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增长层级

2025-08-15T10:27:04Z

Ankdnjj：/* 定义 */

'''增长层级（Growing Hierarchy，GH）'''是一种函数族<math>f:\rm Ord\rightarrow\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}</math>，对于每个[[序数]] <math>\alpha</math>，<math>f_{\alpha}</math> 是一个从自然数到自然数的函数。

不同[[增长率]]的函数能和它们建立起大致的对应关系。因此，增长层级常被用于分析函数的增长率。

常用的增长层级有 4 种，分别为 [[增长层级#快速增长层级|FGH]]、[[增长层级#中速增长层级|MGH]]、[[增长层级#哈代层级|HH]] 和 [[增长层级#慢速增长层级|SGH]]。其中最常用的是 FGH。

=== 定义 ===
在这里，<math>f^n(\cdot)</math> 代表对函数 <math>f(\cdot)</math> 的 <math>n</math> 次迭代；其中 <math>\alpha[n]</math> 表示[[序数#极限序数|极限序数]] <math>\alpha</math> 的[[基本列]]第 <math>n</math> 项。所有的典型增长层级都是由超限递归定义的。

这里由于增长层级都针对递归序数，令 <math>\bold{Rec}</math> 为递归序数集合，<math>\bold{Rec}_\text{lim}</math> 为极限（递归）序数集合。

==== 快速增长层级 ====
快速增长层级（Fast Growing Hierarchy，FGH）

* <math>\forall n\in\mathbb{N},f_0(n)=n+1</math>
* <math>\forall\alpha\in\bold{Rec},n\in\mathbb{N},f_{\alpha+1}(n)=f^n_\alpha(n)</math>
* <math>\forall\alpha\in\bold{Rec}_\text{lim},n\in\mathbb{N},f_\alpha(n)=f_{\alpha[n]}(n)</math>

==== 中速增长层级 ====
中速增长层级（Middle Growing Hierarchy，MGH）

* <math>\forall n\in\mathbb{N},m_0(n)=n+1</math>
* <math>\forall\alpha\in\bold{Rec},n\in\mathbb{N},m_{\alpha+1}(n)=m_\alpha(m_\alpha(n))</math>
* <math>\forall\alpha\in\bold{Rec}_\text{lim},n\in\mathbb{N},m_\alpha(n)=m_{\alpha[n]}(n)</math>

==== 哈代层级 ====
哈代层级（Hardy Hierarchy，HH）

* <math>\forall n\in\mathbb{N},H_0(n)=n</math>
* <math>\forall\alpha\in\bold{Rec},n\in\mathbb{N},H_{\alpha+1}(n)=H_\alpha(n+1)</math>
* <math>\forall\alpha\in\bold{Rec}_\text{lim},n\in\mathbb{N},H_\alpha(n)=H_{\alpha[n]}(n)</math>

==== 慢速增长层级 ====
慢速增长层级（Slow Growing Hierarchy，SGH）

* <math>\forall n\in\mathbb{N},g_0(n)=0</math>
* <math>\forall\alpha\in\bold{Rec},n\in\mathbb{N},g_{\alpha+1}(n)=g_\alpha(n)+1</math>
* <math>\forall\alpha\in\bold{Rec}_\text{lim},n\in\mathbb{N},g_\alpha(n)=g_{\alpha[n]}(n)</math>

=== 在大数数学中的应用 ===
我们知道，大数数学的目的是造出越来越巨大的自然数。为了这个目标，我们需要构造出增长的越来越快的大数函数。实际上，我们有以下两种办法来做到这件事情，即'''迭代'''和'''对角化'''：

* 迭代，即对于已有函数 <math>f(x)</math>，我们构造出函数 <math>g(x)</math> 增长速度快于 <math>f(x)</math>。注意到迭代的方法显然不止一种。比方说，让 <math>g(x)=\underbrace{f(f(f(\cdots(x)\cdots)))}_{x\text{ 层}}</math>，这是一种迭代方法。还可以让 <math>g(x)=f(x+1)</math> 等等。
* 对角化，即对于已有的 <math>\omega</math> 个增长速度递增的函数，我们按照增长速度由小到大排序为 <math>f_1(x),f_2(x),f_3(x),\cdots</math>，我们构造出函数 <math>g(x)=f_x(x)</math>。注意到 <math>g(x)</math> 的增长速度快于任意的<math>f_n(x)</math>。

因此，我们只需要从一个最初的函数出发，通过不断地迭代和对角化，就可以得到越来越快的函数.

现在让我们考察[[序数]]，会发现，序数存在以下两个性质：

* 对任意序数 α，α 的后继依然是一个序数且大于 α。
* 对 ω 个递增序数构成的序列 S 来说，存在一个 β 是序数且满足 β 是 S 的上确界（上界要求大于等于内部所有元素，上确界是最小上界）。或者说，这里的 S 是 β 的一条[[基本列]]。

因此，我们可以从 0 出发，通过不断地取后继和取上确界，我们可以得到越来越大的序数.

我们会发现，构造大数函数的方法和序数的性质之间存在某种意义的对应。那么，我们可不可以直接根据序数，生成大数函数呢？答案是可以的。我们需要完成以下三件事：

* 对序数 0，它要和一个最基础的函数对应。
* 对一个[[序数#序数的后继|后继序数]] α'（α 的后继），我们需要找到 α，然后把 α 对应的函数进行迭代，所得到的新函数就是 α' 对应的函数。
* 对一个[[序数#极限序数|极限序数]] β，我们需要找到 β 的基本列，然后把基本列所有元素对应的函数进行对角化，得到的新函数就是 β 对应的函数。

但注意到这里还有一个问题：一个极限序数的基本列不止一种，那么，我们如何确定应该选取哪一条基本列呢？这个时候就需要[[序数记号]]出马了。序数记号为其极限之下的每个序数指定了唯一的标准基本列。

有了序数记号之后，我们就可以放心的运用对应关系，直接把序数转换成大数函数了。把序数转换成大数函数的工具就是增长层级。根据迭代的方法不同，增长层级也有很多种。

=== 不同增长层级的对比 ===
''本节内容来自<ref>Chase Light (2025). [googology] 大数增长率分析(序篇)：不同的增长层级及其对比 [[googology] Analysis of Large Number Growth Rate (Prologue): Different Growth Levels and Their Comparison]. ''(EB/OL), Zhihu''. Available at: https://zhuanlan.zhihu.com/p/720580794</ref>''。

MGH 相比 FGH，下标 +1 的方式仅由“嵌套 n（自变量）层”变为“嵌套 2 层”。因此，MGH 的下标每加一次 <math>\omega</math>，就能将函数嵌套 <math>2^n</math> 层，实现略大于 FGH 中下标 +1 的作用。

对于使得 <math>m_{\alpha}(n)=f_{\beta}(n)</math> 的 <math>\alpha</math> 和 <math>\beta</math>，我们有

<math>m_{\alpha+n(n\in \omega)}(x)<f_{\beta+1}(x)<m_{\alpha+\omega}(x)<f_{\beta+1}(2^x)</math>

因而 MGH 与 FGH 在 <math>\omega^\omega</math> 处 Catching。

HH 为“下标 +1 则自变量 +1 ”，显然有<math>H_\alpha(H_\beta(n))=H_{\alpha+\beta}(n)</math>。

于是当 <math>H_{\alpha}(n)=f_{\beta}(n)</math> 时，

<math>H_{\alpha+1}(n)=f_\beta(n+1)</math>，<math>H_{\alpha+\alpha}(n)=f_\beta(f_\beta(n))</math>，<math>H_{\alpha\times\omega}(n)=f_{\beta+1}(n)</math>

而 <math>H_{1}(n)=f_{0}(n)=n+1</math>。于是我们又有以下推论：

相同基本列下，对于 <math>\beta\leq\alpha<\varepsilon_0</math>，有 <math>H_{\omega^{\alpha}}(n)=f_{\alpha}(n)</math>，<math>H_{\omega^\alpha+\omega^\beta}(n)=f_{\alpha}(f_{\beta}(n))</math>

因而 HH 与 FGH 在 <math>\varepsilon_0</math> 处 Catching。

我们最后再来看 SGH，其下标 +1 仅仅是“函数值 +1”，因而 SGH 的增长十分依赖于'''序数自身的结构'''及'''基本列'''的选取，所以其增长地较为缓慢，且在较小尺度上和 FGH 没有明显的对应关系。

SGH 与 FGH在<math>\psi(\Omega_\omega)</math>处 Catching。在这之后，直接分析记号的序数结构与分析增长率变得几乎没有区别。

=== 对照表 ===
以下是较为具体的对照表，黑色代表严格相等，绿色代表略小，红色代表略大。

<nowiki>\( \begin{array} { c | c | c } \rm FGH & \rm MGH & \rm HH & \rm SGH & \rm EXP & -\\ \hline & & H_0 & g_\omega & x\\ f_0 & m_0 & H_1 & g_{\omega +1} & x+1\\ f_0(f_0) & m_1 & H_2 & g_{\omega +2} & x+2\\ f_0^4 & m_2 & H_4 & g_{\omega +4} & x+4\\ f_0^8 & m_3 & H_8 & g_{\omega +8} & x+8\\ f_1 & \matrix{\underset{x+2^x}{\color{red}{ m_\omega}}} & H_\omega & g_{\omega \times 2} & 2x \\ f_1(f_0) & {\color{red}{ m_\omega}} & H_{\omega +1} & g_{\omega \times 2 +2} & 2x +2\\ f_1(f_0(f_0)) & {\color{red} {m_\omega}} & H_{\omega +2} & g_{\omega \times 2 +4} & 2x +4\\ f_1(f_1) & {\color{red} {m_\omega}} & H_{\omega \times 2} & g_{\omega \times 4} & 4x\\ f_1(f_1(f_0)) & {\color{red} {m_\omega}} & H_{\omega \times 2 +1} & g_{\omega \times 4 +4} & 4x +4\\ f_1(f_1(f_1)) & {\color{red} {m_\omega}} & H_{\omega \times 3} & g_{\omega \times 8} & 8x\\ f_2 & {\color{green} {m_\omega}} & H_{\omega ^2} & {\color{green}{ g_{\omega^2}\sim g_{\omega^n}}} & x\cdot 2^x\\ f_2(f_1) & {\color{green}{ m_\omega}} & H_{\omega ^2 +\omega} & {\color{green} {g_{\omega^2}\sim g_{\omega^n}}} & x\cdot 2^{2x+1}\\ f_2(f_2) & {\color{green} {m_{\omega +1}}} & H_{\omega ^2 \times 2} & {\color{green} {g_{\omega^\omega}\sim g_{\omega^{\omega^n}}}} & x\cdot 2^{x\cdot (2^x+1)}\\ f_3 & \matrix{\underset{>x\uparrow\uparrow 2^x}{\color{red} {m_{\omega \times 2}}}} & H_{\omega ^3} & \matrix{\underset{x\uparrow\uparrow x}{\color{green} {g_{\varepsilon_0}} }} & >x\uparrow\uparrow x \\ f_3(f_1) & {\color{red} {m_{\omega \times 2}}} & H_{\omega ^3 +\omega} & \matrix{\underset{>x\uparrow\uparrow 2x-1}{\color{green}{ g_{\varepsilon_1} }}} & >x\uparrow\uparrow 2x \\ f_3(f_2) & {\color{green} {m_{\omega \times 2}}} & H_{\omega ^3 +\omega ^2} & {\color{green} {g_{\varepsilon_\omega} \sim g_{\varepsilon_{\omega^n} }}} & >x\uparrow\uparrow (x\cdot 2^x) \\ f_3(f_3) & \matrix{\underset{>x\uparrow\uparrow x\uparrow\uparrow 2^x}{\color{red} {m_{\omega \times 2 +1}}}} & H_{\omega ^3 \times 2} & {\color{green} {g_{\varepsilon_{\varepsilon_0}} }} & >x\uparrow\uparrow x\uparrow\uparrow x &{\rm tritri}=3\uparrow\uparrow\uparrow3\\ f_3(f_3(f_2)) & {\color{green} {m_{\omega \times 2 +1}}} & H_{\omega ^3 \times 2 +\omega^2} & {\color{green} {g_{\varepsilon_{\varepsilon_\omega }}\sim g_{\varepsilon_{\varepsilon_{\omega^n} }} }} & >x\uparrow\uparrow x\uparrow\uparrow (x\cdot 2^x) \\ f_3(f_3(f_3)) & \matrix{\underset{>x\uparrow\uparrow\uparrow 5}{\color{red} {m_{\omega \times 2 +2}}}} & H_{\omega ^3 \times 3} & {\color{green}{ g_{\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_0}}}} } & >x\uparrow\uparrow\uparrow 4 \\ f_4 & \matrix{\underset{>x\uparrow\uparrow\uparrow 2^x}{\color{red} {m_{\omega \times 3}}}} & H_{\omega ^4} & {\color{green} {g_{\zeta_0}} } & >x\uparrow\uparrow\uparrow (x+1)\\ f_4(f_0) & {\color{red} {m_{\omega \times 3}}} & H_{\omega ^4+1} & {\color{green} {g_{\varepsilon_{\zeta_0+1}} }} & >x\uparrow\uparrow\uparrow (x+2) \\ f_4(f_1) & {\color{red} {m_{\omega \times 3}}} & H_{\omega ^4+\omega } & {\color{green}{ g_{\zeta_1}} } & >x\uparrow\uparrow\uparrow 2x \\ f_4(f_2) & {\color{green} {m_{\omega \times 3}}} & H_{\omega ^4+\omega^2 } & {\color{green} {g_{\zeta_\omega }\sim g_{\zeta_{\omega^n} } }} & >x\uparrow\uparrow\uparrow (x\cdot 2^x) \\ f_4(f_3) & {\color{green}{ m_{\omega \times 3}}} & H_{\omega ^4+\omega^3 } & {\color{green} {g_{\zeta_{\varepsilon _0}} } } & >x\uparrow\uparrow\uparrow x\uparrow\uparrow x \\ f_4(f_4) & {\color{red} {m_{\omega \times 3+1}}} & H_{\omega ^4\times 2 } & {\color{green}{ g_{\zeta_{\zeta _0} } }} & >x\uparrow\uparrow\uparrow x\uparrow\uparrow\uparrow x \\ f_5 & {\color{red} {m_{\omega \times 4}}} & H_{\omega ^5 } & {\color{green} {g_{\eta _0} } } & >x\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow x & G(1)=3\uparrow^4 3\\ f_5(f_4) & {\color{green} {m_{\omega \times 4}}} & H_{\omega ^5 } & {\color{green} {g_{\eta_{\zeta _0}} } } & >x\uparrow^4 x\uparrow^3 x\\ f_5(f_5) & {\color{red}{ m_{\omega \times 4+1}}} & H_{\omega ^5\times 2 } & {\color{green} {g_{\eta_{\eta _0}}} } & >x\uparrow^4 x\uparrow^4 x\\ f_6 & {\color{red}{ m_{\omega \times 5}}} & H_{\omega ^6 } & {\color{green} {g_{\varphi(4,0) }} } & >x\uparrow^5 x\\ f_7 & {\color{red} {m_{\omega \times 6}}} & H_{\omega ^7 } & {\color{green} {g_{\varphi(5,0) }} } & >x\uparrow^6 x\\ \matrix{\underset{n>2,n\in \mathbb{N} }{f_n}} & {\color{red} {m_{\omega \times (n-1)}}} & H_{\omega ^n } & {\color{green}{ g_{\varphi(n-2,0) }} } & >x\uparrow^{n-1} x\\ f_\omega & \matrix{\underset{>x\uparrow^x x}{\color{red}{ m_{\omega^2}}}} & H_{\omega ^\omega } & \matrix{\underset{>x\uparrow^x x}{\color{red} {g_{\varphi(\omega ,0) }}} } & >x\uparrow^{x-1} x\\ \end{array} \)</nowiki>

得益于基本列，SGH 终于红了一次。但他的 <math>\varphi</math> 要开始猛进了。

\( \begin{array} { c | c | c } \rm FGH1 &\rm FGH2 & \rm MGH & \rm HH & \rm SGH & \rm EXP & -\\ \hline f_x &f_\omega & {\color{red}{ m_{\omega^2}}} & H_{\omega ^\omega } & {\color{red} {g_{\varphi(\omega ,0) }} } & >x\uparrow^{x-1} x\\ f_x(f_x)&f_x(f_\omega) & {\color{red}{ m_{\omega^2}}} & H_{\omega ^\omega } & {\color{red} {g_{\varphi(\omega ,0) }} } & >x\uparrow^{x-1} x\uparrow^{x-1} x\\ f_{x+1}(x+1)&f_\omega(f_0) & {\color{red}{ m_{\omega^2}}} & H_{\omega ^\omega +1 } & {\color{red} {g_{\varphi(\omega ,0) }} } & >x\uparrow^{x} x\\ f_{x+2}(x+2)&f_\omega(f_0(f_0)) & {\color{green}{ m_{\omega^2}}} & H_{\omega ^\omega +2 } & {\color{green} {g_{\varphi(\omega ,0) }} } & >x\uparrow^{x+1} x\\ f_{x+2}(f_{x+2})& & {\color{green}{ m_{\omega^2}}} & {\color{green}{H_{\omega ^\omega +2 }}} & {\color{green} {g_{\varphi(\omega ,\varphi(\omega ,0)) }} } & >x\uparrow^{x+1} x\uparrow^{x+1} x\\ f_{x+3}(x+3)&f_\omega(f_0^3) & {\color{green}{ m_{\omega^2}}} & H_{\omega ^\omega +3 } & {\color{green} {g_{\varphi(\omega+1 ,0) }} } & >x\uparrow^{x+2} x\\ f_{2x}(2x) &f_\omega(f_1) & \matrix{\underset{>x\uparrow^{x\uparrow^{x} x} x}{\color{red}{ m_{\omega^2+1}}}} & H_{\omega ^\omega +\omega } & {\color{red} {g_{\varphi(\omega \times 2 ,0) }} } & >x\uparrow^{2x-1} x\\ f_{2x+2}(2x+2)&f_\omega(f_1(f_0)) & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega +\omega +1 } & {\color{green} {g_{\varphi(\omega \times 2 ,0) }} } & >x\uparrow^{2x +1} x\\ f_{2x+4}(2x+4)&f_\omega(f_1(f_0(f_0))) & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega +\omega +2 } & {\color{green} {g_{\varphi(\omega \times 2 +2,0) }} } & >x\uparrow^{2x +3} x\\ f_{4x}(4x)&f_\omega(f_1(f_1)) & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega +\omega\times 2 } & {\color{red} {g_{\varphi(\omega \times 4 ,0) }} } & >x\uparrow^{4x -1} x\\ f_{f_2}(f_2)&f_\omega(f_2) & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega +\omega^2 } & {\color{green} {g_{\varphi(\omega ^2 ,0) }\sim g_{\varphi(\omega ^n ,0) }} } & >x\uparrow^{2^x} x\\ f_{f_3}(f_3)&f_\omega(f_3) & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega +\omega^3 } & {\color{green} {g_{\varphi(\varepsilon _0 ,0) }} } & >x\uparrow^{x\uparrow\uparrow x} x\\ f_{f_4}(f_4)&f_\omega(f_4) & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega +\omega^4 } & {\color{green} {g_{\varphi(\zeta _0 ,0) }} } & >x\uparrow^{x\uparrow\uparrow\uparrow x} x\\ f_{f_x}(f_x)&f_\omega(f_\omega ) & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega \times 2 } & {\color{red} {g_{\varphi(\varphi(\omega ,0) ,0) }} } & >x\uparrow^{x\uparrow^{x-1} x} x & G(2)\\ f_<nowiki>{{f_{f_x}(f_x)}}</nowiki>(f_{f_x}(f_x)) &f_\omega(f_\omega(f_\omega ) ) & {\color{green}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega \times 3 } & {\color{red} {g_{\varphi(\varphi(\varphi(\omega ,0) ,0) ,0) }} } & >x\uparrow^{x\uparrow^{x\uparrow^{x-1} x} x} x& G(3)\\ &f_{\omega+1} & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} } & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,0) }} } & >x\to x\to x\to 2 & \color{red}{G(x)}\\ \end{array} \)

对于 <math>f_{\omega +1}</math> 后的增长率，建议直接使用 FGH 分析。

<nowiki>\( \begin{array} { c | c | c } \rm FGH1 &\rm FGH2 & \rm MGH & \rm HH & \rm SGH & -\\ \hline &f_{\omega+1} & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} } & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,0) }=g_{\psi (\Omega ^\Omega ) }} } & \color{red}{G(x)}\\ f_{x+2}(f_{\omega+1})& & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & {\color{green} {H_{\omega ^{\omega+1}}} } & {\color{green} {g_{\varphi(\omega ,\varphi(1,0,0)+1) }} } & \color{red}{G(x)}\\ f_{f_{x+2}}(f_{\omega+1})& & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & {\color{green} {H_{\omega ^{\omega+1}}} } & {\color{green} {g_{\varphi(\varphi(\omega ,0) ,\varphi(1,0,0)+1) }} } & \color{red}{G(x)}\\ f_{\omega }(f_{\omega+1})=f_{\omega }^{x+1}(x+1)&f_{\omega+1}(f_0) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} +1} & {\color{green} {g_{\varphi(\varphi(1,0,0),1) }} }& \color{green}{G(x)}\\ f_{\omega }^{x+2}(x+2)&f_{\omega+1}(f_0(f_0)) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} +2} & {\color{green} {g_{\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),1),1) }} }& \color{green}{G(x+1)}\\ f_{\omega }^{2x}(2x)&f_{\omega+1}(f_1) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} +\omega} & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,1) }=g_{\psi (\Omega ^\Omega \times 2) }} }& \color{green}{G(2x-1)}\\ f_{\omega }^{x\cdot 2^x}(x\cdot 2^x)&f_{\omega+1}(f_2) & {\color{green}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} +\omega^2} & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,\omega^2 )\sim \varphi(1,0,\omega^n )}} }& \\ f_{\omega }^{f_{\omega }}(f_{\omega })&f_{\omega+1}(f_\omega ) & {\color{green}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} +\omega^\omega} & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,\varphi(\omega ,0)) }} }& \\ f_{\omega }^{f_{\omega+1 }}(f_{\omega +1})&f_{\omega+1}(f_{\omega +1}) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega +1 }}} & H_{\omega ^{\omega+1} \times 2} & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,\varphi(1,0 ,0)) }} }& \color{green}{G(G(x-1))}\\ &f_{\omega+1}^3 & {\color{green}{ m_{\omega^2+\omega +1 }}} & H_{\omega ^{\omega+1} \times 3} & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,\varphi(1,0 ,\varphi(1,0 ,0))) }} }& \color{green}{G(G(G(x-1)))}\\ &f_{\omega+2} & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega \times 2 }}} & H_{\omega ^{\omega+2} } & {\color{green} {g_{\varphi(1,1,0) }=g_{\psi (\Omega ^{\Omega+1} ) }} }&\\ f_{\omega}(f_{\omega+2})& & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega \times 2 }}} & {\color{green}{H_{\omega ^{\omega+2} }}} & {\color{green} {g_{\varphi(\varphi(1,1,0),1) }} }&\\ f_{\omega +1}(f_{\omega+2})=f_{\omega+1 }^{x+1}(x+1)&f_{\omega+2}(f_0) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega \times 2 }}} & {H_{\omega ^{\omega+2}+1 }} & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,\varphi(1,1,0)+1) }} }&\\ f_{\omega+1}^{2x}(2x)&f_{\omega+2}(f_1) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega \times 2 }}} & H_{\omega ^{\omega+2}+\omega } & {\color{green} {g_{\varphi(1,1,1) }} }&\\ f_{\omega }^{f_{\omega+2 }}(f_{\omega +2})&f_{\omega+2}(f_{\omega +2}) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega\times 2 +1 }}} & H_{\omega ^{\omega+2} \times 2} & {\color{green} {g_{\varphi(1,1,\varphi(1,1 ,0)) }} }& \\ &f_{\omega+3} & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega \times 3 }}} & H_{\omega ^{\omega+3} } & {\color{green} {g_{\varphi(1,2,0) }=g_{\psi (\Omega ^{\Omega+2} ) } }}&\\ &f_{\omega+4} & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega \times 4 }}} & H_{\omega ^{\omega+4} } & {\color{green} {g_{\varphi(1,3,0) }} }&\\ &f_{\omega\times 2} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2} } & {\color{red} {g_{\varphi(1,\omega ,0) }=g_{\psi (\Omega ^{\Omega+\omega })} } }&\\ \end{array} \)</nowiki>

<nowiki>\( \begin{array} { c | c | c } \rm FGH & \rm MGH & \rm HH & \rm SGH \\ \hline f_{\omega\times 2} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2} } & {\color{red} {g_{\varphi(1,\omega ,0) }}}\\ f_{\omega+2x+1}(f_{\omega\times 2}) & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 }}} & {\color{green} {H_{\omega ^{\omega\times 2} }}} & {\color{green} {g_{\varphi(1,\omega\times 2 ,0) }}}\\ f_{\omega\times 2}(f_{\omega\times 2}) & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 +1}}} & H_{\omega ^{\omega\times 2} \times 2} & {\color{red} {g_{\varphi(1,\varphi(1,\omega ,0) ,0) }}}\\ f_{\omega\times 2+1} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 +\omega }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2 +1} } & {\color{green} {g_{\varphi(2,0 ,0)}=g_{\psi (\Omega ^{\Omega\times 2})}}}\\ f_{\omega\times 2+1}(f_1) & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 +\omega }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2 +1} +\omega } & {\color{green} {g_{\varphi(2,0 ,1) }}}\\ f_{\omega\times 2+1}(f_{\omega \times 2}) & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 +\omega +1 }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2 +1} +\omega^{\omega\times 2 } } & {\color{green} {g_{\varphi(2,0 ,\varphi(1,\omega ,0)) }}}\\ f_{\omega\times 2+1}(f_{\omega \times 2+1}) & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 +\omega +1 }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2 +1} \times 2} & {\color{green} {g_{\varphi(2,0 ,\varphi(2,0,0)) }}}\\ f_{\omega\times 2+2} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 +\omega\times 2 }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2 +2} } & {\color{green} {g_{\varphi(2,1 ,0)}}}\\ f_{\omega\times 2+3} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 +\omega\times 3 }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2+3} } & {\color{green} {g_{\varphi(2,2,0)}}}\\ f_{\omega\times 3} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 3 }}} & H_{\omega ^{\omega\times 3} } & {\color{red} {g_{\varphi(2,\omega,0)}}}\\ f_{\omega\times 3+1} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 3 +\omega }}} & H_{\omega ^{\omega\times 3+1}} & {\color{green} {g_{\varphi(3,0,0)}}}\\ f_{\omega\times 4} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 4 }}} & H_{\omega ^{\omega\times 4} } & {\color{red} {g_{\varphi(3,\omega,0)}}}\\ f_{\omega^2} & {\color{red}{ m_{\omega^3 }}} & H_{\omega ^{\omega^2} } & {\color{red} {g_{\varphi(\omega,0,0)}}}\\ f_{\omega^2}(f_{\omega^2}) & {\color{red}{ m_{\omega^3 \times 2}}} & H_{\omega ^{\omega^2}\times 2 } & {\color{red} {g_{\varphi(\varphi(\omega,0,0),0,0)}}}\\ f_{\omega^2+1} & {\color{red}{ m_{\omega^3 +\omega }}} & H_{\omega ^{\omega^2+1} } & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,0,0)}=g_{\psi (\Omega ^{\Omega^2})}}}\\ f_{\omega^2+\omega} & {\color{red}{ m_{\omega^3 +\omega^2 }}} & H_{\omega ^{\omega^2+\omega }} & {\color{red} {g_{\varphi(1,0,\omega,0)}}}\\ f_{\omega^2+\omega +1} & {\color{red}{ m_{\omega^3 +\omega^2 +\omega }}} & H_{\omega ^{\omega^2+\omega+1 }} & {\color{green} {g_{\varphi(1,1,0,0)}}}\\ f_{\omega^2+\omega\times 2 +1} & {\color{red}{ m_{\omega^3 +\omega^2\times 2 +\omega }}} & H_{\omega ^{\omega^2+\omega\times 2+1 }} & {\color{green} {g_{\varphi(1,2,0,0)}}}\\ f_{\omega^2\times 2} & {\color{red}{ m_{\omega^3 \times 2 }}} & H_{\omega ^{\omega^2\times 2 }} & {\color{red} {g_{\varphi(1,\omega ,0,0)}}}\\ f_{\omega^2\times 2 +1} & {\color{red}{ m_{\omega^3 \times 2 +\omega }}} & H_{\omega ^{\omega^2\times 2 +1}} & {\color{green} {g_{\varphi(2,0,0,0)}}}\\ f_{\omega^2\times 3 +1} & {\color{red}{ m_{\omega^3 \times 3 +\omega }}} & H_{\omega ^{\omega^2\times 3 +1}} & {\color{green} {g_{\varphi(3,0,0,0)}}}\\ f_{\omega^3} & {\color{red}{ m_{\omega^4 }}} & H_{\omega ^{\omega^3}} & {\color{red} {g_{\varphi(\omega,0,0,0)}=g_{\psi (\Omega ^{\Omega^2\times \omega})}}}\\ f_{\omega^3+1} & {\color{red}{ m_{\omega^4+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega^3+1}} & {\color{green} {g_{\varphi(1@4)}=g_{\psi (\Omega ^{\Omega^3})}}}\\ f_{\omega^4+1} & {\color{red}{ m_{\omega^5+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega^4+1}} & {\color{green} {g_{\varphi(1@5)}=g_{\psi (\Omega ^{\Omega^4})}}}\\ f_{\omega^\omega} & {\color{green}{ m_{\omega^\omega }}} & H_{\omega ^{\omega^\omega }} & {\color{green} {g_{\varphi(1@\omega)}}}={\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\omega})}}}\\ \end{array} \)</nowiki>

同样是由于基本列，MGH 与 FGH 在 <math>\omega^\omega</math> 处 Catching 但略小于 FGH（注意 Catching 并不是相等），此后每遇到 <math>\omega^\omega</math> 的倍数二者都会 Catching 一次。

<nowiki>\( \begin{array} { c | c | c } \rm FGH & \rm HH & \rm SGH \\ \hline f_{\omega^\omega} & H_{\omega ^{\omega^\omega }} & {\color{green} {g_{\varphi(1@\omega)}}}={\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\omega})}}}\\ f_{\omega^\omega}(f_0) & H_{\omega ^{\omega^\omega }+1} & {\color{green} {g_{\varphi(1@(\omega+1))}}}\\ f_{\omega^\omega}(f_1) & H_{\omega ^{\omega^\omega }+\omega } & {\color{green} {g_{\varphi(1@(\omega\times 2))}}}\\ f_{\omega^\omega}(f_{\omega^\omega}) & H_{\omega ^{\omega^\omega }\times 2 } & {\color{green} {g_{\varphi(1@\varphi(1@\omega))}}}\\ f_{\omega^\omega+1} & H_{\omega ^{\omega^\omega +1}} & {\color{green} {g_{\varphi(1@(1,0))}= {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega})}}}}\\ f_{\omega^\omega+\omega } & H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega }} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\omega })}}}\\ f_{\omega^\omega+\omega +1 } & H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega })}}}\\ f_{\omega^\omega+\omega\times 2 +1 } & H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega\times 2 +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega\times 2 })}}}\\ f_{\omega^\omega+\omega^2 } & H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega^ 2 }} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega\times \omega })}}}\\ f_{\omega^\omega+\omega^2 +1 } & H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega^ 2 +1 }} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega^2 })}}}\\ f_{\omega^\omega+\omega^3 +1 } & H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega^ 3 +1 }} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega^3 })}}}\\ f_{\omega^\omega\times 2 } & H_{\omega ^{\omega^\omega \times 2 }} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega^\omega })}}}\\ f_{\omega^\omega\times 2 +1} & H_{\omega ^{\omega^\omega \times 2 +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega\times 2 })}}}\\ f_{\omega^\omega\times 3 +1} & H_{\omega ^{\omega^\omega \times 3 +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega\times 3})}}}\\ f_{\omega^{\omega+1}} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +1}}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega\times \omega })}}}\\ f_{\omega^{\omega+1}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +1}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+1} })}}}\\ f_{\omega^{\omega+1}+\omega +1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +1}+\omega +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+1}+\Omega })}}}\\ f_{\omega^{\omega+1}\times 2+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +1} \times 2} } & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+1}\times 2 })}}}\\ f_{\omega^{\omega+2}} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +2}}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+1}\times \omega })}}}\\ f_{\omega^{\omega+2}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +2}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+2} })}}}\\ f_{\omega^{\omega+3}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +3}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+3} })}}}\\ f_{\omega^{\omega\times 2}} & H_{\omega ^{\omega^{\omega \times 2}}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+\omega } })}}}\\ f_{\omega^{\omega\times 2}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega \times 2}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega\times 2 } })}}}\\ f_{\omega^{\omega\times 3}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega \times 3}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega\times 3 } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ 2}} & H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ 2}}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega\times \omega } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ 2}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ 2}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^2 } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ 3}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ 3}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^3 } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ \omega }} & H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ \omega }}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^\omega } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ \omega }+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ \omega }+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^\Omega } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^{\omega^ \omega } }+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega ^{\omega^ \omega } }+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^{\Omega^ \Omega } } })}}}\\ f_{\psi (0)=\varepsilon_0} & {\color{green}{H_{\varepsilon _0}}}/H_{\varepsilon _0+1} & {\color{green} {g_{\psi (\psi_1(0))}}}\\ \end{array} \)</nowiki>

HH 与 FGH 最终在 <math>\varepsilon_0</math> 处 Catching 了。此后每遇到 <math>\varepsilon_0</math> 的倍数二者都会再次 Catching。

关于这之后 SGH 与 FGH 的对照分析，请移步 [[Catching 函数]]。

=== 警告 ===
''本节内容来自 Googology Wiki''。''<ref>Googology Wiki (n.d.). Fast-growing hierarchy. ''(EB/OL), Googology Wiki''. Available at: https://googology.fandom.com/wiki/Fast-growing_hierarchy</ref>''<ref>Googology Wiki (n.d.). Slow-growing hierarchy. ''(EB/OL), Googology Wiki''. Available at: https://googology.fandom.com/wiki/Slow-growing_hierarchy</ref><ref>Googology Wiki (n.d.). Hardy hierarchy. ''(EB/OL), Googology Wiki''. Available at: https://googology.fandom.com/wiki/Hardy_hierarchy</ref>

读者需要非常谨慎，因为个人网站、视频和用户博客上存在许多错误的“入门介绍”，尽管这些内容不幸受到初学者的青睐。由于序数、基本列等数学概念非常抽象且难以精确处理，人们往往倾向于给出直观描述——这些描述对初学者来说比精确解释更简单、更“酷”。然而，这类“入门介绍”经常包含严重错误，因为作者本身也是通过其他直观描述学习的，而非精确的定义——重点在于，要理解快速增长层级，精确的定义是不可或缺的。精确描述看起来复杂的原因并非仅仅是表述不佳或冗余，而是因为这些概念本身确实非常困难，尽管这些错误的“入门介绍”有时会将它们解释为简单的概念。

另外要注意，关于快速增长层级中函数的[[CKO#可计算函数|可计算性]]，存在许多错误描述。虽然 gggists 有时会声称某个函数是可计算的，因为它是通过快速增长层级定义的，但这是典型的错误。通过包含无限序数的方法(如快速增长层级)定义的函数并不一定是可计算的。为了确保通过快速增长层级定义的函数的可计算性，我们需要构造一个明确的算法来计算它，常见例子是由序数记号给出一个基本列的算法。即使快速增长层级中像 <math>f_\omega</math> 这样的较小函数，若没有通过明确算法定义，也可能是不可计算的（比如设想<math>f_\omega(n)=f_{BB(n)}(n)</math>，其中<math>BB(n)</math>是[[忙碌海狸函数]]）。因为算法只能处理可数集合中具有固定枚举的元素，而无法直接处理没有固定枚举的集合中的无限序数。为了解决可计算性问题，我们通常使用序数记号。

关于快速增长层级（及其同类，如哈代层级和慢速增长层级）最重要的事实之一是：给定上界以下的极限序数的基本列系统并非唯一，经典增长层级严重依赖于这种系统的选择；除非在上下文中明确固定了基本列系统的具体选择，否则它是定义不明确的。初学者必须非常注意这个问题，因为当 gggist 谈论“[[Catching 函数|Catching 的序数]]”“视为增长率的序数”“快速增长层级中的[[证明论序数]]”等内容时，若不理解基本列系统选择的依赖性，这种定义不明确的情况会频繁出现。

== 参考资料 ==
<references />
[[分类:入门]]
[[分类:分析]]

增长层级

2025-08-15T10:26:42Z

Ankdnjj：/* 定义 */

'''增长层级（Growing Hierarchy，GH）'''是一种函数族<math>f:\rm Ord\rightarrow\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}</math>，对于每个[[序数]] <math>\alpha</math>，<math>f_{\alpha}</math> 是一个从自然数到自然数的函数。

不同[[增长率]]的函数能和它们建立起大致的对应关系。因此，增长层级常被用于分析函数的增长率。

常用的增长层级有 4 种，分别为 [[增长层级#快速增长层级|FGH]]、[[增长层级#中速增长层级|MGH]]、[[增长层级#哈代层级|HH]] 和 [[增长层级#慢速增长层级|SGH]]。其中最常用的是 FGH。

=== 定义 ===
在这里，<math>f^n(\cdot)</math> 代表对函数 <math>f(\cdot)</math> 的 <math>n</math> 次迭代；其中 <math>\alpha[n]</math> 表示[[序数#极限序数|极限序数]] <math>\alpha</math> 的[[基本列]]第 <math>n</math> 项。所有的典型增长层级都是由超限递归定义的。

这里由于增长层级都针对递归序数，令 <math>\bold{Rec}</math> 为递归序数集合，<math>\bold{Rec}_\text{lim}</math> 为极限（递归）序数集合。

这里定义的前置知识可参考[[序数]]。

==== 快速增长层级 ====
快速增长层级（Fast Growing Hierarchy，FGH）

* <math>\forall n\in\mathbb{N},f_0(n)=n+1</math>
* <math>\forall\alpha\in\bold{Rec},n\in\mathbb{N},f_{\alpha+1}(n)=f^n_\alpha(n)</math>
* <math>\forall\alpha\in\bold{Rec}_\text{lim},n\in\mathbb{N},f_\alpha(n)=f_{\alpha[n]}(n)</math>

==== 中速增长层级 ====
中速增长层级（Middle Growing Hierarchy，MGH）

* <math>\forall n\in\mathbb{N},m_0(n)=n+1</math>
* <math>\forall\alpha\in\bold{Rec},n\in\mathbb{N},m_{\alpha+1}(n)=m_\alpha(m_\alpha(n))</math>
* <math>\forall\alpha\in\bold{Rec}_\text{lim},n\in\mathbb{N},m_\alpha(n)=m_{\alpha[n]}(n)</math>

==== 哈代层级 ====
哈代层级（Hardy Hierarchy，HH）

* <math>\forall n\in\mathbb{N},H_0(n)=n</math>
* <math>\forall\alpha\in\bold{Rec},n\in\mathbb{N},H_{\alpha+1}(n)=H_\alpha(n+1)</math>
* <math>\forall\alpha\in\bold{Rec}_\text{lim},n\in\mathbb{N},H_\alpha(n)=H_{\alpha[n]}(n)</math>

==== 慢速增长层级 ====
慢速增长层级（Slow Growing Hierarchy，SGH）

* <math>\forall n\in\mathbb{N},g_0(n)=0</math>
* <math>\forall\alpha\in\bold{Rec},n\in\mathbb{N},g_{\alpha+1}(n)=g_\alpha(n)+1</math>
* <math>\forall\alpha\in\bold{Rec}_\text{lim},n\in\mathbb{N},g_\alpha(n)=g_{\alpha[n]}(n)</math>

=== 在大数数学中的应用 ===
我们知道，大数数学的目的是造出越来越巨大的自然数。为了这个目标，我们需要构造出增长的越来越快的大数函数。实际上，我们有以下两种办法来做到这件事情，即'''迭代'''和'''对角化'''：

* 迭代，即对于已有函数 <math>f(x)</math>，我们构造出函数 <math>g(x)</math> 增长速度快于 <math>f(x)</math>。注意到迭代的方法显然不止一种。比方说，让 <math>g(x)=\underbrace{f(f(f(\cdots(x)\cdots)))}_{x\text{ 层}}</math>，这是一种迭代方法。还可以让 <math>g(x)=f(x+1)</math> 等等。
* 对角化，即对于已有的 <math>\omega</math> 个增长速度递增的函数，我们按照增长速度由小到大排序为 <math>f_1(x),f_2(x),f_3(x),\cdots</math>，我们构造出函数 <math>g(x)=f_x(x)</math>。注意到 <math>g(x)</math> 的增长速度快于任意的<math>f_n(x)</math>。

因此，我们只需要从一个最初的函数出发，通过不断地迭代和对角化，就可以得到越来越快的函数.

现在让我们考察[[序数]]，会发现，序数存在以下两个性质：

* 对任意序数 α，α 的后继依然是一个序数且大于 α。
* 对 ω 个递增序数构成的序列 S 来说，存在一个 β 是序数且满足 β 是 S 的上确界（上界要求大于等于内部所有元素，上确界是最小上界）。或者说，这里的 S 是 β 的一条[[基本列]]。

因此，我们可以从 0 出发，通过不断地取后继和取上确界，我们可以得到越来越大的序数.

我们会发现，构造大数函数的方法和序数的性质之间存在某种意义的对应。那么，我们可不可以直接根据序数，生成大数函数呢？答案是可以的。我们需要完成以下三件事：

* 对序数 0，它要和一个最基础的函数对应。
* 对一个[[序数#序数的后继|后继序数]] α'（α 的后继），我们需要找到 α，然后把 α 对应的函数进行迭代，所得到的新函数就是 α' 对应的函数。
* 对一个[[序数#极限序数|极限序数]] β，我们需要找到 β 的基本列，然后把基本列所有元素对应的函数进行对角化，得到的新函数就是 β 对应的函数。

但注意到这里还有一个问题：一个极限序数的基本列不止一种，那么，我们如何确定应该选取哪一条基本列呢？这个时候就需要[[序数记号]]出马了。序数记号为其极限之下的每个序数指定了唯一的标准基本列。

有了序数记号之后，我们就可以放心的运用对应关系，直接把序数转换成大数函数了。把序数转换成大数函数的工具就是增长层级。根据迭代的方法不同，增长层级也有很多种。

=== 不同增长层级的对比 ===
''本节内容来自<ref>Chase Light (2025). [googology] 大数增长率分析(序篇)：不同的增长层级及其对比 [[googology] Analysis of Large Number Growth Rate (Prologue): Different Growth Levels and Their Comparison]. ''(EB/OL), Zhihu''. Available at: https://zhuanlan.zhihu.com/p/720580794</ref>''。

MGH 相比 FGH，下标 +1 的方式仅由“嵌套 n（自变量）层”变为“嵌套 2 层”。因此，MGH 的下标每加一次 <math>\omega</math>，就能将函数嵌套 <math>2^n</math> 层，实现略大于 FGH 中下标 +1 的作用。

对于使得 <math>m_{\alpha}(n)=f_{\beta}(n)</math> 的 <math>\alpha</math> 和 <math>\beta</math>，我们有

<math>m_{\alpha+n(n\in \omega)}(x)<f_{\beta+1}(x)<m_{\alpha+\omega}(x)<f_{\beta+1}(2^x)</math>

因而 MGH 与 FGH 在 <math>\omega^\omega</math> 处 Catching。

HH 为“下标 +1 则自变量 +1 ”，显然有<math>H_\alpha(H_\beta(n))=H_{\alpha+\beta}(n)</math>。

于是当 <math>H_{\alpha}(n)=f_{\beta}(n)</math> 时，

<math>H_{\alpha+1}(n)=f_\beta(n+1)</math>，<math>H_{\alpha+\alpha}(n)=f_\beta(f_\beta(n))</math>，<math>H_{\alpha\times\omega}(n)=f_{\beta+1}(n)</math>

而 <math>H_{1}(n)=f_{0}(n)=n+1</math>。于是我们又有以下推论：

相同基本列下，对于 <math>\beta\leq\alpha<\varepsilon_0</math>，有 <math>H_{\omega^{\alpha}}(n)=f_{\alpha}(n)</math>，<math>H_{\omega^\alpha+\omega^\beta}(n)=f_{\alpha}(f_{\beta}(n))</math>

因而 HH 与 FGH 在 <math>\varepsilon_0</math> 处 Catching。

我们最后再来看 SGH，其下标 +1 仅仅是“函数值 +1”，因而 SGH 的增长十分依赖于'''序数自身的结构'''及'''基本列'''的选取，所以其增长地较为缓慢，且在较小尺度上和 FGH 没有明显的对应关系。

SGH 与 FGH在<math>\psi(\Omega_\omega)</math>处 Catching。在这之后，直接分析记号的序数结构与分析增长率变得几乎没有区别。

=== 对照表 ===
以下是较为具体的对照表，黑色代表严格相等，绿色代表略小，红色代表略大。

<nowiki>\( \begin{array} { c | c | c } \rm FGH & \rm MGH & \rm HH & \rm SGH & \rm EXP & -\\ \hline & & H_0 & g_\omega & x\\ f_0 & m_0 & H_1 & g_{\omega +1} & x+1\\ f_0(f_0) & m_1 & H_2 & g_{\omega +2} & x+2\\ f_0^4 & m_2 & H_4 & g_{\omega +4} & x+4\\ f_0^8 & m_3 & H_8 & g_{\omega +8} & x+8\\ f_1 & \matrix{\underset{x+2^x}{\color{red}{ m_\omega}}} & H_\omega & g_{\omega \times 2} & 2x \\ f_1(f_0) & {\color{red}{ m_\omega}} & H_{\omega +1} & g_{\omega \times 2 +2} & 2x +2\\ f_1(f_0(f_0)) & {\color{red} {m_\omega}} & H_{\omega +2} & g_{\omega \times 2 +4} & 2x +4\\ f_1(f_1) & {\color{red} {m_\omega}} & H_{\omega \times 2} & g_{\omega \times 4} & 4x\\ f_1(f_1(f_0)) & {\color{red} {m_\omega}} & H_{\omega \times 2 +1} & g_{\omega \times 4 +4} & 4x +4\\ f_1(f_1(f_1)) & {\color{red} {m_\omega}} & H_{\omega \times 3} & g_{\omega \times 8} & 8x\\ f_2 & {\color{green} {m_\omega}} & H_{\omega ^2} & {\color{green}{ g_{\omega^2}\sim g_{\omega^n}}} & x\cdot 2^x\\ f_2(f_1) & {\color{green}{ m_\omega}} & H_{\omega ^2 +\omega} & {\color{green} {g_{\omega^2}\sim g_{\omega^n}}} & x\cdot 2^{2x+1}\\ f_2(f_2) & {\color{green} {m_{\omega +1}}} & H_{\omega ^2 \times 2} & {\color{green} {g_{\omega^\omega}\sim g_{\omega^{\omega^n}}}} & x\cdot 2^{x\cdot (2^x+1)}\\ f_3 & \matrix{\underset{>x\uparrow\uparrow 2^x}{\color{red} {m_{\omega \times 2}}}} & H_{\omega ^3} & \matrix{\underset{x\uparrow\uparrow x}{\color{green} {g_{\varepsilon_0}} }} & >x\uparrow\uparrow x \\ f_3(f_1) & {\color{red} {m_{\omega \times 2}}} & H_{\omega ^3 +\omega} & \matrix{\underset{>x\uparrow\uparrow 2x-1}{\color{green}{ g_{\varepsilon_1} }}} & >x\uparrow\uparrow 2x \\ f_3(f_2) & {\color{green} {m_{\omega \times 2}}} & H_{\omega ^3 +\omega ^2} & {\color{green} {g_{\varepsilon_\omega} \sim g_{\varepsilon_{\omega^n} }}} & >x\uparrow\uparrow (x\cdot 2^x) \\ f_3(f_3) & \matrix{\underset{>x\uparrow\uparrow x\uparrow\uparrow 2^x}{\color{red} {m_{\omega \times 2 +1}}}} & H_{\omega ^3 \times 2} & {\color{green} {g_{\varepsilon_{\varepsilon_0}} }} & >x\uparrow\uparrow x\uparrow\uparrow x &{\rm tritri}=3\uparrow\uparrow\uparrow3\\ f_3(f_3(f_2)) & {\color{green} {m_{\omega \times 2 +1}}} & H_{\omega ^3 \times 2 +\omega^2} & {\color{green} {g_{\varepsilon_{\varepsilon_\omega }}\sim g_{\varepsilon_{\varepsilon_{\omega^n} }} }} & >x\uparrow\uparrow x\uparrow\uparrow (x\cdot 2^x) \\ f_3(f_3(f_3)) & \matrix{\underset{>x\uparrow\uparrow\uparrow 5}{\color{red} {m_{\omega \times 2 +2}}}} & H_{\omega ^3 \times 3} & {\color{green}{ g_{\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_0}}}} } & >x\uparrow\uparrow\uparrow 4 \\ f_4 & \matrix{\underset{>x\uparrow\uparrow\uparrow 2^x}{\color{red} {m_{\omega \times 3}}}} & H_{\omega ^4} & {\color{green} {g_{\zeta_0}} } & >x\uparrow\uparrow\uparrow (x+1)\\ f_4(f_0) & {\color{red} {m_{\omega \times 3}}} & H_{\omega ^4+1} & {\color{green} {g_{\varepsilon_{\zeta_0+1}} }} & >x\uparrow\uparrow\uparrow (x+2) \\ f_4(f_1) & {\color{red} {m_{\omega \times 3}}} & H_{\omega ^4+\omega } & {\color{green}{ g_{\zeta_1}} } & >x\uparrow\uparrow\uparrow 2x \\ f_4(f_2) & {\color{green} {m_{\omega \times 3}}} & H_{\omega ^4+\omega^2 } & {\color{green} {g_{\zeta_\omega }\sim g_{\zeta_{\omega^n} } }} & >x\uparrow\uparrow\uparrow (x\cdot 2^x) \\ f_4(f_3) & {\color{green}{ m_{\omega \times 3}}} & H_{\omega ^4+\omega^3 } & {\color{green} {g_{\zeta_{\varepsilon _0}} } } & >x\uparrow\uparrow\uparrow x\uparrow\uparrow x \\ f_4(f_4) & {\color{red} {m_{\omega \times 3+1}}} & H_{\omega ^4\times 2 } & {\color{green}{ g_{\zeta_{\zeta _0} } }} & >x\uparrow\uparrow\uparrow x\uparrow\uparrow\uparrow x \\ f_5 & {\color{red} {m_{\omega \times 4}}} & H_{\omega ^5 } & {\color{green} {g_{\eta _0} } } & >x\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow x & G(1)=3\uparrow^4 3\\ f_5(f_4) & {\color{green} {m_{\omega \times 4}}} & H_{\omega ^5 } & {\color{green} {g_{\eta_{\zeta _0}} } } & >x\uparrow^4 x\uparrow^3 x\\ f_5(f_5) & {\color{red}{ m_{\omega \times 4+1}}} & H_{\omega ^5\times 2 } & {\color{green} {g_{\eta_{\eta _0}}} } & >x\uparrow^4 x\uparrow^4 x\\ f_6 & {\color{red}{ m_{\omega \times 5}}} & H_{\omega ^6 } & {\color{green} {g_{\varphi(4,0) }} } & >x\uparrow^5 x\\ f_7 & {\color{red} {m_{\omega \times 6}}} & H_{\omega ^7 } & {\color{green} {g_{\varphi(5,0) }} } & >x\uparrow^6 x\\ \matrix{\underset{n>2,n\in \mathbb{N} }{f_n}} & {\color{red} {m_{\omega \times (n-1)}}} & H_{\omega ^n } & {\color{green}{ g_{\varphi(n-2,0) }} } & >x\uparrow^{n-1} x\\ f_\omega & \matrix{\underset{>x\uparrow^x x}{\color{red}{ m_{\omega^2}}}} & H_{\omega ^\omega } & \matrix{\underset{>x\uparrow^x x}{\color{red} {g_{\varphi(\omega ,0) }}} } & >x\uparrow^{x-1} x\\ \end{array} \)</nowiki>

得益于基本列，SGH 终于红了一次。但他的 <math>\varphi</math> 要开始猛进了。

\( \begin{array} { c | c | c } \rm FGH1 &\rm FGH2 & \rm MGH & \rm HH & \rm SGH & \rm EXP & -\\ \hline f_x &f_\omega & {\color{red}{ m_{\omega^2}}} & H_{\omega ^\omega } & {\color{red} {g_{\varphi(\omega ,0) }} } & >x\uparrow^{x-1} x\\ f_x(f_x)&f_x(f_\omega) & {\color{red}{ m_{\omega^2}}} & H_{\omega ^\omega } & {\color{red} {g_{\varphi(\omega ,0) }} } & >x\uparrow^{x-1} x\uparrow^{x-1} x\\ f_{x+1}(x+1)&f_\omega(f_0) & {\color{red}{ m_{\omega^2}}} & H_{\omega ^\omega +1 } & {\color{red} {g_{\varphi(\omega ,0) }} } & >x\uparrow^{x} x\\ f_{x+2}(x+2)&f_\omega(f_0(f_0)) & {\color{green}{ m_{\omega^2}}} & H_{\omega ^\omega +2 } & {\color{green} {g_{\varphi(\omega ,0) }} } & >x\uparrow^{x+1} x\\ f_{x+2}(f_{x+2})& & {\color{green}{ m_{\omega^2}}} & {\color{green}{H_{\omega ^\omega +2 }}} & {\color{green} {g_{\varphi(\omega ,\varphi(\omega ,0)) }} } & >x\uparrow^{x+1} x\uparrow^{x+1} x\\ f_{x+3}(x+3)&f_\omega(f_0^3) & {\color{green}{ m_{\omega^2}}} & H_{\omega ^\omega +3 } & {\color{green} {g_{\varphi(\omega+1 ,0) }} } & >x\uparrow^{x+2} x\\ f_{2x}(2x) &f_\omega(f_1) & \matrix{\underset{>x\uparrow^{x\uparrow^{x} x} x}{\color{red}{ m_{\omega^2+1}}}} & H_{\omega ^\omega +\omega } & {\color{red} {g_{\varphi(\omega \times 2 ,0) }} } & >x\uparrow^{2x-1} x\\ f_{2x+2}(2x+2)&f_\omega(f_1(f_0)) & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega +\omega +1 } & {\color{green} {g_{\varphi(\omega \times 2 ,0) }} } & >x\uparrow^{2x +1} x\\ f_{2x+4}(2x+4)&f_\omega(f_1(f_0(f_0))) & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega +\omega +2 } & {\color{green} {g_{\varphi(\omega \times 2 +2,0) }} } & >x\uparrow^{2x +3} x\\ f_{4x}(4x)&f_\omega(f_1(f_1)) & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega +\omega\times 2 } & {\color{red} {g_{\varphi(\omega \times 4 ,0) }} } & >x\uparrow^{4x -1} x\\ f_{f_2}(f_2)&f_\omega(f_2) & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega +\omega^2 } & {\color{green} {g_{\varphi(\omega ^2 ,0) }\sim g_{\varphi(\omega ^n ,0) }} } & >x\uparrow^{2^x} x\\ f_{f_3}(f_3)&f_\omega(f_3) & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega +\omega^3 } & {\color{green} {g_{\varphi(\varepsilon _0 ,0) }} } & >x\uparrow^{x\uparrow\uparrow x} x\\ f_{f_4}(f_4)&f_\omega(f_4) & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega +\omega^4 } & {\color{green} {g_{\varphi(\zeta _0 ,0) }} } & >x\uparrow^{x\uparrow\uparrow\uparrow x} x\\ f_{f_x}(f_x)&f_\omega(f_\omega ) & {\color{red}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega \times 2 } & {\color{red} {g_{\varphi(\varphi(\omega ,0) ,0) }} } & >x\uparrow^{x\uparrow^{x-1} x} x & G(2)\\ f_<nowiki>{{f_{f_x}(f_x)}}</nowiki>(f_{f_x}(f_x)) &f_\omega(f_\omega(f_\omega ) ) & {\color{green}{ m_{\omega^2+1}}} & H_{\omega ^\omega \times 3 } & {\color{red} {g_{\varphi(\varphi(\varphi(\omega ,0) ,0) ,0) }} } & >x\uparrow^{x\uparrow^{x\uparrow^{x-1} x} x} x& G(3)\\ &f_{\omega+1} & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} } & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,0) }} } & >x\to x\to x\to 2 & \color{red}{G(x)}\\ \end{array} \)

对于 <math>f_{\omega +1}</math> 后的增长率，建议直接使用 FGH 分析。

<nowiki>\( \begin{array} { c | c | c } \rm FGH1 &\rm FGH2 & \rm MGH & \rm HH & \rm SGH & -\\ \hline &f_{\omega+1} & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} } & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,0) }=g_{\psi (\Omega ^\Omega ) }} } & \color{red}{G(x)}\\ f_{x+2}(f_{\omega+1})& & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & {\color{green} {H_{\omega ^{\omega+1}}} } & {\color{green} {g_{\varphi(\omega ,\varphi(1,0,0)+1) }} } & \color{red}{G(x)}\\ f_{f_{x+2}}(f_{\omega+1})& & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & {\color{green} {H_{\omega ^{\omega+1}}} } & {\color{green} {g_{\varphi(\varphi(\omega ,0) ,\varphi(1,0,0)+1) }} } & \color{red}{G(x)}\\ f_{\omega }(f_{\omega+1})=f_{\omega }^{x+1}(x+1)&f_{\omega+1}(f_0) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} +1} & {\color{green} {g_{\varphi(\varphi(1,0,0),1) }} }& \color{green}{G(x)}\\ f_{\omega }^{x+2}(x+2)&f_{\omega+1}(f_0(f_0)) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} +2} & {\color{green} {g_{\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),1),1) }} }& \color{green}{G(x+1)}\\ f_{\omega }^{2x}(2x)&f_{\omega+1}(f_1) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} +\omega} & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,1) }=g_{\psi (\Omega ^\Omega \times 2) }} }& \color{green}{G(2x-1)}\\ f_{\omega }^{x\cdot 2^x}(x\cdot 2^x)&f_{\omega+1}(f_2) & {\color{green}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} +\omega^2} & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,\omega^2 )\sim \varphi(1,0,\omega^n )}} }& \\ f_{\omega }^{f_{\omega }}(f_{\omega })&f_{\omega+1}(f_\omega ) & {\color{green}{ m_{\omega^2+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega+1} +\omega^\omega} & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,\varphi(\omega ,0)) }} }& \\ f_{\omega }^{f_{\omega+1 }}(f_{\omega +1})&f_{\omega+1}(f_{\omega +1}) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega +1 }}} & H_{\omega ^{\omega+1} \times 2} & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,\varphi(1,0 ,0)) }} }& \color{green}{G(G(x-1))}\\ &f_{\omega+1}^3 & {\color{green}{ m_{\omega^2+\omega +1 }}} & H_{\omega ^{\omega+1} \times 3} & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,\varphi(1,0 ,\varphi(1,0 ,0))) }} }& \color{green}{G(G(G(x-1)))}\\ &f_{\omega+2} & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega \times 2 }}} & H_{\omega ^{\omega+2} } & {\color{green} {g_{\varphi(1,1,0) }=g_{\psi (\Omega ^{\Omega+1} ) }} }&\\ f_{\omega}(f_{\omega+2})& & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega \times 2 }}} & {\color{green}{H_{\omega ^{\omega+2} }}} & {\color{green} {g_{\varphi(\varphi(1,1,0),1) }} }&\\ f_{\omega +1}(f_{\omega+2})=f_{\omega+1 }^{x+1}(x+1)&f_{\omega+2}(f_0) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega \times 2 }}} & {H_{\omega ^{\omega+2}+1 }} & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,\varphi(1,1,0)+1) }} }&\\ f_{\omega+1}^{2x}(2x)&f_{\omega+2}(f_1) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega \times 2 }}} & H_{\omega ^{\omega+2}+\omega } & {\color{green} {g_{\varphi(1,1,1) }} }&\\ f_{\omega }^{f_{\omega+2 }}(f_{\omega +2})&f_{\omega+2}(f_{\omega +2}) & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega\times 2 +1 }}} & H_{\omega ^{\omega+2} \times 2} & {\color{green} {g_{\varphi(1,1,\varphi(1,1 ,0)) }} }& \\ &f_{\omega+3} & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega \times 3 }}} & H_{\omega ^{\omega+3} } & {\color{green} {g_{\varphi(1,2,0) }=g_{\psi (\Omega ^{\Omega+2} ) } }}&\\ &f_{\omega+4} & {\color{red}{ m_{\omega^2+\omega \times 4 }}} & H_{\omega ^{\omega+4} } & {\color{green} {g_{\varphi(1,3,0) }} }&\\ &f_{\omega\times 2} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2} } & {\color{red} {g_{\varphi(1,\omega ,0) }=g_{\psi (\Omega ^{\Omega+\omega })} } }&\\ \end{array} \)</nowiki>

<nowiki>\( \begin{array} { c | c | c } \rm FGH & \rm MGH & \rm HH & \rm SGH \\ \hline f_{\omega\times 2} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2} } & {\color{red} {g_{\varphi(1,\omega ,0) }}}\\ f_{\omega+2x+1}(f_{\omega\times 2}) & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 }}} & {\color{green} {H_{\omega ^{\omega\times 2} }}} & {\color{green} {g_{\varphi(1,\omega\times 2 ,0) }}}\\ f_{\omega\times 2}(f_{\omega\times 2}) & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 +1}}} & H_{\omega ^{\omega\times 2} \times 2} & {\color{red} {g_{\varphi(1,\varphi(1,\omega ,0) ,0) }}}\\ f_{\omega\times 2+1} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 +\omega }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2 +1} } & {\color{green} {g_{\varphi(2,0 ,0)}=g_{\psi (\Omega ^{\Omega\times 2})}}}\\ f_{\omega\times 2+1}(f_1) & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 +\omega }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2 +1} +\omega } & {\color{green} {g_{\varphi(2,0 ,1) }}}\\ f_{\omega\times 2+1}(f_{\omega \times 2}) & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 +\omega +1 }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2 +1} +\omega^{\omega\times 2 } } & {\color{green} {g_{\varphi(2,0 ,\varphi(1,\omega ,0)) }}}\\ f_{\omega\times 2+1}(f_{\omega \times 2+1}) & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 +\omega +1 }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2 +1} \times 2} & {\color{green} {g_{\varphi(2,0 ,\varphi(2,0,0)) }}}\\ f_{\omega\times 2+2} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 +\omega\times 2 }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2 +2} } & {\color{green} {g_{\varphi(2,1 ,0)}}}\\ f_{\omega\times 2+3} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 2 +\omega\times 3 }}} & H_{\omega ^{\omega\times 2+3} } & {\color{green} {g_{\varphi(2,2,0)}}}\\ f_{\omega\times 3} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 3 }}} & H_{\omega ^{\omega\times 3} } & {\color{red} {g_{\varphi(2,\omega,0)}}}\\ f_{\omega\times 3+1} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 3 +\omega }}} & H_{\omega ^{\omega\times 3+1}} & {\color{green} {g_{\varphi(3,0,0)}}}\\ f_{\omega\times 4} & {\color{red}{ m_{\omega^2\times 4 }}} & H_{\omega ^{\omega\times 4} } & {\color{red} {g_{\varphi(3,\omega,0)}}}\\ f_{\omega^2} & {\color{red}{ m_{\omega^3 }}} & H_{\omega ^{\omega^2} } & {\color{red} {g_{\varphi(\omega,0,0)}}}\\ f_{\omega^2}(f_{\omega^2}) & {\color{red}{ m_{\omega^3 \times 2}}} & H_{\omega ^{\omega^2}\times 2 } & {\color{red} {g_{\varphi(\varphi(\omega,0,0),0,0)}}}\\ f_{\omega^2+1} & {\color{red}{ m_{\omega^3 +\omega }}} & H_{\omega ^{\omega^2+1} } & {\color{green} {g_{\varphi(1,0,0,0)}=g_{\psi (\Omega ^{\Omega^2})}}}\\ f_{\omega^2+\omega} & {\color{red}{ m_{\omega^3 +\omega^2 }}} & H_{\omega ^{\omega^2+\omega }} & {\color{red} {g_{\varphi(1,0,\omega,0)}}}\\ f_{\omega^2+\omega +1} & {\color{red}{ m_{\omega^3 +\omega^2 +\omega }}} & H_{\omega ^{\omega^2+\omega+1 }} & {\color{green} {g_{\varphi(1,1,0,0)}}}\\ f_{\omega^2+\omega\times 2 +1} & {\color{red}{ m_{\omega^3 +\omega^2\times 2 +\omega }}} & H_{\omega ^{\omega^2+\omega\times 2+1 }} & {\color{green} {g_{\varphi(1,2,0,0)}}}\\ f_{\omega^2\times 2} & {\color{red}{ m_{\omega^3 \times 2 }}} & H_{\omega ^{\omega^2\times 2 }} & {\color{red} {g_{\varphi(1,\omega ,0,0)}}}\\ f_{\omega^2\times 2 +1} & {\color{red}{ m_{\omega^3 \times 2 +\omega }}} & H_{\omega ^{\omega^2\times 2 +1}} & {\color{green} {g_{\varphi(2,0,0,0)}}}\\ f_{\omega^2\times 3 +1} & {\color{red}{ m_{\omega^3 \times 3 +\omega }}} & H_{\omega ^{\omega^2\times 3 +1}} & {\color{green} {g_{\varphi(3,0,0,0)}}}\\ f_{\omega^3} & {\color{red}{ m_{\omega^4 }}} & H_{\omega ^{\omega^3}} & {\color{red} {g_{\varphi(\omega,0,0,0)}=g_{\psi (\Omega ^{\Omega^2\times \omega})}}}\\ f_{\omega^3+1} & {\color{red}{ m_{\omega^4+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega^3+1}} & {\color{green} {g_{\varphi(1@4)}=g_{\psi (\Omega ^{\Omega^3})}}}\\ f_{\omega^4+1} & {\color{red}{ m_{\omega^5+\omega }}} & H_{\omega ^{\omega^4+1}} & {\color{green} {g_{\varphi(1@5)}=g_{\psi (\Omega ^{\Omega^4})}}}\\ f_{\omega^\omega} & {\color{green}{ m_{\omega^\omega }}} & H_{\omega ^{\omega^\omega }} & {\color{green} {g_{\varphi(1@\omega)}}}={\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\omega})}}}\\ \end{array} \)</nowiki>

同样是由于基本列，MGH 与 FGH 在 <math>\omega^\omega</math> 处 Catching 但略小于 FGH（注意 Catching 并不是相等），此后每遇到 <math>\omega^\omega</math> 的倍数二者都会 Catching 一次。

<nowiki>\( \begin{array} { c | c | c } \rm FGH & \rm HH & \rm SGH \\ \hline f_{\omega^\omega} & H_{\omega ^{\omega^\omega }} & {\color{green} {g_{\varphi(1@\omega)}}}={\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\omega})}}}\\ f_{\omega^\omega}(f_0) & H_{\omega ^{\omega^\omega }+1} & {\color{green} {g_{\varphi(1@(\omega+1))}}}\\ f_{\omega^\omega}(f_1) & H_{\omega ^{\omega^\omega }+\omega } & {\color{green} {g_{\varphi(1@(\omega\times 2))}}}\\ f_{\omega^\omega}(f_{\omega^\omega}) & H_{\omega ^{\omega^\omega }\times 2 } & {\color{green} {g_{\varphi(1@\varphi(1@\omega))}}}\\ f_{\omega^\omega+1} & H_{\omega ^{\omega^\omega +1}} & {\color{green} {g_{\varphi(1@(1,0))}= {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega})}}}}\\ f_{\omega^\omega+\omega } & H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega }} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\omega })}}}\\ f_{\omega^\omega+\omega +1 } & H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega })}}}\\ f_{\omega^\omega+\omega\times 2 +1 } & H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega\times 2 +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega\times 2 })}}}\\ f_{\omega^\omega+\omega^2 } & H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega^ 2 }} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega\times \omega })}}}\\ f_{\omega^\omega+\omega^2 +1 } & H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega^ 2 +1 }} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega^2 })}}}\\ f_{\omega^\omega+\omega^3 +1 } & H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega^ 3 +1 }} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega^3 })}}}\\ f_{\omega^\omega\times 2 } & H_{\omega ^{\omega^\omega \times 2 }} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega^\omega })}}}\\ f_{\omega^\omega\times 2 +1} & H_{\omega ^{\omega^\omega \times 2 +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega\times 2 })}}}\\ f_{\omega^\omega\times 3 +1} & H_{\omega ^{\omega^\omega \times 3 +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega\times 3})}}}\\ f_{\omega^{\omega+1}} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +1}}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega\times \omega })}}}\\ f_{\omega^{\omega+1}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +1}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+1} })}}}\\ f_{\omega^{\omega+1}+\omega +1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +1}+\omega +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+1}+\Omega })}}}\\ f_{\omega^{\omega+1}\times 2+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +1} \times 2} } & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+1}\times 2 })}}}\\ f_{\omega^{\omega+2}} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +2}}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+1}\times \omega })}}}\\ f_{\omega^{\omega+2}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +2}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+2} })}}}\\ f_{\omega^{\omega+3}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +3}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+3} })}}}\\ f_{\omega^{\omega\times 2}} & H_{\omega ^{\omega^{\omega \times 2}}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+\omega } })}}}\\ f_{\omega^{\omega\times 2}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega \times 2}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega\times 2 } })}}}\\ f_{\omega^{\omega\times 3}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega \times 3}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega\times 3 } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ 2}} & H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ 2}}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega\times \omega } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ 2}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ 2}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^2 } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ 3}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ 3}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^3 } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ \omega }} & H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ \omega }}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^\omega } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ \omega }+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ \omega }+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^\Omega } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^{\omega^ \omega } }+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega ^{\omega^ \omega } }+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^{\Omega^ \Omega } } })}}}\\ f_{\psi (0)=\varepsilon_0} & {\color{green}{H_{\varepsilon _0}}}/H_{\varepsilon _0+1} & {\color{green} {g_{\psi (\psi_1(0))}}}\\ \end{array} \)</nowiki>

HH 与 FGH 最终在 <math>\varepsilon_0</math> 处 Catching 了。此后每遇到 <math>\varepsilon_0</math> 的倍数二者都会再次 Catching。

关于这之后 SGH 与 FGH 的对照分析，请移步 [[Catching 函数]]。

=== 警告 ===
''本节内容来自 Googology Wiki''。''<ref>Googology Wiki (n.d.). Fast-growing hierarchy. ''(EB/OL), Googology Wiki''. Available at: https://googology.fandom.com/wiki/Fast-growing_hierarchy</ref>''<ref>Googology Wiki (n.d.). Slow-growing hierarchy. ''(EB/OL), Googology Wiki''. Available at: https://googology.fandom.com/wiki/Slow-growing_hierarchy</ref><ref>Googology Wiki (n.d.). Hardy hierarchy. ''(EB/OL), Googology Wiki''. Available at: https://googology.fandom.com/wiki/Hardy_hierarchy</ref>

读者需要非常谨慎，因为个人网站、视频和用户博客上存在许多错误的“入门介绍”，尽管这些内容不幸受到初学者的青睐。由于序数、基本列等数学概念非常抽象且难以精确处理，人们往往倾向于给出直观描述——这些描述对初学者来说比精确解释更简单、更“酷”。然而，这类“入门介绍”经常包含严重错误，因为作者本身也是通过其他直观描述学习的，而非精确的定义——重点在于，要理解快速增长层级，精确的定义是不可或缺的。精确描述看起来复杂的原因并非仅仅是表述不佳或冗余，而是因为这些概念本身确实非常困难，尽管这些错误的“入门介绍”有时会将它们解释为简单的概念。

另外要注意，关于快速增长层级中函数的[[CKO#可计算函数|可计算性]]，存在许多错误描述。虽然 gggists 有时会声称某个函数是可计算的，因为它是通过快速增长层级定义的，但这是典型的错误。通过包含无限序数的方法(如快速增长层级)定义的函数并不一定是可计算的。为了确保通过快速增长层级定义的函数的可计算性，我们需要构造一个明确的算法来计算它，常见例子是由序数记号给出一个基本列的算法。即使快速增长层级中像 <math>f_\omega</math> 这样的较小函数，若没有通过明确算法定义，也可能是不可计算的（比如设想<math>f_\omega(n)=f_{BB(n)}(n)</math>，其中<math>BB(n)</math>是[[忙碌海狸函数]]）。因为算法只能处理可数集合中具有固定枚举的元素，而无法直接处理没有固定枚举的集合中的无限序数。为了解决可计算性问题，我们通常使用序数记号。

关于快速增长层级（及其同类，如哈代层级和慢速增长层级）最重要的事实之一是：给定上界以下的极限序数的基本列系统并非唯一，经典增长层级严重依赖于这种系统的选择；除非在上下文中明确固定了基本列系统的具体选择，否则它是定义不明确的。初学者必须非常注意这个问题，因为当 gggist 谈论“[[Catching 函数|Catching 的序数]]”“视为增长率的序数”“快速增长层级中的[[证明论序数]]”等内容时，若不理解基本列系统选择的依赖性，这种定义不明确的情况会频繁出现。

== 参考资料 ==
<references />
[[分类:入门]]
[[分类:分析]]

Googology 梗百科

2025-08-15T09:55:40Z

Ankdnjj：/* 3.其他错字 */

本页面收录了一些中文 [[Googology|ggg]] 圈的梗。

== 一、聊天记录类 ==

=== 1.定义没有，牛B吹爆 ===
[[文件:12345B67.jpg|截图日期：2024年8月9日|缩略图]]
起因是 3184 说了句“来点小小的链节余项震撼”，后被 hypcos 回复“定义没有，牛B吹爆”

因为其过于经典而被广为流传。

后来还衍生出了多种版本，如“1234，5B67”和“□□□□，□□□□”，“分析没有，牛B吹爆”等

=== 2.XX给你打了 ===
出自于涵对 hypcos 的回复“坦克给你打了”。
[[文件:Tank.jpg|缩略图]]
其中“坦克”指的是 [[LVO]]，这个名词来源于文件《大数级别段位》（一个数字量级表）中的“掌控者坦克”。另一个较为出名的是“邢天战甲”，被用于指代 [[BO]]。

这个梗中的“坦克”可以被换成任意词，被用于调侃性地表达两个事物间的比较。

此外，受这段聊天记录影响，有一些人在讨论部分内容时也常常使用“我倾向于”表达自己的观点。

详细信息可以参考B站用户 3183丶4139 的[https://b23.tv/ULKDxxw 这期视频]。

== 二、错字类 ==

=== 1.果糕 ===
果糕是馃槹的谐音版，馃槹是 emoji 表情😰按 UTF-8 编码后用 GBK 解码的结果。

具体可以见[https://2023largenumber.fandom.com/zh/wiki/%F0%9F%98%B0#articleComments/ 此处]。

=== 2.扽西 ===
最早是 PCF 的错字，将“分析”打成了扽西，后来逐渐演变成了一个梗，用于代指不严谨的分析。

=== 3.其他错字 ===
还有一些错字也比较经典，如“狄安娜”指电脑，“周记”指手机，“全业务额是”是“确实”，在此不一一列举。
[[文件:2025-08-11 狄安娜的考验.png|缩略图|疑似对外国友人有点高难度了（对中国人也是）]]
详细可以参考[https://docs.qq.com/sheet/DVnlZSENqbm1CU3FQ?u=7b7ca06006c34e6b84a6bbcc0ac26715&tab=000001 错字辞典]，它较为详细地记载了一些错字。

文件:2025-08-11 狄安娜的考验.png

2025-08-15T09:54:26Z

Ankdnjj：

外国友人被狄安娜的错字考验

Fake Fake Fake Zeta

2025-08-15T09:40:49Z

Ankdnjj：补充fffz一小段分析

'''Fake Fake Fake Z(FFFZ)'''，是由 yahtzee 于 2022 年提出，后续由国内的大数研究者夏夜星空完善的'''前沿记号'''。

== 定义 ==
'''注意：FFFZ 的定义尚未完全确定，且有较为频繁的更改(大部分是修改一些小问题,比如简化、修错别字)。这里叙述最新一版(2025.7.26)的定义。'''

'''注意：部分概念的定义被修改为了等价版本。这些修改与原始文本之间是逻辑意义上的等价。'''

=== 主体规则 ===
FFFZ的合法表达式形如<math>\psi_Z[\#](n)</math>，极限基本列为<math>\{\psi_Z(0),\psi_Z(\psi_Z(0)),\psi_Z(\psi_Z(\psi_Z(0))),\cdots\}</math>。

# <math>\psi_Z(0)[s]=1</math>
# <math>\psi_Z[\#](n+1)[s]=\psi_Z[\#](n)\times{s}</math>
# 如果<math>[\#,m,n]</math>存在，<math>\psi_Z[\#,m](n)[s]=f^s(n)</math>，其中<math>f(x)=\psi_Z[\#,m,n](x)</math>
# 如果<math>[\#,m,n]</math>不存在，<math>\psi_Z[\#,m](n)[s]=\psi_Z[\#,m](n[t+s])</math>。其中<math>t</math>定义如下：
* 如果<math>m\geq{n}</math>，那么<math>t=0</math>。
* 如果<math>m<n</math>，那么<math>t</math>是满足<math>n[t]\geq{m}</math>的最小非负整数。

=== 化简规则 ===
* <math>\psi_Z[\#,m](n)=\psi_Z[\#](n)</math>，<math>m>n</math>
* <math>\psi_Z[](n)=\psi_Z(n)</math>

为了判定<math>[\#]</math>的存在性，定义以下概念：

=== 名称解释 ===
对于序列<math>\#=\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m</math>，记它的末项为<math>Endseq(\#)=\alpha_m</math>。

对于序数<math>\alpha</math>，写出它的Cantor范式<math>\sum_{k=1}^{n} \omega^{\alpha_k}</math>。称<math>\omega^{\alpha_n}</math>为<math>\alpha</math>的末项。

如果<math>\alpha</math>等于它的末项，称<math>\alpha</math>为'''简单序数'''，否则为'''复合序数'''。

对于非零简单序数<math>\alpha</math>，它形如<math>\alpha=\psi_Z[\#](n)</math>：
# 如果<math>n</math>是后继序数，称<math>\alpha</math>是<math>+</math>型极限，或0级极限，等级为0。
# 如果<math>[\#,n]</math>不存在，称<math>\alpha</math>是<math>\omega</math>型极限，或1级极限，等级为1。
# 如果<math>[\#,n]</math>存在，称<math>\alpha</math>是<math>\varepsilon</math>型极限，或2级极限，等级为2。

对于两个非零简单序数<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>：
# 如果<math>\alpha</math>的等级大于<math>\beta</math>的等级，称<math>\alpha</math>比<math>\beta</math>高等。
# 如果<math>\alpha</math>的等级等于<math>\beta</math>的等级，称<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>同等。
# 如果<math>\alpha</math>的等级小于<math>\beta</math>的等级，称<math>\alpha</math>比<math>\beta</math>低等。

对于非零简单序数<math>\alpha</math>，它形如<math>\alpha=\psi_Z[\#,m](n)</math>：
# 如果<math>[\#,m,n]</math>不存在，则<math>\alpha</math>的根为<math>n</math>。
# 如果<math>[\#,m,n]</math>存在，则<math>\alpha</math>的根为<math>m</math>。

对于非零简单序数<math>\alpha</math>，它形如<math>\alpha=\psi_Z(n)</math>，则它的根为<math>n</math>。

对于序数<math>\alpha</math>：
# 如果它是复合序数，它形如<math>\sum_{k=1}^{n} \omega^{\alpha_k}</math>，则每个<math>\omega^{\alpha_k}</math>被它直接包含。
# 如果它是非零简单序数，它形如<math>\psi_Z[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m](n)</math>，则每个<math>\alpha_k</math>均被它直接包含，<math>n</math>也被它直接包含。
#如果它是0，没有任何序数被它直接包含。

<math>\alpha</math>直接包含<math>\beta</math>，记为<math>dInc(\beta,\alpha)</math>。

接下来是几个较为复杂的定义。

==== 末项，核与层数 ====
对于非零序数<math>\alpha</math>和简单序数<math>s</math>，<math>\alpha</math>关于<math>s</math>的末项是以下两个序数<math>u</math>中较大者：
* <math>u</math>是满足“<math>u<s</math>，且存在序数<math>v</math>使<math>v+u=\alpha</math>”的最大序数。
* <math>u</math>是满足“<math>u</math>是简单序数且存在序数<math>w</math>，使得<math>\alpha=u\times{w}</math>”的最大序数。
* 如果上述两个规则中某条规则没有任何序数<math>u</math>能够满足，那么忽视那条规则。

<math>\alpha</math>关于<math>s</math>的末项记为<math>End(\alpha,s)</math>。特别地，<math>\alpha</math>关于<math>0</math>的末项与上文定义的末项等价，记为<math>End(\alpha)</math>。

对于序数<math>\alpha</math>，序数<math>s</math>，不小于-1的整数<math>k</math>，<math>\alpha</math>关于<math>s</math>的<math>k</math>层核，记为<math>Ker(\alpha,s,k)</math>，定义如下：
* <math>Ker(\alpha,s,-1)=\alpha</math>
* <math>Ker(0,s,k)=0</math>

以下假设<math>\alpha</math>非零，<math>k</math>是非负整数：
* <math>Ker(\alpha,s,k)=Ker(End(\alpha),End(s),k)</math>

以下假设<math>\alpha</math>和<math>s</math>都是非零简单序数，<math>k</math>是非负整数，<math>\alpha</math>形如<math>\psi_Z[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m](n)</math>：
* <math>Ker(\alpha,s,0)=\psi_Z[End(\alpha_1,s),End(\alpha_2,s),\cdots,End(\alpha_m,s)](End(n,s))</math>
* <math>Ker(\alpha,s,k+1)=Ker(\psi_Z[Ker(\alpha_1,s,k),Ker(\alpha_2,s,k),\cdots,Ker(\alpha_m,s,k)](Ker(n,s,k)),s,0)</math>

对于序数<math>\alpha</math>，其层数是一个非负整数，记为<math>Lev(\alpha)</math>，定义如下：

* <math>Lev(0)=0</math>
* <math>Lev(\alpha)=max\{Lev(\beta)\mid{dInc(\beta,\alpha)}\}+1</math>

层数可以简单的理解为“ψZ嵌套的次数”

对于非零序数<math>\alpha</math>，序数<math>s</math>，<math>\alpha</math>关于<math>s</math>的核记为<math>Ker(\alpha,s)</math>，它定义为<math>Ker(\alpha,s)=Ker(\alpha,s,Lev(\alpha))</math>。

特别地，<math>\alpha</math>的核记为<math>Ker(\alpha)</math>，它定义为<math>Ker(\alpha)=Ker(\alpha,0,Lev(\alpha))</math>。

=== 双元兼容 ===
对于序数<math>\alpha=\psi_Z[\#](n)</math>和<math>\beta=\psi_Z[\&](m)</math>，依次进行以下判定：
# 如果<math>\alpha>\beta</math>，则<math>[\alpha,\beta]</math>存在。
# 如果<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>中至少有一个复合序数，则<math>[\alpha,\beta]</math>存在当且仅当<math>[End(\alpha),End(\beta)]</math>存在。
# 如果<math>\alpha=0</math>，则<math>[\alpha,\beta]</math>不存在。
# 当<math>\#=\&</math>时，<math>[\alpha,\beta]</math>存在当且仅当<math>[n,m]</math>存在；否则，如果存在序列<math>\%</math>使得<math>End(Endseq(\%))</math>与<math>End(Endseq(\#))</math>，<math>End(Endseq(\&))</math>之一相等，且存在序数<math>x</math>和序数<math>y</math>使得<math>\alpha=\psi_Z[\%](x)</math>且<math>\beta=\psi_Z[\%](y)</math>，则若<math>[x,y]</math>存在那么<math>[\alpha,\beta]</math>存在
# 如果<math>\beta\geq\psi_Z[\alpha](\alpha)</math>，则<math>[\alpha,\beta]</math>存在当且仅当<math>[\alpha,\beta</math>的根<math>]</math>存在；否则，如果存在简单序数<math>s</math>和不小于-1的整数<math>k</math>，使得<math>Ker(\beta,s,k)\geq\psi_Z[Ker(\alpha,s,k)](Ker(\alpha,s,k))</math>且不存在非零序数<math>x</math>和序列<math>\%</math>使得<math>Ker(\beta,s,k)=\psi_Z[Ker(\alpha,s,k)\times\omega,\%](Ker(\alpha,s,k)\times{x})</math>，则当<math>[\alpha,\beta</math>的根<math>]</math>存在时<math>[\alpha,\beta]</math>存在
# 如果存在两个序数<math>A</math>，<math>B</math>，<math>Ker(A)=Ker(\alpha)</math>，<math>Ker(B)=Ker(\beta)</math>，<math>A</math>属于<math>B</math>基本列，且<math>\alpha</math>比<math>\beta</math>高等，则<math>[\alpha,\beta]</math>存在
# 如果通过上述规则均无法说明<math>[\alpha,\beta]</math>存在，则<math>[\alpha,\beta]</math>不存在

=== 多元兼容 ===
对于序列<math>\#=\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m</math>，如果任取满足<math>k>j</math>的<math>\alpha=\alpha_j</math>，<math>\beta=\alpha_k</math>都有'''以下两个条件至少成立一个'''，则<math>[\#]</math>存在。

条件I：以下两个条件至少成立一个：
# <math>[\alpha,\beta]</math>存在
# <math>k<m</math>且存在满足<math>k>l</math>的<math>\gamma=\alpha_l</math>，使得<math>[\gamma,\beta]</math>不存在

条件II：对于任何满足<math>k<l</math>的<math>\gamma=\alpha_l</math>，存在简单序数<math>s</math>，不小于-1的整数<math>n</math>，使得以下两个条件同时成立：
# <math>[\beta,\gamma]</math>存在，且<math>Ker(\alpha,s,n)>Ker(\beta,s,n)</math>
#

''(好吧还没写完(因为看不懂)。除了这条规则(平移转移)，特殊规则以及各种优先级，还要补不少定义域限制，比如“m为序数或空”之类)''

== 直观解释 ==
FFFZ的前几条规则是
# <math>\psi_Z(0)[s]=1</math>
# <math>\psi_Z[\#](n+1)[s]=\psi_Z[\#](n)\times{s}</math>

类似于BOCF的规则。为了提升强度，我们需要引入“兼容”的概念。

“兼容”就是中括号里的东西(有时也叫“伪链”，伪即Fake)，通过类似于“挡刀”的方式提升强度。举个例子：对<math>\psi_Z(n)</math>取极限，得到的并不是<math>\psi_Z(\omega)</math>，而是<math>\psi_Z[\omega](\omega)</math>，中括号内出现了挡刀的<math>\omega</math>。只有达到<math>\alpha\to\psi_Z[\omega](\alpha)</math>的第一个不动点时，才能得到<math>\psi_Z(\omega)</math>。

当然，我们并不局限于只把一个序数放进兼容里。兼容里可以有多个序数，举个例子：对<math>\psi_Z[\omega^2](\omega^2+n)</math>取极限，得到的并不是<math>\psi_Z[\omega^2](\omega^2+\omega)</math>，而是<math>\psi_Z[\omega^2,\omega^2+\omega](\omega^2+\omega)</math>。

从提升强度的角度考虑，我们当然希望设计一套规则，允许更多的兼容，从而最大限度地提升强度。但是，这样的规则并不是总是可行——考虑这样的规则：“任意一系列极限序数可以兼容”，那么我们有

<math>\psi_Z(\omega)\to\psi_Z[\omega](\psi_Z[\omega](\omega))\to\psi_Z[\omega](\psi_Z[\omega](2))\to\psi_Z[\omega](\omega\times{2})\to\psi_Z[\omega,\omega\times{2}](\psi_Z[\omega,\omega\times{2}](\omega\times{2}))\to\psi_Z[\omega,\omega\times{2}](\omega\times{3})\to\cdots</math>

无穷降链。

造成这种结果的原因在于，<math>[\omega,\omega\times{2},\omega\times{3},\cdots]</math>这些序数可以无限地兼容下去，形成'''无限兼容链'''。所以，我们希望的规则应该满足以下两个条件：

1. 允许兼容存在，以提升强度。

2. 不允许某些兼容存在，以避免无限兼容链。

由于实际分析和构造的需要，我们还有第三个条件：

3. 允许某些关键节点的特殊兼容存在。

基于上述的理念，作者给出了上文提到的那一系列规则。

''(未完待续。主要是补充一些概念的直观理解，比如“末项”之类的)''

== 一些展开 ==
(1)<math>\psi_Z(\omega)[2]</math>

注意到<math>[ ,\omega]</math>等价于<math>[\omega]</math>,存在,故原式=<math>\psi_Z[\omega](\psi_Z[\omega](\omega))</math>. 这印证了前文里伪链存在的必要.

(2)<math>\psi_Z[\omega](\omega\times 2)</math>[2]

让我们检验一下<math>[\omega,\omega\times 2]</math>是否存在.

<math>\omega</math>的末项为<math>\omega</math>,<math>\omega\times 2</math>的末项为<math>\omega</math>. 化简完后为<math>[\omega,\omega]</math>.

第一条:<math>\omega\leq\omega</math>，不行

第二条:<math>\omega</math>为简单序数，不行

第三条:<math>\omega\neq0</math>，不行

第四条:[n,m]=[1,1]，这是什么？

第五条:<math>\omega<\psi_Z[\omega](\omega)</math>,后面的第一个条件不成立,还不行

第六条:<math>\omega
\omega</math>同等,仍然不行

故<math>[\omega,\omega\times 2]</math>不存在,<math>\psi_Z[\omega](\omega\times2)[2]=\psi_Z[\omega](\omega[2])=\psi_Z[\omega](\omega+2).</math>这样避免了上文的无穷降链.

本质上讲,展开一个fffz重点在于判断伪链. 故(3)以后均是这类例子.

(3)<math>[\omega^2,\omega^2+\omega]</math>是否存在?

<math>\omega^2+\omega</math>的末项为<math>\omega</math>,又<math>\omega^2>\omega</math>，存在.

== 衍生版本 ==
上文介绍的版本称为<math>\rm{Strong}</math>版本。除此之外，还有<math>\rm{Actual}</math>版本和<math>\rm{Weak}</math>版本，各版本区别如下：

=== <math>\rm{Actual}</math>版本 ===
1.除双元兼容第6条外，所有核都必须是关于<math>\omega</math>的
2.对于能合法而不必标准的写成“<math>\psi_Z</math>[#](X+n)，其中X的末项等于<math>\omega</math>，n是正整数，#是任意序列(可以为空)”的形式的序数A，需遵守下列要求：(k可取全体小于<math>\omega</math>的序数)
(1).当A处在[]中时，强制固定A关于<math>\omega</math>的k层核为A关于<math>\omega</math>的核(该核无视其它要求另算)
(2).除(1)之外，强制固定A关于<math>\omega</math>的k层核为A本身

=== <math>\rm{Weak}</math>版本 ===
1.双元兼容第5条失效
2.所有核都必须是-1层的

== 分析 ==
{| class="wikitable"
|+fffz vs BOCF vs BMS
!Fake Fake Fake Zeta
!MOCF
!BMS
|-
|<math>\psi_Z(0)</math>
|1
|<math>(0)</math>
|-
|<math>\psi_Z(1)</math>
|<math>\omega</math>
|<math>(0)(1)</math>
|-
|<math>\psi_Z(2)</math>
|<math>\omega^2</math>
|<math>(0)(1)(1)</math>
|-
|<math>\psi_Z[\omega](\omega)</math>
|<math>\omega^\omega</math>
|<math>(0)(1)(2)</math>
|-
|<math>{\psi_Z}[\omega](\omega+1)</math>
|<math>\omega^{\omega+1}</math>
|<math>(0)(1)(2)(1)</math>
|-
|<math>\psi_Z[\omega](\omega^2)</math>
|<math>\omega^{\omega^2}</math>
|<math>(0)(1)(2)(2)</math>
|-
|<math>\psi_Z[\omega](\psi_Z[\omega](\omega))</math>
|<math>\omega^{\omega^{\omega}}</math>
|<math>(0)(1)(2)(3)</math>
|-
|<math>\psi_Z[\omega](\psi_Z[\omega](\psi_Z[\omega](\omega)))</math>
|<math>\omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}</math>
|<math>(0)(1)(2)(3)(4)</math>
|-
|<math>\psi_Z(\omega)</math>
|<math>\psi(0)</math>
|<math>(0,0)(1,1)</math>
|}
[[分类:记号]]