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下箭号表示法

2026-02-25T11:18:55Z

QWQ-bili：重构格式、调整排版

'''下箭号表示法（亦称"下箭头记号"）'''，一种满足'''左结合律'''的二元运算。
== 定义 ==
下箭号由如下公式递归定义：
* <math>a \downarrow^1 b = a^b</math>
* <math>a \downarrow^{c} 1 = a</math>
* <math>a \downarrow^{c+1} (b+1) = ( a \downarrow^{c+1} b)\downarrow^{c} a</math>

其中，<math>a,b,c</math> 均为'''正整数'''，<math>a \downarrow^{c} b = a\ \underbrace{ \downarrow\downarrow\cdots\downarrow }_{c}\ b</math>.

在计算下箭号时，如无括号，按照从左往右的顺序计算，即：
* <math>a \downarrow^{m} b\downarrow^{n} c=(a \downarrow^{m} b)\downarrow^{n} c</math>
若将下箭号的左结合律更替为右结合律，其余定义不变，将得到[[高德纳箭头]]。

== 性质 ==

下箭号有如下性质：

==== 展开 ====
<math>n \downarrow^{k} m = \underbrace{n \downarrow^{k-1} n \downarrow^{k-1} \cdots \downarrow^{k-1} n }_{\text{m个n}}</math>

==== 增长率 ====
下箭号虽然看起来增长得比高德纳箭头慢得多，但其[[增长层级#快速增长层级|FGH]][[增长率]]仍为 <math>\omega</math>.

可以证明的是，<math>a \downarrow^{2n-1} b \ge a \uparrow^n b</math>.

==== 超运算 ====
下箭号是一种[[超运算|超运算记号]]。

== 计算示例 ==
<math>\begin{align}
3\downarrow\downarrow\downarrow3&=(3\downarrow\downarrow3)\downarrow\downarrow3\\&=(3\downarrow3\downarrow3)\downarrow\downarrow3\\&=(27\downarrow3)\downarrow\downarrow3\\&=19683\downarrow\downarrow3\\&=19683^{19683^2}\\&=3^{3^{20}}
\end{align}</math>

{{默认排序:大数记号}}
[[分类:记号]]

高德纳箭头

2026-02-25T10:54:35Z

QWQ-bili：css样式

'''高德纳箭头（Knuth's arrow notation，亦称"上箭头记号"）'''，一种满足'''右结合律'''的二元运算。它涉及对运算的'''递归'''。<ref>Guy, R. K., & Selfridge, J. L. (1973). The Nesting and Roosting Habits of the Laddered Parenthesis. ''Amer. Math. Monthly'', '''80''', 868-876.</ref>

== 定义 ==
高德纳箭头由如下公式递归定义：
* <math>a \uparrow b = a^b</math>
* <math>a \uparrow^{c} 1 = a</math>
* <math>a \uparrow^{c+1} (b+1) = a \uparrow^{c} ( a \uparrow^{c+1} b)</math>

其中，<math>a,b,c</math> 均为'''正整数'''，<math>a \uparrow^{c} b = a\ \underbrace{ \uparrow\uparrow\cdots\uparrow }_{c}\ b</math>.

在计算高德纳箭头时，如无括号，按照从右往左的顺序计算，即：
* <math>a \uparrow^{m} b\uparrow^{n} c=a \uparrow^{m} (b\uparrow^{n} c)</math>
若将高德纳箭头的右结合律更替为左结合律，其余定义不变，将得到[[下箭号表示法|下箭头记号]]。

== 性质 ==
高德纳箭头有如下性质：

==== 展开 ====
<math>n \uparrow^{k} m = \underbrace{n \uparrow^{k-1} n \uparrow^{k-1} \cdots \uparrow^{k-1} n }_{\text{m个n}}</math>

==== 恒等式 ====

* <math>2 \uparrow^{c+1} 2 = 2\uparrow^c(2\uparrow^{c+1}1) = 2\uparrow^c2=.. .=2\uparrow2=4</math>
* <math>1 \uparrow^{c+1}(b+1) = 1\uparrow^c(1\uparrow^{c+1} b)=1\uparrow^c(1\uparrow^c(\cdots\uparrow^c(1\uparrow^{c}1)))=1\uparrow^{c} 1=1</math>

==== 增长率 ====
高德纳箭头的[[增长层级#快速增长层级|FGH]]增长率为 <math>\omega</math>. 特别地，<math>c</math> 个高德纳箭头所对应的FGH层次的下标[[序数]]约为 <math>c+1</math>.

==== 超运算 ====
高德纳箭头是目前已被广泛认可、基本采用的[[超运算|超运算记号]]。

若定义后继运算的运算等级为 0，那么 n 个高德纳箭头的运算等级为 n+2。

== 历史 ==
高德纳箭头是由 Donald Ervin Knuth 在 1976 年发明的大数记号<ref>Knuth, D. E. (1976). Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness, Advances in Our Ability to Compute are Bringing Us Substantially Closer to Ultimate Limitations. ''Science'', 194, pp. 1235--1242. https://cse-robotics.engr.tamu.edu/dshell/cs625/finiteness.pdf</ref>，曾在 1977 年被 Martin Gardner 用于递归地定义[[葛立恒数]]。<ref>Gardner, M. (1977). Mathematical games[J]. ''Scientific American'', 1977, 237(3): 28-38. https://raw.githubusercontent.com/AllenDowney/ModSimPy/master/papers/scientific_american_nov_77.pdf</ref>

而 Ronald Graham 本人并未在论文中使用高德纳箭头或超运算来估计[[葛立恒数#葛立恒问题|葛立恒问题]]的上界，而是使用了类似[[阿克曼函数]]的递归函数 <math>F(m,n)</math>，和分别近似为 <math>2 \uparrow\uparrow n,2 \uparrow\uparrow\uparrow n</math> 的函数 <math>\rm TOWER(n),WOW(n)</math>.<ref>Graham, R. L., & Rothschild, B. L. (1971). Ramsey’s theorem for $n$-parameter sets[J]. ''Transactions of the American Mathematical Society'', 159: 257-292. https://www.ams.org/journals/tran/1971-159-00/S0002-9947-1971-0284352-8/S0002-9947-1971-0284352-8.pdf
</ref><ref>Graham, R. L., & Rothschild, B. L., & Spencer, J. H. (1991). Ramsey theory: Vol. 20[M]. ''John Wiley & Sons''. https://people.dm.unipi.it/dinasso/ULTRABIBLIO/Graham_Rothschild_Spencer%20-%20Ramsey%20Theory%20(2nd%20edition).pdf</ref>

== 构造过程 ==
高德纳箭头本质上是一种高级运算“折叠”低级运算的记号。

现在让我们回到数学的起点，并考察各种级别的运算是如何逐渐地建立起来的。这将进一步地启发我们构造增长率更快的计数法。

==== 后继 ====

为了使某数 n 变大，最简单的运算应该就是“数出 n 这个数后面的一个数”。我们将这种运算称为'''“后继”'''。后继是最基础的运算，表现为 n+1.

==== 加法 ====

我们经常需要表示一种“从 n 开始，取 m 次后继”这样的运算。写得次数太多了之后，我们就引入了一个新的运算符 +，将这样的运算称为'''“加法”'''，表示为 n+m.

在 n+m 中，运算 + 折叠了对 n 的 m 次后继运算，即
<math>\ n+m=n+\underbrace{1+1+\cdots+1}_{\text{m个1}}.</math>

==== 乘法 ====

还能不能更快些呢？假设我们已经通过某些操作得到了 n，那么要想最快地得到一些更大的数，我们就要将 n 加上自身，并将这个过程重复若干次。我们引入一个新的运算符 <math>\times</math>，将这样的运算称为'''“乘法”'''，表示为 <math>n\times m</math>.

在 <math>n\times m</math> 中，运算 <math>\times</math> 折叠了对 n 的 m 次 + 运算，即
<math>\ n\times m=\underbrace{n+n+\cdots+n}_{\text{m个n}}.</math>

==== 乘方 ====

对乘法重复若干次，我们就可以得到一个增长更快的运算。仿照之前的过程，我们进一步引入一个新的运算符 <math>\uparrow</math>，将这一运算称为'''“乘方”'''，表示为 <math>n\uparrow m</math> 或 <math>n^{m}</math>.

在 <math>n^{m}</math> ( <math>n\uparrow m</math> ) 中，运算 <math>\uparrow</math> 折叠了对 n 的 m 次 <math>\times</math> 运算，即

<math>\ n^{m}=\underbrace{n\times n\times \cdots \times n}_{\text{m个n}}.</math>

==== 幂塔 ====

我们已经看到了上述各个运算的推广过程：最简单的运算是后继；将后继重复若干次可以得到一个增长更快的运算，称为加法；将加法重复若干次可以再次得到一个增长更快的运算，称为乘法；进一步地将乘法重复若干次，我们又可以得到一个增长速度更快的运算，称为乘方。这里面的每一个运算的增长速度都远远超过了此前的所有运算。

现在如果我们想要得到一个增长速度超越乘方的运算，那么应该如何做呢？答案已经很简单了：我们只需要将乘方运算（单箭头运算 <math>\uparrow </math>）重复若干次，并将其定义为一个新的运算'''“幂塔”'''即可。我们将这一运算的运算符用双箭头 <math>\uparrow \uparrow</math> 来进行表示。

在 <math>{}^m\!n</math> ( <math>n\uparrow \uparrow m</math> ) 中，运算 <math>\uparrow \uparrow</math> 折叠了对 n 的 m 次 <math>\uparrow</math> 运算，即

<math>\ n\uparrow \uparrow m=\underbrace{n\uparrow n\uparrow \cdots \uparrow n}_{\text{m个n}}=\underbrace{n^{n^{n^{\cdots}}}}_{\text{m个n}}.</math> （注意是右结合）

==== 高德纳箭头 ====

仿照上述定义，以此类推。

最终，我们得到了高德纳箭头的展开定义：

在 <math>n \uparrow^{k} m</math> 中，运算 <math>\uparrow^{k}</math> 折叠了对 n 的 m 次 <math>\uparrow^{k-1}</math> 运算，即

<math>\ n \uparrow^{k} m = \underbrace{n \uparrow^{k-1} n \uparrow^{k-1} \cdots \uparrow^{k-1} n }_{\text{m个n}}.</math>
== 计算示例 ==

<math>\begin{align} 3 \uparrow\uparrow\uparrow 3\ & = 3\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow 3 \\ & = 3\uparrow\uparrow (3\uparrow 3\uparrow 3) \\ & = 3\uparrow\uparrow(3\uparrow27) \\ & = 3\uparrow\uparrow 7625597484987 \\ & = \underbrace{3^{3^{3^{\cdots}}}}_{7625597484987} \end{align}</math>

<math>\begin{align} 3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 4\ & = 3\uparrow\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\uparrow3 \\ & = 3\uparrow\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\uparrow\underbrace{3^{3^{3^{\cdots}}}}_{7625597484987} \\ & = 3\uparrow\uparrow\uparrow(\ \underbrace{3\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow3}_{\underbrace{3^{3^{3^{\cdots}}}}_{7625597484987}}\ ) \\ & = \underbrace{3\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow3}_{\underbrace{3\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow3}_{\underbrace{3^{3^{3^{\cdots}}}}_{7625597484987}}}\end{align}</math>

== 参考资料 ==
<references />{{默认排序:大数记号}}
[[分类:记号]]
[[分类:入门]]

高德纳箭头

2026-02-25T10:40:45Z

QWQ-bili：修订错误，优化定义

'''高德纳箭头（Knuth's arrow notation，亦称"上箭头记号"）'''，一种满足'''右结合律'''的二元运算。它涉及对运算的'''递归'''。<ref>Guy, R. K., & Selfridge, J. L. (1973). The Nesting and Roosting Habits of the Laddered Parenthesis. ''Amer. Math. Monthly'', '''80''', 868-876.</ref>

== 定义 ==
高德纳箭头由如下公式递归定义：
* <math>a \uparrow b = a^b</math>
* <math>a \uparrow^{c} 1 = a</math>
* <math>a \uparrow^{c+1} (b+1) = a \uparrow^{c} ( a \uparrow^{c+1} b)</math>

其中，<math>a,b,c</math> 均为'''正整数'''，<math>a \uparrow^{c} b = a\ \underbrace{ \uparrow\uparrow\cdots\uparrow }_{c}\ b</math>.

在计算高德纳箭头时，如无括号，按照从右往左的顺序计算，即：
* <math>a \uparrow^{m} b\uparrow^{n} c=a \uparrow^{m} (b\uparrow^{n} c)</math>
若将高德纳箭头的右结合律更替为左结合律，其余定义不变，将得到[[下箭号表示法|下箭头记号]]。

== 性质 ==
高德纳箭头有如下性质：

==== 展开 ====
<math>n \uparrow^{k} m = \underbrace{n \uparrow^{k-1} n \uparrow^{k-1} \cdots \uparrow^{k-1} n }_{\text{m个n}}</math>

==== 恒等式 ====

* <math>2 \uparrow^{c+1} 2 = 2\uparrow^c(2\uparrow^{c+1}1) = 2\uparrow^c2=.. .=2\uparrow2=4</math>
* <math>1 \uparrow^{c+1}(b+1) = 1\uparrow^c(1\uparrow^{c+1} b)=1\uparrow^c(1\uparrow^c(\cdots\uparrow^c(1\uparrow^{c}1)))=1\uparrow^{c} 1=1</math>

==== 增长率 ====
高德纳箭头的[[增长层级#快速增长层级|FGH]]增长率为 <math>\omega</math>. 特别地，<math>c</math> 个高德纳箭头所对应的FGH层次的下标[[序数]]约为 <math>c+1</math>.

==== 超运算 ====
高德纳箭头是目前已被广泛认可、基本采用的[[超运算|超运算记号]]。

若定义后继运算的运算等级为 0，那么 n 个高德纳箭头的运算等级为 n+2。

== 历史 ==
高德纳箭头是由 Donald Ervin Knuth 在 1976 年发明的大数记号<ref>Knuth, D. E. (1976). Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness, Advances in Our Ability to Compute are Bringing Us Substantially Closer to Ultimate Limitations. ''Science'', 194, pp. 1235--1242. https://cse-robotics.engr.tamu.edu/dshell/cs625/finiteness.pdf</ref>，曾在 1977 年被 Martin Gardner 用于递归地定义[[葛立恒数]]。<ref>Gardner, M. (1977). Mathematical games[J]. ''Scientific American'', 1977, 237(3): 28-38. https://raw.githubusercontent.com/AllenDowney/ModSimPy/master/papers/scientific_american_nov_77.pdf</ref>

而 Ronald Graham 本人并未在论文中使用高德纳箭头或超运算来估计[[葛立恒数#葛立恒问题|葛立恒问题]]的上界，而是使用了类似[[阿克曼函数]]的递归函数 <math>F(m,n)</math>，和分别近似为 <math>2 \uparrow\uparrow n,2 \uparrow\uparrow\uparrow n</math> 的函数 <math>\rm TOWER(n),WOW(n)</math>.<ref>Graham, R. L., & Rothschild, B. L. (1971). Ramsey’s theorem for $n$-parameter sets[J]. ''Transactions of the American Mathematical Society'', 159: 257-292. https://www.ams.org/journals/tran/1971-159-00/S0002-9947-1971-0284352-8/S0002-9947-1971-0284352-8.pdf
</ref><ref>Graham, R. L., & Rothschild, B. L., & Spencer, J. H. (1991). Ramsey theory: Vol. 20[M]. ''John Wiley & Sons''. https://people.dm.unipi.it/dinasso/ULTRABIBLIO/Graham_Rothschild_Spencer%20-%20Ramsey%20Theory%20(2nd%20edition).pdf</ref>

== 构造过程 ==
高德纳箭头本质上是一种高级运算“折叠”低级运算的记号。

现在让我们回到数学的起点，并考察各种级别的运算是如何逐渐地建立起来的。这将进一步地启发我们构造增长率更快的计数法。

==== 后继 ====

为了使某数 n 变大，最简单的运算应该就是“数出 n 这个数后面的一个数”。我们将这种运算称为'''“后继”'''。后继是最基础的运算，表现为 n+1.

==== 加法 ====

我们经常需要表示一种“从 n 开始，取 m 次后继”这样的运算。写得次数太多了之后，我们就引入了一个新的运算符 +，将这样的运算称为'''“加法”'''，表示为 n+m.

在 n+m 中，运算 + 折叠了对 n 的 m 次后继运算，即
<math>\ n+m=n+\underbrace{1+1+\cdots+1}_{\text{m个1}}.</math>

==== 乘法 ====

还能不能更快些呢？假设我们已经通过某些操作得到了 n，那么要想最快地得到一些更大的数，我们就要将 n 加上自身，并将这个过程重复若干次。我们引入一个新的运算符 <math>\times</math>，将这样的运算称为'''“乘法”'''，表示为 <math>n\times m</math>.

在 <math>n\times m</math> 中，运算 <math>\times</math> 折叠了对 n 的 m 次 + 运算，即
<math>\ n\times m=\underbrace{n+n+\cdots+n}_{\text{m个n}}.</math>

==== 乘方 ====

对乘法重复若干次，我们就可以得到一个增长更快的运算。仿照之前的过程，我们进一步引入一个新的运算符 <math>\uparrow</math>，将这一运算称为'''“乘方”'''，表示为 <math>n\uparrow m</math> 或 <math>n^{m}</math>.

在 <math>n^{m}</math> ( <math>n\uparrow m</math> ) 中，运算 <math>\uparrow</math> 折叠了对 n 的 m 次 <math>\times</math> 运算，即

<math>\ n^{m}=\underbrace{n\times n\times \cdots \times n}_{\text{m个n}}.</math>

==== 幂塔 ====

我们已经看到了上述各个运算的推广过程：最简单的运算是后继；将后继重复若干次可以得到一个增长更快的运算，称为加法；将加法重复若干次可以再次得到一个增长更快的运算，称为乘法；进一步地将乘法重复若干次，我们又可以得到一个增长速度更快的运算，称为乘方。这里面的每一个运算的增长速度都远远超过了此前的所有运算。

现在如果我们想要得到一个增长速度超越乘方的运算，那么应该如何做呢？答案已经很简单了：我们只需要将乘方运算（单箭头运算 <math>\uparrow </math>）重复若干次，并将其定义为一个新的运算'''“幂塔”'''即可。我们将这一运算的运算符用双箭头 <math>\uparrow \uparrow</math> 来进行表示。

在 <math>{}^m\!n</math> ( <math>n\uparrow \uparrow m</math> ) 中，运算 <math>\uparrow \uparrow</math> 折叠了对 n 的 m 次 <math>\uparrow</math> 运算，即

<math>\ n\uparrow \uparrow m=\underbrace{n\uparrow n\uparrow \cdots \uparrow n}_{\text{m个n}}=\underbrace{n^{n^{n^{\cdots}}}}_{\text{m个n}}.</math> （注意是右结合）

==== 高德纳箭头 ====

仿照上述定义，以此类推。

最终，我们得到了高德纳箭头的展开定义：

在 <math>n \uparrow^{k} m</math> 中，运算 <math>\uparrow^{k}</math> 折叠了对 n 的 m 次 <math>\uparrow^{k-1}</math> 运算，即

<math>\ n \uparrow^{k} m = \underbrace{n \uparrow^{k-1} n \uparrow^{k-1} \cdots \uparrow^{k-1} n }_{\text{m个n}}.</math>
== 计算示例 ==

<math>\begin{align} 3 \uparrow\uparrow\uparrow 3\ & = 3\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow 3 \\ & = 3\uparrow\uparrow (3\uparrow 3\uparrow 3) \\ & = 3\uparrow\uparrow(3\uparrow27) \\ & = 3\uparrow\uparrow 7625597484987 \\ & = \underbrace{3^{3^{3^{\cdots}}}}_{7625597484987} \end{align}</math>

<math>\begin{align} 3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 4\ & = 3\uparrow\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\uparrow3 \\ & = 3\uparrow\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\uparrow\underbrace{3^{3^{3^{\cdots}}}}_{7625597484987} \\ & = 3\uparrow\uparrow\uparrow(\ \underbrace{3\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow3}_{\underbrace{3^{3^{3^{\cdots}}}}_{7625597484987}}\ ) \\ & = \underbrace{3\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow3}_{\underbrace{3\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow3}_{\underbrace{3^{3^{3^{\cdots}}}}_{7625597484987}}}\end{align}</math>

== 参考资料 ==
<references />{{默认排序:大数记号}}
[[分类:记号]]
[[分类:入门]]

滤子

2026-02-25T10:09:36Z

QWQ-bili：优化公式、调整排版、增添引用

'''滤子'''是一类常见的集合论对象，在多个非集合论强相关的数学领域也多有应用（但也可能是它的对偶，即[[理想]]）。

== 定义 ==

我们称对于一个集合<math>S</math>而言，作为<math>P(S)</math>子集的<math>F</math>是<math>S</math>上的一个'''滤子'''，当且仅当：

# <math>\emptyset \notin F</math>且<math>S \in F</math>
# 如果<math>A \in F</math>且<math>A</math>是<math>B</math>的子集，那么<math>B \in F</math>
# 如果<math>A</math>，<math>B \in F</math>，则<math>A \cap B \in F</math>

这就是滤子的所有要求。

== 类型 ==

对于一个<math>S</math>上滤子<math>F</math>，如果存在一个<math>S</math>的非空子集<math>C</math>使得任意<math>X \in F</math>而言，<math>C</math>是<math>X</math>的子集，那么我们称<math>F</math>是一个'''主滤子'''。反之，则称其是一个'''非主滤子'''。

下面我们举出一个经典非主滤子的例子：

frechet滤子(余有限滤子)：
对于一个无穷集合<math>S</math>,集合<math>F=\{X\text{是}S\text{的子集}:S-X\text{是有限集}\}</math>是<math>S</math>上的一个'''frechet滤子'''，并且它是非主的。

一个滤子<math>F</math>被称为'''超滤'''，当且仅当对于任意<math>S</math>的子集<math>X</math>而言，要么<math>X \in F</math>,要么<math>S-X \in F</math>.

同时，一个滤子<math>F</math>是'''极大的'''，当且仅当不存在<math>S</math>上滤子<math>F_1</math>使得<math>F</math>是<math>F_1</math>的子集。

可以证明，极大滤子和超滤是等价的。

== 性质 ==

由此，我们有了以下的引理：

'''引理1 (tarski)'''：任何一个滤子都能被扩张为一个超滤。

证明：我们考虑一个集合<math>S</math>上包含起始滤子<math>F</math>的全体滤子构成的[[良序#偏序集|偏序集]]<math>A</math>，使得子集关系成为其上的偏序。现在，考虑任何一条滤子之间构成的子集链<math>\langle F_n : n \in \text{ord} \rangle</math>

我们可以验证，任何一个滤子之间构成的子集链的并也是一个滤子，那么它应该也是<math>A</math>的元素。那么，这也就是在说，任何<math>A</math>上这个子集偏序的链都有上界。由zorn引理，<math>A</math>存在极大元<math>U</math>，那么它应该是一个极大滤子，则它是一个超滤，得证。

马洛基数

2025-09-10T14:18:51Z

QWQ-bili：调整排版，修改结构，优化文本

'''马洛基数'''（又称'''马赫罗基数'''），是集合论中的一类[[大基数公理|大基数]]，由 Friedrich Paul Mahlo 于1911-1913年间提出。

== 定义 ==
我们称一个[[序数]] <math>\alpha </math> 是一个序数集 <math>B</math> 上的'''极限点'''，当且仅当 <math>\sup (\alpha \cap B)=\alpha </math>.

我们称一个[[基数#共尾度|正则]][[基数#有限基数和无穷基数（超限基数）|不可数基数]] <math>\kappa </math> 的子集 <math>C</math> 是'''无界闭的'''，当且仅当 <math>\sup (C)=\kappa </math> 且任何一个 <math>C</math> 上小于 <math>\kappa </math> 的极限点都是 <math>C</math> 的元素。

我们称一个正则不可数基数 <math>\kappa </math> 的子集 <math>S</math> 是'''驻集'''，当且仅当 <math>S</math> 与 <math>\kappa </math> 上任意无界闭子集所交非空。

一个基数 <math>\kappa </math> 是'''马洛/强马洛的'''，当且仅当它是一个[[不可达基数#定义|强不可达基数]]且 <math>\kappa </math> 下方的全体正则基数构成 <math>\kappa </math> 的驻集。

一个基数 <math>\kappa </math> 是'''弱马洛的'''，当且仅当它是一个弱不可达基数且 <math>\kappa </math> 下方弱不可达基数构成它的驻集。

== 定理 ==

弱马洛有一个等价定义： <math>\kappa </math> 是一个弱不可达基数且其下弱不可达基数构成它的驻集

证明：

等效的，强马洛也有这样的等价定义

证明：强马洛⇔强不可达+下方强不可达构成驻集

1.强马洛k推强不可达+下方强不可达构成驻集

考虑强马洛基数k，首先其是强不可达。假设存在一个无界闭子集C⊂k使得C不包含任意一个强不可达基数，则考虑全体k下任意除N0外强极限基数组成的子集与它的交集，这也是一个无界闭子集(因为C中任意正则基数都不是强极限基数)，然而它与k下方正则基数无交，矛盾

2.强不可达+下方强不可达构成驻集→强马洛

证：显然，由于强不可达基数都是正则基数，所以任何一个无界闭子集中都一定包含一个正则基数(也就是被包含的强不可达基数)，因此得证。

[[分类:集合论相关]]

不可达基数

2025-09-08T10:40:37Z

QWQ-bili：调整排版，修改结构，优化文本

'''不可达基数'''（Inaccessible cardinal），是集合论中的一类[[大基数公理|大基数]]。弱不可达基数与强不可达基数统称为不可达基数。

== 定义 ==

一个基数 <math>\kappa </math> 是'''弱不可达的'''，当且仅当它是一个[[基数#极限基数和后继基数|不可数]]、[[基数#共尾度|正则]]的[[基数#极限基数和后继基数|极限基数]]。

一个基数 <math>\kappa </math> 是'''强不可达的'''，当且仅当它是一个弱不可达基数，且不能通过[[ZFC公理体系#幂集公理|幂集]]达到。

== 性质 ==

* 不可达基数是一类大基数，即它的[[一致性]]强到足以去证明一些[[ZFC公理体系| ZFC 公理体系]]无法证明的命题，如格罗滕迪克宇宙的存在性。

* 若 [[连续统假设|GCH]] 成立，那么弱不可达基数也是强不可达基数。

* 若 <math>\kappa </math> 是不可达基数，则 <math>\{\alpha<\kappa:(V_{\alpha},\in)</math>[[初等嵌入]]<math>(V_{\kappa},\in)\}</math> 构成 <math>\kappa </math> 的[[马洛基数#定义|无界闭子集]]。

* 若 <math>\kappa </math> 是不可达基数，则 <math>\kappa </math> 在任何 ZFC 的模型中都是不可达基数。

* 若 <math>\kappa </math> 是不可达基数，则 <math>V_k\models \text{存在ZFC的可数模型}</math>。

== 独立性 ==

不可达基数的存在性独立于 ZFC 公理系统，见[[不可达基数的独立性]]。

[[分类:入门]]
[[分类:集合论相关]]

Googology

2025-09-06T15:39:17Z

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'''googology'''，又名大数数学，是一门专门研究大[[序数#有限序数|自然数]]的学科。<ref>曹知秋. 大数理论. (EB/OL), Vol.1, pp.27-36. https://github.com/ZhiqiuCao/Googology</ref>

== 词源 ==
该术语是由 André Joyce（安德烈·乔伊斯）根据 Michael Halm（迈克尔·哈尔姆）的虚构故事创造的，由 [[古戈尔|googol]]（这是一个经典的大数）+ -logos（希腊语后缀，意思是“学习”）组合而成。Joyce 的 googology 包含根据文字游戏和异想天开的推断设计一个数字名称系统，虽然目前的大数学家已经不在热衷于命名大数。

'''googologist（大数“学家”）'''，现在一般指大数数学爱好者。

== 历史 ==
主词条：[[大数简史]]

从最早的原始计数法到进制计数法，古人发展的大数已经足够日常生活使用了。近几百年来发展的指数函数以及科学计数法，乃至指数塔的推广，也已经足够除了极少数数学分支以外的科学研究使用了。但是直到 20 世纪，大数数学的萌芽才逐渐开始出现。

较早的大数数学研究都是非常零散的。Sudan 于 1927 年提出了 [[Sudan 函数]]，Ackermann 在 1928 年定义了 [[阿克曼函数|Ackermann 函数]]，这两个函数是非原始递归函数，具有较高增长率。早在 1944 年，Goodstein 就在研究序数的过程中就提出了 [[Goodstein函数|Goodstein 序列]]，它的强度远远超过了当时（以及之后几十年）的所有大数记号，只不过这一结果当时在大数领域中并未得到人们的足够重视。Goodstein 在 1947 年正式提出了超运算的概念。Knuth于 1976 年定义了描述超运算的 [[高德纳箭头|Knuth 箭头]]记号，这一记号一直沿用至今。Graham 在1971 年为了解决超立方体染色的问题，提出了 [[葛立恒数#葛立恒函数|Graham 函数]]，而后 Gardner 在 1977 年以它为基础定义了一个更容易理解，同时也更加强大的 [[葛立恒数|Graham 数]]，从而使得大数问题被人们所知。Conway 于 1996 年提出了 [[链式箭头记号|Conway 链]]，这可以视为 Knuth 箭头的一个强大的推广。

而早在 19 世纪 70 年代，Cantor 就开始系统性地研究无穷的性质，并导致了数学史上璀璨的明珠<del>——</del>集合论的诞生。他提出了[[序数]]的概念，并且定义了诸如 ω, ε 等序数。在1908 年，Veblen 提出了 [[Veblen 函数]]，它能够利用序数[[不动点]]系统性地刻画更大的序数。与此同时，Zermelo 提出了集合论公理化系统，后经过 Fraenkel 以及 Skolem 改进，形成了完整的 [[ZFC公理体系|ZFC]] 集合论体系。1950 年，Bachmann 首次提出了[[序数坍缩函数|序数折叠函数]]，而更加现代的序数折叠函数是 Buchholz 于 1986 年提出的。1995 年，Rathjen 利用反射序数提出了更加强大的序数折叠函数，后续的工作又将其强度进一步提高到了很高的层次。

集合论独立地发展了很长的时间，直到 1970 年，在 Wainer 提出最早的 Wanier 层次之后，它才与大数数学建立起来联系。它给出了一种将大序数映射为大数的方式，因此能够利用集合论中的成果来系统性地构造大数。Ketonen 与 Solovay 在 1981 年提出了[[增长层级#快速增长层级|快速增长层次]]的现代版本，并一直沿用至今。但是长期以来，这一结果也并未得到大数领域的重视。大数记号和大（递归）序数记号的真正联系要等到 2014 年以后才得以实现。

进入 21 世纪之后，大数的发展开始变得更加迅速了。在 2001-2004 年，Bowers 首先提出了 [[BEAF|Bowers 数阵]]（Bowers’ Exploding Array Function，BEAF），这是人们首次为了创造一个大数本身（而并非去为了解决其他问题）而创造的大数记号。这一记号在大数历史上具有重要的意义，一些研究者也将这一工作视为大数数学开始独立的起点。此时开始出现了一些零散的大数数学研究者，他们并非是职业的数学家，而是业余的数学爱好者。这一时期的记号主要为 Saibian 于 2005-2008 提出的 [[超E记号|E#]] 记号，以及 Bird 于 2010-2013 年提出的 [[BAN|Bird 数阵]]（Bird’s Array Notation，BAN）。后来数阵记号又得到了较为充分的发展，例如[[美元记号]]等。2016 年提出的[[SAN|强数阵记号]] (Strong Array Notation, SAN) 是数阵型记号的顶峰，它所提出的下降（[[Dropping]]）模式在之后的几年中一直是大数数学研究的最前沿模式。

在 2014 年左右，序数记号开始被引入到大数领域的研究之中。人们发现实际上序数记号与大数记号是统一的，大数记号的核心结构实际上就对应于一个序数，而序数记号套上一层简单的壳子就得到了有限的大数记号。序数记号和大数记号的统一无疑是大数数学有史以来最深刻的发现。至此人们的研究中心逐渐由大数记号转移到了大序数记号上，大数领域也真正迎来了迅速的发展。在这一阶段，递归序数记号的代表是 2015 年提出的 [[TON|Taranovsky 序数记号]]，它远远超过了当时人们所能够理解的强度。HypCos 的《大数入门》恰好成书于这段时间，它反映了大数领域的这场深刻的变革。

与此同时，关于非递归分析的研究也逐渐变得越来越深入，大量[[序数#非递归序数|非递归序数]]的结果被引入到大数数学中。人们意识到通过将越来越强大的非递归序数引入到序数折叠函数之中的方法，可以得到越来越强的递归序数。研究者们从序数分析和证明论中吸收了大量相关的结果，发展了诸如[[反射序数]]、[[稳定序数]]等非递归序数的折叠理论。2014 年的[[方括号稳定]]揭示了 [[Σ1稳定序数|Σ1 稳定序数]]的复杂行为，2018 年的 [[UNOCF]] 则是将反射序数系统性地放入序数折叠函数中的尝试。2020 年提出的[[投影序数|投影]]记号是一个强大的非递归记号。由于非递归分析对于数理逻辑的要求非常高，因此关于非递归分析的研究进展相对缓慢，相关的前沿成果也并不十分为研究者所理解。

在非递归分析发展的同时，人们也在寻求着更加强大的递归记号模式。由 Bashicu 于2014 年提出，并于 2018 年完善的 [[BMS|Bashicu 矩阵]] 是大数数学中划时代的工作。它开启了 [[Beklemishev's Worm|Worm]] 型记号的全新范式，至今仍然有着非常深远的影响。BMS 的强度远远超过了此前记号的极限，但是人们早期对此并没有十分充分的认识。只有当对 BMS 记号的分析变得越来越深入之后，它的强大之处才逐渐显现出来。在 BMS 提出后的相当长一段时间内，对其强度的分析是当时最为重要的工作之一，而这一分析过程也极大地催生了大数界相关数学工具的发展。但由于 BMS 的复杂性，这一项工作直到2025年才被完成，通过很晚近的[[向上投影]]。同时由于 BMS 的强大性和系统性，它现在已经成为了分析其他记号的标准。

2020 年 Yukito 提出的 [[Y序列]] 则是 Worm 型记号的又一座高峰。BMS 与 [[0-Y]] 序列是等价的，而通常所说的 Y 序列指的是 1-Y 序列，在这之上还有更加强大的 [[ω-Y|ω−Y]] 序列。相比于 BMS 的平凡扩展来说，Y 序列彻底超越了 BMS 的强度，达到了前所未有的境地。在 Y 序列之中蕴含的复杂结构也仍然有待于人们进行进一步的探索。

尽管人们一直在试图提出强于 Y 系列的新记号，但是这些记号都没有严谨的证据表明其具有超过 Y 系列记号的预期强度。且这些记号在各自方面相对于传统的广义 Y 系列记号一脉都还只是刚刚有一定的基础，其各自的体系仍然没有完善。在 Y 系列记号的内部，定义任意的 α − Y 乃至更加强大的 Ω − Y 的尝试一直也没有停止。尽管 CIF’s Ω-Y 已经遭遇了失败，但是一些其他的记号仍然在探索序列型记号的进一步推广。目前在这一方向上的代表为由 HypCos 于 2024 年提出的山脉记号（[[Mountain Notation]]，MN）、以及由 Aarex 于 2023 年提出，并且由 HypCos 和 ProjectCF 改进的[[MMS|变异矩阵系统]]（Mutant Matrix System，MMS），由 318'4 提出的[[FOS|基本列序数系统]]（Fundemental Ordinal Sequence，FOS）等。

除了在 Y 序列记号内部进行扩展之外，也存在着一些超出 Y 序列记号体系的尝试。近年来挖掘记号之中的[[传递]]结构已经成为了递归构造的前沿问题，除此之外，由 Asheep233 提出的[[对角化理论]]正在试图找寻 googology 构造记号的一般规律。除此之外，由 Yahtzee 于 2022 年提出，并由夏夜星空改进的 [[Fake Fake Fake Zeta]]（fffz）记号为我们揭示了更加强大的 Stellar 模式的冰山一角，它将有希望为我们揭示递归序数的更深刻结构。近期关于[[构造理论]]的研究为我们揭示了记号强度的部分来源，并将有可能指导我们创造出更加强大的记号。

以上我们讨论的都是可以被明显构造出来的递归记号，这是大数研究者最为关心的部分。然而在此之外，确实存在着一些更加强大的记号。在证明论的研究之中，自然地涌现出了一批非常强大的序数，称为[[证明论序数]]（Proof Theory Ordinal，PTO）。证明论序数是与公理系统相关联的，一个公理系统的强度越高，它的证明论序数就越大。长期以来，序数分析领域的专业数学家对证明论序数进行了深入的研究，得到许多重要的结果。我们猜想 <math>\mathrm{PTO}(\mathrm{Z}_{2})</math> 就达到了 BMS 极限的层次，<math>\mathrm{PTO}(\mathrm{Z}_{\omega})</math> 可能已经远远超越了目前所有递归记号的极限，而 <math>\mathrm{PTO}(\mathrm{ZFC})</math> 则更加遥不可及。1992 年，Laver 提出了 [[Laver Table|Laver 表]]。2001 年，Loader 提出了 [[Loader 数]]，这是一个增长率为 <math>\mathrm{PTO}(\mathrm{Z}_{\omega})</math>的记号。此外 Friedman 还提出了[[有限树序列]]、[[贪心团序列]]等，它们的增长率上界都已经达到较强系统的证明论序数的层次。

在一切递归函数之上的是非递归函数，它们的增长速度超越了一切的递归记号。1961年，Rado 在研究计算理论的时候定义了 [[忙碌海狸函数|Busy Beaver]]。它是基于 Turing 机的性质构建的，是一个重要的非递归函数。2013 年，Goucher 提出了 [[Ξ函数]]，这是一个增长率更高的非递归函数。而基于更加强大的超计算模型，我们可以构建一些增长率更高的不可计算函数。在所有这些记号之上的是 Rayo 于 2007 年提出的 [[Rayo函数|Rayo 数]]，它利用了一阶逻辑的不可描述性质，远远超越了之前的所有记号。

== 意义 ==
研究大数有什么意义？事实上，大数数学的发展就是人们对数这一概念的认识不断加深的过程。

我们回想一下原始社会中的文明，他们的数学水平几乎为零，仅仅是对数有着模糊的概念。若他们的语言中可能会有 10 个表示数字的单词，那么这种计数法所能表达的极限大概为 10。在这个数字范围之内的数是能够为原始人所把握的，而这也差不多是他们所能够直观地把握的极限。

语言确实会影响人的思维。如果一个东西是不能够被我们说出来的，那么它在我们的头脑中也同样是几乎是无法设想的。对于原始人来说，他们或许知道这个世界上确实存在着更大的数，但是他们对这些数的大小已经没有了具体的感知。对于那些更大的数，例如部落中的人口数量、森林里树木的数量、采摘回的果子的数量等等，他们只能够模糊地知道这些数非常巨大，但却无法知道这些数具体有多大。

随着文明的发展，更大的计数法被创造了出来，人们也能够理解一些更大的概念。或者说，正是对处理更大数字的迫切需要，催生了人们对于更优秀的计数法的发展。为了统计诸如城镇所拥有的耕地面积、交战军队所要携带的物资这样的数，更大的计数法被创造了出来。对于古希腊和古罗马来说，它们的计数系统可以表示几万到几十万的数字。后来随着进制计数法的逐渐普及，计数法的能力达到了数亿的量级，这已经足够古人理解生活中的所有大数了。

科学的发展要求人们认识和处理更大的数字，在这种情况下，传统的计数法日益显得捉襟见肘，阻碍了人们的思维。随着指数计数法的发展，人们逐渐解决了这一问题。也正是由于有了更加强大的计数法，我们才能够理解那些大得无法设想的数字，并能够通过对这些数字的处理进一步地发展科学。最终我们的成就是辉煌的：自然界中所能够达到的任何数字都被限制在了五层[[高德纳箭头#幂塔|指数塔]]之内，我们已经一劳永逸地表示出了实际世界中的所有大数。

但是，这显然不是我们的终点。尽管我们原则上已经得到了所有的自然数，我们也可以用指数塔表示出任意大的数，但除非我们能够构造出更加强大的表示法，那么我们永远也不可能从直观上认识到那些更大的数的存在。这正如如果只有进制计数法，就永远无法设想指数塔层次的大数一样，一旦我们发展了更加强大的计数法，我们立刻会觉得指数塔层次的大数小得可怜，而更高层次的大数也只有在此时才能够直观地展现在我们的面前。大数记号的发展让我们对于自然数体系的结构有了更深刻的认识。

正如 Saibian 所说：

<div style="word-wrap: break-word;text-wrap: pretty;color: var(--color-subtle);font-style: italic;width:Fit-content;padding:1rem;border-left:solid #00000030 5px;background-color:var(--color-surface-2)">大数使[[序数#超限序数|无穷大]]显得更大的作用远远超过无穷大使大数显得更小的作用。<ref>Saibian, S. One to Infinity: A Guide to the Finite. ''(M/OL)'', (alpha 2.0.0.0.8). https://sites.google.com/site/largenumbers.</ref></div>

诚然，我们早就知道无穷大远远大于任何有限的数，但是我们恐怕对此始终没有直观的认识。只有当我们真正明显地构造出那些难以设想的大数之后，我们才会认识到无穷大究竟大到了何种程度，我们也才能够真正了解自然数体系之内所蕴含的丰富结构。事实上对于任何一个有限的数来说，不仅仅是有无限多的自然数比它更大，甚至“几乎所有”的自然数都会比它更大，无论这个数自身已经大到了何种程度。大数为我们理解无穷的性质提供了一个直观的参考。

在近几十年的研究中，人们逐渐意识到了大数领域与集合论的密切联系。对集合论的研究极大地促进了大数领域的发展，我们也相信大数领域可以对数理逻辑等领域的研究进行反哺。大数领域与其他的数学体系有着千丝万缕的联系，对大数的研究也有助于我们进一步地理解数学体系中的其他部分。

[[证明论序数|证明论]]与[[SCG函数 & SSCG函数|图论]]等领域中为我们提供了大量增长极快的问题，解决这些问题需要发展更加强大的大数表示法。但或许大数数学的真正魅力并不在于对于其他问题的解决，而恰恰在于'''发现更大的大数'''这件事本身。借助理性的力量，我们在大数的世界之中不断地前进，一次又一次地挑战已知的极限。我们正在试图用我们渺小的头脑，去追寻那些整个宇宙都承载不了的数字。这是人类智慧的一场别开生面的冒险，它已经吸引了许多的数学爱好者参与其中。

== 相关亚文化 ==
以下是一些 googology 相关的亚文化。

=== 挑战葛立恒数 ===
作为大数界的“守门员”，Graham数利用简单的迭代规则创造出了一个在现实世界之中大得难以置信的数。这样一个数字的大小引起了人们的好奇，人们认识到了通常的十进制计数法和指数计数法也存在着表示的极限，在它们之上还有着更加强大的数字。Graham 数（以及一些其他的同样巨大的数字）的知名度不断地提高，而这也吸引了网络上的博主对其进行进一步的解释和宣传。一时间，“写出一个比 Graham 数更大的数字”（即“挑战 Graham 数”）仿佛成为了一个时尚的智力小游戏，吸引着无数人前来参与。

参与数学游戏对人的智力总归是一种锻炼，但是大多数跟风的参与者对大数仅仅有高中水平的认识，因此其想象力仅仅停留在各种自然界中存在的大数（宇宙中的原子数量/一天中一次彩票的概率等），以及最多达到指数塔层次的运算方法和迭代规则。仅仅依靠这些显然是不可能达到葛立恒数的，绝大多数挑战者因此铩羽而归。当然，也有一些挑战者感受到了这一问题的有趣之处，从而愿意对于大数数学有一些更深入的了解。

=== 伪数学 ===
对于伪数学更恰当的称呼应该是“虚构大数学”，它致力于创造出一些仅存在于想象之中的、不存在的大数。这并不是一个数学分支，因为它所讨论的并不是数学对象。伪数学的爱好者会创造出一系列的符号和概念，以此来试图说明一些非常大的数（典型的如所谓各种“绝对无穷”等）。当然，这些结论并不是严肃的数学，而只是一场想象力的狂欢而已。伪数学通常是以视频的形式来表现的，这些视频中充斥着眼花缭乱的特效，以试图表现伪数学世界的狂暴与杂乱无章。伪数学的创作没有任何限制，如果有的话，那么唯一的一条限制就是“怎么都行”。除此之外，伪数学还与其他的社区（如数字方块）有一定的联系。

=== 论战 ===
论战指的是战力比较。不同文学或者娱乐作品之中刻画了许多具有超凡力量的角色，如何比较这些角色之间战斗力的强弱便成为了一个困难的问题。一般来说，要想对一系列角色的战斗力进行比较，可以首先根据其破坏力划分量级，量级高者战斗力占优势。而如果是在统一量级之中实力非常接近的角色，则是借助一个（或者一系列）中间角色 B，通过比较 A > B, B > C 来间接论证 A > C。由于论战问题天然地与大数以及大序数（超越无穷的排序）、大基数（不同层次的无穷大）的问题相关，因此在论战的过程中，这些概念逐渐地开始为人所知。在有限的层面上，可以简单地通过破坏力来划分量级。战力的论证过程一旦上升到无穷，就需要数学的语言来进行进一步的阐述，但是这一部分目前尚没有十分统一的标准。例如可以设想某角色能够毁灭一个无限大的宇宙（单体宇宙），一个角色可以毁灭无限个无限大的宇宙（多元宇宙），一个角色可以毁灭无限个无限大的宇宙，而这里的每个宇宙中又包含了无限个宇宙，这样下去直至无穷（无限盒子），以此类推。当然，人的思维不能够直观地刻画无限，因此即便一个设定上全知全能的角色，其实力也总是以有限的形式表现出来的，这受限于作者本人的想象力。

论战社群非常庞大，且分布极为分散。由于论战社群兴趣的广泛性，它与其他亚文化群体的关联也非常紧密，如二次元动漫、欧美奇幻作品、玄幻小说等。不同的论战群体之间关注的问题以及讨论的方式也完全不同，因此要对论战社群进行一个完整的概括并不是容易的，并且事实上也很难找到能够被整个论战社群所承认的共识。

除了论战之外，还有“自创”设定的做法，即以文字或者小说的形式描述那些尽可能强大的概念。

=== 增量游戏 ===
放置/增量游戏是一种独特的游戏类型，这种游戏通过大量的点击等操作，来获取随时间增长的资源。其经典的设计模式是设计一种或多种随时间增长的资源，然后在增长的过程中可以利用这些资源来升级，以进一步提高资源的增长速度。有些游戏比较侧重玩法，这类游戏被称为放置类游戏。比较经典放置类游戏的有饼干点击（Cookie Clickern）、点击泰坦（Tap Titans）以及进化（Theresmore）等。更加广义的放置类游戏还包含一部分养成类型的游戏，近年来火热的抽卡手游有相当一部分都是广义的放置类游戏。

而有些游戏则去掉了所有其余的部分，而只保留了一个数值增长的核心，这样的游戏称为增量游戏。增量游戏通常是以单纯的文字模式呈现的，例如反物质维度（Antimatter dimensions）、序数增量（Ordinal Markup）等。相比于注重玩法的放置类游戏来说，增量游戏与大数数学的关系要更加密切一些。增量游戏是一个小众的门类，增量游戏的数值设计是不容易的，因为不论何种层次的增长，在一个合适的计数法之下总会被压平成线性的。换句话说，在这一尺度下新的增长模式实际上和最基础的加一又没什么区别了。为了突破这一限制，就要在玩法中引入新的机制，而为了保证可玩性，这一机制加入的时间和强度都需要进行精心设计。一些优秀的增量游戏可以达到很大的数值。

== 讨论 ==
虽然上述亚文化中所有人的目标都是对那些强大得难以想象的概念的追求，但是由于所选择的道路不同，其讨论方式以及风格也完全不同。

仅以严格性论之，数理逻辑等领域的专业数学家最强，其次是严肃的大数数学研究者，他们尽可能严格地使用严格的概念（尽管对于目前的大数数学来说，还不总是能够真正做到这一点）。再其次是论战爱好者，他们不严格地使用那些数学上的概念，通常并不能够理解其含义，有时也自创数学概念。最后是伪数学爱好者，他们使用那些并没有明确定义的概念。
而若以圈子规模来看，那么论战爱好者的人数要远远多于其余的所有人（当然，并非所有的论战爱好者都关心大数和无限的相关问题）。

由此可见，这一时期大数数学已经在国内形成了一个独具特色的亚文化群体。大数数学吸引了大量的爱好者参与其中，逐渐演变成了一场盛况空前的网络狂欢。
客观上来说，这极大地拓展了大数数学的影响力，使其从一个冷僻的数学分支变成了为许多人所了解的有趣问题。同时由于大数数学问题的趣味性和低门槛的特征，许多没有经受过专业的数学训练的人也可以在这一问题上以自己的方式进行探索和研究。这些人将自己探索得到的结果（即便可能是非常弱的结果）发布在网络上，而这又会吸引更多的人加入到这一问题的研究之中。

但是另一方面，大量爱好者的涌入使得中文互联网上本就散乱的大数数学的知识变得更加鱼龙混杂。大量低质、无意义甚至错误的内容充斥着整个社区，使得真正志于深入了解这一问题的爱好者几乎寸步难行。

目前在互联网上，有关于大数数学的低劣内容已经多到了令人发指的程度。许多人对于大数数学的认识（比如 Graham 数或者是 TREE(3)）是一知半解，甚至是完全错误的。这些错误的观念经过宣传之后在网络上获得了很高的知名度，反而是正确的观念由于其难度超过了普通人的理解能力而完全无人理睬。
许多流传于互联网上的信息是毫无价值的。大量由完全不了解大数数学的人创造的结构混乱、强度孱弱、定义残缺，甚至根本不能够被称为“数学内容”的记号几乎淹没了一切有价值的信息。
这种低质量的记号不仅无益于大数数学的发展，反而会加深对于大数数学的刻板印象，认为只是小孩子过家家的比大小游戏。同时这样的记号蒙蔽了真正有意义的递归结构，对它们进行了解不仅仅是白白地浪费时间，还有损于数学的品味，令有志于从事大数数学研究的爱好者误入歧途。

即使是在那些正确的信息之中，绝大多数也已经严重过时了。目前网络上流行的大数记号仍然为 Knuth 箭头、Conway 链、E# 记号以及 Bowers 数阵。
以上的记号之中除了 Knuth 箭头以及 Bowers 数阵的一部分（单行线性数阵）仍然作为大数数学的基础之外，其余的记号早就已经被当前的大数数学界淘汰了。这些记号已有二十年左右的历史，它们仍然是大数数学刚刚出现的时候提出的，其结构仍然带有着那个时代的粗糙痕迹，其强度也十分有限。
少部分“较新”的资料会提到 Bird 数阵，而这一数阵已经是十年前的成果了。而真正的“现代”记号（例如 Bashicu 矩阵），仅仅能够在寥寥可数的几份资料中得以一见而已。

近二十年以来，大数数学取得了长足的发展，涌现出了一大批丰富而又深刻的结果。然而在互联网上，近十年的成果几乎是对外界完全“封闭”了起来。

大数数学社区之外的人难以凭借着自己的力量找到真正有意义的资料，这一点即使是对于有志于学习大数数学的严肃爱好者来说也是如此。
尽管目前大数数学的研究者已经编写了一些较为深入的资料，但是除非已经预先知道相应的关键词，否则这些资料并不容易找到。并且即使找到了这些资料的一部分，可能也会因为它们不够完整和难度较高而放弃。
而真正最前沿的进展，只能够在一些非公开的网络平台（例如 QQ 群或者 discord）上才能找得到。

互联网的发展伴随的不仅仅是知识的流通，还有严重得多的垃圾信息膨胀。在垃圾信息的海洋之中，大数数学只有最表面的一些东西能够为人所知。而更深层次的内容则随着没有意义的垃圾信息一起，被埋葬在了冰冷的海底。
大数数学的问题不仅仅在于知识的传播，还在于相关社区内爱好者不恰当的浮躁心态。在互联网上，许多人完全不能够理解大数数学的内容，而仅仅是通过大数数学里的概念来炫耀自己在互联网平台上的优越感。

令人遗憾的是，许多人到最后逐渐演变成了只会堆叠名词的“名词党”，或者是只沉溺于自己世界中的“民科”。在他们眼中，“大数”仿佛成为了某种时尚的网络单品，成为了一种炫耀自己身份的标志。
有些人受到了伪数学社区和论战社区的影响，误将这些社区的讨论作为真正的大数数学、乃至于整个数学学科本身。
有些人在与大数数学无关的地方不合时宜地发表令人生厌的言论，破坏其他社区的网络环境，这反过来又加剧了人们对于大数数学以及其他相关社区的刻板印象。

但不论如何，当热潮退去之后，[[Googology 社区|总会有真正的大数爱好者留下来，成为该方向上较为严肃的研究者]]。

在 test_alpha0 和夏夜星空的 QQ 群之中大约聚集了几百名爱好者，其中比较活跃的大数研究者大约有几十人，这些人或许占据了国内为数不多的研究者的绝大多数。（作为比较，Discord 大数频道聚集了全世界的大数研究者，其人数大约有一两千人，而其中活跃的研究者可能有几百人。）
他们确实在这个方向上不断地进行更加深入的研究，努力拓宽人类的知识边界。有一些研究者系统性地整理了大数数学的基本知识和一些最新的进展，用较为现代的视角重新审视着整个理论。

特别是在最近几年，国内大数研究者的热情空前高涨，新记号的提出层出不穷，理想的强度极限不断刷新。但是这些记号并未充分经过时间的考验，目前看来仍然有待进一步的完善。
不论如何，相比于前些年的惨淡景象来说，如今的大数界已经算得上是“欣欣向荣”了。

虽然近年来大数数学在国内已经得到了更多的重视，但是时至今日，大数数学仍然是一个极其专门和小众的领域，国内对于大数领域的研究仍然是比较有限的。
并且由于理论发展得越来越艰深，现在的大数数学前沿领域几乎已经超过了普通数学爱好者的能力极限了。
目前国内致力于该方向的研究者几乎都是业余的数学爱好者，人数也仍然较少，长期以来缺乏有能力做出实质性进展的新研究者的加入，与国际大数数学社区的交流仍然不够密切。

总体上来说，国内的大数领域仍然需要进一步的发展。

大数数学的未来是什么样的？目前看来还很难说。或许随着网络的进一步普及和信息化时代的进一步发展，大数数学会为越来越多的人所了解。

大数数学涉及到一些非常艰深的数学，在任何时代热爱数学的人都是极少数。但它毕竟是一个足够有趣的问题，尽管当今时代的人们已经变得越来越浮躁了，它也总会触动一部分人的心灵。

当一切繁杂的声音都逐渐消退之后，剩下的人将会真正地为大数数学的发展做出贡献。我们也期待数学界（特别是数理逻辑相关的领域）能够对大数数学给予更多的重视。

== 逸事 ==
主词条：[[Googology 梗百科|梗百科]]

外网的 discord 上的大数社区对 googology 有 goofology 这种半开玩笑的写法。

无独有偶，在国内大数社区也有类似的梗。

果糕，即😰使用 UTF-8 编码再用 GBK 解码会变成"馃槹"，谐音"果糕"。后来它在国内大数社区发展出了独特的亚文化。具体参见[https://2023largenumber.fandom.com/zh/wiki/%F0%9F%98%B0/ 此处]。而因为果糕和 googol 发音相似，因此 googology 有时被称为果糕逻辑。

== 参考资料 ==

[[分类:重要概念]]
[[分类:入门]]

Googology 梗百科

2025-09-06T13:00:37Z

QWQ-bili：修订引用

本页面收录了一些中文 [[googology|ggg]] 圈的梗。

== 一、聊天记录类 ==

=== 1.定义没有，牛B吹爆 ===
[[文件:12345B67.jpg|截图日期：2024年8月9日|缩略图]]
起因是 3184 说了句“来点小小的链节余项震撼”，后被 hypcos 回复“定义没有，牛B吹爆”

因为其过于经典而被广为流传。

后来还衍生出了多种版本，如“1234，5B67”和“□□□□，□□□□”，“分析没有，牛B吹爆”等

=== 2.XX给你打了 ===
出自于涵对 hypcos 的回复“坦克给你打了”。
[[文件:Tank.jpg|缩略图]]
其中“坦克”指的是 [[LVO]]，这个名词来源于文件《大数级别段位》（一个数字量级表）中的“掌控者坦克”。另一个较为出名的是“邢天战甲”，被用于指代 [[BO]]。

这个梗中的“坦克”可以被换成任意词，被用于调侃性地表达两个事物间的比较。

此外，受这段聊天记录影响，有一些人在讨论部分内容时也常常使用“我倾向于”表达自己的观点。

详细信息可以参考B站用户 3183丶4139 的[https://b23.tv/ULKDxxw 这期视频]。

== 二、错字类 ==

=== 1.果糕 ===
果糕是馃槹的谐音版，馃槹是 emoji 表情😰按 UTF-8 编码后用 GBK 解码的结果。

具体可以见[https://2023largenumber.fandom.com/zh/wiki/%F0%9F%98%B0#articleComments/ 此处]。

=== 2.扽西 ===
最早是 PCF 的错字，将“分析”打成了扽西，后来逐渐演变成了一个梗，用于代指不严谨的分析。

=== 3.其他错字 ===
还有一些错字也比较经典，如“狄安娜”指电脑，“周记”指手机，“全业务额是”是“确实”，在此不一一列举。
[[文件:2025-08-11 狄安娜的考验.png|缩略图|疑似对外国友人有点高难度了（对中国人也是）]]
详细可以参考[https://docs.qq.com/sheet/DVnlZSENqbm1CU3FQ?u=7b7ca06006c34e6b84a6bbcc0ac26715&tab=000001 错字辞典]，它较为详细地记载了一些错字。

Laver Table

2025-09-06T02:40:00Z

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'''Laver 表'''，是一种无限族的原群，它们产生了一个可能增长极快的函数。它们由理查德·拉弗（Richard Laver）于 1992 年首次定义。<ref>Laver, R. (1992). On the Algebra of Elementary Embeddings of a Rank into Itself. [https://arxiv.org/abs/math/9204204 arXiv:math/9204204] '''[math.LO]'''. </ref>

=== 定义 ===
Laver 表基于以下定理：对于每个<math>n\geq0</math>，在[[序数#有限序数|有限序数]]集 <math>\{1,\cdots,2^n\}</math> 上存在唯一的二元运算 <math>\star_n</math>，<ref>Philippe, B. (2018). Laver tables and combinatorics. ''(EB/OL)''. Available at: https://hal.science/hal-01883830/file/Laver-Tables.pdf</ref>满足：

\begin{eqnarray*}a \star_n 0 & = & 0 \\a \star_n 1 & = & (a+1) \mod 2^n \\a \star_n i & = & (a \star_n (i-1)) \star_n (a \star_n 1) \ (i \neq 0,1)\end{eqnarray*}

Laver 表 <math>A_n</math> 定义为唯一的取值为 <math>a\ \star_n\ b</math> 的 <math>2^n\times2^n</math> 表。Laver 表可以用此<ref>n-nekoyama (n.d.). Laver table - レイバーのテーブル. ''(EB/OL)''. Available at: https://n-nekoyama.github.io/googology/laver_table/</ref>进行计算。

注意这一定理仅适用于 2 的[[高德纳箭头#乘方|幂]]。假如我们考虑的二元运算作用于一般的 <math>\{1,\cdots,a\}</math> 上，其中 <math>a\neq 2^n</math>，则这样的二元运算 <math>\star_n</math> 将不是存在且唯一的。

我们定义函数 <math>a\mapsto1\star_na</math> 的周期为 p(n)。

定义 q(n) 为函数 p(n) 的“伪逆”，即 <math>q(n)=\min\{N|p(N)\geq2^n\}</math>。

==== 强度 ====
p(n) 的前几个值为1, 1, 2, 4, 4, 8, 8, 8, 8, 16, 16, 16, 16, …，<ref>A098820 - OEIS. ''(EB/OL), OEIS''. Available at: https://oeis.org/A098820</ref>这是一个增长缓慢的函数。

p 在 [[ZFC公理体系|ZFC]]+存在 rank-into-rank 基数（或 ZFC+I3）公理系统中被证明是发散的。但遗憾的是，后者这一公理过于强大，以至于少数专家对其系统的相容性存疑。由于 p 的发散性尚未通过其他方式证明，这仍是一个未解问题。用 [[googology]] 更熟悉（但是并不严格）的说法，我们目前认为 q(n) 的增长率的上界为 [[证明论序数|PTO(ZFC+I3)]]。

q 是一个快速增长的函数，其全域性当且仅当 p 发散。q(n) 的前几个值为 0, 2, 3, 5, 9。尽管 n≥5 时 q(n) 的存在性尚未被确认，但在上述公理假设下，Randall Dougherty 证明，在[[快速增长层级]]结构的一个稍作修改的版本中，<math>q^n(1)>f_{\omega+1}(\lfloor\log_3n\rfloor-1)</math>，且 <math>q(5) > f_9 (f_8 (f_8(254)))</math>。<ref>Dougherty, R. (1992). Critical points in an algebra of elementary embeddings. [https://arxiv.org/abs/math/9205202 arXiv:math/9205202] '''[math.LO]'''.</ref>Dougherty 对证明更优下界的可能性表示悲观，目前也没有更严格的上界已知。Laver 表是[[序数#递归序数|可计算的]]，因此 q(n)在较小时会被[[忙碌海狸函数]] Σ(n) 超越。

Patrick Dehornoy 提供了一种填充 Laver 表的简单算法。<ref name=":0">Dehornoy, Patrick. [https://web.archive.org/web/20230429003832/https://www.lmno.cnrs.fr/archives/dehornoy/Talks/Dyz.pdf Laver Tables]</ref>然而，每个表格的大小以及 <math>\star</math> 运算所定义的循环群的规模都呈指数级增长，因此这目前是一个NP问题。

q(6) 的预期规模非常大<ref name=":0">Dehornoy, Patrick. [https://web.archive.org/web/20230429003832/https://www.lmno.cnrs.fr/archives/dehornoy/Talks/Dyz.pdf Laver Tables]</ref>，但除了“证明可计算函数全域所需的集合论强度”外，没有给出其他理由或证明。然而，一个可计算函数f并不需要超过所有在已知需要证明该函数全域的集合论中可证明全域的可计算函数。
[[文件:Laver6_new_PNG.png|缩略图|第六个 Laver 表的灰度图]]

==== 解释 ====
对于[[序数#极限序数|极限序数]] <math>\lambda</math>，设 <math>\mathcal{E}_\lambda</math> 为所有[[初等嵌入]] <math>V_\lambda \mapsto V_\lambda</math> 的集合。对 <math>j,k \in \mathcal{E}_\lambda</math>，我们定义运算符 <math>j\cdot k</math>（或记为 <math>jk</math>）如下：

<math>j \cdot k = \bigcup_{\alpha < \lambda} j(k \cap V_\alpha)</math>

此处，<math>k \cap V_\alpha</math> 表示 <math>k</math> 在集合 <math>\{x \in V_\alpha \mid (x,k(x)) \in V_\alpha\}</math> 上的限制。虽然 <math>k</math> 本身不属于 <math>j</math> 的[[ZFC公理体系#定义域|定义域]] <math>V_\lambda</math>，但 <math>k \cap V_\alpha</math> 是它的元素。这一操作可理解为“对逐渐接近 <math>V_\lambda</math> 的 <math>k</math> 应用 <math>j</math>”。该运算符满足性质 <math>j(kl) = (jk)(jl)</math>，此性质被称为左自分布性（left-selfdistributivity）。已知 Laver 表与通过临界点关联到 <math>\mathcal{E}_\lambda</math> 的原群同构，因此与[[大基数公理]]密切相关。

=== 取值 ===

==== Laver 表 ====
以下展示了前 6 个 Laver 表。<ref name=":0" />
<div style="text-wrap: nowrap;">
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|+<math>\star_0</math> 的 Laver 表
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|+<math>\star_2</math> 的 Laver 表
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|+<math>\star_3</math> 的 Laver 表
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</div>
==== q 函数 ====
事实上 <math>p(n)</math> 是一个增长速度非常缓慢的函数。

我们有

* <math>q(0) = 0</math>
* <math>q(1) = 2</math>
* <math>q(2)=3</math>
* <math>q(3)=5</math>
* <math>q(4)=9</math>
* <math>q(5) > f_9 (f_8 (f_8(254)))</math>，其中这里的 [[增长层级#快速增长层级|FGH]] 改版定义为 <math>f_{\alpha+1}(n)=f_\alpha^{n+1}(n)</math>

== 参考资料 ==
{{默认排序:相关问题}}
[[分类:记号]]
<references />
[[分类:集合论相关]]

文件:Laver6 new PNG.png

2025-09-06T02:25:22Z

QWQ-bili：

CKO

2025-08-30T10:51:28Z

QWQ-bili：

'''CKO（Church-Kleene Ordinal）'''，是[[序数#递归序数|可数递归序数]]的上确界。

=== 定义 ===
Church-Kleene 序数，记作 <math>\omega_1^{\rm CK}</math>，是可计算序数（computable ordinals）的上确界。具体来说，它是在可计算[[良序]]（computable well-orderings）的序型（order types）集合中的最小不可数上界。

==== 形式化定义 ====
设 <math>\mathrm{O}</math> 是所有可计算良序的序型构成的集合。即，若 <math>\prec</math> 是一个可计算关系（存在一个[[忙碌海狸函数#图灵机|图灵机]]可以判定对于任意的 <math>x,y</math>，是否有 <math>x\prec y</math>），且 <math>(A,\prec)</math> 是一个[[良序#良序集|良序集]]（well-ordered set），其中 <math>A\subseteq\mathrm{N}</math>，则该良序的序型 <math>\operatorname{otype}(A,\prec)\in\mathrm{O}</math>。那么，

<math>\omega_1^{\rm CK}=\sup\{\operatorname{otype}(A,\prec):(A,\prec)\text{ 是可计算良序}\}</math>

=== 性质 ===
不可递归枚举性：不存在一个图灵机可以枚举出所有小于 <math>\omega_1^{\rm CK}</math> 的可计算序数。换句话说，集合 <math>\{\alpha<\omega_1^{\rm CK}:\alpha\text{ 是可计算序数}\}</math> 不是递归可枚举的。这是因为如果存在这样的图灵机，我们可以利用它构造出一个更大的可计算序数，从而与 <math>\omega_1^{\rm CK}</math> 是可计算序数的上确界这一性质矛盾。

不可超递归性：<math>\omega_1^{\rm CK}</math> 本身不是可计算序数。因为如果 <math>\omega_1^{\rm CK}</math> 是可计算的，那么我们可以构造出一个可计算良序，其序型大于 <math>\omega_1^{\rm CK}</math>（通过在已有的可计算良序基础上进行适当的扩展），这与 <math>\omega_1^{\rm CK}</math> 的定义矛盾。

在可计算分析中，<math>\omega_1^{\rm CK}</math> 是超穷归纳原理（transfinite induction）在可计算结构上能够有效应用的最大序数。对于任何小于 <math>\omega_1^{\rm CK}</math> 的序数 <math>\alpha</math>，我们可以在可计算的意义下对序型为 <math>\alpha</math> 的良序进行归纳。但对于 <math>\omega_1^{\rm CK}</math> 本身，不存在这样的可计算归纳过程。

<math>\omega_1^{\rm CK}</math> 与算术层次（arithmetic hierarchy）有着密切的联系。可计算序数可以看作是在算术可定义性框架内能够构造和研究的序数。<math>\omega_1^{\rm CK}</math>的存在表明，在算术可定义性的范围内，序数的研究有一个自然的界限。具体来说，<math>\omega_1^{\rm CK}</math> 是 <math>\Delta_1^1</math> 完备的，这意味着它是所有 <math>\Delta_1^1</math> 集合中序型最大的元素（在序数的序关系下），并且任何 <math>\Delta_1^1</math> 集合的序型都小于 <math>\omega_1^{\rm CK}</math>。

==== 可计算函数 ====
存在某种算法（如图灵机、λ演算、递归函数等）能在有限步骤内计算出结果的函数。所有可计算函数的集合构成“可计算域”。

Church-Kleene 序数是递归序数的“顶”，但本身不属于递归序数：

* 递归序数是“可构造”的：通过递归函数能定义其良序关系，因此它们与可计算性直接相关（可被算法部分描述）。
* <math>\omega_1^{\rm CK}</math> 是递归序数的最小上界，但它本身不可计算：无法用递归函数完全定义其[[良序]]。

==== 不可计算函数 ====
不存在任何算法能在有限步骤内计算其结果的函数。典型例子是停机问题判定函数（无法通过算法判断任意程序是否会停止）。

==== 递归函数 ====
递归函数是计算理论中一类通过规则构造的函数，分为两类：

* 原始递归函数：由初始函数（零函数、后继函数、投影函数）通过“组合”和“原始递归”运算构造的函数。所有原始递归函数都是可计算的，但覆盖范围有限（如阿克曼函数虽可计算，却非原始递归）。
* 一般递归函数：在原始递归函数基础上引入“最小数算子（μ算子）”，允许通过“搜索最小自然数满足条件”的方式定义函数。一般递归函数与图灵可计算函数等价，即所有一般递归函数都是可计算的，且所有可计算函数都可表示为一般递归函数。因此，可计算函数等价于一般递归函数（在算法等价性下）。

=== 历史背景 ===
Church-Kleene 序数得名于数学家 Alonzo Church 和 Stephen Cole Kleene。他们在 20 世纪 30 年代和 40 年代对递归函数理论和可计算性进行了深入研究，提出了许多重要的概念和结果，其中包括可计算序数和 Kleene 的 O 记号系统。<math>\omega_1^{\rm CK}</math> 的概念为递归理论和可计算分析提供了一个重要的界限和基准，使得研究人员能够更清晰地划分可计算和不可计算的对象在序数结构中的位置。

[[分类:集合论相关]]
[[分类:序数]]

ACO

2025-08-19T19:03:40Z

QWQ-bili：修订公式及排版

ACO（Ackerman's Ordinal，阿克曼序数），是[[Veblen函数#有限元 Veblen 函数|三元 Veblen 函数]]的极限。
{| class="wikitable"
![[序数记号]]
!表达式
|-
|[[Veblen函数|Veblen 函数]]
|<math>\varphi(1,0,0,0)</math>
|-
|[[OCF#BOCF|BOCF]]
|<math>\psi(\Omega^{\Omega^2})</math>
|-
|[[OCF#MOCF|MOCF]]
|<math>\psi(\Omega^{\Omega^2})</math>
|-
|[[BMS]]
|<math>(0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)</math>
|-
|[[HPrSS]]
|<math>1,3,5,7,7</math>
|-
|[[0-Y]]
|<math>1,3,5,7,7</math>
|-
|[[Y序列|1-Y]]
|<math>1,2,4,6,8,8</math>
|-
|[[PSS Hydra]]
|<math>p1(p2(p2(p2+p2)))</math>
|-
|[[Weak Veblen 函数|weak Veblen 函数]]
|$\varphi(1@(1,0,0))$
|-
|[[Dropping#M 记号|M 记号]]
|<math>p(p(M+p(M+p(M)+p(M))))</math>
|}

=== 性质 ===
证明论序数：<math>\rm p_1(\Sigma_1^1-TDC_0)</math>

极限在此处的记号：[[Veblen函数#二元 Veblen 函数|三元 Veblen 函数]]

巧合的是，如果使用攀爬法将[[阿克曼函数]]引入序数运算，得到的极限正好是 ACO。
[[分类:序数]]

高德纳箭头

2025-08-19T18:48:50Z

QWQ-bili：增添内容、引用、锚点，修复诡谲排版bug，修订错词漏词，整理公式

'''高德纳箭头（Knuth's arrow notation，亦称"上箭头记号"）'''，一种满足'''右结合律'''的二元运算。它涉及对运算的递归。<ref>Guy, R. K., & Selfridge, J. L. (1973). The Nesting and Roosting Habits of the Laddered Parenthesis. ''Amer. Math. Monthly'', '''80''', 868-876.</ref>

== 定义 ==
高德纳箭头由如下公式递归定义：
* <math>a \uparrow b = a^{b}</math>
* <math>a \uparrow^{c} 0 = 1</math>
* <math>a \uparrow^{c+1} (b+1) = a \uparrow^{c} ( a \uparrow^{c+1} b)</math>

其中，<math>a,c</math> 均为'''正整数，'''<math>b</math> 为'''自然数'''，<math>a \uparrow^{c} b = a\ \underbrace{ \uparrow\uparrow\cdots\uparrow }_{c}\ b</math>。

在计算高德纳箭头时，如无括号，按照从右往左的顺序计算，即：

<math>a \uparrow^{m} b\uparrow^{n} c=a \uparrow^{m} (b\uparrow^{n} c)</math>

若将高德纳箭头的右结合律更替为左结合律，其余定义不变，将得到[[下箭号表示法|下箭头记号]]。

== 性质 ==
高德纳箭头有如下性质：

==== 展开 ====
<math>n \uparrow^{k} m = \underbrace{n \uparrow^{k-1} n \uparrow^{k-1} \cdots \uparrow^{k-1} n }_{\text{m个n}}</math>

==== 恒等律 ====

* <math>2 \uparrow^{c+1} 2 = 2\uparrow^c2=.. .=2\uparrow2=4</math>
* <math>a \uparrow^{c+1} 1 = a \uparrow^{c}a\uparrow^{c+1}0 =a\uparrow^{c} 1=...=a\uparrow1=a</math>
* <math>1 \uparrow^{c+1} b+1 = 1\uparrow^c(1\uparrow^{c+1} b)=1\uparrow^c(1\uparrow^c(\cdots\uparrow^c(1\uparrow^{c}1)))=1\uparrow^{c} 1=1</math>

==== 增长率 ====
高德纳箭头的 [[增长层级#快速增长层级|FGH]] 增长率为 <math>\omega</math>，特别地，<math>a \uparrow^{c} b \approx f_{c+1}(b) </math>。

该推论可通过审视以下两组式子得到：

* <math>a \uparrow^{c+1} (b+1) = a \uparrow^{c} ( a \uparrow^{c+1} b)</math>
* <math>f_{c+1}(b+1)=f_{c}^{b+1}(b+1)=f_{c}(f_{c}^{b}(b+1))</math>

==== 超运算 ====
高德纳箭头是目前已被广泛认可、基本采用的[[超运算|超运算记号]]。

若定义后继运算的运算等级为 0，那么 n 个高德纳箭头的运算等级为 n+2。

== 历史 ==
高德纳箭头是由 Donald Ervin Knuth 在 1976 年发明的大数记号<ref>Knuth, D. E. (1976). Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness, Advances in Our Ability to Compute are Bringing Us Substantially Closer to Ultimate Limitations. ''Science'', 194, pp. 1235--1242. https://cse-robotics.engr.tamu.edu/dshell/cs625/finiteness.pdf</ref>，曾在 1977 年被 Martin Gardner 用于递归地定义[[葛立恒数]]。<ref>Gardner, M. (1977). Mathematical games[J]. ''Scientific American'', 1977, 237(3): 28-38. https://raw.githubusercontent.com/AllenDowney/ModSimPy/master/papers/scientific_american_nov_77.pdf</ref>

而<math>\mathrm{Ronald\ Graham}</math>本人并未在论文中使用高德纳箭头或超运算来估计 [[葛立恒数#葛立恒问题|葛立恒问题]] 的上界，而是使用了类似 [[阿克曼函数]] 的递归函数 <math>F(m,n)</math>，和分别近似为 <math>2 \uparrow\uparrow n,2 \uparrow\uparrow\uparrow n</math> 的函数 <math>\rm TOWER(n),WOW(n)</math>。<ref>Graham, R. L., & Rothschild, B. L. (1971). Ramsey’s theorem for $n$-parameter sets[J]. ''Transactions of the American Mathematical Society'', 159: 257-292. https://www.ams.org/journals/tran/1971-159-00/S0002-9947-1971-0284352-8/S0002-9947-1971-0284352-8.pdf
</ref><ref>Graham, R. L., & Rothschild, B. L., & Spencer, J. H. (1991). Ramsey theory: Vol. 20[M]. ''John Wiley & Sons''. https://people.dm.unipi.it/dinasso/ULTRABIBLIO/Graham_Rothschild_Spencer%20-%20Ramsey%20Theory%20(2nd%20edition).pdf</ref>

== 构造过程 ==
高德纳箭头本质上是一种高级运算“折叠”低级运算的记号。

现在让我们回到数学的起点，并考察各种级别的运算是如何逐渐地建立起来的。这将进一步地启发我们构造增长率更快的计数法。

==== 后继 ====

为了使某数 n 变大，最简单的运算应该就是“数出 n 这个数后面的一个数”。我们将这种运算称为'''“后继”'''。后继是最基础的运算，表现为 n+1.

==== 加法 ====

我们经常需要表示一种“从 n 开始，取 m 次后继”这样的运算。写得次数太多了之后，我们就引入了一个新的运算符 +，将这样的运算称为'''“加法”'''，表示为 n+m.

在 n+m 中，运算 + 折叠了对 n 的 m 次后继运算，即
<math>\ n+m=n+\underbrace{1+1+\cdots+1}_{\text{m个1}}.</math>

==== 乘法 ====

还能不能更快些呢？假设我们已经通过某些操作得到了 n，那么要想最快地得到一些更大的数，我们就要将 n 加上自身，并将这个过程重复若干次。我们引入一个新的运算符 <math>\times</math>，将这样的运算称为'''“乘法”'''，表示为 <math>n\times m</math>.

在 <math>n\times m</math> 中，运算 <math>\times</math> 折叠了对 n 的 m 次 + 运算，即
<math>\ n\times m=\underbrace{n+n+\cdots+n}_{\text{m个n}}.</math>

==== 乘方 ====

对乘法重复若干次，我们就可以得到一个增长更快的运算。仿照之前的过程，我们进一步引入一个新的运算符 <math>\uparrow</math>，将这一运算称为'''“乘方”'''，表示为 <math>n\uparrow m</math> 或 <math>n^{m}</math>.

在 <math>n^{m}</math> ( <math>n\uparrow m</math> ) 中，运算 <math>\uparrow</math> 折叠了对 n 的 m 次 <math>\times</math> 运算，即

<math>\ n^{m}=\underbrace{n\times n\times \cdots \times n}_{\text{m个n}}.</math>

==== 幂塔 ====

我们已经看到了上述各个运算的推广过程：最简单的运算是后继；将后继重复若干次可以得到一个增长更快的运算，称为加法；将加法重复若干次可以再次得到一个增长更快的运算，称为乘法；进一步地将乘法重复若干次，我们又可以得到一个增长速度更快的运算，称为乘方。这里面的每一个运算的增长速度都远远超过了此前的所有运算。

现在如果我们想要得到一个增长速度超越乘方的运算，那么应该如何做呢？答案已经很简单了：我们只需要将乘方运算（单箭头运算 <math>\uparrow </math>）重复若干次，并将其定义为一个新的运算'''“幂塔”'''即可。我们将这一运算的运算符用双箭头 <math>\uparrow \uparrow</math> 来进行表示。

在 <math>{}^m\!n</math> ( <math>n\uparrow \uparrow m</math> ) 中，运算 <math>\uparrow \uparrow</math> 折叠了对 n 的 m 次 <math>\uparrow</math> 运算，即

<math>\ n\uparrow \uparrow m=\underbrace{n\uparrow n\uparrow \cdots \uparrow n}_{\text{m个n}}=\underbrace{n^{n^{n^{\cdots}}}}_{\text{m个n}}.</math> （注意是右结合）

==== 高德纳箭头 ====

仿照上述定义，以此类推。

最终，我们得到了高德纳箭头的展开定义：

在 <math>n \uparrow^{k} m</math> 中，运算 <math>\uparrow^{k}</math> 折叠了对 n 的 m 次 <math>\uparrow^{k-1}</math> 运算，即

<math>\ n \uparrow^{k} m = \underbrace{n \uparrow^{k-1} n \uparrow^{k-1} \cdots \uparrow^{k-1} n }_{\text{m个n}}.</math>
== 计算示例 ==

<math>\begin{align} 3 \uparrow\uparrow\uparrow 3\ & = 3\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow 3 \\ & = 3\uparrow\uparrow (3\uparrow 3\uparrow 3) \\ & = 3\uparrow\uparrow(3\uparrow27) \\ & = 3\uparrow\uparrow 7625597484987 \\ & = \underbrace{3^{3^{3^{\cdots}}}}_{7625597484987} \end{align}</math>

<math>\begin{align} 3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 4\ & = 3\uparrow\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\uparrow3 \\ & = 3\uparrow\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\uparrow\underbrace{3^{3^{3^{\cdots}}}}_{7625597484987} \\ & = 3\uparrow\uparrow\uparrow(\ \underbrace{3\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow3}_{\underbrace{3^{3^{3^{\cdots}}}}_{7625597484987}}\ ) \\ & = \underbrace{3\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow3}_{\underbrace{3\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow3}_{\underbrace{3^{3^{3^{\cdots}}}}_{7625597484987}}}\end{align}</math>

== 参考资料 ==
<references />
[[分类:记号]]
[[分类:入门]]

-1-Y

2025-08-19T17:23:50Z

QWQ-bili：添加枚举、修正排版、增添引用

'''-1-Y''' 是一种 [[Beklemishev's Worm|Worm]] 型[[序数记号]]。−1−Y 等价于 [[ω-Y#n−Y序列|1 row Y]]。

== 定义 ==

=== 合法式 ===
一个合法的 -1-Y 表达式是形如 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{n})</math>，且满足 <math>n,s_{1},s_{2},\cdots,s_{n}\in\mathbb{N},\quad s_1=1</math> 的序列（特别地，空序列 <math>()</math> 是合法的 -1-Y 表达式）。

'''例：'''

* <math>(1,3,3)</math> 是一个合法的 -1-Y 表达式
* <math>(\Omega,1,2)</math> 不是一个合法的 -1-Y 表达式，因为 <math>\Omega\notin\mathbb{N}</math>
* <math>(1,9)</math> 是一个合法的 -1-Y 表达式

=== 结构 ===
合法的 -1-Y 表达式可以分为零表达式、后继表达式、极限表达式，其定义如下：

* '''零表达式'''：满足 <math>n=0</math> 的表达式，即空序列 <math>()</math>
* '''后继表达式'''：满足 <math>n>0</math> 且 <math>s_{n}=1</math> 的表达式，例如 <math>(1,3,1)</math>
* '''极限表达式'''：满足 <math>n>0</math> 且 <math>s_{n}>1</math> 的表达式，例如 <math>(1,3,2)</math>

一个 -1-Y 的'''极限表达式'''由以下四个部分组成：

# 末项（Last Term）
# 坏部（Bad Part）
# 坏根（Bad Root）
# 好部（Good Part）
'''末项'''：对于最大下标为 <math>n</math> 的 -1-Y 表达式 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{n})</math>，其末项 <math>L=s_{n}</math>，即 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,L)</math>

'''坏根：'''对于 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{n})|L=s_{n}</math>，令 <math>k=\max\{1 \leq k < n|s_{k}<s_{n}\}</math>，那么坏根定义为 <math>r=s_{k}</math>，即 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,r,\cdots,L)</math>。通俗的说，是最靠右的小于末项的项。因为极限表达式满足 <math>L=s_n>1</math> 且 <math>s_1=1</math>，所以坏根总是存在的。

'''坏部：'''对于 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{k},\cdots,s_{n})|L=s_{n},r=s_{k}</math>，坏部定义为 <math>B=(s_{k+1},s_{k+1},\cdots,s_{n}-1)</math>。通俗地说，是坏根（不含）到末项（含）的部分．坏部最短为 1 项。

'''好部：'''对于 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{k},\cdots,s_{n})|L=s_{n},r=s_{k}</math>，好部定义为 <math>G=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{k-1})</math>，即 <math>S=(G,r,B)</math>。通俗地说，好部是坏部之前的部分。好部可以为空。

=== 展开 ===
对于一个合法的 -1-Y 表达式 <math>S=(s_1,s_2,\ldots,s_{n-1},s_n)</math>，其展开规则如下：

* 如果 <math>S</math> 是零表达式，则 <math>S</math> 代表序数 <math>0</math>
* 如果 <math>S</math> 是后继表达式，则其前驱是 <math>S'=(s_1,s_2,\ldots,s_{n-1})</math>
* 如果 <math>S</math> 是极限表达式，则根据前文定义确定好部、坏部，得到 <math>S=(G,r,B)</math>，则其基本列的第 <math>m</math> 项定义为 <math>S[m]=(G,r,\underbrace{B,B,B,\cdots,B}_{m})</math>，其中 <math>m\in\mathbb{N}</math>。或者说 <math>S</math> 的'''展开式'''为 <math>(G,r,\underbrace{B,B,B,\cdots}_{\omega})</math>。

举例：

<math>S=({\color{red}1},3,3,{\color{green}3})</math>

末项是标绿的 <math>{\color{green}3}</math>，坏根是从右往左数第一个比 <math>{\color{green}3}</math> 小的数，也就是标红色的 <math>{\color{red}1}</math>。

接下来，根据坏部的定义可以知道坏部是 <math>(3,3,3)</math>。

坏根之前的好部不用管，末项 -1：

<math>S=({\color{red}1},3,3,{\color{green}2})</math>

复制坏部：

<math>S=({\color{red}1},3,3,{\color{green}2},3,3,{\color{green}2},\cdots)</math>

我们就成功地展开了一个 -1-Y 表达式。

== 与 PrSS 的对应 ==
合法 [[PrSS]] 表达式一定是一个合法 -1-Y 表达式，但合法 -1-Y 表达式不一定是合法 PrSS 表达式。两者的极限表达式不同。若将-1-Y中差大于 1 的相邻项之间被省略的连续的项补回去，那么它将变回 PrSS。我们有

<math>-1-\mathrm{Y}(1)=\mathrm{PrSS}(1)=1</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,1)=\mathrm{PrSS}(1,1)=2</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,2)=\mathrm{PrSS}(1,2)=\omega </math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,2,1)=\mathrm{PrSS}(1,2,1)=\omega +1</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,2,1,2)=\mathrm{PrSS}(1,2,1,2)=\omega \cdot 2</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,2,2)=\mathrm{PrSS}(1,2,2)=\omega ^{2}</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,3)=\mathrm{PrSS}(1,2,3)=\omega ^{\omega }</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,3,1)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,1)=\omega ^{\omega }+1</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,3,1,1)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,1,1)=\omega ^{\omega }+2</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,3,1,2)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,1,2)=\omega ^{\omega }+\omega </math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,3,1,2,1,2)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,1,2,1,2)=\omega ^{\omega }+\omega \cdot 2</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,3,1,2,2)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,1,2,2)=\omega ^{\omega }+\omega ^{2}</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,3,1,3)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,1,2,3)=\omega ^{\omega }\cdot 2</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,3,2)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,2)=\omega ^{\omega +1}</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,3,2,1,3)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,2,1,2,3)=\omega ^{\omega +1}+\omega ^{\omega }</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,3,2,1,3,2)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,2,1,2,3,2)=\omega ^{\omega +1}\cdot 2</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,3,2,2)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,2,2)=\omega ^{\omega +2}</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,3,2,3)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,2,3)=\omega ^{\omega \cdot 2}</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,3,2,3,2)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,2,3,2)=\omega ^{\omega \cdot 2+1}</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,3,2,3,2,3)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,2,3,2,3)=\omega ^{\omega \cdot 3}</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,3,2,3,2,3,2)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,2,3,2,3,2)=\omega ^{\omega \cdot 3+1}</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,3,3)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,3)=\omega ^{\omega ^{2}}</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,3,3,2)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,3,2)=\omega ^{\omega ^{2}+1}</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,3,3,2,3)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,3,2,3)=\omega ^{\omega ^{2}+\omega }</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,3,3,2,3,2,3)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,3,2,3,2,3)=\omega ^{\omega ^{2}+\omega \cdot 2}</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,3,3,2,3,2,3,2)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,3,2,3,2,3,2)=\omega ^{\omega ^{2}+\omega \cdot 2+1}</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,3,3,2,3,3)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,3,2,3,3)=\omega ^{\omega ^{2}\cdot 2}</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,3,3,2,3,3,2)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,3,2,3,3,2)=\omega ^{\omega ^{2}\cdot 2+1}</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,3,3,2,3,3,2,3,3,2)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,3,2,3,3,2,3,3)=\omega ^{\omega ^{2}\cdot 3+1}</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,3,3,3)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,3,3)=\omega ^{\omega ^{3}}</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,4)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,4)=\omega ^{\omega ^{\omega }}</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,4,2)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,4,2)=\omega ^{\omega ^{\omega }+1}</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,4,2,3)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,4,2,3)=\omega ^{\omega ^{\omega }+\omega }</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,4,2,3,2,3)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,4,2,3,2,3)=\omega ^{\omega ^{\omega }+\omega \cdot 2}</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,4,2,3,3)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,4,2,3,3)=\omega ^{\omega ^{\omega }+\omega ^{2}}</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,4,2,4)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,4,2,3,4)=\omega ^{\omega ^{\omega }\cdot 2}</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,4,2,4,2)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,4,2,3,4,2)=\omega ^{\omega ^{\omega }\cdot 2+1}</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,4,2,4,2,4,2)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,4,2,3,4)=\omega ^{\omega ^{\omega }\cdot 3+1}</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,4,3)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,4,3)=\omega ^{\omega ^{\omega +1}}</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,4,3,2)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,4,3,2)=\omega ^{\omega ^{\omega +1}+1}</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,4,3,2,3)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,4,3,2,3)=\omega ^{\omega ^{\omega +1}+\omega }</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,4,3,2,4)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,4,3,2,3,4)=\omega ^{\omega ^{\omega +1}+\omega ^{\omega }}</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,4,3,2,4,2,4)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,4,3,2,3,4,2,3,4)=\omega ^{\omega ^{\omega +1}+\omega ^{\omega }\cdot 2}</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,4,3,2,4,3)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,4,3,2,3,4,3)=\omega ^{\omega ^{\omega +1}\cdot 2}</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,4,3,2,4,3,2)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,4,3,2,3,4,3,2)=\omega ^{\omega ^{\omega +1}\cdot 2+1}</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,4,3,2,4,3,2,4,3,2)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,4,3,2,3,4,3,2,3,4,3,2)=\omega ^{\omega ^{\omega +1}\cdot 3+1}</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,4,3,3)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,4,3,3)=\omega ^{\omega ^{\omega +2}}</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,4,3,3,3)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,4,3,3,3)=\omega ^{\omega ^{\omega +3}}</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,4,3,4)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,4,3,4)=\omega ^{\omega ^{\omega \cdot 2}}</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,4,3,4,3)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,4,3,4,3)=\omega ^{\omega ^{\omega \cdot 2+1}}</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,4,3,4,3,4,3)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,4,3,4,3,4,3)=\omega ^{\omega ^{\omega \cdot 3+1}}</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,4,4)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,4,4)=\omega ^{\omega ^{\omega ^{2}}}</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,4,4,4)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,4,4,4)=\omega ^{\omega ^{\omega ^{3}}}</math>

<math>-1-\mathrm{Y}(1,5)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,4,5)=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}}</math>

由此可见，-1-Y的第二项每增加一，ω指数塔就增加一层。因此-1-Y的极限和PrSS相同，均为[[SCO]]，即

<math>-1-\mathrm{Y}(1,\omega)=\mathrm{PrSS}(1,2,3,4,5,\cdots)=\varepsilon_{0}</math>

这就是 −1−Y 序列的极限，它与 PrSS 具有完全相同的[[序数]]结构。
== 拓展 ==
=== 超限 -1-Y ===
-1-Y 记号的拓展为超限 -1-Y。规则为：
==== 结构 ====
合法表达式的要求改为：满足 <math>n\in\mathbb{N},\quad s_{1},s_{2},\cdots,s_{n}<\Omega,\quad s_1=1</math> 的序列。

极限表达式的定义改为：满足 <math>n>0</math> 且 <math>s_{n}\neq1</math> 的表达式。末项、坏部、坏根、好部的定义同 -1-Y。

==== 展开 ====
对于一个合法的超限 -1-Y 表达式 <math>S=(s_1,s_2,\ldots,s_{n-1},s_n)</math>，其展开规则如下：

* 如果 <math>S</math> 是零表达式，则 <math>S</math> 代表序数 <math>0</math>
* 如果 <math>S</math> 是后继表达式，则其前驱是 <math>S'=(s_1,s_2,\ldots,s_{n-1})</math>
* 如果 <math>S</math> 是不以极限序数结尾的极限表达式，则展开同 -1-Y
* 如果 <math>S</math> 是以极限序数结尾的极限表达式，则其基本列的第 <math>m</math> 项定义为 <math>S[m]=(s_1,s_2,\ldots,s_{n-1},s_n[m])</math>

举例：

<math>S=({\color{red}1},\omega^\omega,{\color{green}\omega+1})</math>

末项是标绿的 <math>{\color{green}\omega+1}</math>，坏根是从右往左数第一个比 <math>{\color{green}\omega+1}</math> 小的数，也就是标红色的 <math>{\color{red}1}</math>。

接下来，根据坏部的定义可以知道坏部是 <math>(\omega^\omega,\omega)</math>。

坏根之前的好部不用管，末项 -1：

<math>S=({\color{red}1},\omega^\omega,{\color{green}\omega})</math>

复制坏部：

<math>S=({\color{red}1},\omega^\omega,{\color{green}\omega},\omega^\omega,{\color{green}\omega},\cdots)</math>

我们就成功地展开了一个超限 -1-Y 表达式。

==== 强度 ====
超限 -1-Y 的极限为 <math>\psi(\Omega^\Omega)</math>。

分析可参见词条[[超限 -1-Y VS Veblen 函数|超限(-1)-Y VS Veblen函数]]。

[[分类:记号]]

LDO

2025-08-19T15:38:33Z