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序数记号

2026-06-07T11:02:19Z

CGoL：

序数记号是大数数学最常用的表示序数的方法。它是一种用有限的符号系统表示[[序数]]的数学工具，其核心是建立序数到表达式构成的集合的双射。[[初等序列系统|PrSS]]，[[BMS]]，[[Y序列|1-Y]]，[[Veblen 函数]]等都是序数记号。

序数记号与大数记号的主要区别是前者用于输出大序数，后者用于直接输出大数。然而由于整数大数也都是序数，所以序数记号更规范的表达应该是“超限序数记号”。

== 基本构成 ==
序数记号由三部分构成：'''表达式集'''，'''展开规则'''，'''极限基本列'''

表达式集是序数记号定义的一部分，对于一个序数记号，如果一个表达式属于表达式集，则称为'''合法表达式'''，简称'''合法式'''。只有合法式可以根据展开规则进行操作。

展开规则是序数记号的核心，需要满足以下三个性质：
* 需要将合法式分为三类：'''零表达式'''，'''后继表达式'''，'''极限表达式'''，并且能根据规则判断出给定的合法式是哪一类。
* 对于给定的后继表达式 a，需要根据规则给出另一合法式 b，b 作为 a 的前驱，或称 a 是 b 的后继。
* 对于给定的极限表达式 c，需要根据规则给出一个 ω 长的合法式序列。这个序列称为 c 的基本列。
极限基本列是一个 ω 长的合法式构成的序列。我们定义从极限基本列的任意一项开始，经过有限次取其基本列中成员和取前驱所能获得的表达式称为'''标准表达式'''，简称'''标准式'''。

== 序关系 ==
在给定的序数记号中，定义序关系“≤”为：

如果一个合法式 a 能通过有限次（含 0 次）取基本列中成员和取前驱能得到合法式 b，则 b≤a。

序数记号必须满足其标准式集在 ≤ 上是[[良序]]的。在此基础上，我们就可以建立标准式集和序数的保序双射，从而让每个标准式对应唯一的一个序数。

== 注意事项 ==
在一些具体的序数记号定义中，可能会看到“展开”这一字眼。实际上，它是对极限表达式取基本列的相对不严谨的一种表述。

比如在 [[初等序列系统|PrSS]] 规则中，<math>0,1,2</math>“展开”为 <math>0,1,1,1,...</math>，实际上是在说表达式 <math>0,1,2</math> 的基本列是 <math>0,1</math>，<math>0,1,1</math>，<math>0,1,1,1</math>，……

出现这种表述的原因是因为在 Worm 记号中，一个极限表达式的基本列的一项往往是它后面一项的子序列，因此这种表述方便理解。

类似的，在 Worm 记号中，序关系 ≤ 往往等价于字典序。但直接将字典序等同于序数记号的序是错误的，因为并非所有序数记号都满足这一点。

此外，类似[[Veblen 函数]]，[[OCF]] 等序数记号定义上实际上并不包含基本列的选取，但它们可以被转写为含有基本列选取的形式。

[[分类:记号]]
[[分类:重要概念]]

序数记号

2026-06-07T03:48:48Z

CGoL：

序数记号是大数数学最常用的表示序数的方法。它是一种用有限的符号系统表示[[序数]]的数学工具，其核心是建立序数到表达式构成的集合的双射。[[初等序列系统|PrSS]]，[[BMS]]，[[Y序列|1-Y]]，[[Veblen 函数]]等都是序数记号，而[[PPS]]不是。

序数记号与大数记号的主要区别是前者用于输出大序数，后者用于直接输出大数。然而由于整数大数也都是序数，所以序数记号更规范的表达应该是“超限序数记号”。

== 基本构成 ==
序数记号由三部分构成：'''表达式集'''，'''展开规则'''，'''极限基本列'''

表达式集是序数记号定义的一部分，对于一个序数记号，如果一个表达式属于表达式集，则称为'''合法表达式'''，简称'''合法式'''。只有合法式可以根据展开规则进行操作。

展开规则是序数记号的核心，需要满足以下三个性质：
* 需要将合法式分为三类：'''零表达式'''，'''后继表达式'''，'''极限表达式'''，并且能根据规则判断出给定的合法式是哪一类。
* 对于给定的后继表达式 a，需要根据规则给出另一合法式 b，b 作为 a 的前驱，或称 a 是 b 的后继。
* 对于给定的极限表达式 c，需要根据规则给出一个 ω 长的合法式序列。这个序列称为 c 的基本列。
极限基本列是一个 ω 长的合法式构成的序列。我们定义从极限基本列的任意一项开始，经过有限次取其基本列中成员和取前驱所能获得的表达式称为'''标准表达式'''，简称'''标准式'''。

== 序关系 ==
在给定的序数记号中，定义序关系“≤”为：

如果一个合法式 a 能通过有限次（含 0 次）取基本列中成员和取前驱能得到合法式 b，则 b≤a。

序数记号必须满足其标准式集在 ≤ 上是[[良序]]的。在此基础上，我们就可以建立标准式集和序数的保序双射，从而让每个标准式对应唯一的一个序数。

== 注意事项 ==
在一些具体的序数记号定义中，可能会看到“展开”这一字眼。实际上，它是对极限表达式取基本列的相对不严谨的一种表述。

比如在 [[初等序列系统|PrSS]] 规则中，<math>0,1,2</math>“展开”为 <math>0,1,1,1,...</math>，实际上是在说表达式 <math>0,1,2</math> 的基本列是 <math>0,1</math>，<math>0,1,1</math>，<math>0,1,1,1</math>，……

出现这种表述的原因是因为在 Worm 记号中，一个极限表达式的基本列的一项往往是它后面一项的子序列，因此这种表述方便理解。

类似的，在 Worm 记号中，序关系 ≤ 往往等价于字典序。但直接将字典序等同于序数记号的序是错误的，因为并非所有序数记号都满足这一点。

此外，类似[[Veblen 函数]]，[[OCF]] 等序数记号定义上实际上并不包含基本列的选取，但它们可以被转写为含有基本列选取的形式。

[[分类:记号]]
[[分类:重要概念]]

编写文案

2026-06-07T03:11:43Z

CGoL：

我发明了一个序列:

<math>\mathcal U_0(n)=n+1</math>

<math>\mathcal U_\alpha(n)=\underbrace{\mathcal U_{\alpha-1}(\mathcal U_{\alpha-1}(\dots\mathcal U_{\alpha-1}(n)\dots))}_{n\text{ times}},\alpha<\omega</math>

<math>\mathcal U_\omega(n)=\mathcal U_n\big(\mathcal U_{n-1}(n-1)\big)</math>

<math>\mathcal U_{\omega+m}(n)=\mathcal U_{\omega+m-1}^{\mathcal U_{\omega+m}(n-1)}(n)</math>

<math>\mathcal U_{\omega^2}(n)=\mathcal U_{\omega\cdot \mathcal U_{\omega^2}(n-1)}^{\mathcal U_{\omega^2}(n-1)}(n)</math>

原名为Uriel Function

编写文案

2026-06-07T02:32:57Z

CGoL：

我发明了一个序列:

<math>\mathcal U_0(n)=n+1</math>

<math>\mathcal U_\alpha(n)=\underbrace{\mathcal U_{\alpha-1}(\mathcal U_{\alpha-1}(\dots\mathcal U_{\alpha-1}(n)\dots))}_{n\text{ times}},\alpha<\omega</math>

<math>\mathcal U_\omega(n)=\mathcal U_n\big(\mathcal U_{n-1}(n-1)\big)</math>

<math>\mathcal U_{\omega+m}(n)=\mathcal U_{\omega+m-1}^{\mathcal U_{\omega+m}(n-1)}(n)</math>

<math>\mathcal U_{\omega^2}(n)=\big(\mathcal U_{\omega\cdot \mathcal U_{\omega^2}(n-1)}\big)^{\mathcal U_{\omega^2}(n+1)}(n)</math>

原名为Uriel Function

编写文案

2026-06-07T01:59:26Z

CGoL：

我发明了一个序列:

<math>\mathcal U_0(n)=n+1
\mathcal U_\alpha(n)=\underbrace{\mathcal U_{\alpha-1}(\mathcal U_{\alpha-1}(\dots\mathcal U_{\alpha-1}(n)\dots))}_{n\text{ times}},\alpha<\omega
\mathcal U_\omega(n)=\mathcal U_n\big(\mathcal U_{n-1}(n-1)\big)
\mathcal U_{\omega+m}(n)=\mathcal U_{\omega+m-1}^{\mathcal U_{\omega+m}(n-1)}(n)
\mathcal U_{\omega^2}(n)=\big(\mathcal U_{\omega\cdot \mathcal U_{\omega^2}(n-1)}\big)^{\mathcal U_{\omega^2}(n+1)}(n)</math>

原名为Uriel Function

超限TSS分析

2026-06-05T06:41:41Z

CGoL：

本词条展示[[超限TSS]]的分析，使用[[QSS]]作为对照，分析来源不明
{| class="wikitable mw-collapsible"
|+分析
!超限TSS
!QSS
|-
|<math>(0)(1,1,1)(2,2,2)\cdots(\omega,\omega,\omega)</math>
|<math>(0)(1,1,1,1)</math>
|-
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|-
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|<math>(0)(1,1,1,1)(1,1,1)</math>
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|-
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|-
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|-
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|<math>(0)(1,1,1,1)(2,1)</math>
|-
|<math>(0)(1,1,1)(2,2,2)\cdots(\omega,\omega,\omega)(\omega+1,1)(\omega,\omega,\omega)</math>
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|-
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|-
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|-
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|-
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|<math>(0)(1,1,1,1)(2,1)(2)</math>
|-
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|-
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|-
|<math>(0)(1,1,1)(2,2,2)\cdots(\omega,\omega,\omega)(\omega+1,\omega+1,\omega+1)\cdots(\omega2,\omega2,\omega2)</math>
|<math>(0)(1,1,1,1)(2,1,1)(3,2,2,1)</math>
|-
|<math>(0)(1,1,1)(2,2,2)\cdots(\omega^2,\omega^2,\omega^2)</math>
|<math>(0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)</math>
|-
|<math>(0)(1,1,1)(2,2,2)\cdots(\omega^\omega,\omega^\omega,\omega^\omega)</math>
|<math>(0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3)</math>
|-
|<math>(0)(1,1,1)(2,2,2)\cdots(\varepsilon_0,\varepsilon_0,\varepsilon_0)</math>
|<math>(0)(1,1,1,1)(2,1,1)(3)(4,1)</math>
|-
|<math>(0)(1,1,1)(2,2,2)\cdots(\psi(\Omega_\omega),\psi(\Omega_\omega),\psi(\Omega_\omega))</math>
|<math>(0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3)(4,1,1)</math>
|-
|<math>(0)(1,1,1)(2,2,2)\cdots(\mathrm{TSSO},\mathrm{TSSO},\mathrm{TSSO})</math>
|<math>(0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3)(4,1,1,1)</math>
|-
|Limit
|<math>(0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1)</math>
|}
[[分类:分析]]

2025年中文大数社区十大事件

2026-06-05T04:27:54Z

CGoL：

大数数学（[[Googology]]，ggg）是系统性地研究如何构造大自然数的数学分支。中文大数社区是一个致力于发展大数数学理论的中心化业余数学社区，它以一系列 QQ 群为核心，其成员为较为严肃的大数数学爱好者。广义的中文大数社区包含中文互联网上所有关心和讨论大数数学相关问题的人。

本词条总结了 2025 年中文大数社区影响力最大的 10 个事件（进展），按照时间顺序进行排列。以下内容来自<ref>[https://zhuanlan.zhihu.com/p/1988997637857358320 2025年中文大数社区十大事件]</ref>

== 1. blp 与 DEN 的定义 ==
<blockquote>[[Laver Table|laver table 函数]]的增长速度能不能超过 [[皮亚诺公理体系|PA]] 可证极限(<math>\varepsilon_0</math>)是 Dougherty 在 30 年前提的问题。这个问题是有不少关注的，虽然也没有特别多，但经常能在科普文中看到，有个数学物理学家还在他的博客里讲过这个文章。它被认为极度困难。30 年来毫无进展。30 年后，它被一篇完全是基于 ggg 思想的论文解决了。—— test_alpha0，2025.12.21</blockquote>1992 年，Laver 提出了 Laver Table，并定义了与之相关联的 Laver Table 函数。这个函数的完全性需要在 <math>\mathrm{ZFC+I3}</math>之中才能够得到证明。人们期望这是一个增长十分迅速的大数函数，然而长期以来，研究者们始终不能够证明这一点。

为了解决这一问题，研究者们付出了许多努力。2023 年， test_alpha0定义了 [[LTY|Laver Table Yarn]]（LTY）作为 Laver Table 的扩展，其完全性需要在 <math>\mathrm{ZFC+I1}</math>之中才能够得到证明。

2025 年 1 月 3 日，test_alpha0在论文<ref>https://arxiv.org/pdf/2501.06733</ref>中证明 Laver Table 函数的增长速度超越了一切能够在皮亚诺公理系统中可证完全性的函数。所有公理体系的证明能力都有极限，皮亚诺公理只能证明<math>\varepsilon_0</math>以下的良序结构。因此用更为大数数学研究者熟悉的话说，这意味着 Laver Table 函数的增长率至少达到了<math>\varepsilon_0</math>。

为了证明这一点，作者在论文中定义了一个递归记号 [[BLP|Basic Laver Pattern]]（blp），以描述初等嵌入的关键点之间的结构。通过利用 blp 构造恰当的递归函数，作者成功证明了 Laver Table 函数的增长率至少达到了<math>\varepsilon_0</math>。作者进一步在论文中宣称，事实上可以证明 Laver Table 函数的增长率至少达到了[[BO]]。这篇论文进一步讨论了 LTY 的定义和性质。

[[文件:v2-7bdbac5d06cfe86ef0162ab98c727176 1440w.png|缩略图|“我们用美丽的颜色#66CCFF来表示复制操作中要复制的行”]]
即使作为递归记号本身，blp 的意义也是足够重大的。长期以来，对记号良序性的证明几乎是大数数学领域中最为困难的问题，而 blp 的良序性已经在上述论文中得到了证明。目前猜测，blp 的强度极大可能超过 [[BMS]] 的极限，与 [[Y序列|Y]](1,3,8) 的强度关系尚不明确。因此，blp 有极大可能取代 BMS，成为目前已证良序性的最强递归记号。（当然，这一说法排除了证明论中发展的一系列序数折叠函数，目前大数数学社区对这些函数的强度几乎一无所知。）

Laver Table 几乎是无法以人力进行分析的。blp 是 Laver Table 的一个弱下界，并且是一个可证良序的递归记号。然而 blp 的性质也过于复杂，最菜萌新仅仅将 blp 分析到了<math>\zeta_0</math>。 test_alpha0估计 blp 的表达式 <math>\mathrm{mcce2mmcce2mcmcc}</math>等于 BMS 极限，这是目前已知的最好结果。

为了更好地了解 blp 的性质，HypCos于 2025 年 12 月 21 日定义了 [[DEN|Defective Embeeding Notation]]（DEN），它的行为比 blp 要简单得多。DEN 的绝大部分定义都与 blp 相同，但在“M 操作”之中的“Copied 操作”中，复制的是从第 s(-1,-l-2) 行开始的所有内容。如果把 DEN 比作 BMS，那么 blp 就可以比作只有最后一列长度为 1 时展开 n 次，其他时候仅仅展开两次的 BMS。由于这样一种性质，目前人们估计 DEN 的强度与 blp 应该是相等的。然而经过这样修改之后，blp 的良序性证明对 DEN 就无效了。

HypCos和梅天狸对 DEN 的性质进行了详细的分析，目前已经分析到了 BMS 的极限，这同时也为 blp 的 BMS 极限表达式强度提供了佐证。然而在这之后，记号的性质变得更加困难，分析变得举步维艰。我们目前对 DEN 和 blp 的强度极限尚没有估计。

== 2. 梅天狸的两行 BHM 分析 ==
<blockquote>是的，这个结果几乎宣判 BHM=BMS 了。—— 梅天狸，2025.4.6</blockquote>Bashicu Matrix System（BMS）是日本的大数数学研究者 Bashicu 于 2014 年提出，并于 2018 年完善的记号。为了展开 BMS，我们需要找到表达式的 “好部”和“坏部”，然后保持好部不动，坏部加上阶差向量后不断地在序列末尾复制。

[[BHM|Bashicu Hyper Matrix]]（BHM）是 BMS 的改版，它只是坏部的规则发生了变化。简单地说，BHM 坏部的范围总是大于或者等于 BMS 坏部的范围。可以设想在展开的过程中 BHM 将携带更多的信息，因此 BHM 的强度至少不低于 BMS。

我们将类似于 BHM 这种扩大坏部范围的模式称为“急模式”。一个自然的问题是，BHM 的强度相比于 BMS 是否真的有提高？如果有的话，那么究竟提高了多少？或者更进一步地说，对记号进行急模式的推广，是否在本质上真正增加了记号的强度？

要回答这一问题，必须建立起 BHM 与 BMS 表达式的一一对应关系。虽然 BHM 与 BMS 的结构相同，二者的展开规则也相差不多，但是它们的行为实际上具有很大的差别，这使得它们之间的分析变得极为困难。早年 HypCos 曾经对此进行过非常详细的分析，但是进展十分有限。长期以来这一直被视为大数数学之中的一个非常困难的问题。

经过长达 13 个月的分析，在 2025 年 4 月 6 日，梅天狸宣布得到了如下的结果：

<math>\begin{aligned} & \mathrm{BHM}(0,0,0)(1,1,1) \\ =~&\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(3,1,1) \end{aligned}</math>

毫无疑问，这一结果是大数数学分析领域的一座丰碑，它解决了人们此前认为几乎是不可能解决的问题。根据这一结果，一行 BHM 的极限在一行 BMS 的极限和两行 BMS 的极限之间，两行 BHM 的极限在两行 BMS 的极限和三行 BMS 的极限之间。如果这一规律能够一直得到保持，那么 n 行 BHM 的极限将处在 n 行 BMS 的极限和 n+1 行 BMS 的极限之间。取 n 趋于无穷大的极限，那么我们将发现 BHM 的极限将与 BMS 的极限是相同的。也就是说，虽然 BHM 的表达式强于 BMS，但是二者的强度是一样的。BMS 最终追平了 BHM。

空间对另一个急模式的记号 [[BSM|Bashicu Sudden Matrix]]（BSM）的分析也发现了意料之外的弱化，这暗示 BSM 的强度也有可能远远不及预期。鉴于以上的结果，我们现在认为急模式并没有从本质上提升记号的强度。

== 3. 第四级运算的解析延拓 ==
<blockquote>我怀疑这套方法可以直接推广到任意阶超运算。—— 曹知秋，2025.7.11

现在看来……至少是很难直接推广。—— 曹知秋，2025.9.21</blockquote>大数数学称加法为一级运算，乘法为二级运算，乘方为三级运算。由于将前一级运算迭代若干次后可以得到下一级运算，因此将乘方迭代若干次后，我们进一步可以得到第四级运算。我们用运算符<math>\uparrow\uparrow</math>来表示第四级运算，它实际上就是指数塔

<math>a\uparrow\uparrow b=\underbrace{a^{a^{\ldots^{a}}}}_{b\text{个}a}</math>

其中左边的元素 a 代表指数塔的底数，右边的元素 b 代表指数塔的层数。需要注意的是第四级运算要从最上层开始，逐层计算指数的取值。

通常来说，第四级运算的的底数和层数都定义在正整数之上，然而我们有时候希望能够将其推广为任意的实数，这正如我们经常希望使用实数变量的加法、乘法和乘方运算一样。要将底数 a 推广为实数是容易的，因为实数的指数函数是有明确定义的。现在的问题在于，我们是否能将第四级运算的的层数 b 也推广为一般的实数？
[[文件:v2-0fac7192f084c9d058a61ad35b83c054 1440w.png|缩略图|397x397像素|第四级运算在复平面上的等值曲线。]]
事实上，这个问题在复数域上讨论起来更容易，因为复变函数拥有更良好的解析性质。因此我们希望能够将层数 b 延拓到整个复平面上，即找到一个以 b 为变量的复变函数，它除去奇点之外在整个复平面上是解析的，并且在 b 取正整数时能够回到通常的第四级运算。这被称为第四级运算的解析延拓（或者更严格地称为定义域的扩张）。

第四级运算的解析延拓是一个困难的问题，因为函数增长的速度太过迅速。这一问题有一个业余数学社区关注，不过真正重要的进展都是由专业的数学家得到的。早在上世纪五十年代，这类问题便已经引起了数学家的关注。因为第四级运算可以视为函数<math>f(x)=a^x</math>迭代若干次的结果，而迭代非整数次的问题由一个名为“超函数”的数学分支描述。2009 年，Kouznetzov 在文献中讨论了第四级运算在复平面上的解析性质。而后在 2017 年，Paulsen 等人在文献中首次给出了第四级运算的级数解，2019 年 Paulsen 在文献中讨论了第四级运算延拓的唯一性。2022 年，Nixon 在文献中给出了第四级运算解析延拓的渐进解。

2025 年 5 月 8 日，Vey 宣布完全解决了第四级运算解析延拓的问题。他在论文中考虑了 Schröder 泛函方程，将待求的函数在其奇点处展开为级数，然后通过级数反演求出了第四级运算解析延拓的显式表达式。至此，大数数学中一个二十余年悬而未决的问题终于得到了解答，我们终于得到了一个性质良好的定义在复平面上的四级运算。

我们目前尚不知道如何将更高级的运算进行解析延拓。

== 4. 至 BTBO（BIO）的形式化递归序数 ==
<blockquote>为了引起关注, 我们将其命名为布劳威尔树壁垒序数(Brouwer Tree Barrier Ordinal)。—— ocau ，2025.6.18</blockquote>长期以来，大数数学一直建立在不严格的基础之上，大量[[序数记号]]的良序性无法得到证明。 ocau 利用 Agda 语言进行了递归序数的形式化，从而保证了序数系统的可靠性。

ocau 的形式化工作分为了几个不同的阶段。最早期的工作于 2022 年 11 月完成，它达到了二元 [[Veblen 函数]]的极限<math>\Gamma_0</math>。2024 年 7 月，ocau 完成了超限元 Veblen 函数的形式化，其极限达到了LVO。

为了进一步得到更强的序数，需要对[[序数坍缩函数|序数折叠函数]]进行形式化。2024 年 8 月，ocau 进行了形式化良构树序数的尝试，但是并没有完成。实际上，早在 2019 年，就有形式化序数折叠函数的尝试。AndrasCovacs 利用树序数成功地将序数折叠函数形式化，其极限为<math>\psi(\Omega_\omega)</math> 。但是，进一步的形式化工作遇到了困难。

2025 年 6 月 18 日，形式化可数序数的工作取得了新的进展。ocau 定义了任意可数层布劳威尔树序数的结构，利用它来表示序数折叠函数中的非递归序数。通过恰当地定义布劳威尔树序数的折叠过程，ocau 完成了序数折叠函数的形式化，其极限为<math>\psi(\Omega_\Omega)</math> 。ocau 将其命名为布劳威尔树壁垒序数(Brouwer Tree Barrier Ordinal, BTBO)，即利用布劳威尔树的形式化方法所能够达到的极限。

形式化递归序数的推进无疑是一项重要的进展，它为序数记号的良序性提供了坚实的基础。然而，目前形式化工作的进展仍然十分有限。目前的形式化极限为<math>\psi(\Omega_\Omega)</math> ，而此处的序数已经被人们认为是相当可靠的。因此，对于大数数学领域来说，这一形式化的结果的意义更多是在理论上的，它并没有解决真正不够可靠的大递归序数的形式化问题。而另一方面，作为一个形式系统，Agda 本身的强度也是有限的，这或许为形式化序数的进展设置了一个理论上的上限。

== 5. BB(5) 的证明与 BB(6) 下界更新 ==
<blockquote>因此，秉承着对 Busy Beaver 值长期以来抱有的希望，我们预计BB(6) 将永远不会被证明。——BBChallenge 合作组，2025.9.15</blockquote>1936 年，图灵提出了一个称为图灵机的计算模型。图灵机可以在一条无限长的纸带上运动。在每个时刻，读写头都要从当前纸带上读入一个方格信息，然后结合自己的内部状态查找程序表，根据程序输出信息到纸带方格上，并转换自己的内部状态，然后进行移动。图灵机虽然结构简单，但是它却深刻地揭示了计算的本质。现代计算机在计算能力上与图灵机是等价的。
[[文件:v2-9d16302f36a26572d963c1c4c652eebc 1440w.png|缩略图|图灵机的结构]]
1962 年，Rado 提出了 [[忙碌海狸函数|Busy Beaver 函数]] BB(n) ，它定义为能够停机的 n 状态图灵机在停机前所能够运行的最大步数。由于图灵机能够计算所有的递归函数，因此BB(n) 相当于对所有递归函数进行对角化。它的增长速度必然超越了所有的递归函数，达到了非递归函数的层次。

求出BB(n) 的取值是极为困难的，因为我们需要找到所有能够停机的 n 状态图灵机，并取其运行步数的最大值。而一个图灵机是否停机是不可判定的，即不存在一个通用的算法能判断所有图灵机的停机性。我们实际上并不知道一个很久没有停机的图灵机究竟是无法停机，还是最终能够停机，只不过运行的时间还不够长。由于这些困难，求解 BB(n) 的进展十分缓慢。

1963 年，Lin 等人在文献中得到了BB(n)的第二和第三个取值

<math>\mathrm{BB(2)}= 6,\quad \mathrm{BB(3)}= 21</math>

1983 年，Brady 在文献中得到了BB(n)的第四个取值

<math>\mathrm{BB(4)}= 107</math>
[[文件:v2-20f50bf7a453ada487974dcc486401cf 1440w.png|缩略图|BB(5)判定器的工作流程。]]
然而， BB(5)是一个极为困难的问题。Marxen 在 1990 年找到了一个 5 状态图灵机，它要运行 47176870 步才能停机。也就是说，这是一个BB(5)的下界

但是在接下来的三十多年中，人们并没有找到停机时间更长的图灵机，也无法证明 47176870 就是BB(5)的精确值。对这个问题的研究近乎陷入了停滞的状态。
[[文件:v2-f24e0fa83b934ca943e4f057fd25c1e3 1440w.png|缩略图|十三个零散机的行为。]]
2022 年，一个致力于解决BB(n)问题的业余数学社区 BBChallenge 正式成立。他们设计了一系列判定器，来判定 5 状态图灵机的停机性。在经过七种精心设计的判定器筛选之后，最终只剩下 13 个图灵机没有解决。通过手动为这些图灵机单独编写证明，他们成功地解决了所有 5 状态图灵机的停机性的判定性问题，并最终证明了三十多年前的得到下界就是BB(5)的精确值：

在利用 Coq 形式化证明过程后，他们在 2024 年 7 月 2 日宣布已经解决了BB(5)的取值问题。2025 年 9 月 15 日，他们发布了证明BB(5)取值的论文。至此一个停滞了四十余年的问题在业余数学社区的推动下，终于得到了彻底的解决。

接下来一个自然的问题是，BB(6)的取值是多少。2025 年 6 月 25 日，mxdys 进一步发现了一个停机步数超过 <math>2 \uparrow\uparrow\uparrow 5</math> 的图灵机，从而将BB(6)的下界提升为

<math>\mathrm{BB(6)}> 2 \uparrow\uparrow\uparrow 5</math>

这是目前已知的最好结果。

目前BB(6)的取值问题的解决还遥遥无期。

== 6. 聚集地群成为第一大 ggg 群 ==
<blockquote>ggg 五群方案：

1. 核心大群（大群）

2. 协商会议、文件存储、记号分析、分散线程（会议群）

3. 新人教学、闲聊（聚集地）

4. 刷屏、发癫（表情包）

5. 对外交流、保留最后联系方式、玩 bot、其它（联合群）

——夏夜星空，2024 年 8 月 10 日</blockquote>由 test_alpha0 于 2021.7.3 建立的 QQ 群“googology/数学爱好者讨论群”（讨论群/大群）是中文大数数学社区首个建立的、有较大影响力的 QQ 群，它的建立标志着大数数学社区从百度贴吧时代正式步入了 QQ 群时代。该群的建立使得大数数学研究者的交流和联系变得更加密切，使得大数数学前沿知识得到了极大的普及。讨论群在大数数学社区的发展史之中具有不可磨灭的意义，长期以来一直被人们视为大数数学讨论的中心。

在 2024 年间，大数数学作为一种独特的亚文化开始在中文互联网上流行。特别是知乎上的“挑战葛立恒数”等话题开始让大数数学越来越为中文互联网用户所知，“写出一个很大的数（或是很强的无穷）”成为了一种越来越流行的时尚单品。在这种情况下，中文大数社区的轻度用户数量开始急剧增加，群聊中的讨论也变得越来越混乱。

在这一背景下，许多人认为大数社区的环境正在迅速恶化，话题变得越来越鱼龙混杂。特别是梅天狸因不满讨论群的氛围而退出群聊，并于 2024 年 4 月 14 日建立个人粉丝群“狸と扽西の催更群”（狸群）。这一事件促使群管理开始着手进行群聊讨论的分流，意图将严肃的大数数学讨论留在讨论群，而将新人教学、轻度讨论、日常交流等内容分流到其他群聊之中。由夏夜星空于 2023 年 1 月 8 日建立的 QQ 群“大数数学爱好者聚集地”（聚集地群）承担了这一责任。2024 年 4 月 19 日，QQ 群“大数数学爱好者自由讨论群”（自由群）建立，由 qwerty 担任群主，意图进一步分流灌水内容。

2024 年 8 月，大数数学社区发生了多起恶性事件。特别是一位网名为“孙笑川258”的用户使用多个账号炸群('''''此人并非孙笑川，只是用这样的账号的一个乐子人''''')，并威胁开盒大数社区的成员，严重扰乱了大数社区的秩序。群管理坚决捍卫社区利益，采取果断措施，粉碎了“孙笑川”的图谋。2024 年 8 月 8 日，test_alpha0建立了 QQ 群“googology 群人事管理”，将各群的管理进一步集中化。大数社区决议任免讨论群的多位管理，并加强群消息的进一步分流，提高讨论群的入群门槛和审核强度。这使得讨论群的活跃度迅速下降，日常的讨论几乎完全转移到了聚集地群，从此之后聚集地群的规模和消息数量开始暴增。

2025 年 4 月 5 日，聚集地群的人数成功追平讨论群。2025 年 7 月 4 日，聚集地群由 500 人群扩充为 2000 人群，并在两天之后增设了五位新管理员。2025 年 7 月 8 日，聚集地群的人数正式突破 500 人。2025 年 12 月 31 日，聚集地群的人数达到了 700 人，几乎包含了中文大数社区的所有活跃研究者。时至今日，不论是从总人数、活跃人数，还是新增消息数来看，聚集地群都已经成为了当之无愧的 ggg 第一大群（除表情包群）。

== 7. 最菜萌新的 BMS 全分析 ==
<blockquote>对于(0,0,0)(1,1,1)(2,2,0)以下的分析，我们几乎可以说这是完全正确的。对于(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)以下的分析，我们有很大的把握认为这是正确的。对于(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)以上的分析，我们几乎不知道这是否正确。——Racheline ，BM4 的分析</blockquote>尽管 BMS 的定义早就已经为人们所知，但长期以来，人们并不了解其强度。这只有将 BMS 和其他记号进行对比分析才能解决。对于 BMS 来说，一个合适的参照是序数折叠函数ψ，将非递归序数放入其中就可以得到递归序数。如果我们引入的非递归序数越强，那么输出的递归序数也就越强。恰当地在序数折叠函数之中引入了ω个非递归序数<math>\Omega_\omega</math>之后，我们可以得到如下结果

<math>(0,0,0)(1,1,1)=\psi(\Omega_\omega)=\mathrm{BO}</math>

要想继续分析 BMS，我们就不得不去寻找更加强大的[[序数#非递归序数|非递归序数]]。[[反射序数]]是一类重要的非递归序数。在引入了反射序数<math>\Pi_\omega</math>之后，我们可以得到如下的结果

<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,2,0)=\psi\left(\Pi_\omega\right)=\mathrm{SSO}</math>

[[稳定序数]]刻画了比反射序数更强的非递归序数。对于<math>\Sigma_1</math>稳定来说，若考虑一条长度为ω的稳定链，则有

<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)=\psi\left(\omega-\pi-\Pi_0\right)=\mathrm{LRO}</math>

以上的这些结果大概在 2020 年就已经得到了。

2021 年，test_alpha0定义了[[投影序数]]。1-投影序数就是<math>\Pi_2</math> 反射序数，而 2-投影序数α则是一个非常强大的非递归序数，当然还可以定义更强大的 3-投影序数，直到ω-投影序数，它的极限为

<math>(0,0,0,0)(1,1,1,1)=\psi\left(\omega-\mathrm{P}\right)=\mathrm{TSSO}</math>

2024 年，最菜萌新开始研究高阶投影的可能性。对于[[向上投影]]来说，定义投影升阶运算σ ，将它作用在投影序数上之后，可以得到比它更高的投影序数。令 S 是最小的 (1,0) -投影，则<math>\psi_S</math>可以投影比它更高的序数<math>\sigma^n S</math> ，这是一种强大的投影层次。在这之后的接近一年的时间里，他不断地完善向上投影的规则并将其递归化，利用它来分析 BMS 的强度。

2025 年 7 月 16 日，最菜萌新宣布了如下的结果：

<math>(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,3,3,1)(4,0,0,0)=\psi\left(\psi_S\left(\sigma^\omega S\right)\right)</math>

引入更复杂的投影结构，可以得到四行 BMS 的极限<math>(0,0,0,0,0)(1,1,1,1,1)=\psi\left(\psi_A([1,1] A \cdot \omega)\right)</math>，乃至 BMS 的极限<math>\text{limit of BMS}=\psi\left(\varepsilon_{H+1}\right)=\mathrm{SHO}</math>。

至此最菜萌新完成了 BMS 的全分析。

该项工作一共包含 7777 条对照分析的结果，是大数数学史上最为庞大的分析工作之一。由于最菜萌新提出了一套完整的理念、一套行之有效的规则，以及详尽的分析结果，向上投影已经打败了其他的投影记号，成为了 (0,0,0)(1,1,1)(2,2,2) 之后的标准记号，甚至投影系记号已经逐渐有取代更加传统的稳定系记号的趋势了。

BMS 并未抵达向上投影的极限，接下来需要利用[[Y序列]]对其进行分析。然而向上投影与Y序列之间的分析举步维艰，目前尚不清楚向上投影的极限究竟是多少。除此之外，向上投影也为[[非递归BMS]]的分析提供了参考。若将 BMS 第一列的全部零删去，则可以设想让 BMS 输出非递归记号。这一非递归记号的强度用向上投影来分析是合适的。

需要说明的是，投影序数并非集合论意义上的严格的非递归序数。而将投影序数放入ψ之中得到的递归化函数，本质上仍然是一个递归记号。事实上即使是对于反射序数和稳定序数来说，我们也只是使用了一种“长得像序数折叠函数”的递归记号，它们模仿了真正使用集合论方法来定义的序数折叠函数的行为。

而另一方面，真正严格意义上的序数折叠函数以及相应的非递归分析已经得到了长足的发展，这一部分应当归功于序数分析领域的专业数学家。目前序数分析的巅峰之作是数学家 Arai 对二阶算术的序数分析，这是序数分析领域中发展的最强序数折叠函数。然而我们并不知道它和大数数学之中发展的序数记号之间的强度关系是什么样的，目前我们只能就此做出一些猜测。

我们已经知道的是，文章利用<math>\Sigma_n</math>稳定序数的存在性证明了 BMS 的良序性，而二阶算术与 <math>\mathrm{KP} +</math>存在<math>\Sigma_1</math>稳定序数+存在<math>\Sigma_2</math>稳定序数+……这一公理体系的强度是相同的。如果我们真的可以认为 BMS 与二阶算术的强度相同，那么我们就可以说 Arai 的序数折叠函数极限等于 BMS 的极限，它们都是二阶算术的证明论序数。然而严格的序数分析是极其困难的工作，也许我们永远也不会知道我们的记号何时能够达到各种公理体系的极限了。

== 8. HypCos 定义 ω^ωMN ==
<blockquote>时至今日，还未有人分析 Tω^ωMN。它太难分析了吗？它太难理解吗？没有什么合适的其它记号用来分析吗？—— HypCos ，2025.8.17</blockquote>BMS 是跨时代的记号，它将递归记号构造的范式从数阵型记号转变为了 Worm 型记号，其强度远远超越了当时的所有记号。2020 年 9 月，日本的大数研究者 Yukito 对 Worm 型记号进行扩展，定义了 Y序列，它的强大再一次震撼了研究者。后来 Yukito 又定义了更加强大的[[ω-Y|ω-Y序列]]，这是目前已经得到公认的、成熟的大数数学社区最强记号。

如果要得到更强的记号，下一步该如何做？我们可以试图将 ω-Y 序列推广到更高的<math>\alpha-\mathrm Y</math> 序列，乃至<math>\Omega-\mathrm Y</math>序列。考虑到 BMS 有ω行，1-Y 序列的山脉图有 <math>\omega^2</math> 行，ω-Y 序列的山脉图有 <math>\omega^\omega</math>行，那么似乎将山脉图的行数推广到更高就可以得到更强的记号。不过令人遗憾的是，平凡的推广几乎是没有任何意义的。BMS 也可以直接推广到Ω行，但是它的强度仍然难以超越Y(1,3,4,3) 。事实上，目前已知的所有定义<math>\Omega-\mathrm Y</math>序列的尝试不是非良序，就是强度达不到预期。在ω-Y 序列之上，人们似乎再难以前进半步。

HypCos对 Worm 记号体系进行了深入的研究。鉴于序列型记号形式上的困难已经严重阻碍了进一步的推广，HypCos采用了新的多维数阵体系，将山脉图的结构直接编码进表达式中，称为[[Mountain Notation|山脉记号]]（Mountain Notation，MN）。他在 2024 年 9 月 11 日提出了ωMN的定义，这一记号与 ω-Y序列是等价的。接下来他在 2024 年 9 月 15 日又进一步提出了<math>\omega\cdot 2\mathrm{MN}</math>的定义。最终在 2025 年 7 月 19 日，他进一步地提出了 <math>\omega^\omega\mathrm{MN}</math>的定义，这是目前已知的有明确定义的最强递归记号之一。

如果不能真正理解 Worm 型记号为何如此之强，那么想凭运气再创造出来一种本质上强于它的记号也几乎是不可能的。2024 年 2 月 23 日，几位研究者以极富洞察力的直觉提出了“[[传递]]”的概念，从而解决了 Worm 型记号强度的来源问题。简单地说，序数记号的传递现象意味着一个序数记号表达式在展开时，不仅仅是判定展开所用到的元素参与了展开过程，还有别的元素也参与了展开过程，从而将序数结构的一部分“传递”到了展开后的表达式之中。
[[文件:v2-0eab85904cbae6d283df767e2879a755 1440w.png|缩略图|Y(1,3,7)展开为Y(1,3,6,12,24,48,96,192,...)，从图中可以看出，对角线上的元素由1,2,2展开为1,2,1,2,1,2,...，因此这是一个真正的ω行传递。]]
具有传递现象的记号通常拥有更高的强度，并且传递的层次越高，记号的强度就越高。对于 BMS 来说，若删去第 n 列及以下的部分能够该改变坏根的位置，则称该表达式拥有 n 行传递。BMS 拥有任意有限的 n 行传递，因此它的强度超越了绝大多数其他类型的序数记号。而Y序列拥有真正意义上的ω行传递，因此它远远超越了 BMS 平凡扩展的极限。

MN系列记号利用独特的拉伸操作，实现了比ω-Y 序列更加强大的结构，增进了人们对于ω-Y 序列之上的递归序数结构的理解。然而我们能说<math>\omega^\omega\mathrm{MN}</math>就是预想中的<math>\omega^\omega-\mathrm Y</math>序列吗？它具有真正的更高层次的传递吗？或者说，山脉记号能够成为Y序列的某种“上位替代”吗？这一点恐怕很难说。因为没有人知道一个理想的传递究竟应该是什么样子的，人们最多只能知道某个记号并不符合心目中的“理想”情况。不过从目前的情况来看，MN系列记号确实已经成为了ω-Y 序列之后的一种新的参照标准，正在被越来越多的人所接受。

以传递现象的提出作为标志性事件，一部分研究者建立了更加深入的“构造理论”，期望能够触及更加强大的记号体系的一角。对构造理论的研究几乎是整个 2024 年的研究核心，人们提出了太多的理论和体系，又将它们一个个推翻。目前关于构造理论的研究少有成体系的结果，也并没有真正建立起成熟完备的新记号体系。而且目前对于构造理论的研究过于艰涩，除了寥寥几位研究者之外，其他人几乎不知道他们在做什么。我们并不知道目前在构造理论上的尝试是否是正确的。

== 9. Phyrion 的新 Googology Wiki ==
<blockquote>wiki.googology.top：首个以 googology 为二级域名建立的网站！——Phyrion，2025.6.25</blockquote>在 21 世纪的前几年中，大数数学还仅仅是一个只为极少数人所知的小众数学问题。那时仅有少数几位欧美国家的爱好者关注这一问题，并且将自己的研究成果发布在个人网站上。直到 2008 年 12 月 5 日，fandom 上的 Googology Wiki 网站正式上线，才结束了这一局面。在这之后的十余年时间里，Googology Wiki 当之无愧地成为了全球大数数学研究者的中心，为大数数学的发展提供了一个宝贵的平台。

长期以来，Googology Wiki 包含着大数数学社区最完整的知识以及最前沿的进展，但是随着时间的推移，Googology Wiki 也已经逐渐衰落了。起先是 Wiki 中的部分成员不满管理员的专权，因此另立门户。欧美大数社区的讨论中心也逐渐转移到了 Discord 频道上，不再活跃于 Wiki。而中文社区和日文社区近乎独立地发展，极少与欧美社区进行交流。因此在 2020 年之后，Fandom 的 Googology Wiki 迅速的落后于了整个时代。

为了建立一个能够完整准确地反映现代大数数学研究进展的在线知识库，Phyrion 启动了新 Wiki 计划。该计划从 2025 年 6 月启动，由 Phyrion 维护网站，并由十余位活跃研究者共同编写。2025 年 8 月 15 日，新 Wiki 的网址 wiki.googology.top 正式公开，并立刻引起了大数社区的广泛关注。

新 Wiki 全面抛弃了旧 Wiki 以大数为中心的思想，而转向了更加现代化的以序数为中心的思想。新 Wiki 系统性地整理了大数数学的最新研究成果，许多成果都是首次发布在公共的平台之上。新 Wiki 在内容选择、材料组织等方面遵循了深入浅出、详略得当的原则，既能够完整准确地反映大数数学的核心内容和最新进展，又不显得过于繁冗。新 Wiki 已经成为了大数社区最重要的在线知识库之一。

新 Wiki 的命运是坎坷的。在 2025 年 9 月 30 日，新 Wiki 站点由于欠费停站，直到 2025 年 10 月 11 日才重新恢复。而后它在 2025 年 10 月 31 日再次由于欠费而停站，直到2026年2月20日。这引发了人们对于新 Wiki 站点不稳定的担忧。

== 10. PPS 被发现无穷降链 ==
[[文件:pps.png|缩略图]]
<blockquote>@全体成员 PPS 无穷降链

沉痛悼念，永垂不朽

——z，2025.12.10</blockquote>[[PPS|Parented Predecessor Sequence]]（PPS）是3183 丶 4139于 2024 年 9 月 9 日创造的记号。PPS 的定义非常简单，相比于标记父项列标 PrSS，它只增加了一条规则：如果坏部里没有其他等于坏根的项，那么复制时，复制出来的部分的首项改成原末项-1。

然而，正是这样简单的规则导致了极其诡异的行为。整个七月份，大数数学的研究者绞尽脑汁对 PPS 的强度进行分析，然而整个记号的规律似乎完全是无法理解的。即使进行了大量的尝试，耗尽了全部的精力，研究者们也未能将 PPS 分析至<math>\zeta_0</math>。这对于该强度的记号来说似乎是完全无法理喻的。在遭受了重大的挫折之后，大数数学的研究者不得不将精力转移到其他的问题上。

一切都结束于 2025 年 12 月 10 日，在这一天 ddfg 通过对 PPS 的详尽分析，发现了一个展开式，它可以无穷无尽地展开下去，越来越复杂，永远也不会停下来。这种越来越复杂的表达式构成了一条不断递降的链条，称为无穷降链。由于序数的每个子集必有最小元，不会出现无穷递降的情况，因此 PPS 的展开不构成其标准表达式上的一个良序关系。也就是说，PPS 根本就不是一个序数记号。

PPS 的无穷降链无疑是对于其研究者的一个沉痛打击。尽管在这之后还有一系列修复 PPS 的尝试，但人们对这一记号已经失去了信心。不过人们更好奇的是，为什么时隔如此之久，大数社区才找到了 PPS 的无穷降链。这不禁让人们想起 2024 年 7 月 7 日的盛况，在短短的几个小时内，三个前沿记号都被发现无穷降链或不良定义，大数数学社区的进展几乎一夜之间倒退到了 2021 年的ω-Y序列。

无穷降链是悬在所有序数记号头上的达摩克里斯之剑，几乎所有记号都要受到无穷降链的威胁。人们或许希望能够直接利用数学方法证明记号的良序性，从而一劳永逸地解决这一问题。然而我们现在几乎完全不知道如何证明记号的良序性，目前仅有寥寥几个记号的良序性问题得到了解决。并且事实上任何公理体系可证良序的范围都是有限的，一旦记号的强度超出了这一范围，那么我们就必须诉诸更加强大的公理体系。而与此同时，过于强大的公理体系本身的一致性都是值得怀疑的。因此可以说，记号良序性证明的困难是本质的。

但是，如果我们不能够为记号的良序性给出证明，那么我们要如何相信它们的可靠性呢？如果我们连严格性都舍弃掉，那么整个数学体系之中还有什么是可以信赖的呢？多年以来大数数学研究者建立起的庞大的理论体系，究竟有多少是虚无的空中楼阁，随时会被推翻？我们不知道这些问题的答案。或许真正具有洞察力的数学研究者能够推动这一问题的解决，而在这之前，我们只能祈祷之前建立起的大多数地基都是扎实的。

== 展望：未来时代的大数数学 ==
自 2021 年以来，中文大数社区得到了长足的发展，逐渐赶上并超越了欧美社区和日本社区的水平。特别是在 2024 年，大数社区内部洋溢着积极乐观的情绪。在传递以及其他思想的指引下，构造理论得到了充分的发展。FOS、fffz、MMS、MN 等新记号的提出和优化层出不穷。 @曹知秋的《大数理论》系统性地整理了大数数学的理论体系，结束了资料过于零散的时代。随着相关亚文化的传播，大数数学在中文互联网上的知名度越来越高，这为中文大数社区提供了大量的新鲜血液。

然而进入 2025 年之后，大数数学的研究开始进入了低谷。人们开始审视之前过于激进的理论体系，并排除了大量不可靠的结果和空中楼阁一般的概念。尽管大数数学知名度仍然在不断增加，进入大数社区的新人越来越多，但是这些人通常不会去真正了解大数数学的知识，并且圈层的扩大也势必会对原有的大数社区生态造成破坏。近年来大数社区与其他社区的交往正在变得更加紧密，这种联系总体上是有益的，但实际上并未真正对各自关心的问题有实质性的启发。大数数学横向上的宽度正在不断扩展，但是纵向上的深度则并未有明显的增加。大数数学各社区之间的国际交往仍然非常有限，欧美社区和日本社区的研究也明显地进入了衰退期。大数数学的业余研究者和专业数学家之间几乎没有交流，专业数学家不关心（或者根本不知道）大数数学社区的结果，我们也几乎无法理解专业数学家的相关工作。

2025 年生成式人工智能的发展非常迅猛，已经在方方面面深刻地改变了人们的生活。然而，目前来看关于大数数学的资料仍然十分缺乏，人工智能在大数数学问题上的表现不佳。我们期望人工智能能够在记号分析、资料整理等领域为我们提供更多的帮助，但是目前看来，这一目标还非常遥远。

根据库恩的范式理论，科学的发展并非是简单的线性累积，而是在常规发展和科学革命两个阶段之间不断交替。按照这一理论，我们至今仍然处在 Worm 型记号革命之后的常规发展阶段，并且这一阶段的潜力正在肉眼可见地被消耗殆尽，逐渐失去了生命力。当前的大数数学研究呈现出了越来越复杂化的倾向，新的结果几乎不能够被其他研究者所理解。进入大数数学前沿研究的门槛越来越高，几乎超过了普通人单纯凭借兴趣所能够达到的极限。事实上自从 2024 年以来，尽管加入大数社区的新人越来越多，但是只有屈指可数的几个人能够真正了解大数数学的前沿进展，并且真正为大数数学的发展做出贡献。这一阶段未来可能还要继续持续下去，直到量变的积累产生质变，或者有真正天才的研究者为我们踏出关键的一步，将大数数学引领到一个全新的时代。

'''附：[[2024年中文大数社区十大事件]]'''

'''1. 3183 丶 4139提出 FOS'''

'''2. 传递现象的提出'''

'''3. 大数社区群聊改革'''

'''4. 曹知秋发布《大数理论》'''

'''5. HypCos提出 MM3'''

'''6. BB(5)取值的严格证明'''

'''7. 7 月 7 日前沿记号的无穷降链或不良定义'''

'''8. 夏夜星空完善 fffz 规则'''

'''9. HypCos提出 MN'''

'''10. 62XXY（739085）与大数社区决裂'''

参考资料

TTSS分析

2026-06-05T01:51:05Z

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#重定向 [[超限TSS分析]]

TTSS分析

2026-06-05T01:49:59Z

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TTSS分析

2026-06-05T01:48:48Z

CGoL：CGoL移动页面TTSS分析至超限TSS分析

#重定向 [[超限TSS分析]]

超限TSS分析

2026-06-05T01:48:48Z

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本词条展示[[超限TSS]]的分析，使用[[QSS]]作为对照
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
|<math>(0)(1,1,1)(2,2,2)\cdots(\omega,\omega,\omega)(\omega+1,\omega,1)</math>
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|-
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|-
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|-
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|-
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|<math>(0)(1,1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(1,1,1,1)</math>
|-
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|-
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|<math>(0)(1,1,1,1)(2,1,1)(3,2,1)(1,1,1,1)</math>
|-
|<math>(0)(1,1,1)(2,2,2)\cdots(\omega,\omega,\omega)(\omega+1,\omega+1,\omega+1)</math>
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|-
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|-
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|<math>(0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)</math>
|-
|<math>(0)(1,1,1)(2,2,2)\cdots(\omega^\omega,\omega^\omega,\omega^\omega)</math>
|<math>(0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3)</math>
|-
|<math>(0)(1,1,1)(2,2,2)\cdots(\varepsilon_0,\varepsilon_0,\varepsilon_0)</math>
|<math>(0)(1,1,1,1)(2,1,1)(3)(4,1)</math>
|-
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|<math>(0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3)(4,1,1)</math>
|-
|<math>(0)(1,1,1)(2,2,2)\cdots(\mathrm{TSSO},\mathrm{TSSO},\mathrm{TSSO})</math>
|<math>(0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3)(4,1,1,1)</math>
|-
|Limit
|<math>(0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1)</math>
|}
[[分类:分析]]

超限TSS分析

2026-06-04T09:39:12Z

CGoL：创建页面，内容为“本词条展示超限TSS的分析，使用QSS作为对照 {| class="wikitable mw-collapsible" |+分析 !超限TSS !QSS |- |<math>(0)(1,1,1)(2,2,2)\cdots(\omega,\omega,\omega)</math> |<math>(0)(1,1,1,1)</math> |- |<math>(0)(1,1,1)(2,2,2)\cdots(\omega,\omega,\omega)(1,1)</math> |<math>(0)(1,1,1,1)(1,1)</math> |- |<math>(0)(1,1,1)(2,2,2)\cdots(\omega,\omega,\omega)(1,1,1)</math> |<math>(0)(1,1,1,1)(1,1,1)</math> |- |<math>(0)(1,1,1)(2,2,2)\cdots(\omega,\om…”

fffz分析

2026-06-04T06:36:51Z

CGoL：标点修正

本词条展示对[[Fake Fake Fake Zeta|fffz]]进行强度分析的那些词条。第1~10部分来自YukinaKNK，第11部分为存根。

== 第一部分：0~[[BHO]] ==
主词条：[[fffz分析Part1:0~BHO]]

== 第二部分：BHO~[[BO]] ==
主词条：[[fffz分析Part2:BHO~BO]]

== 第三部分：BO~[[BIO]] ==
主词条：[[fffz分析Part3:BO~BIO]]

== 第四部分：BIO~[[JO]] ==
主词条：[[fffz分析Part4:BIO~JO]]

== 第五部分：JO~[[TBO]] ==
主词条：[[fffz分析Part4:JO~TBO|fffz分析Part5:JO~TBO]]

== 第六部分：TBO~ψ((2-)^ω) ==
主词条：[[fffz分析Part6]]

== 第七部分：ψ((2-)^ω)~[[LSO]] ==
主词条：[[fffz分析Part7]]

== 第八部分：LSO~[[BGO]] ==
主词条：[[fffz分析Part8]]

== 第九部分：BGO~[[LRO|pLRO]] ==
主词条：[[fffz分析Part9]]

== 第十部分：pLRO~[[SHO]] ==
主词条：[[fffz分析Part10]]

== 第十一部分：[[SHO]]~???（存根） ==
主词条：[[fffz分析Part11]]
[[分类:分析]]

fffz分析

2026-06-04T06:36:18Z

CGoL：

本词条展示对[[Fake Fake Fake Zeta|fffz]]进行强度分析的那些词条。第1~10部分来自YukinaKNK，第11部分为存根

== 第一部分：0~[[BHO]] ==
主词条：[[fffz分析Part1:0~BHO]]

== 第二部分：BHO~[[BO]] ==
主词条：[[fffz分析Part2:BHO~BO]]

== 第三部分：BO~[[BIO]] ==
主词条：[[fffz分析Part3:BO~BIO]]

== 第四部分：BIO~[[JO]] ==
主词条：[[fffz分析Part4:BIO~JO]]

== 第五部分：JO~[[TBO]] ==
主词条：[[fffz分析Part4:JO~TBO|fffz分析Part5:JO~TBO]]

== 第六部分：TBO~ψ((2-)^ω) ==
主词条：[[fffz分析Part6]]

== 第七部分：ψ((2-)^ω)~[[LSO]] ==
主词条：[[fffz分析Part7]]

== 第八部分：LSO~[[BGO]] ==
主词条：[[fffz分析Part8]]

== 第九部分：BGO~[[LRO|pLRO]] ==
主词条：[[fffz分析Part9]]

== 第十部分：pLRO~[[SHO]] ==
主词条：[[fffz分析Part10]]

== 第十一部分：[[SHO]]~???（存根） ==
主词条：[[fffz分析Part11]]
[[分类:分析]]

fffz分析Part11

2026-06-03T08:34:13Z

CGoL：

= 此分析为存根，请各位gggist们前来完善 =
本条目展示[[Fake Fake Fake Zeta|FFFZ]]强度分析的第<math>11</math>部分，使用[[Y序列]]进行对照
{| class="wikitable mw-collapsible"
|+Y(1,3)~???
!FFFZ
!Y序列
|}
[[分类:分析]]

fffz分析Part11

2026-06-03T08:33:45Z

CGoL：

fffz分析Part11

2026-06-03T08:30:34Z

CGoL：

fffz分析Part11

2026-06-03T08:28:38Z

CGoL：

fffz分析Part11

2026-06-03T08:26:30Z

CGoL：

= 此分析为存根，请各位gggist们前来完善 =
本条目展示[[Fake Fake Fake Zeta|FFFZ]]强度分析的第<math>11</math>部分，使用[[Y序列]]进行对照
{| class="wikitable mw-collapsible"
|+Y(1,3)~???
!FFFZ
!Y序列
|}

fffz分析Part11

2026-05-28T11:37:12Z

CGoL：分析到Y(1,3,4,2,5,8,10)，未完待续

fffz分析Part11

2026-05-28T09:47:14Z

CGoL：分析到Y(1,3,2,5,4,9,8,17,11)，未完待续

= 此分析为非正式分析，且尚未完成 =
本条目展示[[Fake Fake Fake Zeta|FFFZ]]强度分析的第<math>11</math>部分，使用[[Y序列]]进行对照
{| class="wikitable mw-collapsible"
|+第1部分：Y(1,3)~???
!FFFZ
!Y
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|1,3,2,5,4,9
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|1,3,2,5,4,9,8,17,11
|-
|<math>\psi_Z[\varepsilon_\omega,\varepsilon_\omega+\omega^{\omega+1}](\varepsilon_\omega+\omega^{\omega+1})</math>
|
|-
|<math>\psi_Z[\varepsilon_\omega,\varepsilon_\omega+\omega^{\omega+1},\varepsilon_\omega+\omega^{\omega+1}+\omega^\omega](\varepsilon_\omega+\omega^{\omega+1}+\omega^\omega)</math>
|
|-
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|
|-
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|
|-
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|
|-
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|
|-
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|
|-
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|
|-
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|
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|
|-
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|
|-
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|
|-
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|
|-
|<math>\psi_Z[\varepsilon_\omega,\varepsilon_\omega+\varepsilon_0](\varepsilon_\omega+\varepsilon_0)</math>
|
|-
| colspan="2" |
===== <big><math> \qquad\qquad\qquad\qquad\vdots</math></big> =====
|}

fffz分析Part11

2026-05-28T09:01:58Z

CGoL：分析到Y(1,3,2,5,4,9,8)，未完待续

= 此分析为非正式分析，且尚未完成 =
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fffz分析Part11

2026-05-28T08:27:48Z

CGoL：分析到Y(1,3,2,5,4,9,6,7)，未完待续

= 此分析为非正式分析，且尚未完成 =
本条目展示[[Fake Fake Fake Zeta|FFFZ]]强度分析的第<math>11</math>部分，使用[[Y序列]]进行对照
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2025年中文大数社区十大事件

2026-05-27T23:37:33Z

CGoL：

大数数学（[[Googology]]，ggg）是系统性地研究如何构造大自然数的数学分支。中文大数社区是一个致力于发展大数数学理论的中心化业余数学社区，它以一系列 QQ 群为核心，其成员为较为严肃的大数数学爱好者。广义的中文大数社区包含中文互联网上所有关心和讨论大数数学相关问题的人。

本词条总结了 2025 年中文大数社区影响力最大的 10 个事件（进展），按照时间顺序进行排列。以下内容来自<ref>[https://zhuanlan.zhihu.com/p/1988997637857358320 2025年中文大数社区十大事件]</ref>

== 1. blp 与 DEN 的定义 ==
<blockquote>[[Laver Table|laver table 函数]]的增长速度能不能超过 [[皮亚诺公理体系|PA]] 可证极限(<math>\varepsilon_0</math>)是 Dougherty 在 30 年前提的问题。这个问题是有不少关注的，虽然也没有特别多，但经常能在科普文中看到，有个数学物理学家还在他的博客里讲过这个文章。它被认为极度困难。30 年来毫无进展。30 年后，它被一篇完全是基于 ggg 思想的论文解决了。—— test_alpha0，2025.12.21</blockquote>1992 年，Laver 提出了 Laver Table，并定义了与之相关联的 Laver Table 函数。这个函数的完全性需要在 <math>\mathrm{ZFC+I3}</math>之中才能够得到证明。人们期望这是一个增长十分迅速的大数函数，然而长期以来，研究者们始终不能够证明这一点。

为了解决这一问题，研究者们付出了许多努力。2023 年， test_alpha0定义了 [[LTY|Laver Table Yarn]]（LTY）作为 Laver Table 的扩展，其完全性需要在 <math>\mathrm{ZFC+I1}</math>之中才能够得到证明。

2025 年 1 月 3 日，test_alpha0在论文<ref>https://arxiv.org/pdf/2501.06733</ref>中证明 Laver Table 函数的增长速度超越了一切能够在皮亚诺公理系统中可证完全性的函数。所有公理体系的证明能力都有极限，皮亚诺公理只能证明<math>\varepsilon_0</math>以下的良序结构。因此用更为大数数学研究者熟悉的话说，这意味着 Laver Table 函数的增长率至少达到了<math>\varepsilon_0</math>。

为了证明这一点，作者在论文中定义了一个递归记号 [[BLP|Basic Laver Pattern]]（blp），以描述初等嵌入的关键点之间的结构。通过利用 blp 构造恰当的递归函数，作者成功证明了 Laver Table 函数的增长率至少达到了<math>\varepsilon_0</math>。作者进一步在论文中宣称，事实上可以证明 Laver Table 函数的增长率至少达到了[[BO]]。这篇论文进一步讨论了 LTY 的定义和性质。

[[文件:v2-7bdbac5d06cfe86ef0162ab98c727176 1440w.png|缩略图|“我们用美丽的颜色#66CCFF来表示复制操作中要复制的行”]]
即使作为递归记号本身，blp 的意义也是足够重大的。长期以来，对记号良序性的证明几乎是大数数学领域中最为困难的问题，而 blp 的良序性已经在上述论文中得到了证明。目前猜测，blp 的强度极大可能超过 [[BMS]] 的极限，与 [[Y序列|Y]](1,3,8) 的强度关系尚不明确。因此，blp 有极大可能取代 BMS，成为目前已证良序性的最强递归记号。（当然，这一说法排除了证明论中发展的一系列序数折叠函数，目前大数数学社区对这些函数的强度几乎一无所知。）

Laver Table 几乎是无法以人力进行分析的。blp 是 Laver Table 的一个弱下界，并且是一个可证良序的递归记号。然而 blp 的性质也过于复杂，最菜萌新仅仅将 blp 分析到了<math>\zeta_0</math>。 test_alpha0估计 blp 的表达式 <math>\mathrm{mcce2mmcce2mcmcc}</math>等于 BMS 极限，这是目前已知的最好结果。

为了更好地了解 blp 的性质，HypCos于 2025 年 12 月 21 日定义了 [[DEN|Defective Embeeding Notation]]（DEN），它的行为比 blp 要简单得多。DEN 的绝大部分定义都与 blp 相同，但在“M 操作”之中的“Copied 操作”中，复制的是从第 s(-1,-l-2) 行开始的所有内容。如果把 DEN 比作 BMS，那么 blp 就可以比作只有最后一列长度为 1 时展开 n 次，其他时候仅仅展开两次的 BMS。由于这样一种性质，目前人们估计 DEN 的强度与 blp 应该是相等的。然而经过这样修改之后，blp 的良序性证明对 DEN 就无效了。

HypCos和梅天狸对 DEN 的性质进行了详细的分析，目前已经分析到了 BMS 的极限，这同时也为 blp 的 BMS 极限表达式强度提供了佐证。然而在这之后，记号的性质变得更加困难，分析变得举步维艰。我们目前对 DEN 和 blp 的强度极限尚没有估计。

== 2. 梅天狸的两行 BHM 分析 ==
<blockquote>是的，这个结果几乎宣判 BHM=BMS 了。—— 梅天狸，2025.4.6</blockquote>Bashicu Matrix System（BMS）是日本的大数数学研究者 Bashicu 于 2014 年提出，并于 2018 年完善的记号。为了展开 BMS，我们需要找到表达式的 “好部”和“坏部”，然后保持好部不动，坏部加上阶差向量后不断地在序列末尾复制。

[[BHM|Bashicu Hyper Matrix]]（BHM）是 BMS 的改版，它只是坏部的规则发生了变化。简单地说，BHM 坏部的范围总是大于或者等于 BMS 坏部的范围。可以设想在展开的过程中 BHM 将携带更多的信息，因此 BHM 的强度至少不低于 BMS。

我们将类似于 BHM 这种扩大坏部范围的模式称为“急模式”。一个自然的问题是，BHM 的强度相比于 BMS 是否真的有提高？如果有的话，那么究竟提高了多少？或者更进一步地说，对记号进行急模式的推广，是否在本质上真正增加了记号的强度？

要回答这一问题，必须建立起 BHM 与 BMS 表达式的一一对应关系。虽然 BHM 与 BMS 的结构相同，二者的展开规则也相差不多，但是它们的行为实际上具有很大的差别，这使得它们之间的分析变得极为困难。早年 HypCos 曾经对此进行过非常详细的分析，但是进展十分有限。长期以来这一直被视为大数数学之中的一个非常困难的问题。

经过长达 13 个月的分析，在 2025 年 4 月 6 日，梅天狸宣布得到了如下的结果：

<math>\begin{aligned} & \mathrm{BHM}(0,0,0)(1,1,1) \\ =~&\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(3,1,1) \end{aligned}</math>

毫无疑问，这一结果是大数数学分析领域的一座丰碑，它解决了人们此前认为几乎是不可能解决的问题。根据这一结果，一行 BHM 的极限在一行 BMS 的极限和两行 BMS 的极限之间，两行 BHM 的极限在两行 BMS 的极限和三行 BMS 的极限之间。如果这一规律能够一直得到保持，那么 n 行 BHM 的极限将处在 n 行 BMS 的极限和 n+1 行 BMS 的极限之间。取 n 趋于无穷大的极限，那么我们将发现 BHM 的极限将与 BMS 的极限是相同的。也就是说，虽然 BHM 的表达式强于 BMS，但是二者的强度是一样的。BMS 最终追平了 BHM。

空间对另一个急模式的记号 [[BSM|Bashicu Sudden Matrix]]（BSM）的分析也发现了意料之外的弱化，这暗示 BSM 的强度也有可能远远不及预期。鉴于以上的结果，我们现在认为急模式并没有从本质上提升记号的强度。

== 3. 第四级运算的解析延拓 ==
<blockquote>我怀疑这套方法可以直接推广到任意阶超运算。—— 曹知秋，2025.7.11

现在看来……至少是很难直接推广。—— 曹知秋，2025.9.21</blockquote>大数数学称加法为一级运算，乘法为二级运算，乘方为三级运算。由于将前一级运算迭代若干次后可以得到下一级运算，因此将乘方迭代若干次后，我们进一步可以得到第四级运算。我们用运算符<math>\uparrow\uparrow</math>来表示第四级运算，它实际上就是指数塔

<math>a\uparrow\uparrow b=\underbrace{a^{a^{\ldots^{a}}}}_{b\text{个}a}</math>

其中左边的元素 a 代表指数塔的底数，右边的元素 b 代表指数塔的层数。需要注意的是第四级运算要从最上层开始，逐层计算指数的取值。

通常来说，第四级运算的的底数和层数都定义在正整数之上，然而我们有时候希望能够将其推广为任意的实数，这正如我们经常希望使用实数变量的加法、乘法和乘方运算一样。要将底数 a 推广为实数是容易的，因为实数的指数函数是有明确定义的。现在的问题在于，我们是否能将第四级运算的的层数 b 也推广为一般的实数？
[[文件:v2-0fac7192f084c9d058a61ad35b83c054 1440w.png|缩略图|397x397像素|第四级运算在复平面上的等值曲线。]]
事实上，这个问题在复数域上讨论起来更容易，因为复变函数拥有更良好的解析性质。因此我们希望能够将层数 b 延拓到整个复平面上，即找到一个以 b 为变量的复变函数，它除去奇点之外在整个复平面上是解析的，并且在 b 取正整数时能够回到通常的第四级运算。这被称为第四级运算的解析延拓（或者更严格地称为定义域的扩张）。

第四级运算的解析延拓是一个困难的问题，因为函数增长的速度太过迅速。这一问题有一个业余数学社区关注，不过真正重要的进展都是由专业的数学家得到的。早在上世纪五十年代，这类问题便已经引起了数学家的关注。因为第四级运算可以视为函数<math>f(x)=a^x</math>迭代若干次的结果，而迭代非整数次的问题由一个名为“超函数”的数学分支描述。2009 年，Kouznetzov 在文献中讨论了第四级运算在复平面上的解析性质。而后在 2017 年，Paulsen 等人在文献中首次给出了第四级运算的级数解，2019 年 Paulsen 在文献中讨论了第四级运算延拓的唯一性。2022 年，Nixon 在文献中给出了第四级运算解析延拓的渐进解。

2025 年 5 月 8 日，Vey 宣布完全解决了第四级运算解析延拓的问题。他在论文中考虑了 Schröder 泛函方程，将待求的函数在其奇点处展开为级数，然后通过级数反演求出了第四级运算解析延拓的显式表达式。至此，大数数学中一个二十余年悬而未决的问题终于得到了解答，我们终于得到了一个性质良好的定义在复平面上的四级运算。

我们目前尚不知道如何将更高级的运算进行解析延拓。

== 4. 至 BTBO（BIO）的形式化递归序数 ==
<blockquote>为了引起关注, 我们将其命名为布劳威尔树壁垒序数(Brouwer Tree Barrier Ordinal)。—— ocau ，2025.6.18</blockquote>长期以来，大数数学一直建立在不严格的基础之上，大量[[序数记号]]的良序性无法得到证明。 ocau 利用 Agda 语言进行了递归序数的形式化，从而保证了序数系统的可靠性。

ocau 的形式化工作分为了几个不同的阶段。最早期的工作于 2022 年 11 月完成，它达到了二元 [[Veblen 函数]]的极限<math>\Gamma_0</math>。2024 年 7 月，ocau 完成了超限元 Veblen 函数的形式化，其极限达到了LVO。

为了进一步得到更强的序数，需要对[[序数坍缩函数|序数折叠函数]]进行形式化。2024 年 8 月，ocau 进行了形式化良构树序数的尝试，但是并没有完成。实际上，早在 2019 年，就有形式化序数折叠函数的尝试。AndrasCovacs 利用树序数成功地将序数折叠函数形式化，其极限为<math>\psi(\Omega_\omega)</math> 。但是，进一步的形式化工作遇到了困难。

2025 年 6 月 18 日，形式化可数序数的工作取得了新的进展。ocau 定义了任意可数层布劳威尔树序数的结构，利用它来表示序数折叠函数中的非递归序数。通过恰当地定义布劳威尔树序数的折叠过程，ocau 完成了序数折叠函数的形式化，其极限为<math>\psi(\Omega_\Omega)</math> 。ocau 将其命名为布劳威尔树壁垒序数(Brouwer Tree Barrier Ordinal, BTBO)，即利用布劳威尔树的形式化方法所能够达到的极限。

形式化递归序数的推进无疑是一项重要的进展，它为序数记号的良序性提供了坚实的基础。然而，目前形式化工作的进展仍然十分有限。目前的形式化极限为<math>\psi(\Omega_\Omega)</math> ，而此处的序数已经被人们认为是相当可靠的。因此，对于大数数学领域来说，这一形式化的结果的意义更多是在理论上的，它并没有解决真正不够可靠的大递归序数的形式化问题。而另一方面，作为一个形式系统，Agda 本身的强度也是有限的，这或许为形式化序数的进展设置了一个理论上的上限。

== 5. BB(5) 的证明与 BB(6) 下界更新 ==
<blockquote>因此，秉承着对 Busy Beaver 值长期以来抱有的希望，我们预计BB(6) 将永远不会被证明。——BBChallenge 合作组，2025.9.15</blockquote>1936 年，图灵提出了一个称为图灵机的计算模型。图灵机可以在一条无限长的纸带上运动。在每个时刻，读写头都要从当前纸带上读入一个方格信息，然后结合自己的内部状态查找程序表，根据程序输出信息到纸带方格上，并转换自己的内部状态，然后进行移动。图灵机虽然结构简单，但是它却深刻地揭示了计算的本质。现代计算机在计算能力上与图灵机是等价的。
[[文件:v2-9d16302f36a26572d963c1c4c652eebc 1440w.png|缩略图|图灵机的结构]]
1962 年，Rado 提出了 [[忙碌海狸函数|Busy Beaver 函数]] BB(n) ，它定义为能够停机的 n 状态图灵机在停机前所能够运行的最大步数。由于图灵机能够计算所有的递归函数，因此BB(n) 相当于对所有递归函数进行对角化。它的增长速度必然超越了所有的递归函数，达到了非递归函数的层次。

求出BB(n) 的取值是极为困难的，因为我们需要找到所有能够停机的 n 状态图灵机，并取其运行步数的最大值。而一个图灵机是否停机是不可判定的，即不存在一个通用的算法能判断所有图灵机的停机性。我们实际上并不知道一个很久没有停机的图灵机究竟是无法停机，还是最终能够停机，只不过运行的时间还不够长。由于这些困难，求解 BB(n) 的进展十分缓慢。

1963 年，Lin 等人在文献中得到了BB(n)的第二和第三个取值

<math>\mathrm{BB(2)}= 6,\quad \mathrm{BB(3)}= 21</math>

1983 年，Brady 在文献中得到了BB(n)的第四个取值

<math>\mathrm{BB(4)}= 107</math>
[[文件:v2-20f50bf7a453ada487974dcc486401cf 1440w.png|缩略图|BB(5)判定器的工作流程。]]
然而， BB(5)是一个极为困难的问题。Marxen 在 1990 年找到了一个 5 状态图灵机，它要运行 47176870 步才能停机。也就是说，这是一个BB(5)的下界

但是在接下来的三十多年中，人们并没有找到停机时间更长的图灵机，也无法证明 47176870 就是BB(5)的精确值。对这个问题的研究近乎陷入了停滞的状态。
[[文件:v2-f24e0fa83b934ca943e4f057fd25c1e3 1440w.png|缩略图|十三个零散机的行为。]]
2022 年，一个致力于解决BB(n)问题的业余数学社区 BBChallenge 正式成立。他们设计了一系列判定器，来判定 5 状态图灵机的停机性。在经过七种精心设计的判定器筛选之后，最终只剩下 13 个图灵机没有解决。通过手动为这些图灵机单独编写证明，他们成功地解决了所有 5 状态图灵机的停机性的判定性问题，并最终证明了三十多年前的得到下界就是BB(5)的精确值：

在利用 Coq 形式化证明过程后，他们在 2024 年 7 月 2 日宣布已经解决了BB(5)的取值问题。2025 年 9 月 15 日，他们发布了证明BB(5)取值的论文。至此一个停滞了四十余年的问题在业余数学社区的推动下，终于得到了彻底的解决。

接下来一个自然的问题是，BB(6)的取值是多少。2025 年 6 月 25 日，mxdys 进一步发现了一个停机步数超过 <math>2 \uparrow\uparrow\uparrow 5</math> 的图灵机，从而将BB(6)的下界提升为

<math>\mathrm{BB(6)}> 2 \uparrow\uparrow\uparrow 5</math>

这是目前已知的最好结果。

目前BB(6)的取值问题的解决还遥遥无期。

== 6. 聚集地群成为第一大 ggg 群 ==
<blockquote>ggg 五群方案：

1. 核心大群（大群）

2. 协商会议、文件存储、记号分析、分散线程（会议群）

3. 新人教学、闲聊（聚集地）

4. 刷屏、发癫（表情包）

5. 对外交流、保留最后联系方式、玩 bot、其它（联合群）

——夏夜星空，2024 年 8 月 10 日</blockquote>由 test_alpha0 于 2021.7.3 建立的 QQ 群“googology/数学爱好者讨论群”（讨论群/大群）是中文大数数学社区首个建立的、有较大影响力的 QQ 群，它的建立标志着大数数学社区从百度贴吧时代正式步入了 QQ 群时代。该群的建立使得大数数学研究者的交流和联系变得更加密切，使得大数数学前沿知识得到了极大的普及。讨论群在大数数学社区的发展史之中具有不可磨灭的意义，长期以来一直被人们视为大数数学讨论的中心。

在 2024 年间，大数数学作为一种独特的亚文化开始在中文互联网上流行。特别是知乎上的“挑战葛立恒数”等话题开始让大数数学越来越为中文互联网用户所知，“写出一个很大的数（或是很强的无穷）”成为了一种越来越流行的时尚单品。在这种情况下，中文大数社区的轻度用户数量开始急剧增加，群聊中的讨论也变得越来越混乱。

在这一背景下，许多人认为大数社区的环境正在迅速恶化，话题变得越来越鱼龙混杂。特别是梅天狸因不满讨论群的氛围而退出群聊，并于 2024 年 4 月 14 日建立个人粉丝群“狸と扽西の催更群”（狸群）。这一事件促使群管理开始着手进行群聊讨论的分流，意图将严肃的大数数学讨论留在讨论群，而将新人教学、轻度讨论、日常交流等内容分流到其他群聊之中。由夏夜星空于 2023 年 1 月 8 日建立的 QQ 群“大数数学爱好者聚集地”（聚集地群）承担了这一责任。2024 年 4 月 19 日，QQ 群“大数数学爱好者自由讨论群”（自由群）建立，由 qwerty 担任群主，意图进一步分流灌水内容。

2024 年 8 月，大数数学社区发生了多起恶性事件。特别是一位网名为“孙笑川258”的用户使用多个账号炸群('''''此人并非孙笑川，只是用这样的账号的一个乐子人''''')，并威胁开盒大数社区的成员，严重扰乱了大数社区的秩序。群管理坚决捍卫社区利益，采取果断措施，粉碎了“孙笑川”的图谋。2024 年 8 月 8 日，test_alpha0建立了 QQ 群“googology 群人事管理”，将各群的管理进一步集中化。大数社区决议任免讨论群的多位管理，并加强群消息的进一步分流，提高讨论群的入群门槛和审核强度。这使得讨论群的活跃度迅速下降，日常的讨论几乎完全转移到了聚集地群，从此之后聚集地群的规模和消息数量开始暴增。

2025 年 4 月 5 日，聚集地群的人数成功追平讨论群。2025 年 7 月 4 日，聚集地群由 500 人群扩充为 2000 人群，并在两天之后增设了五位新管理员。2025 年 7 月 8 日，聚集地群的人数正式突破 500 人。2025 年 12 月 31 日，聚集地群的人数达到了 700 人，几乎包含了中文大数社区的所有活跃研究者。时至今日，不论是从总人数、活跃人数，还是新增消息数来看，聚集地群都已经成为了当之无愧的 ggg 第一大群（除表情包群）。

== 7. 最菜萌新的 BMS 全分析 ==
<blockquote>对于(0,0,0)(1,1,1)(2,2,0)以下的分析，我们几乎可以说这是完全正确的。对于(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)以下的分析，我们有很大的把握认为这是正确的。对于(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)以上的分析，我们几乎不知道这是否正确。——Racheline ，BM4 的分析</blockquote>尽管 BMS 的定义早就已经为人们所知，但长期以来，人们并不了解其强度。这只有将 BMS 和其他记号进行对比分析才能解决。对于 BMS 来说，一个合适的参照是序数折叠函数ψ，将非递归序数放入其中就可以得到递归序数。如果我们引入的非递归序数越强，那么输出的递归序数也就越强。恰当地在序数折叠函数之中引入了ω个非递归序数<math>\Omega_\omega</math>之后，我们可以得到如下结果

<math>(0,0,0)(1,1,1)=\psi(\Omega_\omega)=\mathrm{BO}</math>

要想继续分析 BMS，我们就不得不去寻找更加强大的[[序数#非递归序数|非递归序数]]。[[反射序数]]是一类重要的非递归序数。在引入了反射序数<math>\Pi_\omega</math>之后，我们可以得到如下的结果

<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,2,0)=\psi\left(\Pi_\omega\right)=\mathrm{SSO}</math>

[[稳定序数]]刻画了比反射序数更强的非递归序数。对于<math>\Sigma_1</math>稳定来说，若考虑一条长度为ω的稳定链，则有

<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)=\psi\left(\omega-\pi-\Pi_0\right)=\mathrm{LRO}</math>

以上的这些结果大概在 2020 年就已经得到了。

2021 年，test_alpha0定义了[[投影序数]]。1-投影序数就是<math>\Pi_2</math> 反射序数，而 2-投影序数α则是一个非常强大的非递归序数，当然还可以定义更强大的 3-投影序数，直到ω-投影序数，它的极限为

<math>(0,0,0,0)(1,1,1,1)=\psi\left(\omega-\mathrm{P}\right)=\mathrm{TSSO}</math>

2024 年，最菜萌新开始研究高阶投影的可能性。对于[[向上投影]]来说，定义投影升阶运算σ ，将它作用在投影序数上之后，可以得到比它更高的投影序数。令 S 是最小的 (1,0) -投影，则<math>\psi_S</math>可以投影比它更高的序数<math>\sigma^n S</math> ，这是一种强大的投影层次。在这之后的接近一年的时间里，他不断地完善向上投影的规则并将其递归化，利用它来分析 BMS 的强度。

2025 年 7 月 16 日，最菜萌新宣布了如下的结果：

<math>(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,3,3,1)(4,0,0,0)=\psi\left(\psi_S\left(\sigma^\omega S\right)\right)</math>

引入更复杂的投影结构，可以得到四行 BMS 的极限<math>(0,0,0,0,0)(1,1,1,1,1)=\psi\left(\psi_A([1,1] A \cdot \omega)\right)</math>，乃至 BMS 的极限<math>\text{limit of BMS}=\psi\left(\varepsilon_{H+1}\right)=\mathrm{SHO}</math>。

至此最菜萌新完成了 BMS 的全分析。

该项工作一共包含 7777 条对照分析的结果，是大数数学史上最为庞大的分析工作之一。由于最菜萌新提出了一套完整的理念、一套行之有效的规则，以及详尽的分析结果，向上投影已经打败了其他的投影记号，成为了 (0,0,0)(1,1,1)(2,2,2) 之后的标准记号，甚至投影系记号已经逐渐有取代更加传统的稳定系记号的趋势了。

BMS 并未抵达向上投影的极限，接下来需要利用[[Y序列]]对其进行分析。然而向上投影与Y序列之间的分析举步维艰，目前尚不清楚向上投影的极限究竟是多少。除此之外，向上投影也为[[非递归BMS]]的分析提供了参考。若将 BMS 第一列的全部零删去，则可以设想让 BMS 输出非递归记号。这一非递归记号的强度用向上投影来分析是合适的。

需要说明的是，投影序数并非集合论意义上的严格的非递归序数。而将投影序数放入ψ之中得到的递归化函数，本质上仍然是一个递归记号。事实上即使是对于反射序数和稳定序数来说，我们也只是使用了一种“长得像序数折叠函数”的递归记号，它们模仿了真正使用集合论方法来定义的序数折叠函数的行为。

而另一方面，真正严格意义上的序数折叠函数以及相应的非递归分析已经得到了长足的发展，这一部分应当归功于序数分析领域的专业数学家。目前序数分析的巅峰之作是数学家 Arai 对二阶算术的序数分析，这是序数分析领域中发展的最强序数折叠函数。然而我们并不知道它和大数数学之中发展的序数记号之间的强度关系是什么样的，目前我们只能就此做出一些猜测。

我们已经知道的是，文章利用<math>\Sigma_n</math>稳定序数的存在性证明了 BMS 的良序性，而二阶算术与 <math>\mathrm{KP} +</math>存在<math>\Sigma_1</math>稳定序数+存在<math>\Sigma_2</math>稳定序数+……这一公理体系的强度是相同的。如果我们真的可以认为 BMS 与二阶算术的强度相同，那么我们就可以说 Arai 的序数折叠函数极限等于 BMS 的极限，它们都是二阶算术的证明论序数。然而严格的序数分析是极其困难的工作，也许我们永远也不会知道我们的记号何时能够达到各种公理体系的极限了。

== 8. HypCos 定义 ω^ωMN ==
<blockquote>时至今日，还未有人分析 Tω^ωMN。它太难分析了吗？它太难理解吗？没有什么合适的其它记号用来分析吗？—— HypCos ，2025.8.17</blockquote>BMS 是跨时代的记号，它将递归记号构造的范式从数阵型记号转变为了 Worm 型记号，其强度远远超越了当时的所有记号。2020 年 9 月，日本的大数研究者 Yukito 对 Worm 型记号进行扩展，定义了 Y序列，它的强大再一次震撼了研究者。后来 Yukito 又定义了更加强大的[[ω-Y|ω-Y序列]]，这是目前已经得到公认的、成熟的大数数学社区最强记号。

如果要得到更强的记号，下一步该如何做？我们可以试图将 ω-Y 序列推广到更高的<math>\alpha-\mathrm Y</math> 序列，乃至<math>\Omega-\mathrm Y</math>序列。考虑到 BMS 有ω行，1-Y 序列的山脉图有 <math>\omega^2</math> 行，ω-Y 序列的山脉图有 <math>\omega^\omega</math>行，那么似乎将山脉图的行数推广到更高就可以得到更强的记号。不过令人遗憾的是，平凡的推广几乎是没有任何意义的。BMS 也可以直接推广到Ω行，但是它的强度仍然难以超越Y(1,3,4,3) 。事实上，目前已知的所有定义<math>\Omega-\mathrm Y</math>序列的尝试不是非良序，就是强度达不到预期。在ω-Y 序列之上，人们似乎再难以前进半步。

HypCos对 Worm 记号体系进行了深入的研究。鉴于序列型记号形式上的困难已经严重阻碍了进一步的推广，HypCos采用了新的多维数阵体系，将山脉图的结构直接编码进表达式中，称为[[Mountain Notation|山脉记号]]（Mountain Notation，MN）。他在 2024 年 9 月 11 日提出了ωMN的定义，这一记号与 ω-Y序列是等价的。接下来他在 2024 年 9 月 15 日又进一步提出了<math>\omega\cdot 2\mathrm{MN}</math>的定义。最终在 2025 年 7 月 19 日，他进一步地提出了 <math>\omega^\omega\mathrm{MN}</math>的定义，这是目前已知的有明确定义的最强递归记号之一。

如果不能真正理解 Worm 型记号为何如此之强，那么想凭运气再创造出来一种本质上强于它的记号也几乎是不可能的。2024 年 2 月 23 日，几位研究者以极富洞察力的直觉提出了“[[传递]]”的概念，从而解决了 Worm 型记号强度的来源问题。简单地说，序数记号的传递现象意味着一个序数记号表达式在展开时，不仅仅是判定展开所用到的元素参与了展开过程，还有别的元素也参与了展开过程，从而将序数结构的一部分“传递”到了展开后的表达式之中。
[[文件:v2-0eab85904cbae6d283df767e2879a755 1440w.png|缩略图|Y(1,3,7)展开为Y(1,3,6,12,24,48,96,192,...)，从图中可以看出，对角线上的元素由1,2,2展开为1,2,1,2,1,2,...，因此这是一个真正的ω行传递。]]
具有传递现象的记号通常拥有更高的强度，并且传递的层次越高，记号的强度就越高。对于 BMS 来说，若删去第 n 列及以下的部分能够该改变坏根的位置，则称该表达式拥有 n 行传递。BMS 拥有任意有限的 n 行传递，因此它的强度超越了绝大多数其他类型的序数记号。而Y序列拥有真正意义上的ω行传递，因此它远远超越了 BMS 平凡扩展的极限。

MN系列记号利用独特的拉伸操作，实现了比ω-Y 序列更加强大的结构，增进了人们对于ω-Y 序列之上的递归序数结构的理解。然而我们能说<math>\omega^\omega\mathrm{MN}</math>就是预想中的<math>\omega^\omega-\mathrm Y</math>序列吗？它具有真正的更高层次的传递吗？或者说，山脉记号能够成为Y序列的某种“上位替代”吗？这一点恐怕很难说。因为没有人知道一个理想的传递究竟应该是什么样子的，人们最多只能知道某个记号并不符合心目中的“理想”情况。不过从目前的情况来看，MN系列记号确实已经成为了ω-Y 序列之后的一种新的参照标准，正在被越来越多的人所接受。

以传递现象的提出作为标志性事件，一部分研究者建立了更加深入的“构造理论”，期望能够触及更加强大的记号体系的一角。对构造理论的研究几乎是整个 2024 年的研究核心，人们提出了太多的理论和体系，又将它们一个个推翻。目前关于构造理论的研究少有成体系的结果，也并没有真正建立起成熟完备的新记号体系。而且目前对于构造理论的研究过于艰涩，除了寥寥几位研究者之外，其他人几乎不知道他们在做什么。我们并不知道目前在构造理论上的尝试是否是正确的。

== 9. Phyrion 的新 Googology Wiki ==
<blockquote>wiki.googology.top：首个以 googology 为二级域名建立的网站！——Phyrion，2025.6.25</blockquote>在 21 世纪的前几年中，大数数学还仅仅是一个只为极少数人所知的小众数学问题。那时仅有少数几位欧美国家的爱好者关注这一问题，并且将自己的研究成果发布在个人网站上。直到 2008 年 12 月 5 日，fandom 上的 Googology Wiki 网站正式上线，才结束了这一局面。在这之后的十余年时间里，Googology Wiki 当之无愧地成为了全球大数数学研究者的中心，为大数数学的发展提供了一个宝贵的平台。

长期以来，Googology Wiki 包含着大数数学社区最完整的知识以及最前沿的进展，但是随着时间的推移，Googology Wiki 也已经逐渐衰落了。起先是 Wiki 中的部分成员不满管理员的专权，因此另立门户。欧美大数社区的讨论中心也逐渐转移到了 Discord 频道上，不再活跃于 Wiki。而中文社区和日文社区近乎独立地发展，极少与欧美社区进行交流。因此在 2020 年之后，Fandom 的 Googology Wiki 迅速的落后于了整个时代。

为了建立一个能够完整准确地反映现代大数数学研究进展的在线知识库，Phyrion 启动了新 Wiki 计划。该计划从 2025 年 6 月启动，由 Phyrion 维护网站，并由十余位活跃研究者共同编写。2025 年 8 月 15 日，新 Wiki 的网址 wiki.googology.top 正式公开，并立刻引起了大数社区的广泛关注。

新 Wiki 全面抛弃了旧 Wiki 以大数为中心的思想，而转向了更加现代化的以序数为中心的思想。新 Wiki 系统性地整理了大数数学的最新研究成果，许多成果都是首次发布在公共的平台之上。新 Wiki 在内容选择、材料组织等方面遵循了深入浅出、详略得当的原则，既能够完整准确地反映大数数学的核心内容和最新进展，又不显得过于繁冗。新 Wiki 已经成为了大数社区最重要的在线知识库之一。

新 Wiki 的命运是坎坷的。在 2025 年 9 月 30 日，新 Wiki 站点由于欠费停站，直到 2025 年 10 月 11 日才重新恢复。而后它在 2025 年 10 月 31 日再次由于欠费而停站，直到2026年2月20日。这引发了人们对于新 Wiki 站点不稳定的担忧。

== 10. PPS 被发现无穷降链 ==
<blockquote>@全体成员 PPS 无穷降链

沉痛悼念，永垂不朽

——z，2025.12.10</blockquote>[[PPS|Parented Predecessor Sequence]]（PPS）是3183 丶 4139于 2024 年 9 月 9 日创造的记号。PPS 的定义非常简单，相比于标记父项列标 PrSS，它只增加了一条规则：如果坏部里没有其他等于坏根的项，那么复制时，复制出来的部分的首项改成原末项-1。

然而，正是这样简单的规则导致了极其诡异的行为。整个七月份，大数数学的研究者绞尽脑汁对 PPS 的强度进行分析，然而整个记号的规律似乎完全是无法理解的。即使进行了大量的尝试，耗尽了全部的精力，研究者们也未能将 PPS 分析至<math>\zeta_0</math>。这对于该强度的记号来说似乎是完全无法理喻的。在遭受了重大的挫折之后，大数数学的研究者不得不将精力转移到其他的问题上。

一切都结束于 2025 年 12 月 10 日，在这一天 ddfg 通过对 PPS 的详尽分析，发现了一个展开式，它可以无穷无尽地展开下去，越来越复杂，永远也不会停下来。这种越来越复杂的表达式构成了一条不断递降的链条，称为无穷降链。由于序数的每个子集必有最小元，不会出现无穷递降的情况，因此 PPS 的展开不构成其标准表达式上的一个良序关系。也就是说，PPS 根本就不是一个序数记号。

PPS 的无穷降链无疑是对于其研究者的一个沉痛打击。尽管在这之后还有一系列修复 PPS 的尝试，但人们对这一记号已经失去了信心。不过人们更好奇的是，为什么时隔如此之久，大数社区才找到了 PPS 的无穷降链。这不禁让人们想起 2024 年 7 月 7 日的盛况，在短短的几个小时内，三个前沿记号都被发现无穷降链或不良定义，大数数学社区的进展几乎一夜之间倒退到了 2021 年的ω-Y序列。

无穷降链是悬在所有序数记号头上的达摩克里斯之剑，几乎所有记号都要受到无穷降链的威胁。人们或许希望能够直接利用数学方法证明记号的良序性，从而一劳永逸地解决这一问题。然而我们现在几乎完全不知道如何证明记号的良序性，目前仅有寥寥几个记号的良序性问题得到了解决。并且事实上任何公理体系可证良序的范围都是有限的，一旦记号的强度超出了这一范围，那么我们就必须诉诸更加强大的公理体系。而与此同时，过于强大的公理体系本身的一致性都是值得怀疑的。因此可以说，记号良序性证明的困难是本质的。

但是，如果我们不能够为记号的良序性给出证明，那么我们要如何相信它们的可靠性呢？如果我们连严格性都舍弃掉，那么整个数学体系之中还有什么是可以信赖的呢？多年以来大数数学研究者建立起的庞大的理论体系，究竟有多少是虚无的空中楼阁，随时会被推翻？我们不知道这些问题的答案。或许真正具有洞察力的数学研究者能够推动这一问题的解决，而在这之前，我们只能祈祷之前建立起的大多数地基都是扎实的。

== 展望：未来时代的大数数学 ==
自 2021 年以来，中文大数社区得到了长足的发展，逐渐赶上并超越了欧美社区和日本社区的水平。特别是在 2024 年，大数社区内部洋溢着积极乐观的情绪。在传递以及其他思想的指引下，构造理论得到了充分的发展。FOS、fffz、MMS、MN 等新记号的提出和优化层出不穷。 @曹知秋的《大数理论》系统性地整理了大数数学的理论体系，结束了资料过于零散的时代。随着相关亚文化的传播，大数数学在中文互联网上的知名度越来越高，这为中文大数社区提供了大量的新鲜血液。

然而进入 2025 年之后，大数数学的研究开始进入了低谷。人们开始审视之前过于激进的理论体系，并排除了大量不可靠的结果和空中楼阁一般的概念。尽管大数数学知名度仍然在不断增加，进入大数社区的新人越来越多，但是这些人通常不会去真正了解大数数学的知识，并且圈层的扩大也势必会对原有的大数社区生态造成破坏。近年来大数社区与其他社区的交往正在变得更加紧密，这种联系总体上是有益的，但实际上并未真正对各自关心的问题有实质性的启发。大数数学横向上的宽度正在不断扩展，但是纵向上的深度则并未有明显的增加。大数数学各社区之间的国际交往仍然非常有限，欧美社区和日本社区的研究也明显地进入了衰退期。大数数学的业余研究者和专业数学家之间几乎没有交流，专业数学家不关心（或者根本不知道）大数数学社区的结果，我们也几乎无法理解专业数学家的相关工作。

2025 年生成式人工智能的发展非常迅猛，已经在方方面面深刻地改变了人们的生活。然而，目前来看关于大数数学的资料仍然十分缺乏，人工智能在大数数学问题上的表现不佳。我们期望人工智能能够在记号分析、资料整理等领域为我们提供更多的帮助，但是目前看来，这一目标还非常遥远。

根据库恩的范式理论，科学的发展并非是简单的线性累积，而是在常规发展和科学革命两个阶段之间不断交替。按照这一理论，我们至今仍然处在 Worm 型记号革命之后的常规发展阶段，并且这一阶段的潜力正在肉眼可见地被消耗殆尽，逐渐失去了生命力。当前的大数数学研究呈现出了越来越复杂化的倾向，新的结果几乎不能够被其他研究者所理解。进入大数数学前沿研究的门槛越来越高，几乎超过了普通人单纯凭借兴趣所能够达到的极限。事实上自从 2024 年以来，尽管加入大数社区的新人越来越多，但是只有屈指可数的几个人能够真正了解大数数学的前沿进展，并且真正为大数数学的发展做出贡献。这一阶段未来可能还要继续持续下去，直到量变的积累产生质变，或者有真正天才的研究者为我们踏出关键的一步，将大数数学引领到一个全新的时代。

'''附：2024 年中文大数社区十大事件'''

'''1. 3183 丶 4139提出 FOS'''

'''2. 传递现象的提出'''

'''3. 大数社区群聊改革'''

'''4. 曹知秋发布《大数理论》'''

'''5. HypCos提出 MM3'''

'''6. BB(5)取值的严格证明'''

'''7. 7 月 7 日前沿记号的无穷降链或不良定义'''

'''8. 夏夜星空完善 fffz 规则'''

'''9. HypCos提出 MN'''

'''10. 62XXY（739085）与大数社区决裂'''

参考资料

2025年中文大数社区十大事件

2026-05-27T23:34:18Z

CGoL：小调整

大数数学（[[Googology]]，ggg）是系统性地研究如何构造大自然数的数学分支。中文大数社区是一个致力于发展大数数学理论的中心化业余数学社区，它以一系列 QQ 群为核心，其成员为较为严肃的大数数学爱好者。广义的中文大数社区包含中文互联网上所有关心和讨论大数数学相关问题的人。

本词条总结了 2025 年中文大数社区影响力最大的 10 个事件（进展），按照时间顺序进行排列。以下内容来自<ref>[https://zhuanlan.zhihu.com/p/1988997637857358320 2025年中文大数社区十大事件]</ref>

== 1. blp 与 DEN 的定义 ==
[[Laver Table|laver table 函数]]的增长速度能不能超过 [[皮亚诺公理体系|PA]] 可证极限(<math>\varepsilon_0</math>)是 Dougherty 在 30 年前提的问题。这个问题是有不少关注的，虽然也没有特别多，但经常能在科普文中看到，有个数学物理学家还在他的博客里讲过这个文章。它被认为极度困难。30 年来毫无进展。30 年后，它被一篇完全是基于 ggg 思想的论文解决了。—— test_alpha0，2025.12.21
1992 年，Laver 提出了 Laver Table，并定义了与之相关联的 Laver Table 函数。这个函数的完全性需要在 <math>\mathrm{ZFC+I3}</math>之中才能够得到证明。人们期望这是一个增长十分迅速的大数函数，然而长期以来，研究者们始终不能够证明这一点。

为了解决这一问题，研究者们付出了许多努力。2023 年， test_alpha0定义了 [[LTY|Laver Table Yarn]]（LTY）作为 Laver Table 的扩展，其完全性需要在 <math>\mathrm{ZFC+I1}</math>之中才能够得到证明。

2025 年 1 月 3 日，test_alpha0在论文<ref>https://arxiv.org/pdf/2501.06733</ref>中证明 Laver Table 函数的增长速度超越了一切能够在皮亚诺公理系统中可证完全性的函数。所有公理体系的证明能力都有极限，皮亚诺公理只能证明<math>\varepsilon_0</math>以下的良序结构。因此用更为大数数学研究者熟悉的话说，这意味着 Laver Table 函数的增长率至少达到了<math>\varepsilon_0</math>。

为了证明这一点，作者在论文中定义了一个递归记号 [[BLP|Basic Laver Pattern]]（blp），以描述初等嵌入的关键点之间的结构。通过利用 blp 构造恰当的递归函数，作者成功证明了 Laver Table 函数的增长率至少达到了<math>\varepsilon_0</math>。作者进一步在论文中宣称，事实上可以证明 Laver Table 函数的增长率至少达到了[[BO]]。这篇论文进一步讨论了 LTY 的定义和性质。

[[文件:v2-7bdbac5d06cfe86ef0162ab98c727176 1440w.png|缩略图|“我们用美丽的颜色#66CCFF来表示复制操作中要复制的行”]]
即使作为递归记号本身，blp 的意义也是足够重大的。长期以来，对记号良序性的证明几乎是大数数学领域中最为困难的问题，而 blp 的良序性已经在上述论文中得到了证明。目前猜测，blp 的强度极大可能超过 [[BMS]] 的极限，与 [[Y序列|Y]](1,3,8) 的强度关系尚不明确。因此，blp 有极大可能取代 BMS，成为目前已证良序性的最强递归记号。（当然，这一说法排除了证明论中发展的一系列序数折叠函数，目前大数数学社区对这些函数的强度几乎一无所知。）

Laver Table 几乎是无法以人力进行分析的。blp 是 Laver Table 的一个弱下界，并且是一个可证良序的递归记号。然而 blp 的性质也过于复杂，最菜萌新仅仅将 blp 分析到了<math>\zeta_0</math>。 test_alpha0估计 blp 的表达式 <math>\mathrm{mcce2mmcce2mcmcc}</math>等于 BMS 极限，这是目前已知的最好结果。

为了更好地了解 blp 的性质，HypCos于 2025 年 12 月 21 日定义了 [[DEN|Defective Embeeding Notation]]（DEN），它的行为比 blp 要简单得多。DEN 的绝大部分定义都与 blp 相同，但在“M 操作”之中的“Copied 操作”中，复制的是从第 s(-1,-l-2) 行开始的所有内容。如果把 DEN 比作 BMS，那么 blp 就可以比作只有最后一列长度为 1 时展开 n 次，其他时候仅仅展开两次的 BMS。由于这样一种性质，目前人们估计 DEN 的强度与 blp 应该是相等的。然而经过这样修改之后，blp 的良序性证明对 DEN 就无效了。

HypCos和梅天狸对 DEN 的性质进行了详细的分析，目前已经分析到了 BMS 的极限，这同时也为 blp 的 BMS 极限表达式强度提供了佐证。然而在这之后，记号的性质变得更加困难，分析变得举步维艰。我们目前对 DEN 和 blp 的强度极限尚没有估计。

== 2. 梅天狸的两行 BHM 分析 ==
<blockquote>是的，这个结果几乎宣判 BHM=BMS 了。—— 梅天狸，2025.4.6</blockquote>Bashicu Matrix System（BMS）是日本的大数数学研究者 Bashicu 于 2014 年提出，并于 2018 年完善的记号。为了展开 BMS，我们需要找到表达式的 “好部”和“坏部”，然后保持好部不动，坏部加上阶差向量后不断地在序列末尾复制。

[[BHM|Bashicu Hyper Matrix]]（BHM）是 BMS 的改版，它只是坏部的规则发生了变化。简单地说，BHM 坏部的范围总是大于或者等于 BMS 坏部的范围。可以设想在展开的过程中 BHM 将携带更多的信息，因此 BHM 的强度至少不低于 BMS。

我们将类似于 BHM 这种扩大坏部范围的模式称为“急模式”。一个自然的问题是，BHM 的强度相比于 BMS 是否真的有提高？如果有的话，那么究竟提高了多少？或者更进一步地说，对记号进行急模式的推广，是否在本质上真正增加了记号的强度？

要回答这一问题，必须建立起 BHM 与 BMS 表达式的一一对应关系。虽然 BHM 与 BMS 的结构相同，二者的展开规则也相差不多，但是它们的行为实际上具有很大的差别，这使得它们之间的分析变得极为困难。早年 HypCos 曾经对此进行过非常详细的分析，但是进展十分有限。长期以来这一直被视为大数数学之中的一个非常困难的问题。

经过长达 13 个月的分析，在 2025 年 4 月 6 日，梅天狸宣布得到了如下的结果：

<math>\begin{aligned} & \mathrm{BHM}(0,0,0)(1,1,1) \\ =~&\mathrm{BMS}(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(3,1,1) \end{aligned}</math>

毫无疑问，这一结果是大数数学分析领域的一座丰碑，它解决了人们此前认为几乎是不可能解决的问题。根据这一结果，一行 BHM 的极限在一行 BMS 的极限和两行 BMS 的极限之间，两行 BHM 的极限在两行 BMS 的极限和三行 BMS 的极限之间。如果这一规律能够一直得到保持，那么 n 行 BHM 的极限将处在 n 行 BMS 的极限和 n+1 行 BMS 的极限之间。取 n 趋于无穷大的极限，那么我们将发现 BHM 的极限将与 BMS 的极限是相同的。也就是说，虽然 BHM 的表达式强于 BMS，但是二者的强度是一样的。BMS 最终追平了 BHM。

空间对另一个急模式的记号 [[BSM|Bashicu Sudden Matrix]]（BSM）的分析也发现了意料之外的弱化，这暗示 BSM 的强度也有可能远远不及预期。鉴于以上的结果，我们现在认为急模式并没有从本质上提升记号的强度。

== 3. 第四级运算的解析延拓 ==
我怀疑这套方法可以直接推广到任意阶超运算。—— 曹知秋，2025.7.11

现在看来……至少是很难直接推广。—— 曹知秋，2025.9.21
大数数学称加法为一级运算，乘法为二级运算，乘方为三级运算。由于将前一级运算迭代若干次后可以得到下一级运算，因此将乘方迭代若干次后，我们进一步可以得到第四级运算。我们用运算符<math>\uparrow\uparrow</math>来表示第四级运算，它实际上就是指数塔

<math>a\uparrow\uparrow b=\underbrace{a^{a^{\ldots^{a}}}}_{b\text{个}a}</math>

其中左边的元素 a 代表指数塔的底数，右边的元素 b 代表指数塔的层数。需要注意的是第四级运算要从最上层开始，逐层计算指数的取值。

通常来说，第四级运算的的底数和层数都定义在正整数之上，然而我们有时候希望能够将其推广为任意的实数，这正如我们经常希望使用实数变量的加法、乘法和乘方运算一样。要将底数 a 推广为实数是容易的，因为实数的指数函数是有明确定义的。现在的问题在于，我们是否能将第四级运算的的层数 b 也推广为一般的实数？
[[文件:v2-0fac7192f084c9d058a61ad35b83c054 1440w.png|缩略图|397x397像素|第四级运算在复平面上的等值曲线。]]
事实上，这个问题在复数域上讨论起来更容易，因为复变函数拥有更良好的解析性质。因此我们希望能够将层数 b 延拓到整个复平面上，即找到一个以 b 为变量的复变函数，它除去奇点之外在整个复平面上是解析的，并且在 b 取正整数时能够回到通常的第四级运算。这被称为第四级运算的解析延拓（或者更严格地称为定义域的扩张）。

第四级运算的解析延拓是一个困难的问题，因为函数增长的速度太过迅速。这一问题有一个业余数学社区关注，不过真正重要的进展都是由专业的数学家得到的。早在上世纪五十年代，这类问题便已经引起了数学家的关注。因为第四级运算可以视为函数<math>f(x)=a^x</math>迭代若干次的结果，而迭代非整数次的问题由一个名为“超函数”的数学分支描述。2009 年，Kouznetzov 在文献中讨论了第四级运算在复平面上的解析性质。而后在 2017 年，Paulsen 等人在文献中首次给出了第四级运算的级数解，2019 年 Paulsen 在文献中讨论了第四级运算延拓的唯一性。2022 年，Nixon 在文献中给出了第四级运算解析延拓的渐进解。

2025 年 5 月 8 日，Vey 宣布完全解决了第四级运算解析延拓的问题。他在论文中考虑了 Schröder 泛函方程，将待求的函数在其奇点处展开为级数，然后通过级数反演求出了第四级运算解析延拓的显式表达式。至此，大数数学中一个二十余年悬而未决的问题终于得到了解答，我们终于得到了一个性质良好的定义在复平面上的四级运算。

我们目前尚不知道如何将更高级的运算进行解析延拓。

== 4. 至 BTBO（BIO）的形式化递归序数 ==
为了引起关注, 我们将其命名为布劳威尔树壁垒序数(Brouwer Tree Barrier Ordinal)。—— ocau ，2025.6.18
长期以来，大数数学一直建立在不严格的基础之上，大量[[序数记号]]的良序性无法得到证明。 ocau 利用 Agda 语言进行了递归序数的形式化，从而保证了序数系统的可靠性。

ocau 的形式化工作分为了几个不同的阶段。最早期的工作于 2022 年 11 月完成，它达到了二元 [[Veblen 函数]]的极限<math>\Gamma_0</math>。2024 年 7 月，ocau 完成了超限元 Veblen 函数的形式化，其极限达到了LVO。

为了进一步得到更强的序数，需要对[[序数坍缩函数|序数折叠函数]]进行形式化。2024 年 8 月，ocau 进行了形式化良构树序数的尝试，但是并没有完成。实际上，早在 2019 年，就有形式化序数折叠函数的尝试。AndrasCovacs 利用树序数成功地将序数折叠函数形式化，其极限为<math>\psi(\Omega_\omega)</math> 。但是，进一步的形式化工作遇到了困难。

2025 年 6 月 18 日，形式化可数序数的工作取得了新的进展。ocau 定义了任意可数层布劳威尔树序数的结构，利用它来表示序数折叠函数中的非递归序数。通过恰当地定义布劳威尔树序数的折叠过程，ocau 完成了序数折叠函数的形式化，其极限为<math>\psi(\Omega_\Omega)</math> 。ocau 将其命名为布劳威尔树壁垒序数(Brouwer Tree Barrier Ordinal, BTBO)，即利用布劳威尔树的形式化方法所能够达到的极限。

形式化递归序数的推进无疑是一项重要的进展，它为序数记号的良序性提供了坚实的基础。然而，目前形式化工作的进展仍然十分有限。目前的形式化极限为<math>\psi(\Omega_\Omega)</math> ，而此处的序数已经被人们认为是相当可靠的。因此，对于大数数学领域来说，这一形式化的结果的意义更多是在理论上的，它并没有解决真正不够可靠的大递归序数的形式化问题。而另一方面，作为一个形式系统，Agda 本身的强度也是有限的，这或许为形式化序数的进展设置了一个理论上的上限。

== 5. BB(5) 的证明与 BB(6) 下界更新 ==
因此，秉承着对 Busy Beaver 值长期以来抱有的希望，我们预计BB(6) 将永远不会被证明。——BBChallenge 合作组，2025.9.15
1936 年，图灵提出了一个称为图灵机的计算模型。图灵机可以在一条无限长的纸带上运动。在每个时刻，读写头都要从当前纸带上读入一个方格信息，然后结合自己的内部状态查找程序表，根据程序输出信息到纸带方格上，并转换自己的内部状态，然后进行移动。图灵机虽然结构简单，但是它却深刻地揭示了计算的本质。现代计算机在计算能力上与图灵机是等价的。
[[文件:v2-9d16302f36a26572d963c1c4c652eebc 1440w.png|缩略图|图灵机的结构]]
1962 年，Rado 提出了 [[忙碌海狸函数|Busy Beaver 函数]] BB(n) ，它定义为能够停机的 n 状态图灵机在停机前所能够运行的最大步数。由于图灵机能够计算所有的递归函数，因此BB(n) 相当于对所有递归函数进行对角化。它的增长速度必然超越了所有的递归函数，达到了非递归函数的层次。

求出BB(n) 的取值是极为困难的，因为我们需要找到所有能够停机的 n 状态图灵机，并取其运行步数的最大值。而一个图灵机是否停机是不可判定的，即不存在一个通用的算法能判断所有图灵机的停机性。我们实际上并不知道一个很久没有停机的图灵机究竟是无法停机，还是最终能够停机，只不过运行的时间还不够长。由于这些困难，求解 BB(n) 的进展十分缓慢。

1963 年，Lin 等人在文献中得到了BB(n)的第二和第三个取值

<math>\mathrm{BB(2)}= 6,\quad \mathrm{BB(3)}= 21</math>

1983 年，Brady 在文献中得到了BB(n)的第四个取值

<math>\mathrm{BB(4)}= 107</math>
[[文件:v2-20f50bf7a453ada487974dcc486401cf 1440w.png|缩略图|BB(5)判定器的工作流程。]]
然而， BB(5)是一个极为困难的问题。Marxen 在 1990 年找到了一个 5 状态图灵机，它要运行 47176870 步才能停机。也就是说，这是一个BB(5)的下界

但是在接下来的三十多年中，人们并没有找到停机时间更长的图灵机，也无法证明 47176870 就是BB(5)的精确值。对这个问题的研究近乎陷入了停滞的状态。
[[文件:v2-f24e0fa83b934ca943e4f057fd25c1e3 1440w.png|缩略图|十三个零散机的行为。]]
2022 年，一个致力于解决BB(n)问题的业余数学社区 BBChallenge 正式成立。他们设计了一系列判定器，来判定 5 状态图灵机的停机性。在经过七种精心设计的判定器筛选之后，最终只剩下 13 个图灵机没有解决。通过手动为这些图灵机单独编写证明，他们成功地解决了所有 5 状态图灵机的停机性的判定性问题，并最终证明了三十多年前的得到下界就是BB(5)的精确值：

在利用 Coq 形式化证明过程后，他们在 2024 年 7 月 2 日宣布已经解决了BB(5)的取值问题。2025 年 9 月 15 日，他们发布了证明BB(5)取值的论文。至此一个停滞了四十余年的问题在业余数学社区的推动下，终于得到了彻底的解决。

接下来一个自然的问题是，BB(6)的取值是多少。2025 年 6 月 25 日，mxdys 进一步发现了一个停机步数超过 <math>2 \uparrow\uparrow\uparrow 5</math> 的图灵机，从而将BB(6)的下界提升为

<math>\mathrm{BB(6)}> 2 \uparrow\uparrow\uparrow 5</math>

这是目前已知的最好结果。

目前BB(6)的取值问题的解决还遥遥无期。

== 6. 聚集地群成为第一大 ggg 群 ==
<blockquote>ggg 五群方案：

1. 核心大群（大群）

2. 协商会议、文件存储、记号分析、分散线程（会议群）

3. 新人教学、闲聊（聚集地）

4. 刷屏、发癫（表情包）

5. 对外交流、保留最后联系方式、玩 bot、其它（联合群）

——夏夜星空，2024 年 8 月 10 日</blockquote>由 test_alpha0 于 2021.7.3 建立的 QQ 群“googology/数学爱好者讨论群”（讨论群/大群）是中文大数数学社区首个建立的、有较大影响力的 QQ 群，它的建立标志着大数数学社区从百度贴吧时代正式步入了 QQ 群时代。该群的建立使得大数数学研究者的交流和联系变得更加密切，使得大数数学前沿知识得到了极大的普及。讨论群在大数数学社区的发展史之中具有不可磨灭的意义，长期以来一直被人们视为大数数学讨论的中心。

在 2024 年间，大数数学作为一种独特的亚文化开始在中文互联网上流行。特别是知乎上的“挑战葛立恒数”等话题开始让大数数学越来越为中文互联网用户所知，“写出一个很大的数（或是很强的无穷）”成为了一种越来越流行的时尚单品。在这种情况下，中文大数社区的轻度用户数量开始急剧增加，群聊中的讨论也变得越来越混乱。

在这一背景下，许多人认为大数社区的环境正在迅速恶化，话题变得越来越鱼龙混杂。特别是梅天狸因不满讨论群的氛围而退出群聊，并于 2024 年 4 月 14 日建立个人粉丝群“狸と扽西の催更群”（狸群）。这一事件促使群管理开始着手进行群聊讨论的分流，意图将严肃的大数数学讨论留在讨论群，而将新人教学、轻度讨论、日常交流等内容分流到其他群聊之中。由夏夜星空于 2023 年 1 月 8 日建立的 QQ 群“大数数学爱好者聚集地”（聚集地群）承担了这一责任。2024 年 4 月 19 日，QQ 群“大数数学爱好者自由讨论群”（自由群）建立，由 qwerty 担任群主，意图进一步分流灌水内容。

2024 年 8 月，大数数学社区发生了多起恶性事件。特别是一位网名为“孙笑川258”的用户使用多个账号炸群('''''此人并非孙笑川，只是用这样的账号的一个乐子人''''')，并威胁开盒大数社区的成员，严重扰乱了大数社区的秩序。群管理坚决捍卫社区利益，采取果断措施，粉碎了“孙笑川”的图谋。2024 年 8 月 8 日，test_alpha0建立了 QQ 群“googology 群人事管理”，将各群的管理进一步集中化。大数社区决议任免讨论群的多位管理，并加强群消息的进一步分流，提高讨论群的入群门槛和审核强度。这使得讨论群的活跃度迅速下降，日常的讨论几乎完全转移到了聚集地群，从此之后聚集地群的规模和消息数量开始暴增。

2025 年 4 月 5 日，聚集地群的人数成功追平讨论群。2025 年 7 月 4 日，聚集地群由 500 人群扩充为 2000 人群，并在两天之后增设了五位新管理员。2025 年 7 月 8 日，聚集地群的人数正式突破 500 人。2025 年 12 月 31 日，聚集地群的人数达到了 700 人，几乎包含了中文大数社区的所有活跃研究者。时至今日，不论是从总人数、活跃人数，还是新增消息数来看，聚集地群都已经成为了当之无愧的 ggg 第一大群（除表情包群）。

== 7. 最菜萌新的 BMS 全分析 ==
对于(0,0,0)(1,1,1)(2,2,0)以下的分析，我们几乎可以说这是完全正确的。对于(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)以下的分析，我们有很大的把握认为这是正确的。对于(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)以上的分析，我们几乎不知道这是否正确。——Racheline ，BM4 的分析
尽管 BMS 的定义早就已经为人们所知，但长期以来，人们并不了解其强度。这只有将 BMS 和其他记号进行对比分析才能解决。对于 BMS 来说，一个合适的参照是序数折叠函数ψ，将非递归序数放入其中就可以得到递归序数。如果我们引入的非递归序数越强，那么输出的递归序数也就越强。恰当地在序数折叠函数之中引入了ω个非递归序数<math>\Omega_\omega</math>之后，我们可以得到如下结果

<math>(0,0,0)(1,1,1)=\psi(\Omega_\omega)=\mathrm{BO}</math>

要想继续分析 BMS，我们就不得不去寻找更加强大的[[序数#非递归序数|非递归序数]]。[[反射序数]]是一类重要的非递归序数。在引入了反射序数<math>\Pi_\omega</math>之后，我们可以得到如下的结果

<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,2,0)=\psi\left(\Pi_\omega\right)=\mathrm{SSO}</math>

[[稳定序数]]刻画了比反射序数更强的非递归序数。对于<math>\Sigma_1</math>稳定来说，若考虑一条长度为ω的稳定链，则有

<math>(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)=\psi\left(\omega-\pi-\Pi_0\right)=\mathrm{LRO}</math>

以上的这些结果大概在 2020 年就已经得到了。

2021 年，test_alpha0定义了[[投影序数]]。1-投影序数就是<math>\Pi_2</math> 反射序数，而 2-投影序数α则是一个非常强大的非递归序数，当然还可以定义更强大的 3-投影序数，直到ω-投影序数，它的极限为

<math>(0,0,0,0)(1,1,1,1)=\psi\left(\omega-\mathrm{P}\right)=\mathrm{TSSO}</math>

2024 年，最菜萌新开始研究高阶投影的可能性。对于[[向上投影]]来说，定义投影升阶运算σ ，将它作用在投影序数上之后，可以得到比它更高的投影序数。令 S 是最小的 (1,0) -投影，则<math>\psi_S</math>可以投影比它更高的序数<math>\sigma^n S</math> ，这是一种强大的投影层次。在这之后的接近一年的时间里，他不断地完善向上投影的规则并将其递归化，利用它来分析 BMS 的强度。

2025 年 7 月 16 日，最菜萌新宣布了如下的结果：

<math>(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,3,3,1)(4,0,0,0)=\psi\left(\psi_S\left(\sigma^\omega S\right)\right)</math>

引入更复杂的投影结构，可以得到四行 BMS 的极限<math>(0,0,0,0,0)(1,1,1,1,1)=\psi\left(\psi_A([1,1] A \cdot \omega)\right)</math>，乃至 BMS 的极限<math>\text{limit of BMS}=\psi\left(\varepsilon_{H+1}\right)=\mathrm{SHO}</math>。

至此最菜萌新完成了 BMS 的全分析。

该项工作一共包含 7777 条对照分析的结果，是大数数学史上最为庞大的分析工作之一。由于最菜萌新提出了一套完整的理念、一套行之有效的规则，以及详尽的分析结果，向上投影已经打败了其他的投影记号，成为了 (0,0,0)(1,1,1)(2,2,2) 之后的标准记号，甚至投影系记号已经逐渐有取代更加传统的稳定系记号的趋势了。

BMS 并未抵达向上投影的极限，接下来需要利用[[Y序列]]对其进行分析。然而向上投影与Y序列之间的分析举步维艰，目前尚不清楚向上投影的极限究竟是多少。除此之外，向上投影也为[[非递归BMS]]的分析提供了参考。若将 BMS 第一列的全部零删去，则可以设想让 BMS 输出非递归记号。这一非递归记号的强度用向上投影来分析是合适的。

需要说明的是，投影序数并非集合论意义上的严格的非递归序数。而将投影序数放入ψ之中得到的递归化函数，本质上仍然是一个递归记号。事实上即使是对于反射序数和稳定序数来说，我们也只是使用了一种“长得像序数折叠函数”的递归记号，它们模仿了真正使用集合论方法来定义的序数折叠函数的行为。

而另一方面，真正严格意义上的序数折叠函数以及相应的非递归分析已经得到了长足的发展，这一部分应当归功于序数分析领域的专业数学家。目前序数分析的巅峰之作是数学家 Arai 对二阶算术的序数分析，这是序数分析领域中发展的最强序数折叠函数。然而我们并不知道它和大数数学之中发展的序数记号之间的强度关系是什么样的，目前我们只能就此做出一些猜测。

我们已经知道的是，文章利用<math>\Sigma_n</math>稳定序数的存在性证明了 BMS 的良序性，而二阶算术与 <math>\mathrm{KP} +</math>存在<math>\Sigma_1</math>稳定序数+存在<math>\Sigma_2</math>稳定序数+……这一公理体系的强度是相同的。如果我们真的可以认为 BMS 与二阶算术的强度相同，那么我们就可以说 Arai 的序数折叠函数极限等于 BMS 的极限，它们都是二阶算术的证明论序数。然而严格的序数分析是极其困难的工作，也许我们永远也不会知道我们的记号何时能够达到各种公理体系的极限了。

== 8. HypCos 定义 ω^ωMN ==
时至今日，还未有人分析 Tω^ωMN。它太难分析了吗？它太难理解吗？没有什么合适的其它记号用来分析吗？—— HypCos ，2025.8.17
BMS 是跨时代的记号，它将递归记号构造的范式从数阵型记号转变为了 Worm 型记号，其强度远远超越了当时的所有记号。2020 年 9 月，日本的大数研究者 Yukito 对 Worm 型记号进行扩展，定义了 Y序列，它的强大再一次震撼了研究者。后来 Yukito 又定义了更加强大的[[ω-Y|ω-Y序列]]，这是目前已经得到公认的、成熟的大数数学社区最强记号。

如果要得到更强的记号，下一步该如何做？我们可以试图将 ω-Y 序列推广到更高的<math>\alpha-\mathrm Y</math> 序列，乃至<math>\Omega-\mathrm Y</math>序列。考虑到 BMS 有ω行，1-Y 序列的山脉图有 <math>\omega^2</math> 行，ω-Y 序列的山脉图有 <math>\omega^\omega</math>行，那么似乎将山脉图的行数推广到更高就可以得到更强的记号。不过令人遗憾的是，平凡的推广几乎是没有任何意义的。BMS 也可以直接推广到Ω行，但是它的强度仍然难以超越Y(1,3,4,3) 。事实上，目前已知的所有定义<math>\Omega-\mathrm Y</math>序列的尝试不是非良序，就是强度达不到预期。在ω-Y 序列之上，人们似乎再难以前进半步。

HypCos对 Worm 记号体系进行了深入的研究。鉴于序列型记号形式上的困难已经严重阻碍了进一步的推广，HypCos采用了新的多维数阵体系，将山脉图的结构直接编码进表达式中，称为[[Mountain Notation|山脉记号]]（Mountain Notation，MN）。他在 2024 年 9 月 11 日提出了ωMN的定义，这一记号与 ω-Y序列是等价的。接下来他在 2024 年 9 月 15 日又进一步提出了<math>\omega\cdot 2\mathrm{MN}</math>的定义。最终在 2025 年 7 月 19 日，他进一步地提出了 <math>\omega^\omega\mathrm{MN}</math>的定义，这是目前已知的有明确定义的最强递归记号之一。

如果不能真正理解 Worm 型记号为何如此之强，那么想凭运气再创造出来一种本质上强于它的记号也几乎是不可能的。2024 年 2 月 23 日，几位研究者以极富洞察力的直觉提出了“[[传递]]”的概念，从而解决了 Worm 型记号强度的来源问题。简单地说，序数记号的传递现象意味着一个序数记号表达式在展开时，不仅仅是判定展开所用到的元素参与了展开过程，还有别的元素也参与了展开过程，从而将序数结构的一部分“传递”到了展开后的表达式之中。
[[文件:v2-0eab85904cbae6d283df767e2879a755 1440w.png|缩略图|Y(1,3,7)展开为Y(1,3,6,12,24,48,96,192,...)，从图中可以看出，对角线上的元素由1,2,2展开为1,2,1,2,1,2,...，因此这是一个真正的ω行传递。]]
具有传递现象的记号通常拥有更高的强度，并且传递的层次越高，记号的强度就越高。对于 BMS 来说，若删去第 n 列及以下的部分能够该改变坏根的位置，则称该表达式拥有 n 行传递。BMS 拥有任意有限的 n 行传递，因此它的强度超越了绝大多数其他类型的序数记号。而Y序列拥有真正意义上的ω行传递，因此它远远超越了 BMS 平凡扩展的极限。

MN系列记号利用独特的拉伸操作，实现了比ω-Y 序列更加强大的结构，增进了人们对于ω-Y 序列之上的递归序数结构的理解。然而我们能说<math>\omega^\omega\mathrm{MN}</math>就是预想中的<math>\omega^\omega-\mathrm Y</math>序列吗？它具有真正的更高层次的传递吗？或者说，山脉记号能够成为Y序列的某种“上位替代”吗？这一点恐怕很难说。因为没有人知道一个理想的传递究竟应该是什么样子的，人们最多只能知道某个记号并不符合心目中的“理想”情况。不过从目前的情况来看，MN系列记号确实已经成为了ω-Y 序列之后的一种新的参照标准，正在被越来越多的人所接受。

以传递现象的提出作为标志性事件，一部分研究者建立了更加深入的“构造理论”，期望能够触及更加强大的记号体系的一角。对构造理论的研究几乎是整个 2024 年的研究核心，人们提出了太多的理论和体系，又将它们一个个推翻。目前关于构造理论的研究少有成体系的结果，也并没有真正建立起成熟完备的新记号体系。而且目前对于构造理论的研究过于艰涩，除了寥寥几位研究者之外，其他人几乎不知道他们在做什么。我们并不知道目前在构造理论上的尝试是否是正确的。

== 9. Phyrion 的新 Googology Wiki ==
wiki.googology.top：首个以 googology 为二级域名建立的网站！——Phyrion，2025.6.25
在 21 世纪的前几年中，大数数学还仅仅是一个只为极少数人所知的小众数学问题。那时仅有少数几位欧美国家的爱好者关注这一问题，并且将自己的研究成果发布在个人网站上。直到 2008 年 12 月 5 日，fandom 上的 Googology Wiki 网站正式上线，才结束了这一局面。在这之后的十余年时间里，Googology Wiki 当之无愧地成为了全球大数数学研究者的中心，为大数数学的发展提供了一个宝贵的平台。

长期以来，Googology Wiki 包含着大数数学社区最完整的知识以及最前沿的进展，但是随着时间的推移，Googology Wiki 也已经逐渐衰落了。起先是 Wiki 中的部分成员不满管理员的专权，因此另立门户。欧美大数社区的讨论中心也逐渐转移到了 Discord 频道上，不再活跃于 Wiki。而中文社区和日文社区近乎独立地发展，极少与欧美社区进行交流。因此在 2020 年之后，Fandom 的 Googology Wiki 迅速的落后于了整个时代。

为了建立一个能够完整准确地反映现代大数数学研究进展的在线知识库，Phyrion 启动了新 Wiki 计划。该计划从 2025 年 6 月启动，由 Phyrion 维护网站，并由十余位活跃研究者共同编写。2025 年 8 月 15 日，新 Wiki 的网址 wiki.googology.top 正式公开，并立刻引起了大数社区的广泛关注。

新 Wiki 全面抛弃了旧 Wiki 以大数为中心的思想，而转向了更加现代化的以序数为中心的思想。新 Wiki 系统性地整理了大数数学的最新研究成果，许多成果都是首次发布在公共的平台之上。新 Wiki 在内容选择、材料组织等方面遵循了深入浅出、详略得当的原则，既能够完整准确地反映大数数学的核心内容和最新进展，又不显得过于繁冗。新 Wiki 已经成为了大数社区最重要的在线知识库之一。

新 Wiki 的命运是坎坷的。在 2025 年 9 月 30 日，新 Wiki 站点由于欠费停站，直到 2025 年 10 月 11 日才重新恢复。而后它在 2025 年 10 月 31 日再次由于欠费而停站，直到2026年2月20日。这引发了人们对于新 Wiki 站点不稳定的担忧。

== 10. PPS 被发现无穷降链 ==
<blockquote>@全体成员 PPS 无穷降链

沉痛悼念，永垂不朽

——z，2025.12.10</blockquote>[[PPS|Parented Predecessor Sequence]]（PPS）是3183 丶 4139于 2024 年 9 月 9 日创造的记号。PPS 的定义非常简单，相比于标记父项列标 PrSS，它只增加了一条规则：如果坏部里没有其他等于坏根的项，那么复制时，复制出来的部分的首项改成原末项-1。

然而，正是这样简单的规则导致了极其诡异的行为。整个七月份，大数数学的研究者绞尽脑汁对 PPS 的强度进行分析，然而整个记号的规律似乎完全是无法理解的。即使进行了大量的尝试，耗尽了全部的精力，研究者们也未能将 PPS 分析至<math>\zeta_0</math>。这对于该强度的记号来说似乎是完全无法理喻的。在遭受了重大的挫折之后，大数数学的研究者不得不将精力转移到其他的问题上。

一切都结束于 2025 年 12 月 10 日，在这一天 ddfg 通过对 PPS 的详尽分析，发现了一个展开式，它可以无穷无尽地展开下去，越来越复杂，永远也不会停下来。这种越来越复杂的表达式构成了一条不断递降的链条，称为无穷降链。由于序数的每个子集必有最小元，不会出现无穷递降的情况，因此 PPS 的展开不构成其标准表达式上的一个良序关系。也就是说，PPS 根本就不是一个序数记号。

PPS 的无穷降链无疑是对于其研究者的一个沉痛打击。尽管在这之后还有一系列修复 PPS 的尝试，但人们对这一记号已经失去了信心。不过人们更好奇的是，为什么时隔如此之久，大数社区才找到了 PPS 的无穷降链。这不禁让人们想起 2024 年 7 月 7 日的盛况，在短短的几个小时内，三个前沿记号都被发现无穷降链或不良定义，大数数学社区的进展几乎一夜之间倒退到了 2021 年的ω-Y序列。

无穷降链是悬在所有序数记号头上的达摩克里斯之剑，几乎所有记号都要受到无穷降链的威胁。人们或许希望能够直接利用数学方法证明记号的良序性，从而一劳永逸地解决这一问题。然而我们现在几乎完全不知道如何证明记号的良序性，目前仅有寥寥几个记号的良序性问题得到了解决。并且事实上任何公理体系可证良序的范围都是有限的，一旦记号的强度超出了这一范围，那么我们就必须诉诸更加强大的公理体系。而与此同时，过于强大的公理体系本身的一致性都是值得怀疑的。因此可以说，记号良序性证明的困难是本质的。

但是，如果我们不能够为记号的良序性给出证明，那么我们要如何相信它们的可靠性呢？如果我们连严格性都舍弃掉，那么整个数学体系之中还有什么是可以信赖的呢？多年以来大数数学研究者建立起的庞大的理论体系，究竟有多少是虚无的空中楼阁，随时会被推翻？我们不知道这些问题的答案。或许真正具有洞察力的数学研究者能够推动这一问题的解决，而在这之前，我们只能祈祷之前建立起的大多数地基都是扎实的。

== 展望：未来时代的大数数学 ==
自 2021 年以来，中文大数社区得到了长足的发展，逐渐赶上并超越了欧美社区和日本社区的水平。特别是在 2024 年，大数社区内部洋溢着积极乐观的情绪。在传递以及其他思想的指引下，构造理论得到了充分的发展。FOS、fffz、MMS、MN 等新记号的提出和优化层出不穷。 @曹知秋的《大数理论》系统性地整理了大数数学的理论体系，结束了资料过于零散的时代。随着相关亚文化的传播，大数数学在中文互联网上的知名度越来越高，这为中文大数社区提供了大量的新鲜血液。

然而进入 2025 年之后，大数数学的研究开始进入了低谷。人们开始审视之前过于激进的理论体系，并排除了大量不可靠的结果和空中楼阁一般的概念。尽管大数数学知名度仍然在不断增加，进入大数社区的新人越来越多，但是这些人通常不会去真正了解大数数学的知识，并且圈层的扩大也势必会对原有的大数社区生态造成破坏。近年来大数社区与其他社区的交往正在变得更加紧密，这种联系总体上是有益的，但实际上并未真正对各自关心的问题有实质性的启发。大数数学横向上的宽度正在不断扩展，但是纵向上的深度则并未有明显的增加。大数数学各社区之间的国际交往仍然非常有限，欧美社区和日本社区的研究也明显地进入了衰退期。大数数学的业余研究者和专业数学家之间几乎没有交流，专业数学家不关心（或者根本不知道）大数数学社区的结果，我们也几乎无法理解专业数学家的相关工作。

2025 年生成式人工智能的发展非常迅猛，已经在方方面面深刻地改变了人们的生活。然而，目前来看关于大数数学的资料仍然十分缺乏，人工智能在大数数学问题上的表现不佳。我们期望人工智能能够在记号分析、资料整理等领域为我们提供更多的帮助，但是目前看来，这一目标还非常遥远。

根据库恩的范式理论，科学的发展并非是简单的线性累积，而是在常规发展和科学革命两个阶段之间不断交替。按照这一理论，我们至今仍然处在 Worm 型记号革命之后的常规发展阶段，并且这一阶段的潜力正在肉眼可见地被消耗殆尽，逐渐失去了生命力。当前的大数数学研究呈现出了越来越复杂化的倾向，新的结果几乎不能够被其他研究者所理解。进入大数数学前沿研究的门槛越来越高，几乎超过了普通人单纯凭借兴趣所能够达到的极限。事实上自从 2024 年以来，尽管加入大数社区的新人越来越多，但是只有屈指可数的几个人能够真正了解大数数学的前沿进展，并且真正为大数数学的发展做出贡献。这一阶段未来可能还要继续持续下去，直到量变的积累产生质变，或者有真正天才的研究者为我们踏出关键的一步，将大数数学引领到一个全新的时代。

'''附：2024 年中文大数社区十大事件'''

'''1. 3183 丶 4139提出 FOS'''

'''2. 传递现象的提出'''

'''3. 大数社区群聊改革'''

'''4. 曹知秋发布《大数理论》'''

'''5. HypCos提出 MM3'''

'''6. BB(5)取值的严格证明'''

'''7. 7 月 7 日前沿记号的无穷降链或不良定义'''

'''8. 夏夜星空完善 fffz 规则'''

'''9. HypCos提出 MN'''

'''10. 62XXY（739085）与大数社区决裂'''

参考资料

fffz分析Part11

2026-05-27T23:29:57Z

CGoL：待更改

fffz分析Part11

2026-05-27T12:22:07Z

CGoL：分析到Y(1,3,2,5,4,9,5,8,7,7)，未完待续

fffz分析Part11

2026-05-27T11:52:44Z

CGoL：分析到Y(1,3,2,5,4,9,5,8,7,6,9,8)，未完待续

fffz分析Part11

2026-05-27T11:34:06Z

CGoL：

fffz分析Part11

2026-05-27T11:32:52Z

CGoL：临时更改

fffz分析Part11

2026-05-27T10:28:13Z

CGoL：待更改

= 此分析为非正式分析，且尚未完成 =
本条目展示[[Fake Fake Fake Zeta|FFFZ]]强度分析的第<math>11</math>部分，使用[[Y序列]]进行对照

1,3,2,5,4,5,6后
{| class="wikitable mw-collapsible"
|+第1部分：Y(1,3)~???
!FFFZ
!Y
|-
|<math>\psi_Z[\varepsilon_\omega](\varepsilon_\omega)</math>
|1,3
|-
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|1,3,2
|-
|<math>\psi_Z[\varepsilon_\omega,\varepsilon_\omega+\omega](\varepsilon_\omega+\omega)</math>
|1,3,2,3
|-
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|-
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|-
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|1,3,2,4,5,4
|-
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|-
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|1,3,2,4,5,7,8,10
|-
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|-
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|1,3,2,5,3,6
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|1,3,2,5,4,9
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|-
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|1,3,2,5,4,9,5,8,7
|-
|<math>\psi_Z[\varepsilon_\omega](\varepsilon_\omega+\omega^\omega+\omega)</math>
|1,3,2,5,4,9,5,8,7,2,5,4
|-
|<math>\psi_Z[\varepsilon_\omega,\varepsilon_\omega+\omega^{\omega+1}](\varepsilon_\omega+\omega^{\omega+1})</math>
|1,3,2,5,4,9,5,8,7,3
|-
|<math>\psi_Z[\varepsilon_\omega](\varepsilon_\omega+\omega^{\omega+1})</math>
|1,3,2,5,4,9,5,8,7,4
|-
|<math>\psi_Z[\varepsilon_\omega](\varepsilon_\omega+\omega^{\omega2})</math>
|1,3,2,5,4,9,5,8,7,4,9,5,8,7
|-
|<math>\psi_Z[\varepsilon_\omega,\varepsilon_\omega+\omega^{\omega^2}](\varepsilon_\omega+\omega^{\omega^2})</math>
|1,3,2,5,4,9,5,8,7,5
|-
| colspan="2" |
===== <big><math> \qquad\qquad\qquad\qquad\vdots</math></big> =====
|}

fffz分析Part11

2026-05-27T09:44:57Z

CGoL：分析到Y(1,3,2,5,4,9,5,8,7,5)，未完待续

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* 1
* 2
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# 1
# 2
# 3

{| class="wikitable"
|+空表格
! colspan="2" rowspan="2" |1
! colspan="2" |1
|-
|1
|1
|-
| rowspan="2" |1
| colspan="3" |1
|-
|1
|1
|1
|}

== 标题 ==

=== 标题 ===

==== 标题 ====

===== 标题 =====

====== 标题 ======

= 标题 =
ghhhhhhhhhhhhhhhh
<blockquote>jkljjjjjjjjjjj</blockquote>

<chem>K2Cr2O7</chem>

<math>F=ma</math><syntaxhighlight lang="cpp">
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
string s[21];
bool cmp(string p,string q){
return p+q>q+p;
}
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>s[i];
}
sort(s+1,s+n+1,cmp);
for(int i=1;i<=n;i++){
cout<<s[i];
}
return 0;
}
</syntaxhighlight>Ãäḏ⅔⅔¿¿
dfdjfisdg
dfdjfisdg
渐变
hidden

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2026-05-27T08:42:43Z

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2026-05-27T08:41:25Z

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2026-05-27T07:31:40Z

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=== 编写技巧 ===

* 行内代码块：<syntaxhighlight lang="text"><code>xxx</code></syntaxhighlight>效果是这样：<code>xxx</code>。
* 在列表里换行：使用 <syntaxhighlight lang="text"> </syntaxhighlight>效果是这样： 第一行； 第二行。
* 在列表里嵌套列表：无序列表使用<syntaxhighlight lang="text">
<ul> <li>123</li> <li>456</li> </ul>
</syntaxhighlight>效果是这样：<ul><li>123</li><li>456</li></ul>有序列表使用<syntaxhighlight lang="text">
<ol> <li>123</li> <li>456</li> </ol>
</syntaxhighlight>效果是这样：
<ol><li>123</li><li>456</li></ol>于是可以<ul> <li>awa<ul> <li>114514<ul> <li>3.1415926<ul> <li>123</li> <li>456</li> </ul></li> <li>789</li> </ul></li> <li>2.71828</li> </ul></li> <li>qwerty</li> </ul>
<ol> <li>awa<ol> <li>114514<ol> <li>3.1415926<ol> <li>123</li> <li>456</li> </ol></li> <li>789</li> </ol></li> <li>2.71828</li> </ol></li> <li>qwerty</li> </ol>
* 分界线：使用 <code>----</code>。效果是这样：

----

已清除

Fake Fake Fake Zeta

2026-05-26T11:25:26Z

CGoL：补充

'''Fake Fake Fake Z(FFFZ)'''，是由 yahtzee 于 2022 年提出，后续由国内的大数研究者夏夜星空完善的'''前沿记号'''。

== 定义 ==
'''注意：FFFZ 的定义尚未完全确定，且有较为频繁的更改(大部分是修改一些小问题,比如简化、修错别字)。这里叙述最新一版(2025.7.26)的定义。'''

'''注意：部分概念的定义被修改为了等价版本。这些修改与原始文本之间是逻辑意义上的等价。'''

=== 主体规则 ===
FFFZ的合法表达式形如<math>\psi_Z[\#](n)</math>，极限基本列为<math>\{\psi_Z(0),\psi_Z(\psi_Z(0)),\psi_Z(\psi_Z(\psi_Z(0))),\cdots\}</math>。

# <math>\psi_Z(0)[s]=1</math>
# <math>\psi_Z[\#](n+1)[s]=\psi_Z[\#](n)\times{s}</math>
# 如果<math>[\#,m,n]</math>存在，<math>\psi_Z[\#,m](n)[s]=f^s(n)</math>，其中<math>f(x)=\psi_Z[\#,m,n](x)</math>
# 如果<math>[\#,m,n]</math>不存在，<math>\psi_Z[\#,m](n)[s]=\psi_Z[\#,m](n[t+s])</math>。其中<math>t</math>定义如下：
* 如果<math>m\geq{n}</math>，那么<math>t=0</math>。
* 如果<math>m<n</math>，那么<math>t</math>是满足<math>n[t]\geq{m}</math>的最小非负整数。

=== 化简规则 ===
* <math>\psi_Z[\#,m](n)=\psi_Z[\#](n)</math>，<math>m>n</math>
* <math>\psi_Z[](n)=\psi_Z(n)</math>

为了判定<math>[\#]</math>的存在性，定义以下概念：

=== 名称解释 ===
对于序列<math>\#=\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m</math>，记它的末项为<math>Endseq(\#)=\alpha_m</math>。

对于序数<math>\alpha</math>，写出它的Cantor范式<math>\sum_{k=1}^{n} \omega^{\alpha_k}</math>。称<math>\omega^{\alpha_n}</math>为<math>\alpha</math>的末项。

如果<math>\alpha</math>等于它的末项，称<math>\alpha</math>为'''简单序数'''，否则为'''复合序数'''。

对于非零简单序数<math>\alpha</math>，它形如<math>\alpha=\psi_Z[\#](n)</math>：
# 如果<math>n</math>是后继序数，称<math>\alpha</math>是<math>+</math>型极限，或0级极限，等级为0。
# 如果<math>[\#,n]</math>不存在，称<math>\alpha</math>是<math>\omega</math>型极限，或1级极限，等级为1。
# 如果<math>[\#,n]</math>存在，称<math>\alpha</math>是<math>\varepsilon</math>型极限，或2级极限，等级为2。

对于两个非零简单序数<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>：
# 如果<math>\alpha</math>的等级大于<math>\beta</math>的等级，称<math>\alpha</math>比<math>\beta</math>高等。
# 如果<math>\alpha</math>的等级等于<math>\beta</math>的等级，称<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>同等。
# 如果<math>\alpha</math>的等级小于<math>\beta</math>的等级，称<math>\alpha</math>比<math>\beta</math>低等。

对于非零简单序数<math>\alpha</math>，它形如<math>\alpha=\psi_Z[\#,m](n)</math>：
# 如果<math>[\#,m,n]</math>不存在，则<math>\alpha</math>的根为<math>n</math>。
# 如果<math>[\#,m,n]</math>存在，则<math>\alpha</math>的根为<math>m</math>。

对于非零简单序数<math>\alpha</math>，它形如<math>\alpha=\psi_Z(n)</math>，则它的根为<math>n</math>。

对于序数<math>\alpha</math>：
# 如果它是复合序数，它形如<math>\sum_{k=1}^{n} \omega^{\alpha_k}</math>，则每个<math>\omega^{\alpha_k}</math>被它直接包含。
# 如果它是非零简单序数，它形如<math>\psi_Z[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m](n)</math>，则每个<math>\alpha_k</math>均被它直接包含，<math>n</math>也被它直接包含。
#如果它是0，没有任何序数被它直接包含。

<math>\alpha</math>直接包含<math>\beta</math>，记为<math>dInc(\beta,\alpha)</math>。

接下来是几个较为复杂的定义。

==== 末项，核与层数 ====
对于非零序数<math>\alpha</math>和简单序数<math>s</math>，<math>\alpha</math>关于<math>s</math>的末项是以下两个序数<math>u</math>中较大者：
* <math>u</math>是满足“<math>u<s</math>，且存在序数<math>v</math>使<math>v+u=\alpha</math>”的最大序数。
* <math>u</math>是满足“<math>u</math>是简单序数且存在序数<math>w</math>，使得<math>\alpha=u\times{w}</math>”的最大序数。
* 如果上述两个规则中某条规则没有任何序数<math>u</math>能够满足，那么忽视那条规则。

<math>\alpha</math>关于<math>s</math>的末项记为<math>End(\alpha,s)</math>。特别地，<math>\alpha</math>关于<math>0</math>的末项与上文定义的末项等价，记为<math>End(\alpha)</math>。

对于序数<math>\alpha</math>，序数<math>s</math>，不小于-1的整数<math>k</math>，<math>\alpha</math>关于<math>s</math>的<math>k</math>层核，记为<math>Ker(\alpha,s,k)</math>，定义如下：
* <math>Ker(\alpha,s,-1)=\alpha</math>
* <math>Ker(0,s,k)=0</math>

以下假设<math>\alpha</math>非零，<math>k</math>是非负整数：
* <math>Ker(\alpha,s,k)=Ker(End(\alpha),End(s),k)</math>

以下假设<math>\alpha</math>和<math>s</math>都是非零简单序数，<math>k</math>是非负整数，<math>\alpha</math>形如<math>\psi_Z[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m](n)</math>：
* <math>Ker(\alpha,s,0)=\psi_Z[End(\alpha_1,s),End(\alpha_2,s),\cdots,End(\alpha_m,s)](End(n,s))</math>
* <math>Ker(\alpha,s,k+1)=Ker(\psi_Z[Ker(\alpha_1,s,k),Ker(\alpha_2,s,k),\cdots,Ker(\alpha_m,s,k)](Ker(n,s,k)),s,0)</math>

对于序数<math>\alpha</math>，其层数是一个非负整数，记为<math>Lev(\alpha)</math>，定义如下：

* <math>Lev(0)=0</math>
* <math>Lev(\alpha)=max\{Lev(\beta)\mid{dInc(\beta,\alpha)}\}+1</math>

层数可以简单的理解为“ψZ嵌套的次数”

对于非零序数<math>\alpha</math>，序数<math>s</math>，<math>\alpha</math>关于<math>s</math>的核记为<math>Ker(\alpha,s)</math>，它定义为<math>Ker(\alpha,s)=Ker(\alpha,s,Lev(\alpha))</math>。

特别地，<math>\alpha</math>的核记为<math>Ker(\alpha)</math>，它定义为<math>Ker(\alpha)=Ker(\alpha,0,Lev(\alpha))</math>。

=== 双元兼容 ===
对于序数<math>\alpha=\psi_Z[\#](n)</math>和<math>\beta=\psi_Z[\&](m)</math>，依次进行以下判定：
# 如果<math>\alpha>\beta</math>，则<math>[\alpha,\beta]</math>存在。
# 如果<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>中至少有一个复合序数，则<math>[\alpha,\beta]</math>存在当且仅当<math>[End(\alpha),End(\beta)]</math>存在。
# 如果<math>\alpha=0</math>，则<math>[\alpha,\beta]</math>不存在。
# 当<math>\#=\&</math>时，<math>[\alpha,\beta]</math>存在当且仅当<math>[n,m]</math>存在；否则，如果存在序列<math>\%</math>使得<math>End(Endseq(\%))</math>与<math>End(Endseq(\#))</math>，<math>End(Endseq(\&))</math>之一相等，且存在序数<math>x</math>和序数<math>y</math>使得<math>\alpha=\psi_Z[\%](x)</math>且<math>\beta=\psi_Z[\%](y)</math>，则若<math>[x,y]</math>存在那么<math>[\alpha,\beta]</math>存在
# 如果<math>\beta\geq\psi_Z[\alpha](\alpha)</math>，则<math>[\alpha,\beta]</math>存在当且仅当<math>[\alpha,\beta</math>的根<math>]</math>存在；否则，如果存在简单序数<math>s</math>和不小于-1的整数<math>k</math>，使得<math>Ker(\beta,s,k)\geq\psi_Z[Ker(\alpha,s,k)](Ker(\alpha,s,k))</math>且不存在非零序数<math>x</math>和序列<math>\%</math>使得<math>Ker(\beta,s,k)=\psi_Z[Ker(\alpha,s,k)\times\omega,\%](Ker(\alpha,s,k)\times{x})</math>，则当<math>[\alpha,\beta</math>的根<math>]</math>存在时<math>[\alpha,\beta]</math>存在
# 如果存在两个序数<math>A</math>，<math>B</math>，<math>Ker(A)=Ker(\alpha)</math>，<math>Ker(B)=Ker(\beta)</math>，<math>A</math>属于<math>B</math>基本列，且<math>\alpha</math>比<math>\beta</math>高等，则<math>[\alpha,\beta]</math>存在
# 如果通过上述规则均无法说明<math>[\alpha,\beta]</math>存在，则<math>[\alpha,\beta]</math>不存在

=== 多元兼容 ===
对于序列<math>\#=\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m</math>，如果任取满足<math>k>j</math>的<math>\alpha=\alpha_j</math>，<math>\beta=\alpha_k</math>都有'''以下两个条件至少成立一个'''，则<math>[\#]</math>存在。

条件I：以下两个条件至少成立一个：
# <math>[\alpha,\beta]</math>存在
# <math>k<m</math>且存在满足<math>k>l</math>的<math>\gamma=\alpha_l</math>，使得<math>[\gamma,\beta]</math>不存在

条件II：对于任何满足<math>k<l</math>的<math>\gamma=\alpha_l</math>，存在简单序数<math>s</math>，不小于-1的整数<math>n</math>，使得以下两个条件同时成立：
# <math>[\beta,\gamma]</math>存在，且<math>Ker(\alpha,s,n)>Ker(\beta,s,n)</math>
#

=== 特殊规则 ===

# <math>[]</math>存在。
# 对于任意极限序数<math>\alpha</math>，<math>[\alpha]</math>存在。
#

''(好吧还没写完(因为看不懂)。除了条件II(平移转移)还没写完，还有各种优先级，还要补不少定义域限制，比如“m为序数或空”之类)''

== 直观解释 ==
FFFZ的前几条规则是
# <math>\psi_Z(0)[s]=1</math>
# <math>\psi_Z[\#](n+1)[s]=\psi_Z[\#](n)\times{s}</math>

类似于BOCF的规则。为了提升强度，我们需要引入“兼容”的概念。

“兼容”就是中括号里的东西(有时也叫“伪链”，伪即Fake)，通过类似于“挡刀”的方式提升强度。举个例子：对<math>\psi_Z(n)</math>取极限，得到的并不是<math>\psi_Z(\omega)</math>，而是<math>\psi_Z[\omega](\omega)</math>，中括号内出现了挡刀的<math>\omega</math>。只有达到<math>\alpha\to\psi_Z[\omega](\alpha)</math>的第一个不动点时，才能得到<math>\psi_Z(\omega)</math>。

当然，我们并不局限于只把一个序数放进兼容里。兼容里可以有多个序数，举个例子：对<math>\psi_Z[\omega^2](\omega^2+n)</math>取极限，得到的并不是<math>\psi_Z[\omega^2](\omega^2+\omega)</math>，而是<math>\psi_Z[\omega^2,\omega^2+\omega](\omega^2+\omega)</math>。

从提升强度的角度考虑，我们当然希望设计一套规则，允许更多的兼容，从而最大限度地提升强度。但是，这样的规则并不是总是可行——考虑这样的规则：“任意一系列极限序数可以兼容”，那么我们有

<math>\psi_Z(\omega)\to\psi_Z[\omega](\psi_Z[\omega](\omega))\to\psi_Z[\omega](\psi_Z[\omega](2))\to\psi_Z[\omega](\omega\times{2})\to\psi_Z[\omega,\omega\times{2}](\psi_Z[\omega,\omega\times{2}](\omega\times{2}))\to\psi_Z[\omega,\omega\times{2}](\omega\times{3})\to\cdots</math>

无穷降链。

造成这种结果的原因在于，<math>[\omega,\omega\times{2},\omega\times{3},\cdots]</math>这些序数可以无限地兼容下去，形成'''无限兼容链'''。所以，我们希望的规则应该满足以下两个条件：

1. 允许兼容存在，以提升强度。

2. 不允许某些兼容存在，以避免无限兼容链。

由于实际分析和构造的需要，我们还有第三个条件：

3. 允许某些关键节点的特殊兼容存在。

基于上述的理念，作者给出了上文提到的那一系列规则。

''(未完待续。主要是补充一些概念的直观理解，比如“末项”之类的)''

== 一些展开 ==
(1)<math>\psi_Z(\omega)[2]</math>

注意到<math>[ ,\omega]</math>等价于<math>[\omega]</math>,存在,故原式=<math>\psi_Z[\omega](\psi_Z[\omega](\omega))</math>. 这印证了前文里伪链存在的必要.

(2)<math>\psi_Z[\omega](\omega\times 2)</math>[2]

让我们检验一下<math>[\omega,\omega\times 2]</math>是否存在.

<math>\omega</math>的末项为<math>\omega</math>,<math>\omega\times 2</math>的末项为<math>\omega</math>. 化简完后为<math>[\omega,\omega]</math>.

第一条:<math>\omega\leq\omega</math>，不行

第二条:<math>\omega</math>为简单序数，不行

第三条:<math>\omega\neq0</math>，不行

第四条:[n,m]=[1,1]，这是什么？

第五条:<math>\omega<\psi_Z[\omega](\omega)</math>,后面的第一个条件不成立,还不行

第六条:<math>\omega
\omega</math>同等,仍然不行

故<math>[\omega,\omega\times 2]</math>不存在,<math>\psi_Z[\omega](\omega\times2)[2]=\psi_Z[\omega](\omega[2])=\psi_Z[\omega](\omega+2).</math>这样避免了上文的无穷降链.

本质上讲,展开一个fffz重点在于判断伪链. 故(3)以后均是这类例子.

(3)<math>[\omega^2,\omega^2+\omega]</math>是否存在?

<math>\omega^2+\omega</math>的末项为<math>\omega</math>,又<math>\omega^2>\omega</math>，存在.

== 衍生版本 ==
上文介绍的版本称为<math>\rm{Strong}</math>版本。除此之外，还有<math>\rm{Actual}</math>版本和<math>\rm{Weak}</math>版本，各版本区别如下：

=== <math>\rm{Actual}</math>版本 ===
1.除双元兼容第6条外，所有核都必须是关于<math>\omega</math>的
2.对于能合法而不必标准的写成“<math>\psi_Z</math>[#](X+n)，其中X的末项等于<math>\omega</math>，n是正整数，#是任意序列(可以为空)”的形式的序数A，需遵守下列要求：(k可取全体小于<math>\omega</math>的序数)
(1).当A处在[]中时，强制固定A关于<math>\omega</math>的k层核为A关于<math>\omega</math>的核(该核无视其它要求另算)
(2).除(1)之外，强制固定A关于<math>\omega</math>的k层核为A本身

=== <math>\rm{Weak}</math>版本 ===
1.双元兼容第5条失效
2.所有核都必须是-1层的

== 分析 ==
主词条：[[fffz分析]]
{| class="wikitable"
|+fffz vs BOCF vs BMS
!Fake Fake Fake Zeta
!MOCF
!BMS
|-
|<math>\psi_Z(0)</math>
|1
|<math>(0)</math>
|-
|<math>\psi_Z(1)</math>
|<math>\omega</math>
|<math>(0)(1)</math>
|-
|<math>\psi_Z(2)</math>
|<math>\omega^2</math>
|<math>(0)(1)(1)</math>
|-
|<math>\psi_Z[\omega](\omega)</math>
|<math>\omega^\omega</math>
|<math>(0)(1)(2)</math>
|-
|<math>{\psi_Z}[\omega](\omega+1)</math>
|<math>\omega^{\omega+1}</math>
|<math>(0)(1)(2)(1)</math>
|-
|<math>\psi_Z[\omega](\omega^2)</math>
|<math>\omega^{\omega^2}</math>
|<math>(0)(1)(2)(2)</math>
|-
|<math>\psi_Z[\omega](\psi_Z[\omega](\omega))</math>
|<math>\omega^{\omega^{\omega}}</math>
|<math>(0)(1)(2)(3)</math>
|-
|<math>\psi_Z[\omega](\psi_Z[\omega](\psi_Z[\omega](\omega)))</math>
|<math>\omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}</math>
|<math>(0)(1)(2)(3)(4)</math>
|-
|<math>\psi_Z(\omega)</math>
|<math>\psi(0)</math>
|<math>(0,0)(1,1)</math>
|}
{{默认排序:序数记号}}
[[分类:记号]]

fffz分析Part11

2026-05-26T10:28:53Z

CGoL：分析到Y(1,3,2,5,4)，未完待续

fffz分析Part11

2026-05-26T10:03:53Z

CGoL：分析到Y(1,3,2,5)，未完待续

大基数公理

2026-05-25T11:20:04Z

CGoL：修复公式错误

'''大基数公理(Large Cardinal Axioms)'''是公理集合论中，断言存在具有特殊强闭包性质、不可构造性与高阶无穷性质的无穷基数（大基数）的公理命题，是对标准数学基础——ZFC集合论公理系统的一致且自然的扩张。大基数的存在性在ZFC中既无法证明也无法证伪（在ZFC本身一致的前提下），其存在性可直接推出ZFC的一致性，是当代数理逻辑、公理集合论研究的核心对象，也是衡量所有独立于ZFC的数学命题一致性强度的通用标尺。

=== 一般定义 ===

==== 核心定义 ====
大基数公理的核心，是断言存在满足以下本质特征的无穷基数κ：

1. ZFC不可证性：若ZFC是一致的，则ZFC无法证明“κ存在”；

2. 一致性强度提升：“ZFC + 该大基数公理”的一致性强度严格高于ZFC本身，且可推出ZFC的一致性；

3. 强不可达性：无法通过ZFC的标准集合运算（幂集、替换公理、并集等）从更小的无穷基数构造得到；

4. 强闭包性质：对高阶无穷运算、组合性质或模型论性质具有绝对的闭包性，是集合论宇宙V的“强不动点”。

从模型论视角，所有大基数公理都可等价表述为：存在非平凡的初等嵌入 <math>j: V \to M</math>，其中V是集合论宇宙，M是V的传递内模型，且j不改变公式的真值，大基数的强度由M与V的接近程度、j的临界点（critical point）性质决定。其中j的临界点<math>\mathrm{crit}(j)</math>，就是满足<math>j(\kappa)>\kappa</math>的最小序数κ，也是该初等嵌入对应的大基数。

==== 基础示例：不可达基数 ====
不可达基数是最基础、最入门的大基数，也是整个大基数层级的起点，是自然数基数ℵ₀的核心无穷性质向不可数无穷的严格推广，其公理定义如下：

一个基数κ是强不可达基数，当且仅当它满足：
<math>\begin{cases}
\kappa > \aleph_0 &, \text{不可数基数} \\
\mathrm{cf}(\kappa) = \kappa &, \text{正则基数（共尾度等于自身）} \\
\forall \lambda < \kappa, \ 2^\lambda < \kappa &, \text{强极限基数}
\end{cases}</math>

示例推导：
1. ℵ₀满足正则性与强极限性，但它是可数基数，因此不是不可达基数；
2. ℵ₁是正则基数，但不是强极限基数（因为<math>2^{\aleph_0} \geq \aleph_1</math>），因此不是不可达基数；
3. 所有<math>\aleph_{\alpha+1}</math>型的后继基数，都不满足强极限性；
4. 所有<math>\aleph_\omega</math>型的奇异极限基数，都不满足正则性；
5. 因此，不可达基数无法通过ZFC的基数运算从ℵ₀构造得到，是ZFC无法触及的第一个大基数。

若存在强不可达基数κ，则冯·诺依曼累积层级<math>V_\kappa</math>是ZFC的一个传递模型，直接证明了“ZFC是一致的”。根据哥德尔第二不完备定理，ZFC无法证明自身的一致性，因此ZFC必然无法证明强不可达基数的存在。

==== 大基数层级的增长特性 ====
大基数公理形成了一个线性全序的一致性强度层级，层级越高的大基数公理，其一致性强度越强，对集合论宇宙的约束也越强，对应的基数的不可构造性、闭包性质也越极端。这一层级与快速增长层级（FGH）有深刻的对应关系：弱大基数对应<math>f_{\omega^\alpha}</math>级增长，而顶层大基数则对应远超递归序数的增长层级。

{| class="wikitable"
|+ 大基数公理的一致性强度层级（从弱到强）
|-
! 层级分类
! 大基数类型
! 核心定义特征
! 一致性强度定位
! 核心性质
|-
! rowspan="4" | 弱大基数（小大基数）
| 强不可达基数
| 不可数、正则、强极限基数
| 大基数层级的起点，最弱的大基数公理
| 构造Vκ为ZFC的传递模型，证明ZFC一致
|-
| 马洛基数（Mahlo）
| 小于它的不可达基数的集合在它之中是驻集
| 强于不可达基数
| 对不可达基数的不动点性质强化，是高阶不可达的极限
|-
| 弱紧基数
| 满足无穷组合的分划性质<math>\kappa \to (\kappa)^2_2</math>
| 强于马洛基数
| 等价于κ上的二阶逻辑满足弱紧性，可构造性公理V=L在其下不成立
|-
| 不可描述基数
| 对高阶逻辑公式的不可描述性
| 强于弱紧基数
| 刻画集合论宇宙的高阶不可分辨性
|-
! rowspan="3" | 中大基数
| 可测基数
| 存在κ上的非主κ-完全超滤
| 大基数研究的里程碑，强于不可描述基数
| 斯科特定理证明其存在可推出V≠L，开启现代大基数研究，对应非平凡初等嵌入的临界点
|-
| 强基数
| 对任意序数λ，存在初等嵌入<math>j:V\to M</math>满足<math>\mathrm{crit}(j)=\kappa</math>且<math>V_\lambda \subseteq M</math>
| 强于可测基数
| 保证内模型M与V在任意高的层级上重合
|-
| 超紧基数
| 对任意序数λ，存在λ-超紧性初等嵌入
| 强于强基数
| 对任意大的集合具有闭包性，解决大量描述集合论问题
|-
! rowspan="3" | 强大基数
| 武丁基数（Woodin）
| 对任意<math>A\subseteq V_\kappa</math>，存在<math>\lambda<\kappa</math>是A-强的
| 当代集合论的核心大基数，强于超紧基数
| 无穷多个武丁基数可证明所有投影集满足勒贝格可测、贝尔性质，与确定性公理深度绑定
|-
| 超强基数
| 存在初等嵌入<math>j:V\to M</math>满足<math>\mathrm{crit}(j)=\kappa</math>且<math>V_{j(\kappa)} \subseteq M</math>
| 强于武丁基数
| 内模型M包含j(κ)层以下的全部集合
|-
| 巨大基数
| 存在初等嵌入<math>j:V\to M</math>满足<math>\mathrm{crit}(j)=\kappa</math>且<math>{}^{j(\kappa)}M \subseteq M</math>
| 强于超强基数
| 内模型M对长度为j(κ)的序列完全闭包
|-
! rowspan="2" | 顶层大基数（一致性边界）
| rank-into-rank基数（I3、I2、I1公理）
| 存在非平凡初等嵌入<math>j:V_\lambda \to V_\lambda</math>（I3）等层级
| 接近ZFC可容纳的大基数上限
| Kunen不一致定理证明不存在V到V的非平凡初等嵌入，这是大基数的一致性上界
|-
| 莱因哈特基数（Reinhardt）
| 存在非平凡初等嵌入<math>j:V\to V</math>（在ZF中，不包含选择公理AC）
| ZF中可定义的最强大基数，与AC矛盾
| 仅在无选择公理的ZF中一致，是大基数的理论极限
|}

=== 其他核心定义与等价表述 ===
（本节内容大部分来自 Googology Wiki 与经典集合论专著。<ref>Googology Wiki. "Large Cardinal". https://googology.fandom.com/wiki/Large_cardinal</ref>）

==== 原始集合论定义 ====
大基数公理的原始表述，均基于ZFC的集合论语言，通过基数的组合性质、闭包性质直接定义，无需引入模型论的初等嵌入概念。例如：
- 不可达基数：通过正则性、强极限性的集合论性质定义；
- 弱紧基数：通过无穷分划性质<math>\kappa \to (\kappa)^2_2</math>的组合性质定义；
- 可测基数：通过κ上的完全超滤的测度论性质定义。

这类定义是大基数公理的原始形式，直观刻画了大基数的无穷组合本质，也是其被提出的最初动机。

==== 初等嵌入视角的定义 ====
这是当代大基数研究的主流表述方式，所有大基数公理都可统一表述为非平凡初等嵌入的存在性，其核心格式为：
<math>\text{存在非平凡初等嵌入 } j: V \to M \text{，满足 } \mathrm{crit}(j)=\kappa \text{，且M满足特定闭包条件}</math>

不同大基数的强度，完全由内模型M的闭包程度决定：
- 可测基数：M是V的传递内模型，对κ-序列闭包；
- 强基数：M包含任意高的Vλ层级；
- 超紧基数：M对任意长度的序列闭包；
- rank-into-rank基数：M=Vλ，几乎与V本身重合。

这种统一表述方式，让大基数的一致性强度层级形成了清晰的线性序，是当代大基数理论的核心框架。<ref>Kanamori, A. "The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings". Springer, 2009.</ref>

==== 内模型视角的定义 ====
大基数公理也可通过集合论宇宙的内模型结构来定义，核心是：一个基数κ是大基数，当且仅当它在某个精细结构内模型中满足对应的核心性质。

例如：
- 可测基数的内模型L[U]，是包含可测超滤U的最小可构造内模型；
- 武丁基数的内模型理论，是当代集合论内模型计划的核心目标；
- 大基数的存在性，等价于集合论宇宙V与可构造宇宙L之间存在巨大的结构差异。

这种定义方式，将大基数公理与集合论宇宙的精细结构深度绑定，是解决连续统假设等核心问题的关键工具。<ref>Jech, T. "Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded". Springer, 2003.</ref>

==== 一致性强度视角的等价定义 ====
从证明论的视角，大基数公理可等价定义为：一个命题φ是大基数公理，当且仅当它与ZFC一致，且对任意与ZFC一致的命题ψ，要么“ZFC+φ”可证明“ZFC+ψ”的一致性，要么“ZFC+ψ”可证明“ZFC+φ”的一致性。

这一定义揭示了大基数公理作为一致性强度标尺的核心本质：几乎所有独立于ZFC的数学命题，其一致性强度都能被某个大基数公理精准校准，形成了一个线性的一致性强度层级。<ref>Steel, J. "Gödel's Program". Interpreting Gödel, 2014.</ref>

=== 其他核心内容 ===

==== 大基数公理与ZFC的独立性 ====
大基数公理是ZFC的独立命题，这一结论的核心依据是哥德尔第二不完备定理：
1. 若ZFC是一致的，则ZFC无法证明自身的一致性；
2. 任何大基数公理的成立，都能构造出ZFC的一个传递模型（如不可达基数对应的Vκ），从而证明ZFC的一致性；
3. 因此，若ZFC是一致的，则ZFC无法证明任何大基数公理的成立。

同时，根据哥德尔不完备定理，ZFC也无法证伪大基数公理的存在：若ZFC能证明“大基数不存在”，则“ZFC+大基数存在”就是不一致的，这与近百年的集合论研究中从未发现大基数公理与ZFC的矛盾这一事实相悖，也与大基数公理的内在一致性证据不符。

==== 一致性强度的通用标尺 ====
大基数公理最核心的数学价值，是作为衡量所有独立于ZFC的数学命题一致性强度的通用标尺。在当代数理逻辑中，几乎所有独立于ZFC的数学命题，都能被精准地校准到某个大基数公理的一致性强度上：
- 苏斯林假设的一致性强度，等价于不可达基数；
- 投影集的确定性公理，一致性强度等价于无穷多个武丁基数；
- 确定性公理AD，一致性强度等价于无穷多个伍德林基数的极限；
- 各种力迫公理（如马丁极大公理MM），一致性强度等价于超紧基数。

这一线性的一致性强度层级，是20世纪数理逻辑最深刻的发现之一，它证明了所有独立于ZFC的数学命题，都不是孤立的，而是可以通过大基数公理形成一个统一、有序的理论体系。<ref>Shelah, S. "Cardinal Arithmetic". Oxford University Press, 1994.</ref>

==== 大基数公理与数学命题的可判定性 ====
ZFC中存在大量经典数学问题是不可判定的（如连续统假设CH、苏斯林问题、投影集的勒贝格可测性问题等），而大基数公理的加入，可以为大量这类不可判定问题提供确定的答案，让数学理论更加完备：
1. 描述集合论：若存在无穷多个武丁基数，则实数集的所有投影集都满足勒贝格可测性、贝尔性质、完美集性质，彻底解决了经典描述集合论中悬而未决的核心问题；
2. 无穷组合论：大基数公理可以确定大量无穷分划问题、基数算术问题的答案；
3. 拓扑与代数：大基数公理可以解决大量拓扑学、抽象代数中独立于ZFC的命题；
4. 连续统假设：武丁的终极L计划，通过引入足够强的大基数公理，为连续统假设提供一个确定的答案（CH为假，2^ℵ₀=ℵ₂），是当代解决连续统问题的核心方向。

值得注意的是，大基数公理本身无法直接判定连续统假设的真假，但它为解决连续统假设提供了坚实的理论框架，是所有主流连续统问题解决方案的核心基础。<ref>Woodin, W. H. "The Axiom of Determinacy, Forcing Axioms, and the Nonstationary Ideal". De Gruyter, 2010.</ref>

==== 大基数公理的逆层级 ====
类比阿克曼函数的逆函数，大基数公理也存在对应的逆大基数层级，即对任意自然数n，定义<math>\alpha_n(x) = \min\{\kappa \mid \text{第n层大基数的最小κ满足 } \kappa \geq x\}</math>。由于大基数的增长速度远超所有递归函数，其逆函数的增长速度极为缓慢，在证明论、算法复杂度的下界分析中有着重要应用。

其中最著名的是逆可测基数层级与逆武丁基数层级，它们被用于刻画高阶计算模型的复杂度下界，以及无穷博弈的确定性强度。<ref>Pettie, S. An Inverse-Ackermann Type Lower Bound For Online Minimum Spanning Tree Verification*. Combinatorica 26, 207–230 (2006). https://doi.org/10.1007/s00493-006-0014-1</ref>

==== 大基数的对角化与极限公理 ====
<blockquote>大基数层级让我有些困扰，因为它是一个线性的层级，而我们更关注集合论宇宙的终极性质。显然，对于任意的大基数公理，都应该存在一个更强的极限大基数吧？比如“所有大基数的极限”？或者简称终极大基数？另外，像不可达、可测、超紧这样的进阶层级……它们在递进过程中会生成新的集合论宇宙吗？这就是所谓的内模型计划的意思吗？感谢解答这些疑问

——当代集合论学者的经典追问</blockquote>

类比阿克曼函数的对角化，我们可以定义大基数的对角化公理：断言存在一个基数κ，它是第κ个大基数的极限，这类公理也被称为“大基数的不动点公理”。例如：
- 1-不动点基数：是不可达基数的不动点，即κ是第κ个不可达基数；
- 超不动点基数：是不动点基数的不动点，形成了更高阶的大基数层级；
- 终极对角化公理：断言存在一个基数κ，它是所有小于κ的大基数层级的极限，这类公理是内模型计划中“终极L”的核心基础。

这类对角化公理，将大基数的层级推向了更高的极限，同时也始终保持在Kunen不一致定理划定的一致性边界之内，是当代大基数研究的前沿方向。<ref>Googology Wiki. "Large Cardinal". https://googology.fandom.com/wiki/Large_cardinal</ref>

==== 大基数公理的历史背景 ====
大基数公理的研究起源于20世纪初的集合论基础危机：
1. 1908年，策梅洛提出了最初的集合论公理系统，开启了公理集合论的时代；

2. 1930年，策梅洛在研究集合论模型时，首次提出了强不可达基数的概念，为大基数理论奠定了基础；

3. 1931年，哥德尔不完备定理的提出，为大基数公理的不可证性提供了理论基础；

4. 1961年，斯科特证明了可测基数的存在可推出V≠L，开启了现代大基数理论的时代；

5. 1960-1980年代，索洛维、武丁、卡纳莫里等学者，系统发展了超紧基数、武丁基数等核心大基数理论，建立了大基数与确定性公理的深刻联系；

6. 当代，大基数公理已经成为集合论研究的核心，是数学基础研究的主流方向。

值得注意的是，阿克曼在1928年提出阿克曼函数时，其同门师兄苏丹在1927年提出的苏丹函数，以及阿克曼函数本身，其非原始递归性的本质，与大基数公理超越ZFC的本质是一脉相承的：二者都是对“可构造/可递归”边界的突破，分别在递归论与集合论中，刻画了超越标准系统的数学对象。<ref>Ackermann, Wilhelm (1928). "Zum Hilbertschen Aufbau der reellen Zahlen". Mathematische Annalen. 99: 118–133. https://doi.org/10.1007%2FBF01459088</ref>

=== 参考资料 ===

{{默认排序:大基数公理}}
[[分类:集合论相关]]
[[分类:重要概念]]

HPrSSψ vs LPrSS投影 vs LPrSS反射分析

2026-05-25T10:59:35Z

CGoL：修复编号错误

上篇：[[HPrSSψ vs 拓展LPrSSψ分析]]

== 分析1：LDO~(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(2,2,1) ==
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|-
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|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(2,2)(3,3,1)(4,4,1)(5,4)(4,4)(5,5,1)
|-
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|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(2,2)(3,3,1)(4,4,1)(5,4)(4,4)(5,5,1)(6,6,1)(7,6)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4\times(\Omega_3+1)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times(a+1)))</math>
|<math>\psi(\psi_I(I+1))=\psi(\Omega_{\Phi(1,0)+1})</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(2,2,1)
|}

== 分析2：(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(2,2,1)~(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1) ==
{| class="wikitable"
|+分析2：(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(2,2,1)~(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)
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|<math>\psi(\psi_I(I+1)^2)</math>
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|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4\times(\Omega_3+1)+\Omega_3))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times(a+1)+a))</math>
|<math>\psi(\varepsilon_{\psi_I(I+1)+1})</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(2,2,1)(2,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4\times(\Omega_3+1)+\psi_3(\psi_5(\Omega_7\Omega_6))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times(a+1)+\psi_{a+1}(\psi_{a_2}(\Omega_{a_2+1}a_2))))</math>
|<math>\psi(\psi_{\psi_I(I+1)}(\psi_I(I2)))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(2,2,1)(2,2)(3,3,1)(4,4,1)(5,4)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4\times(\Omega_3+1)+\psi_3(\psi_5(\Omega_7\times(\Omega_6+1)))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times(a+1)+\psi_{a+1}(\psi_{a_2}(\Omega_{a_2+1}\times(a_2+1)))))</math>
|<math>\psi(\psi_{\psi_I(I+1)}(\psi_I(I2+1)))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(2,2,1)(2,2)(3,3,1)(4,4,1)(5,4)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4\times(\Omega_3+2)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times(a+2)))</math>
|<math>\psi(\psi_I(I+2))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(2,2,1)(2,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4\times(\Omega_3+\omega)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times(a+\omega)))</math>
|<math>\psi(\psi_I(I+\omega))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(2,2,1)(3)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4\times(\Omega_3+\Omega)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times(a+\Omega)))</math>
|<math>\psi(\psi_I(I+\Omega))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(2,2,1)(3,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4\times(\Omega_3+\Omega_2)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times(a+\Omega_2)))</math>
|<math>\psi(\psi_I(I+\Omega_2))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(2,2,1)(3,1,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4\times(\Omega_3+\psi_2(\Omega_4\Omega_3))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times(a+\psi_a(\Omega_{a+1}a))))</math>
|<math>\psi(\psi_I(I+\psi_I(I)))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(2,2,1)(3,1,1)(4,2,1)(5,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4\times(\Omega_3+\psi_2(\Omega_4\times(\Omega_3+1)))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times(a+\psi_a(\Omega_{a+1}\times(a+1)))))</math>
|<math>\psi(\psi_I(I+\psi_I(I+1)))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(2,2,1)(3,1,1)(4,2,1)(5,2)(4,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4\times(\Omega_3+\psi_2(\Omega_4\times(\Omega_3+\psi_2(\Omega_4\Omega_3))))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times(a+\psi_a(\Omega_{a+1}\times(a+\psi_a(\Omega_{a+1}a))))))</math>
|<math>\psi(\psi_I(I+\psi_I(I+\psi_I(I))))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(2,2,1)(3,1,1)(4,2,1)(5,2)(4,2,1)(5,1,1)(6,2,1)(7,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4\times\Omega_32))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times a2))</math>
|<math>\psi(\psi_I(I2))=\psi(\Phi(1,1))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(2,2,1)(3,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4\times\Omega_3\omega))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times a\omega))</math>
|<math>\psi(\psi_I(I\omega))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(3)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4\times\Omega_3\Omega))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times a\Omega))</math>
|<math>\psi(\psi_I(I\Omega))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(3,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4\times\Omega_3\Omega_2))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times a\Omega_2))</math>
|<math>\psi(\psi_I(I\Omega_2))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(3,1,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4\times\Omega_3\times\psi_2(\Omega_4\Omega_3)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times a\times\psi_a(\Omega_{a+1}a)))</math>
|<math>\psi(\psi_I(I\times\psi_I(I)))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(3,1,1)(4,2,1)(5,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4\times\Omega_3^2))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times a^2))</math>
|<math>\psi(\psi_I(I^2))=\psi(\Phi(2,0))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(3,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4\times(\Omega_3^2+1)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times (a^2+1)))</math>
|<math>\psi(\psi_I(I^2+1))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(3,2)(2,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4\times(\Omega_3^2+\Omega_3)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times (a^2+a)))</math>
|<math>\psi(\psi_I(I^2+I))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(3,2)(2,2,1)(3,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4\times(\Omega_3^22)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times (a^22)))</math>
|<math>\psi(\psi_I(I^22))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(3,2)(2,2,1)(3,2)(3,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4\times(\Omega_3^2\omega)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times (a^2\omega)))</math>
|<math>\psi(\psi_I(I^2\omega))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(3,2)(3)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4\times\Omega_3^3))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times a^3))</math>
|<math>\psi(\psi_I(I^3))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(3,2)(3,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4\times\Omega_3^\omega))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times a^\omega))</math>
|<math>\psi(\psi_I(I^\omega))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(4)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4\times\Omega_3^\Omega))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times a^\Omega))</math>
|<math>\psi(\psi_I(I^\Omega))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(4,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4\times\Omega_3^{\Omega_2}))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times a^{\Omega_2}))</math>
|<math>\psi(\psi_I(I^{\Omega_2}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(4,1,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4\times\Omega_3^{\psi_2(\Omega_4\Omega_3)}))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times a^{\psi_a(\Omega_{a+1}a)}))</math>
|<math>\psi(\psi_I(I^{\psi_I(I)}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(4,1,1)(5,2,1)(6,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4\times\Omega_3^{\Omega_3}))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times a^a))</math>
|<math>\psi(\psi_I(I^I))=\psi(\Phi(1,0,0))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(4,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4\times\Omega_3^{\Omega_3^\omega}))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times a^{a^\omega}))</math>
|<math>\psi(\psi_I(I^{I^\omega}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(4,2)(5)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4\times\Omega_3^{\Omega_3^{\Omega_3}}))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times a^{a^a}))</math>
|<math>\psi(\psi_I(I^{I^I}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(4,2)(5,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4\times\psi_3(\Omega_4)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times\psi_{a+1}(\Omega_{a+1})))=\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times\varepsilon_{a+1}))</math>
|<math>\psi(\psi_I(\psi_{I+1}(\Omega_{I+1})))=\psi(\psi_I(\varepsilon_{I+1}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(4,3)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4\times\psi_3(\Omega_5)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times\psi_{a+1}(\Omega_{a+2})))</math>
|<math>\psi(\psi_I(\Omega_{I+1}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(4,3,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times\psi_{a+1}(\Omega_{a+3})))</math>
|<math>\psi(\psi_I(\Omega_{I+2}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7\omega))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times\psi_{a+1}(\Omega_{a+\omega})))</math>
|<math>\psi(\psi_I(\Omega_{I+\omega}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)(6)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7\Omega))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times\psi_{a+1}(\Omega_{a+\Omega})))</math>
|<math>\psi(\psi_I(\Omega_{I+\Omega}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)(6,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7\Omega_2))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times\psi_{a+1}(\Omega_{a+\Omega_2})))</math>
|<math>\psi(\psi_I(\Omega_{I+\Omega_2}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)(6,1,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7\Omega_3))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times\psi_{a+1}(\Omega_{a2})))</math>
|<math>\psi(\psi_I(\Omega_{I2}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)(6,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7\Omega_4))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times\psi_{a+1}(\Omega_{\Omega_{a+1}})))</math>
|<math>\psi(\psi_I(\Omega_{\Omega_{I+1}}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)(6,3)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7\Omega_5))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times\psi_{a+1}(\Omega_{\Omega_{a+2}})))</math>
|<math>\psi(\psi_I(\Omega_{\Omega_{I+2}}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)(6,3,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7\Omega_6))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times\psi_{a+1}(\psi_{a_2}(\Omega_{a_2+1}a_2))))</math>
|<math>\psi(\psi_I(\psi_{I_2}(I_2)))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)(6,4)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7\times\psi_6(\psi_8(\Omega_{10}\Omega_9))))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}\times\psi_{a+1}(\psi_{a_2}(\Omega_{a_2+1}\times\psi_{a_2+1}(\psi_{a_3}(\Omega_{a_3+1}a_3))))))</math>
|<math>\psi(\psi_I(\psi_{I_2}(\psi_{I_3}(I_3))))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)(6,4)(7,5,1)(8,6,1)(9,6)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2))</math>
|<math>\psi(I)</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)
|}

== 分析3：(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)~(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1) ==
{| class="wikitable"
|+分析3：(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)~(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)
!HPrSSψ
!LPrSS投影
!LPrSS反射
!BMS
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2))</math>
|<math>\psi(I)</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2)+\Omega)</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2)+\Omega)</math>
|<math>\psi(I+\Omega)</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(1,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2)+\psi_1(\psi_3(\Omega_5^2)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2)+\psi_1(\psi_a(\Omega_{a+1}^2)))</math>
|<math>\psi(I+\psi_1(I))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(1,1)(2,2,1)(3,3,1)(4,3,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2)+\Omega_2)</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2)+\Omega_2)</math>
|<math>\psi(I+\Omega_2)</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(1,1,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2)+\psi_2(\Omega_4))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2)+\Omega_3)</math>
|<math>\psi(I+\Omega_3)</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(1,1,1)(2,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2)+\psi_2(\Omega_4\omega))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2)+\Omega_\omega)</math>
|<math>\psi(I+\Omega_\omega)</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(1,1,1)(2,2,1)(3)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2)+\psi_2(\Omega_4\Omega_3))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2)+\psi_a(\Omega_{a+1}a))</math>
|<math>\psi(I+\psi_I(I))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2)+\psi_2(\Omega_4\times\psi_3(\Omega_5)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2)+\psi_a(\Omega_{a+1}\times\psi_{a+1}(\Omega_{a+2})))</math>
|<math>\psi(I+\psi_I(\Omega_{I+1}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(4,3,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2)+\psi_2(\Omega_4\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7\Omega_6))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2)+\psi_a(\Omega_{a+1}\times\psi_{a+1}(\psi_{a_2}(\Omega_{a_2+1}a_2))))</math>
|<math>\psi(I+\psi_I(\psi_{I_2}(I_2)))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)(6,4)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2)+\psi_2(\Omega_4\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7^2))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2)+\psi_a(\Omega_{a+1}\times\psi_{a+1}(\psi_{a_2}(\Omega_{a_2+1}^2))))</math>
|<math>\psi(I+\psi_I(I_2))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)(6,4,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2)+\psi_2(\Omega_4\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7^2)+\psi_5(\Omega_7\Omega_6))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2)+\psi_a(\Omega_{a+1}\times\psi_{a+1}(\psi_{a_2}(\Omega_{a_2+1}^2)+\psi_{a_2}(\Omega_{a_2+1}a_2))))</math>
|<math>\psi(I+\psi_I(I_2+\psi_{I_2}(I_2)))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)(6,4,1)(4,3,1)(5,4,1)(6,4)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2)\times2)</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2)\times2)</math>
|<math>\psi(I2)</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+1))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+1))</math>
|<math>\psi(I\omega)</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\Omega))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\Omega))</math>
|<math>\psi(I\Omega)</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\Omega_2))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\Omega_2))</math>
|<math>\psi(I\Omega_2)</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,1,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\psi_2(\Omega_4)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\Omega_3))</math>
|<math>\psi(I\Omega_3)</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,1,1)(3,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\psi_2(\Omega_4\omega)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\Omega_\omega))</math>
|<math>\psi(I\Omega_\omega)</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,1,1)(3,2,1)(4)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\psi_2(\Omega_4\Omega_3)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\psi_a(\Omega_{a+1}a)))</math>
|<math>\psi(I\times\psi_I(I))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,1,1)(3,2,1)(4,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\psi_2(\Omega_4^2)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\psi_a(\Omega_{a+1}^2)))</math>
|<math>\psi(I^2)</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,1,1)(3,2,1)(4,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\psi_2(\Omega_4^2+1)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\psi_a(\Omega_{a+1}^2+1)))</math>
|<math>\psi(I^\omega)</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,1,1)(3,2,1)(4,2,1)(3)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\psi_2(\Omega_4^2+\psi_2(\Omega_4^2))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\psi_a(\Omega_{a+1}^2))))</math>
|<math>\psi(I^I)</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,1,1)(3,2,1)(4,2,1)(3,1,1)(4,2,1)(5,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\Omega_3))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+a))</math>
|<math>\psi(\psi_{I+1}(\Omega_{I+1}))=\psi(\varepsilon_{I+1})</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\Omega_3+1))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+a+1))</math>
|<math>\psi(\psi_{I+1}(\Omega_{I+1}+1))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2)(2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\Omega_32))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+a2))</math>
|<math>\psi(\psi_{I+1}(\Omega_{I+1}2))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2)(2,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\Omega_3^2))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+a^2))</math>
|<math>\psi(\psi_{I+1}(\Omega_{I+1}^2))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2)(3,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\psi_3(\Omega_4)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\psi_{a+1}(\Omega_{a+1})))</math>
|<math>\psi(\psi_{I+1}(\psi_{I+2}(\Omega_{I+2})))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2)(3,3)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\psi_3(\Omega_5)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\psi_{a+1}(\Omega_{a+2})))</math>
|<math>\psi(\psi_{I+1}(\Omega_{I+2}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2)(3,3,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\psi_3(\psi_5(\Omega_7))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\psi_{a+1}(\Omega_{a+3})))</math>
|<math>\psi(\psi_{I+1}(\Omega_{I+3}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2)(3,3,1)(4,4,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\psi_3(\psi_5(\Omega_7\omega))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\psi_{a+1}(\Omega_{a+\omega})))</math>
|<math>\psi(\psi_{I+1}(\Omega_{I+\omega}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2)(3,3,1)(4,4,1)(5)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\psi_3(\psi_5(\Omega_7\Omega))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\psi_{a+1}(\Omega_{a+\Omega})))</math>
|<math>\psi(\psi_{I+1}(\Omega_{I+\Omega}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2)(3,3,1)(4,4,1)(5,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\psi_3(\psi_5(\Omega_7\Omega_2))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\psi_{a+1}(\Omega_{a+\Omega_2})))</math>
|<math>\psi(\psi_{I+1}(\Omega_{I+\Omega_2}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2)(3,3,1)(4,4,1)(5,1,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\psi_3(\psi_5(\Omega_7\Omega_3))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\psi_{a+1}(\Omega_{a2})))</math>
|<math>\psi(\psi_{I+1}(\Omega_{I2}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2)(3,3,1)(4,4,1)(5,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\psi_3(\psi_5(\Omega_7\Omega_4))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\psi_{a+1}(\Omega_{\Omega_{a+1}})))</math>
|<math>\psi(\psi_{I+1}(\Omega_{\Omega_{I+1}}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2)(3,3,1)(4,4,1)(5,3)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\psi_3(\psi_5(\Omega_7\Omega_5))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\psi_{a+1}(\Omega_{\Omega_{a+2}})))</math>
|<math>\psi(\psi_{I+1}(\Omega_{\Omega_{I+2}}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2)(3,3,1)(4,4,1)(5,3,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\psi_3(\psi_5(\Omega_7\Omega_6))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\psi_{a+1}(\psi_{a_2}(\Omega_{a_2+1}a_2))))</math>
|<math>\psi(\psi_{I+1}(\psi_{I_2}(I_2)))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2)(3,3,1)(4,4,1)(5,4)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\psi_3(\psi_5(\Omega_7^2))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\psi_{a+1}(\psi_{a_2}(\Omega_{a_2+1}^2))))</math>
|<math>\psi(\psi_{I+1}(I_2))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2)(3,3,1)(4,4,1)(5,4,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\psi_3(\psi_5(\Omega_7^2+\psi_6(\psi_8(\Omega_{10}^2))))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\psi_{a+1}(\psi_{a_2}(\Omega_{a_2+1}^2+\psi_{a_2+1}(\psi_{a_3}(\Omega_{a_3+1}^2))))))</math>
|<math>\psi(\psi_{I+1}(\psi_{I_2+1}(I_3)))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2)(3,3,1)(4,4,1)(5,4,1)(4,4)(5,5,1)(6,6,1)(7,6,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\Omega_4))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\Omega_{a+1}))</math>
|<math>\psi(\Omega_{I+1})</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\Omega_42))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\Omega_{a+1}2))</math>
|<math>\psi(\Omega_{I+2})</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(2,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\Omega_4\omega))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\Omega_{a+1}\omega))</math>
|<math>\psi(\Omega_{I+\omega})</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(3)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\Omega_4\Omega))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\Omega_{a+1}\Omega))</math>
|<math>\psi(\Omega_{I+\Omega})</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(3,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\Omega_4\Omega_2))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\Omega_{a+1}\Omega_2))</math>
|<math>\psi(\Omega_{I+\Omega_2})</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(3,1,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\Omega_4\times\psi_2(\Omega_4)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\Omega_{a+1}\Omega_3))</math>
|<math>\psi(\Omega_{I+\Omega_3})</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(3,1,1)(4,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\Omega_4\times\psi_2(\Omega_4\omega)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\Omega_{a+1}\Omega_\omega))</math>
|<math>\psi(\Omega_{I+\Omega_\omega})</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(3,1,1)(4,2,1)(5)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\Omega_4\times\psi_2(\Omega_4\Omega_3)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\Omega_{a+1}\times\psi_a(\Omega_{a+1}a)))</math>
|<math>\psi(\Omega_{I+\psi_I(I)})</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(3,1,1)(4,2,1)(5,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\Omega_4\times\psi_2(\Omega_4^2)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\Omega_{a+1}\times\psi_a(\Omega_{a+1}^2)))</math>
|<math>\psi(\Omega_{I2})</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(3,1,1)(4,2,1)(5,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\Omega_4\times\psi_2(\Omega_4^2+\Omega_4)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\Omega_{a+1}\times\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\Omega_{a+1})))</math>
|<math>\psi(\Omega_{\Omega_{I+1}})</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(3,1,1)(4,2,1)(5,2,1)(4,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\Omega_4\times\psi_2(\Omega_4^2+\Omega_4\times\psi_2(\Omega_4^2))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\Omega_{a+1}\times\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\Omega_{a+1}\times\psi_a(\Omega_{a+1}^2))))</math>
|<math>\psi(\Omega_{\Omega_{I2}})</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(3,1,1)(4,2,1)(5,2,1)(4,2,1)(5,1,1)(6,2,1)(7,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\Omega_4\Omega_3))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\Omega_{a+1}a))</math>
|<math>\psi(\psi_{I_2}(I_2))=\psi(\Phi(1,I+1))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(3,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\Omega_4\times(\Omega_3+1)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\Omega_{a+1}\times(a+1)))</math>
|<math>\psi(\psi_{I_2}(I_2+1))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(3,2)(2,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\Omega_4\times\Omega_32))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\Omega_{a+1}\times a2))</math>
|<math>\psi(\psi_{I_2}(I_22))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(3,2)(2,2,1)(3,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\Omega_4\times\Omega_3^2))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\Omega_{a+1}\times a^2))</math>
|<math>\psi(\psi_{I_2}(I_2^2))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(3,2)(3,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\Omega_4\times\psi_3(\Omega_4)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\Omega_{a+1}\times\psi_{a+1}(\Omega_{a+1})))</math>
|<math>\psi(\psi_{I_2}(\psi_{I_2+1}(\Omega_{I_2+1})))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(3,2)(4,3)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\Omega_4\times\psi_3(\Omega_5)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\Omega_{a+1}\times\psi_{a+1}(\Omega_{a+2})))</math>
|<math>\psi(\psi_{I_2}(\Omega_{I_2+1}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(3,2)(4,3,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\Omega_4\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\Omega_{a+1}\times\psi_{a+1}(\Omega_{a+3})))</math>
|<math>\psi(\psi_{I_2}(\Omega_{I_2+2}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\Omega_4\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7\Omega_6))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\Omega_{a+1}\times\psi_{a+1}(\psi_{a_2}(\Omega_{a_2+1}a_2))))</math>
|<math>\psi(\psi_{I_2}(\psi_{I_3}(I_3)))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)(6,4)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\Omega_4\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7^2))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\Omega_{a+1}\times\psi_{a+1}(\psi_{a_2}(\Omega_{a_2+1}^2))))</math>
|<math>\psi(\psi_{I_2}(I_3))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)(6,4,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\Omega_4\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7^2+\Omega_7))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\Omega_{a+1}\times\psi_{a+1}(\psi_{a_2}(\Omega_{a_2+1}^2+\Omega_{a_2+1}))))</math>
|<math>\psi(\psi_{I_2}(\Omega_{I_3+1}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)(6,4,1)(5,4,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2+\Omega_4\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7^2+\Omega_7\Omega_6))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2+\Omega_{a+1}\times\psi_{a+1}(\psi_{a_2}(\Omega_{a_2+1}^2+\Omega_{a_2+1}a_2))))</math>
|<math>\psi(\psi_{I_2}(\psi_{I_4}(I_4)))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)(6,4,1)(5,4,1)(6,4)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^22))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^22))</math>
|<math>\psi(I_2)</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(3,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^22+\Omega_3))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^22+a))</math>
|<math>\psi(\varepsilon_{I_2+1})</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^22+\Omega_4))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^22+\Omega_{a+1}))</math>
|<math>\psi(\Omega_{I_2+1})</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^22+\Omega_4\Omega_3))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^22+\Omega_{a+1}a))</math>
|<math>\psi(\psi_{I_3}(I_3))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(3,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^23))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^23))</math>
|<math>\psi(I_3)</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(3,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2\omega))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2\omega))</math>
|<math>\psi(I_\omega)</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2\omega+\Omega_4))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2\omega+\Omega_{a+1}))</math>
|<math>\psi(\Omega_{I_\omega+1})</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3)(2,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2\times(\omega+1)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2\times(\omega+1)))</math>
|<math>\psi(I_{\omega+1})</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3)(2,2,1)(3,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2\Omega))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2\Omega))</math>
|<math>\psi(I_\Omega)</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2\Omega_2))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2\Omega_2))</math>
|<math>\psi(I_{\Omega_2})</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,1,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2\times\psi_2(\Omega_4)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2\Omega_3))</math>
|<math>\psi(I_{\Omega_3})</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,1,1)(4,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2\times\psi_2(\Omega_4\omega)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2\Omega_\omega))</math>
|<math>\psi(I_{\Omega_\omega})</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,1,1)(4,2,1)(5)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2\times\psi_2(\Omega_4\Omega_3)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2\times\psi_a(\Omega_{a+1}a)))</math>
|<math>\psi(I_{\psi_I(I)})</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,1,1)(4,2,1)(5,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2\times\psi_2(\Omega_4^2)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2\times\psi_a(\Omega_{a+1}^2)))</math>
|<math>\psi(I_I)</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,1,1)(4,2,1)(5,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2\times\psi_2(\Omega_4^2\times\psi_2(\Omega_4^2))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2\times\psi_a(\Omega_{a+1}^2\times\psi_a(\Omega_{a+1}^2))))</math>
|<math>\psi(I_{I_I})</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,1,1)(4,2,1)(5,2,1)(5,1,1)(6,2,1)(7,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2\Omega_3))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2a))</math>
|<math>\psi(\psi_{I(1,0)}(I(1,0)))=\psi(I-\Phi(1,0))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2\Omega_3+\Omega_4))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2a+\Omega_{a+1}))</math>
|<math>\psi(\Omega_{\psi_{I(1,0)}(I(1,0))+1})</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2)(2,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2\times(\Omega_3+1)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2\times(a+1)))</math>
|<math>\psi(\psi_{I(1,0)}(I(1,0)+1))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2)(2,2,1)(3,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2\times\Omega_32))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2\times a2))</math>
|<math>\psi(\psi_{I(1,0)}(I(1,0)\times2))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2)(2,2,1)(3,2,1)(3,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2\times\Omega_3\omega))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2\times a\omega))</math>
|<math>\psi(\psi_{I(1,0)}(I(1,0)\times\omega))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2)(3)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2\times\Omega_3^2))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2\times a^2))</math>
|<math>\psi(\psi_{I(1,0)}(I(1,0)^2))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2)(3,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2\times\Omega_3^\omega))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2\times a^\omega))</math>
|<math>\psi(\psi_{I(1,0)}(I(1,0)^\omega))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2)(4)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2\times\Omega_3^{\Omega_3}))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2\times a^a))</math>
|<math>\psi(\psi_{I(1,0)}(I(1,0)^{I(1,0)}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2)(4,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2\times\psi_3(\Omega_4)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2\times\psi_{a+1}(\Omega_{a+1})))</math>
|<math>\psi(\psi_{I(1,0)}(\varepsilon_{I(1,0)+1}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2)(4,3)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2\times\psi_3(\Omega_5)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2\times\psi_{a+1}(\Omega_{a+2})))</math>
|<math>\psi(\psi_{I(1,0)}(\Omega_{I(1,0)+1}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2)(4,3,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2\times\psi_{a+1}(\Omega_{a+3})))</math>
|<math>\psi(\psi_{I(1,0)}(\Omega_{I(1,0)+2}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7\omega))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2\times\psi_{a+1}(\Omega_{a+\omega})))</math>
|<math>\psi(\psi_{I(1,0)}(\Omega_{I(1,0)+\omega}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)(6)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7\Omega))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2\times\psi_{a+1}(\Omega_{a+\Omega})))</math>
|<math>\psi(\psi_{I(1,0)}(\Omega_{I(1,0)+\Omega}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)(6,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7\Omega_2))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2\times\psi_{a+1}(\Omega_{a+\Omega_2})))</math>
|<math>\psi(\psi_{I(1,0)}(\Omega_{I(1,0)+\Omega_2}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)(6,1,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7\Omega_3))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2\times\psi_{a+1}(\Omega_{a2})))</math>
|<math>\psi(\psi_{I(1,0)}(\Omega_{I(1,0)\times2}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)(6,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7\Omega_4))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2\times\psi_{a+1}(\Omega_{\Omega_{a+1}})))</math>
|<math>\psi(\psi_{I(1,0)}(\Omega_{\Omega_{I(1,0)+1}}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)(6,3)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7\Omega_5))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2\times\psi_{a+1}(\Omega_{\Omega_{a+2}})))</math>
|<math>\psi(\psi_{I(1,0)}(\Omega_{\Omega_{I(1,0)+1}}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)(6,3,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7\Omega_6))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2\times\psi_{a+1}(\psi_{a_2}(\Omega_{a_2+1}a_2))))</math>
|<math>\psi(\psi_{I(1,0)}(\Phi(1,I(1,0)+1)))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)(6,4)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7^2))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2\times\psi_{a+1}(\psi_{a_2}(\Omega_{a_2+1}^2))))</math>
|<math>\psi(\psi_{I(1,0)}(I_{I(1,0)+1}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)(6,4,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7^22))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2\times\psi_{a+1}(\psi_{a_2}(\Omega_{a_2+1}^22))))</math>
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|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)(6,4,1)(5,4,1)(6,4,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7^2\omega))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2\times\psi_{a+1}(\psi_{a_2}(\Omega_{a_2+1}^2\omega))))</math>
|<math>\psi(\psi_{I(1,0)}(I_{I(1,0)+\omega}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)(6,4,1)(6)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7^2\Omega))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2\times\psi_{a+1}(\psi_{a_2}(\Omega_{a_2+1}^2\Omega))))</math>
|<math>\psi(\psi_{I(1,0)}(I_{I(1,0)+\Omega}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)(6,4,1)(6,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7^2\Omega_2))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2\times\psi_{a+1}(\psi_{a_2}(\Omega_{a_2+1}^2\Omega_2))))</math>
|<math>\psi(\psi_{I(1,0)}(I_{I(1,0)+\Omega_2}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)(6,4,1)(6,1,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7^2\Omega_3))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2\times\psi_{a+1}(\psi_{a_2}(\Omega_{a_2+1}^2a))))</math>
|<math>\psi(\psi_{I(1,0)}(I_{I(1,0)\times2}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)(6,4,1)(6,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7^2\Omega_4))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2\times\psi_{a+1}(\psi_{a_2}(\Omega_{a_2+1}^2\times\psi_{a_2}(\Omega_{a_2+1}^2)))))</math>
|<math>\psi(\psi_{I(1,0)}(I_{I_{I(1,0)+1}}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)(6,4,1)(6,3)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7^2\Omega_5))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2\times\psi_{a+1}(\psi_{a_2}(\Omega_{a_2+1}^2\times\psi_{a_2}(\Omega_{a_2+1}^22)))))</math>
|<math>\psi(\psi_{I(1,0)}(I_{I_{I(1,0)+2}}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)(6,4,1)(6,3,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7^2\Omega_6))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2\times\psi_{a+1}(\psi_{a_2}(\Omega_{a_2+1}^2a_2))))</math>
|<math>\psi(\psi_{I(1,0)}(\psi_{I(1,1)}(I(1,1))))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)(6,4,1)(6,4)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^2\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7^2\Omega_6\times\psi_6(\psi_8(\Omega_{10}^2\Omega_9))))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^2\times\psi_{a+1}(\psi_{a_2}(\Omega_{a_2+1}^2\times\psi_{a_2+1}(\psi_{a_3}(\Omega_{a_3+1}^2a_3))))))</math>
|<math>\psi(\psi_{I(1,0)}(\psi_{I(1,1)}(\psi_{I(1,2)}(I(1,2)))))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)(6,4,1)(6,4)(7,5,1)(8,6,1)(9,6,1)(9,6)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^3))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^3))</math>
|<math>\psi(I(1,0))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)
|}

== 分析4：(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)~(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(4,2) ==
{| class="wikitable"
|+分析4：(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)~(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(4,2)
!HPrSSψ
!LPrSS投影
!LPrSS反射
!BMS
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^3))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^3))</math>
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|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)
|-
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|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^3)+\Omega)</math>
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|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(1,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^3)+\psi_1(\psi_3(\Omega_5^3)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^3)+\psi_1(\psi_a(\Omega_{a+1}^3)))</math>
|<math>\psi(I(1,0)+\psi_1(I(1,0)))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(1,1)(2,2,1)(3,3,1)(4,3,1)(4,3,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^3)+\Omega_2)</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^3)+\Omega_2)</math>
|<math>\psi(I(1,0)+\Omega_2)</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(1,1,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^3)+\psi_2(\Omega_4^2))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^3)+\psi_a(\Omega_{a+1}^2))</math>
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|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^3)+\psi_2(\Omega_4^2\Omega_3))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^3)+\psi_a(\Omega_{a+1}^2a))</math>
|<math>\psi(I(1,0)+\psi_{I(1,0)}(I(1,0)))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^3)+\psi_2(\Omega_4^2\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7^3))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^3)+\psi_a(\Omega_{a+1}^2\times\psi_{a+1}(\psi_{a_2}(\Omega_{a_2+1}^3))))</math>
|<math>\psi(I(1,0)+\psi_{I(1,0)}(I(1,1)))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)(6,4,1)(6,4,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^3)\times2)</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^3)\times2)</math>
|<math>\psi(I(1,0)\times2)</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^3+1))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^3+1))</math>
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|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^3+\psi_2(\Omega_4^3)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^3+\psi_a(\Omega_{a+1}^3)))</math>
|<math>\psi(I(1,0)^2)</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(2,1,1)(3,2,1)(4,2,1)(4,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^3+\Omega_3))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^3+a))</math>
|<math>\psi(\varepsilon_{I(1,0)+1})</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(2,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^3+\Omega_4))</math>
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|<math>\psi(\Omega_{I(1,0)+1})</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(2,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^3+\Omega_4\Omega_3))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^3+\Omega_{a+1}a))</math>
|<math>\psi(\Phi(1,I(1,0)+1))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(3,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^3+\Omega_4^2))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^3+\Omega_{a+1}^2))</math>
|<math>\psi(I_{I(1,0)+1})</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(3,2,1)
|-
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|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^3+\Omega_{a+1}^2\omega))</math>
|<math>\psi(I_{I(1,0)+\omega})</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(3,2,1)(3)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^3+\Omega_4^2\Omega_3))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^3+\Omega_{a+1}^2a))</math>
|<math>\psi(\psi_{I(1,1)}(I(1,1)))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^3+\Omega_4^2\times\psi_3(\Omega_5)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^3+\Omega_{a+1}^2\times\psi_{a+1}(\Omega_{a+2})))</math>
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|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2)(4,3,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^3+\Omega_4^2\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7^2))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^3+\Omega_{a+1}^2\times\psi_{a+1}(\psi_{a_2}(\Omega_{a_2+1}^2))))</math>
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|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)(6,4,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^3+\Omega_4^2\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7^3))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^3+\Omega_{a+1}^2\times\psi_{a+1}(\psi_{a_2}(\Omega_{a_2+1}^3))))</math>
|<math>\psi(\psi_{I(1,1)}(I(1,2)))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)(6,4,1)(6,4,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^3+\Omega_4^2\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7^3+\Omega_7^2\Omega_6))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^3+\Omega_{a+1}^2\times\psi_{a+1}(\psi_{a_2}(\Omega_{a_2+1}^3+\Omega_{a_2+1}^2a_2))))</math>
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|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)(6,4,1)(6,4,1)(5,4,1)(6,4,1)(6,4)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^32))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^32))</math>
|<math>\psi(I(1,1))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^3\omega))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^3\omega))</math>
|<math>\psi(I(1,\omega))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(3)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^3\Omega))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^3\Omega))</math>
|<math>\psi(I(1,\Omega))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(3,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^3\times\psi_2(\Omega_4^2)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^3\times\psi_a(\Omega_{a+1}^2)))</math>
|<math>\psi(I(1,I))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(3,1,1)(4,2,1)(5,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^3\times\psi_2(\Omega_4^3)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^3\times\psi_a(\Omega_{a+1}^3)))</math>
|<math>\psi(I(1,I(1,0)))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(3,1,1)(4,2,1)(5,2,1)(5,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^3\Omega_3))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^3a))</math>
|<math>\psi(\psi_{I(2,0)}(I(2,0)))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(3,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^3\times\psi_3(\Omega_5)))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^3\times\psi_{a+1}(\Omega_{a+2})))</math>
|<math>\psi(\psi_{I(2,0)}(\Omega_{I(2,0)+1}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(3,2)(4,3,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^3\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7^2))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^3\times\psi_{a+1}(\psi_{a_2}(\Omega_{a_2+1}^2))))</math>
|<math>\psi(\psi_{I(2,0)}(I_{I(2,0)+1}))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)(6,4,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^3\times\psi_3(\psi_5(\Omega_7^3))))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^3\times\psi_{a+1}(\psi_{a_2}(\Omega_{a_2+1}^3))))</math>
|<math>\psi(\psi_{I(2,0)}(\psi_{I(2,1)}(I(2,1))))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(3,2)(4,3,1)(5,4,1)(6,4,1)(6,4,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^4))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^4))</math>
|<math>\psi(I(2,0))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(3,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^4+1))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^4+1))</math>
|<math>\psi(I(2,0)\times\omega)</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^4+\Omega_3))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^4+a))</math>
|<math>\psi(\varepsilon_{I(2,0)+1})</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(2,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^4+\Omega_4))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^4+\Omega_{a+1}))</math>
|<math>\psi(\Omega_{I(2,0)+1})</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(2,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^4+\Omega_4^2))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^4+\Omega_{a+1}^2))</math>
|<math>\psi(I_{I(2,0)+1})</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(3,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^4+\Omega_4^3))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^4+\Omega_{a+1}^3))</math>
|<math>\psi(I(1,I(2,0)+1))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^4+\Omega_4^3\Omega_3))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^4+\Omega_{a+1}^3a))</math>
|<math>\psi(\psi_{I(2,1)}(I(2,1)))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(3,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^42))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^42))</math>
|<math>\psi(I(2,1))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(3,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^4\omega))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^4\omega))</math>
|<math>\psi(I(2,\omega))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(3)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^4\Omega_3))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^4a))</math>
|<math>\psi(\psi_{I(3,0)}(I(3,0)))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(3,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^5))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^5))</math>
|<math>\psi(I(3,0))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(3,2,1)(3,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^\omega))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^\omega))</math>
|<math>\psi(I(\omega,0))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(4)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^\omega+\Omega_4))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^\omega+\Omega_{a+1}))</math>
|<math>\psi(\Omega_{I(\omega,0)+1})</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(4)(2,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^\omega2))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^\omega2))</math>
|<math>\psi(I(\omega,1))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(4)(2,2,1)(3,2,1)(4)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^\omega\omega))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^\omega\omega))</math>
|<math>\psi(I(\omega,\omega))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(4)(3)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^\omega\Omega_3))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^\omega a))</math>
|<math>\psi(I(\omega,I(\omega,0)))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(4)(3,2)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^{\omega+1}))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^{\omega+1}))</math>
|<math>\psi(I(\omega+1,0))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(4)(3,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^\Omega))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^\Omega))</math>
|<math>\psi(I(\Omega,0))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(4,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^{\Omega_2}))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^{\Omega_2}))</math>
|<math>\psi(I(\Omega_2,0))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(4,1,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^{\psi_2(\Omega_4)}))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^{\Omega_3}))</math>
|<math>\psi(I(\Omega_3,0))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(4,1,1)(5,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^{\psi_2(\Omega_4\omega)}))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^{\Omega_\omega}))</math>
|<math>\psi(I(\Omega_\omega,0))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(4,1,1)(5,2,1)(6)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^{\psi_2(\Omega_4^2)}))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^{\psi_a(\Omega_{a+1}^2)}))</math>
|<math>\psi(I(I,0))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(4,1,1)(5,2,1)(6,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^{\psi_2(\Omega_4^\omega)}))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^{\psi_a(\Omega_{a+1}^\omega)}))</math>
|<math>\psi(I(I(\omega,0),0))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(4,1,1)(5,2,1)(6,2,1)(7)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^{\psi_2(\Omega_4^{\psi_2(\Omega_4^2)})}))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^{\psi_a(\Omega_{a+1}^{\psi_a(\Omega_{a+1}^2)})}))</math>
|<math>\psi(I(I(I,0),0))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(4,1,1)(5,2,1)(6,2,1)(7,1,1)(8,2,1)(9,2,1)
|-
|<math>\psi(\psi_2(\Omega_4^{\Omega_3}))</math>
|<math>\psi(\psi_a(\Omega_{a+1}^a))</math>
|<math>\psi(\psi_{I(1,0,0)}(I(1,0,0)))=\psi(I(x,0)-\Phi(1,0))</math>
|(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(4,2)
|}
未完待续
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