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递归不可达序数

2025-08-29T08:53:28Z

Guogaoloogy：I补全

递归不可达序数 <math>I</math> 是一个大[[反射序数]]，定义为 <math>2~1-2</math>。

=== I 的 OCF ===
以下介绍 I 及多元 I 函数在 [[序数坍缩函数|OCF]] 中的折叠规则。

# <math>\psi_I(0)=\text{1st }(1-)^{1,0}~2 </math>
# <math>\psi_I(\alpha+1)\neq\psi_I(\alpha)</math> 则 <math>\psi_I(\alpha+1)=(1-)^{1,0}\text{ aft }\psi_I(\alpha)</math>
# <math>\psi_I(\alpha)[n]=\psi_I(\alpha[n])</math>,注意这里<math>\alpha</math>可以有比<math>\omega</math>长的基本列
# <math>\psi_I(\alpha)[n]=\psi_I(\alpha[\psi_I(\alpha)[n-1]]),\psi_I(\alpha)[0]=\Omega</math>,这里<math>\alpha</math>基本列长为I.

''TO DO: 多元I 的 OCF''

递归不可达序数

2025-08-23T01:07:18Z

Guogaoloogy：

递归不可达序数

2025-08-23T01:04:47Z

Guogaoloogy：

递归不可达序数

2025-08-21T06:45:21Z

Guogaoloogy：创建页面，内容为“<math>(1)\psi_I(0)=1st (1-)^{1,0} 2 </math>”

不可达基数

2025-08-20T00:23:17Z

Guogaoloogy：😰

I=2 1-2，后面忘了

用户讨论:Optimism

2025-08-15T10:57:27Z

Guogaoloogy：/* Opti😰ism */ 新章节

== Opti😰ism ==

馃槔！！！！！！ [[用户:Guogaoloogy|Guogaoloogy]]（[[用户讨论:Guogaoloogy|留言]]） 2025年8月15日 (五) 18:57 (CST)

Fake Fake Fake Zeta

2025-08-05T12:18:03Z

Guogaoloogy：/* 分析 */

'''Fake Fake Fake Z(FFFZ)'''，是由 yahtzee 于 2022 年提出，后续由国内的大数研究者夏夜星空完善的'''前沿记号'''。

== 定义 ==
'''注意：FFFZ 的定义尚未完全确定，且有较为频繁的更改(大部分是修改一些小问题,比如简化、修错别字)。这里叙述最新一版(2025.7.26)的定义。'''

'''注意：部分概念的定义被修改为了等价版本。这些修改与原始文本之间是逻辑意义上的等价。'''

=== 主体规则 ===
FFFZ的合法表达式形如<math>\psi_Z[\#](n)</math>，极限基本列为<math>\{\psi_Z(0),\psi_Z(\psi_Z(0)),\psi_Z(\psi_Z(\psi_Z(0))),\cdots\}</math>。

# <math>\psi_Z(0)[s]=1</math>
# <math>\psi_Z[\#](n+1)[s]=\psi_Z[\#](n)\times{s}</math>
# 如果<math>[\#,m,n]</math>存在，<math>\psi_Z[\#,m](n)[s]=f^s(n)</math>，其中<math>f(x)=\psi_Z[\#,m,n](x)</math>
# 如果<math>[\#,m,n]</math>不存在，<math>\psi_Z[\#,m](n)[s]=\psi_Z[\#,m](n[t+s])</math>。其中<math>t</math>定义如下：
* 如果<math>m\geq{n}</math>，那么<math>t=0</math>。
* 如果<math>m<n</math>，那么<math>t</math>是满足<math>n[t]\geq{m}</math>的最小非负整数。

=== 化简规则 ===
* <math>\psi_Z[\#,m](n)=\psi_Z[\#](n)</math>，<math>m>n</math>
* <math>\psi_Z[](n)=\psi_Z(n)</math>

为了判定<math>[\#]</math>的存在性，定义以下概念：

=== 名称解释 ===
对于序列<math>\#=\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m</math>，记它的末项为<math>Endseq(\#)=\alpha_m</math>。

对于序数<math>\alpha</math>，写出它的Cantor范式<math>\sum_{k=1}^{n} \omega^{\alpha_k}</math>。称<math>\omega^{\alpha_n}</math>为<math>\alpha</math>的末项。

如果<math>\alpha</math>等于它的末项，称<math>\alpha</math>为'''简单序数'''，否则为'''复合序数'''。

对于非零简单序数<math>\alpha</math>，它形如<math>\alpha=\psi_Z[\#](n)</math>：
# 如果<math>n</math>是后继序数，称<math>\alpha</math>是<math>+</math>型极限，或0级极限，等级为0。
# 如果<math>[\#,n]</math>不存在，称<math>\alpha</math>是<math>\omega</math>型极限，或1级极限，等级为1。
# 如果<math>[\#,n]</math>存在，称<math>\alpha</math>是<math>\varepsilon</math>型极限，或2级极限，等级为2。

对于两个非零简单序数<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>：
# 如果<math>\alpha</math>的等级大于<math>\beta</math>的等级，称<math>\alpha</math>比<math>\beta</math>高等。
# 如果<math>\alpha</math>的等级等于<math>\beta</math>的等级，称<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>同等。
# 如果<math>\alpha</math>的等级小于<math>\beta</math>的等级，称<math>\alpha</math>比<math>\beta</math>低等。

对于非零简单序数<math>\alpha</math>，它形如<math>\alpha=\psi_Z[\#,m](n)</math>：
# 如果<math>[\#,m,n]</math>不存在，则<math>\alpha</math>的根为<math>n</math>。
# 如果<math>[\#,m,n]</math>存在，则<math>\alpha</math>的根为<math>m</math>。

对于非零简单序数<math>\alpha</math>，它形如<math>\alpha=\psi_Z(n)</math>，则它的根为<math>n</math>。

对于序数<math>\alpha</math>：
# 如果它是复合序数，它形如<math>\sum_{k=1}^{n} \omega^{\alpha_k}</math>，则每个<math>\omega^{\alpha_k}</math>被它直接包含。
# 如果它是非零简单序数，它形如<math>\psi_Z[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m](n)</math>，则每个<math>\alpha_k</math>均被它直接包含，<math>n</math>也被它直接包含。
#如果它是0，没有任何序数被它直接包含。

<math>\alpha</math>直接包含<math>\beta</math>，记为<math>dInc(\beta,\alpha)</math>。

接下来是几个较为复杂的定义。

==== 末项，核与层数 ====
对于非零序数<math>\alpha</math>和简单序数<math>s</math>，<math>\alpha</math>关于<math>s</math>的末项是以下两个序数<math>u</math>中较大者：
* <math>u</math>是满足“<math>u<s</math>，且存在序数<math>v</math>使<math>v+u=\alpha</math>”的最大序数。
* <math>u</math>是满足“<math>u</math>是简单序数且存在序数<math>w</math>，使得<math>\alpha=u\times{w}</math>”的最大序数。
* 如果上述两个规则中某条规则没有任何序数<math>u</math>能够满足，那么忽视那条规则。

<math>\alpha</math>关于<math>s</math>的末项记为<math>End(\alpha,s)</math>。特别地，<math>\alpha</math>关于<math>0</math>的末项与上文定义的末项等价，记为<math>End(\alpha)</math>。

对于序数<math>\alpha</math>，序数<math>s</math>，不小于-1的整数<math>k</math>，<math>\alpha</math>关于<math>s</math>的<math>k</math>层核，记为<math>Ker(\alpha,s,k)</math>，定义如下：
* <math>Ker(\alpha,s,-1)=\alpha</math>
* <math>Ker(0,s,k)=0</math>

以下假设<math>\alpha</math>非零，<math>k</math>是非负整数：
* <math>Ker(\alpha,s,k)=Ker(End(\alpha),End(s),k)</math>

以下假设<math>\alpha</math>和<math>s</math>都是非零简单序数，<math>k</math>是非负整数，<math>\alpha</math>形如<math>\psi_Z[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m](n)</math>：
* <math>Ker(\alpha,s,0)=\psi_Z[End(\alpha_1,s),End(\alpha_2,s),\cdots,End(\alpha_m,s)](End(n,s))</math>
* <math>Ker(\alpha,s,k+1)=Ker(\psi_Z[Ker(\alpha_1,s,k),Ker(\alpha_2,s,k),\cdots,Ker(\alpha_m,s,k)](Ker(n,s,k)),s,0)</math>

对于序数<math>\alpha</math>，其层数是一个非负整数，记为<math>Lev(\alpha)</math>，定义如下：

* <math>Lev(0)=0</math>
* <math>Lev(\alpha)=max\{Lev(\beta)\mid{dInc(\beta,\alpha)}\}+1</math>

层数可以简单的理解为“ψZ嵌套的次数”

对于非零序数<math>\alpha</math>，序数<math>s</math>，<math>\alpha</math>关于<math>s</math>的核记为<math>Ker(\alpha,s)</math>，它定义为<math>Ker(\alpha,s)=Ker(\alpha,s,Lev(\alpha))</math>。

特别地，<math>\alpha</math>的核记为<math>Ker(\alpha)</math>，它定义为<math>Ker(\alpha)=Ker(\alpha,0,Lev(\alpha))</math>。

=== 双元兼容 ===
对于序数<math>\alpha=\psi_Z[\#](n)</math>和<math>\beta=\psi_Z[\&](m)</math>，依次进行以下判定：
# 如果<math>\alpha>\beta</math>，则<math>[\alpha,\beta]</math>存在。
# 如果<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>中至少有一个复合序数，则<math>[\alpha,\beta]</math>存在当且仅当<math>[End(\alpha),End(\beta)]</math>存在。
# 如果<math>\alpha=0</math>，则<math>[\alpha,\beta]</math>不存在。
# 当<math>\#=\&</math>时，<math>[\alpha,\beta]</math>存在当且仅当<math>[n,m]</math>存在；否则，如果存在序列<math>\%</math>使得<math>End(Endseq(\%))</math>与<math>End(Endseq(\#))</math>，<math>End(Endseq(\&))</math>之一相等，且存在序数<math>x</math>和序数<math>y</math>使得<math>\alpha=\psi_Z[\%](x)</math>且<math>\beta=\psi_Z[\%](y)</math>，则若<math>[x,y]</math>存在那么<math>[\alpha,\beta]</math>存在
# 如果<math>\beta\geq\psi_Z[\alpha](\alpha)</math>，则<math>[\alpha,\beta]</math>存在当且仅当<math>[\alpha,\beta</math>的根<math>]</math>存在；否则，如果存在简单序数<math>s</math>和不小于-1的整数<math>k</math>，使得<math>Ker(\beta,s,k)\geq\psi_Z[Ker(\alpha,s,k)](Ker(\alpha,s,k))</math>且不存在非零序数<math>x</math>和序列<math>\%</math>使得<math>Ker(\beta,s,k)=\psi_Z[Ker(\alpha,s,k)\times\omega,\%](Ker(\alpha,s,k)\times{x})</math>，则当<math>[\alpha,\beta</math>的根<math>]</math>存在时<math>[\alpha,\beta]</math>存在
# 如果存在两个序数<math>A</math>，<math>B</math>，<math>Ker(A)=Ker(\alpha)</math>，<math>Ker(B)=Ker(\beta)</math>，<math>A</math>属于<math>B</math>基本列，且<math>\alpha</math>比<math>\beta</math>高等，则<math>[\alpha,\beta]</math>存在
# 如果通过上述规则均无法说明<math>[\alpha,\beta]</math>存在，则<math>[\alpha,\beta]</math>不存在

=== 多元兼容 ===
对于序列<math>\#=\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m</math>，如果任取满足<math>k>j</math>的<math>\alpha=\alpha_j</math>，<math>\beta=\alpha_k</math>都有'''以下两个条件至少成立一个'''，则<math>[\#]</math>存在。

条件I：以下两个条件至少成立一个：
# <math>[\alpha,\beta]</math>存在
# <math>k<m</math>且存在满足<math>k>l</math>的<math>\gamma=\alpha_l</math>，使得<math>[\gamma,\beta]</math>不存在

条件II：对于任何满足<math>k<l</math>的<math>\gamma=\alpha_l</math>，存在简单序数<math>s</math>，不小于-1的整数<math>n</math>，使得以下两个条件同时成立：
# <math>[\beta,\gamma]</math>存在，且<math>Ker(\alpha,s,n)>Ker(\beta,s,n)</math>
#

''(好吧还没写完(因为看不懂)。除了这条规则(平移转移)，特殊规则以及各种优先级，还要补不少定义域限制，比如“m为序数或空”之类)''

== 直观解释 ==
FFFZ的前几条规则是
# <math>\psi_Z(0)[s]=1</math>
# <math>\psi_Z[\#](n+1)[s]=\psi_Z[\#](n)\times{s}</math>

类似于BOCF的规则。为了提升强度，我们需要引入“兼容”的概念。

“兼容”就是中括号里的东西(有时也叫“伪链”，伪即Fake)，通过类似于“挡刀”的方式提升强度。举个例子：对<math>\psi_Z(n)</math>取极限，得到的并不是<math>\psi_Z(\omega)</math>，而是<math>\psi_Z[\omega](\omega)</math>，中括号内出现了挡刀的<math>\omega</math>。只有达到<math>\alpha\to\psi_Z[\omega](\alpha)</math>的第一个不动点时，才能得到<math>\psi_Z(\omega)</math>。

当然，我们并不局限于只把一个序数放进兼容里。兼容里可以有多个序数，举个例子：对<math>\psi_Z[\omega^2](\omega^2+n)</math>取极限，得到的并不是<math>\psi_Z[\omega^2](\omega^2+\omega)</math>，而是<math>\psi_Z[\omega^2,\omega^2+\omega](\omega^2+\omega)</math>。

从提升强度的角度考虑，我们当然希望设计一套规则，允许更多的兼容，从而最大限度地提升强度。但是，这样的规则并不是总是可行——考虑这样的规则：“任意一系列极限序数可以兼容”，那么我们有

<math>\psi_Z(\omega)\to\psi_Z[\omega](\psi_Z[\omega](\omega))\to\psi_Z[\omega](\psi_Z[\omega](2))\to\psi_Z[\omega](\omega\times{2})\to\psi_Z[\omega,\omega\times{2}](\psi_Z[\omega,\omega\times{2}](\omega\times{2}))\to\psi_Z[\omega,\omega\times{2}](\omega\times{3})\to\cdots</math>

无穷降链。

造成这种结果的原因在于，<math>[\omega,\omega\times{2},\omega\times{3},\cdots]</math>这些序数可以无限地兼容下去，形成'''无限兼容链'''。所以，我们希望的规则应该满足以下两个条件：

1. 允许兼容存在，以提升强度。

2. 不允许某些兼容存在，以避免无限兼容链。

由于实际分析和构造的需要，我们还有第三个条件：

3. 允许某些关键节点的特殊兼容存在。

基于上述的理念，作者给出了上文提到的那一系列规则。

''(未完待续。主要是补充一些概念的直观理解，比如“末项”之类的)''

== 一些展开 ==
(1)<math>\psi_Z(\omega)[2]</math>

注意到<math>[ ,\omega]</math>等价于<math>[\omega]</math>,存在,故原式=<math>\psi_Z[\omega](\psi_Z[\omega](\omega))</math>. 这印证了前文里伪链存在的必要.

(2)<math>\psi_Z[\omega](\omega\times 2)</math>[2]

让我们检验一下<math>[\omega,\omega\times 2]</math>是否存在.

<math>\omega</math>的末项为<math>\omega</math>,<math>\omega\times 2</math>的末项为<math>\omega</math>. 化简完后为<math>[\omega,\omega]</math>.

第一条:<math>\omega\leq\omega</math>，不行

第二条:<math>\omega</math>为简单序数，不行

第三条:<math>\omega\neq0</math>，不行

第四条:[n,m]=[1,1]，这是什么？

第五条:<math>\omega<\psi_Z[\omega](\omega)</math>,后面的第一个条件不成立,还不行

第六条:<math>\omega
\omega</math>同等,仍然不行

故<math>[\omega,\omega\times 2]</math>不存在,<math>\psi_Z[\omega](\omega\times2)[2]=\psi_Z[\omega](\omega[2])=\psi_Z[\omega](\omega+2).</math>这样避免了上文的无穷降链.

本质上讲,展开一个fffz重点在于判断伪链. 故(3)以后均是这类例子.

(3)<math>[\omega^2,\omega^2+\omega]</math>是否存在?

<math>\omega^2+\omega</math>的末项为<math>\omega</math>,又<math>\omega^2>\omega</math>，存在.

== 衍生版本 ==
上文介绍的版本称为<math>\rm{Strong}</math>版本。除此之外，还有<math>\rm{Actual}</math>版本和<math>\rm{Weak}</math>版本，各版本区别如下：

=== <math>\rm{Actual}</math>版本 ===
1.除双元兼容第6条外，所有核都必须是关于<math>\omega</math>的
2.对于能合法而不必标准的写成“<math>\psi_Z</math>[#](X+n)，其中X的末项等于<math>\omega</math>，n是正整数，#是任意序列(可以为空)”的形式的序数A，需遵守下列要求：(k可取全体小于<math>\omega</math>的序数)
(1).当A处在[]中时，强制固定A关于<math>\omega</math>的k层核为A关于<math>\omega</math>的核(该核无视其它要求另算)
(2).除(1)之外，强制固定A关于<math>\omega</math>的k层核为A本身

=== <math>\rm{Weak}</math>版本 ===
1.双元兼容第5条失效
2.所有核都必须是-1层的

== 分析 ==
{| class="wikitable"
|+fffz vs BOCF vs BMS
!Fake Fake Fake Zeta
!MOCF
!BMS
|-
|<math>\psi_Z(0)</math>
|1
|<math>(0)</math>
|-
|<math>\psi_Z(1)</math>
|<math>\omega</math>
|<math>(0)(1)</math>
|-
|<math>\psi_Z(2)</math>
|<math>\omega^2</math>
|<math>(0)(1)(1)</math>
|-
|<math>\psi_Z[\omega](\omega)</math>
|<math>\omega^\omega</math>
|<math>(0)(1)(2)</math>
|}
[[分类:记号]]

Fake Fake Fake Zeta

2025-08-02T00:52:52Z

Guogaoloogy：

'''Fake Fake Fake Z(FFFZ)'''，是由 yahtzee 于 2022 年提出，后续由国内的大数研究者夏夜星空完善的'''前沿记号'''。

== 定义 ==
'''注意：FFFZ 的定义尚未完全确定，且有较为频繁的更改(大部分是修改一些小问题,比如简化、修错别字)。这里叙述最新一版(2025.7.26)的定义。'''

'''注意：部分概念的定义被修改为了等价版本。这些修改与原始文本之间是逻辑意义上的等价。'''

=== 主体规则 ===
FFFZ的合法表达式形如<math>\psi_Z[\#](n)</math>，极限基本列为<math>\{\psi_Z(0),\psi_Z(\psi_Z(0)),\psi_Z(\psi_Z(\psi_Z(0))),\cdots\}</math>。

# <math>\psi_Z(0)[s]=1</math>
# <math>\psi_Z[\#](n+1)[s]=\psi_Z[\#](n)\times{s}</math>
# 如果<math>[\#,m,n]</math>存在，<math>\psi_Z[\#,m](n)[s]=f^s(n)</math>，其中<math>f(x)=\psi_Z[\#,m,n](x)</math>
# 如果<math>[\#,m,n]</math>不存在，<math>\psi_Z[\#,m](n)[s]=\psi_Z[\#,m](n[t+s])</math>。其中<math>t</math>定义如下：
* 如果<math>m\geq{n}</math>，那么<math>t=0</math>。
* 如果<math>m<n</math>，那么<math>t</math>是满足<math>n[t]\geq{m}</math>的最小非负整数。

=== 化简规则 ===
* <math>\psi_Z[\#,m](n)=\psi_Z[\#](n)</math>，<math>m>n</math>
* <math>\psi_Z[](n)=\psi_Z(n)</math>

为了判定<math>[\#]</math>的存在性，定义以下概念：

=== 名称解释 ===
对于序列<math>\#=\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m</math>，记它的末项为<math>Endseq(\#)=\alpha_m</math>。

对于序数<math>\alpha</math>，写出它的Cantor范式<math>\sum_{k=1}^{n} \omega^{\alpha_k}</math>。称<math>\omega^{\alpha_n}</math>为<math>\alpha</math>的末项。

如果<math>\alpha</math>等于它的末项，称<math>\alpha</math>为'''简单序数'''，否则为'''复合序数'''。

对于非零简单序数<math>\alpha</math>，它形如<math>\alpha=\psi_Z[\#](n)</math>：
# 如果<math>n</math>是后继序数，称<math>\alpha</math>是<math>+</math>型极限，或0级极限，等级为0。
# 如果<math>[\#,n]</math>不存在，称<math>\alpha</math>是<math>\omega</math>型极限，或1级极限，等级为1。
# 如果<math>[\#,n]</math>存在，称<math>\alpha</math>是<math>\varepsilon</math>型极限，或2级极限，等级为2。

对于两个非零简单序数<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>：
# 如果<math>\alpha</math>的等级大于<math>\beta</math>的等级，称<math>\alpha</math>比<math>\beta</math>高等。
# 如果<math>\alpha</math>的等级等于<math>\beta</math>的等级，称<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>同等。
# 如果<math>\alpha</math>的等级小于<math>\beta</math>的等级，称<math>\alpha</math>比<math>\beta</math>低等。

对于非零简单序数<math>\alpha</math>，它形如<math>\alpha=\psi_Z[\#,m](n)</math>：
# 如果<math>[\#,m,n]</math>不存在，则<math>\alpha</math>的根为<math>n</math>。
# 如果<math>[\#,m,n]</math>存在，则<math>\alpha</math>的根为<math>m</math>。

对于非零简单序数<math>\alpha</math>，它形如<math>\alpha=\psi_Z(n)</math>，则它的根为<math>n</math>。

对于序数<math>\alpha</math>：
# 如果它是复合序数，它形如<math>\sum_{k=1}^{n} \omega^{\alpha_k}</math>，则每个<math>\omega^{\alpha_k}</math>被它直接包含。
# 如果它是非零简单序数，它形如<math>\psi_Z[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m](n)</math>，则每个<math>\alpha_k</math>均被它直接包含，<math>n</math>也被它直接包含。
#如果它是0，没有任何序数被它直接包含。

<math>\alpha</math>直接包含<math>\beta</math>，记为<math>dInc(\beta,\alpha)</math>。

接下来是几个较为复杂的定义。

==== 末项，核与层数 ====
对于非零序数<math>\alpha</math>和简单序数<math>s</math>，<math>\alpha</math>关于<math>s</math>的末项是以下两个序数<math>u</math>中较大者：
* <math>u</math>是满足“<math>u<s</math>，且存在序数<math>v</math>使<math>v+u=\alpha</math>”的最大序数。
* <math>u</math>是满足“<math>u</math>是简单序数且存在序数<math>w</math>，使得<math>\alpha=u\times{w}</math>”的最大序数。
* 如果上述两个规则中某条规则没有任何序数<math>u</math>能够满足，那么忽视那条规则。

<math>\alpha</math>关于<math>s</math>的末项记为<math>End(\alpha,s)</math>。特别地，<math>\alpha</math>关于<math>0</math>的末项与上文定义的末项等价，记为<math>End(\alpha)</math>。

对于序数<math>\alpha</math>，序数<math>s</math>，不小于-1的整数<math>k</math>，<math>\alpha</math>关于<math>s</math>的<math>k</math>层核，记为<math>Ker(\alpha,s,k)</math>，定义如下：
* <math>Ker(\alpha,s,-1)=\alpha</math>
* <math>Ker(0,s,k)=0</math>

以下假设<math>\alpha</math>非零，<math>k</math>是非负整数：
* <math>Ker(\alpha,s,k)=Ker(End(\alpha),End(s),k)</math>

以下假设<math>\alpha</math>和<math>s</math>都是非零简单序数，<math>k</math>是非负整数，<math>\alpha</math>形如<math>\psi_Z[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m](n)</math>：
* <math>Ker(\alpha,s,0)=\psi_Z[End(\alpha_1,s),End(\alpha_2,s),\cdots,End(\alpha_m,s)](End(n,s))</math>
* <math>Ker(\alpha,s,k+1)=Ker(\psi_Z[Ker(\alpha_1,s,k),Ker(\alpha_2,s,k),\cdots,Ker(\alpha_m,s,k)](Ker(n,s,k)),s,0)</math>

对于序数<math>\alpha</math>，其层数是一个非负整数，记为<math>Lev(\alpha)</math>，定义如下：

* <math>Lev(0)=0</math>
* <math>Lev(\alpha)=max\{Lev(\beta)\mid{dInc(\beta,\alpha)}\}+1</math>

层数可以简单的理解为“ψZ嵌套的次数”

对于非零序数<math>\alpha</math>，序数<math>s</math>，<math>\alpha</math>关于<math>s</math>的核记为<math>Ker(\alpha,s)</math>，它定义为<math>Ker(\alpha,s)=Ker(\alpha,s,Lev(\alpha))</math>。

特别地，<math>\alpha</math>的核记为<math>Ker(\alpha)</math>，它定义为<math>Ker(\alpha)=Ker(\alpha,0,Lev(\alpha))</math>。

=== 双元兼容 ===
对于序数<math>\alpha=\psi_Z[\#](n)</math>和<math>\beta=\psi_Z[\&](m)</math>，依次进行以下判定：
# 如果<math>\alpha>\beta</math>，则<math>[\alpha,\beta]</math>存在。
# 如果<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>中至少有一个复合序数，则<math>[\alpha,\beta]</math>存在当且仅当<math>[End(\alpha),End(\beta)]</math>存在。
# 如果<math>\alpha=0</math>，则<math>[\alpha,\beta]</math>不存在。
# 当<math>\#=\&</math>时，<math>[\alpha,\beta]</math>存在当且仅当<math>[n,m]</math>存在；否则，如果存在序列<math>\%</math>使得<math>End(Endseq(\%))</math>与<math>End(Endseq(\#))</math>，<math>End(Endseq(\&))</math>之一相等，且存在序数<math>x</math>和序数<math>y</math>使得<math>\alpha=\psi_Z[\%](x)</math>且<math>\beta=\psi_Z[\%](y)</math>，则若<math>[x,y]</math>存在那么<math>[\alpha,\beta]</math>存在
# 如果<math>\beta\geq\psi_Z[\alpha](\alpha)</math>，则<math>[\alpha,\beta]</math>存在当且仅当<math>[\alpha,\beta</math>的根<math>]</math>存在；否则，如果存在简单序数<math>s</math>和不小于-1的整数<math>k</math>，使得<math>Ker(\beta,s,k)\geq\psi_Z[Ker(\alpha,s,k)](Ker(\alpha,s,k))</math>且不存在非零序数<math>x</math>和序列<math>\%</math>使得<math>Ker(\beta,s,k)=\psi_Z[Ker(\alpha,s,k)\times\omega,\%](Ker(\alpha,s,k)\times{x})</math>，则当<math>[\alpha,\beta</math>的根<math>]</math>存在时<math>[\alpha,\beta]</math>存在
# 如果存在两个序数<math>A</math>，<math>B</math>，<math>Ker(A)=Ker(\alpha)</math>，<math>Ker(B)=Ker(\beta)</math>，<math>A</math>属于<math>B</math>基本列，且<math>\alpha</math>比<math>\beta</math>高等，则<math>[\alpha,\beta]</math>存在
# 如果通过上述规则均无法说明<math>[\alpha,\beta]</math>存在，则<math>[\alpha,\beta]</math>不存在

=== 多元兼容 ===
对于序列<math>\#=\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m</math>，如果任取满足<math>k>j</math>的<math>\alpha=\alpha_j</math>，<math>\beta=\alpha_k</math>都有'''以下两个条件至少成立一个'''，则<math>[\#]</math>存在。

条件I：以下两个条件至少成立一个：
# <math>[\alpha,\beta]</math>存在
# <math>k<m</math>且存在满足<math>k>l</math>的<math>\gamma=\alpha_l</math>，使得<math>[\gamma,\beta]</math>不存在

条件II：对于任何满足<math>k<l</math>的<math>\gamma=\alpha_l</math>，存在简单序数<math>s</math>，不小于-1的整数<math>n</math>，使得以下两个条件同时成立：
# <math>[\beta,\gamma]</math>存在，且<math>Ker(\alpha,s,n)>Ker(\beta,s,n)</math>
#

''(好吧还没写完(因为看不懂)。除了这条规则(平移转移)，特殊规则以及各种优先级，还要补不少定义域限制，比如“m为序数或空”之类)''

== 直观解释 ==
FFFZ的前几条规则是
# <math>\psi_Z(0)[s]=1</math>
# <math>\psi_Z[\#](n+1)[s]=\psi_Z[\#](n)\times{s}</math>

类似于BOCF的规则。为了提升强度，我们需要引入“兼容”的概念。

“兼容”就是中括号里的东西(有时也叫“伪链”，伪即Fake)，通过类似于“挡刀”的方式提升强度。举个例子：对<math>\psi_Z(n)</math>取极限，得到的并不是<math>\psi_Z(\omega)</math>，而是<math>\psi_Z[\omega](\omega)</math>，中括号内出现了挡刀的<math>\omega</math>。只有达到<math>\alpha\to\psi_Z[\omega](\alpha)</math>的第一个不动点时，才能得到<math>\psi_Z(\omega)</math>。

当然，我们并不局限于只把一个序数放进兼容里。兼容里可以有多个序数，举个例子：对<math>\psi_Z[\omega^2](\omega^2+n)</math>取极限，得到的并不是<math>\psi_Z[\omega^2](\omega^2+\omega)</math>，而是<math>\psi_Z[\omega^2,\omega^2+\omega](\omega^2+\omega)</math>。

从提升强度的角度考虑，我们当然希望设计一套规则，允许更多的兼容，从而最大限度地提升强度。但是，这样的规则并不是总是可行——考虑这样的规则：“任意一系列极限序数可以兼容”，那么我们有

<math>\psi_Z(\omega)\to\psi_Z[\omega](\psi_Z[\omega](\omega))\to\psi_Z[\omega](\psi_Z[\omega](2))\to\psi_Z[\omega](\omega\times{2})\to\psi_Z[\omega,\omega\times{2}](\psi_Z[\omega,\omega\times{2}](\omega\times{2}))\to\psi_Z[\omega,\omega\times{2}](\omega\times{3})\to\cdots</math>

无穷降链。

造成这种结果的原因在于，<math>[\omega,\omega\times{2},\omega\times{3},\cdots]</math>这些序数可以无限地兼容下去，形成'''无限兼容链'''。所以，我们希望的规则应该满足以下两个条件：

1. 允许兼容存在，以提升强度。

2. 不允许某些兼容存在，以避免无限兼容链。

由于实际分析和构造的需要，我们还有第三个条件：

3. 允许某些关键节点的特殊兼容存在。

基于上述的理念，作者给出了上文提到的那一系列规则。

''(未完待续。主要是补充一些概念的直观理解，比如“末项”之类的)''

== 一些展开 ==
(1)<math>\psi_Z(\omega)[2]</math>

注意到<math>[ ,\omega]</math>等价于<math>[\omega]</math>,存在,故原式=<math>\psi_Z[\omega](\psi_Z[\omega](\omega))</math>. 这印证了前文里伪链存在的必要.

(2)<math>\psi_Z[\omega](\omega\times 2)</math>[2]

让我们检验一下<math>[\omega,\omega\times 2]</math>是否存在.

<math>\omega</math>的末项为<math>\omega</math>,<math>\omega\times 2</math>的末项为<math>\omega</math>. 化简完后为<math>[\omega,\omega]</math>.

第一条:<math>\omega\leq\omega</math>，不行

第二条:<math>\omega</math>为简单序数，不行

第三条:<math>\omega\neq0</math>，不行

第四条:[n,m]=[1,1]，这是什么？

第五条:<math>\omega<\psi_Z[\omega](\omega)</math>,后面的第一个条件不成立,还不行

第六条:<math>\omega
\omega</math>同等,仍然不行

故<math>[\omega,\omega\times 2]</math>不存在,<math>\psi_Z[\omega](\omega\times2)[2]=\psi_Z[\omega](\omega[2])=\psi_Z[\omega](\omega+2).</math>这样避免了上文的无穷降链.

本质上讲,展开一个fffz重点在于判断伪链. 故(3)以后均是这类例子.

(3)<math>[\omega^2,\omega^2+\omega]</math>是否存在?

<math>\omega^2+\omega</math>的末项为<math>\omega</math>,又<math>\omega^2>\omega</math>，存在.

== 衍生版本 ==
上文介绍的版本称为<math>\rm{Strong}</math>版本。除此之外，还有<math>\rm{Actual}</math>版本和<math>\rm{Weak}</math>版本，各版本区别如下：

=== <math>\rm{Actual}</math>版本 ===
1.除双元兼容第6条外，所有核都必须是关于<math>\omega</math>的
2.对于能合法而不必标准的写成“<math>\psi_Z</math>[#](X+n)，其中X的末项等于<math>\omega</math>，n是正整数，#是任意序列(可以为空)”的形式的序数A，需遵守下列要求：(k可取全体小于<math>\omega</math>的序数)
(1).当A处在[]中时，强制固定A关于<math>\omega</math>的k层核为A关于<math>\omega</math>的核(该核无视其它要求另算)
(2).除(1)之外，强制固定A关于<math>\omega</math>的k层核为A本身

=== <math>\rm{Weak}</math>版本 ===
1.双元兼容第5条失效
2.所有核都必须是-1层的

== 分析 ==
{| class="wikitable"
|+fffz vs BOCF vs BMS
!Fake Fake Fake Zeta
!BOCF
!BMS
|-
|<math>\psi_Z(0)</math>
|1
|(0)
|-
|<math>\psi_Z(1)</math>
|<math>\omega</math>
|(0)(1)
|-
|<math>\psi_Z(2)</math>
|<math>\omega^\omega</math>
|(0)(1)(2)
|}
[[分类:记号]]

Fake Fake Fake Zeta

2025-08-02T00:49:49Z

Guogaoloogy：/* 分析 */

'''Fake Fake Fake Z(FFFZ)'''，是由 yahtzee 于 2022 年提出，后续由国内的大数研究者夏夜星空完善的'''前沿记号'''。

== 定义 ==
'''注意：FFFZ 的定义尚未完全确定，且有较为频繁的更改(大部分是修改一些小问题,比如简化、修错别字)。这里叙述最新一版(2025.7.26)的定义。'''

'''注意：部分概念的定义被修改为了等价版本。这些修改与原始文本之间是逻辑意义上的等价。'''

=== 主体规则 ===
FFFZ的合法表达式形如<math>\psi_Z[\#](n)</math>，极限基本列为<math>\{\psi_Z(0),\psi_Z(\psi_Z(0)),\psi_Z(\psi_Z(\psi_Z(0))),\cdots\}</math>。

# <math>\psi_Z(0)[s]=1</math>
# <math>\psi_Z[\#](n+1)[s]=\psi_Z[\#](n)\times{s}</math>
# 如果<math>[\#,m,n]</math>存在，<math>\psi_Z[\#,m](n)[s]=f^s(n)</math>，其中<math>f(x)=\psi_Z[\#,m,n](x)</math>
# 如果<math>[\#,m,n]</math>不存在，<math>\psi_Z[\#,m](n)[s]=\psi_Z[\#,m](n[t+s])</math>。其中<math>t</math>定义如下：
* 如果<math>m\geq{n}</math>，那么<math>t=0</math>。
* 如果<math>m<n</math>，那么<math>t</math>是满足<math>n[t]\geq{m}</math>的最小非负整数。

=== 化简规则 ===
* <math>\psi_Z[\#,m](n)=\psi_Z[\#](n)</math>，<math>m>n</math>
* <math>\psi_Z[](n)=\psi_Z(n)</math>

为了判定<math>[\#]</math>的存在性，定义以下概念：

=== 名称解释 ===
对于序列<math>\#=\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m</math>，记它的末项为<math>Endseq(\#)=\alpha_m</math>。

对于序数<math>\alpha</math>，写出它的Cantor范式<math>\sum_{k=1}^{n} \omega^{\alpha_k}</math>。称<math>\omega^{\alpha_n}</math>为<math>\alpha</math>的末项。

如果<math>\alpha</math>等于它的末项，称<math>\alpha</math>为'''简单序数'''，否则为'''复合序数'''。

对于非零简单序数<math>\alpha</math>，它形如<math>\alpha=\psi_Z[\#](n)</math>：
# 如果<math>n</math>是后继序数，称<math>\alpha</math>是<math>+</math>型极限，或0级极限，等级为0。
# 如果<math>[\#,n]</math>不存在，称<math>\alpha</math>是<math>\omega</math>型极限，或1级极限，等级为1。
# 如果<math>[\#,n]</math>存在，称<math>\alpha</math>是<math>\varepsilon</math>型极限，或2级极限，等级为2。

对于两个非零简单序数<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>：
# 如果<math>\alpha</math>的等级大于<math>\beta</math>的等级，称<math>\alpha</math>比<math>\beta</math>高等。
# 如果<math>\alpha</math>的等级等于<math>\beta</math>的等级，称<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>同等。
# 如果<math>\alpha</math>的等级小于<math>\beta</math>的等级，称<math>\alpha</math>比<math>\beta</math>低等。

对于非零简单序数<math>\alpha</math>，它形如<math>\alpha=\psi_Z[\#,m](n)</math>：
# 如果<math>[\#,m,n]</math>不存在，则<math>\alpha</math>的根为<math>n</math>。
# 如果<math>[\#,m,n]</math>存在，则<math>\alpha</math>的根为<math>m</math>。

对于非零简单序数<math>\alpha</math>，它形如<math>\alpha=\psi_Z(n)</math>，则它的根为<math>n</math>。

对于序数<math>\alpha</math>：
# 如果它是复合序数，它形如<math>\sum_{k=1}^{n} \omega^{\alpha_k}</math>，则每个<math>\omega^{\alpha_k}</math>被它直接包含。
# 如果它是非零简单序数，它形如<math>\psi_Z[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m](n)</math>，则每个<math>\alpha_k</math>均被它直接包含，<math>n</math>也被它直接包含。
#如果它是0，没有任何序数被它直接包含。

<math>\alpha</math>直接包含<math>\beta</math>，记为<math>dInc(\beta,\alpha)</math>。

接下来是几个较为复杂的定义。

==== 末项，核与层数 ====
对于非零序数<math>\alpha</math>和简单序数<math>s</math>，<math>\alpha</math>关于<math>s</math>的末项是以下两个序数<math>u</math>中较大者：
* <math>u</math>是满足“<math>u<s</math>，且存在序数<math>v</math>使<math>v+u=\alpha</math>”的最大序数。
* <math>u</math>是满足“<math>u</math>是简单序数且存在序数<math>w</math>，使得<math>\alpha=u\times{w}</math>”的最大序数。
* 如果上述两个规则中某条规则没有任何序数<math>u</math>能够满足，那么忽视那条规则。

<math>\alpha</math>关于<math>s</math>的末项记为<math>End(\alpha,s)</math>。特别地，<math>\alpha</math>关于<math>0</math>的末项与上文定义的末项等价，记为<math>End(\alpha)</math>。

对于序数<math>\alpha</math>，序数<math>s</math>，不小于-1的整数<math>k</math>，<math>\alpha</math>关于<math>s</math>的<math>k</math>层核，记为<math>Ker(\alpha,s,k)</math>，定义如下：
* <math>Ker(\alpha,s,-1)=\alpha</math>
* <math>Ker(0,s,k)=0</math>

以下假设<math>\alpha</math>非零，<math>k</math>是非负整数：
* <math>Ker(\alpha,s,k)=Ker(End(\alpha),End(s),k)</math>

以下假设<math>\alpha</math>和<math>s</math>都是非零简单序数，<math>k</math>是非负整数，<math>\alpha</math>形如<math>\psi_Z[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m](n)</math>：
* <math>Ker(\alpha,s,0)=\psi_Z[End(\alpha_1,s),End(\alpha_2,s),\cdots,End(\alpha_m,s)](End(n,s))</math>
* <math>Ker(\alpha,s,k+1)=Ker(\psi_Z[Ker(\alpha_1,s,k),Ker(\alpha_2,s,k),\cdots,Ker(\alpha_m,s,k)](Ker(n,s,k)),s,0)</math>

对于序数<math>\alpha</math>，其层数是一个非负整数，记为<math>Lev(\alpha)</math>，定义如下：

* <math>Lev(0)=0</math>
* <math>Lev(\alpha)=max\{Lev(\beta)\mid{dInc(\beta,\alpha)}\}+1</math>

层数可以简单的理解为“ψZ嵌套的次数”

对于非零序数<math>\alpha</math>，序数<math>s</math>，<math>\alpha</math>关于<math>s</math>的核记为<math>Ker(\alpha,s)</math>，它定义为<math>Ker(\alpha,s)=Ker(\alpha,s,Lev(\alpha))</math>。

特别地，<math>\alpha</math>的核记为<math>Ker(\alpha)</math>，它定义为<math>Ker(\alpha)=Ker(\alpha,0,Lev(\alpha))</math>。

=== 双元兼容 ===
对于序数<math>\alpha=\psi_Z[\#](n)</math>和<math>\beta=\psi_Z[\&](m)</math>，依次进行以下判定：
# 如果<math>\alpha>\beta</math>，则<math>[\alpha,\beta]</math>存在。
# 如果<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>中至少有一个复合序数，则<math>[\alpha,\beta]</math>存在当且仅当<math>[End(\alpha),End(\beta)]</math>存在。
# 如果<math>\alpha=0</math>，则<math>[\alpha,\beta]</math>不存在。
# 当<math>\#=\&</math>时，<math>[\alpha,\beta]</math>存在当且仅当<math>[n,m]</math>存在；否则，如果存在序列<math>\%</math>使得<math>End(Endseq(\%))</math>与<math>End(Endseq(\#))</math>，<math>End(Endseq(\&))</math>之一相等，且存在序数<math>x</math>和序数<math>y</math>使得<math>\alpha=\psi_Z[\%](x)</math>且<math>\beta=\psi_Z[\%](y)</math>，则若<math>[x,y]</math>存在那么<math>[\alpha,\beta]</math>存在
# 如果<math>\beta\geq\psi_Z[\alpha](\alpha)</math>，则<math>[\alpha,\beta]</math>存在当且仅当<math>[\alpha,\beta</math>的根<math>]</math>存在；否则，如果存在简单序数<math>s</math>和不小于-1的整数<math>k</math>，使得<math>Ker(\beta,s,k)\geq\psi_Z[Ker(\alpha,s,k)](Ker(\alpha,s,k))</math>且不存在非零序数<math>x</math>和序列<math>\%</math>使得<math>Ker(\beta,s,k)=\psi_Z[Ker(\alpha,s,k)\times\omega,\%](Ker(\alpha,s,k)\times{x})</math>，则当<math>[\alpha,\beta</math>的根<math>]</math>存在时<math>[\alpha,\beta]</math>存在
# 如果存在两个序数<math>A</math>，<math>B</math>，<math>Ker(A)=Ker(\alpha)</math>，<math>Ker(B)=Ker(\beta)</math>，<math>A</math>属于<math>B</math>基本列，且<math>\alpha</math>比<math>\beta</math>高等，则<math>[\alpha,\beta]</math>存在
# 如果通过上述规则均无法说明<math>[\alpha,\beta]</math>存在，则<math>[\alpha,\beta]</math>不存在

=== 多元兼容 ===
对于序列<math>\#=\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m</math>，如果任取满足<math>k>j</math>的<math>\alpha=\alpha_j</math>，<math>\beta=\alpha_k</math>都有'''以下两个条件至少成立一个'''，则<math>[\#]</math>存在。

条件I：以下两个条件至少成立一个：
# <math>[\alpha,\beta]</math>存在
# <math>k<m</math>且存在满足<math>k>l</math>的<math>\gamma=\alpha_l</math>，使得<math>[\gamma,\beta]</math>不存在

条件II：对于任何满足<math>k<l</math>的<math>\gamma=\alpha_l</math>，存在简单序数<math>s</math>，不小于-1的整数<math>n</math>，使得以下两个条件同时成立：
# <math>[\beta,\gamma]</math>存在，且<math>Ker(\alpha,s,n)>Ker(\beta,s,n)</math>
#

''(好吧还没写完(因为看不懂)。除了这条规则(平移转移)，特殊规则以及各种优先级，还要补不少定义域限制，比如“m为序数或空”之类)''

== 直观解释 ==
FFFZ的前几条规则是
# <math>\psi_Z(0)[s]=1</math>
# <math>\psi_Z[\#](n+1)[s]=\psi_Z[\#](n)\times{s}</math>

类似于BOCF的规则。为了提升强度，我们需要引入“兼容”的概念。

“兼容”就是中括号里的东西(有时也叫“伪链”，伪即Fake)，通过类似于“挡刀”的方式提升强度。举个例子：对<math>\psi_Z(n)</math>取极限，得到的并不是<math>\psi_Z(\omega)</math>，而是<math>\psi_Z[\omega](\omega)</math>，中括号内出现了挡刀的<math>\omega</math>。只有达到<math>\alpha\to\psi_Z[\omega](\alpha)</math>的第一个不动点时，才能得到<math>\psi_Z(\omega)</math>。

当然，我们并不局限于只把一个序数放进兼容里。兼容里可以有多个序数，举个例子：对<math>\psi_Z[\omega^2](\omega^2+n)</math>取极限，得到的并不是<math>\psi_Z[\omega^2](\omega^2+\omega)</math>，而是<math>\psi_Z[\omega^2,\omega^2+\omega](\omega^2+\omega)</math>。

从提升强度的角度考虑，我们当然希望设计一套规则，允许更多的兼容，从而最大限度地提升强度。但是，这样的规则并不是总是可行——考虑这样的规则：“任意一系列极限序数可以兼容”，那么我们有

<math>\psi_Z(\omega)\to\psi_Z[\omega](\psi_Z[\omega](\omega))\to\psi_Z[\omega](\psi_Z[\omega](2))\to\psi_Z[\omega](\omega\times{2})\to\psi_Z[\omega,\omega\times{2}](\psi_Z[\omega,\omega\times{2}](\omega\times{2}))\to\psi_Z[\omega,\omega\times{2}](\omega\times{3})\to\cdots</math>

无穷降链。

造成这种结果的原因在于，<math>[\omega,\omega\times{2},\omega\times{3},\cdots]</math>这些序数可以无限地兼容下去，形成'''无限兼容链'''。所以，我们希望的规则应该满足以下两个条件：

1. 允许兼容存在，以提升强度。

2. 不允许某些兼容存在，以避免无限兼容链。

由于实际分析和构造的需要，我们还有第三个条件：

3. 允许某些关键节点的特殊兼容存在。

基于上述的理念，作者给出了上文提到的那一系列规则。

''(未完待续。主要是补充一些概念的直观理解，比如“末项”之类的)''

== 一些展开 ==
(1)<math>\psi_Z(\omega)[2]</math>

注意到<math>[ ,\omega]</math>等价于<math>[\omega]</math>,存在,故原式=<math>\psi_Z[\omega](\psi_Z[\omega](\omega))</math>. 这印证了前文里伪链存在的必要.

(2)<math>\psi_Z[\omega](\omega\times 2)</math>[2]

让我们检验一下<math>[\omega,\omega\times 2]</math>是否存在.

<math>\omega</math>的末项为<math>\omega</math>,<math>\omega\times 2</math>的末项为<math>\omega</math>. 化简完后为<math>[\omega,\omega]</math>.

第一条:<math>\omega\leq\omega</math>，不行

第二条:<math>\omega</math>为简单序数，不行

第三条:<math>\omega\neq0</math>，不行

第四条:[n,m]=[1,1]，这是什么？

第五条:<math>\omega<\psi_Z[\omega](\omega)</math>,后面的第一个条件不成立,还不行

第六条:<math>\omega
\omega</math>同等,仍然不行

故<math>[\omega,\omega\times 2]</math>不存在,<math>\psi_Z[\omega](\omega\times2)[2]=\psi_Z[\omega](\omega[2])=\psi_Z[\omega](\omega+2).</math>这样避免了上文的无穷降链.

本质上讲,展开一个fffz重点在于判断伪链. 故(3)以后均是这类例子.

(3)<math>[\omega^2,\omega^2+\omega]</math>是否存在?

<math>\omega^2+\omega</math>的末项为<math>\omega</math>,又<math>\omega^2>\omega</math>，存在.

== 衍生版本 ==
上文介绍的版本称为<math>\rm{Strong}</math>版本。除此之外，还有<math>\rm{Actual}</math>版本和<math>\rm{Weak}</math>版本，各版本区别如下：

=== <math>\rm{Actual}</math>版本 ===
1.除双元兼容第6条外，所有核都必须是关于<math>\omega</math>的
2.对于能合法而不必标准的写成“<math>\psi_Z</math>[#](X+n)，其中X的末项等于<math>\omega</math>，n是正整数，#是任意序列(可以为空)”的形式的序数A，需遵守下列要求：(k可取全体小于<math>\omega</math>的序数)
(1).当A处在[]中时，强制固定A关于<math>\omega</math>的k层核为A关于<math>\omega</math>的核(该核无视其它要求另算)
(2).除(1)之外，强制固定A关于<math>\omega</math>的k层核为A本身

=== <math>\rm{Weak}</math>版本 ===
1.双元兼容第5条失效
2.所有核都必须是-1层的

== 分析 ==
{| class="wikitable"
|+
!Fake Fake Fake Zeta
!BOCF
!BMS
!
|-
|<math>\psi_Z(0)</math>
|1
|(0)
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|}
[[分类:记号]]

Fake Fake Fake Zeta

2025-07-27T12:33:27Z

Guogaoloogy：

Fake Fake Fake Zeta

2025-07-27T08:17:56Z

Guogaoloogy：

'''Fake Fake Fake Z(FFFZ)'''，是由 yahtzee 于 2022 年提出，后续由国内的大数研究者夏夜星空完善的'''前沿记号'''。

== 定义 ==
'''注意：FFFZ 的定义尚未完全确定，且有较为频繁的更改(大部分是修改一些小问题,比如简化、修错别字)。这里叙述最新一版(2025.7.26)的定义。'''

'''注意：部分概念的定义被修改为了等价版本。这些修改与原始文本之间是逻辑意义上的等价。'''

=== 主体规则 ===
FFFZ的合法表达式形如<math>\psi_Z[\#](n)</math>，极限基本列为<math>\{\psi_Z(0),\psi_Z(\psi_Z(0)),\psi_Z(\psi_Z(\psi_Z(0))),\cdots\}</math>。

# <math>\psi_Z(0)[s]=1</math>
# <math>\psi_Z[\#](n+1)[s]=\psi_Z[\#](n)\times{s}</math>
# 如果<math>[\#,m,n]</math>存在，<math>\psi_Z[\#,m](n)[s]=f^s(n)</math>，其中<math>f(x)=\psi_Z[\#,m,n](x)</math>
# 如果<math>[\#,m,n]</math>不存在，<math>\psi_Z[\#,m](n)[s]=\psi_Z[\#,m](n[t+s])</math>。其中<math>t</math>定义如下：
* 如果<math>m\geq{n}</math>，那么<math>t=0</math>。
* 如果<math>m<n</math>，那么<math>t</math>是满足<math>n[t]\geq{m}</math>的最小非负整数。

=== 化简规则 ===
* <math>\psi_Z[\#,m](n)=\psi_Z[\#](n)</math>，<math>m>n</math>
* <math>\psi_Z[](n)=\psi_Z(n)</math>

为了判定<math>[\#]</math>的存在性，定义以下概念：

=== 名称解释 ===
对于序列<math>\#=\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m</math>，记它的末项为<math>Endseq(\#)=\alpha_m</math>。

对于序数<math>\alpha</math>，写出它的Cantor范式<math>\sum_{k=1}^{n} \omega^{\alpha_k}</math>。称<math>\omega^{\alpha_n}</math>为<math>\alpha</math>的末项。

如果<math>\alpha</math>等于它的末项，称<math>\alpha</math>为'''简单序数'''，否则为'''复合序数'''。

对于非零简单序数<math>\alpha</math>，它形如<math>\alpha=\psi_Z[\#](n)</math>：
# 如果<math>n</math>是后继序数，称<math>\alpha</math>是<math>+</math>型极限，或0级极限，等级为0。
# 如果<math>[\#,n]</math>不存在，称<math>\alpha</math>是<math>\omega</math>型极限，或1级极限，等级为1。
# 如果<math>[\#,n]</math>存在，称<math>\alpha</math>是<math>\varepsilon</math>型极限，或2级极限，等级为2。

对于两个非零简单序数<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>：
# 如果<math>\alpha</math>的等级大于<math>\beta</math>的等级，称<math>\alpha</math>比<math>\beta</math>高等。
# 如果<math>\alpha</math>的等级等于<math>\beta</math>的等级，称<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>同等。
# 如果<math>\alpha</math>的等级小于<math>\beta</math>的等级，称<math>\alpha</math>比<math>\beta</math>低等。

对于非零简单序数<math>\alpha</math>，它形如<math>\alpha=\psi_Z[\#,m](n)</math>：
# 如果<math>[\#,m,n]</math>不存在，则<math>\alpha</math>的根为<math>n</math>。
# 如果<math>[\#,m,n]</math>存在，则<math>\alpha</math>的根为<math>m</math>。

对于非零简单序数<math>\alpha</math>，它形如<math>\alpha=\psi_Z(n)</math>，则它的根为<math>n</math>。

对于序数<math>\alpha</math>：
# 如果它是复合序数，它形如<math>\sum_{k=1}^{n} \omega^{\alpha_k}</math>，则每个<math>\omega^{\alpha_k}</math>被它直接包含。
# 如果它是非零简单序数，它形如<math>\psi_Z[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m](n)</math>，则每个<math>\alpha_k</math>均被它直接包含，<math>n</math>也被它直接包含。
#如果它是0，没有任何序数被它直接包含。

<math>\alpha</math>直接包含<math>\beta</math>，记为<math>dInc(\beta,\alpha)</math>。

接下来是几个较为复杂的定义。

==== 末项，核与层数 ====
对于非零序数<math>\alpha</math>和简单序数<math>s</math>，<math>\alpha</math>关于<math>s</math>的末项是以下两个序数<math>u</math>中较大者：
* <math>u</math>是满足“<math>u<s</math>，且存在序数<math>v</math>使<math>v+u=\alpha</math>”的最大序数。
* <math>u</math>是满足“<math>u</math>是简单序数且存在序数<math>w</math>，使得<math>\alpha=u\times{w}</math>”的最大序数。
* 如果上述两个规则中某条规则没有任何序数<math>u</math>能够满足，那么忽视那条规则。

<math>\alpha</math>关于<math>s</math>的末项记为<math>End(\alpha,s)</math>。特别地，<math>\alpha</math>关于<math>0</math>的末项与上文定义的末项等价，记为<math>End(\alpha)</math>。

对于序数<math>\alpha</math>，序数<math>s</math>，不小于-1的整数<math>k</math>，<math>\alpha</math>关于<math>s</math>的<math>k</math>层核，记为<math>Ker(\alpha,s,k)</math>，定义如下：
* <math>Ker(\alpha,s,-1)=\alpha</math>
* <math>Ker(0,s,k)=0</math>

以下假设<math>\alpha</math>非零，<math>k</math>是非负整数：
* <math>Ker(\alpha,s,k)=Ker(End(\alpha),End(s),k)</math>

以下假设<math>\alpha</math>和<math>s</math>都是非零简单序数，<math>k</math>是非负整数，<math>\alpha</math>形如<math>\psi_Z[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m](n)</math>：
* <math>Ker(\alpha,s,0)=\psi_Z[End(\alpha_1,s),End(\alpha_2,s),\cdots,End(\alpha_m,s)](End(n,s))</math>
* <math>Ker(\alpha,s,k+1)=Ker(\psi_Z[Ker(\alpha_1,s,k),Ker(\alpha_2,s,k),\cdots,Ker(\alpha_m,s,k)](Ker(n,s,k)),s,0)</math>

对于序数<math>\alpha</math>，其层数是一个非负整数，记为<math>Lev(\alpha)</math>，定义如下：

* <math>Lev(0)=0</math>
* <math>Lev(\alpha)=max\{Lev(\beta)\mid{dInc(\beta,\alpha)}\}+1</math>

层数可以简单的理解为“ψZ嵌套的次数”

对于非零序数<math>\alpha</math>，序数<math>s</math>，<math>\alpha</math>关于<math>s</math>的核记为<math>Ker(\alpha,s)</math>，它定义为<math>Ker(\alpha,s)=Ker(\alpha,s,Lev(\alpha))</math>。

特别地，<math>\alpha</math>的核记为<math>Ker(\alpha)</math>，它定义为<math>Ker(\alpha)=Ker(\alpha,0,Lev(\alpha))</math>。

=== 双元兼容 ===
对于序数<math>\alpha=\psi_Z[\#](n)</math>和<math>\beta=\psi_Z[\&](m)</math>，依次进行以下判定：
# 如果<math>\alpha>\beta</math>，则<math>[\alpha,\beta]</math>存在。
# 如果<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>中至少有一个复合序数，则<math>[\alpha,\beta]</math>存在当且仅当<math>[End(\alpha),End(\beta)]</math>存在。
# 如果<math>\alpha=0</math>，则<math>[\alpha,\beta]</math>不存在。
# 当<math>\#=\&</math>时，<math>[\alpha,\beta]</math>存在当且仅当<math>[n,m]</math>存在；否则，如果存在序列<math>\%</math>使得<math>End(Endseq(\%))</math>与<math>End(Endseq(\#))</math>，<math>End(Endseq(\&))</math>之一相等，且存在序数<math>x</math>和序数<math>y</math>使得<math>\alpha=\psi_Z[\%](x)</math>且<math>\beta=\psi_Z[\%](y)</math>，则若<math>[x,y]</math>存在那么<math>[\alpha,\beta]</math>存在
# 如果<math>\beta\geq\psi_Z[\alpha](\alpha)</math>，则<math>[\alpha,\beta]</math>存在当且仅当<math>[\alpha,\beta</math>的根<math>]</math>存在；否则，如果存在简单序数<math>s</math>和不小于-1的整数<math>k</math>，使得<math>Ker(\beta,s,k)\geq\psi_Z[Ker(\alpha,s,k)](Ker(\alpha,s,k))</math>且不存在非零序数<math>x</math>和序列<math>\%</math>使得<math>Ker(\beta,s,k)=\psi_Z[Ker(\alpha,s,k)\times\omega,\%](Ker(\alpha,s,k)\times{x})</math>，则当<math>[\alpha,\beta</math>的根<math>]</math>存在时<math>[\alpha,\beta]</math>存在
# 如果存在两个序数<math>A</math>，<math>B</math>，<math>Ker(A)=Ker(\alpha)</math>，<math>Ker(B)=Ker(\beta)</math>，<math>A</math>属于<math>B</math>基本列，且<math>\alpha</math>比<math>\beta</math>高等，则<math>[\alpha,\beta]</math>存在
# 如果通过上述规则均无法说明<math>[\alpha,\beta]</math>存在，则<math>[\alpha,\beta]</math>不存在

=== 多元兼容 ===
对于序列<math>\#=\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m</math>，如果任取满足<math>k>j</math>的<math>\alpha=\alpha_j</math>，<math>\beta=\alpha_k</math>都有'''以下两个条件至少成立一个'''，则<math>[\#]</math>存在。

条件I：以下两个条件至少成立一个：
# <math>[\alpha,\beta]</math>存在
# <math>k<m</math>且存在满足<math>k>l</math>的<math>\gamma=\alpha_l</math>，使得<math>[\gamma,\beta]</math>不存在

条件II：对于任何满足<math>k<l</math>的<math>\gamma=\alpha_l</math>，存在简单序数<math>s</math>，不小于-1的整数<math>n</math>，使得以下两个条件同时成立：
# <math>[\beta,\gamma]</math>存在，且<math>Ker(\alpha,s,n)>Ker(\beta,s,n)</math>
#

''(好吧还没写完(因为看不懂)。除了这条规则(平移转移)，特殊规则以及各种优先级，还要补不少定义域限制，比如“m为序数或空”之类)''

== 直观解释 ==
FFFZ的前几条规则是
# <math>\psi_Z(0)[s]=1</math>
# <math>\psi_Z[\#](n+1)[s]=\psi_Z[\#](n)\times{s}</math>

类似于BOCF的规则。为了提升强度，我们需要引入“兼容”的概念。

“兼容”就是中括号里的东西(有时也叫“伪链”，伪即Fake)，通过类似于“挡刀”的方式提升强度。举个例子：对<math>\psi_Z(n)</math>取极限，得到的并不是<math>\psi_Z(\omega)</math>，而是<math>\psi_Z[\omega](\omega)</math>，中括号内出现了挡刀的<math>\omega</math>。只有达到<math>\alpha\to\psi_Z[\omega](\alpha)</math>的第一个不动点时，才能得到<math>\psi_Z(\omega)</math>。

当然，我们并不局限于只把一个序数放进兼容里。兼容里可以有多个序数，举个例子：对<math>\psi_Z[\omega^2](\omega^2+n)</math>取极限，得到的并不是<math>\psi_Z[\omega^2](\omega^2+\omega)</math>，而是<math>\psi_Z[\omega^2,\omega^2+\omega](\omega^2+\omega)</math>。

从提升强度的角度考虑，我们当然希望设计一套规则，允许更多的兼容，从而最大限度地提升强度。但是，这样的规则并不是总是可行——考虑这样的规则：“任意一系列极限序数可以兼容”，那么我们有

<math>\psi_Z(\omega)\to\psi_Z[\omega](\psi_Z[\omega](\omega))\to\psi_Z[\omega](\psi_Z[\omega](2))\to\psi_Z[\omega](\omega\times{2})\to\psi_Z[\omega,\omega\times{2}](\psi_Z[\omega,\omega\times{2}](\omega\times{2}))\to\psi_Z[\omega,\omega\times{2}](\omega\times{3})\to\cdots</math>

无穷降链。

造成这种结果的原因在于，<math>[\omega,\omega\times{2},\omega\times{3},\cdots]</math>这些序数可以无限地兼容下去，形成'''无限兼容链'''。所以，我们希望的规则应该满足以下两个条件：

1. 允许兼容存在，以提升强度。

2. 不允许某些兼容存在，以避免无限兼容链。

由于实际分析和构造的需要，我们还有第三个条件：

3. 允许某些关键节点的特殊兼容存在。

基于上述的理念，作者给出了上文提到的那一系列规则。

''(未完待续。主要是补充一些概念的直观理解，比如“末项”之类的)''

== 一些展开 ==
(1)<math>\psi_Z(\omega)[2]</math>

注意到<math>[ ,\omega]</math>等价于<math>[\omega]</math>,存在,故原式=<math>\psi_Z[\omega](\psi_Z[\omega](\omega))</math>. 这印证了前文里伪链存在的必要.

(2)<math>\psi_Z[\omega](\omega\times 2)</math>[2]

让我们检验一下<math>[\omega,\omega\times 2]</math>是否存在.

<math>\omega</math>的末项为<math>\omega</math>,<math>\omega\times 2</math>的末项为<math>\omega</math>. 化简完后为<math>[\omega,\omega]</math>.

第一条:<math>\omega\leq\omega</math>，不行

第二条:<math>\omega</math>为简单序数，不行

第三条:<math>\omega\neq0</math>，不行

第四条:[n,m]=[1,1]，这是什么？

第五条:<math>\omega<\psi_Z[\omega](\omega)</math>,后面的第一个条件不成立,还不行

第六条:<math>\omega
\omega</math>同等,仍然不行

故<math>[\omega,\omega\times 2]</math>不存在,<math>\psi_Z[\omega](\omega\times2)[2]=\psi_Z[\omega](\omega[2])=\psi_Z[\omega](\omega+2).</math>这样避免了上文的无穷降链.

本质上讲,展开一个fffz重点在于判断伪链.

(3)<math>[\omega^2,\omega^2+\omega]</math>是否存在?

<math>\omega^2+\omega</math>的末项为<math>\omega</math>,又<math>\omega^2>\omega</math>，存在.

== 衍生版本 ==
上文介绍的版本称为<math>\rm{Strong}</math>版本。除此之外，还有<math>\rm{Actual}</math>版本和<math>\rm{Weak}</math>版本，各版本区别如下：

=== <math>\rm{Actual}</math>版本 ===
1.除双元兼容第6条外，所有核都必须是关于<math>\omega</math>的
2.对于能合法而不必标准的写成“<math>\psi_Z</math>[#](X+n)，其中X的末项等于<math>\omega</math>，n是正整数，#是任意序列(可以为空)”的形式的序数A，需遵守下列要求：(k可取全体小于<math>\omega</math>的序数)
(1).当A处在[]中时，强制固定A关于<math>\omega</math>的k层核为A关于<math>\omega</math>的核(该核无视其它要求另算)
(2).除(1)之外，强制固定A关于<math>\omega</math>的k层核为A本身

=== <math>\rm{Weak}</math>版本 ===
1.双元兼容第5条失效
2.所有核都必须是-1层的

== 分析 ==

[[分类:记号]]

Fake Fake Fake Zeta

2025-07-27T08:08:57Z

Guogaoloogy：

'''Fake Fake Fake Z(FFFZ)'''，是由 yahtzee 于 2022 年提出，后续由国内的大数研究者夏夜星空完善的'''前沿记号'''。

== 定义 ==
'''注意：FFFZ 的定义尚未完全确定，且有较为频繁的更改(大部分是修改一些小问题,比如简化、修错别字)。这里叙述最新一版(2025.7.26)的定义。'''

'''注意：部分概念的定义被修改为了等价版本。这些修改与原始文本之间是逻辑意义上的等价。'''

=== 主体规则 ===
FFFZ的合法表达式形如<math>\psi_Z[\#](n)</math>，极限基本列为<math>\{\psi_Z(0),\psi_Z(\psi_Z(0)),\psi_Z(\psi_Z(\psi_Z(0))),\cdots\}</math>。

# <math>\psi_Z(0)[s]=1</math>
# <math>\psi_Z[\#](n+1)[s]=\psi_Z[\#](n)\times{s}</math>
# 如果<math>[\#,m,n]</math>存在，<math>\psi_Z[\#,m](n)[s]=f^s(n)</math>，其中<math>f(x)=\psi_Z[\#,m,n](x)</math>
# 如果<math>[\#,m,n]</math>不存在，<math>\psi_Z[\#,m](n)[s]=\psi_Z[\#,m](n[t+s])</math>。其中<math>t</math>定义如下：
* 如果<math>m\geq{n}</math>，那么<math>t=0</math>。
* 如果<math>m<n</math>，那么<math>t</math>是满足<math>n[t]\geq{m}</math>的最小非负整数。

=== 化简规则 ===
* <math>\psi_Z[\#,m](n)=\psi_Z[\#](n)</math>，<math>m>n</math>
* <math>\psi_Z[](n)=\psi_Z(n)</math>

为了判定<math>[\#]</math>的存在性，定义以下概念：

=== 名称解释 ===
对于序列<math>\#=\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m</math>，记它的末项为<math>Endseq(\#)=\alpha_m</math>。

对于序数<math>\alpha</math>，写出它的Cantor范式<math>\sum_{k=1}^{n} \omega^{\alpha_k}</math>。称<math>\omega^{\alpha_n}</math>为<math>\alpha</math>的末项。

如果<math>\alpha</math>等于它的末项，称<math>\alpha</math>为'''简单序数'''，否则为'''复合序数'''。

对于非零简单序数<math>\alpha</math>，它形如<math>\alpha=\psi_Z[\#](n)</math>：
# 如果<math>n</math>是后继序数，称<math>\alpha</math>是<math>+</math>型极限，或0级极限，等级为0。
# 如果<math>[\#,n]</math>不存在，称<math>\alpha</math>是<math>\omega</math>型极限，或1级极限，等级为1。
# 如果<math>[\#,n]</math>存在，称<math>\alpha</math>是<math>\varepsilon</math>型极限，或2级极限，等级为2。

对于两个非零简单序数<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>：
# 如果<math>\alpha</math>的等级大于<math>\beta</math>的等级，称<math>\alpha</math>比<math>\beta</math>高等。
# 如果<math>\alpha</math>的等级等于<math>\beta</math>的等级，称<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>同等。
# 如果<math>\alpha</math>的等级小于<math>\beta</math>的等级，称<math>\alpha</math>比<math>\beta</math>低等。

对于非零简单序数<math>\alpha</math>，它形如<math>\alpha=\psi_Z[\#,m](n)</math>：
# 如果<math>[\#,m,n]</math>不存在，则<math>\alpha</math>的根为<math>n</math>。
# 如果<math>[\#,m,n]</math>存在，则<math>\alpha</math>的根为<math>m</math>。

对于非零简单序数<math>\alpha</math>，它形如<math>\alpha=\psi_Z(n)</math>，则它的根为<math>n</math>。

对于序数<math>\alpha</math>：
# 如果它是复合序数，它形如<math>\sum_{k=1}^{n} \omega^{\alpha_k}</math>，则每个<math>\omega^{\alpha_k}</math>被它直接包含。
# 如果它是非零简单序数，它形如<math>\psi_Z[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m](n)</math>，则每个<math>\alpha_k</math>均被它直接包含，<math>n</math>也被它直接包含。
#如果它是0，没有任何序数被它直接包含。

<math>\alpha</math>直接包含<math>\beta</math>，记为<math>dInc(\beta,\alpha)</math>。

接下来是几个较为复杂的定义。

==== 末项，核与层数 ====
对于非零序数<math>\alpha</math>和简单序数<math>s</math>，<math>\alpha</math>关于<math>s</math>的末项是以下两个序数<math>u</math>中较大者：
* <math>u</math>是满足“<math>u<s</math>，且存在序数<math>v</math>使<math>v+u=\alpha</math>”的最大序数。
* <math>u</math>是满足“<math>u</math>是简单序数且存在序数<math>w</math>，使得<math>\alpha=u\times{w}</math>”的最大序数。
* 如果上述两个规则中某条规则没有任何序数<math>u</math>能够满足，那么忽视那条规则。

<math>\alpha</math>关于<math>s</math>的末项记为<math>End(\alpha,s)</math>。特别地，<math>\alpha</math>关于<math>0</math>的末项与上文定义的末项等价，记为<math>End(\alpha)</math>。

对于序数<math>\alpha</math>，序数<math>s</math>，不小于-1的整数<math>k</math>，<math>\alpha</math>关于<math>s</math>的<math>k</math>层核，记为<math>Ker(\alpha,s,k)</math>，定义如下：
* <math>Ker(\alpha,s,-1)=\alpha</math>
* <math>Ker(0,s,k)=0</math>

以下假设<math>\alpha</math>非零，<math>k</math>是非负整数：
* <math>Ker(\alpha,s,k)=Ker(End(\alpha),End(s),k)</math>

以下假设<math>\alpha</math>和<math>s</math>都是非零简单序数，<math>k</math>是非负整数，<math>\alpha</math>形如<math>\psi_Z[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m](n)</math>：
* <math>Ker(\alpha,s,0)=\psi_Z[End(\alpha_1,s),End(\alpha_2,s),\cdots,End(\alpha_m,s)](End(n,s))</math>
* <math>Ker(\alpha,s,k+1)=Ker(\psi_Z[Ker(\alpha_1,s,k),Ker(\alpha_2,s,k),\cdots,Ker(\alpha_m,s,k)](Ker(n,s,k)),s,0)</math>

对于序数<math>\alpha</math>，其层数是一个非负整数，记为<math>Lev(\alpha)</math>，定义如下：

* <math>Lev(0)=0</math>
* <math>Lev(\alpha)=max\{Lev(\beta)\mid{dInc(\beta,\alpha)}\}+1</math>

层数可以简单的理解为“ψZ嵌套的次数”

对于非零序数<math>\alpha</math>，序数<math>s</math>，<math>\alpha</math>关于<math>s</math>的核记为<math>Ker(\alpha,s)</math>，它定义为<math>Ker(\alpha,s)=Ker(\alpha,s,Lev(\alpha))</math>。

特别地，<math>\alpha</math>的核记为<math>Ker(\alpha)</math>，它定义为<math>Ker(\alpha)=Ker(\alpha,0,Lev(\alpha))</math>。

=== 双元兼容 ===
对于序数<math>\alpha=\psi_Z[\#](n)</math>和<math>\beta=\psi_Z[\&](m)</math>，依次进行以下判定：
# 如果<math>\alpha>\beta</math>，则<math>[\alpha,\beta]</math>存在。
# 如果<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>中至少有一个复合序数，则<math>[\alpha,\beta]</math>存在当且仅当<math>[End(\alpha),End(\beta)]</math>存在。
# 如果<math>\alpha=0</math>，则<math>[\alpha,\beta]</math>不存在。
# 当<math>\#=\&</math>时，<math>[\alpha,\beta]</math>存在当且仅当<math>[n,m]</math>存在；否则，如果存在序列<math>\%</math>使得<math>End(Endseq(\%))</math>与<math>End(Endseq(\#))</math>，<math>End(Endseq(\&))</math>之一相等，且存在序数<math>x</math>和序数<math>y</math>使得<math>\alpha=\psi_Z[\%](x)</math>且<math>\beta=\psi_Z[\%](y)</math>，则若<math>[x,y]</math>存在那么<math>[\alpha,\beta]</math>存在
# 如果<math>\beta\geq\psi_Z[\alpha](\alpha)</math>，则<math>[\alpha,\beta]</math>存在当且仅当<math>[\alpha,\beta</math>的根<math>]</math>存在；否则，如果存在简单序数<math>s</math>和不小于-1的整数<math>k</math>，使得<math>Ker(\beta,s,k)\geq\psi_Z[Ker(\alpha,s,k)](Ker(\alpha,s,k))</math>且不存在非零序数<math>x</math>和序列<math>\%</math>使得<math>Ker(\beta,s,k)=\psi_Z[Ker(\alpha,s,k)\times\omega,\%](Ker(\alpha,s,k)\times{x})</math>，则当<math>[\alpha,\beta</math>的根<math>]</math>存在时<math>[\alpha,\beta]</math>存在
# 如果存在两个序数<math>A</math>，<math>B</math>，<math>Ker(A)=Ker(\alpha)</math>，<math>Ker(B)=Ker(\beta)</math>，<math>A</math>属于<math>B</math>基本列，且<math>\alpha</math>比<math>\beta</math>高等，则<math>[\alpha,\beta]</math>存在
# 如果通过上述规则均无法说明<math>[\alpha,\beta]</math>存在，则<math>[\alpha,\beta]</math>不存在

=== 多元兼容 ===
对于序列<math>\#=\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m</math>，如果任取满足<math>k>j</math>的<math>\alpha=\alpha_j</math>，<math>\beta=\alpha_k</math>都有'''以下两个条件至少成立一个'''，则<math>[\#]</math>存在。

条件I：以下两个条件至少成立一个：
# <math>[\alpha,\beta]</math>存在
# <math>k<m</math>且存在满足<math>k>l</math>的<math>\gamma=\alpha_l</math>，使得<math>[\gamma,\beta]</math>不存在

条件II：对于任何满足<math>k<l</math>的<math>\gamma=\alpha_l</math>，存在简单序数<math>s</math>，不小于-1的整数<math>n</math>，使得以下两个条件同时成立：
# <math>[\beta,\gamma]</math>存在，且<math>Ker(\alpha,s,n)>Ker(\beta,s,n)</math>
#

''(好吧还没写完(因为看不懂)。除了这条规则(平移转移)，特殊规则以及各种优先级，还要补不少定义域限制，比如“m为序数或空”之类)''

== 直观解释 ==
FFFZ的前几条规则是
# <math>\psi_Z(0)[s]=1</math>
# <math>\psi_Z[\#](n+1)[s]=\psi_Z[\#](n)\times{s}</math>

类似于BOCF的规则。为了提升强度，我们需要引入“兼容”的概念。

“兼容”就是中括号里的东西(有时也叫“伪链”，伪即Fake)，通过类似于“挡刀”的方式提升强度。举个例子：对<math>\psi_Z(n)</math>取极限，得到的并不是<math>\psi_Z(\omega)</math>，而是<math>\psi_Z[\omega](\omega)</math>，中括号内出现了挡刀的<math>\omega</math>。只有达到<math>\alpha\to\psi_Z[\omega](\alpha)</math>的第一个不动点时，才能得到<math>\psi_Z(\omega)</math>。

当然，我们并不局限于只把一个序数放进兼容里。兼容里可以有多个序数，举个例子：对<math>\psi_Z[\omega^2](\omega^2+n)</math>取极限，得到的并不是<math>\psi_Z[\omega^2](\omega^2+\omega)</math>，而是<math>\psi_Z[\omega^2,\omega^2+\omega](\omega^2+\omega)</math>。

从提升强度的角度考虑，我们当然希望设计一套规则，允许更多的兼容，从而最大限度地提升强度。但是，这样的规则并不是总是可行——考虑这样的规则：“任意一系列极限序数可以兼容”，那么我们有

<math>\psi_Z(\omega)\to\psi_Z[\omega](\psi_Z[\omega](\omega))\to\psi_Z[\omega](\psi_Z[\omega](2))\to\psi_Z[\omega](\omega\times{2})\to\psi_Z[\omega,\omega\times{2}](\psi_Z[\omega,\omega\times{2}](\omega\times{2}))\to\psi_Z[\omega,\omega\times{2}](\omega\times{3})\to\cdots</math>

无穷降链。

造成这种结果的原因在于，<math>[\omega,\omega\times{2},\omega\times{3},\cdots]</math>这些序数可以无限地兼容下去，形成'''无限兼容链'''。所以，我们希望的规则应该满足以下两个条件：

1. 允许兼容存在，以提升强度。

2. 不允许某些兼容存在，以避免无限兼容链。

由于实际分析和构造的需要，我们还有第三个条件：

3. 允许某些关键节点的特殊兼容存在。

基于上述的理念，作者给出了上文提到的那一系列规则。

''(未完待续。主要是补充一些概念的直观理解，比如“末项”之类的)''

== 一些展开 ==
(1)<math>\psi_Z(\omega)[2]</math>

注意到<math>[ ,\omega]</math>等价于<math>[\omega]</math>,存在,故原式=<math>\psi_Z[\omega](\psi_Z[\omega](\omega))</math>. 这印证了前文里伪链存在的必要.

(2)<math>\psi_Z[\omega](\omega\times 2)</math>[2]

让我们检验一下<math>[\omega,\omega\times 2]</math>是否存在.

<math>\omega</math>的末项为<math>\omega</math>,<math>\omega\times 2</math>的末项为<math>\omega</math>. 化简完后为<math>[\omega,\omega]</math>.

第一条:<math>\omega\leq\omega</math>，不行

第二条:<math>\omega</math>为简单序数，不行

第三条:<math>\omega\neq0</math>，不行

第四条:[n,m]=[1,1]，这是什么？

第五条:<math>\omega<\psi_Z[\omega](\omega)</math>,后面的第一个条件不成立,还不行

第六条:<math>\omega
\omega</math>同等,仍然不行

故<math>[\omega,\omega\times 2]</math>不存在,<math>\psi_Z[\omega](\omega\times2)[2]=\psi_Z[\omega](\omega[2])=\psi_Z[\omega](\omega+2).</math>这样避免了上文的无穷降链.

本质上讲,展开一个fffz重点在于判断伪链.

<math>[\omega^2,\omega^2+\omega]</math>是否存在?

<math>\omega^2+\omega</math>的末项为<math>\omega</math>,又<math>\omega^2>\omega</math>，存在.

== 衍生版本 ==
上文介绍的版本称为<math>\rm{Strong}</math>版本。除此之外，还有<math>\rm{Actual}</math>版本和<math>\rm{Weak}</math>版本，各版本区别如下：

=== <math>\rm{Actual}</math>版本 ===
1.除双元兼容第6条外，所有核都必须是关于<math>\omega</math>的
2.对于能合法而不必标准的写成“<math>\psi_Z</math>[#](X+n)，其中X的末项等于<math>\omega</math>，n是正整数，#是任意序列(可以为空)”的形式的序数A，需遵守下列要求：(k可取全体小于<math>\omega</math>的序数)
(1).当A处在[]中时，强制固定A关于<math>\omega</math>的k层核为A关于<math>\omega</math>的核(该核无视其它要求另算)
(2).除(1)之外，强制固定A关于<math>\omega</math>的k层核为A本身

=== <math>\rm{Weak}</math>版本 ===
1.双元兼容第5条失效
2.所有核都必须是-1层的

== 分析 ==

[[分类:记号]]

Fake Fake Fake Zeta

2025-07-27T08:00:36Z

Guogaoloogy：/* 一些展开 */

'''Fake Fake Fake Z(FFFZ)'''，是由 yahtzee 于 2022 年提出，后续由国内的大数研究者夏夜星空完善的'''前沿记号'''。

== 定义 ==
'''注意：FFFZ 的定义尚未完全确定，且有较为频繁的更改(大部分是修改一些小问题,比如简化、修错别字)。这里叙述最新一版(2025.7.26)的定义。'''

'''注意：部分概念的定义被修改为了等价版本。这些修改与原始文本之间是逻辑意义上的等价。'''

=== 主体规则 ===
FFFZ的合法表达式形如<math>\psi_Z[\#](n)</math>，极限基本列为<math>\{\psi_Z(0),\psi_Z(\psi_Z(0)),\psi_Z(\psi_Z(\psi_Z(0))),\cdots\}</math>。

# <math>\psi_Z(0)[s]=1</math>
# <math>\psi_Z[\#](n+1)[s]=\psi_Z[\#](n)\times{s}</math>
# 如果<math>[\#,m,n]</math>存在，<math>\psi_Z[\#,m](n)[s]=f^s(n)</math>，其中<math>f(x)=\psi_Z[\#,m,n](x)</math>
# 如果<math>[\#,m,n]</math>不存在，<math>\psi_Z[\#,m](n)[s]=\psi_Z[\#,m](n[t+s])</math>。其中<math>t</math>定义如下：
* 如果<math>m\geq{n}</math>，那么<math>t=0</math>。
* 如果<math>m<n</math>，那么<math>t</math>是满足<math>n[t]\geq{m}</math>的最小非负整数。

=== 化简规则 ===
* <math>\psi_Z[\#,m](n)=\psi_Z[\#](n)</math>，<math>m>n</math>
* <math>\psi_Z[](n)=\psi_Z(n)</math>

为了判定<math>[\#]</math>的存在性，定义以下概念：

=== 名称解释 ===
对于序列<math>\#=\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m</math>，记它的末项为<math>Endseq(\#)=\alpha_m</math>。

对于序数<math>\alpha</math>，写出它的Cantor范式<math>\sum_{k=1}^{n} \omega^{\alpha_k}</math>。称<math>\omega^{\alpha_n}</math>为<math>\alpha</math>的末项。

如果<math>\alpha</math>等于它的末项，称<math>\alpha</math>为'''简单序数'''，否则为'''复合序数'''。

对于非零简单序数<math>\alpha</math>，它形如<math>\alpha=\psi_Z[\#](n)</math>：
# 如果<math>n</math>是后继序数，称<math>\alpha</math>是<math>+</math>型极限，或0级极限，等级为0。
# 如果<math>[\#,n]</math>不存在，称<math>\alpha</math>是<math>\omega</math>型极限，或1级极限，等级为1。
# 如果<math>[\#,n]</math>存在，称<math>\alpha</math>是<math>\varepsilon</math>型极限，或2级极限，等级为2。

对于两个非零简单序数<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>：
# 如果<math>\alpha</math>的等级大于<math>\beta</math>的等级，称<math>\alpha</math>比<math>\beta</math>高等。
# 如果<math>\alpha</math>的等级等于<math>\beta</math>的等级，称<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>同等。
# 如果<math>\alpha</math>的等级小于<math>\beta</math>的等级，称<math>\alpha</math>比<math>\beta</math>低等。

对于非零简单序数<math>\alpha</math>，它形如<math>\alpha=\psi_Z[\#,m](n)</math>：
# 如果<math>[\#,m,n]</math>不存在，则<math>\alpha</math>的根为<math>n</math>。
# 如果<math>[\#,m,n]</math>存在，则<math>\alpha</math>的根为<math>m</math>。

对于非零简单序数<math>\alpha</math>，它形如<math>\alpha=\psi_Z(n)</math>，则它的根为<math>n</math>。

对于序数<math>\alpha</math>：
# 如果它是复合序数，它形如<math>\sum_{k=1}^{n} \omega^{\alpha_k}</math>，则每个<math>\omega^{\alpha_k}</math>被它直接包含。
# 如果它是非零简单序数，它形如<math>\psi_Z[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m](n)</math>，则每个<math>\alpha_k</math>均被它直接包含，<math>n</math>也被它直接包含。
#如果它是0，没有任何序数被它直接包含。

<math>\alpha</math>直接包含<math>\beta</math>，记为<math>dInc(\beta,\alpha)</math>。

接下来是几个较为复杂的定义。

==== 末项，核与层数 ====
对于非零序数<math>\alpha</math>和简单序数<math>s</math>，<math>\alpha</math>关于<math>s</math>的末项是以下两个序数<math>u</math>中较大者：
* <math>u</math>是满足“<math>u<s</math>，且存在序数<math>v</math>使<math>v+u=\alpha</math>”的最大序数。
* <math>u</math>是满足“<math>u</math>是简单序数且存在序数<math>w</math>，使得<math>\alpha=u\times{w}</math>”的最大序数。
* 如果上述两个规则中某条规则没有任何序数<math>u</math>能够满足，那么忽视那条规则。

<math>\alpha</math>关于<math>s</math>的末项记为<math>End(\alpha,s)</math>。特别地，<math>\alpha</math>关于<math>0</math>的末项与上文定义的末项等价，记为<math>End(\alpha)</math>。

对于序数<math>\alpha</math>，序数<math>s</math>，不小于-1的整数<math>k</math>，<math>\alpha</math>关于<math>s</math>的<math>k</math>层核，记为<math>Ker(\alpha,s,k)</math>，定义如下：
* <math>Ker(\alpha,s,-1)=\alpha</math>
* <math>Ker(0,s,k)=0</math>

以下假设<math>\alpha</math>非零，<math>k</math>是非负整数：
* <math>Ker(\alpha,s,k)=Ker(End(\alpha),End(s),k)</math>

以下假设<math>\alpha</math>和<math>s</math>都是非零简单序数，<math>k</math>是非负整数，<math>\alpha</math>形如<math>\psi_Z[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m](n)</math>：
* <math>Ker(\alpha,s,0)=\psi_Z[End(\alpha_1,s),End(\alpha_2,s),\cdots,End(\alpha_m,s)](End(n,s))</math>
* <math>Ker(\alpha,s,k+1)=Ker(\psi_Z[Ker(\alpha_1,s,k),Ker(\alpha_2,s,k),\cdots,Ker(\alpha_m,s,k)](Ker(n,s,k)),s,0)</math>

对于序数<math>\alpha</math>，其层数是一个非负整数，记为<math>Lev(\alpha)</math>，定义如下：

* <math>Lev(0)=0</math>
* <math>Lev(\alpha)=max\{Lev(\beta)\mid{dInc(\beta,\alpha)}\}+1</math>

层数可以简单的理解为“ψZ嵌套的次数”

对于非零序数<math>\alpha</math>，序数<math>s</math>，<math>\alpha</math>关于<math>s</math>的核记为<math>Ker(\alpha,s)</math>，它定义为<math>Ker(\alpha,s)=Ker(\alpha,s,Lev(\alpha))</math>。

特别地，<math>\alpha</math>的核记为<math>Ker(\alpha)</math>，它定义为<math>Ker(\alpha)=Ker(\alpha,0,Lev(\alpha))</math>。

=== 双元兼容 ===
对于序数<math>\alpha=\psi_Z[\#](n)</math>和<math>\beta=\psi_Z[\&](m)</math>，依次进行以下判定：
# 如果<math>\alpha>\beta</math>，则<math>[\alpha,\beta]</math>存在。
# 如果<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>中至少有一个复合序数，则<math>[\alpha,\beta]</math>存在当且仅当<math>[End(\alpha),End(\beta)]</math>存在。
# 如果<math>\alpha=0</math>，则<math>[\alpha,\beta]</math>不存在。
# 当<math>\#=\&</math>时，<math>[\alpha,\beta]</math>存在当且仅当<math>[n,m]</math>存在；否则，如果存在序列<math>\%</math>使得<math>End(Endseq(\%))</math>与<math>End(Endseq(\#))</math>，<math>End(Endseq(\&))</math>之一相等，且存在序数<math>x</math>和序数<math>y</math>使得<math>\alpha=\psi_Z[\%](x)</math>且<math>\beta=\psi_Z[\%](y)</math>，则若<math>[x,y]</math>存在那么<math>[\alpha,\beta]</math>存在
# 如果<math>\beta\geq\psi_Z[\alpha](\alpha)</math>，则<math>[\alpha,\beta]</math>存在当且仅当<math>[\alpha,\beta</math>的根<math>]</math>存在；否则，如果存在简单序数<math>s</math>和不小于-1的整数<math>k</math>，使得<math>Ker(\beta,s,k)\geq\psi_Z[Ker(\alpha,s,k)](Ker(\alpha,s,k))</math>且不存在非零序数<math>x</math>和序列<math>\%</math>使得<math>Ker(\beta,s,k)=\psi_Z[Ker(\alpha,s,k)\times\omega,\%](Ker(\alpha,s,k)\times{x})</math>，则当<math>[\alpha,\beta</math>的根<math>]</math>存在时<math>[\alpha,\beta]</math>存在
# 如果存在两个序数<math>A</math>，<math>B</math>，<math>Ker(A)=Ker(\alpha)</math>，<math>Ker(B)=Ker(\beta)</math>，<math>A</math>属于<math>B</math>基本列，且<math>\alpha</math>比<math>\beta</math>高等，则<math>[\alpha,\beta]</math>存在
# 如果通过上述规则均无法说明<math>[\alpha,\beta]</math>存在，则<math>[\alpha,\beta]</math>不存在

=== 多元兼容 ===
对于序列<math>\#=\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m</math>，如果任取满足<math>k>j</math>的<math>\alpha=\alpha_j</math>，<math>\beta=\alpha_k</math>都有'''以下两个条件至少成立一个'''，则<math>[\#]</math>存在。

条件I：以下两个条件至少成立一个：
# <math>[\alpha,\beta]</math>存在
# <math>k<m</math>且存在满足<math>k>l</math>的<math>\gamma=\alpha_l</math>，使得<math>[\gamma,\beta]</math>不存在

条件II：对于任何满足<math>k<l</math>的<math>\gamma=\alpha_l</math>，存在简单序数<math>s</math>，不小于-1的整数<math>n</math>，使得以下两个条件同时成立：
# <math>[\beta,\gamma]</math>存在，且<math>Ker(\alpha,s,n)>Ker(\beta,s,n)</math>
#

''(好吧还没写完(因为看不懂)。除了这条规则(平移转移)，特殊规则以及各种优先级，还要补不少定义域限制，比如“m为序数或空”之类)''

== 直观解释 ==
FFFZ的前几条规则是
# <math>\psi_Z(0)[s]=1</math>
# <math>\psi_Z[\#](n+1)[s]=\psi_Z[\#](n)\times{s}</math>

类似于BOCF的规则。为了提升强度，我们需要引入“兼容”的概念。

“兼容”就是中括号里的东西(有时也叫“伪链”，伪即Fake)，通过类似于“挡刀”的方式提升强度。举个例子：对<math>\psi_Z(n)</math>取极限，得到的并不是<math>\psi_Z(\omega)</math>，而是<math>\psi_Z[\omega](\omega)</math>，中括号内出现了挡刀的<math>\omega</math>。只有达到<math>\alpha\to\psi_Z[\omega](\alpha)</math>的第一个不动点时，才能得到<math>\psi_Z(\omega)</math>。

当然，我们并不局限于只把一个序数放进兼容里。兼容里可以有多个序数，举个例子：对<math>\psi_Z[\omega^2](\omega^2+n)</math>取极限，得到的并不是<math>\psi_Z[\omega^2](\omega^2+\omega)</math>，而是<math>\psi_Z[\omega^2,\omega^2+\omega](\omega^2+\omega)</math>。

从提升强度的角度考虑，我们当然希望设计一套规则，允许更多的兼容，从而最大限度地提升强度。但是，这样的规则并不是总是可行——考虑这样的规则：“任意一系列极限序数可以兼容”，那么我们有

<math>\psi_Z(\omega)\to\psi_Z[\omega](\psi_Z[\omega](\omega))\to\psi_Z[\omega](\psi_Z[\omega](2))\to\psi_Z[\omega](\omega\times{2})\to\psi_Z[\omega,\omega\times{2}](\psi_Z[\omega,\omega\times{2}](\omega\times{2}))\to\psi_Z[\omega,\omega\times{2}](\omega\times{3})\to\cdots</math>

无穷降链。

造成这种结果的原因在于，<math>[\omega,\omega\times{2},\omega\times{3},\cdots]</math>这些序数可以无限地兼容下去，形成'''无限兼容链'''。所以，我们希望的规则应该满足以下两个条件：

1. 允许兼容存在，以提升强度。

2. 不允许某些兼容存在，以避免无限兼容链。

由于实际分析和构造的需要，我们还有第三个条件：

3. 允许某些关键节点的特殊兼容存在。

基于上述的理念，作者给出了上文提到的那一系列规则。

''(未完待续。主要是补充一些概念的直观理解，比如“末项”之类的)''

== 一些展开 ==
(1)<math>\psi_Z(\omega)[2]</math>

注意到<math>[ ,\omega]</math>等价于<math>[\omega]</math>,存在,故原式=<math>\psi_Z[\omega](\psi_Z[\omega](\omega))</math>. 这印证了前文里伪链存在的必要.

(2)<math>\psi_Z[\omega](\omega\times 2)</math>[2]

让我们检验一下<math>[\omega,\omega\times 2]</math>是否存在.

<math>\omega</math>的末项为<math>\omega</math>,<math>\omega\times 2</math>的末项为<math>\omega</math>. 化简完后为<math>[\omega,\omega]</math>.

第一条:<math>\omega\leq\omega</math>，不行

第二条:<math>\omega</math>为简单序数，不行

第三条:<math>\omega\neq0</math>，不行

第四条:[n,m]=[1,1]，这是什么？

第五条:<math>\omega<\psi_Z[\omega](\omega)</math>,后面的第一个条件不成立,还不行

第六条:<math>\omega
\omega</math>同等,仍然不行

故<math>[\omega,\omega\times 2]</math>不存在,<math>\psi_Z[\omega](\omega\times2)[2]=\psi_Z[\omega](\omega[2])=\psi_Z[\omega](\omega+2).</math>这样避免了上文的无穷降链

== 衍生版本 ==
上文介绍的版本称为<math>\rm{Strong}</math>版本。除此之外，还有<math>\rm{Actual}</math>版本和<math>\rm{Weak}</math>版本，各版本区别如下：

=== <math>\rm{Actual}</math>版本 ===
1.除双元兼容第6条外，所有核都必须是关于<math>\omega</math>的
2.对于能合法而不必标准的写成“<math>\psi_Z</math>[#](X+n)，其中X的末项等于<math>\omega</math>，n是正整数，#是任意序列(可以为空)”的形式的序数A，需遵守下列要求：(k可取全体小于<math>\omega</math>的序数)
(1).当A处在[]中时，强制固定A关于<math>\omega</math>的k层核为A关于<math>\omega</math>的核(该核无视其它要求另算)
(2).除(1)之外，强制固定A关于<math>\omega</math>的k层核为A本身

=== <math>\rm{Weak}</math>版本 ===
1.双元兼容第5条失效
2.所有核都必须是-1层的

== 分析 ==

[[分类:记号]]

Fake Fake Fake Zeta

2025-07-27T07:41:58Z

Guogaoloogy：例子*2

'''Fake Fake Fake Z(FFFZ)'''，是由 yahtzee 于 2022 年提出，后续由国内的大数研究者夏夜星空完善的'''前沿记号'''。

== 定义 ==
'''注意：FFFZ 的定义尚未完全确定，且有较为频繁的更改(大部分是修改一些小问题,比如简化、修错别字)。这里叙述最新一版(2025.7.26)的定义。'''

'''注意：部分概念的定义被修改为了等价版本。这些修改与原始文本之间是逻辑意义上的等价。'''

=== 主体规则 ===
FFFZ的合法表达式形如<math>\psi_Z[\#](n)</math>，极限基本列为<math>\{\psi_Z(0),\psi_Z(\psi_Z(0)),\psi_Z(\psi_Z(\psi_Z(0))),\cdots\}</math>。

# <math>\psi_Z(0)[s]=1</math>
# <math>\psi_Z[\#](n+1)[s]=\psi_Z[\#](n)\times{s}</math>
# 如果<math>[\#,m,n]</math>存在，<math>\psi_Z[\#,m](n)[s]=f^s(n)</math>，其中<math>f(x)=\psi_Z[\#,m,n](x)</math>
# 如果<math>[\#,m,n]</math>不存在，<math>\psi_Z[\#,m](n)[s]=\psi_Z[\#,m](n[t+s])</math>。其中<math>t</math>定义如下：
* 如果<math>m\geq{n}</math>，那么<math>t=0</math>。
* 如果<math>m<n</math>，那么<math>t</math>是满足<math>n[t]\geq{m}</math>的最小非负整数。

=== 化简规则 ===
* <math>\psi_Z[\#,m](n)=\psi_Z[\#](n)</math>，<math>m>n</math>
* <math>\psi_Z[](n)=\psi_Z(n)</math>

为了判定<math>[\#]</math>的存在性，定义以下概念：

=== 名称解释 ===
对于序列<math>\#=\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m</math>，记它的末项为<math>Endseq(\#)=\alpha_m</math>。

对于序数<math>\alpha</math>，写出它的Cantor范式<math>\sum_{k=1}^{n} \omega^{\alpha_k}</math>。称<math>\omega^{\alpha_n}</math>为<math>\alpha</math>的末项。

如果<math>\alpha</math>等于它的末项，称<math>\alpha</math>为'''简单序数'''，否则为'''复合序数'''。

对于非零简单序数<math>\alpha</math>，它形如<math>\alpha=\psi_Z[\#](n)</math>：
# 如果<math>n</math>是后继序数，称<math>\alpha</math>是<math>+</math>型极限，或0级极限，等级为0。
# 如果<math>[\#,n]</math>不存在，称<math>\alpha</math>是<math>\omega</math>型极限，或1级极限，等级为1。
# 如果<math>[\#,n]</math>存在，称<math>\alpha</math>是<math>\varepsilon</math>型极限，或2级极限，等级为2。

对于两个非零简单序数<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>：
# 如果<math>\alpha</math>的等级大于<math>\beta</math>的等级，称<math>\alpha</math>比<math>\beta</math>高等。
# 如果<math>\alpha</math>的等级等于<math>\beta</math>的等级，称<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>同等。
# 如果<math>\alpha</math>的等级小于<math>\beta</math>的等级，称<math>\alpha</math>比<math>\beta</math>低等。

对于非零简单序数<math>\alpha</math>，它形如<math>\alpha=\psi_Z[\#,m](n)</math>：
# 如果<math>[\#,m,n]</math>不存在，则<math>\alpha</math>的根为<math>n</math>。
# 如果<math>[\#,m,n]</math>存在，则<math>\alpha</math>的根为<math>m</math>。

对于非零简单序数<math>\alpha</math>，它形如<math>\alpha=\psi_Z(n)</math>，则它的根为<math>n</math>。

对于序数<math>\alpha</math>：
# 如果它是复合序数，它形如<math>\sum_{k=1}^{n} \omega^{\alpha_k}</math>，则每个<math>\omega^{\alpha_k}</math>被它直接包含。
# 如果它是非零简单序数，它形如<math>\psi_Z[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m](n)</math>，则每个<math>\alpha_k</math>均被它直接包含，<math>n</math>也被它直接包含。
#如果它是0，没有任何序数被它直接包含。

<math>\alpha</math>直接包含<math>\beta</math>，记为<math>dInc(\beta,\alpha)</math>。

接下来是几个较为复杂的定义。

==== 末项，核与层数 ====
对于非零序数<math>\alpha</math>和简单序数<math>s</math>，<math>\alpha</math>关于<math>s</math>的末项是以下两个序数<math>u</math>中较大者：
* <math>u</math>是满足“<math>u<s</math>，且存在序数<math>v</math>使<math>v+u=\alpha</math>”的最大序数。
* <math>u</math>是满足“<math>u</math>是简单序数且存在序数<math>w</math>，使得<math>\alpha=u\times{w}</math>”的最大序数。
* 如果上述两个规则中某条规则没有任何序数<math>u</math>能够满足，那么忽视那条规则。

<math>\alpha</math>关于<math>s</math>的末项记为<math>End(\alpha,s)</math>。特别地，<math>\alpha</math>关于<math>0</math>的末项与上文定义的末项等价，记为<math>End(\alpha)</math>。

对于序数<math>\alpha</math>，序数<math>s</math>，不小于-1的整数<math>k</math>，<math>\alpha</math>关于<math>s</math>的<math>k</math>层核，记为<math>Ker(\alpha,s,k)</math>，定义如下：
* <math>Ker(\alpha,s,-1)=\alpha</math>
* <math>Ker(0,s,k)=0</math>

以下假设<math>\alpha</math>非零，<math>k</math>是非负整数：
* <math>Ker(\alpha,s,k)=Ker(End(\alpha),End(s),k)</math>

以下假设<math>\alpha</math>和<math>s</math>都是非零简单序数，<math>k</math>是非负整数，<math>\alpha</math>形如<math>\psi_Z[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m](n)</math>：
* <math>Ker(\alpha,s,0)=\psi_Z[End(\alpha_1,s),End(\alpha_2,s),\cdots,End(\alpha_m,s)](End(n,s))</math>
* <math>Ker(\alpha,s,k+1)=Ker(\psi_Z[Ker(\alpha_1,s,k),Ker(\alpha_2,s,k),\cdots,Ker(\alpha_m,s,k)](Ker(n,s,k)),s,0)</math>

对于序数<math>\alpha</math>，其层数是一个非负整数，记为<math>Lev(\alpha)</math>，定义如下：

* <math>Lev(0)=0</math>
* <math>Lev(\alpha)=max\{Lev(\beta)\mid{dInc(\beta,\alpha)}\}+1</math>

层数可以简单的理解为“ψZ嵌套的次数”

对于非零序数<math>\alpha</math>，序数<math>s</math>，<math>\alpha</math>关于<math>s</math>的核记为<math>Ker(\alpha,s)</math>，它定义为<math>Ker(\alpha,s)=Ker(\alpha,s,Lev(\alpha))</math>。

特别地，<math>\alpha</math>的核记为<math>Ker(\alpha)</math>，它定义为<math>Ker(\alpha)=Ker(\alpha,0,Lev(\alpha))</math>。

=== 双元兼容 ===
对于序数<math>\alpha=\psi_Z[\#](n)</math>和<math>\beta=\psi_Z[\&](m)</math>，依次进行以下判定：
# 如果<math>\alpha>\beta</math>，则<math>[\alpha,\beta]</math>存在。
# 如果<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>中至少有一个复合序数，则<math>[\alpha,\beta]</math>存在当且仅当<math>[End(\alpha),End(\beta)]</math>存在。
# 如果<math>\alpha=0</math>，则<math>[\alpha,\beta]</math>不存在。
# 当<math>\#=\&</math>时，<math>[\alpha,\beta]</math>存在当且仅当<math>[n,m]</math>存在；否则，如果存在序列<math>\%</math>使得<math>End(Endseq(\%))</math>与<math>End(Endseq(\#))</math>，<math>End(Endseq(\&))</math>之一相等，且存在序数<math>x</math>和序数<math>y</math>使得<math>\alpha=\psi_Z[\%](x)</math>且<math>\beta=\psi_Z[\%](y)</math>，则若<math>[x,y]</math>存在那么<math>[\alpha,\beta]</math>存在
# 如果<math>\beta\geq\psi_Z[\alpha](\alpha)</math>，则<math>[\alpha,\beta]</math>存在当且仅当<math>[\alpha,\beta</math>的根<math>]</math>存在；否则，如果存在简单序数<math>s</math>和不小于-1的整数<math>k</math>，使得<math>Ker(\beta,s,k)\geq\psi_Z[Ker(\alpha,s,k)](Ker(\alpha,s,k))</math>且不存在非零序数<math>x</math>和序列<math>\%</math>使得<math>Ker(\beta,s,k)=\psi_Z[Ker(\alpha,s,k)\times\omega,\%](Ker(\alpha,s,k)\times{x})</math>，则当<math>[\alpha,\beta</math>的根<math>]</math>存在时<math>[\alpha,\beta]</math>存在
# 如果存在两个序数<math>A</math>，<math>B</math>，<math>Ker(A)=Ker(\alpha)</math>，<math>Ker(B)=Ker(\beta)</math>，<math>A</math>属于<math>B</math>基本列，且<math>\alpha</math>比<math>\beta</math>高等，则<math>[\alpha,\beta]</math>存在
# 如果通过上述规则均无法说明<math>[\alpha,\beta]</math>存在，则<math>[\alpha,\beta]</math>不存在

=== 多元兼容 ===
对于序列<math>\#=\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m</math>，如果任取满足<math>k>j</math>的<math>\alpha=\alpha_j</math>，<math>\beta=\alpha_k</math>都有'''以下两个条件至少成立一个'''，则<math>[\#]</math>存在。

条件I：以下两个条件至少成立一个：
# <math>[\alpha,\beta]</math>存在
# <math>k<m</math>且存在满足<math>k>l</math>的<math>\gamma=\alpha_l</math>，使得<math>[\gamma,\beta]</math>不存在

条件II：对于任何满足<math>k<l</math>的<math>\gamma=\alpha_l</math>，存在简单序数<math>s</math>，不小于-1的整数<math>n</math>，使得以下两个条件同时成立：
# <math>[\beta,\gamma]</math>存在，且<math>Ker(\alpha,s,n)>Ker(\beta,s,n)</math>
#

''(好吧还没写完(因为看不懂)。除了这条规则(平移转移)，特殊规则以及各种优先级，还要补不少定义域限制，比如“m为序数或空”之类)''

== 直观解释 ==
FFFZ的前几条规则是
# <math>\psi_Z(0)[s]=1</math>
# <math>\psi_Z[\#](n+1)[s]=\psi_Z[\#](n)\times{s}</math>

类似于BOCF的规则。为了提升强度，我们需要引入“兼容”的概念。

“兼容”就是中括号里的东西(有时也叫“伪链”，伪即Fake)，通过类似于“挡刀”的方式提升强度。举个例子：对<math>\psi_Z(n)</math>取极限，得到的并不是<math>\psi_Z(\omega)</math>，而是<math>\psi_Z[\omega](\omega)</math>，中括号内出现了挡刀的<math>\omega</math>。只有达到<math>\alpha\to\psi_Z[\omega](\alpha)</math>的第一个不动点时，才能得到<math>\psi_Z(\omega)</math>。

当然，我们并不局限于只把一个序数放进兼容里。兼容里可以有多个序数，举个例子：对<math>\psi_Z[\omega^2](\omega^2+n)</math>取极限，得到的并不是<math>\psi_Z[\omega^2](\omega^2+\omega)</math>，而是<math>\psi_Z[\omega^2,\omega^2+\omega](\omega^2+\omega)</math>。

从提升强度的角度考虑，我们当然希望设计一套规则，允许更多的兼容，从而最大限度地提升强度。但是，这样的规则并不是总是可行——考虑这样的规则：“任意一系列极限序数可以兼容”，那么我们有

<math>\psi_Z(\omega)\to\psi_Z[\omega](\psi_Z[\omega](\omega))\to\psi_Z[\omega](\psi_Z[\omega](2))\to\psi_Z[\omega](\omega\times{2})\to\psi_Z[\omega,\omega\times{2}](\psi_Z[\omega,\omega\times{2}](\omega\times{2}))\to\psi_Z[\omega,\omega\times{2}](\omega\times{3})\to\cdots</math>

无穷降链。

造成这种结果的原因在于，<math>[\omega,\omega\times{2},\omega\times{3},\cdots]</math>这些序数可以无限地兼容下去，形成'''无限兼容链'''。所以，我们希望的规则应该满足以下两个条件：

1. 允许兼容存在，以提升强度。

2. 不允许某些兼容存在，以避免无限兼容链。

由于实际分析和构造的需要，我们还有第三个条件：

3. 允许某些关键节点的特殊兼容存在。

基于上述的理念，作者给出了上文提到的那一系列规则。

''(未完待续。主要是补充一些概念的直观理解，比如“末项”之类的)''

== 一些展开 ==
(1)<math>\psi_Z(\omega)[2]</math>

注意到<math>[ ,\omega]</math>等价于<math>[\omega]</math>,存在,故原式=<math>\psi_Z[\omega](\psi_Z[\omega](\omega))</math>. 这印证了前文里伪链存在的必要.

(2)<math>\psi_Z[\omega](\omega\times 2)</math>

让我们检验一下<math>[\omega,\omega\times 2]</math>是否存在.

<math>\omega</math>的末项为<math>\omega</math>,<math>\omega\times 2</math>的末项为<math>\omega</math>. 化简完后为<math>[\omega,\omega]</math>. 补兑,用第4条化简后成了<math>[1,1]</math>

== 衍生版本 ==
上文介绍的版本称为<math>\rm{Strong}</math>版本。除此之外，还有<math>\rm{Actual}</math>版本和<math>\rm{Weak}</math>版本，各版本区别如下：

=== <math>\rm{Actual}</math>版本 ===
1.除双元兼容第6条外，所有核都必须是关于<math>\omega</math>的
2.对于能合法而不必标准的写成“<math>\psi_Z</math>[#](X+n)，其中X的末项等于<math>\omega</math>，n是正整数，#是任意序列(可以为空)”的形式的序数A，需遵守下列要求：(k可取全体小于<math>\omega</math>的序数)
(1).当A处在[]中时，强制固定A关于<math>\omega</math>的k层核为A关于<math>\omega</math>的核(该核无视其它要求另算)
(2).除(1)之外，强制固定A关于<math>\omega</math>的k层核为A本身

=== <math>\rm{Weak}</math>版本 ===
1.双元兼容第5条失效
2.所有核都必须是-1层的

== 分析 ==

[[分类:记号]]

讨论:华严大数

2025-07-26T02:26:40Z

Guogaoloogy：/* 😰 */ 回复

== 😰 ==

😰 [[用户:Phyrion|Phyrion]]（[[用户讨论:Phyrion|留言]]） 2025年7月20日 (日) 19:49 (CST)

:想出这个的要请😰了 [[用户:Guogaoloogy|Guogaoloogy]]（[[用户讨论:Guogaoloogy|留言]]） 2025年7月26日 (六) 10:26 (CST)

Fake Fake Fake Zeta

2025-07-25T13:14:13Z

Guogaoloogy：

Fake Fake Fake Zeta,又名Fake Fake Fake Z/fffz/f3z,由Yathzee发明于2022年,由@夏夜星空(QQ上)完善.

当前为1.4.1l版,下为其定义(strong版,$,&,%为序列,m,n等为数):

<math>(1)\psi_Z(0)=1</math>

这一条定义了<math>\psi_Z</math>的初始值.

<math>(2)\psi_Z(n+1)[s]=\psi_Z(n)\times s</math>

它蕴含了<math>\psi_Z(n+1)=\psi_Z(n)\times\omega</math>

<math>(3-1)\psi_Z [$](n)[s]=\psi_Z[$,n](\psi_Z[$](n)[s-1]),\psi_Z[$](n)[0]=n(If[$,n]exist)</math>

这里多涉及了一个概念：伪链，即<math>[$]</math>部分. 它要么存在，要么不存在，可以说的上贯穿全fffz定义了.

<math>(3-2-1)\psi_Z[$,m](n)[s]=\psi_Z[$,m](n[min\{x|n[x]\geq m\}+s)(If [$,m,n]don't\,exist,m<n)</math>

这里m必存在:a为极限序数时[a]恒存在.

<math>(3-2-2)\psi_Z[$,m](n)[s]=\psi_Z[$,m](n[s])(If[$,m,n]don't\,exist,m\geq n)</math>

此外还有两条化简规则:

<math>(4)\psi_Z[$,m,%](n)=\psi_Z[$](n)(m>n)</math>,%单调递增

<math>(5)\psi_Z[](n)=\psi_Z(n)</math>

这两条用于化简到后面极长的伪链.

主体部分结束,下为判断伪链.

先说几条重点:

(1)[]存在.

(2)对极限序数a,[a]存在.

(3)在序列中插入空格不影响,如:[a,b]存在,那[a, ,b]存在.

(4)若[a,b,……]存在,则a,b等均为极限序数

'''1:名词阐述'''

对<math>a=\psi_Z[%](n)</math>:

1.n为后继序数,a为+型极限,等级为0;

2.[%,n]不存在,a为ω型极限,等级为1;

2.[%,n]存在,a为ε型极限,等级为2.

Fake Fake Fake Zeta

2025-07-25T08:24:11Z

Guogaoloogy：

Fake Fake Fake Zeta

2025-07-25T07:36:24Z

Guogaoloogy：

Fake Fake Fake Zeta,又名Fake Fake Fake Z/fffz/f3z,由Yathzee发明于2024年,由@夏夜星空(QQ上)完善.

当前为1.4.1l版,下为其定义(strong版,$,&,%为序列,m,n等为数):

<math>(1)\psi_Z(0)=1</math>

这一条定义了<math>\psi_Z</math>的初始值.

<math>(2)\psi_Z(n+1)[s]=\psi_Z(n)\times s</math>

它蕴含了<math>\psi_Z(n+1)=\psi_Z(n)\times\omega</math>

<math>(3-1)\psi_Z [$](n)[s]=\psi_Z[$,n](\psi_Z[$](n)[s-1]),\psi_Z[$](n)[0]=n(If[$,n]exist)</math>

这里多涉及了一个概念：伪链，即<math>[$]</math>部分. 它要么存在，要么不存在，可以说的上贯穿全fffz定义了.

<math>(3-2-1)\psi_Z[$,m](n)[s]=\psi_Z[$,m](n[min\{x|n[x]\geq m\}+s)(If [$,m,n]don't\,exist,m<n)</math>

这里m必存在:a为极限序数时[a]恒存在.

<math>(3-2-2)\psi_Z[$,m](n)[s]=\psi_Z[$,m](n[s])(If[$,m,n]don't\,exist,m\geq n)</math>

此外还有两条化简规则:

<math>(4)\psi_Z[$,m,%](n)=\psi_Z[$](n)(m>n)</math>,%单调递增

<math>(5)\psi_Z[](n)=\psi_Z(n)</math>

这两条用于化简到后面极长的伪链.

主体部分结束,下为判断伪链.

Fake Fake Fake Zeta

2025-07-24T12:52:44Z

Guogaoloogy：

Fake Fake Fake Zeta,又名Fake Fake Fake Z/fffz/f3z,由Yathzee发明于2024年,由@夏夜星空(QQ上)完善.

下为其定义(strong版):

<math>(1)\psi_Z(0)=1</math>

这一条定义了ψ<math>\psi_Z</math>的初始值.

<math>(2)\psi_Z(n+1)[s]=\psi_Z(n)\times s</math>

它蕴含了<math>\psi_Z(n+1)=\psi_Z(n)\times\omega</math>

<math>(3-1)\psi_Z [$](n)[s]=\psi_Z[$,n](\psi_Z[$](n)[s-1]),\psi_Z[$](n)[0]=n(If[$,n]exist)</math>

这里多涉及了一个概念：伪链，即<math>[$]</math>部分. 它要么存在，要么不存在，可以说的上贯穿全fffz定义了.

<math>(3-2-1)\psi_Z[$,m](n)[s]=\psi_Z[$,m](n[min\{x|n[x]\geq m\}+s)(If [$,m,n]don't\,exist,m<n)</math>

这里m必存在:[a]恒存在.

Fake Fake Fake Zeta

2025-07-24T12:50:29Z

Guogaoloogy：

Fake Fake Fake Zeta,又名Fake Fake Fake Z/fffz/f3z,由Yathzee发明于2024年,由@夏夜星空(QQ上)完善.

下为其定义(strong版):

<math>(1)\psi_Z(0)=1</math>

这很容易理解，即<math>\psi_Z</math>的初始值.

<math>(2)\psi_Z(n+1)[s]=\psi_Z(n)\times s</math>

它蕴含了<math>\psi_Z(n+1)=\psi_Z(n)\times\omega</math>

<math>(3-1)\psi_Z [$](n)[s]=\psi_Z[$,n](\psi_Z[$](n)[s-1]),\psi_Z[$](n)[0]=n(If[$,n]exist)</math>

这里多涉及了一个概念：伪链，即<math>[$]</math>部分. 它要么存在，要么不存在，可以说的上贯穿全fffz定义了.

<math>(3-2-1)\psi_Z[$,m](n)[s]=\psi_Z[$,m](n[min\{x|n[x]\geq m\}+s)(If [$,m,n]don't\,exist,m<n)</math>

Fake Fake Fake Zeta

2025-07-24T12:29:58Z

Guogaoloogy：

Fake Fake Fake Zeta,又名Fake Fake Fake Z/fffz/f3z,由Yathzee发明于2024年,由@夏夜星空(QQ上)完善.

下为其定义(我做了少许改动):

<math>(1)\psi_Z(0)=1</math>

这很容易理解，即<math>\psi_Z</math>的初始值.

<math>(2)\psi_Z(n+1)[s]=\psi_Z(n)\times s</math>

它蕴含了<math>\psi_Z(n+1)=\psi_Z(n)\times\omega</math>

<math>(3-1)\psi_Z [$](n)[s]=\psi_Z[$,n](\psi_Z[$](n)[s-1]),\psi_Z[$](n)[0]=n(If[$,n]exist)</math>

这里多涉及了一个概念：伪链，即<math>[$]</math>部分. 它要么存在，要么不存在，可以说的上贯穿全fffz定义了.

<math>(3-2-1)\psi_Z[$,m](n)[s]=\psi_Z[$,m](n[min\{x|n[x]\geq m\}+s)(If [$,m,n]don't\,exist,m<n)</math>

Fake Fake Fake Zeta

2025-07-24T12:10:42Z

Guogaoloogy：

Fake Fake Fake Zeta

2025-07-24T12:09:48Z

Guogaoloogy：

Fake Fake Fake Zeta,又名Fake Fake Fake Z/fffz/f3z,由Yathzee发明于2024年,由@夏夜星空(QQ上)完善.

下为其定义(我做了少许改动):

<math>(1)\psi_Z(0)=1</math>

这很容易理解，即<math>\psi_Z</math>的初始值.

<math>(2)\psi_Z(n+1)[s]=\psi_Z(n)\times s</math>

它蕴含了<math>\psi_Z(n+1)=\psi_Z(n)\times\omega</math>，不难理解

<math>(3-1)\psi_Z [$](n)[s]=\psi_Z[$,n](\psi_Z[$](n)[s-1]),\psi_Z[$](n)[0]=n(If[$,n]exist)</math>

这里多涉及了一个概念：伪链，即<math>[$]</math>部分. 它要么存在，要么不存在，可以说的上贯穿全fffz定义了.

Fake Fake Fake Zeta

2025-07-24T11:51:33Z

Guogaoloogy：fffz

Fake Fake Fake Zeta，又名Fake Fake Fake Z/fffz/f3z，由Yathzee发明于2024年

投影序数

2025-07-24T08:16:42Z

Guogaoloogy：

投影序数(projection)是test_alpha0创造的非递归记号。投影序数是目前为止最方便的强大非递归序数表达方式，伴生的限制则是——它很有可能永远无法良定义（至少在比较小的序数处如此）。但即使如此，它可以作为非递归序数和递归记号的交接桥梁，并在国内大数社群广泛地被使用。

== 定义 ==

=== 第一个2-投影序数 ===
我们定义1-投影序数(<math>1-projection</math>)就是传统的非递归序数。

<math>2-projection</math>是一系列很大的非递归序数。它们被认为是<math>a<_{\Sigma_1}Ord</math>.第n个<math>2-projection</math>被写作<math>a_n</math>.现在让我们把<math>a</math>放进[[序数坍缩函数|OCF]]里：

* <math>\psi_a(0)=\Omega</math>
* <math>\psi_a(X+1)=\psi_a(X)\times\omega</math>
* <math>\psi_a(X\sim a)=\beta\rightarrow\psi(X\sim\beta) \text{不动点}</math>，其中~是任意运算或者是任意递归函数。

到这里，<math>\psi_a</math>和<math>\psi_{\Omega_2}</math>还没有区别，区别在下面这一条：

如果β是非<math>2-projection</math>的<math>1-projection</math>，则<math>\psi_a(X\sim\beta)=\bigcup_{\gamma<\beta}\psi_a(X\sim\gamma)</math>,其中~是任意运算或者是任意递归函数.

这条规则乍一看平平无奇，但是注意，a的下一个Ω序数，即<math>\Omega_{a+1}</math>，也是一个<math>1-projection</math>！这意味着，<math>\psi_a(\Omega_{a+1})\neq\psi_a(\psi_{\Omega_{a+1}}(\psi_{\Omega_{a+1}}(\psi_{\Omega_{a+1}}(\cdots))))</math>,而是等于<math>sup\{\psi_a(a),\psi_a(a^a),\psi_a(\varepsilon_{a+1}),\psi_a(\zeta_{a+1}),\psi_a(\Gamma_{a+1}),\psi_a(BO(a+1)),\cdots\}</math>.通俗的说，就是需要穷尽a的递归运算。投影序数能挣脱<math>\Omega_2</math>的藩篱，正是靠这个本事。但其问题也是出在这里。因为我们无法直接定义<math>\Omega_{a+1}</math>之下的所有递归运算，因此投影序数直接作为非递归记号依然是不良的。但是它作为放进OCF 里的递归记号却是良的，因此放心使用。

=== 更多的2-投影序数 ===
我们定义<math>\psi_{a_n}</math>如下：

* <math>\psi_a(0)=\Omega</math>
* <math>\psi_{a_{n+1}}(0)=\Omega_{a_n+1}</math>
* <math>\psi_{a_n}(X+1)=\psi_{a_n}(X)\times\omega</math>
* <math>\psi_{a_n}(X\sim a_m)=\psi_{a_n}(X\sim \beta\rightarrow\psi_{a_m}(X\sim\beta)\text{不动点})</math>，其中~是任意运算或者是任意递归函数,m>n.
* 如果β是非<math>2-projection</math>的<math>1-projection</math>，则<math>\psi_{a_n}(X\sim\beta)=\bigcup_{\gamma<\beta}\psi_{a_n}(X\sim\gamma)</math>,其中~是任意运算或者是任意递归函数.

它们的作用可以理解为，当你在<math>\psi_a</math>内部需要用到<math>\Omega_{a+2},I_{a+1},M_{a+1},\cdots</math>这些东西的时候，需要<math>\psi_{a_2}</math>来表示它们。

=== n-投影序数 ===
定义 p_m 是 <math>m\text{th}\ n+1-\rm Projection</math> ， q 是 <math>\text{1st}\ n-\rm Projection</math> ，P_n 是 <math>n-\rm Projection</math> 的集合：

<nowiki>\begin{align} &ψ_{p_1}(0)=q&(1)\\ &ψ_{p_{m+1}}(0)=p_m&(2)\\ &ψ_{p_m}(\#\sim X_{{p_m}+1})=\sup\{ψ_{p_m}(\#\sim t)\ \vert\ t<X_{{p_m}+1},X∈P_k,k∈\{1,…,n\}\}&(3)\\ &ψ_{p_m}(t+1)=ψ_{p_m}(t)×ω&(4)\\ &ψ_{p_m}(\#\sim {p_m})=β→ψ_{p_m}(\#\sim β)\ \rm Fixed\ Point&(5)\\ \end{align}</nowiki>

以上规则便统一定义了 <math>n-\rm Projection</math>。

通俗的说，<math>(n+1)-Projection</math>之于<math>n-projection</math>的关系就如同<math>a_n</math>之于<math>\Omega_n</math>,高阶的投影序数可以对低阶的投影序数取并，从而造就极大地表示范围。

== 扩展 ==
参见词条[[向上投影]]

== 在OCF中的行为 ==
（待补充）

== 枚举和强度分析 ==
主词条：[[投影 VS 反射稳定|投影序数VS反射稳定]]，[[非递归BMS分析]]，[[投影序数 VS 方括号稳定]]

对投影序数的强度分析是极端重要的。因为投影序数类似递归记号的规则必须通过扽西才能被人理解。本词条仅列出关键节点
{| class="wikitable"
|+
!投影序数
!反射稳定
![[非递归BMS]]
|-
|<math>\psi_a(0)</math>
|<math>\Omega</math>
|<math>(1,1)</math>
|-
|<math>\psi_a(a)</math>
|<math>\varepsilon_{\Omega+1}</math>
|<math>(1,1)(2,2)</math>
|-
|<math>\psi_a(\Omega_{a+1})</math>
|<math>\Omega_2</math>
|<math>(1,1,1)</math>
|-
|<math>\psi_a(\Omega_{a+1}+a)</math>
|<math>\varepsilon_{\Omega_2+1}</math>
|<math>(1,1,1)(2,2)</math>
|-
|<math>\psi_a(\Omega_{a+1}2)</math>
|<math>\Omega_3</math>
|<math>(1,1,1)(2,2,1)</math>
|-
|<math>\psi_a(\Omega_{a+1}^2)</math>
|<math>2~1-2</math>
|<math>(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)</math>
|-
|<math>\psi_a(\Omega_{a+1}^{\Omega_{a+1}})</math>
|<math>2-2</math>
|<math>(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(4,2,1)</math>
|-
|<math>\psi_a(a_2)</math>
|<math>\lambda\alpha.(\alpha+1)-\Pi_0</math>
|<math>(1,1,1)(2,2,1)(3,3)</math>
|-
|<math>\psi_a(\Omega_{a_2+1})</math>
|<math>\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+2})-\Pi_1</math>
|<math>(1,1,1)(2,2,1)(3,3,1)</math>
|-
|<math>\psi_a(a_\omega)</math>
|<math>\omega-\pi-\Pi_0</math>
|<math>(1,1,1)(2,2,2)</math>
|-
|<math>\psi(\Omega_{a_\omega+1})</math>
|<math>\omega-\pi-\Pi_1</math>
|<math>(1,1,1)(2,2,2)(3,2,1)</math>
|-
|<math>\psi_a(\psi_b(a_{b+1}^\omega))</math>
|<math>\lambda\alpha.(psd.\Pi_0[\omega])-\Pi_0</math>
|<math>(1,1,1)(2,2,2)(3,2,2)(4,2,2)(4)</math>
|-
|<math>\psi_a(\psi_b(\varepsilon_{a_{b+1}+1}))</math>
|
|<math>(1,1,1)(2,2,2)(3,3)</math>
|-
|<math>\psi_a(\psi_b(\Omega_{a_{b+1}+1}))</math>
|
|<math>(1,1,1)(2,2,2)(3,3,1)</math>
|-
|<math>\psi_a(\psi_b(a_{b+2}))</math>
|
|<math>(1,1,1)(2,2,2)(3,3,2)</math>
|-
|<math>\psi_a(\psi_b(b_\omega))</math>
|
|<math>(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)</math>
|-
|<math>\psi_a(\omega-proj.)</math>
|
|<math>(1,1,1)(2,2,2,1)</math>
|-
|<math>a</math>
|
|<math>(1,1,1,1)</math>
|-
|<math>\Omega_{a+1}</math>
|
|<math>(1,1,1,1)(2,2,1)</math>
|-
|<math>a_2</math>
|
|<math>(1,1,1,1)(2,2,1,1)</math>
|-
|<math>b</math>
|
|<math>(1,1,1,1)(2,2,2,1)</math>
|-
|<math>b_2</math>
|
|<math>(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)</math>
|-
|<math>c</math>
|
|<math>(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,2,1)</math>
|-
|<math>\omega-projection</math>
|
|<math>(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3)</math>
|}
[[分类:记号]]