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	<title>Googology Wiki - 用户贡献 [zh-cn]</title>
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		<updated>2026-08-03T16:15:02Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Phyrion：​已还原Phyrion（讨论）的编辑至最后由Apocalypse修订的版本&lt;/p&gt;
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		<author><name>Phyrion</name></author>
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		<summary type="html">&lt;p&gt;Phyrion：​&lt;/p&gt;
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          展开和观察记号结构，辅助理解复杂表达式。&lt;br /&gt;
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  &amp;lt;/div&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;/div&amp;gt;&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Phyrion</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E9%A6%96%E9%A1%B5&amp;diff=3641</id>
		<title>首页</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E9%A6%96%E9%A1%B5&amp;diff=3641"/>
		<updated>2026-08-03T15:52:48Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Phyrion：​已还原Phyrion（讨论）的编辑至最后由Apocalypse修订的版本&lt;/p&gt;
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		<author><name>Phyrion</name></author>
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		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E9%A6%96%E9%A1%B5&amp;diff=3640</id>
		<title>首页</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E9%A6%96%E9%A1%B5&amp;diff=3640"/>
		<updated>2026-08-03T15:51:12Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Phyrion：​&lt;/p&gt;
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          从早期数学思想到现代记号，了解人们如何不断拓展数的边界。&lt;br /&gt;
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          展开和观察记号结构，辅助理解复杂表达式。&lt;br /&gt;
        &amp;lt;/div&amp;gt;&lt;br /&gt;
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    &amp;lt;/div&amp;gt;&lt;br /&gt;
  &amp;lt;/div&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;/div&amp;gt;&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Phyrion</name></author>
	</entry>
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		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E9%A6%96%E9%A1%B5&amp;diff=3637</id>
		<title>首页</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E9%A6%96%E9%A1%B5&amp;diff=3637"/>
		<updated>2026-08-03T15:45:48Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Phyrion：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
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&lt;br /&gt;
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&amp;lt;p&amp;gt;集中整理常见序数、序数记号及其相互关系，适合查询与系统阅读。&amp;lt;/p&amp;gt;&lt;br /&gt;
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&amp;lt;/article&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
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&amp;lt;p&amp;gt;从早期数学思想到现代大数记号，了解人们如何不断拓展数的边界。&amp;lt;/p&amp;gt;&lt;br /&gt;
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&amp;lt;/div&amp;gt;&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Phyrion</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=3525</id>
		<title>PPS</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=3525"/>
		<updated>2026-07-25T10:43:21Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Phyrion：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;Parented Predecessor Sequence(PPS)&#039;&#039;&#039;是由3184创造的一个序列记号，其父项定位方式是[[项定位方式#2.标记父项位置|标记父项位置]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS有着较为简单的定义，但分析它却极为复杂和困难。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年8月，PPS2被发现[[无穷降链]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年12月10日，PPS1被发现无穷降链。此前的所有PPS衍生物亦未能幸免。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2026年3月2日，PPS1的良序极限已被证实为&amp;lt;math&amp;gt;\zeta_0&amp;lt;/math&amp;gt;。有关良序极限的一些解释，可以见[[用户:Phyrion/PPS|此处]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2026年7月24日，PPS4的极限被确定为&amp;lt;math&amp;gt;\zeta_0&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对PPS无穷降链的寻找可使用[https://github.com/hzyhhzy/AutoGuogaoMachine/tree/master 自动果糕机]进行辅助。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
后续phyrion在25年圣诞节前连夜修改了10+个版本，亦未能避免无穷降链，不过受部分启发提出了[[PRRS]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
前排提示：PPS的行为极其复杂，是标准的“果糕“记号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 定义 ===&lt;br /&gt;
以下为PPS1的定义。PPS2和PPS3的问题较为明显且未能修改PPS1的不足之处，因此不在此给出定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS是形如0,1,0,3这样用逗号分隔的序列（序列首项是第1项）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：0,1,2,3,4,5,......&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记末项的值为x，坏根为第x项，坏根的值为b，末项是序列中的第y项，并令L=y-x&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
展开：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1.如果末项是0，则它是后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2.末项之前的部分保持不变&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3.替换末项：如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，那么将末项的值换成b；否则将末项的值减1&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
4.递归生成其他项(第i+L项的值由第i项确定)：对任意的i&amp;gt;x，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
5.基本列[n]为展开到第y+n*L-1项&lt;br /&gt;
=== 分析 ===&lt;br /&gt;
另见[[PPS分析]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS的分析是极为困难的，即便是一些分析力很强的googologist，如mtl、zcmx，都曾在PPS上折戟。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 地府段 ===&lt;br /&gt;
PPS有部分从表达式上看差距不大，但分析却极为困难且需要大量篇幅的段落，它们被称为地府段，简称地府。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第一部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10 ====&lt;br /&gt;
[[文件:pcf 25-07-22.jpg|缩略图|2025年7月22日，来自PCF]]&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10是地府的第一层。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它们分别对应序数&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}\times 2}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
和&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_{\varepsilon_0}+1}}}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
几位扽西力较强的gggist合力也用了近五天才把它扽出来。在分析表格中，它们占用了超过两百行。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第二部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10 ====&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10是地府的第二层。这之间还有不计其数的地府第一层的结构。分析它更是难上加难，&#039;&#039;&#039;四百行&#039;&#039;&#039;扽西也仅仅只能在第二层地府中踏出小而无力的一步。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
不过，它已经被发现了无穷降链，或许这就是第二地府分析困难的原因。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 良序极限 ===&lt;br /&gt;
PPS的良序极限为&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,21,19,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,0,3,0,28,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,33,30,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,0,3,0,41,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,47,43,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,0,3,0,56,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,63,58,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,0,3,0,73,57,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,81,75,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,0,3,0,92,74,57,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,101,94,57,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,0,3,0,113,93,74,57,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,123,115,74,57,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,0,3,0,136,114,93,74,57,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,147,138,93,74,57,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,0,3,0,161,137,114,93,74,57,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,173,163,114,93,74,57,42,29,18,9......&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它的大小已被确定为ζ_0。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其基本列为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,26=ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,39=ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,29,18,9,3,0,47,42,29,18,9,3,0,54=ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,29,18,9,3,0,47,43,18,9,3,0,0,3,0,56,42,29,18,9,3,0,63,57,42,29,18,9,3,0,71=ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,29,18,9,3,0,47,43,18,9,3,0,0,3,0,56,42,29,18,9,3,0,63,58,29,18,9,3,0,0,3,0,73,57,42,29,18,9,3,0,81,74,57,42,29,18,9,3,0,90=ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
......&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 改版 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 1.2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 1,2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，则比较[以这个项为首的判断序列]和[以坏根为首的判断序列]的字典序，如果前者大(只要存在一个)∨(坏根不在末项祖先链上∧这样的项存在)则弱展开，如果后者大∨这样的项不存在则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L+1，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 3 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 3&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：{&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列以右整数个复制单元长度的列展开：强展开时LNZ行元素的值每次复制时增加一个复制单元长度，其他同“其他项展开”&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
==== PPS 4 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Sequence 4&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：0,1,2,3,....&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：列标是(末项的值)的项（首项的列标是1）；如果末项是0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末项展开：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;gt; 如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，那么是弱展开，否则是强展开；&lt;br /&gt;
弱展开：将末项的值换成b；&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;gt; 强展开：在第b列和第x列(都不含)之间找到最右侧的值小于等于b的项，将末项的值换为这个项的列标；如果找不到，则等同弱展开&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{默认排序:序数记号}}&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Phyrion</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E6%B5%8B%E8%AF%95%E9%A1%B5%E9%9D%A2&amp;diff=3470</id>
		<title>测试页面</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E6%B5%8B%E8%AF%95%E9%A1%B5%E9%9D%A2&amp;diff=3470"/>
		<updated>2026-07-19T13:10:48Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Phyrion：​重定向页面至Test&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;#重定向 [[Test]]{{默认排序:!}}&lt;br /&gt;
[[分类:入门]]&lt;br /&gt;
[[en:Test]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Phyrion</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E8%AE%A8%E8%AE%BA:Y(1,2,4,8,10,8)%E9%97%AE%E9%A2%98&amp;diff=3469</id>
		<title>讨论:Y(1,2,4,8,10,8)问题</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E8%AE%A8%E8%AE%BA:Y(1,2,4,8,10,8)%E9%97%AE%E9%A2%98&amp;diff=3469"/>
		<updated>2026-07-19T13:03:38Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Phyrion：​/* 问题起因 */ 回复&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;Y(1,2,4,8,10,8)问题问的是，这个表达式对应的BMS表达式是什么。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
此页面为Y(1,2,4,8,10,8)问题的讨论页面，在该页面只能发布Y(1,2,4,8,10,8)问题相关话题及回复。&lt;br /&gt;
[[分类:分析]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 问题起因 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
(0)(1,1,1)(2,1)=Y(1,2,4,8,10)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
(0)(1,1,1)(2,1)(1,1,1)=Y(1,2,4,8,11,8) [[用户:CGoL|CGoL]]（[[用户讨论:CGoL|留言]]） 2026年7月19日 (日) 09:11 (CST)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:这里只是普通的错层而已，这种问题没必要开讨论帖，这里并不是论坛形式的网站 [[用户:Phyrion|Phyrion]]（[[用户讨论:Phyrion|留言]]） 2026年7月19日 (日) 21:03 (CST)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Y(1,2,4,8,10,8) = (0)(1,1,1)(2,1)(1,1)(2,2,1)(3,1)(2,2,1) ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Y(1,2,4,8,10) = 0-Y(1,4,6) = 0,111,21 = ψ(Ω_ω*Ω)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Y(1,2,4,8,10,8) = 0-Y(1,4,6,3,7,9,7) = 0,111,21,11,221,31,221 = ψ(Ω_ω*(Ω+1))&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Y(1,2,4,8,11) = 0-Y(1,4,6,3,7,10) = 0,111,21,11,221,32 = ψ(Ω_ω*Ω_2)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Y(1,2,4,8,11,8) = 0-Y(1,4,6,4) = 0,111,21,111 = ψ(Ω_ω^2)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Y序列没有0,111,21,111提升，需要Y(1,2,4,8,11,8)才能到此强度 [[用户:量子杰克|量子杰克]]（[[用户讨论:量子杰克|留言]]） 2026年7月19日 (日) 14:51 (CST)&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Phyrion</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E6%B5%8B%E8%AF%95%E9%A1%B5%E9%9D%A2&amp;diff=3294</id>
		<title>测试页面</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E6%B5%8B%E8%AF%95%E9%A1%B5%E9%9D%A2&amp;diff=3294"/>
		<updated>2026-06-24T14:53:27Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Phyrion：​已移除至Test的重定向&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{默认排序:!}}&lt;br /&gt;
[[分类:入门]]&lt;br /&gt;
[[en:Test]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Phyrion</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=IUN%E6%89%BD%E8%A5%BF(%E6%9C%9F%E6%9C%9B%E5%BC%BA%E5%BA%A6)&amp;diff=3215</id>
		<title>IUN扽西(期望强度)</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=IUN%E6%89%BD%E8%A5%BF(%E6%9C%9F%E6%9C%9B%E5%BC%BA%E5%BA%A6)&amp;diff=3215"/>
		<updated>2026-06-14T16:41:41Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Phyrion：​Phyrion移动页面IUN分析至IUN森系(期望强度)，不留重定向&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;注：本页面包含未经证实或有严重错误的内容，请谨慎甄别&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
本条目展示[[递增元序列|IUN]]的强度森系，使用[[BMS]]进行对照，出自[https://space.bilibili.com/274884728 &#039;&#039;&#039;3183丶4139&#039;&#039;&#039;]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 分析 ==&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|+分析&lt;br /&gt;
!IUN&lt;br /&gt;
!BMS&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|1&lt;br /&gt;
|(0)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
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|(0)(1)(0)(1)(0)(1)&lt;br /&gt;
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|(0)(1)(2)(1)(2)&lt;br /&gt;
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|-&lt;br /&gt;
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|(0)(1,1)(1,1)(1,1)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|1,2,2,2,3,2&lt;br /&gt;
|(0)(1,1)(2)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|1,2,2,2,3,2,2,3&lt;br /&gt;
|(0)(1,1)(2)(3,1)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|1,2,2,2,3,2,3&lt;br /&gt;
|(0)(1,1)(2,1)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|1,2,2,2,3,2,3,2,3&lt;br /&gt;
|(0)(1,1)(2,1)(2,1)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|1,2,2,2,3,3&lt;br /&gt;
|(0)(1,1)(2,1)(3)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|1,2,2,2,3,3,2,3,3&lt;br /&gt;
|(0)(1,1)(2,1)(3)(3)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|1,2,2,2,3,3,3&lt;br /&gt;
|(0)(1,1)(2,1)(3)(4)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|1,2,2,2,3,3,3,4&lt;br /&gt;
|(0)(1,1)(2,1)(3)(4,1)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|1,2,2,2,3,3,3,4,4&lt;br /&gt;
|(0)(1,1)(2,1)(3)(4,1)(5,1)(6)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|1,2,2,3&lt;br /&gt;
|(0)(1,1)(2,1)(3,1)&lt;br /&gt;
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|-&lt;br /&gt;
|1,2,3,4,3,4,5,5&lt;br /&gt;
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,3)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|1,2,3,4,4&lt;br /&gt;
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,3,1)(4,2,1)(5,3)(6,2)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|Limit&lt;br /&gt;
|（推测）(0)(1,1,1)(2,2,2)&lt;br /&gt;
|}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Phyrion</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=IUN%E6%89%BD%E8%A5%BF(%E6%9C%9F%E6%9C%9B%E5%BC%BA%E5%BA%A6)&amp;diff=3214</id>
		<title>IUN扽西(期望强度)</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=IUN%E6%89%BD%E8%A5%BF(%E6%9C%9F%E6%9C%9B%E5%BC%BA%E5%BA%A6)&amp;diff=3214"/>
		<updated>2026-06-14T16:39:57Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Phyrion：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;注：本页面包含未经证实或有严重错误的内容，请谨慎甄别&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
本条目展示[[递增元序列|IUN]]的强度森系，使用[[BMS]]进行对照，出自[https://space.bilibili.com/274884728 &#039;&#039;&#039;3183丶4139&#039;&#039;&#039;]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 分析 ==&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|+分析&lt;br /&gt;
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|1,2,2,2,3,2,3&lt;br /&gt;
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|-&lt;br /&gt;
|Limit&lt;br /&gt;
|（推测）(0)(1,1,1)(2,2,2)&lt;br /&gt;
|}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Phyrion</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=Test&amp;diff=3145</id>
		<title>Test</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=Test&amp;diff=3145"/>
		<updated>2026-06-03T08:01:35Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Phyrion：​已还原CGoL（讨论）的编辑至最后由Testtesttesttest修订的版本&lt;/p&gt;
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=== 编写技巧 ===&lt;br /&gt;
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&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;123&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;456&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;于是可以&amp;lt;ul&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;awa&amp;lt;ul&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;114514&amp;lt;ul&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;3.1415926&amp;lt;ul&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;123&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;456&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;789&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;2.71828&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;qwerty&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;/ul&amp;gt;&lt;br /&gt;
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这句话有7个字&lt;br /&gt;
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&amp;lt;math&amp;gt;\varnothing,\emptyset&amp;lt;/math&amp;gt;，&lt;br /&gt;
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LaTeX公式&amp;lt;code&amp;gt;\varnothing,\emptyset&amp;lt;/code&amp;gt;用不同渲染方式的结果&lt;br /&gt;
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f(x)\;&amp;amp;=(a+b+1)/2-x\\&lt;br /&gt;
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&amp;amp;=f(2x-1-a)/2\\&lt;br /&gt;
&amp;amp;=f(2x-1-(x-1+f(x-1)))/2\\&lt;br /&gt;
&amp;amp;=f(x-f(x-1))/2&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
\( G(64)=\left. \begin{matrix} 3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow}3 \\3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow}3 \\ \underbrace{\qquad \quad \vdots \qquad \quad} \\3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \uparrow}3 \\3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow3\end{matrix} \right \} \text{64 layers} \)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\unicode{64}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
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&amp;lt;math&amp;gt;\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),0\text{@}0)[0]=0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\text{@}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[k]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
\(\alpha\text{@}\beta\)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[[a]]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
我们可以使用&amp;lt;code&amp;gt;\hspace&amp;lt;/code&amp;gt;和&amp;lt;code&amp;gt;\raise&amp;lt;/code&amp;gt;来微调LaTeX中的字符位置：&lt;br /&gt;
\(\LaTeX\)&#039;&#039;（直接使用&#039;&#039;&amp;lt;code&amp;gt;\LaTeX&amp;lt;/code&amp;gt;&#039;&#039;的版本）&#039;&#039;&lt;br /&gt;
\({L^{\hspace{-4.5px}\raise{-2.5px}A}&lt;br /&gt;
\hspace{-3px}T\hspace{-2px}\raise{-3px}E\hspace{-1.5px}X}\)&#039;&#039;（使用以上两种命令微调的模仿版本）&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;nowiki&amp;gt;\&amp;lt;/nowiki&amp;gt;&amp;lt;span&amp;gt;(&amp;lt;/span&amp;gt;\alpha\text{@}\beta&amp;lt;nowiki&amp;gt;\&amp;lt;/nowiki&amp;gt;&amp;lt;span&amp;gt;)&amp;lt;/span&amp;gt; = \(\alpha\text{@}\beta\)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
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| 示例 || 示例 || 示例&lt;br /&gt;
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| 示例 || 示例 || 示例&lt;br /&gt;
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&amp;lt;span style=&#039;background:linear-gradient(to right,#00ff00,#0000ff);-webkit-background-clip:text;-webkit-text-fill-color:transparent;&#039;&amp;gt;我是美丽的span&amp;lt;/span&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;a href=&#039;https://baidu.com&#039;&amp;gt;危险的代码是不被允许的&amp;lt;/a&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;span onclick=&#039;this.innerText=&amp;quot;onclick是无效的！&amp;quot;&#039;&amp;gt;click me!&amp;lt;/span&amp;gt;&lt;br /&gt;
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666&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
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我是猫娘。喵喵喵喵&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;单行引言&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;span style=&#039;background-color:red&#039;&amp;gt;bgcisred&amp;lt;/span&amp;gt;&lt;br /&gt;
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[[高德纳箭头|↑]]&lt;br /&gt;
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src=&amp;quot;https://expander.googology.top/index.html&amp;quot; &lt;br /&gt;
  width=&amp;quot;100%&amp;quot; &lt;br /&gt;
  height=&amp;quot;500px&amp;quot;&lt;br /&gt;
  frameborder=&amp;quot;0&amp;quot;&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
=== 这是一级标题 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 这是二级标题 ====&lt;br /&gt;
这是公式 \(\alpha\times\beta\)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;撒反对&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
说说不可说】(1)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
　　  人们的对话中，「不可说」指的是「不可以说出来」的意思，但是在佛&lt;br /&gt;
经中，不可说的意思并不一定是这样，世尊所说的佛经更不是指这个意思。&lt;br /&gt;
如果它是指不可以说出来的话，那麽全部的佛经就是一部「大妄语百科」了。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
但是将「不可说」解释为「不可以说出来」的意思，并不是现代人的专&lt;br /&gt;
利，古人解经，也常把它作这样的解释，造成後人将佛经解释成玄密的经典，&lt;br /&gt;
一切的不合理之处都当作「不可说」来处理。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
世尊的确说过许多的不可说，如:《华严经》&lt;br /&gt;
「不可言说不可说，充满一切不可说，不可言说诸劫中，说不可说不可尽，&lt;br /&gt;
....&lt;br /&gt;
於一微细毛端处，有不可说诸普贤，....一毛端处所有刹，其数无量不可&lt;br /&gt;
　说..」在第四十五卷中，世尊一口气说了将近四百个不可说。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
《地藏菩萨本愿经》【忉利天宫神通品】「尔时，十方无量世界不可&lt;br /&gt;
　说不可说一切诸佛，及大菩萨摩诃萨，皆来集会，赞叹释迦牟尼佛．．」&lt;br /&gt;
这里用了两个不可说。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
《小般若经》【深功德品】「一切法不可说，须菩提，一切法空相不&lt;br /&gt;
可说．．」&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其实「不可说」的意义是「数量大到无法用语言形容」的意思，并不&lt;br /&gt;
是指所说的主题「不能说」，如果是不能说，那麽上面这些经典就是「废&lt;br /&gt;
话大全」了。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
世尊说法四十九年，探讨的主题遍及人类所有的疑问，从来没有一样&lt;br /&gt;
　是「不能说出来」的，不但他老人家自己说，更鼓励所有修行菩萨要为众　&lt;br /&gt;
生说呢。(参见《般若经》)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
那麽，「不可说」倒底有多大，会大到语言法形容呢？我们试著来找&lt;br /&gt;
找看。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot; border=&amp;quot;0&amp;quot; cellpadding=&amp;quot;1&amp;quot; cellspacing=&amp;quot;1&amp;quot;&lt;br /&gt;
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! scope=&amp;quot;col&amp;quot; |A&lt;br /&gt;
! scope=&amp;quot;col&amp;quot; |B&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0&lt;br /&gt;
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|-&lt;br /&gt;
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|1LB&lt;br /&gt;
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|}&lt;br /&gt;
111&lt;br /&gt;
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{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
! 用户名&lt;br /&gt;
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|-&lt;br /&gt;
| style=&amp;quot;width: 20%;&amp;quot; | 张三 || style=&amp;quot;width: 80%; word-wrap: break-word;&amp;quot; | 这是一个非常长的简介文本，会自动换行以适应列宽。&lt;br /&gt;
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&amp;lt;blockquote&amp;gt;这里是一个孤立页面 我不知道它为什么还在这里&lt;br /&gt;
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就当作是gggwiki的一个彩蛋吧（&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
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[https://2023largenumber.fandom.com/zh/wiki/%F0%9F%98%B0#articleComments/ 果糕]&lt;br /&gt;
果糕糕糕！&lt;br /&gt;
果糕糕糕！果糕糕糕！&lt;br /&gt;
果糕糕糕！果糕糕糕！&lt;br /&gt;
果糕糕糕！果糕糕糕！&lt;br /&gt;
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&amp;lt;div id=&amp;quot;guogao1&amp;quot;&amp;gt;将以下代码放入控制台并回车，有“小惊喜”：&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;small&amp;gt;&amp;lt;small&amp;gt;&amp;lt;nowiki&amp;gt;(()=&amp;gt;{document.getElementById(&amp;quot;guogao1&amp;quot;).appendChild((()=&amp;gt;{let a = document.createElement(&amp;quot;div&amp;quot;);a.innerHTML = `&amp;lt;div class=&amp;quot;fixed-btn&amp;quot;&amp;gt;&amp;lt;a onclick=&amp;quot;let b=document.createElement(&#039;div&#039;);b.innerHTML=\`&amp;lt;div id=&#039;guogao&#039; style=&#039;transition: transform .5s ease-out;position: absolute;top:45%;left:50%;z-index: 9999999;transform: scale(1);cursor: pointer;-webkit-user-select: none;-moz-user-select: none;-ms-user-select: none;user-select: none;&#039; onclick=&#039;this.remove()&#039;&amp;gt;${decodeURI(&#039;%F0%9F%98%B0&#039;)}&amp;lt;/div&amp;gt;\`;document.body.appendChild(b);setTimeout(() =&amp;gt; {document.getElementById(&#039;guogao&#039;).style.transform=&#039;scale(45)&#039;}, 50)&amp;quot; class=&amp;quot;new&amp;quot; title=&amp;quot;${decodeURI(&#039;%E5%B0%8F%E6%83%8A%E5%96%9C&#039;)}&amp;quot;&amp;gt;&amp;lt;span class=&amp;quot;btn-text blue&amp;quot;&amp;gt;${decodeURI(&#039;%E5%B0%8F%E6%83%8A%E5%96%9C&#039;)}&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;`;return a})());return (()=&amp;gt;{console.clear();return decodeURI(&#039;%E7%A5%9E%E7%A7%98%E6%8C%89%E9%92%AE%E5%87%BA%E7%8E%B0%EF%BC%81&#039;)})()})()&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;/nowiki&amp;gt;&amp;lt;/small&amp;gt;&amp;lt;/small&amp;gt;&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Phyrion</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%BA%8F%E6%95%B0%E8%A1%A8&amp;diff=3067</id>
		<title>序数表</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%BA%8F%E6%95%B0%E8%A1%A8&amp;diff=3067"/>
		<updated>2026-05-21T14:44:03Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Phyrion：​/* 已弃用序数表 */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;本条目列举出一些有名字的[[序数]]，它们大多在 [[Googology|googology]] 中具有重大意义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
需要注意的是，它们的命名很多来自 googology 爱好者而非专业数学研究者。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 序数表 ===&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
! 缩写 !! 英文全称 !! 常规表示方法（[[序数坍缩函数#BOCF|BOCF]] 等） !! [[BMS]] / [[Y序列|Y]]&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[FTO]]|| First Transfinite Ordinal || &amp;lt;math&amp;gt;\omega&amp;lt;/math&amp;gt;|| &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[LAO]]|| Linear Array Ordinal&amp;lt;ref&amp;gt;因为在googology一度经典的线性数阵的极限是它，因此得名&amp;lt;/ref&amp;gt;|| &amp;lt;math&amp;gt;\omega^\omega&amp;lt;/math&amp;gt;|| &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1)(2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[SCO]]|| Small Cantor Ordinal || &amp;lt;math&amp;gt;\varphi(1,0)=\varepsilon_0=\psi(\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt;|| &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[CO]]|| Cantor Ordinal || &amp;lt;math&amp;gt;\varphi(2,0)=\zeta_0=\psi(\Omega^2)&amp;lt;/math&amp;gt;|| &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1)(2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|[[LCO]]&lt;br /&gt;
|Large Cantor Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\varphi(3,0)=\eta_0=\psi(\Omega^3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1)(2,1)(2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[HCO]]|| Hyper Cantor Ordinal || &amp;lt;math&amp;gt;\varphi(\omega,0)=\psi(\Omega^\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;|| &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1)(2,1)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[FSO]]|| Feferman-Schütte Ordinal || &amp;lt;math&amp;gt;\varphi(1,0,0)=\Gamma_0=\psi(\Omega^\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt;|| &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1)(2,1)(3,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|[[ACO]]&lt;br /&gt;
|Ackermann Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\varphi(1,0,0,0)=\psi(\Omega^{\Omega^2})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[SVO]]|| Small Veblen Ordinal || &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^\omega})&amp;lt;/math&amp;gt;|| &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1)(2,1)(3,1)(4)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[LVO]]|| Large Veblen Ordinal || &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^\Omega})&amp;lt;/math&amp;gt;|| &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[BHO]]|| Bachmann-Howard Ordinal || &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_{2})&amp;lt;/math&amp;gt;|| &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1)(2,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[BO]]|| Buchholz&#039;s Ordinal || &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_{\omega})&amp;lt;/math&amp;gt;|| &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|FBLO&lt;br /&gt;
|First BMS Lifting Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_{\omega}^2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,1)(1,1,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[TFBO]]|| Takeuti-Feferman-Buchholz Ordinal || &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_{\omega+1})&amp;lt;/math&amp;gt;|| &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,1)(3,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[BIO]]|| Bird&#039;s Ordinal&amp;lt;ref&amp;gt;鸟之数阵第四版的极限是它，因此得名&amp;lt;/ref&amp;gt;|| &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_{\Omega})&amp;lt;/math&amp;gt;|| &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[EBO]]|| Extended Buchholz Ordinal || &amp;lt;math&amp;gt;\psi(I)&amp;lt;/math&amp;gt;|| &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)(2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[JO]]|| Jager&#039;s Ordinal || &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_{I+1})&amp;lt;/math&amp;gt;|| &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)(4,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[SIO]]|| Small Inaccessible Ordinal || &amp;lt;math&amp;gt;\psi(I_{\omega})&amp;lt;/math&amp;gt;|| &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[MBO]]|| Mutiply Buchholz Ordinal || &amp;lt;math&amp;gt;\psi(I(\omega,0))=\psi(M^\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;|| &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|[[TBO]]&lt;br /&gt;
|Transfinitary Buchholz&#039;s Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(I(1,0,0))=\psi(M^M)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(3,1)(2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[SRO]]|| Small Rathjen Ordinal || &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\varepsilon_{M+1})&amp;lt;/math&amp;gt;|| &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(3,1)(4,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[SMO]]|| Small Mahlo Ordinal || &amp;lt;math&amp;gt;\psi(M_\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;|| &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(3,1,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|[[SNO]]&lt;br /&gt;
|Small 1-Mahlo (N) Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(N_\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(3,1,1)(3,1,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[RO]]|| Rathjen&#039;s Ordinal || &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\varepsilon_{K+1})&amp;lt;/math&amp;gt;|| &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(4,1)(5,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|[[SKO]]&lt;br /&gt;
|Small Weakly Compact (K) Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(K_\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(4,1,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|[[DO]]&lt;br /&gt;
|Duchhart&#039;s Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(2 \ \rm{aft} \ 4)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(4,1,1)(5,1)(6,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[SSO]]|| Small Stegert Ordinal || &amp;lt;math&amp;gt;\psi(psd.\Pi_{\omega})=\psi(a_2)&amp;lt;/math&amp;gt;|| &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[LSO]]|| Large Stegert Ordinal || &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\lambda\alpha.(\alpha\times 2)-\Pi_{0})=\psi(a_2^a)&amp;lt;/math&amp;gt;|| &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,2)(3,2)(4,1)(2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|[[APO]]&lt;br /&gt;
|Admissible-parameter free effective cardinal Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+1})-\Pi_1)=\psi(a_2^{\Omega_{a+1}}+\psi_{a_2}(a_2^{\Omega_{a+1}})\times\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,2)(3,2)(4,1,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[BGO]]|| TSS 1st Back Gear Ordinal (CN ggg)&amp;lt;ref&amp;gt;Bashicu对BGO的原定义是BMS(0)(1,1,1)(2,2)。BGO指(0)(1,1,1)(2,2,1)是中文googology社区的重命名&amp;lt;/ref&amp;gt;|| &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+2})-\Pi_{1})=\psi(\Omega_{a_2+1}+\psi_{a_2}(\Omega_{a_2+1})\times\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;|| &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[SDO]]|| Small Dropping Ordinal || &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+\omega})-\Pi_{0}=\psi(\Omega_{a_2+1}\times\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;|| &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,2,1)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[LDO]]|| Large Dropping Ordinal || &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\lambda\alpha.(\psi_{I_{\alpha+1}}(0))-\Pi_{0})=\psi(\Omega_{a_2+1}\times a_2)&amp;lt;/math&amp;gt;|| &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|[[DSO]]&lt;br /&gt;
|Doubly +1 Stable Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\lambda\alpha.(\lambda\beta.\beta+1-\Pi_0)-\Pi_0=\psi(a_3) &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|[[TSO]]&lt;br /&gt;
|Triply +1 Stable Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\lambda\gamma.\gamma+1-\Pi_0)-\Pi_0)-\Pi_0=\psi(a_4) &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,3,1)(4,4)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[LRO|pfec LRO]]|| pfec Large Rathjen Ordinal || &amp;lt;math&amp;gt;\psi(pfec.\omega-\pi-\Pi_{0})=\psi(a_\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;|| &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,2,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|[[LRO|SBO]]&lt;br /&gt;
|Small Bashicu Ordinal&lt;br /&gt;
| &amp;lt;math&amp;gt;\psi(pfec.\omega-\pi-\Pi_{0})=\psi(a_\omega) &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,2,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|[[方括号稳定|pfec M2O]]&lt;br /&gt;
|pfec min Σ&amp;lt;sub&amp;gt;2&amp;lt;/sub&amp;gt; Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(pfec.\min(a\prec_{\Sigma_1}b\prec_{\Sigma_2}c)) &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,2)(4,2,2)(4,2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;？&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|[[LRO]]&lt;br /&gt;
|Large Rathjen Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;F\cap\omega_1^\text{CK},\theta=\omega &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\leqslant\mathrm{BMS}(0)(1,1,1,1)?&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|[[TSSO]] / SSPO&lt;br /&gt;
|Trio Sequence System Ordinal / Small Simple Projection Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\omega-\text{proj.})=\psi(\sigma S\times \omega)=\psi(H^\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1,1,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|[[LSPO]]&lt;br /&gt;
|Large Simple Projection Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\min\ \alpha\text{ is }\alpha-\text{proj.})=\psi(\sigma S\times S) &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1)(2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|[[Q0.5BGO]]&lt;br /&gt;
|QSS 0.5th Back Gear Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi_S(\sigma S\times S\times \omega+S_2)) &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\rm{BMS}(0)(1,1,1,1)(2,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|[[Q1BGO]]&lt;br /&gt;
|QSS 1st Back Gear Ordinal&lt;br /&gt;
| &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi_S(\sigma S\times S\times \omega+S_\omega)) &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1,1,1)(2,2,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|[[ESPO]]&lt;br /&gt;
|Extend Simple Projection Ordinal&lt;br /&gt;
| &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi_S(\sigma S\times S\times \omega^2)) &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|[[BOBO]]&lt;br /&gt;
|Big Omega Back Ordinal&lt;br /&gt;
| &amp;lt;math&amp;gt;\psi((\omega,0)-P)=\psi(\psi_{H}(H^{H\omega})) &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1,1,1)(2,2,2,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[QSSO]]|| Quardo Sequence System Ordinal || &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi_{H}(H^{H^{\omega}}))&amp;lt;/math&amp;gt;|| &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1,1,1,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|[[TCAO]]&lt;br /&gt;
|Trio Comprehension Axiom Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\text{PTO}((\Pi_3^1-CA)_0) &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\geqslant\mathrm{BMS}(0)(1,1,1,1,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|QiSSO&lt;br /&gt;
|Quinto Sequence System Ordinal&lt;br /&gt;
| &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi_{H}(H^{H^{H^{\omega}}}))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{BMS}(0)(1,1,1,1,1,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[SHO]] / BMO&amp;lt;ref name=&amp;quot;:0&amp;quot;&amp;gt;SHO,MHO的名字均来自FataliS1024.但原定义的SHO指的是&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt;,MHO指的是BMS极限。还有一个LHO指&amp;lt;math&amp;gt;\omega -Y&amp;lt;/math&amp;gt;极限。但后来不知为何变成了现在的这个版本，而LHO成为了无定义的名字&amp;lt;/ref&amp;gt;|| Small Hydra Ordinal / Bashicu Matrix Ordinal || &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi_{H}(\varepsilon_{H+1}))&amp;lt;/math&amp;gt;|| &amp;lt;math&amp;gt;Y(1,3)=\lim(\rm BMS)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|βO&lt;br /&gt;
|Beta Universe Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\rm PTO(Z_2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\geqslant Y(1,3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[ΩSSO]]|| Ω Sequence System Ordinal || &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi_H(\varphi(\Omega,H+1)))?&amp;lt;/math&amp;gt;|| &amp;lt;math&amp;gt;Y(1,3,4,2,5,8,10)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|[[LRPO]]&lt;br /&gt;
|Large Right Projection Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi_{H}(\varphi(H,1)))?&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;Y(1,3,4,2,5,8,10,4,9,14,17,10)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[GHO]]|| No-Go Hydra Ordinal&amp;lt;ref&amp;gt;原名Guo bu qu de Hydra Ordinal，但过于口语化和非正式。而这个序数本身确实是一个重要的序数。曹知秋将名字改成了现在的版本&amp;lt;/ref&amp;gt;|| &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi_H(\psi_T(T_2\times 2)))?&amp;lt;/math&amp;gt;|| &amp;lt;math&amp;gt;Y(1,3,4,3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|[[DCO]]&lt;br /&gt;
|Difference Catching Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi_H(\psi_T(T_2\times\psi_T(T_2^2))))?&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;Y(1,3,5)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[SYO]]|| Small Yukito Ordinal || &amp;lt;math&amp;gt;\omega \rm{ MN}(0)(,,,1)&amp;lt;/math&amp;gt;|| &amp;lt;math&amp;gt;\lim(1-Y)=\omega-Y(1,4)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[MHO]] / ωYO&amp;lt;ref name=&amp;quot;:0&amp;quot; /&amp;gt;|| Medium Hydra Ordinal / ω-Y sequence Ordinal || &amp;lt;math&amp;gt;\omega \rm{2MN}(0)(;1)&amp;lt;/math&amp;gt;|| &amp;lt;math&amp;gt;\lim(\omega-Y)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[CKO]]|| Church-Kleene Ordinal || &amp;lt;math&amp;gt;\omega_{1}^{\rm CK}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[FUO]]|| First Uncountable Ordinal || &amp;lt;math&amp;gt;\omega_{1}&amp;lt;/math&amp;gt;||&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 已弃用(或不常用)序数表 ===&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
!缩写&lt;br /&gt;
!英文全称&lt;br /&gt;
!定义&lt;br /&gt;
!大小&lt;br /&gt;
!命名者&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|SMDO&lt;br /&gt;
|Small Multidimensional Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\omega^\omega&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(0)(1)(2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|318`4&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|SHO&lt;br /&gt;
|Small Hydra Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0=\psi(\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(0)(1,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|FataliS1024&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|ESVO&lt;br /&gt;
|Extended Small Veblen Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi\left(\Omega^{\Omega^{\Omega^{\omega}}}\right)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|ELVO&lt;br /&gt;
|Extended Large Veblen Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\uparrow\uparrow4)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|LDO(旧)&lt;br /&gt;
|Large Dropping Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha\times 2})-\Pi_{0})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,1)(2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|EDO&lt;br /&gt;
|Extended Dropping Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\lambda\alpha.\psi_{I_{\alpha+1}}(I_{\alpha+1})-\Pi_0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|SEIO&lt;br /&gt;
|Small Eveog-Imagined Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\Sigma_1\text{ adm.}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&lt;br /&gt;
|&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|MEIO&lt;br /&gt;
|Medium Eveog-Imagined Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\Sigma_2\text{ adm.}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&lt;br /&gt;
|&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|LEIO&lt;br /&gt;
|Large Eveog-Imagined Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\Sigma_3\text{ adm.}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&lt;br /&gt;
|&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|SOSO&lt;br /&gt;
|Second Order Stable Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(1-o-\Sigma_2-\text{stb.})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&lt;br /&gt;
|&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|EGO&lt;br /&gt;
|Eveog&#039;s Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi_\sigma(\sigma_\omega))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,2,1)(4)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|MHO&lt;br /&gt;
|Medium Hydra Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\lim({\rm BMS})=\lim(0-Y)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;Y(1,3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|FataliS1024&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|LHO&lt;br /&gt;
|Large Hydra Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\lim(\omega-Y)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\Omega-Y(1,3,12)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|FataliS1024&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|ZDO&lt;br /&gt;
|Zeta Differenciating Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\text{FOS911 }\Theta(\zeta_0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\Omega-Y(1,3,12)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|WYO&lt;br /&gt;
|Omega Y Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\lim(\Omega-Y)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\Omega-Y(1,\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|318`4&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|EYO&lt;br /&gt;
|Extended Y Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\text{bFOS }\Theta(\text{BHO})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\text{bFOS }(0)(1)(\omega)(\varepsilon_0)(\text{BHO})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|318`4&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|UCO&lt;br /&gt;
|Upgrade Catching Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\text{sFOS }\Theta(\text{BHO})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\text{bFOS }\Theta(\text{BO})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|318`4&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|XYO&lt;br /&gt;
|Extreme Y Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\text{bFOS }\Theta(\text{BO})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\text{bFOS }(0)(1)(\omega)(\varepsilon_0)(\text{BO})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|318`4&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|DMO&lt;br /&gt;
|Difference Matrix Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\text{sFOS }\Theta(\text{BO})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\text{bFOS }\Theta(\text{SHO})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|318`4&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|GYO / 😰O&lt;br /&gt;
|Grand Y-Sequence Ordinal / 😰 Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\lim(X-Y)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\text{sFOS }(0)(1)(\omega)(\varepsilon_0)(\text{SHO})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|318`4&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|LDCO&lt;br /&gt;
|Large Difference Catching Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\text{sFOS }\Theta(\text{SYO})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\text{b2-FOS }\Theta(\zeta_1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|318`4&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|RHO&lt;br /&gt;
|Remaining Hydra Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\lim(\text{sFOS})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\text{b2-FOS }\Theta(\varphi(\omega,0))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|318`4&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|WFO&lt;br /&gt;
|Omega Fundamental Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\lim(\text{Weak 2-FOS})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\text{b2-FOS }\Theta(\Gamma_0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|318`4&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|TMDO&lt;br /&gt;
|Tri-Multidimensional Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\text{s2-FOS }\Theta(\varphi(\omega,0))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\omega2-\text{RD}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|318`4&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|ERHO&lt;br /&gt;
|Extended Remaining hydra Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\lim(\text{b2-FOS})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\omega2+1-\text{RD}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|318`4&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|LMDO&lt;br /&gt;
|Large Multidimensional Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\lim(\omega-\text{FOS})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\omega^2-\text{RD}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|318`4&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|IFO&lt;br /&gt;
|Infintesimal Function Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\lim(\text{IFS})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0-\text{RD}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|318`4&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|WRO&lt;br /&gt;
|Omega Remaining Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\lim(\text{ROS})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;R\ \Omega-Y&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|318`4&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|SCLO&lt;br /&gt;
|Small Code Lift Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\sup(n-\text{code})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&lt;br /&gt;
|&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|EHO&lt;br /&gt;
|Huge Hydra Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\lim(\text{pfffz})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&lt;br /&gt;
|夏夜星空&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|ROO&lt;br /&gt;
|Remaining Omega Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;R_\omega\text{ remaining}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&lt;br /&gt;
|318`4&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|UHO&lt;br /&gt;
|Ultimate Hydra Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\lim(\text{RSAM})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&lt;br /&gt;
|夏夜星空&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|IHO&lt;br /&gt;
|Infinite Hydra Ordinal&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\lim(\text{SAM})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&lt;br /&gt;
|夏夜星空&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
本表取自 [https://docs.qq.com/sheet/DSnFWckliSU5TTE15 Worldly Sheet]：&amp;lt;blockquote&amp;gt;- （SCO/CO/LCO/HCO）谁起不重要，重要的是这是纪念康托尔的，如果没有他所有gggist今天(甚至永远)都走不到一起”&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
- 你们怎么把它弄成这样了，至少必要的（比如lim fffz/lim X-Y还是要的吧）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
- fffz和X-Y公认理想之前搞这么多名字有什么用&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
- 不然MHO以上全都写成n-RD？- 不对 - 3184为什么要保留他造了那么多没用的序数缩写的黑历史？(bushi) - 不如还是加上 毕竟fatalis的SHO/MHO/LHO都有了&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== DNAO ====&lt;br /&gt;
DNAO（Disgusting Nonsense Annoyance Ordinal）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
定义：&lt;br /&gt;
 (0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(3,3,0)(4,4,1)(5,5,2)(6,6,2)(7,7,0)(8,8,1)(9,9,2)(10,9,2)(11,9,0)(12,10,1)(13,11,2)(13,11,2)(13,11,1)(14,12,2)(14,11,1)(15,12,2)(15,11,1)(16,12,0)(17,13,1)(18,14,2)(18,14,2)(18,14,1)(19,15,2)(19,14,1)(20,15,2)(20,14,1)(21,15,0)(22,16,1)(23,17,2)(23,17,2)(23,17,1)(24,18,2)(24,17,1)(25,18,2)(25,17,0)(26,18,1)(27,19,2)(27,19,2)(27,19,1)(28,20,2)(28,19,1)(29,20,2)(29,19,0)(30,20,1)(31,21,2)(31,21,2)(31,21,1)(32,22,2)(32,21,1)(33,22,2)(33,21,0)(34,22,1)(35,23,2)(35,23,2)(35,23,1)(36,24,2)(36,23,1)(37,24,2)(37,23,0)(38,24,1)(39,25,2)(40,25,2)(40,25,1)(41,26,2)(41,22,1)(42,23,2)(42,23,2)(42,23,1)(43,24,2)(43,23,1)(44,24,2)(44,23,0)(45,24,1)(46,25,2)(47,25,2)(47,25,1)(48,26,1)(49,27,0)(50,28,1)(51,29,2)(52,29,2)(52,29,1)(53,30,0)(54,31,1)(55,32,2)(56,32,2)(56,32,0)(57,33,1)(58,34,2)(59,34,2)(59,34,0)(60,35,1)(61,36,2)(62,36,2)(62,36,0)(63,37,1)(64,38,2)(65,38,2)(65,38,0)(66,39,1)(67,40,2)(68,40,2)(68,40,0)(69,41,1)(70,42,2)(71,42,2)(71,42,0)(72,43,1)(73,44,0)(74,45,1)(75,44,0)(76,45,1)(77,46,0)(78,47,0)(79,44,0)(80,45,1)(81,46,0)(82,47,0)(83,44,0)(84,45,1)(85,46,0)(86,47,0)(87,44,0)(88,45,1)(89,46,0)(90,47,0)(91,44,0)(92,45,1)(93,46,0)(94,47,0)(95,44,0)(96,45,1)(96,45,1)(96,45,1)(96,45,0)(97,46,0)(98,47,0)(99,48,0)(100,47,0)(101,48,0)(102,47,0)(103,48,0)(104,47,0)(105,48,0)(106,47,0)(107,48,0)(108,45,0)(109,46,0)(110,47,0)(111,47,0)(111,47,0)(111,47,0)(111,47,0)(111,47,0)(111,47,0)(111,46,0)(112,47,0)(113,47,0)(113,47,0)(113,47,0)(113,47,0)(113,47,0)(113,47,0)(113,46,0)(114,47,0)(115,46,0)(116,47,0)(117,46,0)(118,47,0)(119,46,0)(120,45,0)(121,46,0)(122,47,0)(123,47,0)(123,47,0)(123,47,0)(123,47,0)(123,47,0)(123,47,0)(123,46,0)(124,47,0)(125,47,0)(125,47,0)(125,47,0)(125,47,0)(125,47,0)(125,47,0)(125,46,0)(126,47,0)(127,46,0)(128,47,0)(129,46,0)(130,47,0)(131,46,0)(132,45,0)(133,46,0)(134,47,0)(135,47,0)(135,47,0)(135,47,0)(135,47,0)(135,47,0)(135,47,0)(135,46,0)(136,47,0)(137,47,0)(137,47,0)(137,47,0)(137,47,0)(137,47,0)(137,47,0)(137,46,0)(138,47,0)(139,46,0)(140,47,0)(141,46,0)(142,47,0)(143,46,0)(144,45,0)(145,46,0)(146,47,0)(147,47,0)(147,47,0)(147,47,0)(147,47,0)(147,47,0)(147,47,0)(147,46,0)(147,46,0)(147,46,0)(147,46,0)(147,46,0)(147,45,0)(148,46,0)(148,45,0)(149,46,0)(149,45,0)(150,46,0)(150,45,0)(151,45,0)(151,45,0)(150,45,0)(151,45,0)(150,45,0)(151,45,0)(148,45,0)(149,46,0)(149,45,0)(150,46,0)(150,45,0)(151,45,0)(151,45,0)(150,45,0)(151,45,0)(150,45,0)(151,45,0)(148,45,0)(149,46,0)(149,45,0)(150,46,0)(150,45,0)(151,45,0)(151,45,0)(150,45,0)(151,45,0)(150,45,0)(151,45,0)(148,45,0)(149,45,0)(149,45,0)(148,45,0)(149,45,0)(149,45,0)(148,45,0)(149,45,0)(147,45,0)(148,46,0)(148,45,0)(149,46,0)(149,45,0)(150,46,0)(150,45,0)(151,45,0)(151,45,0)(150,45,0)(151,45,0)(148,45,0)(149,46,0)(149,45,0)(150,45,0)(150,45,0)(149,45,0)(150,45,0)(149,45,0)(150,45,0)(149,45,0)(149,45,0)(149,45,0)(146,47,0)(147,47,0)(147,47,0)(147,47,0)(147,47,0)(147,47,0)(147,47,0)(147,46,0)(147,46,0)(147,46,0)(147,46,0)(147,45,0)(148,46,0)(149,47,0)(150,47,0)(150,47,0)(150,47,0)(150,47,0)(150,47,0)(150,47,0)(150,46,0)(150,46,0)(150,46,0)(150,46,0)(150,46,0)(150,45,0)(151,46,0)(151,45,0)(152,46,0)(152,45,0)(153,46,0)(153,45,0)(154,45,0)(154,45,0)(153,45,0)(154,45,0)(153,45,0)(154,45,0)(151,45,0)(152,46,0)(152,45,0)(153,46,0)(153,45,0)(154,45,0)(154,45,0)(153,45,0)(154,45,0)(153,45,0)(154,45,0)(151,45,0)(152,46,0)(152,45,0)(153,46,0)(153,45,0)(154,45,0)(154,45,0)(153,45,0)(154,45,0)(153,45,0)(154,45,0)(151,45,0)(152,45,0)(152,45,0)(151,45,0)(152,45,0)(152,45,0)(151,45,0)(152,45,0)(150,45,0)(151,46,0)(151,45,0)(152,46,0)(152,45,0)(153,46,0)(153,45,0)(154,45,0)(154,45,0)(153,45,0)(154,45,0)(151,45,0)(152,46,0)(152,45,0)(153,45,0)(153,45,0)(152,45,0)(153,45,0)(152,45,0)(153,45,0)(152,45,0)(152,45,0)(152,45,0)(149,47,0)(150,47,0)(150,47,0)(150,47,0)(150,47,0)(150,47,0)(150,47,0)(150,46,0)(150,46,0)(150,46,0)(150,46,0)(150,45,0)(151,46,0)(152,47,0)(152,47,0)(152,47,0)(151,45,0)(152,46,0)(153,47,0)(150,45,0)(151,46,0)(152,47,0)(152,47,0)(152,47,0)(151,45,0)(152,46,0)(153,47,0)(150,45,0)(151,46,0)(152,47,0)(150,45,0)(151,46,0)(152,47,0)(150,45,0)(151,45,0)(152,45,0)(152,45,0)(151,45,0)(152,45,0)(152,45,0)(150,45,0)(149,45,0)&lt;br /&gt;
=== 脚注 ===&lt;br /&gt;
&amp;lt;references /&amp;gt;&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Phyrion</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=TREE%E5%87%BD%E6%95%B0&amp;diff=3066</id>
		<title>TREE函数</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=TREE%E5%87%BD%E6%95%B0&amp;diff=3066"/>
		<updated>2026-05-21T14:35:24Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Phyrion：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;TREE 函数&#039;&#039;&#039;是由数理逻辑学家 Harvey Friedman 提出的图论函数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 定义 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 树的嵌入 ====&lt;br /&gt;
[[文件:树的嵌入.png|缩略图]]&lt;br /&gt;
给定两棵树 A 和 B，我们称 A 能嵌入到 B 中，如果 B 能通过有限次以下操作得到 A：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 删除一个叶子节点。&lt;br /&gt;
* 若某点只有两条边和它连接，删除这个点，用一条边连接与它相邻的两个顶点(即将两条相邻的边合并成一条)。&lt;br /&gt;
例如，图中右边的两棵树均能嵌入到左边的树中，但它们不能互相嵌入。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== TREE(n) ====&lt;br /&gt;
TREE 函数研究的是一类特殊的树，其每个顶点被赋予一个值，称为该点的“颜色”。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
给定正整数 n，&amp;lt;math&amp;gt;\rm TREE(n)&amp;lt;/math&amp;gt; 被定义为满足以下条件的“树列”&amp;lt;math&amp;gt;\{T_n\}&amp;lt;/math&amp;gt; 的最大长度：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 所有树的顶点至多有 &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;lt;/math&amp;gt; 种不同的颜色；&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;T_k&amp;lt;/math&amp;gt; 至多有 &amp;lt;math&amp;gt;k&amp;lt;/math&amp;gt; 个顶点；&lt;br /&gt;
# 对于正整数 &amp;lt;math&amp;gt;k&amp;lt;l&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;T_k&amp;lt;/math&amp;gt; 不能嵌入到 &amp;lt;math&amp;gt;T_l&amp;lt;/math&amp;gt; 中。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== tree(n) ====&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\rm tree(n)&amp;lt;/math&amp;gt;(注意大小写)被称为&#039;&#039;&#039;弱tree函数&#039;&#039;&#039;，它研究的不是染色树，而是普通树。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
给定正整数n，&amp;lt;math&amp;gt;\rm tree(n)&amp;lt;/math&amp;gt;被定义为满足以下条件的“树列”&amp;lt;math&amp;gt;\{T_n\}&amp;lt;/math&amp;gt;的最大长度：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;T_k&amp;lt;/math&amp;gt;至多有&amp;lt;math&amp;gt;n+k&amp;lt;/math&amp;gt;个顶点；&lt;br /&gt;
# 对于正整数&amp;lt;math&amp;gt;k&amp;lt;l&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;T_k&amp;lt;/math&amp;gt;不能嵌入到&amp;lt;math&amp;gt;T_l&amp;lt;/math&amp;gt;中。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 有限性证明 ===&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\rm TREE(n)&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;\rm tree(n)&amp;lt;/math&amp;gt; 的序列总是有限的，这可由 Kruskal 树定理保证。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
我们首先要引入&#039;&#039;&#039;良拟序（Well-quasi-ordering）&#039;&#039;&#039;的概念，它可以看成[[良序]]在一般[[良序#偏序集|偏序集]]上的推广。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
设 &amp;lt;math&amp;gt;(X,\le)&amp;lt;/math&amp;gt; 为一偏序集，若对于 &amp;lt;math&amp;gt;X&amp;lt;/math&amp;gt; 中任意无穷序列 &amp;lt;math&amp;gt;x_0,x_1,x_2,\cdots&amp;lt;/math&amp;gt;，总存在 &amp;lt;math&amp;gt;i&amp;lt;j&amp;lt;/math&amp;gt; 使得 &amp;lt;math&amp;gt;x_i\le x_j&amp;lt;/math&amp;gt;，则称 &amp;lt;math&amp;gt;\le&amp;lt;/math&amp;gt; 为集合 &amp;lt;math&amp;gt;X&amp;lt;/math&amp;gt; 上的一个良拟序。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
换句话说，若偏序集中不存在“无穷降链”，也不存在“无穷不可比较链”，则称该偏序为一个良拟序。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Kruskal 树定理说明，树的嵌入关系是一个良拟序。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
也就是说，任意无限棵树构成的序列中，必存在两棵树，前面的树能嵌入到后面的树中。这就证明了 &amp;lt;math&amp;gt;\rm tree(n)&amp;lt;/math&amp;gt; 的有限性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 取值 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== n 较小时 ====&lt;br /&gt;
对于 &amp;lt;math&amp;gt;\rm TREE(n)&amp;lt;/math&amp;gt;，有：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\rm TREE(1)=1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\rm TREE(2)=3&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于&amp;lt;math&amp;gt;\rm tree(n)&amp;lt;/math&amp;gt;，有：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\rm tree(1)=2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\rm tree(2)=5&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;{\rm tree(3)\geq844,424,930,131,960}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== TREE(3) ====&lt;br /&gt;
[[文件:TREE(3).jpg|缩略图]]&lt;br /&gt;
和 &amp;lt;math&amp;gt;\rm TREE(1)&amp;lt;/math&amp;gt;、&amp;lt;math&amp;gt;\rm TREE(2)&amp;lt;/math&amp;gt; 仅有一位数的取值相比，&amp;lt;math&amp;gt;\rm TREE(3)&amp;lt;/math&amp;gt; 的值出现了“暴涨”，其远远超过了[[葛立恒数]]和 [[Kirby-Paris Hydra|Hydra(5)]]，这使它成为大数领域中最著名的数字之一。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
右图是 &amp;lt;math&amp;gt;\rm TREE(3)&amp;lt;/math&amp;gt; 序列可能的前几项。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
HypCos 在这篇回答&amp;lt;ref&amp;gt;HypCos (2019). 从数学原理上说一说，葛立恒数、tree(3) 等数为什么那么大？[From a mathematical point of view, why are Graham&#039;s constants, tree(3) and other numbers so big?]. &#039;&#039;(EB/OL), Zhihu&#039;&#039;. https://www.zhihu.com/question/353941713/answer/885942447&amp;lt;/ref&amp;gt;中给出了 &amp;lt;math&amp;gt;\rm TREE(3)&amp;lt;/math&amp;gt; 的一个下界：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
\({\rm TREE(3)}&amp;gt;H_{\varphi(1@\omega,3)\cdot\varphi(1@\omega)}({\rm tree(tree(3)+1)})\)（其中 H 为[[增长层级#哈代层级|哈代层级]]，下同）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== tree(4) ====&lt;br /&gt;
2025 年 5 月 24 日，HypCos 在这篇回答&amp;lt;ref&amp;gt;HypCos (2025). 大数问题：tree(4)有多大？[Googology problem: How big is tree(4)?]. &#039;&#039;(EB/OL), Zhihu&#039;&#039;.  https://www.zhihu.com/question/1907086430552950742/answer/1909662327449584802&amp;lt;/ref&amp;gt;中给出了 &amp;lt;math&amp;gt;\rm tree(4)&amp;lt;/math&amp;gt; 的一个下界：&amp;lt;math&amp;gt;{\rm tree(4)}&amp;gt;H_{\varepsilon_{\omega^22+1}+\alpha}(2\uparrow\uparrow\uparrow6)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 增长率 ===&lt;br /&gt;
通过对树的嵌入关系进行编序(此处等待进一步说明)，我们可以得到 &amp;lt;math&amp;gt;\rm TREE(n)&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;\rm tree(n)&amp;lt;/math&amp;gt; 的增长率分别为&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
\({\rm TREE(n)}\sim\varphi(\omega@\omega)\)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
\({\rm tree(n)}\sim\varphi(1@\omega)\)&lt;br /&gt;
== 参考资料 ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;references /&amp;gt;{{默认排序:相关问题}}&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;br /&gt;
[[分类:入门]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Phyrion</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=Sigma%E5%87%BD%E6%95%B0&amp;diff=2983</id>
		<title>Sigma函数</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=Sigma%E5%87%BD%E6%95%B0&amp;diff=2983"/>
		<updated>2026-05-01T12:56:50Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Phyrion：​重定向页面至忙碌海狸函数&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;#重定向 [[忙碌海狸函数]]&lt;br /&gt;
注：不是指求和符号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
关键词: Σ&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Phyrion</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E7%94%A8%E6%88%B7:Phyrion/PPS&amp;diff=2956</id>
		<title>用户:Phyrion/PPS</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E7%94%A8%E6%88%B7:Phyrion/PPS&amp;diff=2956"/>
		<updated>2026-03-03T17:43:47Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Phyrion：​/* 2.凭什么能确定它就是多一层ε？ */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;有关PPS良序极限是ζ0的一些解释：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 1.ζ0的基本列到底有什么规律？我好像看不出来？ ====&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,18,9,3,0,26&amp;lt;/span&amp;gt;=ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它由0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,19&amp;lt;/span&amp;gt;展开&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,19,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,28,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,33,29,18,9,3,0,39&amp;lt;/span&amp;gt;=ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它由0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,19,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,28,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,33,30&amp;lt;/span&amp;gt;展开&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,19,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,28,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,33,30,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,41,29,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,47,42,29,18,9,3,0,54&amp;lt;/span&amp;gt;=ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它由0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,19,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,28,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,33,30,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,41,29,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,47,43&amp;lt;/span&amp;gt;展开&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,19,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,28,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,33,30,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,41,29,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,47,43,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,56,42,29,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,63,57,42,29,18,9,3,0,71&amp;lt;/span&amp;gt;=ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它由0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,19,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,28,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,33,30,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,41,29,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,47,43,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,56,42,29,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,63,58&amp;lt;/span&amp;gt;展开&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 2.凭什么能确定它就是多一层ε？ ====&lt;br /&gt;
扽西结论。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
当出现连续n个相邻的非0项时，如果有一项指向这几个项的最后一项，那么它就需要强展开n次。而强展开次数与该项代表的ε层数强正相关。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,18,9,3,0,26&amp;lt;/span&amp;gt;是首次出现连续4个相邻非0项的表达式，也就是末项要强展开4次，它是ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,19,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,28,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,33,30,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,41,29,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,47,42,29,18,9,3,0,54&amp;lt;/span&amp;gt;是首次出现连续5个相邻非0项的表达式，它是ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以此类推。&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Phyrion</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2955</id>
		<title>PPS</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2955"/>
		<updated>2026-03-03T17:37:52Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Phyrion：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;Parented Predecessor Sequence(PPS)&#039;&#039;&#039;是由3184创造的一个序列记号，其父项定位方式是[[项定位方式#2.标记父项位置|标记父项位置]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS有着较为简单的定义，但分析它却极为复杂和困难。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年8月，PPS2被发现[[无穷降链]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年12月10日，PPS1被发现无穷降链。所有PPS衍生物亦未能幸免。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2026年3月2日，PPS1的良序极限已被证实为&amp;lt;math&amp;gt;\zeta_0&amp;lt;/math&amp;gt;。有关良序极限的一些解释，可以见[[用户:Phyrion/PPS|此处]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对PPS无穷降链的寻找可使用[https://github.com/hzyhhzy/AutoGuogaoMachine/tree/master 自动果糕机]进行辅助。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
后续phyrion在25年圣诞节前连夜修改了10+个版本，亦未能避免无穷降链，不过受部分启发提出了[[PRRS]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
前排提示：PPS的行为极其复杂，是标准的“果糕“记号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 定义 ===&lt;br /&gt;
以下为PPS1的定义。PPS2和PPS3的问题较为明显且未能修改PPS1的不足之处，因此不在此给出定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS是形如0,1,0,3这样用逗号分隔的序列（序列首项是第1项）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：0,1,2,3,4,5,......&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记末项的值为x，坏根为第x项，坏根的值为b，末项是序列中的第y项，并令L=y-x&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
展开：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1.如果末项是0，则它是后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2.末项之前的部分保持不变&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3.替换末项：如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，那么将末项的值换成b；否则将末项的值减1&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
4.递归生成其他项(第i+L项的值由第i项确定)：对任意的i&amp;gt;x，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
5.基本列[n]为展开到第y+n*L-1项&lt;br /&gt;
=== 分析 ===&lt;br /&gt;
另见[[PPS分析]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS的分析是极为困难的，即便是一些分析力很强的googologist，如mtl、zcmx，都曾在PPS上折戟。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 地府段 ===&lt;br /&gt;
PPS有部分从表达式上看差距不大，但分析却极为困难且需要大量篇幅的段落，它们被称为地府段，简称地府。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第一部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10 ====&lt;br /&gt;
[[文件:pcf 25-07-22.jpg|缩略图|2025年7月22日，来自PCF]]&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10是地府的第一层。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它们分别对应序数&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}\times 2}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
和&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_{\varepsilon_0}+1}}}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
几位扽西力较强的gggist合力也用了近五天才把它扽出来。在分析表格中，它们占用了超过两百行。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第二部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10 ====&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10是地府的第二层。这之间还有不计其数的地府第一层的结构。分析它更是难上加难，&#039;&#039;&#039;四百行&#039;&#039;&#039;扽西也仅仅只能在第二层地府中踏出小而无力的一步。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
不过，它已经被发现了无穷降链，或许这就是第二地府分析困难的原因。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 良序极限 ===&lt;br /&gt;
PPS的良序极限为&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,21,19,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,0,3,0,28,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,33,30,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,0,3,0,41,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,47,43,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,0,3,0,56,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,63,58,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,0,3,0,73,57,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,81,75,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,0,3,0,92,74,57,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,101,94,57,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,0,3,0,113,93,74,57,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,123,115,74,57,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,0,3,0,136,114,93,74,57,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,147,138,93,74,57,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,0,3,0,161,137,114,93,74,57,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,173,163,114,93,74,57,42,29,18,9......&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它的大小已被确定为ζ_0。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其基本列为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,26=ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,39=ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,29,18,9,3,0,47,42,29,18,9,3,0,54=ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,29,18,9,3,0,47,43,18,9,3,0,0,3,0,56,42,29,18,9,3,0,63,57,42,29,18,9,3,0,71=ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,29,18,9,3,0,47,43,18,9,3,0,0,3,0,56,42,29,18,9,3,0,63,58,29,18,9,3,0,0,3,0,73,57,42,29,18,9,3,0,81,74,57,42,29,18,9,3,0,90=ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
......&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 改版 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 1.2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 1,2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，则比较[以这个项为首的判断序列]和[以坏根为首的判断序列]的字典序，如果前者大(只要存在一个)∨(坏根不在末项祖先链上∧这样的项存在)则弱展开，如果后者大∨这样的项不存在则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L+1，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 3 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 3&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：{&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列以右整数个复制单元长度的列展开：强展开时LNZ行元素的值每次复制时增加一个复制单元长度，其他同“其他项展开”&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项{{默认排序:序数记号}}&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Phyrion</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E7%94%A8%E6%88%B7:Phyrion/PPS&amp;diff=2954</id>
		<title>用户:Phyrion/PPS</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E7%94%A8%E6%88%B7:Phyrion/PPS&amp;diff=2954"/>
		<updated>2026-03-03T17:33:50Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Phyrion：​/* 2.凭什么能确定它就是多一层ε？ */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;有关PPS良序极限是ζ0的一些解释：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 1.ζ0的基本列到底有什么规律？我好像看不出来？ ====&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,18,9,3,0,26&amp;lt;/span&amp;gt;=ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它由0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,19&amp;lt;/span&amp;gt;展开&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,19,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,28,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,33,29,18,9,3,0,39&amp;lt;/span&amp;gt;=ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它由0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,19,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,28,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,33,30&amp;lt;/span&amp;gt;展开&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,19,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,28,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,33,30,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,41,29,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,47,42,29,18,9,3,0,54&amp;lt;/span&amp;gt;=ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它由0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,19,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,28,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,33,30,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,41,29,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,47,43&amp;lt;/span&amp;gt;展开&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,19,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,28,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,33,30,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,41,29,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,47,43,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,56,42,29,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,63,57,42,29,18,9,3,0,71&amp;lt;/span&amp;gt;=ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它由0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,19,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,28,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,33,30,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,41,29,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,47,43,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,56,42,29,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,63,58&amp;lt;/span&amp;gt;展开&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 2.凭什么能确定它就是多一层ε？ ====&lt;br /&gt;
扽西结果。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
当出现连续n个相邻的非0项时，如果有一项指向这几个项的最后一项，那么它就需要强展开n次。而强展开次数与该项代表的ε层数强正相关。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,18,9,3,0,26&amp;lt;/span&amp;gt;是首次出现连续4个相邻非0项的表达式，也就是末项要强展开4次，它是ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,19,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,28,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,33,30,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,41,29,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,47,42,29,18,9,3,0,54&amp;lt;/span&amp;gt;是首次出现连续5个相邻非0项的表达式，它是ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以此类推。&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Phyrion</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E7%94%A8%E6%88%B7:Phyrion/PPS&amp;diff=2953</id>
		<title>用户:Phyrion/PPS</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E7%94%A8%E6%88%B7:Phyrion/PPS&amp;diff=2953"/>
		<updated>2026-03-03T17:31:24Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Phyrion：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;有关PPS良序极限是ζ0的一些解释：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 1.ζ0的基本列到底有什么规律？我好像看不出来？ ====&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,18,9,3,0,26&amp;lt;/span&amp;gt;=ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它由0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,19&amp;lt;/span&amp;gt;展开&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,19,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,28,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,33,29,18,9,3,0,39&amp;lt;/span&amp;gt;=ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它由0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,19,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,28,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,33,30&amp;lt;/span&amp;gt;展开&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,19,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,28,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,33,30,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,41,29,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,47,42,29,18,9,3,0,54&amp;lt;/span&amp;gt;=ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它由0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,19,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,28,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,33,30,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,41,29,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,47,43&amp;lt;/span&amp;gt;展开&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,19,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,28,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,33,30,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,41,29,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,47,43,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,56,42,29,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,63,57,42,29,18,9,3,0,71&amp;lt;/span&amp;gt;=ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它由0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,19,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,28,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,33,30,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,41,29,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,47,43,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,56,42,29,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,63,58&amp;lt;/span&amp;gt;展开&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 2.凭什么能确定它就是多一层ε？ ====&lt;br /&gt;
扽西结果。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
当出现连续n个相邻的非0项时，如果有一项指向这几个项的最后一项，那么它就需要强展开n次。而强展开次数与该项代表的ε层数强相关。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,18,9,3,0,26&amp;lt;/span&amp;gt;是首次出现连续4个相邻非0项的表达式，它是ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,19,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,28,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,33,30,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,41,29,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,47,42,29,18,9,3,0,54&amp;lt;/span&amp;gt;是首次出现连续5个相邻非0项的表达式，它是ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以此类推。&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Phyrion</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E7%94%A8%E6%88%B7:Phyrion/PPS&amp;diff=2952</id>
		<title>用户:Phyrion/PPS</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E7%94%A8%E6%88%B7:Phyrion/PPS&amp;diff=2952"/>
		<updated>2026-03-03T17:22:01Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Phyrion：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;有关PPS良序极限是ζ0的一些解释：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1.ζ0的基本列到底有什么规律？我好像看不出来？&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,18,9,3,0,26&amp;lt;/span&amp;gt;=ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它由0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,19&amp;lt;/span&amp;gt;展开&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,19,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,28,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,33,29,18,9,3,0,39&amp;lt;/span&amp;gt;=ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它由0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,19,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,28,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,33,30&amp;lt;/span&amp;gt;展开&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,19,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,28,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,33,30,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,41,29,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,47,42,29,18,9,3,0,54&amp;lt;/span&amp;gt;=ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它由0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,19,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,28,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,33,30,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,41,29,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,47,43&amp;lt;/span&amp;gt;展开&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,19,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,28,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,33,30,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,41,29,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,47,43,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,56,42,29,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,63,57,42,29,18,9,3,0,71&amp;lt;/span&amp;gt;=ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它由0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,19,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,28,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,33,30,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,41,29,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,47,43,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,56,42,29,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,63,58&amp;lt;/span&amp;gt;展开&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Phyrion</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E7%94%A8%E6%88%B7:Phyrion&amp;diff=2951</id>
		<title>用户:Phyrion</title>
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		<updated>2026-03-03T17:17:33Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Phyrion：​创建页面，内容为“本wiki的站长  求资助qwq”&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;本wiki的站长&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
求资助qwq&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Phyrion</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E7%94%A8%E6%88%B7:Phyrion/PPS&amp;diff=2950</id>
		<title>用户:Phyrion/PPS</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E7%94%A8%E6%88%B7:Phyrion/PPS&amp;diff=2950"/>
		<updated>2026-03-03T17:16:27Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Phyrion：​创建页面，内容为“有关PPS良序极限是ζ0的一些解释：  1.ζ0的基本列到底有什么规律？我好像看不出来？  0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,18,9,3,0,26&amp;lt;/span&amp;gt;=ε_ε_ε_ε_ε_ε_0  它由0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,19&amp;lt;/span&amp;gt;展开  0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,19,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,28,18,9,&amp;lt;/span…”&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;有关PPS良序极限是ζ0的一些解释：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1.ζ0的基本列到底有什么规律？我好像看不出来？&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,18,9,3,0,26&amp;lt;/span&amp;gt;=ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它由0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,19&amp;lt;/span&amp;gt;展开&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,19,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,28,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,33,29,18,9,3,0,39&amp;lt;/span&amp;gt;=ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它由0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,19,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,28,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,33,30&amp;lt;/span&amp;gt;展开&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,19,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,28,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,33,30,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,41,29,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,47,42,29,18,9,3,0,54&amp;lt;/span&amp;gt;=ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它由0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,21,19,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,28,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,33,30,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;3,0,0,3,0,41,29,18,9,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;3,0,47,43&amp;lt;/span&amp;gt;展开&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Phyrion</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2938</id>
		<title>PPS</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2938"/>
		<updated>2026-03-02T16:45:32Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Phyrion：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;Parented Predecessor Sequence(PPS)&#039;&#039;&#039;是由3184创造的一个序列记号，其父项定位方式是[[项定位方式#2.标记父项位置|标记父项位置]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS有着较为简单的定义，但分析它却极为复杂和困难。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年8月，PPS2被发现[[无穷降链]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年12月10日，PPS1被发现无穷降链。所有PPS衍生物亦未能幸免。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2026年3月2日，PPS1的良序极限已被证实为&amp;lt;math&amp;gt;\zeta_0&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对PPS无穷降链的寻找可使用[https://github.com/hzyhhzy/AutoGuogaoMachine/tree/master 自动果糕机]进行辅助。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
后续phyrion在25年圣诞节前连夜修改了10+个版本，亦未能避免无穷降链，不过受部分启发提出了[[PRRS]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
前排提示：PPS的行为极其复杂，是标准的“果糕“记号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 定义 ===&lt;br /&gt;
以下为PPS1的定义。PPS2和PPS3的问题较为明显且未能修改PPS1的不足之处，因此不在此给出定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS是形如0,1,0,3这样用逗号分隔的序列（序列首项是第1项）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：0,1,2,3,4,5,......&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记末项的值为x，坏根为第x项，坏根的值为b，末项是序列中的第y项，并令L=y-x&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
展开：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1.如果末项是0，则它是后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2.末项之前的部分保持不变&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3.替换末项：如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，那么将末项的值换成b；否则将末项的值减1&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
4.递归生成其他项(第i+L项的值由第i项确定)：对任意的i&amp;gt;x，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
5.基本列[n]为展开到第y+n*L-1项&lt;br /&gt;
=== 分析 ===&lt;br /&gt;
另见[[PPS分析]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS的分析是极为困难的，即便是一些分析力很强的googologist，如mtl、zcmx，都曾在PPS上折戟。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 地府段 ===&lt;br /&gt;
PPS有部分从表达式上看差距不大，但分析却极为困难且需要大量篇幅的段落，它们被称为地府段，简称地府。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第一部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10 ====&lt;br /&gt;
[[文件:pcf 25-07-22.jpg|缩略图|2025年7月22日，来自PCF]]&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10是地府的第一层。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它们分别对应序数&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}\times 2}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
和&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_{\varepsilon_0}+1}}}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
几位扽西力较强的gggist合力也用了近五天才把它扽出来。在分析表格中，它们占用了超过两百行。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第二部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10 ====&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10是地府的第二层。这之间还有不计其数的地府第一层的结构。分析它更是难上加难，&#039;&#039;&#039;四百行&#039;&#039;&#039;扽西也仅仅只能在第二层地府中踏出小而无力的一步。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
不过，它已经被发现了无穷降链，或许这就是第二地府分析困难的原因。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 良序极限 ===&lt;br /&gt;
PPS的良序极限为&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,21,19,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,0,3,0,28,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,33,30,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,0,3,0,41,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,47,43,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,0,3,0,56,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,63,58,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,0,3,0,73,57,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,81,75,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,0,3,0,92,74,57,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,101,94,57,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,0,3,0,113,93,74,57,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,123,115,74,57,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,0,3,0,136,114,93,74,57,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,147,138,93,74,57,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,0,3,0,161,137,114,93,74,57,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,173,163,114,93,74,57,42,29,18,9......&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它的大小已被确定为ζ_0。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其基本列为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,26=ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,39=ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,29,18,9,3,0,47,42,29,18,9,3,0,54=ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,29,18,9,3,0,47,43,18,9,3,0,0,3,0,56,42,29,18,9,3,0,63,57,42,29,18,9,3,0,71=ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,29,18,9,3,0,47,43,18,9,3,0,0,3,0,56,42,29,18,9,3,0,63,58,29,18,9,3,0,0,3,0,73,57,42,29,18,9,3,0,81,74,57,42,29,18,9,3,0,90=ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
......&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 改版 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 1.2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 1,2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，则比较[以这个项为首的判断序列]和[以坏根为首的判断序列]的字典序，如果前者大(只要存在一个)∨(坏根不在末项祖先链上∧这样的项存在)则弱展开，如果后者大∨这样的项不存在则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L+1，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 3 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 3&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：{&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列以右整数个复制单元长度的列展开：强展开时LNZ行元素的值每次复制时增加一个复制单元长度，其他同“其他项展开”&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项{{默认排序:序数记号}}&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Phyrion</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2937</id>
		<title>PPS</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2937"/>
		<updated>2026-03-02T16:43:07Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Phyrion：​/* 良序极限 */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;Parented Predecessor Sequence(PPS)&#039;&#039;&#039;是由3184创造的一个序列记号，其父项定位方式是[[项定位方式#2.标记父项位置|标记父项位置]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS有着较为简单的定义，但分析它却极为复杂和困难。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年8月，PPS2被发现[[无穷降链]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年12月10日，PPS1被发现无穷降链。所有PPS衍生物亦未能幸免。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2026年3月2日，PPS1的良序极限已被证实为&amp;lt;math&amp;gt;\zeta_0&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对PPS无穷降链的寻找可使用[https://github.com/hzyhhzy/AutoGuogaoMachine/tree/master 自动果糕机]进行辅助。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
后续phyrion在圣诞节前连夜修改了10+个版本，亦未能避免无穷降链，不过受部分启发提出了[[PRRS]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
前排提示：PPS的行为极其复杂，是标准的“果糕“记号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 定义 ===&lt;br /&gt;
以下为PPS1的定义。PPS2和PPS3的问题较为明显且未能修改PPS1的不足之处，因此不在此给出定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS是形如0,1,0,3这样用逗号分隔的序列（序列首项是第1项）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：0,1,2,3,4,5,......&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记末项的值为x，坏根为第x项，坏根的值为b，末项是序列中的第y项，并令L=y-x&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
展开：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1.如果末项是0，则它是后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2.末项之前的部分保持不变&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3.替换末项：如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，那么将末项的值换成b；否则将末项的值减1&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
4.递归生成其他项(第i+L项的值由第i项确定)：对任意的i&amp;gt;x，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
5.基本列[n]为展开到第y+n*L-1项&lt;br /&gt;
=== 分析 ===&lt;br /&gt;
另见[[PPS分析]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS的分析是极为困难的，即便是一些分析力很强的googologist，如mtl、zcmx，都曾在PPS上折戟。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 地府段 ===&lt;br /&gt;
PPS有部分从表达式上看差距不大，但分析却极为困难且需要大量篇幅的段落，它们被称为地府段，简称地府。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第一部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10 ====&lt;br /&gt;
[[文件:pcf 25-07-22.jpg|缩略图|2025年7月22日，来自PCF]]&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10是地府的第一层。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它们分别对应序数&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}\times 2}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
和&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_{\varepsilon_0}+1}}}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
几位扽西力较强的gggist合力也用了近五天才把它扽出来。在分析表格中，它们占用了超过两百行。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第二部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10 ====&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10是地府的第二层。这之间还有不计其数的地府第一层的结构。分析它更是难上加难，&#039;&#039;&#039;四百行&#039;&#039;&#039;扽西也仅仅只能在第二层地府中踏出小而无力的一步。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
不过，它已经被发现了无穷降链，或许这就是第二地府分析困难的原因。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 良序极限 ===&lt;br /&gt;
PPS的良序极限为&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,21,19,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,0,3,0,28,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,33,30,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,0,3,0,41,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,47,43,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,0,3,0,56,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,63,58,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,0,3,0,73,57,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,81,75,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,0,3,0,92,74,57,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,101,94,57,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,0,3,0,113,93,74,57,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,123,115,74,57,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,0,3,0,136,114,93,74,57,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,147,138,93,74,57,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,0,3,0,161,137,114,93,74,57,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,173,163,114,93,74,57,42,29,18,9......&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它的大小已被确定为ζ_0。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其基本列为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,26=ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,39=ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,29,18,9,3,0,47,42,29,18,9,3,0,54=ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,29,18,9,3,0,47,43,18,9,3,0,0,3,0,56,42,29,18,9,3,0,63,57,42,29,18,9,3,0,71=ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,29,18,9,3,0,47,43,18,9,3,0,0,3,0,56,42,29,18,9,3,0,63,58,29,18,9,3,0,0,3,0,73,57,42,29,18,9,3,0,81,74,57,42,29,18,9,3,0,90=ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
......&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 改版 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 1.2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 1,2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，则比较[以这个项为首的判断序列]和[以坏根为首的判断序列]的字典序，如果前者大(只要存在一个)∨(坏根不在末项祖先链上∧这样的项存在)则弱展开，如果后者大∨这样的项不存在则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L+1，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 3 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 3&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：{&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列以右整数个复制单元长度的列展开：强展开时LNZ行元素的值每次复制时增加一个复制单元长度，其他同“其他项展开”&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项{{默认排序:序数记号}}&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Phyrion</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2936</id>
		<title>PPS</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2936"/>
		<updated>2026-03-02T16:38:02Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Phyrion：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;Parented Predecessor Sequence(PPS)&#039;&#039;&#039;是由3184创造的一个序列记号，其父项定位方式是[[项定位方式#2.标记父项位置|标记父项位置]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS有着较为简单的定义，但分析它却极为复杂和困难。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年8月，PPS2被发现[[无穷降链]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年12月10日，PPS1被发现无穷降链。所有PPS衍生物亦未能幸免。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2026年3月2日，PPS1的良序极限已被证实为&amp;lt;math&amp;gt;\zeta_0&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对PPS无穷降链的寻找可使用[https://github.com/hzyhhzy/AutoGuogaoMachine/tree/master 自动果糕机]进行辅助。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
后续phyrion在圣诞节前连夜修改了10+个版本，亦未能避免无穷降链，不过受部分启发提出了[[PRRS]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
前排提示：PPS的行为极其复杂，是标准的“果糕“记号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 定义 ===&lt;br /&gt;
以下为PPS1的定义。PPS2和PPS3的问题较为明显且未能修改PPS1的不足之处，因此不在此给出定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS是形如0,1,0,3这样用逗号分隔的序列（序列首项是第1项）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：0,1,2,3,4,5,......&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记末项的值为x，坏根为第x项，坏根的值为b，末项是序列中的第y项，并令L=y-x&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
展开：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1.如果末项是0，则它是后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2.末项之前的部分保持不变&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3.替换末项：如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，那么将末项的值换成b；否则将末项的值减1&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
4.递归生成其他项(第i+L项的值由第i项确定)：对任意的i&amp;gt;x，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
5.基本列[n]为展开到第y+n*L-1项&lt;br /&gt;
=== 分析 ===&lt;br /&gt;
另见[[PPS分析]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS的分析是极为困难的，即便是一些分析力很强的googologist，如mtl、zcmx，都曾在PPS上折戟。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 地府段 ===&lt;br /&gt;
PPS有部分从表达式上看差距不大，但分析却极为困难且需要大量篇幅的段落，它们被称为地府段，简称地府。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第一部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10 ====&lt;br /&gt;
[[文件:pcf 25-07-22.jpg|缩略图|2025年7月22日，来自PCF]]&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10是地府的第一层。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它们分别对应序数&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}\times 2}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
和&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_{\varepsilon_0}+1}}}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
几位扽西力较强的gggist合力也用了近五天才把它扽出来。在分析表格中，它们占用了超过两百行。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第二部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10 ====&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10是地府的第二层。这之间还有不计其数的地府第一层的结构。分析它更是难上加难，&#039;&#039;&#039;四百行&#039;&#039;&#039;扽西也仅仅只能在第二层地府中踏出小而无力的一步。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
不过，它已经被发现了无穷降链，或许这就是第二地府分析困难的原因。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 良序极限 ===&lt;br /&gt;
PPS的良序极限为&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,21,19,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,0,3,0,28,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,33,30,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,0,3,0,41,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,47,43,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,0,3,0,56,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,63,58,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,0,3,0,73,57,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,81,75,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,0,3,0,92,74,57,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,101,94,57,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,0,3,0,113,93,74,57,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,123,115,74,57,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,0,3,0,136,114,93,74,57,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,147,138,93,74,57,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,0,3,0,161,137,114,93,74,57,42,29,18,9,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3,0,173,163,114,93,74,57,42,29,18,9......&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 改版 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 1.2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 1,2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，则比较[以这个项为首的判断序列]和[以坏根为首的判断序列]的字典序，如果前者大(只要存在一个)∨(坏根不在末项祖先链上∧这样的项存在)则弱展开，如果后者大∨这样的项不存在则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L+1，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 3 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 3&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：{&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列以右整数个复制单元长度的列展开：强展开时LNZ行元素的值每次复制时增加一个复制单元长度，其他同“其他项展开”&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项{{默认排序:序数记号}}&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Phyrion</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%9F%BA%E6%95%B0&amp;diff=2935</id>
		<title>基数</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%9F%BA%E6%95%B0&amp;diff=2935"/>
		<updated>2026-03-02T13:22:30Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Phyrion：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;基数&#039;&#039;&#039;&amp;lt;ref&amp;gt;冯琦. (1998). 集合论导引[M]. 北京: 科学出版社.&amp;lt;/ref&amp;gt;是一类特殊的[[序数]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 定义 ====&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
我们说两个集合 &amp;lt;math&amp;gt;A,B&amp;lt;/math&amp;gt; &#039;&#039;&#039;等势&#039;&#039;&#039;，当且仅当在它们之间存在一个&#039;&#039;&#039;双射（一一对应）&#039;&#039;&#039;，记为 &amp;lt;math&amp;gt;|A|=|B|&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于任意一个序数 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 而言，&amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的&#039;&#039;&#039;势&#039;&#039;&#039;，记为 &amp;lt;math&amp;gt;|\alpha|&amp;lt;/math&amp;gt;，是与 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 等势的最小序数，即&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;|\alpha| = \min\{\beta \leq \alpha\ |\ |\alpha|=|\beta|\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个序数 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 是&#039;&#039;&#039;基数&#039;&#039;&#039;，当且仅当 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha=|\alpha|&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 基数上的序关系 ====&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基数的&#039;&#039;&#039;序&#039;&#039;&#039;被定义为如下形式&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;|X| \leq |Y|&amp;lt;/math&amp;gt;，如果存在一个单射自 &amp;lt;math&amp;gt;X&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;Y&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
我们同样可以定义严格序&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;|X| &amp;lt; |Y|&amp;lt;/math&amp;gt; 表示 &amp;lt;math&amp;gt;|X| \leq |Y|&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;|X| \neq |Y|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
例：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;|A|&amp;lt;|\mathfrak{P}(A)|=|\{\emptyset,\{\emptyset\}\}^{A}|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 有限基数和无穷基数（超限基数） ====&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\forall n \in \omega(n=|n|)&amp;lt;/math&amp;gt;，这意味着所有的自然数 &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;lt;/math&amp;gt; 都是一个基数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
从而，我们称呼一个集合 &amp;lt;math&amp;gt;X&amp;lt;/math&amp;gt; 的基数是有限的，当且仅当存在一个自然数 &amp;lt;math&amp;gt;n \in \mathbb{N}&amp;lt;/math&amp;gt; 使得 &amp;lt;math&amp;gt;|X|=|n|=n&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
此时我们称呼 &amp;lt;math&amp;gt;X&amp;lt;/math&amp;gt; 是有 &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;lt;/math&amp;gt; 个元素的。&#039;&#039;&#039;有限基数&#039;&#039;&#039;即全体自然数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
若一个基数不是有限的，则我们称它为&#039;&#039;&#039;无穷基数（超限基数）&#039;&#039;&#039;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 极限基数和后继基数 ====&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个基数 &amp;lt;math&amp;gt;k&amp;lt;/math&amp;gt; 是一个&#039;&#039;&#039;后继基数&#039;&#039;&#039;，当且仅当存在一个基数 &amp;lt;math&amp;gt;\lambda&amp;lt;/math&amp;gt;，使得 &amp;lt;math&amp;gt;k&amp;lt;/math&amp;gt; 是最小的大于 &amp;lt;math&amp;gt;\lambda&amp;lt;/math&amp;gt; 的基数，此时也称 &amp;lt;math&amp;gt;k&amp;lt;/math&amp;gt;为&amp;lt;math&amp;gt;\lambda&amp;lt;/math&amp;gt; 的基数后继。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个基数 &amp;lt;math&amp;gt;k&amp;lt;/math&amp;gt; 是一个&#039;&#039;&#039;极限基数&#039;&#039;&#039;，当且仅当对于任意 &amp;lt;math&amp;gt;\lambda &amp;lt; k&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\lambda&amp;lt;/math&amp;gt; 的基数后继也小于 &amp;lt;math&amp;gt;k&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
有以下定理：&lt;br /&gt;
# 若一个[[序数#超限序数|无穷序数]]是基数，我们便称之为&#039;&#039;&#039;阿列夫数&#039;&#039;&#039;；&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{0} = \omega = |\omega|&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\omega&amp;lt;/math&amp;gt;是第一个无穷基数；&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{1} = \omega_{1} = |\omega_{1}|&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\omega_{1}&amp;lt;/math&amp;gt;是第一个不可数基数。&lt;br /&gt;
# 第一个不可数的极限基数为&amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{\omega}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
由此我们定义阿列夫数的递增序列&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{0}=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{\alpha+1}=\omega_{\alpha+1}=\aleph_{\alpha}&amp;lt;/math&amp;gt; 的基数后继&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{\gamma}\text{(}\gamma\text{是非零极限序数)}=\bigcup\{\omega_{\alpha}|\alpha&amp;lt;\gamma\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
我们称一个基数为 &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{0}&amp;lt;/math&amp;gt; 的无穷集合是&#039;&#039;&#039;可数的（countable）&#039;&#039;&#039;，一个基数不为 &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{0}&amp;lt;/math&amp;gt; 的无穷集合是&#039;&#039;&#039;不可数的（uncountable）。&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 基数的运算 ====&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
我们依赖集合的基本运算，来定义基数的运算。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于两个基数 &amp;lt;math&amp;gt;a,b&amp;lt;/math&amp;gt;，有两个基数分别为 &amp;lt;math&amp;gt;a,b&amp;lt;/math&amp;gt; 且&#039;&#039;&#039;互不相交&#039;&#039;&#039;的集合 &amp;lt;math&amp;gt;A,B&amp;lt;/math&amp;gt;，有&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a+b=|A\cup B|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a\cdot b=|A\times B|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a^{b}=|A^{B}|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt;math&amp;gt;A^{B}&amp;lt;/math&amp;gt; 表示全体从 &amp;lt;math&amp;gt;B&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;A&amp;lt;/math&amp;gt; 的映射所构成的集合。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基数有以下的运算规律：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于任意基数 &amp;lt;math&amp;gt;a,b,c&amp;lt;/math&amp;gt;，有：&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a+b=b+a&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a\cdot b=b\cdot a&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a+(b+c)=(a+b)+c&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;(a\cdot b)^{c}=a^{c}\cdot b^{c}&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a^{b+c}=a^{c}\cdot a^{b}&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;(a^b)^{c}=a^{b\cdot c}&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* 如果 &amp;lt;math&amp;gt;a\leq b&amp;lt;/math&amp;gt;，那么 &amp;lt;math&amp;gt;a^{c}\leq b^{c}&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* 如果 &amp;lt;math&amp;gt;0&amp;lt;b\leq a&amp;lt;/math&amp;gt;，那么 &amp;lt;math&amp;gt;c^{b}\leq c^{a}&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a^{0}=1, 1^{b}=b&amp;lt;/math&amp;gt;，若 c 非空，&amp;lt;math&amp;gt;0^{c}=0&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基数有如下定理：&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{\alpha} \cdot \aleph_{\alpha} = \aleph_{\alpha}&amp;lt;/math&amp;gt;，证明见[[无穷基数的平方等于自身]]。 &lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{\alpha}+\aleph_{\beta}=\aleph_{\alpha}\cdot \aleph_{\beta} = \max\{\aleph_{\alpha},\aleph_{\beta}\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 共尾度 ====&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于一个[[良序]]集合 &amp;lt;math&amp;gt;(W,&amp;lt;)&amp;lt;/math&amp;gt; 而言，我们称序数 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 为它的长度或者序型，记成 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha=ot(W,&amp;lt;)&amp;lt;/math&amp;gt;，当且仅当它与 &amp;lt;math&amp;gt;(\alpha,&amp;lt;)&amp;lt;/math&amp;gt; 同构。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
设 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 是一个非零[[序数#极限序数|极限序数]]，&amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的&#039;&#039;&#039;共尾度&#039;&#039;&#039;，记为 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;，由以下等式定义：&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)=\min\{ot(A,&amp;lt;)|A\subseteq \alpha \and \forall \beta(\beta &amp;lt; \alpha \rightarrow \exist \gamma(\gamma \in A\and \beta &amp;lt; \gamma))\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
即，&amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 是 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的最短的无界子集的长度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
设 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha \geq \gamma \geq \omega&amp;lt;/math&amp;gt; 为两个极限序数，那么以下三个命题等价：&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 存在从 &amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的无界单增映射，并且对于任何一个 &amp;lt;math&amp;gt;\eta&amp;lt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;，任意一个从 &amp;lt;math&amp;gt;\eta&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 上的映射一定在 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 中有界&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt; 为最小的序数&amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt;，使得存在一个严格递增的长度为 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数序列 &amp;lt;math&amp;gt;\langle \alpha_{\xi}:\xi&amp;lt;\beta \rangle&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\lim_{\xi\to \beta}\ \alpha_{\xi}=\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
显然，共尾度是一个极限序数且当 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 为极限序数时它的共尾度是正则的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个基数是&#039;&#039;&#039;正则的&#039;&#039;&#039;当且仅当它的共尾度为自身。一个基数是&#039;&#039;&#039;奇异的&#039;&#039;&#039;当且仅当它不是正则的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
有如下定理：&lt;br /&gt;
* 所有后继基数都是正则基数。如&amp;lt;math&amp;gt;\aleph_2&amp;lt;/math&amp;gt;、&amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{\omega+1}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
* 所有奇异基数都是极限基数，如&amp;lt;math&amp;gt;\aleph_\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
正则基数是极限基数的反例：&amp;lt;math&amp;gt;\aleph_0&amp;lt;/math&amp;gt;、不可达基数&amp;lt;math&amp;gt;\kappa&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考资料 ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;references /&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[分类:集合论相关]]&lt;br /&gt;
[[分类:重要概念]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Phyrion</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%9F%BA%E6%95%B0&amp;diff=2934</id>
		<title>基数</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%9F%BA%E6%95%B0&amp;diff=2934"/>
		<updated>2026-03-02T13:14:18Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Phyrion：​撤销Phyrion（讨论）的修订版本2933&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;基数&#039;&#039;&#039;&amp;lt;ref&amp;gt;冯琦. (1998). 集合论导引[M]. 北京: 科学出版社.&amp;lt;/ref&amp;gt;是一类特殊的[[序数]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 定义 ====&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
我们说两个集合 &amp;lt;math&amp;gt;A,B&amp;lt;/math&amp;gt; &#039;&#039;&#039;等势&#039;&#039;&#039;，当且仅当在它们之间存在一个&#039;&#039;&#039;双射（一一对应）&#039;&#039;&#039;，记为 &amp;lt;math&amp;gt;|A|=|B|&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于任意一个序数 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 而言，&amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的&#039;&#039;&#039;势&#039;&#039;&#039;，记为 &amp;lt;math&amp;gt;|\alpha|&amp;lt;/math&amp;gt;，是与 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 等势的最小序数，即&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;|\alpha| = \min\{\beta \leq \alpha\ |\ |\alpha|=|\beta|\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个序数 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 是&#039;&#039;&#039;基数&#039;&#039;&#039;，当且仅当 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha=|\alpha|&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 基数上的序关系 ====&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基数的&#039;&#039;&#039;序&#039;&#039;&#039;被定义为如下形式&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;|X| \leq |Y|&amp;lt;/math&amp;gt;，如果存在一个单射自 &amp;lt;math&amp;gt;X&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;Y&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
我们同样可以定义严格序&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;|X| &amp;lt; |Y|&amp;lt;/math&amp;gt; 表示 &amp;lt;math&amp;gt;|X| \leq |Y|&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;|X| \neq |Y|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
例：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;|A|&amp;lt;|\mathfrak{P}(A)|=|\{\emptyset,\{\emptyset\}\}^{A}|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 有限基数和无穷基数（超限基数） ====&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\forall n \in \omega(n=|n|)&amp;lt;/math&amp;gt;，这意味着所有的自然数 &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;lt;/math&amp;gt; 都是一个基数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
从而，我们称呼一个集合 &amp;lt;math&amp;gt;X&amp;lt;/math&amp;gt; 的基数是有限的，当且仅当存在一个自然数 &amp;lt;math&amp;gt;n \in \mathbb{N}&amp;lt;/math&amp;gt; 使得 &amp;lt;math&amp;gt;|X|=|n|=n&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
此时我们称呼 &amp;lt;math&amp;gt;X&amp;lt;/math&amp;gt; 是有 &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;lt;/math&amp;gt; 个元素的。&#039;&#039;&#039;有限基数&#039;&#039;&#039;即全体自然数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
若一个基数不是有限的，则我们称它为&#039;&#039;&#039;无穷基数（超限基数）&#039;&#039;&#039;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 极限基数和后继基数 ====&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个基数 &amp;lt;math&amp;gt;k&amp;lt;/math&amp;gt; 是一个&#039;&#039;&#039;后继基数&#039;&#039;&#039;，当且仅当存在一个基数 &amp;lt;math&amp;gt;\lambda&amp;lt;/math&amp;gt;，使得 &amp;lt;math&amp;gt;k&amp;lt;/math&amp;gt; 是最小的大于 &amp;lt;math&amp;gt;\lambda&amp;lt;/math&amp;gt; 的基数，此时也称 &amp;lt;math&amp;gt;k&amp;lt;/math&amp;gt;为&amp;lt;math&amp;gt;\lambda&amp;lt;/math&amp;gt; 的基数后继。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个基数 &amp;lt;math&amp;gt;k&amp;lt;/math&amp;gt; 是一个&#039;&#039;&#039;极限基数&#039;&#039;&#039;，当且仅当对于任意 &amp;lt;math&amp;gt;\lambda &amp;lt; k&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\lambda&amp;lt;/math&amp;gt; 的基数后继也小于 &amp;lt;math&amp;gt;k&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
有以下定理：&lt;br /&gt;
# 若一个[[序数#超限序数|无穷序数]]是基数，我们便称之为&#039;&#039;&#039;阿列夫数&#039;&#039;&#039;；&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{0} = \omega = |\omega|&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\omega&amp;lt;/math&amp;gt;是第一个无穷基数；&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{1} = \omega_{1} = |\omega_{1}|&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\omega_{1}&amp;lt;/math&amp;gt;是第一个不可数基数。&lt;br /&gt;
# 第一个不可数的极限基数为&amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{\omega}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
由此我们定义阿列夫数的递增序列&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{0}=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{\alpha+1}=\omega_{\alpha+1}=\aleph_{\alpha}&amp;lt;/math&amp;gt; 的基数后继&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{\gamma}\text{(}\gamma\text{是非零极限序数)}=\bigcup\{\omega_{\alpha}|\alpha&amp;lt;\gamma\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
我们称一个基数为 &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{0}&amp;lt;/math&amp;gt; 的无穷集合是&#039;&#039;&#039;可数的（countable）&#039;&#039;&#039;，一个基数不为 &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{0}&amp;lt;/math&amp;gt; 的无穷集合是&#039;&#039;&#039;不可数的（uncountable）。&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 基数的运算 ====&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
我们依赖集合的基本运算，来定义基数的运算。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于两个基数 &amp;lt;math&amp;gt;a,b&amp;lt;/math&amp;gt;，有两个基数分别为 &amp;lt;math&amp;gt;a,b&amp;lt;/math&amp;gt; 且&#039;&#039;&#039;互不相交&#039;&#039;&#039;的集合 &amp;lt;math&amp;gt;A,B&amp;lt;/math&amp;gt;，有&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a+b=|A\cup B|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a\cdot b=|A\times B|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a^{b}=|A^{B}|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt;math&amp;gt;A^{B}&amp;lt;/math&amp;gt; 表示全体从 &amp;lt;math&amp;gt;B&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;A&amp;lt;/math&amp;gt; 的映射所构成的集合。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基数有以下的运算规律：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于任意基数 &amp;lt;math&amp;gt;a,b,c&amp;lt;/math&amp;gt;，有：&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a+b=b+a&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a\cdot b=b\cdot a&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a+(b+c)=(a+b)+c&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;(a\cdot b)^{c}=a^{c}\cdot b^{c}&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a^{b+c}=a^{c}\cdot a^{b}&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;(a^b)^{c}=a^{b\cdot c}&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* 如果 &amp;lt;math&amp;gt;a\leq b&amp;lt;/math&amp;gt;，那么 &amp;lt;math&amp;gt;a^{c}\leq b^{c}&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* 如果 &amp;lt;math&amp;gt;0&amp;lt;b\leq a&amp;lt;/math&amp;gt;，那么 &amp;lt;math&amp;gt;c^{b}\leq c^{a}&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a^{0}=1, 1^{b}=b&amp;lt;/math&amp;gt;，若 c 非空，&amp;lt;math&amp;gt;0^{c}=0&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基数有如下定理：&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{\alpha} \cdot \aleph_{\alpha} = \aleph_{\alpha}&amp;lt;/math&amp;gt;，证明见[[无穷基数的平方等于自身]]。 &lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{\alpha}+\aleph_{\beta}=\aleph_{\alpha}\cdot \aleph_{\beta} = \max\{\aleph_{\alpha},\aleph_{\beta}\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 共尾度 ====&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于一个[[良序]]集合 &amp;lt;math&amp;gt;(W,&amp;lt;)&amp;lt;/math&amp;gt; 而言，我们称序数 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 为它的长度或者序型，记成 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha=ot(W,&amp;lt;)&amp;lt;/math&amp;gt;，当且仅当它与 &amp;lt;math&amp;gt;(\alpha,&amp;lt;)&amp;lt;/math&amp;gt; 同构。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
设 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 是一个非零[[序数#极限序数|极限序数]]，&amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的&#039;&#039;&#039;共尾度&#039;&#039;&#039;，记为 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;，由以下等式定义：&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)=\min\{ot(A,&amp;lt;)|A\subseteq \alpha \and \forall \beta(\beta &amp;lt; \alpha \rightarrow \exist \gamma(\gamma \in A\and \beta &amp;lt; \gamma))\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
即，&amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 是 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的最短的无界子集的长度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
设 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha \geq \gamma \geq \omega&amp;lt;/math&amp;gt; 为两个极限序数，那么以下三个命题等价：&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 存在从 &amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的无界单增映射，并且对于任何一个 &amp;lt;math&amp;gt;\eta&amp;lt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;，任意一个从 &amp;lt;math&amp;gt;\eta&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 上的映射一定在 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 中有界&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt; 为最小的序数&amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt;，使得存在一个严格递增的长度为 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数序列 &amp;lt;math&amp;gt;\langle \alpha_{\xi}:\xi&amp;lt;\beta \rangle&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\lim_{\xi\to \beta}\ \alpha_{\xi}=\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
显然，共尾度是一个极限序数且当 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 为极限序数时它的共尾度是正则的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个基数是&#039;&#039;&#039;正则的&#039;&#039;&#039;当且仅当它的共尾度为自身。一个基数是&#039;&#039;&#039;奇异的&#039;&#039;&#039;当且仅当它不是正则的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
有如下定理：&lt;br /&gt;
* 所有后继基数都是正则基数。如&amp;lt;math&amp;gt;\aleph_2&amp;lt;/math&amp;gt;、&amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{\omega+1}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
* 所有奇异基数都是极限基数，如&amp;lt;math&amp;gt;\aleph_\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考资料 ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;references /&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[分类:集合论相关]]&lt;br /&gt;
[[分类:重要概念]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Phyrion</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%9F%BA%E6%95%B0&amp;diff=2933</id>
		<title>基数</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%9F%BA%E6%95%B0&amp;diff=2933"/>
		<updated>2026-03-02T13:11:03Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Phyrion：​撤销Phyrion（讨论）的修订版本2932&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;基数&#039;&#039;&#039;&amp;lt;ref&amp;gt;冯琦. (1998). 集合论导引[M]. 北京: 科学出版社.&amp;lt;/ref&amp;gt;是一类特殊的[[序数]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 定义 ====&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
我们说两个集合 &amp;lt;math&amp;gt;A,B&amp;lt;/math&amp;gt; &#039;&#039;&#039;等势&#039;&#039;&#039;，当且仅当在它们之间存在一个&#039;&#039;&#039;双射（一一对应）&#039;&#039;&#039;，记为 &amp;lt;math&amp;gt;|A|=|B|&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于任意一个序数 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 而言，&amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的&#039;&#039;&#039;势&#039;&#039;&#039;，记为 &amp;lt;math&amp;gt;|\alpha|&amp;lt;/math&amp;gt;，是与 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 等势的最小序数，即&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;|\alpha| = \min\{\beta \leq \alpha\ |\ |\alpha|=|\beta|\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个序数 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 是&#039;&#039;&#039;基数&#039;&#039;&#039;，当且仅当 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha=|\alpha|&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 基数上的序关系 ====&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基数的&#039;&#039;&#039;序&#039;&#039;&#039;被定义为如下形式&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;|X| \leq |Y|&amp;lt;/math&amp;gt;，如果存在一个单射自 &amp;lt;math&amp;gt;X&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;Y&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
我们同样可以定义严格序&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;|X| &amp;lt; |Y|&amp;lt;/math&amp;gt; 表示 &amp;lt;math&amp;gt;|X| \leq |Y|&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;|X| \neq |Y|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
例：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;|A|&amp;lt;|\mathfrak{P}(A)|=|\{\emptyset,\{\emptyset\}\}^{A}|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 有限基数和无穷基数（超限基数） ====&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\forall n \in \omega(n=|n|)&amp;lt;/math&amp;gt;，这意味着所有的自然数 &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;lt;/math&amp;gt; 都是一个基数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
从而，我们称呼一个集合 &amp;lt;math&amp;gt;X&amp;lt;/math&amp;gt; 的基数是有限的，当且仅当存在一个自然数 &amp;lt;math&amp;gt;n \in \mathbb{N}&amp;lt;/math&amp;gt; 使得 &amp;lt;math&amp;gt;|X|=|n|=n&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
此时我们称呼 &amp;lt;math&amp;gt;X&amp;lt;/math&amp;gt; 是有 &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;lt;/math&amp;gt; 个元素的。&#039;&#039;&#039;有限基数&#039;&#039;&#039;即全体自然数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
若一个基数不是有限的，则我们称它为&#039;&#039;&#039;无穷基数（超限基数）&#039;&#039;&#039;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 极限基数和后继基数 ====&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个基数 &amp;lt;math&amp;gt;k&amp;lt;/math&amp;gt; 是一个&#039;&#039;&#039;后继基数&#039;&#039;&#039;，当且仅当存在一个基数 &amp;lt;math&amp;gt;\lambda&amp;lt;/math&amp;gt;，使得 &amp;lt;math&amp;gt;k&amp;lt;/math&amp;gt; 是最小的大于 &amp;lt;math&amp;gt;\lambda&amp;lt;/math&amp;gt; 的基数，此时也称 &amp;lt;math&amp;gt;k&amp;lt;/math&amp;gt;为&amp;lt;math&amp;gt;\lambda&amp;lt;/math&amp;gt; 的基数后继。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个基数 &amp;lt;math&amp;gt;k&amp;lt;/math&amp;gt; 是一个&#039;&#039;&#039;极限基数&#039;&#039;&#039;，当且仅当对于任意 &amp;lt;math&amp;gt;\lambda &amp;lt; k&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\lambda&amp;lt;/math&amp;gt; 的基数后继也小于 &amp;lt;math&amp;gt;k&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
有以下定理：&lt;br /&gt;
# 若一个[[序数#超限序数|无穷序数]]是基数，我们便称之为&#039;&#039;&#039;阿列夫数&#039;&#039;&#039;；&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{0} = \omega = |\omega|&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\omega&amp;lt;/math&amp;gt;是第一个无穷基数；&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{1} = \omega_{1} = |\omega_{1}|&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\omega_{1}&amp;lt;/math&amp;gt;是第一个不可数基数。&lt;br /&gt;
# 第一个不可数的极限基数为&amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{\omega}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
由此我们定义阿列夫数的递增序列&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{0}=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{\alpha+1}=\omega_{\alpha+1}=\aleph_{\alpha}&amp;lt;/math&amp;gt; 的基数后继&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{\gamma}\text{(}\gamma\text{是非零极限序数)}=\bigcup\{\omega_{\alpha}|\alpha&amp;lt;\gamma\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
我们称一个基数为 &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{0}&amp;lt;/math&amp;gt; 的无穷集合是&#039;&#039;&#039;可数的（countable）&#039;&#039;&#039;，一个基数不为 &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{0}&amp;lt;/math&amp;gt; 的无穷集合是&#039;&#039;&#039;不可数的（uncountable）。&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 基数的运算 ====&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
我们依赖集合的基本运算，来定义基数的运算。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于两个基数 &amp;lt;math&amp;gt;a,b&amp;lt;/math&amp;gt;，有两个基数分别为 &amp;lt;math&amp;gt;a,b&amp;lt;/math&amp;gt; 且&#039;&#039;&#039;互不相交&#039;&#039;&#039;的集合 &amp;lt;math&amp;gt;A,B&amp;lt;/math&amp;gt;，有&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a+b=|A\cup B|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a\cdot b=|A\times B|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a^{b}=|A^{B}|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt;math&amp;gt;A^{B}&amp;lt;/math&amp;gt; 表示全体从 &amp;lt;math&amp;gt;B&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;A&amp;lt;/math&amp;gt; 的映射所构成的集合。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基数有以下的运算规律：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于任意基数 &amp;lt;math&amp;gt;a,b,c&amp;lt;/math&amp;gt;，有：&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a+b=b+a&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a\cdot b=b\cdot a&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a+(b+c)=(a+b)+c&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;(a\cdot b)^{c}=a^{c}\cdot b^{c}&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a^{b+c}=a^{c}\cdot a^{b}&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;(a^b)^{c}=a^{b\cdot c}&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* 如果 &amp;lt;math&amp;gt;a\leq b&amp;lt;/math&amp;gt;，那么 &amp;lt;math&amp;gt;a^{c}\leq b^{c}&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* 如果 &amp;lt;math&amp;gt;0&amp;lt;b\leq a&amp;lt;/math&amp;gt;，那么 &amp;lt;math&amp;gt;c^{b}\leq c^{a}&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a^{0}=1, 1^{b}=b&amp;lt;/math&amp;gt;，若 c 非空，&amp;lt;math&amp;gt;0^{c}=0&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基数有如下定理：&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{\alpha} \cdot \aleph_{\alpha} = \aleph_{\alpha}&amp;lt;/math&amp;gt;，证明见[[无穷基数的平方等于自身]]。 &lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{\alpha}+\aleph_{\beta}=\aleph_{\alpha}\cdot \aleph_{\beta} = \max\{\aleph_{\alpha},\aleph_{\beta}\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 共尾度 ====&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于一个[[良序]]集合 &amp;lt;math&amp;gt;(W,&amp;lt;)&amp;lt;/math&amp;gt; 而言，我们称序数 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 为它的长度或者序型，记成 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha=ot(W,&amp;lt;)&amp;lt;/math&amp;gt;，当且仅当它与 &amp;lt;math&amp;gt;(\alpha,&amp;lt;)&amp;lt;/math&amp;gt; 同构。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
设 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 是一个非零[[序数#极限序数|极限序数]]，&amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的&#039;&#039;&#039;共尾度&#039;&#039;&#039;，记为 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;，由以下等式定义：&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)=\min\{ot(A,&amp;lt;)|A\subseteq \alpha \and \forall \beta(\beta &amp;lt; \alpha \rightarrow \exist \gamma(\gamma \in A\and \beta &amp;lt; \gamma))\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
即，&amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 是 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的最短的无界子集的长度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
设 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha \geq \gamma \geq \omega&amp;lt;/math&amp;gt; 为两个极限序数，那么以下三个命题等价：&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 存在从 &amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的无界单增映射，并且对于任何一个 &amp;lt;math&amp;gt;\eta&amp;lt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;，任意一个从 &amp;lt;math&amp;gt;\eta&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 上的映射一定在 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 中有界&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt; 为最小的序数&amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt;，使得存在一个严格递增的长度为 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数序列 &amp;lt;math&amp;gt;\langle \alpha_{\xi}:\xi&amp;lt;\beta \rangle&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\lim_{\xi\to \beta}\ \alpha_{\xi}=\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
显然，共尾度是一个极限序数且当 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 为极限序数时它的共尾度是正则的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个基数是&#039;&#039;&#039;正则的&#039;&#039;&#039;当且仅当它的共尾度为自身。一个基数是&#039;&#039;&#039;奇异的&#039;&#039;&#039;当且仅当它不是正则的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
有如下定理：&lt;br /&gt;
* 所有后继基数都是正则基数。如&amp;lt;math&amp;gt;\aleph_2&amp;lt;/math&amp;gt;、&amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{\omega+1}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
* 所有极限基数都是奇异基数。如&amp;lt;math&amp;gt;\aleph_\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考资料 ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;references /&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[分类:集合论相关]]&lt;br /&gt;
[[分类:重要概念]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Phyrion</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%9F%BA%E6%95%B0&amp;diff=2932</id>
		<title>基数</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%9F%BA%E6%95%B0&amp;diff=2932"/>
		<updated>2026-03-02T13:04:22Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Phyrion：​撤销Phyrion（讨论）的修订版本2931&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;基数&#039;&#039;&#039;&amp;lt;ref&amp;gt;冯琦. (1998). 集合论导引[M]. 北京: 科学出版社.&amp;lt;/ref&amp;gt;是一类特殊的[[序数]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 定义 ====&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
我们说两个集合 &amp;lt;math&amp;gt;A,B&amp;lt;/math&amp;gt; &#039;&#039;&#039;等势&#039;&#039;&#039;，当且仅当在它们之间存在一个&#039;&#039;&#039;双射（一一对应）&#039;&#039;&#039;，记为 &amp;lt;math&amp;gt;|A|=|B|&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于任意一个序数 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 而言，&amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的&#039;&#039;&#039;势&#039;&#039;&#039;，记为 &amp;lt;math&amp;gt;|\alpha|&amp;lt;/math&amp;gt;，是与 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 等势的最小序数，即&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;|\alpha| = \min\{\beta \leq \alpha\ |\ |\alpha|=|\beta|\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个序数 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 是&#039;&#039;&#039;基数&#039;&#039;&#039;，当且仅当 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha=|\alpha|&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 基数上的序关系 ====&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基数的&#039;&#039;&#039;序&#039;&#039;&#039;被定义为如下形式&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;|X| \leq |Y|&amp;lt;/math&amp;gt;，如果存在一个单射自 &amp;lt;math&amp;gt;X&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;Y&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
我们同样可以定义严格序&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;|X| &amp;lt; |Y|&amp;lt;/math&amp;gt; 表示 &amp;lt;math&amp;gt;|X| \leq |Y|&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;|X| \neq |Y|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
例：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;|A|&amp;lt;|\mathfrak{P}(A)|=|\{\emptyset,\{\emptyset\}\}^{A}|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 有限基数和无穷基数（超限基数） ====&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\forall n \in \omega(n=|n|)&amp;lt;/math&amp;gt;，这意味着所有的自然数 &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;lt;/math&amp;gt; 都是一个基数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
从而，我们称呼一个集合 &amp;lt;math&amp;gt;X&amp;lt;/math&amp;gt; 的基数是有限的，当且仅当存在一个自然数 &amp;lt;math&amp;gt;n \in \mathbb{N}&amp;lt;/math&amp;gt; 使得 &amp;lt;math&amp;gt;|X|=|n|=n&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
此时我们称呼 &amp;lt;math&amp;gt;X&amp;lt;/math&amp;gt; 是有 &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;lt;/math&amp;gt; 个元素的。&#039;&#039;&#039;有限基数&#039;&#039;&#039;即全体自然数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
若一个基数不是有限的，则我们称它为&#039;&#039;&#039;无穷基数（超限基数）&#039;&#039;&#039;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 极限基数和后继基数 ====&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个基数 &amp;lt;math&amp;gt;k&amp;lt;/math&amp;gt; 是一个&#039;&#039;&#039;后继基数&#039;&#039;&#039;，当且仅当存在一个基数 &amp;lt;math&amp;gt;\lambda&amp;lt;/math&amp;gt;，使得 &amp;lt;math&amp;gt;k&amp;lt;/math&amp;gt; 是最小的大于 &amp;lt;math&amp;gt;\lambda&amp;lt;/math&amp;gt; 的基数，此时也称 &amp;lt;math&amp;gt;k&amp;lt;/math&amp;gt;为&amp;lt;math&amp;gt;\lambda&amp;lt;/math&amp;gt; 的基数后继。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个基数 &amp;lt;math&amp;gt;k&amp;lt;/math&amp;gt; 是一个&#039;&#039;&#039;极限基数&#039;&#039;&#039;，当且仅当对于任意 &amp;lt;math&amp;gt;\lambda &amp;lt; k&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\lambda&amp;lt;/math&amp;gt; 的基数后继也小于 &amp;lt;math&amp;gt;k&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
有以下定理：&lt;br /&gt;
# 若一个[[序数#超限序数|无穷序数]]是基数，我们便称之为&#039;&#039;&#039;阿列夫数&#039;&#039;&#039;；&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{0} = \omega = |\omega|&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\omega&amp;lt;/math&amp;gt;是第一个无穷基数；&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{1} = \omega_{1} = |\omega_{1}|&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\omega_{1}&amp;lt;/math&amp;gt;是第一个不可数基数。&lt;br /&gt;
# 第一个不可数的极限基数为&amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{\omega}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
由此我们定义阿列夫数的递增序列&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{0}=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{\alpha+1}=\omega_{\alpha+1}=\aleph_{\alpha}&amp;lt;/math&amp;gt; 的基数后继&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{\gamma}\text{(}\gamma\text{是非零极限序数)}=\bigcup\{\omega_{\alpha}|\alpha&amp;lt;\gamma\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
我们称一个基数为 &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{0}&amp;lt;/math&amp;gt; 的无穷集合是&#039;&#039;&#039;可数的（countable）&#039;&#039;&#039;，一个基数不为 &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{0}&amp;lt;/math&amp;gt; 的无穷集合是&#039;&#039;&#039;不可数的（uncountable）。&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 基数的运算 ====&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
我们依赖集合的基本运算，来定义基数的运算。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于两个基数 &amp;lt;math&amp;gt;a,b&amp;lt;/math&amp;gt;，有两个基数分别为 &amp;lt;math&amp;gt;a,b&amp;lt;/math&amp;gt; 且&#039;&#039;&#039;互不相交&#039;&#039;&#039;的集合 &amp;lt;math&amp;gt;A,B&amp;lt;/math&amp;gt;，有&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a+b=|A\cup B|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a\cdot b=|A\times B|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a^{b}=|A^{B}|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt;math&amp;gt;A^{B}&amp;lt;/math&amp;gt; 表示全体从 &amp;lt;math&amp;gt;B&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;A&amp;lt;/math&amp;gt; 的映射所构成的集合。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基数有以下的运算规律：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于任意基数 &amp;lt;math&amp;gt;a,b,c&amp;lt;/math&amp;gt;，有：&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a+b=b+a&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a\cdot b=b\cdot a&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a+(b+c)=(a+b)+c&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;(a\cdot b)^{c}=a^{c}\cdot b^{c}&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a^{b+c}=a^{c}\cdot a^{b}&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;(a^b)^{c}=a^{b\cdot c}&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* 如果 &amp;lt;math&amp;gt;a\leq b&amp;lt;/math&amp;gt;，那么 &amp;lt;math&amp;gt;a^{c}\leq b^{c}&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* 如果 &amp;lt;math&amp;gt;0&amp;lt;b\leq a&amp;lt;/math&amp;gt;，那么 &amp;lt;math&amp;gt;c^{b}\leq c^{a}&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a^{0}=1, 1^{b}=b&amp;lt;/math&amp;gt;，若 c 非空，&amp;lt;math&amp;gt;0^{c}=0&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基数有如下定理：&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{\alpha} \cdot \aleph_{\alpha} = \aleph_{\alpha}&amp;lt;/math&amp;gt;，证明见[[无穷基数的平方等于自身]]。 &lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{\alpha}+\aleph_{\beta}=\aleph_{\alpha}\cdot \aleph_{\beta} = \max\{\aleph_{\alpha},\aleph_{\beta}\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 共尾度 ====&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于一个[[良序]]集合 &amp;lt;math&amp;gt;(W,&amp;lt;)&amp;lt;/math&amp;gt; 而言，我们称序数 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 为它的长度或者序型，记成 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha=ot(W,&amp;lt;)&amp;lt;/math&amp;gt;，当且仅当它与 &amp;lt;math&amp;gt;(\alpha,&amp;lt;)&amp;lt;/math&amp;gt; 同构。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
设 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 是一个非零[[序数#极限序数|极限序数]]，&amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的&#039;&#039;&#039;共尾度&#039;&#039;&#039;，记为 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;，由以下等式定义：&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)=\min\{ot(A,&amp;lt;)|A\subseteq \alpha \and \forall \beta(\beta &amp;lt; \alpha \rightarrow \exist \gamma(\gamma \in A\and \beta &amp;lt; \gamma))\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
即，&amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 是 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的最短的无界子集的长度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
设 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha \geq \gamma \geq \omega&amp;lt;/math&amp;gt; 为两个极限序数，那么以下三个命题等价：&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 存在从 &amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的无界单增映射，并且对于任何一个 &amp;lt;math&amp;gt;\eta&amp;lt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;，任意一个从 &amp;lt;math&amp;gt;\eta&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 上的映射一定在 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 中有界&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt; 为最小的序数&amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt;，使得存在一个严格递增的长度为 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数序列 &amp;lt;math&amp;gt;\langle \alpha_{\xi}:\xi&amp;lt;\beta \rangle&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\lim_{\xi\to \beta}\ \alpha_{\xi}=\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
显然，共尾度是一个极限序数且当 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 为极限序数时它的共尾度是正则的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个基数是&#039;&#039;&#039;正则的&#039;&#039;&#039;当且仅当它的共尾度为自身。一个基数是&#039;&#039;&#039;奇异的&#039;&#039;&#039;当且仅当它不是正则的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
有如下定理：&lt;br /&gt;
* 所有后继基数都是正则基数。如&amp;lt;math&amp;gt;\aleph_2&amp;lt;/math&amp;gt;、&amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{\omega+1}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
* 所有奇异基数都是极限基数，如&amp;lt;math&amp;gt;\aleph_\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考资料 ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;references /&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[分类:集合论相关]]&lt;br /&gt;
[[分类:重要概念]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Phyrion</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%9F%BA%E6%95%B0&amp;diff=2931</id>
		<title>基数</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%9F%BA%E6%95%B0&amp;diff=2931"/>
		<updated>2026-03-02T12:56:00Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Phyrion：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;基数&#039;&#039;&#039;&amp;lt;ref&amp;gt;冯琦. (1998). 集合论导引[M]. 北京: 科学出版社.&amp;lt;/ref&amp;gt;是一类特殊的[[序数]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 定义 ====&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
我们说两个集合 &amp;lt;math&amp;gt;A,B&amp;lt;/math&amp;gt; &#039;&#039;&#039;等势&#039;&#039;&#039;，当且仅当在它们之间存在一个&#039;&#039;&#039;双射（一一对应）&#039;&#039;&#039;，记为 &amp;lt;math&amp;gt;|A|=|B|&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于任意一个序数 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 而言，&amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的&#039;&#039;&#039;势&#039;&#039;&#039;，记为 &amp;lt;math&amp;gt;|\alpha|&amp;lt;/math&amp;gt;，是与 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 等势的最小序数，即&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;|\alpha| = \min\{\beta \leq \alpha\ |\ |\alpha|=|\beta|\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个序数 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 是&#039;&#039;&#039;基数&#039;&#039;&#039;，当且仅当 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha=|\alpha|&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 基数上的序关系 ====&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基数的&#039;&#039;&#039;序&#039;&#039;&#039;被定义为如下形式&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;|X| \leq |Y|&amp;lt;/math&amp;gt;，如果存在一个单射自 &amp;lt;math&amp;gt;X&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;Y&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
我们同样可以定义严格序&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;|X| &amp;lt; |Y|&amp;lt;/math&amp;gt; 表示 &amp;lt;math&amp;gt;|X| \leq |Y|&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;|X| \neq |Y|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
例：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;|A|&amp;lt;|\mathfrak{P}(A)|=|\{\emptyset,\{\emptyset\}\}^{A}|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 有限基数和无穷基数（超限基数） ====&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\forall n \in \omega(n=|n|)&amp;lt;/math&amp;gt;，这意味着所有的自然数 &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;lt;/math&amp;gt; 都是一个基数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
从而，我们称呼一个集合 &amp;lt;math&amp;gt;X&amp;lt;/math&amp;gt; 的基数是有限的，当且仅当存在一个自然数 &amp;lt;math&amp;gt;n \in \mathbb{N}&amp;lt;/math&amp;gt; 使得 &amp;lt;math&amp;gt;|X|=|n|=n&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
此时我们称呼 &amp;lt;math&amp;gt;X&amp;lt;/math&amp;gt; 是有 &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;lt;/math&amp;gt; 个元素的。&#039;&#039;&#039;有限基数&#039;&#039;&#039;即全体自然数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
若一个基数不是有限的，则我们称它为&#039;&#039;&#039;无穷基数（超限基数）&#039;&#039;&#039;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 极限基数和后继基数 ====&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个基数 &amp;lt;math&amp;gt;k&amp;lt;/math&amp;gt; 是一个&#039;&#039;&#039;后继基数&#039;&#039;&#039;，当且仅当存在一个基数 &amp;lt;math&amp;gt;\lambda&amp;lt;/math&amp;gt;，使得 &amp;lt;math&amp;gt;k&amp;lt;/math&amp;gt; 是最小的大于 &amp;lt;math&amp;gt;\lambda&amp;lt;/math&amp;gt; 的基数，此时也称 &amp;lt;math&amp;gt;k&amp;lt;/math&amp;gt;为&amp;lt;math&amp;gt;\lambda&amp;lt;/math&amp;gt; 的基数后继。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个基数 &amp;lt;math&amp;gt;k&amp;lt;/math&amp;gt; 是一个&#039;&#039;&#039;极限基数&#039;&#039;&#039;，当且仅当对于任意 &amp;lt;math&amp;gt;\lambda &amp;lt; k&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\lambda&amp;lt;/math&amp;gt; 的基数后继也小于 &amp;lt;math&amp;gt;k&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
有以下定理：&lt;br /&gt;
# 若一个[[序数#超限序数|无穷序数]]是基数，我们便称之为&#039;&#039;&#039;阿列夫数&#039;&#039;&#039;；&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{0} = \omega = |\omega|&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\omega&amp;lt;/math&amp;gt;是第一个无穷基数；&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{1} = \omega_{1} = |\omega_{1}|&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\omega_{1}&amp;lt;/math&amp;gt;是第一个不可数基数。&lt;br /&gt;
# 第一个不可数的极限基数为&amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{\omega}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
由此我们定义阿列夫数的递增序列&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{0}=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{\alpha+1}=\omega_{\alpha+1}=\aleph_{\alpha}&amp;lt;/math&amp;gt; 的基数后继&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{\gamma}\text{(}\gamma\text{是非零极限序数)}=\bigcup\{\omega_{\alpha}|\alpha&amp;lt;\gamma\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
我们称一个基数为 &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{0}&amp;lt;/math&amp;gt; 的无穷集合是&#039;&#039;&#039;可数的（countable）&#039;&#039;&#039;，一个基数不为 &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{0}&amp;lt;/math&amp;gt; 的无穷集合是&#039;&#039;&#039;不可数的（uncountable）。&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 基数的运算 ====&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
我们依赖集合的基本运算，来定义基数的运算。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于两个基数 &amp;lt;math&amp;gt;a,b&amp;lt;/math&amp;gt;，有两个基数分别为 &amp;lt;math&amp;gt;a,b&amp;lt;/math&amp;gt; 且&#039;&#039;&#039;互不相交&#039;&#039;&#039;的集合 &amp;lt;math&amp;gt;A,B&amp;lt;/math&amp;gt;，有&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a+b=|A\cup B|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a\cdot b=|A\times B|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a^{b}=|A^{B}|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt;math&amp;gt;A^{B}&amp;lt;/math&amp;gt; 表示全体从 &amp;lt;math&amp;gt;B&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;A&amp;lt;/math&amp;gt; 的映射所构成的集合。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基数有以下的运算规律：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于任意基数 &amp;lt;math&amp;gt;a,b,c&amp;lt;/math&amp;gt;，有：&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a+b=b+a&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a\cdot b=b\cdot a&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a+(b+c)=(a+b)+c&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;(a\cdot b)^{c}=a^{c}\cdot b^{c}&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a^{b+c}=a^{c}\cdot a^{b}&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;(a^b)^{c}=a^{b\cdot c}&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* 如果 &amp;lt;math&amp;gt;a\leq b&amp;lt;/math&amp;gt;，那么 &amp;lt;math&amp;gt;a^{c}\leq b^{c}&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* 如果 &amp;lt;math&amp;gt;0&amp;lt;b\leq a&amp;lt;/math&amp;gt;，那么 &amp;lt;math&amp;gt;c^{b}\leq c^{a}&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a^{0}=1, 1^{b}=b&amp;lt;/math&amp;gt;，若 c 非空，&amp;lt;math&amp;gt;0^{c}=0&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基数有如下定理：&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{\alpha} \cdot \aleph_{\alpha} = \aleph_{\alpha}&amp;lt;/math&amp;gt;，证明见[[无穷基数的平方等于自身]]。 &lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{\alpha}+\aleph_{\beta}=\aleph_{\alpha}\cdot \aleph_{\beta} = \max\{\aleph_{\alpha},\aleph_{\beta}\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 共尾度 ====&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于一个[[良序]]集合 &amp;lt;math&amp;gt;(W,&amp;lt;)&amp;lt;/math&amp;gt; 而言，我们称序数 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 为它的长度或者序型，记成 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha=ot(W,&amp;lt;)&amp;lt;/math&amp;gt;，当且仅当它与 &amp;lt;math&amp;gt;(\alpha,&amp;lt;)&amp;lt;/math&amp;gt; 同构。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
设 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 是一个非零[[序数#极限序数|极限序数]]，&amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的&#039;&#039;&#039;共尾度&#039;&#039;&#039;，记为 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;，由以下等式定义：&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)=\min\{ot(A,&amp;lt;)|A\subseteq \alpha \and \forall \beta(\beta &amp;lt; \alpha \rightarrow \exist \gamma(\gamma \in A\and \beta &amp;lt; \gamma))\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
即，&amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 是 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的最短的无界子集的长度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
设 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha \geq \gamma \geq \omega&amp;lt;/math&amp;gt; 为两个极限序数，那么以下三个命题等价：&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 存在从 &amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的无界单增映射，并且对于任何一个 &amp;lt;math&amp;gt;\eta&amp;lt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;，任意一个从 &amp;lt;math&amp;gt;\eta&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 上的映射一定在 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 中有界&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt; 为最小的序数&amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt;，使得存在一个严格递增的长度为 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数序列 &amp;lt;math&amp;gt;\langle \alpha_{\xi}:\xi&amp;lt;\beta \rangle&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\lim_{\xi\to \beta}\ \alpha_{\xi}=\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
显然，共尾度是一个极限序数且当 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 为极限序数时它的共尾度是正则的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个基数是&#039;&#039;&#039;正则的&#039;&#039;&#039;当且仅当它的共尾度为自身。一个基数是&#039;&#039;&#039;奇异的&#039;&#039;&#039;当且仅当它不是正则的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
有如下定理：&lt;br /&gt;
* 所有后继基数都是正则基数。如&amp;lt;math&amp;gt;\aleph_2&amp;lt;/math&amp;gt;、&amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{\omega+1}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
* 所有极限基数都是奇异基数。如&amp;lt;math&amp;gt;\aleph_\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考资料 ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;references /&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[分类:集合论相关]]&lt;br /&gt;
[[分类:重要概念]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Phyrion</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%9F%BA%E6%95%B0&amp;diff=2930</id>
		<title>基数</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%9F%BA%E6%95%B0&amp;diff=2930"/>
		<updated>2026-03-02T12:54:01Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Phyrion：​添加例子&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;基数&#039;&#039;&#039;&amp;lt;ref&amp;gt;冯琦. (1998). 集合论导引[M]. 北京: 科学出版社.&amp;lt;/ref&amp;gt;是一类特殊的[[序数]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 定义 ====&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
我们说两个集合 &amp;lt;math&amp;gt;A,B&amp;lt;/math&amp;gt; &#039;&#039;&#039;等势&#039;&#039;&#039;，当且仅当在它们之间存在一个&#039;&#039;&#039;双射（一一对应）&#039;&#039;&#039;，记为 &amp;lt;math&amp;gt;|A|=|B|&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于任意一个序数 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 而言，&amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的&#039;&#039;&#039;势&#039;&#039;&#039;，记为 &amp;lt;math&amp;gt;|\alpha|&amp;lt;/math&amp;gt;，是与 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 等势的最小序数，即&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;|\alpha| = \min\{\beta \leq \alpha\ |\ |\alpha|=|\beta|\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个序数 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 是&#039;&#039;&#039;基数&#039;&#039;&#039;，当且仅当 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha=|\alpha|&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 基数上的序关系 ====&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基数的&#039;&#039;&#039;序&#039;&#039;&#039;被定义为如下形式&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;|X| \leq |Y|&amp;lt;/math&amp;gt;，如果存在一个单射自 &amp;lt;math&amp;gt;X&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;Y&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
我们同样可以定义严格序&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;|X| &amp;lt; |Y|&amp;lt;/math&amp;gt; 表示 &amp;lt;math&amp;gt;|X| \leq |Y|&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;|X| \neq |Y|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
例：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;|A|&amp;lt;|\mathfrak{P}(A)|=|\{\emptyset,\{\emptyset\}\}^{A}|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 有限基数和无穷基数（超限基数） ====&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\forall n \in \omega(n=|n|)&amp;lt;/math&amp;gt;，这意味着所有的自然数 &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;lt;/math&amp;gt; 都是一个基数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
从而，我们称呼一个集合 &amp;lt;math&amp;gt;X&amp;lt;/math&amp;gt; 的基数是有限的，当且仅当存在一个自然数 &amp;lt;math&amp;gt;n \in \mathbb{N}&amp;lt;/math&amp;gt; 使得 &amp;lt;math&amp;gt;|X|=|n|=n&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
此时我们称呼 &amp;lt;math&amp;gt;X&amp;lt;/math&amp;gt; 是有 &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;lt;/math&amp;gt; 个元素的。&#039;&#039;&#039;有限基数&#039;&#039;&#039;即全体自然数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
若一个基数不是有限的，则我们称它为&#039;&#039;&#039;无穷基数（超限基数）&#039;&#039;&#039;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 极限基数和后继基数 ====&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个基数 &amp;lt;math&amp;gt;k&amp;lt;/math&amp;gt; 是一个&#039;&#039;&#039;后继基数&#039;&#039;&#039;，当且仅当存在一个基数 &amp;lt;math&amp;gt;\lambda&amp;lt;/math&amp;gt;，使得 &amp;lt;math&amp;gt;k&amp;lt;/math&amp;gt; 是最小的大于 &amp;lt;math&amp;gt;\lambda&amp;lt;/math&amp;gt; 的基数，此时也称 &amp;lt;math&amp;gt;k&amp;lt;/math&amp;gt;为&amp;lt;math&amp;gt;\lambda&amp;lt;/math&amp;gt; 的基数后继。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个基数 &amp;lt;math&amp;gt;k&amp;lt;/math&amp;gt; 是一个&#039;&#039;&#039;极限基数&#039;&#039;&#039;，当且仅当对于任意 &amp;lt;math&amp;gt;\lambda &amp;lt; k&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\lambda&amp;lt;/math&amp;gt; 的基数后继也小于 &amp;lt;math&amp;gt;k&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
有以下定理：&lt;br /&gt;
# 若一个[[序数#超限序数|无穷序数]]是基数，我们便称之为&#039;&#039;&#039;阿列夫数&#039;&#039;&#039;；&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{0} = \omega = |\omega|&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\omega&amp;lt;/math&amp;gt;是第一个无穷基数；&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{1} = \omega_{1} = |\omega_{1}|&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\omega_{1}&amp;lt;/math&amp;gt;是第一个不可数基数。&lt;br /&gt;
# 第一个不可数的极限基数为&amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{\omega}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
由此我们定义阿列夫数的递增序列&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{0}=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{\alpha+1}=\omega_{\alpha+1}=\aleph_{\alpha}&amp;lt;/math&amp;gt; 的基数后继&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{\gamma}\text{(}\gamma\text{是非零极限序数)}=\bigcup\{\omega_{\alpha}|\alpha&amp;lt;\gamma\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
我们称一个基数为 &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{0}&amp;lt;/math&amp;gt; 的无穷集合是&#039;&#039;&#039;可数的（countable）&#039;&#039;&#039;，一个基数不为 &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{0}&amp;lt;/math&amp;gt; 的无穷集合是&#039;&#039;&#039;不可数的（uncountable）。&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 基数的运算 ====&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
我们依赖集合的基本运算，来定义基数的运算。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于两个基数 &amp;lt;math&amp;gt;a,b&amp;lt;/math&amp;gt;，有两个基数分别为 &amp;lt;math&amp;gt;a,b&amp;lt;/math&amp;gt; 且&#039;&#039;&#039;互不相交&#039;&#039;&#039;的集合 &amp;lt;math&amp;gt;A,B&amp;lt;/math&amp;gt;，有&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a+b=|A\cup B|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a\cdot b=|A\times B|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a^{b}=|A^{B}|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt;math&amp;gt;A^{B}&amp;lt;/math&amp;gt; 表示全体从 &amp;lt;math&amp;gt;B&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;A&amp;lt;/math&amp;gt; 的映射所构成的集合。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基数有以下的运算规律：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于任意基数 &amp;lt;math&amp;gt;a,b,c&amp;lt;/math&amp;gt;，有：&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a+b=b+a&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a\cdot b=b\cdot a&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a+(b+c)=(a+b)+c&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;(a\cdot b)^{c}=a^{c}\cdot b^{c}&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a^{b+c}=a^{c}\cdot a^{b}&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;(a^b)^{c}=a^{b\cdot c}&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* 如果 &amp;lt;math&amp;gt;a\leq b&amp;lt;/math&amp;gt;，那么 &amp;lt;math&amp;gt;a^{c}\leq b^{c}&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* 如果 &amp;lt;math&amp;gt;0&amp;lt;b\leq a&amp;lt;/math&amp;gt;，那么 &amp;lt;math&amp;gt;c^{b}\leq c^{a}&amp;lt;/math&amp;gt;;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a^{0}=1, 1^{b}=b&amp;lt;/math&amp;gt;，若 c 非空，&amp;lt;math&amp;gt;0^{c}=0&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基数有如下定理：&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{\alpha} \cdot \aleph_{\alpha} = \aleph_{\alpha}&amp;lt;/math&amp;gt;，证明见[[无穷基数的平方等于自身]]。 &lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{\alpha}+\aleph_{\beta}=\aleph_{\alpha}\cdot \aleph_{\beta} = \max\{\aleph_{\alpha},\aleph_{\beta}\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 共尾度 ====&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于一个[[良序]]集合 &amp;lt;math&amp;gt;(W,&amp;lt;)&amp;lt;/math&amp;gt; 而言，我们称序数 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 为它的长度或者序型，记成 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha=ot(W,&amp;lt;)&amp;lt;/math&amp;gt;，当且仅当它与 &amp;lt;math&amp;gt;(\alpha,&amp;lt;)&amp;lt;/math&amp;gt; 同构。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
设 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 是一个非零[[序数#极限序数|极限序数]]，&amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的&#039;&#039;&#039;共尾度&#039;&#039;&#039;，记为 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;，由以下等式定义：&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)=\min\{ot(A,&amp;lt;)|A\subseteq \alpha \and \forall \beta(\beta &amp;lt; \alpha \rightarrow \exist \gamma(\gamma \in A\and \beta &amp;lt; \gamma))\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
即，&amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 是 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的最短的无界子集的长度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
设 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha \geq \gamma \geq \omega&amp;lt;/math&amp;gt; 为两个极限序数，那么以下三个命题等价：&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 存在从 &amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的无界单增映射，并且对于任何一个 &amp;lt;math&amp;gt;\eta&amp;lt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;，任意一个从 &amp;lt;math&amp;gt;\eta&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 上的映射一定在 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 中有界&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt; 为最小的序数&amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt;，使得存在一个严格递增的长度为 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数序列 &amp;lt;math&amp;gt;\langle \alpha_{\xi}:\xi&amp;lt;\beta \rangle&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\lim_{\xi\to \beta}\ \alpha_{\xi}=\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
显然，共尾度是一个极限序数且当 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 为极限序数时它的共尾度是正则的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个基数是&#039;&#039;&#039;正则的&#039;&#039;&#039;当且仅当它的共尾度为自身。一个基数是&#039;&#039;&#039;奇异的&#039;&#039;&#039;当且仅当它不是正则的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
有如下定理：&lt;br /&gt;
* 所有后继基数都是正则基数。如&amp;lt;math&amp;gt;\aleph_2&amp;lt;/math&amp;gt;、&amp;lt;math&amp;gt;\aleph_{\omega+1}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
* 所有奇异基数都是极限基数，如&amp;lt;math&amp;gt;\aleph_\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考资料 ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;references /&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[分类:集合论相关]]&lt;br /&gt;
[[分类:重要概念]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Phyrion</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%BA%8F%E6%95%B0&amp;diff=2929</id>
		<title>序数</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%BA%8F%E6%95%B0&amp;diff=2929"/>
		<updated>2026-03-02T12:47:51Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Phyrion：​/* 可数序数与不可数序数 */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;序数&#039;&#039;&#039;是自然数的推广。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 直观理解 ===&lt;br /&gt;
[[文件:Omega4.jpg|缩略图|仅供参考]]&lt;br /&gt;
顾名思义，序数是用来排序的号码。最小的序数是 0，因而我们从 0 开始排序。这只是一个很简单的排序，还没有超过自然数的范畴。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
现在考虑对这个集合 &amp;lt;math&amp;gt;\{ 1/2,3/4,7/8,\ldots \} \cup \{1\}&amp;lt;/math&amp;gt;，按照＜来排序：&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|+&lt;br /&gt;
!号码&lt;br /&gt;
!元素&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|1/2&lt;br /&gt;
|0&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|3/4&lt;br /&gt;
|1&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|7/8&lt;br /&gt;
|2&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|……&lt;br /&gt;
|……&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|1&lt;br /&gt;
|？&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
注意到当我们为 1/2,3/4,7/8,…… 这些元素排序时，已经用尽了全部的自然数。但我们又要为 1 编号。1 大于前面的所有元素，因此，1 的号码需要是一个大于全体自然数的东西。它依然是序数（因为我们定义序数就是为了处理这种情况），我们给它命名为 ω。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
想象一下我们在此基础上又要给 &amp;lt;math&amp;gt;\{3/2,7/4,15/8,\ldots\}\cup\{2\}&amp;lt;/math&amp;gt; 编号。因此我们还需要越来越多的大于ω的序数。随着“编号游戏”的对象愈发复杂，我们所需要的序数也愈发庞大，复杂，单纯靠直观理解已经难以为继，因此我们需要看以下的内容。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 数学定义 ===&lt;br /&gt;
序数是在∈序上[[良序]]的传递集（传递集即满足每个元素都是自身的子集）。如：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;0=\varnothing=\{\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;1=\{ 0\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;2=\{0,1\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;3=\{0,1,2\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;1048576=\{0,1,2,3,...,1048575\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 序数的后继 ====&lt;br /&gt;
序数 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的&#039;&#039;&#039;后继&#039;&#039;&#039;被定义为 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha+1=\alpha\cup  \{\alpha\}&amp;lt;/math&amp;gt;。它也是所有&#039;&#039;&#039;序数运算&#039;&#039;&#039;的基础。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
如 &amp;lt;math&amp;gt;2+1=2\cup\{2\}=\{0,1\}\cup\{2\}=\{0,1,2\}=3&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;n+1=n\cup\{n\}=\{0,1,2,3,...,n\}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 有限序数与超限序数 ====&lt;br /&gt;
所有自然数都是&#039;&#039;&#039;&amp;lt;span id=&amp;quot;有限序数&amp;quot;&amp;gt;有限序数&amp;lt;/span&amp;gt;&#039;&#039;&#039;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
大于任意有限序数的序数称作&#039;&#039;&#039;&amp;lt;span id=&amp;quot;超限序数&amp;quot;&amp;gt;超限序数&amp;lt;/span&amp;gt;&#039;&#039;&#039;（或无限序数）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 极限序数 ====&lt;br /&gt;
不是 0 且&#039;&#039;&#039;不是任何序数的后继&#039;&#039;&#039;的序数被称为&#039;&#039;&#039;极限序数&#039;&#039;&#039;。（0 有时也被视为极限序数）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
即序数 &amp;lt;math&amp;gt;\lambda&amp;lt;/math&amp;gt; 是极限序数要满足“不存在某个序数 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 使得 &amp;lt;math&amp;gt;\lambda=\alpha +1&amp;lt;/math&amp;gt;”。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
如果 &amp;lt;math&amp;gt;\lambda&amp;lt;/math&amp;gt; 是极限序数，那么 &amp;lt;math&amp;gt;\lambda=\sup\{\alpha|\alpha &amp;lt; \lambda\}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega&amp;lt;/math&amp;gt; 被定义为全体自然数的集合，&amp;lt;math&amp;gt;\omega=\mathbb{N}=\{0,1,2,3,...\}&amp;lt;/math&amp;gt; 既是第一个超限序数，也是第一个极限序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 基本列 ====&lt;br /&gt;
如果序数 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 是一个极限序数，则它的基本列 &amp;lt;math&amp;gt;\langle \alpha[n] \rangle &amp;lt;/math&amp;gt; 是一个递增的序数列，并且满足其上确界为 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;。即 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha={\rm sup}\{\alpha[n]|n\in \mathbb{N}\}={\rm sup}\{\alpha[0],\alpha[1],\alpha[2],...\}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
注意到一个极限序数具有多种基本列。因此为了方便运用和理解，我们需要一套标准基本列系统来给极限序数一个唯一的基本列。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
很遗憾的是，不存在一个通用的基本列系统来为所有序数指定标准基本列。因此，我们只能借助[[序数记号]]来为它极限之下的极限序数指定标准基本列。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 递归序数与非递归序数 ====&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===== 递归序数 =====&lt;br /&gt;
一个序数 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 被称为递归序数，当且仅当存在一个图灵机（或等效的可计算函数，或图灵完备的计算机语言），它能计算出一个良序关系 &amp;lt;math&amp;gt;\prec&amp;lt;/math&amp;gt;，使得这个良序关系的序型与 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 同构。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
直观来讲，递归序数都是可以“自下而上”得到的序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
所有递归序数的集合也是一个序数，记为 &amp;lt;math&amp;gt;\omega_1^{\rm CK}&amp;lt;/math&amp;gt;（又作 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;，[[CKO]]）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega_1^{\rm CK}=\{0,1,...,\omega,...,\omega^2,...,\omega^\omega,...,\varepsilon_0,...,\varphi(1,0,0),...,\psi(\Omega_{\omega}),...\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
由于图灵机的总数是可数无穷多的，因此 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 依然是一个可数序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===== 非递归序数 =====&lt;br /&gt;
不是递归序数的序数被称为非递归序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
最小的非递归序数就是所有递归序数的集合 &amp;lt;math&amp;gt;\omega_1^{\rm CK}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 可数序数与不可数序数 ====&lt;br /&gt;
如果一个序数与有限基数或 &amp;lt;math&amp;gt;\aleph_0&amp;lt;/math&amp;gt; 等势，则它是可数序数。如 &amp;lt;math&amp;gt;0,1,2,\omega,\varepsilon_0,\psi(\Omega_{\omega}),Y(1,3),\Omega,I,\psi_{\alpha}(\alpha_{\omega}),\omega_1^L&amp;lt;/math&amp;gt; 等等都是可数序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
不是可数序数的序数是不可数序数，如 &amp;lt;math&amp;gt;\omega_1&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
除0以外，所有可数极限序数都有ω长的基本列。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
不可数极限序数也可以有ω长的基本列，例如&amp;lt;math&amp;gt;\omega_1+\omega^2&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\omega_1+\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt;。它们的&#039;&#039;&#039;共尾度&#039;&#039;&#039;是ω。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 序数的运算 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 序数加法 ====&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\alpha+0=\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\alpha+(\beta+1)=(\alpha+\beta)+1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\alpha+\beta=\bigcup_{\gamma &amp;lt;\beta}(\alpha +\gamma)&amp;lt;/math&amp;gt;，如果 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt; 是极限序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
序数加法不具有交换律，但具有结合律。即&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\alpha+\beta\ne\beta+\alpha,(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
例：&amp;lt;math&amp;gt;1+\omega=\bigcup_{\gamma &amp;lt;\omega}(1 +\gamma)=\{1+0,1+1,1+2,...\}={\rm sup}\{1,2,3,...\}=\omega\ne \omega+1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 序数乘法 ====&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\alpha\times0=0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\alpha\times(\beta+1)=(\alpha\times\beta)+\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\alpha\times\beta=\bigcup_{\gamma &amp;lt;\beta}(\alpha \times\gamma)&amp;lt;/math&amp;gt;，如果 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt; 是极限序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
序数乘法不具有交换律和右分配律，但具有结合律和左分配律。即&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;1.\alpha\times\beta\ne\beta\times\alpha,(\alpha\times\beta)\times\gamma=\alpha\times(\beta\times\gamma)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;2.(\alpha+\beta)\times\gamma\ne (\alpha\times\gamma)+(\beta\times\gamma), \alpha\times(\beta+\gamma)=(\alpha\times\beta)+(\alpha\times\gamma)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
例：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\begin{align} (\omega+1)\times\omega&amp;amp;=\bigcup_{\gamma &amp;lt;\omega}((\omega+1) \times\gamma)\\&amp;amp;=\{(\omega+1)\times0,(\omega+1)\times1,(\omega+1)\times2,...\}\\&amp;amp;=\{0,\omega+1,\omega+(1+\omega)+1,\omega+(1+\omega)+(1+\omega)+1,...\}\\&amp;amp;={\rm sup}\{ 0,\omega+1,\omega\times2+1,\omega\times3+1,...\}=\omega^2 \\&amp;amp;\ne\omega\times(\omega+1)=\omega^2+\omega \end{align}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;Q:&#039;&#039;&#039;为什么不是&amp;lt;math&amp;gt;\omega^2+1&amp;lt;/math&amp;gt;？&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A: 我们知道&amp;lt;math&amp;gt;\omega^2+1=\omega^2\cup\{\omega^2\}=\{0,1,2,...,\omega,\omega+1,...,\omega\times2,...,\omega\times3,...,\omega^2\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
而 &amp;lt;math&amp;gt;\bigcup_{\gamma &amp;lt;\omega}(\omega\times\gamma +1)&amp;lt;/math&amp;gt; 中显然没有任何一个元素能够达到或是超过 &amp;lt;math&amp;gt;\omega^2&amp;lt;/math&amp;gt;，因此它们的上确界也不会超过 &amp;lt;math&amp;gt;\omega^2&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其实也可以换一个方向思考：既然 &amp;lt;math&amp;gt;{\rm sup}\{ \omega,\omega\times2,\omega\times3,...\}=\omega^2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
而 &amp;lt;math&amp;gt;{\rm sup}\{ 0,\omega+1,\omega\times2+1,\omega\times3+1,...\}&amp;lt;/math&amp;gt; 中从小到大排列的每一项都比前者小，因此也不会超过 &amp;lt;math&amp;gt;\omega^2&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 序数的指数运算 ====&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\alpha^0=1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\alpha^{\beta+1}=\alpha^\beta\times\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\alpha^\beta=\bigcup_{\gamma &amp;lt;\beta}(\alpha^\gamma)&amp;lt;/math&amp;gt;，如果 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt; 是极限序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
序数的指数不具有对底数乘法的分配律，但指数加法具有对底数的分配律。即&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(\alpha\times\beta)^\gamma\ne\alpha^\gamma\times\beta^\gamma,\alpha^{\beta+\gamma}=\alpha^\beta\times\alpha^\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
例：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\begin{align} (2\times3)^\omega &amp;amp;=6^\omega=\bigcup_{\gamma &amp;lt;\omega}(6^\gamma)=\{6^0,6^1,6^2,... \}={\rm sup}\{1,6,36,... \}=\omega \\&amp;amp;\ne 2^\omega\times3^\omega=\bigcup_{\gamma &amp;lt;\omega}(2^\gamma)\times\bigcup_{\gamma &amp;lt;\omega}(3^\gamma)=\omega\times\omega=\omega^2 \end{align}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt; 是第一个满足 &amp;lt;math&amp;gt;\omega^\alpha=\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的不动点。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega^{\varepsilon_0}=\bigcup_{\gamma &amp;lt;\varepsilon_0}(\omega^\gamma)={\rm sup}\{1,\omega,\omega^2,...,\omega^\omega,...,\omega^{\omega^\omega},...\}=\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0\times\omega=\omega^{\varepsilon_0}\times\omega=\omega^{\varepsilon_0+1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[分类:入门]]&lt;br /&gt;
[[分类:集合论相关]]&lt;br /&gt;
[[分类:重要概念]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Phyrion</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E6%9D%A1%E7%9B%AE%E7%BC%96%E8%BE%91%E8%A7%84%E8%8C%83&amp;diff=2928</id>
		<title>条目编辑规范</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E6%9D%A1%E7%9B%AE%E7%BC%96%E8%BE%91%E8%A7%84%E8%8C%83&amp;diff=2928"/>
		<updated>2026-03-02T12:13:00Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Phyrion：​/* 二、标点规范 */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;本条目说明编辑条目时的注意事项和规范，违反本条目的规范(尤其&#039;&#039;&#039;条目层面的一、二&#039;&#039;&#039;，&#039;&#039;&#039;内容层面的一&#039;&#039;&#039;)有可能会受到&#039;&#039;&#039;撤职、时长不等的封禁&#039;&#039;&#039;等处罚。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 条目层面 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 一、页面的移动和删除 ====&lt;br /&gt;
页面的移动和删除最好需要经过条目创建者及大部分编辑者的同意，同时操作者本人要做好&#039;&#039;&#039;善后工作&#039;&#039;&#039;（如修改原有的指向该条目的链接）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 二、页面标题的修改 ====&lt;br /&gt;
因为修改标题必须经过移动或删除，规范以一为主，同时完全不建议进行如“在中文词汇与英文词汇间添加空格”这样完全无意义的操作。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 三、分析页面的编写 ====&lt;br /&gt;
单个分析页面的分析(公式)行数原则上不超过三百行，多了(尤其移动端)会卡死，超出部分可分P(Part 1、Part2)。如有优化方案欢迎提出。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 内容层面 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 一、语言规范 ====&lt;br /&gt;
所用词语以&#039;&#039;&#039;清晰明了&#039;&#039;&#039;为主，不得在原有词语不影响阅读的情况下擅自修改为学术词汇、专业词汇。如有必要，可以在条目中额外开一个如“形式化定义”栏，在此处进行形式化的说明。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 二、标点规范 ====&lt;br /&gt;
* 请正确使用标点符号，注意区分&#039;&#039;&#039;全角&#039;&#039;&#039;符号与&#039;&#039;&#039;半角&#039;&#039;&#039;符号的使用（汉语请使用全角符号，英语请使用半角符号）。&lt;br /&gt;
* (可选，我认为加空格不会更好看，见仁见智)中文与西文字符或公式之间以一个半角空格隔开，但&#039;&#039;&#039;标点符号与西文字符或公式间不要加空格&#039;&#039;&#039;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 三、公式规范 ====&lt;br /&gt;
* 数学公式（运算式、运算符、参与运算的常数、作为变量的字母等）应使用 LaTeX，非数学公式（一般英文单词、人名等）不应使用 LaTeX。&lt;br /&gt;
* 在 LaTeX 中，请使用 Roman 体表示函数和运算。&amp;lt;br&amp;gt;例如，使用&amp;lt;code&amp;gt;\sup&amp;lt;/code&amp;gt;而非 &amp;lt;code&amp;gt;sup&amp;lt;/code&amp;gt;，效果是 &amp;lt;math&amp;gt;\sup&amp;lt;/math&amp;gt; 而非 &amp;lt;math&amp;gt;sup&amp;lt;/math&amp;gt;。&amp;lt;br&amp;gt;对于没有预设的函数名，例如 lcm，请使用 &amp;lt;code&amp;gt;\operatorname{lcm}&amp;lt;/code&amp;gt;，效果是 &amp;lt;math&amp;gt;\operatorname{lcm}&amp;lt;/math&amp;gt;。&amp;lt;br&amp;gt;临时使用的单字母函数，例如 &amp;lt;math&amp;gt;f(x)&amp;lt;/math&amp;gt;，无需使用 Roman 体。&lt;br /&gt;
* 如果公式过于紧凑，可以使用&amp;lt;code&amp;gt;\,&amp;lt;/code&amp;gt;和&amp;lt;code&amp;gt;\;&amp;lt;/code&amp;gt;来添加空格（分别对应小空格和中空格）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 四、其他规范 ====&lt;br /&gt;
* 保证条目排版的&#039;&#039;&#039;美观性&#039;&#039;&#039;。&lt;br /&gt;
* 善用大小标题来&#039;&#039;&#039;划分文章结构&#039;&#039;&#039;。&lt;br /&gt;
* 标题是引导文章结构的，不是用来强调的。强调文本可以使用&#039;&#039;&#039;加粗&#039;&#039;&#039;。&lt;br /&gt;
* 使用代码框时，请标上代码的语言，以正确地渲染代码。对于非代码部分，语言可以设置为 text，避免错误地高亮。&lt;br /&gt;
{{默认排序:!}}&lt;br /&gt;
[[分类:入门]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Phyrion</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E6%9D%A1%E7%9B%AE%E7%BC%96%E8%BE%91%E8%A7%84%E8%8C%83&amp;diff=2927</id>
		<title>条目编辑规范</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E6%9D%A1%E7%9B%AE%E7%BC%96%E8%BE%91%E8%A7%84%E8%8C%83&amp;diff=2927"/>
		<updated>2026-03-02T12:06:09Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Phyrion：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;本条目说明编辑条目时的注意事项和规范，违反本条目的规范(尤其&#039;&#039;&#039;条目层面的一、二&#039;&#039;&#039;，&#039;&#039;&#039;内容层面的一&#039;&#039;&#039;)有可能会受到&#039;&#039;&#039;撤职、时长不等的封禁&#039;&#039;&#039;等处罚。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 条目层面 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 一、页面的移动和删除 ====&lt;br /&gt;
页面的移动和删除最好需要经过条目创建者及大部分编辑者的同意，同时操作者本人要做好&#039;&#039;&#039;善后工作&#039;&#039;&#039;（如修改原有的指向该条目的链接）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 二、页面标题的修改 ====&lt;br /&gt;
因为修改标题必须经过移动或删除，规范以一为主，同时完全不建议进行如“在中文词汇与英文词汇间添加空格”这样完全无意义的操作。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 三、分析页面的编写 ====&lt;br /&gt;
单个分析页面的分析(公式)行数原则上不超过三百行，多了(尤其移动端)会卡死，超出部分可分P(Part 1、Part2)。如有优化方案欢迎提出。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 内容层面 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 一、语言规范 ====&lt;br /&gt;
所用词语以&#039;&#039;&#039;清晰明了&#039;&#039;&#039;为主，不得在原有词语不影响阅读的情况下擅自修改为学术词汇、专业词汇。如有必要，可以在条目中额外开一个如“形式化定义”栏，在此处进行形式化的说明。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 二、标点规范 ====&lt;br /&gt;
* 请正确使用标点符号，注意区分&#039;&#039;&#039;全角&#039;&#039;&#039;符号与&#039;&#039;&#039;半角&#039;&#039;&#039;符号的使用（汉语请使用全角符号，英语请使用半角符号）。&lt;br /&gt;
* (可选，我认为加空格更不好看，见仁见智)中文与西文字符或公式之间以一个半角空格隔开，但&#039;&#039;&#039;标点符号与西文字符或公式间不要加空格&#039;&#039;&#039;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 三、公式规范 ====&lt;br /&gt;
* 数学公式（运算式、运算符、参与运算的常数、作为变量的字母等）应使用 LaTeX，非数学公式（一般英文单词、人名等）不应使用 LaTeX。&lt;br /&gt;
* 在 LaTeX 中，请使用 Roman 体表示函数和运算。&amp;lt;br&amp;gt;例如，使用 \sup 而非 sup，效果是 &amp;lt;math&amp;gt;\sup&amp;lt;/math&amp;gt; 而非 &amp;lt;math&amp;gt;sup&amp;lt;/math&amp;gt;。&amp;lt;br&amp;gt;对于没有预设的函数名，例如 lcm，请使用 \operatorname{lcm}，效果是 &amp;lt;math&amp;gt;\operatorname{lcm}&amp;lt;/math&amp;gt;。&amp;lt;br&amp;gt;临时使用的单字母函数，例如 &amp;lt;math&amp;gt;f(x)&amp;lt;/math&amp;gt;，无需使用 Roman 体。&lt;br /&gt;
* 如果公式过于紧凑，可以使用&amp;lt;code&amp;gt;\,&amp;lt;/code&amp;gt;&amp;lt;code&amp;gt;\;&amp;lt;/code&amp;gt;&amp;lt;code&amp;gt;\ &amp;lt;/code&amp;gt;来添加空格&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 四、其他规范 ====&lt;br /&gt;
* 保证条目排版的&#039;&#039;&#039;美观性&#039;&#039;&#039;。&lt;br /&gt;
* 善用大小标题来&#039;&#039;&#039;划分文章结构&#039;&#039;&#039;。&lt;br /&gt;
* 标题是引导文章结构的，不是用来强调的。强调文本可以使用&#039;&#039;&#039;加粗&#039;&#039;&#039;。&lt;br /&gt;
* 使用代码框时，请标上代码的语言，以正确地渲染代码。对于非代码部分，语言可以设置为 text，避免错误地高亮。&lt;br /&gt;
{{默认排序:!}}&lt;br /&gt;
[[分类:入门]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Phyrion</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E6%9D%A1%E7%9B%AE%E7%BC%96%E5%86%99%E6%8C%87%E5%8D%97&amp;diff=2926</id>
		<title>条目编写指南</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E6%9D%A1%E7%9B%AE%E7%BC%96%E5%86%99%E6%8C%87%E5%8D%97&amp;diff=2926"/>
		<updated>2026-03-02T12:01:33Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Phyrion：​/* 一些要求 */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;欢迎你参与本 Wiki 的编写！&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在参与本Wiki的非保护条目的编写前，你需要：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
== 添加新页面 ==&lt;br /&gt;
直接搜索你想创建的页面，或者将网址里的 /任意页面 改成 /你想创建的页面&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 编辑方式 ==&lt;br /&gt;
有两种编辑器，一种是「可视化编辑」，另一种是「源代码编辑」。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[文件:编辑方式.png|缩略图|231x231像素|编辑方式]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
进入编辑页面后，可以在右上角切换编辑方式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 可视化编辑 ===&lt;br /&gt;
使用可视化编辑，所见即是所得（除了公式）。可视化编辑能在一定程度上减少工作量，推荐新手使用。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
不过缺点是在某些移动设备下不能够使用完整功能，并且某些问题只能在源代码编辑下修复。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 源代码编辑 ===&lt;br /&gt;
源代码编辑，顾名思义，就是直接编辑页面的源代码，使用的是 &#039;&#039;&#039;Wikitext&#039;&#039;&#039; 语法（暂不支持 Markdown）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
源代码编辑也有工具栏和输出预览，可视化程度并不亚于可视化编辑，并且更为灵活。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 常用功能实现 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 插入公式 ===&lt;br /&gt;
插入公式的方式有两种：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一种是可视化编辑-工具栏-插入-公式，&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在源代码编辑里为 &amp;lt;code&amp;gt;&amp;lt;nowiki&amp;gt;&amp;lt;math&amp;gt; latex公式 &amp;lt;/math&amp;gt;&amp;lt;/nowiki&amp;gt;&amp;lt;/code&amp;gt;，但是有部分公式无法正常显示。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
另一种则是通用的（使用了 MathJax 渲染），支持更多 latex 环境，直接在文章里输入 &amp;lt;code&amp;gt;&amp;lt;nowiki&amp;gt;\( latex公式 \)&amp;lt;/nowiki&amp;gt;&amp;lt;/code&amp;gt; 即可。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 给文本添加引用链接 ===&lt;br /&gt;
可视化编辑：选中文本，点击工具栏的链接，输入你想要引用的[[Test|页面]]（不一定是文本对应的页面），如果你想引用某个页面的某个标题下的[[序数#数学定义|内容]]，请在页面名称后面+#标题名称。&lt;br /&gt;
[[文件:Image.png|缩略图|233x233像素|示例]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
源代码编辑：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 站内链接：&amp;lt;code&amp;gt;&amp;lt;nowiki&amp;gt;[[条目名称|显示的文本]]&amp;lt;/nowiki&amp;gt;&amp;lt;/code&amp;gt; 或 &amp;lt;code&amp;gt;&amp;lt;nowiki&amp;gt;[[条目名称#标题名称|显示的文本]]&amp;lt;/nowiki&amp;gt;&amp;lt;/code&amp;gt;&lt;br /&gt;
* 站外链接：&amp;lt;code&amp;gt;&amp;lt;nowiki&amp;gt;[https://example.com/ 显示的文本]&amp;lt;/nowiki&amp;gt;&amp;lt;/code&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于与 googology 关联性较强的内容，都可以直接引用站内链接，无论这个条目是否存在。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 插入行间公式 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
使用以下代码插入行间公式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;syntaxhighlight lang=&amp;quot;text&amp;quot;&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;math display=&amp;quot;block&amp;quot;&amp;gt;&lt;br /&gt;
(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}a^kb^{n-k}&lt;br /&gt;
&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;/syntaxhighlight&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
效果如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math display=&amp;quot;block&amp;quot;&amp;gt;&lt;br /&gt;
(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}a^kb^{n-k}&lt;br /&gt;
&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 插入代码框 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
示例：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;syntaxhighlight lang=&amp;quot;cpp&amp;quot; line=&amp;quot;1&amp;quot;&amp;gt;&lt;br /&gt;
#include&amp;lt;iostream&amp;gt;&lt;br /&gt;
int main(){&lt;br /&gt;
    int a,b;&lt;br /&gt;
    std::cin &amp;gt;&amp;gt; a &amp;gt;&amp;gt; b;&lt;br /&gt;
    std::cout &amp;lt;&amp;lt; a + b &amp;lt;&amp;lt; std::endl;&lt;br /&gt;
    return 0;&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&amp;lt;/syntaxhighlight&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
请使用源代码编辑模式查看代码框的源代码，将其中的 cpp 替换成代码所用语言的名称。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 添加参考资料 ===&lt;br /&gt;
可视化编辑：工具栏-引证-基本 输入参考资料 + 其对应的链接。示例：&amp;lt;ref&amp;gt;Graham, R. L. &amp;amp; Rothschild, B. L. (1971). Ramsey’s theorem for $n$-parameter sets. &#039;&#039;Transactions of the American Mathematical Society&#039;&#039;, 159: 257-292. https://www.ams.org/journals/tran/1971-159-00/S0002-9947-1971-0284352-8/S0002-9947-1971-0284352-8.pdf&amp;lt;/ref&amp;gt;。文章末尾-插入-参考资料列表，会自动填充。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===== 添加参考文献时的建议： =====&lt;br /&gt;
* 插入参考资料时，使用 &amp;lt;code&amp;gt;&amp;lt;nowiki&amp;gt;&amp;lt;ref&amp;gt;引用资料&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;/nowiki&amp;gt;&amp;lt;/code&amp;gt;&lt;br /&gt;
* 有参考资料的必须在正文之下，分类之上加入：&amp;lt;code&amp;gt;== 参考资料 ==&amp;lt;/code&amp;gt;，注意是“标题”格式，然后下一行使用 &amp;lt;code&amp;gt;&amp;lt;nowiki&amp;gt;&amp;lt;references /&amp;gt;&amp;lt;/nowiki&amp;gt;&amp;lt;/code&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Googology Wiki 使用的参考资料格式为 AMS 格式的变体：&lt;br /&gt;
** &#039;&#039;&#039;作者名书写&#039;&#039;&#039;：姓氏全大写，名（含中间名）缩写为首字母（保留首字母后加“.”），顺序为“姓, 名首字母.”（中间名首字母依次排列），不加斜体。例：John Albert Smith → &amp;lt;code&amp;gt;Smith, J. A.&amp;lt;/code&amp;gt;&lt;br /&gt;
** &#039;&#039;&#039;作者数量处理&#039;&#039;&#039;：1-3 位作者全部列出，作者间用“, ”分隔，最后两位用“&amp;amp;”连接。例：&amp;lt;code&amp;gt;Casey, A. B., &amp;amp; Doe, J.&amp;lt;/code&amp;gt;（两位作者）；&amp;lt;code&amp;gt;Lee, C. D., &amp;amp; Brown, M. F., &amp;amp; Taylor, R.&amp;lt;/code&amp;gt;（三位作者）；4 位及以上作者：仅列第一位，后加“et al.”（不加斜体）。例：&amp;lt;code&amp;gt;Wang, L. et al.&amp;lt;/code&amp;gt;。如果是书籍的编者，在后加上“(Ed.)”或“(Eds.)”&lt;br /&gt;
** &#039;&#039;&#039;年份格式&#039;&#039;&#039;：作者信息后紧跟年份，用括号“( )”包裹；若年份缺失，则省略括号。年份与后续内容用“. ”分隔。例：&amp;lt;code&amp;gt;Smith, J. A. (2020). 标题...&amp;lt;/code&amp;gt;；&amp;lt;code&amp;gt;Doe, J. (n.d.). 标题...&amp;lt;/code&amp;gt;（n.d.表示“无日期”）&lt;br /&gt;
** &#039;&#039;&#039;标题格式&#039;&#039;&#039;：仅首单词首字母大写，专有名词（如人名、地名、学科名等）首字母大写；标题不加引号或斜体。非英语标题后加中括号“[ ]”，内附英语翻译，与原标题用空格分隔。例：&amp;lt;code&amp;gt;Was sind und was sollen die Zahlen? [What are the numbers and what are they supposed to do?]&amp;lt;/code&amp;gt;&lt;br /&gt;
** &#039;&#039;&#039;出版社/出版信息格式&#039;&#039;&#039;：出版社名称斜体；若为古籍类（如古籍、未明确出版地的文献）或出版信息未知，标注“(n.p.)”（斜体）；若为网页资源，标注“(EB/OL)”（斜体，表示“电子资源/在线”）。期刊文献的卷、期、页码需统一为“vol. 卷号, no. 期号, pp. 起始页-结束页”，与出版社信息用“, ”分隔。例：&amp;lt;code&amp;gt;&#039;&#039;Oxford University Press&#039;&#039;, vol. 48, no. 2, pp. 399–408&amp;lt;/code&amp;gt;。格式标题后用“. ”分隔到出版信息部分，结构为“[标题部分]. [&#039;&#039;出版信息&#039;&#039;], [卷数/页码（如有）].”&lt;br /&gt;
** &#039;&#039;&#039;网址&#039;&#039;&#039;：网页资源需在出版信息后添加网址，格式为“Available at: 网址”（不加句点）；DOI/ISSN/arXiv 的链接直接链在出版信息上&lt;br /&gt;
** &#039;&#039;&#039;DOI/ISSN&#039;&#039;&#039;：DOI 标注为“doi: 10.xxxx/xxxx”（直接跟在出版信息后，不加“Available at”）；ISSN 标注为“ISSN XXXX-XXXX”（跟在出版社后，用“, ”分隔）。例：&amp;lt;code&amp;gt;Smith, J. (2020). Title... . Springer, ISSN 1234-5678, doi: 10.1007/s12345-020-00123-4.&amp;lt;/code&amp;gt;&lt;br /&gt;
** &#039;&#039;&#039;arXiv&#039;&#039;&#039;：出版信息统一为“arXiv:论文ID [分类]”（“arXiv”斜体，分类加粗）。例：&amp;lt;code&amp;gt;&#039;&#039;arXiv&#039;&#039;:math/9204204 &#039;&#039;&#039;[math.LO]&#039;&#039;&#039;.&amp;lt;/code&amp;gt;&lt;br /&gt;
** &#039;&#039;&#039;多 DOI/链接处理&#039;&#039;&#039;：同一文献含多个 DOI 或链接（如分部分、PDF），用分号分隔；若需说明对应内容（如“Part I”“PDF”），可加括号标注。例：&amp;lt;code&amp;gt;Part 1 doi:10.xxx; Part 2 doi:10.yyy; PDF: [链接]&amp;lt;/code&amp;gt;&lt;br /&gt;
** &#039;&#039;&#039;中文书籍特殊格式&#039;&#039;&#039;：中文书籍需保持中文习惯，作者后括号标注“校点”“编”等职责，书名用《》标注，分册说明紧跟书名后，没有斜体。例：&amp;lt;code&amp;gt;郭书春, 刘钝(校点). (1998). 《算经十书》第二册: 《数术记遗》. 辽宁教育出版社.&amp;lt;/code&amp;gt;&lt;br /&gt;
** &#039;&#039;&#039;补充信息&#039;&#039;&#039;：更正（Correction）、勘误（Erratum）等补充信息需作为出版信息的一部分，格式为“Correction in 期刊名, 卷号（期号）, 年份.”（与原始文献结构一致）；原文括号内的补充说明（如“In particular Section 12...”）保留在出版信息后，用句点分隔&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 给条目分类 ===&lt;br /&gt;
可视化编辑：工具栏-页面选项-分类 输入分类名称&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
源代码编辑：在文章末尾插入&amp;lt;syntaxhighlight lang=&amp;quot;wikitext&amp;quot;&amp;gt;&lt;br /&gt;
[[分类:分类名称]]&lt;br /&gt;
&amp;lt;/syntaxhighlight&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 重定向页面 ===&lt;br /&gt;
有些条目在输入别名时无法被搜索功能检索，因此需要新建页面（名字为最常用别名），然后在里面写下“关键词：别名1、别名2、别名3....”，再进行重定向。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
可视化编辑：工具栏-页面设置-重定向页面 输入对应页面名称&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
源代码编辑：在文章开头插入&amp;lt;syntaxhighlight lang=&amp;quot;wikitext&amp;quot;&amp;gt;&lt;br /&gt;
#REDIRECT [[页面名称]]&lt;br /&gt;
&amp;lt;/syntaxhighlight&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考资料（示例） ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;references /&amp;gt;{{默认排序:!}}&lt;br /&gt;
[[分类:入门]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Phyrion</name></author>
	</entry>
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