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Test

2026-02-21T11:49:09Z

Partygoer002：/* 编写技巧 */

此页面为测试页面。任何人都可以随意修改此页面以便测试。

=== 编写技巧 ===

* 行内代码块：<syntaxhighlight lang="text"><code>xxx</code></syntaxhighlight>效果是这样：<code>xxx</code>。
* 在列表里换行：使用 <syntaxhighlight lang="text"> </syntaxhighlight>效果是这样： 第一行； 第二行。
* 在列表里嵌套列表：无序列表使用<syntaxhighlight lang="text">
<ul> <li>123</li> <li>456</li> </ul>
</syntaxhighlight>效果是这样：<ul><li>123</li><li>456</li></ul>有序列表使用<syntaxhighlight lang="text">
<ol> <li>123</li> <li>456</li> </ol>
</syntaxhighlight>效果是这样：
<ol><li>123</li><li>456</li></ol>于是可以<ul> <li>awa<ul> <li>114514<ul> <li>3.1415926<ul> <li>123</li> <li>456</li> </ul></li> <li>789</li> </ul></li> <li>2.71828</li> </ul></li> <li>qwerty</li> </ul>
<ol> <li>awa<ol> <li>114514<ol> <li>3.1415926<ol> <li>123</li> <li>456</li> </ol></li> <li>789</li> </ol></li> <li>2.71828</li> </ol></li> <li>qwerty</li> </ol>
* 分界线：使用 <code>----</code>。效果是这样：

----

这句话有7个字

<math>\varnothing,\emptyset</math>，
$\varnothing,\emptyset$
LaTeX公式<code>\varnothing,\emptyset</code>用不同渲染方式的结果

<math display="block">\begin{aligned}
f(x)\;&=(a+b+1)/2-x\\
&=(a+2x-1-a+f(2x-1-a)+1)/2-x\\
&=f(2x-1-a)/2\\
&=f(2x-1-(x-1+f(x-1)))/2\\
&=f(x-f(x-1))/2
\end{aligned}</math>

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$ G(64)=\left. \begin{matrix} 3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow}3 \\3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow}3 \\ \underbrace{\qquad \quad \vdots \qquad \quad} \\3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \uparrow}3 \\3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow3\end{matrix} \right \} \text{64 layers} $

<math>\unicode{64}</math>

<math>\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),0\text{@}0)[0]=0</math>

<math>\text{@}</math>

[k]

$\alpha\text{@}\beta$

[[[a]]]

我们可以使用<code>\hspace</code>和<code>\raise</code>来微调LaTeX中的字符位置：
$\LaTeX$''（直接使用''<code>\LaTeX</code>''的版本）''
${L^{\hspace{-4.5px}\raise{-2.5px}A}
\hspace{-3px}T\hspace{-2px}\raise{-3px}E\hspace{-1.5px}X}$''（使用以上两种命令微调的模仿版本）''

<nowiki>\</nowiki>(\alpha\text{@}\beta<nowiki>\</nowiki>) = $\alpha\text{@}\beta$

code

{| class="wikitable"
|+ 标题文本
|-
! 标题文本 !! 标题文本 !! 标题文本
|-
| 示例 || 示例 || 示例
|-
| 示例 || 示例 || 示例
|-
| 示例 || 示例 || 示例
|}

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! 标题文本 !! 标题文本 !! 标题文本
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| 示例 || 示例 || 示例
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| 示例 || 示例 || 示例
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| 示例 || 示例 || 示例
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| 示例 || 示例 || 示例
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! 标题文本 !! 标题文本 !! 标题文本
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| 示例 || 示例 || 示例
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| 示例 || 示例 || 示例
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| 示例 || 示例 || 示例
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| 示例 || 示例 || 示例
|-
| 示例 || 示例 || 示例
|}

{a}

<code>我是code</code>

<pre>我是pre</pre>

我是美丽的span

<a href='https://baidu.com'>危险的代码是不被允许的</a>

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666

$\alpha @\beta$

<blockquote>
我是猫娘。喵喵喵喵
</blockquote>

<blockquote>单行引言</blockquote>

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width="100%"
height="500px"
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></iframe>

=== 这是一级标题 ===

==== 这是二级标题 ====
这是公式 $\alpha\times\beta$

''撒反对''

说说不可说】(1)

--------------------------------------------------------------------

　　人们的对话中，「不可说」指的是「不可以说出来」的意思，但是在佛
经中，不可说的意思并不一定是这样，世尊所说的佛经更不是指这个意思。
如果它是指不可以说出来的话，那麽全部的佛经就是一部「大妄语百科」了。

但是将「不可说」解释为「不可以说出来」的意思，并不是现代人的专
利，古人解经，也常把它作这样的解释，造成後人将佛经解释成玄密的经典，
一切的不合理之处都当作「不可说」来处理。

世尊的确说过许多的不可说，如:《华严经》
「不可言说不可说，充满一切不可说，不可言说诸劫中，说不可说不可尽，
....
於一微细毛端处，有不可说诸普贤，....一毛端处所有刹，其数无量不可
　说..」在第四十五卷中，世尊一口气说了将近四百个不可说。

《地藏菩萨本愿经》【忉利天宫神通品】「尔时，十方无量世界不可
　说不可说一切诸佛，及大菩萨摩诃萨，皆来集会，赞叹释迦牟尼佛．．」
这里用了两个不可说。

《小般若经》【深功德品】「一切法不可说，须菩提，一切法空相不
可说．．」

其实「不可说」的意义是「数量大到无法用语言形容」的意思，并不
是指所说的主题「不能说」，如果是不能说，那麽上面这些经典就是「废
话大全」了。

世尊说法四十九年，探讨的主题遍及人类所有的疑问，从来没有一样
　是「不能说出来」的，不但他老人家自己说，更鼓励所有修行菩萨要为众　
生说呢。(参见《般若经》)

那麽，「不可说」倒底有多大，会大到语言法形容呢？我们试著来找
找看。

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! scope="col" |
! scope="col" |A
! scope="col" |B
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1LA
 1CP
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|1LA
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|1LB
|1RB
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! 用户名
! 简介
|-
| style="width: 20%;" | 张三 || style="width: 80%; word-wrap: break-word;" | 这是一个非常长的简介文本，会自动换行以适应列宽。
|}

表格？

{| class="wikitable" style="width: 300px; overflow: hidden; text-overflow: ellipsis"
! 用户名
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| 张三
| 这是一个非常长的简介文本，会自动换行以适应列宽。这是一个非常长的简介文本，会自动换行以适应列宽。这是一个非常长的简介文本，会自动换行以适应列宽。
|}

<blockquote>这里是一个孤立页面我不知道它为什么还在这里

就当作是gggwiki的一个彩蛋吧（</blockquote>

[https://2023largenumber.fandom.com/zh/wiki/%F0%9F%98%B0#articleComments/ 果糕]
果糕糕糕！
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<div id="guogao1">将以下代码放入控制台并回车，有“小惊喜”：</div><nowiki>(()=>{document.getElementById("guogao1").appendChild((()=>{let a = document.createElement("div");a.innerHTML = `<div class="fixed-btn"><a onclick="let b=document.createElement('div');b.innerHTML=\`<div id='guogao' style='transition: transform .5s ease-out;position: absolute;top:45%;left:50%;z-index: 9999999;transform: scale(1);cursor: pointer;-webkit-user-select: none;-moz-user-select: none;-ms-user-select: none;user-select: none;' onclick='this.remove()'>${decodeURI('%F0%9F%98%B0')}</div>\`;document.body.appendChild(b);setTimeout(() => {document.getElementById('guogao').style.transform='scale(45)'}, 50)" class="new" title="${decodeURI('%E5%B0%8F%E6%83%8A%E5%96%9C')}">${decodeURI('%E5%B0%8F%E6%83%8A%E5%96%9C')}</a></div>`;return a})());return (()=>{console.clear();return decodeURI('%E7%A5%9E%E7%A7%98%E6%8C%89%E9%92%AE%E5%87%BA%E7%8E%B0%EF%BC%81')})()})()

</nowiki>

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2026-02-21T11:37:33Z

Partygoer002：/* 编写技巧 */

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=== 编写技巧 ===

* 行内代码块：<syntaxhighlight lang="text"><code>xxx</code></syntaxhighlight>效果是这样：<code>xxx</code>。
* 在列表里换行：使用 <syntaxhighlight lang="text"> </syntaxhighlight>效果是这样： 第一行； 第二行。
* 在列表里嵌套列表：无序列表使用<syntaxhighlight lang="text">
<ul> <li>123</li> <li>456</li> </ul>
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<ol> <li>123</li> <li>456</li> </ol>
</syntaxhighlight>效果是这样：
<ol><li>123</li><li>456</li></ol>
* 分界线：使用 <code>----</code>。效果是这样：

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这句话有7个字

<math>\varnothing,\emptyset</math>

<math display="block">\begin{aligned}
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$ G(64)=\left. \begin{matrix} 3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow}3 \\3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow}3 \\ \underbrace{\qquad \quad \vdots \qquad \quad} \\3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \uparrow}3 \\3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow3\end{matrix} \right \} \text{64 layers} $

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<math>\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),0\text{@}0)[0]=0</math>

<math>\text{@}</math>

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但是将「不可说」解释为「不可以说出来」的意思，并不是现代人的专
利，古人解经，也常把它作这样的解释，造成後人将佛经解释成玄密的经典，
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....
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《地藏菩萨本愿经》【忉利天宫神通品】「尔时，十方无量世界不可
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生说呢。(参见《般若经》)

那麽，「不可说」倒底有多大，会大到语言法形容呢？我们试著来找
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</nowiki>

讨论:FZ Hydra

2025-08-28T05:02:42Z

Partygoer002：/* 发现一些笔误 */ 新章节

== 发现一些笔误 ==

ψ底下Z没有辣（0 111 1 211及其下一行） [[用户:Partygoer002|Partygoer002]]（[[用户讨论:Partygoer002|留言]]） 2025年8月28日 (四) 13:02 (CST)

植的大数数学入门教程

2025-07-11T10:57:46Z

Partygoer002：

=第一章超运算=
在小学，我们从日常生活的实例出发，学习了四则运算，即加、减、乘、除，还初步认识了乘方中的平方；在初中，我们对平方、立方与较小指数的乘方运算有了深入认识，知道了它们的一些性质。也许你认为1010或古戈尔——10100已经很大，但在大数的世界中这些仍只是最初级、最渺小的数。
 
本章我们将认识一种更高级的运算——连幂，它可以使用两个只有两位的数字很容易地超过宇宙的原子数、普朗克体积数，乃至庞加莱回归时间和所有原子的排列组合数；我们还将探究加法、乘法、乘方、连幂内的规律，并总结出超运算和上箭号表示法。届时，葛立恒数将不再遥不可及。
 
==1.1 连幂运算==
连幂是比乘方更高级的运算，接下来我们将深入学习。
===1.1.1 乘方运算律===
我们学过加法、乘法的交换律和结合律，和乘法的分配律。幂，即乘方运算，也有自己的运算律。 
首先，幂运算没有交换律和结合律： 
大多数情况下， <math>a^b\neq b^a</math>， <math>(a^b)^c\neq a^{(b^c)}</math>。
其次，幂的“分配律”有二种： <math>a^{b+c}=a^b\times a^c</math>，此时指数上的“<math>+</math>”移下来后会变成“<math>\times</math>”； 
<math>a^{b\times c}=(a^b)^c</math>，即“<math>a</math>的<math>b</math>次方的幂的<math>c</math>次方”。它们分别被称为'''同底数幂法则'''和'''幂的乘方法则'''。 
让我们举几个例子看看： 
幂没有交换律： 
:: <math>3^2=9,2^3=8,9\neq8.</math> 
幂没有结合律： 
:: <math>\begin{align}&(2^3)^2=(8)^2=64,\\&2^{(3^2)}=2^9=512,\\&64\neq512.\end{align}</math> 
同底数幂法则：
:<math>\quad\begin{align}&\text{首先,以下等式是显然的:}\\&\;\;\begin{align}2^6&=2^{3+3}=2^{2+2+2}\\&=2\times2\times2\times2\times2\times2\;\;(6\text{个}2)\\&=(2\times2\times2)\times(2\times2\times2)\\&=2^3\times2^3\\&=(2\times2)\times(2\times2)\times(2\times2)\\&=2^2\times2^2\times2^2.\end{align}\\&\text{于是,我们可以得知}\\&\;\;2^{3+3}=2^3\times2^3,\\&\;\;2^{2+2+2}=2^2\times2^2\times2^2.\end{align}</math> 
根据同底数幂法则，有
:<math>\;\quad\begin{align}2^{12}&=2^{4+4+4}=2^{3+3+3+3}=2^{4\times3}=2^{3\times4}\\&=2^4\times2^4\times2^4=(2^4)^3\\&=2^3\times2^3\times2^3\times2^3=(2^3)^4,\end{align}</math>
即<math>(2^4)^3=(2^3)^4.</math>
 
这便是幂的乘方法则。 
{| class="wikitable"
|+ 探究与发现左结合与右结合
|-
| 我们现在学过的运算有加、减、乘、除法和乘方运算，它们有左结合的，有右结合的，也有双向结合的。那么，这是什么意思呢？
左结合，也就是计算时要且只能从左往右计算。例如减法和除法：<math>a-b-c=(a-b)-c\neq a-(b-c)</math>和<math>a\div b\div c=(a\div b)\div c\neq a\div(b\div c)</math>。
右结合，则是只能从右往左计算。乘方运算，和我们将会学习的各级高德纳箭号表示法都是右结合：<math>a^{b^c}=a^{(b^c)}\neq(a^b)^c=a^{b\times c}</math>，<math>a\uparrow^db\uparrow^dc=a\uparrow^d(b\uparrow^dc)\neq (a\uparrow^db)\uparrow^dc</math>。
双向结合即从两头计算都可以得到相同结果，即符合结合律。加法和乘法就是双向结合的：<math>a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)</math>，<math>a\times b\times c=(a\times b)\times c=a\times(b\times c)</math>。
|}
===1.1.2 指数塔===
在上一课中，我们知道了幂没有结合律，其式子中有一个式子（解析式）<math>a^{b^c}</math>。对于这个式子，我们发现它的指数是一个乘方算式<math>b^c</math>；像这样，一个乘方算式，其指数也是一个乘方算式，我们称这个乘方算式为'''指数塔'''[定义不可靠]。例如，<math>3^{4^5}</math>，<math>6^{2^{3^2}}</math>，<math>5^{5^{5^{5^5}}}</math>都是指数塔。 
需要注意的是，<math>a^{b^c}</math>应读作“a的b的c次幂次幂”；<math>a^{b^{c^d}}</math>读作“a的b的c的d次幂次幂次幂”，而不是“a的b次幂的c次幂的d次幂”，后者指<math>((a^b)^c)^d</math>。 
一个乘方算式，若其指数上没有指数塔但有乘方算式，则其是一个三层指数塔。如<math>3^{3^3}</math>，<math>3^{2^{5+5}}</math>，<math>3^{3^2\times3}</math>都是三层指数塔。<math>2^9</math>不是三层指数塔，但<math>2^{3^2}</math>是三层指数塔。一个n层指数塔的'''层数'''或'''高度'''是n。 
一个乘方算式，若其指数上有指数塔，其层数相当于其指数上最高的指数塔（高度最大的指数塔）的层数加一。如<math>3^{2^{3^{2^4}}}</math>的层数为5，<math>2^{2^{(2^3)^2\times2}\times3+1}</math>是四层指数塔。由下向上，指数塔可分为第1、2……层。如 <math>2^{3^2 + 2^3}</math> 的第二层是 <math>3^2+2^3</math>，第三层是2和3（注意不是2+3等）。
===1.1.3 连幂===
连幂运算是乘方的迭代，又称迭代幂次。 
连幂运算有多种写法。常见的写法有三种，分别是<math>{}^ba</math>，<math>a\upuparrows b</math>（*也作<math>a\uparrow^2b</math>），<math>{\color{white}b}\!\!a</math>^^<math>b</math>。第一种写法是仿照<math>a^b</math>的形式，第三种是<math>a^b</math>的另一种写法——<math>{\color{white}b}\!\!a</math>^<math>b</math>的拓展；第二种则是高德纳箭号表示法，我们将在以后学习。在本文中，我们使用第二种写法。 
我们知道，<math>a\times b</math>表示b个a相加，<math>a^b</math>表示b个a相乘。经过简单的推理，你应该知道<math>a\upuparrows b</math>表示b个a相“乘方”。如何相“乘方”呢？<math>a\uparrow\uparrow b</math>表示a的b层指数塔，即$a\upuparrows b=\underbrace{a^{a^{\ldotp\cdot^{\ldotp a}}}}_{b\text{个}a}$。需要注意的是，指数塔是右结合的，应从右上往左下计算。
$\bbox[blue,3px]{\color{white}\text{习题1.1}}$ 
$\bbox[5px,border:3px solid blue]{\begin{array}{l}\text{复习巩固}\\1. \text{运用乘方运算律计算下列各式.}\\(1)\,2^9;\quad(2)\,3^4;\quad(3)\,5^3.\\2. \text{说出下列各指数塔的层数.}\\(1)\,2^{3^4+2+1};\quad(2)\,3^{(2^2)^3\times2};\\(3)\,3^{(3^2)^{4^2+(2^2)^{3+2^2}}}.\\3. \text{将下列含指数塔的式子转化成不含指数塔、只含连幂算式的式子.}\\(1)\,3^{4^{4^{4^4}}};\quad(2)\,4^{2^2\times2}+4^{4^4};\\(3)\,(3\upuparrows3)^{(3^{3^3})^{3^{3^3}}}.\\4. \text{将下列连幂算式展开成指数塔（或乘方算式）的形式.}\\(1)\,a\upuparrows5;\quad(2)\,7\upuparrows3;\quad(3)\,5\upuparrows2\end{array}}$
==1.2 高德纳上箭号表示法==
在上一节，我们学习了连幂。那么连幂的迭代又是什么运算呢？再迭代呢？我们不可能给每一种运算都另起一个新名字，回想我们小学时所学的数量单位：个、十、百、千、……，以及扩展的“京”“垓”等等，直到“极”，我们距离古戈尔还远。但当有了科学计数法，古戈尔就可以简单地写成<math>10^{100}</math>，而不是1000…0或一万亿亿…亿。在这过程中，我们把“不断创造新单位”或“在末尾加一个零”变成了“在10的指数上增加一”，十是<math>10^1</math>，百是<math>10^2</math>，千是<math>10^3</math>……。类比一下，我们现在应该怎么做呢？是的，这正是高德纳箭号表示法所做的。
高德纳箭号表示法，又称上箭号表示法。其一般写作“<math>a\underbrace{{\uparrow\uparrow}\cdots\uparrow}_nb</math>”或“<math>a\uparrow^nb</math>”，如<math>2\uparrow^24</math>（<math>2\uparrow\uparrow4</math>），<math>3\uparrow\uparrow\uparrow3</math>（<math>3\uparrow^33</math>）都是高德纳箭号表示法的表达式。高德纳箭号表示法中，乘方运算<math>a^b</math>写作<math>a\uparrow b</math>，连幂写作<math>a\uparrow\uparrow b</math>或<math>a\uparrow^2b</math>。那么，连幂的迭代，暂且称为迭代连幂，显然应表示为<math>a\uparrow\uparrow\uparrow b</math>或<math>a\uparrow^3b</math>，并且有<math>a\uparrow^2a\uparrow^2\dots\uparrow^2 a\;\;(b\text{个}a)</math><math>=a\uparrow^3b</math>。不同数量的高德纳箭号的计算优先级相同，且都是右结合，如<math>3\uparrow^23\uparrow^23=3\uparrow^2(3\uparrow^23)</math>，所以实际上严谨一点应写作<math>a\uparrow^2(a\uparrow^2(\cdots(a\uparrow^2a)\cdots))\;\;(b\text{个}a,(b{-}1)\text{对圆括号},(b{-}1)\text{个“}\uparrow^2\text{”})=a\uparrow^3b</math>。显然还有“<math>\uparrow^4</math>”，“<math>\uparrow^5</math>”，“<math>\uparrow^6</math>”等等，以下是完整的定义： 
$\begin{array}{c}\begin{array}{l}1.a\uparrow^1b=a\uparrow b.\\2.a\uparrow^cb=\begin{cases}a^b&,c=1\\a&,b=1\\a\uparrow^{c-1}(a\uparrow^c(b-1))&,c>1,b>1\end{cases}\\
3.\text{如果以上均不符合,那么}a\uparrow^cb\text{的值不存在.}\end{array}\\\small\text{高德纳箭号表示法的定义}\end{array}$ 
'''例1''' 展开$2\uparrow\uparrow3$成指数塔。 
$\begin{array}{ll}\text{解: }2\uparrow\uparrow3&=2\uparrow\uparrow2\uparrow\uparrow2
\\&=2\uparrow\uparrow(2\uparrow\uparrow2)
\\&=2\uparrow\uparrow(2^2)
\\&=2\uparrow\uparrow4
\\&=2\uparrow(2\uparrow\uparrow3)
\\&=2^{2\uparrow\uparrow2}
\\&=2^{2\uparrow(2\uparrow\uparrow2)}
\\&=2^{2^{2^2}}\end{array}$ 
'''例2''' $2\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow2$相当于$2$的（$2\uparrow^326$）层指数塔，或（$27$）个$2$相连幂。 
$\begin{array}{ll}\text{解: }2\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow2&=2\uparrow^3(3\uparrow^22)
\\&=2\uparrow^3(3^3)
\\&=2\uparrow^327
\\&=2\uparrow\uparrow(2\uparrow^326)\end{array}$ 
使用高德纳箭号表示法，我们可以很容易地超越宇宙，乃至超越古戈尔、超越古戈尔普勒克斯等数。 
——未完—— 
\(草稿部分{
ω^^ω=ε(0)
ω^^ω>2=(ω^^ω)^^ω=ε(1)
ω^^ω>3=((ω^^ω)^^ω)^^ω=ε(2)
ω^^ω>ω=ε(ω)
ω^^ω>(ω+1)=ε(ω+1)
ω^^ω>ω^^ω=ε(ε(0))
ω^^ω>ω^^ω>ω^^ω=ε(ε(ε(0)))
ω^^(ω+1)=ζ(0)
(ω^^(ω+1))^^ω=ε(ζ(0)+1)
(ω^^(ω+1))^^ω>ω=ε(ζ(0)+ω)
(ω^^(ω+1))^^ω>(ω^^(ω+1))^^ω =ε(ε(ζ(0)+1))
(ω^^(ω+1))^^(ω+1)=ζ(1)
ω^^(ω+1)>ω=ζ(ω)
ω^^(ω+1)>ω^^(ω+1)>ω^^(ω+1)=ζ(ζ(ζ(0)))
ω^^(ω+2)=η(0)
ω^^(ω2)=φω(0)
ω^^(ω^^ω)=φφ1(0)(0)
ω^^^ω=Γ(0)
————————————
ω^^ω>>2=ω^^ω>ω^^ω=ε(ε(0))
ω^^ω>>ω=ζ(0)
(ω^^ω>>ω)^^ω=ε(ζ(0)+1)
(ω^^ω>>ω)^^ω>ω=ε(ζ(0)+ω)
(ω^^ω>>ω)^^ω>(ω^^ω>>ω)^^ω =ε(ε(ζ(0)+1))
(ω^^ω>>ω)^^ω>>ω=ζ(1)
((ω^^ω>>ω)^^ω>>ω)^^ω>>ω=ζ(2)
ω^^ω>>ω>ω=ζ(ω)
(ω^^ω>>ω>ω)^^ω=ε(ζ(ω)+1)
ω^^ω>>ω>(ω+1)=(ω^^ω>>ω>ω)^^ω>>ω =ζ(ω+1)
ω^^ω>>(ω+1)=(ω^^ω>>ω)>ω^^ω=ζ(ε(0))
(ω^^ω>>(ω+1))^^ω>>ω=ζ(ε(0)+1)
(ω^^ω>>(ω+1))^^ω>>ω>ω=ζ(ε(0)+ω)
(ω^^ω>>(ω+1))^^ω>>(ω+1) =(ω^^ω>>(ω+1))^^ω>>ω >(ω^^ω>>(ω+1))^^ω=ζ(ε(ζ(ε(0))+1))
((ω^^ω>>(ω+1))^^ω>>(ω+1))^^ω>>ω =ζ(ε(ζ(ε(0))+1)+1)
((ω^^ω>>(ω+1))^^ω>>(ω+1))^^ω>>(ω+1) =ζ(ε(ζ(ε(ζ(ε(0))+1))+1))
ω^^ω>>(ω+1)>ω=η(0)
(ω^^ω>>(ω+1)>ω)^^ω>>ω}\)
[[分类:入门]]

序数表

2025-07-11T02:02:17Z

Partygoer002：

本条目列举出一些有名字的[[序数]]，它们大多在 googology 中具有重大意义

需要注意的是，它们的命名很多来自 googology 爱好者而非专业数学研究者。

=== 序数表 ===
{| class="wikitable"
|+
|-
! 缩写 !! 英文全称 !! 常规表示方法(BOCF等) !! BMS/Y
|-
| [[FTO]]|| First Transfinite Ordinal || <math>\omega</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0)(1)</math>
|-
| [[LAO]]|| Linar Array Ordinal<ref>因为在googology一度经典的线性数阵的极限是它，因此得名</ref>|| <math>\omega^\omega</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0)(1)(2)</math>
|-
| [[SCO]]|| Small Cantor Ordinal || <math>\varphi(1,0)=\varepsilon_0=\psi(\Omega)</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0)(1,1)</math>
|-
| [[CO]]|| Cantor Ordinal || <math>\varphi(2,0)=\zeta_0=\psi(\Omega^2)</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0)(1,1)(2,1)</math>
|-
|[[LCO]]
|Large Cantor Ordinal
|<math>\varphi(3,0)=\eta_0=\psi(\Omega^3)</math>
|<math>\mathrm{BMS}(0,0)(1,1)(2,1)(2,1)</math>
|-
| [[HCO]]|| Hyper Cantor Ordinal || <math>\varphi(\omega,0)=\psi(\Omega^\omega)</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0)(1,1)(2,1)(3,0)</math>
|-
| [[FSO]]|| Feferman-Schütte Ordinal || <math>\varphi(1,0,0)=\Gamma_0=\psi(\Omega^\Omega)</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)</math>
|-
|ACO
|Ackermann Ordinal
|<math>\varphi(1,0,0,0)=\psi(\Omega^{\Omega^2})</math>
|<math>\mathrm{BMS}(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)</math>
|-
| [[SVO]]|| Small Veblen Ordinal || $\varphi(1@\omega)=\psi(\Omega^{\Omega^{\omega}})$|| <math>\mathrm{BMS}(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,0)</math>
|-
| [[LVO]]|| Large Veblen Ordinal || $\varphi(1@(1,0))=\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})$|| <math>\mathrm{BMS}(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)</math>
|-
| [[BHO]]|| Bachmann-Howard Ordinal || <math>\psi(\Omega_{2})</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0)(1,1)(2,2)</math>
|-
| [[BO]]|| Buchholz's Ordinal || <math>\psi(\Omega_{\omega})</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)</math>
|-
| [[TFBO]]|| Takeuti-Feferman-Buchholz Ordinal || <math>\psi(\Omega_{\omega+1})</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(3,2,0)</math>
|-
| [[BIO]]|| Bird's Ordinal<ref>鸟之数阵第四版的极限是它，因此得名</ref>|| <math>\psi(\Omega_{\Omega})</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,0)</math>
|-
| [[EBO]]|| Extended Buchholz Ordinal || <math>\psi(I)</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,0)(2,0,0)</math>
|-
| [[JO]]|| Jager's Ordinal || <math>\psi(\Omega_{I+1})</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,0)(4,2,0)</math>
|-
| [[SIO]]|| Small Inaccessible Ordinal || <math>\psi(I_{\omega})</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)</math>
|-
| [[MBO]]|| Mutiply Buchholz Ordinal || <math>\psi(I(\omega,0))=\psi(M^\omega)</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(3,0,0)</math>
|-
|TBO
|Transfinitary Buchholz's Ordinal
|<math>\psi(I(1,0,0))=\psi(M^M)</math>
|<math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(3,1,0)(2,0,0)</math>
|-
| [[SRO]]|| Small Rathjen Ordinal || <math>\psi(\varepsilon_{M+1})</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(3,1,0)(4,2,0)</math>
|-
| [[SMO]]|| Small Mahlo Ordinal || <math>\psi(M_\omega)</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(3,1,1)</math>
|-
|SNO
|Small 1-Mahlo (N) Ordinal
|<math>\psi(N_\omega)</math>
|<math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(3,1,1)(3,1,1)</math>
|-
| [[RO]]|| Rathjen's Ordinal || <math>\psi(\varepsilon_{K+1})</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(4,1,0)(5,2,0)</math>
|-
|SKO
|Small Weakly Compact (K) Ordinal
|<math>\psi(K_\omega)</math>
|<math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(4,1,1)</math>
|-
|DO
|Duchhart's Ordinal
|<math>\psi(\Omega(\Pi_4+1))</math>
|<math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(4,1,1)(5,1,0)(6,2,0)</math>
|-
| [[SSO]]|| Small Stegert Ordinal || <math>\psi(psd.\Pi_{\omega})=\psi(a_2)</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,2,0)</math>
|-
| [[LSO]]|| Large Stegert Ordinal || <math>\psi(\lambda\alpha.(\alpha\times 2)-\Pi_{0})=\psi(a_2^a)</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,2,0)(3,2,0)(4,1,0)(2,0,0)</math>
|-
|APO
|Admissible-parameter free effective cardinal Ordinal
|<math>\psi(\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+1})-\Pi_1)=\psi(a_2^{\Omega_{a+1}}+\psi_a(a_2^{\Omega_{a+1}})\times\omega)</math>
|<math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,2,0)(3,2,0)(4,1,1)</math>
|-
| [[BGO]]|| TSS 1st Back Gear Ordinal (CN ggg)<ref>Bashicu对BGO的原定义是BMS(0,0,0)(1,1,1)(2,2,0)。BGO指(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)是中文googology社区的重命名</ref>|| <math>\psi(\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+2})-\Pi_{1})=\psi(\Omega_{a_2+1}+\psi_a(\Omega_{a_2+1})\times\omega)</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)</math>
|-
| [[SDO]]|| Small Dropping Ordinal || <math>\psi(\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+\omega})-\Pi_{0}=\psi(\Omega_{a_2+1}\times\omega)</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,0,0)</math>
|-
| [[LDO]]|| Large Dropping Ordinal || <math>\psi(\lambda\alpha.(\psi_{I_{\alpha+1}}(0))-\Pi_{0})=\psi(\Omega_{a_2+1}\times a_2)</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,0)</math>
|-
|DSO
|Doubly +1 Stable Ordinal
|<math>\psi(\lambda\alpha.(\lambda\beta.\beta+1-\Pi_0)-\Pi_0=\psi(a_3) </math>
|<math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,3,0)</math>
|-
|TSO
|Triply +1 Stable Ordinal
|<math>\psi(\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\lambda\gamma.\gamma+1-\Pi_0)-\Pi_0)-\Pi_0=\psi(a_4) </math>
|<math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,3,1)(4,4,0)</math>
|-
| [[pfec LRO]]|| p.f.e.c. Large Rathjen Ordinal || <math>\psi(pfec.\omega-\pi-\Pi_{0})=\psi(a_\omega)</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)</math>
|-
|SBO
|Small Bashicu Ordinal
| <math>\psi(pfec.\omega-\pi-\Pi_{0})=\psi(a_\omega) </math>
|<math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)</math>
|-
|pfec M2O
|pfec min Σ2 Ordinal
|<math>\psi(pfec.\min(a\prec_{\Sigma_1}b\prec_{\Sigma_2}c)) </math>
|<math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,2)(4,2,2)(4,2,1)</math>？
|-
|LRO
|Large Rathjen Ordinal
|<math>F\cap\omega_1^\text{CK},\theta=\omega </math>
|<math>\leqslant\mathrm{BMS}(0)(1,1,1,1)?</math>
|-
|SSPO
|Small Simple Projection Ordinal
|<math>\psi(\omega-\text{proj.})=\psi(\sigma S\times \omega)=\psi(H^\omega)</math>
|<math>\mathrm{BMS}(0)(1,1,1,1)</math>
|-
| [[TSSO]]|| Trio Sequence System Ordinal || <math>\psi(\omega-\text{proj.})=\psi(\sigma S\times \omega)=\psi(H^\omega)</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0)(1,1,1,1)</math>
|-
|LSPO
|Large Simple Projection Ordinal
|<math>\psi(\min\ \alpha\text{ is }\alpha-\text{proj.})=\psi(\sigma S\times S) </math>
|<math>\mathrm{BMS}(0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1)(2)</math>
|-
|Q1BGO
|QSS 1st Back Gear Ordinal
| -
|<math>\mathrm{BMS}(0)(1,1,1,1)(2,2,2)</math>
|-
|ESPO
|Extend Simple Projection Ordinal
| -
|<math>\mathrm{BMS}(0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)</math>
|-
|BOBO
|Big Omega Back Ordinal
| -
|<math>\mathrm{BMS}(0)(1,1,1,1)(2,2,2,2)</math>
|-
| [[QSSO]]|| Quardo Sequence System Ordinal || <math>\psi(\psi_{H}(H^{H^{\omega}}))?</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0,0,0,0)(1,1,1,1,1)</math>
|-
|TCAO
|Trio Comprehension Axiom Ordinal
|<math>\text{PTO}((\Pi_3^1-CA)_0) </math>
|<math>\geqslant\mathrm{BMS}(0)(1,1,1,1,1)</math>
|-
|QiSSO
|Quinto Sequence System Ordinal
| -
|<math>\mathrm{BMS}(0)(1,1,1,1,1,1)</math>
|-
| [[SHO]]/BMO<ref name=":0">SHO,MHO的名字均来自FataliS1024.但原定义的SHO指的是<math>\varepsilon_0</math>,MHO指的是BMS极限。还有一个LHO指<math>\omega -Y</math>极限。但后来不知为何变成了现在的这个版本，而LHO成为了无定义的名字</ref>|| Small Hydra Ordinal || <math>\psi(\psi_{H}(\varepsilon_{H+1}))?</math>|| <math>Y(1,3)=\lim(\rm BMS)</math>
|-
|βO
|Beta Universe Ordinal
|<math>\rm PTO(Z_2)</math>
|<math>\geqslant Y(1,3)</math>
|-
| [[ΩSSO]]|| <math>\Omega</math> Sequence System Ordinal || || <math>Y(1,3,4,2,5,8,10)</math>
|-
|LRPO
|Large Right Projection Ordinal
|<math>\mathrm{TBMS}(0)(1^{(2,1)})(2)</math>
|<math>Y(1,3,4,2,5,8,10,4,9,14,17,10)</math>
|-
| [[GHO]]|| No-Go Hydra Ordinal<ref>原名Guo bu qu de Hydra Ordinal，但过于口语化和非正式。而这个序数本身确实是一个重要的序数。曹知秋将名字改成了现在的版本</ref>|| || <math>Y(1,3,4,3)</math>
|-
| [[SYO]]|| Small Yukito Ordinal || || <math>\omega-Y(1,4)</math>
|-
| [[MHO]]/ωYO<ref name=":0" />|| Medium Hydra Ordinal || || <math>\lim(\omega-Y)</math>
|-
| [[CKO]]|| Church-Kleene Ordinal || <math>\omega_{1}^{\rm CK}</math>
|-
| [[FUO]]|| First Uncountable Ordinal || <math>\omega_{1}</math>||
|}

=== 已弃用序数表 ===
{| class="wikitable"
|+From Worldly Sheet<ref>[https://docs.qq.com/sheet/DSnFWckliSU5TTE15 Worldly Sheet]

关于已弃用序数表：

- “（SCO/CO/LCO/HCO）谁起不重要，重要的是这是纪念康托尔的，如果没有他所有gggist今天(甚至永远)都走不到一起”

- 你们怎么把它弄成这样了，至少必要的（比如lim fffz/lim X-Y还是要的吧）

- fffz和X-Y公认理想之前搞这么多名字有什么用

- 不然MHO以上全都写成n-RD？

- 不对

- 3184为什么要保留他造了那么多没用的序数缩写的黑历史？(bushi)

- 不如还是加上毕竟fatalis的SHO/MHO/LHO都有了</ref>
!缩写
!英文全称
!定义
!大小
!命名者
|-
|SMDO
|Small Multidimensional Ordinal
|<math>\omega^\omega</math>
|<math>(0)(1)(2)</math>
|318`4
|-
|SHO
|Small Hydra Ordinal
|<math>\varepsilon_0=\psi(\Omega)</math>
|<math>(0)(1,1)</math>
|FataliS1024
|-
|ESVO
|Extended Small Veblen Ordinal
|<math>\psi\left(\Omega^{\Omega^{\Omega^{\omega}}}\right)</math>
|<math>(0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5)</math>
|
|-
|ELVO
|Extended Large Veblen Ordinal
|<math>\psi\left(\Omega^{\Omega^{\Omega^{\Omega}}}\right)</math>
|<math>(0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)</math>
|
|-
|LDO(旧)
|Large Dropping Ordinal
|<math>\psi(\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha\times 2})-\Pi_{0})</math>
|<math>(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,1)(2)</math>
|
|-
|SEIO
|Small Eveog-Imagined Ordinal
|<math>\Sigma_1\text{ admissible}</math>
|
|
|-
|MEIO
|Medium Eveog-Imagined Ordinal
|<math>\Sigma_2\text{ admissible}</math>
|
|
|-
|LEIO
|Large Eveog-Imagined Ordinal
|<math>\Sigma_3\text{ admissible}</math>
|
|
|-
|SOSO
|Second Order Stable Ordinal
|<math>\psi(1-o-\Sigma_2-\text{stb.})</math>
|
|
|-
|MHO
|Medium Hydra Ordinal
|<math>\lim({\rm BMS})=\lim(0-Y)</math>
|<math>Y(1,3)</math>
|FataliS1024
|-
|DCO
|Difference Catching Ordinal
|<math>\text{bFOS }\Theta(\varepsilon_0^{\varepsilon_0})</math>
|<math>Y(1,3,5)</math>
|318`4
|-
|LHO
|Large Hydra Ordinal
|<math>\lim(\omega-Y)</math>
|<math>\Omega-Y(1,3,12)</math>
|FataliS1024
|-
|ZDO
|Zeta Differenciating Ordinal
|<math>\text{FOS911 }\Theta(\zeta_0)</math>
|<math>\Omega-Y(1,3,12)</math>
|
|-
|WYO
|Omega Y Ordinal
|<math>\lim(\Omega-Y)</math>
|<math>\Omega-Y(1,\omega)</math>
|318`4
|-
|EYO
|Extended Y Ordinal
|<math>\text{bFOS }\Theta(\text{BHO})</math>
|<math>\text{bFOS }(0)(1)(\omega)(\varepsilon_0)(\text{BHO})</math>
|318`4
|-
|UCO
|Upgrade Catching Ordinal
|<math>\text{sFOS }\Theta(\text{BHO})</math>
|<math>\text{bFOS }\Theta(\text{BO})</math>
|318`4
|-
|XYO
|Extreme Y Ordinal
|<math>\text{bFOS }\Theta(\text{BO})</math>
|<math>\text{bFOS }(0)(1)(\omega)(\varepsilon_0)(\text{BO})</math>
|318`4
|-
|DMO
|Difference Matrix Ordinal
|<math>\text{sFOS }\Theta(\text{BO})</math>
|<math>\text{bFOS }\Theta(\text{SHO})</math>
|318`4
|-
|GYO / 😰O
|Grand Y-Sequence Ordinal / 😰 Ordinal
|<math>\lim(X-Y)</math>
|<math>\text{sFOS }(0)(1)(\omega)(\varepsilon_0)(\text{SHO})</math>
|318`4
|-
|LDCO
|Large Difference Catching Ordinal
|<math>\text{sFOS }\Theta(\text{SYO})</math>
|<math>\text{b2-FOS }\Theta(\zeta_1)</math>
|318`4
|-
|RHO
|Remaining Hydra Ordinal
|<math>\lim(\text{sFOS})</math>
|<math>\text{b2-FOS }\Theta(\varphi(\omega,0))</math>
|318`4
|-
|WFO
|Omega Fundamental Ordinal
|<math>\lim(\text{Weak 2-FOS})</math>
|<math>\text{b2-FOS }\Theta(\Gamma_0)</math>
|318`4
|-
|TMDO
|Tri-Multidimensional Ordinal
|<math>\text{s2-FOS }\Theta(\varphi(\omega,0))</math>
|<math>\omega2-\text{RD}</math>
|318`4
|-
|ERHO
|Extended Remaining hydra Ordinal
|<math>\lim(\text{b2-FOS})</math>
|<math>\omega2+1-\text{RD}</math>
|318`4
|-
|LMDO
|Large Multidimensional Ordinal
|<math>\lim(\omega-\text{FOS})</math>
|<math>\omega^2-\text{RD}</math>
|318`4
|-
|IFO
|Infintesimal Function Ordinal
|<math>\lim(\text{IFS})</math>
|<math>\varepsilon_0-\text{RD}</math>
|318`4
|-
|WRO
|Omega Remaining Ordinal
|<math>\lim(\text{ROS})</math>
|<math>R\ \Omega-Y</math>
|318`4
|-
|SCLO
|Small Code Lift Ordinal
|<math>\sup(n-\text{code})</math>
|
|
|-
|EHO
|Huge Hydra Ordinal
|<math>\lim(\text{pfffz})</math>
|
|夏夜星空
|-
|ROO
|Remaining Omega Ordinal
|<math>R_\omega\text{ remaining}</math>
|
|318`4
|-
|UHO
|Ultimate Hydra Ordinal
|<math>\lim(\text{RSAM})</math>
|
|夏夜星空
|-
|IHO
|Infinite Hydra Ordinal
|<math>\lim(\text{SAM})</math>
|
|夏夜星空
|}

==== DNAO ====
DNAO(Deoxyribo Nucleic Acid Ordinal)

定义：
(0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(3,3,0)(4,4,1)(5,5,2)(6,6,2)(7,7,0)(8,8,1)(9,9,2)(10,9,2)(11,9,0)(12,10,1)(13,11,2)(13,11,2)(13,11,1)(14,12,2)(14,11,1)(15,12,2)(15,11,1)(16,12,0)(17,13,1)(18,14,2)(18,14,2)(18,14,1)(19,15,2)(19,14,1)(20,15,2)(20,14,1)(21,15,0)(22,16,1)(23,17,2)(23,17,2)(23,17,1)(24,18,2)(24,17,1)(25,18,2)(25,17,0)(26,18,1)(27,19,2)(27,19,2)(27,19,1)(28,20,2)(28,19,1)(29,20,2)(29,19,0)(30,20,1)(31,21,2)(31,21,2)(31,21,1)(32,22,2)(32,21,1)(33,22,2)(33,21,0)(34,22,1)(35,23,2)(35,23,2)(35,23,1)(36,24,2)(36,23,1)(37,24,2)(37,23,0)(38,24,1)(39,25,2)(40,25,2)(40,25,1)(41,26,2)(41,22,1)(42,23,2)(42,23,2)(42,23,1)(43,24,2)(43,23,1)(44,24,2)(44,23,0)(45,24,1)(46,25,2)(47,25,2)(47,25,1)(48,26,1)(49,27,0)(50,28,1)(51,29,2)(52,29,2)(52,29,1)(53,30,0)(54,31,1)(55,32,2)(56,32,2)(56,32,0)(57,33,1)(58,34,2)(59,34,2)(59,34,0)(60,35,1)(61,36,2)(62,36,2)(62,36,0)(63,37,1)(64,38,2)(65,38,2)(65,38,0)(66,39,1)(67,40,2)(68,40,2)(68,40,0)(69,41,1)(70,42,2)(71,42,2)(71,42,0)(72,43,1)(73,44,0)(74,45,1)(75,44,0)(76,45,1)(77,46,0)(78,47,0)(79,44,0)(80,45,1)(81,46,0)(82,47,0)(83,44,0)(84,45,1)(85,46,0)(86,47,0)(87,44,0)(88,45,1)(89,46,0)(90,47,0)(91,44,0)(92,45,1)(93,46,0)(94,47,0)(95,44,0)(96,45,1)(96,45,1)(96,45,1)(96,45,0)(97,46,0)(98,47,0)(99,48,0)(100,47,0)(101,48,0)(102,47,0)(103,48,0)(104,47,0)(105,48,0)(106,47,0)(107,48,0)(108,45,0)(109,46,0)(110,47,0)(111,47,0)(111,47,0)(111,47,0)(111,47,0)(111,47,0)(111,47,0)(111,46,0)(112,47,0)(113,47,0)(113,47,0)(113,47,0)(113,47,0)(113,47,0)(113,47,0)(113,46,0)(114,47,0)(115,46,0)(116,47,0)(117,46,0)(118,47,0)(119,46,0)(120,45,0)(121,46,0)(122,47,0)(123,47,0)(123,47,0)(123,47,0)(123,47,0)(123,47,0)(123,47,0)(123,46,0)(124,47,0)(125,47,0)(125,47,0)(125,47,0)(125,47,0)(125,47,0)(125,47,0)(125,46,0)(126,47,0)(127,46,0)(128,47,0)(129,46,0)(130,47,0)(131,46,0)(132,45,0)(133,46,0)(134,47,0)(135,47,0)(135,47,0)(135,47,0)(135,47,0)(135,47,0)(135,47,0)(135,46,0)(136,47,0)(137,47,0)(137,47,0)(137,47,0)(137,47,0)(137,47,0)(137,47,0)(137,46,0)(138,47,0)(139,46,0)(140,47,0)(141,46,0)(142,47,0)(143,46,0)(144,45,0)(145,46,0)(146,47,0)(147,47,0)(147,47,0)(147,47,0)(147,47,0)(147,47,0)(147,47,0)(147,46,0)(147,46,0)(147,46,0)(147,46,0)(147,46,0)(147,45,0)(148,46,0)(148,45,0)(149,46,0)(149,45,0)(150,46,0)(150,45,0)(151,45,0)(151,45,0)(150,45,0)(151,45,0)(150,45,0)(151,45,0)(148,45,0)(149,46,0)(149,45,0)(150,46,0)(150,45,0)(151,45,0)(151,45,0)(150,45,0)(151,45,0)(150,45,0)(151,45,0)(148,45,0)(149,46,0)(149,45,0)(150,46,0)(150,45,0)(151,45,0)(151,45,0)(150,45,0)(151,45,0)(150,45,0)(151,45,0)(148,45,0)(149,45,0)(149,45,0)(148,45,0)(149,45,0)(149,45,0)(148,45,0)(149,45,0)(147,45,0)(148,46,0)(148,45,0)(149,46,0)(149,45,0)(150,46,0)(150,45,0)(151,45,0)(151,45,0)(150,45,0)(151,45,0)(148,45,0)(149,46,0)(149,45,0)(150,45,0)(150,45,0)(149,45,0)(150,45,0)(149,45,0)(150,45,0)(149,45,0)(149,45,0)(149,45,0)(146,47,0)(147,47,0)(147,47,0)(147,47,0)(147,47,0)(147,47,0)(147,47,0)(147,46,0)(147,46,0)(147,46,0)(147,46,0)(147,45,0)(148,46,0)(149,47,0)(150,47,0)(150,47,0)(150,47,0)(150,47,0)(150,47,0)(150,47,0)(150,46,0)(150,46,0)(150,46,0)(150,46,0)(150,46,0)(150,45,0)(151,46,0)(151,45,0)(152,46,0)(152,45,0)(153,46,0)(153,45,0)(154,45,0)(154,45,0)(153,45,0)(154,45,0)(153,45,0)(154,45,0)(151,45,0)(152,46,0)(152,45,0)(153,46,0)(153,45,0)(154,45,0)(154,45,0)(153,45,0)(154,45,0)(153,45,0)(154,45,0)(151,45,0)(152,46,0)(152,45,0)(153,46,0)(153,45,0)(154,45,0)(154,45,0)(153,45,0)(154,45,0)(153,45,0)(154,45,0)(151,45,0)(152,45,0)(152,45,0)(151,45,0)(152,45,0)(152,45,0)(151,45,0)(152,45,0)(150,45,0)(151,46,0)(151,45,0)(152,46,0)(152,45,0)(153,46,0)(153,45,0)(154,45,0)(154,45,0)(153,45,0)(154,45,0)(151,45,0)(152,46,0)(152,45,0)(153,45,0)(153,45,0)(152,45,0)(153,45,0)(152,45,0)(153,45,0)(152,45,0)(152,45,0)(152,45,0)(149,47,0)(150,47,0)(150,47,0)(150,47,0)(150,47,0)(150,47,0)(150,47,0)(150,46,0)(150,46,0)(150,46,0)(150,46,0)(150,45,0)(151,46,0)(152,47,0)(152,47,0)(152,47,0)(151,45,0)(152,46,0)(153,47,0)(150,45,0)(151,46,0)(152,47,0)(152,47,0)(152,47,0)(151,45,0)(152,46,0)(153,47,0)(150,45,0)(151,46,0)(152,47,0)(150,45,0)(151,46,0)(152,47,0)(150,45,0)(151,45,0)(152,45,0)(152,45,0)(151,45,0)(152,45,0)(152,45,0)(150,45,0)(149,45,0)
大小：
p(pa(pb(b_w+p_W(b_2+1)(pa(b_2+1)(p_W(a(b_3+1)+1)(pa(b_3+1)(pb_4(a(b_4+1)^pW(b_4+1)(pa(b_4+1)(a(b_4+w)*2+pa(b_4+3)(a(b_4+w)+pa(b_4+4)(a_(b_4+w)+pa(b_4+4)(a_(b_4+w)+p_W(a(b_4+4)=1)(pa(b_4+5)(a(b_4+w)*2+pa(b_4+5)(a(b_4+w)*2+pa(b_4+7)(a(b_4+w)+pa(b_4+8)(a_(b_4+w)+pa(b_4+8)(a_(b_4+w)+p_W(a(b_4+8))(pa(b_4+9)(a(b_4+w)*2+pa(b_4+11)(a(b_4+w)*2+pa(b_4+13)(a(b_4+w)+pa(b_4+14)(a_(b_4+w)+p_W(a_(b_4+15)+1)(pa(b_4+17)(a(b_4+w)*2+pa(b_4+18)(a(b_4+w)*2+pa(b_4+19)(a(b_4+w)+pa(b_4+20)(a_(b_4+w)+p_W(a_(b_4+21)+1)(pa(b_4+23)(a(b_4+w)*2+pa(b_4+25)(a(b_4+w)*2+pa(b_4+26)(a(b_4+w)+pa(b_4+27)(a_(b_4+w)+p_W(a_(b_4+28)+1)(pa(b_4+30)(a(b_4+w)*2+pa(b_4+32)(a(b_4+w)*2+pa(b_4+34)(a(b_4+w)+pa(b_4+35)(a_(b_4+w)+p_W(a_(b_4+36)+1)(a(b_4+w)*2+pa(b_4+34)(a(b_4+w)+pa(b_4+35)(a(b_4+w)*2+pa(b_4+37)(a(b_4+w)+pa(b_4+39)(a_(b_4+w)+p_W(a_(b_4+40)+1)(a(b_4+w)*2+pa(b_4+42)(a(b_4+w)+pa(b_4+44)(a_(b_4+w)+p_W(a_(b_4+45)+1)(a(b_4+w)*2+pW(a_(b_4+47)+1)(p_W(a_(b_4+49)+1)(a(b_4+w)*2+pW(a_(b_4+51)+1)(p_W(a_(b_4+53)+1)(a(b_4+w)*2+pW(a_(b_4+55)+1)(p_W(a_(b_4+57)+1)(a(b_4+w)*2+pW(a_(b_4+59)+1)(p_W(a_(b_4+61)+1)(a(b_4+w)*2+BHO(W(a_(b_4+62)+1)+BHO(W(a_(b_4+62)+1)+BHO(W(a_(b_4+62)+1)+BHO(W(a_(b_4+62)+1)+BHO(W(a_(b_4+62)+1)+sth shit in PSS Hydra))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

=== 脚注 ===
<references />

FSO

2025-07-11T02:01:03Z

Partygoer002：

'''FSO(Feferman-Schütte Ordinal，费弗曼-舒特序数，旧称舒特序数)'''，是[[Veblen函数#二元 Veblen 函数|二元Veblen函数]]的极限。
{| class="wikitable"
|+FSO
!记号
!表达式
|-
|[[veblen函数]]
|<math>\varphi(1,0,0)</math>
|-
|[[OCF#BOCF|BOCF]]
|<math>\psi(\Omega^\Omega)=\psi(\psi_1(\psi_1(\psi_1(0))))</math>
|-
|[[OCF#MOCF|MOCF]]
|<math>\psi(\Omega^\Omega)</math>
|-
|[[BMS]]
|<math>\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}=(0,0)(1,1)(2,1)</math>
|-
|[[HPrSS]]
|<math>1,3,5,7</math>
|-
|[[0-Y]]
|<math>1,3,5,7</math>
|-
|[[Y序列]]
|<math>1,2,4,6</math>
|-
|[[PSS Hydra]]
|<math>\psi^\text{H}_1(\psi^\text{H}_2(\psi^\text{H}_2(\psi^\text{H}_2(0))))</math>
|-
|[[weak veblen函数]]
| $\varphi(1@(1,0))$
|-
|[[BHM]]
|<math>\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math>
|-
|[[BSM]]
|<math>\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}</math>
|-
|[[NOCF]]
|<math>-</math>
|-
|[[M记号]]
|<math>-</math>
|}

== 性质 ==

== 极限在此处的记号 ==

{| class="wikitable"
|+ 记号
|}

BO

2025-07-08T14:00:04Z

Partygoer002：

BO(Buchholz's Ordinal，巴克霍尔兹序数；Buchholz，又译布赫兹、布赫霍兹、巴奇霍兹)，是[[Googology|googology]]中一个非常重要的序数。它被认为是具有“里程碑”意义的大序数，是[[PSS Hydra]]、[[HPrSS]]、双行[[BMS]]及诸多[[序数记号]]的极限。学会一个BO级别的序数记号被认为是googology新人入门的标志。BO还是[[快速增长层级|FGH]]和[[慢速增长层级|SGH]]的第一个[[追平|追平点]]。
{| class="wikitable"
|+BO
![[序数记号]]
!表达式
|-
![[序数坍缩函数#BOCF|BOCF]]/[[序数坍缩函数#MOCF|MOCF]]
!<math>\psi(\Omega_{\omega})</math>
|-
|[[Bashicu矩阵|BMS]]
|<math>\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1\\0&1 \end{pmatrix}</math>
|-
|[[0-Y]]
|<math>1,4</math>
|-
|[[Y序列]]
|<math>1,2,4,8</math>
|-
|[[BHM]]
|<math>\begin{pmatrix} 0 & 1&1&2 \\ 0 & 1&0&0 \end{pmatrix}</math>
|-
|[[BSM]]
|<math>\begin{pmatrix} 0&1&2&2&3 \end{pmatrix}</math>
|-
|[[NOCF]]
|<math>\psi(\Omega_{\Omega_{\omega}})/\psi(\Omega_{\Omega_{\psi(\Omega)}})</math>
|-
|[[M记号]]
|<math>\psi(\psi(M\times\omega))</math>
|-
|[[Catching函数]]
|<math>C(0)</math>
|}

== 性质 ==
BO是<math>\rm{\Pi_1^1-CA_0}</math>的[[证明论序数]]。

BMS

2025-07-08T12:44:30Z

Partygoer002：

Bashicu矩阵系统(Bashicu Matrix System,'''BMS''')是一个[[序数记号]]。Bashicu Hyudora在2018年给出了它的良好定义。直至今日，BMS依然是已经证明[[良序]]的最强的序数记号。

== 定义 ==

=== 原定义 ===
Bashicu最初在他的未命名的BASIC编程语言改版上提交了BMS的定义<ref> [https://googology.fandom.com/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:BashicuHyudora/BASIC%E8%A8%80%E8%AA%9E%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E5%B7%A8%E5%A4%A7%E6%95%B0%E3%81%AE%E3%81%BE%E3%81%A8%E3%82%81#.E3.83.90.E3.82.B7.E3.82.AF.E8.A1.8C.E5.88.97.E6.95.B0.28Bashicu_matrix_number.29 The summarization of the large numbers in BASIC language (Japanese article)]</ref>。BMS的原定义是一个大数记号，理论的输出是一个大数。该程序并未设计为实际运行，原因在于语言修改的未定义性，同时也受限于内存与计算时间的现实约束，无法计算出这个大数的实际最终值。因此，Fish编写了名为"Bashicu矩阵计算器"的程序来演示预期的计算流程（该程序已得到Bashicu验证）。故Bashicu矩阵的正式定义可参考Fish程序的源代码<ref>https://github.com/kyodaisuu/basmat/blob/master/basmat.c</ref>。

=== 正式定义 ===
中文googology社区提到BMS默认是一个序数记号。以下是序数记号BMS的定义及说明：

首先是BMS合法式：BMS的合法式是二维的自然数构成的序列，在外观上看是一个矩阵。如<math>\begin{pmatrix} 0 & 1&2&1 \\ 0&1&1&1\\0&1&0&1 \end{pmatrix}</math>就是一个BMS的合法式。在很多场合，这种二维的结构书写起来不是很方便，因此我们也常常把BMS从左到右、从上到下按列书写，每一列的不同行之间用逗号隔开，不同列之间用括号隔开。例如，上面的BMS也可以写成<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,1)</math>.在很多情况下，除首列外，列末的0也可以省略不写，例如上面的BMS写为<math>(0)(1,1,1)(2,1)(1,1,1)</math>.

理论上来说，只要是这样的式子就可以按照BMS的规则进行处理了。但实际操作过程中，我们还可以排除一些明显不标准的式子：

* 首列并非全0
* 每一列并非不严格递减，即出现一列中下面的数大于上面的数。
* 出现一个元素a，它比它同行左边所有元素都大超过1.

在了解BMS的展开规则之前，需要先了解一些概念。

# 第一行元素的'''父项'''：对于位于第一行的元素a，它的父项b是满足以下条件的项当中，位于最右边的项：1）同样位于第一行且在a的左边；2）小于a。这里和[[初等序列系统|PrSS]]判定父项的规则是相同的。显然，0没有父项。
# '''祖先项'''：一个元素自己，以及它的父项、父项的父项、父项的父项的父项……共同构成它的祖先项。
# 其余行元素的父项：对于不位于第一行的元素c，它的父项d指满足以下条件的项当中，位于最右边的项： 1）与c位于同一行且在c的左边； 2）小于c；3）d正上方的项e是c正上方的项f的祖先项。0没有父项。
# '''坏根'''：最后一列位于最下方的非零元素的父项所在列，称为坏根。如果最后一列所有元素为0，则这个BMS表达式无坏根。值得一提的是，末列最靠下的非零元素记作'''LNZ'''(Lowermost Non-Zero)
# '''好部'''、'''坏部'''：这两个概念与PrSS是相似的。位于坏根左边的所有列称为好部，记作G，G可以为空；从坏根到倒数第二列(包括坏根、倒数第二列)的部分称为坏部，记作B。
# '''阶差向量'''：在一个n行BMS中，我们把末列记为<math>(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)</math>,把坏根列记为<math>(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)</math>,并且我们规定<math>\alpha_{n+1}=0</math>.则阶差向量<math>\Delta=(\delta_1,\delta_2,\cdots,\delta_n)</math>按照这样的规则得到：<math>\delta_i = \begin{cases} \alpha_i-\beta_i, & \alpha_{i+1}\neq0 \\ 0, & \alpha_{i+1}=0 \end{cases}</math>。通俗的说，如果末列的第<math>i+1</math>项等于0，则<math>\delta_i=0</math>,否则<math>\delta_i</math>等于末列第i行减去坏根列第i行。阶差向量记作<math>\Delta</math>.
# <math>B_m</math>:<math>B_m</math>是B中每一列都加上<math>\Delta</math>的m倍所得到的新矩阵。但是有一点需要注意：如果B中某个元素t的祖先项不包含坏根中的元素，则在<math>B_m</math>对应位置的元素的值依然是t，它不加<math>\Delta</math>.

了解概念后，以下是BMS的展开规则：

# 空矩阵=0
# 如果表达式是非空矩阵S，如果它没有坏根，那么S等于S去掉最后一列之后，剩余部分的后继。
# 否则，确定这个BMS表达式S的坏根、G、B、<math>\Delta</math>,S的基本列第n项<math>S[n]=G\sim B\sim B_1 \sim B_2\sim B_3\sim\cdots\sim B_{n-1}</math>.其中~表示序列拼接。或者称S的展开式是<math>G\sim B \underbrace{\sim B_1\sim B_2\sim \cdots}_{\omega}</math>.

BMS的极限基本列是<math>\{(0)(1),(0,0)(1,1),(0,0,0)(1,1,1),(0,0,0,0)(1,1,1,1),\cdots\}</math>,从这个基本列中元素开始取前驱或取基本列所能得到的表达式是BMS的标准式。

以下是BMS展开的一些实例：

例一:<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,0)(0,0,0)</math>

因为末列全都是0，因此这个BMS没有坏根。根据规则2，它是<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,0)</math>的后继。

例二：<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,2,0)</math>

LNZ是末列第二行的2.首先确定末列第1行元素的祖先项，即标红的部分（末列本身不染色，下同）：<math>({\color{red}0},0,0)({\color{red}1},1,1)({\color{red}2},2,2)({\color{red}3},3,3)(4,2,0)</math>.因此末列第二行的2的父项只能在含有标红元素的这些列中选取。于是确定LNZ的父项为(标绿):<math>({\color{red}0},0,0)({\color{red}1},{\color{green}1},1)({\color{red}2},2,2)({\color{red}3},3,3)(4,2,0)</math>.因此确定<math>(1,1,1)</math>是坏根。好部G是<math>(0,0,0)</math>,坏部B是<math>(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)</math>.计算出阶差向量<math>\Delta=(3,0,0)</math>.检查B中是否存在祖先项不包含坏根中元素的项（当然，我们只需要检查<math>\Delta</math>非零的那些行），很幸运，没有。于是我们得到展开式是<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,1,1)(5,2,2)(6,3,3)(7,1,1)(8,2,2)(9,3,3)\cdots</math>

例三：<math>(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,3,1,1)(4,2,0,0)(5,1,1,1)(6,2,2,1)(7,3,1,1)</math>

LNZ是末列第四行的1.首先确定末列第一行元素7的祖先项（标红）：<math>({\color{red}0},0,0,0)({\color{red}1},1,1,1)({\color{red}2},2,2,1)({\color{red}3},3,1,1)({\color{red}4},2,0,0)({\color{red}5},1,1,1)({\color{red}6},2,2,1)(7,3,1,1)</math>.在含有标红元素的列中寻找末列第二行元素3的祖先项（标绿）：<math>({\color{red}0},{\color{green}0},0,0)({\color{red}1},1,1,1)({\color{red}2},2,2,1)({\color{red}3},3,1,1)({\color{red}4},2,0,0)({\color{red}5},{\color{green}1},1,1)({\color{red}6},{\color{green}2},2,1)(7,3,1,1)</math>.在含有标绿元素的列中寻找末列第三行元素1的祖先项（标蓝）：<math>({\color{red}0},{\color{green}0},{\color{blue}0},0)({\color{red}1},1,1,1)({\color{red}2},2,2,1)({\color{red}3},3,1,1)({\color{red}4},2,0,0)({\color{red}5},{\color{green}1},1,1)({\color{red}6},{\color{green}2},2,1)(7,3,1,1)</math>.在含有标蓝元素的列中寻找LNZ的父项，即首列第四行的0.于是得到坏根是<math>(0,0,0,0)</math>，好部G是空矩阵，坏部B是<math>(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,3,1,1)(4,2,0,0)(5,1,1,1)(6,2,2,1)</math>，计算阶差向量<math>\Delta=(7,3,1,0)</math>。检查B中是否存在祖先项不包含坏根中元素的项（只检查<math>\Delta</math>非0的行）得到第五列第三行的0祖先项不经过坏根。于是我们得到展开式是<math>(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,3,1,1)(4,2,{\color{red}0},0)(5,1,1,1)(6,2,2,1)(7,3,1,0)(8,4,2,1)(9,5,3,1)(10,6,2,1)(11,5,{\color{red}0},0)(12,4,2,1)(13,5,3,1)(14,6,2,0)(15,7,3,1)(16,8,4,1)(17,9,3,1)(18,8,{\color{red}0},0)(19,7,3,1)(20,8,4,1)\cdots</math>

展开BMS可以靠BMS计算器<ref>http://gyafun.jp/ln/basmat.cgi</ref>或notation explorer<ref>https://hypcos.github.io/notation-explorer/</ref>辅助。

=== 数学定义 ===
kotetian给出BMS的数学定义。但是他给出的定义是大数记号版本的。以下是根据他的定义改写的序数记号版BMS的定义：

<math>\mathrm{Matrix:}{\boldsymbol S}={\boldsymbol S}_0{\boldsymbol S}_1\cdots{\boldsymbol S}_{X-1}</math>

<math>\mathrm{Vector:}~{\boldsymbol S}_x=(S_{x0},S_{x1},\cdots,S_{x(Y-1)})</math>

<math>\mathrm{parent~of}~S_{xy}:~P_{y}(x)= \begin{cases} max\{p|p<x\land S_{py}<S_{xy}\land \exists a(p=(P_{y-1})^a(x))\} & \text{if }y>0 \\ max\{p|p<x\land S_{py}<S_{xy}\} & \text{if }y=0 \end{cases}</math>

<math>\mathrm{Lowermost~nonzero:}~t=\max\{y|S_{(X-1)y}> 0\}</math>

<math>\mathrm{Bad~root:}~r = P_t(X-1)</math>gfhyrth

<math>\mathrm{Ascension~offset:}~\Delta_{y} = \begin{cases} S_{(X-1)y}-S_{ry} & \text{if }y < t \\ 0 & \text{if }y\geq t \end{cases}</math>

<math>\mathrm{Ascension~matrix:}~A_{xy}=\left\{\begin{array}{ll} 1 &(\mathrm{if}~ \exists a( r=(P_{y})^a(r+x)))\\ 0 &(\mathrm{otherwise}) \end{array}\right.</math>

<math>\mathrm{Good~part:}~{\boldsymbol G}={\boldsymbol S}_0{\boldsymbol S}_1\cdots{\boldsymbol S}_{r-1}</math>

<math>\mathrm{Bad~part:}~{\boldsymbol B}^{(a)}={\boldsymbol B}_0^{(a)}{\boldsymbol B}_1^{(a)}\cdots{\boldsymbol B}_{X-2-r}^{(a)}</math>

<math>{\boldsymbol B}_x^{(a)}=(B_{x0}^{(a)},B_{x1}^{(a)},\cdots,B_{x(Y-1)}^{(a)})</math>

<math>B_{xy}^{(a)}=S_{(r+x)y}+a\Delta_{y}A_{xy}</math>

<math>\varnothing=0</math>

<math>\boldsymbol{S} = \begin{cases} \boldsymbol{S}_0\boldsymbol{S}_1\boldsymbol{S}_2\cdots\boldsymbol{S}_{X-2}, & \text{if }\forall y,\boldsymbol{S}_{(X-1)y}=0 \\ sup\{G,GB^{(0)},GB^{(0)}B^{(1)},GB^{(0)}B^{(1)}B^{(2)},\cdots\} & \text{otherwise} \end{cases}</math>

== 历史 ==
Bashicu在2015年的时候给出了第一版BMS的定义，即BM1。BM1创建后的首个问题便是其是否必然终止。这一疑问直到2016年用户KurohaKafka在日本论坛2ch.net发表终止性证明<ref>http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1448211924/152-155n</ref>才暂告段落。然而Hyp cos通过构造非终止序列推翻了该证明<ref>https://googology.fandom.com/wiki/Talk:Bashicu_matrix_system?oldid=118833#Something_wrong_happens</ref>。

为此，Bashicu发布第二版（BM2），以BASIC语言重新实现算法<ref>https://googology.fandom.com/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:BashicuHyudora/BASIC%E8%A8%80%E8%AA%9E%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E5%B7%A8%E5%A4%A7%E6%95%B0%E3%81%AE%E3%81%BE%E3%81%A8%E3%82%81#.E3.83.90.E3.82.B7.E3.82.AF.E8.A1.8C.E5.88.97.E6.95.B0.28Bashicu_matrix_number.29</ref>。2018年6月12日，他再次更新定义至BM3<ref>https://googology.fandom.com/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:Kyodaisuu/%E3%83%90%E3%82%B7%E3%82%AF%E8%A1%8C%E5%88%97%E6%9C%80%E6%96%B0%E3%83%90%E3%83%BC%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%B3</ref>，但当月内Alemagno12便发现存在不终止的例证<ref>https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Alemagno12/BM3_has_an_infinite_loop</ref>。

2018年11月11日，P進大好きbot针对PSS（即行数限制为2的BMS）完成了终止性证明<ref>https://googology.fandom.com/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:P%E9%80%B2%E5%A4%A7%E5%A5%BD%E3%81%8Dbot/%E3%83%9A%E3%82%A2%E6%95%B0%E5%88%97%E3%81%AE%E5%81%9C%E6%AD%A2%E6%80%A7</ref>。

2018年8月28日，Bubby3确认BM2确实不会终止<ref>[https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Bubby3/BM2_doesn%27t_terminate. https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Bubby3/BM2_doesn%27t_terminate.]</ref>。

Bashicu最终修正官方定义推出BM4，此为2018年9月1日的最新版本。该版本最终在2023年7月12日被Racheline（在googology社区中曾用名Yto）证明停机<ref>https://arxiv.org/abs/2307.04606</ref>。

尽管BM4是最后官方修订版，但googology社区已衍生诸多非官方变体，如BM2.2、BM2.5、BM2.6、BM3.1、BM3.1.1、BM3.2及PsiCubed2版等<ref>https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Ecl1psed276/A_list_of_all_BMS_versions_and_their_differences</ref>。需注意的是，整数编号版本（1-4）均由Bashicu本人定义，其余版本均为他人修改。

由于BMS在三行之后出现提升效应造成分析上的极大困难，目前我们仍然在探索理想无提升BMS（Idealized BMS，IBMS）的定义。BM3.3<ref>User blog:Rpakr/Bashicu Matrix Version 3.3 | Googology Wiki | Fandom</ref>一度被认为是符合预期的IBMS，然而目前已经发现了BM3.3也具有提升。

=== 争议 ===
test_alpha0声称Yto(Racheline)剽窃了他的证明。据test_alpha0所说，他在2022年2月16日在googology wiki上发布了关于BMS停机证明的文章<ref>User blog:ReflectingOrdinal/A proof of termination of BMS | Googology Wiki | Fandom</ref>，并在googology discord社区回答了相关问题，Racheline声称他的证明不严谨，但过了一段时间，Racheline在ArXiv上发了证明，框架与test_alpha0的证明完全一致。目前尚不清楚Racheline的回应。

== 强度分析 ==
主词条：[[BMS分析]]，[[提升效应]]

BMS的分析是一项浩大的工程，由于提升效应造成的困难，直至今日，对BMS的强度的全部分析仍然未完成。这里列举出一些关键节点：

<math>\varnothing=0</math>

<math>(0)=1</math>

<math>(0)(0)=2</math>

<math>(0)(1)=\omega</math>

<math>(0)(1)(1)=\omega^2</math>

<math>(0)(1)(2)=\omega^{\omega}</math>

<math>(0,0)(1,1)=\varepsilon_0</math>

<math>(0,0)(1,1)(1,1)=\varepsilon_1</math>

<math>(0,0)(1,1)(2,0)=\varepsilon_{\omega}</math>

<math>(0,0)(1,1)(2,1)=\zeta_0</math>

<math>(0,0)(1,1)(2,2)=\psi(\Omega_2)</math>

<math>(0,0,0)(1,1,1)=\psi(\Omega_{\omega})</math>

<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)=\psi(\Omega_{\omega}\times\Omega)</math>

<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,1)=\psi(\Omega_{\omega}^2)</math>

<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)=\psi(\Omega_{\omega^2})</math>

<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,0)(2,0,0)=\psi(I)</math>

<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)=\psi(I_{\omega})</math>

<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(4,1,1)=\psi(K_{\omega})</math>

<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,2,0)=\psi(psd.\Pi_{\omega})</math>

<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)=\psi(\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+2})-\Pi_1)</math>

<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,0,0)=\psi(\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+\omega})-\Pi_0)</math>

<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)=\psi(psd. \omega-\pi-\Pi_0)=\psi(\alpha_{\omega})</math>

<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)=\psi(\beta_{\omega})</math>

<math>(0,0,0,0)(1,1,1,1)=\psi(\omega-Proj.)=\psi(\psi_S(\sigma S\times \omega))</math>

<math>(0,0,0,0)(1,1,1,1)</math>之后，BMS和[[投影]]的列表分析还没有得到广泛。

<math>(0,0,0,0)(1,1,1,1)</math>被命名为TSSO(Trio Sequence System Ordinal,三行序列系统序数)，<math>(0,0,0,0,0)(1,1,1,1,1)</math>被命名为QSSO(Quardo Sequence System Ordinal,四行序列系统序数)。BMS的极限在中文googology社区被称为SHO(Small Hydra Ordinal)，但这一命名的起源不明(SHO最早被用来指代<math>\varepsilon_0</math>,后来不明不白的变成了BMS极限)，也是非正式的，因此被部分人拒绝使用。也有人称BMS极限为BMO。

== 来源 ==

[[分类:记号]]

SVO

2025-07-07T14:31:30Z

Partygoer002：创建页面，内容为“SVO(Small Veblen's Ordinal，小韦伯伦序数；Veblen，又译维布伦、凡勃伦)，是有限元veblen函数的极限。 {| class="wikitable" |+SCO !记号 !表达式 |- |veblen函数 |$\varphi(1@\omega)$ |- |BOCF或MOCF |<math>\psi(\Omega^{\Omega^\omega})=\psi(\psi_1(\psi_1(\psi_1(1))))</math> |- |BMS |<math>\left(\begin{smallmatrix}0&1&2&3&4\\0&1&1&1&0\end{smallmatrix} \right)=(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,0)</math> |- |HPrSS或0-Y |<…”

SVO(Small Veblen's Ordinal，小韦伯伦序数；Veblen，又译维布伦、凡勃伦)，是有限元[[veblen函数]]的极限。
{| class="wikitable"
|+SCO
!记号
!表达式
|-
|[[veblen函数]]
|$\varphi(1@\omega)$
|-
|[[OCF|BOCF或MOCF]]
|<math>\psi(\Omega^{\Omega^\omega})=\psi(\psi_1(\psi_1(\psi_1(1))))</math>
|-
|[[BMS]]
|<math>\left(\begin{smallmatrix}0&1&2&3&4\\0&1&1&1&0\end{smallmatrix} \right)=(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,0)</math>
|-
|[[HPrSS或0-Y]]
|<math>1,3,5,7,8</math>
|-
|[[Y序列]]
|<math>1,2,4,6,8,9</math>
|-
|[[PSS Hydra]]
|<math>\psi^{\text{H}}_1(\psi^{\text{H}}_2(\psi^{\text{H}}_2(\psi^{\text{H}}_2(1))))</math>
|-
|[[weak veblen函数]]
|$\varphi(1@(1@\omega))$
|-
|[[BHM]]
|<math>-</math>
|-
|[[BSM]]
|<math>-</math>
|-
|[[NOCF]]
|<math>-</math>
|}

BHO

2025-07-07T13:53:59Z

Partygoer002：创建页面，内容为“BHO（Bachmann-Howard Ordinal，巴克曼－霍华德序数），是一个重要的序数。它被认为是具有“里程碑”意义的一个序数。有人称其为“大号的SCO”。 {| class="wikitable" |+BHO !记号 !表达式 |- |veblen函数 |$\varphi(1@(1@(\cdots)))=\varphi(\min\;\alpha\mapsto1@(\alpha)\;\text{Fixed Point})$ |- |BOCF |<math>\psi(\Omega_2)=\psi(\psi_1(\psi_1(\psi_1(\cdots))))</math> |- |MOCF |<math>\psi…”

BHO（Bachmann-Howard Ordinal，巴克曼－霍华德序数），是一个重要的序数。它被认为是具有“里程碑”意义的一个序数。有人称其为“大号的SCO”。
{| class="wikitable"
|+BHO
!记号
!表达式
|-
|[[veblen函数]]
|$\varphi(1@(1@(\cdots)))=\varphi(\min\;\alpha\mapsto1@(\alpha)\;\text{Fixed Point})$
|-
|[[OCF#BOCF|BOCF]]
|<math>\psi(\Omega_2)=\psi(\psi_1(\psi_1(\psi_1(\cdots))))</math>
|-
|[[OCF#MOCF|MOCF]]
|<math>\psi(\psi_1(0))</math>
|-
|[[BMS]]
|<math>\left(\begin{smallmatrix}0&1&2\\0&1&2\end{smallmatrix}\right)=(0,0)(1,1)(2,2)</math>
|-
|[[HPrSS]]
|<math>1,4</math>
|-
|[[0-Y]]
|<math>1,3,6</math>
|-
|[[Y序列]]
|<math>1,2,4,7</math>
|-
|[[PSS Hydra]]
|<math>\psi^{\text{H}}_1(\psi^{\text{H}}_2(\psi^{\text{H}}_3)))</math>
|-
|[[weak veblen函数]]
|$\varphi(1@(1@(\cdots)))=\varphi(\min\;\alpha\mapsto1@(\alpha)\;\text{Fixed Point})$
|-
|[[BHM]]
|<math>-</math>
|-
|[[BSM]]
|<math>-</math>
|-
|[[NOCF]]
|<math>-</math>
|}

== 性质 ==
BHO是<math>\text{ID}_1</math>的[[证明论序数]]。

植的大数数学入门教程

2025-07-05T11:49:25Z

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植的大数数学入门教程

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=第一章超运算=
在小学，我们从日常生活的实例出发，学习了四则运算，即加、减、乘、除，还初步认识了乘方中的平方；在初中，我们对平方、立方与较小指数的乘方运算有了深入认识，知道了它们的一些性质。也许你认为1010或古戈尔——10100已经很大，但在大数的世界中这些仍只是最初级、最渺小的数。
 
本章我们将认识一种更高级的运算——连幂，它可以使用两个只有两位的数字很容易地超过宇宙的原子数、普朗克体积数，乃至庞加莱回归时间和所有原子的排列组合数；我们还将探究加法、乘法、乘方、连幂内的规律，并总结出超运算和上箭号表示法。届时，葛立恒数将不再遥不可及。
 
==1.1 连幂运算==
连幂是比乘方更高级的运算，接下来我们将深入学习。
===1.1.1 乘方运算律===
我们学过加法、乘法的交换律和结合律，和乘法的分配律。幂，即乘方运算，也有自己的运算律。 
首先，幂运算没有交换律和结合律： 
大多数情况下， <math>a^b\neq b^a</math>， <math>(a^b)^c\neq a^{(b^c)}</math>。
其次，幂的“分配律”有二种： <math>a^{b+c}=a^b\times a^c</math>，此时指数上的“<math>+</math>”移下来后会变成“<math>\times</math>”； 
<math>a^{b\times c}=(a^b)^c</math>，即“<math>a</math>的<math>b</math>次方的幂的<math>c</math>次方”。它们分别被称为'''同底数幂法则'''和'''幂的乘方法则'''。 
让我们举几个例子看看： 
幂没有交换律： 
:: <math>3^2=9,2^3=8,9\neq8.</math> 
幂没有结合律： 
:: <math>\begin{align}&(2^3)^2=(8)^2=64,\\&2^{(3^2)}=2^9=512,\\&64\neq512.\end{align}</math> 
同底数幂法则：
:<math>\quad\begin{align}&\text{首先,以下等式是显然的:}\\&\;\;\begin{align}2^6&=2^{3+3}=2^{2+2+2}\\&=2\times2\times2\times2\times2\times2\;\;(6\text{个}2)\\&=(2\times2\times2)\times(2\times2\times2)\\&=2^3\times2^3\\&=(2\times2)\times(2\times2)\times(2\times2)\\&=2^2\times2^2\times2^2.\end{align}\\&\text{于是,我们可以得知}\\&\;\;2^{3+3}=2^3\times2^3,\\&\;\;2^{2+2+2}=2^2\times2^2\times2^2.\end{align}</math> 
根据同底数幂法则，有
:<math>\;\quad\begin{align}2^{12}&=2^{4+4+4}=2^{3+3+3+3}=2^{4\times3}=2^{3\times4}\\&=2^4\times2^4\times2^4=(2^4)^3\\&=2^3\times2^3\times2^3\times2^3=(2^3)^4,\end{align}</math>
即<math>(2^4)^3=(2^3)^4.</math>
 
这便是幂的乘方法则。 
{| class="wikitable"
|+ 探究与发现左结合与右结合
|-
| 我们现在学过的运算有加、减、乘、除法和乘方运算，它们有左结合的，有右结合的，也有双向结合的。那么，这是什么意思呢？
左结合，也就是计算时要且只能从左往右计算。例如减法和除法：<math>a-b-c=(a-b)-c\neq a-(b-c)</math>和<math>a\div b\div c=(a\div b)\div c\neq a\div(b\div c)</math>。
右结合，则是只能从右往左计算。乘方运算，和我们将会学习的各级高德纳箭号表示法都是右结合：<math>a^{b^c}=a^{(b^c)}\neq(a^b)^c=a^{b\times c}</math>，<math>a\uparrow^db\uparrow^dc=a\uparrow^d(b\uparrow^dc)\neq (a\uparrow^db)\uparrow^dc</math>。
双向结合即从两头计算都可以得到相同结果，即符合结合律。加法和乘法就是双向结合的：<math>a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)</math>，<math>a\times b\times c=(a\times b)\times c=a\times(b\times c)</math>。
|}
===1.1.2 指数塔===
在上一课中，我们知道了幂没有结合律，其式子中有一个式子（解析式）<math>a^{b^c}</math>。对于这个式子，我们发现它的指数是一个乘方算式<math>b^c</math>；像这样，一个乘方算式，其指数也是一个乘方算式，我们称这个乘方算式为'''指数塔'''[定义不可靠]。例如，<math>3^{4^5}</math>，<math>6^{2^{3^2}}</math>，<math>5^{5^{5^{5^5}}}</math>都是指数塔。 
需要注意的是，<math>a^{b^c}</math>应读作“a的b的c次幂次幂”；<math>a^{b^{c^d}}</math>读作“a的b的c的d次幂次幂次幂”，而不是“a的b次幂的c次幂的d次幂”，后者指<math>((a^b)^c)^d</math>。 
一个乘方算式，若其指数上没有指数塔但有乘方算式，则其是一个三层指数塔。如<math>3^{3^3}</math>，<math>3^{2^{5+5}}</math>，<math>3^{3^2\times3}</math>都是三层指数塔。<math>2^9</math>不是三层指数塔，但<math>2^{3^2}</math>是三层指数塔。一个n层指数塔的'''层数'''或'''高度'''是n。 
一个乘方算式，若其指数上有指数塔，其层数相当于其指数上最高的指数塔（高度最大的指数塔）的层数加一。如<math>3^{2^{3^{2^4}}}</math>的层数为5，<math>2^{2^{(2^3)^2\times2}\times3+1}</math>是四层指数塔。由下向上，指数塔可分为第1、2……层。如 <math>2^{3^2 + 2^3}</math> 的第二层是 <math>3^2+2^3</math>，第三层是2和3（注意不是2+3等）。
===1.1.3 连幂===
连幂运算是乘方的迭代，又称迭代幂次。 
连幂运算有多种写法。常见的写法有三种，分别是<math>{}^ba</math>，<math>a\upuparrows b</math>（*也作<math>a\uparrow^2b</math>），<math>{\color{white}b}\!\!a</math>^^<math>b</math>。第一种写法是仿照<math>a^b</math>的形式，第三种是<math>a^b</math>的另一种写法——<math>{\color{white}b}\!\!a</math>^<math>b</math>的拓展；第二种则是高德纳箭号表示法，我们将在以后学习。在本文中，我们使用第二种写法。 
我们知道，<math>a\times b</math>表示b个a相加，<math>a^b</math>表示b个a相乘。经过简单的推理，你应该知道<math>a\upuparrows b</math>表示b个a相“乘方”。如何相“乘方”呢？<math>a\uparrow\uparrow b</math>表示a的b层指数塔，即$a\upuparrows b=\underbrace{a^{a^{\ldotp\cdot^{\ldotp a}}}}_{b\text{个}a}$。需要注意的是，指数塔是右结合的，应从右上往左下计算。
$\bbox[blue,3px]{\color{white}\text{习题1.1}}$ 
$\bbox[5px,border:3px solid blue]{\begin{array}{l}\text{复习巩固}\\1. \text{运用乘方运算律计算下列各式.}\\(1)\,2^9;\quad(2)\,3^4;\quad(3)\,5^3.\\2. \text{说出下列各指数塔的层数.}\\(1)\,2^{3^4+2+1};\quad(2)\,3^{(2^2)^3\times2};\\(3)\,3^{(3^2)^{4^2+(2^2)^{3+2^2}}}.\\3. \text{将下列含指数塔的式子转化成不含指数塔、只含连幂算式的式子.}\\(1)\,3^{4^{4^{4^4}}};\quad(2)\,4^{2^2\times2}+4^{4^4};\\(3)\,(3\upuparrows3)^{(3^{3^3})^{3^{3^3}}}.\\4. \text{将下列连幂算式展开成指数塔（或乘方算式）的形式.}\\(1)\,a\upuparrows5;\quad(2)\,7\upuparrows3;\quad(3)\,5\upuparrows2\end{array}}$
===1.2 高德纳上箭号表示法===
在上一节，我们学习了连幂。那么连幂的迭代又是什么运算呢？再迭代呢？我们不可能给每一种运算都另起一个新名字，回想我们小学时所学的数量单位：个、十、百、千、……，以及扩展的“京”“垓”等等，直到“极”，我们距离古戈尔还远。但当有了科学计数法，古戈尔就可以简单地写成<math>10^{100}</math>，而不是1000…0或一万亿亿…亿。在这过程中，我们把“不断创造新单位”或“在末尾加一个零”变成了“在10的指数上增加一”，十是<math>10^1</math>，百是<math>10^2</math>，千是<math>10^3</math>……。类比一下，我们现在应该怎么做呢？是的，这正是高德纳箭号表示法所做的。
高德纳箭号表示法，又称上箭号表示法。其一般写作“<math>a\underbrace{{\uparrow\uparrow}\cdots\uparrow}_nb</math>”或“<math>a\uparrow^nb</math>”，如<math>2\uparrow^24</math>（<math>2\uparrow\uparrow4</math>），<math>3\uparrow\uparrow\uparrow3</math>（<math>3\uparrow^33</math>）都是高德纳箭号表示法的表达式。高德纳箭号表示法中，乘方运算<math>a^b</math>写作<math>a\uparrow b</math>，连幂写作<math>a\uparrow\uparrow b</math>或<math>a\uparrow^2b</math>。那么，连幂的迭代，暂且称为迭代连幂，显然应表示为<math>a\uparrow\uparrow\uparrow b</math>或<math>a\uparrow^3b</math>，并且有<math>a\uparrow^2a\uparrow^2\dots\uparrow^2 a\;\;(b\text{个}a)</math><math>=a\uparrow^3b</math>。不同数量的高德纳箭号的计算优先级相同，且都是右结合，如<math>3\uparrow^23\uparrow^23=3\uparrow^2(3\uparrow^23)</math>，所以实际上严谨一点应写作<math>a\uparrow^2(a\uparrow^2(\cdots(a\uparrow^2a)\cdots))\;\;(b\text{个}a,(b{-}1)\text{对圆括号},(b{-}1)\text{个“}\uparrow^2\text{”})=a\uparrow^3b</math>。显然还有“<math>\uparrow^4</math>”，“<math>\uparrow^5</math>”，“<math>\uparrow^6</math>”等等，以下是完整的定义： 
$\begin{array}{c}\begin{array}{l}1.a\uparrow^1b=a\uparrow b.\\2.a\uparrow^cb=\begin{cases}a^b&,c=1\\a&,b=1\\a\uparrow^{c-1}(a\uparrow^c(b-1))&,c>1,b>1\end{cases}\\
3.\text{如果以上均不符合,那么}a\uparrow^cb\text{的值不存在.}\end{array}\\\small\text{高德纳箭号表示法的定义}\end{array}$ 
'''例1''' 展开$2\uparrow\uparrow3$成指数塔。 
$\begin{array}{ll}\text{解: }2\uparrow\uparrow3&=2\uparrow\uparrow2\uparrow\uparrow2
\\&=2\uparrow\uparrow(2\uparrow\uparrow2)
\\&=2\uparrow\uparrow(2^2)
\\&=2\uparrow\uparrow4
\\&=2\uparrow(2\uparrow\uparrow3)
\\&=2^{2\uparrow\uparrow2}
\\&=2^{2\uparrow(2\uparrow\uparrow2)}
\\&=2^{2^{2^2}}\end{array}$ 
'''例2''' $2\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow2$相当于$2$的（$2\uparrow^326$）层指数塔，或（$27$）个$2$相连幂。 
$\begin{array}{ll}\text{解: }2\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow2&=2\uparrow^3(3\uparrow^22)
\\&=2\uparrow^3(3^3)
\\&=2\uparrow^327
\\&=2\uparrow\uparrow(2\uparrow^326)\end{array}$ 
使用高德纳箭号表示法，我们可以很容易地超越宇宙，乃至超越古戈尔、超越古戈尔普勒克斯等数。 
——未完——

序数坍缩函数

2025-07-05T11:24:49Z

Partygoer002：/* BOCF */

'''序数塌缩函数(Ordinal Collapsing Function,OCF)'''是一种[[序数]]函数。它们的特点是利用足够大的序数(通常是[[非递归序数]])来输出递归序数。事实上，OCF有很多不同的版本。本词条着力于介绍[[BO]]之前的'''BOCF'''(Buchholz's OCF)和'''MOCF'''(Madore's OCF)。

== BOCF ==
''前排提醒：对严谨数学定义不感冒或看不懂的读者可以直接跳到[[OCF#直观理解与操作规则|直观理解与操作规则]]。''

=== 定义 ===
首先我们给出BOCF只引入<math>\Omega</math>的定义：

# <math>C_0(x)=\{0,\Omega\}</math>
# <math>C_{n+1}(x)=C_n(x)\cup\{\alpha+\beta,\psi(\gamma)|\alpha,\beta,\gamma\in C_n(x),\gamma <x\}</math>
# <math>C(x)=\bigcup_{n<\omega}C_n(x)</math>
# <math>\psi(x)=min\{\alpha<\Omega|\alpha\not\in C(x)\}</math>

其中的<math>\Omega</math>要求是一个足够大的序数。以往的资料一般使用第一个[[序数#可数序数与不可数序数|不可数序数]]<math>\omega_1</math>来作为它。但我们发现，第一个非递归序数<math>\omega_1^{CK}</math>已经可以满足我们的需求。因此，目前提到<math>\Omega</math>,默认指的是<math>\omega_1^{CK}</math>。

这四条规则很是抽象，让我们一条一条来看。

规则1：<math>C_0(x)=\{0,\Omega\}</math>。对于任意的x ， <math>C_0(x)</math>是同一个集合。

规则2，这个规则递归定义了<math>C_{n+1}(x)</math>,它是<math>C_n(x)</math>再加上<math>C_n(x)</math>中的元素通过加法和ψ函数能产生的所有元素。这里要求ψ函数自变量小于x，因为<math>\psi(x)</math>是需要<math>C(x)</math>来定义的。

规则3，<math>C(x)</math>是对所有的<math>C_n(x)</math>取并集得到的集合。

规则4，<math>\psi(x)</math>就是所有小于<math>\Omega</math>的序数中，不属于<math>C(x)</math>的最小序数。

=== <math>\varepsilon_0</math>之前 ===
以下是一些运算实例：

<math>C_0(0)=\{0,\Omega\}</math>

<math>C_1(0)=\{0,\Omega,\Omega\times2\}</math>

<math>C_2(0)=\{0,\Omega,\Omega\times2,\Omega\times3,\Omega\times4\}</math>

……

<math>C(0)=\{0,\Omega,\cdots\}</math>,省略号省掉了大于<math>\Omega</math>的序数

因此<math>\psi(0)</math>是最小的小于<math>\Omega</math>的不在<math>C(0)</math>里的序数，即1.

下一个例子是<math>\psi(2)</math>.假定首先你已经知道了<math>\psi(1)=\omega</math>(可以自己验证），我们要开始计算<math>\psi(2)</math>，还是不展示大于<math>\Omega</math>的序数

<math>C_0(2)=\{0,\Omega\}</math>

<math>C_1(2)=\{0,\psi(0)=1,\Omega,\cdots\}</math>

<math>C_2(2)</math>包含了1，2和<math>\psi(1)</math>,即ω。

<math>C_3(2)</math>包含了<math>1,2,3,4,\omega,\omega+1,\omega+2,\omega\times2</math>

以此类推，最后能得到<math>C(2)</math>中包含了全体小于<math>\omega^2</math>的序数和一大堆大于<math>\Omega</math>的序数。因此根据定义,<math>\psi(2)=\omega^2</math>

ψ函数内是极限序数并不影响定义和计算。

你有没有觉得一步一步按定义走太过于繁琐？下面给出它的2个性质:

# <math>\psi(m+1)=\psi(m)\times\omega</math>,m是任意序数
# <math>\psi(\lambda)=sup\{\psi(\kappa)|\kappa<\lambda\}</math>,α是任意非0极限序数

根据这个性质，我们可以轻松的得到：

<math>\psi(\omega)=\omega^{\omega}=\psi(\psi(1))</math>

<math>\psi(\omega+1)=\omega^{\omega+1}=\psi(\psi(1)+1)</math>

<math>\psi(\omega\times2)=\omega^{\omega\times2}=\psi(\psi(1)\times2)</math>

<math>\psi(\omega^2)=\omega^{\omega^2}=\psi(\psi(2))</math>

<math>\psi(\omega^{\omega})=\omega^{\omega^{\omega}}=\psi(\psi(\psi(1)))</math>

<math>\psi(\omega^{\omega^{\omega}})=\omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}=\psi(\psi(\psi(\psi(1))))</math>

……

到这里和[[康托范式]]，[[veblen函数]]的<math>\varphi(x)</math>都是一致的。然而，在<math>\varepsilon_0</math>开始，OCF将与它们分道扬镳。

=== <math>\varepsilon_0</math>与平台期 ===

=== 更多的非递归序数 ===

=== 直观理解与操作规则 ===

让我们从<math>\psi(0)=1</math>开始。

BOCF有这样的性质：

<math>\psi(m+1)=\psi(m)\times\omega</math>,m是任意序数

因此，可以得到<math>\psi(1)=\omega</math>。得到之后，你对<math>\psi(1)</math>之前的序数已经很清楚了，于是，可以把这些序数也都放进<math>\psi</math>函数内部，于是，你最大能得到<math>\psi(\psi(1))=\psi(\omega)=\omega^{\omega}</math>.得到它之后，你又对它之前的序数很清楚了，于是又可以把它们也放进<math>\psi</math>函数内部，最大能得到<math>\psi(\psi(\psi(1)))=\omega^{\omega^{\omega}}</math>……以此类推，你可以得到嵌套任意多层的<math>\psi(\psi(\psi(\cdots)))</math>.

这个时候，我们的新朋友<math>\Omega</math>出场了。我们令<math>\psi(\Omega)=\psi(\psi(\psi(\cdots)))</math>，于是我们可以继续：<math>\psi(\Omega+1)=\psi(\Omega)\times\omega</math>.现在你会发现，它内部既然可以加一，那是不是也可以加上更大的序数呢？答案是肯定的。你先前已经得到了<math>\psi(\Omega)</math>，那么对它之前的序数已经清楚了。于是只需要重走一遍1到<math>\psi(\Omega)</math>的路，就可以得到<math>\psi(\Omega+\psi(\Omega))</math>.和前面类似的，得到<math>\color{red}\psi(\Omega+\psi(\Omega))</math>后，也就可以理解<math>\psi(\Omega+{\color{red}\psi(\Omega+\psi(\Omega))})</math>，毕竟只是在<math>\psi</math>内重走一遍先前走过的路。上面的路又可以一直走下去，直到<math>\psi(\Omega+\psi(\Omega+\psi(\Omega+\cdots)))</math>.

于是，<math>\Omega</math>再次登场，它让<math>\psi(\Omega+\psi(\Omega+\psi(\Omega+\cdots)))=\psi(\Omega+\Omega)=\psi(\Omega\times2)</math>.我们又可以按先前的思路，首先得到<math>\psi(\Omega\times2+1)=\psi(\Omega\times2)\times\omega</math>，然后重走一遍1到<math>\psi(\Omega\times2)</math>的路，就得到<math>\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2))</math>;再重走一遍<math>\psi(\Omega\times2)</math>到<math>\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2))</math>的路，就得到<math>\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2)))</math>,再以此类推，得到<math>\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\cdots)))</math>后再把它变成<math>\psi(\Omega\times3)</math>,然后再……

说到这里，读者应该对<math>\Omega</math>有一定的认识了。它的“能力”是让'''包着它的一层'''<math>\psi</math>函数连同内部的其他内容一起嵌套n层。如<math>\psi(\Omega\times3)=\psi(\Omega\times2+\Omega)=\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\cdots)))</math>.细心的读者可能注意到，这其实是[[不动点]]的体现。没错，OCF中的<math>\Omega</math>可以说是不动点的“化身”，只要它出现，就一定是代表了一个不动点。事实上，前文只展示了加法。<math>\Omega</math>对于乘法和乘方所做的事情和加法是如出一辙的，以下是例子：

得到<math>\psi(\Omega\times\omega)</math>，理解加一个<math>\Omega</math>起到什么作用之后，只需要重走一边<math>\omega</math>到<math>\psi(\Omega)</math>的路，就能得到<math>\psi(\Omega\times\psi(\Omega))</math>,然后再重走一遍<math>\psi(\Omega)</math>到<math>\psi(\Omega\times\psi(\Omega))</math>的路，就能得到<math>\psi(\Omega\times\psi(\Omega\times\psi(\Omega)))</math>……最后得到<math>\psi(\Omega^2)=\psi(\Omega\times\Omega)=\psi(\Omega\times\psi(\Omega\times\psi(\Omega\times\cdots)))</math>.

得到<math>\psi(\Omega^3)</math>，理解加一个<math>\Omega^2</math>起到什么作用之后，只需要重走一边1到<math>\psi(\Omega^3)</math>的路，就能从<math>\psi(\Omega^3+\Omega^2\times1)</math>开始得到<math>\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3))</math>,然后再重走一遍<math>\psi(\Omega^3)</math>到<math>\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3))</math>的路，就能得到<math>\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3)))</math>……最后得到<math>\psi(\Omega^3\times2)=\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\Omega)=\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\cdots)))</math>.

得到<math>\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})</math>和<math>\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^1})</math>，只需要重走一边1到<math>\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})</math>的路，就能从<math>\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^1})</math>开始得到<math>\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})}})</math>,然后再重走一遍<math>\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})</math>到<math>\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})}})</math>路，就能得到<math>\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})}})}})</math>……最后得到<math>\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}\times2})=\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\Omega}})=\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\cdots}})}})}})</math>.

以下是[[BHO]]（即<math>\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega^{\cdots}}})</math>）之前的BOCF的操作规则：

<math>\psi(\alpha_1)+\psi(\alpha_2)+\cdots+\psi(\alpha_{n-1})+\psi(0)=\psi(\alpha_1)+\psi(\alpha_2)+\cdots+\psi(\alpha_{n-1})+1</math>

<math>(\psi(\alpha_1)+\psi(\alpha_2)+\cdots+\psi(\alpha_{n-1})+\psi(\alpha_n))[m]=\psi(\alpha_1)+\psi(\alpha_2)+\cdots+\psi(\alpha_{n-1})+\psi(\alpha_m)[m]</math>

<math>\psi(X+1)[m]=\psi(X)\times m</math>

<math>\psi(X+\psi(Y))[m]=\psi(X+\psi(Y)[m])</math>

这四条和康托范式的规则是一样的，主要是要找准表达式最右侧的结构。如果最右侧是外面的1那就是后继，最右侧是<math>\psi</math>里面的1那就是乘<math>\omega</math>。最右侧如果是<math>\psi(X)</math>,则先操作它。

但如果最右侧是<math>\Omega</math>呢？很简单，只需要找到包着它的那一层<math>\psi</math>，然后在原位嵌套即可。即：

<math>\psi(Z\sim\Omega)=\psi(Z\sim\psi(Z\sim\psi(Z\sim\cdots)))</math>,其中~是+或者×或者^。注意这里的Z并不一定是一个序数，它可以只是一个算式。比如说<math>\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\Omega}})</math>对应的Z是<math>\psi({\color{red}\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\color{black}\Omega}}})</math>标红的部分。

有的时候最右侧的<math>\Omega</math>被藏起来，你需要自己去挖掘出来。比方说<math>\psi(\Omega^3\times2)</math>,你需要把它写成<math>\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\Omega)</math>这种形式。

''tips：BOCF中实际上并不存在乘法和乘方，因此上文的大部分式子严格来说是不标准的。但是在googology绝大多种情况下，为了方便和清晰性，我们都会用这种“部分”引入乘法和乘方的BOCF不标准式。''

BHO之上，就需要引入更多的非递归序数<math>\Omega_2,\Omega_3,\Omega_4,\cdots</math>.对于他们来说，有<math>\psi_1</math>函数，<math>\psi_2</math>函数，<math>\psi_3</math>函数……分别对应，<math>\Omega_{m+1}</math>和<math>\psi_m</math>函数之间的关系与Ω和ψ函数的关系是一模一样的。(<math>\psi</math>函数即<math>\psi_0</math>函数，<math>\Omega</math>即<math>\Omega_1</math>)

对于<math>\psi_m</math>函数，有如下规则：

<math>\psi_m(0)=\Omega_m</math>

<math>\psi_m(X+1)=\psi_m(X)\times\omega</math>

<math>\psi_m(Y\sim\Omega_{m+1})=\psi_m(Y\sim\psi_m(Y\sim\psi_m(Y\sim\cdots)))</math>

不难发现和<math>\psi</math>函数的操作规则几乎一模一样

比如说，有<math>\psi_1(0)=\Omega</math>，<math>\psi_1(1)=\Omega\times\omega</math>,<math>\psi_1(\psi_1(0))=\Omega^2</math>,<math>\psi_1(\psi_1(0)\times2)=\Omega^3</math>,<math>\psi_1(\psi_1(\psi_1(0)))=\Omega^{\Omega}</math>等等。最后会得到<math>\psi_1(\Omega_2)=\psi_1(\psi_1(\psi_1(\cdots)))=\Omega^{\Omega^{\Omega^{\cdots}}}</math>.借助<math>\psi_1</math>函数，我们确实突破了前面BHO 的界限。但事情还没这么简单。

因为OCF存在一个“藏层”现象。即，<math>\psi(\psi_1(\Omega_2))</math>这样的式子是不标准的，它等价于<math>\psi(\Omega_2)</math>.相当于那个<math>\psi_1</math>的层被“藏起来”了，因此称为藏层。

根据前文所说，<math>\Omega_n</math>是一定要找<math>\psi_{n-1}</math>函数去嵌套的。那么，面对藏层，我们要如何操作呢？

答案是，找到包着<math>\Omega_n</math>的最近的<math>\psi_m</math>函数满足<math>m < n</math>，我们视作<math>\psi_{n-1}</math>函数被藏在了这个<math>\psi_m</math>内部。随后进行嵌套，但要在嵌套过程中把内部的<math>\psi_m</math>改成<math>\psi_{n-1}</math>,即：

<math>\psi_m(Y\sim\Omega_n)=\psi_m(Y\sim\psi_{n-1}(Y\sim\psi_{n-1}(Y\sim\cdots)))</math>

举例，考虑<math>\psi(\Omega_3+\psi_2(\Omega_3+\Omega_2))</math>,最右端是<math>\Omega_2</math>,它要找一个最近的<math>\psi_n</math>函数满足n＜2，是最外层的ψ函数。于是我们按照操作规则得到展开式为<math>\psi(\Omega_3+\psi_2(\Omega_3+\psi_1(\Omega_3+\psi_2(\Omega_3+\psi_1(\Omega_3+\psi_2(\Omega_3+\cdots))))))</math>.

BO是<math>\psi(\Omega_{\omega})</math>,它的[[基本列]]是<math>\{\psi(0),\psi(\Omega),\psi(\Omega_2),\psi(\Omega_3),\psi(\Omega_4),\cdots\}</math>.从这条基本列中的元素开始按照操作规则展开所得到的式子就是标准的，如果得不到，则是不标准的。

以上就是BO前的BOCF的直观理解与操作规则。

== MOCF ==
[[分类:记号]]

讨论:稳定序数

2025-07-05T01:21:14Z

Partygoer002：/* 不写句号可不是好习惯 */ 新章节

== 不写句号可不是好习惯 ==

不写句号可不是好习惯 [[用户:Partygoer002|Partygoer002]]（[[用户讨论:Partygoer002|留言]]） 2025年7月5日 (六) 09:21 (CST)

序数表

2025-07-04T12:26:38Z

Partygoer002：/* 序数表 */

本条目列举出一些有名字的[[序数]]，它们大多在 googology 中具有重大意义

需要注意的是，它们的命名很多来自 googology 爱好者而非专业数学研究者。
== 序数表 ==
{| class="wikitable"
|+
|-
! 缩写 !! 英文全称 !! 常规表示方法(BOCF等) !! BMS/Y
|-
| FTO || First Transfinite Ordinal || <math>\omega</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0)(1)</math>
|-
| LAO || Linar Array Ordinal<ref>因为在googology一度经典的线性数阵的极限是它，因此得名</ref>|| <math>\omega^\omega</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0)(1)(2)</math>
|-
| [[SCO]]|| Small Cantor Ordinal || <math>\varphi(1,0)=\varepsilon_0=\psi(\Omega)</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0)(1,1)</math>
|-
| [[CO]]|| Cantor Ordinal || <math>\varphi(2,0)=\zeta_0=\psi(\Omega^2)</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0)(1,1)(2,1)</math>
|-
|LCO
|Large Cantor Ordinal
|<math>\varphi(3,0)=\eta_0=\psi(\Omega^3)</math>
|<math>\mathrm{BMS}(0,0)(1,1)(2,1)(2,1)</math>
|-
| [[HCO]]|| Hyper Cantor Ordinal || <math>\varphi(\omega,0)=\psi(\Omega^\omega)</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0)(1,1)(2,1)(3,0)</math>
|-
| [[FSO]]|| Feferman-Schutte Ordinal || <math>\varphi(1,0,0)=\Gamma_0=\psi(\Omega^\Omega)</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)</math>
|-
|ACO
|Ackermann Ordinal
|<math>\varphi(1,0,0,0)</math>
|<math>\mathrm{BMS}(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)</math>
|-
| [[SVO]]|| Small Veblen Ordinal || <math>\psi(\Omega^{\Omega^{\omega}})</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,0)</math>
|-
| [[LVO]]|| Large Veblen Ordinal || <math>\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)</math>
|-
| [[ESVO]]|| Extended Small Veblen Ordinal || <math>\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega^\omega}})</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,0)</math>
|-
| [[ELVO]]|| Large Veblen Ordinal || <math>\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega^{\Omega}}})</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)</math>
|-
| [[BHO]]|| Bachmann-Howard Ordinal || <math>\psi(\Omega_{2})</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0)(1,1)(2,2)</math>
|-
| [[BO]]|| Buchholz's Ordinal || <math>\psi(\Omega_{\omega})</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)</math>
|-
| [[TFBO]]|| Takeuti-Feferman-Buchholz Ordinal || <math>\psi(\Omega_{\omega+1})</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(3,2,0)</math>
|-
| [[BIO]]|| Bird's Ordinal<ref>鸟之数阵第四版的极限是它，因此得名</ref>|| <math>\psi(\Omega_{\Omega})</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,0)</math>
|-
| [[EBO]]|| Extended Buchholz Ordinal || <math>\psi(I)</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,0)(2,0,0)</math>
|-
| [[JO]]|| Jager's Ordinal || <math>\psi(\Omega_{I+1})</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,0)(4,2,0)</math>
|-
| [[SIO]]|| Small Inaccessible Ordinal || <math>\psi(I_{\omega})</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)</math>
|-
| [[MBO]]|| Mutiply Buchholz Ordinal || <math>\psi(I(\omega,0))=\psi(M^\omega)</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(3,0,0)</math>
|-
|TBO
|Transfinitary Buchholz's Ordinal
|$ \psi(I(1@(1,0))) $
|<math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(3,1,0)(2,0,0)</math>
|-
| [[SRO]]|| Small Rathjen Ordinal || <math>\psi(\varepsilon_{M+1})</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(3,1,0)(4,2,0)</math>
|-
| [[SMO]]|| Small Mahlo Ordinal || <math>\psi(M_\omega)</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(3,1,1)</math>
|-
| [[RO]]|| Rathjen's Ordinal || <math>\psi(\varepsilon_{K+1})</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(4,1,0)(5,2,0)</math>
|-
| [[SSO]]|| Small Stegert Ordinal || <math>\psi(\Pi_{\omega})=\psi(a_2)</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,2,0)</math>
|-
| [[LSO]]|| Large Stegert Ordinal || <math>\psi(\lambda\alpha.(\alpha\times 2)-\Pi_{0})=\psi(a_2^a)</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,2,0)(3,2,0)(4,1,0)(2,0,0)</math>
|-
| [[BGO]]|| TSS 1st Back Gear Ordinal<ref>Bashicu对BGO的原定义是BMS(0,0,0)(1,1,1)(2,2,0)。BGO指(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)是中文googology社区的重命名</ref>|| <math>\psi(\Pi_{1}-\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+2})-\Pi_{1})</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)</math>
|-
| [[SDO]]|| Small Dropping Ordinal || <math>\psi(\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+\omega})-\Pi_{0})</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,0,0)</math>
|-
| [[LDO]]|| Large Dropping Ordinal || <math>\psi(\lambda\alpha.(\mathrm{OFP}\ \mathrm{aft}\ \alpha)-\Pi_{0})</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,0)</math>
|-
| [[pLRO]]|| p.f.e.c. Large Rathjen Ordinal || <math>\psi(\omega-\pi-\Pi_{0})=\psi(a_\omega) </math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)</math>
|-
| [[TSSO]]|| Trio Sequence System Ordinal || <math>\psi(\omega-projection)=\psi(\sigma S\times \omega)=\psi(H^\omega)</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0,0,0)(1,1,1,1)</math>
|-
| [[QSSO]]|| Quardo Sequence System Ordinal || <math>\psi(\psi_{H}(H^{H^{\omega}}))?</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0,0,0,0,0)(1,1,1,1,1)</math>
|-
| SHO/BMO<ref name=":0">SHO,MHO的名字均来自FataliS1024.但原定义的SHO指的是<math>\varepsilon_0</math>,MHO指的是BMS极限。还有一个LHO指<math>\omega -Y</math>极限。但后来不知为何变成了现在的这个版本，而LHO成为了无定义的名字</ref>|| Small Hydra Ordinal || <math>\psi(\psi_{H}(\varepsilon_{H+1}))?</math>|| <math>Y(1,3)=BMS\text{极限}</math>
|-
| [[ΩSSO]]|| \Omega Sequence System Ordinal || || <math>Y(1,3,4,2,5,8,10)</math>
|-
| [[GHO]]|| No-Go Hydra Ordinal<ref>原名Guo bu qu de Hydra Ordinal，但过于口语化和非正式。而这个序数本身确实是一个重要的序数。曹知秋将名字改成了现在的版本</ref>|| || <math>Y(1,3,4,3)</math>
|-
| [[SYO]]|| Small Yukito Ordinal || || <math>\omega-Y(1,4)</math>
|-
| MHO/ωYO<ref name=":0" />|| Medium Hydra Ordinal || || <math>\omega-Y</math> 极限
|-
| [[CKO]]|| Church-Kleene Ordinal || <math>\omega_{1}^{\rm CK}</math>
|-
| [[FUO]] || First Uncountable Ordinal || <math>\omega_{1}</math>||
|}

记号展开器

2025-07-04T09:54:28Z

Partygoer002：

[https://hypcos.github.io/notation-explorer/ 此处]包含了许多常见记号的展开器。 
以下网址也包含了一些记号的展开器，各有不同，请依据实际情况使用： 
[https://solarzone1010.github.io/ BIO内的BMS分析仪，cOCF及HSPN展开器，TONF及GON浏览器等] 
[https://gyafun.jp/ln/basmat.cgi Bashicu矩阵计算器] 
[https://waffle3z.github.io/notations/ BMS、Y序列、HPrSS、LPrSS、BrSS浏览器等] 
[https://fghdisplayer.onrender.com/ LVO内韦伯伦函数的FGH及基本列展开] 
[https://naruyoko.github.io/googology/ Y和ω-Y序列的展开和山脉图绘制、BMS的展开过程演示等]

记号展开器

2025-07-04T09:37:01Z

Partygoer002：

[https://hypcos.github.io/notation-explorer/ 此处]包含了许多常见记号的展开器。 
以下网址也包含了一些记号的展开器，各有不同，请依据实际情况使用： 
[https://solarzone1010.github.io/] 
[https://gyafun.jp/ln/basmat.cgi] 
[https://waffle3z.github.io/notations/] 
[https://fghdisplayer.onrender.com/] 
[https://naruyoko.github.io/googology/]

讨论:序数记号

2025-07-04T08:25:40Z

Partygoer002：/* 关于注意事项第二段的疑问 */ 新章节

== 关于注意事项第二段的疑问 ==

通过在《大数理论》中查找，其中描述基本列的结构多是 “α的基本列为 α=sup{α[0],α[1],…}” 或 “α的基本列为 α[0], α[1], …”， 而没有像本文中“α的基本列为α[0],α[1],…”的。本文中这样写易混淆基本列各项之间分隔用的逗号和序数记号中使用的逗号，可以考虑更改本文中的写法。 [[用户:Partygoer002|Partygoer002]]（[[用户讨论:Partygoer002|留言]]） 2025年7月4日 (五) 16:25 (CST)

序数记号

2025-07-04T08:11:08Z

Partygoer002：/* 注意事项 */

序数记号是大数数学最常用的表示序数的方法。它是一种用有限的符号系统表示[[序数]]的数学工具，其核心是建立序数到表达式构成的集合的双射。[[初等序列系统|PrSS]]，[[BMS]]，[[Y序列]]，[[veblen函数]]等都是序数记号。

== 基本构成 ==
序数记号由三部分构成：'''表达式集'''，'''展开规则'''，'''极限基本列'''

表达式集是序数记号定义的一部分，对于一个序数记号，如果一个表达式属于表达式集，则称为'''合法表达式'''，简称'''合法式'''。只有合法式可以根据展开规则进行操作。

展开规则是序数记号的核心，需要满足以下三个性质：
* 需要将合法式分为三类：'''零表达式'''，'''后继表达式'''，'''极限表达式'''，并且能根据规则判断出给定的合法式是哪一类。
* 对于给定的后继表达式a，需要根据规则给出另一合法式b，b作为a的前驱，或称a是b的后继。
* 对于给定的极限表达式c，需要根据规则给出一个ω长的合法式序列。这个序列称为c的基本列。
极限基本列是一个ω长的合法式构成的序列。我们定义从极限基本列的任意一项开始，经过有限次取其基本列中成员和取前驱所能获得的表达式称为'''标准表达式'''，简称'''标准式'''。

== 序关系 ==
在给定的序数记号中，定义序关系“≤”为：

如果一个合法式a能通过有限次（含0次）取基本列中成员和取前驱能得到合法式b，则b≤a。

序数记号必须满足其标准式集在“≤”上是[[良序]]的。在此基础上，我们就可以建立标准式集和序数的[[保序双射]]，从而让每个标准式对应唯一的一个序数。

== 注意事项 ==
在一些具体的序数记号定义中，可能会看到“展开”这一字眼。实际上，它是对极限表达式取基本列的相对不严谨的一种表述。

比如在[[初等序列系统|PrSS]]规则中，<math>0,1,2</math>“展开”为<math>0,1,1,1,...</math>,实际上是在说表达式<math>0,1,2</math>的基本列是<math>0,1</math>，<math>0,1,1</math>，<math>0,1,1,1</math>，……。

出现这种表述的原因是因为在Worm记号中，一个极限表达式的基本列的一项往往是它后面一项的子序列，因此这种表述方便理解。

类似的，在Worm记号中，序关系“≤”往往等价于[[字典序]]。但直接将字典序等同于序数记号的序是错误的，因为并非所有序数记号都满足这一点。

此外，类似[[veblen函数]]，[[OCF]]等序数记号定义上实际上并不包含基本列的选取，但它们可以被转写为含有基本列选取的形式。
[[分类:记号]]

阿克曼函数

2025-07-04T07:57:35Z

Partygoer002：/* 原始定义 */

'''阿克曼函数(Ackermann function)'''是由德国数学家 Wilhelm Ackermann 创造的非原始递归函数，后来由 Rozsa Peter 和 Raphael M. Robinson 简化。阿克曼函数有多种不同的版本。

=== 一般定义 ===

==== 定义 ====
Robinson 的版本<ref>Weisstein, Eric W. "Ackermann Function." From ''MathWorld''--A Wolfram Resource. https://mathworld.wolfram.com/AckermannFunction.html</ref>是最常被使用的阿克曼函数：

<math>A(m,n)=\begin{cases}n+1&,m=0\\A(m-1,1)&,m\neq0\ \text{and}\ n=0\\A(m-1,A(m,n-1))&,m\neq0\ \text{and}\ n\neq0\end{cases}</math>

在这个定义下，<math>A(x,y)=2\uparrow^{x-2}(y+3)-3</math>，它的 [[快速增长层级|FGH]] 增长率约为 <math>\omega</math>。

==== 示例 ====
<math>\begin{array}{lll}
A(2,2) &=& A(1,A(2,1))\\ &=& A(1,A(1,A(2,0)))&&\\
&=& A(1,A(1,A(1,1)))\\ &=& A(1,A(1,A(0,A(1,0))))\\ &=& A(1,A(1,A(0,A(0,1))))\\ &=& A(1,A(1,A(0,2)))\\&=& A(1, A(1, 3))\\
&=& A(1, A(0, A(1, 2)))\\ &=& A(1, A(0, A(0, A(1, 1))))\\
&=& A(1, A(0, A(0, A(0, A(1, 0)))))\\ &=& A(1, A(0, A(0, A(0, A(0, 1)))))\\
&=& A(1, A(0, A(0, A(0, 2))))\\
&=& A(1, A(0, A(0, 3)))\\ &=& A(1, A(0, 4))\\ &=& A(1, 5)\\ &=& A(0, A(1, 4))\\
&=& A(0, A(0, A(1, 3)))\\ &=& A(0, A(0, A(0, A(1, 2))))\\
&=& A(0, A(0, A(0, A(0, A(1, 1)))))\\
&=& A(0, A(0, A(0, A(0, A(0, A(1, 0))))))\\
&=& A(0, A(0, A(0, A(0, A(0, A(0, 1))))))\\
&=& A(0, A(0, A(0, A(0, A(0, 2)))))\\ &=& A(0, A(0, A(0, A(0, 3))))\\
&=& A(0, A(0, A(0, 4)))\\ &=& A(0, A(0, 5))\\ &=& A(0, 6)\\ &=& 7
\end{array}</math>

==== 函数值表 ====
{| class="wikitable"
|+ ''A''(''m'',''n'')的值
|-
! m\n
! 0
! 1
! 2
! 3
! 4
! ''n''
|-
! 0
| 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || <math>n + 1</math>
|-
! 1
| 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || <math>n + 2 = 2 + (n + 3) - 3</math>
|-
! 2
| 3 || 5 || 7 || 9 || 11 || <math>2n + 3 = 2\cdot(n + 3) - 3</math>
|-
! 3
| 5 || 13 || 29 || 61 || 125 || <math>2^{(n + 3)} - 3</math>
|- style="vertical-align:top"
! style="vertical-align:middle" | 4
| rowspan="1" style="border-bottom:0" | 13
| rowspan="1" style="border-bottom:0" | 65533
| rowspan="1" style="border-bottom:0" | 265536 – 3
| rowspan="1" style="border-bottom:0" | <math>{2^{2^{65536}}} - 3</math>
| rowspan="1" style="border-bottom:0" | <math>{2^{2^{2^{65536}}}} - 3</math>
| rowspan="1" style="border-bottom:0" | <math>=2\uparrow\uparrow (n+3) - 3</math>
|- style="vertical-align:bottom"
! style="vertical-align:middle" | 5
| 65533
| <math>2\uparrow\uparrow\uparrow 4 - 3</math>
| <math>2\uparrow\uparrow\uparrow 5 - 3</math>
| <math>2\uparrow\uparrow\uparrow 6 - 3</math>
| <math>2\uparrow\uparrow\uparrow 7 - 3</math>
| <math>2\uparrow\uparrow\uparrow (n+3) - 3</math>
|-
! 6
| <math>2\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3 - 3</math>
| <math>2\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 4 - 3</math>
| <math>2\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 5 - 3</math>
| <math>2\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 6 - 3</math>
| <math>2\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 7 - 3</math>
| <math>2\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow (n+3) - 3</math>
|-
! ''m''
| <math>(2\uparrow^{m-2} 3)-3</math>
| <math>(2\uparrow^{m-2} 4)-3</math>
| <math>(2\uparrow^{m-2} 5)-3</math>
| <math>(2\uparrow^{m-2} 6)-3</math>
| <math>(2\uparrow^{m-2} 7)-3</math>
| <math>(2\uparrow^{m-2}(n+3))-3</math>
|}

=== 其他定义 ===
（本节内容大部分来自 Googology Wiki。<ref>Ackermann Function | Googology Wiki, Cooperation, January 11, 2009. https://googology.fandom.com/wiki/Ackermann_function</ref>）

==== 原始定义 ====
<math>A(n,x,y)=\begin{cases}x+1&,n=0\\\underbrace{A(n-1,A(n-1,\cdots A(n-1,0,x)\cdots,x),x)}_{y\text{ times}}&,n\neq0\end{cases}</math>

它可以用[[高德纳箭头|上箭头表示法]]表示为 <math>A(n,x,y)=x\uparrow^{n-2}y</math>，但是在它被定义前[[高德纳箭头|上箭头表示法]]还未被发明。它是根据高阶原始递归（即函数上的原始递归）定义的。<ref>Ackermann, Wilhelm (1928). "Zum Hilbertschen Aufbau der reellen Zahlen". Mathematische Annalen. 99: 118–133. https://doi.org/10.1007%2FBF01459088</ref>

==== Friedman 的定义 ====
<math>A(x,y)=\begin{cases}2&,y=1\\2y&,x=1\land y>1\\A(x-1,A(x,y-1))&,x>1\land y>1\end{cases}</math>

在这个定义下，<math>A(x,y)=2\uparrow^{x-1}y</math>。<ref>Harvey M. Friedman. THE ACKERMANN FUNCTION IN ELEMENTARY ALGEBRAIC GEOMETRY, October 21, 2000. https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/u.osu.edu/dist/1/1952/files/2014/01/AckAlgGeom102100-1rrdkag.pdf</ref>

==== Buck 的定义 ====
Buck 使用相同的基本递归定义一个相关函数：<ref>Buck, R. C. "Mathematical Induction and Recursive Definitions." Amer. Math. Monthly 70, 128-135, 1963. https://cse.buffalo.edu/~rapaport/Papers/Papers.by.Others/buck63-MathIndnRecDefs.pdf</ref><math>F(x,y)=F(x-1,F(x,y-1))</math>

但边界值略有不同：

<math>\begin{aligned}F(0,y)&=&y+1&\\F(1,0)&=&2&\\F(2,0)&=&0&\\F(x,0)&=&1&\text{for }x=3,4,\cdots\end{aligned}</math>

这个函数递归得到：

<math>\begin{aligned}F(1,y)&=&2+y\\F(2,y)&=&2y\\F(3,y)&=&2^y\\F(4,y)&=&2\uparrow\uparrow y\end{aligned}</math>

F(4,n) 给出了序列 1, 2, 4, 16, 65536, 265536,... (OEIS [http://oeis.org/A014221 A014221])；

F(n,n) 给出了序列 1, 3, 4, 8, 65536, <math>2\uparrow\uparrow65536</math>,...(OEIS [http://oeis.org/A001695 A001695])。<ref>Sloane, N. J. A. Sequences A001695/M2352 and A014221 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."</ref>

==== Goucher 的定义 ====
A.P.Goucher 在其博客文章中提出了阿克曼函数的以下定义：<ref>Goucher, Adam P. Fast-growing functions, part 1, December 15, 2012. http://cp4space.wordpress.com/2012/12/15/fast-growing-1</ref>

* <math>f_1(n)=n+2</math>
* <math>f_{m+1}(n)=f_m^n(2)</math>
* <math>A(n)=f_n(n)</math>

该文章描述了该函数的另一个变体，该变体与以下问题相关：

给定一排盒子，每个盒子中有若干硬币，我们可以选择一个盒子并按照以下规则之一进行操作：

# 从该盒子中移除一枚硬币，并在第 n+1 个盒子中添加两枚硬币。
#从该盒子中移除一枚硬币，并反转第 n+1 和 n+2 个盒子中的硬币数量。

我们可以选择一种策略，即挑选盒子并应用相应的规则。考虑以下情况：除最右侧的盒子外，所有盒子均为空。此时，给定一排 n 个盒子，每个盒子中各有一枚硬币，<math>f(n)</math> 表示最右侧盒子中可能出现的最大硬币数量。计算该函数的精确值可能颇具挑战，但显而易见的是 <math>f(1)=1</math>、<math>f(2)=3</math> 和 <math>f(3)=7</math>。而证明 <math>f(4)=28</math> 则稍显困难。

=== 其他内容 ===

==== 定义在 R* 上的阿克曼函数 ====
CompactStar 的定义：<ref>CompactStar. Continuous Ackermann function, June15, 2023. https://nirvanasupermind.github.io/googology/continuous-ackermann-function.html</ref>

<math>A(x,y)=\begin{cases}x+y+1&,x<1\\A(x-1,y\cdot A(x-1,1)-y+1)&,x\geqslant1\land y<1\\A(x-1,A(x,y-1))&,x\geqslant1\land y\geqslant1\end{cases}</math>

==== 阿克曼函数和阿克曼数 ====
数列 <math>A_n=A(n+2,n,n)</math>（使用原始定义）被称为阿克曼数(Ackermann Numbers)，<ref>Ackermann Number | Googology Wiki. Cooperation. January 1, 2001. https://googology.fandom.com/wiki/Ackermann_number</ref>这里 <math>A_n=n\uparrow^nn</math>。

==== 非原始递归的函数 ====
阿克曼函数是一个良定义全函数的最简单例子，它是可计算的但不是原始递归的，这为 20 世纪初人们认为每个可计算函数也是原始递归的这一信念提供了反例。<ref>Dötzel, G. "A Function to End All Functions." Algorithm: Recreational Programming 2.4, 16-17, 1991.</ref><ref>Kleene, S. C. ''Introduction to Metamathematics.'' Princeton, NJ: Van Nostrand, 1964.</ref><ref>Péter, R. ''Rekursive Funktionen in der Komputer-Theorie.'' Budapest: Akad. Kiado, 1951.</ref>

==== 阿克曼函数的逆函数 ====
由 <math>\lambda_i(n)=\min\{j\in\mathbb{N}|A(i,j)\geqslant n\}</math> 定义的函数 <math>\lambda:\mathbb{N}^2\rightarrow\mathbb{N}\quad(i,n)\mapsto\lambda_i(n)</math>（亦记为 <math>\alpha(i,n)</math>）被称为阿克曼函数的逆函数(inverse-Ackermann function)，尽管它并非非双射映射 <math>A:\mathbb{N}^2\rightarrow\mathbb{N}</math> 本身的逆映射。<ref>Pettie, S. An Inverse-Ackermann Type Lower Bound For Online Minimum Spanning Tree Verification*. Combinatorica 26, 207–230 (2006). https://doi.org/10.1007%2Fs00493-006-0014-1</ref>由于 <math>A(m,n)</math> 的增长速度相对较快，逆阿克曼函数因此呈现出极为缓慢的增长特性。有趣的是，该函数已在时间复杂度理论领域得到实际应用。<ref>Reingold, E. H. and Shen, X. "More Nearly Optimal Algorithms for Unbounded Searching, Part I: The Finite Case." ''SIAM J. Comput.'' '''20''', 156-183, 1991.</ref><ref>Tarjan, R. E. ''Data Structures and Network Algorithms.'' Philadelphia PA: SIAM, 1983.</ref>

==== 阿克曼函数的对角化 ====
函数 <math>A(x)=A(x,x)</math>（基于 Robinson 定义）是阿克曼函数的对角化，这个函数也被叫做 Gag 或 Knackeredman。这个名字来自 Alistair Cockburn，由于阿克曼函数与[[高德纳箭头|上箭头表示法]]的关系，<math>A(x)=2\uparrow^{x-2}(x+3)-3</math>。<ref>Gag | Googology Wiki, Cooperation, January 11, 2009. https://googology.fandom.com/wiki/Gag</ref>

[[分类:记号]]
[[分类:入门]]

植的大数数学入门教程

2025-07-04T07:35:36Z

Partygoer002：创建页面，内容为“=第一章超运算= 在小学，我们从日常生活的实例出发，学习了四则运算，即加、减、乘、除，还初步认识了乘方中的平方；在初中，我们对平方、立方与较小指数的乘方运算有了深入认识，知道了它们的一些性质。也许你认为1010或古戈尔——10100已经很大，但在大数的世界中这些仍只是最初级、最渺小的数。 本章我们将…”

=第一章超运算=
在小学，我们从日常生活的实例出发，学习了四则运算，即加、减、乘、除，还初步认识了乘方中的平方；在初中，我们对平方、立方与较小指数的乘方运算有了深入认识，知道了它们的一些性质。也许你认为1010或古戈尔——10100已经很大，但在大数的世界中这些仍只是最初级、最渺小的数。
 
本章我们将认识一种更高级的运算——连幂，它可以使用两个只有两位的数字很容易地超过宇宙的原子数、普朗克体积数，乃至庞加莱回归时间和所有原子的排列组合数；我们还将探究加法、乘法、乘方、连幂内的规律，并总结出超运算和上箭号表示法。届时，葛立恒数将不再遥不可及。
 
==1.1 连幂运算==
连幂是比乘方更高级的运算，接下来我们将深入学习。
===1.1.1 乘方运算律===
我们学过加法、乘法的交换律和结合律，和乘法的分配律。幂，即乘方运算，也有自己的运算律。 
首先，幂运算没有交换律和结合律： 
大多数情况下， <math>a^b\neq b^a</math>， <math>(a^b)^c\neq a^{(b^c)}</math>。
其次，幂的“分配律”有二种： <math>a^{b+c}=a^b\times a^c</math>，此时指数上的“<math>+</math>”移下来后会变成“<math>\times</math>”； 
<math>a^{b\times c}=(a^b)^c</math>，即“<math>a</math>的<math>b</math>次方的幂的<math>c</math>次方”。它们分别被称为'''同底数幂法则'''和'''幂的乘方法则'''。 
让我们举几个例子看看： 
幂没有交换律： 
:: <math>3^2=9,2^3=8,9\neq8.</math> 
幂没有结合律： 
:: <math>\begin{align}&(2^3)^2=(8)^2=64,\\&2^{(3^2)}=2^9=512,\\&64\neq512.\end{align}</math> 
同底数幂法则：
:<math>\quad\begin{align}&\text{首先,以下等式是显然的:}\\&\;\;\begin{align}2^6&=2^{3+3}=2^{2+2+2}\\&=2\times2\times2\times2\times2\times2\;\;(6\text{个}2)\\&=(2\times2\times2)\times(2\times2\times2)\\&=2^3\times2^3\\&=(2\times2)\times(2\times2)\times(2\times2)\\&=2^2\times2^2\times2^2.\end{align}\\&\text{于是,我们可以得知}\\&\;\;2^{3+3}=2^3\times2^3,\\&\;\;2^{2+2+2}=2^2\times2^2\times2^2.\end{align}</math> 
根据同底数幂法则，有
:<math>\;\quad\begin{align}2^{12}&=2^{4+4+4}=2^{3+3+3+3}=2^{4\times3}=2^{3\times4}\\&=2^4\times2^4\times2^4=(2^4)^3\\&=2^3\times2^3\times2^3\times2^3=(2^3)^4,\end{align}</math>
即<math>(2^4)^3=(2^3)^4.</math>
 
这便是幂的乘方法则。 
{| class="wikitable"
|+ 探究与发现左结合与右结合
|-
| 我们现在学过的运算有加、减、乘、除法和乘方运算，它们有左结合的，有右结合的，也有双向结合的。那么，这是什么意思呢？
左结合，也就是计算时要且只能从左往右计算。例如减法和除法：<math>a-b-c=(a-b)-c\neq a-(b-c)</math>和<math>a\div b\div c=(a\div b)\div c\neq a\div(b\div c)</math>。
右结合，则是只能从右往左计算。乘方运算，和我们将会学习的各级高德纳箭号表示法都是右结合：<math>a^{b^c}=a^{(b^c)}\neq(a^b)^c=a^{b\times c}</math>，<math>a\uparrow^db\uparrow^dc=a\uparrow^d(b\uparrow^dc)\neq (a\uparrow^db)\uparrow^dc</math>。
双向结合即从两头计算都可以得到相同结果，即符合结合律。加法和乘法就是双向结合的：<math>a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)</math>，<math>a\times b\times c=(a\times b)\times c=a\times(b\times c)</math>。
|}
===1.1.2 指数塔===
在上一课中，我们知道了幂没有结合律，其式子中有一个式子（解析式）<math>a^{b^c}</math>。对于这个式子，我们发现它的指数是一个乘方算式<math>b^c</math>；像这样，一个乘方算式，其指数也是一个乘方算式，我们称这个乘方算式为'''指数塔'''[定义不可靠]。例如，<math>3^{4^5}</math>，<math>6^{2^{3^2}}</math>，<math>5^{5^{5^{5^5}}}</math>都是指数塔。 
需要注意的是，<math>a^{b^c}</math>应读作“a的b的c次幂次幂”；<math>a^{b^{c^d}}</math>读作“a的b的c的d次幂次幂次幂”，而不是“a的b次幂的c次幂的d次幂”，后者指<math>((a^b)^c)^d</math>。 
一个乘方算式，若其指数上没有指数塔但有乘方算式，则其是一个三层指数塔。如<math>3^{3^3}</math>，<math>3^{2^{5+5}}</math>，<math>3^{3^2\times3}</math>都是三层指数塔。<math>2^9</math>不是三层指数塔，但<math>2^{3^2}</math>是三层指数塔。一个n层指数塔的'''层数'''或'''高度'''是n。 
一个乘方算式，若其指数上有指数塔，其层数相当于其指数上最高的指数塔（高度最大的指数塔）的层数加一。如<math>3^{2^{3^{2^4}}}</math>的层数为5，<math>2^{2^{(2^3)^2\times2}\times3+1}</math>是四层指数塔。由下向上，指数塔可分为第1、2……层。如 <math>2^{3^2 + 2^3}</math> 的第二层是 <math>3^2+2^3</math>，第三层是2和3（注意不是2+3等）。
===1.1.3 连幂===
连幂运算是乘方的迭代，又称迭代幂次。 
连幂运算有多种写法。常见的写法有三种，分别是<math>{}^ba</math>，<math>a\upuparrows b</math>（*也作<math>a\uparrow^2b</math>），<math>{\color{white}b}\!\!a</math>^^<math>b</math>。第一种写法是仿照<math>a^b</math>的形式，第三种是<math>a^b</math>的另一种写法——<math>{\color{white}b}\!\!a</math>^<math>b</math>的拓展；第二种则是高德纳箭号表示法，我们将在以后学习。在本文中，我们使用第二种写法。 
我们知道，<math>a\times b</math>表示b个a相加，<math>a^b</math>表示b个a相乘。经过简单的推理，你应该知道<math>a\upuparrows b</math>表示b个a相“乘方”。如何相“乘方”呢？<math>a\uparrow\uparrow b</math>表示a的b层指数塔，即$a\upuparrows b=\underbrace{a^{a^{\ldotp\cdot^{\ldotp a}}}}_{b\text{个}a}$。需要注意的是，指数塔是右结合的，应从右上往左下计算。
$\bbox[blue,3px]{\color{white}\text{习题1.1}}$ 
$\bbox[5px,border:3px solid blue]{\begin{array}{l}\text{复习巩固}\\1. \text{运用乘方运算律计算下列各式.}\\(1)\,2^9;\quad(2)\,3^4;\quad(3)\,5^3.\\2. \text{说出下列各指数塔的层数.}\\(1)\,2^{3^4+2+1};\quad(2)\,3^{(2^2)^3\times2};\\(3)\,3^{(3^2)^{4^2+(2^2)^{3+2^2}}}.\\3. \text{将下列含指数塔的式子转化成不含指数塔、只含连幂算式的式子.}\\(1)\,3^{4^{4^{4^4}}};\quad(2)\,4^{2^2\times2}+4^{4^4};\\(3)\,(3\upuparrows3)^{(3^{3^3})^{3^{3^3}}}.\\4. \text{将下列连幂算式展开成指数塔（或乘方算式）的形式.}\\(1)\,a\upuparrows5;\quad(2)\,7\upuparrows3;\quad(3)\,5\upuparrows2\end{array}}$
===1.2 高德纳上箭号表示法===
在上一节，我们学习了连幂。那么连幂的迭代又是什么运算呢？再迭代呢？我们不可能给每一种运算都另起一个新名字，回想我们小学时所学的数量单位：个、十、百、千、……，以及扩展的“京”“垓”等等，直到“极”，我们距离古戈尔还远。但当有了科学计数法，古戈尔就可以简单地写成<math>10^{100}</math>，而不是1000…0或一万亿亿…亿。在这过程中，我们把“不断创造新单位”或“在末尾加一个零”变成了“在10的指数上增加一”，十是<math>10^1</math>，百是<math>10^2</math>，千是<math>10^3</math>……。类比一下，我们现在应该怎么做呢？是的，这正是高德纳箭号表示法所做的。
高德纳箭号表示法，又称上箭号表示法。其一般写作“<math>a\underbrace{{\uparrow\uparrow}\cdots\uparrow}_nb</math>”或“<math>a\uparrow^nb</math>”，如<math>2\uparrow^24</math>（<math>2\uparrow\uparrow4</math>），<math>3\uparrow\uparrow\uparrow3</math>（<math>3\uparrow^33</math>）都是高德纳箭号表示法的表达式。高德纳箭号表示法中，乘方运算<math>a^b</math>写作<math>a\uparrow b</math>，连幂写作<math>a\uparrow\uparrow b</math>或<math>a\uparrow^2b</math>。那么，连幂的迭代，暂且称为迭代连幂，显然应表示为<math>a\uparrow\uparrow\uparrow b</math>或<math>a\uparrow^3b</math>，并且有<math>a\uparrow^2a\uparrow^2\dots\uparrow^2 a\;\;(b\text{个}a)</math><math>=a\uparrow^3b</math>。不同数量的高德纳箭号的计算优先级相同，且都是右结合，如<math>3\uparrow^23\uparrow^23=3\uparrow^2(3\uparrow^23)</math>，所以实际上严谨一点应写作<math>a\uparrow^2(a\uparrow^2(\cdots(a\uparrow^2a)\cdots))\;\;(b\text{个}a,(b{-}1)\text{对圆括号},(b{-}1)\text{个“}\uparrow^2\text{”})=a\uparrow^3b</math>。显然还有“<math>\uparrow^4</math>”，“<math>\uparrow^5</math>”，“<math>\uparrow^6</math>”等等，以下是完整的定义： 
$\begin{array}{c}\begin{array}{l}1.a\uparrow^1b=a\uparrow b.\\2.a\uparrow^cb=\begin{cases}a^b&,c=1\\a&,b=1\\a\uparrow^{c-1}(a\uparrow^c(b-1))&,c>1,b>1\end{cases}\\
3.\text{如果以上均不符合,那么}a\uparrow^cb\text{的值不存在.}\end{array}\\\small\text{高德纳箭号表示法的定义}\end{array}$ 
'''例1''' 展开$2\uparrow\uparrow3$成指数塔。 
$\begin{array}{ll}\text{解: }2\uparrow\uparrow3&=2\uparrow\uparrow2\uparrow\uparrow2
\\&=2\uparrow\uparrow(2\uparrow\uparrow2)
\\&=2\uparrow\uparrow(2^2)
\\&=2\uparrow\uparrow4
\\&=2\uparrow(2\uparrow\uparrow3)
\\&=2^{2\uparrow\uparrow2}
\\&=2^{2\uparrow(2\uparrow\uparrow2)}
\\&=2^{2^{2^2}}\end{array}$ 
'''例2''' $2\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow2$相当于$2$的（$2\uparrow^326$）层指数塔，或（$27$）个$2$相连幂。 
$\begin{array}{ll}\text{解: }2\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow2&=2\uparrow^3(3\uparrow^22)
\\&=2\uparrow^3(3^3)
\\&=2\uparrow^327
\\&=2\uparrow\uparrow(2\uparrow^326)\end{array}$ 
使用高德纳箭号表示法，我们可以很容易地超越宇宙，乃至超越古戈尔、超越古戈尔普勒克斯等数。 
——未完——