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用户:NotBaixie

2026-08-23T16:12:23Z

NotBaixie：

Y(1,3,4,2,5,8,10)

用户:NotBaixie

2026-08-23T16:05:01Z

NotBaixie：创建页面，内容为“À la fin, le 3ième portail en partant de la gauche peut vous conduire au la dusksea.”

À la fin, le 3ième portail en partant de la gauche peut vous conduire au la dusksea.

分类:入门

2026-08-23T16:01:42Z

NotBaixie：

此分类用于储存基础知识、入门教程。

Test

2026-08-16T14:22:11Z

NotBaixie：

此页面为测试页面。任何人都可以随意修改此页面以便测试。

<math>\infty_{computer}</math>=179769313486231590772930519078902473361797697894230657273430081157732675805500963132708477322407536021120113879871393357658789768814416622492847430639474124377767893424865485276302219601246094119453082952085005768838150682342462881473913110540827237163350510684586298239947245938479716304835356329624224137216

我死的好惨呀！我是时间过得真慢QQ，我的聚集地和大群都被踢出去了，其他群也不要了，没有任何一个要我了，还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来

=== 编写技巧 ===

* 行内代码块：<syntaxhighlight lang="text"><code>xxx</code></syntaxhighlight>效果是这样：<code>xxx</code>。
* 在列表里换行：使用 <syntaxhighlight lang="text"><br></syntaxhighlight>效果是这样：<br>第一行；<br>第二行。
* 在列表里嵌套列表：无序列表使用<syntaxhighlight lang="text">
<ul> <li>123</li> <li>456</li> </ul>
</syntaxhighlight>效果是这样：<ul><li>123</li><li>456</li></ul>有序列表使用<syntaxhighlight lang="text">
<ol> <li>123</li> <li>456</li> </ol>
</syntaxhighlight>效果是这样：
<ol><li>123</li><li>456</li></ol>于是可以<ul> <li>awa<ul> <li>114514<ul> <li>3.1415926<ul> <li>123</li> <li>456</li> </ul></li> <li>789</li> </ul></li> <li>2.71828</li> </ul></li> <li>qwerty</li> </ul>
<ol> <li>awa<ol> <li>114514<ol> <li>3.1415926<ol> <li>123</li> <li>456</li> </ol></li> <li>789</li> </ol></li> <li>2.71828</li> </ol></li> <li>qwerty</li> </ol>
* 分界线：使用 <code>----</code>。效果是这样：

----

这句话有7个字

<math>\varnothing,\emptyset</math>，
$\varnothing,\emptyset$
LaTeX公式<code>\varnothing,\emptyset</code>用不同渲染方式的结果

<math display="block">\begin{aligned}
f(x)\;&=(a+b+1)/2-x\\
&=(a+2x-1-a+f(2x-1-a)+1)/2-x\\
&=f(2x-1-a)/2\\
&=f(2x-1-(x-1+f(x-1)))/2\\
&=f(x-f(x-1))/2
\end{aligned}</math>

111

$ G(64)=\left. \begin{matrix} 3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow}3 \\3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow}3 \\ \underbrace{\qquad \quad \vdots \qquad \quad} \\3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \uparrow}3 \\3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow3\end{matrix} \right \} \text{64 layers} $

<math>\unicode{64}</math>

<math>\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),0\text{@}0)[0]=0</math>

<math>\text{@}</math>

[k]

$\alpha\text{@}\beta$

其实还可以有个更简单的做法，\alpha{@}\beta = $\alpha{@}\beta$

[[[a]]]

我们可以使用<code>\hspace</code>和<code>\raise</code>来微调LaTeX中的字符位置：
$\LaTeX$''（直接使用''<code>\LaTeX</code>''的版本）''
${L^{\hspace{-4.5px}\raise{-2.5px}A}
\hspace{-3px}T\hspace{-2px}\raise{-3px}E\hspace{-1.5px}X}$''（使用以上两种命令微调的模仿版本）''

<nowiki>\</nowiki><span>(</span>\alpha\text{@}\beta<nowiki>\</nowiki><span>)</span> = $\alpha\text{@}\beta$

{| class="wikitable"
|+ 标题文本
|-
! 标题文本 !! 标题文本 !! 标题文本
|-
| 示例 || 示例 || 示例
|-
| 示例 || 示例 || 示例
|-
| 示例 || 示例 || 示例
|}

{| class="wikitable"
|+ 标题文本
|-
! 标题文本 !! 标题文本 !! 标题文本
|-
| 示例 || 示例 || 示例
|-
| 示例 || 示例 || 示例
|-
| 示例 || 示例 || 示例
|-
| 示例 || 示例 || 示例
|}

{| class="wikitable"
|+ 标题文本
|-
! 标题文本 !! 标题文本 !! 标题文本
|-
| 示例 || 示例 || 示例
|-
| 示例 || 示例 || 示例
|-
| 示例 || 示例 || 示例
|-
| 示例 || 示例 || 示例
|-
| 示例 || 示例 || 示例
|}

{a}

<code>我是code</code>

<pre>我是pre</pre>

<span style='background:linear-gradient(to right,#00ff00,#0000ff);-webkit-background-clip:text;-webkit-text-fill-color:transparent;'>我是美丽的span</span>

<a href='https://baidu.com'>危险的代码是不被允许的</a>

<span onclick='this.innerText="onclick是无效的！"'>click me!</span>

666

$\alpha @\beta$

<blockquote>
我是猫娘。喵喵喵喵
</blockquote>

<blockquote>单行引言</blockquote>

<span style='background-color:red'>bgcisred</span>

[[高德纳箭头|↑]]

<iframe>
src="https://expander.googology.top/index.html"
width="100%"
height="500px"
frameborder="0"
</iframe>

=== 这是一级标题 ===

==== 这是二级标题 ====
这是公式 $\alpha\times\beta$

''撒反对''

说说不可说】(1)

--------------------------------------------------------------------

　　人们的对话中，「不可说」指的是「不可以说出来」的意思，但是在佛
经中，不可说的意思并不一定是这样，世尊所说的佛经更不是指这个意思。
如果它是指不可以说出来的话，那麽全部的佛经就是一部「大妄语百科」了。

但是将「不可说」解释为「不可以说出来」的意思，并不是现代人的专
利，古人解经，也常把它作这样的解释，造成後人将佛经解释成玄密的经典，
一切的不合理之处都当作「不可说」来处理。

世尊的确说过许多的不可说，如:《华严经》
「不可言说不可说，充满一切不可说，不可言说诸劫中，说不可说不可尽，
....
於一微细毛端处，有不可说诸普贤，....一毛端处所有刹，其数无量不可
　说..」在第四十五卷中，世尊一口气说了将近四百个不可说。

《地藏菩萨本愿经》【忉利天宫神通品】「尔时，十方无量世界不可
　说不可说一切诸佛，及大菩萨摩诃萨，皆来集会，赞叹释迦牟尼佛．．」
这里用了两个不可说。

《小般若经》【深功德品】「一切法不可说，须菩提，一切法空相不
可说．．」

其实「不可说」的意义是「数量大到无法用语言形容」的意思，并不
是指所说的主题「不能说」，如果是不能说，那麽上面这些经典就是「废
话大全」了。

世尊说法四十九年，探讨的主题遍及人类所有的疑问，从来没有一样
　是「不能说出来」的，不但他老人家自己说，更鼓励所有修行菩萨要为众　
生说呢。(参见《般若经》)

那麽，「不可说」倒底有多大，会大到语言法形容呢？我们试著来找
找看。

{| class="wikitable" border="0" cellpadding="1" cellspacing="1"
! scope="col" |
! scope="col" |A
! scope="col" |B
|-
|0
|1RB
1LA
<br>1CP
<br>114514
|1LA
|-
|1
|1LB
|1RB
|}
111

{| class="wikitable"
! 用户名
! 简介
|-
| style="width: 20%;" | 张三 || style="width: 80%; word-wrap: break-word;" | 这是一个非常长的简介文本，会自动换行以适应列宽。
|}

表格？

{| class="wikitable" style="width: 300px; overflow: hidden; text-overflow: ellipsis"
! 用户名
! 简介
|-
| 张三
| 这是一个非常长的简介文本，会自动换行以适应列宽。这是一个非常长的简介文本，会自动换行以适应列宽。这是一个非常长的简介文本，会自动换行以适应列宽。
|}

<blockquote>这里是一个孤立页面我不知道它为什么还在这里

就当作是gggwiki的一个彩蛋吧（</blockquote>

[https://2023largenumber.fandom.com/zh/wiki/%F0%9F%98%B0#articleComments/ 果糕]
果糕糕糕！
果糕糕糕！果糕糕糕！
果糕糕糕！果糕糕糕！
果糕糕糕！果糕糕糕！
果糕糕糕！果糕糕糕！
果糕糕糕！果糕糕糕！
果糕糕糕！果糕糕糕！
果糕糕糕！果糕糕糕！
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果糕糕糕！果糕糕糕！
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果糕糕糕！果糕糕糕！
果糕糕糕！果糕糕糕！
果糕糕糕！果糕糕糕！
果糕糕糕！果糕糕糕！
果糕糕糕！果糕糕糕！
果糕糕糕！果糕糕糕！
果糕糕糕！果糕糕糕！
果糕糕糕！果糕糕糕！
果糕糕糕！果糕糕糕！
果糕糕糕！

<div id="guogao1">将以下代码放入控制台并回车，有“小惊喜”：</div><small><small><nowiki>(()=>{document.getElementById("guogao1").appendChild((()=>{let a = document.createElement("div");a.innerHTML = `<div class="fixed-btn"><a onclick="let b=document.createElement('div');b.innerHTML=\`<div id='guogao' style='transition: transform .5s ease-out;position: absolute;top:45%;left:50%;z-index: 9999999;transform: scale(1);cursor: pointer;-webkit-user-select: none;-moz-user-select: none;-ms-user-select: none;user-select: none;' onclick='this.remove()'>${decodeURI('%F0%9F%98%B0')}</div>\`;document.body.appendChild(b);setTimeout(() => {document.getElementById('guogao').style.transform='scale(45)'}, 50)" class="new" title="${decodeURI('%E5%B0%8F%E6%83%8A%E5%96%9C')}"><span class="btn-text blue">${decodeURI('%E5%B0%8F%E6%83%8A%E5%96%9C')}</span></a></div>`;return a})());return (()=>{console.clear();return decodeURI('%E7%A5%9E%E7%A7%98%E6%8C%89%E9%92%AE%E5%87%BA%E7%8E%B0%EF%BC%81')})()})()
</nowiki></small></small>

以下是Naruyoko在[https://naruyoko.github.io/ExpantaNum.js/]中给出过的latex

<div style="overflow:auto">
\[
\begin{matrix}\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\vdots\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\vdots\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\vdots\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\vdots\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\vdots\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\vdots\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\vdots\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\vdots\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\left.\begin{matrix}\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\vdots\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\10\end{matrix}\right\}\left.\left.\left.\left.\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}2\underset{171869969539773881871357}{\underbrace{28767407104742504939274665007259268034875905285622251679055397167730260624040178402089159341052814222\cdots}}.\end{matrix}
\]
</div>
[[分类:入门]]

Test

2026-08-16T14:21:56Z

NotBaixie：

此页面为测试页面。任何人都可以随意修改此页面以便测试。

<math>\infty_{computer}</math>=179769313486231590772930519078902473361797697894230657273430081157732675805500963132708477322407536021120113879871393357658789768814416622492847430639474124377767893424865485276302219601246094119453082952085005768838150682342462881473913110540827237163350510684586298239947245938479716304835356329624224137216

我死的好惨呀！我是时间过得真慢QQ，我的聚集地和大群都被踢出去了，其他群也不要了，没有任何一个要我了，还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来

孩子们这并不好像，谁叫你还我命来的😂

乐子，字都打错了😂

Nannoimi, Who tell you?😂

=== 编写技巧 ===

* 行内代码块：<syntaxhighlight lang="text"><code>xxx</code></syntaxhighlight>效果是这样：<code>xxx</code>。
* 在列表里换行：使用 <syntaxhighlight lang="text"><br></syntaxhighlight>效果是这样：<br>第一行；<br>第二行。
* 在列表里嵌套列表：无序列表使用<syntaxhighlight lang="text">
<ul> <li>123</li> <li>456</li> </ul>
</syntaxhighlight>效果是这样：<ul><li>123</li><li>456</li></ul>有序列表使用<syntaxhighlight lang="text">
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<ol><li>123</li><li>456</li></ol>于是可以<ul> <li>awa<ul> <li>114514<ul> <li>3.1415926<ul> <li>123</li> <li>456</li> </ul></li> <li>789</li> </ul></li> <li>2.71828</li> </ul></li> <li>qwerty</li> </ul>
<ol> <li>awa<ol> <li>114514<ol> <li>3.1415926<ol> <li>123</li> <li>456</li> </ol></li> <li>789</li> </ol></li> <li>2.71828</li> </ol></li> <li>qwerty</li> </ol>
* 分界线：使用 <code>----</code>。效果是这样：

----

这句话有7个字

<math>\varnothing,\emptyset</math>，
$\varnothing,\emptyset$
LaTeX公式<code>\varnothing,\emptyset</code>用不同渲染方式的结果

<math display="block">\begin{aligned}
f(x)\;&=(a+b+1)/2-x\\
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&=f(2x-1-(x-1+f(x-1)))/2\\
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\end{aligned}</math>

111

$ G(64)=\left. \begin{matrix} 3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow}3 \\3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow}3 \\ \underbrace{\qquad \quad \vdots \qquad \quad} \\3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \uparrow}3 \\3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow3\end{matrix} \right \} \text{64 layers} $

<math>\unicode{64}</math>

<math>\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),0\text{@}0)[0]=0</math>

<math>\text{@}</math>

[k]

$\alpha\text{@}\beta$

其实还可以有个更简单的做法，\alpha{@}\beta = $\alpha{@}\beta$

[[[a]]]

我们可以使用<code>\hspace</code>和<code>\raise</code>来微调LaTeX中的字符位置：
$\LaTeX$''（直接使用''<code>\LaTeX</code>''的版本）''
${L^{\hspace{-4.5px}\raise{-2.5px}A}
\hspace{-3px}T\hspace{-2px}\raise{-3px}E\hspace{-1.5px}X}$''（使用以上两种命令微调的模仿版本）''

<nowiki>\</nowiki><span>(</span>\alpha\text{@}\beta<nowiki>\</nowiki><span>)</span> = $\alpha\text{@}\beta$

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|+ 标题文本
|-
! 标题文本 !! 标题文本 !! 标题文本
|-
| 示例 || 示例 || 示例
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| 示例 || 示例 || 示例
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| 示例 || 示例 || 示例
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! 标题文本 !! 标题文本 !! 标题文本
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{a}

<code>我是code</code>

<pre>我是pre</pre>

<span style='background:linear-gradient(to right,#00ff00,#0000ff);-webkit-background-clip:text;-webkit-text-fill-color:transparent;'>我是美丽的span</span>

<a href='https://baidu.com'>危险的代码是不被允许的</a>

<span onclick='this.innerText="onclick是无效的！"'>click me!</span>

666

$\alpha @\beta$

<blockquote>
我是猫娘。喵喵喵喵
</blockquote>

<blockquote>单行引言</blockquote>

<span style='background-color:red'>bgcisred</span>

[[高德纳箭头|↑]]

<iframe>
src="https://expander.googology.top/index.html"
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height="500px"
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</iframe>

=== 这是一级标题 ===

==== 这是二级标题 ====
这是公式 $\alpha\times\beta$

''撒反对''

说说不可说】(1)

--------------------------------------------------------------------

　　人们的对话中，「不可说」指的是「不可以说出来」的意思，但是在佛
经中，不可说的意思并不一定是这样，世尊所说的佛经更不是指这个意思。
如果它是指不可以说出来的话，那麽全部的佛经就是一部「大妄语百科」了。

但是将「不可说」解释为「不可以说出来」的意思，并不是现代人的专
利，古人解经，也常把它作这样的解释，造成後人将佛经解释成玄密的经典，
一切的不合理之处都当作「不可说」来处理。

世尊的确说过许多的不可说，如:《华严经》
「不可言说不可说，充满一切不可说，不可言说诸劫中，说不可说不可尽，
....
於一微细毛端处，有不可说诸普贤，....一毛端处所有刹，其数无量不可
　说..」在第四十五卷中，世尊一口气说了将近四百个不可说。

《地藏菩萨本愿经》【忉利天宫神通品】「尔时，十方无量世界不可
　说不可说一切诸佛，及大菩萨摩诃萨，皆来集会，赞叹释迦牟尼佛．．」
这里用了两个不可说。

《小般若经》【深功德品】「一切法不可说，须菩提，一切法空相不
可说．．」

其实「不可说」的意义是「数量大到无法用语言形容」的意思，并不
是指所说的主题「不能说」，如果是不能说，那麽上面这些经典就是「废
话大全」了。

世尊说法四十九年，探讨的主题遍及人类所有的疑问，从来没有一样
　是「不能说出来」的，不但他老人家自己说，更鼓励所有修行菩萨要为众　
生说呢。(参见《般若经》)

那麽，「不可说」倒底有多大，会大到语言法形容呢？我们试著来找
找看。

{| class="wikitable" border="0" cellpadding="1" cellspacing="1"
! scope="col" |
! scope="col" |A
! scope="col" |B
|-
|0
|1RB
1LA
<br>1CP
<br>114514
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|1
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|}
111

{| class="wikitable"
! 用户名
! 简介
|-
| style="width: 20%;" | 张三 || style="width: 80%; word-wrap: break-word;" | 这是一个非常长的简介文本，会自动换行以适应列宽。
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表格？

{| class="wikitable" style="width: 300px; overflow: hidden; text-overflow: ellipsis"
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| 张三
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<blockquote>这里是一个孤立页面我不知道它为什么还在这里

就当作是gggwiki的一个彩蛋吧（</blockquote>

[https://2023largenumber.fandom.com/zh/wiki/%F0%9F%98%B0#articleComments/ 果糕]
果糕糕糕！
果糕糕糕！果糕糕糕！
果糕糕糕！果糕糕糕！
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果糕糕糕！果糕糕糕！
果糕糕糕！果糕糕糕！
果糕糕糕！果糕糕糕！
果糕糕糕！果糕糕糕！
果糕糕糕！

<div id="guogao1">将以下代码放入控制台并回车，有“小惊喜”：</div><small><small><nowiki>(()=>{document.getElementById("guogao1").appendChild((()=>{let a = document.createElement("div");a.innerHTML = `<div class="fixed-btn"><a onclick="let b=document.createElement('div');b.innerHTML=\`<div id='guogao' style='transition: transform .5s ease-out;position: absolute;top:45%;left:50%;z-index: 9999999;transform: scale(1);cursor: pointer;-webkit-user-select: none;-moz-user-select: none;-ms-user-select: none;user-select: none;' onclick='this.remove()'>${decodeURI('%F0%9F%98%B0')}</div>\`;document.body.appendChild(b);setTimeout(() => {document.getElementById('guogao').style.transform='scale(45)'}, 50)" class="new" title="${decodeURI('%E5%B0%8F%E6%83%8A%E5%96%9C')}"><span class="btn-text blue">${decodeURI('%E5%B0%8F%E6%83%8A%E5%96%9C')}</span></a></div>`;return a})());return (()=>{console.clear();return decodeURI('%E7%A5%9E%E7%A7%98%E6%8C%89%E9%92%AE%E5%87%BA%E7%8E%B0%EF%BC%81')})()})()
</nowiki></small></small>

以下是Naruyoko在[https://naruyoko.github.io/ExpantaNum.js/]中给出过的latex

<div style="overflow:auto">
\[
\begin{matrix}\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\vdots\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\vdots\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\vdots\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\vdots\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\vdots\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\vdots\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\vdots\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\vdots\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\left.\begin{matrix}\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\vdots\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\10\end{matrix}\right\}\left.\left.\left.\left.\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}2\underset{171869969539773881871357}{\underbrace{28767407104742504939274665007259268034875905285622251679055397167730260624040178402089159341052814222\cdots}}.\end{matrix}
\]
</div>
[[分类:入门]]

古戈尔

2026-07-31T15:24:51Z

NotBaixie：

'''古戈尔（Googol）'''是一个远大于宇宙原子总数的著名数字。

它等于 <math>10^{100}</math>，即

<syntaxhighlight lang="text">
10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,
000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,
000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000
</syntaxhighlight>大数数学（[[Googology]]）的名字也是来自于古戈尔（googol+ology），直译是“研究古戈尔的学问”，古戈尔在这里泛指大数。

=== 历史 ===

==== 名称由来 ====
这个词是在 1938 年由美国数学家爱德华·卡斯纳（Edward Kasner）的九岁侄子米尔顿·西罗蒂（Milton Sirotta）所创造出来的。同时被创造的数还有古戈尔普勒克斯（googolplex，即 <math>10^{10^{100}}</math>）。

==== 谷歌公司 ====
网络公司 Google 的名字正是来自于 googol，目的是希望能够组织网络上无尽的信息资源。Google 的总部 Googleplex，则来自于古戈尔普勒克斯。<ref>Origlio, Vincenzo and Weisstein, Eric W. "Googol." From ''MathWorld''--A Wolfram Resource. https://mathworld.wolfram.com/Googol.html</ref>

使用 Google 是因为公司创始人不小心拼错了 Googol。<ref>Koller, D. (2004). Google Name Origin. ''(EB/OL)''. https://web.archive.org/web/20120627081942/http://graphics.stanford.edu/~dk/google_name_origin.html</ref>不过，这貌似恰好为他们避免了一场诉讼。

== 参考资料 ==
<references />
[[分类:经典大数]]

传递

2026-07-31T15:24:41Z

NotBaixie：

“传递”，全称序数结构传递现象，是一个在[[序数记号]]中出现的现象，与[[序数]]本身没有联系。“传递”一般描述一个序数记号表达式在展开时，不仅仅是判定展开所用到的元素参与了展开过程，还有别的元素也参与了展开过程。

== 解释 ==
一个关于“传递”的典型例子是[[序数坍缩函数#BOCF|BOCF]]。我们发现<math>\psi(1)\times(n+1)=\psi(1)\times n+\psi(0)+\psi(0)+\psi(0)+\cdots</math>，是对一个基础的序数增加一系列<math>\psi(0)</math>，那么<math>\psi(2)</math>的展开是否也是对一个基础的序数增加一系列<math>\psi(0)</math>呢？如果是的话，<math>\psi(2)=\psi(1)+\psi(0)+\psi(0)+\psi(0)+\cdots</math>，这明显和BOCF的定义不符。如果只有【形如<math>\psi(\alpha+1)</math>的B hydra表达式可以确定展开式】这一条规则，我们只需要判断ψ里面的东西是不是有一个+1就知道展开式是什么了，而不需要管那个<math>\alpha</math>是多少；但是在<math>\psi(2)=\psi(1)+\psi(1)+\psi(1)+\psi(1)+\cdots</math>里面，展开规则不仅管了ψ里面的东西是不是有一个+1，还涉及到了那个<math>\alpha+1</math>的<math>\alpha</math>是多少，这就是“传递”。

不过也有人更倾向于用[[初等序列系统|PrSS]]解释传递：<math>1,2,...,1,2</math>，不管省略号里面是什么东西，这个表达式的展开都是把末尾的2变为<math>1,1,1,1,1,...</math>；那么在<math>1,2,2</math>中，应该也遵循这样的规则，即<math>1,2,2=1,2,1,1,1,1,1,...</math>。其实不然，1,2,2展开为什么，不仅取决于坏根，还取决于坏根之后的一些元素，这才让<math>1,2,2=1,2,1,2,1,2,1,2,...</math>成为可能。

=== 传递和迭代的关系 ===
在4年前或者更久之前，array notation主导整个[[Googology]]。在那个时候，构造大自然数有3条基本规则：基础运算、迭代、对角化。线性[[SAN]]中，<math>s(a,b)=a^b</math>，这是基础运算；<math>s(a,b+1,c+1,\#)=s(a,s(a,b,c+1,\#),c,\#)</math>，这是迭代；<math>s(a,b,1,1,1,...,1,c+1,\#)=s(a,b,b,b,b,...,b,c,\#)</math>，这是对角化。

考虑线性SAN里对应迭代的规则：<math>s(a,b+1,c+1)=s(a,s(a,b,c+1,\#),c)</math>，这是三项的SAN，在一步展开后，第二项变成了一个新的三项SAN表达式。到了四项SAN，<math>s(a,b+1,c+1,d)</math>，在一步展开后，第二项应该也是变成了一个新的三项SAN表达式吧？显然不是，<math>s(a,b+1,c+1,d)=s(a,s(a,b,c+1,d),c,d)</math>，第二项变成了四项的SAN表达式。但是我们只需要前三项就可以用迭代规则展开了，为什么第四项还要在迭代时放进展开式里呢？

这个问题，和在前面传递里讲到的“PrSS的1,2,2只需要坏根1和末项2就可以展开，为什么还要带上中间那个2呢？”，很明显是同一个东西！所以，构造大自然数有3条基本规则，基础运算、迭代、对角化，来到构造大递归序数之后，变成了新的3条基本规则：'''后继、传递、对角化'''。

“传递”这个词的英文翻译目前还比较混乱，因为传递就是迭代这件事，在2024年12月初才被发现。刚刚发现传递的时候（2024年2月），直接机翻为transmitting，例如[[FOS]]nt中的t就是它的缩写；到了3月，传递的英文逐渐被remaining替代，这个名字由ProjectCF提出，虽然不那么符合除基本列序数序列之外的记号，但还是沿用到了12月，使用在了“著名”但早已不再使用的RD序列系统中的R。在发现传递就是迭代后，318'4开始将传递直接译作iterating。

=== 传递按行数分类 ===
PrSS的<math>1,2,2=1,2,1,2,1,2,...</math>和BOCF的<math>\psi(2)=\psi(1)\times n</math>只是最表层的传递，后面还有更多种类的传递。

因为差分序列有明确的“行”的概念，所以这里以差分序列（和[[BMS]]）为例。表层传递，指的就是PrSS中存在的这种传递，或者叫1行传递，因为它在1行的BMS中就可以见到。

到了[[长初等序列|LPrSS]]，传递就没有那么容易发现了。LPrSS的<math>1,3,5=1,3,4,5,6,7,8,9,...</math>，有何不妥吗？只要看向每一项减去它的父项的值，组成阶差序列，就可以看出端倪：<math>1,3,5</math>阶差是<math>1,2,2</math>，但<math>1,3,4,5,6,7,8,9,...</math>却是<math>1,2,1,1,1,1,1,1,...</math>，这就是失去传递了。对于[[0-Y]]，<math>1,3,5=1,3,4,6,7,9,10,12,...</math>阶差序列恰好是<math>1,2,2=1,2,1,2,1,2,1,2,...</math>，是没有失去这种传递的例子。这样的传递，叫做'''2行传递'''，因为至少2行BMS才能见到它。

实际上，BMS里最小的2行传递就是<math>\zeta_0=(0)(1,1)(2,1)</math>，这就让<math>(0)(1,1)(2,1)(3)</math>可以突然从<math>\zeta_0</math>增加到<math>\varphi(\omega,0)</math>。同理，BMS里也有3行传递，最小的例子是<math>(0)(1,1,1)(2,2,1)</math>，它略微上方的<math>(0)(1,1,1)(2,2,1)(3)</math>,即[[SDO]]，是一个巨大的记号坟墓，这正是3行传递强度的体现。BMS有任意n行的传递，都是首次出现在<math>(0)(1,1,...,1,1)(2,2,...,2,1)</math>。

接下来跨越BMS，来到[[Y序列]]。我们暂时不考虑<math>1,3,4,3</math>提升，包括它下面的<math>1,3,4,2,5,7,5</math>提升也先不考虑。这样下来，<math>1,3,7</math>对应<math>\omega^2</math>行BMS，那么序数行BMS能达到Y的高度吗？差太远了，即便失去<math>1,3,4,3</math>和<math>1,3,4,2,5,7,5</math>提升，<math>\alpha\rightarrow\alpha\text{行}BMS</math>也只有<math>1,3,7,8,11,18,20</math>，刚刚超过<math>1,3,7</math>一点点，为什么呢？
[[文件:v2-0eab85904cbae6d283df767e2879a755 1440w.png|居中|缩略图|Y(1,3,7)及其展开式]]
看向<math>Y(1,3,7)</math>的展开式，注意那个斜着的<math>1,2,2=1,2,1,2,1,2,1,2,...</math>，你会发现，这确实是一种传递，但似乎比任意的n行传递都要更强，那这是什么传递呢？跨行传递，或者叫<math>\omega</math>行传递。

我们严谨的定义BMS与ω-Y中的传递如下，值得注意的是，基于weak magma ω-Y的α to β传递的定义依然有部分争议：

基于BMS的a to b传递的定义：对于一个BMS表达式，末列最下方非0元素所在行记作b，删掉某行以及所有大于它的行之后，导致坏根发生变化，或在存在和不存在之间切换。有这样效果的行中的最大者记作a，如果表达式有这样的行a，那么就说这个表达式是一个a to b结构传递，否则说这个表达式没有结构传递。

基于weak magma ω-Y的α to β传递的定义：先重新规定ω-Y山脉图的第一行(也就是原序列)行标为0而不是1。然后LNZ沿用通用的定义，坏根定义为LNZ的左腿所在列，如果LNZ的左腿不存在，那坏根也不存在。对于一个ω-Y表达式(标准或不标准)的完整山脉图，LNZ所在行记作β，删掉某行以及所有大于它的行之后，导致坏根发生变化，或在存在和不存在之间切换，有这样效果的行中的最大者记作α。如果表达式有这样的行α，那么就说这个表达式是一个α to β结构传递，否则说这个表达式没有结构传递。

接下来到了Y序列也没有的传递：ω^ω行传递。在Notation Explorer中，看[[Mountain Notation#Dω·2MN|Defective ω·2 mountain notation]]；已知<math>()(;1)=()(,1)(,2,,2)(,3,,3,,,3)(,4,,4,,,4,,,,4)...</math>等于ω-Y，那么<math>()(;1)(,2;1)=()(;1)(,2)(,3;3)(,4,,4)(,5,,5;5)...</math>还能用ω-Y描述吗？显然，这个传递在Y的视角下，就和<math>Y(1,3,7)</math>这个传递在BMS视角下一样，这是更弱的记号完全无法理解的传递。

在按行数分类的传递里面，一般序数越整，传递越强，例如强度：ω^ω行传递>ω²行传递>ω行传递>2行传递。
[[分类:重要概念]]

SHO

2026-07-31T15:24:29Z

NotBaixie：

SHO（Small Hydra Ordinal），又称BMO（Bashicu Matrix Ordinal），由 FataliS1024 命名，该名字原本指 <math>\varepsilon_0</math>（[[SCO]]），后来因为不明原因变成了 [[BMS]] 极限。该序数在 [[Googology]] 中有着极其重要的地位。
{| class="wikitable"
![[序数记号]]
!表达式
|-
|[[稳定序数]]
|<math>\le\psi(\rm{psd.}\Sigma_\omega-\rm{stb})</math>
|-
|[[投影序数#向上投影|向上投影]]
|<math>\psi(\psi_H(\varepsilon_{H+1}))</math>
|-
|[[Y序列|1-Y]]
|<math>1,3</math>
|-
|[[Mountain Notation]]
|<math>(0)(,,1)</math>
|-
|[[MMS]]
|<math>(0)(1,1)</math>
|-
|[[DBMS]]
|<math>(0)(1,,1)</math>
|-
|[[Fake Fake Fake Zeta]]
|<math>\psi_Z[\varepsilon_\omega](\varepsilon_\omega)</math>
|}

=== 性质 ===
证明论序数：SHO 的证明论强度在 ggg 界还没有定论，主流的观点认为 <math>\rm{SHO}=\rm{PTO}(Z_2)=\rm{PTO}(\mathrm{KP}\omega+\Pi_N-\rm{Collection})</math>，通常将这个PTO称为βO。

极限在此处的记号：几乎所有[[Kirby-Paris Hydra|多行 Hydra]] 记号极限都是 SHO，包括但不限 [[BMS]]，[[0-Y]]，[[Ex-hydra]] 等等。[[BHM]]、[[BSM]] 的极限也很可能为 SHO。

如果 <math>\rm{SHO}=\rm{PTO}(Z_2)</math> 的假设成立，则 [[Σ1稳定序数#Non-Gandy 现象|adm 稳定和 pfec 稳定]]的 [[Catching]] 点有可能位于 SHO。
[[分类:序数]]

BIO

2026-07-31T15:24:16Z

NotBaixie：

BIO（Bird's Ordinal），是 [[Googology]] 中一个重要的[[序数]]。它是[[BAN|鸟之记号]]（Bird's Array Notation）的极限。
{| class="wikitable"
![[序数记号]]
!表达式
|-
![[序数坍缩函数#BOCF|BOCF]] / [[序数坍缩函数#MOCF|MOCF]]
!<math>\psi(\Omega_\Omega)</math>
|-
|[[BMS]]
|<math>\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3\\
0 & 1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1 & 0\end{pmatrix}</math>
|-
|[[0-Y]]
|<math>1,4,7,9</math>
|-
|[[Y序列|1-Y]]
|<math>1,2,4,8,12,14</math>
|-
|[[Dropping#M 记号|M 记号]]
|<math>p(p(M*p(M)))</math>
|}

=== 性质 ===
极限在此处的记号：[[BAN]]
[[分类:序数]]

BO

2026-07-31T15:24:03Z

NotBaixie：

BO（Buchholz's Ordinal），是 [[Googology]] 中一个非常重要的序数。它被认为是具有“里程碑”意义的大序数，是 [[PSS Hydra]]、[[HPrSS]]、双行 [[BMS]] 及诸多[[序数记号]]的极限。学会一个 BO 级别的序数记号被认为是 googology 新人入门的标志。
{| class="wikitable"
![[序数记号]]
!表达式
|-
![[序数坍缩函数#BOCF|BOCF]] / [[序数坍缩函数#MOCF|MOCF]]
!<math>\psi(\Omega_{\omega})</math>
|-
|[[BMS]]
|<math>\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1\\0&1 \end{pmatrix}</math>
|-
|[[0-Y]]
|<math>1,4</math>
|-
|[[Y序列|1-Y]]
|<math>1,2,4,8</math>
|-
|[[BHM]]
|<math>\begin{pmatrix} 0 & 1&1&2 \\ 0 & 1&0&0 \end{pmatrix}</math>
|-
|[[BSM]]
|<math>\begin{pmatrix} 0&1&2&2&3 \end{pmatrix}</math>
|-
|[[NOCF]]
|<math>\psi(\Omega_{\Omega_{\omega}})/\psi(\Omega_{\Omega_{\psi(\Omega)}})</math>
|-
|[[Dropping#M 记号|M 记号]]
|<math>\psi(\psi(M\times\omega))</math>
|-
|[[Catching 函数]]
|<math>C(0)</math>
|}

=== 性质 ===
[[证明论序数]]：<math>\rm \Pi_1^1-CA_0</math>，<math>\rm \Delta_2^1-CA_0</math>，<math>\rm RCA_0+\Sigma_1^0\land\Pi_1^0-det.</math>，<math>\rm RCA_0+\Delta_2^0-RT</math>，<math>{\rm KPl}^r</math>，<math>{\rm KPi}^r</math>，<math>{\rm KP}\beta^r</math>，<math>{\rm ID}_{<\omega}</math>，<math>({\rm ID}_{<\omega}^2)_0</math>

极限在此处的记号： [[PSS Hydra]]，[[HPrSS]]，双行 [[BMS]]（PSS），SIUN，PrGS，b-THIAN，[[BEAF|带 & 的 BEAF]]，ABN I，三就跳函数，FPrSS，mEAN

BO 是 [[增长层级#快速增长层级|FGH]] 和 [[增长层级#慢速增长层级|SGH]] 的第一个[[Catching|追平点]]。

[[分类:序数]]

序数坍缩函数

2026-07-31T15:23:38Z

NotBaixie：/* 更多的非递归序数 */

'''序数塌缩函数（Ordinal Collapsing Function，OCF）'''是一种[[序数]]函数。它们的特点是利用足够大的序数（通常是[[序数#非递归序数|非递归序数]]）来输出递归序数。事实上，OCF 有很多不同的版本。本词条着力于介绍 [[EBO]] 之前的 '''BOCF'''（Buchholz's OCF）和 '''MOCF'''（Madore's OCF）。

== 教学 ==

=== BOCF 简介 ===
''前排提醒：对严谨数学定义不感冒或看不懂的读者可以直接跳到[[OCF#直观理解与操作规则|直观理解与操作规则]]。''

==== 定义 ====
首先我们给出 BOCF 只引入第一个非递归序数 <math>\Omega</math> 的定义：

# <math>C_0(x)=\{0,\Omega\}</math>
# <math>C_{n+1}(x)=C_n(x)\cup\{\alpha+\beta,\psi(\gamma)|\alpha,\beta,\gamma\in C_n(x),\gamma <x\}</math>
# <math>C(x)=\bigcup_{n<\omega}C_n(x)</math>
# <math>\psi(x)=\min\{\alpha<\Omega|\alpha\not\in C(x)\}</math>

其中的 <math>\Omega</math> 要求是一个足够大的序数。以往的资料一般使用第一个[[序数#可数序数与不可数序数|不可数序数]] <math>\omega_1</math>（[[FUO]]）来作为它。但我们发现，第一个非递归序数 <math>\omega_1^{CK}</math>（[[CKO]]）已经可以满足我们的需求。因此，目前提到 <math>\Omega</math>，默认指的是 <math>\omega_1^{CK}</math>。

这四条规则很是抽象，让我们一条一条来看。

规则 1：<math>C_0(x)=\{0,\Omega\}</math>。对于任意的 x ， <math>C_0(x)</math> 是同一个集合。

规则 2，这个规则递归定义了 <math>C_{n+1}(x)</math>，它是 <math>C_n(x)</math> 再加上 <math>C_n(x)</math> 中的元素通过加法和 ψ 函数能产生的所有元素。这里要求 ψ 函数自变量小于 x，因为 <math>\psi(x)</math> 是需要 <math>C(x)</math> 来定义的。

规则3，<math>C(x)</math> 是对所有的 <math>C_n(x)</math> 取并集得到的集合。

规则4，<math>\psi(x)</math> 就是所有小于 <math>\Omega</math> 的序数中，不属于 <math>C(x)</math> 的最小序数。

==== <math>\varepsilon_0</math> 之前 ====
以下是一些运算实例：

* <math>C_0(0)=\{0,\Omega\}</math>
* <math>C_1(0)=\{0,\Omega,\Omega\times2\}</math>
* <math>C_2(0)=\{0,\Omega,\Omega\times2,\Omega\times3,\Omega\times4\}</math>
*……

<math>C(0)=\{0,\Omega,\cdots\}</math>，省略号省掉了大于 <math>\Omega</math> 的序数。

因此 <math>\psi(0)</math> 是最小的小于 <math>\Omega</math> 的不在 <math>C(0)</math> 里的序数，即 1。

下一个例子是 <math>\psi(2)</math>，假定首先你已经知道了 <math>\psi(1)=\omega</math>（可以自己验证），我们要开始计算 <math>\psi(2)</math>，还是不展示大于 <math>\Omega</math> 的序数：

* <math>C_0(2)=\{0,\Omega\}</math>
* <math>C_1(2)=\{0,\psi(0)=1,\Omega,\cdots\}</math>
* <math>C_2(2)</math> 包含了 1，2 和 <math>\psi(1)</math>，即 ω
* <math>C_3(2)</math> 包含了 <math>1,2,3,4,\omega,\omega+1,\omega+2,\omega\times2</math>

以此类推，最后能得到 <math>C(2)</math> 中包含了全体小于 <math>\omega^2</math> 的序数和一大堆大于 <math>\Omega</math> 的序数。因此根据定义，<math>\psi(2)=\omega^2</math>。

ψ 函数内是极限序数并不影响定义和计算。

你有没有觉得一步一步按定义走太过于繁琐？下面给出它的 2 个性质:

# <math>\psi(m+1)=\psi(m)\times\omega</math>，m 是任意序数
# <math>\psi(\alpha)=\sup\{\psi(\kappa)|\kappa<\alpha\}</math>，α 是任意非 0 极限序数

根据这个性质，我们可以轻松的得到：

* <math>\psi(\omega)=\omega^{\omega}=\psi(\psi(1))</math>
* <math>\psi(\omega+1)=\omega^{\omega+1}=\psi(\psi(1)+1)</math>
* <math>\psi(\omega\times2)=\omega^{\omega\times2}=\psi(\psi(1)\times2)</math>
* <math>\psi(\omega^2)=\omega^{\omega^2}=\psi(\psi(2))</math>
* <math>\psi(\omega^{\omega})=\omega^{\omega^{\omega}}=\psi(\psi(\psi(1)))</math>
* <math>\psi(\omega^{\omega^{\omega}})=\omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}=\psi(\psi(\psi(\psi(1))))</math>
* ……

到这里和[[康托范式]]，[[Veblen 函数]]的 <math>\varphi(x)</math> 都是一致的。然而，在 <math>\varepsilon_0</math> 开始，OCF 将与它们分道扬镳。

==== <math>\varepsilon_0</math> 与平台期 ====
<math>\varepsilon_0=\alpha\rightarrow\psi(\alpha)</math> 的第一个不动点，这里没有问题。问题出在 <math>\psi(\varepsilon_0+1)</math> 上。

注意到 <math>C_0(\varepsilon_0+1)=\{0,\Omega\}</math>，<math>C_1(\varepsilon_0+1)</math> 中小于 <math>\Omega</math> 的最大元素是 <math>\psi(0)</math>，<math>C_2(\varepsilon_0+1)</math> 中小于 <math>\Omega</math> 的最大元素是 <math>\psi(\psi(0))</math>，<math>C_2(\varepsilon_0+1)</math> 中小于 <math>\Omega</math> 的最大元素是 <math>\psi(\psi(\psi(0)))</math>……

因此，<math>\psi(\varepsilon_0)</math> 始终无法出现在这里面。这直接导致了 <math>C(\varepsilon_0+1)</math> 中，小于 <math>\Omega</math> 的最小的不在里面的依然是 <math>\psi(\varepsilon_0)</math>，相当于“卡住了”。这意味着对于所有的 <math>\varepsilon_0\leq\alpha\leq\Omega</math>，都有 <math>\psi(\alpha)=\psi(\varepsilon_0)</math>。这就像一个巨大的平台，因此称为'''平台期'''。

直到 <math>\psi(\Omega+1)</math> 才迎来了转机。因为 <math>\Omega</math> 也在 <math>C_0(x)</math> 里面，因此 <math>\psi(\Omega)</math> 终于可以被放进 <math>C_1(\Omega+1)</math> 里面了。结果是 <math>\psi(\Omega+1)=\psi(\Omega)\times\omega</math>。后面再一次向上增长，直到 <math>\alpha\rightarrow\psi(\Omega+\alpha)</math> 的不动点。从这里到 <math>\psi(\Omega+\Omega)</math> 又是一段平台期。直到 <math>\psi(\Omega+\Omega+1)</math> 再次恢复增长。

这样的定义可以一直运行到 <math>\psi(\Omega\times\omega)</math>，再往后走不下去了。可是它相比其他[[序数记号]]，如 [[Veblen 函数]]依然是孱弱的。为了继续前进，我们需要引入更多的非递归序数。

==== 更多的非递归序数 ====
下面是引入更多非递归序数的 BOCF 定义：

# <math>C_0^v(x)=\{\alpha|\alpha<\Omega_v\}\cup\{\Omega_{\beta}|v<\beta<\omega\}</math>
# <math>C_{n+1}^v(x)=\{\alpha+\beta,\psi_{\delta}(\gamma)|\alpha,\beta,\gamma\in C_n^v(x),\gamma<x,\delta<\omega\}</math>
# <math>C^v(x)=\bigcup_{n<\omega}C_n^v(x)</math>
# <math>\psi_v(x)=\min\{\alpha<\Omega_{v+1}|\alpha\notin C^v(x)\}</math>

<math>\psi</math> 函数即 <math>\psi_0</math> 函数。

可以看到，根据定义，有 <math>C_0^1(0)=\{\alpha,\Omega_2|\alpha<\Omega\}</math>，随后 <math>C_n^1(0)</math> 是根据 <math>C_0^1(0)=\{\alpha,\Omega_2|\alpha<\Omega\}</math> 中元素进行加法所得到的所有东西，注意到它们内部依然不存在 <math>\Omega\sim\Omega_2</math> 的序数。因此，<math>\psi_1(0)=\Omega</math>。对于 <math>\psi_1(1)</math>，因为它可以把 <math>\psi_1(0)</math> 塞进 C 里，因此，最后有 <math>\psi_1(1)=\Omega\times\omega</math>。之后的内容是顺理成章的，类似 <math>\psi(0)\sim\psi(\psi(\psi(\cdots)))</math> 的过程，有 <math>\psi_1(\psi_1(\psi_1(\cdots)))=\Omega^{\Omega^{\Omega^{\cdots}}}</math>。我们暂时记 <math>\psi_1(1,0)=\alpha\rightarrow\psi_1(\alpha)</math> 的不动点。可以验证，对于 <math>\psi_1</math> 函数来说，这里依然存在 <math>\psi_1(1,0)<\alpha<\Omega_2</math> 的平台期。后面的一切都是顺理成章的。直到任意的 <math>\psi_n</math>，都是一样的。

但有一点需要注意，对于 <math>\psi</math> 函数来说，<math>\psi(\psi_1(\Omega_2))</math> 并没有打破从 <math>\psi(\psi_1(1,0))</math> 开始的平台期，这个平台期继续向前，直到 <math>\psi(\Omega_2)</math> 才结束。这一现象称为'''藏层'''。

BOCF 的 <math>\psi(\Omega_{\omega})=\sup\{\psi(\Omega),\psi(\Omega_2),\psi(\Omega_3),\cdots\}</math>，这一序数有一个名字是 [[BO]]（Buchholz's Ordinal ），在 [[Googology]] 中是一个非常重要的序数。

''tips：OCF中的 <math>\Omega</math> 不一定非得是[[序数#非递归序数|非递归序数]]，它只需要大于'''所有你研究的序数'''就可以了，比方说你想要研究 [[BMS]]，那么理论上你只需要保证它大于 BMS 极限就可以了。但是我们的研究是永无止境的，因此普遍使用非递归序数这一大于所有递归序数的东西来充当 <math>\Omega</math>。''

==== 直观理解与操作规则 ====
让我们从 <math>\psi(0)=1</math> 开始。

BOCF 有这样的性质：

<math>\psi(m+1)=\psi(m)\times\omega</math>，m 是任意序数。

因此，可以得到 <math>\psi(1)=\omega</math>。得到之后，你对 <math>\psi(1)</math> 之前的序数已经很清楚了，于是，可以把这些序数也都放进 <math>\psi</math> 函数内部，于是，你最大能得到 <math>\psi(\psi(1))=\psi(\omega)=\omega^{\omega}</math>。得到它之后，你又对它之前的序数很清楚了，于是又可以把它们也放进 <math>\psi</math> 函数内部，最大能得到 <math>\psi(\psi(\psi(1)))=\omega^{\omega^{\omega}}</math>……以此类推，你可以得到嵌套任意多层的 <math>\psi(\psi(\psi(\cdots)))</math>。

这个时候，我们的新朋友 <math>\Omega</math> 出场了。我们令 <math>\psi(\Omega)=\psi(\psi(\psi(\cdots)))</math>，于是我们可以继续：<math>\psi(\Omega+1)=\psi(\Omega)\times\omega</math>。现在你会发现，它内部既然可以加一，那是不是也可以加上更大的序数呢？答案是肯定的。你先前已经得到了 <math>\psi(\Omega)</math>，那么对它之前的序数已经清楚了。于是只需要重走一遍 1 到 <math>\psi(\Omega)</math> 的路，就可以得到 <math>\psi(\Omega+\psi(\Omega))</math>。和前面类似的，得到 <math>\color{red}\psi(\Omega+\psi(\Omega))</math> 后，也就可以理解 <math>\psi(\Omega+{\color{red}\psi(\Omega+\psi(\Omega))})</math>，毕竟只是在 <math>\psi</math> 内重走一遍先前走过的路。上面的路又可以一直走下去，直到 <math>\psi(\Omega+\psi(\Omega+\psi(\Omega+\cdots)))</math>。

于是，<math>\Omega</math> 再次登场，它让 <math>\psi(\Omega+\psi(\Omega+\psi(\Omega+\cdots)))=\psi(\Omega+\Omega)=\psi(\Omega\times2)</math>。我们又可以按先前的思路，首先得到 <math>\psi(\Omega\times2+1)=\psi(\Omega\times2)\times\omega</math>，然后重走一遍 1 到 <math>\psi(\Omega\times2)</math> 的路，就得到 <math>\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2))</math>；再重走一遍 <math>\psi(\Omega\times2)</math> 到 <math>\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2))</math> 的路，就得到 <math>\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2)))</math>，再以此类推，得到 <math>\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\cdots)))</math> 后再把它变成 <math>\psi(\Omega\times3)</math>，然后再……

说到这里，读者应该对 <math>\Omega</math> 有一定的认识了。它的“能力”是让'''包着它的一层''' <math>\psi</math> 函数连同内部的其他内容一起嵌套 n 层。如 <math>\psi(\Omega\times3)=\psi(\Omega\times2+\Omega)=\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\cdots)))</math>。细心的读者可能注意到，这其实是[[不动点]]的体现。没错，OCF 中的 <math>\Omega</math> 可以说是不动点的“化身”，只要它出现，就一定是代表了一个不动点。事实上，前文只展示了加法。<math>\Omega</math> 对于乘法和乘方所做的事情和加法是如出一辙的，以下是例子：

得到 <math>\psi(\Omega\times\omega)</math>，理解加一个 <math>\Omega</math> 起到什么作用之后，只需要重走一遍 <math>\omega</math> 到 <math>\psi(\Omega)</math> 的路，就能得到 <math>\psi(\Omega\times\psi(\Omega))</math>，然后再重走一遍 <math>\psi(\Omega)</math> 到 <math>\psi(\Omega\times\psi(\Omega))</math> 的路，就能得到 <math>\psi(\Omega\times\psi(\Omega\times\psi(\Omega)))</math>……最后得到 <math>\psi(\Omega^2)=\psi(\Omega\times\Omega)=\psi(\Omega\times\psi(\Omega\times\psi(\Omega\times\cdots)))</math>。

得到 <math>\psi(\Omega^3)</math>，理解加一个 <math>\Omega^2</math> 起到什么作用之后，只需要重走一遍 1 到 <math>\psi(\Omega^3)</math> 的路，就能从 <math>\psi(\Omega^3+\Omega^2\times1)</math> 开始得到 <math>\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3))</math>，然后再重走一遍 <math>\psi(\Omega^3)</math> 到 <math>\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3))</math> 的路，就能得到 <math>\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3)))</math>……最后得到 <math>\psi(\Omega^3\times2)=\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\Omega)=\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\cdots)))</math>。

得到<math>\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})</math> 和 <math>\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^1})</math>，只需要重走一边 1 到 <math>\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})</math> 的路，就能从 <math>\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^1})</math> 开始得到 <math>\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})}})</math>，然后再重走一遍 <math>\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})</math> 到 <math>\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})}})</math> 路，就能得到 <math>\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})}})}})</math>……最后得到 <math>\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}\times2})=\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\Omega}})=\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\cdots}})}})}})</math>。

在不考虑平台期的情况下，以下是 [[BHO]]（即 <math>\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega^{\cdots}}})</math>）之前的 BOCF 的操作规则：

* <math>\psi(\alpha_1)+\psi(\alpha_2)+\cdots+\psi(\alpha_{n-1})+\psi(0)=\psi(\alpha_1)+\psi(\alpha_2)+\cdots+\psi(\alpha_{n-1})+1</math>
* <math>(\psi(\alpha_1)+\psi(\alpha_2)+\cdots+\psi(\alpha_{n-1})+\psi(\alpha_n))[m]=\psi(\alpha_1)+\psi(\alpha_2)+\cdots+\psi(\alpha_{n-1})+\psi(\alpha_m)[m]</math>
* <math>\psi(X+1)[m]=\psi(X)\times m</math>
* <math>\psi(X+\psi(Y))[m]=\psi(X+\psi(Y)[m])</math>

这四条和康托范式的规则是一样的，主要是要找准表达式最右侧的结构。如果最右侧是外面的 1 那就是后继，最右侧是 <math>\psi</math> 里面的 1 那就是乘 <math>\omega</math>。最右侧如果是 <math>\psi(X)</math>，则先操作它。

但如果最右侧是 <math>\Omega</math> 呢？很简单，只需要找到包着它的那一层 <math>\psi</math>，然后在原位嵌套即可。即：

<math>\psi(Z\sim\Omega)=\psi(Z\sim\psi(Z\sim\psi(Z\sim\cdots)))</math>，其中 ~ 是 + 或者 × 或者 ^。注意这里的 Z 并不一定是一个序数，它可以只是一个算式。比如说 <math>\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\Omega}})</math> 对应的 Z 是<math>\psi({\color{red}\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\color{black}\Omega}}})</math> 标红的部分。

有的时候最右侧的 <math>\Omega</math> 被藏起来，你需要自己去挖掘出来。比方说 <math>\psi(\Omega^3\times2)</math>，你需要把它写成 <math>\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\Omega)</math> 这种形式。

''tips：BOCF 中实际上并不存在乘法和乘方，因此上文的大部分式子严格来说是不标准的。但是在 googology 绝大多种情况下，为了方便和清晰性，我们都会用这种“部分”引入乘法和乘方的 BOCF 不标准式。''

BHO 之上，就需要引入更多的非递归序数 <math>\Omega_2,\Omega_3,\Omega_4,\cdots</math>。对于他们来说，有 <math>\psi_1</math> 函数，<math>\psi_2</math> 函数，<math>\psi_3</math> 函数……分别对应，<math>\Omega_{m+1}</math> 和 <math>\psi_m</math> 函数之间的关系与 Ω 和 ψ 函数的关系是一模一样的。（<math>\psi</math> 函数即 <math>\psi_0</math> 函数，<math>\Omega</math> 即 <math>\Omega_1</math>）

对于 <math>\psi_m</math> 函数，有如下规则：

* <math>\psi_m(0)=\Omega_m</math>
* <math>\psi_m(X+1)=\psi_m(X)\times\omega</math>
* <math>\psi_m(Y\sim\Omega_{m+1})=\psi_m(Y\sim\psi_m(Y\sim\psi_m(Y\sim\cdots)))</math>

不难发现和 <math>\psi</math> 函数的操作规则几乎一模一样。

比如说，有 <math>\psi_1(0)=\Omega</math>，<math>\psi_1(1)=\Omega\times\omega</math>,<math>\psi_1(\psi_1(0))=\Omega^2</math>,<math>\psi_1(\psi_1(0)\times2)=\Omega^3</math>,<math>\psi_1(\psi_1(\psi_1(0)))=\Omega^{\Omega}</math> 等等。最后会得到 <math>\psi_1(\Omega_2)=\psi_1(\psi_1(\psi_1(\cdots)))=\Omega^{\Omega^{\Omega^{\cdots}}}</math>。借助 <math>\psi_1</math> 函数，我们确实突破了前面 BHO 的界限。但事情还没这么简单。

因为 OCF 存在一个“藏层”现象。即，<math>\psi(\psi_1(\Omega_2))</math> 这样的式子是不标准的，它等价于 <math>\psi(\Omega_2)</math>。相当于那个 <math>\psi_1</math> 的层被“藏起来”了，因此称为藏层。

根据前文所说，<math>\Omega_n</math> 是一定要找 <math>\psi_{n-1}</math> 函数去嵌套的。那么，面对藏层，我们要如何操作呢？

答案是，找到包着 <math>\Omega_n</math> 的最近的 <math>\psi_m</math> 函数满足 <math>m < n</math>，我们视作 <math>\psi_{n-1}</math> 函数被藏在了这个 <math>\psi_m</math> 内部。随后进行嵌套，但要在嵌套过程中把内部的 <math>\psi_m</math> 改成 <math>\psi_{n-1}</math>，即：

<math>\psi_m(Y\sim\Omega_n)=\psi_m(Y\sim\psi_{n-1}(Y\sim\psi_{n-1}(Y\sim\cdots)))</math>

举例，考虑 <math>\psi(\Omega_3+\psi_2(\Omega_3+\Omega_2))</math>，最右端是 <math>\Omega_2</math>，它要找一个最近的 <math>\psi_n</math> 函数满足 n<2，是最外层的 ψ 函数。于是我们按照操作规则得到展开式为 <math>\psi(\Omega_3+\psi_2(\Omega_3+\psi_1(\Omega_3+\psi_2(\Omega_3+\psi_1(\Omega_3+\psi_2(\Omega_3+\cdots))))))</math>。

BO 是 <math>\psi(\Omega_{\omega})</math>，它的[[基本列]]是 <math>\{\psi(0),\psi(\Omega),\psi(\Omega_2),\psi(\Omega_3),\psi(\Omega_4),\cdots\}</math>。从这条基本列中的元素开始按照操作规则展开所得到的式子就是标准的，如果得不到，则是不标准的。

以上就是 BO 前的 BOCF 的直观理解与操作规则。

==== 枚举 ====
''主条目：[[BOCF VS veblen函数|BOCF VS Veblen 函数]]''

=== MOCF 简介 ===
下面是 MOCF 的数学定义：

# <math>C_0(x)=\{0,1,\omega,\Omega\}</math>
# <math>C_{n+1}(x)=\{\alpha+\beta,\alpha\times\beta,\alpha^\beta,\psi(\gamma)|\alpha,\beta,\gamma\in C_n(x)|\gamma<x\}</math>
# <math>C(x)=\bigcup_{n<\omega}C_n(x)</math>
# <math>\psi(x)=\min\{\alpha<\Omega|\alpha\notin C(x)\}</math>

可以发现，MOCF 和 BOCF 不同的点在于它把加法、乘法和乘方都放进了 <math>C(x)</math> 中，而 BOCF 只有加法。因此，MOCF 的 <math>\psi(0)=\varepsilon_0</math>，并且有 <math>\psi(X+1)=\psi(X)^{\psi(X)^{\psi(X)^{\cdots}}}</math>。在出现 <math>\Omega</math> 的地方，两种 OCF 是一样的，如平台期等概念，二者也是一样的。

下面是引入更多非递归序数的 MOCF 定义：

# <math>C_0^v(x)=\{\alpha|\alpha<\Omega_v\}\cup\{\Omega_{\beta}|\beta<\omega\}</math>
# <math>C_{n+1}^v(x)=\{\alpha+\beta,\alpha\times\beta,\alpha^\beta,\psi_{\delta}(\gamma)|\alpha,\beta,\gamma\in C_n^v(x),\gamma<x,\delta<\omega\}</math>
# <math>C^v(x)=\bigcup_{n<\omega}C_n^v(x)</math>
# <math>\psi_v(x)=\min\{\alpha<\Omega_{v+1}|\alpha\notin C^v(x)\}</math>

可以看到和 BOCF 的定义大差不差，唯一的区别是乘法和乘方的引入。因而操作规则无太大差异，除了 <math>\psi_v(X+1)=\psi_v(X)^{\psi_v(X)^{\psi_v(X)^{\cdots}}}</math>。此处不再赘述。

MOCF 的 <math>\psi(\Omega_\omega)</math> 也是 BO。

==== 枚举 ====
''主条目：[[BOCF VS MOCF]]''

=== BO 之后 ===
<math>\psi(\Omega_{\omega})</math> 之后，googologist 们实际上已经不再关注其数学定义，因此这里只介绍操作规则。

BOCF 中，我们对每个后继序数 <math>\alpha+1</math> 对应的 <math>\Omega_{\alpha+1}</math> 都定义出 <math>\psi_{\alpha}</math> 函数满足 <math>\psi_{\alpha}(0)=\Omega_{\alpha}</math> 和 <math>\psi_{\alpha}(X+1)=\psi_{\alpha}(X)\times\omega</math>。MOCF 中则是 <math>\psi_{\alpha}(0)=\Omega_{\alpha}\uparrow\uparrow\omega</math> 和 <math>\psi_{\alpha}(X+1)=\psi_{\alpha}(X)\uparrow\uparrow\omega</math>。如果 β 是个极限序数，则没有对应的 <math>\psi</math> 函数。

那么，对于类似 <math>\Omega_{\Omega^{\Omega}}</math> 或 <math>\Omega_{\Omega_3\times3}</math> 的东西，又要如何处理呢？答案是把下标也看做一个运算，如 <math>\Omega_\Omega</math> 被看做Ω<sub>Ω</sub>。展开过程中找最右侧的 <math>\Omega_\alpha</math> 时找的是下标的 <math>\Omega</math> 而非整体的 <math>\Omega_\Omega</math>。换句话说，“找最右侧的 <math>\Omega_\alpha</math>”本身就要求 α 一定小于 <math>\Omega</math>。

以下是补充的操作规则：

<math>\psi(X\sim\Omega_{\alpha+1})[m]=\underbrace{\psi(X\sim\psi_\alpha(X\sim\psi_\alpha(X\sim\psi_\alpha(X\sim\cdots}_{m~layers}))))</math>，α 为任意序数，~ 代表 + 或 × 或 ^ 或下标。

<math>\psi(X\sim\Omega_\beta)[m]=\psi(X\sim\Omega_{\beta[m]})</math>，如果 β 是极限序数。

这套规则可以一直运用到 <math>\psi(\Omega_{\Omega_{\Omega_{\cdots}}})</math>，这个序数称为 [[EBO]]。如果想要继续前进，就需要新的非递归序数了，它们会给出它们对应的折叠规则。具体则需要参见对应词条。

那么在这里，我们实际上可以说，OCF 本身是一个和[[增长层级]]类似的“壳子”，它们接受对应的非递归序数，然后输出大的递归序数。那么，为什么 OCF 没有像增长层级（如 FGH）一样占据 googology 的所有空间呢？有两方面原因。

第一方面，OCF 没有像增长层级一样具有非常明确的转化规则。googology 社区有一个“俗话”——1000 个人有 1001 种 [[递归 Mahlo 序数#Mahlo OCF|Mahlo OCF]]。这种共识的缺乏是致命的。

第二方面，对于目前的 googology 爱好者来说，构造非递归序数的难度和构造其他类型序数记号，如 [[Beklemishev's Worm|Worm]] 型记号，相比，在难度上拉不开差距。不像 FGH 加序数记号对传统数阵记号的“降维打击”。而且，googology 爱好者普遍没有很强的数理逻辑或序数分析基础，难以理解和运用学界所构造的大可数序数

== 定义 ==

=== MOCF ===
令 <math>\Omega_\alpha=\omega_\alpha^{\rm CK},\Omega_0=\omega</math>。

<math>\alpha</math> 的递归共尾度 <math>\mathrm{cf}(\alpha)</math> 定义为 <math>\alpha</math> 的递归的基本列的最小长度。

==== 含第一个非递归序数的 MOCF ====
含第一个非递归序数 <math>\Omega</math> 的 MOCF <math>\psi(\alpha)</math> 定义为利用 <math>0,1,\omega,\Omega</math>，所有的 <math>\psi(\beta)</math> 以及序数加法、乘法、乘方运算，经过任意有限次运算所不能构建的最小序数。特别地，上述定义中的 <math>\beta</math> 满足 <math>\beta<\alpha</math>，且是能够在有限次运算之中通过 <math>0,1,\omega</math> 进行加法、乘法、乘方运算，以及将这些序数放到 MOCF 之中所得到的序数。

以上的定义描述了含 <math>\Omega</math> 的 MOCF 的行为，其集合论定义可以表述如下：

# <math>C^0(\alpha)=\{0,1,\omega,\Omega\}</math>
# <math>C^{n+1}(\alpha)=\{\gamma+\delta,\gamma\cdot\delta,\gamma^\delta,\psi(\eta)|\gamma,\delta,\eta\in C^n(\alpha),\eta<\alpha)\}</math>
# <math>C(\alpha)=\bigcup_{n<\omega}C^n(\alpha)</math>
# <math>\psi(\alpha)=\min\{\beta|\beta\notin C(\alpha)\}</math>

==== 含自然数下标的 MOCF ====
含有 <math>\Omega_n</math> 的 MOCF 标准形式定义为：

# 如果 <math>\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n</math>，且各 <math>\alpha_i</math> 均为标准形式，则 <math>\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n</math> 也是标准形式。
# 如果 <math>\alpha<\Omega_n,\Omega_n^\beta>\beta</math>，且 <math>\alpha,\beta</math> 均为标准形式，则 <math>\Omega_n^\beta\cdot\alpha</math> 为标准形式。
# 如果 <math>\alpha\in C_n(\alpha)</math>，则 <math>\psi_n(\alpha)</math> 为标准形式。

含有自然数下标的 MOCF <math>\psi(\alpha)</math> 的基本列定义为：

# 若 <math>\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n</math>，则 <math>\mathrm{cf}(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)=\mathrm{cf}(\alpha_n)</math> 且 <math>(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)[\eta]=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n[\eta]</math>
# <math>\mathrm{cf}(\psi_n(0))=\omega</math>，且 <math>\psi_n(0)[0]=\Omega_n,\psi_n(0)[n'+1]=\Omega_n^{\psi_n(0)[n']}</math>
# <math>\mathrm{cf}(\psi_n(\alpha+1))=\omega</math>，且 <math>\psi_n(\alpha+1)[0]=\psi(\alpha),\psi_n(\alpha+1)[n'+1]=\psi_n(\alpha)^{\psi_n(\alpha+1)[n']}</math>
# <math>\mathrm{cf}(\Omega_n)=\Omega_n</math>，且 <math>\Omega_n[\eta]=\eta</math>
# 若 <math>\mathrm{cf}(\alpha)\geqslant\omega</math>，则 <math>\mathrm{cf}(\Omega_n^\alpha)=\mathrm{cf}(\alpha)</math> 且 <math>(\Omega_n^\alpha)[\eta]=\Omega_n^{\alpha[\eta]}</math>
# 若 <math>\mathrm{cf}(\beta)\geqslant\omega</math>，则 <math>\mathrm{cf}(\Omega_n^\alpha\cdot\beta)=\mathrm{cf}(\beta)</math> 且 <math>(\Omega_n^\alpha\cdot\beta)[\eta]=\Omega_n^\alpha\cdot\beta[\eta]</math>
# <math>\mathrm{cf}(\Omega_n^\alpha\cdot(\beta+1))=\mathrm{cf}(\Omega_n^\alpha)</math>，且 <math>\Omega_n^\alpha\cdot(\beta+1)[\eta]=\Omega_n^\alpha\cdot\beta+\Omega^{\alpha[\eta]}</math>
# 若 <math>\mathrm{cf}(\alpha)=\Omega_n,m\leqslant n</math>，则 <math>\mathrm{cf}(\psi_m(\alpha))=\mathrm{cf}(\alpha)</math> 且 <math>\psi_n(\alpha)[\eta]=\psi_n(\alpha[\eta])</math>
# 若 <math>\mathrm{cf}(\alpha)=\Omega_{n+1},m\leqslant n</math>，则 <math>\mathrm{cf}(\psi_m(\alpha))=\omega</math> 且 <math>\psi_m(\alpha)[n']=\psi_m(\alpha[\gamma[n']])</math>，其中 <math>\gamma[0]=0,\gamma[n'+1]=\psi_n(\alpha[\gamma[n']])</math>

含有自然数下标的 MOCF <math>\psi_n(\alpha)</math> 定义为利用所有小于 <math>\Omega_n</math> 的序数、所有自然数下标的 <math>\Omega_m</math>，所有自然数下标的 <math>\psi_m(\beta)</math> 以及序数加法、乘法、乘方运算，经过任意有限次运算所不能构建的最小序数。特别地，上述定义中的 <math>\beta</math> 满足 <math>\beta<\alpha</math>，且是能够在此前的运算之中得到的序数。

以上的定义描述了含自然数下标的 MOCF 的行为，其集合论定义可以表述如下：

# <math>C_n^0(\alpha)=\{\xi|\xi<\Omega_n\}\cup\{\Omega_{n'}|n'\in\mathbb{N}\}</math>
# <math>C_n^{m+1}(\alpha)=\{\gamma+\delta,\gamma\cdot\delta,\gamma^\delta,\psi_{n'}(\eta)|\gamma,\delta,\eta\in C_n^m(\alpha),n'\in\mathbb{N},\eta<\alpha)\}</math>
# <math>C_n(\alpha)=\bigcup_{m\in\mathbb{N}}C_n^m(\alpha)</math>
# <math>\psi_n(\alpha)=\min\{\beta|\beta\notin C_n(\alpha)\}</math>

==== 含序数下标的 MOCF ====
含有 <math>\Omega_\mu</math> 的 MOCF 标准形式定义为：

# 如果 <math>\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n</math>，且各 <math>\alpha_i</math> 均为标准形式，则 <math>\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n</math> 也是标准形式。
# 如果 <math>\alpha<\Omega_\mu,\Omega_\mu^\beta>\beta</math>，且 <math>\alpha,\beta,\mu</math> 均为标准形式，则 <math>\Omega_\mu^\beta\cdot\alpha</math> 为标准形式。
# 如果 <math>\alpha\in C_\mu(\alpha)</math>，则 <math>\psi_\mu(\alpha)</math> 为标准形式。

含有序数下标的 MOCF <math>\psi(\alpha)</math> 的基本列定义为：

# 若 <math>\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n</math>，则 <math>\mathrm{cf}(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)=\mathrm{cf}(\alpha_n)</math> 且 <math>(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)[\eta]=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n[\eta]</math>
# <math>\mathrm{cf}(\psi_\nu(0))=\omega</math>，且 <math>\psi_\nu(0)[0]=\Omega_n,\psi_\nu(0)[n+1]=\Omega_\nu^{\psi_\nu(0)[n]}</math>
# <math>\mathrm{cf}(\psi_\nu(\alpha+1))=\omega</math>，且 <math>\psi_\nu(\alpha+1)[0]=\psi(\alpha),\psi_\nu(\alpha+1)[n+1]=\psi_\nu(\alpha)^{\psi_\nu(\alpha+1)[n]}</math>
# <math>\mathrm{cf}(\Omega_{\mu+1})=\Omega_{\mu+1}</math>，且 <math>\Omega_n[\eta]=\eta</math>
# 若 <math>\mathrm{cf}(\alpha)\geqslant\omega</math>，则 <math>\mathrm{cf}(\Omega_\mu^\alpha)=\mathrm{cf}(\alpha)</math> 且 <math>(\Omega_\mu^\alpha)[\eta]=\Omega_\mu^{\alpha[\eta]}</math>
# 若 <math>\mathrm{cf}(\beta)\geqslant\omega</math>，则 <math>\mathrm{cf}(\Omega_\mu^\alpha\cdot\beta)=\mathrm{cf}(\beta)</math> 且 <math>(\Omega_\mu^\alpha\cdot\beta)[\eta]=\Omega_\mu^\alpha\cdot\beta[\eta]</math>
# <math>\mathrm{cf}(\Omega_\mu^\alpha\cdot(\beta+1))=\mathrm{cf}(\Omega_\mu^\alpha)</math>，且 <math>\Omega_\mu^\alpha\cdot(\beta+1)[\eta]=\Omega_\mu^\alpha\cdot\beta+\Omega^{\alpha[\eta]}</math>
# 若 <math>\mathrm{cf}(\alpha)=\Omega_\mu,\mu\leqslant\nu</math>，则 <math>\mathrm{cf}(\psi_\mu(\alpha))=\mathrm{cf}(\alpha)</math> 且 <math>\psi_\nu(\alpha)[\eta]=\psi_\nu(\alpha[\eta])</math>
# 若 <math>\mathrm{cf}(\alpha)=\Omega_{\mu+1},\mu\leqslant\nu</math>，则 <math>\mathrm{cf}(\psi_\mu(\alpha))=\omega</math> 且 <math>\psi_\mu(\alpha)[n]=\psi_\mu(\alpha[\gamma[n]])</math>，其中 <math>\gamma[0]=0,\gamma[n+1]=\psi_\nu(\alpha[\gamma[n]])</math>

含有序数下标的 MOCF <math>\psi_\nu(\alpha)</math> 定义为利用所有小于 <math>\Omega_\nu</math> 的序数、所有自然数下标的 <math>\Omega_\mu</math>，所有自然数下标的 <math>\psi_\mu(\beta)</math> 以及序数加法、乘法、乘方运算，经过任意有限次运算所不能构建的最小序数。特别地，上述定义中的 <math>\beta</math> 满足 <math>\beta<\alpha</math>，且是能够在此前的运算之中得到的序数。

以上的定义描述了含序数下标的 MOCF 的行为，其集合论定义可以表述如下：

# <math>C_\nu^0(\alpha)=\{\xi|\xi<\Omega_\nu\}\cup\{\Omega_{\mu}|\mu\in\mathbb{N}\}</math>
# <math>C_\nu^{m+1}(\alpha)=\{\gamma+\delta,\gamma\cdot\delta,\gamma^\delta,\psi_\mu(\eta)|\gamma,\delta,\eta\in C_\nu^m(\alpha),\mu\in\mathbb{N},\eta<\alpha)\}</math>
# <math>C_\nu(\alpha)=\bigcup_{m\in\mathbb{N}}C_\nu^m(\alpha)</math>
# <math>\psi_\nu(\alpha)=\min\{\beta|\beta\notin C_\nu(\alpha)\}</math>

=== BOCF ===
含有 <math>\Omega_\mu</math> 的 BOCF 标准形式定义为：

# 如果 <math>\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n</math>，且各 <math>\alpha_i</math> 均为标准形式，则 <math>\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n</math> 也是标准形式。
# 如果 <math>\mu</math>为标准形式，则 <math>\Omega_\mu</math> 为标准形式。
# 如果 <math>\alpha\in C_\mu(\alpha)</math>，则 <math>\psi_\mu(\alpha)</math> 为标准形式。

含有序数下标的 BOCF <math>\psi(\alpha)</math> 的基本列定义为：

# 若 <math>\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n</math>，则 <math>\mathrm{cf}(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)=\mathrm{cf}(\alpha_n)</math> 且 <math>(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)[\eta]=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n[\eta]</math>
# <math>\psi(0)=1</math>
# <math>\mathrm{cf}(\psi_{\nu+1}(0))=\mathrm{cf}(\Omega_{\nu+1})</math>，且 <math>\psi_{\nu+1}(0)[\eta]=\eta</math>
# 若 <math>\mathrm{cf}(\nu)\geqslant\omega</math>，则 <math>\mathrm{cf}(\psi_\nu(0))=\mathrm{cf}(\nu)</math>，且 <math>\psi_\nu(0)[\eta]=\psi_{\nu[\eta]}(0)</math>
# <math>\mathrm{cf}(\psi_\nu(\beta+1))=\omega</math>，且 <math>\psi_\nu(\beta+1)[0]=0,\psi_\nu(\beta+1)[n+1]=\psi_\nu(\beta+1)[n]+\psi_\nu(\beta)</math>
# 若 <math>\mathrm{cf}(\beta)\in\{\omega\}\cap\{\Omega_{\mu+1}|\mu<\nu\}</math>，则 <math>\mathrm{cf}(\psi_\nu(\beta))=\mathrm{cf}(\beta)</math>，且 <math>\psi_\nu(\beta)[\eta]=\psi_\nu(\beta[\eta])</math>
# 若 <math>\mathrm{cf}(\alpha)=\Omega_{\mu+1},\mu\geqslant\nu</math>，则 <math>\mathrm{cf}(\psi_\nu(\beta))=\omega</math> 且 <math>\psi_\nu(\beta)[n]=\psi_\nu(\beta[\gamma[n]])</math>，其中 <math>\gamma[0]=\Omega_\mu,\gamma[n+1]=\psi_\mu(\alpha[\gamma[n]])</math>

其集合论定义可以表述如下：

# <math>C_\nu^0(\alpha)=\{\xi|\xi<\Omega_\nu\}</math>
# <math>C_\nu^{m+1}(\alpha)=\{\gamma+\delta,\psi_\mu(\eta)|\gamma,\delta,\eta\in C_\nu^m(\alpha),\mu\in\bold{Ord},\eta<\alpha)\}</math>
# <math>C_\nu(\alpha)=\bigcup_{m\in\mathbb{N}}C_\nu^m(\alpha)</math>
# <math>\psi_\nu(\alpha)=\min\{\beta|\beta\notin C_\nu(\alpha)\}</math>

=== NOCF ===
''主条目：[[NOCF]]''

由于 NOCF 没有完整的定义，这里给出它的理念：

<math>\psi_\alpha(0)=\Omega_\alpha\quad(\Omega_0=1)</math>，<math>\psi_\alpha(\sharp+1)=\psi_\alpha(\sharp)+1</math>；在 OCF 内遇到 <math>\Omega_\alpha</math> 的处理方式与 MOCF 一致。

[[分类:记号]]
[[分类:入门]]