在即可。

若存在，设 <math>T_k</math> 的好部是 <math>G</math>，坏部是 <math>B</math>，末项是 <math>L</math>，坏根是 <math>L-1</math>，则 <math>T_k=(G,B,L)</math>，而 <math>T_k</math> 的展开式形如 <math>(G,B,B,\cdots)</math>。

如果 <math>S</math> 按字典序小于 <math>T_k</math> 而大于 <math>(G,B,B,\cdots)</math>，那么 <math>S</math> 一定以 <math>(G,B)</math> 开头。设 <math>S=(G,B,X)</math>，那么 <math>X</math> 的首项等于坏根 <math>L-1</math>，而 <math>X</math> 按字典序大于 <math>(B,B,\cdots)</math>。

这与 <math>S</math> 是规范表达式相矛盾。这个矛盾可以更明确地写出来，但会占据大量篇幅且可能不会提供新的见解，所以在此略。也许以后我会补充。

证毕。

至此，我们已经证明了，规范表达式集上由展开定义的序，等价于字典序。

'''定理'''

PrSS 规范式都是 PrSS 标准式。

'''证明'''

设 <math>S</math> 是 PrSS 规范式。存在 <math>n</math> 使得 <math>T=(0,1,2,\cdots,n-1)</math> 按字典序大于 <math>S</math>。根据上一个定理，<math>T</math> 可以展开成 <math>S</math>，所以 <math>S</math> 是 PrSS 标准式。

证毕。

至此，我们证明了 PrSS 没有无穷降链、PrSS 标准式集的序是字典序，而字典序是全序，所以 PrSS 标准式集上的序是良序。

但我们不止于此。下一节，我们要证明 PrSS 标准式集[[良序|序同构]]于 <math>\varepsilon_0</math>。

=== PrSS 标准式集的序型 ===
为了证明 PrSS 标准式集[[良序|序同构]]于 <math>\varepsilon_0</math>，我们要证明第一节定义的保序映射 <math>F</math> 是 PrSS 标准式集和 <math>\varepsilon_0</math> 之间的双射，结合 PrSS 标准式集的全序性，就能说明 <math>F</math> 是 PrSS 标准式集和 <math>\varepsilon_0</math> 之间的序同构。

'''定理'''

<math>F</math>是 PrSS 标准式集与<math>\varepsilon_0</math>之间的保序双射。

'''证明'''

对于小于<math>\varepsilon_0</math>的序数<math>\alpha</math>，定义<math>Seq(\alpha)=(a_1,a_2,\cdots,a_k)</math>是这样的自然数序列：

* <math>Seq(0)=()</math>为空序列
* <math>\alpha>0</math>时，设它的康托范式为<math>\alpha=\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_n}</math>，则<math>Seq(\alpha)=T(S'(\alpha_1),S'(\alpha_2),\cdots,S'(\alpha_n))</math>，其中<math>T</math>为序列的拼合，而如果<math>Seq(\alpha)=(a_1,a_2,\cdots,a_k)</math>，<math>S'(\alpha)</math>定义为<math>(0,a_1+1,a_2+1,\cdots,a_k+1)</math>

我们给出几个引理：

'''引理 1''' 如果<math>\varepsilon_0>\alpha\geq\beta</math>，则按字典序<math>Seq(\alpha)\geq{Seq(\beta)}</math>

'''引理 2''' <math>Seq(\alpha)</math>是 PrSS 的规范式。

'''引理 3''' <math>F(Seq(\alpha))=\alpha</math>

'''引理 4''' <math>Seq(F(S))=S</math>，其中<math>S</math>为 PrSS 规范式

'''引理 1 的证明''' 取出所有有序对<math>(\alpha,\beta)</math>使<math>\varepsilon_0>\alpha>\beta</math>但按字典序<math>Seq(\alpha)\leq{Seq(\beta)}</math>，取出其中<math>\alpha</math>最小的一组。写出它们的康托范式：

<math>\alpha=\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_p}</math>

<math>\beta=\omega^{\beta_1}+\omega^{\beta_2}+\omega^{\beta_3}+\cdots +\omega^{\beta_q}</math>

则以下两点成立其一：
# 存在某个<math>i\leq{min\{p,q\}}</math>使<math>\alpha_i>\beta_i</math>
# <math>q<p</math>，且对于所有<math>i\leq{q}</math>有<math>\alpha_i=\beta_i</math>

对于前者，由于<math>\alpha_i<\alpha</math>，根据<math>\alpha</math>的最小性，字典序下<math>Seq(\alpha_i)>Seq(\beta_i)</math>，根据定义，字典序下<math>Seq(\alpha)>Seq(\beta)</math>，矛盾。

对于后者，易知<math>Seq(\beta_i)</math>是<math>Seq(\alpha_i)</math>删去后面数项得到的子序列。故字典序下<math>Seq(\alpha)>Seq(\beta)</math>，矛盾。

因此，这样的有序对<math>(\alpha,\beta)</math>不存在，所以如果<math>\varepsilon_0>\alpha\geq\beta</math>，则按字典序<math>Seq(\alpha)\geq{Seq(\beta)}</math>

又如果<math>\varepsilon_0>\alpha=\beta</math>，则按字典序<math>Seq(\alpha)=Seq(\beta)</math>。于是引理1得证。

'''引理 2 的证明''' 设<math>\alpha<\varepsilon_0</math>是最小使得<math>Seq(\alpha)</math>不是 PrSS 的规范式的序数。设它的康托范式为<math>\alpha=\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_n}</math>。

(1) 若<math>n=1</math>，<math>\alpha=\omega^{\alpha_1}</math>，<math>Seq(\alpha)=S'(\alpha_1)</math>。根据定义，<math>Seq(\alpha)</math>是 PrSS 的规范式当且仅当<math>Seq(\alpha_1)</math>是 PrSS 的规范式，而<math>\alpha_1<\alpha</math>，根据最小性，<math>Seq(\alpha_1)</math>是 PrSS 的规范式，故<math>Seq(\alpha)</math>也是 PrSS 的规范式，矛盾。

(2) 若<math>n>1</math>，<math>\alpha=\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_n}</math>，<math>Seq(\alpha)=T(S'(\alpha_1),S'(\alpha_2),\cdots,S'(\alpha_n))</math>。根据定义，<math>Seq(\alpha)</math>是 PrSS 的规范式当且仅当每个<math>Seq(\alpha_k)</math>均是 PrSS 的规范式且<math>Seq(\alpha_k)</math>的字典序不增，<math>k=1,2,\cdots,n</math>。前者是显然的(类似于上文的(1)部分)，而后者由<math>\alpha_1\geq\alpha_2\geq\cdots\alpha_n</math>和引理1保证。于是<math>Seq(\alpha)</math>是 PrSS 的规范式，矛盾。

故这样的<math>\alpha<\varepsilon_0</math>不存在。引理2得证。

'''引理 3 的证明''' 设<math>\alpha<\varepsilon_0</math>是最小的不满足<math>F(Seq(\alpha))=\alpha</math>的序数。它的康托范式为<math>\alpha=\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_n}</math>。

则有<math>Seq(\alpha)=T(S'(\alpha_1),S'(\alpha_2),\cdots,S'(\alpha_n))</math>。根据定义，<math>F(T(S'(\alpha_1),S'(\alpha_2),\cdots,S'(\alpha_n)))=F(S'(\alpha_1))+F(S'(\alpha_2))+\cdots+F(S'(\alpha_n))=\omega^{F(Seq(\alpha_1))}+\omega^{F(Seq(\alpha_2))}+\cdots+\omega^{F(Seq(\alpha_n))}</math>，而<math>\alpha_k<\alpha</math>，<math>k=1,2,\cdots,n</math>，根据最小性，<math>F(Seq(\alpha_k))=\alpha_k</math>，故<math>F(T(S'(\alpha_1),S'(\alpha_2),\cdots,S'(\alpha_n)))=\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_n}=\alpha</math>。矛盾。

故这样的<math>\alpha<\varepsilon_0</math>不存在。引理3得证。

'''引理 4 的证明''' 若对于某个 PrSS 规范式<math>S</math>有<math>Seq(F(S))>S</math>，则由引理1得<math>F(Seq(F(S))>F(S)</math>，由引理3得<math>F(S)>F(S)</math>，矛盾。同理，<math>Seq(F(S))<S</math>则<math>F(S)<F(S)</math>，矛盾。故<math>Seq(F(S))=S</math>。

'''定理的证明''' 由引理1~4，<math>F</math>有逆映射<math>Seq</math>，且<math>Seq</math>保序。于是<math>Seq</math>(和其逆<math>F</math>)是 PrSS 标准式集与<math>\varepsilon_0</math>之间的序同构。

证毕。

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在下面，我们介绍另外一种 PrSS 良序性的证法。

=== 证明 ===

我们将使用 <math>E</math> 表示空序列，使用 <math>\frown</math> 表示序列的连接。

对于序列 <math>S</math> ，我们将使用长度 <math>( S )</math> 表示序列 <math>S</math> 的长度，使用 <math>S_{n} ( n < \mathrm {length} ( S ) )</math> 表示 <math>S</math> 的第 <math>n</math> 项，使用 <math>S_{\square}</math> 表示 <math>S</math> 的最后一项，使用 <math>S^{+}</math> 表示对 <math>S</math> 的每个分量加 1 得到的序列。

对于序列 <math>S</math> 和自然数 <math>m ,n</math> ，且 <math>m \leq n \leq</math> 长度 <math>( S )</math> ，设 <math>\operatorname{sub} ( S ,m ,n )</math> 为唯一序列 <math>T</math> ，且<math>T_{x}=S_{m + x}</math> （若 <math>x < n-m</math> ）且长度 <math>( T )=n-m</math> 。

'''定义 1''' 递归地定义 <math>P</math> ，一组有限长度的自然数序列，如下所示。

<math>P_{0} :=\{E \},</math>

<math>P_{n + 1} :=P_{n} \cup \left\{S \smile (0) \smile T^{+} \mid S \in P_{n} \wedge T \in P_{n} \right\},</math>

<math>P :=\bigcup_ {n \in \mathbb {N}} P_{n}.</math>

'''定理 1''' <math>P</math> 具有如下性质：

(1) 对于 <math>P</math> 中的任意元素 <math>S</math> ， <math>S=E</math> 或 <math>S_{0}=0</math> 。

(2) 对于 <math>P</math> 中的任意元素 <math>A ,B ,C ,D</math> ，若 <math>A \frown ( 0 ) \frown B^{+}=C \frown ( 0 ) \frown D^{+}</math> ，则 <math>A=C</math> 且 <math>B=D</math> 。

证明：

1. 运用结构归纳法，构造 <math>P</math> 来证明。

如果 <math>S=E</math> ，则 <math>S=E</math> 或 <math>S_{0}=0</math> 当然成立。假设存在 <math>( s ,t ) \in P^{2}</math> ，使得 <math>S=s \frown (0) \frown t^{+},</math> 且两者均满足条件。如果 <math>s=E</math> ，则 <math>S=s \frown (0) \frown t^{+}=E \frown (0) \frown t^{+}=(0) \frown t^{+},</math> 因此 <math>S_{0}=0</math> 。如果 <math>s_{0}=0</math> ，则 <math>S=s \frown (0) \frown t^{+},</math> 因此 <math>S_{0}=0</math> 。结构归纳表明，对于 <math>P</math> 的任何元素 <math>S</math> ， <math>S=E</math> 或“ <math>S</math> 的第一个项为 0”。

2. 证明逆否命题。换句话说，由于 <math>A \neq C</math> 或 <math>B \neq D</math> ，我们证明 <math>A \frown (0) \frown B^{+} \neq C \frown (0) \frown D^{+}.</math> 如果 <math>A \neq C</math> ，则长度 <math>( A ) \neq \mathrm {length} ( C )</math> ，或者存在 <math>n < \mathrm {length} ( A )</math> ，使得 <math>A_{n} \neq C_{n}</math> 。如果长度 <math>( A ) \neq \mathrm {length} ( C )</math> ，则（不失一般性，令长度 <math>( A ) < \mathrm {length} ( C ) ,</math> ）<math>(C \frown (0) \frown D^{+})_{\text {length} (C)}=((0) \frown D^{+})_{0}=0.</math> 然而，

<math>\begin{array}{l} (A \frown (0) \frown B^{+})_{\text {length} (C)} \\=\left(\left(0\right) \frown B^{+}\right)_{\text {length} (C)-\text {length} (A)} \\=B_{\text {length} (C)-\text {length} (A)-1}^{+} > 0,\\ \end{array}</math>

所以 length(C) 项不匹配，因此 <math>A \frown (0) \frown B^{+} \neq C \frown (0) \frown D^{+}.</math> 如果存在 <math>n < \mathrm {length} ( A )</math> 使得 <math>A_{n} \neq C_{n}</math> ，则对于 <math>n</math> ，<math>(A \frown (0) \frown B^{+})_{n} \neq (C \frown (0) \frown D^{+})_{n},</math> 因此 <math>A \frown (0) \frown B^{+} \neq C \frown (0) \frown D^{+}.</math> 如果 <math>A=C</math> 且 <math>B \neq D</math> ，则 <math>A \frown (0) \frown B^{+}=C \frown (0) \frown B^{+} \neq C \frown (0) \frown D^{+}.</math> 因此，如果 <math>A \neq C</math> 或 <math>B \neq D</math> ，则 <math>A \frown (0) \frown B^{+} \neq C \frown (0) \frown D^{+}.</math>

<math>P</math> 是由 <math>E</math> 和函数 <math>(A,B) \mapsto A \sim (0) \sim B^{+}</math> 生成的函数，上述定理断言它是自由生成的（ <math>P</math> 的一个元素不能用两种不同的方式表示）。由于它是下面证明中的一个重要函数，我们将其缩写为 <math>\operatorname{gen} (A,B) :=A \frown (0) \frown B^{+}.</math>

'''定义 2''' 函数 expand <math>: ( P \backslash \{E \} ) \times \mathbb {N} a r r o w \mathbb {N} < \omega</math> 定义如下。注意，定义域中的元素 <math>S</math> 不为空，因此 <math>S_{\perp}</math> 有定义。

(1) 如果 <math>S_{\perp}=0</math> ，则 <math>\operatorname{expand} (S) :=\operatorname{sub} (S,0,\operatorname{length} (S)-1).</math>

(2) 如果 <math>S_{\perp} > 0</math> ，则（根据引理 1.1.）<math>0 \in \{i \in \mathbb {N} \mid i < \operatorname{length} (S) \wedge S_{i} < S_{\square} \},</math> 因此 <math>\{i \in \mathbb {N} \mid i < \operatorname{length} (S) \wedge S_{i} < S_{\square} \}</math> 非空。

定义 <math>\operatorname{br} (S) :=\max \{i \in \mathbb {N} \mid i < \operatorname{length} (S) \wedge S_{i} < S_{\square} \},</math> <math>\operatorname{gp} (S) :=\operatorname{sub} (S,0,\operatorname{br} (S)),</math> <math>\operatorname{bp} (S) :=\operatorname{sub} (S,\operatorname{br} (S),\operatorname{length} (S)-1),</math> <math>\operatorname{expand} (S) :=\operatorname{gp} (S) \smile \underbrace {\operatorname{bp} (S) \smile \cdots \smile \operatorname{bp} (S)}_{n}.</math>

'''定理 2''' (1) 对于任意 <math>A \in P</math> ，<math>\operatorname{expand} (\operatorname{gen} (A,E),n)=A.</math>

(2) 对于任意 <math>( A ,B ) \in P^{2}</math> ，<math>\operatorname{expand} (\operatorname{gen} (A,\operatorname{gen} (B,E)),n)=A \frown \underbrace {(0) \frown B^{+} \frown \cdots \frown (0) \frown B^{+}}_{n}.</math>

(3) 对于任意的 <math>( A ,B ,C ) \in P^{2} \times ( P \backslash \{E \} )</math> ，<math>\operatorname{expand} (\operatorname{gen} (A,\operatorname{gen} (B,C)),n)=\operatorname{gen} (A,\operatorname{expand} (\operatorname{gen} (B,C),n)).</math>

证明：1. 若 <math>S :=\mathrm {gen} ( A ,E )</math> ，则 <math>S=A \frown (0) \frown E^{+}=A \frown (0).</math> 故 <math>S_{\perp}=0</math> 。因此 <math>\operatorname{expand} (S,n)=\operatorname{sub} (S,0,\operatorname{length} (S)-1)=A.</math>

2. 若 <math>S :=\operatorname{gen} (A,\operatorname{gen} (B,E)),</math> 则 <math>S=A \frown (0) \frown (B \frown (0) \frown E^{+})^{+}=A \frown (0) \frown B^{+} \frown (1).</math> 因此， <math>S_{\perp}=1 > 0</math>

<math>\begin{array}{l} \operatorname{br} (S)=\max \left\{i \in \mathbb {N} \mid i < \operatorname{length} (S) \wedge S_{i} < S_{\square} \right\} \\=\max \left\{i \in \mathbb {N} \mid i < \operatorname{length} (S) \wedge S_{i} < 1 \right\}\\=\max \{i \in \mathbb {N} \mid i < \operatorname{length} (S) \wedge S_{i}=0 \}. \\ \end{array}</math>

这里，由于 <math>S_{\mathrm {length ~} ( A )}=0</math> ，因此 <math>\operatorname{length} (A) \in \{i \in \mathbb {N} \mid i < \operatorname{length} (S) \wedge S_{i}=0 \}.</math> 另外，对于任意 <math>n ></math> length <math>( S )</math> ，<math>S_{n}=\left(B^{+} \frown (1)\right)_{n-\text {length} (S)-1}=1 + \left(B \frown (0)\right)_{n-\text {length} (S)-1} > 0</math> 所以 <math>n \in \{i \in \mathbb {N} \mid i < \operatorname{length} (S) \wedge S_{i}=0 \}. </math> 因此，<math>\operatorname{br} (S)=\max \left\{i \in \mathbb {N} \mid i < \operatorname{length} (S) \wedge S_{i}=0 \right\}=\operatorname{length} (A).</math> 在这种情况下

<math>\begin{array}{l} \operatorname{gp} (S)=\operatorname{sub} (S,0,\operatorname{br} (S)) \\=\operatorname{sub} (A \frown (0) \frown B^{+} \frown (1),0 (A))\\=A. \\ \end{array}</math>

此外，

<math>\begin{array}{l} \operatorname{bp} (S)=\operatorname{sub} (S,\operatorname{br} (S),\operatorname{length} (S)-1) \\=\operatorname{sub} (A \smile (0) \smile B^{+} \smile (1),\text {length} (A),\text {length}. (S)-1) \\=(0) \frown B^{+}. \\ \end{array}</math>

因此 <math>\operatorname{expand} (S,n)=A \frown \underbrace {(0) \frown B^{+} \frown \cdots \frown (0) \frown B^{+}}_{n}.</math>

3. 若 <math>S :=\operatorname{gen} (A,\operatorname{gen} (B,C)),</math> 则

<math>\begin{array}{l} S=A \frown (0) \frown (B \frown (0) \frown C^{+})^{+} \\=A \frown (0) \frown B^{+} \frown (1) \frown C^{+ +}. \\ \end{array}</math>

由于 <math>C \neq E</math> ，<math>S_{\square}=C_{\square}^{+ +}=C_{\square} + 2 > 1.</math> 又由于 <math>S_{\text {length} (A) + 1 + \text {length} (B)}=1,</math> <math>\operatorname{length} (A) + 1 + \operatorname{length} (B) \in \{i \in \mathbb {N} \mid i < \operatorname{length} (S) \wedge S_{i} < S_{\square} \}.</math> 特别地，

<math>\begin{array}{l} \operatorname{br} (S)=\max \left\{i \in \mathbb {N} \mid i < \operatorname{length} (S) \wedge S_{i} < S_{\square} \right\}\\ \geq \operatorname{length} (A) + 1 + \operatorname{length} (B). \\ \end{array}</math>

令 <math>r :=\ker ( S )</math> ，则

<math>\begin{array}{l} \operatorname{br} (B \frown (0) \frown C^{+}) \\=\max \left\{i \in \mathbb {N} \mid i < \operatorname{length} \left(B \frown (0) \frown C^{+}\right) \right. \\ \land (B \smile (0) \smile C^{+})_{i} < (B \smile (0) \smile C^{+})_{\square} \}. \\ \end{array}</math>

由于 <math>\operatorname{length} (A) + 1 + \operatorname{length} (B \frown (0) \frown C^{+})=\operatorname{length} (S),</math> 我们有 <math>S_{\text {length} (A) + 1 + i}=\left(B \frown (0) \frown C^{+}\right)_{i}-1,</math> 且 <math>S_{\square}=(B \frown (0) \frown C^{+})_{\square}-1,</math>

<math>\begin{array}{l} \{i \in \mathbb {N} \mid i < \operatorname{length} (B \frown (0) \frown C^{+}) \\ \left. \wedge (B \frown (0) \frown C^{+})_{i} < (B \frown (0) \frown C^{+}) \square \right\} \\=\left\{i \in \mathbb {N} \mid \operatorname{length} (A) + 1 + i < \operatorname{length} (S) \wedge S_{\text {length} (A) + 1 + i}. \right. \\ \end{array}</math>

因此

<math>\begin{array}{l} \operatorname{br} (B \smile (0) \smile C^{+}) \\=\max \left\{i \in \mathbb {N} \mid i < \text {length} (B \frown (0) \frown C^{+}) \right. \\ \wedge (B \smile (0) \smile C^{+})_{i} < (B \smile (0) \smile C^{+})_{\square} \} \\=r-\operatorname{length} (A)-1. \\ \end{array}</math>

因此，<math>\operatorname{gp} (B \sim (0) \sim C^{+})=\operatorname{sub} (B \sim (0) \sim C^{+},0,r-\operatorname{length} (A)-1),</math> 所以

<math>\begin{array}{l} \mathrm {gp} (B \smile (0) \smile C^{+})^{+} \\=\operatorname{sub} \left(\left(B \frown (0) \frown C^{+}\right)^{+},0,r-\text {length}. (A)-1\right) \\=\operatorname{sub} (S \operatorname{length} (A) + 1,r). \\ \end{array}</math>

另外，由于

<math>\begin{array}{l} \mathrm {bp} (B \frown (0) \frown C^{+})=\operatorname{sub} (B \frown (0) \frown C^{+}, \\ r-\text {length} (A)-1,\text {length} (B \smile (0) \smile C^{+})),\\ \end{array}</math>

我们有

<math>\begin{array}{l} \mathrm {bp} (B \smile (0) \smile C^{+})^{+} \\=\operatorname{sub} \left(\left(B \frown (0) \frown C^{+}\right)^{+},r-\text {length} (A)-1,\text {length} \left(B \frown (0) \frown C^{+}\right)-1\right) \\=\operatorname{sub} (S,r,\text {length} (S)-1)^{-}. \\ \end{array}</math>

此外 <math>\operatorname{gp} (S)=\operatorname{sub} (S,0,r),\operatorname{bp} (S)=\operatorname{sub} (S,r,\text {length} (S)-1),</math> 因此

<math>\begin{array}{l} \operatorname{expand} (B \smile (0) \smile C^{+},n)^{+} \\=\mathrm {gp} (B \frown (0) \frown C^{+})^{+} \frown \\ \underbrace {\operatorname{bp} \left(B \frown (0) \frown C^{+}\right)^{+} \frown \cdots \frown \operatorname{bp} \left(B \frown (0) \frown C^{+}\right)^{+}}_{n} \\=\operatorname{sub} (S,\operatorname{length} (A) + 1,r) \frown \underbrace {\operatorname{bp} (S) \frown \cdots \frown \operatorname{bp} (S)}_{n}. \\ \end{array}</math>

于是我们得到

<math>\begin{array}{l} \operatorname{expand} (S,n) \\=\operatorname{sub} (S,0,r) \smile \underbrace {\mathrm {bp} (S) \smile \cdots \smile \mathrm {bp} (S)}_{n} \\=A \frown (0) \curvearrowleft \operatorname{sub} (S,\operatorname{length} (A) + 1,r) \curvearrowleft \underbrace {\operatorname{bp} (S) \curvearrowleft \cdots \operatorname{bp}^{(S)}}_{n}\\=A \smile (0) \smile \operatorname{expand} (B \smile (0) \smile C^{+},n)^{+}. \\ \end{array}</math>

证毕。

'''定理 3''' 对于任意 <math>S \in P</math> 和 <math>n \in \mathbb {N}</math> ， <math>S=E</math> 或 <math>\operatorname{expand} ( S ,n ) \in P</math> 。

证明：使用结构归纳法构造 <math>P</math> 。

<math>S=E</math> 的情况是平凡的。假设存在 <math>( T ,U ) \in P^{2}</math> 使得 <math>S=\mathrm {gen} ( T ,U )</math> ，并且两者都满足条件。如果 <math>U=E</math> ，则根据引理 2.1，展开 <math>( S ,n )=T \in P</math> 。从这里开始，假设存在 <math>( V ,W ) \in P^{2}</math> 使得 <math>U=\mathrm {gen} ( V ,W )</math> ，并且两者都满足条件。如果 <math>W=E</math> ，则根据引理 2.2 <math>S=\operatorname{gen} (T,\operatorname{gen} (V,E)).</math> 因此 <math>\operatorname{expand} (S,n)=T \frown \underbrace {(0) \frown V^{+} \frown \cdots \frown (0) \frown V^{+}}_{n}.</math> 现在，利用数学归纳法，我们可以证明 <math>\operatorname{expand} (S,0)=T \in P</math> 且 <math>\operatorname{expand} (S,k + 1)=\operatorname{expand} (S,k) \frown (0) \frown V^{+}=\operatorname{gen} (\operatorname{expand} (S,k),V)</math> 因此对于任何 <math>n \in \mathbb {N}</math> ，我们可以证明 <math>\operatorname{e x pand} ( S ,n ) \in P</math> 。如果 <math>W \neq E</math> ，则 <math>S=\operatorname{gen} (T,\operatorname{gen} (V,W)).</math> 因此 <math>\operatorname{expand} (S,n)=\operatorname{gen} (T,\operatorname{expand} (\operatorname{gen} (V,W),n))=\operatorname{gen} (T,\operatorname{expand} (U,n)) \in P,</math> 因此，对于任何 <math>S \in P</math> ， <math>S=E</math> 或 <math>\operatorname{e x pand} ( S ,n ) \in P</math> 。证毕。

引理 2 是根据 <math>P</math> 的结构对 expand 的行为进行分类的一种方式。引理 3 表明 expand 的输出也是 <math>P</math> 的一个元素。

通过对 <math>P</math> 结构进行递归，定义映射 trans: <math>P \to \varepsilon_{0}</math> ，如下所示。注意， <math>\varepsilon_{0}</math> 是加法和 <math>\omega</math> 运算下封闭的序数映射。

'''定义 3''' (1) 如果 <math>S=E</math> ，则 <math>\mathrm {trans} ( S ) :=0</math>

(2) 如果存在 <math>( A ,B ) \in P^{2}</math> 使得 <math>S=\mathrm {gen} ( A ,B )</math> ，则 <math>\operatorname{trans} (S) :=\operatorname{trans} (A) + \omega^ {\operatorname{trans} (B)}.</math>

'''定理 4''' 对于任意 <math>S \in P ,n \in \mathbb {N}</math> ，都有 <math>S=E</math> 或 <math>\operatorname{trans} (\operatorname{expand} (S,n)) < \operatorname{trans} (S).</math>

证明：通过构造 <math>P</math> 的结构归纳法来证明。

当 <math>S=E</math> 时，这是平凡的。从现在开始，假设 <math>( T ,U ) \in P^{2}</math> 存在，使得 <math>S=\mathrm {gen} ( T ,U )</math> ，并且两者都满足条件。如果 <math>U=E</math> ，则 <math>S=\mathrm {gen} ( T ,E )</math> ，因此根据引理 2.1， <math>\operatorname{e x pand} ( S ,n )=T</math> 。因此

<math>\begin{array}{l} (\operatorname{expand} (S,n)) \\=\operatorname{trans} (T) < \operatorname{trans} (T) + \omega^ {0} \\=\operatorname{trans} (T) + \omega^ {\text {trans}} (E) \\=\operatorname{trans} (\operatorname{gen} (T,E)) \\=\operatorname{trans} (S). \\ \end{array}</math>

从现在开始，我们假设 <math>( V ,W ) \in P^{2}</math> 存在，使得 <math>U=\mathrm {gen} ( V ,W )</math> 且两者都满足条件。如果 <math>W=E</math> ，则 <math>S=\operatorname{gen} (T,\operatorname{gen} (V,E)),</math> 因此

<math>\begin{array}{l} \operatorname{trans} (S)) \\=\operatorname{trans} (\operatorname{gen} (T,\operatorname{gen} (V,E)))) \\=\operatorname{trans} (T) + \omega^ {\operatorname{trans} (\mathrm {gen} (V,E))}) \\=\operatorname{trans} (T) + \omega^ {\operatorname{trans} (V) + \omega^ {\operatorname{trans} (E)}} \\=\operatorname{trans} (T) + \omega^ {\operatorname{trans} (V) + 1}. \\ \end{array}</math>

另外，根据引理 2.2，<math>\operatorname{expand} (S,n)=T \frown \underbrace {(0) \frown V^{+} \frown \cdots \frown (0) \frown V^{+}}_{n}.</math> 通过数学归纳法，我们可以证明<math>\operatorname{trans} (\operatorname{expand} (S,n))=\operatorname{trans} (T) + \omega^ {\operatorname{trans} (V)} \times n.</math> 因此对于任意 <math>n \in \mathbb {N}</math> ，<math>\operatorname{trans} \left(\exp \left(S,n\right)\right)=\operatorname{trans} (T) + \omega^ {\operatorname{trans} (V)} \times n < \operatorname{trans} (T) + \omega^ {\operatorname{trans} (V) + 1}=\operatorname{trans} (S).</math> 若 <math>W \neq E</math> ，则根据引理 2.3 <math>\operatorname{expand} (S,n)=\operatorname{gen} (T,\operatorname{expand} (U,n).</math> 由于 <math>U</math> 满足 <math>\operatorname{trans} \left(\operatorname{expand} (U,n)\right) < \operatorname{trans} (U)</math> 因此

<math>\begin{array}{l} \operatorname{trans} (\operatorname{expand} (S,n)) \\=\operatorname{trans} \left(\operatorname{gen} (T,\text {expand} (U,n))\right) \\=\operatorname{trans} (T) + \omega^ {\operatorname{trans} (\exp \left(U,n\right))} \operatorname{trans} (T) + \omega^ {\operatorname{trans} (U)} \\=\operatorname{trans} (S). \\ \end{array}</math>

因此，对于任意的 <math>S \in P ,n \in \mathbb {N}</math> ，都有 <math>S=E</math> 或 <math>\operatorname{trans} ( \exp \mathrm {and} ( S ,n ) ) < \operatorname{trans} ( S )</math> 。证毕。

'''定理 5''' 对于任意 <math>S \in P ,a : \mathbb {N} \mathbb {N}</math> ，都存在 <math>k \in \mathbb N</math> 使得 <math>S \left[a_{0} \right]\left[a_{1} \right]\dots \left[a_{k-1} \right]=E.</math>

证明：假设这样的 <math>k \in \mathbb N</math> 不存在。对于每个 <math>k \in \mathbb {N}</math> ，都有 <math>S \left[a_{0} \right]\left[a_{1} \right]\dots \left[a_{k-1} \right]\neq E,</math> 因此 <math>\operatorname{trans} \left(S[a_{0}][a_{1}]\dots[a_{k-1}]\right) \neq 0.</math> 因此，如果 <math>S \left[a_{0} \right]\left[a_{1} \right]\dots \left[a_{k-1} \right]</math> 有定义，则 <math>S[a_{0}][a_{1}]\dots[a_{k-1}][a_{k}]</math> 也有定义。根据数学归纳法，<math>S[a_{0}][a_{1}]\dots[a_{k-1}]</math> 对于任意 <math>k \in \mathbb N</math> 都有定义。然而，根据引理 4，<math>\operatorname{trans} (S) > \operatorname{trans} \left(S \left[a_{0} \right]\right) > \operatorname{trans} \left(S \left[a_{0} \right]\left[a_{1} \right]\right) > \dots</math> 这是一个无限递减的序数序列。这与序数的良序性相矛盾。矛盾的是，存在 <math>k \in \mathbb N</math> 使得 <math>S \left[a_{0} \right]\left[a_{1} \right]\dots \left[a_{k-1} \right]=E. </math> 这意味着无论选择哪种函数，初等序列都会在有限次数的迭代后都会变成空序列并停止。由此我们证明了 PrSS 的停机性。

<references />
[[分类:集合论相关]]

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2025-08-31T03:07:49Z

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传递闭包

2025-08-31T03:06:58Z

Tabelog：

=== 集合的传递闭包 ===
我们把满足这三个条件的唯一传递集合 <math>Y</math> 称作 <math>X</math> 的'''传递闭包（Transitive Closure）'''，记作 <math>\mathcal{TC}(X)</math>：

对任意集合 <math>X</math>，存在唯一集合 <math>Y</math>，满足如下条件
* <math>Y</math> 是[[传递集]]；
* <math>X\sube Y</math>；
* 如果传递集 <math>Z</math> 满足 <math>X\sube Z</math>，则 <math>Y\sube Z</math>。

==== 定理 ====
* '''传递闭包唯一存在'''

证明

使用[[序数#有限序数|自然数]]集上的归纳法，定义集合列 <math>X_0,X_1,X_2,\cdots</math> 满足：
* <math>X_0=X</math>；
* <math>X_{n+1}=X_n\cup(\bigcup X_n)</math>。
这里的 <math>\bigcup X_n</math> 是'''<span id="广义并">广义并</span>'''，定义为 <math>\{x\mid\exist y\in X_n,x\in y\}</math>。这个集合的存在性由[[ZFC公理体系#并集公理|并集公理]]保证。

令 <math>Y=\bigcup\{X_n\mid x\in\N\}</math>，这里又用到了广义并。

下面证明，这样构造出的 <math>Y</math> 满足定理要求。

对任意的 <math>y\in Y</math> 和 <math>x\in y</math>，设 <math>y\in X_n</math>，则 <math>x\in\bigcup X_n\sube X_{n+1}</math>，即 <math>x\in X_{n+1}</math>，所以 <math>x\in Y</math>。所以 <math>Y</math> 是传递集。

显然 <math>X=X_0\sube Y</math>。

设传递集 <math>Z</math> 满足 <math>X\sube Z</math>，即 <math>X_0\sube Z</math>。我们证明：对任意 <math>n\in\N</math>，若 <math>X_n\sube Z</math>，则 <math>X_{n+1}\sube Z</math>。

假设 <math>X_n\sube Z</math>。对任意的 <math>y\in X_n</math> 和 <math>x\in y</math>，有 <math>y\in Z</math>。因为 <math>Z</math> 是传递集，所以 <math>x\in Z</math>。这说明 <math>\bigcup X_n\sube Z</math>。又因为 <math>X_n\sube Z</math>，所以 <math>X_{n+1}=X_n\cup(\bigcup X_n)\sube Z</math>。

因为 <math>X_0\sube Z</math>，且若 <math>X_n\sube Z</math> 则 <math>X_{n+1}\sube Z</math>，所以对任意 <math>n\in\N</math> 都有 <math>X_n\sube Z</math>。所以 <math>Y\sube Z</math>。

这就证明了定理中的存在性。下面证明唯一性。

若 <math>Y_1,Y_2</math> 都满足以上三个条件，那么根据第三个条件，有 <math>Y_1\sube Y_2</math> 且 <math>Y_2\sube Y_1</math>，即 <math>Y_1=Y_2</math>。所以满足以上三个条件的集合唯一。

证毕。

=== 关系的传递闭包 ===
设 <math>\mathcal R_1</math> 是集合 <math>A</math> 上的一个二元关系，如果 <math>A</math> 上的一个二元关系 <math>\mathcal R_2</math> 满足如下条件，就称为 <math>\mathcal R_1</math> 的'''传递闭包'''。

* <math>\mathcal R_2</math> 有传递性。
* <math>\mathcal R_1\sube\mathcal R_2</math>。
* 如果 <math>A</math> 上的一个二元传递关系 <math>\mathcal R_3</math> 满足 <math>\mathcal R_1\sube\mathcal R_3</math>，则 <math>\mathcal R_2\sube\mathcal R_3</math>。
[[分类:集合论相关]]

良基宇宙等同于集论全域的证明

2025-08-31T03:06:03Z

Tabelog：

由[[ZFC公理体系#正则公理|正则公理]]，我们可以得到

'''引理 1'''：任何非空类都有 <math>\in</math> 关系上的最小元

证明：取任意 <math>S \in C</math>。如果 <math>S \cap C = \emptyset</math>，则 <math>S </math> 是 <math>C</math> 上最小元；如果 <math>S \cap C </math> 不为 <math>\emptyset</math>，则我们让 <math>X = T \cap C</math>，其中 <math>T=\mathcal{TC}(S)</math> （ <math>\mathcal{TC}(S)</math> 表示 <math>S</math> 的[[传递闭包]]）。 <math>X</math> 是非空集并根据正则公理，有 <math>x \in X</math>，使得 <math>x \cap X = \emptyset </math>。由此可见， <math>x \cap C = \emptyset</math>；否则，如果 <math>y \in x</math> 并且 <math>y \in C</math>，则 <math>y \in T</math>，由 <math>T</math> 是[[传递集|传递的]]，因此 <math>y \in x \cap T \cap C = x \cap X</math>。因此 <math>x</math> 是 <math>C</math> 上 <math>\in</math> 关系最小元。

'''定理'''：对于任何集合 <math>x</math>，都存在一个[[序数]] <math>\alpha</math> 使得 <math>x\in V_{\alpha}</math>

'''证明'''：使用反证法，考虑全体不属于某个 <math>V_{\alpha}</math> 的集合组成的非空类 <math>C</math>，由引理1， <math>C</math> 有 <math>\in</math> 关系上的最小元 <math>x</math>，则对于任意 <math>\beta \in x</math>，存在 <math>\alpha</math> 使得 <math>\beta \in V_{\alpha}</math>

所以对于任意 <math>\beta \in x</math>， <math>\beta \in \mathrm{WF}</math>，所以 <math>x</math> 是 <math>\mathrm{WF}</math> 的子类。因为 <math>x</math> 是个集合（所以不存在从 <math>x</math> 到 <math>\mathrm{Ord}</math> 的满射，所以存在某个序数 <math>\gamma</math> 使得 <math>\gamma</math> 和 <math>x</math> 之间存在双射，所以 <math>x</math> 是 <math>V_{\gamma}</math> 的子集），所以存在某个 <math>V_{\alpha}</math> 使得 <math>x</math> 是 <math>V_{\alpha}</math> 的子集，则 <math>x\in V_{\alpha+1}</math>，矛盾，所以 <math>C</math> 为空，得证。
[[分类:集合论相关]]

无穷基数的平方等于自身

2025-08-31T03:05:33Z

Tabelog：

'''定理'''

对任意[[序数]] <math>\alpha</math>，有 <math>\aleph_\alpha\times\aleph_\alpha=\aleph_\alpha</math>．

'''证明'''

我们如下定义 <math>\mathrm{Ord}^2</math> 上的[[良序]]：

<math display="block">
\begin{aligned}
(\alpha,\beta)<(\gamma,\delta)\iff{}&\max\{\alpha,\beta\}<\max\{\gamma,\delta\}\\
&\lor(\max\{\alpha,\beta\}=\max\{\gamma,\delta\}\land \alpha<\gamma)\\
&\lor(\max\{\alpha,\beta\}=\max\{\gamma,\delta\}\land\alpha=\gamma\land\beta<\delta)\\
\end{aligned}
</math>

可以证明，这个序是一个良序．

我们令 <math>\Gamma(\alpha,\beta)</math> 表示集合 <math>\{(\gamma,\delta)\in\mathrm{Ord}^2\mid(\gamma,\delta)<(\alpha,\beta)\}</math> 的序型．可以证明，<math>\Gamma:\mathrm{Ord}^2\to\mathrm{Ord}</math> [[良序#概念|保序]]且一对一．

下面用 <math>\Gamma[\alpha\times\beta]</math> 表示 <math>\{\Gamma(\gamma,\delta)\mid(\gamma,\delta)\in\alpha\times\beta\}</math>，即集合 <math>\alpha\times\beta</math> 在 <math>\Gamma</math> 下的像集．

注意到 <math>\Gamma[\omega_\alpha\times\omega_\alpha]=\Gamma(0,\omega_\alpha)\ge\omega_\alpha</math>，以及 <math>\mathrm\Gamma[\omega\times\omega]=\omega</math>（取对角线计数）．

我们要证 <math>\aleph_\alpha\times\aleph_\alpha=\aleph_\alpha</math>，只需证 <math>\Gamma[\omega_\alpha\times\omega_\alpha]=\omega_\alpha</math>．

使用反证法．令 <math>\alpha</math> 是使得 <math>\omega_\alpha<\Gamma[\omega_\alpha\times\omega_\alpha]</math> 的最小序数，则存在 <math>\beta,\gamma<\omega_\alpha</math> 使得 <math>\Gamma(\beta,\gamma)=\omega_\alpha</math>．

那么我们取 <math>\delta</math> 满足 <math>\max\{\beta,\gamma\}<\delta<\omega_\alpha</math>，则 <math>\omega_\alpha=\Gamma(\beta,\gamma)\in\Gamma[\delta\times\delta]</math>．

取上式两侧的[[基数]]，得到 <math>\aleph_\alpha<|\delta\times\delta|</math>．

因为 <math>\delta>\max\{\beta,\gamma\}\ge\omega</math>，所以可设 <math>\delta</math> 的基数为 <math>\aleph_\xi</math>，其中 <math>\xi<\alpha</math>．

我们刚才设 <math>\alpha</math> 是使得 <math>\omega_\alpha<\Gamma(\omega_\alpha\times\omega_\alpha)</math> 的最小序数，所以 <math>\omega_\xi=\Gamma[\omega_\xi\times\omega_\xi]</math>，即 <math>\aleph_\xi=\aleph_\xi\times\aleph_\xi</math>．

所以 <math>|\delta\times\delta|=|\delta|\times|\delta|=\aleph_\xi\times\aleph_\xi=\aleph_\xi<\aleph_\alpha</math>，矛盾．

因此，对任意序数 <math>\alpha</math>，都有 <math>\aleph_\alpha\times\aleph_\alpha=\aleph_\alpha</math>．

[[分类:集合论相关]]

命数定理

2025-08-31T03:05:20Z

Tabelog：

'''定理1'''：每个[[良序#良序集|良序集]]都[[良序#概念|同构]]于唯一一个[[序数]]。

'''引理1'''：如果对于两个良序集 <math>W_{1},W_{2}</math>， <math>W_{1}</math> 同构到 <math>W_{2}</math>，则这个同构是唯一的。

'''定义'''：一个良序集 <math>(W,<)</math> 根据任意一个 <math>W</math> 的元素 <math>x</math> 得到的'''始段'''为 <math>W(x)=\{u\in W:u<x\}</math>.

'''引理2'''：不存在一个良序集同构于它的始段。

'''定理2'''：对于任何两个良序集 <math>W_{1},W_{2}</math>，只会有以下其中一种情况发生:

# <math>W_{1}</math> 同构于 <math>W_{2}</math> 的一个始段；
# <math>W_{2}</math> 同构于 <math>W_{1}</math> 的一个始段；
# <math>W_{1}</math> 同构于 <math>W_{2}</math> .

证明：定义 <math>f=\{(x,y):x\in W_{1}\and y\in W_{2}\and W_{1}(x)\text{同构于}W_{2}(y)\}</math>.

由引理2，这是一个一对一函数（如果不是，则存在 <math>u,y\in W_{2}</math> 使得 <math>W_{2}(u)</math> 同构于 <math>W_{2}(y)</math>，且 <math>u<y</math>，则 <math>W_{2}(u)</math> 也是 <math>W_{2}(y)</math> 的始段，由引理2得知矛盾，所以这是一个一对一函数）。

对于任意 <math>W_{1}</math> 元素 <math>u<x</math>， <math>W_{2}</math> 元素 <math>y</math>，且 <math>W_{1}(x)</math> 同构于 <math>W_{2}(y)</math>，则 <math>W_{1}(u)</math> 同构于 <math>W_{2}(f(u))</math>，则 <math>W_{2}(f(u))</math> 是 <math>W_{2}(y)</math> 的始段，所以 <math>f(u)<y</math>，这个映射是同构。

如果[[ZFC公理体系#值域|值域]]为 <math>W_{2}</math> 且[[ZFC公理体系#定义域|定义域]]为 <math>W_{1}</math>，则这个 <math>W_{1}</math> 同构于<math>W_{2}</math>.

如果定义域是 <math>W_{1}</math> 且值域为 <math>W_{2}</math> 的始段，则 <math>W_{1}</math> 同构于 <math>W_{2}</math> 的始段。

如果值域是 <math>W_{2}</math> 且定义域是 <math>W_{1}</math> 的始段，则 <math>W_{2}</math> 同构于 <math>W_{1}</math> 的始段。

（假设最大只存在 <math>W_{1}</math> 始段 <math>A</math> 和 <math>W_{2}</math> 始段 <math>B</math> 同构，考虑最小的 <math>u\in W_{1}</math> 使得 <math>u</math> 不属于 <math>A</math> 和最小的 <math>k\in W_{2}</math> 使得 <math>k</math> 不属于 <math>B</math>，显然，由 <math>u</math> 和 <math>k</math> 分别生成的始段同构，所以 <math>u</math> 和 <math>k</math> 所成的有序对应该是 <math>f</math> 的元素。然而这与我们的假设相背，所以矛盾）。

定理1的证明：由于任意良序集和序数都是良序集，所以对于任意一个良序集 <math>W</math> 和序数 <math>a</math>，如果 <math>W</math> 同构于 <math>a</math>，则 <math>W</math> 和 <math>a</math> 的同构也是唯一的（否则，存在 <math>a<b</math> 或 <math>c<a</math> 使得 <math>a</math> 同构于 <math>c</math> 或者 <math>b</math>，由于 <math>a<b</math> 则 <math>a</math> 为 <math>b</math> 始段， <math>c<a</math> 则 <math>c</math> 为 <math>a</math> 始段，由引理2得到矛盾，所以这个同构唯一），如果 <math>W</math> 同构于 <math>a</math> 的始段，显然 <math>W</math> 也同构于这个始段对应的序数；如果 <math>W</math> 的始端同构于 <math>a</math>，那么必然存在 <math>b>a</math> 使得 <math>W</math> 同构于 <math>b</math>，由前面可得同构唯一性。

所以，任意良序集同构于唯一一个序数。

[[分类:集合论相关]]

不可达基数的独立性

2025-08-31T03:04:58Z

Tabelog：

本篇文章在 ZFC+“对于任何基数，都存在一个其后的不可达基数”环境下工作，以证明“存在一个不可达基数”这个命题独立于 ZFC。

由 Tarski 给出的不可达基数公理，考虑第一个不可达基数 <math>\kappa</math>，则 <math>V_\kappa\vDash\mathrm{ZFC}</math>。

'''引理'''

若 <math>\kappa</math> 是不可达基数，则 <math>V_\kappa\vDash\mathrm{ZFC}</math>。

'''证明'''

外延公理：<math>V_\kappa</math> 的元素都是集合，所以它们自然满足。

配对公理：对于任意 <math>a,b\in V_\kappa</math>，我们都可以找到 <math>\alpha</math> 使得 <math>a,b\in V_\alpha</math>，则 <math>\{a,b\}\in V_{\alpha+1}\sube V</math>，所以自然满足。

分离公理模式：对于任意 <math>a\in V_\kappa</math>，我们都可以得到它是某个 <math>V_{\alpha+1}</math>的元素，则任意 <math>z\in a</math> 都是 <math>V_\alpha</math> 的元素，<math>a</math> 的任意子集应该都是 <math>V_{\alpha+1}</math> 的元素，所以自然满足。

正则公理模式：考虑任意非空集 <math>S\in V_\kappa</math>，以及任意 <math>x\in S</math>，因为 <math>S</math> 可以确定其中任意元素的 rank，所以取 <math>S</math> 中 rank 最低的元素 <math>x</math>(由于 Ord上存在一个良序，所以任意序数类的子类都有这个良序的最小元，rank 是序数，取全体 <math>S</math> 中元素的 rank 序数构成一个类即可)，则不存在 <math>y\in S</math> 使得 <math>y\in x</math>，否则 <math>y</math> 的 rank 应该低于 <math>x</math>，矛盾，所以存在 <math>x\in S</math> 使得 <math>x\cap S</math>为空，得以证明。

幂集公理：由前面可得任意 <math>x\in V_\alpha(\alpha<\kappa)</math>，任意 <math>x</math> 的子集都在 <math>V_\alpha</math> 中，则 <math>\mathcal P(x)\in V_{\alpha+1}</math>。

并集公理：考虑任意 <math>x\in V_\alpha(\alpha<\kappa)</math> 而言，它们的任意元素 <math>u</math> 都在某个 <math>V_\beta(\beta<\alpha)</math> 中，任意 <math>u</math> 的元素都在某个 <math>V_\gamma(\gamma<\beta)</math> 中，则 <math>V_{\gamma+1}</math> 中存在 <math>x</math> 的并集。

无穷公理：<math>\omega</math> 是 <math>V_\kappa</math> 的元素。

替代公理模式：由 <math>\kappa</math> 是不可达得到 <math>\kappa</math> 是 Beth 不动点，则 <math>\kappa=|V_\kappa|</math>，则对于任意 <math>X\in V_\alpha(\alpha<\kappa)</math>，则对于任意映射 <math>f:X\to A,A\sube V_\kappa</math>，则 <math>|A|\le|X|<|V_\kappa|</math>，所以存在某个 <math>b</math> 使得不存在 <math>A</math> 的元素属于 <math>V_\beta</math>，则 <math>A</math> 是 <math>V_\beta</math> 的元素，则 <math>A\in V_\kappa</math>。

选择公理：任意 <math>a={a_n\mid n\in b}\in V_\kappa</math>，则 <math>a\in V_c(c<\kappa)</math>，则存在某个 <math>V_d(d<c)</math> 包含的任意 <math>a_n</math> 的元素，则一定存在一个集合使得它是 <math>\bigcup\{a_n\mid n\in b\}</math> 的子集，得证。

进一步可以得到 <math>V_\kappa\vDash\mathrm{ZFC}+</math> 不存在不可达基数，考虑第二个不可达基数 <math>y</math> 则可以得到 <math>V_y\vDash\mathrm{ZFC}+</math> 存在一个不可达基数。

于是，得证：命题“存在一个不可达基数”独立于 ZFC。

[[分类:集合论相关]]

PrSS的良序性

2025-08-31T03:03:33Z

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PrSS的良序性

2025-08-31T03:03:10Z

Tabelog：

Googology

2025-08-31T03:01:44Z

Tabelog：

googology,又称大数数学，是研究大自然数的学科。

== 词源 ==
该术语是由 André Joyce（安德烈·乔伊斯）根据 Michael Halm（迈克尔·哈尔姆）的虚构故事创造的，由 [[古戈尔|googol]]（这是一个经典的大数）+ -logos（希腊语后缀，意思是“学习”）组合而成。Joyce 的 googology 包含根据文字游戏和异想天开的推断设计一个数字名称系统，虽然目前的大数学家已经不在热衷于命名大数。

googologist（大数“学家”），现在一般指大数数学爱好者。

== 逸事 ==
外网的 discord 上的大数社区对 googology 有 goofology 这种半开玩笑的写法。

无独有偶，在国内大数社区也有类似的梗。

果糕，即😰使用 UTF-8 编码再用 GBK 解码会变成馃槹，谐音果糕。后来它在国内大数社区发展出了独特的亚文化。具体参见词条[[果糕]]。而因为果糕和 googol 发音相似，因此 googology 有时被称为果糕逻辑。

== 意义 ==
事实上，大数数学的发展就是人们对数这一概念的认识不断加深的过程。

我们回想一下原始社会中的文明，他们的数学水平几乎为零，仅仅是对数有着模糊的概念。若他们的语言中可能会有 10 个表示数字的单词，那么这种计数法所能表达的极限大概为 10。在这个数字范围之内的数是能够为原始人所把握的，而这也差不多是他们所能够直观地把握的极限。

语言确实会影响人的思维。如果一个东西是不能够被我们说出来的，那么它在我们的头脑中也同样是几乎是无法设想的。对于原始人来说，他们或许知道这个世界上确实存在着更大的数，但是他们对这些数的大小已经没有了具体的感知。对于那些更大的数，例如部落中的人口数量、森林里树木的数量、采摘回的果子的数量等等，他们只能够模糊地知道这些数非常巨大，但却无法知道这些数具体有多大。

随着文明的发展，更大的计数法被创造了出来，人们也能够理解一些更大的概念。或者说，正是对处理更大数字的迫切需要，催生了人们对于更优秀的计数法的发展。为了统计诸如城镇所拥有的耕地面积、交战军队所要携带的物资这样的数，更大的计数法被创造了出来。对于古希腊和古罗马来说，它们的计数系统可以表示几万到几十万的数字。后来随着进制计数法的逐渐普及，计数法的能力达到了数亿的量级，这已经足够古人理解生活中的所有大数了。

科学的发展要求人们认识和处理更大的数字，在这种情况下，传统的计数法日益显得捉襟见肘，阻碍了人们的思维。随着指数计数法的发展，人们逐渐解决了这一问题。也正是由于有了更加强大的计数法，我们才能够理解那些大得无法设想的数字，并能够通过对这些数字的处理进一步地发展科学。最终我们的成就是辉煌的：自然界中所能够达到的任何数字都被限制在了五层指数塔之内，我们已经一劳永逸地表示出了实际世界中的所有大数。但是，这显然不是我们的终点。尽管我们原则上已经得到了所有的自然数，我们也可以用指数塔表示出任意大的数，但除非我们能够构造出更加强大的表示法，那么我们永远也不可能从直观上认识到那些更大的数的存在。这正如如果只有进制计数法，就永远无法设想指数塔层次的大数一样，一旦我们发展了更加强大的计数法，我们立刻会觉得指数塔层次的大数小得可怜，而更高层次的大数也只有在此时才能够直观地展现在我们的面前。大数记号的发展让我们对于自然数体系的结构有了更深刻的认识。

正如 Saibian 所说：“大数使无穷大显得更大的作用远远超过无穷大使大数显得更小的作用。”诚然，我们早就知道无穷大远远大于任何有限的数，但是我们恐怕对此始终没有直观的认识。只有当我们真正明显地构造出那些难以设想的大数之后，我们才会认识到无穷大究竟大到了何种程度，我们也才能够真正了解自然数体系之内所蕴含的丰富结构。事实上对于任何一个有限的数来说，不仅仅是有无限多的自然数比它更大，甚至“几乎所有”的自然数都会比它更大，无论这个数自身已经大到了何种程度。大数为我们理解无穷的性质提供了一个直观的参考。

在近几十年的研究中，人们逐渐意识到了大数领域与集合论的密切联系。对集合论的研究极大地促进了大数领域的发展，我们也相信大数领域可以对数理逻辑等领域的研究进行反哺。大数领域与其他的数学体系有着千丝万缕的联系，对大数的研究也有助于我们进一步地理解数学体系中的其他部分。

证明论与图论等领域中为我们提供了大量增长极快的问题，解决这些问题需要发展更加强大的大数表示法。但或许大数数学的真正魅力并不在于对于其他问题的解决，而恰恰在于'''发现更大的大数'''这件事本身。借助理性的力量，我们在大数的世界之中不断地前进，一次又一次地挑战已知的极限。我们正在试图用我们渺小的头脑，去追寻那些整个宇宙都承载不了的数字。这是人类智慧的一场别开生面的冒险，它已经吸引了许多的数学爱好者参与其中。

== 历史 ==
主词条：[[大数简史]]

从最早的原始计数法到进制计数法，古人发展的大数已经足够日常生活使用了。近几百年来发展的指数函数以及科学计数法，乃至指数塔的推广，也已经足够除了极少数数学分支以外的科学研究使用了。但是直到 20 世纪，大数数学的萌芽才逐渐开始出现。

较早的大数数学研究都是非常零散的。Sudan 于 1927 年提出了 [[Sudan 函数]]，Ackermann 在 1928 年定义了 [[阿克曼函数|Ackermann 函数]]，这两个函数是非原始递归函数，具有较高增长率。早在 1944 年，Goodstein 就在研究序数的过程中就提出了 [[Goodstein函数|Goodstein 序列]]，它的强度远远超过了当时（以及之后几十年）的所有大数记号，只不过这一结果当时在大数领域中并未得到人们的足够重视。Goodstein 在 1947 年正式提出了超运算的概念。Knuth于 1976 年定义了描述超运算的 [[高德纳箭头|Knuth 箭头]]记号，这一记号一直沿用至今。Graham 在1971 年为了解决超立方体染色的问题，提出了 [[葛立恒数#葛立恒函数|Graham 函数]]，而后 Gardner 在 1977 年以它为基础定义了一个更容易理解，同时也更加强大的 [[葛立恒数|Graham 数]]，从而使得大数问题被人们所知。Conway 于 1996 年提出了 [[链式箭头记号|Conway 链]]，这可以视为 Knuth 箭头的一个强大的推广。

而早在 19 世纪 70 年代，Cantor 就开始系统性地研究无穷的性质，并导致了数学史上璀璨的明珠——集合论的诞生。他提出了[[序数]]的概念，并且定义了诸如 ω, ε 等序数。在1908 年，Veblen 提出了 [[Veblen 函数]]，它能够利用序数不动点系统性地刻画更大的序数。与此同时，Zermelo 提出了集合论公理化系统，后经过 Fraenkel 以及 Skolem 改进，形成了完整的 [[ZFC公理体系|ZFC]] 集合论体系。1950 年，Bachmann 首次提出了[[序数坍缩函数|序数折叠函数]]，而更加现代的序数折叠函数是 Buchholz 于 1986 年提出的。1995 年，Rathjen 利用反射序数提出了更加强大的序数折叠函数，后续的工作又将其强度进一步提高到了很高的层次。

集合论独立地发展了很长的时间，直到 1970 年，在 Wainer 提出最早的 Wanier 层次之后，它才与大数数学建立起来联系。它给出了一种将大序数映射为大数的方式，因此能够利用集合论中的成果来系统性地构造大数。Ketonen 与 Solovay 在 1981 年提出了[[增长层级#快速增长层级|快速增长层次]]的现代版本，并一直沿用至今。但是长期以来，这一结果也并未得到大数领域的重视。大数记号和大（递归）序数记号的真正联系要等到 2014 年以后才得以实现。

进入 21 世纪之后，大数的发展开始变得更加迅速了。在 2001-2004 年，Bowers 首先提出了 [[BEAF|Bowers 数阵]]（Bowers’ Exploding Array Function，BEAF），这是人们首次为了创造一个大数本身（而并非去为了解决其他问题）而创造的大数记号。这一记号在大数历史上具有重要的意义，一些研究者也将这一工作视为大数数学开始独立的起点。此时开始出现了一些零散的大数数学研究者，他们并非是职业的数学家，而是业余的数学爱好者。这一时期的记号主要为 Saibian 于 2005-2008 提出的 [[超E记号|E#]] 记号，以及 Bird 于 2010-2013 年提出的 [[BAN|Bird 数阵]]（Bird’s Array Notation，BAN）。后来数阵记号又得到了较为充分的发展，例如[[美元记号]]等。2016 年提出的[[SAN|强数阵记号]] (Strong Array Notation, SAN) 是数阵型记号的顶峰，它所提出的下降（[[Dropping]]）模式在之后的几年中一直是大数数学研究的最前沿模式。

在 2014 年左右，序数记号开始被引入到大数领域的研究之中。人们发现实际上序数记号与大数记号是统一的，大数记号的核心结构实际上就对应于一个序数，而序数记号套上一层简单的壳子就得到了有限的大数记号。序数记号和大数记号的统一无疑是大数数学有史以来最深刻的发现。至此人们的研究中心逐渐由大数记号转移到了大序数记号上，大数领域也真正迎来了迅速的发展。在这一阶段，递归序数记号的代表是 2015 年提出的 [[TON|Taranovsky 序数记号]]，它远远超过了当时人们所能够理解的强度。HypCos 的《大数入门》恰好成书于这段时间，它反映了大数领域的这场深刻的变革。

与此同时，关于非递归分析的研究也逐渐变得越来越深入，大量[[序数#非递归序数|非递归序数]]的结果被引入到大数数学中。人们意识到通过将越来越强大的非递归序数引入到序数折叠函数之中的方法，可以得到越来越强的递归序数。研究者们从序数分析和证明论中吸收了大量相关的结果，发展了诸如[[反射序数]]、[[稳定序数]]等非递归序数的折叠理论。2014 年的[[方括号稳定]]揭示了 [[Σ1稳定序数|Σ1 稳定序数]]的复杂行为，2018 年的 [[UNOCF]] 则是将反射序数系统性地放入序数折叠函数中的尝试。2020 年提出的[[投影序数|投影]]记号是一个强大的非递归记号。由于非递归分析对于数理逻辑的要求非常高，因此关于非递归分析的研究进展相对缓慢，相关的前沿成果也并不十分为研究者所理解。

在非递归分析发展的同时，人们也在寻求着更加强大的递归记号模式。由 Bashicu 于2014 年提出，并于 2018 年完善的 [[BMS|Bashicu 矩阵]] 是大数数学中划时代的工作。它开启了 [[Beklemishev's Worm|Worm]] 型记号的全新范式，至今仍然有着非常深远的影响。BMS 的强度远远超过了此前记号的极限，但是人们早期对此并没有十分充分的认识。只有当对 BMS 记号的分析变得越来越深入之后，它的强大之处才逐渐显现出来。在 BMS 提出后的相当长一段时间内，对其强度的分析是当时最为重要的工作之一，而这一分析过程也极大地催生了大数界相关数学工具的发展。但由于 BMS 的复杂性，这一项工作直到2025年才被完成，通过很晚近的[[向上投影]]。同时由于 BMS 的强大性和系统性，它现在已经成为了分析其他记号的标准。

2020 年 Yukito 提出的 [[Y序列]] 则是 Worm 型记号的又一座高峰。BMS 与 [[0-Y]] 序列是等价的，而通常所说的 Y 序列指的是 1-Y 序列，在这之上还有更加强大的 [[ω-Y|ω−Y]] 序列。相比于 BMS 的平凡扩展来说，Y 序列彻底超越了 BMS 的强度，达到了前所未有的境地。在 Y 序列之中蕴含的复杂结构也仍然有待于人们进行进一步的探索。

尽管人们一直在试图提出强于 Y 系列的新记号，但是这些记号都没有严谨的证据表明其具有超过 Y 系列记号的预期强度。且这些记号在各自方面相对于传统的广义 Y 系列记号一脉都还只是刚刚有一定的基础，其各自的体系仍然没有完善。在 Y 系列记号的内部，定义任意的 α − Y 乃至更加强大的 Ω − Y 的尝试一直也没有停止。尽管 CIF’s Ω-Y 已经遭遇了失败，但是一些其他的记号仍然在探索序列型记号的进一步推广。目前在这一方向上的代表为由 HypCos 于 2024 年提出的山脉记号（[[Mountain Notation]]，MN）、以及由 Aarex 于 2023 年提出，并且由 HypCos 和 ProjectCF 改进的[[MMS|变异矩阵系统]]（Mutant Matrix System，MMS），由 318'4 提出的[[FOS|基本列序数系统]]（Fundemental Ordinal Sequence，FOS）等。

除了在 Y 序列记号内部进行扩展之外，也存在着一些超出 Y 序列记号体系的尝试。近年来挖掘记号之中的[[传递]]结构已经成为了递归构造的前沿问题，除此之外，由 Asheep233 提出的[[对角化理论]]正在试图找寻 googology 构造记号的一般规律。除此之外，由 Yahtzee 于 2022 年提出，并由夏夜星空改进的 [[Fake Fake Fake Zeta]]（fffz）记号为我们揭示了更加强大的 Stellar 模式的冰山一角，它将有希望为我们揭示递归序数的更深刻结构。近期关于[[构造理论]]的研究为我们揭示了记号强度的部分来源，并将有可能指导我们创造出更加强大的记号。

以上我们讨论的都是可以被明显构造出来的递归记号，这是大数研究者最为关心的部分。然而在此之外，确实存在着一些更加强大的记号。在证明论的研究之中，自然地涌现出了一批非常强大的序数，称为[[证明论序数]]（PTO）。证明论序数是与公理系统相关联的，一个公理系统的强度越高，它的证明论序数就越大。长期以来，序数分析领域的专业数学家对证明论序数进行了深入的研究，得到许多重要的结果。我们猜想 <math>\mathrm{PTO}(Z_2)</math> 就达到了 BMS 极限的层次，<math>\mathrm{PTO}(Z_\omega)</math> 可能已经远远超越了目前所有递归记号的极限，而 PTO(ZFC) 则更加遥不可及。1992 年，Laver 提出了 [[Laver Table|Laver 表]]。2001 年，Loader 提出了 [[Loader 数]]，这是一个增长率为 <math>PTO(Z_\omega)</math>的记号。此外 Friedman 还提出了[[有限树序列]]、[[贪心团序列]]等，它们的增长率上界都已经达到较强系统的证明论序数的层次。

在一切递归函数之上的是非递归函数，它们的增长速度超越了一切的递归记号。1961年，Rado 在研究计算理论的时候定义了 [[忙碌海狸函数|Busy Beaver]]。它是基于 Turing 机的性质构建的，是一个重要的非递归函数。2013 年，Goucher 提出了 [[Ξ函数]]，这是一个增长率更高的非递归函数。而基于更加强大的超计算模型，我们可以构建一些增长率更高的不可计算函数。在所有这些记号之上的是 Rayo 于 2007 年提出的 [[Rayo函数|Rayo 数]]，它利用了一阶逻辑的不可描述性质，远远超越了之前的所有记号。

== 相关亚文化 ==
以下是一些 googology 相关的亚文化。

=== 挑战葛立恒数 ===
作为大数界的“守门员”，Graham数利用简单的迭代规则创造出了一个在现实世界之中大得难以置信的数。这样一个数字的大小引起了人们的好奇，人们认识到了通常的十进制计数法和指数计数法也存在着表示的极限，在它们之上还有着更加强大的数字。Graham 数（以及一些其他的同样巨大的数字）的知名度不断地提高，而这也吸引了网络上的博主对其进行进一步的解释和宣传。一时间，“写出一个比 Graham数更大的数字”（即“挑战 Graham 数”）仿佛成为了一个时尚的智力小游戏，吸引着无数人前来参与。

参与数学游戏对人的智力总归是一种锻炼，但是大多数跟风的参与者对大数仅仅有高中水平的认识，因此其想象力仅仅停留在各种自然界中存在的大数（宇宙中的原子数量/一天中一次彩票的概率等），以及最多达到指数塔层次的运算方法和迭代规则。仅仅依靠这些显然是不可能达到葛立恒数的，绝大多数挑战者因此铩羽而归。当然，也有一些挑战者感受到了这一问题的有趣之处，从而愿意对于大数数学有一些更深入的了解。

=== 伪数学 ===
对于伪数学更恰当的称呼应该是“虚构大数学”，它致力于创造出一些仅存在于想象之中的、不存在的大数。这并不是一个数学分支，因为它所讨论的并不是数学对象。伪数学的爱好者会创造出一系列的符号和概念，以此来试图说明一些非常大的数（典型的如所谓各种“绝对无穷”等）。当然，这些结论并不是严肃的数学，而只是一场想象力的狂欢而已。伪数学通常是以视频的形式来表现的，这些视频中充斥着眼花缭乱的特效，以试图表现伪数学世界的狂暴与杂乱无章。伪数学的创作没有任何限制，如果有的话，那么唯一的一条限制就是“怎么都行”。除此之外，伪数学还与其他的社区（如数字方块）有一定的联系。

=== 论战 ===
论战指的是战力比较。不同文学或者娱乐作品之中刻画了许多具有超凡力量的角色，如何比较这些角色之间战斗力的强弱便成为了一个困难的问题。一般来说，要想对一系列角色的战斗力进行比较，可以首先根据其破坏力划分量级，量级高者战斗力占优势。而如果是在统一量级之中实力非常接近的角色，则是借助一个（或者一系列）中间角色 B，通过比较 A > B, B > C 来间接论证 A > C。由于论战问题天然地与大数以及大序数（超越无穷的排序）、大基数（不同层次的无穷大）的问题相关，因此在论战的过程中，这些概念逐渐地开始为人所知。在有限的层面上，可以简单地通过破坏力来划分量级。战力的论证过程一旦上升到无穷，就需要数学的语言来进行进一步的阐述，但是这一部分目前尚没有十分统一的标准。例如可以设想某角色能够毁灭一个无限大的宇宙（单体宇宙），一个角色可以毁灭无限个无限大的宇宙（多元宇宙），一个角色可以毁灭无限个无限大的宇宙，而这里的每个宇宙中又包含了无限个宇宙，这样下去直至无穷（无限盒子），以此类推。当然，人的思维不能够直观地刻画无限，因此即便一个设定上全知全能的角色，其实力也总是以有限的形式表现出来的，这受限于作者本人的想象力。

论战社群非常庞大，且分布极为分散。由于论战社群兴趣的广泛性，它与其他亚文化群体的关联也非常紧密，如二次元动漫、欧美奇幻作品、玄幻小说等。不同的论战群体之间关注的问题以及讨论的方式也完全不同，因此要对论战社群进行一个完整的概括并不是容易的，并且事实上也很难找到能够被整个论战社群所承认的共识。

除了论战之外，还有“自创”设定的做法，即以文字或者小说的形式描述那些尽可能强大的概念。

=== 增量游戏 ===
放置/增量游戏是一种独特的游戏类型，这种游戏通过大量的点击等操作，来获取随时间增长的资源。其经典的设计模式是设计一种或多种随时间增长的资源，然后在增长的过程中可以利用这些资源来升级，以进一步提高资源的增长速度。有些游戏比较侧重玩法，这类游戏被称为放置类游戏。比较经典放置类游戏的有饼干点击（Cookie Clickern）、点击泰坦（Tap Titans）以及进化（Theresmore）等。更加广义的放置类游戏还包含一部分养成类型的游戏，近年来火热的抽卡手游有相当一部分都是广义的放置类游戏。

而有些游戏则去掉了所有其余的部分，而只保留了一个数值增长的核心，这样的游戏称为增量游戏。增量游戏通常是以单纯的文字模式呈现的，例如反物质维度（antimatter dimensions）、序数增量（Ordianl Markup）等。相比于注重玩法的放置类游戏来说，增量游戏与大数数学的关系要更加密切一些。增量游戏是一个小众的门类，增量游戏的数值设计是不容易的，因为不论何种层次的增长，在一个合适的计数法之下总会被压平成线性的。换句话说，在这一尺度下新的增长模式实际上和最基础的加一又没什么区别了。为了突破这一限制，就要在玩法中引入新的机制，而为了保证可玩性，这一机制加入的时间和强度都需要进行精心设计。一些优秀的增量游戏可以达到很大的数值。

== 讨论 ==
虽然上述亚文化中所有人的目标都是对那些强大得难以想象的概念的追求，但是由于所选择的道路不同，其讨论方式以及风格也完全不同。仅以严格性论之，数理逻辑等领域的专业数学家最强，其次是严肃的大数数学研究者，他们尽可能严格地使用严格的概念（尽管对于目前的大数数学来说，还不总是能够真正做到这一点）。再其次是论战爱好者，他们不严格地使用那些数学上的概念，通常并不能够理解其含义，有时也自创数学概念。最后是伪数学爱好者，他们使用那些并没有明确定义的概念。而若以圈子规模来看，那么论战爱好者的人数要远远多于其余的所有人（当然，并非所有的论战爱好者都关心大数和无限的相关问题）。由此可见，这一时期大数数学已经在国内形成了一个独具特色的亚文化群体。大数数学吸引了大量的爱好者参与其中，逐渐演变成了一场盛况空前的网络狂欢。客观上来说，这极大地拓展了大数数学的影响力，使其从一个冷僻的数学分支变成了为许多人所了解的有趣问题。同时由于大数数学问题的趣味性和低门槛的特征，许多没有经受过专业的数学训练的人也可以在这一问题上以自己的方式进行探索和研究。这些人将自己探索得到的结果（即便可能是非常弱的结果）发布在网络上，而这又会吸引更多的人加入到这一问题的研究之中。

但是另一方面，大量爱好者的涌入使得中文互联网上本就散乱的大数数学的知识变得更加鱼龙混杂。大量低质、无意义甚至错误的内容充斥着整个社区，使得真正志于深入了解这一问题的爱好者几乎寸步难行。目前在互联网上，有关于大数数学的低劣内容已经多到了令人发指的程度。许多人对于大数数学的认识（比如 Graham 数或者是 TREE(3)）是一知半解，甚至是完全错误的。这些错误的观念经过宣传之后在网络上获得了很高的知名度，反而是正确的观念由于其难度超过了普通人的理解能力而完全无人理睬。许多流传于互联网上的信息是毫无价值的。大量由完全不了解大数数学的人创造的结构混乱、强度孱弱、定义残缺，甚至根本不能够被称为“数学内容”的记号几乎淹没了一切有价值的信息。这种低质量的记号不仅无益于大数数学的发展，反而会加深对于大数数学的刻板印象，认为只是小孩子过家家的比大小游戏。同时这样的记号蒙蔽了真正有意义的递归结构，对它们进行了解不仅仅是白白地浪费时间，还有损于数学的品味，令有志于从事大数数学研究的爱好者误入歧途。

即使是在那些正确的信息之中，绝大多数也已经严重过时了。目前网络上流行的大数记号仍然为 Knuth 箭头、Conway 链、E# 记号以及 Bowers 数阵。以上的记号之中除了Knuth 箭头以及 Bowers 数阵的一部分（单行线性数阵）仍然作为大数数学的基础之外，其余的记号早就已经被当前的大数数学界淘汰了。这些记号已有二十年左右的历史，它们仍然是大数数学刚刚出现的时候提出的，其结构仍然带有着那个时代的粗糙痕迹，其强度也十分有限。少部分“较新”的资料会提到 Bird 数阵，而这一数阵已经是十年前的成果了。而真正的“现代”记号（例如 Bashicu 矩阵），仅仅能够在寥寥可数的几份资料中得以一见而已。

近二十年以来，大数数学取得了长足的发展，涌现出了一大批丰富而又深刻的结果。然而在互联网上，近十年的成果几乎是对外界完全“封闭”了起来。大数数学社区之外的人难以凭借着自己的力量找到真正有意义的资料，这一点即使是对于有志于学习大数数学的严肃爱好者来说也是如此。尽管目前大数数学的研究者已经编写了一些较为深入的资料，但是除非已经预先知道相应的关键词，否则这些资料并不容易找到。并且即使找到了这些资料的一部分，可能也会因为它们不够完整和难度较高而放弃。而真正最前沿的进展，只能够在一些非公开的网络平台（例如 QQ 群或者 discord）上才能找得到。互联网的发展伴随的不仅仅是知识的流通，还有严重得多的垃圾信息膨胀。在垃圾信息的海洋之中，大数数学只有最表面的一些东西能够为人所知。而更深层次的内容则随着没有意义的垃圾信息一起，被埋葬在了冰冷的海底。

大数数学的问题不仅仅在于知识的传播，还在于相关社区内爱好者不恰当的浮躁心态。在互联网上，许多人完全不能够理解大数数学的内容，而仅仅是通过大数数学里的概念来炫耀自己在互联网平台上的优越感。令人遗憾的是，许多人到最后逐渐演变成了只会堆叠名词的“名词党”，或者是只沉溺于自己世界中的“民科”。在他们眼中，“大数”仿佛成为了某种时尚的网络单品，成为了一种炫耀自己身份的标志。有些人受到了伪数学社区和论战社区的影响，误将这些社区的讨论作为真正的大数数学、乃至于整个数学学科本身。有些人在与大数数学无关的地方不合时宜地发表令人生厌的言论，破坏其他社区的网络环境，这反过来又加剧了人们对于大数数学以及其他相关社区的刻板印象。

但不论如何，当热潮退去之后，总会有真正的大数爱好者留下来，成为该方向上较为严肃的研究者。在 test_alpha0 和夏夜星空的 QQ 群之中大约聚集了几百名爱好者，其中比较活跃的大数研究者大约有几十人，这些人或许占据了国内为数不多的研究者的绝大多数。（作为比较，Discord 大数频道聚集了全世界的大数研究者，其人数大约有一两千人，而其中活跃的研究者可能有几百人。）他们确实在这个方向上不断地进行更加深入的研究，努力拓宽人类的知识边界。有一些研究者系统性地整理了大数数学的基本知识和一些最新的进展，用较为现代的视角重新审视着整个理论。特别是在最近几年，国内大数研究者的热情空前高涨，新记号的提出层出不穷，理想的强度极限不断刷新。但是这些记号并未充分经过时间的考验，目前看来仍然有待进一步的完善。不论如何，相比于前些年的惨淡景象来说，如今的大数界已经算得上是“欣欣向荣”了。

虽然近年来大数数学在国内已经得到了更多的重视，但是时至今日，大数数学仍然是一个极其专门和小众的领域，国内对于大数领域的研究仍然是比较有限的。并且由于理论发展得越来越艰深，现在的大数数学前沿领域几乎已经超过了普通数学爱好者的能力极限了。目前国内致力于该方向的研究者几乎都是业余的数学爱好者，人数也仍然较少，长期以来缺乏有能力做出实质性进展的新研究者的加入，与国际大数数学社区的交流仍然不够密切。总体上来说，国内的大数领域仍然需要进一步的发展。

大数数学的未来是什么样的？目前看来还很难说。或许随着网络的进一步普及和信息化时代的进一步发展，大数数学会为越来越多的人所了解。大数数学涉及到一些非常艰深的数学，在任何时代热爱数学的人都是极少数。但它毕竟是一个足够有趣的问题，尽管当今时代的人们已经变得越来越浮躁了，它也总会触动一部分人的心灵。当一切繁杂的声音都逐渐消退之后，剩下的人将会真正地为大数数学的发展做出贡献。我们也期待数学界（特别是数理逻辑相关的领域）能够对大数数学给予更多的重视。
[[分类:重要概念]]
[[分类:入门]]

Laver Table

2025-08-31T02:51:29Z

Tabelog：

Laver 表是一种无限族的原群，它们产生了一个可能增长极快的函数。它们由理查德·拉弗（Richard Laver）于 1992 年首次定义。<ref>Laver, R. (1992). On the Algebra of Elementary Embeddings of a Rank into Itself. [https://arxiv.org/abs/math/9204204 arXiv:math/9204204] '''[math.LO]'''. </ref>

=== 定义 ===
Laver 表基于以下定理：对于每个<math>n\geq0</math>，在有限序数集 <math>\{1,\cdots,2^n\}</math> 上存在唯一的二元运算 <math>\star_n</math>，<ref>Philippe, B. (2018). Laver tables and combinatorics. ''(EB/OL)''. Available at: https://hal.science/hal-01883830/file/Laver-Tables.pdf</ref>满足：

\begin{eqnarray*}a \star_n 0 & = & 0 \\a \star_n 1 & = & (a+1) \mod 2^n \\a \star_n i & = & (a \star_n (i-1)) \star_n (a \star_n 1) \ (i \neq 0,1)\end{eqnarray*}

Laver 表 <math>A_n</math> 定义为唯一的取值为 <math>a\ \star_n\ b</math> 的 <math>2^n\times2^n</math> 表。Laver 表可以用此<ref>n-nekoyama (n.d.). Laver table - レイバーのテーブル. ''(EB/OL)''. Available at: https://n-nekoyama.github.io/googology/laver_table/</ref>进行计算。

注意这一定理仅适用于 2 的幂。假如我们考虑的二元运算作用于一般的 <math>\{1,\cdots,a\}</math> 上，其中 <math>a\neq 2^n</math>，则这样的二元运算 <math>\star_n</math> 将不是存在且唯一的。

我们定义函数 <math>a\mapsto1\star_na</math> 的周期为 p(n)。

定义 q(n) 为函数 p(n) 的“伪逆”，即 <math>q(n)=\min\{N|p(N)\geq2^n\}</math>。

==== 强度 ====
p(n) 的前几个值为1, 1, 2, 4, 4, 8, 8, 8, 8, 16, 16, 16, 16, …，<ref>A098820 - OEIS. ''(EB/OL), OEIS''. Available at: https://oeis.org/A098820</ref>这是一个增长缓慢的函数。

p 在 [[ZFC公理体系|ZFC]]+存在 rank-into-rank 基数（或 ZFC+I3）的公理系统中被证明是发散的。但遗憾的是，后者这一公理过于强大，以至于少数专家对其系统的相容性存疑。由于 p 的发散性尚未通过其他方式证明，这仍是一个未解问题。用 [[googology]] 更熟悉（但是并不严格）的说法，我们目前认为 q(n) 的增长率的上界为 [[证明论序数|PTO(ZFC+I3)]]。

q 是一个快速增长的函数，其全域性当且仅当 p 发散。q(n) 的前几个值为 0, 2, 3, 5, 9。尽管 n≥5 时 q(n) 的存在性尚未被确认，但在上述公理假设下，Randall Dougherty 证明，在快速生长层次结构的一个稍作修改的版本中，<math>q^n(1)>f_{\omega+1}(\lfloor\log_3n\rfloor-1)</math>，且 <math>q(5) > f_9 (f_8 (f_8(254)))</math>。<ref>Dougherty, R. (1992). Critical points in an algebra of elementary embeddings. [https://arxiv.org/abs/math/9205202 arXiv:math/9205202] '''[math.LO]'''.</ref>Dougherty 对证明更优下界的可能性表示悲观，目前也没有更严格的上界已知。Laver 表是可计算的，因此 q(n)在较小时会被[[忙碌海狸函数]] Σ(n) 超越。

Patrick Dehornoy 提供了一种填充 Laver 表的简单算法。<ref name=":0">Dehornoy, Patrick. [https://web.archive.org/web/20230429003832/https://www.lmno.cnrs.fr/archives/dehornoy/Talks/Dyz.pdf Laver Tables]</ref>然而，每个表格的大小以及 <math>\star</math> 运算所定义的循环群的规模都呈指数级增长，因此这目前是一个NP问题。

q(6) 的预期规模非常大[6]，但除了“证明可计算函数全域所需的集合论强度”外，没有给出其他理由或证明。然而，一个可计算函数f并不需要超过所有在已知需要证明该函数全域的集合论中可证明全域的可计算函数。
[[文件:Laver6 new.webp|缩略图|第六个 Laver 表的灰度图]]

==== 解释 ====
对于[[序数#极限序数|极限序数]] <math>\lambda</math>，设 <math>\mathcal{E}_\lambda</math> 为所有[[初等嵌入]] <math>V_\lambda \mapsto V_\lambda</math> 的集合。对 <math>j,k \in \mathcal{E}_\lambda</math>，我们定义运算符 <math>j\cdot k</math>（或记为 <math>jk</math>）如下：

<math>j \cdot k = \bigcup_{\alpha < \lambda} j(k \cap V_\alpha)</math>

此处，<math>k \cap V_\alpha</math> 表示 <math>k</math> 在集合 <math>\{x \in V_\alpha \mid (x,k(x)) \in V_\alpha\}</math> 上的限制。虽然 <math>k</math> 本身不属于 <math>j</math> 的定义域 <math>V_\lambda</math>，但 <math>k \cap V_\alpha</math> 是它的元素。这一操作可理解为“对逐渐接近 <math>V_\lambda</math> 的 <math>k</math> 应用 <math>j</math>”。该运算符满足性质 <math>j(kl) = (jk)(jl)</math>，此性质被称为左自分布性（left-selfdistributivity）。已知 Laver 表与通过临界点关联到 <math>\mathcal{E}_\lambda</math> 的原群同构，因此与大基数公理密切相关。

=== 取值 ===

==== Laver 表 ====
以下展示了前 6 个 Laver 表。<ref name=":0" />
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|+<math>\star_0</math> 的 Laver 表
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==== q 函数 ====
事实上 <math>p(n)</math> 是一个增长速度非常缓慢的函数。

我们有

* <math>q(0) = 0</math>
* <math>q(1) = 2</math>
* <math>q(2)=3</math>
* <math>q(3)=5</math>
* <math>q(4)=9</math>
* <math>q(5) > f_9 (f_8 (f_8(254)))</math>，其中这里的 [[增长层级#快速增长层级|FGH]] 改版定义为 <math>f_{\alpha+1}(n)=f_\alpha^{n+1}(n)</math>

== 参考资料 ==
{{默认排序:相关问题}}
[[分类:记号]]
<references />
[[分类:集合论相关]]

Laver Table

2025-08-31T02:42:25Z

Tabelog：

Laver 表是一种无限族的原群，它们产生了一个可能增长极快的函数。它们由理查德·拉弗（Richard Laver）于 1992 年首次定义。<ref>Laver, Richard. [http://arxiv.org/abs/math.LO/9204204 On the Algebra of Elementary Embeddings of a Rank into Itself]. Retrieved 2014-08-23. </ref>

=== 定义 ===
Laver 表基于以下定理：对于每个<math>n\geq0</math>，在有限序数集 <math>\{1,\cdots,2^n\}</math> 上存在唯一的二元运算 <math>\star_n</math>，<ref>Biane, Philippe. [https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01883830/file/Laver-Tables.pdf https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01883830/file/Laver-Tables.pdf.]</ref>满足：

\begin{eqnarray*}a \star_n 0 & = & 0 \\a \star_n 1 & = & (a+1) \mod 2^n \\a \star_n i & = & (a \star_n (i-1)) \star_n (a \star_n 1) \ (i \neq 0,1)\end{eqnarray*}

Laver 表 <math>A_n</math> 定义为唯一的取值为 <math>a\ \star_n\ b</math> 的 <math>2^n\times2^n</math> 表。Laver 表可以用此<ref>猫山にゃん太. Laver table - レイバーのテーブル[EB/OL]. 2022. [https://n-nekoyama.github.io/googology/laver_table/. https://n-nekoyama.github.io/googology/laver_table/.]</ref>进行计算。

注意这一定理仅适用于 2 的幂。假如我们考虑的二元运算作用于一般的 <math>\{1,\cdots,a\}</math> 上，其中 <math>a\neq 2^n</math>，则这样的二元运算 <math>\star_n</math> 将不是存在且唯一的。

我们定义函数 <math>a\mapsto1\star_na</math> 的周期为 p(n)。

定义 q(n) 为函数 p(n) 的“伪逆”，即 <math>q(n)=\min\{N|p(N)\geq2^n\}</math>。

=== 强度 ===
p(n) 的前几个值为1, 1, 2, 4, 4, 8, 8, 8, 8, 16, 16, 16, 16, …，<ref>OEIS [[oeis:A098820|A098820]]</ref>这是一个增长缓慢的函数。

p 在 [[ZFC公理体系|ZFC]]+存在 rank-into-rank 基数（或 ZFC+I3）的公理系统中被证明是发散的。但遗憾的是，后者这一公理过于强大，以至于少数专家对其系统的相容性存疑。由于 p 的发散性尚未通过其他方式证明，这仍是一个未解问题。用 [[googology]] 更熟悉（但是并不严格）的说法，我们目前认为 q(n) 的增长率的上界为 [[证明论序数|PTO(ZFC+I3)]]。

q 是一个快速增长的函数，其全域性当且仅当 p 发散。q(n) 的前几个值为 0, 2, 3, 5, 9。尽管 n≥5 时 q(n) 的存在性尚未被确认，但在上述公理假设下，Randall Dougherty 证明，在快速生长层次结构的一个稍作修改的版本中，<math>q^n(1)>f_{\omega+1}(\lfloor\log_3n\rfloor-1)</math>，且 <math>q(5) > f_9 (f_8 (f_8(254)))</math>。<ref>Dougherty, Randall. [http://arxiv.org/abs/math.LO/9205202 Critical points in an algebra of elementary embeddings.] Retrieved 2014-08-23.</ref>Dougherty 对证明更优下界的可能性表示悲观，目前也没有更严格的上界已知。Laver 表是可计算的，因此 q(n)在较小时会被[[忙碌海狸函数]] Σ(n) 超越。

Patrick Dehornoy 提供了一种填充 Laver 表的简单算法。<ref name=":0">Dehornoy, Patrick. [https://web.archive.org/web/20230429003832/https://www.lmno.cnrs.fr/archives/dehornoy/Talks/Dyz.pdf Laver Tables] (starting on slide 26). Retrieved 2018-12-11.</ref>然而，每个表格的大小以及 <math>\star</math> 运算所定义的循环群的规模都呈指数级增长，因此这目前是一个NP问题。

q(6) 的预期规模非常大[6]，但除了“证明可计算函数全域所需的集合论强度”外，没有给出其他理由或证明。然而，一个可计算函数f并不需要超过所有在已知需要证明该函数全域的集合论中可证明全域的可计算函数。
[[文件:Laver6 new.webp|缩略图|第六个 Laver 表的灰度图]]

=== 解释 ===
对于[[序数#极限序数|极限序数]] <math>\lambda</math>，设 <math>\mathcal{E}_\lambda</math> 为所有[[初等嵌入]] <math>V_\lambda \mapsto V_\lambda</math> 的集合。对 <math>j,k \in \mathcal{E}_\lambda</math>，我们定义运算符 <math>j\cdot k</math>（或记为 <math>jk</math>）如下：

<math>j \cdot k = \bigcup_{\alpha < \lambda} j(k \cap V_\alpha)</math>

此处，<math>k \cap V_\alpha</math> 表示 <math>k</math> 在集合 <math>\{x \in V_\alpha \mid (x,k(x)) \in V_\alpha\}</math> 上的限制。虽然 <math>k</math> 本身不属于 <math>j</math> 的定义域 <math>V_\lambda</math>，但 <math>k \cap V_\alpha</math> 是它的元素。这一操作可理解为“对逐渐接近 <math>V_\lambda</math> 的 <math>k</math> 应用 <math>j</math>”。该运算符满足性质 <math>j(kl) = (jk)(jl)</math>，此性质被称为左自分布性（left-selfdistributivity）。已知 Laver 表与通过临界点关联到 <math>\mathcal{E}_\lambda</math> 的原群同构，因此与大基数公理密切相关。

=== 取值 ===

==== Laver 表 ====
以下展示了前 6 个 Laver 表。<ref name=":0" />
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|+<math>\star_0</math> 的 Laver 表
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|}

=== q 函数 ===
事实上 <math>p(n)</math> 是一个增长速度非常缓慢的函数。

我们有

* <math>q(0) = 0</math>
* <math>q(1) = 2</math>
* <math>q(2)=3</math>
* <math>q(3)=5</math>
* <math>q(4)=9</math>
* <math>q(5) > f_9 (f_8 (f_8(254)))</math>，其中这里的 [[增长层级#快速增长层级|FGH]] 改版定义为 <math>f_{\alpha+1}(n)=f_\alpha^{n+1}(n)</math>

== 参考资料 ==
{{默认排序:相关问题}}
[[分类:记号]]
<references />
[[分类:集合论相关]]

文件:Laver6 new.webp

2025-08-31T02:39:22Z

Tabelog：

SHO

2025-08-30T14:53:31Z

Tabelog：

SHO（Small Hydra Ordinal），又称BMO（Bashicu Matrix Ordinal），由 FataliS1024 命名，该名字原本指 <math>\varepsilon_0</math>（[[SCO]]），后来因为不明原因变成了 [[BMS]] 极限。该序数在 [[googology]] 中有着极其重要的地位。
{| class="wikitable"
![[序数记号]]
!表达式
|-
|[[稳定序数]]
|<math>\le\psi(\rm{psd.}\Sigma_\omega-\rm{stb})</math>
|-
|[[投影序数#向上投影|向上投影]]
|<math>\psi(\psi_H(\varepsilon_{H+1}))</math>
|-
|[[Y序列|1-Y]]
|<math>1,3</math>
|-
|[[Mountain Notation]]
|<math>(0)(,,1)</math>
|-
|[[MMS]]
|<math>(0)(1,1)</math>
|-
|[[DBMS]]
|<math>(0)(1,,1)</math>
|-
|[[Fake Fake Fake Zeta]]
|<math>\psi_Z[\varepsilon_\omega](\varepsilon_\omega)</math>
|}

=== 性质 ===
证明论序数：SHO 的证明论强度在 ggg 界还没有定论，主流的观点认为 <math>\rm{SHO}=\rm{PTO}(Z_2)=\rm{PTO}(\mathrm{KP}\omega+\Pi_N-\rm{Collection})</math>，通常将这个PTO称为βO。

极限在此处的记号：几乎所有[[Kirby-Paris Hydra|多行 Hydra]] 记号极限都是 SHO，包括但不限 [[BMS]]，[[0-Y]]，[[Ex-hydra]] 等等。[[BHM]]、[[BSM]] 的极限也很可能为 SHO。

如果 <math>\rm{SHO}=\rm{PTO}(Z_2)</math> 的假设成立，则 [[Σ1稳定序数#Non-Gandy 现象|adm 稳定和 pfec 稳定]]的 [[Catching]] 点有可能位于 SHO。
[[分类:序数]]

Googology 梗百科

2025-08-30T14:53:08Z

Tabelog：

本页面收录了一些中文 [[ggg]] 圈的梗。

== 一、聊天记录类 ==

=== 1.定义没有，牛B吹爆 ===
[[文件:12345B67.jpg|截图日期：2024年8月9日|缩略图]]
起因是 3184 说了句“来点小小的链节余项震撼”，后被 hypcos 回复“定义没有，牛B吹爆”

因为其过于经典而被广为流传。

后来还衍生出了多种版本，如“1234，5B67”和“□□□□，□□□□”，“分析没有，牛B吹爆”等

=== 2.XX给你打了 ===
出自于涵对 hypcos 的回复“坦克给你打了”。
[[文件:Tank.jpg|缩略图]]
其中“坦克”指的是 [[LVO]]，这个名词来源于文件《大数级别段位》（一个数字量级表）中的“掌控者坦克”。另一个较为出名的是“邢天战甲”，被用于指代 [[BO]]。

这个梗中的“坦克”可以被换成任意词，被用于调侃性地表达两个事物间的比较。

此外，受这段聊天记录影响，有一些人在讨论部分内容时也常常使用“我倾向于”表达自己的观点。

详细信息可以参考B站用户 3183丶4139 的[https://b23.tv/ULKDxxw 这期视频]。

== 二、错字类 ==

=== 1.果糕 ===
果糕是馃槹的谐音版，馃槹是 emoji 表情😰按 UTF-8 编码后用 GBK 解码的结果。

具体可以见[https://2023largenumber.fandom.com/zh/wiki/%F0%9F%98%B0#articleComments/ 此处]。

=== 2.扽西 ===
最早是 PCF 的错字，将“分析”打成了扽西，后来逐渐演变成了一个梗，用于代指不严谨的分析。

=== 3.其他错字 ===
还有一些错字也比较经典，如“狄安娜”指电脑，“周记”指手机，“全业务额是”是“确实”，在此不一一列举。
[[文件:2025-08-11 狄安娜的考验.png|缩略图|疑似对外国友人有点高难度了（对中国人也是）]]
详细可以参考[https://docs.qq.com/sheet/DVnlZSENqbm1CU3FQ?u=7b7ca06006c34e6b84a6bbcc0ac26715&tab=000001 错字辞典]，它较为详细地记载了一些错字。

BO

2025-08-30T14:52:48Z

Tabelog：

BO（Buchholz's Ordinal），是 [[googology]] 中一个非常重要的序数。它被认为是具有“里程碑”意义的大序数，是 [[PSS Hydra]]、[[HPrSS]]、双行 [[BMS]] 及诸多[[序数记号]]的极限。学会一个 BO 级别的序数记号被认为是 googology 新人入门的标志。
{| class="wikitable"
![[序数记号]]
!表达式
|-
![[序数坍缩函数#BOCF|BOCF]] / [[序数坍缩函数#MOCF|MOCF]]
!<math>\psi(\Omega_{\omega})</math>
|-
|[[BMS]]
|<math>\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1\\0&1 \end{pmatrix}</math>
|-
|[[0-Y]]
|<math>1,4</math>
|-
|[[Y序列|1-Y]]
|<math>1,2,4,8</math>
|-
|[[BHM]]
|<math>\begin{pmatrix} 0 & 1&1&2 \\ 0 & 1&0&0 \end{pmatrix}</math>
|-
|[[BSM]]
|<math>\begin{pmatrix} 0&1&2&2&3 \end{pmatrix}</math>
|-
|[[NOCF]]
|<math>\psi(\Omega_{\Omega_{\omega}})/\psi(\Omega_{\Omega_{\psi(\Omega)}})</math>
|-
|[[Dropping#M 记号|M 记号]]
|<math>\psi(\psi(M\times\omega))</math>
|-
|[[Catching 函数]]
|<math>C(0)</math>
|}

=== 性质 ===
[[证明论序数]]：<math>\rm \Pi_1^1-CA_0</math>，<math>\rm \Delta_2^1-CA_0</math>，<math>\rm RCA_0+\Sigma_1^0\land\Pi_1^0-det.</math>，<math>\rm RCA_0+\Delta_2^0-RT</math>，<math>{\rm KPl}^r</math>，<math>{\rm KPi}^r</math>，<math>{\rm KP}\beta^r</math>，<math>{\rm ID}_{<\omega}</math>，<math>({\rm ID}_{<\omega}^2)_0</math>

极限在此处的记号： [[PSS Hydra]]，[[HPrSS]]，双行 [[BMS]]（PSS），SIUN，PrGS，b-THIAN，[[BEAF|带 & 的 BEAF]]，ABN I，三就跳函数，FPrSS，mEAN

BO 是 [[增长层级#快速增长层级|FGH]] 和 [[增长层级#慢速增长层级|SGH]] 的第一个[[Catching|追平点]]。

[[分类:序数]]

序数超运算

2025-08-30T14:51:52Z

Tabelog：

序数超运算是对序数使用[[超运算序列|超运算]]的尝试。它虽然是最直观、新人最容易想到的模式，但已经被长期的[[googology]]实践所证明是低效、难以扩展的。

== 原定义 ==
首先，我们仿照[[高德纳箭头]]在自然数上的定义和[[序数#序数的运算|序数运算]]的定义，给出序数使用高德纳箭头的定义：

# <math>\alpha\uparrow^1\beta=\alpha^{\beta}</math>
# <math>\alpha\uparrow^c1=\alpha</math>
# <math>\alpha\uparrow^{c+1}(\beta+1)=\alpha\uparrow^c(\alpha\uparrow^{c+1}\beta)</math>
# <math>\alpha\uparrow^c\lambda=sup\{\alpha\uparrow^c\beta|\beta<\lambda\}</math>

其中<math>\alpha,\beta</math>是任意序数，c是自然数，<math>\lambda</math>是非0极限序数。

这样一来，就有<math>\omega\uparrow^2(\omega+1)=\omega^{\omega\uparrow^2\omega}=sup\{\omega^{\omega\uparrow^2n}|n<\omega\}=sup\{\omega\uparrow^2n|n<\omega\}=\omega\uparrow^2\omega</math>.进一步，对任意<math>\beta\geq\omega</math>，都有<math>\omega\uparrow^2\beta=\omega\uparrow^2\omega</math>.再进一步，对任意的<math>c\geq2,\beta\geq\omega</math>,都有<math>\omega\uparrow^c\beta=\omega\uparrow^2\omega</math>.

这显然不是我们所期待的。

== 左结合法 ==
第一种试图解决问题的方案是左结合法。它借鉴了[[下箭号表示法|下箭头表示法]]，给出序数使用下箭头的定义：

# <math>\alpha\downarrow^1\beta=\alpha^{\beta}</math>
# <math>\alpha\downarrow^c1=\alpha</math>
# <math>\alpha\downarrow^{c+1}(\beta+1)=(\alpha\downarrow^{c+1}\beta)\downarrow\alpha</math>
# <math>\alpha\downarrow^c\lambda=sup\{\alpha\downarrow^c\beta|\beta<\lambda\}</math>

其中<math>\alpha,\beta</math>是任意序数，c是自然数，<math>\lambda</math>是非0极限序数。

于是有：

<math>\omega\downarrow^22=\omega^\omega
</math>

<math>\omega\downarrow^23=\omega^{\omega^2}</math>

<math>\omega\downarrow^2\omega=\omega^{\omega^\omega}</math>

<math>(\omega\downarrow^2\omega)\downarrow^22=\omega^{\omega^{\omega^\omega}}</math>

<math>\omega\downarrow^33=\omega^{\omega^{\omega^{\omega^\omega}}}</math>

<math>\omega\downarrow^34=\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^\omega}}}}}</math>

<math>\omega\downarrow^3\omega=\varepsilon_0</math>

<math>(\omega\downarrow^3\omega)\downarrow^22=\varepsilon_0^{\varepsilon_0}</math>

<math>(\omega\downarrow^3\omega)\downarrow^2\omega=\varepsilon_0^{\varepsilon_0^\omega}</math>

<math>(\omega\downarrow^3\omega)\downarrow^32=\varepsilon_0^{\varepsilon_0^{\varepsilon_0}}</math>

<math>(\omega\downarrow^3\omega)\downarrow^33=\varepsilon_0^{\varepsilon_0^{\varepsilon_0^{\varepsilon_0^{\varepsilon_0}}}}</math>

<math>\omega\downarrow^43=\varepsilon_1</math>

<math>\omega\downarrow^44=\varepsilon_2</math>

<math>\omega\downarrow^4\omega=\varepsilon_\omega</math>

<math>(\omega\downarrow^4\omega)\downarrow^3\omega=\varepsilon_{\omega+1}</math>

<math>(\omega\downarrow^4\omega)\downarrow^42=\varepsilon_{\varepsilon_\omega}</math>

<math>(\omega\downarrow^4\omega)\downarrow^43=\varepsilon_{\varepsilon_\omega2}</math>

<math>\omega\downarrow^53=\varepsilon_{\varepsilon_\omega\omega}</math>

<math>\omega\downarrow^54=\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_\omega\omega}\omega}</math>

<math>\omega\downarrow^5\omega=\zeta_0</math>

<math>\omega\downarrow^6\omega=\zeta_\omega</math>

<math>\omega\downarrow^7\omega=\varphi(3,0)</math>

<math>\omega\downarrow^{1+2n}\omega=\varphi(n,0)</math>

把下箭头用到序数上，其极限为<math>\varphi(\omega,0)</math>，也符合箭头运算的强度。

但是，左结合的下箭头行为和高德纳箭头差异还是不小，而且两个箭头对应一个<math>\varphi(n,0)</math>还是不太符合我们的预期。

== 攀爬法 ==
第二种试图解决问题的方案是攀爬法。攀爬法提供了一种更强的推广。我们知道，<math>\varepsilon_1</math>的基本列是<math>\{\omega^{\varepsilon_0+1},\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}},\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}}},\cdots\}</math>，我们可以将其表示为<math>\{\omega^{\omega^{\omega^{\cdots}}}+1,\omega^{\omega^{\omega^{\cdots}}+1},\omega^{\omega^{\omega^{\cdots}+1}},\cdots\}</math>.在这里我们把<math>\omega</math>的指数塔固定在<math>\omega</math>。在这样的基本列中，+1像在指数塔攀爬一样，攀爬法也因此而得名。在基本列的尽头，+1攀爬到了指数塔的顶端，与原来在顶端的1相加变为2。因此我们得到<math>\varepsilon_1=\underbrace{\omega^{\omega^{\cdots^{2}}}}_{\omega+1 layers}</math>.进一步的，按照攀爬法我们有<math>\varepsilon_{\omega}=\underbrace{\omega^{\omega^{\cdots^{\omega}}}}_{\omega+1 layers}</math>,我们将其记为<math>\omega\uparrow\uparrow(\omega+1)=\varepsilon_{\omega}</math>.

进一步有：

<math>\omega\uparrow\uparrow(\omega+2)=\varepsilon_{\omega^{\omega}}</math>

<math>\omega\uparrow\uparrow(\omega\times2)=\varepsilon_{\varepsilon_0}</math>

<math>\omega\uparrow\uparrow(\omega^2)=\zeta_0</math>

<math>\omega\uparrow\uparrow(\omega^3)=\eta_0</math>

<math>\omega\uparrow\uparrow(\omega^{\omega})=\varphi(\omega,0)</math>

<math>\omega\uparrow\uparrow\omega\uparrow\uparrow\omega=\varphi(\varphi(1,0),0)</math>

<math>\omega\uparrow^34=\varphi(\varphi(\varphi(1,0),0),0)</math>

<math>\omega\uparrow^3\omega=\varphi(1,0,0)</math>

<math>\omega\uparrow^3(\omega+1)=\varphi(1,0,1)</math>

<math>\omega\uparrow^3(\omega^2)=\varphi(1,1,0)</math>

<math>\omega\uparrow^3\omega\uparrow^3\omega=\varphi(1,\varphi(1,0,0),0)</math>

<math>\omega\uparrow^44=\varphi(1,\varphi(1,\varphi(1,0,0),0),0)</math>

<math>\omega\uparrow^4\omega=\varphi(2,0,0)</math>

<math>\omega\uparrow^5\omega=\varphi(3,0,0)</math>

<math>\omega\uparrow^{\omega}\omega=\varphi(\omega,0,0)</math>

由此我们得到了攀爬法序数超运算的极限是<math>\varphi(\omega,0,0)</math>.

但是现在已经证明了，攀爬法是非良序的。因此这一做法得到的推广是不可靠的。

== +1法 ==
第三中试图解决问题的方案是+1法。

它基于一种特别朴素的想法，即：如果<math>\omega\uparrow^c\alpha=\alpha</math>,则修改其值为<math>\omega\uparrow^c(\alpha+1)</math>.显然，这一改变真正起到效果的是指数上的变化。关于+1法序数超运算，我们有：

<math>\omega\uparrow\uparrow(\omega+1)=\omega^{\varepsilon_0+1}</math>

<math>\omega\uparrow\uparrow(\omega+2)=\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}}</math>

<math>\omega\uparrow\uparrow(\omega\times2)=\varepsilon_1</math>

<math>\omega\uparrow\uparrow(\omega\times3)=\varepsilon_2</math>

<math>\omega\uparrow\uparrow(\omega^2)=\varepsilon_{\omega}</math>

<math>\omega\uparrow\uparrow\omega\uparrow\uparrow\omega=\varepsilon_{\varepsilon_0}</math>

<math>\omega\uparrow^3\omega=\zeta_0</math>

<math>\omega\uparrow^3(\omega+1)=\varepsilon_{\zeta_0+1}</math>

<math>\omega\uparrow^3(\omega\times2)=\zeta_1</math>

<math>\omega\uparrow^3\omega\uparrow^3\omega=\zeta_{\zeta_0}</math>

<math>\omega\uparrow^4\omega=\eta_0</math>

<math>\omega\uparrow^5\omega=\varphi(4,0)</math>

<math>\omega\uparrow^{\omega}\omega=\varphi(\omega,0)</math>

于是我们得到其极限为<math>\varphi(\omega,0)</math>。它的优点是它和<math>\varphi</math>函数行为完全一致。但缺点也是这个。这导致了<math>\omega\uparrow\uparrow(\omega+1)=(\omega\uparrow\uparrow\omega)\times\omega</math>这种奇异的结果，某种意义上丢失了超运算自己的特性。因此可以说，+1法序数超运算被<math>\varphi</math>函数上位替代了。

== 总结 ==
到目前为止，序数超运算不是不良定义，就是不理想的。我们不建议在任何地方使用高于<math>\varepsilon_0</math>的序数超运算和更高级别的运算。如果要使用，必须仅仅将它作为形式上的符号，并且明确地说明其具体含义。事实上，我们完全可以使用[[Veblen 函数]]这样的更加强大且清晰的[[序数记号]]来替代它。
[[分类:记号]]
[[分类:入门]]

Googology 社区

2025-08-30T14:51:26Z

Tabelog：

目前国内的 [[googology]] 社区包括但不限于：

=== QQ ===
'''大群'''，全名“googology/数学爱好者讨论群”，群号 930971194，是 test_alpha0 建立的大数群，国内建群最早的大数数学相关的群。但是目前有衰落倾向。

'''聚集地''' ，全名“大数数学爱好者聚集地”，群号 592891596，是由夏夜星空建立的大数群。目前是国内人数最多，新人最多的大数群。

'''狸群'''，全名“狸の扽西と催更群”，群号 149876696，是 Suzuka梅天狸建立的大数群。

'''3184群'''，全名“仰视与解析的￠RTS第2515号”，群号 705190278，是 3183丶4139 建立的大数群。群内以大数话题为主，但群主似乎更希望限制大数话题的数量。

'''学园群'''，全名“论内/ggg初等教育学园”，群号 1017436106，是虚妄之幻建立的群。值得注意的是，该群虽然是与 ggg 相关的教学群，但顾名思义，论战内容在群内占据大头。

'''扽西群'''，全名“扽-我ら果糕と共に扽む西なり-”，群号 935984004，是 YourCpper 建立的群，主要讨论前沿扽西或前沿构造相关内容。

'''wiki编写组'''，全名“新wiki编写组”，群号 726178791，欢迎大家加入本群一起丰富本 wiki 的内容。

=== 腾讯文档 ===
[https://docs.qq.com/sheet/DSnhHWXhucWlLWE1u?u=58b89cd6583a4174b916a537d339f665&tab=BB08J2 '''New Sheet Analysis''']，简称 NS，是 YourCpper 发起的开放的扽西表项目，欢迎大家前来补充各类记号的扽西。

[https://docs.qq.com/sheet/DSnFWckliSU5TTE15?u=58b89cd6583a4174b916a537d339f665&tab=80mo0q '''Worldly Sheet''']，简称 WS，是记载序数、记号极限和各类杂项内容的表格，其名称来源于世界基数（Worldly Cardinal）。此表目前处于年久失修的状态，存在许多错误（尤其是前沿方面），使用时需注意辨别，同时欢迎各位大佬们前来修正 WS 的错误之处。

=== 知乎 ===
知乎的“葛立恒数”话题，“TREE(3)”话题下活跃着大量的大数数学相关问题及答主。

=== 百度贴吧 ===
[https://tieba.baidu.com/f?ie=utf-8&kw=%E8%91%9B%E7%AB%8B%E6%81%92%E6%95%B0 葛立恒数吧]，国内大数较早的社区，后因爆吧而转移至葛立恒数二吧，后来又因为 QQ 大数群出现而一起衰落。目前仍然有不少新人。

[https://tieba.baidu.com/f?kw=%E8%91%9B%E7%AB%8B%E6%81%92%E6%95%B0%E4%BA%8C 葛立恒数二吧]，目前虽然因为 QQ 大数群而不复从前，但依然存在不少新人，很多老人也还会看本吧。

Laver Table

2025-08-30T14:46:51Z

Tabelog：

Laver 表（Laver Table）是 Richard Laver 在 1992 年提出的一个增长速度很快的表。<ref>Laver, Richard. [http://arxiv.org/abs/math.LO/9204204 On the Algebra of Elementary Embeddings of a Rank into Itself]. Retrieved 2014-08-23. </ref>

=== 定义 ===
考虑作用于 <math>\{1,\cdots,2^n\}</math> 上的二元运算 <math>\star_n</math>，它满足如下条件：

\begin{eqnarray*}a \star_n 0 & = & 0 \\a \star_n 1 & = & (a+1) \mod 2^n \\a \star_n i & = & (a \star_n (i-1)) \star_n (a \star_n 1) \ (i \neq 0,1)\end{eqnarray*}

Laver 表 <math>A_n</math> 定义为唯一的取值为 <math>a\ \star_n\ b</math> 的 <math>2^n\times2^n</math> 表。Laver 表可以用此<ref>猫山にゃん太. Laver table - レイバーのテーブル[EB/OL]. 2022. [https://n-nekoyama.github.io/googology/laver_table/. https://n-nekoyama.github.io/googology/laver_table/.]</ref>进行计算。

注意这一定理仅适用于 2 的幂。假如我们考虑的二元运算作用于一般的 <math>\{1,\cdots,a\}</math> 上，其中 <math>a\neq 2^n</math>，则这样的二元运算 <math>\star_n</math> 将不是存在且唯一的。

我们定义如下函数的周期为 p(n):

* <math>2^n\rightarrow2^n</math>
* <math>a\mapsto1\star_na</math>

定义 q(n) 为函数 p(n) 的逆，即 <math>q(n)=\min\{N|p(N)\geq2^n\}</math>。

=== 取值 ===

==== Laver 表 ====
以下展示了前 6 个 Laver 表。<ref>Dehornoy, Patrick. [https://web.archive.org/web/20230429003832/https://www.lmno.cnrs.fr/archives/dehornoy/Talks/Dyz.pdf Laver Tables] (starting on slide 26). Retrieved 2018-12-11.</ref>
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|}

=== q 函数 ===
事实上 <math>p(n)</math> 是一个增长速度非常缓慢的函数。

我们有

* <math>q(0) = 0</math>
* <math>q(1) = 2</math>
* <math>q(2)=3</math>
* <math>q(3)=5</math>
* <math>q(4)=9</math>
* <math>q(5) > f_9 (f_8 (f_8(254))) ,</math>，其中这里的 [[增长层级#快速增长层级|FGH]] 改版定义为 <math>f_{\alpha+1}(n)=f_\alpha^{n+1}(n)</math>

=== 强度 ===
Dougherty 证明了 <math>q^n(1) > f_{\omega+1} (\lfloor log3 n\rfloor - 1)</math>。<ref>Dougherty, Randall. [http://arxiv.org/abs/math.LO/9205202 Critical points in an algebra of elementary embeddings.] Retrieved 2014-08-23.</ref>

事实上，二元关系 <math>\star_n</math> 的存在唯一性以及函数 p(n) 的发散性并非显然的结果，它实际上与集合论中的嵌入有着深刻的联系。

事实上，p(n) 发散的结论是在 I3 公理下才能够得到证明的。因此，作为一个快速增长的函数，q(n) 的完全性（即在所有自然数 n 下都有定义）在 ZFC+I3

下得到了证明。用 [[googology]] 更熟悉（但是并不严格）的说法，我们目前认为 q(n) 的增长率的上界为 [[证明论序数|PTO(ZFC+I3)]]。

== 参考资料 ==
{{默认排序:相关问题}}
[[分类:记号]]

Laver Table

2025-08-30T14:41:14Z

Tabelog：Tabelog移动页面Laver table至Laver Table，不留重定向

Laver表是Richard Laver在1992 年提出的一个增长速度很快的表<ref>Laver, Richard. [http://arxiv.org/abs/math.LO/9204204 On the Algebra of Elementary Embeddings of a Rank into Itself]. Retrieved 2014-08-23. </ref>

== 定义 ==
考虑作用于<math>\{1,\cdots,2^n\}</math>上的二元运算<math>\star_n</math>，它满足如下条件:

\begin{eqnarray*}a \star_n 0 & = & 0 \\a \star_n 1 & = & (a+1) \mod 2^n \\a \star_n i & = & (a \star_n (i-1)) \star_n (a \star_n 1) \ (i \neq 0,1)\end{eqnarray*}

Laver表<math>A_n</math>定义为唯一的取值为<math>a~\star_n~b</math>的<math>2^n\times2^n</math>表。Laver表可以用此<ref>猫山にゃん太. Laver table - レイバーのテーブル[EB/OL]. 2022. [https://n-nekoyama.github.io/googology/laver_table/. https://n-nekoyama.github.io/googology/laver_table/.]</ref>进行计算。

注意这一定理仅适用于 2 的幂。假如我们考虑的二元运算作用于一般的<math>\{1,\cdots,a\}</math>上，其中<math>a\neq 2^n</math>，则这样的二元运算<math>\star_n</math>将不是存在且唯一的。

我们定义如下函数的周期为 p(n):

* <math>2^n\rightarrow2^n</math>
* <math>a\mapsto1\star_na</math>

定义q(n)为函数p(n)的逆，即<math>q(n)=min\{N|p(N)\geq2^n\}</math>

== 取值 ==

=== Laver表 ===
以下展示了前6个Laver表<ref>Dehornoy, Patrick. [https://web.archive.org/web/20230429003832/https://www.lmno.cnrs.fr/archives/dehornoy/Talks/Dyz.pdf Laver Tables] (starting on slide 26). Retrieved 2018-12-11.</ref>
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|}

=== q函数 ===
事实上<math>p(n)</math>是一个增长速度非常缓慢的函数。

我们有

* <math>q(0) = 0</math>
* <math>q(1) = 2</math>
* <math>q(2)=3</math>
* <math>q(3)=5</math>
* <math>q(4)=9</math>
* <math>q(5) > f_9 (f_8 (f_8(254))) ,</math>,其中这里的FGH改版定义为<math>f_{\alpha+1}(n)=f_\alpha^{n+1}(n)</math>

== 强度 ==
Dougherty 证明了<math>q^n(1) > f_{\omega+1} (\lfloor log3 n\rfloor - 1)</math><ref>Dougherty, Randall. [http://arxiv.org/abs/math.LO/9205202 Critical points in an algebra of elementary embeddings.] Retrieved 2014-08-23.</ref>

事实上，二元关系<math>\star_n</math>的存在唯一性以及函数p(n)的发散性并非显然的结果，它实际上与集合论中的嵌入有着深刻的联系。

事实上，p(n) 发散的结论是在I3公理下才能够得到证明的。因此，作为一个快速增长的函数，q(n) 的完全性（即在所有自然数 n 下都有定义）在 ZFC+I3

下得到了证明。用[[googology]]更熟悉（但是并不严格）的说法，我们目前认为 q(n) 的增长率的上界为PTO(ZFC+I3)

== 参考资料 ==
{{默认排序:相关问题}}
[[分类:记号]]

Bashicu 超矩阵

2025-08-30T14:39:09Z

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#REDIRECT [[BHM]]

Bashicu 急矩阵

2025-08-30T14:38:51Z

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#REDIRECT [[BSM]]

Bashicu 矩阵系统

2025-08-30T14:38:17Z

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非递归化序列记号

2025-08-30T14:37:10Z

Tabelog：

本词条介绍将部分序列记号改造为非递归记号的通用办法。

=== 定义 ===
对于极限基本列为 <math>1,2</math>、<math>1,3</math>、<math>1,4</math>……的，且存在坏根、好部、坏部的序列型记号，可以按照如下方法将其转换为非递归记号：

# 末项为 1，则为后继；
# 否则，在序列最前方补一个 1，随后按该记号规则找到坏根，如果坏根不是补的那个1，则按照该记号规则正常展开；
# 否则，将末项 - 1，随后在后面加一个 ω，并视为非递归展开。

举例：

非递归化的 [[长初等序列|LPrSS]] 中，<math>3,4</math>，末项不是 1，在最前补一个 1，得到 <math>1,3,4</math>，找到坏根为第二项 3，于是正常展开为 <math>3,3,3,3,\cdots</math>

非递归化的 [[Y序列|Y 序列]]中，<math>3,7</math>，末项不是 1，在最前补一个 1，得到 <math>1,3,7</math>，找到坏根为首项 1，于是变为 <math>3,6,\omega</math>，并视为非递归展开。

这类非递归记号与非递归 BMS 的理念均相同，是对该记号的极限 S，如果存在一个 X 使得 <math>\psi(X)=S</math>，则令任意的 <math>\psi_\alpha(X)=\alpha</math>。

=== 强度 ===
这些非递归记号的表示能力取决于原记号的强度。如：

* 非递归 [[-1-Y]] 和非递归 [[长初等序列|LPrSS]] 的极限均为 <math>\Omega^\omega</math>
* 非递归 [[BHM|HSS]] 的极限为 <math>\Omega^\Omega</math>
* 非递归 [[超初等序列|HPrSS]] 的极限为 <math>\Omega_\omega</math>
* 非递归 [[0-Y]] 与 [[非递归BMS|非递归 BMS]] 强度相同，均为[[向上投影]]的 <math>\psi_H(\varepsilon_{H+1})</math>
* 非递归 [[Y序列|Y 序列]]的强度很高，目前仍不知道它和向上投影的关系

SSS 分析

2025-08-30T14:35:48Z

Tabelog：

本条目展示 SSS（单行 [[BHM]]）分析。

=== Part 1 ===
* <math>0=1</math>
* <math>0,0=2</math>
* <math>0,0,0=3</math>
* <math>0,1=\omega</math>
* <math>0,1,0=\omega+1</math>
* <math>0,1,0,0=\omega+2</math>
* <math>0,1,0,0,1=\omega\times2</math>
* <math>0,1,0,0,1,0,0,1=\omega\times3</math>
* <math>0,1,0,1=\omega^2</math>
* <math>0,1,0,1,0,0,1=\omega^2+\omega</math>
* <math>0,1,0,1,0,0,1,0,0,1=\omega^2+\omega\times2</math>
* <math>0,1,0,1,0,0,1,0,1=\omega^2\times2</math>
* <math>0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1=\omega^2\times3</math>
* <math>0,1,0,1,0,1=\omega^3</math>
* <math>0,1,0,1,0,1,0,1=\omega^4</math>
* <math>0,1,1=\omega^\omega</math>
* <math>0,1,1,0,0,1,0,1=\omega^\omega+\omega^2</math>
* <math>0,1,1,0,0,1,1=\omega^\omega\times2</math>
* <math>0,1,1,0,1=\omega^{\omega+1}</math>
* <math>0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,1=\omega^{\omega+1}\times2</math>
* <math>0,1,1,0,1,0,1=\omega^{\omega+2}</math>
* <math>0,1,1,0,1,0,1,1=\omega^{\omega\times2}</math>
* <math>0,1,1,0,1,0,1,1,0,1=\omega^{\omega\times2+1}</math>
* <math>0,1,1,0,1,0,1,1,0,1,0,1,1=\omega^{\omega\times3}</math>
* <math>0,1,1,0,1,1=\omega^{\omega^2}</math>
* <math>0,1,1,0,1,1,0,1=\omega^{\omega^2+1}</math>
* <math>0,1,1,0,1,1,0,1,0,1,1,0,1,1=\omega^{\omega^2\times2}</math>
* <math>0,1,1,0,1,1,0,1,1=\omega^{\omega^3}</math>
* <math>0,1,1,1=\omega^{\omega^\omega}</math>
* <math>0,1,1,1,1=\omega^{\omega^{\omega^\omega}}</math>
* <math>0,1,1,2=\psi(0)</math>

=== Part 2 ===
* <math>0,1,1,2,0,0,1=\psi(0)+\omega</math>
* <math>0,1,1,2,0,0,1,0,1=\psi(0)+\omega^2</math>
* <math>0,1,1,2,0,0,1,1=\psi(0)+\omega^\omega</math>
* <math>0,1,1,2,0,0,1,1,2=\psi(0)\times2</math>
* <math>0,1,1,2,0,1=\psi(0)\times\omega</math>
* <math>0,1,1,2,0,1,0,0,1,1,2,0,1=\psi(0)\times\omega\times2</math>
* <math>0,1,1,2,0,1,0,1=\psi(0)\times\omega^2</math>
* <math>0,1,1,2,0,1,0,1,1=\psi(0)\times\omega^\omega</math>
* <math>0,1,1,2,0,1,0,1,1,2=\psi(0)^2</math>
* <math>0,1,1,2,0,1,0,1,1,2,0,1=\psi(0)^2\times\omega</math>
* <math>0,1,1,2,0,1,0,1,1,2,0,1,0,1,1,2=\psi(0)^3</math>
* <math>0,1,1,2,0,1,1=\psi(0)^\omega</math>
* <math>0,1,1,2,0,1,1,0,1,0,1,1,2=\psi(0)^{\omega+1}</math>
* <math>0,1,1,2,0,1,1,0,1,0,1,1,2,0,1,1=\psi(0)^{\omega\times2}</math>
* <math>0,1,1,2,0,1,1,0,1,1=\psi(0)^{\omega^2}</math>
* <math>0,1,1,2,0,1,1,0,1,1,1=\psi(0)^{\omega^\omega}</math>
* <math>0,1,1,2,0,1,1,0,1,1,2=\psi(0)^{\psi(0)}</math>
* <math>0,1,1,2,0,1,1,1=\psi(0)^{\psi(0)^\omega}</math>
* <math>0,1,1,2,0,1,1,2=\psi(1)</math>
* <math>0,1,1,2,0,1,1,2,0,1,1,2=\psi(2)</math>
* <math>0,1,1,2,1=\psi(\omega)</math>
* <math>0,1,1,2,1,0,1=\psi(\omega)\times\omega</math>
* <math>0,1,1,2,1,0,1,0,1,1,2=\psi(\omega)\times\psi(0)</math>
* <math>0,1,1,2,1,0,1,0,1,1,2,0,1,1,2=\psi(\omega)\times\psi(1)</math>
* <math>0,1,1,2,1,0,1,0,1,1,2,1=\psi(\omega)^2</math>
* <math>0,1,1,2,1,0,1,0,1,1,2,1,0,1,0,1,1,2,1=\psi(\omega)^3</math>
* <math>0,1,1,2,1,0,1,1=\psi(\omega)^\omega</math>
* <math>0,1,1,2,1,0,1,1,0,1,1,2=\psi(\omega)^{\psi(\omega)}</math>
* <math>0,1,1,2,1,0,1,1,1=\psi(\omega)^{\psi(\omega)^{\omega}}</math>
* <math>0,1,1,2,1,0,1,1,2=\psi(\omega+1)</math>
* <math>0,1,1,2,1,0,1,1,2,0,1,1,2=\psi(\omega+2)</math>
* <math>0,1,1,2,1,0,1,1,2,0,1,1,2,1=\psi(\omega\times2)</math>
* <math>0,1,1,2,1,0,1,1,2,1=\psi(\omega^2)</math>
* <math>0,1,1,2,1,0,1,1,2,1,0,1,1,2=\psi(\omega^2+1)</math>
* <math>0,1,1,2,1,0,1,1,2,1,0,1,1,2,0,1,1,2,1=\psi(\omega^2+\omega)</math>
* <math>0,1,1,2,1,0,1,1,2,1,0,1,1,2,0,1,1,2,1,0,1,1,2,1=\psi(\omega^2\times2)</math>
* <math>0,1,1,2,1,0,1,1,2,1,0,1,1,2,1=\psi(\omega^3)</math>
* <math>0,1,1,2,1,1=\psi(\omega^\omega)</math>
* <math>0,1,1,2,1,1,1=\psi(\omega^{\omega^\omega})</math>
* <math>0,1,1,2,1,1,2=\psi(\psi(0))</math>
* <math>0,1,1,2,1,1,2,0,1=\psi(\psi(0))\times\omega</math>
* <math>0,1,1,2,1,1,2,0,1,1,2=\psi(\psi(0)+1)</math>
* <math>0,1,1,2,1,1,2,0,1,1,2,0,1,1,2,1,1,2=\psi(\psi(0)\times2)</math>
* <math>0,1,1,2,1,1,2,0,1,1,2,1=\psi(\psi(0)\times\omega)</math>
* <math>0,1,1,2,1,1,2,0,1,1,2,1,1=\psi(\psi(0)^\omega)</math>
* <math>0,1,1,2,1,1,2,0,1,1,2,1,1,2=\psi(\psi(1))</math>
* <math>0,1,1,2,1,1,2,1=\psi(\psi(\omega))</math>
* <math>0,1,1,2,1,1,2,1,0,1,1,2,1,1,2,1=\psi(\psi(\omega^2))</math>
* <math>0,1,1,2,1,1,2,1,1=\psi(\psi(\omega^\omega))</math>
* <math>0,1,1,2,1,1,2,1,1,2=\psi(\psi(\psi(0)))</math>
* <math>0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega)</math>

=== Part 3 ===
* <math>0,1,1,2,1,2,0,1,1,2=\psi(\Omega+1)</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,0,1,1,2,0,1,1,2,1=\psi(\Omega+\omega)</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,0,1,1,2,0,1,1,2,1,1,2=\psi(\Omega+\psi(0))</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,0,1,1,2,0,1,1,2,1,1,2,1,1,2=\psi(\Omega+\psi(\psi(0)))</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,0,1,1,2,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega+\psi(\Omega))</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,0,1,1,2,0,1,1,2,1,2,0,1,1,2=\psi(\Omega+\psi(\Omega)+1)</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,0,1,1,2,1=\psi(\Omega+\psi(\Omega)\times\omega)</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,0,1,1,2,1,0,1,1,2=\psi(\Omega+\psi(\Omega)\times\omega+1)</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,0,1,1,2,1,0,1,1,2,0,1,1,2,1,2,0,1,1,2,1=\psi(\Omega+\psi(\Omega)\times\omega\times2)</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,0,1,1,2,1,0,1,1,2,1=\psi(\Omega+\psi(\Omega)\times\omega^2)</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,0,1,1,2,1,0,1,1,2,1,1=\psi(\Omega+\psi(\Omega)\times\omega^\omega)</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,0,1,1,2,1,0,1,1,2,1,1,2=\psi(\Omega+\psi(\Omega)\times\psi(0))</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,0,1,1,2,1,0,1,1,2,1,1,2,1=\psi(\Omega+\psi(\Omega)\times\psi(\omega))</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,0,1,1,2,1,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega+\psi(\Omega)^2)</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,0,1,1,2,1,1=\psi(\Omega+\psi(\Omega)^\omega)</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,0,1,1,2,1,1,2=\psi(\Omega+\psi(\Omega+1))</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,0,1,1,2,1,1,2,1=\psi(\Omega+\psi(\Omega+\psi(\Omega)\times\omega))</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,0,1,1,2,1,1,2,1,1=\psi(\Omega+\psi(\Omega+\psi(\Omega)^\omega))</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,0,1,1,2,1,1,2,1,1,2=\psi(\Omega+\psi(\Omega+\psi(\Omega+1)))</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega\times2)</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,0,1,1,2,1,2,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega\times3)</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,1=\psi(\Omega\times\omega)</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,1,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega\times\omega+\Omega)</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,1,0,1,1,2,1,2,0,1,1,2,1,2,1=\psi(\Omega\times\omega\times2)</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,1,0,1,1,2,1,2,1=\psi(\Omega\times\omega^2)</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,1,1=\psi(\Omega\times\omega^\omega)</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,1,1,2=\psi(\Omega\times\psi(0))</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,1,1,2,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega\times\psi(0)+\Omega)</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,1,1,2,0,1,1,2,1,2,1=\psi(\Omega\times\psi(0)\times\omega)</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,1,1,2,0,1,1,2,1,2,1,0,1,1,2,1,2,1,1=\psi(\Omega\times\psi(0)\times\omega^2)</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,1,1,2,0,1,1,2,1,2,1,0,1,1,2,1,2,1,1,2=\psi(\Omega\times\psi(0)^2)</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,1,1,2,0,1,1,2,1,2,1,1=\psi(\Omega\times\psi(0)^\omega)</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,1,1,2,0,1,1,2,1,2,1,1,2=\psi(\Omega\times\psi(1))</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,1,1,2,1=\psi(\Omega\times\psi(\omega))</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,1,1,2,1,1=\psi(\Omega\times\psi(\omega^\omega))</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,1,1,2,1,1,2=\psi(\Omega\times\psi(\psi(0)))</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,1,1,2,1,2=\psi(\Omega\times\psi(\Omega))</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,1,1,2,1,2,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega\times\psi(\Omega)+\Omega)</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,1,1,2,1,2,0,1,1,2,1,2,1=\psi(\Omega\times\psi(\Omega)\times\omega)</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,1,1,2,1,2,0,1,1,2,1,2,1,1,2=\psi(\Omega\times\psi(\Omega+1))</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,1,1,2,1,2,0,1,1,2,1,2,1,1,2,1,2=\psi(\Omega\times\psi(\Omega\times2))</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,1,1,2,1,2,1=\psi(\Omega\times\psi(\Omega\times\omega))</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,1,2=\psi(\Omega^2)</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,1,2,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega^2+\Omega)</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,1,2,0,1,1,2,1,2,1,2=\psi(\Omega^2\times2)</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,1,2,1=\psi(\Omega^2\times\omega)</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,1,2,1,1,2=\psi(\Omega^2\times\psi(0))</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,1,2,1,1,2,1,2=\psi(\Omega^2\times\psi(\Omega))</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,1,2,1,1,2,1,2,1,2=\psi(\Omega^2\times\psi(\Omega^2))</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,1,2,1,1,2,1,2,1,2,1,1,2=\psi(\Omega^2\times\psi(\Omega^2\times\psi(0)))</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,1,2,1,2=\psi(\Omega^3)</math>
* <math>0,1,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2=\psi(\Omega^4)</math>
* <math>0,1,1,2,2=\psi(\Omega^\omega)</math>
* <math>0,1,1,2,2,0,1,1,2=\psi(\Omega^\omega+1)</math>
* <math>0,1,1,2,2,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega^\omega+\Omega^2)</math>
* <math>0,1,1,2,2,0,1,1,2,1,2,1,2=\psi(\Omega^\omega+\Omega^3)</math>
* <math>0,1,1,2,2,0,1,1,2,2=\psi(\Omega^\omega\times2)</math>
* <math>0,1,1,2,2,1=\psi(\Omega^\omega\times\omega)</math>
* <math>0,1,1,2,2,1,1,2=\psi(\Omega^\omega\times\psi(0))</math>
* <math>0,1,1,2,2,1,1,2,1,2=\psi(\Omega^\omega\times\psi(\Omega))</math>
* <math>0,1,1,2,2,1,1,2,1,2,1,2=\psi(\Omega^\omega\times\psi(\Omega^2))</math>
* <math>0,1,1,2,2,1,1,2,1,2,2=\psi(\Omega^\omega\times\psi(\Omega^\omega))</math>
* <math>0,1,1,2,2,1,2=\psi(\Omega^{\omega+1})</math>
* <math>0,1,1,2,2,1,2,1,2=\psi(\Omega^{\omega+2})</math>
* <math>0,1,1,2,2,1,2,1,2,2=\psi(\Omega^{\omega\times2})</math>
* <math>0,1,1,2,2,1,2,2=\psi(\Omega^{\omega^2})</math>
* <math>0,1,1,2,2,2=\psi(\Omega^{\omega^\omega})</math>
* <math>0,1,1,2,2,2,1,2,2=\psi(\Omega^{\omega^{\omega+1}})</math>
* <math>0,1,1,2,2,3=\psi(\Omega^{\psi(0)})</math>
* <math>0,1,1,2,2,3,1,2=\psi(\Omega^{\psi(0)+1})</math>
* <math>0,1,1,2,2,3,1,2,1,2,2,3=\psi(\Omega^{\psi(0)\times2})</math>
* <math>0,1,1,2,2,3,1,2,2=\psi(\Omega^{\psi(0)\times\omega})</math>
* <math>0,1,1,2,2,3,1,2,2,2=\psi(\Omega^{\psi(0)^\omega})</math>
* <math>0,1,1,2,2,3,1,2,2,3=\psi(\Omega^{\psi(1)})</math>
* <math>0,1,1,2,2,3,2=\psi(\Omega^{\psi(\omega)})</math>
* <math>0,1,1,2,2,3,2,2,3=\psi(\Omega^{\psi(\psi(0))})</math>
* <math>0,1,1,2,2,3,2,2,3,2,2,3=\psi(\Omega^{\psi(\psi(\psi(0)))})</math>
* <math>0,1,1,2,2,3,2,3=\psi(\Omega^{\psi(\Omega)})</math>
* <math>0,1,1,2,2,3,2,3,2,3=\psi(\Omega^{\psi(\Omega^2)})</math>
* <math>0,1,1,2,2,3,3=\psi(\Omega^{\psi(\Omega^\omega)})</math>
* <math>0,1,1,2,2,3,3,3=\psi(\Omega^{\psi(\Omega^{\omega^\omega})})</math>
* <math>0,1,1,2,2,3,3,4=\psi(\Omega^{\psi(\Omega^{\psi(0)})})</math>
* <math>0,1,2=\psi(\Omega^\Omega)</math>

=== Part 4 ===
* <math>0,1,2,0,0,1,1=\psi(\Omega^\Omega)+\omega^2</math>
* <math>0,1,2,0,0,1,1,2=\psi(\Omega^\Omega)+\psi(0)</math>
* <math>0,1,2,0,0,1,2=\psi(\Omega^\Omega)\times2</math>
* <math>0,1,2,0,1=\psi(\Omega^\Omega)\times\omega</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,1,2=\psi(\Omega^\Omega)\times\psi(0)</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,1,2,2,3=\psi(\Omega^\Omega)\times\psi(\Omega^{\psi(0)})</math>
* <math>0,1,2,\color{green}{0,1,0,1,1,2,3}=\psi(\Omega^\Omega)^2</math>
* <math>0,1,2,\color{green}{0,1,0,1,1,2,3,}0,1,0,1,1,2,3=\psi(\Omega^\Omega)^3</math>
* <math>0,1,2,\color{green}{0,1,0,1,1,2,3,}0,1,1=\psi(\Omega^\Omega)^\omega</math>
* <math>0,1,2,\color{green}{0,1,0,1,1,2,3,}0,1,1,0,1,0,1,1,2,3=\psi(\Omega^\Omega)^{\omega+1}</math>
* <math>0,1,2,\color{green}{0,1,0,1,1,2,3,}0,1,1,0,1,0,1,1,2,3,0,1,1=\psi(\Omega^\Omega)^{\omega\times2}</math>
* <math>0,1,2,\color{green}{0,1,0,1,1,2,3,}0,1,1,0,1,1=\psi(\Omega^\Omega)^{\omega^2}</math>
* <math>0,1,2,\color{green}{0,1,0,1,1,2,3,}0,1,1,0,1,1,2,3=\psi(\Omega^\Omega)^{\psi(\Omega^\Omega)}</math>
* <math>0,1,2,\color{green}{0,1,0,1,1,2,3,}0,1,1,1=\psi(\Omega^\Omega)^{\psi(\Omega^\Omega)^\omega}</math>
* <math>0,1,2,\color{green}{0,1,0,1,1,2,3,}0,1,1,2=\psi(\Omega^\Omega+1)</math>
* <math>0,1,2,\color{green}{0,1,0,1,1,2,3},0,1,1,2,0,1,1,2=\psi(\Omega^\Omega+2)</math>
* <math>0,1,2,\color{green}{0,1,0,1,1,2,3},0,1,1,2,0,1,1,2,1=\psi(\Omega^\Omega+\omega)</math>
* <math>0,1,2,\color{green}{0,1,0,1,1,2,3},0,1,1,2,0,1,1,2,1,1,2=\psi(\Omega^\Omega+\psi(0))</math>
* <math>0,1,2,\color{green}{0,1,0,1,1,2,3},0,1,1,2,0,1,1,2,3=\psi(\Omega^\Omega+\psi(\Omega^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,\color{green}{0,1,0,1,1,2,3},0,1,1,2,1=\psi(\Omega^\Omega+\psi(\Omega^\Omega)\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,\color{green}{0,1,0,1,1,2,3},0,1,1,2,1,0,1,1,2,3=\psi(\Omega^\Omega+\psi(\Omega^\Omega)^2)</math>
* <math>0,1,2,\color{green}{0,1,0,1,1,2,3},0,1,1,2,1,1=\psi(\Omega^\Omega+\psi(\Omega^\Omega)^\omega)</math>
* <math>0,1,2,\color{green}{0,1,0,1,1,2,3},0,1,1,2,1,1,2=\psi(\Omega^\Omega+\psi(\Omega^\Omega+1))</math>
* <math>0,1,2,\color{green}{0,1,0,1,1,2,3},0,1,1,2,1,1,2,1=\psi(\Omega^\Omega+\psi(\Omega^\Omega+\psi(\Omega^\Omega)\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,\color{green}{0,1,0,1,1,2,3},0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega^\Omega+\Omega)</math>
* <math>0,1,2,\color{green}{0,1,0,1,1,2,3},0,1,1,2,1,2,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega^\Omega+\Omega\times2)</math>
* <math>0,1,2,\color{green}{0,1,0,1,1,2,3},0,1,1,2,1,2,1=\psi(\Omega^\Omega+\Omega\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,\color{green}{0,1,0,1,1,2,3},0,1,1,2,1,2,1,2=\psi(\Omega^\Omega+\Omega^2)</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,0,1,1,2,3=\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega)})</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,0,1,1,2,3,0,1,1,2,3=\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega)}\times2)</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1=\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega)}\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,0,1,1,2,3,1=\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega)}\times\omega\times2)</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1=\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega)}\times\omega^2)</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,1=\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega)}\times\omega^\omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,1,2=\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega)}\times\psi(0))</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,1,2,0,1,1,2,3,0,1,1,2,3,1,1,2=\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega)}\times\psi(0)^2)</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,1,2,0,1,1,2,3,1=\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega)}\times\psi(0)^\omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,1,2,1=\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega)}\times\psi(\omega))</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,1,2,1,2=\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega)}\times\psi(\Omega))</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,1,2,1,2,1,2=\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega)}\times\psi(\Omega^2))</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,1,2,2=\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega)}\times\psi(\Omega^\omega))</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,1,2,3=\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega)}\times\psi(\Omega^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2=\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega)+1})</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,1,2=\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega)+2})</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,1,2,2,3,4=\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega)\times2})</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,1,2,2,3,4,1,2,2=\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega)\times\omega})</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,1,2,2,3,4,1,2,2,1,2,2=\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega)\times\omega^2})</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,1,2,2,3,4,1,2,2,1,2,2,3,4=\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega)^2})</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,1,2,2,3,4,1,2,2,2=\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega)^\omega})</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,1,2,2,3,4,1,2,2,3=\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega+1)})</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,1,2,2,3,4,1,2,2,3,2,3=\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega+\Omega)})</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,1,2,2,3,4,1,2,2,3,4=\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega)})})</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,1,2,2,3,4,2=\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega)}\times\omega)})</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,1,2,2,3,4,2,2,3=\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega)}\times\psi(0))})</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,1,2,2,3,4,2,3=\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega)+1}})</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,1,2,2,3,4,2,3,2,3,3,4,5=\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega)\times2})})</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,2=\psi(\Omega^\Omega\times 2)</math>

=== Part 5 ===
* <math>0,1,2,0,1,0,1,2,0,1=\psi(\Omega^\Omega\times2)\times\omega</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,0,1=\psi(\Omega^\Omega\times2)\times\omega^2</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,0,1,1=\psi(\Omega^\Omega\times2)\times\omega^\omega</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,0,1,1,2=\psi(\Omega^\Omega\times2)\times\psi(0)</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,1,2,3=\psi(\Omega^\Omega\times2)^2</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,1,2,3,0,1,1,2=\psi(\Omega^\Omega\times2+1)</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,1,2,3,0,1,1,2,3,1,2,1,2,3=\psi(\Omega^\Omega\times2+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega\times2)})</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,1,2,3,1=\psi(\Omega^\Omega\times2+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega\times2)}\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,1,2,3,1,2=\psi(\Omega^\Omega\times2+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega\times2)+1})</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,1,2,3,1,2,1,2,2=\psi(\Omega^\Omega\times2+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega\times2)+\omega})</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,1,2,3,1,2,1,2,2,3,4=\psi(\Omega^\Omega\times2+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega\times2)\times2})</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,1,2,3,1,2,1,2,2,3,4,1,2,2=\psi(\Omega^\Omega\times2+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega\times2)\times\omega})</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,1,2,3,1,2,1,2,2,3,4,1,2,2,2=\psi(\Omega^\Omega\times2+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega\times2)^\omega})</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,1,2,3,1,2,1,2,2,3,4,1,2,2,3=\psi(\Omega^\Omega\times2+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega\times2+1)})</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,1,2,3,1,2,1,2,2,3,4,1,2,2,3,4=\psi(\Omega^\Omega\times2+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega\times2+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega)})})</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,1,2,3,1,2,1,2,2,3,4,2,3,2,3,4=\psi(\Omega^\Omega\times2+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega\times2+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega\times2)})})</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,0,1,2=\psi(\Omega^\Omega\times3)</math>
* <math>0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,0,1,2=\psi(\Omega^\Omega\times4)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1=\psi(\Omega^\Omega\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,0,1,2=\psi(\Omega^\Omega\times\omega+\Omega^\Omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,0,1,2,0,1,1=\psi(\Omega^\Omega\times\omega\times2)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,1=\psi(\Omega^\Omega\times\omega^2)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,1,2=\psi(\Omega^\Omega\times\psi(0))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,1,2,3=\psi(\Omega^\Omega\times\psi(\Omega^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2=\psi(\Omega^\Omega\times\psi(\Omega^\Omega\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,0,1,1=\psi(\Omega^\Omega\times\psi(\Omega^\Omega\times\omega)\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,0,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2=\psi(\Omega^\Omega\times\psi(\Omega^\Omega\times\omega)^2)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,0,1,1,1=\psi(\Omega^\Omega\times\psi(\Omega^\Omega\times\omega)^\omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,0,1,1,2=\psi(\Omega^\Omega\times\psi(\Omega^\Omega\times\omega+1))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,0,1,1,2,0,1,1,2,1=\psi(\Omega^\Omega\times\psi(\Omega^\Omega\times\omega+\omega))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,0,1,1,2,0,1,1,2,3,1,2,2=\psi(\Omega^\Omega\times\psi(\Omega^\Omega\times\omega+\psi(\Omega^\Omega\times\omega)))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,0,1,1,2,1=\psi(\Omega^\Omega\times\psi(\Omega^\Omega\times\omega+\psi(\Omega^\Omega\times\omega)\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,0,1,1,2,1,1,2=\psi(\Omega^\Omega\times\psi(\Omega^\Omega\times\omega+\psi(\Omega^\Omega\times\omega+1)))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega^\Omega\times\psi(\Omega^\Omega\times\omega+\Omega))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,0,1,1,2,2=\psi(\Omega^\Omega\times\psi(\Omega^\Omega\times\omega+\Omega^\omega))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,0,1,1,2,3=\psi(\Omega^\Omega\times\psi(\Omega^\Omega\times\omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega)}))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,0,1,1,2,3,1,2,1,2,3=\psi(\Omega^\Omega\times\psi(\Omega^\Omega\times\omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega\times2)}))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,0,1,1,2,3,1,2,2=\psi(\Omega^\Omega\times\psi(\Omega^\Omega\times\omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega\times\omega)}))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,1=\psi(\Omega^\Omega\times\psi(\Omega^\Omega\times\omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega\times\omega)}\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,1,2=\psi(\Omega^\Omega\times\psi(\Omega^\Omega\times\omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega\times\omega)+1}))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,1,2,1,2,2=\psi(\Omega^\Omega\times\psi(\Omega^\Omega\times\omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega\times\omega)+\omega}))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,1,2,1,2,3=\psi(\Omega^\Omega\times\psi(\Omega^\Omega\times\omega+\Omega^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,1,2,1,2,3,1,2,2=\psi(\Omega^\Omega\times\psi(\Omega^\Omega\times\omega\times2))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,1,2,2=\psi(\Omega^\Omega\times\psi(\Omega^\Omega\times\omega^2))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,1,2,2,3=\psi(\Omega^\Omega\times\psi(\Omega^\Omega\times\psi(0)))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,2=\psi(\Omega^{\Omega+1})</math>

=== Part 6 ===
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1=\psi(\Omega^{\Omega+1})\times\omega</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3=\psi(\Omega^{\Omega+1})\times\psi(\Omega^\Omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,2,1,2,3=\psi(\Omega^{\Omega+1})^2</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,2,1,2,3,0,1,1=\psi(\Omega^{\Omega+1})^\omega</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,2,1,2,3,0,1,1,2=\psi(\Omega^{\Omega+1}+1)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,2,1,2,3,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega^{\Omega+1}+\Omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,2,1,2,3,0,1,1,2,1,2,1,2=\psi(\Omega^{\Omega+1}+\Omega^2)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,2,1,2,3,0,1,1,2,3=\psi(\Omega^{\Omega+1}+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega)})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,2,1,2,3,0,1,1,2,3,1,2,2,1,2,3=\psi(\Omega^{\Omega+1}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega+1})})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,2,1,2,3,1=\psi(\Omega^{\Omega+1}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega+1})}\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,2,1,2,3,1,2=\psi(\Omega^{\Omega+1}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega+1})+1})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,2,1,2,3,1,2,2,3,4,2,3,3,2,3,4=\psi(\Omega^{\Omega+1}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega+1})\times2})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,0,1,2=\psi(\Omega^{\Omega+1}+\Omega^\Omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,0,1,2=\psi(\Omega^{\Omega+1}+\Omega^\Omega\times2)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1=\psi(\Omega^{\Omega+1}+\Omega^\Omega\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,0,1,2=\psi(\Omega^{\Omega+1}\times2)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,1=\psi(\Omega^{\Omega+1}\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,1,0,1,1,2=\psi(\Omega^{\Omega+1}\times\psi(0))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,1,0,1,1,2,3=\psi(\Omega^{\Omega+1}\times\psi(\Omega^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,1,2,3=\psi(\Omega^{\Omega+1}\times\psi(\Omega^{\Omega+1}))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,1,2,3,1,2,2=\psi(\Omega^{\Omega+1}\times\psi(\Omega^{\Omega+1}\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,1,0,1,2=\psi(\Omega^{\Omega+2})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,1,0,1,2=\psi(\Omega^{\Omega+3})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1=\psi(\Omega^{\Omega+\omega})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,0,1,1,0,1,2=\psi(\Omega^{\Omega+\omega+1})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,0,1,1,0,1,2,0,1,1,1=\psi(\Omega^{\Omega+\omega\times2})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,0,1,1,1=\psi(\Omega^{\Omega+\omega^2})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,0,1,1,2=\psi(\Omega^{\Omega+\psi(0)})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,2=\psi(\Omega^{\Omega+\psi(\Omega^{\Omega+\omega})})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,2,0,1,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,2=\psi(\Omega^{\Omega+\psi(\Omega^{\Omega+\omega})\times2})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,2,0,1,1,1,1=\psi(\Omega^{\Omega+\psi(\Omega^{\Omega+\omega})\times\omega})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,2,0,1,1,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,2=\psi(\Omega^{\Omega+\psi(\Omega^{\Omega+\omega})^2})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,2,0,1,1,1,1,1=\psi(\Omega^{\Omega+\psi(\Omega^{\Omega+\omega})^\omega})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,2,0,1,1,2=\psi(\Omega^{\Omega+\psi(\Omega^{\Omega+\omega}+1)})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,2,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega^{\Omega+\psi(\Omega^{\Omega+\omega}+\Omega)})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,2,0,1,1,2,3=\psi(\Omega^{\Omega+\psi(\Omega^{\Omega+\omega}+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega)})})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,2,0,1,1,2,3,1,2,2,2=\psi(\Omega^{\Omega+\psi(\Omega^{\Omega+\omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega+\omega})})})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,2,1=\psi(\Omega^{\Omega+\psi(\Omega^{\Omega+\omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega+\omega})}\times\omega)})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,2,1,1,2=\psi(\Omega^{\Omega+\psi(\Omega^{\Omega+\omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega+\omega})}\times\psi(0))})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,2,1,2=\psi(\Omega^{\Omega+\psi(\Omega^{\Omega+\omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega+\omega})+1})})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,2,1,2,1,2=\psi(\Omega^{\Omega+\psi(\Omega^{\Omega+\omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega+\omega})+2})})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,2,1,2,1,2,2,3,4=\psi(\Omega^{\Omega+\psi(\Omega^{\Omega+\omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega+\omega})+\psi(\Omega^\Omega)})})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,2,1,2,1,2,2,3,4,2,3,3,3=\psi(\Omega^{\Omega+\psi(\Omega^{\Omega+\omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega+\omega})\times2})})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,2,1,2,1,2,3=\psi(\Omega^{\Omega+\psi(\Omega^{\Omega+\omega}+\Omega^\Omega)})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,2,1,2,1,2,3,1,2,2=\psi(\Omega^{\Omega+\psi(\Omega^{\Omega+\omega}+\Omega^\Omega\times\omega)})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,2,1,2,1,2,3,1,2,2,1,2,3=\psi(\Omega^{\Omega+\psi(\Omega^{\Omega+\omega}+\Omega^{\Omega+1})})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,2,1,2,1,2,3,1,2,2,2=\psi(\Omega^{\Omega+\psi(\Omega^{\Omega+\omega}\times2)})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,2,1,2,2=\psi(\Omega^{\Omega+\psi(\Omega^{\Omega+\omega}\times\omega)})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,2,1,2,2,1,2,3=\psi(\Omega^{\Omega+\psi(\Omega^{\Omega+\omega+1})})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,2,1,2,2,1,2,3,1,2,2,2=\psi(\Omega^{\Omega+\psi(\Omega^{\Omega+\omega\times2})})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,2,1,2,2,2=\psi(\Omega^{\Omega+\psi(\Omega^{\Omega+\omega\times\omega})})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3=\psi(\Omega^{\Omega+\psi(\Omega^{\Omega+\psi(0)})})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,0,1,1,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,4,2,3,3,3=\psi(\Omega^{\Omega+\psi(\Omega^{\Omega+\psi(\Omega^{\Omega+\omega})})})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,0,1,2=\psi(\Omega^{\Omega\times2})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,1,0,1,2=\psi(\Omega^{\Omega\times2}\times2)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,0,1,2,0,1,1=\psi(\Omega^{\Omega\times2}\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,0,1,2,0,1,1,0,1,2=\psi(\Omega^{\Omega\times2+1})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,0,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,1,1=\psi(\Omega^{\Omega\times2+\omega})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,0,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,1,1,0,1,1,1=\psi(\Omega^{\Omega\times2+\omega^2})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,0,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,1,1,0,1,2=\psi(\Omega^{\Omega\times3})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,0,1,2,0,1,1,1=\psi(\Omega^{\Omega\times\omega})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,0,1,2,0,1,1,1,0,1,2=\psi(\Omega^{\Omega^2})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,0,1,2,0,1,1,1,0,1,2,0,1,1,1=\psi(\Omega^{\Omega^2\times\omega})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,0,1,2,0,1,1,1,0,1,2,0,1,1,1,0,1,2=\psi(\Omega^{\Omega^3})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,1=\psi(\Omega^{\Omega^\omega})=\mathrm{SVO}</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,1,0,1,2=\psi(\Omega^{\Omega^\Omega})=\mathrm{LVO}</math>

=== Part 7 ===
* <math>0,1,2,0,1,1,1,1,0,1,2,0,1,1,1=\psi(\Omega^{\Omega^\Omega\times\omega})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,1,0,1,2,0,1,1,1,0,1,2=\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega+1}})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,1,0,1,2,0,1,1,1,0,1,2,0,1,1,1,1=\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega+\omega}})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,1,0,1,2,0,1,1,1,0,1,2,0,1,1,1,1,0,1,2=\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega\times2}})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,1,0,1,2,0,1,1,1,1=\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega\times\omega}})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,1,0,1,2,0,1,1,1,1,0,1,2=\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega^2}})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,1,1,1=\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega^\omega}})
* <math>0,1,2,0,1,1,2=\psi(\psi_1(0))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,0,1,2=\psi(\psi_1(0)+\Omega^\Omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,0,1,2,0,1,0,1,2=\psi(\psi_1(0)+\Omega^\Omega\times2)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1=\psi(\psi_1(0)+\Omega^\Omega\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,0,1,2=\psi(\psi_1(0)+\Omega^{\Omega+1})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,0,1,2=\psi(\psi_1(0)+\Omega^{\Omega+1}\times2)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,1,0,1,2=\psi(\psi_1(0)+\Omega^{\Omega+2})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,1=\psi(\psi_1(0)+\Omega^{\Omega+\omega})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,1,0,1,2=\psi(\psi_1(0)+\Omega^{\Omega\times2})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,2=\psi(\psi_1(0)\times2)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,2=\psi(\psi_1(0)\times3)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,1=\psi(\psi_1(0)\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,0,1,2=\psi(\psi_1(0)\times\Omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,1,1=\psi(\psi_1(0)\times\Omega^\omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,1,1,0,1,2=\psi(\psi_1(0)\times\Omega^\Omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,1,1,1=\psi(\psi_1(0)\times\Omega^{\Omega^\omega})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,1,2=\psi(\psi_1(0)^2)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,0,1,2=\psi(\psi_1(0)^2\times\Omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,1,2=\psi(\psi_1(0)^3)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,1=\psi(\psi_1(0)^\omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,1,0,1,1,0,1,2,0,1,1,2,0,1,1=\psi(\psi_1(0)^{\omega\times2})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,1,0,1,1,1=\psi(\psi_1(0)^{\omega^2})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,1,0,1,2=\psi(\psi_1(0)^{\Omega})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,1,0,1,2,0,1,1,2=\psi(\psi_1(0)^{\psi_1(0)})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,1,0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,1=\psi(\psi_1(0)^{\psi_1(0)\times\omega})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,1,0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,1,0,1,2,0,1,1,2=\psi(\psi_1(0)^{\psi_1(0)^2})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,1,1=\psi(\psi_1(0)^{\psi_1(0)^\omega})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,2=\psi(\psi_1(1))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,2,0,1,1,2=\psi(\psi_1(2))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,2,1=\psi(\psi_1(\omega))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,2,3=\psi(\psi_1(\psi(\Omega^\Omega)))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,2,3,0,1,1,2=\psi(\psi_1(\psi(\Omega^\Omega)+1))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,2,3,0,1,1,2,0,1,1,2,3=\psi(\psi_1(\psi(\Omega^\Omega)\times2))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,2,3,0,1,1,2,1=\psi(\psi_1(\psi(\Omega^\Omega)\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,2,3,0,1,1,2,1,0,1,1,2,1=\psi(\psi_1(\psi(\Omega^\Omega)\times\omega^2))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,2,3,0,1,1,2,1,0,1,1,2,3=\psi(\psi_1(\psi(\Omega^\Omega)^2))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,2,3,0,1,1,2,1,1=\psi(\psi_1(\psi(\Omega^\Omega)^\omega))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,2,3,0,1,1,2,1,1,2=\psi(\psi_1(\psi(\Omega^\Omega+1)))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,2,3,0,1,1,2,3=\psi(\psi_1(\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega)})))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,2,3,1=\psi(\psi_1(\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega)}\times\omega)))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,2,3,1,2,1,2,3=\psi(\psi_1(\psi(\Omega^\Omega\times2)))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,2,3,1,2,2=\psi(\psi_1(\psi(\Omega^\Omega\times\omega)))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,2,3,1,2,2,1,2,3=\psi(\psi_1(\psi(\Omega^{\Omega+1})))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,2,3,1,2,2,3=\psi(\psi_1(\psi(\psi_1(0))))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,2=\psi(\psi_1(\Omega))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,2,0,1,1,2=\psi(\psi_1(\Omega+1))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,0,1,2,0,1,1,2,0,1,2=\psi(\psi_1(\Omega\times2))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,1=\psi(\psi_1(\Omega\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,1,0,1,1,2,0,1,2=\psi(\psi_1(\Omega\times\omega+\Omega))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,1,0,1,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1=\psi(\psi_1(\Omega\times\omega\times2))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,1,0,1,1,2,1=\psi(\psi_1(\Omega\times\omega^2))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,1,0,1,2=\psi(\psi_1(\Omega^2))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,1,0,1,2,0,1,1,2,0,1,2=\psi(\psi_1(\Omega^3))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,1,1=\psi(\psi_1(\Omega^\omega))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,1,1,1=\psi(\psi_1(\Omega^{\Omega^\omega}))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,1,1,2=\psi(\psi_1(\psi_1(0)))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,1,2,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2\times2)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2\times\Omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,1,2,1=\psi(\Omega_2\times\Omega\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,1,2,1,0,1,2=\psi(\Omega_2\times\Omega^2)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_2\times\psi_1(0))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^2)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,2=\psi(\Omega_2^\omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,2,0,1,1,2,2=\psi(\Omega_2^\omega\times2)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^\omega\times\Omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,2,1=\psi(\Omega_2^\omega\times\Omega\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,2,1,1,2=\psi(\Omega_2^\omega\times\psi_1(0))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,2,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\omega\times\psi_1(\Omega_2))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,2,1,1,2,2=\psi(\Omega_2^\omega\times\psi_1(\Omega_2\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\omega+1})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,2,1,2,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\omega\times2})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,2,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\omega^2})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,2,2=\psi(\Omega_2^{\omega^\omega})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,2,3=\psi(\Omega_2^{\psi(0)})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,3=\psi(\Omega_2^{\psi(\Omega_\Omega)})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,3,1,2,2,3=\psi(\Omega_2^{\psi(\psi_1(0))})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,3,1,2,2,3,1,2,2,3=\psi(\Omega_2^{\psi(\psi_1(1))})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,3,1,2,2,3,2,3=\psi(\Omega_2^{\psi(\Omega_2)})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,3,1,2,2,3,3=\psi(\Omega_2^{\psi(\Omega_2^\omega)})</math>
* <math>0,1,2,0,1,1,2,3,1,2,2,3,3,4=\psi(\Omega_2^{\psi(\Omega_2^{\psi(0)})})</math>
* <math>0,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega)</math>

=== Part 8 ===
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1=\psi(\Omega_2^\Omega)\times\omega</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3=\psi(\Omega_2^\Omega)\times\psi(\Omega^\Omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,3=\psi(\Omega_2^\Omega)^2</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,3,0,1,0,1,1,2,3,1,2,3=\psi(\Omega_2^\Omega)^3</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,3,0,1,1=\psi(\Omega_2^\Omega)^\omega</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,3,0,1,1,0,1,1=\psi(\Omega_2^\Omega)^{\omega^2}</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,3,0,1,1,1=\psi(\Omega_2^\Omega)^{\psi(\Omega_2^\Omega)^\omega}</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,3,0,1,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+1)</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,3,0,1,1,2,0,1,1,2,3,1,2,3=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi(\Omega_2^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,3,0,1,1,2,1=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi(\Omega_2^\Omega)\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,3,0,1,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi(\Omega_2^\Omega+1))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,3,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,3,0,1,1,2,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega^2)</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,3,0,1,1,2,3=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega)})</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,3,0,1,1,2,3,1,2,3=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega_2^\Omega)})</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,3,0,1,1,2,3,1,2,3,0,1,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega_2^\Omega)}+1)</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,3,0,1,1,2,3,1,2,3,0,1,1,2,3,1,2,3=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega_2^\Omega)}\times2)</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,3,1=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega_2^\Omega)}\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,3,1,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega_2^\Omega)}\times\psi(0))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,3,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega_2^\Omega)+1})</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,3,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega_2^\Omega)+2})</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,3,1,2,1,2,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega_2^\Omega)+\omega})</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,1,2,3,1,2,3,1,2,1,2,2,3,4,2,3,4=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega_2^\Omega)\times2})</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega^\Omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega^\Omega\times2)</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega^\Omega\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,0,1,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega^\Omega\times\omega+\Omega^\Omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,0,1,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega^\Omega\times\omega+\Omega^\Omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,0,1,0,1,2,0,1,1=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega^\Omega\times\omega\times2)</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,0,1,1=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega^\Omega\times\omega^2)</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,0,1,1,0,1,1,2,3,1,2,3=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega^\Omega\times\psi(\Omega_2^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega^{\Omega+1})</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,1=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega^{\Omega+\omega})</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,1,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega^{\Omega\times2})</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,1,0,1,2,0,1,1,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega^{\Omega\times2+1})</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,1,0,1,2,0,1,1,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega^{\Omega\times2+1})</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,1,0,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,1,1=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega^{\Omega\times2+\omega})</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,1,0,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,1,1,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega^{\Omega\times3})</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,1,0,1,2,0,1,1,1=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega^{\Omega\times\omega})</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,1,0,1,2,0,1,1,1,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega^{\Omega^2})</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,1,1=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega^{\Omega^\omega})</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi_1(0))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,2,1=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\omega))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,2,3=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\psi(\Omega^\Omega)))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,2,1=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,2,1,1=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega^\omega))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\psi_1(0)))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,2,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^2))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,2,3=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^{\psi(\Omega^\Omega)}))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\Omega^\Omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,1=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\Omega^{\Omega+\omega})</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega)\times2)</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega)\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,0,1,0,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega)\times\omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,0,1,0,1,2,0,1,2,0,1,1=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega)\times\omega\times2)</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,0,1,1=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega)\times\omega^2)</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega)\times\Omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,1,1=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega)\times\Omega^\omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega)\times\psi_1(0))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega)\times\psi_1(1))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega)^2)</math>

=== Part 9 ===
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,1=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega)^\omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,1,0,1,1,0,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega)^{\omega\times2})</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,1,0,1,1,1=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega)^{\omega^2})</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,1,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega)^{\Omega})</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,1,0,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega)^{\psi_1(\Omega_2^\Omega)})</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,1,1=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega)^{\psi_1(\Omega_2^\Omega)^\omega})</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega+1))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega+2))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega+\Omega))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega+\Omega\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2)))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,0,1,2,0,1,1,2,3=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^{\psi(\Omega^\Omega)})))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,0,1,2,0,1,1,2,3,1,2,3=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^{\psi(\Omega_2^\Omega)})))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,0,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega)))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,0,1,2,0,1,2,0,1,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega)+1))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega)\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega+1)))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega_2)</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1,2,0,1,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega_2+\Omega^\Omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1,2,0,1,0,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega_2+\psi_1(\Omega_2^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1,2,0,1,0,1,2,0,1,2,0,1,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega_2+\psi_1(\Omega_2^\Omega+1))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1,2,0,1,0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega_2+\psi_1(\Omega_2^\Omega+\Omega_2))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1,2,0,1,1=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega_2+\psi_1(\Omega_2^\Omega+\Omega_2)\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1,2,0,1,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega_2+\psi_1(\Omega_2^\Omega+\Omega_2+1))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1,2,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega_2\times2)</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega_2\times\Omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega_2\times\Omega\times2)</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1,2,1=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega_2\times\Omega\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega_2\times\psi_1(0))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1,2,1,1,2,1,2,0,1,1,2,1,2,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega_2\times\psi_1(\Omega_2\times2))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1,2,1,1,2,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega_2\times\psi_1(\Omega_2\times\Omega))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1,2,1,1,2,1,2,1=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega_2\times\psi_1(\Omega_2\times\Omega\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega_2\times\psi_1(\Omega_2^2))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1,2,0,1,2,0,1,1,2,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega_2\times\psi_1(\Omega_2^\omega))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1,2,0,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega_2\times\psi_1(\Omega_2^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega_2\times\psi_1(\Omega_2^\Omega+1))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1,2,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega_2\times\psi_1(\Omega_2^\Omega+\Omega_2))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1,2,1,1,2,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega_2\times\psi_1(\Omega_2^\Omega+\Omega_2\times\Omega))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1,2,1,1,2,1,2,0,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega_2\times\psi_1(\Omega_2^\Omega+\Omega_2\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)))</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega_2^2)</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,2=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega_2^\omega)</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,3,1,2,3=\psi(\Omega_2^\Omega+\Omega_2^{\psi(\Omega_2^\Omega)})</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times2)</math>
* <math>0,1,2,0,1,2,0,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times3)</math>
* <math>0,1,2,1=\psi(\Omega_2^\Omega\times\omega)</math>

=== Part 10 ===
* <math>0,1,2,1,0,1,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega+1))</math>
* <math>0,1,2,1,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\omega+\Omega_2)</math>
* <math>0,1,2,1,0,1,1,2,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\omega+\Omega_2^2)</math>
* <math>0,1,2,1,0,1,1,2,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\omega+\Omega_2^2)</math>
* <math>0,1,2,1,0,1,1,2,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\omega+\Omega_2^\omega)</math>
* <math>0,1,2,1,0,1,1,2,3=\psi(\Omega_2^\Omega\times\omega+\Omega_2^{\psi(\Omega^\Omega)})</math>
* <math>0,1,2,1,0,1,1,2,3,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\omega+\Omega_2^{\psi(\Omega_2^\Omega\times\omega)})</math>
* <math>0,1,2,1,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\omega+\Omega_2^\Omega)</math>
* <math>0,1,2,1,0,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\omega+\Omega_2^\Omega\times2)</math>
* <math>0,1,2,1,0,1,2,0,1,2,1=\psi(\Omega_2^\Omega\times\omega\times2)</math>
* <math>0,1,2,1,0,1,2,1=\psi(\Omega_2^\Omega\times\omega^2)</math>
* <math>0,1,2,1,1=\psi(\Omega_2^\Omega\times\omega^\omega)</math>
* <math>0,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi(0))</math>
* <math>0,1,2,1,1,2,=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi(0))</math>
* <math>0,1,2,1,1,2,0,1,2,0,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi(0)\times2)</math>
* <math>0,1,2,1,1,2,0,1,2,1=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi(0)\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,1,1,2,0,1,2,1,0,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi(0)^2)</math>
* <math>0,1,2,1,1,2,0,1,2,1,1=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi(0)^\omega)</math>
* <math>0,1,2,1,1,2,1=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi(\omega))</math>
* <math>0,1,2,1,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi(\psi(0)))</math>
* <math>0,1,2,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi(\Omega))</math>
* <math>0,1,2,1,1,2,1,2,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi(\Omega\times\psi(\Omega)))</math>
* <math>0,1,2,1,1,2,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi(\Omega^2))</math>
* <math>0,1,2,1,1,2,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi(\Omega^\omega))</math>
* <math>0,1,2,1,1,2,3=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi(\Omega^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,1,1,2,3,1,2,3=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi(\Omega_2^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,1,1,2,3,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi(\Omega_2^\Omega\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,1,1,2,3,2,1,2,3,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi(\Omega_2^\Omega\times\omega^2))</math>
* <math>0,1,2,1,1,2,3,2,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi(\Omega_2^\Omega\times\omega^\omega))</math>
* <math>0,1,2,1,1,2,3,2,2,3=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi(0)))</math>
* <math>0,1,2,1,1,2,3,2,2,3,4,3=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi(\Omega_2^\Omega)))</math>
* <math>0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega)</math>

=== Part 11 ===
* <math>0,1,2,1,2,0,1=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega)\times\omega</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega)\times\psi(0)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,1,2,3,2,3=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega)^2</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,1,2,3,2,3,0,1,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+1)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,1,2,3,2,3,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\Omega)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,1,2,3,2,3,0,1,1,2,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\Omega^\omega)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,1,2,3,2,3,0,1,1,2,3,2,3=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\Omega^{\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega)})</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,1,2,3,2,3,1=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\Omega^{\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega)}\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,1,2,3,2,3,1,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\Omega^{\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega)}\times\psi(0))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,1,2,3,2,3,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\Omega^{\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega)+1})</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\Omega^\Omega)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,0,1,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\Omega^\Omega\times2)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\Omega^\Omega\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,0,1,1=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\Omega^\Omega\times\omega^2)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\Omega^{\Omega+1})</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,1=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\Omega^{\Omega+\omega})</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,1,1=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\Omega^{\Omega^\omega})</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\psi_1(0))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,2,1=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\psi_1(\omega))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\psi_1(\Omega))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,2,1=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\psi_1(\Omega\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\psi_1(\psi_1(0)))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\psi_1(\Omega_2))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,0,1,1,2,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\psi_1(\Omega_2^2))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega)\times2)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,0,1,2,0,1,1=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega)\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,0,1,2,0,1,1,0,1,1,2,3,2,3=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega)\times\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,0,1,2,0,1,1,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega)\times\Omega)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,0,1,2,0,1,1,0,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega)^2)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,0,1,2,0,1,1,1=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega)^\omega)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,0,1,2,0,1,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega+1))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega+\Omega))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,0,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega)))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega)\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega+\Omega_2))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1,2,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega+\Omega_2\times2))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega+\Omega_2^2))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,0,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times2))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,1=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi(0)))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi(\Omega)))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,1,1,2,3,1,2,3=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi(\Omega_2^\Omega)))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega))</math>

=== Part 12 ===
* <math>0,1,2,1,2,0,1,1=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega)\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega+1))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\Omega_2)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\Omega_2^\Omega)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,0,1,2,1=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\Omega_2^\Omega\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,0,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\Omega_2^\Omega\times\psi(0))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,0,1,2,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\Omega_2^\Omega\times\psi(\Omega))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,0,1,2,1,1,2,3,2,3=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\Omega_2^\Omega\times\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega\times 2)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega\times3)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,0,1,2,1=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega\times\omega^2)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega^2)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,1=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega^\omega)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega^\Omega)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(0))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2,0,1,2,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(0)+\Omega_2^\Omega\times\Omega)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2,0,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(0)\times2)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2,0,1,2,1=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(0)\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2,0,1,2,1,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(0)\times\Omega)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2,0,1,2,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(0)^2)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2,0,1,2,1,1=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(0)^\omega)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2,0,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(1))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2,1=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2,1,1=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega^\omega))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^2))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\omega))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2,3=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^{\psi(\Omega^\Omega)}))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2,3,2,3=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^{\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega)}))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega}\times\psi_1(\Omega_2^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega+1))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\Omega))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,1,2,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega)))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,1,2,1=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega)\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\Omega_2))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\Omega_2^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,0,1,2,1=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\Omega_2^\Omega\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega\times2))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega^2))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(0)))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2)))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,1=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega))\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+1))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,1,2,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega)))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega))))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,1,2,1=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega))\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+1)))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\Omega_2)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,1,2,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\Omega_2\times2)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\Omega_2^\Omega)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\Omega_2^\Omega\times2)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\Omega_2^\Omega\times\Omega)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\Omega_2^\Omega\times\Omega\times2)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\Omega_2^\Omega\times\Omega\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\Omega_2^\Omega\times\Omega^2)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,1=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\Omega_2^\Omega\times\Omega^\omega)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)\times2)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)\times\Omega)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)^2)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,1=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)^\omega)</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega+1))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega+\Omega_2))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega+\Omega_2^2))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times2))</math>
* <math>0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times3))</math>
* <math>0,1,2,1,2,1=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,1,2,1,1=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\omega^2))</math>
* <math>0,1,2,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi(0)))</math>
* <math>0,1,2,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega))</math>
* <math>0,1,2,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega+1})</math>

=== Part 13 ===
* <math>0,1,2,1,2,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega+1}\times\Omega)</math>
* <math>0,1,2,1,2,2,1,2,0,1,2,1,2,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega+1}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega+1}))</math>
* <math>0,1,2,1,2,2,1,2,1=\psi(\Omega_2^{\Omega+1}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega+1}\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,1,2,2,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega+1}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega+1}\times\Omega))</math>
* <math>0,1,2,1,2,2,1,2,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega+2})</math>
* <math>0,1,2,1,2,2,1,2,1,2,2,1,2,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega+3})</math>
* <math>0,1,2,1,2,2,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega+\omega})</math>
* <math>0,1,2,1,2,2,1,2,2,1,2,1,2,2,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega+\omega\times2})</math>
* <math>0,1,2,1,2,2,1,2,2,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega+\omega^2})</math>
* <math>0,1,2,1,2,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega+\omega^\omega})</math>
* <math>0,1,2,1,2,2,3=\psi(\Omega_2^{\Omega+\psi(0)})</math>
* <math>0,1,2,1,2,2,3,4,2,3,4=\psi(\Omega_2^{\Omega+\psi(\Omega_2)})</math>
* <math>0,1,2,1,2,2,3,4,2,3,4,2,3,4=\psi(\Omega_2^{\Omega+\psi(\Omega_2^\Omega)})</math>
* <math>0,1,2,1,2,2,3,4,2,3,4,3,4=\psi(\Omega_2^{\Omega+\psi(\Omega_2^\Omega\times\Omega)})</math>
* <math>0,1,2,1,2,3=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2})</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,0,1,0,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}+\Omega^\Omega)</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,0,1,0,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,0,1,0,1,2,1=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,0,1,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega+1}))</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,0,1,0,1,2,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega+2}))</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,0,1,0,1,2,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega+\omega}))</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,0,1,0,1,2,1,2,3=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega\times2}))</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,0,1,1=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega\times2})\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,0,1,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega\times2}+1))</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}+\Omega_2)</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,0,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}+\Omega_2^\Omega)</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,0,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}+\Omega_2^\Omega\times2)</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,0,1,2,0,1,2,1=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}+\Omega_2^\Omega\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,0,1,2,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}+\Omega_2^\Omega\times\Omega)</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,0,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}+\Omega_2^\Omega\times\Omega\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,0,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}+\Omega_2^\Omega\times\Omega^2)</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,0,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,1=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}+\Omega_2^\Omega\times\Omega^\omega)</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,0,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}+\Omega_2^\Omega\times\psi_1(0))</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,0,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}+\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,0,1,2,0,1,2,1,2,1=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}+\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,0,1,2,0,1,2,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}+\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega))</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,0,1,2,0,1,2,1,2,1,2,1=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}+\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\omega)))</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,0,1,2,0,1,2,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}+\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega+1}))</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,0,1,2,0,1,2,1,2,3=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}+\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega\times2}))</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,0,1,2,0,1,2,1,2,3,0,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}+\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega\times2})+\Omega^\Omega)</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,0,1,2,1=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}+\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega\times2})\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,0,1,2,1,0,1,2,1,2,3=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}+\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega\times2})^2)</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,0,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}+\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega\times2}+1))</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,0,1,2,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}+\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega\times2}+\Omega_2))</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,0,1,2,1,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}+\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega\times2}+\Omega_2^\omega))</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}+\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega\times2}+\Omega_2^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,0,1,2,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}+\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega\times2}+\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega\times2}+\Omega_2^\Omega)))</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,0,1,2,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}+\Omega_2^{\Omega+1})</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,0,1,2,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}+\Omega_2^{\Omega+1})</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,0,1,2,1,2,2,0,1,2,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}+\Omega_2^{\Omega+1}\times2)</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,0,1,2,1,2,2,1,2,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}+\Omega_2^{\Omega+2})</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,0,1,2,1,2,2,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}+\Omega_2^{\Omega+\omega})</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,0,1,2,1,2,3=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}\times2)</math>

=== Part 14 ===
* <math>0,1,2,1,2,3,1=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}\times\Omega)</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,1,2,0,1,2,1,2,3,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega\times2}))</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega\times2}\times\Omega))</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,1,2,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega\times2+1})</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,1,2,1,2,3=\psi(\Omega_2^{\Omega\times3})</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega\times\omega})</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,1,2,2,1,2,2,3=\psi(\Omega_2^{\Omega\times\psi(0)})</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,1,2,2,1,2,3=\psi(\Omega_2^{\Omega^2})</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,1,2,2,3=\psi(\Omega_2^{\psi_1(0)})</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,1,2,2,3,2,3=\psi(\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2)})</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,1,2,3=\psi(\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^\Omega)})</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,1,2,3,1,2,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^\Omega)+1})</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,1,2,3,1,2,1,2,3=\psi(\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\Omega})</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,1,2,3,1,2,1,2,3,1,2,2,3=\psi(\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\psi_1(0)})</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,1,2,3,1,2,1,2,3,1,2,3=\psi(\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^\Omega)\times2})</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,1,2,3,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^\Omega)\times\omega})</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,1,2,3,1,2,2,3=\psi(\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^\Omega+1)})</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,1,2,3,1,2,2,3,1,2,3,1,2,3=\psi(\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega))})</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,1,2,3,1,2,2,3,2,3=\psi(\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^\Omega+\Omega_2)})</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,1,2,3,1,2,3=\psi(\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^\Omega\times2)})</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,2=\psi(\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\omega)})</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,2,3=\psi(\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega)})</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,2,3,2,3,3=\psi(\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega+1})})</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,2,3,4=\psi(\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega\times2})})</math>
* <math>0,1,2,1,2,3,2,3,4,2,3,4=\psi(\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^\Omega)})})</math>
* <math>0,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2})</math>
* <math>0,1,2,2,0,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2})\times\omega</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,1,2,3,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2})^2</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,1,2,3,3,0,1,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2})^\omega</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,1,2,3,3,0,1,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+1)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,1,2,3,3,0,1,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+1))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,1,2,3,3,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,1,2,3,3,0,1,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,1,2,3,3,0,1,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega^\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,1,2,3,3,0,1,1,2,3,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega^{\psi(\Omega_2^{\Omega_2})})</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,1,2,3,3,0,1,1,2,3,3,0,1,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega^{\psi(\Omega_2^{\Omega_2})}+1)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,1,2,3,3,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega^{\psi(\Omega_2^{\Omega_2})}\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,1,2,3,3,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega^{\psi(\Omega_2^{\Omega_2})+1})</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega^{\Omega})</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,0,1,0,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega^\Omega\times2)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,0,1,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega^\Omega\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,0,1,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(0))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,0,1,2,0,1,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega)\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,0,1,2,0,1,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega+1))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega+\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,0,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega)))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega)\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega+\Omega_2))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,0,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times2))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi(0)))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi(\Omega)))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega)\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega+1))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\Omega_2))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\Omega_2^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\Omega_2^\Omega\times2))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega^2))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(0)))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2)))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+1))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\Omega_2))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\Omega_2^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\Omega_2^\Omega\times2))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\Omega_2^\Omega\times\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\Omega_2^\Omega\times\Omega\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\Omega_2^\Omega\times\Omega^2))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\Omega_2^\Omega\times\psi_1(0)))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2)))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)\times2))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,0,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)\times\omega+\Omega_2^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)\times\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)\times\Omega\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)\times\Omega^2))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)\times\Omega^\omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)\times\psi_1(0)))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)\times\psi_1(\Omega_2)))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)^2))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)^\omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega+1)))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega+\Omega)))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega+\psi_1(0))))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega))))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega)\times\omega)))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega)^2)))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2,1,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega)^\omega)))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega+1))))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega+\Omega_2^2)))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times2)))</math>

=== Part 15 ===
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\omega)))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega))))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega+1}))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,2,1,2,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega+2}))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,2,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega+\omega}))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega+\omega^\omega}))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,2,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega+\psi(0)}))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega\times2}))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,3,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega\times2}\times\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,3,1,2,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega\times2+1}))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,3,1,2,1,2,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega\times3}))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,3,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega\times\omega}))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,3,1,2,2,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\psi_1(0)}))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,3,1,2,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^\Omega)}))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,3,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\omega)}))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,3,2,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega)}))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,0,1,2,2,0,1,0,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times2)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\omega^2)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,1,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\omega^\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\Omega)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,0,1,0,1,2,2,0,1,1,0,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\omega\times2)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,0,1,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\Omega\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,0,1,1,0,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\Omega^2)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,0,1,1,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\Omega^\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,0,1,1,1,0,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\Omega^\Omega)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,0,1,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\psi_1(0))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,0,1,1,2,0,1,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\psi_1(1))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,0,1,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\psi_1(\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,0,1,1,2,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\psi_1(\Omega\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,0,1,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\psi_1(\psi_1(0)))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\psi_1(\Omega_2))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,0,1,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\psi_1(\Omega_2^\omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\psi_1(\Omega_2^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,0,1,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega+1))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\Omega_2))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\Omega_2^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(0)))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+1))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\psi_1(0)))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,1,2,0,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\psi_1(\Omega_2^\Omega)))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,1,2,0,1,2,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\omega)))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,1,2,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega)))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega))))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\Omega_2))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\Omega_2^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)+\Omega_2^\Omega\times\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)\times2))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)^2))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega+1)))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega+\Omega_2)))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times2)))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\omega)))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega)))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega+1}))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,2,1,2,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega+2}))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,2,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega+\omega}))</math>

=== Part 16 ===
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega\times2}))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})^2)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,1,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})^2\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,1,1,0,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})^2\times\Omega)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,1,1,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})^2\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,1,1,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})^2\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,1,1,0,1,2,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})^2\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega+1}))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,1,1,0,1,2,1,2,3,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})^3)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,1,1,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})^\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+1))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^\Omega)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,0,1,2,1,2,3,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\Omega)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,3,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})^2)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+1))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,2,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^\Omega)))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\Omega+1})</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,2,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\Omega\times2})</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,2,3,1,2,2,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(0)})</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,2,3,1,2,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^\Omega)})</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,2,3,2,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega)})</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,2,3,2,3,4=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega\times2})})</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,2,3,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})})</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,2,3,3,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,2,3,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})}\times2)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,2,3,3,0,1,1,1,0,1,2,1,2,3,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,2,3,3,0,1,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,2,3,3,0,1,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,2,3,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})}))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,2,3,3,0,1,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})}+1))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,2,3,3,0,1,1,2,0,1,2,1,2,3,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,2,3,3,0,1,1,2,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,2,3,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})})))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,2,3,3,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})}+\Omega_2))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})}+\Omega_2^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,2,3,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})}\times2))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})}\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})}\times\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,1,2,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})+1})</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,1,2,1,2,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})+\Omega})</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,1,2,1,2,3,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times2})</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\omega})</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,1,2,2,1,2,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\Omega})</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,1,2,2,1,2,3,2,3,4,4=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})^2})</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,1,2,2,1,2,3,2,3,4,4,1,2,2,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+1)})</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,1,2,2,1,2,3,2,3,4,4,1,2,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^\Omega)})</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,1,2,2,1,2,3,2,3,4,4,1,2,3,2,3,4,4=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})})})</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times2)</math>

=== Part 17 ===
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,2,0,1,0,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times2+\Omega^\Omega)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,2,0,1,0,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times2+\psi_1(\Omega_2^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times2+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times2+\psi_1(\Omega_2^{\Omega+1}))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,2,0,1,0,1,2,1,2,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times2+\psi_1(\Omega_2^{\Omega\times2}))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,2,0,1,0,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times2+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,2,0,1,0,1,2,2,0,1,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times2+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,2,0,1,0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times2+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})^2)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,2,0,1,0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times2+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+1))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,2,0,1,0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times2+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,2,0,1,0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,2,3,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times2+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})}))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,2,0,1,0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times2+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})}\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,2,0,1,0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times2+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\omega}))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,2,0,1,0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times2+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}\times2))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,2,0,1,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times2+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}\times2)\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,2,0,1,1,0,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times2+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}\times2)\times\Omega)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times2+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}\times2)\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times2+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}\times2)\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times2+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}\times2)\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,1,2,2,1,2,3,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times2+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}\times2)^2)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,1,2,2,1,2,3,3,0,1,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times2+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}\times2+1))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,1,2,2,1,2,3,3,0,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times2+\Omega_2^\Omega)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,1,2,2,1,2,3,3,0,1,2,1,2,3,3,1,2,2,1,2,3,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times2+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}\times2)})</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,1,2,2,1,2,3,3,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times2+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}\times2)}\times\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times2+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}\times2)}\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,1,2,2,1,2,3,3,1,2,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times2+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}\times2)+1})</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,1,2,2,1,2,3,3,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times2+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}\times2)\times\omega})</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,2,0,1,1,0,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times3)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\omega)</math>

=== Part 18 ===
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,1,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\omega^2)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\Omega)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,0,1,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\psi_1(0))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega+\Omega_2^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,1,2,0,1,2,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega\times2))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega)))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega+1}))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,1,2,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega\times2}))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,1,2,3,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+1))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^\Omega)))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,0,1,2,1,2,3,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+1)))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,3,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,2,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^\Omega)))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\Omega+1}))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,2,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\Omega\times2}))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,2,3,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})}))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,2,3,3,0,1,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})}+1))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,2,3,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})}\times2))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,1,2,3,3,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})}\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,1,2,3,3,1,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})}\times\psi(0)))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,1,2,3,3,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})}\times\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,1,2,3,3,1,2,0,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,2,3,3,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})}\times\Omega\times2))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,1,2,3,3,1,2,0,1,2,1,2,3,3,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})}\times\Omega\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,1,2,3,3,1,2,0,1,2,1,2,3,3,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})}\times\psi_1(\Omega_2^\Omega)))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,1,2,3,3,1,2,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})}\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\omega)))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,1,2,3,3,1,2,1,2,3,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,1,2,3,3,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,2,3,3,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,1,2,3,3,1,2,1,2,3,3,0,1,2,1,2,3,3,1,2,1,2,3,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})})))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,1,2,3,3,1,2,1,2,3,3,1,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})}\times\Omega)))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,1,2,3,3,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})+1}))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,1,2,3,3,1,2,2,1,2,3,2,3,4,4=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})\times2}))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,1,2,3,3,1,2,2,1,2,3,3=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}\times2))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,1,2,3,3,1,2,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2+1})</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,0,1,2,2,0,1,1,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2+\omega})</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2+\omega^2})</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,1,1=\psi(\Omega_2^{\Omega_2\times\omega})</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,1,1,1,0,1,2,2=\psi(\Omega_2^{\Omega_2^2})</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,2=\psi(\psi_2(0))</math>

=== Part 19 ===
* <math>0,1,2,2,0,1,1,2=\psi(\psi_2(0))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,2,0,1,0,1,2,2=\psi(\psi_2(0)+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,2,0,1,0,1,2,2,0,1,1,2=\psi(\psi_2(0)\times2)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,2,0,1,1=\psi(\psi_2(0)\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,2,0,1,1,0,1,2,2=\psi(\psi_2(0)\times\Omega_2)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,2,0,1,1,0,1,2,2,0,1,1,2=\psi(\psi_2(0)^2)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,2,0,1,1,2=\psi(\psi_2(1))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,2,0,1,2,2=\psi(\psi_2(\Omega_2))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,2,1=\psi(\psi_2(\Omega_2)\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,2,1,1,2=\psi(\psi_2(\Omega_2+1))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_3)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,2=\psi(\Omega_3^\Omega)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,2,0,1,0,1,2,2,0,1,2=\psi(\Omega_3^\Omega+\psi_1(\Omega_3^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,2,0,1,1=\psi(\Omega_3^\Omega+\psi_1(\Omega_3^\Omega)\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,1,2=\psi(\Omega_3^\Omega+\psi_1(\Omega_3^\Omega+1))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,2,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_3^\Omega+\Omega_2)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,2,0,1,1,0,1,2,2=\psi(\Omega_3^\Omega+\Omega_2^{\Omega_2})</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,2,0,1,1,0,1,2,2,0,1,1,2=\psi(\Omega_3^\Omega+\psi_2(0))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,2,0,1,1,0,1,2,2,0,1,2=\psi(\Omega_3^\Omega+\psi_2(\Omega_3^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,2,0,1,1,1=\psi(\Omega_3^\Omega+\psi_2(\Omega_3^\Omega)\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,2,0,1,1,2=\psi(\Omega_3^\Omega+\psi_2(\Omega_3^\Omega+1))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,2,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_3^\Omega+\Omega_3)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_3^\Omega\times2)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,2,0,1,2,1=\psi(\Omega_3^\Omega\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,2,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_3^\Omega\times\Omega)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,2,0,1,2,1,2,1,2=\psi(\Omega_3^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,2,0,1,2,1,2,2=\psi(\Omega_3^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega+1}))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,2,0,1,2,1,2,3,3=\psi(\Omega_3^\Omega\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,2,0,1,2,1,2,3,3,1,2,3=\psi(\Omega_3^\Omega\times\psi_1(\Omega_3^{\Omega_\Omega}))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,2,0,1,2,2=\psi(\Omega_3^\Omega\times\Omega_2)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,2,1=\psi(\Omega_3^\Omega\times\Omega_2\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_3^\Omega\times\psi_2(0))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,2,1,1,2,0,1,2,2=\psi(\Omega_3^\Omega\times\psi_2(\Omega_2))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,2,1,1,2,1=\psi(\Omega_3^\Omega\times\psi_2(\Omega_2\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,2,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_3^\Omega\times\psi_2(\Omega_3))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_3^\Omega\times\psi_2(\Omega_3^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_3^\Omega\times\psi_2(\Omega_3^\Omega\times2))</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,2,1,2,2=\psi(\Omega_3^{\Omega+1})</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,2,1,2,3,1,2,2,3=\psi(\Omega_3^{\psi_2(0)})</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,2,1,2,3,3=\psi(\Omega_3^{\psi_2(\Omega_2^{\Omega_2})})</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,2,2=\psi(\Omega_3^{\Omega_2})</math>
* <math>0,1,2,2,0,1,2,2=\psi(\Omega_3^{\Omega_2})</math>
* <math>0,1,2,2,1=\psi(\Omega_3^{\Omega_2}\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,1,2=\psi(\Omega_3^{\Omega_2}\times\Omega)</math>
* <math>0,1,2,2,1,2,0,1,2,2,1,1,2=\psi(\Omega_3^{\Omega_2}\times\psi_1(0))</math>
* <math>0,1,2,2,1,2,0,1,2,2,1,2=\psi(\Omega_3^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,1,2,1,2,2=\psi(\Omega_3^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega+1}))</math>
* <math>0,1,2,2,1,2,1,2,3,3=\psi(\Omega_3^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}))</math>
* <math>0,1,2,2,1,2,1,2,3,3,1,2,3=\psi(\Omega_3^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_3^{\Omega}))</math>
* <math>0,1,2,2,1,2,1,2,3,3,1,2,3,3=\psi(\Omega_3^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_3^{\Omega_2}))</math>
* <math>0,1,2,2,1,2,1,2,3,3,2=\psi(\Omega_3^{\Omega_2}\times\psi_1(\Omega_3^{\Omega_2}\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,2,1,2,2=\psi(\Omega_3^{\Omega_2}\times\Omega_2)</math>
* <math>0,1,2,2,1,2,2,0,1,2,2=\psi(\Omega_3^{\Omega_2}\times\Omega_2+\Omega_3^{\Omega_2})</math>
* <math>0,1,2,2,1,2,2,0,1,2,2,0,1,2,2,1,2,2=\psi(\Omega_3^{\Omega_2}\times\Omega_2\times2)</math>
* <math>0,1,2,2,1,2,2,0,1,2,2,1=\psi(\Omega_3^{\Omega_2}\times\Omega_2\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,1,2,2,0,1,2,2,1,1,2=\psi(\Omega_3^{\Omega_2}\times\psi_2(0))</math>
* <math>0,1,2,2,1,2,2,0,1,2,2,1,2=\psi(\Omega_3^{\Omega_2}\times\psi_2(\Omega_3^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,1,2,2,0,1,2,2,1,2,2=\psi(\Omega_3^{\Omega_2}\times\psi_2(\Omega_3^{\Omega_2}))</math>
* <math>0,1,2,2,1,2,2,1=\psi(\Omega_3^{\Omega_2}\times\psi_2(\Omega_3^{\Omega_2}\times\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,1,2,2,1,2,2=\psi(\Omega_3^{\Omega_2}\times\psi_2(\Omega_3^{\Omega_2}\times\Omega_2))</math>
* <math>0,1,2,2,1,2,2,2=\psi(\Omega_3^{\Omega_2+1})</math>
* <math>0,1,2,2,2=\psi(\Omega_3^{\Omega_3})</math>
* <math>0,1,2,2,3=\psi(\Omega_\omega)=\mathrm{BO}</math>

=== Part 20 ===
* <math>0,1,2,2,3,0,1,0,1,2=\psi(\Omega_\omega+\Omega^\Omega)</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,0,1,2,0,1,1,2=\psi(\Omega_\omega+\psi_1(0))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,0,1,2,2=\psi(\Omega_\omega+\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,0,1,2,2,3=\psi(\Omega_\omega+\psi_1(\Omega_\omega))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1=\psi(\Omega_\omega+\psi_1(\Omega_\omega)\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,0,1,2=\psi(\Omega_\omega+\psi_1(\Omega_\omega)\times\Omega)</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,0,1,2,0,1,1,2=\psi(\Omega_\omega+\psi_1(\Omega_\omega)\times\psi_1(0))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,0,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_\omega+\psi_1(\Omega_\omega)\times\psi_1(\Omega_2^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_\omega+\psi_1(\Omega_\omega)\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,0,1,2,1,2,2=\psi(\Omega_\omega+\psi_1(\Omega_\omega)\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega+1}))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,4=\psi(\Omega_\omega+\psi_1(\Omega_\omega)^2)</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,4,0,1,1,2=\psi(\Omega_\omega+\psi_1(\Omega_\omega+1))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,4,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_\omega+\Omega_2)</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,4,0,1,2=\psi(\Omega_\omega+\Omega_2^\Omega)</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,4,0,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_\omega+\Omega_2^\Omega\times2)</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,4,0,1,2,0,1,2,1,2,3,3,4=\psi(\Omega_\omega+\Omega_2^\Omega\times\psi(\Omega_\omega))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,4,0,1,2,1=\psi(\Omega_\omega+\Omega_2^\Omega\times\psi(\Omega_\omega)\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,4,0,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_\omega+\Omega_2^\Omega\times\psi(\Omega_\omega+1))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,4,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_\omega+\Omega_2^\Omega\times\psi(\Omega_\omega+\Omega_2^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,4,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2,3,3,4=\psi(\Omega_\omega+\Omega_2^\Omega\times\psi(\Omega_\omega+\Omega_2^\Omega\times\psi_1(\Omega_\omega)))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,4,0,1,2,1,2,2=\psi(\Omega_\omega+\Omega_2^{\Omega+1})</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,4,0,1,2,1,2,3,1,2,2,3=\psi(\Omega_\omega+\Omega_2^{\psi_1(0)})</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,4,0,1,2,1,2,3,3,4=\psi(\Omega_\omega+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_\omega)})</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,4,1=\psi(\Omega_\omega+\Omega_2^{\psi_1(\Omega_\omega)}\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,0,1,2,2=\psi(\Omega_\omega+\Omega_2^{\Omega_2})</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,0,1,2,2,0,1,1,2=\psi(\Omega_\omega+\psi_2(0))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,0,1,2,2,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_\omega+\psi_2(\Omega_2))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,0,1,2,2,3=\psi(\Omega_\omega+\psi_2(\Omega_\omega))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,1=\psi(\Omega_\omega+\psi_2(\Omega_\omega)\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,2=\psi(\Omega_\omega\times2)</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,2,0,1,0,1,2,2,3=\psi(\Omega_\omega\times2+\psi_1(\Omega_\omega))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,2,0,1,0,1,2,2,3,0,1,1,2=\psi(\Omega_\omega\times2+\psi_1(\Omega_\omega\times2))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,2,0,1,1=\psi(\Omega_\omega\times2+\psi_1(\Omega_\omega\times2)\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,2,0,1,1,0,1,2,2=\psi(\Omega_\omega\times2+\psi_1(\Omega_\omega\times2)\times\Omega_2)</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,2,0,1,1,0,1,2,2,3=\psi(\Omega_\omega\times2+\psi_2(\Omega_\omega))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,2,0,1,1,0,1,2,2,3,0,1,1,2=\psi(\Omega_\omega\times2+\psi_2(\Omega_\omega\times2))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,2,0,1,1,0,1,2,2,3,0,1,1,2,0,1,1=\psi(\Omega_\omega\times2+\psi_2(\Omega_\omega\times2)+\psi_1(\Omega_\omega\times2+\psi_2(\Omega_\omega\times2))\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,2,0,1,1,0,1,2,2,3,0,1,1,2=\psi(\Omega_\omega\times2+\psi_2(\Omega_\omega\times2))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,2,0,1,1,2=\psi(\Omega_\omega\times3)</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_\omega\times\Omega)</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2,2,3,0,1,1,0,1,2=\psi(\Omega_\omega\times\Omega+\psi_1(\Omega_\omega)\times\Omega)</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2,2,3,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,4=\psi(\Omega_\omega\times\Omega+\psi_1(\Omega_\omega)^2)</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2,2,3,0,1,1,0,1,2,1,2,3,3,4,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_\omega\times\Omega+\psi_1(\Omega_\omega+\Omega_2))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2,2,3,0,1,1,0,1,2,2,3=\psi(\Omega_\omega\times\Omega+\psi_1(\Omega_\omega+\psi_2(\Omega_\omega)))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2,2,3,0,1,1,2=\psi(\Omega_\omega\times\Omega+\psi_1(\Omega_\omega\times2))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,2,0,1,2,0,1,0,1,2,2,3,0,1,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_\omega\times\Omega+\psi_1(\Omega_\omega\times\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,2,0,1,2,0,1,1=\psi(\Omega_\omega\times\Omega+\psi_1(\Omega_\omega\times\Omega)\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,2,0,1,2,0,1,1,0,1,2,2=\psi(\Omega_\omega\times\Omega+\Omega_2)</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,2,0,1,2,0,1,1,0,1,2,2,3=\psi(\Omega_\omega\times\Omega+\psi_2(\Omega_\omega))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,2,0,1,2,0,1,1,2=\psi(\Omega_\omega\times\Omega+\Omega_\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1=\psi(\Omega_\omega\times\Omega\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1,0,1,2=\psi(\Omega_\omega\times\Omega^2)</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,2,0,1,2,0,1,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_\omega\times\psi_1(0))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,2,0,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_\omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,2,0,1,2,1=\psi(\Omega_\omega\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,2,0,1,2,1,2,3,3,4=\psi(\Omega_\omega\times\psi_1(\Omega_\omega))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,2,0,1,2,2=\psi(\Omega_\omega\times\Omega_2)</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,2,0,1,2,2,3=\psi(\Omega_\omega^2)</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,2,1=\psi(\Omega_\omega^2\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,2,1,0,1,2,2,3=\psi(\Omega_\omega^3)</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,2,1,1,2=\psi(\psi_\omega(0))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,2,1,1,2,0,1,1,2,0,1,2,2,3,0,1,1,2,1,1,2=\psi(\psi_\omega(0)\times2)</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,2,1,1,2,0,1,1,2,1,1,2=\psi(\psi_\omega(1))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_{\omega+1})</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,1,2,2=\psi(\Omega_{\omega+1}^\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,2=\psi(\Omega_{\omega+1}^\Omega)</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,2,0,1,0,1,2,2,3,0,1,2=\psi(\Omega_{\omega+1}^\Omega+\psi_1(\Omega_{\omega+1}^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,2,0,1,1=\psi(\Omega_{\omega+1}^\Omega+\psi_1(\Omega_{\omega+1}^\Omega)\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,2,0,1,1,2=\psi(\Omega_{\omega+1}^\Omega+\Omega_\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,2,0,1,1,2,0,1,2,2,3,0,1,2=\psi(\Omega_{\omega+1}^\Omega\times2)</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,2,0,1,1,2,1=\psi(\Omega_{\omega+1}^\Omega\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,2,0,1,1,2,1,0,1,2,2,3=\psi(\Omega_{\omega+1}^{\Omega}\times\Omega_\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,2,0,1,1,2,1,0,1,2,2,3,0,1,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_{\omega+1}^{\Omega}\times\psi_\omega(0))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,2,0,1,1,2,1,0,1,2,2,3,0,1,2=\psi(\Omega_{\omega+1}^{\Omega}\times\psi_\omega(\Omega_{\omega+1}^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,2,0,1,1,2,1,1=\psi(\Omega_{\omega+1}^{\Omega}\times\psi_\omega(\Omega_{\omega+1}^\Omega)^\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,2,0,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_{\omega+1}^{\Omega}\times\psi_\omega(\Omega_{\omega+1}^\Omega+\Omega_{\omega+1}))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_{\omega+1}^{\Omega}\times\psi_\omega(\Omega_{\omega+1}^\Omega\times2))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,2,0,1,2,2,3=\psi(\Omega_{\omega+1}^{\Omega}\times\psi_\omega(\Omega_{\omega+1}^\Omega\times\Omega_\omega))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,2,1=\psi(\Omega_{\omega+1}^{\Omega}\times\psi_\omega(\Omega_{\omega+1}^\Omega\times\Omega_\omega\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_{\omega+1}^{\Omega}\times\psi_\omega(\Omega_{\omega+1}^\Omega\times\psi_\omega(0)))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,2,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_{\omega+1}^{\Omega}\times\psi_\omega(\Omega_{\omega+1}^\Omega\times\psi_\omega(\Omega_{\omega+1})))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_{\omega+1}^{\Omega}\times\psi_\omega(\Omega_{\omega+1}^\Omega\times\psi_\omega(\Omega_{\omega+1}^\Omega)))</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,2,1,2,2=\psi(\Omega_{\omega+1}^{\Omega+1})</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,2,1,2,3,1,2,2,3=\psi(\Omega_{\omega+1}^{\psi_1(0)})</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,2,1,2,3,3,4=\psi(\Omega_{\omega+1}^{\psi_1(\Omega_\omega)})</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,2,2=\psi(\Omega_{\omega+1}^{\Omega_2})</math>
* <math>0,1,2,2,3,0,1,2,2,3=\psi(\Omega_{\omega+1}^{\Omega_\omega})</math>
* <math>0,1,2,2,3,1=\psi(\Omega_{\omega+1}^{\Omega_\omega}\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,3,1,2=\psi(\Omega_{\omega+1}^{\Omega_\omega}\times\Omega)</math>
* <math>0,1,2,2,3,1,2,2=\psi(\Omega_{\omega+1}^{\Omega_\omega}\times\Omega_2)</math>
* <math>0,1,2,2,3,1,2,2,3=\psi(\Omega_{\omega+1}^{\Omega_\omega}\times\Omega_\omega)</math>
* <math>0,1,2,2,3,1,2,2,3,2=\psi(\Omega_{\omega+1}^{\Omega_\omega+1})</math>
* <math>0,1,2,2,3,1,2,3=\psi(\Omega_{\omega+1}^{\Omega_\omega+\Omega})</math>
* <math>0,1,2,2,3,1,2,3,1,2,3=\psi(\Omega_{\omega+1}^{\Omega_\omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega)})</math>
* <math>0,1,2,2,3,1,2,3,2,3=\psi(\Omega_{\omega+1}^{\Omega_\omega+\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega)})</math>
* <math>0,1,2,2,3,1,2,3,2,3,4,4,5=\psi(\Omega_{\omega+1}^{\Omega_\omega+\psi_1(\Omega_\omega)})</math>
* <math>0,1,2,2,3,1,2,3,3=\psi(\Omega_{\omega+1}^{\Omega_\omega+\Omega_2})</math>
* <math>0,1,2,2,3,1,2,3,3,4=\psi(\Omega_{\omega+1}^{\Omega_\omega\times2})</math>
* <math>0,1,2,2,3,2=\psi(\Omega_{\omega+1}^{\Omega_{\omega+1}})</math>
* <math>0,1,2,2,3,2,2=\psi(\Omega_{\omega+2}^{\Omega_{\omega+2}})</math>
* <math>0,1,2,2,3,2,2,3=\psi(\Omega_{\omega\times2})</math>
* <math>0,1,2,2,3,2,3=\psi(\Omega_{\omega^2})</math>
* <math>0,1,2,2,3,4=\psi(\Omega_{\psi(\Omega^\Omega)})</math>
* <math>0,1,2,2,3,4,4,5=\psi(\Omega_{\psi(\Omega_\omega)})</math>
* <math>0,1,2,3=\psi(\Omega_{\Omega})</math>

=== Part 21 ===
* <math>0,1,2,3,0,1,0,1,2,3=\psi(\Omega_\Omega+\psi_1(\Omega_\Omega))</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,1=\psi(\Omega_\Omega+\psi_1(\Omega_\Omega)\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,1,0,1,2,3=\psi(\Omega_\Omega+\psi_2(\Omega_\Omega))</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,1,2=\psi(\Omega_\Omega+\Omega_\omega)</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_\Omega+\Omega_{\omega\times2})</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2=\psi(\Omega_\Omega\times2)</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2,0,1,1=\psi(\Omega_\Omega\times2+\psi_1(\Omega_\Omega\times2)\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_\Omega\times3)</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_\Omega\times\Omega)</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2,0,1,2,2=\psi(\Omega_\Omega\times\Omega_2)</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2,0,1,2,3=\psi(\Omega_\Omega^2)</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2,0,1,2,3,0,1,2=\psi(\Omega_\Omega^2+\Omega_\Omega)</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2,1=\psi(\Omega_\Omega^2\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2,1,0,1,2,0,1,2,3=\psi(\Omega_\Omega^2\times\omega+\Omega_\Omega^2)</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2,1,0,1,2,0,1,2,3,0,1,2,1=\psi(\Omega_\Omega^2\times\omega\times2)</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2,1,0,1,2,1=\psi(\Omega_\Omega^2\times\omega^2)</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2,1,0,1,2,3=\psi(\Omega_\Omega^3)</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2,1,0,1,2,3,0,1,2,1=\psi(\Omega_\Omega^3\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2,1,1=\psi(\Omega_\Omega^\omega)</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2,1,1,0,1,2,1=\psi(\Omega_\Omega^\omega\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2,1,1,0,1,2,1,1=\psi(\Omega_\Omega^{\omega\times2})</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2,1,1,0,1,2,3=\psi(\Omega_\Omega^{\Omega_\Omega})</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2,1,1,2=\psi(\psi_{\Omega_{\Omega+1}}(0))</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega})</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2,1,2,0,1,2=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega}+\Omega_\Omega)</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2,1,2,0,1,2,1=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega}+\psi_{\Omega_{\Omega+1}}(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega})\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega}+\psi_{\Omega_{\Omega+1}}(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega}+1))</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2,1,2,0,1,2,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega}+\Omega_{\Omega+1})</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2,1,2,0,1,2,1,2=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega}\times2)</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2,1,2,0,1,2,3=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega}\times\Omega_\Omega)</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2,1,2,1=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega}\times\Omega_\Omega\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega}\times\psi_{\Omega_{\Omega+1}}(0))</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2,1,2,1,2=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega}\times\psi_{\Omega_{\Omega+1}}(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega}))</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2,1,2,1,2,0,1,2,1,2,1=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega}\times\psi_{\Omega_{\Omega+1}}(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega})\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2,1,2,1,2,0,1,2,1,2,1,1,2=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega}\times\psi_{\Omega_{\Omega+1}}(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega}+1))</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2,1,2,1,2,0,1,2,1,2,1,1,2,1,2=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega}\times\psi_{\Omega_{\Omega+1}}(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega}+\Omega_{\Omega+1}))</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2,1,2,1,2,0,1,2,1,2,1,2=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega}\times\psi_{\Omega_{\Omega+1}}(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega}\times2))</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2,1,2,1,2,0,1,2,3=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega}\times\psi_{\Omega_{\Omega+1}}(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega}\times\Omega_\Omega))</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2,1,2,2=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega+1})</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2,1,2,3=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega\times2})</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2,2=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_2})</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2,2,3=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\omega})</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2,3=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega})</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2,3,0,1,0,1,2,3,0,1,2,3=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}+\psi_1(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}))</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2,3,0,1,2=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}+\Omega_{\Omega})</math>
* <math>0,1,2,3,0,1,2,3,0,1,2,3=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}\times2)</math>
* <math>0,1,2,3,1=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}\times\omega)</math>
* <math>0,1,2,3,1,2=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}\times\Omega)</math>
* <math>0,1,2,3,1,2,0,1,2,3=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}\times\Omega+\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega})</math>
* <math>0,1,2,3,1,2,0,1,2,3,1,1,2,0,1,2,3,1,2=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}\times\psi_1(\Omega))</math>
* <math>0,1,2,3,1,2,0,1,2,3,1,2=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}\times\psi_1(\Omega_2^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,3,1,2,1,2=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}\times\psi_1(\Omega_2^\Omega\times\Omega))</math>
* <math>0,1,2,3,1,2,1,2,2=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}\times\psi_1(\Omega_2^{\Omega+1}))</math>
* <math>0,1,2,3,1,2,1,2,3,3,4=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}\times\psi_1(\Omega_\omega))</math>
* <math>0,1,2,3,1,2,1,2,3,4=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}\times\psi_1(\Omega_\Omega))</math>
* <math>0,1,2,3,1,2,1,2,3,4,1,2,3=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}\times\psi_1(\Omega_\Omega\times2))</math>
* <math>0,1,2,3,1,2,1,2,3,4,1,2,3,4=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}\times\psi_1(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}))</math>

=== Part 22 ===
* <math>0,1,2,3,1,2,2=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}\times\Omega_2)</math>
* <math>0,1,2,3,1,2,2,1,2,2=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}\times\psi_2(\Omega_{3}^{\Omega_2}\times\Omega_2))</math>
* <math>0,1,2,3,1,2,2,1,2,2,2=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}\times\psi_2(\Omega_{3}^{\Omega_2+1}))</math>
* <math>0,1,2,3,1,2,2,1,2,3,4=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}\times\psi_2(\Omega_{\Omega}))</math>
* <math>0,1,2,3,1,2,2,1,2,3,4,1,2,3,4=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}\times\psi_2(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}))</math>
* <math>0,1,2,3,1,2,2,2=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}\times\Omega_3)</math>
* <math>0,1,2,3,1,2,2,3=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}\times\Omega_\omega)</math>
* <math>0,1,2,3,1,2,3=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}\times\Omega_\Omega)</math>
* <math>0,1,2,3,1,2,3,0,1,2=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}\times\Omega_\Omega+\Omega_\Omega)</math>
* <math>0,1,2,3,1,2,3,0,1,2,3=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}\times\Omega_\Omega+\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega})</math>
* <math>0,1,2,3,1,2,3,0,1,2,3,0,1,2,3,1,2,3=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}\times\Omega_\Omega\times2)</math>
* <math>0,1,2,3,1,2,3,0,1,2,3,1,1,2=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}\times\psi_{\Omega_{\Omega+1}}(0))</math>
* <math>0,1,2,3,1,2,3,0,1,2,3,1,2=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}\times\psi_{\Omega_{\Omega+1}}(\Omega_{\Omega+1}^\Omega))</math>
* <math>0,1,2,3,1,2,3,0,1,2,3,1,2,2=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}\times\psi_{\Omega_{\Omega+1}}(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_2}))</math>
* <math>0,1,2,3,1,2,3,0,1,2,3,1,2,2,3=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}\times\psi_{\Omega_{\Omega+1}}(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\omega}))</math>
* <math>0,1,2,3,1,2,3,0,1,2,3,1,2,3=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}\times\psi_{\Omega_{\Omega+1}}(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}))</math>
* <math>0,1,2,3,1,2,3,1=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}\times\psi_{\Omega_{\Omega+1}}(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}\times\omega))</math>
* <math>0,1,2,3,1,2,3,1,2=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}\times\psi_{\Omega_{\Omega+1}}(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}\times\Omega))</math>
* <math>0,1,2,3,1,2,3,1,2,3=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}\times\psi_{\Omega_{\Omega+1}}(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}\times\Omega_\Omega))</math>
* <math>0,1,2,3,1,2,3,2=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega+1})</math>
* <math>0,1,2,3,1,2,3,2,3=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega+\Omega})</math>
* <math>0,1,2,3,1,2,3,2,3,3=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega+\Omega_2})</math>
* <math>0,1,2,3,1,2,3,3=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega+\Omega_2})</math>
* <math>0,1,2,3,1,2,3,3,4=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega+\Omega_\omega})</math>
* <math>0,1,2,3,1,2,3,4=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega\times2})</math>
* <math>0,1,2,3,1,2,3,4,1,2,3=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega\times3})</math>
* <math>0,1,2,3,1,2,3,4,1,2,3,2,2,3=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\psi_{\Omega_{\Omega+1}}(0)})</math>
* <math>0,1,2,3,2=\psi(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_{\Omega+1}})</math>
* <math>0,1,2,3,2,2=\psi(\Omega_{\Omega+2}^{\Omega_{\Omega+2}})</math>
* <math>0,1,2,3,2,2,3=\psi(\Omega_{\Omega+\omega})</math>
* <math>0,1,2,3,2,3=\psi(\Omega_{\Omega\times2})</math>
* <math>0,1,2,3,2,3,3=\psi(\Omega_{\Omega\times\omega})</math>
* <math>0,1,2,3,2,3,4=\psi(\Omega_{\Omega^2})</math>
* <math>0,1,2,3,2,3,4=\psi(\Omega_{\Omega^2})</math>
* <math>0,1,2,3,2,3,4,2,3=\psi(\Omega_{\Omega^2+\Omega})</math>
* <math>0,1,2,3,2,3,4,2,3,2,3,4=\psi(\Omega_{\Omega^2\times2})</math>
* <math>0,1,2,3,2,3,4,2,3,3=\psi(\Omega_{\Omega^2\times\omega})</math>
* <math>0,1,2,3,2,3,4,2,3,3,2,3,4=\psi(\Omega_{\Omega^3})</math>
* <math>0,1,2,3,2,3,4,2,3,3,4=\psi(\Omega_{\psi_1(0)})</math>
* <math>0,1,2,3,2,3,4,2,3,4=\psi(\Omega_{\psi_1(\Omega_2^\Omega)})</math>
* <math>0,1,2,3,2,3,4,3,4,4=\psi(\Omega_{\psi_1(\Omega_2^{\Omega+1})})</math>
* <math>0,1,2,3,2,3,4,4,5=\psi(\Omega_{\psi_1(\Omega_\omega)})</math>
* <math>0,1,2,3,2,3,4,5=\psi(\Omega_{\psi_1(\Omega_\Omega)})</math>
* <math>0,1,2,3,2,3,4,5,2,3,4,5=\psi(\Omega_{\psi_1(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega})})</math>
* <math>0,1,2,3,2,3,4,5,3,4=\psi(\Omega_{\psi_1(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}\times\Omega)})</math>
* <math>0,1,2,3,2,3,4,5,3,4,5=\psi(\Omega_{\psi_1(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_\Omega}\times\Omega_\Omega)})</math>
* <math>0,1,2,3,2,3,4,5,4=\psi(\Omega_{\psi_1(\Omega_{\Omega+1}^{\Omega_{\Omega+1}})})</math>
* <math>0,1,2,3,2,3,4,5,4,5,6,7=\psi(\Omega_{\psi_1(\Omega_{\psi_1(\Omega_\Omega)})})</math>
* <math>0,1,2,3,3=\psi(\Omega_{\Omega_2})</math>
* <math>0,1,2,3,3,2,3=\psi(\Omega_{\Omega_2+1})</math>
* <math>0,1,2,3,3,2,3,2,3,4,5=\psi(\Omega_{\Omega_2+\psi_1(\Omega_\Omega)})</math>
* <math>0,1,2,3,3,2,3,2,3,4,5,5=\psi(\Omega_{\Omega_2+\psi_1(\Omega_{\Omega_2})})</math>
* <math>0,1,2,3,3,2,3,3=\psi(\Omega_{\Omega_2\times2})</math>
* <math>0,1,2,3,3,2,3,3,3=\psi(\Omega_{\Omega_2\times\omega})</math>
* <math>0,1,2,3,3,2,3,4=\psi(\Omega_{\Omega_2\times\Omega})</math>
* <math>0,1,2,3,3,2,3,4,4=\psi(\Omega_{\Omega_2^2})</math>
* <math>0,1,2,3,3,2,3,4,4,2,3,3,4=\psi(\Omega_{\psi_2(0)})</math>
* <math>0,1,2,3,3,2,3,4,4,5=\psi(\Omega_{\psi_2(\Omega_\omega)})</math>
* <math>0,1,2,3,3,2,3,4,5=\psi(\Omega_{\psi_2(\Omega_\Omega)})</math>
* <math>0,1,2,3,3,3=\psi(\Omega_{\Omega_3})</math>
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* <math>0,1,2,3,4=\psi(\Omega_{\Omega_\Omega})</math>
* <math>0,1,2,3,4,2,3,4,5,2,3,4,3,3,2,3,4,5,0,1,2,3,1,2,3,4,1,2,3,2,2,1,2,3,4,1,1,0,1,2,3,4,2,3,4,5,2,3,4,3,3,2,3,4,5=\psi(\Omega_{\Omega_\Omega^{\Omega_\Omega}}^{\Omega_{\Omega_\Omega^{\Omega_\Omega}}})</math>
* <math>0,1,2,3,4,5,\cdots=\psi(\psi_I(0))=\mathrm{EBO}</math>

[[分类:分析]]