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	<title>Googology Wiki - 用户贡献 [zh-cn]</title>
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		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=fffz%E5%88%86%E6%9E%90Part11&amp;diff=3677</id>
		<title>fffz分析Part11</title>
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		<updated>2026-08-12T12:03:14Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​分析到Y(1,3,4,2,5,7,5)，未完待续&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;= 此分析为存根，请各位gggist们前来完善 =&lt;br /&gt;
本条目展示[[Fake Fake Fake Zeta|FFFZ]]强度分析的第&amp;lt;math&amp;gt;11&amp;lt;/math&amp;gt;部分，使用[[Y序列]]进行对照&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable mw-collapsible&amp;quot;&lt;br /&gt;
|+&amp;lt;span style=&amp;quot;display: table;margin: 0 auto;&amp;quot;&amp;gt;Y(1,3)~???&amp;lt;/span&amp;gt;&lt;br /&gt;
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!&amp;lt;span style=&amp;quot;display: table;margin: 0 auto;&amp;quot;&amp;gt;Y序列&amp;lt;/span&amp;gt;                                                                                                                               &lt;br /&gt;
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|-&lt;br /&gt;
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|-&lt;br /&gt;
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|-&lt;br /&gt;
!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega,\varepsilon_\omega+\omega^2](\psi_Z[\varepsilon_\omega](\varepsilon_\omega+\omega2))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
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|-&lt;br /&gt;
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|-&lt;br /&gt;
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!1,3,2,5,4,9,7&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega](\varepsilon_\omega+\varepsilon_0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
!1,3,2,5,4,9,8&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega](\varepsilon_\omega+\varepsilon_1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
!1,3,2,5,4,9,8,17,16&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega](\varepsilon_\omega2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
!1,3,3&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega,\omega^{\varepsilon_\omega+1}](\omega^{\varepsilon_\omega+1})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
!1,3,4&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega,\omega^{\varepsilon_\omega+1}](\omega^{\varepsilon_\omega+1}+\varepsilon_\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
!1,3,4,2,5,6,5&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega,\omega^{\varepsilon_\omega+1}](\omega^{\varepsilon_\omega+1}2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
!1,3,4,2,5,6,5,6&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega,\omega^{\varepsilon_\omega+1}](\psi_Z[\varepsilon_\omega](\varepsilon_\omega))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
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|-&lt;br /&gt;
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|-&lt;br /&gt;
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|-&lt;br /&gt;
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|-&lt;br /&gt;
!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega](\omega^{\varepsilon_\omega+1}2+\varepsilon_\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
!1,3,4,2,5,7,4,9,12,9,12,9&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
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!1,3,4,2,5,7,4,9,12,10&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
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!1,3,4,2,5,7,4,9,12,11&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega](\omega^{\varepsilon_\omega+2}+\varepsilon_\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
!1,3,4,2,5,7,4,9,12,12,9&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega,\omega^{\varepsilon_\omega+\omega}](\omega^{\varepsilon_\omega+\omega})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
!1,3,4,2,5,7,4,9,12,13&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega](\omega^{\varepsilon_\omega+\omega})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
!1,3,4,2,5,7,4,9,12,14&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega,\omega^{\varepsilon_\omega+\varepsilon_0}](\omega^{\varepsilon_\omega+\varepsilon_0})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
!1,3,4,2,5,7,4,9,12,16&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega](\omega^{\varepsilon_\omega+\varepsilon_0})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
!1,3,4,2,5,7,4,9,13&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega](\omega^{\varepsilon_\omega+\varepsilon_1})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
!1,3,4,2,5,7,4,9,13,8,17,25&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega](\omega^{\varepsilon_\omega2})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
!1,3,4,2,5,7,5&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
[[分类:分析]]&lt;br /&gt;
[[分类:存根]]&lt;br /&gt;
[[分类:页面待更改]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
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		<title>DSM分析</title>
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		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;本条目展示的分析来自CSL&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== Part 1 ===&lt;br /&gt;
主词条：[[DSM分析Part1]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== Part 2 ===&lt;br /&gt;
主词条：[[DSM分析Part2]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== Part 3 ===&lt;br /&gt;
主词条：[[DSM分析Part3]]&lt;br /&gt;
[[分类:分析]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
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		<title>DSM分析</title>
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		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​创建页面，内容为“本条目展示的分析来自CSL  === Part 1 === 主词条：DSM分析Part1  === Part 2 === 主词条：DSM分析Part2  === Part 3 === 主词条：DSM分析Part3”&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;本条目展示的分析来自CSL&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== Part 1 ===&lt;br /&gt;
主词条：[[DSM分析Part1]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== Part 2 ===&lt;br /&gt;
主词条：[[DSM分析Part2]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== Part 3 ===&lt;br /&gt;
主词条：[[DSM分析Part3]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
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		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=strong_fffz%E5%88%86%E6%9E%90Part7&amp;diff=3673</id>
		<title>strong fffz分析Part7</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=strong_fffz%E5%88%86%E6%9E%90Part7&amp;diff=3673"/>
		<updated>2026-08-11T13:13:04Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega](\omega^\omega) = (0)(1^\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^\omega + \omega](\omega^\omega + \omega) = (0)(1^\omega)(1)(2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^\omega + \omega](\psi_Z[\omega^\omega](\omega^\omega)) = (0)(1^\omega)(1)(2, 1^\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega](\omega^\omega + \omega) = (0)(1^\omega)(1,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^\omega + \omega^2](\omega^\omega + \omega^2) = (0)(1^\omega)(1,1)(2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega](\omega^\omega + \omega^2) = (0)(1^\omega)(1,1,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega](\omega^\omega \times 2) = (0)(1^\omega)(1^\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\omega^{\omega+1}) = (0)(1^\omega)(2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\omega^{\omega+1} + \omega^\omega) = (0)(1^\omega)(2)(1^\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}, \omega^{\omega \times 2}](\omega^{\omega \times 2}) = (0)(1^\omega)(2)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\omega^{\omega \times 2}) = (0)(1^\omega)(2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}, \omega^{\omega^2}](\omega^{\omega^2}) = (0)(1^\omega)(2,1)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\omega^{\omega^2}) = (0)(1^\omega)(2,1,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\omega^{\omega^3}) = (0)(1^\omega)(2,1,1,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\omega^{\omega^\omega}) = (0)(1^\omega)(2,1^\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\omega^{\omega^\omega+1}) = (0)(1^\omega)(2,1^\omega)(2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\omega^{\omega^\omega+\omega}) = (0)(1^\omega)(2,1^\omega)(2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\omega^{\omega^\omega \times 2}) = (0)(1^\omega)(2,1^\omega)(2,1^\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\omega^{\omega^{\omega+1}}) = (0)(1^\omega)(2,1^\omega)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}, \omega^{\omega^{\omega \times 2}}](\omega^{\omega^{\omega \times 2}}) = (0)(1^\omega)(2,1^\omega)(3)(4)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\omega^{\omega^{\omega \times 2}}) = (0)(1^\omega)(2,1^\omega)(3,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\omega^{\omega^{\omega^\omega}}) = (0)(1^\omega)(2,1^\omega)(3,1^\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\psi_Z(\omega)) = (0)(1^\omega)(2,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\psi_Z(\omega+1)) = (0)(1^\omega)(2,2)(2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\psi_Z[\omega \times 2](\omega \times 2)) = (0)(1^\omega)(2,2)(2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\psi_Z[\omega \times 2](\omega^2)) = (0)(1^\omega)(2,2)(2,1,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\psi_Z[\omega \times 2](\omega^\omega)) = (0)(1^\omega)(2,2)(2,1^\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\psi_Z[\omega \times 2](\omega^{\omega + 1})) = (0)(1^\omega)(2,2)(2,1^\omega)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\psi_Z[\omega \times 2](\omega^{\omega \times 2})) = (0)(1^\omega)(2,2)(2,1^\omega)(3,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\psi_Z[\omega \times 2](\omega^{\omega^\omega})) = (0)(1^\omega)(2,2)(2,1^\omega)(3,1^\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\psi_Z[\omega \times 2](\psi_Z(\omega))) = (0)(1^\omega)(2,2)(2,1^\omega)(3,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\psi_Z(\omega \times 2)) = (0)(1^\omega)(2,2)(2,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}, \psi_Z[\omega^2](\omega^2)](\psi_Z[\omega^2](\omega^2)) = (0)(1^\omega)(2,2)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}, \psi_Z[\omega^2](\omega^2)](\psi_Z[\omega^2, \omega^\omega](\omega^\omega)) = (0)(1^\omega)(2,2)(3,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}, \psi_Z[\omega^2](\omega^2)](\psi_Z[\omega^2, \omega^\omega](\omega^{\omega^2})) = (0)(1^\omega)(2,2)(3,1,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}, \psi_Z[\omega^2](\omega^2)](\psi_Z[\omega^2, \omega^\omega](\omega^{\omega^\omega})) = (0)(1^\omega)(2,2)(3,1^\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}, \psi_Z[\omega^2](\omega^2)](\psi_Z[\omega^2, \omega^\omega](\psi_Z(\omega))) = (0)(1^\omega)(2,2)(3,1^\omega)(4,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}, \psi_Z[\omega^2](\omega^2)](\psi_Z[\omega^2](\omega^\omega)) = (0)(1^\omega)(2,2)(3,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}, \psi_Z[\omega^2](\omega^2)](\psi_Z[\omega^\omega](\omega^\omega)) = (0)(1^\omega)(2,2)(3,3,1^\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\psi_Z[\omega^2](\omega^2)) = (0)(1^\omega)(2,2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\psi_Z[\omega^2](\omega^3)) = (0)(1^\omega)(2,2,1,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\psi_Z[\omega^2, \omega^\omega](\omega^\omega)) = (0)(1^\omega)(2,2,1^\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\psi_Z[\omega^2, \omega^\omega](\omega^{\omega+1})) = (0)(1^\omega)(2,2,1^\omega)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\psi_Z[\omega^2, \omega^\omega](\omega^{\omega \times 2})) = (0)(1^\omega)(2,2,1^\omega)(3,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\psi_Z[\omega^2, \omega^\omega](\omega^{\omega^\omega})) = (0)(1^\omega)(2,2,1^\omega)(3,1^\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\psi_Z[\omega^2, \omega^\omega](\psi_Z(\omega))) = (0)(1^\omega)(2,2,1^\omega)(3,1^\omega)(4,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\psi_Z[\omega^2, \omega^\omega](\psi_Z[\omega^2](\omega^2))) = (0)(1^\omega)(2,2,1^\omega)(3,1^\omega)(4,2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\psi_Z[\omega^2, \omega^\omega](\psi_Z[\omega^2,\omega^\omega](\omega^\omega))) = (0)(1^\omega)(2,2,1^\omega)(3,1^\omega)(4,2,1^\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\psi_Z[\omega^2](\omega^\omega)) = (0)(1^\omega)(2,2,1^\omega)(3,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\psi_Z[\omega^2, \omega^{\omega^\omega}](\omega^{\omega^\omega})) = (0)(1^\omega)(2,2,1^\omega)(3,2,1^\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\psi_Z[\omega^2](\omega^{\omega^\omega})) = (0)(1^\omega)(2,2,1^\omega)(3,2,1^\omega)(4,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\psi_Z[\omega^2](\psi_Z(\omega))) = (0)(1^\omega)(2,2,1^\omega)(3,3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\psi_Z(\omega^2)) = (0)(1^\omega)(2,2,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\psi_Z[\omega^\omega](\omega^\omega)) = (0)(1^\omega)(2^\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\omega^{\omega+1})) = (0)(1^\omega)(2^\omega)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\psi_Z[\omega^\omega](\omega^\omega))) = (0)(1^\omega)(2^\omega)(3^\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega](\omega^{\omega+1}) = (0)(1^{\omega+1})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+2}](\omega^{\omega+2}) = (0)(1^{\omega+1})(2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+2}](\omega^{\omega \times 2}) = (0)(1^{\omega+1})(2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+2}](\omega^{\omega^2}) = (0)(1^{\omega+1})(2,1,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+2}](\omega^{\omega^\omega}) = (0)(1^{\omega+1})(2,1^\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+2}, \omega^{\omega^{\omega+1}}](\omega^{\omega^{\omega+1}}) = (0)(1^{\omega+1})(2,1^\omega)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+2}, \omega^{\omega^{\omega+1}}](\psi_Z[\omega^\omega](\omega^{\omega+1})) = (0)(1^{\omega+1})(2,1^\omega)(3,2^\omega,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+2}](\omega^{\omega^{\omega+1}}) = (0)(1^{\omega+1})(2,1^{\omega+1})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+2}](\psi_Z(\omega)) = (0)(1^{\omega+1})(2,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+2}](\psi_Z[\omega^\omega](\omega^\omega)) = (0)(1^{\omega+1})(2^\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+2}, \psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\omega^{\omega+1})](\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\omega^{\omega+1})) = (0)(1^{\omega+1})(2^\omega)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+2}](\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\omega^{\omega+1})) = (0)(1^{\omega+1})(2^\omega,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+2}](\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\omega^{\omega+2})) = (0)(1^{\omega+1})(2^\omega,1)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+2}](\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}, \omega^{\omega \times 2}](\omega^{\omega \times 2})) = (0)(1^{\omega+1})(2^\omega,1)(3,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+2}](\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}, \omega^{\omega \times 2}](\omega^{\omega^{\omega+1}})) = (0)(1^{\omega+1})(2^\omega,1)(3,1^{\omega+1})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+2}](\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}, \omega^{\omega \times 2}](\psi_Z(\omega))) = (0)(1^{\omega+1})(2^\omega,1)(3,1^{\omega+1})(4,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+2}](\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}, \omega^{\omega \times 2}](\psi_Z[\omega^\omega](\omega^\omega))) = (0)(1^{\omega+1})(2^\omega,1)(3,1^{\omega+1})(4,2^\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+2}](\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}, \omega^{\omega \times 2}](\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\omega^{\omega+1}))) = (0)(1^{\omega+1})(2^\omega,1)(3,1^{\omega+1})(4,2^\omega,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+2}](\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\omega^{\omega \times 2})) = (0)(1^{\omega+1})(2^\omega,1)(3,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+2}](\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}, \omega^{\omega^2}](\omega^{\omega^{\omega+1}})) = (0)(1^{\omega+1})(2^\omega,1)(3,2,1^{\omega+1})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+2}](\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\omega^{\omega^2})) = (0)(1^{\omega+1})(2^\omega,1)(3,2,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+2}](\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\omega^{\omega^\omega})) = (0)(1^{\omega+1})(2^\omega,1)(3,2^\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+2}](\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\omega^{\omega^{\omega+1}})) = (0)(1^{\omega+1})(2^\omega,1)(3,2^\omega,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+2}](\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\psi_Z(\omega))) = (0)(1^{\omega+1})(2^\omega,1)(3,3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+2}](\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\psi_Z[\omega^\omega](\omega^\omega))) = (0)(1^{\omega+1})(2^\omega,1)(3^\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+2}](\psi_Z[\omega^\omega](\omega^{\omega+1})) = (0)(1^{\omega+1})(2^{\omega+1})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega](\omega^{\omega+2}) = (0)(1^{\omega+2})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega](\omega^{\omega \times 2}) = (0)(1^{\omega \times 2})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega](\omega^{\omega^2}) = (0)(1^{\omega^2})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega](\psi_Z(\omega)) = (0)(1^{(0)(1,1)})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega](\psi_Z[\omega^\omega](\omega^\omega)) = (0)(1^{(0)(1^\omega)}) = (0)(1,,1)(2)(1)(2,1,,1)(3,1,,1)(4)(5,1,,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\omega^{\omega+1})](\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\omega^{\omega+1})) = (0)(1,,1)(2)(1)(2,1,,1)(3,1,,1)(4)(5,1,,1)(6)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\omega^{\omega+1}), \psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}, \omega^{\omega \times 2}](\omega^{\omega \times 2})](\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}, \omega^{\omega \times 2}](\omega^{\omega \times 2})) = (0)(1,,1)(2)(1)(2,1,,1)(3,1,,1)(4)(5,1,,1)(6)(7)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\omega^{\omega+1}), \psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}, \omega^{\omega \times 2}](\omega^{\omega \times 2})](\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\omega^{\omega \times 2})) = (0)(1,,1)(2)(1)(2,1,,1)(3,1,,1)(4)(5,1,,1)(6,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\omega^{\omega+1}), \psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}, \omega^{\omega \times 2}](\omega^{\omega \times 2})](\psi_Z[\omega^\omega](\omega^{\omega+1}) = (0)(1,,1)(2)(1)(2,1,,1)(3,1,,1)(4)(5,1,,1)(6,1)(7,2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\omega^{\omega+1}), \psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}, \omega^{\omega \times 2}](\omega^{\omega \times 2})](\psi_Z[\omega^\omega](\omega^{\omega \times 2}) = (0)(1,,1)(2)(1)(2,1,,1)(3,1,,1)(4)(5,1,,1)(6,1)(7,2,1,,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\omega^{\omega+1}), \psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}, \omega^{\omega \times 2}](\omega^{\omega \times 2})](\psi_Z[\omega^\omega](\omega^{\omega^2}) = (0)(1,,1)(2)(1)(2,1,,1)(3,1,,1)(4)(5,1,,1)(6,1,,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\omega^{\omega+1}), \psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}, \omega^{\omega \times 2}](\omega^{\omega \times 2})](\psi_Z[\omega^\omega](\psi_Z[\omega^\omega](\omega^\omega)) = (0)(1,,1)(2)(1)(2,1,,1)(3,1,,1)(4)(5,1,,1)(6,1,,1)(7)(8,1,,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^\omega, \psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}](\omega^{\omega+1})](\psi_Z[\omega^\omega, \omega^{\omega+1}, \omega^{\omega \times 2}](\omega^{\omega \times 2})) = (0)(1,,1)(2)(1)(2,1,,1)(3,1,,1)(4,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
[[分类:分析]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=fffz%E5%88%86%E6%9E%90Part11&amp;diff=3672</id>
		<title>fffz分析Part11</title>
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		<updated>2026-08-11T13:11:09Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​分析到Y(1,3,4)，未完待续&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;= 此分析为存根，请各位gggist们前来完善 =&lt;br /&gt;
本条目展示[[Fake Fake Fake Zeta|FFFZ]]强度分析的第&amp;lt;math&amp;gt;11&amp;lt;/math&amp;gt;部分，使用[[Y序列]]进行对照&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable mw-collapsible&amp;quot;&lt;br /&gt;
|+&amp;lt;span style=&amp;quot;display: table;margin: 0 auto;&amp;quot;&amp;gt;Y(1,3)~???&amp;lt;/span&amp;gt;&lt;br /&gt;
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!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega,\varepsilon_\omega+\omega^2](\psi_Z[\varepsilon_\omega,\varepsilon_\omega+\omega^2](\varepsilon_\omega+\omega^2))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
!1,3,2,5,4,9,5,8,7,8&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega](\varepsilon_\omega+\omega^2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
!1,3,2,5,4,9,6&lt;br /&gt;
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!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega](\varepsilon_\omega+\omega^22)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
!1,3,2,5,4,9,6,4,9,6&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega,\varepsilon_\omega+\omega^3](\varepsilon_\omega+\omega^3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
!1,3,2,5,4,9,6,5&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega](\varepsilon_\omega+\omega^3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
!1,3,2,5,4,9,6,6&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega,\varepsilon_\omega+\omega^\omega](\varepsilon_\omega+\omega^\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
!1,3,2,5,4,9,6,7&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega](\varepsilon_\omega+\omega^\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
!1,3,2,5,4,9,6,11,8&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega,\varepsilon_\omega+\varepsilon_0](\varepsilon_\omega+\varepsilon_0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
!1,3,2,5,4,9,7&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega](\varepsilon_\omega+\varepsilon_0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
!1,3,2,5,4,9,8&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega](\varepsilon_\omega+\varepsilon_1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
!1,3,2,5,4,9,8,17,16&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega](\varepsilon_\omega2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
!1,3,3&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega,\omega^{\varepsilon_\omega+1}](\omega^{\varepsilon_\omega+1})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
!1,3,4&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
[[分类:分析]]&lt;br /&gt;
[[分类:存根]]&lt;br /&gt;
[[分类:页面待更改]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=Catching%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%88%86%E6%9E%902%EF%BC%9AEBO~JO&amp;diff=3671</id>
		<title>Catching函数分析2：EBO~JO</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=Catching%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%88%86%E6%9E%902%EF%BC%9AEBO~JO&amp;diff=3671"/>
		<updated>2026-08-10T08:53:56Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;本条目展示[[Catching 函数|Catching函数]]在[[EBO]]到[[JO]]之间的过程。以下左为[[FGH]]，右为[[SGH]]。均为[[序数坍缩函数#MOCF 简介|MOCF]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\begin{align}.\\&amp;amp;f_3(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+1)\\&amp;amp;f_{\omega}^n(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+\Omega^\omega)\\&amp;amp;f_{\psi(0)}^n(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+\psi_1(\Omega))\\&amp;amp;f_{\psi(\Omega_\omega)}^n(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+\psi_1(\Omega_\Omega))\\&amp;amp;f_{\psi(\Omega_{\Omega_\omega})}^n(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+\psi_1(\Omega_{\Omega_\Omega}))\\&amp;amp;f_{\psi(\psi_I(0))[n]}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+\psi_1(\psi_I(0)))\\&amp;amp;f_{\psi(\psi_I(0)[n]+1)}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+\psi_1(\psi_I(0)+1))\\&amp;amp;f_{\psi(\psi_I(0)[n]+\Omega)[n]}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+\Omega_2)\\&amp;amp;f_{\psi(\psi_I(0)[n]+\Omega)}^n(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+\Omega_2\times\Omega)\\&amp;amp;f_{\psi(\psi_I(0)[n]+\Omega_2)}^n(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+\Omega_3\times\Omega)\\&amp;amp;f_{\psi(\psi_I(0)[n]+\Omega_\omega)[n]}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+\Omega_\omega)\\&amp;amp;f_{\psi(\psi_I(0)[n]+\Omega_\omega)}^n(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+\Omega_\Omega)\\&amp;amp;f_{\psi(\psi_I(0)[n]+\Omega_{\Omega_\omega})}^n(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)+\Omega_{\Omega_\Omega})\\&amp;amp;f_{\psi(\psi_I(0)[n]\times2)}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)\times2)\\&amp;amp;f_{\psi(\psi_I(0)[n]^2)}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)^2)\\&amp;amp;f_{\psi(\psi_I(0)[n]^{\psi_I(0)[n]})}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(0)^{\psi_I(0)})\\&amp;amp;f_{\psi(\psi_{\Omega_{\psi_I(0)[n-1]+1}}(0))}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_{\Omega_{\psi_I(0)+1}}(0))\\&amp;amp;f_{\psi(\Omega_{\psi_I(0)[n-1]+1})}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\Omega_{\psi_I(0)+1})\\&amp;amp;f_{\psi(\Omega_{\psi_I(0)[n-1]+\omega})}^n(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\Omega_{\psi_I(0)+\Omega})\\&amp;amp;f_{\psi(\Omega_{\psi_I(0)[n-1]+\Omega_\omega})}^n(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\Omega_{\psi_I(0)+\Omega_\Omega})\\&amp;amp;f_{\psi(\psi_I(0)[n+1])}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\Omega_{\psi_I(0)\times2})\\&amp;amp;f_{\psi(\Omega_{\psi_I(0)[n]+1})}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\Omega_{\psi_I(0)\times2+1})\\&amp;amp;f_{\psi(\Omega_{\psi_I(0)[n]\times2})}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\Omega_{\psi_I(0)\times3})\\&amp;amp;f_{\psi(\Omega_{\psi_I(0)[n]\times\omega})}^n(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\Omega_{\psi_I(0)\times\Omega})\\&amp;amp;f_{\psi(\Omega_{\psi_I(0)[n]^2})}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\Omega_{\psi_I(0)^2})\\&amp;amp;f_{\psi(\Omega_{\Omega_{\psi_I(0)[n]+1}})}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\Omega_{\Omega_{\psi_I(0)+1}})\\&amp;amp;f_{\psi(\psi_I(0)[n+2])}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\Omega_{\Omega_{\psi_I(0)\times2}})\\&amp;amp;f_{\psi(\psi_I(0)[n\times2])}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(1))\\&amp;amp;f_{\psi(\psi_I(0)[n\times2+1])}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\Omega_{\psi_I(1)\times2})\\&amp;amp;f_{\psi(\psi_I(0)[n\times3])}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(2))\\&amp;amp;f_{\psi(\psi_I(0)[n^2])}(f_{\psi(\psi_I(0))}(n))\sim\psi(\psi_I(\omega))\\&amp;amp;f_{\psi(\psi_I(0))}^2(n)\sim\psi(\psi_I(\psi(\psi_I(0))))\\&amp;amp;f_{\psi(\psi_I(0))}^3(n)\sim\psi(\psi_I(\psi(\psi_I(\psi(\psi_I(0))))))\\&amp;amp;f_{\psi(\psi_I(0))+1}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega))\\&amp;amp;f_{\psi(\psi_I(0))+2}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega)+\psi_{\Omega_2}(\psi_I(\Omega))\times\Omega)\\&amp;amp;f_{\psi(\psi_I(0)+\Omega)}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega)+\Omega_2)\\&amp;amp;f_{\psi(\psi_I(0)\times\Omega)}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega)\times\Omega_2)\\&amp;amp;f_{\psi(\psi_I(0)^2)+1}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega)^2)\\&amp;amp;f_{\psi(\psi_{\Omega_{\psi_I(0)+1}}(0))}(n)\sim\psi(\psi_{\Omega_{\psi_I(\Omega)+1}}(0))\\&amp;amp;f_{\psi(\Omega_{\psi_I(0)+1})}(n)\sim\psi(\Omega_{\psi_I(\Omega)+1})\\&amp;amp;f_{\psi(\Omega_{\Omega_{\psi_I(0)+1}})}(n)\sim\psi(\Omega_{\Omega_{\psi_I(\Omega)+1}})\\&amp;amp;f_{\psi(\psi_I(1))}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega+1))\\&amp;amp;f_{\psi(\psi_I(1)[n\times2])}(f_{\psi(\psi_I(1))}(n))\sim\psi(\psi_I(\Omega+2))\\&amp;amp;f_{\psi(\psi_I(1))}^2(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega+\psi(\psi_I(\Omega))))\\&amp;amp;f_{\psi(\psi_I(1))+1}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega\times2))\\&amp;amp;f_{\psi(\psi_I(2))}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega\times2+1))\\&amp;amp;f_{\psi(\psi_I(\omega))}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega\times\omega))\\&amp;amp;f_{\psi(\psi_I(\omega))+1}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega^2))\\&amp;amp;f_{\psi(\psi_I(\omega+1))+1}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega^2+\Omega))\\&amp;amp;f_{\psi(\psi_I(\omega^\omega))+1}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega^\Omega))\\&amp;amp;f_{\psi(\psi_I(\psi(0)))+1}(n)\sim\psi(\psi_I(\psi_{\Omega_2}(\Omega)))\\&amp;amp;f_{\psi(\psi_I(\psi(\psi_I(0))))+1}(n)\sim\psi(\psi_I(\psi_{\Omega_2}(\psi_I(\Omega))))\\&amp;amp;f_{\psi(\psi_I(\Omega))}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_2))\\&amp;amp;f_{\psi(\psi_I(\Omega_2))}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_3))\\&amp;amp;f_{\psi(\psi_I(\Omega_3))}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_4))\\&amp;amp; f_{\psi(\psi_I(\Omega_\omega))}(n)\sim\psi(\psi_I(\Omega_\omega))\\&amp;amp; C(\omega+1)=\psi(\psi_I(\Omega_\omega))\end{align}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
[[分类:分析]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=Test&amp;diff=3670</id>
		<title>Test</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=Test&amp;diff=3670"/>
		<updated>2026-08-10T08:49:20Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;此页面为测试页面。任何人都可以随意修改此页面以便测试。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\infty_{computer}&amp;lt;/math&amp;gt;=179769313486231590772930519078902473361797697894230657273430081157732675805500963132708477322407536021120113879871393357658789768814416622492847430639474124377767893424865485276302219601246094119453082952085005768838150682342462881473913110540827237163350510684586298239947245938479716304835356329624224137216&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
我死的好惨呀！我是时间过得真慢QQ，我的聚集地和大群都被踢出去了，其他群也不要了，没有任何一个要我了，还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
孩子们这并不好像，谁叫你还我命来的😂&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 编写技巧 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 行内代码块：&amp;lt;syntaxhighlight lang=&amp;quot;text&amp;quot;&amp;gt;&amp;lt;code&amp;gt;xxx&amp;lt;/code&amp;gt;&amp;lt;/syntaxhighlight&amp;gt;效果是这样：&amp;lt;code&amp;gt;xxx&amp;lt;/code&amp;gt;。&lt;br /&gt;
* 在列表里换行：使用 &amp;lt;syntaxhighlight lang=&amp;quot;text&amp;quot;&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;/syntaxhighlight&amp;gt;效果是这样：&amp;lt;br&amp;gt;第一行；&amp;lt;br&amp;gt;第二行。&lt;br /&gt;
* 在列表里嵌套列表：无序列表使用&amp;lt;syntaxhighlight lang=&amp;quot;text&amp;quot;&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;ul&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;123&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;456&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;/ul&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;/syntaxhighlight&amp;gt;效果是这样：&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;123&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;456&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;有序列表使用&amp;lt;syntaxhighlight lang=&amp;quot;text&amp;quot;&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;ol&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;123&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;456&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;/ol&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;/syntaxhighlight&amp;gt;效果是这样：&lt;br /&gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;123&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;456&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;于是可以&amp;lt;ul&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;awa&amp;lt;ul&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;114514&amp;lt;ul&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;3.1415926&amp;lt;ul&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;123&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;456&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;789&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;2.71828&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;qwerty&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;/ul&amp;gt;&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
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这句话有7个字&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\varnothing,\emptyset&amp;lt;/math&amp;gt;，&lt;br /&gt;
\(\varnothing,\emptyset\)&lt;br /&gt;
LaTeX公式&amp;lt;code&amp;gt;\varnothing,\emptyset&amp;lt;/code&amp;gt;用不同渲染方式的结果&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math display=&amp;quot;block&amp;quot;&amp;gt;\begin{aligned}&lt;br /&gt;
f(x)\;&amp;amp;=(a+b+1)/2-x\\&lt;br /&gt;
&amp;amp;=(a+2x-1-a+f(2x-1-a)+1)/2-x\\&lt;br /&gt;
&amp;amp;=f(2x-1-a)/2\\&lt;br /&gt;
&amp;amp;=f(2x-1-(x-1+f(x-1)))/2\\&lt;br /&gt;
&amp;amp;=f(x-f(x-1))/2&lt;br /&gt;
\end{aligned}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
111&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
\( G(64)=\left. \begin{matrix} 3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow}3 \\3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow}3 \\ \underbrace{\qquad \quad \vdots \qquad \quad} \\3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \uparrow}3 \\3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow3\end{matrix} \right \} \text{64 layers} \)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\unicode{64}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),0\text{@}0)[0]=0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\text{@}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[k]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
\(\alpha\text{@}\beta\)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其实还可以有个更简单的做法，\alpha{@}\beta = \(\alpha{@}\beta\)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[[a]]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
我们可以使用&amp;lt;code&amp;gt;\hspace&amp;lt;/code&amp;gt;和&amp;lt;code&amp;gt;\raise&amp;lt;/code&amp;gt;来微调LaTeX中的字符位置：&lt;br /&gt;
\(\LaTeX\)&#039;&#039;（直接使用&#039;&#039;&amp;lt;code&amp;gt;\LaTeX&amp;lt;/code&amp;gt;&#039;&#039;的版本）&#039;&#039;&lt;br /&gt;
\({L^{\hspace{-4.5px}\raise{-2.5px}A}&lt;br /&gt;
\hspace{-3px}T\hspace{-2px}\raise{-3px}E\hspace{-1.5px}X}\)&#039;&#039;（使用以上两种命令微调的模仿版本）&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;nowiki&amp;gt;\&amp;lt;/nowiki&amp;gt;&amp;lt;span&amp;gt;(&amp;lt;/span&amp;gt;\alpha\text{@}\beta&amp;lt;nowiki&amp;gt;\&amp;lt;/nowiki&amp;gt;&amp;lt;span&amp;gt;)&amp;lt;/span&amp;gt; = \(\alpha\text{@}\beta\)&lt;br /&gt;
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&amp;lt;span style=&#039;background:linear-gradient(to right,#00ff00,#0000ff);-webkit-background-clip:text;-webkit-text-fill-color:transparent;&#039;&amp;gt;我是美丽的span&amp;lt;/span&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;a href=&#039;https://baidu.com&#039;&amp;gt;危险的代码是不被允许的&amp;lt;/a&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;span onclick=&#039;this.innerText=&amp;quot;onclick是无效的！&amp;quot;&#039;&amp;gt;click me!&amp;lt;/span&amp;gt;&lt;br /&gt;
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666&lt;br /&gt;
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\(\alpha @\beta\)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
我是猫娘。喵喵喵喵&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;单行引言&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
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&amp;lt;span style=&#039;background-color:red&#039;&amp;gt;bgcisred&amp;lt;/span&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[高德纳箭头|↑]]&lt;br /&gt;
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src=&amp;quot;https://expander.googology.top/index.html&amp;quot; &lt;br /&gt;
  width=&amp;quot;100%&amp;quot; &lt;br /&gt;
  height=&amp;quot;500px&amp;quot;&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
=== 这是一级标题 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 这是二级标题 ====&lt;br /&gt;
这是公式 \(\alpha\times\beta\)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;撒反对&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
说说不可说】(1)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
　　  人们的对话中，「不可说」指的是「不可以说出来」的意思，但是在佛&lt;br /&gt;
经中，不可说的意思并不一定是这样，世尊所说的佛经更不是指这个意思。&lt;br /&gt;
如果它是指不可以说出来的话，那麽全部的佛经就是一部「大妄语百科」了。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
但是将「不可说」解释为「不可以说出来」的意思，并不是现代人的专&lt;br /&gt;
利，古人解经，也常把它作这样的解释，造成後人将佛经解释成玄密的经典，&lt;br /&gt;
一切的不合理之处都当作「不可说」来处理。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
世尊的确说过许多的不可说，如:《华严经》&lt;br /&gt;
「不可言说不可说，充满一切不可说，不可言说诸劫中，说不可说不可尽，&lt;br /&gt;
....&lt;br /&gt;
於一微细毛端处，有不可说诸普贤，....一毛端处所有刹，其数无量不可&lt;br /&gt;
　说..」在第四十五卷中，世尊一口气说了将近四百个不可说。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
《地藏菩萨本愿经》【忉利天宫神通品】「尔时，十方无量世界不可&lt;br /&gt;
　说不可说一切诸佛，及大菩萨摩诃萨，皆来集会，赞叹释迦牟尼佛．．」&lt;br /&gt;
这里用了两个不可说。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
《小般若经》【深功德品】「一切法不可说，须菩提，一切法空相不&lt;br /&gt;
可说．．」&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其实「不可说」的意义是「数量大到无法用语言形容」的意思，并不&lt;br /&gt;
是指所说的主题「不能说」，如果是不能说，那麽上面这些经典就是「废&lt;br /&gt;
话大全」了。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
世尊说法四十九年，探讨的主题遍及人类所有的疑问，从来没有一样&lt;br /&gt;
　是「不能说出来」的，不但他老人家自己说，更鼓励所有修行菩萨要为众　&lt;br /&gt;
生说呢。(参见《般若经》)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
那麽，「不可说」倒底有多大，会大到语言法形容呢？我们试著来找&lt;br /&gt;
找看。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot; border=&amp;quot;0&amp;quot; cellpadding=&amp;quot;1&amp;quot; cellspacing=&amp;quot;1&amp;quot;&lt;br /&gt;
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! scope=&amp;quot;col&amp;quot; |A&lt;br /&gt;
! scope=&amp;quot;col&amp;quot; |B&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
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{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
! 用户名&lt;br /&gt;
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|-&lt;br /&gt;
| style=&amp;quot;width: 20%;&amp;quot; | 张三 || style=&amp;quot;width: 80%; word-wrap: break-word;&amp;quot; | 这是一个非常长的简介文本，会自动换行以适应列宽。&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
表格？&lt;br /&gt;
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就当作是gggwiki的一个彩蛋吧（&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
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[https://2023largenumber.fandom.com/zh/wiki/%F0%9F%98%B0#articleComments/ 果糕]&lt;br /&gt;
果糕糕糕！&lt;br /&gt;
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&amp;lt;div id=&amp;quot;guogao1&amp;quot;&amp;gt;将以下代码放入控制台并回车，有“小惊喜”：&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;small&amp;gt;&amp;lt;small&amp;gt;&amp;lt;nowiki&amp;gt;(()=&amp;gt;{document.getElementById(&amp;quot;guogao1&amp;quot;).appendChild((()=&amp;gt;{let a = document.createElement(&amp;quot;div&amp;quot;);a.innerHTML = `&amp;lt;div class=&amp;quot;fixed-btn&amp;quot;&amp;gt;&amp;lt;a onclick=&amp;quot;let b=document.createElement(&#039;div&#039;);b.innerHTML=\`&amp;lt;div id=&#039;guogao&#039; style=&#039;transition: transform .5s ease-out;position: absolute;top:45%;left:50%;z-index: 9999999;transform: scale(1);cursor: pointer;-webkit-user-select: none;-moz-user-select: none;-ms-user-select: none;user-select: none;&#039; onclick=&#039;this.remove()&#039;&amp;gt;${decodeURI(&#039;%F0%9F%98%B0&#039;)}&amp;lt;/div&amp;gt;\`;document.body.appendChild(b);setTimeout(() =&amp;gt; {document.getElementById(&#039;guogao&#039;).style.transform=&#039;scale(45)&#039;}, 50)&amp;quot; class=&amp;quot;new&amp;quot; title=&amp;quot;${decodeURI(&#039;%E5%B0%8F%E6%83%8A%E5%96%9C&#039;)}&amp;quot;&amp;gt;&amp;lt;span class=&amp;quot;btn-text blue&amp;quot;&amp;gt;${decodeURI(&#039;%E5%B0%8F%E6%83%8A%E5%96%9C&#039;)}&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;`;return a})());return (()=&amp;gt;{console.clear();return decodeURI(&#039;%E7%A5%9E%E7%A7%98%E6%8C%89%E9%92%AE%E5%87%BA%E7%8E%B0%EF%BC%81&#039;)})()})()&lt;br /&gt;
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&amp;lt;div style=&amp;quot;overflow:auto&amp;quot;&amp;gt;&lt;br /&gt;
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\begin{matrix}\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\vdots\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\vdots\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\vdots\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\vdots\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\vdots\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\vdots\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\vdots\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\vdots\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\left.\begin{matrix}\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\\vdots\\\underbrace{\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\cdots\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}10}\\10\end{matrix}\right\}\left.\left.\left.\left.\left.\left.\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}\begin{matrix}1\underbrace{00\cdots00}\\\vdots\\1\underbrace{00\cdots00}\\10\end{matrix}\right\}2\underset{171869969539773881871357}{\underbrace{28767407104742504939274665007259268034875905285622251679055397167730260624040178402089159341052814222\cdots}}.\end{matrix}&lt;br /&gt;
\]&lt;br /&gt;
&amp;lt;/div&amp;gt;&lt;br /&gt;
[[分类:入门]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=Test&amp;diff=3659</id>
		<title>Test</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=Test&amp;diff=3659"/>
		<updated>2026-08-04T12:43:56Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;此页面为测试页面。任何人都可以随意修改此页面以便测试。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
179769313486231590772930519078902473361797697894230657273430081157732675805500963132708477322407536021120113879871393357658789768814416622492847430639474124377767893424865485276302219601246094119453082952085005768838150682342462881473913110540827237163350510684586298239947245938479716304835356329624224137216&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
我死的好惨呀！我是时间过得真慢QQ，我的聚集地和大群都被踢出去了，其他群也不要了，没有任何一个要我了，还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来还我命来&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
孩子们这并不好像，谁叫你还我命来的😂&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 编写技巧 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 行内代码块：&amp;lt;syntaxhighlight lang=&amp;quot;text&amp;quot;&amp;gt;&amp;lt;code&amp;gt;xxx&amp;lt;/code&amp;gt;&amp;lt;/syntaxhighlight&amp;gt;效果是这样：&amp;lt;code&amp;gt;xxx&amp;lt;/code&amp;gt;。&lt;br /&gt;
* 在列表里换行：使用 &amp;lt;syntaxhighlight lang=&amp;quot;text&amp;quot;&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;/syntaxhighlight&amp;gt;效果是这样：&amp;lt;br&amp;gt;第一行；&amp;lt;br&amp;gt;第二行。&lt;br /&gt;
* 在列表里嵌套列表：无序列表使用&amp;lt;syntaxhighlight lang=&amp;quot;text&amp;quot;&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;ul&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;123&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;456&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;/ul&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;/syntaxhighlight&amp;gt;效果是这样：&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;123&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;456&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;有序列表使用&amp;lt;syntaxhighlight lang=&amp;quot;text&amp;quot;&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;ol&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;123&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;456&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;/ol&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;/syntaxhighlight&amp;gt;效果是这样：&lt;br /&gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;123&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;456&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;于是可以&amp;lt;ul&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;awa&amp;lt;ul&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;114514&amp;lt;ul&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;3.1415926&amp;lt;ul&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;123&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;456&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;789&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;2.71828&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;qwerty&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;/ul&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;ol&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;awa&amp;lt;ol&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;114514&amp;lt;ol&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;3.1415926&amp;lt;ol&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;123&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;456&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;789&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;2.71828&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;qwerty&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;/ol&amp;gt;&lt;br /&gt;
* 分界线：使用 &amp;lt;code&amp;gt;----&amp;lt;/code&amp;gt;。效果是这样：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这句话有7个字&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\varnothing,\emptyset&amp;lt;/math&amp;gt;，&lt;br /&gt;
\(\varnothing,\emptyset\)&lt;br /&gt;
LaTeX公式&amp;lt;code&amp;gt;\varnothing,\emptyset&amp;lt;/code&amp;gt;用不同渲染方式的结果&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math display=&amp;quot;block&amp;quot;&amp;gt;\begin{aligned}&lt;br /&gt;
f(x)\;&amp;amp;=(a+b+1)/2-x\\&lt;br /&gt;
&amp;amp;=(a+2x-1-a+f(2x-1-a)+1)/2-x\\&lt;br /&gt;
&amp;amp;=f(2x-1-a)/2\\&lt;br /&gt;
&amp;amp;=f(2x-1-(x-1+f(x-1)))/2\\&lt;br /&gt;
&amp;amp;=f(x-f(x-1))/2&lt;br /&gt;
\end{aligned}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
111&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
\( G(64)=\left. \begin{matrix} 3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow}3 \\3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow}3 \\ \underbrace{\qquad \quad \vdots \qquad \quad} \\3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \uparrow}3 \\3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow3\end{matrix} \right \} \text{64 layers} \)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\unicode{64}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),0\text{@}0)[0]=0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\text{@}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[k]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
\(\alpha\text{@}\beta\)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其实还可以有个更简单的做法，\alpha{@}\beta = \(\alpha{@}\beta\)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[[a]]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
我们可以使用&amp;lt;code&amp;gt;\hspace&amp;lt;/code&amp;gt;和&amp;lt;code&amp;gt;\raise&amp;lt;/code&amp;gt;来微调LaTeX中的字符位置：&lt;br /&gt;
\(\LaTeX\)&#039;&#039;（直接使用&#039;&#039;&amp;lt;code&amp;gt;\LaTeX&amp;lt;/code&amp;gt;&#039;&#039;的版本）&#039;&#039;&lt;br /&gt;
\({L^{\hspace{-4.5px}\raise{-2.5px}A}&lt;br /&gt;
\hspace{-3px}T\hspace{-2px}\raise{-3px}E\hspace{-1.5px}X}\)&#039;&#039;（使用以上两种命令微调的模仿版本）&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;nowiki&amp;gt;\&amp;lt;/nowiki&amp;gt;&amp;lt;span&amp;gt;(&amp;lt;/span&amp;gt;\alpha\text{@}\beta&amp;lt;nowiki&amp;gt;\&amp;lt;/nowiki&amp;gt;&amp;lt;span&amp;gt;)&amp;lt;/span&amp;gt; = \(\alpha\text{@}\beta\)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
 &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|+ 标题文本&lt;br /&gt;
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! 标题文本 !! 标题文本 !! 标题文本&lt;br /&gt;
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| 示例 || 示例 || 示例&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| 示例 || 示例 || 示例&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| 示例 || 示例 || 示例&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
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! 标题文本 !! 标题文本 !! 标题文本&lt;br /&gt;
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|}&lt;br /&gt;
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{a}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;code&amp;gt;我是code&amp;lt;/code&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;pre&amp;gt;我是pre&amp;lt;/pre&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;span style=&#039;background:linear-gradient(to right,#00ff00,#0000ff);-webkit-background-clip:text;-webkit-text-fill-color:transparent;&#039;&amp;gt;我是美丽的span&amp;lt;/span&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;a href=&#039;https://baidu.com&#039;&amp;gt;危险的代码是不被允许的&amp;lt;/a&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;span onclick=&#039;this.innerText=&amp;quot;onclick是无效的！&amp;quot;&#039;&amp;gt;click me!&amp;lt;/span&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
666&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
\(\alpha @\beta\)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
我是猫娘。喵喵喵喵&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;单行引言&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;span style=&#039;background-color:red&#039;&amp;gt;bgcisred&amp;lt;/span&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[高德纳箭头|↑]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;iframe&amp;gt;&lt;br /&gt;
src=&amp;quot;https://expander.googology.top/index.html&amp;quot; &lt;br /&gt;
  width=&amp;quot;100%&amp;quot; &lt;br /&gt;
  height=&amp;quot;500px&amp;quot;&lt;br /&gt;
  frameborder=&amp;quot;0&amp;quot;&lt;br /&gt;
&amp;lt;/iframe&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 这是一级标题 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 这是二级标题 ====&lt;br /&gt;
这是公式 \(\alpha\times\beta\)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;撒反对&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
说说不可说】(1)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
--------------------------------------------------------------------&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
　　  人们的对话中，「不可说」指的是「不可以说出来」的意思，但是在佛&lt;br /&gt;
经中，不可说的意思并不一定是这样，世尊所说的佛经更不是指这个意思。&lt;br /&gt;
如果它是指不可以说出来的话，那麽全部的佛经就是一部「大妄语百科」了。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
但是将「不可说」解释为「不可以说出来」的意思，并不是现代人的专&lt;br /&gt;
利，古人解经，也常把它作这样的解释，造成後人将佛经解释成玄密的经典，&lt;br /&gt;
一切的不合理之处都当作「不可说」来处理。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
世尊的确说过许多的不可说，如:《华严经》&lt;br /&gt;
「不可言说不可说，充满一切不可说，不可言说诸劫中，说不可说不可尽，&lt;br /&gt;
....&lt;br /&gt;
於一微细毛端处，有不可说诸普贤，....一毛端处所有刹，其数无量不可&lt;br /&gt;
　说..」在第四十五卷中，世尊一口气说了将近四百个不可说。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
《地藏菩萨本愿经》【忉利天宫神通品】「尔时，十方无量世界不可&lt;br /&gt;
　说不可说一切诸佛，及大菩萨摩诃萨，皆来集会，赞叹释迦牟尼佛．．」&lt;br /&gt;
这里用了两个不可说。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
《小般若经》【深功德品】「一切法不可说，须菩提，一切法空相不&lt;br /&gt;
可说．．」&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其实「不可说」的意义是「数量大到无法用语言形容」的意思，并不&lt;br /&gt;
是指所说的主题「不能说」，如果是不能说，那麽上面这些经典就是「废&lt;br /&gt;
话大全」了。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
世尊说法四十九年，探讨的主题遍及人类所有的疑问，从来没有一样&lt;br /&gt;
　是「不能说出来」的，不但他老人家自己说，更鼓励所有修行菩萨要为众　&lt;br /&gt;
生说呢。(参见《般若经》)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
那麽，「不可说」倒底有多大，会大到语言法形容呢？我们试著来找&lt;br /&gt;
找看。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
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[https://2023largenumber.fandom.com/zh/wiki/%F0%9F%98%B0#articleComments/ 果糕]&lt;br /&gt;
果糕糕糕！&lt;br /&gt;
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以下是Naruyoko在[https://naruyoko.github.io/ExpantaNum.js/]中给出过的latex&lt;br /&gt;
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&amp;lt;/div&amp;gt;&lt;br /&gt;
[[分类:入门]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=strong_fffz%E5%88%86%E6%9E%90Part2&amp;diff=3524</id>
		<title>strong fffz分析Part2</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=strong_fffz%E5%88%86%E6%9E%90Part2&amp;diff=3524"/>
		<updated>2026-07-25T10:36:04Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z(\omega^2) = (0)(1,1,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z(\omega^2+\omega) = (0)(1,1,1)(1,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2 \times 2](\omega^2 \times 2) = (0)(1,1,1)(1,1)(2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2 \times 2, \omega^\omega](\omega^\omega) = (0)(1,1,1)(1,1)(2)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2 \times 2](\omega^\omega) = (0)(1,1,1)(1,1)(2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2 \times 2](\omega^{\omega^\omega}) = (0)(1,1,1)(1,1)(2,1)(3,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2 \times 2](\psi_Z(\omega)) = (0)(1,1,1)(1,1)(2,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2 \times 2](\psi_Z(\omega^2)) = (0)(1,1,1)(1,1)(2,2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2 \times 2](\psi_Z(\omega^2)+\omega) = (0)(1,1,1)(1,1)(2,2,1)(1,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2 \times 2](\psi_Z(\omega^2) \times 2) = (0)(1,1,1)(1,1)(2,2,1)(1,1)(2,2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2 \times 2](\psi_Z(\omega^2+1)) = (0)(1,1,1)(1,1)(2,2,1)(2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2 \times 2, \psi_Z[\omega^2+\omega](\omega^2+\omega)](\psi_Z[\omega^2+\omega](\omega^2+\omega)) = (0)(1,1,1)(1,1)(2,2,1)(2)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2 \times 2](\psi_Z[\omega^2+\omega](\omega^2+\omega)) = (0)(1,1,1)(1,1)(2,2,1)(2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2 \times 2](\psi_Z[\omega^2+\omega](\omega^\omega)) = (0)(1,1,1)(1,1)(2,2,1)(2,1)(3,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2 \times 2](\psi_Z[\omega^2+\omega](\psi_Z(\omega))) = (0)(1,1,1)(1,1)(2,2,1)(2,1)(3,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2 \times 2](\psi_Z[\omega^2+\omega](\psi_Z(\omega^2))) = (0)(1,1,1)(1,1)(2,2,1)(2,1)(3,2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2 \times 2](\psi_Z[\omega^2+\omega](\psi_Z(\omega^2)+1)) = (0)(1,1,1)(1,1)(2,2,1)(2,1)(3,2,1)(2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2 \times 2](\psi_Z[\omega^2+\omega](\psi_Z(\omega^2) \times 2)) = (0)(1,1,1)(1,1)(2,2,1)(2,1)(3,2,1)(2,1)(3,2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2 \times 2](\psi_Z[\omega^2+\omega](\psi_Z(\omega^2+1))) = (0)(1,1,1)(1,1)(2,2,1)(2,1)(3,2,1)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2 \times 2](\psi_Z[\omega^2+\omega](\psi_Z[\omega^2+\omega](\omega^2+\omega))) = (0)(1,1,1)(1,1)(2,2,1)(2,1)(3,2,1)(3,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2 \times 2](\psi_Z(\omega^2+\omega)) = (0)(1,1,1)(1,1)(2,2,1)(2,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2 \times 2](\psi_Z(\omega^2+\omega+1)) = (0)(1,1,1)(1,1)(2,2,1)(2,2)(2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2 \times 2](\psi_Z[\omega^2+\omega \times 2](\omega^2+\omega \times 2)) = (0)(1,1,1)(1,1)(2,2,1)(2,2)(2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2 \times 2](\psi_Z(\omega^2+\omega \times 2)) = (0)(1,1,1)(1,1)(2,2,1)(2,2)(2,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2 \times 2](\psi_Z[\omega^2 \times 2](\omega^2 \times 2)) = (0)(1,1,1)(1,1)(2,2,1)(2,2)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2 \times 2](\psi_Z[\omega^2 \times 2, \omega^\omega](\omega^\omega)) = (0)(1,1,1)(1,1)(2,2,1)(2,2)(3,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2 \times 2](\psi_Z[\omega^2 \times 2](\omega^\omega)) = (0)(1,1,1)(1,1)(2,2,1)(2,2)(3,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2 \times 2](\psi_Z[\omega^2 \times 2](\psi_Z(\omega))) = (0)(1,1,1)(1,1)(2,2,1)(2,2)(3,3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2 \times 2](\psi_Z[\omega^2 \times 2](\psi_Z(\omega^2))) = (0)(1,1,1)(1,1)(2,2,1)(2,2)(3,3,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z(\omega^2 \times 2) = (0)(1,1,1)(1,1,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3](\omega^3) = (0)(1,1,1)(2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3, \omega^\omega](\omega^\omega) = (0)(1,1,1)(2)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3](\omega^\omega) = (0)(1,1,1)(2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3](\omega^\omega+\omega) = (0)(1,1,1)(2,1)(1,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3, \omega^\omega+\omega^2](\omega^\omega+\omega^2) = (0)(1,1,1)(2,1)(1,1)(2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3, \omega^\omega+\omega^2](\psi_Z(\omega^2)) = (0)(1,1,1)(2,1)(1,1)(2,2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3, \omega^\omega+\omega^2](\psi_Z(\omega^2 \times 2)) = (0)(1,1,1)(2,1)(1,1)(2,2,1)(2,2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3, \omega^\omega+\omega^2](\psi_Z[\omega^3](\omega^3)) = (0)(1,1,1)(2,1)(1,1)(2,2,1)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3, \omega^\omega+\omega^2, \psi_Z[\omega^3, \omega^\omega](\omega^\omega)](\psi_Z[\omega^3, \omega^\omega](\omega^\omega)) = (0)(1,1,1)(2,1)(1,1)(2,2,1)(3)(4)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3, \omega^\omega+\omega^2](\psi_Z[\omega^3, \omega^\omega](\omega^\omega)) = (0)(1,1,1)(2,1)(1,1)(2,2,1)(3,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3, \omega^\omega+\omega^2](\psi_Z[\omega^3, \omega^\omega](\omega^{\omega+1})) = (0)(1,1,1)(2,1)(1,1)(2,2,1)(3,1)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3, \omega^\omega+\omega^2](\psi_Z[\omega^3, \omega^\omega](\omega^{\omega \times 2})) = (0)(1,1,1)(2,1)(1,1)(2,2,1)(3,1)(3,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3, \omega^\omega+\omega^2](\psi_Z[\omega^3, \omega^\omega](\omega^{\omega^2})) = (0)(1,1,1)(2,1)(1,1)(2,2,1)(3,1)(4)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3, \omega^\omega+\omega^2](\psi_Z[\omega^3, \omega^\omega](\omega^{\omega^\omega})) = (0)(1,1,1)(2,1)(1,1)(2,2,1)(3,1)(4,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3, \omega^\omega+\omega^2](\psi_Z[\omega^3, \omega^\omega](\psi_Z(\omega))) = (0)(1,1,1)(2,1)(1,1)(2,2,1)(3,1)(4,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3, \omega^\omega+\omega^2](\psi_Z[\omega^3, \omega^\omega](\psi_Z(\omega^2))) = (0)(1,1,1)(2,1)(1,1)(2,2,1)(3,1)(4,2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3, \omega^\omega+\omega^2](\psi_Z[\omega^3](\omega^\omega)) = (0)(1,1,1)(2,1)(1,1)(2,2,1)(3,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3](\omega^\omega+\omega^2) = (0)(1,1,1)(2,1)(1,1,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3](\omega^\omega+\omega^3) = (0)(1,1,1)(2,1)(1,1,1)(2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3](\omega^\omega \times 2) = (0)(1,1,1)(2,1)(1,1,1)(2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3](\omega^{\omega+1}) = (0)(1,1,1)(2,1)(2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3](\omega^{\omega \times 2}) = (0)(1,1,1)(2,1)(2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3, \omega^{\omega^2}](\omega^{\omega^2}) = (0)(1,1,1)(2,1)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3, \omega^{\omega^2}](\omega^{\omega^\omega}) = (0)(1,1,1)(2,1)(3,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3, \omega^{\omega^2}](\psi_Z(\omega)) = (0)(1,1,1)(2,1)(3,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3, \omega^{\omega^2}](\psi_Z(\omega^2)) = (0)(1,1,1)(2,1)(3,2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3, \omega^{\omega^2}](\psi_Z(\omega^2 \times 2)) = (0)(1,1,1)(2,1)(3,2,1)(3,2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3, \omega^{\omega^2}](\psi_Z[\omega^3](\omega^3)) = (0)(1,1,1)(2,1)(3,2,1)(4)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3, \omega^{\omega^2}](\psi_Z[\omega^3, \omega^\omega](\omega^\omega)) = (0)(1,1,1)(2,1)(3,2,1)(4,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3, \omega^{\omega^2}](\psi_Z[\omega^3](\omega^\omega)) = (0)(1,1,1)(2,1)(3,2,1)(4,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3, \omega^{\omega^2}](\psi_Z[\omega^3, \omega^{\omega^2}](\psi_Z(\omega^2))) = (0)(1,1,1)(2,1)(3,2,1)(4,2)(5,3,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3](\omega^{\omega^2}) = (0)(1,1,1)(2,1,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3](\omega^{\omega^2+\omega}) = (0)(1,1,1)(2,1,1)(2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3, \omega^{\omega^2 \times 2}](\omega^{\omega^2 \times 2}) = (0)(1,1,1)(2,1,1)(2,1)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3, \omega^{\omega^2 \times 2}](\psi_Z(\omega^2)) = (0)(1,1,1)(2,1,1)(2,1)(3,2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3](\omega^{\omega^2 \times 2}) = (0)(1,1,1)(2,1,1)(2,1,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3](\omega^{\omega^3}) = (0)(1,1,1)(2,1,1)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3, \omega^{\omega^\omega}](\omega^{\omega^\omega}) = (0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3, \omega^{\omega^\omega}+\omega^2](\psi_Z[\omega^3](\omega^{\omega^2})) = (0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)(1,1)(2,2,1)(3,2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3, \omega^{\omega^\omega}+\omega^2](\psi_Z[\omega^3](\omega^{\omega^3})) = (0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)(1,1)(2,2,1)(3,2,1)(4)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3, \omega^{\omega^\omega}+\omega^2, \psi_Z[\omega^3, \omega^{\omega^\omega}](\omega^{\omega^\omega})](\psi_Z[\omega^3, \omega^{\omega^\omega}](\omega^{\omega^\omega})) = (0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)(1,1)(2,2,1)(3,2,1)(4)(5)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3, \omega^{\omega^\omega}+\omega^2](\psi_Z[\omega^3, \omega^{\omega^\omega}](\omega^{\omega^\omega})) = (0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)(1,1)(2,2,1)(3,2,1)(4,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3, \omega^{\omega^\omega}+\omega^2](\psi_Z[\omega^3](\omega^{\omega^\omega})) = (0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)(1,1)(2,2,1)(3,2,1)(4,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3](\omega^{\omega^\omega}+\omega^2) = (0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)(1,1,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3](\omega^{\omega^\omega+1}) = (0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)(2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3](\omega^{\omega^\omega+\omega}) = (0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)(2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3, \omega^{\omega^\omega+\omega^2}](\omega^{\omega^\omega+\omega^2}) = (0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)(2,1)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3](\omega^{\omega^\omega+\omega^2}) = (0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)(2,1,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3](\omega^{\omega^\omega+\omega^3}) = (0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)(2,1,1)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3](\omega^{\omega^\omega \times 2}) = (0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)(2,1,1)(3,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3](\omega^{\omega^{\omega+1}}) = (0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3](\omega^{\omega^{\omega \times 2}}) = (0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)(3,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3, \omega^{\omega^{\omega^2}}](\omega^{\omega^{\omega^2}}) = (0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)(4)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3, \omega^{\omega^{\omega^2}}](\omega^{\omega^{\omega^\omega}}) = (0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)(4,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3, \omega^{\omega^{\omega^2}}](\psi_Z[\omega^3](\omega^{\omega^2})) = (0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)(4,2,1)(5,2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3, \omega^{\omega^{\omega^2}}, \psi_Z[\omega^3, \omega^{\omega^\omega}](\omega^{\omega^\omega})](\psi_Z[\omega^3, \omega^{\omega^\omega}](\omega^{\omega^\omega})) = (0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)(4,2,1)(5,2,1)(6)(7)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3, \omega^{\omega^{\omega^2}}](\psi_Z[\omega^3, \omega^{\omega^\omega}](\omega^{\omega^\omega})) = (0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)(4,2,1)(5,2,1)(6,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3, \omega^{\omega^{\omega^2}}](\psi_Z[\omega^3](\omega^{\omega^\omega})) = (0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)(4,2,1)(5,2,1)(6,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3](\omega^{\omega^{\omega^2}}) = (0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^3](\psi_Z(\omega)) = (0)(1,1,1)(2,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
[[分类:分析]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=strong_fffz%E5%88%86%E6%9E%90Part1&amp;diff=3523</id>
		<title>strong fffz分析Part1</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=strong_fffz%E5%88%86%E6%9E%90Part1&amp;diff=3523"/>
		<updated>2026-07-25T10:35:45Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z(0) = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[1](1) = 2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[1](\psi_Z[1](1)) = 3&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z(1) = \omega&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[2](2) = \omega+1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[2](\psi_Z(1)) = \omega \times 2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[2](\psi_Z[2](2)) = \omega \times 2+1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z(2) = \omega^2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega](\omega) = \omega^\omega&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega](\omega+1) = \omega^{\omega+1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega](\omega^2) = \omega^{\omega^2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega](\psi_Z[\omega](\omega)) = \omega^{\omega^\omega}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z(\omega) = (0)(1,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z(\omega+1) = (0)(1,1)(1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega \times 2](\omega \times 2) = (0)(1,1)(1)(2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega \times 2](\omega^\omega) = (0)(1,1)(1)(2)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega \times 2](\psi_Z(\omega)) = (0)(1,1)(1)(2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega \times 2](\psi_Z[\omega \times 2](\omega \times 2)) = (0)(1,1)(1)(2,1)(2)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z(\omega \times 2) = (0)(1,1)(1,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\omega^2) = (0)(1,1)(2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2,\omega^2+\omega](\omega^2+\omega) = (0)(1,1)(2)(1)(2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\omega^2+\omega) = (0)(1,1)(2)(1,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\omega^2 \times 2) = (0)(1,1)(2)(1,1)(2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\omega^3) = (0)(1,1)(2)(2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2, \omega^\omega](\omega^\omega) = (0)(1,1)(2)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2, \omega^\omega](\psi_Z(\omega)) = (0)(1,1)(2)(3,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2, \omega^\omega](\psi_Z[\omega^2, \omega^\omega](\omega^\omega)) = (0)(1,1)(2)(3,1)(4)(5)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\omega^\omega) = (0)(1,1)(2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\omega^\omega + \omega) = (0)(1,1)(2,1)(1,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2, \omega^\omega \times 2](\omega^\omega \times 2) = (0)(1,1)(2,1)(1,1)(2)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\omega^\omega \times 2) = (0)(1,1)(2,1)(1,1)(2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\omega^{\omega+1}) = (0)(1,1)(2,1)(2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\omega^{\omega+1}+\omega^\omega) = (0)(1,1)(2,1)(2)(1,1)(2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\omega^{\omega+2}) = (0)(1,1)(2,1)(2)(2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2, \omega^{\omega \times 2}](\omega^{\omega \times 2}) = (0)(1,1)(2,1)(2)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2, \omega^{\omega \times 2}](\psi_Z(\omega)) = (0)(1,1)(2,1)(2)(3,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2, \omega^{\omega \times 2}](\psi_Z[\omega^2, \omega^{\omega \times 2}](\omega^{\omega \times 2})) = (0)(1,1)(2,1)(2)(3,1)(4,1)(4)(5)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\omega^{\omega \times 2}) = (0)(1,1)(2,1)(2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\omega^{\omega^2}) = (0)(1,1)(2,1)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\omega^{\omega^2+\omega}) = (0)(1,1)(2,1)(3)(2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\omega^{\omega^3}) = (0)(1,1)(2,1)(3)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2, \omega^{\omega^\omega}](\omega^{\omega^\omega}) = (0)(1,1)(2,1)(3)(4)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2, \omega^{\omega^\omega}](\psi_Z(\omega)) = (0)(1,1)(2,1)(3)(4,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2, \omega^{\omega^\omega}](\psi_Z[\omega^2, \omega^{\omega^\omega}](\omega^{\omega^\omega})) = (0)(1,1)(2,1)(3)(4,1)(5,1)(6)(7)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\omega^{\omega^\omega}) = (0)(1,1)(2,1)(3,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\omega^{\omega^\omega+\omega}) = (0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\omega^{\omega^{\omega+1}}) = (0)(1,1)(2,1)(3,1)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\omega^{\omega^{\omega \times 2}}) = (0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\omega^{\omega^{\omega^2}}) = (0)(1,1)(2,1)(3,1)(4)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2, \omega^{\omega^{\omega^\omega}}](\omega^{\omega^{\omega^\omega}}) = (0)(1,1)(2,1)(3,1)(4)(5)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\omega^{\omega^{\omega^\omega}}) = (0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z(\omega)) = (0)(1,1)(2,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z(\omega) + \omega) = (0)(1,1)(2,2)(1,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z(\omega) \times 2) = (0)(1,1)(2,2)(1,1)(2,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z(\omega+1)) = (0)(1,1)(2,2)(2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z(\omega+1) + \psi_Z(\omega)) = (0)(1,1)(2,2)(2)(1,1)(2,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z(\omega+2)) = (0)(1,1)(2,2)(2)(2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2, \psi_Z[\omega \times 2](\omega \times 2)](\psi_Z[\omega \times 2](\omega \times 2)) = (0)(1,1)(2,2)(2)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2, \psi_Z[\omega \times 2](\omega \times 2)](\psi_Z(\omega \times 2)) = (0)(1,1)(2,2)(2)(3,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2, \psi_Z[\omega \times 2](\omega \times 2)](\psi_Z[\omega^2, \psi_Z[\omega \times 2](\omega \times 2)](\psi_Z[\omega \times 2](\omega \times 2))) = (0)(1,1)(2,2)(2)(3,1)(4,2)(4)(5)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega \times 2](\omega \times 2)) = (0)(1,1)(2,2)(2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega \times 2](\omega \times 2+1)) = (0)(1,1)(2,2)(2,1)(2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2, \psi_Z[\omega \times 2](\omega \times 3)](\psi_Z[\omega \times 2](\omega \times 3)) = (0)(1,1)(2,2)(2,1)(2)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega \times 2](\omega \times 3)) = (0)(1,1)(2,2)(2,1)(2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega \times 2](\omega^2)) = (0)(1,1)(2,2)(2,1)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2, \psi_Z[\omega \times 2](\omega^\omega)](\psi_Z[\omega \times 2](\omega^\omega)) = (0)(1,1)(2,2)(2,1)(3)(4)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega \times 2](\omega^\omega)) = (0)(1,1)(2,2)(2,1)(3,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega \times 2](\omega^{\omega^\omega})) = (0)(1,1)(2,2)(2,1)(3,1)(4,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega \times 2](\psi_Z(\omega))) = (0)(1,1)(2,2)(2,1)(3,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega \times 2](\psi_Z(\omega) + \omega)) = (0)(1,1)(2,2)(2,1)(3,2)(2,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega \times 2](\psi_Z(\omega+1))) = (0)(1,1)(2,2)(2,1)(3,2)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2, \psi_Z[\omega \times 2](\psi_Z[\omega \times 2](\omega \times 2))](\psi_Z[\omega \times 2](\psi_Z[\omega \times 2](\omega \times 2))) = (0)(1,1)(2,2)(2,1)(3,2)(3)(4)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega \times 2](\psi_Z[\omega \times 2](\omega \times 2))) = (0)(1,1)(2,2)(2,1)(3,2)(3,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega \times 2](\psi_Z[\omega \times 2](\omega^2))) = (0)(1,1)(2,2)(2,1)(3,2)(3,1)(4)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega \times 2](\psi_Z[\omega \times 2](\omega^\omega))) = (0)(1,1)(2,2)(2,1)(3,2)(3,1)(4,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega \times 2](\psi_Z[\omega \times 2](\psi_Z(\omega))) = (0)(1,1)(2,2)(2,1)(3,2)(3,1)(4,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z(\omega \times 2)) = (0)(1,1)(2,2)(2,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega^2](\omega^2)) = (0)(1,1)(2,2)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega^2](\omega^2 + \omega)) = (0)(1,1)(2,2)(3)(2,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega^2](\omega^3)) = (0)(1,1)(2,2)(3)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2, \psi_Z[\omega^2, \omega^\omega](\omega^\omega)](\psi_Z[\omega^2, \omega^\omega](\omega^\omega)) = (0)(1,1)(2,2)(3)(4)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega^2, \omega^\omega](\omega^\omega)) = (0)(1,1)(2,2)(3,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega^2, \omega^\omega](\omega^{\omega+1})) = (0)(1,1)(2,2)(3,1)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega^2, \omega^\omega](\omega^{\omega \times 2})) = (0)(1,1)(2,2)(3,1)(3,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega^2, \omega^\omega](\omega^{\omega^2})) = (0)(1,1)(2,2)(3,1)(4)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega^2, \omega^\omega](\omega^{\omega^\omega})) = (0)(1,1)(2,2)(3,1)(4,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega^2, \omega^\omega](\psi_Z(\omega))) = (0)(1,1)(2,2)(3,1)(4,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega^2, \omega^\omega](\psi_Z[\omega \times 2](\omega \times 2))) = (0)(1,1)(2,2)(3,1)(4,2)(3,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega^2, \omega^\omega](\psi_Z[\omega \times 2](\omega^2))) = (0)(1,1)(2,2)(3,1)(4,2)(3,1)(4)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega^2, \omega^\omega](\psi_Z[\omega \times 2](\omega^\omega))) = (0)(1,1)(2,2)(3,1)(4,2)(3,1)(4,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega^2, \omega^\omega](\psi_Z[\omega \times 2](\psi_Z(\omega)))) = (0)(1,1)(2,2)(3,1)(4,2)(3,1)(4,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega^2, \omega^\omega](\psi_Z[\omega \times 2](\psi_Z(\omega)+\omega))) = (0)(1,1)(2,2)(3,1)(4,2)(3,1)(4,2)(3,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega^2, \omega^\omega](\psi_Z[\omega \times 2](\psi_Z(\omega+1)))) = (0)(1,1)(2,2)(3,1)(4,2)(4)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega^2, \omega^\omega](\psi_Z[\omega \times 2](\psi_Z[\omega \times 2](\omega \times 2)))) = (0)(1,1)(2,2)(3,1)(4,2)(4,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega^2, \omega^\omega](\psi_Z[\omega \times 2](\psi_Z[\omega \times 2](\psi_Z(\omega))))) = (0)(1,1)(2,2)(3,1)(4,2)(4,1)(5,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega^2, \omega^\omega](\psi_Z(\omega \times 2))) = (0)(1,1)(2,2)(3,1)(4,2)(4,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega^2, \omega^\omega](\psi_Z[\omega^2](\omega^2))) = (0)(1,1)(2,2)(3,1)(4,2)(5)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega^2, \omega^\omega](\psi_Z[\omega^2, \omega^\omega](\omega^\omega))) = (0)(1,1)(2,2)(3,1)(4,2)(5,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega^2, \omega^\omega](\psi_Z[\omega^2, \omega^\omega](\psi_Z(\omega)))) = (0)(1,1)(2,2)(3,1)(4,2)(5,1)(6,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega^2](\omega^\omega)) = (0)(1,1)(2,2)(3,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega^2](\omega^\omega + \omega)) = (0)(1,1)(2,2)(3,2)(2,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2, \psi_Z[\omega^2, \omega^\omega \times 2](\omega^\omega \times 2)](\psi_Z[\omega^2, \omega^\omega \times 2](\omega^\omega \times 2)) = (0)(1,1)(2,2)(3,2)(2,2)(3)(4)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega^2, \omega^\omega \times 2](\omega^\omega \times 2)) = (0)(1,1)(2,2)(3,2)(2,2)(3,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega^2](\omega^\omega \times 2)) = (0)(1,1)(2,2)(3,2)(2,2)(3,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega^2](\omega^{\omega+1})) = (0)(1,1)(2,2)(3,2)(3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2, \psi_Z[\omega^2, \omega^{\omega \times 2}](\omega^{\omega \times 2})](\psi_Z[\omega^2, \omega^{\omega \times 2}](\omega^{\omega \times 2})) = (0)(1,1)(2,2)(3,2)(3)(4)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega^2, \omega^{\omega \times 2}](\omega^{\omega \times 2})) = (0)(1,1)(2,2)(3,2)(3,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega^2](\omega^{\omega \times 2})) = (0)(1,1)(2,2)(3,2)(3,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega^2](\omega^{\omega^2})) = (0)(1,1)(2,2)(3,2)(4)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega^2](\omega^{\omega^\omega})) = (0)(1,1)(2,2)(3,2)(4,2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\omega^2](\psi_Z[\omega^2](\psi_Z(\omega))) = (0)(1,1)(2,2)(3,3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z(\omega^2) = (0)(1,1,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
[[分类:分析]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS%E5%88%86%E6%9E%90Part4&amp;diff=3508</id>
		<title>PPS分析Part4</title>
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		<updated>2026-07-24T03:51:05Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|PPS&lt;br /&gt;
|康托范式&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,35,18,9,3,0,42&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_(ε_ε_0+1)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,35,18,9,3,0,42,18,9,3,0,0,35,18,9,3,0,53&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_(ε_ε_0+2)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,35,18,9,3,0,42,18,9,3,0,42&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_(ε_ε_0+ω)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,35,18,9,3,0,43&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_(ε_ε_0+ω^ω)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,35,18,9,3,0,44&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_(ε_ε_0+ε_0)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,35,18,9,3,0,45&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_(ε_ε_0×2)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,36&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0+1))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,36,9,3,0,0,35,18,9,3,0,50&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0+1)+ε_ε_0)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,36,9,3,0,0,35,18,9,3,0,50,0,47&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0+1)+ω^(ε_ε_0+1))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,36,9,3,0,0,35,18,9,3,0,50,0,47,18,9,3,0,0,47&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0+2))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,36,9,3,0,0,35,18,9,3,0,50,0,47,18,9,3,0,54&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0+ω))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,36,9,3,0,0,35,18,9,3,0,50,0,47,18,9,3,0,55&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0+ω^ω))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,36,9,3,0,0,35,18,9,3,0,50,0,47,18,9,3,0,57&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0×2))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,36,9,3,0,0,35,18,9,3,0,50,0,48&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_(ω^(ω^(ε_ε_0+1)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,36,9,3,0,0,36&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_(ω^(ω^(ε_ε_0+1)+1))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,36,9,3,0,42&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_ε_(ε_0+1)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,36,9,3,0,43&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_ε_(ε_0+ω^ω)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,36,9,3,0,44&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_ε_(ε_0×2)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,37&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_ε_(ω^(ε_0+1))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,37,3,0,0,36,9,3,0,48&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_ε_(ω^(ε_0+1)+ε_0)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,37,3,0,0,36,9,3,0,48,0,46&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_ε_(ω^(ε_0+1)+ω^(ε_0+1))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,37,3,0,0,36,9,3,0,48,0,46,9,3,0,0,46&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_ε_(ω^(ε_0+2))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,37,3,0,0,36,9,3,0,48,0,46,9,3,0,52&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_ε_(ω^(ε_0+ω))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,37,3,0,0,36,9,3,0,48,0,46,9,3,0,54&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_ε_(ω^(ε_0×2))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,37,3,0,0,36,9,3,0,48,0,46,9,3,0,54,0,46,9,3,0,60&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_ε_(ω^(ε_0×3))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,37,3,0,0,36,9,3,0,48,0,47&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_ε_(ω^(ω^(ε_0+1)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,37,3,0,0,37&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_ε_(ω^(ω^(ε_0+1)+1))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,37,3,0,42&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_ε_ε_1&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,37,3,0,43&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_ε_ε_(ω^ω)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,38&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_ε_ε_(ω^(ω+1))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,39&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,39,29&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_ε_0+1))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,39,29,18,9,3,0,0,39&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_ε_0+ω))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,39,29,18,9,3,0,40&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_ε_0+ω^ω))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,39,29,18,9,3,0,40,29,18,9,3,0,40&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_ε_0+ω^(ω^2)))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,39,29,18,9,3,0,41&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_ε_0+ω^(ω^ω)))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,39,29,18,9,3,0,42&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_ε_0+ε_0))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,39,29,18,9,3,0,45&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_ε_0×2))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_ε_0+1)))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,49&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+1)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ω^ω)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,0,0,10,0,58&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ω^ω×2)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,0,49&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ω^(ω+1))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,0,49,0,57&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ω^(ω^ω))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,0,50&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ω^(ω^(ω+1)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,0,50,9,3,0,0,50&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ω^(ω^(ω^(ω+1)+1)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,51&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_0)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,51,9,3,0,0,49,0,61,9,3,0,62&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ω^(ε_0×2))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,51,9,3,0,0,50&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ω^(ω^(ε_0+1)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,51,9,3,0,0,50,9,3,0,0,50&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ω^(ω^(ω^(ε_0+1)+1)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,51,9,3,0,0,50,9,3,0,60&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_1)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,51,9,3,0,51&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_ω)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,52&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^ω))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,52,3,0,51&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ω+1)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,52,3,0,52&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ω^(ω+1))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,53&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_ε_0)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,53,0,52,3,0,57&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_ε_1)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,53,0,52,3,0,58&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_ε_(ω^ω))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,53,0,53&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_ε_(ω^(ω+1)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_ε_ε_0)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,0,50,9,3,0,60&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ε_ε_0×2))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ε_ε_0+1)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,0,3,0,62,0,50,9,3,0,65&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ε_ε_0+1)+1))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,0,3,0,62,0,50,9,3,0,68&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ε_ε_0+1)+ε_ε_0))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,0,3,0,62,0,50,9,3,0,68,65&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ε_ε_0+1)×2))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,0,3,0,62,51&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ε_ε_0+2)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,0,3,0,62,51,9,3,0,0,3,0,70,51&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ε_ε_0+3)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,0,54&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ε_ε_0+ω)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,0,54,51&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ε_ε_0+ω+1)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,0,54,51,9,3,0,0,3,0,68,51,9,3,0,0,68&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ε_ε_0+ω×2)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,0,54,51,9,3,0,0,54&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ε_ε_0+ω^2)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,55&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ε_ε_0+ω^ω)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,55,51,9,3,0,0,54,51,9,3,0,66&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ε_ε_0+ω^(ω×2))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,55,51,9,3,0,55&lt;br /&gt;
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|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,56&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ε_ε_0+ω^(ω^ω))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,56,9,3,0,56&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ε_ε_0+ω^(ω^(ω^(ω+1))))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,57&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ε_ε_0+ε_0)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,58&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ε_ε_0×2)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,59&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_ε_ε_ε_0)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,59,0,49,0,63,9,3,0,67,64,9,3,0,72&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_ε_ε_ε_0×2)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,59,0,50&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ω^(ε_ε_ε_ε_0+1))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,59,0,50,9,3,0,62&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ε_ε_ε_0+1))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,59,0,50,9,3,0,65&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ε_ε_ε_0×2))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,59,0,50,9,3,0,65,62&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ε_ε_ε_0+1)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,59,0,50,9,3,0,65,62,9,3,0,0,3,0,73,62&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ε_ε_ε_0+2)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,59,0,50,9,3,0,65,62,9,3,0,0,65&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ε_ε_ε_0+ω)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,59,0,50,9,3,0,65,62,9,3,0,66&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ε_ε_ε_0+ω^ω)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,59,0,50,9,3,0,65,62,9,3,0,67&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ε_ε_ε_0+ω^(ω^ω))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,59,0,50,9,3,0,65,62,9,3,0,68&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ε_ε_ε_0+ε_0)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,59,0,50,9,3,0,65,62,9,3,0,70&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ε_ε_ε_0×2)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,59,51&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+1))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,59,51,9,3,0,0,59,0,50,9,3,0,71,68,9,3,0,76,68&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+1)×2)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,59,51,9,3,0,0,59,51&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+2))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,59,51,9,3,0,60&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ω))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,59,51,9,3,0,61&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ω^ω))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,59,51,9,3,0,62&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ε_0))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,59,51,9,3,0,64&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ω^(ε_ε_ε_0×2))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,59,51,9,3,0,64,0,50,9,3,0,70&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ω^(ε_ε_ε_0×2))+ε_ε_ε_0))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,59,51,9,3,0,64,0,50,9,3,0,70,67,9,3,0,75,67&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ω^(ε_ε_ε_0×2))×2))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,59,51,9,3,0,64,0,50,9,3,0,70,67,9,3,0,75,67,9,3,0,0,75,67&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ω^(ε_ε_ε_0×2)+1)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,59,51,9,3,0,64,0,50,9,3,0,70,67,9,3,0,75,67,9,3,0,76&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ω^(ε_ε_ε_0×2)+ω)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,59,51,9,3,0,64,0,50,9,3,0,70,67,9,3,0,75,67,9,3,0,80&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ω^(ε_ε_ε_0×2)+ε_ε_ε_0)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,59,51,9,3,0,64,51&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ω^(ε_ε_ε_0×2+1))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,51,9,3,0,59,51,9,3,0,64,51,9,3,0,69&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ω^(ε_ε_ε_0×3))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,52&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+1)))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,52,3,0,0,3,0,61,51&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+1)+1))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,52,3,0,0,3,0,61,51,9,3,0,66&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+1)+ε_ε_ε_0))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,52,3,0,0,3,0,61,51,9,3,0,66,0,3,0,70,51,9,3,0,75&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+1)+ε_ε_ε_0×2))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,52,3,0,0,3,0,61,51,9,3,0,66,0,61&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+1)×2))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,52,3,0,0,3,0,61,51,9,3,0,66,0,61,51,9,3,0,73,0,61&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+2)))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,52,3,0,0,3,0,61,51,9,3,0,66,62&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ω)))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,52,3,0,0,3,0,61,51,9,3,0,66,62,51,9,3,0,0,66,0,61&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ω+1)))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,52,3,0,0,3,0,61,51,9,3,0,66,62,51,9,3,0,0,66,0,61,51,9,3,0,76&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ω×2)))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,52,3,0,0,3,0,61,51,9,3,0,66,62,51,9,3,0,0,66,0,61,51,9,3,0,77&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ω^ω)))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,52,3,0,0,3,0,61,51,9,3,0,66,62,51,9,3,0,0,66,0,61,51,9,3,0,78&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ε_0)))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,52,3,0,0,3,0,61,51,9,3,0,66,62,51,9,3,0,0,66,0,61,51,9,3,0,80&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0×2)))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,52,3,0,0,3,0,61,51,9,3,0,66,62,51,9,3,0,0,66,0,61,51,9,3,0,80,76&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+1))))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,52,3,0,0,3,0,61,51,9,3,0,66,62,51,9,3,0,0,66,0,61,51,9,3,0,80,76,51,9,3,0,0,3,0,89,76&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+2))))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,52,3,0,0,3,0,61,51,9,3,0,66,62,51,9,3,0,0,66,0,61,51,9,3,0,80,76,51,9,3,0,0,80&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ω))))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,52,3,0,0,3,0,61,51,9,3,0,66,62,51,9,3,0,0,66,62&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ω+1))))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,52,3,0,0,3,0,61,51,9,3,0,66,62,51,9,3,0,67&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ω^ω))))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,52,3,0,0,3,0,61,51,9,3,0,66,62,51,9,3,0,68&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ω^(ω^ω)))))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,52,3,0,0,3,0,61,51,9,3,0,66,62,51,9,3,0,69&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ε_0))))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,52,3,0,0,3,0,61,51,9,3,0,66,62,51,9,3,0,70&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ε_ε_0))))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,52,3,0,0,3,0,61,51,9,3,0,66,62,51,9,3,0,71&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0×2))))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,52,3,0,0,3,0,61,51,9,3,0,66,62,51,9,3,0,72&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α+ε_ε_ε_ε_ε_0)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,0,10,0,50,9,3,0,54,52,3,0,0,3,0,61,51,9,3,0,66,63&lt;br /&gt;
|ε_ε_(α×2)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,16&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ω^(α+1))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,17,9,3,0,48&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(β+1)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,17,9,3,0,49&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(β+ω^ω)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,17,9,3,0,50&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(β+ε_0)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,17,9,3,0,51&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(β+ε_ε_0)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,17,9,3,0,51,0,17,9,3,0,57&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(β+ε_ε_0×2)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,17,9,3,0,51,48&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(β+ω^(ε_ε_0+1))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,17,9,3,0,51,48,9,3,0,0,3,0,59,48&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(β+ω^(ε_ε_0+2))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,17,9,3,0,51,48,9,3,0,0,51&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(β+ω^(ε_ε_0+ω))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,17,9,3,0,51,48,9,3,0,0,51,48&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(β+ω^(ε_ε_0+ω+1))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,17,9,3,0,51,48,9,3,0,52&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(β+ω^(ε_ε_0+ω^ω))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,17,9,3,0,51,48,9,3,0,53&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(β+ω^(ε_ε_0+ω^(ω^ω)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,17,9,3,0,51,48,9,3,0,54&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(β+ω^(ε_ε_0+ε_0))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,17,9,3,0,51,48,9,3,0,55&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(β+ω^(ε_ε_0×2))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,17,9,3,0,51,48,9,3,0,56&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(β+ε_ε_ε_0)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,17,9,3,0,51,49&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(β+ω^(ε_ε_ε_0+1))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,17,9,3,0,51,49,3,0,0,3,0,58,48&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(β+ω^(ε_ε_ε_0+2))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,17,9,3,0,51,49,3,0,0,3,0,58,48,9,3,0,63&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(β+ω^(ε_ε_ε_0×2))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,17,9,3,0,51,49,3,0,0,3,0,58,48,9,3,0,63,0,3,0,67,48,9,3,0,72&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(β+ω^(ε_ε_ε_0×3))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,17,9,3,0,51,49,3,0,0,3,0,58,48,9,3,0,63,0,58&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(β+ω^(ω^(ε_ε_ε_0+1)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,17,9,3,0,51,49,3,0,0,3,0,58,48,9,3,0,63,0,58,48,9,3,0,0,58&lt;br /&gt;
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|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,17,9,3,0,51,49,3,0,0,3,0,58,48,9,3,0,63,0,58,48,9,3,0,70&lt;br /&gt;
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|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,17,9,3,0,51,49,3,0,0,3,0,58,48,9,3,0,63,59&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(β+ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+1)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,17,9,3,0,51,49,3,0,0,3,0,58,48,9,3,0,63,59,48,9,3,0,69&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(β+ε_ε_ε_ε_0)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,17,9,3,0,51,49,3,0,0,3,0,58,48,9,3,0,63,60&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(β×2)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,0,17,9,3,0,51,49,3,0,0,3,0,58,48,9,3,0,63,60,9,3,0,0,3,0,71,0,3,0,75,0,17,9,3,0,81,79,3,0,0,3,0,88,78,9,3,0,93,90&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(β×3)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,3,0,45,18&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_ε_0+1)))+1))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,0,28&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_ε_0+1))+1)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,29&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_ε_0+1)+1))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,29,18,9,3,0,47,42,29,18,9,3,0,54&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,29,18,9,3,0,47,43,18,9,3,0,0,3,0,56,42,29,18,9,3,0,63,57,42,29,18,9,3,0,71&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,29,18,9,3,0,47,43,18,9,3,0,0,3,0,56,42,29,18,9,3,0,63,58,29,18,9,3,0,0,3,0,73,57,42,29,18,9,3,0,81,74,57,42,29,18,9,3,0,90&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|Limit&lt;br /&gt;
|ζ_0&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
[[分类:分析]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
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	<entry>
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		<title>PPS分析Part3</title>
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		<updated>2026-07-24T03:45:57Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|PPS&lt;br /&gt;
|康托范式&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10&lt;br /&gt;
|ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_0+1)))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,0,4&lt;br /&gt;
|ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_0+1))+1)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,0,4,3,0,18&lt;br /&gt;
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|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,0,4,3,0,18,0,17&lt;br /&gt;
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|-&lt;br /&gt;
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|-&lt;br /&gt;
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|-&lt;br /&gt;
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|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,0,4,3,0,19,0,4,3,0,24&lt;br /&gt;
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|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,0,4,3,0,19,17&lt;br /&gt;
|ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_0+1))+ω^(ε_0+1))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,0,4,3,0,19,17,3,0,0,3,0,26,0,4&lt;br /&gt;
|ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_0+1))+ω^(ε_0+1)+1)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,0,4,3,0,19,17,3,0,0,3,0,26,17&lt;br /&gt;
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|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,0,4,3,0,19,17,3,0,0,19&lt;br /&gt;
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|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,0,4,3,0,19,17,3,0,20&lt;br /&gt;
|ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_0+1))+ω^(ε_0+ω^ω))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,0,4,3,0,19,17,3,0,21&lt;br /&gt;
|ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_0+1))+ω^(ε_0+ω^(ω^ω)))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,0,4,3,0,19,17,3,0,22&lt;br /&gt;
|ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_0+1))+ω^(ε_0×2))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,0,4,3,0,19,17,3,0,23&lt;br /&gt;
|ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_0+1))+ε_ε_0)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,0,4,3,0,19,17,3,0,23,17&lt;br /&gt;
|ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_0+1))+ω^(ε_ε_0+1))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,0,4,3,0,19,17,3,0,23,17,3,0,27&lt;br /&gt;
|ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_0+1))+ω^(ε_ε_0×2))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,0,4,3,0,19,18&lt;br /&gt;
|ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_0+1))×2)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,9&lt;br /&gt;
|ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_0+1)+1))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,9,3,0,18&lt;br /&gt;
|ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_0+1)+ε_0))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,9,3,0,18,0,9,3,0,23&lt;br /&gt;
|ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_0+1)+ε_0×2))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,9,3,0,18,16&lt;br /&gt;
|ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_0+1)+ω^(ε_0+1)))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,9,3,0,18,16,3,0,22&lt;br /&gt;
|ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_0+1)+ε_ε_0))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,9,3,0,18,16,3,0,22,16&lt;br /&gt;
|ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_0+1)+ω^(ε_ε_0+1)))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,9,3,0,18,16,3,0,22,16,3,0,26&lt;br /&gt;
|ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_0×2)))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,9,3,0,18,17&lt;br /&gt;
|ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_0+1))))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,9,3,0,18,17,0,0,9,3,0,25,24&lt;br /&gt;
|ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_0+1))×2))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10&lt;br /&gt;
|ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_0+1)+1)))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,0,9&lt;br /&gt;
|ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_0+1)+1)+1))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,0,9,3,0,21,20&lt;br /&gt;
|ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_0+1)+1)+ω^(ω^(ε_ε_0+1)) ))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,0,9,3,0,21,20,0,0,19&lt;br /&gt;
|ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_0+1)+1)+ω^(ω^(ε_ε_0+1)+1) ))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,0,9,3,0,21,20,0,0,19,3,0,0,19&lt;br /&gt;
|ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_0+1)+2)))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,0,9,3,0,21,20,0,0,19,3,0,28&lt;br /&gt;
|ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_0+1)+ε_0)))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,0,9,3,0,21,20,0,0,19,3,0,28,27&lt;br /&gt;
|ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_0+1)))))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,0,9,3,0,21,20,0,0,20&lt;br /&gt;
|ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_0+1)+1))))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,0,10&lt;br /&gt;
|ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_0+1)+1)+1)))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,16&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ε_0+1)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,16,0,0,10,0,21&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ε_0+2)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,16,0,16&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ε_0+ω)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ε_0+ω^ω)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,0,0,10,0,25&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ε_0+ω^ω×2)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,0,16&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ε_0+ω^(ω+1))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,0,16,0,0,16&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ε_0+ω^(ω+2))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,0,16,0,23&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ε_0+ω^(ω×2))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,0,16,0,24&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ε_0+ω^(ω^ω))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,0,16,0,24,9,3,0,0,0,10,0,32&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ε_0+ω^(ω^ω)+ω^ω)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,0,16,0,24,9,3,0,0,0,10,0,32,9,3,0,0,31&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ε_0+ω^(ω^ω)+ω^(ω+1))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,0,16,0,24,9,3,0,0,0,10,0,32,9,3,0,0,31,0,39&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ε_0+ω^(ω^ω)×2)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,0,16,0,24,9,3,0,0,16&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ε_0+ω^(ω^ω+1))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,0,16,0,24,9,3,0,0,16,0,30&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ε_0+ω^(ω^ω+ω))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,0,16,0,24,9,3,0,0,16,0,31&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ε_0+ω^(ω^ω×2))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,0,17&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ε_0+ω^(ω^(ω+1)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,0,17,9,3,0,0,16&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ε_0+ω^(ω^(ω+1)+1))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,0,17,9,3,0,0,16,0,29&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ε_0+ω^(ω^(ω+1)+ω^ω))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,0,17,9,3,0,0,16,0,29,9,3,0,0,28&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ε_0+ω^(ω^(ω+1)+ω^(ω+1)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,0,17,9,3,0,0,16,0,29,9,3,0,0,28,0,0,28&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ε_0+ω^(ω^(ω+2)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,0,17,9,3,0,0,16,0,29,9,3,0,0,28,0,35&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ε_0+ω^(ω^(ω×2)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,0,17,9,3,0,0,16,0,29,9,3,0,0,28,0,36&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ε_0+ω^(ω^(ω^ω)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,0,17,9,3,0,0,16,0,29,9,3,0,0,28,0,36,9,3,0,0,28,0,43&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ε_0+ω^(ω^(ω^ω×2)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,0,17,9,3,0,0,16,0,29,9,3,0,0,29&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ε_0+ω^(ω^(ω^(ω+1))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,0,17,9,3,0,0,16,0,29,9,3,0,0,29,9,3,0,0,16,0,41,9,3,0,0,41&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ε_0+ω^(ω^(ω^(ω+1))×2))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,0,17,9,3,0,0,17&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ε_0+ω^(ω^(ω^(ω+1)+1)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,18&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ε_0×2)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,18,9,3,0,0,0,10,0,29,9,3,0,30&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ε_0×3)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,18,9,3,0,0,16&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ω^(ε_0+1))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,18,9,3,0,0,16,0,28&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ω^(ε_0+ω^ω))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,18,9,3,0,0,16,0,28,9,3,0,29&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ω^(ε_0×2))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,18,9,3,0,0,17&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ω^(ω^(ε_0+1)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,18,9,3,0,0,17,9,3,0,0,16,0,33,9,3,0,34&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ω^(ω^(ε_0+1)+ε_0))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,18,9,3,0,0,17,9,3,0,0,16,0,33,9,3,0,34,9,3,0,0,32&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ω^(ω^(ε_0+1)+ω^(ε_0+1) ))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,18,9,3,0,0,17,9,3,0,0,16,0,33,9,3,0,34,9,3,0,0,32,0,0,32&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ω^(ω^(ε_0+2)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,18,9,3,0,0,17,9,3,0,0,16,0,33,9,3,0,34,9,3,0,0,32,0,44&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ω^(ω^(ε_0+ω^ω)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,18,9,3,0,0,17,9,3,0,0,16,0,33,9,3,0,34,9,3,0,0,32,0,44,9,3,0,45&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ω^(ω^(ε_0×2)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,18,9,3,0,0,17,9,3,0,0,16,0,33,9,3,0,34,9,3,0,0,32,0,44,9,3,0,45,9,3,0,0,32,0,55,9,3,0,56&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ω^(ω^(ε_0×3)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,18,9,3,0,0,17,9,3,0,0,16,0,33,9,3,0,34,9,3,0,0,33&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ε_0+1))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,18,9,3,0,0,17,9,3,0,0,16,0,33,9,3,0,34,9,3,0,0,33,9,3,0,0,16,0,49,9,3,0,50,9,3,0,0,49&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ε_0+1))×2))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,18,9,3,0,0,17,9,3,0,0,17&lt;br /&gt;
|ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ε_0+1)+1)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,18,9,3,0,0,17,9,3,0,27&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_1&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,18,9,3,0,0,17,9,3,0,27,9,3,0,0,17,9,3,0,36&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_2&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,18,9,3,0,18&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ω&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,19&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^ω)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,20&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,20,0,0,17,9,3,0,25&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ε_0+1)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,20,0,0,17,9,3,0,27&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ε_0×2)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,20,0,18&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_0+1))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,20,0,18,9,3,0,0,18&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_0+2))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,20,0,18,9,3,0,25&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_0+ω^ω))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,20,0,18,9,3,0,26&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_0×2))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,20,0,18,9,3,0,26,0,18,9,3,0,32&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_0×3))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,20,0,19&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ε_0+1)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,20,0,19,3,0,0,18,9,3,0,30&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ε_0+1)+ε_0))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,20,0,19,3,0,0,18,9,3,0,30,0,28&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ε_0+1)+ω^(ε_0+1)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,20,0,19,3,0,0,18,9,3,0,30,0,28,9,3,0,0,28&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ε_0+2)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,20,0,19,3,0,0,18,9,3,0,30,0,28,9,3,0,35&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ε_0+ω^ω)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,20,0,19,3,0,0,18,9,3,0,30,0,28,9,3,0,36&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ε_0×2)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,20,0,19,3,0,0,18,9,3,0,30,0,29&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ε_0+1))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,20,0,19,3,0,0,18,9,3,0,30,0,29,3,0,0,18,9,3,0,40,0,39&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ε_0+1))×2))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,20,0,19,3,0,0,19&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ε_0+1)+1)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,20,0,19,3,0,24&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_1&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,20,0,19,3,0,24,3,0,0,19,3,0,31&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_2&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,20,0,19,3,0,24,3,0,24&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_ω&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,20,0,19,3,0,25&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_(ω^ω)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,20,0,19,3,0,25,0,19,3,0,30&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_(ω^ω×2)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,20,0,20&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_(ω^(ω+1))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,20,0,20,0,19,3,0,27&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_(ω^(ω+1)+ω^ω)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,20,0,20,0,19,3,0,27,0,26&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_(ω^(ω+1)×2)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,20,0,20,0,19,3,0,27,0,26,3,0,0,26&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_(ω^(ω+2))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,20,0,20,0,19,3,0,27,0,26,3,0,32&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_(ω^(ω^ω))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,20,0,20,0,19,3,0,27,0,27&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω+1)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,20,0,20,0,20&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω+1)+1))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,0,17,9,3,0,27&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ε_ε_0×2)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0+1))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,0,3,0,29,18&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0+2))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,0,21&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0+ω))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,0,21,18&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0+ω+1))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,0,21,18,9,3,0,0,3,0,35,18,9,3,0,0,35&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0+ω×2))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,0,21,18,9,3,0,0,3,0,35,18,9,3,0,0,35,18,9,3,0,0,3,0,49,18,9,3,0,0,49&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0+ω×3))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,0,21,18,9,3,0,0,21&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0+ω^2))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,22&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0+ω^ω))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,22,18,9,3,0,0,3,0,34,18,9,3,0,0,34&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0+ω^ω+ω))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,22,18,9,3,0,0,3,0,34,18,9,3,0,35&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0+ω^ω×2))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,22,18,9,3,0,0,21&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0+ω^(ω+1)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,22,18,9,3,0,0,21,18,9,3,0,0,3,0,40,18,9,3,0,41,18,9,3,0,0,40&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0+ω^(ω+1)×2))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,22,18,9,3,0,0,21,18,9,3,0,0,21&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0+ω^(ω+2)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,22,18,9,3,0,0,21,18,9,3,0,33&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0+ω^(ω×2)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,22,18,9,3,0,0,21,18,9,3,0,33,18,9,3,0,0,21,18,9,3,0,44&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0+ω^(ω×3)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,22,18,9,3,0,22&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0+ω^(ω^2)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,22,18,9,3,0,22,18,9,3,0,22&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0+ω^(ω^3)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,23&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0+ω^(ω^ω)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,23,9,3,0,0,21,18,9,3,0,32&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0+ω^(ω^ω+ω)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,23,9,3,0,0,21,18,9,3,0,33&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0+ω^(ω^ω×2)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,23,9,3,0,22&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0+ω^(ω^(ω+1))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,23,9,3,0,22,18,9,3,0,0,0,21,18,9,3,0,39,9,3,0,38&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0+ω^(ω^(ω+1)×2)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,23,9,3,0,22,18,9,3,0,0,22&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0+ω^(ω^(ω+2))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,23,9,3,0,22,18,9,3,0,32&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0+ω^(ω^(ω^ω))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,23,9,3,0,22,18,9,3,0,32,9,3,0,22,18,9,3,0,41&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0+ω^(ω^(ω^ω×2))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,23,9,3,0,23&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0+ω^(ω^(ω^(ω+1)))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,24&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0+ε_0))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,24,3,0,23,9,3,0,30&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0+ε_1))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,24,3,0,23,9,3,0,31&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0+ε_(ω^ω)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,24,3,0,24&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0+ε_(ω^(ω+1))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0×2))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,0,3,0,31,18,9,3,0,0,31&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0×2+ω))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,0,3,0,31,18,9,3,0,32&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0×2+ω^ω))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,0,3,0,31,18,9,3,0,33&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0×2+ω^(ω^ω)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,0,3,0,31,18,9,3,0,35&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_0×3))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,0,21&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ε_ε_0+1)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,0,21,18,9,3,0,30&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ε_ε_0+ω)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,0,21,18,9,3,0,31&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ε_ε_0+ω^ω)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,0,21,18,9,3,0,31,9,3,0,0,21,18,9,3,0,41&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ε_ε_0+ω^ω×2)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,0,21,18,9,3,0,31,9,3,0,30&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ε_ε_0+ω^(ω+1))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,0,21,18,9,3,0,31,9,3,0,30,18,9,3,0,0,30&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ε_ε_0+ω^(ω+2))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,0,21,18,9,3,0,31,9,3,0,30,18,9,3,0,39&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ε_ε_0+ω^(ω×2))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,0,21,18,9,3,0,31,9,3,0,30,18,9,3,0,40&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ε_ε_0+ω^(ω^ω))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,0,21,18,9,3,0,31,9,3,0,31&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ε_ε_0+ω^(ω^(ω+1)))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,0,21,18,9,3,0,32&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ε_ε_0+ε_0)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,0,21,18,9,3,0,33&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ε_ε_0×2)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,22&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^ω^(ω^(ε_ε_0+1)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,22,18,9,3,0,29&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^ω^(ω^(ε_ε_0+ω)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,22,18,9,3,0,30&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^ω^(ω^(ε_ε_0+ω^ω)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,22,18,9,3,0,30,9,3,0,0,22,18,9,3,0,40&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^ω^(ω^(ε_ε_0+ω^ω×2)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,22,18,9,3,0,30,9,3,0,29&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^ω^(ω^(ε_ε_0+ω^(ω+1))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,22,18,9,3,0,30,9,3,0,29,18,9,3,0,0,29&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^ω^(ω^(ε_ε_0+ω^(ω+2))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,22,18,9,3,0,30,9,3,0,29,18,9,3,0,38&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^ω^(ω^(ε_ε_0+ω^(ω×2))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,22,18,9,3,0,30,9,3,0,29,18,9,3,0,39&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^ω^(ω^(ε_ε_0+ω^(ω^ω))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,22,18,9,3,0,30,9,3,0,30&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^ω^(ω^(ε_ε_0+ω^(ω^(ω+1)))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,22,18,9,3,0,31&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^ω^(ω^(ε_ε_0+ε_0)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,22,18,9,3,0,32&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^ω^(ω^(ε_ε_0×2)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,22,18,9,3,0,32,0,22,18,9,3,0,39&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^ω^(ω^(ε_ε_0×3)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,23&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^ω^(ω^(ω^(ε_ε_0+1))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,23,9,3,0,0,22,18,9,3,0,36&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^ω^(ω^(ω^(ε_ε_0+1)+ε_0)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,23,9,3,0,0,22,18,9,3,0,37&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^ω^(ω^(ω^(ε_ε_0+1)+ε_ε_0)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,23,9,3,0,0,22,18,9,3,0,37,0,34&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^ω^(ω^(ω^(ε_ε_0+1)+ω^(ε_ε_0+1))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,23,9,3,0,0,22,18,9,3,0,37,0,34,18,9,3,0,0,34&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^ω^(ω^(ω^(ε_ε_0+2))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,23,9,3,0,0,22,18,9,3,0,37,0,34,18,9,3,0,43&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^ω^(ω^(ω^(ε_ε_0+ε_0))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,23,9,3,0,0,22,18,9,3,0,37,0,34,18,9,3,0,44&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^ω^(ω^(ω^(ε_ε_0×2))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,23,9,3,0,0,22,18,9,3,0,37,0,35&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_0+1)))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,23,9,3,0,0,23&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_0+1)+1))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,23,9,3,0,29&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_(ε_0+1)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,23,9,3,0,30&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_(ε_0+ω^ω)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,23,9,3,0,31&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_(ε_0×2)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,24&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_(ω^(ε_0+1))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,24,3,0,0,23,9,3,0,35,0,33,9,3,0,0,33&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_(ω^(ε_0+2))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,24,3,0,0,23,9,3,0,35,0,33,9,3,0,41&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_(ω^(ε_0×2))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,24,3,0,0,23,9,3,0,35,0,34&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_(ω^(ω^(ε_0+1)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,24,3,0,0,24&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_(ω^(ω^(ε_0+1)+1))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,24,3,0,29&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_ε_1&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,24,3,0,30&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_ε_(ω^ω)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,25,0,25&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_ε_(ω^(ω+1))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,26&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_ε_ε_0&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,26,18&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_ε_0+1))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,26,18,9,3,0,27&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_ε_0+ω^ω))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,26,18,9,3,0,29&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_ε_0+ε_0))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,26,18,9,3,0,30&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_ε_0+ε_ε_0))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,26,18,9,3,0,31&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_ε_0×2))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,26,18,9,3,0,31,18,9,3,0,36&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ε_ε_ε_0×3))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+1)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+1)+ε_ε_ε_0))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,0,3,0,37,18,9,3,0,42&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+1)+ε_ε_ε_0×2))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,0,28&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+1)+ω^(ε_ε_ε_0+1)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,0,28,18,9,3,0,0,3,0,43,18,9,3,0,48,0,43&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+1)×3))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,0,28,18,9,3,0,0,28&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+2)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,0,28,18,9,3,0,36&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ω)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,0,28,18,9,3,0,37&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ω^ω)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,0,28,18,9,3,0,38&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ε_0)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,0,28,18,9,3,0,39&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ε_ε_0)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,0,28,18,9,3,0,40&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ε_ε_ε_0×2)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,0,28,18,9,3,0,40,0,28,18,9,3,0,47&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ε_ε_ε_0×3)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+1))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,0,3,0,42,0,28,18,9,3,0,45&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+1)+ω)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,0,3,0,42,0,28,18,9,3,0,49&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+1)+ε_ε_ε_0)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,0,3,0,42,0,28,18,9,3,0,49,45&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+1)+ω^(ε_ε_ε_0+1))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,0,3,0,42,0,28,18,9,3,0,49,45,18,9,3,0,0,3,0,58,0,28,18,9,3,0,65,61&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+1)×3)))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,0,3,0,42,29&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+2))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,0,3,0,42,29,18,9,3,0,0,3,0,51,29&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+3))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,0,33&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ω))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,0,33,29&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ω+1))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,0,33,29,18,9,3,0,0,3,0,49,29,18,9,3,0,0,49&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ω×2))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,0,33,29,18,9,3,0,0,33&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ω^2))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,34&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ω^ω))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,34,29,18,9,3,0,0,3,0,48,29,18,9,3,0,0,48&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ω^ω+ω))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,34,29,18,9,3,0,0,3,0,48,29,18,9,3,0,49&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ω^ω×2))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,34,29,18,9,3,0,0,33&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ω^(ω+1)))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,34,29,18,9,3,0,0,33,29,18,9,3,0,0,33&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ω^(ω+2)))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,34,29,18,9,3,0,0,33,29,18,9,3,0,47&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ω^(ω×2)))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,34,29,18,9,3,0,34&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ω^(ω^2)))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,35&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ω^(ω^ω)))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,36&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ε_0))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,37&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ε_ε_0))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0×2))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,0,3,0,44,29,18,9,3,0,0,44&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0×2+ω))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,0,3,0,44,29,18,9,3,0,45&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0×2+ω^ω))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,0,3,0,44,29,18,9,3,0,47&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0×2+ε_0))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,0,3,0,44,29,18,9,3,0,49&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0×3))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,0,33&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+1)))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,0,33,29,18,9,3,0,43&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ω)))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,0,33,29,18,9,3,0,43,29,18,9,3,0,0,33,29,18,9,3,0,56&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ω×2)))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,0,33,29,18,9,3,0,43,29,18,9,3,0,43&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ω^2)))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,0,33,29,18,9,3,0,44&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ω^ω)))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,0,33,29,18,9,3,0,45&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ε_0)))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,0,33,29,18,9,3,0,47&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0×2)))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,34&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+1))))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,34,29,18,9,3,0,0,34&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+2))))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,34,29,18,9,3,0,42&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ω))))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,34,29,18,9,3,0,42,29,18,9,3,0,42&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ω^2))))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,34,29,18,9,3,0,43&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ω^ω))))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,34,29,18,9,3,0,44&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ε_0))))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,34,29,18,9,3,0,46&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0×2))))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,35&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+1)))))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,35,18,9,3,0,0,34&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+1)+1))))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,35,18,9,3,0,0,34,29,18,9,3,0,48&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+1)+ω))))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,35,18,9,3,0,0,34,29,18,9,3,0,49&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+1)+ω^ω))))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,35,18,9,3,0,0,34,29,18,9,3,0,50&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+1)+ε_0))))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,35,18,9,3,0,0,34,29,18,9,3,0,52&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+1)+ε_ε_ε_0))))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,35,18,9,3,0,0,34,29,18,9,3,0,52,0,48&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+1)+ω^(ε_ε_ε_0+1)))))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,35,18,9,3,0,0,34,29,18,9,3,0,52,0,48,29,18,9,3,0,0,48&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+2)))))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,35,18,9,3,0,0,34,29,18,9,3,0,52,0,48,29,18,9,3,0,56&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ω)))))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,35,18,9,3,0,0,34,29,18,9,3,0,52,0,48,29,18,9,3,0,57&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ω^ω)))))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,35,18,9,3,0,0,34,29,18,9,3,0,52,0,48,29,18,9,3,0,58&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+ε_0)))))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,35,18,9,3,0,0,34,29,18,9,3,0,52,0,48,29,18,9,3,0,60&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0×2)))))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,35,18,9,3,0,0,34,29,18,9,3,0,52,0,49&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+1))))))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,35,18,9,3,0,0,35&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(ε_ε_ε_0+1)+1)))))))&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,38,0,35,18,9,3,0,42&lt;br /&gt;
|ε_ε_ε_ε_(ε_ε_0+1)&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
[[分类:分析]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=Uriel_Function&amp;diff=3497</id>
		<title>Uriel Function</title>
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		<updated>2026-07-21T13:16:45Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;定义域：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\mathcal U_\alpha(n)&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;是递归序数，n是非负整数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本规则：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\mathcal U_0(n)=n+2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\mathcal U_\alpha(0)=2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\mathcal U_{\alpha+1}(n)=\mathcal U^{\mathcal U_{\alpha+1}(n-1)}_\alpha(n)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\mathcal U_\alpha(n)=\mathcal U^{\mathcal U_\alpha(n-1)}_{\alpha[\mathcal U_\alpha(n-1)]}(n)&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;是极限序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
旧版枚举定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\mathcal U_0(n)=n+1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\mathcal U_\alpha(n)=\underbrace{\mathcal U_{\alpha-1}(\mathcal U_{\alpha-1}(\dots\mathcal U_{\alpha-1}(n)\dots))}_{n\text{ times}},\alpha&amp;lt;\omega&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\mathcal U_\omega(n)=\mathcal U_n\big(\mathcal U_{n-1}(n-1)\big)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\mathcal U_{\omega+m}(n)=\mathcal U_{\omega+m-1}^{\mathcal U_{\omega+m}(n-1)}(n)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\mathcal U_{\omega^2}(n)=\mathcal U_{\omega\cdot \mathcal U_{\omega^2}(n-1)}^{\mathcal U_{\omega^2}(n-1)}(n)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{默认排序:个人记号}}&lt;br /&gt;
[[分类:页面待更改]]&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;br /&gt;
[[分类:页面待重写]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
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		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=Uriel_Function&amp;diff=3496</id>
		<title>Uriel Function</title>
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		<updated>2026-07-21T12:52:08Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;基本规则：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\mathcal U_0(n)=n+1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\mathcal U_\alpha(n)=\underbrace{\mathcal U_{\alpha-1}(\mathcal U_{\alpha-1}(\dots\mathcal U_{\alpha-1}(n)\dots))}_{n\text{ times}},\alpha&amp;lt;\omega&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\mathcal U_\omega(n)=\mathcal U_n\big(\mathcal U_{n-1}(n-1)\big)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\mathcal U_{\omega+m}(n)=\mathcal U_{\omega+m-1}^{\mathcal U_{\omega+m}(n-1)}(n)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\mathcal U_{\omega^2}(n)=\mathcal U_{\omega\cdot \mathcal U_{\omega^2}(n-1)}^{\mathcal U_{\omega^2}(n-1)}(n)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\mathcal U_{\alpha}(n)=\mathcal U^{\mathcal U_\alpha(n-1)}_\beta(n)&amp;lt;/math&amp;gt;，若&amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{默认排序:个人记号}}&lt;br /&gt;
[[分类:页面待更改]]&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;br /&gt;
[[分类:页面待重写]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%88%86%E7%B1%BB:%E9%A1%B5%E9%9D%A2%E5%BE%85%E9%87%8D%E5%86%99&amp;diff=3495</id>
		<title>分类:页面待重写</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%88%86%E7%B1%BB:%E9%A1%B5%E9%9D%A2%E5%BE%85%E9%87%8D%E5%86%99&amp;diff=3495"/>
		<updated>2026-07-21T12:47:38Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;本页面储存了极不完整或带有结构上的错误，因此需要重写的页面。&lt;br /&gt;
[[分类:页面待更改]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E8%AE%A8%E8%AE%BA:Y(1,2,4,8,10,8)%E9%97%AE%E9%A2%98&amp;diff=3465</id>
		<title>讨论:Y(1,2,4,8,10,8)问题</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E8%AE%A8%E8%AE%BA:Y(1,2,4,8,10,8)%E9%97%AE%E9%A2%98&amp;diff=3465"/>
		<updated>2026-07-19T01:11:43Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​/* 问题起因 */ 新章节&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;Y(1,2,4,8,10,8)问题问的是，这个表达式对应的BMS表达式是什么。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
此页面为Y(1,2,4,8,10,8)问题的讨论页面，在该页面只能发布Y(1,2,4,8,10,8)问题相关话题及回复。&lt;br /&gt;
[[分类:分析]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 问题起因 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
(0)(1,1,1)(2,1)=Y(1,2,4,8,10)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
(0)(1,1,1)(2,1)(1,1,1)=Y(1,2,4,8,11,8) [[用户:CGoL|CGoL]]（[[用户讨论:CGoL|留言]]） 2026年7月19日 (日) 09:11 (CST)&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=UPS&amp;diff=3441</id>
		<title>UPS</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=UPS&amp;diff=3441"/>
		<updated>2026-07-10T02:57:55Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;UPS（Upward Projection Sequence, 向上投影序列）是由 Optimism 最初创作，Alice 完善的记号，旨在以序列形式模拟向上投影。然而，UPS 在 [[SSO]] 以上是不理想的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其极限表达式为 &amp;lt;math&amp;gt;0, 1, 2*, 3*, 4*, ...&amp;lt;/math&amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 定义 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 基础定义 ===&lt;br /&gt;
一个 UPS 表达式由一组有序排列的项组成。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
项：一个自然数与一个星号标记 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_i = (v_i, s_i)&amp;lt;/math&amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
父项：一个索引 &amp;lt;math&amp;gt;i&amp;lt;/math&amp;gt; 的父项 &amp;lt;math&amp;gt;p(i)&amp;lt;/math&amp;gt; 为最大的 &amp;lt;math&amp;gt;j &amp;lt; i&amp;lt;/math&amp;gt;, 满足 &amp;lt;math&amp;gt;v_j &amp;lt; v_i&amp;lt;/math&amp;gt; 。若不存在满足条件的项，则记作 &amp;lt;math&amp;gt;p(i) = -1&amp;lt;/math&amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
正规化：一个序列 &amp;lt;math&amp;gt;S = [\alpha_0, \alpha_1, ..., \alpha_{L-1}]&amp;lt;/math&amp;gt; 的正规化序列为 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{norm}(S) = [\alpha&#039;_0, \alpha&#039;_1, ..., \alpha&#039;_{L-1}]&amp;lt;/math&amp;gt;, 其中 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&#039;_i = (v_i - v_0, s_i)&amp;lt;/math&amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 直接集与直接段 ===&lt;br /&gt;
一个索引 &amp;lt;math&amp;gt;i&amp;lt;/math&amp;gt; 的直接集定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;i \in D(i)&amp;lt;/math&amp;gt; ;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;p(j) \in D(i), s_j = 1&amp;lt;/math&amp;gt; , 则 &amp;lt;math&amp;gt;j \in D(i)&amp;lt;/math&amp;gt; 。&lt;br /&gt;
定义直接段结尾：令 &amp;lt;math&amp;gt;M(i) = \max(t | t \in D(i))&amp;lt;/math&amp;gt; 。若存在 &amp;lt;math&amp;gt;k&amp;lt;/math&amp;gt; 使得 &amp;lt;math&amp;gt;k &amp;gt; M(i), p(k) \in D(i)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;v_k = \min (v_j | j &amp;gt; M(i), p(j) \in D(i))&amp;lt;/math&amp;gt; , 找到其中索引最小的 &amp;lt;math&amp;gt;k_0&amp;lt;/math&amp;gt; , 定义 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{end}(i) = k_0&amp;lt;/math&amp;gt; ; 否则，定义 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{end}(i) = M(i)&amp;lt;/math&amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
定义索引 &amp;lt;math&amp;gt;i&amp;lt;/math&amp;gt; 的直接段为 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{seg}(i) = [\alpha_i, \alpha_{i+1}, ..., \alpha_{\mathrm{end}(i)}]&amp;lt;/math&amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 字典序比较与投影比较 ===&lt;br /&gt;
在进行任何一种比较之前，首先要将待比较序列的 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_{L-1}&amp;lt;/math&amp;gt; 替换为 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha*_{L-1} = (v_{L-1}, 1)&amp;lt;/math&amp;gt; ，并进行正规化。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
字典序比较记为 &amp;lt;math&amp;gt;S &amp;lt; T&amp;lt;/math&amp;gt; , 为逐项首先比较数值（数值大者更大），其次比较星号（有星号者更大）。若前缀完全相同，则更长者更大。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
投影比较记为 &amp;lt;math&amp;gt;S &amp;lt;_\mathrm{proj} T&amp;lt;/math&amp;gt;, 比较流程如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
首先定义 &amp;lt;math&amp;gt;S = [\alpha_0, \alpha_1, ..., \alpha_{L-1}]&amp;lt;/math&amp;gt;的投影深度 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{dep}(S) = v_{L-1}&amp;lt;/math&amp;gt; 。若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{dep}(S) &amp;lt; \mathrm{dep}(T)&amp;lt;/math&amp;gt; , 则 &amp;lt;math&amp;gt;S &amp;lt;_\mathrm{proj} T&amp;lt;/math&amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{dep}(S) = \mathrm{dep}(T) = 0&amp;lt;/math&amp;gt; , 则&amp;lt;math&amp;gt;S =_\mathrm{proj} T&amp;lt;/math&amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;t = p(L-1) \ge 0&amp;lt;/math&amp;gt; , 则定义 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 的投影子序列为 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{proj}(S) = \mathrm{norm}([\alpha&#039;_{t}, \alpha_{t+1}, ..., \alpha_{L-1}])&amp;lt;/math&amp;gt; , 其中 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&#039;_t = (v_t, 0)&amp;lt;/math&amp;gt; 。若 &amp;lt;math&amp;gt;t = -1&amp;lt;/math&amp;gt; , 定义 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 的投影子序列为空序列。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{dep}(S) = \mathrm{dep}(T)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{proj}(S) &amp;lt; \mathrm{proj}(T)&amp;lt;/math&amp;gt; , 则 &amp;lt;math&amp;gt;S &amp;lt;_\mathrm{proj} T&amp;lt;/math&amp;gt; 。若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{dep}(S) = \mathrm{dep}(T)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{proj}(S) = \mathrm{proj}(T)&amp;lt;/math&amp;gt; , 则 &amp;lt;math&amp;gt;S =_\mathrm{proj} T&amp;lt;/math&amp;gt; 。（注意此处为比较 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{proj}(S)&amp;lt;/math&amp;gt; 与 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{proj}(T)&amp;lt;/math&amp;gt; 的字典序）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 父段与 Dropping 祖先段 ===&lt;br /&gt;
定义索引 &amp;lt;math&amp;gt;i&amp;lt;/math&amp;gt; 的父段起始索引为：&amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{ps}(i) = \begin{cases}-1 ,&amp;amp;p(i) = -1;\\ p(i),&amp;amp;s_{p(i)} = 0;\\ \mathrm{ps}(p(i)),&amp;amp;s_{p(i)} = 1.\end{cases}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;s_i = 0&amp;lt;/math&amp;gt; , 通过以下流程计算出索引 &amp;lt;math&amp;gt;i&amp;lt;/math&amp;gt; 的 Dropping 祖先段：初始状态下定义 &amp;lt;math&amp;gt;c_0 = i, r_0 = i&amp;lt;/math&amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
循环进行以下步骤：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
令 &amp;lt;math&amp;gt;p_n = \mathrm{ps}(c_n)&amp;lt;/math&amp;gt; 。若 &amp;lt;math&amp;gt;p_n = -1&amp;lt;/math&amp;gt; ，则计算结束，得到 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{drop}(i) = r_n&amp;lt;/math&amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
否则，令 &amp;lt;chem&amp;gt;R = \mathrm{seg}(r_n), P = \mathrm{seg}(p_n)&amp;lt;/chem&amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
情况1： &amp;lt;chem&amp;gt;R &amp;lt; P&amp;lt;/chem&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
不更新状态，向上追溯父段：令 &amp;lt;chem&amp;gt;c_{n+1} = p_n, r_{n+1} = r_n&amp;lt;/chem&amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
情况2：&amp;lt;math&amp;gt;R \ge P&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;R &amp;lt;_\mathrm{proj} P&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
更新候选为当前段，并向上追溯父段：令 &amp;lt;chem&amp;gt;c_{n+1} = p_n, r_{n+1} = p_n&amp;lt;/chem&amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
情况3：&amp;lt;math&amp;gt;R \ge P&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;R \ge_\mathrm{proj} P&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
计算结束，得到 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{drop}(i) = r_n&amp;lt;/math&amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 坏根寻找 ===&lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;s_{L-1} = 1&amp;lt;/math&amp;gt; , 以此流程确定坏根。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
令 &amp;lt;math&amp;gt;a = \mathrm{ps}(L-1), d = \mathrm{drop}(a)&amp;lt;/math&amp;gt; 。若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{ps}^{m+1}(a) = -1&amp;lt;/math&amp;gt; , 则构建祖先段链 &amp;lt;math&amp;gt;A = [\mathrm{ps}(a), \mathrm{ps}^2(a), ..., \mathrm{ps}^m(a)]&amp;lt;/math&amp;gt; 。定义参考段 &amp;lt;math&amp;gt;R = [\alpha_d, \alpha_{d+1}, ..., \alpha_{L-1}]&amp;lt;/math&amp;gt; 。若 &amp;lt;math&amp;gt;a = -1&amp;lt;/math&amp;gt; , 表达式无坏根。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;d = \mathrm{ps}^k(a)&amp;lt;/math&amp;gt; , 则将 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{ps}(a)&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{ps}^k(a)&amp;lt;/math&amp;gt; 预先标记为跳过。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
按顺序枚举祖先段链。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于当前枚举到的 &amp;lt;math&amp;gt;a_j \in A&amp;lt;/math&amp;gt; , 若其被标记为跳过，则跳过本项。否则令 &amp;lt;math&amp;gt;d_j = \mathrm{drop}(a_j)&amp;lt;/math&amp;gt; , 并构造子序列 &amp;lt;math&amp;gt;T_j = [\alpha_{d_j}, \alpha_{d_j+1}, ..., \alpha_{\mathrm{end}(a_j)}]&amp;lt;/math&amp;gt; 。令 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{ps}^s(a) = a_j, \mathrm{ps}^e(a) = d_j&amp;lt;/math&amp;gt;  , 定义 &amp;lt;math&amp;gt;C = [\mathrm{ps}^s(a), \mathrm{ps}^{s+1}(a), ..., \mathrm{ps}^e(a)]&amp;lt;/math&amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
情况1：&amp;lt;math&amp;gt;R &amp;lt; T_j&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
将 &amp;lt;math&amp;gt;C&amp;lt;/math&amp;gt; 中所有索引标记为跳过，并继续枚举。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
情况2：&amp;lt;math&amp;gt;R \ge T_j&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
找到最大的索引 &amp;lt;math&amp;gt;q \in C&amp;lt;/math&amp;gt; 使得 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{seg}(q) \le \mathrm{seg}(a)&amp;lt;/math&amp;gt; , 计算结束，坏根 &amp;lt;math&amp;gt;\rho = \mathrm{end}(q)&amp;lt;/math&amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;A&amp;lt;/math&amp;gt; 中索引已耗尽而仍未得到坏根，则该表达式无坏根。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 展开 ===&lt;br /&gt;
定义  &amp;lt;chem&amp;gt;S&#039; = [\alpha_0, \alpha_1, ..., \alpha_{L-2}]&amp;lt;/chem&amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;v_{L-1} = 0&amp;lt;/math&amp;gt; , 则展开结果为 &amp;lt;math&amp;gt;S&#039;&amp;lt;/math&amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;s_{L-1} = 0&amp;lt;/math&amp;gt; , 定义坏根 &amp;lt;math&amp;gt;\rho = p(L-1)&amp;lt;/math&amp;gt; 。若 &amp;lt;math&amp;gt;s_{L-1} = 1&amp;lt;/math&amp;gt; , 按上述流程确定坏根。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
定义阶差 &amp;lt;math&amp;gt;\delta = \begin{cases}0 ,&amp;amp;s_{L-1} = 0;\\ v_{L-1} - v_\rho,&amp;amp;s_{L-1} = 1.\end{cases}&amp;lt;/math&amp;gt; , 追加块 &amp;lt;math&amp;gt;B^{+k} = [\alpha^{+k}_\rho, \alpha^{+k}_{\rho+1}, ..., \alpha^{+k}_{L-2}]&amp;lt;/math&amp;gt; , 其中 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha^{+k}_i = (v_i + k \cdot \delta, s_i)&amp;lt;/math&amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
展开结果的基本列第 &amp;lt;math&amp;gt;m&amp;lt;/math&amp;gt; 项为 &amp;lt;chem&amp;gt;S&#039; + B^{+1} + B^{+2} + ... + B^{+m}&amp;lt;/chem&amp;gt; , 其中 &amp;lt;math&amp;gt;+&amp;lt;/math&amp;gt; 为序列拼接。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
若表达式无坏根或坏根为 &amp;lt;math&amp;gt;-1&amp;lt;/math&amp;gt; , 则该表达式无法展开，表示后继序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 展开器 ==&lt;br /&gt;
[https://smilelee-lyx.github.io/ne-rewritten/ NE Rewritten] 上可进行 UPS 的展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{默认排序:个人记号}}&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E8%AE%A8%E8%AE%BA:%E5%BA%8F%E6%95%B0%E5%9D%8D%E7%BC%A9%E5%87%BD%E6%95%B0&amp;diff=3440</id>
		<title>讨论:序数坍缩函数</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E8%AE%A8%E8%AE%BA:%E5%BA%8F%E6%95%B0%E5%9D%8D%E7%BC%A9%E5%87%BD%E6%95%B0&amp;diff=3440"/>
		<updated>2026-07-10T02:45:50Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​/* 我有一个问题 */ 回复&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;== 我有一个问题 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这里的Ω已经被改成了ω_1^CK，会不会导致圈子内的所有东西都是可数的，从而导致这个领域的大小只能原地踏步，最后让整个领域直接废掉？ [[用户:Testtesttesttest|Testtesttesttest]]（[[用户讨论:Testtesttesttest|留言]]） 2026年7月2日 (四) 16:05 (CST)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:如果这样改的话，那么所有的大小都只有阿列夫0那么大了，领域就直接变成小众的了，曾经还能跟集合论建立一个关系 [[用户:Testtesttesttest|Testtesttesttest]]（[[用户讨论:Testtesttesttest|留言]]） 2026年7月7日 (二) 06:53 (CST)&lt;br /&gt;
::ω_1^CK是ω经过递归运算无法达到的，已经够大了 [[用户:CGoL|CGoL]]（[[用户讨论:CGoL|留言]]） 2026年7月10日 (五) 10:45 (CST)&lt;br /&gt;
:可数序数的高度能反映大基数层级的高度 [[用户:Asheep233|Asheep233]]（[[用户讨论:Asheep233|留言]]） 2026年7月8日 (三) 01:01 (CST)&lt;br /&gt;
{{分类:记号}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%BA%8F%E6%95%B0%E5%9D%8D%E7%BC%A9%E5%87%BD%E6%95%B0&amp;diff=3360</id>
		<title>序数坍缩函数</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%BA%8F%E6%95%B0%E5%9D%8D%E7%BC%A9%E5%87%BD%E6%95%B0&amp;diff=3360"/>
		<updated>2026-07-07T09:23:27Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​撤销CGoL（讨论）的修订版本3355&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;序数塌缩函数（Ordinal Collapsing Function，OCF）&#039;&#039;&#039;是一种[[序数]]函数。它们的特点是利用足够大的序数（通常是[[序数#非递归序数|非递归序数]]）来输出递归序数。事实上，OCF 有很多不同的版本。本词条着力于介绍 [[EBO]] 之前的 &#039;&#039;&#039;BOCF&#039;&#039;&#039;（Buchholz&#039;s OCF）和 &#039;&#039;&#039;MOCF&#039;&#039;&#039;（Madore&#039;s OCF）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 教学 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== BOCF 简介 ===&lt;br /&gt;
&#039;&#039;前排提醒：对严谨数学定义不感冒或看不懂的读者可以直接跳到[[OCF#直观理解与操作规则|直观理解与操作规则]]。&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 定义 ====&lt;br /&gt;
首先我们给出 BOCF 只引入第一个非递归序数 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_0(x)=\{0,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_{n+1}(x)=C_n(x)\cup\{\alpha+\beta,\psi(\gamma)|\alpha,\beta,\gamma\in C_n(x),\gamma &amp;lt;x\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C(x)=\bigcup_{n&amp;lt;\omega}C_n(x)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi(x)=\min\{\alpha&amp;lt;\Omega|\alpha\not\in C(x)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 要求是一个足够大的序数。以往的资料一般使用第一个[[序数#可数序数与不可数序数|不可数序数]] &amp;lt;math&amp;gt;\omega_1&amp;lt;/math&amp;gt;（[[FUO]]）来作为它。但我们发现，第一个非递归序数 &amp;lt;math&amp;gt;\omega_1^{CK}&amp;lt;/math&amp;gt;（[[CKO]]）已经可以满足我们的需求。因此，目前提到 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;，默认指的是 &amp;lt;math&amp;gt;\omega_1^{CK}&amp;lt;/math&amp;gt;。(读到这里的人请尽快前往[[讨论:序数坍缩函数|讨论]])&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这四条规则很是抽象，让我们一条一条来看。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
规则 1：&amp;lt;math&amp;gt;C_0(x)=\{0,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;。对于任意的 x ， &amp;lt;math&amp;gt;C_0(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 是同一个集合。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
规则 2，这个规则递归定义了 &amp;lt;math&amp;gt;C_{n+1}(x)&amp;lt;/math&amp;gt;，它是 &amp;lt;math&amp;gt;C_n(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 再加上 &amp;lt;math&amp;gt;C_n(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 中的元素通过加法和 ψ 函数能产生的所有元素。这里要求 ψ 函数自变量小于 x，因为 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 是需要 &amp;lt;math&amp;gt;C(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 来定义的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
规则3，&amp;lt;math&amp;gt;C(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 是对所有的 &amp;lt;math&amp;gt;C_n(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 取并集得到的集合。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
规则4，&amp;lt;math&amp;gt;\psi(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 就是所有小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数中，不属于 &amp;lt;math&amp;gt;C(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 的最小序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== &amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt; 之前 ====&lt;br /&gt;
以下是一些运算实例：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_0(0)=\{0,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_1(0)=\{0,\Omega,\Omega\times2\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_2(0)=\{0,\Omega,\Omega\times2,\Omega\times3,\Omega\times4\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
*……&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;C(0)=\{0,\Omega,\cdots\}&amp;lt;/math&amp;gt;，省略号省掉了大于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
因此 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)&amp;lt;/math&amp;gt; 是最小的小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的不在 &amp;lt;math&amp;gt;C(0)&amp;lt;/math&amp;gt; 里的序数，即 1。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
下一个例子是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(2)&amp;lt;/math&amp;gt;，假定首先你已经知道了 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(1)=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;（可以自己验证），我们要开始计算 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(2)&amp;lt;/math&amp;gt;，还是不展示大于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_0(2)=\{0,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_1(2)=\{0,\psi(0)=1,\Omega,\cdots\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_2(2)&amp;lt;/math&amp;gt; 包含了 1，2 和 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(1)&amp;lt;/math&amp;gt;，即 ω&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_3(2)&amp;lt;/math&amp;gt; 包含了 &amp;lt;math&amp;gt;1,2,3,4,\omega,\omega+1,\omega+2,\omega\times2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以此类推，最后能得到 &amp;lt;math&amp;gt;C(2)&amp;lt;/math&amp;gt; 中包含了全体小于 &amp;lt;math&amp;gt;\omega^2&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数和一大堆大于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数。因此根据定义，&amp;lt;math&amp;gt;\psi(2)=\omega^2&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
ψ 函数内是极限序数并不影响定义和计算。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
你有没有觉得一步一步按定义走太过于繁琐？下面给出它的 2 个性质:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi(m+1)=\psi(m)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，m 是任意序数&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)=\sup\{\psi(\kappa)|\kappa&amp;lt;\alpha\}&amp;lt;/math&amp;gt;，α 是任意非 0 极限序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据这个性质，我们可以轻松的得到：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\omega)=\omega^{\omega}=\psi(\psi(1))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\omega+1)=\omega^{\omega+1}=\psi(\psi(1)+1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\omega\times2)=\omega^{\omega\times2}=\psi(\psi(1)\times2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\omega^2)=\omega^{\omega^2}=\psi(\psi(2))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\omega^{\omega})=\omega^{\omega^{\omega}}=\psi(\psi(\psi(1)))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\omega^{\omega^{\omega}})=\omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}=\psi(\psi(\psi(\psi(1))))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* ……&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
到这里和[[康托范式]]，[[Veblen 函数]]的 &amp;lt;math&amp;gt;\varphi(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 都是一致的。然而，在 &amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt; 开始，OCF 将与它们分道扬镳。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== &amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt; 与平台期 ====&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0=\alpha\rightarrow\psi(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 的第一个不动点，这里没有问题。问题出在 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\varepsilon_0+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 上。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
注意到 &amp;lt;math&amp;gt;C_0(\varepsilon_0+1)=\{0,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;C_1(\varepsilon_0+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 中小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的最大元素是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;C_2(\varepsilon_0+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 中小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的最大元素是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi(0))&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;C_2(\varepsilon_0+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 中小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的最大元素是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi(\psi(0)))&amp;lt;/math&amp;gt;……&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
因此，&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\varepsilon_0)&amp;lt;/math&amp;gt; 始终无法出现在这里面。这直接导致了 &amp;lt;math&amp;gt;C(\varepsilon_0+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 中，小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的最小的不在里面的依然是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\varepsilon_0)&amp;lt;/math&amp;gt;，相当于“卡住了”。这意味着对于所有的 &amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0\leq\alpha\leq\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;，都有 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)=\psi(\varepsilon_0)&amp;lt;/math&amp;gt;。这就像一个巨大的平台，因此称为&#039;&#039;&#039;平台期&#039;&#039;&#039;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
直到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 才迎来了转机。因为 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 也在 &amp;lt;math&amp;gt;C_0(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 里面，因此 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 终于可以被放进 &amp;lt;math&amp;gt;C_1(\Omega+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 里面了。结果是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+1)=\psi(\Omega)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。后面再一次向上增长，直到 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\rightarrow\psi(\Omega+\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 的不动点。从这里到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 又是一段平台期。直到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+\Omega+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 再次恢复增长。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这样的定义可以一直运行到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;，再往后走不下去了。可是它相比其他[[序数记号]]，如 [[Veblen 函数]]依然是孱弱的。为了继续前进，我们需要引入更多的非递归序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 更多的非递归序数 ====&lt;br /&gt;
下面是引入更多非递归序数的 BOCF 定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_0^v(x)=\{\alpha|\alpha&amp;lt;\Omega_v\}\cup\{\Omega_{\beta}|v&amp;lt;\beta&amp;lt;\omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_{n+1}^v(x)=\{\alpha+\beta,\psi_{\delta}(\gamma)|\alpha,\beta,\gamma\in C_n^v(x),\gamma&amp;lt;x,\delta&amp;lt;\omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C^v(x)=\bigcup_{n&amp;lt;\omega}C_n^v(x)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi_v(x)=\min\{\alpha&amp;lt;\Omega_{v+1}|\alpha\notin C^v(x)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数即 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_0&amp;lt;/math&amp;gt; 函数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
可以看到，根据定义，有 &amp;lt;math&amp;gt;C_0^1(0)=\{\alpha,\Omega_2|\alpha&amp;lt;\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;，随后 &amp;lt;math&amp;gt;C_n^1(0)&amp;lt;/math&amp;gt; 是根据 &amp;lt;math&amp;gt;C_0^1(0)=\{\alpha,\Omega_2|\alpha&amp;lt;\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt; 中元素进行加法所得到的所有东西，注意到它们内部依然不存在 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega\sim\Omega_2&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数。因此，&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(0)=\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;。对于 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(1)&amp;lt;/math&amp;gt;，因为它可以把 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(0)&amp;lt;/math&amp;gt; 塞进 C 里，因此，最后有 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(1)=\Omega\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。之后的内容是顺理成章的，类似 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)\sim\psi(\psi(\psi(\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt; 的过程，有 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\psi_1(\psi_1(\cdots)))=\Omega^{\Omega^{\Omega^{\cdots}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。我们暂时记 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(1,0)=\alpha\rightarrow\psi_1(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 的不动点。可以验证，对于 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1&amp;lt;/math&amp;gt; 函数来说，这里依然存在 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(1,0)&amp;lt;\alpha&amp;lt;\Omega_2&amp;lt;/math&amp;gt; 的平台期。后面的一切都是顺理成章的。直到任意的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n&amp;lt;/math&amp;gt;，都是一样的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
但有一点需要注意，对于 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数来说，&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi_1(\Omega_2))&amp;lt;/math&amp;gt; 并没有打破从 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi_1(1,0))&amp;lt;/math&amp;gt; 开始的平台期，这个平台期继续向前，直到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_2)&amp;lt;/math&amp;gt; 才结束。这一现象称为&#039;&#039;&#039;藏层&#039;&#039;&#039;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
BOCF 的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_{\omega})=\sup\{\psi(\Omega),\psi(\Omega_2),\psi(\Omega_3),\cdots\}&amp;lt;/math&amp;gt;，这一序数有一个名字是 [[BO]]（Buchholz&#039;s Ordinal ），在 [[googology]] 中是一个非常重要的序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;tips：OCF中的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 不一定非得是[[序数#非递归序数|非递归序数]]，它只需要大于&#039;&#039;&#039;所有你研究的序数&#039;&#039;&#039;就可以了，比方说你想要研究 [[BMS]]，那么理论上你只需要保证它大于 BMS 极限就可以了。但是我们的研究是永无止境的，因此普遍使用非递归序数这一大于所有递归序数的东西来充当 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;。&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 直观理解与操作规则 ====&lt;br /&gt;
让我们从 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)=1&amp;lt;/math&amp;gt; 开始。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
BOCF 有这样的性质：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi(m+1)=\psi(m)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，m 是任意序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
因此，可以得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(1)=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。得到之后，你对 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(1)&amp;lt;/math&amp;gt; 之前的序数已经很清楚了，于是，可以把这些序数也都放进 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数内部，于是，你最大能得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi(1))=\psi(\omega)=\omega^{\omega}&amp;lt;/math&amp;gt;。得到它之后，你又对它之前的序数很清楚了，于是又可以把它们也放进 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数内部，最大能得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi(\psi(1)))=\omega^{\omega^{\omega}}&amp;lt;/math&amp;gt;……以此类推，你可以得到嵌套任意多层的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi(\psi(\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这个时候，我们的新朋友 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 出场了。我们令 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)=\psi(\psi(\psi(\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;，于是我们可以继续：&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+1)=\psi(\Omega)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。现在你会发现，它内部既然可以加一，那是不是也可以加上更大的序数呢？答案是肯定的。你先前已经得到了 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt;，那么对它之前的序数已经清楚了。于是只需要重走一遍 1 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就可以得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+\psi(\Omega))&amp;lt;/math&amp;gt;。和前面类似的，得到 &amp;lt;math&amp;gt;\color{red}\psi(\Omega+\psi(\Omega))&amp;lt;/math&amp;gt; 后，也就可以理解 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+{\color{red}\psi(\Omega+\psi(\Omega))})&amp;lt;/math&amp;gt;，毕竟只是在 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 内重走一遍先前走过的路。上面的路又可以一直走下去，直到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+\psi(\Omega+\psi(\Omega+\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
于是，&amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 再次登场，它让 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+\psi(\Omega+\psi(\Omega+\cdots)))=\psi(\Omega+\Omega)=\psi(\Omega\times2)&amp;lt;/math&amp;gt;。我们又可以按先前的思路，首先得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2+1)=\psi(\Omega\times2)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，然后重走一遍 1 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2)&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2))&amp;lt;/math&amp;gt;；再重走一遍 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2)&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2))&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2)))&amp;lt;/math&amp;gt;，再以此类推，得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt; 后再把它变成 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times3)&amp;lt;/math&amp;gt;，然后再……&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
说到这里，读者应该对 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 有一定的认识了。它的“能力”是让&#039;&#039;&#039;包着它的一层&#039;&#039;&#039; &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数连同内部的其他内容一起嵌套 n 层。如 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times3)=\psi(\Omega\times2+\Omega)=\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;。细心的读者可能注意到，这其实是[[不动点]]的体现。没错，OCF 中的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 可以说是不动点的“化身”，只要它出现，就一定是代表了一个不动点。事实上，前文只展示了加法。&amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 对于乘法和乘方所做的事情和加法是如出一辙的，以下是例子：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;，理解加一个 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 起到什么作用之后，只需要重走一遍 &amp;lt;math&amp;gt;\omega&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就能得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times\psi(\Omega))&amp;lt;/math&amp;gt;，然后再重走一遍 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times\psi(\Omega))&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就能得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times\psi(\Omega\times\psi(\Omega)))&amp;lt;/math&amp;gt;……最后得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^2)=\psi(\Omega\times\Omega)=\psi(\Omega\times\psi(\Omega\times\psi(\Omega\times\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3)&amp;lt;/math&amp;gt;，理解加一个 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega^2&amp;lt;/math&amp;gt; 起到什么作用之后，只需要重走一遍 1 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3)&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就能从 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3+\Omega^2\times1)&amp;lt;/math&amp;gt; 开始得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3))&amp;lt;/math&amp;gt;，然后再重走一遍 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3)&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3))&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就能得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3)))&amp;lt;/math&amp;gt;……最后得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3\times2)=\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\Omega)=\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
得到&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^1})&amp;lt;/math&amp;gt;，只需要重走一边 1 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就能从 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^1})&amp;lt;/math&amp;gt; 开始得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})}})&amp;lt;/math&amp;gt;，然后再重走一遍 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})}})&amp;lt;/math&amp;gt; 路，就能得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})}})}})&amp;lt;/math&amp;gt;……最后得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}\times2})=\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\Omega}})=\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\cdots}})}})}})&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以下是 [[BHO]]（即 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega^{\cdots}}})&amp;lt;/math&amp;gt;）之前的 BOCF 的操作规则：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha_1)+\psi(\alpha_2)+\cdots+\psi(\alpha_{n-1})+\psi(0)=\psi(\alpha_1)+\psi(\alpha_2)+\cdots+\psi(\alpha_{n-1})+1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;(\psi(\alpha_1)+\psi(\alpha_2)+\cdots+\psi(\alpha_{n-1})+\psi(\alpha_n))[m]=\psi(\alpha_1)+\psi(\alpha_2)+\cdots+\psi(\alpha_{n-1})+\psi(\alpha_m)[m]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(X+1)[m]=\psi(X)\times m&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(X+\psi(Y))[m]=\psi(X+\psi(Y)[m])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这四条和康托范式的规则是一样的，主要是要找准表达式最右侧的结构。如果最右侧是外面的 1 那就是后继，最右侧是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 里面的 1 那就是乘 &amp;lt;math&amp;gt;\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。最右侧如果是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(X)&amp;lt;/math&amp;gt;，则先操作它。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
但如果最右侧是 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 呢？很简单，只需要找到包着它的那一层 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt;，然后在原位嵌套即可。即：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi(Z\sim\Omega)=\psi(Z\sim\psi(Z\sim\psi(Z\sim\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;，其中 ~ 是 + 或者 × 或者 ^。注意这里的 Z 并不一定是一个序数，它可以只是一个算式。比如说 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\Omega}})&amp;lt;/math&amp;gt; 对应的 Z 是&amp;lt;math&amp;gt;\psi({\color{red}\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\color{black}\Omega}}})&amp;lt;/math&amp;gt; 标红的部分。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
有的时候最右侧的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 被藏起来，你需要自己去挖掘出来。比方说 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3\times2)&amp;lt;/math&amp;gt;，你需要把它写成 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 这种形式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;tips：BOCF 中实际上并不存在乘法和乘方，因此上文的大部分式子严格来说是不标准的。但是在 googology 绝大多种情况下，为了方便和清晰性，我们都会用这种“部分”引入乘法和乘方的 BOCF 不标准式。&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
BHO 之上，就需要引入更多的非递归序数 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_2,\Omega_3,\Omega_4,\cdots&amp;lt;/math&amp;gt;。对于他们来说，有 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1&amp;lt;/math&amp;gt; 函数，&amp;lt;math&amp;gt;\psi_2&amp;lt;/math&amp;gt; 函数，&amp;lt;math&amp;gt;\psi_3&amp;lt;/math&amp;gt; 函数……分别对应，&amp;lt;math&amp;gt;\Omega_{m+1}&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m&amp;lt;/math&amp;gt; 函数之间的关系与 Ω 和 ψ 函数的关系是一模一样的。（&amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数即 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_0&amp;lt;/math&amp;gt; 函数，&amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 即 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_1&amp;lt;/math&amp;gt;）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m&amp;lt;/math&amp;gt; 函数，有如下规则：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m(0)=\Omega_m&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m(X+1)=\psi_m(X)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m(Y\sim\Omega_{m+1})=\psi_m(Y\sim\psi_m(Y\sim\psi_m(Y\sim\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
不难发现和 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数的操作规则几乎一模一样。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
比如说，有 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(0)=\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(1)=\Omega\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;,&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\psi_1(0))=\Omega^2&amp;lt;/math&amp;gt;,&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\psi_1(0)\times2)=\Omega^3&amp;lt;/math&amp;gt;,&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\psi_1(\psi_1(0)))=\Omega^{\Omega}&amp;lt;/math&amp;gt; 等等。最后会得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\Omega_2)=\psi_1(\psi_1(\psi_1(\cdots)))=\Omega^{\Omega^{\Omega^{\cdots}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。借助 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1&amp;lt;/math&amp;gt; 函数，我们确实突破了前面 BHO 的界限。但事情还没这么简单。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
因为 OCF 存在一个“藏层”现象。即，&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi_1(\Omega_2))&amp;lt;/math&amp;gt; 这样的式子是不标准的，它等价于 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_2)&amp;lt;/math&amp;gt;。相当于那个 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1&amp;lt;/math&amp;gt; 的层被“藏起来”了，因此称为藏层。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据前文所说，&amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n&amp;lt;/math&amp;gt; 是一定要找 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{n-1}&amp;lt;/math&amp;gt; 函数去嵌套的。那么，面对藏层，我们要如何操作呢？&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
答案是，找到包着 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n&amp;lt;/math&amp;gt; 的最近的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m&amp;lt;/math&amp;gt; 函数满足 &amp;lt;math&amp;gt;m &amp;lt; n&amp;lt;/math&amp;gt;，我们视作 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{n-1}&amp;lt;/math&amp;gt; 函数被藏在了这个 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m&amp;lt;/math&amp;gt; 内部。随后进行嵌套，但要在嵌套过程中把内部的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m&amp;lt;/math&amp;gt; 改成 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{n-1}&amp;lt;/math&amp;gt;，即：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_m(Y\sim\Omega_n)=\psi_m(Y\sim\psi_{n-1}(Y\sim\psi_{n-1}(Y\sim\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
举例，考虑 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_3+\psi_2(\Omega_3+\Omega_2))&amp;lt;/math&amp;gt;，最右端是 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_2&amp;lt;/math&amp;gt;，它要找一个最近的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n&amp;lt;/math&amp;gt; 函数满足 n&amp;lt;2，是最外层的 ψ 函数。于是我们按照操作规则得到展开式为 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_3+\psi_2(\Omega_3+\psi_1(\Omega_3+\psi_2(\Omega_3+\psi_1(\Omega_3+\psi_2(\Omega_3+\cdots))))))&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
BO 是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_{\omega})&amp;lt;/math&amp;gt;，它的[[基本列]]是 &amp;lt;math&amp;gt;\{\psi(0),\psi(\Omega),\psi(\Omega_2),\psi(\Omega_3),\psi(\Omega_4),\cdots\}&amp;lt;/math&amp;gt;。从这条基本列中的元素开始按照操作规则展开所得到的式子就是标准的，如果得不到，则是不标准的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以上就是 BO 前的 BOCF 的直观理解与操作规则。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 枚举 ====&lt;br /&gt;
&#039;&#039;主条目：[[BOCF VS veblen函数|BOCF VS Veblen 函数]]&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== MOCF 简介 ===&lt;br /&gt;
下面是 MOCF 的数学定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_0(x)=\{0,1,\omega,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_{n+1}(x)=\{\alpha+\beta,\alpha\times\beta,\alpha^\beta,\psi(\gamma)|\alpha,\beta,\gamma\in C_n(x)|\gamma&amp;lt;x\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C(x)=\bigcup_{n&amp;lt;\omega}C_n(x)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi(x)=\min\{\alpha&amp;lt;\Omega|\alpha\notin C(x)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
可以发现，MOCF 和 BOCF 不同的点在于它把加法、乘法和乘方都放进了 &amp;lt;math&amp;gt;C(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 中，而 BOCF 只有加法。因此，MOCF 的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)=\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt;，并且有 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(X+1)=\psi(X)^{\psi(X)^{\psi(X)^{\cdots}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。在出现 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的地方，两种 OCF 是一样的，如平台期等概念，二者也是一样的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
下面是引入更多非递归序数的 MOCF 定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_0^v(x)=\{\alpha|\alpha&amp;lt;\Omega_v\}\cup\{\Omega_{\beta}|\beta&amp;lt;\omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_{n+1}^v(x)=\{\alpha+\beta,\alpha\times\beta,\alpha^\beta,\psi_{\delta}(\gamma)|\alpha,\beta,\gamma\in C_n^v(x),\gamma&amp;lt;x,\delta&amp;lt;\omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C^v(x)=\bigcup_{n&amp;lt;\omega}C_n^v(x)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi_v(x)=\min\{\alpha&amp;lt;\Omega_{v+1}|\alpha\notin C^v(x)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
可以看到和 BOCF 的定义大差不差，唯一的区别是乘法和乘方的引入。因而操作规则无太大差异，除了 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_v(X+1)=\psi_v(X)^{\psi_v(X)^{\psi_v(X)^{\cdots}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。此处不再赘述。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
MOCF 的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_\omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 也是 BO。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 枚举 ====&lt;br /&gt;
&#039;&#039;主条目：[[BOCF VS MOCF]]&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== BO 之后 ===&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_{\omega})&amp;lt;/math&amp;gt; 之后，googologist 们实际上已经不再关注其数学定义，因此这里只介绍操作规则。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
BOCF 中，我们对每个后继序数 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha+1&amp;lt;/math&amp;gt; 对应的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_{\alpha+1}&amp;lt;/math&amp;gt; 都定义出 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{\alpha}&amp;lt;/math&amp;gt; 函数满足 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{\alpha}(0)=\Omega_{\alpha}&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{\alpha}(X+1)=\psi_{\alpha}(X)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。MOCF 中则是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{\alpha}(0)=\Omega_{\alpha}\uparrow\uparrow\omega&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{\alpha}(X+1)=\psi_{\alpha}(X)\uparrow\uparrow\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。如果 β 是个极限序数，则没有对应的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
那么，对于类似 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_{\Omega^{\Omega}}&amp;lt;/math&amp;gt; 或 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_{\Omega_3\times3}&amp;lt;/math&amp;gt; 的东西，又要如何处理呢？答案是把下标也看做一个运算，如 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 被看做Ω&amp;lt;sub&amp;gt;Ω&amp;lt;/sub&amp;gt;。展开过程中找最右侧的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 时找的是下标的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 而非整体的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;。换句话说，“找最右侧的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;”本身就要求 α 一定小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以下是补充的操作规则：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi(X\sim\Omega_{\alpha+1})[m]=\underbrace{\psi(X\sim\psi_\alpha(X\sim\psi_\alpha(X\sim\psi_\alpha(X\sim\cdots}_{m~layers}))))&amp;lt;/math&amp;gt;，α 为任意序数，~ 代表 + 或 × 或 ^ 或下标。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi(X\sim\Omega_\beta)[m]=\psi(X\sim\Omega_{\beta[m]})&amp;lt;/math&amp;gt;，如果 β 是极限序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这套规则可以一直运用到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_{\Omega_{\Omega_{\cdots}}})&amp;lt;/math&amp;gt;，这个序数称为 [[EBO]]。如果想要继续前进，就需要新的非递归序数了，它们会给出它们对应的折叠规则。具体则需要参见对应词条。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
那么在这里，我们实际上可以说，OCF 本身是一个和[[增长层级]]类似的“壳子”，它们接受对应的非递归序数，然后输出大的递归序数。那么，为什么 OCF 没有像增长层级（如 FGH）一样占据 googology 的所有空间呢？有两方面原因。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
第一方面，OCF 没有像增长层级一样具有非常明确的转化规则。googology 社区有一个“俗话”——1000 个人有 1001 种 [[递归 Mahlo 序数#Mahlo OCF|Mahlo OCF]]。这种共识的缺乏是致命的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
第二方面，对于目前的 googology 爱好者来说，构造非递归序数的难度和构造其他类型序数记号，如 [[Beklemishev&#039;s Worm|Worm]] 型记号，相比，在难度上拉不开差距。不像 FGH 加序数记号对传统数阵记号的“降维打击”。而且，googology 爱好者普遍没有很强的数理逻辑或序数分析基础，难以理解和运用学界所构造的大可数序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 定义 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== MOCF ===&lt;br /&gt;
令 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\alpha=\omega_\alpha^{\rm CK},\Omega_0=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的递归共尾度 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 定义为 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的递归的基本列的最小长度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 含第一个非递归序数的 MOCF ====&lt;br /&gt;
含第一个非递归序数 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的 MOCF &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 定义为利用 &amp;lt;math&amp;gt;0,1,\omega,\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;，所有的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt; 以及序数加法、乘法、乘方运算，经过任意有限次运算所不能构建的最小序数。特别地，上述定义中的 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt; 满足 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;，且是能够在有限次运算之中通过 &amp;lt;math&amp;gt;0,1,\omega&amp;lt;/math&amp;gt; 进行加法、乘法、乘方运算，以及将这些序数放到 MOCF 之中所得到的序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以上的定义描述了含 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的 MOCF 的行为，其集合论定义可以表述如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C^0(\alpha)=\{0,1,\omega,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C^{n+1}(\alpha)=\{\gamma+\delta,\gamma\cdot\delta,\gamma^\delta,\psi(\eta)|\gamma,\delta,\eta\in C^n(\alpha),\eta&amp;lt;\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C(\alpha)=\bigcup_{n&amp;lt;\omega}C^n(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)=\min\{\beta|\beta\notin C(\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 含自然数下标的 MOCF ====&lt;br /&gt;
含有 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n&amp;lt;/math&amp;gt; 的 MOCF 标准形式定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt;，且各 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_i&amp;lt;/math&amp;gt; 均为标准形式，则 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt; 也是标准形式。&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;\Omega_n,\Omega_n^\beta&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha,\beta&amp;lt;/math&amp;gt; 均为标准形式，则 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n^\beta\cdot\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 为标准形式。&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\in C_n(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 为标准形式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
含有自然数下标的 MOCF &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 的基本列定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)=\mathrm{cf}(\alpha_n)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)[\eta]=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n[\eta]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_n(0))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n(0)[0]=\Omega_n,\psi_n(0)[n&#039;+1]=\Omega_n^{\psi_n(0)[n&#039;]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_n(\alpha+1))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n(\alpha+1)[0]=\psi(\alpha),\psi_n(\alpha+1)[n&#039;+1]=\psi_n(\alpha)^{\psi_n(\alpha+1)[n&#039;]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_n)=\Omega_n&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n[\eta]=\eta&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)\geqslant\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_n^\alpha)=\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\Omega_n^\alpha)[\eta]=\Omega_n^{\alpha[\eta]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\beta)\geqslant\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_n^\alpha\cdot\beta)=\mathrm{cf}(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\Omega_n^\alpha\cdot\beta)[\eta]=\Omega_n^\alpha\cdot\beta[\eta]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_n^\alpha\cdot(\beta+1))=\mathrm{cf}(\Omega_n^\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n^\alpha\cdot(\beta+1)[\eta]=\Omega_n^\alpha\cdot\beta+\Omega^{\alpha[\eta]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)=\Omega_n,m\leqslant n&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_m(\alpha))=\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n(\alpha)[\eta]=\psi_n(\alpha[\eta])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)=\Omega_{n+1},m\leqslant n&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_m(\alpha))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m(\alpha)[n&#039;]=\psi_m(\alpha[\gamma[n&#039;]])&amp;lt;/math&amp;gt;，其中 &amp;lt;math&amp;gt;\gamma[0]=0,\gamma[n&#039;+1]=\psi_n(\alpha[\gamma[n&#039;]])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
含有自然数下标的 MOCF &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 定义为利用所有小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数、所有自然数下标的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_m&amp;lt;/math&amp;gt;，所有自然数下标的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt; 以及序数加法、乘法、乘方运算，经过任意有限次运算所不能构建的最小序数。特别地，上述定义中的 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt; 满足 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;，且是能够在此前的运算之中得到的序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以上的定义描述了含自然数下标 的 MOCF 的行为，其集合论定义可以表述如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_n^0(\alpha)=\{\xi|\xi&amp;lt;\Omega_n\}\cup\{\Omega_{n&#039;}|n&#039;\in\mathbb{N}\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_n^{m+1}(\alpha)=\{\gamma+\delta,\gamma\cdot\delta,\gamma^\delta,\psi_{n&#039;}(\eta)|\gamma,\delta,\eta\in C_n^m(\alpha),n&#039;\in\mathbb{N},\eta&amp;lt;\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_n(\alpha)=\bigcup_{m\in\mathbb{N}}C_n^m(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n(\alpha)=\min\{\beta|\beta\notin C_n(\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 含序数下标的 MOCF ====&lt;br /&gt;
含有 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\mu&amp;lt;/math&amp;gt; 的 MOCF 标准形式定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt;，且各 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_i&amp;lt;/math&amp;gt; 均为标准形式，则 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt; 也是标准形式。&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;\Omega_\mu,\Omega_\mu^\beta&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha,\beta,\mu&amp;lt;/math&amp;gt; 均为标准形式，则 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\mu^\beta\cdot\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 为标准形式。&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\in C_\mu(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\mu(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 为标准形式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
含有序数下标的 MOCF &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 的基本列定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)=\mathrm{cf}(\alpha_n)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)[\eta]=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n[\eta]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\nu(0))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(0)[0]=\Omega_n,\psi_\nu(0)[n+1]=\Omega_\nu^{\psi_\nu(0)[n]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\nu(\alpha+1))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\alpha+1)[0]=\psi(\alpha),\psi_\nu(\alpha+1)[n+1]=\psi_\nu(\alpha)^{\psi_\nu(\alpha+1)[n]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_{\mu+1})=\Omega_{\mu+1}&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n[\eta]=\eta&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)\geqslant\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_\mu^\alpha)=\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\Omega_\mu^\alpha)[\eta]=\Omega_\mu^{\alpha[\eta]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\beta)\geqslant\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_\mu^\alpha\cdot\beta)=\mathrm{cf}(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\Omega_\mu^\alpha\cdot\beta)[\eta]=\Omega_\mu^\alpha\cdot\beta[\eta]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_\mu^\alpha\cdot(\beta+1))=\mathrm{cf}(\Omega_\mu^\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\mu^\alpha\cdot(\beta+1)[\eta]=\Omega_\mu^\alpha\cdot\beta+\Omega^{\alpha[\eta]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)=\Omega_\mu,\mu\leqslant\nu&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\mu(\alpha))=\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\alpha)[\eta]=\psi_\nu(\alpha[\eta])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)=\Omega_{\mu+1},\mu\leqslant\nu&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\mu(\alpha))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\mu(\alpha)[n]=\psi_\mu(\alpha[\gamma[n]])&amp;lt;/math&amp;gt;，其中 &amp;lt;math&amp;gt;\gamma[0]=0,\gamma[n+1]=\psi_\nu(\alpha[\gamma[n]])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
含有序数下标的 MOCF &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 定义为利用所有小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\nu&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数、所有自然数下标的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\mu&amp;lt;/math&amp;gt;，所有自然数下标的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\mu(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt; 以及序数加法、乘法、乘方运算，经过任意有限次运算所不能构建的最小序数。特别地，上述定义中的 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt; 满足 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;，且是能够在此前的运算之中得到的序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以上的定义描述了含序数下标 的 MOCF 的行为，其集合论定义可以表述如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_\nu^0(\alpha)=\{\xi|\xi&amp;lt;\Omega_\nu\}\cup\{\Omega_{\mu}|\mu\in\mathbb{N}\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_\nu^{m+1}(\alpha)=\{\gamma+\delta,\gamma\cdot\delta,\gamma^\delta,\psi_\mu(\eta)|\gamma,\delta,\eta\in C_\nu^m(\alpha),\mu\in\mathbb{N},\eta&amp;lt;\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_\nu(\alpha)=\bigcup_{m\in\mathbb{N}}C_\nu^m(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\alpha)=\min\{\beta|\beta\notin C_\nu(\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== BOCF ===&lt;br /&gt;
含有 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\mu&amp;lt;/math&amp;gt; 的 BOCF 标准形式定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt;，且各 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_i&amp;lt;/math&amp;gt; 均为标准形式，则 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt; 也是标准形式。&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\mu&amp;lt;/math&amp;gt;为标准形式，则 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\mu&amp;lt;/math&amp;gt; 为标准形式。&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\in C_\mu(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\mu(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 为标准形式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
含有序数下标的 BOCF &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 的基本列定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)=\mathrm{cf}(\alpha_n)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)[\eta]=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n[\eta]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)=1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_{\nu+1}(0))=\mathrm{cf}(\Omega_{\nu+1})&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{\nu+1}(0)[\eta]=\eta&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\nu)\geqslant\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\nu(0))=\mathrm{cf}(\nu)&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(0)[\eta]=\psi_{\nu[\eta]}(0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\nu(\beta+1))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\beta+1)[0]=0,\psi_\nu(\beta+1)[n+1]=\psi_\nu(\beta+1)[n]+\psi_\nu(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\beta)\in\{\omega\}\cap\{\Omega_{\mu+1}|\mu&amp;lt;\nu\}&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\nu(\beta))=\mathrm{cf}(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\beta)[\eta]=\psi_\nu(\beta[\eta])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)=\Omega_{\mu+1},\mu\geqslant\nu&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\nu(\beta))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\beta)[n]=\psi_\nu(\beta[\gamma[n]])&amp;lt;/math&amp;gt;，其中 &amp;lt;math&amp;gt;\gamma[0]=\Omega_\mu,\gamma[n+1]=\psi_\mu(\alpha[\gamma[n]])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其集合论定义可以表述如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_\nu^0(\alpha)=\{\xi|\xi&amp;lt;\Omega_\nu\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_\nu^{m+1}(\alpha)=\{\gamma+\delta,\psi_\mu(\eta)|\gamma,\delta,\eta\in C_\nu^m(\alpha),\mu\in\bold{Ord},\eta&amp;lt;\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_\nu(\alpha)=\bigcup_{m\in\mathbb{N}}C_\nu^m(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\alpha)=\min\{\beta|\beta\notin C_\nu(\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== NOCF ===&lt;br /&gt;
&#039;&#039;主条目：[[NOCF]]&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
由于 NOCF 没有完整的定义，这里给出它的理念：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_\alpha(0)=\Omega_\alpha\quad(\Omega_0=1)&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\psi_\alpha(\sharp+1)=\psi_\alpha(\sharp)+1&amp;lt;/math&amp;gt;；在 OCF 内遇到 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的处理方式与 MOCF 一致。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;br /&gt;
[[分类:入门]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%BA%8F%E6%95%B0%E5%9D%8D%E7%BC%A9%E5%87%BD%E6%95%B0&amp;diff=3359</id>
		<title>序数坍缩函数</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%BA%8F%E6%95%B0%E5%9D%8D%E7%BC%A9%E5%87%BD%E6%95%B0&amp;diff=3359"/>
		<updated>2026-07-07T09:23:19Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​撤销CGoL（讨论）的修订版本3356&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;序数塌缩函数（Ordinal Collapsing Function，OCF）&#039;&#039;&#039;是一种[[序数]]函数。它们的特点是利用足够大的序数（通常是[[序数#非递归序数|非递归序数]]）来输出递归序数。事实上，OCF 有很多不同的版本。本词条着力于介绍 [[EBO]] 之前的 &#039;&#039;&#039;BOCF&#039;&#039;&#039;（Buchholz&#039;s OCF）和 &#039;&#039;&#039;MOCF&#039;&#039;&#039;（Madore&#039;s OCF）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 教学 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== BOCF 简介 ===&lt;br /&gt;
&#039;&#039;前排提醒：对严谨数学定义不感冒或看不懂的读者可以直接跳到[[OCF#直观理解与操作规则|直观理解与操作规则]]。&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 定义 ====&lt;br /&gt;
首先我们给出 BOCF 只引入第一个非递归序数 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_0(x)=\{0,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_{n+1}(x)=C_n(x)\cup\{\alpha+\beta,\psi(\gamma)|\alpha,\beta,\gamma\in C_n(x),\gamma &amp;lt;x\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C(x)=\bigcup_{n&amp;lt;\omega}C_n(x)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi(x)=\min\{\alpha&amp;lt;\Omega|\alpha\not\in C(x)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 要求是一个足够大的序数。以往的资料一般使用第一个[[序数#可数序数与不可数序数|不可数序数]] &amp;lt;math&amp;gt;\omega_1&amp;lt;/math&amp;gt;（[[FUO]]）来作为它。&amp;lt;s&amp;gt;但我们发现，第一个非递归序数 &amp;lt;math&amp;gt;\omega_1^{CK}&amp;lt;/math&amp;gt;（[[CKO]]）已经可以满足我们的需求。&amp;lt;/s&amp;gt;因此，目前提到 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;，默认指的是 &amp;lt;math&amp;gt;\omega_1^{CK}&amp;lt;/math&amp;gt;。(读到这里的人请尽快前往[[讨论:序数坍缩函数|讨论]])&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这四条规则很是抽象，让我们一条一条来看。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
规则 1：&amp;lt;math&amp;gt;C_0(x)=\{0,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;。对于任意的 x ， &amp;lt;math&amp;gt;C_0(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 是同一个集合。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
规则 2，这个规则递归定义了 &amp;lt;math&amp;gt;C_{n+1}(x)&amp;lt;/math&amp;gt;，它是 &amp;lt;math&amp;gt;C_n(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 再加上 &amp;lt;math&amp;gt;C_n(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 中的元素通过加法和 ψ 函数能产生的所有元素。这里要求 ψ 函数自变量小于 x，因为 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 是需要 &amp;lt;math&amp;gt;C(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 来定义的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
规则3，&amp;lt;math&amp;gt;C(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 是对所有的 &amp;lt;math&amp;gt;C_n(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 取并集得到的集合。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
规则4，&amp;lt;math&amp;gt;\psi(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 就是所有小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数中，不属于 &amp;lt;math&amp;gt;C(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 的最小序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== &amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt; 之前 ====&lt;br /&gt;
以下是一些运算实例：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_0(0)=\{0,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_1(0)=\{0,\Omega,\Omega\times2\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_2(0)=\{0,\Omega,\Omega\times2,\Omega\times3,\Omega\times4\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
*……&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;C(0)=\{0,\Omega,\cdots\}&amp;lt;/math&amp;gt;，省略号省掉了大于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
因此 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)&amp;lt;/math&amp;gt; 是最小的小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的不在 &amp;lt;math&amp;gt;C(0)&amp;lt;/math&amp;gt; 里的序数，即 1。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
下一个例子是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(2)&amp;lt;/math&amp;gt;，假定首先你已经知道了 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(1)=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;（可以自己验证），我们要开始计算 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(2)&amp;lt;/math&amp;gt;，还是不展示大于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_0(2)=\{0,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_1(2)=\{0,\psi(0)=1,\Omega,\cdots\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_2(2)&amp;lt;/math&amp;gt; 包含了 1，2 和 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(1)&amp;lt;/math&amp;gt;，即 ω&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_3(2)&amp;lt;/math&amp;gt; 包含了 &amp;lt;math&amp;gt;1,2,3,4,\omega,\omega+1,\omega+2,\omega\times2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以此类推，最后能得到 &amp;lt;math&amp;gt;C(2)&amp;lt;/math&amp;gt; 中包含了全体小于 &amp;lt;math&amp;gt;\omega^2&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数和一大堆大于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数。因此根据定义，&amp;lt;math&amp;gt;\psi(2)=\omega^2&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
ψ 函数内是极限序数并不影响定义和计算。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
你有没有觉得一步一步按定义走太过于繁琐？下面给出它的 2 个性质:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi(m+1)=\psi(m)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，m 是任意序数&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)=\sup\{\psi(\kappa)|\kappa&amp;lt;\alpha\}&amp;lt;/math&amp;gt;，α 是任意非 0 极限序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据这个性质，我们可以轻松的得到：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\omega)=\omega^{\omega}=\psi(\psi(1))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\omega+1)=\omega^{\omega+1}=\psi(\psi(1)+1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\omega\times2)=\omega^{\omega\times2}=\psi(\psi(1)\times2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\omega^2)=\omega^{\omega^2}=\psi(\psi(2))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\omega^{\omega})=\omega^{\omega^{\omega}}=\psi(\psi(\psi(1)))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\omega^{\omega^{\omega}})=\omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}=\psi(\psi(\psi(\psi(1))))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* ……&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
到这里和[[康托范式]]，[[Veblen 函数]]的 &amp;lt;math&amp;gt;\varphi(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 都是一致的。然而，在 &amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt; 开始，OCF 将与它们分道扬镳。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== &amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt; 与平台期 ====&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0=\alpha\rightarrow\psi(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 的第一个不动点，这里没有问题。问题出在 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\varepsilon_0+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 上。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
注意到 &amp;lt;math&amp;gt;C_0(\varepsilon_0+1)=\{0,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;C_1(\varepsilon_0+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 中小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的最大元素是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;C_2(\varepsilon_0+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 中小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的最大元素是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi(0))&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;C_2(\varepsilon_0+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 中小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的最大元素是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi(\psi(0)))&amp;lt;/math&amp;gt;……&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
因此，&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\varepsilon_0)&amp;lt;/math&amp;gt; 始终无法出现在这里面。这直接导致了 &amp;lt;math&amp;gt;C(\varepsilon_0+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 中，小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的最小的不在里面的依然是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\varepsilon_0)&amp;lt;/math&amp;gt;，相当于“卡住了”。这意味着对于所有的 &amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0\leq\alpha\leq\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;，都有 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)=\psi(\varepsilon_0)&amp;lt;/math&amp;gt;。这就像一个巨大的平台，因此称为&#039;&#039;&#039;平台期&#039;&#039;&#039;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
直到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 才迎来了转机。因为 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 也在 &amp;lt;math&amp;gt;C_0(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 里面，因此 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 终于可以被放进 &amp;lt;math&amp;gt;C_1(\Omega+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 里面了。结果是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+1)=\psi(\Omega)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。后面再一次向上增长，直到 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\rightarrow\psi(\Omega+\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 的不动点。从这里到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 又是一段平台期。直到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+\Omega+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 再次恢复增长。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这样的定义可以一直运行到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;，再往后走不下去了。可是它相比其他[[序数记号]]，如 [[Veblen 函数]]依然是孱弱的。为了继续前进，我们需要引入更多的非递归序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 更多的非递归序数 ====&lt;br /&gt;
下面是引入更多非递归序数的 BOCF 定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_0^v(x)=\{\alpha|\alpha&amp;lt;\Omega_v\}\cup\{\Omega_{\beta}|v&amp;lt;\beta&amp;lt;\omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_{n+1}^v(x)=\{\alpha+\beta,\psi_{\delta}(\gamma)|\alpha,\beta,\gamma\in C_n^v(x),\gamma&amp;lt;x,\delta&amp;lt;\omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C^v(x)=\bigcup_{n&amp;lt;\omega}C_n^v(x)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi_v(x)=\min\{\alpha&amp;lt;\Omega_{v+1}|\alpha\notin C^v(x)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数即 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_0&amp;lt;/math&amp;gt; 函数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
可以看到，根据定义，有 &amp;lt;math&amp;gt;C_0^1(0)=\{\alpha,\Omega_2|\alpha&amp;lt;\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;，随后 &amp;lt;math&amp;gt;C_n^1(0)&amp;lt;/math&amp;gt; 是根据 &amp;lt;math&amp;gt;C_0^1(0)=\{\alpha,\Omega_2|\alpha&amp;lt;\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt; 中元素进行加法所得到的所有东西，注意到它们内部依然不存在 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega\sim\Omega_2&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数。因此，&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(0)=\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;。对于 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(1)&amp;lt;/math&amp;gt;，因为它可以把 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(0)&amp;lt;/math&amp;gt; 塞进 C 里，因此，最后有 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(1)=\Omega\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。之后的内容是顺理成章的，类似 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)\sim\psi(\psi(\psi(\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt; 的过程，有 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\psi_1(\psi_1(\cdots)))=\Omega^{\Omega^{\Omega^{\cdots}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。我们暂时记 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(1,0)=\alpha\rightarrow\psi_1(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 的不动点。可以验证，对于 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1&amp;lt;/math&amp;gt; 函数来说，这里依然存在 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(1,0)&amp;lt;\alpha&amp;lt;\Omega_2&amp;lt;/math&amp;gt; 的平台期。后面的一切都是顺理成章的。直到任意的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n&amp;lt;/math&amp;gt;，都是一样的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
但有一点需要注意，对于 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数来说，&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi_1(\Omega_2))&amp;lt;/math&amp;gt; 并没有打破从 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi_1(1,0))&amp;lt;/math&amp;gt; 开始的平台期，这个平台期继续向前，直到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_2)&amp;lt;/math&amp;gt; 才结束。这一现象称为&#039;&#039;&#039;藏层&#039;&#039;&#039;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
BOCF 的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_{\omega})=\sup\{\psi(\Omega),\psi(\Omega_2),\psi(\Omega_3),\cdots\}&amp;lt;/math&amp;gt;，这一序数有一个名字是 [[BO]]（Buchholz&#039;s Ordinal ），在 [[googology]] 中是一个非常重要的序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;tips：OCF中的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 不一定非得是[[序数#非递归序数|非递归序数]]，它只需要大于&#039;&#039;&#039;所有你研究的序数&#039;&#039;&#039;就可以了，比方说你想要研究 [[BMS]]，那么理论上你只需要保证它大于 BMS 极限就可以了。但是我们的研究是永无止境的，因此普遍使用非递归序数这一大于所有递归序数的东西来充当 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;。&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 直观理解与操作规则 ====&lt;br /&gt;
让我们从 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)=1&amp;lt;/math&amp;gt; 开始。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
BOCF 有这样的性质：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi(m+1)=\psi(m)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，m 是任意序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
因此，可以得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(1)=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。得到之后，你对 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(1)&amp;lt;/math&amp;gt; 之前的序数已经很清楚了，于是，可以把这些序数也都放进 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数内部，于是，你最大能得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi(1))=\psi(\omega)=\omega^{\omega}&amp;lt;/math&amp;gt;。得到它之后，你又对它之前的序数很清楚了，于是又可以把它们也放进 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数内部，最大能得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi(\psi(1)))=\omega^{\omega^{\omega}}&amp;lt;/math&amp;gt;……以此类推，你可以得到嵌套任意多层的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi(\psi(\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这个时候，我们的新朋友 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 出场了。我们令 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)=\psi(\psi(\psi(\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;，于是我们可以继续：&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+1)=\psi(\Omega)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。现在你会发现，它内部既然可以加一，那是不是也可以加上更大的序数呢？答案是肯定的。你先前已经得到了 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt;，那么对它之前的序数已经清楚了。于是只需要重走一遍 1 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就可以得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+\psi(\Omega))&amp;lt;/math&amp;gt;。和前面类似的，得到 &amp;lt;math&amp;gt;\color{red}\psi(\Omega+\psi(\Omega))&amp;lt;/math&amp;gt; 后，也就可以理解 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+{\color{red}\psi(\Omega+\psi(\Omega))})&amp;lt;/math&amp;gt;，毕竟只是在 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 内重走一遍先前走过的路。上面的路又可以一直走下去，直到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+\psi(\Omega+\psi(\Omega+\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
于是，&amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 再次登场，它让 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+\psi(\Omega+\psi(\Omega+\cdots)))=\psi(\Omega+\Omega)=\psi(\Omega\times2)&amp;lt;/math&amp;gt;。我们又可以按先前的思路，首先得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2+1)=\psi(\Omega\times2)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，然后重走一遍 1 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2)&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2))&amp;lt;/math&amp;gt;；再重走一遍 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2)&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2))&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2)))&amp;lt;/math&amp;gt;，再以此类推，得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt; 后再把它变成 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times3)&amp;lt;/math&amp;gt;，然后再……&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
说到这里，读者应该对 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 有一定的认识了。它的“能力”是让&#039;&#039;&#039;包着它的一层&#039;&#039;&#039; &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数连同内部的其他内容一起嵌套 n 层。如 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times3)=\psi(\Omega\times2+\Omega)=\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;。细心的读者可能注意到，这其实是[[不动点]]的体现。没错，OCF 中的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 可以说是不动点的“化身”，只要它出现，就一定是代表了一个不动点。事实上，前文只展示了加法。&amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 对于乘法和乘方所做的事情和加法是如出一辙的，以下是例子：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;，理解加一个 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 起到什么作用之后，只需要重走一遍 &amp;lt;math&amp;gt;\omega&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就能得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times\psi(\Omega))&amp;lt;/math&amp;gt;，然后再重走一遍 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times\psi(\Omega))&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就能得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times\psi(\Omega\times\psi(\Omega)))&amp;lt;/math&amp;gt;……最后得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^2)=\psi(\Omega\times\Omega)=\psi(\Omega\times\psi(\Omega\times\psi(\Omega\times\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3)&amp;lt;/math&amp;gt;，理解加一个 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega^2&amp;lt;/math&amp;gt; 起到什么作用之后，只需要重走一遍 1 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3)&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就能从 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3+\Omega^2\times1)&amp;lt;/math&amp;gt; 开始得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3))&amp;lt;/math&amp;gt;，然后再重走一遍 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3)&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3))&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就能得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3)))&amp;lt;/math&amp;gt;……最后得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3\times2)=\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\Omega)=\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
得到&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^1})&amp;lt;/math&amp;gt;，只需要重走一边 1 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就能从 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^1})&amp;lt;/math&amp;gt; 开始得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})}})&amp;lt;/math&amp;gt;，然后再重走一遍 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})}})&amp;lt;/math&amp;gt; 路，就能得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})}})}})&amp;lt;/math&amp;gt;……最后得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}\times2})=\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\Omega}})=\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\cdots}})}})}})&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以下是 [[BHO]]（即 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega^{\cdots}}})&amp;lt;/math&amp;gt;）之前的 BOCF 的操作规则：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha_1)+\psi(\alpha_2)+\cdots+\psi(\alpha_{n-1})+\psi(0)=\psi(\alpha_1)+\psi(\alpha_2)+\cdots+\psi(\alpha_{n-1})+1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;(\psi(\alpha_1)+\psi(\alpha_2)+\cdots+\psi(\alpha_{n-1})+\psi(\alpha_n))[m]=\psi(\alpha_1)+\psi(\alpha_2)+\cdots+\psi(\alpha_{n-1})+\psi(\alpha_m)[m]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(X+1)[m]=\psi(X)\times m&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(X+\psi(Y))[m]=\psi(X+\psi(Y)[m])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这四条和康托范式的规则是一样的，主要是要找准表达式最右侧的结构。如果最右侧是外面的 1 那就是后继，最右侧是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 里面的 1 那就是乘 &amp;lt;math&amp;gt;\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。最右侧如果是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(X)&amp;lt;/math&amp;gt;，则先操作它。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
但如果最右侧是 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 呢？很简单，只需要找到包着它的那一层 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt;，然后在原位嵌套即可。即：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi(Z\sim\Omega)=\psi(Z\sim\psi(Z\sim\psi(Z\sim\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;，其中 ~ 是 + 或者 × 或者 ^。注意这里的 Z 并不一定是一个序数，它可以只是一个算式。比如说 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\Omega}})&amp;lt;/math&amp;gt; 对应的 Z 是&amp;lt;math&amp;gt;\psi({\color{red}\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\color{black}\Omega}}})&amp;lt;/math&amp;gt; 标红的部分。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
有的时候最右侧的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 被藏起来，你需要自己去挖掘出来。比方说 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3\times2)&amp;lt;/math&amp;gt;，你需要把它写成 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 这种形式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;tips：BOCF 中实际上并不存在乘法和乘方，因此上文的大部分式子严格来说是不标准的。但是在 googology 绝大多种情况下，为了方便和清晰性，我们都会用这种“部分”引入乘法和乘方的 BOCF 不标准式。&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
BHO 之上，就需要引入更多的非递归序数 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_2,\Omega_3,\Omega_4,\cdots&amp;lt;/math&amp;gt;。对于他们来说，有 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1&amp;lt;/math&amp;gt; 函数，&amp;lt;math&amp;gt;\psi_2&amp;lt;/math&amp;gt; 函数，&amp;lt;math&amp;gt;\psi_3&amp;lt;/math&amp;gt; 函数……分别对应，&amp;lt;math&amp;gt;\Omega_{m+1}&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m&amp;lt;/math&amp;gt; 函数之间的关系与 Ω 和 ψ 函数的关系是一模一样的。（&amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数即 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_0&amp;lt;/math&amp;gt; 函数，&amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 即 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_1&amp;lt;/math&amp;gt;）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m&amp;lt;/math&amp;gt; 函数，有如下规则：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m(0)=\Omega_m&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m(X+1)=\psi_m(X)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m(Y\sim\Omega_{m+1})=\psi_m(Y\sim\psi_m(Y\sim\psi_m(Y\sim\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
不难发现和 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数的操作规则几乎一模一样。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
比如说，有 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(0)=\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(1)=\Omega\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;,&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\psi_1(0))=\Omega^2&amp;lt;/math&amp;gt;,&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\psi_1(0)\times2)=\Omega^3&amp;lt;/math&amp;gt;,&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\psi_1(\psi_1(0)))=\Omega^{\Omega}&amp;lt;/math&amp;gt; 等等。最后会得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\Omega_2)=\psi_1(\psi_1(\psi_1(\cdots)))=\Omega^{\Omega^{\Omega^{\cdots}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。借助 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1&amp;lt;/math&amp;gt; 函数，我们确实突破了前面 BHO 的界限。但事情还没这么简单。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
因为 OCF 存在一个“藏层”现象。即，&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi_1(\Omega_2))&amp;lt;/math&amp;gt; 这样的式子是不标准的，它等价于 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_2)&amp;lt;/math&amp;gt;。相当于那个 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1&amp;lt;/math&amp;gt; 的层被“藏起来”了，因此称为藏层。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据前文所说，&amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n&amp;lt;/math&amp;gt; 是一定要找 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{n-1}&amp;lt;/math&amp;gt; 函数去嵌套的。那么，面对藏层，我们要如何操作呢？&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
答案是，找到包着 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n&amp;lt;/math&amp;gt; 的最近的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m&amp;lt;/math&amp;gt; 函数满足 &amp;lt;math&amp;gt;m &amp;lt; n&amp;lt;/math&amp;gt;，我们视作 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{n-1}&amp;lt;/math&amp;gt; 函数被藏在了这个 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m&amp;lt;/math&amp;gt; 内部。随后进行嵌套，但要在嵌套过程中把内部的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m&amp;lt;/math&amp;gt; 改成 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{n-1}&amp;lt;/math&amp;gt;，即：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_m(Y\sim\Omega_n)=\psi_m(Y\sim\psi_{n-1}(Y\sim\psi_{n-1}(Y\sim\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
举例，考虑 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_3+\psi_2(\Omega_3+\Omega_2))&amp;lt;/math&amp;gt;，最右端是 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_2&amp;lt;/math&amp;gt;，它要找一个最近的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n&amp;lt;/math&amp;gt; 函数满足 n&amp;lt;2，是最外层的 ψ 函数。于是我们按照操作规则得到展开式为 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_3+\psi_2(\Omega_3+\psi_1(\Omega_3+\psi_2(\Omega_3+\psi_1(\Omega_3+\psi_2(\Omega_3+\cdots))))))&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
BO 是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_{\omega})&amp;lt;/math&amp;gt;，它的[[基本列]]是 &amp;lt;math&amp;gt;\{\psi(0),\psi(\Omega),\psi(\Omega_2),\psi(\Omega_3),\psi(\Omega_4),\cdots\}&amp;lt;/math&amp;gt;。从这条基本列中的元素开始按照操作规则展开所得到的式子就是标准的，如果得不到，则是不标准的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以上就是 BO 前的 BOCF 的直观理解与操作规则。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 枚举 ====&lt;br /&gt;
&#039;&#039;主条目：[[BOCF VS veblen函数|BOCF VS Veblen 函数]]&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== MOCF 简介 ===&lt;br /&gt;
下面是 MOCF 的数学定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_0(x)=\{0,1,\omega,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_{n+1}(x)=\{\alpha+\beta,\alpha\times\beta,\alpha^\beta,\psi(\gamma)|\alpha,\beta,\gamma\in C_n(x)|\gamma&amp;lt;x\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C(x)=\bigcup_{n&amp;lt;\omega}C_n(x)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi(x)=\min\{\alpha&amp;lt;\Omega|\alpha\notin C(x)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
可以发现，MOCF 和 BOCF 不同的点在于它把加法、乘法和乘方都放进了 &amp;lt;math&amp;gt;C(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 中，而 BOCF 只有加法。因此，MOCF 的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)=\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt;，并且有 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(X+1)=\psi(X)^{\psi(X)^{\psi(X)^{\cdots}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。在出现 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的地方，两种 OCF 是一样的，如平台期等概念，二者也是一样的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
下面是引入更多非递归序数的 MOCF 定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_0^v(x)=\{\alpha|\alpha&amp;lt;\Omega_v\}\cup\{\Omega_{\beta}|\beta&amp;lt;\omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_{n+1}^v(x)=\{\alpha+\beta,\alpha\times\beta,\alpha^\beta,\psi_{\delta}(\gamma)|\alpha,\beta,\gamma\in C_n^v(x),\gamma&amp;lt;x,\delta&amp;lt;\omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C^v(x)=\bigcup_{n&amp;lt;\omega}C_n^v(x)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi_v(x)=\min\{\alpha&amp;lt;\Omega_{v+1}|\alpha\notin C^v(x)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
可以看到和 BOCF 的定义大差不差，唯一的区别是乘法和乘方的引入。因而操作规则无太大差异，除了 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_v(X+1)=\psi_v(X)^{\psi_v(X)^{\psi_v(X)^{\cdots}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。此处不再赘述。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
MOCF 的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_\omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 也是 BO。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 枚举 ====&lt;br /&gt;
&#039;&#039;主条目：[[BOCF VS MOCF]]&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== BO 之后 ===&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_{\omega})&amp;lt;/math&amp;gt; 之后，googologist 们实际上已经不再关注其数学定义，因此这里只介绍操作规则。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
BOCF 中，我们对每个后继序数 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha+1&amp;lt;/math&amp;gt; 对应的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_{\alpha+1}&amp;lt;/math&amp;gt; 都定义出 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{\alpha}&amp;lt;/math&amp;gt; 函数满足 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{\alpha}(0)=\Omega_{\alpha}&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{\alpha}(X+1)=\psi_{\alpha}(X)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。MOCF 中则是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{\alpha}(0)=\Omega_{\alpha}\uparrow\uparrow\omega&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{\alpha}(X+1)=\psi_{\alpha}(X)\uparrow\uparrow\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。如果 β 是个极限序数，则没有对应的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
那么，对于类似 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_{\Omega^{\Omega}}&amp;lt;/math&amp;gt; 或 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_{\Omega_3\times3}&amp;lt;/math&amp;gt; 的东西，又要如何处理呢？答案是把下标也看做一个运算，如 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 被看做Ω&amp;lt;sub&amp;gt;Ω&amp;lt;/sub&amp;gt;。展开过程中找最右侧的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 时找的是下标的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 而非整体的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;。换句话说，“找最右侧的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;”本身就要求 α 一定小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以下是补充的操作规则：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi(X\sim\Omega_{\alpha+1})[m]=\underbrace{\psi(X\sim\psi_\alpha(X\sim\psi_\alpha(X\sim\psi_\alpha(X\sim\cdots}_{m~layers}))))&amp;lt;/math&amp;gt;，α 为任意序数，~ 代表 + 或 × 或 ^ 或下标。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi(X\sim\Omega_\beta)[m]=\psi(X\sim\Omega_{\beta[m]})&amp;lt;/math&amp;gt;，如果 β 是极限序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这套规则可以一直运用到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_{\Omega_{\Omega_{\cdots}}})&amp;lt;/math&amp;gt;，这个序数称为 [[EBO]]。如果想要继续前进，就需要新的非递归序数了，它们会给出它们对应的折叠规则。具体则需要参见对应词条。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
那么在这里，我们实际上可以说，OCF 本身是一个和[[增长层级]]类似的“壳子”，它们接受对应的非递归序数，然后输出大的递归序数。那么，为什么 OCF 没有像增长层级（如 FGH）一样占据 googology 的所有空间呢？有两方面原因。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
第一方面，OCF 没有像增长层级一样具有非常明确的转化规则。googology 社区有一个“俗话”——1000 个人有 1001 种 [[递归 Mahlo 序数#Mahlo OCF|Mahlo OCF]]。这种共识的缺乏是致命的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
第二方面，对于目前的 googology 爱好者来说，构造非递归序数的难度和构造其他类型序数记号，如 [[Beklemishev&#039;s Worm|Worm]] 型记号，相比，在难度上拉不开差距。不像 FGH 加序数记号对传统数阵记号的“降维打击”。而且，googology 爱好者普遍没有很强的数理逻辑或序数分析基础，难以理解和运用学界所构造的大可数序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 定义 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== MOCF ===&lt;br /&gt;
令 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\alpha=\omega_\alpha^{\rm CK},\Omega_0=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的递归共尾度 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 定义为 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的递归的基本列的最小长度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 含第一个非递归序数的 MOCF ====&lt;br /&gt;
含第一个非递归序数 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的 MOCF &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 定义为利用 &amp;lt;math&amp;gt;0,1,\omega,\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;，所有的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt; 以及序数加法、乘法、乘方运算，经过任意有限次运算所不能构建的最小序数。特别地，上述定义中的 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt; 满足 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;，且是能够在有限次运算之中通过 &amp;lt;math&amp;gt;0,1,\omega&amp;lt;/math&amp;gt; 进行加法、乘法、乘方运算，以及将这些序数放到 MOCF 之中所得到的序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以上的定义描述了含 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的 MOCF 的行为，其集合论定义可以表述如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C^0(\alpha)=\{0,1,\omega,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C^{n+1}(\alpha)=\{\gamma+\delta,\gamma\cdot\delta,\gamma^\delta,\psi(\eta)|\gamma,\delta,\eta\in C^n(\alpha),\eta&amp;lt;\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C(\alpha)=\bigcup_{n&amp;lt;\omega}C^n(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)=\min\{\beta|\beta\notin C(\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 含自然数下标的 MOCF ====&lt;br /&gt;
含有 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n&amp;lt;/math&amp;gt; 的 MOCF 标准形式定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt;，且各 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_i&amp;lt;/math&amp;gt; 均为标准形式，则 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt; 也是标准形式。&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;\Omega_n,\Omega_n^\beta&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha,\beta&amp;lt;/math&amp;gt; 均为标准形式，则 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n^\beta\cdot\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 为标准形式。&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\in C_n(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 为标准形式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
含有自然数下标的 MOCF &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 的基本列定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)=\mathrm{cf}(\alpha_n)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)[\eta]=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n[\eta]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_n(0))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n(0)[0]=\Omega_n,\psi_n(0)[n&#039;+1]=\Omega_n^{\psi_n(0)[n&#039;]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_n(\alpha+1))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n(\alpha+1)[0]=\psi(\alpha),\psi_n(\alpha+1)[n&#039;+1]=\psi_n(\alpha)^{\psi_n(\alpha+1)[n&#039;]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_n)=\Omega_n&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n[\eta]=\eta&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)\geqslant\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_n^\alpha)=\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\Omega_n^\alpha)[\eta]=\Omega_n^{\alpha[\eta]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\beta)\geqslant\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_n^\alpha\cdot\beta)=\mathrm{cf}(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\Omega_n^\alpha\cdot\beta)[\eta]=\Omega_n^\alpha\cdot\beta[\eta]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_n^\alpha\cdot(\beta+1))=\mathrm{cf}(\Omega_n^\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n^\alpha\cdot(\beta+1)[\eta]=\Omega_n^\alpha\cdot\beta+\Omega^{\alpha[\eta]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)=\Omega_n,m\leqslant n&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_m(\alpha))=\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n(\alpha)[\eta]=\psi_n(\alpha[\eta])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)=\Omega_{n+1},m\leqslant n&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_m(\alpha))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m(\alpha)[n&#039;]=\psi_m(\alpha[\gamma[n&#039;]])&amp;lt;/math&amp;gt;，其中 &amp;lt;math&amp;gt;\gamma[0]=0,\gamma[n&#039;+1]=\psi_n(\alpha[\gamma[n&#039;]])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
含有自然数下标的 MOCF &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 定义为利用所有小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数、所有自然数下标的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_m&amp;lt;/math&amp;gt;，所有自然数下标的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt; 以及序数加法、乘法、乘方运算，经过任意有限次运算所不能构建的最小序数。特别地，上述定义中的 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt; 满足 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;，且是能够在此前的运算之中得到的序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以上的定义描述了含自然数下标 的 MOCF 的行为，其集合论定义可以表述如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_n^0(\alpha)=\{\xi|\xi&amp;lt;\Omega_n\}\cup\{\Omega_{n&#039;}|n&#039;\in\mathbb{N}\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_n^{m+1}(\alpha)=\{\gamma+\delta,\gamma\cdot\delta,\gamma^\delta,\psi_{n&#039;}(\eta)|\gamma,\delta,\eta\in C_n^m(\alpha),n&#039;\in\mathbb{N},\eta&amp;lt;\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_n(\alpha)=\bigcup_{m\in\mathbb{N}}C_n^m(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n(\alpha)=\min\{\beta|\beta\notin C_n(\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 含序数下标的 MOCF ====&lt;br /&gt;
含有 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\mu&amp;lt;/math&amp;gt; 的 MOCF 标准形式定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt;，且各 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_i&amp;lt;/math&amp;gt; 均为标准形式，则 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt; 也是标准形式。&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;\Omega_\mu,\Omega_\mu^\beta&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha,\beta,\mu&amp;lt;/math&amp;gt; 均为标准形式，则 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\mu^\beta\cdot\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 为标准形式。&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\in C_\mu(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\mu(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 为标准形式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
含有序数下标的 MOCF &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 的基本列定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)=\mathrm{cf}(\alpha_n)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)[\eta]=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n[\eta]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\nu(0))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(0)[0]=\Omega_n,\psi_\nu(0)[n+1]=\Omega_\nu^{\psi_\nu(0)[n]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\nu(\alpha+1))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\alpha+1)[0]=\psi(\alpha),\psi_\nu(\alpha+1)[n+1]=\psi_\nu(\alpha)^{\psi_\nu(\alpha+1)[n]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_{\mu+1})=\Omega_{\mu+1}&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n[\eta]=\eta&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)\geqslant\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_\mu^\alpha)=\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\Omega_\mu^\alpha)[\eta]=\Omega_\mu^{\alpha[\eta]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\beta)\geqslant\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_\mu^\alpha\cdot\beta)=\mathrm{cf}(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\Omega_\mu^\alpha\cdot\beta)[\eta]=\Omega_\mu^\alpha\cdot\beta[\eta]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_\mu^\alpha\cdot(\beta+1))=\mathrm{cf}(\Omega_\mu^\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\mu^\alpha\cdot(\beta+1)[\eta]=\Omega_\mu^\alpha\cdot\beta+\Omega^{\alpha[\eta]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)=\Omega_\mu,\mu\leqslant\nu&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\mu(\alpha))=\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\alpha)[\eta]=\psi_\nu(\alpha[\eta])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)=\Omega_{\mu+1},\mu\leqslant\nu&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\mu(\alpha))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\mu(\alpha)[n]=\psi_\mu(\alpha[\gamma[n]])&amp;lt;/math&amp;gt;，其中 &amp;lt;math&amp;gt;\gamma[0]=0,\gamma[n+1]=\psi_\nu(\alpha[\gamma[n]])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
含有序数下标的 MOCF &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 定义为利用所有小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\nu&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数、所有自然数下标的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\mu&amp;lt;/math&amp;gt;，所有自然数下标的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\mu(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt; 以及序数加法、乘法、乘方运算，经过任意有限次运算所不能构建的最小序数。特别地，上述定义中的 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt; 满足 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;，且是能够在此前的运算之中得到的序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以上的定义描述了含序数下标 的 MOCF 的行为，其集合论定义可以表述如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_\nu^0(\alpha)=\{\xi|\xi&amp;lt;\Omega_\nu\}\cup\{\Omega_{\mu}|\mu\in\mathbb{N}\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_\nu^{m+1}(\alpha)=\{\gamma+\delta,\gamma\cdot\delta,\gamma^\delta,\psi_\mu(\eta)|\gamma,\delta,\eta\in C_\nu^m(\alpha),\mu\in\mathbb{N},\eta&amp;lt;\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_\nu(\alpha)=\bigcup_{m\in\mathbb{N}}C_\nu^m(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\alpha)=\min\{\beta|\beta\notin C_\nu(\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== BOCF ===&lt;br /&gt;
含有 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\mu&amp;lt;/math&amp;gt; 的 BOCF 标准形式定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt;，且各 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_i&amp;lt;/math&amp;gt; 均为标准形式，则 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt; 也是标准形式。&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\mu&amp;lt;/math&amp;gt;为标准形式，则 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\mu&amp;lt;/math&amp;gt; 为标准形式。&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\in C_\mu(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\mu(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 为标准形式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
含有序数下标的 BOCF &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 的基本列定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)=\mathrm{cf}(\alpha_n)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)[\eta]=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n[\eta]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)=1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_{\nu+1}(0))=\mathrm{cf}(\Omega_{\nu+1})&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{\nu+1}(0)[\eta]=\eta&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\nu)\geqslant\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\nu(0))=\mathrm{cf}(\nu)&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(0)[\eta]=\psi_{\nu[\eta]}(0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\nu(\beta+1))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\beta+1)[0]=0,\psi_\nu(\beta+1)[n+1]=\psi_\nu(\beta+1)[n]+\psi_\nu(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\beta)\in\{\omega\}\cap\{\Omega_{\mu+1}|\mu&amp;lt;\nu\}&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\nu(\beta))=\mathrm{cf}(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\beta)[\eta]=\psi_\nu(\beta[\eta])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)=\Omega_{\mu+1},\mu\geqslant\nu&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\nu(\beta))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\beta)[n]=\psi_\nu(\beta[\gamma[n]])&amp;lt;/math&amp;gt;，其中 &amp;lt;math&amp;gt;\gamma[0]=\Omega_\mu,\gamma[n+1]=\psi_\mu(\alpha[\gamma[n]])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其集合论定义可以表述如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_\nu^0(\alpha)=\{\xi|\xi&amp;lt;\Omega_\nu\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_\nu^{m+1}(\alpha)=\{\gamma+\delta,\psi_\mu(\eta)|\gamma,\delta,\eta\in C_\nu^m(\alpha),\mu\in\bold{Ord},\eta&amp;lt;\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_\nu(\alpha)=\bigcup_{m\in\mathbb{N}}C_\nu^m(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\alpha)=\min\{\beta|\beta\notin C_\nu(\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== NOCF ===&lt;br /&gt;
&#039;&#039;主条目：[[NOCF]]&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
由于 NOCF 没有完整的定义，这里给出它的理念：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_\alpha(0)=\Omega_\alpha\quad(\Omega_0=1)&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\psi_\alpha(\sharp+1)=\psi_\alpha(\sharp)+1&amp;lt;/math&amp;gt;；在 OCF 内遇到 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的处理方式与 MOCF 一致。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;br /&gt;
[[分类:入门]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%BA%8F%E6%95%B0%E5%9D%8D%E7%BC%A9%E5%87%BD%E6%95%B0&amp;diff=3358</id>
		<title>序数坍缩函数</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%BA%8F%E6%95%B0%E5%9D%8D%E7%BC%A9%E5%87%BD%E6%95%B0&amp;diff=3358"/>
		<updated>2026-07-07T09:22:59Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​撤销CGoL（讨论）的修订版本3357&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;序数塌缩函数（Ordinal Collapsing Function，OCF）&#039;&#039;&#039;是一种[[序数]]函数。它们的特点是利用足够大的序数（通常是[[序数#非递归序数|非递归序数]]）来输出递归序数。事实上，OCF 有很多不同的版本。本词条着力于介绍 [[EBO]] 之前的 &#039;&#039;&#039;BOCF&#039;&#039;&#039;（Buchholz&#039;s OCF）和 &#039;&#039;&#039;MOCF&#039;&#039;&#039;（Madore&#039;s OCF）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 教学 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== BOCF 简介 ===&lt;br /&gt;
&#039;&#039;前排提醒：对严谨数学定义不感冒或看不懂的读者可以直接跳到[[OCF#直观理解与操作规则|直观理解与操作规则]]。&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 定义 ====&lt;br /&gt;
首先我们给出 BOCF 只引入第一个非递归序数 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_0(x)=\{0,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_{n+1}(x)=C_n(x)\cup\{\alpha+\beta,\psi(\gamma)|\alpha,\beta,\gamma\in C_n(x),\gamma &amp;lt;x\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C(x)=\bigcup_{n&amp;lt;\omega}C_n(x)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi(x)=\min\{\alpha&amp;lt;\Omega|\alpha\not\in C(x)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 要求是一个足够大的序数&amp;lt;s&amp;gt;。以往的资料&amp;lt;/s&amp;gt;，一般使用第一个[[序数#可数序数与不可数序数|不可数序数]] &amp;lt;math&amp;gt;\omega_1&amp;lt;/math&amp;gt;（[[FUO]]）来作为它。&amp;lt;s&amp;gt;但我们发现，第一个非递归序数 &amp;lt;math&amp;gt;\omega_1^{CK}&amp;lt;/math&amp;gt;（[[CKO]]）已经可以满足我们的需求。因此，目前提到 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;，默认指的是 &amp;lt;math&amp;gt;\omega_1^{CK}&amp;lt;/math&amp;gt;。&amp;lt;/s&amp;gt;(读到这里的人请尽快前往[[讨论:序数坍缩函数|讨论]])&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这四条规则很是抽象，让我们一条一条来看。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
规则 1：&amp;lt;math&amp;gt;C_0(x)=\{0,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;。对于任意的 x ， &amp;lt;math&amp;gt;C_0(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 是同一个集合。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
规则 2，这个规则递归定义了 &amp;lt;math&amp;gt;C_{n+1}(x)&amp;lt;/math&amp;gt;，它是 &amp;lt;math&amp;gt;C_n(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 再加上 &amp;lt;math&amp;gt;C_n(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 中的元素通过加法和 ψ 函数能产生的所有元素。这里要求 ψ 函数自变量小于 x，因为 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 是需要 &amp;lt;math&amp;gt;C(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 来定义的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
规则3，&amp;lt;math&amp;gt;C(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 是对所有的 &amp;lt;math&amp;gt;C_n(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 取并集得到的集合。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
规则4，&amp;lt;math&amp;gt;\psi(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 就是所有小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数中，不属于 &amp;lt;math&amp;gt;C(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 的最小序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== &amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt; 之前 ====&lt;br /&gt;
以下是一些运算实例：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_0(0)=\{0,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_1(0)=\{0,\Omega,\Omega\times2\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_2(0)=\{0,\Omega,\Omega\times2,\Omega\times3,\Omega\times4\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
*……&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;C(0)=\{0,\Omega,\cdots\}&amp;lt;/math&amp;gt;，省略号省掉了大于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
因此 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)&amp;lt;/math&amp;gt; 是最小的小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的不在 &amp;lt;math&amp;gt;C(0)&amp;lt;/math&amp;gt; 里的序数，即 1。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
下一个例子是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(2)&amp;lt;/math&amp;gt;，假定首先你已经知道了 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(1)=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;（可以自己验证），我们要开始计算 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(2)&amp;lt;/math&amp;gt;，还是不展示大于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_0(2)=\{0,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_1(2)=\{0,\psi(0)=1,\Omega,\cdots\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_2(2)&amp;lt;/math&amp;gt; 包含了 1，2 和 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(1)&amp;lt;/math&amp;gt;，即 ω&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_3(2)&amp;lt;/math&amp;gt; 包含了 &amp;lt;math&amp;gt;1,2,3,4,\omega,\omega+1,\omega+2,\omega\times2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以此类推，最后能得到 &amp;lt;math&amp;gt;C(2)&amp;lt;/math&amp;gt; 中包含了全体小于 &amp;lt;math&amp;gt;\omega^2&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数和一大堆大于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数。因此根据定义，&amp;lt;math&amp;gt;\psi(2)=\omega^2&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
ψ 函数内是极限序数并不影响定义和计算。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
你有没有觉得一步一步按定义走太过于繁琐？下面给出它的 2 个性质:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi(m+1)=\psi(m)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，m 是任意序数&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)=\sup\{\psi(\kappa)|\kappa&amp;lt;\alpha\}&amp;lt;/math&amp;gt;，α 是任意非 0 极限序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据这个性质，我们可以轻松的得到：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\omega)=\omega^{\omega}=\psi(\psi(1))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\omega+1)=\omega^{\omega+1}=\psi(\psi(1)+1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\omega\times2)=\omega^{\omega\times2}=\psi(\psi(1)\times2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\omega^2)=\omega^{\omega^2}=\psi(\psi(2))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\omega^{\omega})=\omega^{\omega^{\omega}}=\psi(\psi(\psi(1)))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\omega^{\omega^{\omega}})=\omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}=\psi(\psi(\psi(\psi(1))))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* ……&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
到这里和[[康托范式]]，[[Veblen 函数]]的 &amp;lt;math&amp;gt;\varphi(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 都是一致的。然而，在 &amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt; 开始，OCF 将与它们分道扬镳。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== &amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt; 与平台期 ====&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0=\alpha\rightarrow\psi(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 的第一个不动点，这里没有问题。问题出在 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\varepsilon_0+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 上。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
注意到 &amp;lt;math&amp;gt;C_0(\varepsilon_0+1)=\{0,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;C_1(\varepsilon_0+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 中小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的最大元素是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;C_2(\varepsilon_0+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 中小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的最大元素是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi(0))&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;C_2(\varepsilon_0+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 中小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的最大元素是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi(\psi(0)))&amp;lt;/math&amp;gt;……&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
因此，&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\varepsilon_0)&amp;lt;/math&amp;gt; 始终无法出现在这里面。这直接导致了 &amp;lt;math&amp;gt;C(\varepsilon_0+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 中，小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的最小的不在里面的依然是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\varepsilon_0)&amp;lt;/math&amp;gt;，相当于“卡住了”。这意味着对于所有的 &amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0\leq\alpha\leq\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;，都有 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)=\psi(\varepsilon_0)&amp;lt;/math&amp;gt;。这就像一个巨大的平台，因此称为&#039;&#039;&#039;平台期&#039;&#039;&#039;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
直到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 才迎来了转机。因为 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 也在 &amp;lt;math&amp;gt;C_0(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 里面，因此 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 终于可以被放进 &amp;lt;math&amp;gt;C_1(\Omega+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 里面了。结果是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+1)=\psi(\Omega)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。后面再一次向上增长，直到 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\rightarrow\psi(\Omega+\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 的不动点。从这里到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 又是一段平台期。直到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+\Omega+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 再次恢复增长。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这样的定义可以一直运行到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;，再往后走不下去了。可是它相比其他[[序数记号]]，如 [[Veblen 函数]]依然是孱弱的。为了继续前进，我们需要引入更多的非递归序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 更多的非递归序数 ====&lt;br /&gt;
下面是引入更多非递归序数的 BOCF 定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_0^v(x)=\{\alpha|\alpha&amp;lt;\Omega_v\}\cup\{\Omega_{\beta}|v&amp;lt;\beta&amp;lt;\omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_{n+1}^v(x)=\{\alpha+\beta,\psi_{\delta}(\gamma)|\alpha,\beta,\gamma\in C_n^v(x),\gamma&amp;lt;x,\delta&amp;lt;\omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C^v(x)=\bigcup_{n&amp;lt;\omega}C_n^v(x)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi_v(x)=\min\{\alpha&amp;lt;\Omega_{v+1}|\alpha\notin C^v(x)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数即 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_0&amp;lt;/math&amp;gt; 函数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
可以看到，根据定义，有 &amp;lt;math&amp;gt;C_0^1(0)=\{\alpha,\Omega_2|\alpha&amp;lt;\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;，随后 &amp;lt;math&amp;gt;C_n^1(0)&amp;lt;/math&amp;gt; 是根据 &amp;lt;math&amp;gt;C_0^1(0)=\{\alpha,\Omega_2|\alpha&amp;lt;\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt; 中元素进行加法所得到的所有东西，注意到它们内部依然不存在 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega\sim\Omega_2&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数。因此，&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(0)=\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;。对于 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(1)&amp;lt;/math&amp;gt;，因为它可以把 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(0)&amp;lt;/math&amp;gt; 塞进 C 里，因此，最后有 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(1)=\Omega\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。之后的内容是顺理成章的，类似 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)\sim\psi(\psi(\psi(\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt; 的过程，有 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\psi_1(\psi_1(\cdots)))=\Omega^{\Omega^{\Omega^{\cdots}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。我们暂时记 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(1,0)=\alpha\rightarrow\psi_1(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 的不动点。可以验证，对于 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1&amp;lt;/math&amp;gt; 函数来说，这里依然存在 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(1,0)&amp;lt;\alpha&amp;lt;\Omega_2&amp;lt;/math&amp;gt; 的平台期。后面的一切都是顺理成章的。直到任意的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n&amp;lt;/math&amp;gt;，都是一样的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
但有一点需要注意，对于 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数来说，&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi_1(\Omega_2))&amp;lt;/math&amp;gt; 并没有打破从 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi_1(1,0))&amp;lt;/math&amp;gt; 开始的平台期，这个平台期继续向前，直到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_2)&amp;lt;/math&amp;gt; 才结束。这一现象称为&#039;&#039;&#039;藏层&#039;&#039;&#039;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
BOCF 的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_{\omega})=\sup\{\psi(\Omega),\psi(\Omega_2),\psi(\Omega_3),\cdots\}&amp;lt;/math&amp;gt;，这一序数有一个名字是 [[BO]]（Buchholz&#039;s Ordinal ），在 [[googology]] 中是一个非常重要的序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;tips：OCF中的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 不一定非得是[[序数#非递归序数|非递归序数]]，它只需要大于&#039;&#039;&#039;所有你研究的序数&#039;&#039;&#039;就可以了，比方说你想要研究 [[BMS]]，那么理论上你只需要保证它大于 BMS 极限就可以了。但是我们的研究是永无止境的，因此普遍使用非递归序数这一大于所有递归序数的东西来充当 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;。&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 直观理解与操作规则 ====&lt;br /&gt;
让我们从 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)=1&amp;lt;/math&amp;gt; 开始。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
BOCF 有这样的性质：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi(m+1)=\psi(m)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，m 是任意序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
因此，可以得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(1)=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。得到之后，你对 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(1)&amp;lt;/math&amp;gt; 之前的序数已经很清楚了，于是，可以把这些序数也都放进 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数内部，于是，你最大能得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi(1))=\psi(\omega)=\omega^{\omega}&amp;lt;/math&amp;gt;。得到它之后，你又对它之前的序数很清楚了，于是又可以把它们也放进 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数内部，最大能得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi(\psi(1)))=\omega^{\omega^{\omega}}&amp;lt;/math&amp;gt;……以此类推，你可以得到嵌套任意多层的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi(\psi(\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这个时候，我们的新朋友 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 出场了。我们令 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)=\psi(\psi(\psi(\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;，于是我们可以继续：&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+1)=\psi(\Omega)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。现在你会发现，它内部既然可以加一，那是不是也可以加上更大的序数呢？答案是肯定的。你先前已经得到了 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt;，那么对它之前的序数已经清楚了。于是只需要重走一遍 1 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就可以得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+\psi(\Omega))&amp;lt;/math&amp;gt;。和前面类似的，得到 &amp;lt;math&amp;gt;\color{red}\psi(\Omega+\psi(\Omega))&amp;lt;/math&amp;gt; 后，也就可以理解 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+{\color{red}\psi(\Omega+\psi(\Omega))})&amp;lt;/math&amp;gt;，毕竟只是在 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 内重走一遍先前走过的路。上面的路又可以一直走下去，直到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+\psi(\Omega+\psi(\Omega+\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
于是，&amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 再次登场，它让 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+\psi(\Omega+\psi(\Omega+\cdots)))=\psi(\Omega+\Omega)=\psi(\Omega\times2)&amp;lt;/math&amp;gt;。我们又可以按先前的思路，首先得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2+1)=\psi(\Omega\times2)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，然后重走一遍 1 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2)&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2))&amp;lt;/math&amp;gt;；再重走一遍 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2)&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2))&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2)))&amp;lt;/math&amp;gt;，再以此类推，得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt; 后再把它变成 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times3)&amp;lt;/math&amp;gt;，然后再……&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
说到这里，读者应该对 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 有一定的认识了。它的“能力”是让&#039;&#039;&#039;包着它的一层&#039;&#039;&#039; &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数连同内部的其他内容一起嵌套 n 层。如 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times3)=\psi(\Omega\times2+\Omega)=\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;。细心的读者可能注意到，这其实是[[不动点]]的体现。没错，OCF 中的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 可以说是不动点的“化身”，只要它出现，就一定是代表了一个不动点。事实上，前文只展示了加法。&amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 对于乘法和乘方所做的事情和加法是如出一辙的，以下是例子：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;，理解加一个 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 起到什么作用之后，只需要重走一遍 &amp;lt;math&amp;gt;\omega&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就能得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times\psi(\Omega))&amp;lt;/math&amp;gt;，然后再重走一遍 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times\psi(\Omega))&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就能得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times\psi(\Omega\times\psi(\Omega)))&amp;lt;/math&amp;gt;……最后得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^2)=\psi(\Omega\times\Omega)=\psi(\Omega\times\psi(\Omega\times\psi(\Omega\times\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3)&amp;lt;/math&amp;gt;，理解加一个 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega^2&amp;lt;/math&amp;gt; 起到什么作用之后，只需要重走一遍 1 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3)&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就能从 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3+\Omega^2\times1)&amp;lt;/math&amp;gt; 开始得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3))&amp;lt;/math&amp;gt;，然后再重走一遍 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3)&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3))&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就能得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3)))&amp;lt;/math&amp;gt;……最后得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3\times2)=\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\Omega)=\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
得到&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^1})&amp;lt;/math&amp;gt;，只需要重走一边 1 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就能从 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^1})&amp;lt;/math&amp;gt; 开始得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})}})&amp;lt;/math&amp;gt;，然后再重走一遍 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})}})&amp;lt;/math&amp;gt; 路，就能得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})}})}})&amp;lt;/math&amp;gt;……最后得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}\times2})=\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\Omega}})=\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\cdots}})}})}})&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以下是 [[BHO]]（即 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega^{\cdots}}})&amp;lt;/math&amp;gt;）之前的 BOCF 的操作规则：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha_1)+\psi(\alpha_2)+\cdots+\psi(\alpha_{n-1})+\psi(0)=\psi(\alpha_1)+\psi(\alpha_2)+\cdots+\psi(\alpha_{n-1})+1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;(\psi(\alpha_1)+\psi(\alpha_2)+\cdots+\psi(\alpha_{n-1})+\psi(\alpha_n))[m]=\psi(\alpha_1)+\psi(\alpha_2)+\cdots+\psi(\alpha_{n-1})+\psi(\alpha_m)[m]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(X+1)[m]=\psi(X)\times m&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(X+\psi(Y))[m]=\psi(X+\psi(Y)[m])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这四条和康托范式的规则是一样的，主要是要找准表达式最右侧的结构。如果最右侧是外面的 1 那就是后继，最右侧是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 里面的 1 那就是乘 &amp;lt;math&amp;gt;\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。最右侧如果是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(X)&amp;lt;/math&amp;gt;，则先操作它。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
但如果最右侧是 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 呢？很简单，只需要找到包着它的那一层 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt;，然后在原位嵌套即可。即：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi(Z\sim\Omega)=\psi(Z\sim\psi(Z\sim\psi(Z\sim\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;，其中 ~ 是 + 或者 × 或者 ^。注意这里的 Z 并不一定是一个序数，它可以只是一个算式。比如说 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\Omega}})&amp;lt;/math&amp;gt; 对应的 Z 是&amp;lt;math&amp;gt;\psi({\color{red}\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\color{black}\Omega}}})&amp;lt;/math&amp;gt; 标红的部分。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
有的时候最右侧的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 被藏起来，你需要自己去挖掘出来。比方说 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3\times2)&amp;lt;/math&amp;gt;，你需要把它写成 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 这种形式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;tips：BOCF 中实际上并不存在乘法和乘方，因此上文的大部分式子严格来说是不标准的。但是在 googology 绝大多种情况下，为了方便和清晰性，我们都会用这种“部分”引入乘法和乘方的 BOCF 不标准式。&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
BHO 之上，就需要引入更多的非递归序数 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_2,\Omega_3,\Omega_4,\cdots&amp;lt;/math&amp;gt;。对于他们来说，有 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1&amp;lt;/math&amp;gt; 函数，&amp;lt;math&amp;gt;\psi_2&amp;lt;/math&amp;gt; 函数，&amp;lt;math&amp;gt;\psi_3&amp;lt;/math&amp;gt; 函数……分别对应，&amp;lt;math&amp;gt;\Omega_{m+1}&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m&amp;lt;/math&amp;gt; 函数之间的关系与 Ω 和 ψ 函数的关系是一模一样的。（&amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数即 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_0&amp;lt;/math&amp;gt; 函数，&amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 即 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_1&amp;lt;/math&amp;gt;）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m&amp;lt;/math&amp;gt; 函数，有如下规则：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m(0)=\Omega_m&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m(X+1)=\psi_m(X)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m(Y\sim\Omega_{m+1})=\psi_m(Y\sim\psi_m(Y\sim\psi_m(Y\sim\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
不难发现和 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数的操作规则几乎一模一样。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
比如说，有 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(0)=\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(1)=\Omega\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;,&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\psi_1(0))=\Omega^2&amp;lt;/math&amp;gt;,&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\psi_1(0)\times2)=\Omega^3&amp;lt;/math&amp;gt;,&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\psi_1(\psi_1(0)))=\Omega^{\Omega}&amp;lt;/math&amp;gt; 等等。最后会得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\Omega_2)=\psi_1(\psi_1(\psi_1(\cdots)))=\Omega^{\Omega^{\Omega^{\cdots}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。借助 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1&amp;lt;/math&amp;gt; 函数，我们确实突破了前面 BHO 的界限。但事情还没这么简单。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
因为 OCF 存在一个“藏层”现象。即，&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi_1(\Omega_2))&amp;lt;/math&amp;gt; 这样的式子是不标准的，它等价于 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_2)&amp;lt;/math&amp;gt;。相当于那个 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1&amp;lt;/math&amp;gt; 的层被“藏起来”了，因此称为藏层。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据前文所说，&amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n&amp;lt;/math&amp;gt; 是一定要找 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{n-1}&amp;lt;/math&amp;gt; 函数去嵌套的。那么，面对藏层，我们要如何操作呢？&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
答案是，找到包着 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n&amp;lt;/math&amp;gt; 的最近的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m&amp;lt;/math&amp;gt; 函数满足 &amp;lt;math&amp;gt;m &amp;lt; n&amp;lt;/math&amp;gt;，我们视作 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{n-1}&amp;lt;/math&amp;gt; 函数被藏在了这个 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m&amp;lt;/math&amp;gt; 内部。随后进行嵌套，但要在嵌套过程中把内部的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m&amp;lt;/math&amp;gt; 改成 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{n-1}&amp;lt;/math&amp;gt;，即：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_m(Y\sim\Omega_n)=\psi_m(Y\sim\psi_{n-1}(Y\sim\psi_{n-1}(Y\sim\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
举例，考虑 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_3+\psi_2(\Omega_3+\Omega_2))&amp;lt;/math&amp;gt;，最右端是 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_2&amp;lt;/math&amp;gt;，它要找一个最近的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n&amp;lt;/math&amp;gt; 函数满足 n&amp;lt;2，是最外层的 ψ 函数。于是我们按照操作规则得到展开式为 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_3+\psi_2(\Omega_3+\psi_1(\Omega_3+\psi_2(\Omega_3+\psi_1(\Omega_3+\psi_2(\Omega_3+\cdots))))))&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
BO 是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_{\omega})&amp;lt;/math&amp;gt;，它的[[基本列]]是 &amp;lt;math&amp;gt;\{\psi(0),\psi(\Omega),\psi(\Omega_2),\psi(\Omega_3),\psi(\Omega_4),\cdots\}&amp;lt;/math&amp;gt;。从这条基本列中的元素开始按照操作规则展开所得到的式子就是标准的，如果得不到，则是不标准的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以上就是 BO 前的 BOCF 的直观理解与操作规则。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 枚举 ====&lt;br /&gt;
&#039;&#039;主条目：[[BOCF VS veblen函数|BOCF VS Veblen 函数]]&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== MOCF 简介 ===&lt;br /&gt;
下面是 MOCF 的数学定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_0(x)=\{0,1,\omega,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_{n+1}(x)=\{\alpha+\beta,\alpha\times\beta,\alpha^\beta,\psi(\gamma)|\alpha,\beta,\gamma\in C_n(x)|\gamma&amp;lt;x\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C(x)=\bigcup_{n&amp;lt;\omega}C_n(x)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi(x)=\min\{\alpha&amp;lt;\Omega|\alpha\notin C(x)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
可以发现，MOCF 和 BOCF 不同的点在于它把加法、乘法和乘方都放进了 &amp;lt;math&amp;gt;C(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 中，而 BOCF 只有加法。因此，MOCF 的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)=\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt;，并且有 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(X+1)=\psi(X)^{\psi(X)^{\psi(X)^{\cdots}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。在出现 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的地方，两种 OCF 是一样的，如平台期等概念，二者也是一样的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
下面是引入更多非递归序数的 MOCF 定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_0^v(x)=\{\alpha|\alpha&amp;lt;\Omega_v\}\cup\{\Omega_{\beta}|\beta&amp;lt;\omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_{n+1}^v(x)=\{\alpha+\beta,\alpha\times\beta,\alpha^\beta,\psi_{\delta}(\gamma)|\alpha,\beta,\gamma\in C_n^v(x),\gamma&amp;lt;x,\delta&amp;lt;\omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C^v(x)=\bigcup_{n&amp;lt;\omega}C_n^v(x)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi_v(x)=\min\{\alpha&amp;lt;\Omega_{v+1}|\alpha\notin C^v(x)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
可以看到和 BOCF 的定义大差不差，唯一的区别是乘法和乘方的引入。因而操作规则无太大差异，除了 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_v(X+1)=\psi_v(X)^{\psi_v(X)^{\psi_v(X)^{\cdots}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。此处不再赘述。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
MOCF 的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_\omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 也是 BO。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 枚举 ====&lt;br /&gt;
&#039;&#039;主条目：[[BOCF VS MOCF]]&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== BO 之后 ===&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_{\omega})&amp;lt;/math&amp;gt; 之后，googologist 们实际上已经不再关注其数学定义，因此这里只介绍操作规则。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
BOCF 中，我们对每个后继序数 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha+1&amp;lt;/math&amp;gt; 对应的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_{\alpha+1}&amp;lt;/math&amp;gt; 都定义出 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{\alpha}&amp;lt;/math&amp;gt; 函数满足 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{\alpha}(0)=\Omega_{\alpha}&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{\alpha}(X+1)=\psi_{\alpha}(X)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。MOCF 中则是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{\alpha}(0)=\Omega_{\alpha}\uparrow\uparrow\omega&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{\alpha}(X+1)=\psi_{\alpha}(X)\uparrow\uparrow\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。如果 β 是个极限序数，则没有对应的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
那么，对于类似 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_{\Omega^{\Omega}}&amp;lt;/math&amp;gt; 或 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_{\Omega_3\times3}&amp;lt;/math&amp;gt; 的东西，又要如何处理呢？答案是把下标也看做一个运算，如 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 被看做Ω&amp;lt;sub&amp;gt;Ω&amp;lt;/sub&amp;gt;。展开过程中找最右侧的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 时找的是下标的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 而非整体的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;。换句话说，“找最右侧的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;”本身就要求 α 一定小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以下是补充的操作规则：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi(X\sim\Omega_{\alpha+1})[m]=\underbrace{\psi(X\sim\psi_\alpha(X\sim\psi_\alpha(X\sim\psi_\alpha(X\sim\cdots}_{m~layers}))))&amp;lt;/math&amp;gt;，α 为任意序数，~ 代表 + 或 × 或 ^ 或下标。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi(X\sim\Omega_\beta)[m]=\psi(X\sim\Omega_{\beta[m]})&amp;lt;/math&amp;gt;，如果 β 是极限序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这套规则可以一直运用到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_{\Omega_{\Omega_{\cdots}}})&amp;lt;/math&amp;gt;，这个序数称为 [[EBO]]。如果想要继续前进，就需要新的非递归序数了，它们会给出它们对应的折叠规则。具体则需要参见对应词条。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
那么在这里，我们实际上可以说，OCF 本身是一个和[[增长层级]]类似的“壳子”，它们接受对应的非递归序数，然后输出大的递归序数。那么，为什么 OCF 没有像增长层级（如 FGH）一样占据 googology 的所有空间呢？有两方面原因。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
第一方面，OCF 没有像增长层级一样具有非常明确的转化规则。googology 社区有一个“俗话”——1000 个人有 1001 种 [[递归 Mahlo 序数#Mahlo OCF|Mahlo OCF]]。这种共识的缺乏是致命的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
第二方面，对于目前的 googology 爱好者来说，构造非递归序数的难度和构造其他类型序数记号，如 [[Beklemishev&#039;s Worm|Worm]] 型记号，相比，在难度上拉不开差距。不像 FGH 加序数记号对传统数阵记号的“降维打击”。而且，googology 爱好者普遍没有很强的数理逻辑或序数分析基础，难以理解和运用学界所构造的大可数序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 定义 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== MOCF ===&lt;br /&gt;
令 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\alpha=\omega_\alpha^{\rm CK},\Omega_0=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的递归共尾度 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 定义为 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的递归的基本列的最小长度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 含第一个非递归序数的 MOCF ====&lt;br /&gt;
含第一个非递归序数 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的 MOCF &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 定义为利用 &amp;lt;math&amp;gt;0,1,\omega,\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;，所有的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt; 以及序数加法、乘法、乘方运算，经过任意有限次运算所不能构建的最小序数。特别地，上述定义中的 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt; 满足 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;，且是能够在有限次运算之中通过 &amp;lt;math&amp;gt;0,1,\omega&amp;lt;/math&amp;gt; 进行加法、乘法、乘方运算，以及将这些序数放到 MOCF 之中所得到的序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以上的定义描述了含 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的 MOCF 的行为，其集合论定义可以表述如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C^0(\alpha)=\{0,1,\omega,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C^{n+1}(\alpha)=\{\gamma+\delta,\gamma\cdot\delta,\gamma^\delta,\psi(\eta)|\gamma,\delta,\eta\in C^n(\alpha),\eta&amp;lt;\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C(\alpha)=\bigcup_{n&amp;lt;\omega}C^n(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)=\min\{\beta|\beta\notin C(\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 含自然数下标的 MOCF ====&lt;br /&gt;
含有 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n&amp;lt;/math&amp;gt; 的 MOCF 标准形式定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt;，且各 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_i&amp;lt;/math&amp;gt; 均为标准形式，则 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt; 也是标准形式。&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;\Omega_n,\Omega_n^\beta&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha,\beta&amp;lt;/math&amp;gt; 均为标准形式，则 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n^\beta\cdot\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 为标准形式。&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\in C_n(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 为标准形式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
含有自然数下标的 MOCF &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 的基本列定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)=\mathrm{cf}(\alpha_n)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)[\eta]=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n[\eta]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_n(0))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n(0)[0]=\Omega_n,\psi_n(0)[n&#039;+1]=\Omega_n^{\psi_n(0)[n&#039;]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_n(\alpha+1))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n(\alpha+1)[0]=\psi(\alpha),\psi_n(\alpha+1)[n&#039;+1]=\psi_n(\alpha)^{\psi_n(\alpha+1)[n&#039;]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_n)=\Omega_n&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n[\eta]=\eta&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)\geqslant\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_n^\alpha)=\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\Omega_n^\alpha)[\eta]=\Omega_n^{\alpha[\eta]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\beta)\geqslant\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_n^\alpha\cdot\beta)=\mathrm{cf}(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\Omega_n^\alpha\cdot\beta)[\eta]=\Omega_n^\alpha\cdot\beta[\eta]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_n^\alpha\cdot(\beta+1))=\mathrm{cf}(\Omega_n^\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n^\alpha\cdot(\beta+1)[\eta]=\Omega_n^\alpha\cdot\beta+\Omega^{\alpha[\eta]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)=\Omega_n,m\leqslant n&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_m(\alpha))=\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n(\alpha)[\eta]=\psi_n(\alpha[\eta])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)=\Omega_{n+1},m\leqslant n&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_m(\alpha))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m(\alpha)[n&#039;]=\psi_m(\alpha[\gamma[n&#039;]])&amp;lt;/math&amp;gt;，其中 &amp;lt;math&amp;gt;\gamma[0]=0,\gamma[n&#039;+1]=\psi_n(\alpha[\gamma[n&#039;]])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
含有自然数下标的 MOCF &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 定义为利用所有小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数、所有自然数下标的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_m&amp;lt;/math&amp;gt;，所有自然数下标的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt; 以及序数加法、乘法、乘方运算，经过任意有限次运算所不能构建的最小序数。特别地，上述定义中的 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt; 满足 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;，且是能够在此前的运算之中得到的序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以上的定义描述了含自然数下标 的 MOCF 的行为，其集合论定义可以表述如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_n^0(\alpha)=\{\xi|\xi&amp;lt;\Omega_n\}\cup\{\Omega_{n&#039;}|n&#039;\in\mathbb{N}\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_n^{m+1}(\alpha)=\{\gamma+\delta,\gamma\cdot\delta,\gamma^\delta,\psi_{n&#039;}(\eta)|\gamma,\delta,\eta\in C_n^m(\alpha),n&#039;\in\mathbb{N},\eta&amp;lt;\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_n(\alpha)=\bigcup_{m\in\mathbb{N}}C_n^m(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n(\alpha)=\min\{\beta|\beta\notin C_n(\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 含序数下标的 MOCF ====&lt;br /&gt;
含有 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\mu&amp;lt;/math&amp;gt; 的 MOCF 标准形式定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt;，且各 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_i&amp;lt;/math&amp;gt; 均为标准形式，则 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt; 也是标准形式。&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;\Omega_\mu,\Omega_\mu^\beta&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha,\beta,\mu&amp;lt;/math&amp;gt; 均为标准形式，则 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\mu^\beta\cdot\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 为标准形式。&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\in C_\mu(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\mu(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 为标准形式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
含有序数下标的 MOCF &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 的基本列定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)=\mathrm{cf}(\alpha_n)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)[\eta]=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n[\eta]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\nu(0))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(0)[0]=\Omega_n,\psi_\nu(0)[n+1]=\Omega_\nu^{\psi_\nu(0)[n]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\nu(\alpha+1))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\alpha+1)[0]=\psi(\alpha),\psi_\nu(\alpha+1)[n+1]=\psi_\nu(\alpha)^{\psi_\nu(\alpha+1)[n]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_{\mu+1})=\Omega_{\mu+1}&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n[\eta]=\eta&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)\geqslant\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_\mu^\alpha)=\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\Omega_\mu^\alpha)[\eta]=\Omega_\mu^{\alpha[\eta]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\beta)\geqslant\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_\mu^\alpha\cdot\beta)=\mathrm{cf}(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\Omega_\mu^\alpha\cdot\beta)[\eta]=\Omega_\mu^\alpha\cdot\beta[\eta]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_\mu^\alpha\cdot(\beta+1))=\mathrm{cf}(\Omega_\mu^\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\mu^\alpha\cdot(\beta+1)[\eta]=\Omega_\mu^\alpha\cdot\beta+\Omega^{\alpha[\eta]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)=\Omega_\mu,\mu\leqslant\nu&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\mu(\alpha))=\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\alpha)[\eta]=\psi_\nu(\alpha[\eta])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)=\Omega_{\mu+1},\mu\leqslant\nu&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\mu(\alpha))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\mu(\alpha)[n]=\psi_\mu(\alpha[\gamma[n]])&amp;lt;/math&amp;gt;，其中 &amp;lt;math&amp;gt;\gamma[0]=0,\gamma[n+1]=\psi_\nu(\alpha[\gamma[n]])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
含有序数下标的 MOCF &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 定义为利用所有小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\nu&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数、所有自然数下标的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\mu&amp;lt;/math&amp;gt;，所有自然数下标的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\mu(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt; 以及序数加法、乘法、乘方运算，经过任意有限次运算所不能构建的最小序数。特别地，上述定义中的 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt; 满足 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;，且是能够在此前的运算之中得到的序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以上的定义描述了含序数下标 的 MOCF 的行为，其集合论定义可以表述如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_\nu^0(\alpha)=\{\xi|\xi&amp;lt;\Omega_\nu\}\cup\{\Omega_{\mu}|\mu\in\mathbb{N}\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_\nu^{m+1}(\alpha)=\{\gamma+\delta,\gamma\cdot\delta,\gamma^\delta,\psi_\mu(\eta)|\gamma,\delta,\eta\in C_\nu^m(\alpha),\mu\in\mathbb{N},\eta&amp;lt;\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_\nu(\alpha)=\bigcup_{m\in\mathbb{N}}C_\nu^m(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\alpha)=\min\{\beta|\beta\notin C_\nu(\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== BOCF ===&lt;br /&gt;
含有 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\mu&amp;lt;/math&amp;gt; 的 BOCF 标准形式定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt;，且各 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_i&amp;lt;/math&amp;gt; 均为标准形式，则 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt; 也是标准形式。&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\mu&amp;lt;/math&amp;gt;为标准形式，则 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\mu&amp;lt;/math&amp;gt; 为标准形式。&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\in C_\mu(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\mu(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 为标准形式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
含有序数下标的 BOCF &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 的基本列定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)=\mathrm{cf}(\alpha_n)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)[\eta]=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n[\eta]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)=1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_{\nu+1}(0))=\mathrm{cf}(\Omega_{\nu+1})&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{\nu+1}(0)[\eta]=\eta&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\nu)\geqslant\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\nu(0))=\mathrm{cf}(\nu)&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(0)[\eta]=\psi_{\nu[\eta]}(0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\nu(\beta+1))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\beta+1)[0]=0,\psi_\nu(\beta+1)[n+1]=\psi_\nu(\beta+1)[n]+\psi_\nu(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\beta)\in\{\omega\}\cap\{\Omega_{\mu+1}|\mu&amp;lt;\nu\}&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\nu(\beta))=\mathrm{cf}(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\beta)[\eta]=\psi_\nu(\beta[\eta])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)=\Omega_{\mu+1},\mu\geqslant\nu&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\nu(\beta))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\beta)[n]=\psi_\nu(\beta[\gamma[n]])&amp;lt;/math&amp;gt;，其中 &amp;lt;math&amp;gt;\gamma[0]=\Omega_\mu,\gamma[n+1]=\psi_\mu(\alpha[\gamma[n]])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其集合论定义可以表述如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_\nu^0(\alpha)=\{\xi|\xi&amp;lt;\Omega_\nu\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_\nu^{m+1}(\alpha)=\{\gamma+\delta,\psi_\mu(\eta)|\gamma,\delta,\eta\in C_\nu^m(\alpha),\mu\in\bold{Ord},\eta&amp;lt;\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_\nu(\alpha)=\bigcup_{m\in\mathbb{N}}C_\nu^m(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\alpha)=\min\{\beta|\beta\notin C_\nu(\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== NOCF ===&lt;br /&gt;
&#039;&#039;主条目：[[NOCF]]&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
由于 NOCF 没有完整的定义，这里给出它的理念：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_\alpha(0)=\Omega_\alpha\quad(\Omega_0=1)&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\psi_\alpha(\sharp+1)=\psi_\alpha(\sharp)+1&amp;lt;/math&amp;gt;；在 OCF 内遇到 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的处理方式与 MOCF 一致。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;br /&gt;
[[分类:入门]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%BA%8F%E6%95%B0%E5%9D%8D%E7%BC%A9%E5%87%BD%E6%95%B0&amp;diff=3357</id>
		<title>序数坍缩函数</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%BA%8F%E6%95%B0%E5%9D%8D%E7%BC%A9%E5%87%BD%E6%95%B0&amp;diff=3357"/>
		<updated>2026-07-07T09:21:28Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;序数塌缩函数（Ordinal Collapsing Function，OCF）&#039;&#039;&#039;是一种[[序数]]函数。它们的特点是利用足够大的序数（通常是[[序数#非递归序数|非递归序数]]）来输出递归序数。事实上，OCF 有很多不同的版本。本词条着力于介绍 [[EBO]] 之前的 &#039;&#039;&#039;BOCF&#039;&#039;&#039;（Buchholz&#039;s OCF）和 &#039;&#039;&#039;MOCF&#039;&#039;&#039;（Madore&#039;s OCF）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 教学 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== BOCF 简介 ===&lt;br /&gt;
&#039;&#039;前排提醒：对严谨数学定义不感冒或看不懂的读者可以直接跳到[[OCF#直观理解与操作规则|直观理解与操作规则]]。&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 定义 ====&lt;br /&gt;
首先我们给出 BOCF 只引入第一个&amp;lt;s&amp;gt;非递归序数&amp;lt;/s&amp;gt;不可数序数 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_0(x)=\{0,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_{n+1}(x)=C_n(x)\cup\{\alpha+\beta,\psi(\gamma)|\alpha,\beta,\gamma\in C_n(x),\gamma &amp;lt;x\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C(x)=\bigcup_{n&amp;lt;\omega}C_n(x)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi(x)=\min\{\alpha&amp;lt;\Omega|\alpha\not\in C(x)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 要求是一个足够大的序数&amp;lt;s&amp;gt;。以往的资料&amp;lt;/s&amp;gt;，一般使用第一个[[序数#可数序数与不可数序数|不可数序数]] &amp;lt;math&amp;gt;\omega_1&amp;lt;/math&amp;gt;（[[FUO]]）来作为它。&amp;lt;s&amp;gt;但我们发现，第一个非递归序数 &amp;lt;math&amp;gt;\omega_1^{CK}&amp;lt;/math&amp;gt;（[[CKO]]）已经可以满足我们的需求。因此，目前提到 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;，默认指的是 &amp;lt;math&amp;gt;\omega_1^{CK}&amp;lt;/math&amp;gt;。&amp;lt;/s&amp;gt;(读到这里的人请尽快前往[[讨论:序数坍缩函数|讨论]])&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这四条规则很是抽象，让我们一条一条来看。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
规则 1：&amp;lt;math&amp;gt;C_0(x)=\{0,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;。对于任意的 x ， &amp;lt;math&amp;gt;C_0(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 是同一个集合。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
规则 2，这个规则递归定义了 &amp;lt;math&amp;gt;C_{n+1}(x)&amp;lt;/math&amp;gt;，它是 &amp;lt;math&amp;gt;C_n(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 再加上 &amp;lt;math&amp;gt;C_n(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 中的元素通过加法和 ψ 函数能产生的所有元素。这里要求 ψ 函数自变量小于 x，因为 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 是需要 &amp;lt;math&amp;gt;C(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 来定义的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
规则3，&amp;lt;math&amp;gt;C(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 是对所有的 &amp;lt;math&amp;gt;C_n(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 取并集得到的集合。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
规则4，&amp;lt;math&amp;gt;\psi(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 就是所有小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数中，不属于 &amp;lt;math&amp;gt;C(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 的最小序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== &amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt; 之前 ====&lt;br /&gt;
以下是一些运算实例：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_0(0)=\{0,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_1(0)=\{0,\Omega,\Omega\times2\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_2(0)=\{0,\Omega,\Omega\times2,\Omega\times3,\Omega\times4\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
*……&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;C(0)=\{0,\Omega,\cdots\}&amp;lt;/math&amp;gt;，省略号省掉了大于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
因此 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)&amp;lt;/math&amp;gt; 是最小的小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的不在 &amp;lt;math&amp;gt;C(0)&amp;lt;/math&amp;gt; 里的序数，即 1。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
下一个例子是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(2)&amp;lt;/math&amp;gt;，假定首先你已经知道了 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(1)=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;（可以自己验证），我们要开始计算 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(2)&amp;lt;/math&amp;gt;，还是不展示大于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_0(2)=\{0,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_1(2)=\{0,\psi(0)=1,\Omega,\cdots\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_2(2)&amp;lt;/math&amp;gt; 包含了 1，2 和 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(1)&amp;lt;/math&amp;gt;，即 ω&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_3(2)&amp;lt;/math&amp;gt; 包含了 &amp;lt;math&amp;gt;1,2,3,4,\omega,\omega+1,\omega+2,\omega\times2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以此类推，最后能得到 &amp;lt;math&amp;gt;C(2)&amp;lt;/math&amp;gt; 中包含了全体小于 &amp;lt;math&amp;gt;\omega^2&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数和一大堆大于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数。因此根据定义，&amp;lt;math&amp;gt;\psi(2)=\omega^2&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
ψ 函数内是极限序数并不影响定义和计算。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
你有没有觉得一步一步按定义走太过于繁琐？下面给出它的 2 个性质:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi(m+1)=\psi(m)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，m 是任意序数&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)=\sup\{\psi(\kappa)|\kappa&amp;lt;\alpha\}&amp;lt;/math&amp;gt;，α 是任意非 0 极限序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据这个性质，我们可以轻松的得到：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\omega)=\omega^{\omega}=\psi(\psi(1))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\omega+1)=\omega^{\omega+1}=\psi(\psi(1)+1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\omega\times2)=\omega^{\omega\times2}=\psi(\psi(1)\times2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\omega^2)=\omega^{\omega^2}=\psi(\psi(2))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\omega^{\omega})=\omega^{\omega^{\omega}}=\psi(\psi(\psi(1)))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\omega^{\omega^{\omega}})=\omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}=\psi(\psi(\psi(\psi(1))))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* ……&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
到这里和[[康托范式]]，[[Veblen 函数]]的 &amp;lt;math&amp;gt;\varphi(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 都是一致的。然而，在 &amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt; 开始，OCF 将与它们分道扬镳。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== &amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt; 与平台期 ====&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0=\alpha\rightarrow\psi(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 的第一个不动点，这里没有问题。问题出在 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\varepsilon_0+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 上。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
注意到 &amp;lt;math&amp;gt;C_0(\varepsilon_0+1)=\{0,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;C_1(\varepsilon_0+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 中小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的最大元素是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;C_2(\varepsilon_0+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 中小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的最大元素是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi(0))&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;C_2(\varepsilon_0+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 中小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的最大元素是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi(\psi(0)))&amp;lt;/math&amp;gt;……&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
因此，&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\varepsilon_0)&amp;lt;/math&amp;gt; 始终无法出现在这里面。这直接导致了 &amp;lt;math&amp;gt;C(\varepsilon_0+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 中，小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的最小的不在里面的依然是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\varepsilon_0)&amp;lt;/math&amp;gt;，相当于“卡住了”。这意味着对于所有的 &amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0\leq\alpha\leq\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;，都有 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)=\psi(\varepsilon_0)&amp;lt;/math&amp;gt;。这就像一个巨大的平台，因此称为&#039;&#039;&#039;平台期&#039;&#039;&#039;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
直到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 才迎来了转机。因为 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 也在 &amp;lt;math&amp;gt;C_0(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 里面，因此 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 终于可以被放进 &amp;lt;math&amp;gt;C_1(\Omega+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 里面了。结果是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+1)=\psi(\Omega)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。后面再一次向上增长，直到 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\rightarrow\psi(\Omega+\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 的不动点。从这里到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 又是一段平台期。直到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+\Omega+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 再次恢复增长。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这样的定义可以一直运行到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;，再往后走不下去了。可是它相比其他[[序数记号]]，如 [[Veblen 函数]]依然是孱弱的。为了继续前进，我们需要引入更多的&amp;lt;s&amp;gt;非递归序数&amp;lt;/s&amp;gt;不可数序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 更多的非递归序数 ====&lt;br /&gt;
下面是引入更多&amp;lt;s&amp;gt;非递归序数&amp;lt;/s&amp;gt;不可数序数的 BOCF 定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_0^v(x)=\{\alpha|\alpha&amp;lt;\Omega_v\}\cup\{\Omega_{\beta}|v&amp;lt;\beta&amp;lt;\omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_{n+1}^v(x)=\{\alpha+\beta,\psi_{\delta}(\gamma)|\alpha,\beta,\gamma\in C_n^v(x),\gamma&amp;lt;x,\delta&amp;lt;\omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C^v(x)=\bigcup_{n&amp;lt;\omega}C_n^v(x)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi_v(x)=\min\{\alpha&amp;lt;\Omega_{v+1}|\alpha\notin C^v(x)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数即 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_0&amp;lt;/math&amp;gt; 函数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
可以看到，根据定义，有 &amp;lt;math&amp;gt;C_0^1(0)=\{\alpha,\Omega_2|\alpha&amp;lt;\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;，随后 &amp;lt;math&amp;gt;C_n^1(0)&amp;lt;/math&amp;gt; 是根据 &amp;lt;math&amp;gt;C_0^1(0)=\{\alpha,\Omega_2|\alpha&amp;lt;\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt; 中元素进行加法所得到的所有东西，注意到它们内部依然不存在 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega\sim\Omega_2&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数。因此，&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(0)=\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;。对于 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(1)&amp;lt;/math&amp;gt;，因为它可以把 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(0)&amp;lt;/math&amp;gt; 塞进 C 里，因此，最后有 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(1)=\Omega\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。之后的内容是顺理成章的，类似 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)\sim\psi(\psi(\psi(\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt; 的过程，有 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\psi_1(\psi_1(\cdots)))=\Omega^{\Omega^{\Omega^{\cdots}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。我们暂时记 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(1,0)=\alpha\rightarrow\psi_1(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 的不动点。可以验证，对于 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1&amp;lt;/math&amp;gt; 函数来说，这里依然存在 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(1,0)&amp;lt;\alpha&amp;lt;\Omega_2&amp;lt;/math&amp;gt; 的平台期。后面的一切都是顺理成章的。直到任意的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n&amp;lt;/math&amp;gt;，都是一样的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
但有一点需要注意，对于 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数来说，&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi_1(\Omega_2))&amp;lt;/math&amp;gt; 并没有打破从 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi_1(1,0))&amp;lt;/math&amp;gt; 开始的平台期，这个平台期继续向前，直到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_2)&amp;lt;/math&amp;gt; 才结束。这一现象称为&#039;&#039;&#039;藏层&#039;&#039;&#039;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
BOCF 的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_{\omega})=\sup\{\psi(\Omega),\psi(\Omega_2),\psi(\Omega_3),\cdots\}&amp;lt;/math&amp;gt;，这一序数有一个名字是 [[BO]]（Buchholz&#039;s Ordinal ），在 [[googology]] 中是一个非常重要的序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&amp;lt;s&amp;gt;tips：OCF中的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 不一定非得是[[序数#非递归序数|非递归序数]]，它只需要大于&#039;&#039;&#039;所有你研究的序数&#039;&#039;&#039;就可以了，比方说你想要研究 [[BMS]]，那么理论上你只需要保证它大于 BMS 极限就可以了。但是我们的研究是永无止境的，因此普遍使用非递归序数这一大于所有递归序数的东西来充当 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;。&amp;lt;/s&amp;gt;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 直观理解与操作规则 ====&lt;br /&gt;
让我们从 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)=1&amp;lt;/math&amp;gt; 开始。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
BOCF 有这样的性质：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi(m+1)=\psi(m)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，m 是任意序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
因此，可以得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(1)=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。得到之后，你对 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(1)&amp;lt;/math&amp;gt; 之前的序数已经很清楚了，于是，可以把这些序数也都放进 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数内部，于是，你最大能得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi(1))=\psi(\omega)=\omega^{\omega}&amp;lt;/math&amp;gt;。得到它之后，你又对它之前的序数很清楚了，于是又可以把它们也放进 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数内部，最大能得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi(\psi(1)))=\omega^{\omega^{\omega}}&amp;lt;/math&amp;gt;……以此类推，你可以得到嵌套任意多层的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi(\psi(\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这个时候，我们的新朋友 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 出场了。我们令 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)=\psi(\psi(\psi(\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;，于是我们可以继续：&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+1)=\psi(\Omega)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。现在你会发现，它内部既然可以加一，那是不是也可以加上更大的序数呢？答案是肯定的。你先前已经得到了 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt;，那么对它之前的序数已经清楚了。于是只需要重走一遍 1 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就可以得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+\psi(\Omega))&amp;lt;/math&amp;gt;。和前面类似的，得到 &amp;lt;math&amp;gt;\color{red}\psi(\Omega+\psi(\Omega))&amp;lt;/math&amp;gt; 后，也就可以理解 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+{\color{red}\psi(\Omega+\psi(\Omega))})&amp;lt;/math&amp;gt;，毕竟只是在 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 内重走一遍先前走过的路。上面的路又可以一直走下去，直到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+\psi(\Omega+\psi(\Omega+\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
于是，&amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 再次登场，它让 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+\psi(\Omega+\psi(\Omega+\cdots)))=\psi(\Omega+\Omega)=\psi(\Omega\times2)&amp;lt;/math&amp;gt;。我们又可以按先前的思路，首先得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2+1)=\psi(\Omega\times2)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，然后重走一遍 1 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2)&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2))&amp;lt;/math&amp;gt;；再重走一遍 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2)&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2))&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2)))&amp;lt;/math&amp;gt;，再以此类推，得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt; 后再把它变成 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times3)&amp;lt;/math&amp;gt;，然后再……&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
说到这里，读者应该对 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 有一定的认识了。它的“能力”是让&#039;&#039;&#039;包着它的一层&#039;&#039;&#039; &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数连同内部的其他内容一起嵌套 n 层。如 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times3)=\psi(\Omega\times2+\Omega)=\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;。细心的读者可能注意到，这其实是[[不动点]]的体现。没错，OCF 中的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 可以说是不动点的“化身”，只要它出现，就一定是代表了一个不动点。事实上，前文只展示了加法。&amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 对于乘法和乘方所做的事情和加法是如出一辙的，以下是例子：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;，理解加一个 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 起到什么作用之后，只需要重走一遍 &amp;lt;math&amp;gt;\omega&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就能得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times\psi(\Omega))&amp;lt;/math&amp;gt;，然后再重走一遍 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times\psi(\Omega))&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就能得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times\psi(\Omega\times\psi(\Omega)))&amp;lt;/math&amp;gt;……最后得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^2)=\psi(\Omega\times\Omega)=\psi(\Omega\times\psi(\Omega\times\psi(\Omega\times\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3)&amp;lt;/math&amp;gt;，理解加一个 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega^2&amp;lt;/math&amp;gt; 起到什么作用之后，只需要重走一遍 1 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3)&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就能从 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3+\Omega^2\times1)&amp;lt;/math&amp;gt; 开始得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3))&amp;lt;/math&amp;gt;，然后再重走一遍 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3)&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3))&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就能得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3)))&amp;lt;/math&amp;gt;……最后得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3\times2)=\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\Omega)=\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
得到&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^1})&amp;lt;/math&amp;gt;，只需要重走一边 1 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就能从 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^1})&amp;lt;/math&amp;gt; 开始得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})}})&amp;lt;/math&amp;gt;，然后再重走一遍 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})}})&amp;lt;/math&amp;gt; 路，就能得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})}})}})&amp;lt;/math&amp;gt;……最后得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}\times2})=\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\Omega}})=\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\cdots}})}})}})&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以下是 [[BHO]]（即 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega^{\cdots}}})&amp;lt;/math&amp;gt;）之前的 BOCF 的操作规则：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha_1)+\psi(\alpha_2)+\cdots+\psi(\alpha_{n-1})+\psi(0)=\psi(\alpha_1)+\psi(\alpha_2)+\cdots+\psi(\alpha_{n-1})+1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;(\psi(\alpha_1)+\psi(\alpha_2)+\cdots+\psi(\alpha_{n-1})+\psi(\alpha_n))[m]=\psi(\alpha_1)+\psi(\alpha_2)+\cdots+\psi(\alpha_{n-1})+\psi(\alpha_m)[m]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(X+1)[m]=\psi(X)\times m&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(X+\psi(Y))[m]=\psi(X+\psi(Y)[m])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这四条和康托范式的规则是一样的，主要是要找准表达式最右侧的结构。如果最右侧是外面的 1 那就是后继，最右侧是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 里面的 1 那就是乘 &amp;lt;math&amp;gt;\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。最右侧如果是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(X)&amp;lt;/math&amp;gt;，则先操作它。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
但如果最右侧是 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 呢？很简单，只需要找到包着它的那一层 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt;，然后在原位嵌套即可。即：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi(Z\sim\Omega)=\psi(Z\sim\psi(Z\sim\psi(Z\sim\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;，其中 ~ 是 + 或者 × 或者 ^。注意这里的 Z 并不一定是一个序数，它可以只是一个算式。比如说 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\Omega}})&amp;lt;/math&amp;gt; 对应的 Z 是&amp;lt;math&amp;gt;\psi({\color{red}\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\color{black}\Omega}}})&amp;lt;/math&amp;gt; 标红的部分。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
有的时候最右侧的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 被藏起来，你需要自己去挖掘出来。比方说 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3\times2)&amp;lt;/math&amp;gt;，你需要把它写成 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 这种形式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;tips：BOCF 中实际上并不存在乘法和乘方，因此上文的大部分式子严格来说是不标准的。但是在 googology 绝大多种情况下，为了方便和清晰性，我们都会用这种“部分”引入乘法和乘方的 BOCF 不标准式。&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
BHO 之上，就需要引入更多的非递归序数 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_2,\Omega_3,\Omega_4,\cdots&amp;lt;/math&amp;gt;。对于他们来说，有 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1&amp;lt;/math&amp;gt; 函数，&amp;lt;math&amp;gt;\psi_2&amp;lt;/math&amp;gt; 函数，&amp;lt;math&amp;gt;\psi_3&amp;lt;/math&amp;gt; 函数……分别对应，&amp;lt;math&amp;gt;\Omega_{m+1}&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m&amp;lt;/math&amp;gt; 函数之间的关系与 Ω 和 ψ 函数的关系是一模一样的。（&amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数即 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_0&amp;lt;/math&amp;gt; 函数，&amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 即 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_1&amp;lt;/math&amp;gt;）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m&amp;lt;/math&amp;gt; 函数，有如下规则：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m(0)=\Omega_m&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m(X+1)=\psi_m(X)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m(Y\sim\Omega_{m+1})=\psi_m(Y\sim\psi_m(Y\sim\psi_m(Y\sim\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
不难发现和 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数的操作规则几乎一模一样。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
比如说，有 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(0)=\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(1)=\Omega\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;,&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\psi_1(0))=\Omega^2&amp;lt;/math&amp;gt;,&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\psi_1(0)\times2)=\Omega^3&amp;lt;/math&amp;gt;,&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\psi_1(\psi_1(0)))=\Omega^{\Omega}&amp;lt;/math&amp;gt; 等等。最后会得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\Omega_2)=\psi_1(\psi_1(\psi_1(\cdots)))=\Omega^{\Omega^{\Omega^{\cdots}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。借助 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1&amp;lt;/math&amp;gt; 函数，我们确实突破了前面 BHO 的界限。但事情还没这么简单。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
因为 OCF 存在一个“藏层”现象。即，&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi_1(\Omega_2))&amp;lt;/math&amp;gt; 这样的式子是不标准的，它等价于 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_2)&amp;lt;/math&amp;gt;。相当于那个 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1&amp;lt;/math&amp;gt; 的层被“藏起来”了，因此称为藏层。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据前文所说，&amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n&amp;lt;/math&amp;gt; 是一定要找 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{n-1}&amp;lt;/math&amp;gt; 函数去嵌套的。那么，面对藏层，我们要如何操作呢？&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
答案是，找到包着 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n&amp;lt;/math&amp;gt; 的最近的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m&amp;lt;/math&amp;gt; 函数满足 &amp;lt;math&amp;gt;m &amp;lt; n&amp;lt;/math&amp;gt;，我们视作 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{n-1}&amp;lt;/math&amp;gt; 函数被藏在了这个 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m&amp;lt;/math&amp;gt; 内部。随后进行嵌套，但要在嵌套过程中把内部的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m&amp;lt;/math&amp;gt; 改成 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{n-1}&amp;lt;/math&amp;gt;，即：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_m(Y\sim\Omega_n)=\psi_m(Y\sim\psi_{n-1}(Y\sim\psi_{n-1}(Y\sim\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
举例，考虑 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_3+\psi_2(\Omega_3+\Omega_2))&amp;lt;/math&amp;gt;，最右端是 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_2&amp;lt;/math&amp;gt;，它要找一个最近的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n&amp;lt;/math&amp;gt; 函数满足 n&amp;lt;2，是最外层的 ψ 函数。于是我们按照操作规则得到展开式为 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_3+\psi_2(\Omega_3+\psi_1(\Omega_3+\psi_2(\Omega_3+\psi_1(\Omega_3+\psi_2(\Omega_3+\cdots))))))&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
BO 是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_{\omega})&amp;lt;/math&amp;gt;，它的[[基本列]]是 &amp;lt;math&amp;gt;\{\psi(0),\psi(\Omega),\psi(\Omega_2),\psi(\Omega_3),\psi(\Omega_4),\cdots\}&amp;lt;/math&amp;gt;。从这条基本列中的元素开始按照操作规则展开所得到的式子就是标准的，如果得不到，则是不标准的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以上就是 BO 前的 BOCF 的直观理解与操作规则。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 枚举 ====&lt;br /&gt;
&#039;&#039;主条目：[[BOCF VS veblen函数|BOCF VS Veblen 函数]]&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== MOCF 简介 ===&lt;br /&gt;
下面是 MOCF 的数学定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_0(x)=\{0,1,\omega,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_{n+1}(x)=\{\alpha+\beta,\alpha\times\beta,\alpha^\beta,\psi(\gamma)|\alpha,\beta,\gamma\in C_n(x)|\gamma&amp;lt;x\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C(x)=\bigcup_{n&amp;lt;\omega}C_n(x)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi(x)=\min\{\alpha&amp;lt;\Omega|\alpha\notin C(x)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
可以发现，MOCF 和 BOCF 不同的点在于它把加法、乘法和乘方都放进了 &amp;lt;math&amp;gt;C(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 中，而 BOCF 只有加法。因此，MOCF 的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)=\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt;，并且有 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(X+1)=\psi(X)^{\psi(X)^{\psi(X)^{\cdots}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。在出现 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的地方，两种 OCF 是一样的，如平台期等概念，二者也是一样的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
下面是引入更多&amp;lt;s&amp;gt;非递归序数&amp;lt;/s&amp;gt;不可数序数的 MOCF 定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_0^v(x)=\{\alpha|\alpha&amp;lt;\Omega_v\}\cup\{\Omega_{\beta}|\beta&amp;lt;\omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_{n+1}^v(x)=\{\alpha+\beta,\alpha\times\beta,\alpha^\beta,\psi_{\delta}(\gamma)|\alpha,\beta,\gamma\in C_n^v(x),\gamma&amp;lt;x,\delta&amp;lt;\omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C^v(x)=\bigcup_{n&amp;lt;\omega}C_n^v(x)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi_v(x)=\min\{\alpha&amp;lt;\Omega_{v+1}|\alpha\notin C^v(x)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
可以看到和 BOCF 的定义大差不差，唯一的区别是乘法和乘方的引入。因而操作规则无太大差异，除了 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_v(X+1)=\psi_v(X)^{\psi_v(X)^{\psi_v(X)^{\cdots}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。此处不再赘述。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
MOCF 的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_\omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 也是 BO。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 枚举 ====&lt;br /&gt;
&#039;&#039;主条目：[[BOCF VS MOCF]]&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== BO 之后 ===&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_{\omega})&amp;lt;/math&amp;gt; 之后，googologist 们实际上已经不再关注其数学定义，因此这里只介绍操作规则。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
BOCF 中，我们对每个后继序数 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha+1&amp;lt;/math&amp;gt; 对应的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_{\alpha+1}&amp;lt;/math&amp;gt; 都定义出 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{\alpha}&amp;lt;/math&amp;gt; 函数满足 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{\alpha}(0)=\Omega_{\alpha}&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{\alpha}(X+1)=\psi_{\alpha}(X)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。MOCF 中则是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{\alpha}(0)=\Omega_{\alpha}\uparrow\uparrow\omega&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{\alpha}(X+1)=\psi_{\alpha}(X)\uparrow\uparrow\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。如果 β 是个极限序数，则没有对应的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
那么，对于类似 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_{\Omega^{\Omega}}&amp;lt;/math&amp;gt; 或 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_{\Omega_3\times3}&amp;lt;/math&amp;gt; 的东西，又要如何处理呢？答案是把下标也看做一个运算，如 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 被看做Ω&amp;lt;sub&amp;gt;Ω&amp;lt;/sub&amp;gt;。展开过程中找最右侧的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 时找的是下标的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 而非整体的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;。换句话说，“找最右侧的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;”本身就要求 α 一定小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以下是补充的操作规则：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi(X\sim\Omega_{\alpha+1})[m]=\underbrace{\psi(X\sim\psi_\alpha(X\sim\psi_\alpha(X\sim\psi_\alpha(X\sim\cdots}_{m~layers}))))&amp;lt;/math&amp;gt;，α 为任意序数，~ 代表 + 或 × 或 ^ 或下标。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi(X\sim\Omega_\beta)[m]=\psi(X\sim\Omega_{\beta[m]})&amp;lt;/math&amp;gt;，如果 β 是极限序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这套规则可以一直运用到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_{\Omega_{\Omega_{\cdots}}})&amp;lt;/math&amp;gt;，这个序数称为 [[EBO]]。如果想要继续前进，就需要新的&amp;lt;s&amp;gt;非递归序数&amp;lt;/s&amp;gt;不可数序数了，它们会给出它们对应的折叠规则。具体则需要参见对应词条。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
那么在这里，我们实际上可以说，OCF 本身是一个和[[增长层级]]类似的“壳子”，它们接受对应的非递归序数，然后输出大的递归序数。那么，为什么 OCF 没有像增长层级（如 FGH）一样占据 googology 的所有空间呢？有两方面原因。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
第一方面，OCF 没有像增长层级一样具有非常明确的转化规则。googology 社区有一个“俗话”——1000 个人有 1001 种 [[递归 Mahlo 序数#Mahlo OCF|Mahlo OCF]]。这种共识的缺乏是致命的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
第二方面，对于目前的 googology 爱好者来说，构造非递归序数的难度和构造其他类型序数记号，如 [[Beklemishev&#039;s Worm|Worm]] 型记号，相比，在难度上拉不开差距。不像 FGH 加序数记号对传统数阵记号的“降维打击”。而且，googology 爱好者普遍没有很强的数理逻辑或序数分析基础，难以理解和运用学界所构造的大可数序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 定义 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== MOCF ===&lt;br /&gt;
令 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\alpha=\omega_\alpha^{\rm CK},\Omega_0=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的递归共尾度 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 定义为 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的递归的基本列的最小长度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 含第一个非递归序数的 MOCF ====&lt;br /&gt;
含第一个非递归序数 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的 MOCF &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 定义为利用 &amp;lt;math&amp;gt;0,1,\omega,\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;，所有的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt; 以及序数加法、乘法、乘方运算，经过任意有限次运算所不能构建的最小序数。特别地，上述定义中的 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt; 满足 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;，且是能够在有限次运算之中通过 &amp;lt;math&amp;gt;0,1,\omega&amp;lt;/math&amp;gt; 进行加法、乘法、乘方运算，以及将这些序数放到 MOCF 之中所得到的序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以上的定义描述了含 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的 MOCF 的行为，其集合论定义可以表述如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C^0(\alpha)=\{0,1,\omega,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C^{n+1}(\alpha)=\{\gamma+\delta,\gamma\cdot\delta,\gamma^\delta,\psi(\eta)|\gamma,\delta,\eta\in C^n(\alpha),\eta&amp;lt;\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C(\alpha)=\bigcup_{n&amp;lt;\omega}C^n(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)=\min\{\beta|\beta\notin C(\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 含自然数下标的 MOCF ====&lt;br /&gt;
含有 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n&amp;lt;/math&amp;gt; 的 MOCF 标准形式定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt;，且各 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_i&amp;lt;/math&amp;gt; 均为标准形式，则 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt; 也是标准形式。&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;\Omega_n,\Omega_n^\beta&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha,\beta&amp;lt;/math&amp;gt; 均为标准形式，则 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n^\beta\cdot\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 为标准形式。&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\in C_n(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 为标准形式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
含有自然数下标的 MOCF &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 的基本列定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)=\mathrm{cf}(\alpha_n)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)[\eta]=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n[\eta]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_n(0))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n(0)[0]=\Omega_n,\psi_n(0)[n&#039;+1]=\Omega_n^{\psi_n(0)[n&#039;]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_n(\alpha+1))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n(\alpha+1)[0]=\psi(\alpha),\psi_n(\alpha+1)[n&#039;+1]=\psi_n(\alpha)^{\psi_n(\alpha+1)[n&#039;]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_n)=\Omega_n&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n[\eta]=\eta&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)\geqslant\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_n^\alpha)=\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\Omega_n^\alpha)[\eta]=\Omega_n^{\alpha[\eta]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\beta)\geqslant\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_n^\alpha\cdot\beta)=\mathrm{cf}(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\Omega_n^\alpha\cdot\beta)[\eta]=\Omega_n^\alpha\cdot\beta[\eta]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_n^\alpha\cdot(\beta+1))=\mathrm{cf}(\Omega_n^\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n^\alpha\cdot(\beta+1)[\eta]=\Omega_n^\alpha\cdot\beta+\Omega^{\alpha[\eta]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)=\Omega_n,m\leqslant n&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_m(\alpha))=\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n(\alpha)[\eta]=\psi_n(\alpha[\eta])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)=\Omega_{n+1},m\leqslant n&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_m(\alpha))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m(\alpha)[n&#039;]=\psi_m(\alpha[\gamma[n&#039;]])&amp;lt;/math&amp;gt;，其中 &amp;lt;math&amp;gt;\gamma[0]=0,\gamma[n&#039;+1]=\psi_n(\alpha[\gamma[n&#039;]])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
含有自然数下标的 MOCF &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 定义为利用所有小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数、所有自然数下标的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_m&amp;lt;/math&amp;gt;，所有自然数下标的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt; 以及序数加法、乘法、乘方运算，经过任意有限次运算所不能构建的最小序数。特别地，上述定义中的 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt; 满足 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;，且是能够在此前的运算之中得到的序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以上的定义描述了含自然数下标 的 MOCF 的行为，其集合论定义可以表述如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_n^0(\alpha)=\{\xi|\xi&amp;lt;\Omega_n\}\cup\{\Omega_{n&#039;}|n&#039;\in\mathbb{N}\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_n^{m+1}(\alpha)=\{\gamma+\delta,\gamma\cdot\delta,\gamma^\delta,\psi_{n&#039;}(\eta)|\gamma,\delta,\eta\in C_n^m(\alpha),n&#039;\in\mathbb{N},\eta&amp;lt;\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_n(\alpha)=\bigcup_{m\in\mathbb{N}}C_n^m(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n(\alpha)=\min\{\beta|\beta\notin C_n(\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 含序数下标的 MOCF ====&lt;br /&gt;
含有 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\mu&amp;lt;/math&amp;gt; 的 MOCF 标准形式定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt;，且各 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_i&amp;lt;/math&amp;gt; 均为标准形式，则 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt; 也是标准形式。&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;\Omega_\mu,\Omega_\mu^\beta&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha,\beta,\mu&amp;lt;/math&amp;gt; 均为标准形式，则 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\mu^\beta\cdot\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 为标准形式。&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\in C_\mu(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\mu(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 为标准形式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
含有序数下标的 MOCF &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 的基本列定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)=\mathrm{cf}(\alpha_n)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)[\eta]=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n[\eta]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\nu(0))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(0)[0]=\Omega_n,\psi_\nu(0)[n+1]=\Omega_\nu^{\psi_\nu(0)[n]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\nu(\alpha+1))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\alpha+1)[0]=\psi(\alpha),\psi_\nu(\alpha+1)[n+1]=\psi_\nu(\alpha)^{\psi_\nu(\alpha+1)[n]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_{\mu+1})=\Omega_{\mu+1}&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n[\eta]=\eta&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)\geqslant\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_\mu^\alpha)=\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\Omega_\mu^\alpha)[\eta]=\Omega_\mu^{\alpha[\eta]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\beta)\geqslant\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_\mu^\alpha\cdot\beta)=\mathrm{cf}(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\Omega_\mu^\alpha\cdot\beta)[\eta]=\Omega_\mu^\alpha\cdot\beta[\eta]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_\mu^\alpha\cdot(\beta+1))=\mathrm{cf}(\Omega_\mu^\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\mu^\alpha\cdot(\beta+1)[\eta]=\Omega_\mu^\alpha\cdot\beta+\Omega^{\alpha[\eta]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)=\Omega_\mu,\mu\leqslant\nu&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\mu(\alpha))=\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\alpha)[\eta]=\psi_\nu(\alpha[\eta])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)=\Omega_{\mu+1},\mu\leqslant\nu&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\mu(\alpha))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\mu(\alpha)[n]=\psi_\mu(\alpha[\gamma[n]])&amp;lt;/math&amp;gt;，其中 &amp;lt;math&amp;gt;\gamma[0]=0,\gamma[n+1]=\psi_\nu(\alpha[\gamma[n]])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
含有序数下标的 MOCF &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 定义为利用所有小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\nu&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数、所有自然数下标的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\mu&amp;lt;/math&amp;gt;，所有自然数下标的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\mu(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt; 以及序数加法、乘法、乘方运算，经过任意有限次运算所不能构建的最小序数。特别地，上述定义中的 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt; 满足 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;，且是能够在此前的运算之中得到的序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以上的定义描述了含序数下标 的 MOCF 的行为，其集合论定义可以表述如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_\nu^0(\alpha)=\{\xi|\xi&amp;lt;\Omega_\nu\}\cup\{\Omega_{\mu}|\mu\in\mathbb{N}\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_\nu^{m+1}(\alpha)=\{\gamma+\delta,\gamma\cdot\delta,\gamma^\delta,\psi_\mu(\eta)|\gamma,\delta,\eta\in C_\nu^m(\alpha),\mu\in\mathbb{N},\eta&amp;lt;\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_\nu(\alpha)=\bigcup_{m\in\mathbb{N}}C_\nu^m(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\alpha)=\min\{\beta|\beta\notin C_\nu(\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== BOCF ===&lt;br /&gt;
含有 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\mu&amp;lt;/math&amp;gt; 的 BOCF 标准形式定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt;，且各 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_i&amp;lt;/math&amp;gt; 均为标准形式，则 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt; 也是标准形式。&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\mu&amp;lt;/math&amp;gt;为标准形式，则 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\mu&amp;lt;/math&amp;gt; 为标准形式。&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\in C_\mu(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\mu(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 为标准形式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
含有序数下标的 BOCF &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 的基本列定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)=\mathrm{cf}(\alpha_n)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)[\eta]=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n[\eta]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)=1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_{\nu+1}(0))=\mathrm{cf}(\Omega_{\nu+1})&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{\nu+1}(0)[\eta]=\eta&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\nu)\geqslant\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\nu(0))=\mathrm{cf}(\nu)&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(0)[\eta]=\psi_{\nu[\eta]}(0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\nu(\beta+1))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\beta+1)[0]=0,\psi_\nu(\beta+1)[n+1]=\psi_\nu(\beta+1)[n]+\psi_\nu(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\beta)\in\{\omega\}\cap\{\Omega_{\mu+1}|\mu&amp;lt;\nu\}&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\nu(\beta))=\mathrm{cf}(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\beta)[\eta]=\psi_\nu(\beta[\eta])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)=\Omega_{\mu+1},\mu\geqslant\nu&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\nu(\beta))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\beta)[n]=\psi_\nu(\beta[\gamma[n]])&amp;lt;/math&amp;gt;，其中 &amp;lt;math&amp;gt;\gamma[0]=\Omega_\mu,\gamma[n+1]=\psi_\mu(\alpha[\gamma[n]])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其集合论定义可以表述如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_\nu^0(\alpha)=\{\xi|\xi&amp;lt;\Omega_\nu\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_\nu^{m+1}(\alpha)=\{\gamma+\delta,\psi_\mu(\eta)|\gamma,\delta,\eta\in C_\nu^m(\alpha),\mu\in\bold{Ord},\eta&amp;lt;\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_\nu(\alpha)=\bigcup_{m\in\mathbb{N}}C_\nu^m(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\alpha)=\min\{\beta|\beta\notin C_\nu(\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== NOCF ===&lt;br /&gt;
&#039;&#039;主条目：[[NOCF]]&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
由于 NOCF 没有完整的定义，这里给出它的理念：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_\alpha(0)=\Omega_\alpha\quad(\Omega_0=1)&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\psi_\alpha(\sharp+1)=\psi_\alpha(\sharp)+1&amp;lt;/math&amp;gt;；在 OCF 内遇到 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的处理方式与 MOCF 一致。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;br /&gt;
[[分类:入门]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%BA%8F%E6%95%B0%E5%9D%8D%E7%BC%A9%E5%87%BD%E6%95%B0&amp;diff=3356</id>
		<title>序数坍缩函数</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%BA%8F%E6%95%B0%E5%9D%8D%E7%BC%A9%E5%87%BD%E6%95%B0&amp;diff=3356"/>
		<updated>2026-07-07T09:03:52Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;序数塌缩函数（Ordinal Collapsing Function，OCF）&#039;&#039;&#039;是一种[[序数]]函数。它们的特点是利用足够大的序数（通常是[[序数#非递归序数|非递归序数]]）来输出递归序数。事实上，OCF 有很多不同的版本。本词条着力于介绍 [[EBO]] 之前的 &#039;&#039;&#039;BOCF&#039;&#039;&#039;（Buchholz&#039;s OCF）和 &#039;&#039;&#039;MOCF&#039;&#039;&#039;（Madore&#039;s OCF）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 教学 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== BOCF 简介 ===&lt;br /&gt;
&#039;&#039;前排提醒：对严谨数学定义不感冒或看不懂的读者可以直接跳到[[OCF#直观理解与操作规则|直观理解与操作规则]]。&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 定义 ====&lt;br /&gt;
首先我们给出 BOCF 只引入第一个非递归序数 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_0(x)=\{0,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_{n+1}(x)=C_n(x)\cup\{\alpha+\beta,\psi(\gamma)|\alpha,\beta,\gamma\in C_n(x),\gamma &amp;lt;x\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C(x)=\bigcup_{n&amp;lt;\omega}C_n(x)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi(x)=\min\{\alpha&amp;lt;\Omega|\alpha\not\in C(x)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 要求是一个足够大的序数&amp;lt;s&amp;gt;。以往的资料&amp;lt;/s&amp;gt;，一般使用第一个[[序数#可数序数与不可数序数|不可数序数]] &amp;lt;math&amp;gt;\omega_1&amp;lt;/math&amp;gt;（[[FUO]]）来作为它。&amp;lt;s&amp;gt;但我们发现，第一个非递归序数 &amp;lt;math&amp;gt;\omega_1^{CK}&amp;lt;/math&amp;gt;（[[CKO]]）已经可以满足我们的需求。因此，目前提到 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;，默认指的是 &amp;lt;math&amp;gt;\omega_1^{CK}&amp;lt;/math&amp;gt;。&amp;lt;/s&amp;gt;(读到这里的人请尽快前往[[讨论:序数坍缩函数|讨论]])&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这四条规则很是抽象，让我们一条一条来看。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
规则 1：&amp;lt;math&amp;gt;C_0(x)=\{0,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;。对于任意的 x ， &amp;lt;math&amp;gt;C_0(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 是同一个集合。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
规则 2，这个规则递归定义了 &amp;lt;math&amp;gt;C_{n+1}(x)&amp;lt;/math&amp;gt;，它是 &amp;lt;math&amp;gt;C_n(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 再加上 &amp;lt;math&amp;gt;C_n(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 中的元素通过加法和 ψ 函数能产生的所有元素。这里要求 ψ 函数自变量小于 x，因为 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 是需要 &amp;lt;math&amp;gt;C(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 来定义的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
规则3，&amp;lt;math&amp;gt;C(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 是对所有的 &amp;lt;math&amp;gt;C_n(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 取并集得到的集合。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
规则4，&amp;lt;math&amp;gt;\psi(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 就是所有小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数中，不属于 &amp;lt;math&amp;gt;C(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 的最小序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== &amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt; 之前 ====&lt;br /&gt;
以下是一些运算实例：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_0(0)=\{0,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_1(0)=\{0,\Omega,\Omega\times2\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_2(0)=\{0,\Omega,\Omega\times2,\Omega\times3,\Omega\times4\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
*……&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;C(0)=\{0,\Omega,\cdots\}&amp;lt;/math&amp;gt;，省略号省掉了大于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
因此 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)&amp;lt;/math&amp;gt; 是最小的小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的不在 &amp;lt;math&amp;gt;C(0)&amp;lt;/math&amp;gt; 里的序数，即 1。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
下一个例子是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(2)&amp;lt;/math&amp;gt;，假定首先你已经知道了 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(1)=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;（可以自己验证），我们要开始计算 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(2)&amp;lt;/math&amp;gt;，还是不展示大于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_0(2)=\{0,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_1(2)=\{0,\psi(0)=1,\Omega,\cdots\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_2(2)&amp;lt;/math&amp;gt; 包含了 1，2 和 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(1)&amp;lt;/math&amp;gt;，即 ω&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_3(2)&amp;lt;/math&amp;gt; 包含了 &amp;lt;math&amp;gt;1,2,3,4,\omega,\omega+1,\omega+2,\omega\times2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以此类推，最后能得到 &amp;lt;math&amp;gt;C(2)&amp;lt;/math&amp;gt; 中包含了全体小于 &amp;lt;math&amp;gt;\omega^2&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数和一大堆大于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数。因此根据定义，&amp;lt;math&amp;gt;\psi(2)=\omega^2&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
ψ 函数内是极限序数并不影响定义和计算。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
你有没有觉得一步一步按定义走太过于繁琐？下面给出它的 2 个性质:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi(m+1)=\psi(m)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，m 是任意序数&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)=\sup\{\psi(\kappa)|\kappa&amp;lt;\alpha\}&amp;lt;/math&amp;gt;，α 是任意非 0 极限序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据这个性质，我们可以轻松的得到：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\omega)=\omega^{\omega}=\psi(\psi(1))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\omega+1)=\omega^{\omega+1}=\psi(\psi(1)+1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\omega\times2)=\omega^{\omega\times2}=\psi(\psi(1)\times2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\omega^2)=\omega^{\omega^2}=\psi(\psi(2))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\omega^{\omega})=\omega^{\omega^{\omega}}=\psi(\psi(\psi(1)))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\omega^{\omega^{\omega}})=\omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}=\psi(\psi(\psi(\psi(1))))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* ……&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
到这里和[[康托范式]]，[[Veblen 函数]]的 &amp;lt;math&amp;gt;\varphi(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 都是一致的。然而，在 &amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt; 开始，OCF 将与它们分道扬镳。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== &amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt; 与平台期 ====&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0=\alpha\rightarrow\psi(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 的第一个不动点，这里没有问题。问题出在 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\varepsilon_0+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 上。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
注意到 &amp;lt;math&amp;gt;C_0(\varepsilon_0+1)=\{0,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;C_1(\varepsilon_0+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 中小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的最大元素是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;C_2(\varepsilon_0+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 中小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的最大元素是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi(0))&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;C_2(\varepsilon_0+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 中小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的最大元素是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi(\psi(0)))&amp;lt;/math&amp;gt;……&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
因此，&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\varepsilon_0)&amp;lt;/math&amp;gt; 始终无法出现在这里面。这直接导致了 &amp;lt;math&amp;gt;C(\varepsilon_0+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 中，小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的最小的不在里面的依然是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\varepsilon_0)&amp;lt;/math&amp;gt;，相当于“卡住了”。这意味着对于所有的 &amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0\leq\alpha\leq\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;，都有 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)=\psi(\varepsilon_0)&amp;lt;/math&amp;gt;。这就像一个巨大的平台，因此称为&#039;&#039;&#039;平台期&#039;&#039;&#039;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
直到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 才迎来了转机。因为 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 也在 &amp;lt;math&amp;gt;C_0(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 里面，因此 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 终于可以被放进 &amp;lt;math&amp;gt;C_1(\Omega+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 里面了。结果是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+1)=\psi(\Omega)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。后面再一次向上增长，直到 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\rightarrow\psi(\Omega+\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 的不动点。从这里到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 又是一段平台期。直到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+\Omega+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 再次恢复增长。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这样的定义可以一直运行到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;，再往后走不下去了。可是它相比其他[[序数记号]]，如 [[Veblen 函数]]依然是孱弱的。为了继续前进，我们需要引入更多的非递归序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 更多的非递归序数 ====&lt;br /&gt;
下面是引入更多非递归序数的 BOCF 定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_0^v(x)=\{\alpha|\alpha&amp;lt;\Omega_v\}\cup\{\Omega_{\beta}|v&amp;lt;\beta&amp;lt;\omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_{n+1}^v(x)=\{\alpha+\beta,\psi_{\delta}(\gamma)|\alpha,\beta,\gamma\in C_n^v(x),\gamma&amp;lt;x,\delta&amp;lt;\omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C^v(x)=\bigcup_{n&amp;lt;\omega}C_n^v(x)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi_v(x)=\min\{\alpha&amp;lt;\Omega_{v+1}|\alpha\notin C^v(x)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数即 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_0&amp;lt;/math&amp;gt; 函数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
可以看到，根据定义，有 &amp;lt;math&amp;gt;C_0^1(0)=\{\alpha,\Omega_2|\alpha&amp;lt;\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;，随后 &amp;lt;math&amp;gt;C_n^1(0)&amp;lt;/math&amp;gt; 是根据 &amp;lt;math&amp;gt;C_0^1(0)=\{\alpha,\Omega_2|\alpha&amp;lt;\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt; 中元素进行加法所得到的所有东西，注意到它们内部依然不存在 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega\sim\Omega_2&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数。因此，&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(0)=\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;。对于 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(1)&amp;lt;/math&amp;gt;，因为它可以把 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(0)&amp;lt;/math&amp;gt; 塞进 C 里，因此，最后有 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(1)=\Omega\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。之后的内容是顺理成章的，类似 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)\sim\psi(\psi(\psi(\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt; 的过程，有 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\psi_1(\psi_1(\cdots)))=\Omega^{\Omega^{\Omega^{\cdots}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。我们暂时记 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(1,0)=\alpha\rightarrow\psi_1(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 的不动点。可以验证，对于 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1&amp;lt;/math&amp;gt; 函数来说，这里依然存在 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(1,0)&amp;lt;\alpha&amp;lt;\Omega_2&amp;lt;/math&amp;gt; 的平台期。后面的一切都是顺理成章的。直到任意的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n&amp;lt;/math&amp;gt;，都是一样的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
但有一点需要注意，对于 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数来说，&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi_1(\Omega_2))&amp;lt;/math&amp;gt; 并没有打破从 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi_1(1,0))&amp;lt;/math&amp;gt; 开始的平台期，这个平台期继续向前，直到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_2)&amp;lt;/math&amp;gt; 才结束。这一现象称为&#039;&#039;&#039;藏层&#039;&#039;&#039;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
BOCF 的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_{\omega})=\sup\{\psi(\Omega),\psi(\Omega_2),\psi(\Omega_3),\cdots\}&amp;lt;/math&amp;gt;，这一序数有一个名字是 [[BO]]（Buchholz&#039;s Ordinal ），在 [[googology]] 中是一个非常重要的序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;tips：OCF中的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 不一定非得是[[序数#非递归序数|非递归序数]]，它只需要大于&#039;&#039;&#039;所有你研究的序数&#039;&#039;&#039;就可以了，比方说你想要研究 [[BMS]]，那么理论上你只需要保证它大于 BMS 极限就可以了。但是我们的研究是永无止境的，因此普遍使用非递归序数这一大于所有递归序数的东西来充当 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;。&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 直观理解与操作规则 ====&lt;br /&gt;
让我们从 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)=1&amp;lt;/math&amp;gt; 开始。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
BOCF 有这样的性质：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi(m+1)=\psi(m)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，m 是任意序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
因此，可以得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(1)=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。得到之后，你对 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(1)&amp;lt;/math&amp;gt; 之前的序数已经很清楚了，于是，可以把这些序数也都放进 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数内部，于是，你最大能得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi(1))=\psi(\omega)=\omega^{\omega}&amp;lt;/math&amp;gt;。得到它之后，你又对它之前的序数很清楚了，于是又可以把它们也放进 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数内部，最大能得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi(\psi(1)))=\omega^{\omega^{\omega}}&amp;lt;/math&amp;gt;……以此类推，你可以得到嵌套任意多层的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi(\psi(\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这个时候，我们的新朋友 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 出场了。我们令 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)=\psi(\psi(\psi(\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;，于是我们可以继续：&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+1)=\psi(\Omega)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。现在你会发现，它内部既然可以加一，那是不是也可以加上更大的序数呢？答案是肯定的。你先前已经得到了 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt;，那么对它之前的序数已经清楚了。于是只需要重走一遍 1 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就可以得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+\psi(\Omega))&amp;lt;/math&amp;gt;。和前面类似的，得到 &amp;lt;math&amp;gt;\color{red}\psi(\Omega+\psi(\Omega))&amp;lt;/math&amp;gt; 后，也就可以理解 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+{\color{red}\psi(\Omega+\psi(\Omega))})&amp;lt;/math&amp;gt;，毕竟只是在 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 内重走一遍先前走过的路。上面的路又可以一直走下去，直到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+\psi(\Omega+\psi(\Omega+\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
于是，&amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 再次登场，它让 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+\psi(\Omega+\psi(\Omega+\cdots)))=\psi(\Omega+\Omega)=\psi(\Omega\times2)&amp;lt;/math&amp;gt;。我们又可以按先前的思路，首先得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2+1)=\psi(\Omega\times2)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，然后重走一遍 1 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2)&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2))&amp;lt;/math&amp;gt;；再重走一遍 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2)&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2))&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2)))&amp;lt;/math&amp;gt;，再以此类推，得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt; 后再把它变成 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times3)&amp;lt;/math&amp;gt;，然后再……&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
说到这里，读者应该对 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 有一定的认识了。它的“能力”是让&#039;&#039;&#039;包着它的一层&#039;&#039;&#039; &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数连同内部的其他内容一起嵌套 n 层。如 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times3)=\psi(\Omega\times2+\Omega)=\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;。细心的读者可能注意到，这其实是[[不动点]]的体现。没错，OCF 中的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 可以说是不动点的“化身”，只要它出现，就一定是代表了一个不动点。事实上，前文只展示了加法。&amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 对于乘法和乘方所做的事情和加法是如出一辙的，以下是例子：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;，理解加一个 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 起到什么作用之后，只需要重走一遍 &amp;lt;math&amp;gt;\omega&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就能得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times\psi(\Omega))&amp;lt;/math&amp;gt;，然后再重走一遍 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times\psi(\Omega))&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就能得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times\psi(\Omega\times\psi(\Omega)))&amp;lt;/math&amp;gt;……最后得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^2)=\psi(\Omega\times\Omega)=\psi(\Omega\times\psi(\Omega\times\psi(\Omega\times\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3)&amp;lt;/math&amp;gt;，理解加一个 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega^2&amp;lt;/math&amp;gt; 起到什么作用之后，只需要重走一遍 1 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3)&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就能从 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3+\Omega^2\times1)&amp;lt;/math&amp;gt; 开始得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3))&amp;lt;/math&amp;gt;，然后再重走一遍 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3)&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3))&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就能得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3)))&amp;lt;/math&amp;gt;……最后得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3\times2)=\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\Omega)=\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
得到&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^1})&amp;lt;/math&amp;gt;，只需要重走一边 1 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就能从 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^1})&amp;lt;/math&amp;gt; 开始得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})}})&amp;lt;/math&amp;gt;，然后再重走一遍 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})}})&amp;lt;/math&amp;gt; 路，就能得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})}})}})&amp;lt;/math&amp;gt;……最后得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}\times2})=\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\Omega}})=\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\cdots}})}})}})&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以下是 [[BHO]]（即 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega^{\cdots}}})&amp;lt;/math&amp;gt;）之前的 BOCF 的操作规则：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha_1)+\psi(\alpha_2)+\cdots+\psi(\alpha_{n-1})+\psi(0)=\psi(\alpha_1)+\psi(\alpha_2)+\cdots+\psi(\alpha_{n-1})+1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;(\psi(\alpha_1)+\psi(\alpha_2)+\cdots+\psi(\alpha_{n-1})+\psi(\alpha_n))[m]=\psi(\alpha_1)+\psi(\alpha_2)+\cdots+\psi(\alpha_{n-1})+\psi(\alpha_m)[m]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(X+1)[m]=\psi(X)\times m&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(X+\psi(Y))[m]=\psi(X+\psi(Y)[m])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这四条和康托范式的规则是一样的，主要是要找准表达式最右侧的结构。如果最右侧是外面的 1 那就是后继，最右侧是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 里面的 1 那就是乘 &amp;lt;math&amp;gt;\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。最右侧如果是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(X)&amp;lt;/math&amp;gt;，则先操作它。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
但如果最右侧是 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 呢？很简单，只需要找到包着它的那一层 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt;，然后在原位嵌套即可。即：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi(Z\sim\Omega)=\psi(Z\sim\psi(Z\sim\psi(Z\sim\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;，其中 ~ 是 + 或者 × 或者 ^。注意这里的 Z 并不一定是一个序数，它可以只是一个算式。比如说 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\Omega}})&amp;lt;/math&amp;gt; 对应的 Z 是&amp;lt;math&amp;gt;\psi({\color{red}\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\color{black}\Omega}}})&amp;lt;/math&amp;gt; 标红的部分。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
有的时候最右侧的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 被藏起来，你需要自己去挖掘出来。比方说 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3\times2)&amp;lt;/math&amp;gt;，你需要把它写成 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 这种形式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;tips：BOCF 中实际上并不存在乘法和乘方，因此上文的大部分式子严格来说是不标准的。但是在 googology 绝大多种情况下，为了方便和清晰性，我们都会用这种“部分”引入乘法和乘方的 BOCF 不标准式。&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
BHO 之上，就需要引入更多的非递归序数 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_2,\Omega_3,\Omega_4,\cdots&amp;lt;/math&amp;gt;。对于他们来说，有 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1&amp;lt;/math&amp;gt; 函数，&amp;lt;math&amp;gt;\psi_2&amp;lt;/math&amp;gt; 函数，&amp;lt;math&amp;gt;\psi_3&amp;lt;/math&amp;gt; 函数……分别对应，&amp;lt;math&amp;gt;\Omega_{m+1}&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m&amp;lt;/math&amp;gt; 函数之间的关系与 Ω 和 ψ 函数的关系是一模一样的。（&amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数即 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_0&amp;lt;/math&amp;gt; 函数，&amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 即 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_1&amp;lt;/math&amp;gt;）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m&amp;lt;/math&amp;gt; 函数，有如下规则：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m(0)=\Omega_m&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m(X+1)=\psi_m(X)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m(Y\sim\Omega_{m+1})=\psi_m(Y\sim\psi_m(Y\sim\psi_m(Y\sim\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
不难发现和 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数的操作规则几乎一模一样。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
比如说，有 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(0)=\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(1)=\Omega\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;,&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\psi_1(0))=\Omega^2&amp;lt;/math&amp;gt;,&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\psi_1(0)\times2)=\Omega^3&amp;lt;/math&amp;gt;,&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\psi_1(\psi_1(0)))=\Omega^{\Omega}&amp;lt;/math&amp;gt; 等等。最后会得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\Omega_2)=\psi_1(\psi_1(\psi_1(\cdots)))=\Omega^{\Omega^{\Omega^{\cdots}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。借助 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1&amp;lt;/math&amp;gt; 函数，我们确实突破了前面 BHO 的界限。但事情还没这么简单。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
因为 OCF 存在一个“藏层”现象。即，&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi_1(\Omega_2))&amp;lt;/math&amp;gt; 这样的式子是不标准的，它等价于 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_2)&amp;lt;/math&amp;gt;。相当于那个 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1&amp;lt;/math&amp;gt; 的层被“藏起来”了，因此称为藏层。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据前文所说，&amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n&amp;lt;/math&amp;gt; 是一定要找 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{n-1}&amp;lt;/math&amp;gt; 函数去嵌套的。那么，面对藏层，我们要如何操作呢？&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
答案是，找到包着 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n&amp;lt;/math&amp;gt; 的最近的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m&amp;lt;/math&amp;gt; 函数满足 &amp;lt;math&amp;gt;m &amp;lt; n&amp;lt;/math&amp;gt;，我们视作 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{n-1}&amp;lt;/math&amp;gt; 函数被藏在了这个 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m&amp;lt;/math&amp;gt; 内部。随后进行嵌套，但要在嵌套过程中把内部的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m&amp;lt;/math&amp;gt; 改成 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{n-1}&amp;lt;/math&amp;gt;，即：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_m(Y\sim\Omega_n)=\psi_m(Y\sim\psi_{n-1}(Y\sim\psi_{n-1}(Y\sim\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
举例，考虑 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_3+\psi_2(\Omega_3+\Omega_2))&amp;lt;/math&amp;gt;，最右端是 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_2&amp;lt;/math&amp;gt;，它要找一个最近的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n&amp;lt;/math&amp;gt; 函数满足 n&amp;lt;2，是最外层的 ψ 函数。于是我们按照操作规则得到展开式为 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_3+\psi_2(\Omega_3+\psi_1(\Omega_3+\psi_2(\Omega_3+\psi_1(\Omega_3+\psi_2(\Omega_3+\cdots))))))&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
BO 是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_{\omega})&amp;lt;/math&amp;gt;，它的[[基本列]]是 &amp;lt;math&amp;gt;\{\psi(0),\psi(\Omega),\psi(\Omega_2),\psi(\Omega_3),\psi(\Omega_4),\cdots\}&amp;lt;/math&amp;gt;。从这条基本列中的元素开始按照操作规则展开所得到的式子就是标准的，如果得不到，则是不标准的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以上就是 BO 前的 BOCF 的直观理解与操作规则。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 枚举 ====&lt;br /&gt;
&#039;&#039;主条目：[[BOCF VS veblen函数|BOCF VS Veblen 函数]]&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== MOCF 简介 ===&lt;br /&gt;
下面是 MOCF 的数学定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_0(x)=\{0,1,\omega,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_{n+1}(x)=\{\alpha+\beta,\alpha\times\beta,\alpha^\beta,\psi(\gamma)|\alpha,\beta,\gamma\in C_n(x)|\gamma&amp;lt;x\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C(x)=\bigcup_{n&amp;lt;\omega}C_n(x)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi(x)=\min\{\alpha&amp;lt;\Omega|\alpha\notin C(x)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
可以发现，MOCF 和 BOCF 不同的点在于它把加法、乘法和乘方都放进了 &amp;lt;math&amp;gt;C(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 中，而 BOCF 只有加法。因此，MOCF 的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)=\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt;，并且有 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(X+1)=\psi(X)^{\psi(X)^{\psi(X)^{\cdots}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。在出现 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的地方，两种 OCF 是一样的，如平台期等概念，二者也是一样的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
下面是引入更多非递归序数的 MOCF 定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_0^v(x)=\{\alpha|\alpha&amp;lt;\Omega_v\}\cup\{\Omega_{\beta}|\beta&amp;lt;\omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_{n+1}^v(x)=\{\alpha+\beta,\alpha\times\beta,\alpha^\beta,\psi_{\delta}(\gamma)|\alpha,\beta,\gamma\in C_n^v(x),\gamma&amp;lt;x,\delta&amp;lt;\omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C^v(x)=\bigcup_{n&amp;lt;\omega}C_n^v(x)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi_v(x)=\min\{\alpha&amp;lt;\Omega_{v+1}|\alpha\notin C^v(x)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
可以看到和 BOCF 的定义大差不差，唯一的区别是乘法和乘方的引入。因而操作规则无太大差异，除了 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_v(X+1)=\psi_v(X)^{\psi_v(X)^{\psi_v(X)^{\cdots}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。此处不再赘述。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
MOCF 的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_\omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 也是 BO。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 枚举 ====&lt;br /&gt;
&#039;&#039;主条目：[[BOCF VS MOCF]]&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== BO 之后 ===&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_{\omega})&amp;lt;/math&amp;gt; 之后，googologist 们实际上已经不再关注其数学定义，因此这里只介绍操作规则。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
BOCF 中，我们对每个后继序数 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha+1&amp;lt;/math&amp;gt; 对应的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_{\alpha+1}&amp;lt;/math&amp;gt; 都定义出 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{\alpha}&amp;lt;/math&amp;gt; 函数满足 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{\alpha}(0)=\Omega_{\alpha}&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{\alpha}(X+1)=\psi_{\alpha}(X)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。MOCF 中则是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{\alpha}(0)=\Omega_{\alpha}\uparrow\uparrow\omega&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{\alpha}(X+1)=\psi_{\alpha}(X)\uparrow\uparrow\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。如果 β 是个极限序数，则没有对应的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
那么，对于类似 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_{\Omega^{\Omega}}&amp;lt;/math&amp;gt; 或 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_{\Omega_3\times3}&amp;lt;/math&amp;gt; 的东西，又要如何处理呢？答案是把下标也看做一个运算，如 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 被看做Ω&amp;lt;sub&amp;gt;Ω&amp;lt;/sub&amp;gt;。展开过程中找最右侧的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 时找的是下标的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 而非整体的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;。换句话说，“找最右侧的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;”本身就要求 α 一定小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以下是补充的操作规则：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi(X\sim\Omega_{\alpha+1})[m]=\underbrace{\psi(X\sim\psi_\alpha(X\sim\psi_\alpha(X\sim\psi_\alpha(X\sim\cdots}_{m~layers}))))&amp;lt;/math&amp;gt;，α 为任意序数，~ 代表 + 或 × 或 ^ 或下标。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi(X\sim\Omega_\beta)[m]=\psi(X\sim\Omega_{\beta[m]})&amp;lt;/math&amp;gt;，如果 β 是极限序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这套规则可以一直运用到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_{\Omega_{\Omega_{\cdots}}})&amp;lt;/math&amp;gt;，这个序数称为 [[EBO]]。如果想要继续前进，就需要新的非递归序数了，它们会给出它们对应的折叠规则。具体则需要参见对应词条。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
那么在这里，我们实际上可以说，OCF 本身是一个和[[增长层级]]类似的“壳子”，它们接受对应的非递归序数，然后输出大的递归序数。那么，为什么 OCF 没有像增长层级（如 FGH）一样占据 googology 的所有空间呢？有两方面原因。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
第一方面，OCF 没有像增长层级一样具有非常明确的转化规则。googology 社区有一个“俗话”——1000 个人有 1001 种 [[递归 Mahlo 序数#Mahlo OCF|Mahlo OCF]]。这种共识的缺乏是致命的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
第二方面，对于目前的 googology 爱好者来说，构造非递归序数的难度和构造其他类型序数记号，如 [[Beklemishev&#039;s Worm|Worm]] 型记号，相比，在难度上拉不开差距。不像 FGH 加序数记号对传统数阵记号的“降维打击”。而且，googology 爱好者普遍没有很强的数理逻辑或序数分析基础，难以理解和运用学界所构造的大可数序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 定义 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== MOCF ===&lt;br /&gt;
令 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\alpha=\omega_\alpha^{\rm CK},\Omega_0=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的递归共尾度 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 定义为 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的递归的基本列的最小长度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 含第一个非递归序数的 MOCF ====&lt;br /&gt;
含第一个非递归序数 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的 MOCF &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 定义为利用 &amp;lt;math&amp;gt;0,1,\omega,\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;，所有的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt; 以及序数加法、乘法、乘方运算，经过任意有限次运算所不能构建的最小序数。特别地，上述定义中的 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt; 满足 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;，且是能够在有限次运算之中通过 &amp;lt;math&amp;gt;0,1,\omega&amp;lt;/math&amp;gt; 进行加法、乘法、乘方运算，以及将这些序数放到 MOCF 之中所得到的序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以上的定义描述了含 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的 MOCF 的行为，其集合论定义可以表述如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C^0(\alpha)=\{0,1,\omega,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C^{n+1}(\alpha)=\{\gamma+\delta,\gamma\cdot\delta,\gamma^\delta,\psi(\eta)|\gamma,\delta,\eta\in C^n(\alpha),\eta&amp;lt;\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C(\alpha)=\bigcup_{n&amp;lt;\omega}C^n(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)=\min\{\beta|\beta\notin C(\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 含自然数下标的 MOCF ====&lt;br /&gt;
含有 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n&amp;lt;/math&amp;gt; 的 MOCF 标准形式定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt;，且各 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_i&amp;lt;/math&amp;gt; 均为标准形式，则 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt; 也是标准形式。&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;\Omega_n,\Omega_n^\beta&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha,\beta&amp;lt;/math&amp;gt; 均为标准形式，则 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n^\beta\cdot\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 为标准形式。&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\in C_n(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 为标准形式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
含有自然数下标的 MOCF &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 的基本列定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)=\mathrm{cf}(\alpha_n)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)[\eta]=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n[\eta]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_n(0))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n(0)[0]=\Omega_n,\psi_n(0)[n&#039;+1]=\Omega_n^{\psi_n(0)[n&#039;]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_n(\alpha+1))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n(\alpha+1)[0]=\psi(\alpha),\psi_n(\alpha+1)[n&#039;+1]=\psi_n(\alpha)^{\psi_n(\alpha+1)[n&#039;]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_n)=\Omega_n&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n[\eta]=\eta&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)\geqslant\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_n^\alpha)=\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\Omega_n^\alpha)[\eta]=\Omega_n^{\alpha[\eta]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\beta)\geqslant\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_n^\alpha\cdot\beta)=\mathrm{cf}(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\Omega_n^\alpha\cdot\beta)[\eta]=\Omega_n^\alpha\cdot\beta[\eta]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_n^\alpha\cdot(\beta+1))=\mathrm{cf}(\Omega_n^\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n^\alpha\cdot(\beta+1)[\eta]=\Omega_n^\alpha\cdot\beta+\Omega^{\alpha[\eta]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)=\Omega_n,m\leqslant n&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_m(\alpha))=\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n(\alpha)[\eta]=\psi_n(\alpha[\eta])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)=\Omega_{n+1},m\leqslant n&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_m(\alpha))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m(\alpha)[n&#039;]=\psi_m(\alpha[\gamma[n&#039;]])&amp;lt;/math&amp;gt;，其中 &amp;lt;math&amp;gt;\gamma[0]=0,\gamma[n&#039;+1]=\psi_n(\alpha[\gamma[n&#039;]])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
含有自然数下标的 MOCF &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 定义为利用所有小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数、所有自然数下标的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_m&amp;lt;/math&amp;gt;，所有自然数下标的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt; 以及序数加法、乘法、乘方运算，经过任意有限次运算所不能构建的最小序数。特别地，上述定义中的 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt; 满足 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;，且是能够在此前的运算之中得到的序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以上的定义描述了含自然数下标 的 MOCF 的行为，其集合论定义可以表述如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_n^0(\alpha)=\{\xi|\xi&amp;lt;\Omega_n\}\cup\{\Omega_{n&#039;}|n&#039;\in\mathbb{N}\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_n^{m+1}(\alpha)=\{\gamma+\delta,\gamma\cdot\delta,\gamma^\delta,\psi_{n&#039;}(\eta)|\gamma,\delta,\eta\in C_n^m(\alpha),n&#039;\in\mathbb{N},\eta&amp;lt;\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_n(\alpha)=\bigcup_{m\in\mathbb{N}}C_n^m(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n(\alpha)=\min\{\beta|\beta\notin C_n(\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 含序数下标的 MOCF ====&lt;br /&gt;
含有 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\mu&amp;lt;/math&amp;gt; 的 MOCF 标准形式定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt;，且各 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_i&amp;lt;/math&amp;gt; 均为标准形式，则 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt; 也是标准形式。&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;\Omega_\mu,\Omega_\mu^\beta&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha,\beta,\mu&amp;lt;/math&amp;gt; 均为标准形式，则 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\mu^\beta\cdot\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 为标准形式。&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\in C_\mu(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\mu(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 为标准形式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
含有序数下标的 MOCF &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 的基本列定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)=\mathrm{cf}(\alpha_n)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)[\eta]=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n[\eta]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\nu(0))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(0)[0]=\Omega_n,\psi_\nu(0)[n+1]=\Omega_\nu^{\psi_\nu(0)[n]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\nu(\alpha+1))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\alpha+1)[0]=\psi(\alpha),\psi_\nu(\alpha+1)[n+1]=\psi_\nu(\alpha)^{\psi_\nu(\alpha+1)[n]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_{\mu+1})=\Omega_{\mu+1}&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n[\eta]=\eta&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)\geqslant\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_\mu^\alpha)=\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\Omega_\mu^\alpha)[\eta]=\Omega_\mu^{\alpha[\eta]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\beta)\geqslant\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_\mu^\alpha\cdot\beta)=\mathrm{cf}(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\Omega_\mu^\alpha\cdot\beta)[\eta]=\Omega_\mu^\alpha\cdot\beta[\eta]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_\mu^\alpha\cdot(\beta+1))=\mathrm{cf}(\Omega_\mu^\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\mu^\alpha\cdot(\beta+1)[\eta]=\Omega_\mu^\alpha\cdot\beta+\Omega^{\alpha[\eta]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)=\Omega_\mu,\mu\leqslant\nu&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\mu(\alpha))=\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\alpha)[\eta]=\psi_\nu(\alpha[\eta])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)=\Omega_{\mu+1},\mu\leqslant\nu&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\mu(\alpha))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\mu(\alpha)[n]=\psi_\mu(\alpha[\gamma[n]])&amp;lt;/math&amp;gt;，其中 &amp;lt;math&amp;gt;\gamma[0]=0,\gamma[n+1]=\psi_\nu(\alpha[\gamma[n]])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
含有序数下标的 MOCF &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 定义为利用所有小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\nu&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数、所有自然数下标的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\mu&amp;lt;/math&amp;gt;，所有自然数下标的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\mu(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt; 以及序数加法、乘法、乘方运算，经过任意有限次运算所不能构建的最小序数。特别地，上述定义中的 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt; 满足 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;，且是能够在此前的运算之中得到的序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以上的定义描述了含序数下标 的 MOCF 的行为，其集合论定义可以表述如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_\nu^0(\alpha)=\{\xi|\xi&amp;lt;\Omega_\nu\}\cup\{\Omega_{\mu}|\mu\in\mathbb{N}\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_\nu^{m+1}(\alpha)=\{\gamma+\delta,\gamma\cdot\delta,\gamma^\delta,\psi_\mu(\eta)|\gamma,\delta,\eta\in C_\nu^m(\alpha),\mu\in\mathbb{N},\eta&amp;lt;\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_\nu(\alpha)=\bigcup_{m\in\mathbb{N}}C_\nu^m(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\alpha)=\min\{\beta|\beta\notin C_\nu(\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== BOCF ===&lt;br /&gt;
含有 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\mu&amp;lt;/math&amp;gt; 的 BOCF 标准形式定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt;，且各 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_i&amp;lt;/math&amp;gt; 均为标准形式，则 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt; 也是标准形式。&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\mu&amp;lt;/math&amp;gt;为标准形式，则 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\mu&amp;lt;/math&amp;gt; 为标准形式。&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\in C_\mu(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\mu(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 为标准形式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
含有序数下标的 BOCF &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 的基本列定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)=\mathrm{cf}(\alpha_n)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)[\eta]=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n[\eta]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)=1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_{\nu+1}(0))=\mathrm{cf}(\Omega_{\nu+1})&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{\nu+1}(0)[\eta]=\eta&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\nu)\geqslant\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\nu(0))=\mathrm{cf}(\nu)&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(0)[\eta]=\psi_{\nu[\eta]}(0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\nu(\beta+1))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\beta+1)[0]=0,\psi_\nu(\beta+1)[n+1]=\psi_\nu(\beta+1)[n]+\psi_\nu(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\beta)\in\{\omega\}\cap\{\Omega_{\mu+1}|\mu&amp;lt;\nu\}&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\nu(\beta))=\mathrm{cf}(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\beta)[\eta]=\psi_\nu(\beta[\eta])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)=\Omega_{\mu+1},\mu\geqslant\nu&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\nu(\beta))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\beta)[n]=\psi_\nu(\beta[\gamma[n]])&amp;lt;/math&amp;gt;，其中 &amp;lt;math&amp;gt;\gamma[0]=\Omega_\mu,\gamma[n+1]=\psi_\mu(\alpha[\gamma[n]])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其集合论定义可以表述如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_\nu^0(\alpha)=\{\xi|\xi&amp;lt;\Omega_\nu\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_\nu^{m+1}(\alpha)=\{\gamma+\delta,\psi_\mu(\eta)|\gamma,\delta,\eta\in C_\nu^m(\alpha),\mu\in\bold{Ord},\eta&amp;lt;\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_\nu(\alpha)=\bigcup_{m\in\mathbb{N}}C_\nu^m(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\alpha)=\min\{\beta|\beta\notin C_\nu(\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== NOCF ===&lt;br /&gt;
&#039;&#039;主条目：[[NOCF]]&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
由于 NOCF 没有完整的定义，这里给出它的理念：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_\alpha(0)=\Omega_\alpha\quad(\Omega_0=1)&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\psi_\alpha(\sharp+1)=\psi_\alpha(\sharp)+1&amp;lt;/math&amp;gt;；在 OCF 内遇到 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的处理方式与 MOCF 一致。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;br /&gt;
[[分类:入门]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%BA%8F%E6%95%B0%E5%9D%8D%E7%BC%A9%E5%87%BD%E6%95%B0&amp;diff=3355</id>
		<title>序数坍缩函数</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%BA%8F%E6%95%B0%E5%9D%8D%E7%BC%A9%E5%87%BD%E6%95%B0&amp;diff=3355"/>
		<updated>2026-07-07T09:02:44Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;序数塌缩函数（Ordinal Collapsing Function，OCF）&#039;&#039;&#039;是一种[[序数]]函数。它们的特点是利用足够大的序数（通常是[[序数#非递归序数|非递归序数]]）来输出递归序数。事实上，OCF 有很多不同的版本。本词条着力于介绍 [[EBO]] 之前的 &#039;&#039;&#039;BOCF&#039;&#039;&#039;（Buchholz&#039;s OCF）和 &#039;&#039;&#039;MOCF&#039;&#039;&#039;（Madore&#039;s OCF）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 教学 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== BOCF 简介 ===&lt;br /&gt;
&#039;&#039;前排提醒：对严谨数学定义不感冒或看不懂的读者可以直接跳到[[OCF#直观理解与操作规则|直观理解与操作规则]]。&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 定义 ====&lt;br /&gt;
首先我们给出 BOCF 只引入第一个非递归序数 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_0(x)=\{0,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_{n+1}(x)=C_n(x)\cup\{\alpha+\beta,\psi(\gamma)|\alpha,\beta,\gamma\in C_n(x),\gamma &amp;lt;x\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C(x)=\bigcup_{n&amp;lt;\omega}C_n(x)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi(x)=\min\{\alpha&amp;lt;\Omega|\alpha\not\in C(x)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 要求是一个足够大的序数。以往的资料一般使用第一个[[序数#可数序数与不可数序数|不可数序数]] &amp;lt;math&amp;gt;\omega_1&amp;lt;/math&amp;gt;（[[FUO]]）来作为它。&amp;lt;s&amp;gt;但我们发现，第一个非递归序数 &amp;lt;math&amp;gt;\omega_1^{CK}&amp;lt;/math&amp;gt;（[[CKO]]）已经可以满足我们的需求。&amp;lt;/s&amp;gt;因此，目前提到 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;，默认指的是 &amp;lt;math&amp;gt;\omega_1^{CK}&amp;lt;/math&amp;gt;。(读到这里的人请尽快前往[[讨论:序数坍缩函数|讨论]])&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这四条规则很是抽象，让我们一条一条来看。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
规则 1：&amp;lt;math&amp;gt;C_0(x)=\{0,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;。对于任意的 x ， &amp;lt;math&amp;gt;C_0(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 是同一个集合。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
规则 2，这个规则递归定义了 &amp;lt;math&amp;gt;C_{n+1}(x)&amp;lt;/math&amp;gt;，它是 &amp;lt;math&amp;gt;C_n(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 再加上 &amp;lt;math&amp;gt;C_n(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 中的元素通过加法和 ψ 函数能产生的所有元素。这里要求 ψ 函数自变量小于 x，因为 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 是需要 &amp;lt;math&amp;gt;C(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 来定义的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
规则3，&amp;lt;math&amp;gt;C(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 是对所有的 &amp;lt;math&amp;gt;C_n(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 取并集得到的集合。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
规则4，&amp;lt;math&amp;gt;\psi(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 就是所有小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数中，不属于 &amp;lt;math&amp;gt;C(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 的最小序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== &amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt; 之前 ====&lt;br /&gt;
以下是一些运算实例：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_0(0)=\{0,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_1(0)=\{0,\Omega,\Omega\times2\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_2(0)=\{0,\Omega,\Omega\times2,\Omega\times3,\Omega\times4\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
*……&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;C(0)=\{0,\Omega,\cdots\}&amp;lt;/math&amp;gt;，省略号省掉了大于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
因此 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)&amp;lt;/math&amp;gt; 是最小的小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的不在 &amp;lt;math&amp;gt;C(0)&amp;lt;/math&amp;gt; 里的序数，即 1。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
下一个例子是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(2)&amp;lt;/math&amp;gt;，假定首先你已经知道了 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(1)=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;（可以自己验证），我们要开始计算 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(2)&amp;lt;/math&amp;gt;，还是不展示大于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_0(2)=\{0,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_1(2)=\{0,\psi(0)=1,\Omega,\cdots\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_2(2)&amp;lt;/math&amp;gt; 包含了 1，2 和 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(1)&amp;lt;/math&amp;gt;，即 ω&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C_3(2)&amp;lt;/math&amp;gt; 包含了 &amp;lt;math&amp;gt;1,2,3,4,\omega,\omega+1,\omega+2,\omega\times2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以此类推，最后能得到 &amp;lt;math&amp;gt;C(2)&amp;lt;/math&amp;gt; 中包含了全体小于 &amp;lt;math&amp;gt;\omega^2&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数和一大堆大于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数。因此根据定义，&amp;lt;math&amp;gt;\psi(2)=\omega^2&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
ψ 函数内是极限序数并不影响定义和计算。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
你有没有觉得一步一步按定义走太过于繁琐？下面给出它的 2 个性质:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi(m+1)=\psi(m)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，m 是任意序数&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)=\sup\{\psi(\kappa)|\kappa&amp;lt;\alpha\}&amp;lt;/math&amp;gt;，α 是任意非 0 极限序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据这个性质，我们可以轻松的得到：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\omega)=\omega^{\omega}=\psi(\psi(1))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\omega+1)=\omega^{\omega+1}=\psi(\psi(1)+1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\omega\times2)=\omega^{\omega\times2}=\psi(\psi(1)\times2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\omega^2)=\omega^{\omega^2}=\psi(\psi(2))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\omega^{\omega})=\omega^{\omega^{\omega}}=\psi(\psi(\psi(1)))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\omega^{\omega^{\omega}})=\omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}=\psi(\psi(\psi(\psi(1))))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* ……&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
到这里和[[康托范式]]，[[Veblen 函数]]的 &amp;lt;math&amp;gt;\varphi(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 都是一致的。然而，在 &amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt; 开始，OCF 将与它们分道扬镳。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== &amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt; 与平台期 ====&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0=\alpha\rightarrow\psi(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 的第一个不动点，这里没有问题。问题出在 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\varepsilon_0+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 上。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
注意到 &amp;lt;math&amp;gt;C_0(\varepsilon_0+1)=\{0,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;C_1(\varepsilon_0+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 中小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的最大元素是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;C_2(\varepsilon_0+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 中小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的最大元素是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi(0))&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;C_2(\varepsilon_0+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 中小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的最大元素是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi(\psi(0)))&amp;lt;/math&amp;gt;……&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
因此，&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\varepsilon_0)&amp;lt;/math&amp;gt; 始终无法出现在这里面。这直接导致了 &amp;lt;math&amp;gt;C(\varepsilon_0+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 中，小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的最小的不在里面的依然是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\varepsilon_0)&amp;lt;/math&amp;gt;，相当于“卡住了”。这意味着对于所有的 &amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0\leq\alpha\leq\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;，都有 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)=\psi(\varepsilon_0)&amp;lt;/math&amp;gt;。这就像一个巨大的平台，因此称为&#039;&#039;&#039;平台期&#039;&#039;&#039;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
直到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 才迎来了转机。因为 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 也在 &amp;lt;math&amp;gt;C_0(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 里面，因此 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 终于可以被放进 &amp;lt;math&amp;gt;C_1(\Omega+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 里面了。结果是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+1)=\psi(\Omega)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。后面再一次向上增长，直到 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\rightarrow\psi(\Omega+\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 的不动点。从这里到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 又是一段平台期。直到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+\Omega+1)&amp;lt;/math&amp;gt; 再次恢复增长。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这样的定义可以一直运行到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;，再往后走不下去了。可是它相比其他[[序数记号]]，如 [[Veblen 函数]]依然是孱弱的。为了继续前进，我们需要引入更多的非递归序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 更多的非递归序数 ====&lt;br /&gt;
下面是引入更多非递归序数的 BOCF 定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_0^v(x)=\{\alpha|\alpha&amp;lt;\Omega_v\}\cup\{\Omega_{\beta}|v&amp;lt;\beta&amp;lt;\omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_{n+1}^v(x)=\{\alpha+\beta,\psi_{\delta}(\gamma)|\alpha,\beta,\gamma\in C_n^v(x),\gamma&amp;lt;x,\delta&amp;lt;\omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C^v(x)=\bigcup_{n&amp;lt;\omega}C_n^v(x)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi_v(x)=\min\{\alpha&amp;lt;\Omega_{v+1}|\alpha\notin C^v(x)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数即 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_0&amp;lt;/math&amp;gt; 函数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
可以看到，根据定义，有 &amp;lt;math&amp;gt;C_0^1(0)=\{\alpha,\Omega_2|\alpha&amp;lt;\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;，随后 &amp;lt;math&amp;gt;C_n^1(0)&amp;lt;/math&amp;gt; 是根据 &amp;lt;math&amp;gt;C_0^1(0)=\{\alpha,\Omega_2|\alpha&amp;lt;\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt; 中元素进行加法所得到的所有东西，注意到它们内部依然不存在 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega\sim\Omega_2&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数。因此，&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(0)=\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;。对于 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(1)&amp;lt;/math&amp;gt;，因为它可以把 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(0)&amp;lt;/math&amp;gt; 塞进 C 里，因此，最后有 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(1)=\Omega\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。之后的内容是顺理成章的，类似 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)\sim\psi(\psi(\psi(\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt; 的过程，有 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\psi_1(\psi_1(\cdots)))=\Omega^{\Omega^{\Omega^{\cdots}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。我们暂时记 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(1,0)=\alpha\rightarrow\psi_1(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 的不动点。可以验证，对于 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1&amp;lt;/math&amp;gt; 函数来说，这里依然存在 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(1,0)&amp;lt;\alpha&amp;lt;\Omega_2&amp;lt;/math&amp;gt; 的平台期。后面的一切都是顺理成章的。直到任意的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n&amp;lt;/math&amp;gt;，都是一样的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
但有一点需要注意，对于 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数来说，&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi_1(\Omega_2))&amp;lt;/math&amp;gt; 并没有打破从 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi_1(1,0))&amp;lt;/math&amp;gt; 开始的平台期，这个平台期继续向前，直到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_2)&amp;lt;/math&amp;gt; 才结束。这一现象称为&#039;&#039;&#039;藏层&#039;&#039;&#039;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
BOCF 的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_{\omega})=\sup\{\psi(\Omega),\psi(\Omega_2),\psi(\Omega_3),\cdots\}&amp;lt;/math&amp;gt;，这一序数有一个名字是 [[BO]]（Buchholz&#039;s Ordinal ），在 [[googology]] 中是一个非常重要的序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;tips：OCF中的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 不一定非得是[[序数#非递归序数|非递归序数]]，它只需要大于&#039;&#039;&#039;所有你研究的序数&#039;&#039;&#039;就可以了，比方说你想要研究 [[BMS]]，那么理论上你只需要保证它大于 BMS 极限就可以了。但是我们的研究是永无止境的，因此普遍使用非递归序数这一大于所有递归序数的东西来充当 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;。&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 直观理解与操作规则 ====&lt;br /&gt;
让我们从 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)=1&amp;lt;/math&amp;gt; 开始。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
BOCF 有这样的性质：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi(m+1)=\psi(m)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，m 是任意序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
因此，可以得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(1)=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。得到之后，你对 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(1)&amp;lt;/math&amp;gt; 之前的序数已经很清楚了，于是，可以把这些序数也都放进 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数内部，于是，你最大能得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi(1))=\psi(\omega)=\omega^{\omega}&amp;lt;/math&amp;gt;。得到它之后，你又对它之前的序数很清楚了，于是又可以把它们也放进 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数内部，最大能得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi(\psi(1)))=\omega^{\omega^{\omega}}&amp;lt;/math&amp;gt;……以此类推，你可以得到嵌套任意多层的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi(\psi(\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这个时候，我们的新朋友 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 出场了。我们令 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)=\psi(\psi(\psi(\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;，于是我们可以继续：&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+1)=\psi(\Omega)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。现在你会发现，它内部既然可以加一，那是不是也可以加上更大的序数呢？答案是肯定的。你先前已经得到了 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt;，那么对它之前的序数已经清楚了。于是只需要重走一遍 1 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就可以得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+\psi(\Omega))&amp;lt;/math&amp;gt;。和前面类似的，得到 &amp;lt;math&amp;gt;\color{red}\psi(\Omega+\psi(\Omega))&amp;lt;/math&amp;gt; 后，也就可以理解 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+{\color{red}\psi(\Omega+\psi(\Omega))})&amp;lt;/math&amp;gt;，毕竟只是在 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 内重走一遍先前走过的路。上面的路又可以一直走下去，直到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+\psi(\Omega+\psi(\Omega+\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
于是，&amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 再次登场，它让 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+\psi(\Omega+\psi(\Omega+\cdots)))=\psi(\Omega+\Omega)=\psi(\Omega\times2)&amp;lt;/math&amp;gt;。我们又可以按先前的思路，首先得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2+1)=\psi(\Omega\times2)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，然后重走一遍 1 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2)&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2))&amp;lt;/math&amp;gt;；再重走一遍 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2)&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2))&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2)))&amp;lt;/math&amp;gt;，再以此类推，得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt; 后再把它变成 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times3)&amp;lt;/math&amp;gt;，然后再……&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
说到这里，读者应该对 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 有一定的认识了。它的“能力”是让&#039;&#039;&#039;包着它的一层&#039;&#039;&#039; &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数连同内部的其他内容一起嵌套 n 层。如 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times3)=\psi(\Omega\times2+\Omega)=\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;。细心的读者可能注意到，这其实是[[不动点]]的体现。没错，OCF 中的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 可以说是不动点的“化身”，只要它出现，就一定是代表了一个不动点。事实上，前文只展示了加法。&amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 对于乘法和乘方所做的事情和加法是如出一辙的，以下是例子：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;，理解加一个 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 起到什么作用之后，只需要重走一遍 &amp;lt;math&amp;gt;\omega&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就能得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times\psi(\Omega))&amp;lt;/math&amp;gt;，然后再重走一遍 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times\psi(\Omega))&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就能得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\times\psi(\Omega\times\psi(\Omega)))&amp;lt;/math&amp;gt;……最后得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^2)=\psi(\Omega\times\Omega)=\psi(\Omega\times\psi(\Omega\times\psi(\Omega\times\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3)&amp;lt;/math&amp;gt;，理解加一个 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega^2&amp;lt;/math&amp;gt; 起到什么作用之后，只需要重走一遍 1 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3)&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就能从 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3+\Omega^2\times1)&amp;lt;/math&amp;gt; 开始得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3))&amp;lt;/math&amp;gt;，然后再重走一遍 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3)&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3))&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就能得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3)))&amp;lt;/math&amp;gt;……最后得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3\times2)=\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\Omega)=\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
得到&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^1})&amp;lt;/math&amp;gt;，只需要重走一边 1 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})&amp;lt;/math&amp;gt; 的路，就能从 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^1})&amp;lt;/math&amp;gt; 开始得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})}})&amp;lt;/math&amp;gt;，然后再重走一遍 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})&amp;lt;/math&amp;gt; 到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})}})&amp;lt;/math&amp;gt; 路，就能得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})}})}})&amp;lt;/math&amp;gt;……最后得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}\times2})=\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\Omega}})=\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\cdots}})}})}})&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以下是 [[BHO]]（即 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega^{\cdots}}})&amp;lt;/math&amp;gt;）之前的 BOCF 的操作规则：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha_1)+\psi(\alpha_2)+\cdots+\psi(\alpha_{n-1})+\psi(0)=\psi(\alpha_1)+\psi(\alpha_2)+\cdots+\psi(\alpha_{n-1})+1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;(\psi(\alpha_1)+\psi(\alpha_2)+\cdots+\psi(\alpha_{n-1})+\psi(\alpha_n))[m]=\psi(\alpha_1)+\psi(\alpha_2)+\cdots+\psi(\alpha_{n-1})+\psi(\alpha_m)[m]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(X+1)[m]=\psi(X)\times m&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi(X+\psi(Y))[m]=\psi(X+\psi(Y)[m])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这四条和康托范式的规则是一样的，主要是要找准表达式最右侧的结构。如果最右侧是外面的 1 那就是后继，最右侧是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 里面的 1 那就是乘 &amp;lt;math&amp;gt;\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。最右侧如果是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(X)&amp;lt;/math&amp;gt;，则先操作它。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
但如果最右侧是 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 呢？很简单，只需要找到包着它的那一层 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt;，然后在原位嵌套即可。即：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi(Z\sim\Omega)=\psi(Z\sim\psi(Z\sim\psi(Z\sim\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;，其中 ~ 是 + 或者 × 或者 ^。注意这里的 Z 并不一定是一个序数，它可以只是一个算式。比如说 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\Omega}})&amp;lt;/math&amp;gt; 对应的 Z 是&amp;lt;math&amp;gt;\psi({\color{red}\Omega^{\Omega^{\Omega}+\Omega^{\color{black}\Omega}}})&amp;lt;/math&amp;gt; 标红的部分。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
有的时候最右侧的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 被藏起来，你需要自己去挖掘出来。比方说 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3\times2)&amp;lt;/math&amp;gt;，你需要把它写成 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega^3+\Omega^2\times\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 这种形式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;tips：BOCF 中实际上并不存在乘法和乘方，因此上文的大部分式子严格来说是不标准的。但是在 googology 绝大多种情况下，为了方便和清晰性，我们都会用这种“部分”引入乘法和乘方的 BOCF 不标准式。&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
BHO 之上，就需要引入更多的非递归序数 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_2,\Omega_3,\Omega_4,\cdots&amp;lt;/math&amp;gt;。对于他们来说，有 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1&amp;lt;/math&amp;gt; 函数，&amp;lt;math&amp;gt;\psi_2&amp;lt;/math&amp;gt; 函数，&amp;lt;math&amp;gt;\psi_3&amp;lt;/math&amp;gt; 函数……分别对应，&amp;lt;math&amp;gt;\Omega_{m+1}&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m&amp;lt;/math&amp;gt; 函数之间的关系与 Ω 和 ψ 函数的关系是一模一样的。（&amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数即 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_0&amp;lt;/math&amp;gt; 函数，&amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 即 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_1&amp;lt;/math&amp;gt;）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m&amp;lt;/math&amp;gt; 函数，有如下规则：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m(0)=\Omega_m&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m(X+1)=\psi_m(X)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m(Y\sim\Omega_{m+1})=\psi_m(Y\sim\psi_m(Y\sim\psi_m(Y\sim\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
不难发现和 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数的操作规则几乎一模一样。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
比如说，有 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(0)=\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(1)=\Omega\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;,&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\psi_1(0))=\Omega^2&amp;lt;/math&amp;gt;,&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\psi_1(0)\times2)=\Omega^3&amp;lt;/math&amp;gt;,&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\psi_1(\psi_1(0)))=\Omega^{\Omega}&amp;lt;/math&amp;gt; 等等。最后会得到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\Omega_2)=\psi_1(\psi_1(\psi_1(\cdots)))=\Omega^{\Omega^{\Omega^{\cdots}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。借助 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1&amp;lt;/math&amp;gt; 函数，我们确实突破了前面 BHO 的界限。但事情还没这么简单。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
因为 OCF 存在一个“藏层”现象。即，&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi_1(\Omega_2))&amp;lt;/math&amp;gt; 这样的式子是不标准的，它等价于 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_2)&amp;lt;/math&amp;gt;。相当于那个 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_1&amp;lt;/math&amp;gt; 的层被“藏起来”了，因此称为藏层。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据前文所说，&amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n&amp;lt;/math&amp;gt; 是一定要找 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{n-1}&amp;lt;/math&amp;gt; 函数去嵌套的。那么，面对藏层，我们要如何操作呢？&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
答案是，找到包着 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n&amp;lt;/math&amp;gt; 的最近的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m&amp;lt;/math&amp;gt; 函数满足 &amp;lt;math&amp;gt;m &amp;lt; n&amp;lt;/math&amp;gt;，我们视作 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{n-1}&amp;lt;/math&amp;gt; 函数被藏在了这个 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m&amp;lt;/math&amp;gt; 内部。随后进行嵌套，但要在嵌套过程中把内部的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m&amp;lt;/math&amp;gt; 改成 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{n-1}&amp;lt;/math&amp;gt;，即：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_m(Y\sim\Omega_n)=\psi_m(Y\sim\psi_{n-1}(Y\sim\psi_{n-1}(Y\sim\cdots)))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
举例，考虑 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_3+\psi_2(\Omega_3+\Omega_2))&amp;lt;/math&amp;gt;，最右端是 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_2&amp;lt;/math&amp;gt;，它要找一个最近的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n&amp;lt;/math&amp;gt; 函数满足 n&amp;lt;2，是最外层的 ψ 函数。于是我们按照操作规则得到展开式为 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_3+\psi_2(\Omega_3+\psi_1(\Omega_3+\psi_2(\Omega_3+\psi_1(\Omega_3+\psi_2(\Omega_3+\cdots))))))&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
BO 是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_{\omega})&amp;lt;/math&amp;gt;，它的[[基本列]]是 &amp;lt;math&amp;gt;\{\psi(0),\psi(\Omega),\psi(\Omega_2),\psi(\Omega_3),\psi(\Omega_4),\cdots\}&amp;lt;/math&amp;gt;。从这条基本列中的元素开始按照操作规则展开所得到的式子就是标准的，如果得不到，则是不标准的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以上就是 BO 前的 BOCF 的直观理解与操作规则。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 枚举 ====&lt;br /&gt;
&#039;&#039;主条目：[[BOCF VS veblen函数|BOCF VS Veblen 函数]]&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== MOCF 简介 ===&lt;br /&gt;
下面是 MOCF 的数学定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_0(x)=\{0,1,\omega,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_{n+1}(x)=\{\alpha+\beta,\alpha\times\beta,\alpha^\beta,\psi(\gamma)|\alpha,\beta,\gamma\in C_n(x)|\gamma&amp;lt;x\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C(x)=\bigcup_{n&amp;lt;\omega}C_n(x)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi(x)=\min\{\alpha&amp;lt;\Omega|\alpha\notin C(x)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
可以发现，MOCF 和 BOCF 不同的点在于它把加法、乘法和乘方都放进了 &amp;lt;math&amp;gt;C(x)&amp;lt;/math&amp;gt; 中，而 BOCF 只有加法。因此，MOCF 的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)=\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt;，并且有 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(X+1)=\psi(X)^{\psi(X)^{\psi(X)^{\cdots}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。在出现 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的地方，两种 OCF 是一样的，如平台期等概念，二者也是一样的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
下面是引入更多非递归序数的 MOCF 定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_0^v(x)=\{\alpha|\alpha&amp;lt;\Omega_v\}\cup\{\Omega_{\beta}|\beta&amp;lt;\omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_{n+1}^v(x)=\{\alpha+\beta,\alpha\times\beta,\alpha^\beta,\psi_{\delta}(\gamma)|\alpha,\beta,\gamma\in C_n^v(x),\gamma&amp;lt;x,\delta&amp;lt;\omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C^v(x)=\bigcup_{n&amp;lt;\omega}C_n^v(x)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi_v(x)=\min\{\alpha&amp;lt;\Omega_{v+1}|\alpha\notin C^v(x)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
可以看到和 BOCF 的定义大差不差，唯一的区别是乘法和乘方的引入。因而操作规则无太大差异，除了 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_v(X+1)=\psi_v(X)^{\psi_v(X)^{\psi_v(X)^{\cdots}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。此处不再赘述。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
MOCF 的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_\omega)&amp;lt;/math&amp;gt; 也是 BO。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 枚举 ====&lt;br /&gt;
&#039;&#039;主条目：[[BOCF VS MOCF]]&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== BO 之后 ===&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_{\omega})&amp;lt;/math&amp;gt; 之后，googologist 们实际上已经不再关注其数学定义，因此这里只介绍操作规则。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
BOCF 中，我们对每个后继序数 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha+1&amp;lt;/math&amp;gt; 对应的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_{\alpha+1}&amp;lt;/math&amp;gt; 都定义出 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{\alpha}&amp;lt;/math&amp;gt; 函数满足 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{\alpha}(0)=\Omega_{\alpha}&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{\alpha}(X+1)=\psi_{\alpha}(X)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。MOCF 中则是 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{\alpha}(0)=\Omega_{\alpha}\uparrow\uparrow\omega&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{\alpha}(X+1)=\psi_{\alpha}(X)\uparrow\uparrow\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。如果 β 是个极限序数，则没有对应的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; 函数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
那么，对于类似 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_{\Omega^{\Omega}}&amp;lt;/math&amp;gt; 或 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_{\Omega_3\times3}&amp;lt;/math&amp;gt; 的东西，又要如何处理呢？答案是把下标也看做一个运算，如 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 被看做Ω&amp;lt;sub&amp;gt;Ω&amp;lt;/sub&amp;gt;。展开过程中找最右侧的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 时找的是下标的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 而非整体的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;。换句话说，“找最右侧的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;”本身就要求 α 一定小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以下是补充的操作规则：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi(X\sim\Omega_{\alpha+1})[m]=\underbrace{\psi(X\sim\psi_\alpha(X\sim\psi_\alpha(X\sim\psi_\alpha(X\sim\cdots}_{m~layers}))))&amp;lt;/math&amp;gt;，α 为任意序数，~ 代表 + 或 × 或 ^ 或下标。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi(X\sim\Omega_\beta)[m]=\psi(X\sim\Omega_{\beta[m]})&amp;lt;/math&amp;gt;，如果 β 是极限序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这套规则可以一直运用到 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega_{\Omega_{\Omega_{\cdots}}})&amp;lt;/math&amp;gt;，这个序数称为 [[EBO]]。如果想要继续前进，就需要新的非递归序数了，它们会给出它们对应的折叠规则。具体则需要参见对应词条。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
那么在这里，我们实际上可以说，OCF 本身是一个和[[增长层级]]类似的“壳子”，它们接受对应的非递归序数，然后输出大的递归序数。那么，为什么 OCF 没有像增长层级（如 FGH）一样占据 googology 的所有空间呢？有两方面原因。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
第一方面，OCF 没有像增长层级一样具有非常明确的转化规则。googology 社区有一个“俗话”——1000 个人有 1001 种 [[递归 Mahlo 序数#Mahlo OCF|Mahlo OCF]]。这种共识的缺乏是致命的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
第二方面，对于目前的 googology 爱好者来说，构造非递归序数的难度和构造其他类型序数记号，如 [[Beklemishev&#039;s Worm|Worm]] 型记号，相比，在难度上拉不开差距。不像 FGH 加序数记号对传统数阵记号的“降维打击”。而且，googology 爱好者普遍没有很强的数理逻辑或序数分析基础，难以理解和运用学界所构造的大可数序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 定义 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== MOCF ===&lt;br /&gt;
令 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\alpha=\omega_\alpha^{\rm CK},\Omega_0=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的递归共尾度 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 定义为 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的递归的基本列的最小长度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 含第一个非递归序数的 MOCF ====&lt;br /&gt;
含第一个非递归序数 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的 MOCF &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 定义为利用 &amp;lt;math&amp;gt;0,1,\omega,\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;，所有的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt; 以及序数加法、乘法、乘方运算，经过任意有限次运算所不能构建的最小序数。特别地，上述定义中的 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt; 满足 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;，且是能够在有限次运算之中通过 &amp;lt;math&amp;gt;0,1,\omega&amp;lt;/math&amp;gt; 进行加法、乘法、乘方运算，以及将这些序数放到 MOCF 之中所得到的序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以上的定义描述了含 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的 MOCF 的行为，其集合论定义可以表述如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C^0(\alpha)=\{0,1,\omega,\Omega\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C^{n+1}(\alpha)=\{\gamma+\delta,\gamma\cdot\delta,\gamma^\delta,\psi(\eta)|\gamma,\delta,\eta\in C^n(\alpha),\eta&amp;lt;\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C(\alpha)=\bigcup_{n&amp;lt;\omega}C^n(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)=\min\{\beta|\beta\notin C(\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 含自然数下标的 MOCF ====&lt;br /&gt;
含有 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n&amp;lt;/math&amp;gt; 的 MOCF 标准形式定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt;，且各 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_i&amp;lt;/math&amp;gt; 均为标准形式，则 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt; 也是标准形式。&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;\Omega_n,\Omega_n^\beta&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha,\beta&amp;lt;/math&amp;gt; 均为标准形式，则 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n^\beta\cdot\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 为标准形式。&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\in C_n(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 为标准形式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
含有自然数下标的 MOCF &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 的基本列定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)=\mathrm{cf}(\alpha_n)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)[\eta]=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n[\eta]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_n(0))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n(0)[0]=\Omega_n,\psi_n(0)[n&#039;+1]=\Omega_n^{\psi_n(0)[n&#039;]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_n(\alpha+1))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n(\alpha+1)[0]=\psi(\alpha),\psi_n(\alpha+1)[n&#039;+1]=\psi_n(\alpha)^{\psi_n(\alpha+1)[n&#039;]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_n)=\Omega_n&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n[\eta]=\eta&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)\geqslant\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_n^\alpha)=\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\Omega_n^\alpha)[\eta]=\Omega_n^{\alpha[\eta]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\beta)\geqslant\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_n^\alpha\cdot\beta)=\mathrm{cf}(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\Omega_n^\alpha\cdot\beta)[\eta]=\Omega_n^\alpha\cdot\beta[\eta]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_n^\alpha\cdot(\beta+1))=\mathrm{cf}(\Omega_n^\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n^\alpha\cdot(\beta+1)[\eta]=\Omega_n^\alpha\cdot\beta+\Omega^{\alpha[\eta]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)=\Omega_n,m\leqslant n&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_m(\alpha))=\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n(\alpha)[\eta]=\psi_n(\alpha[\eta])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)=\Omega_{n+1},m\leqslant n&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_m(\alpha))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m(\alpha)[n&#039;]=\psi_m(\alpha[\gamma[n&#039;]])&amp;lt;/math&amp;gt;，其中 &amp;lt;math&amp;gt;\gamma[0]=0,\gamma[n&#039;+1]=\psi_n(\alpha[\gamma[n&#039;]])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
含有自然数下标的 MOCF &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 定义为利用所有小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数、所有自然数下标的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_m&amp;lt;/math&amp;gt;，所有自然数下标的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_m(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt; 以及序数加法、乘法、乘方运算，经过任意有限次运算所不能构建的最小序数。特别地，上述定义中的 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt; 满足 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;，且是能够在此前的运算之中得到的序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以上的定义描述了含自然数下标 的 MOCF 的行为，其集合论定义可以表述如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_n^0(\alpha)=\{\xi|\xi&amp;lt;\Omega_n\}\cup\{\Omega_{n&#039;}|n&#039;\in\mathbb{N}\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_n^{m+1}(\alpha)=\{\gamma+\delta,\gamma\cdot\delta,\gamma^\delta,\psi_{n&#039;}(\eta)|\gamma,\delta,\eta\in C_n^m(\alpha),n&#039;\in\mathbb{N},\eta&amp;lt;\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_n(\alpha)=\bigcup_{m\in\mathbb{N}}C_n^m(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi_n(\alpha)=\min\{\beta|\beta\notin C_n(\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 含序数下标的 MOCF ====&lt;br /&gt;
含有 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\mu&amp;lt;/math&amp;gt; 的 MOCF 标准形式定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt;，且各 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_i&amp;lt;/math&amp;gt; 均为标准形式，则 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt; 也是标准形式。&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;\Omega_\mu,\Omega_\mu^\beta&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha,\beta,\mu&amp;lt;/math&amp;gt; 均为标准形式，则 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\mu^\beta\cdot\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 为标准形式。&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\in C_\mu(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\mu(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 为标准形式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
含有序数下标的 MOCF &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 的基本列定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)=\mathrm{cf}(\alpha_n)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)[\eta]=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n[\eta]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\nu(0))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(0)[0]=\Omega_n,\psi_\nu(0)[n+1]=\Omega_\nu^{\psi_\nu(0)[n]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\nu(\alpha+1))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\alpha+1)[0]=\psi(\alpha),\psi_\nu(\alpha+1)[n+1]=\psi_\nu(\alpha)^{\psi_\nu(\alpha+1)[n]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_{\mu+1})=\Omega_{\mu+1}&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_n[\eta]=\eta&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)\geqslant\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_\mu^\alpha)=\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\Omega_\mu^\alpha)[\eta]=\Omega_\mu^{\alpha[\eta]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\beta)\geqslant\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_\mu^\alpha\cdot\beta)=\mathrm{cf}(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\Omega_\mu^\alpha\cdot\beta)[\eta]=\Omega_\mu^\alpha\cdot\beta[\eta]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\Omega_\mu^\alpha\cdot(\beta+1))=\mathrm{cf}(\Omega_\mu^\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\mu^\alpha\cdot(\beta+1)[\eta]=\Omega_\mu^\alpha\cdot\beta+\Omega^{\alpha[\eta]}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)=\Omega_\mu,\mu\leqslant\nu&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\mu(\alpha))=\mathrm{cf}(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\alpha)[\eta]=\psi_\nu(\alpha[\eta])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)=\Omega_{\mu+1},\mu\leqslant\nu&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\mu(\alpha))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\mu(\alpha)[n]=\psi_\mu(\alpha[\gamma[n]])&amp;lt;/math&amp;gt;，其中 &amp;lt;math&amp;gt;\gamma[0]=0,\gamma[n+1]=\psi_\nu(\alpha[\gamma[n]])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
含有序数下标的 MOCF &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 定义为利用所有小于 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\nu&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数、所有自然数下标的 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\mu&amp;lt;/math&amp;gt;，所有自然数下标的 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\mu(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt; 以及序数加法、乘法、乘方运算，经过任意有限次运算所不能构建的最小序数。特别地，上述定义中的 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt; 满足 &amp;lt;math&amp;gt;\beta&amp;lt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;，且是能够在此前的运算之中得到的序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以上的定义描述了含序数下标 的 MOCF 的行为，其集合论定义可以表述如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_\nu^0(\alpha)=\{\xi|\xi&amp;lt;\Omega_\nu\}\cup\{\Omega_{\mu}|\mu\in\mathbb{N}\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_\nu^{m+1}(\alpha)=\{\gamma+\delta,\gamma\cdot\delta,\gamma^\delta,\psi_\mu(\eta)|\gamma,\delta,\eta\in C_\nu^m(\alpha),\mu\in\mathbb{N},\eta&amp;lt;\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_\nu(\alpha)=\bigcup_{m\in\mathbb{N}}C_\nu^m(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\alpha)=\min\{\beta|\beta\notin C_\nu(\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== BOCF ===&lt;br /&gt;
含有 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\mu&amp;lt;/math&amp;gt; 的 BOCF 标准形式定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt;，且各 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_i&amp;lt;/math&amp;gt; 均为标准形式，则 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt; 也是标准形式。&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\mu&amp;lt;/math&amp;gt;为标准形式，则 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\mu&amp;lt;/math&amp;gt; 为标准形式。&lt;br /&gt;
# 如果 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\in C_\mu(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\mu(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 为标准形式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
含有序数下标的 BOCF &amp;lt;math&amp;gt;\psi(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt; 的基本列定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)=\mathrm{cf}(\alpha_n)&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)[\eta]=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n[\eta]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)=1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_{\nu+1}(0))=\mathrm{cf}(\Omega_{\nu+1})&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_{\nu+1}(0)[\eta]=\eta&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\nu)\geqslant\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\nu(0))=\mathrm{cf}(\nu)&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(0)[\eta]=\psi_{\nu[\eta]}(0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\nu(\beta+1))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\beta+1)[0]=0,\psi_\nu(\beta+1)[n+1]=\psi_\nu(\beta+1)[n]+\psi_\nu(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\beta)\in\{\omega\}\cap\{\Omega_{\mu+1}|\mu&amp;lt;\nu\}&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\nu(\beta))=\mathrm{cf}(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\beta)[\eta]=\psi_\nu(\beta[\eta])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# 若 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\alpha)=\Omega_{\mu+1},\mu\geqslant\nu&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;\mathrm{cf}(\psi_\nu(\beta))=\omega&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\beta)[n]=\psi_\nu(\beta[\gamma[n]])&amp;lt;/math&amp;gt;，其中 &amp;lt;math&amp;gt;\gamma[0]=\Omega_\mu,\gamma[n+1]=\psi_\mu(\alpha[\gamma[n]])&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其集合论定义可以表述如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_\nu^0(\alpha)=\{\xi|\xi&amp;lt;\Omega_\nu\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_\nu^{m+1}(\alpha)=\{\gamma+\delta,\psi_\mu(\eta)|\gamma,\delta,\eta\in C_\nu^m(\alpha),\mu\in\bold{Ord},\eta&amp;lt;\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;C_\nu(\alpha)=\bigcup_{m\in\mathbb{N}}C_\nu^m(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\psi_\nu(\alpha)=\min\{\beta|\beta\notin C_\nu(\alpha)\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== NOCF ===&lt;br /&gt;
&#039;&#039;主条目：[[NOCF]]&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
由于 NOCF 没有完整的定义，这里给出它的理念：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_\alpha(0)=\Omega_\alpha\quad(\Omega_0=1)&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\psi_\alpha(\sharp+1)=\psi_\alpha(\sharp)+1&amp;lt;/math&amp;gt;；在 OCF 内遇到 &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\alpha&amp;lt;/math&amp;gt; 的处理方式与 MOCF 一致。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;br /&gt;
[[分类:入门]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E8%AE%A8%E8%AE%BA:Y(1,2,4,8,10,8)%E9%97%AE%E9%A2%98&amp;diff=3336</id>
		<title>讨论:Y(1,2,4,8,10,8)问题</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E8%AE%A8%E8%AE%BA:Y(1,2,4,8,10,8)%E9%97%AE%E9%A2%98&amp;diff=3336"/>
		<updated>2026-07-05T03:50:27Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​创建页面，内容为“Y(1,2,4,8,10,8)问题问的是，这个表达式对应的BMS表达式是什么。  此页面为Y(1,2,4,8,10,8)问题的讨论页面，在该页面只能发布Y(1,2,4,8,10,8)问题相关话题及回复。 分类:分析”&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;Y(1,2,4,8,10,8)问题问的是，这个表达式对应的BMS表达式是什么。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
此页面为Y(1,2,4,8,10,8)问题的讨论页面，在该页面只能发布Y(1,2,4,8,10,8)问题相关话题及回复。&lt;br /&gt;
[[分类:分析]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=fffz%E5%88%86%E6%9E%90Part11&amp;diff=3335</id>
		<title>fffz分析Part11</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=fffz%E5%88%86%E6%9E%90Part11&amp;diff=3335"/>
		<updated>2026-07-05T03:46:43Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;= 此分析为存根，请各位gggist们前来完善 =&lt;br /&gt;
本条目展示[[Fake Fake Fake Zeta|FFFZ]]强度分析的第&amp;lt;math&amp;gt;11&amp;lt;/math&amp;gt;部分，使用[[Y序列]]进行对照&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable mw-collapsible&amp;quot;&lt;br /&gt;
|+&amp;lt;span style=&amp;quot;display: table;margin: 0 auto;&amp;quot;&amp;gt;Y(1,3)~???&amp;lt;/span&amp;gt;&lt;br /&gt;
!&amp;lt;span style=&amp;quot;display: table;margin: 0 auto;&amp;quot;&amp;gt;FFFZ&amp;lt;/span&amp;gt;                                                                                                                               &lt;br /&gt;
!&amp;lt;span style=&amp;quot;display: table;margin: 0 auto;&amp;quot;&amp;gt;Y序列&amp;lt;/span&amp;gt;                                                                                                                               &lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega](\varepsilon_\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
!1,3&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega](\varepsilon_\omega+1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
!1,3,2&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega,\varepsilon_\omega+\omega](\varepsilon_\omega+\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
!1,3,2,3&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega,\varepsilon_\omega+\omega](\varepsilon_\omega+\varepsilon_0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
!1,3,2,4&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega,\varepsilon_\omega+\omega](\psi_Z[\varepsilon_\omega](\varepsilon_\omega))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
!1,3,2,5&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega,\varepsilon_\omega+\omega](\psi_Z[\varepsilon_\omega,\varepsilon_\omega+\omega](\varepsilon_\omega+\omega))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
!1,3,2,5,3,4&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega](\varepsilon_\omega+\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
!1,3,2,5,4&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega,\varepsilon_\omega+\omega2](\varepsilon_\omega+\omega2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
!1,3,2,5,4,2,3&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega,\varepsilon_\omega+\omega2](\varepsilon_\omega+\varepsilon_0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
!1,3,2,5,4,2,4&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega,\varepsilon_\omega+\omega2](\psi_Z[\varepsilon_\omega](\varepsilon_\omega))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
!1,3,2,5,4,2,5&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega,\varepsilon_\omega+\omega2](\psi_Z[\varepsilon_\omega](\varepsilon_\omega+\omega))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
!1,3,2,5,4,2,5,4&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega,\varepsilon_\omega+\omega2](\psi_Z[\varepsilon_\omega,\varepsilon_\omega+\omega2](\varepsilon_\omega+\omega2))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
!1,3,2,5,4,3,4&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega](\varepsilon_\omega+\omega2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
!1,3,2,5,4,4&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
!&amp;lt;math&amp;gt;\psi_Z[\varepsilon_\omega,\varepsilon_\omega+\omega^2](\varepsilon_\omega+\omega^2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
!1,3,2,5,4,5&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
[[分类:分析]]&lt;br /&gt;
[[分类:存根]]&lt;br /&gt;
[[分类:页面待更改]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=FG-CN%E4%BD%93%E7%B3%BB%E5%BC%BA%E5%BA%A6%E5%88%86%E6%9E%90&amp;diff=3298</id>
		<title>FG-CN体系强度分析</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=FG-CN%E4%BD%93%E7%B3%BB%E5%BC%BA%E5%BA%A6%E5%88%86%E6%9E%90&amp;diff=3298"/>
		<updated>2026-07-01T09:37:13Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;本条目展示了FG-CN的体系强度分析，纯属娱乐，只是为了展示FG-ist们有多不懂googology&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|FG-CN官方体系&lt;br /&gt;
|FG-CN类反射&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|FG Class 1&lt;br /&gt;
|FG Class 1&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|FG Class FG Class 1&lt;br /&gt;
|FG Class FG Class 1&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|FG Super Class FG Class 1&lt;br /&gt;
|FG Class (1,0)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|FG Super Class (FG Class 1)2&lt;br /&gt;
|FG Class (2,0)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|FG Super Class FG Class 2&lt;br /&gt;
|FG Class (FG Class 2,0)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|FG Super Class FG Super Class FG Class 1&lt;br /&gt;
|FG Class (FG Class (1,0),0)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|FG Mega Class FG Class 1&lt;br /&gt;
|FG Class (1,0,0)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|FG 10^100th Class FG Class 1&lt;br /&gt;
|FG Class (1@10^100)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|FG Hyper Class Arrow 1&lt;br /&gt;
|FG Class Ω&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
此时FG-CN官方体系的定义非常不良，因此使用我的定义&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|FG-CN官方体系&lt;br /&gt;
|FG-CN类反射&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|FG Hyper Class Arrow 2&lt;br /&gt;
|FG Class Ω&amp;lt;sub&amp;gt;2&amp;lt;/sub&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|FG Super Hyper Class Arrow FG Class 1&lt;br /&gt;
|FG Class Ω&amp;lt;sub&amp;gt;(1,0)&amp;lt;/sub&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|FG 10^100th Hyper Class Arrow FG Class 1&lt;br /&gt;
|FG Class Ω&amp;lt;sub&amp;gt;(1@10^100)&amp;lt;/sub&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|FG Transition 1&lt;br /&gt;
|FG Class Ω&amp;lt;sub&amp;gt;Ω&amp;lt;/sub&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|FG Transition 2&lt;br /&gt;
|FG Class &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_{\Omega_2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|BG Class 1&lt;br /&gt;
|FG Class &amp;lt;math&amp;gt;\Omega\downarrow\downarrow3&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|BG Tier 1&lt;br /&gt;
|FG Class &amp;lt;math&amp;gt;\Omega\downarrow\downarrow4&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|Limit=CE ??? Operationalize ???&lt;br /&gt;
|FG Class &amp;lt;math&amp;gt;\Omega\downarrow\downarrow56&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
{{默认排序:娱乐}}&lt;br /&gt;
[[分类:分析]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=Test&amp;diff=3295</id>
		<title>Test</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=Test&amp;diff=3295"/>
		<updated>2026-06-25T10:58:11Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;此页面为测试页面。任何人都可以随意修改此页面以便测试。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 编写技巧 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 行内代码块：&amp;lt;syntaxhighlight lang=&amp;quot;text&amp;quot;&amp;gt;&amp;lt;code&amp;gt;xxx&amp;lt;/code&amp;gt;&amp;lt;/syntaxhighlight&amp;gt;效果是这样：&amp;lt;code&amp;gt;xxx&amp;lt;/code&amp;gt;。&lt;br /&gt;
* 在列表里换行：使用 &amp;lt;syntaxhighlight lang=&amp;quot;text&amp;quot;&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;/syntaxhighlight&amp;gt;效果是这样：&amp;lt;br&amp;gt;第一行；&amp;lt;br&amp;gt;第二行。&lt;br /&gt;
* 在列表里嵌套列表：无序列表使用&amp;lt;syntaxhighlight lang=&amp;quot;text&amp;quot;&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;ul&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;123&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;456&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;/ul&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;/syntaxhighlight&amp;gt;效果是这样：&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;123&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;456&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;有序列表使用&amp;lt;syntaxhighlight lang=&amp;quot;text&amp;quot;&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;ol&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;123&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;456&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;/ol&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;/syntaxhighlight&amp;gt;效果是这样：&lt;br /&gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;123&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;456&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;于是可以&amp;lt;ul&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;awa&amp;lt;ul&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;114514&amp;lt;ul&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;3.1415926&amp;lt;ul&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;123&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;456&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;789&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;2.71828&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;qwerty&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;/ul&amp;gt;&lt;br /&gt;
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* 分界线：使用 &amp;lt;code&amp;gt;----&amp;lt;/code&amp;gt;。效果是这样：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
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这句话有7个字&lt;br /&gt;
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&amp;lt;math&amp;gt;\varnothing,\emptyset&amp;lt;/math&amp;gt;，&lt;br /&gt;
\(\varnothing,\emptyset\)&lt;br /&gt;
LaTeX公式&amp;lt;code&amp;gt;\varnothing,\emptyset&amp;lt;/code&amp;gt;用不同渲染方式的结果&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math display=&amp;quot;block&amp;quot;&amp;gt;\begin{aligned}&lt;br /&gt;
f(x)\;&amp;amp;=(a+b+1)/2-x\\&lt;br /&gt;
&amp;amp;=(a+2x-1-a+f(2x-1-a)+1)/2-x\\&lt;br /&gt;
&amp;amp;=f(2x-1-a)/2\\&lt;br /&gt;
&amp;amp;=f(2x-1-(x-1+f(x-1)))/2\\&lt;br /&gt;
&amp;amp;=f(x-f(x-1))/2&lt;br /&gt;
\end{aligned}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
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111&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
\( G(64)=\left. \begin{matrix} 3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow}3 \\3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow}3 \\ \underbrace{\qquad \quad \vdots \qquad \quad} \\3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \uparrow}3 \\3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow3\end{matrix} \right \} \text{64 layers} \)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\unicode{64}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),0\text{@}0)[0]=0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\text{@}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[k]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
\(\alpha\text{@}\beta\)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[[a]]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
我们可以使用&amp;lt;code&amp;gt;\hspace&amp;lt;/code&amp;gt;和&amp;lt;code&amp;gt;\raise&amp;lt;/code&amp;gt;来微调LaTeX中的字符位置：&lt;br /&gt;
\(\LaTeX\)&#039;&#039;（直接使用&#039;&#039;&amp;lt;code&amp;gt;\LaTeX&amp;lt;/code&amp;gt;&#039;&#039;的版本）&#039;&#039;&lt;br /&gt;
\({L^{\hspace{-4.5px}\raise{-2.5px}A}&lt;br /&gt;
\hspace{-3px}T\hspace{-2px}\raise{-3px}E\hspace{-1.5px}X}\)&#039;&#039;（使用以上两种命令微调的模仿版本）&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;nowiki&amp;gt;\&amp;lt;/nowiki&amp;gt;&amp;lt;span&amp;gt;(&amp;lt;/span&amp;gt;\alpha\text{@}\beta&amp;lt;nowiki&amp;gt;\&amp;lt;/nowiki&amp;gt;&amp;lt;span&amp;gt;)&amp;lt;/span&amp;gt; = \(\alpha\text{@}\beta\)&lt;br /&gt;
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&amp;lt;span style=&#039;background:linear-gradient(to right,#00ff00,#0000ff);-webkit-background-clip:text;-webkit-text-fill-color:transparent;&#039;&amp;gt;我是美丽的span&amp;lt;/span&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;a href=&#039;https://baidu.com&#039;&amp;gt;危险的代码是不被允许的&amp;lt;/a&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;span onclick=&#039;this.innerText=&amp;quot;onclick是无效的！&amp;quot;&#039;&amp;gt;click me!&amp;lt;/span&amp;gt;&lt;br /&gt;
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666&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
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我是猫娘。喵喵喵喵&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;单行引言&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;span style=&#039;background-color:red&#039;&amp;gt;bgcisred&amp;lt;/span&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[高德纳箭头|↑]]&lt;br /&gt;
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  height=&amp;quot;500px&amp;quot;&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
=== 这是一级标题 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 这是二级标题 ====&lt;br /&gt;
这是公式 \(\alpha\times\beta\)&lt;br /&gt;
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&#039;&#039;撒反对&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
说说不可说】(1)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
　　  人们的对话中，「不可说」指的是「不可以说出来」的意思，但是在佛&lt;br /&gt;
经中，不可说的意思并不一定是这样，世尊所说的佛经更不是指这个意思。&lt;br /&gt;
如果它是指不可以说出来的话，那麽全部的佛经就是一部「大妄语百科」了。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
但是将「不可说」解释为「不可以说出来」的意思，并不是现代人的专&lt;br /&gt;
利，古人解经，也常把它作这样的解释，造成後人将佛经解释成玄密的经典，&lt;br /&gt;
一切的不合理之处都当作「不可说」来处理。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
世尊的确说过许多的不可说，如:《华严经》&lt;br /&gt;
「不可言说不可说，充满一切不可说，不可言说诸劫中，说不可说不可尽，&lt;br /&gt;
....&lt;br /&gt;
於一微细毛端处，有不可说诸普贤，....一毛端处所有刹，其数无量不可&lt;br /&gt;
　说..」在第四十五卷中，世尊一口气说了将近四百个不可说。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
《地藏菩萨本愿经》【忉利天宫神通品】「尔时，十方无量世界不可&lt;br /&gt;
　说不可说一切诸佛，及大菩萨摩诃萨，皆来集会，赞叹释迦牟尼佛．．」&lt;br /&gt;
这里用了两个不可说。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
《小般若经》【深功德品】「一切法不可说，须菩提，一切法空相不&lt;br /&gt;
可说．．」&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其实「不可说」的意义是「数量大到无法用语言形容」的意思，并不&lt;br /&gt;
是指所说的主题「不能说」，如果是不能说，那麽上面这些经典就是「废&lt;br /&gt;
话大全」了。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
世尊说法四十九年，探讨的主题遍及人类所有的疑问，从来没有一样&lt;br /&gt;
　是「不能说出来」的，不但他老人家自己说，更鼓励所有修行菩萨要为众　&lt;br /&gt;
生说呢。(参见《般若经》)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
那麽，「不可说」倒底有多大，会大到语言法形容呢？我们试著来找&lt;br /&gt;
找看。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot; border=&amp;quot;0&amp;quot; cellpadding=&amp;quot;1&amp;quot; cellspacing=&amp;quot;1&amp;quot;&lt;br /&gt;
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! scope=&amp;quot;col&amp;quot; |A&lt;br /&gt;
! scope=&amp;quot;col&amp;quot; |B&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0&lt;br /&gt;
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|-&lt;br /&gt;
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|1LB&lt;br /&gt;
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|}&lt;br /&gt;
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{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
! 用户名&lt;br /&gt;
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| style=&amp;quot;width: 20%;&amp;quot; | 张三 || style=&amp;quot;width: 80%; word-wrap: break-word;&amp;quot; | 这是一个非常长的简介文本，会自动换行以适应列宽。&lt;br /&gt;
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{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot; style=&amp;quot;width: 300px; overflow: hidden; text-overflow: ellipsis&amp;quot;&lt;br /&gt;
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&amp;lt;blockquote&amp;gt;这里是一个孤立页面 我不知道它为什么还在这里&lt;br /&gt;
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就当作是gggwiki的一个彩蛋吧（&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
[https://2023largenumber.fandom.com/zh/wiki/%F0%9F%98%B0#articleComments/ 果糕]&lt;br /&gt;
果糕糕糕！&lt;br /&gt;
果糕糕糕！果糕糕糕！&lt;br /&gt;
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&amp;lt;div id=&amp;quot;guogao1&amp;quot;&amp;gt;将以下代码放入控制台并回车，有“小惊喜”：&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;small&amp;gt;&amp;lt;small&amp;gt;&amp;lt;nowiki&amp;gt;(()=&amp;gt;{document.getElementById(&amp;quot;guogao1&amp;quot;).appendChild((()=&amp;gt;{let a = document.createElement(&amp;quot;div&amp;quot;);a.innerHTML = `&amp;lt;div class=&amp;quot;fixed-btn&amp;quot;&amp;gt;&amp;lt;a onclick=&amp;quot;let b=document.createElement(&#039;div&#039;);b.innerHTML=\`&amp;lt;div id=&#039;guogao&#039; style=&#039;transition: transform .5s ease-out;position: absolute;top:45%;left:50%;z-index: 9999999;transform: scale(1);cursor: pointer;-webkit-user-select: none;-moz-user-select: none;-ms-user-select: none;user-select: none;&#039; onclick=&#039;this.remove()&#039;&amp;gt;${decodeURI(&#039;%F0%9F%98%B0&#039;)}&amp;lt;/div&amp;gt;\`;document.body.appendChild(b);setTimeout(() =&amp;gt; {document.getElementById(&#039;guogao&#039;).style.transform=&#039;scale(45)&#039;}, 50)&amp;quot; class=&amp;quot;new&amp;quot; title=&amp;quot;${decodeURI(&#039;%E5%B0%8F%E6%83%8A%E5%96%9C&#039;)}&amp;quot;&amp;gt;&amp;lt;span class=&amp;quot;btn-text blue&amp;quot;&amp;gt;${decodeURI(&#039;%E5%B0%8F%E6%83%8A%E5%96%9C&#039;)}&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;`;return a})());return (()=&amp;gt;{console.clear();return decodeURI(&#039;%E7%A5%9E%E7%A7%98%E6%8C%89%E9%92%AE%E5%87%BA%E7%8E%B0%EF%BC%81&#039;)})()})()&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;/nowiki&amp;gt;&amp;lt;/small&amp;gt;&amp;lt;/small&amp;gt;&lt;br /&gt;
[[分类:入门]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=TON%E8%AE%B0%E5%8F%B7&amp;diff=3293</id>
		<title>TON记号</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=TON%E8%AE%B0%E5%8F%B7&amp;diff=3293"/>
		<updated>2026-06-24T11:05:16Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&lt;br /&gt;
== 合法表达式 ==&lt;br /&gt;
常量包含&amp;lt;math&amp;gt;0,\Omega_n&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 常量是合法表达式；&lt;br /&gt;
* 如果&amp;lt;math&amp;gt;a&amp;lt;/math&amp;gt;和&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;是合法表达式，那么&amp;lt;math&amp;gt;C(a,b)&amp;lt;/math&amp;gt;是合法表达式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 后缀形式 ==&lt;br /&gt;
对于一个合法表达式，我们删去它其中的所有&amp;lt;math&amp;gt;,&amp;lt;/math&amp;gt;与&amp;lt;math&amp;gt;()&amp;lt;/math&amp;gt;，并反转整个字符串，即为该表达式的后缀形式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 比较 ==&lt;br /&gt;
对于两个合法表达式，它们的大小关系等同于它们的后缀形式在字典序上的大小关系（我们认为&amp;lt;math&amp;gt;C&amp;lt;0&amp;lt;\Omega_n&amp;lt;/math&amp;gt;）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 标准表达式 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 常量是合法表达式；&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C(a,b)&amp;lt;/math&amp;gt;是标准表达式当且仅当：&lt;br /&gt;
** &amp;lt;math&amp;gt;a,b&amp;lt;/math&amp;gt;是标准表达式；&lt;br /&gt;
** 如果&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;能表示成&amp;lt;math&amp;gt;C(c,d)&amp;lt;/math&amp;gt;的形式，则&amp;lt;math&amp;gt;a\leq c&amp;lt;/math&amp;gt;；&lt;br /&gt;
** 对于不同的版本，还有一些额外的条件，我们一般称其为 built-from-below 条件。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
为了检查 built-from-below 条件，我们需要遍历某些表达式的语法树，为此，我们需要一些辅助定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 位于不同位置的同类型的项被认为是不同的；&lt;br /&gt;
* 对于一个表达式&amp;lt;math&amp;gt;C(a,b)&amp;lt;/math&amp;gt;，我们称&amp;lt;math&amp;gt;a&amp;lt;/math&amp;gt;和&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;是&amp;lt;math&amp;gt;C(a,b)&amp;lt;/math&amp;gt;的子项，记作&amp;lt;math&amp;gt;a,b\sqsubseteq C(a,b)&amp;lt;/math&amp;gt;；&lt;br /&gt;
* 我们称a是b的真子项（记作&amp;lt;math&amp;gt;a\sqsubset b&amp;lt;/math&amp;gt;），当且仅当&amp;lt;math&amp;gt;a\sqsubseteq b\and a\neq b&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 与序数的关系 ==&lt;br /&gt;
TON 中的标准表达式和序数一一对应。具体的，对于一个标准表达式&amp;lt;math&amp;gt;a&amp;lt;/math&amp;gt;，如果有一系列小于它的表达式&amp;lt;math&amp;gt;b_1,b_2\cdots&amp;lt;/math&amp;gt;，则&amp;lt;math&amp;gt;a&amp;lt;/math&amp;gt;对应的序数为&amp;lt;math&amp;gt;b_1,b_2\cdots&amp;lt;/math&amp;gt;对应的序数的上确界。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 性质 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C(a,b)&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;；&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C(a,b)&amp;lt;/math&amp;gt;对&amp;lt;math&amp;gt;a,b&amp;lt;/math&amp;gt;都单调递增，且对&amp;lt;math&amp;gt;a&amp;lt;/math&amp;gt;连续；&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C(a,b)=b+\omega^a&amp;lt;/math&amp;gt;当且仅当&amp;lt;math&amp;gt;C(a,b)\geq a&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 变种 ==&lt;br /&gt;
以下判定条件中涉及到的项&amp;lt;math&amp;gt;x&amp;lt;/math&amp;gt;默认满足&amp;lt;math&amp;gt;x\sqsubseteq a&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== Built-from-below 风格 ===&lt;br /&gt;
有三种 built-from-below 风格：Degrees of Reflection 风格，标准风格与 Iteration 风格（从弱到强排序）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== Degrees of Reflection 风格 ====&lt;br /&gt;
为了检查&amp;lt;math&amp;gt;C(a,b)&amp;lt;/math&amp;gt;是否标准，built-from-below 条件为&amp;lt;math&amp;gt;a\prec C(a,b)&amp;lt;/math&amp;gt;，其定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\forall x\forall y\sqsubset x(x&amp;lt;y&amp;lt;\Omega\Rightarrow\exists z\sqsupseteq y(z&amp;lt;\Omega\and(z\sqsupset x\or z&amp;lt;C(a,b))))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Degrees of Reflection（DR）仅由 Degrees of Reflection 风格判定标准表达式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 标准风格 ====&lt;br /&gt;
为了检查&amp;lt;math&amp;gt;C(a,b)&amp;lt;/math&amp;gt;是否标准，built-from-below 条件为&amp;lt;math&amp;gt;a\prec_nC(a,b)&amp;lt;/math&amp;gt;，其定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a\prec_0b\Leftrightarrow a&amp;lt;b&amp;lt;/math&amp;gt;；&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a\prec_{m+1}b\Leftrightarrow\forall x(x&amp;gt;a\Rightarrow\exists y\sqsupseteq x(y\prec_mb))&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Main Ordinal Notation System（M）是一系列系统，仅由标准风格判定标准表达式，其中的n可任取&amp;lt;math&amp;gt;\geq1&amp;lt;/math&amp;gt;的自然数，分别对应不同的系统。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== Iteration 风格 ====&lt;br /&gt;
为了检查&amp;lt;math&amp;gt;C(a,b)&amp;lt;/math&amp;gt;是否标准，我们需要找出&amp;lt;math&amp;gt;a&amp;lt;/math&amp;gt;的语法树中所有极长的&amp;lt;math&amp;gt;&amp;lt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;的子项&amp;lt;math&amp;gt;a&#039;&amp;lt;/math&amp;gt;（即找出所有&amp;lt;math&amp;gt;a&#039;&amp;lt;/math&amp;gt;满足&amp;lt;math&amp;gt;\forall x\sqsupset a&#039;(x\geq\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt;），然后，我们按以下步骤对每个  求出对应的 ：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 将  中的  改成 ；&lt;br /&gt;
# 将  改写成前缀形式（直接删去所有  和 ）；&lt;br /&gt;
# 删去  对应的  左侧的全部内容，并在左侧添加  使表达式合法；&lt;br /&gt;
# 将  重新改写回一般形式。&lt;br /&gt;
# 对  所有形如  的项，如果 ，就将其替换为 ，一直替换到没有这样的项；&lt;br /&gt;
# 执行完 1~5 步后，将现在的  记作 ；&lt;br /&gt;
# 记  为初始的  和  的最长公共后缀（前缀形式下）；&lt;br /&gt;
# 则  为最大的自然数  使得  的前缀形式形如 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
该风格的 built-from-below 条件为 对所有 ，都有 ，其定义如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Iteration of n-built from below (variation without 4b)（I）仅由 Iteration 风格判定标准表达式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== Passthrough ===&lt;br /&gt;
Passthrough 有三种类型：无 passthrough，-passthrough 与 -passthrough（从弱到强排序）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== -passthrough ====&lt;br /&gt;
-passthrough 可以和 Iteration 风格组合，这就是 Iteration of n-built from below（IBP）。 的定义和无 passthrough 的情况一样，但 built-from-below 条件不同：为检查  是否标准，该风格的 built-from-below 条件为 对所有 ，都有 ，其定义如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 我们定义辅助函数 ：，下同；&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
-----passthrough 也可以和 Degrees of Reflection 风格组合，这就是 Built-from-below with Passthrough（BP）。其定义和其他变种有较大不同，见下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
合法表达式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 是合法表达式；&lt;br /&gt;
* 如果  是合法表达式，则  是合法表达式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
比较：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
是最小的表达式。 当且仅当 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
标准表达式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 是标准表达式；&lt;br /&gt;
* 是标准表达式当且仅当：&lt;br /&gt;
** 是标准表达式；&lt;br /&gt;
** 如果  可以表示成  的形式，则 ；&lt;br /&gt;
** 该系统的 built-from-below 条件为：，其中  的定义为 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
-----passthrough 不能和标准风格组合。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== -passthrough ====&lt;br /&gt;
-passthrough 可以和 Iteration 风格组合，这就是 Iteration of n-built from below (Possible extension)（IP）。其定义几乎与 IBP 一样，除了 built-from-below 条件，它变成了 对所有 ，都有 。&lt;br /&gt;
-----passthrough 也可以和 Degrees of Reflection 风格组合，这就是 Degrees of Reflection with Passthrough（DRP）。为检查  是否标准，built-from-below 条件为 ，其定义为&lt;br /&gt;
-----passthrough 还可以和标准风格组合，这就是 Main ordinal notation system (Passthrough extension)（MP）。和 Main ordinal notation system 类似，它也是一系列系统的组合。我们需要确定一个  的自然数 ，则 built-from-below 条件为 ，其定义为&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 反射配置 ===&lt;br /&gt;
反射配置从底层重新定义了 built-from-below 条件。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 语法 ====&lt;br /&gt;
在反射配置下的 TON 中，表达式会出现一个新的符号 。其余部分和普通的 TON 一样。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
比较和普通的 TON 类似，我们认为 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 定义 ====&lt;br /&gt;
反射配置由两个项来定义，记作 。以下是反射配置的一个递归定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* 我们设 ，则：&lt;br /&gt;
** 若 ：；&lt;br /&gt;
** 若 ：；&lt;br /&gt;
** 若  且 ：；&lt;br /&gt;
** 若  且 ：。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----反射配置可以和 Degrees of Reflection 风格组合（即 Reflection configuration version of Degrees of Reflection（DRC））。为了检查  是否标准，其 built-from-below 条件为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 我们定义  为满足  的项 ，如果不存在这样的 ，则 ；&lt;br /&gt;
* 对于项 ，我们定义 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----反射配置也可以和带 Passthrough 的 Degrees of Reflection 风格组合（即 Reflection configuration version of Degrees of Reflection with Passthrough（DRPC），注意这里不分 -passthrough 和 -passthrough）。为了检查  是否标准，其 built-from-below 条件为：&lt;br /&gt;
----反射配置可以和标准风格（与 -passthrough）组合，同样的，它是一系列记号的组合。你需要确定一个自然数 ，则为了检查  是否标准，反射配置和标准风格的组合（即 Reflection configuration version of Main Ordinal Notation System（MC））的 built-from-below 条件为 ，而反射配置和带 -passthrough 的标准风格的组合（即 Reflection configuration version of Main ordinal notation system (Passthrough extension)（MPC））的 built-from-below 条件为 。 的定义如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* 我们定义  为满足  的项 ，如果不存在这样的 ，则 ；&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* 我们称 ，当且仅当 ；&lt;br /&gt;
* 我们称 ，当且仅当 。&lt;br /&gt;
https://zhuanlan.zhihu.com/p/658978883&amp;lt;nowiki/&amp;gt;{{默认排序:序数记号}}&lt;br /&gt;
[[分类:页面待更改]]&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E6%8A%95%E5%BD%B1_VS_%E5%8F%8D%E5%B0%84%E7%A8%B3%E5%AE%9A&amp;diff=3292</id>
		<title>投影 VS 反射稳定</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E6%8A%95%E5%BD%B1_VS_%E5%8F%8D%E5%B0%84%E7%A8%B3%E5%AE%9A&amp;diff=3292"/>
		<updated>2026-06-23T12:16:31Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;本条目展示[[投影序数]]和[[反射序数]]、[[Σ1稳定序数]]的列表分析&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 1 ===&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|+&lt;br /&gt;
!投影序数&lt;br /&gt;
!反射序数&lt;br /&gt;
!常规表示&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;min~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(0)\times2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{(2)}~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\Omega\times2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(0)\times3&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;2nd~(1-)^{(2)}~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\Omega\times3&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{(2)+1}~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\Omega\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{(2)+2}~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\Omega\times\omega^2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{(2)+\omega}~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\Omega\times\omega^\omega&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(BO)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{(2)+BO}~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\Omega\times BO&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\psi_a(0))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{(1-)^{(2)}~aft~2}~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\Omega^2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\psi_a(0)+1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{(1-)^{(2)}~aft~2+1}~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\Omega^2\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\psi_a(0)\times2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{2nd~(1-)^{(2)}~aft~2}~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\Omega^3&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\psi_a(1))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{(1-)^{(2)+1}~aft~2}~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\Omega^\omega&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\psi_a(\psi_a(0)))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{(1-)^{(1-)^{(2)}~aft~2}~aft~2}~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\Omega^\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\psi_a(\psi_a(\psi_a(0))))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{(1-)^{(1-)^{(1-)^{(2)}~aft~2}~aft~2}~aft~2}~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\Omega^{\Omega^\Omega}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(a)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^a~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\Omega_2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(a)\times2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{(1-)^a~aft~2}~aft~(1-)^a~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\Omega_2)\times2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(a+1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{(1-)^a~aft~2+1}~aft~(1-)^a~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\Omega_2+1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(a+\psi_a(a))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{(1-)^{(1-)^a~aft~2}~aft~(1-)^a~aft~2}~aft~(1-)^a~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\Omega_2+\psi_1(\Omega_2))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(a\times2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;2nd~(1-)^a~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\Omega_2\times2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(a\times3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;3rd~(1-)^a~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\Omega_2\times3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(a\times\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{a+1}~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\Omega_2\times\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(a\times\psi_a(a))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{a+(1-)^a~aft~2}~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\Omega_2\times\psi_1(\Omega_2))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(a^2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{a\times2}~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\Omega_2^2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(a^2+a)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^a~aft~(1-)^{a\times2}~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\Omega_2^2+\Omega_2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(a^2+a\times\psi_a(a^2))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{a+(1-)^{a\times2}~aft~2}~aft~(1-)^{a\times2}~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\Omega_2^2+\Omega_2\times\psi_1(\Omega_2^2))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(a^2\times2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;2nd~(1-)^{a\times2}~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\Omega_2^2\times2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(a^2\times\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{a\times2+1}~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\Omega_2^2\times\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(a^3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{a\times3}~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\Omega_2^3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(a^\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{a\times\omega}~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\Omega_2^\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(a^a)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{a^2}~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(a^{a+1})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{a^2+a}~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2+1})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(a^{a+\omega})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{a^2+a\times\omega}~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2+\omega})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(a^{a\times2})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{a^2\times2}~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2\times2})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(a^{a\times\omega})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{a^2\times\omega}~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2\times\omega})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(a^{a^2})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{a^3}~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2^2})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(a^{a^3})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{a^4}~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2^3})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(a^{a^\omega})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{a^\omega}~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2^\omega})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(a^{a^a})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{a^a}~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2^{\Omega_2}})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\varepsilon_{a+1})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{\varepsilon_{a+1}}~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\Omega_3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\zeta_{a+1})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{\zeta_{a+1}}~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\Omega_3^2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\Gamma_{a+1})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{\Gamma_{a+1}}~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\Omega_3^{\Omega_3})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(BHO(a+1))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{BHO(a+1)}~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\Omega_4)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(BO(a+1))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{BO(a+1)}~aft~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_1(\Omega_\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\Omega_{a+1})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;2nd~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\Omega_2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\Omega_{a+1}+1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{2nd~2}~aft~2nd~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\Omega_2\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\Omega_{a+1}+\psi_a(\Omega_{a+1}))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{(1-)^{2nd~2}~aft~2nd~2}~aft~2nd~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\Omega_2^2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\Omega_{a+1}+\psi_a(\Omega_{a+1})\times2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{2nd~(1-)^{2nd~2}~aft~2nd~2}~aft~2nd~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\Omega_2^3&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\Omega_{a+1}+\psi_a(\Omega_{a+1}+1))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{(1-)^{Ord~aft~2nd~2}~aft~2nd~2}~aft~2nd~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\Omega_2^\omega&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\Omega_{a+1}+\psi_a(\Omega_{a+1}+\psi_a(\Omega_{a+1})))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{(1-)^{(1-)^{2nd~2}~aft~2nd~2}~aft~2nd~2}~aft~2nd~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\Omega_2^{\Omega_2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\Omega_{a+1}+a)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^a~aft~2nd~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_2(\Omega_3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\Omega_{a+1}+a^a)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{a^2}~aft~2nd~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_2(\Omega_3^{\Omega_3})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\Omega_{a+1}+\varepsilon_{a+1})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{\varepsilon_{a+1}}~aft~2nd~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_2(\Omega_4)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\Omega_{a+1}+BO(a+1))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{BO(a+1)}~aft~2nd~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_2(\Omega_\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\Omega_{a+1}\times2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;3rd~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\Omega_3&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\Omega_{a+1}\times2+a)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^a~aft~3rd~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_3(\Omega_4)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\Omega_{a+1}\times3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;4th~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\Omega_4&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\Omega_{a+1}\times\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;1-2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\omega&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\Omega_{a+1}\times\omega\times2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;2nd~1-2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\Omega_{\omega\times2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\Omega_{a+1}\times\omega^2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;1-1-2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\Omega_{\omega^2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\Omega_{a+1}\times\omega^\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^\omega~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\Omega_{\omega^\omega}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\Omega_{a+1}\times\psi_a(0))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{(2)}~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\Omega_\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\Omega_{a+1}\times\psi_a(\Omega_{a+1}\times\omega))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{1-2}~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\Omega_{\Omega_\omega}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\Omega_{a+1}\times a)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^a~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;OFP=\psi_I(I)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\Omega_{a+1}\times a+\Omega_{a+1})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;2~aft~(1-)^a~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_I(I+1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\Omega_{a+1}\times a+\Omega_{a+1}\times\psi_a(\Omega_{a+1}\times a))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{(1-)^a~2}~2~aft~(1-)^a~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_I(I+\psi_I(I))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\Omega_{a+1}\times a\times2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;2nd~(1-)^a~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_I(I\times2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\Omega_{a+1}\times a\times\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{a+1}~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_I(I\times\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\Omega_{a+1}\times a\times\psi_a(\Omega_{a+1}\times a))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{a+(1-)^a~2}~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_I(I\times\psi_I(I))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\Omega_{a+1}\times a^2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{a\times2}~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_I(I^2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\Omega_{a+1}\times a^3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{a\times3}~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_I(I^3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\Omega_{a+1}\times a^a)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{a^2}~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_I(I^I)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\Omega_{a+1}\times \varepsilon_{a+1})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{\varepsilon_{a+1}}~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_I(\Omega_{I+1})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\Omega_{a+1}\times BO(a+1))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{BO(a+1)}~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_I(\Omega_{I+\omega})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\Omega_{a+1}\times SHO(a+1))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{SHO(a+1)}~2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_I(\psi_H(\varepsilon_{H+1}))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\Omega_{a+1}^2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;2~1-2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;I&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\Omega_{a+1})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;2~aft~2~1-2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\Omega_{I+1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\Omega_{a+1}\times\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;1-2~aft~2~1-2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\Omega_{I+\omega}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\Omega_{a+1}\times\psi_a(\Omega_{a+1}^2))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{2~1-2}~2~aft~2~1-2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\Omega_{I\times2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\Omega_{a+1}\times\psi_a(\Omega_{a+1}^2+1))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{Ord~aft~2~1-2}~2~aft~2~1-2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\Omega_{I\times\omega}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\Omega_{a+1}\times\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\psi_a(\Omega_{a+1}^2)))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{(1-)^{2~1-2}~aft~2~1-2}~2~aft~2~1-2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\Omega_{I^2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\Omega_{a+1}\times\psi_a(\Omega_{a+1}^2+a))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;(1-)^{(1-)^a~aft~2~1-2}~2~aft~2~1-2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\Omega_{\varepsilon_{I+1}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
[[分类:分析]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=TON%E8%AE%B0%E5%8F%B7%E5%88%86%E6%9E%90Part1&amp;diff=3291</id>
		<title>TON记号分析Part1</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=TON%E8%AE%B0%E5%8F%B7%E5%88%86%E6%9E%90Part1&amp;diff=3291"/>
		<updated>2026-06-23T12:06:55Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;本条目展示[[TON记号]]强度分析的第一部分&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|+分析&lt;br /&gt;
!TON记号&lt;br /&gt;
!向上投影递归化&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0&lt;br /&gt;
|0&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|C(0,0)&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|C(0,C(0,0))&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|C(C(0,0),0)&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|C(0,C(C(0,0),0))&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(1)+\psi(0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|C(C(0,0),C(C(0,0),0))&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(1)2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|C(C(0,C(0,0)),0)&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|C(C(C(0,0),0),0)&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi(1))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|C(C(C(C(0,0),0),0),0)&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi(\psi(1)))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
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|-&lt;br /&gt;
|C(0,Ω&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt;)&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)+\psi(0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|C(C(0,0),Ω&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt;)&lt;br /&gt;
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|C(Ω&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt;,Ω&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt;)&lt;br /&gt;
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|-&lt;br /&gt;
|C(Ω&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt;,C(Ω&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt;,Ω&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt;))&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)3&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|C(C(0,Ω&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt;),Ω&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt;)&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|C(C(0,C(0,Ω&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt;)),Ω&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt;)&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|C(C(C(0,0),Ω&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt;),Ω&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt;)&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+\psi(1))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|C(C(C(0,C(0,0)),Ω&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt;),Ω&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt;)&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\psi(2))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|C(C(Ω&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt;,Ω&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt;),Ω&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt;)&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+\psi(\Omega))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|C(Ω&amp;lt;sub&amp;gt;1&amp;lt;/sub&amp;gt;,Ω&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt;)&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
未完待续&lt;br /&gt;
[[分类:分析]]&lt;br /&gt;
[[分类:存根]]&lt;br /&gt;
[[分类:页面待更改]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=TON%E8%AE%B0%E5%8F%B7%E5%88%86%E6%9E%90Part1&amp;diff=3290</id>
		<title>TON记号分析Part1</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=TON%E8%AE%B0%E5%8F%B7%E5%88%86%E6%9E%90Part1&amp;diff=3290"/>
		<updated>2026-06-23T12:06:13Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;本条目展示[[TON记号]]强度分析的第一部分&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|+分析&lt;br /&gt;
!TON记号&lt;br /&gt;
!向上投影递归化&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0&lt;br /&gt;
|0&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|C(0,0)&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|C(0,C(0,0))&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|C(C(0,0),0)&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|C(0,C(C(0,0),0))&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(1)+\psi(0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|C(C(0,0),C(C(0,0),0))&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(1)2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|C(C(0,C(0,0)),0)&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|C(C(C(0,0),0),0)&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi(1))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|C(C(C(C(0,0),0),0),0)&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\psi(\psi(1)))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|Ω&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt;&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|C(0,Ω&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt;)&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)+\psi(0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|C(C(0,0),Ω&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt;)&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)+\psi(1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|C(Ω&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt;,Ω&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt;)&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|C(Ω&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt;,C(Ω&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt;,Ω&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt;))&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega)3&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|C(C(0,Ω&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt;),Ω&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt;)&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|C(C(0,C(0,Ω&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt;)),Ω&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt;)&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|C(C(C(0,0),Ω&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt;),Ω&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt;)&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+\psi(1))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|C(C(C(0,C(0,0)),Ω&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt;),Ω&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt;)&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega\psi(2))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|C(C(Ω&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt;,Ω&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt;),Ω&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt;)&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega+\psi(\Omega))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|C(Ω&amp;lt;sub&amp;gt;1&amp;lt;/sub&amp;gt;,Ω&amp;lt;sub&amp;gt;0&amp;lt;/sub&amp;gt;)&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(\Omega2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
未完待续&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=TON%E8%AE%B0%E5%8F%B7%E5%88%86%E6%9E%90Part1&amp;diff=3289</id>
		<title>TON记号分析Part1</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=TON%E8%AE%B0%E5%8F%B7%E5%88%86%E6%9E%90Part1&amp;diff=3289"/>
		<updated>2026-06-23T11:44:57Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​创建页面，内容为“本条目展示TON记号强度分析的第一部分 {| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot; |+分析 !TON记号 !向上投影递归化 |- |0 |0 |- |C(0,0) |&amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)&amp;lt;/math&amp;gt; |- |C(0,C(0,0)) |&amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)2&amp;lt;/math&amp;gt; |- |C(C(0,0),0) |&amp;lt;math&amp;gt;\psi(1)&amp;lt;/math&amp;gt; |}”&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;本条目展示[[TON记号]]强度分析的第一部分&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|+分析&lt;br /&gt;
!TON记号&lt;br /&gt;
!向上投影递归化&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0&lt;br /&gt;
|0&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|C(0,0)&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|C(0,C(0,0))&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(0)2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|C(C(0,0),0)&lt;br /&gt;
|&amp;lt;math&amp;gt;\psi(1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=TON%E8%AE%B0%E5%8F%B7&amp;diff=3288</id>
		<title>TON记号</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=TON%E8%AE%B0%E5%8F%B7&amp;diff=3288"/>
		<updated>2026-06-23T07:24:56Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&lt;br /&gt;
== 合法表达式 ==&lt;br /&gt;
常量包含&amp;lt;math&amp;gt;0,\Omega_n&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 常量是合法表达式；&lt;br /&gt;
* 如果&amp;lt;math&amp;gt;a&amp;lt;/math&amp;gt;和&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;是合法表达式，那么&amp;lt;math&amp;gt;C(a,b)&amp;lt;/math&amp;gt;是合法表达式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 后缀形式 ==&lt;br /&gt;
对于一个合法表达式，我们删去它其中的所有&amp;lt;math&amp;gt;,&amp;lt;/math&amp;gt;与&amp;lt;math&amp;gt;()&amp;lt;/math&amp;gt;，并反转整个字符串，即为该表达式的后缀形式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 比较 ==&lt;br /&gt;
对于两个合法表达式，它们的大小关系等同于它们的后缀形式在字典序上的大小关系（我们认为&amp;lt;math&amp;gt;C&amp;lt;0&amp;lt;\Omega_n&amp;lt;/math&amp;gt;）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 标准表达式 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 常量是合法表达式；&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C(a,b)&amp;lt;/math&amp;gt;是标准表达式当且仅当：&lt;br /&gt;
** &amp;lt;math&amp;gt;a,b&amp;lt;/math&amp;gt;是标准表达式；&lt;br /&gt;
** 如果&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;能表示成&amp;lt;math&amp;gt;C(c,d)&amp;lt;/math&amp;gt;的形式，则&amp;lt;math&amp;gt;a\leq c&amp;lt;/math&amp;gt;；&lt;br /&gt;
** 对于不同的版本，还有一些额外的条件，我们一般称其为 built-from-below 条件。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
为了检查 built-from-below 条件，我们需要遍历某些表达式的语法树，为此，我们需要一些辅助定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 位于不同位置的同类型的项被认为是不同的；&lt;br /&gt;
* 对于一个表达式&amp;lt;math&amp;gt;C(a,b)&amp;lt;/math&amp;gt;，我们称&amp;lt;math&amp;gt;a&amp;lt;/math&amp;gt;和&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;是&amp;lt;math&amp;gt;C(a,b)&amp;lt;/math&amp;gt;的子项，记作&amp;lt;math&amp;gt;a,b\sqsubseteq C(a,b)&amp;lt;/math&amp;gt;；&lt;br /&gt;
* 我们称a是b的真子项（记作&amp;lt;math&amp;gt;a\sqsubset b&amp;lt;/math&amp;gt;），当且仅当&amp;lt;math&amp;gt;a\sqsubseteq b\and a\neq b&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 与序数的关系 ==&lt;br /&gt;
TON 中的标准表达式和序数一一对应。具体的，对于一个标准表达式&amp;lt;math&amp;gt;a&amp;lt;/math&amp;gt;，如果有一系列小于它的表达式&amp;lt;math&amp;gt;b_1,b_2\cdots&amp;lt;/math&amp;gt;，则&amp;lt;math&amp;gt;a&amp;lt;/math&amp;gt;对应的序数为&amp;lt;math&amp;gt;b_1,b_2\cdots&amp;lt;/math&amp;gt;对应的序数的上确界。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 性质 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C(a,b)&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;；&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C(a,b)&amp;lt;/math&amp;gt;对&amp;lt;math&amp;gt;a,b&amp;lt;/math&amp;gt;都单调递增，且对&amp;lt;math&amp;gt;a&amp;lt;/math&amp;gt;连续；&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C(a,b)=b+\omega^a&amp;lt;/math&amp;gt;当且仅当&amp;lt;math&amp;gt;C(a,b)\geq a&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 变种 ==&lt;br /&gt;
以下判定条件中涉及到的项&amp;lt;math&amp;gt;x&amp;lt;/math&amp;gt;默认满足&amp;lt;math&amp;gt;x\sqsubseteq a&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== Built-from-below 风格 ===&lt;br /&gt;
有三种 built-from-below 风格：Degrees of Reflection 风格，标准风格与 Iteration 风格（从弱到强排序）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== Degrees of Reflection 风格 ====&lt;br /&gt;
为了检查&amp;lt;math&amp;gt;C(a,b)&amp;lt;/math&amp;gt;是否标准，built-from-below 条件为&amp;lt;math&amp;gt;a\prec C(a,b)&amp;lt;/math&amp;gt;，其定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\forall x\forall y\sqsubset x(x&amp;lt;y&amp;lt;\Omega\Rightarrow\exists z\sqsupseteq y(z&amp;lt;\Omega\and(z\sqsupset x\or z&amp;lt;C(a,b))))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Degrees of Reflection（DR）仅由 Degrees of Reflection 风格判定标准表达式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 标准风格 ====&lt;br /&gt;
为了检查&amp;lt;math&amp;gt;C(a,b)&amp;lt;/math&amp;gt;是否标准，built-from-below 条件为&amp;lt;math&amp;gt;a\prec_nC(a,b)&amp;lt;/math&amp;gt;，其定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a\prec_0b\Leftrightarrow a&amp;lt;b&amp;lt;/math&amp;gt;；&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;a\prec_{m+1}b\Leftrightarrow\forall x(x&amp;gt;a\Rightarrow\exists y\sqsupseteq x(y\prec_mb))&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Main Ordinal Notation System（M）是一系列系统，仅由标准风格判定标准表达式，其中的n可任取&amp;lt;math&amp;gt;\geq1&amp;lt;/math&amp;gt;的自然数，分别对应不同的系统。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== Iteration 风格 ====&lt;br /&gt;
为了检查&amp;lt;math&amp;gt;C(a,b)&amp;lt;/math&amp;gt;是否标准，我们需要找出&amp;lt;math&amp;gt;a&amp;lt;/math&amp;gt;的语法树中所有极长的&amp;lt;math&amp;gt;&amp;lt;\Omega&amp;lt;/math&amp;gt;的子项&amp;lt;math&amp;gt;a&#039;&amp;lt;/math&amp;gt;（即找出所有&amp;lt;math&amp;gt;a&#039;&amp;lt;/math&amp;gt;满足&amp;lt;math&amp;gt;\forall x\sqsupset a&#039;(x\geq\Omega)&amp;lt;/math&amp;gt;），然后，我们按以下步骤对每个  求出对应的 ：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 将  中的  改成 ；&lt;br /&gt;
# 将  改写成前缀形式（直接删去所有  和 ）；&lt;br /&gt;
# 删去  对应的  左侧的全部内容，并在左侧添加  使表达式合法；&lt;br /&gt;
# 将  重新改写回一般形式。&lt;br /&gt;
# 对  所有形如  的项，如果 ，就将其替换为 ，一直替换到没有这样的项；&lt;br /&gt;
# 执行完 1~5 步后，将现在的  记作 ；&lt;br /&gt;
# 记  为初始的  和  的最长公共后缀（前缀形式下）；&lt;br /&gt;
# 则  为最大的自然数  使得  的前缀形式形如 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
该风格的 built-from-below 条件为 对所有 ，都有 ，其定义如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Iteration of n-built from below (variation without 4b)（I）仅由 Iteration 风格判定标准表达式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== Passthrough ===&lt;br /&gt;
Passthrough 有三种类型：无 passthrough，-passthrough 与 -passthrough（从弱到强排序）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== -passthrough ====&lt;br /&gt;
-passthrough 可以和 Iteration 风格组合，这就是 Iteration of n-built from below（IBP）。 的定义和无 passthrough 的情况一样，但 built-from-below 条件不同：为检查  是否标准，该风格的 built-from-below 条件为 对所有 ，都有 ，其定义如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 我们定义辅助函数 ：，下同；&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
-----passthrough 也可以和 Degrees of Reflection 风格组合，这就是 Built-from-below with Passthrough（BP）。其定义和其他变种有较大不同，见下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
合法表达式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 是合法表达式；&lt;br /&gt;
* 如果  是合法表达式，则  是合法表达式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
比较：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
是最小的表达式。 当且仅当 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
标准表达式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 是标准表达式；&lt;br /&gt;
* 是标准表达式当且仅当：&lt;br /&gt;
** 是标准表达式；&lt;br /&gt;
** 如果  可以表示成  的形式，则 ；&lt;br /&gt;
** 该系统的 built-from-below 条件为：，其中  的定义为 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
-----passthrough 不能和标准风格组合。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== -passthrough ====&lt;br /&gt;
-passthrough 可以和 Iteration 风格组合，这就是 Iteration of n-built from below (Possible extension)（IP）。其定义几乎与 IBP 一样，除了 built-from-below 条件，它变成了 对所有 ，都有 。&lt;br /&gt;
-----passthrough 也可以和 Degrees of Reflection 风格组合，这就是 Degrees of Reflection with Passthrough（DRP）。为检查  是否标准，built-from-below 条件为 ，其定义为&lt;br /&gt;
-----passthrough 还可以和标准风格组合，这就是 Main ordinal notation system (Passthrough extension)（MP）。和 Main ordinal notation system 类似，它也是一系列系统的组合。我们需要确定一个  的自然数 ，则 built-from-below 条件为 ，其定义为&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 反射配置 ===&lt;br /&gt;
反射配置从底层重新定义了 built-from-below 条件。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 语法 ====&lt;br /&gt;
在反射配置下的 TON 中，表达式会出现一个新的符号 。其余部分和普通的 TON 一样。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
比较和普通的 TON 类似，我们认为 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 定义 ====&lt;br /&gt;
反射配置由两个项来定义，记作 。以下是反射配置的一个递归定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* 我们设 ，则：&lt;br /&gt;
** 若 ：；&lt;br /&gt;
** 若 ：；&lt;br /&gt;
** 若  且 ：；&lt;br /&gt;
** 若  且 ：。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----反射配置可以和 Degrees of Reflection 风格组合（即 Reflection configuration version of Degrees of Reflection（DRC））。为了检查  是否标准，其 built-from-below 条件为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 我们定义  为满足  的项 ，如果不存在这样的 ，则 ；&lt;br /&gt;
* 对于项 ，我们定义 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----反射配置也可以和带 Passthrough 的 Degrees of Reflection 风格组合（即 Reflection configuration version of Degrees of Reflection with Passthrough（DRPC），注意这里不分 -passthrough 和 -passthrough）。为了检查  是否标准，其 built-from-below 条件为：&lt;br /&gt;
----反射配置可以和标准风格（与 -passthrough）组合，同样的，它是一系列记号的组合。你需要确定一个自然数 ，则为了检查  是否标准，反射配置和标准风格的组合（即 Reflection configuration version of Main Ordinal Notation System（MC））的 built-from-below 条件为 ，而反射配置和带 -passthrough 的标准风格的组合（即 Reflection configuration version of Main ordinal notation system (Passthrough extension)（MPC））的 built-from-below 条件为 。 的定义如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* 我们定义  为满足  的项 ，如果不存在这样的 ，则 ；&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* 我们称 ，当且仅当 ；&lt;br /&gt;
* 我们称 ，当且仅当 。&lt;br /&gt;
{{默认排序:序数记号}}&lt;br /&gt;
[[分类:页面待更改]]&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=TON%E8%AE%B0%E5%8F%B7&amp;diff=3287</id>
		<title>TON记号</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=TON%E8%AE%B0%E5%8F%B7&amp;diff=3287"/>
		<updated>2026-06-23T06:40:43Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&lt;br /&gt;
== 合法表达式 ==&lt;br /&gt;
常量包含&amp;lt;math&amp;gt;0,\Omega_n&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 常量是合法表达式；&lt;br /&gt;
* 如果&amp;lt;math&amp;gt;a&amp;lt;/math&amp;gt;和&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;是合法表达式，那么&amp;lt;math&amp;gt;C(a,b)&amp;lt;/math&amp;gt;是合法表达式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 后缀形式 ==&lt;br /&gt;
对于一个合法表达式，我们删去它其中的所有&amp;lt;math&amp;gt;,&amp;lt;/math&amp;gt;与&amp;lt;math&amp;gt;()&amp;lt;/math&amp;gt;，并反转整个字符串，即为该表达式的后缀形式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 比较 ==&lt;br /&gt;
对于两个合法表达式，它们的大小关系等同于它们的后缀形式在字典序上的大小关系（我们认为&amp;lt;math&amp;gt;C&amp;lt;0&amp;lt;\Omega_n&amp;lt;/math&amp;gt;）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 标准表达式 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 常量是合法表达式；&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C(a,b)&amp;lt;/math&amp;gt;是标准表达式当且仅当：&lt;br /&gt;
** &amp;lt;math&amp;gt;a,b&amp;lt;/math&amp;gt;是标准表达式；&lt;br /&gt;
** 如果&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;能表示成&amp;lt;math&amp;gt;C(c,d)&amp;lt;/math&amp;gt;的形式，则&amp;lt;math&amp;gt;a\leq c&amp;lt;/math&amp;gt;；&lt;br /&gt;
** 对于不同的版本，还有一些额外的条件，我们一般称其为 built-from-below 条件。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
为了检查 built-from-below 条件，我们需要遍历某些表达式的语法树，为此，我们需要一些辅助定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 位于不同位置的同类型的项被认为是不同的；&lt;br /&gt;
* 对于一个表达式&amp;lt;math&amp;gt;C(a,b)&amp;lt;/math&amp;gt;，我们称&amp;lt;math&amp;gt;a&amp;lt;/math&amp;gt;和&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;是&amp;lt;math&amp;gt;C(a,b)&amp;lt;/math&amp;gt;的子项，记作&amp;lt;math&amp;gt;a,b\sqsubseteq C(a,b)&amp;lt;/math&amp;gt;；&lt;br /&gt;
* 我们称a是b的真子项（记作&amp;lt;math&amp;gt;a\sqsubset b&amp;lt;/math&amp;gt;），当且仅当&amp;lt;math&amp;gt;a\sqsubseteq b\land a\neq b&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 与序数的关系 ==&lt;br /&gt;
TON 中的标准表达式和序数一一对应。具体的，对于一个标准表达式&amp;lt;math&amp;gt;a&amp;lt;/math&amp;gt;，如果有一系列小于它的表达式&amp;lt;math&amp;gt;b_1,b_2\cdots&amp;lt;/math&amp;gt;，则&amp;lt;math&amp;gt;a&amp;lt;/math&amp;gt;对应的序数为&amp;lt;math&amp;gt;b_1,b_2\cdots&amp;lt;/math&amp;gt;对应的序数的上确界。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 性质 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C(a,b)&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;；&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C(a,b)&amp;lt;/math&amp;gt;对&amp;lt;math&amp;gt;a,b&amp;lt;/math&amp;gt;都单调递增，且对&amp;lt;math&amp;gt;a&amp;lt;/math&amp;gt;连续；&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C(a,b)=b+\omega^a&amp;lt;/math&amp;gt;当且仅当&amp;lt;math&amp;gt;C(a,b)\geq a&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 变种 ==&lt;br /&gt;
以下判定条件中涉及到的项&amp;lt;math&amp;gt;x&amp;lt;/math&amp;gt;默认满足&amp;lt;math&amp;gt;x\sqsubseteq a&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== Built-from-below 风格 ===&lt;br /&gt;
有三种 built-from-below 风格：Degrees of Reflection 风格，标准风格与 Iteration 风格（从弱到强排序）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== Degrees of Reflection 风格 ====&lt;br /&gt;
为了检查&amp;lt;math&amp;gt;C(a,b)&amp;lt;/math&amp;gt;是否标准，built-from-below 条件为&amp;lt;math&amp;gt;a\prec C(a,b)&amp;lt;/math&amp;gt;，其定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\forall x\forall y\sqsubset x(x&amp;lt;y&amp;lt;\Omega\Rightarrow&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Degrees of Reflection（DR）仅由 Degrees of Reflection 风格判定标准表达式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 标准风格 ====&lt;br /&gt;
为了检查  是否标准，built-from-below 条件为 ，其定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Main Ordinal Notation System（M）是一系列系统，仅由标准风格判定标准表达式，其中的  可任取  的自然数，分别对应不同的系统。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== Iteration 风格 ====&lt;br /&gt;
为了检查  是否标准，我们需要找出  的语法树中所有极长的  的子项 （即，找出所有  满足 ），然后，我们按以下步骤对每个  求出对应的 ：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 将  中的  改成 ；&lt;br /&gt;
# 将  改写成前缀形式（直接删去所有  和 ）；&lt;br /&gt;
# 删去  对应的  左侧的全部内容，并在左侧添加  使表达式合法；&lt;br /&gt;
# 将  重新改写回一般形式。&lt;br /&gt;
# 对  所有形如  的项，如果 ，就将其替换为 ，一直替换到没有这样的项；&lt;br /&gt;
# 执行完 1~5 步后，将现在的  记作 ；&lt;br /&gt;
# 记  为初始的  和  的最长公共后缀（前缀形式下）；&lt;br /&gt;
# 则  为最大的自然数  使得  的前缀形式形如 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
该风格的 built-from-below 条件为 对所有 ，都有 ，其定义如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Iteration of n-built from below (variation without 4b)（I）仅由 Iteration 风格判定标准表达式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== Passthrough ===&lt;br /&gt;
Passthrough 有三种类型：无 passthrough，-passthrough 与 -passthrough（从弱到强排序）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== -passthrough ====&lt;br /&gt;
-passthrough 可以和 Iteration 风格组合，这就是 Iteration of n-built from below（IBP）。 的定义和无 passthrough 的情况一样，但 built-from-below 条件不同：为检查  是否标准，该风格的 built-from-below 条件为 对所有 ，都有 ，其定义如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 我们定义辅助函数 ：，下同；&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
-----passthrough 也可以和 Degrees of Reflection 风格组合，这就是 Built-from-below with Passthrough（BP）。其定义和其他变种有较大不同，见下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
合法表达式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 是合法表达式；&lt;br /&gt;
* 如果  是合法表达式，则  是合法表达式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
比较：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
是最小的表达式。 当且仅当 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
标准表达式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 是标准表达式；&lt;br /&gt;
* 是标准表达式当且仅当：&lt;br /&gt;
** 是标准表达式；&lt;br /&gt;
** 如果  可以表示成  的形式，则 ；&lt;br /&gt;
** 该系统的 built-from-below 条件为：，其中  的定义为 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
-----passthrough 不能和标准风格组合。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== -passthrough ====&lt;br /&gt;
-passthrough 可以和 Iteration 风格组合，这就是 Iteration of n-built from below (Possible extension)（IP）。其定义几乎与 IBP 一样，除了 built-from-below 条件，它变成了 对所有 ，都有 。&lt;br /&gt;
-----passthrough 也可以和 Degrees of Reflection 风格组合，这就是 Degrees of Reflection with Passthrough（DRP）。为检查  是否标准，built-from-below 条件为 ，其定义为&lt;br /&gt;
-----passthrough 还可以和标准风格组合，这就是 Main ordinal notation system (Passthrough extension)（MP）。和 Main ordinal notation system 类似，它也是一系列系统的组合。我们需要确定一个  的自然数 ，则 built-from-below 条件为 ，其定义为&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 反射配置 ===&lt;br /&gt;
反射配置从底层重新定义了 built-from-below 条件。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 语法 ====&lt;br /&gt;
在反射配置下的 TON 中，表达式会出现一个新的符号 。其余部分和普通的 TON 一样。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
比较和普通的 TON 类似，我们认为 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 定义 ====&lt;br /&gt;
反射配置由两个项来定义，记作 。以下是反射配置的一个递归定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* 我们设 ，则：&lt;br /&gt;
** 若 ：；&lt;br /&gt;
** 若 ：；&lt;br /&gt;
** 若  且 ：；&lt;br /&gt;
** 若  且 ：。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----反射配置可以和 Degrees of Reflection 风格组合（即 Reflection configuration version of Degrees of Reflection（DRC））。为了检查  是否标准，其 built-from-below 条件为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 我们定义  为满足  的项 ，如果不存在这样的 ，则 ；&lt;br /&gt;
* 对于项 ，我们定义 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----反射配置也可以和带 Passthrough 的 Degrees of Reflection 风格组合（即 Reflection configuration version of Degrees of Reflection with Passthrough（DRPC），注意这里不分 -passthrough 和 -passthrough）。为了检查  是否标准，其 built-from-below 条件为：&lt;br /&gt;
----反射配置可以和标准风格（与 -passthrough）组合，同样的，它是一系列记号的组合。你需要确定一个自然数 ，则为了检查  是否标准，反射配置和标准风格的组合（即 Reflection configuration version of Main Ordinal Notation System（MC））的 built-from-below 条件为 ，而反射配置和带 -passthrough 的标准风格的组合（即 Reflection configuration version of Main ordinal notation system (Passthrough extension)（MPC））的 built-from-below 条件为 。 的定义如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* 我们定义  为满足  的项 ，如果不存在这样的 ，则 ；&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* 我们称 ，当且仅当 ；&lt;br /&gt;
* 我们称 ，当且仅当 。&lt;br /&gt;
{{默认排序:序数记号}}&lt;br /&gt;
[[分类:页面待更改]]&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=TON%E8%AE%B0%E5%8F%B7&amp;diff=3284</id>
		<title>TON记号</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=TON%E8%AE%B0%E5%8F%B7&amp;diff=3284"/>
		<updated>2026-06-23T05:44:16Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&lt;br /&gt;
== 合法表达式 ==&lt;br /&gt;
常量包含&amp;lt;math&amp;gt;0,\Omega_n&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 常量是合法表达式；&lt;br /&gt;
* 如果&amp;lt;math&amp;gt;a&amp;lt;/math&amp;gt;和&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;是合法表达式，那么&amp;lt;math&amp;gt;C(a,b)&amp;lt;/math&amp;gt;是合法表达式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 后缀形式 ==&lt;br /&gt;
对于一个合法表达式，我们删去它其中的所有&amp;lt;math&amp;gt;,&amp;lt;/math&amp;gt;与&amp;lt;math&amp;gt;()&amp;lt;/math&amp;gt;，并反转整个字符串，即为该表达式的后缀形式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 比较 ==&lt;br /&gt;
对于两个合法表达式，它们的大小关系等同于它们的后缀形式在字典序上的大小关系（我们认为&amp;lt;math&amp;gt;C&amp;lt;0&amp;lt;\Omega_n&amp;lt;/math&amp;gt;）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 标准表达式 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 常量是合法表达式；&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;C(a,b)&amp;lt;/math&amp;gt;是标准表达式当且仅当：&lt;br /&gt;
** &amp;lt;math&amp;gt;a,b&amp;lt;/math&amp;gt;是标准表达式；&lt;br /&gt;
** 如果&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;能表示成&amp;lt;math&amp;gt;C(c,d)&amp;lt;/math&amp;gt;的形式，则&amp;lt;math&amp;gt;a\leq c&amp;lt;/math&amp;gt;；&lt;br /&gt;
** 对于不同的版本，还有一些额外的条件，我们一般称其为 built-from-below 条件。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
为了检查 built-from-below 条件，我们需要遍历某些表达式的语法树，为此，我们需要一些辅助定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 位于不同位置的同类型的项被认为是不同的；&lt;br /&gt;
* 对于一个表达式C(a,b)，我们称a和b是C(a,b)的子项，记作&amp;lt;math&amp;gt;a,b\sqsubseteq C(a,b)&amp;lt;/math&amp;gt;；&lt;br /&gt;
* 我们称a是b的真子项（记作&amp;lt;math&amp;gt;a\sqsubset b&amp;lt;/math&amp;gt;），当且仅当 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 与序数的关系 ==&lt;br /&gt;
TON 中的标准表达式和序数一一对应。具体的，对于一个标准表达式 ，如果有一系列小于它的表达式 ，则  对应的序数为  对应的序数的上确界。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 性质 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* 对  都单调递增，且对  连续；&lt;br /&gt;
* 当且仅当 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 变种 ==&lt;br /&gt;
以下判定条件中涉及到的项  默认满足 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== Built-from-below 风格 ===&lt;br /&gt;
有三种 built-from-below 风格：Degrees of Reflection 风格，标准风格与 Iteration 风格（从弱到强排序）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== Degrees of Reflection 风格 ====&lt;br /&gt;
为了检查  是否标准，built-from-below 条件为 ，其定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Degrees of Reflection（DR）仅由 Degrees of Reflection 风格判定标准表达式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 标准风格 ====&lt;br /&gt;
为了检查  是否标准，built-from-below 条件为 ，其定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Main Ordinal Notation System（M）是一系列系统，仅由标准风格判定标准表达式，其中的  可任取  的自然数，分别对应不同的系统。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== Iteration 风格 ====&lt;br /&gt;
为了检查  是否标准，我们需要找出  的语法树中所有极长的  的子项 （即，找出所有  满足 ），然后，我们按以下步骤对每个  求出对应的 ：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 将  中的  改成 ；&lt;br /&gt;
# 将  改写成前缀形式（直接删去所有  和 ）；&lt;br /&gt;
# 删去  对应的  左侧的全部内容，并在左侧添加  使表达式合法；&lt;br /&gt;
# 将  重新改写回一般形式。&lt;br /&gt;
# 对  所有形如  的项，如果 ，就将其替换为 ，一直替换到没有这样的项；&lt;br /&gt;
# 执行完 1~5 步后，将现在的  记作 ；&lt;br /&gt;
# 记  为初始的  和  的最长公共后缀（前缀形式下）；&lt;br /&gt;
# 则  为最大的自然数  使得  的前缀形式形如 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
该风格的 built-from-below 条件为 对所有 ，都有 ，其定义如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Iteration of n-built from below (variation without 4b)（I）仅由 Iteration 风格判定标准表达式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== Passthrough ===&lt;br /&gt;
Passthrough 有三种类型：无 passthrough，-passthrough 与 -passthrough（从弱到强排序）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== -passthrough ====&lt;br /&gt;
-passthrough 可以和 Iteration 风格组合，这就是 Iteration of n-built from below（IBP）。 的定义和无 passthrough 的情况一样，但 built-from-below 条件不同：为检查  是否标准，该风格的 built-from-below 条件为 对所有 ，都有 ，其定义如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 我们定义辅助函数 ：，下同；&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
-----passthrough 也可以和 Degrees of Reflection 风格组合，这就是 Built-from-below with Passthrough（BP）。其定义和其他变种有较大不同，见下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
合法表达式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 是合法表达式；&lt;br /&gt;
* 如果  是合法表达式，则  是合法表达式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
比较：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
是最小的表达式。 当且仅当 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
标准表达式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 是标准表达式；&lt;br /&gt;
* 是标准表达式当且仅当：&lt;br /&gt;
** 是标准表达式；&lt;br /&gt;
** 如果  可以表示成  的形式，则 ；&lt;br /&gt;
** 该系统的 built-from-below 条件为：，其中  的定义为 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
-----passthrough 不能和标准风格组合。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== -passthrough ====&lt;br /&gt;
-passthrough 可以和 Iteration 风格组合，这就是 Iteration of n-built from below (Possible extension)（IP）。其定义几乎与 IBP 一样，除了 built-from-below 条件，它变成了 对所有 ，都有 。&lt;br /&gt;
-----passthrough 也可以和 Degrees of Reflection 风格组合，这就是 Degrees of Reflection with Passthrough（DRP）。为检查  是否标准，built-from-below 条件为 ，其定义为&lt;br /&gt;
-----passthrough 还可以和标准风格组合，这就是 Main ordinal notation system (Passthrough extension)（MP）。和 Main ordinal notation system 类似，它也是一系列系统的组合。我们需要确定一个  的自然数 ，则 built-from-below 条件为 ，其定义为&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 反射配置 ===&lt;br /&gt;
反射配置从底层重新定义了 built-from-below 条件。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 语法 ====&lt;br /&gt;
在反射配置下的 TON 中，表达式会出现一个新的符号 。其余部分和普通的 TON 一样。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
比较和普通的 TON 类似，我们认为 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 定义 ====&lt;br /&gt;
反射配置由两个项来定义，记作 。以下是反射配置的一个递归定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* 我们设 ，则：&lt;br /&gt;
** 若 ：；&lt;br /&gt;
** 若 ：；&lt;br /&gt;
** 若  且 ：；&lt;br /&gt;
** 若  且 ：。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----反射配置可以和 Degrees of Reflection 风格组合（即 Reflection configuration version of Degrees of Reflection（DRC））。为了检查  是否标准，其 built-from-below 条件为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 我们定义  为满足  的项 ，如果不存在这样的 ，则 ；&lt;br /&gt;
* 对于项 ，我们定义 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----反射配置也可以和带 Passthrough 的 Degrees of Reflection 风格组合（即 Reflection configuration version of Degrees of Reflection with Passthrough（DRPC），注意这里不分 -passthrough 和 -passthrough）。为了检查  是否标准，其 built-from-below 条件为：&lt;br /&gt;
----反射配置可以和标准风格（与 -passthrough）组合，同样的，它是一系列记号的组合。你需要确定一个自然数 ，则为了检查  是否标准，反射配置和标准风格的组合（即 Reflection configuration version of Main Ordinal Notation System（MC））的 built-from-below 条件为 ，而反射配置和带 -passthrough 的标准风格的组合（即 Reflection configuration version of Main ordinal notation system (Passthrough extension)（MPC））的 built-from-below 条件为 。 的定义如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* 我们定义  为满足  的项 ，如果不存在这样的 ，则 ；&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* 我们称 ，当且仅当 ；&lt;br /&gt;
* 我们称 ，当且仅当 。&lt;br /&gt;
{{默认排序:序数记号}}&lt;br /&gt;
[[分类:页面待更改]]&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=TON%E8%AE%B0%E5%8F%B7&amp;diff=3283</id>
		<title>TON记号</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=TON%E8%AE%B0%E5%8F%B7&amp;diff=3283"/>
		<updated>2026-06-22T23:54:05Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​创建页面，内容为“ == 合法表达式 == 常量包含0、Ω&amp;lt;sub&amp;gt;n&amp;lt;/sub&amp;gt;。  * 常量是合法表达式； * 如果a和b是合法表达式，那么C(a,b)是合法表达式。  == 后缀形式 == 对于一个合法表达式，我们删去它其中的所有&amp;quot;,&amp;quot;与&amp;quot;()&amp;quot;，并反转整个字符串，即为该表达式的后缀形式。  == 比较 == 对于两个合法表达式，它们的大小关系等同于它们的后缀形式在字典序上的大小关系（我们认为 C&amp;lt;0&amp;lt;Ω&amp;lt;sub&amp;gt;…”&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&lt;br /&gt;
== 合法表达式 ==&lt;br /&gt;
常量包含0、Ω&amp;lt;sub&amp;gt;n&amp;lt;/sub&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 常量是合法表达式；&lt;br /&gt;
* 如果a和b是合法表达式，那么C(a,b)是合法表达式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 后缀形式 ==&lt;br /&gt;
对于一个合法表达式，我们删去它其中的所有&amp;quot;,&amp;quot;与&amp;quot;()&amp;quot;，并反转整个字符串，即为该表达式的后缀形式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 比较 ==&lt;br /&gt;
对于两个合法表达式，它们的大小关系等同于它们的后缀形式在字典序上的大小关系（我们认为 C&amp;lt;0&amp;lt;Ω&amp;lt;sub&amp;gt;n&amp;lt;/sub&amp;gt;）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 标准表达式 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 常量是合法表达式；&lt;br /&gt;
* C(a,b)是标准表达式当且仅当：&lt;br /&gt;
** a、b是标准表达式；&lt;br /&gt;
** 如果b能表示成C(c,d)的形式，则a≤c；&lt;br /&gt;
** 对于不同的版本，还有一些额外的条件，我们一般称其为 built-from-below 条件。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
为了检查 built-from-below 条件，我们需要遍历某些表达式的语法树，为此，我们需要一些辅助定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 位于不同位置的同类型的项被认为是不同的；&lt;br /&gt;
* 对于一个表达式C(a,b)，我们称a和b是C(a,b)的子项，记作a,b⊑C(a,b)；&lt;br /&gt;
* 我们称  是  的真子项（记作 ），当且仅当 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 与序数的关系 ==&lt;br /&gt;
TON 中的标准表达式和序数一一对应。具体的，对于一个标准表达式 ，如果有一系列小于它的表达式 ，则  对应的序数为  对应的序数的上确界。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 性质 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* 对  都单调递增，且对  连续；&lt;br /&gt;
* 当且仅当 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 变种 ==&lt;br /&gt;
以下判定条件中涉及到的项  默认满足 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== Built-from-below 风格 ===&lt;br /&gt;
有三种 built-from-below 风格：Degrees of Reflection 风格，标准风格与 Iteration 风格（从弱到强排序）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== Degrees of Reflection 风格 ====&lt;br /&gt;
为了检查  是否标准，built-from-below 条件为 ，其定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Degrees of Reflection（DR）仅由 Degrees of Reflection 风格判定标准表达式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 标准风格 ====&lt;br /&gt;
为了检查  是否标准，built-from-below 条件为 ，其定义为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Main Ordinal Notation System（M）是一系列系统，仅由标准风格判定标准表达式，其中的  可任取  的自然数，分别对应不同的系统。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== Iteration 风格 ====&lt;br /&gt;
为了检查  是否标准，我们需要找出  的语法树中所有极长的  的子项 （即，找出所有  满足 ），然后，我们按以下步骤对每个  求出对应的 ：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# 将  中的  改成 ；&lt;br /&gt;
# 将  改写成前缀形式（直接删去所有  和 ）；&lt;br /&gt;
# 删去  对应的  左侧的全部内容，并在左侧添加  使表达式合法；&lt;br /&gt;
# 将  重新改写回一般形式。&lt;br /&gt;
# 对  所有形如  的项，如果 ，就将其替换为 ，一直替换到没有这样的项；&lt;br /&gt;
# 执行完 1~5 步后，将现在的  记作 ；&lt;br /&gt;
# 记  为初始的  和  的最长公共后缀（前缀形式下）；&lt;br /&gt;
# 则  为最大的自然数  使得  的前缀形式形如 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
该风格的 built-from-below 条件为 对所有 ，都有 ，其定义如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Iteration of n-built from below (variation without 4b)（I）仅由 Iteration 风格判定标准表达式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== Passthrough ===&lt;br /&gt;
Passthrough 有三种类型：无 passthrough，-passthrough 与 -passthrough（从弱到强排序）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== -passthrough ====&lt;br /&gt;
-passthrough 可以和 Iteration 风格组合，这就是 Iteration of n-built from below（IBP）。 的定义和无 passthrough 的情况一样，但 built-from-below 条件不同：为检查  是否标准，该风格的 built-from-below 条件为 对所有 ，都有 ，其定义如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 我们定义辅助函数 ：，下同；&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
-----passthrough 也可以和 Degrees of Reflection 风格组合，这就是 Built-from-below with Passthrough（BP）。其定义和其他变种有较大不同，见下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
合法表达式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 是合法表达式；&lt;br /&gt;
* 如果  是合法表达式，则  是合法表达式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
比较：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
是最小的表达式。 当且仅当 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
标准表达式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 是标准表达式；&lt;br /&gt;
* 是标准表达式当且仅当：&lt;br /&gt;
** 是标准表达式；&lt;br /&gt;
** 如果  可以表示成  的形式，则 ；&lt;br /&gt;
** 该系统的 built-from-below 条件为：，其中  的定义为 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
-----passthrough 不能和标准风格组合。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== -passthrough ====&lt;br /&gt;
-passthrough 可以和 Iteration 风格组合，这就是 Iteration of n-built from below (Possible extension)（IP）。其定义几乎与 IBP 一样，除了 built-from-below 条件，它变成了 对所有 ，都有 。&lt;br /&gt;
-----passthrough 也可以和 Degrees of Reflection 风格组合，这就是 Degrees of Reflection with Passthrough（DRP）。为检查  是否标准，built-from-below 条件为 ，其定义为&lt;br /&gt;
-----passthrough 还可以和标准风格组合，这就是 Main ordinal notation system (Passthrough extension)（MP）。和 Main ordinal notation system 类似，它也是一系列系统的组合。我们需要确定一个  的自然数 ，则 built-from-below 条件为 ，其定义为&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 反射配置 ===&lt;br /&gt;
反射配置从底层重新定义了 built-from-below 条件。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 语法 ====&lt;br /&gt;
在反射配置下的 TON 中，表达式会出现一个新的符号 。其余部分和普通的 TON 一样。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
比较和普通的 TON 类似，我们认为 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 定义 ====&lt;br /&gt;
反射配置由两个项来定义，记作 。以下是反射配置的一个递归定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* 我们设 ，则：&lt;br /&gt;
** 若 ：；&lt;br /&gt;
** 若 ：；&lt;br /&gt;
** 若  且 ：；&lt;br /&gt;
** 若  且 ：。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----反射配置可以和 Degrees of Reflection 风格组合（即 Reflection configuration version of Degrees of Reflection（DRC））。为了检查  是否标准，其 built-from-below 条件为：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 我们定义  为满足  的项 ，如果不存在这样的 ，则 ；&lt;br /&gt;
* 对于项 ，我们定义 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----反射配置也可以和带 Passthrough 的 Degrees of Reflection 风格组合（即 Reflection configuration version of Degrees of Reflection with Passthrough（DRPC），注意这里不分 -passthrough 和 -passthrough）。为了检查  是否标准，其 built-from-below 条件为：&lt;br /&gt;
----反射配置可以和标准风格（与 -passthrough）组合，同样的，它是一系列记号的组合。你需要确定一个自然数 ，则为了检查  是否标准，反射配置和标准风格的组合（即 Reflection configuration version of Main Ordinal Notation System（MC））的 built-from-below 条件为 ，而反射配置和带 -passthrough 的标准风格的组合（即 Reflection configuration version of Main ordinal notation system (Passthrough extension)（MPC））的 built-from-below 条件为 。 的定义如下：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* 我们定义  为满足  的项 ，如果不存在这样的 ，则 ；&lt;br /&gt;
* ；&lt;br /&gt;
* 我们称 ，当且仅当 ；&lt;br /&gt;
* 我们称 ，当且仅当 。&lt;br /&gt;
{{默认排序:序数记号}}&lt;br /&gt;
[[分类:页面待更改]]&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E8%AE%A8%E8%AE%BA:%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%BB%E7%89%88&amp;diff=3282</id>
		<title>讨论:讨论总版</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E8%AE%A8%E8%AE%BA:%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%BB%E7%89%88&amp;diff=3282"/>
		<updated>2026-06-22T03:12:33Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​创建页面，内容为“该页面为所有话题的讨论页面 {{默认排序:!}} 分类:入门”&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;该页面为所有话题的讨论页面&lt;br /&gt;
{{默认排序:!}}&lt;br /&gt;
[[分类:入门]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=FG-CN%E4%BD%93%E7%B3%BB%E5%BC%BA%E5%BA%A6%E5%88%86%E6%9E%90&amp;diff=3281</id>
		<title>FG-CN体系强度分析</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=FG-CN%E4%BD%93%E7%B3%BB%E5%BC%BA%E5%BA%A6%E5%88%86%E6%9E%90&amp;diff=3281"/>
		<updated>2026-06-22T03:03:30Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​创建页面，内容为“本条目展示了FG-CN的体系强度分析，纯属娱乐 {| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot; |FG-CN官方体系 |FG-CN类反射 |- |FG Class 1 |FG Class 1 |- |FG Class FG Class 1 |FG Class FG Class 1 |- |FG Super Class FG Class 1 |FG Class (1,0) |- |FG Super Class (FG Class 1)2 |FG Class (2,0) |- |FG Super Class FG Class 2 |FG Class (FG Class 2,0) |- |FG Super Class FG Super Class FG Class 1 |FG Class (FG Class (1,0),0) |- |FG Mega Class FG Class 1 |FG Class (1,0,0) |- |FG…”&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;本条目展示了FG-CN的体系强度分析，纯属娱乐&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|FG-CN官方体系&lt;br /&gt;
|FG-CN类反射&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|FG Class 1&lt;br /&gt;
|FG Class 1&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|FG Class FG Class 1&lt;br /&gt;
|FG Class FG Class 1&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|FG Super Class FG Class 1&lt;br /&gt;
|FG Class (1,0)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|FG Super Class (FG Class 1)2&lt;br /&gt;
|FG Class (2,0)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|FG Super Class FG Class 2&lt;br /&gt;
|FG Class (FG Class 2,0)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|FG Super Class FG Super Class FG Class 1&lt;br /&gt;
|FG Class (FG Class (1,0),0)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|FG Mega Class FG Class 1&lt;br /&gt;
|FG Class (1,0,0)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|FG 10^100th Class FG Class 1&lt;br /&gt;
|FG Class (1@10^100)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|FG Hyper Class Arrow 1&lt;br /&gt;
|FG Class Ω&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
此时FG-CN官方体系的定义非常不良，因此使用我的定义&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|FG-CN官方体系&lt;br /&gt;
|FG-CN类反射&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|FG Hyper Class Arrow 2&lt;br /&gt;
|FG Class Ω&amp;lt;sub&amp;gt;2&amp;lt;/sub&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|FG Super Hyper Class Arrow FG Class 1&lt;br /&gt;
|FG Class Ω&amp;lt;sub&amp;gt;(1,0)&amp;lt;/sub&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|FG 10^100th Hyper Class Arrow FG Class 1&lt;br /&gt;
|FG Class Ω&amp;lt;sub&amp;gt;(1@10^100)&amp;lt;/sub&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|FG Transition 1&lt;br /&gt;
|FG Class Ω&amp;lt;sub&amp;gt;Ω&amp;lt;/sub&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|FG Transition 2&lt;br /&gt;
|FG Class &amp;lt;math&amp;gt;\Omega_{\Omega_2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|BG Class 1&lt;br /&gt;
|FG Class &amp;lt;math&amp;gt;\Omega\downarrow\downarrow3&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|BG Tier 1&lt;br /&gt;
|FG Class &amp;lt;math&amp;gt;\Omega\downarrow\downarrow4&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|Limit=CE ??? Operationalize ???&lt;br /&gt;
|FG Class &amp;lt;math&amp;gt;\Omega\downarrow\downarrow56&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
{{默认排序:娱乐}}&lt;br /&gt;
[[分类:分析]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E7%94%A8%E6%88%B7:CGoL&amp;diff=3279</id>
		<title>用户:CGoL</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E7%94%A8%E6%88%B7:CGoL&amp;diff=3279"/>
		<updated>2026-06-21T23:51:23Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;一位googology爱好者兼[https://conwaylife.com CGoL]爱好者&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Golly（一个非常好用的模拟软件）[https://sourceforge.net/projects/golly/ 下载地址]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E7%94%A8%E6%88%B7:CGoL&amp;diff=3278</id>
		<title>用户:CGoL</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E7%94%A8%E6%88%B7:CGoL&amp;diff=3278"/>
		<updated>2026-06-21T23:51:02Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;一位googology爱好者兼[https://conwaylife.com CGoL]爱好者&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Golly（一个非常好用的模拟软件）下载地址：[https://sourceforge.net/projects/golly/]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E7%94%A8%E6%88%B7%E8%AE%A8%E8%AE%BA:CGoL&amp;diff=3277</id>
		<title>用户讨论:CGoL</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E7%94%A8%E6%88%B7%E8%AE%A8%E8%AE%BA:CGoL&amp;diff=3277"/>
		<updated>2026-06-21T23:45:07Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​/* 你那个网站链接我死活打不开咋办 */ 回复&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;== 你那个网站链接我死活打不开咋办 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
你那个CGoL的网站我压根打不开，因为脑残的cloudflare验证卡我无限循环，验了又验，我用无痕浏览也不好使，都卡我好几天了，你能上的话能不能截个图告诉我里面都有啥内容，或者帮我找找网站管理的联系邮箱我好和他吐槽cloudflare验证多么脑残并且要求他换个验证方式 [[用户:Wjyg|Wjyg]]（[[用户讨论:Wjyg|留言]]） 2026年6月21日 (日) 15:00 (CST)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:[[文件:cgol.png|缩略图]]&lt;br /&gt;
:[[用户:CGoL|CGoL]]（[[用户讨论:CGoL|留言]]） 2026年6月21日 (日) 17:58 (CST)&lt;br /&gt;
::在电脑Edge上打开 [[用户:CGoL|CGoL]]（[[用户讨论:CGoL|留言]]） 2026年6月21日 (日) 17:59 (CST)&lt;br /&gt;
::储存了康威生命游戏的很多知识、图案、新闻、讨论（请前往[https://conwaylife.com/forums/ 论坛]） [[用户:CGoL|CGoL]]（[[用户讨论:CGoL|留言]]） 2026年6月22日 (一) 07:42 (CST)&lt;br /&gt;
::[[文件:caterloopillar.png|缩略图]]&lt;br /&gt;
::这是caterloopillar的设计图 [[用户:CGoL|CGoL]]（[[用户讨论:CGoL|留言]]） 2026年6月22日 (一) 07:45 (CST)&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E6%96%87%E4%BB%B6:caterloopillar.png&amp;diff=3276</id>
		<title>文件:caterloopillar.png</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E6%96%87%E4%BB%B6:caterloopillar.png&amp;diff=3276"/>
		<updated>2026-06-21T23:44:06Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;rtygfyy&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E7%94%A8%E6%88%B7%E8%AE%A8%E8%AE%BA:CGoL&amp;diff=3275</id>
		<title>用户讨论:CGoL</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E7%94%A8%E6%88%B7%E8%AE%A8%E8%AE%BA:CGoL&amp;diff=3275"/>
		<updated>2026-06-21T23:42:20Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​/* 你那个网站链接我死活打不开咋办 */ 回复&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;== 你那个网站链接我死活打不开咋办 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
你那个CGoL的网站我压根打不开，因为脑残的cloudflare验证卡我无限循环，验了又验，我用无痕浏览也不好使，都卡我好几天了，你能上的话能不能截个图告诉我里面都有啥内容，或者帮我找找网站管理的联系邮箱我好和他吐槽cloudflare验证多么脑残并且要求他换个验证方式 [[用户:Wjyg|Wjyg]]（[[用户讨论:Wjyg|留言]]） 2026年6月21日 (日) 15:00 (CST)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:[[文件:cgol.png|缩略图]]&lt;br /&gt;
:[[用户:CGoL|CGoL]]（[[用户讨论:CGoL|留言]]） 2026年6月21日 (日) 17:58 (CST)&lt;br /&gt;
::在电脑Edge上打开 [[用户:CGoL|CGoL]]（[[用户讨论:CGoL|留言]]） 2026年6月21日 (日) 17:59 (CST)&lt;br /&gt;
::储存了康威生命游戏的很多知识、图案、新闻、讨论（请前往[https://conwaylife.com/forums/ 论坛]） [[用户:CGoL|CGoL]]（[[用户讨论:CGoL|留言]]） 2026年6月22日 (一) 07:42 (CST)&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%88%86%E7%B1%BB:%E9%A1%B5%E9%9D%A2%E5%BE%85%E6%9B%B4%E6%94%B9&amp;diff=3274</id>
		<title>分类:页面待更改</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%88%86%E7%B1%BB:%E9%A1%B5%E9%9D%A2%E5%BE%85%E6%9B%B4%E6%94%B9&amp;diff=3274"/>
		<updated>2026-06-21T23:36:56Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;本页面储存了待更改的页面。这些页面可能不完整或存在错误。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{默认排序:!}}&lt;br /&gt;
[[分类:重要概念]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E9%80%92%E5%A2%9E%E5%85%83%E5%BA%8F%E5%88%97&amp;diff=3273</id>
		<title>递增元序列</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E9%80%92%E5%A2%9E%E5%85%83%E5%BA%8F%E5%88%97&amp;diff=3273"/>
		<updated>2026-06-21T23:36:12Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&lt;br /&gt;
递增元序列（IUN）是由[https://space.bilibili.com/274884728 3183丶4139]于2023年2月创造的一个记号，极限不明，极限基本列为&amp;lt;math&amp;gt;\sup\{(1),(1,2),(1,2,3),(1,2,3,4)\dots\}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
= 概念与定义 =&lt;br /&gt;
   IUN虽然名字叫Notation，但是是一个自然数序列。一般情况下，IUN中能出现的最小数字是1，即用n个1表示序数n（当然把每一项减1，用n个0表示序数n也不影响）；例如(1,1,1,1)[0]=序数4。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
   对于后继序数的处理，IUN类似于HH，即(A,1)[n]=(A)[n+1]，并定义()[n]=序数n，如(1,1,1,1)[0]=(1,1,1)[1]=(1,1)[2]=(1)[3]=()[4]=4。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
   IUN仅在1,2,1,1,2之前与原始序列PrSS相同，因为IUN的基本单位不是单个的项，而是后继元。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
   什么是后继元呢？在某一个序列的表达式中（以1,2,3,4,2,3,4,4为例），选取任意一项（如1,2,3,4,2,3,4,4），以这一项为中心，找到包含这一项的 1,2,3,4,5,6,...中的一部分（1,2,3,4,2,3,4,4），这个2,3,4就是一个后继元，每一项都是前一项的后继（注意必须选取其中最大长度的，这个后继元不能是单独的2,3）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
   名字叫“递增元序列”，想必递增元也是存在的。递增元和后继元类似，但每一项都不小于它的前一项就能构成递增元（1,2,3,4,2,3,4,4）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
   在IUN中，后继元远远比递增元重要，只是因为在IUN的发展过程中，在2月20号之前，IUN的核心还是递增元。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 展开 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===== 以下为IUN的数学定义（不做严谨分析的可以跳过） =====&lt;br /&gt;
[[文件:image.png|左|缩略图|1375x1375px]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
  &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===== 以下是不严谨的语言描述（还是建议跳过） =====&lt;br /&gt;
后继元：序列中以某个项为中心取最长的0,1,2,3,4,5,...中连续的一部分&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
单后继元：只由一个数构成的后继元&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
递增元：序列中以某个项为中心取最长的对应数列是不减数列的一部分&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
递增元差：递增元内的末项减首项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
递增元位差：递增元内某一个后继元的末项减递增元的首项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
待坏项：找到序列的末后继元；如果这个后继元不是单后继元，那么待坏项是这个后继元去掉末项；否则是单后继元减1&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
n阶待坏项：待坏项的待坏项的待坏项的……的待坏项的待坏项，最高阶待坏项就是1&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
如果末项是1，A,1[n]=A[n+1]；否则要找坏根：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
若前面有2个相连且等差的后继元组，它们的首项与（单后继元的末项-1）形成等差数列，或与（末项-1）形成非常数等差数列；同时其中第二个后继元组的首项比它后面的项都要小（如果公差是0则可以并列最小），则这个首项是坏根；&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
否则在序列中找所有阶的待坏项，如果找到了，那么其中（待坏项末项序号最大的待坏项）的下一项就是坏根（该待坏项与末项不在同一个递增元时，需满足其所在的递增元位差不小于末递增元差），否则首项是坏根；&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
设坏根是b，末项是x+1，令x=b+d，用A和C表示坏根前的项和坏根后的项，则整个序列等于A,b,C,x+1。A,b,C,x+1[n]=A,b,C,b+d,C+d,b+2d,C+2d,...,C+nd[n]，其中C+m表示C中的每一项都加上m。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 示例 ====&lt;br /&gt;
(1) 1,2,1,1,2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末后继元是1,2，待坏项是“1”，因此坏根为倒数第三项，展开为1,2,1,1,1……&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
(2) 1,2,3,3,4,4,5,6&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末后继元是4,5,6，待坏项是“4,5”、“4”、“3”、“2”、“1”，序列中显然没有单独的“1”、“2”、“3”、“4”、“4,5”，但“3,4”、“4,5”等差，因此坏根为倒数第三项，展开为1,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7……&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
(3) 1,2,3,4,5,4,5,6&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末后继元是4,5,6，待坏项是“4,5”、“4”、“3”、“2”、“1”，序列中显然没有单独的“1”、“2”、“3”、“4”、“4,5”，虽然“4,5”、“4,5”等差，但第一个“4,5”不完整，因此坏根为首项，展开为1,2,3,4,5,4,5,5,6,7,8,9,8,9,9……&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 扽西 ===&lt;br /&gt;
主词条：[[IUN扽西(期望强度)|IUN扽西 (期望强度)]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{默认排序:个人记号}}&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E7%94%A8%E6%88%B7%E8%AE%A8%E8%AE%BA:CGoL&amp;diff=3272</id>
		<title>用户讨论:CGoL</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E7%94%A8%E6%88%B7%E8%AE%A8%E8%AE%BA:CGoL&amp;diff=3272"/>
		<updated>2026-06-21T09:59:41Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​/* 你那个网站链接我死活打不开咋办 */ 回复&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;== 你那个网站链接我死活打不开咋办 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
你那个CGoL的网站我压根打不开，因为脑残的cloudflare验证卡我无限循环，验了又验，我用无痕浏览也不好使，都卡我好几天了，你能上的话能不能截个图告诉我里面都有啥内容，或者帮我找找网站管理的联系邮箱我好和他吐槽cloudflare验证多么脑残并且要求他换个验证方式 [[用户:Wjyg|Wjyg]]（[[用户讨论:Wjyg|留言]]） 2026年6月21日 (日) 15:00 (CST)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:[[文件:cgol.png|缩略图]]&lt;br /&gt;
:[[用户:CGoL|CGoL]]（[[用户讨论:CGoL|留言]]） 2026年6月21日 (日) 17:58 (CST)&lt;br /&gt;
::在电脑Edge上打开 [[用户:CGoL|CGoL]]（[[用户讨论:CGoL|留言]]） 2026年6月21日 (日) 17:59 (CST)&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E7%94%A8%E6%88%B7%E8%AE%A8%E8%AE%BA:CGoL&amp;diff=3271</id>
		<title>用户讨论:CGoL</title>
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		<updated>2026-06-21T09:58:49Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​/* 你那个网站链接我死活打不开咋办 */ 回复&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;== 你那个网站链接我死活打不开咋办 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
你那个CGoL的网站我压根打不开，因为脑残的cloudflare验证卡我无限循环，验了又验，我用无痕浏览也不好使，都卡我好几天了，你能上的话能不能截个图告诉我里面都有啥内容，或者帮我找找网站管理的联系邮箱我好和他吐槽cloudflare验证多么脑残并且要求他换个验证方式 [[用户:Wjyg|Wjyg]]（[[用户讨论:Wjyg|留言]]） 2026年6月21日 (日) 15:00 (CST)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:[[文件:cgol.png|缩略图]]&lt;br /&gt;
:[[用户:CGoL|CGoL]]（[[用户讨论:CGoL|留言]]） 2026年6月21日 (日) 17:58 (CST)&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
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		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E6%96%87%E4%BB%B6:cgol.png&amp;diff=3270</id>
		<title>文件:cgol.png</title>
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		<updated>2026-06-21T09:58:35Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;fdshfgdhg&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=IUN%E6%89%BD%E8%A5%BF(%E6%9C%9F%E6%9C%9B%E5%BC%BA%E5%BA%A6)&amp;diff=3265</id>
		<title>IUN扽西(期望强度)</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=IUN%E6%89%BD%E8%A5%BF(%E6%9C%9F%E6%9C%9B%E5%BC%BA%E5%BA%A6)&amp;diff=3265"/>
		<updated>2026-06-17T01:53:33Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;CGoL：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;注：本页面包含未经证实或有严重错误的内容，请谨慎甄别&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
本条目展示[[递增元序列|IUN]]的强度扽西，使用[[BMS]]进行对照&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 分析 ==&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|+分析&lt;br /&gt;
!IUN&lt;br /&gt;
!BMS&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
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|-&lt;br /&gt;
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|(0)(0)&lt;br /&gt;
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|-&lt;br /&gt;
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|(0)(1)(0)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
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|(0)(1)(0)(1)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|1,2,1,1,2,1,1,2&lt;br /&gt;
|(0)(1)(0)(1)(0)(1)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|1,2,1,2&lt;br /&gt;
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|-&lt;br /&gt;
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|(0)(1,1)(2)(3,1)(3,1)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|1,2,2,2,3,2,2,3,2&lt;br /&gt;
|(0)(1,1)(2)(3,1)(4)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|1,2,2,2,3,2,2,3,2,2,3&lt;br /&gt;
|(0)(1,1)(2)(3,1)(4)(5,1)&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|1,2,2,2,3,2,3&lt;br /&gt;
|(0)(1,1)(2,1)&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
可以看出，IUN和[[BSM|SSS]]在一定范围内存在着某种对应关系。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
未完待续{{默认排序:扽西}}&lt;br /&gt;
[[分类:分析]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>CGoL</name></author>
	</entry>
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